資源簡介

專題強化六　圓周運動的臨界問題
1. 掌握水平面內、豎直面內的圓周運動的動力學問題的解題方法．
2．會分析水平面內、豎直面內圓周運動的臨界問題．
考點一　水平面內圓周運動的臨界問題
1．運動特點
(1)運動軌跡是水平面內的圓．
(2)合外力沿水平方向指向圓心，提供向心力，豎直方向合力為零，物體在水平面內做勻速圓周運動．
2．過程分析
重視過程分析，在水平面內做圓周運動的物體，當轉速變化時，物體的受力可能發生變化，轉速繼續變化，會出現繩子張緊、繩子突然斷裂、靜摩擦力隨轉速增大而逐漸達到最大值、彈簧彈力大小方向發生變化等，從而出現臨界問題．
3．方法突破
(1)水平轉盤上的物體恰好不發生相對滑動的臨界條件是物體與盤間恰好達到最大靜摩擦力．
(2)物體間恰好分離的臨界條件是物體間的彈力恰好為零．
(3)繩的拉力出現臨界條件的情形：繩恰好拉直意味著繩上無彈力；繩上拉力恰好為最大承受力等．
例 1 如圖所示，用一根長為l＝1 m的細線，一端系一質量為m＝1 kg的小球(可視為質點)，另一端固定在一光滑錐體頂端，錐面與豎直方向的夾角θ＝37°.當小球在水平面內繞錐體的軸做勻速圓周運動的角速度為ω時，細線的張力為T(g取10 m/s2，結果可用根式表示，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)．
(1)若要小球離開錐面，則小球的角速度ω0至少為多大？
(2)若細線與豎直方向間的夾角為60°，則小球的角速度ω′為多大？
[教你解決問題]　讀題審題——完成信息轉化
例 2 如圖所示，A、B兩個小滑塊用不可伸長的輕質細繩連接，放置在水平轉臺上，mA＝0.1 kg，mB＝0.2 kg，繩長l＝1.5 m，兩滑塊與轉臺的動摩擦因數μ均為0.5(設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力)，轉臺靜止時細繩剛好伸直但沒有彈力，轉臺從靜止開始繞豎直轉軸緩慢加速轉動(任意一段極短時間內可認為轉臺做勻速圓周運動)，g取10 m/s2.以下分析正確的是(　　)
A．當ω＝ rad/s時，繩子張力等于0.9 N
B．當ω> rad/s時，A、B開始在轉臺上滑動
C．當ω＝ rad/s時，A受到摩擦力為0
D．當ω＝ rad/s時，繩子張力為1 N
考點二　豎直面內圓周運動的臨界問題
1．繩—球模型與桿—球模型對比
輕繩模型 輕桿模型
情景圖示
彈力特征 彈力可能向下，也可能等于零 彈力可能向下，可能向上，也可能等于零
受力示意圖
力學方程 mg＋FT＝m mg±FN＝m
臨界特征 FT＝0，即mg＝m，得v＝ v＝0，即F向＝0， 此時FN＝mg
模型關鍵 (1)“繩”只能對小球施加向下的力 (2)小球通過最高點的速度至少為 (1)“桿”對小球的作用力可以是拉力，也可以是支持力 (2)小球通過最高點的速度最小可以為0
2．豎直平面內圓周運動的求解思路
考向1　繩—球模型
例 3 如圖甲所示，輕繩的一端固定在O點，另一端系一小球．小球在豎直平面內做完整的圓周運動的過程中，繩子的拉力F的大小與小球離最低點的高度h的關系如圖所示．重力加速度g取，則(　　)
A．圓周半徑為1.0 m
B．小球質量為0.5 kg
C．輕繩轉至水平時拉力為30 N
D．小球通過最高點時的速度為2 m/s
