資源簡介

第1講　功與功率
課 程 標 準 素 養 目 標
了解生產生活中常見機械的功率大小及其意義． 物理觀念：理解功和功率的概念． 科學思維：(1)會對功、功率進行分析和計算；(2)知道變力做功的求法，會解決機車啟動的兩種模型問題．
考點一　恒力做功的分析和計算
【必備知識·自主落實】
1．做功的兩個要素缺一不可
(1)作用在物體上的________.
(2)物體在________上發生位移．
2．公式W＝Fl cos α：
α是力與________方向之間的夾角，l為物體的位移．
3．功的正負功是標量，但有正、負
(1)當0≤α<時，W>0，力對物體做________.
(2)當α＝時，W＝0，力對物體________.
(3)當<α≤π時，W<0，力對物體做________.或者說物體________這個力做功．
【關鍵能力·思維進階】
1．[2024·上海市模擬]如圖，一磁鐵吸附在鐵板AB的下方．現保持鐵板與水平面間的夾角θ不變，緩慢推動B端，使AB與磁鐵一起水平向左勻速移動，則(　　)
A.合外力對磁鐵做正功
B.AB對磁鐵的作用力不做功
C.AB對磁鐵的彈力不做功
D.AB對磁鐵的摩擦力不做功
2．(多選)[2024·江西南昌高三校聯考]成語“簸揚糠秕”常用于自謙，形容自己無才而居前列。成語源于如圖所示勞動情景，在恒定水平風力作用下，從同一高度由靜止釋放的米粒和糠落到地面不同位置，糠落點更遠?？諝庾枇雎圆挥嫞铝姓f法正確的是(　　)
A.從釋放到落地的過程中，米粒和糠重力勢能變化量相等
B.從釋放到落地的過程中，水平風力對米粒和糠做功相同
C.米粒落地時重力的瞬時功率大于糠落地時重力的瞬時功率
D.從釋放到落地的過程中，糠秕的運動時間等于米粒的運動時間
3．(多選)質量為m＝2 kg的物體沿水平面向右做直線運動，t＝0時刻受到一個水平向左的恒力F，如圖甲所示，取水平向右為正方向，此物體的v t圖像如圖乙所示，g取10 m/s2，則(　　)
A.物體與水平面間的動摩擦因數μ＝0.5
B.10 s內恒力F對物體做功102 J
C.10 s末物體在計時起點位置左側2 m處
D.10 s內物體克服摩擦力做功34 J
思維提升
1.是否做功及做功正負的判斷
2．計算功的方法
(1)恒力做的功，直接用W＝Fl cos α計算．
(2)合外力做的功
方法一：先求合外力F合，再用W合＝F合l cos α求功．
方法二：先求各個力做的功W1、W2、W3…，再應用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合外力做的功．
方法三：利用動能定理W合＝Ek2－Ek1.
考點二　變力做功的計算方法
【關鍵能力·思維進階】
方法 舉例
微元法 質量為m的木塊在水平面內做圓周運動，運動一周克服摩擦力做功Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR
圖像法 一水平拉力拉著一物體在水平面上運動的位移為x0，F x圖線與橫軸所圍面積表示拉力所做的功，W＝x0
平均 值法 當力與位移為線性關系，力可用平均值＝表示，W＝Δx，可得出彈簧彈性勢能表達式為Ep＝k(Δx)2
應用動 能定理 用力F把小球從A處緩慢拉到B處，F做功為WF，則有WF－mgL(1－cos θ)＝0，得WF＝mgL(1－cos θ)
考向1　微元法計算變力做功
例 1[2024·安徽滁州市定遠縣聯考]
如圖所示，在水平桌面上，長R＝5 m的輕繩一端固定于O點(俯視圖)，另一端系一質量m＝2.0 kg的小球，現對小球施加一個大小不變的力F＝10 N，方向始終與小球在該點的切線成37°角，F拉著物體從M點運動到N點，已知小球與桌面間的動摩擦因數μ＝0.2，不計空氣阻力，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，則拉力F做的功與克服摩擦力做的功之比為(　　)
A．　　　　B．2　　　　C．　　　　D．4
考向2　圖像法計算變力做功
例 2 如圖甲所示，在光滑水平桌面內，固定有光滑軌道ABC，其中半圓軌道BC與直軌道AB相切于B點，物體受到與AB平行的水平拉力F，從靜止開始運動，拉力F的大小滿足的關系如圖乙所示(以A為坐標原點，拉力F從A指向B為正方向)．若m＝1 kg，AB＝4 m，半圓軌道的半徑R＝1.5 m，重力加速度g取10 m/s2.則下列說法中正確的是(　　)
A．拉力F從A到B做功為50 J
B．物體從B到C過程中，所受的合外力為0
C．物體能夠到達C點，且速度大小為2 m/s
D．物體能夠到達C點，且速度大小為2 m/s
考向3　平均值法計算變力做功
例 3[2024·江蘇徐州高三專題練習]靜止于水平地面上質量為1 kg的物體，在水平拉力F＝4＋2x(式中F為力的大小、x為位移的大小，力F、位移x的單位分別是N、m)作用下，沿水平方向移動了5 m．則在物體移動5 m的過程中拉力所做的功為(　　)
A．35 J B．45 J
C．55 J D．65 J
考向4　應用動能定理求變力做功
例 4 (多選) [2024·云南校聯考模擬預測]如圖，輕質彈簧上端固定在O點，下端與質量為m的圓環相連，圓環套在水平粗糙的固定細桿上．現在將圓環從A點靜止釋放，當圓環運動到B點時彈簧豎直且處于原長，到達C點時速度減為零；在C點使得圓環獲得一個沿桿向左的速度v，其恰好能回到A點．彈簧始終在彈性限度之內，下列說法正確的是(　　)
A．從A到C的過程中，圓環經過B點速度最大
B．從C回到A的過程中，彈力最終做正功
C．從A到C克服摩擦力做功為mv2
D．從A到C彈簧彈性勢能減少了mv2
考點三　功率的分析和計算
【必備知識·自主落實】
1．定義：功與完成這些功所用________之比．
2．物理意義：描述力對物體做功的________.
