資源簡介

第一節　平面向量的概念及線性運算
1.理解平面向量的概念、幾何表示及兩個向量相等的含義．
2．掌握向量加法、減法的運算，理解其幾何意義．
3．掌握向量數乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義．
4．了解向量線性運算的性質及其幾何意義．
問題思考·夯實技能　
【問題1】　向量平行與直線平行有何不同？
【問題2】　共線向量定理中為什么規定a≠0
關鍵能力·題型剖析
題型一 平面向量的基本概念
例 1 [2024·河南南陽模擬]下列說法正確的是(　　)
A．若|a|＝|c|，則a＝c
B．若a∥b，則存在唯一實數λ使得a＝λb
C．若a∥b，b∥c，則a∥c
D．與非零向量a共線的單位向量為±
題后師說
平行向量有關概念的注意點
(1)非零向量的平行具有傳遞性．
(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點無關．
(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量．
(4)是與a同方向的單位向量．
鞏固訓練1
(多選)下列說法正確的是(　　)
A．a與b是非零向量，則a與b同向是a＝b的必要不充分條件
B．A，B，C是互不重合的三點，若與共線，則A，B，C三點在同一條直線上
C．a與b是非零向量，若a與b同向，則a與－b反向
D．設λ，μ為實數，若λa＝μb，則a與b共線
題型二 平面向量的線性運算
角度一　向量的線性運算
例2 [2024·河北衡水模擬]在正方形ABCD中，E在CD上且有＝2，AE與對角線BD交于F，則＝(　　)
A． B．
C． D．
題后師說
平面向量的線性運算的求解策略
鞏固訓練2　
[2024·江西宜春模擬]如圖所示的△ABC中，點D、E分別在邊BC、AD上，且BD＝DC，ED＝2AE，則向量＝(　　)
A． B．
C． D．
角度二　根據線性運算求參數
例 3 [2024·安徽蚌埠模擬]在△ABC中，已知＝＝2，若＝x＋y，則x＋y＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
題后師說
解決與向量的線性運算有關的參數問題，一般是構造三角形，利用向量運算的三角形法則進行加法或減法運算，然后通過相等向量或共線向量等條件列出關于參數的方程(組)即可求得相關參數的值．
鞏固訓練3
[2024·河南滎陽模擬]在平行四邊形ABCD中，F是邊BC的中點，點E滿足＝－2.若＝x＋y，則xy＝(　　)
A．－ B．1
C．－ D．3
題型三 共線向量定理的應用
例 4 設兩向量a與b不共線．
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．求證：A，B，D三點共線；
(2)試確定實數k，使ka＋b和a＋kb共線．
【變式練習】　若將本例(1)中“＝2a＋8b”改為“＝a＋mb”，則m為何值時，A，B，D三點共線？
題后師說
共線向量定理的應用
(1)證明向量共線：對于向量a，b，若存在實數λ，使a＝λb(b≠0)，則a與b共線；
(2)證明三點共線：若存在實數λ，使＝λ，則A，B，C三點共線；
(3)求參數的值：利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數的值．
鞏固訓練4　(1)設e1與e2是不共線的非零向量，若ke1＋e2與e1＋ke2共線且方向相反，則k的值是(　　)
A．－1 B．1
C．±1 D．任意不為零的實數
(2)[2024·河北石家莊模擬]△ABC中，點M是BC的中點，點N為AB上一點，AM與CN交于點D，且＝＝λ，則λ＝(　　)
A．　　 B． C．　　 D．
1．已知四邊形ABCD，下列說法正確的是(　　)
A．若＝，則四邊形ABCD為平行四邊形
B．若||＝||，則四邊形ABCD為矩形
C．若∥，且||＝||，則四邊形ABCD為矩形
D．若||＝||，且∥，則四邊形ABCD為梯形
2．[2022·新高考Ⅰ卷]在△ABC中，點D在邊AB上，BD＝2DA.記＝m，＝n，則＝(　　)
A．3m－2n B．－2m＋3n
C．3m＋2n D．2m＋3n
3．已知a、b為不共線的向量，＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，則(　　)
A．A，B，C三點共線 B．A，C，D三點共線
C．A，B，D三點共線 D．B，C，D三點共線
4．[2024·廣東中山模擬]已知向量e1，e2不共線，若e1＋2e2與－2e1＋me2共線，則實數m的值為________．
第一節　平面向量的概念及線性運算
問題思考·夯實技能
【問題1】　提示：向量平行與向量共線是完全相同的一個概念，指兩個向量的方向相同或相反，亦即向量所在的直線可以平行，也可以重合；但直線平行不包含直線重合的情況．
【問題2】　提示：(1)若將條件a≠0去掉，即當a＝0時，顯然a與b共線；
(2)當a＝0時，若b≠0，則不存在實數λ，使得b＝λa，但此時向量a與b共線；
(3)當a＝0時，若b＝0，則對任意實數λ，都有b＝λa，與有唯一一個實數λ矛盾．
關鍵能力·題型剖析
例1　解析：若|a|＝|c|，則a＝－c或a＝c，所以選項A錯誤；若b＝0，a≠0，此時 λ不存在，選項B錯誤；若b＝0，由a∥b，b∥c，不一定得到a∥c，選項C不正確；由向量a為非零向量，根據單位向量的定義，選項D正確．故選D.
