資源簡介

培優點 06 平面向量的綜合應用（2 種核心題型+基礎保分練+
綜合提升練+拓展沖刺練）
【核心題型】
題型一　平面向量在幾何中的應用
用向量方法解決平面幾何問題的步驟
―設向量 計平面幾何問題 ― →向量問題 ― ―
算 → 還原
解決向量問題
― ― →
解決幾何問題．
π
【例題 1】（2024·湖南婁底·一模）已知圓內接四邊形 ABCD中， AD = 2, ADB = , BD 是圓
4
uuur uuur
的直徑， AC × BD = 2，則 ADC =（ ）
5π π 7π 2π
A． B． C． D．
12 2 12 3
【變式 1】（2023·河南·模擬預測）在 VABC 中，內角 A， B ，C 所對的邊分別為 a，b ， c，
BAC π= ，D為BC 上一點，BD = 2DC ， AD 3= BD = ，則VABC 的面積為（3 ）2
A 3 3 B 9 3 9 3． ． C． D 9 3．
32 8 16 32
【變式 2】（2023·天津南開·一模）在平面四邊形 ABCD中，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
AB = BC = CD = DA × DC =1，BA × BC 1= ，則 AC = ；BD ×CD = .2
【變式 3】（2024·河北張家口·三模）在VABC 中，內角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，點
uuur uuur uuur
D 為邊BC 上一點，且滿足 (AD + AC) × BC = 0．
(1)證明： AD = b；
uuur 1 uuur 2 uuur
(2)若 AD 為內角 A 的平分線，且 AD = AB + AC ，求 sin A ．
3 3
題型二　和向量有關的最值(范圍)問題
命題點 1　與平面向量基本定理有關的最值(范圍)問題
【例題 2】（2024·內蒙古呼和浩特·一模）在VABC 中，D為線段 AC 的一個三等分點，
uuur uuur uuur
AD = 2 DC .連接BD，在線段BD上任取一點E ，連接 AE ，若 AE = aAC + bAB，則 a2 + b2
的最小值為（ ）
13 5 4 2
A． B． C． D．
4 2 13 5
r r r r r r r r
【變式 1】（2023·山東泰安·模擬預測）已知 | a |=| b |=| c |=1, a b
1
× = - ， c = xa + yb(x, y R)，
2
則 x - y的最小值為（ ）
A．-2 B 2 3．- C．- 3 D． -1
3
【變式 2】（2024·全國·模擬預測）已知正方體 ABCD - A1B1C1D1 的棱長為 2，空間中點 P 滿
uuur uuuur
足 PA + PC1 = 3 ，則三棱錐P - ACD1的體積的最大值為 ．
【變式 3】（23-24 高三下·天津和平·開學考試）在VABC 中，M 是邊 BC 的中點，N 是線段
uuur r uuur r uuur r r πBM 的中點．設 AB = a ， AC = b ，記 AN = ma + nb ，則m - n = ；若 A = ，VABC6
uuur uuuur uuur
的面積為 3，則當 BC = 時， AM × AN 取得最小值．
命題點 2　與數量積有關的最值(范圍)問題
【例題 3】（2024·黑龍江·三模）已知VABC 內角 A, B,C 的對邊分別為
uuur uuur
a,b,c,c = 2,a = 4,cosB 3= ，動點M 位于線段BC 上，則MA × MB 的最小值為（ ）4
9 9 9
A．0 B． C．- D．-
10 16 10
r r r r r π
【變式 1】（2024· · r全國 模擬預測）已知 a，b 為非零向量，且 | a |=| b |= r(r > 0) ， áa,b = ，3
r r
若 | a + tb |的最小值為 3，則 r 2 + t 2 的值為（ ）．
5 9 17
A． B． C．4 D．
2 4 4
【變式 2】（2024·四川遂寧·模擬預測）已知 A， B 為圓 O : x2 + y2 = 4 上的兩個動點，
uuur uuur
AB = 2 3 ，若點 P為直線 x + y - 4 2 = 0上一動點，則PA × PB 的最小值為 .
【變式 3】（2024·重慶·模擬預測）在VABC 中，內角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c．已
b é π A B B ù知 = 2 êbcos
2
- ÷ - a sin cos ú．
è12 2 2 2
(1)求角 A 的大小；
uuur uuur
(2)若BP = PC ，且b + c = 2 ，求 AP 的最小值．
命題點 3　與模有關的最值(范圍)問題
p
【例題 4】（2022·內蒙古赤峰·模擬預測）已知點A 、 B 在單位圓上， AOB = ，若
4
uuur uuur uuur uuur
OC = OA + xOB x R ，則 OC 的取值范圍是（ ）
A． 0, + é1B． ê ,+

÷
2
é 2
C． ê ,+ ÷÷ D． 1, + 2
r r r r r r r r
【變式 1】（2023·重慶·三模）已知 a 是單位向量，向量b b a 滿足b - a與 a 成角60°，則 b
的取值范圍是（ ）
1 3
A． ,+ ÷ B． , + è 2
÷
3 ֏
2 3
C． 1, + D． ,+
è 3
÷÷

ur uur ur ur ur ur r ur ur
【變式 2】（2022·浙江·三模）已知平面向量 e1,e2 滿足 2e2 - e1 = 2
r
，設a = e1 + 4e2 ,b = e1 + e2 ，
r r r
若1 a ×b 2，則 | a |的取值范圍為 ．
r r r
【變式 3】（2022·上海·模擬預測）已知向量 a在向量b 方向上的投影為-2，且 | b |= 3，則
r
| ar + b |的取值范圍為 （結果用數值表示）
【課后強化】
【基礎保分練】
一、單選題
1．（2024·江西鷹潭·二模）在Rt△ABC 中，角 A, B,C 所對應的邊為 a,b,c A
π π
, = ，C = ，
6 2
uuur uuur uuur
c = 2， P 是VABC 外接圓上一點，則PC × PA + PB 的最大值是（ ）
A．4 B． 2 + 10 C．3 D．1+ 10
1
2．（2024·陜西渭南·二模）已知菱形 ABCD的邊長為1,cos BAD = ,O為菱形的中心，E 是
3
uuur uuur
線段 AB 上的動點，則DE × DO 的最小值為（ ）
1 2
A B C 1
1
． ． ． 2 D3 ．3 6
r r r r
3．（2024·四川涼山·三模）已知平面向量 a，b 夾角為q ，且滿足 a = 3 2 ， b =1，若當 t = -4
r r
時， a + tb 取得最小值，則 sinq = （ ）
1 1
A 15 2 2． B． C． D．
4 4 3 3
r r r r r r r r
4．（2023·陜西榆林·模擬預測）已知向量 a ，b 滿足 a = 2 b ， a ×b = -1，則 a + b 的取值范
圍為（ ）
A． 2, + é1
é 2
B． ê ,+ ÷ C． é 2
2, + D． ê ,+ 2 ÷÷
二、多選題
5．（2023·山東煙臺·二模）如圖，在VABC 中， AB = 2 ， AC = 3， BAC = 60°，點D, E 分別
uuur uuur uuur uuur
在 AB ， AC 上且滿足 AB = 2AD， AC = 3AE ，點F 在線段DE 上，下列結論正確的有
（ ）．
uuur uuur uuur
A．若 AF = l AB + m AC ，則3l + 2m =1
uuur uuur
B．若DE = 2DF ，則BF ^ CF
uuur uuur
C． BF + CF 3 3的最小值為
2
uuur uuur
D S 15 3．BF ×CF 取最小值時， △BFC = 16
6．（2024·河南信陽·二模）如圖，在四棱錐Q - EFGH 中，底面是邊長為 2 2 的正方形，M
為QG 的中點．QE = QF = QG = QH = 4，過Q作平面EFGH 的垂線，垂足為O，連EG ，
EM ，設EM ，QO 的交點為A ，在△QHF 中過A 作直線BC 交QH ，QF 于 B ，C 兩點，
QB = xQH ，QC = yQF ，過EM 作截面將此四棱錐分成上、下兩部分，記上、下兩部分的
體積分別為V1,V2 ，下列說法正確的是（ ）
uuur 1 uuur 1 uuur 1 1
A．QA = QH + QF B． + = 3
3 3 x y
V
C．V1 = 2 3xy D
1 1
．V 的最小值為 22
三、填空題
r r r r r r π
7．（2024·湖北·模擬預測）已知向量 a，b 滿足 a = 2， b =1，且 a，b 的夾角為 ，則3
r ra - lb l R 的最小值是 .
r r r r
8．（2024·上海閔行·二模）已知 a 、b 是空間中兩個互相垂直的單位向量，向量 c滿足 c = 3，
r r r r r r r
且 c ×a = c ×b =1，當l 取任意實數時， c - l(a + b) 的最小值為 .
uuur uuur
9．（2022·天津南開·二模）已知平行四邊形 ABCD中， AB = 4 ， AD = 2， AC × AD = 8，則
uuur uuur uuur uuur uuur
AC uuur uuur= ；若CE = ED，DF = lDB ，則 AF × FE 的最大值為 ．
四、解答題
π
10．（2023·湖北·二模）已知在VABC 中，角 A、B、C 的對邊分別是 a、b、c，C = ．
3
(1)若 BC 3邊上的高等于 a ，求 cos A；
3
uuur uuur
(2)若CA ×CB = 2，求 AB 邊上的中線 CD 長度的最小值．
11．（2023·四川成都·一模）已知VABC 的內角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c，且
c c - a = b - a b + a .
(1)求角 B；
(2)若邊 AC 上的中線BD長為 2，求VABC 面積的最大值.
【綜合提升練】
一、單選題
r r r r r r r r
1．（2023·陜西咸陽·模擬預測）已知向量 a ，b ，且 a = b = 5， a + b = 6，則 ta + b t R
的最小值為（ ）
24 16 12
A． B．4 C． D．
5 5 5
ur uur ur uur
2．（2024·全國·模擬預測）若單位向量 e1 ， e2 的夾角為120o，則當 e1 - le2 l R 取得最小
值時，l 的值為（ ）
1
A．－2 B．－1 C．- D 1．
2 2
r r r r
3．（2023 高三下·全國·競賽）已知平面向量 a， b 滿足 a = 3 2 ， b =1，并且當l = -4 時，
ar
r r
+ lb 取得最小值，則 sin a
r,b =（ ）
2 2 1 15 1A． B． C． D．
3 3 4 4
r r r r r r r r
4．（2023·山東青島·三模）已知向量 a ，b ， c滿足： a = b =1， a × a - b 1= ，2
r r r r
r r
b - c × 3b - c = 0 ，則 a - c 的最小值為（ ）
A． 3 -1 B． 3 C．2 D．1
r r r
5．（2023 高一·全國·單元測試）若 a ，b 是兩個互相垂直的單位向量，且向量 c滿足
r r r r r r
c - 2a + c - 3b = 13 ，則 c + a 的取值范圍是（ ）
é9 13 ù
A． ê , 10 ú B．13 [3, 10]
é9 13 ù
C． ê ,3ú D．以上答案均不對
13
6．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知VABC 是邊長為 4 3 的正三角形，點 P 是VABC 所在平
uuur uuur uuur uuur
面內的一點，且滿足 AP + BP + CP = 3，則 AP 的最小值是（ ）
8
A．1 B．2 C．3 D．
3
7．（2023·江西景德鎮·三模）互相垂直且有公共原點的兩條數軸構成平面直角坐標系，但如
果平面坐標系中兩條坐標軸不垂直，則這樣的坐標系稱為“斜坐標系”.如圖，在斜坐標系中，
過點 P 作兩坐標軸的平行線，其在 x 軸和 y 軸上的截距 a，b 分別作為點 P 的 x 坐標和 y 坐標，
記 P a,b π.若斜坐標系中， x 軸正方向和 y 軸正方向的夾角為 ，則該坐標系中M 2,2 和
3
N 4,1 兩點間的距離為（ ）
A．2 B．1 C． 5 D． 3
r r r r r r r r r
8．（2022·浙江寧波·二模）已知平面向量 a， b ， c 滿足 a =1， b = 2， a - c = b - c = 3，
r rc = lar + mb （l > 0，m > 0 ）.當l + m = 4時， c =（ ）
A 58 B 62 C 66 70． ． ． D．
2 2 2 2
二、多選題
9．（2023·全國·模擬預測）已知點 A 1,2 ，B 3,1 ，C 4,m +1 m R ，則下列說法正確的
是（ ）
uuur uuur uuur
A． AB = 5 B．若 AB ^ BC ，則m = -2
uuur uuur
m 1
uuur uuur
C．若 AB∥BC ，則 = - D．若2 BA
，BC 的夾角為銳角，則m < 2且
m 1 -
2
10．（2023·湖北·模擬預測）下列關于平面向量的說法中正確的是（ ）
uuur uuur
A．已知 A 2,3 , B 4, -3 3 16 ，點 P 在直線 AB 上，且 AP = PB ，則 P 的坐標為
2
,-1÷；
è 5
uuur uuur 1 uuur2
B．若O是VABC 的外接圓圓心，則 AB × AO = AB
2
r r r r r r rC．若 c ^ a - b ，且 c 0，則a = b
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
D．若點 P 是VABC 所在平面內一點，且PA × PB = PB × PC = PC × PA，則 P 是VABC 的垂
心.
uuur uuur
11．（2024·全國·模擬預測）在平面直角坐標系中，P x, y ，Q -3,0 ，且 PQ = 2 PO ，MN
是圓 Q： x + 3 2 + y2 = 4的一條直徑，則（ ）
uuur
A．點 P 在圓 Q 外 B． PQ 的最小值為 2
uuuur uuur uuuur uuur
C．OM ×ON = 5 D．PM × PN 的最大值為 32
三、填空題
12．（2023·全國·模擬預測）已知在△ABC 中，∠BAC=60°，點 D 為邊 BC 的中點，E，F 分別
uuur uuur uuur uuur
為 BD，DC 的中點，若 AD=1，則 AB × AF + AC × AE 的最大值為 ．
π
13．（2023·廣西·模擬預測）在VABC 中， ABC = ，點D在線段 AC 上，且 AD = 3DC ，
3
BD = 4，則VABC 面積的最大值為 ．
14．（2024·貴州貴陽·模擬預測）如果復數 z = x + yi x R, y R 1， z1 = -2， z2 = - ， z3 = i2
在復平面內對應的點分別為Z ，Z1 ，Z2 ，Z3，復數 z 滿足 z - z1 = 2 z - z2 ，且
uuur uuuur uuuur
Z1Z = lZ1Z2 + mZ1Z3 l R, m R ，則3l + 2m 的最大值為 .
四、解答題
15．（2024·湖南衡陽·模擬預測）在VABC中，角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，已知
a = bcosC 3- c sin B
3
(1)求角 B
(2)過 B 作BD ^ BA，交線段 AC 于 D，且 AD = 2DC ，求角C .
16．（2022·湖南·一模）在VABC 中，內角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c，已知
a = 2,b = 5,c = 1．
(1)求 sin A,sin B,sin C 中的最大值；
(2)求 AC 邊上的中線長．
17．（2022·廣東深圳·一模）如圖，在△ABC 中，已知 AB = 2 ， AC = 6 2 ， BAC = 45°，
BC，AC 邊上的兩條中線 AM，BN 相交于點 P．
(1)求 BAM 的正弦值；
(2)求 MPN 的余弦值．
18．（2023·河南·模擬預測）VABC 的內角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，已知5bsinA = 3atanB, D
是 AC 邊上一點， AD = 2DC, BD = 2 .
(1)求 cosB；
uuur uuur
(2)求BA × BC 的最大值.
19．（2023·四川自貢·一模）在VABC 中，角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c，已知
uuur uuur uuur
3 cos A + sin A = 0 .若 D 在線段 BC 上，且BD = 2DC ， AD = 2 .
(1)求 A；
(2)求VABC 面積的最大值.
【拓展沖刺練】
一、單選題
1．（2022·安徽黃山·一模）在VABC 中, AB = 2, ACB = 45° ,O 是VABC 的外心,則
uuur uuur uuur uuur
AC × BC + OC × AB 的最大值為（ ）
3 7
A．1 B． C．3 D．
2 2
2．（2022·江蘇鹽城·模擬預測）在VABC 中，過重心 E 任作一直線分別交 AB，AC 于 M，N
uuur uuur uuur uuur
兩點，設 AM = xAB， AN = yAC ，（ x > 0， y > 0），則 4x + y 的最小值是（ ）
4 10
A． B． C．3 D．2
3 3
3．（22-23 高三下·河北石家莊·階段練習）設 A, B是平面直角坐標系中關于 y 軸對稱的兩點，
uuur uuur uuur uuur uuur
且 OA = 2 .若存在m,n R ，使得mAB + OA與 nAB + OB 垂直，且
uuur uuur uuur uuur uuurmAB + OA - nAB + OB = 2，則 AB 的最小值為（ ）
A．1 B． 3 C．2 D． 2 3
uuur uuur uuur uuur
4．（2023·貴州畢節·模擬預測）已知點 G 為三角形 ABC 的重心，且 GA + GB = GA - GB ，
當 C 取最大值時， cosC =（ ）
4 3 2 1
A． B． C． D．
5 5 5 5
二、多選題
r r r r r r
5．（2022·湖北·二模）定義空間兩個非零向量的一種運算： a b = a × b ×sináa,b ，則關于空
間向量上述運算的以下結論中恒成立的有（ ）
r rA．l a b = r r r r r rla b B． a b=b a
r r r r r r r r
C．若 a b = 0，則 a ^ b D． a b a × b
6．（2024·海南海口·模擬預測）已知eC : (x - 4)2 + y2 = 4， A, B是eC 上的兩個動點，且
AB = 2 3 .設 A x1, y1 ，B x2 , y2 ，線段 AB 的中點為M ，則（ ）
π
A． ACB =
3
B．點M 的軌跡方程為 (x - 4)2 + y2 =1
C． x1x2 + y1 y2 的最小值為 6
D． x1 - y1 +1 + x2 - y2 +1 的最大值為10 + 2
三、填空題
r r r r r r 5π r
7．（2024·河北滄州·模擬預測）已知單位向量 a，向量b 與 a不共線，且 a - b ,b = ，則 b6
的最大值為 ．
r r r r r r r r
8．（2024·山東濟寧·三模）已知 a = a - b = 3 2, b = 6 ，則 f (x) xa
1 1
= - b + xa - b (x R)
2 3
的最小值為 .
9．（2024·黑龍江牡丹江·模擬預測）已知 A, B,C 是邊長為 1 的正六邊形邊上相異的三點，則
uuur uuur
AB × BC 的取值范圍是 .
四、解答題
10．（2023·重慶·模擬預測）在 VABC 中，a，b，c 分別是 VABC 的內角 A，B，C 所對的邊，
b a - c
且 = ．
sin A + sin C sin B - sin C
(1)求角 A 的大小；
uuuur uuuur uuuur 21
(2)記VABC S BM = MC AM的面積為 ，若 ，求 的最小值．
2 S
11．（2023·四川成都·模擬預測）如圖，A，B 是單位圓（圓心為 O）上兩動點，C 是劣弧 AB
uuur uuur uuur
（含端點）上的動點．記OC = lOA + mOB （l ，m 均為實數）．
(1)若 O 到弦 AB 1的距離是 l + m2 ，求 的取值范圍；
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
(2)若 3OA - OB
5
，向量
2 2OA + OB
和向量OA + OB 的夾角為q ，求 cos2 q 的最小值．培優點 06 平面向量的綜合應用（2 種核心題型+基礎保分練+
綜合提升練+拓展沖刺練）
【核心題型】
題型一　平面向量在幾何中的應用
用向量方法解決平面幾何問題的步驟
―設向―量→ 計算 還原平面幾何問題 向量問題
― ― →
解決向量問題
― ― →
解決幾何問題．
π
【例題 1】（2024·湖南婁底·一模）已知圓內接四邊形 ABCD中， AD = 2, ADB = , BD 是圓
4
uuur uuur
的直徑， AC × BD = 2，則 ADC =（ ）
5π π 7π 2π
A． B． C． D．
12 2 12 3
【答案】C
【分析】根據平面向量數量積的線性運算，結合圓內接四邊形 ABCD的幾何性質，即可得所
求.
【詳解】
uuur uuur uuur uuur uuur因為 AC × BD = 2，所以 AD + DC × BD = 2，易知BD = 2 2 ，
uuur uuur uuur uuur
結合圖形， AD·BD 2 2 2 2= = 4 BCD = 90° 2， ，則 4 - DC = 2，故 DC = 2 .2
所以在直角三角形BCD中可得 BDC
π 7π
= ，故 ADC = .
3 12
故選：C
【變式 1】（2023·河南·模擬預測）在 VABC 中，內角 A， B ，C 所對的邊分別為 a，b ， c，
BAC π= ，D BC BD = 2DC AD BD 3為 上一點， ， = = ，則VABC 的面積為（3 ）2
A 3 3 B 9 3 9 3． ． C． D 9 3．
32 8 16 32
【答案】D
uuur 1 uuur 2 uuur
【分析】根據向量的基本定理得 AD = AB + AC ，同時平方化簡得 4a2 = c2 23 3 + 4b + 2bc
，
再由余弦定理得b2 + c2 - bc = a2 2
9
，兩式聯立化簡可得b = ，由三角形面積公式計算即可.
16
【詳解】
uuur 1 uuur 2 uuur
如圖所示，在VABC 中，由BD = 2CD，得 AD = AB + AC ．
3 3
uuur uuur
AD BD 2又 AD = BD ，即 = = a，
3
uuur2 1 uuur 2 uuur
2
AD AB AC 4 1 4 2所以 = + a
2 = c2 + b2 + bc，
è 3 3 ÷ 9 9 9 9
化簡得 4a2 = c2 + 4b2 + 2bc ．①
在VABC 中，由余弦定理得，b2 + c2 - bc = a2 ，②
由①②式，解得 c = 2b．由BD 3 3 3= ，得 a = ，
2 4
2
3 3 2 9
將其代入②式，得 2 2 2 ÷÷ = b + c - bc = 3b ，解得b = ，
è 4 16
故VABC 1的面積 S = bc ×sin 3 BAC = b2 3 9 9 3= = ．
2 2 2 16 32
故選：D
【變式 2】（2023·天津南開·一模）在平面四邊形 ABCD中，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur uuurAB = BC = CD = DA × DC =1，BA × BC = ，則 AC = ；BD ×CD = .2
【答案】 1 1 3+
2
uuur uuur uuur
【分析】根據BA BC
1
× = 求出 B 的大小，從而可判斷△ABC 的形狀，從而求出 AC ；再求
2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur出DC × AC ，從而求出∠ACD 的大小，再根據BD ×CD = BC + CD ×CD即可求出BD ×CD ．
uuur uuur uuur uuur uuur 1
【詳解】∵ AB = BC = CD =1, BA × BC = ，
2
uuur uuur uuur uuur
又BA × BC = BA BC cosB
1 1
= ，故 cosB = ，
2 2
∵ 0 < B < π B
π
，故 = ，
3
uuur
∴VABC為等邊三角形，則 AC =1；
uuur
CD =1 uuur2
uuur uuur uuur2 uuur uuur∵ ，∴ CD =1，又DA × DC =1，∴ CD = DA × DC ，
uuur2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
得DC - DA × DC = DC × DC - DA = DC × AC = 0 ，
∴ AC ^ CD ，
根據以上分析作圖如下：
則∠BCD=150°，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur uuur uuur2
則BD ×CD = BC + CD ×CD = BC ×CD + CD = -CB ×CD + CD

