資源簡介

第 07 講 函數模型及其應用
（3 類核心考點精講精練）
1. 5 年真題考點分布
5 年考情
考題示例 考點分析 關聯考點
對數的運算性質的應用
2023 年新 I 卷，第 10 題,5 分 對數函數模型的應用
由對數函數的單調性解不等式
2. 命題規律及備考策略
【命題規律】本節內容是新高考卷的命題載體內容，通常會結合其他函數知識點考查，需要掌握函數的圖
象與性質，難度中等偏下，分值為 5 分
【備考策略】1.會選擇合適的函數類型來模擬實際問題的變化規律.
2.會比較一次函數、二次函數、冪函數、對數函數、指數函數增長速度的差異
3.了解函數模型（指數函數、對數函數、冪函數、分段函數等在社會生活中普遍使用的函數模
型）的廣泛應用
【命題預測】本節內容通常考查給定實際問題選擇用合適的函數解析式來模擬或求對應的實際應用值，是
新高考復習的重要內容
知識講解
1．三種函數模型的性質
函數 y＝ax y＝logax y＝xn
性質 (a>1) (a>1) (n>0)
在(0，＋∞)上
單調遞增 單調遞增 單調遞增
的增減性
增長速度 越來越快 越來越慢 相對平穩
隨 x 的增大逐漸表現為 隨 x 的增大逐漸表 隨 n 值變化而各有
圖象的變化
與 y 軸平行 現為與 x 軸平行 不同
2.常見的函數模型
函數模型 函數解析式
一次函數模型 f(x)＝ax＋b(a，b 為常數，a≠0)
二次函數模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 為常數，a≠0)
k
反比例函數模型 f(x)＝ ＋b(k，b 為常數且 k≠0)
x
指數函數模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c 為常數，a>0 且 a≠1，b≠0)
對數函數模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c 為常數，a>0 且 a≠1，b≠0)
冪函數模型 f(x)＝axα＋b(a，b，α 為常數，a≠0，α≠0)
3．解函數模型問題的步驟
(1)審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數量關系，初步選擇數學模型．
(2)建模：將自然語言轉化為數學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數學知識，建立相應的數學模
型．
(3)解模：求解數學模型，得出數學結論．
(4)還原：將數學問題還原為實際問題．
以上過程用框圖表示如下：
考點一、指數函數模型
1．（山東·高考真題）基本再生數 R0 與世代間隔 T 是新冠肺炎的流行病學基本參數.基本再生數指一個感染者
傳染的平均人數，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數模型：
I (t) = ert 描述累計感染病例數 I(t)隨時間 t(單位:天)的變化規律，指數增長率 r 與 R0，T 近似滿足 R0 =1+rT.有
學者基于已有數據估計出 R0=3.28，T=6.據此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數增加 1 倍需要的
時間約為(ln2≈0.69) （ ）
A．1.2 天 B．1.8 天
C．2.5 天 D．3.5 天
2．（2024·陜西安康·模擬預測）半導體的摩爾定律認為，集成電路芯片上的晶體管數量的倍增期是兩年，用
f (t) 表示從 t = 0開始，晶體管數量隨時間 t 變化的函數， f (0) = 1000，若 t 是以年為單位，則 f (t) 的解析式
為（ ）
f (t) 1000 1000A． = + t B． f (t) =1000 2t
24
t
C． f (t) =1000 22 D． f (t) =1000 + 2
t
3．（2024 高三下·全國·專題練習）小微企業是推進創業富民、恢復市場活力、引領科技創新的主力軍，一直
以來，融資難、融資貴制約著小微企業的發展活力.某銀行根據調查的數據，建立了小微企業實際還款比例 P
-0.968+kx
與小微企業的年收入 x e（單位：萬元）的關系為 P = -0.968+kx k R .已知小微企業的年收入為 80 萬元時，1+ e
其實際還款比例為50%，若銀行希望實際還款比例為 40%，則小微企業的年收入約為（參考數據：
ln 3 1.0986， ln 2 0.6931）（ ）
A．46.49 萬元 B．53.56 萬元 C．64.43 萬元 D．71.12 萬元
1．（2024·湖南益陽·三模）二手汽車價位受多方因素影響，交易市場常用年限折舊法計算車價位，即按照同
款新車裸車價格，第一年汽車貶值 20%，從第二年開始每年貶值 10%．剛參加工作的小明打算買一輛約 5
年的二手車，價格不超過 8 萬元．根據年限折舊法，設小明可以考慮的同款新車裸車最高價位是m(m N)
萬，則m =（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
2．（2024·廣東茂名·一模）Gompertz 曲線用于預測生長曲線的回歸預測，常見的應用有：代謝預測，腫瘤生
- x
長預測，有限區域內生物種群數量預測，工業產品的市場預測等，其公式為： f x = kab （其中
k > 0,b > 0， a為參數）.某研究員打算利用該函數模型預測公司新產品未來的銷售量增長情況，發現 a = e .
若 x =1表示該新產品今年的年產量，估計明年 x = 2 的產量將是今年的 e倍，那么b 的值為（ e為自然數對
數的底數）（ ）
A 5 -1． B 5 +1． C． 5 -1 D． 5 +1
2 2
3．（2024·四川德陽·三模）如今我國物流行業蓬勃發展，極大地促進了社會經濟發展和資源整合．已知某類
果蔬的保鮮時間 y(單位：小時)與儲藏溫度 x(單位：℃)滿足函數關系． y = eax+b (a，b．為常數)，若該果蔬在
7℃的保鮮時間為 288 小時，在 21℃ 的保鮮時間為 32 小時，且該果蔬所需物流時間為 4 天，則物流過程中
果蔬的儲藏溫度(假設物流過程中恒溫)最高不能超過（ ）
A．14℃ B．15℃ C．13℃ D．16℃
考點二、對數函數模型
1．（2024·湖南長沙·三模）地震震級通常是用來衡量地震釋放能量大小的數值，里氏震級最早是由查爾斯
里克特提出的，其計算基于地震波的振幅，計算公式為M = lgA - lgA0 ，其中M 表示某地地震的里氏震級，A
表示該地地震臺測振儀記錄的地震波的最大振幅， A0 表示這次地震中的標準地震振幅.假設在一次地震中，
某地地震臺測振儀記錄的地震波的最大振幅為 5000，且這次地震的標準地震振幅為 0.002，則該地這次地震
的里氏震級約為（ ）（參考數據： lg2 0.3）
A．6.3 級 B．6.4 級 C．7.4 級 D．7.6 級
2．（2024·山東泰安·模擬預測）青少年視力問題是社會普遍關注的問題，視力情況可借助視力表測量，通常
用五分記錄法和小數記錄法記錄視力數據，五分記錄法的數據 L和小數記錄法的數據V 滿足 L = 5 + lgV ．已
知小明和小李視力的五分記錄法的數據分別為 4.5和5.0，記小明和小李視力的小數記錄法的數據分別為
V V21,V2 ，則 V 的值所在區間是（ ）1
A． (1.5, 2) B． (2, 2.5) C． (2.5,3) D． (3,3.5)
3．（2023·全國·高考真題）（多選）噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓
p
級 Lp = 20 lg p ，其中常數
p0 p0 > 0 是聽覺下限閾值， p 是實際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級：
0
聲源 與聲源的距離 /m 聲壓級 /dB
燃油汽車 10 60 ~ 90
混合動力汽車 10 50 : 60
電動汽車 10 40
已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10m處測得實際聲壓分別為 p1, p2 , p3，則（ ）．
A． p1 p2 B． p2 > 10 p3
C． p3 = 100 p0 D． p1 100 p2
1．（2024·重慶·模擬預測）物理學家本·福特提出的定律：在b 進制的大量隨機數據中，以 n開頭的數出現的
概率為 Pb n = log
n +1
b ，應用此定律可以檢測某些經濟數據、選舉數據是否存在造假或錯誤．根據此定律，n
在十進制的大量隨機數據中，以 1 開頭的數出現的概率大約是以 9 開頭的數出現的概率的（ ）倍（參考
數據： lg2 = 0.301, lg3 = 0.477）
A．5.5 B．6 C．6.5 D．7
2．（2024·江西·二模）核酸檢測分析是用熒光定量PCR 法，通過化學物質的熒光信號，對在PCR 擴增進程
中成指數級增加的靶標DNA 實時監測，在PCR 擴增的指數時期，熒光信號強度達到閥初始數值時，DNA
的數量 X pn 與擴增次數 n滿足 lg X n = n lg 1+ p + lg X 0 ，其中 X 0 為DNA 的初始數量， 為擴增效率．已知某
被測標本DNA 擴增16次后，數量變為原來的10000倍，則擴增效率 p 約為（ ）
( 參考數據：100.25 1.778,10-0.25 0.562 )
A． 22.2% B． 43.8% C．56.2% D．77.8%
3．（2024·四川·模擬預測）2023 年 6 月 22 日，由中國幫助印尼修建的雅萬高鐵測試成功，高鐵實現時速350km
自動駕駛，不僅速度比普通列車快，而且車內噪聲更小．如果用聲強 I （單位：W / m2 ）表示聲音在傳播途
徑中每平方米上的聲能流密度，聲強級 L（單位：dB）與聲強 I 的函數關系式為 L = L0lg aI ，其中L0為基
10
準聲強級， a為常數，當聲強 I = 時，聲強級 L = 20dB．下表為不同列車聲源在距離 20m處的聲強級：
a
聲源 與聲源的距離（單位：m） 聲強級范圍
內燃列車 20 50,80
電力列車 20 20,50
高速列車 20 10
設在離內燃列車 電力列車 高速列車 20m處測得的實際聲強分別為 I1, I2 , I3，則下列結論正確的是（ ）
A． L0 = 30 B． I1 I2 C． I2 10I3 D． I1 100I2
考點三、建立擬合函數模型解決實際問題
1．（全國·高考真題）2019 年 1 月 3 日嫦娥四號探測器成功實現人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國
航天事業取得又一重大成就，實現月球背面軟著陸需要解決的一個關鍵技術問題是地面與探測器的通訊
聯系．為解決這個問題，發射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日 L2點的軌道運行．
