資源簡介

第二章　函數
第一節　函數的概念及表示
1.了解構成函數的要素，會求簡單函數的定義域和值域．
2．在實際情景中，會根據不同的需要選擇恰當的方法(如圖象法、列表法、解析法)表示函數．
3．了解簡單的分段函數，并能簡單應用．
問題思考·夯實技能
【問題1】　若兩個函數的定義域和值域都相同，那么這兩個函數是同一函數嗎？請舉例說明．
【問題2】　請你將函數f(x)＝|x＋1|用分段函數形式表示？并用圖象法表示．
關鍵能力·題型剖析
題型一函數的定義域
例1 (1)函數y＝的定義域為(　　)
A．(－4，－1) B．(－4，1)
C．(－1，1) D．(－1，1]
(2)[2024·河北衡水模擬]已知函數y＝f(x)的定義域為[0，4]，則函數y＝＋(x－2)0的定義域是(　　)
A．(1，5] B．(1，2)∪(2，5)
C．(1，2)∪(2，3] D．(1，3]
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題后師說
求函數定義域的策略
鞏固訓練1
(1)[2024·河南周口模擬]函數f(x)＝的定義域為(　　)
A．{x|x≥－1}
B．{x|－10}
C．{x|x>－1}
D．{x|－1≤x<0或x>0}
(2)已知函數f(x)＝lg ，則函數g(x)＝f(x－1)＋的定義域是(　　)
A．{x|x>2或x<0} 　 B．
C．{x|x>2} 　 D．
題型二 函數的解析式
例2 (1)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式．
(2)已知f(x)是一次函數，并且f(f(x))＝4x＋3，求f(x)．
(3)函數f(x)滿足方程2f(x)＋f()＝2x，x∈R且x≠0，求f(x)．
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題后師說
求函數解析式的方法
鞏固訓練2
(1)已知f()＝，則f(x)＝(　　)
A．(x＋1)2(x≠1) 　 B．(x－1)2(x≠1)
C．x2－x＋1(x≠1) 　 D．x2＋x＋1(x≠1)
(2)已知f(x)是二次函數且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，則f(x)＝________．
(3)若f(x)對于任意實數x恒有3f(x)－2f(－x)＝5x＋1，則f(x)＝________．
題型三 分段函數
角度一　分段函數求值
例3 (1)[2024·江西上饒模擬]若函數f(x)＝，則f(f(－2))＝(　　)
A．4　　　B．3　　　C．2　　　D．1
(2)函數f(x)＝，則f(－8)＝(　　)
A．4　　　B．2　　　C．8　　　D．6
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題后師說
在求分段函數的函數值時，一定要先判斷自變量屬于定義域的哪個子集，再代入相應的關系式．若涉及復合函數求值，則從內到外逐層計算，當自變量的值不確定時，要分類討論．
鞏固訓練3
已知函數f(x)＝，則f(f(4))＝(　　)
A．－1　　　B．0　　　C．1　　　D．2
角度二　分段函數與方程、不等式
例4 (1)已知f(x)＝，若f(f(1))＝f(－1)，則實數a的值為(　　)
A．－ B．－4或－
C．－4 D．不存在
(2)[2024·黑龍江大慶模擬]已知函數f(x)＝，若f(2a－1)－1≤0，則實數a的取值范圍是(　　)
A．[，＋∞)
B．(－∞，－]
C．[0，]
D．(－∞，]
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題后師說
(1)解決此類問題時，先在分段函數的各段上分別求解，然后將求出的值或范圍與該段函數的自變量的取值范圍求交集，最后將各段的結果合起來(取并集)即可．
(2)如果分段函數的圖象易得，也可以畫出函數圖象后結合圖象求解．
鞏固訓練4
(1)[2024·吉林通化模擬]已知函數f(x)＝，則方程f(x)＝的解集為(　　)
A． B．
C． D．
(2)已知f(x)＝，則使f(x)≥－1成立的x的取值范圍是(　　)
A．[－2，2] B．[－2，0]
C．[－2，2) D．(0，2]
1.下列各曲線表示的y與x之間的關系中，y不是x的函數的是(　　)
2．函數f(x)＝＋x0的定義域是(　　)
A．(－1，1) B．[－1，1]
C．[－1，0)∪(0，1] D．(-1，0)∪(0，1)
3．已知函數f(x)＝，則f(f(1))＝(　　)
A．2　　　 B．3 C．4　　　 D．5
4．設函數f(x)滿足f ()＝1＋x，則f(x)的表達式為(　　)
A． B．
C． D．
5．已知函數f(x)＝若a[f(a)－f(－a)]>0，則實數a的取值范圍為________．
狀元筆記 求函數值域的一般方法
方法一　分離參數法
【典例1】　函數f(x)＝的值域為(　　)
A．(－∞，，＋∞)
B．(－∞，，＋∞)
C．(－∞，－，＋∞)
D．(－∞，，＋∞)
[解析]　依題意，f(x)＝＝＝＝－·，由于－·的值域為(－∞，0)故函數f(x)的值域為(－∞，，＋∞)．
[答案]　D
方法二　配方法
【典例2】　函數f(x)＝的值域為________．
[解析]　因為＝，所以0≤，所以函數的值域為[0，].
[答案]　[0，]
方法三　換元法
【典例3】　函數y＝2x－的值域為(　　)
A．(－∞，－] B．(－∞，－)
C．(，＋∞) D．[，＋∞)
[解析]　函數的定義域是{x|x≥1}，令＝t，則t∈[0，＋∞)，x＝t2＋1，所以y＝2(t2＋1)－t＝2t2－t＋2＝2(t－)2＋，
因為t≥0，所以y≥.
[答案]　D
方法四　單調性法
【典例4】　函數y＝的值域為________．
[解析]　因為，
所以－2≤x≤3，
所以此函數的定義域為[－2，3]，
又因為y＝－是減函數，
當x＝－2時，y＝－取得最大值，
當x＝3時，y＝－取得最小值－，
所以值域為[－， ].
[答案]　[－， ]
方法五　基本不等式法
【典例5】　函數y＝(x>1)的值域為________．
[解析]　y＝＝(x－1)＋＋4，
∵x>1，∴x－1>0，
∴y＝(x－1)＋＋4≥2＋4，
當且僅當x－1＝，即x＝＋1時等號成立．
∴函數的值域為[2＋4，＋∞)．
[答案]　[2＋4, ＋∞)
第二章　函數
第一節　函數的概念及表示
問題思考·夯實技能
【問題1】　提示：不是．例如函數y＝x與函數y＝2x的定義域和值域都是R，但這兩個函數不是同一函數．
【問題2】　提示：f(x)＝
關鍵能力·題型剖析
例1　解析：(1)由題意得，
解得，故定義域為(－1，1)．
(2)因為函數y＝f(x)的定義域為[0，4]，又函數y＝＋(x－2)0有意義，
則有，解得1所以函數y＝＋(x－2)0的定義域是(1，2)
答案：(1)C　(2)C
鞏固訓練1　解析：(1)要使函數有意義，則，解得x>－1且x≠0，
所以函數的定義域為{x|－10}．
(2)要使f(x)＝lg 有意義，則>0，
即(1－x)(1＋x)>0，解得－1要使g(x)＝f(x－1)＋有意義，則，解得≤x<2，
所以函數g(x)的定義域為.
答案：(1)B　(2)B
例2　解析：(1)設u＝＋1，則＝u－1(u≥1)．
∴f(u)＝(u－1)2＋2(u－1)＝u2－1(u≥1)．即f(x)＝x2－1(x≥1)．
(2)設f(x)＝ax＋b(a≠0)，
則f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋3.
∴解得或
故所求的函數為f(x)＝2x＋1或f(x)＝－2x－3.
(3)(構造法)∵2f(x)＋f()＝2x，①
將x換成，則換成x，
得2f()＋f(x)＝.②
由①②消去f()，得3f(x)＝4x－.
∴f(x)＝x－(x∈R且x≠0)．
鞏固訓練2　解析：(1)f()＝＝()2－＋1.令＝t(t≠1)，得f(t)＝t2－t＋1(t≠1)，
即f(x)＝x2－x＋1(x≠1)．
(2)設f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝2，得c＝2，
f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1，
∴即
∴f(x)＝x2－x＋2.
(3)對 x∈R恒有3f(x)－2f(－x)＝5x＋1，①
所以有3f(－x)－2f(x)＝－5x＋1，②
由①②解得f(x)＝x＋1.
答案：(1)C　(2)x2－x＋2　(3)x＋1
例3　解析：(1)由函數f(x)＝得f(－2)＝4＋9＝13，
∴f(f(－2))＝f(13)＝log216＝4.
(2)因為f(x)＝，
所以f(－8)＝f(－5)＝f(－2)＝f(1)＝2.
答案：(1)A　(2)B
鞏固訓練3　解析：f(x)＝，f(4)＝－3＝－1，f(f(4))＝f(－1)＝1＋1＝2.
答案：D
例4　解析：(1)由題意，f(1)＝a＋3，f(－1)＝，即f(a＋3)＝.
當a＋3≥0，即a≥－3時，f(a＋3)＝a＋3(a＋3)＝4a＋9＝，解得a＝－，滿足題意；
當a＋3<0，即a<－3時，f(a＋3)＝2a＋3＝，解得a＝－4，滿足題意．
所以a＝－或－4.
(2)因為f(2a－1)－1≤0 f(2a－1)≤1.
①當2a－1≥1時，f(2a－1)＝ln (2a－1)≤1 1≤a≤.
②當0≤2a－1<1時，f(2a－1)＝0≤1 ≤a<1.
③當2a－1<0時，f(2a－1)＝2a－1≤1 a<.
綜上所述a≤.
答案：(1)B　(2)D
鞏固訓練4　解析：(1)當x≥0時，f(x)＝x2＝，解得x＝或x＝－(舍去)，當x<0時，f(x)＝＝，解得x＝(舍去)，故解集為.
(2)方法一　當x≤0時f(x)＝2x＋3，不等式f(x)≥－1可化為2x＋3≥－1，解得x≥－2，又x≤0，所以－2≤x≤0；
當x>0時，f(x)＝－(x－1)2，不等式f(x)≥－1可化為－(x－1)2≥－1，解得0≤x≤2，又x>0，所以0綜上，使不等式f(x)≥－1成立的x的取值范圍是[－2，2].
方法二　函數f(x)的圖象如圖所示，虛線表示y＝－1，函數f(x)圖象在虛線y＝－1及以上的部分中x的取值范圍即不等式f(x)≥－1的解集．
由圖可知，x的取值范圍就是點A的橫坐標與點B的橫坐標之間的范圍．
在y＝2x＋3中，令y＝－1，得x＝－2，所以點A的橫坐標為－2.
在y＝－(x－1)2中，令y＝－1，得x＝0(舍去)或x＝2，
所以點B的橫坐標為2，所以使不等式f(x)≥－1成立的x的取值范圍是[－2，2].
答案：(1)A　(2)A
隨堂檢測
1．解析：根據函數的定義知道，一個自變量只能有對應的一個函數值；反之，一個函數值可以有不同的自變量．
答案：C
2．解析：函數f(x)＝＋x0，
則，即，即f(x)的定義域是(－1，0)
答案：D
3．解析：當x＝1時，f(1)＝21＋1＝3，當x＝3時，f(3)＝|3－5|＝2，所以f(f(1))＝f(3)＝2.
答案：A
4．解析：令＝t，則x＝，代入f ()＝1＋x，
得f(t)＝1＋＝，
即f(x)＝.
答案：A
5．解析：當a>0時，不等式a[f(a)－f(－a)]>0可化為a2＋a－3a>0，解得a>2.當a<0時，不等式a[f(a)－f(－a)]>0可化為－a2－2a<0，解得a<－2.綜上所述，a的取值范圍為(－∞，－2)∪(2，+∞)．
答案：(－∞，－2)∪(2，+∞)第二節　函數的單調性與最值
1.借助函數圖象，會用符號語言表達函數的單調性、最大值、最小值，理解它們的作用和實際意義．
2．掌握函數單調性的簡單應用．
問題思考·夯實技能
【問題1】　請你寫出函數y＝x＋的單調區間．
【問題2】　你能想起用函數單調性的定義來證明函數單調性的一般步驟嗎？
關鍵能力·題型剖析
題型一 求函數的單調區間
例1 (1)f(x)＝－x2＋2|x|＋3；
(2)f(x)＝ (－x2＋4x＋5)；
(3)f(x)＝x－ln x.