= -1 1 3 2 + 3 - 2 ÷÷
+1 = ．
è 2
2 + 3
故答案為：1； 2
【變式 3】（2024·河北張家口·三模）在VABC 中，內角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，點
uuur uuur uuur
D 為邊BC 上一點，且滿足 (AD + AC) × BC = 0．
(1)證明： AD = b；
uuur 1 uuur 2 uuur
(2)若 AD 為內角 A 的平分線，且 AD = AB + AC ，求 sin A ．
3 3
【答案】(1)證明見詳解；
(2) 3 7 .
8
【分析】（1）記CD 的中點為E ，利用向量運算證明 AE ^ BC 即可；
uuur uuur
（2）先根據向量關系得BD = 2DC ，再由角平分線定理可得 c = 2b，分別在△ACD,△ABD
9b2
使用余弦定理可得 a2 = ，再在VABC 中利用余弦定理求 cos A，然后由平方關系可得
2
sin A .
uuur uuur uuur
【詳解】（1）記CD 的中點為E ，則 AD + AC = 2AE ，
uuur uuur uuur uuur uuur
因為 (AD + AC) × BC = 2AE × BC = 0，所以 AE ^ BC ，
所以 AE 為CD 的垂直平分線，所以 AD = AC = b .
（2）記 CAD = q ，
uuur 1 uuur 2 uuur uuur uuur uuur uuur
因為 AD = AB + AC ，所以 AD - AB = 2 AC - AD ，3 3
uuur uuur
BD 2 a, DC 1所以BD = 2DC ， = = a ，3 3
c BD
又 AD 為內角 A 的平分線，所以 = = 2， c = 2b，
b DC
在△ACD,△ABD 中，分別由余弦定理得：
2 2
b2 + b2 - 2b2 cosq a 4a= ,b2 + 4b2 - 4b2 cosq = ，
9 9
2
聯立可得 a2 9b= ，
2
2
b2 + 4b2 9b-
在VABC 中，由余弦定理得 cos A 1= 2 = ，
4b2 8
2
所以 sin A = 1- 1 3 7 ÷ = .
è 8 8
題型二　和向量有關的最值(范圍)問題
命題點 1　與平面向量基本定理有關的最值(范圍)問題
【例題 2】（2024·內蒙古呼和浩特·一模）在VABC 中，D為線段 AC 的一個三等分點，
uuur uuur uuur
AD = 2 DC .連接BD，在線段BD上任取一點E ，連接 AE ，若 AE = aAC + bAB，則 a2 + b2
的最小值為（ ）
13 5 4 2
A． B． C． D．
4 2 13 5
【答案】C
uuur uuur uuur
【分析】根據E 在線段BD上得到 AE = l AD + 1- l AB ，結合已知條件得到 a，b 和l 的關
系式，最后轉化為二次函數求最小值.
uuur uuur uuur
【詳解】Q E 在線段BD上，\ AE = l AD + 1- l AB ，l 0,1 ，
uuur 2 uuurQ D為線段 AC 的一個三等分點， AD = 2 DC ，\ AD = AC ，
3
uuur 2 uuur uuur uuur uuur\ AE = l AC + 1- l AB = aAC + bAB，
3
2
由平面向量基本定理得 a = l ，b = 1- l ，
3
4 2\ a2 + b2 = l 2 + 1- l 2 13= l 2 - 2l 1 13 9 4+ = l -

÷ + ，9 9 9 è 13 13
\當l
9 2 2 4= 時， a + b 取得最小值 .
13 13
故選：C.
r r r r r 1 r r r
【變式 1】（2023·山東泰安·模擬預測）已知 | a |=| b |=| c |=1, a ×b = - ， c = xa + yb(x, y R)，
2
則 x - y的最小值為（ ）
A 2 3．-2 B．- C．- 3 D． -1
3
【答案】B
r r 2π r r 1 3
【分析】利用數量積定義可得 a,b的夾角為q = ，不妨設 a=(1,0),b= - ， ，3 è 2 2
÷÷

ì
r x = cosa
3
+ sina
c = (cosa ,sina ),a 0,2π 3，即可得 í ，再利用輔助角公式可得
y 2 3 = sina 3
x 2 3- y = cos(a π+ ) ，即可求得其最小值.
3 6
r r r r r r 1
【詳解】設 a,b的夾角為q ，Q a = b =1， a ×b = - ，
2
1 r
\cosq = - ，Qq 0, π ，\q = 2π ，又 c = 1，
2 3
r r r
不妨設 a=(1,0),b=
1 3
- ， ÷÷ ， c = (cosa ,sina ),a 0,2π ，
è 2 2
ì y ì 3
r r r cosa = x -
Qc xa yb= x y 3
x = cosa + sina
= + - , y 2 3 ÷÷，所以 ，即 ，
è 2 2
í í
sina 3= y y 2 3 = sina 2 3
2

