資源簡介

第 09 講 解三角形中的最值及范圍問題
（15 類核心考點精講精練）
命題規律及備考策略
【命題規律】本節內容是新高考卷的常考內容，設題穩定，難度較中等偏上，分值為 13-15 分
【備考策略】1 會利用基本不等式和相關函數性質解決三角形中的最值及范圍問題
2 會利用正余弦定理及面積公式解決三角形的綜合問題
【命題預測】本節內容一般給以大題來命題、考查正余弦定理和三角形面積公式在解三角形中的應用，同
時也結合基本不等式和相關函數性質等知識點求解范圍及最值，需重點復習。
知識講解
解三角形最值及范圍問題中常用到的關聯知識點
1. 基本不等式
a 0, b 0 ab a b 當且僅當 a b a b 時取等號，其中 叫做正數 a ，b 的算術平均數，
2 ， 2
ab 叫做正數 a ，b 的幾何平均數，通常表達為： a b 2 ab （積定和最小），應用條件：“一正，二定，
三相等”
基本不等式的推論 重要不等式
2 a, b R a2 b2 2ab
a 0, b 0 ab a b （和定積最大）
4 當且僅當 a b 時取等號
當且僅當 a b 時取等號
2. 輔助角公式及三角函數值域
形如 y a sin x b cos x ， (a 0) b y a2 b2 sin(x )，其中 tan ， ( , )a 2 2
對于 y Asin( x ) h， y Acos( x ) h類函數， A叫做振幅，決定函數的值域，值域為
A, A ，有時也會結合其他函數的性質和單調性來求解最值及范圍
3. 三角形中的邊角關系
（1）構成三角形的條件是任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊
（2）在三角形中，大邊對大角，小邊對小角
（3）在三角形中,邊角以及角的三角函數值存在等價關系:
即 a b A B sin A sin B cos A < cos B
注意：在銳角 ABC 中，任意一個角的正弦大于另一個角的余弦，如 sin A cos B。
事實上，由 A B A B sin A sin B cos B ，即得。由此對任意銳角2 2 2
ABC ，總有 sin A sin B sin C cos A cos B cosC 。
考點一、面積類最值及范圍問題
1．（2024·上海·三模）已知VABC的內角A ， B ，C 的對邊分別為 a，b ， c，且 3a 2csinA．
(1)求 sin C 的值；
(2)若 c 3，求VABC面積S 的最大值．
2．（2024·河北·模擬預測）在銳角VABC 中， a，b ， c分別是角 A, B,C 的對邊， c tan B 2a c tan C .
(1)求 B ；
(2)若b 3 ，求VABC 的面積S 取值范圍.
3．（2024·遼寧·模擬預測）如圖，在平面內，四邊形 ABCD滿足 B ，D點在 AC 的兩側， AB 1，BC 2，
VACD為正三角形，設 ABC a .
π
(1)當a 時，求 AC ；
3
(2)當a 變化時，求四邊形 ABCD面積的最大值.
4．（23-24 高三上·江西撫州·階段練習）已知在平面四邊形 ABCD中， AB BC CD 1， AD 2 .
(1)求 2cos A cosC 的值；
(2)記△ABD 與△CBD的面積分別為 S1和 S2 ，求 S 21 S 22 的最大值.
A C
1．（2024·廣東茂名·一模）在VABC 中，內角 A, B,C 的對邊分別是 a,b,c，且bsin B C asin .
2
(1)求 B 的大小；
(2)若D是 AC 邊的中點，且 BD 2，求VABC 面積的最大值.
2．（2024·江蘇·模擬預測）在VABC
AC AD
中，點D在 AB 邊上，且滿足 .
BC BD
(1)求證： ACD BCD；
(2)若 tan A tan B 3 tan A tan B 3 0 ，CD 2，求VABC 的面積的最小值.
3．（2024·山東濟南·二模）如圖，已知平面四邊形 ABCD中， AB BC 2 2,CD 2, AD 4 .
(1)若 A, B,C, D 四點共圓，求 AC ；
(2)求四邊形 ABCD面積的最大值.
4．（23-24 高一下·吉林長春·期中）已知銳角三角形 ABC 的內角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，且
3ccos A csin A 3b .
(1)求角C 的大小；
(2)若 c 2，角A 與角 B 的內角平分線相交于點 D，求△ABD 面積的最大值.
5．（23-24 高三上·江西·期末）如圖，在△ABC 中，AB=BC=2，D 為△ABC 外一點，AD=2CD=4，記∠BAD=α，
∠BCD=β.
(1)求 2cosa cos b 的值；
(2)若△ABD 的面積為 S1，△BCD S S 2 S 2的面積為 2 ，求 1 2 的最大值.
考點二、周長類最值及范圍問題
1．（2024·安徽淮北·二模）記VABC 的內角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c
A
，已知 c b 2csin2
2
(1)試判斷VABC 的形狀；
(2)若 c 1，求VABC 周長的最大值.
sin C sin A sin B
2．（2024·四川南充·模擬預測）在VABC 中， .
sin A sin B sin B sin C
(1)求A ；
(2)若BC 3，求VABC 周長的最大值.
a
3．（2024·湖南常德·一模）已知VABC 的內角 A, B,C 的對邊分別是 a,b,c，且 2b .
cosC
(1)判斷VABC 的形狀；
(2)若VABC 的外接圓半徑為 2 ，求VABC 周長的最大值.
4．（2024·山西·三模）已知VABC 的內角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，滿足 2cos Acos B 2sin2
C
．
2
(1)試判斷VABC 的形狀；
(2)若VABC 的外接圓半徑為 2，求VABC 周長的最大值．
1．（2024 高三下·全國·專題練習）在VABC 中，內角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，
sin2 B (cos A cosC)(cos A cosC) sin(A B)sin(A C)．
(1)求 A；
(2)設a 4 3，求VABC 周長的最大值．
ur r
2．（2024·湖南衡陽·模擬預測）在VABC 中，內角 A, B,C 所對的邊分別為 a,b,c，已知向量m, n滿足
mr 2a, 6 nr ur r ， 2sinB,b ，且m ^ n．
(1)求角A ；
(2)若VABC 是銳角三角形，且 a 3，求VABC 周長的取值范圍．
3．（2024·四川綿陽·模擬預測）已知在VABC 中，D 為 BC 邊的中點，且 AD 5．
(1)若VABC 的面積為 2，cos ADC 5 ，求 B ；
5
(2)若 AB2 AC 2 18，求VABC 的周長的最大值．
4．（2024·貴州貴陽·三模）已知VABC 的內角 A、B、C 所對的邊長分別為 a、b、c，且滿足
cosC c c cos A .請回答下列問題:
a
(1)證明: VABC 為等腰三角形;
(2)若VABC 的外接圓直徑為 1，試求VABC 周長的取值范圍.
5．（2024·云南曲靖·二模）在VABC 中，角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，且 acosC 3csinA b c .
(1)求角 B 的取值范圍；
(2)已知VABC 3內切圓的半徑等于 ，求VABC 周長的取值范圍.
2
考點三、邊長類最值及范圍問題
1．（2024·陜西西安·一模）已知△ABC 為鈍角三角形，它的三個內角 A、B、C 所對的邊分別為 a、b、c，且
sin2 C sin2 B sin(π B) cos(π B) ， a < c，b < c ．
3 6
(1)求 tan(A B) 的值；
(2)若△ABC 的面積為12 3 ，求 c 的最小值．
2．（2024·貴州遵義·一模）記VABC 的內角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，已知
3b a sin C 3a cosC ．
(1)求 A；
(2)若VABC 為銳角三角形， c 2，求 b 的取值范圍．
3．（2024·山西晉中·三模）在VABC 中，角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，已知b2 c2 bc a2 .
(1)求 tanA；
(2)若b 3 1 c，在邊BC 上（不含端點）存在點D，使得 AD 1，求 a的取值范圍．
1．（2024·全國·模擬預測）已知VABC 的三個內角 A, B,C 所對的邊分別為 a,b,c，滿足
b c sin C sin B 2a cosC sin A sin B ．
(1)求角C ．
(2)當VABC 面積的最大值為 4 3 時，求 c的值．
2．（2024·四川·三模）三角形 ABC 中，角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c 1 sin 2B cos 2B 3，且 .
sin 2B 2sin2 B 3
(1)求 B ；
(2)若 AC 邊上的中線長為 2，求b 的最小值.
3．（2024·全國·模擬預測）記銳角三角形 ABC 的內角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，已知
(a c) éb2 (a c)
2
ù tan B 2abc(sin A sin C)．
(1)求 B 的大小．
(2)若VABC 的面積為 2 3 ，求b 的取值范圍．
考點四、邊長和差類最值及范圍問題
1．（2024·全國·模擬預測）在VABC 中，內角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，且2cosC
2sinB sinC
．
sinA
(1)求角A ；
uuur c uuur
(2)若BD DC ，且 AD 2，求b c 的最小值．
b
8．8．2．（2024·上海嘉定·二模）在VABC 中，角A 、 B 、C 的對邊分別為 a、b 、 c，
cos2 B sin2 B 1 ．
2
π
(1)求角 B ，并計算 sin B 的值；
6
(2)若b 3 ，且VABC 是銳角三角形，求a 2c的最大值．
3．（2024·廣東湛江·一模）已知在VABC 中，角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，且
a cos B C a cos A 2 3c sin B cos A 0．
(1)求 A；
(2)若VABC 外接圓的直徑為 2 3 ，求 2c b 的取值范圍．
1．（2024·湖北·二模）已知VABC 的內角 A，B，C 的對邊分別為 a，b， c a < b ，
c 2a cos Acos B b cos 2A．
(1)求 A；
uuur 1 uuur uuur
(2)者BD BC ， AD 2，求b c 的取值范圍．
3
2．（2024·江西·模擬預測）在VABC 中，角A ， B ，C 所對的邊分別記為 a，b ， c，且
tan A cos B sin C ．
cosC sin B
π
(1)若 B C6 ，求 的大小．
(2)若 a 2，求b c 的取值范圍．
3．（2024·山西呂梁·一模）設VABC 的內角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c ，已知
bcosC 2acosA ccosB ．
(1)求A ；
(2)設A 的角平分線交BC 于點M，AM 1，求b 4c 的最小值．
4．（2024·陜西安康·模擬預測）記VABC 的內角 A, B,C 所對的邊分別為 a,b,c，已知__________.
tan A π 在① 2 3 ，② 2b 2acosC c ，③ b c a b c a 3bc，這三個條件中任選一個填在
4
上面的橫線上，并解答問題.
(1)求角A ；
(2) VABC 3若 的面積為 ，求 (b 1)2 (c 1)2 的最小值.
2
注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分.
考點五、邊長積商類最值及范圍問題
1．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知銳角VABC 的三內角 A，B，C 的對邊分別是 a，b，c ，且
b2 c2 (b ×cosC c ×cosB)2 bc ，
(1)求角A 的大小；
(2)如果該三角形外接圓的半徑為 3，求bc的取值范圍．
2．（2024·寧夏固原·一模）在銳角VABC 中，內角 A, B,C 的對邊分別是 a,b,c，且
2sinBsinC cos2C 1 cos2A cos2B ．
(1)求證：B C 2A；
c b
(2)求 的取值范圍．
a
3．（2024·全國·模擬預測）在銳角三角形 ABC 中，角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，且滿足
sinA cosA sin2B
．
cosA sinA 1 cos2B
π
(1)若C ，求A 的大小；
3
(2) c
2
求 2 2 的取值范圍．a b
1．（2024·陜西安康·模擬預測）記銳角VABC 的內角A ， B ，C 的對邊分別為 a，b ， c，已知
2sinBsinC cos2C 1 cos2A cos2B .
(1)證明：B C 2A；
c
(2)求 的取值范圍.
b
2．（2024·江蘇鹽城·模擬預測）在VABC 中，已知角A ， B ，C 所對的邊分別為 a，b ， c，
asin2 B bsin2 A 3ab
2 2 2 a b c ．
(1)求角C 的大小；
a b
(2)若VABC 為銳角三角形，求 的取值范圍．
c
3．（2024·山西朔州·一模）已知VABC 的內角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，向量
mr a b,c ,nr sinA sinC,sinA sinB r，且m//nr．
(1)求 B ；
2
(2) b求 2 2 的最小值．a c
考點六、中線最值及范圍問題
1．（2024·四川·三模）在VABC中，內角A ， B ，C 的對邊分別為 a，b ， c，且滿足
2c sin B cos A b sin Acos B cos Asin B .
(1)求A ；
(2)若VABC的面積為16 3 ，D為 AC 的中點，求BD的最小值.
2．（2024·陜西安康·模擬預測）在VABC 中，內角 A, B,C 所對的邊分別為 a,b,c，且
a sinA cosCsinB c cosAsinB sinC 3 asinC
2
(1)求 cosB；
(2)設D為邊 AC 的中點， AC 2，求線段BD長度的最大值.
sinB sinC cosB cosC
3．（2024·湖北·模擬預測）在VABC 中，已知 ，D 為BC 的中點.
sinA cosA
(1)求 A；
(2)當BC 4時，求 AD 的最大值.
1．（2024·四川南充·二模）在① 2c sin B cos A b sin Acos B cos Asin B ；②
2 2 2 bsin B c sin C a sin A 2sin B sin C cos A 1 sin A B sin A C ；③ sin Ac sin B ；這三個條件中任選3
一個，補充在下面的問題中，并解答問題.
在VABC 中，內角A ， B ，C 的對邊分別為 a，b ， c，且滿足______.
(1)求A ；
(2)若VABC 的面積為16 3 ，D為 AC 的中點，求BD的最小值.
2．（2024·河北·模擬預測）在VABC 中，角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，且
sinA 3sinB a c b sinC sinB .
(1)求角C 的大小；
(2)若邊 c 2，邊 AB 的中點為D，求中線CD 長的最大值.
3．（2024·全國·模擬預測）在銳角VABC 中，角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，且
a cosC 3a sin C b c 0．
(1)求角A 的大小；
(2)若D是線段BC 上靠近點 B 的三等分點， a 3，求 AD 的最大值．
考點七、角平分線最值及范圍問題
1．（2023·浙江·二模）在銳角VABC 中，內角 A, B,C 所對的邊分別為 a，b ， c，滿足
sin A 1 sin
2 A sin2 C
，且 A C .
sin C sin2 B
(1)求證：B 2C ；
(2)已知BD是 ABC 的平分線，若 a 4，求線段BD長度的取值范圍.
2．（2024·陜西安康·模擬預測）已知銳角 VABC 中，角A ， B ，C 所對的邊分別為 a，b ， c，其中a 8，
a 1 sin
2 A sin2C
，且 a c ．
c sin2B
(1)求證：B 2C ；
(2)已知點M 在線段 AC 上，且∠ABM ∠CBM ，求 BM 的取值范圍．
1．（2024·山東泰安·模擬預測）已知VABC 內角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，b(sin B sinC) (a c)(sin A
sin C)．
(1)求 A；
(2)A 的平分線 AD 交BC 于D點，9b c 64，求 AD 的最大值．
2．（2024·廣東深圳·模擬預測）已知VABC 中內角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，且滿足
3c bsin A 3a cos B．
(1)求角 A 的大小；
BC
(2)若 D 是邊 BC 上一點，且 AD 是角 A 的角平分線，求 的最小值．
AD
a a2 b2 c23．（2023·河南·三模）在銳角△ABC 中，角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c，已知 ，且
c b2
a c ．
(1)求證：B 2C ；
(2)若 ABC 的平分線交 AC 于 D，且 a 12，求線段 BD 的長度的取值范圍．
考點八、高線最值及范圍問題
1．（2024·全國·模擬預測）已知VABC 的內角A ， B ，C 所對的邊分別為 a，b ， c， a 1，
sinB 3bcosA 0．
(1)求角A ；
(2)設 AM 是VABC 的高，求 AM 的最大值．
2．（2023·貴州畢節·統考一模）已知VABC 的內角A ， B ，C 的對邊分別為 a，b ， c．若
bcos A B csinB ．
2
(1)求角C ；
(2)若 c 3，求BC 邊上的高的取值范圍．
π 2π 2π ù
1．（2024·江蘇蘇州·模擬預測）已知函數 f x sin x ( 0) ù在 0, 上單調遞增，在 , π 上單調
6 3 ú 3 ú
遞減，設 x0 ,0 為曲線 y f x 的對稱中心．
(1)求 x0 ；
(2)記VABC 的角 A, B,C 對應的邊分別為 a,b,c，若cosA cosx0 ,b c 6，求BC 邊上的高 AD 長的最大值．
2．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學校校考一模）在銳角VABC 中，設邊 a,b,c所對的角分別為
A, B,C ，且 a2 b2 bc ．
(1)求角 B 的取值范圍；
(2)若 c 4，求VABC 中 AB 邊上的高 h 的取值范圍．
sin2 B sin2
3．（2023·全國·模擬預測）在銳角三角形 ABC 中， sin A sin ACB
ACB

