資源簡介

第 05 講 平面向量之極化恒等式
（高階拓展、競賽適用）
（2 類核心考點精講精練）
在向量的命題考查中，數(shù)量積的運算一直是熱點問題，一般情況下，我們掌握公式法、基底法、投影
法和坐標法來求解數(shù)量積，但有時會計算量繁瑣、解題時間較長。而本節(jié)要學的極化恒等式可以從另一角
度來綜合解題。
利用向量的極化恒等式可以快速對共起點(終點)的兩向量的數(shù)量積問題數(shù)量積進行轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了向量的
幾何屬性，讓“秒殺”向量數(shù)量積問題成為一種可能，此恒等式的精妙之處在于建立了向量的數(shù)量積與幾
何長度(數(shù)量)之間的橋梁，實現(xiàn)向量與幾何、代數(shù)的巧妙結(jié)合，對于不共起點和不共終點的問題可通過平移
轉(zhuǎn)化法等價轉(zhuǎn)化為對共起點(終點)的兩向量的數(shù)量積問題，從而用極化恒等式解決，需大家強化學習。
知識講解
極化恒等式
r r
r r (ar + b)2 ra b - (a - b)
2
× =
4
恒等式右邊有很直觀的幾何意義:
1
向量的數(shù)量積可以表示為以這兩個向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的
4 ，
恒等式的作用在于向量的線性運算與數(shù)量積之間的聯(lián)系
uuur uuur r
如圖在平行四邊形 ABCD 中, AB = ar, AD = b
r uuur uuur uuur uuurr (AB + AD)2 - (AB - AD)2
則 a ×b =
4
在上述圖形中設平行四邊形 ABCD 對角線交于 M 點, 則對于三角形來說:
r uuur uuur uuur uuurr (AB + AD)2 - (AB - AD)2 uuuur
uuur
a b | AM |2 | DB |
2
× = = -
4 4
極化恒等式的適用條件
(1) 共起點或共終點的兩向量的數(shù)量積問題可直接進行轉(zhuǎn)化
(2)不共起點和不共終點的數(shù)量積問題可通過向量的平移，等價轉(zhuǎn)化為共起點或共終點的兩向量的數(shù)量積問
題
在確定求數(shù)量積的兩個向量共起點或共終點的情況下，極化恒等式的一般步驟如下
第一步:取第三邊的中點，連接向量的起點與中點;
第二步:利用極化恒等式公式，將數(shù)量積轉(zhuǎn)化為中線長與第三邊長的一半的平方差;
第三步:利用平面幾何方法或用正余弦定理求中線及第三邊的長度，從而求出數(shù)量積
如需進一步求數(shù)量積范圍，可以用點到直線的距離最小或用三角形兩邊之和大于等于第三邊，兩邊之差小
于第三邊或用基本不等式等求得中線長的最值(范圍)。
考點一、極化恒等式求值
1．（全國·高考真題）設向量 滿足 ， ，則
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】A
方法一：基本方法，詳見解析版
方法二：極化恒等式
r r (ar
r r r r r 2 r r 2
a b + b)
2 - (a - b)2 a + b - a - b
由極化恒等式可得： × = = =1 故選 A．
4 4 ，
uuur uuur
2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）正方形 ABCD的邊長是 2，E 是 AB 的中點，則EC × ED =（ ）
A． 5 B．3 C． 2 5 D．5
【答案】B
【詳解】方法一、二、三，詳見解析版
方法四：極化恒等式
uuur uuur uuur 2 1 uuur 2設 CD 中點為 O 點，由極化恒等式可得：EC × ED = EO - DC = 3 故選：B.
4 ，
uuur uuur
1．（江蘇·高考真題）如圖，在DABC中，D是BC 的中點， E, F 是 A, D上的兩個三等分點，BA ×CA = 4，
uuur uuur uur uur
BF × CF = -1 ，則BE ×CE 的值是 .
7
【答案】
8
方法一：詳見解析版
方法二：極化恒等式
uuur uuur uuur uuur uuur 2 uuur 2 uuur uuur uuur uuur uuur 2 uuur 2
BA ×CA = AB × AC = AD - BD = 4, BF ×CF = FB × FC = FD - BD = -1
uuur uuur uuur uuur uuur 2 uuur 2
BE ×CE = EB × EC = ED - BD
uuur 3 uuur uuurE F AD | AD | | ED |,| FD | 1
uuur
因為 、 是 上的兩個三等分點,所以 = = | ED |
2 2
uuur 5 uuur 13 uuur uuur| ED |2 ,| BD |2 BE CE 7聯(lián)立解得: = = 所以 × =
2 8 ， 8
2. °如圖,在VABC 中,已知 AB = 4, AC = 6, BAC = 60 ,點 D, E 分別在邊 AB, AC 上,
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
且 AB = 2AD, AC = 3AE ,若 F 為 DE 的中點,則 BF × DE 的值為________
3．（23-24 高三下·湖南長沙·階段練習）向量的數(shù)量積可以表示為：以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對
1 uuur 2 uuur 2
角線”與“差對角線”平方差的四分之一，即如圖所示， a ×b = AD - BC ，我們稱為極化恒等式. 已知在4
uuur uuur
VABC 中，M 是BC 中點， AM = 3，BC =10，則 AB × AC =（ ）
A．-16 B．16 C．-8 D．8
4．（21-22 高一下·重慶沙坪壩·階段練習）向量的數(shù)量積可以表示為：以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和
r r 1 uuur 2 uuur 2
對角線”與“差對角線”平方差的四分之一.即如圖所示： a ×b = AD - BC ，我們稱為極化恒等式.在△4
uuur uuur
ABC 中，M 是BC 中點， AM = 3，BC =10，則 AB × AC =（ ）
A．32 B．-32 C．16 D．-16
考點二、極化恒等式求范圍
1．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）在VABC 中， AC = 3, BC = 4, C = 90°．P 為VABC 所在平面內(nèi)的動點，且
uuur uuur
PC = 1，則PA × PB 的取值范圍是（ ）
A．[-5,3] B．[-3,5] C．[-6,4] D．[-4,6]
uuur uuur
2．如圖所示,正方形 ABCD的邊長為1, A, D 分別在 x 軸, y 軸的正半軸(含原點)上滑動,則OC ×OB 的最大值
是_________
uuur uuur uuur
2．（全國·高考真題）已知VABC是邊長為 2 的等邊三角形， P 為平面 ABC 內(nèi)一點，則 PAg(PB + PC)的最小值
是 ( 　　 )
3 4
A．-2 B．- C．- D． -1
2 3
uuur uuur
3. 如圖,在平面四邊形 ABCD中, AC = AD = 2, DAC =120° , ABC = 90° ,則 BD × BC 的最大值為____
uuur uuur uuur2
4. 設銳角VABC 的面積為 1,邊 AB, AC 的中點分別為 E, F , P 為線段 EF 上的動點,則 PB × PC + BC 的最
小值為_______
uuur uuur
5. 已知 RtVABC 的斜邊 AB = 4 ,設 P 是以C 為圓心,1為半徑的圓上任意一點,則 PA × PB 的取值范圍是（ ）
A. é
3 5
- , ù B. é 5 5ê - ,
ù C. -3,5 D. é1- 2 3,1+ 2 3ù
2 2 ú ê ú 2 2
1．（23-24 高一下·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）如圖，已知正方形 ABCD 的邊長為 2，若動點 P 在以 AB 為直徑的
uuur uuur
半圓 E（正方形 ABCD 內(nèi)部，含邊界），則PC × PD 的取值范圍為 .
2．（2023·天津紅橋·二模）已知菱形 ABCD 的邊長為 2， BAD =120° ，點 E 在邊 BC 上，BC = 3BE，若 G
uuur uuur
為線段 DC 上的動點，則 AG × AE 的最大值為（ ）
8
A．2 B．
3
10
C． D．4
3
3．（23-24 高一下·北京昌平·期末）在矩形 ABCD中， AB = 2 ， AD = 3， P 為矩形 ABCD所在平面內(nèi)的動點，
uuur uuur
且PA =1，則PB × PC 的最大值是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
π
4．（23-24 高二下·浙江·期中）在△ABC 中，BC＝2， BAC = ，D 為 BC 中點，在△ABC 所在平面內(nèi)有一
3
uur uuur uuur uuur uuur uuur
動點 P 滿足PB × PD = PC × PD ，則 AP × BC 的最大值為（　　）
A 3 2 3． B． C． 3 D 4 3．
3 3 3
5．（23-24 高一下·湖南常德·期中）如圖，直線 l1//l2，點A 是 l1， l2之間的一個定點，點A 到 l1， l2的距離分
別為 2 和 6 ．點 B 是直線 l2上一個動點，過點A 作 AC ^ AB，點E, F 在線段BC 上運動（包括端點）且EF =1，
uuur uuur
若VABC的面積為 2 3 ．則 AE × AF 的最小值為（ ）
11
A 3 2
7
． 3 B． C． D．
4 2 4
uuur uuur
6．（2024·黑龍江牡丹江·模擬預測）已知 A, B,C 是邊長為 1 的正六邊形邊上相異的三點，則 AB × BC 的取值
范圍是 .
