資源簡介

第 01 講 導數的概念、運算及幾何意義
（8 類核心考點精講精練）
1. 5 年真題考點分布
5 年考情
考題示例 考點分析 關聯考點
已知切線斜率求參數
2024 年新 I 卷，第 13 題,5 分 直線的點斜式方程
公切線問題
利用導數研究含參函數單調性
2024 年新Ⅱ卷，第 16 題,15 分 求在曲線上一點處的切線方程
根據極值求參數
利用導數研究函數的零點
2022 年新 I 卷，第 10 題,5 分 求在曲線上一點處的切線方程
求已知函數的極值點
抽象函數的奇偶性
2022 年新 I 卷，第 12 題,5 分 函數與導函數圖象之間的關系
函數對稱性的應用
2022 年新 I 卷，第 15 題,5 分 求過一點的切線方程 求某點處的導數值
2022 年新Ⅱ卷，第 14 題,5 分 求過一點的切線方程 無
2021 年新 I 卷，第 7 題,5 分 求過一點的切線方程 利用導數研究函數圖象及性質
兩條切線平行、垂直、重合
2021 年新Ⅱ卷，第 16 題,5 分 直線的點斜式方程及辨析
(公切線) 問題
2020 年新 I 卷，第 21 題,12 分 求在曲線上一點處的切線方程 利用導數研究不等式恒成立問題
2020 年新Ⅱ卷，第 22 題,12 分 求在曲線上一點處的切線方程 利用導數研究不等式恒成立問題
2. 命題規律及備考策略
【命題規律】本節內容是新高考卷的必考內容，設題穩定，難度較低，分值為 5 分左右
【備考策略】1 理解導數概念的實際背景，理解導數是關于瞬時變化率的數學表達，了解導數的本質與思想,
了解極限思想
2 能通過函數圖象直觀理解導數的幾何意
3 能利用給出的基本初等函數的導數公式和導數的四則運算法則求簡單函數的導數，能求簡單
的復合函數的導數并.熟練使用導數公式表
4 能理解導數的幾何意義并會求切線方程
【命題預測】本節內容是新高考卷的必考內容，一般會考查在曲線上一點的切線方程或過一點的切線方程，
需加強復習備考
知識講解
1. 函數 y f (x) 在 x x0處的導數
f(x0＋Δx)－f(x0) Δy
(1)定義：稱函數 y＝f(x)在 x＝x0處的瞬時變化率 lim ＝ lim 為函數 y＝f(x)在 x＝xΔx Δx 0
處
Dx 0 Dx 0
Δy f(x ＋Δx)－f(x )
的導數，記作 f′(x0)或 y′|x＝x0，即 f′(x0)＝ lim ＝ lim
0 0
。
Dx 0 Δx Dx 0 Δx
2. 函數 y f (x) 的導函數
如果函數 y＝f(x)在開區間(a，b)內的每一點處都有導數，其導數值在(a，b)內構成一個新函數，函數 f′(x)＝
f(x＋Δx)－f(x)
lim 稱為函數 y＝f(x)在開區間內的導函數.
Δx
3. 八大常用函數的求導公式
（1）C 0 （C 為常數）
2 3
1 1
（2 (xn） ) nxn 1 例： (x5 ) 5x4 ， (x 5 ) 2 x 5， ， (x
6 ) 1 6x 7 ， ( x ) (x 2 ) x 2
5 2
x
（3） (e ) ex 1 （4 (a
x x
） ) a ln a （5） (ln x) x
（6） (loga x)
1
（7） (sin x) cos x （8） (cos x) sin xx ln a
4. 導數的四則運算
（1）和的導數： f (x) g(x)
f (x) g (x)
（2）差的導數： f (x) g(x)
f (x) g (x)
（3）積的導數： f (x)g(x) f (x)g(x) f (x)g (x)（前導后不導 前不導后導）


4 f (x) f (x)g(x) f (x)g (x)（ ）商的導數： ， g(x) 0
g(x)
2
g (x)
5. 復合函數的求導公式
函數 y f (g(x))中，設u g(x) （內函數），則 y f (u) （外函數） y yu ux
6. 導數的幾何意義
（1）導數的幾何意義
函數 y f (x) 在 x x0 處的導數 f (x0 ) 就是曲線 y f (x) 在點 (x0 , f (x0 ))處的切線的斜率 k ，即
k f (x0 ) lim
f (x0 +Dx) f (x0 ) ．
Dx 0 Dx
（2）直線的點斜式方程
直線的點斜式方程：已知直線過點 P(x0 , y0 ) ，斜率為 k ，則直線的點斜式方程為： y y0 k x x0
【注】曲線的切線的求法：若已知曲線過點 P(x0，y0)，求曲線過點 P 的切線，則需分點 P(x0，y0)是切
點和不是切點兩種情況求解．
（1）當點 P(x0，y0)是切點時，切線方程為 y y0 k x x0 ；
（2）當點 P(x0，y0)不是切點時，可分以下幾步完成：
第一步：設出切點坐標 P (x1, f (x1)) ；
第二步：寫出過 P (x1, f (x1)) 的切線方程為 y f (x1) f (x1)(x x1) ；
第三步：將點 P 的坐標(x0，y0)代入切線方程求出 x1；
第四步：將 x1的值代入方程 y f (x1) f (x1)(x x1) ，可得過點 P(x0，y0)的切線方程．
考點一、導數的計算
1．（2024 高三·全國·專題練習）求下列函數的導數：
(1) y e x x 1 2 ；
(2) y cos 3x 1 ln 2x 1 ；
(3) y sin 2x cos2 x ；
(4) y 2x 1 ．
x
(5) y ex sin x cos x
(6) y tan x ln( x)
(7) y x sin
x cos x
2 2
y ln(1 x)(8)
ex
(1) y e x 2【答案】 1 x
(2) y 3sin 3x 2 1
2x 1
π
(3) y 2 2 sin 2x ÷
è 4
y 1 x(4)
x2 2x 1
(5) y ex (sin x cos x) sin x
1 1
(6) y
cos2

x x
1
(7) y 1 cos x
2
y 1 (1 x) ln(1 x)(8) (1 x)ex
【分析】根據導數的四則運算，基本初等函數的導數，復合函數的導數公式求解，另外（6）還用了切換弦，
（7）還用了半角公式.
2
【詳解】（1 y e x） x 1 e x 2 x 1 e x 1 x2
（2） y 3sin 3x 2 1 3sin 3x 1 2
2x 1 2x 1
π
（3） y 2cos 2x 2cos x sin x 2cos 2x 2sin 2x 2 2 sin 2x 4 ÷è
y 2 2x 1 x 1
x 2x 1 1 x
（4） 2 x x2 x2 2x 1 x2 2x 1
'
（5） y ex sin x cos x ' ex sin x ex sin x ' sin x ex sin x cos x sin x ．
y sin x6 ln x y cos
2 x sin x( sin x) 1
（ ） ，則 ( x) 1 1
cos x cos2 x x cos2 x x
（7） y x
1
sin x ，則 y 1
1
cos x ．
2 2
1 1 x ' ex 1n 1 x .ex 1 ln 1 x
8 1 x 1 x 1 1 x ln 1 x （ ） y
x 2

ex

e 1 x ex
2．（2024 高三·全國·專題練習）求下列函數的導數：
x x
(1) y 2 e2 xe2 ÷ ；
è
(2) y a2x x2 ；
(3) y sin4 3x cos3 4x；
y x ln x(4) ln x 1 ．
x 1
x
【答案】(1) y 3 x e2
(2) y 2a2x ln a 2x
(3) y 12sin3 3x cos3 4x 12sin4 3x cos2 4x
(4) y
ln x

x 1 2
【分析】（1）利用復合函數及求導乘法法則進行計算；（2）利用復合函數及求導加法法則進行計算；（3）
利用復合函數及求導乘法法則進行計算；（4）利用復合函數及求導減法，除法法則進行計算.
1 x x 1 x x
【詳解】（1） y 2 e2 e2 xe2 ÷ 3 x e2
è 2 2
（2） y 2a2x ln a 2x
（3） y 12sin3 3x cos3 4x 12sin4 3x cos2 4x
1 ln x x 1 x ln x
（4） y
1 ln x
2 x 1 x 1 x 1 2
1．（2024 高三·全國·專題練習）求下列函數的導數
(1) y ln 3；
(2) y x 3；
f (x) cos x(3) x ；e
(4) y 2x2 1 3x 1 ；
(5) f (x) ln 1 x2 ；
1 cos x
(6) y ．
sin x
【答案】(1) y 0
(2) y 3x 4
sin x cos x
(3) f (x)
ex
(4) y 18x2 4x 3
(5) f x x
1 x2
y 1 cos x(6)
sin2 x
【分析】（1）（2）根據基本初等函數的導數即可求解，（3）（4）（6）根據基本初等函數的導數和導數的四
則運算即可求解，（5）根據復合求導法則即可求解.

【詳解】（1） y ln 3 0
（2） y 3x 3 1 3x 4
x x
f (x) e sin x e cos x sin x cos x（3） ex 2 ex
（4） y 4x 3x 1 3 2x2 1 18x2 4x 3
（5）令 f x ln 1 x2 1 ln 1 x22 ，

令m 1 x2 f x 1 ln m ，則 2 ÷
2 1 x 1 2x x
è 2m 1 x2
sin x sin x cos x 1 cos x
（6） y
1 cos x

sin x 2 sin2 x
2．（2024 高三·全國·專題練習）求下列函數的導數．
(1) y xex
y ln x(2) 2 ；x 1
(3) y 2sin(1 3x)
y 3(4) ln x 1 x2 .
4
(1) y x 1 ex【答案】
2 2
y x 1 2x ln x(2)
x x2 2 1
(3) y 6cos(1 3x)
2
(4) y 3 x 1 x
4x 1 x2
【分析】根據導數的四則運算和復合函數的求導法則可求各函數的導數.
x
【詳解】（1） y e xex x 1 ex
x2 1
2x ln x 2
（2） y x x 1 2x
2 ln x

2 2x2 1 x x2 1
（3） y 2 3 cos(1 3x) 6cos(1 3x)
y 3 1 2x 3 x 3 x 1 x
2
（4）
4x 2 1 x2 4x 1 x2 4x 1 x2
3．（23-24 高三上·山西臨汾·階段練習）求下列函數的導數：
(1) y x2 3x 3 ex 1
cos(2x 1)
(2) y
x
y ln x(3)
1 2x
(4) y (x 1)(x 2)(x 3)
(5) y x ln x x2 x 2
1
(6) y ln 2 x3 ex
ex
【答案】(1) y ex 1 x2 5x 6
y 2x sin(2x 1) cos(2x 1)(2)
x2
1
(3) y x(1 2x)
(4) y 3x2 12x 11
(5) y ln x 2x
(6) y 3x2
1
ex
ex
【分析】（1）—（6）根據導數的運算法則及基本初等函數函數的導數公式計算可得.
2
【詳解】（1）因為 y x 3x 3 ex 1，
所以 y x2 3x 3 ex 1 x2 3x 3 ex 1
(2x 3)ex 1 x2 3x 3 ex 1
ex 1 x2 5x 6 .
y cos(2x 1)（2）因為 ，
x
y [cos(2x 1)]
x cos(2x 1) x
所以
x2
2xsin(2x 1) cos(2x 1)
2 .x
x
（3）因為 y ln ，
1 2x
y 1 2x x

所以
x è1 2x ÷
1 2x 1 2x 2x 1
2 x (1 . 2x) x(1 2x)
（4）因為 y (x 1)(x 2)(x 3) x3 6x2 11x 6，
所以 y 3x2 12x 11.
（5）因為 y x ln x x2 x 2，
所以 y ln x x
1
2x 1 ln x 2x .
x
1
（6）因為 y ln 2 x3 ex x ，e
2 x 1
所以 y 3x e .
ex
考點二、求曲線切線的斜率或傾斜角
1．（全國·高考真題）曲線 y xex 1 在點（1,1）處切線的斜率等于（ ）.
A． 2e B． e C．2 D．1
【答案】C
【詳解】試題分析：由 y xex 1，得 ，故 ，故切線的斜率為 ，故選 C.
考點：導數的集合意義.
2．（全國·高考真題）曲線 y x3 2x 4在點 (1,3)處的切線的傾斜角為（ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
【答案】B
【分析】利用導數的幾何意義求解即可．
【詳解】∵ y 3x2 2，
∴曲線 y x3 2x 4在點 (1,3)處的切線的斜率 k y x 1 3 2 1，則傾斜角為45°，
故選：B．
1 8
1．（2024· 3上海嘉定·二模）已知曲線 y x 上有一點P 2, ÷ ，則過 P 點的切線的斜率為 ．3 è 3
【答案】4 或 1
【分析】根據導數的幾何意義直接求解即可.
【詳解】設 f (x)
1
x3，則 f (x) x2 ，
3
1 3 1 3 2
設切點為 x0 , x0 ÷，則切線方程為 y x0 x0 x x0 ，è 3 3
8 8 1 3 2
因為切線過點P 2, 3 ÷
，所以 x0 x0 2 x0 ，解得x0 2或 1，è 3 3
所以過點 P 的切線的斜率為 4 或 1.
故答案為：4 或 1
2．（2024·福建廈門·一模）已知直線 l與曲線 y x3 x在原點處相切，則 l的傾斜角為（ ）
π π 3π 5π
A． B． C． D．
6 4 4 6
【答案】C
【分析】利用導數幾何意義求直線的斜率，進而確定傾斜角.
【詳解】由 y 3x2 1，則 y |x 0 1，即直線 l的斜率為 1，
3π
根據傾斜角與斜率關系及其范圍知： l的傾斜角為 .
4
故選：C
考點三、求在曲線上一點的切線方程
y 2x 11．（2021·全國·高考真題）曲線 在點 1, 3 處的切線方程為 ．
x 2
【答案】5x y 2 0
【分析】先驗證點在曲線上，再求導，代入切線方程公式即可．
【詳解】由題，當 x= 1時， y= 3，故點在曲線上．
2 x 2 y 2x 1 5求導得： 2 2 ，所以
y |
x 2 x 2 x 1
5．
故切線方程為5x y 2 0．
故答案為：5x y 2 0．
x e
2．（2023· · y e全國 高考真題）曲線 在點 1, ÷ 處的切線方程為（2 ）x 1 è
e e e e e
A． y x B． y x C． y x D． y x
3e

