資源簡介

專題強化三　動態平衡及平衡中的臨界、極值問題
素養目標
1．學會用圖解法、解析法等解決動態平衡問題．
2．學會分析平衡中的臨界與極值問題．
考點一　動態平衡問題
1．動態平衡：是指平衡問題中的一部分力是變力，是動態力，力的大小和方向要發生變化，所以叫動態平衡．
2．分析動態平衡問題方法的選取技巧
(1)解析法
①列平衡方程，列出未知量與已知量的關系表達式；
②根據已知量的變化情況來確定未知量的變化情況．
(2)圖解法
(3)相似三角形法
①根據已知條件畫出對應的力的三角形和空間幾何相似三角形，確定對應邊，利用三角形相似法列出比例式；
②確定未知量的變化情況．
【溫馨提示】　平衡中的“三看”與“三想”
(1)看到“緩慢”，想到“物體處于動態平衡狀態”．
(2)看到“輕繩、輕環”，想到“繩、環的質量可忽略不計”．
(3)看到“光滑”，想到“摩擦力為零”．
例1 (多選)[2024·四川成都高三檢測]某中學舉行趣味運動會時，挑戰用一支鋼尺取出深盒子(固定不動)中的玻璃球，該游戲深受大家喜愛，參與者熱情高漲．游戲中需要的器材和取球的原理分別如圖甲和圖乙所示．若忽略玻璃球與盒壁、鋼尺間的摩擦力，在不損壞盒子的前提下，鋼尺沿著盒子上邊緣某處旋轉撥動(鋼尺在盒內的長度逐漸變短)，使玻璃球沿著盒壁緩慢上移時，下列說法正確的是(　　)
A．鋼尺對玻璃球的彈力逐漸減小
B．鋼尺對玻璃球的彈力先增大后減小
C．盒壁對玻璃球的彈力逐漸減小
D．盒壁對玻璃球的彈力先減小后增大
例2 (多選)如圖，一粗糙斜面固定在地面上，斜面頂端裝有一光滑定滑輪．一細繩跨過滑輪，其一端懸掛物塊N，另一端與斜面上的物塊M相連，系統處于靜止狀態．現用水平向左的拉力緩慢拉動N，直至懸掛N的細繩與豎直方向成45°.已知M始終保持靜止，則在此過程中(　　)
A．水平拉力的大小可能保持不變
B．M所受細繩的拉力大小一定一直增加
C．M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加
D．M所受斜面的摩擦力大小可能先減小后增加
[教你解決問題]
讀題―→選研究對象―→畫受力圖
例3 [2024·河北唐山模擬]如圖所示，木板B放置在粗糙水平地面上，O為光滑鉸鏈．輕桿一端與鉸鏈O固定連接，另一端固定連接一質量為m的小球A.現將輕繩一端拴在小球A上，另一端通過光滑的定滑輪O′由力F牽引，定滑輪位于O的正上方，整個系統處于靜止狀態．現改變力F的大小使小球A和輕桿從圖示位置緩慢運動到O′正下方，木板始終保持靜止，則在整個過程中(　　)
A．外力F大小不變
B．輕桿對小球的作用力大小變小
C．地面對木板的支持力逐漸變小
D．地面對木板的摩擦力逐漸減小
例4 (多選)如圖所示，繞過滑輪的輕繩一端固定在豎直墻上，站在地面上的人用手拉著繩的另一端，滑輪下吊著一個小球，處于靜止狀態，保持B點高度不變，在人緩慢向左移動一小段距離的過程中(　　)
A．繩上張力變大
B．人對地面的壓力變大
C．地面對人的摩擦力變大
D．滑輪受到繩的作用力變大
思維提升
三力作用下的動態平衡
考點二　平衡中的臨界、極值問題
1．臨界問題
當某物理量變化時，會引起其他幾個物理量的變化，從而使物體所處的平衡狀態“恰好出現”或“恰好不出現”，在問題的描述中常用“剛好”“恰能”“恰好”等．臨界問題常見的種類：
(1)由靜止到運動，摩擦力達到最大靜摩擦力．
(2)繩子恰好繃緊，拉力F＝0.
(3)剛好離開接觸面，支持力FN＝0.
