資源簡介

第一節(jié)　任意角和弧度制、三角函數(shù)的概念
1.了解任意角和弧度制的概念．
2．能進行弧度與角度的互化．
3．借助單位圓理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義．
問題思考·夯實技能
【問題1】　請你寫出角β與角α的終邊關(guān)于x軸、y軸、原點對稱的關(guān)系．
【問題2】　已知角α的終邊上的任意一點P到原點的距離為r(r>0)，那么如何確定P點的坐標(biāo)？角α的三角函數(shù)值是否會隨點P在α的終邊上的位置的變化而改變？
關(guān)鍵能力·題型剖析
題型一 象限角及終邊相同的角
例 1 (1)[2024·江西吉安模擬]已知角β的集合β＝，則在[0，2π)內(nèi)的角有(　　)
A．2個　 　B．3個　 　C．4個　 　D．5個
(2)若|cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，則的終邊在(　　)
A．第一、三象限
B．第二、四象限
C．第一、三象限或在x軸的非負(fù)半軸上
D．第二、四象限或在x軸上
題后師說
(1)利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過集合中的參數(shù)k(k∈Z)賦值來求得所需的角．
(2)確定kα，(k∈N*)的終邊位置的方法：先寫出kα或的范圍，然后根據(jù)k的可能取值確定kα或的終邊所在的位置．
鞏固訓(xùn)練1
(1)(多選)已知角α的終邊在第一象限，那么角的終邊可能在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)若角α的頂點為坐標(biāo)原點，始邊在x軸的非負(fù)半軸上，終邊在直線y＝－x上，則角α的取值集合是________．
題型二 弧度制及其應(yīng)用
例 2 已知扇形的圓心角是α，半徑為R，弧長為l.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧長l；
(2)若扇形的周長是20 cm，當(dāng)扇形的圓心角α為多少弧度時，這個扇形的面積最大？
(3)若α＝，R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面積．
題后師說
應(yīng)用弧度制解決問題的策略
鞏固訓(xùn)練2
(1)《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，其中有這樣一個問題：“今有宛田，下周三十步，徑十六步，問為田幾何？”意思說：現(xiàn)有扇形田，弧長三十步，直徑十六步，問面積多少？在此問題中，扇形的圓心角的弧度數(shù)是(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
(2)[2024·黑龍江雙鴨山模擬]已知扇形的面積為4 cm2，該扇形圓心角的弧度數(shù)是2，則扇形的弧長為____________ cm.
題型三 三角函數(shù)的定義及其應(yīng)用
角度一　三角函數(shù)的定義
例 3 (1)已知角α的終邊過點A(－4，3)，則sin α·tan α＝(　　)
A．－　 　B．　 　C．－　 　D．
(2)已知角θ的頂點為原點，起始邊為x軸非負(fù)半軸，若點P(4，y)是角θ終邊上一點，且sin θ＝－，則y＝(　　)
A．8　　　B．－8　　　C．6　　　D．－6
題后師說
利用三角函數(shù)的定義，已知角α終邊上一點P的坐標(biāo)，可以求出α的三角函數(shù)值；已知角α的三角函數(shù)值，也可求出點P的坐標(biāo)．
角度二　三角函數(shù)值的符號
例 4 “cos θ<0且tan θ>0”是“θ為第三象限角”的(　　)
A．充要條件
B．必要不充分條件
C．充分不必要條件
D．既不充分也不必要條件
題后師說
要判定三角函數(shù)值的符號，關(guān)鍵是要搞清三角函數(shù)中的角是第幾象限角，再根據(jù)正、余弦函數(shù)值在各象限的符號確定值的符號．特別要注意不要忽略角的終邊在坐標(biāo)軸上的情況．
鞏固訓(xùn)練3
(1)已知角α的終邊落在直線y＝2x上，則sin α的值為(　　)
A．　 B．　 C．－　 D．±
(2)在△ABC中，A為鈍角，則點P(tan B，cos A)(　　)
A．在第一象限 B．在第二象限
C．在第三象限 D．在第四象限
1．下列各角中，與1850° 角終邊相同的角是(　　)
A．40° B．50°
C．320° D．－400°
2．扇子具有悠久的歷史，蘊含著豐富的數(shù)學(xué)元素．小明制作了一把如圖所示的扇子，其半徑為16 cm，圓心角為，則這把扇子的弧長為(　　)
A．6π cm B．12π cm
C．18π cm D．24π cm
3．(多選)下列結(jié)論正確的是(　　)
A．－是第三象限角
B．若角α的終邊過點P(－3，4)，則cos α＝－
C．若sin α>0，則α是第一或第二象限角
D．若圓心角為的扇形的弧長為π，則該扇形面積為
4．[2024·北京中關(guān)村中學(xué)模擬]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于原點對稱，點M(x，－1)在角β的終邊上．若sin α＝，則sin β＝______．
第一節(jié)　任意角和弧度制、三角函數(shù)的概念
問題思考·夯實技能
【問題1】　提示：角β與角α的終邊關(guān)于x軸對稱，則β＝－α＋2kπ(k∈Z)；角β與角α的終邊關(guān)于y軸對稱，則β＝π－α＋2kπ(k∈Z)；角β與角α的終邊關(guān)于原點對稱，則β＝π＋α＋2kπ(k∈Z)．
【問題2】　提示：由三角函數(shù)的定義可知P點的坐標(biāo)為(r cos α，r sin α)．角α的三角函數(shù)值與點P的位置無關(guān)．
關(guān)鍵能力·題型剖析
例1　解析：(1)依題意，解不等式0≤<2π，得≤k<，而k∈Z，因此k∈{1，2，3}，所以在[0，2π)內(nèi)的角有3個．故選B.
(2)因為|cos θ|＝cos θ，可得cos θ≥0，則θ是第一、四象限或x軸正半軸，
又因為|tan θ|＝－tan θ，可得tan θ≤0，則θ是二、四象限或x軸，
所以θ是第四象限或x軸正半軸，
所以k·360°＋270°<θ≤k·360°＋360°，k∈Z，
可得k·180°＋135°<≤k·180°＋180°，k∈Z，
令k＝2n，n∈Z，可得n·360°＋135°<≤n·360°＋180°，n∈Z，
則在二象限或x軸負(fù)半軸；
令k＝2n＋1，n∈Z，可得n·360°＋315°<≤n·360°＋360°，n∈Z，
則在四象限或x軸正半軸，
綜上可得，的終邊在第二、四象限或在x軸上．故選D.
答案：(1)B　(2)D
鞏固訓(xùn)練1　解析：(1)因為角α的終邊在第一象限，
所以k·360°<α所以k·180°<當(dāng)k＝0時，0°<<45°，則終邊在第一象限；
當(dāng)k＝1時，180°<<225°，則終邊在第三象限；
所以角的終邊可能在第一象限或第三象限．故選AC.
(2)直線y＝－x的傾斜角是，所以終邊落在直線y＝－x上的角的取值集合為.
答案：(1)AC　(2)
例2　解析：(1)α＝60°＝，l＝10×＝ (cm)．
(2)由已知得，l＋2R＝20，
所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25.
所以當(dāng)R＝5 cm時，S取得最大值25 cm2，
此時l＝10 cm，α＝2.
(3)設(shè)弓形面積為S弓．由題知l＝ cm.S弓＝S扇形－S三角形＝×2－×22×sin ＝() (cm2)．
鞏固訓(xùn)練2　解析：(1)由題意可知扇形的弧長l＝30，半徑r＝8，
所以扇形的圓心角的弧度數(shù)是＝＝，故選A.
(2)設(shè)扇形的弧長為l，半徑為R，
由已知可得，圓心角α＝2，面積S＝4，
所以有即解得.
答案：(1)A　(2)4
例3　解析：(1)由題意可得：sin α＝＝，tan α＝＝－，則sin α·tan α＝－.故選C.
(2)因為點P(4，y)是角θ終邊上一點，且sin θ＝－，
由三角函數(shù)的定義可得sin θ＝＝－，則y<0，解得y＝－8.故選B.
答案：(1)C　(2)B
例4　解析：充分性：由cos θ<0可知＋2kπ<θ<＋2kπ，k∈Z，
由tan θ>0可知2kπ<θ<＋2kπ或π＋2kπ<θ<＋2kπ，k∈Z，
綜上，π＋2kπ<θ<＋2kπ，k∈Z，即θ為第三象限角．
必要性：若θ為第三象限角，則cos θ<0且tan θ>0.所以“cos θ<0且tan θ>0”是“θ為第三象限角”的充要條件．故選A.
答案：A
鞏固訓(xùn)練3　解析：(1)設(shè)直線y＝2x上任意一點P的坐標(biāo)為(m，2m)(m≠0)，
則OP＝＝|m|(O為坐標(biāo)原點)，
根據(jù)正弦函數(shù)的定義得：sin α＝＝＝，
m>0時，sin α＝； m<0時，sin α＝－，
所以選項D正確，選項A，B，C錯誤，故選D.
(2)因為△ABC中，A為鈍角，所以B為銳角，可得tan B>0，cos A<0，所以點P(tan B，cos A)在第四象限．故選D.
答案：(1)D　(2)D
隨堂檢測
1．解析：1 850°－40°＝1810°＝5×360°＋10°，故A錯誤．
1 850°－50°＝1 800°＝5×360°，故B正確．
1 850°－320°＝1 530°＝4×360°＋90°，故C錯誤．
1 850°－(－400°)＝2 250°＝6×360°＋90°，故D錯誤．故選B.
答案：B
2．解析：因為扇形半徑為16 cm，圓心角為，所以弧長為×16 cm＝12π cm.故選B.
答案：B
3．解析：對于A，由－∈(－，0)，則其為第四象限角，故A錯誤；對于B，由角α的終邊過點P(－3，4)，則cos α＝＝－，故B正確；對于C，由sin α>0，則角α終邊也可能在y軸上，故C錯誤；對于D，由圓心角的扇形的弧長為π，則其半徑r＝3，所以扇形的面積S＝×3·π＝，故D正確．故選BD.
答案：BD
4．解析：由題意知角α與角β的終邊關(guān)于原點對稱，點M(x，－1)在角β的終邊上，
則點N(－x，1)在角α的終邊上，
由sin α＝以及|ON|＝，可得＝；
由點M(x，－1)在角β的終邊上且|OM|＝，
可知sin β＝＝－.
答案：－第二節(jié)　同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式
1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.
2．掌握誘導(dǎo)公式并會簡單應(yīng)用．
問題思考·夯實技能
【問題1】　關(guān)系式sin2α＋cos2β＝1恒成立嗎？
【問題2】　誘導(dǎo)公式可簡記為奇變偶不變，符號看象限，“奇”與“偶”是什么意思？“變”與“不變”是什么意思？“符號看象限”指的是什么？
關(guān)鍵能力·題型剖析
題型一 誘導(dǎo)公式的應(yīng)用
例 1 (1)的值為(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
(2)[2024·山東德州模擬]已知sin (＋x)＝，則cos (＋x)＝____________．
題后師說
(1)誘導(dǎo)公式的兩個應(yīng)用
①求值：負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了；
②化簡：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少為終了．
(2)含2π整數(shù)倍的誘導(dǎo)公式的應(yīng)用
由終邊相同的角的關(guān)系可知，在計算含有2π的整數(shù)倍的三角函數(shù)式中可直接將2π的整數(shù)倍去掉后再進行運算．如cos (5π－α)＝cos (π－α)＝－cos α.