1．（23-24 高二下·河北唐山·期末）已知圓 (x - 2)2 + y2 = 9的弦 AB 的中點為Q 1,1 ，點 P 為圓上的動點，則
uuur uuur
PA × PB 的最大值為（ ）
A．2 B．6 2 - 3 C．8 D． 4 + 6 2
uuur uuur
2．（23-24 高一下·北京順義·期中）已知點 A，點 B，點 P 都在單位圓上，且 AB = 3 ，則PA × PB 的最大值
是（ ）
3
A． B．3 C．1 D．2
2
3．（23-24 高一下·福建泉州·期中）在RtVABC 中， A = 90o , AB = 2, AC = 6，D 為 BC 的中點，點 P 在VABC
uuur uuur
斜邊 BC 的中線 AD 上，則 PBgPC 的取值范圍為（ ）
A． -10,0 B． -6,0 C． 0,6 D． 0,10
4．（23-24 高一下·重慶·期末）如圖，已知正方形 ABCD的邊長為 2，若動點 P 在以 AB 為直徑的半圓上（正
uuur uuur
方形 ABCD內(nèi)部，含邊界），則PC × PD 的取值范圍為（ ）
A． 0,2 B． 0,4 C． 0,3 D． 0,1
5．（23-24 高一下·北京·階段練習）在直角梯形 ABCD中， AD∥BC ， ABC = 90°， AD = 2AB = 2BC = 2，
uuur uuur
點 P 為梯形 ABCD四條邊上的一個動點，則PA × PB 的取值范圍是（ ）
é 1
A． ê- , 4
ù é 1 ù é 1 ù
ú B． ê- , 2ú C． -1,4 D． - , 4 2 2 ê 4 ú
uuur uuur uur uuur uuur uuur
6．（23-24 高一下·重慶·期末）已知向量OA,OB滿足 OA = 1, OB = 2 ，且向量OB 在OA方向上的投影向量為
uuur uuur 1 uuur uuur
OA．若動點 C 滿足 OC = ，則CAgCB 的最小值為（ ）2
1
A - B 4 - 2 6 C 1- 7 D 5 - 2 7． ． ． ．
2 3 2 4
7．（23-24 高一下·湖北·期中）在VABC 中，點 E，F(xiàn) 分別是線段 AB, AC 的中點，點 P 在直線 EF 上，若VABC
uuur uuur uuur2
的面積為 4，則PB × PC BC+ 的最小值是（ ）
2
A．2 B． 2 3 C．4 D 3．
2
8．（23-24 高一下·湖南張家界·期中）青花瓷（blue and white porcelain），又稱白地青花瓷，常簡稱青花，
是中國瓷器的主流品種之一，屬釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已見端倪，成熟的青花瓷則出現(xiàn)在元代景德
鎮(zhèn)的湖田窯.圖一是一個由波濤紋和葡萄紋構(gòu)成的正六邊形青花瓷盤，已知圖二中正六邊形的邊長為 2，圓O
的圓心為正六邊形的中心，半徑為1，若點M 在正六邊形的邊上運動，動點 A, B在圓O上運動且關于圓心O
uuur uuur
對稱，則MA × MB 的取值范圍是（ ）
A． 2,4 é 3B． ê , 4
ù
2 ú
C． 2,3 é3D． ê ,3
ù
2 ú
9．（23-24 高一下·江蘇常州·階段練習）已知圖中正六邊形 ABCDEF 的邊長為 4，圓 O 的圓心為正六邊形的
uuuur uuur
中心，直徑為 2，若點 P 在正六邊形的邊上運動，MN 為圓 O 的直徑，則PM × PN 的取值范圍是（ ）
A． 12,16 B． 11,15 C． 12,15 D． 8,12
10．（23-24 高一下·黑龍江哈爾濱·階段練習）鍵線式可以簡潔直觀地描述有機物的結(jié)構(gòu)，在有機化學中極其
重要，有機物萘可以用左圖所示的鍵線式表示，其結(jié)構(gòu)簡式可以抽象為右圖所示的圖形，已知 ABCHIJ 與
uuur uuur
CDEFGH 為全等的正六邊形，且 AB = 2 ，點 P 為線段 EF （包括頂點）上的一點，則 AP × BP 的取值范圍為
（ ）
A． 31,43 B． 37,43 C． 36,42 D． 31,42
uuur uuur
1．（21-22 高二上·浙江衢州·期末）已知點 P 在圓 x2 + y2 = 2上，已知 A(4,0)， B(0,-4) ，則PA × PB 的最小值
為 .
2．（21-22 高一下·浙江·期中）正方形 ABCD 的邊長為 2，O 是正方形 ABCD 的中心，過中心 O 的直線 l 與
uuur uuur uuur uuuur uuur
邊 AB 交于點 M，與邊 CD 交于點 N，P 為平面內(nèi)一點，且滿足 2OP = lOB + 1- l OC ，則PM · PN 的最小
值為（　　）
1 9 7
A．- B．- C．-2 D．-
4 4 4
uuur uuur
3．（21-22 高一下·江西·期中）已知點M 是正六邊形 ABCDEF 內(nèi)部（包括邊界）一動點， AB = 4 ，則MA × MB
的最大值為 ．
4．（2024 高三·全國·專題練習）已知 A，B，C，D 是半徑為 2 的圓 O 上的四個動點，若 AB = CD = 2，則
uur uuur uuur uuur
CA ×CB + DA × DB 的最大值為（ ）
A．6 B．12 C．24 D．32
π
24．5．（23-24 高一下·浙江·期中）已知VABC 中，BC = 4， A = VABC3 ，若 在平面內(nèi)一點D滿足
uuur uuur uuur r uuur uuur
3DB + 3DC + DA = 0 ，則DB × DC 的最大值為
BD
6．（22-23 高一下·湖北襄陽·期中）已知四邊形 ABCD中， AC ^ BD, AB = BC = =1, AC = CD = 3 ，點E
2
uuur uuur
在四邊形 ABCD的邊上運動，則EB × ED 的最小值是（ ）
3 1 3
A． B．- C．- D．-1
4 4 4
7．（2023 高三·全國·專題練習）如圖，在等腰直角三角形 ABC 中，斜邊 AC = 2，M 為線段 AB 上的動點（包
uuur uuur
含端點），D為 AC 的中點．將線段 AC 繞著點D旋轉(zhuǎn)得到線段 EF ，則ME × MF 的最小值為（　　）
3
A．-2 B．-
2
1
C． -1 D．-
2
8．（23-24 高三上·湖北襄陽·階段練習）已知eO 的半徑為 1，直線PA與eO 相切于點A ，直線 PB與eO 交
uuur uuur
于B，C 兩點，D為BC 的中點，若 PO = 2 ，則PA× PD的最大值為（ ）
A 1+ 2． B 1+ 2 2． C．1 D． 2 + 2
2 2
uuur uuur
9．（2022·上海徐匯·模擬預測）已知圓O半徑為 1，P、A、B 是圓O上不重合的點， 則PA × PB 的最小值
為 .
uuur uuur l uuur uuur
10．（22-23 高一下·遼寧沈陽·階段練習）已知VABC 中， AB = 8， AC = 2 ，且 AB + (2 - 2l)AC l R
2
uuur uuur
的最小值為 2 3 ，若 P 為邊 AB 上任意一點，則PB × PC 的最小值是（ ）
51 49 9 25
A．- B．- C．- D．-
4 4 16 16第 05 講 平面向量之極化恒等式
（高階拓展、競賽適用）
（2 類核心考點精講精練）
在向量的命題考查中，數(shù)量積的運算一直是熱點問題，一般情況下，我們掌握公式法、基底法、投影
法和坐標法來求解數(shù)量積，但有時會計算量繁瑣、解題時間較長。而本節(jié)要學的極化恒等式可以從另一角
度來綜合解題。
利用向量的極化恒等式可以快速對共起點(終點)的兩向量的數(shù)量積問題數(shù)量積進行轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了向量的
幾何屬性，讓“秒殺”向量數(shù)量積問題成為一種可能，此恒等式的精妙之處在于建立了向量的數(shù)量積與幾
何長度(數(shù)量)之間的橋梁，實現(xiàn)向量與幾何、代數(shù)的巧妙結(jié)合，對于不共起點和不共終點的問題可通過平移
轉(zhuǎn)化法等價轉(zhuǎn)化為對共起點(終點)的兩向量的數(shù)量積問題，從而用極化恒等式解決，需大家強化學習。
知識講解
極化恒等式
r r
r r (ar + b)2 ra b - (a - b)
2
× =
4
恒等式右邊有很直觀的幾何意義:
1
向量的數(shù)量積可以表示為以這兩個向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的
4 ，
恒等式的作用在于向量的線性運算與數(shù)量積之間的聯(lián)系
uuur uuur r
如圖在平行四邊形 ABCD r 中, AB = a, AD = b
r uuur uuur uuur uuurr (AB + AD)2a b - (AB - AD)
2
則 × =
4
在上述圖形中設平行四邊形 ABCD 對角線交于 M 點, 則對于三角形來說:
r uuur uuur uuur uuur2 2 uuuur uuur 2
ar b (AB + AD) - (AB - AD) | DB |× = =| AM |2 -
4 4
極化恒等式的適用條件
(1) 共起點或共終點的兩向量的數(shù)量積問題可直接進行轉(zhuǎn)化
(2)不共起點和不共終點的數(shù)量積問題可通過向量的平移，等價轉(zhuǎn)化為共起點或共終點的兩向量的數(shù)量積問
題
在確定求數(shù)量積的兩個向量共起點或共終點的情況下，極化恒等式的一般步驟如下
第一步:取第三邊的中點，連接向量的起點與中點;
第二步:利用極化恒等式公式，將數(shù)量積轉(zhuǎn)化為中線長與第三邊長的一半的平方差;
第三步:利用平面幾何方法或用正余弦定理求中線及第三邊的長度，從而求出數(shù)量積
如需進一步求數(shù)量積范圍，可以用點到直線的距離最小或用三角形兩邊之和大于等于第三邊，兩邊之差小
于第三邊或用基本不等式等求得中線長的最值(范圍)。
考點一、極化恒等式求值
1．（全國·高考真題）設向量 滿足 ， ，則
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】A
方法一：基本方法
【詳解】試題分析：因為 ，所以 ………………①，
又 ，所以 …………②，
①-②得 ，所以
②-考點：1．向量模的定義及運算；2．向量的數(shù)量積．
方法二：極化恒等式
r r r r r
r 2 r 2
r (a + b)2 (ar- - b)2 a + b
r
- a - b
由極化恒等式可得： a ×b = = =1
4 4
故選 A．
uuur uuur
2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）正方形 ABCD的邊長是 2，E 是 AB 的中點，則EC × ED =（ ）
A． 5 B．3 C． 2 5 D．5
【答案】B
uuur uuur uuur uuur【分析】方法一：以 AB, AD 為基底向量表示 EC, ED，再結(jié)合數(shù)量積的運算律運算求解；方法二：建系，
利用平面向量的坐標運算求解；方法三：利用余弦定理求 cos DEC ，進而根據(jù)數(shù)量積的定義運算求解.
uuur uuur uuur uuur
【詳解】方法一：以 uuur uuurAB, AD 為基底向量，可知 AB = AD = 2, AB × AD = 0，
uuur uur uuur 1 uuur uuur uuur uur uuur uuur uuur
則EC = EB + BC = AB + AD, ED = EA + AD
1
= - AB + AD，
2 2
uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur uuur2 uuur2
所以EC × ED = AB + AD × - AB + AD
1
÷ ÷ = - AB + AD = -1+ 4 = 3；
è 2 è 2 4
方法二：如圖，以A 為坐標原點建立平面直角坐標系，
uuur uuur
則E 1,0 ,C 2,2 , D 0,2 ，可得EC = 1,2 , ED = -1,2 ，
uuur uuur
所以EC × ED = -1+ 4 = 3；
方法三：由題意可得：ED = EC = 5,CD = 2，
DE2 + CE2 - DC 2 5 + 5 - 4 3
在VCDE中，由余弦定理可得 cos DEC = = = ，
2DE ×CE 2 5 5 5
uuur uuur uuur uuur
所以EC × ED
3
= EC ED cos DEC = 5 5 = 3 .