L2點是平衡點，位于地月連線的延長線上．設地球質量為 M１，月球質量為 M２，地月距離為 R， L2點
到月球的距離為 r，根據牛頓運動定律和萬有引力定律，r 滿足方程：
M1 M 2
2 + 2 = (R + r)
M1
(R r) r R3 .+
a r 3a
3 + 3a 4 +a 5 3
設 = ，由于a 的值很小，因此在近似計算中 2 3a ，則 r 的近似值為R (1+a )
M M
A． 2 R B． 2 R
M1 2M1
3M M
C． 3 2 R D． 3 2 R
M1 3M1
2．（2024·陜西商洛·模擬預測）人工智能（Artificial Intelligence），英文縮寫為 AI.它是研究 開發用于模擬
延伸和擴展人的智能的理論 方法 技術及應用系統的一門新的技術科學.人工智能研究的一個主要目標是使
機器能夠勝任一些通常需要人類智能才能完成的復雜工作.在疫情期間利用機器人配送 機器人測控體溫等
都是人工智能的實際運用.某研究人工智能的新興科技公司第一年年初有資金 5000 萬元，并將其全部投入生
產，到當年年底資金增長了50%，預計以后每年資金年增長率與第一年相同.公司要求企業從第一年開始，
每年年底各項人員工資 稅務等支出合計 1500 萬元，并將剩余資金全部投入下一年生產.設第 n年年底企業
除去各項支出資金后的剩余資金為 a m m N*n 萬元，第 年年底企業的剩余資金超過 21000 萬元，則整數m
的最小值為 . lg2 0.3010;lg3 0.4771
1．（2024·重慶·二模）英國經濟學家凱恩斯（1883-1946）研究了國民收入支配與國家經濟發展之間的關系，
強調政府對市場經濟的干預，并形成了現代西方經濟學的一個重要學派一凱恩斯學派.機恩斯抽象出三個核
心要素：國民收入Y ，國民消費C 和國民投資 I ，假設國民收入不是用于消費就是用于投資，就有：
ìY = C + I
í . aC a aY 其中常數 0表示房租 水電等固定消費，
a a 1 為國民“邊際消費傾向”.則（
= + ） 0
A．若固定 I 且 I…0，則國民收入越高，“邊際消費傾向”越大
B．若固定Y 且Y…0，則“邊際消費傾向”越大，國民投資越高
a 4C．若 = ，則收入增長量是投資增長量的 5 倍
5
a 4 1D．若 = - ，則收入增長量是投資增長量的
5 5
1
2．（2024· 2北京朝陽·二模）假設某飛行器在空中高速飛行時所受的阻力 f 滿足公式 f = rCSv ，其中 r 是
2
空氣密度，S 是該飛行器的迎風面積， v是該飛行器相對于空氣的速度，C 是空氣阻力系數（其大小取決
于多種其他因素），反映該飛行器克服阻力做功快慢程度的物理量為功率P = fv . 當 r , S 不變， v比原來提高
10% 時，下列說法正確的是（ ）
A．若C 不變，則 P 比原來提高不超過30%
B．若C 不變，則 P 比原來提高超過40%
C．為使 P 不變，則C 比原來降低不超過30%
D．為使 P 不變，則C 比原來降低超過40%
一、單選題
1．（2024·河南三門峽·模擬預測）研究表明，地震時釋放的能量E （單位：焦耳）與地震里氏震級M 之間的
關系為 lgE = 4.8 +1.5M .2024 年 1 月 30 日在新疆克孜勒蘇州阿合奇縣發生了里氏 5.7 級地震，所釋放的能量
E
記為E1, 2024年 1 月 13
1
日在湯加群島發生了里氏 5.2 級地震，所釋放的能量記為E2 ，則比值 E 的整數部分2
為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．（2024·北京昌平·二模）中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關，經驗表明，某種
綠茶用 90℃的水泡制，再等到茶水溫度降至 60℃時飲用，可以產生極佳口感；在 20℃室溫下，茶水溫度從
90℃ t開始，經過 tmin 后的溫度為 y℃，可選擇函數 y = 60 0.9 + 20 t 0 來近似地刻畫茶水溫度隨時間變化
的規律，則在上述條件下，該種綠茶茶水達到最佳飲用口感時，需要放置的時間最接近的是（ ）
（參考數據： lg2 0.30, lg3 0.48）
A． 2.5min B． 4.5min C．6min D．8min
3．（2024·陜西安康·模擬預測）若一段河流的蓄水量為 v立方米，每天水流量為 k 立方米，每天往這段河流
k
- t
排水 r 立方米的污水，則 t
r r
天后河水的污染指數m t = + m0 -

÷e v m0 為初始值，mk k 0
> 0 ．現有一條被
è
污染的河流，其蓄水量是每天水流量的 60 倍，以當前的污染指數為初始值，若從現在開始停止排污水，要
1
使河水的污染指數下降到初始值的 ，需要的天數大約是（參考數據： ln7 1.95）（
7 ）
A．98 B．105 C．117 D．130
4．（2024·四川涼山·三模）工廠廢氣排放前要過濾廢氣中的污染物再進行排放，廢氣中污染物含量 y （單位：
mg/L -at）與過濾時間 t 小時的關系為 y = y0e （ y0 ， a均為正的常數）．已知前 5 小時過濾掉了 10%污染物，
那么當污染物過濾掉 50%還需要經過（ ）（最終結果精確到 1h，參考數據： lg2 0.301， lg3 0.477）
A．43h B．38h C．33h D．28h
5．（2024·江西·模擬預測）酒駕最新標準規定：100ml血液中酒精含量達到 20mg的駕駛員即為酒后駕車，達
到80mg 及以上認定為醉酒駕車．如果某駕駛員酒后血液中酒精濃度為1.2mg / ml ，從此刻起停止飲酒，血
液中酒精含量會以每小時25%的速度減少，那么他至少經過幾個小時才能駕駛？（參考數據：
lg2 0.301, lg3 0.477）（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
6．（2024·全國·模擬預測）某農業研究所對玉米幼穗的葉齡指數 R 與可見葉片數 x 進行分析研究，其關系可
以用函數R =15eax （ a為常數）表示．若玉米幼穗在伸長期可見葉片為 7 片，葉齡指數為 30，則當玉米幼
穗在四分體形成期葉齡指數為 82.5 時，可見葉片數約為（ ）（參考數據： ln2 0.7， ln5.5 1.7 ）
A．15 B．16 C．17 D．18
7．（2024·全國·模擬預測）青少年視力問題是社會普遍關注的問題，視力情況可借助視力表測量，通常用五
分記錄法和小數記錄法記錄視力數據，五分記錄法的數據 L和小數記錄法的數據V 滿足 L = 5 + lgV ．已知小
明和小李視力的五分記錄法的數據分別為 4.5 和 4.9，記小明和小李視力的小數記錄法的數據分別為V1,V2 ，
V2
則 V （ ）1
A． (1.5, 2) B． (2, 2.5) C． (2.5,3) D． (3,3.5)
8．（2024·江蘇·模擬預測）盡管目前人類還無法準確預報地震，但科學家通過研究，已經對地震有所了解，
例如，地震時釋放的能量 E（單位：焦耳）與地震里氏震級 M 之間的關系為 lg E = 4.8 +1.5M .2008 年 5 月 12
日我國汶川發生里氏 8.0 級地震，它所釋放出來的能量是 2024 年 4 月 3 日我國臺灣發生里氏 7.0 級地震的
（ ）倍
8 8
A． B． 1.5 4.8
7 107
C．10 D．10
9．（2024·寧夏吳忠·模擬預測）從甲地到乙地的距離約為 240km，經多次實驗得到一輛汽車每小時耗油量Q
（單位：L）與速度 v（單位：km/h）（0 v 120）的下列數據：
v 0 40 60 80 120
Q 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000
為描述汽車每小時耗油量與速度的關系，則下列四個函數模型中，最符合實際情況的函數模型是（ ）
A．Q = 0.5v + a B．Q = av + b
C．Q = av3 + bv2 + cv D．Q = k loga v + b
10．（2024·寧夏銀川·一模）鋰電池在存放過程中會發生自放電現象，其電容量損失量隨時間的變化規律為
Q = kt p ，其中 Q（單位mAh ）為電池容量損失量，p 是時間 t 的指數項，反映了時間趨勢由反應級數決定，
k 是方程剩余項未知參數的組合，與溫度 T 和電池初始荷電狀態 M 等自放電影響因素有關．以某種品牌鋰
電池為研究對象，經實驗采集數據進行擬合后獲得 p = 0．5，相關統計學參數R2 > 0．995，且預測值與實際值
誤差很小．在研究 M 對 Q 的影響時，其他參量可通過控制視為常數，電池自放電容量損失量隨時間的變化
規律為Q = kt P = e( A+BM )tP ，經實驗采集數據進行擬合后獲得 A = 2.228, B =1.3，相關統計學參數 R2 = 0.999，
且預測值與實際值誤差很小．若該品牌電池初始荷電狀態為80%，存放 16 天后，電容量損失量約為（ ）
（參考數據為： e3.22 25.08,e3.232 25.33,e3.265 26.26,e3.628 37.64）
A．100.32 B．101.32 C．105.04 D．150.56
一、單選題
1．（2024·陜西渭南·二模）中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關.經研究可知：在室
溫 25oC下，某種綠茶用85o C的水泡制，經過 xmin后茶水的溫度為 yoC，且 y = k ×0.9227x + 25 x 0, k R .當
茶水溫度降至60o C時飲用口感最佳，此時茶水泡制時間大約為（ ）
（參考數據： ln2 0.69, ln3 1.10, ln7 1.95, ln0.9227 -0.08）
A．6min B．7min C．8min D．9min
2．（2024·河北邯鄲·模擬預測）中國地震臺網測定：2024 年 4 月 3 日，中國臺灣花蓮縣海域發生里氏 7.3 級
地震.已知地震時釋放出的能量 E（單位：焦耳）與地震里氏震級 M 之間的關系為 lg E = 4.8 +1.5M ，2011 年 3
月 11 日，日本東北部海域發生里氏 9.0 級地震，則它所釋放出來的能量約是中國臺灣花蓮縣海域發生里氏
7.3 級地震的多少倍？（ ）
A．98 B．105 C．355 D．463
3．（2024·福建福州·模擬預測）當藥品A 注射到人體內，它在血液中的殘余量會以每小時 25%的速度減少，
另一種藥物 B 注射到人體內，它在血液中的殘余量會以每小時10% 的速度減少．現同時給兩位患者分別注
射800mg 藥品 A 和500mg藥品 B，當兩位患者體內藥品的殘余量恰好相等時，所經過的時間約為（ ）（參
考數據： lg2 0.301, lg3 0.477）
A．0.57h B．1.36h C． 2.58h D．3.26h
4．（2024·浙江杭州·二模）某外來入侵植物生長迅速，繁殖能力強，大量繁殖會排擠本地植物，容易形成單
一優勢種群，導致原有植物種群的衰退甚至消失，使當地生態系統的物種多樣性下降，從而破壞生態平衡.
