資源簡介

第 10 講 圖形類解三角形綜合
（核心考點精講精練）
命題規律及備考策略
【命題規律】本節內容是新高考卷的常考內容，設題穩定，難度中等，分值為 13-15 分
【備考策略】1.熟練掌握正余弦定理及面積公式解三角形
2.在幾何圖形中能熟練使用相關定理求解
【命題預測】本節內容一般會在解答題中進行命題考查，考查學生的圖形轉化及計算能力，需重點備考復
習
知識講解
1. 正弦定理
a b c
2R （其中 R 為 ABC 外接圓的半徑）
sin A sin B sin C
2. 余弦定理
a2 b2 c2 2bc cos A b2 c2， a
2 2ca cos B c2 a2 b2， 2ab cosC
3. 三角形的面積公式
S 1 1 ABC ah S ABC absin C
1 ac sin B 1 bc sin A
2 ， 2 2 2
考點一、圖形類解三角形綜合考查
1．（江蘇·高考真題）在△ABC 中，角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，已知 a 3,c 2, B 45° ．
（1）求 sin C 的值；
4
（2）在邊 BC 上取一點 D，使得 cos ADC ，求 tan DAC5 的值．
5 2
【答案】（1） sin C ；（2） tan DAC .
5 11
【分析】（1）方法一：利用余弦定理求得b ，利用正弦定理求得 sin C .
（2）方法一：根據 cos ADC 的值，求得 sin ADC 的值，由（1）求得 cosC 的值，從而求得 sin DAC, cos DAC
的值，進而求得 tan DAC 的值.
【詳解】（1）[方法一]：正余弦定理綜合法
由余弦定理得b2 a2 c2 2ac cos B 9 2 2 3 2 2 5，所以b 5 .
2
c b
由正弦定理得 sin C c sin B 5 .
sin C sin B b 5
[方法二]【最優解】：幾何法
過點 A 作 AE ^ BC ，垂足為 E．在Rt△ABE 中，由 c = 2, B = 45°，可得 AE BE 1，又 a 3，所以
EC 2．
在RtVACE 1 5中， AC AE 2 EC2 5 ，因此 sinC ．
5 5
（2）[方法一]：兩角和的正弦公式法
p
由于 cos ADC
4 ADC ,p ， ÷ ，所以 sin ADC 1 cos
2 ADC 3 .
5 è 2 5
p p
由于 ADC

,p ÷ ，所以C 0,
2 2 5，所以 .
è 2 è 2 ÷
cosC 1 sin C
5
所以 sin DAC sin p DAC sin ADC C
sin ADC cosC cos ADC sin C 3 2 5 4 5 2 5× × ÷ .5 5 è 5 5 25
DAC p 11 5由于 0, ÷，所以 cos DAC 1 sin2 DAC .
è 2 25
所以 tan DAC
sin DAC 2
.
cos DAC 11
[方法二]【最優解】：幾何法+兩角差的正切公式法
cos ADC 4在（1）的方法二的圖中，由 ，可得cos ADE cos(p ADC) cos ADC 4 5 ，從而5
sin DAE cos ADE 4 , tan DAE sin DAE 4 ．
5 cos DAE 3
EC
又由（1）可得 tan EAC 2，所以 tan DAC
tan EAC tan EAD 2
tan( EAC EAD) ．
AE 1 tan EAC × tan EAD 11
[方法三]：幾何法+正弦定理法
在（1）的方法二中可得 AE 1,CE 2, AC 5 ．
AE 4
在Rt△ADE 中， AD 5, ED AD cos ADE ，
sin ADE 3
所以CD CE DE
2
．
3
在VACD CD中，由正弦定理可得 sin DAC ×sinC 2 5 ，
AD 25
由此可得 tan
2
DAC ．
11
[方法四]：構造直角三角形法
如圖，作 AE ^ BC ，垂足為 E，作DG ^ AC ，垂足為點 G．
在（1）的方法二中可得 AE 1,CE 2, AC 5 ．
4 3
由 cos ADC
4
，可得cos ADE ,sin ADE 1 cos2 ADE 5 ．5 5
AE 5 4 2
在Rt△ADE 中， AD , DE AD2 AE 2 ,CD CE DE ．
sin ADE 3 3 3
1 sin C 5 Rt CDG DG CD sinC 2 5 4 5由（ ）知 ，所以在 △ 中， × ,CG CD2 DG2 ，從而
5 15 15
AG AC CG 11 5 ．
15
在 RtVADG 中， tan DAG
DG 2
．
AG 11
所以 tan DAC
2
．
11
【整體點評】（1）方法一：使用余弦定理求得b 5 ，然后使用正弦定理求得 sin C ；方法二：抓住 45°角
的特點，作出輔助線，利用幾何方法簡單計算即得答案，運算尤其簡潔，為最優解；（2）方法一：使用兩
角和的正弦公式求得 DAC 的正弦值，進而求解；方法二：適當作出輔助線，利用兩角差的正切公式求解，
運算更為簡潔，為最優解；方法三：在幾何法的基礎上，使用正弦定理求得 DAC 的正弦值，進而得解；
方法四：更多的使用幾何的思維方式，直接作出含有 DAC 的直角三角形，進而求解，也是很優美的方
法.
2．（全國·高考真題） ABC的內角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c,已知 sin A 3 cos A 0,a 2 7,b 2 .
（1）求角A 和邊長 c；
（2）設D為BC 邊上一點，且 AD ^ AC ,求 ABD 的面積.
2p
【答案】（1） 3 ， 4；（2） 3 .
【詳解】試題分析：（1）先根據同角的三角函數的關系求出 tan A 3 從而可得A 的值，再根據余弦定理
1
列方程即可求出邊長 c的值；（2）先根據余弦定理求出 cosC ，求出CD 的長，可得CD BC ，從而得到
2
S 1 ABD S ABC ，進而可得結果.2
試題解析：（1）Qsin A 3 cos A 0,\ tan A 3 ，Q0 < A < p , A
2p
\ ，由余弦定理可得
3
2 2 2 1 a b c 2bc cos A，即 28 4 c2 2 2c 2 ÷
，即 c2 2c 24 0，解得 c 6（舍去）或 c 4，故
è
c 4 .
2 AC 2
\cosC ,\CD 2 7(2) Q c2 b2 a2 2ab cosC ，\16 28 4 2 2 7 2 cosC ， 7 cosC ，
7
\CD 1 BC 1 1 ，
2 \S ABC AB AC sin BAC
1 4 2 3× × 2 3 ，\S ABD S 3 .2 2 2 2 ABC
3．（四川·高考真題）如圖，A，B，C，D 為平面四邊形 ABCD 的四個內角.
（1）證明：
（2）若 求 的值.
1 2 4 10【答案】（ ）詳見解析；（ ） .
3
sin A 2sin2 AA
【詳解】（1） tan 2 2
1 cos A
2 cos A 2sin A
.
cos A sin A
2 2 2
（2）由 A C 180o ，得C 180o A, D 180o B .
由（1），有 tan
A B
tan tan C tan D
2 2 2 2
2 2

sin A sin B
連結 BD，
在 ABD 中，有BD2 AB2 AD2 2AB × AD cos A，
在 BCD中，有BD2 BC 2 CD2 2BC ×CD cosC ，
所以 AB2 AD2 2AB × AD cos A BC 2 CD2 2BC ×CD cos A，
2 2 2 2 2 2 2 2
則 cos A
AB AD BC CD 6 5 3 4 3
，
2(AB × AD BC ×CD) 2(6 5 3 4) 7
于是 sin A 1 cos2 A 1 (3)2 2 10 .
7 7
連結 AC，同理可得
2 2
cos B AB BC AD
2 CD2 62 32 52 42 1
，
2(AB × BC AD ×CD) 2(6 3 5 4) 19
1 6 10
于是 sin B 1 cos2 B 1 ( )2 .
19 19
所以 tan
A
tan B C D tan tan
2 2 2 2
2 2

sin A sin B
14 2 19

2 10 2 10
4 10
.
3
考點：本題考查二倍角公式、誘導公式、余弦定理、簡單的三角恒等變換等基礎知識，考查運算求解能力、
推理論證能力，考查函數與方程、化歸與轉化等數學思想.
4．（2024·山東濟南·二模）如圖，已知平面四邊形 ABCD中， AB BC 2 2,CD 2, AD 4 .
(1)若 A, B,C, D 四點共圓，求 AC ；
(2)求四邊形 ABCD面積的最大值.
【答案】(1) AC 3 2
(2) 3 7 .
【分析】（1）在VABC 、VACD中分別利用余弦定理表示出 AC 2 ，再由四點共圓得到
cos ADC cos ABC ，即可求出 AC ；；
（2）由（1）可得 cos ADC cos ABC
1 S
，再由面積公式得到 sin ADC sin ABC ，將兩式平方再
4 4
2
相加得到 2 2cos ADC ABC 1 S ，結合余弦函數的性質計算可得.
16
【詳解】（1）在VABC 中，由余弦定理得： AC 2 AB2 BC 2 2AB × BCcos ABC
8 8 2 8 ×cos ABC 16 16cos ABC ，
在VACD中，由余弦定理得： AC 2 AD2 CD2 2AD ×CDcos ADC
16 4 2 8 ×cos ADC 20 16cos ADC ，
因為 A, B,C, D 四點共圓，所以 ABC ADC π，因此 cos ADC cos ABC ，
上述兩式相加得：2AC2 36，所以 AC 3 2 （負值已舍去）.
（2）由（1）得：16 16cos ABC 20 16cos ADC ，
cos 1化簡得 ADC cos ABC ，
4
則 cos2 ADC 2cos ADC cos ABC cos2 ABC
1
①，
16
ABCD S 1四邊形 的面積 AB × BCsin ABC
1
AD ×CDsin ADC
2 2
1
2 2 1 2 2sin ABC 2 4sin ADC
2 2
4 sin ADC sin ABC ，
整理得 sin ADC sin ABC
S
，
4
2
則 sin2 ADC 2sin ADC sin ABC sin2 ABC S ②
16
2
①②相加得： 2 2 cos ADC cos ABC sin 1 S ADC sin ABC ，
16
2
即 2 2cos ADC ABC 1 S ，
16
由于0 < ADC < π,0 < ABC < π ，
所以當且僅當 ADC ABC π時， cos ADC ABC 取得最小值 1，
1 S 2
此時四邊形 ABCD的面積最大，由 4 ，解得 S 3 7 ，
16
故四邊形 ABCD面積的最大值為3 7 .
5．（23-24 高三上·江西·期末）如圖，在△ABC 中，AB=BC=2，D 為△ABC 外一點，AD=2CD=4，記∠BAD=α，
∠BCD=β.
(1)求 2cosa cos b 的值；
(2)若△ABD 的面積為 S1，△BCD 2 2的面積為 S2 ，求 S1 S2 的最大值.
3
【答案】(1)
2
31
(2)
2
【分析】（1）利用余弦定理，進行轉換即可；
（2）根據題意，由（1）知2cosa
3
cos b ，求出 S 2 S 2
31
2 1 2
取得最大值，最大值為 .
2
【詳解】（1）在VABD 中，由余弦定理，得BD2 AB2 AD2 2AB × ADcosa 20 16cosa ，
在△BCD中，由余弦定理，得BD2 BC 2 CD2 2BC × CDcos b 8 8cos b ，
所以 20 16cosa 8 8cos b ，
所以8 2cosa cos b 12 ，
2cosa cos b 3 .
2
1
（2）由題意知 S1 AB × ADsin BAD 4sina ， S
1
2 BC ×CDsin BCD 2sin b ，2 2
S 21 S
2
2 16sin
2 a 4sin2 b 16 1 cos2 a 4 1 cos2 b
所以 ，
20 16cos2 a 4cos2 b
由（1）知，2cosa cos b
3
，所以 cos b 2cosa
3
, cosa 1 ,1

