資源簡介

第 05 講 函數的圖象
（3 類核心考點精講精練）
命題規律及備考策略
【命題規律】本節內容是新高考卷的命題載體內容，通常會結合其他知識點考查，需要掌握函數的基本性
質，難度中等偏下，分值為 5 分
【備考策略】1.掌握基本初等函數的圖象特征，能熟練運用基本初等函數的圖象解決問題
2.能熟練運用函數的基本性質判斷對應函數圖象
3.能運用函數的圖象理解和研究函數的性質
【命題預測】本節內容通常考查給定函數解析式來判斷所對應的圖象，是新高考復習的重要內容
知識講解
1. 圖象問題解題思路（判斷奇偶性、特值、極限思想）
① 2 1.414, 3 1.732, 5 2.236, 6 2.45, 7 2.646
1
② e 2.71828, e2 7.39, e 2 e 1.65
ln1 1③ 0, ln 2 0.69, ln 3 1.1, ln e 1, ln e
2
④ sin1 0.84, cos1 0.54, sin 2 0.91, cos 2 0.42
特別地：當 x 0 時 sin x x
例如： sin 0.1 0.099 0.1， sin 0.2 0.199 0.2, sin 0.3 0.296 0.3
當 x 0 時 cos x 1
cos0.1 0.995 1, cos( 0.2) 0.980 1
2. 函數的圖象
將自變量的一個值 x0作為橫坐標，相應的函數值 f(x0)作為縱坐標，就得到了坐標平面上的一個點的坐標，
當自變量取遍定義域 A 內的每一個值時，就得到一系列這樣的點，所有這些點組成的集合(點集)用符號表述
為{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有這些點組成的圖形就是函數的圖象．
3. 描點法作圖
方法步驟：(1)確定函數的定義域；(2)化簡函數的解析式；(3)討論函數的性質即奇偶性、周期性、單調性、
最值(甚至變化趨勢)；(4)描點連線，畫出函數的圖象．
4．圖象變換
(1)平移變換
(2)對稱變換
關于 軸對稱
①y＝f(x) ――― ――→ y＝－f(x)；
關于 軸對稱
②y＝f(x) ――― ――→ y＝f(－x)；
關于原點對稱
③y＝f(x) ――― ――→ y＝－f(－x)；
關于 ＝ 對稱
④y＝ax (a>0且 a≠1) ――― ――→ y＝logax(a>0且 a≠1)．
(3)伸縮變換
1
①把函數 y f (x) 圖象的縱坐標不變，橫坐標伸長到原來的 倍得 y f (wx) (0w
1
②把函數 y f (x) 圖象的縱坐標不變，橫坐標縮短到原來的 倍得 y f (wx) (w >1)
w
③把函數 y f (x) 圖象的橫坐標不變，縱坐標伸長到原來的w倍得 y w f (x) (w >1)
④把函數 y f (x) 圖象的橫坐標不變，縱坐標縮短到原來的w倍得 y w f (x) (0(4)翻折變換
保留 軸上 方圖象
①y＝f(x) ― ―――――――――→將 軸下方圖 象翻折上去y＝|f(x)|.
保留 軸右邊圖 象，并作其
②y＝f(x) ―――― ―――――――→關于 軸對 稱的圖象 y＝f(|x|)．
考點一、由函數解析式判斷函數圖象
1．（2024· 2 x x全國·高考真題）函數 f x x + e e sinx 在區間[ 2.8,2.8]的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
é π π ù
2．（2022·全國·高考真題）函數 y 3x 3 x cos x 在區間 ê , 的圖象大致為（ ） 2 2 ú
A． B．
C． D．
x
1．（2024·河北保定·二模）函數 f (x) 1 e x cos 2x的部分圖象大致為（ ）1+ e
A． B．
C． D．
excos 2ex
2．（2024· 安徽合肥·模擬預測）函數 f x （ e2x 為自然函數的底數）的圖象大致為（ ）e 1
A． B．
C． D．
x2 + 3
3．（2023·福建福州·模擬預測）函數 f x 2 的圖象大致為（ ）x +1
A． B．
C． D．
ex e x
4．（2024·山東·模擬預測）函數 f x 1 x2 的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
2x π+1 sin + 3x
5．（2024· 四川德陽·二模）函數 ÷f x è 2 的圖象大致是（ ）
2x 1
A． B．
C． D．
考點二、由函數圖象判斷函數解析式
1．（2023·天津·高考真題）已知函數 f x 的部分圖象如下圖所示，則 f x 的解析式可能為（ ）
A 5e
x 5e x 5sin x
． B．
x2 + 2 x2 +1
5ex + 5e x 5cos xC． 2 D．x + 2 x2 +1
2．（2022·全國·高考真題）如圖是下列四個函數中的某個函數在區間[ 3,3]的大致圖像，則該函數是（ ）
A y x
3 + 3x 3 2x cos x 2sin x
． 2 B． y
x x
C． y D． y
x +1 x2 +1 x2 +1 x2 +1
1
3 2．（2021·浙江·高考真題）已知函數 f (x) x + , g(x) sin x ，則圖象為如圖的函數可能是（
4 ）
1
A． y f (x) + g(x) B． y f (x)
1
g(x)
4 4
g(x)
C． y f (x)g(x) D． y f (x)
1．（2024·湖北·模擬預測）已知某函數的部分圖象如圖所示，則下列函數中符合此圖象的為（ ）
x
A． y y xcosx
ex + e x
B．
C． y x ex e x D． y cosx ex + e x
2．（2024·湖南·二模）已知函數 f x 的部分圖象如圖所示，則函數 f x 的解析式可能為（ ）
f x 2x
2
f x 2x
2
A． B． x 1 x +1
C． f x
2x
2 x
x 1 D． f x x2 1
3．（2024·廣東廣州·一模）已知函數 f (x) 的部分圖像如圖所示，則 f (x) 的解析式可能是（ ）
A． f (x) sin(tan x) B． f (x) tan(sin x)
C． f (x) cos(tan x) D． f (x) tan(cos x)
4．（2024·陜西安康·模擬預測）函數 f (x) 的部分圖象如圖所示，則 f (x) 的解析式可能為（ ）
x sin x + x2 f (x) x sin x f (x) x sin x + xA． f (x) B． C．
| x | +1 | x | +1 | x | +1
f (x) x sin xD．
x2 +1
5．（2024·陜西漢中·二模）已知函數 y f x 的圖象如圖所示，則 f x 的解析式可能是（ ）
f (x) x sin x x cos xA． B． f (x)
ex + e x ex + e x
x + sin x x + cos x
C． f (x)
ex x
D． f (x)
+ e ex + e x
考點三、函數圖象的應用
1．（2024·安徽·模擬預測）如圖，直線 l在初始位置與等邊VABC 的底邊重合，之后 l開始在平面上按逆時針
方向繞點A 勻速轉動（轉動角度不超過60°），它掃過的三角形內陰影部分的面積S 是時間 t 的函數．這個函
數的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·四川綿陽·模擬預測）設函數 f x 的定義域為D，對于函數 f x 圖象上一點 x0 , y0 ，集合
k R k x x0 + y0 f x ,"x D 只有一個元素，則稱函數 f x 具有性質Fx .0 則下列函數中具有性質F1的
函數是（ ）
A． f x x 1 B． f x lg x C f x x3 πx． D． f x sin
2
3．（2024·山東日照·三模）（多選）在平面直角坐標系 xOy 中，如圖放置的邊長為 2 的正方形 ABCD沿 x 軸滾
動（無滑動滾動），點D恰好經過坐標原點，設頂點B x, y 的軌跡方程是 y f x ，則（ ）
A．方程 f x 2在 3,9 上有三個根
B． f x f x
C． f x 在 6,8 上單調遞增
1
D．對任意 x R ，都有 f x + 4 f x
4．（2024·浙江麗水· 2 x 2 x二模）已知正實數 x1, x2 , x3滿足 x1 + 2x1 +1 x 1 212 ， x2 + 3x2 +1 x23 ，
x2 + 4x +1 x 4x33 3 3 ，則 x1, x2 , x3的大小關系是（ ）
A． x3 < x2 < x1 B． x1 < x2 < x3
C． x1 < x3 < x2 D． x2 < x1 < x3
1．（2024·河南·模擬預測）在棱長為 1 的正四面體 ABCD中，P 為棱 AB （不包含端點）上一動點，過點 P
作平面a ，使 AB ^ a ，a 與此正四面體的其他棱分別交于 E，F 兩點，設 AP x 0 < x <1 ，則!PEF 的面
積 S 隨 x 變化的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24 高二下·四川成都·期中）“肝膽兩相照，然諾安能忘．”（《承左虞燕京惠詩卻寄卻寄》，明 朱察卿）
若 A, B兩點關于點P 1,1 成中心對稱，則稱 A, B 為一對“然諾點”，同時把 A, B 和 B, A 視為同一對“然諾
ì x 2 e x , x <1
點”．已知 a Z,f x í 的圖象上有兩對“然諾點”，則 a等于（ ）
ax 2, x >1
A．2 B．3 C．4 D．5
ìx2 + 2x +1, x 0
3．（2024·陜西咸陽·模擬預測）已知函數 f (x) í ln x , x 0 ，若方程
f x a有四個根 x1, x2 , x3 , x4 ，且
>
x1 < x2 < x3 < x4 ，則下列說法錯誤的是（ ）
A． x1 + x2 2 B． x3 + x4 > 2
C． x1x2 > 4 D．0 < a 1
一、單選題
1．（2024·江蘇鹽城·模擬預測）函數 y cosx與 y lg x 的圖象的交點個數是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
f x sinx2．（2024·安徽淮北·二模）函數 cosx 的大致圖像為（ ）
A． B．
C． D．
1
3．（2024·山東泰安·模擬預測）函數 f x x ÷cos x 的部分圖象大致是（x ）è
A． B．
C． D．
x2 4
4．（2024·安徽合肥·三模）函數 f x 的圖象大致是（ ）
x
A． B．
C． D．
2 2 1
5．（2024·黑龍江哈爾濱·
x sin x +
模擬預測）函數 f x 2 的部分圖象大致為（ ）.
ex e x
A． B．
C． D．
2x26 2024· · f x cosx．（ 福建南平 模擬預測）函數 x x 的部分圖像大致為（ ）2 + 2
A． B．
C． D．
2
7．（2024· · x + cos x山西晉中 模擬預測）函數 f x
3x3
的部分圖象大致為（ ）
3x
A． B．
C． D．
8．（2024·安徽馬鞍山·三模）已知函數 y f (x) 的大致圖象如圖所示，則 y f (x) 的解析式可能為（ ）
x x
A． f (x) x ×3 x B． f (x)
x ×3

