資源簡介

第 06 講 權方和不等式（含柯西不等式的應用）
（高階拓展、競賽適用）
本節內容為基本不等式的高階拓展，熟練掌握后能快速解決基本不等式中的最值問題，常在高考及競
賽中做到類型題的秒解！
知識講解
一、柯西不等式
1.二維形式的柯西不等式
( 2 + 2)( 2 + 2) ≥ ( + )2( , , , ∈ , 當且僅當 = 時，等號成立.)
2.二維形式的柯西不等式的變式
(1) 2 + 2 2 + 2 ≥ | + |( , , , ∈ , 當且僅當 = 時，等號成立.)
(2) 2 + 2 2 + 2 ≥ | | + | |( , , , ∈ , 當且僅當 = 時，等號成立.)
2
(3) ( + )( + ) ≥ + ( , , , ≥ 0, 當且僅當 = 時，等號成立.)
3.擴展： 2 + 2 + 2 + + 2 2 + 2 + 21 2 3 1 2 3 + + 2 ≥ ( 1 + + + + )21 2 2 3 3
二、權方和不等式:
a2 b2 (a + b)2
若 a,b, x, y 0 a b> 則 + 當且僅當 = 時取等.
x y x + y x y
(注：熟練掌握這個足以應付高考中的這類型最值問題可以實現對一些問題的秒殺)
廣義上更為一般的權方和不等式:
設 x + +1, x2 ,L, xn R , y1, y2 ,L, yn R ,
xm+1 xm+1 xm+11 2 n x1 + x2 +L+ x
m+1
若 m > 0 或 m < -1 , 則 m + m +L+ nm m ;y1 y2 yn y1 + y2 +L+ yn
xm+1 xm+1 xm+1 x + x +L+ x m+1
若 -1 < m < 0 , 則 1 + 2 +L+ n 1 2 n ;
ym m m1 y2 yn y1 + y2 +L+ y
m
n
x x
上述兩個不等式中的等號當且僅當 1 = 2
x
= 3
x
=L = n 時取等
y1 y2 y3 yn
注意觀察這個不等式的結構特征, 分子分母均為正數, 且始終要求分子的次數比分母的次數多 1, 出現定值
是解題的關鍵, 特別的, 高考題中以 m =1 最為常見, 此時這個不等式是大家熟悉的柯西不等式.
考點一、權方和不等式全解析
1 1
例 1：若正數 x ， y 滿足 + =1，則 x + 2y 的最小值為______________
x y
2 2
1 1 1 2 12 2 1+ 2
解： + = + = +
x y x 2y x1 2y 1 x + 2y 1 ，
21+ 2 1 2 2
即
1 1 x + 2y 3 + 2 2 ，當且僅當 = 時取等號，即 x = 2 +1， y = +1時取等號 x + 2y x 2y 2
所以 x + 2y 的最小值為3+ 2 2
例 2：若 x 0 y 1 3> ， > 0， + = 2，則6x + 5y 的最小值為______________
2x + y x + y
2 22 2 3 1+ 2 3
解： 1 3 1 12 1 13+ 4 3+ = + = + =
2x + y x + y 2x + y 4 x + y 2x + y 4 x + y 6x + 5y 6x + 5y
13+ 4 3 1 3
即 2 ，則6x
13
+ 5y + 2 3 ，當且僅當 = 時取等號
6x + 5y 2 2x + y 4 x + y
4 9 4 9
例 3：已知正數 x, y滿足 + =1 +x y ，則 2x2 + x y2 y 的最小值為 +
2
42 92 4 9 +
4 9 42 92 2 2 x y ÷ 1
解：
2 + 2 = + =
x + y è =
2x + x y + y 4 2x2 + x 9 y2 + y 8 4 9 9 4 9+ + + +17 18
x y x y
ì 4 9
+ =14 9 x y 17
x = y
ì
9 x =
當且僅當 4 9 時取等號.由 í
4 ,解得： í 2 ，
8 + 9 + x y
x y 4 = 9
y =17
8 + 9 +
x y
1 2
例 4：若 a >1，b > 0， a + b = 2 ，則 + 的最小值為______________
a -1 b
1 2 12 2
2 1+ 2 2 1 2解： + = + = 3+ 2 2 ，當且僅當 = 時取等號
a -1 b a -1 b a + b -1 a -1 b
2
a >1 b >1 a b
2
例 5：若 ， ，則 + 的最小值為______________
b -1 a -1
a2 b2 a + b 2 t + 2 2 4
解： + = = t + + 4 8
b -1 a -1 a + b - 2 t t
ì a b
= a2 b2
當且僅當 íb -1 a -1時取等號，即 a = b = 2，所以 + 的最小值為8
a + b - 2 = 2
b -1 a -1
2 2 2
例 6：已知正數 x ， y ， z 滿足 x + y + z =1 x y z，則 + + 的最小值為______________
y + 2z z + 2x x + 2y
x2 y2 z2 x + y + z 2 1
解： + + =
y + 2z z + 2x x + 2y y + 2z + z + 2x + x + 2y 3
x y z
當且僅當 = = 時取等號
y + 2z z + 2x x + 2y
1 4 9
例 7：已知正數 x ， y ， z 滿足 x + y + z =1，則 + + 的最小值為______________
x y z
2
1 4 9 12 22 32 1+ 2 + 3 1 2 3
解： + + = + + = 36，當且僅當 = = 時取等號
x y z x y z x + y + z x y z
1 8
例 8：已知正數 x ， y 滿足 x + y =1，則 2 + 2 的最小值為______________x y
1 8 13 23 1+ 2 3
解： 2 + 2 = 2 + 2 = 27x y x y x + y 2
1 2
當且僅當 = 時取等號
x y
1 4
例 9：求 2 + 2 的最小值為______________sin cos
1 4 12 22 1+ 2 2
解： 2 + = + = 9sin cos2 1sin2 cos2 1 1sin2 + cos2
1 2
當且僅當 2 = 時取等號sin cos2
f (x) 5 8例 10：求 = 2 + 2 的最小值為______________2sin x + 3 5cos x + 6
解 ：
2 2 5 + 4 2
f (x) 5 8 5 4 81= +
2sin2 x + 3 5cos2
= + =
x + 6 5 2sin2 x + 3 2 5cos2 x + 6 10 sin2 x + cos2 x + 27 37
5 4
當且僅當 =5 2sin2 x + 3 2 5cos2 x + 6 時取等號
例 11：權方和不等式”是由湖南理工大學楊克昌教授于上世紀 80 年代初命名的．其具體內容為：設
m+1 m+1
a 0,b 0,n N*,m 0 a1 a
m+1 am+1 am+1 a + a + a +L+ a
> > > + 2 3 n 1 2 3 n