假如不加控制，它的總數量每經過一年就增長一倍.則該外來入侵植物由入侵的 1 株變成 100 萬株大約需要
（ ）（參考數據： lg 2 0.301）
A．40 年 B．30 年 C．20 年 D．10 年
5．（23-24 高三上·內蒙古鄂爾多斯·期末）教室通風的目的是通過空氣的流動，排出室內的污濁空氣和致病
微生物，降低室內二氧化碳和致病微生物的濃度，送進室外的新鮮空氣.按照國家標準，教室內空氣中二氧
化碳日平均最高容許濃度應不超過0.1% .經測定，剛下課時，空氣中含有0.2% 的二氧化碳，若開窗通風后
t
教室內二氧化碳的濃度為 y% ，且 y 隨時間 t （單位：分鐘）的變化規律可以用函數 -y = 0.05 + le 11 描述，則
該教室內的二氧化碳濃度達到國家標準至少需要的時間為（參考數據： ln3 1.1）（ ）
A．11 分鐘 B．13 分鐘 C．15 分鐘 D．17 分鐘
二、多選題
6．（2024·安徽蚌埠·模擬預測）科學研究表明，物體在空氣中冷卻的溫度變化是有規律的．如果物體的初始
溫度為q1°C，空氣溫度q0°C 保持不變，則 t 分鐘后物體的溫度q （單位：°C）滿足：
q = q -0.05t0 + q1 -q0 e ．若空氣溫度為10°C，該物體溫度從q1°C（90 q1 100）下降到30°C，大約所需的
時間為 t1 ，若該物體溫度從70°C，50°C下降到30°C，大約所需的時間分別為 t2 , t3，則（ ）（參考數據：
ln 2 0.7, ln 3 1.1）
A． t2 = 20 B． 28 t1 30 C． t1 2t3 D． t1 - t2 6
7．（2024·遼寧·二模）半導體的摩爾定律認為，集成電路芯片上的晶體管數量的倍增期是兩年，用 f (t) 表示
從 t = 0開始，晶體管數量隨時間 t 變化的函數，若 f (0) = 1000，則下面選項中，符合摩爾定律公式的是
（ ）
t f (t) 1000 1000A．若 是以月為單位，則 = + t
24
B．若 t 是以年為單位，則 f (t) = 1000 ( 2)t
C．若 t
lg 2
是以月為單位，則 lg f (t) = 3 + t
24
3
D．若 t
lg t +1
是以年為單位，則 ÷lg f (t) = 3 + è 2
2
8．（2024·湖南長沙·模擬預測）氚，亦稱超重氫，是氫的同位素之一，它的原子核由一個質子和兩個中子組
成，并帶有放射性，會發生b 衰變，其半衰期是 12.43 年.樣本中氚的質量 N 隨時間 t (單位:年)的衰變規律滿
t
足 -N = N × 2 12.43 ，其中 N0 表示氚原有的質量，則（ ）(參考數據: lg 2 0.301)0
A． t = 12.43log
N
2 N0
B．經過 24.86年后，樣本中的氚元素會全部消失
1
C．經過62.15年后，樣本中的氚元素變為原來的
32
D．若 x 年后，樣本中氚元素的含量為0.4N0 ，則 x >16
三、填空題
9．（2024·廣東廣州·模擬預測）“阿托秒”是一種時間的國際單位，“阿托秒”等于10-18 秒，原子核內部作用過
程的持續時間可用“阿托秒”表示.《莊子 天下》中提到，“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，如果把“一尺之
棰”的長度看成 1 米，按照此法，至少需要經過 天才能使剩下“棰”的長度小于光在 2“阿托秒”內走過的
距離.（參考數據：光速為3 108 米/秒， lg2 0.3, lg3 0.48）
10．（2024·河南洛陽·模擬預測）在高度為3.6m的豎直墻壁面上有一電子眼A ，已知A 到天花板的距離為 2.1m ，
電子眼A 的最大可視半徑為0.5m．某人從電子眼正上方的天花板處貼墻面自由釋放一個長度為 0.2m 的木棒
（木棒豎直下落且保持與地面垂直），則電子眼 A 記錄到木棒通過的時間為 s．（注意：位移與時間的函
1 2
數關系為 s = gt ，重力加速度 g 取10m / s2 ）
2
1．（四川·高考真題）某食品的保鮮時間 y （單位：小時）與儲藏溫度 x （單位：℃）滿足函數關系 y = ekx+b
（ e = 2.718...為自然對數的底數， k,b為常數）.若該食品在 0 ℃的保鮮時間是192小時，在 22 ℃的保鮮時間
是 48小時，則該食品在33 ℃的保鮮時間是
A．16 小時 B．20 小時 C．24 小時 D．21 小時
2．（全國·高考真題）在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網上銷售業務，每天能完成 1200 份訂單的配貨，
由于訂單量大幅增加，導致訂單積壓.為解決困難，許多志愿者踴躍報名參加配貨工作.已知該超市某日積壓
500 份訂單未配貨，預計第二天的新訂單超過 1600 份的概率為 0.05，志愿者每人每天能完成 50 份訂單的配
貨，為使第二天完成積壓訂單及當日訂單的配貨的概率不小于 0.95，則至少需要志愿者（ ）
A．10 名 B．18 名 C．24 名 D．32 名
3．（北京·高考真題）顧客請一位工藝師把A 、 B 兩件玉石原料各制成一件工藝品，工藝師帶一位徒弟完成
這
項任務，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工藝師進行精加工完成制作，兩件工藝品都
完成后交付顧客，兩件原料每道工序所需時間（單位：工作日）如下：
工序
時間 粗加工 精加工
原料
原料A 9 15
原料 B
6 21
則最短交貨期為 工作日.
4．（上海·高考真題）根據上海市人大十一屆三次會議上的市政府工作報告，1999 年上海市完成 GDP（GDP
是指國內生產總值）4035 億元，2000 年上海市 GDP 預期增長 9%，市委、市府提出本市常住人口每年的自
然增長率將控制在 0.08%，若 GDP 與人口均按這樣的速度增長，則要使本市年人均 GDP 達到或超過 1999 年
的 2 倍，至少需 年．
按：1999 年本市常住人口總數約 1300 萬．第 07 講 函數模型及其應用
（3 類核心考點精講精練）
1. 5 年真題考點分布
5 年考情
考題示例 考點分析 關聯考點
對數的運算性質的應用
2023 年新 I 卷，第 10 題,5 分 對數函數模型的應用
由對數函數的單調性解不等式
2. 命題規律及備考策略
【命題規律】本節內容是新高考卷的命題載體內容，通常會結合其他函數知識點考查，需要掌握函數的圖
象與性質，難度中等偏下，分值為 5 分
【備考策略】1.會選擇合適的函數類型來模擬實際問題的變化規律.
2.會比較一次函數、二次函數、冪函數、對數函數、指數函數增長速度的差異
3.了解函數模型（指數函數、對數函數、冪函數、分段函數等在社會生活中普遍使用的函數模
型）的廣泛應用
【命題預測】本節內容通常考查給定實際問題選擇用合適的函數解析式來模擬或求對應的實際應用值，是
新高考復習的重要內容
知識講解
1．三種函數模型的性質
函數 y＝ax y＝logax y＝xn
性質 (a>1) (a>1) (n>0)
在(0，＋∞)上
單調遞增 單調遞增 單調遞增
的增減性
增長速度 越來越快 越來越慢 相對平穩
隨 x 的增大逐漸表現為 隨 x 的增大逐漸表 隨 n 值變化而各有
圖象的變化
與 y 軸平行 現為與 x 軸平行 不同
2.常見的函數模型
函數模型 函數解析式
一次函數模型 f(x)＝ax＋b(a，b 為常數，a≠0)
二次函數模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 為常數，a≠0)
k
反比例函數模型 f(x)＝ ＋b(k，b 為常數且 k≠0)
x
指數函數模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c 為常數，a>0 且 a≠1，b≠0)
對數函數模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c 為常數，a>0 且 a≠1，b≠0)
冪函數模型 f(x)＝axα＋b(a，b，α 為常數，a≠0，α≠0)
3．解函數模型問題的步驟
(1)審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數量關系，初步選擇數學模型．
(2)建模：將自然語言轉化為數學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數學知識，建立相應的數學模
型．
(3)解模：求解數學模型，得出數學結論．
(4)還原：將數學問題還原為實際問題．
以上過程用框圖表示如下：
考點一、指數函數模型
1．（山東·高考真題）基本再生數 R0 與世代間隔 T 是新冠肺炎的流行病學基本參數.基本再生數指一個感染者
傳染的平均人數，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數模型：
I (t) = ert 描述累計感染病例數 I(t)隨時間 t(單位:天)的變化規律，指數增長率 r 與 R0，T 近似滿足 R0 =1+rT.有
學者基于已有數據估計出 R0=3.28，T=6.據此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數增加 1 倍需要的
時間約為(ln2≈0.69) （ ）
A．1.2 天 B．1.8 天
C．2.5 天 D．3.5 天
【答案】B
【分析】根據題意可得 I t = ert = e0.38t ，設在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數增加 1 倍需要的時間
為 t 天，根據 e0.38(t+t1 )1 = 2e0.38t ，解得 t1 即可得結果.
R = 3.28 R =1+ rT r 3.28 -1T = 6 = = 0.38 I t = ert = e0.38t【詳解】因為 0 ， ， 0 ，所以 ，所以 ，6
設在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數增加 1 倍需要的時間為 t1 天，
則 e0.38(t+t1 ) = 2e0.38t ，所以 e0.38t1 = 2，所以0.38t1 = ln 2，
ln 2 0.69
所以 t1 = 1.8天.0.38 0.38
故選：B.
【點睛】本題考查了指數型函數模型的應用，考查了指數式化對數式，屬于基礎題.