9 1 9x +1
ln x +1 xC． f (x) D． f (x) 2
x2 +1 x +1 ln x + 2
9．（2024·內蒙古呼和浩特·二模）函數 f x 的部分圖象大致如圖所示，則 f x 的解析式可能為（ ）
f x sinxA． x x B． f x e
x e x sinx
e + e
C f x e
x + e x
． D． f x ex e x + sinx
sinx
10．（2024·上海奉賢·二模）已知函數 y f x ，其中 y x2 +1， y g x ，其中 g x 4sin x，則圖象如圖
所示的函數可能是（ ）．
g x f xy y A． f x B． g x
C． y f x + g x 1 D． y f x g x 1
3
1．（2024· sin x全國·模擬預測）函數 f x 4 的大致圖象是（ ）x 2
A． B．
C． D．
ln( x2 +1 + x)
2．（2024·湖南邵陽·模擬預測）函數 f (x) 的大致圖象為（ ）
x2 +1 + x
A． B．
C． D．
3．（2023·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知函數 f x 的部分圖象如圖所示，則 f x 的解析式可能為（ ）
x
f x e e
x ex e x
A． 3 x 2 B．
f x
2 3 x
x
f x e + e
x 2x
C． D． f x 3 x 2 x 1
4 1 2
2x
．（2024·廣西·模擬預測）已知函數 f x ， g x log x h x2x 2 ，如圖為函數 的圖象，則 h x 可能1+ 2
為（ ）
A． h x f x + g x B． h x f x g x
f x
C． h x f x g x D． h x g x
5．（2024·天津濱海新·三模）已知函數 f x 的圖象如圖所示，則函數 f x 的解析式可能為（ ）
x x 2
A． f x e e B f x sin 2x x +1 ． × ln
x x2
ex + e x 2C． f x D． f x cos 2x ln x +1×
x x2
6．（2024·廣東佛山·模擬預測）如圖，點 P 在邊長為 1 的正方形邊上運動，M 是CD 的中點，當點 P 沿
A B C M 運動時，點 P 經過的路程 x 與△ APM 的面積 y 的函數 y f x 的圖象的形狀大致是（ ）
A． B．
C． D．
E．均不是
7．（2024·浙江·模擬預測）如圖①，在矩形 ABCD中，動點M 從點A 出發，沿 A B C 的方向運動，當
點M 到達點C 時停止運動．過點M 作MN ^ AM 交CD 于點 N ，設點M 的運動路程為 x,CN y，圖②表
示的是 y 與 x 的函數關系的大致圖象，則矩形 ABCD的面積是（ ）
A．20 B．18 C．10 D．9
8．（2024·內蒙古赤峰·一模）在下列四個圖形中，點 P 從點 O 出發，按逆時針方向沿周長為 l 的圖形運動一
周，O、P 兩點連線的距離 y 與點 P 走過的路程 x 的函數關系如圖，那么點 P 所走的圖形是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024·四川成都·模擬預測）華羅庚是享譽世界的數學大師，國際上以華氏命名的數學科研成果有“華氏
定理”“華氏不等式”“華氏算子”“華—王方法”等，其斐然成績早為世人所推崇．他曾說：“數缺形時少直觀，
形缺數時難入微”，告知我們把“數”與“形”，“式”與“圖”結合起來是解決數學問題的有效途徑．在數學的學習
和研究中，常用函數的圖象來研究函數的性質，也常用函數的解析式來分析函數圖象的特征．已知函數
y f (x) 的圖象如圖所示，則 f (x) 的解析式可能是（ ）
sin x cos x
A f (x) 3sin x B f (x) 3cos x C f (x) 1 ． ． ． ÷ D． f (x)
1
÷
è 3 è 3
ìlg x , x < 0

10．（2024·海南省直轄縣級單位·模擬預測）已知函數 f x í1 x 1 ,0 x < 2的圖象在區間 t, t (t > 0)內

f x 2 , x 2
恰好有5對關于 y 軸對稱的點，則 t 的值可以是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
1．（浙江·高考真題）函數 y= 2 x sin 2x 的圖象可能是
A． B．
C． D．
2．（浙江·高考真題）函數 y=xcosx+sinx 在區間[–π，π]的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
y 4x3．（天津·高考真題）函數 2 的圖象大致為（x 1 ）+
A． B．
C． D．
sin x
4．（全國·高考真題）函數 y＝1＋x＋ 2 的部分圖象大致為（ ）x
A． B．
C． D．
5．（江西·高考真題）某地一年內的氣溫Q(t) （單位：℃）與時間 t（月份）之間的關系如圖所示，已知該
年的平均氣溫為10℃.令C(t)表示時間段[0, t]的平均氣溫，C(t)與 t 之間的函數關系用下列圖象表示，則正
確的是（ ）
A． B．
C． D．
sin2x
6．（全國·高考真題）函數 y 的部分圖像大致為
1 cosx
A． B．
C． D．
x x
7 · e e．（全國 高考真題）函數 f x 2 的圖像大致為 (　　)x
A． B．
C． D．
8．（全國·高考真題）函數 y x4 + x2 + 2 的圖像大致為
A． B．
C． D．第 05 講 函數的圖象
（3 類核心考點精講精練）
命題規律及備考策略
【命題規律】本節內容是新高考卷的命題載體內容，通常會結合其他知識點考查，需要掌握函數的基本性
質，難度中等偏下，分值為 5 分
【備考策略】1.掌握基本初等函數的圖象特征，能熟練運用基本初等函數的圖象解決問題
2.能熟練運用函數的基本性質判斷對應函數圖象
3.能運用函數的圖象理解和研究函數的性質
【命題預測】本節內容通?？疾榻o定函數解析式來判斷所對應的圖象，是新高考復習的重要內容
知識講解
1. 圖象問題解題思路（判斷奇偶性、特值、極限思想）
① 2 1.414, 3 1.732, 5 2.236, 6 2.45, 7 2.646
1
② e 2.71828, e2 7.39, e 2 e 1.65
ln1 1③ 0, ln 2 0.69, ln 3 1.1, ln e 1, ln e
2
④ sin1 0.84, cos1 0.54, sin 2 0.91, cos 2 0.42
特別地：當 x 0 時 sin x x
例如： sin 0.1 0.099 0.1， sin 0.2 0.199 0.2, sin 0.3 0.296 0.3
當 x 0 時 cos x 1
cos0.1 0.995 1, cos( 0.2) 0.980 1
2. 函數的圖象
將自變量的一個值 x0作為橫坐標，相應的函數值 f(x0)作為縱坐標，就得到了坐標平面上的一個點的坐標，
當自變量取遍定義域 A 內的每一個值時，就得到一系列這樣的點，所有這些點組成的集合(點集)用符號表述
為{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有這些點組成的圖形就是函數的圖象．
3. 描點法作圖
方法步驟：(1)確定函數的定義域；(2)化簡函數的解析式；(3)討論函數的性質即奇偶性、周期性、單調性、
最值(甚至變化趨勢)；(4)描點連線，畫出函數的圖象．
4．圖象變換
(1)平移變換
(2)對稱變換
關于 軸對稱
①y＝f(x) ――― ――→ y＝－f(x)；
關于 軸對稱
②y＝f(x) ――― ――→ y＝f(－x)；
關于原點對稱
③y＝f(x) ――― ――→ y＝－f(－x)；
關于 ＝ 對稱
④y＝ax (a>0且 a≠1) ――― ――→ y＝logax(a>0且 a≠1)．
(3)伸縮變換
1
①把函數 y f (x) 圖象的縱坐標不變，橫坐標伸長到原來的 倍得 y f (wx) (0w
1
②把函數 y f (x) 圖象的縱坐標不變，橫坐標縮短到原來的 倍得 y f (wx) (w >1)
w
③把函數 y f (x) 圖象的橫坐標不變，縱坐標伸長到原來的w倍得 y w f (x) (w >1)
④把函數 y f (x) 圖象的橫坐標不變，縱坐標縮短到原來的w倍得 y w f (x) (0(4)翻折變換
保留 軸上 方圖象
①y＝f(x) ― ―――――將 軸下方圖 ――――→象翻折上去y＝|f(x)|.
保留 軸右邊圖 象，并作其
②y＝f(x) ―――― ―――――――→關于 軸對 稱的圖象 y＝f(|x|)．
考點一、由函數解析式判斷函數圖象
1．（2024·全國·高考真題）函數 f x x2 + ex e x sinx 在區間[ 2.8,2.8]的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用函數的奇偶性可排除 A、C，代入 x 1可得 f 1 > 0，可排除 D.
【詳解】 f x x2 + e x ex sin x x2 + ex e x sin x f x ，
又函數定義域為 2.8,2.8 ，故該函數為偶函數，可排除 A、C，
f 1 1又 1+ e