n n ，則 bm bm
+ m +L+b bm
，當且僅當
1 2 3 n b1 + b
m
2 + b3 +L+ bn
a1 a a= 2 = 3 =L a= n π 3 3 1
b b b b 時，等號成立．根據權方和不等式，若
x 0, ÷ ，當 + 取得最小值時， x 的
1 2 3 n è 2 sinx cosx
值為（ ）
π π π 5π
A． B． C． D．
12 6 3 12
解：由題意得， sinx > 0,cosx > 0，
3 3 3
3 3 1 32 12 (3 +1)2 3
則 + = + = 42 = 8sin x cos x 1 1 1 ， sin2 x 2 cos2 x 2 sin2 x + cos2 x 2
3 1 1 π
當且僅當 2 = 2 ，即 cosx = 時等號成立，所以 x =sin x cos x 2 3
．
4 9 4 9
例 12：已知正數 x ， y 滿足 + =1，則 2 + 2 的最小值為______________x y 2x + x y + y
42 92
2
4 9
4 9 42 92 2 2
+
x y ÷ 1
解：
2 + 2 = + =
x + y è =
2x + x y + y 4 2x2 + x 9 y2 + y 8 4 9 9 4 9+ + + +17 18
x y x y
4 9
x y
當且僅當 4 = 9 時取等號8 + 9 +
x y
例 13：已知 x + 2y + 3z + 4u + 5v = 30，求 x2 + 2y2 + 3z 2 + 4u2 + 5v2 的最小值為______________
解：
2
2 2 2 2 2 x 2y
2 3z 2 4u 2 5v 2x + 2y + 3z + 4u + 5v = + + + +
1 2 3 4 5
x + 2y + 3z + 4u + 5z 2 302
= = 60
1+ 2 + 3+4+5 15
當且僅當 x = y = z = u = v時取等號
例 14：已知 a > 0，b > 0， a + b = 5，求 a +1 + b + 3 的最大值為______________
1 1 1
a +1 2 b + 3 2 a +1+ b + 3 2
解： a +1 + b + 3
3
= 1 + 1 1 = 1 = 3 2
- -
1 2 1 2 1+1 - -2 2 2
當且僅當 a +1 = b + 3時取等號
例 15：求 f (x) = x2 - 3x + 2 + 2 + 3x - x2 的最大值為______________
解：
1 1
x2 - 3x + 2 2 2 + 3x - x2 2
f (x) = x2 - 3x + 2 + 2 + 3x - x2 = 1 + 1
- -
1 2 1 2
1
x2 - 3x + 2 + 2 + 3x - x2 2
1 = 2 2
1+1 - 2
當且僅當 x2 - 3x + 2 = 2 + 3x - x2 時取等號
例 16：已知正數 a ，b ， c滿足 a + b + c =1，求 3a +1 + 3b +1 + 3c +1 的最大值為___________
解：
1 1 1
3a +1 2 3b +1 2 3c +1 23a +1 + 3b +1 + 3c +1 = 1 + 1 + 1
- - -
1 2 1 2 1 2
1
3a +1+ 3b +1+ 3c +1 2
1 = 3 2
1+1+1 - 2
當且僅當 a = b 1= c = 時取等號
3
考點二、柯西不等式全解析
例 1：用柯西不等式求函數 y = 2x - 3 + 2x + 7 - 3x 的最大值為
A． 22 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】配湊目標函數，再利用柯西不等式即可求得結果.
【詳解】由柯西不等式可得，
函數 y =
2
2x - 3 + 2x + 7 - 3x 12 + 2 +12 2x - 3 + x + 7 - 3x = 4
2x - 3 x
當且僅當 = = 7 - 3x 時，即 x = 2時等號成立，
1 2 1
故該的最大值為 4.
故選：C.
例 2：由柯西不等式，當 x + 2y + z = 4時，求 x + y + z 的最大值為（ ）
A．10 B．4 C．2 D． 10
【答案】D
【分析】利用柯西不等式可得 (x + 2y + z)(4 + 2 + 4) (2 x + 2 y + 2 z )2 ，即求.
【詳解】解：由柯西不等式，得 (x + 2y + z)(4 + 2 + 4) (2 x + 2 y + 2 z )2 ，
x 2y z 8 2
當且僅當 = = ，即 x = z = , y = 時，等號成立.
4 2 4 2 5
因為 x + 2y + z = 4，所以 ( x + y + z )2 10，
則 x + y + z 10 ，故 x + y + z 的最大值為 10 .
故選：D
例 3：已知 x, y (0,+ )，若 x + 3 y < k x + y 恒成立，利用柯西不等式可求得實數 k 的取值范圍
是 ．
【答案】 k > 10
【詳解】試題分析：由柯西不等式得 ( x + 3 y )2 (1+ 32 )(x + y) ，所以 x + 3 y 10 x + y ，即 k > 10 .
考點：柯西不等式
例 4：已知 2x + 3y + 6z =12，求 x2 + y2 + z2 的最小值.（利用柯西不等式）
144
【答案】
49
【分析】利用柯西不等式進行求解．
【詳解】由柯西不等式可知：（ x2 + y2 + z2 ）（4+9+36） (2x 3y 6z)2
144
+ + ，
49
ì x y z
2 2 2 144 = = , x 24 , y 36 , z 72\ x + y + z ，當且僅當 2 3 6 即 = = =
49 í 2x + 3y + 6z =12
49 49 49
【點睛】本題考查的是函數最值的求法，主要通過消元和配方解決問題，也可以是利用柯西不等式進行求
解．考查學生的轉化能力．
a b c 1 1 1 1例 5：已知正實數 ， ， ，d 滿足 a + b + c + d =1，則 + + + 的最小值
a + b + c b + c + d c + d + a d + a + b
是 ．
16 1
【答案】 / 5
3 3
【分析】
利用配湊法及柯西不等式即可求解.
【詳解】
1 1 1 1
由題意可知， + + +
a + b + c b + c + d c + d + a d + a + b
1 3 a b c d 1 1 1 1= é + + + ù + + +