sin B ACB ， AB 1．
(1)求 B．
(2)求 AB 邊上的高的取值范圍．
考點九、其他線段類最值及范圍問題
1．（23-24 高三下·河南周口·開學考試）在VABC 中，角 A, B,C 的對邊分別為
a,b,c,1 cos2C cos2A cos2B 2sinAsinB．
(1)求角C ；
(2)若 c 5, D為邊 AB 上一點， ACD BCD，求CD 的最大值．
2．（2024·陜西安康·模擬預測）在VABC 中，內角 A, B,C 所對的邊分別為 a,b,c，且 1 3tanA 1 3tanC 4．
(1)求 B ；
uuur uuur
(2)若b 2 3, A
π
, AD DB ，連接CD ，求CD2的值．4
3．（23-24 高一下·吉林白山·階段練習）在VABC 中，內角 A, B,C 所對的邊分別為 a,b,c，且
sin2 A 3sinAsinB
1．
cos2B cos2C
(1)求角C 的大小；
(2)若VABC 為銳角三角形，點F 為VABC 的垂心，CF 6，求 AF BF 的取值范圍．
4．（2024·廣東廣州·三模）在銳角VABC
A
中，內角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，且 c bsin acosB ．
2
(1)求 A；
CD
(2)若 D 是邊BC 上一點（不包括端點），且 ABD BAD ，求 的取值范圍．
BD
1 2024· · VABC 1 cos A．（ 貴州貴陽 模擬預測）已知在 中， sin A 0 ，
2
(1)求 A；
(2)若點 D 是邊 BC 上一點，BD 2DC ，△ABC 的面積為 3，求 AD 的最小值.
2．（22-23 高一下·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知VABC的內角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，
b c sin B sin C b a sin A．
(1)求 C 的大小；
(2)若 c 3，D 是邊 AB 上的一點，且BD 2AD ，求線段 CD 的最大值．
3．（2024·遼寧沈陽·模擬預測）在VABC 中，內角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c，且
sin2 C sin C sin B
2 1 .cos B cos2 A
(1)求角 A 的大小；
(2)若VABC 為銳角三角形，點 F 為VABC 的垂心， AF 6，求CF BF 的取值范圍.
4．（2024·河北衡水·一模）在VABC 中，內角 A, B,C 所對的邊分別是 a,b,c，三角形面積為S ，若D為 AC 邊
上一點，滿足 AB ^ BD, BD 2 a2 2 3，且 S abcosC .
3
(1)求角 B ；
2 1
(2)求 的取值范圍.
AD CD
考點十、外接圓及內切圓半徑類最值及范圍問題
1．（2024·吉林·二模）已知 VABC 的三個內角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c,VABC 的外接圓半徑為 3，且
sin2 B sin2 C sin B sinC sin2 A .
(1)求 a ;
(2)求VABC 的內切圓半徑 r 的取值范圍
2．（2024·全國·模擬預測）已知VABC 中，角A ， B ，C 的對邊分別是 a，b ， c，
3b c sin A 3a cosC ．
(1)求角A 的大小；
R
(2)若 a 7，VABC 外接圓的半徑為 R ，內切圓半徑為 r ，求 的最小值．
r
2．
1．（2024·全國·模擬預測）在VABC 中，角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c，且
sin2 A ×sin2 B sin 2A ×sin 2B ．
4
(1)求C ；
(2)若 c 2，求VABC 內切圓半徑取值范圍．
B C 1
2．（2024·全國·模擬預測）在“① 3acosC 3b csinA；② asinB bsin ；③ acosB b c ”這三個2 2
條件中任選一個補充在下面的橫線上，并加以解答．
在VABC 中，角 A, B,C 所對的邊分別為 a,b,c，且______．
(1)求角A 的大小；
(2)若 a 4, r 表示VABC 內切圓的半徑，求 r 的最大值．
考點十一、角度類最值及范圍問題
1．（2023·海南海口·校考模擬預測）在VABC 中，角A 、 B 、C 所對的邊長分別為 a,b,c，若 a,b,c成等比數
列，則角 B 的取值范圍為（ ）
A ． 0,
π ù π π π
6 ú B
ù é é
． 0, ,π ,π
3 ú
C． ê D． 6 ê 3
uuur uuur
2．（2024·山東菏澤·二模）已知在VABC 中，CA ×CB 2,△ABC 的面積為 3．
(1)求角C 的度數；
(2)若BC 2, D, E 是 AB 上的動點，且 DCE 始終等于30°，記 CED a ．當DE 取到最小值時，求a 的
值．
1．（2023 春·上海寶山·高一校考期中）如果VABC 的三邊 a、b 、 c滿足b2 ac，則角 B 的取值范圍
為 ．
2．（2024·上海奉賢·三模）已知三角形 ABC 的三個角對應的邊分別為 a、b 、 c
(1)求證：存在以 sin A,sin B,sin C 為三邊的三角形；
(2)若以 sin 2A,sin 2B,sin 2C 為三邊的三角形為等腰直角三角形，求三角形 ABC 的最小角．
考點十二、正余弦類最值及范圍問題
1．（2024·全國·模擬預測）記VABC 的內角 A, B,C 所對邊分別為 a,b,c，已知b 3cosC 1 c 1 3cosB ．
(1)證明：b c 3a；
(2)求 cosA的最小值．
2．（2024·全國·模擬預測）記VABC 的內角 A, B,C 的對邊分別是 a,b,c，已知
sin2 B 2sin AsinC 2sinC sin(A B)．
(1)證明： 2a2 3b2 2ac ；
(2)若VABC
sin C
為銳角三角形，求 的取值范圍．
sin A
3．（2024·河北滄州·模擬預測）已知在VABC 中，角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c，且
a sin A c sin C (a b)sin B．
(1)求 C；
(2)求 sin2 A sin2 B的最大值．
4．（2023·全國·模擬預測）已知VABC 的內角 A, B,C 所對的邊分別為 a,b,c,bsinA 3 c acosB ．
(1)求角A 的大小；
(2) sin
2 A
求 的最小值．
sin2B sin2C
5．（23-24 高三上·江蘇南京·期中）在VABC 中， A, B,C 所對的邊分別為 a,b,c，已知b2 c(a c) .
c
(1)若 B
π

4 ，求 的值；a
(2)若VABC 是銳角三角形，求 3 sin B 2cos2 C 的取值范圍．
1．（2024·陜西寶雞·二模）VABC 中，D為BC 邊的中點， AD 1 .
2π
(1)若VABC 的面積為 2 3 ，且 ADC ，求 sin C 的值；3
(2)若BC 4，求 cos BAC 的取值范圍．
2．（23-24 高三上·山東棗莊·期末）在VABC 中，角 A, B,C 所對的邊分別為 a,b,c .若
2a bcosA c btanBsinA .
(1)求 B ；
sinA sinB
(2)若VABC 為銳角三角形，求 的取值范圍.
sinC
3．（2024·河南·一模） VABC 中，角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，且滿足b2 a2 ac .
(1)求證：B 2A；
VABC sin(C A) sin B(2)若 為銳角三角形，求 的取值范圍.
sin A
A, B,C a,b,c, tan π A 1 cos2B73．（2024·全國·模擬預測）在VABC 中，內角 的對邊分別為 ．
4 2 sin2B
(1)判斷VABC 的形狀，并證明；
a2(2) 5a求
c2
的最小值．
4ccosB
4．（2024·遼寧·一模）在VABC 中，內角 A, B,C 所對的邊分別為 a,b,c，滿足b b a c2 .
(1)求證：C 2B；
(2)若VABC 為銳角三角形，求 2sin C cos B sin B 的最大值．
2c 1
5．（2024·廣東佛山·模擬預測）在VABC 中，角 A, B,C 所對的邊分別為 a,b,c，其中 a 1， cosA ．
2b
(1)求角 B 的大小；
sin CAB
(2)如圖，D為VABC 外一點， AB BD ， ABC ABD ，求 的最大值．
sin CDB
考點十三、正切類最值及范圍問題
1．（2024·山東菏澤·模擬預測）在VABC 中，角 A, B,C 所對的邊分別為 a,b,c uuur uuur uuur uuur uuur. 2已知 AB × AC BA × BC l AB
(1)若l 1，判斷VABC 的形狀；
1
(2)若l ，求 tan B A 的最大值.
2
1．（2024·云南·二模）VABC 中，內角 A、B、C 的對邊分別為 a、b、c，B 是A 與C 的等差中項.
a a b
(1)若 ，判斷VABC 的形狀;
b a c
tan B
(2)若VABC 是銳角三角形，求 的取值范圍.
tan A tanC
考點十四、向量類最值及范圍問題
1．（2023·湖北武漢·華中師大一附中校考模擬預測）周長為 4 的VABC ，若 a,b,c分別是 A, B,C 的對邊，且
uuur uuur
a2 bc，則 AB × AC 的取值范圍為 ．
π π
2．（23-24 高三上·北京·階段練習）在VABC sin A sin 中， 4
B cos Acos B．
4
(1)求 C；
uuur uuur
(2)若 AB 2 ，求CA ×CB 的最小值．
3．（2024·湖南邵陽·一模）在VABC 中，內角A 滿足 3sin2A cos2A 2 .
(1)求角A 的大小；
uuur
uuur uuur AD
(2)若DC 2BD，求 uuur 的最大值.
BD
π uuur uuur
1．（23-24 高一下·重慶·階段練習）如圖在VABC 中， BAC ，滿足
3 AD 3DB
.
π
(1)若 B ，求 ACD的余弦值；
3
uuuur uuur 1 uuur uuuur
(2)點M 是線段CD 上一點，且滿足 AM mAC AB，若VABC 的面積為 ，求 AM 的最小值.
2 3
2．（2024·重慶·模擬預測）在VABC 中，內角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c．已知
b 2 ébcos2 π A ê a sin
B cos B ù．
12 2 2 2 ú
(1)求角 A 的大小；
uuur uuur
(2)若BP PC ，且b c 2 ，求 AP 的最小值．
考點十五、參數類最值及范圍問題
1．（2023·陜西榆林·統考一模） VABC 的內角 A, B,C 所對的邊分別為 a,b,c，若 asinA b la sinB csinC ，
則l 的取值范圍為（ ）
A． 2,2 B． 0,2 C． 2,2 D． 0,2
2．（2024·全國·模擬預測）在銳角三角形 ABC 中，角 A, B,C 所對的邊分別為 a,b， c，且
asinC c 2sinB cosAtanC ．
(1)求C ；
uuur uuur
AB lBD l 0 BCD π(2)若 ，且 ，求實數l 的取值范圍．
4
1．（2023·全國·模擬預測）已知在VABC 中，角 A, B,C 所對的邊分別為 a,b,c，且
bcos 3π A 6 2
sin π B 0 .
1 cos2C
(1)求 csinA的值；
(2)若 2 bsinC atanC ctanC ，且 S△ABC l ，求實數l 的取值范圍.
2．（2023·湖北咸寧·模擬預測）在VABC 中，角 A, B,C 所對的邊分別為 a,b,c，滿足6cosC c 2b， a 3 .
(1)證明：VABC 外接圓的半徑為 3；
(2)若 2SVABC t a2 2b2 11c2 恒成立，求實數 t 的取值范圍.
1．（2024·陜西寶雞·一模）在VABC 中，角A ， B ，C 的對邊分別為 a，b ， c，已知
2a cos A ×cos B b cos 2A 3c b .
(1)求角 A；
(2)若VABC 的面積為 1，求 a的最小值.
2．（21-22 高二下·山西·期中）在VABC 中，內角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c，且
bcos B 1 acosC 1 ccos A．
2 2
(1)求角 B；
(2)若b 3 ， c b，求 2c a的取值范圍．
3．（23-24 高三上·河南·期中）在銳角VABC 中，角 A, B,C 所對的邊分別為 a,b,c，已知
bc sin C c2 b2 a2 ×sin B π 3 ．
(1)求A ；
(2)若 a 6，求VABC 周長的最大值．
4．（22-23 高二上·河南省直轄縣級單位·期末）已知VABC 為銳角三角形，角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，且
b2 c2 a2 tanA 3bc .
(1)求角A 的大小；
(2)若 a 6 ，求2b c的取值范圍.
5．（2023·全國·模擬預測）在銳角VABC 中，角 A, B,C 所對的邊分別為 a,b,c，已知 a b 6，且VABC 的面
S 3積 ab .
4
(1)求C ；
(2)求 c的最小值.
6．（2023·全國·模擬預測）在VABC 中，角 A, B,C 所對的邊分別為 a,b,c，已知
sin A cos B cosC
．
cos B cosC sin A sin B
(1)求C ；
(2)若VABC 2 3外接圓的半徑為 ，求VABC 的面積最大值．
3
7．（2024·廣西·模擬預測）記VABC 的內角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，分別以 a，b，c 為邊長的三個
正三角形的面積依次為 S
cosB cosC 2cosA
1， S2 ， S3 .已知 .b c a
(1)證明： 2S1 S2 S3 ；
(2)若 a 3，求VABC 周長的最大值.
8．（2017·安徽淮北·模擬預測）在VABC 中，角 A，B，C 的對角分別為 a，b，c 且
b cosC c cos B 3cos B ．
a a
(1)求 sin B ；
(2)若 D 為 AC 邊的中點，且BD 1，求△ABD 面積的最大值．
9．（2023·四川綿陽·模擬預測）在斜三角形 ABC 中，內角 A, B,C 所對的邊分別為 a,b,c，已知
cos C B sinA cos C A sinB．
(1)證明： A B ；
1
(2)若 sinB
1 1
，求
c c2 a2
的最小值．
10．（23-24 高三上·山東威海·期末）在VABC 中，角 A , B , C 所對的邊分別為 a , b , c ,記VABC 的面積為S ，已
uuur uuur
知 3 AB × AC 2S .
(1)求角A 的大小；
(2)若 a 2 3 ，求b2 c2 的最大值.
1．（2024·青海·模擬預測）已知VABC 的內角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，且
2a cos2 B 2bcos Acos B c ．
(1)求 B；
S
(2)若b 4 ，VABC 的面積為 S．周長為 L，求 的最大值．
L
2．（2024·山東濟南·二模）如圖，在平面四邊形 ABCD 中，BC ^ CD， AB BC 2 ， ABC q ，
120° q <180° .
(1)若q =120°， AD 3，求 ADC 的大小；
(2)若CD 6 ，求四邊形 ABCD 面積的最大值.
3．（2024·河南·模擬預測）在VABC 中，角 A, B,C 的對邊分別為 a b c ，且 ccosB 2acosA bcosC 0 .
(1)求A ；
π
(2)如圖所示，D為平面上一點，與VABC 構成一個四邊形 ABDC ，且 BDC ，若 c 2b 2，求 AD 的
3
最大值.
4．（2024·重慶·三模）已知在數列 an 中， a1 1,a
an
n 1 1 2a ．n
ì 1 ü
(1)求證：數列 í 是等差數列，并求數列 a aa n n 1 的前
n項和 Sn ；
n
1 1
(2)在VABC 中，角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，且a ,bcosC c cos Ba a 2a cos A，求VABCn 1 n
面積的最大值．
5．（2024·江西·模擬預測）VABC 的內角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，且 b 是 a，c 的等比中項．
(1)求 B 的最大值：
acosB bcosA
(2)若 C 為鈍角，求 的取值范圍．
bcosC ccosB
6．（2024·陜西商洛·模擬預測）在銳角VABC 中.內角A ， B ，C 所對的邊分別是 a，b ， c，已知
a 2ccos B c .
(1)求證：B 2C ；
(2)求 sin B 2 3 cos2 C 的取值范圍.
7．（2024·廣東江門·模擬預測）已知VABC 的內角A ， B ，C 的對邊分別為 a，b ， c且滿足
c 2(a b) cos B．
A
(1)證明： 3；
B
a
(2)若A 為鈍角，求 的取值范圍．
b
8．（2024·四川內江·模擬預測）已知 f (x) sin x ×cos
π
x .
3
(1)求 f (x) 的單調增區間和對稱中心；
2 2
(2)在銳角 VABC 中，A，B C a,b,c . 3 . b c， 的對邊分別是 f (A) 求 的值域.
4 bc
9．（2024·遼寧·二模）在VABC 中，D為BC 邊上一點， DC CA 1，且VACD面積是△ABD 面積的 2 倍．
(1)若 AB 2AD，求 AB 的長；
sin ADB
(2)求 sin B 的取值范圍．
10．（2024·福建泉州·模擬預測）已知 a，b，c 分別為VABC 三個內角 A，B，C 的對邊， a 2， A 60° .
(1)寫出命題 p：“已知 a，b，c 分別為VABC 三個內角 A，B，C 的對邊， a 2
2
， A 60° .若b 3 ，則VABC
3
是直角三角形”的逆命題 q，并判斷逆命題 q 的真假；
(2)若VABC 外的點 D 滿足DB ^ AB ， BDC 120°，求△BCD面積的最大值.
一、單選題
1．（四川·高考真題）在 ABC 中， sin2 A≤sin2 B sin2 C sin BsinC ．則 的取值范圍是（ ）