2．（2024·陜西安康·模擬預測）半導體的摩爾定律認為，集成電路芯片上的晶體管數量的倍增期是兩年，用
f (t) 表示從 t = 0開始，晶體管數量隨時間 t 變化的函數， f (0) = 1000，若 t 是以年為單位，則 f (t) 的解析式
為（ ）
A． f (t) = 1000
1000
+ t B． f (t) =1000 2t
24
t
C． tf (t) =1000 22 D． f (t) =1000 + 2
【答案】C
【分析】根據題意晶體管數量的倍增期是兩年，也就是晶體管數量每兩年增加一倍，可得 f (t) 為指數型函數，
即可判斷.
【詳解】晶體管數量的倍增期是兩年，也就是晶體管數量每兩年增加一倍，
t
根據時間 t 以年為單位，以及 f (0) =1000，得 f (t) =1000 22 .
故選：C．
3．（2024 高三下·全國·專題練習）小微企業是推進創業富民、恢復市場活力、引領科技創新的主力軍，一直
以來，融資難、融資貴制約著小微企業的發展活力.某銀行根據調查的數據，建立了小微企業實際還款比例 P
e-0.968+kx
與小微企業的年收入 x （單位：萬元）的關系為 P = 0.968 kx k R .- + 已知小微企業的年收入為 80 萬元時，1+ e
其實際還款比例為50%，若銀行希望實際還款比例為 40%，則小微企業的年收入約為（參考數據：
ln 3 1.0986， ln 2 0.6931）（ ）
A．46.49 萬元 B．53.56 萬元 C．64.43 萬元 D．71.12 萬元
【答案】A
e-0.968+kx
【分析】先根據題中數據代入計算函數P = -0.968+kx k R 中參數 k 的值，然后計算還款比例為 40%時的1+ e
值即可.
e-0.968+80k
【詳解】由題意知50% = ，化簡得 e-0.968+80k-0.968+80k =1，1+ e
故-0.968 + 80k = 0 ，得 k = 0.0121 .
e-0.968+0.0121x 2
則當P = 40%時， 40% = e-0.968+0.0121x =
1+ e-0.968+0.0121x
，化簡得 ，
3
兩邊同時取對數，得-0.968 + 0.0121x = ln 2 - ln 3 -0.4055，得 x 46.49，
故當實際還款比例為 40%時，小微企業的年收入約為 46.49 萬元.
故選：A
1．（2024·湖南益陽·三模）二手汽車價位受多方因素影響，交易市場常用年限折舊法計算車價位，即按照同
款新車裸車價格，第一年汽車貶值 20%，從第二年開始每年貶值 10%．剛參加工作的小明打算買一輛約 5
年的二手車，價格不超過 8 萬元．根據年限折舊法，設小明可以考慮的同款新車裸車最高價位是m(m N)
萬，則m =（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】C
【分析】根據題意，列出不等式，解之并取近似值，即得m 的值.
8 100000
【詳解】依題意，m(1- 20%)(1-10%)4 8，解得m = ，
0.8 0.94 6561
則m 15.24，又m N，則m =15 .
故選：C.
2．（2024·廣東茂名·一模）Gompertz 曲線用于預測生長曲線的回歸預測，常見的應用有：代謝預測，腫瘤生
- x
長預測，有限區域內生物種群數量預測，工業產品的市場預測等，其公式為： f x = kab （其中
k > 0,b > 0， a為參數）.某研究員打算利用該函數模型預測公司新產品未來的銷售量增長情況，發現 a = e .
若 x =1表示該新產品今年的年產量，估計明年 x = 2 的產量將是今年的 e倍，那么b 的值為（ e為自然數對
數的底數）（ ）
A 5 -1 B 5 +1． ． C． 5 -1 D． 5 +1
2 2
【答案】A
- x
【分析】由 a = e，得到 f x = k ×eb ，分別代入 x =1、 x = 2，得到 f 1 和 f 2 的值，進而得到
b-2ke b-2 -b-1
-1 = e = e，求解即可.
keb
- x
【詳解】由 a = e，得到 f x = k ×eb ，
-1
\當 x =1時， f 1 = k ×eb ；
b-2當 x = 2時， f 2 = ke .
-2
keb -2 -1
依題意，明年 x = 2 的產量將是今年的 e倍，得： = eb -b-1 = e，
keb
1 1
\ - =1 -1± 52 ，即b2 + b -1 = 0 ，解得 .b b b = 2
Qb > 0 b 5 -1，\ = .
2
故選：A.
3．（2024·四川德陽·三模）如今我國物流行業蓬勃發展，極大地促進了社會經濟發展和資源整合．已知某類
果蔬的保鮮時間 y(單位：小時)與儲藏溫度 x(單位：℃)滿足函數關系． y = eax+b (a，b．為常數)，若該果蔬在
7℃的保鮮時間為 288 小時，在 21℃ 的保鮮時間為 32 小時，且該果蔬所需物流時間為 4 天，則物流過程中
果蔬的儲藏溫度(假設物流過程中恒溫)最高不能超過（ ）
A．14℃ B．15℃ C．13℃ D．16℃
【答案】A
【分析】根據給定的函數模型建立方程組，再列出不等式即可求解.
ìe7a+b = 288 14a 1 7a 1
【詳解】依題意， í 21a+b ，則 e = ，即 e = ，顯然 a<0，
e = 32 9 3
設物流過程中果蔬的儲藏溫度為 t℃，于是 eat+b 96 = 3 ×e21a+b = e-7a ×e21a+b = e14a+b ，
解得 at + b 14a + b，因此 t 14，
所以物流過程中果蔬的儲藏溫度最高不能超過 14℃.
故選：A
考點二、對數函數模型
1．（2024·湖南長沙·三模）地震震級通常是用來衡量地震釋放能量大小的數值，里氏震級最早是由查爾斯
里克特提出的，其計算基于地震波的振幅，計算公式為M = lgA - lgA0 ，其中M 表示某地地震的里氏震級，A
表示該地地震臺測振儀記錄的地震波的最大振幅， A0 表示這次地震中的標準地震振幅.假設在一次地震中，
某地地震臺測振儀記錄的地震波的最大振幅為 5000，且這次地震的標準地震振幅為 0.002，則該地這次地震
的里氏震級約為（ ）（參考數據： lg2 0.3）
A．6.3 級 B．6.4 級 C．7.4 級 D．7.6 級
【答案】B
【分析】根據題意，得到M = lg5000 - lg0.002，結合對數的運算法則，即可求解.
【詳解】由題意，某地地震波的最大振幅為5000，且這次地震的標準地震振幅為0.002 ，
可得M = lg5000 - lg0.002 = lg
10000
- lg 2 = 4 - lg2 - lg2 - 3 = 7 - 2lg2 6.4 .
2 1000
故選：B.
2．（2024·山東泰安·模擬預測）青少年視力問題是社會普遍關注的問題，視力情況可借助視力表測量，通常
用五分記錄法和小數記錄法記錄視力數據，五分記錄法的數據 L和小數記錄法的數據V 滿足 L = 5 + lgV ．已
知小明和小李視力的五分記錄法的數據分別為 4.5和5.0，記小明和小李視力的小數記錄法的數據分別為
V ,V V21 2 ，則 V 的值所在區間是（ ）1
A． (1.5, 2) B． (2, 2.5) C． (2.5,3) D． (3,3.5)
【答案】D
【分析】根據給定條件，建立方程，結合對數運算求解即得.
ì5.0 = 5 + lgV2 V2
【詳解】依題意， í 0.5 = lgV - lgV = lg
4.5 = 5 + lgV
，兩式相減得 2 1
1 V
，
1
V2 =100.5解得 = 10 ，所以 10 3,3.5V . 1
故選：D
3．（2023·全國·高考真題）（多選）噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓
級 L
p
p = 20 lg ，其中常數 p0 p0 > 0p 是聽覺下限閾值，
p 是實際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級：
0
聲源 與聲源的距離 /m 聲壓級 /dB
燃油汽車 10 60 ~ 90
混合動力汽車 10 50 : 60
電動汽車 10 40
已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10m處測得實際聲壓分別為 p1, p2 , p3，則（ ）．
A． p1 p2 B． p2 > 10 p3
C． p3 = 100 p0 D． p1 100 p2
【答案】ACD
【分析】根據題意可知 Lp 60,90 , Lp 50,60 , Lp = 40，結合對數運算逐項分析判斷.1 2 3
【詳解】由題意可知： Lp 60,90 , Lp 50,60 , Lp = 40，1 2 3
L L 20 lg p1 20 lg p2 20 lg p對于選項 A：可得 p - p = - = 11 2 p p p ，0 0 2
p1 p1
因為 Lp L1 p ，則 Lp - Lp = 20 lg 0 lg 02 1 2 p ，即 ，2 p2
p1
所以 1且 p1, p2 > 0p ，可得
p1 p2 ，故 A 正確；
2
p2 p3 p2
對于選項 B：可得 Lp - Lp = 20 lg - 20 lg = 20 lg2 3 p p p ，0 0 3
p2 p2 1
因為 Lp - Lp = Lp - 40 10 ，則 20 lg 10 lg 2 3 2 p ，即3 p 2
，
3
p2
所以 10 且 p2 , pp 3
> 0，可得 p2 10 p3 ，
3
當且僅當 Lp = 502 時，等號成立，故 B 錯誤；
p p
對于選項 C：因為 Lp = 20 lg 3 = 40 lg 3，即 = 23 p0 p
，
0
p3
可得 =100p ，即
p3 = 100 p0 ，故 C 正確；
0
D A L - L = 20 lg
p1
對于選項 ：由選項 可知： p1 p2 p ，2
p
且 Lp - Lp 90 - 50 = 40
1
，則 20 lg 401 2 p ，2
lg p1 p即 2 1 100 p , p > 0 p 100 pp ，可得 p ，且 1 2 ，所以 1 2 ，故 D 正確；2 2
故選：ACD.
1．（2024·重慶·模擬預測）物理學家本·福特提出的定律：在b 進制的大量隨機數據中，以 n開頭的數出現的
n +1
概率為 Pb n = logb ，應用此定律可以檢測某些經濟數據、選舉數據是否存在造假或錯誤．根據此定律，n
在十進制的大量隨機數據中，以 1 開頭的數出現的概率大約是以 9 開頭的數出現的概率的（ ）倍（參考
數據： lg2 = 0.301, lg3 = 0.477）
A．5.5 B．6 C．6.5 D．7
【答案】C
【分析】根據題意，分別求得P10 1 = lg2, P10 9 =1- 2lg3，結合對數的運算法則，即可求解.
n +1
【詳解】由題意，以 n開頭的數出現的概率為Pb n = logb ，n
可得P10 1
10
= lg2, P10 9 = lg = lg10 - lg9 =1- 2lg3，9
P10 1 lg2
所以 = 6.5p10 9 1- 2lg3
.