5
方法四：極化恒等式
uuur uuur uuur 2 1 uuur 2設 CD 中點為 O 點，由極化恒等式可得：EC × ED = EO - DC = 3
4
故選：B.
uuur uuur
1．（江蘇·高考真題）如圖，在DABC中，D是BC 的中點， E, F 是 A, D上的兩個三等分點，BA ×CA = 4，
uuur uuur uur uur
BF × CF = -1 ，則BE ×CE 的值是 .
7
【答案】
8
方法一
uuur uuur uuur2 uuur2 uuur2 uuur2
【詳解】因為BA CA 1
uuur uuur 1 uuur uuurBC AD BC AD = 4AD - BC 36FD - BC× =（ - ）（× - - ） = = 4，
2 2 4 4
uuur uuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur uuur
uuur2 uuur2
BF 1 4FD - BC×CF =（ BC - AD）（× - BC - AD）= = -1，
2 3 2 3 4
uuur2 5 uuur2 13 uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur2 uuur2 uuur2 uuur2
因此FD = , BC = ，BE CE 1 BC ED 1 4ED - BC 16FD - BC 78 2 × =（ - ）（× - BC - ED）= = = .2 2 4 4 8
【考點】向量數(shù)量積
【名師點睛】研究向量的數(shù)量積，一般有兩個思路，一是建立平面直角坐標系，利用坐標研究向量的數(shù)量
積；二是利用一組基底表示所有向量，兩種思路實質(zhì)相同，但坐標法更易理解和化簡. 對于涉及中線的向量
問題，一般利用向量加、減法的平行四邊形法則進行求解．
方法二：極化恒等式
uuur uuur uuur uuur uuur 2 uuur 2 uuur uuur uuur uuur uuur 2 uuur 2
BA ×CA = AB × AC = AD - BD = 4, BF ×CF = FB × FC = FD - BD = -1
uuur uuur uuur uuur uuur 2 uuur 2
BE ×CE = EB × EC = ED - BD
uuur uuur uuur uuur
因為 E、F 是 AD 上的兩個三等分點,所以 | AD | 3= | ED |,| FD | 1= | ED |
2 2
uuur uuur
| ED |2 5 ,| BD |2 13聯(lián)立解得: = =
2 8
uuur uuur 7
所以 BE ×CE =
8
2.如圖,在VABC 中,已知 AB = 4, AC = 6, BAC = 60° ,點 D, E 分別在邊 AB, AC 上,
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
且 AB = 2AD, AC = 3AE ,若 F 為 DE 的中點,則 BF × DE 的值為________
解：取 BD的中點 N ,連接 NF , EB ,則 BE ^ AE BE = 2 3 ,
在VDEB FN / / 1中, EB FN = 3 ,
2
uuur uuur uuur uuur uuur2 1 uuur2 uuur2 uuur uuurBF × DE = 2FB × FD = 2 FN - DB ÷ = 2 FN -1 BF × DE = 4è 4
3．（23-24 高三下·湖南長沙·階段練習）向量的數(shù)量積可以表示為：以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對
1 uuur 2 uuur 2
角線”與“差對角線”平方差的四分之一，即如圖所示， a ×b = AD - BC ，我們稱為極化恒等式. 已知在4
uuur uuur
VABC 中，M 是BC 中點， AM = 3，BC =10，則 AB × AC =（ ）
A．-16 B．16 C．-8 D．8
【答案】A
uuuur uuur
【分析】可以把三角形補形為平行四邊形， AM
1
= AD ,利用已知條件求解即可.
2
【詳解】由題設，VABC 可以補形為平行四邊形 ABDC ，
uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur
由已知得 AM = 3, BC =10, AB × AC
1
= 4 AM |2 - BC |2 1= 36 -100 = -16．4 4
故選：A．
4．（21-22 高一下·重慶沙坪壩·階段練習）向量的數(shù)量積可以表示為：以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和
r r 1 uuur 2 uuur 2
對角線”與“差對角線”平方差的四分之一.即如圖所示： a ×b = AD - BC ，我們稱為極化恒等式.在△4
uuur uuur
ABC 中，M 是BC 中點， AM = 3，BC =10，則 AB × AC =（ ）
A．32 B．-32 C．16 D．-16
【答案】D
uuuur uuur uuur uuur
【分析】由題設有 AM = 3， | BC |=10代入極化恒等式求 AB × AC 即可.
uuuur uuur
【詳解】由題設， | AM |= 3， | BC |=10，
uuur uuur uuuur uuur
AB AC 1× = (4 | AM |2 1- | BC |2 ) = (36 -100) = -16 .
4 4
故選：D
考點二、極化恒等式求范圍
1．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）在VABC 中， AC = 3, BC = 4, C = 90°．P 為VABC 所在平面內(nèi)的動點，且
uuur uuur
PC = 1，則PA × PB 的取值范圍是（ ）
A．[-5,3] B．[-3,5] C．[-6,4] D．[-4,6]
【答案】D
方法一
uuur uuur
【分析】依題意建立平面直角坐標系，設P cosθ,sin θ ，表示出PA，PB，根據(jù)數(shù)量積的坐標表示、輔助
角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得；
【詳解】解：依題意如圖建立平面直角坐標系，則C 0,0 ， A 3,0 ，B 0,4 ，
因為PC = 1，所以 P 在以C 為圓心，1為半徑的圓上運動，
設P cosθ,sin θ ，q 0,2p ，
uuur uuur
所以PA = 3 - cosq , -sinq ，PB = -cosq , 4 - sinq ，
uuur uuur
所以PA × PB = -cosq 3 - cosq + 4 - sinq -sinq
= cos2 q - 3cosq - 4sinq + sin2 q
=1- 3cosq - 4sinq
=1- 5sin q +j 3 4，其中 sinj = ， cosj =5 5 ，
uuur uuur
因為-1 sin q +j 1，所以-4 1- 5sin q +j 6 ，即PA × PB -4,6 ；
方法二：極化恒等式
5
記 AB 的中點為 M，連接 CM，則CM =
2
由極化恒等式可得：
2 2 2
PA × PB = PM 1 25- AB = PM -
4 4
7 2 PM = CM +1 = , PA × PB 25= PM - = 6
max 2 4
2
PM CM 1 3 , PA PB 25= - = × = PM - = -4
max 2 4
uuur uuur
即PA × PB -4,6
故選：D
uuur uuur
2．如圖所示,正方形 ABCD的邊長為1, A, D 分別在 x 軸, y 軸的正半軸(含原點)上滑動,則OC ×OB 的最大值
是_________
答案: 2
解:如圖,
取 BC 的中點M , AD 的中點 N ,連接MN ,ON ,則
OM ON + NM 1= AD + AB 3=
2 2
（當且僅當O, M , N 三點共線時等號成立.)由極化恒等式得
uuur uuur uuuur2
OC OB 1
uuur 22 uuuur2 1 3 1
× = OM - BC = OM -
4 4 2 ÷
- = 2
è 4
uuur uuur uuur
2．（全國·高考真題）已知VABC是邊長為 2 的等邊三角形， P 為平面 ABC 內(nèi)一點，則 PAg(PB + PC)的最小值
是 ( 　　 )
3 4
A．-2 B．- C．- D． -1
2 3
【答案】B
方法一
【分析】根據(jù)條件建立坐標系，求出點的坐標，利用坐標法結(jié)合向量數(shù)量積的公式進行計算即可．
【詳解】建立如圖所示的坐標系，以BC 中點為坐標原點，
則 A(0, 3) ，B(-1,0)，C(1,0)，
uuur uuur uuur
設P(x, y) ，則PA = (-x, 3 - y) ，PB = (-1- x, -y)，PC = (1- x,-y)，
uuur uuur uuur
則 PAg(PB + PC) = 2x2 - 2 3y 2y2
3 3
+ = 2[x2 + (y - )2 - ]
2 4
當 x 3 3= 0， y 3= 時，取得最小值 2 (- ) = -
2 4 2
，
方法二：極化恒等式
解：取 BC 的中點 D ,連接 AD, PD ,取 AD 的中點 E ,連接 PE ,
由VABC 1是邊長為 2 的等邊三角形, E 為中線 AD 的中點 AE = AD 3= ,
2 2
則：
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur 22
PA × (PB + PC) = PA × 2PD = 2PA × PD = 2 | PE |2 - | EA |2 2 PE 3= - 3 3 ÷ ÷ ÷ 2 0 - 2 ÷ 4 ÷ = -è è è 2
uuur uuur uuur
所以[PA(PB 3+ PC)]min = - .2
故選：B ．
uuur uuur
3. 如圖,在平面四邊形 ABCD , AC = AD = 2, DAC =120°中 , ABC = 90° ,則 BD × BC 的最大值為____
解：取CD的中點 E ,連接 EA, EB ,
由 AC = AD = 2, DAC =120° AE ^ CD, DE = AD sin 60° = 3 ,
由 ABC = AEC = 90° A, B,C, E 四點共圓,且直徑為 AC .
uuur uuur uuur uuur uuur
則 BD × BC =| BE |2 - | ED |2 =| BE |2 -( 3)2 AC 2 - 3 = 22 - 3 =1 .
uuur uuur
所以 (BD × BC)max =1 .
uuur uuur uuur2
4. 設銳角VABC 的面積為 1,邊 AB, AC 的中點分別為 E, F , P 為線段 EF 上的動點,則 PB × PC + BC 的最
小值為_______
解：如圖所示,取 BC 的中點M ,h為點 A到 BC 的距離,
uuur uuur uuuur2 1 uuur2
由極化恒等式, PB × PC = PM - BC ,
4
S hVMBC = | BC |=1,2
uuur uuur uuur2 uuuur2 uuur2 uuur uuuur2
PB PC BC PM 1 BC BC PM 3
uuur2 3 h 3
則 × + = - + = + BC 2 | BC |= 2 = 3.