4 2 4 4 2 4
【答案】C
【分析】先由切點設切線方程，再求函數的導數，把切點的橫坐標代入導數得到切線的斜率，代入所設方
程即可求解.
ex e e
【詳解】設曲線 y 在點 1, ÷ 處的切線方程為 y k x 1 ，x 1 è 2 2
ex
因為 y ，
x 1
ex x 1 ex x
所以 y
xe

，x 1 2 x 1 2
所以 k y |
e
x 1 4
e e
所以 y x 1
2 4
ex 1, e e e所以曲線 y 在點 2 ÷ 處的切線方程為
y x .
x 1 è 4 4
故選：C
x
3．（2024· e 2sin x全國·高考真題）設函數 f x 2 ，則曲線 y f x 在點 0,1 處的切線與兩坐標軸所圍成1 x
的三角形的面積為（ ）
1 1 2
A． B C 1． ． D．
6 3 2 3
【答案】A
【分析】借助導數的幾何意義計算可得其在點 0,1 處的切線方程，即可得其與坐標軸的交點坐標，即可得
其面積.
e
x 2cos x 1 x2 ex 2sin x 2x
【詳解】 f x ，
1 x2 2
e0 2cos 0 1 0 e0 2sin 0 0
則 f 0 3，
1 0 2
即該切線方程為 y 1 3x ，即 y = 3x +1，
1
令 x 0，則 y 1，令 y 0 ，則 x = - ，
3
1 1 1
故該切線與兩坐標軸所圍成的三角形面積 S 1 .
2 3 6
故選：A.
1．（2024·全國·模擬預測）函數 f x ex x2 2x 2 的圖象在點 1, f 1 處的切線方程為（ ）
A． x ey 4 0 B． x ey 6 0 C． ex y 6 0 D． ex y e
5
0
e
【答案】B
【分析】根據導數的幾何意義，即可求解.
f x ex x2【詳解】由 2x 2 ，可得 f x x2ex ，
f 1 1 f 1 e 1 1 2 5則 ，又 2 1 2 ，e e
5 1
則所求切線方程為 y x 1 ，即 x ey 6 0 ．
e e
故選：B．
2．（2024· x河北保定·三模）曲線 f x e 3x 在點 0, f 0 處的切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為
（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
8 6 4 3
【答案】C
【分析】根據導數的幾何意義求得曲線的切線方程，結合三角形面積公式計算即可.
【詳解】由 f x ex 3x ，得 f x ex 3，則 f 0 1， f 0 2，
所以曲線 f x ex 3x 在點 0, f 0 處的切線方程為 y 2x 1 .
y 1令 0 ，得 x ，令 x 0，得 y 1，
2
1 1 1
故該切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為 1 .
2 2 4
故選：C
x x
3．（2024·湖北·模擬預測）寫出函數 f x x lnx 的一條斜率為正的切線方程： ．2 e
x 2 2
【答案】 y 2 1 2 ln2（答案不唯一）e e
【分析】根據導數的幾何意義結合導數運算求導函數，取定義域內的點作切點，求斜率與切點坐標即可得
切線方程.
x x 1 1 x 1
【詳解】 f x x lnx， x > 0，則 f x ，2 e 2 ex x
取切點為 2, f 2 ，則斜率為 k f 2 1 1 2 1 1 2 2 ，2 e 2 e
f 2 2 2 2又 2 ln2 1 2 ln2，2 e e
2 1 x 2 2
則切線方程為： y 1 2 ln2 2 x 2 ，即 y 1 ln2 .e e e2 e2
y x 2 2故答案為： 2 1 2 ln2（答案不唯一）e e
考點四、求過一點的切線方程
1．（2022·全國·高考真題）曲線 y ln | x |過坐標原點的兩條切線的方程為 ， ．
y 1【答案】 x y
1
x
e e
【分析】分 x > 0和 x < 0 兩種情況，當 x > 0時設切點為 x0 , ln x0 ，求出函數的導函數，即可求出切線的斜
率，從而表示出切線方程，再根據切線過坐標原點求出 x0 ，即可求出切線方程，當 x < 0 時同理可得；
【詳解】[方法一]：化為分段函數，分段求
分 x > 0和 x < 0 兩種情況，當 x > 0時設切點為 x0 , ln x0 ，求出函數 導函數，即可求出切線的斜率，從而
表示出切線方程，再根據切線過坐標原點求出 x0 ，即可求出切線方程，當 x < 0 時同理可得；
解： 因為 y ln x ，
1 1
當 x > 0時 y ln x ，設切點為 x0 , ln x0 ，由 y
1
，所以 y |
x x x
y ln x x x
0 x ，所以切線方程為 0 0 ，0 x0
1 1 1
又切線過坐標原點，所以 ln x0 x0 ，解得 x0 ex ，所以切線方程為 y 1 x e ，即 y x；0 e e
1
當 x < 0 時 y ln x ，設切點為 x1, ln x1 ，由 y 1 ，所以 y |x x 1 x ，所以切線方程為x 1
y ln x 1 1 x x1 x ，1
ln x 1 x x e y 1 1 1又切線過坐標原點，所以 1 x 1 ，解得 1 ，所以切線方程為 x e ，即 y x ；1 e e
1 1
故答案為： y x； y x
e e
[方法二]：根據函數的對稱性，數形結合
1 1
當 x > 0時 y ln x ，設切點為 x0 , ln x0 ，由 y
1
，所以 y |x x ，所以切線方程為 y ln x0 x x x 0 x0 x 0
，
0
ln x 1 x x e y 1 1 x e y 1又切線過坐標原點，所以 0 x 0 ，解得 0 ，所以切線方程為 ，即 x；0 e e
因為 y ln x 是偶函數，圖象為：
1 1
所以當 x < 0 時的切線，只需找到 y x關于 y 軸的對稱直線 y x 即可.
e e
[方法三]：
因為 y ln x ，
1 1 1
當 x > 0時 y ln x ，設切點為 x0 , ln x0 ，由 y ，所以 y |x x ，所以切線方程為 y ln x0 x x 0 x x 0 ，x 0 0
1 1 1
又切線過坐標原點，所以 ln x0 xx 0 ，解得 x0 e，所以切線方程為 y 1 x e ，即 y x；0 e e
1
當 x < 0 時 y ln x 1，設切點為 x1, ln x1 ，由 y ，所以 y |x x 1 x ，所以切線方程為x 1
y ln x 1 1 x x1 x ，1
1
又切線過坐標原點，所以 ln x1 x1 ，解得 x1 e
1
x ，所以切線方程為 y 1 x e ，即 y
1
x ；
1 e e
故答案為： y
1 1
x； y x .
e e
2．（2024·貴州·模擬預測）過點P(1, 3)作曲線 y 2x3 3x 的切線，請寫出切線的方程 .
【答案】3x y 0或 21x 2y 27 0
【分析】設切點 (a, 2a3 3a)，求導并寫出切線方程，代入點 (1, 3)求出 a值即可.
【詳解】設切點為 (a, 2a3 3a)，而 f (x) 6x2 3，
所以切線的斜率 k f (a) 6a2 3，故切線方程為 y (2a3 3a) (6a2 3)(x a)，
因為切線過點 (1, 3)， 3 (2a3 3a) (6a2 3)(1 a)，
3 3 9
化簡可得 a 0或 a ，則切點為 0,0 或 , ，
2 è 2 4 ÷
則代入得切線方程為：3x y 0或 21x 2y 27 0 ，
故答案為：3x y 0或 21x 2y 27 0 .
1 2．（2023·全國·模擬預測）過原點可以作曲線 y f x x x 1的兩條切線，則這兩條切線方程為（ ）
A． y x 和 y x B． y 3x 和 y 3x
C． y x 和 y 3x D． y x和 y 3x
【答案】A
【分析】由解析式得 f x 為偶函數，故過原點作的兩條切線一定關于 y 軸對稱，再由導數幾何意義求 x > 0
上的切線，結合偶函數對稱性寫出另一條切線.
【詳解】由 x R, f x ( x)2 | x | 1 x2 | x | 1 f (x) ，得 f x 為偶函數，
故過原點作的兩條切線一定關于 y 軸對稱．
2
當 x > 0時， f x x x 1，則 f x 2x 1，
2
P x 2 x x 1 0設切點為 0 , x0 x0 1 x 0 00 > 0 ，故 2x0 1 ，解得 x0 1或 x0 1（舍），x0 0
所以切線斜率為 1，從而切線方程為 y x ．
由對稱性知：另一條切線方程為 y x．
故選：A
2．（2024·全國· x 2模擬預測）過坐標原點作曲線 f x e x 2x 2 的切線，則切線共有（ ）
A．1 條 B．2 條 C．3 條 D．4 條
【答案】A
【分析】利用導數求出斜率，結合斜率公式列方程求出切點坐標即可得解.
x 2
【詳解】設切點為 x 00 , e x0 2x0 2 ，
x
由 f x e x2 2x 2 可得 f x x2ex ，
ex0 x20 2x 2
則過坐標原點的切線的斜率 k 0 x20 e
x0 ，
x0
3
故 x0 x
2
0 2 x0 1 0 ，即 x0 1 x20 2 0 ，
解得 x0 1，故過坐標原點的切線共有 1 條．
故選：A．
考點五、已知切線（斜率）求參數
1．（全國·高考真題）曲線 y ax 1 ex 在點 0，1 處的切線的斜率為 2，則a ．
【答案】 3
【分析】求導，利用導數的幾何意義計算即可．
x x
【詳解】解： y ae ax 1 e
則 f 0 a 1 2
所以 a 3
故答案為-3.
【點睛】本題主要考查導數的計算和導數的幾何意義，屬于基礎題．
2 1 1
2．（2024·湖南長沙·二模）已知 m > 0 ， n > 0，直線 y x m 與曲線 y 2lnx n 4 相切，則
e m n
的最小值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】利用已知條件求出切點的橫坐標，從而得到m n 4 ，利用基本不等式即可求解.
y 2【詳解】由于直線 x m 與曲線 y 2lnx n 4 相切，
e
2 2
設切點為 (x0 , y
2
0 )，且 y ，所以 x e x
，
0
則切點的橫坐標 x0 e ，則 2 m 2 n 4 ，即m n 4 .
又m > 0, n > 0 m n 1 1 2 n m 1 1，所以 ÷ 2 2
n m
4，即 1，
è m n m n m n m n
1 1
當且僅當 m n 2時取等號，所以 的最小值為 1.
m n
故選：D
1．（2024·四川遂寧·三模）曲線 y x2 ax在點P 1,b 處切線的斜率為 3，則實數a ．
【答案】1
【分析】根據導數幾何意義，求出在 x 1處的導數即可得解.
【詳解】 y x2 ax的導數為 y 2x a ，
可得曲線 y x2 ax在點P 1,b 處切線的斜率為 2 1 a 3，
解得 a 1 .
故答案為：1.
2．（2024·浙江紹興·二模）函數 f x x a ln x在點 1,1 處的切線與直線 y 2x平行，則a （ ）
A．1 B． 2 C． 1 D． 2
【答案】A
【分析】求出函數的導函數，依題意可得 f (1) 2，即可得解．
【詳解】 f (x)
a
1 ，則 f (1) 1 a ，
x
因為函數 f (x) 在點 1,1 處的切線與直線 y 2x平行，
所以 f (1) 1 a 2，解得 a 1，
故選：A．
3．（2024 高三下·全國·專題練習）已知函數 g x x ax 2ln x ，若曲線 y g x 在 x 1處的切線方程為
y 6x b，則 a b ．
【答案】 2
【分析】利用導函數和切線斜率求出 a的值，利用 g x 解析式和切點坐標求出b 的值，可得 a b .
【詳解】函數 g x x ax 2ln x ， g x 2ax 2ln x 2 ，
若曲線 y g x 在 x 1處的切線方程為 y 6x b，則切點坐標為 1,6 b ，切線斜率 k 6，
ìg 1 1 a 2ln1 a 6 b ìa 2
則有 í
g 1 2a 2ln1 2 2a 2
，解得
6 í b 4
，
所以 a b 2．
故答案為： 2 .
考點六、兩條切線平行、垂直問題
1 x．（2021·全國·高考真題）已知函數 f (x) e 1 , x1 < 0, x2 > 0，函數 f (x) 的圖象在點 A x1, f x1 和點
B x , f x | AM |2 2 的兩條切線互相垂直，且分別交 y 軸于 M，N 兩點，則 | BN | 取值范圍是 ．
【答案】 0,1
【分析】結合導數的幾何意義可得 x1 x2 0，結合直線方程及兩點間距離公式可得 AM 1 e2x1 x1 ，
BN 1 e2x2 x2 ，化簡即可得解.
x ì1 e
x , x < 0
f x e 1 f x
ì ex , x < 0
【詳解】由題意， í x ，則 í ， e 1, x 0
x
e , x > 0
所以點 A x ,1 ex11 和點B x2 ,ex2 1 ， kAM ex1 , k ex2BN ,
x
所以 e 1 ex2 1, x1 x2 0，
所以 AM : y 1 ex1 ex1 x x1 , M 0,ex1 x1 ex1 1 ，
2
所以 AM x2 x1 2x11 e x1 1 e x1 ，
同理 BN 1 e2x2 x2 ,
AM 1 e2x1 x1 1 e2x1 1 e2x1
所以 x1BN 2x 1 e2x2 1 e 2x
e 0,1 .
1 e 2 x 12
故答案為： 0,1
【點睛】關鍵點點睛：
解決本題的關鍵是利用導數的幾何意義轉化條件 x1 x2 0，消去一個變量后，運算即可得解.
1
2．（2023· 2四川涼山·一模）函數 f x x a ln x 在區間 1,2 的圖象上存在兩條相互垂直的切線，則 a的取
2
值范圍為（ ）
A． 2,1 B． 2, 1 C． 2,0 D． 3, 2
【答案】D
【分析】利用導數的幾何意義結合導函數的單調性計算即可.
【詳解】由 f x 1 x2 a ln x a f x x x > 0 ，
2 x
不妨設這兩條相互垂直的切線的切點為 x1, f x1 , x2 , f x2 ，且 f x1 f x2 1
若 a 0，則 f x > 0恒成立，不符合題意，可排除 A 項；
所以 a<0，此時易知 y f x 單調遞增，
ì
f 1 1 a < 0


