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/ 讓教學更有效 精品試卷 | 數學
第01講 集合
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考綱解讀
)
(
小
考綱導向
小
)
考點要求 考題統計 考情分析
(1)集合的概念與表示 (2)集合的基本關系 (3)集合的基本運算 2024年I卷第1題，5分 2023年I卷第1題，5分 2023 年II卷第2題，5 分 2022年I卷II卷第1題，5分2021年I卷I卷第1題，5 分2020年I卷II卷第1題，5分 （1）本講為高考命題熱點，題型以選擇題為主，考查內容、頻率、題型、難度均變化不大. （2）重點是集合間的基本運算，主要考查集合的交、并、補運算，常與一元二次不等式解法、分式不等式解法、指數、對數不等式解法結合. （3）適當關注集合與充要條件相結合的解題方法.
(
考試要求
小
)
1、了解集合、全集、空集的含義；
2、理解元素與集合的屬于關系、集合間的包含和相等關系；
3、會求兩個集合的并集、交集、補集；
4、能用圖形、集合、自然語言描述集合，會用圖表示集合間的基本關系和基本運算.
(
考點突破
)
(
考點梳理
小
)
知識點1:元素與集合
1、集合的概念：把研究對象統稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合，簡稱集.
2、集合和元素的符號表示：通常用大寫字母表示集合，用小寫字母表示元素.
3、集合中元素的三個特性：（1）確定性（2）互異性（3）無序性
4、元素與集合的關系：
（1）屬于：若集合中含有元素，則屬于集合，記作，讀作屬于.
（2）不屬于：若是集合中不含元素，則不屬于集合，記作，讀作不屬于.
5、常用數集：
自然數集（）、正整數集（或）、整數集（）、有理數集（）、實數集（）.
6、集合的表示方法：
（1）列表法（2）描述法（3）圖示法
知識點2:集合間的基本關系
1、子集
對于集合,,若集合中任意一個元素都是集合中的元素，則這兩集合有包含關系，稱集合為集合的子集，記為或（），讀作集合包含于集合（或集合包含集合）.
關于子集的兩個性質：
（1）反身性：；
（2）傳遞性：若，且，則.
2、真子集
若集合，但存在元素，且，稱集合是集合的真子集，記為 （或），讀作集合真包含于集合（或集合真包含集合）.
圖如右所示.
3、空集
不含任何元素的集合叫空集，記為.
規定空集是任何一個集合的子集，空集是任何一個非空集合的真子集，即
（1）（是任意一個集合）；（2）（）.
4、集合相等
若集合，且，則集合與集合的元素是一樣的，稱集合與集合相等，記為 .圖如右圖所示.
【重要結論】
1、含有個元素的集合共有個子集，個真子集，個非空子集，個非空真子集.
知識點3:集合間的基本運算
表示 運算 自然語言 集合語言 圖形語言 記法
交集 屬于集合且屬于集合的所有元素組成的集合
并集 屬于集合或屬于集合的所有元素組成的集合
補集 屬于全集且不屬于集合的所有元素組成的集合稱為集合相對于全集的補集
交集的性質：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5），；（6）.
并集的性質：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5），；（6）
【重要結論】
1、；；
2、德摩根定律：.
(
題型展示
小
)
題型一:元素與集合
【例1】設集合，若，則實數的值為（ ）
A、 B、 C、 D、
【題型】集合-元素互異性
【答案】D
【解析】
若，不符合元素的互異性；
若，答案選D.
【例2】（2024北京模擬）已知集合，則集合中的元素個數為（ ）
A、5 B、6 C、7 D、8
【題型】集合-求元素個數
【答案】C
【解析】
若，有；若，有；
，故集合中的元素個數為7，答案選C.
【變式1】已知集合，則集合為（ ）
A、 B、 C、 D、
【題型】集合-集合的表示
【答案】C
【解析】
由集合的描述法表示可知，集合表示元素的集合，
.答案選C
【變式2】已知集合，則集合中的元素個數為（ ）
A、6 B、7 C、8 D、9
【題型】集合-求元素個數
【答案】B
【解析】
若，有；若，有；
，故集合中的元素個數為7，答案選B.
題型二:集合間基本關系
【例3】已知集合，若，則的取值為（ ）
A、 B、 C、 D、
【題型】集合-子集求參
【答案】C
【解析】
先對集合求解：
，的子集；若為空集，則，若不為空集，
故，答案選C.
【例4】已知集合，則集合的真子集個數為（ ）
A、3 B、7 C、8 D、9
【題型】集合-求并集
【答案】B
【解析】
對集合求解：，求出補集，共有3個元素，故真子集個數為.答案選B.
【變式3】已知集合，若，則實數的取值范圍為（ ）
A、 B、 C、 D、
【題型】集合-求并集
【答案】A
【解析】
先對集合求解：
，是的子集；若為空集，則，若不為空集， 故.答案選A.
