資源簡介

第11講 相關(guān)定理在解三角形中的綜合應(yīng)用
（高階拓展、競賽適用）
（8 類核心考點精講精練）
命題規(guī)律及備考策略
【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中等，分值為 13-15 分
【備考策略】1.掌握正余弦定理在三角形中的應(yīng)用、熟練掌握面積公式的應(yīng)用
2 能熟練掌握解三角形中的相關(guān)定理公式進(jìn)行綜合應(yīng)用
【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是在新高考卷的命題考查為解答題，常考查相關(guān)定理公式綜合，需備考綜合復(fù)習(xí)
知識講解
1. 海倫-秦九韶公式
三角形的三邊分別是 a、b、c，
則三角形的面積為 S = p( p - a)( p - b)( p - c)
p a + b + c其中 = ，這個公式就是海倫公式，為古希臘的幾何學(xué)家海倫所發(fā)現(xiàn)并證明。
2
我國南宋的秦九韶也曾提出利用三角形三邊求三角形面積的秦九韶公式:
1 é 2 2 2
2 ù
S = êa2b2
a + b - c
-
4 2 ÷
ú
ê è ú
2. 三倍角公式
sin 3 = 3sin - 4sin3 ，
cos3 = 4cos2 - 3cos
3. 射影定理
a = b cosC + c cos B，b = a cosC + c cos A， c = a cos B + b cos A
4. 角平分線定理
ABC AD BAC AB AC（1）在 中， 為 的角平分線，則有 =
BD CD
2b c cos BAC
（2） AD = 2
b + c
（3） AD2 = AB AC - BD CD （庫斯頓定理）
AB S ABD
（4） =AC S ACD
5. 張角定理
sin sin sin( + )
+ =
AB AC AD
6. 倍角定理
在 ABC 中,三個內(nèi)角 A、B、C 的對邊分別為 a、b、c ,
(1)如果 A = 2B ,則有: a2 = b2 + bc
(2)如果C = 2A ,則有: c2 = a2 + ab
(3)如果 B = 2C ,則有: b2 = c2 + ac
倍角定理的逆運用
在 ABC 中,三個內(nèi)角 A、B、C 的對邊分別為 a、b、c ,
(1)如果 a2 = b2 + bc ,則有: A = 2B 。
(2)如果 c2 = a2 + ab ,則有: C = 2A。
(3)如果b2 = c2 + ac ,則有: B = 2C 。
7. 中線長定理
AD 為 BC 的中線,則中線定理: AB2 + AC 2 = 2 AD2 + DC 2
證明:
在 ABD 和 ADC 中,用余弦定理有:
AD2 + BD2 - AB2 AD2 + DC 2 - AC 2
+ = 0
2AD BD 2AD DC AB2 + AC 2 = 2 AD2 + DC 2
BD = DC
8. 三角恒等式
在 ABC 中，
sin A sin B sin C 4cos A cos B cos C① + + = ；
2 2 2
② cos A + cos B + cosC =1+ 4sin A sin B sin C ；
2 2 2
③ sin2 A + sin2 B + sin2 C = 2 + 2cos Acos B cosC ；
④ cos2 A + cos2 B + cos2 C =1- 2cos Acos B cosC ；
sin2 A sin2 B sin2 C⑤ + + =1- 2sin A sin B sin C ；
2 2 2 2 2 2
cos2 A cos2 B cos2 C 2 2sin A sin B⑥ + + = + sin C ；
2 2 2 2 2 2
⑦ tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C ；
⑧ cot A cot B + cot A cot C + cot B cot C =1；
cot A cot B cot C⑨ + + = cot A cot B cot C ；
2 2 2 2 2 2
tan A⑩ tan B tan B+ tan C + tan C tan A =1。
2 2 2 2 2 2
考點一、海倫-秦九韶公式及其應(yīng)用
1
1．（2024·浙江湖州·模擬預(yù)測）若一個三角形的三邊長分別為 a，b，c，設(shè) p = (a + b + c)，則該三角形的面
2
積 S = p( p - a)( p - b)( p - c) ，這就是著名的“海倫-秦九韶公式”若 ABC 的三邊長分別為 5，6，7，則該三
角形的面積為 ．
2．（2023·江蘇·三模）海倫（Heron，約公元 1 世紀(jì)）是古希臘亞歷山大時期的數(shù)學(xué)家，以他的名字命名的“海
倫公式”是幾何學(xué)中的著名公式，它給出了利用三角形的三邊長 a，b，c 計算其面積的公式 S△ABC＝
a + b + c
p( p - a)( p - b)( p - c) ，其中 p = ，若 a＝5，b＝6，c＝7，則借助“海倫公式”可求得△ABC 的內(nèi)切
2
圓的半徑 r 的值是 ．
3．（2023·遼寧葫蘆島·二模）《數(shù)書九章》是中國南宋時期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作，全書十八卷共八十一
個問題，分為九類，每類九個問題，《數(shù)書九章》中記錄了秦九韶的許多創(chuàng)造性成就，其中在卷五“三斜求積
"中提出了已知三角形三邊 a，b，c 求面積的公式，這與古希臘的海倫公式完全等價，其求法是：“以小斜冪
并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實，一為從隅，開平方得
1 é c2
2
+ a2 - b2 ù
積.”若把以上這段文字寫成公式，即 S = êc2a2 - ÷ ú ， 現(xiàn)在有周長為10 + 2 7 的 ABC 滿足4 ê è 2 ú
sin A : sin B : sin C = 2 : 3 : 7 ，則用以上給出的公式求得 ABC 的面積為（ ）
A．6 3 B． 4 7 C．8 7 D．12
4．（23-24 高三下·重慶渝中·階段練習(xí)）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶（約 1202～1261）獨立發(fā)現(xiàn)了與海倫公
式等價的由三角形三邊求面積的公式，他把這種稱為“三斜求積”的方法寫在他的著作《數(shù)書九章》中．具體
的求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上．以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實一
1 é c2 + a2 - b2
2
ù
為從隅，開平方得積．”如果把以上這段文字寫成公式，就是 S = êa2c2 -
4 ÷
ú ．現(xiàn)將一根長為
ê è 2 ú
20cm 的木條，截成三段構(gòu)成一個三角形，若其中有一段的長度為 6cm，則該三角形面積的最大值為（ ）
cm2 ．
A．6 10 B． 4 10 C．6 5 D． 4 5
a + b + c
1．（22-23 高三下·河北·期中）已知 ABC 中角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c， p = ，則 ABC
2
的面積 S = p p - a p - b p - c ，該公式稱作海倫公式，最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德得出．若 ABC
的周長為 15， sin A + sin B : sin B + sin C : sin C + sin A = 4 : 6 : 5，則 ABC 的面積為 ．
2．（2023·浙江·模擬預(yù)測）我國南宋時期著名的數(shù)學(xué)家秦九韶在其著作《數(shù)書九章》中，提出了已知三角形
三邊長求三角形面積的公式.在 ABC 中，設(shè) a,b,c分別為 ABC 的內(nèi)角 A, B,C 的對邊，S 表示 ABC 的面積，
1 é 2 2 2
2
2 ù其公式為 S = êa b2 a + b - c- 2 3 a 3 ÷ ú .若 = ，b = 3 ， S = ，則 c = .4 ê è 2 ú sinB sinC 2
3．（22-23 高三上·陜西渭南·階段練習(xí)）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶發(fā)現(xiàn)了“三斜”求積公式，即△ABC 的三個
é 2 2
A B C a b c △ABC S 1 a2c2 a + c
2 - b2 ù
內(nèi)角 ， ， 所對的邊分別為 ， ， ，則 的面積 = ê - ÷ ú ．若b = 2 ，4 ê è 2 ú
a + b + c c
= ，則△ABC 面積 S 的最大值為（ ）
sin A + sin B + sin C 2sin A
2
A B 1 C D 2． 2 ． ． 3 ． 3
2
1 é c2 + a2 - b2 ù
4．（22-23 高三上·山東濱州·期中）三角形的三邊分別為 a，b，c，秦九韶公式 S = êa2c2 -
4 ÷
ú
ê è 2 ú
a + b + c
和海倫公式 S = p( p - a)( p - b)( p - c) ，其中 p = ，是等價的，都是用來求三角形的面積．印度數(shù)學(xué)
2
家婆羅摩笈多在公元 7 世紀(jì)的一部論及天文的著作中，給出若四邊形的四邊分別為 a，b，c，d，則
a + b + c + d
S = ( p - a)( p - b)( p - c)( p - d ) - abcd cos2 q ，其中 p = ，q 為一組對角和的一半.已知四邊形四2
條邊長分別為 3，4，5，6，則四邊形最大面積為（　　）
A．21 B． 4 10 C．10 5 D．6 10
考點二、三倍角公式及其應(yīng)用
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知 ABC的內(nèi)角A ， B ，C 的對邊分別為 a，b ， c．若 A = 2B，且A 為銳
c 1
角，則 + 的最小值為（ ）
b cos A
A． 2 2 +1 B．3 C． 2 2 + 2 D． 4
2
1. 已知 ABC 的內(nèi)角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,C ,若 A 2B c 2b= ,則 + ÷ 的最小值為b è a
7 10
A.-1 B. C.3 D.
3 3
考點三、射影定理及其應(yīng)用
1．（22-23 高三·吉林長春·階段練習(xí)）在 ABC 中，角 A, B,C 所對的邊分別為 a,b,c，S 表示 ABC 的面積，
若 ccosB + bcosC = asinA 3， S = (b2 + a2 - c2 )，則 B = （ ）
12
A．90 ° B．60 ° C．45 ° D．30 °
1．（21-22 高三上·全國·階段練習(xí)）在 ABC 中，內(nèi)角A ， B ，C 的對邊分別是 a，b ， c，
1
c = a cos B + 2cos A， 2b = c，若 cosC = - ，則 ABC 的面積為 .
4
2．（2022·山西臨汾·一模）在 ABC 中，角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c，且滿足 a = -3b cosC ，則 tanA
的最大值為 .
考點四、角平分線定理及其應(yīng)用
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）△ ABC 中，邊BC 內(nèi)上有一點D，證明： AD 是 A的角平分線的充要條件
AB BD
是 = ．
AC DC
2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）在 ABC 中， BAC = 60°, AB = 2, BC = 6 ， BAC 的角平分線交 BC 于 D，
則 AD = ．
1
3．（2024·河北·三模） ABC中， cos A = ， AB = 4, AC = 2．則 A的角平分線 AD 的長為 ．
8
2π
4．（2023·江蘇·一模）在 ABC 中， BAC = ， BAC 的角平分線 AD 交BC 于點 D，△ABD 的面積是
3
△ADC 面積的 3 倍，則 tan B =（ ）
A 3 B 3． ． C 3 3 6 - 3． D．
7 5 5 33
3
1．（2024 高三·全國·專題練習(xí)）已知 AD 是 ABC 的 A角平分線， cos BAC = ， AB = 5， AC = 2，則
4
AD = .
2．（2023 高三·全國·專題練習(xí)）在 ABC 中，B =120 ， AB = 2 ，A 的角平分線 AD = 3 ，則 AC =（　　）
A．2 B． 5 C． 6 D． 7
3．（2023 秋·山西大同·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）（多選）設(shè)O為 ABC 的外心， AB = 2 ， AC = 4， BAC 的角平
分線 AM 交BC 于點M ，則（ ）
uuuur
AM 2
uuur 1 uuur uuuurAB AC AM 1
uuur 2 uuur
A． = + B． = AB + AC
3 3 3 3
uuur uuur uuuur uuur
C． AB AO = 2 D． AM AO = 6
考點五、張角定理及其應(yīng)用
1．（內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考一模）如圖，已知 AD 是 ABC中 BAC 的角平分線，交BC 邊于點D .
AB BD
（1）用正弦定理證明： = ；
AC DC
（2）若 BAC =120° ， AB = 2 ， AC =1，求 AD 的長.
2.在 ABC 中,角 A、B、C 所對的邊分別為 a、b、c ,已知點 D 在 BC 邊上,
AD ^ AC,sin BAC 2 2= , AB = 3 2, AD = 3 ,則CD =
3 __________
1. 在 ABC 中 , 角 A、B、C 所 對 的 邊 分 別 為 a、b、c, AD 是 BAC 的 角 平 分 線 , 若