3 a + b + c b + c + d c + d + a d + a + b ֏
1
= é a + b + c + b + c + d + c + d a d a b 1 1 1 1+ + + + ù + + +
3 è a + b + c b + c + d c + d + a d + a + b ÷
1 16 1
1+1+1+1 2 = ，當且僅當 a = b = c = d = 時取“ = ”號．
3 3 4
16
所以原式的最小值為 ．
3
16
故答案為： .
3
例 6：已知非負實數 a、b、c、d 滿足ab + bc + cd + da = 1，求證：
a3 b3 c3 d 3 1
+ + + .
b + c + d c + d + a d + a + b a + b + c 3
【答案】證明見解析
【分析】利用切比雪夫不等式的推論、柯西不等式及均值不等式即可求解.
【詳解】不妨設0 a b c d ，則0 a2 b2 c2 d 2 ．
a b 1 1 1 1記 + + c + d = S ，則 S - a S - b S - c S - d > 0， ．
S - a S - b S - c S - d
依次運用切比雪夫不等式的推論 1、柯西不等式、均值不等式得到
a3 b3 c3 d 3
+ + +
b + c + d c + d + a d + a + b a + b + c
a2 × a b2 ×b c2 ×c d 2 ×c 1
= + + + a2 + b2 + c2 + d 2 × (a + b + c + d )
S - a S - b S - c S - d 42
1 1 1 1× + + +

è S - a S - b S - c S - d ÷
1
= a2 + b2 + c2 + d 2 × é S - a + S - b + S - c + S - d
1 1 1 1
ù ×

+ + +

48 è S - a S - b S - c S - d ÷
1
a2 + b2 + c2 + d 248 × 4
2
1
= é a2 + b2 + b2 + c2 + c2 + d 2 + d 2 + a2 ù6
1
(2ab + 2bc + 2cd + 2da)
6
1 (ab bc 1= + + cd + da) = ，
3 3
故原不等式正確．
一、單選題
1 2
1．（2024·山西臨汾·三模）若0 < x <1，則 + 的最小值是（
x 1 x ）-
A．1 B．4 C． 2 + 2 2 D．3+ 2 2
【答案】D
【分析】根據基本不等式及“1”的妙用計算即可．
【詳解】因為0 < x <1，所以1 - x > 0 ，
1 2 1 2+ = + 則 × éx + 1- x 1- x 2xù = 3 + + 3 + 2 2 ，
x 1- x è x 1- x ÷ x 1- x
1- x 2x
當且僅當 = ，即 x = 2 -1時，等號成立，取得最小值x 1- x 3+ 2 2
，
故選：D．
x + y
2．（2024·江蘇揚州·模擬預測）已知 x > 0， y > 0，且 2x + y =1，則 xy 的最小值為（ ）
A．4 B． 4 2 C．6 D． 2 2 + 3
【答案】D
【分析】利用乘“1”法及基本不等式計算可得.
【詳解】因為 x > 0， y > 0，且 2x + y =1，
x + y 1 1 1 1 2x y 2x y
所以 = + = + ÷ 2x + y = + + 3 2 × + 3 = 2 2 + 3，xy y x è y x y x y x
2x y
當且僅當 = x 2 - 2y x ，即 = ， y = 2 -1時取等號.2
故選：D
1
3．（2024·江蘇南通·二模）設 x > 0， y > 0
1
， + 2y = 2，則 x + y 的最小值為（　　）x
3 3
A． B． 2 2 C． + 2 D．32 2
【答案】C
【分析】由不等式“1”的代換求解即可.
1 1
【詳解】因為 + 2y = 2，所以 + y =1，
x 2x
y 0 x 1 x 1 x 0 > + = +
1
+ y 1因為 > ， ，所以 ÷ ÷ = + xy
1
+ +1
y è y è 2x 2 2xy
3
= + xy 1 3 1 3 2 3+ + 2 xy × = + 2 = + 2 .
2 2xy 2 2xy 2 2 2
ì
xy
1
= ì 1+ 2
2xy x =
當且僅當 í ，即 í 2 時取等.
1
+ y =1
y = 2 - 2
2x
故選：C.
1 1
4．（2024·四川成都·模擬預測）若 a,b是正實數，且 + =1，則 a + b 的最小值為（ ）
3a + b 2a + 4b
4 2
A． B． C．1 D3 ． 25
【答案】A
【分析】觀察等式分母可知 3a + b + 2a + 4b = 5 a + b ，利用基本不等式中“1”的妙用可得結果.
1
【詳解】因為 a + b = 5a + 5b 1= é 3a + b + 2a + 4b 1ù = é 3a + b + 2a + 4b ù 1 1+
5 5 5 3a + b 2a + 4b ֏
1 2 2a + 4b 3a + b 1

2 2 2a + 4b 3a + b
4
= + + + × = ，5 è 3a + b 2a + 4b ÷ 5

è 3a + b 2a + 4b ÷
÷
5
3
當且僅當 a = ,b
1
= 時取等號，
5 5
4
所以 a + b 的最小值為 .
5
故選：A
1 45．（2024·河南·模擬預測）已知點P x, y 在以原點O為圓心，半徑 r = 7 的圓上，則 +x2 +1 y2 +1 的最小值
為（ ）
4
A B 5 + 2 2
7
． ． C． D．1
9 9 9
【答案】D
2 2
【分析】由題可得點 P 滿足的圓方程 x2 + y2 = 7 ，進而 x +1 + y +1 = 9 ，然后利用基本不等式結合條件
即得.
2 2
【詳解】由題意可得點 P 的坐標滿足 x2 + y2 = 7 ，所以， x +1 + y +1 = 9 ．
1 4 1 é 1 4 ù
因此， 2 + = é x
2 +1 + y2 +1 ù +
x +1 y2 +1 9 ê x2 +1 y2 +1ú
1 é
2
y2 +1 4 x +1 ù 1 é 2 2ê5 ú ê5 2 y +1 4 x +1
ù
= + 2 + 2 + 2 ú =1 .9 ê x +1 y +1 ú 9
ê x +1 y2 +1 ú

