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第一節(jié)　兩個(gè)計(jì)數(shù)原理
1.理解分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理．
2．會(huì)用分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題．
問題思考·夯實(shí)技能　
【問題】　在解題過程中，如何判斷使用分類加法計(jì)數(shù)原理還是分步乘法計(jì)數(shù)原理？
關(guān)鍵能力·題型剖析
題型一 分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用
例 1 [2024·安徽馬鞍山模擬]據(jù)史書的記載，最晚在春秋末年，人們已經(jīng)掌握了完備的十進(jìn)位制記數(shù)法，普遍使用了算籌這種先進(jìn)的計(jì)算工具．算籌記數(shù)的表示方法為：個(gè)位用縱式，十位用橫式，百位再用縱式，千位再用橫式，以此類推，遇零則置空．如下圖所示：
如：10記為　，26記為，71記為．現(xiàn)有4根算籌，可表示出兩位數(shù)的個(gè)數(shù)為(　　)
A．8　　 　B．9　　 　C．10　　 　D．12
題后師說
(1)根據(jù)問題的特點(diǎn)確定一個(gè)合適的分類標(biāo)準(zhǔn)，分類標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，不能遺漏．
(2)分類時(shí)，注意完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類，不能重復(fù)．
鞏固訓(xùn)練1　[2024·河北邯鄲模擬]有序數(shù)對(duì)(a，b)滿足a，b∈，且使關(guān)于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實(shí)數(shù)解，則這樣的有序數(shù)對(duì)(a，b)的個(gè)數(shù)為(　　)
A．15 B．14 C．13 D．10
題型二 分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用
例 2 有六名同學(xué)報(bào)名參加三個(gè)智力項(xiàng)目，每項(xiàng)恰好報(bào)一人，且每人至多參加一項(xiàng)，則共有多少種不同的報(bào)名方法？
【變式練習(xí)1】　若將本例條件“每項(xiàng)恰好報(bào)一人，且每人至多參加一項(xiàng)”改為“每人恰好參加一項(xiàng)，每項(xiàng)人數(shù)不限”，則有多少種不同的報(bào)名方法？
【變式練習(xí)2】　若將本例條件“每項(xiàng)恰好報(bào)一人，且每人至多參加一項(xiàng)”改為“每項(xiàng)恰好報(bào)一人，但每人參加的項(xiàng)目不限”，則有多少種不同的報(bào)名方法？
題后師說
(1)利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決問題時(shí)要注意按事件發(fā)生的過程來合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須滿足：完成一件事的各個(gè)步驟是相互依存的，只有各個(gè)步驟都完成了，才算完成這件事．
(2)分步必須滿足的兩個(gè)條件：一是各步驟相互獨(dú)立，互不干擾；二是步與步之間確保連續(xù)，逐步完成．
鞏固訓(xùn)練2
“數(shù)獨(dú)九宮格”原創(chuàng)者是18世紀(jì)的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉，它的游戲規(guī)則很簡(jiǎn)單，將1到9這九個(gè)自然數(shù)填到如圖所示的小九宮格的9個(gè)空格里，每個(gè)空格填一個(gè)數(shù)，且9個(gè)空格的數(shù)字各不相同，若中間空格已填數(shù)字5，且只填第二行和第二列，并要求第二行從左至右及第二列從上至下所填的數(shù)字都是從小到大排列的，則不同的填法種數(shù)為(　　)
A．72 B．108
C．144 D．196
題型三 兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用
角度一　與數(shù)字有關(guān)的問題
例 3 [2024·河南新鄉(xiāng)模擬]由數(shù)字0，1，2，3，4，5，6，7組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則能被5整除的三位數(shù)共有__________個(gè)．
角度二　與幾何有關(guān)的問題
例 4 [2024·浙江溫州模擬]一個(gè)圓的圓周上均勻分布6個(gè)點(diǎn)，在這些點(diǎn)與圓心共7個(gè)點(diǎn)中，任取3個(gè)點(diǎn)，這3個(gè)點(diǎn)能構(gòu)成不同的等邊三角形個(gè)數(shù)為__________．
角度三　涂色問題
例 5 現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)三種顏色，對(duì)如圖所示的正五角星的內(nèi)部涂色(分割成六個(gè)不同區(qū)域)，要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色且相鄰部分(有公共邊的兩個(gè)區(qū)域)的顏色不同，則不同的涂色方法有(　　)
A．48種 　B．64種 　C．96種 　D．144種
題后師說
1.在綜合應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決問題時(shí)應(yīng)注意：
(1)一般是先分類再分步．在分步時(shí)可能又用到分類加法計(jì)數(shù)原理．
(2)對(duì)于較復(fù)雜的兩個(gè)原理綜合應(yīng)用問題，可恰當(dāng)?shù)亓谐鍪疽鈭D或列出表格，使問題形象化、直觀化．
2．解決涂色問題，可按顏色的種數(shù)分類，也可按不同的區(qū)域分步完成．
鞏固訓(xùn)練3
(1)用0，1，2，3，4五個(gè)數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位奇數(shù)的個(gè)數(shù)為(　　)
A．18 B．24
C．30 D．48
(2)如圖所示，將一個(gè)四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱上的兩個(gè)端點(diǎn)異色，如果只有5種顏色可供使用，則不同染色方法的種數(shù)為(　　)
A．192 B．420
C．210 D．72
1．[2024·黑龍江佳木斯模擬]甲、乙分別從4門不同課程中選修1門，且2人選修的課程不同，則不同的選法有(　　)
A．6種 B．8種
C．12種 D．16種
2．[2024·江蘇揚(yáng)州模擬]用1，2，3，4四個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)，共有(　　)
A．6個(gè) B．18個(gè)
C．24個(gè) D．12個(gè)
3．[2024·山東臨沂模擬]集合M＝{1，－2，3}，N＝{－3，5，6，－4}，從兩個(gè)集合中各取一個(gè)元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則這樣的坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中表示第二象限內(nèi)不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是(　　)
A．2 B．4
C．5 D．6
4．[2024·浙江杭州模擬]在一個(gè)圓周上有8個(gè)點(diǎn)，用四條既無公共點(diǎn)又無交點(diǎn)的弦連結(jié)它們，則連結(jié)方式有________種．
第一節(jié)　兩個(gè)計(jì)數(shù)原理
問題思考·夯實(shí)技能
【問題】　提示：如果已知的每類辦法中的每一種方法都能完成這件事，應(yīng)該用分類加法計(jì)數(shù)原理；如果每類辦法中的每一種方法只能完成事件的一部分，就用分步乘法計(jì)數(shù)原理．
關(guān)鍵能力·題型剖析
例1　解析：由題意知，共有4根算籌．
當(dāng)十位1根，個(gè)位3根，共有2個(gè)兩位數(shù)；
當(dāng)十位2根，個(gè)位2根，共有4個(gè)兩位數(shù)；
當(dāng)十位3根，個(gè)位1根，共有2個(gè)兩位數(shù)；
當(dāng)十位4根，個(gè)位0根，共有2個(gè)兩位數(shù)，
所以一共有10個(gè)兩位數(shù)．故選C.
答案：C
鞏固訓(xùn)練1　解析：①當(dāng)a＝0時(shí)，有x＝－為實(shí)根，則b＝－，－1，0，2有4種可能；
②當(dāng)a≠0時(shí)，方程有實(shí)根，所以Δ＝4－4ab≥0，所以ab≤1.
當(dāng)a＝－時(shí)，b＝－，－1，0，2有4種．
當(dāng)a＝－1時(shí)，b＝－，－1，0，2有4種．
當(dāng)a＝2時(shí)，b＝－，－1，0有3種．
所以有序數(shù)對(duì)(a，b)的個(gè)數(shù)為4＋4＋4＋3＝15.故選A.
答案：A
例2　解析：每項(xiàng)恰好報(bào)一人，且每人至多參加一項(xiàng)，因此可由項(xiàng)目選人，第一個(gè)項(xiàng)目有6種選法，第二個(gè)項(xiàng)目有5種選法，第三個(gè)項(xiàng)目有4種選法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同報(bào)名方法共有6×5×4＝120(種)．
變式練習(xí)1　解析：每人都可以從這三個(gè)項(xiàng)目中選報(bào)一項(xiàng)，各有3種不同的報(bào)名方法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同的報(bào)名方法有36＝729(種)．
變式練習(xí)2　解析：每人參加的項(xiàng)目不限，因此每一個(gè)項(xiàng)目都可以從這6個(gè)人中選出1人參加，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同的報(bào)名方法有63＝216(種)．
鞏固訓(xùn)練2　解析：按題意，5的上方和左邊只能從1，2，3，4中選取，5的下方和右邊只能從6，7，8，9中選取．第一步，填上方空格，有4種方法；第二步，填左方空格，有3種方法；第三步，填下方空格，有4種方法；第四步，填右方空格，有3種方法．
由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，填法總數(shù)為4×3×4×3＝144.故選C.
答案：C
例3　解析：能被5整除的三位數(shù)說明末尾數(shù)字是5或0，
當(dāng)末尾數(shù)字是5時(shí)，百位數(shù)字除了0有6種不同的選法，十位有6種不同的選法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理一共有6×6＝36(種)方法；
當(dāng)末尾數(shù)字是0時(shí)，百位數(shù)字有7種不同的選法，十位有6種不同的選法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理一共有7×6＝42(種)方法；
則一共有36＋42＝78(種)．
答案：78
例4　解析：如圖1，由圓上相鄰兩個(gè)點(diǎn)和圓心可構(gòu)成等邊三角形，共有6個(gè)；
如圖2，由圓上相間隔的三點(diǎn)可構(gòu)成等邊三角形，共有2個(gè)；
所以7個(gè)點(diǎn)中，任取3個(gè)點(diǎn)，這3個(gè)點(diǎn)能構(gòu)成不同的等邊三角形個(gè)數(shù)為6＋2＝8(個(gè))．
答案：8
例5　
解析：根據(jù)題意，假設(shè)正五角星的區(qū)域?yàn)锳，B，C，D，E，F(xiàn)，如圖所示，
先對(duì)A區(qū)域涂色，有3種方法，再對(duì)B，C，D，E，F(xiàn)這5個(gè)區(qū)域進(jìn)行涂色，
∵B，C，D，E，F(xiàn)這5個(gè)區(qū)域都與A相鄰，
∴每個(gè)區(qū)域都有2種涂色方法，
∴共有3×2×2×2×2×2＝96(種)涂色方法．故選C.
答案：C
鞏固訓(xùn)練3　解析：(1)由題意可知，末位數(shù)字為1或3，首位數(shù)字有3種選擇，則中間的數(shù)位有3種選擇，
由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位奇數(shù)的個(gè)數(shù)為2×32＝18.故選A.
(2)按照S→A→B→C→D的順序進(jìn)行染色，按照A，C是否同色分類：
第一類，A，C同色，由分步乘法計(jì)數(shù)原理有5×4×3×1×3＝180(種)不同的染色方法；
第二類，A，C不同色，由分步乘法計(jì)數(shù)原理有5×4×3×2×2＝240(種)不同的染色方法；
根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有180＋240＝420種不同的染色方法．故選B.
答案：(1)A　(2)B
隨堂檢測(cè)
1．解析：甲從4門課程中選擇1門，有4種選法；乙再從甲未選的課程中選擇1門，有3種選法；根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得：不同的選法有4×3＝12(種)．故選C.
答案：C
2．解析：先排個(gè)位數(shù)，有2種選擇，再排十位和百位，有3×2＝6(種)選擇，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得共有2×6＝12(個(gè))不重復(fù)的三位偶數(shù)，故選D.
答案：D
3．解析：第二象限的橫坐標(biāo)是負(fù)數(shù)，縱坐標(biāo)是正數(shù)．
若M集合提供橫坐標(biāo)，N集合提供縱坐標(biāo)，則有1×2＝2，
若M集合提供縱坐標(biāo)，N集合提供橫坐標(biāo)，則有2×2＝4，合計(jì)2＋4＝6，
即這樣的坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中表示第二象限內(nèi)不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是6個(gè)，故選D.
