資源簡(jiǎn)介

培優(yōu)點(diǎn) 02 指、對(duì)、冪的大小比較（3 種核心題型+基礎(chǔ)保分
練+綜合提升練+拓展沖刺練）
【考試提醒】
指數(shù)與對(duì)數(shù)是高中一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)，也是高考必考考點(diǎn)，其中指數(shù)、對(duì)數(shù)及冪的大小
比較是近幾年的高考熱點(diǎn)和難點(diǎn)，主要考查指數(shù)、對(duì)數(shù)的互化、運(yùn)算性質(zhì)，以及指數(shù)函數(shù)、
對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì)，一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)在壓軸題的位置．
【核心題型】
題型一　直接法比較大小
利用特殊值作“中間量”
1
在指數(shù)、對(duì)數(shù)中通常可優(yōu)先選擇“－1,0，，1”對(duì)所比較的數(shù)進(jìn)行劃分，然后再進(jìn)行比較，
2
有時(shí)可以簡(jiǎn)化比較的步驟，也有一些題目需要選擇特殊的常數(shù)對(duì)所比較的數(shù)的值進(jìn)行估計(jì)，
例如 log23，可知 1＝log22而便于比較．
命題點(diǎn) 1　利用函數(shù)的性質(zhì)
【例題 1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知 a = 30.6，b = log25， c = log3 2 3 ，則實(shí)數(shù) a，b，c 的
大小關(guān)系是（ ）
A．b > a > c B． a > b > c C．b > c > a D． a > c > b
【變式 1】（2024·四川德陽(yáng)·二模）已知 a = 4ln3π ,b = 3π,c = 4lnπ3 ，則 a,b,c的大小關(guān)系是
（ ）
A． c < b < a B．b【變式 2】（2023·甘肅平?jīng)觥つM預(yù)測(cè)）已知冪函數(shù) f x = mxn 的圖象過(guò)點(diǎn) 2, 2 2 ，設(shè)
a = f m ,b = f n ,c = f ln 2 ，則 a、b、c 的大小用小于號(hào)連接為 ．
13
【變式 3】（2023·黑龍江哈爾濱·三模）若 a = log23 + log3 2,b = log2e + ln2,c = ，則實(shí)數(shù) a,b,c6
由小到大排列為 < < .
命題點(diǎn) 2　找中間值
【例題 2】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知 a = ln 5，b = log3 5， c = 5-0.3，則（ ）
A．b【變式 1】（2024· -0.3黑龍江雙鴨山·模擬預(yù)測(cè)）已知a = log5 3,b = log4 3,c = 0.4 ，則（ ）
A． a < b < c B． a < c < b
C．b < c < a D． c < a < b
1
【變式 2】（2024·四川成都·三模）2-3,23 ,sin 3 , log 12 四個(gè)數(shù)中最大的數(shù)是（ ）2 3
1
A． 2-3 B． 23 C． sin
3
D． log
1
2 2 3
π
【變式 3】（2024·北京石景山·一模）設(shè) a = 20.3 ，b = sin ， c = ln2，則（12 ）
A． c < b < a B．b命題點(diǎn) 3　特殊值法
【例題 3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若 logab >1，則下列不等式一定成立的是（ ）
1 1 1 1
A． a > b B． ab < a + b -1 C． a + > b + D． a - < b -
b a b a
【變式 1】（多選）（2024·福建龍巖·一模）下列命題正確的是（ ）
A．若 a < b < 0，則 a2 > ab > b2
B．若 a < b < 0，則 ac2 < bc2
c c
C．若0 < a < b < c ，則 >
a b
b
D．若0 < a < b，則 2a + > 2 ab
2
【變式 2】（多選）（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）下列說(shuō)法正確的有（ ）
A．若 0 < a < 1，則 ln a
1
+ -2 B．若 lg a < lgb ，則
ln a a
2 < b2
C．若 a < b < c, a + b + c = 0，則 c - a b2 > 0 D 2a．若 < 2b a,b N* ，則 a - b -1
【變式 3】（2024·上海靜安·二模）在下列關(guān)于實(shí)數(shù) a、b的四個(gè)不等式中，恒成立的
是 ．（請(qǐng)?zhí)钊肴空_的序號(hào)）
① ② a + b
2
a + b 2 ab ； ÷ ab；③ | a | - | b | | a - b |；④ a
2 + b2 2b -1．
è 2
題型二　利用指數(shù)、對(duì)數(shù)及冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)比較大小
求同存異法比較大小
如果兩個(gè)指數(shù)或?qū)?shù)的底數(shù)相同，則可通過(guò)真數(shù)的大小與指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷出指
數(shù)或?qū)?shù)的大小關(guān)系，要熟練運(yùn)用指數(shù)、對(duì)數(shù)公式、性質(zhì)，盡量將比較的對(duì)象轉(zhuǎn)化為某一部
分相同的情況．
-0.3
【例題 4】（2024· 1 天津·一模）已知 a = 30.3，b = log4 3， c = ÷ ，則 a，b，c 的大小關(guān)系為
è 2
（ ）
A．b < a < c B．b-0.2 π
【變式 1】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知 a = π ,b = log3π,c = sin ，則（ ）5
A． a < b < c B． a < c < b C． c3.2 3.2
【變式 2】（2024·廣東肇慶·模擬預(yù)測(cè)）已知 a =1.01 ,b = 0.52 ,c = log0.523.2，則（ ）
A． a > b > c B． c > b > a
C． c > a > b D．b > a > c
1
2 -
【變式 3】（2024· · 3四川攀枝花 二模）若 a = 3 3 ,b = log e,c = 1 3 ÷ ，則（ ）
è e
A． a > c > b B． a > b > c C． c > a > b D． c > b > a
題型三　構(gòu)造函數(shù)比較大小
某些數(shù)或式子的大小關(guān)系問(wèn)題，看似與函數(shù)的單調(diào)性無(wú)關(guān)，細(xì)心挖掘問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系，抓住
其本質(zhì)，將各個(gè)值中的共同的量用變量替換，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，
進(jìn)而比較大小．
11
【例題 5】（2024 高三·全國(guó)·專題練習(xí)）若 a =1.1,b = ln e， c = e0.1，則 a,b,c的大小關(guān)系為10
（ ）
A．b < a < c B． a < b < c C．b【變式 1】（2024·遼寧·二模）若 a =1.01+ sin0.01,b =1+ ln1.01,c = e0.01，則（ ）
A．b > c > a B． a > c > b
C． c > b > a D． c > a > b
1 ln 2 ln3
【變式 2】（2023· e 2 3遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知 a 1= ÷ ,b
ln 2= ln 3 ÷ ,c = ÷ ，試比較 a,b,c的
è e è 2 è 3
大小關(guān)系（ ）
A． a < b < c B．b < a < c
C． a < c < b D． c < b < a
5 2 - ln5 1 ln4
【變式 3】（2023·湖南·模擬預(yù)測(cè)）設(shè) a = b = c = a c
e2
， ， ，則 ，b ， 的大小順
e 4
序?yàn)椋? ）
A． a < c < b B． c < a < b C． a < b < c D．b < a < c
【課后強(qiáng)化】
基礎(chǔ)保分練
一、單選題
1．（2024·天津·二模）若 a = log1 1.9，b = log 15.8， c = 22.012 ，則 a，b ， c的大小關(guān)系為
3
（ ）
A． c > a > b B． c > b > a C． a > b > c D．b > a > c
e
2．（2024·北京順義·二模）已知 a = log 2 1
1
4 ，b =