[聽課記錄]
題后師說
(1)求函數單調區間的方法：①定義法；②圖象法；③利用已知函數的單調性法；④導數法．
(2)求函數的單調區間，定義域優先．
鞏固訓練1
(1)函數f(x)＝|x2－3x＋2|的單調遞減區間是(　　)
A．[，＋∞)
B．[1，]和[2，＋∞)
C．(－∞，1]和[，2]
D．(－∞，)和[2，＋∞)
(2)函數f(x)＝的單調遞增區間是(　　)
A．(－∞，1] B．[1，＋∞)
C．[1，3] D．[－1，1]
題型二 單調性的判斷與證明
例2 試討論函數f(x)＝(a≠0)在(－1，1)上的單調性．
[聽課記錄]
題后師說
(1)判斷函數單調性的方法
①圖象法；②利用已知函數的單調性；③定義法．
(2)證明函數單調性的方法
①定義法；②導數法．
鞏固訓練2
已知函數f(x)＝.判斷f(x)在[0，＋∞)上單調遞增還是單調遞減，并證明你的判斷．
題型三 函數單調性的應用
角度一　比較函數值的大小
例3 已知函數f(x)的圖象向左平移1個單位后關于y軸對稱，當x2＞x1＞1時，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立，設a＝f(－)，b＝f(2)，c＝f(3)，則a，b，c的大小關系為(　　)
A．c＞a＞b B．c＞b＞a
C．a＞c＞b D．b＞a＞c
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題后師說
比較函數值的大小時，若自變量的值不在同一個單調區間內，要利用函數的性質，轉化到同一個單調區間內進行比較．
鞏固訓練3
[2024·廣東深圳模擬]已知函數f(x)的定義域為R，若對 x∈R都有f(3＋x)＝f(1－x)，且f(x)在(2，＋∞)上單調遞減，則f(1)，f(2)與f(4)的大小關系是(　　)
A．f(4)C．f(1)角度二　求函數的最值
例4 函數f(x)＝x＋在區間[－，2]上的最大值為(　　)
A．　　　B． C．3　　　D．4
[聽課記錄]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
題后師說
利用函數單調性求最值是求函數最值的重要方法，特別是當函數圖象不易作出時，單調性法幾乎成為首選方法．
鞏固訓練4
函數f(x)＝在x∈[1，4]上最大值為M，最小值為m，則M－m的值是(　　)
A．　 　 B．2 C．　 　 D．
角度三　解函數不等式
例5 [2024·遼寧葫蘆島模擬]已知函數f(x)＝，則關于x的不等式f(1－x)[聽課記錄]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
題后師說
求解函數不等式時，由條件脫去“f”，轉化為自變量間的大小關系，應注意函數的定義域．
鞏固訓練5
已知函數f(x)＝ln x＋2x，若f(x2－4)<2，則實數x的取值范圍是______．
角度四　求參數的取值范圍
例6 [2024·黑龍江哈爾濱九中模擬]若函數f(x)＝在R上單調遞增，則實數a的取值范圍是(　　)
A．(1，) B．(1，]
C．(1，2) D．(1，2]
[聽課記錄]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
題后師說
利用單調性求參數的取值范圍，根據單調性直接構建參數滿足的方程(組)(不等式(組))或先得到其圖象的升降，再結合圖象求解．對于分段函數，要注意銜接點的取值．
鞏固訓練6
若函數f(x)＝在(a，＋∞)上單調遞增，則實數a的取值范圍為________．
1.下列四個函數中，在x∈(0，＋∞)上為增函數的是(　　)
A．f(x)＝－ B．f(x)＝x2－3x
C．f(x)＝3－x D．f(x)＝－|x|
2．函數f(x)＝在區間[1，2]上的最大值與最小值分別是(　　)
A．　 B．2，5
C．1，2 　 D．
3．函數f(x)＝|x－2|x的單調遞減區間是(　　)
A．[1，2] B．[－1，0]
C．(0，2] D．[2，＋∞)
4．設a∈R，已知函數y＝f(x)是定義在[－4，4]上的減函數，且f(a＋1)>f(2a)，則a的取值范圍是(　　)
A．[－4，1)　B．(1，4]　C．(1，2]　D．(1，＋∞)
5．若函數f(x)＝是R上的單調遞增函數，則實數a的取值范圍是______．
第二節　函數的單調性與最值
問題思考·夯實技能
【問題1】　提示：單調遞增區間為(－∞，－1]和[1，＋∞)，單調遞減區間為(－1，0)和(0，1)．
切記：當函數有多個不連續的單調區間時，不能用符號“∪”連接，只能用“逗號”或“和”連接．
【問題2】　提示：第一步：設x1，x2是該區間內的任意兩個值，且x1第二步：作差f(x1)－f(x2)，并通過因式分解、通分、配方、有理化等手段，轉化為易判斷正負的式子．
第三步：確定f(x1)－f(x2)的符號．
第四步：根據f(x1)－f(x2)的符號及定義判斷函數的單調性．
關鍵能力·題型剖析
例1　解析：(1)∵f(x)＝其圖象如圖所示，∴函數y＝f(x)的單調遞增區間為(－∞，－1]和[0，1]，單調遞減區間為[－1，0]和[1，＋∞)．
(2)由－x2＋4x＋5>0得－1(3)由題意，得x>0.y′＝1－＝.
x (0，1) 1 (1，＋∞)
y′ － 0 ＋
y ↘ 極小值 ↗
由上表可知，函數的單調遞增區間為(1，＋∞)，單調遞減區間為(0，1)．
鞏固訓練1　解析：(1)y＝|x2－3x＋2|
＝
如圖所示，
函數的單調遞減區間是(－∞，1]和[，2].
(2)函數f(x)＝的定義域需要滿足3＋2x－x2≥0，解得f(x)定義域為[－1，3]，
因為y＝3＋2x－x2在[－1，1]上單調遞增，所以f(x)＝在[－1，1]上單調遞增．
答案：(1)C　(2)D
例2　解析：方法一　設－1f(x)＝a()＝a(1＋)，
則f(x1)－f(x2)＝a(1＋)－a(1＋)＝，
由于－1所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，
故當a>0時，f(x1)－f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)，函數f(x)在(－1，1)上單調遞減；
當a<0時，f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)方法二　f′(x)＝＝＝－.
當a>0時，f′(x)<0，函數f(x)在(－1，1)上單調遞減；
當a<0時，f′(x)>0，函數f(x)在(－1，1)上單調遞增．
鞏固訓練2　解析：f(x)在[0，＋∞)上單調遞增，證明如下：
設任意的0≤x1f(x1)－f(x2)＝＝，
因為0≤x1故x1－x2<0，(x1＋1)(x2＋1)>0，
故f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)故f(x)在[0，＋∞)上單調遞增．
例3　解析：根據已知可得函數f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，且在(1，＋∞)上單調遞減．
所以a＝f(－)＝f()，f(2)>f()>f(3)，
所以b＞a＞c.
答案：D
鞏固訓練3　解析：因為對 x∈R都有f(3＋x)＝f(1－x)，所以f(1)＝f(3－2)＝f[1－(－2)]＝f(3)，
又因為f(x)在(2，＋∞)上單調遞減，且2<3<4，
所以f(4)答案：A
例4　解析：設t＝x＋1，則問題轉化為求函數g(t)＝t＋－1在區間[，3]上的最大值．根據對勾函數的性質，得函數g(t)在區間[，2]上單調遞減，在區間[2，3]上單調遞增，所以＝max＝max＝.
答案：B
鞏固訓練4　解析：因為y＝在[1，4]上是增函數，所以M＝f(x)max＝f(4)＝2－＝，m＝f(x)min＝f(1)＝0.因此M－m＝.
答案：A
例5　解析：當x≤3時，f(x)＝x2－3x在(－∞，]上單調遞減，在[，3]上單調遞增，
當x>3時，f(x)＝x－1是增函數，且×3－1＝0＝f(3)，
因此函數f(x)在(－∞，]上單調遞減，在[，＋∞)上單調遞增，而1－x<2－x，
則當1－x≥，即x≤－時，恒有f(1－x)當x>－時，2－x<≤3，不等式化為(1－x)2－3(1－x)<(2－x)2－3(2－x)，解得x<0，則－所以不等式f(1－x)答案：(－∞，0)
鞏固訓練5　解析：因為函數f(x)＝ln x＋2x在定義域(0，＋∞)上單調遞增，且f(1)＝ln 1＋2＝2，所以由f(x2－4)<2得0答案：(－，－2)∪(2，)
例6　解析：當x<4時，函數f(x)＝ax－3單調遞增，
所以a>1，
當x≥4時，f(x)＝x＋－3，是單調遞增函數，
所以≤4，所以0當x＝4時，對勾函數取值要大于或等于指數式的值，
所以a≤4＋－3，
解得a≤，
綜上所述實數a的取值范圍是(1，].
答案：B
鞏固訓練6　解析：由函數f(x)＝＝＝1＋，
因為f(x)在(a，＋∞)上單調遞增，則滿足，解得1≤a<2，
所以實數a的取值范圍為[1，2)．
答案：[1，2)
隨堂檢測
1．解析：根據函數f(x)＝－的圖象可知，其單調遞增區間是(－∞，－1)，(－1，＋∞)，所以A對．
因為拋物線f(x)＝x2－3x的單調遞增區間為[，＋∞)，單調遞減區間為(－∞，)，所以該拋物線在x∈(0，＋∞)上不單調，所以B錯；
因為直線f(x)＝3－x的斜率為－1，所以在x∈(0，＋∞)上為減函數，所以C錯；
根據函數f(x)＝－|x|的圖象可知其在x∈(0，＋∞)上為減函數，所以D錯．
答案：A
2．解析：∵y＝x2＋1在(0，＋∞)上單調遞增，且y＞1，
∴f(x)＝在區間[1，2]上單調遞減，
∴函數f(x)＝在區間[1，2]上的最大值與最小值分別是
f(1)＝＝，f(2)＝＝.
答案：A
3．解析：當x≤2時，f(x)＝－x2＋2x，則函數f(x)在(－∞，1]上單調遞增，在[1，2]上單調遞減，
當x>2時，f(x)＝x2－2x，則函數f(x)在(2，＋∞)上單調遞增，
所以函數f(x)＝|x－2|x的單調遞減區間是[1，2].
答案：A
4．解析：∵函數y＝f(x)是定義在[－4，4]上的減函數，且f(a＋1)>f(2a)，
∴－4≤a＋1<2a≤4，解得1答案：C
5．解析：由題意知， 1≤a≤2，
所以a的取值范圍為[1，2].
答案：[1，2]第三節　函數的奇偶性、周期性
1.了解函數奇偶性的含義，了解函數的周期性及其幾何意義．
2．會依據函數的性質進行簡單的應用．
問題思考·夯實技能
【問題1】　“a＋b＝0”是“函數f(x)在區間[a，b](a≠b)上具有奇偶性”的什么條件？請說明理由．
【問題2】　對f(x)定義域內任一自變量的值x，請證明：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝，則T＝2a(a>0)．
關鍵能力·題型剖析
題型一 判斷函數的奇偶性
例1 判斷下列函數的奇偶性：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝(x－1)；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝.
[聽課記錄]
題后師說
判斷函數奇偶性的方法
鞏固訓練1
(1)下列函數中，為偶函數的是(　　)
A．f(x)＝ 　　　 B．f(x)＝
C．f(x)＝ D．f(x)＝x＋
(2)[2024·河南開封模擬]函數f(x)滿足f(x)＝，則下列函數中為奇函數的是(　　)
A．f(x＋1)－2 B．f(x＋2)－2
C．f(x－2)＋2 　 D．f(x＋1)＋2
題型二 函數奇偶性的應用
角度一　利用奇偶性求值(解析式)
例2 (1)[2023·新課標Ⅱ卷]若f(x)＝(x＋a)ln 為偶函數，則a＝(　　)
A．－1 B．0
C． D．1
(2)已知函數f(x)是定義在R上的偶函數，且當x≥0時，f(x)＝－x2＋3x，則f(x)的解析式為______．
[聽課記錄]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
題后師說
(1)求參數：根據f(－x)±f(x)＝0得到關于待求參數的恒等式，再求出參數的值．在解答選擇題、填空題時，一般選用特值法，如函數f(x)為奇函數(在x＝0處有定義)，則用f(0)＝0求解等．
(2)求解析式(或函數值)：將待求區間上的自變量轉化到已知區間上，再利用奇偶性求出．
鞏固訓練2
(1)[2024·山東臨沂模擬]已知函數f(x)＝x＋是偶函數，則m＝________．
(2)已知函數f(x)是定義在[－1，1]上的奇函數，當0角度二　利用奇偶性解不等式
例3 [2024·河北石家莊模擬]若偶函數f(x)在(0，＋∞)上單調遞減，且f(2)＝0，則不等式<0的解集為(　　)
A．(－2，2)
B．(－2，0)∪(2，+∞)
C．(－∞，－2)∪(2，+∞)
D．(－∞，－2)∪(0，2)
[聽課記錄]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
題后師說
利用奇偶性可畫出另一對稱區間上的函數圖象及判斷另一區間上函數的單調性．
鞏固訓練3
[2024·河南開封模擬]已知函數f(x)＝＋a是奇函數，則不等式f(2x－1)>－的解集為________．
題型三 函數的周期性
例4 [2024·山西晉中模擬]設f(x)是定義在R上的奇函數，且對任意實數x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，當x∈[0，2]時，f(x)＝2x－x2.
