資源簡介

第 04 講 平面向量系數和（等和線、等值線）問題
（高階拓展、競賽適用）
（5 類核心考點精講精練）
平面向量與代數、幾何融合考查的題目綜合性強，難度大，考試要求高。
平面向量是有效連接代數和幾何的橋梁，已成為高考數學的一個命題熱點。
近年，高考、模考中有關“系數和（等和線）定理”背景的試題層出不窮，學生在解決此類問題時，
往往要通過建系或利用角度與數量積處理，結果因思路不清、解題繁瑣，導致得分率不高，而向量三點共
線定理與等和線巧妙地將代數問題轉化為圖形關系問題，將系數和的代數運算轉化為距離的比例運算，數
形結合思想得到了有效體現，同時也為相關問題的解決提供了新的思路，大家可以學以致用
知識講解
如圖，P 為 AOB所在平面上一點，過O作直線 l / / AB ，由平面向量基本定理知：

存在 x, y R ，使得OP xOA yOB
下面根據點 P 的位置分幾種情況來考慮系數和 x y 的值

①若 P l 時，則射線OP 與 l無交點，由 l / / AB 知，存在實數 ，使得OP AB

而 AB OB OA，所以OP OB OA，于是 x y= - =0
②若 P l 時，
（i）如圖 1，當 P 在 l右側時，過 P 作CD / / AB ，交射線OA，OB 于C, D 兩點，則
OCD OAB，不妨設 OCD 與 OAB 的相似比為 k
由 P,C，D 三點共線可知：存在 R 使得：

OP OC (1 )OD k OA k(1 )OB
所以 x y k k(1- ) k
（ii）當 P 在 l左側時，射線OP 的反向延長線與 AB 有交點，如圖 1 作 P 關于O的對稱點 P ，由（i）
的分析知：存在存在 R 使得：

OP OC (1 )OD k OA (1 )OB

所以OP -k OA -(1 )OB
于是 x y -k -k(1- ) -k

綜合上面的討論可知：圖中OP 用OA,OB線性表示時，其系數和 x y 只與兩三角形的相似比有關。
我們知道相似比可以通過對應高線、中線、角平分線、截線、外接圓半徑、內切圓半徑之比來刻畫。
因為三角形的高線相對比較容易把握，我們不妨用高線來刻畫相似比，在圖中，過O作 AB 邊的垂線 l ，

設點 P 在 l 上的射影為 P ，直線 l 交直線 AB P | k | | OP |于點 1，則 ( k 的符號由點 P 的位置確定)，因| OP1 |
此只需求出 |OP |的范圍便知 x y 的范圍
考點一、“x+y”或“λ+μ”型綜合
v
1．（全國·高考真題）在矩形 ABCD 中，AB=1，AD=2，動點 P 在以點 C 為圓心且與 BD 相切的圓上．若AP =
v
AB +
v
AD ，則 + 的最大值為
A．3 B．2 2 C． 5 D．2
【答案】A
【法一：系數和】，分析：如圖 ，
由平面向量基底等和線定理可知，當等和線 l與圓相切時， 最大，此時
AF AB BE EF 3AB 3, 故選 A .
AB AB AB
【法二：坐標法】詳見解析版
2，（衡水中學二模）邊長為 2 的正六邊形 ABCDEF 中，動圓Q的半徑為 1，圓心在線段CD (含短點)上運

動， P 是圓Q上及其內部的動點，設向量 AP mAB nAF (m,n R) ，則m n的取值范圍是（ ）
A. 1,2 B. 5,6 C. 2,5 D. 3,5

分析:如圖，設 AP mAB nAF AG 2AB，由等和線結論，m n 2 .此為m n的最小值；
AB AB
AH
同理，設 AP mAB nAF ，由等和線結論，m n 5 .此為m n的最大值.
AB
綜上可知m n [2,5] .
1. 在矩形 ABCD中， AB 1, AD 2，動點 P 在以點C 為圓心且與 BD相切的圓上，

若 AP AB AD，則 + 的最大值為( )
A 3 B 2 2 C 5 D 2
2. 如圖，正六邊形 ABCDEF ， P 是 CDE 內（包括邊界）的動

點，設 AP a AB b AF (a , b R) ，則a b 的取值范圍是____________
3. 如圖在直角梯形 ABCD中， AB / /CD ， AB AD， AD DC 1，AB 3，動點 P 在以C 為圓心，

且與直線 BD相切的圓內運動，設 AP a AD b AB(a , b R)
則a b 的取值范圍是____________

3．在VABC 中， AB 6， BC 8， AB BC ，M 是VABC 外接圓上一動點，若 AM AB AC ，則
的最大值是（ ）
5 4
A．1 B． C． D．2
4 3
4．（22-23 高三上·江蘇蘇州·階段練習）在VABC 中， AB 4 ，BC 3，CA 2，點 P 在該三角形的內切圓

上運動，若 AP mAB nAC （m ， n為實數），則m n的最小值為（ ）
5 1 7 4
A． B． C． D．
18 3 18 9
5．（22-23 高一下·廣東珠?！て谀┰赩ABC 中， AB 1， AC 2， BAC 60°， P 是VABC 的外接圓上的一

點，若 AP mAB nAC ，則m n的最大值是（ ）
3
A 1 B C 1． ． ．
2 2
D． 3
考點二、“+”或“+”型綜合

1. 已知O是VABC 內一點,且OA OB OC 0 ,點 M 在VOBC 內(不含邊界),若 AM AB AC ,則
2 的取值范圍是
A. 1,
5
2 ֏
B. (1, 2)
2
C. ,1

÷
è 3
1
D. ,12 ֏

2. 已知VABC 為邊長為 2 的等邊三角形，動點 P 在以 BC 為直徑的半圓上.若 AP AB AC ，則
2 的取值范圍是__________

3. 若點C 在以 P 為圓心,6 為半徑的弧 AB 上,且 PC xPA yPB ,則 2x 3y 的取值范圍為______

4. 設長方形 ABCD的邊長分別是 AD 1, AB 2 ,點 P 是VBCD 內(含邊界)的動點,設 AP xAB y AD ,
則 x 2y 的取值范圍是_________

1．在矩形 ABCD 中， AB 1， AD 3，P 為矩形內一點，且 AP 3 .若 AP AB AD , R ，則
2
3 的最大值為 ( 　　 )
3
A B 6 C 3 3 6 3 2． ． ． D．
2 2 4 4
v v
2．（2023·安徽淮南·一模）已知G 是VABC的重心，過點G 作直線MN 與 AB ， AC 交于點M , N ，且 AM xAB，
v v
AN y AC ， x, y > 0 ，則3x y 的最小值是
8 7 5 4 2
A． B． C． D． 3
3 2 2 3 3
v v v v v v v
3．已知O是 ABC內一點，且OA OB OC 0，點M 在 OBC 內（不含邊界），若 AM AB AC ，則
2 的取值范圍是

A． 1,
5
÷ B． 1,2
2 ,1 C D
1
． ． ,1
è 2 è 3 ÷
2 ÷ è
4 p．（22-23 高三上·江蘇南通·開學考試）在VABC 中， AB 3, AC 2， A ，過VABC3 的外心 O 的直線(不
uuur uuur
經過點A )分別交線段 AB, AC 于D, E ，且 AD AB， AE AC ，則 的取值范圍是（ ）
é11 4 6 ,13
ù é11 4 6 , 23
ù
A． ê B．
18 10
ú ê 18 15 ú
é14 3 6 ,13
ù é14 3 6 , 23
ù
C． ê ú D． ê ú
18 10 18 15
考點三、“-”或“-”型綜合

1. 如圖,已知O為銳角三角形 ABC p的外心, A ,且OA xOB yOC ,求 2x y 的取值范圍？
3
1．（2023·全國·高三專題練習）在矩形 ABCD 中， AB 1， AD 3 ，動點 P 在以點 C 為圓心且與 BD 相切
uuur uuur uuur
的圓上.若 AP AB AD，則 的最小值為（ ）
A． 3 B．1 C．-1 D． 3
考點四、“-”或“-”型綜合
1．（2023·浙江·高三專題練習）如圖，在直角梯形 ABCD中， AB AD ， AB ∥ DC ， AB 2 ，
AD DC 1 1，圖中圓弧所在圓的圓心為點 C，半徑為 2 ，且點 P 在圖中陰影部分（包括邊界）運動．若

AP xAB y AC ，其中 x，y R ，則 4x y 的取值范圍是（ ）
é
2 3 2
ù é 5 ù é 2 5 ù é 17 17 ù
A． ê ，3 ú B． ê2，3 ú C． ê3 ，3 D． 3 ，3
4 2 4 2
ú ê ú
2 2
2．（2022春·安徽六安·高三階段練習）在直角梯形 ABCD中， AB AD ，DC ∥ AB ， AD DC 1, AB 2，E 、
F 分別為 AB 、BC 的中點，點 P 在以A 為圓心， AD 為半徑的圓弧DE 上變動，（如圖所示），若

AP ED AF ，其中 , R ，則2 的取值范圍是 ．
1．（2023·四川·校聯考三模）在直角梯形 ABCD中， AB AD ， AD∥BC ， AB BC 2AD 2 ，E ，F 分
別為BC ，CD 的中點，以A 為圓心， AD 為半徑的半圓分別交BA及其延長線于點M ， N ，點 P 在M DN 上

運動（如圖）.若 AP AE BF ，其中 ， R ，則 2 5 的取值范圍是
A． 2,2 B． é 2,2 2ù C． é 2 2,2ù D． é 2 2,2 2ù
考點五、系數和（等和線）的綜合應用
1．如圖所示，△ABC 中，AC＝3，點 M 是 BC 的中點，點 N 在邊 AC 上，且 AN＝2NC，AM 與 BN 相交于
點 P，且 PN＝2PM，則△ABC 面積的最大值為 ．
5．5．2．我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”.如圖，
它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形.已知HE 2EB, M 為線段 AB 的中點，設

P 為中間小正方形EFGH 內一點（不含邊界）.若MP ME MB ，則 的取值范圍為 .
2 2 2 2
3．（2023· · x y x y黑龍江哈爾濱 一模）如圖，橢圓 2 2 1 a > b > 0 與雙曲線 2 2 1 m > 0,n > 0 有公共焦a b m n
點 F1 c,0 ，F2 c,0 c > 0 ，橢圓的離心率為 e1 ，雙曲線的離心率為 e2，點 P 為兩曲線的一個公共點，且
1 3
F1PF2 60°，則 2 2 ； I 為△F1PF2 的內心，F1, I ,G x A, Be1 e
三點共線，且GP × IP 0， 軸上點 滿足
2

AI IP，BG GP，則 2 2的最小值為 ．
1．（2024 高三·全國·專題練習）在VABC 中，三個內角分別為 A，B，C， AB 4 ， AC 3，BC 2，H 為VABC
y
的垂心．若 AH xAB y AC ，則 ．
x
1
2．（22-23 高二下·廣東汕尾·期末）如圖，在 VABC 中，點 D 在線段 AB 上，且 AD AB ，E 是CD 的中點，
3