4 4 4 2 4
uuur uuur
5. 已知 RtVABC 的斜邊 AB = 4 ,設 P 是以C 為圓心,1為半徑的圓上任意一點,則 PA × PB 的取值范圍是（ ）
é 3 , 5 ù é 5 5A. ùê- ú B. ê- , ú C. -3,5 D. é 1- 2 3,1+ 2 3ù 2 2 2 2
解：如圖所示,
uuur uuur uuuur2 uuuur2 uuuur2
在 RtVABC 上,不妨取 AB 的中點M ,則 PA × PB = PM - AM = PM - 4 .
設圓的半徑為 r =1 ,而
uuur uuur
| PM |max =| CM | +r = 2 +1 = 3 ,則 (PA × PB) = 3
2
max - 4 = 5 ,
uuur uuur
| PM |mi n =| CM | -r = 2 -1 =1 ,則 (PA × PB) =1
2
mi n - 4 = -3 ,
uuur uuur
因此 PA × PB 的取值范圍是-[3,5] .
故選：C
1．（23-24 高一下·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）如圖，已知正方形 ABCD 的邊長為 2，若動點 P 在以 AB 為直徑的
uuur uuur
半圓 E（正方形 ABCD 內(nèi)部，含邊界），則PC × PD 的取值范圍為 .
【答案】 0,4
uuur uuur 2
【分析】先求得 PE 的取值范圍，再利用向量數(shù)量積的運算法則將所求轉(zhuǎn)化為 PE -1，從而得解.
【詳解】因為正方形 ABCD的邊長為 2，取CD 的中點E ，連接PE，
uuur
當 P 在A 點或 B 2 2點時， PE = 2 +1 = 5 ，
max
uuur
當 P 在弧 AB 中點時， PE = 2 -1 =1，
min
uuur
所以 PE 的取值范圍為 é1, 5ù ，
uuur uuur 1 uuur uuur
因為EC = -ED = DC ， DC = 2，
2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur2所以PC × PD = PE + EC × PE + ED = PE 1- DC4
uuur 2 1 uuur 2 uuur 2
= PE - DC = PE -1，
4
uuur uuur 2 uuur 2
因為 PE é 1, 5ù ，所以 PE 1,5 ，故 PE -1 0,4 ，
uuur uuur
uuur uuur所以PC × PD 0,4 ，即PC × PD 的取值范圍為 0,4 .
故答案為： 0,4 .
2．（2023·天津紅橋·二模）已知菱形 ABCD 的邊長為 2， BAD =120° ，點 E 在邊 BC 上，BC = 3BE，若 G
uuur uuur
為線段 DC 上的動點，則 AG × AE 的最大值為（ ）
8
A．2 B．
3
10
C． D．4
3
【答案】B
【分析】利用向量的數(shù)量積的定義及數(shù)量積的運算，結(jié)合向量的線性運算即可求解.
【詳解】由題意可知，如圖所示
因為菱形 ABCD 的邊長為 2， BAD =120° ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
所以 AB = AD = 2 , AB
1
× AD = AB AD cos120° = 2 2 -

÷ = -2，
è 2
uuur uuur
設DG = lDC,l 0,1 ，則
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
AG = AD + DG = AD + lDC = AD + l AB ，
uuur 1 uuur 1 uuur
因為BC = 3BE ，所以BE = BC = AD ,
3 3
uuur uuur uuur uuur 1 uuurAE = AB + BE = AB + AD ,
3
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
AG × AE = AD + l AB × AB 1+ AD 1 uuur2 uuur2 l uuur uuur ÷ = AD + l AB + (1+ )AD × AB
è 3 3 3
1 l 10
= 22 + l 22 + 1+

÷ -2 = l
2
- ,
3 è 3 3 3
uuur uuur 8
當l = 1時， AG × AE 的最大值為 .3
故選：B.
uuur uuur
【點睛】關鍵點睛：解決此題的關鍵是利用向量的線性運算求出 AG, AE ，結(jié)合向量數(shù)量積定義和運算即可.
3．（23-24 高一下·北京昌平·期末）在矩形 ABCD中， AB = 2 ， AD = 3， P 為矩形 ABCD所在平面內(nèi)的動點，
uuur uuur
且PA =1，則PB × PC 的最大值是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
uuuuur uuur
【分析】建立平面直角坐標系，設P(x, y) ，根據(jù)條件得到PB =(2 - x, -y), PC = (2 - x,3 - y) ，從而得到
uuur uuur
PB × PC 3 9= (x - 2)2 + (y - )2 - ，又 x2 + y2 =1，結(jié)合圖形，得PH = (x - 2)2 + (y 3- )2 AH + AP，即可求
2 4 2
出結(jié)果.
【詳解】如圖，建立平面直角坐標系，設P(x, y) ，BC 中點為 H ，
因為 AB = 2 ， AD = 3，所以 A(0,0) , B(2,0)，C(2,3)， H (2,
3)
2 ，
uuuuur uuur uuur uuur 3 9
得到PB =(2 - x, -y), PC = (2 - x,3 - y) ，所以PB × PC = (x - 2)2 + y2 - 3y = (x - 2)2 + (y - )2 - ，
2 4
又因為PA = 1，所以 x2 + y2 =1，
又PH = (x - 2)2 + (y 3- )2 AH + AP 9 7= 22 + +1 = ，當且僅當H , A, P（ P 在HA的延長線上）三點共線
2 4 2
時取等號，
uuur uuur
所以PB
3
× PC = (x - 2)2 + y2 - 3y = (x - 2)2 + (y - )2 9 49 9- - =10，
2 4 4 4
故選：B.
uuur uuur
【點睛】關鍵點點晴：設P(x, y) 2，利用向量數(shù)量積的坐標運算，得到PB × PC = (x - 2) + (y
3
- )2 9- ，再利
2 4
用圓的幾何性質(zhì)，即可求解.
π
4．（23-24 高二下·浙江·期中）在△ABC 中，BC＝2， BAC = ，D 為 BC 中點，在△ABC 所在平面內(nèi)有一
3
uur uuur uuur uuur uuur uuur
動點 P 滿足PB × PD = PC × PD ，則 AP × BC 的最大值為（　　）
A 3 2 3 4 3． B． C． 3 D．
3 3 3
【答案】D
uur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【分析】根據(jù)PB × PD = PC × PD 化簡整理得出PD × BC = 0 ，由此將 AP × BC 化簡，可得 AP × BC = AD × BC ．根
π
據(jù) BC = 2且 BAC = ，得到點 A 在以 BC 為弦的優(yōu)弧上運動（不含端點），以 B 為原點建立直角坐標系，
3
uuur uuur求出BAC 所在圓的方程，設出點 A 的坐標，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算法則與圓的性質(zhì)求出 AD × BC 的最
大值，進而得到答案．
uur uuur uuur uuur uuur uuur uur uuur uuur
【詳解】由PB × PD = PC × PD ，得PD × (PC - PB) = 0 ，即PD × BC = 0 ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
所以 AP × BC = (AD - PD) × BC = AD × BC - PD × BC = AD × BC ．
π
因為BC = 2， BAC = ，所以點 A 在以 BC 為弦的優(yōu)弧上運動（不含端點）．
3
設B AC 所在圓的圓心為 M，連接 MB、MC、MD，
BD 3 BD 2 3
則 MD⊥BC， BMC
2π
= ，可得BD =1 MD = = , BM = =， ， ．
3 tan π 3 sin π 3
3 3
以 B 為原點，BC 所在直線為 x 軸，建立如圖所示平面直角坐標系，
2
可得C 2,0 , D 1,0 , M 1,
3
÷÷，圓 M 的方程為 x -1
2 + y
3 4
-
è 3 3 ÷
÷ = ，
è 3
uuur uuur
設 A m, n ，則 AD = 1- m,-n ，結(jié)合BC = 2,0 ，
uuur uuur
可得 AD × BC = 2 1- m + 0 = 2 - 2m，
2

A M x 1 2 y 3
4
因為 點在圓 ： - + - ÷÷ = 上運動，
è 3 3
所以1 2 3 2 3- m 1+ ，可得當m =1 2 3 2 3 4 3- 時， 2 - 2m = 2 - 2(1- ) = ，達到最大值．
3 3 3 3 3
2 3 uuur uuur 4 3
綜上所述，當m =1- 時， AD × BC 有最大值 ．
3 3
故選：D．
【點睛】平面向量解決幾何最值問題，通常有兩種思路：
①形化，即用平面向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或取值范圍問題，然后根據(jù)平面圖形的
特征直接進行求解；
②數(shù)化，即利用平面向量的坐標運算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域，不等式的解集，方程有解
等問題，然后利用函數(shù)，不等式，方程的有關知識進行求解.
5．（23-24 高一下·湖南常德·期中）如圖，直線 l1//l2，點A 是 l1， l2之間的一個定點，點A 到 l1， l2的距離分
別為 2 和 6 ．點 B 是直線 l2上一個動點，過點A 作 AC ^ AB，點E, F 在線段BC 上運動（包括端點）且EF =1，
uuur uuur
若VABC的面積為 2 3 ．則 AE × AF 的最小值為（ ）
11 7
A． 3 B． C 3 2． D．
4 2 4
【答案】B
BE
【分析】如圖，設 OAB
π
= q (0 < q < )
2 ，根據(jù)三角形面積求得
AB, AC, BC ，設 = x (0 x 1)，利用平面向
BC
uuur uuur uuur uuur 1 uuur 5 uuur uuur uuur
量的線性運算可得 AE = xAC + (1- x)AB, AF = (x - )AC + ( - x)AB4 4 ，結(jié)合 AB × AC = 0和數(shù)量積的運算律和二次函數(shù)
的性質(zhì)計算即可求解.
