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第九章　統(tǒng)計(jì)與成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析
第一節(jié)　隨機(jī)抽樣、統(tǒng)計(jì)圖表
1.會(huì)用簡單隨機(jī)抽樣的方法從總體中抽取樣本，了解分層隨機(jī)抽樣．
2．能根據(jù)實(shí)際問題的特點(diǎn)選擇恰當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)圖表，體會(huì)使用統(tǒng)計(jì)圖表的重要性．
問題思考·夯實(shí)技能
【問題1】　簡單隨機(jī)抽樣與分層隨機(jī)抽樣有什么共同特點(diǎn)和適用范圍？
【問題2】　頻率分布直方圖中小長方形的高表示該組上的個(gè)體在樣本中出現(xiàn)的頻率對嗎？
關(guān)鍵能力·題型剖析
題型一 抽樣方法
例 1 (1)(多選)下列抽樣方法是簡單隨機(jī)抽樣的是(　　)
A．質(zhì)檢員從50個(gè)零件中逐個(gè)抽取5個(gè)做質(zhì)量檢驗(yàn)
B．“隔空不隔愛，停課不停學(xué)”，網(wǎng)課上，李老師在全班45名學(xué)生中點(diǎn)名表揚(yáng)了3名發(fā)言積極的
C．老師要求學(xué)生從實(shí)數(shù)集中逐個(gè)抽取10個(gè)分析奇偶性
D．某運(yùn)動(dòng)員從8條跑道中隨機(jī)抽取一條跑道試跑
(2)[2024·山東棗莊模擬]在北京冬奧會(huì)期間，共有1.8萬多名賽會(huì)志愿者和20余萬人次城市志愿者參與服務(wù)．據(jù)統(tǒng)計(jì)某高校共有本科生1 600人，碩士生600人，博士生200人申請報(bào)名做志愿者，現(xiàn)用分層抽樣方法從中抽取博士生30人，則該高校抽取的志愿者總?cè)藬?shù)為(　　)
A．300　　B．320　　C．340　　D．360
題后師說
(1)簡單隨機(jī)抽樣需滿足：①被抽取的樣本總體的個(gè)體數(shù)有限；②逐個(gè)抽取；③等可能抽取．
(2)在使用隨機(jī)數(shù)表時(shí)，如遇到取兩位數(shù)或三位數(shù)，可從選擇的隨機(jī)數(shù)表中的某行的數(shù)字計(jì)起，每兩個(gè)或三個(gè)作為一個(gè)單位，自左向右選取，有超過總體號碼或出現(xiàn)重復(fù)號碼的數(shù)字舍去．
(3)在分層隨機(jī)抽樣中，抽樣比＝＝.
鞏固訓(xùn)練1
(1)[2024·河南襄城模擬]現(xiàn)有300名老年人，500名中年人，400名青年人，從中按比例用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取n人，若抽取的老年人與青年人共21名，則n的值為(　　)
A．15　　　B．30　　　C．32　　　D．36
(2)[2024·安徽六安模擬]將60個(gè)個(gè)體按照01，02，03，…，60進(jìn)行編號，然后從隨機(jī)數(shù)表的第9行第9列開始向右讀數(shù)(下表為隨機(jī)數(shù)表的第8行和第9行)
63 01 63 78 59　16 95 55 67 19　98 10 50 71 75
12 86 73 58 07　44 39 52 38 79
33 21 12 34 29　78 64 56 07 82　52 42 07 44 38
15 51 00 13 42　99 66 02 79 54
則抽取的第11個(gè)個(gè)體的編號是________．
題型二 統(tǒng)計(jì)圖表
角度一　扇形圖、條形圖
例 2 [2024·河南開封模擬]某學(xué)校組建了演講、舞蹈、合唱、繪畫、英語協(xié)會(huì)五個(gè)社團(tuán)，全校2 000名學(xué)生每人都參加且只參加其中兩個(gè)社團(tuán)，校團(tuán)委從這2 000名學(xué)生中隨機(jī)選取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下不完整的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖：
則選取的學(xué)生中，參加繪畫社團(tuán)的學(xué)生數(shù)為(　　)
A．20　　　B．30　　　C．40　　　D．45
題后師說
(1)通過扇形圖可以很清楚地表示出各部分?jǐn)?shù)量同總數(shù)之間的關(guān)系．
(2)條形圖直觀描述不同類別或分組數(shù)據(jù)的頻數(shù)．
角度二　折線圖
例 3 (多選)[2024·河北邯鄲模擬]如圖為2022年2月至2023年2月建筑業(yè)和服務(wù)業(yè)的商務(wù)活動(dòng)指數(shù)，該指數(shù)等于50%反映該行業(yè)經(jīng)濟(jì)與上月比較無變化，大于50%反映該行業(yè)經(jīng)濟(jì)比上月總體上升，小于50%反映該行業(yè)經(jīng)濟(jì)比上月總體下降，則下列說法正確的是(　　)
A.2022年9月至12月服務(wù)業(yè)經(jīng)濟(jì)持續(xù)下降
B．2022年9月至12月建筑業(yè)經(jīng)濟(jì)持續(xù)下降
C．2022年5月建筑業(yè)經(jīng)濟(jì)上升幅度最小
D．2023年2月服務(wù)業(yè)經(jīng)濟(jì)上升幅度最大
題后師說
折線圖可以顯示隨時(shí)間(根據(jù)常用比例放置)而變化的連續(xù)數(shù)據(jù)，因此非常適用于顯示在相等時(shí)間間隔下數(shù)據(jù)變化的趨勢．
角度三　頻率分布直方圖
例 4 某校為了解學(xué)生學(xué)習(xí)的效果，進(jìn)行了一次摸底考試，從中選取60名學(xué)生的成績，分成[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]六組后，得到不完整的頻率分布直方圖如圖所示，觀察圖形，回答下列問題：
(1)求分?jǐn)?shù)在區(qū)間[70，80)內(nèi)的頻率，并補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖；
(2)根據(jù)評獎(jiǎng)規(guī)則，排名在前10%的學(xué)生可以獲獎(jiǎng)，請你估計(jì)獲獎(jiǎng)的學(xué)生至少需要多少分？
題后師說
(1)頻率分布直方圖中縱軸上的數(shù)據(jù)是各組的頻率除以組距的結(jié)果，不要誤以為縱軸上的數(shù)據(jù)是各組的頻率，不要和條形圖混淆．
(2)頻率分布直方圖中各小長方形的面積之和為1，這是解題的關(guān)鍵，常利用頻率分布直方圖估計(jì)總體分布．
鞏固訓(xùn)練2
(1)某市商品房調(diào)查機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取n名市民，針對其居住的戶型結(jié)構(gòu)和是否滿意進(jìn)行了調(diào)查，如圖1，被調(diào)查的所有市民中二居室住戶共100戶，所占比例為，四居室住戶占.如圖2，這是用分層抽樣的方法從所有被調(diào)查的市民對戶型是否滿意的問卷中，抽取20%的調(diào)查結(jié)果繪制成的統(tǒng)計(jì)圖，則下列說法錯(cuò)誤的是(　　)