3．公式：
　　　比值定義法
(1)P＝，P描述時間t內力對物體做功的________.
(2)P＝Fv
　　　　機車啟動類問題中F指牽引力
①v為平均速度，則P為________功率．
②v為瞬時速度，則P為________功率．
③當力F和速度v不在同一直線上時，可以將力F分解或者將速度v分解．
4．額定功率與實際功率：
(1)額定功率：動力機械可以長時間正常工作的________功率．
(2)實際功率：動力機械實際工作時輸出的功率，要求________或等于額定功率．實際功率如果大于額定功率容易將機器損壞．
【關鍵能力·思維進階】
1．平均功率的計算方法
(1)利用＝.
(2)利用＝F·cos α，其中為物體運動的平均速度，F為恒力，F與的夾角α不變．
2．瞬時功率的計算方法
(1)利用公式P＝Fv cos α，其中v為t時刻的瞬時速度．F可為恒力，也可為變力，α為F與v的夾角，α可以不變，也可以變化．
(2)公式P＝Fv cos α中，F cos α可認為是力F在速度v方向上的分力，v cos α可認為是速度v在力F方向上的分速度．
例 5[2023·山東卷]
《天工開物》中記載了古人借助水力使用高轉筒車往稻田里引水的場景．引水過程簡化如下：兩個半徑均為R的水輪，以角速度ω勻速轉動．水筒在筒車上均勻排布，單位長度上有n個，與水輪間無相對滑動．每個水筒離開水面時裝有質量為m的水，其中的60%被輸送到高出水面H處灌入稻田．當地的重力加速度為g，則筒車對灌入稻田的水做功的功率為(　　)
A． B．
C． D．nmgωRH
例 6[2023·遼寧卷]如圖(a)，從高處M點到地面N點有Ⅰ、Ⅱ兩條光滑軌道．兩相同小物塊甲、乙同時從M點由靜止釋放，沿不同軌道滑到N點，其速率v與時間t的關系如圖(b)所示．由圖可知，兩物塊在離開M點后、到達N點前的下滑過程中(　　)
A．甲沿Ⅰ下滑且同一時刻甲的動能比乙的大
B．甲沿Ⅱ下滑且同一時刻甲的動能比乙的小
C．乙沿Ⅰ下滑且乙的重力功率一直不變
D．乙沿Ⅱ下滑且乙的重力功率一直增大
例 7 (多選)[2024·重慶統考一模]如圖甲，轆轤是古代民間提水設施，由轆轤頭、支架、井繩、水斗等部分構成．如圖乙為提水設施工作原理簡化圖，某次需從井中汲取m＝2 kg的水，轆轤繞繩輪軸半徑為r＝0.1 m，水斗的質量為0.5 kg，井足夠深且井繩的質量忽略不計．t＝0時刻，輪軸由靜止開始繞中心軸轉動，其角速度隨時間變化規律如圖丙所示，g取10 m/s2，則(　　)
A．水斗速度隨時間變化規律為v＝0.4t
B．井繩拉力瞬時功率隨時間變化規律為P＝10t
C．0～10 s內水斗上升的高度為4 m
D．0～10 s內井繩拉力所做的功為520 J
核心素養提升機車啟動模型
模型1　以恒定功率啟動——模型建構
典例1 (多選)額定功率相同的甲、乙兩車在同一水平路面上從靜止啟動，其發動機的牽引力隨時間的變化曲線如圖所示．兩車分別從t1和t3時刻開始以額定功率行駛，從t2和t4時刻開始牽引力均視為不變，若兩車行駛時所受的阻力大小與重力成正比，且比例系數相同，則(　　)
A．甲車的總重比乙車大
B．甲車比乙車先開始運動
C．甲車在t1時刻和乙車在t3時刻的速率相同
D．甲車在t2時刻和乙車在t4時刻的速率相同
典例2 如圖甲所示，一個傾角為θ的斜面固定在地面上，一輛質量為m的汽車由靜止以額定功率P駛上斜面，汽車行駛的最大速度為v1；如圖乙所示，若汽車從斜面頂端由靜止以額定功率P向下運動，汽車行駛的最大速度為v2.已知汽車行駛過程中受到的阻力大小恒定不變，重力加速度為g，下列說法正確的是(　　)
A．汽車均做勻加速直線運動
B．最大行駛速度v1大于v2
C．阻力大小為·mg sin θ
D．額定功率大小為·2mg sin θ
模型2　以恒定加速度啟動——模型建構
典例3 (多選)[2024·上海交大附中模擬]如圖甲所示為超大型塔式起重機．該起重機某次從t＝0時刻由靜止開始提升質量為m的物體，其a t圖像如圖乙所示，t1～t2時間內起重機的功率為額定功率，不計其他阻力，重力加速度為g，則以下說法正確的是(　　)
A．該起重機的額定功率為t1
B．該起重機的額定功率為(mg＋ma0)a0t1
C．0～t1和t1～t2時間內牽引力做的功之比為t1∶2(t2－t1)
D．0～t1和t1～t2時間內牽引力做的功之比為t1∶2t2
典例4 [2024·廣東省汕頭市模擬]2022年9月28日汕頭海灣隧道正式開通，隧道全長約6.68公里，全段最高限速為60 km/h.海灣隧道中間為盾構段，埋于海底，南北兩側路段以較小的坡度與盾構段連接，全段可簡化為下圖所示模型．一汽車從南岸由靜止開始以1 m/s2的加速度沿斜面向下勻加速啟動，已知汽車質量為2.0×103 kg，汽車所受阻力恒為重力的0.2倍．斜面傾角的正弦值sin θ＝0.1，重力加速度g＝10 m/s2.
