資源簡介

第 07 講 平面向量奔馳定理與三角形四心問題
（高階拓展、競賽適用）
（2 類核心考點精講精練）
平面向量問題是高中數(shù)學(xué)中的一個熱點，在高考中考查比重不會很大，一般以選擇填空形式出現(xiàn)，難
度一般也會控制在中等，有時也會以壓軸題命題。平面向量中有很多重要的應(yīng)用，比如系數(shù)和（等和線）、
極化恒等式、本節(jié)我們繼續(xù)學(xué)習(xí)另一個重要的結(jié)論-奔馳定理。它將三角形的四心與向量完美地融合到一起，
高中的同學(xué)們可以將這個內(nèi)容當(dāng)成課外拓展知識，同時也是加強對三角形的認(rèn)識，加深對數(shù)學(xué)的理解。
奔馳定理”揭示的是平面向量與三角形面積之間所蘊含的一個優(yōu)美規(guī)律并因其圖形與奔馳的 logo 相似
而得名“奔馳定理”，會提升解題效率，可強化學(xué)習(xí)。
知識講解
1. 奔馳定理

如圖，已知 P 為VABC 內(nèi)一點，則有 S△PBC OA S△PAC OB S△PAB OC 0 .
由于這個定理對應(yīng)的圖象和奔馳車的標(biāo)志很相似，我們把它稱為“奔馳定理”.
2. 奔馳定理的證明
如圖：延長OA與 BC 邊相交于點 D
BD S
則 VABD
S S
VBOD VABD
SVBOD S VAOB
DC SVACD SVCOD SACD SVCOD SVAOC

OD DC

OB BD

OC
BC BC
S S
VAOC OB VAOB OC
SVAOC SVAOB SVAOC SVAOB
OD S BOD S COD S BOD SCOD S VBOC
OA SBOA SCOA SBOA SCOA SVAOC SVAOB

OD S VBOC OA
SVAOC SVAOB
S
VBOC OA S VAOC OB S VAOB OC
SVAOC SVAOB SVAOC SVAOB SVAOC SVAOB

SVBOC OA SVAOC OB SVAOB OC 0
3. 奔馳定理的推論及四心問題

推論O是VABC 內(nèi)的一點,且 x OA y OB z OC 0 ,則 SVBOC : SVCOA : SVAOB x : y : z
有此定理可得三角形四心向量式
（1）三角形的重心：三角形三條中線的交點叫做三角形的重心，重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距
離之比為 2：1.
（2）三角形的垂心：三角形三邊上的高的交點叫做三角形的垂心，垂心和頂點的連線與對邊垂直.
（3）三角形的內(nèi)心：三角形三條內(nèi)角平分線的交點叫做三角形的內(nèi)心，也就是內(nèi)切圓的圓心，三角形的內(nèi)
心到三邊的距離相等，都等于內(nèi)切圓半徑 r.
（4）三角形的外心：三角形三條邊的垂直平分線的交點叫做三角形的外心，也就是三角形外接圓的圓心，
它到三角形三個頂點的距離相等.
奔馳定理對于利用平面向量解決平面幾何問題，尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關(guān)的問題，有著
決定性的基石作用.
已知點O在VABC 內(nèi)部，有以下四個推論：

①若O為VABC 的重心，則OA OB OC 0；

②若O為VABC 的外心，則 sin 2A OA sin 2B OB sin 2C OC 0；或 OA OB OC

③若O為VABC 的內(nèi)心，則 a OA b OB c OC 0；備注：若O為VABC 的內(nèi)心，則

sin A OA sin B OB sin C OC 0 也對.

④若O為VABC 的垂心，則 tan A OA tan B OB tan C OC 0，或OA OB OB OC OC OA
研究三角形“四心”的向量表示，我們就可以把與三角形“四心”有關(guān)的問題轉(zhuǎn)化為向量問題，充分利用平面向
量的相關(guān)知識解決三角形的問題，這在一定程度上發(fā)揮了平面向量的工具作用，也很好地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合
的數(shù)學(xué)思想.
考點一、奔馳定理與四心問題綜合
1．（寧夏·高考真題）已知 O，N，P 在DABC所在平面內(nèi)，且 OA OB OC , NA NB NC 0，且
PA PB PB PC PC PA，則點 O，N，P 依次是DABC的
（注：三角形的三條高線交于一點，此點為三角型的垂心）
A．重心外心垂心 B．重心外心內(nèi)心
C．外心重心垂心 D．外心重心內(nèi)心
【答案】C

【詳解】試題分析：因為 OA OB OC ，所以O(shè)到定點 A, B,C 的距離相等，所以O(shè)為DABC的外心，由
v v
NA NB NC 0，則 NA NB NC ，取 AB 的中點E ，則 NA NB 2 NE CN ，所以 2 NE CN ，所以
v v v v v v
N 是DABC的重心；由PA PB PB PC PC PA，得 (PA PC) PB 0，即 AC PB 0，所以 AC ^ PB，
同理 AB ^ PC ，所以點 P 為DABC的垂心，故選 C.
考點：向量在幾何中的應(yīng)用.
2．（江蘇·高考真題）O 是平面上一定點，A、B、C 是平面上不共線的三個點，動點 P 滿足

OP OA l
A B A C ÷，l [0, )，則 P 的軌跡一定通過VABC 的（ ）
è | AB | | AC |
A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心
【答案】B

A B【分析】根據(jù)
A
C AB AC是以A 為始點，向量 與 為鄰邊的菱形的對角線對應(yīng)的向量，可知 P 點
| AB | | AC | | AB | | AC |
軌跡，據(jù)此可求解.

AP l( AB A【詳解】 OP OA AP，
C )
| AB | | AC |

AB AC
令 AM ，
| AB | | AC |

AB AC
則 AM 是以A 為始點，向量 與 為鄰邊的菱形的對角線對應(yīng)的向量，| AB | | AC |

即 AM 在 BAC 的平分線上，

AP l AM ， AP, AM 共線，
故點 P 的軌跡一定通過△ABC 的內(nèi)心，
故選：B
3 P ΔABC , AB CB CA 2AB CP 2 2 ．設(shè) 是 所在平面內(nèi)的一點若 且 AB AC 2BC AP .則點 P 是ΔABC 的
（ ）
A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心
【答案】A
【詳解】由 AB CB CA 2AB CP ，得 AB CB CA 2CP 0，
即 AB é CB CP CA CP ù 0，

所以 AB PB PA 0，

設(shè) D 為 AB 的中點，則 AB 2PD 0，故 AB PD 0；
2 2
因為 AB AC 2BC AP ，
所以 AC AB AC AB 2BC AP，

所以BC AC AB 2AP 0，

設(shè) BC 的中點為 E，同上可知BC PE 0 ，
所以 P 為 AB 與 BC 的垂直平分線的交點．
所以 P 是DABC 的外心．選 A．
【點睛】三角形“四心”的向量表示

①在VABC 中，若 | OA | | OB | | OC | 2 2 2或OA OB OC ，則點O是VABC 的外心；

②在VABC 中，若GA GB GC 0，則點G 是VABC 的重心；
v v v v
③在VABC 中，若OP OA l(AB
1
BC),l [0, )，則直線 AP 過VABC 的重心；
2

④在VABC 中，若HA HB HB HC HC HA，則點 H 是VABC 的垂心；
v v v vAB AC
⑤在VABC 中，若OP OA l( v v )(l > 0)AB AC ，則直線 AP 通過VABC 的內(nèi)心．
v v v
4．已知點 P 是DABC所在平面內(nèi)一點，且滿足 AP l( v
AB
vAC )(l R)
AB cos B AC cosC ，則直線 AP 必經(jīng)過DABC
的
A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心
【答案】D
v v v
【解析】兩邊同乘以向量BC ，利用向量的數(shù)量積運算可求得 AP BC 0從而得到結(jié)論．
v v v
AP l vAB

【詳解】 v
AC ÷ l R

è AB cosB AC cosC ÷
v v v
兩邊同乘以向量BC ,得 AP ^ BC
t (1, 2]
即點 P 在 BC 邊的高線上，所以 P 的軌跡過△ABC 的垂心，
故選 D.
【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的運算、向量的線性運算性質(zhì)及其幾何意義，屬中檔題．
5．設(shè) 是平面上一定點，A、B、C 是平面上不共線的三點， 動點 P 滿足
， ，則動點 P 的軌跡一定通過△ABC 的
A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心
【答案】D
AB
【詳解】試題分析： OP OA l(
AC ) , OP OA l(
AB AC ) ,
| AB | cos B | AC | cosC | AB | cos B | AC | cosC

AP l( AB AC )
| AB | cos B | AC | cosC

AP BC l( AB AC ) BC l( A B BC A C BC )
| AB | cos B | AC | cosC | AB | cos B | AC | cosC

AB BC cos p B AC BC cosC
l( ) l( BC BC ) 0 , AP ^ BC ,
| AB | cos B | AC | cosC
則動點 P 的軌跡一定通過DABC的垂心．故 C 正確．
考點：1 向量的加減法;2 數(shù)量積;3 向量垂直．

1．若O是VABC 內(nèi)一點，且OA OB OA OC OC OB ，則O為VABC 的（　　）
A．垂心 B．重心 C．外心 D．內(nèi)心
【答案】A

【分析】根據(jù)條件，可得OA CB OB CA OC BA 0，即OA ^ BC,OB ^ AC ，OC ^ AB，從而可得答案.

【詳解】因為OA OB OA OC OC OB ，
所以O(shè)A OB OC OB OA OC OC OA OB 0，

即OA CB OB CA OC BA 0，
則OA ^ BC,OB ^ AC ，OC ^ AB，
即O是三條高線的交點，為VABC 的垂心.
故選：A.
2．已知點O是VABC 所在平面上的一點，VABC 的三邊為 a,b,c ，若 aOA bOB cOC 0 ，則點O是VABC
的（ ）
A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心
【答案】B


【分析】在 AB ， AC 上分別取點D，E ，使得 AD AB ， AE AC ，以 AD ， AE 為鄰邊作平行四邊形 ADFE ，
c b
即可得到四邊形 ADFE 是菱形，再根據(jù)平面向量線性運算法則及共線定理得到A ，O，F(xiàn) 三點共線，即可
得到O在 BAC 的平分線上，同理說明可得O在其它兩角的平分線上，即可判斷.