答案：D
4．解析：不妨設(shè)圓周上的點(diǎn)依次為A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H，
要使得四條弦既無公共點(diǎn)又無交點(diǎn)，如圖所示：
符合圖①的連結(jié)方式有2種；符合圖②的連結(jié)方式有4種；符合圖③的連結(jié)方式有8種；共計(jì)2＋4＋8＝14(種)．
答案：14第二節(jié)　排列與組合
1.理解排列、組合的概念．
2．能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式．
3．能利用排列、組合解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題．
問題思考·夯實(shí)技能　
【問題1】　排列問題與組合問題的區(qū)別是什么？
【問題2】　你能說出解決排列、組合問題的多少種技巧？
關(guān)鍵能力·題型剖析
題型一 排列問題
例 1 (1)[2024·河北秦皇島模擬]某小學(xué)從2位語文教師，4位數(shù)學(xué)教師中安排3人到西部三個(gè)省支教，每個(gè)省各1人，且至少有1位語文教師入選，則不同安排方法有(　　)
A．16種 B．20種
C．96種 D．120種
(2)[2024·九省聯(lián)考]甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在兩端，乙和丙之間恰有2人，則不同排法共有(　　)
A．20種 B．16種
C．12種 D．8種
題后師說
對(duì)于有限制條件的排列問題，分析問題時(shí)，有位置分析法、元素分析法，在實(shí)際進(jìn)行排列時(shí)，一般采用特殊元素優(yōu)先原則，即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置，對(duì)于分類過多的問題可以采用間接法．
鞏固訓(xùn)練1
(1)[2024·黑龍江佳木斯模擬]若把英語單詞“word”的字母順序?qū)戝e(cuò)了，則可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤共有(　　)
A．24種 B．23種
C．12種 D．11種
(2)[2024·山西運(yùn)城模擬]某學(xué)校音樂社團(tuán)為慶祝學(xué)校百年華誕將舉辦歌曲展演，要從4首獨(dú)唱歌曲和2首合唱歌曲中選出4首歌曲安排演出，若最后一首歌曲必須是合唱歌曲，則不同的安排方法種數(shù)為(　　)
A．96 B．120
C．240 D．360
題型二 組合問題
例 2 課外活動(dòng)小組共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名隊(duì)長(zhǎng)．現(xiàn)從中選5人主持某種活動(dòng)，依下列條件各有多少種選法？
(1)只有一名女生當(dāng)選；
(2)兩隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選；
(3)至少有一名隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選；
(4)至多有兩名女生當(dāng)選；
(5)既要有隊(duì)長(zhǎng)，又要有女生當(dāng)選．
題后師說
組合問題的兩類題型
鞏固訓(xùn)練2
(1)(多選)[2024·廣東江門模擬]某學(xué)生想在物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理、技術(shù)這七門課程中選三門作為選考科目，則下列說法錯(cuò)誤的是(　　)
(2)[2024·安徽合肥模擬]第六屆進(jìn)博會(huì)招募志愿者，某校高一年級(jí)有3位同學(xué)報(bào)名，高二年級(jí)有5位同學(xué)報(bào)名，現(xiàn)要從報(bào)名的學(xué)生中選取4人，要求高一年級(jí)和高二年級(jí)的同學(xué)都有，則不同的選取方法種數(shù)為______．(結(jié)果用數(shù)值表示)
題型三 排列與組合的綜合問題
角度一　相鄰、不相鄰問題
例 3 (1)[2024·廣東汕頭模擬]現(xiàn)將A，B，C，D，E，F(xiàn)六個(gè)字母排成一排，要求A，B相鄰，且B，C不相鄰，則不同的排列方式有(　　)
A．192種 B．240種
C．120種 D．28種
(2)[2024·河北張家口模擬]小李在2005年10月18日出生，他在設(shè)置手機(jī)的數(shù)字密碼時(shí)，打算將自己出生日期的后6個(gè)數(shù)字0，5，1，0，1，8進(jìn)行某種排列，從而得到密碼．如果排列時(shí)要求兩個(gè)1不相鄰，兩個(gè)0也不相鄰，那么小李可以設(shè)置的不同密碼有__________個(gè)(用數(shù)字作答)．
題后師說
相鄰與不相鄰問題的解決方法
(1)“相鄰”問題：元素相鄰問題，一般用“捆綁法”，先把相鄰的若干個(gè)元素“捆綁”為一個(gè)大元素與其余元素全排列，然后再松綁，將這若干個(gè)元素內(nèi)部全排列．
(2)“不相鄰”問題：元素不相鄰問題，一般用“插空法”，先將不相鄰元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之間及兩端插入不相鄰元素．
鞏固訓(xùn)練3
(1)[2024·河南鄭州模擬]黃金分割最早見于古希臘和古埃及．黃金分割又稱黃金率、中外比，即把一條線段分成長(zhǎng)短不等的a，b兩段，使得長(zhǎng)線段a與原線段a＋b的比等于短線段b與長(zhǎng)線段a的比，即a∶(a＋b)＝b∶a，其比值約為0.618 339….小王酷愛數(shù)學(xué)，他選了其中的6，1，8，3，3，9這六個(gè)數(shù)字組成了手機(jī)開機(jī)密碼，如果兩個(gè)3不相鄰，則小王可以設(shè)置的不同密碼個(gè)數(shù)為(　　)
A．180 B．210
C．240 D．360
(2)[2024·山東菏澤模擬]新年音樂會(huì)安排了2個(gè)唱歌、2個(gè)樂器和2個(gè)舞蹈共6個(gè)節(jié)目，則2個(gè)唱歌節(jié)目不相鄰且兩個(gè)樂器節(jié)目相鄰的節(jié)目單共有______種．(用數(shù)字表示)
角度二　定序問題
例 4 某6位同學(xué)排成一排準(zhǔn)備照相時(shí)，又來了2位同學(xué)要加入，如果保持原來6位同學(xué)的相對(duì)順序不變，則不同的加入方法種數(shù)為(　　)
A．8 B．28
C．56 D．112
題后師說
對(duì)于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列．
鞏固訓(xùn)練4　[2024·山東濰坊模擬]現(xiàn)有五人并排站成一排，若甲與乙不相鄰，并且甲在乙的左邊，則不同的安排方法共有(　　)
A．128種 B．36種
C．72種 D．84種
1．[2023·全國(guó)乙卷]甲、乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有(　　)
A．30種 B．60種
C．120種 D．240種
2．[2022·新高考Ⅱ卷]甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有(　　)
A．12種 B．24種
C．36種 D．48種
3．[2021·全國(guó)乙卷]將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有(　　)
A．60種 B．120種
C．240種 D．480種
4．[2023·新課標(biāo)Ⅰ卷]某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有________種(用數(shù)字作答)．
狀元筆記 分組、分配問題
題型一　不等分問題
對(duì)于不等分問題，只需先分組，后排列，注意分組時(shí)任何組中元素的個(gè)數(shù)都不相等，所以不需要除以全排列數(shù)．
例 1 [2020·新高考Ⅰ卷]6名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場(chǎng)館做志愿者，每名同學(xué)只去1個(gè)場(chǎng)館，甲場(chǎng)館安排1名，乙場(chǎng)館安排2名，丙場(chǎng)館安排3名，則不同的安排方法共有(　　)
A．120種 B．90種
C．60種 D．30種
[解析]　首先從6名同學(xué)中選1名去甲場(chǎng)館，方法數(shù)有
＝60種．故選C.
[答案]　C
題型二　整體均分問題
對(duì)于整體均分，解題時(shí)要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以(n為均分的組數(shù))，避免重復(fù)計(jì)數(shù)．
例 2 國(guó)家教育部為了發(fā)展貧困地區(qū)教育，在全國(guó)重點(diǎn)師范大學(xué)免費(fèi)培養(yǎng)教育專業(yè)師范生，畢業(yè)后要分到相應(yīng)的地區(qū)任教，現(xiàn)有6個(gè)免費(fèi)培養(yǎng)的教育專業(yè)師范畢業(yè)生，將其平均分到3所學(xué)校去任教，有________種不同的分配方法．
[解析]　先把6個(gè)畢業(yè)生平均分成3組，有種方法，再將3組畢業(yè)生分到3所學(xué)校，有＝90種分配方法．
[答案]　90
題型三　部分均分問題
對(duì)于部分均分，解題時(shí)注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有m組元素個(gè)數(shù)相等，則分組時(shí)應(yīng)除以m！，一個(gè)分組過程中有幾個(gè)這樣的均勻分組就要除以幾個(gè)這樣的全排列數(shù)．
例 3 [2024·河南鄭州模擬]某數(shù)學(xué)興趣小組的5名學(xué)生負(fù)責(zé)講述“宋元數(shù)學(xué)四大家”——秦九韶、李冶、楊輝和朱世杰的故事，每名學(xué)生只講一個(gè)數(shù)學(xué)家的故事，每個(gè)數(shù)學(xué)家的故事都有學(xué)生講述，則不同的分配方案有______種．
[解析]　先把5名學(xué)生分成人數(shù)為2，1，1，1的四組，共有＝(10)種分法，再把四組學(xué)生分給宋元數(shù)學(xué)四大家講述則有＝24(種)分法，
所以分配方案有＝10×24＝240(種)．
[答案]　 240
第二節(jié)　排列與組合
問題思考·夯實(shí)技能
【問題1】　提示：元素之間與順序有關(guān)的為排列，與順序無關(guān)的為組合．
【問題2】　提示：(1)特殊元素優(yōu)先安排．(2)合理分類與準(zhǔn)確分步．(3)排列、組合混合問題要先選后排．(4)相鄰問題捆綁處理．(5)不相鄰問題插空處理．(6)定序問題倍縮法處理．(7)分排問題直排處理．(8)“小集團(tuán)”排列問題先整體后局部．(9)構(gòu)造模型．(10)正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化．
關(guān)鍵能力·題型剖析
例1　解析：(1)從2位語文教師，4位數(shù)學(xué)教師中安排3人到西部三個(gè)省支教，每個(gè)省各1人，有＝120(種)，其中沒有語文教師入選的有＝24(種)，
所以滿足條件的不同安排方法有120－24＝96(種)．故選C.
(2)先排甲，再排乙和丙，則有：
共有16種．故選C.
答案：(1)C　(2)C
鞏固訓(xùn)練1　解析：(1)“word”一共有4個(gè)不同的字母，
這4個(gè)字母全排列有＝24(種)方法，
其中正確的有1種，所以錯(cuò)誤的有24－1＝23(種)．故選B.
(2)第一步，先從兩首合唱歌曲中選一首安排在最后的方法有2種，第二步，從其余的歌曲中選三首歌曲安排在前三位的方法有種，則不同的安排方法種數(shù)為：＝120.故選B.
答案：(1)B　(2)B
例2　解析：(1)一名女生，四名男生，故共有＝350(種)．
(2)將兩隊(duì)長(zhǎng)作為一類，其他11人作為一類，故共有＝165(種)．
(3)至少有一名隊(duì)長(zhǎng)含有兩類：只有一名隊(duì)長(zhǎng)和有兩名隊(duì)長(zhǎng)．
故共有＝825(種)，或采用排除法：＝825(種)．
(4)至多有兩名女生含有三類：有兩名女生、只有一名女生、沒有女生．故共有＝966(種)．
(5)分兩類：第一類女隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選：
＝790(種)．
鞏固訓(xùn)練2　解析：(1)若任意選擇三門課程，則選法總數(shù)為所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；若物理和化學(xué)至少選一門，則選法總數(shù)為所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；若物理和歷史不能同時(shí)選，則選法總數(shù)為所以C選項(xiàng)正確；只選物理、不選化學(xué)和歷史，選法為只選化學(xué)、不選物理，選法物理化學(xué)同時(shí)選、不選歷史所以選法總數(shù)是＝15，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選ABD.
(2)由題意，要求高一年級(jí)和高二年級(jí)的同學(xué)都有，
則有
＝70－5＝65.
答案：(1)ABD　(2)65
例3　解析：(1)當(dāng)A，B相鄰時(shí)，不同的排列方式有＝240(種)，當(dāng)A，B，C相鄰，且B在A，C中間時(shí)，不同的排列方式有＝48(種)，則要求A，B相鄰，且B，C不相鄰，則不同的排列方式有240－48＝192(種)．故選A.
(2)先排列1，1，5，8這四個(gè)數(shù)，當(dāng)1和1不相鄰時(shí)，有種排法，再插入兩個(gè)種排法；當(dāng)1和1相鄰時(shí)
＝84(種)排法．
答案：(1)A　(2)84
鞏固訓(xùn)練3　解析：(1)先把6，1，8，9排列，然后選兩個(gè)空檔插入3，總方法為＝240.故選C.
(2)將兩個(gè)樂器節(jié)目排成一排，共有種排法，將其視為一個(gè)整體和兩個(gè)舞蹈節(jié)目排成一排，共有種排法，再將兩個(gè)唱歌節(jié)目插入所得排列的空隙中，有種排法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得滿足要求的排法共有＝144(種)排法．
答案：(1)C　(2)144
例4　解析：8位同學(xué)排成一排準(zhǔn)備照相時(shí)，共有如果保持原來6位同學(xué)的相對(duì)順序不變，＝56(種)排法．故選C.
答案：C
鞏固訓(xùn)練4　解析：五人站成一排共有＝120(種)，甲乙相鄰共有＝48(種)，所以甲與乙不相鄰共有＝120－48＝72(種)，其中甲在乙的左邊、右邊機(jī)會(huì)相同，各有×72＝36(種)，故選B.
答案：B
隨堂檢測(cè)
1．解析：甲、乙二人先選1種相同的課外讀物，有＝6(種)情況，再從剩下的5種課外讀物中各自選1本不同的讀物，有＝20(種)情況，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得共有6×20＝120(種)選法，故選C.
答案：C
2．解析：先利用捆綁法排乙、丙、丁、戊四人，再用插空法選甲的位置，共有＝24(種)不同的排列方式．故選B.