π π
【詳解】如圖，設 OAB = q (0 < q < ) ，則 DAC = -q2 2 ，
AB OA 6= = , AC AD 2= =
所以 cosq cosq cos(π -q ) sinq ，
2
S 1 AB AC 1 6 2 2 3得 VABC = × = × × = ，又 S = 2 3，2 2 cosq sinq sin 2q VABC
2 3
所以 = 2 3 ，得 sin 2q = 1，解得q
π
= ，
sin 2q 4
uuur uuur
所以 AB = 2 3, AC = 2，故BC = AB2 + AC2 = 4， AB × AC = 0，
BE
= x (0 x 1) CE 1 x, BF BE - EF x 1 , CF CE + EF 5設 ，則 = - = = - = = - x
BC BC BC BC 4 BC BC 4
，
uuur uuur uuur uuur BF uuur CF uuur 1 uuur 5 uuur
所以 AE = xAC + (1- x)AB, AF = × AC + × AB = (x - )AC + ( - x)ABBC BC 4 4 ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
則 AE × AF = [xAC + (1- x)AB] [(x
1
× - )AC 5+ ( - x)AB]
4 4
1 uuur2 5 uuur uuur uuur uuur uuur2
= (x2 - x)AC + ( x - x2 )AC × AB + (1- x)(x 1- )AC × AB + (1- x)(5 - x)AB
4 4 4 4
2
16x2 28x 15 16 x 7 11= - + = - ÷ + ，
è 8 4
7 uuur uuurx 11當 = 時， AE × AF 取得最小值，且為 .8 4
故選：B
【點睛】方法點睛：本題考查平面向量與幾何的最值問題，該類問題常見的處理方法為：
（1）基底法：通過基底的建立與表示進行求解；
（2）坐標法：通過平面直角坐標系，結(jié)合坐標公式進行求解；
（3）轉(zhuǎn)化法：通過平方關系的轉(zhuǎn)化求解平面向量問題.
uuur uuur
6．（2024·黑龍江牡丹江·模擬預測）已知 A, B,C 是邊長為 1 的正六邊形邊上相異的三點，則 AB × BC 的取值
范圍是 .
-4, 9 ù【答案】
è 16ú
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【分析】一方面BA × BC BA × BC 2 2 = 4，而A ， B ，C 不重合，所以BA × BC < 4 ；另一方面，設 AC
uuur uuur uuuur uuur 2
中點為M | AC |，那么 BA × BC =| BM |2 - ，設A 在六邊形的端點上，同理不妨設C 在六邊形的端點上．分四種
4
uuur uuur 9 uuur uuurBA × BC - 9情況即可得 ，剩下的只需證明何時取等并且 可以遍歷[- , 4)
16 BA × BC 16
中的每一個數(shù)．
uuur uuur uuur uuur
【詳解】首先， BA × BC BA × BC 2 2 = 4，這里 2是最長的那條對角線的長度，
uuur uuur
等號取到當且僅當BA, BC 同向，且 | BA |=| BC |= 2，而這意味著 A,C 重合，矛盾.
uuur uuur
所以BA × BC < 4 .
uuur uuur 9
另一方面，我們先舍棄 A, B,C 互不重合的條件，然后證明BA × BC - ：
16
uuur 2
AC M uuur uuur uuuur 1 uuur uuuur 1 uuur uuuur 2 AC設 中點為 ，那么BA × BC = BM + CA÷ × BM - CA÷ = BM - ，
è 2 è 2 4
uuur uuur
然后，設 A 所在的邊的端點為 A1, A2 ，則BA × BC min
uuur uuur uuuur uuur
BA1 × BC, BA2 × BC ，
uuur uuur uuuur uuur uuur
（這是因為，記OA = (1- t)OA1 + tOA2 ，其中O為原點，確定的BA × BC = f t ，
那么 f t 是一次函數(shù)，從而 t 屬于 0,1 時，有 f (t) min f 0 , f 1 ）
所以我們可以不妨設 A 在六邊形的端點上.
同理，我們可以不妨設 C 在六邊形的端點上.
此時分以下四種情況：
uuur 2
(1) A,C uuur uuur uuuur重合，此時 2 ACBA × BC = BM - 0 - 0 = 0，
4
uuur 2
(2) A,C uuur uuur uuuur AC為相鄰頂點，此時 2BA × BC = BM 1 1- 0 - = - ，
4 4 4
uuur 2
(3) A,C uuur uuur uuuur AC相隔一個頂點，此時 2BA × BC BM 3 3 9= - - = - ，
4 16 4 16
uuur 2
(4) A,C uuur uuur uuuur AC為對徑點，此時 2BA BC BM 3 1 1× = - - = - ，
4 4 4
uuur uuur 9
綜上，BA × BC - ，
16
uuur uuur 9
所以，即使去掉 A, B,C 互不重合的條件，我們?nèi)杂蠦A × BC - ，
16
uuur uuur
這就說明， A, B,C
9
互不重合時，有- BA × BC < 4，
16
然后，取等條件如圖所示：
具體說明如下：構(gòu)造一個 0,1 到六邊形的函數(shù) A(t), B(t),C(t)（即從數(shù)映射到點），
使得 (A(0), B(0),C(0)) = (A1, B1,C1), (A(1), B(1),C(1)) = (A2 , B2 ,C2 )，并且只沿著最近的軌道，
這樣在0 t <1的情況下， A(t), B(t),C t 互不重合
uuuuuuuuur uuuuuuuuur 9
同時設 g(t) = B(t)A(t) × B(t)C(t)，那么 g(0) = - , g(1) = 4，而 g t 連續(xù)，
16
所以在0 t <1的情況下， g t é 9必定取遍 ê- , 4

÷，
16
uuur uuur é 9
這就意味著，BA × BC 的取值范圍就是 ê- , 4 ， 16 ÷
uuur uuur 9
所以 AB × BC 的取值范圍是 -4,
ù
è 16ú
.


故答案為： -4,
9 ù
ú .è 16
【點睛】關鍵點點睛：對 A,C 分以下四種情況：
uuur 2
(1) A,C uuur uuur uuuur AC重合，此時 2BA × BC = BM - 0 - 0 = 0，
4
uuur 2
(2) A,C uuur uuur uuuur 2 AC為相鄰頂點，此時BA × BC BM 0 1 1= - - = - ，
4 4 4
uuur 2
(3) A,C uuur uuur uuuur AC相隔一個頂點，此時 2BA × BC = BM 3 3 9- - = - ，
4 16 4 16
uuur 2
(4) A,C uuur uuur uuuur AC為對徑點，此時 2BA × BC 3 1= BM - -1 = -
4 4 4
1．（23-24 高二下·河北唐山·期末）已知圓 (x - 2)2 + y2 = 9的弦 AB 的中點為Q 1,1 ，點 P 為圓上的動點，則
uuur uuur
PA × PB 的最大值為（ ）
A．2 B．6 2 - 3 C．8 D． 4 + 6 2
【答案】D
uuur uuur | AB |2
【分析】由題意，圓心 M 2,0 ，半徑為 3，且 AB = 2 7 和 PQ MQ + 3，再由 PA × PB =| PQ |2 - ，
4
即可求解.
【詳解】圓 (x - 2)2 + y2 = 9，圓心M 2,0 ，半徑為 3，如圖，
Q 1,1 為弦 AB 的中點， MQ ^ AB, MQ = 2 ，
AB = 2 MB |2 - MQ |2 = 2 7,
PQ MQ + 3 = 3+ 2, P, M ,Q 共線時等號成立，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur
PA × PB = PQ + QA × PQ + QB = PQ - AB 2 ÷ × PQ + AB ÷è è 2
| AB |2
=| PQ |2 - =| PQ |2 -7 11+ 6 2 - 7 = 4 + 6 2 .
4
故選:D.
uuur uuur
2．（23-24 高一下·北京順義·期中）已知點 A，點 B，點 P 都在單位圓上，且 AB = 3 ，則PA × PB 的最大值
是（ ）
3
A． B．3 C．1 D．2
2
【答案】A
uuur uuur
【分析】設 AB 的中點為E ，得 | OE |
1 1
= ， AOB =120o ，將
2 PA × PB
化為 - cos POE ，根據(jù)-1 cos POE 1
2
可得結(jié)果.
【詳解】設 AB 的中點為E ，因為 | OA |=| OB |=1， AB = 3 ，
1
所以 | OE |= ， AOB =120o ，
2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2則PA × PB = OA - OP × OB - OP = OA ×OB - OP × OA + OB + OP
uuur uuur
=1 1 1 - 2 ÷
- 2OP ×OE +1
è
1 1 1
= - +1- 2 1 cos POE = - cos POE ，
2 2 2
1 uuur uuur 3
因為-1 cos POE 1，所以- PA × PB ，
2 2
uuur uuur 3
即PA × PB 的最大值是 .2
故選：A.
uuur uuur 1
【點睛】關鍵點點睛：設 AB 的中點為E ，將PA × PB 化為 - cos POE ，是解決本題的關鍵.2
3．（23-24 高一下·福建泉州·期中）在RtVABC 中， A = 90o , AB = 2, AC = 6，D 為 BC 的中點，點 P 在VABC
uuur uuur
斜邊 BC 的中線 AD 上，則 PBgPC 的取值范圍為（ ）
A． -10,0 B． -6,0 C． 0,6 D． 0,10
【答案】A
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【分析】先將 PBgPC 轉(zhuǎn)化成 PD + DB · PD + DC ，再結(jié)合平方差公式和已知條件即可求解.
1 22 + 62
【詳解】由題 AD = DB = DC = BC = = 10 ，
2 2
所以由點 P 在VABC 斜邊 BC 的中線 AD 上得PD é ù 0, 10 ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur故PB·PC = PD + DB · PD + DC = PD + DB · PD - DB
uuur2 uuur2 uuur2
= PD - DB = PD -10 -10,0 ，
故選：A.