【詳解】在 AB ， AC 上分別取點D，E ，使得 AD AB ， AE AC ，則 AD AE 1．
c b
以 AD ， AE 為鄰邊作平行四邊形 ADFE ，如圖，


則四邊形 ADFE 是菱形，且 AF AD AE AB AC ．
c b
AF 為 BAC 的平分線． aOA bOB cOC 0

a OA b (OA AB) c (OA AC) 0 ，

即 (a b c)OA b AB c AC 0 ，

b AO AB c AC bc AB AC bc ( ) AF ．
a b c a b c a b c c b a b c
A，O，F(xiàn) 三點共線，即O在 BAC 的平分線上．
同理可得O在其它兩角的平分線上，
O 是VABC 的內(nèi)心．
故選：B．
2 2
3．已知點 O 為VABC 所在平面內(nèi)一點，在VABC 中，滿足 2AB AO AB ， 2AC AO AC ，則點 O 為
該三角形的（ ）
A．內(nèi)心 B．外心 C．垂心 D．重心
【答案】B
2 1
【分析】由 2AB AO AB ，利用數(shù)量積的定義得到 AO cos AB, AO AB ，從而得到點 O 在邊 AB 的
2
中垂線上，同理得到點 O 在邊 AC 的中垂線上判斷.
2 2
【詳解】解：根據(jù)題意， 2AB AO AB ，即 2AB AO 2 AB AO cos AB, AO AB ，

所以 AO cos AB, AO
1
AB ，則向量 AO 在向量 AB 上的投影為 AB 的一半，2
所以點 O 在邊 AB 的中垂線上，同理，點 O 在邊 AC 的中垂線上，
所以點 O 為該三角形的外心．
故選：B．
1
4．已知A ， B ，C 是不在同一直線上的三個點，O是平面 ABC 內(nèi)一動點，若OP OA l AB BC2 ÷ ，è
l 0, ，則點 P 的軌跡一定過VABC 的（ ）
A．外心 B．重心 C．垂心 D．內(nèi)心
【答案】B
1
【分析】設(shè)出BC 的中點D，利用向量的運算法則化簡 AB BC ；OP OA據(jù)向量共線的充要條件得到 P2
在三角形的中線上，利用三角形的重心定義：三中線的交點，得到選項
【詳解】解：如圖，取BC 的中點D，連接 AD ，
1
則 AB BC AB BD AD
1
．又OP OA l(AB BC) ，
2 2


OP OA l AD，即 AP l AD．
又l 0, ，
P點在射線 AD 上．
故 P 的軌跡過VABC 的重心．
故選：B．

5．在平面上有VABC 及內(nèi)一點 O 滿足關(guān)系式： S△OBC OA S△OAC OB S△OAB OC 0即稱為經(jīng)典的“奔馳定

理”，若VABC 的三邊為 a，b，c，現(xiàn)有 a OA b OB c OC 0則 O 為VABC 的（ ）
A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【分析】利用三角形面積公式，推出點 O 到三邊距離相等。
1 1 1
【詳解】記點 O 到 AB、BC、CA 的距離分別為 h1，h2，h3 ， SVOBC a h2 ， SVOAC b h3 ， SVOAB c h2 2 2 1
，

因為 S△OBC OA S
1 1
△OAC OB S△OAB OC 0，則 a h2 OA b h3 OB
1
c h3 OC=02 2 2 ，即

a h2 OA b h3 OB c h1 OC 0，又因為 a OA b OB c OC 0，所以 h1 h2 h3 ，所以點 P 是△ABC 的內(nèi)
心.
故選：B

6．已知 G，O，H 在VABC所在平面內(nèi)，滿足GA GB GC 0 ， | OA | | OB | | OC |，

AH BH BH CH CH AH ，則點 G，O，H 依次為VABC的（ ）
A．重心，外心，內(nèi)心 B．重心、內(nèi)心，外心
C．重心，外心，垂心 D．外心，重心，垂心
【答案】C
【分析】由平面向量數(shù)量積的運算，線性運算及三角形四心的性質(zhì)即可判斷出答案.
【詳解】

因為GA GB GC 0 ，所以GA GB GC ，

設(shè) AB 的中點 D，則GA GB 2GD，所以 GC 2GD ，
所以 C，G，D 三點共線，即 G 為VABC 的中線 CD 上的點，且GC 2GD，
所以 G 為VABC 的重心．

因為 | OA | | OB | | OC |，所以 OA＝OB ＝OC ，所以 O 為VABC 的外心；

因為 AH BH BH CH CH AH ，所以BH AH CH 0 ，即HB AC 0，

所以HB ^ AC ，同理可得：HA ^ BC ，HB ^ AB ，所以 H 為VABC 的垂心.
故選：C.
考點二、奔馳定理與其他問題綜合
1．奔馳定理：已知O是DABC內(nèi)的一點，DBOC ，DAOC ，DAOB 的面積分別為 SA， SB ， SC ，則
v v v
SA OA SB OB SC OC 0．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應(yīng)的圖形與“奔
馳”轎車（Mercedes benz）的 logo 很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”若O是銳角DABC內(nèi)的一點，A ，
v v v v v v
B ，C 是DABC的三個內(nèi)角，且點O滿足OA OB OB OC OC OA，則必有（ ）
v v v
A． sin A OA sin B OB sin C OC 0
v v v v
B． cos A OA cos B OB cosC OC 0
v v v
C． tan A OA tan B OB tan C OC 0
v v v
D． sin 2A OA sin 2B OB sin 2C OC 0
【答案】C
【分析】利用已知條件得到O為垂心，再根據(jù)四邊形內(nèi)角為2p 及對頂角相等，得到 AOB p C ，再根據(jù)

數(shù)量積的定義、投影的定義、比例關(guān)系得到 OA : OB : OC cos A : cos B : cosC ，進(jìn)而求出 SA : SB : SC 的值，
最后再結(jié)合“奔馳定理”得到答案.

【詳解】如圖，因為OA OB OB OC OC OA，

所以O(shè)B (OA OC) 0 OB CA 0，同理OA BC 0，OC AB 0，
所以O(shè)為DABC的垂心。
因為四邊形DOEC 的對角互補，所以 AOB p C ，

OA OB OA OB cos(p C) OA OB cosC ．

同理， OB OC | OB‖OC | cos A，

OC OA | OC‖OA | cos B，

| OA‖OB | cosC | OB || OC | cos A | OC || OA | cos B ．

| O A ‖ O B | c o s C | O B || O C | c o s A | O C || O A | c o s B ，
| OA‖OB || OC | | OA‖OB || OC | | OA‖OB || OC |

OA : OB : OC cos A : cos B : cosC ．
1 1
又 SA OB OC sin(p A) OB OC sin A2 2
1 SB OA OC sin(p
1
B) OA OC sin B
2 2
1 S OB OA sin(p C) 1

C OB OA sin C2 2
S : S : S si n A : s A B C
in B : s in C sin A : sin BOA OB OC :
sin C
tan A : tan B : tan C ．
cos A cos B cosC

由奔馳定理得 tan A OA tan B OB tan C OC 0 .
故選 C．
【點睛】本題考查平面向量新定義，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解過程中要注意連比式子的變
形運用，屬于難題.
2．（多選）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論．奔馳定理與
三角形四心（重心 內(nèi)心 外心 垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知M 是VABC 內(nèi)一點，

△BMC，△AMC，△AMB的面積分別為 SA，SB，SC ，且 SA MA SB MB SC MC 0．以下命題正確的有
（ ）
A．若 SA : SB : SC 1:1:1，則M 為VAMC 的重心

B．若M 為VABC 的內(nèi)心，則BC MA AC MB AB MC 0
C．若M 為VABC 的外心，則 MA MB AB MB MC BC MA MC AC 0

D 6．若M 為VABC 的垂心，3MA 4MB 5MC 0，則 cos AMB
6
【答案】ABC
【分析】對于 A，根據(jù)已知條件及奔馳定理，結(jié)合三角形重心的性質(zhì)即可求解；
對于 B，根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)及三角形的面積公式，結(jié)合奔馳定理即可求解；
對于 C，利用三角形外心的定義及向量的線性運算即可求解；
對于 D，利用三角形的垂心的定義及三角形的面積公式，結(jié)合奔馳定理及銳角三角函數(shù)即可求解.
【詳解】對于 A，取BC 的中點D，連接MD, AM ,如圖所示

由 SA : SB : SC 1:1:1

，則MA MB MC 0，

所以 2MD MB MC MA，
2
所以 A, M , D 三點共線，且 AM AD ，
3
2 2
設(shè) E, F 分別為 AB, AC 得中點，同理可得CM CE, BM BF ，
3 3
所以M 為VAMC 的重心，故 A 正確；
對于 B， 由M 為VABC 的內(nèi)心，則可設(shè)內(nèi)切圓半徑為 r ，如圖所示
S 1則 A BC r, S
1
B AC r, S
1
2 2 C
AB r ，
2
1 1
所以 r BC MA r AC MB
1
r AB MC 0，
2 2 2

即BC MA AC MB AB MC 0，故 B 正確；
對于 C ，如圖所示
因為M 為VABC 的外心，
所以MA MB MC ,
2 2 2 2
所以MA MB ，即MB MA 0，即 MB MA MB MA 0 ,

所以 MB MA AB 0 ,
同理可得， MB MC BC 0， MA MC AC 0
所以 MA MB AB MB MC BC MA MC AC 0，故 C 正確；
對于 D，延長 AM 交BC 于點D，延長 BM 交 AC 于點F ，延長CM 交 AB 于點E ，如圖所示，

由M 為VABC 的垂心，3MA 4MB 5MC 0，則 SA : SB : SC 3: 4 : 5，
S
又 SVABC SA SB S
VABC
C ，則 4
S
，VABC 3
S ，A SB
設(shè)MD x，MF y ，則 AM 3x，BM 2y ，
所以 cos BMD
x y
cos AMF ，即3x2 2y22y 3x ，
所以 cos BMD 6 ，所以 cos AMB cos π 6 BMD ，故 D 錯誤.
6 6
故選：ABC.
【點睛】關(guān)鍵點睛：根據(jù)奔馳定理及三角形的面積公式，結(jié)合三角形的四心的定義及性質(zhì)即可.
1．奔馳定理：已知點 O 是VABC 內(nèi)的一點，若VBOC,VAOC,VAOB的面積分別記為 S1, S2 , S3 ，則

S1 OA S2 OB S3 OC 0．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應(yīng)的圖形與“奔
馳”轎車的 logo 很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．如圖，已知 O 是VABC 的垂心，且

OA 2OB 3OC 0，則 cosC =（ ）
A 3 10 B 10． ． C 2 5 5． D．
10 10 5 5
【答案】B
【分析】延長CO交 AB 于點 P，則利用垂心的性質(zhì)結(jié)合三角形面積的求法可得

S1 : S2 : S3 tan A : tan B : tan C ，再利用 S1 OA S2 OB S3 OC 0和OA 2OB 3OC 0可得
tan A : tan B : tanC 1: 2 : 3，不妨設(shè) tan A k, tan B 2k, tan C 3k ，利用 tan A tan(B C)
tan B tanC

1 tan B tanC
可求出 k 的值，從而可求出 cosC 的值.
【詳解】延長CO交 AB 于點 P，
O是VABC 的垂心， OP ^ AB，
S : S 11 2 OC BP

÷ :
1
OC AP

è 2 è 2 ÷
BP : AP (OP tan POB) : (OP tan POA) tan COB : tan COA tan(p A) : tan(p B) tan A : tan B ．
同理可得 S1 : S3 tan A : tan C ， S1 : S2 : S3 tan A : tan B : tan C ．

又 S1 OA S2 OB S3 OC 0，

tan A OA tan B OB tan C OC 0．

又OA 2OB 3OC 0，
tan A : tan B : tan C 1: 2 : 3．
不妨設(shè) tan A k, tan B 2k, tan C 3k ，其中 k 0．
tan A tan(B tan B tan C C) ，
1 tan B tan C
k 2k 3k ，解得 k ±1．
1 2k 3k
當(dāng) k 1時，此時 tan A < 0, tan B < 0, tan C < 0，則 A，B，C 都是鈍角，不合題意，舍掉．
故 k 1，則 tan C 3 > 0，故 C 為銳角，
ì sin C
3
∴ cosC 10í ，解得 cosC ，
2 sin C cos
2 C 1 10
故選：B．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查向量的線性運算，考查三角函數(shù)恒等變換公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用
垂心的性質(zhì)得 S1 : S2 : S3 tan A : tan B : tan C ，再結(jié)合已知條件得 tan A : tan B : tanC 1: 2 : 3，設(shè)
tan A k, tan B 2k, tan C 3k ，再利用兩角和的正切公式可得 k ，從而可求得結(jié)果，考查計算能力和轉(zhuǎn)化思
想，屬于較難題.
2．（多選）如圖. P 為VABC 內(nèi)任意一點，角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，總有優(yōu)美等式

SVPBC PA SVPAC PB SVPAB PC 0成立，因該圖形酯似奔馳汽車車標(biāo)，故又稱為奔馳定理.則以下命題是真命
題的有（ ）

A．若 P 是VABC 的重心，則有PA PB PC 0

B．若 aPA bPB cPC 0成立，則 P 是VABC 的內(nèi)心

C．若 AP
2
AB 1 AC ，則 S
5 5 △ ABP
: S△ ABC 2 : 5

D．若 P 是VABC π的外心， A 4 ，PA mPB nPC ，則
m n é 2,1
【答案】AB

【分析】對于 A：利用重心的性質(zhì) S△ PBC = S△ PAC =S△ PAB ，代入 SVPBC PA SVPAC PB SVPAB PC 0即可；

對于 B：利用三角形的面積公式結(jié)合 SVPBC PA SVPAC PB SVPAB PC 0與 aPA bPB cPC 0可知點 P 到
AB、BC、CA的距離相等.