A．n＝450
B.被調(diào)查的所有市民中四居室住戶共有150戶
C.用分層抽樣的方法抽取的二居室住戶有20戶
D.用分層抽樣的方法抽取的市民中對三居室滿意的有10戶
(2)[2024·遼寧葫蘆島模擬]采購經(jīng)理指數(shù)(PMI)，是通過對企業(yè)采購經(jīng)理的月度調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)匯總、編制而成的指數(shù)，它涵蓋了企業(yè)采購、生產(chǎn)、流通等各個(gè)環(huán)節(jié)，包括制造業(yè)和非制造業(yè)領(lǐng)域，是國際上通用的檢測宏觀經(jīng)濟(jì)走勢的先行指數(shù)之一，具有較強(qiáng)的預(yù)測、預(yù)警作用．制造業(yè)PMI高于50%時(shí)，反映制造業(yè)較上月擴(kuò)張；低于50%，則反映制造業(yè)較上月收縮．下圖為我國2022年1月～2023年6月制造業(yè)采購經(jīng)理指數(shù)(PMI)統(tǒng)計(jì)圖．
根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖分析，下列結(jié)論最恰當(dāng)?shù)囊豁?xiàng)為(　　)
A．2022年第一、二季度的各月制造業(yè)在逐月擴(kuò)張
B．2022年第四季度各月制造業(yè)在逐月擴(kuò)張
C．2023年1月至4月制造業(yè)逐月收縮
D．2023年4月開始制造業(yè)景氣水平呈恢復(fù)性擴(kuò)張
(3)某學(xué)校為了調(diào)查學(xué)生生活方面的日支出情況，抽出了一個(gè)容量為n的樣本，將數(shù)據(jù)按[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70]分成5組，制定成如圖所示的頻率分布直方圖，則a＝__________．要從日支出在[50，70]的樣本中用分層抽樣的方法抽取10人，則日支出在[60，70]中被抽取的人數(shù)為__________．
1．[2024·河北秦皇島模擬]為實(shí)現(xiàn)鄉(xiāng)村生態(tài)振興，走鄉(xiāng)村綠色發(fā)展之路，鄉(xiāng)政府采用按比例分層抽樣的方式從甲村和乙村抽取部分村民參與環(huán)保調(diào)研，已知甲村和乙村人數(shù)之比是3∶1，被抽到的參與環(huán)保調(diào)研的村民中，甲村的人數(shù)比乙村多8人，則參加調(diào)研的總?cè)藬?shù)是(　　)
A．16 B．24
C．32 D．40
2．[2024·河南鄭州模擬]為了樹立和踐行綠水青山就是金山銀山的理念，A市某高中全體教師于2023年3月12日開展植樹活動(dòng)，購買柳樹、銀杏、梧桐、樟樹四種樹苗共計(jì)600棵，比例如圖所示．青年教師、中年教師、老年教師報(bào)名參加植樹活動(dòng)的人數(shù)之比為5∶3∶2，若每種樹苗均按各年齡段報(bào)名人數(shù)的比例進(jìn)行分配，則中年教師應(yīng)分得梧桐的數(shù)量為(　　)
A．30棵 B．50棵
C．72棵 D．80棵
3．要調(diào)查某地區(qū)高中學(xué)生身體素質(zhì)，從高中生中抽取100人進(jìn)行跳遠(yuǎn)測試，根據(jù)測試成績制作頻率分布直方圖如圖，現(xiàn)從成績在[120，140)之間的學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取5人，應(yīng)從[120，130)間抽取人數(shù)為b，則(　　)
A．a(chǎn)＝0.025，b＝2
B．a(chǎn)＝0.025，b＝3
C．a(chǎn)＝0.030，b＝4
D．a(chǎn)＝0.030，b＝3
4．[2024·河北唐山模擬]為了解一個(gè)魚塘中養(yǎng)殖魚的生長情況，從這個(gè)魚塘多個(gè)不同位置捕撈出100條魚，分別做上記號，再放回魚塘，幾天后，再從魚塘的多處不同位置捕撈出120條魚，發(fā)現(xiàn)其中帶有記號的魚有6條，請根據(jù)這一情況來估計(jì)魚塘中的魚大概有________條．
第一節(jié)　隨機(jī)抽樣、統(tǒng)計(jì)圖表
問題思考·夯實(shí)技能
【問題1】　提示：兩種抽樣方法的共同特點(diǎn)和適用范圍：
類別 簡單隨機(jī)抽樣 分層隨機(jī)抽樣
共同點(diǎn) 抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相等
適用范圍 總體個(gè)數(shù)較少 總體由差異明顯的幾部分組成
【問題2】　提示：不對．在頻率分布直方圖中，縱軸(小長方形的高)表示頻率與組距的比值，其相應(yīng)組距上的頻率等于該組距上的小長方形的面積．
關(guān)鍵能力·題型剖析
例1　解析：(1)選項(xiàng)A：符合不放回簡單隨機(jī)抽樣要求，故正確；選項(xiàng)B：老師表揚(yáng)的是發(fā)言積極的，對每一個(gè)個(gè)體而言，不具備“等可能性”，故錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：因?yàn)榭傮w容量是無限的，不符合簡單隨機(jī)抽樣要求，故錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：8條跑道，抽取1條，總體有限，每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)均等，是簡單隨機(jī)抽樣，故正確．故選AD.
(2)根據(jù)題意知分層抽樣比例為 ＝，
所以該高校抽取的志愿者總?cè)藬?shù)為(1 600＋600＋200)×＝360.故選D.
答案：(1)AD　(2)D
鞏固訓(xùn)練1　解析：(1)由題可知＝，解得n＝36.故選D.
(2)找到第9行第9列數(shù)開始向右讀，符合條件的是29 56 07 52 42 44 38 15 51 13 02 54…，則抽取的第11個(gè)個(gè)體的編號是02.
答案：(1)D　(2)02
例2　解析：選取的學(xué)生數(shù)為＝200，合唱的比例為＝35%，
所以繪畫的比例為1－20%－20%－15%－35%＝10%，
所以選取的學(xué)生中，參加繪畫社團(tuán)的學(xué)生數(shù)為×10%＝20.
故選A.
答案：A
例3　解析：根據(jù)服務(wù)業(yè)商務(wù)活動(dòng)指數(shù)圖象可知，
2022年9月至12月建筑業(yè)經(jīng)濟(jì)持續(xù)下降，所以A選項(xiàng)正確；
根據(jù)建筑業(yè)商務(wù)活動(dòng)指數(shù)圖象可知，2022年9月至12月服務(wù)業(yè)經(jīng)濟(jì)持續(xù)上升，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
根據(jù)建筑業(yè)商務(wù)活動(dòng)指數(shù)圖象可知，2022年5月建筑業(yè)經(jīng)濟(jì)上升幅度最小，所以C選項(xiàng)正確；
根據(jù)服務(wù)業(yè)商務(wù)活動(dòng)指數(shù)圖象可知，2023年2月服務(wù)業(yè)經(jīng)濟(jì)上升幅度最大，所以D選項(xiàng)正確．
故選ACD.