，
2 2 è 4 ÷
2
所以 S 21 S
2
2 20 16cos
2 a 4 2cosa 3

÷ 32cos
2 a 24cosa 11
è 2
2
32 cosa
3 31
÷ ，
è 8 2
cosa 3 1所以當 ,1
2 2 31
÷時， S8 4 1
S2 取得最大值，最大值為 .
è 2
1．（湖南·高考真題）如圖，在平面四邊形 中，
,
(1)求 的值；
(2)求 的長
21
【答案】(1) (2) 4 7
7
【分析】(1)在 CDE 中已知兩邊與一角,利用余弦定理即可求出第三條邊DC 的長度,再利用余弦定理即可求
出角CED 的正弦值.
(2)由(1)三角形DEC 的三條邊,根據正余弦直角的關系可得角DEC 的余弦值(或者利用正余弦之間的關系也
可求的),角 DEC, BEC, AEB 之和為1800 ,其中兩個角的正余弦值已知,則可以利用余弦的和差角公式求的
角 AEB 的余弦值, AE 長度已知,利用直角三角形 AEB 中余弦的定義即可求的 BE 長.
【詳解】如圖設 CED a
(1)在 CDE 中,由余弦定理可得EC 2 CD2 DE2 2·CD·DE·cos EDC ,于是又題設可知 7 CD2 1 CD ,即
CD2 CD 6 0 ,解得CD 2 ( CD 3 < 0舍去),
DE CD CD·sin 2p 2· 3
在 CDE 中,由正弦定理可得 sina 3 2 21 ,sin EDC sina EC 7 7
sin CED 21即 .
7
2p
(2)由題設可得 0 < a < ,3 于是根據正余弦之間的關系可得 cosa 1 sin
2 a 21 2 7 1 ,而
49 7
AED 2p a ,所以 cos AEB cos
2p a cos 2p ÷ cosa sin
2p sina 1 3
3 3 3 3 cosa sinaè 2 2
1 2 7 3 21 7
,在Rt EAB 中, cos AEB
EA 2
,
2 7 2 7 14 BE BE
BE 2 2 4 7
所以 cos AEB 7 .
÷
è 14
考點：正余弦定理 正余弦和差角公式 直角三角形 正余弦之間的關系
2．（湖南·高考真題）如圖所示，在平面四邊形 ABCD 中，AD＝1，CD＝2，AC＝ 7 .
（1）求 cos∠CAD 的值；
（2 cos∠BAD 7）若 ＝－ ，sin∠CBA 21＝ ，求 BC 的長．
14 6
【答案】(1) cos CAD 2 7 (2) 3
7
【詳解】試題分析：
(1) 2 7利用題意結合余弦定理可得 cos CAD ；
7
(2)利用題意結合正弦定理可得：BC 3 .
試題解析：
（I）在VADC 中，由余弦定理得 cos 2 7 CAD
7
(II)設 BAC a ,則a BAD CAD
Qcos CAD 2 7 ,cos 7 BAD
7 14
sin 21\ CAD
7
sin BAD 3 21
4
3
\sina
2
在VABC中，由正弦定理，
BC AC
sina sin CBA
故BC 3
1 1 1
點睛：在解決三角形問題中，面積公式 S＝ 2 absin C＝ 2 bcsin A＝ 2 acsin B 最常用，因為公式中既有邊
又有角，容易和正弦定理、余弦定理聯系起來.
3．（2024·青海海西·模擬預測）如圖，在四邊形 ABCD中，
AB ^ AD,cosB 5 ,cos ACB 10 , BC 5 ．
5 10
(1)求 AC ；
3
(2)若VACD的面積為 ，求CD ．
2
【答案】(1) AC 2 2 ；
(2) CD 17
2
【分析】（1）根據誘導公式及兩角和的余弦公式求出 CAB ，再由正弦定理得解；
（2）由三角形面積求出 AD ，再由余弦定理求出CD .
5 10
【詳解】（1）由cosB ,cos ACD ，
5 10
2 2

則 sinB 1 5 2 5 ÷ ,sin ACD 1
10 3 10
÷ ，
è 5 5 è 10 10
又由 CAB π ABC ACB ，

cos CAB cos ABC ACB 5 10 2 5 3 10
2
所以 ÷ ，
è 5 10 5 10 2
又由 CAB 0,p π，可得 BAC ，
4
在V
BC AC
ABC 中，又由正弦定理得： ，
sin BAC sin ABC
5 AC

所以 sin π 2 5 ，可得 AC 2 2 ；
4 5
（2）由 AB ^ AD, BAC
π
，可得 CAD
π
，
4 4
3 1 π 3 3
又由VACD的面積為 ，有 2 2AD sin ，可得 AD ，
2 2 4 2 2
2
在VACD CD 3 (2 2)2 2 3 π 17中，由余弦定理有 ÷ 2 2sin ．
è 2 2 4 2
uuur uuur
4．（2024·山東菏澤·二模）已知在VABC 中，CA ×CB 2,△ABC 的面積為 3．
(1)求角C 的度數；
(2)若BC 2, D, E 是 AB 上的動點，且 DCE 始終等于30°，記 CED a ．當DE 取到最小值時，求a 的
值．
【答案】(1) C 120°；
(2) 75°．
1
【分析】（1）設CA b,CB a，則abcosC 2, absinC 3求解即可；
2
DE 1
（2）根據三角形面積公式結合正弦定理得到 3 ，根據角的范圍求解即可．sin(2a 60°)
2
1
【詳解】（1）設CA b,CB a，則 abcosC 2，又 absinC 3，因此
2 tanC 3
，
由C 為VABC 的內角，所以 C 120° .
1
（2）由（1）知， absin120° 3，又 a 2，則b 2 ，因此CA CB 2, A B 30°，
2
CA CE 1
在△ACE中，由正弦定理得 ，即CE ，
sina sin 30° sina
在V
CE DE
CDE中，由正弦定理得 ，
sin CDE sin 30°
DE CE ×sin 30° 1 1
sin CDE 2sinasin(150° a ) sina cosa 3 sin2 a
1 1