答案：B
3．解析：根據(jù)題設(shè)中的要求，每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，可分兩步進(jìn)行安排：第一步，將5名志愿者分成4組，其中1組2人，其余每組1人，共有種安排方法．故滿足題意的分配方案共有＝240(種)．
答案：C
4．解析：由題意，可分三類：第一類，體育類選修課和藝術(shù)類選修課各選修1門，有種方案；第二類，在體育類選修課中選修1門，在藝術(shù)類選修課中選修2門，有種方案；第三類，在體育類選修課中選修2門，在藝術(shù)類選修課中選修1門，有種方案．綜上，不同的選課方案共有＝64(種)．
答案：64第三節(jié)　二項(xiàng)式定理
1.能用多項(xiàng)式運(yùn)算法則和計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理．
2．會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡(jiǎn)單問題．
問題思考·夯實(shí)技能　
【問題1】　(a＋b)n與(b＋a)n的展開式有何區(qū)別與聯(lián)系？
【問題2】　二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)有何區(qū)別？
關(guān)鍵能力·題型剖析
題型一 二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)及其應(yīng)用
角度一　二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)
例 1 (1)[2024·江西贛州模擬]二項(xiàng)式(x2－)6的展開式中的第4項(xiàng)為(　　)
A．－ B．
C． D．－160
(2)[2024·河北唐山模擬](x－)n的展開式共有七項(xiàng)，且常數(shù)項(xiàng)為20，則a＝(　　)
A．1　　　B．－1　　　C．2　　　D．－2
題后師說
求二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)，一般是化簡(jiǎn)通項(xiàng)后，令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為零，求有理項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為整數(shù)等)，解出項(xiàng)數(shù)k＋1，代回通項(xiàng)即可．
角度二　 幾個(gè)多項(xiàng)式的積的展開式問題
例 2 (1)[2024·河南鄭州模擬](x－1)4(x－2)的展開式中，x3項(xiàng)的系數(shù)為(　　)
A．2　　　B．14　　　C．48　　　D．－2
(2)[2024·河北秦皇島模擬]已知(ax－2)(x＋1)4的展開式中x3的系數(shù)為－2，則實(shí)數(shù)a＝________.
題后師說
對(duì)于幾個(gè)多項(xiàng)式積的展開式中的特定項(xiàng)問題，一般都可以根據(jù)因式連乘的規(guī)律，結(jié)合組合思想求解，但要注意適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用分類方法，以免重復(fù)或遺漏．
角度三　三項(xiàng)式的展開問題
例 3 [2024·河北滄州模擬](x2－x＋y)5的展開式中x5y2的系數(shù)為(　　)
A．－10　　　B．10　　　C．－30　　　D．30
題后師說
三項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)問題的解題方法
鞏固訓(xùn)練1
(1)[2024·江西萍鄉(xiāng)模擬]在二項(xiàng)式(a－2x)6的展開式中，若x3的系數(shù)為160，則a＝(　　)
A．－1 B．1
C． D．－
(2)[2024·安徽宣城模擬](－2)3的展開式中常數(shù)項(xiàng)為(　　)
A．－6　　 B．－20
C．0　　 D．20
(3)[2024·江蘇鎮(zhèn)江模擬]已知實(shí)數(shù)x不為零，則(x－3)(－1)5的展開式中常數(shù)項(xiàng)為________.
題型二 二項(xiàng)式系數(shù)與各項(xiàng)系數(shù)和問題
例 4 (1)[2024·福建泉州模擬]關(guān)于二項(xiàng)式(x2－)6的展開式，下列結(jié)論正確的是(　　)
A．展開式所有項(xiàng)的系數(shù)和為－1
B．展開式二項(xiàng)式系數(shù)和為64
C．展開式中不含x2項(xiàng)
D．常數(shù)項(xiàng)為240
(2)[2024·山東濰坊模擬]已知(3x－1)(x＋1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，則a2＋a4＋a6＝______．(用數(shù)字作答)
題后師說
(1)“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對(duì)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法．
(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為f(1)，奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a0＋a2＋a4＋…＝，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a1＋a3＋a5＋…＝.
鞏固訓(xùn)練2
(1)[2024·廣東珠海模擬]已知＝，設(shè)(2x－3)n＝，則a0＋a1＋a2＋…＋an＝(　　)
A．－1　　　B．0　　　C．1　　　D．2
(2)已知(ax＋)n的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為64，各項(xiàng)系數(shù)和為729，則其展開式的常數(shù)項(xiàng)為________．
題型三 二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的最值問題
例 5 (1)[2024·河南信陽模擬]若(1－2x)n的展開式有且只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中x3項(xiàng)的系數(shù)為(　　)
A．－960 B．960 C．448 D．－448
(2)[2024·湖北襄陽模擬]已知(1＋3x)n的展開式中前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為79，則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為第(　　)
A．7項(xiàng) B．8項(xiàng) C．9項(xiàng) D．10項(xiàng)
題后師說
(1)二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的確定方法
①若n是偶數(shù)，則中間一項(xiàng)(第＋1項(xiàng))的二項(xiàng)式系數(shù)最大．
②若n是奇數(shù)，則中間兩項(xiàng)(第項(xiàng)與第＋1項(xiàng))的二項(xiàng)式系數(shù)相等并最大．
(2)二項(xiàng)展開式系數(shù)最大項(xiàng)的求法
如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展開式系數(shù)最大的項(xiàng)，一般是采用待定系數(shù)法，設(shè)展開式各項(xiàng)系數(shù)分別為A1，A2，…，An＋1，且第r項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)用解出r.
鞏固訓(xùn)練3
[2024·江西吉安模擬]已知()n的展開式中只有第5項(xiàng)是二項(xiàng)式系數(shù)最大，則該展開式中各項(xiàng)系數(shù)的最小值為(　　)
A．－448 B．－1 024
C．－1 792 D．－5 376
　
1．[2024·江蘇鹽城模擬](2x3－)6展開式中x10項(xiàng)的系數(shù)為(　　)
A．－240　　　　　B．－20
C．20 D．240
2．若二項(xiàng)式(ax＋)6(a>0)的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為64，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為(　　)
A．10 B．15
C．25 D．30
3．[2022·北京卷]若(2x－1)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，則a0＋a2＋a4＝(　　)
A．40 B．41
C．－40 D．－41
4．[2022·新高考Ⅰ卷](1－)(x＋y)8的展開式中x2y6的系數(shù)為________(用數(shù)字作答)．
狀元筆記 二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用——整除問題和近似計(jì)算問題
題型一　整除問題
在證明整除問題或求余數(shù)問題時(shí)，通常把冪的底數(shù)寫成除數(shù)(或與除數(shù)密切關(guān)聯(lián)的數(shù))與某數(shù)的和或差的形式，再利用二項(xiàng)式定理展開，只考慮后面一、二項(xiàng)(或者是某些項(xiàng))就可以了．
例 1 (1)[2024·山西太原模擬]9910被1 000除的余數(shù)是(　　)
A．－1　　B．－99　　C．1　　　 D．901
(2)[2024·江蘇鹽城模擬測(cè)]若(2x＋1)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，則2(a1＋a3＋…＋a99)－3被8整除的余數(shù)為(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
[解析]　(1)9910＝(100－1)10＝(1－100)10＝×1002－…＋10010，
所以展開式中從第二項(xiàng)開始都是1 000的倍數(shù)，因此9910被1 000除的余數(shù)是1.故選C.
(2)在已知等式中，取x＝1得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝3100，
取x＝－1得a0－a1＋a2－…＋a100＝1，
兩式相減得2(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＝3100－1，
即2(a1＋a3＋a5＋…＋a99)－3＝3100－4，
因?yàn)?100－4＝950－4＝(8＋1)50－4
＝
＝
＝
·8－8＋5被8整除的余數(shù)為5，
即2(a1＋a3＋a5＋…＋a99)－3被8整除的余數(shù)為5，故選B.
[答案]　(1)C　(2)B
題型二　求近似值問題
利用二項(xiàng)式定理求近似值時(shí)，首先將冪的底數(shù)寫成兩項(xiàng)和或差的形式，然后確定展開式中的保留項(xiàng)，使其滿足近似值的精確度．
例 2 二項(xiàng)式定理，又稱牛頓二項(xiàng)式定理，由艾薩克·牛頓提出．二項(xiàng)式定理可以推廣到任意實(shí)數(shù)次冪，即廣義二項(xiàng)式定理：
對(duì)于任意實(shí)數(shù)α，(1＋x)α＝1＋·x＋·x2＋…＋·xk＋…
當(dāng)|x|比較小的時(shí)候，取廣義二項(xiàng)式定理展開式的前兩項(xiàng)可得：(1＋x)α≈1＋α·x，并且|x|的值越小，所得結(jié)果就越接近真實(shí)數(shù)據(jù)．用這個(gè)方法計(jì)算的近似值，可以這樣操作：
＝＝＝2≈2×(1＋)＝2.25.
用這樣的方法，估計(jì)的近似值約為(　　)
A．2.922 B．2.926 C．2.928 D．2.930
[解析]?。剑剑?×＝≈3×[1＋×(－)]≈2.926.故選B.
[答案]　B
第三節(jié)　二項(xiàng)式定理
問題思考·夯實(shí)技能
【問題1】　提示：(a＋b)n與(b＋a)n的展開式的項(xiàng)完全相同，但對(duì)應(yīng)的項(xiàng)不相同而且兩個(gè)展開式的通項(xiàng)不同．
【問題2】　提示：二項(xiàng)式系數(shù)是指，它只與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，而與a，b的值無關(guān)；而項(xiàng)的系數(shù)是指該項(xiàng)中除變量外的常數(shù)部分，它不僅與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，而且也與a，b的值有關(guān)．如(a＋bx)n的二項(xiàng)展開式中，第k＋1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是，而該項(xiàng)的系數(shù)是an－kbk.當(dāng)然在某些二項(xiàng)展開式中，各項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)是相等的．
關(guān)鍵能力·題型剖析
例1　解析：(1)因?yàn)門k＋1＝(x2)6－k(－)k，所以T4＝(x2)3(－)3＝－.故選A.
(2)因?yàn)?x－)n的展開式共有七項(xiàng)，故n＝6，且展開式通項(xiàng)公式為Tk＋1＝x6－k(－ax－1)k＝x6－2k(－a)k，令6－2k＝0，解得k＝3，故T4＝(－a)3＝20，解得a＝－1.故選B.
答案：(1)A　(2)B
例2　解析：(1)(x－1)4展開式的通項(xiàng)為x4－k，在(x－1)4(x－2)中，x3項(xiàng)由(x－1)4的x2項(xiàng)與x的積和(x－1)4的x3項(xiàng)和－2的積組成，故可得x3的系數(shù)為×(－2)＝14.故選B.
(2)二項(xiàng)式(x＋1)4展開式的通項(xiàng)為x4－k，
所以(ax－2)(x＋1)4的展開式通項(xiàng)為·ax＝或·(－2)＝，
所以令，解得，
所以展開式中x3的系數(shù)為＝6a－8＝－2，
解得a＝1.
答案：(1)B　(2)1
例3　解析：(x2－x＋y)5可以看作5個(gè)盒子，每個(gè)盒子中有x2，－x，y三個(gè)元素，現(xiàn)從每個(gè)盒子中取出一個(gè)元素，最后相乘即可，所以展開式中含x5y2的項(xiàng)為y2＝－30x5y2，故展開式中x5y2的系數(shù)為－30.故選C.
答案：C
鞏固訓(xùn)練1　解析：(1)因?yàn)槎?xiàng)式(a－2x)6的展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝a6－k(－2x)k＝(－2)ka6－kxk，
所以x3的系數(shù)為a6－3(－2)3＝－160a3＝160 a＝－1，
故選A.
(2)由(－2)3的展開式可知：常數(shù)項(xiàng)為·(－2)3＝－20.故選B.
(3)(－1)5二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為Tk＋1＝·()5－k·(－1)k＝·(－1)k·25－k·xk－5，
令k－5＝－1即k＝(－1)k·25－k＝(－1)4×2＝10，
令k－5＝0即k＝·(－1)k·25－k＝·(－1)5＝－1，
所以(x－3)(－1)5的展開式中常數(shù)項(xiàng)為1×10＋(－3)×(－1)＝13.
答案：（A）（B）（3）13
例4　解析：(1)對(duì)于A，二項(xiàng)式(x2－)6的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為(1－2)6＝1，A錯(cuò)；對(duì)于B，展開式二項(xiàng)式系數(shù)和為26＝64，B對(duì)；對(duì)于C，展開式通項(xiàng)為Tk＋1＝·(x2)6－k·(－)k＝·x12－3k·(－2)k(k＝0，1，2，…，6)，令12－3k＝2，解得k＝ N，故展開式中不含x2項(xiàng)，C對(duì)；對(duì)于D，令12－3k＝0，可得k＝4，故展開式中常數(shù)項(xiàng)為·(－2)4＝15×16＝240，D對(duì)．故選BCD.
(2)因?yàn)?3x－1)(x＋1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6.
令x＝0，得a0＝－1；
令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝26＝64①；
令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝0②；
①＋②得a0＋a2＋a4＋a6＝25＝32，
所以a2＋a4＋a6＝25－a0＝33.
答案：(1)BCD　(2)33
鞏固訓(xùn)練2　解析：(1)因?yàn)椋?，所以由組合數(shù)的性質(zhì)得n＝7，
所以(2x－3)7＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a7(x－1)7，
令x＝2，得(2×2－3)7＝a0＋a1＋a2＋…＋a7，
即a0＋a1＋a2＋…＋a7＝1.故選C.
(2)由于(ax＋)n的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為64，即＝2n＝64，解得n＝6.
又由于(ax＋)6的展開式系數(shù)和為729，令x＝1得，即(a＋1)6＝729，解得a＝2或－4，
(ax＋)6的展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝(ax)6－k()k＝x6－3k，令6－3k＝0，解得k＝2，
所以展開式的常數(shù)項(xiàng)為，
故當(dāng)a＝2時(shí)＝240，當(dāng)a＝－4時(shí)＝3 840.
答案：(1)C　(2)240或3840
例5　解析：(1)依題意只有n＝8時(shí)第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，
x3項(xiàng)的系數(shù)為(－2)3＝－448.故選D.
(2)(1＋3x)n的展開式中前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為＝1＋n＋＝79，
整理可得n2＋n－156＝0，∵n≥2且n∈N*，解得n＝12，
(1＋3x)12的展開式通項(xiàng)為Tk＋1＝·(3x)k＝·3kxk(k＝0，1，2，…，12)，
設(shè)展開式中第r＋1項(xiàng)的系數(shù)最大，則
即
解得≤r≤，因?yàn)閞∈N，故r＝9，因此，展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為第10項(xiàng)．故選D.