對于 C：利用 AB、AC 將PA、PB、PC 表示出來，代入 SVPBC PA SVPAC PB SVPAB PC 0，化簡即可表示出
S△ PBC、S△ PAC、S△ PAB 的關(guān)系式，用 SVPAB 將 S△ ABP、S△ ABC 表示出來即可得處其比值.

對于 D：利用三角形的圓心角為圓周角的兩倍，再將PA mPB nPC 兩邊平方，化簡可得m2 +n2 1，結(jié)合
m、n的取值范圍可得出答案.
【詳解】對于 A：如圖所示：因為 D、E、F 分別為CA、AB、BC 的中點，
1 2 1
所以CP 2PE ， SVAEC S , S S2 VABC VAPC 3 VAEC
S ，
3 VABC
1 1
同理可得 SVAPB SVABC 、 S3 VBPC
S
3 VABC
，
所以 S△ PBC = S△ PAC =S△ PAB ，

又因為 SVPBC PA SVPAC PB SVPAB PC 0，
uur uur uuur r
所以PA PB PC 0 .正確；
1 1 1
對于 B：記點 P 到 AB、BC、CA的距離分別為 h1、h2、h3 ， S△ PBC = a h2 , S△ PAC b h3 , S△ PAB c h ，2 2 2 1

因為 SVPBC PA SVPAC PB SVPAB PC 0，
1 1
則 a h2 PA b h PB
1
3 c h1 PC 0 ，2 2 2

即 a h2 PA b h3 PB c h1 PC 0，

又因為 aPA bPB cPC 0，所以 h1=h2 =h3，所以點 P 是VABC 的內(nèi)心，正確；
2 1
對于 C：因為 AP AB AC ，
5 5
2 1 3 1
所以PA AB AC ，所以PB PA AB AB AC ，
5 5 5 5
2
所以PC PA AC
4
AB AC ，
5 5
2 1 3 1 S AB AC S 2
4
所以 VPBC ÷ VPAC AB AC
S ÷ VPAB AB AC

÷ 0，
è 5 5 è 5 5 è 5 5
2 S + 3 S 2 1 1 4

化簡得： 5 VPBC 5 VPAC
S
5 VPAB ÷
AB S5 VPBC
S
5 VPAC
S
5 VPAB ÷
AC 0 ，
è è

又因為 AB、AC 不共線，
ì 2
S
3 2
5 VPBC
+ SVPAC S =05 5 VPAB ìSVPBC =2SVPAB
所以 í 1 1 4 ，所以 í S S =2S
，
VPBC S S =0 VPAC VPAB 5 5 VPAC 5 VPAB
S△ ABP SVPAB 1
所以 S ，錯誤；△ ABC SVPBC SVPAC SVPAB 5
π π
對于 D：因為 P 是VABC 的外心， A ，所以 BPC , PA PB PC4 2 ，

所以PB PC= PB PC cos BPC 0，
2 2 2
因為PA mPB nPC ，則 PA m2 PB 2mnPB PC n2 PC ，
化簡得：m2 +n2 1，由題意知m、n同時為負(fù)，
ìm cosa
π 3π記 í ， < a < ，則m n cosa sina 2 sin

a +
π
n sina
，
2 è 4 ÷
5π a π 7π因為 < < ，所以 1 sin a
π

2
4 4 4 4 ÷
< ，
è 2
所以 2 2 sin
a + π ÷ < 1，
è 4
所以m n é 2, 1 ，錯誤.
故答案為：AB.
6．（多選）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車，
（Mercedesbenz）的 logo 很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”，奔馳定理：已知 O 是△ABC 內(nèi)一點，

△BOC，△AOC，△AOB 的面積分別為 SA， SB ， SC ，且 SA OA SB OB SC OC 0 ．設(shè) O 是銳角△ABC
內(nèi)的一點，∠BAC，∠ABC，∠ACB 分別是的△ABC 三個內(nèi)角，以下命題正確的有（ ）

A．若OA 2OB 3OC 0，則 SA : SB : SC 1: 2 : 3

B．若 OA OB 2， AOB
5π
， ，則 S
9

6 2OA 3OB 4OC 0 VABC 2
π
C．若 O 為△ABC 的內(nèi)心，3OA 4OB 5OC 0 ，則 C 2

D．若 O 為△ABC 6的垂心，3OA 4OB 5OC 0 ，則 cos AOB
6
【答案】ACD
【分析】對 A，由奔馳定理即可判斷；
對 B，由面積公式求出 SC ，結(jié)合奔馳定理即可求；
π
對 C，由奔馳定理，結(jié)合內(nèi)心性質(zhì)可得 a : b : c 3: 4 : 5，即可得 C ；
2

對 D，由垂心性質(zhì)及向量數(shù)量積的垂直表示可得 OA : OB : OC cos A : cos B : cos C ，
結(jié)合奔馳定理結(jié)合三角形面積公式，可得 SA : SB : SC tan A : tan B : tan C 3: 4 : 5，
如圖所示 D、E、F 分別為垂足，可設(shè) AF m， tan A 3t t > 0 ，即可由幾何關(guān)系列式 AB FC AC BE 解
5 6
出 t ，最后由正切求出余弦值 cos C ，則由 cos AOB cos C 可求
5 6

【詳解】對 A，由奔馳定理可得，OA 2OB 3OC SA OA SB OB SC OC 0，又OA、OB、OC 不共線，故
SA : SB : SC 1: 2 : 3，A 對；
S 1

對 B， C 2 2 sin AOB 1
9 9
，由 2OA 3OB 4OC 0得 SA : SB : SC 2 : 3 : 4 ，故 SVABC SC ，B 錯；2 4 4

對 C，若 O 為△ABC 的內(nèi)心，3OA 4OB 5OC 0 ，則 SA : SB : SC 3: 4 : 5，又
S 1 1 1 πA : SB : SC ar : br : cr a : b : c （ r 為內(nèi)切圓半徑），三邊滿足勾股定律，故 C ，C 對；2 2 2 2

對 D，若 O 為△ABC 的垂心，則 BOC A π ，OB OC OB OC cos BOC OB OC cos A，
又OB AC OB OC OA 0 OB OC OB OA OC cos A OA cos C ，

同理 OC cos B OB cos C, OA cos B OB cos A，∴ OA : OB : OC cos A : cos B : cos C ，

∵ 3OA 4OB 5OC 0 ，則 SA : SB : SC 3: 4 : 5，
1 1
且 SA : SB : SC OB OC sin BOC : OA OC sin
1
AOC : OA OB sin AOB
2 2 2
cos B cos C sin A : cos Acos C sin B : cos Acos B sin C
sin A : sin B : sin C
cos A cos B cos C
tan A : tan B : tan C
如圖， D、E、F 分別為垂足，
設(shè) AF m， tan A 3t t > 0 ，則FC 3mt, BF 3 m, AB 7 m, AC 9t 2 1 m ，
4 4
AE : EC BE BE 5 15t又 : 5 : 3，故 AE AC, BE 3t AE AC ，
tan A tan C 8 8
由 AB FC AC BE
7 15t
m 3mt 9t 2 14 8 m
2 t 5，解得 ，
5
由 tan2 C 1 6 6 2 1 5 cos C ，故 cos AOB cos C ，D 對故選：ACDcos C 6 6
一、單選題
1．在VABC 2 2 中，動點 P 滿足CA CB 2AB CP ，則 P 點軌跡一定通過VABC 的（ ）
A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心
【答案】A
2 2
【分析】由CA CB 2AB CP 變形得 AB (BP AP) 0 ，設(shè) AB 的中點為E ，推出 AB ^ EP，點 P 在線
段 AB 的中垂線上，再根據(jù)外心的性質(zhì)可得答案.
2 2
【詳解】因為CA CB 2AB CP ，
2 2
所以 2AB CP CB CA (CB CA) (CB CA) AB (CB CA) ，

所以 AB (2CP CB CA) AB (BP AP) 0，

設(shè) AB 的中點為E ，則BP AP 2EP，則 AB 2EP 0，

所以 AB ^ EP，所以點 P 在線段 AB 的中垂線上，故點 P 的軌跡過VABC 的外心.
故選：A

2．若 O，M，N 在VABC 所在平面內(nèi)，滿足 | OA | | OB | | OC |, MA MB MB MC MC MA，且

NA NB NC 0，則點 O，M，N 依次為VABC 的（　?。?br/>A．重心，外心，垂心 B．重心，外心，內(nèi)心
C．外心，重心，垂心 D．外心，垂心，重心
【答案】D
【分析】由平面向量數(shù)量積的運算，線性運算及三角形五心的性質(zhì)即可判斷出答案．
【詳解】

解：因為 | OA | | OB | | OC |，
所以 OA＝OB ＝OC ，
所以 O 為VABC 的外心；

因為MA MB MB MC MC MA，

所以MB （MA MC ）＝0，

即MB CA＝0，所以 MB⊥AC，
同理可得：MA⊥BC，MC⊥AB，
所以 M 為VABC 的垂心；

因為 NA NB NC 0，

所以 NA NB NC ，

設(shè) AB 的中點 D，則 NA NB 2ND，

所以 NC 2ND ，
所以 C，N，D 三點共線，即 N 為VABC 的中線 CD 上的點，且 NC 2ND ，
所以 N 為△ABC 的重心．
故選：D．

3．已知 O 為VABC 內(nèi)一點，若分別滿足① OA OB OC ；②OA OB OB OC OC OA；③

OA OB OC 0；④ aOA bOB cOC 0 (其中 a,b,c為VABC 中，角 A, B,C 所對的邊).則 O 依次是VABC
的
A．內(nèi)心、重心、垂心、外心 B．外心、垂心、重心、內(nèi)心
C．外心、內(nèi)心、重心、垂心 D．內(nèi)心、垂心、外心、重心
【答案】B
【解析】對①，易得點 O 到點 A, B,C 的距離相等即可判斷.

對②，根據(jù)向量的數(shù)量積運算可求得OB ^ CA， OA ^ BC ，OC ^ AB即可判斷.
對③，根據(jù)重心的性質(zhì)與數(shù)量積的運算判斷即可.

AO bc
AB AC
對④，根據(jù)平面向量的線性運算可得 ÷，進(jìn)而可知O在VABC 三個角的角平分線
a b c
è AB AC
÷

上即可證明.