(1)若汽車發動機的最大功率為P0＝5.6×104 W，下坡階段足夠長，求汽車下坡階段做勻加速直線運動的時間．
(2)若汽車在上、下坡時均以最高限速勻速行駛，則下坡和上坡時的汽車發動機功率之比為多少？
思維提升
三個重要關系式
(1)無論哪種啟動過程，機車的最大速度都等于其勻速運動時的速度，即vm＝.
(2)機車以恒定加速度啟動的過程中，勻加速過程結束時，功率最大，但速度不是最大，v＝(3)機車以恒定功率啟動時，牽引力做的功W＝Pt.由動能定理得：Pt－F阻x＝ΔEk.此式經常用于求解機車以恒定功率啟動過程的位移大小和時間．
第1講　功與功率
考點一
必備知識·自主落實
1．(1)力　(2)力的方向
2．位移
3．(1)正功　(2)不做功　(3)負功　克服
關鍵能力·思維進階
1．解析：由于磁鐵做勻速運動，磁鐵所受合外力為零，合外力對磁鐵不做功，故A錯誤；磁鐵受重力和AB對它的作用力而做勻速運動，根據平衡條件可知，AB對磁鐵的作用力大小等于重力，方向豎直向上，與磁鐵的運動方向相互垂直，故AB對磁鐵的作用力不做功，故B正確；AB對磁鐵的彈力垂直接觸面，與磁鐵的運動方向不垂直，故彈力一定做功，故C錯誤；AB對磁鐵的摩擦力沿接觸面，與磁鐵運動方向不垂直，故摩擦力一定做功，故D錯誤．
答案：B
2．解析：米粒和糠的區別是質量不同，由于從同一高度h釋放，由WG＝mgh可知，米粒和糠重力做功不同，則重力勢能變化量不同，A錯誤；在恒定水平風力作用下，由F＝ma可知，由于米粒質量大，米粒水平運動的加速度小，由x＝at2可知，米粒水平運動的距離小，再根據功的公式W＝Fx可知，風力對米粒做功少，B錯誤；空氣阻力忽略不計，米粒和糠在豎直方向都做自由落體運動，由v2＝2gh可知，落地豎直方向的速度相同，而P＝mgv，由于米粒質量大，落地時，米粒重力的瞬時功率大于糠重力的瞬時功率，C正確；空氣阻力忽略不計，米粒和糠在豎直方向都做自由落體運動，由h＝gt2可知，運動時間相同，D正確．
答案：CD
3．解析：設物體向右做勻減速直線運動的加速度大小為a1，則由v t圖像得加速度大小a1＝2 m/s2，方向與初速度方向相反，設物體向左做勻加速直線運動的加速度為a2，則由v t圖像得加速度大小a2＝1 m/s2，方向與初速度方向相反，根據牛頓第二定律，得F＋μmg＝ma1，F－μmg＝ma2，解得F＝3 N，μ＝0.05，故A錯誤；根據v t圖像與橫軸所圍成的面積表示位移，得x＝×4×8 m－×6×6 m＝－2 m，負號表示物體在起點的左側，則10 s內恒力F對物體做功為W＝Fx＝3×2 J＝6 J，故B錯誤，C正確； 10 s內物體克服摩擦力做功為Wf＝Ffs＝μmg·s＝0.05×2×10×J＝34 J，故D正確．
答案：CD
考點二
例1　解析：將圓弧分成很多小段l1、l2、…、ln，拉力F在每小段上做的功為W1、W2、…、Wn，因拉力F大小不變，方向始終與小球在該點的切線成37°角，所以W1＝Fl1cos 37°，W2＝Fl2cos 37°，…，Wn＝Fln cos 37°，W＝W1＋W2＋…＋Wn＝F cos 37°(l1＋l2＋…＋ln)＝F cos 37°·R＝π J，同理可得克服摩擦力做功Wf＝μmg·R＝π J，拉力F做的功與克服摩擦力做的功之比為2，故選B.
答案：B
例2　解析：F x圖線與橫坐標軸所圍面積表示功，則拉力F從A到B做功為W＝×2×40 J－10×1 J＝30 J，故A錯誤；
物體從B到C過程中，做圓周運動，合外力不為0，故B錯誤；
從A到B由動能定理有
W＝
解得vB＝2 m/s
由于光滑軌道ABC在水平面內，則物體從B到C做勻速圓周運動，物體能夠到達C點，且速度大小為2 m/s，故C錯誤，D正確．
答案：D
例3　解析：根據題意可知，水平拉力與位移的關系式為
F＝4＋2x
則物體移動5 m過程中拉力的平均值為
＝ N＝9 N
則拉力做的功W＝x＝45 J
故選B.