例 4 某教師受兒童娛樂場過山車與彩色滑道項目的啟發，設計了如圖所示的實驗裝置，豎直放置的光滑曲線軌道AM、水平軌道MN與光滑圓軌道O在M點平滑連接，在B點安裝有壓力傳感器并與計算機連接(B為圓軌道的最高點)，已知圓O的半徑為R.一質量為m的小物塊從距水平軌道高h處的A點無初速度滑下，經過圓軌道O后到達水平軌道MN，壓力傳感器顯示小物塊經過B點時對軌道的壓力大小為mg.下列說法正確的是(　　)
A．h＝3R
B．小物塊滑過M點時加速度大小a＝5.5g
C．減小h，小物塊經過B點時對軌道的壓力增大
D．減小h，小物塊經過M點和B點時對軌道的壓力差一定減小
考向2　桿(管)類豎直面內圓周運動
例 5 如圖所示，一半徑為R＝0.2 m、內壁光滑的四分之三圓形管道豎直固定在墻角處，O點為圓心，P點為最低點，A、B兩點處為管口，O、A兩點連線沿豎直方向，O、B兩點連線沿水平方向．一個質量為m＝0.4 kg的小球從管道的頂部A點水平飛出，恰好又從管口B點射入管內，重力加速度g取10 m/s2，則小球從A點飛出時及從B點射入管內經過P點時對管壁的壓力大小之差為(　　)
A．2 N　　B．18 N　　C．20 N　　D．22 N
例 6 (多選)圖1是某體操運動員在比賽中完成“單臂大回環”的高難度動作時的場景：用一只手抓住單杠，伸展身體，以單杠為軸做圓周運動，運動員運動到最高點時，運動員與單杠間彈力大小為F，運動員在最高點的速度大小為v.其F-v2圖像如圖2所示，g取10 m/s2.則下列說法中正確的是(　　)
A．此運動員的質量為50 kg
B．此運動員的重心到單杠的距離為0.9 m
C．在最高點速度為4 m/s時，運動員受單桿的彈力大小跟重力大小相等
D．在最高點速度為4 m/s時，運動員受單桿的彈力大小約為428 N，方向向下
[教你解決問題]　挖掘隱含條件
讀圖 信息提取 隱含條件 規律方法
v2＝0 運動員與單杠的彈力大小等于其重力 F－mg＝0，即m＝＝55 kg
v2＝9 m2/s2 運動員與單杠的彈力為0，其重力提供向心力 mg＝m，即r＝＝0.9 m
v2＝16 m2/s2 單杠對運動員的拉力豎直向下，合力提供向心力 F＋mg＝m，F＝m－mg≈428 N
考向3　拱形橋和凹形橋類模型
例 7 (多選)汽車行駛中經常會經過一些凹凸不平的路面，其凹凸部分路面可以看作圓弧的一部分，如圖所示的A、B、C處，其中B處的曲率半徑最大，A處的曲率半徑為ρ1，C處的曲率半徑為ρ2，重力加速度為g.若有一輛可視為質點、質量為m的小汽車與路面之間各處的動摩擦因數均為μ，當該車以恒定的速率v沿這段凹凸路面行駛時，下列說法正確的是(　　)
A．汽車經過A處時處于失重狀態，經過C處時處于超重狀態
B．汽車經過B處時最容易爆胎
C．為了保證行車不脫離路面，該車的行駛速度不得超過
D．汽車經過C處時所受的摩擦力大小為μmg
專題強化六　圓周運動的臨界問題
考點一
例1　解析：(1)若要小球剛好離開錐面，此時小球只受到重力和細線的拉力，如圖所示．
小球做勻速圓周運動的軌跡圓在水平面上，故向心力水平，在水平方向上運用牛頓第二定律及向心力公式得
mg tan θ＝l sin θ
解得ω0＝ ＝ rad/s.
(2)當細線與豎直方向成60°角時，小球已離開錐面，由牛頓第二定律及向心力公式有
mg tan 60°＝mω′2l sin 60°
解得ω′＝ ＝2 rad/s.