(1)求證：f(x)是周期函數；
(2)當x∈[2，4]時，求f(x)的解析式；
(3)計算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 023)．
[聽課記錄]
題后師說
(1)求解與函數的周期有關的問題，應根據題目特征及周期定義，求出函數的周期．
(2)利用函數的周期性，可將其他區間上的求值，求零點個數、求解析式等問題，轉化到已知區間上，進而解決問題．
鞏固訓練4
(1)[2024·黑龍江佳木斯模擬]定義在R上的函數f(x)滿足f(x)＝，且當x∈[0，4)，f(x)＝x＋1，則f(2 023)＝______．
(2)[2024·江蘇無錫模擬]已知函數f(x)是定義域為R的偶函數，且周期為2，當x∈[－1，0)時，f(x)＝()x－1，則當x∈(2，3]時，f(x)＝________．
1.[2023·安徽合肥模擬]已知函數f(x)為R上的奇函數，當x≥0時，f(x)＝ex＋x＋m，則f(－1)＝(　　)
A．e B．－e
C．e＋1 D．－e－1
2．已知定義在R上的函數f(x)滿足f(x＋2)＝－f(x)，且當x∈[0，2)時，f(x)＝log2(x＋1)，則f(47)＝(　　)
A．2 B．0
C．1 D．－1
3．[2023·全國乙卷]已知f(x)＝是偶函數，則a＝(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
4．[2023·河北邯鄲一模]已知函數f(x－1)為偶函數，且函數f(x)在[－1，＋∞)上單調遞增，則關于x的不等式f(1－2x)A．(－∞，3) B．(3，＋∞)
C．(－∞，2) D．(2，＋∞)
5．[2022·新高考Ⅰ卷]已知函數f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函數，則a＝________．
第三節　函數的奇偶性、周期性
問題思考·夯實技能
【問題1】　提示：必要不充分條件
因為偶函數的圖象關于y軸對稱，奇函數的圖象關于原點對稱．
【問題2】　提示：(1)∵f(x＋a)＝－f(x)，
∴f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝－(－f(x))＝f(x)，
∴T＝2a.
(2)∵f(x＋a)＝，
∴f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝＝＝f(x)，
∴T＝2a.
關鍵能力·題型剖析
例1　解析：(1)由，得－2≤x≤2，且x≠0，
所以f(x)的定義域為[－2，0)關于原點對稱，
所以f(x)＝＝＝.
又f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以f(x)是奇函數．
(2)因為f(x)的定義域為[－1，1)，不關于原點對稱，所以f(x)既不是奇函數也不是偶函數．
(3)對于函數f(x)＝，所以x＝±1，其定義域為{－1，1}，關于原點對稱．
因為對定義域內的每一個x，都有f(x)＝0，所以f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)＝既是奇函數又是偶函數．
(4)函數f(x)的定義域為R，定義域關于原點對稱．
①當x＝0時，－x＝0，
所以f(－x)＝f(0)＝0，f(x)＝f(0)＝0，所以f(－x)＝－f(x)；
②當x>0時，－x<0，所以f(－x)＝－(－x)2－2(－x)－3＝－(x2－2x＋3)＝－f(x)；
③當x<0時，－x>0，所以f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝－(－x2－2x－3)＝－f(x)．
綜上，可知函數f(x)為奇函數．
鞏固訓練1　解析：(1)選項A中，函數定義域是{x|x≠1}，函數沒有奇偶性；
選項B中，函數定義域是(－∞，＋∞)，f(－x)＝＝＝f(x)，是偶函數；
選項C中，函數定義域是{1}，函數沒有奇偶性；
選項D中，函數定義域是{x|x≠0}，f(－x)＝－x－＝－f(x)，函數是奇函數．
(2)A：f(x＋1)－2＝－2＝，定義域為{x|x≠1}，不關于原點對稱，不符合；
B：f(x＋2)－2＝－2＝，定義域為{x|x≠0}，關于原點對稱，且＝－，符合；
C：f(x－2)＋2＝＋2＝，定義域為{x|x≠4}，不關于原點對稱，不符合；
D：f(x＋1)＋2＝＋2＝，定義域為{x|x≠1}，不關于原點對稱，不符合．
答案：(1)B　(2)B
例2　解析：(1)設g(x)＝ln ，易知g(x)的定義域為，關于原點對稱，且g(－x)＝ln ＝ln ＝－ln ＝－g(x)，所以g(x)為奇函數．若f(x)＝(x＋a)ln 為偶函數，則y＝x＋a也應為奇函數，所以a＝0，故選B.
(2)根據題意可知，當x<0時，－x>0，則f(－x)＝－(－x)2＋3(－x)＝－x2－3x，
又函數f(x)是定義在R上的偶函數，所以f(－x)＝f(x)，
因此當x<0時，f(x)＝－x2－3x，所以f(x)的解析式為f(x)＝.
答案：(1)B　(2)f(x)＝
鞏固訓練2　解析：(1)由ex－1≠0得f(x)＝x＋的定義域為{x|x≠0}，
則∵f(x)＝x＋是偶函數，故f(－1)＝f(1)，
即－1＋＝1＋，解得m＝2.
此時f(x)＝x＋＝，而f(－x)＝＝f(x)，
故f(x)為偶函數，故m＝2.
(2)當－1≤x<0時，0<－x≤1，
因為函數f(x)是定義在[－1，1]上的奇函數，
故f(x)＝－f(－x)＝－[－x(－x－1)]＝－x2－x.
答案：(1)2　(2)－x2－x
例3　解析：因為f(x)為偶函數，所以f(－x)＝f(x)，
所以＝<0，且x≠0，
因為f(x)在(0，＋∞)上單調遞減，且f(2)＝0，
所以f(x)在(－∞，0)上單調遞增，且f(－2)＝f(2)＝0，
當x>0時，則f(x)<0＝f(2)，故x>2，
當x<0時，則f(x)>0＝f(－2)，故－2綜上<0的解集為(－2，0)
答案：B
鞏固訓練3　解析：由題意，函數f(x)＝＋a為奇函數，可得f(0)＝＋a＝＋a＝0，
解得a＝－，即f(x)＝，其定義域為x∈R，經檢驗滿足題意；
因為f(x)＝為減函數，且f(1)＝＝－，
所以不等式f(2x－1)>－等價于f(2x－1)>f(1)，
即2x－1<1，解得x<1，所以不等式f(2x－1)>－的解集為(－∞，1)．
答案：(－∞，1)
例4　解析：(1)證明：f(x＋2)＝－f(x) f(x＋2＋2)＝－f(x＋2) f(x＋4)＝f(x)，
所以f(x)是以4為周期的周期函數．
(2)當x∈[－2，0]時，因為函數f(x)是定義在R上的奇函數，
所以f(x)＝－f(－x)＝－[2(－x)－(－x)2]＝x2＋2x，
當x∈[2，4]時，f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.
(3)f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1，
因為函數f(x)的周期為4，
所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 023)＝506×[f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)]＝0.
鞏固訓練4　解析：(1)由f(x)＝可得f(x＋4)＝，所以f(x＋8)＝＝f(x)，故f(x)為周期函數，且周期為8，
f(2 023)＝f(－1)＝＝.
(2)當x∈(0，1]時，－x∈[－1，0)，
則f(－x)＝()－x－1＝2x－1，
因為f(x)是定義域為R的偶函數，所以f(x)＝f(－x)＝2x－1；
當x∈(2，3]時，x－2∈(0，1]，則f(x－2)＝2x－2－1，
又f(x)的周期為2，所以f(x)＝f(x－2)＝2x－2－1.
答案：(1)　(2)2x－2－1
隨堂檢測
1．解析：函數f(x)為R上的奇函數，則f(0)＝e0＋0＋m＝0，解得m＝－1，f(－1)＝－f(1)＝－(e＋1－1)＝－e.
答案：B
2．解析：由f(x＋2)＝－f(x)得f(x＋4)＝－f(x＋2)，所以f(x)＝f(x＋4)，
所以函數f(x)的周期為4，所以f(47)＝f(4×12－1)＝f(－1)，
因為f(x)＝－f(x＋2)，所以f(－1)＝－f(1)＝－log22＝－1.
答案：D
3．解析：f(x)的定義域為{x|x≠0}，因為f(x)是偶函數，所以f(x)＝f(－x)，即＝，即e(1－a)x－ex＝－e(a－1)x＋e－x，即e(1－a)x＋e(a－1)x＝ex＋e－x，所以a－1＝±1，解得a＝0(舍去)或a＝2，故選D.
答案：D
4．解析：因為f(x－1)為偶函數，所以f(x－1)的圖象關于y軸對稱，則f(x)的圖象關于直線x＝－1對稱．
因為f(x)在[－1，＋∞)上單調遞增，
所以f(x)在(－∞，－1]上單調遞減．
因為f(1－2x)所以－7<1－2x<5，解得x<3.故選A.
答案：A
5．解析：因為f(x)＝x3(a·2x－2－x)，
故f(－x)＝－x3(a·2－x－2x)，
因為f(x)為偶函數，故f(－x)＝f(x)，
所以x3(a·2x－2－x)＝－x3(a·2－x－2x)，
整理得到(a－1)(2x＋2－x)＝0，故a＝1.
答案：1第四節　函數的對稱性
1.能通過平移，分析得出一般的軸對稱和中心對稱公式和推論．
2．會利用對稱公式解決問題．
問題思考·夯實技能
【問題1】　已知函數f(x)是奇函數，則函數f(x＋1)的圖象關于點(－1，0)對稱．反之，已知函數f(x＋1)是奇函數，則函數f(x)的圖象關于什么對稱？
【問題2】　已知函數f(x)是偶函數，則函數f(x＋1)的圖象關于直線x＝ －1對稱．反之，已知函數f(x＋1)是偶函數，則函數f(x)的圖象關于什么對稱？
關鍵能力·題型剖析
題型一 軸對稱問題
例1 (1)如果函數f(x)對任意的實數x，都有f(1＋x)＝f(－x)，且當x≥時，f(x)＝log2(3x－1)，那么函數f(x)在[－2，0]上的最大值與最小值之和為(　　)
A．2 B．3
C．4 D．－1
(2)[2024·安徽蕪湖模擬]已知函數y＝f(x＋1)是偶函數，且y＝f(x)在(1，＋∞)上單調遞增，則(　　)
A．f(1)>f(0) B．f(2)>f(0)
C．f(－2)f(0)
[聽課記錄]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
題后師說
函數y＝f(x)的圖象關于直線x＝a對稱 f(x)＝f(2a－x) f(a－x)＝f(a＋x)；若函數y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則y＝f(x)的圖象關于直線x＝成軸對稱．
鞏固訓練1
(1)定義在R上的函數f(x)在(－∞，2)上是增函數，且f(x＋2)＝f(2－x)對任意x∈R恒成立，則(　　)
A．f(－1)f(3)
C．f(－1)＝f(3) D．f(0)＝f(3)
(2)已知f(x＋1)是R上的偶函數，當0≤x≤1時，f(x)＝x＋1，則f(1.4)＝(　　)
A．1.4 B．3.4
C．1.6 D．3.6
題型二 中心對稱問題
例2 (1)已知函數f(x)的定義域為R，且y＝f(x＋1)的圖象關于點(－1，0)成中心對稱．當x>0時，f(x)＝，則f(－2)＝(　　)
A．1 B．3
C．－1 D．－3
(2)已知函數f(x)滿足f(x)＋f(－x)＝2，g(x)＝＋1，y＝f(x)與y＝g(x)有4個交點，則這4個交點的縱坐標之和為________．
[聽課記錄]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
題后師說
函數y＝f(x)的圖象關于點(a，b)對稱 f(a＋x)＋f(a－x)＝2b 2b－f(x)＝f(2a－x)；若函數y＝f(x)滿足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，則y＝f(x)的圖象關于點()成中心對稱．
鞏固訓練2
(1)[2024·北京海淀模擬]下列函數中，沒有對稱中心的是(　　)
A．f(x)＝ B．f(x)＝x3
C．f(x)＝tan x D．f(x)＝2|x|
(2)已知函數f(x)＝x3＋ax2＋x＋b的圖象關于點(1，1)對稱，則b＝(　　)
A．－1　　B．1 C．－2　　D．2
題型三 兩個函數的圖象的對稱問題
例3 [2024·江西南昌模擬]設函數y＝f(x)的定義域為R，則函數y＝f(x－5)與函數y＝f(1－x)的圖象關于(　　)
A．直線y＝3對稱 B．直線x＝3對稱
C．直線y＝2對稱 D．直線x＝2對稱
[聽課記錄]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
題后師說
函數y＝f(a＋x)的圖象與函數y＝f(b－x)的圖象關于直線x＝對稱．
鞏固訓練3
已知函數y＝f(x)是定義域為R的函數，則函數y＝f(x＋2)與y＝f(4－x)的圖象(　　)
A．關于x＝1對稱 B．關于x＝3對稱
C．關于y＝3對稱 D．關于(3，0)對稱
1.下列函數與y＝ex關于x＝1對稱的是(　　)
A．y＝ex－1 B．y＝e1－x
C．y＝e2－x D．y＝ln x
2．已知函數y＝f(x)的圖象經過點P(1，－2)，則函數y＝－f(－x)的圖象必過點(　　)
A．(－1，2) B．(1，2)
C．(－1，－2) D．(－2，1)
3．已知函數f(x)＝－x2＋bx＋c，且f(x＋1)是偶函數，則f(－1)，f(1)，f(2)的大小關系是(　　)
A．f(－1)C．f(2)4．定義在R上的奇函數f(x)的圖象關于直線x＝－1對稱，當x∈[0，1)時，f(x)＝，則f(－)＝(　　)
A．　　　B． C．－　 　 D．－
5．已知函數f(x)滿足f(2－x)＝f(2＋x)，且當x≥2時，f(x)＝x2－6x＋5，則f(1)＝______．
第四節　函數的對稱性
問題思考·夯實技能
【問題1】　提示：關于點(1，0)對稱．
【問題2】　提示：關于直線x＝1對稱．
關鍵能力·題型剖析
例1　解析：(1)根據f(1＋x)＝f(－x)，可知：f(x)關于x＝對稱，
那么要求函數f(x)在[－2，0]上的最大值與最小值之和，
即求函數f(x)在[1，3]上的最大值與最小值之和，
因為f(x)＝log2(3x－1)單調遞增，所以最小值與最大值分別為：f(1)＝1，f(3)＝3，f(1)＋f(3)＝4.