故選：C.
2．（2024·江西·二模）核酸檢測分析是用熒光定量PCR 法，通過化學物質的熒光信號，對在PCR 擴增進程
中成指數級增加的靶標DNA 實時監測，在PCR 擴增的指數時期，熒光信號強度達到閥初始數值時，DNA
的數量 X n 與擴增次數 n滿足 lg X n = n lg 1+ p + lg X 0 ，其中 X 0 為DNA 的初始數量， p 為擴增效率．已知某
被測標本DNA 擴增16次后，數量變為原來的10000倍，則擴增效率 p 約為（ ）
( 參考數據：100.25 1.778,10-0.25 0.562 )
A． 22.2% B． 43.8% C．56.2% D．77.8%
【答案】D
【分析】由題意 X n = 10000X 0 ，代入關系式，根據對數的運算性質及指數與對數的關系計算可得．
【詳解】由題意知， lg(10000X 0 ) = 16lg(1+ p) + lgX 0，
即 lg104 + lgX 0 = 16lg(1+ p) + lgX 0 ，即 4 = 16lg(1+ p) ，
所以 lg(1
1
+ p) = = 0.25 ，則1+ p = 100.25 1.778，解得 p 0.778 = 77.8%4 ．
故選：D．
3．（2024·四川·模擬預測）2023 年 6 月 22 日，由中國幫助印尼修建的雅萬高鐵測試成功，高鐵實現時速350km
自動駕駛，不僅速度比普通列車快，而且車內噪聲更小．如果用聲強 I （單位：W / m2 ）表示聲音在傳播途
徑中每平方米上的聲能流密度，聲強級 L（單位：dB）與聲強 I 的函數關系式為 L = L0lg aI ，其中L0為基
10
準聲強級， a為常數，當聲強 I = 時，聲強級 L = 20dB．下表為不同列車聲源在距離 20m處的聲強級：
a
聲源 與聲源的距離（單位：m） 聲強級范圍
內燃列車 20 50,80
電力列車 20 20,50
高速列車 20 10
設在離內燃列車 電力列車 高速列車 20m處測得的實際聲強分別為 I1, I2 , I3，則下列結論正確的是（ ）
A． L0 = 30 B． I1 I2 C． I2 10I3 D． I1 100I2
【答案】B
【分析】根據聲強、聲強級之間的關系確定基準聲強級L0，即可判斷 A；計算 L1 - L2 可得 I1, I2大小關系，
即可判斷 B，D；計算 L2 - L3可得 I2 , I3大小關系，即可判斷.
10
【詳解】對于A ：因為聲強 I = 時，聲強級 L = 20dB，
a
10
所以 L = L

0lg a × ÷ = 20，解得 L0 = 20，故a A 錯誤；è
I
對于 B L - L = 20 1：因為 1 2 élg aI1 - lg aI2 ù = 20lg 0I ，2
I1
所以 1I ，即
I1 I2 ，故 B 正確；
2
對于 C： L2 - L3 = 20 é lg aI - lg aI ù = 20lg
I2
2 3 20 -10 =10I ，3
I 1
所以 2
1
102 ，即 I 102I 2 I
，故 C 不正確；
3
3
對于 D， L1 - L2 = 20 élg aI1 - lg aI2 ù = 20lg
I1 80 - 20 = 60
I ，2
I1 3
所以 10 ，即 I1 1000II 2 ，故 D 不正確．2
故選：B．
考點三、建立擬合函數模型解決實際問題
1．（全國·高考真題）2019 年 1 月 3 日嫦娥四號探測器成功實現人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國
航天事業取得又一重大成就，實現月球背面軟著陸需要解決的一個關鍵技術問題是地面與探測器的通訊
聯系．為解決這個問題，發射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日 L2點的軌道運行．
L2點是平衡點，位于地月連線的延長線上．設地球質量為 M１，月球質量為 M２，地月距離為 R， L2點
到月球的距離為 r，根據牛頓運動定律和萬有引力定律，r 滿足方程：
M1 M M+ 2 = (R + r) 1
(R + r)2 r 2 R3 .
a r a 3a
3 + 3a 4 +a 5
= 3設 ，由于 的值很小，因此在近似計算中 2 3a ，則 r 的近似值為R (1+a )
M M
A． 2 R B． 2 R
M1 2M1
3M
C． 3 2 R
M
D． 3 2 R
M1 3M1
【答案】D
【分析】本題在正確理解題意的基礎上，將有關式子代入給定公式，建立a 的方程，解方程、近似計算．題
目所處位置應是“解答題”，但由于題干較長，易使考生“望而生畏”，注重了閱讀理解、數學式子的變形及運
算求解能力的考查．
a r【詳解】由 = ，得 r = a R
R
M1 M 2 M1
因為 (R + r)2
+ = (R + r)
r 2 R3 ，
M1 M 2
所以 2 2 + 2 2 = (1+a )
M1
R (1 a ) a R R2 ，+
M 5 4 3
即 2 = a 2[(1+a )
1 ] a + 3a + 3a- 2 = 3a
3
，
M1 (1+a ) (1+a )
2
a =3 M解得 2 ，
3M1
3 M
所以 r = a R = 2 R.
3M1
【點睛】由于本題題干較長，所以，易錯點之一就是能否靜心讀題，正確理解題意；易錯點之二是復雜式
子的變形出錯．
2．（2024·陜西商洛·模擬預測）人工智能（Artificial Intelligence），英文縮寫為 AI.它是研究 開發用于模擬
延伸和擴展人的智能的理論 方法 技術及應用系統的一門新的技術科學.人工智能研究的一個主要目標是使
機器能夠勝任一些通常需要人類智能才能完成的復雜工作.在疫情期間利用機器人配送 機器人測控體溫等
都是人工智能的實際運用.某研究人工智能的新興科技公司第一年年初有資金 5000 萬元，并將其全部投入生
產，到當年年底資金增長了50%，預計以后每年資金年增長率與第一年相同.公司要求企業從第一年開始，
每年年底各項人員工資 稅務等支出合計 1500 萬元，并將剩余資金全部投入下一年生產.設第 n年年底企業
*
除去各項支出資金后的剩余資金為 an 萬元，第m m N 年年底企業的剩余資金超過 21000 萬元，則整數m
的最小值為 . lg2 0.3010;lg3 0.4771
【答案】6
【分析】由題意中的遞推，得證數列 an - 3000
3
是以 3000 為首項， 為公比的等比數列，求出通項后解不
2
等式 am > 21000即可.
【詳解】由題意得， a1 = 5000 1+ 50% -1500 = 7500 -1500 = 6000 ， an+1 = an 1+ 50% -1500
3
= an -1500 .2
3 a - 3000
即 an+1 - 3000
3
= a - 3000 a n ， n+1 - 3000 = 2
n 3
2 =
，
an - 3000 an - 3000 2
n-1
數列 an - 3000
3
是以 3000 為首項， 為公比的等比數列，即 an - 3000
3
= 3000
2 2 ÷
，
è
m-1 m-1
am = 3000
3 + 3000 > 21000 3 ÷ ，即 ÷ > 6，
è 2 è 2
m 1 log 6 lg6 lg2 + lg3 0.3010 + 0.4771 0.7781- > 3 = 3 = = 4.42
2 lg lg3 - lg2 0.4771- 0.3010 0.1761 ，m 6，
2
所以m 的最小值為 6.
故答案為：6.
1．（2024·重慶·二模）英國經濟學家凱恩斯（1883-1946）研究了國民收入支配與國家經濟發展之間的關系，
強調政府對市場經濟的干預，并形成了現代西方經濟學的一個重要學派一凱恩斯學派.機恩斯抽象出三個核
心要素：國民收入Y ，國民消費C 和國民投資 I ，假設國民收入不是用于消費就是用于投資，就有：
ìY = C + I
í .其中常數 aC a aY 0表示房租 水電等固定消費，
a a 1 為國民“邊際消費傾向”.則（
= + ） 0
A．若固定 I 且 I…0，則國民收入越高，“邊際消費傾向”越大
B．若固定Y 且Y…0，則“邊際消費傾向”越大，國民投資越高
a 4C．若 = ，則收入增長量是投資增長量的 5 倍
5
4 1
D．若 a = - ，則收入增長量是投資增長量的
5 5
【答案】AC
a + I 4
【分析】利用已知可得 a =1- 0 ，可判斷 A；由 I = Y -Y ga - a0，可判斷 B；若 a = ，可得Y = 5a0 + 5I ，Y 5
由導數的意義可判斷 C；同理可判斷 D.
ìY = C + I
【詳解】由題意可得固定 I 且 I 0，又 í Y = a + aY + I
C = a0 + aY
，所以 0 ，
a 1 a0 + I所以 = - ，由于 a0 , I 為定值，所以可得Y 增大時(國民收入越高)，Y
a增大(“邊際消費傾向”越大)，故 A 正確；
由上可得 I = Y -Y ga - a0， a0 ,Y 為定值，故 a增大， I 減小(投資越小)，故 B 錯誤；
a 4若 = ，由Y = a0 + aY + I ，可得Y = 5a0 + 5I ，5
DY
由導數的定義可得 = 5，所以可得收入增長量是投資增長量的5倍，故 C 正確；
DI
4 5
同 C 項討論可得若 a = - ，可得9Y = 5a0 + 5I ，因此收入增長量是投資增長量的 倍，故 D 錯誤.5 9
故選：AC.
1
2．（2024· 2北京朝陽·二模）假設某飛行器在空中高速飛行時所受的阻力 f 滿足公式 f = rCSv ，其中 r 是
2
空氣密度，S 是該飛行器的迎風面積， v是該飛行器相對于空氣的速度，C 是空氣阻力系數（其大小取決
于多種其他因素），反映該飛行器克服阻力做功快慢程度的物理量為功率P = fv . 當 r , S 不變， v比原來提高
10% 時，下列說法正確的是（ ）
A．若C 不變，則 P 比原來提高不超過30%
B．若C 不變，則 P 比原來提高超過40%
C．為使 P 不變，則C 比原來降低不超過30%
D．為使 P 不變，則C 比原來降低超過40%
【答案】C
1 2P
【分析】由題意可得 P = rCSv3 C =2 ， rSv3 ，結合選項，依次判斷即可.