【詳解】對于①，因為① OA OB OC ，
所以點 O 到點 A, B,C 的距離相等，
即點 O 為VABC 的外心;

對于②，因為OA OB OB OC ，

所以O(shè)B (OA OC) 0，

所以O(shè)B CA 0 ，

即OB ^ CA，同理OA ^ BC,OC ^ AB ，
即點 O 為VABC 的垂心;

對于③，因為OA OB OC 0，

所以O(shè)A (OB OC)，

設(shè) D 為BC 的中點，則OA 2OD ，
即點 O 為VABC 的重心;

對于④，因為 aOA bOB cOC 0，

故 aOA b OA AB c OA AC 0，整理得 a b c OA bAB cAC 0 .

bAB cAC AC AB AB AC AC AB A B AC

又 ÷，
AB AC ֏
AB AC
所以 AO
bc AB AC ÷ , .因為 分別為 ，
a b c ÷ AB AC AB AC 方向的單位向量，故
AO 與 BAC 的角平
è AB AC
分線共線.同理BO與 ABC 的角平分線共線，CO與 ACB 的角平分線共線.故點 O 為VABC 的內(nèi)心.
故選：B
【點睛】本題主要考查了根據(jù)根據(jù)平面向量的關(guān)系分析三角形四心的問題，需要根據(jù)題意結(jié)合四心的性質(zhì)，
利用平面向量的運算以及性質(zhì)求證.屬于中檔題.
4．給定△ABC，則平面內(nèi)使得到 A，B，C 三點距離的平方和最小的點是△ABC 的（ ）
A．重心 B．垂心 C．外心 D．內(nèi)心
【答案】A
2 2 2
【分析】設(shè)G 為△ABC 的重心， P 是平面上的任一點，則得到 PA PB PC
2 2 2 2 3 PG GA GB GC ，即可得到結(jié)論.
【詳解】設(shè)G 為△ABC 的重心， P 是平面上的任一點，
2 2 2 2 2 2
則 PA PB PC PG GA PG GB PG GC
2 2 2 2 3 PG GA GB GC 2 PG GA PG GB PG GC
2 2 2 2
3 PG GA GB GC 2PG GA GB GC
2 2 2 2
3 PG GA GB GC

當(dāng)且僅當(dāng) PG 0即 P 與G 重合時， P 到 A，B，C 三點距離的平方和最小，
∴平面內(nèi)使得到 A，B，C 三點距離的平方和最小的點是△ABC 的重心.
故選：A.
2 2 2 2 2 2
5．若 H 為VABC 所在平面內(nèi)一點，且 HA BC HB CA HC AB 則點 H 是VABC 的（ ）
A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心
【答案】D
2 2 2 2 2 2 2 2 【分析】由 HA BC HB CA 得到 HA BH HC = HB CH HA ，從而得到HC ^ BA，同
理證明即可.
2 2 2 2 2 2 2 2【詳解】 HA BC HB CA HA BH HC = HB CH HA ，

得BH HC CH HA HC BA 0，即HC ^ BA；
2 2 2 2 2 2 2 2HA BC HC AB HA BH HC HC AH +HB ，

得BH HC AH HB BH AC 0，即BH ^ AC ；
2 2 2 2 2 2 2 2
HB CA HC AB HB CH HA HC AH HB ，

CH HA AH HB HA CB 0，即HA ^ CB ，所以 H 為VABC 的垂心.
故選：D.

6．已知O，A ， B ，C 是平面上的 4 個定點，A ， B ，C 不共線，若點 P 滿足OP = OA+l(AB+ AC)，其
中l(wèi) R ，則點 P 的軌跡一定經(jīng)過VABC 的（ ）
A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心
【答案】A

【分析】取線段BC 的中點E ，則 AB+ AC = 2AE ，依題可得 AP / / AE ，即可得答案.

【詳解】取線段BC 的中點E ，則 AB+ AC = 2AE .

動點 P 滿足：OP = OA+l(AB+ AC)，l R ，

則OP OA= 2l AE ，即 AP 2l AE ，所以 AP / / AE ，
又 AP I AE A，所以 A, E, P 三點共線，即點 P 的軌跡是直線 AE ，
一定通過VABC 的重心.
故選：A.
7．平面上有VABC 及其內(nèi)一點 O，構(gòu)成如圖所示圖形，若將VOAB，△OBC ， VOCA的面積分別記作 Sc ，
uur uuur uuur r
Sa，Sb，則有關(guān)系式 Sa OA Sb OB Sc OC 0 ．因圖形和奔馳車的 logo很相似，常把上述結(jié)論稱為“奔馳

定理”．已知VABC 的內(nèi)角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，若滿足 a OA b OB c OC 0，則 O 為VABC
的（ ）
A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心
【答案】B
Sb b Sc c
【分析】根據(jù)平面向量基本定理可得 S a ，

S a ，延長CO交 AB 于E ，延長BO交 AC 于F ，根據(jù)面積a a
|AE | | AC |
比推出 | BE | | BC | ，結(jié)合角平分線定理推出
CE為 ACB 的平分線，同理推出 BF 是 ABC 的平分線，根
據(jù)內(nèi)心的定義可得答案.
uur uuur uuur r S S b
【詳解】由 S OA S OB S OC 0 得OA OB c OCa b c Sa S
，
a
b c
由 a OA b OB c OC 0得OA OB OC ，a a
Sb b Sc c
根據(jù)平面向量基本定理可得 ， Sa a S
，
a a
Sb b S c c所以 ， S ，a a Sa a
延長CO交 AB 于E ，延長BO交 AC 于F ，
Sb | AE | S b
則 b，又
|AE | b | AC |
S | BE | S a ，所以

a a | BE | a | BC |
，
所以CE為 ACB 的平分線，
同理可得 BF 是 ABC 的平分線，
所以O(shè)為VABC 的內(nèi)心.
故選：B
2
2

2

8．已知點O ABC OA AB OA A C OB BA OB BC OC CA OC CB在平面 中，且 ÷ ÷ ÷ 0，則
è | AB | | AC | è BA BC
÷
è CA CB
÷

點O是VABC 的（ ）
A．重心 B．垂心 C．外心 D．內(nèi)心
【答案】D

OA AB OA AC
【分析】由數(shù)量積的定義可知，兩向量的數(shù)量積是一個實數(shù).由題意得， 0，
| AB | | AC |

OB BA OB BC 0 OC CA OC CB 0 . 3 O .
BA BC ， CA CB 根據(jù)數(shù)量積的定義，化簡這 個等式，即得點 的位置
【詳解】由數(shù)量積的定義可知，兩向量的數(shù)量積是一個實數(shù).
2
2

2
OA AB OA A
C OB BA OB÷
BC ÷ OC CA OC CB ÷ 0，
è | AB | | AC | è BA BC
÷ ÷
è CA CB

OA AB OA A C
OB
0，
BA OB BC 0 OC ，
CA OC CB 0 .
| AB | | AC | BA BC CA CB

OA AB OA AC當(dāng) 0
OA AB OA
時，
A C
| AB | | AC | | AB | | AC |
如圖所示

OA AB cos DAB OA AC cos DAC
即 ，
| AB | | AC |
DAB DAC, OAB OAC ，
點O在VABC 的內(nèi)角A 的角平分線上.
同理，點O在VABC 的內(nèi)角 B 的角平分線上，點O在VABC 的內(nèi)角C 的角平分線上.
點O是VABC 的內(nèi)心.
故選：D .
【點睛】本題考查向量的數(shù)量積，屬于中檔題.
9．奔馳定理：已知O是VABC 內(nèi)的一點，若VBOC 、VAOC 、VAOB的面積分別記為 S1、 S2 、 S3 ，則

S1 OA S2 OB S3 OC 0．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”

轎車的 logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.如圖，已知O是VABC 的垂心，且OA 2OB 4OC 0 ，則
cos B ( )
1 2
A 2． B． C D 3．
3 3 3
．
3
【答案】A

【分析】由 O 是垂心，可得 tanA OA tanB OB tanC OC 0，結(jié)合OA 2OB 4OC 0 可得
tanA : tanB : tanC 1: 2 : 4，根據(jù)三角形內(nèi)角和為 π，結(jié)合正切的和差角公式即可求解.
【詳解】∵ O是VABC 的垂心，延長CO交 AB 與點 P ，
∴ S
1
1 : S2 OC BP
: 1÷ OC AP

÷ BP : AP OPtan POB : OP tan AOP
è 2 è 2
tan BOC : tan AOC tan p A : tan p B tanA : tanB ，
同理可得 S1 : S3 tanA : tanC ，∴ S1： S2 : S3 tanA : tanB : tanC ，

又 S1 OA S2 OB S3 OC 0，

∴ tanA OA tanB OB tanC OC 0，

又OA 2 OB 4 OC 0，
∴ tanA : tanB : tanC 1: 2 : 4，
不妨設(shè) tanA k，tanB 2k，tanC 4k ，其中 k 0，
∵ tanA tan é p B C
tanB tanC
ù tan B C ，1 tanBtanC
k 2k 4k∴ k 7 7，解得 或 k ，
1 2k 4k 8 8
7
當(dāng) k 時，此時 tanA < 0，tanB < 0，tanC < 0，則 A、B、C 都是鈍角，則 A B C > p ，矛盾.
8
k 7 7 7 14故 ，則 tanB 2 > 0，∴ B 是銳角， sinB > 0，cosB > 0，
8 8 2 2
ì sinB 14

于是 ícosB 2 2，解得 cosB .
sin2 2 B cos B 1
3
故選：A.
v v v v
10 O VABC , A B C a,b,c PO aPA bPB cPC．已知 是 所在平面上的一點角 、 、 所對的邊分別為 ，若 （其
a b c
中 P 是VABC所在平面內(nèi)任意一點），則 O 點是VABC的（ ）
A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心
【答案】B

【分析】將所給向量表達(dá)式進(jìn)行變形,表示成 AB 與 AC 方向上的單位向量的形式,由向量加法運算的性質(zhì)即可
知 O 在角平分線上,即可得解.

【詳解】因為PO aPA bPB cPC
a b c

a b c PO aPA bPB cPC 則 ,即 a P O b P O c P O a P A b P B c P C

移項可得 a PA a PO b PB b PO c PC c PO 0
即 a PA PO b PB PO c PC PO 0

則 aOA bOB cOC 0

因為OB OA AB,OC OA AC,
所以 aOA b OA AB c OA AC 0

化簡可得 aOA bOA b AB cOA c AC 0 ,即 a b c OA bAB cAC

設(shè) i 為 AB 方向上的單位向量, j 為 AC 方向上的單位向量

所以 A B c i , AC b j

則 a b c OA bci bc j

a b c OA bc i j
bc
所以O(shè)A i j
a b c
則O在 BAC 的角平分線上
同理可知 O在 CBA的角平分線上
因而O為DABC的內(nèi)心
故選:B
【點睛】本題考查了向量線性運算的化簡及應(yīng)用,三角形內(nèi)心的向量表示形式,化簡過程較為復(fù)雜,屬于中檔題.
11．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的三叉車標(biāo)很相
似，故形象地稱其為“奔馳定理”．奔馳定理：已知 O 是△ABC 內(nèi)的一點，△BOC，△AOC，△AOB 的面積分

別為 SA、 SB 、 SC ，則有 SAOA SB OB SC OC 0，設(shè) O 是銳角△ABC 內(nèi)的一點，∠BAC，∠ABC，∠ACB 分
別是△ABC 的三個內(nèi)角，以下命題錯誤的是（ ）

A．若OA OB OC 0，則 O 為△ABC 的重心

B．若OA 2OB 3OC 0，則 SA : SB : SC 1: 2 : 3

C．則 O 為△ABC（不為直角三角形）的垂心，則 tan BAC OA tan ABC OB tan ACB OC 0

D．若 OA OB 2 AOB
5π 9
， ，
6 2OA 3OB 4OC 0
，則 SVABC 2
【答案】D
【分析】對于 A，假設(shè)D為 AB 的中點，連接OD ，由已知得O在中線CD 上，同理可得O在其它中線上，
即可判斷；對于選項 B，利用奔馳定理可直接得出 B 正確；對于 C，由垂心的性質(zhì)、向量數(shù)量積的運算律

OB AC OB OC OB OA 0，得到 OA : OB : OC cos BAC : cos ABC : cos BCA，結(jié)合三角形面積公
式及角的互補關(guān)系得結(jié)論，可判斷 C 正確；選項 D，根據(jù)奔馳定理可得 SA : SB : SC 2 : 3 : 4 ，再利用三角形
面積公式可求得 SC 1，即可計算出 S
9
VABC ，可得 D 錯誤；2
【詳解】對于 A：如下圖所示，

假設(shè)D為 AB 的中點，連接OD ，則OA OB=2OD CO，故C,O, D 共線，即O在中線CD 上，
同理可得O在另外兩邊BC, AC 的中線上，故 O 為VABC 的重心，即 A 正確；
對于 B：由奔馳定理 O 是VABC 內(nèi)的一點，VBOC,VAOC,VAOB的面積分別為 SA , SB , SC ，

則有 SA OA SB OB SC OC 0 可知，

若OA 2OB 3OC 0 ，可得 SA : SB : SC 1: 2 : 3，即 B 正確；

對于 C：由四邊形內(nèi)角和可知， BOC BAC π，則OBgOC OB OC cos BOC OB OC cos BAC ，

同理，OBgOA OB OA cos BOA OB OA cos BCA，

因為 O 為VABC 的垂心，則OB AC OB (OC OA) OB OC OB OA 0，

所以 OC cos BAC OA cos BCA，同理得 OC cos ABC OB cos BCA， OA cos ABC OB cos BAC ，

則 OA : OB : OC cos BAC : cos ABC : cos BCA，

令 OA mcos BAC, OB mcos ABC, OC mcos BCA，
1 1 m2
由 SA OB OC sin BOC ，則 SA OB OC sin BAC cos ABC cos BCAsin BAC ，2 2 2
1 m2
同理： SB OA OC sin ABC cos BAC cos BCAsin ABC ，2 2
1 m2SC OA OB sin BCA cos BAC cos ABC sin BCA，2 2
S : S : S sin BAC sin ABC綜上， A B C : :
sin BCA
tan BAC : tan ABC : tan BCA，
cos BAC cos ABC cos BCA

根據(jù)奔馳定理得 tan BAC OA tan ABC OB tan ACB OC 0，即 C 正確.