1 ，sin 2a 3 cos 2a 3 sin(2a 60 3°)
2 2 2 2
顯然30° a 120°，則有0 2a 60° 180°，因此當 sin(2a 60°) 1時，DE 取到最小值，
此時 2a 60° 90°，即a 75°，
所以a 的值75° .
1．（23-24高三上·陜西漢中·階段練習）如圖，在VABC 中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c， AB 6， AC 2 3，
BC 2 6 ，點 D 在邊 BC 上，且 ADC 60° .
(1)求 sin B ；
(2)求線段 AD 的長.
3
【答案】(1)
3
(2)4
【分析】（1）利用余弦定理與三角函數的平方關系即可得解；
（2）利用正弦定理即可得解.
2 2
a2 c2 b2 2 6 62 2 3 【詳解】（1）根據題意得： cos B 6 ，
2ac 2 2 6 6 3
又0 < B < π ，所以 sin B 1 cos2 B 3 .
3
（2）因為 ADC 60°，所以 ADB 120°，
3
ABD AD AB
6
在△ 中，由正弦定理 可得， AD
ABsin B
3 4 .
sin B sin ADB sin ADB 3
2
2．（23-24 高三上·湖北·期末）如圖，在VABC 中， AB AC 6 ，點D是邊BC 上一點，且
uuur uuur
AD ^ AB, cos CAD 2 2 ， AE 2EB
3
(1)求VBCE 的面積；
(2)求線段 AD 的長.
【答案】(1) 4 2
(2) AD 3 2
【分析】（1）根據 S
1
△BCE S3 △ABC
求解即可；
（2）解法 1：在VABC 中根據余弦定理求出BC ，結合等腰三角形的性質求 cos B，在△ABD 中勾股定理求
AD 即可；
解法 2：由 SVABC SVABD SVACD 求得 AD .
uuur uuur
【詳解】（1）Q AE 2EB, S
1
\ VBCE S3 VABC
，
而 S
1
VABC AB × AC ×sin BAC
1
6 6 π sin CAD
2 2 2 ֏
18cos CAD 18 2 2 12 2,
3
S 1\ VBCE S 4 2 .3 VABC
（2）解法 1：Qcos CAD 2 2 , CAD 0, π ,\sin CAD 1 cos2 CAD 1 8 1 ，
3 9 3
\cos CAB cos CAD π 1 ÷ sin CAD ，
è 2 3
VABC BC 2 AB2 AC 2在 中， 2AB × AC ×cos CAB 36
1
36 2 6 6 ÷ 96 ，
è 3
1
\BC 4 6, BC\在等腰VABC 中， cosB 2 2 6 6 ，
BA 6 3
\Rt△ABD 中， cosB 6 BA 6 ,\BD 3 6 ，
3 BD BD
\ AD BD2 BA2 54 36 3 2 .
2 Qcos CAD 2 2解法 ： , CAD 0, π ,\sin CAD 1 cos2 CAD 1 8 1 ，
3 9 3
由 SVABC SVABD SVACD 得，
12 2 1 1 6 AD 6 AD ×sin CAD ,
2 2
即12 2
1
6 1× AD × 6 × AD 1× ，
2 2 3
解得 AD 3 2 .
3．（23-24 高三上·寧夏銀川·階段練習）如圖，在平面四邊形 ABCD中， ADC 90°， A 45° ， AB 4 ，
BD 10．
(1)求 cos ADB；
(2)若△BCD的面積為 4 46 ，求BC ．
23
【答案】(1)
5
(2)10
【分析】（1）先利用正弦定理求出 sin ADB，再結合結合同角的三角函數關系即可求解；
（2）先結合（1）及三角形面積公式求出DC ，再根據余弦定理即可求解．
BD AB
【詳解】（1）在△ABD 中，由正弦定理得 ，
sin A sin ADB
10 4 2
即 ，解得 ，
sin45o sin ADB sin ADB 5
又0o < ADB < 90o ，
所以 cos ADB 1 sin2 ADB 23 ．
5
（2）結合（1）可得 cos BDC cos 90o ADB sin ADB 2 ，5
23
則 sin BDC 1 cos2 BDC ，
5
S 1又 VBCD DB × DC ×sin BDC ，即2 4 46
1
10 DC 23 ，解得DC 4 2 ，
2 5
則由余弦定理得BC 2 BD2 DC 2 2BD × DC ×cos BDC 100，
又BC > 0，所以BC 10．
4．（2023·河南·模擬預測）如圖，在四邊形 ABCD中， AB ^ BC, ADC 120°, AB CD 2AD,△ACD 的面
3
積為 ．
2
(1)求 sin CAB ；
(2)證明： CAB CAD．
【答案】(1) 21
7
(2)證明見解析
【分析】（1）設CD 2AD 2a,a > 0 ，根據VACD面積得到方程，求出 a 1，在VACD中，利用余弦定理
求出 AC 7 ，進而求出BC ，從而求出 sin CAB 的值；
2 VACD sin CAD 21（ ）在 中，由正弦定理得 ，結合（1）中 sin CAB 21 ，由角的范圍得到
7 7
CAB CAD .
【詳解】（1）設CD 2AD 2a,a > 0 ，
因為VACD 3的面積為 , ADC 120°，
2
1
所以 2a a sin120 3 ° ，解得 a 1，
2 2
所以 AB CD 2, AD 1．
在VACD中，由余弦定理得 AC 2 AD2 2
1
CD 2AD ×CDcos120° 1 4 2 2 1



÷ 7，
è 2
所以 AC 7 ．
在Rt△ABC 中， AB ^ BC, AB 2，所以BC AC2 AB2 7 4 3 ，
所以 sin CAB
BC 3 21
；
AC 7 7
（2）由（1）可得CD 2, AC 7 ，
CD AC
在VACD中，由正弦定理得 ，
sin CAD sin ADC
2 3
所以 sin CAD CDsin ADC 2 21 ，且0° < CAD < 60°．
AC 7 7
21
由（1）可得 sin CAB ，又0° < CAB < 90°，
7
所以 CAB CAD．
5．（2024·江西南昌·一模）如圖，兩塊直角三角形模具，斜邊靠在一起，其中公共斜邊 AC 10，
BAC π , DAC π ，BD交 AC 于點E .
3 4
(1)求BD2；
(2)求 AE .
【答案】(1) 50 25 3；
(2) 5 3 5 .
BAD π π【分析】（1）由銳角三角函數求出 AB 、 AD ，又 ，利用兩角和的余弦公式求出 cos BAD ，
3 4
最后由余弦定理計算可得；
（2）解法 1：首先求出 sin BAD，再由 SVABD SVABE SVADE ，利用面積公式計算可得；解法 2：首先得到
AE S
VABD
3
，再由 AE EC 10計算可得.
EC SVBCD 3
【詳解】（1）由已知， AB AC ×cos BAC
1
10 5，
2
AD AC ×cos DAC 10 2 5 2 ，
2
因為 BAD BAC DAC BAC
π π
，
3 4
cos BAD π π cos cos π cos π π π所以 ÷ sin sin
è 3 4 3 4 3 4
1 2 3 2 2 6
，
2 2 2 2 4
所以在△ABD 中由余弦定理可得BD2 AB2 AD2 2AB × AD ×cos BAD
25 50 2 6 2 5 5 2
4
50 25 3 .
π π π π π π 6 2
（2）解法 1：因為 sin BAD sin

÷ sin cos cos sin ，
è 3 4 3 4 3 4 4
又因為 SVABD SVABE SVADE ，
1 1
所以 × AB × AD ×sin BAD × AB × AE ×sin BAE
1
× AE × AD ×sin EAD ，
2 2 2
1
即 5 5 2 6 2 1 3 1 5 AE AE 5 2 2 ，
2 4 2 2 2 2
解得 AE 5 3 5 .
解法 2：因為 BAD BCD π ，所以 sin BAD sin π BCD sin BCD，
又 AD CD 5 2 ， BC 5 3 ，
1
AE S AB × AD ×sin BAD
1
5 5 2sin BAD
所以 VABD 2 2
3
，
EC S 1VBCD BC ×CD ×sin BCD 1 5 3 5 2sin BCD 3
2 2
又因為 AC 10，所以 AE EC 10，則 AE 3AE 10，
所以 AE 5 3 5 .
6．（23-24 高三上·廣東江門·階段練習）已知 A，B，C，D 四點逆時針排列于同一個圓 O 上，其中
BC 2AB 4, π△ABC 的面積為 2 3 ， ABC > ．2
(1)求邊 AC 的長；
(2)當圓心 O 在 AD 上時，求 tan CAD ．
【答案】(1) AC 2 7 ．
(2) 3 ．
3
【分析】（1）由已知，結合三角形面積公式及余弦定理求解即得.
（2）由（1）的信息，結合圓的性質求出 CAD即可得解.
【詳解】（1）在VABC 中，BC 2AB 4,△ABC 的面積為 2 3 ，
S 1則 VABC AB × BC sin ABC 4sin ABC 2 3，解得2 sin ABC
3
，
2
ABC π 2π而 > ，于是 ABC ，由余弦定理得 AC AB2 BC 2 2AB × BC cos 2π
2 3 3
22 42 2 2 4 ( 1 ) 2 7 .
2
2π π
（2）由（1）知 ABC ，而線段 AD 為圓O的直徑，則 ABD ，
3 2
因此 CAD CBD
2π π π
，
3 2 6
π 3
所以 tan CAD tan .
6 3
7．（23-24 高三上·江西·階段練習）如圖，在梯形 ABCD中， AD//BC ，BD 5， CBD 60° .
1
(1)若 sin BCD ，求CD 的長；
4
(2)若 AD 2，求 cos ABD .
【答案】(1)10 3
(2) 4 19
19
【分析】（1）利用正弦定理進行求解即可；
（2）利用余弦定理進行求解即可.
BD CD
【詳解】（1）在△BCD中，由正弦定理得 ，
sin BCD sin CBD
CD BD sin CBD 5sin 60° 3 1 20 10 3則 sin BCD 2 .
4
（2）因為 AD//BC ，所以 ADB CBD 60° .
由余弦定理得 AB2 BD2 AD2 2BD × AD ×cos ADB 19 ，
則 AB 25 4 2 5 2 1 19 ，
2
2
cos ABD AB BD
2 AD2 19 25 4 4 19
所以 .
2AB × BD 2 19 5 19
8．（23-24 高三上·安徽·期末）如圖,在VABC 中, CAB 的平分線交BC 邊于點E ,點D在 AB 邊上, AE 7 ,
AD 3 7 , cos CAE 5 7 .
14
(1)求 ADE 的大小;
(2)若 ACB
2π
,求VCDE的面積.
3
π
【答案】(1)
3
(2) 5 3
4
5 7
【分析】（1）因為 AE 是 CAB 的角平分線,所以 cos CAE cos DAE ,在VADE 中利用余弦定理求
14
出DE 的長,再次利用余弦定理即可求出 ADE 的大小.
（2）在△ACE中,由正弦定理求出CE的長,再根據四邊形內角和為 2π可得到 CED CAD=π ,從而求出
sin CED 的值,再利用三角形面積公式求解即可.
1 AE CAB , cos CAE cos DAE 5 7【詳解】（ ）因為 是 的角平分線所以 ,
14
VADE , DE2 AE2 AD2 2AE AD cos DAE 49 63 2 7 3 7 5 7在 中根據余弦定理得 × 7 ,
14
所以DE 7 ,
2 2 2
則 cos ADE
AD DE AE 63 7 49 1
,
2AD × DE 2 3 7 7 2
因為 ADE 0, π ,
所以 ADE
π
.
3
2