延長 AE 交 BC 于點 H，點 P 為直線 AH 上一動點（不含點 A），且 AP AB AC （ , R）．若 AB 4 ，
且 AC BC ，則VCAH 的面積的最大值為 ．

CD 3
1 1
3．（20-21 高一·江蘇·課后作業）已知△ABC 中， BC, EC AC, AF AB，若點 P 為四邊形 AEDF
5 2 3

DP 1

內一點(不含邊界)且 DC xDE ，則實數 x 的取值范圍為 .
3
1．（2023 高三·全國·專題練習）在正方形 ABCD中， AC 與BD交于點O，E 為邊BC 上的動點（不含端點），
2 1
AE AC DO，則 的最小值為 .
2．（2023 高三·全國·專題練習）如圖，四邊形OABC 是邊長為 1 的正方形，點 D 在OA的延長線上，且

AD 1，點 P 是△BCD (含邊界)的動點，設OP OC OD，則 的最大值為 ．
3．（22-23 高一下·四川眉山·階段練習）已知點 G 是VABC 的重心，過點 G 作直線分別與 AB, AC 兩邊相交于
1 1
點 M，N 兩點（點 M，N 與點 B，C 不重合），設 AB xAM ， AC y AN ，則 x 1 y 1的最小值為 ．
4．（2023 高三·全國·專題練習）如圖，邊長為 2 的等邊三角形的外接圓為圓 O，P 為圓 O 上任一點，若

AP xAB y AC ，則 2x＋2y 的最大值為
5．（2023 高三·全國·專題練習）如圖，在VABC 中，M 為邊BC 上不同于 B ，C 的任意一點，點 N 滿足
uuur uuur uuur
AN 2NM .若 AN xAB y AC ，則 x2 9y2 的最小值為 .
6．（22-23 高一下·河南省直轄縣級單位·階段練習）如圖，四邊形 ABCD是邊長為 1 的正方形，延長 CD 至
E，使得DE＝2CD．動點 P 從點 A 出發，沿正方形的邊按逆時針方向運動一周回到 A 點，

AP AB AE ．則 的取值范圍為 ．
7．（23-24 高三下·安徽·階段練習）已知正方形 ABCD的邊長為 2，中心為O，四個半圓的圓心均為正方形

ABCD各邊的中點（如圖），若 P 在B C 上，且 AP AB AD，則 的最大值為 ．
1 1
8．（23-24 高一下·天津·期中）如圖，在VABC 中， AD AB, AE AC,CD 與 BE 交于點P, AB 2，
2 3
uuur uuur
AC 3, AP × BC 1，則 AB × AC 的值為 ；過點 P 的直線 l分別交 AB, AC 于點M , N ,設 AM mAB,

AN nAC (m > 0, n > 0)，則m 2n 的最小值為 .
9．（21-22 高三上·河南鄭州·階段練習）如圖，在扇形OAB 中， AOB 120° ，OA OB 2，點M 為OB的

中點，點 P 為曲邊 AMB 區域內任一點（含邊界），若OP mOA nOM ，則m n的最大值為 ．
2p
10．（22-23 高三下·上海寶山·開學考試）如圖所示， BAC ，圓 M 與 AB，AC 分別相切于點 D，E，
3

AD=1，點 P 是圓 M 及其內部任意一點，且 AP xAD y AE x, y R ，則 2x 3y的取值范圍是

11．（2024 高三下·全國·專題練習）如圖，平面內有三個向量OA，OB ，OC ，其中OA,OB 120o ，

o OA,OC 30 ，且 OA OB 1， OC 2 3 ，若OC mOA nOB，則m n .
12．（22-23 高二上·上海寶山·階段練習）設點 P 在以A 為圓心，半徑為 1 的圓弧BC 上運動（包含 B 、C 兩
2 v v v
個端點）， BAC p ，且 AP xAB y AC ，則 x y xy 的取值范圍為 .
3
13．（19-20 高一上·黑龍江牡丹江·期末）如圖，扇形的半徑為 1，圓心角 BAC 120° ，點 P 在弧 BC 上運

動， AP xAB y AC ，則3x y 的最大值為 .
14．（22-230 高三上·浙江臺州·期末）如圖，已知正方形 ABCD，點 E，F 分別為線段BC ，CD 上的動點，且

BE 2 CF ，設 AC xAE y AF （x， y R ），則 x y 的最大值為 .

15．（22-23 高三·浙江·階段練習）已知 AB AC 1， AB 與 AC 所成角為60°，點 P 滿足 AP AC 1，若

AP xAB y AC ，則 x y 的最大值為 .
1
16．（22-23 高一下·重慶萬州·期中）如圖，在 VABC 中， BD BC ，點 E 在線段 AD 上移動（不含端點），
3
1
若 AE AB AC ，則 2 的取值范圍是 ．

17．（21-22高三下·浙江杭州·階段練習）已知正三角形 ABC 的邊長為2，D是邊BC 的中點，動點P滿足 | PD | 1，

且 AP xAB y AC ，其中 x y 1，則 2x y 的最大值為 ．
18．（22-23 高一下·湖北孝感·期中）趙爽是我國古代數學家，大約在公元 222 年，他為《周髀算經》一書作
序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長得到的正方形由 4 個全等的直角三角形再加上中
間的一個小正方形組成）類比“趙爽弦圖”，可構造如圖所示的圖形，它是由 3 個全等的三角形與中間一個小

等邊三角形拼成的一個較大的等邊三角形，設 AD AB AC ，若 AD 3AF ，則 的值為 .
19．（23-24 高三上·陜西漢中·階段練習）對稱性是數學美的一個重要特征，幾何中的軸對稱，中心對稱都能
給人以美感，激發學生對數學的興趣.如圖，在菱形 ABCD中， ABC 120o , AB 2，以菱形 ABCD的四條

邊為直徑向外作四個半圓， P 是這四個半圓弧上的一動點，若DP DA DC ，則 的最大值
為 .
20．（23-24 高一下·安徽宿州·期中）由三角形內心的定義可得：若點O為VABC 內心，則存在實數 ，使得

AO AB AC

÷ .在VABC 中， tan BAC 2 2 ，若點O為VABC 內心，且滿足 AO xAB y AC ，則
è | AB | | AC |
x y 的最大值為 .第 04 講 平面向量系數和（等和線、等值線）問題
（高階拓展、競賽適用）
（5 類核心考點精講精練）
平面向量與代數、幾何融合考查的題目綜合性強，難度大，考試要求高。
平面向量是有效連接代數和幾何的橋梁，已成為高考數學的一個命題熱點。
近年，高考、?？贾杏嘘P“系數和（等和線）定理”背景的試題層出不窮，學生在解決此類問題時，
往往要通過建系或利用角度與數量積處理，結果因思路不清、解題繁瑣，導致得分率不高，而向量三點共
線定理與等和線巧妙地將代數問題轉化為圖形關系問題，將系數和的代數運算轉化為距離的比例運算，數
形結合思想得到了有效體現，同時也為相關問題的解決提供了新的思路，大家可以學以致用
知識講解
如圖，P 為 AOB所在平面上一點，過O作直線 l / / AB ，由平面向量基本定理知：

存在 x, y R ，使得OP xOA yOB
下面根據點 P 的位置分幾種情況來考慮系數和 x y 的值

①若 P l 時，則射線OP 與 l無交點，由 l / / AB 知，存在實數 ，使得OP AB

而 AB OB OA，所以OP OB OA，于是 x y= - =0
②若 P l 時，
（i）如圖 1，當 P 在 l右側時，過 P 作CD / / AB ，交射線OA，OB 于C, D 兩點，則
OCD OAB，不妨設 OCD 與 OAB 的相似比為 k
由 P,C，D 三點共線可知：存在 R 使得：

OP OC (1 )OD k OA k(1 )OB
所以 x y k k(1- ) k
（ii）當 P 在 l左側時，射線OP 的反向延長線與 AB 有交點，如圖 1 作 P 關于O的對稱點 P ，由（i）
的分析知：存在存在 R 使得：

OP OC (1 )OD k OA (1 )OB

所以OP -k OA -(1 )OB
于是 x y -k -k(1- ) -k

綜合上面的討論可知：圖中OP 用OA,OB線性表示時，其系數和 x y 只與兩三角形的相似比有關。
我們知道相似比可以通過對應高線、中線、角平分線、截線、外接圓半徑、內切圓半徑之比來刻畫。
因為三角形的高線相對比較容易把握，我們不妨用高線來刻畫相似比，在圖中，過O作 AB 邊的垂線 l ，

設點 P 在 l 上的射影為 P ，直線 l 交直線 AB P | k | | OP |于點 1，則 ( k 的符號由點 P 的位置確定)，因| OP1 |
此只需求出 |OP |的范圍便知 x y 的范圍
考點一、“x+y”或“λ+μ”型綜合
v
1．（全國·高考真題）在矩形 ABCD 中，AB=1，AD=2，動點 P 在以點 C 為圓心且與 BD 相切的圓上．若AP =
v v
AB + AD ，則 + 的最大值為
A．3 B．2 2 C． 5 D．2
【答案】A
【法一：系數和】
分析：如圖 ，
由平面向量基底等和線定理可知，當等和線 l與圓相切時， 最大，此時
AF AB BE EF 3AB 3,
AB AB AB
故選 A .
【法二：坐標法】
【詳解】如圖所示，建立平面直角坐標系.
設 A 0,1 , B 0,0 ,C 2,0 , D 2,1 , P x, y ,
2 2 2 4
易得圓的半徑 r ，即圓 C 的方程是 x 2 y ，
5 5
uuur uuur uuur
AP x, y 1 , AB 0, 1 , AD 2,0 ，若滿足 AP AB AD，
ìx 2
則 í ，
x
, 1 y x，所以 y 1
y
，
1 2 2
設 z
x
y 1 x ，即 y 1 z 0
2 2 4
，點P x, y 在圓 x 2 y 上，
2 2 5
2 z 2
x
所以圓心 (2,0)到直線 y 1 z 0的距離 d r ，即 1 5 ，解得1 z 3，2 1
4
所以 z 的最大值是 3，即 的最大值是 3，故選 A.
【點睛】（1）應用平面向量基本定理表示向量是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數
乘運算.
（2）用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結論表示成向量的
形式，再通過向量的運算來解決.
2，（衡水中學二模）邊長為 2 的正六邊形 ABCDEF 中，動圓Q的半徑為 1，圓心在線段CD (含短點)上運

動， P 是圓Q上及其內部的動點，設向量 AP mAB nAF (m,n R) ，則m n的取值范圍是（ ）
A. 1,2 B. 5,6 C. 2,5 D. 3,5

AP mAB nAF m n AG 2AB分析:如圖，設 ，由等和線結論， 2 .此為m n的最小值；
AB AB
AH
同理，設 AP mAB nAF ，由等和線結論，m n 5 .此為m n的最大值.
AB
綜上可知m n [2,5] .
1. 在矩形 ABCD中， AB 1, AD 2，動點 P 在以點C 為圓心且與 BD相切的圓上，