答案：B
例4　解析：圓環從A到C過程中，合力是0時圓環的速度最大，A錯誤；A到C過程中，根據能量守恒，彈性勢能減少，轉化為摩擦力做功產生的熱量，所以由C回到A的過程中，彈簧先恢復原長后伸長，彈力先做正功后做負功，彈力最終做負功，B錯誤；從A到C再由C回到A，根據對稱特點可知，摩擦力做功相等，彈性勢能變化相同，根據動能定理，有W彈－Wf＝0，－W彈－Wf＝0－mv2，求得W彈＝Wf＝mv2，C、D正確．故選CD.
答案：CD
考點三
必備知識·自主落實
1．時間
2．快慢
3．(1)快慢　(2)平均　瞬時
4．(1)最大　(1)小于
關鍵能力·思維進階
例5　解析：由題知，水筒在筒車上均勻排布，單位長度上有n個，且每個水筒離開水面時裝有質量為m的水、其中的60%被輸送到高出水面H處灌入稻田，則水輪轉一圈灌入農田的水的總質量為m總＝2πRnm×60%＝1.2πRnm
則水輪轉一圈灌入稻田的水克服重力做的功
W＝1.2πRnmgH
則筒車對灌入稻田的水做功的功率為
P＝
T＝
聯立有P＝
故選B.
答案：B
例6　解析：由圖(b)可知，甲下滑過程中，甲做勻加速直線運動，則甲沿Ⅱ下滑，乙做加速度逐漸減小的加速運動，乙沿Ⅰ下滑，任意時刻甲的速度都小于乙的速度，可知同一時刻甲的動能比乙的小，A錯誤，B正確；乙沿Ⅰ下滑，開始時乙速度為0，到N點時乙豎直方向速度為零，根據瞬時功率公式P＝mgvy可知重力瞬時功率先增大后減小，CD錯誤．故選B.
答案：B
例7　解析：根據圖像可知，水斗速度v＝ωr＝t×0.1＝0.4t，A正確；
井繩拉力瞬時功率為P＝Tv＝Tωr，
又由于T－(m＋m0)g＝(m＋m0)a
根據上述v＝0.4t
有a＝0.4 m/s2，則有P＝10.4t，B錯誤；
根據圖像可知，0～10 s內水斗上升的高度為h＝t＝ m＝20 m，C錯誤；
根據上述P＝10.4t
0～10 s內井繩拉力所做的功為W＝×10 J＝520 J，D正確．
答案：AD
核心素養提升
典例1　解析：根據題述，可知兩車額定功率P相同，勻速運動后牽引力大小等于阻力，即F＝Ff＝kmg，根據甲車t2時刻后和乙車t4時刻后牽引力不變，且甲車牽引力大于乙車，可知甲車的總重比乙車大，A正確；如圖所示，甲車在A點所對應的時刻牽引力與阻力大小相等，所以甲車從這個時刻開始運動，乙車在B點所對應的時刻牽引力與阻力大小相等，乙車從這個時刻開始運動，所以甲車比乙車先開始運動，B正確；兩車分別從t1和t3時刻開始以額定功率行駛，這兩個時刻，兩車的牽引力等大，由P＝Fv可知，甲車在t1時刻和乙車在t3時刻的速率相同，C正確；t2時刻甲車達到最大速度，t4時刻乙車達到最大速度，根據汽車的額定功率P＝Ffvm＝kmgvm，甲車的總重比乙車大，可知甲車在t2時刻的速率小于乙車在t4時刻的速率，D錯誤．
答案：ABC
典例2　解析：汽車以額定功率行駛，做加速度減小的加速運動，當加速度減為零時，速度達到最大，因此汽車均做變加速直線運動，A錯誤；設汽車行駛過程中受到的阻力為Ff，當汽車達到最大速度時，加速度為零，對題圖甲有，牽引力F1＝mg sin θ＋Ff，額定功率P＝F1v1；對題圖乙有，牽引力F2＝Ff－mg sin θ，額定功率P＝F2v2，聯立可得Ff＝·mg sin θ，P＝·2mg sin θ，故v1答案：D
典例3　解析：0～t1時間內，物體做勻加速直線運動，牽引力不變，功率增大，當t＝t1時，根據牛頓第二定律可得F－mg＝ma0，此時功率達到額定功率，且P額＝Fv1，又v1＝a0t1，聯立解得起重機的額定功率為P額＝(mg＋ma0)a0t1，故A錯誤，B正確；0～t1時間內牽引力做的功W1＝，t1～t2時間內牽引力做的功W2＝P額(t2－t1)，則在0～t1和t1～t2時間內牽引力做的功之比為W1∶W2＝t1∶2(t2－t1)，故C正確，D錯誤．
答案：BC
典例4　解析：(1)汽車下坡時，以恒定加速度啟動，有F＋mg sin θ－f＝ma
其中f＝0.2mg，汽車加速運動過程中，功率逐漸增加，剛達到P0時P0＝Fv，v＝at
解得t＝14 s
(2)汽車下坡過程中以最高時速vm勻速行駛，有F1＋mg sin θ＝f
此時汽車發動機功率P1，有P1＝F1vm
汽車上坡過程中以最高時速vm勻速行駛，有F2＝mg sin θ＋f
此時汽車發動機功率P2，有P2＝F2vm，解得＝
答案：(1)14 s　(2)(共45張PPT)
第1講　功與功率
課 程 標 準 素 養 目 標
了解生產生活中常見機械的功率大小及其意義． 物理觀念：理解功和功率的概念．
科學思維：(1)會對功、功率進行分析和計算；(2)知道變力做功的求法，會解決機車啟動的兩種模型問題．
考點一
考點二
考點三
考點一
考點一　恒力做功的分析和計算
【必備知識·自主落實】
1．做功的兩個要素 缺一不可
(1)作用在物體上的________.