4．（23-24 高一下·重慶·期末）如圖，已知正方形 ABCD的邊長為 2，若動點 P 在以 AB 為直徑的半圓上（正
uuur uuur
方形 ABCD內(nèi)部，含邊界），則PC × PD 的取值范圍為（ ）
A． 0,2 B． 0,4 C． 0,3 D． 0,1
【答案】B
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【分析】取CD 中點E ，連接PE，求出 PE 的取值范圍，再根據(jù) PC × PD = PE + EC × PE + ED 結(jié)合數(shù)量
積的運算律求解即可.
【詳解】取CD 中點E ，連接PE，
因為 ABCD是邊長為 2 的正方形，動點 P 在以 AB 為直徑的半圓上，
uuur
所以當 P 在A 點或 B 點時， PE 取得最大值 5 ，
uuur
當 P 在弧 AB 中點時， PE 取得最小值1，
uuur
PE 的取值范圍為 é 1, 5ù ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur又因為PC × PD = PE + EC × PE + ED ，EC = -ED = DC ， DC = 2，2
uuur uuur uuur2 uuur uuur uuur uuur uuur2
所以PC × PD = PE - PE × EC + EC × PE - EC
uuur 2 uuur 2 uuur 2
= PE 1- DC = PE -1，
4
uuur
因為 PE 的取值范圍為 é ù 1, 5 ，
uuur 2 uuur uuur
所以 PE 的取值范圍為 1, 5 ，PC × PD 的取值范圍為 0,4 ，
故選：B
5．（23-24 高一下·北京·階段練習）在直角梯形 ABCD中， AD∥BC ， ABC = 90°， AD = 2AB = 2BC = 2，
uuur uuur
點 P 為梯形 ABCD四條邊上的一個動點，則PA × PB 的取值范圍是（ ）
é 1 ù é 1 ù é 1 ù
A． ê- , 4ú B． ê- , 2ú C． -1,4 D． ê- , 4 2 2 4 ú
【答案】D
【分析】此題可以先證明一下極化恒等式，再使用，輕松解決此題.
【詳解】如圖VABP中，O 為 AB 中點，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
PAgPB = (PO + OA)g(PO + OB) = (PO + OA)g(PO - OA) = PO2 - OA2 （極化恒等式）
共起點的數(shù)量積問題可以使用.
如圖，取 AB 中點O，則由極化恒等式知，
uuur uuur
2 2 2 1 uuur uuurPA·PB = PO - OA = PO - ，要求PAg PB取值范圍，只需要求PO2最大，最小即可.4
17 uuur uuur 1
由圖，可知PO2 2 2 2 2 2最大時，P 在 D 點，即PO = DO = AD + AO = ，此時PA·PB = PO - = 4，4 4
uuur uuur 1 1
PO2最小時，P 在 O 點，即PO2 = 0 2，此時PA·PB = PO - = - .4 4
uuur uuur é 1 ù
綜上所得，PA × PB 取值范圍為: ê- , 4ú . 4
故選：D.
uuur uuur uur uuur uuur uuur
6．（23-24 高一下·重慶·期末）已知向量OA,OB滿足 OA = 1, OB = 2 ，且向量OB 在OA方向上的投影向量為
uuur uuur
OC 1
uuur uuur
OA．若動點 C 滿足 = ，則CAgCB 的最小值為（ ）2
1
A - B 4 - 2 6 C 1- 7 D 5 - 2 7． ． ． ．
2 3 2 4
【答案】D
uuur uuur uuuur2 1 uuur2
【分析】應用數(shù)形結(jié)合及極化恒等式，化CB·CA = CM - AB ，求解即可．
4
【詳解】解：如圖，
根據(jù)投影向量，OA ^ AB，則 AOB = 60°，且 AB = 3 ，
uuur 1 1
因為 OC = ，所以點 C 在以 O 為圓心，半徑 r = 的圓上運動．
2 2
uuur uuur uuuur2 1 uuur2 uuuur 2 3
設 M 是 AB 的中點，由極化恒等式得：CB·CA = CM - AB = CM - ，
4 4
uuuur 7 -1 uuuur 2CM OM r CM 3 8 - 2 7 3 5 - 2 7因為 = - = ，此時 - = - = ，
min 2 4 4 4 4
uuur uuur
g 5 - 2 7即CB CA的最小值為 ，
4
故選：D．
7．（23-24 高一下·湖北·期中）在VABC 中，點 E，F(xiàn) 分別是線段 AB, AC 的中點，點 P 在直線 EF 上，若VABC
uuur uuur uuur2
的面積為 4，則PB PC BC× + 的最小值是（ ）
2
A．2 B． 2 3 C．4 D 3．
2
【答案】C
uuur uuur uuuur2 1 uuur2 uuur uuur
uuur2
【分析】利用圖形將PB × PC 轉(zhuǎn)化成PM - BC ，代入即得 BC 14 PB × PC + = PM
2 + BC 2，根據(jù)VABC 的面
2 4
uuur
BC 4
uuur uuur 2
積為 4 得 = ，利用PM PN 進行放縮，由 BC 2 1 16 2 4 即
PN PB × PC + PN + 2 = PN + 2 4 = 42 4 PN PN 2
得最小值.
【詳解】
如圖，分別過點A ， P 作 AH ^ BC 于 H ，PN ^ BC 于 N ，取BC 中點M ,連接PM .
uuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur
易得PB × PC = [(PB + PC)2 - (PB - PC)2 ]，因
4 PB + PC = 2PM
，PB - PC = CB，
uuur uuur uuuur2 uuur2
則PB × PC = PM
1
- BC ，
4
uuur uuur uuur2 uuuur uuur uuur2 uuur22 2 uuuur2
故PB × PC BC+ = PM 1 BC BC 1- BC + = PM + = PM 2 + BC 2 ①
2 4 2 4 4
又V
1
ABC 的面積為 4，因 點 E，F(xiàn) 分別是線段 AB, AC 的中點，易得PN = AH ,
2
S 1 1 4故△BPC 的面積 VBPC = SVABC = 2 = BC PN ,即得BC = ，由圖知，PM PN ,2 2 PN
uuur uuur uuur2
則由①可得：PB PC BC PN 2 1 16 4× + + 2 = PN
2 + 2 4 = 4 ,當且僅當PM ^ BC 且 PN = 2 時等號
2 4 PN PN 2
成立，
uuur uuur uuur2
即PB BC× PC + 的最小值是 4.
2
故選：C.
8．（23-24 高一下·湖南張家界·期中）青花瓷（blue and white porcelain），又稱白地青花瓷，常簡稱青花，
是中國瓷器的主流品種之一，屬釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已見端倪，成熟的青花瓷則出現(xiàn)在元代景德
鎮(zhèn)的湖田窯.圖一是一個由波濤紋和葡萄紋構(gòu)成的正六邊形青花瓷盤，已知圖二中正六邊形的邊長為 2，圓O
的圓心為正六邊形的中心，半徑為1，若點M 在正六邊形的邊上運動，動點 A, B在圓O上運動且關于圓心O
uuur uuur
對稱，則MA × MB 的取值范圍是（ ）
A． 2,4 é 3B． ê , 4
ù
2 ú
C． 2,3 é3 ùD． ê ,3 2 ú
【答案】C
uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur
【分析】連接 AB,OM ，則MA × MB = MO + OA × MO + OB ，利用向量數(shù)量積的運算律即可求解.
【詳解】連接 AB,OM ，如圖所示：
uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur2 uuuur uuur uuuur uuur uuur uuur
則MA × MB = MO + OA × MO + OB = MO + MO ×OA + MO ×OB + OA ×OB
uuuur 2 uuuur uuur uuur uuuur 2= MO + MO × OA + OB -1 = MO -1，
uuuur 2
根據(jù)圖形可知，當點M 位于正六邊形各邊的中點時， MO 有最小值為 3，此時 MO -1 = 2，
uuuur 2
當點M 位于正六邊形的頂點時， MO 有最大值為 2，此時 MO -1 = 3，
uuur uuur uuur uuur
故 2 MA × MB 3，即MA × MB 的取值范圍是 2,3 ，
故選：C
9．（23-24 高一下·江蘇常州·階段練習）已知圖中正六邊形 ABCDEF 的邊長為 4，圓 O 的圓心為正六邊形的
uuuur uuur
中心，直徑為 2，若點 P 在正六邊形的邊上運動，MN 為圓 O 的直徑，則PM × PN 的取值范圍是（ ）
A． 12,16 B． 11,15 C． 12,15 D． 8,12
【答案】B
uuuur uuur uuur uuur2
【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，求得內(nèi)切圓和外接圓的半徑，再化簡得到PM × PN = PO -1，結(jié)合 r PO R
即可得解.
【詳解】由正六邊形 ABCDEF 的邊長為 4，圓O的圓心為正六邊形的中心，半徑為 1，
所以正六邊形 ABCDEF 的內(nèi)切圓的半徑為 r = OAsin 60o = 4sin 60o = 2 3，
外接圓的半徑為R = 4，
uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur
因為PM × PN = (PO + OM ) × (PO + ON ) = (PO + OM ) × (PO - OM )
uuur2 uuuur2 uuur2
= PO - OM = PO -1，
uuur uuur uuur
又 r PO R，即 PO [2 3,4] 2，可得PO -1 [11,15]，
uuuur uuur
所以PM × PN 的取值范圍是 11,15 .
故選：B.
uuuur uuur uuur2
【點睛】關鍵點點睛：本題解決的關鍵是，利用向量數(shù)量積的運算法則將PM × PN 轉(zhuǎn)化為 PO -1，從而得解.