÷ ， c = π 2 ，則（ ）è 2
A． a > b > c B．b > a > c C． c > b > a D． c > a > b
2
π π
3．（2024· · π 全國(guó) 模擬預(yù)測(cè)）若 a = 22 ，b = ÷ ， c = log π cos 5 ，則（ ）è 2 2
A． a > b > c B．b > a > c C． a > c > b D．b > c > a
3
4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若 a = log 3,b = 0.1 2 ,c = ln cos2 2023 ，則下列大小關(guān)系正確的是8
（ ）
A．b < a < c B． c < a < b C． a < b < c D． c < b < a
二、多選題
5．（2024·貴州遵義·一模）已知正實(shí)數(shù) a，b 滿足 sin a + ln a = b + ln b，則（ ）
1 1 1 1
A． 2a > b B． - -a 2 b 2 C．
log1 a < log1 b
> D． ae e e > eb
6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知 a > 0，b > 0，且 a + b = 2 ，則（ ）
A． a2
1
+ b2 2 B． < 2a-b < 4 C． log2a + log2b 0 D．4 a
2 - b > 0
三、填空題
- 3
2 2 37．（2023· 1吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）已知 a = log 3 ，b =2 2 ÷3 ÷
， c = ln ，則 a，b，c 的
è e
大小關(guān)系為 ．
8．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知 a = ln 3，b = log11 3，現(xiàn)有如下說(shuō)法：① a < 2b；
② a + b > 3ab；③ b - a < -ab .則正確的說(shuō)法有 .（橫線上填寫正確命題的序號(hào)）
四、解答題
9．（22-23 高三·全國(guó)·對(duì)口高考）（1）比較 aabb與baab(a > 0,b > 0)的大??；
（2）已知 a > 2，比較 log(a-1) a與 loga (a +1)大小
10 5 -1．（2020 高三·上海·專題練習(xí)）設(shè) a > ，且a 1，記
2
x = loga 2 , y = loga+1 2, z = log 2，試比較 x, y, za+2 的大小.
綜合提升練
一、單選題
1 3．（2024·天津河?xùn)|·一模）設(shè) a = 2 ,b = log2 3,c = log 3，則 a,b,c3 的大小關(guān)系為（ ）
A．b2．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）設(shè) a = log3 2,b = log33 3,c = log2 2 2, d = 2
0.49 ，則（ ）
A． a < b = c < d B． d < c = b < a
C． a < d < b = c D． c < a < d < b
3
3．（2024· 2陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）若 a 1= ,b = ln
2023 ,c = log 3 ，則（ ）
12 ÷ 2024 27
8
è
A．b < c < a B． a < c < b C．b < a < c D． c < b < a
3 1
4 -2．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知a = ln ,b = ,c = e ，則 a,b,c的大小關(guān)系為（
2 3 ）
A． a > b > c B． a > c > b C．b > a > c D．b > c > a
3
-
5 2023· · 3 8．（ 天津河北 一模）若 a ,b log 3= ÷ = 1 ,c = log
3，則 a,b,c的大小關(guān)系為（ ）
1
è 7 7 7 8 8
A．b < a < c B． c < b < a
C． c < a < b D．b < c < a
6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知 a > b >1，則下列各式一定成立的是（ ）
A． log b >1 B． ln a - b > 0 C． 2ab+1 < 2a+b D．b ×aba < a ×ba
7．（2024·寧夏銀川·二模）定義域?yàn)镽 的函數(shù) f (x) 滿足 f (x + 2)為偶函數(shù)，且當(dāng) x1 < x2 < 2時(shí)，
5
[ f (x2 ) - f (x1)](x2 - x1) > 0恒成立，若 a = f (1) ，b = f (ln10)， c = f (34 )，則 a，b ， c的大小關(guān)
系為（ ）
A． a < b < c B． c < b < a C． b < a < c D． c < a < b
π 9π
8．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知 a = e10 ，b =1+ sin ， c = 1.1
6 ，則 a，b ， c的大小關(guān)系為
10
（ ）
A． a > b > c B． a > c > b C． c > a > b D． c > b > a
二、多選題
9．（2023·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）下列是 a > b > c（ a，b ， c 0）的必要條件的是（ ）
A． ac > bc B． ac 2 > bc 2
C． 2a-c > 2a-b D．7a+b > 7b+c
x
10．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù) a,b,c，其中 a,c c > a > 0 e是函數(shù) f x = - m m > e
x
b b = log 3a + 22c的兩個(gè)零點(diǎn)．實(shí)數(shù) 滿足 7 b >1 ，則下列不等式一定成立的有（ ）
A． a + c < b +1 B． c - a > b -1
c
C． > b D． ac < b
a
11．（2024·重慶·一模）已知3a = 5b =15，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． lga > lgb B． a + b = ab
a b
C 1 > 1 ． 2 ÷ ÷
D． a + b > 4
è è 2
三、填空題
12．（23-24 高三上·北京昌平·階段練習(xí)）①在VABC 中，b = 2 ， c = 3， B = 30°，則
a = ；
②已知 a = 90.1，b = 30.4 ， c = log4 0.3，則a、b、c的大小關(guān)系是
1
13．（22-23 高三上·
3
陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）已知 a = log 7 ,b = 1 ÷ ,c = log 5，則 a，b，c 的3 2 è 4 1 3
大小關(guān)系為 .
14．（2023 高三上·全國(guó)·專題練習(xí)）若 n N* ， n >1，則 logn n +1 與 logn+1 n + 2 的大小關(guān)
系為 .（用“ <”連接）
四、解答題
15．（22-23 高三上·甘肅蘭州·階段練習(xí)）比較下列兩組數(shù)的大小（寫出詳細(xì)理由）．
(1)a=0.40.3，b=0.30.3，c=0.30.4
(2)a=log26，b=log312，c=log515
16．（2020高三·全國(guó)·專題練習(xí)）比較大?。孩?5.25-1，5.26-1 ，5.26-2 ；② 0.53 ，30.5 ， log3 0.5；
③ log0.7 6，0.76 ，60.7 ．
17．（2022 高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知 a,b均為正實(shí)數(shù)，且a 1．
a b 1 1
(1)比較 2 + 2 與 + 的大?。籦 a a b
(2)比較 log 3 2a b +1 和 loga b +1 的大小．
18．（22-23 高三下·全國(guó)·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù) f x = ex - ax -1 a R 的最小值為 0．
(1)求實(shí)數(shù) a 的值；
(2) m =1.1+ ln 0.1 m = 0.1e0.1 1設(shè) 1 ， 2 ，m3 = ，判斷m1 ，m2 ，m3的大小．9
19．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù) f (x) = ax ln(x -1) - x2 + x．
(1)當(dāng) a = 2時(shí)，討論 g(x) = f (x) - x 的單調(diào)性．
(2)若 f (x)
4
有兩個(gè)零點(diǎn) x1, x2 ，且 x1 < x2，證明： ln é x1 -1 x2 -1 ù > ．a(chǎn)
拓展沖刺練
一、單選題
1．（2024·北京東城·一模）已知 a,b R, ab 0，且 a < b ，則（ ）
1 1
A． > B． ab < b2 C． a3 < b3 D． lg a < lg ba b
1 -0.6 1 2
2．（2024·天津·一模）已知函數(shù) f x = x - x ，若 a = f 2 ÷ ÷÷ ,b = f log ÷，e 1èè è 2 9
1
c = f 43 ÷ ，則 a,b,c的大小關(guān)系為（ ）
è
A． a < b < c B． c < b < a C． a < c < b D．b3．（2024·安徽阜陽(yáng)·一模）設(shè)a = log23,b = log812,c = lg15，則 a,b,c的大小關(guān)系為（ ）
A． a < b < c B． a < c < b C．b < a < c D． c < b < a
4．（2023·山西·模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù) a,b,c滿足 ln a
1
= ，b = 3log 2，6c7 = 7，則（ ）5
A． c > a > b B．b > a > c
C． a > c > b D． a > b > c
5．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）已知 a
1 1 6
= + ，b = ln ， c = log 7 -1 ln 5，則（ ）
10 11 5 6
A． a > b > c B．b > c > a C． a > c > b D． c > a > b
二、多選題
6．（2023·山東青島·三模）已知實(shí)數(shù) a，b，滿足 a＞b＞0， ln a ln b =1，則（ ）
ab+1 a+b
A ab > e2 B log 2 < log 2 C
1 1< ． ． ． D． aabb > ab aa b 2 ÷
b
è è 2 ÷
7．（2023·云南大理·模擬預(yù)測(cè)）若12a = 3，12b = 4，則（ ）
b
A． >1 B． ab
1
>
a 4
1
C 2 2． a + b > D． 2a-b
1
>
2 2
三、填空題
8．（22-23 2高三·全國(guó)·對(duì)口高考）將0.3 , log2 0.5, log0.5 1.5由小到大排列的順序
是： ．
9．（23-24 0.2 0.3高三上·新疆喀什·期中）已知 a = log2 0.2, b = 0.2 ,c = 0.2 ，則 a,b,c的大小關(guān)系
是 （用“＜”表示）
10．（2023 高三上·全國(guó)·競(jìng)賽）已知 a = eπ ，b = πe ， c = ( 2)eπ ，則這三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系
為 ．（用“ <”連接）
四、解答題
2
11．（2024· x + 3x + 2遼寧撫順·三模）設(shè)函數(shù) f x = x+1 , g x = x - ln x +1 ．e
(1)討論 f x 的單調(diào)性．
(2)證明： g x 0 ．
(3)當(dāng) x > e -1時(shí)，證明： f x < ln x + 2 ．培優(yōu)點(diǎn) 02 指、對(duì)、冪的大小比較（3 種核心題型+基礎(chǔ)保分
練+綜合提升練+拓展沖刺練）
【考試提醒】
指數(shù)與對(duì)數(shù)是高中一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)，也是高考必考考點(diǎn)，其中指數(shù)、對(duì)數(shù)及冪的大小
比較是近幾年的高考熱點(diǎn)和難點(diǎn)，主要考查指數(shù)、對(duì)數(shù)的互化、運(yùn)算性質(zhì)，以及指數(shù)函數(shù)、
對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì)，一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)在壓軸題的位置．
【核心題型】
題型一　直接法比較大小
利用特殊值作“中間量”
1
在指數(shù)、對(duì)數(shù)中通?？蓛?yōu)先選擇“－1,0，，1”對(duì)所比較的數(shù)進(jìn)行劃分，然后再進(jìn)行比較，
2
有時(shí)可以簡(jiǎn)化比較的步驟，也有一些題目需要選擇特殊的常數(shù)對(duì)所比較的數(shù)的值進(jìn)行估計(jì)，
例如 log23，可知 1＝log22而便于比較．
命題點(diǎn) 1　利用函數(shù)的性質(zhì)
【例題 1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知 a = 30.6，b = log25， c = log3 2 3 ，則實(shí)數(shù) a，b，c 的
大小關(guān)系是（ ）
A．b > a > c B． a > b > c C．b > c > a D． a > c > b
【答案】A
3 0.6
【分析】利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可得 a = 3 2、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得b = log
2 2
5 > 2 ，
c = log3 2 3
3
，從而可得結(jié)果.
2
3 5
【詳解】由 y = 3x R 0.6 0.5在 上單調(diào)遞增，可得3 > 3 = 3 > ，又 30.6 = 27 25 = 32 ，2
3
a = 30.6則 2．
2
由 y = log2x 在 0, + 上單調(diào)遞增，可得b = log25 > log2 4 = 2．
由 y = log3x在 0, + 上單調(diào)遞增，可得 c = log3 2 3 log33 3
3
= ．
2
所以b > a > c，
故選：A
【變式 1】（2024·四川德陽(yáng)·二模）已知 a = 4ln3π ,b = 3π,c = 4lnπ3 ，則 a,b,c的大小關(guān)系是
（ ）
A． c b a B．b【答案】B
a,c f x ln x【分析】觀察 的式子結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù) = ，利用導(dǎo)數(shù)判斷得 f x 的單調(diào)性，從
x
而判斷得 c a，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷得b c ，從而得解.
【詳解】因?yàn)?a = 4ln3π = 4π ln 3,b = 3π,c = 4lnπ3 = 4 3ln π，
ln x 1- ln x
觀察 a,c 的式子結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù) f x = ，則 f (x) = ，
x x2
當(dāng) x (0,e)時(shí)， f (x) > 0, f (x)單調(diào)遞增，
當(dāng) x (e,+ )時(shí)， f (x) 0, f (x) 單調(diào)遞減，
π 3 e f (π) f (3) ln π ln 3因?yàn)?> > ，所以 ，即 π 3 ，
所以3ln π π ln 3，即 4 3ln π 4π ln 3，即 c a；
又 ln π > lne =1，所以3π 3 4 4 3ln π ，即b c ；
綜上，b故選：B.
【變式 2】（2023· n甘肅平?jīng)觥つM預(yù)測(cè)）已知冪函數(shù) f x = mx 的圖象過(guò)點(diǎn) 2, 2 2 ，設(shè)
a = f m ,b = f n ,c = f ln 2 ，則 a、b、c 的大小用小于號(hào)連接為 ．
【答案】 c【分析】首先求出冪函數(shù)的解析式，再利用其單調(diào)性即可比較大小.
【詳解】?jī)绾瘮?shù) f x = mxn的圖象過(guò)點(diǎn) 2,2 2 ，
ìm =1
則 í n m =1,n = 3，
m( 2 ) = 2 2
3
所以冪函數(shù)的解析式為 f x = x ，且函數(shù) f x 為單調(diào)遞增函數(shù)，
又 ln 2 1 3，所以 f (ln 2) f (1) f (3)，即 c故答案為： c13
【變式 3】（2023·黑龍江哈爾濱·三模）若 a = log23 + log3 2,b = log2e + ln2,c = ，則實(shí)數(shù) a,b,c6
由小到大排列為 < < .
【答案】 b c a
【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù) f (x) = log2 x + log x 2, x > 2，再利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性比較
大小作答.
3 2
【詳解】依題意， c = + = log2 2 2 + log 2，而 a = log23 + log3 2,b = log2e + ln22 2 ，2 3
ln x ln 2
令函數(shù) f x = log2 x + log x 2 = + , x > 2，求導(dǎo)得ln 2 ln x
2
f (x) 1 ln 2 (ln x) - (ln 2)
2
= - 2 = > 0，x ln 2 x(ln x) (x ln 2)(ln x)2
因此函數(shù) f (x) 在 (2,+ ) 上單調(diào)遞增，而 2 e 2 2 3，于是 f (e) f (2 2) f (3) ，
又 a = f (3),b = f (e),c = f (2 2)，所以b故答案為：b；c；a
命題點(diǎn) 2　找中間值
【例題 2】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知 a = ln 5，b = log 5， c = 5-0.33 ，則（ ）
A．b【答案】C
【分析】通過(guò)和 1 的比較可得答案.
log3 5
【詳解】因?yàn)?a = ln 5 = > b = log 5 >1， c = 5-0.3log e 3 1，所以 c b a ．3
故選：C
【變式 1】（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預(yù)測(cè)）已知a = log5 3,b = log 3,c = 0.4
-0.3
4 ，則（ ）
A． a b c B． a c b
C．b c a D． c a b
【答案】A
【分析】由 log3 5 > log3 4 > 1，利用換底公式可判斷 a b 1,利用指數(shù)性質(zhì)可判斷 c >1，進(jìn)
而得出結(jié)果.
【詳解】由題得a = log5 3
1
= ,b = log 3 1=
log 5 4 log 4 ，3 3
而 log3 5 > log3 4 > 1，所以a b 1,c = 0.4-0.3 > 0.40 =1，
所以 a b c .
故選：A.
1
2 2024· · 2-3,23 ,sin 3 , log 1【變式 】（ 四川成都 三模） 2 四個(gè)數(shù)中最大的數(shù)是（ ）2 3
3 1- sin 3 1A． 2 B． 23 C． D． log2 2 3
【答案】B
【分析】引入 0，1，分別比較這四個(gè)數(shù)和 0，1 的大小，即可得到結(jié)論.
-3 1 1 1 3 1
【詳解】因?yàn)?2 = 3 = 1， 23 > 20 =1， sin 1， log = - log2 8 2 2 3 2
3 0 .
1
所以 23 最大.
故選：B
【變式 3】（2024·北京石景山·一模）設(shè) a = 20.3 ，b = sin
π
， c = ln2，則（
12 ）
A． c b a B．b【答案】B
1
【分析】根據(jù)給定的條件，利用指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)的性質(zhì)，借助1， 進(jìn)行比較判斷
2
選項(xiàng).
π π 1
【詳解】 a = 20.3 > 20 =1，b = sin sin = ，12 6 2
1
而 e 2 e，則 ln 2
1
1，即 c 1，所以b c a .
2 2
故選：B
命題點(diǎn) 3　特殊值法
【例題 3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若 logab >1，則下列不等式一定成立的是（ ）
A． a > b B． ab a + b 1 a
1 b 1 a 1 1- C． + > + D． - b -
b a b a
【答案】D
1
【分析】由 logab >1，分類討論 0 a 1和 a > 1可判斷 A，B；取特值可判斷 C；根據(jù) y = x + x
的單調(diào)性可判斷 D.
【詳解】因?yàn)?logab >1，所以 logab > logaa ，
當(dāng) 0 a 1時(shí)，解得 0 b a 1；當(dāng) a > 1時(shí)，解得1 a b，
所以 a -1 b -1 > 0，即 ab > a + b -1，A，B 錯(cuò)誤.
a = 2,b = 3 a 1 1當(dāng) 時(shí)， + b + ，C 錯(cuò)誤.
b a
y x 1因?yàn)?= + 在 0,1 1 1上單調(diào)遞減，在 1, + 上單調(diào)遞增，所以 a + b +a b ，x
1 1
即 a - b - ，D 正確.
b a
故選：D
【變式 1】（多選）（2024·福建龍巖·一模）下列命題正確的是（ ）
A．若 a b 0，則 a2 > ab > b2
B．若 a b 0，則 ac2 bc2
c c
C．若0 a b c ，則 >
a b
D．若0 a b，則 2a
b
+ > 2 ab
2
【答案】AC
【分析】對(duì) A 和 C 利用不等式性質(zhì)即可判斷，對(duì) B 和 D 舉反例即可反駁.
【詳解】對(duì) A，因?yàn)?a b 0，則兩邊同乘 a得a2 > ab ，兩邊同乘b 得 ab > b2 ，
則 a2 > ab > b2 ，故 A 正確；
對(duì) B，當(dāng) c = 0 時(shí)， ac2 = bc2 ，故 B 錯(cuò)誤；
1 1 c c
對(duì) C，因?yàn)? a b，則 > ，又因?yàn)?c > 0，所以 > ，故 C 正確；
a b a b
b 8
對(duì) D，舉例 a = 2,b = 8，則 2a + = 2 2 + = 8，而
2 2 2 ab = 2 2 8 = 8
，
此時(shí)兩者相等，故 D 錯(cuò)誤.
故選：AC.
【變式 2】（多選）（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）下列說(shuō)法正確的有（ ）
1
A．若 0 a 1，則 ln a + -2 B．若 lg a lgb ，則
ln a a
2 b2
C．若 a b c, a + b + c = 0，則 c - a b2 > 0 D a b．若 2 2 a,b N* ，則 a - b -1
【答案】ABD
【分析】運(yùn)用基本不等式，結(jié)合特例法、不等式的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性逐一判斷即可.
【詳解】選項(xiàng) A：當(dāng) 0 a 1時(shí)， ln a 0,
1
- ln a + 2 - ln a ，
ln a 1 1 1所以 + -2 ，當(dāng)且僅當(dāng) ln a = ，即 a = 時(shí)等號(hào)成立，故選項(xiàng) A 正確；
ln a ln a e
選項(xiàng) B：由 lg a lgb 得0 a b，所以 a2 b2 ，故選項(xiàng) B 正確；
選項(xiàng) C：令 a = -3,b = 0,c = 3，滿足 a b c, a + b + c = 0 c - a b2，但 > 0不成立，故選項(xiàng) C
錯(cuò)誤；
選項(xiàng) D：由 2a 2b 得 a b ，因?yàn)?a,b N* ，所以 a +1 b，所以 a - b -1，故選項(xiàng) D 正確．
故選：ABD.
【變式 3】（2024·上海靜安·二模）在下列關(guān)于實(shí)數(shù) a、b的四個(gè)不等式中，恒成立的
是 ．（請(qǐng)?zhí)钊肴空_的序號(hào)）
① a + b
2
a + b 2 ab ② ； ÷ ab；③ | a | - | b | | a - b |；④ a
2 + b2 2b -1．
è 2
【答案】②③④
【分析】取特值可判斷①；作差法可判斷②④；要證 | a | - | b | | a - b |即證 2 a b 2ab 可判
斷③.
【詳解】對(duì)于①，取 a = -1,b =1，故①錯(cuò)誤；
② a + b
2
2 2ab a + b + 2ab - 4ab a
2 + b2 - 2ab a - b 2
- = = = 對(duì)于 ， ÷ ÷ 0，故②正確；
è 2 4 4 è 2
對(duì)于③，當(dāng) a b ，要證 | a | - | b | | a - b |
2 2
，即證 a - b a - b ，
即 a |2 + b |2 -2 a b a2 + b2 - 2ab，即證 2 a b 2ab ，
而 2 a b 2ab 恒成立，
當(dāng) a b 時(shí)， a - b 0, a - b 0 ，所以 | a | - | b | | a - b |，故③正確.
對(duì)于④， a2 + b2 - 2b +1 = a2 + b -1 2 0，所以 a2 + b2 2b -1，故④正確.
故答案為：②③④.
題型二　利用指數(shù)、對(duì)數(shù)及冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)比較大小
求同存異法比較大小
如果兩個(gè)指數(shù)或?qū)?shù)的底數(shù)相同，則可通過(guò)真數(shù)的大小與指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷出指
數(shù)或?qū)?shù)的大小關(guān)系，要熟練運(yùn)用指數(shù)、對(duì)數(shù)公式、性質(zhì)，盡量將比較的對(duì)象轉(zhuǎn)化為某一部
分相同的情況．
-0.3
【例題 4】（2024·天津·一模）已知 a = 30.3 b = log 3 c
1
， 4 ， = ÷ ，則 a，b，c 的大小關(guān)系為
è 2
（ ）
A．b a c B．b【答案】B
【分析】由冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案.
【詳解】因?yàn)? = log4 1 b = log4 3 log4 4 =1，
1 -0.3c = =20.3 ÷ >1， a = 30.3 >1，
è 2
因?yàn)?y = x0.3 在 0, + 上單調(diào)遞增，
所以 20.3 30.3 ，所以b故選：B
a π-0.2 ,b log π,c sin π【變式 1】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知 = = 3 = ，則（ ）5
A． a b c B． a c b C． c【答案】C
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷 a 的范圍，利用指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)以及正弦函數(shù)的單調(diào)性
可比較 a,c 的大小關(guān)系，結(jié)合 b 的范圍，即可判斷出答案.
【詳解】由題意得 a = π-0.2 π0 =1，
a π-0.2 4-0.2 2-0.4 2-0.5 2 π π且 = > = > = = sin > sin = c ，
2 4 5
又b = log3π >1，故 c故選：C
2 3.2 3.2【變式 】（2024·廣東肇慶·模擬預(yù)測(cè)）已知 a =1.01 ,b = 0.52 ,c = log0.523.2，則（ ）
A． a > b > c B． c > b > a
C． c > a > b D．b > a > c
【答案】A
【分析】利用冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來(lái)判斷即可.
【詳解】?jī)绾瘮?shù) y = x3.2 在 0, + 上單調(diào)遞增，故 a =1.013.2 > 0.523.2 = b > 0 ，
又 c = log0.523.2 log0.521 = 0，
所以 a > b > c .
故選：A.
1
2 -
3 2024· · 1 3【變式 】（ 四川攀枝花 二模）若 a = 3 3 ,b = log ，則（ ）3 e,c = ÷
è e
A． a > c > b B． a > b > c C． c > a > b D． c > b > a
【答案】A
【分析】利用冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可.
1
1 2 1 1 -3
【詳解】易知 y = x3 在 0, + 上單調(diào)遞增，則 3 3 = 33 > e3 = 1 ÷ ，即 a > c ，
è e
x
而由 y = a
1 1
a >1 單調(diào)遞增，得33 > 30 =1,e3 > e0 =1，即 a > c >1，
又 y = log3 x單調(diào)遞增，故1 = log3 3 > b = log3 e,則 a > c >1 > b .
故選：A
題型三　構(gòu)造函數(shù)比較大小
某些數(shù)或式子的大小關(guān)系問(wèn)題，看似與函數(shù)的單調(diào)性無(wú)關(guān)，細(xì)心挖掘問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系，抓住
其本質(zhì)，將各個(gè)值中的共同的量用變量替換，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，
進(jìn)而比較大?。?br/>11
【例題 5】（2024 高三·全國(guó)·專題練習(xí)）若 a =1.1,b = ln e， c = e0.1，則 a,b,c的大小關(guān)系為10
（ ）
A．b a c B． a b c C．b【答案】A
【分析】構(gòu)造函數(shù)m(x) = ln x - x +1, n(x) = ex - x -1，利用導(dǎo)數(shù)求證不等式 ln x x -1,和
ex x +1，即可求解.
【詳解】設(shè)m(x) = ln x - x +1, n(x) = ex - x -1，
則當(dāng) x >1
1
時(shí), m (x) = -1 0,m x 在 1, + 單調(diào)遞減，
x
當(dāng)0 x 1時(shí)，m (x) > 0, m x 在 0,1 單調(diào)遞增，故當(dāng)m(x) m 1 = 0，故 ln x x -1,當(dāng)且僅
當(dāng) x =1時(shí)取等號(hào)，
當(dāng) x > 0,n x = ex -1 > 0 x > 0,n x 在 0, + 單調(diào)遞增，
當(dāng) n x = ex -1 0 x 0, n x 在 - ,0 單調(diào)遞減，所以 n(x) n(0) = 0，故 ex x +1，當(dāng)且
僅當(dāng) x = 0時(shí)取等號(hào)，
b ln 11 e=ln 11所以 = +1 1.1 ，故b a ．
10 10
e0.1 >1.1，故 a c
因此b a c，
故選：A
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：比較大小問(wèn)題，常常根據(jù)：
（1）結(jié)合函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行比較；
（2）利用特殊值進(jìn)行估計(jì)，再進(jìn)行間接比較；
（3）根據(jù)結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性，進(jìn)而判斷大小
【變式 1】（2024·遼寧·二模）若 a =1.01+ sin0.01,b =1+ ln1.01,c = e0.01，則（ ）
A．b > c > a B． a > c > b
C． c > b > a D． c > a > b
【答案】B
【分析】通過(guò)構(gòu)造函數(shù) f (x) =1+ x + sin x - ex ，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，得到
1
f (x) =1+ x + sin x - ex 在區(qū)間 (0, )上單調(diào)遞增，從而得出 c a，構(gòu)造函數(shù)
2
G(x) = ex - ln(x +1) -1，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，得到G(x) = ex - ln(x +1) -1在區(qū)間
0,1 上單調(diào)遞增，從而得出b c ，即可得出結(jié)果.
【詳解】令 f (x) =1+ x + sin x - ex ，則 f (x) =1+ cos x - ex ，
令 h(x) =1+ cos x - ex，則 h x (0,
1
(x) = -sinx - e 0在區(qū)間 )上恒成立，
2
1 1 1
f (x) (0, ) f (1) 1 cos 1 e2 1 cos π e2 1 3
1
即 在區(qū)間 上單調(diào)遞減，又
2 = + - > + - = + - e
2 ，
2 2 6 2
3 3 1 3 1
而 (1+ )2 =1+ + 3 > e，所以 f ( ) =1+ - e2 > 0，
2 4 2 2
1
即 f (x) =1+ x + sin x - ex 在區(qū)間 (0, )上單調(diào)遞增，所以 f (0) f (0.01)，
2
得到0 1.01+ sin 0.01- e0.01，即 e0.01 1.01+ sin 0.01，所以 c a，
1
令G(x) = ex - ln(x +1) -1 G (x) = ex，則 - ，當(dāng) x (0,1) 時(shí)，G (x) > 0，
x +1
即G(x) = ex - ln(x +1) -1在區(qū)間 0,1 上單調(diào)遞增，
所以G(0) G(0.01) ，得到0 e0.01 - ln1.01-1，即1+ ln1.01 e0.01，所以b c ，
綜上所述，b故選：B.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：通過(guò)構(gòu)造函數(shù) f (x) =1+ x + sin x - ex 和G(x) = ex - ln(x +1) -1，將問(wèn)題
轉(zhuǎn)化成比較函數(shù)值的大小，再利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，即可解決問(wèn)題.
1 ln 2 ln3
【變式 2 e 2 3】（2023·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知 a 1 ln 2 ln 3= ÷ ,b = ÷ ,c =