\ x - y = cosa 3 sina 1 3 π 2 3 π- = +
3 3 ÷÷
cos(a + ) = cos(a + )，
è 6 3 6
a 0,2π a + π\ é π 13π 由 ê ，6 ÷， 6 6
\ a + π = 3π 4π 2 3當 時，即a = 時， x - y有最小值
6 2 3 -
．
3
故選：B
【變式 2】（2024·全國·模擬預測）已知正方體 ABCD - A1B1C1D1 的棱長為 2，空間中點 P 滿
uuur uuuur
足 PA + PC1 = 3 ，則三棱錐P - ACD1的體積的最大值為 ．
5
【答案】
3
uuur uuuur
【分析】方法一：根據題意建立合適的空間直角坐標系，設P x, y, z ，根據 PA + PC1 = 3
得出點 P 的軌跡是球，然后得到點 P 到平面 ACD1的距離的最大值，從而根據三棱錐的體積
uuur 3
公式求解．方法二：利用向量的幾何運算得到 PO = ，得到點 P 的軌跡是球，然后得到
2
點 P 到平面 ACD1的距離的最大值，從而根據三棱錐的體積公式求解．
【詳解】解法一 根據題意建立如圖所示的空間直角坐標系，則 A 2,0,0 ，C1 0,2,2 ，設
uuur uuuur
P x, y, z ，則PA = (2 - x, -y, -z), PC1 = (-x, 2 - y, 2 - z)，
uuur uuuur
所以PA + PC1 = (2 - 2x, 2 - 2y, 2 - 2z)，
uuur uuuur
由 PA + PC = 3 x -1 2 + y -1 2 + z -1 2 31 ，得 = ，故點 P 的軌跡是以O(1,1,1) （O為正方4
體 ABCD - A 31B1C1D1 的中心）為球心，半徑為 的球．
2
連接B1D
1
，易知B1D = 2 3 ，OD = B1D = 3，△ACD1為等邊三角形，且邊長為 2 2 ，2
設點 D 到平面 ACD1的距離為d ，
由VD - ADC = V
1 1 1 3 2 3
1 D- AD1C ，得到 2 2 2 = d (2 2)2 ，所以 d = ，3 2 3 4 3
2 3 3
故可得點 O 到平面 ACD1的距離 h = 3 - = ，
3 3
故點 P 3 5 3到平面 ACD1的距離的最大值為 h + = ，
2 6
2
則三棱錐P - ACD 1 3 5 3 51的體積的最大值為 2 2 = ．
3 4 6 3
uuur uuuur uuur uuur uuuur
解法二 連接 AC1，取 AC1的中點 O，則PA + PC1 = 2PO，又 PA + PC1 = 3 ，可得
uuur
PO 3= ，故點 P 3的軌跡是以 O 為球心，半徑為 的球，
2 2
1
連接B1D，易知B1D = 2 3 ，OD = B1D = 3，△ACD1為等邊三角形，且邊長為2 2 2
，
設點 D 到平面 ACD1的距離為d ，
由VD - ADC = V
1 1 1 3
1 D- AD1C ，得到 2 2 2 = d (2 2)2 d
2 3
，所以 = ，
3 2 3 4 3
2 3 3
故可得點 O 到平面 ACD1的距離 h = 3 - = ，
3 3
3 5 3
故點 P 到平面 ACD1的距離的最大值為 h + = ，
2 6
P - ACD 1 3 2 5 3 5則三棱錐 1的體積的最大值為 2 2 = ．3 4 6 3
5
故答案為： 3 .
【變式 3】（23-24 高三下·天津和平·開學考試）在VABC 中，M 是邊 BC 的中點，N 是線段
uuur uuur r uuur r π
BM r的中點．設 AB r= a ， AC = b ，記 AN = ma + nb ，則m - n = ；若 A = ，VABC6
uuur uuuur uuur
的面積為 3，則當 BC = 時， AM × AN 取得最小值．
1
【答案】 /0.5 2
2
uuur 3 r 1 r m 3 ,n 1【分析】利用平面向量基本定理得到 AN = a + b ，得到 = = ，求出m- n；由三
4 4 4 4
uuuur 1 uuur 1 uuur
角形面積公式得到 AB × AC = 4 3，結合 AM = AB + AC 和平面向量數量積公式，基本不2 2
uuuur uuur
等式得到 AM × AN 的最小值，此時 AB = 2, AC = 2 3 ，由余弦定理得到BC = 2 .
uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur
【詳解】由題意得 AN = AB + BN = AB + BC = AB + AC - AB
4 4
3 uuur uuur r
= AB 1 3 r 1+ AC = a + b ，
4 4 4 4
m 3 ,n 1 m n 3 1 1故 = = ，故 - = - = ；
4 4 4 4 2
1 π
由三角形面積公式得 SV ABC = AB × AC sin = 3 ，2 6
故 AB × AC = 4 3，
uuuur uuur uuur
其中 AM
1
= AB 1+ AC ，
2 2
uuuur uuur 1 uuur 1 uuur 3 uuur 1 uuur 3 uuur2 1 uuur uuur 1 uuur2
故 AM × AN =

AB + AC

÷ AB + AC ÷ = AB + AB × AC + AC
è 2 2 è 4 4 8 2 8
3 uuur 2 1 uuur uuur uuur 2
= AB + AB × AC cos π 1+ AC 3= AB2 3 1+ AB × AC + AC 2
8 2 6 8 8 4 8
3 AB2 1 AC 2 3 2 3= + + AB2 1× AC 2 + 3
8 8 8 8
3
= AB × AC +3 = 6，
4
3 AB2 1 2當且僅當 = AC ，即 AB = 2, AC = 2 3 時，等號成立，
8 8
2 2 2 π 2 2
此時BC = AB + AC - 2AB × AC cos = AB + AC - 3AB × AC
6
= AB2 + AC 2 -12 = 4 +12 -12 = 4，
故BC = 2 .
1
故答案為： 2 ，2
命題點 2　與數量積有關的最值(范圍)問題
【例題 3】（2024·黑龍江·三模）已知VABC 內角 A, B,C 的對邊分別為
uuur uuur
a,b,c,c = 2,a = 4,cosB 3= ，動點M 位于線段BC 上，則MA × MB 的最小值為（ ）4
9 9 9
A．0 B． C．- D．-
10 16 10
【答案】C
uuur uuur uuur 3 2 9
【分析】根據條件，利用數量積的定義及運算，得到MA × MB = MB -

÷ - ，即可求出
è 4 16
結果.
【詳解】由題知
uuur uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur uuur uuur2 uuur uuur2 3 uuur uuur
2
MA × MB = MB + BA × MB = MB + BA × MB = MB + 2 MB cos π B 3 9- = MB - 2 MB = MB -

4 ÷
-
è 4 16
，
uuur uuur
0 MB 4 3 uuur uuur MB 9而 ，所以當 = 時，MA × MB 有最小值為- ，4 16
故選：C.
r r r r r r π
【變式 1】（2024·全國·模擬預測）已知 a，b 為非零向量，且 | a |=| b |= r(r > 0) ， áa,b = ，3
r r
若 | a + tb |的最小值為 3，則 r 2 + t 2 的值為（ ）．
5 9 17
A． B． C．4 D．
2 4 4
【答案】D
r r 1 r r
【分析】由數量積的定義和模長公式對 | a + tb |平方可得，當 t = - 時， | a + tb |取得最小值
2
3 r ，可求出 r = 2，即可求出 r 2 + t 2 的值,
2
| ar
r r r π
【詳解】因為 |=| b |= r(r > 0) ， áa,b = ，
3
r r r| a tb |2 | ar |2 t2 |b |2 2tar
r 2
2 é ù
由題意得 + = + + ×b = r 1+ t2 1 3+ t = r2 ê t + + ，
êè 2
÷ ú
4 ú
1 r
所以當 t = - | ar時， + tb | 3取得最小值 r ，2 2
3 1 17
由 r = 3 得 r = 2 2，所以 r + t 2 = 4 + = ．
2 4 4
故選：D
【變式 2】（2024·四川遂寧·模擬預測）已知 A， B 為圓 O : x2 + y2 = 4 上的兩個動點，
uuur uuur
AB = 2 3 ，若點 P為直線 x + y - 4 2 = 0上一動點，則PA × PB 的最小值為 .
【答案】6
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuurAB D PA × PB = PD + DA × PD + DB uuur2 uuur2【分析】取 中點 ，則 = PD - DA ，問題轉化為求 PD
的最小值，再利用點到直線的距離公式求 OP 的最小值即可.
【詳解】如圖：取 AB 中點D，因為 AB = 2 3 ，圓O的半徑為 2，所以 OD =1，點D的
軌跡是以原點為圓心，以 1 為半徑的圓， DA = DB = 3 .
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
PA × PB = PD + DA × PD + DB uuur2 uuur2 uuur2= PD - DA = PD - 3，
4 2
由點到直線距離公式，得： OP = = 4 ，所以 PD = 4 -1 = 3min min ，2
uuur uuur
所以PA × PB 32 - 3 = 6 .
故答案為：6
【變式 3】（2024·重慶·模擬預測）在VABC 中，內角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c．已
知b 2
é
= êbcos
2 π A- ÷ - a sin
B cos B ù．
è12 2 2 2 ú
(1)求角 A 的大小；
uuur uuur
(2)若BP = PC ，且b + c = 2 ，求 AP 的最小值．
π
【答案】(1) A = 3 ；
(2) 3 ．
2
【分析】（1）根據題意，由正弦定理代入計算，結合三角恒等變換公式代入計算，即可得到
結果；
（2）根據題意，由平面向量數量積的運算律代入計算，結合基本不等式代入計算，即可得
到結果.
a b
【詳解】（1）在VABC 中，由正弦定理 = ，可得 a sin B = bsin A
sin A sin B
b 2 é= bcos2 π A- 又由 ê ÷ - a sin
B cos B ù B B éú知 2a sin cos = b × ê2cos
2 π A ù- -1 ，
è12 2 2 2 2 2
÷ ú
è12 2
a sin B π π即 = bcos
- A bsin A = bcos - A ÷，得 ÷，得
è 6 è 6
sin A = cos π 3 - A÷ = cos A
1
+ sin A，
è 6 2 2
1
得 sin A 3= cos A，所以 tan A = 3 ；
2 2
又因為 A 0, π ，所以 A π= 3 ．
uuur uuur uuur 1 uuur 1 uuur
（2）由BP = PC ，得 AP = AB + AC2 2 ，
uuur2 1 uuur uuur
2 uuur2 uuur2 uuur uuur
所以 AP = AB
1
+ AC 1÷ = AB
1 1
+ AC + AB × AC
è 2 2 4 4 2
1
= c2 1 b2 1+ + bc cos A 1= c2 1+ b2 1+ bc
4 4 2 4 4 4
1 é 2 ù
= é b + c
2 bcù 1 2 b + c 3 2 3-
4
ê b + c -4 2 ÷ ú = b + c = ，ê è ú 16 4
ìb = c
í 3
當且僅當 b + c = 2，即b = c =1時等號成立，故 AP 的最小值為 2
命題點 3　與模有關的最值(范圍)問題
p
【例題 4】（2022·內蒙古赤峰·模擬預測）已知點A 、 B 在單位圓上， AOB = ，若
4
uuur uuur uuur uuur
OC = OA + xOB x R ，則 OC 的取值范圍是（ ）
A． 0, 1+ éB． ê ,+

2 ÷
é 2
C． ê ,+ 2 ÷÷ D． 1, +
【答案】C
uuur
【分析】利用平面向量數量積的運算性質以及二次函數的基本性質可求得 OC 的取值范圍.
【詳解】
uuur 2 uuur uuur 2 uuur2 uuur2 uuur uuur
2

OC = OA + xOB p 2 1 1= OA + x2OB + 2x OA × OB cos = x2 + 2x +1 = x + ÷÷ + ，4 è 2 2 2
uuur 2
因此， OC .
2
故選：C.
r r r r r r r r
【變式 1】（2023·重慶·三模）已知 a 是單位向量，向量b b a 滿足b - a與 a 成角60°，則 b
的取值范圍是（ ）
1 3
A． ,+