A．（0， ] B．[ ， ） C．（0， ] D．[ ， ）
6 6 3 3
二、雙空題
c
2．（北京· 3高考真題）若VABC 的面積為 (a2 c2 b2 ) ,且∠C 為鈍角，則∠B= ； 的取值范圍
4 a
是 .
三、解答題
3．（全國·高考真題）設銳角三角形 ABC 的內角A ， B ，C 的對邊分別為 a,b,c, a 2bsin A
（1）求 B 的大小；
（2）求 cos A sin C 的取值范圍.
A C
4．（全國·統考高考真題） ABC的內角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，已知 a sin bsin A．
2
（1）求 B ；
（2）若 ABC為銳角三角形，且 c 1，求 ABC面積的取值范圍．
5．（江西·高考真題）在VABC 中，角 A, B,C 所對的邊分別為 a,b,c，已知
cosC (cos A 3 sin A) cos B 0．
（1）求角 B 的大小；
（2）若 a c 1，求b 的取值范圍．
6．（浙江·統考高考真題）在銳角△ABC 中，角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，且 2bsin A 3a 0．
（I）求角 B 的大小；
（II）求 cosA+cosB+cosC 的取值范圍．第 09 講 解三角形中的最值及范圍問題
（15 類核心考點精講精練）
命題規律及備考策略
【命題規律】本節內容是新高考卷的常考內容，設題穩定，難度較中等偏上，分值為 13-15 分
【備考策略】1 會利用基本不等式和相關函數性質解決三角形中的最值及范圍問題
2 會利用正余弦定理及面積公式解決三角形的綜合問題
【命題預測】本節內容一般給以大題來命題、考查正余弦定理和三角形面積公式在解三角形中的應用，同
時也結合基本不等式和相關函數性質等知識點求解范圍及最值，需重點復習。
知識講解
解三角形最值及范圍問題中常用到的關聯知識點
1. 基本不等式
a 0, b 0 ab a b 當且僅當 a b a b 時取等號，其中 叫做正數 a ，b 的算術平均數，
2 ， 2
ab 叫做正數 a ，b 的幾何平均數，通常表達為： a b 2 ab （積定和最小），應用條件：“一正，二定，
三相等”
基本不等式的推論 重要不等式
2 a, b R a2 b2 2ab
a 0, b 0 ab a b （和定積最大）
4 當且僅當 a b 時取等號
當且僅當 a b 時取等號
2. 輔助角公式及三角函數值域
形如 y a sin x b cos x ， (a 0) b y a2 b2 sin(x )，其中 tan ， ( , )a 2 2
對于 y Asin( x ) h， y Acos( x ) h類函數， A叫做振幅，決定函數的值域，值域為
A, A ，有時也會結合其他函數的性質和單調性來求解最值及范圍
3. 三角形中的邊角關系
（1）構成三角形的條件是任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊
（2）在三角形中，大邊對大角，小邊對小角
（3）在三角形中,邊角以及角的三角函數值存在等價關系:
即 a b A B sin A sin B cos A < cos B
注意：在銳角 ABC 中，任意一個角的正弦大于另一個角的余弦，如 sin A cos B。
事實上，由 A B A B sin A sin B cos B ，即得。由此對任意銳角2 2 2
ABC ，總有 sin A sin B sin C cos A cos B cosC 。
考點一、面積類最值及范圍問題
1．（2024·上海·三模）已知VABC的內角A ， B ，C 的對邊分別為 a，b ， c，且 3a 2csinA．
(1)求 sin C 的值；
(2)若 c 3，求VABC面積S 的最大值．
【答案】(1) 3
2
(2) 9 3
4
【分析】（1）由正弦定理即可得 sin C 3 ；
2
1
（2）由余弦定理結合重要不等式可得 ab取值范圍，再由三角形的面積公式 SVABC absin C 可求出面積的2
最大值.
【詳解】（1）由題意可知， 3a 2c sin A，
由正弦定理得 3 sin A 2sin C sin A，
因為 A，C (0, π)，所以 sin A 0 ，
即 sin C 3 .
2
（2）由（1）可知 sin C 3 ，
2
C π 2π所以 或C .
3 3
在VABC 中，由余弦定理得
AB2 AC 2 BC 2 2AC BC cosC ，
當C
π
時， c 3，
3
9 b2 1 a2 2ab × b2 a2 ab 2ab ab ab ，
2
當且僅當 a b 3時取等號，即 ab 9，
VABC S 1 3 9 3故 的面積 .△ABC absinC ab 2 4 4
當C
2π
時， c 3，
3
9 b2 1 a2 2ab × b2 a2 ab 2ab ab 3ab ，
2
當且僅當 a b 3 時取等號，即 ab 3，
VABC S 1 absinC 3故 的面積 VABC ab
3 3
.
2 4 4
綜上所述，VABC 9 3的面積最大值為 .
4
2．（2024·河北·模擬預測）在銳角VABC 中， a，b ， c分別是角 A, B,C 的對邊， c tan B 2a c tan C .
(1)求 B ；
(2)若b 3 ，求VABC 的面積S 取值范圍.
π
【答案】(1) ;
3
3 3 3 ù
(2) ,2 4 ú
.

【分析】（1）利用 c tan B 2a c tan C 進行化簡，可求 cos B，進而可求 B ；
S 3 sin 2A π 3 π π（2）由正弦定理及三角恒等變換化簡可得 ，結合銳角三角形得到 < A <6 2 ，根據2 6 4
正弦函數的性質即可求解．
c sin B 2a c sin C
【詳解】（1）因為 c tan B 2a c tan C ，所以 ，
cos B cosC
根據正弦定理可得 sin C sin B cosC 2sin A sin C cos B sin C .
因為C 0, π ，所以 sin C 0，
所以 sin B cosC 2sin A sin C cos B 2sin Acos B sin C cos B，
所以 sin B cosC sin C cos B 2sin Acos B，即 sin B C 2sin Acos B .
因為 B C π A，所以 sin π A 2sin Acos B，即 sin A 2sin Acos B .
1
因為 A 0, π ，所以 sin A 0，所以 cos B .
2
π
因為B 0, π ，所以 B .3
a c b 3
2
（2）由正弦定理得 sin A sin C sin B 3 ，
2
所以 a 2sin A,c 2sin C .
S 1 ac sin B 3 ac 3所以 × 2sin A × 2sin C 3 sin Asin C
2 4 4
3 sin Asin

A π 3 sin A 1

sin A
3
cos A
3

2 2
3 sin2 A 3 sin Acos A 3 1 cos 2A 3 × sin 2A
2 2 2 2 4
3 sin 2A 3

cos 2A 3 3 3 sin 2A
1
cos 2A 3 4 4 4 2 2 2 4
3
sin 2A π 3
2 6
.
4
因為VABC 是銳角三角形，
ì0 A π π < <
ì
0 < A < 2 2 π π
所以 í ,即 í ，解得 < A < ，
0 < C π<
6 2
0 2π π< A <
2 3 2
π 2A π 5π所以 < <

，所以 sin 2A
π

1
,1
ù
，
6 6 6 6 2 ú
3 ù
所以 sin

2A
π 3 3 3 3 2 6 4
,
2 4 ú
,

3 3 3 ù
所以VABC 的面積S 取值范圍為 , ú .
2 4
3．（2024·遼寧·模擬預測）如圖，在平面內，四邊形 ABCD滿足 B ，D點在 AC 的兩側， AB 1，BC 2，
VACD為正三角形，設 ABC a .
π
(1)當a 時，求 AC ；
3
(2)當a 變化時，求四邊形 ABCD面積的最大值.
【答案】(1) 3
(2) 2 5 3
4
【分析】（1）在VABC 中，由余弦定理可得 AC 的值；
（2）由余弦定理可得 AC 2 的表達式，進而求出正三角形 ACD的面積的表達式，進而求出四邊形 ABCD的
面積的表達式，由輔助角公式及a 的范圍，可得四邊形面積的范圍．
π
【詳解】（1）因為 AB 1，BC 2， B 3 ，
1
由余弦定理可得： AC AB2 BC 2 2AB × BC cos B 1 4 2 1 2 3 .
2
（2）由余弦定理可得 AC 2 AB2 BC 2 2AB × BC cosa 1 4 2 1 2cosa 5 4cosa ，
因為VACD 3 5 3為正三角形，所以 S△ACD AC
2 3 cosa ，
4 4
S 1△ABC AB × BC sina
1
1 2sina sina ，
2 2
所以 S ABCD S△ABC S
5 3 π 5 3
△ACD sina 3 cosa 2sin

a

四邊形 ，4 3 4
a 0, π a π π 2π 因為 ，所以
3
, ，
3 3
ù
所以 sin a
π 3 ,1 ， 3
ú
2

S 3
ù
所以 , 2
5 3

四邊形ABCD ，
4 4
ú

5π
故當a 5 3時，四邊形 ABCD面積的最大值為 2 .6 4
4．（23-24 高三上·江西撫州·階段練習）已知在平面四邊形 ABCD中， AB BC CD 1， AD 2 .
(1)求 2cos A cosC 的值；
(2)記△ABD 與△CBD的面積分別為 S1和 S 2 22 ，求 S1 S2 的最大值.
3
【答案】(1)
2
31
(2)
32
【分析】（1）在△ABD 和△BCD中利用余弦定理表示出BD2，即可得到方程，解得即可；
（2）利用三角形的面積公式表示出 S 21 S 22 ，然后結合上一問條件求解.
【詳解】（1）
在△ABD 中，由余弦定理可得BD2 AB2 AD2 2AB × ADcosA 5 4cosA，
在△BCD中，由余弦定理可得BD2 BC 2 CD2 2BC ×CDcosC 2 2cosC ，
3
所以5 4cos A 2 2cosC ，即 2cosA cosC .
2
S 2 1 AB2 AD2sin2 A sin2 A S 2 1 2 2 2 1（2 2）依題意 1 × ，4 2
BC ×CD sin C sin C ，
4 4
S 2 S 2 2所以 1 2 sin A
1 sin2 C 1 1 1 cos2 A cos2 C
4 4 4
1 cos2 A 1 1
2
2cos A
3

4 4 2
2
2cos2 A 3 cos A 11 2 cos A
3 31 ，
2 16 8 32
3 31
又 1 < cos A <1，所以當 cos A 時 S 21 S 2
14
2 取最大值 （此時BD ，該四邊形符合題意），8 32 2
31
即 S 21 S
2
2 的最大值為 .32
A C
1．（2024·廣東茂名·一模）在VABC 中，內角 A, B,C 的對邊分別是 a,b,c，且bsin B C asin .
2
(1)求 B 的大小；
(2)若D是 AC 邊的中點，且 BD 2，求VABC 面積的最大值.
π
【答案】(1) B 3
(2) 4 3
3
【分析】（1）借助三角形內角與正弦定理邊角轉化，結合二倍角公式計算即可得；
（2）借助向量線性運算與基本不等式，結合三角形面積公式計算即可得.
π B B
【詳解】（1）Q A B C π ，\sinA sin B C ，\bsinA asin acos ，
2 2
\由正弦定理可得 sinBsinA sinAcos
B
，
2
QsinB 2sin B cos B B，\2sin cos
B sinA sinAcos B ，
2 2 2 2 2
Q A, B (0, π),sinA 0， cos
B
0，\sin
B 1 B π
π，即 ，即 B ；
2 2 2 2 6 3
1 3
（2）依題意， SVABC acsinB ac ，2 4
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 2
BA BC 2 BD ， BA BC 4 ， BA BC 16 ，
即 a2
π
c2 2ac cos 16，
3
即 c2 a2 ac 16 3ac 4 3 ，當且僅當 a c 時，等號成立，
3
ac 16 1 16 3 4 3即 ，\VABC 面積的最大值為
3
.
2 3 2 3
AC AD
2．（2024·江蘇·模擬預測）在VABC 中，點D在 AB 邊上，且滿足 .
BC BD
(1)求證： ACD BCD；
(2)若 tan A tan B 3 tan A tan B 3 0 ，CD 2，求VABC 的面積的最小值.
【答案】(1)證明見解析
(2) 4 3
AC AD sin ADC sin BDC
【分析】（1）因為
AC BC
，所以
BC BD AD BD
，由正弦定理可得 ，則可得
sin ACD sin BCD
sin ACD sin BCD ，則得 ACD BCD；
2π
（2）由 tan A tan B 3 tan A tan B 3 0 ，化簡可得 tan A B 3 ，則得 c ，3
ACD BCD π ，因為 S△ABC S△ACD S△BCD ，則可得 AC BC 2 AC BC ，再由基本不等式可得3
AC BC 4 AC BC ，即 AC BC≥16，則得到VABC 的面積的最小值.
【詳解】（1）
AC AD AC sin ADC
在VACD中，由正弦定理 ，得 ，
sin ADC sin ACD AD sin ACD
BC BD BC sin BDC
在△BCD中，由正弦定理 ，得 ，
sin BDC sin BCD BD sin BCD
AC AD
AC BC
sin ADC sin BDC
因為 ，所以 ，所以 ，
BC BD AD BD sin ACD sin BCD
因為 ADC BDC π，所以 ADC π BDC ，
所以 sin ADC sin π BDC sin BDC ，
所以 sin ACD sin BCD ，
又因為 ACD， BCD 0, π ，且 ACD BCD < π ，
所以 ACD BCD .
（2）因為 tan A tan B 3 tan A tan B 3 0 ，
所以 tan A tan B 3 1 tan A tan B ，
tan A tan B
所以 tan A B 3 ，
1 tan A tan B
因為0 < A B π A B
π
< ，所以 ，所以C π A 2π B 3 ，3
π
由（1）知 ACD BCD，則 ACD BCD ，
3
因為 S△ABC S△ACD S△BCD ，
1 AC BC sin 2π 1所以 AC CD sin
π 1
BC CD sin π ，
2 3 2 3 2 3
又CD 2，
所以 AC BC 2AC 2BC 2 AC BC
因為 AC BC≥ 2 AC BC ，
所以 AC BC 2AC 2BC 2 AC BC 4 AC BC ，
所以 AC BC≥16，當且僅當 AC BC 4時等號成立，
所以VABC 1 3的面積的最小值為 16 4 3 .
2 2
3．（2024·山東濟南·二模）如圖，已知平面四邊形 ABCD中， AB BC 2 2,CD 2, AD 4 .
(1)若 A, B,C, D 四點共圓，求 AC ；
(2)求四邊形 ABCD面積的最大值.
【答案】(1) AC 3 2
(2) 3 7 .
【分析】（1）在VABC 、VACD中分別利用余弦定理表示出 AC 2 ，再由四點共圓得到
cos ADC cos ABC ，即可求出 AC ；；
（2）由（1）可得 cos ADC cos ABC
1
，再由面積公式得到 sin ADC sin
S
ABC ，將兩式平方再
4 4
2 2cos ADC ABC 1 S
2
相加得到 ，結合余弦函數的性質計算可得.
16
【詳解】（1）在VABC 中，由余弦定理得： AC 2 AB2 BC 2 2AB × BCcos ABC
8 8 2 8 ×cos ABC 16 16cos ABC ，
在VACD中，由余弦定理得： AC 2 AD2 CD2 2AD ×CDcos ADC
16 4 2 8 ×cos ADC 20 16cos ADC ，
因為 A, B,C, D 四點共圓，所以 ABC ADC π，因此 cos ADC cos ABC ，
上述兩式相加得：2AC2 36，所以 AC 3 2 （負值已舍去）.
（2）由（1）得：16 16cos ABC 20 16cos ADC ，
1
化簡得 cos ADC cos ABC ，
4
cos2則 ADC 2cos ADC cos ABC cos2 ABC
1
①，
16
四邊形 ABCD的面積 S
1 1
AB × BCsin ABC AD ×CDsin ADC
2 2
1
2 2 2 2sin ABC 1 2 4sin ADC
2 2
4 sin ADC sin ABC ，
整理得 sin
S
ADC sin ABC ，
4
2
則 sin2 ADC 2sin ADC sin ABC sin2 ABC S ②
16
2
①②相加得： 2 2 cos ADC cos ABC sin ADC sin ABC 1 S ，
16
2
即 2 2cos ADC ABC 1 S ，
16
由于0 < ADC < π,0 < ABC < π ，
所以當且僅當 ADC ABC π時， cos ADC ABC 取得最小值 1，
2
此時四邊形 ABCD 1 S的面積最大，由 4 ，解得 S 3 7 ，
16
故四邊形 ABCD面積的最大值為3 7 .
4．（23-24 高一下·吉林長春·期中）已知銳角三角形 ABC 的內角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，且
3ccos A csin A 3b .
(1)求角C 的大小；
(2)若 c 2，角A 與角 B 的內角平分線相交于點 D，求△ABD 面積的最大值.
π
【答案】(1) C
3
(2) 3
3
【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再由誘導公式及兩角和的正弦公式化簡得到 sin C 3 cosC ，即可得
解；
ADB 2π
π π
（2）依題意 ，設 DAB a