（2）因為 cos CAE 5 7 ,所以 sin CAE 1 cos2 5 7 21 CAE 1
14 ÷÷
,
è 14 14
CE AE CE 7
CE 7
在△ACE中,由正弦定理得 sin CAE sin ACE 21 3 ,
14 2
2π π
在四邊形 ADEC 中, CED CAD 2π ACB ADE 2π =π ,
3 3
所以 sin CED sin CAD 2sin CAE cos CAE 2 5 7 21 5 3 ,
14 14 14
S 1 CE 1 5 3 5 3則 VCDE × DE sin CED 7 7 .2 2 14 4
9．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，在平面四邊形 ABCD中， AB//CD ， AD ×sin D 3AC ×cos ACD ，
BAC 的角平分線與BC 相交于點E ，且 AE 1, AB 3 .
(1)求 ACD的大小；
(2)求BC 的值.
π
【答案】(1)
3
3
(2)
2
【分析】（1）在VACD中利用正弦定理結合已知條件求出 tan ACD，即可得解；
π
（2）依題意可得 BAC ，由 SVBAE SVCAE SVBAC 求出 AC ，再在VABC 中利用余弦定理計算可得.3
AD AC
【詳解】（1）在VACD中，由正弦定理得 ，
sin ACD sin D
所以 AD ×sin D AC ×sin ACD ，
又 AD ×sin D 3AC ×cos ACD ，
所以 AC ×sin ACD 3AC ×cos ACD，因為cos ACD 0，
所以 tan ACD 3 .
π
因為0 < ACD < π，所以 ACD .
3
（2）因為 AB//CD π，所以 BAC ACD .3
π
因為 AE 平分 BAC ，所以 BAE CAE .
6
因為 SVBAE SVCAE SVBAC ，
1 AB AE sin π 1 π 1 π所以 × × AC × AE ×sin AB × AC ×sin ，
2 6 2 6 2 3
1
又 AB 3 ， AE 1，所以 3 1 1 1 1 3 1 AC 1 3AC ，
2 2 2 2 2 2
AC 3解得 ，
2
π
因為 BAC ，所以BC 2 AC 2 AB2 2AB × AC cos BAC
3
2
3 2 3 1 9
÷÷ 3 2 3 ，
è 2 2 2 4
BC 3所以 .
2
10．（2024·山西晉中·三模）在VABC 中，角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，已知b2 c2 bc a2 .
(1)求 tanA；
(2)若b 3 1 c，在邊BC 上（不含端點）存在點D，使得 AD 1，求 a的取值范圍．
【答案】(1) 3
6 ù
(2) ,3 3ú
è 2
【分析】（1）直接用余弦定理求得 cos A，進而得到 tan A；
π π
（2）思路一：利用正弦定理三角恒等變換得B ,C ，進一步結合正弦定理得
4 12
6 q π ,11π a b 3 3 sinq ，由 即可求解；思路二：設邊BC 上的高線長為 h ，則 長度的取值范2 è 4 12 ÷ AD
圍是 h,b ，從而條件等價于 h 1 < b，最后用 a表示 h 和b ，即可求出 a的范圍.
2
1 cos A b c
2 a2 b2 c2 b2 c2 bc 1
【詳解】（ ）由余弦定理得 ，所以
2bc 2bc 2
1 12
tan A sin A 1 cos A 4 3 .
cos A cos A 1
2
（2）方法一：因為b 3 1 c，所以 sin B 3 1 sin C ，
由（1）知道 cos A
1
2π，所以 A
2 3
，
C π所以 B，
3
sin B 3 1 sin C sin B 3 1 sin π B 3 1 3 cos B 1 所以由 ，可得 ÷ sin Bè 3 2 2 ÷÷，è
從而 3 3 sin B 3 3 cos B > 0（因為 sin B > 0），
π π
所以 tan B 1，結合 B 是三角形內角可知，B ,C ，
4 12
π 11π
當 AD 1時，在三角形 ACD中，設 ADC q ，則q , ÷，
è 4 12
b sinq b sinq
由正弦定理得 ，故 π ，
AD sin C sin 12
因為 sin C sin
π
sin π π 3 2 1 2 6 2 ÷ ，12 è 3 4 2 2 2 2 4
所以b 6 2 sinq ，
sin 2πa sin BAC 3 6
在三角形 ABC 中，由正弦定理得 ，
b sin B sin π 2
4
a 6故 b 3 3 sinq ，2
π
因為q ,
11π
，
è 4 12 ÷
6 2 ù
所以sinq 的取值范圍是 ,1 ，
è 4
ú

6 ù
所以 a的取值范圍是 ,3 3 .
è 2
ú

方法二：在本小問的解析中，所有“線段BC 上”均不含端點 B 和C .
由 cos A
1
< 0知角A 是鈍角，所以角B,C 都是銳角，
2
這表明點A 在直線BC 上的投影 H 在線段BC 上.
設 AH h，則由 H 在線段BC 上及b 3 1 c > c 可知，
對線段BC 上的點D， AD 長度的取值范圍是 h,b ，所以條件等價于 h 1 < b .
2 2
b2 b2 b 3 1 1 3 1÷ 3b2
而我們有 a2 b2 c2 bc b2 è 2 2 ， 3 1 3 1 3 1 2
6
故b a .
3
由于 sin A 1 cos2 A 1 1 3 ，
4 2
2 2
故我們又有 h
ah 2SVABC bc sin A 3b 3a a
a a a 2 3 1 a 3 3 1 a 3 3 .
a 6 6
所以條件等價于 1 < a，即 < a 3 3 .
3 3 3 2
6 ù
綜上， a的取值范圍是 ,3 3ú .
è 2
1．（2024·湖南長沙·三模）如圖，在VABC 中，已知 AB 3, AC 6, A為銳角，BC, AC 邊上的兩條中線 AM , BN
相交于點P,VABC 9 3的面積為 .
2
(1)求BC 的長度；
(2)求 APB的余弦值.
【答案】(1) BC 3 3
(2) 7
14
1
【分析】（1）因為 SVABC AB × ACsin BAC ，得到，由 BAC
π
，在VABC 由余弦定理即可得到BC 的
2 3
長度.
2 2 2（2）因為 AB BC 9 27 36 AC2 ，所以 BAC 為直角，\ BN = 3 ,\BP BN 2 .在VABM 中，由3
勾股定理得 AM ，即得到 AP ，在VABP中，由余弦定理即可得到 APB的余弦值.
【詳解】（1 S 1 9 3 3）由題知， VABC AB × ACsin BAC ，所以 sin BAC ，2 2 2
又因為 BAC 0, π BAC π 2π π，所以 或 .因為 BAC 為銳角，所以 BAC .
3 3 3
在VABC 中，由余弦定理知BC 2 AB2 AC 2 2 × AB × ACcos BAC ，
2 1
整理得BC 9 36 2 3 6 27 ，解得
2 BC 3 3
.
（2）因為 AB2 BC2 9 27 36 AC2 ，
π 1 2
所以 ABC ，BN AC 3,，\BP BN 2
2 2 3
2
在VABM 3 7中，由勾股定理得： AB2 BM 2 AM 2，\ AM ， AP AM 7
2 3
2 2 2
所以在VABP AP BP AB 7中，由余弦定理得 cos APB .
2AP × BP 14
所以 APB 7的余弦值為 .
14
2．（23-24 高三下·安徽·階段練習）已知 a，b，c 分別是△ABC 的三個內角的對邊，且
3c sin A a cosC b c．
(1)求 A；
(2)若 BC 2，將射線 BA 和 CA 分別繞點 B，C 順時針方向旋轉15o，30o，旋轉后相交于點 D（如圖所示），
且 DBC 30o，求 AD．
π
【答案】(1) A 3
(2) 6
3
【分析】（1）首先根據正弦定理邊角互化，再根據三角恒等變形，即可求解；
（2）由條件確定幾何圖形中的角的值，再根據正弦定理和余弦定理求解.
【詳解】（1）由正弦定理可知 3 sin C sin A sin AcosC sin B sin C ,
又因為 sin B sin A C sin AcosC cos Asin C ，
所以 3sinC sin A cos AsinC sinC ，且 sin C > 0，
π π 1
則 3 sin A cos A 1，即 2sin A ÷ 1，所以 sin A ÷ ，
è 6 è 6 2
A 0, π A π π , 5π因為 ， ，所以 A
π π
，
6 è 6 6 ÷ 6 6
所以 A
π

3 ；
（2）由條件可知， ABD 15o ， ACD 30o，且 DBC 30o，
所以 ABC 15o 30o 45o ，又 BAC 60o ，
所以 ACB 180o 60o 45o 75o， BCD 75o 30o 105o ，
BDC 180o 30o 105o 45o，且BC 2
VABC AC BC BC ×sin ABC 2 sin 45
o 2 6
中， sin ABC sin BAC ，得 AC ,sin BAC sin 60o 3
BC DC
△BCD DC BC ×sin DBC 2 sin 30
o
中， ，得 2 ，
sin BDC sin DBC sin BDC sin 45o
VACD中， AD AC 2 DC 2 2AC × DC ×cos ACD ，
8 2 2 2 6 3 6 2 .
3 3 2 3
3．（2024·浙江·模擬預測）如圖，在平面內的四個動點A ， B ，C ，D構成的四邊形 ABCD中， AB 1，
BC 2，CD 3， AD 4 .
(1)求VACD面積的取值范圍；
(2)若四邊形 ABCD存在外接圓，求外接圓面積.
【答案】(1) 0,2 5
1155π
(2)
288
【分析】（1）根據三角形的性質，求 AC 的范圍，再根據余弦定理求 cos ADC 的范圍，以及 sin ADC 的范
圍，最后代入面積公式，即可求解；
（2）由余弦定理和有外接圓的四邊形的性質，求 AC 和 sin ADC ，最后代入外接圓面積公式，即可求解.
【詳解】（1）由三角形的性質可知， AB BC > AC ，即 AC < 3，
且 AC CD > AD，即 AC >1，所以1 < AC < 3，
2 2
△ADC 中， cos ADC 9 16 AC 25 AC ，
2 3 4 24