(3)用誘導(dǎo)公式求值時，要善于觀察所給角與已知角之間的關(guān)系，利用整體代換的思想簡化解題過程．常見的互余關(guān)系有－α與＋α，＋α與－α，＋α與－α等，常見的互補關(guān)系有－θ與＋θ，＋θ與－θ，＋θ與－θ等．
鞏固訓(xùn)練1
(1)[2024·江蘇常州模擬]已知sin (－α)＝，則sin (＋α)＝(　　)
A．　 　B．－　 　C．－　 　D．
(2)＝________．
題型二 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應(yīng)用
角度一　已知角的某個三角函數(shù)值，求其余三角函數(shù)值
例 2 [2024·江西吉安模擬]已知cos (＋α)＝－，且α是第四象限角，則cos (－3π＋α)的值為(　　)
A．　　B．－ C．±　　D．
題后師說
利用sin 2α＋cos 2α＝1可以實現(xiàn)角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以實現(xiàn)角α的弦切互化．注意公式的逆用及變形應(yīng)用．
鞏固訓(xùn)練2
已知tan α＝2，π<α<，則cos α－sin α＝(　　)
A.　　B．－ C．　　D．－
角度二　弦切互化問題
例 3 (1)已知tan α＝2，則＝(　　)
A. B．
C． D．
(2)[2024·河北張家口模擬]已知sin α＝2sin (－α)，則sin2α－sinαcos α＝______．
題后師說
“弦化切”的兩種常用的策略
鞏固訓(xùn)練3
(1)[2024·安徽合肥模擬]已知＝2，則tan α＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
(2)已知tan α＝－3，則＝________．
角度三　sin α±cos α，sin αcos α之間的關(guān)系
例 4 [2024·河南滎陽模擬]已知sin α＋cos α＝.
(1)求sin α·cos α的值；
(2)若＜α＜π，求的值．
[聽課記錄]
題后師說
(1)對于三角函數(shù)式sin θ±cos θ，sin θ·cos θ之間的關(guān)系，可以通過(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θ·cos θ進行轉(zhuǎn)化．
(2)若已知sin θ±cos θ，sin θ·cos θ中三者之一，利用方程思想進一步可以求得sin θ，cos θ的值，從而求出其余的三角函數(shù)值．
鞏固訓(xùn)練4　已知α∈(0，)，且sin α＋cos α＝，則tan α的值為(　　)
A． B．－
C． D．－
1．化簡＝(　　)
A． B．－
C．tanα D．
2．[2021·新高考Ⅰ卷]若tan θ＝－2，則＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
3．[2024·河北保定模擬]若α∈(π，)，且sin α＋cos α＝－，則sin α－cos α＝(　　)
A． B．－
C．± D．無法確定
4．[2023·全國乙卷]若θ∈(0，)，tan θ＝，則sin θ－cos θ＝________．
第二節(jié)　同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式
問題思考·夯實技能
【問題1】　提示：不恒成立．當(dāng)角α和角β為同一個角時恒成立．
【問題2】　提示：“奇”與“偶”指的是誘導(dǎo)公式k·＋α中的整數(shù)k是奇數(shù)還是偶數(shù)．“變”與“不變”是指函數(shù)的名稱的變化，若k是奇數(shù)，則正、余弦互變；若k是偶數(shù)，則函數(shù)的名稱不變．“符號看象限”指的是在k·＋α中，將α看成銳角時k·＋α所在的象限．
關(guān)鍵能力·題型剖析
例1　解析：(1)原式＝＝－1.故選B.
(2)cos (＋x)＝cos (π＋＋x)＝－cos (＋x)＝－sin (＋x)＝－sin (＋x)＝－.
答案：(1)B　(2)－
鞏固訓(xùn)練1　解析：(1)sin (＋α)＝sin ＝sin (－α)＝，故選A.
(2)因為tan (－150°)＝tan (30°－180°)＝tan 30°，cos (－570°)＝cos 570°＝cos (30°＋540°)＝－cos 30°，
cos (－1 140°)＝cos 1 140°＝cos (60°＋1 080°)＝cos 60°，
tan (－210°)＝－tan 210°＝－tan (30°＋180°)＝－tan 30°，
sin (－690°)＝sin (30°－720°)＝sin 30°，
所以
＝
＝＝cos 30°＝.
答案：(1)A　(2)
例2　解析：∵cos (＋α)＝－，
∴sin α＝－.由α是第四象限角，
∴cos (－3π＋α)＝－cos α＝－＝－.故選B.
答案：B
鞏固訓(xùn)練2　解析：因為tanα＝＝2，且sin 2α＋cos 2α＝1，π<α<，
所以sin α＝－，cos α＝－，
所以cos α－sin α＝－－(－)＝.故選A.
答案：A
例3　解析：(1)因為tan α＝2，所以cos α≠0.
所以＝＝＝＝.故選C.
(2)由題知sin α＝2sin (－α)，即sin α＝2cos α，
∴tan α＝2，且cos α≠0，
∴sin2α－sinαcos α＝
＝＝＝.
答案：(1)C　(2)
鞏固訓(xùn)練3　解析：(1)因為＝2，
所以cos α＋2sin α＝2，且cos α≠0，
所以cos2α＋4sinαcos α＋4sin2α＝4，
即4sinαcos α＝3cos2α，cosα≠0，
所以tan α＝.故選B.
(2)因為tan α＝－3，所以＝＝＝＝.
答案：(1)B　(2)
例4　解析：(1)(sinα＋cos α)2＝＝1＋2sin αcos α，
∴sin αcos α＝－.
(2)原式＝＝，
∵(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2·(－)＝，
又∵α∈(，π)，∴cos α<0，sin α>0，cos α－sin α<0，
∴cos α－sin α＝－，
∴原式＝＝.
鞏固訓(xùn)練4　解析：由sin α＋cos α＝，兩邊平方得sin2α＋cos2α＋2sinαcos α＝，
因為sin2α＋cos2α＝1，所以2sinαcos α＝，
又(sin α－cos α)2＝sin2α＋cos2α－2sinαcos α＝1－＝，
又因為α∈(0，)，所以sin α聯(lián)立sin α－cos α＝－與sin α＋cos α＝，
求得sin α＝，cos α＝，故tan α＝＝.故選C.
答案：C
隨堂檢測
1．解析：＝＝＝tan α，故選C.
答案：C
2．解析：將式子進行齊次化處理得：
＝＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝＝＝＝.故選C.
答案：C
3．解析：α∈(π，)，所以sin α<0，cos α<0，
由
消去cos α并化簡得sin2α＋sinα＋＝0，即(sin α＋)(sin α＋)＝0，
所以解得或，
所以sin α－cos α＝或sin α－cos α＝－.故選C.
答案：C
4．解析：由
，且θ∈，解得，故sin θ－cos θ＝－.
答案：－第三節(jié)　兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式
1.會推導(dǎo)兩角差的余弦公式．
2．會用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦、正切公式．
3．掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦、正切公式，并會簡單應(yīng)用．
問題思考·夯實技能
【問題1】　如圖，你能推導(dǎo)出兩角差的余弦公式嗎？
【問題2】　請你根據(jù)二倍角公式寫出：
(1)降冪公式：sin αcos α＝________；sin2α＝________；cos2α＝________．
(2)升冪公式：1±sin2α＝________；1＋cos 2α＝________；1－cos 2α＝________．
關(guān)鍵能力·題型剖析
題型一 公式的直接應(yīng)用
例 1 (1)[2024·河南新鄉(xiāng)模擬]已知cos (α－β)＝，cos αcos β＝，則cos (α＋β)＝(　　)
A．－　　B．　　C．－　　D．
(2)[2024·河北張家口模擬]已知tan (α＋)＝－2，則cos 2α的值為(　　)
A． B．－ C．－ D．
題后師說
(1)熟記公式的結(jié)構(gòu)特征和符號變化規(guī)律是應(yīng)用公式求值的關(guān)鍵．
(2)應(yīng)用公式求值時，應(yīng)注意與誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式相結(jié)合．
鞏固訓(xùn)練1
(1)[2024·山西朔州模擬]已知α為銳角，且sin (α＋)＝sin (α－)，則tan α＝(　　)
A.　　B．2＋　　C．　　D．
(2)[2024·福建泉州模擬]已知2sin 2α＝1＋cos 2α，α∈(－)，則tan α＝(　　)
A．－2 B．－ C． D．2
題型二 公式的逆用與變形應(yīng)用
例 2 (1)[2024·吉林延邊模擬]下列化簡不正確的是(　　)
A．cos 82°sin 52°＋sin 82°cos 128°＝－
B．sin 15°sin 30°sin 75°＝
C．cos215°－sin215°＝
D．＝
(2)已知2cos2α－sin2α＝sinαcos α，則cos (2α＋)＝______．
題后師說
(1)逆用公式時，要準(zhǔn)確找出所給式子和公式的異同，創(chuàng)造條件逆用公式．
(2)降冪擴角公式通常可以將二次式轉(zhuǎn)化為一次式，同時對應(yīng)的角擴大為原來的2倍，通過這種次數(shù)的降低、角的擴大，達(dá)到化簡與求值的目的．
(3)兩角和與差的正切公式及其變形將tan (α±β)，tan α±tan β，tan αtan β三者聯(lián)系在一起，已知其中的兩個或兩個之間的關(guān)系，即可求出另外一個的值．
鞏固訓(xùn)練2
(1)α＋β＝－(α，β≠kπ＋，k∈Z)，則1－tan α－tan β＋tan αtan β＝(　　)
A．2　　　B．1　　　C．0　　　D．－1
(2)已知2cos α－1＝2sin α，則cos (2α＋)＝______．
題型三 變換求值
角度一　角的變換
例 3 [2024·安徽滁州模擬]已知sin α＝，cos (α－β)＝，且0<α<，0<β<，則sin β＝(　　)
A． B．
C． D．或－
題后師說
利用角的變換求三角函數(shù)值的策略
角度二　三角函數(shù)名的變換
例 4 [2024·山東濟寧模擬]已知cos (α＋)＝，則sin (2α－)＝(　　)
A. －　　B． C. －　　D．
題后師說
明確各個三角函數(shù)名稱之間的聯(lián)系，常常用到同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式，把正弦、余弦化為正切，或者把正切化為正弦、余弦．
鞏固訓(xùn)練3
(1)[2024·黑龍江哈爾濱模擬]已知sin (x＋)＝－，則cos (－2x)＝(　　)
A．－　　B．－　　C．　　D．
(2)[2024·廣東汕頭模擬]已知α，β為銳角，tan (α＋β)＝－，cos β＝，則sin α＝________．
1．[2021·全國甲卷]若α∈，tan 2α＝，則tan α＝(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
2．[2022·新高考Ⅱ卷]若sin (α＋β)＋cos (α＋β)＝2cos (α＋)sin β，則(　　)
A．tan (α－β)＝1 B．tan (α＋β)＝1
C．tan (α－β)＝－1 D．tan (α＋β)＝－1
3．[2023·新課標(biāo)Ⅰ卷]已知sin (α－β)＝，cos αsin β＝，則cos (2α＋2β)＝(　　)
A． B． C．－ D．－
4．[2024·河北秦皇島模擬]已知α∈(0，)，sin (α－)＝，則cos 2α＝____________．
第三節(jié)　兩角和與差的正弦、余弦、正切公式
及二倍角公式
問題思考·夯實技能
【問題1】　提示：不妨令α≠2kπ＋β，k∈Z.