答案：ACD
例4　解析：(1)設(shè)分?jǐn)?shù)在[70，80)內(nèi)的頻率為x，
根據(jù)頻率分布直方圖，可得(0.01＋0.015＋0.02＋0.025＋0.005)×10＋x＝1，
解得x＝0.25，所以分?jǐn)?shù)在[70，80)內(nèi)的頻率為0.25.
補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖，如圖所示．
(2)因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)在區(qū)間[80，90)內(nèi)的頻率為0.25，在區(qū)間[90，100]內(nèi)的頻率為0.05，
而0.05＜10%＜0.25＋0.05.
所以設(shè)排名前10%的分界點(diǎn)為90－a，則0.025a＋0.005×10＝10%，解得a＝2，
所以排名前10%的分界點(diǎn)為88分，即獲獎(jiǎng)的學(xué)生至少需要88分．
鞏固訓(xùn)練2　解析：(1)因?yàn)楸徽{(diào)查的所有市民中二居室住戶共100戶，所占比例為，所以n＝100÷＝450，四居室住戶有450×＝150戶，三居室住戶有200戶，故A，B正確；用分層抽樣的方法抽取的二居室住戶有100×0.2＝20戶，故C正確；用分層抽樣的方法抽取的市民中對三居室滿意的有200×0.2×0.5＝20戶，故D錯(cuò)誤．故選D.
(2)由統(tǒng)計(jì)圖可以得到，2022年第一、二季度的制造業(yè)指數(shù)均高于50%，
所以2022年第一、二季度的各月制造業(yè)在逐月擴(kuò)張，故A正確；由統(tǒng)計(jì)圖可以得到，2022年10月份的制造業(yè)指數(shù)低于50%，故B錯(cuò)誤；由統(tǒng)計(jì)圖可以得到，2023年1、2月份的制造業(yè)指數(shù)高于50%，故C錯(cuò)誤；由統(tǒng)計(jì)圖可以得到，2023年4～6月份制造業(yè)指數(shù)呈現(xiàn)上升趨勢，但是2023年4、5月份制造業(yè)指數(shù)均低于50%，即制造業(yè)景氣水平較上月收縮，故D錯(cuò)誤．故選A.
(3)因?yàn)?2a＋0.02＋0.025＋0.045)×10＝1，
所以a＝0.005，
又因?yàn)閇50，60)內(nèi)和[60，70]內(nèi)的樣本個(gè)數(shù)比例為0.020∶0.005＝4∶1，
根據(jù)分層抽樣可知，日支出在[60，70]中被抽取的人數(shù)為10×＝2.
答案：(1)D　(2)A　(3)0.005　2
隨堂檢測
1．解析：設(shè)被抽取參與調(diào)研的乙村村民有x人，則根據(jù)分層抽樣按兩村人口比例，甲村被抽取參與調(diào)研的有3x人，所以3x－x＝8，即x＝4，所以參加調(diào)研的總?cè)藬?shù)x＋3x＝16.故選A.
答案：A
2．解析：由題意，梧桐樹苗的數(shù)量為600×40%＝240(棵)，所以中年教師應(yīng)分得梧桐的數(shù)量為240×＝72(棵)．故選C.
答案：C
3．解析：由題得10×(0.005＋0.035＋a＋0.020＋0.010)＝1，
所以a＝0.030.
在[120，130)之間的學(xué)生：100×10×0.030＝30(人)，
在[130，140)之間的學(xué)生：100×10×0.020＝20(人)，
在[120，140)之間的學(xué)生：100×(10×0.030＋10×0.020)＝50(人)，
又用分層抽樣的方法在[120，140)之間的學(xué)生50人中抽取5人，即抽取比為：，
所以成績在[120，130)之間的學(xué)生中抽取的人數(shù)應(yīng)為30×＝3，即b＝3.故選D.
答案：D
4．解析：設(shè)魚塘中的魚有x條，因?yàn)椴稉瞥龅?20條魚中有6條有記號，因此由題意可得＝，解得x＝2 000，即魚塘中的魚大概有2 000條．
答案：2 000第二節(jié)　用樣本估計(jì)總體
1.會(huì)用統(tǒng)計(jì)圖表對總體進(jìn)行估計(jì)，會(huì)求n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)．
2．能用數(shù)字特征估計(jì)總體集中趨勢和總體離散程度．
問題思考·夯實(shí)技能
【問題1】　一組數(shù)據(jù)的百分位數(shù)一定是這組數(shù)據(jù)中的數(shù)嗎？
【問題2】　如何利用頻率分布直方圖估計(jì)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)？
關(guān)鍵能力·題型剖析
題型一 百分位數(shù)的估計(jì)
例 1 (1)[2024·安徽馬鞍山模擬]現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)：663，664，665，668，671，664，656，674，651，653，652，656，則這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)是(　　)
A．652 B．668
C．671 D．674
(2)[2024·河北邢臺模擬]《中國居民膳食指南(2022)》數(shù)據(jù)顯示，6歲至17歲兒童青少年超重肥胖率高達(dá)19.0%.為了解某地中學(xué)生的體重情況，某機(jī)構(gòu)從該地中學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生，測量他們的體重(單位：千克)，根據(jù)測量數(shù)據(jù)，按[40，45)，[45，50)，[50，55)，[55，60)，[60，65)，[65，70]分成六組，得到的頻率分布直方圖如圖所示．根據(jù)調(diào)查的數(shù)據(jù)，估計(jì)該地中學(xué)生體重的第75百分位數(shù)是(　　)
A．55 B．57.25
C．58.75 D．60
題后師說
頻率分布直方圖中第p百分位數(shù)的計(jì)算步驟
鞏固訓(xùn)練1
(1)[2024·廣東江門模擬]某校從高一新生中隨機(jī)抽取了一個(gè)容量為10的身高樣本，數(shù)據(jù)(單位：cm)從小到大排序如下：158，165，165，167，168，169，x，172，173，175，若樣本數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是170，則x＝(　　)
A．169 B．170
C．171 D．172
(2)高一某班10名學(xué)生的英語口語測試成績(單位：分)如下：76，90，84，82，81，87，86，82，85，83.這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)是______．
題型二 總體集中趨勢的估計(jì)
角度一　樣本的數(shù)字特征
例 2 [2024·江蘇連云港模擬]某高校為傳承中華文化，舉辦了“論語吟唱”的比賽．在比賽中，由A，B兩個(gè)評委小組(各9人)給參賽選手打分．根據(jù)兩個(gè)評委小組對同一名選手的打分繪制成如圖所示折線圖，則下列說法正確的是(　　)
A．A組打分的眾數(shù)為50
B．B組打分的中位數(shù)為75
C．A組的意見相對一致
D．B組打分的均值小于A組打分的均值
題后師說
中位數(shù)、眾數(shù)分別反映了一組數(shù)據(jù)的“中等水平”“多數(shù)水平”；平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)的平均水平，它們均描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢．
角度二　頻率分布直方圖中的數(shù)字特征
例 3 [2024·安徽淮北模擬]某城市100戶居民的月平均用電量(單位：度)，以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分組的頻率分布直方圖如圖．
(1)求直方圖中x的值；
(2)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)；
(3)在月平均用電量為[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]的四組用戶中，用分層抽樣的方法抽取11戶居民，則月平均用電量在[220，240)的用戶中應(yīng)抽取多少戶？
題后師說
頻率分布直方圖中的數(shù)字特征的求解方法