要滿足題意則需 í f 2 a 2 > 0 a 3, 2 .
2

f 1 f 2 1 a 2 a

÷ < 1
è 2
故選：D
3．（2024· 2河北邢臺·二模）已知函數 f x x 2ln x 的圖像在 A x1, f x1 ，B x2 , f x2 兩個不同點處的切
線相互平行，則下面等式可能成立的是（ ）
A． x1 x2 2
10
B． x1 x2 C． x1x2 2 D． x1x
10
3 2

3
【答案】B
【分析】函數在兩點處的切線平行，轉化為函數在兩點處的導數相等，得到 x1, x2 的關系，在結合不等式求
x1 x2 的取值范圍即可.
2
【詳解】因為 f x x 2ln x ， x > 0 .
所以 f x 2x 2 ， x > 0 .
x
由因為 f x 在 A x1, f x1 ，B x2 , f x2 兩個不同點處的切線相互平行，
2 2
所以 f x1 f x2 2x1 2x x 2 x ，又 x1 x2 ，所以 x1x2 1，故 CD 錯誤；1 2
因為 x1 > 0, x2 > 0 且 x1 x2 ，所以 x1 x2 > 2 x1x2 2，故 A 不成立；
當 x
1
1 , x
10
2 3時， x1 x2 .故 B 成立.3 3
故選：B
1 2．（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x x a lnx 的圖象上存在不同的兩點 A, B，使得曲線 y f x
在點 A, B處的切線都與直線 x 2y 0 垂直，則實數 a的取值范圍是（ ）
A． ,1 2 B． 1 2,0 C． ,1 2 D． 0,1 2
【答案】A
【分析】根據題意知 f (x) 2有兩個不相等的正實數根，結合一元二次方程根的分布即可求得參數的范圍.
【詳解】由題意知 f (x) 2x 2a
1
，因為切線與直線 x 2y 0 垂直，
x
所以曲線 y f x 在點 A, B處的切線斜率都是 2，
1
即關于 x 的方程 f x 2x 2a 2有兩個不相等的正實數根，
x
2 1
化簡得， x 1 a x 0有兩個不相等的正實數根，
2
ì 1 a > 0

則 í
Δ
，解得 .
1 a 2 4 1 > 0 a <1 2
2
故選：A.
2．（山東·高考真題）若函數 y f x 的圖象上存在兩點，使得函數的圖象在這兩點處的切線互相垂直，則
稱 y f x 具有T性質．下列函數中具有T性質的是
A． y sin x B． y ln x C． y ex D． y x3
【答案】A
【分析】若函數 y＝f（x）的圖象上存在兩點，使得函數的圖象在這兩點處的切線互相垂直，則函數 y＝f
（x）的導函數上存在兩點，使這點的導函數值乘積為﹣1，進而可得答案．
【詳解】解：函數 y＝f（x）的圖象上存在兩點，使得函數的圖象在這兩點處的切線互相垂直，
則函數 y＝f（x）的導函數上存在兩點，使這點的導函數值乘積為﹣1，
當 y＝sinx 時，y′＝cosx，滿足條件；
1
當 y＝lnx 時，y′ ＞0 恒成立，不滿足條件；
x
當 y＝ex 時，y′＝ex＞0 恒成立，不滿足條件；
當 y＝x3時，y′＝3x2＞0 恒成立，不滿足條件；
故選 A．
考點：導數及其性質.
3x 3
3．（2024·河南·模擬預測）已知函數 f x x 1 ax(x > 0) 的圖象經過 A, B兩點，且 f x 的圖象在 A, Be
處的切線互相垂直，則 a的取值范圍是（ ）
5 3 5 3 5 3 5 3
A． 3,0 B． 3, 2 ÷÷ C． ,0÷÷ D． , ÷÷è è 2 è 2 2
【答案】D
【分析】構建 g x f x ，利用導數判斷原函數單調性和值域，結合題意分析可知 a a 3 < 1，運算求
解即可.
【詳解】因為 f x 3x 3 x 1 ax(x > 0) ，則 f x
3x
x 1 a(x > 0)，e e
g x f x 3 1 xg x 構建 ，則
ex 1
x > 0 ，
當 x >1時， g x < 0；當0 < x <1時， g x > 0；
可知 g x 在 0,1 上單調遞增，在 1, 上單調遞減，
且 g 0 a, g 1 a 3，當 x 趨近于 時， g x 趨近于 a，
可知 g x 的值域為 a, a 3 ，
由題意可知：存在m1,m2 a,a 3 ，使得m1 m2 1，
則 a a 3 < 1 5 3 5 3，即 a2 3a 1< 0，解得 < a < ，
2 2

a 5 3 , 5 3

所以 的取值范圍是 2 2 ÷÷
.
è
故選：D.
【點睛】關鍵點點睛：求 f x 的值域為 a, a 3 ，根據導數的幾何意義分析可知存在m1,m2 a,a 3 ，使
得m1 m2 < 1，結合值域分析求解即可.
ì 1 x

7 2024· · f (x)
x ÷e , x > 0,
．（ 河南 三模）已知函數 íè 2 點A ， B 在曲線 y f (x) 上（A 在第一象限），過A ，
3 x , x < 0,
B 的切線相互平行，且分別交 y
BQ
軸于 P ，Q兩點，則 AP 的最小值為 ．
3
t
【答案】 2e
3
3 x 2
【分析】利用給定條件得到 x1 ÷e 3x2 ，再把目標式化為一元函數，求導研究最值即可.
è 2
ì 3
x ÷e
x , x > 0
【詳解】易知 f (x) íè 2 ，設 A
3
x1, y1 , B x , y
x 2
2 1 ，則 x1 e 3x ，
3x2 , x < 0, è 2
÷ 2


2 3BQ 1 k x x x2 2 2 2 x1 ÷e1
設切線斜率為 k ，則 ，所以 BQ x è 2 ，
AP 21 k 2 x x 2 2 21 1 AP x1 3x1
3
x ÷e
x
(2x 3)(x 2)e
x
設 g(x) è 2 2 (x > 0)
，則 g (x) 3 ，
3x 6x
x 3 當 0, ÷時， g (x) < 0, g(x)單調遞減，
è 2
x 3當 ,

÷時， g (x) > 0, g(x)單調遞增，
è 2
3 3
所以 g(x)的最小值為 g 3 4e
2 | BQ | 4
÷ ，所以 的最小值為
2e ．
è 2 9 | AP | 3
3
4
故答案為： 2e
3
3 x 2
【點睛】關鍵點點睛：本題考查導數，解題關鍵是利用給定條件得到 x1 ÷e 3x2 ，然后把目標式表示
è 2
x 3 x
為 ÷
e
g(x) è 2 ，求導得到單調性，再求最值即可．
3x2
考點七、公切線問題
1．（2024·全國·高考真題）若曲線 y ex x在點 0,1 處的切線也是曲線 y ln(x 1) a 的切線，則
a .
【答案】 ln 2
【分析】先求出曲線 y ex x 在 0,1 的切線方程，再設曲線 y ln x 1 a 的切點為 x0 , ln x0 1 a ，求
出 y ，利用公切線斜率相等求出 x0 ，表示出切線方程，結合兩切線方程相同即可求解.
【詳解】由 y ex x 得 y ex 1， y |x 0 e0 1 2，
故曲線 y ex x 在 0,1 處的切線方程為 y 2x 1；
由 y ln x 1 a 得 y 1 ，
x 1
設切線與曲線 y ln x 1 a 相切的切點為 x0 , ln x0 1 a ，
由兩曲線有公切線得 y
1
2 1 1 1
x 1 ，解得 x0 ，則切點為
,a ln ÷，
0 2 è 2 2
y 2 x 1 1切線方程為

2 ÷
a ln 2x 1 a ln 2，
è 2
根據兩切線重合,所以 a ln 2 0，解得 a ln 2 .
故答案為： ln 2
2．（全國·高考真題）若直線 y kx b是曲線 y ln x 2 的切線，也是曲線 y ln(x 1) 的切線，則
b ．
【答案】1 ln 2
1
【詳解】試題分析：對函數 y ln x 2 求導得 y ，對 y ln(x 1)
1
求導得 y ，設直線 y kx b與曲
x x 1
線 y ln x 2 相切于點P1(x1, y1)，與曲線 y ln(x 1) 相切于點P2 (x2 , y2 )，則 y1 ln x1 2, y2 ln(x2 1)，由
1 1
點P1(x1, y1)在切線上得 y ln x1 2 (x x1)，由點P2 (x2 , y2 )在切線上得 y ln(x2 1) (x xx x 1 2 ) ，這1 2
兩條直線表示同一條直線，所以 ，解得
x 11 , k
1
2,b ln x1 2 1 1 ln 22 x .1
【考點】導數的幾何意義
【名師點睛】函數 f （x）在點 x0 處的導數 f ′（x0）的幾何意義是曲線 y＝f （x）在點 P（x0，y0）處的切線
的斜率．相應地，切線方程為 y y0＝f ′（x0）（x x0）．
注意：求曲線切線時，要分清在點 P 處的切線與過點 P 的切線的不同．
3．（2024·廣東茂名·一模）曲線 y lnx與曲線 y x2 2ax 有公切線，則實數 a的取值范圍是（ ）
, 1 1 1 , , 1 A． B． ÷ C．2 2
D． ,
è è 2 2 ÷
【答案】B
2
【分析】分別求出兩曲線的切線方程，再構造函數 f x ex 1 2x ，利用導數求得單調性和最值，即可求
得 a的取值范圍.
1
【詳解】兩個函數求導分別為 y , y 2x 2a，
x
設 y lnx， y x2 2ax 2圖象上的切點分別為 x1, lnx1 ， x2 , x2 2ax2 ，
x 2
則過這兩點處的切線方程分別為 y lnx1 1， y 2x2 2a x xx 2 ，1
1
2x 2則 x 2
2a， lnx1 1 x
2
2 ，所以 2a ex2 1 2x2 ，
1
2 2
設 f x ex 1 2x f x 2 xex 1， 1 ， f 1 0，
g(x) f (x) 2 xex2 1 2令 1 2 x 1，所以 g x 2 2x 1 e > 0，
所以 g(x)在R 上單調遞增，且 f 1 0，
則 f x 在 ,1 上單調遞減，在 1, 上單調遞增，
所以 2a f 1 1 1， a .
2
故選：B.
2
【點睛】關鍵點點睛：本題解決的關鍵是，利用公切線的定義得到 2a ex2 1 2x2 ，從而構造函數
f x ex2 1 2x 即可得解.
1 x 1．（2024·河北滄州·模擬預測）已知直線 l : y kx是曲線 f x e 和 g x ln x a的公切線，則實數a= ．
【答案】3
【分析】先設在 y f x 上的切點，然后求出切點和切線，然后再設在 y g x 上的切點，即可求出 a 的
值.
【詳解】設直線 l 與曲線 y f x 相切于點 x0 , y0 ，
由 f x ex 1 x 1，得 k f x0 e 0 ，因為 l 與曲線 f x ex 1相切，
ì y ex0 1
í 0
x0 , y ex0 1 x 1所以 x 1 消去 0 ，得 x 00 e ，解得 x0 1 ．
y e 00 ,
1
設 l 與曲線 y g x 相切于點 x1, y1 ，由 g x 1 k e2，得 x ，即 e
2x1 1，x 1
因為 x1, y1 是 l 與曲線 g x ln x a的公共點，
ì y 21 e x1, 1
所以 í 消去 y1 ，得 e2x1 ln x1 a，即1 ln 2 a ，解得 a 3．
y1 lnx1 a, e
故答案為：3.
πx
2．（2024· x上海·三模）設曲線 f x ae b和曲線 g x cos c在它們的公共點 P 0,2 處有相同的切線，
2
則ba c 的值為 .
【答案】2
【分析】根據兩曲線在 P 0,2 有公切線，則 P 是公共點，該點處的導數值相同，列出方程求出 a,b,c的值，
則答案可求.
ì f (0) a b 2
【詳解】由已知得 í c 1,b 2 a
g(0) 1 c 2
，解得 ，

