資源簡(jiǎn)介

第八章 解析幾何
第一節(jié)　直線的方程
1.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式．
2．根據(jù)確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式)．
問題思考·夯實(shí)技能
【問題1】　直線的傾斜角越大，斜率越大對(duì)嗎？
【問題2】　
在平面直角坐標(biāo)系中，給定直線l上一個(gè)定點(diǎn)P0(x0，y0)和斜率k，則直線l上不同于該定點(diǎn)的任意一點(diǎn)P(x，y)的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y所滿足的關(guān)系式是什么？
關(guān)鍵能力·題型剖析
題型一直線的傾斜角與斜率
例1(1)直線2x cos α－y－3＝0(α∈)的傾斜角的變化范圍是(　　)
A．[] B．[]
C．[) D．[]
(2)直線l過點(diǎn)P(－1，0)，且與以A(2，1)，B(0，)為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)，則直線l斜率的取值范圍為________．
【變式練習(xí)】　若本例(2)中“P(－1，0)”改為“P(1，0)”，其他條件不變，則直線l的斜率的取值范圍為________．
題后師說
(1)由直線傾斜角的取值范圍求斜率的取值范圍或由斜率的取值范圍求直線傾斜角的取值范圍時(shí)，常借助正切函數(shù)y＝tan x在[0，，π)上的單調(diào)性求解，這里特別要注意，正切函數(shù)在[0，，π)上并不是單調(diào)的．
(2)過一定點(diǎn)作直線與已知線段相交，求直線斜率取值范圍時(shí)，應(yīng)注意傾斜角為時(shí)，直線斜率不存在．
鞏固訓(xùn)練1
(1)已知?jiǎng)又本€l：x＋my－2＝0的傾斜角的取值范圍是()，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　)
A．(－，－1) B．(－1，－)
C．(，1) D．(1，)
(2)已知點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)分別為(－1，1)，(2，2)，直線l：x＋my＋m＝0與線段PQ的延長(zhǎng)線相交，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是__________．
題型二 求直線方程
例2(1)[2024·江蘇淮安模擬]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l通過原點(diǎn)，n＝(3，4)是l的一個(gè)法向量，則直線l傾斜角的余弦值為(　　)
A．－ B．
C． D．－
(2)一條直線l經(jīng)過P(，－3)，并且傾斜角是直線y＝x的傾斜角的2倍，則直線l的方程為________．
題后師說
求直線方程的兩種方法
(1)直接法：由題意確定出直線方程的適當(dāng)形式．
(2)待定系數(shù)法：先由直線滿足的條件設(shè)出直線方程，方程中含有待定的系數(shù)，再由題設(shè)條件求出待定系數(shù)．
鞏固訓(xùn)練2
(1)已知三角形三個(gè)頂點(diǎn)A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，則BC邊上中線所在直線方程是(　　)
A．x－13y＋5＝0 B．x－13y－5＝0
C．x＋13y＋5＝0 D．x＋13y＝0
(2)過點(diǎn)(2，1)且在x軸上截距與在y軸上截距之和為6的直線方程為________．
題型三 直線方程的綜合應(yīng)用
例3已知直線l過點(diǎn)M(2，1)，且分別與x軸的正半軸、y軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，當(dāng)△AOB面積最小時(shí)，求直線l的方程．
【變式練習(xí)】　本例中，條件不變，當(dāng)|MA|·|MB|取得最小值時(shí)，求直線l的方程．
題后師說
利用最值取得的條件求直線方程，一般涉及函數(shù)思想，即建立目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)其結(jié)構(gòu)求最值，有時(shí)也涉及基本不等式，何時(shí)取等號(hào)，一定要弄清楚．
鞏固訓(xùn)練3
已知直線l過點(diǎn)M(1，1)，且與x軸，y軸的正半軸分別相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)|MA|2＋|MB|2取得最小值時(shí)，求直線l的方程．
1．如圖，已知直線PM，QP，QM的斜率分別為k1，k2，k3，則k1，k2，k3的大小關(guān)系為(　　)
A．k1B．k1C．k2D．k32．過點(diǎn)(1，2)且方向向量為(－1，2)的直線的方程為(　　)
A．2x＋y－4＝0
B．x＋y－3＝0
C．x－2y＋3＝0
D．2x－y＋4＝0
3．已知直線l的方程為x sin α＋y－1＝0，α∈R，則直線l的傾斜角范圍為(　　)
A．(0，，π) B．[0，，π)
C．[0，，π) D．[0，，π)
4．直線l的方程為(a＋1)x＋y＋3－a＝0(a∈R)，直線l過定點(diǎn)________，若直線l不經(jīng)過第三象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
第八章　解析幾何
第一節(jié)　直線的方程
問題思考·夯實(shí)技能
【問題1】　答案：不對(duì)．設(shè)直線的傾斜角為α，斜率為k.
【問題2】　答案：y－y0＝k(x－x0)
關(guān)鍵能力·題型剖析
例1　解析：(1)因?yàn)橹本€2x cos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α，
由于α∈[]，所以≤cos α≤，
因此k＝2cos α∈[1，].
設(shè)直線的傾斜角為θ，則有tan θ∈[1，]，
由于θ∈[0，π)，
所以θ∈[]，即傾斜角的變化范圍是[].故選B.
解析：∵P(－1，0)，A(2，1)，B(0，)，
∴kPA＝＝，kPB＝＝.
由圖可知，直線l的斜率k的取值范圍為[].
答案：B　
答案： []
變式練習(xí)　解析：如圖所示：
當(dāng)直線l過B時(shí)設(shè)直線l的斜率為k1，
則k1＝＝－，
當(dāng)直線l過A時(shí)設(shè)直線l的斜率為k2，
則k2＝＝1，
∴要使直線l與線段AB有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍是(－∞，－
答案：(－∞，－
鞏固訓(xùn)練1　 (1)由題設(shè)知：直線斜率范圍為(1，)，即1<－<，可得－1解析：如圖所示，
由題知kPQ＝＝，
直線x＋my＋m＝0過點(diǎn)M(0，－1)．
當(dāng)m＝0時(shí)，直線化為x＝0，一定與PQ相交，所以m≠0，
當(dāng)m≠0時(shí)，kl＝－，考慮直線l的兩個(gè)極限位置．
①l經(jīng)過Q，即直線l1，則＝＝；
②l與直線PQ平行，即直線l2，則＝kPQ＝，
因?yàn)橹本€l與PQ的延長(zhǎng)線相交，
所以<－<，即－3答案： B　(2)－3例2　解析：因?yàn)橹本€l通過原點(diǎn)，n＝(3，4)是l的一個(gè)法向量，
所以直線l的方程為3x＋4y＝0，設(shè)直線l的傾斜角為θ，則tan θ＝－，
又且0°≤θ<180°，解得cos θ＝－.
故選A.
解析：因?yàn)橹本€y＝x的斜率為，
所以直線y＝x的傾斜角為，
所以直線l的傾斜角為，
所以直線l的斜率為tan ＝－，
因?yàn)橹本€l經(jīng)過P(，－3)，
所以直線l的方程為y＋3＝－(x－)，即y＝－x.
答案： A　(2)y＝－x
鞏固訓(xùn)練2　解析：由B(3，－3)，C(0，2)，得BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為D(，－)，又A(－5，0)，
∴kAD＝＝－.
∴BC邊上中線所在直線方程是
y－0＝－(x＋5)，即x＋13y＋5＝0.故選C.
解析：設(shè)在x軸上截距與在y軸上截距之和為6的直線
方程為＝1，
把點(diǎn)(2，1)代入，可得＝1，求得a＝3或a＝4，
故要求的直線的方程為＝1或＝1，
即x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.
答案： C　(2)x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0
例3　解析：方法一　設(shè)直線l的方程為y－1＝k(x－2)(k＜0)，則A(2－，0)，B(0，1－2k)，S△AOB＝(1－2k)·(2－)＝[4＋(－4k)＋(－)]≥(4＋4)＝4，當(dāng)且僅當(dāng)－4k＝－，即k＝－時(shí)，等號(hào)成立．故直線l的方程為y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.
方法二　設(shè)直線l：＝1，且a＞0，b＞0，因?yàn)橹本€l過點(diǎn)M(2，1)，所以＝1，則1＝≥2，故ab≥8，故S△AOB的最小值為×ab＝×8＝4，當(dāng)且僅當(dāng)＝＝時(shí)取等號(hào)，此時(shí)a＝4，b＝2，故直線l為＝1，即x＋2y－4＝0.
變式練習(xí)　解析：方法一　由本例方法一知A(，0)，B(0，1－2k)(k＜0)，
所以|MA|·|MB|＝·
＝2＝2[(－k)＋]≥4.
當(dāng)且僅當(dāng)－k＝－，即k＝－1時(shí)取等號(hào)．
此時(shí)直線l的方程為x＋y－3＝0.
方法二　由本例方法二知A(a，0)，B(0，b)，a＞0，b＞0，＝1.
所以|MA|·|MB|＝||·||＝－·
＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)
＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5
＝(2a＋b)()－5＝2()≥4，
當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝3時(shí)取等號(hào)，此時(shí)直線l的方程為x＋y－3＝0.
鞏固訓(xùn)練3　解析：設(shè)直線l的斜率為k，則k＜0，所以直線l的方程
為y－1＝k(x－1)(k＜0)
則A(1－，0)，B(0，1－k)，
∴|MA|2＋|MB|2＝[(－)2＋1]＋[1＋(－k)2]
＝2＋k2＋≥2＋2·＝4，
當(dāng)且僅當(dāng)k2＝，即k＝－1時(shí)取等號(hào)，
∴當(dāng)|MA|2＋|MB|2取得最小值4時(shí)，直線l的方程為y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.
隨堂檢測(cè)
1．解析：由于直線PM的傾斜角為鈍角，QP、QM的傾斜角為銳角，
當(dāng)傾斜角為銳角時(shí)，斜率為正，即k3>0，k2>0，當(dāng)傾斜角為鈍角時(shí)，斜率為負(fù)，即k1<0，
又因?yàn)閮A斜角為時(shí)，傾斜角越大，斜率越大，即k3所以k1答案：B
2．解析：由題意可知直線的斜率k＝＝－2，由點(diǎn)斜式方程得，
所求直線的方程為y－2＝－2(x－1)，即2x＋y－4＝0.故選A.
答案：A
3．解析：由直線l的方程為x sin α＋y－1＝0，α∈R，化為y＝－x sin α＋，
∵α∈R，∴－1≤sin α≤1，設(shè)直線l的傾斜角為φ，且0≤φ＜π，則tan α＝－sin α∈[－]，
所以0≤φ≤或≤φ<π；
即直線l的傾斜角范圍是[0，，π)．故選B.
答案：B
4．解析：直線l的方程可化為a(x－1)＋x＋y＋3＝0，則解得x＝1，y＝－4，所以直線l過定點(diǎn)(1，－4)．若直線l不經(jīng)過第三象限，則解得a≥3.
答案：(1，－4)　[3，＋∞)第二節(jié)　兩直線的位置關(guān)系
1.能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直．
2．能用解方程的方法求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)．
3．掌握平面上兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離．
問題思考·夯實(shí)技能
【問題1】　兩直線的斜率相等是兩直線平行的充要條件嗎？
【問題2】　請(qǐng)你寫出點(diǎn)到幾種特殊直線的距離？
①點(diǎn)P(x0，y0)到x軸的距離__________；
②點(diǎn)P(x0，y0)到y(tǒng)軸的距離__________；
③點(diǎn)P(x0，y0)到直線y＝a的距離__________；
④點(diǎn)P(x0，y0)到直線x＝b的距離__________．
關(guān)鍵能力·題型剖析
題型一 兩直線的平行與垂直
例1(1)[2024·江西南昌模擬]已知直線l1：x＋y＝0，l2：ax＋by＋1＝0，若l1⊥l2，則a＋b＝(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
(2)[2024·河南信陽模擬]設(shè)a∈R，則“a＝1”是“直線ax＋2y＝0與直線x＋(a＋1)y＋2＝0平行”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
題后師說
(1)當(dāng)含參數(shù)的直線方程為一般式時(shí)，若要表示出直線的斜率，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況，同時(shí)還要注意x，y的系數(shù)不能同時(shí)為零這一隱含條件．
(2)也可利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論．
鞏固訓(xùn)練1
(1)[2024·福建龍巖模擬]△ABC中，A(3，2)，B(1，1)，C(2，3)，則AB邊上的高所在的直線方程是(　　)
A．2x＋y－7＝0 B．2x－y－1＝0
C．x＋2y－8＝0 D．x－2y＋4＝0
(2)若直線l1：mx＋4y－6＝0與直線l2：2x＋(m＋2)y＋3＝0平行，則m＝________．
題型二 兩直線的交點(diǎn)與距離問題
例2(1)[2024·山東德州模擬]若三條直線y＝3x，x＋y＝4，mx＋ny＋5＝0相交于同一點(diǎn)，則點(diǎn)(m，n)到原點(diǎn)的距離d的最小值是(　　)
A．　　 B． C．　　 D．
(2)若平面內(nèi)兩條平行線l1：x＋(a－1)y＋2＝0，l2：ax＋2y＋1＝0間的距離為，則實(shí)數(shù)a＝(　　)
A．2 B．－2或1
C．－1 D．－1或2
(3)[2024·河北滄州模擬]已知經(jīng)過點(diǎn)P(2，2)的直線l與直線ax－y＋1＝0垂直，若點(diǎn)M(1，0)到直線l的距離等于，則a的值是__________.