，由三角形為銳角三角形求出a , ，在△ABD 中利用正弦定3 12 4
理表示 AD ，即可表示出 SVABD ，再由三角恒等變換公式及正弦函數的性質計算可得.
【詳解】（1）因為 3ccosA csinA 3b ，
由正弦定理得 3 sin C cos A sin C sin A 3 sin B 3 sin A C ，
所以 3 sin C cos A sin C sin A 3 sin AcosC 3 sin C cos A，
所以 sin C sin A 3 sin AcosC ，
tan C sin C又0 < A < π ，得 sin A 0，所以 sin C 3 cosC ，即 3 ，cosC
π
由0 < C < π，解得C ；
3
（2）由題意 CAB CBA
2π
， DAB DBA
1
CAB CBA π ，
3 2 3
ADB 2π π所以 ，設 DAB a ，\ ABD a ，
3 3
π π
Q0 π< 2a < ，又Q ABC π
π 2π 2π
2a 2a ，則0 < 2a
π
< ，\a
, ，
2 3 3 3 2 12 4
在△ABD AB AD中，由正弦定理可得： .sin ADB sin ABD
2 AD
即 sin 2π

sin π
4 π
a ，\ AD sin 3
a
3
，
3 3
1
\SVABD AB × AD ×sina
1
2 4 sin π a sina
2 2 3 3
4
sin
π cosa π cos sina
3 3 3
sina

2sina cosa 2 sin2 a 2 1 cos 2a 3 3 sin 2a × sin 2a cos 2a
3 3 2 3 3
2 3 3
sin 2a
1 cos 2a 3 2 3 sin
2a π 3 ，
3 2 2 3 3

6 3
Qa π , π 2a π π , 2π sin 2a π
3 ù
，\ ，\ ,1 ，
12 4 6 3 3 6


ú
2
2 3 sin 2a π 3
3 3 3 ù 3 3 3 ù
\ 3 6 3
, ，即 S
3 3 ú VABD
,
3 3 ú
，

3
所以△ABD 面積的最大值為 .
3
5．（23-24 高三上·江西·期末）如圖，在△ABC 中，AB=BC=2，D 為△ABC 外一點，AD=2CD=4，記∠BAD=α，
∠BCD=β.
(1)求 2cosa cos b 的值；
(2)若△ABD 2 2的面積為 S1，△BCD 的面積為 S2 ，求 S1 S2 的最大值.
3
【答案】(1)
2
31
(2)
2
【分析】（1）利用余弦定理，進行轉換即可；
3 31
（2）根據題意，由（1）知2cosa cos b ，求出 S 2 2
2 1
S2 取得最大值，最大值為 .2
【詳解】（1）在VABD 中，由余弦定理，得BD2 AB2 AD2 2AB × ADcosa 20 16cosa ，
在△BCD中，由余弦定理，得BD2 BC 2 CD2 2BC × CDcos b 8 8cos b ，
所以 20 16cosa 8 8cos b ，
所以8 2cosa cos b 12 ，
2cosa cos b 3 .
2
（2）由題意知 S
1
1 AB × ADsin BAD 4sina ， S
1
2 2
BC ×CDsin BCD 2sin b ，
2
S 21 S
2
2 16sin
2 a 4sin2 b 16 1 cos2 a 4 1 cos2 b
所以 ，
20 16cos2 a 4cos2 b
3 1
由（1）知，2cosa
3
cos b ，所以 cos b 2cosa , cosa ,1 ，2 2 4
2
所以 S 2 21 S2 20 16cos
2 a 4 2cosa 3 32cos2 a 24cosa 11
2
2
32 3 31 cosa 8
，
2
3 1
所以當 cosa ,1
31
時， S
2
1 S
2
2 取得最大值，最大值為 .8 4 2
考點二、周長類最值及范圍問題
A
1．（2024·安徽淮北·二模）記VABC 的內角 A, B,C 2的對邊分別為 a,b,c，已知 c b 2csin
2
(1)試判斷VABC 的形狀；
(2)若 c 1，求VABC 周長的最大值.
【答案】(1) VABC 是直角三角形
(2) 2 1
cos A b【分析】（1）根據題意，求得 ，利用余弦定理列出方程，得到 a2 b2 c2 ，即可求解；
c
（2）由（1）和 c 1，得到 a sin A, b cos A，則VABC 周長為1 sin A cos A，結合三角函數的性質，即
可求解.
c b 2csin2 A sin2 A c b 1 cos A c b【詳解】（1）解：由 ，可得 ，所以 ，
2 2 2c 2 2c
1 cos A 1 b b
即 ，所以 cos A ，
2 2 2 2c c
b2 c2 a2 b π
又由余弦定理得 ，可得 a2 b2 c2 ，所以C ，
2bc c 2
所以VABC 是直角三角形
（2）解：由（1）知，VABC 是直角三角形，且 c 1，可得 a sin A, b cos A，
所以VABC 周長為1 sin A cos A 1 2 sin A
π


，
4
A π π π 3π因為
0, ，可得 A , ，
2 4 4 4

所以，當 A 時，即VABC 為等腰直角三角形，周長有最大值為 2 1.4
sin C sin A sin B
2．（2024·四川南充·模擬預測）在VABC 中， .
sin A sin B sin B sin C
(1)求A ；
(2)若BC 3，求VABC 周長的最大值.
2π
【答案】(1)
3
(2) 3 2 3
【分析】（1）利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理計算可得；
（2）利用余弦定理及基本不等式求出b c 的最大值，即可得解.
sin C sin A sin B c a b
【詳解】（1）因為 ，由正弦定理可得 ，
sin A sin B sin B sin C a b b c
即bc c2 a2 b2 ，
2
cosA b c
2 a2 bc 1
由余弦定理 ，
2bc 2bc 2
Q A 0,π 2π，\ A .
3
（2）因為 a2 b2 c2 2bc cos A b2 c2 bc 9，
即 b c 2 bc 9，
b c 2 Qbc ，當且僅當b c 時取等號，
2
2
\9 b c 2 bc b b c 3 c 2 b c
2
，即b c 2 3 ，
2 4
又b c a 3，所以3 < b c 2 3 ，當且僅當b c 3時取等號，
\VABC 周長 L a b c 3 2 3，
即VABC 周長的最大值為3 2 3.
a
3．（2024·湖南常德·一模）已知VABC 的內角 A, B,C 的對邊分別是 a,b,c，且 2b .
cosC
(1)判斷VABC 的形狀；
(2)若VABC 的外接圓半徑為 2 ，求VABC 周長的最大值.
【答案】(1)等腰三角形
(2) 3 6
【分析】（1）使用正弦定理對條件進行邊化角，再用三角恒等變換證明 B C ；
（2）先用基本不等式證明sin A sin B sinC 3 3 ，然后利用正弦定理與外接圓半徑的關系可得到
2
a b c 3 6 ，最后說明等號可以取到，即得結果.
【詳解】（1）由正弦定理并結合已知有
sin B cosC sin C cos B sin B C sin A a sin B 2bcosC sin B 2sin B cosC .
b b
故 sin B cosC sin C cos B，從而 sin B C sin B cosC sin C cos B 0 .
由于B,C 0, π ，從而B C π, π ，故由 sin B C 0可知 B C ，所以VABC 一定是等腰三角形.
（2）設VABC的外接圓半徑為 R .
一方面，我們有 sin A sin B sin C sin B C sin B sin C
sin B cosC sin C cos B sin B sin C
2sin B × 3 cosC 2sin C × 3 cos B
sin B sin C
2 3 2 3
sin2 B 3cos2 C sin2 C 3cos2 B
sin B sin C
2 3 2 3
sin2 B 3 3sin2 C sin2 C 3 3sin2 B
sin B sin C
2 3 2 3
3
sin2 B 3 sin B sin2 C sin C 3
3 3
2 2
3 sin B 3 3 sin C 3 3 3 3 3
3 2

3
，
2 2 2
故 a b c 2R sin A 3 3 3 3 sin B sin C 2R × 2 2 × 3 6 ；
2 2
π
另一方面，當VABC是邊長為 6 的等邊三角形時，有 a b c 6 ， A B C .3
a 6 R a 6 1 2 6 2b
2
此時 cosC ， 2sin A ，且 a b c 3 6 .
2 2
3
×
2
所以VABC 周長的最大值是3 6 .
【點睛】關鍵點點睛：值得一提的是，第 2 小問證明 a b c 3 6 時并不需要使用第 1 小問得到的 B C .
若使用該條件，則 sin A sin B sin C 可化為 2 sin B cos B sin B ，然后再利用
2
sin B × 3 cos B 2sin B sin B 3cos
2 B sin B 3
3 3 3

3
sin B 亦可得到結果. 但這樣并未從本質3 2 3 2 4
上減少工作量，反而使解析失去了一般性和啟發性，因此本解析不采用此法.
4．（2024·山西·三模）已知VABC 的內角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，滿足 2cos Acos B
C
2sin2 ．
2
(1)試判斷VABC 的形狀；
(2)若VABC 的外接圓半徑為 2，求VABC 周長的最大值．
【答案】(1) VABC 為等腰三角形
(2) 6 3
【分析】（1）根據題意結合三角恒等變換可得 cos A B 1，結合 A, B 0, π 分析求解；
π
（2）利用正弦定理可得VABC 周長 L 8sin A 4sin 2A，構建函數 f x 8sin x 4sin 2x, x 0, ，利用
2
導數求最值，即可得結果.
2cos Acos B 2sin2 C【詳解】（1）由題意可知： 1 cosC 1 cos A B
2
1 cos Acos B sin Asin B ，
整理得 cos Acos B sin Asin B cos A B 1，
且 A, B 0, π ，則 A B π, π ，可知 A B 0，即 A B ，
所以VABC 為等腰三角形.
a b c
（2）由正弦定理 4 ，可得 a 4sin A,b 4sin B,c 4sin C ，
sin A sin B sin C
則VABC 周長 L a b c 4sin A 4sin B 4sin C 4sin A 4sin B 4sin A B ，
π
由（1

）可知： A B 0, ，
2
可得 L 4sin A 4sin A 4sin 2A 8sin A 4sin 2A，
構建函數 f x 8sin x 4sin 2x, x 0,
π
，
2
則 f x 8cos x 8cos 2x 8 cos x 1 2cos x 1 ，
因為 x
π
0, ，則 cos x 0,1 ，
2
x 0, π cos x 1 ,1 當 3
時， ，則 f x > 0；
2
x π , π 當 時， cos x 0,
1 f x < 0
3 2 ，則 ； 2
可知 f x π π在 0, π 3 內單調遞增，在 , 內單調遞減， 3 2
f x f π 則 3 6 3，
所以當且僅當VABC 為等邊三角形時，VABC 周長取到最大值6 3 .
1．（2024 高三下·全國·專題練習）在VABC 中，內角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，
sin2 B (cos A cosC)(cos A cosC) sin(A B)sin(A C)．
(1)求 A；
(2)設a 4 3，求VABC 周長的最大值．
π
【答案】(1) A 3 ；
(2)12 3 .
【分析】（1）將原等式轉化為角的正弦的齊次式，再利用正、余弦定理求出角 A 的余弦值即得.
（2）利用（1）的信息，結合基本不等式求解即得.
【詳解】（1）在VABC 中，由 sin2 B (cos A cosC)(cos A cosC) sin(A B)sin(A C)，
得 sin2 B cos2 A cos2 C sin(π C)sin(π B) ，即 sin2 B sin2 C sin2 A sin C sin B ，
2 2 2
由正弦定理得b2 2 2
b c a 1
c a bc ，由余弦定理得 cos A ，又 A 0, π ，2bc 2
所以 A
π
.
3
π
（2）由（1）知， A ，b2 c2 23 a bc ，又a 4 3，
2 2
則 48 b c bc (b c)2 3bc (b c)2
3
(b c)2 1 (b c)2 ，
4 4
于是b c 8 3 ，當且僅當b c 4 3時取等號，
所以VABC 周長的最大值為 4 3 8 3 12 3 .
ur r
2．（2024·湖南衡陽·模擬預測）在VABC 中，內角 A, B,C 所對的邊分別為 a,b,c，已知向量m, n滿足
ur r
mr 2a, 6 r ， n 2sinB,b ，且m ^ n．
(1)求角A ；
(2)若VABC 是銳角三角形，且 a 3，求VABC 周長的取值范圍．
π 2
【答案】(1) A 或 π .3 3
(2) (3 3 3,9]
ur r
【分析】（1）由m ^ n，得到 2a × 2sinB 6b ，再利用正弦定理求解；
π π
（2）根據 a 3和 A 3 ，利用正弦定理得到外接圓的半徑，然后由
b c 6sin B 求解.
6
ur r
【詳解】（1）解：∵ m ^ n，
∴ 2a × 2sinB 6b 0，即 2a × 2sinB 6b .
由正弦定理得 2sin Asin B 3 sin B .
∵ sin B 0 ，∴ sin A 3 ，
2
∵ A (0, π) ∴ A π 2， 或 π .3 3
（2）∵ a 3，且三角形 ABC 為銳角三角形，
∴ A π .3
a b c 3
2 3
∴由正弦定理得 sin A sin B sin C 3 .
2
∴ b 2 3sin B， c 2 3sinC .
b c é 2π ù∴ 2 3 sinB sinC 2 3 sinB sin B ê ，
3
ú


