資源簡介

易錯 01 集合與常用邏輯用語（3 個易錯點錯因分析與分類講
解+10 個易錯核心題型強化訓(xùn)練）
易錯點錯因分析與分類講解
易錯點 1 忽視對空集的討論而致誤
【例 1】. [ 2湖南師大附中 2023 第三次月考]已知集合 A = x -1 < x 4 ， B = x x - 2a x - a -1 .
若 AI B = ，則實數(shù) a 的取值范圍為（）
A. a a > 2 B. a a 2 C. a a =1或a 2 D. a a 1
特別提醒：當兩集合的交集為空集時，需考慮其中含參數(shù)的集合是否為空集，本題求解的易錯之處在于忽
2
略 a +1 = 2a ，即 B = 的情況.
2
【解析】因為 a +1 > 2a ，當 a =1 a2時， +1 = 2a ，則 B = ，滿足 AI B = ；當 a 1時，
2a 4,
a2 +1 > 2a B = x 2a < x < a2 ì，則 +1 ，因為 AI B = 2， a +1 1，所以 í 解得 a 2a 1, .
綜上，實數(shù) a 的取值范圍為 a a =1或a 2 .故選C .
【變式】.[江西景德鎮(zhèn)樂平中學(xué) 2022月考]設(shè)集合M = x -3 < x < 7 ,
N = x 2 - t < x < 2t +1, t R .若 M U N = M ， 實數(shù) t 的取值范圍為（ ）
A. 3, + B. - ,3 C. - ,3 D. 3,+
特別提醒：要求解的含參數(shù)的集合是一個確定集合的子集或真子集時，應(yīng)考慮所求集合為空集的特殊情況，
因此本題求解的易錯之處在于忽略 N = 的情況.
【 解 析 】 由 M UU = M 得 N M . 因 為 集 合 M = x -3 < x < 7 ，
1
N = x 2 - t < x < 2t +1, t R .當 N = 時，有 2 - t 2t +1, ，解得 t 3 ；當 N = 時，有
ì2t +1 > 2 - t,

í 2t +1 7,
1
，解得 < t 3.綜上，實數(shù) t 的取值范圍為 - ,3 .故選C .
2 t 3 - -3,
易錯點 2 忽略集合中元素的互異性而致誤
ì b ü 2022 2022
【例 2】. [湖南邵陽二中 2023 第五次月考]已知 a,b R ，若 ía, ,1 = a2 ,a + b,0 ，則 a + b
a
的值為（）
A. -1 B. 0 C. 1 D. ±1
特別提醒：本題是含參數(shù)的集合問題，由題意求出參數(shù)的值后要注意檢驗參數(shù)的值是否滿足集合中元素的
互異性.本題的易錯之處是忽略檢驗當 a =1時是否滿足集合中元素的互異性.
ì b ü b
【解析】由集合相等可知 0 ía, ,1 且 a 0，則 = 0 ，所以 b = 0 2，所以 a =1解得 a =1或
a a
a = -1. 根 據(jù) 集 合 中 元 素 的 互 異 性 可 知 a =1應(yīng) 舍 去 ， 因 此 a = -1， 所 以
a2022 + b2022 2022= -1 + 02022 =1.故選C .
ì b ü 2
【變式】 . [福建龍巖一中 2022 月考 ]已知 a R,b R ,若集合 ía, ,1 = a ,a + b,0 ，則
a
a2021 + b2021 （）
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
特別提醒：本題是含參數(shù)的集合問題，由題意求出參數(shù)的值后要注意檢驗參數(shù)的值是否滿足集合中元素的
互異性，本題的易錯之處是忽視檢驗 a =1時是否滿足集合中元素的互異性.
ì b
= 0
ì b ü a ìb = 0, ì b = 02
【解析】因為 ía, ,1 = a ,a + b,0 ，所以 ía = a + b，解得 或 ，當 a =1時，不滿
a
í
2 a =1
í
a =1
a = -1


足集合中元素的互異性，故 a = -1,b = 0 2021，即 a + b2021 = -1 2021 + 02021 = -1.故選 B
易錯點 3 沒有正確理解充分不必要條件的意義而致誤
【 例 3 】 . [ 河 南 駐 馬 店 二 中 2023 第 二 次 培 優(yōu) 考 ] 已 知 p : x - x -12 0，
q : x + m éx - 1+ 2m ù 0 m > 0 .若 p 是 q 的充分不必要條件，則實數(shù)m 的取值范圍是 .