÷ ，試比較 a,b,c的
è e è 2 è 3
大小關(guān)系（ ）
A． a b c B．b a c
C． a c b D． c b a
【答案】C
【分析】根據(jù)三個(gè)指數(shù)的底數(shù)的形式，通過(guò)構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)判斷其大小，再根
據(jù)三個(gè)數(shù)的形式構(gòu)造新函數(shù)，通過(guò)取對(duì)數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)判斷其單調(diào)性，最后利用單調(diào)
性判斷即可.
f x ln x【詳解】設(shè) = x > 0 f x 1- ln x= 2 ，x x
當(dāng) x>e時(shí)， f x 0， f x 單調(diào)遞減，
所以有 f e > f 3 > f 4 ，
1 ln e , ln 2 2ln 2 ln 4因?yàn)?= = = ，
e e 2 4 4
1 ln 3 ln 4
所以 > > ，
e 3 4
g x = xx設(shè) (x > 0) ln g x = x ln x，
設(shè) y = x ln x y = ln x +1，
當(dāng)0
1
x 時(shí)， y 0，函數(shù) y = x ln x 單調(diào)遞減，
e
1 ln 3 ln 4
因?yàn)?> > > 0，
e 3 4
ln ég 1 ù ln ég ln 3 ù ln ég ln 4 ù所以 ê e ÷ú ê 3 ÷
÷ ，
è è
ú ê ú
è 4
因?yàn)楹瘮?shù) y = ln x 是正實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，
é 1 ù é
故 êg ÷ú êg
ln 3 ù é ln 4 ù
÷ú g