(1)眾數(shù)：最高矩形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
(2)中位數(shù)：中位數(shù)左邊和右邊的矩形的面積和相等．
(3)平均數(shù)：平均數(shù)在頻率分布直方圖中等于各組區(qū)間的中點(diǎn)值與對應(yīng)頻率之積的和．
鞏固訓(xùn)練2
(1)[2024·黑龍江哈爾濱模擬]PM2.5是衡量空氣質(zhì)量的重要指標(biāo)，下圖是某地6月1日至10日的PM2.5日均值(單位：μg/m3)的折線圖，則下列關(guān)于這10天中PM2.5日均值的說法錯(cuò)誤的是(　　)
A．眾數(shù)為30
B．中位數(shù)為31.5
C．平均數(shù)小于中位數(shù)
D．極差為109
(2)(多選)[2024·山東聊城模擬]某校舉辦了迎新年知識競賽，隨機(jī)選取了100人的成績整理后畫出的頻率分布直方圖如圖，則根據(jù)頻率分布直方圖，下列說法正確的是(　　)
A. 中位數(shù)70 B．眾數(shù)75
C．平均數(shù)68.5 D．平均數(shù)70
題型三 總體離散程度的估計(jì)
例 4 [2023·全國乙卷]某廠為比較甲乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進(jìn)行10次配對試驗(yàn)，每次配對試驗(yàn)選用材質(zhì)相同的兩個(gè)橡膠產(chǎn)品，隨機(jī)地選其中一個(gè)用甲工藝處理，另一個(gè)用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率．甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為xi，yi(i＝1，2，…，10)．試驗(yàn)結(jié)果如下：
試驗(yàn)序號i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
伸縮率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
伸縮率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
記zi＝xi－yi(i＝1，2，…，10)，記z1，z2，…，z10的樣本平均數(shù)為，樣本方差為s2.
(1)求，s2；
(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高(如果≥2，則認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高)．
題后師說
標(biāo)準(zhǔn)差(方差)反映了數(shù)據(jù)的離散與集中、波動(dòng)與穩(wěn)定的程度．標(biāo)準(zhǔn)差(方差)越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差(方差)越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小．
鞏固訓(xùn)練3
[2024·河北滄州模擬]為了鞏固拓展脫貧攻堅(jiān)成果，不斷提高群眾的幸福感，政府積極引導(dǎo)某村農(nóng)戶因地制宜種植某種經(jīng)濟(jì)作物，該類經(jīng)濟(jì)作物的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值來衡量，質(zhì)量指標(biāo)值越大表明質(zhì)量越好．為了解該類經(jīng)濟(jì)作物在該村的種植效益，該村引進(jìn)了甲、乙兩個(gè)品種，現(xiàn)隨機(jī)抽取了這兩個(gè)不同品種的經(jīng)濟(jì)作物各100份(每份1千克)作為樣本進(jìn)行檢測，檢測結(jié)果如下表所示：(同一區(qū)間的數(shù)據(jù)取該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)
分別記甲、乙品種質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)為和，樣本方差為和.
(1)現(xiàn)已求得＝＝324.64，試求及，并比較樣本平均數(shù)與方差的大小；
(2)該經(jīng)濟(jì)作物按其質(zhì)量指標(biāo)值劃分等級如下表：
質(zhì)量指標(biāo)值 [0，40) [40，80) [80，100]
作物等級 二級 一級 特級
利潤(元/千克) 10 20 50
現(xiàn)利用樣本估計(jì)總體，試從樣本利潤平均數(shù)的角度分析該村村民種植哪個(gè)品種的經(jīng)濟(jì)作物獲利更多．
1．[2024·九省聯(lián)考]樣本數(shù)據(jù)16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位數(shù)為(　　)
A．14 B．16
C．18 D．20
2．(多選)[2021·新高考Ⅰ卷]有一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c(i＝1，2，…，n)，c為非零常數(shù)，則(　　)
A．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同
B．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同
C．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同
D．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同
3．(多選)[2021·新高考Ⅱ卷]下列統(tǒng)計(jì)量中，能度量樣本x1，x2，…，xn的離散程度的是(　　)
A．樣本x1，x2，…，xn的標(biāo)準(zhǔn)差
B．樣本x1，x2，…，xn的中位數(shù)
C．樣本x1，x2，…，xn的極差
D．樣本x1，x2，…，xn的平均數(shù)
4．如圖，是根據(jù)某班學(xué)生在一次數(shù)學(xué)考試中的成績畫出的頻率分布直方圖，記由該直方圖得到的數(shù)學(xué)考試成績的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)分別為a，b，c，則(　　)
A．b>c>a　　　　　B．a(chǎn)>b>c
C．>b D．>c
第二節(jié)　用樣本估計(jì)總體
問題思考·夯實(shí)技能
【問題1】　提示：不一定．可能是這組數(shù)據(jù)中的數(shù)，也可能不是這組數(shù)據(jù)中的數(shù)．例如數(shù)據(jù)1，2，3的第50百分位數(shù)是2，是這組數(shù)據(jù)中的數(shù)；數(shù)據(jù)1，2，3，4的第50百分位數(shù)是2.5，不是這組數(shù)據(jù)中的數(shù)．
【問題2】　提示：在頻率分布直方圖中，平均數(shù)的估計(jì)值等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積與小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積的總和．中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等，由此可估計(jì)中位數(shù)的值．眾數(shù)的估計(jì)值為最高矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
關(guān)鍵能力·題型剖析
例1　解析：(1)由題意這組數(shù)共12個(gè)，則12×85%＝10.2，
將這組數(shù)據(jù)從小到大排列為651，652，653，656，656，663，664，664，665，668，671，674，
故這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為第11個(gè)數(shù)，即671.故選C.
(2)因?yàn)?0.01＋0.03＋0.08)×5＝0.6<0.75，0.6＋0.04×5＝0.8>0.75，
所以該地中學(xué)生體重的第75百分位數(shù)在[55，60)內(nèi)，
設(shè)第75百分位數(shù)為m，則(m－55)×0.04＋0.6＝0.75，解得m＝58.75.故選C.