特別提醒：根據(jù)充分不必要條件、必要不充分條件或充要條件求參數(shù)，可參考如下結(jié)論：
（1）若 p 是 q 的必要不充分條件，則 q 對應(yīng)的集合是 p 對應(yīng)的集合的真子集；
（2）若 p 是 q 的充分不必要條件，則 p 對應(yīng)的集合是 q 對應(yīng)的集合的真子集；
（3）若 p 是 q 的充要條件，則 p 對應(yīng)的集合與 q 對應(yīng)的集合相等.
此題易錯之處在于誤認為 B = -m, 2m +1 m > 0 是 A = -3,4 的真子集.
x2【解析】由不等式 - x -12 0，解得-3 x 4 ，設(shè) p 對應(yīng)的集合為 A ，則 A = -3,4 .由不等
式 x + m éx - 1+ 2m ù 0 m > 0 ，解得 -m x 2m +1 m > 0 ，設(shè) q 對應(yīng)的集合為 B ，則
p q ì -m -3,B -m, 2m +1 m > 0 .因為 是 的充分不必要條件，所以 A 是 B的真子集，則 í （不同
2m +1 4
時取等號），解得m 3,，所以實數(shù) m 的取值范圍是 3, + .
2
【變式】. [湖南名校 2022第二次聯(lián)考]已知“ a x a +1”是“-2 x 5 ”的充分不必要條件，則
實數(shù)的取值范圍是（）
A. -2,+ B. -2,2 C. -2,2 D. -2,2
特別提醒：根據(jù)充分不必要條件或必要不充分條件求參數(shù)，可參考如下結(jié)論，（1）若 p 是 q 的必要不充
分條件，則 q 對應(yīng)集合是 p 對應(yīng)集合的真子集；
（2）若 p 是 q 的充分不必要條件，則 p 對應(yīng)集合是 q 對應(yīng)集合的真子集；
（3）若 p 是 q 的充要條件，則 p 對應(yīng)集合與 q 對應(yīng)集合相等
2
此題易錯之處在于若“ a x a +1”是“ -2 x 5 ”的充分不必要條件，誤認為 B A .
【解析】設(shè) A = x a x a2 +1 , B = x -2 x 5 .若“ a x a2 +1”是“ -2 x 5 ”的
ì a -2
充分不必要條件，則 A B ，則 ía2 1 5 ，等號不同時成立，解得-2 < a 2，故選C +
【易錯核心題型強化訓(xùn)練】
一．元素與集合關(guān)系的判斷（共 1 小題）
1．（2024 瀘縣校級開學(xué)）設(shè)集合 A = {(x1， x2 ， x3 ， x4 ， x5 ) | xi {-1，0，1}， i = 1，2，3，4，5}，那么
集合 A中滿足條件1 | x1 | + | x2 | + | x3 | + | x4 | + | x5 | 3的元素的個數(shù)為 (　　 )
A．60 B．100 C．120 D．130
【分析】從條件“1 | x1 | + | x2 | + | x3 | + | x4 | + | x5 | 3”入手，討論 xi 所有取值的可能性，分別為 5 個數(shù)值中
有 2 個是 0，3 個是 0 和 4 個是 0 三種情況
【解答】解：由于 | xi |只能取 0 或 1，且“1 | x1 | + | x2 | + | x3 | + | x4 | + | x5 | 3”，
因此 5 個數(shù)值中有 2 個是 0，3 個是 0 和 4 個是 0 三種情況：
① xi 中有 2 個取值為 0，另外 3 個從 -1，1 中取，共有方法數(shù)：C
2
5 2
3 = 80 ；
② xi 中有 3 個取值為 0，另外 2 個從 -1，1 中取，共有方法數(shù)：C
3
5 2
2 = 40；
③ xi 中有 4 個取值為 0，另外 1 個從 -1，1 中取，共有方法數(shù)：C
4 215 = 10．
\總共方法數(shù)是80 + 40 +10 = 130 ． 即元素個數(shù)為 130．
故選： D ．
【點評】本題考查了組合數(shù)的計算公式及其思想、集合的性質(zhì)，考查了分類討論方法、推理能力與計算能
力，屬于中檔題．
二．集合的確定性、互異性、無序性（共 1 小題）
2．（2024 揚中市校級開學(xué)）設(shè)集合 A = {2，1- a ， a2 - a + 2}，若 4 A，則 a = (　　 )