÷sin1 > 1
1
+ e

÷sin
π e 1 1 1
1 > > 0，
è e è e 6 2 2e 4 2e
故可排除 D.
故選：B.
é π π ù
2．（2022· · x x全國 高考真題）函數 y 3 3 cos x 在區間 ê , 的圖象大致為（ ） 2 2 ú
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由函數的奇偶性結合指數函數、三角函數的性質逐項排除即可得解.
x x é p p ù
【詳解】令 f x 3 3 cos x, x , ，
ê 2 2 ú
則 f x 3 x 3x cos x 3x 3 x cos x f x ，
所以 f x 為奇函數，排除 BD；
p
又當 x 0, 時，3x 3 x ÷ > 0,cos x > 02 ，所以
f x > 0，排除 C.
è
故選：A.
1 2024· · f (x) 1 e
x
．（ 河北保定 二模）函數 x cos 2x的部分圖象大致為（ ）1+ e
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據函數的奇偶性判斷即可.
1 ex 1 e x ex 1
【詳解】設 g x x ，則 g x x x g x ，1+ e 1+ e 1+ e
所以 g x 為奇函數，
設 h x cos2x，可知 h x 為偶函數，
1 ex
所以 f x x cos2x 為奇函數，則 B，C 錯誤，1+ e
易知 f 0 0，所以 A 正確，D 錯誤．
故選：A.
excos 2ex
2．（2024· 安徽合肥·模擬預測）函數 f x （ e2x 為自然函數的底數）的圖象大致為（ ）e 1
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由函數的奇偶性可排除 B，C；再由 x 趨近0+ ， f x > 0，排除 D，即可得出答案.
ex cos 2ex【詳解】 f x 的定義域為 x x 0 ，
e2x 1
ée x cos 2ex ù ×e
2x x
f x e cos2ex f x 2x ，e 1 ×e2x 1 e2x
所以 f x 為奇函數，故排除 B，C；
當 x 趨近0+ ， e2x >1，所以 e2x 1 > 0， ex >1,cos 2ex > 0 ，
所以 f x > 0，故排除 D.
故選：A.
f x x
2 + 3
3．（2023·福建福州·模擬預測）函數 2 的圖象大致為（ ）x +1
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據函數的定義域以及奇偶性即可求得答案．
x2 + 3
【詳解】因為函數 f (x) 2 的定義域為R ，排除 CD，x +1
又 f ( x) f (x)，即 f (x) 為偶函數，圖象關于 y 軸對稱，排除 B．
故選：A．
f x e
x e x
4．（2024·山東·模擬預測）函數 1 x2 的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】求出函數 f (x) 的定義域及奇偶性，再由奇偶性在( 0, 1)內函數值的正負判斷即可.
ex e x
【詳解】依題意，函數 f (x) 2 的定義域為{x R | x ±1}，|1 x |
x x x x
f ( x) e e e e f (x)，則 f (x)2 2 是奇函數，其圖象關于原點對稱，B 不滿足；|1 ( x) | |1 x |
當 x (0,1) 時， ex e x > 0,|1 x2 |> 0 ，則 f (x) > 0 ，AD 不滿足，C 滿足.
故選：C
2x +1
5 2024· · sin
π
+ 3x

．（ 四川德陽 二模）函數 ÷f x è 2 的圖象大致是（ ）
2x 1
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據誘導公式化簡 f x ，再利用函數奇偶性的定義判斷 f (x)的奇偶性，從而得解.
2x +1 sin π + 3x
【詳解】因為 f x è 2
÷ x
2 +1 ，定義域為 ,0 U 0, + ，
2x 1 2x
×cos3x
1
2 xf ( x) +1
x
cos 3x 2 +1又 x × x ×cos3x f x ，2 1 2 1
所以 f (x)是奇函數，從而 ACD 錯誤，B 正確.
故選：B.
考點二、由函數圖象判斷函數解析式
1．（2023·天津·高考真題）已知函數 f x 的部分圖象如下圖所示，則 f x 的解析式可能為（ ）
5ex 5e x 5sin xA．
x2
B．
+ 2 x2 +1
x x 5cos x
C 5e + 5e．
x2
D．
+ 2 x2 +1
【答案】D
【分析】由圖知函數為偶函數，應用排除，先判斷 B 中函數的奇偶性，再判斷 A、C 中函數在 (0, + )上的函
數符號排除選項，即得答案.
【詳解】由圖知：函數圖象關于 y 軸對稱，其為偶函數，且 f ( 2) f (2) < 0 ，
5sin( x) 5sin x
由 ( x)2
且定義域為 R，即 B 中函數為奇函數，排除；
+1 x2 +1
x
x > 0 5(e e
x ) 0 5(e
x + e x )
當 時 2 > 、 2 > 0，即 A、C 中 (0, + )上函數值為正，排除；x + 2 x + 2
故選：D
2．（2022·全國·高考真題）如圖是下列四個函數中的某個函數在區間[ 3,3]的大致圖像，則該函數是（ ）
x3 + 3x x3 x 2x cos x 2sin xA． y 2 B． y 2 C． y 2 D． y x +1 x +1 x +1 x2 +1
【答案】A
【分析】由函數圖像的特征結合函數的性質逐項排除即可得解.
x3 x
【詳解】設 f x ，則 f 1 02 ，故排除 B;x +1
h x 2x cos x x π 設 2 ，當 0, ÷ 時，0 < cos x <1，x +1 è 2
所以 h x 2x cos x 2x
x2
< 2 1，故排除 C;+1 x +1
g x 2sin x設 2 ，則 g 3
2sin 3
> 0，故排除 D.
x +1 10
故選：A.
1
3 2．（2021·浙江·高考真題）已知函數 f (x) x + , g(x) sin x ，則圖象為如圖的函數可能是（
4 ）
A． y f (x)
1 1
+ g(x) B． y f (x) g(x)
4 4
g(x)
C． y f (x)g(x) D． y f (x)
【答案】D
【分析】由函數的奇偶性可排除 A、B，結合導數判斷函數的單調性可判斷 C，即可得解.
【詳解】對于 A， y f x + g x 1 x2 + sin x，該函數為非奇非偶函數，與函數圖象不符，排除 A；
4
對于 B， y f x g x 1 x2 sin x ，該函數為非奇非偶函數，與函數圖象不符，排除 B；
4
對于 C， y f x g x 1 x2 + ÷sin x ，則 y 2x sin x
1
+ x2 +
4 4 ÷
cos x ，
è è
p y p 2
p 2 1 2
當 x 時， + + ÷ > 0，與圖象不符，排除 C.4 2 2 è 16 4 2
故選：D.
1．（2024·湖北·模擬預測）已知某函數的部分圖象如圖所示，則下列函數中符合此圖象的為（ ）
x
A． y B． y xcosx
ex + e x
C y x ex e x D y cosx ex + e x． ．
【答案】A
【分析】利用排除法，根據選項代特值檢驗即可.
【詳解】設題設函數為 f x ，由選項可知：ABCD 中的函數定義域均為R ，
對于選項 D：若 f x cosx ex + e x ，但此時 f 0 2 ，矛盾，故可排除 D；
C f x x ex e x對于選項 ：若 ，但此時 f 1 e e 1 > 0 ，矛盾，故可排除 C；
對于選項 B：若 f x π xcosx ，但此時 f ÷ 0，矛盾，故可排除 B.
è 2
故選：A.
2．（2024·湖南·二模）已知函數 f x 的部分圖象如圖所示，則函數 f x 的解析式可能為（ ）
2x2f x 2x
2
A． B． f x x 1 x +1
f x 2x 2 xC． x 1 D． f x x2 1
【答案】A
【分析】根據函數的奇偶性和定義域，利用排除法即可得解.
【詳解】由圖可知，函數圖象對應的函數為偶函數，排除 C；
由圖可知，函數的定義域不是實數集.故排除 B；
由圖可知，當 x + 時， y ，
而對于 D 選項，當 x + 時， y 0，故排除 D.
故選：A.
3．（2024·廣東廣州·一模）已知函數 f (x) 的部分圖像如圖所示，則 f (x) 的解析式可能是（ ）
A． f (x) sin(tan x) B． f (x) tan(sin x)
C． f (x) cos(tan x) D． f (x) tan(cos x)
【答案】D
【分析】利用函數的奇偶性、定義域結合三角函數的性質判定即可.
【詳解】觀察圖象可知函數為偶函數，
對于 A， f x sin tan x sin tan x sin tan x f x ，為奇函數，排除；
對于 B， f x tan sin x tan sin x tan sin x f x ，為奇函數，排除；
π π
同理，C、D 選項為偶函數，而對于 C 項，其定義域為 + kπ, + kπ ÷ ，不是 R，舍去，故 D 正確.
è 2 2
故選：D
4．（2024·陜西安康·模擬預測）函數 f (x) 的部分圖象如圖所示，則 f (x) 的解析式可能為（ ）
x sin x + x2
A． f (x) B． f (x)
x sin x f (x) x sin x + x C．
| x | +1 | x | +1 | x | +1
f (x) x sin xD．
x2 +1
【答案】A
【分析】由圖象分析出函數的奇偶性、函數值符號，結合排除法可得出合適的選項.
【詳解】由圖象可得函數 f x 為偶函數，且 x R ， f x 0，當且僅當 x 0時， f x 0，
x sin x + x 2 x sin x + x2
對于 A，因為 f x f x ， x R ，所以函數 f x 是偶函數，又
x +1 x +1
y sin x + x ， x > 0，
則 y cos x +1 0，所以函數 y sin x + x 在 0, + 上單調遞增，
所以 y sin x + x > 0，故解析式可能為 A，故 A 正確；
3π
3π sin
3π 3π