答案：(1)C　(2)C
鞏固訓(xùn)練1　解析：(1)因?yàn)闃颖救萘繛?0，且樣本數(shù)據(jù)從小到大排序如下：
158，165，165，167，168，169，x，172，173，175，
又10×60%＝6，
所以第60百分位數(shù)為，由已知＝170，
所以x＝171.故選C.
(2)成績從小到大排序?yàn)椋?6，81，82，82，83，84，85，86，87，90，
則10×＝7.5，
所以這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)是86.
答案：(1)C　(2)86
例2　解析：由折線圖可知，小組A打分的分值為：42，47，45，46，50，47，55，50，47，則小組A打分的分值的眾數(shù)為47，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
小組B打分的分值為：55，36，70，66，75，68，68，62，58，按照從小到大排列為：36，55，58，62，66，68，68，70，75，中間數(shù)為66，故中位數(shù)為66，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤 ；
小組A的打分成績比較均勻，波動(dòng)更小，故A小組意見相對一致，故選項(xiàng)C正確；
小組A的打分分值的均值＝47.7，
而小組B的打分分值的均值＝62，
所以小組B打分的分值的均值大于小組A打分的分值的均值，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選C.
答案：C
例3　解析：(1)由直方圖的性質(zhì)可得(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x＋0.005＋0.002 5)×20＝1得：
x＝0.007 5，所以直方圖中x的值是0.007 5.
(2)月平均用電量的眾數(shù)是＝230.
因?yàn)?0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45<0.5，所以月平均用電量的中位數(shù)在[220，240)內(nèi)，
設(shè)中位數(shù)為a，
由(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＋0.012 5×(a－220)＝0.5
得：a＝224，所以月平均用電量的中位數(shù)是224.
(3)月平均用電量為[220，240)的用戶有0.012 5×20×100＝25戶，
月平均用電量為[240，260)的用戶有0.007 5×20×100＝15戶，
月平均用電量為[260，280)的用戶有0. 005×20×100＝10戶，
月平均用電量為[280，300]的用戶有0.002 5×20×100＝5戶，
抽取比例＝＝，所以月平均用電量在[220，240)的用戶中應(yīng)抽取25×＝5戶．
鞏固訓(xùn)練2　解析：(1)眾數(shù)即是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)字，由折線圖可得，眾數(shù)為30，即A正確；
將折線圖中數(shù)字由小到大依次排序，得到：17，25，30，30，31，32，34，38，42，126，處在中間位置的數(shù)字是31，32，因此中位數(shù)為31.5，即B正確；
由折線圖可得，平均數(shù)為：
＝40.5>31.5，故C錯(cuò)；
根據(jù)極差概念，126－17＝109，故D正確．故選C.
(2)[40，50)的頻率為＝0.1，
因?yàn)樽罡咝【匦蔚闹悬c(diǎn)橫坐標(biāo)為75，顯然眾數(shù)是75，故B正確；
[40，50)的頻率是0.1，[50，60)的頻率是0.15，[60，70)的頻率是0.25，其頻率和為0.5，所以中位數(shù)為70，故A正確；
平均數(shù)＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.25＋75×0.35＋85×0.1＋95×0.05＝68.5，所以C正確，D不正確．故選ABC.
答案：(1)C　(2)ABC
例4　解析：(1)zi的值分別為：9，6，8，－8，15，11，19，18，20，12，
則＝＝11.
故s2＝
＝61.
(2)由(1)知：＝11，2＝2＝，故有≥2，
所以認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高．
鞏固訓(xùn)練3　解析：(1)＝×(10×2＋30×6＋50×24＋70×48＋90×20)＝65.6，
＝(10－60)2×0.02＋(30－60)2×0.08＋(50－60)2×0.38＋(70－60)2×0.42＋(90－60)2×0.1＝292.
又因?yàn)椋剑?24.64，
所以.
(2)分別記甲、乙兩品種利潤的樣本平均數(shù)為，
則＝×(8×10＋72×20＋20×50)＝25.2(元)，
＝×(10×10＋80×20＋10×50)＝22(元)，
所以>，所以從樣本利潤平均數(shù)的角度看種植甲品種的經(jīng)濟(jì)作物獲得的利潤更高．
隨堂檢測
1．解析：將這些數(shù)據(jù)從小到大排列可得：10，12，14，14，16，20，24，30，40，則其中位數(shù)為16.故選B.
答案：B
2．解析：A：E(y)＝E(x＋c)＝E(x)＋c且c≠0，故平均數(shù)不相同，錯(cuò)誤；
B：若第一組中位數(shù)為xi，則第二組的中位數(shù)為yi＝xi＋c，顯然不相同，錯(cuò)誤；
C：D(y)＝D(x)＋D(c)＝D(x)，故方差相同，正確．
D：由極差的定義知：若第一組的極差為xmax－xmin，則第二組的極差為ymax－ymin＝(xmax＋c)－(xmin＋c)＝xmax－xmin，故極差相同，正確．故選CD.
答案：CD
3．解析：由標(biāo)準(zhǔn)差的定義可知，標(biāo)準(zhǔn)差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；由中位數(shù)的定義可知，中位數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢；由極差的定義可知，極差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；由平均數(shù)的定義可知，平均數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢．故選AC.
答案：AC
4．解析：由頻率分布直方圖可知：眾數(shù)a＝＝75；
中位數(shù)應(yīng)落在70～80區(qū)間內(nèi)，則有：0.004×10＋0.018×10＋0.04×(b－70)＝0.5，解得：b＝77；
平均數(shù)c＝0.004×10×＋0.018×10×＋0.04×10×＋0.032×10×＋0.006×10×＝2.2＋11.7＋30＋27.2＋5.7＝76.8.
所以b>c>a.故選A.