題后師說
(1)求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，直線方程一定要化成一般式．
(2)求兩平行線間的距離時(shí)，一定要化成l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0的形式．
鞏固訓(xùn)練2
(1)已知兩直線l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，相交于點(diǎn)P(m，－1)，則m，n的值分別是(　　)
A．7，1 B．1，7
C．－7，－1 D．－1，－7
(2)已知A(－2，4)，B(－4，6)兩點(diǎn)到直線l：ax＋y＋1＝0的距離相等，則a的值為(　　)
A．1或2 B．3或4
C．3 D．4
題型三 對(duì)稱問題
角度一　點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問題
例3過點(diǎn)P(0，1)作直線l，使它被直線l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的線段被點(diǎn)P平分，則直線l的方程為____________________．
題后師說
　 若點(diǎn)M(x1，y1)和點(diǎn)N(x，y)關(guān)于點(diǎn)P(a，b)對(duì)稱，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得進(jìn)而求解．
角度二　點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問題
例4一條光線從點(diǎn)P(－1，5)射出，經(jīng)直線x－3y＋1＝0反射后經(jīng)過點(diǎn)(2，3)，則反射光線所在直線的方程為(　　)
A．2x－y－1＝0 B．3x－y－3＝0
C．x－2＝0 D．4x－y－5＝0
題后師說
若兩點(diǎn)P1(x1，y1)與P2(x2，y2)關(guān)于直線l：Ax＋By＋C＝0對(duì)稱，由方程組可得到點(diǎn)P1關(guān)于l對(duì)稱的點(diǎn)P2的坐標(biāo)(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．
角度三　直線關(guān)于直線的對(duì)稱問題
例5 直線y＝2x＋1關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的直線方程為(　　)
A．x－3y＋1＝0 B．x－3y－1＝0
C．x－2y－1＝0 D．x－2y＋1＝0
題后師說
直線關(guān)于直線對(duì)稱的兩種求解方法
鞏固訓(xùn)練3
(1)直線l：4x＋3y－2＝0關(guān)于點(diǎn)A(1，1)對(duì)稱的直線方程為(　　)
A．4x＋3y－4＝0
B．4x＋3y－12＝0
C．4x－3y－4＝0
D．4x－3y－12＝0
(2)已知點(diǎn)A(2，0)，B(－2，－4)，P在直線l：x－2y＋8＝0上，則|PA|＋|PB|的最小值為________．
1．若直線y＝－2x＋4與直線y＝kx的交點(diǎn)在直線y＝x＋2上，則實(shí)數(shù)k＝(　　)
A．4　　 　B．2 C．　　　D．
2．[2024·河北滄州模擬]已知點(diǎn)A，B分別是直線l1：2x＋y－2＝0與直線l2：4x＋2y＋1＝0上的點(diǎn)，則|AB|的最小值為(　　)
A．0　　 　B． C．　　　D．
3．[2024·九省聯(lián)考]已知Q為直線l：x＋2y＋1＝0上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P滿足＝(1，－3)，記P的軌跡為E，則(　　)
A．E是一個(gè)半徑為的圓
B．E是一條與l相交的直線
C.E上的點(diǎn)到l的距離均為
D．E是兩條平行直線
4．已知A(－1，3)，B(3，1)，從點(diǎn)(m，2)處射出的光線經(jīng)x軸反射后，反射光線與AB平行，且點(diǎn)B到該反射光線的距離為，則實(shí)數(shù)m＝________.
狀元筆記 直線系方程
直線系方程是指具有某種共同性質(zhì)的所有直線的集合，其方程叫直線系方程．常見的直線系方程有平行直線系、垂直直線系和過直線交點(diǎn)的直線系．求解直線方程時(shí)，采用設(shè)直線系方程的方法可簡(jiǎn)化運(yùn)算．
例1(平行直線系方程)[2024·山西晉中模擬]經(jīng)過點(diǎn)A(3，2)，且與直線4x＋y－2＝0平行的直線方程是(　　)
A．y＝－4x＋14 B．4x＋2y－8＝0
C．2x－4y＋2＝0 D．4x＋y＋14＝0
解析:令所求直線方程為4x＋y＋C＝0，則12＋2＋C＝0 C＝－14，所以，所求直線為y＝－4x＋14(或4x＋y－14＝0)．
故選A.
答案:A
例2(垂直直線系方程)過點(diǎn)P(1，－1)且垂直于l：x－2y＋1＝0的直線方程為(　　)
A．x＋y＋＝0 B．－2x＋y＋3＝0
C．2x－y－1＝0 D．2x＋y－1＝0
解析:設(shè)過點(diǎn)P(1，－1)且垂直于1：x－2y＋1＝0的直線方程為2x＋y＋m＝0，
將點(diǎn)P(1，－1)代入，可得2－1＋m＝0，解得m＝－1，
所以所求直線方程為2x＋y－1＝0.
故選D.
答案:D
例3 (過直線交點(diǎn)的直線系方程)已知兩條直線l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交點(diǎn)為P，則過點(diǎn)P且與直線l3：3x－4y＋5＝0垂直的直線l的方程為(　　)
A．4x－3y＋6＝0 B．4x＋3y－6＝0
C．3x－4y＋6＝0 D．3x＋4y－6＝0
解析:設(shè)所求直線l的方程為x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0，
因?yàn)橹本€l與l3：3x－4y＋5＝0垂直，
所以3(1＋λ)－4(λ－2)＝0，解得λ＝11，
所以直線l的方程為12x＋9y－18＝0，即4x＋3y－6＝0.故選B.
答案:B
第二節(jié)　兩直線的位置關(guān)系
問題思考·夯實(shí)技能
【問題1】　答案:不是．垂直于x軸的兩條直線，雖然平行，但斜率不存在．
【問題2】　答案:①d＝|y0|?、赿＝|x0|?、踕＝|y0－a|　
④d＝|x0－b|
關(guān)鍵能力·題型剖析
例1　解析：因?yàn)橹本€l1：x＋y＝0，l2：ax＋by＋1＝0，且l1⊥l2，則1·a＋1·b＝0，所以a＋b＝0.故選B.
解析：當(dāng)a＝1時(shí)，x＋2y＝0與x＋2y＋2＝0的斜率相等，故平行，充分性成立，
若“直線ax＋2y＝0與直線x＋(a＋1)y＋2＝0平行”，則滿足a(a＋1)－2＝0，
解得a＝－2或1，經(jīng)驗(yàn)證，a＝－2或1時(shí)，兩直線不重合，故a＝－2或1，兩直線平行，故必要性不成立．故選A.
答案:B　
答案:A
鞏固訓(xùn)練1　解析：設(shè)AB邊上的高所在的直線為l，
由已知可得，kAB＝＝，所以直線l的斜率kl＝－2.
又l過C(2，3)，所以l的方程為y－3＝－2(x－2)，
整理可得，2x＋y－7＝0.故選A.
解析：因?yàn)閘1∥l2，
所以m(m＋2)－4×2＝m2＋2m－8＝(m－2)(m＋4)＝0，
所以m＝2或m＝－4.
當(dāng)m＝－4時(shí)，l1：2x－2y＋3＝0，l2：2x－2y＋3＝0，
l1，l2重合；
當(dāng)m＝2時(shí)，l1：x＋2y－3＝0，l2：2x＋4y＋3＝0，
l1∥l2，符合題意．
答案: A　
答案:2
例2　解析：聯(lián)立解得
把(1，3)代入mx＋ny＋5＝0，得m＋3n＋5＝0，∴m＝－5－3n，
∴點(diǎn)(m，n)到原點(diǎn)的距離d＝＝＝，
當(dāng)且僅當(dāng)m＝－，n＝－時(shí)取等號(hào)．
∴點(diǎn)(m，n)到原點(diǎn)的距離的最小值為.故選D.
解析：因?yàn)閮芍本€l1：x＋(a－1)y＋2＝0，l2：ax＋2y＋1＝0平行，
可得1×2＝(a－1)×a且1×1≠2a，解得a＝2或a＝－1，
當(dāng)a＝2時(shí)，l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋1＝0，即l1：2x＋2y＋4＝0，
可得兩平行線間的距離為d＝＝，符合題意；
當(dāng)a＝－1時(shí)，l1：x－2y＋2＝0，l2：－x＋2y＋1＝0，即l2：x－2y－1＝0，
可得兩平行線間的距離為d＝＝，不符合題意，舍去．故選A.
解析：當(dāng)a＝0時(shí)，直線ax－y＋1＝0，即為y＝1，則經(jīng)過點(diǎn)P(2，2)的直線l的方程為x＝2，此時(shí)點(diǎn)M(1，0)到直線l的距離不等于，不符合題意，舍去；當(dāng)a≠0時(shí)，可設(shè)直線l的方程為y－2＝－(x－2)，即為x＋ay－2a－2＝0，可得＝，解得a＝2；
綜上可得，實(shí)數(shù)a的值是2.
答案: D　
答案:A　(3)2
鞏固訓(xùn)練2　解析：將點(diǎn)P(m，－1)代入直線l2：2x＋my－1＝0的方程可得2m－m－1＝0，解得m＝1；
將P(m，－1)代入直線l1：mx＋8y＋n＝0的方程可得m2－8＋n＝0，解得n＝7；故選B.
解析：由題意可得：＝，整理得|2a－5|＝|4a－7|，
則2a－5＝±(4a－7)，解得a＝1或a＝2.故選A.
答案: B　
答案: A
例3　解析：設(shè)l1與l的交點(diǎn)為A(a，8－2a)，由題意知，點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)B(－a，2a－6)在l2上，把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，故A(4，0)．
因?yàn)辄c(diǎn)A(4，0)，P(0，1)在直線l上，
所以直線l的方程為x＋4y－4＝0.
答案: x＋4y－4＝0
例4　解析：設(shè)點(diǎn)P(－1，5)關(guān)于直線x－3y＋1＝0的對(duì)稱點(diǎn)為P′(a，b)，
則
化簡(jiǎn)得解得
故反射光線過點(diǎn)P′(2，－4)與點(diǎn)(2，3)，
則反射光線所在直線的方程為x＝2.故選C.
答案:C
例5　解析：聯(lián)立方程得，即直線y＝2x＋1與直線y＝x的交點(diǎn)為(－1，－1)．
設(shè)直線y＝2x＋1上的點(diǎn)(0，1)關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，
所以解得x0＝1，y0＝0，
所以直線y＝2x＋1關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的直線過點(diǎn)(－1，－1)，(1，0)，
所以所求直線方程的斜率為，
所以所求直線的方程為y＝(x－1)，即x－2y－1＝0.故選C.
答案:C
鞏固訓(xùn)練3　解析：設(shè)直線l：4x＋3y－2＝0關(guān)于點(diǎn)A(1，1)對(duì)稱的直線上任意一點(diǎn)P(x，y)，
則P(x，y)關(guān)于A(1，1)的對(duì)稱點(diǎn)為(2－x，2－y)，
又因?yàn)?2－x，2－y)在4x＋3y－2＝0上，
所以4(2－x)＋3(2－y)－2＝0，即4x＋3y－12＝0.故選B.
解析：設(shè)A關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為A′(m，n)
則解得m＝－2，n＝8，
∴A′(－2，8)，則|A′B|＝12，
所以|PA|＋|PB|的最小值是12.
答案: B　(2)12
隨堂檢測(cè)
1．解析：解方程組得直線y＝－2x＋4與直線y＝x＋2的交點(diǎn)()，
依題意，＝k，解得k＝4，
所以實(shí)數(shù)k＝4.故選A.
答案:A
2．解析：由題意可知直線l1∥l2，所以當(dāng)AB⊥l1，且AB⊥l2時(shí)，|AB|有最小值，
其最小值為平行直線 l1與l2的距離，
直線l1的方程可化為l2：4x＋2y－4＝0，
所以|AB|min＝＝.故選C.
答案:C
3．解析：設(shè)P(x，y)，由＝(1，－3)，則Q(x－1，y＋3)，
由Q在直線l：x＋2y＋1＝0上，故x－1＋2(y＋3)＋1＝0，
化簡(jiǎn)得x＋2y＋6＝0，即P的軌跡E為直線且與直線l平行，
E上的點(diǎn)到l的距離d＝＝，故ABD錯(cuò)誤，C正確．故選C.
答案:C
4．解析：因?yàn)閗AB＝＝－，故可設(shè)反射光線的方程為x＋2y＋C＝0，
因?yàn)锽到該直線的距離為，故＝，解得C＝0或－10.
當(dāng)C＝0時(shí)，反射光線的方程為x＋2y＝0，
點(diǎn)(m，2)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)為(m，－2)，顯然點(diǎn)(m，－2)在反射光線上，
把點(diǎn)(m，－2)代入方程得m－4＝0，故m＝4；
當(dāng)C＝－10時(shí)，反射光線的方程為x＋2y－10＝0，
將點(diǎn)(m，－2)代入方程解得m＝14.綜上，m＝4或14.