所以 cos ADC
2
,1
5
3 ÷
，則 sin ADC 0, 3 ÷è ÷
，
è
S 1VADC 3 4 sin ADC 6sin ADC ，2
所以△ADC 面積的取值范圍是 0,2 5 ；
（2）△ADC 中， AC 2 9 16 2 3 4 cos ADC 25 24cos ADC ，
VABC 中， AC 2 1 4 2 1 2 cos ABC 5 4cos ABC ，
即 25 24cos ADC 5 4cos ABC
因為四邊形 ABCD存在外接圓，所以 ADC ABC 180o，即 cos ADC cos ABC ，
5 2
即 25 24cos ADC 5 4cos ADC ，得 cos ADC ，
7 sin
5 2 6
ADC 1 ÷ ，
è 7 7
AC 2 25 24 5 55 AC 385此時 ，即 ，7 7 7
2R AC 2310 2310由 R ，
sin ADC 12 24
2

ABCD S πR2 π 2310 1155π四邊形 外接圓的面積 ÷÷ .
è 24 288
4．（2024·浙江紹興·二模）在三角形 ABC 中，內角 A, B,C 對應邊分別為 a,b,c且bcosC 3c sin B a 2c .
(1)求 B的大小；
(2)如圖所示，D為VABC 外一點， DCB B ，CD 3 ， BC 1， CAD 30o ，求 sin BCA及VABC 的
面積.
【答案】(1)120°
(2) 2 3 3，
2 4
【分析】（1）利用正弦定理邊化角可得 sin B cosC 3 sin C sin B sin A 2sin C ，根據式子特點，變換
sin A sin(B C)，從而可以化簡三角恒等式為 3 sin B cos B 2 ，最后利用輔助角公式求出B 120°；
（2）設 BCA q ，可知用q 表示 D， BAC ，利用正弦定理可得公共邊 AC 的式子，最后可得一個關于
角q 2 3 2 6的三角方程求解出角q 的大小，然后求出求出 sin BCA 和 AC ，最后利用面積公式即
2 2
可求出面積.
【詳解】（1）QbcosC 3c sin B a 2c，由正弦定理邊化角得：
\sin B cosC 3 sin C sin B sin A 2sin C ，由三角形內角和為180°可得：sin A sin(B C)，
即\sin B cosC 3 sin C sin B sin(B C) 2sin C sin B cosC cos B sin C 2sin C ，
即 3 sin C sin B cos B sin C 2sin C ，
又Qsin C 0\ 3 sin B cos B 2 3 sin B 1 cos B 1，
2 2
sin B 30°即 1，又Q0° < B <180° ，\B 30° 90°，即B 120° .
AC CD
（2）設 BCA q ，在VACD中， ，
sin D sin CAD
D 180° 30° 120° q 30° q ，CD 3 ，
sin(q 30o )
\ AC CD 2 3 sino q 30o ，sin 30
AC BC
在VABC 中， ， BAC 180° 120° q 60° q ， BC 1，
sin B sin BAC
AC sin120
o
\ BC 3 3 ，
sin(60o q ) 2sin(60o q ) 2cos(q 30o )
即 2 3 sin q 30o 3 ，
2cos(q 30o )
\4sin(q 30o ) cos(q 30o ) 1 2sin(2q 60o ) 1，
\sin(2q 60o ) 1 ，又
2 Q0
° < q <120°，
\2q 60o 150o ，解得q 45o，
\sin BCA sinq sin 45° 2 ，
2
又由 AC 2 3 sin(q 30o） 2 3 sin(45o 30o）

2 3 2 3 2 1 3 2 6 ÷÷ ，
è 2 2 2 2 2
1
于是 SVABC BC
1
× AC ×sin BCA 1 3 2 6 2 3 3 .
2 2 2 2 4
5．（2024·廣西來賓·模擬預測）VABC 的內角A ， B ，C 的對邊分別為 a，b ， c， AD 為 BAC 平分線，
b tan A (2c b) tan B
(1)求A ；
p S
(2)若 c : AD : b 3 : 2 : 2 3 ， AD 上存在點M ，使得 ABM △ABM，求 ．12 S△ACD
π
【答案】(1) A 3
(2) 3 3
8
【分析】（1）利用正弦定理將邊轉化為角的正弦，結合三角恒等變換求解即可；
（2）令 c 3k ， k > 0，在VBAD中，利用余弦定理可求BD k ，在VABM 中，利用正弦定理可求
AM 3( 3 1)k
SVABM AM S BD AB
，再由
VABD
S AD ， S CD AC ，即可求解.2 VABD VACD
【詳解】（1）由b tan A (2c b) tan B，結合正弦定理得， sin B
sin A
(2sin C sin B) sin B ，
cos A cos B
因為 sin B > 0，所以 sin Acos B sin B cos A 2sin C cos A，
即 sin(A B) 2sinC cos A，
又 sin(A B) sin(π C) sin C ，所以 sin C 2sin C cos A，
1
因為 sin C > 0，所以 cos A ，
2
π
又0 < A < π ，所以 A 3 ；
（2）由（1）知： BAD
π
，
6
令 c 3k ， k > 0，則 AD 2k ，b 2 3k ，
VBAD BD2 3k 2在 中， 4k 2 2
p
× 3k ×2k ×cos k 2，
6
所以BD k ，則BD2 AB2 AD2，
ABC π C π故得： ， ，
2 6
BC AC2 AB2 3k ，DC 2k ，
因為 ABM
π
，
12
在VABM 中， AMB π BAM
3π
ABM ，
4
AM AB π
π
3k ×sin
AM 12 3( 3 1)k所以 sin sin 3π ，可得 3π ，
12 4 sin 24
AD 2k AM 3 3因為 ，則 ，
AD 4
SVABM AM 3 3所以 ，
SVABD AD 4
S
又 VABD
BD AB 3k 1
，
SVACD CD AC 2 3k 2
S 3 3
所以 △ABM .
S△ACD 8
6．（2024·湖南衡陽·三模）在VABC 中，角 A，B，C 的對邊分別為 a、b、c，且
c cos B 2a cos A bcosC 0．
(1)求 A；
π
(2)如圖所示，D 為平面上一點，與VABC 構成一個四邊形 ABDC，且 BDC ，若 c b 2 ，求 AD 的最
3
大值．
2π
【答案】(1) A .3
(2)4
【分析】（1）根據題意，由正弦定理的邊角互化進行化簡，代入計算，即可得到結果；
（2）方法一：根據題意，分別在△ABD 與VACD中由正弦定理化簡，即可得到 AD 4sina ，從而得到結
a
果；方法二：由余弦定理可得 a 2 3 ，再由正弦定理2R 代入計算，即可得到結果；sin A
【詳解】（1）因為 ccosB 2acosA bcosC 0，
由正弦定理得， sinCcosB 2sinAcosA sinBcosC 0，
所以 2sinAcosA sin B C 0 ，所以 2sinAcosA sinA 0，
1
因為 sinA 0 ，所以 cosA ，因為 A 0, π 2π，所以 A .
2 3
（2）方法一：設 ABD a， ADB b ，則：
AD AB AD AC
在△ABD 中， ，①，在VACD中， sin π a πsina sinb sin b ，②÷
è 3
① sinb sin π ： b ÷ ，所以 b 30°，所以 AD 4sina ，所以 AD 的最大值是 4
② è 3
解法二：在VABC 中，由余弦定理得， a c2 b2 2cbcosA = 2 3 ，
2π π
因為 BAC BDC π，
3 3
a 2 3 2 3
所以四邊形 ABDC 2R 4存在一個外接圓O，所以圓O的直徑為 sinA sin 2π 3
3 2
因為 AD 2R，即 AD 4，當 AD 為圓 O 直徑時取等號，故 AD 的最大值為 4.
7．（23-24 高一下·河北保定·期末）阿波羅尼奧斯（Apollonius）是古希臘著名的數學家，他提出的阿波羅尼
奧斯定理是一個關于三角形邊長與中線長度關系的定理，內容為：三角形兩邊平方的和，等于所夾中線及
é BC 2 ù
第三邊之半的平方和的兩倍，即如果 AD 是VABC AB2 AC 2 2 AD2 中 BC 邊上的中線，則 ê ÷ ú .
ê è 2 ú
(1)若在VABC 中， AB 5
π
， AC 3， BAC ，求此三角形 BC 邊上的中線長；
3
(2)請證明題干中的定理；
(3)如圖VABC 中，若 AB > AC ，D 為 BC 中點，BD DC 3， a sin A 3bsin B 3bsin A C ，
S 3 3△ABC ，求 cos DAC 的值.2
7
【答案】(1) AD
2
(2)證明見解析
1
(3)
2
【分析】（1）余弦定理求出BC 19 ，再用所給式子求出中線即可；
（2）左右兩個三角形△ABD 和VACD分別使用余弦定理，得到兩個方程，結合 cos ADB cos ADC ，相
加即可證明；
2
（3） a sin A 3bsin B 3bsin A C 2a，利用三角恒等變換，求得b2 c2 ，結合
3
é 2 ù
AB2 AC 2 2 êAD2
BC
÷ ú，求出 AD ．在VACD，用面積公式求出 sin ADC ，進而求出 AC ，再用余
ê è 2 ú
弦定理即可解.
【詳解】（1）
如圖所示，
由余弦定理得，BC 2 AC 2 AB2 2AB AC cos A，
2 2 2
代值計算得到BC 5 3 2 5
π
3 cos ，求得BC 19 ；3
é 2
AB2 AC 2 BC
2 ù é ù
由于 2 êAD2

ú 2 2 ÷ ，代值計算得5 3 2 êAD
2 19 ú 7，求得 AD
ê è 2
÷
ú ê
÷
è 2 ú 2
（2）在△ABD 中， AB2 AD2 BD2 2AD BD cos ADB；
在VACD中， AC 2 AD2 CD2 2AD CD cos ADC ；
1 éAB2 AC 2 2 AD2 BC
2
ù
兩式相加，且 cos ADB cos ADC, BD CD BC ，得到 ê ÷ ú，則原式得2 ê è 2 ú
證．
（3）由于 a sin A 3bsin B 3bsin A C 3b(sin AcosC sin C cos A) 3bsin AcosC 3bsin C cos A
則由正弦定理，得 a2 3b2 3ba cosC 3bc cos A，
a2 b2 c2 b2 c2 2
即 a2 3b2 3ba a 3bc ，
2ab 2bc
2a2
去分母整理得到3b2 3c2 2a2，即b2 c2 ．
3
且BD DC 3，則 BC a 6，則b2 c2 24．
é
AB2 AC 2 2 AD2 BC
2