對于 D：由 | OA | | OB | 2, AOB
5π 1
可知， SC 2 2
5π
sin 1，
6 2 6

又 2OA 3OB 4OC 0，所以 SA : SB : SC 2 : 3 : 4
由 SC 1
1
可得， SA , S
3
B ；2 4
1 3 9
所以 SVABC SA SB SC 1 ，即 D 錯誤；2 4 4
故選：D.
【點睛】關(guān)鍵點睛：利用向量數(shù)量積定義、運算律和垂心性質(zhì)得到向量模的比例，結(jié)合三角形面積公式和
奔馳定理判斷結(jié)論即可.
二、多選題
12．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”（Mercedesbenz）的
logo 很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”奔馳定理：已知 O 是VABC 內(nèi)的一點，VBOC ，VAOC ，VAOB的

面積分別為 SA， SB ， SC ，則 SA OA SB OB SC OC 0 .若 O 是銳角VABC 內(nèi)的一點，A，B，C 是VABC

的三個內(nèi)角，且點 O 滿足OA OB OB OC OA OC .則（ ）
A．O 為VABC 的外心 B． BOC A p

C． OA : OB : OC cos A : cos B : cosC D． SA : SB : SC tan A : tan B : tan C
【答案】BCD

【分析】由OA OB OB OC OA OC 確定出點 O 是三角形的垂心，判斷 A；利用直角三角形角的關(guān)系、
邊角關(guān)系計算判斷 B，C；由直角三角形邊角關(guān)系計算判斷 D 作答.

【詳解】依題意，OA OB OB OC OB OA OC 0 OB CA 0 OB ^ CA，
同理 OA⊥CB，OC⊥AB，則 O 為VABC 的垂心，A 錯誤；
如圖，直線CO, BO分別交 AB，AC 于 P，Q，由選項 A 知，CP ^ AB, BQ ^ AC ，
OBC ACB p p ， OCB ABC ，則 OBC ACB OCB ABC p ，
2 2
又 OBC OCB BOC p ，即有 BOC ACB ABC ，又 BAC ACB ABC p ，
因此 BOC BAC p ，B 正確；
由選項 B 知， BAC p BOC ，同理 ABC p AOC ，
cos A : cos B cos p BOC : cos p AOC cos BOP : cos OP OP AOP : OA : OB，
OB OA
同理可得 cos A : cosC OA : OC ，因此 cos A : cos B : cosC OA : OB : OC ，C 正確；
S 1A : SB ( OC BP) : (
1 OC AP) BP : AP OP tan POB : OP tan AOP
2 2
tan BOC : tan AOC tan p A : tan p B tan A : tan B ，
同理可得 SA : SC tan A : tan C ，所以 SA : SB : SC tan A : tan B : tan C ，D 正確.
故選：BCD
【點睛】關(guān)鍵點睛：涉及直角三角形銳角的三角函數(shù)，合理利用直角三角形中邊的比表示是解題的關(guān)鍵.
13．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的 logo 很相似，
故形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知O是VABC 內(nèi)的一點，VBOC ，VAOC ，VAOB的面積分別為

SA , SB , SC ，則有 SA OA SB OB SC OC 0 .設(shè)O是銳角VABC 內(nèi)的一點， BAC ， ABC ， ACB 分別
是VABC 的三個內(nèi)角，以下命題正確的有（ ）

A．若OA OB OC 0，則O為VABC 的重心

B．若OA 2OB 3OC 0，則 SA : SB : SC 1: 2 : 3
uur uuur
C．若 | OA | | OB | 2， AOB
5π 9
，
6 2OA 3OB 4OC 0
，則 SVABC 2

D．若O為VABC 的垂心，則 tan BAC OA tan ABC OB tan ACB OC 0
【答案】ABD
【分析】對于 A，假設(shè)D為 AB 的中點，連接OD ，由已知得O在中線CD 上，同理可得O在其它中線上，
即可判斷；對于選項 B，利用奔馳定理可直接得出 B 正確；對于 C，根據(jù)奔馳定理可得 SA : SB : SC 2 : 3 : 4 ，
9
再利用三角形面積公式可求得 SC 1，即可計算出 SVABC ，可得 C 錯誤；選項 D，由垂心的性質(zhì)、向量數(shù)4

量積的運算律OB AC OB OC OB OA 0，得到 | OA |:| OB |:| OC | cos BAC : cos ABC : cos BCA，結(jié)合
三角形面積公式及角的互補關(guān)系得結(jié)論.
【詳解】對于 A：如下圖所示，

假設(shè)D為 AB 的中點，連接OD ，則OA OB 2OD CO ，故C,O, D 共線，即O在中線CD 上，
同理可得O在另外兩邊BC, AC 的中線上，故 O 為VABC 的重心，即 A 正確；
對于 B：由奔馳定理 O 是VABC 內(nèi)的一點，VBOC,VAOC,VAOB的面積分別為 SA , SB , SC ，

則有 SA OA SB OB SC OC 0 可知，

若OA 2OB 3OC 0，可得 SA : SB : SC 1: 2 : 3，即 B 正確；
uur uuur
對于 C：由 | OA | | OB | 2， AOB
5π S 1 5π 可知 C 2 2 sin 1，6 2 6

又 2OA 3OB 4OC 0，所以 SA : SB : SC 2 : 3 : 4 ，
由 SC 1
1 3
可得 SA , SB ；2 4
S S S S 1 3 9所以 VABC A B C 1 ，即 C 錯誤；2 4 4
對于 D：由四邊形內(nèi)角和可知， BOC BAC π，

則OB OC | OB || OC | cos BOC | OB | | OC | cos BAC ，

同理OB OA | OB || OA | cos BOA | OB | OA | cos BCA，
因為 O 為VABC 的垂心，則OB AC OB OC OA OB OC OB OA A 0，
所以 | OC | cos BAC | OA | cos BCA，

同理得 | OC | cos ABC | OB | cos BCA， | OA | cos ABC | OB | cos BAC ，
則 | OA |:| OB |:| OC | cos BAC : cos ABC : cos BCA，

令 | OA | mcos BAC,| OB | mcos ABC,| OC | mcos BCA，
1
由 SA | OB || OC | sin BOC ，2
1 2
則 SA | OB || OC | sin BAC
m
cos ABC cos BCAsin BAC ，
2 2
1 2
同理： SB | OA || OC | sin ABC
m
cos BAC cos BCAsin ABC ，
2 2
S 1
2
C | OA || OB | sin BCA
m
cos BAC cos ABC sin BCA，
2 2
S : S : S sin BAC : sin ABC : sin BCA綜上， A B C tan BAC tan ABC tan BCA，cos BAC cos ABC cos BCA

根據(jù)奔馳定理得 tan BAC OA tan ABC OB tan ACB OC 0，即 D 正確.
故選：ABD.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用向量數(shù)量積定義、運算律和垂心性質(zhì)得到向量模的比例，結(jié)合三角形面積公式
和奔馳定理判斷結(jié)論即可.
14．“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論．奔馳定理與三角形
四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知 M 是 VABC 內(nèi)一點，△BMC ，

VAMC ，VAMB的面積分別為 SA， SB ， SC ，且 SA MA SB MB SC MC 0．以下命題正確的是（ ）
A．若 SA : SB : SC 1:1:1，則 M 為VAMC 的重心

B．若 M 為VABC 的內(nèi)心，則BC MA AC MB AB MC 0
C．若 BAC 45°， ABC 60°，M 為VABC 的外心，則 SA : SB : SC 3 : 2 :1

D M VABC 2．若 為 的垂心，MA 2MB 3MC 0 ，則 cos BAC
2
【答案】ABD
uuur uuur uuur r 2 2
【分析】A 選項，作出輔助線，得到MA MB MC 0，故 AM AD ，同理得到CM CE ，3 3
2 BM BF 1 ，所以 M 為VAMC 的重心，故 A 項正確；B 選項，設(shè)內(nèi)切圓半徑為 r，得到 SA BC r ，3 2
S 1 AC r S 1

B ， C AB r ，代入公式得到BC MA AC MB AB MC 0；C 選項，設(shè)VABC 的外接圓半2 2
1 2 1
徑為 R，表達(dá)出 SA R ， S
3
R2 S R2， C ，從而得到答案；D 選項，求出 SA : SB : SC 1: 2 : 3B ，設(shè)2 4 4
MD x， MF y，由面積比得到 AM 5x ， BM 2y cos AMF 10，由三角函數(shù)值得到方程，得到 ，
10
5
同理得到 cos AME ，利用 cos BAC cos( BAM CAM )求出答案.
5
【詳解】對于 A，取 BC 的中點 Q，連接 MQ，
uuur uuur uuur r
由 SA : SB : SC 1:1:1，則MA MB MC 0，

所以 2MD MB MC MA，

所以 A，M，Q 三點共線，且 AM
2
AQ ，
3
2 2
設(shè) R，T 分別為 AB，AC 的中點，同理可得CM CR，BM BT ，
3 3
所以 M 為VAMC 的重心，故 A 項正確；
對于 B，由 M 為VABC 的內(nèi)心，設(shè)內(nèi)切圓半徑為 r，
S 1則有 A BC
1
r ， SB AC r
1
， SC AB r ，2 2 2
1 1 1
所以 r BC MA r AC MB r AB MC 0，
2 2 2

即BC MA AC MB AB MC 0，故 B 項正確；
對于 C，由 M 為VABC 的外心，設(shè)VABC 的外接圓半徑為 R，
又因為 BAC 45°， ABC 60°，
所以 BMC 2 BAC 90°， AMC 2 ABC 120°， AMB 2 ACB 150°，
S 1 R2所以 A sin
1
BMC R2 sin 90 1° R2 ，
2 2 2
S 1 R2B sin AMC
1
R2 sin120 3° R2 ，
2 2 4
S 1 R2C sin AMB
1
R2 sin150 1° R2 ，
2 2 4
所以 SA : SB : SC 2 : 3 :1，故 C 錯誤；
對于 D，延長 AM 交 BC 于點 D，延長 BO 交 AC 于點 F，延長 CO 交 AB 于點 E，

由 M 為VABC 的垂心，MA 2MB 3MC 0 ，則 SA : SB : SC 1: 2 : 3，
S S
又 SVABC S S S
△ABC
A B C ，則 6
VABC
， 3S ，A SB
設(shè)MD x，MF y，則 AM 5x ，BM 2y ，
所以 cos BMD
x
cos AMF y x 10
2y 5x ，即5x
2 2y2 ，
y 5
cos AMF 10 5所以 ，同理 cos AME ，
10 5
2 2

故 sin AMF 1 10 3 10 sin AME 1 5 2 5 ÷÷ ， 10 10 5 ÷÷
，
è è 5
∴ cos BAC cos( BAM CAM )
cos BAM cos CAM sin BAM sin CAM
sin AME sin AMC cos AME cos AMF
2 5 3 10 5 10 2
，故 D 正確．
5 10 5 10 2
故選：ABD．