y2 +1 4 x2 +1
當且僅當 = 時，即 x = ± 2, y = ± 5 時取等號．
x2 +1 y2 +1
故選: D．
1 1
6．（2024·全國·模擬預測）設正實數 a，b 滿足 a + b = 2 ，則 + 的最小值為（ ）
a +1 b + 2
2 3 4 5
A． B3 ． C． D．4 5 6
【答案】C
1 1 1 b + 2 a +1
【分析】由已知可得 a +1+ b + 2 = 5，根據“1”的代換化簡得出 + = 2 + + .進而根據基
a +1 b + 2 5 è a +1 b + 2 ÷
本不等式，即可求得答案.
【詳解】因為 a + b = 2 ，所以 a +1+ b + 2 = 5，
1 1 1
+ =
1 1
+ 所以 a
1 b + 2 a +1
+1+ b + 2 = 2 + +
a +1 b + 2 5 è a +1 b + 2 ÷ 5 è a +1 b + 2 ÷
1 b + 2 a +1 4
2 + 2 × ÷÷ = ，5 è a +1 b + 2 5
當且僅當 a +1 = b + 2, a + b = 2，即 a
3 1
= ,b = 時，等號成立，
2 2
1 1 4
所以 + 的最小值為 ．
a +1 b + 2 5
故選：C．
7．（2021·浙江·模擬預測）已知 x > 0， y R ，且 x2 + xy - x + 5y = 30，則 2 - x + 30 - 3y 的最大值為
（ ）
A． 3 B． 6 C．2 6 D．3 2
【答案】C
【分析】依題意得 x + y = 6，則 2 - x + 30 - 3y = 2 - x + 3 × 4 + x ，進而由柯西不等式可得最大值.
【詳解】由 x2 + xy - x + 5y = 30可得 x2 - x - 30 + xy + 5y = 0，即 x + 5 x + y - 6 = 0 .
由 x > 0可知 x + y = 6，所以 2 - x + 30 - 3y = 2 - x + 12 + 3x = 2 - x + 3 × 4 + x .
由 x > 0， 2 - x 0可得0 < x 2，
由柯西不等式得
2 é 2 2 22 - x + 3 × 4 + x 2ê1 + 3
ù é ù
ú × ê 2 - x + 4 + x ú = 24 ，
4 + x 2 - x 1
所以 2 - x + 3 × 4 + x 2 6 ，當 = 即 x = 時，取等號.
3 1 2
所以 2 - x + 30 - 3y 的最大值為2 6 .
故選：C.
【點睛】關鍵點點睛：在得出 2 - x + 30 - 3y = 2 - x + 3 × 4 + x 之后，關鍵在于根據題目特點應用柯西
不等式求最大值.
1 2 13 1 2
8．（高三上·浙江寧波·期中）設 a，b 為正實數，且 a + 2b + + = ，則 + 的最大值和最小值之和為
a b 2 a b
（ ）
9 13
A．2 B． C． D．9
2 2
【答案】C
2 é 1 2 ù
【分析】根據題意可得 êa + 2b +

+
1 2
÷ú =1，再由“1”與 + 相乘利用基本不等式轉化為13 è a b a b
2 é9 1 2
2 ù 1 2
ê + +

÷ ú + ，解不等式即可求解.13 ê è a b ú a b
1 2 13 2 é 1 2 ù
【詳解】由 a + 2b + + = ，則 êa + 2b + + ÷ú =1，a b 2 13 è a b
所以
1 2 2 é
+ = êa + 2b
1 2 ù 1 2+ + +
a b 13 a b ÷ú a b ÷
è è
2 é1 2a 2b
2 ù
= + + + 4 + 1 2+
13 ê ê b a

è a b ÷
ú
ú
2 é5 2 2a 2b 1 2
2 2
+ × +
ù 2 é 1 2 ù
ê + ÷ ú = ê9 +
+ ，
13 ê b a è a b ú 13
÷ ú
ê è a b ú
2a 2b a 3當且僅當 = 時，即 = b = 2或 3 時，等號成立， b a 2
2 é 2 ù
即 ê9
1 2 1 2
+ +

÷ ú +
1 2 9
，解得 2 +
13 ê è a b ú a b a b 2
1 2 9
所以 + 的最大值為 ；最小值為 2；
a b 2
13
所以最大值和最小值之和為 .
2
故選：C
【點睛】本題主要考查利用基本不等式求最值，運用基本不等式求最值需驗證等號成立的條件，屬于中檔
題.
m m
9．（2024·遼寧·一模）已知m > 2n > 0，則 + 的最小值為（ ）m - 2n n
A．3+ 2 2 B．3 - 2 2 C． 2 + 3 2 D．3 2 - 2
【答案】A
【分析】根據題意，m = m - 2n + 2n，將所求式子變形，利用基本不等式求解.
【詳解】由m > 2n > 0，
\m - 2n > 0，m = m - 2n + 2n，
m m m - 2n + 2n m - 2n + 2n 2n m - 2n
\ + = + = 3+ + 3+ 2 2 ，
m - 2n n m - 2n n m - 2n n
2n m - 2n
當且僅當 = ，即m = 2 + 2 n時等號成立.m - 2n n
故選：A.
1 x2 4y2
10．（23-24 高一上·甘肅蘭州·期末）對任意實數 x >1, y > ，不等式 2 + 2 12 a 2y -1 a x -1 恒成立，則實數
a的最大值（ ）
A．2 B．4 C 14． D． 2 2
2
【答案】D
【分析】
2
a2 x 4y
2 x2 4y2
首先不等式變形為 + 恒成立，再利用兩次基本不等式求 t = + 的最小值，即可求解 a
2y -1 x -1 2y -1 x -1
的取值.
x2 4y2
【詳解】不等式 2 + 2 1a 2y 1 a x 1 恒成立，可轉化為- -
x2 4y2a2 1 + 恒成立，其中 x >1, y > ，
2y -1 x -1 2
x2
2 2
t 4y
2 x -1 + 2 x -1 +1 2y -1 + 2 2y -1 +1
令 = + = + ，
2y -1 x -1 2y -1 x -1
x -1 2 + 2 x -1 +1 2y -1 2 + 2 2y -1 +1
2 × ，
2y -1 x -1
= 2 éê x -1
1 é
+ + 2ùú ê 2y -1
1
+ + 2ùú 2 2 + 2 2 + 2 = 8， x -1 2y -1
1
第二次使用基本不等式，等號成立的條件是 x -1 = 且 2y -1
1
=
x -1 2y 1
，
-
2 2
y =1 x -1 + 2 x -1 +1 2y -1 + 2 2y -1 +1得 x = 2 且 ，此時第一次使用基本不等式 = ，說明兩次基本不
2y -1 x -1
等式能同時取得，
x2 4y2
所以 + 的最小值為8，
2y -1 x -1
即 a2 8，則-2 2 a 2 2 ，
所以實數 a的最大值為 2 2 .
故選：D
x2 4y2
【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是再求 t = + 的最值時，需變形為
2y -1 x -1
2 2 x -1 2 + 2 x -1 +1 2y -1 2t x 4y + 2 2y -1 +1= + = + ，再通過兩次基本不等式求最值.
2y -1 x -1 2y -1 x -1
二、填空題
1 9
11．（2024·寧夏石嘴山·模擬預測）已知m, n 0, + ， + n = 4，則m + 的最小值為 .
m n
【答案】 4
【分析】利用乘“1”法及基本不等式計算可得.
【詳解】因為m, n 0,+ 1， + n = 4，
m
m 9 1 m 9 1 1 9所以 + = + ÷ + n
= mn + +10
n 4 n m ÷ 4 ÷è è è mn
1
2 mn
9
× +10 = 4，
4 è mn ÷
÷

mn 9當且僅當 = ，即m =1， n = 3時取等號.
mn
故答案為： 4
1 2 1
12．（2024·內蒙古呼和浩特·一模）已知實數 a > 0,b > 2，且 + = ，則 2a + b 的最小值是 ．
a +1 b - 2 3
【答案】24
【分析】變形后，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值
【詳解】因為 a > 0,b > 2
1 2 1
，且 + = ，
a +1 b - 2 3
3 6
所以 + =1，
a +1 b - 2
é 3 6 ù 3 b - 2 12 a +1所以 2a + b = é2 a +1 + b 2