對于 B，由 f 2 2 2 ÷ 3π 3π < 0，不合題意，故 B 錯誤；è 2 +1 +1
2 2
x sin x + xf x x sin x x對于 C，因為 x 1 x 1 ，所以 f x f x 且 f x f x ， + +
所以函數 f x 是非奇非偶函數，故 C 錯誤；
πsin π
對于 D，由 f π 2 0，不合題意，故 D 錯誤.π +1
故選：A.
5．（2024·陜西漢中·二模）已知函數 y f x 的圖象如圖所示，則 f x 的解析式可能是（ ）
f (x) x sin x f (x) x cos xA．
ex
B．
+ e x ex + e x
x + sin x x + cos x
C． f (x) x x D． f (x) e + e ex + e x
【答案】C
π
【分析】依題意可得 f x 為奇函數，即可排除 B、D，由函數在 0 < x < 2 上的函數值的特征排除 A.
【詳解】由圖可知 f x 的圖象關于原點對稱，則 f x 為奇函數，
對于 A ： f (x)
x sin x

ex + e x
定義域為R ，
0 x π當 < < 時 x sin x < 0， ex + e x > 0，所以 f x < 02 ，不符合題意，故 A 錯誤；
f (x) x cos x對于 B： x x 定義域為R ，e + e
x cos xf ( x) x cos x x x x x f x 且 f ( x) f x ，e + e e + e
x cos x
所以 f (x) x x 為非奇非偶函數，不符合題意，故 B 錯誤；e + e
f (x) x + cos x對于 D： x x 定義域為R ，e + e
x + cos x
f ( x) x + cos x f x 且 f ( x) f x x x x x ，e + e e + e
f (x) x + cos x所以
ex
為非奇非偶函數，不符合題意，故 D 錯誤；
+ e x
f (x) x + sin x x + sin x對于 C： x x 定義域為R ， f ( x)
x + sin x
x f (x) ，e + e e + ex ex + e x
所以 f (x)
x + sin x

ex + e x
為奇函數，
π
且當 0 < x < 時 x + sin x > 0， ex + e x > 0，所以 f x > 02 ，符合題意，故 C 正確；
故選：C
考點三、函數圖象的應用
1．（2024·安徽·模擬預測）如圖，直線 l在初始位置與等邊VABC 的底邊重合，之后 l開始在平面上按逆時針
方向繞點A 勻速轉動（轉動角度不超過60°），它掃過的三角形內陰影部分的面積S 是時間 t 的函數．這個函
數的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
3 3
【分析】取BC 的中點E ，連接 AE ，設等邊VABC 的邊長為 2，求得 SVABD + tan(a 30
o ) ，令
2 2
S x 3 3 + tan(x 30o )，其中0o x 60o，結合導數，即可求解.
2 2
【詳解】如圖所示，取BC 的中點E ，連接 AE ，因為VABC 為等邊三角形，可得 EAB 30o ，
設等邊VABC 的邊長為 2，且 DAB a ，其中0o a 60o，
可得 DE AE tan(30o a ) 3 tan(30o a ) ，
又由VABC 的面積為 SVABC 3 ，可得 S
3
VABE ，2
S 1且 VADE 3 3 tan(30
o 3 a ) tan(30o a ) ，
2 2
△ABD S S S 3 3 tan(30o a ) 3 3則 的面積為 oVABE VADE + tan(a 30 )，2 2 2 2
令 S x 3 3 + tan(x 30o )，其中0o x 60o，
2 2
可得 S x 3 1 2 > 0 S x2 cos (x 30o ) ，所以 為單調遞增函數，
又由余弦函數的性質得，當 x 30o 時，函數 S x 取得最小值，
所以陰影部分的面積一直在增加，但是增加速度先快后慢再快，
結合選項，可得選項 C 符合題意.
故選：C.
2．（2024·四川綿陽·模擬預測）設函數 f x 的定義域為D，對于函數 f x 圖象上一點 x0 , y0 ，集合
k R k x x0 + y0 f x ,"x D 只有一個元素，則稱函數 f x 具有性質Fx .0 則下列函數中具有性質F1的
函數是（ ）
A． f x x 1 B． f x lg x C． f x x3 D． f x sin πx
2
【答案】D
【分析】根據性質F1的定義，結合各個函數的圖象，數形結合，即可逐一判斷各選擇.
【詳解】根據題意， x0 1，具有性質F1的函數 f x ，
其圖象不能在過點 1, f 1 的直線的上方，且這樣的直線斜率 k 存在，只有一條；
對于 A，作出函數 f x x 1 與 y k x 1 的圖象，知滿足條件的 k 有無數多個；
對于 B，作出函數 f x lg x與 y k x 1 的圖象，這樣的 k 不存在；
對于 C，作出函數 f x x3 與 y k x 1 +1的圖象，這樣的 k 不存在；
對于 D，作出函數 f x sin πx 與 y k x 1 +1的圖象，這樣的 k 只有一個即 k 0 .
2
故選：D.
3．（2024·山東日照·三模）（多選）在平面直角坐標系 xOy 中，如圖放置的邊長為 2 的正方形 ABCD沿 x 軸滾
動（無滑動滾動），點D恰好經過坐標原點，設頂點B x, y 的軌跡方程是 y f x ，則（ ）
A．方程 f x 2在 3,9 上有三個根
B． f x f x
C． f x 在 6,8 上單調遞增
1
D．對任意 x R ，都有 f x + 4 f x
【答案】AC
【分析】根據正方形的運動，得到點 B 的軌跡，然后根據函數的圖象和性質分別進行判斷即可.
【詳解】分析正方形頂點 B 的運動狀態可知，
1
當 4 x 2 時， B 的軌跡是以A 為圓心，半徑為 2 的 圓；
4
1
當 2 x 2時， B 的軌跡是以D為圓心，半徑為 2 2 的 圓；4
當 2 x 4 時， B 的軌跡是以C
1
為圓心，半徑為 2 的 圓；
4
1
當 4 x 6時， B 的軌跡是以A 為圓心，半徑為 2 的 圓，
4
作出函數的圖象如下圖所示：
由圖知：函數 y f x 的圖象與直線 y 2在 3,9 上有三個交點，
即方程 f x 2 0在 3,9 上有三個根，A 正確；
函數 y f x 的圖象關于 y 軸對稱，所以函數 y f x 是偶函數，B 錯誤；
函數 f x 在 6,8 上單調遞增，C 正確；
1
由圖象知： f 2 2， f 2 2， f 2 f 2 ，D 錯誤.
故選：AC.
4．（2024· 2浙江麗水·二模）已知正實數 x1, x2 , x3滿足 x1 + 2x1 +1 x 2
x1 2
1 ， x2 + 3x2 +1 x
x2
23 ，
x2 x33 + 4x3 +1 x3 4 ，則 x1, x2 , x3的大小關系是（ ）
A． x3 < x2 < x1 B． x1 < x2 < x3
C． x1 < x3 < x2 D． x2 < x1 < x3
【答案】A
1
【分析】依題意可得 x1 + 2
x 11 2 x + 3x2， 2 3
1
， x3 + 4
x3 4，令 f x x 1 + ， x 0, + x ，則1 x2 x3 x
問題轉化為判斷函數與對應函數的交點的橫坐標的大小關系，數形結合即可判斷.
【詳解】因為x1，x x x
2 x
， 為正實數，且滿足 1
2 x2 2 x3
2 3 1 + 2x1 +1 x12 ， x2 + 3x2 +1 x23 ， x3 + 4x3 +1 x3 4 ，
x2則 1 +1 x
x1
12 2x x
2
1， 2 +1 x 3
x2 3x x22 2 ， 3 +1 x 4
x3
3 4x3，
x21 +1 x
2 +1 2
所以 2x1 2， 2 3x2 3
x3 +1
， 4x3 4，
x1 x2 x3
x 1則 1 + 2
x 2 x 1 3x 3 x 11 + 2 + 4x3 4
x ， 2 ， 3 ，1 x2 x3
令 f x x 1+ ， x 0, + ，
x
1
由對勾函數的性質可得 f x x + 在 0,1 上單調遞減，在 1, + 上單調遞增，且 f 1 2 ，
x
1 x1
滿足 x1 + 2 2x 的x1即為
y f x 與 y 2x 2的交點的橫坐標，
1
滿足 x
1
2 + 3
x2 3
x 的x2即為
y f x 與 y 3x 3的交點的橫坐標，
2
滿足 x
1
3 + 4
x3 4的 x3 即為 y f xx 與 y 4
x 4的交點的橫坐標，
3
在同一平面直角坐標系中畫出 y f x 、 y 2x 2、 y 3x 3、 y 4x 4的圖象如下所示：
由圖可知 x3 < x2 < x1 .
故選：A
【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵是將問題轉化為函數 y f x 與相應的指數型函數的交點的橫坐標的大小
關系問題，準確畫出函數圖象是關鍵.
1．（2024·河南·模擬預測）在棱長為 1 的正四面體 ABCD中，P 為棱 AB （不包含端點）上一動點，過點 P
作平面a ，使 AB ^ a ，a 與此正四面體的其他棱分別交于 E，F 兩點，設 AP x 0 < x <1 ，則!PEF 的面
積 S 隨 x 變化的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】取線段 AB 的中點O，連接OC 、OD ，證明出 AB ^ 平面OCD，分析可知平面a 與平面OCD平行
1 1 1
或重合，分0 < x < 、 x 、 < x <1三種情況討論，計算出VOCD的面積，利用三角形相似可得出 f x
2 2 2
的表達式，即可得出合適的選項.
【詳解】取線段 AB 的中點O，連接OC 、OD ，
因為VABC 、△ABD 為等邊三角形，O為 AB 的中點，則OC ^ AB，OD ^ AB ，
QOC OD O ，OC 、OD 平面OCD，\ AB ^平面OCD，
因為 AB ^ 平面a ，所以，平面a 與平面OCD平行或重合，
且OD OC AC 2 OA2 3 ，
2
取CD 的中點M ，連接OM ，則OM ^ CD ，
且OM OC 2 CM 2 2 S 1 ，故 △OCD CD ×OM
2
.
2 2 4
①當0
1
< x < 時，平面a //平面OCD，平面a I 平面 ABC PE ，
2
平面OCD I平面 ABC OC ，\PE //OC ，同理可知，PF //OD ，EF //CD，
PE AE EF AF PF
所以， ，故△PEF∽△OCD ，
OC AC CD AD OD
如下圖所示：
S AP
2