BAC = ,| AD |= 2 3 ,則 2b + c 的最小值為_______
3
2．（2024·江西宜春·三模）在 ABC 中，設(shè)角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c．已知C = 120°， ABC 的
周長為 15 15 3，面積為 ．
4
(1)求 ABC 的外接圓面積；
(2)設(shè) D 是邊 AB 上一點，在①CD 是邊 AB 上的中線；②CD 是 ACB 的角平分線這兩個條件中任選一個，
求線段 CD 的長．
考點六、倍角定理及其應(yīng)用
1.在 △ ABC中，角 、 、 所對的邊分別為 、 、 , 若B = 2 A, = 1, b = 3, 則c = ____________
2．（2020 高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)銳角 ABC 的三個內(nèi)角A . B . C 的對邊分別為 a . b . c，且 c =1， A = 2C ，
則 ABC 周長的取值范圍為（ ）
A． (0，2 + 2] B． (0，3 + 3] C． (2 + 2，3+ 3) D．[2 + 2，3+ 3]
1．（22-23 高三上·安徽阜陽·階段練習(xí)） ABC 內(nèi)角 A, B,C ，C 的對邊分別為 a,b,c，若6b = 5c ，C = 2B，則
cosC =（ ）
7 7 24 24A．- B． C．- D．
25 25 25 25
2
2 .在 △ ABC 中，角 、 、 所對的邊分別為 、 、 , 若 A = 2 B, + 2 則 的最小值為_____
考點七、中線長定理及其應(yīng)用
1．（23-24 高一下·河北保定·期末）阿波羅尼奧斯（Apollonius）是古希臘著名的數(shù)學(xué)家，他提出的阿波羅尼
奧斯定理是一個關(guān)于三角形邊長與中線長度關(guān)系的定理，內(nèi)容為：三角形兩邊平方的和，等于所夾中線及
é BC
2
ù
第三邊之半的平方和的兩倍，即如果 AD 是 ABC 中 BC 2 2 2邊上的中線，則 AB + AC = 2 êAD + ÷ ú .
ê è 2 ú
π
(1)若在 ABC 中， AB = 5， AC = 3， BAC = ，求此三角形 BC 邊上的中線長；
3
(2)請證明題干中的定理；
(3)如圖 ABC 中，若 AB > AC ，D 為 BC 中點，BD = DC = 3， a sin A + 3bsin B = 3bsin A - C ，
S 3 3△ABC = ，求 cos DAC 的值.2
2．（2011·吉林·一模）在 ABC 中，角A ， B ，C 所對的邊分別為 a，b ， c，若 a = 7，b = 8， c = 9，則 AC
邊上的中線長為 ．
1．（24-25 高三上·江蘇泰州·階段練習(xí)） ABC 的三邊分別為 a,b,c，邊BC 上的中線長為 ．
2．（2020 高三·全國·專題練習(xí)） ABC的兩邊長分別為1, 3 ，第三邊上的中線長為 1，則其外接圓的直徑為
考點八、三角恒等式及其應(yīng)用
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在銳角 ABC 中，角 A, B,C 所對的邊分別為 a,b,c，若
tanA + tanB + tanC = 3tanBtanC .
(1)求A ；
(2) 2若不等式b c - b la 恒成立，求實數(shù)l 的取值范圍.
1．（2023 春·浙江臺州·高三校考期中）在① a cos B - bcos A = c - b，② tan A + tan B + tan C - 3 tan B tan C = 0，
1
③ ABC 的面積為 a bsin B + c sin C - a sin A ，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并加以解
2
答．
在 ABC 中，角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c，且______．
(1)求角 A；
(2)若a = 8， ABC 的內(nèi)切圓半徑為 3，求 ABC 的面積．
一、單選題
1．（23-24 高一·全國·課后作業(yè)）在 ABC 中，已知 a =1，b = 3 ，且 AB 邊的中線長為 1，那么 c 的長為．
A． 2 B．2 C． 3 D．3
2．（2022·全國·模擬預(yù)測）數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出“三斜求積術(shù)”，即假設(shè)一個 ABC 的三邊長分別為 a，b，c，
三角形的面積 S 可由公式 S = p p - a p - b p - c 求得，其中 p 為三角形周長的一半，與古希臘數(shù)學(xué)家
海倫公式完全一致，所以這個公式也被稱為海倫—秦九韶公式.現(xiàn)有一個三角形的周長為 24， c = 6，則當(dāng)三
角形面積最大值時 AB 邊上的高為（ ）
A．8 B． 6 2 C．12 D．9 2
3．（23-24 高一下·重慶·階段練習(xí)） ABC 的內(nèi)角A ， B ，C 的對邊分別為 a，b ， c，且
2b + c cos A + a cosC = 0，b = 2 3 ，若邊BC 的中線長等于3，則 c = （ ）
A． 3 B． 2 3 C． 4 3 D．6 3
二、填空題
4．（23-24 高二·全國·假期作業(yè)）在 ABC中，已知CB = 7， AC = 8， AB = 9，則 AC 邊上的中線長
為 ．
5．（23-24高一下·福建福州·期末）在 ABC 中， ACB =120 , AC = 2, AB = 7, ACB的角平分線交 AB 于D，
則CD = .
6．（22-23 高一·全國·課后作業(yè)）任意三角形射影定理又稱“第一余弦定理”： ABC 的三邊是 a,b,c，它們所
對的角分別是 A, B,C ，則有 a = b cosC + c cos B，b = c cos A + a cosC ， c = a cos B + b cos A．請利用上
述知識解答下面的題：在 ABC 中，若 2cosC(a cos B + b cos A) = c ，則C = ．
7．（2019 高一·山東濟南·學(xué)業(yè)考試）中國宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出“三斜求積術(shù)”，即假設(shè)在平面內(nèi)有一個
三角形，邊長分別為 a，b，c，三角形的面積 S 可由公式 S = p p - a p - b p - c 求得，其中 p 為三角形
周長的一半，這個公式也被稱為海倫—秦九韶公式，現(xiàn)有一個三角形的邊長滿足 a + b = 5， c = 3，則此三角
形面積的最大值為 .
三、解答題
B
8．（23-24 高二下·福建福州·期中）在 ABC中，內(nèi)角 A, B,C 的對邊分別是 a,b,c，且bsinC = 3csin .
2
(1)求角 B 的大小；
(2) b = 6 ABC 7 3若 ，且 的面積為 ，求 AC 邊上的中線長.
2
9．（20-21 高一下·福建莆田·階段練習(xí)）在 ABC 中，內(nèi)角A ， B ，C 的對邊分別是 a，b ， c，若 a = 3，
3 sin AcosC + 3 sin C + b cos A = 0 .
（1）求角A ；
1 1 1
（2）若 AD 為 ABC 的角平分線，證明： + = .
AC AB AD
10．（20-21 高一下·福建·期中）已知 ABC 中，a，b，c 分別為內(nèi)角 A，B，C 的對邊，且滿足
sin2 A - sin2 B - sin B sin C = sin2 C .
(1)求角 A；
(2)設(shè)點 D 為上 BC 一點，且 AD=2，證明：若 ，則b + c 存在最大值或最小值；請在下面的兩個條件中選擇
一個填到上面的橫線上，并證明.
①AD 是 ABC 的中線；
②AD 是 ABC 的角平分線.
ur
11．（23-24 高一下·湖南株洲·期末）在 ABC中，角 A, B,C 所對的邊分別為 a,b,c，向量m = (a, 2b + c)，
r ur r
n = (cosC, cos A)，且m ^ n，D為線段BC 上一點.
(1)求角A 的大小；
(2)若 AD 為角A 的角平分線， a = 7， ABC 的周長為 15，求 AD 的長.
12．（23-24 高一下·重慶·階段練習(xí)）已知 a,b,c分別為 ABC 三個內(nèi)角 A，B，C 的對邊，滿足：
b - 2c cos A = c ．
(1)證明： A = 2C ；
(2)若b = 4 ，且 ABC 為銳角三角形，求 ABC 的面積 S 的取值范圍．
13．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）在銳角 ABC 中.內(nèi)角A ， B ，C 所對的邊分別是 a，b ， c，已知
a - 2ccos B = c .
(1)求證：B = 2C ；
(2)求 sin B + 2 3 cos2 C 的取值范圍.
14．（23-24 高一下·河南鄭州·期中）古希臘的數(shù)學(xué)家海倫在其著作《測地術(shù)》中給出了由三角形的三邊長 a，
b，c 計算三角形面積的公式： S = p( p - a)( p - b)( p - c) ，這個公式常稱為海倫公式，其中，
p 1= (a + b + c)．我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中給出了由三角形的三邊長 a，b，c 計算三角
2
1 c2 2 2
形面積的公式： S = [c2a2 ( + a - b- )2 ] ，這個公式常稱為“三斜求積”公式．
4 2
(1)已知 ABC 的三條邊分別為 a = 7,b = 8,c = 3，求 ABC 的面積；
1
(2)利用題中所給信息，證明三角形的面積公式 S = ac sin B；
2
(3)在 ABC 中，b = 4, tan
B sinC
= ，求 ABC 面積的最大值．
2 2 - cosC
15．（22-23 高一下·山東棗莊·期中） ABC 中，內(nèi)角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c.已知
4a sin A = bsinC cos A + csin Acos B .
sinA
(1)求 的值；
sin C
(2)若 BD 是 ABC 的角平分線.
（i）證明：BD2 = BA·BC - DA·DC ；
（ii）若 a =1，求BD AC 的最大值.
一、單選題
1．（陜西·高考真題）設(shè)在 ABC中,角 A，B,C 所對的邊分別為a，b,c , 若 bcosC + c cos B = a sin A , 則
ABC的形狀為 （ ）
A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定
二、填空題
2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）在 ABC 中， BAC = 60°, AB = 2, BC = 6 ， BAC 的角平分線交 BC 于 D，
則 AD = ．
三、解答題
3．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記 ABC 的內(nèi)角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c﹐已知
sin C sin A - B = sin B sin C - A ．
(1)若 A = 2B，求 C；
(2)證明： 2a2 = b2 + c2
4．（全國·高考真題）△ABC 中 D 是 BC 上的點,AD 平分 BAC,BD=2DC．
sin B
（Ⅰ）求 ；
sin C
（Ⅱ）若 BAC = 60 ,求 B .
5．（全國·高考真題） ABC中，D 是 BC 上的點，AD 平分∠BAC， ABD 面積是 ADC 面積的 2 倍．
sin B
(1)求 ；
sin C
(2)若 AD＝1，DC 2＝ ，求 BD 和 AC 的長．
2第11講 相關(guān)定理在解三角形中的綜合應(yīng)用
（高階拓展、競賽適用）
（8 類核心考點精講精練）
命題規(guī)律及備考策略
【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中等，分值為 13-15 分
【備考策略】1.掌握正余弦定理在三角形中的應(yīng)用、熟練掌握面積公式的應(yīng)用
2 能熟練掌握解三角形中的相關(guān)定理公式進(jìn)行綜合應(yīng)用
【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是在新高考卷的命題考查為解答題，常考查相關(guān)定理公式綜合，需備考綜合復(fù)習(xí)
知識講解
1. 海倫-秦九韶公式
三角形的三邊分別是 a、b、c，
則三角形的面積為 S = p( p - a)( p - b)( p - c)
p a + b + c其中 = ，這個公式就是海倫公式，為古希臘的幾何學(xué)家海倫所發(fā)現(xiàn)并證明。
2
我國南宋的秦九韶也曾提出利用三角形三邊求三角形面積的秦九韶公式:
1 é 2 2 2
2 ù
S = êa2b2
a + b - c
-
4 2 ÷
ú
ê è ú
2. 三倍角公式
sin 3 = 3sin - 4sin3 ，
cos3 = 4cos2 - 3cos
3. 射影定理
a = b cosC + c cos B，b = a cosC + c cos A， c = a cos B + b cos A
4. 角平分線定理
ABC AD BAC AB AC（1）在 中， 為 的角平分線，則有 =
BD CD
2b c cos BAC
（2） AD = 2
b + c
（3） AD2 = AB AC - BD CD （庫斯頓定理）
AB S ABD
（4） =AC S ACD
5. 張角定理
sin sin sin( + )
+ =
AB AC AD
6. 倍角定理
在 ABC 中,三個內(nèi)角 A、B、C 的對邊分別為 a、b、c ,
(1)如果 A = 2B ,則有: a2 = b2 + bc
(2)如果C = 2A ,則有: c2 = a2 + ab
(3)如果 B = 2C ,則有: b2 = c2 + ac
倍角定理的逆運用
在 ABC 中,三個內(nèi)角 A、B、C 的對邊分別為 a、b、c ,
(1)如果 a2 = b2 + bc ,則有: A = 2B 。
(2)如果 c2 = a2 + ab ,則有: C = 2A。
(3)如果b2 = c2 + ac ,則有: B = 2C 。
7. 中線長定理
AD 為 BC 的中線,則中線定理: AB2 + AC 2 = 2 AD2 + DC 2
證明:
在 ABD 和 ADC 中,用余弦定理有:
AD2 + BD2 - AB2 AD2 + DC 2 - AC 2
+ = 0
2AD BD 2AD DC AB2 + AC 2 = 2 AD2 + DC 2
BD = DC
8. 三角恒等式
在 ABC 中，
sin A sin B sin C 4cos A cos B cos C① + + = ；
2 2 2
② cos A + cos B + cosC =1+ 4sin A sin B sin C ；
2 2 2
③ sin2 A + sin2 B + sin2 C = 2 + 2cos Acos B cosC ；
④ cos2 A + cos2 B + cos2 C =1- 2cos Acos B cosC ；
sin2 A sin2 B sin2 C⑤ + + =1- 2sin A sin B sin C ；
2 2 2 2 2 2
cos2 A cos2 B cos2 C 2 2sin A sin B⑥ + + = + sin C ；
2 2 2 2 2 2
⑦ tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C ；
⑧ cot A cot B + cot A cot C + cot B cot C =1；
cot A cot B cot C⑨ + + = cot A cot B cot C ；
2 2 2 2 2 2
tan A⑩ tan B tan B+ tan C + tan C tan A =1。
2 2 2 2 2 2
考點一、海倫-秦九韶公式及其應(yīng)用
1
1．（2024·浙江湖州·模擬預(yù)測）若一個三角形的三邊長分別為 a，b，c，設(shè) p = (a + b + c)，則該三角形的面
2
積 S = p( p - a)( p - b)( p - c) ，這就是著名的“海倫-秦九韶公式”若 ABC 的三邊長分別為 5，6，7，則該三
角形的面積為 ．
【答案】6 6 ．
【分析】將三邊長分別代入公式即可求解.
【詳解】解：由題意得
Q p 1= (a + b 1+ c) = (5 + 6 + 7) = 9
2 2
\S ABC = p( p - a)( p - b)( p - c) = 9 (9 - 5)(9 - 6)(9 - 7) = 6 6
故答案為：6 6
2．（2023·江蘇·三模）海倫（Heron，約公元 1 世紀(jì)）是古希臘亞歷山大時期的數(shù)學(xué)家，以他的名字命名的“海
倫公式”是幾何學(xué)中的著名公式，它給出了利用三角形的三邊長 a，b，c 計算其面積的公式 S△ABC＝
a + b + c
p( p - a)( p - b)( p - c) ，其中 p = ，若 a＝5，b＝6，c＝7，則借助“海倫公式”可求得△ABC 的內(nèi)切
2
圓的半徑 r 的值是 ．
2 6
【答案】
3
【分析】首先根據(jù)海倫公式求得三角形 ABC 的面積，然后根據(jù)三角形內(nèi)切圓計算公式，計算出三角形 ABC
的內(nèi)切圓.
p a + b + c 5 + 6 + 7【詳解】 = = = 9 ，S△ABC＝ 9 (9 - 5) (9 - 6) (9 - 7) = 6 6 ，2 2
S 1= a + b + c r r 2S 2 6 6 2 6由于 ABC ，所以 = = = ．2 a + b + c 5 + 6 + 7 3
2 6
故答案為：
3
【點睛】本小題主要考查三角形面積的計算，考查三角形內(nèi)切圓半徑的計算，屬于基礎(chǔ)題.
3．（2023·遼寧葫蘆島·二模）《數(shù)書九章》是中國南宋時期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作，全書十八卷共八十一
個問題，分為九類，每類九個問題，《數(shù)書九章》中記錄了秦九韶的許多創(chuàng)造性成就，其中在卷五“三斜求積
"中提出了已知三角形三邊 a，b，c 求面積的公式，這與古希臘的海倫公式完全等價，其求法是：“以小斜冪
并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實，一為從隅，開平方得
2
S 1
é 2 2 2 ù
積.”若把以上這段文字寫成公式，即 = êc2a2
c + a - b
- ÷ ú ， 現(xiàn)在有周長為10 + 2 7 的 ABC 滿足4 ê è 2 ú
sin A : sin B : sin C = 2 : 3 : 7 ，則用以上給出的公式求得 ABC 的面積為（ ）
A．6 3 B． 4 7 C．8 7 D．12
【答案】A
【分析】利用正弦定理結(jié)合三角形的周長可求得 ABC 的三邊邊長，利用題中公式可求得 ABC 的面積.
【詳解】由題意結(jié)合正弦定理可得： a : b : c = sin A : sin B : sin C = 2 : 3 : 7 ，
Q ABC 周長為10 + 2 7 ，即 a + b + c =10 + 2 7 ，
\a = 4 ，b = 6， c = 2 7 .
é 2 2 2
2
ù
S 1
ê 6 + 4 - 2 7 ú
所以 = 62 42 - ÷ê ú = 6 3，4 ê 2 ÷
÷
è
ú