(2)物體在________上發生位移．
2．公式W＝Fl cos α：
α是力與________方向之間的夾角，l為物體的位移．
3．功的正負 功是標量，但有正、負
(1)當0≤α<時，W>0，力對物體做________.
(2)當α＝時，W＝0，力對物體________.
(3)當<α≤π時，W<0，力對物體做________.或者說物體________這個力做功．
力
力的方向
位移
正功
不做功
負功
克服
【關鍵能力·思維進階】
1．[2024·上海市模擬]如圖，一磁鐵吸附在鐵板AB的下方．現保持鐵板與水平面間的夾角θ不變，緩慢推動B端，使AB與磁鐵一起水平向左勻速移動，則(　　)
A.合外力對磁鐵做正功
B.AB對磁鐵的作用力不做功
C.AB對磁鐵的彈力不做功
D.AB對磁鐵的摩擦力不做功
答案：B
解析：由于磁鐵做勻速運動，磁鐵所受合外力為零，合外力對磁鐵不做功，故A錯誤；磁鐵受重力和AB對它的作用力而做勻速運動，根據平衡條件可知，AB對磁鐵的作用力大小等于重力，方向豎直向上，與磁鐵的運動方向相互垂直，故AB對磁鐵的作用力不做功，故B正確；AB對磁鐵的彈力垂直接觸面，與磁鐵的運動方向不垂直，故彈力一定做功，故C錯誤；AB對磁鐵的摩擦力沿接觸面，與磁鐵運動方向不垂直，故摩擦力一定做功，故D錯誤．
2．(多選)[2024·江西南昌高三校聯考]成語“簸揚糠秕”常用于自謙，形容自己無才而居前列。成語源于如圖所示勞動情景，在恒定水平風力作用下，從同一高度由靜止釋放的米粒和糠落到地面不同位置，糠落點更遠?？諝庾枇雎圆挥?，下列說法正確的是(　　)
A.從釋放到落地的過程中，米粒和糠重力勢能變化量相等
B.從釋放到落地的過程中，水平風力對米粒和糠做功相同
C.米粒落地時重力的瞬時功率大于糠落地時重力的瞬時功率
D.從釋放到落地的過程中，糠秕的運動時間等于米粒的運動時間
答案：CD
解析：米粒和糠的區別是質量不同，由于從同一高度h釋放，由WG＝mgh可知，米粒和糠重力做功不同，則重力勢能變化量不同，A錯誤；在恒定水平風力作用下，由F＝ma可知，由于米粒質量大，米粒水平運動的加速度小，由x＝at2可知，米粒水平運動的距離小，再根據功的公式W＝Fx可知，風力對米粒做功少，B錯誤；空氣阻力忽略不計，米粒和糠在豎直方向都做自由落體運動，由v2＝2gh可知，落地豎直方向的速度相同，而P＝mgv，由于米粒質量大，落地時，米粒重力的瞬時功率大于糠重力的瞬時功率，C正確；空氣阻力忽略不計，米粒和糠在豎直方向都做自由落體運動，由h＝gt2可知，運動時間相同，D正確．
3．(多選)質量為m＝2 kg的物體沿水平面向右做直線運動，t＝0時刻受到一個水平向左的恒力F，如圖甲所示，取水平向右為正方向，此物體的v t圖像如圖乙所示，g取10 m/s2，則(　　)
A.物體與水平面間的動摩擦因數μ＝0.5
B.10 s內恒力F對物體做功102 J
C.10 s末物體在計時起點位置左側2 m處
D.10 s內物體克服摩擦力做功34 J
答案：CD
解析：設物體向右做勻減速直線運動的加速度大小為a1，則由v t圖像得加速度大小a1＝2 m/s2，方向與初速度方向相反，設物體向左做勻加速直線運動的加速度為a2，則由v t圖像得加速度大小a2＝1 m/s2，方向與初速度方向相反，根據牛頓第二定律，得F＋μmg＝ma1，F－μmg＝ma2，解得F＝3 N，μ＝0.05，故A錯誤；根據v t圖像與橫軸所圍成的面積表示位移，得x＝×4×8 m－×6×6 m＝－2 m，負號表示物體在起點的左側，則10 s內恒力F對物體做功為W＝Fx＝3×2 J＝6 J，故B錯誤，C正確； 10 s內物體克服摩擦力做功為Wf＝Ffs＝μmg·s＝0.05×2×10×J＝34 J，故D正確．
思維提升
1.是否做功及做功正負的判斷
2．計算功的方法
(1)恒力做的功，直接用W＝Fl cos α計算．
(2)合外力做的功
方法一：先求合外力F合，再用W合＝F合l cos α求功．
方法二：先求各個力做的功W1、W2、W3…，再應用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合外力做的功．
方法三：利用動能定理W合＝Ek2－Ek1.