答案：(1) rad/s　(2)2 rad/s
例2　解析：當繩子剛好出現張力時，則對B分析可知μmBg＝l，解得ω0＝ rad/s，當ω＝ rad/s<ω0時，繩子張力等于0，選項A錯誤；當ω＝ rad/s＝ω0時，繩子張力等于0，此時A受到摩擦力為0，選項C正確；當A、B剛要在轉臺上滑動時，則對B：T＋μmBg＝l，對A：T＝μmAg，解得：ω1＝ rad/s，當ω> rad/s時，A、B開始在轉臺上滑動，當ω＝ rad/s時，繩子張力為T＝μmAg＝0.5 N，選項B、D錯誤．故選C.
答案：C
考點二
例3　解析：由題圖乙可知，當h＝0時，繩的拉力為F2＝41 N，當h＝1.0 m時繩的拉力為F1＝11 N，可知小球做圓周運動的半徑R＝ m＝0.5 m，A錯誤；設小球通過最高點時的速度為v1，通過最低點時的速度為v2，由機械能守恒定律可得＋mg·2R＝在最高點，根據牛頓第二定律可知F1＋mg＝，在最低點，根據牛頓第二定律可知F2－mg＝，聯立解得m＝0.5 kg，v1＝4 m/s，B正確，D錯誤；設輕繩轉至水平時小球的速度為v，從最高點到水平時，由機械能守恒定律可得＋mgR＝mv2，解得v＝ m/s，由牛頓第二定律可知，輕繩轉至水平時拉力F＝m＝26 N，C錯誤．
答案：B
例4　解析：物塊從A點運動到B點的過程，由機械能守恒定律得mgh＝在B點由牛頓第二定律得mg＋NB＝，又NB＝mg，解得h＝2.75R，故A錯誤；物塊從A點運動到M點的過程，由機械能守恒定律得mgh＝，解得NM＝6.5mg；aM＝＝g＝5.5g，故B正確；減少h，小物塊經過M點和B點時的速度減小，由牛頓第二定律表達式mg＋NB＝可知，B點軌道彈力減小，經過M點和B點時壓力差為(NM－NB)＝6mg可見，壓力差恒定不變，故C、D錯誤．故選B.
答案：B
例5　解析：小球從A點做平拋運動到B點，則有R＝vAt，R＝gt2，解得vA＝ ，在A點若小球對上、下管壁均無壓力，則mg＝，解得v＝，因為vA<，所以管壁對小球有向上的支持力，則mg－N1＝，解得N1＝mg＝2 N，由牛頓第三定律可知小球對管壁的壓力NA＝N1＝2 N，小球到B點時豎直方向的速度vy＝，在B點與管壁碰撞，水平速度減為零，從B點到P點的過程由機械能守恒定律得＋mgR＝在P點對小球由牛頓第二定律得N2－mg＝，解得N2＝5mg＝20 N，由牛頓第三定律可知小球對管壁的壓力NP＝N2＝20 N，則小球從A點飛出時及從B點射入管內經過P點時對管壁的壓力大小之差為ΔN＝NP－NA＝18 N，故選B.
答案：B
例6　解析：對運動員在最高點進行受力分析，由圖2可知v2＝0，對運動員受力分析可得F－mg＝0，解得m＝＝ kg＝55 kg，故A錯誤；由圖2可知，當v2＝9 m2/s2，此時F＝0，重力提供向心力，可得mg＝m，解得r＝0.9 m，故B正確；在最高點速度為4 m/s時，運動員受到單杠的彈力的方向向下，可得F＋mg＝m，解得F＝427.8 N≈428 N，方向豎直向下，故C錯誤，D正確．故選BD.
答案：BD
例7　解析：小車經過A處時具有向下指向圓心的向心加速度，處于失重狀態，經過C處時具有向上指向圓心的向心加速度，處于超重狀態，A正確；在B、C處受向下的重力mg、向上的彈力FN，由圓周運動有FN－mg＝得車對軌道的壓力FN＝mg＋>mg，故在B、C處處于超重，以同樣的速度行駛時，R越小，壓力越大，越容易爆胎，故在半徑較小的C處更容易爆胎，B錯誤；在C處所受的滑動摩擦力Ff＝μFN＝μ(mg＋)，D錯誤；要使車安全行駛，則不得離開地面，故經過A處時恰不離開地面有mg＝，即安全行駛的速度不得超過，C正確．故選AC.