又 f x aex , g x π π sin x ，
2 2
所以 f (0) g (0)得 a 0，
所以 a 0,b 2,c 1，
所以ba c 20 1 2 .
故答案為：2
3．（2024·福建泉州·模擬預測）若曲線 y = x2 與 y tex t 0 恰有兩條公切線，則 t 的取值范圍為（ ）
0, 4 4 , 4A． 2 ÷ B． 2 ÷ C． ,0 2 ,

÷ D． ,0
ì 4 ü
è e è e è e
í
e2


【答案】A
【分析】設曲線 y tex 切點為M m, tem 2， y = x2 的切點為 N n,n ，求出切線方程，根據有兩條公切線轉
化為方程具有兩個解，構造函數利用導數求解取值范圍，判斷選項.
【詳解】設曲線 y tex 切點為M m, tem ， y = x2 2的切點為 N n,n ，
則曲線 y tex 在點M m, tem m m m m處的切線方程為 y te te x m ，即 y te x m te ，
同理， y = x2 在點 N n,n2 處的切線方程為 y 2nx n2 ，
根據 y tex 與 y = x2 有兩條公切線，
ìtem 2n m 2 te 4m 4
則 í ，所以 temm m 2 mte
m ÷ ，化簡可得 t m 具有兩個交點，
te mte n è 2 e
4m 4 4x 4
轉化為 t m 有兩個解，構造函數 f x x ，則 f x
8 4x
，
e e ex
當 x < 2， f x > 0， f x 單調遞增；當 x > 2， f x < 0， f x 單調遞減，
故 f x 4在 x 2時有極大值即為最大值，故 f 2
e2
，
當 x 時， f x ，當 x 時， f x 0 ，
故 t
4
的取值范圍為 0, e2 ÷，è
故選：A
考點八、切線（方程）的綜合應用
1．（2021·全國·高考真題）若過點 a,b 可以作曲線 y ex 的兩條切線，則（ ）
A． eb < a B． ea < b
C．0 < a < eb D．0 < b < ea
【答案】D
【分析】解法一：根據導數幾何意義求得切線方程，再構造函數，利用導數研究函數圖象，結合圖形確定
結果；
解法二：畫出曲線 y ex 的圖象，根據直觀即可判定點 a,b 在曲線下方和 x 軸上方時才可以作出兩條切線.
【詳解】在曲線 y ex 上任取一點P t,et ，對函數 y ex 求導得 y ex ，
所以，曲線 y ex 在點 P t處的切線方程為 y e et x t t，即 y e x 1 t et ，
t t t t t
由題意可知，點 a,b 在直線 y e x 1 t e 上，可得b ae 1 t e a 1 t e ，
令 f t a 1 t et f t a t et，則 .
當 t < a 時， f t > 0，此時函數 f t 單調遞增，
當 t > a時， f t < 0，此時函數 f t 單調遞減，
所以， f t f a eamax ，
a
由題意可知，直線 y b與曲線 y f t 的圖象有兩個交點，則b < f t emax ，
當 t < a 1時， f t > 0，當 t > a 1時， f t < 0，作出函數 f t 的圖象如下圖所示：
由圖可知，當0 < b < ea 時，直線 y b與曲線 y f t 的圖象有兩個交點.
故選：D.
解法二：畫出函數曲線 y ex 的圖象如圖所示，根據直觀即可判定點 a,b 在曲線下方和 x 軸上方時才可以作
出兩條切線.由此可知0 < b < ea .
故選：D.
【點睛】解法一是嚴格的證明求解方法，其中的極限處理在中學知識范圍內需要用到指數函數的增長特性
進行估計，解法二是根據基于對指數函數的圖象的清晰的理解與認識的基礎上，直觀解決問題的有效方法.
2．（23-24 高二下·遼寧本溪·期中）若過點 1,b 可以作曲線 y ln x 1 的兩條切線，則（ ）
A． ln2 < b < 2 B．b > ln2
C．0 < b < ln2 D．b >1
【答案】B
【分析】設切點點P t, ln t 1 1 t，寫出切線方程，將點 1,b 代入切線方程得b ln t 1 ，此方程有兩
t 1
個不同的解，利用導數求 b 的范圍.
1
【詳解】在曲線 y ln x 1 上任取一點P t, ln t 1 ， y ，
x 1
所以曲線 y ln x 1 在點 P 處的切線方程為 y ln t 1 1 x t .
t 1
1 1 t
由題意可知，點 1,b 在直線 y ln t 1 x t 上，可得b ln t 1 ，
t 1 t 1
令函數 f t 1 t ln t 1 2 1 ln t 1 , t 1, ，
t 1 t 1
2 1 t 1
則 f t (t 1)2 t 1 (t 1)2 .
當 1 < t <1時， f t < 0，此時 f t 單調遞減，
當 t > 1時， f t > 0，此時 f t 單調遞增，
所以 f (t)min f 1 ln2 .
1
設 h x ln x 1 , x > 0 ，
x
1 1 x 1
所以 h x 2 2 ，x x x
所以當 x >1時， h x > 0， h x 在 1, 上單調遞增，
當0 < x <1時， h x < 0， h x 在 0,1 上單調遞減，
所以 h x h 1 0，
1
所以 ln x 1 ，
x
f t 2 1 ln t 1 2 1 1 1 1所以 ，
t 1 t 1 t 1 t 1
1
當 t 1時， ，所以 f t ，
t 1
當 x
2
時， 0, ln t 1 ，所以 f t ，
t 1
y f (t)的圖象如圖：
由題意可知，直線 y b與 f t 的圖象有兩個交點，則b > ln2 .
故選：B
b
3．（2024·廣東廣州·模擬預測）已知直線 y kx b恒在曲線 y ln x 2 的上方，則 的取值范圍是（
k ）
A． 1, 3 B． ,
4
÷ C． 0, D． ,