答案：D
鞏固訓練1　解析：a與b同向，但|a|不一定與|b|相等，
∴a≠b，若a＝b，則a與b同向，且有|a|＝|b|，∴a與b同向是a＝b的必要不充分條件，A正確．
與共線，則有＝λ，故一定有A，B，C三點在同一條直線上，B正確．
a與b同向，則a與－b反向，C正確．
λ＝μ＝0時，a與b不一定共線，D錯誤．故選ABC.
答案：ABC
例2　解析：如圖，正方形ABCD中，＝2，則DE＝CD＝AB，
因為AB∥CD，所以△DEF∽△BAF，則＝＝，
故＝＝)＝＝.故選C.
答案：C
鞏固訓練2　解析：∵BD＝DC，∴＝－，∵＝＝，∴＝)，又∵ED＝2AE，∴＝＝.故選D.
答案：D
例3　
解析：由題意可得
解得，
所以＝＝＝，
即，所以x＋y＝－.故選A.
答案：A
鞏固訓練3　解析：由題意知，＝＝＝＝，所以＝＝＝－，又＝x＋y，所以x＝，y＝－，所以xy＝－.故選C.
答案：C
例4　解析：(1)證明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．
∴＝＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5，
∴共線．
又它們有公共點B，∴A，B，D三點共線．
(2)∵ka＋b與a＋kb共線，
∴存在實數λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，
即ka＋b＝λa＋λkb，
∴(k－λ)a＝(λk－1)b.
∵a，b是不共線的兩個向量，
∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1.
變式訓練　解析：＝＝(a＋mb)＋3(a－b)＝4a＋(m－3)b，
若A，B，D三點共線，則存在實數λ，使＝λ，
即4a＋(m－3)b＝λ(a＋b)，
∴解得m＝7.
故當m＝7時，A，B，D三點共線．
鞏固訓練4　解析：(1)因為ke1＋e2與e1＋ke2共線且方向相反，設ke1＋e2＝m(e1＋ke2)，m∈R且m<0，因為e1與e2是不共線的非零向量，則，解得k＝m＝－1.故選A.
(2)因為點M是BC的中點，所以＝，
故＝＝)＝，則＝，
故＝λ＝λ－λ，
因為N，D，C三點共線，所以存在m(m≠－1)使得＝m，
即＝m()，則＝(1＋m)－m，
所以λ－λ＝1＋m－m＝1，解得λ＝.故選A.
答案：(1)A　(2)A
隨堂檢測
1.
解析：A選項，若＝，則||＝||且∥，則四邊形ABCD為平行四邊形，正確；
B選項，如圖，||＝||＝2，但是四邊形ABCD不是矩形，錯誤；
C選項，若∥，且||＝||，則四邊形ABCD可以是等腰梯形，也可以是矩形，故錯誤；
D選項，若||＝||，且∥，則四邊形ABCD可以是平行四邊形，也可以是梯形，故錯誤．故選A.
答案：A
2．解析：因為BD＝2DA，所以＝＝＋3＝＋3()＝－2＋3＝－2m＋3n.故選B.
答案：B
3．解析：因為a、b為不共線的向量，所以a、b可以作為一組基底，對于A，＝a＋5b，＝－2a＋8b，若存在實數t使得＝t，則a＋5b＝t(－2a＋8b)，所以，方程組無解，所以與不共線，故A、B、C三點不共線，即A錯誤；
對于B，因為＝a＋5b，＝－2a＋8b，所以＝＝a＋5b＋(－2a＋8b)＝－a＋13b，同理可以說明不存在實數t，使得＝t，即與不共線，故A、C、D三點不共線，即B錯誤；
對于C，因為＝－2a＋8b，＝3(a－b)，所以＝＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b，又＝a＋5b＝，所以∥，故A、B、D三點共線，即C正確；
對于D，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，同理可以說明不存在實數t，使得＝t，即與不共線，故B、C、D三點不共線，即D錯誤．故選C.
答案：C
4．解析：因為向量e1，e2不共線，則e1＋2e2≠0，若e1＋2e2與＋me2共線，則存在實數λ，使得λ(e1＋2e2)＝λe1＋2λe2＝－2e1＋me2，所以解得
答案：－4第二節　平面向量基本定理及坐標表示
1.了解平面向量基本定理及其意義．
2．掌握平面向量的正交分解及其坐標表示．
3．會用坐標表示平面向量的加法、減法與數乘運算．
4．理解用坐標表示的平面向量共線的條件．
問題思考·夯實技能　
【問題1】　在給定基底的情況下，同一向量的分解形式是否唯一？
【問題2】　若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件可以是＝嗎？
關鍵能力·題型剖析
題型一 平面向量基本定理的應用
例 1 (1)[2024·河北石家莊模擬]如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點E，F分別為CD，AD的中點，若以向量為基底表示向量，則下列結論正確的是(　　)
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
(2)如圖所示，AD是△ABC的中線．O是AD上的一點，且＝2，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，則λ＋μ的值為(　　)
A．－ B．
C．－ D．
題后師說
應用平面向量基本定理的策略
鞏固訓練1　(1)(多選)[2024·山東聊城模擬]已知e1，e2是平面向量的一組基底，則下列四組向量中，可以作為一組基底的是(　　)