考點二
考點二　變力做功的計算方法
【關鍵能力·思維進階】
方法 舉例
微元法 質量為m的木塊在水平面內做圓周運動，運動一周克服摩擦力做功Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR
圖像法
平均 值法
應用動 能定理
用力F把小球從A處緩慢拉到B處，F做功為WF，則有WF－mgL(1－cos θ)＝0，得WF＝mgL(1－cos θ)
考向1　微元法計算變力做功
例 1 [2024·安徽滁州市定遠縣聯考]
如圖所示，在水平桌面上，長R＝5 m的輕繩一端固定于O點(俯視圖)，另一端系一質量m＝2.0 kg的小球，現對小球施加一個大小不變的力F＝10 N，方向始終與小球在該點的切線成37°角，F拉著物體從M點運動到N點，已知小球與桌面間的動摩擦因數μ＝0.2，不計空氣阻力，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，則拉力F做的功與克服摩擦力做的功之比為(　　)
A．　　　　B．2　　　　C．　　　　D．4
答案：B
解析：將圓弧分成很多小段l1、l2、…、ln，拉力F在每小段上做的功為W1、W2、…、Wn，因拉力F大小不變，方向始終與小球在該點的切線成37°角，所以W1＝Fl1cos 37°，W2＝Fl2cos 37°，…，Wn＝Fln cos 37°，W＝W1＋W2＋…＋Wn＝F cos 37°(l1＋l2＋…＋ln)＝F cos 37°·R＝π J，同理可得克服摩擦力做功Wf＝μmg·R＝π J，拉力F做的功與克服摩擦力做的功之比為2，故選B.
考向2　圖像法計算變力做功
例 2 如圖甲所示，在光滑水平桌面內，固定有光滑軌道ABC，其中半圓軌道BC與直軌道AB相切于B點，物體受到與AB平行的水平拉力F，從靜止開始運動，拉力F的大小滿足的關系如圖乙所示(以A為坐標原點，拉力F從A指向B為正方向)．若m＝1 kg，AB＝4 m，半圓軌道的半徑R＝1.5 m，重力加速度g取10 m/s2.則下列說法中正確的是(　　)
A．拉力F從A到B做功為50 J
B．物體從B到C過程中，所受的合外力為0
C．物體能夠到達C點，且速度大小為2 m/s
D．物體能夠到達C點，且速度大小為2 m/s
答案：D
解析：F- x圖線與橫坐標軸所圍面積表示功，則拉力F從A到B做功為W＝×2×40 J－10×1 J＝30 J，故A錯誤；
物體從B到C過程中，做圓周運動，合外力不為0，故B錯誤；
從A到B由動能定理有
W＝
解得vB＝2 m/s
由于光滑軌道ABC在水平面內，則物體從B到C做勻速圓周運動，物體能夠到達C點，且速度大小為2 m/s，故C錯誤，D正確．
考向3　平均值法計算變力做功
例 3 [2024·江蘇徐州高三專題練習]靜止于水平地面上質量為1 kg的物體，在水平拉力F＝4＋2x(式中F為力的大小、x為位移的大小，力F、位移x的單位分別是N、m)作用下，沿水平方向移動了5 m．則在物體移動5 m的過程中拉力所做的功為(　　)
A．35 J B．45 J
C．55 J D．65 J
答案：B
解析：根據題意可知，水平拉力與位移的關系式為
F＝4＋2x
則物體移動5 m過程中拉力的平均值為
＝ N＝9 N
則拉力做的功W＝x＝45 J
故選B.
考向4　應用動能定理求變力做功
例 4 (多選) [2024·云南校聯考模擬預測]如圖，輕質彈簧上端固定在O點，下端與質量為m的圓環相連，圓環套在水平粗糙的固定細桿上．現在將圓環從A點靜止釋放，當圓環運動到B點時彈簧豎直且處于原長，到達C點時速度減為零；在C點使得圓環獲得一個沿桿向左的速度v，其恰好能回到A點．彈簧始終在彈性限度之內，下列說法正確的是(　　)
A．從A到C的過程中，圓環經過B點速度最大
B．從C回到A的過程中，彈力最終做正功
C．從A到C克服摩擦力做功為mv2
D．從A到C彈簧彈性勢能減少了mv2
答案：CD
解析：圓環從A到C過程中，合力是0時圓環的速度最大，A錯誤；A到C過程中，根據能量守恒，彈性勢能減少，轉化為摩擦力做功產生的熱量，所以由C回到A的過程中，彈簧先恢復原長后伸長，彈力先做正功后做負功，彈力最終做負功，B錯誤；從A到C再由C回到A，根據對稱特點可知，摩擦力做功相等，彈性勢能變化相同，根據動能定理，有W彈－Wf＝0，－W彈－Wf＝0－mv2，求得W彈＝Wf＝mv2，C、D正確．故選CD.
考點三
考點三　功率的分析和計算
【必備知識·自主落實】
1．定義：功與完成這些功所用________之比．
2．物理意義：描述力對物體做功的________.
3．公式：　　比值定義法
(1)P＝，P描述時間t內力對物體做功的________.