【點睛】結(jié)論點睛：點O為VABC 所在平面內(nèi)的點，且OA OB OC 0，則點O為VABC 的重心，

點O為VABC 所在平面內(nèi)的點，且OA OB OB OC OA OC ，則點O為VABC 的垂心，

點O為VABC 所在平面內(nèi)的點，且 OA OB OC ，則點O為VABC 的外心，

點O為VABC 所在平面內(nèi)的點，且 aOA bOB cOC 0，則點O為VABC 的內(nèi)心，
15．奔馳定理：已知O是VABC 內(nèi)的一點，VBOC ，VAOC ，VAOB的面積分別為 SA， SB ， SC ，則

SA OA SB OB SC OC 0 .“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應(yīng)的圖形與“奔
馳”轎車（Mercedesbenz）的 logo 很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.若O、 P 是銳角VABC 內(nèi)的點，A 、
1
B 、C 是VABC 的三個內(nèi)角，且滿足PA PB PC CA，
3 OA OB OB OC OC OA
，則（ ）
A． S△PAB : S△PBC : S△PCA 4 : 2 : 3
B． A BOC π

C． OA : OB : OC cos A : cos B : cosC

D． tan A OA tan B OB tan C OC 0
【答案】ABCD
1
【分析】 PA PB PC CA變形后表示為 PB
2
PA 4 PC ，再由奔馳定理得出向量 PB, PA, PC 的關(guān)系，
3 3 3
利用平面向量基本定理判斷 A，利用數(shù)量積的運算，變形后證明O是VABC 的重心，由平面幾何知識判斷
B，利用數(shù)量積的定義表示已知數(shù)量積的等式，結(jié)合選項 B 的結(jié)論可證明 C，求出△AOB,△BOC,△COA的
面積，利用選項 B 的結(jié)論轉(zhuǎn)化，再利用選項 C 的結(jié)論可得面積比，然后結(jié)合奔馳定理可判斷 D．
1 1
【詳解】因為PA
2 4
PB PC CA，所以PA PB PC (PA PC)，即 PA PB PC 0，所以
3 3 3 3
2 PB 4

PA PC ，
3 3
S
S PA S PB S PC 0 PB △PBC
S△PAB
又由奔馳定理 得 PA PC△PBC △PCA △PAB S△PCA S
，
△PCA
S 2 S 4
因為PA, PC △PBC , △PAB不共線，所以 S ，△PCA 3 S△PCA 3
所以 S△PAB : S△PBC : S△PCA 4 : 2 : 3，A 正確；
延長 AO, BO,CO 分別與對邊交于點D, E, F ，如圖，

由OA OB OB OC 得OB (OA OC) OB CA 0，所以O(shè)B ^ AC ，同理OC ^ AB,OA ^ BC ，所以O(shè)是
VABC 的垂心，
所以四邊形 AEOF 中 BAC EOF p ， EOF BOC ，所以 A BOC p ，B 正確；

由OA OB OB OC OC OA得 OA OB cos AOB OB OC cos BOC OC OA cos AOC ，

所以 OA : OB : OC cos BOC : cos AOC : cos AOB ，
由選項 B 得 cos BOC cos A， cos AOC cos B ， cos AOB cosC ，

所以 OA : OB : OC cos A : cos B : cosC ，C 正確；
由上討論知，
S 1△OBC OB OC sin BOC
1
OB OC sin A，
2 2
S 1△OAC OA OC sin AOC
1
OA OC sin B
2 2
S 1△OAB OA OB sin AOB
1
OA OB sin C ，
2 2
所以 S : S
sin A sin B sin C
△OBC △OAC : S△OAB : :AO OB OC ，

又由選項 C： OA : OB : OC cos A : cos B : cosC ，
得 S△OBC : S : S
sin A sin B sin C
△OAC △OAB : : tan A : tan B : tan C ，cos A cos B sin C

由奔馳定理： SA OA SB OB SC OC 0 得 tan A OA tan B OB tan C OC 0，D 正確．
故選：ABCD．
【點睛】本題考查平面向量基本定理的應(yīng)用，考查學(xué)生的創(chuàng)新能力，理
解新知識、應(yīng)用新知識的能力．解題關(guān)鍵一是利用平面向量基本定理知用基底表示平面上任一向量的方法
是唯一的，由此可得等量關(guān)系，二是利用數(shù)量積的運算得出O是三角形的垂心，由此利用平面幾何知識得
出角的關(guān)系，再利用三角函數(shù)知識進(jìn)行推導(dǎo)得出相應(yīng)結(jié)論．
三、填空題
16．在面上有VABC 及內(nèi)一點O滿足關(guān)系式： S△OBC OA S△OAC OB S△OAB OC 0即稱為經(jīng)典的“奔馳定理”，

若VABC 的三邊為 a，b ， c，現(xiàn)有 a OA b OB c OC 0，則O為VABC 的 心.
【答案】內(nèi)
bc AB AC
【分析】利用平面向量的線性運算得到 AO ( )，再利用三角形內(nèi)心的性質(zhì)求解即可．
a b c c b

【詳解】 OB OA AB ，OC OA AC ，

a OA b OB c OC a OA b(OA AB) c(OA AC)

(a b c) OA b AB c AC 0 ，

AO bc ( AB AC )，
a b c c b

AB AC ， 分別是 AB ， AC 方向上的單位向量，
c b

AB AC向量 平分 BAC ，即 AO 平分 BAC ，同理BO平分 ABC ，
c b
O 為VABC 的內(nèi)心，
故答案為：內(nèi)
17．已知 O 是平面上一定點，A、B、C 是平面上不共線的三個點，動點 P 滿足

OP OA OB CA CB

l ÷，l R ，則 P 的軌跡一定經(jīng)過VABC 的 ．(從“重心”，“外
2
è CA cos A CB cos B
÷

心”，“內(nèi)心”，“垂心”中選擇一個填寫）
【答案】外心
OA OB CA CB
【分析】 D為 AB 中點，連接CD ，計算OP DP ， ÷ BA 0

，得到
DP ^ BA，2 è CA cos A CB cos B
÷

得到答案.
【詳解】如圖所示：D為 AB 中點，連接CD ，

CA CB ÷ BA C A BA C B BA BA BA 0 ，

è CA cos A CB cos B
÷
CA cos A CB cos B
OA OB OP OP OD DP，故DP BA l
CA
CB ÷ BA 0，
2 è CA cos A CB cos B
÷


即DP ^ BA，故 P 的軌跡一定經(jīng)過VABC 的外心.
故答案為：外心
18．請你根據(jù)“奔馳定理”對以下命題進(jìn)行判斷：

①若 P 是VABC 的重心，則有PA PB PC 0 ；

②若 aPA bPB cPC 0成立，則 P 是VABC 的內(nèi)心；

AP 2
1
③若 AB AC ，則 S△ ABP : S5 5 △ ABC
2 : 5；
π
④若 P 是VABC 的外心， A ，PA mPB nPC ，則m n é 2,14 ；
7
⑤若VABC 的內(nèi)角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，且 cos A ，O 為VABC 內(nèi)的一點且為內(nèi)心.若
8
4
AO xAB y AC ，則 x y 的最大值為 .
5
則正確的命題有 .（填序號）
【答案】①②④⑤
【分析】根據(jù)已知可推得 SVPBC SVPAC SVPAB，根據(jù)“奔馳定理”即可得出①；記點 P 到 AB，BC，CA 的距

離分別為 h1 ， h2 ， h3，根據(jù)“奔馳定理”得出 a h2 PA b h3 PB c h1 PC 0，進(jìn)而結(jié)合已知即可得出②；根

據(jù)平面向量基本定理表示出PA, PB, PC ，根據(jù)“奔馳定理”化簡，結(jié)合 AB ， AC 不共線，即可推得③錯誤；
根據(jù)已知得出m2 n2 1，換元為三角函數(shù)，根據(jù)輔助角公式化簡即可得出④；根據(jù)已知推得
x y 1 a
1 .然后根據(jù)余弦定理，結(jié)合基本不等式，即可得出范圍.
b c
【詳解】對于①：如圖所示，因為 D，E，F(xiàn) 分別為 CA，AB，BC 的中點，
所以CP 2PE ， S
1 2 1
VAEC SVABC ， S2 △APC
S
3 △AEC
S
3 △ABC
，
S 1同理可得 VAPB SVABC ， S
1
3 VBPC
S
3 VABC
，
所以 SVPBC SVPAC SVPAB，

又因為 SVPBC PA SVPAC PB SVPAB PC 0，

所以PA PB PC 0 ，故①正確；
對于②：記點 P 到 AB，BC，CA 的距離分別為 h1 ， h2 ， h3，
S 1 a h S 1 1則 △PBC 2 ， △PAC b h3 ， S△PAB c h1，2 2 2
1 1 1
因為 SVPBC PA SVPAC PB SVPAB PC 0，則 a h2 PA b h PB c h PC 0 ，2 2 3 2 1

即 a h2 PA b h3 PB c h1 PC 0 .

又因為 aPA bPB cPC 0，
所以 h1 h2 h3 ，所以點 P 是VABC 的內(nèi)心，故②正確；
2 AP AB 1

對于③：因為 AC ，
5 5
2 1 3 1 2 4
所以PA AB AC ，PB PA AB AB AC ，PC PA AC AB AC ，
5 5 5 5 5 5
所以
S 2
1 3 AB AC S AB 1 AC 2
4
△PBC ÷ △PAC ÷ S

△PAB AB AC

÷ 0 ，
è 5 5 è 5 5 è 5 5
2 3 2
化簡得 S△PBC S△PAC S
1 1 4
5 5 5 △PAB ÷
AB S△PBC S S AC 0，
è è 5 5 △PAC 5 △PAB ÷

又因為 AB ， AC 不共線，
ì 2 S 3 2 5 VPBC
S
5 VPAC
S
5 VPAB
0 ìSVPBC 2SVPAB
所以 í
1 1 4
，即 í ，
S S S 0 SVPAC 2SVPAB
5 VPBC 5 VPAC 5 VPAB
S△ ABP S VPAB 1所以， S S ，故③錯誤；△ ABC VPBC SVPAC SVPAB 5
對于④：因為 P 是VABC A π的外心， 4 ，
π
所以 BPC ， PA PB PC ， | PB PC PB PC cos BPC 0 .2

因為PA mPB nPC ，
2 2
則 PA m2
2
PB 2mnPB PC n2 PC ，
化簡得 m2 n2 1 .
ìm cosa π
由題意知 m，n 不同時為正.記 í ， < a < 2πn ， sina 2
則m
π
n cosa sina 2 sin a

÷，
è 4
3π a π 9π因為 < < ，
4 4 4
π
所以 1 sin a π 2

÷ < ，即 2 2 sin a ÷ <1，
è 4 2 è 4
所以m n é 2,1 ，故④正確；
對于⑤：∵O 為VABC 的內(nèi)心，
∴ SVBOC : SVAOC : SVAOB a : b : c，

∴ aOA bOB cOC 0，
∴ aAO bOB cOC b AB AO c AC AO bAB cAC b c AO ，

∴ a b c AO bAB cAC ，
b c
∴ AO AB AC ，
a b c a b c
b c
即 x ， y ，
a b c a b c
x y b c 1
∴ a b c a 1 .
b c
7 15 2
∵ a2 b2 c2 2bc cos A b2 c2 bc b c 2 bc b c 2 15 b c 1 ÷ b c
2 (當(dāng)且僅當(dāng)b c
4 4 4 è 2 16
時取等號)，
a2 1 a 1∴ 2 ，∴ ，b c 16 b c 4
x y 1 4
∴ 1 1 5 (當(dāng)且僅當(dāng)b c 時取等號)，
4
∴ x y
4
的最大值為 ，故⑤正確.
5
故答案為：①②④⑤.
19．1909年，戴姆勒公司申請登記了“三叉星”做為奔馳轎車的標(biāo)志，象征著陸上，水上和空中的機械化，
而此圓環(huán)中的星形標(biāo)志演變成今天的圖案，沿用至今，并成為世界十大著名的商標(biāo)之一（圖一）.已知O為