- ù ê + = 6 + 6 + + a +1 b - 2 ú a +1 b - 2
3 b - 2 12 a +1
12 2 + × = 24，
a +1 b - 2
3 b - 2 12 a +1
當且僅當 = ，即b - 2 = 2(a +1)， a = 5,b =14時等號成立，
a +1 b - 2
故答案為： 24
13．（2024·河南·三模）在VABC 中，角 A, B,C
4 1
的對邊分別為 a,b,c，若 a + b + c = 2，則 + 的最小值
a + b c
為 ．
9
【答案】
2
【分析】 a,b,c是VABC 的邊長，所以它們是正數，利用乘“1”法結合基本不等式即可求解.
【詳解】因為 a + b + c = 2，
4 1 1 4 1
所以 + = × +
é a + b + cù
a + b c 2 è a + b c ÷
1 4c a + b 1 5 5 2 4c a + b 9= × + + ÷ ×2 a b c 2 è +
+ × = ，
è a + b c ÷
÷
2
4c a + b 4 1
當且僅當 =
9
，即 a + b = 2c時等號成立，故 + 的最小值為 ．
a + b c a + b c 2
9
故答案為： .
2
1 1
14．（2024·廣西河池·模擬預測）若實數 a >1 > b > 0，且 a2 + 2b = b2 + 2a ，則 + 的最小值為 .a -1 b
【答案】4
【分析】根據 a >1 > b > 0，將 a2 + 2b = b2 + 2a 化簡可得 a + b - 2 = 0，再根據基本不等式“1”的巧用求解最值
即可.
【詳解】由 a2 + 2b = b2 + 2a 可得 a - b a + b - 2 = 0，
因為 a >1 > b > 0，所以 a - b 0，即 a + b - 2 = 0，則 a -1+ b =1，
1 1 1 1+ = 則 + ÷ a -1+ b
b a -1
= 2 + + 2 + 2 b a -1× = 4，
a -1 b è a -1 b a -1 b a -1 b
b a -1 a 3 ,b 1 1 1當且僅當 = ，即 = = 時等號成立，故 + 的最小值為 4 .
a -1 b 2 2 a -1 b
故答案為： 4 .
2 1
15．（2024·全國·模擬預測）已知 x >1， y > 0，且 x + = 2 ，則 + yy 的最小值是 ．x -1
【答案】3+ 2 2 / 2 2 + 3．
【分析】利用 “1”的巧用及基本不等式即可求解.
2 2
【詳解】由 x + = 2y ，得
x -1+ =1
y ，
因為 x >1， y > 0，
所以 x -1 > 0, y > 0，
1 y 2 + = x -1+ 1 2 2所以 ÷ + y

÷ = 3 + (x -1)y + 3+ 2 (x -1)y × = 3+ 2 2 ，x -1 è y è x -1 (x -1)y (x -1)y
當且僅當 (x -1)y
2
=
(x -1)y ，即 x = 2 ， y = 2 + 2 時，等號成立，
1
所以 + y 的最小值是
x -1 3 + 2 2
．
故答案為：3+ 2 2 ．
6 2
16．（2024·全國·模擬預測）已知 x > y > 0 ， + =1，則 2x - yx y x y 的最小值為 ．+ -
【答案】12
2 2 1 1 1 1 1 3
【分析】令 a = ，b = ，從而可得 x = + ， y = - ，再根據 2x - y = + 3a + b x y x y ，結合基+ - a b a b è a b ÷
本不等式求解即可.
a 2= b 2= x y 2 x y 2【詳解】令 ， ，則 + = - =x y x y ， ，且 a > 0，
b > 0，
+ - a b
所以 x
1 1 1 1
= + ， y = - ．
a b a b
1 1 1 1 1 3 1 3
又3a + b =1，所以 2x - y = 2 + ÷ - - ÷ = + = + ÷ 3a + b
è a b è a b a b è a b
= 3 b 9a+ + + 3 6 + 2 b 9a× =12，
a b a b
a 1當且僅當 = ，b
1
= ，即 x = 8， y = 4 時，等號成立．
6 2
故答案為：12
1 2a
17．（21-22 高三上·天津南開·期中）已知正實數 a，b 滿足 a + b =1，則 + 的最小值為 .
a b +1
5
【答案】 / 2.5
2
1 4 2 1 4【分析】將目標式轉化為 + - ，應用柯西不等式求 + 的取值范圍，進而可得目標式的最小值，
a b +1 a b +1
注意等號成立條件.
1 2a 1 2 - 2b 1 4
【詳解】由題設， a =1- b，則 + = + = + - 2 ，
a b +1 a b +1 a b +1
(a b 1)(1 4 1又 + + + ) = [ a × + b 1
2
+ × ]2 = 9
a b ，+1 a b +1
1 4 9 a b +1∴ + ，當且僅當 = 時等號成立，
a b +1 2 2
1 2a 9 5 b +1 2
∴ + - 2 = ，當且僅當 a = = 時等號成立.
a b +1 2 2 2 3
1 2a 5
∴ + 的最小值為 .
a b +1 2
5
故答案為： .
2
x2 y2
18．（2024·江西·一模）已知正數 x，y 滿足 x + y = 6，若不等式 a + 恒成立，則實數 a 的取值范
x +1 y + 2
圍是 ．
【答案】 - , 4
【分析】
x2 y2 x 1 1 2 y 2 4 4 3 1 4 1 4將 + 變形為 + + - + + + - = + +x 1 y 2 x 1 y 2 ，利用均值不等式求
+ 的最
x +1 y + 2 + + + + x +1 y + 2
小值即可求解.
【詳解】因為 x + y = 6，
x2 y2 x +1 2 - 2 x +1 +1 y + 2 2 - 4 y + 2 + 4
所以 t = + = +
x +1 y + 2 x +1 y + 2
x 1 1 4 1 4= + + - 2 + y + 2 + - 4 = 3+ +
x 1 y 2 x 1 y 2 ，+ + + +
t 3 1 4 3 x +1+ y + 2 1 4 所以 = + + = + +
x +1 y + 2 9 è x +1 y + 2
÷