2 3 sinB
3 cosB 1 sinB 2 3
3 3
2 2
sinB cosB ，
2 2
2 3 3

3sinB cosB 3 3 1 π 2 sinB cosB 2 2 2 6sin B . 6
π
又∵ VABC 為銳角三角形，∴ 0 < B < ，
2
∴ 0
2 π B π π B π π B π 2π< < ，得 < < ， < < .
3 2 6 2 3 6 3
3 π 3 3 6sin B ∴ < sin(B ) 1， < 6，
2 6 6
∴ 3 3 < b c 6，又∵ a 3，
∴ 3 3 3 < a b c 9 .
∴ VABC 的周長的取值范圍為 (3 3 3,9] .
3．（2024·四川綿陽·模擬預測）已知在VABC 中，D 為 BC 邊的中點，且 AD 5．
(1)若VABC 的面積為 2，cos 5 ADC ，求 B ；
5
(2)若 AB2 AC 2 18，求VABC 的周長的最大值．
π
【答案】(1)
4
(2)10
【分析】（1）根據題意，利用三角形的面積公式，求得BD 1，由余弦定理，求得 AB 2 2 ，再由正弦定
2
理求得 sinB ，進而求得 B 的值；
2
（2）設CD BD x，分別在△ABD 和VACD中，利用余弦定理，列出方程求得 x 2，結合
AB AC 2 2 AB2 AC 2 ，即可求解.
【詳解】（1）解：因為VABC 的面積為 2，且D為BC 的中點，
1
可得 SVABD AD BD sin ADB 1，2
又因為 sin ADB 2 5 sin ADC ，可得BD 1，所以BC 2
5
在△ABD 中，由余弦定理得 AB2 AD2 BD2 2AD × BD ×cos ADB
( 5)2 12 2 5 1 2 5 8，所以 AB 2 2 ，
5
AB AD
由正弦定理 ，可得
sin ADB sinB sinB
2
，
2
因為 ADC ADB π 5且cos ADC ，
5
可得 cos ADB cos(π ADC) 5 cos ADC < 0，
5
π
即 ADB 為鈍角，所以 B 為銳角，所以B .
4
（2）解：設CD BD x，分別在△ABD 和VACD中，
由余弦定理 AB2 AD2 BD2 2AD × BD ×cos ADB，
即 AB2 x2 5 2x × 5 cos ADB ，同理可得 AC 2 x2 5 2x × 5 cos ADB，
所以 AB2 AC 2 2(x2 5) 18，可得 x 2，
2 2 2
又因為 AB AC 2 AB AC 36 ，當且僅當 AB AC 時，等號成立，
所以 AB AC 6，所以VABC 周長的最大值為10．
4．（2024·貴州貴陽·三模）已知VABC 的內角 A、B、C 所對的邊長分別為 a、b、c，且滿足
cosC c c cos A .請回答下列問題:
a
(1)證明: VABC 為等腰三角形;
(2)若VABC 的外接圓直徑為 1，試求VABC 周長的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析
3 3 ù
(2) 0， ú
2
【分析】（1）由正弦定理可得 sin B sin C ，因此可證得該三角形為等腰三角形；
（2）由（1）可得角 B 的范圍，由正弦定理可得 a，b ， c的表達式，進而求出周長的表達式，利用導數求
周長的取值范圍．
c c cos A
【詳解】（1）證明：因為cosC ，由正弦定理可得 sin AcosC sin C cos A sin C ，
a
即 sin(A C) sin C ，
在三角形中， sin(A C) sin B ，
所以 sin B sin C ，又因為B，C 均為三角形的內角，即 B C ，
即證得VABC 為等腰三角形；
π
（2）由（1）可得C B (0, )2 ，
a b c
由正弦定理可得 2R，而 2R 1，
sin A sin B sin C
所 sin A sin( 2B) sin 2B，b sin B， c sin C sin B ，
所以 a b c sin 2B 2sin B，
設 f (x) sin 2x 2sin x， x (0,
π)，
2
則 f (x) 2cos 2x 2cos x (2cos x 1)(2cos x 2)，
當 x (0,
π) 時， f (x) 0 ， f (x)3 在定義域內單調遞增，
x ( π , π當 )時， f (x) < 0 ， f (x) 在定義域內單調遞減．
3 2
f x f π 3 3所以 max ， 3 2
f (0) 0 f (π， ) 2 ，所以 f (x) (0, 3 3 ]．
2 2

0, 3 3
ù
所以，VABC 周長的取值范圍是 2 ú ．
5．（2024·云南曲靖·二模）在VABC 中，角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，且 acosC 3csinA b c .
(1)求角 B 的取值范圍；
(2)已知VABC 3內切圓的半徑等于 ，求VABC 周長的取值范圍.
2
0, 2π 【答案】(1) 3
(2)答案見解析
π 1
【分析】（1）由正弦定理可得 sinAcosC 3sinCsinA sinB sinC ，利用三角恒等變換可得 sin A ，
6 2
可求角 B 的取值范圍；
（2）由三角形的面積可求得 a b c bc ，結合余弦定理可得 (bc)2 2bc(b c) (b c)2 (b c)2 3bc，
計算可得b c 2或b c 6，進而可求得
VABC 的周長 L a b c b2 c2 2bc cos A b c ，設VABC 與圓內切于點D, E, F ，
b c AC AB AD AF 3，進而分析可得VABC 的周長的取值范圍.
【詳解】（1）Qa cosC 3c sin A b c
由正弦定理得： sinAcosC 3sinCsinA sinB sinC ，
\sin AcosC 3 sin C sin A sin B sin C ，\sin AcosC 3 sin C sin A sin(A C) sin C ，
\ 3sinCsinA cosAsinC sinC .
Qsin C 0 3 sin A π 1，\ cos A 1 \sin ， A .
6 2
Q π A π 5π A π π < < ， \ ，\ A
π
，
6 6 6 6 6 3
2π
\ 角 B 的取值范圍是 0, .
3
2 QS 1（ ） bc sin A 3 bc, S 1 a b c ·r 3 a b c ，
2 4 2 4
\a b c bc ，即 a b c bc ，
由余弦定理得： a2 b2 c2 bc .
\(bc)2 2bc(b c) (b c)2 (b c)2 3bc ，
\bc 2 b c 3 . \(bc)2 2bc 2(b c) 3，
b c 2Qbc （當且僅當b c 時取等號），
2
2
\2(b c) 3 (b c) ,\b c 2或b c 6 .
4
設VABC 與圓內切于點D, E, F ，則 AD AF rgtan 60
3
° .
2
\b c AC AB AD AF 3
\b c 6（當且僅當b c 3時取等號）.
VABC 的周長 L a b c b2 c2 2bc cos A b c ，
(b c)2 3bc b c (b c)2 3(b c )2 b c
2
3
(b c) 9（當且僅當b c 3時兩處都取等號）.
2
\Lmin 9，
Qc AB DB r 3 2π B B (< B < )，tan 2 tan 3
2 2
\B 0時， c ， L ,
\VABC 的周長的取值范圍是 9, .
考點三、邊長類最值及范圍問題
1．（2024·陜西西安·一模）已知△ABC 為鈍角三角形，它的三個內角 A、B、C 所對的邊分別為 a、b、c，且
sin2 C sin2 B π π sin( B) cos( B) ， a < c，b < c ．
3 6
(1)求 tan(A B) 的值；
(2)若△ABC 的面積為12 3 ，求 c 的最小值．
【答案】(1) 3
(2)12
【分析】（1）由三角恒等變換化簡可得 sin C ，再由同角三角函數的基本關系及誘導公式得解；
（2）由三角形面積公式、余弦定理及重要不等式即可求解.
sin2 C sin2 B sin(π B) cos( π B) sin2 B 1 ésin π 2B sin π ù【詳解】（1）因為 ê 3 6 2 2 6 ú
sin2 B 1 cos 2B 1 sin2 B 1 1 2sin2 B 1 3 ，2 2 2 4 4
因為 sin C 0 3，所以 sin C ，
2
由△ABC 為鈍角三角形且 a < c，b < c 知，C 為鈍角，
1
所以 cosC ，即
2 tan C 3
，
所以 tan(A B) tan π C tan C 3 .
（2 1）因為 S△ABC absin C
3
ab 12 3 ，
2 4
所以 ab 48，
由余弦定理， c2 a2 b2 2ab cosC a2 b2 ab 3ab 144 ，
當且僅當 a b 4 3時，等號成立，
此時 c2 的最小值為144，所以 c 的最小值為12 .
2．（2024·貴州遵義·一模）記VABC 的內角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，已知
3b a sin C 3a cosC ．
(1)求 A；
(2)若VABC 為銳角三角形， c 2，求 b 的取值范圍．
π
【答案】(1) A ;3
(2)1 < b < 4 .
【分析】（1）根據給定條件，利用正弦定理邊化角，再利用和角的正弦公式求解即得.
（2）利用正弦定理、和角的正弦公式化簡，再利用正切函數的取值范圍求解即得.
【詳解】（1）在VABC 中，由 3b a sin C 3a cosC 及正弦定理，
得 3 sin B sin Asin C 3 sin AcosC ，
則 3 sin AcosC sin Asin C 3 sin(A C) 3 sin AcosC 3 cos Asin C ，
即 sin Asin C 3 cos Asin C ，而 sin C 0，于是 tan A 3 ，
又0 < A
π
< π ，所以 A .3
2π
π
（2）由（1
2sin( C)
）知， A 3 ，由正弦定理得b
c sin B 3 3 cosC sin C 3 1，
sin C sin C sin C tan C
ì0 C π < <
V 2 π π由 ABC 為銳角三角形，得 í ，解得 < C < ，
0 2π C π< < 6 2
3 2
tan C 1 1則 ，\ < 3 ,則1 < b < 4 ，
3 tan C
所以 b 的取值范圍是1 < b < 4 .
3．（2024·山西晉中·三模）在VABC 中，角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，已知b2 c2 bc a2 .
(1)求 tanA；
(2)若b 3 1 c，在邊BC 上（不含端點）存在點D，使得 AD 1，求 a的取值范圍．
【答案】(1) 3
6 ù
(2) ,3 3ú
2
【分析】（1）直接用余弦定理求得 cos A，進而得到 tan A；
π π
（2）思路一：利用正弦定理三角恒等變換得B ,C ，進一步結合正弦定理得
4 12
6 q πa b 3 3 sinq ，由 ,11π 即可求解；思路二：設邊BC 上的高線長為 h ，則4 12 AD 長度的取值范2
圍是 h,b ，從而條件等價于 h 1 < b，最后用 a表示 h 和b ，即可求出 a的范圍.
b2 c21 a
2 b2 c2 b2 c2 bc 1
【詳解】（ ）由余弦定理得 cos A ，所以
2bc 2bc 2
sin A 1 cos2 A 1
1

tan A 4 3 .
cos A cos A 1
2
（2）方法一：因為b 3 1 c，所以 sin B 3 1 sin C ，
1 2π
由（1）知道 cos A ，所以 A ，
2 3
所以C
π
B，
3
sin B 3 1 sin C sin B 3 1 sin π B 3 1 3 cos B 1 所以由 ，可得 3 sin B2 2 ，
從而 3 3 sin B 3 3 cos B 0（因為 sin B 0），
π π
所以 tan B 1，結合 B 是三角形內角可知，B ,C ，
4 12
π 11π
當 AD 1時，在三角形 ACD中，設 ADC q ，則q ,4 12 ，
b sinq b sinq
由正弦定理得 ，故 sin π ，AD sin C 12
因為 sin C sin
π
sin π π 3 2 1 2 6 2 ，12 3 4 2 2 2 2 4
所以b 6 2 sinq ，
2π
a sin BAC sin
ABC 3
6
在三角形 中，由正弦定理得 ，
b sin B sin π 2
4
a 6故 b 3 3 sinq ，2
q π 11π 因為 , ，
4 12
6 2 ù
所以sinq 的取值范圍是 ,14 ú ，
ù
所以 a
6
的取值范圍是 ,3 3ú .
2
方法二：在本小問的解析中，所有“線段BC 上”均不含端點 B 和C .
由 cos A
1
< 0知角A 是鈍角，所以角B,C 都是銳角，
2
這表明點A 在直線BC 上的投影 H 在線段BC 上.
設 AH h，則由 H 在線段BC 上及b 3 1 c c 可知，
對線段BC 上的點D， AD 長度的取值范圍是 h,b ，所以條件等價于 h 1 < b .
b2 2 2 3 1 2 1 3 1 2
而我們有 a2 b2 c2 bc b2 b b 3b ，
2 23 1 3 1 3 1 2
6
故b a .
3
由于 sin A 1 cos2 A 1 1 3 ，
4 2
h ah 2S
2 2
VABC
bc sin A 3b 3a a
故我們又有 a a a 2 3 1 a 3 3 1 a 3 3 .
a
所以條件等價于 1 6< a 6，即 < a 3 3 .
3 3 3 2
6 ù
綜上， a的取值范圍是 ,3 3 .
2
ú

1．（2024·全國·模擬預測）已知VABC 的三個內角 A, B,C 所對的邊分別為 a,b,c，滿足
b c sin C sin B 2a cosC sin A sin B ．
(1)求角C ．
(2)當VABC 面積的最大值為 4 3 時，求 c的值．
π
【答案】(1) C
3
(2) c 4
【分析】（1）利用正弦定理角化邊，然后整理，利用余弦定理得答案；
（2）先利用余弦定理及基本不等式求出 ab的最值，然后代入面積公式計算即可.
【詳解】（1）因為 b c sin C sin B 2a cosC sin A sin B ，
所以由正弦定理，得 b c c b 2a cosC a b ，
所以 c2 b2 2a2 cosC 2ab cosC ．
2 2 2
由余弦定理，得 c2 b2 2ab a b c × 2a2cosC ，
2ab
所以 a2 2a2 cosC ，所以 cosC
1
．
2
π
因為C 0, π ，所以C ；
3
（2 1 3）由三角形的面積公式，得 S absinC ab ．
2 4
由余弦定理得 c2 a2 b2 2ab cosC a2 b2 ab 2ab ab ab，
當且僅當 a b時，等號成立，則 ab的最大值為 c2 ，
所以 S 3 c2max 4 3 ，解得 c 4（負值舍去）．4
2．（2024·四川·三模）三角形 ABC 中，角 A, B,C 1 sin 2B cos 2B 3的對邊分別為 a,b,c，且 .
sin 2B 2sin2 B 3
(1)求 B ；
(2)若 AC 邊上的中線長為 2，求b 的最小值.
π
【答案】(1) B 3
(2) 4 3
3
【分析】（1）利用二倍角的正余弦公式化簡即可得解；
（2）利用向量化及余弦定理結合基本不等式即可得解.
1 1 sin 2B cos 2B 3【詳解】（ ）由 ，
sin 2B 2sin2 B 3
2sin B cos B 2cos2 B 3 2cos B sin B cos B 3
得 ，即 ，
2sin B cos B 2sin2 B 3 2sin B cos B sin B 3
cos B 3
所以 ，即 tan B 3 ，
sin B 3
又B 0, π π，所以 B 3 ；
（2）設 AC 的中點為D，
uuur uur uuur
則 2BD BA BC ，
uuur2 uuur2 uuur2 uuur uuur
平方得 4BD BA BC 2BA × BC ，即16 a2 c2 ac 3ac，
16 4 3
所以 ac ，當且僅當 a c 時取等號，3 3
2 2 2 π 2 2
由余弦定理得b a c 2ac cos a c ac 16 2ac ，
3
ac 16 b2 16 2 16 16因為 ，所以 ，
3 3 3
b 4 3 4 3即 的最小值為 ，當且僅當 a c 時取等號.
3 3
3．（2024·全國·模擬預測）記銳角三角形 ABC 的內角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，已知
(a c) é 2 b (a c)
2
ù tan B 2abc(sin A sin C)．
(1)求 B 的大小．
(2)若VABC 的面積為 2 3 ，求b 的取值范圍．

【答案】(1) B
3
(2) é 2 2,2 3
【分析】（1）切化弦后角化邊可得 a c é b
2 a c 2 ù b 2abc a c ，結合余弦定理可得cosB
cosB cosB 1，可求得 B ；
b2 6
（2）由面積可得 sinAsin 2 A ，結合 A 的范圍以及三角恒等變換可得b 的取值范圍.
3
2 2 sinB
【詳解】（1）由已知條件可知 a c é b a c ù 2abc sinA sinC ，cosB
2 2 b
則由正弦定理，得 a c éb a c ù 2abc a c ．cosB
b2 a2 c2 a2 c2 b2
整理，得 cosB 1．由余弦定理知 cosB ，
2ac 2ac
cosB cosB 1 cosB 1則 ，所以 ．
2
B 又
0, ，所以B ．
2 3
A C 2 C 2 （2）由（1）可知， ，則 A．
3 3
ì
0