e 3 ê
，
è è è 4
÷
ú
1 ln3 ln 4 ln 2
即 1 e ln 3 3 ln 4 4 ln 2 2 ÷ ÷ ÷ = ÷ ，所以 a c b，
è e è 3 è 4 è 2
故選：C
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)所給指數(shù)的底數(shù)和指數(shù)的形式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)是解題
的關(guān)鍵
5 2 - ln5 b 1 c ln4【變式 3】（2023·湖南·模擬預(yù)測(cè)）設(shè) a = ， = =2 ， ，則 a，b ， c的大小順e e 4
序?yàn)椋? ）
A． a c b B． c a b C． a b c D．b a c
【答案】A
lnx
【分析】根據(jù) a、b、c 的結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù) f x = ，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，即可比較出 a、
x
b、c 的大小，從而可得到正確答案．
2
5(2 - ln 5) ln
e
a = = 5 1 ln e ln 4【詳解】因?yàn)?br/>e2 e2
，b = = ， c =
e e 4
5
f x lnx f x 1- ln x故構(gòu)造函數(shù) = ，則 = ，
x x2
1- ln x
令 f x = x=e2 =0 ，解得 ，x
當(dāng) x 0，e 時(shí)， f x > 0， f x 在 0，e 上單調(diào)遞增，
當(dāng) x e，+ 時(shí)， f x 0， f x 在 e，+ 上單調(diào)遞減，

a f e
2
又因?yàn)?= ÷，b = f e ， c = f 4
è 5
所以 a b ， c b ．
2
因?yàn)?c f 4 ln 4 ln 2= = = = f 2 e，又 2 e，
4 2 5
2
所以 f
e
÷ f 2 ，即 c > a ，故 a c b，
è 5
故選：A．
【課后強(qiáng)化】
基礎(chǔ)保分練
一、單選題
1．（2024·天津·二模）若 a = log1 1.9，b = log2 15.8， c = 22.01，則 a，b ， c的大小關(guān)系為
3
（ ）
A． c > a > b B． c > b > a C． a > b > c D．b > a > c
【答案】B
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間量法求解即可.
【詳解】 a = log1 1.9 log1 1 = 0，
3 3
0 = log2 1 b = log2 15.8 log2 16 = 4，
c = 22.01 > 22 = 4，
所以 c > b > a .
故選：B.
e
1
2．（2024·北京順義·二模）已知 a = log 2 b = 1 4 ， ÷ ，
è 2 c = π
2 ，則（ ）
A． a > b > c B．b > a > c C． c > b > a D． c > a > b
【答案】D
【分析】利用換底公式計(jì)算 a，利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性判斷 b，c 即可得答案.
log 2 1 e 2
【詳解】因?yàn)?a = log 2 = 2 = b 1 1 1
1
4 log 4 2 ， = ÷ ÷ = ， 2è 2 è 2 4 c = π > π
0 =1，
2
所以 c > a > b .
故選：D
2
π
3 2024· · b π=
π
．（ 全國(guó) 模擬預(yù)測(cè)）若 a = 22 ， ÷ ， c = log π cos 5 ，則（ ）è 2 2
A． a > b > c B．b > a > c C． a > c > b D．b > c > a
【答案】A
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)的單調(diào)性比較大?。?br/>π π
【詳解】由0 cos 1，則 c = log π cos 0，5 2 5
π 3 3
又 a = 22 > 22 = 2 = 2 2 > 2.828，
2 2
且0 π 3.2 b = 2 ÷ ÷ =1.6 = 2.56，
è 2 è 2
所以 a > b > c．
故選：A．
3
4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若 a = log83,b = 0.1 2 ,c = ln cos2 2023 ，則下列大小關(guān)系正確的是
（ ）
A．b a c B． c a b C． a b c D． c b a
【答案】D
a 1 1 1【分析】利用指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的單調(diào)性可比較 與 和 2 ，b 與 0 和 2 的大小，
后利用0 cos2 2023 1結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性，可比較 c與 0 的大小，即可得答案.
【詳解】因?qū)?shù)函數(shù) y = log8 x 在 0, + 上單調(diào)遞增，則 log8 8
1
= log83 log88 =1，即2
1
a 1．
2
1 x 1
因指數(shù)函數(shù) y = ÷ 在R 上單調(diào)遞減，冪函數(shù) y = x3 在R 上單調(diào)遞增，è10
3 1 1
3 1 2 1 3則0 0.1 2 = 1
3 1 1
10 ÷ 10 ÷ ÷
= ，即0 b a 1．
è è è 8 2 2
又注意到 0 cos2 2023 1， y = ln x 在 0, + 上單調(diào)遞增，所以 ln cos2 2023 0，即 c 0，
所以 c b a ．
故選：D．
二、多選題
5．（2024·貴州遵義·一模）已知正實(shí)數(shù) a，b 滿足 sin a + ln a = b + ln b，則（ ）
1 1
A． 2a > b B． - - C． log1 a log1 b
1 1
a 2 > b 2 D．e e ea > eb
【答案】AC
【分析】利用導(dǎo)數(shù)證明 sin x x, x > 0，利用不等式的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù) y = x + ln x 的單調(diào)性可
得b a ，再逐項(xiàng)判斷即可得解.
【詳解】令函數(shù) f (x) = x - sin x, x > 0，求導(dǎo)得 f x =1- cos x 0，函數(shù) f (x) 在 (0, + )上遞
增，
f (x) > f (0) = 0，即當(dāng) x > 0時(shí)， sin x x ，則當(dāng) a > 0時(shí)， sin a a ，
于是b + ln b = sin a + ln a a + ln a ，而函數(shù) y = x + ln x 在 (0, + )上遞增，因此a > b > 0，
對(duì)于 A， 2a > a > b，A 正確；
1 1 1
對(duì)于 B，函數(shù) -y = x 2 在 (0, + )上遞減，則
- -
a 2 b 2 ，B 錯(cuò)誤；
對(duì)于 C，函數(shù) y = log1 x 在 (0, + )上遞減，則 log1 a log1 b，C 正確；
e e e
1 1
對(duì)于 D 1 1， a b ，則 ea eb ，D 錯(cuò)誤.
故選：AC
6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知 a > 0，b > 0，且 a + b = 2 ，則（ ）
1
A． a2 + b2 2 B 2a-b． 4 C． log2a + log2b 0 D． a24 - b > 0
【答案】AB
【分析】根據(jù)基本不等式可判定 A，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判定 B，根據(jù)基本不等式、對(duì)
數(shù)運(yùn)算及對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性可判斷 C，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷 D.
a + b 2
【詳解】Qa > 0，b > 0，且 a + b = 2 ，\a2 + b2 = 2，
2
當(dāng)且僅當(dāng) a = b =1時(shí)取等號(hào)，故 A 正確.
Qa > 0，b > 0，且 a + b = 2 ，\0 a 2，0 b 2，
1
\-2 a - b 2 \ 2a-b， 4，故 B 正確.
4
由 2 = a + b 2 ab ，得0 ab 1，當(dāng)且僅當(dāng) a = b =1時(shí)取等號(hào)，
\log2a + log2b = log2 ab log21 = 0，故 C 錯(cuò)誤.
2
Qa2 b a2 2 a 1 9- = - - = a + ÷ - ，又0 a 2 ，\-2 a2 - b 4，故 D 錯(cuò)誤.
è 2 4
故選：AB.
三、填空題
- 3
3
7．（2023· 2 2 1吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）已知 a = log 3 ，b = ÷
3 2 2 ÷
， c = ln ，則 a，b，c 的
è e
大小關(guān)系為 ．
【答案】 c1
【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性得到 a 0,1 ，b >1， c = - ，從而得到大小關(guān)系.
2
【詳解】因?yàn)?y = log 3 x在 0, + 2 3上單調(diào)遞減，1 > > ，
3 2 3
2
故 a = log 3 log
3 2
3 =1且 a = log 3 > log 3 1 = 0，所以 a 0,1 ，
3 2 3 3 3 2 3
x
2 3
因?yàn)?y = ÷÷ 在 R 上單調(diào)遞減，- 0，
è 2 3
- 3 0