(2)y＝f(x＋1)是偶函數，則y＝f(x)關于x＝1對稱，
又因為y＝f(x)在(1，＋∞)上單調遞增，則y＝f(x)在(－∞，1)上單調遞減，
所以f(1)f(0)，
根據函數y＝f(x)關于x＝1對稱，可知，f(2)＝f(0)，則f(－2)>f(2)，只有D正確．
答案：(1)C　(2)D
鞏固訓練1　解析：(1)因為f(x＋2)＝f(2－x)，
所以f(x)的圖象關于直線x＝2對稱，
所以f(3)＝f(1)，
由于f(x)在(－∞，2)上是增函數，
所以f(－1)(2)因為f(x＋1)是R上的偶函數，
所以f(x＋1)＝f(－x＋1)，所以f(x)關于x＝1對稱，
當0≤x≤1時，f(x)＝x＋1，
所以f(1.4)＝f(0.6)＝0.6＋1＝1.6.
答案：(1)A　(2)C
例2　解析：(1)因為將y＝f(x＋1)的圖象向右平移1個單位長度后得到函數y＝f(x)的圖象且y＝f(x＋1)的圖象關于點(－1，0)成中心對稱，
所以y＝f(x)的圖象關于原點成中心對稱，則y＝f(x)在R上是奇函數，
所以f(－2)＝－f(2)＝－＝－1.
(2)因為f(x)＋f(－x)＝2，所以y＝f(x)的圖象關于點(0，1)對稱，y＝g(x)＝＋1的圖象也關于點(0，1)對稱，則交點關于(0，1)對稱，所以4個交點的縱坐標之和為2×2＝4.
答案：(1)C　(2)4
鞏固訓練2　解析：(1)f(x)＝的對稱中心是(－1，0)，A不正確；f(x)＝x3的對稱中心是(0，0)，B不正確；f(x)＝tan x的對稱中心是(，0)，k∈Z，C不正確；f(x)＝2|x|結合指數型函數的圖象可知函數無對稱中心，D選項正確．
(2)∵f(x)圖象關于點(1，1)對稱，∴f(x)＋f(2－x)＝2，
又f(2－x)＝(2－x)3＋a(2－x)2＋(2－x)＋b
＝－x3＋(a＋6)x2－(4a＋13)x＋10＋4a＋b，
∴f(x)＋f(2－x)＝(2a＋6)x2－(4a＋12)x＋10＋4a＋2b＝2，
∴，解得a＝－3，b＝2.
答案：(1)D　(2)D
例3　解析：函數y＝f(1－x)是由y＝f(－x)向右平移一個單位得到，
函數y＝f(x－1)是由y＝f(x)向右平移一個單位得到，
又函數y＝f(－x)與y＝f(x)關于y軸對稱，
所以函數y＝f(1－x)與y＝f(x－1)關于直線x＝1對稱，
又y＝f(x－5)是由y＝f(x－1)向右平移4個單位，
所以函數y＝f(1－x)與函數y＝f(x－5)關于直線x＝3對稱．
答案：B
鞏固訓練3　解析：設P(x0，y0)為y＝f(x＋2)圖象上任意一點，
則y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))，
所以點Q(2－x0，y0)在函數y＝f(4－x)的圖象上，
而P(x0，y0)與Q(2－x0，y0)關于直線x＝1對稱，
所以函數y＝f(x＋2)與y＝f(4－x)的圖象關于直線x＝1對稱．
答案：A
隨堂檢測
1．解析：f(x)＝ex關于x＝1對稱的是f(2－x)＝e2－x，即y＝e2－x.
答案：C
2．解析：函數y＝f(x)與y＝－f(－x)關于原點對稱，y＝f(x)的圖象經過點P(1，－2)，則函數y＝－f(－x)的圖象必過點(－1，2)．
答案：A
3．解析：因為f(x＋1)是偶函數，所以其對稱軸為x＝0，
所以f(x)的對稱軸為x＝1，
又二次函數f(x)＝－x2＋bx＋c的開口向下，根據自變量離對稱軸的距離可得f(－1)答案：D
4．解析：因為f(x)的圖象關于直線x＝－1對稱，所以f(x)＝f(－2－x)，
因為f(x)為奇函數，且當x∈[0，1)時，f(x)＝，
所以f(－)＝f(－2＋)＝f(－)＝－f()＝－＝－.
答案：C
5．解析：因為函數f(x)滿足f(2－x)＝f(2＋x)，
所以當x＝1時，f(1)＝f(3)＝32－6×3＋5＝－4.
答案：－4第五節　二次函數與冪函數
1.通過具體實例，了解冪函數及其圖象的變化規律．
2．掌握二次函數的圖象與性質(單調性、對稱性、頂點、最值等)．
問題思考·夯實技能
【問題1】　冪函數的圖象一定會出現在第一象限內，一定不會出現在第四象限，這種說法對嗎？
【問題2】　設二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，x∈[m，n]，
(1)當－≤m時，最小值和最大值分別是多少？
(2)當m<－時，最小值和最大值分別是多少？
(3)當<－≤n時，最小值和最大值分別是多少？
(4)當－>n時，最小值和最大值分別是多少？
關鍵能力·題型剖析
題型一 冪函數的圖象與性質
例1 (1)已知冪函數y＝(p，q∈Z且p，q互質)的圖象關于y軸對稱，如圖所示，則(　　)
A．p，q均為奇數，且>0
B．q為偶數，p為奇數，且<0
C．q為奇數，p為偶數，且>0
D．q為奇數，p為偶數，且<0
(2)[2024·河南許昌模擬]已知函數f(x)＝是冪函數，且在(0，＋∞)上是增函數，則實數m的值為________．
[聽課記錄]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
題后師說
(1)冪函數的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一個參數α，因此只需一個條件即可確定其解析式．
(2)在區間(0，1)上，冪函數的指數越大，函數圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”)；在區間(1，＋∞)上，冪函數的指數越大，函數圖象越遠離x軸．
(3)在比較冪函數值的大小時，必須結合冪函數的特點，選擇適當的函數，借助其單調性進行比較，準確掌握各個冪函數的圖象和性質是解題的關鍵．
鞏固訓練1
(1)已知函數f(x)＝g(x)＝f(－x)，則函數g(x)的圖象大致是(　　)
(2)已知a＝，b＝，c＝，則(　　)
A．bC．a題型二 二次函數
角度一　二次函數的解析式
例2 已知二次函數f(x)滿足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，試確定此二次函數的解析式．
[聽課記錄]
題后師說
求二次函數解析式的三個策略
鞏固訓練2
已知二次函數f(x)的兩個零點分別是0和5，圖象開口向上，且f(x)在區間[－1，4]上的最大值為12，則函數f(x)的解析式為______________．
角度二　二次函數的圖象
例3 (多選)設abc<0，則函數y＝ax2＋bx＋c的圖象可能是(　　)
[聽課記錄]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
題后師說
識別二次函數圖象應學會“三看”
鞏固訓練3
已知函數f(x)＝ax2＋bx＋c，若a>b>c，且a＋b＋c＝0，則函數f(x)的圖象可能是(　　)
角度三　二次函數的單調性與最值
例4 [2024·河南南陽模擬]已知函數 f(x)＝x2－2ax＋a(a∈R).
(1)若函數 f(x)在[2a－4，2a－1]上單調，求a的取值范圍；
(2)是否存在實數a，使得函數 f(x)在區間[－1，1]上的最小值為－2？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．
[聽課記錄]
題后師說
求二次函數在閉區間上最值的類型及策略
鞏固訓練4
[2024·河北邯鄲模擬]已知函數f(x)＝－x2＋4x＋2在區間[3，m]上的最大值為10，則m的取值范圍是________．
1.已知點(8，2)在冪函數f(x)＝(a－1)xb的圖象上，則(　　)
A．f(x)＝ B．f(x)＝
C．f(x)＝x3 D．f(x)＝x－1
2．設a＝，b＝，c＝，則a，b，c的大小關系是(　　)
A．cC．a3．若－14，則函數f(x)＝ax2＋bx－b的圖象不經過(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．已知函數f(x)＝ax2＋2ax－3(a>0)，則(　　)
A．f(0)>f(1) B．f(－2)>f(4)
C．f(－3)>f(1) D．f(－4)>f(1)
5．若函數f(x)＝x2－2x＋a的定義域和值域均為[1，b](b>1)，則a－b的值為________．
第五節　二次函數與冪函數
問題思考·夯實技能
【問題1】　提示：對．根據五種冪函數的圖象可知，冪函數的圖象會出現在第一、第二、第三象限，一定不會出現在第四象限．
【問題2】　提示：(1)最小值為f(m)，最大值為f(n)；(2)最小值為f(－)，最大值為f(n)；(3)最小值為f(－)，最大值為f(m)；(4)最小值為f(n)，最大值為f(m)．
關鍵能力·題型剖析
例1　解析：(1)因為函數y＝的定義域為(－∞，0)且在(0，＋∞)上單調遞減，
所以<0，
因為函數y＝的圖象關于y軸對稱，
所以函數y＝為偶函數，即p為偶數，
又p、q互質，所以q為奇數，
所以選項D正確．
(2)因為函數f(x)＝(m2＋m－1)xm是冪函數，則m2＋m－1＝1，解得m＝－2或m＝1，
又因為f(x)在(0，＋∞)上是增函數，所以m>0，所以m＝1.
答案：(1)D　(2)1
鞏固訓練1　解析：(1)因為g(x)＝f(－x)，所以 g(x)圖象與f(x)的圖象關于y軸對稱，
由f(x)解析式，作出f(x)的圖象如圖，
從而可得g(x)圖象為B選項．
(2)由y＝2x，y＝(x>0)單調遞增，
則可知a＝>b＝＝，c＝>a＝ c>a>b，即B正確．
答案：(1)B　(2)B
例2　解析：設f(x)＝a(x－m)2＋n(a<0)．∵f(2)＝f(－1)，
∴拋物線對稱軸為x＝＝.
∴m＝，又根據題意f(x)有最大值8，∴n＝8，
∴y＝f(x)＝a(x－)2＋8.
∵f(2)＝－1，∴a(2－)2＋8＝－1，解得a＝－4，
∴f(x)＝－4(x－)2＋8＝－4x2＋4x＋7.
鞏固訓練2　解析：設f(x)＝ax(x－5)，(a>0)其對稱軸為直線x＝，又f(x)在區間[－1，4]上的最大值為12，
所以f(－1)＝6a＝12，a＝2，所以f(x)＝2x2－10x.
答案：f(x)＝2x2－10x
例3　解析：函數y＝ax2＋bx＋c的圖象的對稱軸為x＝－，與x軸的交點的坐標分別為(x1，0)，(x2，0)，則x1＋x2＝－，x1x2＝，
A中，a<0，－<0，－<0，>0，則a<0，b<0，c<0，
∴abc<0，符合題意；
B中，a<0，－>0，－>0，<0，則a<0，b>0，c>0，
∴abc<0，符合題意；
C中，a>0，－<0，－<0，>0，則a>0，b>0，c>0，
∴abc>0，不符合題意；
D中，a>0，－>0，－>0，>0，則a>0，b<0，c>0，
∴abc<0，符合題意．
答案：ABD
鞏固訓練3　解析：由a>b>c且a＋b＋c＝0，得a>0，c<0，所以函數圖象開口向上，排除A，C；
又f(0)＝c<0，排除B.
答案：D
例4　解析：(1)由題意可得 f(x)＝x2－2ax＋a(a∈R)開口向上，對稱軸x＝－＝a，
∴函數在(－∞，a)上單調遞減，在(a，＋∞)上單調遞增，
∵函數 f(x)在[2a－4，2a－1]上單調，
∴2a－1≤a或2a－4≥a，
解得a≤1或a≥4，
∴a的取值范圍為(－∞，1]
(2)由題意可得 f(x)＝x2－2ax＋a(a∈R)開口向上，對稱軸x＝－＝a，函數在對稱軸處取最小值，
f(x)min＝f(a)＝a2－2a·a＋a＝－a2＋a，
若函數 f(x)在區間[－1，1]上的最小值為－2，
則 f(x)min＝－a2＋a≤－2，解得a≤－1或a≥2，
當a≤－1時，f(x)在區間[－1，1]上單調遞增，
此時函數的最小值為f(－1)＝(－1)2－2a×(－1)＋a＝3a＋1＝－2，
解得a＝－1，
當a≥2時，f(x)在區間[－1，1]上單調遞減，
此時函數的最小值為f(1)＝12－2a×1＋a＝－a＋1＝－2，
解得a＝3，
綜上，存在實數a＝－1或a＝3，使得函數f(x)在區間[－1，1]上的最小值為－2.
鞏固訓練4　解析：由已知f(x)＝－x2＋4x＋2對稱軸為x＝4，
當m≥4時，f(x)＝－x2＋4x＋2最大值為f(4)＝10，符合題意；
當m<4時，f(x)＝－x2＋4x＋2最大值為f(m)＝－m2＋4m＋2＝10，解得m＝4(舍去)；
綜上m≥4.
答案：[4，＋∞)
隨堂檢測
1．解析：由題意可得解得所以f(x)＝.