如題圖，設(shè)單位圓與x軸的正半軸相交于點A(1，0)，以x軸非負(fù)半軸為始邊作角α，β，α－β，它們的終邊分別與單位圓相交于點P1(cos α，sin α)，A1(cos β，sin β)，P(cos (α－β)，sin (α－β))．
連接A1P1，AP.若把扇形OAP繞著點O旋轉(zhuǎn)β角，則點A，P分別與點A1，P1重合．根據(jù)圓的旋轉(zhuǎn)對稱性可知，與重合，從而＝，所以AP＝A1P1.
根據(jù)兩點間的距離公式，得[cos (α－β)－1]2＋sin2(α－β)
＝(cosα－cos β)2＋(sin α－sin β)2，
化簡得cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.
當(dāng)α＝2kπ＋β(k∈Z)時，容易證明上式仍然成立．所以，對于任意角α，β有cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.
【問題2】　提示：(1)sin 2α　
(2)(sin α±cos α)2　2cos2α　2sin2α
關(guān)鍵能力·題型剖析
例1　解析：(1)由cos(α－β)＝，可得cos αcos β＋sin αsin β＝，因為cos αcos β＝，可得sin αsin β＝，又因為cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝＝.故選B.
(2)由題意得，tan (α＋)＝tan (α＋)＝＝－2，解得tan α＝3，所以cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝＝＝－.故選C.
答案：(1)B　(2)C
鞏固訓(xùn)練1　解析：(1)因為sin(α＋)＝sin (α－)，所以sin α＋cos α＝sin α－cos α，
所以(＋1)cos α＝(－1)sin α，所以tan α＝＝2＋.
故選B.
(2)因為2sin 2α＝1＋cos 2α，所以4sin αcos α＝2cos2α，
因為α∈(－)，所以cosα>0，所以2sin α＝cos α，則tan α＝＝.故選C.
答案：(1)B　(2)C
例2　解析：(1)cos 82°sin 52°＋sin 82°cos 128°
＝cos 82°sin 52°＋sin 82°cos (180°－52°)
＝cos 82°sin 52°－sin 82°cos 52°
＝sin (52°－82°)＝－sin 30°＝－，所以A選項正確；
sin 15°sin 30°sin 75°＝sin 15°sin (90°－15°)＝sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，B選項正確；
cos215°－sin215°＝cos30°＝，C選項正確；
＝tan (48°＋72°)＝tan 120°＝－，D選項錯誤．故選D.
(2)因為2cos2α－sin2α＝sinαcos α，∴1＋cos 2α－＝sin 2α，
∴3cos 2α－sin 2α＝－1，則2(cos 2αcos －sin 2αsin )＝－1，即cos (2α＋)＝－.
答案：(1)D　(2)－
鞏固訓(xùn)練2　解析：(1)因為α＋β＝－，
所以tan (α＋β)＝＝tan (－)＝－1.
所以tan α·tan β＝1＋(tan α＋tan β)．
所以1－tan α－tan β＋tan αtan β＝1－tan α－tan β＋1＋(tan α＋tan β)＝1－(tan α＋tan β)＋1＋(tan α＋tan β)＝2.故選A.
(2)∵2cos α－1＝2sin α，∴2cos α－2sin α＝1，
所以4(cos α－sin α)＝1，
∴cos (α＋)＝，
所以cos (2α＋)＝2cos2(α＋)－1＝－.
答案：(1)A　(2)－
例3　解析：因為sinα＝<且0<α<，所以0<α<，
所以cos α＝＝，
又0<β<，所以－<α－β<，又cos(α－β)＝，
所以sin (α－β)＝±＝±.
當(dāng)sin(α－β)＝時，
sin β＝sin ＝sin αcos (α－β)－cos αsin (α－β)＝＝－，
因為0<β<，所以sin β>0，所以sin β＝－不合題意，舍去；
當(dāng)sin (α－β)＝－，
sin β＝sin αcos (α－β)－cos αsin (α－β)
＝×(－)＝，符合題意；
綜上所述sin β＝.故選B.
答案：B
例4　解析：sin (2α－)＝sin ＝－cos 2(α＋)＝1－2cos2(α＋)＝1－2×＝.故選D.
答案：D
鞏固訓(xùn)練3　解析：(1)因為sin(x＋)＝－，所以cos (－2x)＝－cos (π－＋2x)＝－cos (＋2x)＝－＝－＝－.故選A.
(2)因為α，β為銳角，且tan(α＋β)＝－<0，所以α＋β∈(，π)，
sin β＝＝，
sinα＝sin [(α＋β)－β]＝sin (α＋β)cos β－sin βcos (α＋β)
＝×(－)＝.
答案：(1)A　(2)
隨堂檢測
1．解析：因為α∈(0，)，所以tan 2α＝＝ ＝ 2cos2α－1＝4sinα－2sin2α 2sin2α＋2cos2α－1＝4sinα sin α＝ tan α＝.
答案：A
2．解析：方法一　設(shè)β＝0，則sin α＋cos α＝0，即tan α＝－1.取α＝，排除A，B.設(shè)α＝0，則sin β＋cos β＝2sin β，即tan β＝1.取β＝，排除D.故選C.
方法二　因為sin (α＋β)＋cos (α＋β)＝2·cos (α＋)sin β，所以sin αcos β＋cos αsin β＋cos αcos β－sin αsin β＝2sin β(cos α－sin α)＝2sin βcos α－2sin αsin β，所以cos αcos β＋sin αsin β＝－sin αcos β＋sin βcos α，所以cos (α－β)＝－sin (α－β)，所以tan (α－β)＝－1.故選C.
答案：C
3．解析：依題意，得，所以sin αcos β＝，所以sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝＝，所以cos (2α＋2β)＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×＝，故選B.
答案：B
4．解析：cos2α＝sin (－2α)＝－sin (2α－)＝－2sin (α－)cos (α－)．
由α∈(0，)，sin (α－)＝，則0<α－<，故cos (α－)＝，所以cos 2α＝－.
答案：－第四節(jié)　簡單的三角恒等變換
1.會根據(jù)相關(guān)公式進行化簡求值．
2．會利用三角函數(shù)式的化簡與求值解決一些簡單的問題．
問題思考·夯實技能
【問題】　在二倍角的正弦、余弦、正切公式中，把角α換成，二倍角公式還成立嗎？分別是什么？
關(guān)鍵能力·題型剖析
題型一 三角函數(shù)式的化簡
例 1 化簡：
(1)；
(2)(3π＜α＜4π)．
題后師說
三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則
鞏固訓(xùn)練1
(1)化簡：＝(　　)
A．cos α B．2cos α
C．sin α D．2sin α
(2)化簡：(－tan )·(1＋tan αtan )＝
________．
題型二 三角函數(shù)式的求值
角度一　給角求值
例 2 (1)計算＝(　　)
A．1 B．
C． D．2
(2)計算sin 10°·sin 30°·sin 50°·sin 70°＝________．
題后師說
觀察所給角與特殊角之間的關(guān)系，利用和、差、倍角公式等非特殊角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為：(1)特殊角的三角函數(shù)值；(2)正、負(fù)相消的項和特殊角的三角函數(shù)值；(3)可約分的項和特殊角的三角函數(shù)值等．
角度二　給值求值
例 3 (1)[2024·江蘇南通模擬]已知sin (α＋)＝，則sin (－2α)＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
(2)[2024·九省聯(lián)考]已知θ∈(，π)，tan 2θ＝－4tan (θ＋)，則＝(　　)
A． B．
C．1 D．
題后師說
(1)給值求值問題的解題關(guān)鍵在于“變角”，把所求角用含已知角的式子表示，求解時一定要注意角的范圍的討論．如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，＋α＝－(－α)等．
(2)注意下列變換：
sin 2x＝cos (－2x)＝－cos (＋2x)，
cos 2x＝sin (－2x)＝sin (＋2x)．
以上變換，結(jié)合二倍角公式可將2x的三角函數(shù)與±x的三角函數(shù)聯(lián)系在一起．
角度三　給值求角
例 4 已知sin α＝，sin β＝，且α和β均為鈍角，則α＋β的值為(　　)
A． B．
C．或 D．
題后師說
給值求角的求解原則
(1)已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)；
(2)已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)；若角的范圍是(0，)，選正、余弦皆可；若角的范圍是(0，π)，選余弦較好；若角的范圍為(－)，選正弦較好．
鞏固訓(xùn)練2
(1)計算＝(　　)
A． B．2
C． D．－1
(2)[2024·山東泰安模擬]已知sin (α＋)＝－，則sin 2α＝(　　)
A．－　 　B．－　 　C．　 　D．
(3)[2024·福建泉州模擬]已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的兩個根，且α，β∈(－)，則α＋β的值是________．
題型三 三角恒等變換的綜合應(yīng)用
例 5 [2024·江西撫州模擬]已知函數(shù)f(x)＝2cos (x－)cos x＋1.
(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)設(shè)f(α＋)＝，α∈(0，)，求sin (－2α)的值．
題后師說
三角恒等變換的綜合應(yīng)用主要是將三角變換與三角函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合，通過變換把函數(shù)化為f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋b的形式，再研究其性質(zhì)，解題時注意觀察角、函數(shù)名、結(jié)構(gòu)等特征，注意利用整體思想解決相關(guān)問題．
鞏固訓(xùn)練3
已知f(x)＝4cos x·sin (x＋)－1.
(1)求f(x)的周期；
(2)若f(α)＝，其中α∈(0，)，求cos 2α.
1．[2024·山西呂梁模擬]tan 67.5°－1＝(　　)
A．　　　 B．
C． D．
2．[2024·湖南永州模擬]已知cos α＋sin α＝，則cos (α－)＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
3．[2024·河北滄州模擬]已知θ∈(0，π)，滿足cos 2θ＋cos θ＝0，則θ＝(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
4．[2024·山東淄博模擬]若sin (θ＋)＝，θ∈(0，π)，則cos θ＝________．
第四節(jié)　簡單的三角恒等變換
問題思考·夯實技能
【問題】　提示：成立．
sin α＝2sin cos ，cos α＝cos2－sin2＝2cos2－1＝1－2sin2，tanα＝.