若 AP AB AD，則 + 的最大值為( )
A 3 B 2 2 C 5 D 2
解：如圖所示：
過 A作 BD的垂線，垂足為 H ，則 AH CE CF r ，當 E,C，P三點共線時，高線最長，即
( + ) 3rmax 3r
2. 如圖，正六邊形 ABCDEF ， P 是 CDE 內（包括邊界）的動

點，設 AP a AB b AF (a , b R) ，則a b 的取值范圍是____________
解：連接 BF , AD 因為正六邊形 ABCDEF ，由對稱性知道
BF AD，AD EC ，設 BF 與 AD 交于點G ，CE 與 AD 交于點 H ，
當 P 在CE 上時， AP 在 AD 上射影最小為 AH ；
當 P 與 D 重合時， AP 在 AD 上射影最大為 AD ；
| AH | a b | AD |則
| AG | | AG |
設 |AB | x，則 |AG | x | HD | ，|GH | | BC | x，|AD | 2x，
2
則3 a b 4
3. 如圖在直角梯形 ABCD中， AB / /CD ， AB AD， AD DC 1，AB 3，動點 P 在以C 為圓心，

且與直線 BD相切的圓內運動，設 AP a AD b AB(a , b R)
則a b 的取值范圍是____________
解：設圓C 與直線 BD相切于點 E ，過 A作 AG BD 于G ，作直線 l / /DB，且直線 l與圓C 相切與 F ，
連 EF ，則 EF 過圓心，且 EF BD ，由圖可知，對圓C 內任意一點 P
AP 在直線 AG 上的射影長度 d 滿足： |AG | d | AG | | EF |，
|AG | = | AD | | AB | 3又 ， |EF |=2|EC|=2|CD|sin ABD 2
| DB | 10 10
3 5
所以 d
10 10
a b d而 ，所以1 a 5 b
AG 3

3．在VABC 中， AB 6， BC 8， AB BC ，M 是VABC 外接圓上一動點，若 AM AB AC ，則
的最大值是（ ）
5 4
A．1 B． C． D．2
4 3
【答案】C
【解析】以 AC 的中點為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，設 M 的坐標為 (5cosq ,5sinq )，

由 AM AB AC \(5cosq 5,5sinq )
18 24
( , ) (10,0)，
5 5
\ + = 5 sin(q 1 f) 可得利用正弦函數的圖像及性質即得解.
6 2
【詳解】以 AC 的中點為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，
設 M 的坐標為 (5cosq ,5sinq )，過點 B 作 BD x 軸
Qsin A 4 , AB 6\BD AB sin A 24 , AD AB cos A 18
5 5 5
7 7 24
\OD AO AD \B( , )
5 5 5

又 A( 5,0), B(5,0) AB (
18
\ , 24), AC (10,0), AP (5cosq 5,5sinq )
5 5

Q AM AB AC \(5cosq 5,5sinq ) (18 , 24 ) (10,0)
5 5
\ = 1 cosq 3 sinq 1 , 25 sinq
2 8 2 24
\ + = 1 cosq + 2 sinq 1 = 5 sin(q f) 1
2 3 2 6 2
當 sin(q f)=1時， ( + )
5 1 4
max 6 2 3
故選：C
【點睛】本題考查了向量的坐標運算和向量的數乘運算和正弦函數的圖像和性質，以及直角三角形問題，
考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數學運算的能力，屬于較難題.
4．（22-23 高三上·江蘇蘇州·階段練習）在VABC 中， AB 4 ，BC 3，CA 2，點 P 在該三角形的內切圓

上運動，若 AP mAB nAC （m ， n為實數），則m n的最小值為（ ）
5 1 7 4
A． B． C． D．
18 3 18 9
【答案】B

AP
m n
【分析】由 AP mAB nAC 可得 m n ，再結合余弦定理，面積公式可求出
AB AC

è m n m n ÷
cos A、 sin A 、BC 邊上高 h ，內切圓半徑 r ，最后根據平行線等比關系即可求解.
m
【詳解】 AP mAB nAC
n
m n AB AC ÷ ，由 P 在內切圓上，
è m n m n

AP
m n
故 m n ，
AB AC

è m n m n ÷
m n m n
假設 AB AC AE ，由于 1， AP m n AE ，
m n m n m n m n

AP
則m n ，且E 為BC 上一點，A ， P ，E 三點共線，
AE

由平行線等比關系可得，要使m n，即 AP 與 AE 之間的比例最小，則 P 在內切圓的最高點，如圖所示，
2 2 2
由 cos A AB AC BC 11 ，
2AB AC 16
因為 sin A > 0，所以 sin A 3 15 ，
16
設BC 邊上高為 h ，內切圓半徑為 r ，
由 S
1 1 1
V ABC AB AC sin A BC h r AB AC BC ，2 2 2
h 15 r 15所以 ， ，
2 6
可得m n
h 2r 1
的最小值為 ，
h 3
故選：B.

AP
m n
【點睛】關鍵點點睛：這道題關鍵的地方是轉化得到 m AB n
，令
AC

è m n m n ÷
m AB n

AC AE ，觀察到分母的系數相加為 1，則可得到E 為BC 上一點，再結合平行線等比關系
m n m n
以及圖象可得到比例最小的具體位置
5．（22-23 高一下·廣東珠?！て谀┰赩ABC 中， AB 1， AC 2， BAC 60°， P 是VABC 的外接圓上的一

點，若 AP mAB nAC ，則m n的最大值是（ ）
3
A 1 B C 1． ． ． 2 D．2 3
【答案】B
【分析】利用余弦定理與勾股定理得VABC 是直角三角形，進而可以建立直角坐標系，根據點的坐標得向量
的坐標，由向量的坐標運算可得m n的表達式，進而利用三角函數求最值即可.
【詳解】因為在VABC 中， AB 1， AC 2， BAC 60°，
由余弦定理得BC 2 AB2 AC 2 2AB AC cos BAC 1 4 2 1 2 cos60° 3，
所以BC 3 ，則 AB2 BC 2 AC 2 ，所以 AB BC ，
故以 AC 的中點為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，
，

易得 A(1,0),C( 1,0), B(1 , 3 ) ，則 AB
1
,
3
÷÷ ，2 2 AC ( 2,0)
，
2 2 è
設 P 的坐標為 (cosq ,sin

q ) ，則 AP (cosq 1,sinq )，

又 AP mAB nAC ，

所以 (cosq 1,sinq ) m
1 3
, ÷÷ n 2,0
m
2n,
3 m
2 2 2 2 ÷÷
，
è è
ì
cosq
m
1 2n
2
m 2 3則 í ，得 sinq 1 1 3， n cosq sinq ，

sinq
3
m 3 2 2 6
2
所以m n
3
sinq 1 cosq 1 π 1 sin q ÷ 1
1 3
，
2 2 2 è 6 2 2 2

當且僅當 sin q
π
÷ 1
3
時，等號成立，即m n的最大值為 .
è 6 2
故選：B.
【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵是建立直角坐標系，利用向量的線性運算法則得到m, n的關系式，從而
利用三角函數的性質得解.
考點二、“mx+ny”或“mλ+nμ”型綜合

1. 已知O是VABC 內一點,且OA OB OC 0 ,點 M 在VOBC 內(不含邊界),若 AM AB AC ,則
2 的取值范圍是
1, 5A. ÷
è 2
B. (1, 2)
2C. ,1

è 3 ÷
1D. ,1
è 2 ÷
【答案】B

【解析】因為O是VABC 內一點,且OA OB OC 0，所以O為VABC 的重心
M 在VOBC 內(不含邊界),且當M 與O重合時, 2 最小,

此時 AM AB AC 2 é1ê (AB AC)
ù 1 AB 1 AC
3 2 ú 3 3
1所以 , 1 ,即 2 1
3 3

當M與C重合時, 2 最大,此時 AM AC
所以 0, 1 ,即 2 2
因為M 在VOBC 內且不含邊界
所以取開區間,即 2 (1, 2) .

2. 已知VABC 為邊長為 2 的等邊三角形，動點 P 在以 BC 為直徑的半圓上.若 AP AB AC ，則
2 的取值范圍是__________
é 5 ù
答案: ê1, 2 ú
【解析】如圖,取 AB 中點為 D ,

AP AB AC 2 AD AC
顯然,當 P 與C 重合時, 2 取最小值 1.
將CD平行移動至與eO 相切處,
P 為切點時, 2 取最大值.
延長 PO交CD于G ,易知OG OF FP 1 .
2
EF AP 5
由等和線及平行截割定理, 2, .
FP AE 2
所以 2 5 的最大值為 .
2
故 2 5 é的取值范圍是 ê1,
ù .
2ú

3. 若點C 在以 P 為圓心,6 為半徑的弧 AB 上,且 PC xPA yPB ,則 2x 3y 的取值范圍為______

【解析】令 PC (2x 3y)PD ,
x y
則 PD PA PB ,
2x 3y 2x 3y
2x 3y
即 PD PA PB ,
2x 3y 1 2x 3y 1
1 1
其中 PA1 PA, PB1 PB .2 3
2x 3y
由 1知點 D 在線段 A B 上,如下圖:
2x 3y 2x 3y 1 1
由于在VPA1B1 中, PA1 3, PB1 2, A1PB1 120
° ,
且點 D 在線段 A1B1 上(含端點 A1, B1 ,
因此 | PH | | PD | PA1 ,其中 PH 是邊 A1B1 上的高.
2 2 2 2 A1B1 PB1 PA1 PB1 PA1 2PB1 PA1 19
可得 A1B1 19 .
S 1VPA B PA
1
1 PB1 sin A1 1 2 1
PB1 A1B1 | PH |2
| PH | 3 57可得 .
19
3 57
所以, | PD | 3 .
19

再由 PC (2x 3y)PD

| PC | 6 é 2 57 ù
可知 2x 3y 2, .
| PD | | PD | ê 3
ú


4. 設長方形 ABCD的邊長分別是 AD 1, AB 2 ,點 P 是VBCD 內(含邊界)的動點,設 AP xAB y AD ,
則 x 2y 的取值范圍是_________
解:如圖,取 AD 中點 E ,則

AP xAB 2y AE,
此時的等和線為平行于 BE 的直線顯然,當點 P 與點 B 重合時, x 2y 最小為1,當點 P 與C 重合時, x 2y 最
大,
CF BC
由于 2 ,
AF AE
AC
所以 3 ,
AF
AC
于是 x 2y 的最大值為 3,
AF
所以 x 2y 的取值范圍是[1,3] .