則 ÷ 4x
2 ，則 S f x 2x2 ；
S△OCD è AO
②當 x
1
S f 1 2時， ÷ ；2 è 2 4
1
③當 < x <1時，平面a //平面OCD，平面a I 平面 ABC PE ，
2
平面OCD I平面 ABC OC ，\PE //OC ，同理可知，PF //OD ，EF //CD，
PE BE EF BF PF
所以， ，故△PEF∽△OCD ，
OC BC CD BD OD
如下圖所示：
S BP 2
則 ÷ 4 1 x
2
，則 S f x 2 1 x 2 .
S△OCD è BO
ì 2x2 ,0 x 1 <
綜上所述， S f x 2í 1 ，故函數 f x 的圖象如 C 選項中的圖象. 2 x 1 2 , < x <1


2
故選：C.
【點睛】關鍵點點睛：解題的關鍵對 x 分類討論，求出函數 f x 的解析式，進而辨別出函數 f x 的圖象.
2．（23-24 高二下·四川成都·期中）“肝膽兩相照，然諾安能忘．”（《承左虞燕京惠詩卻寄卻寄》，明 朱察卿）
若 A, B兩點關于點P 1,1 成中心對稱，則稱 A, B 為一對“然諾點”，同時把 A, B 和 B, A 視為同一對“然諾
ì x 2 e x , x <1
點”．已知 a Z,f x í 的圖象上有兩對“然諾點”，則 a等于（ ）
ax 2, x >1
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】當 x >1時， f (x) ax 2，其關于點 P(1,1) 對稱的函數為 y ax 2a + 4(x <1)，問題轉化為
y ax 2a + 4與 y x 2 e x 在 x ,1 4 x上有兩個交點，聯立方程得到 + a e ，構造函數
x 2
h(x) 4 + a, g(x) e x ，利用函數圖象即可求出結果.
x 2
【詳解】當 x＞1 時， f (x) ax 2關于點 P(1,1) 對稱的函數為 y ax 2a + 4(x <1)，
由題知 y ax 2a + 4與 y (x 2)e x在 x ( ,1) 上有兩個交點，
ìy ax 2a + 4
由 í ，消 y 得到 ax 2a + 4 (x 2)e x ，
y (x 2)e
x
4
又 x <1，得到 + a e x ，
x 2
h(x) 4令 + a, g(x) e x ，
x 2
4
則 h(x) + a 和 g(x) e x 在 ( ,1)上有兩個交點，
x 2
g(x) e x y 4在同一坐標系中，作出 和 x 2 的圖象，如圖所示，
因為 h(x)
4
+ a 4的圖象可由 y
x 2 x 2
上下平移得到，