關(guān)鍵能力·題型剖析
例1　解析：(1)原式＝＝＝＝＝cos 2x.
(2)∵3π<α<4π，
∴<<2π，<<π，<<<<，
故cos >0，故＝＝＝2cos，
又cos <0，故＝＝＝－2cos，
又cos >0，故＝＝＝2cos，
又sin >0，故＝＝＝2sin，
∴原式＝＝＝＝2sin .
鞏固訓(xùn)練1　解析：(1)原式＝＝＝2cos α.故選B.
(2)原式＝·(1＋·)
＝·
＝·＝
答案：(1)B　(2)
例2　解析：(1)原式＝＝
＝＝＝＝＝2，故選D.
(2)令m＝sin 10°sin 50°sin 70°，n＝cos 10°cos 50°·cos 70°，
則mn＝sin 10°cos 10°sin 50°cos 50°sin 70°cos 70°
＝sin 20°·sin 100°·sin 140°
＝sin 20°·sin 80°·sin 40°
＝cos 70°·cos 10°·cos 50°＝n，
而n≠0，
∴m＝，從而有sin 10°·sin 30°·sin 50°·sin 70°＝.
答案：(1)D　(2)
例3　解析：(1)sin (－2α)＝sin ＝cos (＋2α)＝1－2sin2(α＋)＝1－2×()2＝－.故選C.
(2)解析：由題θ∈(，π)，tan2θ＝－4tan (θ＋)，
得＝ －4(tan θ＋1)2＝2tan θ，
則(2tan θ＋1)(tan θ＋2)＝0 tan θ＝－2或tan θ＝－，
因為θ∈(，π)，tan θ∈(－1，0)，所以tan θ＝－，
＝＝＝＝.故選A.
答案：(1)C　(2)A
例4　解析：∵α和β均為鈍角，
∴cos α＝－＝－，cosβ＝－＝－.
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－×(－)－＝.
由α和β均為鈍角，得π<α＋β<2π，∴α＋β＝.故選D.
答案：D
鞏固訓(xùn)練2　解析：(1)＝
＝＝＝.故選A.
(2)已知sin (α＋)＝－，所以sin 2α＝－cos (2α＋)＝2sin2(α＋)－1＝－.故選A.
(3)因為tanα，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的兩個根，
所以tan α＋tan β＝－3，tan αtan β＝4，
所以tan α<0，tan β<0
又因為α，β∈(－)，所以α，β∈(－，0)，
所以α＋β∈(－π，0)，
則tan (α＋β)＝＝＝，
所以α＋β＝－.
答案：(1)A　(2)A　(3)－
例5　解析：(1)f(x)＝2(cos x＋sin x)cos x＋1＝cos2x＋sinx cos x＋1＝sin 2x＋1＝sin (2x＋)＋，
∵－＋2kπ≤2x＋＋2kπ，∴－＋kπ≤x≤＋kπ，
∴f(x)的遞增區(qū)間為(k∈Z)．
(2)由f(α＋)＝sin ＝，∴sin (2α＋)＝－，
∵α∈(0，)，∴2α＋∈()，
又∵sin (2α＋)<0，∴2α＋∈(π，)，∴cos (2α＋)＝－，
于是sin (－2α)＝sin ＝－cos (2α＋)＝.
鞏固訓(xùn)練3　解析：(1)f(x)＝4cos x(sin x＋cos x)－1
＝2sin x cos x＋2cos2x－1
＝sin2x＋cos 2x
＝2sin (2x＋)，
∴f(x)的周期為T＝π.
(2)f(α)＝2sin (2α＋)＝，
∴sin (2α＋)＝，
由0<α<，得<2α＋<，
由sin (2α＋)＝<，得0<2α＋<，
∴cos (2α＋)＝ ＝，
∴cos2α＝cos
＝cos (2α＋)cos ＋sin (2α＋)sin
＝.
隨堂檢測
1．解析：因為tan 135°＝－1，所以tan 135°＝tan (67.5°×2)＝＝－1，
整理得tan267.5°－2tan67.5°－1＝0，
解得tan 67.5°＝1＋或tan 67.5°＝1－(舍去)，
所以tan 67.5°－1＝.故選A.
答案：A
2．解析：cos α＋sin α＝，由輔助角公式得2cos (α－)＝，故cos (α－)＝，故選B.
答案：B
3．解析：因為cos 2θ＋cos θ＝0，所以2cos2θ＋cosθ－1＝0，
即(2cos θ－1)(cos θ＋1)＝0，所以cos θ＝或cos θ＝－1，因為θ∈(0，π)，所以θ＝，故選B.
答案：B
4．解析：∵θ∈(0，π)，
∴θ＋∈()，又sin (θ＋)＝，
若θ＋∈()，則sin (θ＋)>sin ＝，
與sin (θ＋)＝矛盾，
∴θ＋∈[，π)，
∴cos (θ＋)＝－＝－，
∴cosθ＝cos (θ＋)＝cos (θ＋)cos ＋sin (θ＋)sin ＝－＝.
答案：第五節(jié)　三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)
1.能畫出三角函數(shù)的圖象．
2．了解三角函數(shù)的周期性、奇偶性、最大(小)值．
3．借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0，2π]上，正切函數(shù)在(－)上的性質(zhì)．
問題思考·夯實技能
【問題1】　終邊相同的角的三角函數(shù)值有什么關(guān)系？這個關(guān)系式體現(xiàn)了三角函數(shù)的什么性質(zhì)？
【問題2】　函數(shù)y＝A sin (ωx＋φ)，y＝A cos (ωx＋φ)的奇偶性與φ的取值的關(guān)系是怎樣的？
關(guān)鍵能力·題型剖析
題型一 三角函數(shù)的定義域和值域(或最值)
例 1 (1)函數(shù)y＝lg (cos x－sin x)的定義域是____________.
(2)函數(shù)f(x)＝sin 2x＋2cos2x在區(qū)間[－]上的值域為________．
(3)[2024·重慶萬州模擬]已知x∈(0，)，則函數(shù)f(x)＝(1＋sinx)(1＋cos x)的最大值為____________．
題后師說
求解三角函數(shù)的值域(最值)的3種方法
鞏固訓(xùn)練1
(1)函數(shù)y＝的定義域為(　　)
A．
B．(k∈Z)
C．(k∈Z)
D．R
(2)f(x)＝cos 2x－2sin x cos x的最小值為____________．
(3)函數(shù)y＝sin x－cos2x的值域為________．
題型二 三角函數(shù)的周期性、奇偶性、對稱性
例 2 (1)(多選)[2024·九省聯(lián)考]已知函數(shù)f(x)＝sin (2x＋)＋cos (2x＋)，則(　　)
A．函數(shù)f(x－)為偶函數(shù)
B．曲線y＝f(x)的對稱軸為x＝kπ，k∈Z
C．f(x)在區(qū)間()單調(diào)遞增
D．f(x)的最小值為－2
(2)若函數(shù)f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)的最小正周期為π，則滿足條件“f(x＋φ)是偶函數(shù)”的φ的一個值為________(寫出一個滿足條件的φ即可)．
題后師說
(1)三角函數(shù)中奇函數(shù)一般可化為y＝A sin ωx或y＝A tan ωx的形式，而偶函數(shù)一般可化為y＝A cos ωx的形式．
(2)求三角函數(shù)圖象的所有對稱軸方程或?qū)ΨQ中心坐標(biāo)時，可利用整體換元方法進行求解，注意熟記正弦型、余弦型函數(shù)圖象對稱軸方程、對稱中心橫坐標(biāo)的公式．
鞏固訓(xùn)練2
(1)(多選)已知函數(shù)f(x)＝sin (2x－)，則(　　)
A．f(x)的最大值為
B．f(x)的最小正周期為π
C．f(x－)為奇函數(shù)
D．f(x)的圖象關(guān)于直線x＝ 對稱
(2)[2024·廣東深圳模擬]記函數(shù)f(x)＝cos (ωx＋)＋b(ω>0)的最小正周期為T. 若A．1　　　B．　　　C．　　　D．3
題型三 三角函數(shù)的單調(diào)性
角度一　求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
例 3 函數(shù)f(x)＝sin (－2x)的單調(diào)遞減區(qū)間為________．
【變式練習(xí)】　本例條件不變，求在[0，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間．
題后師說
求形如y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(其中ω>0)的單調(diào)區(qū)間時，要視“ωx＋φ”為一個整體，通過解不等式求解．但如果ω<0，可先借助誘導(dǎo)公式將ω化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯．
角度二　根據(jù)單調(diào)性求參數(shù)
例 4 [2024·河北石家莊模擬]已知函數(shù)f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)在區(qū)間(，π)上單調(diào)遞減，則實數(shù)ω的取值范圍為(　　)
A． B．(0，]
C．[] D．(0，2]
題后師說
求出原函數(shù)的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間，由已知區(qū)間是所求某區(qū)間的子集，列不等式(組)求解．
鞏固訓(xùn)練3
(1)[2024·安徽滁州模擬]已知函數(shù) f(x)＝2sin (x＋)，則f(x)在[－1，1]上的單調(diào)遞增區(qū)間為(　　)
A． B．
C．[－1，1] D．
(2)已知函數(shù)f(x)＝sin x cos x－sin2x，x∈R.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，]上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為____________．
1．下列函數(shù)中，最小正周期為π的奇函數(shù)是(　　)
A．y＝sin2x＋cos 2x B．y＝sin x＋cos x
C．y＝sin (2x＋) D．y＝cos (2x＋)
2．[2021·新高考Ⅰ卷]下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)＝7sin (x－)單調(diào)遞增的區(qū)間是(　　)
A．(0，) B．(，π)
C．(π，) D．(，2π)
3．[2023·全國乙卷]已知函數(shù)f(x)＝sin (ωx＋φ)在區(qū)間()單調(diào)遞增，直線x＝和x＝為函數(shù)y＝f(x)的圖象的兩條相鄰對稱軸，則f(－)＝(　　)
A．－　　B．－ C．　　　D．
4．[2022·新高考Ⅰ卷]記函數(shù)f(x)＝sin (ωx＋)＋b(ω>0)的最小正周期為T.若A．1　　　B． C．　　　D．3
第五節(jié)　三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)
問題思考·夯實技能
【問題1】　提示：終邊相同的角的三角函數(shù)值相等，即sin (2kπ＋x)＝sin x(k∈Z)，cos (2kπ＋x)＝cos x(k∈Z)，這個公式體現(xiàn)了三角函數(shù)的周期性．
【問題2】　提示：對于函數(shù)y＝A sin (ωx＋φ)，當(dāng)φ＝kπ(k∈Z)時，函數(shù)為奇函數(shù)；當(dāng)φ＝kπ＋(k∈Z)時，函數(shù)為偶函數(shù)．
對于函數(shù)y＝A cos (ωx＋φ)，當(dāng)φ＝kπ＋(k∈Z)時，函數(shù)為奇函數(shù)；當(dāng)φ＝kπ(k∈Z)時，函數(shù)為偶函數(shù)．
關(guān)鍵能力·題型剖析
例1　解析：(1)因為y＝lg (cos x－sin x)，所以cos x－sin x>0，即sin x－cos x＝sin (x－)<0，即－π＋2kπ(2)由題意，f(x)＝sin 2x＋2×＝sin 2x＋cos 2x＋1＝2sin (2x＋)＋1，而x∈，則2x＋∈，所以函數(shù)的最大值為2sin ＋1＝3，最小值為2sin (－)＋1＝0，所以函數(shù)f(x)＝sin 2x＋2cos2x在區(qū)間上的值域為[0，3].