答案：B
2．解析：因為a＝＝<1，b＝>1，c＝＝<1，
又0<<<<1，y＝在(0，＋∞)上單調遞增，
所以c＝<＝a.
綜上，c答案：A
3．解析：對于函數f(x)＝ax2＋bx－b，因為－14，
則對稱軸為x＝－>2，Δ＝b2＋4ab＝b(b＋4a)>0，且f(0)＝－b<0，
所以函數開口向下，對稱軸在y軸右側，與x軸有兩個交點，且交y軸負半軸，
故函數經過一、三、四象限，不經過第二象限．
答案：B
4．解析：f(x)＝ax2＋2ax－3(a>0)對稱軸為x＝－1，
則f(x)在(－∞，－1]上單調遞減，在[－1，＋∞)上單調遞增，
f(0)答案：D
5．解析：因為f(x)＝x2－2x＋a＝(x－1)2＋a－1，對稱軸為x＝1，開口向上，
所以函數在[1，b](b>1)上單調遞增，
又因為定義域和值域均為[1，b](b>1)，
所以即解得(舍去)或
所以a－b＝0.
答案：0第六節　指數與指數函數
1.理解有理數指數冪的含義，了解實數指數冪的意義，掌握指數冪的運算性質．
2．通過實例，了解指數函數的實際意義，會畫指數函數的圖象．
3．理解指數函數的單調性、特殊點等性質，并能簡單應用．
問題思考·夯實技能
【問題1】　試判斷下面的運算是否正確？若不正確，請糾正．
＝(－)－1＝－.
【問題2】　如圖是指數函數①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的圖象，
請你寫出底數a，b，c，d與1之間的大小關系，并指出在第一象限內底數與圖象的關系．
關鍵能力·題型剖析
題型一 指數冪的運算
例1 (1)計算：(7+4)0＋ －2×＋×－1；
(2)化簡：×.
[聽課記錄]
題后師說
鞏固訓練1
(1)計算：＋()－2－(3－π)0＋)6；
(2)化簡：·b－2·b－1).
題型二 指數函數的圖象及應用
例2 (1)(多選)[2024·河北衡水模擬]已知a>0，則函數f(x)＝ax－2a的圖象可能是(　　)
(2)若曲線y＝|3x－1|與直線y＝b有兩個公共點，則b的取值范圍為________．
[聽課記錄]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【變式練習】　將本例(2)改為：若曲線y＝3|x|＋1與直線y＝b沒有公共點，則b的取值范圍為________．
題后師說
與指數函數有關的函數圖象的研究，往往利用相應的指數函數的圖象，通過平移、對稱變換得到其圖象．
鞏固訓練2
若函數y＝ax＋b－1(a>0且a≠1)的圖象經過第二、三、四象限，則一定有(　　)
A．00 B．a>1，且b>0
C．01，且b<0
題型三 指數函數的性質及應用
角度一　比較指數式的大小
例3 的大小關系是(　　)
A.
B.
C.
D.
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角度二　解簡單的指數方程或不等式
例4 [2024·河北保定模擬]若x滿足不等式2x2＋1≤()x－2，則函數y＝2x的值域是(　　)
A．[，2) B．[，2]
C．(－∞，] D．[2，＋∞)
[聽課記錄]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
角度三　指數函數性質的綜合應用
例5 [2024·河北衡水模擬]已知函數f(x)＝ax－k·a－x(a>0，且a≠1)是奇函數，且f(1)＝.
(1)求a，k的值；
(2)若對于 x∈[1，2]，不等式f(2x)＋mf(x)≥0成立，求m的取值范圍．
[聽課記錄]
題后師說
(1)利用指數函數的性質比較大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原則，比較大小還可以借助中間量．
(2)求解與指數函數有關的復合函數問題，要明確復合函數的構成，涉及值域、單調區間、最值等問題時，要借助“同增異減”這一性質分析判斷．
鞏固訓練3
(1)[2024·廣西南寧模擬]已知函數f(x)＝，則(　　)
A．f(0.1)>f(0.2)
B．函數f(x)有一個零點
C．函數f(x)是偶函數
D．函數f(x)的圖象關于點()對稱
(2)已知奇函數f(x)＝ax＋b·a－x(a>0，且a≠1)，在[－1，1]上的最大值為，則a＝________．
1.[2024·廣東中山模擬]設a>0，將表示成指數冪的形式，其結果是(　　)
A. B. C. D.
2．下列大小關系正確的是(　　)
A．1.72.5>1.73 B．1.70.3<0.93.1
C．1.52.5<1.53.2 D．0.6－1.2>0.6－1.5
3．[2024·河北邢臺模擬]設A＝{x<()x<3}，B＝，若A B，則實數a的取值范圍是(　　)
A．(－∞，－1] B．(－∞，－1)
C．(－∞，－2] D．(－∞，－2)
4．[2024·江蘇鹽城模擬]設函數f(x)＝3x＋b，函數f(x)的圖象經過第一、三、四象限，則g(b)＝f(b)－f(b－1)的取值范圍為(　　)
A．(0，) B．(－∞，)
C．(－∞，) D．(0，)
5．函數f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在區間[1，2]上的最大值比最小值大，則a的值為________．
第六節　指數與指數函數
問題思考·夯實技能
【問題1】　提示：不正確．＝＝＝.
【問題2】　提示：c>d>1>a>b>0.在第一象限內，底數越大，函數圖象越高，即“底大圖高”．
關鍵能力·題型剖析
例1　解析：(1)－2×＋×
＝＋
＝1＋23－2×22＋
＝
＝1＋2
＝3.
(2)原式＝÷
＝÷
＝＝a×a＝a2.
鞏固訓練1　解析：(1)＋()－2－(3－π)0＋)6＝＋32－1＋22×33＝9＋9－1＋4×27＝125.
(2)·b－2·(b－1)
＝b－3
＝b－3)
＝.
例2　解析：(1)由于當x＝1時，f(1)＝a－2a＝－a<0，排除B，C；當a＝2時，f(x)＝2x－4，此時函數圖象對應的圖形可能為A，當a＝時，f(x)＝()x－1，此時函數圖象對應的圖形可能為D.
(2)函數y＝|3x－1|的圖象是由函數y＝3x的圖象向下平移一個單位長度后，再把位于x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方得到的，函數圖象如圖所示．
由圖象知，函數y＝|3x－1|上與直線y＝b有兩個公共點，則b的取值范圍為(0，1)．
答案：(1)AD　(2)(0，1)
變式練習　解析：曲線y＝3|x|＋1的圖象如圖：
由圖象可知，曲線y＝3|x|＋1與直線y＝b沒有公共點，則b的取值范圍為(－∞，2)．
答案：(－∞，2)
鞏固訓練2　解析：如圖所示，圖象與y軸的交點在y軸的負半軸上(縱截距小于零)，即a0＋b－1<0且0∴0答案：C
例3　解析：由y＝()x在R上單調遞減，
知，
而，
所以.
答案：B
例4　解析：由≤()x－2可得≤()x－2＝2－2(x－2)＝2－2x＋4，
因為y＝2x在R上單調遞增，
所以x2＋1≤－2x＋4即x2＋2x－3≤0，解得－3≤x≤1，
所以2－3≤y＝2x≤21，即函數y＝2x的值域是.
答案：B
例5　解析：(1)因為函數是奇函數，所以f(－x)＝－f(x)，
即a－x－k·ax＝－ax＋k·a－x，得k＝1，
所以f(x)＝ax－a－x，f(1)＝a－a－1＝，得a＝2或a＝－(舍)，
綜上，a＝2，k＝1.
(2)由(1)知，f(x)＝2x－2－x，
則22x－2－2x＋m(2x－2－x)≥0，x∈[1，2]恒成立，
(2x＋2－x)(2x－2－x)＋m(2x－2－x)≥0，2x－2－x>0，x∈[1，2]，
所以2x＋2－x＋m≥0，對 x∈[1，2]恒成立，
即m≥－(2x＋2－x)min恒成立，
設y＝2x＋2－x＝2x＋，令t＝2x，則y＝t＋，
當x∈[1，2]，t∈[2，4]，t＝2x單調遞增，當t∈[2，4]，y＝t＋單調遞增，
所以y＝t＋的最小值為21＋2－1＝，
所以m≥－.
鞏固訓練3　解析：(1)函數f(x)＝的定義域為R，
對于A，函數f(x)＝＝1－，函數y＝4x在R上為增函數，易得f(x)在R上為增函數，則有f(0.1)對于B，f(x)＝，有4x>0，則有f(x)>0，所以f(x)沒有零點，B錯誤；
對于C，f(1)＝＝，f(－1)＝＝，所以f(1)≠f(－1)，f(x)不是偶函數，C錯誤；
對于D，因為f(x)＝，所以f(1－x)＝＝＝，所以f(x)＋f(1－x)＝1，所以函數f(x)的圖象關于點()對稱，D正確．
(2)因為f(x)是奇函數，所以f(－x)＋f(x)＝(b＋1)(ax＋a－x)＝0，
解得b＝－1，即f(x)＝ax－a－x.當a>1時，函數f(x)＝ax－a－x在[－1，1]上單調遞增，則f(1)＝a－a－1＝，解得a＝2.
當0答案：(1)D　(2)2或
隨堂檢測
1．解析：因為a>0，所以＝＝.
答案：C
2．解析：對于A，函數y＝1.7x在R上單調遞增，則1.72.5<1.73，A錯誤；
對于B，函數y＝1.7x在R上單調遞增，則1.70.3>1.70＝1，
函數y＝0.9x在R上單調遞減，則0.93.1<0.90＝1，因此>0.93.1，B錯誤；
對于C，函數y＝1.5x在R上單調遞增，則1.52.5<1.53.2，C正確；
對于D，函數y＝0.6x在R上單調遞減，則0.6－1.2<0.6－1.5，D錯誤．
答案：C
3．解析：∵A＝{x<()x<()－1}＝{x|－1a}，∴A B a≤－1.
答案：A
4．解析：由函數f(x)＝3x＋b的圖象經過第一、三、四象限，可得b<－1，
所以g(b)＝f(b)－f(b－1)＝3b－3b－1＝3b·(1－)＝·3b<·3－1＝，又因為·3b>0，所以g(b)＝f(b)－f(b－1)的取值范圍為(0，)．
答案：A
5．解析：當a>1時，函數f(x)在區間[1，2]上單調遞增，
由題意可得f(2)－f(1)＝a2－a＝，解得a＝或a＝0(舍去)；
當 0由題意可得f(1)－f(2)＝a－a2＝，解得a＝或a＝0(舍去)；
綜上所述a＝或 a＝.
答案：或第七節　對數與對數函數
1.理解對數的概念和運算性質，能用換底公式將一般對數轉化成自然對數或常用對數．
2．通過實例，了解對數函數的概念，會畫出具體對數函數的圖象，探索并了解對數函數的單調性與特殊點．
3．知道對數函數y＝logax與指數函數y＝ax(a>0，a≠1)互為反函數．
問題思考·夯實技能
【問題1】　利用換底公式化簡bn(其中a>0且a≠1，b>0且b≠1，m，n∈R，m≠0)．
【問題2】　如圖給出4個對數函數的圖象
請你寫出底數a，b，c，d與1之間的大小關系，并指出在第一象限內底數與圖象的關系．
關鍵能力·題型剖析
題型一 對數式的運算
例1 (1)[2024·安徽亳州模擬]已知4x＝3y＝m，且＝2，則m＝(　　)
A．3　　　B．6　　　C．12　　　D．18
(2)計算：log23·log34＋(lg 5)2＋lg 5·lg 20＋lg 16－.
[聽課記錄]
題后師說
對數運算的策略
鞏固訓練1
(1)[2023·山西忻州模擬]已知3a＝5b＝2，則lg 6＝(　　)
A． B．
C． D．
(2)計算：(log34＋log278)(log89＋log23)＝________．
題型二 對數函數的圖象及應用
例2 (1)函數y＝|lg (x＋1)|的圖象是(　　)
(2)[2024·江西贛州模擬]已知函數f(x)＝，若a、b、c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，則abc的取值范圍是(　　)
A．[10，12] B．(10，12]
C．(10，12) D．[10，12)
[聽課記錄]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
題后師說
與對數函數圖象有關問題的解題策略
鞏固訓練2
(1)若b>a>1，則函數y＝loga(x＋b)的圖象不經過(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)[2024·河南開封模擬]已知函數f(x)＝|log3x|，若aA．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．[5，＋∞) D．(5，＋∞)
題型三 對數函數的性質及應用
角度一　比較大小
例3 [2024·湖南長郡中學模擬]設a＝log827，b＝log0.50.2，c＝log424，則(　　)
A．aC．a[聽課記錄]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
角度二　解對數方程、不等式
例4 若loga(a＋1)0，且a≠1)，則實數a的取值范圍是________．
[聽課記錄]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
角度三　對數函數的性質及應用
例5 [2024·遼寧沈陽模擬]已知函數f(x)＝loga(x＋2)＋loga(4－x)，(0(1)求函數f(x)的定義域；
(2)若函數f(x)在區間[0，3]的最小值為－2，求實數a的值．
[聽課記錄]
題后師說
求與對數函數性質有關問題，必須弄清三方面的問題：一是定義域；二是底數與1的大小關系；三是復合函數的構成，即它是由哪些基本初等函數復合而成的．
鞏固訓練3
(1)[2024·江蘇南通模擬]設函數f(x)＝ln (2ax－x2)在區間(3，4)上單調遞減，則a的取值范圍是(　　)
A.(－∞，3) B．(－∞，3]
C．(2，3] D．[2，3]
(2)(多選)[2024·安徽蚌埠模擬]已知函數f(x)＝log4(1＋4x)－x，則下列說法中正確的是(　　)
A．函數f(x)的圖象關于原點對稱
B．函數f(x)的圖象關于y軸對稱
C．函數f(x)在[0，＋∞)上是減函數
D．函數f(x)的值域為[，＋∞)
1.(多選)[2024·河北承德模擬]下列各式中正確的是(　　)
A．10－2lg 3＝ B．log168＝
C．log34·log427＝2 D．＝
2．[2024·江西上饒模擬]已知函數y＝loga(x＋b)(a，b為常數，其中a>0且a≠1)的圖象如圖所示，則下列結論正確的是(　　)
A．a＝0.5，b＝2 B．a＝2，b＝2
C．a＝0.5，b＝0.5 D．a＝2，b＝0.5
3．若a＝0.30.5，b＝log0.34，c＝log0.50.3，則(　　)
A．a>b>c B．a>c>b
C．b>a>c D．c>a>b
4．[2020·新高考Ⅱ卷]已知函數f(x)＝lg (x2－4x－5)在(a，＋∞)上單調遞增，則a的取值范圍是(　　)
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C．(5，＋∞) D．[5，＋∞)
5．[2024·河北滄州模擬]若lg x＝2lg y，lg (x＋y)＝lg y－lg x，則y2＋y3＝________．
第七節　對數與對數函數
問題思考·夯實技能
【問題1】　提示：bn＝＝logab.