故選：A.
4．（23-24 高三下·重慶渝中·階段練習(xí)）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶（約 1202～1261）獨立發(fā)現(xiàn)了與海倫公
式等價的由三角形三邊求面積的公式，他把這種稱為“三斜求積”的方法寫在他的著作《數(shù)書九章》中．具體
的求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上．以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實一
1 é c2 + a2 - b2
2
ù
為從隅，開平方得積．”如果把以上這段文字寫成公式，就是 S = êa2c2 -
4 ÷
ú ．現(xiàn)將一根長為
ê è 2 ú
20cm 的木條，截成三段構(gòu)成一個三角形，若其中有一段的長度為 6cm，則該三角形面積的最大值為（ ）
cm2 ．
A．6 10 B． 4 10 C．6 5 D． 4 5
【答案】A
1
【分析】 S = 4a2c2 -[(c + a)2 - 2ac - b2 ]2，代入后利用基本不等式可求S 的得最大值．
4
【詳解】令b = 6，則 a + c =14，
1 é c2 + a2 - b2
2
ù
S = êa2c2 1- ÷ ú = 4a
2c2 -[(c + a)2 - 2ac - b2 ]2，
4 ê è 2 ú 4
代入得 S
1
= [(2ac)2 - (160 - 2ac)2 ] 1= 160(4ac -160) ，
4 4
由基本不等式：14 = a + c≥2 ac，所以 4ac≤196，可得 S≤6 10 ，
當(dāng)且僅當(dāng) a = c = 7 時取等號，
所以 a = c = 7 時，面積S 取得最大值6 10 ．
故選：A．
a + b + c
1．（22-23 高三下·河北·期中）已知 ABC 中角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c， p = ，則 ABC
2
的面積 S = p p - a p - b p - c ，該公式稱作海倫公式，最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德得出．若 ABC
的周長為 15， sin A + sin B : sin B + sin C : sin C + sin A = 4 : 6 : 5，則 ABC 的面積為 ．
15 3
【答案】
4
【分析】先用正弦定理解得 a=3，b=5，c=7，代入海倫公式即可解得.
【詳解】解：可令 sin A + sin B = 4k, sin B + sin C = 6k, sin C + sin A = 5k,
將上式相加： sin A + sin B sin C
15
+ = k,
2
3
由此可解的： sin A = k,sin B
5
= k,sin C 7= k,
2 2 2
由正弦定理： a : b : c = 3: 5 : 7,
又因為： a + b + c = 15,
p a + b + c 15解得：a=3，b=5，c=7.所以 = =
2 2
代入海倫公式解得：S= 15 3
4
15 3
故答案為：
4
2．（2023·浙江·模擬預(yù)測）我國南宋時期著名的數(shù)學(xué)家秦九韶在其著作《數(shù)書九章》中，提出了已知三角形
三邊長求三角形面積的公式.在 ABC 中，設(shè) a,b,c分別為 ABC 的內(nèi)角 A, B,C 的對邊，S 表示 ABC 的面積，
é 21 2 2 2 2 2 ùS = êa b a + b - c- ú . 2 3 a b 3 S 3其公式為 ÷ 若 = ， = ， = ，則 c = .4 ê è 2 ú sinB sinC 2
21
【答案】1 或
3
【分析】由正弦定理結(jié)合題設(shè)推得 a = 2c ，利用條件解方程可得答案.
b a
【詳解】在 ABC 中，由正弦定理得 = ,
sinB sin A
2a a
而b 3 a 2 3 a= 3 ，故 = ，結(jié)合 = 可得 = ,
sinB sin A sinB sinC sin A sinC
即有 sin A = 2sin C,\a = 2c，
2
3 3 1 é 212c2 4c + 3 - c
2 ù
由b = 3 ， S = 可得 = ê - ú ，
2 2 4 ÷ê è 2 ú
整理得3c4 -10c2 + 7 = 0，解得 c2 =1或 c2
7
= ，
3
故 c =1或 c 21= ，符合題意，
3
1 21故答案為： 或
3
3．（22-23 高三上·陜西渭南·階段練習(xí)）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶發(fā)現(xiàn)了“三斜”求積公式，即△ABC 的三個
2
A B C a b c △ABC S 1
é 2
a2c2 a + c
2 - b2 ù
內(nèi)角 ， ， 所對的邊分別為 ， ， ，則 的面積 = ê - ÷ ú ．若b = 2 ，4 ê è 2 ú
a + b + c c
= ，則△ABC 面積 S 的最大值為（ ）
sin A + sin B + sin C 2sin A
2
A 2． 2 B．1 C． D3 ． 3
【答案】C
【分析】先利用正弦定理求出 c = 2a ，代入公式，結(jié)合二次函數(shù)可求答案.
a + b + c c a
【詳解】因為 = = ，所以 c = 2a ；
sin A + sin B + sin C 2sin A sin A
2
1 é 2 2 2 ù
因為b = 2 ，所以 S = êa2