(3)f(x)＝(1＋sinx)(1＋cos x)＝1＋sin x＋cos x＋sin xcos x＝1＋sin x＋cos x＋，
令t＝sin x＋cos x＝sin (x＋)，
因為x∈(0，)，所以x＋∈()，
所以sin (x＋)∈(，1]，所以t＝sin (x＋)∈(1，]，
所以g(t)＝t2＋t＋，t∈(1，]，對稱軸t＝－1<1，
所以g(t)＝t2＋t＋在(1，]單調(diào)遞增，
所以當(dāng)t＝時，g(t)max＝g()＝，
即當(dāng)sin (x＋)＝1，x＝時，f(x)＝(1＋sin x)(1＋cos x)有最大值.
答案：(1)(－＋2kπ，＋2kπ)，k∈Z　(2)[0，3]
　(3)
鞏固訓(xùn)練1　解析：(1)由題意知cos x≥，∴2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.故選C.
(2)f(x)＝cos 2x－2sin x cos x＝cos 2x－sin 2x＝－2sin (2x－)，
所以當(dāng)2x－＝＋2kπ，k∈Z時，f(x)取得最小值－2.
(3)依題意，原函數(shù)定義域為R，y＝sin x－(1－sin2x)＝(sinx＋)2－，而－1≤sin x≤1，
則當(dāng)sin x＝－時，ymin＝－，當(dāng)sin x＝1時，ymax＝1，
所以所求值域是[－，1].
答案：(1)C　(2)－2　(3)[－，1]
例2　解析：(1)f(x)＝sin (2x＋)＋cos (2x＋)
＝sin 2x cos ＋sin cos 2x＋cos 2x cos －sin 2x sin
＝－sin 2x＋cos 2x－cos 2x－sin 2x＝－sin 2x，
即f(x)＝－sin 2x，
對于A，f(x－)＝－sin (2x－)＝cos 2x，易知為偶函數(shù)，所以A正確；
對于B，f(x)＝－sin 2x對稱軸為2x＝＋kπ，k∈Z x＝，k∈Z，故B錯誤；
對于C，x∈()，2x∈(，π)，y＝sin 2x單調(diào)遞減，則f(x)＝－sin 2x單調(diào)遞增，故C正確；
對于D，f(x)＝－sin 2x，則sin 2x∈[－1，1]，所以f(x)∈[－]，故D錯誤．故選AC.
(2)f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2(sin ωx＋cos ωx)＝2sin (ωx＋)，
又f(x)的最小正周期為π，所以＝π，則ω＝2，所以f(x)＝2sin (2x＋)，
所以f(x＋φ)＝2sin (2x＋2φ＋)．
又因為f(x＋φ)是偶函數(shù)，所以應(yīng)滿足2φ＋＝＋kπ，k∈Z，
所以有φ＝，k∈Z.
答案：(1)AC　(2)
鞏固訓(xùn)練2　解析：(1)函數(shù)f(x)＝sin (2x－)．
函數(shù)的最大值為，故A正確；
函數(shù)的最小正周期為π，故B正確；
f(x－)＝sin (2x－)＝－cos 2x
故該函數(shù)為偶函數(shù)，故C錯誤；
當(dāng)x＝時，f()＝－為最小值，故D正確．
(2)由由y＝f(x)的圖象關(guān)于點(，2)中心對稱可知b＝2且f()＝cos (ω＋)＋b＝2，所以cos (ω＋)＝0 ω＋＝＋kπ，k∈Z，
故ω＝k，
由ω＝k∈(2，)可得k∈()，由于k∈Z，故取k＝3，則ω＝，
故f(x)＝cos (x＋)＋2，則f()＝cos ()＋2＝－cos ＋2＝－＋2＝，故選B.
答案：(1)ABD　(2)B
例3　解析：f(x)＝sin (－2x)的單調(diào)遞減區(qū)間是g(x)＝sin (2x－)的單調(diào)遞增區(qū)間．由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.故所給函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，k∈Z.
答案：，k∈Z
變式練習(xí)　解析：令A(yù)＝，k∈Z，
B＝[0，π]，
∴A＝，
∴f(x)在[0，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間為和.
例4　解析：f(x)＝sin (ωx＋)，令＋2kπ≤ωx＋＋2kπ，解得≤x≤，k∈Z.且π－＝，即0<ω≤2.
∵函數(shù)f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)在(，π)上單調(diào)遞減，
∴，解得＋4k≤ω≤＋2k，k∈Z.∴k＝0時，≤ω≤.故選C.
答案：C
鞏固訓(xùn)練3　解析：(1)由2kπ－x＋≤2kπ＋，
解得4k－≤x≤4k＋，
所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是，k∈Z，
令k＝0，得f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是，
所以f(x)在區(qū)間[－1，1]上的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選B.
(2)函數(shù)f(x)＝sin x cos x－sin2x＝＝sin (2x＋)－，x∈R，
若函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時2x＋∈，
所以－≤2a＋<，得－≤a<，則實數(shù)a的取值范圍為[－)．
答案：[－)
隨堂檢測
1．解析：因為y＝sin 2x＋cos 2x＝sin (2x＋)，函數(shù)的周期為π，因為y()＝，y(－)＝－，所以是非奇非偶函數(shù)，A不正確；因為y＝sin x＋cos x＝sin (x＋)，函數(shù)的周期為2π，B不正確；因為y＝sin (2x＋)＝cos 2x，函數(shù)的周期為π，是偶函數(shù)，C不正確；因為y＝cos (2x＋)＝－sin 2x，函數(shù)的周期為π，是奇函數(shù)，D正確．故選D.
答案：D
2．解析：因為函數(shù)y＝sin x的單調(diào)遞增區(qū)間為(2kπ－，2kπ＋)(k∈Z)，對于函數(shù)f(x)＝7sin (x－)，由2kπ－取k＝0，可得函數(shù)f(x)的一個單調(diào)遞增區(qū)間為(－)，則(0，) (－)，(，π) (－)，A選項滿足條件，B不滿足條件；取k＝1，可得函數(shù)f(x)的一個單調(diào)遞增區(qū)間為()，(π，) (－)且(π，) ()，(，2π) ()，CD選項均不滿足條件．故選A.
答案：A
3．解析：由題意得＝，解得ω＝2，易知x＝是f(x)的最小值點，所以×2＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，得φ＝＋2kπ(k∈Z)，于是f(x)＝sin (2x＋＋2kπ)＝sin (2x＋)，f(－)＝sin (－×2＋)＝sin ＝，故選D.
答案：D
4．解析：因為＜T＜π，所以＜＜π.又因為ω＞0，所以2＜ω＜3.因為y＝f(x)的圖象關(guān)于點(，2)中心對稱，所以b＝2，ω＋＝kπ，k∈Z，所以ω＝－k，k∈Z.令2＜－k＜3，解得＜k＜.又因為k∈Z，所以k＝4，所以ω＝.所以f(x)＝sin (x＋)＋2，所以f()＝sin ()＋2＝1.故選A.
答案：A第六節(jié)　函數(shù)y＝A sin (ωx＋φ)的圖象及應(yīng)用
1.了解函數(shù)y＝A sin (ωx＋φ)的實際意義．
2．能畫出y＝A sin (ωx＋φ)的圖象，了解參數(shù)A，ω，φ對函數(shù)圖象變化的影響．
3．會用三角函數(shù)解決一些簡單的實際問題．
問題思考·夯實技能
【問題1】　如圖所示為函數(shù)y＝sin (ωx＋φ)的部分圖象．利用零點代入求φ時，ωx1＋φ，ωx2＋φ取哪些值？
【問題2】　由函數(shù)y＝sin ωx(ω>0)的圖象得到函數(shù)y＝sin (ωx＋)的圖象，需要經(jīng)過怎樣的變換？將函數(shù)y＝sin (x＋φ)圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式是y＝sin (x＋φ)還是y＝sin (x＋)
關(guān)鍵能力·題型剖析
題型一 函數(shù)y＝A sin (ωx＋φ)的圖象及變換
例 1 已知函數(shù)f(x)＝2sin (2x＋)．
(1)作出f(x)在[0，π]上的圖象(要列表)；
(2)函數(shù)y＝f(x)的圖象可由函數(shù)y＝sin x的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？
【變式練習(xí)】　本例條件不變，第(2)問改為：函數(shù)y＝f(x)的圖象可由函數(shù)y＝cos x的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？
題后師說
作函數(shù)y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象常用的方法
鞏固訓(xùn)練1
(1)[2024·黑龍江雙鴨山模擬]為了得到y(tǒng)＝cos (2x＋)的圖象，可以將函數(shù)y＝cos x的圖象(　　)
A．每個點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再向左平移個單位長度
B．每個點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再向右平移個單位長度
C．每個點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再向右平移個單位長度
D．每個點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再向左平移個單位長度
(2)[2024·江西贛州模擬]將函數(shù)f(x)＝cos 2x＋sin 2x圖象上的所有點向左平移φ(φ>0)個單位長度(縱坐標(biāo)不變)后得到函數(shù)g(x)＝cos4x－sin4x的圖象，則φ的最小值為(　　)
A．　　　　　　　B．
C． D．
題型二 由圖象確定y＝A sin(ωx＋φ)的解析式
例 2 [2024·遼寧鞍山模擬]函數(shù)f(x)＝A cos (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分圖象如圖所示，將函數(shù)f(x)的圖象向左平移1個單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象，則g()＝(　　)
A． B．
C． D．1
題后師說
根據(jù)三角函數(shù)圖象求解析式，重在對A，ω，φ的理解，主要從以下三個方面考慮：
(1)根據(jù)最大值或最小值求出A的值．
(2)根據(jù)周期求出ω的值．
(3)求φ的常用方法如下：①代入法：把圖象上的一個已知點的坐標(biāo)代入(此時要注意該點的位置)或把圖象的最高點或最低點的坐標(biāo)代入．②五點法：確定φ的值時，往往以尋找“五點法”中的特殊點作為突破口．
鞏固訓(xùn)練2
[2024·廣東佛山模擬]已知函數(shù)f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的解析式為________________．
題型三 三角函數(shù)圖象、性質(zhì)的綜合應(yīng)用
角度一　圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用
例 3 (多選)[2024·山東濰坊模擬]將函數(shù)y＝sin 2x＋cos 2x的圖象向左平移個單位，得到y(tǒng)＝f(x)的圖象，則(　　)
A．f(x)是奇函數(shù)
B．f(x)的周期為π
C．f(x)的圖象關(guān)于點(，0)對稱
D．f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z)
題后師說
研究y＝A sin (ωx＋φ)的性質(zhì)時可將ωx＋φ視為一個整體，利用換元法和數(shù)形結(jié)合思想進行解題．
角度二　三角函數(shù)的零點(或方程的根)的問題