答案:4或14第三節(jié)　圓的方程
1.掌握確定圓的幾何要素，在平面直角坐標(biāo)系中，探索并掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程．
2．能根據(jù)圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題．
問題思考·夯實(shí)技能
【問題1】　圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與圓的一般方程各有什么特點(diǎn)？
【問題2】　所有的二元二次方程Ax2＋By2＋Dx＋Ey＋F＝0都可以表示圓嗎？
關(guān)鍵能力·題型剖析
題型一 圓的方程
例1 (1)若圓C經(jīng)過點(diǎn)A(2，5)，B(4，3)，且圓心在直線l：3x－y－3＝0上，則圓C的方程為(　　)
A．(x－2)2＋(y－3)2＝4
B．(x－2)2＋(y－3)2＝8
C．(x－3)2＋(y－6)2＝2
D．(x－3)2＋(y－6)2＝10
(2)[2024·江西吉安模擬]請(qǐng)寫出一個(gè)過點(diǎn)O(0，0)，且與直線x＋y－4＝0相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________________．
題后師說
求圓的方程的兩種方法
鞏固訓(xùn)練1
(1)已知圓心為(－2，1)的圓與y軸相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(　　)
A．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋2)2＋(y－1)2＝4
C．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
D．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
(2)設(shè)圓C圓心在射線y＝x(x≤0)上，半徑為5，且經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的方程為(　　)
A．x2＋y2－8x－6y＝0
B．x2＋y2－6x－8y＝0
C．x2＋y2＋8x＋6y＝0
D．x2＋y2＋6x＋8y＝0
題型二 與圓有關(guān)的軌跡問題
例2已知直角三角形ABC的斜邊為AB，且點(diǎn)A(－1，0)，B(3，0)．
(1)求直角頂點(diǎn)C的軌跡方程；
(2)求直角邊BC的中點(diǎn)M的軌跡方程．
題后師說
求與圓有關(guān)的軌跡問題的常用方法
鞏固訓(xùn)練2
(1)點(diǎn)P(1，0)，點(diǎn)Q是圓x2＋y2＝4上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則線段PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程是(　　)
A．(x－)2＋y2＝1
B．x2＋(y－)2＝4
C．x2＋(y－)2＝1
D．(x－)2＋y2＝4
(2)[2024·湖南郴州模擬]已知A，B是⊙C：(x－2)2＋(y－4)2＝25上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P是線段AB的中點(diǎn)，若|AB|＝6，則點(diǎn)P的軌跡方程為(　　)
A．(x－4)2＋(y－2)2＝16
B．(x－2)2＋(y－4)2＝11
C．(x－2)2＋(y－4)2＝16
D．(x－4)2＋(y－2)2＝11
題型三與圓有關(guān)的最值問題
角度一　利用幾何意義求最值
例3已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x－5＝0，
(1)求3x－y的最大值和最小值；
(2)求(x－3)2＋(y－1)2的最大值和最小值；
(3)求的最大值和最小值．
題后師說
與圓有關(guān)的最值問題的三種幾何轉(zhuǎn)化法
角度二　利用對(duì)稱性求最值
例4已知圓C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1.圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分別是圓C1，C2上的動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則|PM|＋|PN|的最小值為(　　)
A．5－4 B．－1
C．6－2 D．
題后師說
形如|PA|＋|PQ|形式的與圓有關(guān)的折線段問題(其中P，Q均為動(dòng)點(diǎn))，要立足兩點(diǎn)：
(1)減少動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
(2)“曲化直”，即將折線段轉(zhuǎn)化為同一直線上的兩線段之和，一般要通過對(duì)稱性解決．
角度三　建立函數(shù)關(guān)系求最值
例5已知P(x，y)是圓x2＋(y－3)2＝1上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)A(2，0)，B(－2，0)，則·的最大值為________．
鞏固訓(xùn)練3
(1)設(shè)P(x，y)是圓C：(x－2)2＋y2＝1上任意一點(diǎn)，則(x－5)2＋(y＋4)2的最大值為(　　)
A．6 B．25
C．26 D．36
(2)一束光線，從點(diǎn)A(－2，2)出發(fā)，經(jīng)x軸反射到圓C：(x－3)2＋(y－3)2＝1上的最短路徑的長(zhǎng)度是________．
1.圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝2關(guān)于直線x－y＝0對(duì)稱的圓的方程是(　　)
A．(x－1)2＋(y＋2)2＝2
B．(x＋1)2＋(y＋2)2＝2
C．(x－2)2＋(y－1)2＝2
D．(x＋2)2＋(y＋1)2＝2
2．已知點(diǎn)(1，1)在圓x2＋y2＋ax＋a＝0外，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　)
A．(－1，＋∞)
B．(－1，0)
C．(－1，0)
D．(－∞，0)
3．[2022·全國(guó)甲卷]設(shè)點(diǎn)M在直線2x＋y－1＝0上，點(diǎn)(3，0)和(0，1)均在⊙M上，則⊙M的方程為________．
4．[2022·全國(guó)乙卷]過四點(diǎn)(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為__________________．
第三節(jié)　圓的方程
問題思考·夯實(shí)技能
【問題1】　答案：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程明確地表達(dá)了圓的幾何要素，即圓心坐標(biāo)和半徑長(zhǎng)．
圓的一般方程表現(xiàn)出明顯的代數(shù)結(jié)構(gòu)形式，圓心和半徑需要代數(shù)運(yùn)算才能得出．
【問題2】　答案：不可以．只有二元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)A＝B≠0，D2＋E2－4AF>0才能表示圓．
關(guān)鍵能力·題型剖析
例1　解析：圓C經(jīng)過點(diǎn)A(2，5)，B(4，3)，
可得線段AB的中點(diǎn)為(3，4)，又kAB＝＝－1，
所以線段AB的中垂線的方程為y－4＝x－3，
即x－y＋1＝0，
由解得
即C(2，3)，圓C的半徑r＝＝2，
所以圓C的方程為(x－2)2＋(y－3)2＝4.故選A.
解析：設(shè)O為直徑的一個(gè)端點(diǎn)，O到直線x＋y－4＝0的距離d＝＝2為圓的直徑，
可知半徑r＝，又若圓心(a，b)在直線y＝x上，且a2＋b2＝2，
解得a＝b＝1，所求圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2.
答案：A　(2)(x－1)2＋(y－1)2＝2(答案不唯一)
鞏固訓(xùn)練1　解析：根據(jù)題意知圓心為(－2，1)，半徑為2，故圓的方程為：(x＋2)2＋(y－1)2＝4.故選B.
解析：因?yàn)閳A心在射線y＝x(x≤0)上，故設(shè)圓心為(a，a)(a≤0)，
又半徑為5，且經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以 ＝5，解得a＝－4或a＝4(舍去)，
即圓的圓心坐標(biāo)為(－4，－3)，則圓的方程為(x＋4)2＋(y＋3)2＝25，即x2＋y2＋8x＋6y＝0.故選C.
答案： B　
答案：C
例2　解析：設(shè)點(diǎn)C(x，y)，因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)不共線，所以y≠0.
又AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1.
又kAC＝，kBC＝，
所以·＝－1，化簡(jiǎn)得x2＋y2－2x－3＝0.故直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
解析：設(shè)點(diǎn)M(x，y)，C(x0，y0)，因?yàn)辄c(diǎn)B(3，0)，M是線段BC的中點(diǎn)，所以x＝，y＝，所以x0＝2x－3，y0＝2y.
由(1)知，點(diǎn)C的軌跡方程為x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)，即(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，
將x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4(y≠0)，
即(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．故點(diǎn)M的軌跡方程為(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
鞏固訓(xùn)練2　解析：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為M(x，y)，因?yàn)镸點(diǎn)是線段PQ的中點(diǎn)，
可得Q(2x－1，2y)，點(diǎn)Q在圓上，
則(2x－1)2＋(2y)2＝4，即(x－)2＋y2＝1.故選A.
解析：因?yàn)锳B中點(diǎn)為P，所以CP⊥AB，又|AB|＝6，所以|CP|＝ ＝4，
所以點(diǎn)P在以C為圓心，4為半徑的圓上，其軌跡方程為(x－2)2＋(y－4)2＝16.故選C.
答案： A　
答案：C
例3　解析：因?yàn)閤2＋y2－4x－5＝0，即(x－2)2＋y2＝9，所以圓心為C(2，0)，半徑r＝3，
令3x－y＝z，即3x－y－z＝0，則圓心到直線的距離d＝≤3，
所以6－3≤z≤6＋3，即3x－y的最大值為6＋3，最小值為6－3.
解析：(x－3)2＋(y－1)2表示圓上的點(diǎn)A(x，y)與點(diǎn)B(3，1)的距離的平方，
因?yàn)閨BC|＝＝，
所以(r－|BC|)2≤|AB|2≤(r＋|BC|)2，即≤11＋6，
所以(x－3)2＋(y－1)2的最小值為11－6，最大值為11＋6.
解析：表示圓上的點(diǎn)A(x，y)與點(diǎn)D(－3，2)連線的斜率，
設(shè)過點(diǎn)D(－3，2)的直線方程為y－2＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＋2＝0，
所以d＝≤3，即16k2＋20k－5≤0，解得≤k≤，
所以的最大值為，最小值為.
例4　解析：兩圓的圓心均在第一象限，圓C1(2，3)，半徑為1，圓C2(3，4)，半徑為3.
作點(diǎn)C1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C′1(2，－3)，則(|PC1|＋|PC2|)min＝|C′1C2|＝5，
所以(|PM|＋|PN|)min＝5－(1＋3)＝5－4.故選A.
答案：A
例5　解析：＝(2－x，－y)，＝(－2－x，－y)，
∵P(x，y)在圓上，
∴ ·＝x2－4＋y2＝6y－8－4＝6y－12，
∵2≤y≤4，∴·≤12.
答案：12
鞏固訓(xùn)練3　解析： (x－5)2＋(y＋4)2表示圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)(5，－4)的距離的平方，
∵圓C(x－2)2＋y2＝1的圓心C(2，0)，半徑為1，
圓心C到點(diǎn)(5，－4)的距離為＝5，
∴(x－5)2＋(y＋4)2的最大值是(5＋1)2＝36.故選D.
解析：由圓C的方程可得圓心坐標(biāo)C(3，3)，半徑r＝1，設(shè)A點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)A′(－2，2)，連接A′C交x軸于Q點(diǎn)，交圓C于P點(diǎn)，則A′P為所求的最短距離，證明如下：
任取x軸上一點(diǎn)Q，則|AQ|＋|QP|＝|A′Q|＋|QP|≥|A′P|，
當(dāng)且僅當(dāng)A′，Q，P三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，
所以|A′P|＝|A′C|－r＝－1＝5－1.
答案： D　(2)5－1
隨堂檢測(cè)
1．解析：由圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，可知圓心坐標(biāo)為(1，2)，半徑為，
因?yàn)辄c(diǎn)(1，2)關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)為(2，1)，
所以圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝2關(guān)于直線x－y＝0對(duì)稱的圓的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝2，故選C.
答案：C
2．解析：因?yàn)辄c(diǎn)(1，1)在圓x2＋y2＋ax＋a＝0外，
所以解得a∈(－1，0)
故選C.
答案：C
3．解析：因?yàn)辄c(diǎn)M在直線2x＋y－1＝0上，所以設(shè)M(a，1－2a)．由點(diǎn)(3，0)，(0，1)均在⊙M上，可得點(diǎn)(3，0)，(0，1)到圓心M的距離相等且為⊙M的半徑，所以r＝＝，解得a＝1.所以M(1，－1)，r＝，所以⊙M的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝5
4．解析：設(shè)點(diǎn)A(0，0)，B(4，0)，C(－1，1)，D(4，2)．(1)若圓過A，B，C三點(diǎn)，則圓心在直線x＝2上，設(shè)圓心坐標(biāo)為(2，a)，則4＋a2＝9＋(a－1)2，解得a＝3，則半徑r＝＝，所以圓的方程為(x－2)2＋(y－3)2＝13.(2)若圓過A，B，D三點(diǎn)，設(shè)圓心坐標(biāo)為(2，a)，則4＋a2＝4＋(a－2)2，解得a＝1，則半徑r＝ ＝，所以圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5.(3)若圓過A，C，D三點(diǎn)，易求線段AC的中垂線方程為y＝x＋1，線段AD的中垂線方程為y＝－2x＋5.聯(lián)立得方程組解得則半徑r＝ ＝，所以圓的方程為＋＝.(4)若圓過B，C，D三點(diǎn)，易求線段BD的中垂線方程為y＝1，線段BC的中垂線方程為y＝5x－7.聯(lián)立得方程組解得則半徑r＝＝，所以圓的方程為＋(y－1)2＝.
答案：(x－2)2＋(y－3)2＝13[或(x－2)2＋(y－1)2＝5或(x－)2＋(y－)2＝或(x－)2＋(y－1)2＝]第四節(jié)　直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系
1.能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系．
2．能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題．
問題思考·夯實(shí)技能
【問題1】　幾何法、代數(shù)法判斷直線與圓的位置關(guān)系各有什么特點(diǎn)？
【問題2】　將兩個(gè)相交的非同心圓的方程x2＋y2＋Dix＋Eiy＋Fi＝0(i＝1，2)相減，可得一直線方程，這條直線方程具有什么樣的特殊性呢？
關(guān)鍵能力·題型剖析
題型一 直線與圓的位置關(guān)系
例1(1)已知M(a，b)(ab≠0)是圓O：x2＋y2＝r2內(nèi)一點(diǎn)，現(xiàn)有以M為中點(diǎn)的弦所在直線m和直線l：ax＋by＝r2，則(　　)
A．m∥l且l與圓相交
B．m⊥l且l與圓相離
C．m∥l且l與圓相離
D．m⊥l且l與圓相交
(2)[2024·廣東茂名模擬]已知直線l：y＝kx與圓C：(x－2)2＋(y－1)2＝1，則“0A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
題后師說
判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法
(1)幾何法：利用d與r的關(guān)系．
(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用Δ判斷．
(3)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓上或圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交或相切．
鞏固訓(xùn)練1
(1)設(shè)m∈R，則直線l：mx＋y－m－1＝0與圓x2＋y2＝2的位置關(guān)系為(　　)
A．相離
B．相切
C．相交或相切
D．相交
(2)若直線l：x－y＋a＝0與圓C：(x－2)2＋y2＝1有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的最小值是________.