÷ B2 ．
, +
è 3
÷÷
è
2 3
C． 1, + D． ,+ 3 ÷÷è
【答案】C
uuur
AB ar
uuur r r r
【分析】設 = , AC = b r，由已知 a與b - a 的夾角為60°可得 ABC =120° ，由正弦定理
| ar
r
| | b | r
= | b | 3
r
得 = >1，從而可求 | b |的取值范圍.
sin C sin120° 2sin C
uuur uuur r
【詳解】設 AB = ar, AC = b ，如圖所示：
uuur uuur uuur r r
則由BC r= AC - AB ，又Qa與b - a 的夾角為60°，\ ABC = 120° .
uuur r
| AB | | ar | 1 | a
r | | b | r
又由 = = ，由正弦定理 = ，得 | b | 3= ，
sin C sin120° 2sin C
π 3 QC 0, ÷ ，\sin C 0, ÷，
è 3 2 ÷è
r
\| b | 3= (1,+ )，
2sin C
故選：C
ur uur ur ur ur ur r ur ur
【變式 2】（2022·浙江·三模）已知平面向量 e1,e
r
2 滿足 2e2 - e1 = 2，設a = e1 + 4e2 ,b = e1 + e2 ，
r r r
若1 a ×b 2，則 | a |的取值范圍為 ．
【答案】[ 3 -1, 5 +1]
r ur ur r 1 r r r c
r
【分析】設 c = e1 - 2e2 ，則b = (a + c) ，由條件求出 a + ，根據向量三角不等式可求2 2
| ar | .
r ur ur r 1 r
【詳解】設 c = e1 - 2e2 ，則b = (a
r cr) r r r r+ ，則由條件1 a ×b 2知2 a × (a + c) 4 ，2
3 ar2 ar cr 1 r c
r cr
所以 + × + c
r2 5，所以 3 a + 5, = 12 2 ，4
ar c
r cr r cr cr r cr cr
又 + - a
v = a + - a + +
2 2 2 2 2 2
所以 3 -1 | ar | 5 +1．
故答案為：[ 3 -1, 5 +1]
r r r
【變式 3】（2022·上海·模擬預測）已知向量 a在向量b 方向上的投影為-2，且 | b |= 3，則
r
| ar + b |的取值范圍為 （結果用數值表示）
【答案】[1, + )
r r
【分析】根據向量的投影公式可得 a × b = -6，結合向量的數量積公式和 cosq 的取值范圍即
r r
可求出 a + b 的范圍.
r r
【詳解】由題意知，設向量 a，b的夾角為q ，
r r ra ×b r
由 a cosq = r = -2，b = 3b ，
r r r
得 a ×b = -2 b = -6，
v 2 v v 2
又 av + b = av
2 + 2av 4×b + b = av 2 -12 + 9=
cos2
- 3，
q
又 cosq [-1，1]且 cosq 0，
4
[4 4，+ )，所以 - 3 [1，+ )，
cos2 q cos2 q
r r
所以 a + b 的取值范圍為[1，+ ) .
故答案為：[1，+ )
【課后強化】
【基礎保分練】
一、單選題
1．（2024·江西鷹潭·二模）在Rt△ABC 中，角 A, B,C 所對應的邊為 a,b,c A
π C π, = ， = ，
6 2
uuur uuur uuur
c = 2， P 是VABC 外接圓上一點，則PC × PA + PB 的最大值是（ ）
A．4 B． 2 + 10 C．3 D．1+ 10
【答案】A
uuur uuur uuur uuur uuur
【分析】先判斷VABC 外接圓圓心O是 AB 的中點，將PC × PA + PB 化簡為2PC × PO ，再
uuur uuur2 uuur uuur
將PC 分解整理得2PO + 2PO ×OC ，結合圖形，利用向量數量積的定義式進行分析，即得
uuur uuur uuurPC × PA + PB 的最大值.
【詳解】
如圖，設Rt△ABC 的外心為O，則點O是 AB 的中點，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur uuur由PC × PA + PB = 2PC × PO = 2 PO + OC × PO = 2PO + 2PO ×OC ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
因 c = 2，故 | PO |=|OC |= 1 ,而PO ×OC = cosáPO,OC ，
uuur
故PC × uuur uuur uuur uuurPA + PB 2 + 2 = 4,當且僅當PO與OC 同向時取等號.
故選：A.
1
2．（2024·陜西渭南·二模）已知菱形 ABCD的邊長為1,cos BAD = ,O為菱形的中心，E 是
3
uuur uuur
線段 AB 上的動點，則DE × DO 的最小值為（ ）
1 2
A B 1
1
． ． C． 2 D3 3
．
6
【答案】A
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【分析】設 AE = l AB,0 l 1，將DE, DO分別用 AB, AD表示，再結合數量積的運算律即
可得解.
【詳解】由題意點O為BD的中點，
uuur uuur
設 AE = l AB,0 l 1，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur
則DE = AE - AD = l AB - AD，DO = DB = AB - AD，2 2 2
uuur uuur
故DE × DO = uuur uuurl AB AD 1 uuur 1 uuur- × AB - AD
è 2 2 ÷
1 uuur2 1 uuur2 1 1 uuur uuur
= l AB + AD - l + ÷ AB × AD2 2 è 2 2
1 1 1 1
= l + - l 1+
2 2 3 2 2 ֏
1 1
= l + ，
3 3
uuur uuur 1
當 l = 0 時，DE × DO 取得最小值 .3
故選：A.
r r r r
3．（2024·四川涼山·三模）已知平面向量 a，b 夾角為q ，且滿足 a = 3 2 ， b =1，若當 t = -4
r r
時， a + tb 取得最小值，則 sinq = （ ）
1
A B 15
1
C D 2 2． ． ． ．
4 4 3 3
【答案】C
【分析】利用平面向量數量積公式結合二次函數的性質求得 t = -3 2 cosq 時取得最小值，
再根據同角三角函數的平方關系計算即可.
r r 2 r 2 r r r 2
【詳解】易知 a + tb = a + 2ta ×b + t 2 b =18 + t 2 + 2t 3 2 cosq =18 + 6 2t cosq + t 2 ，
由二次函數的單調性可知 t = -3 2 cosq 時上式取得最小值，
即 t = -3 2 cosq = -4 cosq 2 2= q 0, π ，
3
所以 sinq
1
= .
3
故選：C
r r r r r r r r
4．（2023·陜西榆林·模擬預測）已知向量 a ，b 滿足 a = 2 b ， a ×b = -1，則 a + b 的取值范
圍為（ ）
é1 é é 2 A． 2, + B． ê ,+ ÷ C． 2, + D． ê ,+ ÷ 2 ÷ 2
【答案】D
【分析】由向量的數量積與模的關系消元化簡計算即可.
r r r r r r r 2
【詳解】設向量 a ，b 的夾角為q ，則 a ×b = a × b ×cosq = 2 b ×cosq = -1，
q π ù易知 ,πú，即-cosq 0,1 è 2
r 2 -1 1 r r 2 r 2 r 2 r r r 2 r r
所以 b = ，所以 a + b = a + b + 2a
1
×b = 5 b - 2 a b 2，即 + .
2cosq 2 2 2
故選：D.
二、多選題
5．（2023·山東煙臺·二模）如圖，在VABC 中， AB = 2 ， AC = 3， BAC = 60°，點D, E 分別
uuur uuur uuur uuur
在 AB ， AC 上且滿足 AB = 2AD， AC = 3AE ，點F 在線段DE 上，下列結論正確的有
（ ）．
uuur uuur uuur
A．若 AF = l AB + m AC ，則3l + 2m =1
uuur uuur
B．若DE = 2DF ，則BF ^ CF
uuur uuur
C． BF + CF 3 3的最小值為
2
uuur uuur
D S 15 3．BF ×CF 取最小值時， △BFC = 16
【答案】BCD
【分析】A 選項根據平面向量基本定理和向量共線的性質求解；
uuur uuur uuur uuur
B 選項，結合 A 選項，用 AB ， AC 來表示出BF ,CF ，然后由數量積的計算進行說明；
uuur uuur uuur
C 選項，取BC 中點 H ，則 BF + CF = 2 HF ，問題轉化成定點 H 到線段DE 上動點的距離最
小值；
uuur uuur uuur uuur
D 選項，通過轉化先推出 BF + CF 取得最小值時，BF ×CF 也取最小值，然后用面積的割補
計算.
【詳解】
uuur uuur
A 選項，點F 在線段DE 上，則$ t [0,1] ，使得 DF = tFE ，則
uuur uuur uuur uuur uuur 1 uuur t uuurAF - AD = t AE - t AF AF = AD + AE
t 1 t 1 ，+ +
uuur uuur uuur uuur uuur 1 uuur t uuur
又 AB = 2AD， AC = 3AE ，故 AF = AB + AC2(t +1) 3(t +1) ，
ìl 1=
uuur uuur uuur 2(t +1)
根據題干若 AF = l AB + m AC ，由平面向量基本定理可知： í t ， m =
3(t +1)
于是 2l
1 t
+ 3m = + =1，A 選項錯誤；
t +1 t +1
uuur uuur uuur uuur
B 選項，根據 A 的分析，若DE = 2DF DF = EF ，此時
uuur 1 uuur t uuur 1 uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur uuurAF = AB + AC = AB + AC 3 1，故BF = AF - AB = - AB + AC2(t ，+1) 3(t +1) 4 6 4 6
uuur uuur uuur 1 uuur 5 uuurCF = AF - AC = AB - AC ，
4 6
uuur uuur 3 uuur 1 uuur 1 uuur 5 uuur 3 uuur2 5 uuur2 2 uuur uuur
于是BF ×CF = - AB + AC ÷ × AB - AC4 6 4 6 ÷
= - AB - AC + AB × AC ，
è è 16 36 3
uuur uuur
由 AB = 2 ， AC = 3， BAC = 60°，代入數據由向量的數量積可得 BF ×CF = 0 ，即 BF ^ CF ，
B 選項正確；
uuur uuur uuur 1 3
C 選項，取 BC 中點 H ，則 BF + CF = 2 HF ，由 BD = AD, BH = HC ，于是 DH = AC = ，
2 2
AE 1由 = AC =1 = AD ， BAC = 60°，
3
故VADE 為等邊三角形，故DE =1，根據中位線可知，DH // AC ，
于是 HDE = 60o ，在VHDE 7中根據余弦定理可得HE = ，
2
7
+1 9-
cos HED = 4 4 > 0 HED
7 為銳角，又 HDE = 60
o ，
2 × ×1
2
故過 H 作VHDE 的高線時，垂足點落在線段DE 上，由題意垂足點為F 時，
uuur uuur uuur uuur uuur
BF + CF = 2 HF 最小.最小值為 2 HF = 2 DH sin 60o 3 3= ，C 選項正確；
2
uuur uuur 1 uuur uuur 2 1 uuur uuur 2 uuur2 1 uuur2D 選項， BF ×CF = BF + CF - BF - CF = HF - BC4 4 4 ，
uuur uuur uuur2
在VABC 7中，根據余弦定理可求得BC = 7 ，即 BF ×CF = HF - 4 ，
uuur uuur uuur
根據 C 選項可知， HF 最小時BF ×CF 也最小. 根據 SVBFC = SVABC - SVADE - SVEFC - SVBDF ，根
據 C 選項的分析，DF = DH cos 60o
3
= ，故EF
1
= ，注意到
4 BDF = FEC =120
o，
4
1 1 1 3 5 3
故 S o oVEFC + SVBDF = × ×2 ×sin120 + × ×1×sin120 = ，2 4 2 4 16
故 SVBFC = SVABC - SVADE - SVEFC - S
1
VBDF = ×2 ×3 ×sin 60
o 1 1 1 sin 60o 5 3 15 3- × × × - = ，D 選項正
2 2 16 16
確.
故選：BCD
6．（2024·河南信陽·二模）如圖，在四棱錐Q - EFGH 中，底面是邊長為 2 2 的正方形，M
為QG 的中點．QE = QF = QG = QH = 4，過Q作平面EFGH 的垂線，垂足為O，連EG ，
EM ，設EM ，QO 的交點為A ，在△QHF 中過A 作直線BC 交QH ，QF 于 B ，C 兩點，
QB = xQH ，QC = yQF ，過EM 作截面將此四棱錐分成上、下兩部分，記上、下兩部分的
體積分別為V1,V2 ，下列說法正確的是（ ）
uuur
QA 1
uuur 1 uuur 1 1
A． = QH + QF B． + = 3
3 3 x y
V
C．V1 = 2 3xy D
1 1
．V 的最小值為 22
【答案】ABD
【分析】過Q作平面EFGH 的垂線，垂足為O，連接EG 、EM 、QO ，設EG 、QO 的交
點為A ，在△QHF 中，過A 作直線交QH ，QF 于 B ，C ，由相交直線確定平面，得到四邊
形ECMB是過EM 的截面，結合平面向量基本定理，基本不等式及體積求解逐項判斷能求出
結果．
【詳解】由題意可知，四棱錐Q - EFGH 為正四棱錐，
過Q作平面EFGH 的垂線，垂足為O，則 O 為底面中心，連接EG 、EM 、QO ，
設EG 、QO 的交點為A ，在△QHF 中，過A 作直線交QH ，QF 于 B ，C ，
由相交直線確定平面，得到四邊形ECMB是過EM 的截面，
由題意得EG = 4 ，\VQEG 是等邊三角形，\ A是VQEG 的重心，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
則QA 2 QO 2 QH + QF 1= = = QH 1+ QF ，故 A 正確；
3 3 2 3 3
uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur 1 uuur
又設QB = xQH ，QC = xQF ，\ QH
1
= QB QF = QC
x ， y ，
uuur 1 uuur 1 uuurQA QB QC 1 1 1 1 1\ = + + = + = 3
3x 3y ，由三點共線得 3x 3y ，解得 x y ，故 B 正確；
易知EO ^ HF , EO ^ QO, HF QO = O, HF ,QO 平面QHF ,故EO ^平面QHF ，
則 E 到平面QHF 的距離為OE = 2 ，同理 G 到平面QHF 的距離為 2,
又M 為QG 的中點，則M 到平面QHF 的距離為 1，
QS 1VQBC = QB QC sin
p
= 4 3xy
2 3 ，
V V 1\ 1 = E-QBC +VM -QBC = S
1 p
3 VQBC
(1+ 2) = QB QC sin = 4 3xy
2 3 ，故
C 錯誤;
易知QO = 4 3 = 2 3, S
2 EFGH
= 8，
1
故V2 = VQEFGH -V1 = 2 3 8 - 4 3xy ，3
V1 4 3xy 4= 16 = -1+V ，2 3 - 4 3xy 4 - 3xy
3
1 1
Q + = 3 3 1 1 2 1，\ = + ，\ xy
4

x y ，x y xy 9
x y 2當且僅當 = = ．取等號，
3
V1
\ = -1
4 4 1
+ -1+ =
V2 4 - 3xy 4 4- 2 ，
3
(V\ 1 ) 1
V min
=
2 ．故 D 正確.2
故選：ABD
【點睛】關鍵點點睛：本題考查正棱錐性質及向量應用，解決問題關鍵是利用向量共線得
1 1
+ = 3
x y 結合基本不等式求最值.
三、填空題
r r r r r r π
7．（2024·湖北·模擬預測）已知向量 a，b 滿足 a = 2， b =1，且 a，b 的夾角為 ，則3
r
ar - lb l R 的最小值是 .
【答案】 3
r r 2
【分析】根據數量積的定義和運算律可得 a - lb = l - 2l + 4 ，結合二次函數分析求解.
r r r r π 1
【詳解】由題意可知： a ×b = a b cos = 2 1 =1，
3 2
ar
r r r 2 r 2 r r r因為 - lb = a - lb = a - 2la ×b + l 2 2b = l 2 - 2l + 4 = l -1 2 + 3 3 ，
當且僅當l = 1時，等號成立，
r
所以 a
r
- lb 的最小值是 3 .
故答案為： 3 .
r r r r
8．（2024·上海閔行·二模）已知 a 、b 是空間中兩個互相垂直的單位向量，向量 c滿足 c = 3，
r r r r r r r
且 c ×a = c ×b =1，當l 取任意實數時， c - l(a + b) 的最小值為 .
【答案】 7
【分析】由向量的模長和數量積的運算結合二次函數求出最值即可.
r r r r r r r r r
【詳解】因為 a = b =1， a ×b = 0 ， c = 3， c ×a = c ×b =1，
r r r 2 r2 r 2 r2 r r r r r r
所以 c - l(a + b) = c + l 2 a + l 2 b - 2la × c - 2lb × c + 2la ×b
= 2l 2 - 4l + 9 = 2 l -1 2 + 7 ，
r r r
所以當l = 1時， c - l(a + b) 的最小值為 7 ，
故答案為： 7 .
uuur uuur
9．（2022·天津南開·二模）已知平行四邊形 ABCD中， AB = 4 ， AD = 2， AC × AD = 8，則
uuur uuur uuur uuur uuur
AC uuur uuur= ；若CE = ED，DF = lDB ，則 AF × FE 的最大值為 ．
11
【答案】 2 7 4
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【分析】由 AC × AD = 8求出 AB × AD ，然后由 AC = AB + AD 平方后求得 AC ，把 AF , FE
uuur uuur
用 AB, AD表示后求數量積化為l 的函數可得最大值．
uuur uuur uuur
【詳解】由已知 AC = AB + AD ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur uuur
所以 AC × AD = (AB + AD) × AD = AB × AD + AD = 8，所以 AB × AD = 4，
uuur uuur uuur uuur2 uuur uuur uuur2
AC = AB + AD = (AB + 2AB × AD + AD = 16 + 2 4 + 22 = 2 7 ；
uuur uuur uuur uuur
因為CE = ED，DF = lDB ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
所以 AF = AD + DF = AD + lDB = AD + l(AB - AD) = l AB + (1- l)AD，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
FE = AD + DE - AF = AD 1+ AB - l AB - (1- l)AD 1= ( - l)AB + l AD，
2 2
uuur uuur 1 uuur2 3 1 uuur uuur uuur2
AF × FE = l( - l)AB + (2l 2 - l + )AB × AD + l(1- l)AD2 2 2
=16l(1 3- l) + 4(2l 2 - l 1+ ) + 4l(1- l)
2 2 2
= -12(l 2 1- l) 1 11+ 2 = -12(l - )2 + ，
2 4 4
1 uuur uuur
所以l
11
= 時， AF × FE 取得最大值 ．4 4
11
故答案為： 2 7 ； ．4
四、解答題
π
10．（2023·湖北·二模）已知在VABC 中，角 A、B、C 的對邊分別是 a、b、c，C = ．
3
(1)若 BC 3邊上的高等于 a ，求 cos A；
3
uuur uuur
(2)若CA ×CB = 2，求 AB 邊上的中線 CD 長度的最小值．
7
【答案】(1)
14
(2) 3
【分析】（1）先求得 AB, AC （用 a表示），然后利用余弦定理求得 cos A .
（2）先求得 ab，利用向量法求以及基本不等式求得CD 長度的最小值.
3
【詳解】（1）過A 作 AE ^ BC ，垂足為E ，則 AE = a，
3
3
CE AE
a
= = 3 aπ = , AC = 2CE
2
= a，
tan 3 3 3
3
2
BE a a 2a , AB 2a
2
3 a 7= - = = +
3 3 è 3 ÷