ù
ê ú BD DC 3 2 2 2由于 ÷ ，且 ，即 c b 2 éAD 9 ù
ê è 2 ú
聯立解出 AD 3
S 3 3 S 3 3 1 AD DC sin ADC 1由于 △ABC ，則 VADC 3 3sin ADC ，2 4 2 2
sin ADC 1 3解得 ，則 （負數不滿足）.
2 cos ADC 2
由余弦定理得到 AC 2 DC 2 AD2 2AD DC cos ADC 3，代值計算， AC 2 9 3 6 3 3， 則
2
AC 3 ，
2 2 2
則 cos DAC
AD AC DC 3 3 9 1
．
2AD AC 2 3 3 2
8．（2024·河北衡水·模擬預測）如圖，在平面四邊形 ABCD中， AB AC 2 3, ADC CAB 120° ，設
DAC q .
(1)若 AD 2，求 BD 的長；
(2)若 ADB 15°，求 tanq .
【答案】(1) 2 7
(2) 6 3 3
【分析】（1）在VACD中由正弦定理解出 ACD，再在△ABD 中由余弦定理解出 BD 即可；
（2）在△ABD 中由正弦定理解出 BD ，再在△BCD中，由正弦定理解出 BD ，由 BD 相等關系得
6cosq 2 3 sin 120° q
，最后解出 tanq 即可.
cos15° sin15°
AC AD
【詳解】（1）在VACD中，由正弦定理得： ，
sin ADC sin ACD
2 3 2 sin ACD 1即 ， ，因為 ADC 120°，
sin120° sin ACD 2
所以0° < ACD < 60°，解得 ACD 30°，則 DAC 30°，\ DAB 30° 120° 150°，
2 3
在△ABD 中，由余弦定理得： BD 12 4 2 2 2 3 ÷÷ 28，
è 2
所以 BD 2 7 .
（2）
如圖：由 DAC q ，則 BAD 120° q ，因為 ADB 15°，
AB BD
所以在△ABD 中，由正弦定理知： sin15° sin 120 ，° q
2 3 sin 120° qBD ，
sin15°
由 DBA 180° 120° q 15° 45° q ，
AB AC 2 3, CAB 120 ABC 180° 120°因為 °，所以 30°，
2
CBD ABC ADB 30° 45° q q 15°，
由 BDC ADC ADB 120° 15° 105°，
BCD 180° 105° q 15° 90° q ，
BC BD BD
所以在△BCD中，由正弦定理知： sin105° sin 90° q cosq ，
由 sin105° sin 90° 15° cos15°，
2 2 2在VABC 中， BC 2 3 2 3 2 1× 2 3 × 2 3 × ÷ 36，所以 BC 6，
è 2
BD 6cosq 2 3 sin 120° q 所以 ，又因為 BD ，cos15° sin15°
6cosq 2 3 sin 120° q
即 ，
cos15° sin15°

2 3 3 cosq
1
sinq
所以 6cosq è 2 2
÷

，
cos 45° 30° sin 45° 30°
6cosq 3cosq 3 sinq

即 6 2 6 2 ，
4 4
所以6 6 2 cosq 6 2 3cosq 3 sinq ，
9 2 3 6 cosq 3 2 6 sinq ，
9 2 3 6 9 2 3 6 3 2 6 所以 tanq 72 36 3 6 3 3，
3 2 6 12 12
故 tanq 6 3 3 .
9．（23-24 高一下·廣東茂名·期末）如圖所示，在VABC 中， AB 3AC ，AD 平分 BAC ，且 AD kAC .
(1)若 DC 2，求 BC 的長度；
(2)求 k 的取值范圍；
(3)若 S△ABC 1，求 k 為何值時，BC 最短.
【答案】(1) BC 8

(2) k 0,
3
2 ֏
(3) k 3 5
5
AB BD
【分析】（1）在△ABD 和VACD中分別利用正弦定理結合 AD 平分 BAC ，可得 ，從而可求出
AC DC
BD，進而可求出BC ；
3 BAC
（2）由 SVABC SVABD SVADC 結合三角形的面積公式及已知條件化簡可得 k cos ，從而可求出 k 的2 2
取值范圍；
S 1 BC 2 4 5 3cos BAC y 5 3cos BAC（3）由 △ABC ， AB 3AC 結合余弦定理得 × ，令 ，則當 y 最小3 sin BAC sin BAC
值時，BC 最短，化簡后結合輔助角公式和正弦函數的性質可求得結果.
【詳解】（1）在△ABD
AB BD
中，由正弦定理得 ，
sin ADB sin BAD
AC DC
在VACD中，由正弦定理得 ，
sin ADC sin CAD
因為 AD 平分 BAC ，所以 BAD CAD ，
因為 ADB ADC π ，
所以 sin ADB sin ADC ，
AB BD
所以 ，
AC DC
因為 AB 3AC ， DC 2，
BD
所以 3，得BD 6，
2
所以 BC 8；
（2）因為 SVABC SVABD SVADC ，
1 AB AC sin 1 BAC 1 BAC所以 × BAC AB × ADsin AC × ADsin ，
2 2 2 2 2
因為 AB 3AC ， AD kAC ，
所以3AC × AC
BAC BAC
× 2sin cos 3AC × kAC sin BAC AC × kAC sin BAC ，
2 2 2 2
BAC BAC
因為 sin 0，所以6cos 4k ，
2 2
k 3 BAC所以 cos ，
2 2
BAC
因為 0,
π
÷，所以 cos
BAC
0,1 ，
2 è 2 2
3
所以 k

0,

2 ÷
；
è
（3）由余弦定理得BC 2 AB2 AC 2 2AB × AC cos BAC AC 2 (10 6cos BAC)，
因為 S 1
1
△ABC ，所以 AB × AC sin BAC 1，2
3
因為 AB 3AC 2，所以 AC sin
2
BAC 1 AC 2，所以 ，
2 3sin BAC
BC 2 2所以 (10 6cos BAC)
4 5 3cos BAC
× ，
3sin BAC 3 sin BAC
y 5 3cos BAC令 ，則 ysin BAC 3cos BAC 5，
sin BAC
所以 y2 9 sin( BAC j) 5（其中 tanj
3

y ），
所以當 sin( BAC j) 1時， y 取得最小值 4，
即當 BAC j
π 3
時， y 取得最小值 4，此時 tanj ，
2 4
cos π 3所以 BAC cos

j

÷ sinj ，
è 2 5
2 BAC
因為 cos BAC 2cos 1，
2
2cos2 BAC 1 3 cos BAC 2 5所以 ，所以 ，
2 5 2 5
3 BAC
由（2）知 k cos ，
2 2
k 3 2 5 3 5所以 ，
2 5 5
k 3 5即當 時，BC 最短.
5
【點睛】關鍵點點睛：此題考查正弦定理和余弦定理的應用，考查三角形的面積公式和三角函數恒等變換
公式的應用，第（3）問解題的關鍵是余弦定理結合已知條件表示出BC 2 ，換元后結合三角函數恒等變換公
式可求得答案，考查數學轉化思想和計算能力，屬于難題.
10．（23-24 高一下·廣東深圳·期中）如圖，在VABC 中，已知 AB 2 ， AC 6 2 ， BAC 45°，BC 邊上
的中點為M ，點 N 是邊 AC 上的動點（不含端點）， AM ，BN 相交于點 P ．
(1)求 BAM 的正弦值；
(2)當點 N 為 AC 中點時，求 MPN 的余弦值．
uuur uuur uuur uuur
(3)當 NA × NB 取得最小值時，設 BP l BN ，求l 的值．
3
【答案】(1)
5
(2) 13 10
50
12
(3) l
13
【分析】（1）解法 1、先利用余弦定理求得 BC，再根據 BMA 與 CMA互補，由
uuuur 1 uuur uuur
cos BMA cos CMA 0 ，求得 AM 5，然后在VABM 中，利用余弦定理求解；解法2、由 AM AB AC ，2
uuuur 1
求得 AM 5，再利用VABM 的面積為VABC 面積的 2 求解；解法 3：以A 為坐標原點，以 AC 所在直線為 x
uuur uuuur
AB × AM
軸，以過點A 的垂線為 y 軸，建立平面直角坐標系，利用向量的夾角公式 cos BAM uuuurAB AM 求解；
（2）方法 1、在VABN 中，利用余弦定理，求得BN 10，再由 P 為VABC 重心，得到
2 2 10 AP 2 AM 10BP BN ， ，然后在VABP中，利用余弦定理求解；解法 2：由
3 3 3 3
uuuur uuur
uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur AMBN BA AN AB AC ，求得 BN 10 ，再利用向量的夾角公式 cos MPN uuuur
×uBuNur
AM BN 求解；解法2
3：以A 為坐標原點，以 AC 所在直線為 x 軸，以過點A 的垂線為 y 軸，建立平面直角坐標系，再利用向量
uuuur uuur
的夾角公式 cos MPN u
AuM uur ×uBuNur
AM BN 求解；
uuur uuur uuur uuur uuur uuur 2 2 uuur 2 uuur uuur（3）設 NA x ，由 NA × NB NA × NA AB x 2x，則 x 即 NA 時， NA × NB 取最小值，得
2 2
uuur 11 uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur uuur 11 uuur 1 uuuur
到BN BA BC ，再由BC 2BM ，BP lBN 0 l 1 ，得到BP lBA lBM ，由 A， P ，M12 12 12 6
三點共線求解；
【詳解】（1）解法 1、由余弦定理得BC 2 AB2 AC 2 AB × AC ×cos BAC ，
即BC 2 22 6 2 2 2 2 6 2 2 52，所以BC 2 13 ，2
BM CM 1所以 BC 13，
2
BM 2 AM 2 AB2 AM 2 9
在VABM 中，由余弦定理，得 cos BMA ，
2BM × AM 13 × AM
CM 2 AM 2 AC 2cos CMA AM
2 59
在△ACM 中，由余弦定理，得 ，
2CM × AM 13 × AM
因為 BMA 與 CMA互補，所以 cos BMA cos CMA 0 ，解得 AM 5，
2 2 2
在VABM AB AM BM 4中，由余弦定理，得 cos BAM ，
2AB × AM 5
π
BAM 0, 因為 ÷，所以 sin BAM
3
1 cos2 BAM ．
è 2 5
uuur uuur uuur uuur
解法 2、由題意可得， AB × AC AB AC cos 45° 12，
uuuur 1 uuur uuur
由 AM 為邊BC 上的中線，則 AM AB AC ，2
uuuur2 1 uuur2 1 uuur2 1 uuur uuur
兩邊同時平方得， AM AB AC AB × AC 25，
4 4 2
uuuur
故 AM 5，
因為M 為BC 邊中點，則VABM 的面積為VABC 1面積的 2 ，
1
所以 AB AM sin BAM
1 1
AB AC sin BAC ，
2 2 2
1
即 2 5 sin BAM
1 1
2 6 2 sin 45°，
2 2 2
化簡得， sin BAM
3
．
5
解法 3：以A 為坐標原點，以 AC 所在直線為 x 軸，以過點A 的垂線為 y 軸，建立平面直角坐標系
B 2, 2 C 6 2,0 M 7 2 2 則 ， ， ,2 2 ÷÷，è
uuur uuuur AB 2, 2 AM 7 2 2 所以 ， , ，
è 2 2
÷÷