題型二 圓的弦長(zhǎng)及切線問題
角度一　弦長(zhǎng)問題
例2(1)已知⊙O的圓心是坐標(biāo)原點(diǎn)O，且截直線x－y＋2＝0得到的弦長(zhǎng)為2，則⊙O的方程為(　　)
A．x2＋y2＝4 B．x2＋y2＝8
C．x2＋y2＝12 D．x2＋y2＝16
(2)[2024·湖北荊州模擬]若直線x－2y＋a＝0被圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦長(zhǎng)為2，則實(shí)數(shù)a的值為__________．
題后師說
角度二　切線問題
例3(1)[2024·河北張家口模擬]過點(diǎn)P(1，1)作圓E：x2＋y2－4x＋2y＝0的切線，則切線方程為(　　)
A．x＋y－2＝0
B．2x－y－1＝0
C．x－2y＋1＝0
D．x－2y＋1＝0或2x－y－1＝0
(2)已知直線l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圓C：x2＋y2－6x－2y＋1＝0的對(duì)稱軸，過點(diǎn)P(－4，a)作圓C的一條切線，切點(diǎn)為A，則|PA|＝(　　)
A．2 B．±4
C．2 D．7
題后師說
求過某點(diǎn)的圓的切線問題時(shí)，應(yīng)首先確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，再求切線方程．若點(diǎn)在圓上(即為切點(diǎn))，則過該點(diǎn)的切線只有一條；若點(diǎn)在圓外，則過該點(diǎn)的切線有兩條，此時(shí)注意斜率不存在的切線．
角度三　有關(guān)弦長(zhǎng)、切線的最值(范圍)問題
例4(1)[2024·湖北武漢模擬]已知直線l：x＋y－3＝0上的兩點(diǎn)A，B，且|AB|＝1，點(diǎn)P為圓D：x2＋y2＋2x－3＝0上任一點(diǎn)，則△PAB的面積的最大值為(　　)
A．＋1 B．2＋2
C．－1 D．2－2
(2)[2024·河南開封模擬]過直線l：3x＋4y－1＝0上一點(diǎn)P作圓M：x2＋(y－4)2＝1的兩條切線，切點(diǎn)分別是A，B，則四邊形MAPB的面積最小值是(　　)
A．1 B．
C．2 D．2
題后師說
涉及與圓的弦長(zhǎng)、切線有關(guān)線段長(zhǎng)度的最值(范圍)問題，解題的關(guān)鍵是弄清楚圓心到已知直線的最短距離，然后再解決問題．
鞏固訓(xùn)練2
(1)[2024·吉林延邊模擬]經(jīng)過P(2，3)向圓x2＋y2＝4作切線，切線方程為(　　)
A．5x－12y＋26＝0
B．13x－12y＋10＝0
C．5x－12y＋26＝0或x＝2
D．13x－12y＋10＝0或x＝2
(2)[2024·廣東深圳模擬]若過點(diǎn)M(2，1)的直線l與圓O：x2＋y2＝8交于A，B兩點(diǎn)，則弦AB最短時(shí)直線l的方程為(　　)
A．2x－y－3＝0 B．x＋y－3＝0
C．x＋2y－4＝0 D．2x＋y－5＝0
題型三 圓與圓的位置關(guān)系
例5(1)(多選)[2024·廣東珠海模擬]已知圓C1：x2＋y2＝9與圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝16，下列說法正確的是(　　)
A．C1與C2的公切線恰有4條
B．C1與C2相交弦的方程為3x＋4y－9＝0
C．C1與C2相交弦的弦長(zhǎng)為
D．若P，Q分別是圓C1，C2上的動(dòng)點(diǎn)，則＝12
(2)[2024·山東濰坊模擬]已知圓C：x2＋y2－4x cos θ－4y sin θ＝0，與圓C總相切的圓D的方程是________．
題后師說
(1)處理與兩圓的位置關(guān)系相關(guān)的問題時(shí)，多用圓心距與兩圓半徑的和或差的大小關(guān)系判斷，一般不采用代數(shù)法．
(2)若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差得到．
(3)求兩圓公共弦長(zhǎng)時(shí)，在其中一圓中，弦心距、半弦長(zhǎng)、半徑構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理求解．
鞏固訓(xùn)練3
(1)已知圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝4，則圓C1與C2的位置關(guān)系是(　　)
A．內(nèi)含 　B．相交
C．外切 　D．相離
(2)[2024·河南駐馬店模擬]若圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：(x－a)2＋(y－b)2＝1的公共弦AB的長(zhǎng)為1，則直線AB的方程為(　　)
A．2ax＋by－1＝0 　B．2ax＋by－3＝0
C．2ax＋2by－1＝0 　D．2ax＋2by－3＝0
1．[2023·新課標(biāo)Ⅰ卷]過點(diǎn)(0，－2)與圓x2＋y2－4x－1＝0相切的兩條直線的夾角為α，則sin α＝(　　)
A．1 B．
C． D．
2．(多選)[2021·新高考Ⅱ卷]已知直線l：ax＋by－r2＝0(r>0)與圓C：x2＋y2＝r2，點(diǎn)A(a，b)，則下列說法正確的是(　　)
A．若點(diǎn)A在圓C上，則直線l與圓C相切
B．若點(diǎn)A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離
C．若點(diǎn)A在圓C外，則直線l與圓C相離
D．若點(diǎn)A在直線l上，則直線l與圓C相切
3．[2022·新高考Ⅰ卷]寫出與圓x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一條直線的方程________________．
4．[2022·新高考Ⅱ卷]設(shè)點(diǎn)A(－2，3)，B(0，a)，若直線AB關(guān)于y＝a對(duì)稱的直線與圓＝1有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是________．
第四節(jié)　直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系
問題思考·夯實(shí)技能
【問題1】　答案：“幾何法”側(cè)重于圖形的幾何性質(zhì)，步驟較簡(jiǎn)潔；“代數(shù)法”則側(cè)重于“坐標(biāo)”與“方程”．判斷直線與圓的位置關(guān)系，一般用幾何法．
【問題2】　答案：兩圓相減得一直線方程，它經(jīng)過兩圓的公共點(diǎn)．經(jīng)過相交兩圓的公共交點(diǎn)的直線是兩圓的公共弦所在直線．
關(guān)鍵能力·題型剖析
例1　解析：由kOM＝＝可知，以M為中點(diǎn)的弦所在直線m的斜率為－，
則直線m的方程為y＝－x＋b＋，直線l的方程可化為y＝－x＋，
因?yàn)镸(a，b)(ab≠0)是圓O：x2＋y2＝r2內(nèi)一點(diǎn)，所以a2＋b2由>＝b＋可知，m∥l，
圓心O到直線l：ax＋by＝r2的距離為d＝>r.
故直線l與圓相離．故選C.
解析：由圓C：(x－2)2＋(y－1)2＝1可得圓心(2，1)，半徑為1，
所以直線l與圓C相交 圓心(2，1)到直線l：kx－y＝0的距離d＝<1，解得0答案：C　
答案：A
鞏固訓(xùn)練1　解析：因?yàn)閙x＋y－m－1＝0，所以m(x－1)＋y－1＝0，即直線恒過定點(diǎn)(1，1)；
因?yàn)辄c(diǎn)(1，1)恰在x2＋y2＝2上，所以直線和圓的位置關(guān)系是相交或相切．故選C.
解析：由于直線l：x－y＋a＝0與圓C：(x－2)2＋y2＝1有公共點(diǎn)，
因此圓心C(2，0)到直線l：x－y＋a＝0的距離d＝≤1，
于是|2＋a|≤2，解得a∈[－4，0]，因此實(shí)數(shù)a的最小值是－4.
答案： C　
答案：－4
例2　解析：由題意，原點(diǎn)到直線x－y＋2＝0的距離為d＝＝，
設(shè)⊙O的半徑為r，因?yàn)椤袿被直線x－y＋2＝0截得的弦長(zhǎng)為2，
由圓的弦長(zhǎng)公式，可得2＝2＝2，解得r＝2，
又由⊙O的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，所以圓⊙O的方程為x2＋y2＝8.
故選B.
解析：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，則(x－1)2＋(y－1)2＝1，圓心為(1，1)，半徑r＝1，
弦長(zhǎng)為2，則直線過圓心，即1－2＋a＝0，解得a＝1.
答案： B　(2)1
例3　解析：由題意可知：圓E：x2＋y2－4x＋2y＝0的圓心E(2，－1)，半徑r＝，
∵12＋12－4×1＋2×1＝0，
∴點(diǎn)P在圓E上，
又∵kPE＝＝－2，則切線的斜率k＝，
∴切線方程為y－1＝(x－1)，即x－2y＋1＝0.故選C.
解析：由圓C：x2＋y2－6x－2y＋1＝0，可得(x－3)2＋(y－1)2＝9，
所以圓心C(3，1)，半徑為r＝3，
又由直線l：x＋ay－1＝0是圓C的對(duì)稱軸，即直線l過圓心C(3，1)，
即3＋a－1＝0，解得a＝－2，即P(－4，－2)，
則|PC|＝＝，
所以切線長(zhǎng)為|PA|＝＝＝7.故選D.
答案： C　
答案：D
例4　解析：把圓D：x2＋y2＋2x－3＝0變形為(x＋1)2＋y2＝4，
則圓心D(－1，0)，半徑r＝2，
圓心D到直線l：x＋y－3＝0的距離d＝＝2，
則圓D上的點(diǎn)到直線AB的距離的最大值為d＋r＝2＋2，又|AB|＝1，
∴△PAB的面積的最大值為×(2＋2)×1＝＋1.
故選A.
解析：圓M：x2＋(y－4)2＝1的圓心M(0，4)到直線l：3x＋4y－1＝0的距離d＝＝3，
故|MP|的最小值是3，又因?yàn)閨MA|＝1，則|AP|＝≥2，
故△AMP的面積的最小值是S＝×1×2＝，故四邊形MAPB的面積的最小值是2.故選D.
答案： A　
答案：D
鞏固訓(xùn)練2　解析：①當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，直線x＝2是圓的切線．
②當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為l：y－3＝k(x－2)，
由(0，0)到切線距離為d＝＝2得k＝，
此時(shí)切線方程為y－3＝(x－2)即5x－12y＋26＝0.故選C.
解析：
當(dāng)AB最短時(shí)，直線l⊥OM，
所以kl·kOM＝－1.
又kOM＝，所以kl＝－2，
所以l的方程為y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0.故選D.
答案：C　
答案：D
例5　解析：由已知得圓C1的圓心C1(0，0)，半徑r1＝3，
圓C2的圓心C2(3，4)，半徑r2＝4，
|C1C2|＝＝5，r2－r1故兩圓相交，所以C1與C2的公切線恰有2條，故A錯(cuò)誤；
做差可得C1與C2相交弦的方程為3x＋4y－9＝0，
C1到相交弦的距離為，故相交弦的弦長(zhǎng)為2＝，故C錯(cuò)誤；
若P，Q分別是圓C1，C2上的動(dòng)點(diǎn)，則|PQ|max＝|C1C2|＋r1＋r2＝12，故D正確．故選BD.
解析：圓C標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2cos θ)2＋(y－2sin θ)2＝4，
圓C的圓心為(2cos θ，2sin θ)，半徑為2，
由圓心坐標(biāo)可知圓心軌跡是以原點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓，
故圓C上總有點(diǎn)與原點(diǎn)距離為4，由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知圓D的方程是：x2＋y2＝16.
答案： BD　(2)x2＋y2＝16
鞏固訓(xùn)練3　解析：圓C1：x2＋y2＝1的圓心為C1(0，0)，半徑r1＝1，
圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝4的圓心為C2(3，4)，半徑r2＝2，
因?yàn)閨C1C2|＝＝5>r1＋r2＝3，
所以兩圓相離，故選D.
解析：將兩圓方程相減可得直線AB的方程為a2＋b2－2ax－2by＝0，
即2ax＋2by－a2－b2＝0，
因?yàn)閳AC1的圓心為(0，0)，半徑為1，且公共弦AB的長(zhǎng)為1，
則C1(0，0)到直線2ax＋2by－a2－b2＝0的距離為，
所以＝，解得a2＋b2＝3，
所以直線AB的方程為2ax＋2by－3＝0，故選D.
答案： D　
答案：D
隨堂檢測(cè)
1.
解析：如圖，x2＋y2－4x－1＝0得(x－2)2＋y2＝5，所以圓心坐標(biāo)為(2，0)，半徑r＝，所以圓心到點(diǎn)(0，－2)的距離為＝2，由于圓心與點(diǎn)(0，－2)的連線平分角α，所以sin ＝＝＝，所以cos ＝，所以sin α＝2sin cos ＝2×＝.故選B.
答案：B
2．解析：圓心C(0，0)到直線l的距離d＝，
若點(diǎn)A(a，b)在圓C上，則a2＋b2＝r2，所以d＝＝|r|，則直線l與圓C相切，故A正確；
若點(diǎn)A(a，b)在圓C內(nèi)，則a2＋b2|r|，則直線l與圓C相離，故B正確；
若點(diǎn)A(a，b)在圓C外，則a2＋b2>r2，所以d＝<|r|，則直線l與圓C相交，故C錯(cuò)誤；
若點(diǎn)A(a，b)在直線l上，則a2＋b2－r2＝0即a2＋b2＝r2，
所以d＝＝|r|，直線l與圓C相切，故D正確．故選ABD.