è 4 5 ÷ è
【答案】A
【分析】設直線 y kx t 與曲線切于點 x0 , ln x0 2 ，根據題意由 y kx b在直線 y kx t b t上方，由 >k k
求解.
【詳解】解：設直線 y kx t 與曲線切于點 x0 , ln x0 2 ，
則 y
1
，
x 2
1
所以切線方程為 y x ln x
x
2 0
x0 2
0 x 2 ，0
所以 k
1 x
> 0， t ln x0 2 0x0 2 x0 2
，
b t
所以 > x0 2 ln x0 2 x0 2 2，k k
設 g x x ln x x 2， g x ln x ，
當0 < x <1時， g x < 0，當 x >1時， g x > 0，
即 g x 在 (0,1)上單調遞減，在 (1, )上單調遞增，
所以 g x g 1 1 b，所以 >1 .
k
故選：A.
1．（2024·全國·模擬預測）若直線 y 2x b與曲線 f (x) e2x 2ax(a > 1)相切，則b 的最小值為（ ）
A． e B．－2 C．－1 D．0
【答案】C
1
【詳解】根據直線與函數相切，可得 x0 ln a 1 以及 b a 1 1 ln a 1 ，即可換元 t a 1 t > 0 ,2
構造函數 g t t 1 lnt t > 0 ，利用導數求解函數的最值求解.
【分析】設切點坐標為 x0 , y0 ．由已知，得 f x 2e2x 2a 2x，則 f x0 2e 0 2a 2 ，
1
解得 x0 ln a 1 ．2
又切點在切線 y 2x b與曲線 f x e2x 2ax 上，
所以 ln(a 1) b a 1 aln a 1 ，所以 b a 1 1 ln a 1 ．
令 t a 1 t > 0 , g t t 1 lnt t > 0 ，則 g t 1 lnt t 1 ÷ lnt ．
è t
令 g t lnt 0，解得 t 1．當 t 0,1 時， g t >0，則 g t 在 0,1 上單調遞增；
當 t 1, 時， g t < 0，則 g t 在 1, 上單調遞減．
所以 g t g 1 1，即 b 1，所以b 1，則b 的最小值為－1．
故選：C．
2．（2024·全國·模擬預測）若直線 y x 與曲線 y loga x（ a > 0且a 1）無公共點，則實數 a的取值范圍是
（ ）
1 1
A． 1,e B． 1,ee ÷ C． e, D． ee , ÷
è è
【答案】D
【分析】由 0 < a < 1時，易知直線 y x 與曲線 y loga x必有一個公共點，當 a > 1時，由直線與曲線相切，
1
利用導數法求得 a ee ，再由圖象位置判斷．
【詳解】解：當 0 < a < 1時，直線 y x 與曲線 y loga x必有一個公共點，不合題意，
當 a > 1時，若直線與曲線相切，設直線 y x 與曲線 y loga x
1
相切于點 x0 , y0 ，則 1x0 ln a
，得
x 10 ．ln a
1
由切點在切線上，得 y0 x0 ，ln a
y log x 1由切點在曲線上，得 0 a 0 logln a a
e ，
所以 x e
1
0 ， a ee ．
如圖所示：
故當直線 y x
1
與曲線 y loga x（ a > 0且a 1）無公共點時， a > ee ．
故選：D
【點睛】思路點睛： 0 < a < 1時，由 y x 單調遞增， y loga x單調遞減容易判斷； a > 1時，利用導數法研
究直線與曲線相切時 a 的值，再根據對數函數在第一象限內隨底數 a 的增大,圖象向 x 軸靠近而得解.
3．（2024·重慶· x模擬預測）已知直線 y ax b 與曲線 y ex 相切于點 x , e 00 ，若 x0 ,3 ，則 a b 的取值
范圍為（ ）
A． , e B 3． e ,e C． 0,e D． 0,e3
【答案】B
a ex b 1 x ex【分析】由導數幾何意義可得 0 ， 00 ，所以 a b 2 x0 ex0 g x 2 x ex，令 ，對 g x
求導，得到 g x 的單調性和最值，即可得出答案.
【詳解】因為 y ex ，所以 y ex ，∴ a ex0 ．
x
又∵切點 x0 , e 0 在直線 y ax b 上，
∴ ex0 ax x0 x0 x00 b x0e b，解得b 1 x0 e ．∴ a b 2 x0 e ．
令 g x 2 x ex ，則 g x 1 x ex ， x ,3 ，
令 g x > 0，解得： x <1；令 g x < 0，解得：1< x < 3；
可得 g x 在 ,1 上單調遞增，在 1,3 上單調遞減，
x < 2時， g x > 0， 2 < x < 3時， g x < 0 ，
當 x 趨近負無窮時， g x 趨近 0 ， g 3 e3 ； g x g 1max e，
故 a b 3的取值范圍為 e ,e ．
故選：B．
一、單選題
1．（2024·貴州六盤水·三模）已知曲線 y x2 3lnx 的一條切線方程為 y x m，則實數m （　　）
A． 2 B． 1 C．1 D．2
【答案】D
3
【分析】根據切線的斜率的幾何意義可知 y |x x 2x0 10 x ，求出切點，代入切線即可求出
m .
0
【詳解】設切點為 (x0 , y0 )
因為切線 y x m，
所以 y |
3
x x 2x0 10 x ，0
解得 x0 1, x
3
0 （舍去）2
代入曲線 y x2 3lnx 得 y0 1，
所以切點為 1,1
代入切線方程可得1 1 m ，解得m 2 .
故選：D.
2．（2024·河北保定·三模）已知二次函數 y ax(x b)（b 0 且b 1）的圖象與曲線 y ln x 交于點 P，與 x
軸交于點 A（異于點 O），若曲線 y ln x 在點 P 處的切線為 l，且 l 與 AP 垂直，則 a 的值為（ ）
1
A． Be ． 1 C． e D． 2
【答案】B
【分析】利用導數求解直線 l 的斜率，即可根據垂直關系得 kl kPA 1，結合 ln t at(t b)，即可求解.
【詳解】易知 A b,0 ，設P t, ln t ，
聯立 y ln x 與 y ax(x b)可得 ln x ax(x b) ，故 ln t at(t b)，
由 y ln x 得 y
1 1
，所以 kl ， k
ln t
，
x t PA t b
因為 l ^ PA，所以 kl k
ln t
PA 1，即 ln t t(t b)t(t b) ，
又 ln t at(t b)，所以 a 1 .
故選：B.
3．（2024·全國· 2模擬預測）若函數 f x x 3x 4lnx ，點 P 是曲線 y f x 上任意一點，則點 P 到直線
l : x y 3 0的距離的最小值為（ ）
A． 4 2 B
3 2 6
． C．3 2 D．
2 2
【答案】C
【分析】利用導數的幾何意義求出與直線 l平行且與曲線 y f x 相切的直線與曲線 y f x 相切的切點坐
標，利用點到直線的距離公式即可求解.
【詳解】 f x x2 3x 4lnx 的定義域為 0, ，
2 4
由函數 f x x 3x 4lnx ，可得 f x 2x 3 ，
x
2x 4令 3 1，可得 x 1，負值舍去，
x
又 f 1 4 ，
所以平行于直線 l且與曲線 y f x 相切的直線與曲線 y f x 的切點坐標為 1,4 ．
1 4 3
點 1,4 到直線 l的距離 d 3 2 ，即點 P 到直線 l的距離的最小值為
2 3 2
.
故選：C．
a
4．（2024· 2內蒙古呼倫貝爾·二模）已知曲線 y x 3x 在 x 1處的切線與直線 x 2y 1 0垂直，則a
x
（ ）
9 11
A．3 B． C．7 D．
2 2
【答案】C
【分析】利用導數求出切線斜率，再結合垂直關系列式計算即得.
2 a
【詳解】由 y x 3x ，求導得 y 2x
a
3 2 ，當 x 1時， y 5 a ，x x
y x2由曲線 3x
a
在 x 1處的切線與直線 x 2y 1 0垂直，得5 a 2 ，
x
所以 a 7 .
故選：C
5．（23-24 高二下·山東棗莊·期中）若點 P 是曲線 y x2 ln x上任意一點，則點 P 到直線 y x 4的最小距離
為（ ）
A．1 B． 2 C． 2 2 D． 4 2
【答案】C
【分析】由導數的幾何意義求得曲線上與直線 y x 4平行的切線方程的切點坐標，求出切點到直線的距離
即為所求最小距離．
【詳解】直線 y x 4的斜率 k 1，函數 y x2 ln x定義域為 0, ，
點 P 是曲線 y x2 ln x上任意一點，設P x, y x > 0 ，由 y 1 2x x > 0 ，
x
y 2x 1 1 x 1令 ，解得 x 1或 （舍去），
x 2
x 1，此時 y 1，∴曲線上與直線 y x 4平行的切線的切點為P0 1,1 ，
所以曲線 y x2 ln x上點 P 到直線 y x 4的最小距離，
|1 1 4 |
為點P0 1,1 到直線 y x 4的距離 d 2 2 .2
故選：C.
6 2024· · f x lnx x2．（ 河南 模擬預測）函數 與直線 x y 0相切于點A ，則點A 的橫坐標為（ ）
1
A． B．1 C．2 D． e
e
【答案】B
【分析】設出 A x0 , y0 ，求導，直線 x y 0的斜率為 1，根據導數的幾何意義得到方程，求出橫坐標
【詳解】設函數 f x lnx x2與直線 x y 0相切于點 A x0 , y0 ，
直線 x y 0的斜率為 1，
1 1f x 2x ，所以 2x0 1，所以 xx 0 1．x 0
故選：B．
二、填空題
2
7．（2024·
x
湖北武漢·模擬預測）已知曲線 f x ln x 在點 1, f 1 π處的切線的傾斜角為 ,則 a的值為 .
a 3
【答案】 3 1 /1 3
π
【分析】對原函數進行求導, x 1代入得出切線斜率.曲線 f x 在 x 1處的切線傾斜角為 可得出斜率.構造
3
關于 a的方程，解方程即可.
2
【詳解】曲線 f x 1 2x ln x x 的導數 f x ,
a x a
π
∵曲線 f x 在 x 1處的切線的傾斜角為 ,
3
∴ f 1 2 1 3 ,
a
2
∴ 3 1 ,
a
∴ a 3 1
故答案為: 3 1.
8．（2024·山西朔州·模擬預測）已知 A，B 分別為曲線 y 2ex x和直線 y 3x 3上的點，則 AB 的最小值
為 .
10 1
【答案】 / 10
2 2
【分析】利用數形結合思想可知切點到直線的距離是最小值，從而利用導數來求出切點，再用點到直線的
距離公式求出最小值即可.
【詳解】
由題意 AB 的最小值為曲線上點 A 到直線 y 3x 3距離的最小值，
而點 A 就是曲線與直線 y 3x m 相切的切點，因為曲線上其它點到直線 y 3x 3的距離都大于 AB ，
對 y 2ex x求導有 y 2ex 1，由 y = 3可得 x 0，即 A 0,2 ，
3 0 2 3
AB 10故 min .
32 1 2 2
10
故答案為： .
2
9．（2024·陜西安康·模擬預測）已知函數 f x 的圖象在點 1, f 1 處的切線方程是 x 2y 1 0，若
f xh x ，則 h 1 的值為 .
x
1
【答案】
2
xf (x) f (x)
【分析】首先通過切線方程將 f (1)， f (1)算出，再求出 h (x) 2 ，將 x=1代入計算即可.x
【詳解】將 x=1代入切線方程 x 2y 1 0，得 y 1，故 f (1) 1 ，
f (1) 1 h (x) xf
(x) f (x) f (1) f (1) 1
由切線方程斜率可知 ， 2 ， h (1) ，2 x 12 2
1
故答案為: .
2
10．（2024·四川·模擬預測）已知m > 0, n > 0 ，直線 y
1
x m 1與曲線 y lnx n 3相切，則m n ．
e
【答案】2
【分析】根據導數的幾何意義設切點坐標為 x0 , y0 ，求導由斜率可得 x0 的值，從而代入曲線方程與切線方
程可得 y0 ，即可得m n的值.
【詳解】設切點坐標為 x0 , y0 ，對函數 y lnx n 3 y
1
求導得 ，
x
則切線斜率 k
1 1
，得 x0 ex0 e
，
所以 y0 ln e n 3 4 n y
1
，且 0 e m 1 2 m ，e
則 4 n 2 m ，即m n 2．
故答案為：2.
一、單選題
1．（2024·四川德陽·二模）已知直線 y ax 1與曲線 f x ln ex 相切，則 a的值為（ ）
1
A． B．1 C．
e e
D． e
【答案】D
【分析】求出函數的導函數，設切點為 x0 , ln ex0 ，利用導數的幾何意義表示出切線方程，即可得到方程
組，解答即可.
【詳解】由 f x ln ex ，可得 f x e 1 ，
ex x
設切點為 x0 , ln
1
ex0 ，則 f x0 x ，0
1
則切線方程為 y ln ex0 x x0 x ，0
即 y
1
x ln ex0 1x ，0
又直線 y ax 1與曲線 f x ln ex 相切，
ì 1 a ì 1 x x0 所以 í 0 ，解得 í e .

ln ex 0 1 1 a e
故選：D
2．（2024·遼寧大連·一模）斜率為1的直線 l與曲線 y ln(x a) 1和圓 x2 y2 都相切，則實數 a的值為（
2 ）
A． 0 或 2 B． 2或 0 C．－1或 0 D． 0 或1
【答案】A
【分析】設直線 l的方程為 y x b，先根據直線和圓相切算出b ，在根據導數的幾何意義算 a .
【詳解】依題意得，設直線 l的方程為 y x b，
1 b 2
由直線和圓 x2 y2 相切可得， 2 2 2 ，解得b ±1，2 1 ( 1)
當b 1時， y x 1和 y ln(x a)相切，
設切點為 (m, n)
1
，根據導數的幾何意義， 1，
m a
ìn 0
ìn m 1
又切點同時在直線和曲線上，即 í m 1
n ln(m
，解得 ，
a) í
a 2
即 y x 1和 y ln(x 2)相切，此時將直線和曲線同時向右平移兩個單位，
y x 1和 y ln x 仍會保持相切狀態，即b = -1時， a 0，
綜上所述， a 2或 a 0 .
故選：A
3．（2024·重慶渝中·模擬預測）若斜率為 1 的直線 l與曲線 y ln x a 和圓 x2 y2 2都相切，則實數 a的
值為（ ）
A． 1 B．1 C．3 D． 1或 3
【答案】D
【分析】設直線 l與曲線 y ln x a 的切點為P(x0 , y0 )，先根據導數的幾何意義求出 y ln x a 在切點
P(x0 , y0 )處的切線方程，再根據直線與圓相切和圓心到直線距離的關系列式求解即可．
【詳解】設直線 l 與曲線 y ln x a 的切點為P(x0 , y0 )，
1
由 y ln

x 1 a ，則 1x a x0 a
，
則 x0 1 a ， y0 0，即切點為P 1 a,0 ，
所以直線 l 為 y x 1 a，又直線 l 與圓 x2 y2 2都相切，
1 a
則有 2 ，解得 a 3或 a 1 .
2
故選：D.
f x ex 1, g x 14．（2024· 2全國·模擬預測）已知函數 ex ，若直線 l是曲線 y f x 與曲線 y g x 的公
4
切線，則 l的方程為（ ）
A． ex y 0 B． ex- y -e = 0
C． x y 0 D． x y 1 0
【答案】B
【分析】設 y kx m 與 y f x 相切于點 A x0 , y0 ，與 y g x 相切于點 B x1, y1 ，利用導數的幾何意義，
x 1 e 1 1 1 1e x m ex 1 m x2 ex 1 ex x 1 x x 1 ln x 得到 0 0 00 和 1 ，再由 1，求得4 2 0
，得到
2 1 2 1 1 ÷
0，令
è 2
h x x 1 lnx，利用導數求得函數的單調性與最值，求得m e, k e ，即可求解.
【詳解】設 l : y kx m 與曲線 y f x 相切于點 A x0 , y0 ，與 y g x 相切于點B x1, y1 ，
由 f x ex 1，可得 l的斜率 k ex0 1 ex0 1x m ex 1，所以 00 ①，
又由 g x 1 ex ，可得 k 1 ex 1 e e 1，所以 ex1x1 m x21 ，即m x2 ②，2 2 2 4 4 1
x 1 1
又因為 e 0 ex1 ③，2
1 ex x e x2 e將②③代入①中，可得 1 0 1 x1，由③易知， x1 > 0
1
,則 x0 1 x1 ④，2 4 2 2
x1 e 1 1
將④代入③，可得 e 2 x1，則 x1 1 ln2 2
x1 ÷ 0，
è 2
令 h x x 1 lnx h x x 1，則 ，當0 < x <1時， h x < 0, h x 單調遞減；
x
當 x >1時， h x > 0, h x 單調遞增．所以 h x h 1 0，當且僅當 x 1時取等號，
1 x e 2 e故 1 1，可得 x1 2，所以m 2 e, k 2 e，2 4 2
所以 l的方程為 y e x 1 ，即 ex- y -e = 0．
故選：B．
【點睛】方法技巧：對于利用導數解決函數綜合問題問題的求解策略：
1、合理轉化，根據題意轉化為兩個函數的最值之間的比較，列出不等式關系式求解；
2、構造新函數，利用導數研究函數的單調性，求出最值，從而求出參數的取值范圍；
3、利用可分離變量，構造新函數，直接把問題轉化為函數的最值問題．
4、根據恒成立或有解求解參數的取值時，一般涉及分離參數法，但壓軸試題中很少碰到分離參數后構造的
新函數能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮
法，注意恒成立與存在性問題的區別．
5．（2024· 3 2浙江金華·三模）若存在直線與曲線 f x x x ， g x x a都相切，則 a 的范圍為（ ）