uuur uuuur
cos BAM AB × AM所以 uuuur
8 4

AB AM 2 5 5 ，
BAM 0, π因為

÷，所以 sin BAM 1 cos
2 BAM 3 ．
è 2 5
（2））解：方法 1、在VABN 中，由余弦定理，
得BN 2 AB2 AN 2 2AB × AN 2 ×cos 45°，
所以BN 10，
由 AM ，BN 分別為邊BC ， AC 上的中線可知 P 為VABC 重心，
BP 2 BN 2 10可得 ， AP
2 10
AM ，
3 3 3 3
PA2 PB2 AB2 13 10
在VABP中，由余弦定理，得 cos APB ，
2PA × PB 50
又由 MPN APB ，所以 cos MPN cos APB 13 10 ．
50
uuur uuur uuur uuur 1 uuur
解法 2：因為BN 為邊 AC 上的中線，所以BN BA AN AB AC ，
2
uuuur uuur 1 uuur uuur uuur 1 uuurAM × BN AB AC × AB AC 1 uuur2 1 uuur uuur uuur 2 ÷ AB AB 1× AC AC 13，2 è 2 2 4 4
uuur2 uuur 1 uuur
2 uuur2 uuur uuur uuur2 uuur
BN 1 AB AC ÷ AB AB × AC AC 10，即 BN 10 ．
è 2 4
uuuur uuur
AM × BN 13 13 10
所以 cos MPN uuuur uuur AM BN 5 10 50 ．
解法 3：以A 為坐標原點，以 AC 所在直線為 x 軸，以過點A 的垂線為 y 軸，建立平面直角坐標系：

則B 2, 2 ，C 6 2,0 ， N 3 2,0 M 7 2， ,
2
，
è 2 2 ÷
÷

uuuur 7 2 2 uuur
所以 AM , ÷÷，BN 2 2, 2 ．
è 2 2


uuur
cos MPN AM × BN 13 13 10所以 AM BN 5 10 50 ．
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur uuur（3）設 NA x ， NA × NB NA × NA AB NA NA × AB x2 2x，
2 uuur 2 uuur uuur 1
當 x 即 NA 時， NA × NB 取最小值 ，
2 2 2
uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur 11 uuur uuur
\BN BA 1 AN BA BA BC BA BC ，12 12 12
uuur uuuur uuur uuur
Q BC 2BM ，BP lBN 0 l 1 ，
uuur 11 uuur 1 uuuur 11 uuur 1 uuuur\BP l BA BM ÷ lBA lBM ，
è12 6 12 6
Q A， P ，M 三點共線，
11 l 1 l 1 l 12\ .
12 6 13
1．（北京·高考真題）如圖，在 ABC B
p
中， ， AB 8，點D在BC 邊上，且CD 2，
3
cos ADC 1 .
7
（1）求 sin BAD；
（2）求BD, AC 的長.
3 3
【答案】（1） ；（2）7.
14
【詳解】試題分析：（I）在 ABD 中，利用外角的性質，得 sin BAD sin ADC B 即可計算結果；（II）
由正弦定理，計算得BD 3，在 ABC中，由余弦定理，即可計算結果．
試題解析：（I）在 ADC 中，∵ cos ADC
1
，∴
7 sin ADC
4 3

7
∴ sin BAD sin ADC 3 3 B
14
AB ×sin BAD
（II）在 ABD 中，由正弦定理得：BD 3
sin ADB
在 ABC中，由余弦定理得： AC 2 AB2 BC 2 2AB × BC ×cos B 49
∴ AC 7
考點：正弦定理與余弦定理．
2．（安徽·高考真題）
在V ABC 中，a，b，c 分別為內角 A，B，C 所對的邊長，a= 3，b= 2 ，1 2cos(B C) 0，求邊 BC 上的
高.
【答案】見解析
【詳解】試題分析：利用三角形內角和 ， ，求出 的正弦值，利用正弦定理求出
的正弦值，然后求出 的正弦值，即可求出邊 上的高．
試題解析：解：由1 2cos(B C) 0和B C p A，得1 2cos A 0，
cos A 1 sin A 3即 ，2
，
2
bsin A 2
再由正弦定理得 sin B ，
a 2
由b < a ，知B < A，所以 不是最大角．
于是B
p
< ，從而
2 cos B 1 sin
2 B 2 ，
2
sin C sin(A B) 2 ( 3 1由上述結果知 ) ，
2 2 2
BC h h bsin C 3 1設邊 上的高為 ，則有 ．
2
考點：正弦定理.
3．（海南·高考真題）如圖，△ACD 是等邊三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD 交 AC 于 E，
AB=2.
（1）求 cos∠CBE 的值；
（2）求 AE．
【答案】(1)因為 BCD 90° 60° 150° ,CB AC CD ,所以 CBE 15° ，
2 3 2 1 6 2
\cos CBE cos 45° 30° .2 2 2 2 4
AE 2
(2)在VABE 中， AB 2 ，由正弦定理得 sin 45° 15° sin 90° 15° ,
2sin 30° 2
1