答案：(1)D　(2)D
鞏固訓(xùn)練3　解析：∵展開式中只有第5項(xiàng)是二項(xiàng)式系數(shù)最大，則n＝8，
∴展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝)8－k(－)k＝，k＝0，1，…，8，
則該展開式中各項(xiàng)系數(shù)ak＝，k＝0，1，…，8，
若求系數(shù)的最小值，則k為奇數(shù)且，即，解得k＝5，
∴系數(shù)的最小值為a5＝＝－1 792.故選C.
答案：C
隨堂檢測(cè)
1．解析：(2x3－)6展開式通項(xiàng)為Tk＋1＝(2x3)6－k(－)k＝x18－4k，
由18－4k＝10，可得k＝2，則＝240，
則(2x3－)6展開式中x10項(xiàng)的系數(shù)為240.故選D.
答案：D
2．解析：令x＝1，則所有的項(xiàng)的系數(shù)和為(a＋1)6＝64，由于a>0，所以a＝1，(x＋)6展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝x6－kx－2k＝x6－3k，故當(dāng)6－3k＝0時(shí)，即k＝2，此時(shí)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為＝15，故選B.
答案：B
3．解析：方法一　當(dāng)x＝1時(shí)，1＝a4＋a3＋a2＋a1＋a0　①；
當(dāng)x＝－1時(shí)，81＝a4－a3＋a2－a1＋a0?、?
(①＋②)÷2，得a4＋a2＋a0＝＝41.故選B.
方法二　由二項(xiàng)式定理可得(2x－1)4＝(2x)0(－1)4＝16x4－32x3＋24x2－8x＋1，所以a4＝16，a2＝24，a0＝1，所以a0＋a2＋a4＝41.故選B.
答案：B
4．解析：(1－)(x＋y)8＝(x＋y)8－(x＋y)8，由二項(xiàng)式定理可知其展開式中含x2y6的項(xiàng)為x3y5＝28x2y6，所以其系數(shù)為－28.
答案：－28第四節(jié)　隨機(jī)事件的概率與古典概型
1.了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別．
2．理解事件間的關(guān)系與運(yùn)算．
3．掌握古典概型及其計(jì)算公式，能計(jì)算古典概型中簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的概率．
問題思考·夯實(shí)技能　
【問題1】　互斥事件與對(duì)立事件有何區(qū)別與聯(lián)系？
【問題2】　隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率與概率有何區(qū)別與聯(lián)系？
關(guān)鍵能力·題型剖析
題型一 隨機(jī)事件
角度一　事件的關(guān)系與運(yùn)算
例 1 (1)(多選)[2024·河南平頂山模擬]拋擲3枚質(zhì)地均勻的硬幣，記事件A＝{至少1枚正面朝上}，B＝{至多2枚正面朝上}，事件C＝{沒有硬幣正面朝上}，則下列正確的是(　　)
A．C＝A＝A
C．C＝ D．C B
(2)袋中裝有紅球3個(gè)、白球2個(gè)、黑球1個(gè)，從中任取2個(gè)，則互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是(　　)
A．至少有一個(gè)白球；都是白球
B．至少有一個(gè)白球；至少有一個(gè)紅球
C．至少有一個(gè)白球；紅、黑球各一個(gè)
D．恰有一個(gè)白球；一個(gè)白球一個(gè)黑球
題后師說
判斷互斥事件、對(duì)立事件的兩種方法
角度二　隨機(jī)事件的頻率與概率
例 2 [2024·廣東揭陽模擬]為了解某中學(xué)生遵守《中華人民共和國(guó)交通安全法》的情況，調(diào)查部門在該校進(jìn)行了如下的隨機(jī)調(diào)查，向被調(diào)查者提出兩個(gè)問題：(1)你的學(xué)號(hào)是奇數(shù)嗎？(2)在過路口時(shí)你是否闖過紅燈？要求被調(diào)查者背對(duì)著調(diào)查人員拋擲一枚硬幣，如果出現(xiàn)正面，就回答第一個(gè)問題，否則就回答第二個(gè)問題．被調(diào)查者不必告訴調(diào)查人員自己回答的是哪一個(gè)問題，只需回答“是”或“不是”，因?yàn)橹挥姓{(diào)查者本人知道回答了哪一個(gè)問題，所以都如實(shí)地作了回答．結(jié)果被調(diào)查的1 200人(學(xué)號(hào)從1至1 200)中有366人回答了“是”．由此可以估計(jì)這1 200人中闖過紅燈的人數(shù)是________．
題后師說
計(jì)算簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的頻率或概率的解題思路
(1)計(jì)算所求隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻數(shù)及總事件的頻數(shù)．
(2)由頻率公式得所求，由頻率估計(jì)概率．
角度三　互斥事件與對(duì)立事件的概率
例 3 某學(xué)校在教師外出家訪了解家長(zhǎng)對(duì)孩子的學(xué)習(xí)關(guān)心情況活動(dòng)中，一個(gè)月內(nèi)派出的教師人數(shù)及其概率如下表所示：
派出人數(shù) ≤2 3 4 5 ≥6
概率 0.1 0.46 0.3 0.1 0.04
(1)求有4人或5人外出家訪的概率；
(2)求至少有3人外出家訪的概率．
題后師說
求復(fù)雜互斥事件概率的兩種方法
鞏固訓(xùn)練1
(1)天氣預(yù)報(bào)說，在今后的三天中，每天下雨的概率都為60%.現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)這三天中恰有兩天下雨的概率．用1，2，3，4，5，6表示下雨，用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生了10組隨機(jī)數(shù)180，792，454，417，165，809，798，386，196，206，據(jù)此估計(jì)這三天中恰有兩天下雨的概率近似為(　　)
A．　 　B． C．　 　D．
(2)(多選)[2024·河北石家莊模擬]口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個(gè)形狀大小完全相同的小球，從中任取2球，事件A＝取出的兩球同色，B＝取出的2 球中至少有一個(gè)黃球，C＝取出的2球中至少有一個(gè)白球，D＝取出兩個(gè)球不同色，E＝取出的2球中至多有一個(gè)白球．下列判斷中正確的是(　　)
A．事件A與D為對(duì)立事件
B．事件B與C是互斥事件
C．事件C與E為對(duì)立事件
D．事件P(C＝1
(3)四種電子元件組成的電路如圖所示，T1，T2，T3，T4電子元件正常工作的概率分別為0.9，0.8，0.7，0.6，則該電路正常工作的概率為________.
題型二 古典概型
例 4 (1)[2024·河南鄭州模擬]有兩個(gè)質(zhì)地均勻、大小相同的正四面體玩具，每個(gè)玩具的各面上分別寫有數(shù)字1，2，3，4.同時(shí)拋擲兩個(gè)玩具，則朝下的面的數(shù)字之積是3的倍數(shù)的概率為(　　)
A． B．
C． D．
(2)[2024·河北保定模擬]三位同學(xué)參加某項(xiàng)體育測(cè)試，每人要從100 m跑、引體向上、跳遠(yuǎn)、鉛球四個(gè)項(xiàng)目中選出兩個(gè)項(xiàng)目參加測(cè)試，則有且僅有兩人選擇的項(xiàng)目完全相同的概率是(　　)
A． B．
C． D．
題后師說
古典概型中樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)的探求方法
鞏固訓(xùn)練2
(1)[2024·山東濟(jì)南模擬]從正六邊形的6個(gè)頂點(diǎn)中任取3個(gè)構(gòu)成三角形，則所得三角形是直角三角形的概率為(　　)
A． B．
C． D．
(2)[2024·安徽宣城模擬]將5個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為(　　)
A． B．
C． D．
題型三 概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問題
例 5 [2024·安徽安慶模擬]縣政府組織500人參加衛(wèi)生城市創(chuàng)建“義工”活動(dòng)，按年齡分組所得頻率分布直方圖如圖，完成下列問題：
組別 [25，30) [30，35) [35，40) [40，45) [45，50)
人數(shù) 50 50 a 150 b
(1)如表是年齡的頻數(shù)分布表，求出表中正整數(shù)a、b的值；
(2)現(xiàn)在要從年齡較小的第1、2、3組中用分層抽樣的方法抽取6人，則年齡在第1、2、3組的各抽取多少人？
(3)在第(2)問的前提下，從這6人中隨機(jī)抽取2人參加社區(qū)活動(dòng)，求至少有1人年齡在第3組的概率．
題后師說
概率與統(tǒng)計(jì)的結(jié)合題，無論是直接描述還是利用頻率分布表、頻率分布直方圖等給出的信息，準(zhǔn)確從題中提煉信息是解題的關(guān)鍵．
鞏固訓(xùn)練3
某校以課程建設(shè)為核心，建立了學(xué)生勞動(dòng)實(shí)踐基地，開發(fā)了農(nóng)事勞作課程，開展課外種植、養(yǎng)殖活動(dòng)，打算引進(jìn)小動(dòng)物甲以及成立養(yǎng)殖小組．為了解學(xué)生的養(yǎng)殖意愿，該校在一年級(jí)的100名學(xué)生中進(jìn)行問卷調(diào)查，調(diào)查數(shù)據(jù)如下：
性別 養(yǎng)殖小動(dòng)物甲
喜歡 不喜歡
男生 20 30
女生 40 10
(1)分別估計(jì)該校男、女生中喜歡養(yǎng)殖小動(dòng)物甲的概率；
(2)學(xué)校決定由一年級(jí)負(fù)責(zé)養(yǎng)殖小動(dòng)物甲，現(xiàn)按分層隨機(jī)抽樣的方法從一年級(jí)喜歡小動(dòng)物甲的學(xué)生中隨機(jī)抽取6名學(xué)生組成養(yǎng)殖小組，再從這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人擔(dān)任養(yǎng)殖小組主要負(fù)責(zé)人，求這2人恰好都是女生的概率．
　
1．[2023·全國(guó)甲卷]某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級(jí)各2名．從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來自不同年級(jí)的概率為(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
2．[2022·新高考Ⅰ卷]從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為(　　)
A． B． C． D．
3．[2022·全國(guó)甲卷]從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無放回隨機(jī)抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為(　　)
A． B． C． D．
4．[2022·全國(guó)乙卷]從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為________．
第四節(jié)　隨機(jī)事件的概率與古典概型
問題思考·夯實(shí)技能
【問題1】　提示：互斥事件與對(duì)立事件都是兩個(gè)事件的關(guān)系，互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，而對(duì)立事件除要求這兩個(gè)事件不同時(shí)發(fā)生外，還要求二者之一必須有一個(gè)發(fā)生，因此，對(duì)立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對(duì)立事件．
【問題2】　提示：隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率是隨機(jī)的，而概率是客觀存在的確定的常數(shù)，但在大量隨機(jī)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定在事件A發(fā)生的概率附近．
關(guān)鍵能力·題型剖析
例1　解析：(1)記Ai＝{有i枚硬幣正面向上}，i＝0，1，2，3，
則A＝A1＝A0＝A0，
對(duì)于A，因?yàn)锳＝A1故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，因?yàn)锳＝A0故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因?yàn)镃＝ ，故C正確；
對(duì)于D，因?yàn)镃 B，故D正確．故選CD.
(2)對(duì)于A，至少有一個(gè)白球和都是白球的兩個(gè)事件能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，A不是；
對(duì)于B，至少有一個(gè)白球和至少有一個(gè)紅球的兩個(gè)事件能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，B不是；
對(duì)于C，至少有一個(gè)白球和紅、黑球各一個(gè)的兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生但能同時(shí)不發(fā)生，是互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件，C是；
對(duì)于D，恰有一個(gè)白球和一個(gè)白球一個(gè)黑球的兩個(gè)事件能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，D不是．故選C.
答案：(1)CD　(2)C
例2　解析：被調(diào)查的1 200人中，在準(zhǔn)備回答的兩個(gè)問題中每一個(gè)問題被問到的概率相同，所以第一個(gè)問題可能被問600次，因?yàn)楸粏柕?00人中有300人學(xué)號(hào)是奇數(shù)，而有366人回答了“是”，所以估計(jì)有66人闖過紅燈，在600人中有66人闖過紅燈，頻率為0.11，用樣本頻率估計(jì)總體，從而估計(jì)這1 200人中闖過紅燈的人數(shù)為1 200×0.11＝132人．
答案：132
例3　解析：(1)設(shè)“派出2人及以下外出家訪”為事件A，“派出3人外出家訪”為事件B，“派出4人外出家訪”為事件C，“派出5人外出家訪”為事件D，“派出6人及以上外出家訪”為事件E，則有4人或5人外出家訪的事件為事件C或事件D，C與D為互斥事件，根據(jù)互斥事件概率的加法公式可知P(C＝P(C)＋P(D)＝0.3＋0.1＝0.4.
(2)至少有3人外出家訪的對(duì)立事件為有2人及以下外出家訪，所以由對(duì)立事件的概率公式可知所求概率P＝1－P(A)＝1－0.1＝0.9.
鞏固訓(xùn)練1　解析：(1)10組數(shù)據(jù)中，恰有兩天下雨的有417，386，196，206，共4個(gè)，據(jù)此估計(jì)這三天中恰有兩天下雨的概率近似為＝.故選B.