c2 a + c - b 1- ú = -9a4 ÷ + 20a
2 - 4 ，
4 ê è 2 ú 4
2 10 1 100 10 2
當(dāng) a = 時，S 有最大值，最大值為 -9 + 20 - 4 = .
9 4 81 9 3
故選：C.
1 é
2
c2 + a2 - b2 ù
4．（22-23 高三上·山東濱州·期中）三角形的三邊分別為 a，b，c，秦九韶公式 S = êa2c2 -
4 ÷
ú
ê è 2 ú
p a + b + c和海倫公式 S = p( p - a)( p - b)( p - c) ，其中 = ，是等價的，都是用來求三角形的面積．印度數(shù)學(xué)
2
家婆羅摩笈多在公元 7 世紀(jì)的一部論及天文的著作中，給出若四邊形的四邊分別為 a，b，c，d，則
a + b + c + d
S = ( p - a)( p - b)( p - c)( p - d ) - abcd cos2 q ，其中 p = ，q 為一組對角和的一半.已知四邊形四2
條邊長分別為 3，4，5，6，則四邊形最大面積為（　　）
A．21 B． 4 10 C．10 5 D．6 10
【答案】D
p 3 + 4 + 5 + 6【分析】由題意可得 = = 9，由已知可推出
2 S = 6 10 sinq
，即可得出答案．
【詳解】∵a＝3，b＝4，c＝5，d＝6，
p 3+ 4 + 5 + 6∴ = = 9，又易知0 < q < π， sinq > 0，
2
則 S = ( p - a)( p - b)( p - c)( p - d ) - abcd cos2 q
= 6 5 4 3- 3 4 5 6cos2 q = 6 10 sinq ，
π
當(dāng) sinq =1，即q = 時，有最大值為
2 6 10
.
故選：D．
考點二、三倍角公式及其應(yīng)用
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知 ABC的內(nèi)角A ， B ，C 的對邊分別為 a，b ， c．若 A = 2B，且A 為銳
c 1
角，則 + 的最小值為（ ）
b cos A
A． 2 2 +1 B．3 C． 2 2 + 2 D． 4
【答案】A
方法一：
c 1 1
【分析】將式子 + 中的邊 b、c 都轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，即變?yōu)?2cos A + +1，由于 cos A > 0，利用均
b cos A cos A
值不等式便可求得其最小值.
【詳解】Qsin C = sin(A + B) = sin Acos B + cos Asin B = sin 2B cos B + cos 2B sin B
= 2sin B cos2 B + 2cos2 B -1 sin B = sin B 4cos2 B -1 = sin B(2cos 2B +1)
\sin C = sin B(2cos A +1) c，即 c = b(2cos A +1)，\ = 2cos A +1．
b
c 1
Q A為銳角\cos A > 0 ，則 + = 2cos A
1
+ +1 2 2 +1
b cos A cos A
1
當(dāng)且僅當(dāng) 2cos A = ，即 cos A 2= 時，等號成立，
cos A 2
c 1
\ + 的最小值為 2 2 +1．b cos A
故選：A
方法二：三倍角公式
Q A = 2B, \sin C = sin 3B = 3sin B - 4sin3 B
c 3sin B - 4sin3 B
\ = = 3- 4sin2 B
b sin B
= 2cos A +1
c 1 1
Q A為銳角\cos A > 0 ，則 + = 2cos A + +1 2 2 +1
b cos A cos A
2cos A 1= cos A 2當(dāng)且僅當(dāng) ，即 = 時，等號成立，
cos A 2
c 1
\ + 的最小值為 2 2 +1．b cos A
故選：A
2
1. 已知 ABC 的內(nèi)角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,C A 2B c 2b, 若 = ,則 + 的最小值為
b è a ÷
7 10
A.-1 B. C.3 D.
3 3
解析:
因為 A = 2B, A + B + C = p ,所以由正弦定理,得
c 2b
2
sin 3B 2sin B 2 3sin B - 4sin3 B 2+ = + = + 1 2 1
b a ÷ sin B ÷ ÷
= 3 - 4sin B +
è è sin 2B sin B è cos B cos2 B
4cos2 B 1= + -1
cos2 B
因為 A = 2B p,所以0 < B < ,
3
cos2 B > 0 , 4cos2 B 1+ -1 2 4cos2 B 1所以 所以 2 2 -1 = 3 ,cos B cos B
1 2
當(dāng)且僅當(dāng) 4cos2 B = 2 時,即 cos B = 時等號成立,cos B 2
c 2b
2
所以 + ÷ 的最小值為 3.b è a
故選:C.
考點三、射影定理及其應(yīng)用
1．（22-23 高三·吉林長春·階段練習(xí)）在 ABC 中，角 A, B,C 所對的邊分別為 a,b,c，S 表示 ABC 的面積，
若 ccosB + bcosC = asinA， S 3= (b2 + a2 - c2 )，則 B = （ ）
12
A．90 ° B．60 ° C．45 ° D．30 °
【答案】B
【分析】利用三角形射影定理求出角 A，再利用面積定理求出角 C 即可計算作答.
【詳解】在 ABC 中，由射影定理 a = ccosB + bcosC 及 ccosB + bcosC = asinA得： asinA = a，解得 sin A =1，
o o b
2 + a2 - c2
而0 < A <180 ，則 A 3 2 3S= 90o，由余弦定理 cosC = 及 S = (b2 + a2 - c2 )得： cosC = ，
2ab 12 ab
1
而 S = absin C ，因此，
2 cosC = 3 sin C
，即 tan C 3= ，又0o < C <180o，則C = 30o ，
3
所以B =180o - A - C = 60o .
故選：B
1．（21-22 高三上·全國·階段練習(xí)）在 ABC 中，內(nèi)角A ， B ，C 的對邊分別是 a，b ， c，
1
c = a cos B + 2cos A， 2b = c，若 cosC = - ，則 ABC 的面積為 .
4
3 15
【答案】
4
【分析】由三角形中的射影定理 c = a cos B + b cos A ,結(jié)合已知條件求得b 的值，進(jìn)而得到 c的值，然后利用
余弦定理求得 a的值，進(jìn)而利用面積公式求得.
【詳解】由三角形中的射影定理 c = a cos B + b cos A ,結(jié)合已知條件 c = a cos B + 2cos A，可得b = 2 ,
1
又∵ 2b = c，∴ c = 4，由 c2 = a2 2+ b2 - 2ab cosC ，可得16 = a + 4 - 4a - 4 ÷，è
2
a = 3 ( ) ∴ 1 absin C 1 3 2 1 1 3 15解得 負(fù)值舍去 ， 三角形的面積為 = - - ÷ = ，2 2 è 4 4
3 15
故答案為： .
4
2．（2022·山西臨汾·一模）在 ABC 中，角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c，且滿足 a = -3b cosC ，則 tanA
的最大值為 .
3
【答案】 /0.75
4
【分析】利用三角形射影定理結(jié)合正弦定理可得 tan C = -4 tan B，再由和角的正切公式，配方變形即可計算
作答.
【詳解】在 ABC 中，由射影定理 a = bcosC + ccos B 及 a = -3b cosC 得： c cos B = -4b cosC ，
由正弦定理邊化角為： sin C cos B = -4sin B cosC ，于是得 tan C = -4 tan B，
由 a = -3b cosC > 0得， cosC < 0，即角C 是鈍角， tan B > 0，
tan A tan B tan B + tan C 3tan B 3 3= - + C = - = 2 = 2 1- tan B tan C 1+ 4 tan B 1 4
- 2 tan B ÷ + 4
，
è tan B
1 1
當(dāng)且僅當(dāng) = 2 tan B ，即 tan B = 時取“=”，
tan B 2
3
所以 tanA 的最大值為 .
4
3
故答案為：
4
考點四、角平分線定理及其應(yīng)用
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）△ ABC 中，邊BC 內(nèi)上有一點D，證明： AD 是 A的角平分線的充要條件
AB BD
是 = ．
AC DC
【答案】證明見解析
AB BD AB BD
【分析】證明兩個命題為真：一個是由 AD 是 A的角平分線證明 = ，一個是由 = 證明 AD
AC DC AC DC
是 A的角平分線．
AB BD
【詳解】證明：設(shè) p ： AD 是 A的角平分線，q： = ．
AC DC
如圖，過點 B 作 BE // AC 交 AD 的延長線與點E ，
（1）充分性（ p q ）：若 1 = 2，則 1 = E ，所以 2 = E，所以 AB = BE，又△ BDE ∽△ CDA，所以
BE BD AB BD
= =
AC DC ，所以 ．AC DC
AB BD
（2）必要性 （ q p ）：反之，若 = ，則∵ BE / / AC BE BD，∴△ BDE ∽△ CDA，∴ =AC DC ，所以AC DC
AB = BE，所以 2 = E，又 BE // AC ，所以 1 = E ，所以 1 = 2．
AB BD由（1）（2）可得， AD 是 A的角平分線的充要條件是 = ．
AC DC
【點睛】本題考查充分必要條件的證明，要證明 p 是q的充要條件，必須證明兩個命題為真：即充分性：
p q ，必要性： q p ．
2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）在 ABC 中， BAC = 60°, AB = 2, BC = 6 ， BAC 的角平分線交 BC 于 D，
則 AD = ．
【答案】 2
【分析】方法一：利用余弦定理求出 AC ，再根據(jù)等面積法求出 AD ；
方法二：利用余弦定理求出 AC ，再根據(jù)正弦定理求出B,C ，即可根據(jù)三角形的特征求出．
【詳解】
如圖所示：記 AB = c, AC = b, BC = a，
方法一：由余弦定理可得， 22 + b2 - 2 2 b cos 60o = 6，
因為b > 0，解得：b =1+ 3，
由 S ABC = S ABD + S ACD 可得，
1
2 b sin 60o 1= 2 AD sin 30o 1+ AD b sin 30o，
2 2 2
2 3 1+ 3
解得： AD
3b
= b = = 23 + 3 ．1+
2
故答案為： 2．
方法二：由余弦定理可得， 22 + b2 - 2 2 b cos 60o = 6，因為b > 0，解得：b =1+ 3，
6 b 2 sin B 6 + 2由正弦定理可得， o = = ，解得： = ， sin C
2
= ，
sin 60 sin B sin C 4 2
因為1+ 3 > 6 > 2 ，所以C = 45o ，B =180o - 60o - 45o = 75o，
又 BAD = 30o ，所以 ADB = 75o ，即 AD = AB = 2．
故答案為： 2．
【點睛】本題壓軸相對比較簡單，既可以利用三角形的面積公式解決角平分線問題，也可以用角平分定義
結(jié)合正弦定理、余弦定理求解，知識技能考查常規(guī)．
1
3．（2024·河北·三模） ABC中， cos A = ， AB = 4, AC = 2．則 A的角平分線 AD 的長為 ．
8
【答案】2
【分析】作出圖形，利用余弦定理求得BC ，進(jìn)而求得 cos B的值，利用正弦定理可求得BD的值，最后在
△ABD 中利用余弦定理求得 AD 的長.
1
【詳解】在 ABC 中， cos A = ， AB = 4 ， AC = 2，
8
由余弦定理得BC = AB2 + AC 2 - 2AB AC cos A = 3 2 ，
AB2 + BC 2 - AC 2 5 2
由余弦定理得 cos B = = ，
2AB BC 8
由題意可得 BAD = CAD ， ADB + ADC = π ，\sin ADB = sin π - ADC = sin ADC ，
在△ABD
BD AB
中，由正弦定理得 = ，①
sin BAD sin ADB
CD AC
在 ACD中，由正弦定理得 = ，②
sin CAD sin ACD
BD AB 2① ②得 = = 2，\BD = 2CD ，則BD = BC = 2 2 ，
CD AC 3
在△ABD 中，由余弦定理得 AD = AB2 + BD2 - 2AB BD cos B = 2 .
故答案為： 2 .
2π
4．（2023·江蘇·一模）在 ABC 中， BAC = ， BAC 的角平分線 AD 交BC 于點 D，△ABD 的面積是
3
△ADC 面積的 3 倍，則 tan B =（ ）
A 3 B 3 C 3 3 6 - 3． ． ． D．
7 5 5 33
【答案】A
【分析】利用面積之比可得 c = 3b，，作 AB 邊上高，垂足為 H ，即可求 tan B .
【詳解】
1
S AB AD sin BAD
因為 △ABD = 2
AB
1 = = 3，S△ADC AC AD sin CAD AC
2
即 c = 3b，在 ABC 中，作 AB 邊上高，垂足為 H ，
3
tan B CH bsin CAH bsin CAH
b
則 = = = = 2
3
= ，
BH AB + AH AB + bcos CAH 7 b 7
2
故選:A.
1．（2024 高三·全國·專題練習(xí)）已知 AD 是 ABC 的 A角平分線， cos BAC
3
= ， AB = 5， AC = 2，則
4
AD = .
5 14 5
【答案】 / 14
7 7
sin2q sinq sinq
【分析】設(shè) BAD = CAD = q ，借助張角定理可得 = + ，結(jié)合數(shù)據(jù)計算即可得解.
AD AB AC
【詳解】設(shè) BAD = CAD = q ，
sin2q sinq sinq
則由張角定理可得： = + ，
AD AB AC
2sinqcosq sinq sinq 2cosq 1 1
故 = + ，即有 = + ，
AD AB AC AD AB AC
2cosq 1 1 7
所以 = + = ，則 AD
20
= cosq ，
AD 5 2 10 7
又因 cos2q = 2cos2q
3
-1 = cosq 14，4 =
，
4
AD 20所以 = cosq 20 14 5 14= = .
7 7 4 7
2．（2023 高三·全國·專題練習(xí)）在 ABC 中，B =120o， AB = 2 ，A 的角平分線 AD = 3 ，則 AC =（　　）
A．2 B． 5 C． 6 D． 7
【答案】C
2
【分析】由正弦定理求得 sin ADB = ，則 ADB = 45o，從而得到C = 30o ，再根據(jù)正弦定理即可求出答
2
案．
【詳解】如圖，
AB AD AB sin B
由正弦定理 = 可得， sin ADB = ，
sin ADB sin B AD
Q B =120o ， AB = 2 ， AD = 3 ，
\sin ADB 2= ，得 ADB = 45o，
2
\ ADC =135o ， BAD =180o -120o - 45o =15o，
\ BAC = 30o，\C = 30o，
\ AC AB AB sin B由正弦定理 = 得， AC = = 6 .
sin B sin C sin C
故選：C．
3．（2023 秋·山西大同·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）（多選）設(shè)O為 ABC 的外心， AB = 2 ， AC = 4， BAC 的角平
分線 AM 交BC 于點M ，則（ ）
uuuur 2 uuur 1 uuur uuuur uuur uuur
A． AM = AB + AC B． AM
1
= AB 2+ AC
3 3 3 3
uuur uuur uuuur uuur
C． AB AO = 2 D． AM AO = 6
【答案】AC
uuuur
【分析】對于 A、B
BM 1
：根據(jù)題意結(jié)合正弦定理可得 = ，結(jié)合平面向量的線性運算求 AM ；對于 C、D：CM 2
根據(jù)外心的性質(zhì)結(jié)合平面向量的數(shù)量積運算求解.
AB BM BM sin BAM
【詳解】在 ABM 中，有正弦定理可得 = ，可得 = ，
sin AMB sin BAM AB sin AMB
AC CM CM sin CAM
在△ACM 中，有正弦定理可得 = ，可得 = ，
sin AMC sin CAM AC sin AMC
因為 AB = 2 ， AC = 4， AM 為 BAC 的角平分線，
可知 BAM = CAM , AMB = π - AMC ，
則 sin BAM = sin CAM ,sin AMB = sin π - AMC = sin AMC ，
sin BAM sin CAM
可得 = ，
sin AMB sin AMC
BM CM BM AB 1
所以 = ，即 = = ，
AB AC CM AC 2
uuuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
可得 AM = AB + BM = AB
1
+ BC AB 1= + AC - AB 2 AB 1= + AC ，3 3 3 3
故 A 正確，B 錯誤；
分別取 AB, AC 的中點F , E，連接OE,OF ，可知OE ^ AC,OF ^ AB ，
uuur uuur uuur uuur uuur 2
因為O為 ABC 的外心，則 AB AO = AB AO cos BAO
1
= AB = 2，
2
uuur uuur uuur uuur uuur 2
AC AO = AC AO cos CAO 1= AC = 8，
2
uuuur uuur 2 uuur 1 uuur uuur 2 uuur uuur 1 uuur uuur
所以 AM AO = AB + AC AO = AB AO + AC AO
2 1
= 2 + 8 = 4 ，
è 3 3 ÷ 3 3 3 3
故 C 正確；D 錯誤.
故選：AC.
考點五、張角定理及其應(yīng)用
1．（內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考一模）如圖，已知 AD 是 ABC中 BAC 的角平分線，交BC 邊于點D .
AB BD
（1）用正弦定理證明： = ；
AC DC
（2）若 BAC =120° ， AB = 2 ， AC =1，求 AD 的長.
4
【答案】(1)證明見解析；(2) .
3
【詳解】試題分析：（1）根據(jù) AD 是的角 BAC 平分線,利用正弦定理、三角形內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式，即
可證明結(jié)論成立；(2)根據(jù)余弦定理，先求出BC 的值，再利用角平分線和余弦定理，即可求出 AD 的長.
試題解析：（1）∵AD 是∠BAC 的角平分線，∴∠BAD=∠CAD
根據(jù)正弦定理，在△ABD 中， =
在△ADC 中， =
∵sin∠ADB=sin（π﹣∠ADC）=sin∠ADC
∴ = ， =
∴ =
（2）根據(jù)余弦定理，cos∠BAC=
即 cos120°=
解得 BC=
又 =
∴ = ，
解得 CD= ，BD= ；
設(shè) AD=x，則在△ABD 與△ADC 中，
根據(jù)余弦定理得，
cos60°=
且 cos60°=
解得 x= ，即 AD 的長為 ．
2.在 ABC 中,角 A、B、C 所對的邊分別為 a、b、c ,已知點 D 在 BC 邊上,
AD AC,sin BAC 2 2^ = , AB = 3 2, AD = 3 ,則CD =
3 __________
解：如圖
Qsin BAC 2 2 =
3
\cos BAC = 1- sin2 BAC 1=
3
sin BAC sin BAD sin DAC
由張角定理得: = +
AD AC AB
2 2 sin BAC p p - ÷ sin
3 = è 2 即 + 2
3 AC 3 2
2 2 -cos BAC 1
= +
9 AC 3 2
1
2 2 - 3 1= +
9 AC 3 2
\ AC = 3 2
\CD = AD2 + AC 2 = 3 3
1. 在 ABC 中 , 角 A、B、C 所 對 的 邊 分 別 為 a、b、c, AD 是 BAC 的 角 平 分 線 , 若
BAC p= ,| AD |= 2 3 ,則 2b + c 的最小值為_______
3
【解析】如圖:
Q AD 是 BAC 的角平分線
BAD CAD 1 BAC p\ = = =
2 6
sin BAC sin BAD sin DAC
由張角定理得: = +
AD AC AB
sin p sin p sin p
即 3 = 6 + 6
2 3 b c
1 1 1
\ + =
b c 2
1 1 2c 4b 2c 4b
\2b + c = 2b + c +