< A < ,
2
因為VABC 為銳角三角形，所以 í 解得 < A <
0 2
．
< A < , 6 2
3 2
a c b 2b
由正弦定理，得 a
2b
，所以 sinA,c
2b
sin 2 A
sinA sinC sinB ．3 3 3 3
VABC 1 acsinB 1 2b sinA 2b sin 2 A 3因為 的面積為 2 3 ，所以 × × × 2 3 ，2 2 3 3 3 2
b2 6 2 3
所以 sinAsin 2 A ．易知 sinAsin A sinA cosA
1
sinA


3 3


2 2
3 1 1sinAcosA 1 sin2 A 3 1 1 sin2A cos2A sin 2A ．
2 2 4 4 4 2 6 4
1
又 < A <
5
，所以 < 2A < ，則 < sin 2A 16 6 6 ，6 2 2 6
1 1
所以 < sin
2A 1 3 ，
2 2 6 4 4
所以8 b2 <12．因為b 0，所以 2 2 b < 2 3 ，
故b 的取值范圍為 é 2 2,2 3 ．
考點四、邊長和差類最值及范圍問題
2sinB sinC
1．（2024·全國·模擬預測）在VABC 中，內角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，且2cosC ．
sinA
(1)求角A ；
uuur c uuur
(2)若BD DC ，且 AD 2，求b c 的最小值．
b
2π
【答案】(1) A 3
(2)8
【分析】（1）解法一:根據正弦定理，化簡得到b2 c2 a2 bc，再利用余弦定理得
b2 2cosA c a
2 1
，根據角的范圍求出即可；解法二：根據正弦定理，化簡得到 2cosA 1 sinC 0，
2bc 2
2b c
根據角的范圍求出即可；解法三：由題意及正弦定理得，2cosC ，化簡得到 2cosA 1 c 0，根據
a
角的范圍求出即可
uuur uuur uuur uuur2 1 1 1
（2）解法一：利用向量 AB, AC 表示 AD ，根據 AD 4列方程，整理得 ，然后利用基本不等式求b c 2
BD kc,CD kb,k 0 1 1 1最值即可，解法二：設 ，利用余弦定理可得 ，然后利用基本不等式求最值即
b c 2
可
2b c
【詳解】（1）解法一：由題意及正弦定理得，2cosC ；
a
2 2 2
2 a b c 2b c由余弦定理得， ，整理得b2 c2 a2 bc，
2ab a
b2 c2 a2 1
所以 cosA ．
2bc 2
又0 < A π A
2π
< ，故 3 ．
解法二：由題設可得， 2sinAcosC 2sinB sinC 2sin A C sinC ，
即 2sinAcosC 2sinAcosC 2cosAsinC sinC ，
整理得 2cosA 1 sinC 0．
又因為 sin C 0，所以 cos A
1
．又0 < A < π ，故 A
2π

2 3
，
2b c
解法三：由題意及正弦定理得，2cosC ，
a
所以2acosC 2b c 2acosC 2ccosA c ，
整理得 2cosA 1 c 0．
1
又因為 c 0，所以 cosA ．又0 < A < π ，故 A 2π 3 ．2
uuur c uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
（2）解法一：因為BD DC ，則 AD AB BD
c b c
AB BC AB AC ，
b c b c b c b
uuur2 b uuur c uuur
2
b2 uuur2 c2 uuur2 bc uuur uuur
所以 AD AB AC 2 AB 2 AC 2 2 AB × AC ． c b c b (c b) (c b) (c b)
uuur uuur uuur
因為 AD 2, AB c, AC b, BAC
2π
，
3
b2c2 b2c2 2 2
所以 4
2b c 2π
2 2 2 cos ，整理得b
2c2 4(b c)2 ．
(b c) (b c) (b c) 3
b 0,c 0 b+ c = 1 1 1 1因為 ，所以 bc ，即 ．
2 b c 2
b c 2 1 1 故 b c 2
c b c b
b c
2 4 2 2 × 8，
b c b c
當且僅當b c 4時，等號成立．
故b c 的最小值是 8．
uuur c uuur
解法二：因為BD DC ，所以設BD kc,CD kb,k 0 ．
b
設 ADB q ，
在VADB 中，由余弦定理得 c2 4 c2k 2 4ckcosq ①；
2 2 2
在△ADC 中，由余弦定理得b 4 b k 4bkcos π q ，即b2 4 b2k 2 4bkcosq ②．
① b ② c bc2 cb2，得 4 b c bck 2 b c ．因為b 0,c 0，
bc 4 bck 2所以 * ．
VABC (b c)2 k 2 b2 c2 2bccos 2π在 中，由余弦定理得 ，
3
2 2 2 2 k 2 1 bc即 (b c) k b c bc，則 * 2 2(b ，代入 整理得b c 4(b c)
2 ．
c)2
所以b+ c =
1 bc 1 1 1，即 ．
2 b c 2
則b c 2 1 1 b c 2 2 c b c b c b 4 2



4 2 2 × 8，
b c b c b c b c
當且僅當b c 4時，等號成立．
故b c 的最小值是 8．
1
2．（2024·上海嘉定·二模）在VABC 中，角A 、 B 、C 2 2的對邊分別為 a、b 、 c， cos B sin B ．
2
π
(1)求角 B ，并計算 sin B 6
的值；

(2)若b 3 ，且VABC 是銳角三角形，求a 2c的最大值．
π 2π π π 2π
【答案】(1) 或 ；當B sin
B 時， 1；當B 時， sin

B
π

1

3 3 3 6 3 6 2
(2) 2 7
【分析】（1）由題意，根據同角的平方關系可得 cos B
1 π
± ，求出 B，進而求出 sin(B )即可；
2 6
B π（2）由題意可得 3 ，求出 C 的范圍，根據正弦定理可得
a 2sin A,c 2sin C ，利用三角恒等變換化簡
計算得 a 2c 2 7 sin(C )（ tan 3 ），結合 的范圍和正弦函數的性質即可求解.
5
ìcos2 B sin2 B 1
2 1 1
【詳解】（1）由 í cos B ±
cos2 B sin2 1
，得 cos B ，則 ，

B 4 2
2
π 2π
又0 < B < π ，所以 B 或 .3 3
B π當 時， sin(B
π
) sin π 1
3 6 2 ；
B 2π sin(B π) sin 5π 1當 時， .
3 6 6 2
π
（2）若VABC 為銳角三角形，則 B 3 ，
ì
0 C
π
< <
2 π π
有 í ，解得 < C < .
0 A 2π< C π< 6 2
3 2
a c b 3
2
由正弦定理，得 sin A sin C sin B 3 ，則 a 2sin A,c 2sin C ，
2
所以 a 2c 2sin A 4sinC 2sin(2π C) 4sinC 3 2( cosC 1 sinC) 4sinC
3 2 2
5sinC 3 cosC 2 7 sin(C )，
tan 3 tan 3 3 tan π
π
其中 ，又 < ，所以0 < < ，
5 5 3 6 6
π 2π π
則 < C < ，故當C 時， sin(C )取到最大值 13 3 ，2
所以a 2c的最大值為 2 7 .
3．（2024·廣東湛江·一模）已知在VABC 中，角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，且
a cos B C a cos A 2 3c sin B cos A 0．
(1)求 A；
(2)若VABC 外接圓的直徑為 2 3 ，求 2c b 的取值范圍．
π
【答案】(1) A
3
(2) 3,6
【分析】（1）由兩角和與差的余弦公式、正弦定理化簡已知式即可得出答案；
（2）由正弦定理可得b 2 3 sin B,c 2 3 sin C ，由兩角差的正弦公式和輔助角公式可得
2c b 6sin C π ，再由三角函數的性質求解即可.
6
【詳解】（1）由 A B C π可得： A π B C ，所以 cos A cos B C ，
所以 a cos B C a cos B C 2 3c sin B cos A，
a cos B cosC a sin B sin C a cos B cosC a sin B sin C 2 3c sin B cos A，
a sin B sin C 3c sin B cos A，由正弦定理可得 sin Asin B sin C 3 sin C sin B cos A，
因為 sin C 0,sin B 0 ，所以 sin A 3 cos A，所以 tan A 3 ，
因為 A 0, π π，所以 A .
3
a b c
（2）由正弦定理可得 2R 2 3，
sin A sin B sin C
所以b 2 3 sin B,c 2 3 sin C ，
故 2c b 4 3 sin C 2 3 sin B 2 3 2sin C sin B ，
B 2π C,C 2π 又 A B C π，所以
3
0,
3
，

é 2π ù 3 3
所以 2c b 2 3 ê2sin C sin C ú 2 3 sin C cosC
3 2 2
6sin C
π
，又C
0, 2π π π π ，所以C ,6 3 6
，
6 2
所以 2c b 6sin
C π 3,6 ，所以 2c b 的取值范圍為 3,6 .
6
1．（2024·湖北·二模）已知VABC 的內角 A，B，C 的對邊分別為 a，b， c a < b ，
c 2a cos Acos B b cos 2A．
(1)求 A；
uuur 1 uuur uuur
(2)者BD BC ， AD 2，求b c 的取值范圍．
3
π
【答案】(1) A 3
(2) 12 7 < b c < 6
7
【分析】（1）借助正弦定理、三角形內角和與兩角差的正弦公式計算即可得；
（2）借助向量的模長與平方的關系，結合數量積公式計算可得 (b c)2 3c2 36，借助三角函數的性質，可
12 7
令b c 6cosa ， 3c 6sina ，結合余弦定理計算可得 < 6cosa < 6 ，即可得解.
7
【詳解】（1）由正弦定理得 sin C 2sin Acos Acos B sin B cos 2A，
則 sin C sin 2Acos B sin B cos 2A，
則 sin C sin 2A B ，QC π A B ，\sin A B sin 2A B ．
π
即 A B 2A B或 A B π 2A B ，解得 A 2B或 A 3 ．
因為 a < b π，所以 A < B ，所以 A 2B舍去，即 A 3 ；
uuur 1 uuur uuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur（2）由BD BC 得 AD AB AC AB ，則 AD 1 AC 2 AB ，3 3 3 3
uuur
| AD |2 1則 b2
4 c2 4 bccos A
9 9 9 ，
4 1 b2 4 c2 2則 bc，則b2 4c2 2bc 36，即 (b c)2 3c2 36．9 9 9
π
令b c 6cosa ， 3c 6sina ，因為 c 0，b c 0，所以0 < a < ．2
π
因為b 6cosa 2 3 sina 0，所以 tana < 3，解得0 < a < ．3
π
由（1）得 A ，則 a2 b2 23 c 2bc cos A b
2 c2 bc ，
又因為 a < b ．所以 a2 < b2 ，所以b2 c2 bc < b2，
解得 c < b 3，所以 2 3 sina < 6cosa 2 3 sina ，解得 tana < ，
2
所以 0 < tana
3
< ．
2
π
令 tana
3
1 ，則 0 < a < a1 < 3 ，則
cosa1 < cosa < 1．2
cosa 2 7 12 7 6cosa 6 12 7因為 1 ，所以 < < ，即 < b c < 6．7 7 7
2．（2024·江西·模擬預測）在VABC 中，角A ， B ，C 所對的邊分別記為 a，b ， c，且
tan A cos B sin C ．
cosC sin B
B π(1)若 6 ，求C 的大小．
(2)若 a 2，求b c 的取值范圍．
C 2π【答案】(1)
3
(2) 2,
tan A cos B sin C【分析】（1）由 ，得 sin AcosC sin Asin B cos Acos B cos Asin C ，再利用兩角和差的
cosC sin B
正余弦公式化簡，進而可求得 A, B的關系，即可得解；
（2）利用正弦定理求出b,c，再根據 A, B的關系結合三角函數的性質即可得解.
tan A cos B sin C sin A cos B sin C【詳解】（1）因為 ，所以 ，
cosC sin B cos A cosC sin B
即 sin AcosC sin Asin B cos Acos B cos Asin C ，
即 sin AcosC cos Asin C cos Acos B sin Asin B ，
所以 sin A C cos A B ，即sin B cos A B ，
A,B (0,π) B A B π B A B π而 ，所以 或 ，
2 2
π π
所以 A 2B 或 A （舍去），
2 2
π
又因為 B ，所以 A
π

6 ，6
所以C
2π
；
3
（2）由（1）得 A
π
2B ，
2
a b c
因為 sin A sin B sin C ，
b a sin B 2sin B 2sin B 2sin B
所以 sin A sin A sin π 2B cos 2B ， 2
2sin π B
c a sin C 2sin C
2 2cos B ，
sin A sin A sin π 2B cos 2B
2
2 sin B cos B 2 sin B cos Bb c 2 2
則 cos 2B cos2 B sin2 B cos B sin B cos π ， B


4
ì
0 < B < π

0 π又由 í < 2B < π
π
，得0 < B < ，
2 4

0
π
< B < π
2
π B π π所以 < <
π 2
，所以0 < cos B < ，4 4 2 4 2
所以b c 2, .
3．（2024·山西呂梁·一模）設VABC 的內角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c ，已知
bcosC 2acosA ccosB ．
(1)求A ；
(2)設A 的角平分線交BC 于點M，AM 1，求b 4c 的最小值．
A 2π【答案】(1) 3
(2)9
【分析】（1）首先根據正弦定理將邊化為角，再結合三角恒等變換，即可求解；
（2）首先根據角平分線的性質，結合三角形的面積公式，求得b c bc ，再結合基本不等式，即可求解.
【詳解】（1）QbcosC 2a cos A c cos B .
由正弦定理，得 sin B cosC sin C cos B 2sin Acos A
\sin(B C) 2sin Acos A，即 sin A 2sin Acos A
Q A 0, π \sin A 0
\cos A 1 2π，即 A
2 3
（2）由題意可得， S△ABM S△AMC S△ABC
1
\ c × AM ×sin 60o 1 b × AM ×sin 60o 1 bc sin120o
2 2 2
\b c bc
1 1
即 1
b c
\b 1 1 b 4c b 4c 4c (b 4c)( ) 5 5 2 × 9
b c c b c b
b 4c 3
當且僅當 ，即b 3,c 時，等號成立，
c b 2
所以b 4c 的最小值為 9.
4．（2024·陜西安康·模擬預測）記VABC 的內角 A, B,C 所對的邊分別為 a,b,c，已知__________.
π
在① tan A 2 3 ，② 2b 2acosC c ，③ b c a b c a 3bc，這三個條件中任選一個填在
4
上面的橫線上，并解答問題.
(1)求角A ；
(2)若VABC 3的面積為 ，求 (b 1)2 (c 1)2 的最小值.
2
注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分.
π
【答案】(1)
3
(2) 6 4 2
【分析】（1）選擇①，由 tan
π
A 2 3 ，求得4 tanA 3
，即可求解；

1
若選②：由正弦定理得 2sinB 2sinAcosC sinC ，進而求得 cosA ，即可求解；
2
1
若選③：化簡求得b2 c2 a2 bc ，結合余弦定理，求得 cosA ，即可求解.
2
（2）由（1）和面積公式，求得bc 2 2，結合b c2 2 b c 2 2bc 4 bc 2，即可求解.
π tanA 1
【詳解】（1）解：若選①：由 tan A 2 3 ，可得 2 3 ，
4 1 tanA
所以 2 3 2 3 tanA tanA 1，即 1 3 tanA 3 3，解得 tanA 3 ，
因為 A 0, π π，所以 A .3
若選②：因為 2b 2acosC c ，由正弦定理得 2sinB 2sinAcosC sinC ，
又因為 sinB sin é π A C ù sin A C sinAcosC cosAsinC ，
所以 2 sinAcosC cosAsinC 2sinAcosC sinC ，即 2cosAsinC sinC ，
因為C 0, π 1，所以 sinC 0，可得 cosA ，
2
A 0, π A π又因為 ，所以 .3
若選③：因為 b c a b c a 3bc，可得 (b c)2 a2 3bc ，即b2 c2 a2 bc ，
b2 c2 a2 bc 1
由余弦定理得 cosA ，
2bc 2bc 2
又因為 A 0, π A π，所以 .3
π
2 1 3 3（ ）解：由（1）知 A 3 ，所以 SVABC bcsinA bc ，可得bc 2，2 4 2
(b 1)2所以 (c 1)2 b2 c2 2 b c 2 2bc 4 bc 2 6 4 2 ，
當且僅當b c 2 時等號成立，所以 (b 1)2 (c 1)2 的最小值為6 4 2 .
考點五、邊長積商類最值及范圍問題
1．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知銳角VABC 的三內角 A，B，C 的對邊分別是 a，b，c ，且
b2 c2 (b ×cosC c ×cosB)2 bc ，
(1)求角A 的大小；
(2)如果該三角形外接圓的半徑為 3，求bc的取值范圍．
π
【答案】(1)
3
(2) 6,9
【分析】（1）由余弦定理將 cos B, cosC 化成邊，化簡再結合余弦定理可求得答案；
（2）利用正弦定理，將邊化角，再利用角的范圍即可得出結果.
【詳解】（1）Qb2 c 2 b cosC c cos B 2 bc ，
2
2
b2 c 2 b a b
2 c2 2 2 2
由余弦定理可得 × c
a c b
× bc ，
2ab 2ac


化簡整理得b2 c2 a2 bc ，又b2 c2 a2 2bc cos A，
\cos A 1 π，又 0 < A < 2 ，2
π
所以 A .3
（2）因為三角形外接圓半徑為 R 3 ，所以b 2 3sin B， c 2 3sinC ，
\bc 12sin B sin C 2π，由（1）得 B C 3 ，

所以bc 12sin B sin C 12sin B sin
2π B 12sin B
3
cos B
1
sin B
3 2 2
6 3 sin B cos B 6sin2 B 3 3 sin 2B 3 1 cos 2B

6 3 sin 2B 1

cos 2B2 2
3

6sin 2B
π
3，
6
VABC B C 2π因為 是銳角三角形，且 3 ，
π π π π 5π 1 π
所以 < B < ，\ < 2B < ，\ < sin
6 2 6 6 6 2
2B
6
1，

π
\6 < 6sin 2B 6
3 9，即6 < bc 9 .