32 y + 2 4 x +1 32 y + 2 4 x +1
= + + + 2 = 4，等號成立當且僅當 y = 4, x = 2，
9 9 x +1 9 y + 2 9 9 x +1 9 y + 2
x2 y2
所以 + ÷ = 4， a 4，
è x +1 y + 2 min
故實數 a 的取值范圍是 - , 4 .
故答案為： - , 4
x2 y2 1 4
【點睛】關鍵點點睛：解題關鍵是先得到 + = 3 + + ，再進一步結合乘“1”法即可順利得解.
x +1 y + 2 x +1 y + 2
2 1
19．（22-23 高三上·山東·階段練習）已知正實數 x ， y 滿足 4x + 7 y = 4，則 +x 3y 2x y 的最小值為 .+ +
9
【答案】
4
【分析】由 4x + 7 y = 2 x + 3y + 2x + y ，結合基本不等式求解即可.
【詳解】因為 4x + 7 y = 4，
2 1 1
所以 + = é 2 x + 3y + 2x y
2 1
+ ù + ，x + 3y 2x + y 4 è x + 3y 2x + y
÷

2 1 1 é 2 x + 3y 2 2x + y ù
所以 + = 4 + + +1 ，
x + 3y 2x + y 4 ê 2x + y x + 3y
ú

2 x + 3y 2 2x + y
因為 x, y為正實數，所以 > 0, > 0，
2x + y x + 3y
2 x + 3y 2 2x + y 2 x + 3y 2 2x + y ìx + 3y = 2x + y 所以 + 2 × = 4，當且僅當 í4x 7 y 4 時等號成立，即2x + y x + 3y 2x + y x + 3y + =
x 8 4= , y = 時等號成立，
15 15
2 1 1 9 8 4
所以 + 4 + 4 +1 =x 3y 2x ，當且僅當 x = , y = 時等號成立，+ + y 4 4 15 15
2 1
+ 9所以 x 3y 2x y 的最小值為 ，+ + 4
9
故答案為： .
4
1 2
20．（23-24 高三上·上海黃浦·開學考試）已知 x > 1, y > 1, xy = 10，則 +lgx lgy 的最小值為 .
【答案】3+ 2 2 / 2 2 + 3
【分析】依題意可得 lg x + lg y =1，再由基本不等式“1”的妙用即可得解.
【詳解】因為 x > 1, y > 1, xy = 10，
所以 lg x + lg y = lg xy =1， lg x > 0 ， lg y > 0，
1 2 ( 1 2所以 + = + )(lg x + lg y)
lg y 2lg x lg y 2lg x
= 3+ + 3+ 2 × ，
lg x lg y lg x lg y lg x lg y lg x lg y = 3+ 2 2
lg y 2lg x
當且僅當 =lg x lg y ，即 lg y = 2 lg x = 2 - 2 時，等號成立，
1 2
顯然此時 x, y有解，所以 +lgx lgy 的最小值為3+ 2 2 .
故答案為：3+ 2 2 .
21．（2024·江西宜春·三模）已知 x > 0， y > 0，且滿足 4x2 + 9y2 + 6xy - 3 = 0 ，則 2x + 3y的最大值
為 ．
【答案】 2
【分析】解法 1、根據題意，得到 4x2
3
+ 9y2 +12xy = 3+ 6xy 2，結合基本不等式求得 (2x + 3y) 3，進而求
4
得 2x + 3y的最大值；
解法 2、根據題意，得到 (x2 + 9y2 + 6xy) + 3x2 = 3，利用權方和不等式得 4≥(2x + 3y)2 ，進而求得 2x + 3y的
最大值．
【詳解】解法 1、由 4x2 + 9y2 + 6xy - 3 = 0 ，可得 4x2 + 9y2 +12xy = 3+ 6xy，
2 2x + 3y 3
由基本不等式得 (2x + 3y) = 3 + 2x ×3y 3+ ( )2，可得 (2x + 3y)2 3，
2 4
所以 2x + 3y 2，當且僅當 2x = 3y時取等號，
ì2x = 3y 1 1
聯立方程組 í4x2 9y2 ，解得
x =
6xy 3 0 ，
y = ，故 2x + 3y的最大值為 2．
+ + - = 2 3
解法 2、由 4x2 + 9y2 + 6xy - 3 = 0 ，可得 (x2 + 9y2 + 6xy) + 3x2 = 3，
(x + 3y)2 x2 (x + 3y + x)2
因為 x > 0, y > 0 +，由權方和不等式得 1 1
≥
1 1 ，即 4≥(2x + 3y)
2 ，
+
3 3
x + 3y x
所以 2x + 3y 2
=
，當且僅當 1 1 ，即 2x = 3y時取等號，
3
ì2x = 3y 1 1
聯立方程組 í x = y =4x2 9y2 6xy 3 0，解得 ， ，故
2x + 3y的最大值為 2．
+ + - = 2 3
故答案為： 2 .
2 1
22．（22-23高一上·福建福州·期中）若三個正數 x, y, z滿足3x +12y + 2z = 4 ，則 +x 2y 3y z 的最小值為 .+ +
【答案】 2 + 3 / 3 + 2
【分析】利用基本不等式求得正確答案.
【詳解】依題意 x, y, z為正數，3x +12y + 2z = 3 x + 2y + 2 3y + z = 4 ，
2 1
+ 1 2 1 所以 = + é3 x + 2y + 2 3y + z ùx + 2y 3y + z 4 è x + 2y 3y + z ÷
1 é 4 3y + z 38 x + 2y ù= ê + +4 x + 2y 3y + z
ú

1 é 4 3y + z 3 x + 2y ù
ê8 + 2 × ú = 2 + 3，
4 ê x + 2y 3y + z ú
4 3y + z 3 x + 2y
當且僅當 = ,3 x + 2y 2 = 4 3y + z 2 ，
x + 2y 3y + z
ì
x 2y 6 - 2 3+ =
3 x + 2y = 2 3y + z ， í 3 時等號成立.