÷ 2 = + + 6 6 + 4 = 6 + 4 2
è b c b c b c
2c 4b
（當(dāng)且僅當(dāng) = ,即 c = 2b時取“=”）
b c
2．（2024·江西宜春·三模）在 ABC 中，設(shè)角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c．已知C = 120°， ABC 的
15 3
周長為 15，面積為 ．
4
(1)求 ABC 的外接圓面積；
(2)設(shè) D 是邊 AB 上一點，在①CD 是邊 AB 上的中線；②CD 是 ACB 的角平分線這兩個條件中任選一個，
求線段 CD 的長．
49π
【答案】(1)
3
(2)答案見解析
15 3
【分析】（1）由 ABC 的面積為 ，求得 ab =15，再由 ABC 的周長為15，得到 a + b =15 - c，結(jié)合余
4
弦定理，求得 c = 7，再由正弦定理，求得外接圓半徑即可求解；
uuur 1 uur uuur
（2）若選擇①：法 1：由CD = (CA + CB)，結(jié)合向量的運算法則，即可求解；
2
法 2：設(shè)b > a，列出方程組求得 a = 3,b = 5，結(jié)合 cos ADC + cos CDB = 0，列出方程，即可求解；
若選擇②，設(shè)b > a，求得 a = 3,b = 5，根據(jù) S△ABC = S△ACD + S△BCD ，列出方程，即可求解；
sin ACB sin BCD sin ACD
法 2：由 = + ，列出方程，即可求解.
CD AC BC
1 ABC 15 3 S 1【詳解】（ ）解：由 的面積為 ，可得 △ABC = absin120
15 3
° = ，解得 ab =15，
4 2 4
又由 ABC 的周長為15，可得 a + b + c =15，即 a + b =15 - c，
由余弦定理得 c2 = a2 + b2 - 2ab cosC = (a + b)2 - 2ab - 2ab cos120°
= (15 - c)2 2 15 2 15 ( 1- - - )，解得 c = 7，
2
7
設(shè)外接圓半徑為 R，由正弦定理得 = 2R R 7 3，所以 = ，sin120° 3
πR2 49π所以 ABC 的外接圓面積為 = ．
3
（2）解：若選擇①：
法 1：由（1）知， a + b =15 - c = 8及 ab =15，
uuur 1 uur uuur uuur uuur uuur
由CD = (CA + CB)，可得 | CD |2
1
= (CA 1+ CB)2 = (b2 + a2 + 2ab cos120°)
2 4 4
1
= [(a + b)2 - 3ab] 1= (82 3 15) 19- = ，
4 4 4
uuur
| CD | 19 19所以 = ，即CD = ．
2 2
法 2：不妨設(shè)b > a，由 a + b =15 - c = 8及 ab =15，解得 a = 3,b = 5，
在 ACD和△BCD中，可得 cos ADC + cos CDB = 0，
(7)2 + CD2 - 52 (7)2 + CD2 - 32
由余弦定理得 2 7 +
2 19
7 = 0，解得CD = ．2 CD 2 CD 2
2 2
若選擇②，不妨設(shè)b > a，由 a + b =15 - c = 8及 ab =15，解得 a = 3,b = 5，
法 1：由 S△ABC = S△ACD + S△BCD ，
15 3 1 1 15
可得 = 5 CD sin 60° + 3 CD sin 60°，解得CD = ．
4 2 2 8
sin ACB sin BCD sin ACD
法 2：由張角定理，得 = + ，
CD AC BC
sin120° sin 60° sin 60°
即 = + ，解得CD
15
= ，
CD 5 3 8
考點六、倍角定理及其應(yīng)用
1.在 △ ABC中，角 、 、 所對的邊分別為 、 、 , 若B = 2 A, = 1, b = 3, 則c = ____________
解 ∵ B = 2 A
2
由倍角定理得： 2 = 2 + ，即( 3) = 12 + 1 × ∴ = 2
2．（2020 高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)銳角 ABC 的三個內(nèi)角A . B . C 的對邊分別為 a . b . c，且 c =1， A = 2C ，
則 ABC 周長的取值范圍為（ ）
A． (0，2 + 2] B． (0，3 + 3] C． (2 + 2，3+ 3) D．[2 + 2，3+ 3]
【答案】C
a b c 1
【解析】由銳角三角形求得30° < C < 45°，由正弦定理可得 = = = a bsin A sin B sin C sin C ，求出 ， 關(guān)于 cosC 的
函數(shù)，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)，可求得范圍．
【詳解】∵ ABC 為銳角三角形，且 A + B + C = p ，

0 < A
p p p
<
2
0 < 2C < 0 < C <
2 4
p
∴ 0 < B < 0 < p - C - 2C
p p p
<
2 2
< C < ，
6 3
p p p
0 < C < 0 < C < 0 < C < 2 2 2
p C p∴ < < 2， < cosC 3< ，
6 4 2 2
又∵ A = 2C ，
∴ sin A = sin 2C = 2sin C cosC ，
a c
又∵ c =1， = ，
sin A sin C
∴ a = 2cosC ，
b c
由 = ，
sin B sin C
b c sin B sin 3C sin C cos 2C + cosC sin 2C= = = = 4cos2即 C -1，
sin C sin C sin C
∴ a + b + c = 2cosC + 4cos2 C -1+1 = 4cos2 C + 2cosC ，
令 t = cosC t ( 2 3，則 ， )，
2 2
又∵函數(shù) y = 4t 2 + 2t ( 2 3在 ， ) 上單調(diào)遞增，
2 2
∴函數(shù)值域為 (2 + 2，3+ 3)，
故選：C
【點睛】本題考查三角形的正弦定理和運用，考查三角函數(shù)的恒等變換，以及余弦函數(shù)的性質(zhì)，考查化簡
變形能力，屬于難題．
1．（22-23 高三上·安徽阜陽·階段練習(xí)） ABC 內(nèi)角 A, B,C ，C 的對邊分別為 a,b,c，若6b = 5c ，C = 2B，則
cosC =（ ）
7
A - B 7
24 24
． ． C．- D．
25 25 25 25
【答案】A
【分析】根據(jù)正余弦二倍角公式、正弦定理化簡即可得所求.
【詳解】因為C = 2B，所以 sinC = sin 2B = 2sin B cos B
又因為6b = 5c ，由正弦定理得6sin B = 5sin C =10sin B cos B ，
因為B 0, π 3，所以 sin B 0 ，則 cos B =
5
2
所以 cosC = cos 2B = 2cos2 B 1 3 7- = 2 ÷ -1 = - .
è 5 25
故選：A.
2
2 .在 △ ABC 中，角 、 、 所對的邊分別為 、 、 , 若 A = 2 B, 2 則 + 的最小值為_____
解 ∵ = 2
由倍角定理得： 2 = 2 + = ( + )

. ∴ + 2
2 2
= + 4 = + 4
2 4 4 4
2 ( )
= + = 1 + + ≥ 2 × 1 = 3
( 當(dāng)且僅當(dāng) =
4
時取 ′′ = ′′)
考點七、中線長定理及其應(yīng)用
1．（23-24 高一下·河北保定·期末）阿波羅尼奧斯（Apollonius）是古希臘著名的數(shù)學(xué)家，他提出的阿波羅尼
奧斯定理是一個關(guān)于三角形邊長與中線長度關(guān)系的定理，內(nèi)容為：三角形兩邊平方的和，等于所夾中線及
é BC 2 ù
第三邊之半的平方和的兩倍，即如果 AD 是 ABC 2 2中 BC 邊上的中線，則 AB + AC = 2 êAD2 + 2 ÷ ú
.
ê è ú
(1)若在 ABC 中， AB = 5
π
， AC = 3， BAC = ，求此三角形 BC 邊上的中線長；
3
(2)請證明題干中的定理；
(3)如圖 ABC 中，若 AB > AC ，D 為 BC 中點，BD = DC = 3， a sin A + 3bsin B = 3bsin A - C ，
S 3 3△ABC = ，求 cos DAC 的值.2
【答案】(1) AD
7
=
2
(2)證明見解析
1
(3) -
2
【分析】（1）余弦定理求出BC = 19 ，再用所給式子求出中線即可；
（2）左右兩個三角形△ABD 和 ACD分別使用余弦定理，得到兩個方程，結(jié)合 cos ADB = - cos ADC ，相
加即可證明；
2a2
（3） a sin A + 3bsin B = 3bsin A - C ，利用三角恒等變換，求得b2 + c2 = ，結(jié)合
3
é BC 2 ùAB2 + AC 2 = 2 êAD2 +

÷ ú，求出 AD ．在 ACD，用面積公式求出 sin ADC ，進(jìn)而求出 AC ，再用余
ê è 2 ú
弦定理即可解.
【詳解】（1）
如圖所示，
由余弦定理得，BC 2 = AC 2 + AB2 - 2AB AC cos A，
BC 2 52 32 2 5 3 cos π代值計算得到 = + - ，求得
3 BC = 19
；
é 2
AB2 AC 2 2 AD2 BC
2
ù é2 ù
由于 + = ê + ÷ ú，代值計算得5 + 3
2 = 2 êAD2 19+ 7 ÷÷ ú，求得 AD =
ê è 2 ú ê è 2 ú 2
（2）在△ABD 中， AB2 = AD2 + BD2 - 2AD BD cos ADB；
在 ACD中， AC 2 = AD2 + CD2 - 2AD CD cos ADC ；
1 é BC 2 ù
兩式相加，且 cos ADB = -cos ADC, BD = CD = BC AB2 + AC 2 = 2 AD2 +

，得到 ê
2 ÷
ú，則原式得
ê è 2 ú
證．
（3）由于 a sin A + 3bsin B = 3bsin A - C = 3b(sin AcosC - sin C cos A) = 3bsin AcosC - 3bsin C cos A
則由正弦定理，得 a2 + 3b2 = 3ba cosC - 3bc cos A，
a2 2a2 3b2 3ba + b - c
2 2
3bc b + c
2 - a2
即 + = - ，
2ab 2bc
2a2
去分母整理得到3b2 + 3c2 = 2a2，即b2 + c2 = ．
3
且BD = DC = 3，則 BC = a = 6，則b2 + c2 = 24．
é 2 ù
AB2由于 + AC 2 2
BC= êAD2 + ÷ ú，且BD = DC = 3 c
2 + b2 = 2 éAD2，即 + 9ù
ê è 2

ú
聯(lián)立解出 AD = 3
S 3 3 3 3 1由于 △ABC = ，則 S ADC = = AD DC sin ADC
1
= 3 3sin ADC ，
2 4 2 2
1
解得 sin ADC = ，則 cos 3 ADC = （負(fù)數(shù)不滿足）.2 2
由余弦定理得到 AC 2 = DC 2 + AD2 - 2AD DC cos 3 ADC ，代值計算， AC 2 = 9 + 3- 6 3 = 3， 則
2
AC = 3 ，
2
cos DAC AD + AC
2 - DC 2 3 + 3 - 9 1
則 = = = - ．
2AD AC 2 3 3 2
2．（2011·吉林·一模）在 ABC 中，角A ， B ，C 所對的邊分別為 a，b ， c，若 a = 7，b = 8， c = 9，則 AC
邊上的中線長為 ．
【答案】7
uuur 1 uuur uuur uuur
【分析】先利用余弦定理計算出 cos B，設(shè) AC 中點為D，將BD = BA + BC 兩邊平方后求得 BD .2
a2 + c2 - b2 72 + 92 2a = 7 b = 8 c = 9 cos B -8 11【詳解】解：因為 ， ， ，由余弦定理得 = = = .
2ac 2 7 9 21
uuur 1 uuur uuur uuur 2 1 uuur2 uuur uuur uuur2設(shè)D是 AC 中點，則BD = BA + BC ，兩邊平方得 BD = BA + 2BA BC + BC2 4
1 uuur= 81+ 2 9 7
11
+ 49 = 49，所以 BD = 7，即 AC 邊上的中線長為 7 .
4 è 21 ÷
故答案為： 7
1．（24-25 高三上·江蘇泰州·階段練習(xí)） ABC 的三邊分別為 a,b,c，邊BC 上的中線長為 ．
1
【答案】 2 b2 + c2 - a22
b2 + c2 - a2
【分析】由余弦定理知 cos A = ，再利用向量的中線公式、數(shù)量積的定義及數(shù)量積的運算律，即
2bc
可求解.
b2 + c2 - a2
【詳解】設(shè)BC 邊上的中線為 AD ，由余弦定理知 cos A = ，
2bc
uuur uuur2 uuur uuur 2 uuur uuur2 1 b
2 + c2 - a2 1
則 | AD | = AD 1 1= é ùê AB + AC ú = c2 + 2AB AC + b2 = 2 2 b + 2bc + c ÷ = é 2 b2 + c2 - a2 ù ， 2 4 4 è 2bc 4
1
所以中線長為 2 b2 + c2 - a2 ．2
1 2 2 2
故答案為： 2 b + c - a .2
2．（2020 高三·全國·專題練習(xí)） ABC的兩邊長分別為1, 3 ，第三邊上的中線長為 1，則其外接圓的直徑為
【答案】2
【解析】設(shè)BD = CD = x，在 ABD 中，由余弦定理得1 =1+ x2 - 2x cos ADB ，在 ACD中，得到
p
3 =1+ x2 - 2x cos ADC ，兩式相加，求得 x =1，得到 ABD 為等邊三角形，可得 B = ，再結(jié)合正弦定理，
3
即可求解.
【詳解】如圖所示，在 ABC中，設(shè) AB =1, AC = 3, AD =1，且BD = CD = x，
在 ABD 中，由余弦定理，可得 AB2 = AD2 + BD2 - 2AD BD cos ADB ，
即1 =1+ x2 - 2x cos ADB ，①
在 ACD中，同理可得3 =1+ x2 - 2x cos ADC ，②
又由 ADB + ADC = p ，可得 cos ADB + cos ADC = 0，
p
由①+②，得 4 = 2 + 2x2 ，解得 x =1，所以 ABD 為等邊三角形，可得B = ，
3
2R AC 3= = = 2
設(shè) ABC的外接圓的半徑為 R ，可得 ABC的外接圓直徑為 sin B 3 .
2
故答案為： 2 .
【點睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解決三角形的
邊角關(guān)系，熟練掌握定理、合理運用是解本題的關(guān)鍵．通常當(dāng)涉及兩邊及其中一邊的對角或兩角及其中一
角對邊時，運用正弦定理求解；當(dāng)涉及三邊或兩邊及其夾角時，運用余弦定理求解.
考點八、三角恒等式及其應(yīng)用
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在銳角 ABC 中，角 A, B,C 所對的邊分別為 a,b,c，若
tanA + tanB + tanC = 3tanBtanC .
(1)求A ；
(2)若不等式b c - b la2恒成立，求實數(shù)l 的取值范圍.
π
【答案】(1)
3
é1
(2) ê ,+