A． 1, B． 1,
5 5 , , 5C． ÷ D．

27 27 è 27
【答案】A
ì2x 3x2 1
【分析】利用導數分別求得與 f x , g x 2 1相切的切線方程，可得 í ，進而可得
x
2
2 a 2x
3
1
a 9 x41 2x
3 3 x2 11 1 有解，從而利用導數可求 a的范圍.4 2 4
【詳解】設直線與 f x 相切與點 x 31, x1 x1 ，因為 f x 3x2 1，
3 2
所以切線方程 y x1 x1 3x1 1 x x1 ，即 y 3x21 1 x 2x31 ，
設直線與 g x 相切與點 x2 , x22 a ，
因為 g x 2x 2 22，所以切線方程 y x2 a 2x2 x x2 ，即 y 2x2x x2 a ，
ì2x 3x2
í 2 1
1
2 3 ，
x2 a 2x1
2
2 a x 2x3 3x
2
1 1 2x3 9所以 x4 2x3
3 2 1
2 1 ÷ 1 1 1 x1 有解，
è 2 4 2 4
9 3 1
令 h x x4 2x3 x2 ， h x 9x3 6x2 3x 3x 3x 1 x 1 ，
4 2 4
1 1
所以函數 h x 在 , ÷ ， 0,1 上單調遞減，在 ,0÷， 1, 上單調遞增，
è 3 è 3
因為 h l 1 h 1 5 ，

÷ ，所以 h x h 1 1
è 3 27 min
，所以 a 1，
a的范圍為[ 1, ) .
故選：A.
【點睛】思路點睛：本題考查曲線公切線相關問題的求解，求解曲線公切線的基本思路是假設切點坐標，
利用導數的幾何意義分別求得兩曲線的切線方程，根據切線方程的唯一性構造方程組來進行求解.
二、填空題
6．（2024·陜西安康·模擬預測）已知 0 < a < 1，若曲線 y a x ln a與直線 y ex相切，則a ．
1
【答案】
e
【分析】設出切點，利用切點在曲線上也在直線上和切點處的導數等于斜率列方程求解。
【詳解】設 f x a x ln a ，與直線 y ex相切的切點為 x0 , f x0 ，
則 f x a x ln a 2，
故 y f x 在點 x x 20 x00 , f x0 處的切線方程可寫為 y a ln a x x0 a ln a ，
即 y a x0 ln a 2 x x a x0 ln a 2 a x00 ln a，
2
若切線為 y ex，則 x a x0 ln a a x0 ln a 0且 e a x 200 ln a ，得 x
1
0 ，ln a
1 1 1 1
所以 a ln a ln a 2 e，設 a ln a m 則 ln a ln a ln m ， ln a ln m 1所以m e，ln a
所以 e 1ln a 2 e 2， ln a 1所以又因為 0 < a < 1，所以 ln a 1解得 a ．
e
1
故答案為：
e
7．（2024·
2
全國·模擬預測）已知函數 f x x a lnx 的圖象上存在不同的兩點 A, B，使得曲線 y f x
在點 A, B處的切線都與直線 x 2y 0 垂直，則實數 a的取值范圍是 ．
【答案】 ,1 2
【分析】由題意可得 f x 2x 2a 1 2有兩個不相等的正實數根，法一：令
x
g x f x 2x 1 2a x > 0 ，利用導數求出函數的單調區間及最值即可得解；法二：可得關于 x 的方
x
程 x2 1 a x 1 0有兩個不相等的正實數根，再根據一元二次方程根的分布情況求解即可.
2
【詳解】由題意知 f x 2x 2a 1 ，曲線 y f x 在點 A, B處的切線斜率都是 2，
x
所以關于 x 的方程 2x
1
2a 2有兩個不相等的正實數根，
x
2
解法一：令 g x f x 1 2x 2a x > 0 g x 2 1 2x 1，則 2 ，x x x2
0 x 2 2當 < < 時， g x < 0，當 x > 時， g x > 0，
2 2

所以函數 g x 2 2在 0, ÷÷ 上單調遞減，在 , ÷÷上單調遞增，
è 2 è 2

即函數 f x 0, 2 2在 2 ÷÷ 上單調遞減，在 , 上單調遞增，è è 2
÷÷

又當 x 0 時， f x ，當 x 時， f x ，
2
所以 f ÷÷ 2 2 2a < 2 ，解得2 a <1 2 ，è
所以實數 a的取值范圍是 ,1 2 .
2 1
解法二：可得關于 x 的方程 x 1 a x 0有兩個不相等的正實數根，
2
ì1 a
> 0
2

則 íΔ 1 a 2 1 4 > 0，解得 a <1 2 ，
2
1
> 0 2
所以實數 a的取值范圍是 ,1 2 .
故答案為： ,1 2 .
8．（2024·黑龍江齊齊哈爾·一模）若直線 y 2x為曲線 y eax b 的一條切線，則 ab的最大值為 .
2
【答案】 2 / 2e
2
e
【分析】設 f x eax b ，切點為 x ax0 b0 , e ，再根據導數的幾何意義求出切線方程，再結合題意求出 a,b的
關系，再構造新的函數，利用導數求出最大值即可.
f x eax b【詳解】設 ，則 f x aeax b，
設切點為 x0 , eax0 b ，則 f x0 aeax0 b ，
y eax0 b aeax0 b則切線方程為 x x ax b0 ，整理可得 y ae 0 x 1 ax ax0 b0 e ，
ì 1 ax0 eax0 b 0 1í ax b 1 b所以 ax b ，解得 x0 , ae 0 ae 2 ，
ae 0 2 a
a 2 ab 2b所以
e1 b
，所以
e1 b
，
g x 2x 2 g x 1 x 設 1 x ，則 e e1 x ，
當 x ,1 時， g x > 0, g x 單調遞增，
當 x (1, )時， g x < 0, g x 單調遞減，
所以當 x 1時， g x 取得最大值 g 1 2 2 ，e
2
所以 ab的最大值為 .
e2
2
故答案為：
e2
【點睛】關鍵點點睛：設出切點，根據直線 y 2x為曲線 y eax b 的一條切線，求出 a,b的關系，是解決本
題的關鍵.
9．（2024·山東臨沂·二模）若直線 y ax 1與曲線 y b ln x相切，則 ab的取值范圍為 .
1 , 【答案】 e3 ÷
【分析】利用導數求切點坐標，再由切點在直線上可得b 2 ln a ，則 ab 2a a ln a a > 0 ，構造
g(a) 2a a ln a 并研究單調性，進而求值域即可.
1
【詳解】函數 y b ln x的導數為 y x ，
1
設切點為 x0 , ax0 1 ，所以 a，則 ax0 1
1
x ，即 x0 a 0
又因為 x0 , ax0 1 在 y b ln x上，所以 ax0 1 b ln x0 ，
所以b ln x0 2，即b ln a 2，所以b 2 ln a ，
所以 ab a 2 ln a 2a a ln a a > 0 ，
令 g(a) 2a a ln a ， g (a)
1
2 ln a a ln a 3，
a
令 g (a) > 0 a
1
> 1，可得 3 ，令 g (a) < 0，可得 0 < a ，
所以 g(a)

在 0,
1 1
3 ÷上單調遞減，在 3 , ÷上單調遞增，è e è e
1 2 1
所以 g(a)min g 3 ÷ 3 3 ln
1 2 3 1

è e e e e3 e3 e3
3 .e
當 a趨近正無窮時， g(a)趨近正無窮.
1
所以 ab 的取值范圍為： , ÷ .
e3
1
故答案為： 3 , ÷ . e
ìex , x 0
10．（23-24 高三上·江蘇無錫·期末）已知函數 f x í 2 ，若函數 f x 的圖象在點 A x , f x x < 0
x , x < 0
1 1 1
y AM和點B x2 , f x2 x2 > 0 處的兩條切線相互平行且分別交 軸于M 、 N 兩點，則 BN 的取值范圍為 .
e
【答案】 , 2 ÷
ex2 AM ex2 ex
【分析】由 f x1 f x2 可得出 x1 ，利用弦長公式得出 BN 2x ，利用導數求出函數 g x 2 2 2x
在 0, 上的值域，即可為所求.
【詳解】當 x < 0 時， f x x2 ， f x 2x ，則 f x1 2x1 ，
x > 0 f x ex f x ex當 時， ， ，則 f x2 ex2 ，
因為函數 f x 的圖象在點 A x1, f x1 x1 < 0 和點B x2 , f x2 x2 > 0 處的兩條切線相互平行，
x2
則 f x x e1 f x2 ，即 2x1 e 2 ，則 x1 ，2
AM 1 4x2 x ， BN 1 e2x21 1 x2 ，
AM 1 4x21 x1 x ex2
所以， 1 ，
BN 1 e2x2 x x2 2x2 2
x ex x 1
令 g x e ，其中 x > 0，則 g x ，
2x 2x2
當0 < x <1時， g x < 0，此時函數 g x 在 0,1 上單調遞減，
當 x >1時， g x > 0，此時函數 g x 在 1, 上單調遞增，
e AM e
所以， g x g 1 ，因此， ,
2 BN
的取值范圍是 ÷ . 2
e
故答案為： , 2 ÷
.

AM
【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵在于利用切線斜率相等得出x2、x1所滿足的關系式，然后將 BN 轉
化為含x2的函數，轉化為函數的值域問題求解.
1．（2020·全國·高考真題）曲線 y ln x x 1的一條切線的斜率為 2，則該切線的方程為 .
【答案】 y 2x
【分析】設切線的切點坐標為 (x0 , y0 )，對函數求導，利用 y |x 20 ，求出 x0 ，代入曲線方程求出 y0 ，得到切
線的點斜式方程，化簡即可.
1
【詳解】設切線的切點坐標為 (x0 , y0 ), y ln x x 1, y 1，x
y | 1x x 1 2, x 1, y 2 (1,2)0 x 0 0 ，所以切點坐標為 ，0
所求的切線方程為 y 2 2(x 1)，即 y 2x .
故答案為： y 2x .
【點睛】本題考查導數的幾何意義，屬于基礎題.
2．（2020·全國·高考真題）函數 f (x) x4 2x3 的圖像在點 (1，f (1)) 處的切線方程為（ ）
A． y 2x 1 B． y 2x 1
C． y 2x 3 D． y 2x 1
【答案】B
【分析】求得函數 y f x 的導數 f x ，計算出 f 1 和 f 1 的值，可得出所求切線的點斜式方程，化簡
即可.
【詳解】Q f x x4 2x3， f x 4x3 6x2 ， f 1 1， f 1 2，
因此，所求切線的方程為 y 1 2 x 1 ，即 y 2x 1 .
故選：B.
【點睛】本題考查利用導數求解函圖象的切線方程，考查計算能力，屬于基礎題
3．（2019·江蘇·高考真題）在平面直角坐標系 xOy 中，點 A 在曲線 y=lnx 上，且該曲線在點 A 處的切線經過
點（-e，-1)(e 為自然對數的底數），則點 A 的坐標是 .
【答案】 (e, 1) .
【分析】設出切點坐標，得到切線方程，然后求解方程得到橫坐標的值可得切點坐標.
1
【詳解】設點 A x0 , y0 ，則 y0 ln x0 .又 y ，x
1
當 x x 0時， y x ，0
1
點 A 在曲線 y ln x 上的切線為 y y0 (x x )x 0 ，0
即 y ln x
x
0 1x ，0
e
代入點 e, 1 ，得 1 ln x0 1x ，0
即 x0 ln x0 e ，
考查函數H x x ln x，當 x 0,1 時，H x < 0，當 x 1, 時，H x > 0，
且H ' x ln x 1，當 x >1時，H ' x > 0, H x 單調遞增，
注意到H e e ，故 x0 ln x0 e 存在唯一的實數根 x0 e，此時 y0 1，
故點A 的坐標為 A e,1 .
【點睛】導數運算及切線的理解應注意的問題：
一是利用公式求導時要特別注意除法公式中分子的符號，防止與乘法公式混淆．
二是直線與曲線公共點的個數不是切線的本質，直線與曲線只有一個公共點，直線不一定是曲線的切線，
同樣，直線是曲線的切線，則直線與曲線可能有兩個或兩個以上的公共點．
x
4．（2019·天津·高考真題） 曲線 y cos x 在點 0,1 處的切線方程為 .
2
【答案】 x 2y 2 0
【分析】利用導數值確定切線斜率，再用點斜式寫出切線方程．
【詳解】 y ' sin x
1
，
2
當 x 0
1
時其值為 ，
2
1
故所求的切線方程為 y 1 x ，即 x 2y 2 0．
2
【點睛】曲線切線方程的求法：
(1)以曲線上的點(x0，f(x0))為切點的切線方程的求解步驟：
①求出函數 f(x)的導數 f′(x)；
②求切線的斜率 f′(x0)；
③寫出切線方程 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化簡．
ìy0 f (x0 )