3y + z = 3 -1
故答案為： 2 + 3
2 2 π
23．（2024·上海嘉定·二模）已知 f x = + ， x 0, ÷ ，則函數 y = f x 的最小值為 ．sin x cos x è 2
【答案】 4 2
【分析】令 t = sin x + cos x = 2 sin(x
π
+ )，可求 t 的范圍，利用同角的基本關系對已知函數化簡計算，結合
4
函數的單調性即可求解.
f (x) 2 2 2(sin x + cos x)【詳解】由題意知， = + =sin x cos x sin xcos x ，
t sin x cos x 2 sin(x π) π π x π 3π令 = + = + ，由 0 < x < 2 ，得 < + < ，4 4 4 4
2 sin(x π所以 < + ) 1，則1 < t 2 .
2 4
由 t = sin x + cos x ，得 t2 = (sin x + cos x)2 = 1+ 2sin xcos x ，
t 2 -1 g(t) 2t 4t 4=
所以 sin x cos x = ，則原函數可化為 t 2
= =
-1 t 2 -1 t 12 -
，
2 t
又函數 y = t, y
1
= - 在 (1, 2]上單調遞增，所以 y
1
= t - 在 (1, 2]上單調遞增，
t t
1 2
故當 t = 2 時， y = t - 取得最大值 ，此時 g(t)取得最小值t 4 2
.
2
故答案為： 4 2
a,b a b a +1 b +124．（2024·河南信陽·模擬預測）已知正數 滿足 + = + ，則 a + b 的最小值為 .
2a +1 2b +1
【答案】 2
1 1
【分析】根據分離常量法可得 a + b =1+ 2 + 2 ，結合權方和不等式計算可得 (a + b -1)(a + b +1) 1，即
2a +1 2b +1
(a + b)2 2，即可求解.
【詳解】 a > 0,b > 0，
1
a +1 b +1 (2a 1)
1 1
+ + (2b 1) 1 1 1+ +
a + b = + = 2 2 + 2 2 =1+ 2 + 2 ，
2a +1 2b +1 2a +1 2b +1 2a +1 2b +1
2
1 1 2 2
所以 +2 2 è 2 2
÷ ，
a + b -1 1= + =
2a +1 2b +1 2a +1+ 2b +1 a + b +1
2 2
當且僅當 2 = 2 即 a = b時等號成立，
2a +1 2b +1
所以 (a + b -1)(a + b +1) 1，得 (a + b)2 2，
所以 a + b 2 或 a + b - 2 （舍去），
即 a + b 的最小值為 2 .
故答案為： 2第 06 講 權方和不等式（含柯西不等式的應用）
（高階拓展、競賽適用）
本節內容為基本不等式的高階拓展，熟練掌握后能快速解決基本不等式中的最值問題，常在高考及競
賽中做到類型題的秒解！
知識講解
一、柯西不等式
1.二維形式的柯西不等式
( 2 + 2)( 2 + 2) ≥ ( + )2( , , , ∈ , 當且僅當 = 時，等號成立.)
2.二維形式的柯西不等式的變式
(1) 2 + 2 2 + 2 ≥ | + |( , , , ∈ , 當且僅當 = 時，等號成立.)
(2) 2 + 2 2 + 2 ≥ | | + | |( , , , ∈ , 當且僅當 = 時，等號成立.)
2
(3) ( + )( + ) ≥ + ( , , , ≥ 0, 當且僅當 = 時，等號成立.)
3.擴展： 2 + 2 + 2 + + 2 2 + 2 + 21 2 3 1 2 3 + + 2 ≥ ( 1 + + + + )21 2 2 3 3
二、權方和不等式:
a2 b2 (a + b)2
若 a,b, x, y 0 a b> 則 + 當且僅當 = 時取等.
x y x + y x y
(注：熟練掌握這個足以應付高考中的這類型最值問題可以實現對一些問題的秒殺)
廣義上更為一般的權方和不等式:
設 x + +1, x2 ,L, xn R , y1, y2 ,L, yn R ,
xm+1 xm+1 xm+11 2 n x1 + x2 +L+ x
m+1
若 m > 0 或 m < -1 , 則 m + m +L+ nm m ;y1 y2 yn y1 + y2 +L+ yn
xm+1 xm+1 xm+1 x + x +L+ x m+1
若 -1 < m < 0 , 則 1 + 2 +L+ n 1 2 n ;
ym m m1 y2 yn y1 + y2 +L+ y
m
n
x x x x
上述兩個不等式中的等號當且僅當 1 = 2 = 3 =L = n 時取等
y1 y2 y3 yn
注意觀察這個不等式的結構特征, 分子分母均為正數, 且始終要求分子的次數比分母的次數多 1, 出現定值
是解題的關鍵, 特別的, 高考題中以 m =1 最為常見, 此時這個不等式是大家熟悉的柯西不等式.
考點一、權方和不等式全解析
x y 1 1例 1：若正數 ， 滿足 + =1，則 x + 2y 的最小值為______________
x y
1 3
例 2：若 x > 0 ， y > 0， + = 2，則6x + 5y 的最小值為______________
2x + y x + y
4 9
例 3：已知正數 x, y滿足 + =1
4 9
+
x y ，則 2x2 x y2 y 的最小值為 + +
1 2
例 4：若 a >1，b > 0， a + b = 2 ，則 + 的最小值為______________
a -1 b
2
a >1 b >1 a b
2
例 5：若 ， ，則 + 的最小值為______________
b -1 a -1
x2 y2 z 2
例 6：已知正數 x ， y ， z 滿足 x + y + z =1，則 + + 的最小值為______________
y + 2z z + 2x x + 2y
x y 1 4 9例 7：已知正數 ， ， z 滿足 x + y + z =1，則 + + 的最小值為______________
x y z
1 8
例 8：已知正數 x ， y 滿足 x + y =1，則 2 + 2 的最小值為______________x y
1 4
例 9：求 2 + 2 的最小值為______________sin cos
5 8
例 10：求 f (x) = 2 + 的最小值為______________2sin x + 3 5cos2 x + 6
例 11：權方和不等式”是由湖南理工大學楊克昌教授于上世紀 80 年代初命名的．其具體內容為：設
am+1 am+1 am+1* 1 2 3 a
m+1 a + a + a +L+ a m+1
an > 0,bn > 0,n N ,m > 0 ，則 m + m + m +L+
n 1 2 3 n
b b b bm m ，當且僅當1 2 3 n b1 + b2 + b3 +L+ bn
a1 a2 a= = 3 L a= = n π 3 3 1
b b b b 時，等號成立．根據權方和不等式，若
x 0, ÷ ，當 + 取得最小值時， x 的