ì 4 + a < e 1
1 2
由圖知 í ，得到3 < a < 4 + e 1 < 5，
4 + a >1
2
又 a Z，
所以 a 4．
故選：C．
【點睛】思路點睛：本題可從以下方面解題
（1）先求函數 f x ax 2關于點P 1,1 對稱的函數 y ax 2a + 4(x <1)；
（2）將問題轉化為函數 y ax 2a + 4(x <1) y x 2 e x與 在 x ,1 上有兩個交點；
（3）最后利用構造函數 h x 4 + a, g x e x ，通過圖象即可求解.
x 2
ìx2 + 2x +1, x 0
3．（2024·陜西咸陽·模擬預測）已知函數 f (x) í f x a x , x , x , x
ln x , x 0
，若方程 有四個根 1 2 3 4 ，且>
x1 < x2 < x3 < x4 ，則下列說法錯誤的是（ ）
A． x1 + x2 2 B． x3 + x4 > 2
C． x1x2 > 4 D．0 < a 1
【答案】C
【分析】分析函數 f (x) 的性質，作出函數圖象，再逐項判斷即可.
y x2【詳解】函數 +2x+1的圖象開口向上，對稱軸為直線 x= 1，
當 x 0 時， f (x) x2 + 2x +1在 ( , 1]上遞減，函數值集合為[0, + ) ，在[ 1,0]上遞增，函數值集合為
[0,1]，
當 x > 0時， f (x) | ln x |在 (0,1]上遞減，函數值集合為[0, + ) ，在[1, + ) 上遞增，函數值集合為[0, + ) ，
方程 f (x) a的根是直線 y a 與函數 y f (x) 圖象交點的橫坐標，
方程 f (x) a有四個根 x , x , x , x ，即直線 y a1 2 3 4 與函數 y f (x) 圖象有 4 個交點，
在同一坐標系內作出直線 y a 與函數 y f (x) 的圖象，如圖，
觀察圖象知， x1 + x2 2，0 < a 1，AD 正確；
顯然 | ln x3 | | ln x4 |，而 x3 <1 < x4 ，則 ln x3 ln x4 ，即 ln x3x4 0 ， x3x4 1，
x3 + x4 > 2 x3x4 2 ，B 正確；
顯然 1 < x2 0， x1x2 ( 2 x2 )x2 (x2 +1)
2 +1 [0,1)，C 錯誤.
故選：C
一、單選題
1．（2024·江蘇鹽城·模擬預測）函數 y cosx與 y lg x 的圖象的交點個數是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】D
【分析】在同一坐標系中，作出兩個函數的圖象，根據圖象得到交點個數.
【詳解】函數 y cosx與 y lg x 都是偶函數，其中 cos 2π cos 4π 1， lg 4π > lg10 1 > lg 2π，
在同一坐標系中，作出函數 y cosx與 y lg x 的圖象，如下圖，
由圖可知，兩函數的交點個數為 6.
故選：D
sinx
2．（2024·安徽淮北·二模）函數 f x cosx 的大致圖像為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
3π
【分析】利用函數的奇偶性排除 B,D 兩項，再根據圖象取特殊值 x ，排除 A 項即得.
4
【詳解】由 f x
sinx
π
cosx 可知， cos x 0，即 x + kπ,k Z ，顯然該函數定義域關于原點對稱，2
f x sin( x) sin x由 = f (x)cos( x) cos x 可知，函數為奇函數，排除 B, D 兩項，
sin 3π3π
又 f ( ) 43π 1 > 0，排除 A 項，故 C 項正確.4 | cos |
4
故選：C.
1
3．（2024·山東泰安·模擬預測）函數 f x x ÷cos x 的部分圖象大致是（x ）è
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先利用奇函數定義判斷函數 f x 為奇函數，排除 A；再利用 y 軸右側有兩個零點排除 B；在根據
函數值的符號排除 C，即可判斷.
【詳解】函數 f x 的定義域為 x x 0 ，
f x 1 + x cos x 1 因為 x ÷ x ÷cos x f x ，所以 f x 為奇函數，排除 A；è è x
易知 f 1 f π ÷ 0 ，排除 B；
è 2
1
當 x > 0且無限趨近于 0 時， x > 0,cos x > 0，即 f x > 0，排除C .
x
故選：D
x2 4
4．（2024·安徽合肥·三模）函數 f x 的圖象大致是（ ）
x
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據函數奇偶性、在 2, + 上的單調性、函數值 f 1 的正負情況依次判斷和排除 ABC，即可得
解.
2 2
【詳解】由題 f x 定義域為 ,0 0, + x 4 x 4關于原點對稱，且 f x f x ，
x x
故 f x 是奇函數，故 A 錯；
x2 4 2
當 x > 2時， f x x 4 x 4 ，
x x x
又 y x 是增函數， y
4
在 2, + 上是增函數，
x
4
故 f x x 在 2, + 上是增函數，故 BC 錯；
x
故選：D.
2 2 1
5．（2024·
x sin x +
黑龍江哈爾濱·模擬預測）函數 f x 2 的部分圖象大致為（ ）.
ex e x
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由 f x π 的定義域排除 B；由 f x 是奇函數排除 C；由 f ÷ > 0 排除 D，從而得出答案.
è 4
【詳解】由 ex e x 0，得 x 0，則 f x 的定義域是 x∣x 0 ，排除 B；
x2 1+ sin2x
由 f x 2 ，
ex e x
( 1 x)2 + sin2 ( x) x2 1+ sin2x
得 f x 2 2 x x x x f x
，
e e e e
所以函數 f x 是奇函數，排除 C；
π 2 2 1 π π
÷ + sin
2
π 4 2 4 ÷f è è 4 ，排除 D. 4 ÷è π π π
> 0

e 4 e 4 e 2 1
故選：A．
6 2024· · f x 2x
2cosx
．（ 福建南平 模擬預測）函數 x x 的部分圖像大致為（ ）2 + 2
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據題意，由函數的奇偶性可排除 CD，計算 f π 即可排除 B.
2 x 2 cos x 2x2cosx
【詳解】因為 f x x x f x ，所以 f x 為偶函數，2 x + 2x 2 + 2
故 C，D 項錯誤；
2π2cosπ 2π2
又 f π π π π π < 0，故 B 項錯誤．2 + 2 2 + 2
故選：A．
2
7 2024· · f x x + cos x．（ 山西晉中 模擬預測）函數 3 的部分圖象大致為（ ）3x 3x
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先判斷函數的奇偶性，再分別判斷0 < x <1， x >1時的函數值的正負，運用排除法可得結論.
2 2
f x ( x) + cos( x) x + cos x【詳解】因為 f (x)，
3( x)3 3( x) 3x3 3x
所以函數為奇函數，可排除 D 選項；
2
0 < x <1 x2 cos x 0 3 x + cos x當 時， + > ，3x 3x < 0， 3 < 0可排除 B；3x 3x
2
當 x >1時， x2 + cos x > 0 3 x + cos x，3x 3x > 0， 3 > 0，可排除 A；3x 3x
故選：C.
8．（2024·安徽馬鞍山·三模）已知函數 y f (x) 的大致圖象如圖所示，則 y f (x) 的解析式可能為（ ）
x x
A． f (x) x ×3 x ×3 B． f (x)
9x 1 9x +1
ln x +1C ． f (x) D． f (x)
x

2 x2x +1 +1 ln x + 2
【答案】D
【分析】利用排除法，取特值，求 f (1)即可判斷結果.
3
【詳解】對于選項 A：因為 f (1) > 0，與圖象不符，故 A 錯誤；
8
f (1) 3對于選項 B：因為 > 0，與圖象不符，故 B 錯誤；
10
對于選項 C：因為 f (1)
ln 2
> 0，與圖象不符，故 C 錯誤；
2
故選：D.
9．（2024·內蒙古呼和浩特·二模）函數 f x 的部分圖象大致如圖所示，則 f x 的解析式可能為（ ）
sinx
A x x． f x
ex + e x
B． f x e e sinx
exC + e
x
x x
． f x D． f x e e + sinx
sinx
【答案】A
【分析】結合圖象可知 f (x) 為奇函數且 f (0) 0，在 (0, + )上先增后減.根據函數的奇偶性和 f (0) 0，結合
導數判斷函數的單調性依次判斷選項即可.
【詳解】由圖可知， f (x) 的圖象關于原點對稱，則 f (x) 為奇函數，
且 f (0) 0，在 (0, + )上先增后減.
A sin x sin x： f (x) x x ，函數的定義域為 R， f ( x) x x f (x), f (0) 0e e e e ，故 A 符合題意；+ +
B： f (x) ex e x sin x ，函數的定義域為 R，
f (x) ex +e x cos x ，由 x > 0，得 ex >1, 1 cos x 1，
則 f (x) ex +e x cos x > 2 1 > 0， f (x) 在 (0, + )上單調遞增，故 B 不符合題意；
x
C f (x) e + e
x
： ，當 x 0時， sin x 0，函數顯然沒有意義，故 C 不符合題意；
sin x
D： f (x) ex e x + sin x，函數的定義域為 R，
f (x) ex +e x + cos x ，由 x > 0，得 ex >1, 1 cos x 1，
則 f (x) ex +e x + cos x > 2 1 > 0 ， f (x) 在 (0, + )上單調遞增，故 D 不符合題意.
故選：A
10．（2024·上海奉賢·二模）已知函數 y f x ，其中 y x2 +1， y g x ，其中 g x 4sin x，則圖象如圖
所示的函數可能是（ ）．
g x f xy A． B． y f x g x
C． y f x + g x 1 D． y f x g x 1
【答案】A
【分析】根據函數圖象和 f x , g x 的奇偶性判斷.
2
【詳解】易知 f x x +1是偶函數， g x 4sin x 是奇函數，給出的函數圖象對應的是奇函數，
g x
A. y h x 4sin x f x x2 1 ，定義域為 R，+
h 4sinx x 4sin x又 2 2 h x h x x +1 ，所以 是奇函數，符合題意，故正確； x +1
f xy x
2 +1
B. x kπ, k Zg x 4sin x ， ，不符合圖象，故錯誤；
C. y h x f x + g x 1 x2 +1+ 4sin x 1 x2 + 4sin x ，定義域為 R，
但 h x h x ,h x h x ，故函數是非奇非偶函數，故錯誤；
D. y h x f x g x 1 x2 +1 4sin x 1 x2 4sin x ，定義域為 R，
但 h x h x ,h x h x ，故函數是非奇非偶函數，故錯誤，
故選：A
3
1．（2024·全國·模擬預測）函數 f x sin x 4 的大致圖象是（ ）x 2
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據函數的奇偶性可判定 A，C；當0 < x < 4 2 時， f x < 0 ，可判定 B，D.
【詳解】Q f x 的定義域為 x x ± 4 2 ，
f x sin
3 x
4 f x ，\函數 f x 是奇函數，x 2
\ f x 的圖象關于原點對稱，排除 A，C；
當0 < x < 4 2 時， sin3 x > 0，
（提示：0 < 4 2 < π ，故當0 < x < 4 2 時， sin x > 0，得 sin3 x > 0）
4 f x sin
3 x
x 2 < 0，\ 4 < 0，排除 B．x 2
故選:D．
ln( x2 +1 + x)
2．（2024·湖南邵陽·模擬預測）函數 f (x) 的大致圖象為（ ）
x2 +1 + x
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由 x < 0 ， f (x) < 0
ln t
排除 BC；利用導數探討函數 g(t) , t >1的性質排除 D 即可.
t
【詳解】依題意，"x R ， x2 +1 + x >| x | +x 0 恒成立，即函數 f (x) 的定義域為 R，
當 x < 0 時，0 < x2
1
+1 + x <1
2 ，則 ln( x
2 +1 + x) < 0，即 f (x) < 0，BC 不滿足；
x +1 x
ln( x2 +1 + x) ln t
當 x > 0時，令 t x2 +1 + x >1，則 ，
x2 +1 + x t
g(t) ln t , t 1 g (t) 1 ln t令 > ，求導得 ，當1< t < e時， g (t) > 0，當 t > e時， g (t) < 0 ，
t t 2
g(t) (1,e) (e, + ) g(t) g(e) 1即函數 在 上單調遞增，在 上單調遞減， max <1，0 < f (x) <1，D 不滿足，A 滿e
足.
故選：A
3．（2023·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知函數 f x 的部分圖象如圖所示，則 f x 的解析式可能為（ ）
x x x x
A． f x e e f x e e 3 x B． 2 2 3 x
ex + e x f x 2xC． f x 3 x 2 D． x 1
【答案】A
【分析】利用 f x 2在 ,+