3 ÷
【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式以及兩角和的正切公式，化簡整理可得
tanA + tanB + tanC = tanAtanBtanC ，可得 tanA = 3 ，進(jìn)而即得；
b c - b 2 c
（2）由余弦定理可推得b2 + c2 - a2 = bc ，變形即可得出 2 = ÷ -1，根據(jù)已知條件，得出C 的范圍，a è a
c 3 2 3
, 2 b c - b 1即可得出 ÷÷，然后根據(jù)不等式的性質(zhì)得出- < 2 < ，即可得出實數(shù)l 的取值范圍.a è 3 3 3 a 3
tanA tan B C tanB + tanC【詳解】（1）由 A + B + C = π，得 = - + = - ，
1- tanBtanC
整理可得 tanA + tanB + tanC = tanAtanBtanC .
又 tanA + tanB + tanC = 3tanBtanC ，所以 tanA = 3 .
A π π因為 0, ÷ ，所以 A = .
è 2 3
2 2 2
2 cosA b + c - a 1（ ）由余弦定理可得 = = ，于是，b2 + c2 - a2 = bc ，
2bc 2
2 2
2 2 2 b c - b c - a c
2
所以bc - b = c - a ，則 = =
a2 a2 a ÷
-1，
è
c sinC 2 3
由正弦定理得 = = sinC .
a sinA 3
在銳角 ABC 中， A π 2π= 3 ，則 B + C = .3

又B,C 0,
π π π
2 ÷，故
< C < ，
è 6 2
1 c 2 3
所以 < sinC <1，所以 = sinC
3 , 2 3 ，
2 a 3
÷÷
è 3 3
1 c
2
4 2 c
2 1
所以 < ÷ < ，- <

3 ÷
-1< ，
è a 3 3 è a 3
2 b c - b 1
因此，- < < .
3 a2 3
b c - b
由題意可得l 2 恒成立，a
1
于是，l .3
é1
所以，實數(shù)l 的取值范圍是 ê ,+

÷ .
3
1．（2023 春·浙江臺州·高三校考期中）在① a cos B - bcos A = c - b，② tan A + tan B + tan C - 3 tan B tan C = 0，
1
③ ABC 的面積為 a bsin B + c sin C - a sin A ，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并加以解
2
答．
在 ABC 中，角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c，且______．
(1)求角 A；
(2)若a = 8， ABC 的內(nèi)切圓半徑為 3，求 ABC 的面積．
π
【答案】(1) A = 3
(2)11 3
【分析】（1）選①，根據(jù)已知條件及正弦定理的邊角化，再利用三角形的內(nèi)角和定理及兩角和的正弦公式，
結(jié)合三角函數(shù)的特殊值對應(yīng)特殊角注意角的范圍即可求解；
選②，根據(jù)已知條件及三角形的內(nèi)角和定理，再利用兩角和的正切公式及三角函數(shù)的特殊值對應(yīng)特殊角注
意角的范圍即可求解；
選③，根據(jù)已知條件及三角形的面積公式，再利用余弦定理的推論及三角函數(shù)的特殊值對應(yīng)特殊角注意角
的范圍即可求解；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及三角形的面積公式，結(jié)合余弦定理即可求解.
【詳解】（1）若選①，由 a cos B - bcos A = c - b及正弦定理，得 sin Acos B - cos Asin B = sin C - sin B，
即 sin Acos B - cos Asin B = sin A + B - sin B ，
即 sin Acos B - cos Asin B = sin Acos B + cos Asin B - sin B，
所以 2cos Asin B = sin B ，
因為0 < B < π ,所以 sin B 0 ，
所以 cos A
1
= ，又0 < A < π ,
2
π
所以 A = 3 ．
若選②，由 tan A + tan B + tan C - 3 tan B tan C = 0，得
tan C tan A + tan B tan A B tan A + tan B= = - + = - ，
3 tan B -1 1- tan A tan B
∴ 3 tan B = tan A tan B，
π
因為0 < B < π ,所以 tan B 0 ，當(dāng)B = 時， tan B 不存在，
2
所以 tan A = 3 ，又0 < A < π ,
所以 A
π
=
3 ．
1
若選③，因為 ABC 的面積為 a bsin B + c sin C - a sin A ，
2
S 1 1所以 △ABC = a bsin B + c sin C - a sin A = bc sin A，2 2
即b2 + c2 - a2 = bc ，
2
cos A b + c
2 - a2 1
所以 = = ，又0 < A < π ,
2bc 2
所以 A
π
=
3 ．
π
（2）由（1）知， A = 3 ，
∵ ABC 內(nèi)切圓半徑為 3，
1
∴ a + b + c 3 1= bc sin A，即
2 2 b + c + 8 3
3
= bc
2
b + c 1+ 8 = bc①，
2
a2 = b2 2 π 2
1
由余弦定理，得 + c - 2bccos ，即b + c2 - 2bc = 643 ，2
2
所以 b + c - 3bc = 64②，
1 2
聯(lián)立①②，得 bc -8

÷ - 3bc = 64，解得bc = 44，
è 2
S 1所以 △ABC = 44
3
=11 3 ．
2 2
一、單選題
1．（23-24 高一·全國·課后作業(yè)）在 ABC 中，已知 a =1，b = 3 ，且 AB 邊的中線長為 1，那么 c 的長為．
A． 2 B．2 C． 3 D．3
【答案】B
uuur 1 uuur uuur【分析】記 AB 邊的中點為D，連結(jié)CD ，根據(jù)題意得到CD = CB + CA2 ，由向量模的計算公式求出角C ，
從而可得出結(jié)果.
【詳解】如圖：記 AB 邊的中點為D，連結(jié)CD ，
uuur
CD 1 uuur uuur則 = CB + CA2 ，
又 a =1，b = 3 ，且 AB 邊的中線長為 1，
uuur 1 uuur uuur 2 1 1
所以1 = CD =
2 CB + CA = 1+ 3 + 2 1 3 cosC = 4 + 2 3 cosC ，2 2
所以 cosC p= 0，因此C = 2 ；
又斜邊上的中線是斜邊的一半，所以 c 的長為 2.
故選 B
【點睛】本題主要考查解三角形，根據(jù)向量的方法求解即可，屬于常考題型.
2．（2022·全國·模擬預(yù)測）數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出“三斜求積術(shù)”，即假設(shè)一個 ABC 的三邊長分別為 a，b，c，
三角形的面積 S 可由公式 S = p p - a p - b p - c 求得，其中 p 為三角形周長的一半，與古希臘數(shù)學(xué)家
海倫公式完全一致，所以這個公式也被稱為海倫—秦九韶公式.現(xiàn)有一個三角形的周長為 24， c = 6，則當(dāng)三
角形面積最大值時 AB 邊上的高為（ ）
A．8 B． 6 2 C．12 D．9 2
【答案】B
【分析】代入公式 S = p p - a p - b p - c ，結(jié)合基本不等式可得當(dāng) a = b = 9 時三角形的面積取得最大
值，再計算 AB 邊上的高即可
【詳解】由題意得， a + b =18， p =12，則
S = 12 12 - a 12 - b 12 - 6 = 6 2 12 - a 12 - b
6 2 12 - a +12 - b = 6 2 3 =18 2 ，
2
當(dāng)且僅當(dāng)12 - a =12 - b，且 a + b =18，即 a = b = 9 時，等號成立，此時三角形的面積取得最大值，所以 AB
6 2
邊上的高為 92 - ÷ = 6 2
è 2
故選：B.
3．（23-24 高一下·重慶·階段練習(xí)） ABC 的內(nèi)角A ， B ，C 的對邊分別為 a，b ， c，且
2b + c cos A + a cosC = 0，b = 2 3 ，若邊BC 的中線長等于3，則 c = （ ）
A． 3 B． 2 3 C． 4 3 D．6 3
【答案】C
【分析】利用正弦定理將邊化角，再由兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式求出 cos A，即可求出A ，設(shè)BC 的中
uuur uuur uuur
點為D，則 AD
1
= AB + AC ，將兩邊平方，結(jié)合數(shù)量積的運算律及定義計算可得.2
【詳解】因為 2b + c cos A + a cosC = 0，
由正弦定理可得 2sin B + sin C cos A + sin AcosC = 0，
所以 2sin B cos A + sin AcosC + sin C cos A = 0 ，
所以 2sin B cos A = -sin A + C ，
所以 2sin B cos A = -sin π - B ，
所以 2sin B cos A = -sin B ，
因為 sin B 0 ，所以 cos A
1
= - ，
2
因為 A 0, π A 2π，所以 = 3 ．
uuur uuur uuur
設(shè)BC 的中點為D，則 AD
1
= AB + AC2 ，
uuur2 1 uuur2 uuur uuur uuur2
所以 AD = AB + 2AB AC + AC ，4
uuur uuur uuur uuur
又 AB AC = AB AC cos BAC
1
= - bc，
2
所以 c2 - bc + b2 = 36，又b = 2 3 ，
所以 c2 - 2 3c - 24 = 0，解得 c = 4 3 或 c = -2 3 （舍去）.
故選：C
二、填空題
4．（23-24 高二·全國·假期作業(yè)）在 ABC中，已知CB = 7， AC = 8， AB = 9，則 AC 邊上的中線長
為 ．
【答案】 7
【分析】先利用余弦定理求得 cos A的值,再設(shè)中線,利用余弦定理求出中線的值.
cos A AB
2 + AC 2 - BC 2 92 + 82 - 72 2
【詳解】由條件知： = = = ,
2 AB AC 2 9 8 3
AC
2
AC
設(shè)中線長為 x ,由余弦定理知： x2 = ÷ + AB
2 - 2 AB cos A
è 2 2
= 42 + 92 2 2- 4 9 = 49
3
所以 x = 7 .所以 AC 邊上的中線長為 7 .
故答案為: 7 .
【點睛】本題主要考查余弦定理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.
5．（23-24高一下·福建福州·期末）在 ABC 中， ACB =120o , AC = 2, AB = 7, ACB的角平分線交 AB 于D，
則CD = .
2
【答案】 3
【分析】在 ABC 21中，由余弦定理可得： BC =1，由正弦定理可得 sin B = ，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得：
7
CD BD
DA = 2BD 2 7= ，在△BCD中，由正弦定理可得： = 即可求解.
3 sin B sin DCB
【詳解】因為在 ABC 中， ACB =120o , AC = 2, AB = 7
由余弦定理可得： AB2 = AC 2 + BC 2 - 2AB BC cos ACB，解得 BC =1
AC AB 2 7= 21
由正弦定理可得： = ，即 sin B 3 ，解得：sin B sin ACB sin B =
，