A． -3或 -1或 2 B． -3或 -1 C． -3或 2 D． -1或 2
【分析】分別由1- a = 4， a2 - a + 2 = 4，求出 a的值，代入觀察即可．
【解答】解：若1- a = 4，則 a = -3 ，
\a2 - a + 2 = 14 ，
\ A = {2 ，4，14}；
若 a2 - a + 2 = 4，則 a = 2或 a = -1，
a = 2時，1- a = -1，
\ A = {2 ， -1， 4}；
a = -1時，1- a = 2（舍 )，
故選：C ．
【點評】本題考查了集合的確定性，互異性，無序性，本題是一道基礎(chǔ)題．
三．集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用（共 1 小題）
x x P
3．（2024 ì 浦東新區(qū)校級模擬）函數(shù) f (x) = í ，其中 P 、 M 為實數(shù)集 R 的兩個非空子集，又規(guī)定
-x x M
f (P) = {y | y = f (x) ， x P}， f (M ) = {y | y = f (x)， x M}．給出下列四個判斷，其中正確判斷有 (　　 )
①若 PIM = ，則 f (P)I f (M ) = ；
②若 PIM ，則 f (P)I f (M ) ；
③若 PUM = R ，則 f (P)U f (M ) = R ；
④若 PUM R ，則 f (P)U f (M ) R ．
A．1 個 B．2 個 C．3 個 D．4 個
【分析】由函數(shù)的表達式知，可借助兩個函數(shù) y = x 與 y = -x 圖象來研究，分析可得答案．
【解答】解：由題意知函數(shù) f (P) 、 f (M )的圖象如圖所示，
設(shè) P = [x2 ， + ) ， M = (- ， x1]，
Q| x2 |<| x1 | ， f (P) = [ f (x2 ) ， + ) ，
f (M ) = [ f (x1) ， + ) ，則 PIM = ．
而 f (P)I f (M ) = [ f (x1) ， + ) ，故①錯誤．
對于②，若 P = (2， 4)M = (3， 4) ，則 f (P) = (2 ， 4) ， f (M ) = (-4， -3) ，
則 f (P)I f (M ) = ，故②錯誤．
設(shè) P = [x1， + ) ， M = (- ， x2 ]，
Q| x2 |<| x1 | ，則 PUM = R ．
f (P) = [ f (x1) ， + ) ， f (M ) = [ f (x2 ) ， + ) ，
f (P)U f (M ) = [ f (x1) ， + ) R ，故③錯誤．
④由③的判斷知，當 PUM R ，則 f (P)U f (M ) R 是正確的．故④對．
故選： A．
【點評】考查對題設(shè)條件的理解與轉(zhuǎn)化能力，本題中題設(shè)條件頗多，審題費時，需仔細審題才能把握其脈
絡(luò)，故研究時借用兩個函數(shù)的圖象，借助圖形的直觀來幫助判斷命題的正誤，以形助數(shù)，是解決數(shù)學(xué)問題
常用的一種思路．
四．并集及其運算（共 1 小題）
4．（2024 浙江學(xué)業(yè)考試）已知集合 A = {0，1， 2}，集合 B = {0，2， 4}，則 AUB = (　　 )
A．{0} B．{2} C．{0 ，2， 4} D．{0 ，1，2， 4}
【分析】根據(jù)并集的概念求解即可．
【解答】解：Q集合 A = {0，1， 2}，集合 B = {0，2， 4}，
\ AUB = {0，1，2， 4}．
故選： D ．
【點評】本題主要考查并集的概念，屬于基礎(chǔ)題
五．交集及其運算（共 4 小題）
5．（2024 沙依巴克區(qū)校級模擬）已知集合 A = {x | 2 x 4}， B = {x | -a < x a + 3}，若 AIB = A，則 a取值
范圍是 (　　 )
A． a > -2 B． a -1 C． a…1 D． a > 2
ì2 > -a
【分析】條件 AIB = A可轉(zhuǎn)化為 A B ，即可得不等式組 í ，即可解得．
4 a + 3
【解答】解：Q AIB = A，
\ A B ，
ì2 > -a
\ í ，
4 a + 3
解得， a…1，
故選：C ．