A．e1和e1＋e2 B．e1－2e2和e2－2e1
C．e1＋e2和e1－e2 D．e1－2e2和4e2－2e1
(2)[2024·廣東梅州模擬]如圖，在△ABC中，＝，P是BN的中點，若＝m＋n，則m＋n＝(　　)
A．　　　B．1　　　C．　　　D．
　
題型二 平面向量的坐標運算
例 2 (1)已知＝(1，－1)，C(0，1)，若＝2，則點D的坐標為(　　)
A．(－2，3) B．(2，－3)
C．(－2，1) D．(2，－1)
(2)如圖，半徑為2的扇形AOB的圓心角為120°，點C在上，且∠COB＝30°，若＝λ＋μ，則λ＋μ＝________．
題后師說
(1)利用向量的坐標運算解題，首先利用加、減、數乘運算法則進行運算，然后根據“兩個向量相等當且僅當它們的坐標對應相等”這一原則，轉化為方程(組)進行求解．
(2)向量的坐標表示把點與數聯系起來，引入平面向量的坐標可以使向量運算代數化，成為數與形結合的載體，使很多幾何問題的解答轉化為我們熟知的數量運算．
鞏固訓練2
(1)已知A(0，1)，B(3，－2)，且＝2，則的坐標為(　　)
A．(2，－1) B．(6，－5)
C．(6，－6) D．(2，－2)
(2)如圖，在4×4的方格紙中，若起點和終點均在格點的向量m，n，p滿足p＝xm＋yn(x，y∈R)，則4x＋y＝________．
題型三 向量共線的坐標表示
角度一　利用向量共線求參數
例 3 [2024·河北唐山模擬]已知向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，若(kb＋a)∥(b－a)，則實數k＝________．
角度二　利用向量共線求向量或點的坐標
例 4 [2024·江西撫州模擬]已知A(2，3)，B(4，－3)，點P在線段AB的延長線上，且||＝||，則點P的坐標為________．
題后師說
平面向量共線的坐標表示問題的解題策略
鞏固訓練3
(1)[2024·河南開封模擬]已知向量a＝(－1，1)，b＝(1，m)，若a∥(ma＋b)，則m＝(　　)
A． B．1
C．－ D．－1
(2)已知O為坐標原點，＝，若P1(1，2)，P2(2，－1)，則與共線的單位向量為(　　)
A．(3，－4)
B．(3，－4)或(－3，4)
C．(，－)或(－)
D．(，－)
　
1．[2024·河北保定模擬]已知向量a＝(4，2)，b＝(x，3)，且a∥b，則x＝(　　)
A．9　　　 B．3 C．6　　　 D．5
2．已知向量a＝(，1)，b＝(0，－2)．若實數k與向量c滿足a＋2b＝kc，則c可以是(　　)
A．(，－1) B．(－1，－)
C．(－，－1) D．(－1，)
3．[2024·河南平頂山模擬]已知向量a＝(1，－1)，b＝(m2，m)，則m＝－1是a∥b的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
4．[2024·江蘇鎮江模擬]在△ABC中，AB＝3AD，點E是CD的中點．若存在實數λ，μ使得＝λ＋μ，則λ＋μ＝________(請用數字作答)．
第二節　平面向量基本定理及坐標表示
問題思考·夯實技能
【問題1】　提示：唯一．若{e1，e2}是基底，且a＝λ1e1＋μ1e2＝λ2e1＋μ2e2，則必有λ1＝λ2，μ1＝μ2.
【問題2】　提示：不可以．因為當＝時一定有a∥b，但當a∥b時，＝不一定成立，因為x2，y2中可能為0.
關鍵能力·題型剖析
例1　解析：(1)＝.
又E為DC中點，則＝＝；
F為AD中點，則＝＝.
則＝ ＝；
＝ ＝.
則＝＝.故選D.
(2)因為AD是△ABC的中線，O是AD上的一點，且＝2，所以O是△ABC的重心，則＝)＝)＝)＋＝，又因為＝λ＋μ，所以λ＝，μ＝－，可得λ＋μ＝－，故選C.
答案：(1)D　(2)C
鞏固訓練1　解析：(1)根據平面向量基底的定義知，向量e1，e2為不共線非零向量，即不存在實數λ，使得e1＝λe2，對于A中，向量e1和e1＋e2，不存在實數λ，使得e1＝λ(e1＋e2)，符合題意；對于B中，向量e1－2e2和e2－2e1，假設存在實數λ，使得e1－2e2＝λ(e2－2e1)，可得，此時方程組無解，所以e1－2e2和e2－2e1可以作為基底，符合題意；對于C中，向量e1＋e2和e1－e2，假設存在實數λ，使得e1＋e2＝λ(e1－e2)，可得，此時方程組無解，所以e1＋e2和e1－e2可以作為基底，符合題意；對于D中，向量e1－2e2和4e2－2e1，假設存在實數λ，使得e1－2e2＝λ(4e2－2e1)，可得，解得λ＝－，所以e1－2e2和4e2－2e1不可以作為基底，不符合題意．故選ABC.
(2)因為P是BN的中點，所以＝.所以＝＝＝)＝＝，所以m＝，n＝，所以m＋n＝.故選D.
答案：(1)ABC　(2)D
例2　解析：(1)設D(x，y)，則＝(x，y－1)，且＝(1，－1)，＝2，∴(x，y－1)＝2(1，－1)，∴，∴x＝2，y＝－1，∴點D的坐標為(2，－1)．故選D.
(2)如圖所示，以O為原點，OB為x軸，OB的垂線為y軸，建立直角坐標系，B(2，0)，
∵∠BOC＝30°，OC＝2，∴C(2cos 30°，2sin 30°)，即C(，1)，
∵∠BOA＝120°，OA＝2，∴A(2cos 120°，2sin 120°)，即A(－1，)，
又＝λ＋μ，∴(，1)＝λ(－1，)＋μ(2，0)，
∴，解得，∴λ＋μ＝.