3
÷÷ = a，
è 3
7 a2 4+ a2 - a2
cos A 9 9 7在三角形 ABC 中，由余弦定理得 = = 14 .
2 7 a 2 a
3 3
uuur uuur
（2）CA ×CB = 2 = ab cos
π 1
= ab,ab = 4 ，
3 2
uuur 1 uuur uuur uuur2 1 uuur uuur 2CD 1= CA + CB ，兩邊平方得CD = CA + CB =2 4 4 a
2 + b2 + 4
1
2ab + 4 = 3，當且僅當 a = b = 2時等號成立，
4
所以CD 的最小值為 3 .
11．（2023·四川成都·一模）已知VABC 的內角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c，且
c c - a = b - a b + a .
(1)求角 B；
(2)若邊 AC 上的中線BD長為 2，求VABC 面積的最大值.
π
【答案】(1) B = 3
(2) 4 3
3
【分析】（1）先化簡 c c - a = b - a b + a ，再結合余弦定理即可求解；
（2）利用中線向量公式，結合數量積的運算可得16 - ac = a2 + c2 ，結合基本不等式與三角
形的面積公式即可求解.
【詳解】（1）因為 c c - a = b - a b + a ，所以 c2 - ca = b2 - a2 ，即 c2 + a2 - b2 = ca，
2 2 2
根據余弦定理可得 cos B c + a - b ca 1= = = ，
2ca 2ca 2
π
又因為0 < B < π ，所以 B = 3 ；
uuur uuur uuur uuur2 uuur uuur
（2）Q BD 是 AC 上的中線，\BD
1
= (BC + BA) ，即BD
1
= (BC + BA)2，
2 4
1
\4 = a2 + ac + c2 , 16\16 - ac = a2 + c2 2ac，即 ac ，4 3
a c 4 3當且僅當 = = 時，等號成立，
3
S 1 3 4 3\ VABC = ac sin B = ac
4 3
2 4 3 ，即VABC 面積的最大值為 3
【綜合提升練】
一、單選題
r r r r r r r r
1．（2023·陜西咸陽·模擬預測）已知向量 a ，b ，且 a = b = 5， a + b = 6，則 ta + b t R
的最小值為（ ）
24 16 12
A． B．4 C． D．
5 5 5
【答案】A
r r r r
【分析】求出 a ×b 的值，寫出 ta + b t R 的表達式，即可求出最小值.
【詳解】由題意，
r r
∵ a + b = 6，
r 2 r2 r r∴ a + b + 2a ×b = 36，
r r
∵ a = b = 5，
r r r r 2 r 2 r r r2
∴ a ×b = -7， ta + b = t 2 a + 2ta ×b + b = 25t 2 + 2t -7 + 25 = 25t 2 -14t + 25，
7 r r 2t 576當 = 時， ta + b 取得最小值 ，
25 25
r r
∴ ta + b
24
的最小值為 ，
5
故選：A.
ur uur ur uur
2．（2024·全國·模擬預測）若單位向量 e1 ， e2 的夾角為120o，則當 e1 - le2 l R 取得最小
值時，l 的值為（ ）
1
A．－2 B．－1 C - D 1． ．
2 2
【答案】C
ur uur
【分析】利用平面向量數量積的運算性質，將 e1 - le2 平方后即可求解.
ur uur 1 ur uuro 2 1
【詳解】由題意知 e 21 ×e2 = cos120 = - ，因為 e1 - le2 = l + l +1，所以當l = - 時，2 2
ur uur
e1 - le2 取得最小值．
故選：C．
r r r r
3．（2023 高三下·全國·競賽）已知平面向量 a， b 滿足 a = 3 2 ， b =1，并且當l = -4 時，
ar
r r
+ lb r取得最小值，則 sin a,b =（ ）
2 2 1 1A． B． C 15． D．
3 3 4 4
【答案】B
r r 2 r
【分析】根據已知得出 a + lb = l 2 + 6 2 cos ar,b l +18，即可根據二次函數最值問題得出
r r r 2l r
r
= -3 2 cos a,b ar時， + lb 取得最小值，即 a + lb 取得最小值，再根據已知列式解出
r
cos ar,b ，即可根據同角三角函數關系得出答案.
r r r r
【詳解】平面向量 a ，b 滿足 a = 3 2 ， b =1，
ar
r
b r
r
則 × = 3 2 cos a,b ，
r r 2 r r r r 2a + lb = a 2 + 2la ×b + l 2 b ，
r
= l 2 + 6 2 cos ar,b l +18，
r r 2 r
則l = -3 2 cos a
r,b r時， ar + lb 取得最小值，即 a + lb 取得最小值，
r r r
故-3 2 cos a,b = -4，解得： cos ar,b 2 2= ，
3
r rQ a,b 0,p
r 2r
則 sin a,b 1 2 2 1= - ÷÷ = ，
è 3 3
故選：B.
r r r r r r r r4．（2023·山東青島·三模）已知向量 a ，b ， c滿足： a = b =1 1， a × a - b = ，2
r r r r
r r
b - c × 3b - c = 0 ，則 a - c 的最小值為（ ）
A． 3 -1 B． 3 C．2 D．1
【答案】A
r r r
【分析】建立平面坐標系，用坐標表示 a ，b ， c，利用數量積的坐標運算計算即可.
r uuur r uuur r uuur
【詳解】由題意不妨設b = OB = 1,0 ,a = OA = m,n ,c = OC = x, y ，則
m, n m 1 1
2 3
× -1, n = m - ÷ + n2 = ，且m2 + n2 = 1，2 è 2 4
m 1 ,n 3 n 3解之得 = = 或 = - ，
2 2 2
r rb - c r r× 3b - c = 0 = 1- x, -y × 3- x,-y = x - 2 2 + y2 -1 = 0 x - 2 2 + y2由 =1，
r r r uuur
即 c的終點 C 在以D 2,0 為圓心，1 為半徑的圓上，故 a - c = CA ，
n 3
r 1 3
由圓的對稱性，不妨令 = ，即 a = ,2 2 ÷2 ÷
，連接 AD 交圓于 E，由點與圓的位置關系
è
可知
uuur uuur 2 2
CA AE AD DE 1 3= - = - 2
+
2 ÷ è
-1 = 3 -1 .
è 2
÷÷

故選：A
r r r
5．（2023 高一·全國·單元測試）若 a ，b 是兩個互相垂直的單位向量，且向量 c滿足
r r r r r r
c - 2a + c - 3b = 13 ，則 c + a 的取值范圍是（ ）
é9 13 ù
A． ê , 10 B．
13
ú [3, 10]

é9 13 ù
C． ê ,3ú D．以上答案均不對
13
【答案】A
r r r
【分析】取 a = (1,0),b = (0,1)，引入向量坐標后處理表達式，找出向量 c滿足的關系，最后
r r
用模長公式結合二次函數的性質求 c + a 的范圍
r r r r r r
【詳解】根據 a,b垂直可得 a ×b = 0 ，不妨取 a = (1,0),b = (0,1)，設 A(2,0), B(0,3) ，
uuur r uuur r uuur r uuur
于是OA = 2a ，OB = 3b 2 2，并取OC = c，注意到 AB = AB = (2 - 0) + (0 - 3) = 13 .
r r r r uuur uuur uuur
于是 c - 2a + c - 3b = 13 AC + BC = 13 = AB .
x y
故C 點在線段 AB 上運動，由直線的截距式方程可得，直線 AB 方程為： + =1，即
2 3
y 3 3= - x，
2
C t,3 3t
uuur r 3t r r 3t
設 - ÷，0 t

2，則OC = c = t,3 - ÷， a + c = 1+ t,3 - ，故
è 2 ÷ è 2 è 2
r r 2 2
a + c = 1+ t 2 3 3t 13+ - ÷ = t
14 81
- ÷ + ，
è 2 4 è 13 13
f (t) 13
2
14 81
設 = t
14 81
- ÷ + (0 t 2) ， 0,2 ，則 f (t)4 13 13 13 min
= ；
è 13
由 f (0) = 10， f (2)
81
= 9 é ù，于是 t [0, 2]時， f (t) ê ,10ú， 13
r r é9 13 ù
于是 a + c = f (t) ê , 10ú .
13
故選：A
6．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知VABC 是邊長為 4 3 的正三角形，點 P 是VABC 所在平
uuur uuur uuur uuur
面內的一點，且滿足 AP + BP + CP = 3，則 AP 的最小值是（ ）
8
A．1 B．2 C．3 D．
3
【答案】C
【分析】可由重心的性質結合向量運算得到點 P 的軌跡，再結合圓上的點到圓外定點的距離
最小值為圓心到定點減半徑得到；亦可建立適當平面直角坐標系，借助向量的坐標運算結合
圓的性質得解.
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【詳解】法一：設VABC 的重心為G ，則 AP + BP + CP = AG + BG + CG + 3GP = 3GP ，
uuur uuur uuur uuur
Q AP + BP + CP = 3,\ GP =1,\點 P 的軌跡是以G 為圓心，1 為半徑的圓，
uuur uuur uuur
又 AG 2 3= 4 3 = 4，\ AP 的最小值是 AG -1 = 3 .
3 2
法二：以 AC 所在直線為 x 軸，以 AC 中垂線為 y 軸建立直角坐標系，
則 A -2 3,0 , B 0,6 ,C 2 3,0 ，
uuur uuur uuur
設P x, y ,Q AP 2+ BP + CP = 3，即 3x + 2 3 - 0 - 2 3 + 3y - 6 2 = 3，
化簡得 x2 + (y - 2)2 =1，\點 P 的軌跡方程為 x2 + (y - 2)2 =1，
uuur
設圓心為G ，G 0,2 ，由圓的性質可知當 AP 過圓心時 AP 最小，
2 uuur
又 AG = 22 + 2 3 = 4，故 AP 得最小值為 AG -1 = 4 -1 = 3 .
故選：C.
7．（2023·江西景德鎮·三模）互相垂直且有公共原點的兩條數軸構成平面直角坐標系，但如
果平面坐標系中兩條坐標軸不垂直，則這樣的坐標系稱為“斜坐標系”.如圖，在斜坐標系中，
過點 P 作兩坐標軸的平行線，其在 x 軸和 y 軸上的截距 a，b 分別作為點 P 的 x 坐標和 y 坐標，
記 P a,b π.若斜坐標系中， x 軸正方向和 y 軸正方向的夾角為 ，則該坐標系中M 2,2 和
3
N 4,1 兩點間的距離為（ ）
A．2 B．1 C． 5 D． 3
【答案】D
ur uur
【分析】設與 x 軸方向相同的單位向量為 e1 ，與 y 軸方向相同的單位向量為 e2 ，則可表示出
uuuur uuur uuuur
OM ,ON , NM ，即可計算出M 2,2 和 N 4,1 兩點間的距離.
ur uur
【詳解】設與 x 軸方向相同的單位向量為 e1 ，與 y 軸方向相同的單位向量為 e2 ，
uuuur ur uur uuur ur uur
則OM = 2e1 + 2e2 ，ON = 4e1 + e2 ，
uuuur uuuur uuur ur uur
則 NM = OM - ON = -2e1 + e2 ，
uuuur 2 ur uur ur2 uur2 2 ur uur
所以 NM = (-2e1 + e2 ) = 4e
π
1 + e2 - 4e1 ×e2 = 4 +1- 4 cos = 5 - 2 = 3，3
所以 MN = 3，
故選：D.
r r r r r r r r r
8．（2022·浙江寧波·二模）已知平面向量 a， b ， c 滿足 a =1， b = 2， a - c = b - c = 3，
r
cr r= la + mb （l > 0，m > 0 ）.當l + m = 4時， c =（ ）
A 58 B 62 C 66 70． ． ． D．
2 2 2 2
【答案】A
uuur uuur uuur uuur
【分析】分析題目條件，得到 CA = 3，CB = 3，畫出草圖，利用等和線得到OC = 4OP ，過
O 點,C 點分別向 AB 做垂線，得到兩個相似比為 1 比 3 的直角三角形，設出∠CAB=θ，然后
r
利用角表示邊，通過勾股定理得到角的大小，從而得到邊長的大小，進而求出 c 的大小
uuur r uuur r uuur r r r uuur r r uuur
【詳解】解析：作OA = a ，OB = b ，OC = c ，由題意 a - c = CA = 3， b - c = CB = 3
設直線OC 與直線 AB 交于點 P ，
r r∵ c = lar + mb （l > 0，m > 0 ），
∴點 P 在線段 AB 上（不含端點）
uuur uuur
又l + m = 4，結合等和線性質，可知OC = 4OP
作OG ^ AB于G ，CH ^ AB于 H ，
有CH = 3OG ，PH = 3PG
記 CBA = q
①當點G 在線段 AB 上時，CH = 3sinq ，
BH = AH = 3cosq 1 OG = CH = sinq AG = OA2 - OG2 = cosq BG =由
3
OG2 + BG2 = OB2 ，得 sin2q + 25cos2 q 2 14= 4，可解得cosq = ，進而有 sinq =
4 4
3
此時，PH 3= GH 3 3 3 2= BG - BH = cosq = ，CH = 3sinq = 14
4 4 2 8 4
（注：點 P 為線段 AH 的中點，在線段 AB 上，符合題意）
可得CP = PH 2 + CH 2
3
= 58 ，所以
8 OC
4
= PC 58=
3 2
②當點G 在線段 AB 的反向延長線上時，同①方法可推得點 P 與點A 重合，矛盾綜上，
r uuurc OC 58= = .
2
故選：A
二、多選題
9．（2023·全國·模擬預測）已知點 A 1,2 ，B 3,1 ，C 4,m +1 m R ，則下列說法正確的
是（ ）
uuur uuur uuur
A． AB = 5 B．若 AB ^ BC ，則m = -2
uuur uuur 1 uuur uuur
C．若 AB∥BC ，則m = - D．若BA，BC 的夾角為銳角，則m < 2且2
m 1 -
2
【答案】AC
【分析】根據向量的模長，垂直，平行和夾角大小的定義，對下列各項逐一判斷，即可得到
本題答案.
【詳解】因為 A 1,2 ，B 3,1 ，C 4,m +1 m R ，
uuur uuur
所以 AB = 2,-1 ，BC = 1,m m R ，
uuur
選項 A： AB = 22 + -1 2 = 5 ，所以 A 正確；
uuur uuur uuur uuur
選項 B：因為 AB ^ BC ，所以 AB × BC = 0，所以 2 - m = 0，所以m = 2 ，所以 B 錯誤；
uuur uuur 1
選項 C：因為 AB∥BC ，所以 2 m = -1 1，所以m = - ，所以 C 正確；2
uuur uuur
ì
uuur uuur uuur BA × BC = -2 + m > 0
選項 D：因為BA，BC 的夾角為銳角，且BA = -2,1 ，所以 í 1 m ，解得
-2 1
m > 2 ，所以 D 錯誤.
故選：AC
10．（2023·湖北·模擬預測）下列關于平面向量的說法中正確的是（ ）
uuur uuur
A．已知 A 2,3 , B 4, -3 3 16 ，點 P 在直線 AB 上，且 AP = PB ，則 P 的坐標為 ,-1 ；
2 ֏ 5
uuur uuur 1 uuur2
B．若O是VABC 的外接圓圓心，則 AB × AO = AB
2
r r r r r r r
C．若 c ^ a - b ，且 c 0，則a = b
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
D．若點 P 是VABC 所在平面內一點，且PA × PB = PB × PC = PC × PA，則 P 是VABC 的垂
心.
【答案】BD
uuur uuur uuur uuur
【分析】對于 A，設P x, y 3，由題意可得 AP = PB 或 AP 3= - PB ，再根據平面向量的坐
2 2
標表示計算即可；對于 B，如圖，設 D為 AB 的中點，根據數量積的定義即可得解；對于 C，
r r r r
當 c ^ a,c ^ b 時，再根據數量積的運算律即可判斷；根據數量積的運算律即可判斷 D.
uuur uuur
【詳解】對于 A，設P x, y ，則 AP = x - 2, y - 3 , PB = 4 - x,-3 - y ，
uuur 3 uuur
因為點 P 在直線 AB 上，且 AP = PB ，
2
uuur 3 uuur uuur uuur
所以 AP = PB 或 AP
3
= - PB ，
2 2
x 2, y 3 3則 - - = 4 - x, 3-3 - y 或 x - 2, y - 3 = - 4 - x, -3 - y ，
2 2
ì 3 3 16
x - 2 = 4 - x
ì ì
2
x - 2 = - 4 - x x = 2 5 ìx = 8
所以 í 3 或 í ，解得 í 或 í ， y - 3 = -3- y y - 3 3= - -3- y
y 3 y = -15= -
2 2 5
P 16所以 ,
3
- ÷或P 8,-15 ，故 A 錯誤；
è 5 5
對于 B，如圖，設D為 AB 的中點，則OD ^ AB ，
uuur uuur uuur uuur uuur2
則 AB × AO = AB AO cos
1
BAO = AB ，故 B 正確；
2
r r r r r
對于 C，當 c ^ a,c ^ b 時， c × r ra - b r r r r= a ×c - b ×c = 0，
r
滿足 c ^ r r r ra - b ，則 a 與b 不一定相等，故 C 錯誤；
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
對于 D，因為PA × PB = PB × PC = PC × PA，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
所以PA × PB - PB × PC = PB × PA - PC = PB ×CA = 0，所以PB ^ AC ，
同理可得PA ^ BC, PC ^ AB，
所以 P 是VABC 的垂心，故 D 正確.
故選：BD.
uuur uuur
11．（2024·全國·模擬預測）在平面直角坐標系中，P x, y ，Q -3,0 ，且 PQ = 2 PO ，MN
是圓 Q： x + 3 2 + y2 = 4的一條直徑，則（ ）
uuur
A．點 P 在圓 Q 外 B． PQ 的最小值為 2
uuuur uuur uuuur uuur
C．OM ×ON = 5 D．PM × PN 的最大值為 32
【答案】BCD
uuur uuur 2
【分析】根據 PQ = 2 PO 化簡可得 x -1 + y2 = 4，即可得 P 點軌跡，進而根據圓 A 與圓 Q
uuur uuur uuur
外切求解 A，根據 2 = AQ - 2 PQ AQ + 2 = 6即可求解 B，根據向量數量積的運算律即可
求 CD.
uuur uuur
A PQ = 2 PO x + 3 2 2【詳解】對 ，由 ，得 + y2 = 2 x2 + y2 ，整理得 x -1 + y2 = 4，
所以點 P 在以 A 1,0 為圓心，2 為半徑的圓上，記為圓 A，如圖．
uuur
因為 AQ = 4，所以圓 A 與圓 Q 外切．當點 P 為兩圓的公共點時，點 P 在圓 Q 上，故 A 錯
誤．
uuur uuur uuur
對 B，由題意，得 2 = AQ - 2 PQ AQ + 2 = 6，故 B 正確．
uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur2 uuuur2對 C，OM ×ON = OQ + QM × OQ + QN = OQ - QM = 5，故 C 正確．
uuuur uuur uuuur uuur
對 D，PM × PN = uuur uuuurPQ + QM × uuur uuur uuuur2 uuur2PQ + QN = PQ2 - QM = PQ - 4．而 2 PQ 6，
uuuur uuur
所以0 PM × PN 32，故 D 正確．
故選：BCD．
三、填空題
12．（2023·全國·模擬預測）已知在△ABC 中，∠BAC=60°，點 D 為邊 BC 的中點，E，F 分別
uuur uuur uuur uuur
為 BD，DC 的中點，若 AD=1，則 AB × AF + AC × AE 的最大值為 ．
5
【答案】
3
uuur uuur uuur uuur
【分析】由平面向量的加法法及平面向量的基本定理得 AD 、 AE、 AF 都可用基底 AB 、
uuur uuur 1 uuur uuur 4
AC 表示，將 AD = AB + AC 左右平方后所得式子與重要不等式聯立可得bc ，將2 3
uuur 3 uuur 1 uuur uuur 3 uuur uuur uuur uuur uuur uuurAE = AB + AC 、 AF = AC
1
+ AB代入
4 4 4 4 AB × AF + AC × AE
中計算即可.
【詳解】設 AC=b，AB=c，
uuur uuur uuur uuur
則 AB × AC =| AB | | AC | cos 60°
1
= bc ，
2
∵D 為邊 BC 的中點，
uuur 1 uuur uuur∴ AD = AB + AC ，2
uuur2 1 uuur2 uuur uuur uuur2∴ AD = AB + 2AB × AC + AC ，即：b2 + c2 + bc = 4，①4
又∵ b2 + c2 2bc，當且僅當b = c 時取等號. ②
4
∴由①②得：bc .
3
又∵E、F 分別為 BD、DC 的中點，
uuur 1 uuur uuur 3 uuur 1 uuur uuurAE (AB AD) AB AC AF 1
uuur uuur 3 uuur 1 uuur
∴ = + = + ， = (AC + AD) = AC + AB，
2 4 4 2 4 4
uuur uuur uuur uuur uuur 3 uuur 1 uuur uuur 3 uuur 1 uuur 1 uuur2 1 uuur2 uuur uuur
∴ AB × AF + AC × AE = AB × ( AC
3
+ AB) + AC × ( AB + AC) = AB + AC + AB × AC
4 4 4 4 4 4 2
1
= (b2 3+ c2 ) + bc 1 1= + bc 1 1 4 5+ = ，當且僅當b = c 時取等號.
4 4 2 2 3 3
uuur uuur uuur uuur 5
∴ AB × AF + AC × AE 的最大值為 .3
5
故答案為： .
3
π
13．（2023·廣西·模擬預測）在VABC 中， ABC = ，點D在線段 AC 上，且 AD = 3DC ，
3
BD = 4，則VABC 面積的最大值為 ．
64 3 64
【答案】 / 3
9 9
【分析】利用向量法求得 ac 的取值范圍，進而求得VABC 面積的最大值.
【詳解】在VABC 中，設 AB = c，BC = a ， AC = b ，
uuur uuur uuur uuur
由 AD = 3DC ，則BD
1
= BA 3+ BC ，則 | BD |2
1
= c2 + 9a2 + 3ac4 4 16 ，
256
162 = c2 + 9a2 + 3ac 9ac，即 ac ，9
1
\SVABC = acsin
π 3 ac 64 3= ，當且僅當3a = c時取等號．
2 3 4 9
所以VABC 64 3面積的最大值為 ．
9
64 3
故答案為：
9
14．（2024·貴州貴陽·模擬預測）如果復數 z = x + yi x R, y R z 1， 1 = -2， z2 = - ， z3 = i2
在復平面內對應的點分別為Z ，Z1 ，Z2 ，Z3，復數 z 滿足 z - z1 = 2 z - z2 ，且
uuur uuuur uuuur
Z1Z = lZ1Z2 + mZ1Z3 l R, m R ，則3l + 2m 的最大值為 .
【答案】 4 + 2 2
【分析】先將復數轉化為平面直角坐標系中的坐標，然后用距離公式對條件 z - z1 = 2 z - z2
進行變形，得到 x2 + y2 =1，由此可以證明 x - y 2 . 之后再使用向量的坐標運算將3l + 2m
表示為關于 x, y的表達式，利用 x - y 2 即可證明3l + 2m 4 + 2 2 ，最后給出一個
3l + 2m = 4 + 2 2 的例子即可說明3l + 2m 的最大值是 4 + 2 2 .
【詳解】由 z = x + yi， z1 = -2 z
1
， 2 = - ， z3 = i ，知Z x, y ，Z1 -2,0
1
，Z2 - ,0

