資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
4.3 線段的長短 導學案
（一）學習目標：
1、會用尺規(guī)畫一條線段等于已知線段;
2、會比較兩條線段的長短;
3、理解線段中點的概念,了解“兩點之間，線段最短”的性質(zhì).
（二）學習重難點：
重點：線段的中點概念，“兩點之間,線段最短”的性質(zhì)。
難點：畫一條線段等于已知線段.
閱讀課本，識記知識：
1. 尺規(guī)作圖的定義：僅用圓規(guī)和沒有刻度的直尺作圖的方法叫做尺規(guī)作圖．
（1）只使用圓規(guī)和直尺，并且只準許使用有限次，來解決不同的平面幾何作圖題．
（2）直尺必須沒有刻度，無限長，且只能使用直尺的固定一側(cè).只可以用它來將兩個點連在一起，不可以在上面畫刻度．
（3）圓規(guī)可以開至無限寬，但上面也不能有刻度.它只可以拉開成之前構(gòu)造過的長度．
2.線段的中點：如下圖，若點B在線段AC上，且把線段AC分成相等的兩條線段AB與BC，這時點B叫做線段AC的中點．
若點B是線段AC的中點，則點B一定在線段AC上且，
或AC＝2AB＝2BC．
（2）類似地，還有線段的三等分點、四等分點等．
3.兩點的距離：連接兩點的線段的長度叫作這兩點的距離。
4.線段的特點：兩點的所有連線中，線段最短。簡單說成：兩點之間，線段最短。
5.線段長短的比較方法：
（1）度量法：用刻度尺量出兩條線段的長度，再比較長短；
（2）疊合法：利用直尺和圓規(guī)把線段放在同一條直線上，使其中一個端點重合，另一個端點位于重合端點同側(cè)，根據(jù)另一端點與重合端點的遠近來比較長短；
【例1】如圖，、兩個村莊在一條河不計河的寬度的兩側(cè)，現(xiàn)要建一座碼頭，使它到、兩個村莊的距離之和最小如圖，連接，與交于點，則點即為所求的碼頭的位置，這樣做的理由是( )
A. 兩點之間，線段最短 B. 兩點確定一條直線
C. 兩直線相交只有一個交點 D. 經(jīng)過一點有無數(shù)條直線
【答案】
解：由題意，點在線段上，根據(jù)“兩點之間，線段最短”可知點到、兩個村莊的距離之和最小，
因此這樣做的理由是兩點之間，線段最短．
故選：．
【例2】 在同一條直線上依次有，，，四個點，若，則下列結(jié)論正確的是( )
A. 是線段的中點 B. 是線段的中點
C. 是線段的中點 D. 是線段的中點
【答案】
解：如圖所示：
，
，
，
則是線段的中點．
故選D．
選擇題
若數(shù)軸上點A,B分別表示數(shù)2、–2，則A,B兩點之間的距離可表示為（　　）
A．2+（–2） B．2–（–2）
（–2）+2 D．（–2）–2
2. 下列說法正確的是 ( )
A. 兩點間距離的定義是指兩點之間的線段
B. 兩點之間的距離是指兩點之間的直線
C. 兩點之間的距離是指連接兩點之間線段的長度
D. 兩點之間的距離是兩點之間的直線的長度
3.要畫一個直徑是5厘米的圓，圓規(guī)兩腳之間的距離是（ ）厘米．
A．5 B． C．10 D．15
4.如圖,AB=CD,那么AC與BD的大小關(guān)系是(　　)
A.AC=BD　　　　B.ACBD　　　　D.不能確定
5.如圖，，點是的中點，點在線段上，且，則的長度是（ ）

A． B． C． D．
6．C為線段延長線上的一點，且，則為的（ ）
A． B． C． D．
7.如圖,經(jīng)過刨平的木板上的A,B兩個點,能彈出一條筆直的墨線,而且只能彈出一條墨線,能解釋這一實際應用的數(shù)學知識是(　　)
A.兩點之間,線段最短
B.兩點確定一條直線
C.過一點,有無數(shù)條直線
D.連接兩點之間的線段叫做兩點間的距離
8.下列條件中,能確定點C是線段AB的中點的是(　　)
A.AC=BC　　　　B.BC=AB C.AC=BC=AB　　　　D.AC+BC=AB
9．“把彎曲的公路改直，就能縮短路程”這一實際問題中蘊含的數(shù)學知識是（ ）
A．兩點確定一條直線 B．兩點之間直線最短
C．兩點之間線段最短 D．線段有兩個端點
10．下列說法：①一個數(shù)的絕對值一定是正數(shù)；②連接兩點的線段叫做兩點間的距離；③除以一個數(shù)，等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)；④若，則點P是線段的中點；其中正確的個數(shù)為（ ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
填空題
11．已知線段 AB = 6 cm，延長 AB 到 C，使 BC = 2 AB，若 D 為 AB 的中點，則線段 DC 的長為________.
12.點A，B，C在同一條數(shù)軸上，其中點A，B表示的數(shù)分別是–3，1，若BC=5，則AC=_________．
13．如圖，點是線段的中點，點是線段上一點，，若線段，則 ．

