資源簡介

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4.5 角的比較與補（余）角 導學案
（一）學習目標：
1.通過自主探究，合作交流，理解角的大小，角的和、差倍分的意義；經歷類比角的大小比較、和差學習，體會類比的思想；通過學習，能用圖形語言、文字語言、符號語言進行綜合描述.
2.了解余角、補角的概念，掌握余角和補角的性質；初步接觸和體會演繹推理的方法和表述，能用簡單的代數思想- -方程思想來處理圖形的數量關系；通過探索互余、互補角的性質，培養積極的情感態度，促進良好的數學觀的養成。
（二）學習重難點：
重點:理解角的大小,和差倍分意義，體會學習過程中的類比思想；互余、互補角的概念和性質。
難點:圖形語言、文字語言、符號語言的相互轉換；互余、互補角的正確判斷及用代數方法計算角的度數。
閱讀課本，識記知識：
1.角的畫法
（1）用三角板可以畫出30°、45°、60°、90°等特殊角．
（2）用量角器可以畫出任意給定度數的角．
（3）利用尺規作圖可以畫一個角等于已知角．
（4）用量角器量角或畫角的一般步驟：①對中(角的頂點與量角器的中心對齊)；②重合(一邊與刻度尺上的零度線重合)；③讀數(讀出另一邊所在線的度數)．
2.角的比較：
（1）度量比較法：先用量角器量出角的度數，然后比較他們的大小；
（2）疊合比較法：把其中一個角移到另一個角上作比較；
3.角的和與差
如圖所示，∠AOB是∠1與∠2的和，記作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB與∠2的差，記作：∠1＝∠AOB-∠2．
利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根據角的和、差關系，還可以畫出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．
4.角平分線：從一個角的頂點出發，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫作這個角的平分線。
5.角的度量與計算
把一個周角（即它的旋轉量）分為360等份，每一等份叫做1度，記做1°．
把1°的角分成60等份，每一份叫做1分，記作1′；再把1′的角分成60等份，每一等份叫做1秒，記做1″，即
1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，
1′＝60″＝°，1″＝′．
①度、分、秒是角的基本度量單位，它們之間的換算是60進制，這與時間的時、分、秒之間的換算是一樣的．
②在進行有關度分秒的加減乘除運算時，不夠減，不夠除的要借位，從高一位借的單位要化為低位的單位后再進行運算，在相乘或相加時，當低位得數大于60時要向高一位進位．
③平角的一半（即90°的角）叫做直角．大于0°而小于90°的角叫做銳角．大于直角但小于平角（即大于90°但小于180°）的角叫做鈍角．
6.余角與補角
（1）余角：如果兩個角的和為90°，那么這兩個角互為余角，其中一個角是另一個角的余角；
（2）補角：如果兩個角的和為180°，那么這兩個角互為補角，其中一個角是另一個角的補角；
（3）互余的性質：同角或等角的余角相等；
（4）互補的性質：同角或等角的補角相等；
（5）一個銳角的余角可表示為（）；一個角的補角可以表示為（），顯然，一個銳角的補角比它的余角大90°。
7.方位角：在航行和測繪等工作中，經常要用到表示方向的角．例如，圖中射線OA的方向是北偏東60°；射線OB的方向是南偏西30°．這里的“北偏東60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．
正東，正西，正南，正北4個方向不需要用角度來表示．
方位角必須以正北和正南方向作為“基準”，“北偏東60°”一般不說成“東偏北30°” ．
在同一問題中觀察點可能不止一個，在不同的觀測點都要畫出表示方向的“十字線”，確定其觀察點的正東、正西、正南、正北的方向．
8.鐘表上有關角
鐘表中共有12個大格，把周角12等分、每個大格對應30°的角，分針1分鐘轉6°，時針每小時轉30°，時針1分鐘轉0.5°，利用這些關系，可幫助我們解決鐘表中角度的計算問題．
【例1】用度、分、秒表示20.21°為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據度、分、秒之間的換算關系進行計算即可．
【詳解】因為，
所以20.21°=
故選：C
【點睛】本題考查了度、分、秒間的換算，注意相鄰兩個單位間的進率是60．
【例2】 在中，，，則等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據互余的兩個角之和為進行計算即可得到答案．
【詳解】解：在中，，，
，
故選：C．
【點睛】本題考查了求一個角的余角，準確進行計算是解題的關鍵．
選擇題
1.若，，．則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．以上結論都不對
2．在的內部任取一點C，作射線OC，則一定有（ ）
A． B．
C． D．
3．如圖，將一副三角尺的兩個銳角（角和角）的頂點疊放在一起，若與的和為，則的度數為（ ）
A．55° B．65° C．70° D．75°
4.如圖，點為直線上一點，平分，，若，則的度數為（　　）
A． B． C． D．
5．如圖，AB是一條直線，OC是∠AOD的平分線，OE在∠BOD內，∠DOE=∠BOD，∠COE=72°，則∠EOB=（ ）
A．36° B．72°
C．108° D．120°
6.已知一個角是，則這個角的余角的度數是（ ）
A． B． C． D．
7．已知一個角的度數是，則這個角的余角的度數是（ ）
A． B． C． D．
8．一個角的補角是，則這個角的度數是（　　）
A． B． C． D．以上均不對
9.下列說法錯誤的是（ ）
A．兩點之間，線段最短 B．同角的補角相等
C．等角的余角相等 D．一個角的補角是鈍角
10．如圖所示，點在點的北偏東方向上，，那么點在點的方向是( )