答案：ABD
3．解析：由題意知兩圓的圓心和半徑分別為O1(0，0)，O2(3，4)，r1＝1，r2＝4.因?yàn)閨O1O2|＝r1＋r2，所以兩圓外切．由兩圓外切，畫出示意圖，如圖．設(shè)切點(diǎn)為A(x，y)．由O1A＝，得A(，)．因?yàn)椋剑郧芯€l1的斜率k1＝－，所以l1：y－＝－(x－)，即3x＋4y－5＝0.由圖象易得兩圓均與直線l2：x＝－1相切，過兩圓圓心的直線方程為l：y＝x.聯(lián)立解得故直線l與l2的交點(diǎn)為P(－1，－)．由切線定理，得兩圓的另一公切線l3過點(diǎn)P.設(shè)l3：y＋＝k(x＋1)．由點(diǎn)到直線的距離公式，得＝1，解得k＝，所以l3：y＋＝(x＋1)，即7x－24y－25＝0.
答案：3x＋4y－5＝0或7x－24y－25＝0或x＋1＝0(答對(duì)其中之一即可)
4．解析：因?yàn)閗AB＝，所以直線AB關(guān)于直線y＝a對(duì)稱的直線方程為(3－a)x－2y＋2a＝0.由題意可知圓心為(－3，－2)，且圓心到對(duì)稱直線的距離小于或等于1，所以≤1，整理，得6a2－11a＋3≤0，解得≤a≤.
答案：[]第五節(jié)　橢圓
1.理解橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程．
2．掌握橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率)．
3．掌握橢圓的簡(jiǎn)單應(yīng)用．
問題思考·夯實(shí)技能
【問題1】　“動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A，B的距離之和|PA|＋|PB|＝2a(a>0且a為常數(shù))”是“點(diǎn)P的軌跡是橢圓”的什么條件？
【問題2】　橢圓方程中參數(shù)a，b，c之間的關(guān)系是什么？并在圖中表示出來．
關(guān)鍵能力·題型剖析
題型一 橢圓的定義及應(yīng)用
例1(1)[2024·山東濱州模擬]已知圓O1：x2＋y2＝1與圓O2：(x－2)2＋(y－2)2＝16，圓I與圓O1，O2均相切，則圓I的圓心I的軌跡中包含了哪條曲線(　　)
A．圓 B．橢圓
C．雙曲線 D．拋物線
(2)設(shè)點(diǎn)P為橢圓C：＝1(a>2)上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為C的左、右焦點(diǎn)，且∠F1PF2＝60°，則△PF1F2的面積為________．
【變式練習(xí)】　若將本例中的“∠F1PF2＝60°”改為“PF1⊥PF2”，則△PF1F2的面積為________．
題后師說
(1)橢圓定義的應(yīng)用主要有：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、求焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)、面積及求弦長(zhǎng)、最值和離心率等．
(2)通常將定義和余弦定理結(jié)合使用求解關(guān)于焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)和面積問題．
鞏固訓(xùn)練1
(1)設(shè)橢圓＝1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，橢圓上的點(diǎn)P，Q滿足P，Q，F(xiàn)1三點(diǎn)共線，則△F2PQ的周長(zhǎng)為(　　)
A．2a　　　B．2b　　　C．4a　　　D．4b
(2)[2024·黑龍江哈爾濱模擬]已知F(1，0)為橢圓＝1的焦點(diǎn)，P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，A(1，1)，則|PA|＋|PF|的最小值為(　　)
A．6－ B．1
C．6－2 D．6－
題型二 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
角度一　定義法
例2[2024·江西吉安模擬]已知F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F2且垂直于x軸的直線交C于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝3，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＋x2＝1 D．＋y2＝1
角度二　待定系數(shù)法
例3若A(－2，0)，B(1，2)，C(1，)，D(1，－)四個(gè)點(diǎn)中恰有三個(gè)點(diǎn)在橢圓上，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．
題后師說
求橢圓方程的常用方法
鞏固訓(xùn)練2
(1)若k∈R，則“－2A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
(2)已知F1，F(xiàn)2為橢圓C：＝1(a＞b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，若P(1，)在橢圓上，且滿足|PF1|＋|PF2|＝4，則橢圓C的方程為________．
題型三 橢圓的幾何性質(zhì)
角度一　離心率
例4(1)[2024·安徽阜陽模擬]已知橢圓長(zhǎng)軸、短軸的一個(gè)端點(diǎn)分別為A，B，F(xiàn)為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，若△ABF為直角三角形，則該橢圓的離心率為(　　)
A． B．
C． D．
(2)[2024·河南新鄉(xiāng)模擬]已知橢圓C：＝1(a>b>0)的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)M，N是橢圓C上關(guān)于y軸對(duì)稱的兩點(diǎn)．若直線AM，AN的斜率之積為，則C的離心率為(　　)
A． B．
C． D．
(3)[2024·廣東河源模擬]已知橢圓C：＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，若F關(guān)于直線y＝－x的對(duì)稱點(diǎn)P落在C上或C內(nèi)，則橢圓C的離心率的取值范圍為________．
題后師說
求橢圓離心率或其范圍的方法
鞏固訓(xùn)練3
(1)[2024·九省聯(lián)考]橢圓＋y2＝1(a>1)的離心率為，則a＝(　　)
A． B．
C． D．2
(2)橢圓＝1(a>b>0)的四個(gè)頂點(diǎn)ABCD構(gòu)成菱形的內(nèi)切圓恰好過焦點(diǎn)，則橢圓的離心率e＝________．
角度二　與橢圓有關(guān)的范圍(最值)問題
例5[2024·重慶沙坪壩模擬]過橢圓＝1上一動(dòng)點(diǎn)P分別向圓C1：(x＋3)2＋y2＝4和圓C2：(x－3)2＋y2＝1作切線，切點(diǎn)分別為M，N，則|PM|2＋2|PN|2的取值范圍為____________．
題后師說
與橢圓有關(guān)的最值或范圍問題的求解方法
(1)利用數(shù)形結(jié)合、橢圓的定義、橢圓性質(zhì)．
(2)利用函數(shù)，尤其是二次函數(shù)．
(3)利用基本不等式．
鞏固訓(xùn)練4
已知F1，F(xiàn)2為橢圓＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，橢圓的離心率為，M為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，∠F1MF2的最大值為(　　)
A． B．
C． D．
1．[2023·新課標(biāo)Ⅰ卷]設(shè)橢圓C1：＋y2＝1(a>1)，C2：＋y2＝1的離心率分別為e1，e2.若e2＝，則a＝(　　)
A． B．
C． D．
2．[2023·全國(guó)甲卷]設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C：＋y2＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，若＝0，則|PF1|·|PF2|＝(　　)
A．1 B．2
C．4 D．5
3．[2023·新課標(biāo)Ⅱ卷]已知橢圓C：＋y2＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，直線y＝x＋m與C交于A，B兩點(diǎn)，若△F1AB 面積是△F2AB 面積的2倍，則m＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
4．[2021·新高考Ⅰ卷]已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，則|MF1|·|MF2|的最大值為(　　)
A．13 B．12
C．9 D．6
第五節(jié)　橢圓
問題思考·夯實(shí)技能
【問題1】　答案：若P點(diǎn)的軌跡是橢圓，則根據(jù)橢圓的定義可知?jiǎng)狱c(diǎn)P到兩定點(diǎn)A，B的距離之和|PA|＋|PB|＝2a(a＞0，且a為常數(shù))成立．
若動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A，B的距離之和|PA|＋|PB|＝2a(a＞0，且a為常數(shù))，當(dāng)2a≤|AB|，此時(shí)的軌跡不是橢圓．
所以“動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A，B的距離之和|PA|＋|PB|＝2a(a>0且a為常數(shù))”是“點(diǎn)P的軌跡是橢圓”的必要不充分條件．
【問題2】　答案：c2＝a2－b2.
關(guān)鍵能力·題型剖析
例1　解析：由圓O1：x2＋y2＝1可得，圓心O1(0，0)，半徑r1＝1；
由圓O2：(x－2)2＋(y－2)2＝16可得，圓心O2(2，2)，半徑r2＝4.
又|O1O2|＝＝2，且|O1O2|＝2<3＝r2－r1，
所以兩圓內(nèi)含，又r1設(shè)圓I的半徑為R.
由題意結(jié)合圖象可得，圓I應(yīng)與圓O1外切，與圓O2內(nèi)切．
則有，
所以|O2I|＋|O1I|＝r1＋r2＝5>|O1O2|，
根據(jù)橢圓的定義可得，圓I的圓心I的軌跡為橢圓．故選B.
解析：由題意知，c＝.
又∠F1PF2＝60°，|F1P|＋|PF2|＝2a，
|F1F2|＝2，
∴|F1F2|2＝(|F1P|＋|PF2|)2－2|F1P|·|PF2|－2|F1P|·|PF2|cos 60°＝4a2－3|F1P|·|PF2|＝4a2－16，
∴|F1P|·|PF2|＝，
＝|F1P|·|PF2|sin 60°＝＝.
答案： B　(2)
變式練習(xí)　答案：∵PF1⊥PF2，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2
＝4(a2－4)＝4a2－16，
又|PF1|＋|PF2|＝2a，
∴|PF1|·|PF2|＝8，
＝4.
鞏固訓(xùn)練1　解析：橢圓＝1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，顯然橢圓的弦PQ經(jīng)過點(diǎn)F1，
由橢圓的定義得，△F2PQ的周長(zhǎng)|PF2|＋|PQ|＋|QF2|＝|PF2|＋|PF1|＋|QF1|＋|QF2|＝4a.故選C.
解析：
由F(1，0)為橢圓＝1的焦點(diǎn)，
∴c＝1，a2＝9，b2＝m，
∴9＝m＋1，∴m＝8，
設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F1，由橢圓的定義得|PF|＝2a－|PF1|＝6－|PF1|，
∴|PF|＋|PA|＝6＋|PA|－|PF1|≥6－|AF1|＝6－，
所以|PF|＋|PA|的最小值為6－.故選A.
答案： C　
答案：A
例2　
解析：由對(duì)稱性|AF2|＝|AB|＝，又|F1F2|＝2，則|AF1|＝＝ ＝，
所以2a＝|AF1|＋|AF2|＝4，a＝2，又c＝1，則b＝＝，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＝1.故選B.
答案：B
例3　答案：因?yàn)闄E圓是對(duì)稱圖形，所以C(1，)，D(1，－)必在橢圓上．
又點(diǎn)B與點(diǎn)C的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)不同，所以點(diǎn)B(1，2)不在橢圓上，所以點(diǎn)A(－2，0)在橢圓上．
設(shè)橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，
則得所以橢圓的方程為＝1.
鞏固訓(xùn)練2　解析：若方程＝1表示橢圓，
則解得－2所以“－2解析：由橢圓的定義可得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，
可得a＝2，
將P(1，)代入橢圓方程，可得＝1，解得b＝，
即橢圓的方程為＝1.
答案： B　
答案：＝1
例4　
解析：如圖，|AF|＝a＋c，|BF|＝a，|AB|＝，由已知得2a2＋b2＝(a＋c)2，且b2＝a2－c2，e＝>0，得c2＋ac－a2＝0，e2＋e－1＝0，解得e＝.故選C.
解析：由題意，橢圓C的左頂點(diǎn)為A(－a，0)，
因?yàn)辄c(diǎn)M，N是橢圓C上關(guān)于y軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，可設(shè)M(x0，y0)，則N(-x0，y0)，
所以kAM＝，kAN＝，可得kAMkAN＝·＝＝，
又因?yàn)椋?，即，
代入可得＝，所以離心率為e＝＝＝＝.故選D.
解析：設(shè)C的半焦距為c，則F(－c，0)關(guān)于直線y＝－x的對(duì)稱點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，c)，
因?yàn)镻落在C上或C內(nèi)，所以b≥c，所以a2－c2＝b2≥c2，則a2≥2c2，
兩邊同時(shí)除以a2，解得e∈(0，].
答案： C　
答案：D　(3)(0，]
鞏固訓(xùn)練3　解析：由題意得e＝＝＝，解得a＝.故選A.
解析：由題設(shè)，內(nèi)切圓半徑為c＝，故ab＝c·，
所以a2b2＝a2c2＋b2c2，則a4－3a2c2＋c4＝0，即e4－3e2＋1＝0，
所以e2＝，(e2＝>1舍)，故e＝.
答案： A　(2)
例5　解析：∵a＝6，b＝3，c＝＝3，易知C1(－3，0)，C2(3，0)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，
|PM|2＋2|PN|2＝|PC1|2－4＋2(|PC2|2－1)＝－6，
根據(jù)橢圓定義|PC1|＋|PC2|＝2a＝12，
設(shè)|PC2|＝t，則a－c≤t≤a＋c，即3≤t≤9，
則|PM|2＋2|PN|2＝(12－t)2＋2t2－6＝3t2－24t＋138＝3(t2－8t＋46)，
當(dāng)t＝4時(shí)，|PM|2＋2|PN|2取到最小值90.
當(dāng)t＝9時(shí)，|PM|2＋2|PN|2取到最大值165.
故|PM|2＋2|PN|2的取值范圍為：[90，165].