2．極值問題
平衡中的極值問題，一般指在力的變化過程中的最大值和最小值問題．
3．解決極值和臨界問題的三種方法
極限法 正確進行受力分析和變化過程分析，找到平衡的臨界點和極值點；臨界條件必須在變化中尋找，不能在一個狀態上研究臨界問題，要把某個物理量推向極大或極小
數學分析法 通過對問題分析，根據平衡條件列出物理量之間的函數關系(畫出函數圖像)，用數學方法求極值(如求二次函數極值、公式極值、三角函數極值)
圖解分析法 根據平衡條件，作出力的矢量圖，通過對物理過程的分析，利用平行四邊形定則進行動態分析，確定最大值和最小值
例5 如圖所示，質量為m的球放在傾角為α的光滑斜面上，用擋板AO將球擋住，使球處于靜止狀態，若擋板與斜面間的夾角為β，則(重力加速度為g)(　　)
A．當β＝30°時，擋板AO所受壓力最小，最小值為mg sin α
B．當β＝60°時，擋板AO所受壓力最小，最小值為mg cos α
C．當β＝60°時，擋板AO所受壓力最小，最小值為mg sin α
D．當β＝90°時，擋板AO所受壓力最小，最小值為mg sin α
例6 如圖，傾角為45°的斜面體A放在水平地面上，A與地面間的動摩擦因數為0.75，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，光滑半球體B靜止在豎直墻和斜面體之間，已知A、B所受重力都為G.若在B的球心處施加一豎直向下的力F，要保持斜面體靜止不動，F的最大值是(　　)
A．G B．1.5G
C．2G D．2.5G
[解題心得]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
專題強化三　動態平衡及平衡中的臨界、極值問題
考點一
例1　解析：對玻璃球的受力分析如圖所示，玻璃球受重力G，左側鋼尺對玻璃球的彈力F1，盒壁對玻璃球的彈力F2，玻璃球在3個力作用下處于動態平衡，玻璃球沿著紙盒壁緩慢上移時，θ角變大，利用圖解法可知，F1和F2均逐漸減小，A、C項正確，B、D項錯誤．故選AC.
答案：AC
例2　解析：如圖所示，以物塊N為研究對象，它在水平向左拉力F作用下，緩慢向左移動直至細繩與豎直方向夾角為45°的過程中，水平拉力F逐漸增大，繩子拉力T逐漸增大；
對M受力分析可知，若起初M受到的摩擦力f沿斜面向下，則隨著繩子拉力T的增加，則摩擦力f也逐漸增大；若起初M受到的摩擦力f沿斜面向上，則隨著繩子拉力T的增加，摩擦力f可能先減小后增加．故本題選BD.
答案：BD
例3　解析：對小球A進行受力分析，三力構成矢量三角形，如圖所示
根據幾何關系可知兩三角形相似，因此＝＝
緩慢運動過程O′A越來越小，則F逐漸減小，故A錯誤；
由于OA長度不變，桿對小球的作用力大小不變，故B錯誤；
對木板，由于桿對木板的作用力大小不變，方向向右下，但桿的作用力與豎直方向的夾角越來越小，所以地面對木板的支持力逐漸增大，地面對木板的摩擦力逐漸減小，故C錯誤，D正確．故選D.
答案：D
例4　解析：滑輪兩邊繩上的力大小相等，人緩慢向左移動一小段距離的過程，滑輪兩邊繩間的夾角θ變大，根據2T cos ＝m球g，解得T＝，可知，θ變大，繩上的張力T變大，A正確；
對人分析有N＝m人g＋T cos
結合上述解得N＝m人g＋T cos ＝m人g＋m球g
由牛頓第三定律得，人對地面的壓力為N′＝N＝m人g＋m球g，可知人對地面的壓力不變，B錯誤；
對人分析可知地面對人的摩擦力為f＝T sin ＝m球·g tan
可知θ變大，地面對人的摩擦力變大，C正確；
對滑輪與小球整體分析可知，滑輪受到繩的作用力為F＝m球g
即滑輪受到繩的作用力不變，D錯誤．
答案：AC
考點二
例5　解析：分析小球的受力情況：重力G、斜面的支持力N2和擋板AO的壓力N1，由平衡條件得知N2和N1的合力與G大小相等、方向相反，保持不變．
當擋板與斜面的夾角變化時，作出四個位置受力圖，由圖看出當擋板與斜面垂直時，擋板對小球的壓力N1最小，擋板AO所受壓力即最小，此時β＝90°，最小值N1＝mg sin α，故D正確．
答案：D