答案：A第三節(jié)　成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析
1.了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義．
2．了解最小二乘原理，掌握一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)方法，會(huì)用一元線性回歸模型進(jìn)行預(yù)測．
3．理解2×2列聯(lián)表的統(tǒng)計(jì)意義，了解2×2列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)及其應(yīng)用．
問題思考·夯實(shí)技能
【問題1】　在回歸分析的過程中，散點(diǎn)圖、樣本相關(guān)系數(shù)r、決定系數(shù)R2的作用相同嗎？
【問題2】　根據(jù)χ2的值可以判斷兩個(gè)分類變量有關(guān)的可信程度，若χ2越大，則兩分類變量有關(guān)的把握越大對嗎？
關(guān)鍵能力·題型剖析
題型一 成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性
例1 (1)[2024·河南南陽模擬]某同學(xué)在研究變量x，y之間的相關(guān)關(guān)系時(shí)，得到以下數(shù)據(jù)：并采用最小二乘法得到了經(jīng)驗(yàn)回歸方程＝x＋，則(　　)
x 4.8 5.8 7 8.3 9.1
y 2.8 4.1 7.2 9.1 11.8
A. >0，>0 B．>0，<0
C．<0，<0 D．<0，>0
(2)(多選)[2024·河北滄州模擬]醫(yī)學(xué)上判斷體重是否超標(biāo)有一種簡易方法，就是用一個(gè)人身高的厘米數(shù)減去105所得差值即為該人的標(biāo)準(zhǔn)體重．比如身高175 cm的人，其標(biāo)準(zhǔn)體重為175－105＝70公斤，一個(gè)人實(shí)際體重超過了標(biāo)準(zhǔn)體重，我們就說該人體重超標(biāo)了，現(xiàn)分析某班學(xué)生的身高和體重的相關(guān)性時(shí)，隨機(jī)抽測了8人的身高和體重，數(shù)據(jù)如下表所示：
編號 1 2 3 4 5 6 7 8
身高x/cm 165 168 170 172 173 174 175 177
體重y/kg 55 89 61 65 67 70 75 75
由最小二乘法計(jì)算得到經(jīng)驗(yàn)回歸直線l1的方程為＝1x＋1，相關(guān)系數(shù)為r1，決定系數(shù)為R；經(jīng)過殘差分析確定有一個(gè)樣本點(diǎn)為離群點(diǎn)(對應(yīng)殘差過大)，把它去掉后，再用剩下的7組數(shù)據(jù)計(jì)算得到經(jīng)驗(yàn)回歸直線l2的方程為＝2x＋2，相關(guān)系數(shù)為r2，決定系數(shù)為R，則(　　)
A. r1R
C．r1>r2 D．R題后師說
判斷數(shù)據(jù)的相關(guān)關(guān)系的三種方法
鞏固訓(xùn)練1
(1)下列圖中，能反映出相應(yīng)兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系的是(　　)
(2)對兩個(gè)變量x，y進(jìn)行線性相關(guān)檢驗(yàn)，得線性相關(guān)系數(shù)r1＝0.899 5，對兩個(gè)變量u，v進(jìn)行線性相關(guān)檢驗(yàn)，得線性相關(guān)系數(shù)r2＝－0.956 8，則下列判斷正確的是(　　)
A．變量x與y正相關(guān)，變量u與v負(fù)相關(guān)，變量x與y的線性相關(guān)性較強(qiáng)
B．變量x與y負(fù)相關(guān)，變量u與v正相關(guān)，變量x與y的線性相關(guān)性較強(qiáng)
C．變量x與y正相關(guān)，變量u與v負(fù)相關(guān)，變量u與v的線性相關(guān)性較強(qiáng)
D．變量x與y負(fù)相關(guān)，變量u與v正相關(guān)，變量u與v的線性相關(guān)性較強(qiáng)
題型二 回歸模型
角度一　一元線性回歸模型
例2 [2024·遼寧遼陽模擬]2022年12月份以來，全國多個(gè)地區(qū)紛紛采取不同的形式發(fā)放多輪消費(fèi)券，助力消費(fèi)復(fù)蘇．記發(fā)放的消費(fèi)券額度為x(百萬元)，帶動(dòng)的消費(fèi)為y(百萬元).某省隨機(jī)抽查的一些城市的數(shù)據(jù)如下表所示．
x 3 3 4 5 5 6 6 8
y 10 12 13 18 19 21 24 27
(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，請用相關(guān)系數(shù)說明y與x有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，并求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程．
(2)(ⅰ)若該省A城市在2023年2月份準(zhǔn)備發(fā)放一輪額度為10百萬元的消費(fèi)券，利用(1)中求得的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，預(yù)計(jì)可以帶動(dòng)多少消費(fèi)？
(ⅱ)當(dāng)實(shí)際值與估計(jì)值的差的絕對值與估計(jì)值的比值不超過10%時(shí)，認(rèn)為發(fā)放的該輪消費(fèi)券助力消費(fèi)復(fù)蘇是理想的．若該省A城市2月份發(fā)放額度為10百萬元的消費(fèi)券后，經(jīng)過一個(gè)月的統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)實(shí)際帶動(dòng)的消費(fèi)為30百萬元，請問發(fā)放的該輪消費(fèi)券助力消費(fèi)復(fù)蘇是否理想？若不理想，請分析可能存在的原因．
參考公式：r＝，＝，＝－.當(dāng)|r|>0.75時(shí)，兩個(gè)變量之間具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系．
參考數(shù)據(jù)：≈5.9.
題后師說
求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的步驟
鞏固訓(xùn)練2
[2024·吉林長春模擬]偏差是指個(gè)別測定值與測定的平均值之差，在成績統(tǒng)計(jì)中，我們把某同學(xué)的某科考試成績與該科平均成績的差叫某科偏差(實(shí)際成績－平均成績＝偏差).在某次考試成績統(tǒng)計(jì)中，教研人員為了對學(xué)生數(shù)學(xué)偏差x(單位：分)與物理偏差y(單位：分)之間的關(guān)系進(jìn)行分析，隨機(jī)挑選了8位同學(xué)，得到他們的兩科成績偏差數(shù)據(jù)如下：
學(xué)生序號 1 2 3 4 5 6 7 8
數(shù)學(xué)偏差x/分 20 15 13 3 2 －5 －10 －18
物理偏差y/分 6.5 3.5 3.5 1.5 0.5 －0.5 －2.5 －3.5
(1)若x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；
(2)若本次考試數(shù)學(xué)平均成績?yōu)?00分，物理平均成績?yōu)?0.5分，試由(1)的結(jié)論預(yù)測數(shù)學(xué)成績?yōu)?16分的同學(xué)的物理成績．
參考公式：＝，＝－.
參考數(shù)據(jù)：＝1 256，iyi＝324.
角度二　非線性回歸模型
例3 [2024·河北承德模擬]某公司研制了一種對人畜無害的滅草劑，為了解其效果，通過實(shí)驗(yàn)，收集到其不同濃度x(mol/L)與滅死率y的數(shù)據(jù)，得下表：
濃度x(mol/L) 10－12 10－10 10－8 10－6 10－4
滅死率y 0.1 0.24 0.46 0.76 0.94
(1)以x為解釋變量，y為響應(yīng)變量，在＝x＋和＝1＋2lg x中選一個(gè)作為滅死率y關(guān)于濃度x(mol/L)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，不用說明理由；
(2)(i)根據(jù)(1)的選擇結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求出所選經(jīng)驗(yàn)回歸方程；
(ii)依據(jù)(i)中所求經(jīng)驗(yàn)回歸方程，要使滅死率不低于0.8，估計(jì)該滅草劑的濃度至少要達(dá)到多少mol/L
參考公式：對于一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其經(jīng)驗(yàn)回歸直線＝x＋的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為＝＝，
＝－.
題后師說
解決非線性回歸模型的應(yīng)用問題的關(guān)鍵是對非線性回歸函數(shù)模型作變換，一般思路是換元，化非線性為線性，進(jìn)而應(yīng)用線性回歸的方法進(jìn)行求解．如
①若＝＋，設(shè)t＝，則＝＋t；
②若滿足對數(shù)式：＝＋ln x，設(shè)t＝ln x，則＝＋t；
③若滿足指數(shù)式：y＝c1ec2x，兩邊取對數(shù)得ln y＝ln c1＋c2x，設(shè)z＝ln y，＝ln c1，＝c2，則＝＋x.