【問題2】　提示：b>a>1>d>c>0.在第一象限內，不同的對數函數圖象從左到右底數逐漸增大．
關鍵能力·題型剖析
例1　解析：(1)由4x＝3y＝m>0得x＝log4m，y＝log3m，
由換底公式可得＝logm4，＝logm3，
則＝logm4＋2logm3＝logm4×32＝2，所以m2＝4×32＝36，
因為m>0，所以m＝6.
(2)log23·log34＋(lg 5)2＋lg 5·lg 20＋lg 16－
＝·＋lg 5(lg 5＋lg 20)＋lg 24－3
＝＋lg 5·lg (5×20)＋2lg 2－3
＝2＋2lg 5＋2lg 2－3
＝2lg 10－1
＝1.
答案：(1)B　(2)見解析
鞏固訓練1　解析：(1)∵3a＝5b＝2，∴a＝log32＝，b＝log52＝＝，
∴lg 2＝，lg 3＝＝，
∴lg 6＝lg 2＋lg 3＝＝＝.
(2)(log34＋log278)(log89＋log23)
＝(log322＋23) (32＋log23)
＝(2log32＋log32)(log23＋log23)
＝(3log32)·(log23)
＝3××log32×log23＝5.
答案：(1)C　(2)5
例2　解析：(1)由于函數y＝lg (x＋1)的圖象可由函數y＝lg x的圖象左移一個單位而得到，函數y＝lg x的圖象與x軸的交點是(1，0)，故函數y＝lg (x＋1)的圖象與x軸的交點是(0，0)，即函數y＝|lg (x＋1)|的圖象與x軸的公共點是(0，0)，顯然四個選項只有A選項滿足．
(2)不妨設a由圖象可知0由f(a)＝f(b)得|lg a|＝|lg b|，即－lg a＝lg b，∴lg ab＝0，則ab＝1，
∴abc＝c，10∴abc的取值范圍是(10，12)．
答案：(1)A　(2)C
鞏固訓練2　解析：(1)∵b>a>1，∴函數y＝logax在(0，＋∞)上單調遞增，圖象過一、四象限，
又因為函數y＝loga(x＋b)的圖象是由函數y＝logax的圖象向左平移b個單位長度得到，
而b>1，所以函數y＝loga(x＋b)的圖象不經過第四象限．
(2)畫出f(x)＝|log3x|的圖象如圖：
因為a所以－log3a＝log3b，故＝b，且0y＝a＋4b＝a＋，
由對勾函數性質可知：y＝a＋在0故y＝a＋>1＋＝5，
故a＋4b的取值范圍是(5，＋∞)．
答案：(1)D　(2)D
例3　解析：a＝log827＝log227＝log23，b＝log0.50.2＝－log20.2＝log25，c＝log424＝log224＝log2，
因為y＝log2x在定義域上是增函數，且3<<5，故a答案：C
例4　解析：由題意，a>0，a≠1，
∴(－1)2＝a－2＋1>0，
∴a＋1>2，
∴要使loga(a＋1)則令函數y＝logax在(0，＋∞)上單調遞減，
∴0∴loga(a＋1)∴，
解得∴實數a的取值范圍是(，1)．
答案：(，1)
例5　解析：(1)由得－2(2)f(x)＝loga(x＋2)(4－x)，x∈[0，3]，
令t＝(x＋2)(4－x)＝－(x－1)2＋9，
當0≤x≤3，5≤t≤9，
因為0所以f(x)min＝loga9＝－2，
即a－2＝9，所以a＝，
綜上得a＝.
鞏固訓練3　解析：(1)y＝ln t在(0，＋∞)單調遞增，故t＝2ax－x2在(3，4)單調遞減，則a≤3，
又∵t＝2ax－x2>0在(3，4)恒成立，則8a－16≥0，故a≥2，
∴2≤a≤3.
(2)因為f(x)的定義域為R，
f(x)＝log4(1＋4x)－＝log4＝log4(2－x＋2x)
所以f(－x)＝log4(2x＋2－x)＝f(x)，所以f(x)為偶函數，所以A錯誤，B正確；
令t＝2x，則y＝log4(t＋)，令s＝t＋，則y＝log4s，
當x∈[0，＋∞)時，t∈[1，＋∞)，所以s＝t＋為增函數，
又y＝log4s為增函數，所以y＝log4(t＋)為增函數，
又t＝2x為增函數，所以f(x)在[0，＋∞)上是增函數．
又f(x)為R上的偶函數，
所以f(x)≥f(0)＝，所以f(x)的值域為[，＋∞)．所以C錯誤，D正確．
答案：(1)D　(2)BD
隨堂檢測
1．解析：A：因為10－2lg 3＝＝3－2＝，所以本選項正確；
B：log168＝23＝log22＝，所以本選項正確；
C：log34·log427＝·＝log333＝3，所以本選項不正確；
D：＝＝＝，所以本選項正確．
答案：ABD
2．解析：由圖象可得函數在定義域上單調遞增，
所以a>1，排除A，C；
又因為函數過點(0.5，0)，
所以b＋0.5＝1，解得b＝0.5.又過(0，－1)，logab＝－1，loga＝－1，所以a＝2.
答案：D
3．解析：根據題意，01，故c>a>b.
答案：D
4．解析：由x2－4x－5>0得x>5或x<－1，
所以f(x)的定義域為(－∞，－1)
因為y＝x2－4x－5在(5，＋∞)上單調遞增，
所以f(x)＝lg (x2－4x－5)在(5，＋∞)上單調遞增，
所以a≥5.
答案：D
5．解析：因為lg x＝2lg y，lg (x＋y)＝lg y－lg x，所以x＝y2，x＋y＝(x>0，y>0)，
則y2＋y＝，所以y2＋y3＝1.
答案：1第八節　函數的圖象
1.會畫簡單的函數圖象．
2．會運用函數圖象研究函數的性質，解決方程解的個數與不等式解的問題．
問題思考·夯實技能
【問題】　前面已復習過函數圖象的變換，請你寫出函數y＝|21－x－1|的圖象是由函數y＝2x的圖象怎樣變換得到的？
關鍵能力·題型剖析
題型一 作函數的圖象
例1 作出下列函數的圖象：
(1)y＝()|x|；
(2)y＝|log2(x＋1)|；
(3)y＝.
[聽課記錄]
題后師說
圖象變換法作圖
若函數圖象可由某個基本函數的圖象經過平移、翻折、對稱變換得到，可利用圖象變換作出，但要注意變換順序．對不能直接找到熟悉的基本函數的要先變形，并應注意平移變換的順序對變換單位及解析式的影響．
題型二 函數圖象的識別
例2 (1)[2024·河北保定模擬]函數f(x)＝的大致圖象為(　　)
(2)[2024·河南洛陽模擬]如圖是下列四個函數中的某個函數在區間[－2，2]上的大致圖象，則該函數是(　　)
A．f(x)＝ B．f(x)＝
C．f(x)＝ 　 D．f(x)＝
[聽課記錄]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
題后師說
識別函數圖象的四種策略
鞏固訓練1
(1)[2024·江西鷹潭模擬]函數f(x)＝(2－x－2x)cos x在[－2，2]上的圖象大致為(　　)
(2)已知函數f(x)＝的圖象如圖所示，則下列選項中可能為g(x)的解析式的是(　　)
A.g(x)＝ 　 B．g(x)＝2x－2－x
C．g(x)＝ 　 D．g(x)＝2x＋2－x
題型三 函數圖象的應用
角度一　研究函數的性質
例3 已知函數f(x)＝x|x|－2x，則下列結論正確的是(　　)
A．f(x)是偶函數，遞增區間是(0，＋∞)
B．f(x)是偶函數，遞減區間是(－∞，1)
C．f(x)是奇函數，遞減區間是(－1，1)
D．f(x)是奇函數，遞增區間是(－∞，0)
[聽課記錄]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
角度二　解不等式
例4 [2024·江西南昌模擬]已知函數f(x)＝＋1，g(x)＝f(x－2)＋1，則不等式f(x)A．(－∞，1) B．(1，2)
C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)
[聽課記錄]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
角度三　求參數的取值范圍
例5 已知函數f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有兩個不相等的實根，則實數k的取值范圍是________．
[聽課記錄]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【變式練習】　若f(x)>g(x)恒成立，則實數k的取值范圍是________．
題后師說
當方程的解或不等式問題不能用代數法求解或用代數法求解比較困難時，但其對應函數的圖象可作出時，常將方程的解或不等式問題轉化為圖象的位置關系問題，從而利用數形結合思想求解．
鞏固訓練2
(1)已知函數f(x)的定義域為[－2，4]，其圖象如圖所示，則xf(x)<0的解集為(　　)
A.{x|－2≤x<－1} B．{x|－1≤x≤0}
C．{x|1≤x≤3} D．{x|0≤x≤4}
(2)[2024·湖南衡陽模擬]已知函數f(x)＝，若方程f(x)＝a有4個不同的實數根，則實數a的取值范圍是________．
1.[2024·安徽安慶模擬]函數f(x)＝log22x與g(x)＝2－()x在同一直角坐標系下的圖象大致是(　　)
2．[2024·河北衡水模擬]函數f(x)＝x[ln (x＋1)－ln (1－x)]的部分圖象大致是(　　)
3．已知函數f(x)在區間[－2，2]上的大致圖象如圖所示，則f(x)的解析式可以是(　　)
A．f(x)＝(ex－e－x)x
B．f(x)＝(ex－e－x)sin x
C．f(x)＝(ex－e－x)cos x
D．f(x)＝(ex－e－x)x2
4．已知函數f(x)＝，若關于x的方程f(x)＝k有兩個不同的實根，則實數k的取值范圍是________．
第八節　函數的圖象
問題思考·夯實技能
【問題】　提示：將函數y＝2x的圖象作關于y軸對稱得到函數y＝2－x的圖象，向右平移一個單位，向下平移一個單位，再將x軸下方的部分翻折上去，就得到函數y＝|21－x－1|的圖象．
關鍵能力·題型剖析
例1　解析：(1)作出y＝()x的圖象，保留y＝()x圖象中x≥0部分，加上y＝()x的圖象中x＞0部分關于y軸的對稱部分，即得y＝()|x|的圖象(圖1)．
(2)作出y＝log2x的圖象，將此圖象向左平移1個單位，得到y＝log2(x＋1)的圖象，再保留其y≥0部分，加上其y＜0的部分關于x軸的對稱部分，即得y＝|log2(x＋1)|的圖象(圖2)．
(3)由y＝得y＝＋2.