例6　解析：對斜面體和半球體整體受力分析如圖甲所示，施加力F之后，可知斜面體對地面的正壓力為2G＋F，最大靜摩擦力為Ffm＝μ(2G＋F)；對半球體受力分析如圖乙所示，未施加力F時有，豎直墻壁的彈力大小F1＝G tan 45°，施加力F之后，豎直墻壁彈力大小變為F′1＝(G＋F)tan 45°，要使斜面體靜止不動，水平方向上受力平衡，即(G＋F)tan 45°≤μ(2G＋F)，解得F≤2G，C項正確．
答案：C(共25張PPT)
專題強化三
動態平衡及平衡中的臨界、極值問題
素養目標
1．學會用圖解法、解析法等解決動態平衡問題．
2．學會分析平衡中的臨界與極值問題．
考點一
考點二
考點一
考點一　動態平衡問題
1．動態平衡：是指平衡問題中的一部分力是變力，是動態力，力的大小和方向要發生變化，所以叫動態平衡．
2．分析動態平衡問題方法的選取技巧
(1)解析法
①列平衡方程，列出未知量與已知量的關系表達式；
②根據已知量的變化情況來確定未知量的變化情況．
(2)圖解法
(3)相似三角形法
①根據已知條件畫出對應的力的三角形和空間幾何相似三角形，確定對應邊，利用三角形相似法列出比例式；
②確定未知量的變化情況．
【溫馨提示】　
平衡中的“三看”與“三想”
(1)看到“緩慢”，想到“物體處于動態平衡狀態”．
(2)看到“輕繩、輕環”，想到“繩、環的質量可忽略不計”．
(3)看到“光滑”，想到“摩擦力為零”．
例1 (多選)[2024·四川成都高三檢測]某中學舉行趣味運動會時，挑戰用一支鋼尺取出深盒子(固定不動)中的玻璃球，該游戲深受大家喜愛，參與者熱情高漲．游戲中需要的器材和取球的原理分別如圖甲和圖乙所示．若忽略玻璃球與盒壁、鋼尺間的摩擦力，在不損壞盒子的前提下，鋼尺沿著盒子上邊緣某處旋轉撥動(鋼尺在盒內的長度逐漸變短)，使玻璃球沿著盒壁緩慢上移時，下列說法正確的是(　　)
A．鋼尺對玻璃球的彈力逐漸減小
B．鋼尺對玻璃球的彈力先增大后減小
C．盒壁對玻璃球的彈力逐漸減小
D．盒壁對玻璃球的彈力先減小后增大
答案：AC
解析：對玻璃球的受力分析如圖所示，玻璃球受重力G，左側鋼尺對玻璃球的彈力F1，盒壁對玻璃球的彈力F2，玻璃球在3個力作用下處于動態平衡，玻璃球沿著紙盒壁緩慢上移時，θ角變大，利用圖解法可知，F1和F2均逐漸減小，A、C項正確，B、D項錯誤．故選AC.
例2 (多選)如圖，一粗糙斜面固定在地面上，斜面頂端裝有一光滑定滑輪．一細繩跨過滑輪，其一端懸掛物塊N，另一端與斜面上的物塊M相連，系統處于靜止狀態．現用水平向左的拉力緩慢拉動N，直至懸掛N的細繩與豎直方向成45°.已知M始終保持靜止，則在此過程中(　　)
A．水平拉力的大小可能保持不變
B．M所受細繩的拉力大小一定一直增加
C．M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加
D．M所受斜面的摩擦力大小可能先減小后增加
答案：BD
解析：如圖所示，以物塊N為研究對象，它在水平向左拉力F作用下，緩慢向左移動直至細繩與豎直方向夾角為45°的過程中，水平拉力F逐漸增大，繩子拉力T逐漸增大；
對M受力分析可知，若起初M受到的摩擦力f沿斜面向下，則隨著繩子拉力T的增加，則摩擦力f也逐漸增大；若起初M受到的摩擦力f沿斜面向上，則隨著繩子拉力T的增加，摩擦力f可能先減小后增加．故本題選BD.
[教你解決問題]
讀題―→選研究對象―→畫受力圖
例3 [2024·河北唐山模擬]如圖所示，木板B放置在粗糙水平地面上，O為光滑鉸鏈．輕桿一端與鉸鏈O固定連接，另一端固定連接一質量為m的小球A.現將輕繩一端拴在小球A上，另一端通過光滑的定滑輪O′由力F牽引，定滑輪位于O的正上方，整個系統處于靜止狀態．現改變力F的大小使小球A和輕桿從圖示位置緩慢運動到O′正下方，木板始終保持靜止，則在整個過程中(　　)
A．外力F大小不變
B．輕桿對小球的作用力大小變小
C．地面對木板的支持力逐漸變小
D．地面對木板的摩擦力逐漸減小
答案：D
解析：對小球A進行受力分析，三力構成矢量三角形，如圖所示
根據幾何關系可知兩三角形相似，因此＝＝
緩慢運動過程O′A越來越小，則F逐漸減小，故A錯誤；
由于OA長度不變，桿對小球的作用力大小不變，故B錯誤；
對木板，由于桿對木板的作用力大小不變，方向向右下，但桿的作用力與豎直方向的夾角越來越小，所以地面對木板的支持力逐漸增大，地面對木板的摩擦力逐漸減小，故C錯誤，D正確．故選D.