1 2P
【詳解】由題意， f = rCSv2 , P
1
= fv ，所以 P = rCSv3 C =2 2 ， rSv3 ，
A：當 r ,S ，C 不變， v比原來提高10% 時，
P 1則 1 = rCS(1+10%)
3v3 1= rCS(1.1)3v3 =1.33 1× rCSv3
2 2 2 ，
所以 P 比原來提高超過30%，故 A 錯誤；
B 1：由選項 A 的分析知， P =1.33 × rCSv31 2 ，
所以 P 比原來提高不超過 40%，故 B 錯誤；
2P 2P 2P
C：當 r ,S ， P 不變， v比原來提高10% 時，C1 = 3 = = 0.75 ×1.1 rSv3 1.33rSv3 rSv3 ，
所以C 比原來降低不超過30%，故 C 正確；
D：由選項 C 的分析知，C 比原來降低不超過30%，故 D 錯誤.
故選：C
一、單選題
1．（2024·河南三門峽·模擬預測）研究表明，地震時釋放的能量E （單位：焦耳）與地震里氏震級M 之間的
關系為 lgE = 4.8 +1.5M .2024 年 1 月 30 日在新疆克孜勒蘇州阿合奇縣發生了里氏 5.7 級地震，所釋放的能量
E
記為E1, 2024年 1 月 13
1
日在湯加群島發生了里氏 5.2 級地震，所釋放的能量記為E2 ，則比值 E 的整數部分2
為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
lg E1 E1【分析】由對數運算性質可得 E ，進而可得 E ，結合5
4 <1000 < 64可得結果.
2 2
E
lgE = 4.8 +1.5 5.7, lgE = 4.8 +1.5 5.2 lg 1【詳解】由已知得 1 2 ，所以 =1.5 0.5 = 0.75E ，2
E 31 =100.75所以 =104 = 4 1000 ，
E2
因為54 <1000 < 64，所以5 < 4 1000 < 6，
E1 4
所以 = 1000 5,6 E .2
故選：B.
2．（2024·北京昌平·二模）中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關，經驗表明，某種
綠茶用 90℃的水泡制，再等到茶水溫度降至 60℃時飲用，可以產生極佳口感；在 20℃室溫下，茶水溫度從
90℃ t開始，經過 tmin 后的溫度為 y℃，可選擇函數 y = 60 0.9 + 20 t 0 來近似地刻畫茶水溫度隨時間變化
的規律，則在上述條件下，該種綠茶茶水達到最佳飲用口感時，需要放置的時間最接近的是（ ）
（參考數據： lg2 0.30, lg3 0.48）
A． 2.5min B． 4.5min C．6min D．8min
【答案】B
【分析】令60 0.9t + 20 = 60，則0.9t
2
= ，兩邊同時取對將 lg2 0.30, lg3 0.48代入即可得出答案.
3
t
【詳解】由題可知，函數 y = 60 0.9 + 20 t 0 ，
2
令60 0.9t + 20 = 60，則0.9t = ，3
t
兩邊同時取對可得： lg 0.9 = lg
2
，即 t lg
9
= t 2lg3-1 = lg 2 - lg3，
3 10
t lg 2 - lg3 0.30 - 0.48 0.18即 = = = 4.52lg3-1 2 0.48 min .-1 0.04
故選：B.
3．（2024·陜西安康·模擬預測）若一段河流的蓄水量為 v立方米，每天水流量為 k 立方米，每天往這段河流
r t m t r m r
k
- t
排水 立方米的污水，則 天后河水的污染指數 = + 0 - ÷e v m0 為初始值，m0 > 0 ．現有一條被k è k
污染的河流，其蓄水量是每天水流量的 60 倍，以當前的污染指數為初始值，若從現在開始停止排污水，要
1
使河水的污染指數下降到初始值的 ，需要的天數大約是（參考數據： ln7 1.95）（
7 ）
A．98 B．105 C．117 D．130
【答案】C
1
- t
【分析】由已知化簡函數式得m t = m e 60 ，再利用約 t
1
天后，河水的污染指數下降到初始值的 ，可得方
0 7
1
- t 1 1
程m0e 60
1
= m0 ，然后兩邊取對數得- t = ln ，最后利用已知的對數值可計算得到結果.7 60 7
v k 1- t - t
【詳解】由題意可知： r = 0， = 60
r r
，所以m t = + m - ÷e v = m e 60k k 0 k 0è
1
設約 t
1 - t 1
天后，河水的污染指數下降到初始值的 ，即m0e 60 = m0 ，7 7
1 1
所以- t = ln t = 60ln 7 60 1.95 =117，
60 7
故選：C.
4．（2024·四川涼山·三模）工廠廢氣排放前要過濾廢氣中的污染物再進行排放，廢氣中污染物含量 y （單位：
mg/L）與過濾時間 t -at小時的關系為 y = y0e （ y0 ， a均為正的常數）．已知前 5 小時過濾掉了 10%污染物，
那么當污染物過濾掉 50%還需要經過（ ）（最終結果精確到 1h，參考數據： lg2 0.301， lg3 0.477）
A．43h B．38h C．33h D．28h
【答案】D
【分析】先確定廢氣中初始污染物含量，由題意求出常數 a，即可解出．
∵ y t y = y e-at【詳解】 廢氣中污染物含量 與過濾時間 小時的關系為 0 ，
令 t = 0，得廢氣中初始污染物含量為 y = y0 ，
又∵前 5 小時過濾掉了 10%污染物，
9 10
∴ 1-10% y = y e-5a ln ln0 0 ，則 a = - 10 = 9 ，
5 5
∴當污染物過濾掉 50%時， 1- 50% y0 = y e-at0 ，
ln 1
t 2 ln 2 5ln 2 5lg 2 5lg 2則 = = = 10 = 10 = 33h ，-a a ln lg 1- 2lg3
9 9
∴當污染物過濾掉 50%還需要經過33- 5 = 28h .
故選：D.
5．（2024·江西·模擬預測）酒駕最新標準規定：100ml血液中酒精含量達到 20mg的駕駛員即為酒后駕車，達
到80mg 及以上認定為醉酒駕車．如果某駕駛員酒后血液中酒精濃度為1.2mg / ml ，從此刻起停止飲酒，血
液中酒精含量會以每小時25%的速度減少，那么他至少經過幾個小時才能駕駛？（參考數據：
lg2 0.301, lg3 0.477）（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【分析】由題意得到不等式，兩邊取對數求出答案.
t
【詳解】由1.2(1- 25%)t < 0.2 3 1．即 ÷ < ，兩邊取對數可得，
è 4 6
lg 1
t 6 -lg6 lg2 + lg3 0.778> 3 = = = 6.224，lg lg3 - lg4 2lg2 - lg3 0.125
4
故至少經過 7 個小時才能駕駛.
故選：B
6．（2024·全國·模擬預測）某農業研究所對玉米幼穗的葉齡指數 R 與可見葉片數 x 進行分析研究，其關系可
以用函數R =15eax （ a為常數）表示．若玉米幼穗在伸長期可見葉片為 7 片，葉齡指數為 30，則當玉米幼
穗在四分體形成期葉齡指數為 82.5 時，可見葉片數約為（ ）（參考數據： ln2 0.7， ln5.5 1.7 ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】C
【分析】利用函數R =15eax ，由題意已知 x = 7, R = 30，求出待定系數 a 0.1，再用R = 82.5，去求解
x 17 ，當然這里面有取自然對數及取值計算.
【詳解】由題意知30 =15e7a ，\e7a = 2，則等式兩邊同時取自然對數得7a = ln2 0.7，\a 0.1，
\R =15e0.1x ．Q82.5 =15e0.1x ，\e0.1x = 5.5，\0.1x = ln5.5 1.7 ，\ x 17，
故選：C．
7．（2024·全國·模擬預測）青少年視力問題是社會普遍關注的問題，視力情況可借助視力表測量，通常用五
分記錄法和小數記錄法記錄視力數據，五分記錄法的數據 L和小數記錄法的數據V 滿足 L = 5 + lgV ．已知小
明和小李視力的五分記錄法的數據分別為 4.5 和 4.9，記小明和小李視力的小數記錄法的數據分別為V1,V2 ，
V2
則 V （ ）1
A． (1.5, 2) B． (2, 2.5) C． (2.5,3) D． (3,3.5)
【答案】C
V2 5
【分析】根據題意得到方程組，求出 = 100V ，根據 2.5
5 98 <100 < 35 = 243得到 5 100 2.5,3 .
1
ì4.9 = 5 + lgV2 V
【詳解】依題意， í 0.4 = lgV - lgV = lg 2
4.5 5 lgV
，兩式相減可得，
= + 2 1
，
1 V1
V2 =100.4故 = 5 100V ，而 2.5
5 98 <100 < 35 = 243，故 5 100 2.5,3 .
1
故選：C．
8．（2024·江蘇·模擬預測）盡管目前人類還無法準確預報地震，但科學家通過研究，已經對地震有所了解，
例如，地震時釋放的能量 E（單位：焦耳）與地震里氏震級 M 之間的關系為 lg E = 4.8 +1.5M .2008 年 5 月 12
日我國汶川發生里氏 8.0 級地震，它所釋放出來的能量是 2024 年 4 月 3 日我國臺灣發生里氏 7.0 級地震的
（ ）倍
8 8
A． B．107 C．10
1.5 D．104.8
7
【答案】C
【分析】由題意分別求得震級M = 8.0和M = 7.0時的釋放的能量，進而求得兩次地震釋放的能量比.
【詳解】設里氏震級M = 8.0時釋放的能量為E1，里氏震級M = 7.0時釋放的能量為E2 ，
則 lg E1 = 4.8 +1.5 8 =16.8， lg E2 = 4.8 +1.5 7 = 15.3，
E = 1016.8所以 1 ，E2 =10
15.3
，
E1
所以 =1016.8-15.3 =101.5E ，2
即 2008 年 5 月 12 日汶川地震釋放出的能量是 2024 年 4 月 3 日我國臺灣發生的地震釋放的能量的101.5 倍，
故選：C.