【點評】本題考查了集合的運算與集合間關(guān)系的轉(zhuǎn)化，同時考查了不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．
6．（2024 北京學(xué)業(yè)考試）已知集合 A = {-1，0，1}， B = {1， 2}，則 AIB 等于 (　　 )
A．{-1，0，1} B．{0 ，1} C．{1} D．{1， 2}
【分析】要求 AIB ，即求由所有屬于集合 A且屬于集合 B 的元素所組成的集合．
【解答】解：Q集合 A = {-1，0，1}， B = {1， 2}，
\ AIB = {1}，
故選：C ．
【點評】本題主要考查集合交集的概念，是簡單的基礎(chǔ)題．
7．（2024 讓胡路區(qū)校級開學(xué)）設(shè)全集U = R ，集合 A = {x | x2 - x - 2 0}， B = {x | lgx > 0}，則 AIB = (　　 )
A．{x | -1 x 2} B．{x |1 < x 2} C．{x |1 < x < 2} D．{x | x… -1}
【分析】分別解一元二次不等式、對數(shù)不等式，化簡 A， B ，然后求交集．
【解答】解：解 x2 - x - 2 0 得 -1 x 2 ， A = {x | -1 x 2}，
由 lgx > 0得 x > 1，故 B = {x | x > 1}，
所以 AIB = {x |1 < x 2}．
故選： B ．
【點評】本題考查不等式的解法，交集的運算，屬于基礎(chǔ)題．
8．（2024 平江縣校級開學(xué)）已知集合 A = {y | y = -2x ， x [2，3]}， B = {x | x2 + 3x - a2 - 3a > 0}．
（1）當 a = 4時，求 AIB ；
（2）若命題“ x A”是命題“ x B ”的充分不必要條件，求實數(shù) a的取值范圍．
【分析】（1）求出集合 A， B 的元素，利用集合的基本運算即可得到結(jié)論．
（2）根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合集合之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）當 a = 4時， B = {x | x2 + 3x - a2 - 3a > 0} = {x | x2 + 3x - 28 > 0} = {x | x > 4或 x < -7}．
A = {y | y = -2x ， x [2，3]} = {y | -8 y - 4}，
則 AIB = {x | -8 x < -7}．
（2）若命題“ x A”是命題“ x B ”的充分不必要條件，則 A B ，
B = {x | x2 + 3x - a2 - 3a > 0} = {x | (x - a)(x + a + 3) > 0}．
對應(yīng)方程的兩個根為 x = a或 x = -a - 3，
①若 a 3 3= -a - 3，即 a = - ，此時 B = {x | x - }，滿足 A B ，
2 2
3
②若 a < -a - 3，即 a < - ，此時 B = {x | x > -a - 3或 x < a}}，
2
若滿足 A B ，則 a… - 4或 -a - 3 - 8 ，解得 a… - 4或 a…5（舍去），
此時 -4 a 3< - ．
2
③若 a > -a - 3 a 3，即 > - ，此時 B = {x | x > a 或 x < -a - 3}}，
2
若滿足 A B ，則 -a - 3… - 4或 a - 8 （舍 ) 3，解得 - < a 1．
2
綜上 -4 a 1．
【點評】本題主要考查集合的基本運算以及充分條件和必要條件的應(yīng)用，注意要進行分類討論．
六．交、并、補集的混合運算（共 1 小題）
9．（2024 合江縣校級開學(xué)）設(shè)全集U = {1，2，3，4， 5}，集合 A = {1，3， 5}，集合 B = {3， 4}，則
( U A)IB = (　　 )
A．{3} B．{4} C．{3， 4} D．{2 ，3， 4}
【分析】先解出 A的補集，再求出結(jié)果即可
【解答】解：因為全集U = {1，2，3，4，5}，集合 A = {1，3，5}，
所以 U A = {2， 4}，