例4 (多選)如圖所示，繞過滑輪的輕繩一端固定在豎直墻上，站在地面上的人用手拉著繩的另一端，滑輪下吊著一個小球，處于靜止狀態，保持B點高度不變，在人緩慢向左移動一小段距離的過程中(　　)
A．繩上張力變大
B．人對地面的壓力變大
C．地面對人的摩擦力變大
D．滑輪受到繩的作用力變大
答案：AC
解析：滑輪兩邊繩上的力大小相等，人緩慢向左移動一小段距離的過程，滑輪兩邊繩間的夾角θ變大，根據2T cos ＝m球g，解得T＝，可知，θ變大，繩上的張力T變大，A正確；
對人分析有N＝m人g＋T cos
結合上述解得N＝m人g＋T cos ＝m人g＋m球g
由牛頓第三定律得，人對地面的壓力為N′＝N＝m人g＋m球g，可知人對地面的壓力不變，B錯誤；
對人分析可知地面對人的摩擦力為f＝T sin ＝m球·g tan
可知θ變大，地面對人的摩擦力變大，C正確；
對滑輪與小球整體分析可知，滑輪受到繩的作用力為F＝m球g
即滑輪受到繩的作用力不變，D錯誤．
思維提升
三力作用下的動態平衡
考點二
考點二　平衡中的臨界、極值問題
1．臨界問題
當某物理量變化時，會引起其他幾個物理量的變化，從而使物體所處的平衡狀態“恰好出現”或“恰好不出現”，在問題的描述中常用“剛好”“恰能”“恰好”等．臨界問題常見的種類：
(1)由靜止到運動，摩擦力達到最大靜摩擦力．
(2)繩子恰好繃緊，拉力F＝0.
(3)剛好離開接觸面，支持力FN＝0.
2．極值問題
平衡中的極值問題，一般指在力的變化過程中的最大值和最小值問題．
3．解決極值和臨界問題的三種方法
極限法 正確進行受力分析和變化過程分析，找到平衡的臨界點和極值點；臨界條件必須在變化中尋找，不能在一個狀態上研究臨界問題，要把某個物理量推向極大或極小
數學分 析法 通過對問題分析，根據平衡條件列出物理量之間的函數關系(畫出函數圖像)，用數學方法求極值(如求二次函數極值、公式極值、三角函數極值)
圖解分 析法 根據平衡條件，作出力的矢量圖，通過對物理過程的分析，利用平行四邊形定則進行動態分析，確定最大值和最小值
例5 如圖所示，質量為m的球放在傾角為α的光滑斜面上，用擋板AO將球擋住，使球處于靜止狀態，若擋板與斜面間的夾角為β，則(重力加速度為g)(　　)
A．當β＝30°時，擋板AO所受壓力最小，最小值為mg sin α
B．當β＝60°時，擋板AO所受壓力最小，最小值為mg cos α
C．當β＝60°時，擋板AO所受壓力最小，最小值為mg sin α
D．當β＝90°時，擋板AO所受壓力最小，最小值為mg sin α
答案：D
解析：
分析小球的受力情況：重力G、斜面的支持力N2和擋板AO的壓力N1，由平衡條件得知N2和N1的合力與G大小相等、方向相反，保持不變．
當擋板與斜面的夾角變化時，作出四個位置受力圖，由圖看出當擋板與斜面垂直時，擋板對小球的壓力N1最小，擋板AO所受壓力即最小，此時β＝90°，最小值N1＝mg sin α，故D正確．
例6 如圖，傾角為45°的斜面體A放在水平地面上，A與地面間的動摩擦因數為0.75，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，光滑半球體B靜止在豎直墻和斜面體之間，已知A、B所受重力都為G.若在B的球心處施加一豎直向下的力F，要保持斜面體靜止不動，F的最大值是(　　)
A．G B．1.5G
C．2G D．2.5G
答案：C
解析：對斜面體和半球體整體受力分析如圖甲所示，施加力F之后，可知斜面體對地面的正壓力為2G＋F，最大靜摩擦力為Ffm＝μ(2G＋F)；對半球體受力分析如圖乙所示，未施加力F時有，豎直墻壁的彈力大小F1＝G tan 45°，施加力F之后，豎直墻壁彈力大小變為F′1＝(G＋F)tan 45°，要使斜面體靜止不動，水平方向上受力平衡，即(G＋F)tan 45°≤μ(2G＋F)，解得F≤2G，C項正確．

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