鞏固訓(xùn)練3
[2024·山東濱州模擬]為了加快實(shí)現(xiàn)我國高水平科技自立自強(qiáng)，某科技公司逐年加大高科技研發(fā)投入．下圖1是該公司2013年至2022年的年份代碼x和年研發(fā)投入y(單位：億元)的散點(diǎn)圖，其中年份代碼1～10分別對應(yīng)年份2013～2022.
根據(jù)散點(diǎn)圖，分別用模型①y＝bx＋a，②y＝c＋d作為年研發(fā)投入y關(guān)于年份代碼x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程模型，并進(jìn)行殘差分析，得到圖2所示的殘差圖．結(jié)合數(shù)據(jù)，計(jì)算得到如下表所示的一些統(tǒng)計(jì)量的值：
表中ti＝，＝i.
(1)根據(jù)殘差圖，判斷模型①和模型②哪一個(gè)更適宜作為年研發(fā)投入y關(guān)于年份代碼x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程模型？并說明理由；
(2)根據(jù)(1)中所選模型，求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測該公司2028年的高科技研發(fā)投入．
附：對于一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其經(jīng)驗(yàn)回歸直線＝＋x的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為＝，＝－.
題型三 獨(dú)立性檢驗(yàn)
例4 [2023·全國甲卷]一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng)，試驗(yàn)方案如下：選40只小白鼠，隨機(jī)地將其中20只分配到試驗(yàn)組，另外20只分配到對照組，試驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量(單位：g).試驗(yàn)結(jié)果如下：
對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?br/>15．2　18.8　20.2　21.3　22.5　23.2　25.8　26.5　27.5　30.1
32．6　34.3　34.8　35.6　35.6　35.8　36.2　37.3　40.5　43.2
試驗(yàn)組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?br/>7．8　 9.2　 11.4　12.4　13.2　15.5　16.5　18.0　18.8　19.2
19．8　20.2　21.6　22.8　23.6　23.9　25.1　28.2　32.3　36.5
(1)計(jì)算試驗(yàn)組的樣本平均數(shù)；
(2)(ⅰ)求40只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)m，再分別統(tǒng)計(jì)兩樣本中小于m與不小于m的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，完成如下列聯(lián)表
對照組
試驗(yàn)組
(ⅱ)根據(jù)(i)中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異？
附：χ2＝，
P(x2≥k0) 0.100 0.050 0.010
k0 2.706 3.841 6.635
題后師說
獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟
鞏固訓(xùn)練4
[2024·河北秦皇島模擬]某市電視臺為了解一檔節(jié)目收視情況，隨機(jī)抽取了該市n對夫妻進(jìn)行調(diào)查，根據(jù)調(diào)查得到每人日均收看該節(jié)目的時(shí)間繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，收視時(shí)間不低于40分鐘的觀眾稱為“熱心觀眾”，收視時(shí)間低于40分鐘的觀眾稱為“非熱心觀眾”，已知抽取樣本中收視時(shí)間低于10分鐘的有10人．
(1)求n，p；
(2)根據(jù)已知條件完成下面2×2列聯(lián)表，試根據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析“熱心觀眾”是否與性別有關(guān)．
非熱心觀眾 熱心觀眾 總計(jì)
男
女 10
總計(jì)
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
α 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
1.[2023·天津卷]調(diào)查某種群花萼長度和花瓣長度，所得數(shù)據(jù)如圖所示，其中相關(guān)系數(shù)r＝0.8245，下列說法正確的是(　　)
　
A．花瓣長度和花萼長度沒有相關(guān)性
B．花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)
C．花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)正相關(guān)
D．若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是0.824 5
2．[2024·黑龍江大慶模擬]我國西北某地區(qū)開展改造沙漠的巨大工程，該地區(qū)對近5年投入的沙漠治理經(jīng)費(fèi)x(億元)和沙漠治理面積y(萬畝)的相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表所示．
治理經(jīng)費(fèi)x/億元 3 4 5 6 7
治理面積y/萬畝 10 12 11 12 20
根據(jù)表中所給數(shù)據(jù)，得到y(tǒng)關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝2x＋a，則a＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
3．[2024·福建莆田模擬]根據(jù)分類變量X和Y的樣本觀察數(shù)據(jù)的計(jì)算結(jié)果，有不少于99.5%的把握認(rèn)為X和Y有關(guān)，則χ2的一個(gè)可能取值為(　　)
α 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
xα 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
A. 3.971 B．5.872
C．6.775 D．9.698
4．[2024·江蘇鎮(zhèn)江模擬]2023年五一節(jié)日期間，通過對某一路口在具體時(shí)刻的瞬時(shí)速度進(jìn)行觀測統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，時(shí)刻x和瞬時(shí)速度y的關(guān)系如下：
x(時(shí)) 4 5 6 7 8 9
y(速度) 90 84 83 80 75 68
由表中數(shù)據(jù)得到的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝－4x＋a，則由此可預(yù)測此路口11時(shí)的瞬時(shí)速度為__________.
第三節(jié)　成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析
問題思考·夯實(shí)技能
【問題1】　提示：不同．散點(diǎn)圖判定兩個(gè)分類變量是否具有相關(guān)關(guān)系，樣本相關(guān)系數(shù)r判定兩個(gè)分類變量相關(guān)性的強(qiáng)弱，決定系數(shù)R2判定所選模型擬合的程度．
【問題2】　提示：正確．
關(guān)鍵能力·題型剖析
例1　解析：（1）畫出散點(diǎn)圖如下：
從而可以看出＝x＋中，>0，<0.故選D.
（2）去掉離群點(diǎn)后成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度更強(qiáng)，擬合效果會(huì)更好，且由表可知，兩個(gè)變量呈正相關(guān)，所以r1故選AD.
答案：（1）D　（2）AD
鞏固訓(xùn)練1　解析：（1）對于A，由圖象可知，兩個(gè)變量是確定的函數(shù)關(guān)系，不是相關(guān)關(guān)系，故A不正確；對于B，由散點(diǎn)圖可知，散點(diǎn)呈帶狀分布，所以兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系，故B正確；由散點(diǎn)圖可知，散點(diǎn)不呈帶狀分布，所以兩個(gè)變量不具有線性相關(guān)關(guān)系，故CD不正確．故選B.
（2）因?yàn)榫€性相關(guān)系數(shù)r1＝0.899 5>0，所以x，y正相關(guān)，
因?yàn)榫€性相關(guān)系數(shù)r2＝－0.956 8<0，所以u，v負(fù)相關(guān)，
又因?yàn)閨r1|<|r2|，所以變量u，v的線性相關(guān)性比x，y的線性相關(guān)性強(qiáng)，故A、B、D錯(cuò)誤，C正確．故選C.
答案：（1）B　（2）C
例2　解析：（1）＝＝5，
＝＝18.