1．在矩形 ABCD 3中， AB 1， AD 3，P 為矩形內一點，且 AP .若 AP AB AD , R ，則
2
3 的最大值為 ( 　　 )
3
A B 6． ． C 3 3 D 6 3 2． ．
2 2 4 4
【答案】B
p
【分析】可根據條件畫出圖形，根據圖形設 PAE q ，且0 q ，則 AP 又可用 AB, AD表示為：2
ì 3
3 1
cosq
AP cosq AB sinq AD. 2所以根據平面向量基本定理得到： í ，所以
2 2

1
sinq
2
p
3 3 cosq sinq 6 sin q
p sin 6，
2 2 4 ÷
q ÷最大值為 1，所以 3 的最大值為 ．
è è 4 2
p
【詳解】如圖，設 PAE q ，0 q ，
2
3
則： 3 sinq 3 AP AE 1

AF cosq AB 2 AD cosq AB sinq AD ；
2 3 2 2

又 AP AB AD；
ì 3
cosq\í 2 ；
1
sinq 2
3 3\ cosq sinq 6 p 6 sin q ÷ ；2 2 è 4 2
\ 3 6的最大值為 ．
2
故選 B．
【點睛】考查共線向量基本定理，兩角和的正弦公式，正弦函數 sinx的最大值，以及平面向量基本定理．
v v
2．（2023·安徽淮南·一模）已知G 是VABC的重心，過點G 作直線MN 與 AB ， AC 交于點M , N ，且 AM xAB，
v v
AN y AC ， x, y > 0 ，則3x y 的最小值是
8 7 5 4 2
A． B． C． D． 3
3 2 2 3 3
【答案】D
v v v v v v
【分析】首先根據M ,G, N 三點共線得到 AG t AM 1 t AN ，也就是 AG txAB 1 t y AC ，再利用
uuur 1 uuur 1 uuur 1 1AG AB AC 得到 3 3x y
3 3 x y
，最后利用基本不等式求 的最小值.
【詳解】
v v v v v v
因為M ,G, N 三點共線，故 AG t AM 1 t AN ，因為 AM xAB, AN y AC ，所以
v v v uuur uuur uuur
AG txAB 1 t y AC 1 1，又G 為重心，故 AG AB AC 1，而 AB, AC 不共線，所以 tx , 1 t y 1 ，
3 3 3 3
1 1
也即是 3x y .
é ù
3x y 1 3x 1 1 1 y 3x y 4
3 x y ÷ 3 ê
÷ú，由基本不等式可以得到：
è è x y
y 3x
2 3 3 3
x y ，當且僅當 x , y
3 1
等號成立，故3x y 4 2 3的最小值為 ，故選 D.
9 3 3 3 3
【點睛】應用基本不等式求最值時，需遵循“一正二定三相等”，如果原代數式中沒有積為定值或和為定值，
則需要對給定的代數式變形以產生和為定值或積為定值的局部結構.求最值時要關注取等條件的驗證.
v v v v v v v
3．已知O是 ABC內一點，且OA OB OC 0，點M 在 OBC 內（不含邊界），若 AM AB AC ，則
2 的取值范圍是
1, 5 1,2 2A． ÷ B． C． ,1
1
2 ÷
D． ,1÷
è è 3 è 2
【答案】B

【解析】根據OA OB OC 0可知 O 為 ABC的重心；根據點 M 在 OBC 內，判斷出當 M 與 O 重合時，
2 最??；當 M 與 C 重合時， 2 的值最大，因不含邊界，所以取開區間即可．

【詳解】因為O是 ABC內一點，且OA OB OC 0
所以 O 為 ABC的重心
M 在 OBC 內（不含邊界），且當 M 與 O 重合時， 2 最小，此時
2 é1 ù 1 1 AM AB AC ê AB AC ú AB AC 3 2 3 3
1 1
所以 , ，即 2 1
3 3
當 M 與 C 重合時， 2 最大，此時

AM AC
所以 0, 1，即 2 2
因為M 在 OBC 內且不含邊界
所以取開區間，即 2 1,2
所以選 B
【點睛】本題考查了向量在三角形中的線性運算，特殊位置法的應用，屬于難題．
4．（22-23 高三上·江蘇南通·開學考試）在VABC 中， AB 3, AC 2， A p ，過VABC3 的外心 O 的直線(不
uuur uuur
經過點A )分別交線段 AB, AC 于D, E ，且 AD AB， AE AC ，則 的取值范圍是（ ）
é11 4 6 13ù é, 11 4 6 , 23
ù
A． ê ú B． ê ú
18 10 18 15
é14 3 6 13ù é, 14 3 6 , 23
ù
C． ê D．
18 10
ú ê
18 15
ú

【答案】B
7
【分析】求得BC 7 ，外接圓的半徑 r ，設 AO xAB y AC ，BO (x 1)AB y AC ，
3
7
CO xAB (y 1)AC ，根據 AO BO CO ，結合 AD AB, AE AC 和
3
4 1 8 10
D,O, E 三點共線，得到 1，進而求得 [ , ]9 6 15 3 ，利用基本不等式和函數的性質，即可求得

取值范圍.
【詳解】因為VABC 中， AB 3, AC 2, A
p
，
3
2 2 2 p
由余弦定理可得BC AB AC 2AB AC cos 9 4 2 3 2
1
7，
3 2
BC 7
即BC 7 ，且 r ，
2sin A 3

設 AO xAB y AC ，

則BO BA AO (x 1)AB y AC ，CO CA AO xAB (y 1)AC ，

所以 AO 9x2 4(y 1)2
7
6x(y 1) ，
3
2 2 7 2 2 7
同理可得9(x 1) 4y 6(x 1)y ，9x 4(y 1) 6x(y 1) ，
3 3
x 4 1
4 1
解得 , y ，所以 AO AB AC ，
9 6 9 6
uuur uuur 4 1 1 1
又因為 AD AB， AE AC ，所以 AO AD AE9 6 ，
4 1
因為D,O, E 三點共線，可得 19 6 ，
4 1 10
因為 [0,1]，所以 ( ) [0,1]9 6 ，所以

3 ，
同理可得0
8
1，所以 15
所以 (
4 1 11 4
) ( )
9 6 18 6 9 ，
t 8設 [ ,
10]，可得
11 t 4

15 3 ，18 6 9t
g t 11 t 4 1 4 2 2令 ，可得 g t 2 ，令 g t 0，解得 t ，18 6 9t 6 9t 3
t [ 8 , 2 2當 ) 時， g x 0， g t 單調遞減；
15 3
t (2 2 ,10當 ]時， g x > 0， g t 單調遞增，
3 3
t 2 2所以當 時， 11 1 4 11 4 6取得最小值，最小值為 2 ；
3 18 6 9 18
又由 g(
8 ) 23 g(10 ， )
39
，可得 g(
8 ) > g(10) ，
15 15 3 30 15 3
8 23
所以當 t 時， 取得最大值，最大值為 ，
15 15
é ù
所以
11 4 6 23
的取值范圍是 ê , ú .
18 15
故選：B.
考點三、“x-y”或“λ-μ”型綜合
p
1. 如圖,已知O為銳角三角形 ABC 的外心, A ,且OA xOB yOC ,求 2x y 的取值范圍？
3
解:

作圓O的直徑CE, BD ,則點 A在劣弧 DE 上運動.于是OA ( x)OD ( y)OE .其中 x 0, y 0 .
考慮到問題涉及的代數式為 2x y ,為了利用向量分解的系數和的幾何意義,
1
將條件轉化為OA 2x ÷OD ( y)OE .
è 2
1
此時可知連接向量 OD 的終點 F 與向量OE 的終點 E 的直線 EF 即等系數和線,于是 2x y 1.
2
依次作出其余等系數和線,可得 2x y 的取值范圍是 ( 2,1) .
1．（2023·全國·高三專題練習）在矩形 ABCD 中， AB 1， AD 3 ，動點 P 在以點 C 為圓心且與 BD 相切
uuur uuur uuur
的圓上.若 AP AB AD，則 的最小值為（ ）
A． 3 B．1 C．-1 D． 3
【答案】C
【解析】以 A 為原點，直線 AB，AD 為 x，y 軸建立平面直角坐標系，求出圓C 的標準方程，可得 P 的坐標
uuur uuur uuur
的參數q 形式，再由 AP AB AD用坐標表示，這樣 就可表示為q 的三角函數，由三角函數恒等變
換可求得其最小值．
【詳解】以 A 為原點，直線 AB，AD 為 x，y 軸建立平面直角坐標系，則 B(1,0)，C(1, 3)，D(0, 3)
3 3 3 3
直線 lED : 3x y 3，圓 C 與直線 BD 相切，所以圓 C 的半徑 r d ，圓 C 的方程為
( 3)2 12 2
(x 1)2 3 (y 3)2 ，
4

設點P 1
3
cosq , 3 3 sinq ÷÷，即 AP 1
3
cosq , 3 3 sinq ，
è 2 2 è 2 2 ÷
÷

uuur uuur uuur
又 AP AB AD （ ，3 ），
ì
1
3
cosq

∴ 2í ，

3
3
3 sinq
2
所以
3
1 cosq 1
1 3 1 p
sinq ÷ cosq sinq cos q ÷ 1.2 è 2 2 2 è 6
即q 2kp
5p
,k Z 時， 取得最小值 1．
6
故選：C．

【點睛】本題考查向量的線性運算，解題關鍵是建立平面直角坐標系，把向量 AP 用兩種不同方法表示，從
而把 表示為參數q 的三角函數，利用三角函數知識求得最小值．
考點四、“mx-ny”或“mλ-nμ”型綜合
1．（2023·浙江·高三專題練習）如圖，在直角梯形 ABCD中， AB AD ， AB ∥ DC ， AB 2 ，
AD DC 1 1，圖中圓弧所在圓的圓心為點 C，半徑為 2 ，且點 P 在圖中陰影部分（包括邊界）運動．若

AP xAB y AC ，其中 x，y R ，則 4x y 的取值范圍是（ ）
é 3 2 ù é 5 ù é 2 5 ù é2 17 17
ù
A． ê ，3 ú B． ê2，3 ú C． ê3 ，3 ú D． 3 ，3
4 2 4 2
ê 2 2 ú
【答案】B
【分析】建立直角坐標系，將 4x y 由 P 點坐標轉化后數形結合求解

【詳解】以A 點為坐標原點， AB, AD 方向為 x,y 軸正方向建立直角坐標系，則
A(0,0), B(2,0),C(1,1), D(0,1)，
ìm 2x y ìx m n
AB (2,0), BC ( 1,1) ，設P(m, n) ，則 ín y ，解得 í
2 ，
y n
故 z 4x y 2m n，即 n 2m z ，
P 1 數形結合可得當 ,1÷時， z 取最小值 2，
è 2
| 3 z | 1
當直線與圓 (x 1)2 (y
1
1)2 相切時， z2 ， 取得最大值4 5 3
5
.
2
故選：B
2．（2022春·安徽六安·高三階段練習）在直角梯形 ABCD中， AB AD ，DC ∥ AB ， AD DC 1, AB 2，E 、
F 分別為 AB 、BC 的中點，點 P 在以A 為圓心， AD 為半徑的圓弧DE 上變動，（如圖所示），若

AP ED AF ，其中 , R ，則2 的取值范圍是 ．
【答案】[ 1,1]
é p ù
【分析】如圖以 AB, AD為 x, y軸建立直角坐標系，設P(cosa ,sina ) a ê0, ú ÷，則可表示出 AP 的坐標，è 2
可列出關于 , 的不等式組，表示出 , ，利用三角函數恒等變換公式化簡，從而可求得結果
【詳解】如圖以 AB, AD為 x, y軸建立直角坐標系，則 A(0,0)， B(2,0)，C(1,1)， D(0,1)， E(1,0)
3 1
， F ( , ) ，
2 2
3 1
所以ED ( 1,1)， AF ( , )，
2 2
P(cosa ,sina ) a é0, p ù 設
è ê 2 ú
÷，