答案：[90，165]
鞏固訓(xùn)練4　解析：∵e＝＝，∴a＝2c，
M為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)|MF1|＝m，
|MF2|＝n，則m＋n＝2a，
在△MF1F2中，由余弦定理可得：cos ∠F1MF2＝
＝＝－1
≥－1＝－1＝，
當(dāng)且僅當(dāng)m＝n時(shí)“＝”成立．
∴cos ∠F1MF2的最小值為，又∠F1MF2∈(0，π)，
∴∠F1MF2的最大值為.故選A.
答案：A
隨堂檢測(cè)
1．解析：由已知得e1＝，e2＝＝，因?yàn)閑2＝e1，所以＝，得a＝.故選A.
答案：A
2．解析：方法一　因?yàn)椋?，所以PF1⊥PF2，則＝|PF1|·|PF2|＝b2tan ，得|PF1|·|PF2|＝1×tan ，所以|PF1|·|PF2|＝2，故選B.
方法二　因?yàn)椋?，所以PF1⊥PF2，所以＝|F1F2|2＝(2c)2＝16.因?yàn)閨PF1|＋|PF2|＝2a＝2，所以(|PF1|＋|PF2|)2＝20，即|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝20，所以|PF1|·|PF2|＝2，故選B.
答案：B
3．解析：由題意，F(xiàn)1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，△F1AB面積是△F2AB面積的2倍，所以點(diǎn)F1到直線AB的距離是點(diǎn)F2到直線AB的距離的2倍，即＝2×，解得m＝－或m＝－3(舍去)，故選C.
答案：C
4．解析：由題，a2＝9，b2＝4，則|MF1|＋|MF2|＝2a＝6，
所以|MF1|·|MF2|≤()2＝9(當(dāng)且僅當(dāng)|MF1|＝|MF2|＝3時(shí)，等號(hào)成立)．故選C.
答案：C第六節(jié)　雙曲線
1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程．
2．掌握雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率、漸近線)．
3．了解雙曲線的簡(jiǎn)單應(yīng)用．
問題思考·夯實(shí)技能
【問題1】　方程Ax2＋By2＝1表示雙曲線的充要條件是什么？
【問題2】　如何由雙曲線方程＝1(a>0，b>0)求出其漸近線方程？已知雙曲線的漸近線方程為y＝kx，如何設(shè)雙曲線方程？
關(guān)鍵能力·題型剖析
題型一 雙曲線的定義及應(yīng)用
例1(1)已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1和圓C2：＋y2＝9，動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為(　　)
A．x2－＝1(x≤－1)
B．x2－＝1
C．x2－＝1(x≥1)
D．－x2＝1
(2)已知雙曲線x2－y2＝2，點(diǎn)F1，F(xiàn)2為其兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線上一點(diǎn)，若∠F1PF2＝60°，則△F1PF2的面積為(　　)
A．2 B．2
C． D．2
題后師說
(1)在利用雙曲線的定義求雙曲線的軌跡時(shí)，要注意分清是雙曲線還是雙曲線的一支．
(2)在“焦點(diǎn)三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，結(jié)合||PF1|－|PF2||＝2a，運(yùn)用平方法，建立與|PF1|·|PF2|的聯(lián)系．
鞏固訓(xùn)練1
(1)[2024·江西上饒模擬]已知圓x2＋y2－4y＝0的圓心為S，過點(diǎn)T(0，－2)的直線m交圓S于C，D兩點(diǎn)，過點(diǎn)T作SC的平行線，交直線SD于點(diǎn)M，則點(diǎn)M的軌跡為(　　)
A．直線 B．圓
C．橢圓 D．雙曲線
(2)[2024·河南開封模擬]已知雙曲線x2－my2＝1(m>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，直線l經(jīng)過F2且與雙曲線右支相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝2，則△ABF1的周長(zhǎng)為(　　)
A．6 B．7
C．8 D．不能確定
題型二 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
例2(1)經(jīng)過點(diǎn)P(－3，2)和Q(－6，－7)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
(2)[2024·河南許昌模擬]已知雙曲線C的漸近線方程為2x±3y＝0，且經(jīng)過點(diǎn)(3，2)，則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
(3)[2024·黑龍江哈爾濱模擬]已知雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±x，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2的直線與雙曲線C的右支交于P，Q兩點(diǎn)，且|PQ|＝4，△PQF1的周長(zhǎng)為20，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　)
A．x2－＝1 B．＝1
C．－y2＝1 D．＝1
題后師說
求雙曲線方程的兩種方法
鞏固訓(xùn)練2
(1)[2024·河北張家口模擬]“k>2”是“＝1表示雙曲線”的(　　)
A．充要條件
B．充分不必要條件
C．必要不充分條件
D．既不充分也不必要條件
(2)已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是等軸雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線C上，|F1F2|＝2|OP|，△PF1F2的面積為8，則雙曲線C的方程為(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
題型三 雙曲線的幾何性質(zhì)
角度一　漸近線
例3(1)[2024·河南開封模擬]已知雙曲線x2－my2＝1(m>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)，則雙曲線的漸近線方程為(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
(2)已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的離心率為，則它的漸近線方程為(　　)
A．y＝±2x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
題后師說
求雙曲線漸近線方程的兩種常用方法
角度二　離心率
例4(1)[2024·河南鄭州模擬]已知雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(c，0)，點(diǎn)P在第一象限且在雙曲線C的一條漸近線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|OP|＝c，|PF|＝2a，則雙曲線C的離心率為(　　)
A．　　　B．2　　　C．　　　D．3
(2)[2024·九省聯(lián)考]設(shè)雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，|F1B|＝2|F1A|，·＝4a2，則C的離心率為(　　)
A． B．2
C． D．
題后師說
求雙曲線的離心率時(shí)，將提供的雙曲線的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于雙曲線基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(或不等式)，通過解方程(或不等式)求得離心率的值(或范圍)．
鞏固訓(xùn)練3
(1)[2024·江蘇鎮(zhèn)江模擬]點(diǎn)(0，4)到雙曲線＝1(a>0，b>0)的一條漸近線的距離為，則雙曲線的離心率為(　　)
A． B．
C． D．5
(2)[2024·河北唐山模擬]已知直線l：x－y－2＝0過雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)，且與C的一條漸近線平行，則C的實(shí)軸長(zhǎng)為______．
(3)[2024·安徽黃山模擬]設(shè)雙曲線＝1(a>0，b>0)，其右焦點(diǎn)為F，過F作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為點(diǎn)H，且與另一條漸近線交于點(diǎn)Q，若＝，則雙曲線的離心離為__________．
1.(多選)[2020·新高考Ⅰ卷]已知曲線C：mx2＋ny2＝1.(　　)
A．若m>n>0，則C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上
B．若m＝n>0，則C是圓，其半徑為
C．若mn<0，則C是雙曲線，其漸近線方程為y＝± x
D．若m＝0，n>0，則C是兩條直線
2．[2021·新高考Ⅱ卷]已知雙曲線＝1(a>0，b>0)的離心率為2，則該雙曲線的漸近線方程為________________.
3．[2022·全國(guó)甲卷] 若雙曲線y2－＝1(m>0)的漸近線與圓x2＋y2－4y＋3＝0相切，則m＝________．
4．[2023·新課標(biāo)Ⅰ卷]已知雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2.點(diǎn)A在C上，點(diǎn)B在y軸上，F(xiàn)1A⊥F1B，F(xiàn)2A＝－F2B，則C的離心率為________．
第六節(jié)　雙曲線
問題思考·夯實(shí)技能
【問題1】　答案：若A＞0，B＜0表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線；若A＜0，B＞0表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，當(dāng)上述兩種條件都不滿足時(shí)，不表示雙曲線，所以Ax2＋By2＝1表示雙曲線的充要條件是AB＜0.
【問題2】　答案：由雙曲線方程＝1(a>0，b>0)求漸近線方程，只需把1變成0，整理得±＝0.反過來，若雙曲線的漸近線方程為y＝kx，則雙曲線方程可設(shè)為k2x2－y2＝λ(λ≠0)．
關(guān)鍵能力·題型剖析
例1　解析：
如圖，設(shè)動(dòng)圓M與圓C1及圓C2分別外切于點(diǎn)A和B.
根據(jù)兩圓外切的條件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.因?yàn)閨MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以點(diǎn)M到兩定點(diǎn)C1，C2的距離之差是常數(shù)且小于|C1C2|.
又根據(jù)雙曲線的定義，得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為雙曲線的左支(點(diǎn)M到C2的距離比到C1的距離大)，其中a＝1，c＝3，則b2＝8，故點(diǎn)M的軌跡方程為x2－＝1(x≤－1)．故選A.
解析：設(shè)θ＝∠F1PF2＝60°，則＝|PF1||PF2|sin θ，
而cos θ＝
＝，且||PF1 |-|PF2||＝2a，|F1F2|＝2c，所以|PF1||PF2|＝，故＝＝＝＝2.故選D.
答案： A　
答案：D
鞏固訓(xùn)練1　解析： x2＋y2－4y＝0，即圓x2＋(y－2)2＝12，故S(0，2)，r＝2，
因?yàn)镾C平行于TM，|SD|＝|SC|，所以|MT|＝|MD|，故||MT|－|MS||＝|SD|＝2，
故點(diǎn)M的軌跡為雙曲線．
故選D.
解析：雙曲線x2－my2＝1(m>0)的實(shí)半軸長(zhǎng)a＝1，
由雙曲線的定義，可得|AF1|－|AF2|＝2a＝2，|BF1|－|BF2|＝2a＝2，
所以|AF1|＝2＋|AF2|，|BF1|＝2＋|BF2|，
則△ABF1的周長(zhǎng)為|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝|AF2|＋|BF2|＋6＝|AB|＋6＝8.故選C.
答案： D　
答案：C
例2　解析：設(shè)雙曲線的方程為mx2＋ny2＝1(mn<0)，
則解得
故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為＝1.故選B.
解析：根據(jù)漸近線方程可設(shè)雙曲線C方程為：＝λ(λ≠0)，
∵雙曲線C過點(diǎn)(3，2)，∴λ＝2－1＝1，
∴雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＝1.故選A.
解析：因?yàn)殡p曲線C：＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±x，
所以＝，
因?yàn)檫^F2的直線與雙曲線C的右支交于P，Q兩點(diǎn)，
所以|PF1|－|PF2|＝2a，|QF1|－|QF2|＝2a，即|PF1|＝|PF2|＋2a，|QF1|＝|QF2|＋2a，
則△PQF1的周長(zhǎng)為|PF1|＋|QF1|＋|PQ|＝4a＋2|PQ|＝4a＋8＝20，
所以a＝3，則b＝1，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－y2＝1.故選C.
答案： B　
答案：A　
答案：C
鞏固訓(xùn)練2　解析：當(dāng)(k＋2)(k－2)>0，即k<－2或k>2時(shí)，＝1表示雙曲線，
所以“k>2”是“＝1表示雙曲線”的充分不必要條件．
故選B.
解析：|F1F2|＝2|OP|，O是F1F2的中點(diǎn)，所以PF1⊥PF2，
a＝b，則c＝a，
解得a＝2，
所以雙曲線方程為＝1.故選D.
答案： B　
答案：D
例3　解析：由題意可得x2－my2＝1 ＝1(m>0)，故c2＝22＝1＋ m＝，
漸近線方程為y＝± x＝±x.故選D.
解析：設(shè)雙曲線的方程為＝1(a>0，b>0)，
因?yàn)椋?＝，所以＝4，則＝2，
所以漸近線方程為y＝±x＝±x.故選C.
答案： D　
答案：C
例4　解析：
由題意知點(diǎn)P在第一象限且在雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的一條漸近線上，
設(shè)漸近線的傾斜角為α，則tan α＝，即＝，
結(jié)合sin2α＋cos2α＝1，可得cosα＝±，
結(jié)合題意可知α∈(0，)，故cos α＝，
又|OP|＝c，|PF|＝2a，
在△PFO中利用余弦定理得|PF|2＝|OF|2＋|OP|2－2|OF||OP|cos α，
即4a2＝c2＋c2－2c2cos α，
即cos α＝－＝，即c2－ac－2a2＝0，
故e2－e－2＝0，解得e＝2或e＝－1(舍去)．故選B.
解析：由雙曲線的對(duì)稱性可知＝＝，有四邊形AF1BF2為平行四邊形，
令＝＝m，則＝＝2m，
由雙曲線定義可知＝2a，故有2m－m＝2a，即m＝2a，
即＝＝m＝2a，＝＝4a，
＝cos ∠AF2B＝2a×4a cos ∠AF2B＝4a2，
則cos ∠AF2B＝，即∠AF2B＝，故∠F2BF1＝，
則有cos ∠F2BF1＝＝＝－，
即＝－，即＝－，則e2＝7，由e>1，故e＝.故選D.
答案： B　
答案：D
鞏固訓(xùn)練3　解析：由題意可得雙曲線的一條漸近線為：by－ax＝0，
所以(0，4)到by－ax＝0的距離為d＝＝＝，所以＝，
不妨設(shè)b＝4m(m>0)，則c＝5m，a＝＝3m，所以e＝＝.故選C.
解析：直線x－y－2＝0與x軸交點(diǎn)為(2，0)，斜率為，
由題意解得
所以雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2a＝2.
解析：設(shè)點(diǎn)H為第一象限內(nèi)一點(diǎn)，如圖所示，
設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F′，因?yàn)椋?，則H為FQ的中點(diǎn)，
又因?yàn)镺H⊥FQ，所以|OF|＝|OQ|，且∠QOH＝∠FOH＝∠QOF′，
又因?yàn)椤螿OH＋∠FOH＋∠QOF′＝3∠FOH＝π，則∠FOH＝，
直線OH的方程為y＝x，則＝tan ＝，
因此，該雙曲線的離心率為e＝＝＝＝＝2.