又因為集合 B = {3， 4}，所以 ( U A)IB = {4}，
故選： B ．
【點評】本題主要考查集合的運算，屬于基礎(chǔ)題．
七．充分條件與必要條件（共 2 小題）
10．（2024 東坡區(qū)校級開學(xué)）設(shè) x ， y R ，下列說法中錯誤的是 (　　 )
A．“ x > 1”是“ x2 > 1”的充分不必要條件
B．“ xy = 0 ”是“ x2 + y2 = 0”的必要不充分條件
C．“ x > 1， y > 1”是“ x + y > 2， xy > 1”的充要條件
D．“ x > y ”是“ x2 > y2 ”的既不充分也不必要條件
【分析】根據(jù)充分條件，必要條件的概念判斷選項中的命題是否正確即可．
【解答】解：對于 A，因為 x2 > 1的解集為 (- ， -1) (1， + ) ，所以“ x > 1”是“ x2 > 1”的充分不必
要條件，選項 A正確；
對于 B ，“ xy = 0 ”時，“ x2 + y2 = 0”不一定成立，反之“ x2 + y2 = 0”成立時，“ xy = 0 ”一定成立，所以
“ xy = 0 ”是“ x2 + y2 = 0”的必要不充分條件，選項 B 正確；
對于C ，“ x > 1， y > 1”時，“ x + y > 2， xy > 1”一定成立，反之“ x + y > 2， xy > 1”成立時， x > 1， y > 1
x 1不一定成立，如 = ， y = 4 ，所以“ x > 1， y > 1”是“ x + y > 2， xy > 1”的充分不必要條件，選項C
2
錯誤；
對于 D ，當 x = 1， y = -2時，滿足“ x > y ”，但不滿足“ x2 > y2 ”；當 x = -2 ， y = -1時，滿足
“ x2 > y2 ”，但不滿足“ x > y ”，所以“ x > y ”是“ x2 > y2 ”的既不充分也不必要條件，選項 D 正確．
故選：C ．
【點評】本題考查了充分條件和必要條件的應(yīng)用問題，也考查了推理與判斷能力，是基礎(chǔ)題．
11．（2024 春 順德區(qū)校級月考）設(shè){an}是公差不為 0 的無窮等差數(shù)列，則“{an}為遞增數(shù)列”是“存在正
整數(shù) N0 ，當 n > N0 時， an > 0”的 (　　 )
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義與性質(zhì)，結(jié)合充分必要條件的定義，判斷即可．
【解答】解：因為數(shù)列{an}是公差不為 0 的無窮等差數(shù)列，當{an}為遞增數(shù)列時，公差 d > 0 ，
a a a令 n = a1 + (n -1)d > 0，解得 n > 1- 1 ，[1- 1 ]表示取整函數(shù)，d d
a
所以存在正整數(shù) N = 1+ [1- 10 ]，當 n > N0 時， an > 0，充分性成立；d
當 n > N0 時， an > 0， an-1 < 0 ，則 d = an - an-1 > 0 ，必要性成立；
是充分必要條件．
故選：C ．
【點評】本題考查了等差數(shù)列與充分必要條件的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．
八．全稱量詞和全稱命題（共 1 小題）
12．（2023 秋 昆明期末）已知"x [0 ， 2]， p > x ； $x0 [0， 2]， q > x0 ．那么 p ， q的取值范圍分別為
(　　 )
A． p (0,+ )， q (0,+ ) B． p (0,+ )， q (2,+ )
C． p (2,+ )， q (0,+ ) D． p (2,+ )， q (2,+ )
【分析】根據(jù)全稱命題與特稱命題的定義，分別寫出 p ， q的取值范圍即可．
【解答】解：由"x [0 ， 2]， p > x ；
得 p > 2 ．
由$x0 [0， 2]， q > x0 ；
得 q > 0．
\ p ， q的取值范圍分別為 (2,+ )和 (0,+ )．
故選：C ．
【點評】本題考查了全稱命題與特稱命題的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．
九．存在量詞和特稱命題（共 1 小題）