因為 AP ED AF
所以 (cosa ,sina ) (
3 1
, ) ，
2 2
ìcosa 3 2
所以 í
sina 1
，

2
1 1
解得 (3sina cosa ), (cosa sina )，
4 2
3
所以 2 sina
1 1 1
cosa cosa sina sina cosa 2 sin a
p
÷，2 2 2 2 è 4
π p p p
因為α
é0, ù é ùê ，所以a , ， 2 ú 4 ê 4 4 ú
2
所以 sin a
p 2

，
2 ֏ 4 2
p
所以 1 2 sin a ÷ 1，即 1 2 1，
è 4
故答案為：[ 1,1]
1．（2023·四川·校聯考三模）在直角梯形 ABCD中， AB AD ， AD∥BC ， AB BC 2AD 2 ，E ，F 分
別為BC ，CD 的中點，以A 為圓心， AD 為半徑的半圓分別交BA及其延長線于點M ， N ，點 P 在M DN 上

運動（如圖）.若 AP AE BF ，其中 ， R ，則 2 5 的取值范圍是
A． 2,2 B． é 2,2 2ù é ù é ù C． 2 2,2 D． 2 2,2 2
【答案】C
【分析】根據直角坐標系，根據向量的坐標運算，即可表達出 2 5 2cosa 2sina ，進而用輔助角公式
以及三角函數的性質即可求解.
【詳解】
y 分別以 AB, AD所在直線為 x 軸， 軸， AB, AD方向為正方向建立直角坐標系，知
B 2,0 , D 0,1 , E 2,1 , F 1, 3 ÷ ,
è 2

P cosa ,sina 0 a π cosa ,sina 2,1 1, 3設 ，由 AP AE BF 得：

÷，即
è 2
ì2 =cosa

í ,

3
sina
2
則 2 5 2cosa 2sina 2 2 sin
3π
a 4 ÷
，
è
3π a 3π 7π0 a π 1 sin a 3π 2
3π
由 可得： ，則 4 4 4 4 ÷
，故 2 2 2 2 sin a 2 .
è 2

è 4 ÷
則 2 5 的取值范圍是 é 2 2,2ù .
故選：C
考點五、系數和（等和線）的綜合應用
1．如圖所示，△ABC 中，AC＝3，點 M 是 BC 的中點，點 N 在邊 AC 上，且 AN＝2NC，AM 與 BN 相交于
點 P，且 PN＝2PM，則△ABC 面積的最大值為 ．
【答案】5

BM a

【分析】根據題意設 ,CN b ,作為該平面的一組基底，根據向量運算的三角形法則及共線向量定理

分別表示出 AM , AP，即可求得 AP：PM，BP：PN 的值，再設 PM＝2t，求得 PN，PA，PB，設△APN 的面
積為 x，運用余弦定理和面積公式，結合二次函數的最值可得 x 的最大值，進而得到所求△ABC 的面積的最
大值．

【詳解】設BM a,CN b ,
v v v
則 AM AC CM 3b a , BN BC CN 2a b ,
∵A、P、M 和 B、P、N 分別共線，
∴

存在實數 λ、μ，使 AP AM a 3 b , BP BN 2 a b

故BA BP AP ( 2 )a (3 )b .

而BA BC CA 2a 3b
ì 2 2
∴ í
3 3
，
ì 4

解得
5
í 3，
5

故 AP
4
AM , BP 3 BN
5 5
即 AP：PM＝4：1，BP：PN＝3：2，
設 PM＝t，則 PN＝2t，PA＝4t，PB＝3t，t＞0，
設△APN 的面積為 x，∠APN＝α，
在△APN 中，AN＝2，AP＝4t，PN＝2t，
2
cosα 4t 16t
2 4 5t 2 1 9t 4 10t 2 1
可得 ＝ ＝ ，sinα＝ ，
2 4t 2t 4t 2 4t 2
2
則 x 1 4t 2t sina 9t 4 10t 2 1 5 16 4 9 t 2
2 ֏ 9 9 3
當 t 2
5 4
5，即 t＝ 時，x 取得最大值 ，
9 3 3
3 3x
而△ABP 的面積為 x，△BPM 的面積為 ，
2 8
則△ABC 的面積為 2(
3x 3x
) 15 x，
2 8 4
15 4
則△ABC 的面積的最大值為 × ＝5．
4 3
故答案為：5．
2．我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”.如圖，它是
由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形.已知HE 2EB, M 為線段 AB 的中點，設 P 為

中間小正方形EFGH 內一點（不含邊界）.若MP ME MB ，則 的取值范圍為 .
【答案】 2,4

【分析】由題意MP ME MA，利用平面向量基本定理，數形結合與臨界值法，即可求解.
【詳解】過點A 作 AK ∥ME ，分別交EH , EF 于點 N , K ，
過點 N 作 NQ∥ AB ，交ME 的延長線于點Q，
過點K 作KL∥ AB，交ME 的延長線于點 L，如圖，

由MP ME MB ME MA
可知，點 P 在線段 NK 上運動（不含端點）.

當點 P 與點 N 重合時，MP MQ MA 2ME MA，可知 2 .

當點 P 與點K 重合時，MP ML MA 4ME MA，可知 4 .
故 的取值范圍為 2,4 .
故答案為： 2,4
2 2 2 2
3．（2023·黑龍江哈爾濱· x y x y一模）如圖，橢圓 2 2 1 a > b > 0 與雙曲線 2 2 1 m > 0,n > 0 有公共焦a b m n
點 F1 c,0 ，F2 c,0 c > 0 ，橢圓的離心率為 e1 ，雙曲線的離心率為 e2，點 P 為兩曲線的一個公共點，且
1 3
F1PF2 60°，則 e2 e2
； I 為△F1PF2 的內心，F1, I ,G三點共線，且GP IP 0， x 軸上點 A, B滿足
1 2

AI IP，BG GP，則 2 2的最小值為 ．
4 1 3【答案】
2
【分析】第一空：利用橢圓與雙曲線的定義及性質，結合圖形建立方程，求出 PF1 , PF2 ，在利用余弦定理
建立關于離心率的齊次方程解出即可；
第二空：由 I 為△F1PF2 的內心，得出角平分線，利用角平分線的性質結合平面向量得出 e1及 e2 ，
代入 2 2中利用基本不等式求最值即可.
【詳解】①由題意得橢圓與雙曲線的焦距為 F1F2 2c ，
橢圓的長軸長為 2a ，雙曲線的實軸長為 2m ，
不妨設點 P 在雙曲線的右支上，
由雙曲線的定義： PF1 PF2 2m，
由橢圓的定義： PF1 PF2 2a，
可得： PF1 m a, PF2 a m ，
又 F1PF2 60°，由余弦定理得：
PF 21 PF
2
2 PF1 PF2 FF
2 4c22 ，
2
即 m a a m 2 m a a m 4c2，
整理得： a2 3m2 4c2 ，
a2 3m2 1 3
所以： 2 2 4 4；c c e2 21 e2
② I 為△F1PF2 的內心，
PF IP PF IP
所以 IF2為 PF F
1 2
1 2 的角平分線，則有 ，同理： AF1 AI AF2 AI
，
PF1 PF 2
IP
所以 AF AF AI ，1 2
IP PF1 PF2 2a 1
所以 AI e IPAI AF ，即 1 ，1 AF2 2c e1

因為 AI IP，

所以 AI IP ，故 e1，
I 為△F1PF2 的內心，F1, I ,G三點共線，
GB BF BF
即F1G 為 PF
2 1
1B的角平分線，則有 BF BFPG PF2 PF
，又 2 1 ，
1
BG BF1 BF2 2c
所以 ePG PF PF 2m 2，即
BG e2 GP ，
1 2

因為BG GP，

所以 BG GP ，故 e2 ，

所以 2 2 e21 e
2 1
2 e21 e24 2
1 3
2 2 ÷
è e1 e2
1 21 3 3e1 e
2 1 2 2
2
2
2 ÷ 4 2
3e1 e2 3
2 2 ÷ 1 ，4 è e e 4 ÷2 1 è e2 e1 2
3e2 e2
當且僅當 1 22 2 e2 3e1時，等號成立，e2 e1
所以 2 2 3的最小值為1 ，
2
3
故答案為：4，1 .
2
【點睛】方法點睛：離心率的求解方法，
（1）直接法：由題意知道 a,c 利用公式求解即可；
（2）一般間接法：由題意知道 a,b或b,c利用 a,b,c的關系式求出 a,c ，在利用公式計算即可；
（3）齊次式方程法：建立關于離心率 e的方程求解.
1．（2024 高三·全國·專題練習）在VABC 中，三個內角分別為 A，B，C， AB 4 ， AC 3，BC 2，H 為VABC
y
的垂心．若 AH xAB y AC ，則 ．
x
11
【答案】
3
【分析】根據余弦定理可求解余弦，即可根據同角關系求解正切，進而運用定理 4 的結論，即可求解.
【詳解】因為 AB 4 ， AC 3，BC 2，所以C > B > A，
16 9 4 7
由余弦定理可得 cos A > 0，
24 8
sin2 A cos2 A 1 A sin A 15 15由 以及 為銳角，可得 ，故 tan A ．
8 7
tan B 3 15同理， ．于是 tan C tan A tan A tan B B 15 ．
11 tan A tan B 1

接下來證明定理 4：O 是VABC （非直角三角形）的垂心 tan A OA tan B OB tan C OC 0．
證明：O 是VABC （非直角三角形）的垂心

OA OB OB OC OC OA

OA OB cos π C OB OC cos π A OC OA cos π B

OA : OB : OC cos A : cos B : cosC
S△BOC : S△AOC : S△AOB tan A : tan B : tan C ，

由定理 4 得 tan A HA tan B HB tan C HC 0 ，
15
故 AH 3 15
7 11 AB AH 15 AC AH 0，
7 77 y 11
化簡得 AH AB AC ．所以 ．
15 45 x 3
11
故答案為：
3
1
2．（22-23 高二下·廣東汕尾·期末）如圖，在 VABC 中，點 D 在線段 AB 上，且 AD AB ，E 是CD 的中點，
3

延長 AE 交 BC 于點 H，點 P 為直線 AH 上一動點（不含點 A），且 AP AB AC （ , R）．若 AB 4 ，
且 AC BC ，則VCAH 的面積的最大值為 ．
3
【答案】
4
1 1 t t
【分析】因為E 是CD 的中點，得到 AE AC AB，設 AH t AE ，所以 AH AC AB ，根據 B , C , H2 6 2 6