VABC 內(nèi)一點，△OBC ，VOAC ，VOAB的面積分別為 SA， SB ， SC ，則有 SAOA SB OB SC OC 0，我們
7
稱之為“奔馳定理”（圖二）.已知VABC 的內(nèi)角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，且 cos A ，O為VABC 內(nèi)的一
8

點且為內(nèi)心.若 AO xAB y AC ，則 x y 的最大值為 .
4
【答案】 / 0.8 .
5
b
【分析】根據(jù)內(nèi)心特點可知 aOA bOB cOC 0，利用向量線性運算進(jìn)行轉(zhuǎn)化可求得 x ，a b c
y c x
1
y a a 1 ，則 ；利用余弦定理和基本不等式可求得 ，由此可得 x y 的最大值.
a b c 1b c b c 4

【詳解】 O為VABC 的內(nèi)心， SA : SB : SC a : b : c ， aOA bOB cOC 0，

aAO bOB cOC b AB AO c AC AO bAB cAC b c AO ，

a b c AO bAB cAC b c， AO AB AC ，
a b c a b c
b c x y b c 1
即 x ， y ， a ；
a b c a b c a b c 1b c
2
2 2 1 2 a b c2 2bc cos A b2 c2 7 15 bc b c 2 bc b c 2 15 b c ÷ b c （當(dāng)且僅當(dāng)b c4 4 4 è 2 16
時取等號），
a2 1 a 1 x y 1 4 2 16 ， ，
1
b c b c 4 1 5 （當(dāng)且僅當(dāng)b c 時取等號），4
x y 4的最大值為 .
5
4
故答案為： .
5
20．“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳車的標(biāo)志而來，是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，奔馳定理與三角
形的四心（重心 內(nèi)心 外心 垂心）有著美麗的邂逅.它的具體內(nèi)容是：如圖，若 P 是VABC 內(nèi)一點，

VBPC,VAPC,VAPB的面積分別為 SA , SB , SC ，則有 SA PA SB PB SC PC 0 .已知O為VABC 的內(nèi)心，且
1 cos BAC ，若 AO mAB nAC ，則m n的最大值為 .3
3 3
【答案】
2

【分析】利用O為VABC 的內(nèi)心，再結(jié)合奔馳定理可得 a OA b OB c OC 0，再由已知條件轉(zhuǎn)化可得
ì m b
m n

AO OB OC
1 m n a
1 m n 1 m n ，利用平面向量基本定理可知 í n c ，從而得到
1 m n a
m b c 1 n 2，再由 cos BAC ，可得 a (b c)2
8
bc ，利用均值不等式可得
a b c 3 3
a2 (b c)2 8 bc (b c)
2
m n
b c 1 3 3

，最后可得
3 3 a b c
.
1 a 2
b c
【詳解】因為VABC 的內(nèi)心O到該三角形三邊的距離相等，則 SA : SB : SC a : b : c ，
b
由 SA OA SB OB SC OC 0 可得 a OA b OB c OC 0，所以 AO OB
c
OC ，
a a

又 AO mAB nAC m OB OA n OC OA ，
ì m b
m n

1 m n a
則 AO OB OC

1 m n 1 m n ，所以 í ， n c
1 m n a
m n b c
兩式相加可得 1 m n
b c

m n a ，化簡可得 ，a b c
cos BAC 1 a2 b2 c2 2bccosA b2又 ，由余弦定理可得 c2
2
bc，
3 3
a2 (b c)2 8 8 (b c)
2 (b c)2
由基本不等式可得 bc (b c)2 ，
3 3 4 3
所以 a 3 b c ，當(dāng)且僅當(dāng)b c 時等號成立，
3
m b c 1 1 3 3 3 n a 所以 a b c 1 1 3 3 3
2 .
b c 3
3 3
故答案為： .
2
b c
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是利用奔馳定理得到m n ，再結(jié)合余弦定理和基本不等式即可
a b c
3
得到 a b c ，最后即可得到m n的最大值.
3第 07 講 平面向量奔馳定理與三角形四心問題
（高階拓展、競賽適用）
（2 類核心考點精講精練）
平面向量問題是高中數(shù)學(xué)中的一個熱點，在高考中考查比重不會很大，一般以選擇填空形式出現(xiàn)，難
度一般也會控制在中等，有時也會以壓軸題命題。平面向量中有很多重要的應(yīng)用，比如系數(shù)和（等和線）、
極化恒等式、本節(jié)我們繼續(xù)學(xué)習(xí)另一個重要的結(jié)論-奔馳定理。它將三角形的四心與向量完美地融合到一起，
高中的同學(xué)們可以將這個內(nèi)容當(dāng)成課外拓展知識，同時也是加強對三角形的認(rèn)識，加深對數(shù)學(xué)的理解。
奔馳定理”揭示的是平面向量與三角形面積之間所蘊含的一個優(yōu)美規(guī)律并因其圖形與奔馳的 logo 相似
而得名“奔馳定理”，會提升解題效率，可強化學(xué)習(xí)。
知識講解
1. 奔馳定理

如圖，已知 P 為VABC 內(nèi)一點，則有 S△PBC OA S△PAC OB S△PAB OC 0 .
由于這個定理對應(yīng)的圖象和奔馳車的標(biāo)志很相似，我們把它稱為“奔馳定理”.
2. 奔馳定理的證明
如圖：延長OA與 BC 邊相交于點 D
BD S
則 VABD
S S
VBOD VABD
SVBOD S VAOB
DC SVACD SVCOD SACD SVCOD SVAOC

OD DC

OB BD

OC
BC BC
S S
VAOC OB VAOB OC
SVAOC SVAOB SVAOC SVAOB
OD S BOD S COD S BOD SCOD S VBOC
OA SBOA SCOA SBOA SCOA SVAOC SVAOB

OD S VBOC OA
SVAOC SVAOB
S
VBOC OA S VAOC OB S VAOB OC
SVAOC SVAOB SVAOC SVAOB SVAOC SVAOB

SVBOC OA SVAOC OB SVAOB OC 0
3. 奔馳定理的推論及四心問題

推論O是VABC 內(nèi)的一點,且 x OA y OB z OC 0 ,則 SVBOC : SVCOA : SVAOB x : y : z
有此定理可得三角形四心向量式
（1）三角形的重心：三角形三條中線的交點叫做三角形的重心，重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距
離之比為 2：1.
（2）三角形的垂心：三角形三邊上的高的交點叫做三角形的垂心，垂心和頂點的連線與對邊垂直.
（3）三角形的內(nèi)心：三角形三條內(nèi)角平分線的交點叫做三角形的內(nèi)心，也就是內(nèi)切圓的圓心，三角形的內(nèi)
心到三邊的距離相等，都等于內(nèi)切圓半徑 r.
（4）三角形的外心：三角形三條邊的垂直平分線的交點叫做三角形的外心，也就是三角形外接圓的圓心，
它到三角形三個頂點的距離相等.
奔馳定理對于利用平面向量解決平面幾何問題，尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關(guān)的問題，有著
決定性的基石作用.
已知點O在VABC 內(nèi)部，有以下四個推論：

①若O為VABC 的重心，則OA OB OC 0；

②若O為VABC 的外心，則 sin 2A OA sin 2B OB sin 2C OC 0；或 OA OB OC

③若O為VABC 的內(nèi)心，則 a OA b OB c OC 0；備注：若O為VABC 的內(nèi)心，則

sin A OA sin B OB sin C OC 0 也對.

④若O為VABC 的垂心，則 tan A OA tan B OB tan C OC 0，或OA OB OB OC OC OA
研究三角形“四心”的向量表示，我們就可以把與三角形“四心”有關(guān)的問題轉(zhuǎn)化為向量問題，充分利用平面向
量的相關(guān)知識解決三角形的問題，這在一定程度上發(fā)揮了平面向量的工具作用，也很好地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合
的數(shù)學(xué)思想.
考點一、奔馳定理與四心問題綜合
1．（寧夏·高考真題）已知 O，N，P 在DABC所在平面內(nèi)，且 OA OB OC , NA NB NC 0，且
PA PB PB PC PC PA，則點 O，N，P 依次是DABC的
（注：三角形的三條高線交于一點，此點為三角型的垂心）
A．重心外心垂心 B．重心外心內(nèi)心
C．外心重心垂心 D．外心重心內(nèi)心
2．（江蘇·高考真題）O 是平面上一定點，A、B、C 是平面上不共線的三個點，動點 P 滿足
A B A C OP OA l ÷，l [0, )，則 P 的軌跡一定通過VABC 的（ ）
è | AB | | AC |
A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心
ΔABC AB CB CA 2AB CP 2 2 3．設(shè) P 是 所在平面內(nèi)的一點,若 且 AB AC 2BC AP .則點 P 是ΔABC 的
（ ）
A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心
v v vAB AC
4．已知點 P 是DABC所在平面內(nèi)一點，且滿足 AP l( v v )(l R)AB cos B AC cosC ，則直線 AP 必經(jīng)過DABC
的
A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心
5．設(shè) 是平面上一定點，A、B、C 是平面上不共線的三點， 動點 P 滿足
， ，則動點 P 的軌跡一定通過△ABC 的
A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心

1．若O是VABC 內(nèi)一點，且OA OB OA OC OC OB ，則O為VABC 的（　?。?br/>A．垂心 B．重心 C．外心 D．內(nèi)心
2 O VABC VABC a,b,c ．已知點 是 所在平面上的一點， 的三邊為 ，若 aOA bOB cOC 0 ，則點O是VABC
的（ ）
A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心
2 2
3．已知點 O 為VABC 所在平面內(nèi)一點，在VABC 中，滿足 2AB AO AB ， 2AC AO AC ，則點 O 為
該三角形的（ ）
A．內(nèi)心 B．外心 C．垂心 D．重心
1
4．已知A ， B ，C 是不在同一直線上的三個點，O是平面 ABC 內(nèi)一動點，若OP OA l AB BC
è 2 ÷
，

l 0, ，則點 P 的軌跡一定過VABC 的（ ）
A．外心 B．重心 C．垂心 D．內(nèi)心

5．在平面上有VABC 及內(nèi)一點 O 滿足關(guān)系式： S△OBC OA S△OAC OB S△OAB OC 0即稱為經(jīng)典的“奔馳定

理”，若VABC 的三邊為 a，b，c，現(xiàn)有 a OA b OB c OC 0則 O 為VABC 的（ ）
A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心

6．已知 G，O，H 在VABC所在平面內(nèi)，滿足GA GB GC 0 ， | OA | | OB | | OC |，

AH BH BH CH CH AH ，則點 G，O，H 依次為VABC的（ ）
A．重心，外心，內(nèi)心 B．重心、內(nèi)心，外心
C．重心，外心，垂心 D．外心，重心，垂心
考點二、奔馳定理與其他問題綜合
1．奔馳定理：已知O是DABC內(nèi)的一點，DBOC ，DAOC ，DAOB 的面積分別為 SA， SB ， SC ，則
v v v
SA OA SB OB SC OC 0．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應(yīng)的圖形與“奔
馳”轎車（Mercedes benz）的 logo 很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”若O是銳角DABC內(nèi)的一點，A ，
v v v v v v
B ，C 是DABC的三個內(nèi)角，且點O滿足OA OB OB OC OC OA，則必有（ ）
v v v
A． sin A OA sin B OB sin C OC 0
v v v v
B． cos A OA cos B OB cosC OC 0
v v v
C． tan A OA tan B OB tan C OC 0
v v v
D． sin 2A OA sin 2B OB sin 2C OC 0
2．（多選）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論．奔馳定理與
三角形四心（重心 內(nèi)心 外心 垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知M 是VABC 內(nèi)一點，