例 4 [2023·新課標(biāo)Ⅱ卷]已知函數(shù)f(x)＝sin (ωx＋φ)，如圖，A，B是直線y＝與曲線y＝f(x)的兩個交點，若|AB|＝，則f(π)＝________．
題后師說
利用三角函數(shù)圖象解決方程的根或零點問題的方法
(1)研究函數(shù)y＝A sin (ωx＋φ)在給定區(qū)間上零點個數(shù)問題時，仍然采用整體換元的方法，將ωx＋φ作為一個整體，結(jié)合函數(shù)的周期性確定ωx＋φ的范圍，從而解決問題．
(2)將方程的根轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點問題，結(jié)合三角函數(shù)的周期性，建立不等式組進行求解．
角度三　三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用
例 5 (多選)[2024·湖南株洲模擬]如圖(1)是一段依據(jù)正弦曲線設(shè)計安裝的過山車軌道．建立平面直角坐標(biāo)系如圖(2)，h(單位：m)表示在時間t(單位：s)時，過山車(看作質(zhì)點)離地平面的高度．軌道最高點P距離地平面50 m．最低點Q距離地平面10 m．入口處M距離地平面20 m．當(dāng)t＝4 s時，過山車到達(dá)最高點P，t＝10 s時，過山車到達(dá)最低點Q.設(shè)h(t)＝A sin (ωt＋φ)＋B(A>0，ω>0，|φ|<)，下列結(jié)論正確的是(　　)
A.函數(shù)h(t)的最小正周期為12
B．φ＝
C．t＝14 s時，過山車距離地平面40 m
D．一個周期內(nèi)過山車距離地平面低于20 m的時間是4 s
題后師說
三角函數(shù)模型的應(yīng)用體現(xiàn)在兩個方面：一是已知函數(shù)模型求解數(shù)學(xué)問題；二是把實際問題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，利用三角函數(shù)的有關(guān)知識解決問題．
鞏固訓(xùn)練3
(1)[2024·河北衡水模擬]將函數(shù)f(x)＝sin 2x的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，則下列關(guān)于g(x)說法正確的是(　　)
A．奇函數(shù)
B．在(0，)上單調(diào)遞增
C．圖象關(guān)于點(，0)對稱
D．圖象關(guān)于直線x＝對稱
(2)[2024·江西吉安模擬]月均溫全稱月平均氣溫，氣象學(xué)術(shù)語，指一月所有日氣溫的平均氣溫．某城市一年中12個月的月均溫y(單位：℃)與月份x(單位：月)的關(guān)系可近似地用函數(shù)y＝A sin ＋a(x＝1，2，3，…，12)來表示，已知6月份的月均溫為29℃，12月份的月均溫為17℃，則10月份的月均溫為(　　)
A. 20℃ B．20.5℃
C．21℃ D．21.5℃
(3)將函數(shù)f(x)＝2(cos x＋sin x)·cos x－1的圖象向左平移個單位得到g(x)的圖象，且當(dāng)x∈時，關(guān)于x的方程g(x)－a＝0有三個不等實根，則實數(shù)a的取值范圍為________．
　
1．[2021·全國乙卷]把函數(shù)y＝f(x)圖像上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數(shù)y＝sin (x－)的圖像，則f(x)＝(　　)
A．sin () B．sin ()
C．sin (2x－) D．sin (2x＋)
2．函數(shù)y＝sin (ωx＋φ)(x∈R，ω＞0，0≤φ＜2π)的部分圖象如圖，則(　　)
A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝
C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝
3．[2024·河南焦作模擬]已知函數(shù)f(x)＝cos (3x－)，若將y＝f(x)的圖象向左平移m(m>0)個單位長度后所得的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，則m的最小值為(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
4．[2023·全國甲卷]函數(shù)y＝f(x)的圖象由y＝cos (2x＋)的圖象向左平移個單位長度得到，則y＝f(x)的圖象與直線y＝x－的交點個數(shù)為(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
第六節(jié)　函數(shù)y＝A sin (ωx＋φ)的圖象及應(yīng)用
問題思考·夯實技能
【問題1】　提示：若利用x1這樣的零點(圖象經(jīng)過(x1，0)時函數(shù)單調(diào)遞減)代入求φ的值，應(yīng)令ωx1＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)；而如果利用x2這樣的零點(圖象經(jīng)過(x2，0)時函數(shù)單調(diào)遞增)代入求φ的值，應(yīng)令ωx2＋φ＝2kπ(k∈Z)，應(yīng)注意區(qū)分，不能籠統(tǒng)地令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)．
【問題2】　提示：應(yīng)將函數(shù)y＝sin ωx(ω＞0)的圖象向左平移個單位長度才能得到函數(shù)y＝sin (ωx＋)的圖象；如果將函數(shù)y＝sin (x＋φ)圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到的圖象對應(yīng)函數(shù)解析式是y＝sin (x＋φ)，而不是y＝sin (x＋)．
關(guān)鍵能力·題型剖析
例1　解析：(1)因為x∈[0，π]，所以2x＋∈.
列表如下：
2x＋ π 2π
x 0 π
f(x) 1 2 0 －2 0 1
描點、連線得圖象如圖所示．
(2)將y＝sin x的圖象上的所有點向左平移個單位長度，得到函數(shù)y＝sin (x＋)的圖象，再將y＝sin (x＋)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)y＝sin (2x＋)的圖象，再將y＝sin (2x＋)上所有點的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍(橫坐標(biāo)不變)，得到f(x)＝2sin (2x＋)的圖象．
變式練習(xí)　解析：因為f(x)＝2sin (2x＋)＝2cos (2x＋)＝2cos (2x－)，
將y＝cos x的圖象上所有點向右平移個單位長度，得到函數(shù)y＝cos (x－)的圖象，再將y＝cos (x－)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)y＝cos (2x－)的圖象，再將y＝cos (2x－)上所有點的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍(橫坐標(biāo)不變)，得到y(tǒng)＝2cos (2x－)的圖象，即為f(x)＝2sin (2x＋)的圖象．
鞏固訓(xùn)練1　解析：(1)將y＝cos x每個點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變得y＝cos 2x，再向左平移個單位長度得y＝cos 2(x＋)＝cos (2x＋)．故選D.
(2)f(x)＝cos 2x＋sin 2x＝sin (2x＋)，
g(x)＝cos4x－sin4x＝(cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x)
＝cos2x－sin2x＝cos2x＝sin (2x＋)，
所以φ的最小值為＝.故選D.
答案：(1)D　(2)D
例2　解析：由圖象可知，＝1－(－1)＝2，得T＝8＝，所以ω＝，所以f(x)＝A cos (x＋φ)，
又因為(－1，0)在函數(shù)f(x)的圖象上，
所以A cos (－＋φ)＝0，
所以－＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，即φ＝－＋2kπ，k∈Z，
又|φ|<，所以φ＝－，即f(x)＝A cos (x－)．
又(0，)在函數(shù)f(x)的圖象上，
所以A cos (－)＝，即A＝2，
即f(x)＝2cos (x－)．
所以g(x)＝f(x＋1)＝2cos ＝2cos x，
所以g()＝2cos ()＝2cos ＝1.故選D.
答案：D
鞏固訓(xùn)練2　解析：由圖象知，A＝2，T＝＝，∴T＝π，即ω＝＝2，
由圖可知，2sin (2×＋φ)＝2，
∴＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，
∴φ＝＋2kπ(k∈Z)，又|φ|<，
∴φ＝，
∴f(x)＝2sin (2x＋)．
答案：f(x)＝2sin (2x＋)
例3　解析：y＝sin 2x＋cos 2x＝2sin (2x＋)的圖象向左平移個單位得f(x)＝2sin ＝2sin (2x＋)＝2cos 2x，
所以f(x)為偶函數(shù)，故A不正確；
f(x)的最小正周期T＝＝π，故B正確；
又f()＝2cos ＝0，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(，0)對稱，故C正確；
則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間滿足－π＋2kπ≤2x≤2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤kπ，k∈Z，即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z)，故D正確．故選BCD.
答案：BCD
例4　解析：對比正弦函數(shù)y＝sin x的圖象易知，點為“五點(畫圖)法”中的第五點，所以ω＋φ＝2π　①.
由題知|AB|＝xB－xA＝，兩式相減，得ω(xB－xA)＝，即ω＝，解得ω＝4.
代入①，得φ＝－，所以f(π)＝sin ＝－sin ＝－.
答案：－
例5　解析：由題意可知，周期T滿足＝10－4＝6，得T＝12，
所以＝12，得ω＝，又，解得A＝20，B＝30.
所以h(t)＝20sin (t＋φ)＋30，又h(0)＝20，即20sin φ＋30＝20，得sin φ＝－，因為|φ|<，所以φ＝－，所以h(t)＝20sin (t－)＋30.T＝12，A正確；φ＝－，B錯誤；h(14)＝20sin (×14－)＋30＝20sin ＋30＝40，C正確；
由h(t)<20，得20sin (t－)＋30<20，即sin (t－)<－＋2kπ所以一個周期內(nèi)過山車距離地平面低于20 m的時間是(12＋12k)－(8＋12k)＝4 s，D正確．故選ACD.
答案：ACD
鞏固訓(xùn)練3　解析：(1)將函數(shù)f(x)＝sin 2x的圖象向左平移個單位長度后得函數(shù)y＝g(x)＝sin 2(x＋)＝sin (2x＋)＝cos 2x，
g(－x)＝cos (－2x)＝cos 2x＝g(x)，g(x)為偶函數(shù)，A錯誤；當(dāng)x∈(0，)時，2x∈(0，)，∵y＝cos x在(0，)上單調(diào)遞減，∴y＝g(x)在(0，)上單調(diào)遞減，B錯誤；g()＝cos (2×)＝－≠0，圖象不關(guān)于點(，0)對稱，C錯誤；g()＝cos (2×)＝－1，圖象關(guān)于直線x＝對稱，D正確．故選D.
(2)由題意可得，解得，
所以函數(shù)解析式為y＝6sin ＋23，
在函數(shù)解析式中，令x＝10，可得y＝6sin ＋23＝6×(－)＋23＝20.
因此，10月份的月均溫為20℃.故選A.
(3)因為f(x)＝2(cos x＋sin x)·cos x－1＝sin 2x＋cos 2x＝sin (2x＋)，
所以g(x)＝sin ＝sin (2x＋)，
因為x∈，所以2x＋∈，
當(dāng)2x＋∈時，g(x)遞減且g(x)∈；
當(dāng)2x＋∈(]時，g(x)遞增且g(x)∈(－]；
當(dāng)2x＋∈(]時，g(x)遞減且g(x)∈[－)，
因為g(x)－a＝0有三個不等實根，所以a∈(－，－1].