9．（2024·寧夏吳忠·模擬預測）從甲地到乙地的距離約為 240km，經多次實驗得到一輛汽車每小時耗油量Q
（單位：L）與速度 v（單位：km/h）（0 v 120）的下列數據：
v 0 40 60 80 120
Q 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000
為描述汽車每小時耗油量與速度的關系，則下列四個函數模型中，最符合實際情況的函數模型是（ ）
A．Q = 0.5v + a B．Q = av + b
C．Q = av3 + bv2 + cv D．Q = k loga v + b
【答案】C
【分析】作出散點圖，根據單調性和定義域即可得解.
【詳解】作出散點圖，由圖可知函數模型滿足：第一，定義域為 0,120 ；第二，在定義域單調遞增且單位
增長率變快；第三，函數圖象過原點.
A 選項：函數Q = 0.5v + a 在定義域內單調遞減，故 A 錯誤；
B 選項：函數Q = av + b的單位增長率恒定不變，故 B 錯誤；
C 選項：Q = av3 + bv2 + cv 滿足上述三點，故 C 正確；
D 選項：函數Q = k loga v + b 在 v = 0處無意義，D 錯誤.
故選：C
10．（2024·寧夏銀川·一模）鋰電池在存放過程中會發生自放電現象，其電容量損失量隨時間的變化規律為
Q = kt p ，其中 Q（單位mAh ）為電池容量損失量，p 是時間 t 的指數項，反映了時間趨勢由反應級數決定，
k 是方程剩余項未知參數的組合，與溫度 T 和電池初始荷電狀態 M 等自放電影響因素有關．以某種品牌鋰
電池為研究對象，經實驗采集數據進行擬合后獲得 p = 0．5，相關統計學參數R2 > 0．995，且預測值與實際值
誤差很小．在研究 M 對 Q 的影響時，其他參量可通過控制視為常數，電池自放電容量損失量隨時間的變化
規律為Q = kt P = e( A+BM )tP ，經實驗采集數據進行擬合后獲得 A = 2.228, B =1.3，相關統計學參數 R2 = 0.999，
且預測值與實際值誤差很小．若該品牌電池初始荷電狀態為80%，存放 16 天后，電容量損失量約為（ ）
（參考數據為： e3.22 25.08,e3.232 25.33,e3.265 26.26,e3.628 37.64）
A．100.32 B．101.32 C．105.04 D．150.56
【答案】C
【分析】根據題意，得到Q = e(2.228+1.3M ) × t0.5 ，將M = 80% = 0.8， t =16，結合題中所給數據加以計算，即可
得到存放 16 天后電容量損失量近似值.
【詳解】根據題意，可得 p = 0.5, A = 2.228, B =1.3，
代入Q = kt P = e( A+BM )t p ，可得Q = e(2.228+1.3M ) × t0.5 ，
因為該品牌電池初始荷電狀態M = 80% = 0.8，
所以存放 16 天后，電容量損失量Q = e(2.228+1.3 0.8) ×160.5 = 4e3.265 4 26.26 =105.4 .
故選：C.
一、單選題
1．（2024·陜西渭南·二模）中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關.經研究可知：在室
溫 25oC下，某種綠茶用85o C的水泡制，經過 xmin后茶水的溫度為 yoC，且 y = k ×0.9227x + 25 x 0, k R .當
茶水溫度降至60o C時飲用口感最佳，此時茶水泡制時間大約為（ ）
（參考數據： ln2 0.69, ln3 1.10, ln7 1.95, ln0.9227 -0.08）
A．6min B．7min C．8min D．9min
【答案】B
【分析】根據初始條件求得參數 k ，然后利用已知函數關系求得口感最佳時泡制的時間 x ．
【詳解】由題意可知，當 x = 0時， y = 85，則85 = k + 25，解得 k = 60，
所以 y = 60 0.9227x + 25，
當 y = 60
7
時，60 = 60 0.9227x + 25，即0.9227x = ，12
ln 7
則 x = log 7 = 12 ln 7 - ln120.9227 =12 ln 0.9227 ln 0.9227
ln 7 - 2ln 2 - ln 3 1.95 - 2 0.69 -1.10
= 7，
ln 0.9227 -0.08
所以茶水泡制時間大的為 7 min.
故選：B.
2．（2024·河北邯鄲·模擬預測）中國地震臺網測定：2024 年 4 月 3 日，中國臺灣花蓮縣海域發生里氏 7.3 級
地震.已知地震時釋放出的能量 E（單位：焦耳）與地震里氏震級 M 之間的關系為 lg E = 4.8 +1.5M ，2011 年 3
月 11 日，日本東北部海域發生里氏 9.0 級地震，則它所釋放出來的能量約是中國臺灣花蓮縣海域發生里氏
7.3 級地震的多少倍？（ ）
A．98 B．105 C．355 D．463
【答案】C
【分析】利用指對數的互化可得分別求兩次地震的能量，再應用指數的運算性質求地震能量的倍數.
【詳解】由題設，
9.0 E =104.8+1.5 9日本東北部海域發生里氏 級地震所釋放出來的能量 1 ，
4.8+1.5 7.3
中國臺灣花蓮縣海域發生里氏 7.3 級地震所釋放出來的能量E2 =10 ，
E 104.8+1.5 9
所以 1 = 4.8+1.5 7.3 =10
2.55 355 .
E2 10
故選：C.
3．（2024·福建福州·模擬預測）當藥品A 注射到人體內，它在血液中的殘余量會以每小時 25%的速度減少，
另一種藥物 B 注射到人體內，它在血液中的殘余量會以每小時10% 的速度減少．現同時給兩位患者分別注
射800mg 藥品 A 和500mg藥品 B，當兩位患者體內藥品的殘余量恰好相等時，所經過的時間約為（ ）（參
考數據： lg2 0.301, lg3 0.477）
A．0.57h B．1.36h C． 2.58h D．3.26h
【答案】C
【分析】設經過 t 小時后兩位患者體內藥品的殘條量恰好相等，根據題意列方程，再由對數的運算性質計算
可得．
【詳解】設經過 t 小時后兩位患者體內藥品的殘條量恰好相等，
t
由題意得：800 1- 25% t = 500 1-10% t 5 5，整理得： 6 ÷ = ，è 8
t lg 5 lg 5兩邊取常用對數得： = ，即 t lg5 - lg 6 = lg5 - lg86 8 ，
即 t(1- 2lg 2 - lg3) = 1- 4lg 2，
t 1- 4lg 2= t 1- 4 0.301所以 2.581- 2lg 2 - lg3，即 1- 2 0.301- 0.477 ，
所以大約經過 2.58h時，兩位患者體內藥品的殘余量恰好相等．
故選：C．
4．（2024·浙江杭州·二模）某外來入侵植物生長迅速，繁殖能力強，大量繁殖會排擠本地植物，容易形成單
一優勢種群，導致原有植物種群的衰退甚至消失，使當地生態系統的物種多樣性下降，從而破壞生態平衡.
假如不加控制，它的總數量每經過一年就增長一倍.則該外來入侵植物由入侵的 1 株變成 100 萬株大約需要
（ ）（參考數據： lg 2 0.301）
A．40 年 B．30 年 C．20 年 D．10 年
【答案】C
【分析】設該外來入侵植物由入侵的 1 株變成 100 萬株大約需要 x 年，根據題意列出方程，再根據對數的運
算性質計算即可.
【詳解】設該外來入侵植物由入侵的 1 株變成 100 萬株大約需要 x 年，
由題意知，1 2x =1000000，即 2x =106，
所以 x = log2 10
6 = 6log2 10
6lg10 6
= 20
lg 2 0.301 ，
即由入侵的 1 株變成 100 萬株大約需要 20 年.
故選：C.
5．（23-24 高三上·內蒙古鄂爾多斯·期末）教室通風的目的是通過空氣的流動，排出室內的污濁空氣和致病
微生物，降低室內二氧化碳和致病微生物的濃度，送進室外的新鮮空氣.按照國家標準，教室內空氣中二氧
化碳日平均最高容許濃度應不超過0.1% .經測定，剛下課時，空氣中含有0.2% 的二氧化碳，若開窗通風后
t
教室內二氧化碳的濃度為 y% ，且 y 隨時間 t （單位：分鐘）的變化規律可以用函數 -y = 0.05 + le 11 描述，則
該教室內的二氧化碳濃度達到國家標準至少需要的時間為（參考數據： ln3 1.1）（ ）
A．11 分鐘 B．13 分鐘 C．15 分鐘 D．17 分鐘
【答案】B
【分析】由題意解出解析式中的參數，后解對數不等式求解即可.
【詳解】由題意得，當 t = 0時， y = 0.2，將其代入解析式，解得l = 0.15，
t
- t
t
- 1
故解析式為 y = 0.05 + 0.15e 11，令
-
0.05 + 0.15e 11
11
0.1，解得 e ，3
化簡得 t 11ln3，結合 ln 3 1.1，可得 t 12.1，
所以該教室內的二氧化碳濃度達到國家標準至少需要的時間為 13 分鐘.
故選：B.
二、多選題
6．（2024·安徽蚌埠·模擬預測）科學研究表明，物體在空氣中冷卻的溫度變化是有規律的．如果物體的初始
溫度為q1°C，空氣溫度q0°C 保持不變，則 t 分鐘后物體的溫度q （單位：°C）滿足：
q = q + q -q e-0.05t0 1 0 ．若空氣溫度為10°C，該物體溫度從q1°C（90 q1 100）下降到30°C，大約所需的
時間為 t1 ，若該物體溫度從70°C，50°C下降到30°C，大約所需的時間分別為 t2 , t3，則（ ）（參考數據：
ln 2 0.7, ln 3 1.1）
A． t2 = 20 B． 28 t1 30 C． t1 2t3 D． t1 - t2 6
【答案】BC
q -10
【分析】當q = 30時，可求得 t1 = 20ln 1 ，繼而求得 t2 , t3，逐項判定即可.20
q =10 + q -10 e-0.05t【詳解】有題意可知， 1 ，
q = 30 30 =10 + q -10 e-0.05t當 ，則 11 ，
e-0.05t 20 201即 = ，-0.05t1 = lnq1 -10 q1 -10
，
t 20ln q1 -10則 1 = ，20
其是關于q1的單調遞增函數，
當q1 = 90
90 -10
時， t1 = 20ln = 20ln 4 = 40ln 2 28，20
當q1 =100 時， t1 = 20ln
100 -10
= 20ln 9 = 20 2ln 3- ln 2 30，
20 2
則 28 t1 30 ，故 B 正確；
q = 70 t 20ln 70 -10當 1 時， 2 = = 20ln 3 22，20
故 A 錯誤；
q = 50 t 20ln 50 -10當 1 時， 3 = = 20ln 2 14，20
此時滿足 t1 2t3 ， t1 - t2 6 ，故 C 正確，D 錯誤，
故選：BC.