(2)設(shè)Ω是樣本空間，A選項(xiàng)，由于A＝Ω，A＝ ，所以A與D是對(duì)立事件，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，由于B＝“取出的2球中，一個(gè)黃球一個(gè)白球”，所以B與C不是互斥事件，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，由于C＝“取出的2球中，恰好有1個(gè)白球”，所以C與E不是對(duì)立事件，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，由于C＝Ω，所以P(C＝1，所以D選項(xiàng)正確．故選AD.
(3)該電路正常工作即T1正常工作，T2，T3，T4至少一個(gè)正常工作，所以該電路正常工作的概率為0.9×(1－0.2×0.3×0.4)＝0.878 4.
答案：(1)B　(2)AD　(3)0.878 4
例4　解析：(1)根據(jù)題意，同時(shí)拋擲兩個(gè)玩具，朝下的面寫有的數(shù)字有16種情況，分別為(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，
朝下的面的數(shù)字之積是3的倍數(shù)的結(jié)果有7種，
分別為(1，3)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，3)，
則數(shù)字之積是3的倍數(shù)的概率為P＝，故選D.
(2)三個(gè)同學(xué)選擇兩個(gè)項(xiàng)目的試驗(yàn)的基本事件數(shù)有)3個(gè)，它們等可能，
有且僅有兩人選擇的項(xiàng)目完全相同的事件A含有的基本事件數(shù)有－1)個(gè)，
所以有且僅有兩人選擇的項(xiàng)目完全相同的概率P(A)＝＝.故選C.
答案：(1)D　(2)C
鞏固訓(xùn)練2　
解析：(1)以點(diǎn)A為例，以點(diǎn)A為其中一個(gè)頂點(diǎn)的三角形有△ABC，△ABD，△ABE，△ABF，△ACD，△ACE，△ACF，△ADE，△ADF，△AEF，共10個(gè)，
其中直角三角形為△ABD，△ABE，△ACD，△ACF，△ADE，△ADF，共6個(gè)，
故所得三角形是直角三角形的概率為＝.故選C.
(2)將5個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，總的排放方法有＝＝21(種)．
要使2個(gè)0不相鄰，利用插空法，5個(gè)1有6個(gè)位置可以放0，故排放方法有＝＝15(種)．
所以所求概率為P＝＝.故選D.
答案：(1)C　(2)D
例5　解析：(1)由圖可知，年齡在[35，40)間的頻率為0.08×5＝0.4，故a＝0.4×500＝200(人)，b＝500－(50＋50＋200＋150)＝50(人)．
(2)由題意知，第1，2，3組共有300人，現(xiàn)在抽取6人，其抽樣比例為＝，
所以每組應(yīng)該抽取的人數(shù)為：第1組：50×＝1，
第2組：50×＝1，第3組：200×＝4.
(3)設(shè)第1組的人為A，第2組的人為B，第3組的人為c，d，e，f，現(xiàn)在隨機(jī)抽取6人，共有：AB，Ac，Ad，Ae，Af，Bc，Bd，Be，Bf，cd，ce，cf，de，df，ef 15種抽取方法，記事件E為“至少有1人來自第3組”，則P(E)＝1－＝.
鞏固訓(xùn)練3　解析：(1)由題意知男生中喜歡養(yǎng)殖小動(dòng)物甲的頻率為＝；
女生中喜歡養(yǎng)殖小動(dòng)物甲的頻率為＝，
所以估計(jì)該校男、女生中喜歡養(yǎng)殖小動(dòng)物甲的概率分別為.
(2)抽取的這6人中男生人數(shù)為6×＝2，分別記為A，B，
女生人數(shù)為6×＝4，分別記為a，b，c，d.
設(shè)抽取的2人分別為m，n，用數(shù)組(m，n)表示這個(gè)實(shí)驗(yàn)的一個(gè)樣本點(diǎn)，
因此該試驗(yàn)的樣本空間Ω＝{(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(A，d)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(B，d)，(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)}共15個(gè)樣本點(diǎn)．
設(shè)事件E＝“抽取的2人恰好都是女生”，
則E＝，共6個(gè)樣本點(diǎn)．
因?yàn)闃颖究臻gΩ中每一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等，
所以該試驗(yàn)是古典概型，因此P(E)＝＝.
隨堂檢測(cè)
1．解析：記高一年級(jí)2名學(xué)生分別為a1，a2，高二年級(jí)2名學(xué)生分別為b1，b2，則從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演的基本事件有(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(b1，b2)，共6個(gè)，其中這2名學(xué)生來自不同年級(jí)的基本事件有(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，共4個(gè)，所以這2名學(xué)生來自不同年級(jí)的概率P＝＝，故選D.
答案：D
2．解析：從2，3，4，5，6，7，8中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)有＝21(種)結(jié)果，其中這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的結(jié)果有(2，3)，(2，5)，(2，7)，(3，4)，(3，5)，(3，7)，(3，8)，(4，5)，(4，7)，(5，6)，(5，7)，(5，8)，(6，7)，(7，8)，共14種，所以所求概率為＝.故選D.
答案：D
3．解析：從6張卡片中任取2張的取法有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共15種不同取法，其中2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的取法有(1，4)，(2，4)，(2，6)，(3，4)，(4，5)，(4，6)，共6種，所以所求概率P＝＝.故選C.
答案：C
4．解析：從5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，共有＝10(種)選法，甲、乙都入選有＝3(種)選法．根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式，甲、乙都入選的概率P＝.
答案：第五節(jié)　事件的相互獨(dú)立性與條件概率、全概率公式
1.了解兩個(gè)隨機(jī)事件獨(dú)立性的含義．
2．了解條件概率，能計(jì)算簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的條件概率．
3．了解條件概率與獨(dú)立性的關(guān)系，會(huì)用乘法公式計(jì)算概率．
4．會(huì)利用全概率公式計(jì)算概率．
問題思考·夯實(shí)技能　
【問題1】　互為對(duì)立的兩個(gè)事件是非常特殊的一種事件關(guān)系. 如果事件A與事件B相互獨(dú)立，那么它們的對(duì)立事件是否也相互獨(dú)立？
【問題2】　P(AB)，P(B)，P(A|B)(其中P(B)>0)之間存在怎樣的等量關(guān)系？
關(guān)鍵能力·題型剖析
題型一 相互獨(dú)立事件的概率
角度一　事件獨(dú)立性的判斷
例 1 [2024·河南鄭州模擬]現(xiàn)有同副牌中的5張數(shù)字不同的撲克牌，其中紅桃1張、黑桃2張、梅花2張，從中任取一張，看后放回，再任取一張．甲表示事件“第一次取得黑桃撲克牌”，乙表示事件“第二次取得梅花撲克牌”，丙表示事件“兩次取得相同花色的撲克牌”，丁表示事件“兩次取得不同花色的撲克牌”，則(　　)
A．乙與丙相互獨(dú)立 B．乙與丁相互獨(dú)立
C．甲與丙相互獨(dú)立 D．甲與乙相互獨(dú)立
題后師說
判斷兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立的方法
(1)直接法：直接判斷一個(gè)事件發(fā)生與否是否影響另一事件發(fā)生的概率．
(2)定義法：判斷P(AB)＝P(A)P(B)是否成立．
(3)轉(zhuǎn)化法：由事件A與事件B相互獨(dú)立知，A與與B，與也相互獨(dú)立．
角度二　相互獨(dú)立事件的概率
例 2 [2024·江蘇揚(yáng)州模擬]某校舉行圍棋比賽，甲、乙、丙三人通過初賽，進(jìn)入決賽．決賽比賽規(guī)則如下：首先通過抽簽的形式確定甲、乙兩人進(jìn)行第一局比賽，丙輪空；第一局比賽結(jié)束后，勝利者和丙進(jìn)行比賽，失敗者輪空，以此類推，每局比賽的勝利者跟本局比賽輪空者進(jìn)行下一局比賽，直到一人累計(jì)獲勝三局，則此人獲得比賽勝利，比賽結(jié)束．假設(shè)每局比賽雙方獲勝的概率均為，且每局比賽相互獨(dú)立．
(1)求比賽進(jìn)行四局結(jié)束的概率；
(2)求甲獲得比賽勝利的概率．
題后師說
求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的方法
(1)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率等于他們各自發(fā)生的概率之積．
(2)當(dāng)正面計(jì)算較復(fù)雜或難以入手時(shí)，可從其對(duì)立事件入手計(jì)算．
鞏固訓(xùn)練1
(1)(多選)[2024·廣東深圳模擬]連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記錄每次的點(diǎn)數(shù)，設(shè)事件A＝ “第一次出現(xiàn)2點(diǎn)”，B＝“第二次的點(diǎn)數(shù)小于5點(diǎn)”，C＝“兩次點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)”，D＝“兩次點(diǎn)數(shù)之和為9”，則下列說法正確的有(　　)
A．A與B不互斥且相互獨(dú)立
B．A與D互斥且不相互獨(dú)立
C．B與D互斥且不相互獨(dú)立
D．A與C不互斥且相互獨(dú)立
(2)為了實(shí)現(xiàn)中國(guó)夢(mèng)的構(gòu)想，在社會(huì)主義新農(nóng)村建設(shè)中，某市決定在一個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)投資農(nóng)產(chǎn)品加工、綠色蔬菜種植和水果種植三個(gè)項(xiàng)目，據(jù)預(yù)測(cè)，三個(gè)項(xiàng)目成功的概率分別為，且三個(gè)項(xiàng)目是否成功相互獨(dú)立．
①求恰有兩個(gè)項(xiàng)目成功的概率；
②求至少有一個(gè)項(xiàng)目成功的概率．
題型二 條件概率
例 3 (1)[2024·河北保定模擬]把一枚硬幣任意擲兩次，事件A＝“第一次出現(xiàn)正面”，事件B＝ “第二次出現(xiàn)正面”，則P(B|A)＝(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
(2)[2024·安徽黃山模擬]先后擲兩次骰子(骰子的六個(gè)面上分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6個(gè)點(diǎn))，落在水平桌面后，記正面朝上的點(diǎn)數(shù)分別為x，y，設(shè)事件A＝“x＋y為奇數(shù)”，事件B＝“x，y滿足x＋y<6”，則概率P(B|A)＝(　　)
A． B． C． D．
題后師說
求條件概率的常用方法
鞏固訓(xùn)練2
(1)[2024·河南鄭州模擬]袋中裝有大小質(zhì)地完全相同的3個(gè)小球，小球上分別標(biāo)有數(shù)字4，5，6.每次從袋中隨機(jī)摸出1個(gè)球，記下它的號(hào)碼，放回袋中，這樣連續(xù)摸三次．設(shè)事件A為“三次記下的號(hào)碼之和是15”，事件B為“三次記下的號(hào)碼不全相等”，則P(B|A)＝(　　)
A． B． C． D．
(2)[2024·廣東珠海模擬]某地的中學(xué)生中有60%的同學(xué)愛好羽毛球，50%的同學(xué)愛好乒乓球，70%的同學(xué)愛好羽毛球或愛好乒乓球．在該地的中學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查一位同學(xué)，若該同學(xué)愛好乒乓球，則該同學(xué)也愛好羽毛球的概率為________．
題型三 全概率公式的應(yīng)用
例 4 (1)[2024·遼寧錦州模擬]甲單位有5名男性志愿者，7名女性志愿者；乙單位有4名男性志愿者，2名女性志愿者，從兩個(gè)單位任抽一個(gè)單位，然后從所抽到的單位中任取1名志愿者，則取到男性志愿者的概率為(　　)
A． B．
C． D．
(2)[2024·廣東深圳模擬]鑰匙掉了，掉在宿舍里、掉在教室里、掉在路上的概率分別是50%，30%和20%，而掉在上述三處被找到的概率分別是0.8，0.3和0.1，則找到鑰匙的概率為________．
題后師說
利用全概率公式解題的思路
(1)按照確定的標(biāo)準(zhǔn)，將一個(gè)復(fù)雜事件分解為若干個(gè)互斥事件Ai(i＝1，2，…，n)．
(2)求P(Ai)和所求事件B在各個(gè)互斥事件Ai發(fā)生條件下的概率P(Ai)P(B|Ai)．
(3)代入全概率公式計(jì)算．
鞏固訓(xùn)練3
(1)[2024·河北衡水模擬]設(shè)甲乘汽車、動(dòng)車前往某目的地的概率分別為0.4，0.6，汽車和動(dòng)車正點(diǎn)到達(dá)目的地的概率分別為0.7，0.9，則甲正點(diǎn)到達(dá)目的地的概率為(　　)
A．0.78　 B．0.8 C．0.82　 D．0.84
(2)[2024·江蘇南京模擬]某批麥種中，一等麥種占90%，二等麥種占10%，一、二等麥種種植后所結(jié)麥穗含有50粒以上麥粒的概率分別為0.6，0.2，則這批麥種種植后所結(jié)麥穗含有50粒以上麥粒的概率為________．
　
1．[2021·新高考Ⅰ卷]有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則(　　)
A．甲與丙相互獨(dú)立 B．甲與丁相互獨(dú)立
C．乙與丙相互獨(dú)立 D．丙與丁相互獨(dú)立
2．[2023·全國(guó)甲卷]有50人報(bào)名足球俱樂部，60人報(bào)名乒乓球俱樂部，70人報(bào)名足球或乒乓球俱樂部，若已知某人報(bào)足球俱樂部，則其報(bào)乒乓球俱樂部的概率為(　　)
A.0.8　　 B．0.4 C．0.2　　 D．0.1
3．[2022·全國(guó)乙卷]某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為p1，p2，p3，且p3>p2>p1>0.記該棋手連勝兩盤的概率為p，則(　　)
A．p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關(guān)
B．該棋手在第二盤與甲比賽，p最大
C．該棋手在第二盤與乙比賽，p最大
D．該棋手在第二盤與丙比賽，p最大
4．[2024·河北邯鄲模擬]已知甲箱內(nèi)有4個(gè)白球2個(gè)黑球，乙箱內(nèi)有3個(gè)白球2個(gè)黑球，先從甲箱中任取一球放入乙箱，然后從乙箱中任取一球，則事件“從乙箱中取得黑球”的概率為________．
第五節(jié)　事件的相互獨(dú)立性與條件概率、全概率公式
問題思考·夯實(shí)技能
【問題1】　提示：如果事件A與事件B相互獨(dú)立，那么它們的對(duì)立事件也相互獨(dú)立．
【問題2】　提示：P(AB)＝P(B)P(A|B)，(其中P(B)>0)．
關(guān)鍵能力·題型剖析
例1　解析：由題意得，事件甲的概率P1＝，事件乙的概率P2＝，
有放回地取撲克牌兩次的試驗(yàn)的基本事件總數(shù)是52＝25，顯然事件丙與丁是對(duì)立事件，
兩次取出的撲克牌花色相同包含的基本事件數(shù)為12＋22＋22＝9，
則事件丙的概率P3＝，所以事件丁的概率P4＝，
對(duì)于A，事件乙與丙同時(shí)發(fā)生所包含的基本事件數(shù)為4，其概率P5＝≠P2·P3，所以乙與丙不相互獨(dú)立，所以A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，事件乙與丁同時(shí)發(fā)生所包含的基本事件數(shù)為6，其概率P6＝≠P2·P4，所以乙與丁不相互獨(dú)立，所以B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，事件甲與丙同時(shí)發(fā)生所包含的基本事件數(shù)為4，其概率P7＝≠P1·P3，所以甲與丙不相互獨(dú)立，所以C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，事件甲與乙同時(shí)發(fā)生所包含的基本事件數(shù)為4，其概率P8＝＝P1·P2，所以甲與乙相互獨(dú)立，D正確．故選D.