b 2
3 2
所以 = ÷÷ > ÷÷ =1，
è 2 è 2
1 1-c = ln = ln e 2 1= - ，
e 2
故 c a b .
故答案為： c a b
8．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知 a = ln 3，b = log11 3，現(xiàn)有如下說(shuō)法：① a 2b；
② a + b > 3ab；③ b - a -ab .則正確的說(shuō)法有 .（橫線上填寫正確命題的序號(hào)）
【答案】②③
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.
【詳解】因?yàn)?a = ln 3 > 0，b = log11 3 > 0，
所以 a = ln 3 = loge 3， 2b = 2log11 3 = log 11 3 loge 3 = a，所以 a > 2b，故①錯(cuò)誤；
1 1
+ = log3 e + log3 11 = log3 11e > log3 27 = 3，所以 a + b > 3ab，故②正確；a b
1 1 log e e 1- = 3 - log3 11 = log3 log3 = -1，所以b - a -ab，故③正確.a b 11 3
故答案為：②③
四、解答題
9．（22-23 高三·全國(guó)·對(duì)口高考）（1）比較 aabb與baab(a > 0,b > 0)的大??；
（2）已知 a > 2，比較 log(a-1) a與 loga (a +1)大小
【答案】（1） aabb baab ；（2） log(a-1) a > loga (a +1)
【分析】（1）利用作商法，分類討論即可；
（2）利用做差法、換底公式以及不等式的性質(zhì)分析即可.
【詳解】（1）因?yàn)?a > 0,b > 0，
aabb a
a-b
= 所以 a b ÷ ，b a è b
a b a-b
所以①當(dāng) a = b > 0 a b a時(shí)， a =
=1，
b ab ֏ b
所以 aabb = baab ，
a
②當(dāng)a > b > 0時(shí)， >1, a - b > 0 ，
b
a-b
a
即 ÷ >1，
è b
所以 aabb > baab ，
0 a③當(dāng)b > a > 0時(shí)， 1, a - b 0，
b
a a-b
即 ÷ >1，
è b
所以 aabb > baab ，
綜上所述：當(dāng) a > 0,b > 0， aabb baab .
（2） log(a-1) a - loga (a +1)
lg a lg a +1
= -
lg a -1 lg a
lg2 a - lg a +1 lg a -1
= ，
lg a lg a -1
因?yàn)?a > 2，所以 lg a +1 > 0, lg a -1 > 0, lg a > 0 ，
所以 lg a lg a -1 > 0，
2
lg a -1 + lg a +1 由 lg a +1 lg a -1 2 ÷è
lg a2 2-1 2 2
= ÷
lg a
2
2 ÷ ÷
= lg a ，
è è 2
lg2所以 a - lg a +1 lg a -1 > 0，
lg2 a - lg a +1 lg a -1
所以 > 0，
lg a lg a -1
即 log(a-1) a - loga (a +1) > 0，
故 log(a-1) a > loga (a +1) .
10．（2020 高三· · 5 -1上海 專題練習(xí)）設(shè) a > ，且a 1，記
2
x = loga 2 , y = log 2, z = log 2，試比較 x, y, za+1 a+2 的大小.
【答案】 x > y > z
5 +1
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，由1 a +1 a + 2 ，先得到 loga+1 2 > loga+2 2；再分
2
5 -1
別討論 a 1， a > 1兩種情況，得到 x > y ，即可得出結(jié)果.
2
5 -1 5 +1
【詳解】因?yàn)?a > ，所以1 a +1 a + 2 ，
2 2
根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得： loga+1 2 > loga+2 2，即 y > z ；
又a 1，
5 -1 1 2 5 +1
當(dāng) a 1時(shí)， = ，
2 a 5 -1 2
x = loga 2 = - loga 2 = log 1 2 > log所以 5 1 2 > log+ a+1 2，即 x > y ，因此 x > y > z ；
a 2
當(dāng) a > 1時(shí)，由 a a +1，得 x = log 2 = log 2 > log 2，即 x > y ，因此 x > y > za a a+1 ；
綜上， x > y > z .
【點(diǎn)睛】本題主要考查比較對(duì)數(shù)式的大小，熟記對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.
綜合提升練
一、單選題
1．（2024·天津河?xùn)|·一模）設(shè) a = 2 3 ,b = log2 3,c = log 3 3，則 a,b,c的大小關(guān)系為（ ）
A．b【答案】A
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的單調(diào)性以及指數(shù)的單調(diào)性即可利用中間值求解.
a = 2 3 1【詳解】 > 2 = 2,b = log2 3 log2 4 = 2,c = log 3 3 = 2，
故b c a ,
故選：A
2．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）設(shè) a = log 0.493 2,b = log33 3,c = log2 2 2, d = 2 ，則（ ）
A． a b = c d B． d c = b a
C． a d b = c D． c a d b
【答案】C
【分析】根據(jù)指數(shù)冪與對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，分別求得 a,b,c,d 的取值范圍，即可求解.
a = log 3 3 0 0.5【詳解】由 3 2 log3 3 =1,b = log33 3 = ,c = log2 2
2 2 = ,1 = 2 d 2 = 2 ，
2
即1 d 2
3
，所以 a d b = c．
2
故選：C．
3
3．（2024· 2陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）若 a = 1 ,b ln
2023
= ,c = log 3 8 ，則（ ）
è12 ÷ 2024 27
A．b c a B． a c b C．b a c D． c b a
【答案】C
1
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算以及對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性可得 c > ,b 0，結(jié)合分?jǐn)?shù)指數(shù)冪運(yùn)算分析可得
6
0 a c，即可得結(jié)果.
3
1 1 1 32
【詳解】因?yàn)?c = log 327 8 = log3 2 > log 3 = > 0，
1 1 1 ，
3 3 3 6 a = ÷ = ÷ = > 0è12 è12 24 3
1 1
因?yàn)?> > 06 ，可知 c > a > 0，24 3
又因?yàn)閎 = ln
2023
ln1 = 0，所以b a c .
2024
故選：C.
3 1
4．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知a = ln ,b = ,c = e-2 ，則 a,b,c的大小關(guān)系為（
2 3 ）
A． a > b > c B． a > c > b C．b > a > c D．b > c > a
【答案】A
【分析】利用當(dāng) x > 0時(shí)， lnx x 1-1判斷 a > b，通過(guò)函數(shù) y = x 在是減函數(shù)判斷b > c .
【詳解】當(dāng) x > 0時(shí)，設(shè) f x = ln x - x +1，則 f x 1= -1，
x
當(dāng)0 x 1時(shí)， f x > 0， f x 單調(diào)遞增，當(dāng) x >1時(shí)， f x 0， f x 單調(diào)遞減，
所以 f x f 1 = 0，
也就是說(shuō)當(dāng) x > 0時(shí)， lnx x -1，
1 x ln 1 1用 代替 ，可得 -1，即 lnx 1
1
-
x x x x
，
所以 ln
3 2 1
> 1- = ，即 a > b．
2 3 3
1 1
又知 > 2 = e
-2
，所以b > c，所以 a > b > c．
3 e
故選：A
3
-
5．（2023·
8
天津河北·一模）若 a = 3 ÷ ,b = log
3 ,c = log 3，則 a,b,c的大小關(guān)系為（ ）1 1
è 7 7 7 8 8
A．b a c B． c b a
C． c a b D．b c a
【答案】D
3
3
-
8 7 3 b log 7 1 log 3 1 c log 8【分析】首先化簡(jiǎn) a = ÷ = ( )8 >1， = 7 = - 7 ， =3 8
=1- log83 1，
è 7 3 3
再根據(jù) log7 3 > log8 3即可得解.
3
3 - 8 3【詳解】 a = ÷ = (
7)8 > (7)0 =1，即 a > 1，
è 7 3 3
b log 3= 1 = log
7
7 =1- log 3 1
7 7 3
7 ，
c = log 3 81 = log8 =1- log83 18 3 ，8
又 log7 3 > log8 3，所以c > b ，
所以 a > c > b，
故選：D
6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知 a > b >1，則下列各式一定成立的是（ ）
A． log b >1 B． ln a - b > 0 C． 2ab+1 2a+b D．b ×aba a ×ba
【答案】D
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷 AB；根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷 C；構(gòu)造函
f x lnx數(shù) = x >1 ，利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性即可判斷 D.
x -1
【詳解】對(duì)于 AB，因?yàn)?a > b >1，所以 logab logaa =1，故 A 錯(cuò)誤；
因?yàn)?a > b >1，所以 a - b > 0，但 a - b不一定大于 1，
故 ln a - b 不一定大于 0，故 B 錯(cuò)誤；
對(duì)于 C，因?yàn)?ab +1- a + b = a -1 b -1 > 0，則 ab +1 > a + b，所以 2ab+1 > 2a+b，故 C 錯(cuò)誤；
對(duì)于 D，不等式b ×ab a ×ba 等價(jià)于 ab-1 ba-1，兩邊取自然對(duì)數(shù)得 b -1 lna a -1 lnb，
因?yàn)?a > b >1, a -1 > 0,b -1 > 0
lna lnb
，所以原不等式等價(jià)于 ，
a -1 b -1
lnx 1
1
- - lnx
設(shè)函數(shù) f x = x >1 ，則
x -1 f x =
x ，
x -1 2
令 g x =1 1- - lnx x 1 g x 1 1 1- x> ，則 = - =
x x2 x x2
，
當(dāng) x >1時(shí)， g x 0，所以 g x 在 1, + 上單調(diào)遞減，
故當(dāng) x >1時(shí)， g x g 1 = 0 ，所以 f x 0，
故 f x 在 1, + 上單調(diào)遞減，
f a f b lna lnb所以 ，即 ，故 D 正確．
a -1 b -1
故選：D．
7．（2024·寧夏銀川·二模）定義域?yàn)镽 的函數(shù) f (x) 滿足 f (x + 2)為偶函數(shù)，且當(dāng) x1 x2 2時(shí)，
5
[ f (x2 ) - f (x1)](x2 - x1) > 0恒成立，若 a = f (1) ，b = f (ln10)， c = f (34 )，則 a，b ， c的大小關(guān)
系為（ ）
A． a b c B． c b a C． b a c D． c a b
【答案】D
【分析】根據(jù)條件先得到函數(shù)的對(duì)稱性和單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性比較大小.
【詳解】當(dāng) x1 x2 2時(shí)，[ f (x2 ) - f (x1)](x2 - x1) > 0恒成立，
即當(dāng) x1 x2 2時(shí)， f (x2 ) > f (x1)，函數(shù) f (x) 在 - , 2 上單調(diào)遞增，
又 f (x + 2)為偶函數(shù)，即 f (x + 2) = f (-x + 2)，所以函數(shù) f (x) 關(guān)于 x = 2對(duì)稱，
則函數(shù) f (x) 在 2, + 上單調(diào)遞減，
所以 a = f (1) = f (3)
3 3
10 5 3 5 因?yàn)?3 2 ÷
e ，所以10 ÷ e
è è 2
5
所以 2 ln10 ln e3 = 3 34 ，
5
所以 f ln10 > f 3 > f 34 ÷，即 c a b，
è
故選：D.
π 9π
8．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知 6a = e10 ，b =1+ sin ， c = 1.1 ，則 a，b ， c的大小關(guān)系為10
（ ）
A． a > b > c B． a > c > b C． c > a > b D． c > b > a
【答案】C
【分析】先利用常見(jiàn)不等式放縮得到 a，b 的大小關(guān)系，再利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較 a， c
的大小關(guān)系即可得到答案.
【詳解】令 f x = ex - x -1 x 0 ，則 f x = ex -1 0恒成立，
所以 f x 在 0, + 單調(diào)遞增，
x
所以當(dāng) x > 0時(shí)， f x > f 0 = 0 ，即 e > x +1 x > 0 ；
令 g x = x - sin x x 0 ，則 g x =1- cos x 0恒成立，
所以 g x 在 0, + 單調(diào)遞增，
所以當(dāng) x > 0時(shí)， g x > g 0 = 0，即 sin x x(x > 0)；
9π π
由誘導(dǎo)公式得b =1+ sin =1+ sin ，
10 10
π
所以b =1+ sin π 1 π+ e10 ，因此 a > b；
10 10
π 4
因?yàn)?6 15a = e10 e10 = e0.4， c =1.1 = 1.1
0.4
，
故只需比較 e與1.115 的大小，
15
由二項(xiàng)式定理得，1.1 = (1+ 0.1)15 >1+ C115 (0.1)
1 + C215 (0.1)
2 > 3 > e，
所以 c > a ．
綜上， c > a > b .
故選：C
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查比較大小問(wèn)題，此類問(wèn)題常見(jiàn)的處理方法為：
（1）中間值法：通過(guò)與特殊的中間值比較大小，進(jìn)而判斷兩個(gè)數(shù)的大小關(guān)系；
（2）構(gòu)造函數(shù)法：通過(guò)觀察兩個(gè)數(shù)形式的相似之處，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性
與極值等性質(zhì)進(jìn)而比較大小；
（3）放縮法：利用常見(jiàn)的不等式進(jìn)行數(shù)的放縮進(jìn)而快速比較大小.
二、多選題
9．（2023·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）下列是 a > b > c（ a，b ， c 0）的必要條件的是（ ）
A ac bc B ac 2． > ． > bc 2
C． 2a-c > 2a-b D．7a+b > 7b+c
【答案】CD
【分析】AB 選項(xiàng)，可舉出反例；CD 選項(xiàng)，利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可進(jìn)行判斷.
【詳解】A 選項(xiàng)，若 c 0，則 A 錯(cuò)誤，
B 選項(xiàng)，等價(jià)為 a2 > b2 ，當(dāng) a > 0 > -a > b時(shí)不成立，故 B 錯(cuò)誤，
C 選項(xiàng)，因?yàn)?y = 2x 在 R 上單調(diào)遞增，而 a - c > a - b ，所以 2a-c > 2a-b ，C 正確；
D 選項(xiàng)，因?yàn)?y = 7x 在 R 上單調(diào)遞增，而 a + b > b + c ，所以7a+b > 7b+c ，D 正確.
故選：CD
x
10．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù) a,b,c，其中 a,c c > a > 0 是函數(shù) f x e= - m m > e
x
a 2c
的兩個(gè)零點(diǎn)．實(shí)數(shù)b 滿足b = log7 3 + 2 b >1 ，則下列不等式一定成立的有（ ）
A． a + c b +1 B． c - a > b -1
c
C． > b D． ac b
a
【答案】BCD
ex
【分析】設(shè) g x = x > 0 ，利用導(dǎo)數(shù)研究其性質(zhì)，畫出大致圖象， a,c c > a > 0 是直線
x
y = m與函數(shù) g x 的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，數(shù)形結(jié)合可得0 a 1 c ，又由條件得
a c
7b = 3a + 4c ，可推出7b-c 1，得b c ，即可判斷 ABC
e e
；由 = 0 a 1 c ，取對(duì)數(shù)后
a c
c - a
=1 t c
1
可得 ，設(shè) = , t >1，令 h(t) = 2ln t - t + , t >1，利用導(dǎo)數(shù)可證得
lnc - lna a t
lnc - lna c - a ，進(jìn)而可判斷 D.
ac
x x
【詳解】設(shè) g x e= x > 0 ， g x e x -1 = 2 ，x x
當(dāng) x 0,1 時(shí)， g x 0，當(dāng) x 1, + 時(shí)， g x > 0，
所以 g x 在 0,1 上單調(diào)遞減，在 1, + 上單調(diào)遞增，
所以，當(dāng) x =1時(shí)， g x 取極小值 g 1 = e .
x
a,c c > a > 0 是函數(shù) f x e= - m m > e 的兩個(gè)零點(diǎn)，
x
即直線 y = m與函數(shù) g x 的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，如圖，
由圖可知，0 a 1 c ，
b = log 3a + 22c由 7 b >1 ，得7b = 3a + 4c ，
4 c 3a 4 c c
所以7b-c 3 4 3= + + ÷ c ÷ ÷ + =1，è 7 7 è 7 è 7 7 7
所以b c ，所以0 a 1 b c，所以 B，C 正確，無(wú)法判斷 A 是否正確；
ea ec c - a
對(duì)于 D，由 = 0 a 1 c ，取對(duì)數(shù)后可得 c - a = lnc - lna ，即 =1，
a c lnc - lna
lnc lna c - a c c a- - = ln - + t c，設(shè) = , t >1，
ac a a c a
2
令 h(t) = 2ln t - t
1
+ , t >1，則 h (t) 2= -1 1 (t -1)- = - 0，
t t t 2 t 2
所以 h(t)在 (1, + )上單調(diào)遞減，則 h(t) h(1) = 0，
所以 lnc - lna c - a ln c c a- = - + 0，
ac a a c
即 lnc c - a- lna c - a，從而可得 ac ，
ac lnc - lna
所以 ac 1 b ，D 正確，
故選：BCD．
11．（2024·重慶·一模）已知3a = 5b =15，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． lga > lgb B． a + b = ab
1 a 1 bC > ． ÷ ÷ D． a + b > 4
è 2 è 2
【答案】ABD
【分析】根據(jù)指對(duì)互化與運(yùn)算以及指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可判斷 ABC，利用基本不等
式即可判斷 D.
【詳解】由題意得 a = log3 15 > log3 1 > 0，b = log5 15 > log5 1 = 0，
0 1 = log 115 3，0 = log
1 1
15 5，則 0 a b a b
，則a > b > 0，
對(duì) A，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù) y = lg x 在 0, + 上單調(diào)遞增，則 lga > lgb，故 A 正確；
1 1
對(duì) B，因?yàn)?+ = log15 3 + log
a + b
15 5 =1，即 =1，則 a + b = ab ，故 B 正確；a b ab
x
C 1 1
a 1 b
對(duì) ，因?yàn)閍 > b > 0，根據(jù)指數(shù)函數(shù) y = ÷ 在R 上單調(diào)遞減，則 ÷ ÷ ，故 C 錯(cuò)
è 2 è 2 è 2
誤；
1 1
對(duì) D，因?yàn)閍 > b > 0， + =1，
a b
a + b = a b 1 1+ +