【變式4】已知集合，且，則集合的子集個數為（ ）
A、6 B、7 C、8 D、9
【題型】集合-求并集
【答案】C
【解析】
，且，，故集合的子集個數為個.答案選C.
題型三:集合的基本運算
【例5】（2024全國甲文2）若集合，則（ ）
A、 B、 C、 D、
【題型】集合-求交集
【答案】C
【解析】直接求解法
對集合求解：，
集合與集合求交集，即共有的值，有，則.答案選C.
【例6】（2024北京卷1）已知集合，則（ ）
A、 B、 C、 D、
【題型】集合-求并集
【答案】C
【解析】直接求解法
可利用數軸表示法，在數軸上畫出的范圍，求并集.答案選C.
【例7】（2024杭州模擬）已知，則（ ）
A. B. C. D.
【題型】集合-求并集
【答案】C
【解析】
；，故.答案選C.
【變式5】（2022全國甲2）設全集，集合則（ ）
A、 B、 C、 D、
【題型】集合-求交集
【答案】B
【解析】
對集合求解：，
集合與集合求并集，，故.答案選B.
【變式6】（2021全國乙）已知集合，則（ ）
A、 B、 C、 D、
【題型】集合-求交集
【答案】C
【解析】
，
集合與集合求交集，即共有的值，有，則.答案選C.
(
考場演練
)
【真題1】（2024全國I1）已知集合，則（ ）
A、 B、 C、 D、
【題型】集合-求交集
【答案】A
【解析】直接求解法，選項代入法
方法1：直接求解法
對集合求解：，與集合求交集，即共有的值，有，則.答案選A.
方法2：選項代入法
對A選項代入：，；又，A符合.答案選A.
【真題2】（2023全國I1）已知集合，則（ ）
A、 B、 C、 D、
【題型】集合-求交集
【答案】C
【解析】直接求解法，選項代入法
方法1：直接求解法
對集合求解：，
與集合求交集，即共有的值，有，則.答案選C.
方法2：選項代入法
對A選項中0代入：不符合，排除 A、B選項；
D選項中不是集合形式，故排除.答案選C.
【真題3】（2022全國I1）若集合，則（ ）
A、 B、 C、 D、
【題型】集合-求交集
【答案】D
【解析】直接求解法
對集合求解：，對集合求解；
集合與集合求交集，即共有的值，則.答案選D.
【真題4】（2021全國I1）已知集合，則（ ）
A、 B、 C、 D、
【題型】集合-求交集
【答案】B
【解析】直接求解法
集合與集合求交集，即共有的值，則.答案選B.
【真題5】（2024全國甲理2）已知集合，則（ ）
A、 B、 C、 D、
【題型】集合-求交集和補集
【答案】D
【解析】直接求解法
對集合求解：，與集合求交集，即共有的值，有，則，再求補集有.答案選D.
【真題6】（2023·全國新Ⅱ卷）設集合，，若，則（ ）．
A．2 B．1 C． D．
【題型】集合-集合基本關系
【答案】B
【解析】直接求解法
根據包含關系分和兩種情況討論.，則有：
若，解得，則，，不符合題意；
若，解得，則，，符合題意；故.答案選B.
【真題7】（2020全國新Ⅰ卷）已知，若集合，，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【題型】集合-集合基本關系和邏輯條件
【答案】A
【解析】直接求解法
當時，集合，，可得，滿足充分性，
若，則或，不滿足必要性，
則“”是“”的充分不必要條件，答案選A.
【真題8】（2024·北京）已知集合，，則（ ）
A、 B、 C、 D、
【題型】集合-求并集
【答案】C
【解析】直接求解法
直接根據并集含義和數軸分析法，可得.答案選C.
【真題9】（2022·浙江）設集合，則（ ）
A、 B、 C、 D、
【題型】集合-求并集
【答案】D
【解析】直接求解法
利用并集含義，可得，，答案選D.
【真題10】（2021·北京）已知集合，，則（ ）
A、 B、 C、 D、
【題型】集合-求并集
【答案】B
【解析】直接求解法
利用并集的定義計算可得：.答案選B.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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第01講 集合
(
考綱解讀
)
(
小
考綱導向
小
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考點要求 考題統計 考情分析
(1)集合的概念與表示 (2)集合的基本關系 (3)集合的基本運算 2024年I卷第1題，5分 2023年I卷第1題，5分 2023 年II卷第2題，5 分 2022年I卷II卷第1題，5分2021年I卷I卷第1題，5 分2020年I卷II卷第1題，5分 （1）本講為高考命題熱點，題型以選擇題為主，考查內容、頻率、題型、難度均變化不大. （2）重點是集合間的基本運算，主要考查集合的交、并、補運算，常與一元二次不等式解法、分式不等式解法、指數、對數不等式解法結合. （3）適當關注集合與充要條件相結合的解題方法.