故 AE 2° 6 2cos15 6 2
4
【詳解】略
4．（全國·高考真題）如圖，在△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝ 3，BC＝1，P 為△ABC 內一點，∠BPC＝90°.
(1)若 PB 1＝ 2 ，求 PA；
(2)若∠APB＝150°，求 tan∠PBA．
7 3
【答案】（1） （2）
2 4
【詳解】試題分析:（1）在三角形中，兩邊和一角知道，該三角形是確定的，其解是唯一的，利用余弦定理
求第三邊.（2）利用同角三角函數的基本關系求角的正切值.（3）若是已知兩邊和一邊的對角，該三角形具
有不唯一性，通常根據大邊對大角進行判斷.（4）在三角形中，注意 這個隱含條件的使用.
試題解析:解：（1）由已知得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.
在△PBA 中，由余弦定理得 PA2＝ .
7
故 PA＝ . 5 分
2
（2）設∠PBA＝α，由已知得 PB＝sin α.
△ 3 sina在 PBA 中，由正弦定理得 ，
sin150° sin(30° a )
化簡得 3 cos α＝4sin α.
tan α 3 tan∠PBA 3所以 ＝ ，即 ＝ . 12 分
4 4
考點：（1）在三角形中正余弦定理的應用.（2）求角的三角函數.
5．（湖南·高考真題）如圖，D是直角 ABC斜邊BC 上一點， AB AD ，記 CAD a , ABC b .
（1）證明 sina cos 2b 0；
（2）若 AC 3DC ，求b 的值.
【答案】（1）根據兩角和差的公式，以及誘導公式來得到證明．
p
（2）
3
p p
【詳解】試題分析：（1）由題意得a (p 2b ) 2b ，即可化簡得證；（2）在 ADC 中，由正弦定
2 2
理得 sin b 3 sina ，在由（1）中 sina cos 2b 0，可求得方程 2 3 sin2 b sin b 3 0，即可求解角 b
的值.
a p試題解析：（1）如圖：∵ (p 2b ) 2b
p
，∴ sina sin(2b
p
) cos 2b ，
2 2 2
即 sina cos 2b 0 .
（2）在 ADC 中，由正弦定理得
DC AC
DC 3DC
sina sin( p b ) ，∴ sin b 3 sina sina sin b
由（1）得 sina cos 2b ，∴ sin b 3 cos 2b 3(1 2sin2 b ) ，
即 2 3 sin2 b sin b 3 0 sin b 3，解得 或 sin b 3
2 3
0 b p∵ < < ，∴ sin b 3 ，所以 b
p
.
2 2 3
考點：正弦定理；三角恒等變換.第 10 講 圖形類解三角形綜合
（核心考點精講精練）
命題規律及備考策略
【命題規律】本節內容是新高考卷的常考內容，設題穩定，難度中等，分值為 13-15 分
【備考策略】1.熟練掌握正余弦定理及面積公式解三角形
2.在幾何圖形中能熟練使用相關定理求解
【命題預測】本節內容一般會在解答題中進行命題考查，考查學生的圖形轉化及計算能力，需重點備考復
習
知識講解
1. 正弦定理
a b c
2R （其中 R 為 ABC 外接圓的半徑）
sin A sin B sin C
2. 余弦定理
a2 b2 c2 2bc cos A b2 c2， a
2 2ca cos B c2 a2 b2， 2ab cosC
3. 三角形的面積公式
S 1 1 ABC ah S ABC absin C
1 ac sin B 1 bc sin A
2 ， 2 2 2
考點一、圖形類解三角形綜合考查
1．（江蘇·高考真題）在△ABC 中，角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，已知 a 3,c 2, B 45° ．
（1）求 sin C 的值；
4
（2）在邊 BC 上取一點 D，使得 cos ADC ，求 tan DAC5 的值．
2．（全國·高考真題） ABC的內角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c,已知 sin A 3 cos A 0,a 2 7,b 2 .
（1）求角A 和邊長 c；
（2）設D為BC 邊上一點，且 AD ^ AC ,求 ABD 的面積.
3．（四川·高考真題）如圖，A，B，C，D 為平面四邊形 ABCD 的四個內角.
（1）證明：
（2）若 求 的值.
4．（2024·山東濟南·二模）如圖，已知平面四邊形 ABCD中， AB BC 2 2,CD 2, AD 4 .
(1)若 A, B,C, D 四點共圓，求 AC ；
(2)求四邊形 ABCD面積的最大值.
5．（23-24 高三上·江西·期末）如圖，在△ABC 中，AB=BC=2，D 為△ABC 外一點，AD=2CD=4，記∠BAD=α，
∠BCD=β.
(1)求 2cosa cos b 的值；
(2)若△ABD 2 2的面積為 S1，△BCD 的面積為 S2 ，求 S1 S2 的最大值.
1．（湖南·高考真題）如圖，在平面四邊形 中，
,
(1)求 的值；
(2)求 的長
2．（湖南·高考真題）如圖所示，在平面四邊形 ABCD 中，AD＝1，CD＝2，AC＝ 7 .
（1）求 cos∠CAD 的值；
（2）若 cos∠BAD 7＝－ ，sin∠CBA 21＝ ，求 BC 的長．
14 6
3．（2024·青海海西·模擬預測）如圖，在四邊形 ABCD中，
AB 5 10^ AD,cosB ,cos ACB , BC 5 ．
5 10
(1)求 AC ；
3
(2)若VACD的面積為 ，求CD ．
2
uuur uuur
4．（2024·山東菏澤·二模）已知在VABC 中，CA ×CB 2,△ABC 的面積為 3．
(1)求角C 的度數；
(2)若BC 2, D, E 是 AB 上的動點，且 DCE 始終等于30°，記 CED a ．當DE 取到最小值時，求a 的
值．
1．（23-24高三上·陜西漢中·階段練習）如圖，在VABC 中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c， AB 6， AC 2 3，
BC 2 6 ，點 D 在邊 BC 上，且 ADC 60° .
(1)求 sin B ；
(2)求線段 AD 的長.
2．（23-24 高三上·湖北·期末）如圖，在VABC 中， AB AC 6 ，點D是邊BC 上一點，且
uuur uuur
AD ^ AB, cos CAD 2 2 ， AE 2EB
3
(1)求VBCE 的面積；
(2)求線段 AD 的長.
3．（23-24 高三上·寧夏銀川·階段練習）如圖，在平面四邊形 ABCD中， ADC 90°， A 45° ， AB 4 ，
BD 10．
(1)求 cos ADB；
(2)若△BCD的面積為 4 46 ，求BC ．
4．（2023·河南·模擬預測）如圖，在四邊形 ABCD中， AB ^ BC, ADC 120°, AB CD 2AD,△ACD 的面
3
積為 ．
2
(1)求 sin CAB ；
(2)證明： CAB CAD．
5．（2024·江西南昌·一模）如圖，兩塊直角三角形模具，斜邊靠在一起，其中公共斜邊 AC 10，
BAC π , DAC π ，BD交 AC 于點E .
3 4
(1)求BD2；
(2)求 AE .
6．（23-24 高三上·廣東江門·階段練習）已知 A，B，C，D 四點逆時針排列于同一個圓 O 上，其中
BC 2AB 4, ABC π△ 的面積為 2 3 ， ABC > ．2
(1)求邊 AC 的長；
(2)當圓心 O 在 AD 上時，求 tan CAD ．
7．（23-24 高三上·江西·階段練習）如圖，在梯形 ABCD中， AD//BC ，BD 5， CBD 60° .
1
(1)若 sin BCD ，求CD 的長；
4
(2)若 AD 2，求 cos ABD .
8．（23-24 高三上·安徽·期末）如圖,在VABC 中, CAB 的平分線交BC 邊于點E ,點D在 AB 邊上, AE 7 ,
AD 3 7 , cos CAE 5 7 .
14
(1)求 ADE 的大小;
2π
(2)若 ACB ,求VCDE的面積.
3
9．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，在平面四邊形 ABCD中， AB//CD ， AD ×sin D 3AC ×cos ACD ，
BAC 的角平分線與BC 相交于點E ，且 AE 1, AB 3 .
(1)求 ACD的大小；
(2)求BC 的值.
10．（2024·山西晉中·三模）在VABC 中，角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，已知b2 c2 bc a2 .
(1)求 tanA；
(2)若b 3 1 c，在邊BC 上（不含端點）存在點D，使得 AD 1，求 a的取值范圍．
1．（2024·湖南長沙·三模）如圖，在VABC 中，已知 AB 3, AC 6, A為銳角，BC, AC 邊上的兩條中線 AM , BN
相交于點P,VABC 9 3的面積為 .
2
(1)求BC 的長度；
(2)求 APB的余弦值.
2．（23-24 高三下·安徽·階段練習）已知 a，b，c 分別是△ABC 的三個內角的對邊，且
3c sin A a cosC b c．
(1)求 A；
(2)若 BC 2，將射線 BA 和 CA 分別繞點 B，C 順時針方向旋轉15o，30o，旋轉后相交于點 D（如圖所示），
且 DBC 30o，求 AD．
3．（2024·浙江·模擬預測）如圖，在平面內的四個動點A ， B ，C ，D構成的四邊形 ABCD中， AB 1，
BC 2，CD 3， AD 4 .
(1)求VACD面積的取值范圍；
(2)若四邊形 ABCD存在外接圓，求外接圓面積.
4．（2024·浙江紹興·二模）在三角形 ABC 中，內角 A, B,C 對應邊分別為 a,b,c且bcosC 3c sin B a 2c .
(1)求 B的大小；
(2)如圖所示，D為VABC 外一點， DCB B ，CD 3 ， BC 1， CAD 30o ，求 sin BCA及VABC 的
面積.
5．（2024·廣西來賓·模擬預測）VABC 的內角A ， B ，C 的對邊分別為 a，b ， c， AD 為 BAC 平分線，
b tan A (2c b) tan B
(1)求A ；
p S
(2)若 c : AD : b 3 : 2 : 2 3 ， AD 上存在點M ，使得 ABM △ABM，求 S ．12 △ACD
6．（2024·湖南衡陽·三模）在VABC 中，角 A，B，C 的對邊分別為 a、b、c，且
c cos B 2a cos A bcosC 0．
(1)求 A；
π
(2)如圖所示，D 為平面上一點，與VABC 構成一個四邊形 ABDC，且 BDC ，若 c b 2 ，求 AD 的最
3
大值．
7．（23-24 高一下·河北保定·期末）阿波羅尼奧斯（Apollonius）是古希臘著名的數學家，他提出的阿波羅尼
奧斯定理是一個關于三角形邊長與中線長度關系的定理，內容為：三角形兩邊平方的和，等于所夾中線及
é
2 2 2 BC
2
ù
第三邊之半的平方和的兩倍，即如果 AD 是VABC 中 BC 邊上的中線，則 AB AC 2 êAD 2 ÷ ú
.
ê è ú
(1)若在VABC AB
π
中， 5， AC 3， BAC ，求此三角形 BC 邊上的中線長；
3
(2)請證明題干中的定理；
(3)如圖VABC 中，若 AB > AC ，D 為 BC 中點，BD DC 3， a sin A 3bsin B 3bsin A C ，
S 3 3△ABC ，求 cos DAC 的值.2
8．（2024·河北衡水·模擬預測）如圖，在平面四邊形 ABCD中， AB AC 2 3, ADC CAB 120° ，設
DAC q .
(1)若 AD 2，求 BD 的長；
(2)若 ADB 15°，求 tanq .
9．（23-24 高一下·廣東茂名·期末）如圖所示，在VABC 中， AB 3AC ，AD 平分 BAC ，且 AD kAC .
(1)若 DC 2，求 BC 的長度；
(2)求 k 的取值范圍；
(3)若 S△ABC 1，求 k 為何值時，BC 最短.
10．（23-24 高一下·廣東深圳·期中）如圖，在VABC 中，已知 AB 2 ， AC 6 2 ， BAC 45°，BC 邊上
的中點為M ，點 N 是邊 AC 上的動點（不含端點）， AM ，BN 相交于點 P ．
(1)求 BAM 的正弦值；
(2)當點 N 為 AC 中點時，求 MPN 的余弦值．
uuur uuur uuur uuur
(3)當 NA × NB 取得最小值時，設 BP l BN ，求l 的值．
1．（北京·高考真題）如圖，在 ABC
p
中， B ， AB 8，點D在BC 邊上，且CD 2，
3
cos ADC 1 .
7
（1）求 sin BAD；
（2）求BD, AC 的長.
2．（安徽·高考真題）
在V ABC 中，a，b，c 分別為內角 A，B，C 所對的邊長，a= 3，b= 2 ，1 2cos(B C) 0，求邊 BC 上的
高.
3．（海南·高考真題）如圖，△ACD 是等邊三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD 交 AC 于 E，
AB=2.
（1）求 cos∠CBE 的值；
（2）求 AE．
4．（全國·高考真題）如圖，在△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝ 3，BC＝1，P 為△ABC 內一點，∠BPC＝90°.
(1) PB 1若 ＝ 2 ，求 PA；
(2)若∠APB＝150°，求 tan∠PBA．
5．（湖南·高考真題）如圖，D是直角 ABC斜邊BC 上一點， AB AD ，記 CAD a , ABC b .
（1）證明 sina cos 2b 0；
（2）若 AC 3DC ，求b 的值.

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