答案： C　
答案：2　
答案：2
隨堂檢測(cè)
1．解析：對(duì)于選項(xiàng)A，∵m>n>0，∴0<<，方程mx2＋ny2＝1可變形為＝1，∴該方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，正確；對(duì)于選項(xiàng)B，∵m＝n>0，∴方程mx2＋ny2＝1可變形為x2＋y2＝，該方程表示半徑為 的圓，錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，∵mn<0，∴該方程表示雙曲線，令mx2＋ny2＝0 y＝± x，正確；對(duì)于選項(xiàng)D，∵m＝0，n>0，∴方程mx2＋ny2＝1變形為ny2＝1 y＝± ，該方程表示兩條直線，正確．綜上選ACD.
答案：ACD
2．解析：因?yàn)殡p曲線＝1(a>0，b>0)的離心率為2，
所以e＝＝ ＝2，所以＝3，
所以該雙曲線的漸近線方程為y＝±x＝±x.
答案：y＝±x
3．解析：由題意，得雙曲線的一條漸近線方程為y＝，即x－my＝0.圓的方程可化為x2＋(y－2)2＝1，故圓心坐標(biāo)為(0，2)，半徑r＝1.由漸近線與圓相切，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，得＝1，解得m＝±.又因?yàn)閙＞0，所以m＝.
答案：
4．解析：由題意可知，F(xiàn)1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，設(shè)A(x1，y1)，B(0，y0)，所以＝(x1－c，y1)，＝(－c，y0)，因?yàn)椋剑?，所以，即，所以y0)．
＝(c，－y0)，＝(c，y0)，因?yàn)椤停浴ぃ?，即＝0，解得＝4c2.
因?yàn)辄c(diǎn)A(c，－y0)在雙曲線C上，所以＝1，又＝4c2，所以＝1，即＝1，化簡(jiǎn)得＝，所以e2＝1＋＝，所以e＝.
答案：第七節(jié)　拋物線
1.掌握拋物線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程．
2．掌握拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn))．
3．了解拋物線的簡(jiǎn)單應(yīng)用．
問題思考·夯實(shí)技能
【問題1】　拋物線的定義中，為什么要強(qiáng)調(diào)直線l不經(jīng)過點(diǎn)F
【問題2】　拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)中的p的幾何意義是什么？
關(guān)鍵能力·題型剖析
題型一 拋物線的定義
例1(1)[2024·江西南昌模擬]已知F為拋物線E：y2＝4x的焦點(diǎn)，A，B，C為E上的三點(diǎn)，若＝)，則||＋||＋||＝________．
(2)[2024·廣東廣州模擬]設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在拋物線y＝x2上，點(diǎn)P在x軸上的射影為點(diǎn)M，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(2，0)，則|PA|＋|PM|的最小值是________．
題后師說
拋物線定義的應(yīng)用策略
鞏固訓(xùn)練1
(1)[2024·遼寧遼陽模擬]已知拋物線C：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，M(m，2)在拋物線C上，且|MF|＝4，則p＝(　　)
A．2 B．4
C．8 D．12
(2)已知拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在C上，若點(diǎn)Q(6，3)，則△PQF周長(zhǎng)的最小值為(　　)
A．13　　　B．12　　　C．10　　　D．8
題型二 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
例2(1)[2024·河南鄭州模擬]拋物線有一條重要性質(zhì)：從焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過拋物線上的一點(diǎn)反射后，反射光線平行于拋物線的對(duì)稱軸，反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的光線，經(jīng)過拋物線上的一點(diǎn)反射后，反射光線經(jīng)過該拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線C：x2＝2py(p>0)，一條平行于y軸的光線，經(jīng)過點(diǎn)A(1，4)，射向拋物線C的B處，經(jīng)過拋物線C的反射，經(jīng)過拋物線C的焦點(diǎn)F，若|AB|＋|BF|＝5，則拋物線C的準(zhǔn)線方程是(　　)
A．y＝－ B．y＝－1
C．y＝－2 D．y＝－4
(2)
[2024·北京豐臺(tái)模擬]在水平地面豎直定向爆破時(shí)，在爆破點(diǎn)炸開的每塊碎片的運(yùn)動(dòng)軌跡均可近似看作是拋物線的一部分．這些碎片能達(dá)到的區(qū)域的邊界和該區(qū)域軸截面的交線是拋物線的一部分(如圖中虛線所示)，稱該條拋物線為安全拋物線．若某次定向爆破中碎片達(dá)到的最大高度為40米，碎片距離爆炸中心的最遠(yuǎn)水平距離為80米，則這次爆破中，安全拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為__________米．
題后師說
求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法
鞏固訓(xùn)練2
(1)已知拋物線y2＝2px(p>0)上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離比到y(tǒng)軸的距離大1，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　)
A．y2＝x B．y2＝2x
C．y2＝4x D．y2＝8x
(2)已知拋物線的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，并且經(jīng)過點(diǎn)P(－2，－4)，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________________________________________________．
題型三 拋物線的幾何性質(zhì)
例3(1)已知△ABC的頂點(diǎn)在拋物線y2＝2x上，若拋物線的焦點(diǎn)F恰好是△ABC的重心，則|FA|＋|FB|＋|FC|＝(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)(多選)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F且斜率為的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在第一象限)，與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)D，若|AF|＝8，則以下結(jié)論正確的是(　　)
A．p＝4 B．＝
C．|BD|＝|BF| D．|BF|＝4
題后師說
應(yīng)用拋物線的幾何性質(zhì)解題時(shí)，常結(jié)合圖形思考，通過圖形可以直觀地看出拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸、開口方向等幾何特征，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想解題的直觀性．
鞏固訓(xùn)練3
(1)直線l經(jīng)過拋物線y2＝6x的焦點(diǎn)F，且與拋物線交于A，B兩點(diǎn)．若|AF|＝3|BF|，則|AB|＝(　　)
A．4 B． C．8 D．
(2)[2024·山東青島模擬]已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，在拋物線y2＝2px(p>0)上存在兩點(diǎn)E，F(xiàn)，使得△OEF是邊長(zhǎng)為4的正三角形，則p＝________．
1．[2022·全國(guó)乙卷]設(shè)F為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)B(3，0)，若|AF|＝|BF|，則|AB|＝(　　)
A．2 B．2
C．3 D．3
2．[2021·新高考Ⅱ卷]拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)到直線y＝x＋1的距離為，則p＝(　　)
A．1 B．2
C．2 D．4
3．[2021·新高考Ⅰ卷]已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，P為C上一點(diǎn)，PF與x軸垂直，Q為x軸上一點(diǎn)，且PQ⊥OP，若|FQ|＝6，則C的準(zhǔn)線方程為____________.
4．[2022·全國(guó)乙卷]已知點(diǎn)A(1，)在拋物線C：y2＝2px上，則A到C的準(zhǔn)線的距離為________．
第七節(jié)　拋物線
問題思考·夯實(shí)技能
【問題1】　答案：若直線l經(jīng)過點(diǎn)F，則到點(diǎn)F與到直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡是過點(diǎn)F且與l垂直的直線．
【問題2】　答案：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離．
關(guān)鍵能力·題型剖析
例1　
解析：由題意知F(1，0)，設(shè)A，B，C的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，x3，
由＝)，得1－x1＝(x2－x1＋x3－x1)，所以x1＋x2＋x3＝3，
由拋物線的定義得||＋||＋||＝x1＋1＋x2＋1＋x3＋1＝x1＋x2＋x3＋3＝6.
解析：拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)F(0，1)，準(zhǔn)線方程為y＝－1，
延長(zhǎng)PM交準(zhǔn)線于N，連PF，顯然PN垂直于拋物線的準(zhǔn)線，由拋物線定義知：
|PA|＋|PM|＝|PA|＋|PN|－1＝|PA|＋|PF|－1≥|AF|－1，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P是線段AF與拋物線的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，
而|AF|＝，所以|PA|＋|PM|的最小值為－1.
答案：(1)6　(2)－1
鞏固訓(xùn)練1　
解析：由題意可得|MF|＝2＋＝4，則p＝4.故選B.
解析：y2＝2×4x，故F(2，0)，
記拋物線C的準(zhǔn)線為l，則l：x＝－2，
記點(diǎn)P到l的距離為d，點(diǎn)Q(6，3)到l的距離為d′，
則|PQ|＋|PF|＋|QF|＝|PQ|＋d＋≥d′＋5＝8＋5＝13.故選A.
答案： B
答案：A
例2　解析：由題意可知，拋物線的準(zhǔn)線方程為y＝－，根據(jù)拋物線的定義可知，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和到準(zhǔn)線的距離相等，所以|AB|＋|BF|＝4＋＝5，得p＝2，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為y＝－1.故選B.
解析：以拋物線最高點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行于地面為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)拋物線方程為x2＝－2py，
由題意得A(80，－40)，將其代入拋物線方程得6 400＝80p，
解得p＝80，故安全拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為80米．
答案： B　(2)80
鞏固訓(xùn)練2　解析：由題意拋物線y2＝2px(p>0)上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離與它到直線x＝－1的距離相同，因此－＝－1，p＝2，拋物線方程為y2＝4x.故選C.
解析：設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p≠0)，或x2＝2py(p≠0)．
將P(－2，－4)代入，分別得方程為y2＝－8x或x2＝－y.
答案： C　(2)y2＝－8x或x2＝－y
例3　解析：拋物線的焦點(diǎn)F為(，0)，由重心的性質(zhì)有xA＋xB＋xC＝3xF＝，又由拋物線的定義知|FA|＝xA＋，同理可得|FA|＋|FB|＋|FC|＝xA＋xB＋xC＋＝3xF＋，
所以|FA|＋|FB|＋|FC|＝3.故選C.
解析：如圖所示，分別過A，B作拋物線C的準(zhǔn)線m的垂線，垂足為E，M，拋物線的準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)P，則|PF|＝p，由于直線l的斜率為，則傾斜角為60°，因?yàn)锳E∥x軸，所以∠EAF＝60°，由拋物線的定義可知|AE|＝|AF|，所以△AEF是等邊三角形，所以∠EFP＝∠AEF＝60°，則∠PEF＝30°，所以|AE|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，解得p＝4，A正確；因?yàn)閨AE|＝|EF|＝2|PF|，又PF∥AE，所以F為AD中點(diǎn)，則＝，B正確；所以∠DAE＝60°，∠ADE＝30°，所以|BD|＝2|BM|＝2|BF|，C錯(cuò)誤；因?yàn)閨BF|＝|DF|＝|AF|＝，D錯(cuò)誤．故選AB.
答案： C　
答案：AB
鞏固訓(xùn)練3　解析：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，準(zhǔn)線方程為x＝－，
設(shè)＝＝6x2，
因?yàn)閨AF|＝3|BF|，所以x1＋＝3(x2＋)，得x1＝3x2＋3，?、?br/>因?yàn)閨AF|＝3|BF|，所以|y1|＝3|y2|，即x1＝9x2，?、?br/>由方程①②可得x1＝，x2＝，
所以|AB|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋3＝8.故選C.
解析：根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知：由△OEF為等邊三角形，所以E，F(xiàn)關(guān)于坐標(biāo)軸x軸對(duì)稱，由|EO|＝4，∠EOx＝30°，所以E(2，2)，將E(2，2)代入可得4＝4p p＝.
答案：C　(2)
隨堂檢測(cè)
1．解析：由已知條件，易知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1，0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1.又B(3，0)，則|AF|＝|BF|＝2.不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，則A(x0，2)．根據(jù)拋物線的定義可知x0－(－1)＝2，所以x0＝1，所以A(1，2)，所以|AB|＝＝2.故選B.
答案：B
2．解析：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
其到直線x－y＋1＝0的距離：d＝＝，
解得p＝2(p＝－6舍去)．故選B.
答案：B
3．解析：不妨設(shè)P(，p)，∴Q(6＋，0)，＝(6，－p)，∵PQ⊥OP，∴×6－p2＝0，
∵p>0，∴p＝3，∴C的準(zhǔn)線方程為x＝－.
答案：x＝－
4．解析：由題意可得：()2＝2p×1，則2p＝5，拋物線的方程為y2＝5x，準(zhǔn)線方程為x＝－，點(diǎn)A到C的準(zhǔn)線的距離為1－(－)＝.
答案：第八節(jié)　直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
1.了解直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷方法．
2．掌握直線被圓錐曲線所截的弦長(zhǎng)公式．
3．能利用方程即數(shù)形結(jié)合思想解決焦點(diǎn)弦、中點(diǎn)弦問題．
問題思考·夯實(shí)技能
【問題1】　AB為橢圓＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2，弦的中點(diǎn)為M(x0，y0)，請(qǐng)你推出直線AB的斜率的表達(dá)式．
【問題2】　AB為雙曲線＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2，弦的中點(diǎn)為M(x0，y0)，請(qǐng)你推出直線AB的斜率的表達(dá)式．
關(guān)鍵能力·題型剖析
題型一 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
例1(1)直線y＝kx＋2與橢圓＝1有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則k的值是(　　)
A． B．－
C．± D．±
(2)已知雙曲線 C：＝1(n>0)的一條漸近線方程為4x＋ny＝0，若直線l：y＝kx－2k與C只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的值為________.