÷上的值排除 B，利用奇偶性排除排除 C，利用 f x 在 1, + 上的單調性排除
è 3
D，從而判斷選項.
2 exB x > f x e
x
【詳解】對于 ，當 時， ， ex e x > 0， 2 3x < 0 ，則 f x < 0 ，不滿足圖象，故 B 錯
3 2 3x
誤;
ex + e x e x + ex
對于 C， f x 2 2 2 2 3 x 2 ，定義域為 , 3 ÷ , ÷ ,+ ÷ ，而
f x f x y
è è 3 3 è 3 3 x
，關于 軸
2
對稱，故 C 錯誤;
2x 2
對于 D,當 x >1時， f x 2 + ，由反比例函數的性質可知 f x 在 1, + 單調遞減，故 D 錯誤;
x 1 x 1
ex e x
利用排除法可以得到， f x 3 x 2 在滿足題意，A 正確.
故選：A
2x
4．（2024·廣西·模擬預測）已知函數 f x 1 2 g x log x h x2x ， 2 ，如圖為函數 的圖象，則 h x 可能1+ 2
為（ ）
A． h x f x + g x B． h x f x g x
f x
C． h x f x g x D． h x g x
【答案】C
【分析】由函數的奇偶性結合函數的定義域和圖象逐項分析即可；
1 2x 22x 1
1 2 2x
1 2 ÷ 2xè 2x 2 1
【詳解】依題意可知，函數 f x 的定義域為 R， f x 2
1+ 2 2x
f x ，
1 1
2x 2x 2x
+
2 +1 2 +1
2 ÷ 22xè
所以函數 f x 為奇函數．
函數 g x 的定義域為 x x 0 ， g x log2 x g x ，
所以函數 g x 為偶函數．
對于 A， h x f x + g x 的定義域為{x | x 0}， h x 既不是奇函數也不是偶函數，故 A 錯誤；
對于 B，函數 h x f x g x 的定義域為{x | x 0}， h x 既不是奇函數也不是偶函數，故 B 錯誤；
對于 C，函數 h x f x g x 的定義域為{x | x 0}， h x h x ，所以 h x 為 f x 奇函數，故 C 正確；
f x
對于 D，函數 h x g x 的定義域為
{x | x 0且 x ±1}，故 D 錯誤；
故選：C．
5．（2024·天津濱海新·三模）已知函數 f x 的圖象如圖所示，則函數 f x 的解析式可能為（ ）
exA e
x 2
． f x B． f x sin 2x × ln x +1
x x2
x x 2
C． f x e + e D． f x cos 2x ln x +1×
x x2
【答案】B
【分析】根據圖象得到該函數的定義域、奇偶性、零點等性質，據此逐項判斷即可.
【詳解】根據題意，由函數的圖象， f x 的定義域為 x∣x 0 ，其圖象關于原點對稱，為奇函數；在 0, +
上，函數圖象與 x 軸存在交點.
由此分析選項：
ex e x e x ex x x
對于 A， f x ，其定義域為 xx 0 ，有 f e e x f x ，
x x x
f x 為偶函數，不符合題意；
x2 +1
對于 B， f x sin2x × ln ，其定義域為 x∣x 0
x2
，
2
f x sin 2x ln x +1 sin 2x ln x
2 +1
有 × 2 × 2 f x ， f x 為奇函數，其圖象關于原點對稱；x x
當 x kπ
π
+ k Z 時， sin2x 0, f x 0，函數圖象與 x 軸存在交點，符合題意；
2
x
C f x e + e
x
對于 ， ，當 x > 0時， ex + e x > 0, x > 0，故 f x > 0恒成立，所以該函數圖象在 0, + 上
x
與 x 軸不存在交點，不符合題意；
2
對于 D， f x cos2x ln x +1 × 2 ，其定義域為 x∣x 0 ，x
x2 2
有 f x cos 2x × ln +12 cos2x ln
x +1
× f x ，f x 為偶函數，不符合題意.
x x2
綜上所述，只有選項 B 的函數滿足，
故選：B．
6．（2024·廣東佛山·模擬預測）如圖，點 P 在邊長為 1 的正方形邊上運動，M 是CD 的中點，當點 P 沿
A B C M 運動時，點 P 經過的路程 x 與△ APM 的面積 y 的函數 y f x 的圖象的形狀大致是（ ）
A． B．
C． D．
E．均不是
【答案】A
【分析】求出點 P 在對應線段上時的解析式，結合圖象判斷即可得.
【詳解】當點 P 在 AB 上時， y
1
AP BC x ，
2 2
當點 P 在BC 上時， y AB BC
1
AB BP 1 AD 1 DM MC CP
2 2 2
1
1 x 1 1 1 1 1 2 x 3 x ，
2 2 2 2 2 4 4
y 1 AD PM 1 5 5 1當點 P 在CM 上時， x ÷ x，2 2 è 2 4 2
其中 A 選項符合要求，B、C、D 都不符合要求，故 A 正確.
故選：A.
7．（2024·浙江·模擬預測）如圖①，在矩形 ABCD中，動點M 從點A 出發，沿 A B C 的方向運動，當
點M 到達點C 時停止運動．過點M 作MN ^ AM 交CD 于點 N ，設點M 的運動路程為 x,CN y，圖②表
示的是 y 與 x 的函數關系的大致圖象，則矩形 ABCD的面積是（ ）
A．20 B．18 C．10 D．9
【答案】A
【分析】
設 AB m，則 BC 9 m，由正切值 tan MAB tan NMC
BM CN
，代入數值后得出二次函數關系，
AB CM
再結合圖象和對稱軸，頂點坐標求出m ，最后求出面積即可.
【詳解】由圖②可知， AB + BC = 9，設 AB m，則BC 9 m，
如圖，當點M 在BC 上時，
則 AB m, BM x m, MC 9 x, NC y，
BM CN
因為MN ^ AM MAB NMC ，所以 tan MAB tan NMC ，
AB CM
x m y y 1即 ，化簡為 x2
9 + m
+ x 9，
m 9 x m m
2
9 + m
x 9 + m

當 時，代入上式并結合圖②可得 y 9 + è m
÷
4 ，2 4 5
m
81
解得m 5或m （舍去），所以 AM 5, BC 4，
5
所以矩形 ABCD的面積是 20，
故選：A.
8．（2024·內蒙古赤峰·一模）在下列四個圖形中，點 P 從點 O 出發，按逆時針方向沿周長為 l 的圖形運動一
周，O、P 兩點連線的距離 y 與點 P 走過的路程 x 的函數關系如圖，那么點 P 所走的圖形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
由點 P 在第二條邊上運動時， y 的單調性可排除 A，由圖象的對稱性可排除 B ，由一開始 y 與 x 是線性的可
排除 C，對于 D，當圖形是正方形時，可以驗證它滿足題意.
【詳解】對于 A，點 P 在第一條邊上時， y x ，
但點 P 在第二條邊上運動時， y 是隨 x 的增大先減小（減到最小時 y 即為三角形的第二條邊上的高的長度），
然后再增大，
對比圖象可知，A 錯誤；
對于 B，y 與 x 的函數圖形一定不是對稱的，B 錯誤；
對于 C，一開始 y 與 x 的關系不是線性的，C 錯誤；
對于 D，因為函數圖象對稱，所以 D 選項應為正方形，不妨設邊長為 a，
點 P 在第一條邊上時（即0 x a 時）， y x ，
點 P 2在第二條邊上運動時（即 a x 2a時）， y a2 + x a ，依然單調遞增，
點 P 在第三條邊上運動時（即 2a x 3a 時）， y a2 + 3a x 2 ，單調遞減，
點 P 在第四條邊上運動時（即3a x 4a 時）， y 4a x ，單調遞減，
l
且已知 y 與 x 的圖象關于 x 2a （其中 l 4a ）對稱，D 正確.
2
故選：D.
9．（2024·四川成都·模擬預測）華羅庚是享譽世界的數學大師，國際上以華氏命名的數學科研成果有“華氏
定理”“華氏不等式”“華氏算子”“華—王方法”等，其斐然成績早為世人所推崇．他曾說：“數缺形時少直觀，
形缺數時難入微”，告知我們把“數”與“形”，“式”與“圖”結合起來是解決數學問題的有效途徑．在數學的學習
和研究中，常用函數的圖象來研究函數的性質，也常用函數的解析式來分析函數圖象的特征．已知函數
y f (x) 的圖象如圖所示，則 f (x) 的解析式可能是（ ）
sin x cos x
A． f (x) 3sin x B． f (x) 3cos x C． f (x) 1 ÷ D． f (x)
1
÷
è 3 è 3
【答案】A
【分析】利用指數函數、正弦函數的單調性、復合函數的單調性求解.
【詳解】由函數圖象可知， y f (x) 的圖象不關 y 軸對稱,
1 cos x 1 cos xf ( x) 3cos x 3cos x f x f ( x) 而 ， ÷ ÷ f x ，
è 3 è 3
即這兩個函數均關于 y 軸對稱，則排除選項B、D ；
y 3x y 1
x
由指數函數的性質可知 為單調遞增函數， ÷ 為單調遞減函數，
è 3
由 y sin x 的圖象可知存在一個極小的值 x0 > 0 ，使得 y sin x 在區間 0, x0 上單調遞增，
sin x
由復合函數的單調性可知， f (x) 3sin x 0, x f (x) 1 在區間 0 上單調遞增， ÷ 在區間 0, x0 上單調遞減，
è 3
由圖象可知 f (x) 3sin x 符合題意，
故選：A .
ìlg x , x < 0