三點共線，求得 AH
3 AC 1 AB，得到 AC 3 BC 1，得到 S
4 4 VACH
S
4 VABC
，
延長BC 于M ，使得CM AC ，延長 AC 于點 N ，使得CN BC ，結合相似，求得得到VAOM 為等腰三角
1
形，且OA OM 6，得出 SVAOM 6 6 18，進而取得VCAH 的面積的最大值.2
1 1 1
【詳解】因為E 是CD 的中點，可得 AE (AC AD) AC AB ，
2 2 6
t t
設 AH t AE ，所以 AH AC AB ，2 6
t t 3 3 1
因為 B , C , H 三點共線，所以 1，解得 t ，所以 AH AC AB
2 6 2 4 4
t t
所以 AC BC ，所以 AC 3 BC ，所以CH
1 CB 1 ，所以 S
6 2 4 VACH
S ，
4 VABC
延長BC 于M ，使得CM AC ，延長 AC 于點 N ，使得CN BC ，如圖所示，
VBCN VMCA 1 NB 1則 ∽ ，且相似比為 ，所以 ,
3 AM 3
V BO 1所以 NOB∽VMOA，所以 ，所以 AO 3BO，所以 AB 2BO ，
AO 3
因為 AB 4 ，所以BO 2 ，
1
所以VAOM 為等腰三角形，且OA OM 6，所以 SVAOM 6 6 18，2
SVABC 1 4 1
因為
1
S 4 6 6 ，所以 SVABC 18 3，VAOM 6
S 1 3 3所以 VACH .4 4
V 3所以 CAH 的面積的最大值為 .
4
【點睛】解決向量在平面幾何中的應用問題的兩種方法：
（1）坐標法，把幾何圖形放在適當的坐標系中，則有關點與向量就可以用坐標表示出來，這樣就能進行相
應的代數運算，從而使問題得到解決；
（2）基向量法，選取一組合適的基底，將未知向量用基底表示出來，然后根據向量的運算法則 運算律和
性質求解.
3 1 1
3．（20-21 高一·江蘇·課后作業）已知△ABC 中，CD BC, EC AC, AF AB，若點 P 為四邊形 AEDF
5 2 3
1
內一點(不含邊界)且DP DC xDE ，則實數 x 的取值范圍為 .
3
1 4
【答案】 ,
è 2 3 ÷
【分析】根據題意畫出圖形，結合圖形找出臨界點的位置，進行適當的推理與運算，即可求出實數 x 的取值
范圍.
1
【詳解】解：如圖所示，在線段 BD 上取一點 G，使得DG DC ，
3
設 DC=3a，則 DG=a，BC=5a，BG=a；
過點 G 作 GH∥DE，分別交 DF AE 于 K H，
連接 FH，則點 K H 為臨界點；
2 4
GH∥DE 1，所以 HE EC，AH EC，HG DE3 ，3 3
AH 1 AF
，
HC 2 FB
所以 FH∥BC；
1
所以 FH BC3 ，
FH KH
所以 ，
DG KG
3
所以 KG HK，
5
3
KG
1
HG DE.
8 2
1 4
所以實數 x 的取值范圍是( ， ).
2 3
1 4
故答案為：( ， ).
2 3
【點睛】關鍵點點睛：本題考查了平面向量的線性運算問題，也考查了推理與運算能力，是難題，解題的
關鍵是根據題意畫出圖形，結合圖形找出臨界點的位置.
1．（2023 高三·全國·專題練習）在正方形 ABCD中， AC 與BD交于點O，E 為邊BC 上的動點（不含端點），
2 1
AE AC DO，則 的最小值為
.
9
【答案】
2
【詳解】解法一：建立如圖所示的平面直角坐標系，設 AB 2, E(2,a)(0 a 2)，則 D(0,2),O(1,1),C(2,2) ，
ì2 2
所以 AE (2,a), AC (2,2), DO (1, 1)，因為 AE AC DO，所以 í
2
，
a
ì 2 a
4 2 1 8 2 2(10 3a) 2(10 3a)
從而 í ，所以 f (a) (0 a 2)
2 a 2 a 4
，設
a2 4 a2
，
2 a
2
2 é 3 4 a2 2a(10 3a)ù 2 3a2 20a 12
則 f (a)
2(3a 2)(a 6)
2 2 ， 24 a2 4 a2 4 a2
2 2
所以 f (a) > 0
2
a 2, f 2 (a) 0 0 a ，從而 f (a)3 3 在
0, ÷上↘，在 , 2÷上↗，
è 3 è 3
f (a) f (2) 9
2 1 9
故 min ，所以 的最小值為 .3 2 2
解法二：建立如圖所示的平面直角坐標系，設 AB 2, E(2,a)(0 a 2)，則 D(0,2),O(1,1),C(2,2) ，
ì 2 a
2 2 ì
所以 AE (2,a), AC (2,2), DO (1, 1)，因為 AE AC DO 4，所以 í
2
，從而
a í 2 a
，

2
2 1 8 2 1 8 2 [(2 a) (2 a)] 1 é10 8(2 a) 2(2 a)所以
ù
2 a 2 a 4 è 2 a 2 a ÷ 4 ê 2 a 2 a ú
1 é ù
ê10 2
8(2 a) 2(2 a) 9

4 2 a 2 a ú 2 ，ê ú
8(2 a) 2(2 a) 2 2 1 9
當且僅當 2 a 2 a 時等號成立，結合
0 a 2 可解得： a ，所以 .
3
的最小值為
2

解法三： AE AC DO

AC 2DO
2 ，設
t
2 ，則 AE AC t 2DO AC tDB，如圖，設 AF DB ，

則C、E、F 三點共線，因為 AE AC tDB ，所以 t 1，即 1，從而 2 2，所以2
2 1 1 2 1 (2 ) 1 2 2

÷ 5÷ ，當E 在BC 上（不含端點）運動時，顯然 > 0, > 0 2 2 ，所以è è
2 1 1 2 2 1 2 2 9 2
5 2 5
2 2
÷
2 ÷ 2 ÷ ，當且僅當
時取等號，容易驗證滿足 AE AC DO
è è 2 3 3 3
2 1 9
的點E 在BC 上，所以 的最小值為 .2
2．（2023 高三·全國·專題練習）如圖，四邊形OABC 是邊長為 1 的正方形，點 D 在OA的延長線上，且

AD 1，點 P 是△BCD (含邊界)的動點，設OP OC OD，則 的最大值為 ．
3
【答案】
2
【分析】根據平面向量基本定理及向量共線定理即可求解.
【詳解】當點 P 位于 B 點時，過點 B 作GH ∥DC ，交OC,OD的延長線于 G，H，

則OP xOG yOH ，且 x y 1，
GC CB 1
QVGCB∽VCOD ，\ ，
CO OD 2
3 3
\OP OB xOG yOH xOC yOD OC OD
2 2
3 x, 3 y 3 3 3所以 x y .
2 2 2 2 2
3
故答案為： .
2
3．（22-23 高一下·四川眉山·階段練習）已知點 G 是VABC 的重心，過點 G 作直線分別與 AB, AC 兩邊相交于
1 1
點 M，N 兩點（點 M，N 與點 B，C 不重合），設 AB xAM ， AC y AN ，則 x 1 y 1的最小值為 ．
【答案】4
y x
【分析】根據三角形重心及加法、數乘運算得到 AG AN AM ，由向量共線的推論得 x y 3，再應
3 3
用基本不等式“1”的代換求目標式的最小值，注意等號成立條件.
2 1
【詳解】由題設 AG (AC AB)
1
(y AN y x xAM ) AN AM ，
3 2 3 3 3
又M , N ,G
x y
共線，如下圖，則 1，即 x y 3，故 (x 1) (y 1) 1，
3
而 x, y (1, )，則 x 1 > 0, y 1 > 0，
1 1 ( 1 1 )[(x x 1 y 1 x 1 y 1所以 1) (y 1)] 2 2 2 4，
x 1 y 1 x 1 y 1 y 1 x 1 y 1 x 1
僅當 x 1 y 1，即 x y
3
時等號成立，
2
所以目標式最小值為 4.
故答案為：4
4．（2023 高三·全國·專題練習）如圖，邊長為 2 的等邊三角形的外接圓為圓 O，P 為圓 O 上任一點，若

AP xAB y AC ，則 2x＋2y 的最大值為
8
【答案】
3
【分析】作 BC 的平行線與圓相交于點 P，與直線 AB 相交于點 E，與直線 AC 相交于點 F，設
AE AF
AP AE AF ， k ，把 x, y用 k, , 表示，由 1和 k 的范圍，求 2x＋2y 的最大值.
AB AC
【詳解】作 BC 的平行線與圓相交于點 P，與直線 AB 相交于點 E，與直線 AC 相交于點 F，

設 AP AE AF ，則 1，
2 3 8
等邊三角形邊長為 2，則外接圓半徑為 ，當點 P 為切點時, AE AF ，
3 3
AE AF 4
∵ BC //EF ，∴設 k ，則 k
é
ê0,
ù 4
ú，當點 P 為切點時, k 有最大值 ,AB AC 3 3

AE k AB ， AF k AC ， AP AE AF k AB k AC
∴ x k ， y k ，∴ 2x 2y 2 k 2k 8 .
3
8
即 2x＋2y 的最大值為 .
3
8
故答案為：
3
5．（2023 高三·全國·專題練習）如圖，在VABC 中，M 為邊BC 上不同于 B ，C 的任意一點，點 N 滿足
uuur uuur uuur
AN 2NM .若 AN xAB y AC ，則 x2 9y2 的最小值為 .
2
【答案】 /0.4
5
【分析】
3 3 AM AN xAB 3
3 3
根據題意，得 y AC ，因為M ， B ，C 三點共線，所以 x y 1，將 x2 9y2 化為
2 2 2 2 2
y 的函數求最小值即可.
【詳解】
3 3 3
根據題意，得 AM AN xAB y AC .
2 2 2

因為M ， B ，C 三點共線，設BM BC, 0 1 ，則 AM AB AC AB ，

所以 AM 1 AB AC ，
ì
1
3
x
2
所以 í ，
3 y
2
3 3 2 2
所以有 x y 1，即 x y
0 y ，
2 2 3 ֏ 3
2 2
所以 x2 9y2 2 y

÷ 9y
2 10y2 4 y 4 10 y 1 2 2 ÷ 0 y

÷ ，
è 3 3 9 è 15 5 è 3
所以當 y
1 2
時， x2 9y2 取得最小值 .
15 5
2
故答案為：
5
6．（22-23 高一下·河南省直轄縣級單位·階段練習）如圖，四邊形 ABCD是邊長為 1 的正方形，延長 CD 至
E，使得DE＝2CD．動點 P 從點 A 出發，沿正方形的邊按逆時針方向運動一周回到 A 點，

AP AB AE ．則 的取值范圍為 ．
【答案】 0，2
【分析】建立坐標系，討論P AB，P BC ，P CD ，P AD四種情況，求出 的范圍.
【詳解】建立如圖所示的坐標系，正方形的邊長為 1，則B 1,0 , E 2,1 ，

AE AD DE AD 2AB

∵ AP AB AE ( 2 )AB AD ( 2 ) 1,0 0,1 2 , ．
當P AB時，有0 2 1且 0 ，∴ 0≤ ≤1，∴ 0 1，
當P BC 時，有 2 1且0 1，∴1 2，
當P CD 時，有0 2 1且 1，∴1 2，
當P AD時，有 2 0 且0 1，∴ 0 1，
綜上，0 2，
故答案為： 0，2
7．（23-24 高三下·安徽·階段練習）已知正方形 ABCD的邊長為 2，中心為O，四個半圓的圓心均為正方形