2 7
BD BC
因為 ACB 的角平分線交 AB 于D，所以 BCD = 60° ，由角平分線性質(zhì)可得： = ，所以DA AC
DA 2 7= 2BD = ，
3
7
CD 2
在△BCD
CD BD 3
中，由正弦定理可得： = ，即 = ，解得：CD =
sin B sin DCB 21 3 3
7 2
2
故答案為： 3
6．（22-23 高一·全國·課后作業(yè)）任意三角形射影定理又稱“第一余弦定理”： ABC 的三邊是 a,b,c，它們所
對的角分別是 A, B,C ，則有 a = b cosC + c cos B，b = c cos A + a cosC ， c = a cos B + b cos A．請利用上
述知識解答下面的題：在 ABC 中，若 2cosC(a cos B + b cos A) = c ，則C = ．
π
【答案】
3
1
【分析】由題可得 cosC = ，計算即可.
2
【詳解】由題得， 2cosC(a cos B + b cos A) = c ，
由第一余弦定理知 c = a cos B + b cos A，
所以 2cosCgc = c ，
所以 cosC
1
= ，又 C 為三角形的內(nèi)角
2
C π解得 = ，
3
π
故答案為：
3
7．（2019 高一·山東濟南·學(xué)業(yè)考試）中國宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出“三斜求積術(shù)”，即假設(shè)在平面內(nèi)有一個
三角形，邊長分別為 a，b，c，三角形的面積 S 可由公式 S = p p - a p - b p - c 求得，其中 p 為三角形
周長的一半，這個公式也被稱為海倫—秦九韶公式，現(xiàn)有一個三角形的邊長滿足 a + b = 5， c = 3，則此三角
形面積的最大值為 .
【答案】3
【分析】計算出 p = 4 ，得到 S = 2 ab - 4 ，由基本不等式求出 S = 2 ab - 4 3 .
a + b + c 5 + 3
【詳解】因為 a + b = 5， c = 3，所以 p = = = 4，
2 2
故 S = 4 4 - a 4 - b 4 - 3 = 2 4 - a 4 - b = 2 16 - 4 a + b + ab = 2 ab - 4 ，
a + b 2 5
因為 ab 25 = ，當(dāng)且僅當(dāng) a = b = 時，等號成立，
4 4 2
25
故 S = 2 ab - 4 2 - 4 = 3，
4
故答案為：3
三、解答題
8．（23-24 高二下·福建福州·期中）在 ABC中，內(nèi)角 A, B,C 的對邊分別是 a,b,c，且bsinC = 3csin
B
.
2
(1)求角 B 的大小；
(2)若b = 6，且 ABC 7 3的面積為 ，求 AC 邊上的中線長.
2
π
【答案】(1) B = 3
(2)4
【分析】（1）利用正弦定理邊角互化，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求角；
（2）首先根據(jù)三角形的面積公式，求得 ac =14，再根據(jù)余弦定理求得 a2 + c2 = 50，再根據(jù)中線向量關(guān)系，
利用數(shù)量積公式，即可求解.
【詳解】（1）Q bsinC
B B
= 3csin ，∴由正弦定理得： sinBsinC = 3sinCsin ，
2 2
Q C 0, π ，∴ sinC > 0，
∴ sinB = 3sin
B B B B
，即 2sin cos = 3sin ，
2 2 2 2
Q B 0, π B ÷ ，∴ sin 0 ， 2 è 2 2
B π
∴ cos B 3= ，\ =
2 2 2 6
\B π=
3
1 1 3 7 3
（2）QS ABC = acsinB = ac = ， \ac =14 ，2 2 2 2
在 ABC 中，由余弦定理b2 = a2 + c2 - 2accosB 得
36 = a2 + c2 - ac，所以 a2 + c2 = 50，
uuur uuur uuur
設(shè) AC 的中點為D，則 2BD = BC + BA ，
兩邊同時平方得：
uuur2 uuur uuur uuur2 uuur2 uuur uuur
4BD = (BC + BA)2 = BC + BA + 2BC BA= a2 + c2 + ac = 64
uuur 2
所以 BD =16 ，所以BD = 4 .
9．（20-21 高一下·福建莆田·階段練習(xí)）在 ABC 中，內(nèi)角A ， B ，C 的對邊分別是 a，b ， c，若 a = 3，
3 sin AcosC + 3 sin C + b cos A = 0 .
（1）求角A ；
1 1 1
（2）若 AD 為 ABC 的角平分線，證明： + = .
AC AB AD
2p
【答案】（1） A = ；（2）證明見解析.
3
【分析】（1）逆用三角形的和角的正弦公式，再由正弦定理、三角形的內(nèi)角性質(zhì)化簡并求出角A .
（2）由角平分線想到用正弦定理表示三角形的面積，三角形面積為 AD 拆分出來的兩個小三角形面積之和，
化簡即可.
【詳解】（1）解：由 3 sin AcosC + 3 sin C + b cos A = 0，得
3 sin AcosC + 3 sin C cos A + b cos A = 0，
即 3 sin AcosC + 3 sin C cos A + b cos A = 3 sin A + C + bcos A = 3 sin B + bcos A = 0，
由 a = 3
3
，得 a sin B + b cos A 3= 0，由正弦定理，得 sin Asin B + sin B cos A = 0，又 sin B 0 ，得
3 3
sin A + 3cos A = 0，
又 A 0,p ，C 0,p ，如 A p= ， 3 sin AcosC + 3 sin C + b cos A = 0 3 cosC = 0 p，解得C =2 2 ，與
三角形三角和為p 矛盾，所以 A
p
.
2
2p
所以 tan A = - 3 ， A = .3
（2）由 AD 為 ABC
1 AB AD sin p 1的角平分線，得 + AC
p 1 2p
AD sin = AB AC sin ，所以
2 3 2 3 2 3
AB AC 1 1 1
AB AD + AC AD = AB AC ，即 AB + AC = ， 所以 + = .
AD AC AB AD
10．（20-21 高一下·福建·期中）已知 ABC 中，a，b，c 分別為內(nèi)角 A，B，C 的對邊，且滿足
sin2 A - sin2 B - sin B sin C = sin2 C .
(1)求角 A；
(2)設(shè)點 D 為上 BC 一點，且 AD=2，證明：若 ，則b + c 存在最大值或最小值；請在下面的兩個條件中選擇
一個填到上面的橫線上，并證明.
①AD 是 ABC 的中線；
②AD 是 ABC 的角平分線.
2p
【答案】(1) 3 ；
(2)選擇①證明見解析；選擇②證明見解析.
【分析】（1）利用正弦定理角化邊，再利用余弦定理求解作答.
（2）選擇條件①，利用向量數(shù)量積建立關(guān)系，再借助均值不等式推理作答；
選擇條件②，利用三角形面積公式建立關(guān)系，再借助“1”的妙用計算作答.
【詳解】（1）在 ABC 中，由正弦定理及 sin2 A - sin2 B - sin B sin C = sin2 C 得： a2 - b2 - bc = c2 ，
2 2 2 2p
由余弦定理得 cos A
b + c - a 1
= = - ，而0 < A < p ，解得： A = ，
2bc 2 3
2p
所以 A = .
3
uuur 1 uuur uuur uuur2 uuur2 uuur uuur uuur2
（2）選擇①，AD 是 ABC 的中線，則 AD (AB AC) AD
1
= + ，于是得 = (AB + 2AB AC + AC )，
2 4
AD=2 16 = c2
b + c 1
而 ，則有 - bc + b2 = (b + c)2 - 3bc (b + c)2 - 3( )2 = (b + c)2，當(dāng)且僅當(dāng)b = c 時取“=”，
2 4
即b + c 8，因此當(dāng)b = c = 4時， b + c = 8max ，
所以b + c 存在最大值.
p
選擇②，AD 是 ABC 的角平分線， BAD = DAC = ，由 S + S = S 得：
3 ABD ADC ABC
1 AB ADsin p 1+ AD ACsin p 1= AB ACsin 2p ，而 AD=2，于是得 2b + 2c = bc ，
2 3 2 3 2 3
1 1 1
即 + = ，b + c = 2(b c)(
1 1
+ + ) = 2(2 b c+ + ) 8，當(dāng)且僅當(dāng)b = c 時取“=”，
b c 2 b c c b
即當(dāng)b = c = 4時， b + c = 8min ，
所以b + c 存在最小值.
ur
11．（23-24 高一下·湖南株洲·期末）在 ABC中，角 A, B,C 所對的邊分別為 a,b,c，向量m = (a, 2b + c)，
r ur r
n = (cosC, cos A)，且m ^ n，D為線段BC 上一點.
(1)求角A 的大小；
(2)若 AD 為角A 的角平分線， a = 7， ABC 的周長為 15，求 AD 的長.
A 2π【答案】(1) = 3
15
(2) AD = .
8
ur r
【分析】（1）由m ^ n，得 a cosC + (2b + c) cos A = 0，然后利用正弦定理和三角函數(shù)恒等變換公式化簡變形
可求得角A ；
（2）利用余弦定理結(jié)合已知條件可求得bc =15，再由 AD 為角A 的角平分線，可得 S△ ABD + S△ ACD = S△ ABC ，利
用三角形面積公式化簡可求出 AD 的長.
ur r ur r
【詳解】（1）解：Qm = (a, 2b + c)， n = (cosC, cos A)，且m ^ n，
\a cosC + (2b + c) cos A = 0 ，
由正弦定理得 sin AcosC + 2sin B cos A + sin C cos A = 0 ，
\sin(A + C) + 2sin B cos A = 0，
Qsin(A + C) = sin(π - B) = sin B ，\sin B + 2sin B cos A = 0，
在三角形 ABC 中， sin B 0 ，
1
\1+ 2cos A = 0，\cos A = - ，
2
∵ A 0, π 2π，\ A = .
3
（2）解： a = 7， a + b + c = 15 b + c = 8，
由余弦定理得 a2 = b2 + c2 - 2bc cos A，
即 49 = (b + c)2 - 2bc - 2bccos
2π
，解得bc =15 .
3
π
Q AD 為角A 的角平分線，\ BAD = CAD = ，
3
∵ S△ ABD + S△ ACD = S△ ABC ，
1 c AD sin π 1 b AD sin π 1∴ + = c b sin
2π
，
2 3 2 3 2 3
∴ (b + c)AD = bc
bc
，得 AD =
b + c
15
\ AD = .
8
12．（23-24 高一下·重慶·階段練習(xí)）已知 a,b,c分別為 ABC 三個內(nèi)角 A，B，C 的對邊，滿足：
b - 2c cos A = c ．
(1)證明： A = 2C ；
(2)若b = 4 ，且 ABC 為銳角三角形，求 ABC 的面積 S 的取值范圍．
【答案】(1)證明見解析；
(2) S 2 3 , 8 ．
【分析】（1）利用正弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，結(jié)合 sin B = sin A + C ，利用正弦的差角公式整理化簡即可求得
結(jié)果；
（2）根據(jù) A, B,C 之間的關(guān)系，結(jié)合正弦定理，構(gòu)造面積關(guān)于C 的函數(shù)關(guān)系，再結(jié)合三角形形狀，求得C 的
范圍，進(jìn)而求函數(shù)值域即可.
【詳解】（1）證明：∵ b - 2c cos A = c ，∴ 2R sin B - 2 2R sin C cos A = 2R sin C ，
∴ sin A + C - 2sin C cos A = sin C ，∴ sin AcosC - cos AsinC = sinC ，
∴ sin A - C = sin C ，∴ A - C = C 或 A - C + C = π，
∵ A,C 0, π ，∴ A = 2C .
（2）∵ A = 2C ，∴ B = π - 3C ，∴ sin B = sin 3C ．
a b 4 sin 2C
由正弦定理得 = 且b = 4 ，∴ a =
sin A sin B sin 3C
1
∴ S = absin C
1 4sin 2C 8sin 2C sin C
= 4 sin C =
2 2 sin 2C + C sin 2C cosC + cos 2C sin C ，
∵ ABC 為銳角三角形且 A = 2C ，
∴ cosC 0 ， cos 2C 0，
2 tan2 C
S 8 tan 2C tan C
16 tan C 16
2 = =
∴ = = 8 1- tan C 2
tan 2C + tan C 2 tan C 3- tan C
3
- tan C
2 + tan C1- tan C tan C

0 < A
π
< 0 < 2C
π
<
2 2
π π π π
∵ ABC

為銳角三角形，∴ 0 < B <

， 0 < π - 3C < ∴ C 2 2
, ÷，
è 6 4
0 π π < C <

0 < C < 2 2
3
∴ tan C ,1 ，
è 3 ÷
÷

S 16=
此時 3 tan C 為增函數(shù)，∴ S 2 3,8- ．
tan C
13．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）在銳角 ABC 中.內(nèi)角A ， B ，C 所對的邊分別是 a，b ， c，已知
a - 2ccos B = c .
(1)求證：B = 2C ；
(2)求 sin B + 2 3 cos2 C 的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析
(2) 1+ 3,2 3
【分析】（1）由正弦定理，三角形內(nèi)角和定理變形，利用兩角和差公式求得 sin C = sin B - C ，然后利用正
弦函數(shù)性質(zhì)即可求得B = 2C ；
π
（2）利用三角恒等變換得 sin B + 2 3 cos2 C = 2sin

B +

÷ + 3，由條件求 B 的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求
è 3
解范圍即可.
【詳解】（1）因為 a - 2ccos B = c，
所以 sin A = sin C + 2sin C cos B = sin B cosC + cos B sin C ，
所以 sin C = sin B cosC - cos B sin C = sin B - C ，
因為B,C
π π
為銳角三角形內(nèi)角，所以0 < B < ， 0 < C <
2 2
，
π π
所以- < B - C < ，所以C = B - C ，即B = 2C ；
2 2
2 sin B + 2 3 cos2（ ） C = sin B + 3 π1+ cos 2C = sin B + 3 cos B + 3 = 2sin B + ÷ + 3，
è 3
0 B π < <
2
B π π π 2π π 5π
由題意得 0 < C = < ，解得 < B < ，所以 < B + < ，
2 2 3 2 3 3 6