答案：(1)D　(2)
鞏固訓練2　解析：(1)設C(x，y)，則＝(x，y－1)，＝(3－x，－2－y)，由＝2，則，解得，所以＝(2，－2)．故選D.
(2)建立如圖所示直角坐標系，設小方格的邊長為單位長度1，
可得m＝(1－0，4－1)＝(1，3)，同理可得n＝(3，－2)，p＝(4，3)，
∵p＝xm＋yn(x，y∈R)，
∴
將方程組中兩式相加，可得4x＋y＝7.
答案：(1)D　(2)7
例3　解析：由a＝(1，2)，b＝(2，3)，得kb＋a＝(2k＋1，3k＋2)，b－a＝(1，1)，由(kb＋a)∥(b－a)，得(3k＋2)－(2k＋1)＝0，所以k＝－1.
答案：－1
例4　解析：點P在線段AB的延長線上，與方向相反，
由||＝||，則有＝－，
設P(x，y)，則(x－2，y－3)＝－(4－x，－3－y)，
即，解得，
故點P的坐標為(10，－21)．
答案：(10，－21)
鞏固訓練3　解析：(1)由題設ma＋b＝(1－m，2m)，又a∥(ma＋b)，則＝，可得m＝－1.故選D.
(2)由＝得＝0，即＝＝＝，＝＝2(2，－1)－(1，2)＝(3，－4)，||＝＝5，與同向的單位向量為＝(，－)，反向的單位向量為(－)．故選C.
答案：(1)D　(2)C
隨堂檢測
1．解析：因為a＝(4，2)，b＝(x，3)，且a∥b，所以2x＝3×4，解得x＝6.故選C.
答案：C
2．解析：設c＝(x，y)，因為向量a＝(，1)，b＝(0，－2)，所以a＋2b＝(，1)＋2(0，－2)＝(，－3)，又a＋2b＝kc，所以(，－3)＝k(x，y) ，k＝0時不成立，所以k≠0，所以y＝－x.選項A，c＝(，－1)不滿足y＝－x；選項B，c＝(－1，－)不滿足y＝－x；選項C，c＝(－，－1)不滿足y＝－x；選項D，c＝(－1，)滿足y＝－x，故選D.
答案：D
3．解析：若a∥b，則m＋m2＝0，解得m＝－1或m＝0，則m＝－1是a∥b的充分不必要條件．故選A.
答案：A
4．解析：因為E是CD的中點，所以＝＝＝)＝)，因為AB＝3AD，所以＝，所以＝，所以λ＝，μ＝，即λ＋μ＝＝.
答案：第三節　平面向量的數量積及其應用
1.理解平面向量數量積的含義及其幾何意義．
2．了解平面向量的數量積與投影向量的關系．
3．掌握數量積的坐標表達式，會進行平面向量數量積的運算．
4．能用數量積表示兩個向量的夾角，會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系．
5．會用向量方法解決簡單的平面幾何問題．
問題思考·夯實技能　
【問題1】　兩個向量的數量積大于0(或小于0)，則夾角一定為銳角(或鈍角)嗎？
【問題2】　由a·b＝0一定可以得出a＝0或b＝0嗎？
關鍵能力·題型剖析
題型一 平面向量數量積的運算
例 1 (1)[2024·江西宜春模擬]已知向量a＝(－1，m)(m>0)，b＝(4，3)，且|a|＝|b|，則a·b＝(　　)
A．68 B．－68
C．－4－6 D．6－4
(2)[2024·河南開封模擬]在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，點P是菱形ABCD內部一點，且＋2＋3＝0，則·＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
題后師說
平面向量數量積運算的3種策略
鞏固訓練1
(1)設向量a，b的夾角的余弦值為－，|a|＝4，|b|＝1，則(2a＋3b)·b＝(　　)
A．－1　　　B．1
C．－5 D．5
(2)[2024·安徽淮南模擬]在△ABC中，已知∠ACB＝，BC＝4，AC＝3，D是邊AB的中點，點E滿足＝，則·＝(　　)
A．－ B．－1
C． D．
　
題型二 平面向量數量積的應用
角度一　向量的模
例 2 [2024·河北衡水模擬]已知平面向量a，b滿足|a|＝2，|b|＝1，a－b＝(，－2)，則|2a－b|＝(　　)
A． B．4
C． D．33
角度二　向量的夾角
例 3 [2024·安徽亳州模擬]已知非零向量a，b，c滿足|a|＝1，(a－b)·(a＋b)＝－1，a·b＝1，c＝－2b.則向量a與c的夾角為(　　)
A．45° B．60°
C．135° D．150°
角度三　向量的垂直
例 4 [2024·山東日照模擬]已知向量a＝(m＋1，m－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1，1)，若(2a＋b)⊥c，則m＝(　　)
A． B．3
C． D．5
角度四　投影向量
例 5 [2024·江蘇常州模擬]已知平面向量a，b，滿足|a|＝2，b＝(1，1)，|a＋b|＝，則a在b方向上的投影向量的坐標為(　　)
A．() B．(1，1)
C．(－1，－1) D．(－，－)
題后師說
(1)求平面向量的模的方法：①公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2；②幾何法：利用向量的幾何意義．
(2)求平面向量的夾角的方法：①定義法：cos θ＝；②坐標法．
(3)兩個向量垂直的充要條件：a⊥b a·b＝0 |a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．
(4)求投影向量的方法：向量a在向量b上的投影向量為·＝b.