答案：D
例2　解析：(1)比賽進(jìn)行四局結(jié)束有以下兩種情況：第一局甲獲勝，后三局丙獲勝；第一局乙獲勝，后三局丙獲勝，
第一局甲獲勝，后三局丙獲勝的概率P1＝＝，
第一局乙獲勝，后三局丙獲勝的概率P2＝＝，
故比賽進(jìn)行四局結(jié)束的概率P＝P1＋P2＝＝.
(2)設(shè)甲獲勝為事件A，乙獲勝為事件B，丙獲勝為事件C，
比賽進(jìn)行三局，甲獲勝的概率為＝，
比賽進(jìn)行五局，有以下6種情況：AABBA，AABCA，ACBAA，ACCAA，BBAAA，BCAAA，
甲獲勝的概率為×6＝，
比賽進(jìn)行七局，有以下8種情況：AABCCBA，AABBCCA，ACBBCAA，ACBACBA，ACCABBA，BBACCAA，BCAACBA，BCCBAAA，
甲獲勝的概率為×8＝，
故甲獲得比賽勝利的概率為＝.
鞏固訓(xùn)練1　解析：(1)對(duì)于A，連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，第一次與第二次的結(jié)果互不影響，即A與B相互獨(dú)立；第一次出現(xiàn)2點(diǎn)，第二次的點(diǎn)數(shù)小于5點(diǎn)可以同時(shí)發(fā)生，A與B不互斥，故A正確；對(duì)于B，連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，第一次的結(jié)果會(huì)影響兩次點(diǎn)數(shù)之和，即A與D不相互獨(dú)立；第一次出現(xiàn)2點(diǎn)，則兩次點(diǎn)數(shù)之和最大為8，即A與D不能同時(shí)發(fā)生，即A與D互斥，故B正確；對(duì)于C，連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，第二次的結(jié)果會(huì)影響兩次點(diǎn)數(shù)之和，即B與D不相互獨(dú)立；若第一次的點(diǎn)數(shù)為5，第二次的點(diǎn)數(shù)4點(diǎn)，則兩次點(diǎn)數(shù)之和為9，即B與D可以同時(shí)發(fā)生，即B與D不互斥，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，第一次的結(jié)果不會(huì)影響兩次點(diǎn)數(shù)之和的奇偶，即A與C相互獨(dú)立；若第一次的點(diǎn)數(shù)為2，第二次的點(diǎn)數(shù)3點(diǎn)，則兩次點(diǎn)數(shù)之和為5是奇數(shù)，即A與C可以同時(shí)發(fā)生，即A與C不互斥，故D正確．故選ABD.
(2)①設(shè)投資農(nóng)產(chǎn)品加工成功為事件A，投資綠色蔬菜種植成功為事件B，投資水果種植成功為事件C，則恰有兩個(gè)項(xiàng)目成功的概率為：
P(ABCBC)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＝＝，
所以恰有兩個(gè)項(xiàng)目成功的概率為.
②設(shè)至少有一個(gè)項(xiàng)目成功為事件D，則
P(D)＝1－P()＝1－＝＝，
所以至少有一個(gè)項(xiàng)目成功的概率為.
例3　解析：(1)由題意知，第一次出現(xiàn)正面的概率是，
第一次出現(xiàn)正面且第二次也出現(xiàn)正面的概率是＝，
∴P(B|A)＝＝ .故選C.
(2)用(x，y)表示第1次擲骰子得到的點(diǎn)數(shù)為x，第2次擲骰子得到的點(diǎn)數(shù)為y，擲兩次骰子，基本事件的個(gè)數(shù)為：6×6＝36，
因?yàn)槭录嗀＝“x＋y為奇數(shù)”，事件B＝“x，y滿足x＋y<6”，記事件C＝“x＋y為奇數(shù)，且x＋y<6”，所以事件A包含的基本事件個(gè)數(shù)為：3×3×2＝18，事件C包含的基本事件個(gè)數(shù)為：3×2＝6，
根據(jù)古典概率公式知，
P(A)＝＝，P(C)＝P(AB)＝＝，
由條件概率公式知，P(B|A)＝＝＝.故選B.
答案：(1)C　(2)B
鞏固訓(xùn)練2　解析：(1)事件A所包含的基本事件有(4，5，6)，(4，6，5)，(5，4，6)，(5，6，4)，(6，5，4)，(6，4，5)，(5，5，5)共7個(gè)，事件AB所包含的基本事件有(4，5，6)，(4，6，5)，(5，4，6)，(5，6，4)，(6，5，4)，(6，4，5)共6個(gè)，所以P(B|A)＝＝.故選A.
(2)同時(shí)愛好兩項(xiàng)的概率為0.5＋0.6－0.7＝0.4，
記“該同學(xué)愛好乒乓球”為事件A，記“該同學(xué)愛好羽毛球”為事件B，
則P(A)＝0.5，P(AB)＝0.4，所以P(B|A)＝＝＝0.8.
答案：(1)A　(2)0.8
例4　解析：(1)設(shè)事件取到男性為B，事件所抽到的單位為甲單位為A1，
事件所抽到的單位為乙單位為A2，
則P(B)＝P(A1B＋A2B)＝P(A1B)＋P(A2B)，
所以P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)，
故P(B)＝＝.故選A.
(2)記事件A1為“鑰匙掉在宿舍里”，A2為“鑰匙掉在教室里”，A3為“鑰匙掉在宿舍里”，
事件B為“找到鑰匙”，由全概率公式得
P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.5×0.8＋0.3×0.3＋0.2×0.1＝0.51.
答案：(1)A　(2)0.51
鞏固訓(xùn)練3　解析：(1)設(shè)事件A表示甲正點(diǎn)到達(dá)目的地，事件B表示甲乘動(dòng)車到達(dá)目的地，事件C表示甲乘汽車到達(dá)目的地，
由題意知P(B)＝0.6，P(C)＝0.4，P(A|B)＝0.9，P(A|C)＝0.7.
由全概率公式得P(A)＝P(B)P(A|B)＋P(C)P(A|C)＝0.6×0.9＋0.4×0.7＝0.54＋0.28＝0.82.故選C.
(2)分別記取到一等麥種和二等麥種分別為事件A1，A2，所結(jié)麥穗含有50粒以上麥粒為事件B.
由已知可得，P(A1)＝0.9，P(A2)＝0.1，P(B|A1)＝0.6，P(B|A2)＝0.2，
由全概率公式可得，P(B)＝P(BA1)＋P(BA2)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.9×0.6＋0.1×0.2＝0.56.
答案：(1)C　(2)0.56
隨堂檢測(cè)
1．解析：P(甲)＝，P(乙)＝，P(丙)＝，P(丁)＝＝，
P(甲丙)＝0≠P(甲)P(丙)，P(甲丁)＝＝P(甲)P(丁)，
P(乙丙)＝≠P(乙)P(丙)，P(丙丁)＝0≠P (丙)P(丁)，
故選B.
答案：B
2．解析：報(bào)名兩個(gè)俱樂部的人數(shù)為50＋60－70＝40，記“某人報(bào)足球俱樂部”為事件A，記“某人報(bào)乒乓球俱樂部”為事件B，則P(A)＝＝，P(AB)＝＝，所以P(B|A)＝＝＝0.8.故選A.
答案：A
3．解析：設(shè)第二盤與甲比賽，則p甲＝p2p1(1－p3)＋(1－p2)p1p3＝p1(p2＋p3－2p2p3)．設(shè)第二盤與乙比賽，則p乙＝p2p1(1－p3)＋(1－p1)p2p3＝p2(p1＋p3－2p1p3)．設(shè)第二盤與丙比賽，則p丙＝p3p1(1－p2)＋(1－p1)p2p3＝p3(p1＋p2－2p1p2)．p甲－p乙＝p3(p1－p2)<0，p甲－p丙＝p2(p1－p3)<0，p乙－p丙＝p1(p2－p3)<0，故p丙>p乙>p甲．故選D.
答案：D
4．解析：記甲箱中取出白球的事件為A，從乙箱中取出黑球的事件為B，
依題意，P(A)＝＝，P()＝＝，P(B|A)＝＝，P(B|)＝＝，
所以P(B)＝P(B|A)P(A)＋P(B|)P()＝＝.
答案：第六節(jié)　離散型隨機(jī)變量的分布列、均值(期望)與方差
1.理解離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念．
2．理解并會(huì)求離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征(均值與方差)．
問題思考·夯實(shí)技能　
【問題1】　離散型隨機(jī)變量X的每一個(gè)可能的取值為實(shí)數(shù)，其實(shí)質(zhì)代表是什么？
【問題2】　隨機(jī)變量的均值、方差與樣本的均值、方差有何關(guān)系？
關(guān)鍵能力·題型剖析
題型一 分布列的性質(zhì)
例 1 (1)[2024·江西宜春模擬]設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(X＝k)＝m(k＝1，2，3)，則m的值為(　　)
A． B．
C． D．
(2)[2024·河北張家口模擬]設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如下表：
X 1 2 3 4
P m
則P(|X－2|＝1)＝________．
題后師說
離散型隨機(jī)變量的分布列性質(zhì)的應(yīng)用
鞏固訓(xùn)練1
(1)[2024·山東濟(jì)南模擬]設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列如下，則q＝(　　)
X －1 0 1
P 1－2q 3q2－q＋
A. B．
C． D．
(2)離散型隨機(jī)變量X的概率分布中部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，丟失數(shù)據(jù)以x，y代替，其概率分布如下：
X 1 2 3 4 5 6
P 0.20 0.10 x 0.10 y 0.20
則P(題型二 求離散型隨機(jī)變量的分布列
例 2 [2024·河北張家口模擬]同學(xué)甲進(jìn)行一種闖關(guān)游戲，該游戲共設(shè)兩個(gè)關(guān)卡，闖關(guān)規(guī)則如下：每個(gè)關(guān)卡前需先投擲一枚硬幣，若正面朝上，則順利進(jìn)入闖關(guān)界面，可以開始闖關(guān)游戲；若反面朝上，游戲直接終止，甲同學(xué)在每次進(jìn)入闖關(guān)界面后能夠成功通過關(guān)卡的概率均為，且第一關(guān)是否成功通過都不影響第二關(guān)的進(jìn)行．
(1)求同學(xué)甲在游戲終止時(shí)成功通過兩個(gè)關(guān)卡的概率；
(2)同學(xué)甲成功通過關(guān)卡的個(gè)數(shù)為ξ，求ξ的分布列．
題后師說
離散型隨機(jī)變量分布列的求解步驟
鞏固訓(xùn)練2
袋子中有標(biāo)號(hào)為1號(hào)的球3個(gè)，標(biāo)號(hào)為2號(hào)的球3個(gè)，標(biāo)號(hào)為3號(hào)的球2個(gè)，如下表．現(xiàn)從這8個(gè)球中任選2個(gè)球．
標(biāo)號(hào) 1號(hào) 2號(hào) 3號(hào) 合計(jì)
個(gè)數(shù) 3 3 2 8
(1)求選出的這2個(gè)球標(biāo)號(hào)相同的概率；
(2)設(shè)隨機(jī)變量X為選出的2個(gè)球標(biāo)號(hào)之差的絕對(duì)值，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．
題型三 離散型隨機(jī)變量的均值(期望)與方差
角度一　均值(期望)與方差的計(jì)算
例 3 (1)[2024·河南洛陽模擬]已知某離散型隨機(jī)變量X的分布列如下：
X －1 0 1 2
P a b c
若E(X)＝，P(X≥1)＝，則D(X)＝(　　)
A． B．
C． D．
(2)(多選)[2024·湖南永州模擬]已知隨機(jī)變量ξi服從兩點(diǎn)分布，且P(ξi＝1)＝pi(i＝1，2)，若A．E(ξ2)B．E(ξ1)C．E(ξ1)D．D(ξ1)角度二　均值與方差中的決策問題
例 4 [2021·新高考Ⅰ卷]某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有A，B兩類問題．每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束．A類問題中的每個(gè)問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個(gè)問題回答正確得80分，否則得0分，已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān)．
(1)若小明先回答A類問題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列；
(2)為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由．
題后師說
求離散型隨機(jī)變量ξ的均值與方差的步驟
鞏固訓(xùn)練3
[2024·河北唐山模擬]某學(xué)校組織“紀(jì)念共青團(tuán)成立100周年”知識(shí)競(jìng)賽，有A，B，C三類問題，每位參加比賽的同學(xué)需要先選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，只有答對(duì)當(dāng)前的問題才有資格從下一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答．A類問題中的每個(gè)問題回答正確得10分，否則得0分；B類問題中的每個(gè)問題回答正確得20分，否則得0分，C類問題中的每個(gè)問題回答正確得30分，否則得0分．已知小康同學(xué)能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，能正確回答C類問題的概率為0.4，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān)．
(1)若小康按照CBA的順序答題，記X為小康的累計(jì)得分，求X的分布列；
(2)相比較小康自選的CBA的答題順序，小康的朋友小樂認(rèn)為按照ABC的順序答題累計(jì)得分期望更大，小樂的判斷正確嗎？并說明理由．
1．[2024·山東淄博模擬]已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表：
X 0 1 2 3
P a 5a
若離散型隨機(jī)變量Y＝2X＋1，則P(Y≥5)＝(　　)
A． B．
C． D．
2．[2024·河南新鄉(xiāng)模擬]已知隨機(jī)變量X的分布列為
X 0 2 4
P m －2m
則E(X)＝(　　)
A． B．1
C． D．
3．[2024·江蘇鎮(zhèn)江模擬]已知隨機(jī)變量X的分布列如下表所示，若E(X)＝，則D(X)＝(　　)
X －2 0 1
P a b
A.　　　B． C．　　　D．
4．[2024·廣東汕頭模擬]現(xiàn)要發(fā)行10 000張彩票，其中中獎(jiǎng)金額為2元的彩票1 000張，10元的彩票300張，50元的彩票100張，100元的彩票50張，1 000元的彩票5張.1張彩票中獎(jiǎng)金額的均值是________元．
第六節(jié)　離散型隨機(jī)變量的分布列、均值(期望)與方差
問題思考·夯實(shí)技能
【問題1】　提示：代表的是“事件”，即事件是用一個(gè)反映結(jié)果的實(shí)數(shù)表示的．
【問題2】　提示：隨機(jī)變量的均值、方差是一個(gè)常數(shù)，樣本的均值、方差是一個(gè)隨機(jī)變量，隨觀測(cè)次數(shù)的增加或樣本容量的增加，樣本的均值、方差趨于隨機(jī)變量的均值、方差．
關(guān)鍵能力·題型剖析
例1　解析：(1)由分布列的性質(zhì)得P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝m×＋m×()2＋m×()3＝＝1，∴m＝.故選B.