A．南偏東； B．南偏東； C．南偏東； D．南偏東
填空題
11．把可表示為 ．
12．如圖所示，將一個矩形沿圖中的虛線折疊，請用量角器測量一下其中的α，β，得α β．
13．如圖，將一副直角三角板如圖放置，若，則的度數為 ．
14．已知，則它的補角為 ．
15．如圖，、、三點在一條直線上，如果，，那么的值等于 ．

三、解答題
16．（1）如圖1，已知O為上一點，與互補，分別為與的平分線，若，試求與度數．
（2）已知如圖2，，是的平分線，是的平分線，且，求的度數．
17.如圖，點是直線上一點，，平分．
(1)的余角是________；
(2)若，求的度數．
18.如圖，點在線段上，點在線段上，畫直線，畫射線平分，射線與交于點F．

(1)依題意補全圖形；
(2)當時，的度數是多少？說明理由．
（一）課后反思：
本節課我學會了：
本節課存在的問題：
把本節課所學知識畫出思維導圖
參考答案
1.C
【分析】直接根據度、分、秒的關系進行化簡角度即可．
【詳解】解：∵，∴
∵
∴，
故選C．
【點睛】本題主要考查度、分、秒，熟練掌握度、分、秒之間的轉換關系是解題的關鍵．
2．D
【分析】利用角的大小進行比較，即可完成解答.
【詳解】解：因為射線OC在∠A0B的內部，那么∠AOC在∠A0B的內部，且有一公共邊；則一定存在∠AOB>∠AOC.
故選D
【點睛】本題考查角的大小比較，關鍵是找到正確的比較方法.
3．C
【分析】根據兩個銳角角和角的頂點疊放在一起，可知，，與的和為，可算出的度數，根據，即可求解．
【詳解】解：∵， ，，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
故選：．
【點睛】本題主要考查角的和差倍分，理清圖形中角與角的數量關系是解題的關鍵．
4.D
【分析】先根據角平分線的定義得到，，再利用平角的定義和角之間的關系求出，則．
【詳解】解：∵平分，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故選D．
【點睛】本題主要考查了幾何中角度的計算，角平分線的定義，求出是解題的關鍵．
5．B
【分析】設∠DOE=x，根據題意得到∠BOE=2x，∠AOC=∠COD=72°﹣x，再根據平角為180度，得到2×（72°﹣x）+3x=180°，解得x=36°，即可得到∠BOE的度數．
【詳解】解：如圖，設∠DOE=x，
∵∠DOE=∠BOD，
∴∠BOE=2x，
又∵OC是∠AOD的平分線，∠COE=72°，
∴∠AOC=∠COD=72°﹣x；
∴2×（72°﹣x）+3x=180°，
解得x=36°，
∴∠BOE=2x=2×36°=72°．
故選B．
6．C
【分析】根據余角的定義進行求解即可．
【詳解】解：∵一個角的度數是，
∴這個角的余角的度數是，
故選：C．
【點睛】本題主要考查了求一個角的余角，熟知余角的定義是解題的關鍵：如果兩個角的度數之和為，那么這兩個角互為余角．
7．D
【分析】根據余角的定義進行求解即可．
【詳解】解：∵一個角的度數是，
∴這個角的余角的度數是，
故選D．
【點睛】本題主要考查了求一個角的余角，熟知余角的定義是解題的關鍵：如果兩個角的度數之和為，那么這兩個角互為余角．
8．A
【分析】由互補的含義可得答案．
【詳解】解：一個角的補角是110°，則這個角的度數是，
故選A
【點睛】本題考查的是互補的含義，熟記兩個角之和為，則這兩個角互補是解本題的關鍵．
9．D
【分析】根據線段的性質，和為的兩個角互為補角，和為的兩個角互為余角，對選項分別進行判斷即可．
【詳解】解：A、兩點之間，線段最短，說法正確，不符合題意；
B、同角的補角相等，說法正確，不符合題意；
C、等角的余角相等，說法正確，不符合題意；
D、一個角的補角可能是鈍角、銳角、直角，說法錯誤，符合題意．
故選：D．
【點睛】本題考查了線段的性質，補角和余角的相關定義，熟練掌握相關定義是解本題的關鍵．
10．B
【分析】利用余角的性質求出的度數即可．
【詳解】∵點在點的北偏東方向上，
∴，