鞏固訓練2
(1)(多選)[2024·廣東廣州模擬]已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，1)，則(　　)
A．(a－b)⊥(a＋b)
B．(a－b)∥(a＋b)
C．|a－b|＝|a＋b|
D．b－a在a上的投影向量是a
(2)[2024·安徽合肥模擬]已知非零向量a，b，c滿足a⊥(b＋c)，|b|＝|c|，〈a，b〉＝60°，則〈a，c〉＝(　　)
A．45° B．60°
C．120° D．135°
　
題型三 平面向量的綜合應用
例 6 (1)[2024·江西景德鎮模擬]已知向量a＝(2，3)，b＝(2，sin α－3)，c＝(2，cos α)，若(a＋b)∥c，則tan α的值為(　　)
A．2　　　B．－2　　　C．　　　D．－
(2)若P為△ABC所在平面內一點，且||＝|－2|，則△ABC的形狀為(　　)
A．等邊三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
題后師說
平面向量的綜合應用主要是利用平面向量的知識作為解題工具，解決平面幾何問題、三角函數問題、解三角形問題、解析幾何問題、實際問題等．
鞏固訓練3
(1)已知a，b，c分別為△ABC的內角A，B，C的對邊，a＝b，·＝8，則c＝(　　)
A．2 B．2
C．4 D．4
(2)一條河寬為800 m，一艘船從岸邊的某處出發向對岸航行．船的速度的大小為20 km/h，水流速度的大小為12 km/h，則當航程最短時，這艘船行駛完全程所需要的時間為________ min.
　
1．[2023·新課標Ⅰ卷]已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，若(a＋λb)⊥(a＋μb)，則(　　)
A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1
C．λμ＝1 D．λμ＝－1
2．[2023·全國乙卷]正方形ABCD的邊長是2，E是AB的中點，則·＝(　　)
A． B．3
C．2 D．5
3．[2023·全國甲卷]向量|a|＝|b|＝1，|c|＝，且a＋b＋c＝0，則cos 〈a－c，b－c〉＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
4．[2023·新課標Ⅱ卷]已知向量a，b滿足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，則|b|＝________．
平面向量與三角形的“四心”
1．平面向量與三角形的重心
(1)三角形的重心：三角形的三條中線的交點．
(2)O是△ABC的重心 ＝0.
【典例1】　已知O是△ABC所在平面上的一點，若＝)(其中P為平面上任意一點)，則點O是△ABC的(　　)
A．外心　　B．內心　　C．重心　　D．垂心
[解析]　由已知得3＝－＋－＋－，
所以3＋3＝＋＋，
即＋＋＝0，
所以點O是△ABC的重心．故選C.
[答案]　C
2．平面向量與三角形的垂心
(1)三角形的垂心：三角形的三條高線的交點．
(2)O是△ABC的垂心 ·＝·＝·
【典例2】　已知點O為△ABC所在平面內一點，且＋＝＋＝＋，則點O一定為△ABC的(　　)
A．外心 B．內心 C．重心 D．垂心
[解析]　因為＋＝＋，
所以－＝－，
所以(－)·(＋)＝()·(－)，
所以·(＋)＝·(－)，
所以·(＋－＋)＝0，
所以·(＋＋)＝0，
所以·＝0，所以⊥.
同理可得⊥⊥.
所以O為△ABC的垂心．故選D.
[答案]　D
3．平面向量與三角形的外心
(1)三角形的外心：三角形的三條邊的垂直平分線的交點(三角形外接圓的圓心)．
(2)O是△ABC的外心 ||＝||＝||(或＝＝)．
【典例3】　已知點O是△ABC所在平面上的一點．若()·＝()·＝()·＝0，則點O是△ABC的(　　)
A．外心 B．內心 C．重心 D．垂心
[解析]　(＋)·(－)＝(＋)·(－)＝(＋)·(－)＝0 －＝－＝－＝0 ||＝||＝||.所以點O是△ABC的外心．故選A.
[答案]　A
4．平面向量與三角形的內心
(1)三角形的內心：三角形的三個內角角平分線的交點(三角形內切圓的圓心)．
(2)O是△ABC的內心 ·()＝·()＝·()＝0.
【典例4】　O是平面上一定點，A，B，C是平面上不共線的三個點，動點P滿足：＝＋λ()，λ∈[0，＋∞)，則P的軌跡一定通過△ABC的(　　)
A．內心 B．垂心 C．重心 D．外心
[解析]　∵、分別表示向量、方向上的單位向量，
∴的方向與∠BAC的角平分線一致，
又∵＝＋λ()，λ∈[0，＋∞)，
∴＝＝λ()，λ∈[0，＋∞)，
∴向量的方向與∠BAC的角平分線一致，
∴一定通過△ABC的內心．故選A.
[答案]　A
第三節　平面向量的數量積及其應用
問題思考·夯實技能
【問題1】　提示：不一定．當兩個向量的夾角為0(或π)時，數量積也大于0(或小于0)．
【問題2】　提示：不能推出a＝0或b＝0.因為當a·b＝0時，還有可能a⊥b.
關鍵能力·題型剖析
例1　解析：(1)∵已知向量a＝(－1，m)(m>0)，b＝(4，3)，|a|＝|b|，∴＝，即1＋m2＝25，m2＝24，又∵m>0，∴m＝2，故a＝(－1，2)，∴a·b＝－1×4＋2×3＝6－4.故選D.