÷ = 2
b a b a
+ + 2 + 2 × = 4，
è a b a b a b
當(dāng)且僅當(dāng) a = b時(shí)等號(hào)成立，而顯然 a b ，則 a + b > 4 ，故 D 正確；
故選：ABD.
三、填空題
12．（23-24 高三上·北京昌平·階段練習(xí)）①在VABC 中，b = 2 ， c = 3， B = 30°，則
a = ；
②已知 a = 90.1，b = 30.4 ， c = log4 0.3，則a、b、c的大小關(guān)系是
3+ 13【答案】 c2
【分析】對(duì)于①：利用余弦定理運(yùn)算求解即可；對(duì)于②：根據(jù)指、對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性分析判
斷.
【詳解】對(duì)于①：利用余弦定理b2 = a2 + c2 - 2ac cos B ，即 4 = a2 + 3- 3a，而 a > 0，解得
a 3 + 13= ；
2
對(duì)于②：因?yàn)?a = 90.1 = 30.2 ，且 y = 3x 在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，
可得30 30.2 30.4，即1 a b，
又因?yàn)?c = log4 0.3 log4 1 = 0，所以 c3+ 13
故答案為： ； c2
1
13 22-23 · · 7 1 3．（ 高三上 陜西咸陽(yáng) 階段練習(xí)）已知 a = log3 ,b = ,c = log 5，則 a，b，c 的2 4 ÷ 1è 3
大小關(guān)系為 .
【答案】 c b a
【分析】由題意根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大小即可.
1 0
3
【詳解】由題意 c = log1 5 log 1
1
= 0 b = 1 1 ÷ ÷ =1 = log 3
7
3 a = log ，3
3 3 è 4 è 4 2
故 a，b，c 的大小關(guān)系為 c b a .
故答案為： c b a .
14．（2023 高三上·全國(guó)·專題練習(xí)）若 n N* ， n >1，則 logn n +1 與 logn+1 n + 2 的大小關(guān)
系為 .（用“ ”連接）
【答案】 logn+1 n + 2 logn n +1
【分析】利用作商法以及基本不等式可得出兩個(gè)對(duì)數(shù)式的大小關(guān)系.
2
logn+1 n + 2 é log n + log n + 2 ù【詳解】 = logn+1 n × logn+1 n + 2 n+1 n+1log n +1 ên 2
ú

2 2 2é log n + 2n ù é log n2 + 2n +1 ù
= ê n+1 ú ê n+1 ú =1，
ê 2 ú ê 2 ú
因?yàn)?n N* ， n >1，則 logn n +1 > logn 1 = 0， logn+1 n + 2 > logn+11 = 0，
所以 logn+1 n + 2 logn n +1 .
故答案為： logn+1 n + 2 logn n +1 .
四、解答題
15．（22-23 高三上·甘肅蘭州·階段練習(xí)）比較下列兩組數(shù)的大?。▽懗鲈敿?xì)理由）．
(1)a=0.40.3，b=0.30.3，c=0.30.4
(2)a=log26，b=log312，c=log515
【答案】(1) a > b > c
(2) c b a
【分析】（1）由題意，根據(jù)指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的單調(diào)性，可得答案；
（2）由題意，根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)，結(jié)合中間值法，可得答案.
【詳解】（1）由函數(shù) y = x0.3 ，且0.4 > 0.3，則 0.40.3 > 0.30.3 ；
由函數(shù) y = 0.3x ，且0.4 > 0.3，則 0.30.3 > 0.30.4 ；
則0.40.3 > 0.30.3 > 0.30.4，即 a > b > c .
（2） a = log2 2 3 = log2 2 + log2 3 =1+ log2 3，
b = log3 4 3 = log3 4 + log3 3 =1+ log3 4，
c = log5 5 3 = log5 5 + log5 3 =1+ log5 3，
則 log 53 1 log 4
3
3 log2 3，故 c b a .2
16．（2020高三·全國(guó)·專題練習(xí)）比較大小：① 5.25-1，5.26-1 ，5.26-2 ；② 0.53 ，30.5 ， log3 0.5；
③ log0.7 6，0.76 ，60.7 ．
3 0.5 6 0.7
【答案】① 5.25-1 > 5.26-1 > 5.26-2 ；② log3 0.5 0.5 3 ；③ log0.7 6 0.7 6 ．
【解析】(1)構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，依據(jù)其單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，如： y = x-1在 (0, + )上遞
減有5.25-1 > 5.26-1， y = 5.26x是增函數(shù)有5.26-1 > 5.26-2 ，即可得大小關(guān)系；(2)將0.53 ，30.5 ，
log3 0.5與 0 和 1 比較大小，即可確定它們的大小關(guān)系；(3)利用同底的指數(shù)、對(duì)數(shù)以 0、1 作
為界值，比較 log 6 0.70.7 6，0.7 ，6 的大小
【詳解】①∵ y = x-1在 (0, + )上遞減，5.25 5.26
∴ 5.25-1 > 5.26-1，
∵ y = 5.26x是增函數(shù)，-1 > -2
∴ 5.26-1 > 5.26-2
綜上，5.25-1 > 5.26-1 > 5.26-2 ；
②∵ 0 0.53 1，30.5 >1， log3 0.5 0
∴ log3 0.5 0.5
3 30.5；
③ log 6 log 1 0 0 0.76 0.70 =1 60.7 > 60 =1 log 6 0.76 0.70.7 0.7 ， ， ，則 0.7 6
【點(diǎn)睛】本題考查了比較指數(shù)式、對(duì)數(shù)式的大小，結(jié)合相應(yīng)的指數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)，利用其單調(diào)
性比較函數(shù)值的大小，或以 0、1 作為界值，結(jié)合同底的指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的單調(diào)性比較
大小
17．（2022 高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知 a,b均為正實(shí)數(shù)，且a 1．
a b 1 1
(1)比較 2 + 2 與 + 的大小；b a a b
(2) 3比較 loga b +1 和 loga b2 +1 的大?。?br/>a b 1 1
【答案】(1) 2 +b a2
+
a b
(2)答案見(jiàn)解析
【分析】（1）利用作差法比較大小，即得答案；
（2）結(jié)合指數(shù)函數(shù)以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，分類討論 a,b的取值范圍，即可得答案.
a b 1 1 a - b b - a a + b (a - b)2
【詳解】（1） 2 +