∵，
∴，
∴，
∴，
∴那么點在點的方向是南偏東，
故選：B．
【點睛】本題主要考查了點的方向角和余角的性質，熟知方向角的確定方法是解題的關鍵．
11./度
【分析】根據度、分、秒的換算關系進行計算即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了度分秒的換算，解題的關鍵是熟練掌握度、分、秒的換算關系．
12．=
【分析】根據量角器的使用方法即可求解．
【詳解】解：根據量角器的使用方法求得：α=β．
故答案為：=．
【點睛】此題主要考查量角器的使用方法，正確掌握使用方法是解題關鍵．
13．/159度
【分析】根據題意可得，從而得到，即可求解．
【詳解】解：根據題意得：，
∵，
∴，
∴．
故答案為：
【點睛】本題考查了余角的應用，解此題的關鍵是求出的度數．
14．
【分析】由補角的定義即可得出答案．
【詳解】解：∵，
∴的補角．
故答案為：．
【點睛】本題考查了補角的定義，熟練掌握補角的定義是解題的關鍵．
15．45
【分析】根據平角的定義及補角的定義求解即可．
【詳解】∵，，，
∴，
解得：，
故答案為：45．
【點睛】本題考查了平角的定義和補角的定義，即和為180度的兩個角互為補角，熟練掌握平角的定義，列出一元一次方程是解題的關鍵．
16．(1)見解析
(2)，見解析
【分析】（1）根據題意補全圖形即可；
（2）根據角平分線的定義即可得出答案．
【詳解】（1）解：如圖所示

（2）∵平分，
∴，
∵，
∴．
【點睛】本題考查了簡單作圖以及角平分線的定義，熟練掌握相關定義是解本題的關鍵．
17.(1)
(2)
【分析】（1）根據余角的定義即可作答；
（2）先根據鄰補角的定義求出，再根據余角的定義求出，再根據角平分線的定義即可作答．
【詳解】（1）∵，
∴，
∴的余角是；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
即的度數為．
【點睛】本題主要考查了角的度數的計算，正確理解角平分線的定義，余角的定義以及鄰補角的定義是解題的關鍵．
18.（1），；（2）
【分析】（1）由角平分線定義和補角定義得出方程，解方程即可得出結果；
（2）設設，．則．由角平分線定義和已知條件求出，即可得出所求角的度數．
【詳解】解：（1）設，
∵與互補，
則．
由題意，得．
解得：，
∴，．
（2）解：設，．
則．
∵是的平分線，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∵是的平分線，
∴，
∴．
【點睛】此題考查了補角的定義、角平分線的定義及角的運算．熟練掌握補角定義和角平分線定義，根據題意得出方程是解決問題的關鍵．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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