所以bc的取值范圍為 6,9 .
2．（2024·寧夏固原·一模）在銳角VABC 中，內角 A, B,C 的對邊分別是 a,b,c，且
2sinBsinC cos2C 1 cos2A cos2B ．
(1)求證：B C 2A；
c b
(2)求 的取值范圍．
a
【答案】(1)證明見解析
3 3
(2) ,
3 3
【分析】（1）利用二倍角公式與正弦定理的變換邊換，結合余弦定理與三角形內角和的關系即可得解；
（2）利用三角函數的和差公式與正弦定理的變換邊換，將所求轉化為關于角C 的表達式，再利用三角函數
的值域即可得解.
【詳解】（1）因為 2sinBsinC cos2C 1 cos2A cos2B ，
所以 2sinBsinC 1 2sin2 C 1 1 2sin2 A 1 2sin2 B，
則 sinBsinC sin2 C sin2 A sin2 B，
由正弦定理可得bc c2 a2 b2 ，即bc b2 c2 a2 ，
b2 c2 a2cos A bc 1所以 ，
2bc 2bc 2
A π 0, A π又 ，故 3 ，由 A B C π， 2
2π
故B C π A 2A；
3
3 1
（2）由（1）得 sin A , cos A ，
2 2
因為 sin B sin A C sin AcosC cos Asin C 3 cosC 1 sin C ，
2 2
c b sin C sin B 2 3 1
所以由正弦定理得
a sin A 3
sin C cosC sin C
2 2
2 1
sin C
3 cosC 2 sin C π ，
3 2 2

3 3
ì0 C π < <
又銳角VABC
2 π π
中，有 í < C <
0 π π π
，解得 ，
< B < 6 2
3 2
π 1 π 1
所以 < C
π π
< ，則 < sin
C < ，
6 3 6 2 3 2
3 2 sin C π 3 3 2 π 3所以 < < ，即 < sin

3 3 3 3 3 3
C < ，
3 3
c b 3 3
故 的取值范圍為 ,3 3 a
.

3．（2024·全國·模擬預測）在銳角三角形 ABC 中，角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，且滿足
sinA cosA sin2B
．
cosA sinA 1 cos2B
π
(1)若C ，求A 的大小；
3
2
(2) c求 2 2 的取值范圍．a b
5π
【答案】(1) A
24
1
(2) ,1 ．
3
【分析】（1）根據題中已知條件利用正切函數化簡或逆用余弦函數兩角和差公式從而可求解.
（2）由（1）及正弦定理把邊化成角，再利用輔助角公式及函數求導求出范圍從而求解.
tanA 1 2sinBcosB
【詳解】（1）方法一： tan
A π tanB，由VABC
π
為銳角三角形且C ，所以
1 tanA 2cos2B 4 3
A π 2π 5π B A A ．
4 3 24
sinA cosA 2sinBcosB sinB
方法二： 2 cosAcosB sinAsinBcosA sinA 2cos B cosB
cosAsinB sinAcosB cos B A sin B A tan B A 1．
π π 2π 5π
由VABC 為銳角三角形且C ，所以B A , B A A ．
3 4 3 24
π 3π
（2）由（1）知B A ,C π A B 2A，
4 4
由正弦定理知：
sin2 3π 2A 1
c2 sin2C 4 sin 2A cos 2A
2
2
a2 b2 sin2 A sin2B sin2 A sin2 A π π ，
1 cos
4 1 cos 2A
2A
2
2 2
c2 sin 2A cos 2A 2所以 ．令 sin 2A cos 2A t ，則1 2sin 2Acos 2A t 2，
a2 b2 2 sin 2A cos 2A
c2 2 t 2 t 2 2 4 t 2 2 2
所以 2 2

l 4 f l ，其中l t 2．a b 2 t 2 t l
π π 3π π π π
又由VABC 為銳角三角形，0 < B A < ，0 < C 2A < < A < ，
4 2 4 2 8 4
t sin2A cos2A 2sin 2A π π A π< < 2A
π
，因為 ，所以 0,
π
，所以 t 2sin
2A π 0,1 ，
4 8 4 4 4 4
則l t 2 2,3 ，
f l 1 2 2 < 0，所以 f l 在 2,3 f l
1
上單調遞減，則 ,1

．l 3
c2 1
即 2 2 的取值范圍是 ,1a b 3
．

1．（2024·陜西安康·模擬預測）記銳角VABC 的內角A ， B ，C 的對邊分別為 a，b ， c，已知
2sinBsinC cos2C 1 cos2A cos2B .
(1)證明：B C 2A；
c
(2)求 的取值范圍.
b
【答案】(1)證明見解析
1
(2) , 2


2
【分析】（1）借助二倍角公式、正弦定理、余弦定理及三角形內角和的關系計算即可得；
（2）借助正弦定理將邊化為角后，借助三角函數的值域計算即可得.
【詳解】（1）證明：由 2sinBsinC cos2C 1 cos2A cos2B ，
得 2sinBsinC 1 2sin2 C 1 1 2sin2 A 1 2sin2 B，
即 sinBsinC sin2 C sin2 A sin2 B，
由正弦定理可得bc c2 a2 b2 ，即 a2 b2 c2 bc，
由余弦定理可得 a2 2
1
b c2 2bc cos A，故 cos A ，2
π π
又 A 0, ，故 A ，由 A B C π，
2 3
故B C π A
2π
2A；
3
（2）由正弦定理可得：
sin π A B sin
π B 1 3
c sin C sin B cos B
3 2 2 1 3 ，
b sin B sin B sin B sin B 2 2 tan B
又銳角VABC 中，有0 B
π 0 π π B π π< < ， < < ，解得 < B
π
< ，
2 3 2 6 2

即 tan B
3
,
1
，即 0, 3 ，
3 tan B
c 1 3 1
故
b 2 2 tan B
, 2
2
.

2．（2024·江蘇鹽城·模擬預測）在VABC 中，已知角A ， B ，C 所對的邊分別為 a，b ， c，
asin2 B bsin2 A 3ab
2 2 2 a b c ．
(1)求角C 的大小；
a b
(2)若VABC 為銳角三角形，求 的取值范圍．
c
π
【答案】(1) C
3
(2) 3,2ù
【分析】（1）由二倍角的正弦和余弦公式，結合余弦定理將角轉化為邊，可將式子變形為 a2 b2 c2 ab，
再利用余弦定理即可求解；
a b π
（2）利用正弦定理將邊轉化為角，再結合三角恒等變換可得 2sin A ，根據銳角三角形可得Ac 6
的取值范圍，結合三角函數的圖象和性質即可求解.
【詳解】（1）在VABC 中，
a 1 cosB b 1 cosA
asin2 B bsin2 A a b acosB bcosA
2 2 2 2 2 2
a b 1
2 2 2 2 2 2
acosB bcosA a b 1 a a c b b c a b
2 2 2 2 2ac 2bc
a b c
，
2
因為 asin
2 B bsin2 A 3ab
2 2 2 a b c ，
a b c 3ab
所以 2 2 a b c ，
2 2 2 cosC a
2 b2 c2 1
化簡得 a b c ab，由余弦定理得 ，
2ab 2
又C 0, π ，所以C π ；
3
sinA sin 2π A
2 a b sinA sinB
3
（ ）由正弦定理知
c sinC sin π
3
2 3
sinA cosA
1 2 3
sinA sinA
3
cosA 3 2 2 3 2 2

2 3 1 sinA cosA
π
2sin
A ，
2 2

6


ì0 A π < <
VABC 2 π由 為銳角三角形可知 í π ，而
C ，
0 < B < 3
2
ì0 π < A < 2 π π
所以 í 得 < A < ，
2π π 6 20 < A <
3 2
π π 2π
所以 < A < ，
3 6 3
3 π
所以 < sin A
π


1，即 3 < 2sin A 2，2 6 6
a b
則 的取值范圍為 3，2ùc .
3．（2024·山西朔州·一模）已知VABC 的內角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，向量
mr a b,c ,nr sinA sinC,sinA sinB ，且mr //nr．
(1)求 B ；
2
(2) b求 2 2 的最小值．a c
π
【答案】(1) B 3
(2) 12
【分析】（1）利用向量共線的坐標形式可得 a2 c2 b2 ac，結合余弦定理可求 B ；
（2）利用基本不等式可求最小值.
r r
【詳解】（1）因為m//n ，所以 a b sinA sinB c sinA sinC ，
由正弦定理可得 a b a b c a c 即 a2 b2 ac c2，
2 2 2
故 a2 2 2 cos B
a c b 1
c b ac，所以 ，
2ac 2
π
而 B 為三角形內角，故 B .3
b2 22 1 a c
2 ac 1 ac（ ）結合（ ）可得： ,
a2 c2 a2 c2 a2 c2
1 ac ac 1 1 2 2 1 1 ，當且僅當 a c 時等號成立，a c 2ac 2 2
b2 1
故
a2 2
的最小值為 2 . c
考點六、中線最值及范圍問題
1．（2024·四川·三模）在VABC中，內角A ， B ，C 的對邊分別為 a，b ， c，且滿足
2c sin B cos A b sin Acos B cos Asin B .
(1)求A ；
(2)若VABC的面積為16 3 ，D為 AC 的中點，求BD的最小值.
π
【答案】(1) A 3
(2) 4 2
cos A 1【分析】（1）根據正弦定理進行邊化角得 ，則得到A 的大小；
2
（2）利用三角形面積公式得bc 64，再利用余弦定理和基本不等式即可得到最值.
【詳解】（1）因為 2c sin B cos A b sin Acos B cos Asin B ，
由正弦定理可得 2sin C sin B cos A sin B sin A B sin B sin C ，
又C (0,π)， B (0, π) ，故 sin C 0， sin B 0 ，
所以 cos A
1
，又 A (0, π) A
π
，故 .
2 3
1 π
（2） SVABC cbsin A 16 3 ，又 A ,\bc 64，2 3
2
在VBAD b b π中，由余弦定理BD2 BA2 AD2 2 × BA × AD ×cos A c2 2c × ×cos ，
2 2 3
2
c2 b 1
2
cb b 1 2 c2 × cb 1 cb 32，
4 2 4 2 2
b
當且僅當 c 4 2 時取等號，
2
\BD的最小值為 4 2 ．
2．（2024·陜西安康·模擬預測）在VABC 中，內角 A, B,C 所對的邊分別為 a,b,c，且
a sinA cosCsinB c cosAsinB sinC 3 asinC
2
(1)求 cosB；
(2)設D為邊 AC 的中點， AC 2，求線段BD長度的最大值.
3
【答案】(1)
4
(2) 7 .
【分析】（1）由題設條件重新組合后將acosC ccosA證明替換成b ，再利用正、余弦定理即可求得；
uuur2 1
（2）利用三角形中線的向量表達式和向量數量積的定義式，可推得BD (4 3ac) ，根據余弦定理和基
4
本不等式求得ac 8，代入即可計算得到.
【詳解】（1）由 a sinA cosCsinB c cosAsinB 3 sinC asinC ，
2
得 asinA csinC sinB acosC ccosA 3 asinC (*).
2
因為 sinB sin A C ，所以 sinB sinAcosC cosAsinC ，
由正弦定理，得b acosC ccosA，
代入（*）得， asinA csinC bsinB
3
asinC .
2
2 2 2 3
由正弦定理，得 a c b ac ，
2
3
a2 c2 2 ac由余弦定理的推論，得cosB b 3 2 .
2ac 2ac 4
3
（2）由余弦定理，得b2 a2 c2 2accosB ，即 4 a2 c2 ac，2
a2 c2 4 3所以 ac 2ac ，當且僅當
2 a c 2 2
時等號成立，故得ac 8 .
uuur uuur uuur
又BD
1
BA BC ，兩邊平方可得，2
uuur2 1 uuur uuur 1 uuur2 uuur uuur uuur2 2BD (BA BC) (BA 2BA × BC BC )
4 4
1 uuur2 uuur uuur uuur2 1
(BA 2 BA × BC cos ABC BC ) c2 2accos ABC a24 4
1
(a2 c2 3 ac) 1 (4 3 ac 3 ac) 1 (4 3ac) 7，
4 2 4 2 2 4
uuur
所以 BD 7 ，即線段BD長度的最大值為 7 .
V sinB sinC cosB cosC3．（2024·湖北·模擬預測）在 ABC 中，已知 ，D 為BC 的中點.
sinA cosA
(1)求 A；
(2)當BC 4時，求 AD 的最大值.
A π【答案】(1) 3
(2) 2 3
【分析】
（1）根據兩角和差及誘導公式結條件計算即可；
（2）應用余弦定理結合基本不等式即可得出最大值.
【詳解】（1）
Q sinB sinC cosB cosC ，
sinA cosA
\ sinB sinC cosA cosB cosC sinA，
即 sinBcosA sinCcosA cosBsinA cosCsinA，
\sinBcosA cosBsinA cosCsinA sinCcosA，即 sin B A sin A C .
\B A A C 2kπ k Z 或 B A A C 2kπ π k Z ，
當B A A C 2kπ k Z 時，B C 2A 2kπ k Z ，
2kπ π
由 A B C π，0 < A < π 有 A k Z ，即 k 0時 A π .
3 3 3
當 B A A C 2kπ π k Z 時，B C 2kπ π k Z （舍）.
π
\ A .
3
（2）
設 AB c， AC b ，
π
由（1 2 2）及余弦定理有16 b c 2bccos ，即16 b2 c2 bc .
3
\16 bc b2 c2 2bc，即bc 16，當且僅當b c 4時等號成立.
uuur uuur uuur
由 D 為邊BC 的中點有 AD
1
AB AC ，2
uuur2
\ AD 1 uuur2 uuur uuur uuur2AB 2AB × AC AC 1 c2 1 2cbcos b2 c2 cb b24 4 3 4
1
16 2cb 4 1 bc 4 8 12，
4 2
當且僅當b c 4時等號成立.
uuur
\ AD 12 2 3 ，當且僅當b c 4時等號成立.
\ AD 的最大值為 2 3 .
1．（2024·四川南充·二模）在① 2c sin B cos A b sin Acos B cos Asin B ；②
2 2 2 bsin B c sin C a sin A 2sin B sin C cos A 1 sin A B sin A C ；③ sin Ac sin B ；這三個條件中任選3
一個，補充在下面的問題中，并解答問題.
在VABC 中，內角A ， B ，C 的對邊分別為 a，b ， c，且滿足______.
(1)求A ；
(2)若VABC 的面積為16 3 ，D為 AC 的中點，求BD的最小值.
π
【答案】(1)
3
(2) 4 2
1
【分析】（1）若選①，利用正弦定理將邊化角，再由兩角和的正弦公式及誘導公式得到 cos A ，即可得
2
解；若選②，根據平方關系及誘導公式得到 sin2 B sin2 C sin2 A sin C sin B ，再利用正弦定理將角化邊，
最后由余弦定理計算可得；若選③，利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理將邊化角，即可得解；
（2）由面積得bc 64，結合余弦定理和基本不等式求最值.
【詳解】（1）若選擇①： 2c sin B cos A b sin Acos B cos Asin B ，
由正弦定理可得 2sin C sin B cos A sin B sin A B sin B sin C ，
又C (0,π)， B (0, π) ，故 sin C 0， sin B 0 ，
所以 cos A
1
π，又 A (0, π)，故 A .
2 3
若選擇②： sin2 B sin2 C cos2 A 1 sin(A B)sin(A C) ，
則 sin2 B sin2 C sin2 A sin(A B)sin(A C) sin C sin B，
由正弦定理可得b2 c2 a2 bc ，
2 2 2
故 cos A
b c a 1
，
2bc 2
又 A (0, π)
π
，故 A .3
bsinB csinC asinA 2
若選擇③ sin AcsinB ；3
b2 c2 a2 1
由正弦定理可得 sin A，
2bc 3
再由余弦定理得 cos A
1
sin A，即 tan A 3 ，3
Q A (0, π) π，\ A ．
3
1
（2） SVABC cbsin A 16 3 A
π
，又 ,\bc 64，
2 3
2
在VBAD b b π中由余弦定理BD2 BA2 AD2 2 × BA × AD ×cos A c2 2c × ×cos ，
2 2 3
b2 1 2
c2 cb 2 c2 b 1 1× cb cb 32，
4 2 4 2 2
c b當且僅當 4 2 時取等號，
2
\BD的最小值為 4 2 ．
2．（2024·河北·模擬預測）在VABC 中，角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，且
sinA 3sinB a c b sinC sinB .
(1)求角C 的大小；
(2)若邊 c 2，邊 AB 的中點為D，求中線CD 長的最大值.
π
【答案】(1) C
6
(2) 3 2
【分析】（1）由正弦定理邊角互換以及余弦定理進行化簡即可得解.
（2）利用向量模的平方以及余弦定理，再結合基本不等式即可求解.
【詳解】（1）因為 sinA 3sinB a c b sinC sinB ，
由正弦定理可得： a 3b a c b c b ，則 a2 3ab c2 b2，
即 a2 b2 c2 3ab ，
2 2 2
由余弦定理可得： cosC a b c 3ab 3 ，
2ab 2ab 2
因為C 0, π C π，所以 .
6
uuur 1 uuur uuur
（2）因為D為 AB 的中點，所以CD
2 CA CB ，
uuur2 1 uuur uuur 2 1 uuur2 uuur uuurCD CA CB CA 1 CA CB 1
uuur2 1
則 × CB a2 3ab b2 ，
4 4 2 4 4
又由余弦定理得， c2 a2 b2 2ab cos B，
即 4 a2 b2 3ab，所以CD2 1 4 2 3ab 1 3 ab .4 2
由 4 a2 b2 3ab得， 4 3ab a2 b2 2ab ，
則 ab 4 2 3 ，當且僅當 a b 2 2 3 取等號，
即CD2 1+ 3 4 2 3 1+2 3 22 3 7 4 3 3 2 ，2
所以CD 3 2，即中線CD 長的最大值為 3 2 .
3．（2024·全國·模擬預測）在銳角VABC 中，角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，且
a cosC 3a sin C b c 0．
(1)求角A 的大小；
(2)若D是線段BC 上靠近點 B 的三等分點， a 3，求 AD 的最大值．
π
【答案】(1)
3
(2) 3 1
π 1
【分析】（1）根據正弦定理、誘導公式、兩角和的正弦公式和輔助角公式化簡可得 sin A ，即可求
6 2
解；
3 b2 2c2
（2）方法一：由余弦定理可得b2 c2 bc 9 ① 、 AD2 2，可分別用 3 種思路（思路 1：利
b2 c2 bc
b
用余弦定理切入；思路 2：利用正弦定理切入；思路 3：利用極限思想）求出 的取值范圍，進而利用換元
c
法構造函數，結合導數求解 ADmax 即可；方法二：
可分別用 2 種思路（思路 1：齊次化不等式處理；思路 2：正弦定理函數處理）求出 ADmax ；方法三：如圖，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
則 AD AO OD AO OD ，確定當 A,O,D 三點共線時等號成立，求出 AO , OD 即可.
【詳解】（1） a cosC 3a sin C b c 0，由正弦定理得
sin AcosC 3 sin Asin C sin B sin C ，
又 sin B sin( A C ) sin A cos C + cos A sin C ，
所以 sin AcosC 3 sin Asin C sin AcosC cos Asin C sin C ，
π 1
由 sin C 0整理得 3 sin A cos A 1，即 sin A 6
，
2
π π 5π π
解得 < A <