答案：AC(共27張PPT)
專題強化六　圓周運動的臨界問題
1. 掌握水平面內、豎直面內的圓周運動的動力學問題的解題方法．
2．會分析水平面內、豎直面內圓周運動的臨界問題．
考點一
考點二
考點一
考點一　水平面內圓周運動的臨界問題
1．運動特點
(1)運動軌跡是水平面內的圓．
(2)合外力沿水平方向指向圓心，提供向心力，豎直方向合力為零，物體在水平面內做勻速圓周運動．
2．過程分析
重視過程分析，在水平面內做圓周運動的物體，當轉速變化時，物體的受力可能發生變化，轉速繼續變化，會出現繩子張緊、繩子突然斷裂、靜摩擦力隨轉速增大而逐漸達到最大值、彈簧彈力大小方向發生變化等，從而出現臨界問題．
3．方法突破
(1)水平轉盤上的物體恰好不發生相對滑動的臨界條件是物體與盤間恰好達到最大靜摩擦力．
(2)物體間恰好分離的臨界條件是物體間的彈力恰好為零．
(3)繩的拉力出現臨界條件的情形：繩恰好拉直意味著繩上無彈力；繩上拉力恰好為最大承受力等．
例 1 如圖所示，用一根長為l＝1 m的細線，一端系一質量為m＝1 kg的小球(可視為質點)，另一端固定在一光滑錐體頂端，錐面與豎直方向的夾角θ＝37°.當小球在水平面內繞錐體的軸做勻速圓周運動的角速度為ω時，細線的張力為T(g取10 m/s2，結果可用根式表示，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)．
(1)若要小球離開錐面，則小球的角速度ω0至少為多大？
(2)若細線與豎直方向間的夾角為60°，則小球的角速度ω′為多大？
解析：(1)若要小球剛好離開錐面，此時小球只受到重力和細線的拉力，如圖所示．
小球做勻速圓周運動的軌跡圓在水平面上，故向心力水平，在水平方向上運用牛頓第二定律及向心力公式得mg tan θ＝l sin θ
解得ω0＝ ＝ rad/s.
(2)當細線與豎直方向成60°角時，小球已離開錐面，由牛頓第二定律及向心力公式有mg tan 60°＝mω′2l sin 60°
解得ω′＝ ＝2 rad/s.
答案：(1) rad/s　(2)2 rad/s
[教你解決問題]　讀題審題——完成信息轉化
例 2 如圖所示，A、B兩個小滑塊用不可伸長的輕質細繩連接，放置在水平轉臺上，mA＝0.1 kg，mB＝0.2 kg，繩長l＝1.5 m，兩滑塊與轉臺的動摩擦因數μ均為0.5(設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力)，轉臺靜止時細繩剛好伸直但沒有彈力，轉臺從靜止開始繞豎直轉軸緩慢加速轉動(任意一段極短時間內可認為轉臺做勻速圓周運動)，g取10 m/s2.以下分析正確的是(　　)
A．當ω＝ rad/s時，繩子張力等于0.9 N
B．當ω> rad/s時，A、B開始在轉臺上滑動
C．當ω＝ rad/s時，A受到摩擦力為0
D．當ω＝ rad/s時，繩子張力為1 N
答案：C
解析：當繩子剛好出現張力時，則對B分析可知μmBg＝l，解得ω0＝ rad/s，當ω＝ rad/s<ω0時，繩子張力等于0，選項A錯誤；當ω＝ rad/s＝ω0時，繩子張力等于0，此時A受到摩擦力為0，選項C正確；當A、B剛要在轉臺上滑動時，則對B：T＋μmBg＝l，對A：T＝μmAg，解得：ω1＝ rad/s，當ω> rad/s時，A、B開始在轉臺上滑動，當ω＝ rad/s時，繩子張力為T＝μmAg＝0.5 N，選項B、D錯誤．故選C.