(2)m＝1－＝，P(|X－2|＝1)＝P(X＝1)＋P(X＝3)＝＝.
答案：(1)B　(2)
鞏固訓(xùn)練1　解析：(1)由離散型隨機(jī)變量的性質(zhì)可得＋1－2q＋3q2－q＋＝1，即(3q－1)(3q－2)＝0，解得q＝或q＝，q＝時(shí)1－2q<0，不合題意，∴q＝.故選B.
(2)由概率分布的性質(zhì)可知隨機(jī)變量的所有取值的概率和為1，
則P(答案：(1)B　(2)0.5
例2　解析：(1)同學(xué)甲在游戲終止時(shí)成功通過兩個(gè)關(guān)卡的概率P＝＝.
(2)同學(xué)甲成功通過關(guān)卡的個(gè)數(shù)ξ的值為0，1，2，
P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝×2＝，
P(ξ＝2)＝＝，
所以同學(xué)甲成功通過關(guān)卡的個(gè)數(shù)ξ的分布列為：
ξ 0 1 2
P
鞏固訓(xùn)練2　解析：(1)從這8個(gè)球中任選2個(gè)球，有＝28(種)結(jié)果，
其中這2個(gè)球標(biāo)號(hào)相同有＝7(種)結(jié)果，
所以從這8個(gè)球中任選2個(gè)球，其中這2個(gè)球標(biāo)號(hào)相同的概率為P＝＝.
(2)隨機(jī)變量X可能的取值為0，1，2，
P(X＝0)＝＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝＝，
則X的分布列為：
X 0 1 2
P
數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
例3　解析：(1)由題意，得a＋b＋c＋＝1，所以a＋b＋c＝①.
因?yàn)镋(X)＝(－1)×a＋0×b＋1×c＋2×＝，所以－a＋c＝②.
由P(X≥1)＝c＋＝，得c＝，代入①②解得a＝，b＝.
所以D(X)＝(－1－)2×＋(0－)2×＋(1－)2×＋(2－)2×＝.故選C.
(2)依題意，得P(ξ1＝1)＝p1，P(ξ2＝1)＝p2，ξi服從兩點(diǎn)分布，
所以E(ξ1)＝p1，E(ξ2)＝p2，D(ξ1)＝p1(1－p1)，D(ξ2)＝p2(1－p2)，
因?yàn)?p1所以p2>p2(1－p2)，p1p1(1－p1)，
所以E(ξ2)>D(ξ2)，E(ξ1)D(ξ1)，
D(ξ1)－D(ξ2)＝p1(1－p1)－p2(1－p2)＝(p1－p2)(1－p1－p2)>0，即D(ξ1)>D(ξ2)，
所以ACD錯(cuò)誤，B正確．故選ACD.
答案：(1)C　(2)ACD
例4　解析：(1)由題可知，X的所有可能取值為0，20，100.
P(X＝0)＝1－0.8＝0.2；
P(X＝20)＝0.8(1－0.6)＝0.32；
P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48.
所以X的分布列為
X 0 20 100
P 0.2 0.32 0.48
(2)由(1)知，
E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.
若小明先回答B(yǎng)問題，記Y為小明的累計(jì)得分，則Y的所有可能取值為0，80，100.
P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4；
P(Y＝80)＝0.6(1－0.8)＝0.12；
P(Y＝100)＝0.8×0.6＝0.48.
所以E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.
因?yàn)?4.4<57.6，所以小明應(yīng)選擇先回答B(yǎng)類問題．
鞏固訓(xùn)練3　解析：(1)由題可知，X的所有可能取值為0，30，50，60，
P(X＝0)＝1－0.4＝0.6，
P(X＝30)＝0.4×(1－0.6)＝0.16，
P(X＝50)＝0.4×0.6×(1－0.8)＝0.048，
P(X＝60)＝0.4×0.6×0.8＝0.192，
所以X的分布列為
X 0 30 50 60
P 0.6 0.16 0.048 0.192
(2)由(1)知，E(X)＝0×0.6＋30×0.16＋50×0.048＋60×0.192＝18.72.
若小康按照ABC順序答題，記Y為小康答題的累計(jì)得分，則Y的所有可能取值為0，10，30，60，
P(Y＝0)＝1－0.8＝0.2，
P(Y＝10)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，
P(Y＝30)＝0.8×0.6×(1－0.4)＝0.288，
P(Y＝60)＝0.8×0.6×0.4＝0.192，
所以E(Y)＝0×0.2＋10×0.32＋30×0.288＋60×0.192＝23.36，
故小樂的判斷正確．
隨堂檢測(cè)
1．解析：由分布列的性質(zhì)可知：a＋＋5a＋＝1，解得a＝，
由Y＝2X＋1，Y≥5 等價(jià)于X≥2，由表可知P(X≥2)＝＝ .故選A.
答案：A
2．解析：由題可知，＋m＋－2m＝1，解得m＝，
則E(X)＝0×＋2×＋4×＝.故選D.
答案：D
3．解析：因?yàn)镋(X)＝，且各概率之和為1，
所以解得
所以D(X)＝×(－2－)2＋×(0－)2＋×(1－)2＝.故選B.
答案：B
4．解析：設(shè)每張彩票的中獎(jiǎng)金額為隨機(jī)變量X，則X＝0，2，10，50，100，1 000.
由題意可知，P(X＝2)＝＝0.1，P(X＝10)＝＝0.03，P(X＝50)＝＝0.01，P(X＝100)＝＝0.005，P(X＝1 000)＝＝0.000 5，
所以P(X＝0)＝1－0.1－0.03－0.01－0.005－0.000 5＝0.854 5.
所以，X的分布列為
X 0 2 10 50 100 1 000
P 0.854 5 0.1 0.03 0.01 0.005 0.000 5
所以E(X)＝0＋2×0.1＋10×0.03＋50×0.01＋100×0.005＋1 000×0.000 5＝2.
答案：2第七節(jié)　二項(xiàng)分布、超幾何分布與正態(tài)分布
1.了解伯努利試驗(yàn)，掌握二項(xiàng)分布及其數(shù)字特征，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題．
2．了解超幾何分布及其均值，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題．
3．了解服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，了解正態(tài)分布的均值、方差及其含義．
問題思考·夯實(shí)技能　
【問題1】　“二項(xiàng)分布”與“超幾何分布”有什么區(qū)別？
【問題2】　一個(gè)正態(tài)分布由參數(shù)μ和σ完全確定，這兩個(gè)參數(shù)對(duì)正態(tài)曲線的形狀有何影響？它們反映正態(tài)分布的哪些特征？
關(guān)鍵能力·題型剖析
題型一 二項(xiàng)分布
例 1 [2024·河北唐山模擬]2023年10月1日，某超市舉行“迎國(guó)慶促銷抽獎(jiǎng)活動(dòng)”，所有購物的顧客，以收銀臺(tái)機(jī)打發(fā)票為準(zhǔn)，尾數(shù)為偶數(shù)(尾數(shù)中的奇偶數(shù)隨機(jī)出現(xiàn))的顧客，可以獲得三次抽獎(jiǎng)，三次抽獎(jiǎng)獲得獎(jiǎng)品的概率分別為，每次中獎(jiǎng)都可以獲得一份獎(jiǎng)品，且每次抽獎(jiǎng)是否中獎(jiǎng)互不影響．
(1)求顧客獲得兩個(gè)獎(jiǎng)品的概率；
(2)若3位購物的顧客，沒有獲獎(jiǎng)的人數(shù)記為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．
題后師說
二項(xiàng)分布概率公式可以簡(jiǎn)化求概率的過程，但要注意檢查該概率模型是否滿足公式P(X＝k)＝pk(1－p)n－k的三個(gè)條件：
(1)在一次試驗(yàn)中某事件A發(fā)生的概率是一個(gè)常數(shù)p；
(2)n次試驗(yàn)不僅是在完全相同的情況下進(jìn)行的重復(fù)試驗(yàn)，而且各次試驗(yàn)的結(jié)果是相互獨(dú)立的；
(3)該公式表示n次試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生了k次的概率．
鞏固訓(xùn)練1
[2024·河北保定模擬]某雜志社對(duì)投稿的稿件要進(jìn)行評(píng)審，評(píng)審的程序如下：先由兩位專家進(jìn)行初審．若兩位專家的初審都通過，則予以錄用；若兩位專家的初審都不通過，則不予錄用；若恰能通過一位專家的初審，則再由另外的兩位專家進(jìn)行復(fù)審，若兩位專家的復(fù)審都通過，則予以錄用，否則不予錄用．假設(shè)投稿的稿件能通過各位專家初審的概率均為，復(fù)審的稿件能通過各位專家復(fù)審的概率均為，且每位專家的評(píng)審結(jié)果相互獨(dú)立．
(1)求投到該雜志的1篇稿件被錄用的概率；
(2)記X表示投到該雜志的3篇稿件中被錄用的篇數(shù)，求X的分布列及期望．
題型二 超幾何分布
例 2 [2024·安徽安慶模擬]鄉(xiāng)村民宿立足農(nóng)村，契合了現(xiàn)代人遠(yuǎn)離喧囂、親近自然、尋味鄉(xiāng)愁的美好追求．某鎮(zhèn)在旅游旺季前夕，為了解各鄉(xiāng)村的普通型民宿和品質(zhì)型民宿的品質(zhì)，隨機(jī)抽取了8家規(guī)模較大的鄉(xiāng)村民宿，統(tǒng)計(jì)得到各家的房間數(shù)如下表：
民宿點(diǎn) 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛
普通型民宿 16 8 12 14 13 18 9 20
品質(zhì)型民宿 6 16 4 10 11 10 9 12
(1)從這8家中隨機(jī)抽取3家，在抽取的這3家的普通型民宿的房間均不低于10間的條件下，求這3家的品質(zhì)型民宿的房間均不低于10間的概率；
(2)從這8家中隨機(jī)抽取4家，記X為抽取的這4家中普通型民宿的房間不低于15間的家數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
題后師說
(1)超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù)．超幾何分布的特征是：①考察對(duì)象分兩類；②已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；③從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考查某類個(gè)體數(shù)X的概率分布．
(2)超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實(shí)質(zhì)是古典概型．
鞏固訓(xùn)練2
[2024·河北石家莊模擬]北方某市組織中學(xué)生開展冰雪運(yùn)動(dòng)的培訓(xùn)活動(dòng)，并在培訓(xùn)結(jié)束后對(duì)學(xué)生進(jìn)行了考核，記考核成績(jī)不小于80分的為優(yōu)秀，為了了解本次培訓(xùn)活動(dòng)的效果，在參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了60名學(xué)生的考核成績(jī)，如下表
成績(jī) [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100]
人數(shù) 5 5 15 25 10
(1)從參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)選取1人，請(qǐng)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，估計(jì)這名學(xué)生考核優(yōu)秀的概率；
(2)用分層抽樣的方法，在考核成績(jī)?yōu)閇70，90)的學(xué)生中任取8人，再從這8人中隨機(jī)選取4人，記取到考核成績(jī)?cè)赱80，90)的學(xué)生為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
題型三 正態(tài)分布
例 3 [2024·河南平頂山模擬]2022屆高校畢業(yè)生規(guī)模首次超過千萬，是近幾年增長(zhǎng)人數(shù)最多的一年，就業(yè)壓力暴增，畢業(yè)生的就業(yè)動(dòng)向成為各界人士關(guān)注的焦點(diǎn)話題．某地從2022年畢業(yè)的大學(xué)生中隨機(jī)抽取1 500名，對(duì)他們的就業(yè)去向及就業(yè)月薪(單位：千元)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下表格．
1 500名畢業(yè)生就業(yè)去向統(tǒng)計(jì)表
就業(yè)去向 考研深造 企業(yè) 事業(yè)單位 其他情況
人數(shù)/百人 6 4.5 3 1.5
900名畢業(yè)生就業(yè)第一個(gè)月的月薪統(tǒng)計(jì)表
月薪/千元 [3，4) [4，5) [5，6) [6，7) [7，8]
人數(shù)/百人 1 2 3 2 1
(1)若從該地2022年畢業(yè)的大學(xué)生中隨機(jī)抽取5人，估計(jì)這5人中恰好有2人到事業(yè)單位就業(yè)的概率；
(2)若在企業(yè)就業(yè)的畢業(yè)生第一個(gè)月的月薪近似服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似等于這900名畢業(yè)生第一個(gè)月的月薪的均值(每組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)，σ2近似等于這900名畢業(yè)生第一個(gè)月的月薪的方差，若該地區(qū)2022年有30 000名大學(xué)生畢業(yè)，由此估計(jì)該地在企業(yè)就業(yè)的畢業(yè)生中，就業(yè)第一個(gè)月的月薪大于7 810元的人數(shù)．(參考數(shù)據(jù)：≈1.155，P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5)
題后師說
(1)利用正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性研究相關(guān)概率問題，涉及的知識(shí)主要是正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱，曲線與x軸之間的面積為1.