10．（23-24 高一下·黑龍江哈爾濱·階段練習）鍵線式可以簡潔直觀地描述有機物的結(jié)構(gòu)，在有機化學中極其
重要，有機物萘可以用左圖所示的鍵線式表示，其結(jié)構(gòu)簡式可以抽象為右圖所示的圖形，已知 ABCHIJ 與
uuur uuur
CDEFGH 為全等的正六邊形，且 AB = 2 ，點 P 為線段 EF （包括頂點）上的一點，則 AP × BP 的取值范圍為
（ ）
A． 31,43 B． 37,43 C． 36,42 D． 31,42
【答案】C
uuur uuur uuuur 2 uuuur uuur uuur
【分析】取線段 AB 的中點M ，可得出 AP × BP = PM -1，求出 PM 的最大值和最小值，即可得出 AP × BP
的取值范圍.
uuur uuur
【詳解】取線段 AB 的中點M ，則MB = -MA，
uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur
AP × BP = PA × PB = PM + MA × PM + MB = PM + MA × PM - MA
uuuur 2 uuur 2 uuuur 2
= PM - MA = PM -1，
uuuur
由圖可知， 當點 P 在線段 EF 上由點E 到F 的過程中， PM 在逐漸增大，
以線段CH 的中點O為坐標原點，CH 所在直線為 y 軸，
線段CH 的垂直平分線所在直線為 x 軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，
則 A -2 3, -1 、B 3, 2 M 3 3- - 、 - ,
3
- ÷÷、D 3, -2 、E2 2 2 3,-1 、è
F 2 3,1 、G 3,2 ，設點P x, y ，
1 3 5
當點 P 在線段 EF 上運動時， x = 2 3，-1 y 1，則 y + ，2 2 2
2 2 2
PM 2
3 3 3 147
= 2 3 + + y + = + 3 所以， 2 ÷÷ ÷
y + ÷ 37,43 ；
è è 2 4 è 2
uuuur 2 36,42 uuur uuur則 PM -1的范圍為 ，即 AP × BP 的取值范圍為 36,42 .
故選：C.
uuur uuur
1．（21-22 高二上·浙江衢州·期末）已知點 P 在圓 x2 + y2 = 2上，已知 A(4,0)， B(0,-4) ，則PA × PB 的最小值
為 .
【答案】-6
uuur uuur uuuur2 uuuur2 uuuur2 1 uuur2 uuuur
【分析】推導出極化恒等式，即 PA × PB = PM - BM = PM - AB ，結(jié)合 | PM |最小值為
4 2 2 - 2 = 2
，
uuur uuur
求出PA × PB 的最小值.
【詳解】由題意，取線段 AB 的中點M 2, -2 uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur，則PA + PB = 2PM ，PA - PB = BA = 2BM ，兩式分別平方得：
uuur2 uuur uuur uuur2 uuuur2 uuur2 uuur uuur uuur2 uuuur2
PA + 2PA × PB + PB = 4PM ①，PA - 2PA × PB + PB = 4BM ②，①－②得：
uuur uuur uuuur2 uuuur2 uuuur2
PA PB PM BM PM 1
uuur2 uuuur
× = - = - AB ，因為圓心O 0,0 到M 2, -2 距離為 OM = 2 2 ，所以 | PM |最小值為
4
uuur
2 2 - 2 = 2 ，又 | AB |= 4 2 ，故最小值為： 2 -8 = -6 .
故答案為：-6
2．（21-22 高一下·浙江·期中）正方形 ABCD 的邊長為 2，O 是正方形 ABCD 的中心，過中心 O 的直線 l 與
uuur uuur uuur uuuur uuur
邊 AB 交于點 M，與邊 CD 交于點 N，P 為平面內(nèi)一點，且滿足 2OP = lOB + 1- l OC ，則PM · PN 的最小
值為（　　）
1 9 7
A．- B．- C．-2 D．-
4 4 4
【答案】D
uuur uuur uuur uuur uuur
uuuur uuur【分析】設 2OP = OQ，由 2OP = lOB + 1- l OC 得到Q為直線OP與BC 的交點，再由極化恒等式PM · PN
1 uuuur uuur uuuur uuur uuuré 2
uuur2 uuur2 uuur2
= (PM + PN )
2 1- (PM - PN )2 ù
4
= PO - NO = QO - NO ，由 QO 1, NO 2 即可求解.
4
【詳解】
uuur uuur uuur uuur uuur
設 2OP = OQ，可得OQ = lOB + 1- l OC ，故C, B,Q三點共線，又O, P,Q 三點共線，故Q為直線OP與BC
的交點.
uuuur uuur 1 uuuur uuur uuuur uuur2 2 uuuur uuur uuur uuuur uuur uuuur uuurPM · PN = é (PM + PN ) - (PM - PN ) ù，又PM + PN = 2PO, PM - PN = NM = 2NO，4
uuuur uuur uuur2 uuur2 1 uuur2 uuur2 uuuur uuur
可得PM · PN = PO - NO = QO - NO ，又 QO 1, NO 2 ，所以4 PM
· PN
1 uuur 2 uuur 2 1 2QO NO 1 2 7= - - = - .4 4 4
故選：D.
uuur uuur
3．（21-22 高一下·江西·期中）已知點M 是正六邊形 ABCDEF 內(nèi)部（包括邊界）一動點， AB = 4 ，則MA × MB
的最大值為 ．
【答案】48
uuur uuur
【分析】通過分析圖形，將求解MA × MB 的最大值，轉(zhuǎn)化為求正六邊形內(nèi)部（包含邊界）一點到 AB 邊中點
N 的距離的最大值，利用幾何意義解決問題
【詳解】
uur uuur uuur uuur
如圖，設 AB 的中點為 N ，連接MN ，則 NA = -NB AB = 4 則 NA = NB = 2
uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur 2 uuur 2 uuuur 2 MA × MB = MN + NA × MN + NB = MN - NB = MN - 4．
uuuur
因為點M 為正六邊形 ABCDEF 內(nèi)部（包括邊界）一動點，所以當點M 與點D或點E 重合時， MN 取得最
大值;
在DDCB中 DC = CB = 4, DCB 2p DB 42 42 2 4 2p = = + - 4 cos = 4 3
3 3
2
易知， | DN |= 4 3 + 22 = 2 13 所以最大值為52 - 4 = 48．
故答案為：48.
4．（2024 高三·全國·專題練習）已知 A，B，C，D 是半徑為 2 的圓 O 上的四個動點，若 AB = CD = 2，則
uur uuur uuur uuur
CA ×CB + DA × DB 的最大值為（ ）
A．6 B．12 C．24 D．32
【答案】C
【分析】利用極化恒等式進行轉(zhuǎn)化可求最大值.
【詳解】如圖：
分別取 AB，CD 的中點 E，F(xiàn)，連接 DE，CE，EF．
又 AB = CD = 2，所以由極化恒等式得
uuur uuur uuur2 1 uuur2 uuur2 uuur uuur uuur2 1 uuur2 uuur2CA ×CB = CE - AB = CE -1，DA × DB = DE - AB = DE -1，
4 4
uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur2 uuur uuur 2 uuur uuur
所以CA ×CB + DA × DB = CE -1+ DE -1 = CE + DE - 2CE × DE - 2
uuur 2 uuur2 1 uuur2 uuur2= -2EF - 2 EF - CD ÷ - 2 = 2EF ．
è 4
連接 OE，OF，OA，OB，OC，OD，
由 AB = CD = 2，OA = OB = OC = OD = 2，得OE = OF = 3 ，
所以 E，F(xiàn) 在以 O 為圓心， 3為半徑的圓上．所以 EF 的最大值為 2 3 ，
uur uuur uuur uuur
所以CA ×CB + DA × DB 的最大值為 24．
故選：C
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【點睛】知識點點睛：極化恒等式：在DABC中，若D為 AB 中點，則CA ×CB = CD + DA × CD + DB
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2 1 uuur2= CD + DA × CD - DA 2 2= CD - DA = CD - AB .4
π
5．（23-24 高一下·浙江·期中）已知VABC 中，BC = 4， A = ，若VABC3 在平面內(nèi)一點D滿足
uuur uuur uuur r uuur uuur
3DB + 3DC + DA = 0 ，則DB × DC 的最大值為
184
【答案】-
49
【分析】設BC 的中點為E ，則根據(jù)題意知D為BC 邊上的中線 AE 的靠近E 的 7 等分點，化簡得
uuur 2
uuur uuur AE
DB × DC = ÷ - 4 ，利用余弦定理得 AB2 + AC 2 =16 + AB × AC ，利用基本不等式可得 AB × AC 16，再利
7 ÷
è
uuur uuur uuur
用 AE
1 AB 1= + AC ，兩邊平方，化簡即可得到答案.
2 2
【詳解】如圖，設BC 的中點為E ，
uuur uuur uuur r uuur uuur uuur uuur
因為3DB + 3DC + DA = 0 ，所以DA = -3(DB + DC) = -6DE，
所以D為BC 邊上的中線 AE 的靠近E 的 7 等分點，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
所以DB × DC = (DE + EB) × (DE + EC) = (DE + EB) × (DE - EB)
uuur 2
uuur2 uuur2 uuur 2 uuur 2 uuur 2 AE
= DE - EB = DE - EB = DE - 4 = ÷ - 4，
7 ÷
è
2 2 2
在VABC ，由余弦定理可得：BC = AB + AC - 2 × AB × AC ×cos
π
，即 AB2 + AC 23 =16 + AB × AC
，
利用基本不等式可得： AB2 + AC 2 =16 + AB × AC 2AB × AC ，即 AB × AC 16，當且僅當 AB = AC 時取等號；
uuur 1 uuur 1 uuur
因為E 為BC 的中點，則 AE = AB + AC ，兩邊同時平方可得：
2 2
uuur 2 1 uuur 2 1 uuur 2AE AB AC 1
uuur uuur uuur 2 uuur 2 uuur uuur
= + + AB × AC 1 1= AB + AC 1+ AB × AC ，
4 4 2 4 4 4
uuur 2 1 uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur
所以 AE = (16 + AB × AC ) + AB × AC = 4 + AB × AC 4
1
+ 16 =12，即VABC 為等邊三角形時，
4 4 2 2
uuur
AE = 2 3 ，
max
uuur uuur 12 184所以 DB × DC = - 4 = - ；
max 49 49
184
故答案為：-
49
BD
6．（22-23 高一下·湖北襄陽·期中）已知四邊形 ABCD中， AC ^ BD, AB = BC = =1, AC = CD = 3 ，點E
2
uuur uuur
在四邊形 ABCD的邊上運動，則EB × ED 的最小值是（ ）
3 1 3
A． B．- C．- D．-1
4 4 4
【答案】C
【分析】由題意分析可知四邊形 ABCD關于直線BD對稱，且BC ^ CD，只需考慮點 E 在邊BC,CD上的運
uuur uuur
動情況即可，然后分類討論,求出EB × ED 最小值.