考點二
1．繩—球模型與桿—球模型對比
輕繩模型 輕桿模型
情景圖示
彈力特征 彈力可能向下，也可能等于零 彈力可能向下，可能向上，也可能等于零
受力示 意圖
力學方程 mg＋FT＝m mg±FN＝m
臨界特征 FT＝0，即mg＝m，得v＝ v＝0，即F向＝0，
此時FN＝mg
模型關鍵 (1)“繩”只能對小球施加向下的力 (2)小球通過最高點的速度至少為 (1)“桿”對小球的作用力可以是拉力，也可以是支持力
(2)小球通過最高點的速度最小可以為0
2．豎直平面內圓周運動的求解思路
考向1　繩—球模型
例 3 如圖甲所示，輕繩的一端固定在O點，另一端系一小球．小球在豎直平面內做完整的圓周運動的過程中，繩子的拉力F的大小與小球離最低點的高度h的關系如圖所示．重力加速度g取，則(　　)
A．圓周半徑為1.0 m
B．小球質量為0.5 kg
C．輕繩轉至水平時拉力為30 N
D．小球通過最高點時的速度為2 m/s
答案：B
解析：由題圖乙可知，當h＝0時，繩的拉力為F2＝41 N，當h＝1.0 m時繩的拉力為F1＝11 N，可知小球做圓周運動的半徑R＝ m＝0.5 m，A錯誤；設小球通過最高點時的速度為v1，通過最低點時的速度為v2，由機械能守恒定律可得＋mg·2R＝在最高點，根據牛頓第二定律可知F1＋mg＝，在最低點，根據牛頓第二定律可知F2－mg＝，聯立解得m＝0.5 kg，v1＝4 m/s，B正確，D錯誤；設輕繩轉至水平時小球的速度為v，從最高點到水平時，由機械能守恒定律可得＋mgR＝mv2，解得v＝ m/s，由牛頓第二定律可知，輕繩轉至水平時拉力F＝m＝26 N，C錯誤．
例 4 某教師受兒童娛樂場過山車與彩色滑道項目的啟發，設計了如圖所示的實驗裝置，豎直放置的光滑曲線軌道AM、水平軌道MN與光滑圓軌道O在M點平滑連接，在B點安裝有壓力傳感器并與計算機連接(B為圓軌道的最高點)，已知圓O的半徑為R.一質量為m的小物塊從距水平軌道高h處的A點無初速度滑下，經過圓軌道O后到達水平軌道MN，壓力傳感器顯示小物塊經過B點時對軌道的壓力大小為mg.下列說法正確的是(　　)
A．h＝3R
B．小物塊滑過M點時加速度大小a＝5.5g
C．減小h，小物塊經過B點時對軌道的壓力增大
D．減小h，小物塊經過M點和B點時對軌道的壓力差一定減小
答案：B
解析：物塊從A點運動到B點的過程，由機械能守恒定律得mgh＝在B點由牛頓第二定律得mg＋NB＝，又NB＝mg，解得h＝2.75R，故A錯誤；物塊從A點運動到M點的過程，由機械能守恒定律得mgh＝，解得NM＝6.5mg；aM＝＝g＝5.5g，故B正確；減少h，小物塊經過M點和B點時的速度減小，由牛頓第二定律表達式mg＋NB＝可知，B點軌道彈力減小，經過M點和B點時壓力差為(NM－NB)＝6mg可見，壓力差恒定不變，故C、D錯誤．故選B.
考向2　桿(管)類豎直面內圓周運動
例 5 如圖所示，一半徑為R＝0.2 m、內壁光滑的四分之三圓形管道豎直固定在墻角處，O點為圓心，P點為最低點，A、B兩點處為管口，O、A兩點連線沿豎直方向，O、B兩點連線沿水平方向．一個質量為m＝0.4 kg的小球從管道的頂部A點水平飛出，恰好又從管口B點射入管內，重力加速度g取10 m/s2，則小球從A點飛出時及從B點射入管內經過P點時對管壁的壓力大小之差為(　　)
A．2 N　　B．18 N　　C．20 N　　D．22 N
答案：B
解析：小球從A點做平拋運動到B點，則有R＝vAt，R＝gt2，解得vA＝ ，在A點若小球對上、下管壁均無壓力，則mg＝，解得v＝，因為vA<，所以管壁對小球有向上的支持力，則mg－N1＝，解得N1＝mg＝2 N，由牛頓第三定律可知小球對管壁的壓力NA＝N1＝2 N，小球到B點時豎直方向的速度vy＝，在B點與管壁碰撞，水平速度減為零，從B點到P點的過程由機械能守恒定律得＋mgR＝在P點對小球由牛頓第二定律得N2－mg＝，解得N2＝5mg＝20 N，由牛頓第三定律可知小球對管壁的壓力NP＝N2＝20 N，則小球從A點飛出時及從B點射入管內經過P點時對管壁的壓力大小之差為ΔN＝NP－NA＝18 N，故選B.