1 2 3 n è 2 sinx cosx
值為（ ）
π π π 5π
A． B． C． D．
12 6 3 12
4 9 4 9
例 12：已知正數 x ， y 滿足 + =1，則 2 + 2 的最小值為______________x y 2x + x y + y
例 13：已知 x + 2y + 3z + 4u + 5v = 30，求 x2 + 2y2 + 3z 2 + 4u2 + 5v2 的最小值為______________
例 14：已知 a > 0，b > 0， a + b = 5，求 a +1 + b + 3 的最大值為______________
例 15：求 f (x) = x2 - 3x + 2 + 2 + 3x - x2 的最大值為______________
例 16：已知正數 a ，b ， c滿足 a + b + c =1，求 3a +1 + 3b +1 + 3c +1 的最大值為___________
考點二、柯西不等式全解析
例 1：用柯西不等式求函數 y = 2x - 3 + 2x + 7 - 3x 的最大值為
A． 22 B．3 C．4 D．5
例 2：由柯西不等式，當 x + 2y + z = 4時，求 x + y + z 的最大值為（ ）
A．10 B．4 C．2 D． 10
例 3：已知 x, y (0,+ )，若 x + 3 y < k x + y 恒成立，利用柯西不等式可求得實數 k 的取值范圍
是 ．
例 4：已知 2x + 3y + 6z =12，求 x2 + y2 + z2 的最小值.（利用柯西不等式）
1 1 1 1
例 5：已知正實數 a， b ， c，d 滿足 a + b + c + d =1，則 + + + 的最小值
a + b + c b + c + d c + d + a d + a + b
是 ．
例 6：已知非負實數 a、b、c、d 滿足ab + bc + cd + da = 1，求證：
a3 b3 c3 d 3 1
+ + + .
b + c + d c + d + a d + a + b a + b + c 3
一、單選題
1 2
1．（2024·山西臨汾·三模）若0 < x <1，則 + 的最小值是（
x 1 x ）-
A．1 B．4 C． 2 + 2 2 D．3+ 2 2
x + y
2．（2024·江蘇揚州·模擬預測）已知 x > 0， y > 0，且 2x + y =1，則 xy 的最小值為（ ）
A．4 B． 4 2 C．6 D． 2 2 + 3
x 0 y > 0 1
1
3．（2024·江蘇南通·二模）設 > ， ， + 2y = 2，則 x + 的最小值為（　　）
x y
3 3
A． B． 2 2 C． + 2 D．32 2
1 1
4．（2024·四川成都·模擬預測）若 a,b是正實數，且 + =1，則 a + b 的最小值為（ ）
3a + b 2a + 4b
4 2
A． B． C D3 ．1 ． 25
1 4
5．（2024·河南·模擬預測）已知點P x, y 在以原點O為圓心，半徑 r = 7 的圓上，則 +x2 +1 y2 1 的最小值+
為（ ）
4
A B 5 + 2 2
7
． ． C． D．1
9 9 9
1 1
6．（2024·全國·模擬預測）設正實數 a，b 滿足 a + b = 2 ，則 + 的最小值為（ ）
a +1 b + 2
2 3 4 5
A． B3 ． C． D．4 5 6
7．（2021·浙江·模擬預測）已知 x > 0， y R ，且 x2 + xy - x + 5y = 30，則 2 - x + 30 - 3y 的最大值為
（ ）
A． 3 B． 6 C．2 6 D．3 2
1 2 13 1 2
8．（高三上·浙江寧波·期中）設 a，b 為正實數，且 a + 2b + + = ，則 + 的最大值和最小值之和為
a b 2 a b
（ ）
9 13
A．2 B． C． D．9
2 2
m m
9．（2024·遼寧·一模）已知m > 2n > 0，則 + 的最小值為（
m 2n n ）-
A．3+ 2 2 B．3 - 2 2 C． 2 + 3 2 D．3 2 - 2
1 x2 4y2
10．（23-24 高一上·甘肅蘭州·期末）對任意實數 x >1, y > ，不等式 + 1
2 a2 2y -1 a2 x 1 恒成立，則實數-
a的最大值（ ）
A．2 B．4 C 14． D． 2 2
2
二、填空題
11．（2024·寧夏石嘴山·模擬預測）已知m, n 0, + 1， + n = 4，則m 9+ 的最小值為 .
m n
12．（2024·內蒙古呼和浩特·一模）已知實數 a > 0,b > 2
1 2 1
，且 + = ，則 2a + b 的最小值是 ．
a +1 b - 2 3
4 1
13．（2024·河南·三模）在VABC 中，角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，若 a + b + c = 2，則 + 的最小值
a + b c
為 ．
1 1
14．（2024·廣西河池·模擬預測）若實數 a >1 > b > 0，且 a2 + 2b = b2 + 2a ，則 + 的最小值為 .a -1 b
2 1
15．（2024·全國·模擬預測）已知 x >1， y > 0，且 x + = 2y ，則
+ y 的最小值是 ．
x -1
6 2
16．（2024·全國·模擬預測）已知 x > y > 0 ， + =1x y x y ，則
2x - y 的最小值為 ．
+ -
1 2a
17．（21-22 高三上·天津南開·期中）已知正實數 a，b 滿足 a + b =1，則 + 的最小值為 .
a b +1
x2 y2
18．（2024·江西·一模）已知正數 x，y 滿足 x + y = 6，若不等式 a + 恒成立，則實數 a 的取值范
x +1 y + 2
圍是 ．
2 1
19．（22-23 高三上·山東·階段練習）已知正實數 x ， y 滿足 4x + 7 y = 4，則 +x 3y 2x y 的最小值為 .+ +
1 2
20．（23-24 高三上·上海黃浦·開學考試）已知 x > 1, y > 1, xy = 10，則 +lgx lgy 的最小值為 .
21．（2024·江西宜春·三模）已知 x > 0， y > 0，且滿足 4x2 + 9y2 + 6xy - 3 = 0 ，則 2x + 3y的最大值
為 ．
2 1
22．（22-23高一上·福建福州·期中）若三個正數 x, y, z滿足3x +12y + 2z = 4 ，則 +x + 2y 3y z 的最小值為 .+
2 2 π
23．（2024·上海嘉定·二模）已知 f x = + x ， 0,

÷ ，則函數 y = f x 的最小值為 ．sin x cos x è 2
a +1 b +1
24．（2024·河南信陽·模擬預測）已知正數 a,b滿足 a + b = + ，則 a + b 的最小值為 .
2a +1 2b +1

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