（xi－）（yi－）＝16＋12＋5＋0＋0＋3＋6＋27＝69，
（xi－）2＝4＋4＋1＋0＋0＋1＋1＋9＝20，
（yi－）2＝64＋36＋25＋0＋1＋9＋36＋81＝252，
代入公式可得相關(guān)系數(shù)r＝＝＝≈0.97.
由于|r|>0.75且r非常接近1，所以y與x具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系．
經(jīng)計(jì)算可得＝＝＝3.45，
＝－＝18－3.45×5＝0.75.
所以所求經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝3.45x＋0.75.
（2）（ⅰ）當(dāng)x＝10時(shí)，＝3.45×10＋0.75＝35.25，所以預(yù)計(jì)能帶動(dòng)的消費(fèi)達(dá)35.25百萬元．
（ⅱ）因?yàn)?10%，所以發(fā)放的該輪消費(fèi)券助力消費(fèi)復(fù)蘇不是理想的．
發(fā)放消費(fèi)券只是影響消費(fèi)的其中一個(gè)因素，還有其他重要因素，
比如：A城市經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平不高，居民的收入水平直接影響了居民的消費(fèi)水平；
A城市人口數(shù)量有限、商品價(jià)格水平、消費(fèi)者偏好、消費(fèi)者年齡構(gòu)成等因素一定程度上影響了消費(fèi)總量．
（只要寫出一個(gè)原因即可）.
鞏固訓(xùn)練2　解析：（1）由題意可得，＝×[20＋15＋13＋3＋2＋（－5）＋（－10）＋（－18）]＝，
＝×[6.5＋3.5＋3.5＋1.5＋0.5＋（－0.5）＋（－2.5）＋（－3.5）]＝，
又＝1 256，iyi＝324，
∴＝＝，＝－×＝，
∴y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為：＝x＋.
（2）設(shè)該同學(xué)的物理成績?yōu)閃，則物理偏差為W－70.5.
又?jǐn)?shù)學(xué)偏差為116－100＝16，
∴W－70.5＝×16＋，解得W＝75.
∴預(yù)測這位同學(xué)的物理成績?yōu)?5分．
例3　解析：（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)可知解釋變量x呈現(xiàn)指數(shù)增長，而響應(yīng)變量y增長幅度不大，且相應(yīng)的增加量大約相等，
故選＝1＋2lg x.
（2）（ⅰ）令ui＝lg xi，則＝1＋2u，
所以可得如下數(shù)據(jù)
u －12 －10 －8 －6 －4
y 0.1 0.24 0.46 0.76 0.94
則＝（－12－10－8－6－4）＝－8，＝（0.1＋0.24＋0.46＋0.76＋0.94）＝0.5，
＝（－12）2＋（－10）2＋（－8）2＋（－6）2＋（－4）2＝360，
iyi＝（－12）×0.1＋（－10）×0.24＋（－8）×0.46＋（－6）×0.76＋（－4）×0.94＝－15.6，
所以2＝＝0.11，
1＝0.5－0.11×（－8）＝1.38，
所以＝1.38＋0.11u，即＝1.38＋0.11lg x；
（ⅱ）依題意＝1.38＋0.11lg x≥0.8，即0.11lg x≥－0.58，即lg x≥－，
所以x≥10－，即要使滅死率不低于0.8，則該滅草劑的濃度至少要達(dá)到10－mol/L.
鞏固訓(xùn)練3　解析：（1）根據(jù)圖2可知，模型①的殘差波動(dòng)性很大，說明擬合關(guān)系較差；模型②的殘差波動(dòng)性很小，基本分布在0的附近，說明擬合關(guān)系很好，所以選擇模型②更適宜．
（2）設(shè)t＝，所以y＝c＋dt，
所以＝＝＝6.3，＝－ ＝60.825，
所以y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y＝60.825＋6.3，
令x＝16，則y＝60.825＋6.3×4＝86.025，
即預(yù)測該公司2028年的高科技研發(fā)投入為86.025億元．
例4　解析：（1）試驗(yàn)組樣本平均數(shù)為：
（7.8＋9.2＋11.4＋12.4＋13.2＋15.5＋16.5＋18.0＋18.8＋19.2＋19.8＋20.2＋21.6＋22.8＋23.6＋23.9＋25.1＋28.2＋32.3＋36.5）＝＝19.8.
（2）（ⅰ）依題意，可知這40只小鼠體重的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起，從小到大排列后第20位與第21位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，
由原數(shù)據(jù)可得第11位數(shù)據(jù)為18.8，后續(xù)依次為19.2，19.8，20.2，20.2，21.3，21.6，22.5，22.8，23.2，23.6，…，
故第20位為23.2，第21位數(shù)據(jù)為23.6，
所以m＝＝23.4，
故列聯(lián)表為：
對照組 6 14 20
試驗(yàn)組 14 6 20
合計(jì) 20 20 40
（ⅱ）由（ⅰ）可得，K2＝＝6.400>3.841，
所以能有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異．
鞏固訓(xùn)練4　解析：（1）收視時(shí)間在0～10分鐘組的頻率為1－（0.018＋0.022＋0.025＋0.020＋0.005）×10＝0.1，
∴p＝＝0.01，
又∵收視時(shí)間低于10分鐘的有10人，∴2n＝，∴n＝50.
（2）∵n＝50，
∴“熱心觀眾”有2×50×（0.020＋0.005）×10＝25人，
則2×2列聯(lián)表如圖所示，
非熱心觀眾 熱心觀眾 總計(jì)
男 35 15 50
女 40 10 50
總計(jì) 75 25 100
零假設(shè)H0：“熱心觀眾”與性別無關(guān)聯(lián)．
將2×2列聯(lián)表數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算得：χ2＝＝≈1.333<3.841，
根據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)證明H0不成立，
因此可認(rèn)為H0成立，即認(rèn)為“熱心觀眾”與性別無關(guān)聯(lián)．
隨堂檢測
1．解析：根據(jù)散點(diǎn)的集中程度可知，花瓣長度和花萼長度有相關(guān)性，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；散點(diǎn)的分布是從左下到右上，從而花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)正相關(guān)，B選項(xiàng)錯(cuò)誤，C選項(xiàng)正確；由于r＝0.824 5是全部數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)，取出來一部分?jǐn)?shù)據(jù)，相關(guān)性可能變強(qiáng)，可能變?nèi)酰慈〕龅臄?shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)不一定是0.824 5，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選C.
答案：C
2．解析： ＝＝5，＝＝13，
因回歸方程過定點(diǎn)（，），將其代入＝2x＋a，得13＝2×5＋a，解得a＝3.故選C.
答案：C
3．解析：因?yàn)橛胁簧儆?9.5%的把握認(rèn)為X和Y有關(guān)，所以χ2≥7.879，9.698≥7.879，滿足題意，故選D.
答案：D
4．解析：由題意可得，＝＝，
＝＝80，
則80＝－4×＋a，解得a＝106，
當(dāng)x＝11時(shí)，＝－4×11＋106＝62.
答案：62

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