2 2 ÷
，
è
uuur uuuur 3 uuuurZ3 0,1 ，從而Z1Z = x + 2, y ，Z1Z2 = ,0÷，Z1Z3 = 2,1 .è 2
2
z - z 2
uuur 2 2 2 uuuur 2 1
由于 2 21 = ZZ1 = x + 2 + y ， z - z2 = ZZ2 = x + ÷ + y ，故條件 z - z1 = 2 z - z
è 2
2

2 2 1
2
即為 x + 2 + y = 4 2 2 x + ÷ + y ÷÷，展開得到 x + 4x + 4 + y
2 = 4x2 + 4x + 4y2 +1，再化簡得
èè 2
3x2 + 3y2 = 3，所以 x2 + y2 =1，故我們有
x - y 2 x - y 2 + x + y 2 = x2 + y2 - 2xy + x2 + y2 + 2xy = 2 x2 + y2 = 2 ，從而
x - y x - y = x - y 2 2 .
uuur uuuur uuuur uuur uuuur 3 uuuur
由于Z1Z = lZ1Z2 + mZ1Z3 ，Z1Z = x + 2, y Z

， 1Z2 = ,0÷，Z1Z3 = 2,1 ，故è 2
x + 2, y 3l= + 2m, m ，從而
è 2 ÷
3l + 2m = 2 3l + 2m ÷ - 2m = 2 x + 2 - 2y = 4 + 2 x - y 4 + 2 2 .
è 2
2 2
經驗證，當 x = ， y = - 時，條件滿足. 此時3l + 2m = 4 + 2 x - y = 4 + 2 2 .
2 2
所以3l + 2m 的最大值是 4 + 2 2 .
故答案為： 4 + 2 2 .
【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵點在于將復數坐標化為平面直角坐標系中的坐標，并將復
數之差的模長表示為平面直角坐標系中的線段長度. 另外，本題還具有“阿波羅尼斯圓”的背
景：平面上到兩個不同定點M , N 的距離之比恒為常數 c 0,1 U 1, + 的點的軌跡是一個圓，
該圓稱為關于M , N 的阿波羅尼斯圓. 使用解析幾何方法結合距離公式，很容易證明此結論.
四、解答題
15．（2024·湖南衡陽·模擬預測）在VABC中，角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，已知
a = bcosC 3- c sin B
3
(1)求角 B
(2)過 B 作BD ^ BA，交線段 AC 于 D，且 AD = 2DC ，求角C .
2π
【答案】(1)
3
π
(2)
6
【分析】（1）由正弦定理邊化角，再利用內角和為180°變換角A ，最后進行三角恒等變化即
可求解；
（2）利用 AD = 2DC ，結合定比分點向量公式，用向量法來運算垂直關系，即可解得.
【詳解】（1）由正弦定理得： sin A = sin B cosC 3- sin C sin B ．
3
∵ A = π - B + C ，∴ sin A = sin B + C ，
∴ sin B + C = sin B cosC + cos B sin C = sin B cosC 3- sin C sin B
3
∴ cos B sin C 3= - sin C sin B ，
3
又 sin C 0，∴ tan B = - 3 ，又 B 為三角形內角，∴ B
2π
= ．
3
（2）
uuur uuur uuur
因為D在 AC 邊上，且 AD = 2DC ，所以BD
2 BC 1= + BA．
3 3
uuur uuur
因為BD ^ BA，所以BD × BA = 0，
1 uuur 2 uuur uuur 1 uuur2 2 uuur uuur
即 BA + BC ÷ × BA = 0 BA + BC × BA = 0，
è 3 3 3 3
1 c2 2所以 + ac cos
2π
= 0 c = a ．
3 3 3
在VABC 中，由 c = a B 2
π
， = π C = .3 ，可得 6
16．（2022·湖南·一模）在VABC 中，內角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c，已知
a = 2,b = 5,c = 1．
(1)求 sin A,sin B,sin C 中的最大值；
(2)求 AC 邊上的中線長．
2
【答案】(1)最大值為 sin B =
2
(2) 12
【分析】（1）先判斷 sin B 為最大，再根據余弦定理可求其余弦值，從而可求其正弦值.
uuur
BD 1
uuur uuur
（2）由 = (BA + BC)可得求中線長.
2
【詳解】（1）Q 5 > 2 >1，故有b > a > c sin B > sin A > sin C ，
2
cos B ( 2) +1
2 - ( 5)2 2
由余弦定理可得 = = - ，
2 2 1 2
又B (0,p ) B
3p
，\ = ，故 sin B 2= ．
4 2
uuur 1 uuur uuur
（2）設 AC 邊上的中線為BD，則BD = (BA + BC)，
2
uuur uuur uuur
\(2BD)2 = (BA + BC)2 = c2 + a2 + 2ca cos B =12 + ( 2)2 + 2 1 2 cos 3p =1，
4
uuur
\| BD | 1= 1，即 AC 邊上的中線長為
2 2
．
17．（2022·廣東深圳·一模）如圖，在△ABC 中，已知 AB = 2 ， AC = 6 2 ， BAC = 45°，
BC，AC 邊上的兩條中線 AM，BN 相交于點 P．
(1)求 BAM 的正弦值；
(2)求 MPN 的余弦值．
3
【答案】(1)
5
(2) 13 10
50
1
【分析】（1）解法 1、由余弦定理求得BC = 2 13 ，得到BM = CM = BC = 13，分別在2
VABM 和△ACM ，求得 cos BMA和 cos CMA，結合 BMA 和 CMA互補，求得
AM = 5，再在VABM 中，求得 cos BAM ，即可求解；
uuur uuur uuur 1 uuur uuur
解法 2、由題意，求得 AB × AC =12，根據 AM = AB + AC ，結合VABM 的面積為VABC2
1
面積的 2 ，列出方程，即可求解；
2 10 AP 10（2）解法 1、由余弦定理求得BN= 10，得到BP = ， = ，在VABP中，由余3 3
13 10
弦定理求得 cos APB = ，即可求解；
50
MPN = APB cos MPN cos APB 13 10又由 ，所以 = = ．
50
uuur uuur 1 uuur uuur
解法 2、由BN = -AB + AC ，求得 BN = 10 ，結合向量的夾角公式，即可求解.
2
【詳解】（1）解：解法 1、由余弦定理得BC 2 = AB2 + AC 2 - AB × AC ×cos BAC ，
2
即BC 2 = 22 + 6 2 - 2 2 2 6 2 = 52 ，所以BC = 2 13 ，2
1
所以BM = CM = BC = 13，
2
BM 2 + AM 2 - AB2 AM 2 + 9
在VABM 中，由余弦定理，得 cos BMA = = ，
2BM × AM 13 × AM
2 2 2 2
在△ACM 中，由余弦定理，得 cos CMA
CM + AM - AC AM - 59
= = ，
2CM × AM 13 × AM
BMA 與 CMA互補，則 cos BMA + cos CMA = 0 ，解得 AM = 5，
2 2 2
在VABM AB + AM - BM 4中，由余弦定理，得 cos BAM = = ，
2AB × AM 5
因為 BAM