(2)如果已知點(x1，y1)不在曲線上，則設出切點(x0，y0)，解方程組 í y1 y0
f '(x )
得切點(x0，y0)，進而確定
x1 x
0
0
切線方程．
5．（2019·全國·高考真題）曲線 y 3(x2 x)ex 在點 (0,0)處的切線方程為 ．
【答案】3x y 0 .
【分析】本題根據導數的幾何意義，通過求導數，確定得到切線的斜率，利用直線方程的點斜式求得切線
方程
【詳解】詳解： y / 3(2x 1)ex 3(x2 x)ex 3(x2 3x 1)ex ,
/
所以， k y |x 0 3
所以，曲線 y 3(x2 x)ex 在點 (0,0)處的切線方程為 y 3x ，即3x y 0 ．
【點睛】準確求導數是進一步計算的基礎，本題易因為導數的運算法則掌握不熟，二導致計算錯誤．求導
要“慢”，計算要準，是解答此類問題的基本要求．
6．（2019·全國·高考真題）已知曲線 y aex x ln x 在點 1, ae 處的切線方程為 y 2x b ，則
A． a e,b 1 B． a e,b 1 C． a e 1,b 1 D． a e 1,b 1
【答案】D
【解析】通過求導數，確定得到切線斜率的表達式，求得 a，將點的坐標代入直線方程，求得b ．
【詳解】詳解： y aex ln x 1,
k y |x 1 ae 1 2， a e 1
將 (1,1) 代入 y 2x b 得 2 b 1,b 1，故選 D．
【點睛】本題關鍵得到含有 a，b 的等式，利用導數幾何意義和點在曲線上得到方程關系．
7．（2018·全國·高考真題）曲線 y ax 1 ex 在點 0，1 處的切線的斜率為 2，則a ．
【答案】 3
【分析】求導，利用導數的幾何意義計算即可．
【詳解】解： y aex ax 1 ex
則 f 0 a 1 2
所以 a 3
故答案為-3.
【點睛】本題主要考查導數的計算和導數的幾何意義，屬于基礎題．
8．（2019·全國·高考真題）曲線 y=2sinx+cosx 在點(π，–1)處的切線方程為
A． x y p 1 0 B． 2x y 2p 1 0
C． 2x y 2p 1 0 D． x y p 1 0
【答案】C
【分析】先判定點 (p, 1)是否為切點，再利用導數的幾何意義求解.
【詳解】當 x p 時， y 2sin p cos p 1，即點 (p, 1)在曲線 y 2sin x cos x上．Q y 2cos x sin x,
y x p 2cosp sinp 2,則 y 2sin x cos x在點 (p, 1)處的切線方程為 y ( 1) 2(x p)，即
2x y 2p 1 0．故選 C．
【點睛】本題考查利用導數工具研究曲線的切線方程，滲透了直觀想象、邏輯推理和數學運算素養．采取
導數法，利用函數與方程思想解題．學生易在非切點處直接求導數而出錯，首先證明已知點是否為切點，
若是切點，可以直接利用導數求解；若不是切點，設出切點，再求導，然后列出切線方程．
9．（2018·全國· 3高考真題）設函數 f x x a 1 x2 ax．若 f x 為奇函數，則曲線 y f x 在點 0，0
處的切線方程為(　　)
A． y 2x B． y x C． y 2x D． y x
【答案】D
【詳解】分析：利用奇函數偶次項系數為零求得 a 1，進而得到 f (x) 的解析式，再對 f (x) 求導得出切線的
斜率 k ，進而求得切線方程.
詳解：因為函數 f (x) 是奇函數，所以 a 1 0，解得 a 1，
所以 f (x) x3 x ， f '(x) 3x2 1，
所以 f '(0) 1, f (0) 0，
所以曲線 y f (x) 在點 (0,0)處的切線方程為 y f (0) f '(0)x ，
化簡可得 y x ，故選 D.
點睛：該題考查的是有關曲線 y f (x) 在某個點 (x0 , f (x0 )) 處的切線方程的問題，在求解的過程中，首先需
要確定函數解析式，此時利用到結論多項式函數中，奇函數不存在偶次項，偶函數不存在奇次項，從而求
得相應的參數值，之后利用求導公式求得 f '(x) ，借助于導數的幾何意義，結合直線方程的點斜式求得結果.
10．（2018·全國·高考真題）曲線 y 2ln(x 1)在點 (0, 0) 處的切線方程為 ．
【答案】 y 2x
【分析】先求導數，再根據導數幾何意義得切線斜率，最后根據點斜式求切線方程.
【詳解】Q y
2
k 2 2 y 2x
x 1 0 1
【點睛】求曲線的切線要注意“過點 P 的切線”與“在點 P 處的切線”的差異，過點 P 的切線中，點 P 不一定是
切點，點 P 也不一定在已知曲線上，而在點 P 處的切線，必以點 P 為切點.第 01 講 導數的概念、運算及幾何意義
（8 類核心考點精講精練）
1. 5 年真題考點分布
5 年考情
考題示例 考點分析 關聯考點
已知切線斜率求參數
2024 年新 I 卷，第 13 題,5 分 直線的點斜式方程
公切線問題
利用導數研究含參函數單調性
2024 年新Ⅱ卷，第 16 題,15 分 求在曲線上一點處的切線方程
根據極值求參數
利用導數研究函數的零點
2022 年新 I 卷，第 10 題,5 分 求在曲線上一點處的切線方程
求已知函數的極值點
抽象函數的奇偶性
2022 年新 I 卷，第 12 題,5 分 函數與導函數圖象之間的關系
函數對稱性的應用
2022 年新 I 卷，第 15 題,5 分 求過一點的切線方程 求某點處的導數值
2022 年新Ⅱ卷，第 14 題,5 分 求過一點的切線方程 無
2021 年新 I 卷，第 7 題,5 分 求過一點的切線方程 利用導數研究函數圖象及性質
兩條切線平行、垂直、重合
2021 年新Ⅱ卷，第 16 題,5 分 直線的點斜式方程及辨析
(公切線) 問題
2020 年新 I 卷，第 21 題,12 分 求在曲線上一點處的切線方程 利用導數研究不等式恒成立問題
2020 年新Ⅱ卷，第 22 題,12 分 求在曲線上一點處的切線方程 利用導數研究不等式恒成立問題
2. 命題規律及備考策略
【命題規律】本節內容是新高考卷的必考內容，設題穩定，難度較低，分值為 5 分左右
【備考策略】1 理解導數概念的實際背景，理解導數是關于瞬時變化率的數學表達，了解導數的本質與思想,
了解極限思想
2 能通過函數圖象直觀理解導數的幾何意
3 能利用給出的基本初等函數的導數公式和導數的四則運算法則求簡單函數的導數，能求簡單
的復合函數的導數并.熟練使用導數公式表
4 能理解導數的幾何意義并會求切線方程
【命題預測】本節內容是新高考卷的必考內容，一般會考查在曲線上一點的切線方程或過一點的切線方程，
需加強復習備考
知識講解
1. 函數 y f (x) 在 x x0處的導數
f(x0＋Δx)－f(x0) Δy
(1)定義：稱函數 y＝f(x)在 x＝x0處的瞬時變化率 lim ＝ lim 為函數 y＝f(x)在 x＝xΔx Δx 0
處
Dx 0 Dx 0
Δy f(x ＋Δx)－f(x )
的導數，記作 f′(x0)或 y′|x＝x0，即 f′(x0)＝ lim ＝ lim
0 0
。
Dx 0 Δx Dx 0 Δx
2. 函數 y f (x) 的導函數
如果函數 y＝f(x)在開區間(a，b)內的每一點處都有導數，其導數值在(a，b)內構成一個新函數，函數 f′(x)＝
f(x＋Δx)－f(x)
lim 稱為函數 y＝f(x)在開區間內的導函數.
Δx
3. 八大常用函數的求導公式
（1）C 0 （C 為常數）
2 3
1 1
（2 (xn） ) nxn 1 例： (x5 ) 5x4 ， (x 5 ) 2 x 5， ， (x
6 ) 1 6x 7 ， ( x ) (x 2 ) x 2
5 2
x
（3） (e ) ex 1 （4 (a
x x
） ) a ln a （5） (ln x) x
（6） (loga x)
1
（7） (sin x) cos x （8） (cos x) sin xx ln a
4. 導數的四則運算
（1）和的導數： f (x) g(x)
f (x) g (x)
（2）差的導數： f (x) g(x)
f (x) g (x)
（3）積的導數： f (x)g(x) f (x)g(x) f (x)g (x)（前導后不導 前不導后導）


4 f (x) f (x)g(x) f (x)g (x)（ ）商的導數： ， g(x) 0
g(x)
2
g (x)
5. 復合函數的求導公式
函數 y f (g(x))中，設u g(x) （內函數），則 y f (u) （外函數） y yu ux
6. 導數的幾何意義
（1）導數的幾何意義
函數 y f (x) 在 x x0 處的導數 f (x0 ) 就是曲線 y f (x) 在點 (x0 , f (x0 ))處的切線的斜率 k ，即
k f (x0 ) lim
f (x0 +Dx) f (x0 ) ．
Dx 0 Dx
（2）直線的點斜式方程
直線的點斜式方程：已知直線過點 P(x0 , y0 ) ，斜率為 k ，則直線的點斜式方程為： y y0 k x x0
【注】曲線的切線的求法：若已知曲線過點 P(x0，y0)，求曲線過點 P 的切線，則需分點 P(x0，y0)是切
點和不是切點兩種情況求解．
（1）當點 P(x0，y0)是切點時，切線方程為 y y0 k x x0 ；
（2）當點 P(x0，y0)不是切點時，可分以下幾步完成：
第一步：設出切點坐標 P (x1, f (x1)) ；
第二步：寫出過 P (x1, f (x1)) 的切線方程為 y f (x1) f (x1)(x x1) ；
第三步：將點 P 的坐標(x0，y0)代入切線方程求出 x1；
第四步：將 x1的值代入方程 y f (x1) f (x1)(x x1) ，可得過點 P(x0，y0)的切線方程．
考點一、導數的計算
1．（2024 高三·全國·專題練習）求下列函數的導數：
(1) y e x x 1 2 ；
(2) y cos 3x 1 ln 2x 1 ；
(3) y sin 2x cos2 x ；
(4) y 2x 1 ．
x
(5) y ex sin x cos x
(6) y tan x ln( x)
(7) y x sin
x cos x
2 2
ln(1 x)
(8) y
ex
2．（2024 高三·全國·專題練習）求下列函數的導數：
x x
(1) y 2 e2 xe2 ÷ ；
è
(2) y a2x x2 ；
(3) y sin4 3x cos3 4x；
y x ln x(4) ln x 1 ．
x 1
1．（2024 高三·全國·專題練習）求下列函數的導數
(1) y ln 3；
(2) y x 3；
f (x) cos x(3) x ；e
(4) y 2x2 1 3x 1 ；
(5) f (x) ln 1 x2 ；
1 cos x
(6) y ．
sin x
2．（2024 高三·全國·專題練習）求下列函數的導數．
(1) y xex
y ln x(2) ；
x2 1
(3) y 2sin(1 3x)
3
(4) y ln x 1 x2 .
4
3．（23-24 高三上·山西臨汾·階段練習）求下列函數的導數：
(1) y x2 3x 3 ex 1
y cos(2x 1)(2)
x
(3) y ln
x
1 2x
(4) y (x 1)(x 2)(x 3)
(5) y x ln x x2 x 2
1
(6) y ln 2 x3 ex
ex
考點二、求曲線切線的斜率或傾斜角
1．（全國·高考真題）曲線 y xex 1 在點（1,1）處切線的斜率等于（ ）.
A． 2e B． e C．2 D．1
2．（全國·高考真題）曲線 y x3 2x 4在點 (1,3)處的切線的傾斜角為（ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
1 3 P 2, 8 1．（2024·上海嘉定·二模）已知曲線 y x 上有一點 ÷ ，則過 P 點的切線的斜率為 ．3 è 3
2．（2024·福建廈門·一模）已知直線 l與曲線 y x3 x在原點處相切，則 l的傾斜角為（ ）
π π 3π 5π
A． B． C． D．
6 4 4 6
考點三、求在曲線上一點的切線方程
y 2x 11．（2021·全國·高考真題）曲線 在點 1, 3 處的切線方程為 ．
x 2
x e
2．（2023· · e全國 高考真題）曲線 y 在點 1, ÷ 處的切線方程為（2 ）x 1 è
y e x y e e e e 3eA． B． x C． y x D． y x
4 2 4 4 2 4
x
3 2024· · f x e 2sin x．（ 全國 高考真題）設函數 2 ，則曲線 y f x 在點 0,1 處的切線與兩坐標軸所圍成1 x
的三角形的面積為（ ）
1 1 2
A． B 1． C．
6 3 2
D． 3
1．（2024· x 2全國·模擬預測）函數 f x e x 2x 2 的圖象在點 1, f 1 處的切線方程為（ ）
A． x ey 4 0 B． x ey 6 0 C． ex y 6 0 D． ex y e
5
0
e
2．（2024· x河北保定·三模）曲線 f x e 3x 在點 0, f 0 處的切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為
（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
8 6 4 3
x x
3．（2024·湖北·模擬預測）寫出函數 f x x lnx 的一條斜率為正的切線方程： ．2 e
考點四、求過一點的切線方程
1．（2022·全國·高考真題）曲線 y ln | x |過坐標原點的兩條切線的方程為 ， ．
2．（2024·貴州·模擬預測）過點P(1, 3)作曲線 y 2x3 3x 的切線，請寫出切線的方程 .
1．（2023· 2全國·模擬預測）過原點可以作曲線 y f x x x 1的兩條切線，則這兩條切線方程為（ ）
A． y x 和 y x B． y 3x 和 y 3x
C． y x 和 y 3x D． y x和 y 3x
2 x 2．（2024·全國·模擬預測）過坐標原點作曲線 f x e x 2x 2 的切線，則切線共有（ ）
A．1 條 B．2 條 C．3 條 D．4 條
考點五、已知切線（斜率）求參數
1．（全國· y ax 1 ex高考真題）曲線 在點 0，1 處的切線的斜率為 2，則a ．
2
2．（2024·湖南長沙·二模）已知 m > 0 ， n > 0，直線 y x m 與曲線 y 2lnx n 4
1 1
相切，則
e m n
的最小值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
1．（2024·四川遂寧·三模）曲線 y x2 ax在點P 1,b 處切線的斜率為 3，則實數a ．
2．（2024·浙江紹興·二模）函數 f x x a ln x在點 1,1 處的切線與直線 y 2x平行，則a （ ）
A．1 B． 2 C． 1 D． 2
3．（2024 高三下·全國·專題練習）已知函數 g x x ax 2ln x ，若曲線 y g x 在 x 1處的切線方程為
y 6x b，則 a b ．
考點六、兩條切線平行、垂直問題
1 x．（2021·全國·高考真題）已知函數 f (x) e 1 , x1 < 0, x2 > 0，函數 f (x) 的圖象在點 A x1, f x1 和點
B x2, f x2 | AM |的兩條切線互相垂直，且分別交 y 軸于 M，N 兩點，則 | BN | 取值范圍是 ．
1
2．（2023·四川涼山· 2一模）函數 f x x a ln x 在區間 1,2 的圖象上存在兩條相互垂直的切線，則 a的取
2
值范圍為（ ）
A． 2,1 B． 2, 1 C． 2,0 D． 3, 2
3．（2024·河北邢臺·二模）已知函數 f x x2 2ln x 的圖像在 A x1, f x1 ，B x2 , f x2 兩個不同點處的切
線相互平行，則下面等式可能成立的是（ ）
A． x1 x2 2 x
10 10
B． 1 x2 C． x1x2 2 D． x3 1
x2 3
1．（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x x a 2 lnx 的圖象上存在不同的兩點 A, B，使得曲線 y f x
在點 A, B處的切線都與直線 x 2y 0 垂直，則實數 a的取值范圍是（ ）
A． ,1 2 B． 1 2,0 C． ,1 2 D． 0,1 2
2．（山東·高考真題）若函數 y f x 的圖象上存在兩點，使得函數的圖象在這兩點處的切線互相垂直，則
稱 y f x 具有T性質．下列函數中具有T性質的是
A． y sin x B． y ln x C． y ex D． y x3
3x 3
3．（2024·河南·模擬預測）已知函數 f x x 1 ax(x > 0) 的圖象經過 A, B 兩點，且 f x 的圖象在 A, Be
處的切線互相垂直，則 a的取值范圍是（ ）