14．點 是線段 上的三等分點， 是線段 的中點， 是線段 的中點，若 ， 則 的長為 ．
15．已知線段 AB = 6 cm，延長 AB 到 C，使 BC = 2 AB，若 D 為 AB 的中點，則線段 DC 的長為________.
三、解答題
16．已知，如圖，B，C兩點把線段AD分成2：5：3三部分，M為AD的中點，BM=6，求CM和AD的長．
17.如圖,點C在線段AB上,點M,N分別是AC,BC的中點.
(1)若AC=9 cm,CB=6 cm,求線段MN的長;
(2)若C為線段AB上任意一點,滿足AC+CB=a cm,其他條件不變,求線段MN的長.
18.已知線段m、n．

(1)尺規(guī)作圖：作線段，滿足（保留作圖痕跡，不用寫作法）；
(2)在（1）的條件下，點O是的中點，點C在線段上，且滿足，當，時，求線段的長．
（一）課后反思：
本節(jié)課我學會了：
本節(jié)課存在的問題：
把本節(jié)課所學知識畫出思維導圖
參考答案
【答案】B
【解析】：A,B兩點之間的距離可表示為：2–（–2）．
2.【答案】C
【解析】略
3.B
【分析】根據(jù)圓規(guī)兩腳之間的距離為半徑即可進行解答．
【詳解】解：∵直徑是5厘米，
∴半徑是厘米，
故選：B．
【點睛】本題主要考查了圓的半徑和直徑的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓的半徑是直徑的一半．
4.A　因為AB=CD,AB=AC+BC,CD=BD+BC,所以AC=BD.
5.A
【分析】由線段中點定義求出長，由得到，即可得到答案．
【詳解】解：∵，C為的中點，
∴，
∵，
∴，
∴．
故選：A．
【點睛】本題考查兩點的距離，線段的中點定義，數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．
6．C
【分析】根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)線段直接的關(guān)系即可得出結(jié)論．
【詳解】解：根據(jù)題意，畫圖如下

∵，
設，則，
∴，
∴，
∴為的．
故選：C．
【點睛】此題考查的是求線段的關(guān)系，掌握各線段的關(guān)系是解決此題的關(guān)鍵．
7．B　因為經(jīng)過刨平的木板上的A、B兩個點,只能彈出一條筆直的墨線,所以應用的數(shù)學知識是兩點確定一條直線.
8.C　A.當A,B,C不在同一條直線上時,AC=BC,但C不是線段AB的中點;B.當C在線段AB的延長線上時,BC=AB,但C不是線段AB的中點;C.當AC=BC=AB時,能確定點C是線段AB的中點;D.當AC+BC=AB時,說明點C是線段AB上的任意一點,但不能保證是中點.故選C.
9.C
【分析】根據(jù)兩點之間線段最短，即可求解．
【詳解】把彎曲的公路改直，就能縮短路程．能解釋這一實際應用的數(shù)學知識是兩點之間，線段最短，
故選：C．
【點睛】本題考查了兩點之間線段最短，掌握線段的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
10．A
【分析】分別根據(jù)絕對值的定義，兩點間的距離的定義，除法的意義以及中點的定義逐一判斷即可．
【詳解】①一個數(shù)的絕對值可能是正數(shù)或零，故原說法錯誤；
②連接兩點的線段的長度叫這兩點間的距離，故原說法錯誤；
③除以一個不等于零的數(shù)，等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)，故原說法錯誤；
④若，點P在線段上,則點P是線段的中點，故原說法錯誤；
所以正確的個數(shù)是0．
故選：A．
【點睛】本題主要考查了絕對值的定義，兩點間的距離的定義，除法的意義以及中點的定義，熟記相關(guān)定義是解答本題的關(guān)鍵．
11.AD＝BC
12. 15 cm
13．8
【分析】根據(jù)中點的定義可求線段，再根據(jù)可求，再根據(jù)線段的和差關(guān)系即可求解．
【詳解】解：∵點C是線段的中點，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案為：8．
【點睛】本題考查了兩點間的距離，解答本題的關(guān)鍵是掌握線段中點的定義，注意數(shù)形結(jié)合思想的運用．
14．或/或
【分析】根據(jù)點是線段上的三等分點，分兩種情況畫圖進行計算即可．
【詳解】解：如圖，
是線段的中點，，
，
點是線段上的三等分點，
，
，
如圖，
點是線段上的三等分點，
，
是線段的中點，，
，
；
故答案為：或．
【點睛】本題考查了兩點間的距離，以及三等分點、中點的定義，解決本題的關(guān)鍵是分兩種情況畫圖計算．
15．15 cm
16．解：設AB=2x，BC=5x，CD=3x,
所以 AD=AB+BC+CD=10x.
因為 M是AD的中點，所以 AM=MD=5x，
所以BM=AM–AB=3x. 因為 BM=6，
即3x=6，所以 x=2. 故CM=MD–CD=2x=4，AD=10x=20 ．
17.解析　(1)因為M、N分別是AC、BC的中點,
所以MC=AC,CN=BC,
因為AC=9 cm,CB=6 cm,
所以MN=MC+CN=AC+BC=(AC+BC)
=×(9+6)=7.5 cm.
(2)因為M、N分別是AC、BC的中點,
所以MC=AC,CN=BC,
因為AC+CB=a cm,
所以MN=MC+CN=(AC+CB)=a cm.
18．(1)見解析
(2)1
【分析】（1）依據(jù)進行作圖，即可得到線段；．
（2）依據(jù)中點的定義以及線段的和差關(guān)系，即可得到線段的長．．
【詳解】（1）解：如圖，線段即為所求作．

（2）解：∵點O是的中點，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴．
【點睛】本題考查作圖-復雜作圖，線段的和差定義等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．
21世紀教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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