答案：(1)D　(2)A　(3)(－，－1]
隨堂檢測
1．解析：方法一　函數(shù)y＝f(x)圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)＝f(2x)的圖象，再把所得曲線向右平移個單位長度，應(yīng)當(dāng)?shù)玫統(tǒng)＝f的圖象，
根據(jù)已知得到了函數(shù)y＝sin (x－)的圖象，所以f＝sin (x－)，
令t＝2(x－)，則x＝，x－＝，
所以f(t)＝sin ()，所以f(x)＝sin ()．
方法二　由已知的函數(shù)y＝sin (x－)逆向變換，
第一步：向左平移個單位長度，得到y(tǒng)＝sin (x＋)＝sin (x＋)的圖象，
第二步：圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)＝sin ()的圖象，
即為y＝f(x)的圖象，所以f(x)＝sin ()．故選B.
答案：B
2．解析：T＝而T＝4×(3－1)＝8，∴ω＝；當(dāng)x＝1時，x＋φ＝，∴φ＝.故選C.
答案：C
3．解析：f(x)＝cos (3x－)的圖象向左平移m個單位長度后，得到的圖象對應(yīng)函數(shù)g(x)＝cos ＝cos (3x＋3m－)，
因為y＝g(x)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，
所以3m－＝kπ＋(k∈Z)，即m＝(k∈Z)，
因為m>0，故當(dāng)k＝0時，m取得最小值.故選B.
答案：B
4．解析：把函數(shù)y＝cos 的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)f(x)＝cos ＝cos ＝－sin 2x的圖象．作出函數(shù)f(x)的部分圖象和直線y＝x－如圖所示．觀察圖象知，共有3個交點．故選C.
答案：C第七節(jié)　正弦定理、余弦定理
1.掌握正弦定理、余弦定理及其變形．
2．掌握三角形面積公式并能應(yīng)用．
3．能利用正弦定理、余弦定理解決一些簡單的三角形度量問題．
問題思考·夯實技能
【問題1】　如何判斷三角形解的個數(shù)？
【問題2】　對于△ABC，在①sin A＞sin B；②cos A＜cos B；③tan A＞tan B；④＜中，哪些是“A>B”的充要條件？哪些不是？
關(guān)鍵能力·題型剖析
題型一 利用正弦、余弦定理解三角形
例 1 (1)[2024·福建三明模擬]在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a＝1，b＝，A＝30°，則B＝(　　)
A．30° B．45°
C．30°或150° D．45°或135°
(2)[2024·湖北隨州模擬]已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，b＝2，c2－a2＝2a＋4，則角C＝____________．
題后師說
利用正弦、余弦定理解題策略
鞏固訓(xùn)練1
(1)[2024·河南新鄉(xiāng)模擬]已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，a＝4，b＝3，sin A＝，則B＝(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
(2)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊長分別為a，b，c，已知＝，且a2－c2＝2b，則b＝(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
題型二 判斷三角形的形狀
例 2 (1)[2024·安徽蕪湖模擬]記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a cos A＋b cos (A＋C)＝0，則△ABC為(　　)
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
(2)[2024·江蘇南通模擬]在△ABC中，a－b＝c(cos B－cos A)，則這個三角形一定是(　　)
A.等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
題后師說
判斷三角形形狀的方法
鞏固訓(xùn)練2
(1)在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，且a＝c cos B，則△ABC的形狀是(　　)
A．等腰三角形　　　B．直角三角形
C．等邊三角形 D．等腰直角三角形
(2)[2024·廣東廣州模擬]在△ABC中，cos2＝，則△ABC的形狀為______三角形．
題型三 與三角形的面積(周長)有關(guān)的計算
例 3 [2022·新高考Ⅱ卷]記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為S1，S2，S3.已知S1－S2＋S3＝，sin B＝.
(1)求△ABC的面積．
(2)若sin A sin C＝，求b.
題后師說
三角形面積公式的應(yīng)用原則
(1)對于面積公式S＝ab sin C＝ab sin C＝bc sin A，一般是已知哪一個角就使用哪一個公式．
(2)與面積有關(guān)的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進行邊和角的轉(zhuǎn)化．
鞏固訓(xùn)練3
[2023·遼寧鞍山模擬]在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，cos B(a＋b sin C)＋b sin B cos C＝0.
(1)求角B；
(2)若2c＝a，△ABC的面積為，求△ABC的周長．
1．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a＝c，B＝， △ABC的面積為 ，則b＝(　　)
A．　　　　B．2　　　　C．　　　　D．3
2．[2024·安徽蚌埠模擬]在△ABC中，已知3b＝2a sin B，且cos B＝cos C，角A是銳角，則△ABC的形狀是(　　)
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等邊三角形
3．[2023·北京卷]在△ABC中，(a＋c)(sin A－sin C)＝b(sin A－sin B)，則∠C＝(　　)
A． B． C． D．
4．[2024·廣東廣州模擬]設(shè)t為實數(shù)，滿足t，t＋1，t＋2構(gòu)成一個鈍角△ABC的三邊長，則t的取值范圍為________．
射影定理的應(yīng)用
【典例1】　設(shè)△ABC的三邊是a，b，c，它們所對的角分別是A，B，C，則有a＝b cos C＋c cos B；b＝c cos A＋a cos C；c＝a cos B＋b cos A.
注：以“a＝b cos C＋c cos B”為例，b，c在a上的射影分別為b cos C，c cos B，故名射影定理．
[證明]　
在銳角三角形ABC中：
BC＝BD＋DC
＝AB·cos B＋AC·cos C，
即a＝b cos C＋c cos B.
在直角三角形ABC中：
c·cos B＝0，
a＝b cos c，
即a＝b cos C＋c cos B.
在鈍角三角形ABC中：
c·cos B＝－BD，
b·cos c＝CD，
BC＝CD－BD，
即a＝b cos C＋c cos B，
綜上，a＝b cos C＋c cos B可證，
同理可證b＝c·cos A＋a·cos C，
c＝a·cos B＋b cos A．
【典例2】　在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若2a cos C＋b＝2c cos A，c＝a，則A＝(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
[解析]　法一　已知c＝a，
由正弦定理得sin C＝sin A，
所以sin2C＝3sin2A，
所以cos2C＝1－sin2C＝1－3sin2A.
由2a cosC＋b＝2c cos A，
得2sin A cos C＋sin B＝2sin C cos A，
2sin A cos C＋sin (A＋C)＝2sin C cos A，
3sin A cos C＝sin C cos A，
9sin2A cos2C＝sin2C cos2A，
9sin2A(1－3sin2A)＝3sin2A(1－sin2A)，
由sinA≠0，解得sin A＝±.
又0法二　由射影定理，得b＝a cos C＋c cos A
代入2a cos C＋b＝2c cos A，得3a cos C＝c cos A，
又c＝a，所以cos A＝cos C，①
由c＝a及正弦定理得sin A＝sin C，②
①2＋②2，可得cos2A＋3sin2A＝1，即sinA＝，
又由①得A∈，故A＝.
[答案]　A
第七節(jié)　正弦定理、余弦定理
問題思考·夯實技能
【問題1】　提示：
A為銳角 A為鈍角或直角
圖形
關(guān)系式 a＝b sin A b sin A＜a＜b a≥b a＞b
解的個數(shù) 一解 兩解 一解 一解
【問題2】　提示：①②④都是“A＞B”的充要條件；③不是“A＞B”的充要條件．①很明顯；由于y＝cos x在(0，π)上單調(diào)遞減，而A、B∈(0，π)，所以A＞B cos A＜cos B，故②成立；當(dāng)A＝，B＝時，有A＞B，但tan A＜tan B，所以③不是“A＞B”的充要條件；又＜ ＜ sin B cos A＜sin A cos B sin (A－B)＞0 A＞B，所以④是“A＞B”的充要條件．
關(guān)鍵能力·題型剖析
例1　解析：(1)由正弦定理＝得＝，sin B＝，又b>a，即B>A，又∵0°(2)因為b＝2，c2－a2＝2a＋4，則c2－a2＝ab＋b2，即a2＋b2－c2＝－ab，
可得cos C＝＝＝－，
且C∈(0，π)，所以C＝.
答案：(1)D　(2)
鞏固訓(xùn)練1　解析：(1)因為a＝4，b＝3，sin A＝，所以sin B＝＝＝.因為b(2)＝，即為3c cos A＝a cos C，
即有3c·＝a·，
即有a2－c2＝b2，
又a2－c2＝2b，則2b＝b2，
解得b＝4.故選A.
答案：(1)B　(2)A
例2　解析：(1)由a cos A＋b cos (A＋C)＝0，得a cos A－b cos B＝0，
由正弦定理得sin A cos A－sin B cos B＝0，所以sin 2A＝sin 2B，
因為0<2A<2π，0<2B<2π，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，
所以A＝B或A＋B＝.即△ABC是等腰或直角三角形．
故選D.
(2)由余弦定理可得：cos A＝，cos B＝，
代入a－b＝c(cos B－cos A)＝c cos B－c cos A中，
得a－b＝，
等式兩邊同乘2ab得：
2a2b－2ab2＝a2b＋c2b－b3－ab2－ac2＋a3，
移項合并得：a2b－ab2＋(－c2b＋ac2)－(a3－b3)＝0，
整理得：ab(a－b)＋c2(a－b)－(a－b)(a2＋ab＋b2)＝0，
即(a－b)(c2－a2－b2)＝0，
可得a＝b或a2＋b2＝c2，
則三角形為等腰三角形或直角三角形．故選D.
答案：(1)D　(2)D
鞏固訓(xùn)練2　解析：(1)∵在△ABC中，a＝c cos B，
∴由正弦定理得sin A＝sin C cos B，又sin A＝sin (B＋C)，
∴sin (B＋C)＝sin C cos B，
即sin B cos C＋sin C cos B＝sin C cos B，
∴sin B cos C＝0，
∵在△ABC中B∈(0，π)，sin B>0，
∴cos C＝0，又C∈(0，π)，
∴C＝.
∴△ABC是直角三角形．故選B.
(2)在△ABC中，由cos2＝，得1＋cosB＝1＋，即a＝c cos B，
由余弦定理得a＝c·，整理得a2＋b2＝c2，
所以△ABC是直角三角形．
答案：(1)B　(2)直角
例3　解析：(1)∵邊長為a的正三角形的面積為a2，
∴S1－S2＋S3＝(a2－b2＋c2)＝.
結(jié)合余弦定理，得ac cos B＝1，即cos B＝.
由sin B＝，得cos B＝，∴ac＝，
故S△ABC＝ac sin B＝＝.
(2)由正弦定理，得＝·＝＝＝，故b＝sin B＝.
鞏固訓(xùn)練3　解析：(1)∵cos B(a＋b sin C)＋b sin B cos C＝0，
∴a cos B＋b(sin C cos B＋cos C sin B)＝0，∴a cos B＝－b sin (B＋C)＝－b sin A.