2 - + ÷ = + = ，b a è a b b2 a2 a2b2
a,b均為正實(shí)數(shù)，\a + b > 0, (a - b)2 0，
a + b (a - b)2 0, a b 1 1\ \ ；
a2b2 b2
+ +
a2 a b
（2）當(dāng) a > 1時(shí)，函數(shù) y = loga x 為增函數(shù)；當(dāng) 0 a 1時(shí)，函數(shù) y = loga x 為減函數(shù)．
①當(dāng)b >1時(shí)，b3 > b2 ，則b3 +1 > b2 +1，
若 a > 1，則 loga b3 +1 > loga b2 +1 ；
3 2
若 0 a 1，則 loga b +1 loga b +1 ；
②當(dāng)b =1時(shí)， loga b3 +1 = log 2a b +1 ；
③當(dāng)0 b 1時(shí)，b3 b2 ，則b3 +1 b2 +1，
若 a > 1 3，則 loga b +1 loga b2 +1 ；
若 0 a 1 3，則 loga b +1 > loga b2 +1 ．
ìa >1 ì0 a 1
綜上所述，當(dāng) í log b3 +1 > log b2 +1
b >1
或 í0 b 1時(shí)， a a ；
ìa 1 3
當(dāng) í 時(shí)， loga b +1 = log b2 +1b ； =1 a
ì a >1 ì0 a 1 3
當(dāng) í log b +1 log b2 +1 .
0
或
b 1 í b >1
時(shí)， a a
18．（22-23 x高三下·全國(guó)·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù) f x = e - ax -1 a R 的最小值為 0．
(1)求實(shí)數(shù) a 的值；
(2)設(shè)m1 =1.1+ ln 0.1，m2 = 0.1e
0.1 1
，m3 = ，判斷m1 ，m2 ，m3的大?。?
【答案】(1) a =1
(2) m1 m2 m3
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分 a 0、 a > 0兩種情況討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，
ln a
即可得到函數(shù)的最小值為 f ln a = e - a ln a -1 ln a 1，從而得到 + -1= 0，再令
a
j a 1= ln a + -1，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到 a值，從而得解；
a
（2）由（1）可得 ex x +1，當(dāng) x > -1時(shí)兩邊取對(duì)數(shù)得到 ln x x -1，當(dāng) x 0,1 時(shí)，設(shè)
F x = xex - 1+ x - ln x，根據(jù)函數(shù)值的情況判斷m2 > m1，當(dāng) x 0,1 時(shí)，設(shè)
G x = x + ln x x- ln ，即可判斷m
1- x 2
m3，從而得解.
x
【詳解】（1）解：由題意得 f x = e - a ．
當(dāng) a 0時(shí)， f x = ex - a > 0， f x 單調(diào)遞增，無(wú)最小值，不滿足題意．
當(dāng) a > 0時(shí)，令 f x = 0，得 x = ln a．
當(dāng) x - , ln a 時(shí)， f x 0；當(dāng) x ln a, + 時(shí)， f x > 0．
所以 f x 在 - , ln a 上單調(diào)遞減，在 ln a, + 上單調(diào)遞增．
所以 f x ln a 1的最小值為 f ln a = e - a ln a -1 = 0，即 ln a + -1= 0．
a
設(shè)j a ln a 1 a -1= + -1，則j a = 2 ．令j a = 0 ，得 a =1．a(chǎn) a
當(dāng) a 0,1 時(shí)，j a 0；當(dāng) a 1,+ 時(shí)，j a > 0 ，
所以j a 在 0,1 上單調(diào)遞減，在 1, + 上單調(diào)遞增，
即j a = j 1 = 0 1min ．故 ln a + -1= 0的解只有 a =1，a
綜上所述， a =1．
（2 x）解：由（1）可得 f x = e - x -1 0，所以 ex x +1，當(dāng)且僅當(dāng) x = 0時(shí)等號(hào)成立．
當(dāng) x > -1時(shí)，不等式兩邊取對(duì)數(shù)，得 x ln(x +1) ，所以 ln x x -1，當(dāng)且僅當(dāng) x =1時(shí)等號(hào)成
立．
當(dāng) x 0,1 時(shí)，設(shè)F x = xex - 1+ x - ln x，
x+ln x
則F x = e - 1+ x - ln x x + ln x +1- 1+ x - ln x = 0，當(dāng)且僅當(dāng) x + ln x = 0 時(shí)，等號(hào)成
立．
因?yàn)?.1+ ln 0.1 0，所以0.1e0.1 -1.1- ln 0.1 > 0，所以m2 > m1．
當(dāng) x 0,1 時(shí)，設(shè)G x = x + ln x - ln x ，因?yàn)? 1- x 1，
1- x
所以G x = x + ln x - ln x + ln 1- x = x + ln 1- x x +1- x -1 = 0，
所以 x + ln x ln x - ln 1- x x x，即 xe ．
1- x
故0.1e0.1
0.1 1
= ，所以m
1- 0.1 9 2
m3．
綜上所述，m1 m2 m3．
19．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù) f (x) = ax ln(x -1) - x2 + x．
(1)當(dāng) a = 2時(shí)，討論 g(x) = f (x) - x 的單調(diào)性．
4
(2)若 f (x) 有兩個(gè)零點(diǎn) x1, x2 ，且 x1 x2，證明： ln é x1 -1 x2 -1 ù > ．a(chǎn)
【答案】(1) g(x)在 (1, 2)上單調(diào)遞增，在 (2,+ ) 上單調(diào)遞減
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷 g x 的單調(diào)性，進(jìn)而可得 x (1, 2) 時(shí)， g (x) > 0， x (2,+ ) 時(shí)，
g (x) 0，進(jìn)而可得單調(diào)區(qū)間；
1 ln(x -1) ln(x -1)
（2）令 f (x) = 0 ，可得 = (x >1) ，構(gòu)造函數(shù)j(x) = (x >1)，有兩個(gè)極點(diǎn)可得
a x -1 x -1
1 1 1 1 ln x -10 2，進(jìn)而可得 =
a e a x2 - x1 x -1
，進(jìn)而運(yùn)算可得要證
1
ln é x1 -1 x 1
x2 -1+ x1 -1 x -1+ x -1 x -1
2 - ù = =
2 1 × ln 2
a x - x x -1 ，2 1 1
ln 4 é x1 -1 x2 -1 ù > ，只需證 ln é x1 -1 x2 -1 ù > 2
t +1
，換元證明 ln t > 2即可．a(chǎn) t -1
【詳解】（1）當(dāng) a = 2時(shí)， g x = f x - x = 2xln x -1 - x2，定義域?yàn)? 1, + ，
則 g x = 2ln x 1 2x- + - 2x x >1 ．
x -1
設(shè) h(x) = 2ln(x -1)
2x
+ - 2x(x >1)，
x -1
é
2 x 3
2
3 ù
ê- - ÷ -
則 2 è 2 4
ú
，
h (x) 2 2 2 -2x + 6x - 6 ê ú= - - =
x -1 (x -1)2 (x -1)2
= 0
(x -1)2
所以 h(x) 在 (1, + )上單調(diào)遞減，即 g (x) 在 (1, + )上單調(diào)遞減．
又h(2) = 0+ 4-4 = 0，即 g (2) = 0，
所以當(dāng) x (1, 2) 時(shí)， g (x) > 0，當(dāng) x (2,+ ) 時(shí)， g (x) 0，
所以 g(x)在 (1, 2)上單調(diào)遞增，在 (2,+ ) 上單調(diào)遞減．
（2）令 f (x) = 0 ，得ax ln(x -1) = x(x -1)．
又 x >1，所以 a ln(x -1) = x -1．顯然當(dāng) a = 0時(shí)，方程 x -1 = 0只有一個(gè)根，不符合題意，
1 ln(x -1) ln(x -1) 1- ln(x -1)
所以 = (x >1) ．令j(x) = (x >1)，則j (x) = ．
a x -1 x -1 (x -1)2
當(dāng)1 x e +1時(shí)，j (x) > 0 ，當(dāng) x > e +1時(shí)，j (x) 0，
所以j(x)
1
在 (1,e +1) 上單調(diào)遞增，在 (e +1, + )上單調(diào)遞減，則j(x) j(e +1) = ．
e
而j (2) = 0，所以當(dāng) x > 2時(shí)，恒有j(x) > 0．
1
要使 f (x) 有兩個(gè)零點(diǎn) x1, x2 ，則需直線 y = 與函數(shù)j(x)a 的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以
0 1 1 ．
a e
由上述可知， x2 > x1 >1，且 a ln x1 -1 = x1 -1①， a ln x2 -1) = x2 -1②．
x -1
② 2－①，得 a ln = x2 - x
1 1 ln x2 -1
x -1 1，所以
=
1 a x2 - x1 x1 -1
．
②＋①，得 a éln x2 -1 + ln x1 -1 ù = x2 -1+ x1 -1，
所以 ln
x2 -1+ x1 -1 x2 -1+ x1 -1 x2 -1
é x1 -1 x2 -1 ù = = × lna x2 - x1 x1 -1
．
x2 -1 +1
t x2 -1設(shè) = >1 ln x 1 x 1 x -1 x -1 t +1，則 é 1 - 2 - ù = 1 2x 1 × ln = ln tx1 -1
．
2 - -1 x1 -1 t -1
x1 -1
ln 4 4 4要證 é x1 -1 x2 -1 ù > ，又 2，所以只需證 ln é x1 -1 x2 -1 ù > 2，a a e
t +1
即證 ln t
2(t -1)
> 2，即證 ln t - > 0．
t -1 t +1
2(t -1) (t -1)2
令m(t) = ln t - (t >1) ，則m (t) = 2 > 0 ，所以m(t) 在 (1, + )上單調(diào)遞增，t +1 t(t +1)
2(t -1) 4
則m(t) > m(1) = 0 ，即 ln t - > 0，故 ln é x1 -1 x2 -1 ù > ．t +1 a
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題，方法如下：
（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：
（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見(jiàn)放縮結(jié)論；
（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函
數(shù).
拓展沖刺練
一、單選題
1．（2024·北京東城·一模）已知 a,b R, ab 0，且 a b ，則（ ）
1 1
A． > B． ab b2 C． a3 b3 D． lg a lg ba b
【答案】C
【分析】舉出反例即可判斷 ABD，利用作差法即可判斷 C.
1 1
【詳解】當(dāng) a = -2,b =1時(shí)， , lg a >lg b ，故 AD 錯(cuò)誤；
a b
當(dāng) a = -2,b = -1時(shí)， ab = 2 >1 = b2，故 B 錯(cuò)誤；
對(duì)于 C，因?yàn)?a b ，所以 a - b 0，因?yàn)?ab 0，所以 a 0且b 0 ，
a3則 - b3 = a - b a2 + ab + b2 = a - b é ê a 1 3 ù+ b ÷ + b2 0，
è 2 4 ú
所以 a3 b3 ，故 C 正確.
故選：C.
1 1 -0.6
2．（2024·天津·一模）已知函數(shù) f x = x - x ，若 a = f ÷ ÷÷ ,b = f log
2
1 ÷，e èè 2 è 2 9
1
c = f 43 ÷ ，則 a,b,c的大小關(guān)系為（ ）
è
A． a b c B． c b a C． a c b D．b【答案】C
1 -0.6 1
【分析】先判斷函數(shù)自變量大小可得0 ÷ 43 2
1 ，再根據(jù)函數(shù) f x 在 0, + 上
è 2 2 9
的單調(diào)性判斷即可.
2 9 1
-0.6
2 1
【詳解】因?yàn)?log 1 = log > log 0.69 2 2 2
4 = 2，0 ÷ = 2 23 = 43 2，
2 è 2
1 -0.6 1 2
所以0 ÷ 43 è 2 2 9
當(dāng) x > 0時(shí)， f x x 1= - ，
ex
因?yàn)?f x 1 1= +
ex
> 0，所以 f x 在 0, + 上單調(diào)遞增，
所以 a c b，
故選：C.
3．（2024·安徽阜陽(yáng)·一模）設(shè)a = log23,b = log812,c = lg15，則 a,b,c的大小關(guān)系為（ ）
A． a b c B． a c b C．b a c D． c b a
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，由對(duì)數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)果.
a = log 3 = log 2 3 3 12 2 ÷ = 1+ log2 = 1+【詳解】 è 2 2 log ，3 2
2
b = log812 = log