(2)P＝Fv　　 機車啟動類問題中F指牽引力
①v為平均速度，則P為________功率．
②v為瞬時速度，則P為________功率．
③當力F和速度v不在同一直線上時，可以將力F分解或者將速度v分解．
時間
快慢
快慢
平均
瞬時
4．額定功率與實際功率：
(1)額定功率：動力機械可以長時間正常工作的________功率．
(2)實際功率：動力機械實際工作時輸出的功率，要求________或等于額定功率．實際功率如果大于額定功率容易將機器損壞．
最大
小于
【關鍵能力·思維進階】
1．平均功率的計算方法
(1)利用＝.
(2)利用＝F·cos α，其中為物體運動的平均速度，F為恒力，F與的夾角α不變．
2．瞬時功率的計算方法
(1)利用公式P＝Fv cos α，其中v為t時刻的瞬時速度．F可為恒力，也可為變力，α為F與v的夾角，α可以不變，也可以變化．
(2)公式P＝Fv cos α中，F cos α可認為是力F在速度v方向上的分力，v cos α可認為是速度v在力F方向上的分速度．
例 5 [2023·山東卷]
《天工開物》中記載了古人借助水力使用高轉筒車往稻田里引水的場景．引水過程簡化如下：兩個半徑均為R的水輪，以角速度ω勻速轉動．水筒在筒車上均勻排布，單位長度上有n個，與水輪間無相對滑動．每個水筒離開水面時裝有質量為m的水，其中的60%被輸送到高出水面H處灌入稻田．當地的重力加速度為g，則筒車對灌入稻田的水做功的功率為(　　)
A． B．
C． D．nmgωRH
答案：B
解析：由題知，水筒在筒車上均勻排布，單位長度上有n個，且每個水筒離開水面時裝有質量為m的水、其中的60%被輸送到高出水面H處灌入稻田，則水輪轉一圈灌入農田的水的總質量為m總＝2πRnm×60%＝1.2πRnm
則水輪轉一圈灌入稻田的水克服重力做的功
W＝1.2πRnmgH
則筒車對灌入稻田的水做功的功率為
P＝
T＝
聯立有P＝
故選B.
例 6 [2023·遼寧卷]如圖(a)，從高處M點到地面N點有Ⅰ、Ⅱ兩條光滑軌道．兩相同小物塊甲、乙同時從M點由靜止釋放，沿不同軌道滑到N點，其速率v與時間t的關系如圖(b)所示．由圖可知，兩物塊在離開M點后、到達N點前的下滑過程中(　　)
A．甲沿Ⅰ下滑且同一時刻甲的動能比乙的大
B．甲沿Ⅱ下滑且同一時刻甲的動能比乙的小
C．乙沿Ⅰ下滑且乙的重力功率一直不變
D．乙沿Ⅱ下滑且乙的重力功率一直增大
答案：B
解析：由圖(b)可知，甲下滑過程中，甲做勻加速直線運動，則甲沿Ⅱ下滑，乙做加速度逐漸減小的加速運動，乙沿Ⅰ下滑，任意時刻甲的速度都小于乙的速度，可知同一時刻甲的動能比乙的小，A錯誤，B正確；乙沿Ⅰ下滑，開始時乙速度為0，到N點時乙豎直方向速度為零，根據瞬時功率公式P＝mgvy可知重力瞬時功率先增大后減小，CD錯誤．故選B.
例 7 (多選)[2024·重慶統考一模]如圖甲，轆轤是古代民間提水設施，由轆轤頭、支架、井繩、水斗等部分構成．如圖乙為提水設施工作原理簡化圖，某次需從井中汲取m＝2 kg的水，轆轤繞繩輪軸半徑為r＝0.1 m，水斗的質量為0.5 kg，井足夠深且井繩的質量忽略不計．t＝0時刻，輪軸由靜止開始繞中心軸轉動，其角速度隨時間變化規律如圖丙所示，g取10 m/s2，則(　　)
A．水斗速度隨時間變化規律為v＝0.4t
B．井繩拉力瞬時功率隨時間變化規律為P＝10t
C．0～10 s內水斗上升的高度為4 m
D．0～10 s內井繩拉力所做的功為520 J
答案：AD
解析：根據圖像可知，水斗速度v＝ωr＝t×0.1＝0.4t，A正確；
井繩拉力瞬時功率為P＝Tv＝Tωr，
又由于T－(m＋m0)g＝(m＋m0)a
根據上述v＝0.4t
有a＝0.4 m/s2，則有P＝10.4t，B錯誤；
根據圖像可知，0～10 s內水斗上升的高度為h＝t＝ m＝20 m，C錯誤；
根據上述P＝10.4t
0～10 s內井繩拉力所做的功為W＝×10 J＝520 J，D正確．
核心素養提升 機車啟動模型
模型1　以恒定功率啟動——模型建構
典例1 (多選) 額定功率相同的甲、乙兩車在同一水平路面上從靜止啟動，其發動機的牽引力隨時間的變化曲線如圖所示．兩車分別從t1和t3時刻開始以額定功率行駛，從t2和t4時刻開始牽引力均視為不變，若兩車行駛時所受的阻力大小與重力成正比，且比例系數相同，則(　　)
A．甲車的總重比乙車大
B．甲車比乙車先開始運動
C．甲車在t1時刻和乙車在t3時刻的速率相同
D．甲車在t2時刻和乙車在t4時刻的速率相同
答案：ABC