ABCD各邊的中點（如圖），若 P 在B C 上，且 AP AB AD，則 的最大值為 ．
3 2
【答案】
2
【分析】如圖，以線段 BC 所在直線為 x 軸，線段 BC 的垂直平分線為 y 軸建立平面直角坐標系，設
P cosq ,sinq ，q π,2π ,又 A 1,2 , B 1,0 ,C 1,0 , D 1,2 ,，利用向量的坐標運算，結合三角函數的恒
等變形與性質求解即可.
【詳解】如圖，以線段 BC 所在直線為 x 軸，線段 BC 的垂直平分線為 y 軸建立平面直角坐標系，
設P cosq ,sinq ，q π,2π
又 A 1,2 , B 1,0 ,C 1,0 , D 1,2 ,，

則 AP cosq 1,sinq 2 , AD 2,0 , AB 0, 2 ，

Q AP AD AE ，即 cosq 1,sinq 2 0, 2 2,0
ìcosq 1 2
\í ，
sinq 2 2
ì cosq 1
2
解得 í
2 sin
，
q

2
2 sinq cosq 1 1 1 cosq sinq 3 2 cos
π
2 2 2 2
q ÷ 3÷ ,
è è 4
因為q π,2π ，則q π 5π 9π é , ù
4 ê 4 4 ú
，

π π
所以當q 2π時， cos q ÷取得最大值 14 ，4 è
3 2則 的最大值為 .
2
3 2
故答案為： .
2
1 1
8．（23-24 高一下·天津·期中）如圖，在VABC 中， AD AB, AE AC,CD 與 BE 交于點P, AB 2，
2 3
uuur uuur
AC 3, AP BC 1，則 AB AC 的值為 ；過點 P 的直線 l分別交 AB, AC 于點M , N ,設 AM mAB,

AN nAC (m > 0, n > 0)，則m 2n 的最小值為 .
8
【答案】 4
5

【分析】設 AP xAB y AC ，將 AB 2AD, AC 3AE 分別代入，利用共線定理的推論列方程組求出 x, y，然
1 1
后根據 AP BC 1求解可得 AB AC 4 ；將 AB AM , AC AN 代入 AP xAB y AC ，根據M , P, N 共線m n
2 1
可得 1，然后妙用“1”，利用基本不等式求解即可.
5m 5n

【詳解】設 AP xAB y AC ，令 AB a , AC b ，
1 1
因為 AD AB, AE AC ，所以 AB 2AD, AC 3AE ，
2 3

所以 AP 2xAD y AC xAB 3y AE ，
ì2x y 1
又B, P, E 與C , P, D 分別共線，所以 í ，解得 x
2 1
, y .
x 3y 1 5 5
2 1 因為 AP BC a b b a 1，
è 5 5 ÷



所以 2a 2 a b b 2 5 0，即8 a b 9 5 0，

解得a b 4，即 AB AC 4 .

因為 AM mAB, AN nAC ，
1 1
所以 AB AM , AC AN ，
m n

AP 2 AB 1 AC 2

AM 1

所以 AN ，
5 5 5m 5n
因為M , P, N
2 1
共線，所以 1，
5m 5n
m 2n m 2n 2 1 4 4n m 4 4n m 8所以 ÷ 2 ，
è 5m 5n 5 5m 5n 5 5m 5n 5
4 2
當且僅當m , n 時，等號成立，
5 5
8
所以m 2n 的最小值為 .
5
8
故答案為：4； .
5
9．（21-22 高三上·河南鄭州·階段練習）如圖，在扇形OAB 中， AOB 120° ，OA OB 2，點M 為OB的

中點，點 P 為曲邊 AMB 區域內任一點（含邊界），若OP mOA nOM ，則m n的最大值為 ．
2 21
【答案】
3
3 3
【分析】建立直角坐標系，根據向量的坐標運算即可得m y ， n x y ，進而根據線性規劃求截距最
3 3
大或者根據三角換元法即可求解.
【詳解】建立平面直角坐標系如圖所示，
設B(2,0)，則M (1, 0)， A( 1, 3) ；

\ OA ( 1, 3)，OM (1,0)；

由 P 是區間內的任意點 (x, y)，且OP mOA nOM ，
\(x， y) ( m n ， 3m)，
\ x n m， y 3m；\m 3 y 3 ， n x y ，
3 3
m n x 2 3 y z x 2 3 y 3 3\ ，設 ，即 y x z，
3 3 2 2
用線性區域的方法，平移 AM 直到于圓弧相切，與 y 軸相交于M ,
此時直線截距最大，切點就是滿足條件的點 P ；
3
由于此時切線的斜率為 k
2
π 3 2
此時 OP = 2,k = tan PMO+ ÷÷ = - ,由此 tan PMO = ，
è 2 2 3
OP
OM 2= = = 7
sin PMO 2 , 3 z 7 z 2 21故 因此此時 = = ，
7 2 3
m n z 2 21即 的最大值為 ，
3
2 21
故答案為： .
3
2p
10．（22-23 高三下·上海寶山·開學考試）如圖所示， BAC ，圓 M 與 AB，AC 分別相切于點 D，E，
3

AD=1，點 P 是圓 M 及其內部任意一點，且 AP xAD y AE x, y R ，則 2x 3y的取值范圍是
【答案】 é 10 2 19,10 2 19 ù
【分析】建立直角坐標系，求出圓 M 的方程，則點 P 在圓 M 內或其圓周上，根據點 P 的范圍，將原問題轉
化為線性規劃求 目標函數的最大值和最小值問題.
【詳解】如圖以 A 為原點直線 AB 為 x 軸建立直角坐標系：
1 3
由題意 BAC
2p
， AE AD 1 ，\D 1,0 , E , ÷÷ ，3 è 2 2
過點 D 作 AB 的垂線，過點 E 作 AC 的垂線，兩垂線的交點即為圓心 M，在RtVADM 中，
DAM p p ，\MD AD tan 3 ，\M 1, 3 ，圓 M 的半徑為3 3 MD 3 ；
設P n,m ，則 P 點圓 M 內或圓周上，
1 3 AE , 1

AD (1,0)， ÷÷， AP n, m ，由題意 AP xAD y AE x y,
3 y ÷÷ n, m ，
è 2 2 è 2 2
n x 1 y,m 3\ y ，
2 2
x n 3 m, y 2 3 m z 2x 3y 2n 8 3\ ， m ，即是求 z 的取值范圍，也就是求 z 的最大值和最小
3 3 3
值，
z 2n 8 3根據幾何意義，當直線 m 與圓 M 相切時 z 取最值，
3
: | 2 8 z |8 3 3, z 10 ± 2 19.此時M 到直線 2n m z 0 的距離為 4 64 3
，
3
所以 z 的范圍為 é 10 2 19,10 2 19 ù ；
故答案為： é 10 2 19,10 2 19 ù .

11．（2024 高三下·全國·專題練習）如圖，平面內有三個向量OA，OB ，OC ，其中OA,OB 120o ，

OA,OC 30o，且 OA OB 1， OC 2 3 ，若OC mOA nOB，則m n .
【答案】6

【分析】連接 AB ,交OC 于點D ,求得 OD DA 3 , DB 2 3 ，法一：由平面向量基本定理得
3 3
2 1 OD OA OB, 利用 OC 6 OD 求得m n；法二：根據等高線定理求解.
3 3
【詳解】
連接 AB ,交OC 于點D ,

則 DOA OAD OBD 30° , BOD 90° , OD OB tan 30° 3 ,
3

OD DA 3

, DB 2 3 ,
3 3
1 2 1
法一：由平面向量基本定理得OD OA AD OA AB OA OB,
3 3 3

OC 2 3 6 OD ,
2 \OC 6 OA
1
OB ÷ 4OA 2OB, m n 6.
è 3 3

OC OC
k m n,k 2 3 6,\m n 6.法二：根據等高線定理可得 OD OD 3
3
故答案為：6
12．（22-23 高二上·上海寶山·階段練習）設點 P 在以A 為圓心，半徑為 1 的圓弧BC 上運動（包含 B 、C 兩
2 v v v
個端點）， BAC p ，且 AP xAB y AC ，則 x y xy 的取值范圍為 .
3
【答案】 1,3
uuur uuur
【分析】根據共線向量基本定理,設 AP mAM ,結合條件 AP xAB y AC 可求得 x y m的等量關系，根據 M
的位置可求得 x y 的范圍，同時根據基本不等式，求得 xy的取值范圍， 即可得 x y xy 的取值范圍。
【詳解】
uuur uuur
設 AP 與CB相交于M ,且 AP mAM
uuur uuur uuur
由C ，M ， B 三點共線可得 AM AC 1 AB
1 uuur uuur uuur uuur uuur uuur
即 AP AC 1 AB ,所以 AP m AC m 1 AB
m

又因為 AP xAB y AC
ìx m
所以 í
y m m
uuur
AP
即 x y m uuur
AM
uuur
AP
當 AP BC 時， AM
1
min ,此時 x y m uuur 22 AM
uuur
AP
當 P 與 B (或C )點重合時,此時 AM max 1 ,此時 x y m uuur 1
AM
所以 x y 1,2
2
由基本不等式 x y 2 xy , x y可得 xy
4
當 x 0或 y 0 時, xy 0
當 x=1 且 y=1 時，x+y=2，xy=1，則 xy 0,1
即 x y xy 1,3
【點睛】本題考查了平面向量基本定理、向量共線基本定理的綜合應用，注意向量線性運算的轉化，屬于
中檔題。
13．（19-20 高一上·黑龍江牡丹江·期末）如圖，扇形的半徑為 1，圓心角 BAC 120° ，點 P 在弧 BC 上運

動， AP xAB y AC ，則3x y 的最大值為 .
2 39
【答案】 .
3

【分析】如圖所示：作平行四邊形 AFPE ， E, F 分別在 AC, AF 上，故 AP AE AF xAB y AC ，計算得到
x 2 3 sinq ， y 2 3 sin 120° q 2 39，3x y sin q j ，得到答案.
3 3 3

【詳解】如圖所示：作平行四邊形 AFPE ， E, F 分別在 AC, AF 上，故 AP AE AF xAB y AC .