3,0 3, 5 3
5 3
A． B． ÷÷ C． ,0
5 3 5 3
÷÷ D．2
, ÷÷
è è 2 è 2 2
ì
x
1
ex , x > 0,
7．（2024·河南·三模）已知函數 f (x) 2 ÷íè 點A ， B 在曲線 y f (x) 上（A 在第一象限），過A ，
x
3 , x < 0,
BQ
B 的切線相互平行，且分別交 y 軸于 P ，Q兩點，則 AP 的最小值為 ．
考點七、公切線問題
1．（2024·全國·高考真題）若曲線 y ex x在點 0,1 處的切線也是曲線 y ln(x 1) a 的切線，則
a .
2．（全國·高考真題）若直線 y kx b是曲線 y ln x 2 的切線，也是曲線 y ln(x 1) 的切線，則
b ．
3．（2024·廣東茂名·一模）曲線 y lnx與曲線 y x2 2ax 有公切線，則實數 a的取值范圍是（ ）
, 1 1 1 1 , , , A．
è 2
B． ÷ C． D． 2 ÷ è 2 2
1．（2024·河北滄州·模擬預測）已知直線 l : y kx是曲線 f x ex 1和 g x ln x a的公切線，則實數a= ．
2 2024· · f x aex πx．（ 上海 三模）設曲線 b和曲線 g x cos c在它們的公共點 P 0,2 處有相同的切線，
2
則ba c 的值為 .
3．（2024·福建泉州·模擬預測）若曲線 y = x2 與 y tex t 0 恰有兩條公切線，則 t 的取值范圍為（ ）
0, 4 4 , ,0 4 , ,0 4 ì üA． Be2 ÷ ． ÷ C． ÷ D． í è è e2 è e2 e2
考點八、切線（方程）的綜合應用
1．（2021·全國·高考真題）若過點 a,b 可以作曲線 y ex 的兩條切線，則（ ）
A． eb < a B． ea < b
C．0 < a < eb D．0 < b < ea
2．（23-24 高二下·遼寧本溪·期中）若過點 1,b 可以作曲線 y ln x 1 的兩條切線，則（ ）
A． ln2 < b < 2 B．b > ln2
C．0 < b < ln2 D．b >1
b
3．（2024·廣東廣州·模擬預測）已知直線 y kx b恒在曲線 y ln x 2 的上方，則 的取值范圍是（
k ）
A． 1, 3 B． ,
4
4 ÷
C． 0, D． , ÷
è è 5
1．（2024·全國·模擬預測）若直線 y 2x b與曲線 f (x) e2x 2ax(a > 1)相切，則b 的最小值為（ ）
A． e B．－2 C．－1 D．0
1．2．（2024·全國·模擬預測）若直線 y x 與曲線 y loga x（ a > 0且a 1）無公共點，則實數 a的取值范
圍是（ ）
1 1
A． 1,e B． 1,ee ÷ C． e, D． ee , ÷
è è
3．（2024·重慶·模擬預測）已知直線 y ax b 與曲線 y ex 相切于點 x0 , ex0 ，若 x0 ,3 ，則 a b 的取值
范圍為（ ）
A , e B e3． ． ,e C． 0,e D． 0,e3
一、單選題
1．（2024·貴州六盤水·三模）已知曲線 y x2 3lnx 的一條切線方程為 y x m，則實數m （　　）
A． 2 B． 1 C．1 D．2
2．（2024·河北保定·三模）已知二次函數 y ax(x b)（b 0 且b 1）的圖象與曲線 y ln x 交于點 P，與 x
軸交于點 A（異于點 O），若曲線 y ln x 在點 P 處的切線為 l，且 l 與 AP 垂直，則 a 的值為（ ）
1
A． B． 1 Ce ． e D． 2
3．（2024· 2全國·模擬預測）若函數 f x x 3x 4lnx ，點 P 是曲線 y f x 上任意一點，則點 P 到直線
l : x y 3 0的距離的最小值為（ ）
A 3 2 6． 4 2 B． C．3 2 D．
2 2
a
4．（2024· 2內蒙古呼倫貝爾·二模）已知曲線 y x 3x 在 x 1處的切線與直線 x 2y 1 0垂直，則a
x
（ ）
9 11
A．3 B． C．7 D．
2 2
5．（23-24 高二下·山東棗莊·期中）若點 P 是曲線 y x2 ln x上任意一點，則點 P 到直線 y x 4的最小距離
為（ ）
A．1 B． 2 C． 2 2 D． 4 2
6 2．（2024·河南·模擬預測）函數 f x lnx x 與直線 x y 0相切于點A ，則點A 的橫坐標為（ ）
1
A． B．1 C．2 D． e
e
二、填空題
2 π
7．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知曲線 f x ln x x 在點 1, f 1 處的切線的傾斜角為 ,則 a的值為 .
a 3
8．（2024·山西朔州·模擬預測）已知 A，B 分別為曲線 y 2ex x和直線 y 3x 3上的點，則 AB 的最小值
為 .
9．（2024·陜西安康·模擬預測）已知函數 f x 的圖象在點 1, f 1 處的切線方程是 x 2y 1 0，若
f x
h x ，則 h 1 的值為 .
x
m > 0, n > 0 y 110．（2024·四川·模擬預測）已知 ，直線 x m 1與曲線 y lnx n 3相切，則m n ．
e
一、單選題
1．（2024·四川德陽·二模）已知直線 y ax 1與曲線 f x ln ex 相切，則 a的值為（ ）
1
A． B．1 C． e D． ee
2．（2024·遼寧大連·一模）斜率為1的直線 l與曲線 y ln(x a) x2 y2 1和圓 都相切，則實數 a的值為（ ）2
A． 0 或 2 B． 2或 0 C．－1或 0 D． 0 或1
3．（2024·重慶渝中·模擬預測）若斜率為 1 的直線 l與曲線 y ln x a 和圓 x2 y2 2都相切，則實數 a的
值為（ ）
A． 1 B．1 C．3 D． 1或 3
f x ex 1, g x 14．（2024·全國·模擬預測）已知函數 ex2 ，若直線 l是曲線 y f x 與曲線 y g x 的公
4
切線，則 l的方程為（ ）
A． ex y 0 B． ex- y -e = 0
C． x y 0 D． x y 1 0
5．（2024·浙江金華· 3 2三模）若存在直線與曲線 f x x x ， g x x a都相切，則 a 的范圍為（ ）
A． 1, 5 5 5B． 1,

27
C． , 27 ÷
D． ,
è 27
二、填空題
6．（2024·陜西安康·模擬預測）已知 0 < a < 1，若曲線 y a x ln a與直線 y ex相切，則a ．
7．（2024·
2
全國·模擬預測）已知函數 f x x a lnx 的圖象上存在不同的兩點 A, B，使得曲線 y f x
在點 A, B處的切線都與直線 x 2y 0 垂直，則實數 a的取值范圍是 ．
8．（2024·黑龍江齊齊哈爾·一模）若直線 y 2x為曲線 y eax b 的一條切線，則 ab的最大值為 .
9．（2024·山東臨沂·二模）若直線 y ax 1與曲線 y b ln x相切，則 ab的取值范圍為 .
ìex , x 0
10．（23-24 高三上·江蘇無錫·期末）已知函數 f x í 2 ，若函數 f x 的圖象在點 A x1, f x1 x < 0
x , x < 0
1
和點B AMx2 , f x2 x2 > 0 處的兩條切線相互平行且分別交 y 軸于M 、 N 兩點，則 BN 的取值范圍為 .
1．（2020·全國·高考真題）曲線 y ln x x 1的一條切線的斜率為 2，則該切線的方程為 .
2．（2020·全國·高考真題）函數 f (x) x4 2x3 的圖像在點 (1，f (1)) 處的切線方程為（ ）
A． y 2x 1 B． y 2x 1
C． y 2x 3 D． y 2x 1
3．（2019·江蘇·高考真題）在平面直角坐標系 xOy 中，點 A 在曲線 y=lnx 上，且該曲線在點 A 處的切線經過
點（-e，-1)(e 為自然對數的底數），則點 A 的坐標是 .
x
4．（2019·天津·高考真題） 曲線 y cos x 在點 0,1 處的切線方程為 .
2
5．（2019·全國·高考真題）曲線 y 3(x2 x)ex 在點 (0,0)處的切線方程為 ．
6．（2019·全國·高考真題）已知曲線 y aex x ln x 在點 1, ae 處的切線方程為 y 2x b ，則
A． a e,b 1 B． a e,b 1 C． a e 1,b 1 D． a e 1,b 1
7 x．（2018·全國·高考真題）曲線 y ax 1 e 在點 0，1 處的切線的斜率為 2，則a ．
8．（2019·全國·高考真題）曲線 y=2sinx+cosx 在點(π，–1)處的切線方程為
A． x y p 1 0 B． 2x y 2p 1 0
C． 2x y 2p 1 0 D． x y p 1 0
9．（2018·全國·高考真題）設函數 f x x3 a 1 x2 ax．若 f x 為奇函數，則曲線 y f x 在點 0，0
處的切線方程為(　　)
A． y 2x B． y x C． y 2x D． y x
10．（2018·全國·高考真題）曲線 y 2ln(x 1)在點 (0, 0) 處的切線方程為 ．

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