【詳解】
如圖所示，因為 AC ^ BD ，且 AB = BC ，所以BD垂直且平分 AC ，
則VACD為等腰三角形，又 AC = CD = 3 ，所以VACD為等邊三角形,
則四邊形 ABCD關于直線BD對稱，故點 E 在四邊形 ABCD上運動時，
只需考慮點 E 在邊BC,CD上的運動情況即可，
因為 AB = BC
BD
= =1，CD = 3 ，知BC 2 + CD2 = BD2，即BC ^ CD，2
uuur uuur
則CB ×CD = 0，
uuur uuur uuur uuur
①當點 E 在邊BC 上運動時，設EB = lCB(0 l 1)，則EC = (l -1)CB ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2
則EB × ED = EB × (EC + CD) = lCB × (l -1)CB = l(l -1)CB = l(l -1) = l 2 - l ,
1 uuur uuur 1
當l = 時，
2 EB × ED
最小值為 – ；
4
②當點 E 在邊CD 上運動時，
uuur uuur uuur uuur
設ED = kCD(0 k 1) ,則EC = (k -1)CD ,
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur uuur
則EB × ED = (EC + CB) × ED = EC × ED + CB × ED = k(k -1)CD + kCD ×CB
= 3k 2 - 3k ，
1 uuur uuurk 3當 = 時，EB × ED 的最小值為- ；2 4
uuur uuur 3
綜上，EB × ED 的最小值為- ；4
故選：C．
uuur uuur
【點睛】方法點睛：由題意可推得四邊形 ABCD的幾何性質(zhì)，即要推出CB ×CD = 0，然后要考慮 E 點位置，
uuur uuur
即要分類討論，進而根據(jù)向量的線性運算表示出EB × ED ，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可求解.
7．（2023 高三·全國·專題練習）如圖，在等腰直角三角形 ABC 中，斜邊 AC = 2，M 為線段 AB 上的動點（包
uuur uuur
含端點），D為 AC 的中點．將線段 AC 繞著點D旋轉(zhuǎn)得到線段 EF ，則ME × MF 的最小值為（　　）
3
A．-2 B．-
2
1
C． -1 D．-
2
【答案】D
uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur2 2 2 1 2 uuur uuur
【分析】利用轉(zhuǎn)化法，將ME × MF 轉(zhuǎn)化為MD - DE 或MD - FE ，進而求得4 ME × MF
的最小值.
【詳解】解法一：
uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur連接MD ，則ME × MF = MD + DE × MD + DF
uuuur uuur uuuur uuur uuuur2 uuur2= MD + DE × MD - DE = MD - DE ，
uuuur
當MD ^ AB時，MD 2最小，即 MD = ，
min 2
uuur2 uuur uuur 1
結(jié)合DE =1，得ME × MF 的最小值為- ．2
解法二（極化恒等式法）：
依題意BC = 2 ，D為線段 EF 的中點，
uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur 2 uuur uuur 2
則ME + MF = 2MD, ME
1
× MF = éê ME + MF - ME - MF4
ù
ú
uuuur2 1 uuur2
= MD - FE ,
4
uuuur 2 uuur2 uuur uuur 1
由于 MD = ，F(xiàn)E = 4 ，所以ME × MF 的最小值為- ．
min 2 2
故選:D
8．（23-24 高三上·湖北襄陽·階段練習）已知eO 的半徑為 1，直線PA與eO 相切于點A ，直線 PB與eO 交
uuur uuur
于B，C 兩點，D為BC 的中點，若 PO = 2 ，則PA× PD的最大值為（ ）
A 1+ 2 B 1+ 2 2． ． C．1 D． 2 + 2
2 2
【答案】A
【分析】利用數(shù)形結(jié)合方法與轉(zhuǎn)換法，從而可求解.
【詳解】因為 PO = 2 ，所以設P 2,0 ，eO 的方程為： x2 + y2 =1，具體如下圖所示：
連接OA，因為 OA =1，直線PA與eO 相切，所以 PA =1， OPA
π
= ，連接OD ，
4
é
因為D為BC 的中點，所以OD ^ DP ，設 OPD = a ，a ê0,
π
4 ÷，則
PD = 2 cosa ；

當點A 和點D在 x 軸同側(cè)時可得：
uuur uuur uuur uuur
PA × PD π= PA × PD cos -a =1× 2 cosa ×cos π a 2 é- = cos π + cos 2a π- ù 4 ÷ ÷è è 4 2 ê 4 ÷ è 4 ú
1 2 cos 2a π= + - ，
2 2 ֏ 4
é
又因為a ê0,
π
÷，所以 2a
π
- é
π π π 2 π 2
4 ê
- , ÷，當a = 時 cos 2a - ÷ 有最大值 ， 4 4 4 8 2 è 4 2
uuur uuur 1 2
所以：PA× PD的最大值為： + ；
2 2
當點A 和點D在 x 軸異側(cè)時可得：
uuur uuur uuur uuur
PA PD PA PD cos π a 1 2 cosa cos π a 2 écos π cos 2a π ù× = × + = × × + = - + +
è 4 ÷ ÷ ÷ ÷ è 4 2 ê è 4 è 4 ú
1 2
= + cos 2a
π
+ ÷ ，2 2 è 4
é π π é π 3π 2
又因為a ê0, ÷，所以 2a + ê , ÷ ，當a = 0 時 cos
2a π+ 1
4 ÷ 有最大值 ， 4 4 4 2 è 4 2
uuur uuur
所以：PA× PD的最大值為：1.
uuur uuur 1+ 2
綜上可知：則PA× PD的最大值為： .
2
故選：A.
uuur uuur
9．（2022·上海徐匯·模擬預測）已知圓O半徑為 1，P、A、B 是圓O上不重合的點， 則PA × PB 的最小值
為 .
1
【答案】- / -0.5
2
uuur uuur uuur2 uuur2
【分析】取 AB 中點 C，劣弧 AB 的中點 D，將PA × PB 轉(zhuǎn)化為PC - CB ，結(jié)合圖形，得到 P 為劣弧 AB 的
uuur2 uuur uuur uuurD 2中點 時，PC = DC ，設 DC = a, CB = b，由垂徑定理得到b2 = 2a - a2 ，從而得到
uuur uuur 2
PA 1 1× PB 2 a -

÷ - ，求出最小值.
è 2 2
【詳解】取 AB 中點 C，劣弧 AB 的中點 D，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur2PA × PB = PC + CA × PC + CB = PC - CB ，
uuur2 uuur2
顯然，P 為劣弧 AB 的中點 D 時，PC = DC 最小，
uuur uuur
記 DC = a, CB = b 2，由垂徑定理可得： 1- a + b2 =1，即b2 = 2a - a2 ，
uuur uuur 1 2 1
則PA × PB a2 - b2 = 2a2 - 2a = 2 a -
- ，
è 2 ÷ 2
1 uuur uuura 1當 = 時，PA × PB 取最小值，最小值為- .2 2
1
故答案為：-
2
【點睛】平面向量相關的幾何最值問題，要結(jié)合題干信息，作出合適的輔助線，運用二次函數(shù)或基本不等
式求解，或者建立平面直角坐標系，利用坐標進行求解
uuur uuur l uuur uuur
10．（22-23 高一下·遼寧沈陽·階段練習）已知VABC 中， AB = 8， AC = 2 ，且 AB + (2 - 2l)AC l R
2
uuur uuur
的最小值為 2 3 ，若 P 為邊 AB 上任意一點，則PB × PC 的最小值是（ ）
51 49 9
A．- B．-
25
C．- D．-
4 4 16 16
【答案】B
uuur uuur uuur
【分析】設 AD = 4AC ，由題可得G 、 B 、D三點共線，進而可得 AG 的最小值為A 到BD邊上的高，根據(jù)
π uuur uuur uuuur 2 1 uuur 2 uuuur
幾何關系求出 BAD = ，將PB × PC 化成 PM - BC ，通過幾何關系求出 PM 的最小值即可.3 4
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【詳解】設 AD = 4AC ，故 AB = AD = 8，若l AB + 4 - 4l AC = l AB + 1- l AD = AG ，
uuur
由l + 1- l =1，則 B ，G ，D共線，故 AG = 4 3 ，
min
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
由圖得，當 AG⊥BD 時 AG 有最小值，又 AB = AD = 4 AC = 8，
π π
∴ sin ABD sin ADB 4 3 3= = = ，即 ABD = ADB = , BAD = ，即△ABD 為等邊三角形．
8 2 3 3
uuur 2 uuur 2 uuur 2 uuur uuur 2 2 1
由余弦定理， BC = AB + AC - 2 AB AC cos BAC = 8 + 2 - 2 8 2 = 52，
2
uuur uuur uuuur 1 uuur uuuur 1 uuur uuuur 2 1 uuur 2
設 M 為 BC

中點，PB × PC = PM - BC ÷ × PM + BC ÷ = PM - BC ，
è 2 è 2 4
uuuur uuur uuur
∴當 PM 取最小值時，PB × PC 有最小值，
∵ P 為邊 AB 上任意一點，
uuuur uuur uuuur
∴當PM⊥AB時， PM 有最小值，
設 PM ^ AB ，過點C 作CE ^ AB 于點E ，則 CE = AC sin BAC = 3，
又PM / /EC ，PM 為VBCE 的中位線，
∴ PM = 1 CE 3 3= ，即 PM = ，
2 2 min 2
uuur uuurPB PC 3 1 49∴ × = - 52 = - ．
min 4 4 4
故選：B.
uuur uuur uuur uuur uuur
【點睛】關鍵點點睛： AD = 4AC 、l AB + 4 - 4l AC = AG 構(gòu)造等邊三角形△ABD 且 B ，G ，D共線，設
uuur uuur uuuur 2 1 uuur 2 uuur uuur uuur uuuur
M 為 BC 中點，由PB × PC = PM - BC ，（先求出 BC ），數(shù)形結(jié)合判斷
4 PB × PC
最小 PM 與相關線段位
置關系.

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