0,
p 2 3
÷，所以 sin BAM = 1- cos BAM = ．
è 2 5
uuur uuur uuur uuur
解法 2、由題意可得， AB × AC = AB AC cos 45° =12，
uuur 1
由 AM 為邊 BC 上的中線，則 AM =
2
uuur uuur
AB + AC ，
uuuur2 1 uuur2 1 uuur2 1 uuur uuur uuuur
兩邊同時平方得， AM = AB + AC + AB × AC = 25，故 AM = 5，
4 4 2
因為 M 1為 BC 邊中點，則VABM 的面積為VABC 面積的 2 ，
1
所以 AB
1 1
AM sin BAM = AB AC sin BAC ，
2 2 2
1
即 2 5 sin BAM
1 1
= 2 6 2 sin 45°，
2 2 2
化簡得， sin BAM
3
= ．
5
（2）解：方法 1、在VABN 中，由余弦定理，得BN 2 = AB2 + AN 2 - 2AB × AN 2 ×cos 45°，
所以BN= 10，
由 AM，BN 分別為邊 BC，AC 上的中線可知 P 為VABC 重心，
2 2 10 2 10
可得BP = BN = ， AP = AM = ，
3 3 3 3
2
VABP cos APB PA + PB
2 - AB2 13 10
在 中，由余弦定理，得 = = ，
2PA × PB 50
又由 MPN = APB ，所以 cos MPN = cos APB 13 10= ．
50
解法 2：
uuur uuur uuur uuur 1 uuur
因為 BN 為邊 AC 上的中線，所以BN = BA + AN = -AB + AC ，
2
uuuur uuur 1 uuur uuur uuur 1 uuur 1 uuur2 1 uuur uuur uuur2AM × BN = AB + AC × -AB + AC ÷ = - AB - AB AC 1× + AC =13，2 è 2 2 4 4
uuur uuur 1 uuur 22 uuur2 uuur uuur 1 uuur2 uuurBN = -AB + AC ÷ = AB - AB × AC + × AC = 10，即 BN = 10 ．
è 2 4
uuuur uuur
所以 cos MPN u
AuM = uur ×uBuNur 13 13 10= =
AM BN 5 10 50 ．
18．（2023·河南·模擬預測）VABC 的內角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，已知5bsinA = 3atanB, D
是 AC 邊上一點， AD = 2DC, BD = 2 .
(1)求 cosB；
uuur uuur
(2)求BA × BC 的最大值.
3
【答案】(1)
5
27
(2)
8
【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，再由同角三角函數的商數關系，得解；
uuur 1 uuur 2 uuur
（2）由 AD = 2DC ，知BD = BA + BC ，將其兩邊平方后，結合基本不等式，計算可得
3 3
ac 45 ，再由平面向量數量積的運算法則，得解．
8
【詳解】（1）由正弦定理及5bsin A = 3a tan B 知，5sin B sin A = 3sin A tan B ，
因為 sin A > 0，所以5sin B = 3tan B，
sin B 3
所以 cos B = = ．
tan B 5
uuur uuur uuur uuur
BD BA AD BA 2
uuur uuur 2 uuur uuur 1 uuur 2 uuur
（2）因為 AD = 2DC ，所以 = + = + AC = BA + (BC - BA) = BA + BC ，
3 3 3 3
又 BD = 2，
uuur2 1 uuur 2 uuur 1 uuur2 4 uuur uuur uuur2 2
所以BD = ( BA + BC) = BA + BA
4 1 4 3 4
× BC + BC = c2 + ca × + a2 = 4 ，整理得
3 3 9 9 9 9 9 5 9
5c2 +12ac + 20a2 =180，
所以12ac =180 - (5c2 + 20a2 ) 180 - 2 5c × 20a =180 - 20ac，
ac 45 5c 20a c 2a 3 5所以 ，當且僅當 = ，即8 = =
時，等號成立，
2
uuur uuur
所以BA × BC = ac cos B
3
= ac 3 45 27 = ，
5 5 8 8
uuur uuur 27
故BA × BC 的最大值為 ．8
19．（2023·四川自貢·一模）在VABC 中，角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c，已知
uuur uuur uuur
3 cos A + sin A = 0 .若 D 在線段 BC 上，且BD = 2DC ， AD = 2 .
(1)求 A；
(2)求VABC 面積的最大值.
2π
【答案】(1) A = 3
(2) 9 3
2
【分析】（1）由 3 cos A + sin A = 0使用三角恒等變換求得A 值；
uuur uuur uuur uuur
（2）將 AD 用 AB，AC 表示，由 AD = 2求得b,c關系，使用基本不等式求bc的最大值，從
而得到面積的最大值.
【詳解】（1）因為 3 cos A + sin A = 2sin(A
π
+ ) = 0，因為 A (0, π) A
2π
，所以 = .
3 3
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
（2）由BD = 2DC 得， AD - AB = 2(AC - AD) ，
uuur
AD 1
uuur uuur
所以 = AB
2
+ AC .
3 3
uuur2 1 uuur2 4 uuur2 4 uuur uuur
所以 AD = AB + AC + AB × AC .
9 9 9
4 1= c2 4 b2 4所以 + + c b cos
2π
× .
9 9 9 3
4 1 c2 4 2 2 4 2 2所以 = + b - c ×b c ×b - c ×b = c ×b ，當且僅當 c = 2b = 6時等號成立.
9 9 9 9 9 9
所以 c ×b 18 .
所以 S 1VABC = bc sin A
1 18 3 = 9 3 .
2 2 2 2
9 3
故VABC 面積的最大值 2
【拓展沖刺練】
一、單選題
1．（2022·安徽黃山·一模）在VABC 中, AB = 2, ACB = 45° ,O 是VABC 的外心,則
uuur uuur uuur uuur
AC × BC + OC × AB 的最大值為（ ）
3 7
A．1 B． C．3 D．
2 2
【答案】C
uuur uuur uuur uuur uuur
【分析】取 AB 中點為D ,將OC 寫為OD + DC ,展開后,將CA,CB 作為一組基底,將其他向量寫
uuur uuur
為CA,CB 的形式,再將三角形的邊和角代入,用余弦定理將邊角之間關系代入上式,再用正弦
定理求出變量范圍,求出最大值即可.
【詳解】解:由題知,記VABC 的三邊為 a,b,c ,
因為 O 是VABC 的外心,
記 AB 中點為D ,
則有OD ^ AB ,
uuur uuur
所以OD × AB = 0
uuur 1 uuur uuur且CD = CA + CB ,2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur所以 AC × BC + OC × AB = CA ×CB + OD + DC × AB
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
= CA ×CB + OD × AB + DC × AB
uuur uuur 1 uuur uuur uuur= CA ×CB - CA + CB × AB2
uuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur= CA ×CB - CA + CB × CB - CA2
uuur uuur 1 uuur 2 uuur 2
= CA ×CB + CA - CB2
1
= b ×a ×cos ACB + b2 - a22
1
= 2ab + b2 - a2 ①,2
在VABC 中,由余弦定理得:
2 2 2
cos ACB = a +b -c = 2 ,
2ab 2
即 a2 + b2 - c2 = 2ab ,
即 a2 + b2 - 2 = 2ab ,
代入①中可得:
uuur uuur uuur uuur
AC × BC + OC × AB = b2 -1 ,
在VABC 中,由正弦定理得:
a b c 2
= = = = 2
sin A sin B sinC 2 ,
2
所以b = 2sin B 2 ,
uuur uuur uuur uuur
所以 AC × BC + OC × AB = b2 -1 3 ,
當b = 2, a = c = 2, A = C = 45o , B = 90o時取等,
uuur uuur uuur uuur
故 AC × BC + OC × AB 的最大值為 3.
故選:C
2．（2022·江蘇鹽城·模擬預測）在VABC 中，過重心 E 任作一直線分別交 AB，AC 于 M，N
uuur uuur uuur uuur
兩點，設 AM = xAB， AN = yAC ，（ x > 0， y > 0），則 4x + y 的最小值是（ ）
4 10
A． B． C．3 D．2
3 3
【答案】C
1 1
【分析】先利用平面向量基本定理及三點共線得到 + =13x 3y ，利用基本不等式“1 的妙用”
求出最小值.
uuur
V AE 2 1
uuur uuur uuur uuur
【詳解】在 ABC 中，E 為重心，所以 = × (AB + AC)
1
= (AB + AC) ，
3 2 3
uuur uuur uuur uuur
設 AM = xAB， AN = yAC ，（ x > 0， y > 0）
uuur 1 uuuur uuur 1 uuur uuur uuuur uuur
所以 AB = AM ， AC = AN ，所以 AE
1 1
= × AM 1 1+ × AN
y 3 x 3 y .x
1 1
因為 M、E、N 三點共線，所以 + =13x 3y ，
(4x y) 1 1
4 1 y 4x
+ + = + + + 5 2 y 4x
y 4x
3 = x 1所以 + × = （當且僅當 ，即 = ，
è 3x 3y
÷
3 3 3x 3y 3 3x 3y 3x 3y 2
y =1時取等號）．
故 4x + y 的最小值是 3．
故選：C．
3．（22-23 高三下·河北石家莊·階段練習）設 A, B是平面直角坐標系中關于 y 軸對稱的兩點，
uuur uuur uuur uuur uuur
且 OA = 2 .若存在m,n R ，使得mAB + OA與 nAB + OB 垂直，且
uuur uuur uuur uuur uuurmAB + OA - nAB + OB = 2，則 AB 的最小值為（ ）
A．1 B． 3 C．2 D． 2 3
【答案】D
uuur uuur uuur uuur
【分析】構造向量，利用向量垂直和 mAB + OA - nAB + OB = 2，結合基本不等式得出
ar
r
b 的最大值 2，結合圖形可得答案.
uuur
【詳解】如圖， A, B是平面直角坐標系中關于 y 軸對稱的兩點，且 OA = 2，
uuur uuur uuur r uuur uuur uuur uuur uuur
由題意得： AB = OB - OA，令 a = OA = mAB + OA = 1- m OA + mOB，則 A , A, B三點共線,
r uuur uuur uuur uuur uuur
b = OB = nAB + OB = 1+ n OB - nOA，則B , A, B三點共線,
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
故有 A, A , B , B共線，由題意mAB + OA與 nAB + OB 垂直， mAB + OA - nAB + OB = 2，
uuur uuur r r uuuur
知OA ^ OB ，且 a - b = B A = 2 為定值，
r r r r r r r r
在△A OB 4 =| a |2 2中， + | b | 2 a b ，當且僅當 a = b 時， a b 取最大值 2，
uuur r r
此時△A OB 面積最大，則O到 AB 的距離最遠，而 OA = 2，故當且僅當 a = b ，
uuur uuuur
即 A , B 關于 y 軸對稱時， AB
1
最小，此時O到 AB 的距離為 B A =1，
2
uuur
AB uuur uuur
所以 = 22 -12 = 3 ，故 AB = 2 3 ，即 AB 的最小值為 2 3 .
2
故選：D.
uuur uuur uuur uuur
4．（2023·貴州畢節·模擬預測）已知點 G 為三角形 ABC 的重心，且 GA + GB = GA - GB ，
當 C 取最大值時， cosC =（ ）
4 3 2 1
A． B． C． D．
5 5 5 5
【答案】A
【分析】
uuur uuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur
由題設可得 AG × BG = 0 ，結合 AG = (AC + AB) ， BG
1
= (BA + BC)及余弦定理可得
3 3
cosC 2 (a b= + )，根據基本不等式即可求解.
5 b a
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【詳解】由題意 GA + GB = GA - GB ，所以 (GA + GB)2 = (GA - GB)2 ，
uuur2 uuur2 uuur uuur uuur2 uuur2 uuur uuur uur uuur
即GA + GB + 2GA ×GB = GA + GB - 2GA ×GB，所以GA ×GB = 0，所以 AG ^ BG ，
uuur 2 1 uuur uuur 1 uuur uuur uuur 2 1 uuur uuur 1 uuur uuur
又 AG = (AC + AB) = (AC + AB)，BG = (BA + BC) = (BA + BC)，
3 2 3 3 2 3
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
則 AG × BG
1
= (AC + AB) × (BA + BC) 1= (AC × BA + AC × BC + AB × BA + AB × BC) = 0，
9 9
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2
所以CA ×CB = AC × AB + BA × BC + AB ，即 abcosC = bc cos A + ac cos B + c2 ，
2 2
cos A b + c - a
2 2 2 2 2
cos B a + c - b cosC a + b
2 - c2
由 = ， = ， = ，
2bc 2ac 2ab
所以 a2 + b2 = 5c2 ，
a2 + b2 - c2 2 a b 4 a b 4
所以 cosC = = ( + ) × = ，當且僅當 a = b時等號成立，
2ab 5 b a 5 b a 5
又 y = cos x在 0, π 上單調遞減，C 0, π ，
4
所以當 C 取最大值時， cosC = .
5
故選：A
【點睛】關鍵點點睛：此題考查向量的數量積運算及余弦定理的應用，解題的關鍵是結合三
角形重心的性質和余弦定理可得 a2 + b2 = 5c2 ，然后利用基本不等式求解，考查轉化思想，
屬于較難題.
二、多選題
r r r r r r
5．（2022·湖北·二模）定義空間兩個非零向量的一種運算： a b = a × b ×sináa,b ，則關于空
間向量上述運算的以下結論中恒成立的有（ ）
r r r r r r r r
A．l a b = la b B． a b=b a
r r r r r r r r
C．若 a b = 0，則 a ^ b D． a b a × b
【答案】BD
r r r r r r
【分析】A 選項，可舉出反例，當 a,b不共線且 l 為負數時，l a b la b；B 選項，
r r
根據定義得到 B 正確；C 選項，根據題意得到 a,b共線；D 選項，結合正弦函數的值域得到 D
正確.
r r r r r r r r r r r r【詳解】對于 A，l a b = l a × b ×sináa,b ， la b = la × b ×sinála,b ，
r r r r r r r r若 a,b不共線,且l 為負數，則l a b = l a × b ×sináa,b < 0，而
r r r r r rla b = la × b ×sinála,b > 0，
r r r r
此時l a b la b，故 A 錯誤；
r r r r r r r r r r r r
對于 B，由定義知 a b = a × b ×sináa,b ，b a = b × a ×sináa,b ，故 B 正確；
r r r r r r
對于 C，若 a b = 0，則 sináa,b = 0 ， a,b共線，故 C 錯誤；
r r r r r r r r
對于 D，由定義知 a b = a × b ×sináa,b ，又 áa,b 0, π ，
r r r r r r r r r r
故 a b = a × b ×sináa,b a × b ，當且僅當 sináa,b =1時，等號成立，故 D 正確．
故選：BD
6．（2024·海南海口·模擬預測）已知eC : (x - 4)2 + y2 = 4， A, B是eC 上的兩個動點，且
AB = 2 3 .設 A x1, y1 ，B x2 , y2 ，線段 AB 的中點為M ，則（ ）
π
A． ACB =
3
B．點M 的軌跡方程為 (x - 4)2 + y2 =1
C． x1x2 + y1 y2 的最小值為 6
D． x1 - y1 +1 + x2 - y2 +1 的最大值為10 + 2
【答案】BC
2π
【分析】A 選項，由垂徑定理得到 CM =1，從而得到 ACM = BCM = 60°， ACB = ；
3
B 選項，由 CM =1得到點M 的軌跡為以C 為圓心，半徑為 1 的圓，得到軌跡方程；C 選項，
uuur uuur uuuur 2 uuuur 2 uuuur 2
由極化恒等式得到OA ×OB = OM - BM = OM - 3，結合點M 的軌跡方程，得到
uuuur 2
x1x2 + y1 y2 = OM - 3的最小值；D 選項，轉化為點到直線的距離問題，
x1 - y1 +1 + x2 - y2 +1
可看作點M 到直線 x - y +1 = 0 的距離，結合點M 的軌跡方程，求出
2 2
最大值，得到答案.
【詳解】A 選項，由題意得C 4,0 ，半徑為 r = 2，
2
2 AB
由垂徑定理得CM ⊥ AB ，則 CM + ÷ = 4，解得 CM =1，
è 2
CM 1 2π
由于 = ，則 ACM = BCM = 60°，故 ACB = ，A 錯誤；
r 2 3
B 選項，由 A 選項可得， CM =1，故點M 的軌跡為以C 為圓心，半徑為 1 的圓，
故點M 的軌跡方程為 (x - 4)2 + y2 =1，B 正確；
uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur
C 選項，由題意得OA + OB = 2OM ，OA - OB = 2BM ，
uuur uuur uuuur 2 uuuur 2 uuuur 2
兩式分別平方后相減得，OA ×OB = OM - BM = OM - 3，
uuur uuur
其中OA ×OB = x x + y y ，又點M 的軌跡方程為 (x - 4)2 + y21 2 1 2 =1，
uuuur uuuur 2
所以 OM 的最小值為 OC -1 = 4 -1 = 3，故 x1x2 + y1 y2 = OM - 3的最小值為9 - 3 = 6，C 正
確；
x1 - y1 +1D 選項， 可看作點A 到直線 x - y +1 = 0 的距離，
2
x2 - y2 +1
同理， 可看作點 B 到直線 x - y +1 = 0 的距離，
2
x1 - y1 +1 + x2 - y2 +1
故 可看作點M 到直線 x - y +1 = 0 的距離，
2 2
點M 的軌跡方程為 (x - 4)2 + y2 =1，
故點M 到直線 x - y +1 = 0 的距離最大值為圓心到 x - y +1 = 0 的距離加上半徑，
4 - 0 +1 5 2 x - y +1 + x - y +1 5 2
即 +1 = +1 1 1 2 2，故 +1，
1+1 2 2 2 2
所以 x1 - y1 +1 + x2 - y2 +1 10 + 2 2 ，故最大值為10 + 2 2 ，D 錯誤.
故選：BC
r r 2 r r 2 r r r 2 r 2 r【點睛】關鍵點睛：向量恒等式 a b r r r+ + a - b = 2 a2 + b 2 ，及 a + b - a - b = 4a ×b 是常
用等式，要學會合理利用這兩個式子解題．
三、填空題
r r r r r r 5π r
7．（2024·河北滄州·模擬預測）已知單位向量 a，向量b 與 a不共線，且 a - b ,b = ，則 b6
的最大值為 ．
【答案】2
r r r 5π π r π
【分析】由 a - b ,b = ，則 A = ，方法一：利用正弦定理可得 b = 2sin B ，當 B = 時，
6 6 2
π
可求得結果；方法二：作出△ABC 的外接圓，當 AC 為圓的直徑，即B = 時，可求
2
r
b = 2 .
max
uuur r uuur r uuur r
【詳解】法 1：設CB = a ，CA = b ，則 AB r= a - b ，如圖所示．
r r r
因為 a - b ,b
5π π 5π
= ，所以在△ABC 中， A = ，0 < B < ，
6 6 6
r r
ar b b r
由正弦定理，得 = 即 2 = ，得 b = 2sin B ，
sin A sin B sin B
π r
當B = 時， b = 2sin
π
= 2．
2 max 2
uuur r uuur r uuur r
法 2：設CB = a ，CA = b ，則 AB r= a - b ，作出△ABC 的外接圓，如圖所示．
r r r uuur
因為 a
r 5π π
- b ,b = ，所以 A = ，因為 a = CB =1，
6 6
B π
r r
當 AC 為圓的直徑，即 = 時， b = 2 a = 2．
2 max
故答案為：2
r r r r r r r r
8．（2024·山東濟寧·三模）已知 a = a - b = 3 2, b = 6
1
，則 f (x) = xa - b + xa
1
- b (x R)
2 3
的最小值為 .
【答案】 13
r r
【分析】根據平面向量的模求出數量積 a ×b ，利用向量的幾何意義和運算律計算可得
f (x) 3 2[ (x 1= + )2 1 (x 1)2 1 ] (x 1)2 1+ + + + ， + + + (x 1+ )2 1+ 表示點P(x,0) 與點
2 4 3 9 2 4 3 9
A( 1- , 1- ), B( 1 1- , - ) 的距離之和，作出圖形，確定 PA + PB 的最小值，結合圖形即可求
2 2 3 3
解.
r ra 3 2, b 6, ar
r r 2
= = - b = 3 2 ar b ar2 2ar
r r
【詳解】由 ，得 - = - ×b + b 2 =18，
r r r r
即18 - 2a ×b + 36 =18，解得 a ×b = -18 .
f (x) arx 1
r r 1 r r 1 r r 1 r
= - b + ax - b = (ax - b)2 + (ax - b)2
2 3 2 3
r r r r r
= a2x2 ar bx 1- × + b 2 + ar2x2 2 r- a ×bx 1+ b 2 = 18x2 +18x + 9 + 18x2 +12x + 4
4 3 9
3 2[ x2 x 1 x2 2 x 2 ] 3 2[ (x 1)2 1 (x 1 1= + + + + + = + + + + )2 + ]，
2 3 9 2 4 3 9
1 1 1 1 1 1 1 1(x + )2 + + (x + )2 + 表示點P(x,0) 與點 A(- , - ), B(- , - ) 的距離之和.
2 4 3 9 2 2 3 3
1 1
如圖，點A 關于 x 軸的對稱點為 A (- , ) ，連接 A B，
2 2
PA PB PA PB 1 1則 + = + A B = (- + )2 + ( 1 1)2 26- - = ，
3 2 3 2 6
當且僅當 A , P, B三點共線時等號成立，
所以 f (x)
26
的最小值為3 2 = 13 .
6
故答案為： 13
1 1 1 1
【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是 (x + )2 + + (x + )2 + 表示點P(x,0) 與點
2 4 3 9
A( 1- , 1- ), B( 1 , 1- - ) 的距離之和，結合圖形，確定 PA + PB = PA + PB A B （當且僅
2 2 3 3
當 A , P, B三點共線時等號成立）.
9．（2024·黑龍江牡丹江·模擬預測）已知 A, B,C 是邊長為 1 的正六邊形邊上相異的三點，則
uuur uuur
AB × BC 的取值范圍是 .
9 ù
【答案】 -4,
è 16 ú
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【分析】一方面BA × BC BA × BC 2 2 = 4，而A ， B ，C 不重合，所以BA × BC < 4 ；另
uuur uuur uuuur uuur
AC M BA BC | BM |2 | AC |
2
一方面，設 中點為 ，那么 × = - ，設A 在六邊形的端點上，同理不妨
4
uuur uuur
設C
9
在六邊形的端點上．分四種情況即可得BA × BC - ，剩下的只需證明何時取等并且
16
uuur uuur 9
BA × BC 可以遍歷[- , 4)16 中的每一個數．
uuur uuur uuur uuur
【詳解】首先， BA × BC BA × BC 2 2 = 4，這里 2是最長的那條對角線的長度，
uuur uuur
等號取到當且僅當BA, BC 同向，且 | BA |=| BC |= 2，而這意味著 A,C 重合，矛盾.
uuur uuur
所以BA × BC < 4 .
uuur uuur 9
另一方面，我們先舍棄 A, B,C 互不重合的條件，然后證明BA × BC - ：
16
uuur 2
AC M uuur uuur uuuur 1 uuur uuuur 1 uuur uuuur 2 AC設 中點為 ，那么BA × BC = BM + CA÷ × BM - CA÷ = BM - ，
è 2 è 2 4
uuur uuur uuur uuur uuuur uuur
然后，設 A 所在的邊的端點為 A1, A2 ，則BA × BC min BA1 × BC, BA2 × BC ，
uuur uuur uuuur uuur uuur
（這是因為，記OA = (1- t)OA1 + tOA2 ，其中O為原點，確定的BA × BC = f t ，
那么 f t 是一次函數，從而 t 屬于 0,1 時，有 f (t) min f 0 , f 1 ）
所以我們可以不妨設 A 在六邊形的端點上.
同理，我們可以不妨設 C 在六邊形的端點上.
此時分以下四種情況：
uuur 2
(1) A,C uuur uuur uuuur AC重合，此時 2BA × BC = BM - 0 - 0 = 0，
4
uuur 2
(2) A,C uuur uuur uuuur AC為相鄰頂點，此時 2BA × BC 1 1= BM - 0 - = - ，
4 4 4
uuur 2
(3) A,C uuur uuur uuuur AC相隔一個頂點，此時 2BA BC 3 3 9× = BM - - = - ，
4 16 4 16
uuur 2
(4) A,C uuur uuur uuuur AC為對徑點，此時 2BA BC BM 3 1× = - -1 = - ，
4 4 4
uuur uuur 9
綜上，BA × BC - ，
16
uuur uuur 9
所以，即使去掉 A, B,C 互不重合的條件，我們仍有BA × BC - ，
16
uuur uuur
這就說明， A, B,C
9
互不重合時，有- BA × BC < 4，
16
然后，取等條件如圖所示：
具體說明如下：構造一個 0,1 到六邊形的函數 A(t), B(t),C(t)（即從數映射到點），
使得 (A(0), B(0),C(0)) = (A1, B1,C1), (A(1), B(1),C(1)) = (A2 , B2 ,C2 )，并且只沿著最近的軌道，
這樣在0 t <1的情況下， A(t), B(t),C t 互不重合
uuuuuuuuur uuuuuuuuur 9
同時設 g(t) = B(t)A(t) × B(t)C(t)，那么 g(0) = - , g(1) = 4，而 g t 連續，
16
所以在0 t <1的情況下， g t é 9必定取遍 ê- , 4