作出y＝的圖象，將y＝的圖象向右平移1個單位，再向上平移2個單位，即得y＝＋2的圖象(圖3)．
例2　解析：(1)因為f(x)＝是由g(x)＝向左平移一個單位得到的，
因為g(－x)＝＝g(x)(x≠0)，
所以函數g(x)＝為偶函數，圖象關于y軸對稱，
所以f(x)的圖象關于x＝－1對稱，故可排除A，D選項；
又當x<－2或x>0時，2ln |x＋1|>0，(x＋1)2>0，
所以f(x)>0，故可排除C選項．
(2)對于B，x∈[－2，0)∪(0，2]，f(－x)＝＝＝f(x)，函數f(x)是偶函數，B不是；
對于C，x∈[－2，0)∪(0，2]，f(－x)＝＝＝f(x)，函數f(x)是偶函數，C不是；
對于D，x∈[－2，0)∪(0，2]，f(1)＝<0，D不是；
對于A，x∈[－2，0)∪(0，2]，f(－x)＝＝－＝－f(x)，函數f(x)是奇函數，且f(1)＝>0，A符合題意．
答案：(1)B　(2)A
鞏固訓練1　解析：(1)因為f(x)＋f(－x)＝(2－x－2x)cos x＋(2x－2－x)cos (－x)＝(2－x－2x)cos x－(2－x－2x)cos x＝0，
所以函數f(x)為奇函數，故B、D錯誤；
又因為1∈(0，)，則f(1)＝(2－1－2)cos 1＝－cos 1<0，故C錯誤．
(2)由函數f(x)＝，可得g(x)＝
對于A中，函數g(x)＝，當x→0＋時，g(x)→＋∞，當x→＋∞時，g(x)→0，故x＞0時，其函數g(x)為單調遞減函數且易知其為奇函數，符合題意；
對于B中，g(x)＝2x－2－x，當x→＋∞時，g(x)→＋∞，不符合題意；
對于C中，g(x)＝，當x→0＋時，g(x)→，不符合題意；
對于D中，g(x)＝2x＋2－x，當x→＋∞時，g(x)→＋∞，不符合題意．
答案：(1)A　(2)A
例3　解析：由函數f(x)＝x|x|－2x可得，函數的定義域為R，關于原點對稱，
且f(－x)＝－x|－x|－2(－x)＝－x|x|＋2x＝－f(x)，故函數為奇函數，
函數f(x)＝x|x|－2x＝，如圖所示，
故函數的遞減區間為(－1，1)．
答案：C
例4　解析：由題知f(x)＝＋1＝g(x)＝f(x－2)＋1＝在同一坐標系下畫出f(x)，g(x)圖象如圖所示，
由圖可知f(x)答案：A
例5　解析：先作出函數f(x)＝|x－2|＋1的圖象，如圖所示，當直線g(x)＝kx與直線AB平行時斜率為1，當直線g(x)＝kx過點A時斜率為，故當f(x)＝g(x)有兩個不相等的實根時，k的取值范圍為(，1)．
答案：(，1)
變式練習　解析：如圖作出函數f(x)的圖象，
當－1≤k<時，
直線y＝kx的圖象恒在函數y＝f(x)的下方．
答案：[－1，)
鞏固訓練2　解析：(1)由圖可知，當－2≤x<－1時，f(x)>0，所以xf(x)<0；
當－1≤x≤0時，f(x)≤0，所以xf(x)≥0；
當00，所以xf(x)>0；
故xf(x)<0的解集為{x|－2≤x<－1}．
(2)原題意等價于y＝f(x)與y＝a有四個不同的交點，
作出y＝f(x)的圖象，如圖所示：
可得：當a<0時，y＝f(x)與y＝a有且僅有一個交點；
當a＝0或a＝1時，y＝f(x)與y＝a有且僅有三個交點；
當0當a>1時，y＝f(x)與y＝a有且僅有兩個交點；
綜上所述若y＝f(x)與y＝a有四個不同的交點，則實數a的取值范圍是(0，1)．
答案：(1)A　(2)(0，1)
隨堂檢測
1．解析：∵f(x)＝log22x＝1＋log2x為定義域上的單調遞增函數，
∴f(1)＝1，故A不成立；
∵g(x)＝2－()x為定義域上的單調遞增函數，
∴g(0)＝2－()0＝1，故C和D不成立．
答案：B
2．解析：對于函數f(x)＝x[ln (x＋1)－ln (1－x)]，有，可得－1所以函數f(x)的定義域為(－1，1)，
x∈(－1，1)，f(－x)＝－x[ln (1－x)－ln (1＋x)]＝x[ln (1＋x)－ln (1－x)]＝f(x)，
所以函數f(x)為偶函數，排除AB選項；
當01－x>0，則ln (1＋x)>ln (1－x)，
此時f(x)＝x[ln (1＋x)－ln (1－x)]>0，排除D選項．
答案：C
3．解析：因為(ex－e－x)＋(e－x－ex)＝0，所以y＝ex－e－x為奇函數，
對于選項A：因為y＝x為奇函數，則f(x)＝(ex－e－x)x為偶函數，不合題意，故A錯誤；
對于選項B：因為y＝sin x為奇函數，則f(x)＝(ex－e－x)sin x為偶函數，不合題意，故B錯誤；
對于選項D：當x>0時，ex>1，e－x＝<1，x2>0，可得ex－e－x＝ex－>0，
則(ex－e－x)x2>0，
所以當x>0時，f(x)＝(ex－e－x)x2>0恒成立，不合題意，故D錯誤．
答案：C
4．解析：當x<2時，函數f(x)＝x－1是增函數，函數值集合是(－∞，1)，
當x≥2時，f(x)＝是減函數，函數值集合是(0，1]，
關于x的方程f(x)＝k有兩個不同的實根，
即函數y＝f(x)的圖象與直線y＝k有兩個交點，
在坐標系內作出直線y＝k和函數y＝f(x)的圖象，如圖，
觀察圖象知，當0即方程f(x)＝k有兩個不同的實根，
所以實數k的取值范圍為(0，1)．
答案：(0，1)第九節　函數與方程
1.理解函數的零點與方程的解的聯系．
2．理解函數零點存在定理，并能簡單應用．
3．了解二分法求方程的近似解．
問題思考·夯實技能
【問題1】　函數零點與方程根有何聯系？
【問題2】　如果函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，y＝f(x)在(a，b)內有零點，那么一定有f(a)f(b)<0嗎？
關鍵能力·題型剖析
題型一 函數零點所在區間的判定
例1 函數f(x)＝ln x＋2x－6的零點所在的區間是(　　)
A．(1，2) B．(2，3)
C．(3，4) D．(4，5)
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【變式練習】　用二分法求函數f(x)＝ln x＋2x－6在區間(2，3)內的零點近似值，至少經過______次二分后精確度達到0.1.
題后師說
判定函數零點所在區間的2種方法
鞏固訓練1
(1)函數y＝x＋－3的一個零點在(0，1)內，另一個零點在________內．(　　)
A．(4，5) B．(3，4)
C．(2，3) D．(1，2)
(2)已知函數f(x)＝ln x＋3x－7的零點位于區間(n，n＋1)(n∈N)內，則n＝________．
題型二 函數零點個數的判定
例2 (1)[2024·河南洛陽模擬]函數f(x)＝－log2x的零點個數為(　　)
A．0　　　B．1 C．2　　　D．3
(2)已知f(x)是定義在R上的奇函數，滿足f(x＋1)＝－f(x)，當x∈[0，]時，f(x)＝9x－1，則h(x)＝(x－1)f(x)－2在區間[－2 021，2 023]上所有零點之和為________．
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題后師說
判定函數零點個數的3種方法
鞏固訓練2
(1)[2024·河北唐山模擬]已知函數f(x)＝，則函數g(x)＝f(x)－的零點個數為(　　)
A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4
(2)[2024·北京東城模擬]已知函數f(x)＝則函數f(x)的零點為________．
題型三 函數零點的應用
角度一　根據零點個數求參數
例3 [2024·江蘇鹽城模擬]已知函數f(x)＝，若函數g(x)＝f(x)－f(－x)有五個零點，則實數a的取值范圍是________．
[聽課記錄]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
角度二　根據函數零點的范圍求參數
例4 [2024·山西陽泉模擬]函數f(x)＝log2x＋x2＋m在區間(1，2)存在零點．則實數m的取值范圍是(　　)
A．(－∞，－5) B．(－5，－1)
C．(1，5) D．(5，＋∞)
[聽課記錄]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
題后師說
根據函數零點的情況求參數的方法
鞏固訓練3
(1)函數f(x)＝2x－－a的一個零點在區間(1，3)內，則實數a的取值范圍是(　　)
A．(7，＋∞) 　　　 B．(－∞，－1)
C．(－∞，－1)∪(7，+∞) 　 D．(－1，7)
(2)[2024·安徽蚌埠模擬]若函數f(x)＝|2x－2|－b有兩個零點，則實數b的取值范圍是________．
1.[2024·河北衡水模擬]函數f(x)＝ln (x＋1)－的零點所在的大致區間是(　　)
A．(3，4)　 B．(2，e)
C．(1，2)　　 D．(0，1)
2．[2024·北京朝陽模擬]函數f(x)＝的零點的個數為(　　)
A．0　　　B．1 C．2　　　　D．3
3．[2024·河南焦作模擬]若函數f(x)＝ln x＋x2－a在區間(1，e)上存在零點，則實數a的取值范圍為(　　)
A．(1，e2) B．(1，2)
C．(1，e2＋1) D．(2，＋2)
4．已知函數f(x)＝，若函數y＝f(x)－1有3個零點，則實數a的取值范圍是________．
狀元筆記 嵌套函數的零點問題
對于嵌套函數的零點，通常先“換元解套”，設中間函數為t，通過換元將復合函數拆解為兩個相對簡單的函數，借助函數的圖象、性質求解．
一、判斷嵌套函數的零點個數
【典例1】　[2024·廣東揭陽模擬]函數f(x)＝，則函數y＝f(f(x))－1的零點個數為(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
[解析]　令t＝f(x)，則f(t)＝1，當t≤1時，由t2－1＝1可得t＝－或t＝(舍去)；當t＞1時，由ln t＝1可得t＝e，所以f(t)＝1的兩根為t1＝－，t2＝e，
則f(x)＝－或f(x)＝e，因為f(x)在(－∞，0)上單調遞減，在(0，＋∞)上單調遞增，
所以f(x)≥f(0)＝－1，若f(x)＝－，易知方程無解，
若f(x)＝e，當x≤1時，由x2－1＝e，得x＝－或x＝(舍去)，
此時方程有唯一的解；
當x＞1時，由ln x＝e，得x＝ee，此時方程有唯一的解，
綜上所述可知函數y＝f(f(x))－1的零點個數為2個．
[答案]　A
二、由嵌套函數零點的情況求參數
【典例2】　(多選)[2024·湖南永州模擬]已知函數f(x)＝，若關于x的方程f2(x)－(2a＋1)f(x)＋a2＋a＝0有6個不同的實根，則實數a可能的取值有(　　)
A．－ B．
C． D．2
[解析]　當x＜0時，f(x)＝x3－3x，
則f ′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，
當x∈(－∞，－1)時，f ′(x)＞0，f(x)單調遞增，
當x∈(－1，0)時，f ′(x)＜0，f(x)單調遞減，
作出f(x)的圖象，如圖所示，f2(x)－(2a＋1)f(x)＋a2＋a＝(f(x)－a)(f(x)－a－1)＝0，
即f(x)＝a與f(x)＝a＋1共六個不等實根，
由圖可知f(x)＝2時，x＝－1或x＝2，即f(x)＝2有兩個根，
若使f(x)＝a與f(x)＝a＋1共六個不等實根，
只需滿足，即0＜a＜1.
[答案]　BC
第九節　函數與方程
問題思考·夯實技能
【問題1】　提示：方程f(x)＝0有實數解 函數y＝f(x)的圖象與x軸有公共點 函數y＝f(x)有零點．
【問題2】　提示：不一定．例如函數f(x)＝x2－1在區間[－2，2]上的圖象是連續不斷的一條曲線，且在(－2，2)內有零點，但f(－2)f(2)>0.事實上，如果函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是一條連續不斷的曲線，那么“f(a)f(b)<0”是“y＝f(x)在(a，b)內有零點”的充分不必要條件．
關鍵能力·題型剖析
例1　解析：由題意得，f(x)＝ln x＋2x－6在定義域內單調遞增，
f(2)＝ln 2＋4－6＝ln 2－2<0，
f(3)＝ln 3＋6－6＝ln 3>0，
則f(2)f(3)<0，
∴零點在區間(2，3)上．
答案：B
變式練習　解析：∵開區間(2，3)的長度等于1，每經過一次操作，區間長度變為原來的一半，經過n次操作后，區間長度變為.
故有≤0.1，解得n≥4，
∴至少要操作4次．
答案：4
鞏固訓練1　解析：(1)因為函數f(x)＝x＋－3的一個零點在(0，1)內，
所以，又因為函數y＝x＋－3在(2，3)連續不斷，根據零點存在性定理另一個零點在(2，3)內．
(2)由題意可知函數f(x)＝ln x＋3x－7在定義域(0，＋∞)內單調遞增，
易知f(2)＝ln 2＋3×2－7＝ln 2－1<0，
而f(3)＝ln 3＋3×3－7＝ln 3＋2>0，所以f(2)·f(3)<0，
根據零點存在定理可知，函數f(x)在區間(2，3)內存在零點，
所以可得n＝2.
答案：(1)C　(2)2
例2　解析：(1)由f(x)＝0，得＝log2x，因此函數f(x)的零點即為函數y＝log2x與y＝的圖象交點橫坐標，
在同一坐標系內作出函數y＝log2x與y＝的圖象，如圖，
觀察圖象知，函數y＝log2x與y＝的圖象有唯一公共點，
所以函數f(x)＝－log2x的零點個數為1.
(2)由f(x)是定義在R上的奇函數，所以f(－x)＝－f(x)，又f(x＋1)＝－f(x)，
所以f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，則f(x)的周期是2，
且f(x＋1)＝f(－x)得x＝是其中一條對稱軸，
又x∈時f(x)＝9x－1，于是f(x)圖象如圖所示，
又函數h(x)＝(x－1)f(x)－2的零點，即為y＝f(x)與y＝的交點的橫坐標，
由圖知：交點關于(1，0)對稱，每個周期都有2個交點，
所以[－2 021，1)、(1，2 023]各有1 011個周期，故各有2 022個交點，它們兩兩關于(1，0)對稱，
所以零點之和為2 022×2＝4 044.