題后師說
(1)直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，包含直線與雙曲線相切或直線與雙曲線的漸近線平行．
(2)直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)包含直線與拋物線相切、直線與拋物線的對(duì)稱軸平行(或重合)．
鞏固訓(xùn)練1
(1)[2024·遼寧沈陽模擬]命題p：直線y＝kx＋b與拋物線x2＝2py有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，命題q：直線y＝kx＋b與拋物線x2＝2py相切，則命題p是命題q的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
(2)[2024·江西九江模擬]直線y＝x與雙曲線＝1(a>0)相交于A，B兩點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積為－9，則離心率e＝______．
題型二 弦長(zhǎng)問題
例2[2023·新課標(biāo)Ⅰ卷]在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到x軸的距離等于點(diǎn)P到點(diǎn)的距離，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為W.
(1)求W的方程；
(2)已知矩形ABCD有三個(gè)頂點(diǎn)在W上，證明：矩形ABCD的周長(zhǎng)大于3.
題后師說
(1)弦長(zhǎng)公式不僅適用于圓錐曲線，任何兩點(diǎn)的弦長(zhǎng)都可以用弦長(zhǎng)公式求．
(2)拋物線的焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)應(yīng)選用更簡(jiǎn)捷的弦長(zhǎng)公式|AB|＝x1＋x2＋p.
(3)設(shè)直線方程時(shí)應(yīng)注意討論是否存在斜率．
鞏固訓(xùn)練2
[2024·河北保定模擬]已知橢圓C：＝1(a>b>0)的離心率為，短軸長(zhǎng)為2.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點(diǎn)P(1，0)的直線l與橢圓C交于兩點(diǎn)A，B，若△ABO的面積為(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求直線l的方程．
題型三 中點(diǎn)弦問題
例3[2024·河南洛陽模擬]已知橢圓C：＝1(a>b>0)的長(zhǎng)軸比短軸長(zhǎng)2，橢圓C的離心率為.
(1)求橢圓C的方程；
(2)若直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)為M(－2，1)，求l的方程．
題后師說
解決圓錐曲線“中點(diǎn)弦”問題的方法
(1)根與系數(shù)的關(guān)系法：聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程得到方程組，消元得到一元二次方程后，由根與系數(shù)的關(guān)系及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解．
(2)點(diǎn)差法：設(shè)直線與圓錐曲線的交點(diǎn)(弦的端點(diǎn))坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，將這兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入圓錐曲線的方程，并對(duì)所得兩式作差，得到一個(gè)與弦AB的中點(diǎn)和直線AB斜率有關(guān)的式子，可以大大減少計(jì)算量．
鞏固訓(xùn)練3
(1)[2024·吉林長(zhǎng)春模擬]直線x＋4y＋m＝0交橢圓＋y2＝1于A，B兩點(diǎn)，若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，則m＝(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
(2)雙曲線E：＝1(a>0，b>0)被斜率為4的直線截得的弦AB的中點(diǎn)為(2，1)，則雙曲線E的離心率為 ______．
1．[2022·全國(guó)甲卷]橢圓C：＝1(a>b>0)的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對(duì)稱．若直線AP，AQ的斜率之積為，則C的離心率為(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
2．(多選)[2022·新高考Ⅰ卷]已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(1，1)在拋物線C：x2＝2py(p>0)上，過點(diǎn)B(0，－1)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，則(　　)
A．C的準(zhǔn)線為y＝－1
B．直線AB與C相切
C．|OP|·|OQ|>|OA|2
D．|BP|·|BQ|>|BA|2
3．[2022·全國(guó)甲卷]記雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的離心率為e，寫出滿足條件“直線y＝2x與C無公共點(diǎn)”的e的一個(gè)值________．
4．[2022·新高考Ⅱ卷] 已知橢圓＝1，直線l與橢圓在第一象限交于A，B兩點(diǎn)，與x軸，y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，且|MA|＝|NB|，|MN|＝2，則直線l的方程為________________．
第八節(jié)　直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
問題思考·夯實(shí)技能
【問題1】　答案：因?yàn)辄c(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)在橢圓上，所以
①－②得＝0，易知y1＋y2≠0，
整理得＝－·＝－，
即直線AB的斜率k＝－.
【問題2】　答案：因?yàn)辄c(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)在雙曲線上，所以
①－②得＝0，整理得＝·＝，即直線AB的斜率k＝.
關(guān)鍵能力·題型剖析
例1　解析：由得，(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，
由題意知Δ＝(12k)2－4×6×(2＋3k2)＝0，解得k＝±，
故選C.
解析：由雙曲線 C：＝1(n>0)可得a＝2，b＝，且雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，故雙曲線的漸近線為y＝±x，
因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程為4x＋ny＝0，即y＝－x，
可得＝，解得n＝4，
所以雙曲線C：＝1.
聯(lián)立方程消去y得(x－2)[(1－k2)x＋2(k2＋1)]＝0，
當(dāng)1－k2＝0，即k＝±1時(shí)，則4(x－2)＝0，解得x＝2，
故直線l：y＝kx－2k與C只有一個(gè)公共點(diǎn)，符合題意；
當(dāng)1－k2≠0，即k∈(－∞，－1)時(shí)，
則(x－2)[(1－k2)x＋2k2＋2]＝0，解得x＝2或x＝＝2(1＋)≠2，
故直線l：y＝kx－2k與C有兩個(gè)公共點(diǎn)，不符合題意；
綜上所述k＝±1.
答案： C　(2)k＝±1
鞏固訓(xùn)練1　解析：∵拋物線x2＝2py的對(duì)稱軸為y軸，
∴一條直線與拋物線x2＝2py有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則該直線與拋物線相切或者該直線與x軸垂直，
∵直線y＝kx＋b存在斜率，與x軸不垂直，
∴“直線y＝kx＋b與拋物線x2＝2py有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)”等價(jià)于“直線y＝kx＋b與拋物線x2＝2py相切”，則命題p是命題q的充要條件．故選C.
解析：由A，B兩點(diǎn)在直線y＝x上，設(shè)A(x0，x0)(x0>0)，
因?yàn)锳，B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以B(－x0，－x0)，
由A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積為－9得x0×(－x0)＝－9，解得x0＝3，所以A(3，2)，
代入雙曲線方程得＝1，所以a＝，
所以c＝＝，所以離心率為＝＝.
答案： C　(2)
例2　解析：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，依題意得|y|＝，化簡(jiǎn)得x2＝y(tǒng)－，
所以W的方程為x2＝y(tǒng)－.
解析：證明：設(shè)矩形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C在W上，
則AB⊥BC，矩形ABCD的周長(zhǎng)為2(|AB|＋|BC|)．
設(shè)B(t，t2＋)，依題意知直線AB不與兩坐標(biāo)軸平行，
故可設(shè)直線AB的方程為y－(t2＋)＝k(x－t)，不妨設(shè)k>0，
與x2＝y(tǒng)－聯(lián)立，得x2－kx＋kt－t2＝0，
則Δ＝k2－4(kt－t2)＝(k－2t)2>0，所以k≠2t.
設(shè)A(x1，y1)，所以t＋x1＝k，所以x1＝k－t，
所以|AB|＝|x1－t|＝|k－2t|＝|2t－k|，
|BC|＝|－－2t|＝|＋2t|＝|2kt＋1|，且2kt＋1≠0，
所以2(|AB|＋|BC|)＝(|2k2t－k3|＋|2kt＋1|)．
因?yàn)閨2k2t－k3|＋|2kt＋1|＝
當(dāng)2k－2k2≤0，即k≥1時(shí)，函數(shù)y＝(－2k2－2k)t＋k3－1在(－∞，－]上單調(diào)遞減，函數(shù)y＝(2k－2k2)t＋k3＋1在(－]上單調(diào)遞減或是常函數(shù)(當(dāng)k＝1時(shí)是常函數(shù))，函數(shù)y＝(2k2＋2k)t－k3＋1在(，＋∞)上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)t＝時(shí)，|2k2t－k3|＋|2kt＋1|取得最小值，且最小值為k2＋1，又k≠2t，所以2(|AB|＋|BC|)＞(k2＋1)＝.
令f(k)＝，k≥1，
則f′(k)＝，
當(dāng)1≤k＜時(shí)，f′(k)＜0，當(dāng)k＞時(shí)，f′(k)＞0，
所以函數(shù)f(k)在[1，)上單調(diào)遞減，在(，＋∞)上單調(diào)遞增，
所以f(k)≥f()＝3，
所以2(|AB|＋|BC|)＞≥3.
當(dāng)2k－2k2＞0，即0＜k＜1時(shí)，函數(shù)y＝(－2k2－2k)t＋k3－1在(－∞，－]上單調(diào)遞減，函數(shù)y＝(2k－2k2)t＋k3＋1在(－]上單調(diào)遞增，函數(shù)y＝(2k2＋2k)t－k3＋1在(，＋∞)上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)t＝－時(shí)，|2k2t－k3|＋|2kt＋1|取得最小值，且最小值為k3＋k＝k(1＋k2)，
又2kt＋1≠0，所以2(|AB|＋|BC|)＞k(k2＋1)＝.
令g(k)＝，0則g′(k)＝，
當(dāng)00，
所以函數(shù)g(k)在(0，)上單調(diào)遞減，在(，1)上單調(diào)遞增，
所以g(k)≥g()＝3，
所以2(|AB|＋|BC|)>≥3.
綜上，矩形ABCD的周長(zhǎng)大于3.
鞏固訓(xùn)練2　解析：由題意可得解得a2＝4，b2＝1.
故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1.
解析：由題意可知直線的斜率不為0，則設(shè)直線的方程為x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
聯(lián)立整理得(m2＋4)y2＋2my－3＝0，
Δ＝(2m)2－4(m2＋4)×(－3)＝16m2＋48>0，
則y1＋y2＝－，y1y2＝－，故|y1－y2|＝＝ ＝，
因?yàn)椤鰽BO的面積為，所以|OP||y1－y2|＝×1×＝＝，
設(shè)t＝，則＝，整理得(3t－1)(t－3)＝0，解得t＝3或t＝(舍去)，即m＝±.
故直線的方程為x＝±y＋1，即x±y－1＝0.
例3　解析：因?yàn)闄E圓C的離心率為，所以＝1－，解得＝.
又橢圓C的長(zhǎng)軸比短軸長(zhǎng)2，所以2a－2b＝2，
聯(lián)立方程組解得
所以橢圓C的方程為＝1.
解析：顯然點(diǎn)M(－2，1)在橢圓9x2＋16y2＝144內(nèi)，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，因?yàn)锳，B在橢圓C上，所以
兩個(gè)方程相減得)＝0，
即9(x1－x2)(x1＋x2)＝－16(y1－y2)(y1＋y2)，
因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)為M(－2，1)，所以x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，
所以＝－＝.
所以l的方程為y－1＝(x＋2)，即9x－8y＋26＝0.
鞏固訓(xùn)練3　解析：∵x＋4y＋m＝0，∴y＝－x－，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
兩式相減得，＝－＝－，
∵AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，則縱坐標(biāo)為，
將(1，)代入直線y＝－x－，解得m＝－2.故選A.
解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，kAB＝＝4，
將A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程得：＝＝1，
將上述兩式相減可得：
＝，
即＝，也即＝＝2，
所以e2＝＝＝1＋＝3，即e＝.
答案： A　(2)
隨堂檢測(cè)
1．解析：設(shè)P(x1，y1)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(－x1，y1)．由題意，得點(diǎn)A(－a，0)．又直線AP，AQ的斜率之積為，所以·＝，即＝①.又點(diǎn)P在橢圓C上，所以＝1②.由①②，得＝，所以a2＝4b2，所以a2＝4(a2－c2)，所以橢圓C的離心率e＝＝.故選A.
答案：A
2．解析：將點(diǎn)A(1，1)的坐標(biāo)代入x2＝2py(p＞0)，解得p＝.所以拋物線C：x2＝y(tǒng)，其準(zhǔn)線方程為y＝－，所以A錯(cuò)誤；由y＝x2，得y′＝2x.當(dāng)x＝1時(shí)，y′＝2，所以拋物線在點(diǎn)A(1，1)處的切線方程為y＝2x－1.令x＝0，得y＝－1，即切線y＝2x－1過點(diǎn)B，所以B正確；設(shè)直線PQ：y＝x1x2)．將PQ：y＝kx－1與C：x2＝y(tǒng)聯(lián)立，得x2－kx＋1＝0，所以Δ＝k2－4＞0，x1＋x2＝k，x1x2＝1，所以|OP|·|OQ|＝＞＝2＝，所以C正確；因?yàn)閨BP|·|BQ|＝|x1|·|x2|＝1＋k2＞5＝|BA|2，所以D正確．故選BCD.
答案：BCD
3．解析：雙曲線C的一條漸近線與C沒有公共點(diǎn)，所以可令≤2，則e＝ ＝.又因?yàn)閑>1，所以1答案：(滿足14．解析：令A(yù)B的中點(diǎn)為E，因?yàn)閨MA|＝|NB|，所以|ME|＝|NE|，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝＝1，
所以＝0，即＝0，
所以＝－，即kOE·kAB＝－，設(shè)直線AB：y＝kx＋m，k<0，m>0，
令x＝0得y＝m，令y＝0得x＝－，
即M(－，0)，N(0，m)，所以E(－)，
即k×＝－，解得k＝－或k＝(舍去)，
又|MN|＝2，即|MN|＝＝2，解得m＝2或m＝－2(舍去)，
所以直線AB：y＝－x＋2，即x＋y－2＝0.
答案：x＋y－2＝0

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