7．（2024·遼寧·二模）半導體的摩爾定律認為，集成電路芯片上的晶體管數量的倍增期是兩年，用 f (t) 表示
從 t = 0開始，晶體管數量隨時間 t 變化的函數，若 f (0) = 1000，則下面選項中，符合摩爾定律公式的是
（ ）
1000
A．若 t 是以月為單位，則 f (t) = 1000 + t
24
B．若 t 是以年為單位，則 f (t) = 1000 ( 2)t
C．若 t
lg 2
是以月為單位，則 lg f (t) = 3 + t
24
lg 3 t +1
D．若 t 是以年為單位，則 ÷lg f (t) = 3 + è 2
2
【答案】BC
【分析】對 AC，計算 f (24), f (48), f (72) ，滿足 f (24) = 2 f (0), f (48) = 2 f (24) ， f (24n) =1000 2n ，
n N*，可確定，對 CD，計算 f (2), f (4), f (6) ，滿足 f (2) = 2 f (0), f (4) = 2 f (2) ， f (2n) =1000 2n ，
n N*，可確定．
【詳解】選項 A， f (24) = 2000 = 2 f (0)， f (48) = 3000 2 f (24)，A 不符合；
選項 B， f (2) = 2000 = 2 f (0)， f (4) = 4000 = 2 f (2) ， f (2n) =1000 2n ， n N*，符合；
lg f (t) 3 lg 2
lg 2 t
選項 C， = + t ，則 3+ t
24 f (t) =10
24 =1000 224 ， f (24) = 2 1000 ， f (48) = 4000 = 2 f (24)，
f (24n) =1000 2n ， n N*，符合，
lg 3 1
選項 D，
t +1÷ 3
lg f (t) = 3 + è 2 ， f (t) =1000 ( t +1)
2 ，
2 2
1
f (2) = 2 1000 = f (0)， f (4) =1000 72 2 f (2)，不符合．
故選：BC．
8．（2024·湖南長沙·模擬預測）氚，亦稱超重氫，是氫的同位素之一，它的原子核由一個質子和兩個中子組
成，并帶有放射性，會發生b 衰變，其半衰期是 12.43 年.樣本中氚的質量 N 隨時間 t (單位:年)的衰變規律滿
t
足 -N = N × 2 12.43 ，其中 N0 表示氚原有的質量，則（ ）(參考數據: lg 2 0.301)0
A． t = 12.43log
N
2 N0
B．經過 24.86年后，樣本中的氚元素會全部消失
1
C．經過62.15年后，樣本中的氚元素變為原來的
32
D．若 x 年后，樣本中氚元素的含量為0.4N0 ，則 x >16
【答案】CD
【分析】利用給定式子進行化簡判斷 A，代入求值判斷 B，C，解方程求出 x ，再判斷 D 即可.
t N t-
【詳解】由題意得 -N = N × 2 12.43 ，故有 = 2
12.43 ，
0 N0
N t N
左右同時取對數得 log2 = - ，故得 t = -12.43logN0 12.43
2 N ，故 A 錯誤，0
24.86
-
當 t = 24.86時， N = N 10 ×2 12.43 = 2
-2 × N0 = N0 ，故 B 錯誤，4
62.15
- 1
而當 t = 62.15時， N = N0 ×2 12.43 = 2
-5 × N0 = N ，32 0
1
得到經過62.15年后，樣本中的氚元素變為原來的 ，故 C 正確，
32
x
-
由題意得0.4N = N × 2 12.43 ，化簡得 x 12.43log
0.4N0 2= - 2 = -12.43logN 2 5 ，0 0 0
12.43(log 2 log 5) 12.43(1 log 5) lg5 1- lg 2= - 2 - 2 = - - 2 = -12.43(1- ) = -12.43(1- )lg 2 lg 2 ，
將 lg 2 0.301
1- 0.301
代入其中，可得 x -12.43

1- ÷ =16.43 >16，故 D 正確.
è 0.301
故選：CD
三、填空題
9．（2024·廣東廣州·模擬預測）“阿托秒”是一種時間的國際單位，“阿托秒”等于10-18 秒，原子核內部作用過
程的持續時間可用“阿托秒”表示.《莊子 天下》中提到，“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，如果把“一尺之
棰”的長度看成 1 米，按照此法，至少需要經過 天才能使剩下“棰”的長度小于光在 2“阿托秒”內走過的
距離.（參考數據：光速為3 108 米/秒， lg2 0.3, lg3 0.48）
【答案】31
1
n

【分析】依題意可得尺子經過 n天后，剩余的長度 f n = ÷ 米，結合對數運算可得結果.
è 2
【詳解】依題意，光在 2“阿托秒”內走的距離為 2 10-18 3 108 = 6 10-10 米，
1 n 1 nn -10 經過 天后，剩余的長度 f n = 米，由 f n < 6 10 ，得 < 6 10-10 2 ÷ 2 ÷ ，è è
lg 6 10-10 n log 6 10-10 10 - lg6 10 - lg2 + lg3 10 - 0.78兩邊同時取對數，得 > 1 = 1 = = 30.73
2 lg lg2 lg2 0.3
，
2
而 n N*，則 n = 31，所以至少需要經過 31 天才能使其長度小于光在 2“阿托秒”內走的距離.
故答案為：31.
10．（2024·河南洛陽·模擬預測）在高度為3.6m的豎直墻壁面上有一電子眼A ，已知A 到天花板的距離為 2.1m ，
電子眼A 的最大可視半徑為0.5m．某人從電子眼正上方的天花板處貼墻面自由釋放一個長度為 0.2m 的木棒
（木棒豎直下落且保持與地面垂直），則電子眼 A 記錄到木棒通過的時間為 s．（注意：位移與時間的函
數關系為 s
1
= gt 2 ，重力加速度 g 取10m / s2 ）
2
13 - 7
【答案】
5
【分析】由題意中的函數關系建立方程組，解之即可求解.
【詳解】由已知得，木棒做自由落體運動，
設從開始下落到木棒的下端開始進入電子眼的視線和木棒的上端開始離開電子眼的視線所需要的時間分別
為 t1s, t2s，
位移分別為 s1 = 2.1- 0.5 - 0.2 =1.4, s2 = 2.1+ 0.5 = 2.6 ，
ì ì 1.4
1.4
1
= gt 21 t 2 1
=
5
所以 í ，則 í ，
2.6 1= gt 2 2.6
2 2 t2 = 5
A t t 2.6 1.4 13 - 7所以電子眼 記錄到木棒通過的時間為 2 - 1 = - = ．5 5 5
13 - 7
故答案為：
5
1．（四川·高考真題）某食品的保鮮時間 y （單位：小時）與儲藏溫度 x （單位：℃）滿足函數關系 y = ekx+b
（ e = 2.718...為自然對數的底數， k,b為常數）.若該食品在 0 ℃的保鮮時間是192小時，在 22 ℃的保鮮時間
是 48小時，則該食品在33 ℃的保鮮時間是
A．16 小時 B．20 小時 C．24 小時 D．21 小時
【答案】C
【詳解】試題分析： ，兩式相除得 ，解得 ，
那么 ，當 時 ，故選 C．
考點：函數的應用
2．（全國·高考真題）在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網上銷售業務，每天能完成 1200 份訂單的配貨，
由于訂單量大幅增加，導致訂單積壓.為解決困難，許多志愿者踴躍報名參加配貨工作.已知該超市某日積壓
500 份訂單未配貨，預計第二天的新訂單超過 1600 份的概率為 0.05，志愿者每人每天能完成 50 份訂單的配
貨，為使第二天完成積壓訂單及當日訂單的配貨的概率不小于 0.95，則至少需要志愿者（ ）
A．10 名 B．18 名 C．24 名 D．32 名
【答案】B
【分析】算出第二天訂單數，除以志愿者每天能完成的訂單配貨數即可.
【詳解】由題意，第二天新增訂單數為500 +1600 -1200 = 900，
900
=18，故至少需要志愿者18名.
50
故選：B
【點晴】本題主要考查函數模型的簡單應用，屬于基礎題.
3．（北京·高考真題）顧客請一位工藝師把A 、 B 兩件玉石原料各制成一件工藝品，工藝師帶一位徒弟完成
這
項任務，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工藝師進行精加工完成制作，兩件工藝品都
完成后交付顧客，兩件原料每道工序所需時間（單位：工作日）如下：
工序
時間 粗加工 精加工
原料
原料A
9 15
原料 B
6 21
則最短交貨期為 工作日.
【答案】42
【詳解】因為第一件進行粗加工時，工藝師什么都不能做，所以徒弟完成原料 B 的 6 小時后,師傅開始工作,
在師傅后面的 36 小時的精加工內,徒弟也同時完成了原料 A 的粗加工.所以前后共計6 +15 + 21=42 小時.
考點：本小題以實際問題為背景，主要考查邏輯推理能力，考查分析問題與解決問題的能力.
4．（上海·高考真題）根據上海市人大十一屆三次會議上的市政府工作報告，1999 年上海市完成 GDP（GDP
是指國內生產總值）4035 億元，2000 年上海市 GDP 預期增長 9%，市委、市府提出本市常住人口每年的自
然增長率將控制在 0.08%，若 GDP 與人口均按這樣的速度增長，則要使本市年人均 GDP 達到或超過 1999 年
的 2 倍，至少需 年．
按：1999 年本市常住人口總數約 1300 萬．
【答案】9
n 4035 1+ 9%
n
4035
【分析】計算 年后上海市的 GDP 和人口，根據題意得到 2 ，解得答案.
1300 1+ 0.08% n 1300
【詳解】 n年后，上海市的 GDP 為 4035 1+ 9% n，人口為1300 1+ 0.08% n，
4035 1+ 9% n 4035 1+ 9% n
根據題意： n 2 ，化簡得到 2，1300 1+ 0.08% 1300 1+ 0.08% n
即1.09n 2 1.0008n，即 n lg1.09 lg 2 + n lg1.0008，
n lg 2解得 8.1lg1.09 lg1.0008 ，故至少需要 9 年.-
故答案為：9

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