由正弦定理得sin A cos B＝－sin B sin A，
∵sin A≠0，∴tan B＝－，∵B∈(0，π)，∴B＝.
(2)∵△ABC的面積為，即ac sin B＝ac＝，得ac＝，
∵a＝2c，∴2c2＝，∵c>0，∴c＝，∴a＝2c＝，
由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝，∵b>0，∴b＝，∴三角形的周長為a＋b＋c＝2.
隨堂檢測
1．解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac×，又a＝c，所以b2＝4c2－3c2 b＝c，
又S△ABC＝ac sin B＝c2×＝ c＝，故b＝c＝，故選C.
答案：C
2．解析：由3b＝2a sin B，得＝，根據(jù)正弦定理，得＝，
所以＝，即sin A＝，
又角A是銳角，所以A＝60°，又cos B＝cos C，且B，C都為三角形的內(nèi)角，
所以B＝C. 故△ABC為等邊三角形．故選D.
答案：D
3．解析：因為(a＋c)(sin A－sin C)＝b(sin A－sin B)，
所以由正弦定理得(a＋c)(a－c)＝b(a－b)，即a2－c2＝ab－b2，
則a2＋b2－c2＝ab，故cos C＝＝＝，
又0答案：B
4．解析：設(shè)△ABC的內(nèi)角C為最大角，則cos C＝<0，
再由三角形三邊關(guān)系可得解得t>1，
所以解得1答案：(1，3)第八節(jié)　正弦、余弦定理應(yīng)用舉例
會運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題．
關(guān)鍵能力·題型剖析
題型一 測量距離問題
例 1 [2024·廣東廣州模擬]海洋藍(lán)洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國擁有世界上最深的海洋藍(lán)洞，若要測量如圖所示的藍(lán)洞的口徑A，B兩點間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點C，D，測得CD＝35 m，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，則A、B兩點的距離為________ m．
題后師說
測量距離問題的求解策略
鞏固訓(xùn)練1
[2024·河南駐馬店模擬]如圖，某景區(qū)為方便游客，計劃在兩個山頭M，N間架設(shè)一條索道．為測量M，N間的距離，施工單位測得以下數(shù)據(jù)：兩個山頭的海拔高度MC＝100 m，NB＝50 m，在BC同一水平面上選一點A，測得M點的仰角為60°，N點的仰角為30°，以及∠MAN＝45°，則M，N間的距離為(　　)
A．100 m B．120 m
C．100 m D．200 m
題型二 測量高度問題
例 2 [2024·黑龍江鶴崗模擬]某同學(xué)為了測量學(xué)校天文臺CD的高度，選擇學(xué)校宿舍樓三樓一陽臺A，A到地面的距離AB為30(2－) m，在它們之間的地面上的點M(B、M、D三點共線)處測得陽臺A，天文臺頂C的仰角分別是15°和30°，在陽臺A處測得天文臺頂C的仰角為15°，假設(shè)AB、CD和點M在同一平面內(nèi)，則學(xué)校天文臺CD的高度為________ m.
題后師說
測量高度問題的三個注意點
(1)要理解仰角、俯角、方向(位)角的概念．
(2)在實際問題中，若遇到空間與平面(地面)同時研究的問題，最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形．
(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題．
鞏固訓(xùn)練2　[2024·安徽黃山模擬]如圖，有一古塔，在A點測得塔底位于北偏東30°方向上的點D處，在A點測得塔頂C的仰角為30°，在A的正東方向且距D點30 m的B點測得塔底位于西偏北45°方向上(A，B，D在同一水平面)，則塔的高度CD約為(≈1.414，≈1.732)(　　)
A．17.32 m B．14.14 m
C．10.98 m D．6.21 m
題型三 測量角度問題
例 3 [2024·廣東深圳模擬]如圖，某巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)北偏東30°相距海里的B處有一艘走私船，正沿東偏南45°的方向以3海里/小時的速度向我海岸行駛，巡邏艇立即以2海里/小時的速度沿著正東方向直線追去，1小時后，巡邏艇到達(dá)C處，走私船到達(dá)D處，此時走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇，立即改變航向，以原速向正東方向逃竄，巡邏艇立即加速以3海里/小時的速度沿著直線追擊．
(1)當(dāng)走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇時，兩船相距多少海里；
(2)問巡邏艇應(yīng)該沿什么方向去追，才能最快追上走私船．
題后師說
角度問題的解題方法
首先應(yīng)明確方向角的含義，在解應(yīng)用題時，分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意正確畫出示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一步，通過這一步可將實際問題轉(zhuǎn)化成可用數(shù)學(xué)方法解決的問題，解題中也要注意體會正、余弦定理“聯(lián)袂”使用的優(yōu)點．
鞏固訓(xùn)練3
[2024·湖南長沙模擬]如圖所示，在坡度一定的山坡A處測得山頂上一建筑物CD的頂端C對于山坡的斜度為15°，向山頂前進100 m到達(dá)B處，又測得C對于山坡的斜度為45°，若CD＝50 m，山坡對于地平面的坡度為θ，則cos θ＝(　　)
A． B．
C．－1 D．－1
1.[2021·全國甲卷]2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8 848.86(單位：m)，三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一．如圖是三角高程測量法的一個示意圖，現(xiàn)有A，B, C三點，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′滿足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°.由C點測得B點的仰角為15°，BB′與CC′的差為100；由B點測得A點的仰角為45°，則A，C兩點到水平面A′B′C′的高度差A(yù)A′－CC′約為(≈1.732)(　　)
A．346 B．373
C．446 D．473
2．[2021·全國乙卷]魏晉時劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是有關(guān)測量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測海島的高．如圖，點E，H，G在水平線AC上，DE和FG是兩個垂直于水平面且等高的測量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，EG稱為“表距”，GC和EH都稱為“表目距”，GC與EH的差稱為“表目距的差”，則海島的高AB＝(　　)
A．＋表高
B．－表高
C．＋表距
D．－表距
3．[2024·山西太原模擬]某海輪以30海里/時的速度航行，在點A測得海面上油井P在南偏東60°方向上，向北航行40分鐘后到達(dá)點B，測得油井P在點B的南偏東30°方向上，海輪改為北偏東60°的航向再行駛80分鐘到達(dá)點C，則P、C間的距離為________海里．
第八節(jié)　正弦、余弦定理應(yīng)用舉例
關(guān)鍵能力·題型剖析
例1　解析：因為∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，所以∠ADC＝150°，∠DAC＝∠DCA＝15°，所以AD＝CD＝35，
又因為∠ACB＝120°，所以∠BCD＝135°，∠CBD＝30°，
在△BCD中，由正弦定理得＝，即＝，解得BD＝35，
在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos ∠ADB，
所以AB2＝352＋(35)2－2×35×35×(－)，解得AB＝35 m.
答案：35
鞏固訓(xùn)練1　
解析：由題意，可得∠MAC＝60°，∠NAB＝30°，MC＝100，NB＝50，∠MAN＝45°，且∠MCA＝∠NBA＝90°，
在直角△ACM中，可得AM＝＝200，
在直角△ABN中，可得AN＝＝100，
在△AMN中，由余弦定理得MN2＝AM2＋AN2－2AM·AN cos ∠MAN＝20 000，
所以MN＝100 m．故選A.
答案：A
例2　解析：在Rt△ABM中，AM＝，
在△ACM中，∠CAM＝15°＋15°＝30°，∠AMC＝180°－15°－30°＝135°，
∠ACM＝180°－135°－30°＝15°，
由正弦定理得＝，
故MC＝·AM＝·＝＝＝，
在Rt△CDM中，CD＝MC·sin 30°＝＝30，
故學(xué)校天文臺CD的高度為30 m.
答案：30
鞏固訓(xùn)練2　解析：由已知可得，在△ABD中，有∠BAD＝60°，∠ABD＝45°，BD＝30，
根據(jù)正弦定理＝可得，
AD＝sin ∠ABD＝＝10.
在Rt△ADC中，有∠CAD＝30°，AD＝10，
tan ∠CAD＝，所以CD＝AD tan 30°＝10＝10≈14.14(m)．故選B.
答案：B
例3　解析：(1)由題意知，當(dāng)走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇時，走私船在D處，巡邏艇在C處，此時BD＝3×1＝3，AC＝2×1＝2，
由題意知∠BAC＝90°－30°＝60°，
在△ABC中，AB＝，AC＝2，
由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos ∠BAC
＝()2＋(2)2－2()·2＝12，
所以BC＝2，
在△ABC中，由正弦定理得＝，即＝，
∴sin ∠ABC＝，∴∠ABC＝45°(135°舍去)，
∴∠ACB＝180°－60°－45°＝75°，
又∠CBD＝180°－45°－45°－60°＝30°，
在△BCD中，∠CBD＝30°，BD＝3，BC＝2，
由余弦定理得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos 30°
＝(2)2＋32－2×2×3·cos 30°＝3，
∴CD＝，
故當(dāng)走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇時，兩船相距海里．
(2)當(dāng)巡邏艇經(jīng)過t小時經(jīng)CE方向在E處追上走私船，
則CE＝3t，DE＝3t，CD＝，
在△BCD中，由正弦定理得＝＝，則＝＝，
∴sin ∠BCD＝，∴∠BCD＝60°，∠BDC＝90°，∠CDE＝135°，
在△CDE中，由正弦定理得＝，
則sin ∠DCE＝＝，故∠DCE＝30° (150°舍)，
∠ACE＝∠ACB＋∠BCD＋∠DCE＝75°＋60°＋30°＝90°＋75°，
故巡邏艇應(yīng)該沿北偏東75°方向去追，才能最快追上走私船．
鞏固訓(xùn)練3　解析：在△ABC中，由正弦定理得＝，
∴AC＝100.
在△ADC中，＝，
∴cos θ＝sin (θ＋90°)＝＝－1.故選C.
答案：C
隨堂檢測
1．解析：如圖所示，根據(jù)題意過C作CE∥C′B′，交BB′于E，過B作BD∥A′B′，交AA′于D，則BE＝100，C′B′＝CE＝.在△A′C′B′中，∠C′A′B′＝75°，則BD＝A′B′＝.又在B點處測得A點的仰角為45°，所以AD＝BD＝，所以高度差A(yù)A′－CC′＝AD＋BE＝＋100＝＋100＝＋100＝＋100＝100(＋1)＋100≈373.
答案：B
2．解析：如圖所示：
由平面相似可知，＝＝，而 DE＝FG，
所以＝＝＝＝，而 CH＝CE－EH＝CG－EH＋EG，
即AB＝×DE＝＋DE＝＋表高．故選A.
答案：A
3.
解析：如圖，在△ABP中，AB＝30×＝20(海里)，
∠BAP＝120°，∠BPA＝30°，
由＝，得＝，
解得BP＝20海里．
在△BPC中，BC＝30×＝40(海里)，
由已知得∠PBC＝90°，
所以PC＝＝＝20(海里)，
所以P、C間的距離為20海里．
答案：20

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