△BMC，△AMC，△AMB的面積分別為 SA，SB，SC ，且 SA MA SB MB SC MC 0．以下命題正確的有
（ ）
A．若 SA : SB : SC 1:1:1，則M 為VAMC 的重心

B．若M 為VABC 的內(nèi)心，則BC MA AC MB AB MC 0

C．若M 為VABC 的外心，則 MA MB AB MB MC BC MA MC AC 0

D．若M 為VABC 6的垂心，3MA 4MB 5MC 0，則 cos AMB
6
1．奔馳定理：已知點 O 是VABC 內(nèi)的一點，若VBOC,VAOC,VAOB的面積分別記為 S1, S2 , S3 ，則

S1 OA S2 OB S3 OC 0．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應(yīng)的圖形與“奔
馳”轎車的 logo 很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．如圖，已知 O 是VABC 的垂心，且

OA 2OB 3OC 0，則 cosC =（ ）
A 3 10 B 10 C 2 5 D 5． ． ． ．
10 10 5 5
2．（多選）如圖. P 為VABC 內(nèi)任意一點，角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，總有優(yōu)美等式

SVPBC PA SVPAC PB SVPAB PC 0成立，因該圖形酯似奔馳汽車車標(biāo)，故又稱為奔馳定理.則以下命題是真命
題的有（ ）

A．若 P 是VABC 的重心，則有PA PB PC 0

B．若 aPA bPB cPC 0成立，則 P 是VABC 的內(nèi)心
2
C．若 AP
1
AB AC ，則 S△ ABP : S5 5 △ ABC
2 : 5
VABC A π

D．若 P 是 的外心， 4 ，PA mPB nPC ，則
m n é 2,1
6．（多選）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車，
（Mercedesbenz）的 logo 很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”，奔馳定理：已知 O 是△ABC 內(nèi)一點，

△BOC，△AOC，△AOB 的面積分別為 SA， SB ， SC ，且 SA OA SB OB SC OC 0 ．設(shè) O 是銳角△ABC
內(nèi)的一點，∠BAC，∠ABC，∠ACB 分別是的△ABC 三個內(nèi)角，以下命題正確的有（ ）

A．若OA 2OB 3OC 0，則 SA : SB : SC 1: 2 : 3

B．若 OA OB 2， AOB
5π 9
，
6 2OA 3OB 4OC 0
，則 SVABC 2
π
C．若 O 為△ABC 的內(nèi)心，3OA 4OB 5OC 0 ，則 C 2

D．若 O 為△ABC cos AOB 6的垂心，3OA 4OB 5OC 0 ，則
6
一、單選題
1．在VABC 2 2 中，動點 P 滿足CA CB 2AB CP ，則 P 點軌跡一定通過VABC 的（ ）
A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心

2．若 O，M，N 在VABC 所在平面內(nèi)，滿足 | OA | | OB | | OC |, MA MB MB MC MC MA，且

NA NB NC 0，則點 O，M，N 依次為VABC 的（　　）
A．重心，外心，垂心 B．重心，外心，內(nèi)心
C．外心，重心，垂心 D．外心，垂心，重心

3．已知 O 為VABC 內(nèi)一點，若分別滿足① OA OB OC ；②OA OB OB OC OC OA；③

OA OB OC 0；④ aOA bOB cOC 0 (其中 a,b,c為VABC 中，角 A, B,C 所對的邊).則 O 依次是VABC
的
A．內(nèi)心、重心、垂心、外心 B．外心、垂心、重心、內(nèi)心
C．外心、內(nèi)心、重心、垂心 D．內(nèi)心、垂心、外心、重心
4．給定△ABC，則平面內(nèi)使得到 A，B，C 三點距離的平方和最小的點是△ABC 的（ ）
A．重心 B．垂心 C．外心 D．內(nèi)心
2 2 2 2 2 2
5．若 H 為VABC 所在平面內(nèi)一點，且 HA BC HB CA HC AB 則點 H 是VABC 的（ ）
A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心

6．已知O，A ， B ，C 是平面上的 4 個定點，A ， B ，C 不共線，若點 P 滿足OP = OA+l(AB+ AC)，其
中l(wèi) R ，則點 P 的軌跡一定經(jīng)過VABC 的（ ）
A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心
7．平面上有VABC 及其內(nèi)一點 O，構(gòu)成如圖所示圖形，若將VOAB，△OBC ， VOCA的面積分別記作 Sc ，

Sa，Sb，則有關(guān)系式 Sa OA Sb OB Sc OC 0 ．因圖形和奔馳車的 logo很相似，常把上述結(jié)論稱為“奔馳

定理”．已知VABC 的內(nèi)角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，若滿足 a OA b OB c OC 0，則 O 為VABC
的（ ）
A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心
2 2 2

O ABC OA AB OA AC
OB BA OB BC OC CA OC CB
8．已知點 在平面 中，且 ÷ ÷ ÷ 0，則
è | AB | | AC | BA BC ÷ ÷è è CA CB
點O是VABC 的（ ）
A．重心 B．垂心 C．外心 D．內(nèi)心
9．奔馳定理：已知O是VABC 內(nèi)的一點，若VBOC 、VAOC 、VAOB的面積分別記為 S1、 S2 、 S3 ，則

S1 OA S2 OB S3 OC 0．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”

轎車的 logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.如圖，已知O是VABC 的垂心，且OA 2OB 4OC 0 ，則
cos B ( )
A 2 1 2． B 3． C． D
3 3 3
．
3
v v v v
10 aPA bPB cPC．已知 O 是VABC所在平面上的一點,角 A、B、C 所對的邊分別為 a,b,c，若PO （其
a b c
中 P 是VABC所在平面內(nèi)任意一點），則 O 點是VABC的（ ）
A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心
11．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的三叉車標(biāo)很相
似，故形象地稱其為“奔馳定理”．奔馳定理：已知 O 是△ABC 內(nèi)的一點，△BOC，△AOC，△AOB 的面積分

別為 SA、 SB 、 SC ，則有 SAOA SB OB SC OC 0，設(shè) O 是銳角△ABC 內(nèi)的一點，∠BAC，∠ABC，∠ACB 分
別是△ABC 的三個內(nèi)角，以下命題錯誤的是（ ）

A．若OA OB OC 0，則 O 為△ABC 的重心

B．若OA 2OB 3OC 0，則 SA : SB : SC 1: 2 : 3

C．則 O 為△ABC（不為直角三角形）的垂心，則 tan BAC OA tan ABC OB tan ACB OC 0
5π 9
D．若 OA OB 2， AOB ，
6 2OA 3OB 4OC 0
，則 SVABC 2
二、多選題
12．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”（Mercedesbenz）的
logo 很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”奔馳定理：已知 O 是VABC 內(nèi)的一點，VBOC ，VAOC ，VAOB的

面積分別為 SA， SB ， SC ，則 SA OA SB OB SC OC 0 .若 O 是銳角VABC 內(nèi)的一點，A，B，C 是VABC

的三個內(nèi)角，且點 O 滿足OA OB OB OC OA OC .則（ ）
A．O 為VABC 的外心 B． BOC A p

C． OA : OB : OC cos A : cos B : cosC D． SA : SB : SC tan A : tan B : tan C
13．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的 logo 很相似，
故形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知O是VABC 內(nèi)的一點，VBOC ，VAOC ，VAOB的面積分別為

SA , SB , SC ，則有 SA OA SB OB SC OC 0 .設(shè)O是銳角VABC 內(nèi)的一點， BAC ， ABC ， ACB 分別
是VABC 的三個內(nèi)角，以下命題正確的有（ ）

A．若OA OB OC 0，則O為VABC 的重心

B．若OA 2OB 3OC 0，則 SA : SB : SC 1: 2 : 3
5π 9
C．若 | OA | | OB | 2， AOB ， 2OA 3OB 4OC 0，則 S6 VABC

2

D．若O為VABC 的垂心，則 tan BAC OA tan ABC OB tan ACB OC 0
14．“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論．奔馳定理與三角形
四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知 M 是 VABC 內(nèi)一點，△BMC ，

VAMC ，VAMB的面積分別為 SA， SB ， SC ，且 SA MA SB MB SC MC 0．以下命題正確的是（ ）
A．若 SA : SB : SC 1:1:1，則 M 為VAMC 的重心

B．若 M 為VABC 的內(nèi)心，則BC MA AC MB AB MC 0
C．若 BAC 45°， ABC 60°，M 為VABC 的外心，則 SA : SB : SC 3 : 2 :1

D．若 M 為VABC 2的垂心，MA 2MB 3MC 0 ，則 cos BAC
2
15．奔馳定理：已知O是VABC 內(nèi)的一點，VBOC ，VAOC ，VAOB的面積分別為 SA， SB ， SC ，則

SA OA SB OB SC OC 0 .“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應(yīng)的圖形與“奔
馳”轎車（Mercedesbenz）的 logo 很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.若O、 P 是銳角VABC 內(nèi)的點，A 、
1
B 、C 是VABC 的三個內(nèi)角，且滿足PA PB PC CA，
3 OA OB OB OC OC OA
，則（ ）
A． S△PAB : S△PBC : S△PCA 4 : 2 : 3
B． A BOC π

C． OA : OB : OC cos A : cos B : cosC

D． tan A OA tan B OB tan C OC 0
三、填空題

16．在面上有 VABC 及內(nèi)一點O滿足關(guān)系式： S△OBC OA S△OAC OB S△OAB OC 0即稱為經(jīng)典的“奔馳定理”，

若VABC 的三邊為 a，b ， c，現(xiàn)有 a OA b OB c OC 0，則O為VABC 的 心.
17．已知 O 是平面上一定點，A、B、C 是平面上不共線的三個點，動點 P 滿足

OP OA OB l CA CB

÷，l R ，則 P 的軌跡一定經(jīng)過VABC 的 ．(從“重心”，“外
2
è CA cos A CB cos B
÷

心”，“內(nèi)心”，“垂心”中選擇一個填寫）
18．請你根據(jù)“奔馳定理”對以下命題進(jìn)行判斷：

①若 P 是VABC 的重心，則有PA PB PC 0 ；

②若 aPA bPB cPC 0成立，則 P 是VABC 的內(nèi)心；
2 AP AB 1

③若 AC ，則 S△ ABP : S△ ABC 2 : 5；5 5
π
④若 P 是VABC 的外心， A m n é 2,14 ，PA mPB nPC ，則 ；
7
⑤若VABC 的內(nèi)角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，且 cos A ，O 為VABC 內(nèi)的一點且為內(nèi)心.若
8
4
AO xAB y AC ，則 x y 的最大值為 .
5
則正確的命題有 .（填序號）
19．1909年，戴姆勒公司申請登記了“三叉星”做為奔馳轎車的標(biāo)志，象征著陸上，水上和空中的機械化，
而此圓環(huán)中的星形標(biāo)志演變成今天的圖案，沿用至今，并成為世界十大著名的商標(biāo)之一（圖一）.已知O為

VABC 內(nèi)一點，△OBC ，VOAC ，VOAB的面積分別為 SA， SB ， SC ，則有 SAOA SB OB SC OC 0，我們
稱之為“奔馳定理”（圖二）.已知VABC 的內(nèi)角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，且 cos A
7
，O為VABC 內(nèi)的一
8

點且為內(nèi)心.若 AO xAB y AC ，則 x y 的最大值為 .
20．“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳車的標(biāo)志而來，是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，奔馳定理與三角
形的四心（重心 內(nèi)心 外心 垂心）有著美麗的邂逅.它的具體內(nèi)容是：如圖，若 P 是VABC 內(nèi)一點，

VBPC,VAPC,VAPB的面積分別為 SA , SB , SC ，則有 SA PA SB PB SC PC 0 .已知O為VABC 的內(nèi)心，且

cos BAC 1 ，若 AO mAB nAC ，則m n的最大值為 .3

展開更多......

收起↑