(2)以菱形ABCD的對角線AC方向為x軸方向，DB方向為y軸方向建立平面直角坐標系，
則A(－2，0)，B(0，2)，C(2，0)，D(0，－2)，設P(x，y)，
所以＝(－2－x，－y)，＝(2－x，－y)，＝(－x，2－y)，又＋2＋3＝0，
所以(－2－x，－y)＋2(2－x，－y)＋3(－x，2－y)＝(0，0)，
所以2－6x＝0，6－6y＝0，即x＝，y＝1，
所以P(，1)，＝(，－1)，＝(－，－3)，所以·＝(－，－3)·(，－1)＝－－3×(－1)＝.故選D.
答案：(1)D　(2)D
鞏固訓練1　解析：(1)設a與b的夾角為θ，因為a與b的夾角的余弦值為－，即cos θ＝－，又|a|＝4，|b|＝1，所以a·b＝|a||b|cos θ＝1×4×(－)＝－1，所以(2a＋3b)·b＝2a·b＋3b2＝－2＋3＝1.故選B.
(2)∵D為AB的中點，∴＝)，
∵＝，
∴＝，
即＝＝，
如圖所示，
∵＝＝－)＋＝，
∴·＝)·()
＝·＋－·
＝－＋－·
＝－×9＋×16－×3×4cos ＝.故選C.
答案：(1)B　(2)C
例2　解析：因為a－b＝(，－2)，所以|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝5－2a·b＝7，則a·b＝－1，所以|2a－b|2＝4|a|2－4a·b＋|b|2＝21，即|2a－b|＝.故選C.
答案：C
例3　解析：∵(a－b)·(a＋b)＝－1，a2－b2＝－1，
∴|b|＝.∵a·b＝1，∴cos 〈a，b〉＝＝＝，θ∈[0，π]，則〈a，b〉＝，
設向量a與c的夾角為θ，c＝－2b，c與b反向，則θ＝π－＝.故選C.
答案：C
例4　解析：由已知得2a＋b＝2(m＋1，m－1)＋(－1，m)＝(2m＋1，3m－2)，∵(2a＋b)⊥c，且c＝(－1，1)，∴(2a＋b)·c＝－(2m＋1)＋3m－2＝0，解得m＝3.故選B.
答案：B
例5　解析：由|a|＝2，|b|＝，且|a＋b|＝，平方得|a|2＋2a·b＋|b|2＝4＋2a·b＋2＝10，解得a·b＝2，所以a在b方向上的投影向量為·＝·b＝·b＝b＝(1，1)．故選B.
答案：B
鞏固訓練2　解析：(1)因為a－b＝(3，1)，a＋b＝(－1，3)，所以(a－b)·(a＋b)＝3×(－1)＋1×3＝0，(a－b)⊥(a＋b)，故A正確；
因為3×3－1×(－1)＝10≠0，故B錯誤；
|a－b|＝，|a＋b|＝，故C正確；
因為b－a＝(－3，－1)在a上的投影向量是＝＝－a，故D錯誤．故選AC.
(2)∵a⊥(b＋c)，∴a·(b＋c)＝a·b＋a·c＝0.
所以|a||b|cos 〈a，b〉＋|a||c|cos 〈a，c〉＝0，
又|b|＝|c|，〈a，b〉＝60°，
∴|a||c|×＋|a||c|cos 〈a，c〉＝0，由a，b，c均為非零向量，
則cos 〈a，c〉＝－，且〈a，c〉在0°到180°之間，故〈a，c〉＝135°.
故選D.
答案：(1)AC　(2)D
例6　解析：(1)因為a＝(2，3)，b＝(2，sin α－3)，所以a＋b＝(4，sin α)，又c＝(2，cos α)且(a＋b)∥c，所以4cos α＝2sin α，則tan α＝＝2.故選A.
(2)因為||＝|－2|，
所以||＝|()＋()|＝||，
即||＝||，兩邊平方整理得·＝0，
所以⊥，即△ABC為直角三角形．故選C.
答案：(1)A　(2)C
鞏固訓練3　解析：(1)∵·＝||||cos A＝bc·＝＝8，又a＝b，∴＝8，解得c＝－4(舍)或c＝4.故選C.
(2)如圖所示，所以|v2|＝＝＝16 km/h，故t＝＝0.05(h)＝3(min)．
答案：(1)C　(2)3
隨堂檢測
1．解析：因為a＝(1，1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)，由(a＋λb)⊥(a＋μb)可得，(a＋λb)·(a＋μb)＝0，即(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得：λμ＝－1.故選D.
答案：D
2．解析：方法一　由題意知，＝＝＝＝－，所以·＝·＝||2－||2，由題意知||＝||＝2，所以·＝4－1＝3，故選B.
方法二　以點A為坐標原點，的方向分別為x，y軸的正方向建立平面直角坐標系，則E(1，0)，C(2，2)，D(0，2)，則＝(1，2)，＝(－1，2)，·＝－1＋4＝3，故選B.
答案：B
3．解析：因為a＋b＋c＝0，所以a＋b＝－c，
即a2＋b2＋2a·b＝c2，即1＋1＋2a·b＝2，所以a·b＝0.
如圖，設＝a，＝b，＝c，
由題知，OA＝OB＝1，OC＝，△OAB是等腰直角三角形，
AB邊上的高OD＝，AD＝，
所以CD＝CO＋OD＝＝，
tan ∠ACD＝＝，cos ∠ACD＝，
cos 〈a－c，b－c〉＝cos ∠ACB＝cos 2∠ACD＝2cos2∠ACD－1＝2×()2－1＝.故選D.
答案：D
4．解析：由|a－b|＝，得a2－2a·b＋b2＝3，即2a·b＝a2＋b2－3　①.由|a＋b|＝|2a－b|，得a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理得，3a2－6a·b＝0，結合①，得3a2－3(a2＋b2－3)＝0，整理得，b2＝3，所以|b|＝.