答案：(1)B　(2)4 044
鞏固訓練2　解析：(1)令g(x)＝0得f(x)＝，在同一直角坐標系中作出f(x)(圖中細實線所示)，y＝(圖中粗實線所示)的大致圖象如圖：
由圖象可知，函數y＝f(x)與y＝的圖象有3個交點，
即函數g(x)有3個零點．
(2)當x≤0時，由f(x)＝x2＋x－2＝0，即(x－1)(x＋2)＝0，解得x＝－2或x＝1(舍)，
當x>0時，由f(x)＝－1＋ln x＝0，解得x＝e，
綜上可得，函數f(x)的零點為－2，e.
答案：(1)C　(2)－2，e
例3　解析：當x≥0時，f(x)＝x|x－2|，則－x≤0，f(－x)＝－ax，
此時f(x)－f(－x)＝0 x|x－2|＝－ax，則x＝0或－a＝|x－2|，
當x<0時，f(x)＝ax，則－x>0，f(－x)＝－x|－x－2|＝－x|x＋2|，
此時f(x)－f(－x)＝0 －x|x＋2|＝ax，則－a＝|x＋2|，
故問題轉為－a＝|x－2|(x≥0)，－a＝|x＋2|，(x<0)共有四個零點，
畫出函數圖象如圖可知，0<－a<2 －2答案：(－2，0)
例4　解析：由y1＝log2x在(0，＋∞)上單調遞增，y2＝x2＋m在(0，＋∞)上單調遞增，得函數f(x)＝log2x＋x2＋m在區間(0，＋∞)上單調遞增，
因為函數f(x)＝log2x＋x2＋m在區間(1，2)存在零點，
所以，即，解得－5所以實數m的取值范圍是(－5，－1)．
答案：B
鞏固訓練3　解析：(1)∵y＝2x和y＝－在(0，＋∞)上是增函數，
∴f(x)＝2x－－a在(0，＋∞)上是增函數，
∴只需即，
解得－1(2)函數f(x)＝|2x－2|－b有兩個零點，
y＝|2x－2|和y＝b的圖象有兩個交點，
畫出y＝|2x－2|和y＝b的圖象，如圖，要有兩個交點，那么b∈(0，2)．
答案：(1)D　(2)(0，2)
隨堂檢測
1．解析：因為f(1)＝ln 2－<0，f(2)＝ln 3－>0，且函數f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，所以函數的零點所在區間為(1，2)．
答案：C
2．解析：當x≤0時，令f(x)＝x2＋2x－3＝0，
則(x－1)(x＋3)＝0，解得x＝1(舍去)或x＝－3，
當x>0時，令ex－2＝0，解得x＝ln 2，
所以f(x)的零點個數為2.
答案：C
3．解析：∵f(x)＝ln x＋x2－a，故f′(x)＝＋2x>0在區間(1，e)上恒成立，
∴f(x)在(1，e)上單調遞增．又函數f(x)＝ln x＋x2－a在區間(1，e)上存在零點，故f(1)<0，f(e)>0，即，解得a∈(1，e2＋1)．
答案：C
4．解析：函數f(x)＝，若函數y＝f(x)－1有3個零點，
當x≥1時，令f(x)－1＝0，即ln x＝1，解得x＝e，符合題意；
當x<1時，令f(x)－1＝0，即x2＋2x＋a＝1，即x2＋2x＋a－1＝0，
要使得函數y＝f(x)－1有3個零點，則方程x2＋2x＋a－1＝0有兩個小于1的實根，
設g(x)＝x2＋2x＋a－1，即函數g(x)在x<1上與x軸有兩個交點，
則滿足，解得－2答案：(－2，2)第十節　函數模型及其應用
1.了解指數函數、對數函數和一次函數增長速度的差異．
2．理解“對數增長”“直線上升”“指數爆炸”等術語的現實含義．
3．會選擇合適的函數類型刻畫現實問題的變化規律．
問題思考·夯實技能
【問題】　請你在同一平面直角坐標系中畫出函數y＝x2，y＝2x，y＝log2x的簡圖，并比較他們在第一象限的增長速度．(教師可以用電腦演示)
關鍵能力·題型剖析
題型一 用函數圖象刻畫實際問題
例1 如圖，點P在邊長為1的正方形ABCD上運動，設點M為CD的中點，當點P沿A→B→C→M運動時，點P經過的路程設為x，△APM面積設為y，則函數y＝f(x)的圖象只可能是下圖中的(　　)
[聽課記錄]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
題后師說
判斷函數圖象與實際問題變化過程相吻合的兩種方法
鞏固訓練1
[2024·浙江杭州模擬]杭州亞運會火炬如圖(1)所示，小紅在數學建模活動時將其抽象為圖(2)所示的幾何體．假設火炬裝滿燃料，燃燒時燃料以均勻的速度消耗，記剩余燃料的高度為h，則h關于時間t的函數的大致圖象可能是(　　)
題型二 已知函數模型的實際問題
例2 [2024·山東德州模擬]2023年1月底，人工智能研究公司OpenAI發布的名為“ChatGPT”的人工智能聊天程序進入中國，迅速以其極高的智能化水平引起國內關注．深度學習是人工智能的一種具有代表性的實現方法，它是以神經網絡為出發點的，在神經網絡優化中，指數衰減的學習率模型為L＝，其中L表示每一輪優化時使用的學習率，L0表示初始學習率，D表示衰減系數，G表示訓練迭代輪數，G0表示衰減速度．已知某個指數衰減的學習率模型的初始學習率為0.8，衰減速度為12，且當訓練迭代輪數為12時，學習率衰減為0.5.則學習率衰減到0.4以下(不含0.4)所需的訓練迭代輪數至少為(參考數據：lg 2≈0.3010)(　　)
A．16　 　B．17 C．18　 　D．19
[聽課記錄]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
題后師說
根據給定函數模型解決實際問題的思路
(1)認清函數模型，明確其中的變量，弄清楚哪些為待定系數．
(2)根據已知條件，確定模型中的待定系數．
(3)分析函數模型，借助函數的性質解決相關問題．
鞏固訓練2
北京時間2023年2月10日0時16分，經過約7小時的出艙活動，神舟十五號航天員費俊龍、鄧清明、張陸密切協同，圓滿完成出艙活動全部既定任務，出艙活動取得圓滿成功．載人飛船進入太空需要搭載運載火箭，火箭在發射時會產生巨大的噪聲，已知聲音的聲強級d(x)(單位：dB)與聲強x(單位：W/m2)滿足關系式：d(x)＝10lg .若某人交談時的聲強級約為60 dB，且火箭發射時的聲強與此人交談時的聲強的比值約為107.8，則火箭發射時的聲強級約為(　　)
A．125 dB B．132 dB
C．138 dB D．156 dB
題型三 構造函數模型的實際問題
例3 [2024·江蘇鹽城模擬]某服裝廠生產一批羽絨服，由于受生產能力和技術水平的限制，會產生一些次品，其次品率p與日產量x(萬件)之間滿足關系：p＝(其中m為小于12的正整數)．已知每生產1萬件合格的羽絨服可以盈利3萬元，但每生產1萬件次品將虧損1萬元，故廠方希望定出合適的日產量(注：次品率＝次品數/生產量，如p＝0.1表示每生產10件產品，有1件為次品，其余為合格品)．
(1)試將生產這批羽絨服每天的盈利額y(萬元)表示為日產量x(萬件)的函數；
(2)當日產量為多少時，可獲得最大利潤？
[聽課記錄]
題后師說
構建函數模型解決實際問題的步驟
(1)建模：抽象出實際問題的數學模型；
(2)推理、演算：對數學模型進行邏輯推理或數學運算，得到問題在數學意義上的解．
鞏固訓練3
[2024·河北承德模擬]某化工廠引進一條先進生產線生產某種化工產品，其生產的總成本y(萬元)與年產量x(噸)之間的函數關系式可以近似地表示為y＝－48x＋8 000，已知此生產線年產量最大為210噸．
(1)求年產量為多少噸時，總成本最低，并求最低成本；
(2)若每噸產品平均出廠價為40萬元，那么當年產量為多少噸時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？
1.在一次實驗中，某小組測得一組數據(xi，yi)(i＝1，2，…，11)，并由實驗數據得到下面的散點圖．由此散點圖，在區間[－2，3]上，下列四個函數模型(a，b為待定系數)中，最能反映x，y函數關系的是(　　)
A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx
C．y＝a＋logbx D．y＝a＋
2．[2021·全國甲卷]青少年視力是社會普遍關注的問題，視力情況可借助視力表測量．通常用五分記錄法和小數記錄法記錄視力數據，五分記錄法的數據L和小數記錄法的數據V滿足L＝5＋lg V．已知某同學視力的五分記錄法的數據為4.9，則其視力的小數記錄法的數據約為(≈1.259)(　　)
A．1.5 B．1.2
C．0.8 D．0.6
3．[2020·新高考Ⅰ卷]基本再生數R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學基本參數．基本再生數指一個感染者傳染的平均人數，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間．在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數模型：I(t)＝ert描述累計感染病例數I(t)隨時間t(單位：天)的變化規律，指數增長率r與R0，T近似滿足R0＝1＋rT.有學者基于已有數據估計出R0＝3.28，T＝6.據此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數增加1倍需要的時間約為(ln 2≈0.69)(　　)
A．1.2天 B．1.8天
C．2.5天 D．3.5天
第十節　函數模型及其應用
問題思考·夯實技能
【問題】　提示：在第一象限內y＝x2增長速度相對平穩，y＝2x增長速度越來越快，y＝log2x增長速度越來越緩慢．
關鍵能力·題型剖析
例1　解析：當點P在AB上時：y＝×x×1＝x，0≤x≤1；
當點P在BC上時：y＝S正方形ABCD－S△ABP－S△ADM－S△PCM
＝12－×1×(x－1)－×1××(2－x)＝－x＋，1當點P在CM上時：y＝×(－x)×1＝－x＋，2所以y＝，
由函數解析式可知，有三段線段，又當點P在BC上時是減函數，故符合題意的為A.
答案：A
鞏固訓練1　解析：由圖可知，該火炬中間細，上下粗，燃燒時燃料以均勻的速度消耗，
燃料在燃燒時，燃料的高度一直在下降，剛開始時下降的速度越來越快，
燃料液面到達火炬最細處后，燃料的高度下降得越來越慢，
結合所得的函數圖象，A選項較為合適．
答案：A
例2　解析：由題意知，初始學習率L0＝0.8，衰減速度G0＝12，所以L＝，
因為當訓練迭代輪數為12時，學習率衰減為0.5，可得0.5＝，解得D＝，
所以L＝0.8×，
令0.8×<0.4，可得<，則lg 可得G>＝≈＝17.7，所以所需的訓練迭代輪數至少為18.
答案：C
鞏固訓練2　解析：設人交談時的聲強為x1 W/m2，則火箭發射時的聲強為107.8x1，且60＝10lg ，得x1＝10－6，
則火箭發射時的聲強約為107.8×10－6＝101.8 W/m2，
將其代入d(x)＝10lg 中，得d(101.8)＝10lg ＝138 dB，故火箭發射時的聲強級約為138 dB.
答案：C
例3　解析：(1)由題意可知y＝3·(1－p)x－1·px＝(3－4p)x，又因為p＝，
因此當0≤x≤m時，y＝(3－4p)x＝(3－4·)x＝，
當x>m時，y＝(3－4p)x＝(3－4×)·x＝0，
所以盈利額y(萬元)與日產量x(萬件)之間的函數關系式為：y＝.
(2)當x>m時，每天的盈利額為0；
因此當0≤x≤m時，設u＝12－x，0≤x≤m，則x＝12－u，且u∈[12－m，12]，
則y＝＝＝－3(u＋)＋40，分以下兩種情形討論：
情形一：當12－m≤4，即8≤m<12時，y＝－3(u＋)＋40≤－3×2 ＋40＝16，
當且僅當u＝，即u＝4∈[12－m，12]時，y取最大值16，此時x＝8.
情形二：當12－m>4，即0≤m<8時，y＝－3(u＋)＋40在[12－m，12]上單調遞減，
所以當u＝12－m，即x＝m時，y取最大值．
綜上所述，當0≤m<8時，日產量x＝m(萬件)時，可獲最大利潤；當8≤m<12時，日產量x＝8(萬件)時，可獲最大利潤．
鞏固訓練3　解析：(1)因為y＝－48x＋8 000＝(x－120)2＋5 120(0≤x≤210)，
所以當年產量為120噸時，其生產的總成本最低，最低成本為5 120萬元．
(2)設該工廠年獲得總利潤為f(x)萬元，
則f(x)＝40x－y＝40x－＋48x－8 000＝－＋88x－8 000＝－(x－220)2＋1 680(0≤x≤210)．
因為f(x)在[0，210]上是增函數，
所以當x＝210時，f(x)有最大值為－(210－220)2＋1 680＝1 660.
故當年產量為210噸時，可獲得最大利潤1 660萬元．
隨堂檢測
1．解析：由散點圖的定義域可排除C、D選項，由散點圖的增長方式可知函數模型為指數型．
答案：B
2．解析：由題意知4.9＝5＋lg V，得lg V＝－0.1，得V＝≈0.8，所以該同學視力的小數記錄法的數據約為0.8.
答案：C
3．解析：∵R0＝1＋rT，∴3.28＝1＋6r，∴r＝0.38，∴I(t)＝e0.38t.
若則＝2，0.38(t2－t1)＝ln 2≈0.69，t2－t1≈1.8，選B.
答案：B

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