10．（2024·海南省直轄縣級單位·模擬預測）已知函數 f x í1 x 1 ,0 x < 2的圖象在區間 t, t (t > 0)內

f x 2 , x 2
恰好有5對關于 y 軸對稱的點，則 t 的值可以是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
ì1 x 1 ,0 x < 2
【分析】令 g x í ，m x lg xg x 2 , x 2 ，根據對稱性，問題可以轉化為m x 與 g x 的圖象在
0, t (t > 0)內有5個不同的交點，畫出函數圖象，數形結合即可判斷.
ì 1 x 1 ,0 x < 2
【詳解】令 g x í ，m x lg x
g x 2 , x 2
，

因為m x lg x與 y lg x 的圖象關于 y 軸對稱，
ìlg x , x < 0
因為函數 f x í1 x 1 ,0 x < 2的圖象在區間 t, t (t > 0)內恰好有5對關于 y 軸對稱的點，

f x 2 , x 2
ì 1 x 1 ,0 x < 2
所以問題轉化為m x lg x與 g x í 0, t (t > 0) 5
g x 2 , x 2
的圖象在 內有 個不同的交點，

ì 1 x 1 ,0 x < 2
在同一平面直角坐標系中畫出m x lg x與 g x íg x 2 , x 2 的圖象如下所示：
因為m 10 lg10 1，當 x >10 時m x >1， g 1 g 3 g 5 g 7 g 9 g 11 1，
結合圖象及選項可得 t 的值可以是6，其他值均不符合要求,.
故選：C
ì1 x 1 ,0 x < 2
【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵是轉化為m x lg x與 g x í 的圖象在 0, t (t > 0)內有5
g x 2 , x 2
個不同的交點.
1．（浙江·高考真題）函數 y= 2 x sin 2x 的圖象可能是
A． B．
C． D．
【答案】D
π
【詳解】分析:先研究函數的奇偶性，再研究函數在 ( , π) 上的符號，即可判斷選擇.
2
詳解：令 f (x) 2|x| sin 2x ，
因為 x R, f ( x) 2 x sin 2( x) 2 x sin 2x f (x)，所以 f (x) 2|x| sin 2x 為奇函數，排除選項 A,B;
π
因為 x ( , π) 時， f (x) < 02 ，所以排除選項 C，選 D.
點睛：有關函數圖象的識別問題的常見題型及解題思路：（1）由函數的定義域，判斷圖象的左、右位置，
由函數的值域，判斷圖象的上、下位置；（2）由函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢；（3）由函數的奇偶
性，判斷圖象的對稱性；（4）由函數的周期性，判斷圖象的循環往復．
2．（浙江·高考真題）函數 y=xcosx+sinx 在區間[–π，π]的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】首先確定函數的奇偶性，然后結合函數在 x p 處的函數值排除錯誤選項即可確定函數的圖象.
【詳解】因為 f x x cos x + sin x，則 f x x cos x sin x f x ，
即題中所給的函數為奇函數，函數圖象關于坐標原點對稱，
據此可知選項 CD 錯誤；
且 x p 時， y p cosp + sinp p < 0，據此可知選項 B 錯誤.
故選：A.
【點睛】函數圖象的識辨可從以下方面入手：(1)從函數的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數的值域，
判斷圖象的上下位置．(2)從函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢．(3)從函數的奇偶性，判斷圖象的對稱
性．(4)從函數的特征點，排除不合要求的圖象．利用上述方法排除、篩選選項．
4x
3．（天津·高考真題）函數 y 2 的圖象大致為（x 1 ）+
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由題意首先確定函數的奇偶性，然后考查函數在特殊點的函數值排除錯誤選項即可確定函數的圖
象.
f x 4x【詳解】由函數的解析式可得： 2 f x ，則函數 f x 為奇函數，其圖象關于坐標原點對稱，x +1
選項 CD 錯誤；
4
當 x 1時， y 2 > 0 ，選項 B 錯誤.
1+1
故選：A.
【點睛】函數圖象的識辨可從以下方面入手：(1)從函數的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數的值域，
判斷圖象的上下位置．(2)從函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢．(3)從函數的奇偶性，判斷圖象的對稱
性．(4)從函數的特征點，排除不合要求的圖象．利用上述方法排除、篩選選項．
sin x
4．（全國·高考真題）函數 y＝1＋x＋ 2 的部分圖象大致為（ ）x
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由題意比較函數的性質及函數圖象的特征，逐項判斷即可得解.
【詳解】當 x＝1 時，y＝1＋1＋sin1＝2＋sin1>2，排除 A、C；
當 x→＋∞時，y→＋∞，排除 B.
故選：D.
【點睛】本題考查了函數圖象的識別，抓住函數圖象的差異是解題關鍵，屬于基礎題.
5．（江西·高考真題）某地一年內的氣溫Q(t) （單位：℃）與時間 t（月份）之間的關系如圖所示，已知該
年的平均氣溫為10℃.令C(t)表示時間段[0, t]的平均氣溫，C(t)與 t 之間的函數關系用下列圖象表示，則正
確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】用排除法，根據Q(t) 的圖象，確定C(t)的性質排除錯誤選項后可得．
【詳解】由已知Q(t) 的圖象， t 6時，C(t) 0，排除 C； t 12時，C(t) 10，排除 D； t 在大于 6 的某一
段平均氣溫超過 10，排除 B．只有 A 正確．
故選：A.
sin2x
6．（全國·高考真題）函數 y 的部分圖像大致為
1 cosx
A． B．
C． D．
【答案】C
sin 2x
【詳解】由題意知，函數 y 為奇函數，故排除 B；當 x π時， y 0 ，故排除 D；當 x 1
1 cos x
sin 2
時， y > 0 A C1 cos2 ，故排除 ．故選 ．
ex e x7．（全國·高考真題）函數 f x 2 的圖像大致為 (　　)x
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】分析：通過研究函數奇偶性以及單調性，確定函數圖像.
x
Q x 0, f ( x) e e
x
詳解： 2 f (x)\ f (x)為奇函數，舍去 A,x
Q f (1) e e 1 > 0\舍去 D;
(ex + e x )x2 x xQ f (x) (e e )2x (x 2)e
x + (x + 2)e x
4 3 \ x > 2, f (x) > 0 ，x x
所以舍去 C；因此選 B.
點睛：有關函數圖象識別問題的常見題型及解題思路（1）由函數的定義域，判斷圖象左右的位置，由函數
的值域，判斷圖象的上下位置；②由函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢；③由函數的奇偶性，判斷圖象
的對稱性；④由函數的周期性，判斷圖象的循環往復．
8．（全國·高考真題）函數 y x4 + x2 + 2 的圖像大致為
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】分析：根據函數圖象的特殊點，利用函數的導數研究函數的單調性，由排除法可得結果.
詳解：函數過定點 0,2 ，排除 A, B，
求得函數的導數 f ' x 4x3 + 2x 2x 2x2 1 ，
由 f ' x > 0得 2x 2x2 1 < 0，
2 2
得 x < 或0 < x < ，此時函數單調遞增，排除C ，故選 D.
2 2
點睛：本題通過對多個圖象的選擇考查函數的圖象與性質，屬于中檔題.這類題型也是近年高考常見的命題
方向，該題型的特點是綜合性較強較強、考查知識點較多，但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方
面入手，根據函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、特殊點以及 x 0+ , x 0 , x + , x 時函數圖
象的變化趨勢，利用排除法，將不合題意的選項一一排除.

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