，
16 ÷
uuur uuur é 9
這就意味著，BA × BC 的取值范圍就是 - , 4÷，
ê 16
uuur uuur 9 ù
所以 AB × BC 的取值范圍是 -4,
è 16ú
.


故答案為： -4,
9 ù
.
è 16ú
【點睛】關鍵點點睛：對 A,C 分以下四種情況：
uuur 2
(1) A,C uuur uuur uuuur重合，此時 2 ACBA × BC = BM - 0 - 0 = 0，
4
uuur 2
(2) A,C uuur uuur uuuur 2 AC為相鄰頂點，此時BA × BC 1 1= BM - 0 - = - ，
4 4 4
uuur 2
(3) A,C uuur uuur uuuur AC相隔一個頂點，此時 2BA × BC = BM 3 3 9- - = - ，
4 16 4 16
uuur 2
(4) A,C uuur uuur uuuur 2 AC為對徑點，此時BA × BC 3 1= BM - -1 = -
4 4 4
四、解答題
10．（2023·重慶·模擬預測）在 VABC 中，a，b，c 分別是 VABC 的內角 A，B，C 所對的邊，
b a - c
且 = ．
sin A + sin C sin B - sin C
(1)求角 A 的大小；
uuuur uuuur uuuur 21
(2)記VABC 的面積為 S，若BM = MC AM，求 的最小值．
2 S
A π【答案】(1) = 3
8
(2) 3
9
【分析】（1）根據題意，由正弦定理先將邊角化統一，然后由余弦定理即可得到結果；
uuuur 1 uuur 2 uuur uuuur 2
（2）根據題意可得， AM = AC + AB ，然后得到 AM ，再由三角形的面積公式可得S ，
3 3
最后結合基本不等式即可得到結果.
b a - c sin B - sin C a - c
【詳解】（1）因為 = ，即 =
sin A + sin C sin B - sin C sin A + sin C b
b - c a - c
由正弦定理可得， = ，化簡可得 a2 = b2 + c2 - bc，a + c b
1
且由余弦定理可得， a2 = b2 + c2 - 2bc cos A，所以 cos A = ，2
且 A 0, π ，所以 A π= .3
（2）
uuuur 1 uuuur uuuur 1 uuur 2 uuur
因為BM = MC ，則可得 AM = AC + AB ，
2 3 3
uuuur 2 1 uuur 2 uuur
2
1 uuur 2 4 uuur uuur uuur 2 1AM 4= AC + AB 2
4 2 2
所以 3 3 ÷
= AC + AC × AB cos A + AB = b + c + bc
è 9 9 9 9 9 9
且 S 1= bc sin A 3= bc ，
2 4
uuuur 2 1 b2 4 2 2 4AM + c + bc bc
2
+ bc
9 9 9 9 9 8
即 = = 3S 3 3 9 ，bc bc
4 4
1 2
當且僅當 b = c，即b = 2c時，等號成立.
3 3
uuuur 2
AM

÷ 8
所以 ÷ = 3 S ÷ 9
è min
11．（2023·四川成都·模擬預測）如圖，A，B 是單位圓（圓心為 O）上兩動點，C 是劣弧 AB
uuur uuur uuur
（含端點）上的動點．記OC = lOA + mOB （l ，m 均為實數）．
(1)若 O 到弦 AB 1的距離是 2 ，求l + m 的取值范圍；
uuur uuur 5 uuur uuur uuur uuur
(2)若 3OA - OB ，向量 2OA + OB 和向量OA + OB 的夾角為q ，求 cos2 q 的最小值．2
【答案】(1)[1, 2]
39
(2)
40
AOB 2π
uuur uuur
【分析】（1）由題意確定 = ，根據數量積的運算律求得則OC OA l
1
× = - m ，
3 2
uuur uuur
OC OB 1
uuur uuur
× = - l + m ，可得l + m = 2cosáOC,OD ，即可求得答案；
2
uuur uuur 5 é5
（2）將 3OA - OB 平方可得 cosa ê ,1÷，根據數量運算律求出2 8
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2OA + OB × OA + OB = 3 + 3cosa ，以及求得向量 2OA + OB 和向量OA + OB 的模，即可求
得 cos2 q 的表達式，結合余弦函數性質利用函數單調性即可求得答案.
1 π
【詳解】（1）由題意知 O 到弦 AB 的距離是 ，則 ABO = BAO =2 ，6
uuur uuur
故 AOB
2π OA OB 1= ，且 × = - ，
3 2
記劣弧 AB 的中點為 D，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur uuur
OC OA (lOA mOB) OA lOA mOA OB l 1則 × = + × = + × = - m ，
2
uuur uuur uuur uuur uuur2
OC ×OB = lOA OB mOB 1× + = - l + m ，
2
uuur uuur uuurOC OA OB 1兩式相加得 × + = l + m ，2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur故l + m = 2OC × OA + OB = 2OC ×OD = 2cosáOC,OD ，
uuur uuur é π ù uuur uuur
由于 áOC,OD ê0, ，故 ， 3 ú
2cosáOC,OD [1, 2]

即l + m 的取值范圍為[1, 2]；
（2）設 AOB = a ,a (0, π) ，
uuur uuur 5 uuur2 uuur2 uuur uuur
由 3OA - OB
25
可得9OA + OB - 6OA ×OB ，
2 4
25 5
即10 - 6cosa ，結合-1< cosa <1可得 cosa
é
ê ,1

4 ÷
，
8
uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur uuur uuur2故 2OA + OB × OA + OB = 2OA + 3OA ×OB + OB = 3 + 3cosa ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
而 | 2OA + OB |= (2OA + OB)2 = 5 + 4cosa , | OA + OB | (OA + OB)2 = 2 + 2cosa ，
uuur uuur uuur uuur
由于向量 2OA + OB 和向量OA + OB 的夾角為q ，
uuur uuur uuur uuur2OA + OB × (OA + OB) 3+ 3cosa 2
故 cos2 q = [ uuur uuur uuur uuur ]2 =
| OA + OB || OB + OB | 5 + 4cosa 2 + 2cosa
9 1+ cosa 9
= = 1 1-
2 5 + 4cosa 8 è 4cosa + 5 ÷，
f x 9 1= é5 令
8
1- ÷ ，則 f (x) 在 ,14x + 5 ê8 ÷
上單調遞增，
è
5 39
則 f (x)min = f ( ) = ，8 40
39
即 cos
2 q 得最小值為 40 .

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