故 AE x, AF y ，設 PAB q ，
1 x 1 y
根據正弦定理： ， ，
sin 60° sinq sin 60° sin 120° q
x 2 3 sinq y 2 3故 ， sin 120° q ，
3 3
故3x y 2 3 sinq 2 3 sin 120° q 7 3 sinq cosq 2 39 sin q j ，
3 3 3
tanj 3 7 3 2 39其中 ，當 tanq 時，有最大值為 .
7 3 3
2 39
故答案為： .
3
【點睛】本題考查了正弦定理和三角恒等變換的應用，意在考查學生的綜合應用
能力.
14．（22-230 高三上·浙江臺州·期末）如圖，已知正方形 ABCD，點 E，F 分別為線段BC ，CD 上的動點，且

BE 2 CF ，設 AC xAE y AF （x， y R ），則 x y 的最大值為 .
2 1
【答案】
2

【分析】設邊長為 1， CF a，建立直角坐標系，求得 AC, AE, AF 的坐標，根據題設用 a表示出 x y ，再
利用函數的性質，即可求解．
【詳解】建立如圖所示的直角坐標系，并設邊長為 1， CF a，

則 A(0,0),C(1,1), E(1, 2a), F (1 a,1)，可得 AC (1,1), AE (1, 2a), AF (1 a,1)，

由 AC xAE y AF , (x, y R) ，
ìx (1 a)y 1 a 1 2a
可得 í ，解得 x 2 , y ( 0 a
1
)
2ax y
其中 ，
1 2a 2a 1 2a2 2a 1 2
x y 1 a所以 ，
2a2 2a 1
1 x y t 1 1 2 1
令 t 1 a [ ,1] ，則
2 2t
2 2t 1 2t 1 2 2 2 2 2
，
t
2 2
當且僅當 t 時，即 a 1 時取等號，
2 2
所以 x y 2 1的最大值為 ．
2
2 1
故答案為： ．
2
【點睛】本題主要考查了平面向量的基本定理，向量的坐標運算，以及利用基本不等式求最值的應用，其
中解答中將平面向量問題坐標化，通過數形結合求解是解答的關鍵，著重考查了數形結合思想，以及推理
與運算能力．

AB AC 1

15．（22-23 高三·浙江·階段練習）已知 ， AB 與 AC 所成角為60°，點 P 滿足 AP AC 1，若

AP xAB y AC ，則 x y 的最大值為 .
【答案】1 2 3
3
1 3
【分析】可建立如圖所示的平面直角坐標系,根據題設可得動點 P 在圓內運動,設點P cosq , sinq ÷÷ ,則
è 2 2
可用q 的三角函數表示 x y ,進而求得最大值.
1 3 1 3
【詳解】由題,如圖建系, A 0,0 , B 1,0 , C ,2 2 ÷÷ ,則 AB 1,0 , AC , ,è è 2 2 ÷
÷


因為 AP AC CP 1 ,則點 P 在以點C 為圓心,半徑為 1 的圓內（包括邊界）,
1
則設P cosq ,
3
sinq ÷÷ ,
è 2 2
ì1 1 cosq x y
2 2
因為 AP xAB y AC ,所以 í ,
3
sinq
3
y
2 2
3
所以 x y sinq cosq 1 2 3 sin q j 1 ,
3 3
因為q R ,所以 sin q j 1max ,
x y 1 2 3所以 的最大值為 ,
3
2 3
故答案為:1
3
【點睛】本題考查平面向量中基底向量的系數和的最值,考查坐標法表示向量的應用.
1
16．（22-23 高一下·重慶萬州·期中）如圖，在 VABC 中， BD BC ，點 E 在線段 AD 上移動（不含端點），
3
1
若 AE AB AC ，則 2 的取值范圍是 ．
10
【答案】 ( , )
3

【分析】根據題意，設 AE mAD 0 m 1 ，根據向量的線性運算，利用 AB、AC 表示出 AE ，求出 和 ，
1
然后利用雙鉤函數的單調性求出 2 的取值范圍.
1
【詳解】解：由題可知，BD BC ，設 AE mAD 0 m 1 ，
3
1 é 1 則 AE m AB BC ÷ m êAB BA AC ù，è 3 3 ú
2 1
所以 AE m AB m AC ，
3 3

而 AE AB AC ，
2可得： m,
1
m，
3 3
1 m 3
所以 0 m 12 3 m ，
m 3
設 f m 0 m 1 ，
3 m
由雙鉤函數性質可知， f x 在 0,1 上單調遞減，
則 f x > f 1 1 10 3 ，
3 3
1 10
所以 2 的取值范圍是
( , ) .
3
10
故答案為： ( , ) .
3
【點睛】本題考查平面向量的線性運算和平面向量的基本定理的應用，還涉及雙鉤函數的單調性，考查轉
化思想和運算能力.

17．（21-22高三下·浙江杭州·階段練習）已知正三角形 ABC 的邊長為2，D是邊BC 的中點，動點P滿足 | PD | 1，

且 AP xAB y AC ，其中 x y 1，則 2x y 的最大值為 ．
5
【答案】 /2.5
2
ìa t cosq
【分析】構建以D為原點，BC, AD 為 x、y 軸的直角坐標系，確定相關點坐標并設P(a,b) 且 í
b t sinq
( 1 t 1)，由向量線性關系的坐標表示列方程得到 2x y 關于 t,q 的三角函數式，應用正弦型函數性質求最
大值.
【詳解】由題設， P 在以D為圓心，1 為半徑的圓上或圓內，
構建以D為原點，BC, AD 為 x、y 軸的直角坐標系，如下圖示：
a t cosq
所以 A(0, 3) ，B( 1,0)，C(1,0)，令P(a,b)
ì
且 í ( 1 t 1)
b
，
t sinq

所以 AP (a,b 3)， AB ( 1, 3)， AC (1, 3)，

又 AP xAB y AC ，即 (a,b 3) x ( 1, 3) y (1, 3) ，
ìy x a
3 1 3 3
所以 í 3b ，而 2x y (x y) (y x) b
1
a ，
x y 1 2 2 2 2 2 3
2x y 3 3 1 3 p則 t( sinq cosq ) t sin(q )，
2 2 2 2 6
故當 t sin(q
p ) 5 1時， 2x y 有最大值 .
6 2
5
故答案為：
2
ìa t cosq
【點睛】關鍵點點睛：構建直角坐標系并設P(a,b) 且 í ( 1 t 1)b t sinq ，應用平面向量線性關系的坐標
表示求得 2x y 關于參數的函數式求最值.
18．（22-23 高一下·湖北孝感·期中）趙爽是我國古代數學家，大約在公元 222 年，他為《周髀算經》一書作
序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長得到的正方形由 4 個全等的直角三角形再加上中
間的一個小正方形組成）類比“趙爽弦圖”，可構造如圖所示的圖形，它是由 3 個全等的三角形與中間一個小

等邊三角形拼成的一個較大的等邊三角形，設 AD AB AC ，若 AD 3AF ，則 的值為 .
6
【答案】
13
【分析】根據余弦定理、正弦定理以及平面向量基本定理求得 , ，進而求得正確答案.
2π
【詳解】過D作DG//AC ，交 AB 于G ，則 AGD ，
3

由于 AD AB AC ，所以 AG AB,GD AC ，
π
設 ACF a ，則 DAG a ， ADG a ，
3
設 AF x ，則FD 2x ,
則CE BD x, EF DE 2x，
由于 AFC
2π
，所以在三角形 AFC 中，
3
由余弦定理得 AC x2 9x2 2 x 3x cos 2π 13x，
3
2
cosa x 13x
2 9x2 5
所以 ， sina 1 cos2 a
3 3
，
2 x 13x 2 13 2 13
在三角形 ADG 中，由正弦定理得：
AG AD 3x 3 3
AD sina 9
sina sin 2π
2 13
， AG 2π 13x，
3 sin 3 133 2
9
所以 .
13
sin DAG sin π a 3 1 3 ÷ cosa sina ，
è 3 2 2 2 13
在三角形 ADG 中，由正弦定理得：
DG AD 3x 3
AD sin DAG 3
sin DAG sin 2π DG
2 13
， 2π 13x，
3 sin 3 133 2
3所以 .
13
6
所以 .
13
6
故答案為：
13
【點睛】平面向量的基本定理可以解決向量分解的問題，相當于向量線性運算.在求解幾何圖形問題的過程
中，可考慮利用正弦定理或余弦定理來進行邊角轉化.
19．（23-24 高三上·陜西漢中·階段練習）對稱性是數學美的一個重要特征，幾何中的軸對稱，中心對稱都能
給人以美感，激發學生對數學的興趣.如圖，在菱形 ABCD中， ABC 120o , AB 2，以菱形 ABCD的四條

邊為直徑向外作四個半圓， P 是這四個半圓弧上的一動點，若DP DA DC ，則 的最大值
為 .
5
【答案】
2
【分析】就 0和 0分類討論，后者可根據對稱性只需考慮 P 在 AD, AB對應的半圓弧上，前者
≤1，后者 1，而后者可建系處理.
【詳解】連接 AC .

若 0，則DP DA DC CA，

若 不為零，則DP//CA，這與題設矛盾，若 為零，則 P 與D重合.

DP
若 0 ，則 DA DC ，


設 DA DC DS ，故
DP DS ，且 S , A,C 三點共線.

由對稱可知只需考慮 P 在 AD, AB對應的半圓弧上.
當 P 在 AD 對應的半圓弧上（除D外）時，S 總在DP的延長線上，
故此時 ≤1 .
當 P 在 AB 對應的半圓弧上，S 總在DP之間，故此時 1
建立如圖所示的平面直角坐標系，
3 3
則 A 1,0 ， AC : y x ，D 0, 3 ，
3 3
設P cosq ,sinq π q 0 ，
q π DS 2 3 2 3當 時， ，而 DP 1 3 ，2 3 3
1 3 3 3 5
此時 2 3 2 2 .
3
q π DP : y 3 sinq x 3 3 sinq當 時，則2 x 3
，
0 cosq cosq
ì
y 3 sinq x 3
2 3
cosq
í x 3由 可得 S ，
y 3 x 3
3 3 sinq
3 3 3 cosq
3 cosq 3 sinq
DP cosq 3 2 3
cos

q
π
3
DS 2 3 2 3 3
÷
è 3
故 ，
3 3 2 3
3 3 sinq
3
3 cosq
5 3
DP 5
當q
π
時，
3 .
3 è DS ÷
÷
2 3 2max
3
DP 5
綜上，
è DS
÷÷
2max
5
故答案為：
2
【點睛】關鍵點睛：與向量的線性表示有關的最值問題中，如果考慮基底向量前系數的和的最值，則可利
用三點共線構造系數和的幾何意義，這樣便于求最值.
20．（23-24 高一下·安徽宿州·期中）由三角形內心的定義可得：若點O為VABC 內心，則存在實數 ，使得
AB AO
A C ÷ .在VABC 中， tan BAC 2 2 ，若點O為VABC 內心，且滿足 AO xAB y AC ，則
è | AB | | AC |
x y 的最大值為 .
3 3
【答案】
2

【分析】設 AD AO xAB y AC ，根據共線向量的幾何意義和二倍角公式解答即可.
【詳解】延長 AO 交BC 于D，
設BC 與圓O相切于點E ， AC 與圓O相切于點F ，如圖所示，

1 | AO |
則OE OF ，OE OD，設 AD AO xAB y AC ，且 .
| AD |
因為 B 、C 、D三點共線，所以 x y 1，
x y 1 | AO | | AO | | AO | 1
1 1

即 | AD | | AO | | OD | | AO | | OE | | OE | OF 1 sin BAC1 1 ，
| AO | AO 2
BAC 1
因為 tan BAC 2 2 ，所以 cos BAC 1 2sin2 ，2 3
又因為0 A π,0<
A π
BAC 3，所以 ，
2 2 sin 2 3
x y 1 3 3
所以 2 .
1 3
3
3 3
故答案為： .
2

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