，又 A 0, ，
6 6 6 2
A π π所以
π
，即 A
6 6 3
；
（2）由余弦定理 a2 b2 c2 2bc cos A，得b2 c2 bc 9 ①，
2 2 2 2
由CD 2BD得 cos BDA cos CDA 0 AD 1 c AD 4 b，即 0，
2AD 4AD
3 b2 2c2 3 b2 2c2
解得 AD2 1
3 b
2 2c2 2 2 2 2 2．9 b c bc
b
下面用三種方法求 的取值范圍．
c
思路 1：用余弦定理切入．
2 2
因為VABC 為銳角三角形，所以 cos B c 9 b 0，即 c2 9 b2 0，
6c
b
將①代入得 < 2，
c
b 1
同理，由 cosC 0，得 ，
c 2
1 b
故 < < 2．
2 c
思路 2：用正弦定理切入．
ì0° < C < 90°
因為VABC 為銳角三角形，所以 í ° ° °
0 < B 120 C < 90
解得30° < C < 90°，
b sin B sin 120° C 3 1 1 1
由正弦定理得 × , 2 ．
c sin C sin C 2 tan C 2 2
思路 3：用極限方法求解．
因為VABC 為銳角三角形，
當B 90°
b 2 ° b 1時， ；當
c C 90
時， ；
c 2
b 1
故
, 2 ．
c 2
接下來換元構造函數求最值．
2
x b 1 ,2 3 b 2c
2 3 x2 2
設 ，則
c 2 2 2 2
．
b c2 bc x2 x 1
2
3 x2 2 3 x 2x 2
設 f (x) 1 ，則 f (x) ，
x2
2, x , 2 2
x 1 2 x2 x 1
由 f (x) 0
1
得 x2 2x 2 < 0，又 < x < 2，2
1
所以 < x < 3 1，由 f (x) < 0 得
2 3 1< x < 2
，
f (x) (1所以 在 , 3 1)單調遞增，在 ( 3 1,2)單調遞減，
2
故 f (x)max f ( 3 1) 4 2 3 ( 3 1)
2 ．
所以 ADmax 3 1．
方法二：思路 1，齊次化不等式處理
uuur uuur uuur
由CD 2BD得 AD
1
AC 2 AB ，
3 3
1 4 4 1 2 2
兩邊平方得 AD2 b2 c2 bccos60° b2 4c2 2bc b 4c 2bc 9 9 9 9 b2 c2 ， bc
b x2 2x 4 1 3(x 1) 3(x 1)
3
令 x ，則 f (x) 2 1
1 3 4 2 3 ，
c x2 x 1 x x 1 (x 1)2 3(x 1) 3 (x 1) 3x 1
3
則 AD 3 1，當 x 1 即x 1 x 3 1
時等號成立，

故 AD 的最大值為 3 1．
思路 2：正弦定理函數處理
uuur 1 uuur 2 uuur
由CD 2BD，得 AD AC AB ，
3 3
AD2 1 b2 4 2 4兩邊平方得 c bccos60°
1
b2 4c2 2bc ．9 9 9 9
b c 3
又因為 2 3 ，則b 2 3 sin B,c 2 3 sin C ，
sin B sin C sin 60°
代入得 AD2
1
b2 4c2 2bc 2 3 sin 2C 4 ．9 3
又因為VABC 為銳角三角形，
ì
0 < C
π
<
2 π π
所以 í ，解得 < C < ，
0 < B 2π π C < 6 2
3 2
2C π π 5π
π
當 2

即C 時， AD 2 3sin 2C 4的最大值為3 2 3 4 2 3
，
12
所以 ADmax 4 2 3 3 1．
uuur uuur uuur
方法三：設BC 的中點為E,VABC 外接圓的圓心為 O，則 AD AO OD，
uuur uuur uuur uuur uuur
所以 AD AO OD AO OD ，
uuur uuur
2 AO a 2r 2 3 ，所以 AO 3 ，
sin A
OE2 r 2 CE2 9 3 3 ，
4 4
OE 3 , DE 1所以 ，所以OD 1．
2 2
所以 AD 3 1，當且僅當 A,O,D 三點共線時等號成立，此時VABC 為銳角三角形．
考點七、角平分線最值及范圍問題
1．（2023·浙江·二模）在銳角VABC 中，內角 A, B,C 所對的邊分別為 a，b ， c，滿足
sin A 1 sin
2 A sin2 C
，且 A C .
sin C sin2 B
(1)求證：B 2C ；
(2)已知BD是 ABC 的平分線，若 a 4，求線段BD長度的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析
4 3
(2) , 2 23
【分析】（1）由正弦定理得b2 c2 ac，又由余弦定理得b2 a2 c2 2accosB ，結合整理可得角的關系；
BC BD
（2）由正弦定理得 ，又因為VABC 為銳角三角形且B 2C ，結合三角函數值域可求得線
sin BDC sinC
段BD長度的取值范圍.
1 sinA sinC sin
2 A sin2C a c a2 c2 a c a c
【詳解】（ ）由題意得 2 ，由正弦定理得 ，sinC sin B c b2 b2
1 a c
因為 A C ，則 a c ，即 a c 0，可得 2 ，整理得b
2 c2 ac，
c b
由余弦定理得b2 a2 c2 2accosB ，整理得 c a 2ccosB ，
由正弦定理得 sinC sinA 2sinCcosB，
故 sinC sin B C 2sinCcosB，整理得 sinC sin B C ，
π π π π
又因為VABC 為銳角三角形，則C 0, , B 0, ，可得B C 2 2
, ，
2 2
所以C B C ，即B 2C .
BC BD
（2）在△BCD中，由正弦定理得 ，
sin BDC sinC
BD BCsinC 4sinC 2所以 ，
sin BDC sin2C cosC
ì
0
π
< C <
2
因為VABC 為銳角三角形，且B 2C

，所以 í0
π
< 2C < π，解得 < C π< .
2 6 4

0 < π 3C
π
<
2
2 3 4 3
故 < cosC < ，所以 < BD < 2 2 .
2 2 3
4 3
因此線段BD長度的取值范圍 , 2 2 .
3
2．（2024·陜西安康·模擬預測）已知銳角 VABC 中，角A ， B ，C 所對的邊分別為 a，b ， c，其中a 8，
a sin21 A sin
2C
，且 a c2 ．c sin B
(1)求證：B 2C ；
(2)已知點M 在線段 AC 上，且∠ABM ∠CBM ，求 BM 的取值范圍．
【答案】(1)證明見解析
8 3
(2) , 4 23
【分析】（1）由正弦定理得b2 c2 ac，又由余弦定理得b2 a2 c2 2accosB ，結合整理可得角的關系；
BC BM
（2）由正弦定理得 ，又因為VABC 為銳角三角形且B 2C ，結合三角函數值域可求得線
sin BMC sinC
段 BM 長度的取值范圍.
1 a 1 sin
2 A sin2C
【詳解】（ ）因為 ，
c sin2B
a c sin2 A sin2C a c a2 c2 a c a c
即 2 ，由正弦定理可得 ，c sin B c b2 b2
a c 1 a c又 ，即 a c 0，所以 2 ，整理得b2 c2 ac，c b
由余弦定理得b2 a2 c2 2accosB ，整理得 c a 2ccosB ，
由正弦定理得 sinC sinA 2sinCcosB，
故 sinC sin B C 2sinCcosB，
即 sinC sin B cosC sin C cos B 2sinCcosB，
整理得 sinC sin B C ，
π
又因為VABC 為銳角三角形，則C 0, , B
0, π ，可得B C
π
,
π
2 2
，
2 2
所以C B C ，即B 2C .
（2）因為點M 在線段 AC 上，且∠ABM ∠CBM ，即 BM 平分 ABC ，
又B 2C ，所以 C CBM ，則∠BMC π C ∠CBM π 2C ，
BC BM
在△MCB 中，由正弦定理得 ，
sin BMC sinC
BM BCsinC 8sinC 8sinC 4所以 ，
sin BMC sin2C 2sin C cosC cosC
ì
0 < C
π
<
2
π
因為VABC
π π
為銳角三角形，且B 2C ，所以 í0 < 2C < ，解得 < C < .
2 6 4

0 < π 3C
π
<
2
2
故 < cosC 3 8 3< ，所以 < BM < 4 2 .
2 2 3
8 3
因此線段 BM 長度的取值范圍 , 4 2 .
3


1．（2024·山東泰安·模擬預測）已知VABC 內角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，b(sin B sinC) (a c)(sin A
sin C)．
(1)求 A；
(2)A 的平分線 AD 交BC 于D點，9b c 64，求 AD 的最大值．
A 2π【答案】(1) 3
(2)4
1
【分析】（1）根據題意利用正弦定理可得b(b c) (a c)(a c)，再結合余弦定理可得 cos A ，即可得
2
結果；
（2）根據題意結合面積關系可得 AD
bc
，再利用基本不等式分析求解.
b c
【詳解】（1）因為b(sin B sinC) (a c)(sin A sinC)，
由正弦定理得b(b c) (a c)(a c)，整理得b2 c2 a2 bc，
2 2
cos A b c a
2 bc 1
由余弦定理得 ，
2bc 2bc 2
且 A 0, π ，所以 A 2π .3
1 π
（2）因為 AD 為 A 的角平分線，則 BAD= CAD= A= ，
2 3
由 S△ ABD S△ ACD S△ ABC ，
1 c AD sin BAD 1可得 × × b × AD ×sin CAD
1
bcsin BAC.
2 2 2
整理得 AD b c bc ，
又因為9b c 64，
AD bc 1 1 1
可得 b c 1 1 1 1 9b c 1 c 9b
b c b c 64 64
9 1
b c
1
4
1 2 c 9b
，
64
× 10
b c
c 9b
當且僅當 ，即 c 3b 16時，等號成立，
b c
所以 AD 的最大值為 4.
2．（2024·廣東深圳·模擬預測）已知VABC 中內角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，且滿足
3c bsin A 3a cos B．
(1)求角 A 的大小；
BC
(2)若 D 是邊 BC 上一點，且 AD 是角 A 的角平分線，求 的最小值．
AD
【答案】(1) A
2π

3
(2) 2 3
2π
【分析】（1）由正弦定理和正弦和角公式得到 tan A 3 ，求出 A 3 ；
bc
（2）利用余弦定理得到BC b2 c2 bc ，由三角形面積公式和 S△ ABD S△ ACD S△ ABC 求出 AD ，表達b c
BC b2 c2 bc

出 AD bc ，利用

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