8 8
3

3 1
÷ = 1+ log8 = 1+
è 2 2 log 8 ，3
2
c = lg15 = log 310 10

÷ = 1 log
3 1
+
2 10
= 1+
è 2 log 10 ，3
2
Q0 log 3 2 log 3 8 log 310,\a > b > c .
2 2 2
故選：D．
1
4．（2023·山西·模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù) a,b,c滿足 ln a = ，b = 3log7 2，6c = 7，則（ ）5
A． c > a > b B．b > a > c
C． a > c > b D． a > b > c
【答案】C
f x ln(x +1)【分析】令 = (x >1) ，求得 f x x ln x - (x +1) ln(x +1)=
ln x x(x +1)(ln x)2
，設(shè)
g x = x ln x, x >1，求得 g x 為單調(diào)遞增函數(shù)，得到 f x 0，即 f x 單調(diào)遞減，得出
c > b x，再由函數(shù) h x = e - (x +1), x > 0，利用導(dǎo)數(shù)得到 h x 1單調(diào)遞增，結(jié)合 h( ) > h 0 ，
5
得到 a > c ，即可求解.
ln a 1 1【詳解】由 = ，可得 a = e5 ，且b = log7 8， c = log6 7，5
f x ln(x +1)令 = (x >1) ，則 f x x ln x - (x +1) ln(x +1)=
ln x x(x +1)(ln x)2
，
設(shè) g x = x ln x, x >1，可得 g x = ln x +1 > 0，所以 g x 為 R 上單調(diào)遞增函數(shù)，
因?yàn)?x x +1，可得 g x g x +1 ，即 x ln x (x +1) ln(x +1)，
所以 f x 0，即 f x ln 7 ln8單調(diào)遞減，所以 f 6 > f 7 ，即 > ，
ln 6 ln 7
即 log6 7 > log7 8，所以c > b ，
h x = ex - (x +1), x > 0 h x = ex再設(shè) ，可得 -1 > 0，
1
所以 h x 在 (0, + ) 1 1 6上在單調(diào)遞增，所以 h( ) > h 0 = 0，即 e5 >1+ = ，
5 5 5
5 6 6
又因?yàn)?log6 7 log6 6 = 6，所以 log6 7 ，所以 a > c ，5
綜上可得： a > c > b .
故選：C.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)所給數(shù)的特征，構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)的單
調(diào)性比較大小.
5．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）已知 a
1 1
= + ，b = ln
6
， c = log 7 -1 ln 5，則（ ）
10 11 5 6
A． a > b > c B．b > c > a C． a > c > b D． c > a > b
【答案】A
【分析】根據(jù)已知條件及構(gòu)造函數(shù) f x = ln x +1 - x （ x > 0），利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與函數(shù)的
單調(diào)性的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，再利用作差法、對(duì)數(shù)的運(yùn)算及基本不等式即可求解.
【詳解】設(shè) f x = ln x +1 - x （ x > 0），則 f x 1= -1 0，
x +1
所以 f x 在 0, + 上單調(diào)遞減，
所以 f x f 0 = 0 ，即 x > ln x +1 ，
1 1 11
所以 + > ln + ln
12 ln 6 ln 6= ， = log5 6 -1 ln 5，10 11 10 11 5 5
2 2 2
lg 6 2 lg5 + lg 7 1 lg 6 2 lg5lg 7 -

÷ lg36
1- lg35
lg 6 lg 7 - ÷ ÷log5 6 - log6 7 = - = >
è 2 = è 2 è 2 > 0
lg5 lg 6 lg5lg 6 lg5lg 6 lg5lg 6
，所以 a > b > c，
故選：A．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用構(gòu)造法和作差法，再利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性
及基本不等式即可.
二、多選題
6．（2023·山東青島·三模）已知實(shí)數(shù) a，b，滿足 a＞b＞0， ln a ln b =1，則（ ）
ab+1 a+b
A． ab > e2 B． loga 2 logb 2 C
1 1
． a b b a 2 ÷
÷ D． a b > a b
è è 2
【答案】BCD
【分析】對(duì)于選項(xiàng) A：根據(jù)題意結(jié)合基本不等式分析判斷；對(duì)于選項(xiàng) B：利用作差法分析判
斷；對(duì)于選項(xiàng) C：分析可得 ab +1 > a + b，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性分析判斷；對(duì)于選項(xiàng) D：結(jié)
合冪函數(shù)單調(diào)性分析判斷.
ln a + ln b 2 2 ln2 ab
【詳解】對(duì)于選項(xiàng) A：因?yàn)?ln a ln b ln ab = ，即 >1，解得 ln ab > 2或
4 4 4
ln ab -2，
1
所以 ab > e2 或0 ab 2 ，故 A 錯(cuò)誤；e
B log 2 log 2 ln 2 ln 2
ln 2 ln b - ln a
對(duì)于選項(xiàng) ： a - b = - = = ln 2 ln b - ln a ，ln a ln b ln a ln b
因?yàn)?a＞b＞0，則 ln a > ln b，即 ln b - ln a 0，且 ln 2 > 0 ，
所以 loga 2 - logb 2 0，即 loga 2 logb 2，故 B 正確；
對(duì)于選項(xiàng) C：因?yàn)?a＞b＞0，且 ln a ln b =1 > 0，
可得 ln a, ln b同號(hào)，則有：
若 ln a, ln b同正，可得 a > e > b >1，
則 a -1 b -1 = ab - a + b +1 > 0，可得 ab +1 > a + b；
若 ln a, ln b
1
同負(fù)，可得1 > a > > b > 0 ，
e
則 a -1 b -1 = ab - a + b +1 > 0，可得 ab +1 > a + b；
綜上所述： ab +1 > a + b，
x ab+1 a+b
1 1 1
又因?yàn)?y = ÷ 在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，所以2 2 ÷
÷ ，故 C 正確；
è è è 2
對(duì)于選項(xiàng) D：因?yàn)?a＞b＞0，則 a - b > 0，
可得 y = xa-b 在 0, + 內(nèi)單調(diào)遞增，可得 aa-b > ba-b > 0，
且 ab ,ba > 0，所以 aabb > abba ，故 D 正確；
故選：BCD.
7．（2023·云南大理·模擬預(yù)測(cè)）若12a = 3，12b = 4，則（ ）
b 1 ab 1A． > B． >
a 4
a2 1+ b2 > 2a-b 1C． D． >
2 2
【答案】ACD
【分析】根據(jù)題意可得 a = log12 3 > 0，b = log12 4 > 0， a + b =1，
選項(xiàng) A 根據(jù)換底公式結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得；
a + b
2

選項(xiàng) B 由 ab ÷ 可判斷；
è 2
C 2 2 a + b
2
選項(xiàng) 由 a + b 可判斷；
2
選項(xiàng) D 由 a b
3
- = log12 > -1，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷.4
【詳解】由12a = 3，12b = 4得 a = log12 3，b = log12 4，
a + b = log12 3+ log12 4 = log12 12 =1，
且 a = log12 3 > log12 1 = 0，b = log12 4 > log12 1 = 0，
b log 4
選項(xiàng) A： = 12 = log 4 > log 3 =1a log 3 3 3 ，故 A 正確；12
B a + b
2
1
選項(xiàng) ： ab ÷ = ，當(dāng)且僅當(dāng) a = b時(shí)等號(hào)成立，
è 2 4
1
因 a b ，所以 ab ，故 B 錯(cuò)誤；
4
a + b 2
選項(xiàng) C： a2 + b2 1 = ，當(dāng)且僅當(dāng) a = b時(shí)等號(hào)成立，
2 2
1
因 a b 2 2，所以 a + b > ，故 C 正確；
2
3 1
選項(xiàng) D： a - b = log12 3- log12 4 = log12 > log12 = -1，4 12
a-b
所以 2 > 2-1
1
= ，故 D 正確.
2
故選：ACD
三、填空題
8．（22-23 2高三·全國(guó)·對(duì)口高考）將0.3 , log2 0.5, log0.5 1.5由小到大排列的順序
是： ．
【答案】 log2 0.5 log0.5 1.5 0.3
2
【分析】由指對(duì)數(shù)運(yùn)算化簡(jiǎn)，進(jìn)而判斷它們的大小.
【詳解】0.32 = 0.09 > 0，
log2 0.5 = log
1
2 = -1 0，2
log 3 30.5 1.5 = log 1 = - log2 =1- log2 3 (-1,0)
2 2 2
，
2
所以 log2 0.5 log0.5 1.5 0.3 .
故答案為： log2 0.5 log0.5 1.5 0.3
2
9．（23-24 高三上· 0.2 0.3新疆喀什·期中）已知 a = log2 0.2, b = 0.2 ,c = 0.2 ，則 a,b,c的大小關(guān)系
是 （用“＜”表示）
【答案】 a c b
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù) y = 0.2x 的單調(diào)性即可比較b > c > 0，進(jìn)而由對(duì)數(shù)的性質(zhì)即可求解
a<0 ,進(jìn)而可比較大小.
【詳解】解：∵函數(shù) y = 0.2x 在 R 上單調(diào)遞減，
又∵ 0.3 > 0.2，
∴ 0.2 0.2 > 0.2 0.3 > 0 ，即b > c > 0，
∵ a = log2 0.2 log21 = 0 ，
∴ a<0，
∴ a c b．
故答案為： a c b
10．（2023 高三上·全國(guó)·競(jìng)賽）已知 a = eπ ，b = πe ， c = ( 2)eπ ，則這三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系
為 ．（用“ ”連接）
【答案】 c b a
【分析】構(gòu)造 f (x)
ln x
= 且 x [e, + ) ，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性比較 a,b大小，通過(guò) y = ( 2)x
x
與 y = x 的圖象比較 π與 ( 2)π 的大小，進(jìn)而得到b,c大小，即可得答案.
ln x 1- ln x
【詳解】由 ln a = π， ln b = e ln π ，令 f (x) = 且 x [e, + ) ，則 f (x) = 2 0，x x
所以 f (x) 在 x [e, + )
ln e ln π
上遞減，則 > π > e ln π，即 ln a > ln b，
e π
所以b a ，
由b = πe ， c = [( 2)π ]e ，只需比較 π與 ( 2)π 的大小，
根據(jù) y = ( 2)x 與 y = x ，相交于 (2, 2), (4, 4)兩點(diǎn)，圖象如下，
由 2 π 4，結(jié)合圖知 π > ( 2)π ，故b = πe > c = [( 2)π ]e ，
綜上， c b a .
故答案為： c b a
四、解答題
2
11 x + 3x + 2．（2024·遼寧撫順·三模）設(shè)函數(shù) f x = x+1 , g x = x - ln x +1 ．e
(1)討論 f x 的單調(diào)性．
(2)證明： g x 0 ．
(3)當(dāng) x > e -1時(shí)，證明： f x ln x + 2 ．
【答案】(1)答案見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
(3)證明見(jiàn)解析
x2 + x -1
【分析】（1）求得 f x = - x 1 ，結(jié)合導(dǎo)數(shù) f x + 的符號(hào)，即可求得 f x 的單調(diào)區(qū)間；e
x
（2）根據(jù)題意，求得 g x = ，得到 g x 的單調(diào)性和最小值，即可得證；
x +1
ex+1 eln x+2 x x
（3）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為證明 > ，設(shè)
x +1 ln x + 2 h x
e x -1 e= ，求得 h x = ，得到 h x
x x2
在 1, + 上單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為證明 x +1 > ln x + 2 ，結(jié)合（2），即可得證.
2
1 f x x + 3x + 2
2
【詳解】（ ）解：由函數(shù) = x+1 ，可得 f x
x + x -1
= - ，
e ex+1
令 f x = 0 x -1- 5 -1+ 5，解得 = 或 x = ．
2 2

x , -1- 5

f x 0 x -1- 5 , -1+ 5

當(dāng) - ÷÷時(shí)， ；當(dāng) 2 2 2 ÷÷
時(shí)， f x > 0；
è è
-1+ 5
當(dāng) x , + ÷÷ 時(shí)， f x 0．
è 2
-1- 5 f x , -1+ 5
-1- 5 -1+ 5
故 在 - ÷÷和2
,+ ÷÷上單調(diào)遞減，在 , ÷÷ 上單調(diào)遞增．
è è 2 è 2 2
（2）證明：由函數(shù) g x = x - ln x +1 x的定義域?yàn)? -1, + ，且 g x = ，
x +1
當(dāng) x -1,0 時(shí)， g x 0， g x 單調(diào)遞減；
當(dāng) x 0, + 時(shí)， g x > 0， g x 單調(diào)遞增，
所以當(dāng) x = 0時(shí)， g x 的最小值為 g 0 = 0，故 g x g 0 = 0 ．
（3）證明：當(dāng) x > e -1時(shí)， ln x + 2 >1，
x +1 x + 2 ex+1 eln x+2
要證 >
ex+1
ln x + 2 ，即證 x +1 ln x + 2 ．
x
h x e h x x -1 e
x
設(shè) = ，則 =
x x2
，
當(dāng) x >1時(shí)， h x > 0，則 h x 在 1, + 上單調(diào)遞增，
x+1 ln x+2
且 h x +1 e= , h ln x + 2 e= ，
x +1 ln x + 2
當(dāng) x > e -1時(shí)， x +1 >1, ln x + 2 >1，故只需證明 x +1 > ln x + 2 ．
由（2）知， x ln x +1 在 -1, + 上成立，故 x +1 > ln x + 2 ，
即 f x ln x + 2 成立．
【點(diǎn)睛】方法技巧：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問(wèn)題的求解策略：
1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；
2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．
3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分
離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問(wèn)題，就
要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問(wèn)題的區(qū)別
綜合提升練

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