0 < π
3B π
- <
2 2
1
所以 < sin B
π 3
+ ÷ < ，所以1+ 3 < sin B + 2 3 cos2 C < 2 3 ，2 è 3 2
即 sin B + 2 3 cos2 C 的取值范圍為 1+ 3,2 3 .
14．（23-24 高一下·河南鄭州·期中）古希臘的數(shù)學(xué)家海倫在其著作《測地術(shù)》中給出了由三角形的三邊長 a，
b，c 計算三角形面積的公式： S = p( p - a)( p - b)( p - c) ，這個公式常稱為海倫公式，其中，
p 1= (a + b + c)．我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中給出了由三角形的三邊長 a，b，c 計算三角
2
1 2 2 2
形面積的公式： S = [c2a2 (c + a - b- )2 ] ，這個公式常稱為“三斜求積”公式．
4 2
(1)已知 ABC 的三條邊分別為 a = 7,b = 8,c = 3，求 ABC 的面積；
1
(2)利用題中所給信息，證明三角形的面積公式 S = ac sin B；
2
(3)在 ABC b 4, tan
B sinC
中， = = ，求 ABC 面積的最大值．
2 2 - cosC
【答案】(1) 6 3 ；
(2)證明見解析；
(3) 4 3 .
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用海倫公式求出三角形面積.
（2）利用余弦定理，結(jié)合“三斜求積”公式，計算推理得證.
（3）由二倍角公式化簡 tan
B sinC
= ，得 2sin B = sin A + sin C ，再利用正弦定理角化邊，然后用海倫公
2 2 - cosC
式及基本不等式求出面積最大值.
1 1
【詳解】（1）依題意， p = (a + b + c) = (7 + 8 + 3) = 9 ，
2 2
所以 ABC 的面積 S = p( p - a)( p - b)( p - c) = 9(9 - 7)(9 -8)(9 - 3) = 6 3 .
2 2
2 cos B c + a - b
2
（ ）由余弦定理 = ，得 c2 + a2 - b2 = 2ac cos B ，
2ac
1 2 2 2
將上式代入 S = [c2
1
a2 (c + a - b- )2 ] ，得 S = [c2a2 - (2ac cos B )2 ] ，
4 2 4 2
S 1則 = éc2a2 - (ac cos B)2 ù 1= ac 1- cos2 2 B ，而 sin B + cos
2 B =1，且 sin B > 0，
4 2
1
所以 S = ac 1
1 1
- cos2 B = ac sin2 B = acsin B .
2 2 2
sin B sin B 2cos B
（3） tan
B 2 2 2 sin B= = = tan B sinC，而 = ，
2 cos B cos B B 2cos cos B +1 2 2 - cosC
2 2 2
sin B sin C
則 = ，整理得 2sin B = sin(B + C) + sin C = sin A + sin C ，
cos B +1 2 - cosC
a b c
根據(jù)正弦定理 = = ，得 2b = a + c b = 4 a + c = 8 p = 6sin A sin B sin C ，由 ，得 ， ，
S = 6(6 - a)(6 - b)(6 - c) = 12(6 - a)(6 - c) 12[(6 - a) + (6 - c)由海倫公式得， ]2 = 4 3 ，
2
當(dāng)且僅當(dāng)6 - a = 6 - c，即 a = c = 4 時， ABC 面積取最大值 4 3 .
15．（22-23 高一下·山東棗莊·期中） ABC 中，內(nèi)角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c.已知
4a sin A = bsinC cos A + csin Acos B .
sinA
(1)求 的值；
sin C
(2)若 BD 是 ABC 的角平分線.
（i）證明：BD2 = BA·BC - DA·DC ；
（ii）若 a =1，求BD AC 的最大值.
1
【答案】(1) 2
(2) i 3 2（）證明見解析；（ii）
2
【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和的正弦公式化簡，即可得答案；
（2）（i）在△ABD 和△BCD中，分別應(yīng)用正余弦定理，得出線段之間的等量關(guān)系，結(jié)合角平分線以及分式
的性質(zhì)，即可證明結(jié)論；（ii）利用（i）的結(jié)論以及基本不等式即可求得答案.
【詳解】（1）因為 ABC 中，4a sin A = bsinC cos A + csin Acos B，
故 4sin2 A = sin B sin C cos A + sin C sin Acos B = sinC(sinBcosA + sinAcosB)
= sinCsin A + B = sin2 C ，
因為 A,C (0,π),\sinA,sinC > 0
sinA 1
，故 = ；
sin C 2
AD AB
（2）（i）證明：△ABD 中，由正弦定理得 = ①，
si n ABD si n ADB
又 AB2 = AD2 + BD2 - 2AD BD cos ADB ②，
同理在△BCD CD BC中， = ③sin CBD sin CDB ，
BC 2 = CD2 + BD2 - 2CD BD cos CDB ④，
BD 是 ABC 的角平分線，則 ABD = CBD ，
則 sin ABD = sin CBD ，
又 ADB + CDB = π ，故 sin ADB = sin CDB,cos ADB + cos CDB = 0，
AD AB AD AB , CD BC故①÷③得 = ⑤，即 = \ = ，
CD BC AC AB + BC AC AB + BC
由CD ② +AD ④得，CD AB2 + AD BC 2 = CD AD AD + CD + CD + AD BD2
= CD AD AC + AC BD2 ，
BD2 CD AB
2 + AD BC2
則 = - CD AD
AC
BC AB2 + AB BC 2
= - CD AD = BA BC - DA DC ，
AB + BC
即BD2 = BA·BC - DA·DC ；
sin A 1
（ii）因為 = ，故 c = 2a ，
sin C 2
AD AB 2 1
則由⑤得 = = 2，則 AD = AC,DC = AC ，
CD BC 3 3
2
由 a =1以及（i）知BD2 = 2 - AC2 ，
9
即BD2
2
+ AC2 = 2，則
9 BD
2 2 2 2+ AC2 BD AC ，
9 3
BD2 2= AC 2 BD2 2 2 3 2當(dāng)且僅當(dāng) ，結(jié)合 + AC = 2，即
9 9 BD =1,AC =
時等號成立，
2
故BD AC 3 2 3 2 ，即BD AC 的最大值為 .
2 2
【點睛】難點點睛：本題解答的難點在于BD2 = BA·BC - DA·DC 的證明，證明時要利用正余弦定理得到涉及
到的線段之間的等量關(guān)系，然后利用分式的性質(zhì)進(jìn)行變形，過程比較復(fù)雜，計算量較大，因此要十分注意.
一、單選題
1．（陜西·高考真題）設(shè)在 ABC中,角 A，B,C 所對的邊分別為a，b,c , 若 bcosC + c cos B = a sin A , 則
ABC的形狀為 （ ）
A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定
【答案】B
2 p
【分析】利用正弦定理可得 sin B + C = sin A，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理與誘導(dǎo)公式可得 sin A = 1, A = ，從
2
而可得結(jié)果.
【詳解】因為bcosC + c cos B = a sin A，
所以由正弦定理可得 sin B cosC + sin C cos B = sin2 A，
sin B + C = sin2 A sin A = sin2 A，
sin A 1, A p所以 = = ，所以是直角三角形.
2
【點睛】本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題. 弦定理是解三角形的有力工具，其常見用法有以下幾
種：（1）知道兩邊和一邊的對角，求另一邊的對角（一定要注意討論鈍角與銳角）；（2）知道兩角與一個角
的對邊，求另一個角的對邊；（3）證明化簡過程中邊角互化；（4）求三角形外接圓半徑.
二、填空題
2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）在 ABC 中， BAC = 60°, AB = 2, BC = 6 ， BAC 的角平分線交 BC 于 D，
則 AD = ．
【答案】 2
【分析】方法一：利用余弦定理求出 AC ，再根據(jù)等面積法求出 AD ；
方法二：利用余弦定理求出 AC ，再根據(jù)正弦定理求出B,C ，即可根據(jù)三角形的特征求出．
【詳解】
如圖所示：記 AB = c, AC = b, BC = a，
方法一：由余弦定理可得， 22 + b2 - 2 2 b cos 60o = 6，
因為b > 0，解得：b =1+ 3，
由 S ABC = S ABD + S ACD 可得，
1
2 b sin 60o 1= 2 AD 1 sin 30o + AD b sin 30o，
2 2 2
3b 2 3 1+ 3
解得： AD =
1 b
= = 2
+ 3 + 3
．
2
故答案為： 2．
方法二：由余弦定理可得， 22 + b2 - 2 2 b cos 60o = 6，因為b > 0，解得：b =1+ 3，
6 b 2 6 + 2 2
由正弦定理可得， o = = ，解得： sin B = ， sin C = ，sin 60 sin B sin C 4 2
因為1+ 3 > 6 > 2 ，所以C = 45o ，B =180o - 60o - 45o = 75o，
又 BAD = 30o ，所以 ADB = 75o ，即 AD = AB = 2．
故答案為： 2．
【點睛】本題壓軸相對比較簡單，既可以利用三角形的面積公式解決角平分線問題，也可以用角平分定義
結(jié)合正弦定理、余弦定理求解，知識技能考查常規(guī)．
三、解答題
3．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記 ABC 的內(nèi)角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c﹐已知
sin C sin A - B = sin B sin C - A ．
(1)若 A = 2B，求 C；
(2)證明： 2a2 = b2 + c2
5π
【答案】(1) 8 ；
(2)證明見解析．
【分析】（1）根據(jù)題意可得， sin C = sin C - A ，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可解出；
（2）由題意利用兩角差的正弦公式展開得 sin C sin Acos B - cos Asin B = sin B sin C cos A - cosC sin A ，再
根據(jù)正弦定理，余弦定理化簡即可證出．
【詳解】（1）由 A = 2B， sin C sin A - B = sin B sin C - A 可得， sin C sin B = sin B sin C - A ，而
0 B π< < ，所以 sin B 0,1 ，即有 sin C = sin C - A > 0 ，而0 < C < π,0 < C - A < π，顯然C C - A，所以，
2
5π
C + C - A = π，而 A = 2B， A + B + C = π，所以C = ．
8
（2）由 sin C sin A - B = sin B sin C - A 可得，
sin C sin Acos B - cos Asin B = sin B sin C cos A - cosC sin A ，再由正弦定理可得，
ac cos B - bc cos A = bc cos A - ab cosC ，然后根據(jù)余弦定理可知，
1 a2 c2 b2 1 b2 c2 a2 1 b2 c2 a2 1+ - - + - = + - - a2 + b2 - c2 ，化簡得：
2 2 2 2
2a2 = b2 + c2，故原等式成立．
4．（全國·高考真題）△ABC 中 D 是 BC 上的點,AD 平分 BAC,BD=2DC．
sin B
（Ⅰ）求 ；
sin C
（Ⅱ）若 BAC = 60o ,求 B .
1
【答案】（Ⅰ） 2 ；（Ⅱ）30
o .
sin B DC 1
【詳解】試題分析：（Ⅰ）利用正弦定理轉(zhuǎn)化得： = = .（Ⅱ）由誘導(dǎo)公式可得
sin C BD 2
sin C = sin BAC B 3 + = cos B 1+ sin B. 由（Ⅰ）知 2sin B = sin C ,
2 2
所以 tan 3 B = , B = 30o.
3
AD BD
試題解析：（Ⅰ）由正弦定理得 = ,
AD DC
= , 因為 AD 平分 BAC,BD=2DC,所以
sin B sin BAD sin C sin CAD
sin B DC 1
= = . .
sin C BD 2
（Ⅱ）因為 C =180o - BAC + B , BAC = 60o ,
所以 sin C = sin 3 1 BAC + B = cos B + sin B. 由（I）知 2sin B = sin C ,
2 2
所以 tan 3 B = , B = 30o.
3
考點：本題主要考查正弦定理及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,意在考查考生的三角變換能力及運算能力.
5．（全國·高考真題） ABC中，D 是 BC 上的點，AD 平分∠BAC， ABD 面積是 ADC 面積的 2 倍．
sin B
(1)求 ；
sin C
(2) AD 1 DC 2若 ＝ ， ＝ ，求 BD 和 AC 的長．
2
1
【答案】（1） 2 ；（2）1
【詳解】試題分析：（1）借助題設(shè)條件運用三角形的面積公式求解；（2）借助題設(shè)余弦定理立方程組求解.
試題解析：
1
（1） ， S ACD = AC AD sin CAD ，2
∵ S ABD = 2S ACD ， BAD = CAD ，∴ AB = 2AC ．
sin B AC 1
由正弦定理可知 = = .
sin C AB 2
（2）∵ BD : DC = S ABD : S ACD = 2 :1 DC
2
， = ，
2
∴ BD = 2 ．
設(shè) AC = x，則 AB = 2x，
在△ ABD與△ ACD中，由余弦定理可知，
2
cos ADB AD + BD
2 - AB2 3 - 4x2
= = ，
2AD BD 2 2
3
- x22 2 2
cos ADC AD + CD - AC = = 2 ，
2AD CD 2
∵ ADB + ADC = p ，∴ cos ADB = -cos ADC ，
3 2
∴ 3- 4x2
- x
= - 2 ，解得 x =1，
2 2 2
即 AC =1．
考點：三角形的面積公式正弦定理余弦定理等有關(guān)知識的綜合運用．

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