解析：根據題述，可知兩車額定功率P相同，勻速運動后牽引力大小等于阻力，即F＝Ff＝kmg，根據甲車t2時刻后和乙車t4時刻后牽引力不變，且甲車牽引力大于乙車，可知甲車的總重比乙車大，A正確；如圖所示，甲車在A點所對應的時刻牽引力與阻力大小相等，所以甲車從這個時刻開始運動，乙車在B點所對應的時刻牽引力與阻力大小相等，乙車從這個時刻開始運動，所以甲車比乙車先開始運動，B正確；兩車分別從t1和t3時刻開始以額定功率行駛，這兩個時刻，兩車的牽引力等大，由P＝Fv可知，甲車在t1時刻和乙車在t3時刻的速率相同，C正確；t2時刻甲車達到最大速度，t4時刻乙車達到最大速度，根據汽車的額定功率P＝Ffvm＝kmgvm，甲車的總重比乙車大，可知甲車在t2時刻的速率小于乙車在t4時刻的速率，D錯誤．
典例2 如圖甲所示，一個傾角為θ的斜面固定在地面上，一輛質量為m的汽車由靜止以額定功率P駛上斜面，汽車行駛的最大速度為v1；如圖乙所示，若汽車從斜面頂端由靜止以額定功率P向下運動，汽車行駛的最大速度為v2.已知汽車行駛過程中受到的阻力大小恒定不變，重力加速度為g，下列說法正確的是(　　)
A．汽車均做勻加速直線運動
B．最大行駛速度v1大于v2
C．阻力大小為·mg sin θ
D．額定功率大小為·2mg sin θ
答案：D
解析：汽車以額定功率行駛，做加速度減小的加速運動，當加速度減為零時，速度達到最大，因此汽車均做變加速直線運動，A錯誤；設汽車行駛過程中受到的阻力為Ff，當汽車達到最大速度時，加速度為零，對題圖甲有，牽引力F1＝mg sin θ＋Ff，額定功率P＝F1v1；對題圖乙有，牽引力F2＝Ff－mg sin θ，額定功率P＝F2v2，聯立可得Ff＝·mg sin θ，P＝·2mg sin θ，故v1模型2　以恒定加速度啟動——模型建構
典例3 (多選)[2024·上海交大附中模擬]如圖甲所示為超大型塔式起重機．該起重機某次從t＝0時刻由靜止開始提升質量為m的物體，其a t圖像如圖乙所示，t1～t2時間內起重機的功率為額定功率，不計其他阻力，重力加速度為g，則以下說法正確的是(　　)
A．該起重機的額定功率為t1
B．該起重機的額定功率為(mg＋ma0)a0t1
C．0～t1和t1～t2時間內牽引力做的功之比為t1∶2(t2－t1)
D．0～t1和t1～t2時間內牽引力做的功之比為t1∶2t2
答案：BC
解析：0～t1時間內，物體做勻加速直線運動，牽引力不變，功率增大，當t＝t1時，根據牛頓第二定律可得F－mg＝ma0，此時功率達到額定功率，且P額＝Fv1，又v1＝a0t1，聯立解得起重機的額定功率為P額＝(mg＋ma0)a0t1，故A錯誤，B正確；0～t1時間內牽引力做的功W1＝，t1～t2時間內牽引力做的功W2＝P額(t2－t1)，則在0～t1和t1～t2時間內牽引力做的功之比為W1∶W2＝t1∶2(t2－t1)，故C正確，D錯誤．
典例4 [2024·廣東省汕頭市模擬]2022年9月28日汕頭海灣隧道正式開通，隧道全長約6.68公里，全段最高限速為60 km/h.海灣隧道中間為盾構段，埋于海底，南北兩側路段以較小的坡度與盾構段連接，全段可簡化為下圖所示模型．一汽車從南岸由靜止開始以1 m/s2的加速度沿斜面向下勻加速啟動，已知汽車質量為2.0×103 kg，汽車所受阻力恒為重力的0.2倍．斜面傾角的正弦值sin θ＝0.1，重力加速度g＝10 m/s2.
(1)若汽車發動機的最大功率為P0＝5.6×104 W，下坡階段足夠長，求汽車下坡階段做勻加速直線運動的時間．
(2)若汽車在上、下坡時均以最高限速勻速行駛，則下坡和上坡時的汽車發動機功率之比為多少？
解析：(1)汽車下坡時，以恒定加速度啟動，有F＋mg sin θ－f＝ma
其中f＝0.2mg，汽車加速運動過程中，功率逐漸增加，剛達到P0時P0＝Fv，v＝at
解得t＝14 s
(2)汽車下坡過程中以最高時速vm勻速行駛，有F1＋mg sin θ＝f
此時汽車發動機功率P1，有P1＝F1vm
汽車上坡過程中以最高時速vm勻速行駛，有F2＝mg sin θ＋f
此時汽車發動機功率P2，有P2＝F2vm，解得＝
答案：(1)14 s　(2)
思維提升
三個重要關系式
(1)無論哪種啟動過程，機車的最大速度都等于其勻速運動時的速度，即vm＝.
(2)機車以恒定加速度啟動的過程中，勻加速過程結束時，功率最大，但速度不是最大，v＝(3)機車以恒定功率啟動時，牽引力做的功W＝Pt.由動能定理得：Pt－F阻x＝ΔEk.此式經常用于求解機車以恒定功率啟動過程的位移大小和時間．

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