答案：第四節　復數
1.通過方程的解認識復數．
2．理解復數的代數表示及其幾何意義，理解兩個復數相等的含義．
3．掌握復數代數表示式的四則運算，了解復數加、減運算的幾何意義．
問題思考·夯實技能　
【問題1】　“3＋2i>1＋2i”“2＋i<4＋i”等結論正確嗎？為什么？
【問題2】　設向量分別與復數a＋bi，c＋di對應，請你寫出向量對應的復數．
關鍵能力·題型剖析
題型一 復數的概念
例 1 (1)(多選)[2024·江蘇南通模擬]設z為復數(i為虛數單位)，下列命題正確的有(　　)
A．若z∈R，則z＝
B．若z2∈R，則z∈R
C．若z2＋1＝0，則z＝i
D．若(1＋i)z＝1－i，則|z|＝1
(2)[2024·河北秦皇島模擬]已知z＝，則z－的虛部為(　　)
A．－4 B．4
C．－4i D．4i
(3)[2024·河北衡水模擬]已知復數(m2＋3m－4)＋(m2－2m－24)i(m∈R)是純虛數，則m＝________．
題后師說
(1)復數的分類及對應點的位置都可以轉化為復數的實部與虛部應該滿足的條件問題，只需把復數化為代數形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可．
(2)解題時一定要先看復數是否為a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實部和虛部．
鞏固訓練1
(1)[2022·新高考Ⅰ卷]若i(1－z)＝1，則z＋＝(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
(2)[2022·全國甲卷]若z＝1＋i.則|iz＋3|＝(　　)
A．4 B. 4
C. 2 D. 2
(3)[2022·全國乙卷]已知z＝1－2i，且z＋a＋b＝0，其中a，b為實數，則(　　)
A．a＝1，b＝－2 B．a＝－1，b＝2
C．a＝1，b＝2 D．a＝－1，b＝－2
題型二 復數的四則運算
例 2 (1)[2024·河北衡水模擬]已知復數z1，z2，當z1＝1＋2i時，＝z1，則z2＝(　　)
A．8＋6i B．8－6i
C．10＋10i D．10－10i
(2)[2024·安徽滁州模擬]已知復數滿足z·＝4且z＋＋|z|＝0，則z2 022的值為(　　)
A．±1 B．－22 022
C．±22 022 D．22 022
(3)(多選)[2024·九省聯考]已知復數z，w均不為0，則(　　)
A．z2＝|z|2 B．＝
C．＝ D．＝
題后師說
復數代數形式運算的策略
鞏固訓練2
(1)[2020·新高考Ⅰ卷]＝(　　)
A．1 B．－1
C．i D．－i
(2)[2022·新高考Ⅱ卷](2＋2i)(1－2i)＝(　　)
A．－2＋4i B．－2－4i
C．6＋2i D．6－2i
(3)[2024·江西九江模擬]已知復數z＝，則8z的共軛復數為(　　)
A．2－2i B．2＋2i
C．－i D．－i
題型三 復數的幾何意義
例 3 (1)[2024·河南開封模擬]“a<”是“復數z＝(i為虛數單位)在復平面上對應的點在第四象限”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
(2)已知復數z1＝1＋2i，z2＝2－i(i為虛數單位)，z3在復平面上對應的點分別為A，B，C.若四邊形OABC為平行四邊形(O為復平面的坐標原點)，則復數z3為(　　)
A．1－3i B．1＋3i
C．－1＋3i D．－1－3i
(3)[2024·江西贛州模擬]已知復數z滿足|z＋i|＝1(i為虛數單位)，則|z－i|的最大值為(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
題后師說
(1)復數z＝a＋bi(a，b∈R)、復平面內的點Z(a，b)、復平面內的向量三者之間建立了一一對應關系，因此解決復數問題時，可考慮運用數形結合的思想方法．
(2)由于|z1－z2|表示z1，z2在復平面內對應點Z1，Z2之間的距離，因此可由此判斷復數對應點的軌跡問題，并結合平面解析幾何知識解決最值問題．
鞏固訓練3
(1)[2024·河南南陽模擬]已知i為虛數單位，z＝，則復數在復平面上所對應的點在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)[2024·河北滄州模擬]設復數z滿足|z－1＋i|＝2，z在復平面內對應的點為(x，y)，則(　　)
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝4
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
C．(x－1)2＋(y－1)2＝4
D．(x－1)2＋(y＋1)2＝4
(3)[2024·安徽安慶模擬]設復數z滿足條件|z|＝1，那么|z＋＋i|取最大值時的復數z為(　　)
A．i B．－i
C．i D．－i
　
1．[2023·新課標Ⅱ卷]在復平面內，(1＋3i)(3－i)對應的點位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．[2023·新課標Ⅰ卷]已知z＝，則z－＝(　　)
A．－i B．i
C．0 D．1
3．[2023·全國甲卷]若復數(a＋i)(1－ai)＝2，a∈R，則a＝(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
4．[2023·全國乙卷]設z＝，則＝(　　)
A．1－2i B．1＋2i
C．2－i D．2＋i
第四節　復數
問題思考·夯實技能
【問題1】　提示：不正確．兩個實數可以比較大小，但兩個虛數只能判斷它們是否相等，而不能比較它們的大小．
【問題2】　提示：(a＋c)＋(b＋d)i，(a－c)＋(b－d)i.