(2)利用3σ原則求概率問題時(shí)，要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的μ，σ進(jìn)行對(duì)比聯(lián)系，確定它們屬于[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]中的哪一個(gè)．
鞏固訓(xùn)練3
(1)[2024·重慶沙坪壩模擬]某班學(xué)生的一次的數(shù)學(xué)考試成績(jī)?chǔ)?滿分：100分)服從正態(tài)分布：ξ～N(85，σ2)，且P(83<ξ<87)＝0.3，P(78<ξ<83)＝0.12，P(ξ<78)＝(　　)
A．0.14 B．0.18
C．0.23 D．0.26
(2)[2024·河南開封模擬]已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(a，σ2)(a>0)，若P(a<ξ≤a＋1)＝0.3，且f(x)＝x2－2ax＋6的最小值為－3，則P(ξ<2)＝______．
　
1．在一個(gè)袋中裝有質(zhì)地大小一樣的6個(gè)黑球，4個(gè)白球，現(xiàn)從中任取4個(gè)小球，設(shè)取的4個(gè)小球中白球的個(gè)數(shù)為X，則下列結(jié)論正確的是(　　)
A．P(X＝1)＝
B．隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布
C．隨機(jī)變量X服從超幾何分布
D．E(X)＝
2．[2021·新高考Ⅱ卷]某物理量的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布N(10，σ2)，下列結(jié)論中不正確的是(　　)
A．σ越小，該物理量在一次測(cè)量中在(9.9，10.1)的概率越大
B．σ越小，該物理量在一次測(cè)量中大于10的概率為0.5
C．σ越小，該物理量在一次測(cè)量中小于9.99與大于10.01的概率相等
D．σ越小，該物理量在一次測(cè)量中落在(9.9，10.2)與落在(10，10.3)的概率相等
3．(多選)若隨機(jī)變量X～B(9，)，下列說法中正確的是(　　)
A．P(X＝3)＝×()3×()6
B．期望E(X)＝3
C．期望E(4X－1)＝11
D．方差D(－2X＋5)＝8
4．[2022·新高考Ⅱ卷]已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(22.5)＝________．
狀元筆記 二項(xiàng)分布與超幾何分布的辨識(shí)
(1)超幾何分布的特點(diǎn)
①超幾何分布描述的是不放回抽樣問題．②特征：考查對(duì)象分兩類；已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)M，N；已知抽取次數(shù)n；隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù)，③實(shí)質(zhì)是古典概型．
(2)二項(xiàng)分布的特點(diǎn)
①二項(xiàng)分布描述的是有放回抽樣問題．②特征：做獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)；每次試驗(yàn)的“成功概率”p是已知的(或可求的)；已知抽取次數(shù)n；隨機(jī)變量為試驗(yàn)發(fā)生的次數(shù)．③實(shí)質(zhì)是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．
例 寫出下列離散型隨機(jī)變量的分布列，并指出其中服從二項(xiàng)分布的是哪些？服從超幾何分布的是哪些？
(1)X1表示n次重復(fù)拋擲1枚骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)的次數(shù)；
(2)有一批產(chǎn)品共有N件，其中次品有M件(N>M>0)，采用有放回抽取方法抽取n次(n>N)，抽出的次品件數(shù)為X2；
(3)有一批產(chǎn)品共有N件，其中M件為次品，采用不放回抽取方法抽取n件，出現(xiàn)次品的件數(shù)為X3(N－M>n>0)．
[解析]　這兩種分布的主要區(qū)別是：二項(xiàng)分布是有放回抽樣，而超幾何分布是不放回抽樣．
(1)X1的分布列為：
X1服從二項(xiàng)分布，即X1～B(n，)．
(2)X2的分布列為：
X2服從二項(xiàng)分布，即X2～B(n，)．
(3)X3的分布列為：
X3服從超幾何分布．
第七節(jié)　二項(xiàng)分布、超幾何分布與正態(tài)分布
問題思考·夯實(shí)技能
【問題1】　提示：有放回抽取問題對(duì)應(yīng)二項(xiàng)分布，不放回抽取問題對(duì)應(yīng)超幾何分布，當(dāng)總體容量很大時(shí)，超幾何分布可近似為二項(xiàng)分布來處理．
【問題2】　提示：μ決定了正態(tài)曲線的左右位置，σ決定了正態(tài)曲線的“高矮胖瘦”．它們反映了正態(tài)曲線的集中位置，離散程度．
關(guān)鍵能力·題型剖析
例1　解析：(1)顧客獲得兩個(gè)獎(jiǎng)品的概率為：
×()＝.
(2)1個(gè)顧客沒有獲獎(jiǎng)的概率為×()＋＝，
所以X～B(3，)，則X的可能取值為0，1，2，3，
P(X＝0)＝×()0×()3＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝×()2×()1＝，
P(X＝3)＝×()3×()0＝，
所以X的分布列為：
X 0 1 2 3
P
所以E(X)＝3×＝.
鞏固訓(xùn)練1　解析：(1)由題意可得投到該雜志的1篇稿件初審直接被錄用的概率P1＝()2＝；
投到該雜志的1篇稿件初審沒有被錄用，復(fù)審被錄用的概率P2＝×()2＝.
故投到該雜志的1篇稿件被錄用的概率P＝P1＋P2＝＝.
(2)由題意可知X的所有可能取值為0，1，2，3，且X～B(3，)，
P(X＝0)＝×()3＝，
P(X＝1)＝×()2＝＝，
P(X＝2)＝×()2×＝＝，
P(X＝3)＝×()3＝，
則X的分布列為
X 0 1 2 3
P
故E(X)＝3×＝.
例2　解析：(1)由題可知這8家鄉(xiāng)村民宿中普通型民宿的房間不低于10間的有6家，品質(zhì)型民宿和普通型民宿的房間均不低于10間的有4家．
記“這3家的普通型民宿的房間均不低于10間”為事件A，“這3家的品質(zhì)型民宿的房間均不低于10間”為事件B，則P(A)＝＝，P(AB)＝＝，
所以P(B|A)＝＝.
(2)這8家鄉(xiāng)村民宿中普通型民宿的房間不低于15間的有3家，故X的所有可能取值為0，1，2，3.
P(X＝0)＝＝＝，P(X＝1)＝＝＝，
P(X＝2)＝＝＝，P(X＝3)＝＝＝，
所以X的分布列如下表：
X 0 1 2 3
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
鞏固訓(xùn)練2　解析：(1)設(shè)該名學(xué)生考核成績(jī)優(yōu)秀為事件A，由已知60名同學(xué)的成績(jī)中，優(yōu)秀的有35名同學(xué)，所以P(A)＝＝，
所以可估計(jì)這名學(xué)生考核優(yōu)秀的概率為.
(2)由已知，用分層抽樣方法，在考核成績(jī)?yōu)閇70，90)的學(xué)生中任取8人，則考核成績(jī)?cè)赱70，80)的學(xué)生應(yīng)抽取3人，考核成績(jī)?cè)赱80，90)的學(xué)生應(yīng)抽取5人．
由題意可得X的所有可能取值為1，2，3，4，
所以P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.
所以隨機(jī)變量X的分布列為
X 1 2 3 4
P
所以E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，
即所求數(shù)學(xué)期望為.
例3　解析：(1)隨機(jī)抽取1人，該人到事業(yè)單位就業(yè)的概率估計(jì)為＝.
記“5人中恰好有2人去事業(yè)單位就業(yè)”為事件A，
則P(A)＝)2()3＝.
(2)這900名畢業(yè)生第一個(gè)月的月薪均值為×(3.5×1＋4.5×2＋5.5×3＋6.5×2＋7.5×1)＝5.5，
方差為×[(3.5－5.5)2＋2×(4.5－5.5)2＋3×(5.5－5.5)2＋2×(6.5－5.5)2＋(7.5－5.5)2]＝，
則σ＝ ＝≈1.155.
設(shè)在企業(yè)就業(yè)的畢業(yè)生第一個(gè)月的月薪為X(單位：千元)，則X～N(5.5，)，
P(X>7.81)＝P(X>μ＋2σ)＝＝0.022 75，
該地2022年畢業(yè)生中到企業(yè)就業(yè)的畢業(yè)生人數(shù)有30 000×＝9 000，
故到企業(yè)就業(yè)的畢業(yè)生第一個(gè)月的月薪大于7 810元的人數(shù)為9 000×0.022 75≈205人．
鞏固訓(xùn)練3　解析：(1)因?yàn)棣巍玁(85，σ2)，P(83<ξ<87)＝0.3，所以P(ξ<83)＝＝0.35，又P(78<ξ<83)＝0.12，
所以P(ξ<78)＝P(ξ<83)－P(78<ξ<83)＝0.23.故選C.
(2)因?yàn)閒(x)＝x2－2ax＋6的最小值為－3，所以f(a)＝－a2＋6＝－3，
即a2＝9，又a>0，所以a＝3，
即根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性，正態(tài)分布N(3，σ2)的正態(tài)密度曲線關(guān)于x＝3對(duì)稱，
即P(ξ>3)＝0.5，而P(3<ξ≤4)＝0.3，所以P(ξ>4)＝0.2，故P(ξ<2)＝P(ξ>4)＝0.2.
答案：(1)C　(2)0.2
隨堂檢測(cè)
1．解析：由題意知隨機(jī)變量X服從超幾何分布，故B錯(cuò)誤，C正確；
X的取值分別為0，1，2，3，4，則P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝，
故A，D錯(cuò)誤．故選C.
答案：C
2．解析：對(duì)于A，σ2為數(shù)據(jù)的方差，所以σ越小，數(shù)據(jù)在μ＝10附近越集中，所以測(cè)量結(jié)果落在(9.9，10.1)內(nèi)的概率越大，故正確；對(duì)于B，由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可知該物理量一次測(cè)量大于10的概率為0.5，故正確；對(duì)于C，由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可知該物理量一次測(cè)量結(jié)果大于10.01的概率與小于9.99的概率相等，故正確；對(duì)于D，因?yàn)樵撐锢砹恳淮螠y(cè)量結(jié)果落在(9.9，10.0)的概率與落在(10.2，10.3)的概率不同，所以一次測(cè)量結(jié)果落在(9.9，10.2)的概率與落在(10，10.3)的概率不同，故錯(cuò)誤．故選D.
答案：D
3．解析：隨機(jī)變量X～B(9，)，
則P(X＝3)＝×()3×()6，故A錯(cuò)誤；
E(X)＝9×＝3，故B正確；
E(4X－1)＝4E(X)－1＝4×3－1＝11，故C正確；
因?yàn)镈(X)＝9××(1－)＝2，所以D(－2X＋5)＝(－2)2D(X)＝4×2＝8，故D正確．故選BCD.
答案：BCD
4．解析：由題意可知P(X>2)＝0.5，所以P(X>2.5)＝P(X>2)－P(2答案：0.14

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