例 6 (多選)圖1是某體操運動員在比賽中完成“單臂大回環”的高難度動作時的場景：用一只手抓住單杠，伸展身體，以單杠為軸做圓周運動，運動員運動到最高點時，運動員與單杠間彈力大小為F，運動員在最高點的速度大小為v.其F-v2圖像如圖2所示，g取10 m/s2.則下列說法中正確的是(　　)
A．此運動員的質量為50 kg
B．此運動員的重心到單杠的距離為0.9 m
C．在最高點速度為4 m/s時，運動員受單桿的彈力大小跟重力大小相等
D．在最高點速度為4 m/s時，運動員受單桿的彈力大小約為428 N，方向向下
答案：BD
解析：對運動員在最高點進行受力分析，由圖2可知v2＝0，對運動員受力分析可得F－mg＝0，解得m＝＝ kg＝55 kg，故A錯誤；由圖2可知，當v2＝9 m2/s2，此時F＝0，重力提供向心力，可得mg＝m，解得r＝0.9 m，故B正確；在最高點速度為4 m/s時，運動員受到單杠的彈力的方向向下，可得F＋mg＝m，解得F＝427.8 N≈428 N，方向豎直向下，故C錯誤，D正確．故選BD.
[教你解決問題]　挖掘隱含條件
讀圖 信息提取 隱含條件 規律方法
v2＝0 運動員與單杠的彈力大小等于其重力 F－mg＝0，即m＝＝55 kg
v2＝9 m2/s2 運動員與單杠的彈力為0，其重力提供向心力 mg＝m，即r＝＝0.9 m
v2＝16 m2/s2 單杠對運動員的拉力豎直向下，合力提供向心力 F＋mg＝m，F＝m－mg≈428 N
考向3　拱形橋和凹形橋類模型
例 7 (多選)汽車行駛中經常會經過一些凹凸不平的路面，其凹凸部分路面可以看作圓弧的一部分，如圖所示的A、B、C處，其中B處的曲率半徑最大，A處的曲率半徑為ρ1，C處的曲率半徑為ρ2，重力加速度為g.若有一輛可視為質點、質量為m的小汽車與路面之間各處的動摩擦因數均為μ，當該車以恒定的速率v沿這段凹凸路面行駛時，下列說法正確的是(　　)
A．汽車經過A處時處于失重狀態，經過C處時處于超重狀態
B．汽車經過B處時最容易爆胎
C．為了保證行車不脫離路面，該車的行駛速度不得超過
D．汽車經過C處時所受的摩擦力大小為μmg
答案：AC
解析：小車經過A處時具有向下指向圓心的向心加速度，處于失重狀態，經過C處時具有向上指向圓心的向心加速度，處于超重狀態，A正確；在B、C處受向下的重力mg、向上的彈力FN，由圓周運動有FN－mg＝得車對軌道的壓力FN＝mg＋>mg，故在B、C處處于超重，以同樣的速度行駛時，R越小，壓力越大，越容易爆胎，故在半徑較小的C處更容易爆胎，B錯誤；在C處所受的滑動摩擦力Ff＝μFN＝μ(mg＋)，D錯誤；要使車安全行駛，則不得離開地面，故經過A處時恰不離開地面有mg＝，即安全行駛的速度不得超過，C正確．故選AC.

展開更多......

收起↑