(
考試要求
小
)
1、了解集合、全集、空集的含義；
2、理解元素與集合的屬于關系、集合間的包含和相等關系；
3、會求兩個集合的并集、交集、補集；
4、能用圖形、集合、自然語言描述集合，會用圖表示集合間的基本關系和基本運算.
(
考點突破
)
(
考點梳理
小
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知識點1:元素與集合
1、集合的概念：把研究對象統稱為 ，把一些元素組成的總體叫做 ，簡稱集.
2、集合和元素的符號表示：通常用大寫字母表示集合，用小寫字母表示元素.
3、集合中元素的三個特性：（1） （2） （3） .
4、元素與集合的關系：
（1）屬于：若集合中含有元素，則屬于集合，記作 ，讀作屬于.
（2）不屬于：若集合中不含元素，則不屬于集合，記作 ，讀作不屬于.
5、常用數集：
自然數集: 、正整數集: 、整數集: 、有理數集: 、實數集: .
6、集合的表示方法：
（1） （2） （3） .
知識點2:集合間的基本關系
1、子集
對于集合,,若集合中任意一個元素都是集合中的元素，則這兩集合有 關系，稱集合為集合的子集，記為 或（ ），讀作集合包含于集合（或集合包含集合）.
關于子集的兩個性質：
（1）反身性： ；
（2）傳遞性：若，且，則 .
2、真子集
若集合，但存在元素，且，稱集合是集合的真子集，記為 （或 ），讀作集合真包含于集合（或集合真包含集合）.
圖如右所示.
3、空集
不含任何元素的集合叫空集，記為 .
規定空集是任何一個集合的子集，空集是任何一個非空集合的真子集，即
（1）（是任意一個集合）；（2）（）.
4、集合相等
若集合，且，則集合與集合的元素是一樣的，稱集合與集合 ，記為 .圖如右圖所示.
【重要結論】
1、含有個元素的集合共有 個子集， 個真子集， 個非空子集，
個非空真子集.
知識點3:集合間的基本運算
表示 運算 自然語言 集合語言 圖形語言 記法
交集 屬于集合 屬于集合的所有元素組成的集合
并集 屬于集合 屬于集合的所有元素組成的集合
補集 屬于全集且不屬于集合的所有元素組成的集合稱為集合相對于全集的補集
交集的性質：
（1）； （2） ； （3） ；
（4）； （5），；（6）.
并集的性質：
（1）； （2） ； （3） ；
（4）； （5），；（6）
【重要結論】
1、；；
2、德摩根定律：.
(
題型展示
小
)
題型一:元素與集合
【例1】設集合，若，則實數的值為（ ）
A、 B、 C、 D、
【例2】（2024北京模擬）已知集合，則集合中的元素個數為（ ）
A、5 B、6 C、7 D、8
【變式1】已知集合，則集合為（ ）
A、 B、 C、 D、
【變式2】已知集合，則集合中的元素個數為（ ）
A、6 B、7 C、8 D、9
題型二:集合間基本關系
【例3】已知集合，若，則的取值為（ ）
A、 B、 C、 D、
【例4】已知集合，則集合的真子集個數為（ ）
A、3 B、7 C、8 D、9
【變式3】已知集合，若，則實數的取值范圍為（ ）
A、 B、 C、 D、
【變式4】已知集合，且，則集合的子集個數為（ ）
A、6 B、7 C、8 D、9
題型三:集合的基本運算
【例5】（2024全國甲文2）若集合，則（ ）
A、 B、 C、 D、
【例6】（2024北京卷1）已知集合，則（ ）
A、 B、 C、 D、
【例7】（2024杭州模擬）已知，則（ ）
A. B. C. D.
【變式5】（2022全國甲2）設全集，集合則（ ）
A、 B、 C、 D、
【變式6】（2021全國乙）已知集合，則（ ）
A、 B、 C、 D、
(
考場演練
)
【真題1】（2024全國I1）已知集合，則（ ）
A、 B、 C、 D、
【真題2】（2023全國I1）已知集合，則（ ）
A、 B、 C、 D、
【真題3】（2022全國I1）若集合，則（ ）
A、 B、 C、 D、
【真題4】（2021全國I1）已知集合，則（ ）
A、 B、 C、 D、
【真題5】（2024全國甲理2）已知集合，則（ ）
A、 B、 C、 D、
【真題6】（2023·全國新Ⅱ卷）設集合，，若，則（ ）．
A．2 B．1 C． D．
【真題7】（2020全國新Ⅰ卷）已知，若集合，，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【真題8】（2024·北京）已知集合，，則（ ）
A、 B、 C、 D、
【真題9】（2022·浙江）設集合，則（ ）
A、 B、 C、 D、
【真題10】（2021·北京）已知集合，，則（ ）
A、 B、 C、 D、
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