關鍵能力·題型剖析
例1　解析：(1)設z＝a＋bi(a，b∈R)．
對于A，因z∈R，則b＝0，則z＝a＋bi＝a－bi＝，故A正確；
對于B，注意到i2＝－1∈R，但i R，故B錯誤；
對于C，注意到(－i)2＝－1，則z有可能為－i，故C錯誤；
對于D，z＝＝＝＝－i，則|z|＝1，故D正確．故選AD.
(2)因為z＝＝＝＝－1－2i，所以＝－1＋2i，所以z－＝－1－2i－(－1＋2i)＝－4i，所以z－的虛部為－4.故選A.
(3)因為(m2＋3m－4)＋(m2－2m－24)i(m∈R)是純虛數，所以，解得m＝1.
答案：(1)AD　(2)A　(3)1
鞏固訓練1　解析：(1)由題設有1－z＝＝＝－i，故z＝1＋i，故z＋＝(1＋i)＋(1－i)＝2.故選D.
(2)因為z＝1＋i，所以iz＋3＝i(1＋i)＋3(1－i)＝2－2i，所以|iz＋3|＝＝2.故選D.
(3)由z＝1－2i可知＝1＋2i.由z＋a＋b＝0，得1－2i＋a(1＋2i)＋b＝1＋a＋b＋(2a－2)i＝0.根據復數相等，得解得故選A.
答案：(1)D　(2)D　(3)A
例2　解析：(1)由＝z1得z2＝z1(z1－z1)＝(1＋2i)×(4－2i)＝8＋6i.故選A.
(2)設z＝a＋bi(a，b∈R)，則＝a－bi，
∵z·＝4且z＋＋|z|＝0，即
即解得a＝－1，b＝±，
所以z＝－1±i，又z2 022＝(z3)674，
當z＝－1＋i時，z3＝(－1＋i)3＝(－1＋i)2(－1＋i)＝(－2－2i)(－1＋i)＝8＝23，
當z＝－1－i時，z3＝(－1－i)3＝(－1－i)2(－1－i)＝(－2＋2i)(－1－i)＝8＝23，
故z2 022＝(z3)674＝(23)674＝22 022.故選D.
(3)設z＝a＋bi(a，b∈R)，w＝c＋di(c，d∈R)；
對A： z2＝(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2＝a2－b2＋2abi，|z|2＝()2＝a2＋b2，故A錯誤；
對B: ＝，又·z＝2，即有＝，故B正確；
對C：z－w＝a＋bi－c－di＝a－c＋(b－d)i，則＝a－c－(b－d)i，＝a－bi，＝c－di，則＝a－bi－c＋di＝a－c－(b－d)i，
即有＝，故C正確；
對D：＝＝＝
＝
＝
＝
＝，
＝＝
＝
＝，
故＝，故D正確．故選BCD.
答案：(1)A　(2)D　(3)BCD
鞏固訓練2　解析：(1)＝＝＝－i.
故選D.
(2)(2＋2i)(1－2i)＝2＋4－4i＋2i＝6－2i.故選D.
(3)因為z＝＝＝＝＝i，則8z＝8(i)＝2－2i，所以8z的共軛復數為2＋2i. 故選B.
答案：(1)D　(2)D　(3)B
例3　解析：(1)因為z＝＝，
又復數z在復平面內所對應的點在第四象限，
所以解得－6因此a<是－6(2)設z3＝x＋yi(x，y∈R)，則C(x，y)，依題意A(1，2)，B(2，－1)，＝(1，－3)，由于四邊形OABC是平行四邊形，所以＝，(x，y)＝(1，－3)，所以z3＝1－3i.故選A.
(3)設復數z在復平面中對應的點為Z，由題意可得：|z＋i|＝|z－(－i)|＝1，表示復平面中點Z到定點C(0，－1)的距離為1，所以點Z的軌跡為以C(0，－1)為圓心，半徑r＝1的圓，因為|z－i|表示復平面中點Z到定點B(0，1)的距離，所以|ZB|≤|BC|＋r＝2＋1＝3，即|z－i|的最大值為3.故選C.
答案：(1)B　(2)A　(3)C
鞏固訓練3　解析：(1)因為i4k＋1＋i4k＋2＋i4k＋3＋i4k＋4＝i－1－i＋1＝0，k∈N，則z＝＝＝＝－i，所以＝－i在復平面上所對應的點為(－)位于第二象限．故選B.
(2)復數z滿足z＝x＋yi(x，y∈R)，則|x－1＋(y＋1)i|＝2，
∴(x－1)2＋(y＋1)2＝4，故選D.
(3)復數z滿足條件|z|＝1，它是復平面上的單位圓，那么|z＋＋i|表示單位圓上的點到Q(－，－1)的距離，要使此距離取最大值的復數z，就是(－，－1)和(0，0)連線和單位圓在第一象限的交點M.∵點(－，－1)到原點距離是2.單位圓半徑是1，又∠MOx＝30°，所以M()，故對應的復數為i.故選A.
答案：(1)B　(2)D　(3)A
隨堂檢測
1．解析：因為(1＋3i)(3－i)＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，所以該復數在復平面內對應的點為(6，8)，位于第一象限，故選A.
答案：A
2．解析：因為z＝＝＝－i，所以＝i，所以z－＝－i－i＝－i.故選A.
答案：A
3．解析：因為(a＋i)(1－ai)＝a－a2i＋i＋a＝2a＋(1－a2)i＝2，所以解得a＝1.故選C.
答案：C
4．解析：z＝＝＝＝1－2i，所以＝1＋2i.故選B.
答案：B

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