13．（2024 1 開福區(qū)校級模擬）若命題“ $a < 0， a + > b”是假命題，則實數(shù) b 的取值范圍為 　 [-2 ，
a
+ ) 　．
1
【分析】將問題轉(zhuǎn)化命題“"a < 0 ， a + b ”是真命題，求解即可．
a
1
【解答】解：因為命題“$a < 0， a + > b”是假命題，
a
a 0 a 1所以命題“" < ， + b ”是真命題，
a
當 a < 0 時， a 1 ( 1 1+ = - -a + ) - 2 -a × = -2 ，
a -a -a
1
當且僅當 -a = ，即 a = -1時等號成立，
-a
1
所以 (a + )
a max
= -2，
所以b… - 2 ，
所以實數(shù)b 的取值范圍是[-2 ， + ) ，
故答案為：[-2 ， + ) ．
【點評】本題考查了簡易邏輯的應(yīng)用問題，也考查了轉(zhuǎn)化思想，是基礎(chǔ)題．
一十．命題的真假判斷與應(yīng)用（共 9 小題）
14．（2024 紅谷灘區(qū)校級模擬）已知m ， n表示兩條直線，a ， b ， g 表示三個平面，則下列是真命題的
有 (　　 )個．
①若aIg = m， bIg = n，m / /n，則a / /b ；
②若m ， n相交且都在a ， b 外，m / /a ，m / /b ， n / /a ， n / /b ，則a / /b ；
③若m / /a ，m / /b ，則a / /b ；
④m / /a ， n / /b ，m / /n，則a / /b ．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】對于①，比如三棱柱的三個側(cè)面，兩兩相交，且側(cè)棱平行，即可判斷；
對于②，可由面面平行的判定定理即可判斷；
對于③，可考慮m 和交線平行，即可判斷；
對于④，可考慮m 、 n和交線平行，即可判斷．
【解答】解：對于①，比如三棱柱的三個側(cè)面，兩兩相交，且側(cè)棱平行，滿足條件，但它們不平行，故①
錯；
對于②，若m ， n相交且都在a ， b 外，m / /a ，m / /b ， n / /b ， n / /a ，
由面面平行的判定定理可得，設(shè)m ， n相交確定的平面為 g ，則有 g / /a ， g / /b ，
則有a / /b ，故②對；
對于③，若m / /a ，m / /b ，則a / /b 或a 、 b 相交，由于m 可和交線平行，故③錯；
對于④，若m / /a ， n / /b ，m / /n，則a / /b 或a 、 b 相交，由于m 、 n可和交線平行，故④錯．
故選： A．
【點評】本題考查空間直線與平面的位置關(guān)系，考查線面平行的判斷和性質(zhì)，以及面面平行的判斷和性質(zhì)，
考查空間想象能力，以及推理能力，屬于基礎(chǔ)題和易錯題．
15．（2024 春 寶山區(qū)校級月考）函數(shù) f (x) = xlnx ，正確的命題是 (　　 )
A．值域為 R B．在 (1,+ )上是增函數(shù)
C． f (x) 有兩個不同零點 D．過 (1,0) 點的切線有兩條
【分析】求出函數(shù) f (x) = xlnx 的定義域和導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷 f (x) 的單調(diào)性，求出最值，再判斷選項中的
命題是否正確．
【解答】解：函數(shù) f (x) = xlnx ，且 x (0,+ ) ；
則 f (x) = lnx +1，
令 f (x) 1= 0 ，解得 x = ，
e
x (0, 1所以 )時， f (x) < 0 ， f (x) 單調(diào)遞減；
e
x 1 ( ， + ) 時， f (x) > 0 ， f (x) 單調(diào)遞增；
e
1 1 1
所以 x = 時， f (x) 取得最小值為 f ( ) = - ，
e e e
f (x) [ 1所以 的值域為 - ， + ) ，因此 A錯誤；
e
1
又 < 1，所以 f (x) 在 (1,+ )上單調(diào)遞增，所以 B 正確；
e
x (0, 1又 )時， lnx < 0，所以 f (x) = xlnx < 0，
e
1 1
所以 f (x) 在 (0, ) 內(nèi)沒有零點，在 ( ， + ) 內(nèi)有 1 個零點，因此C 錯誤；
e e
又 x = 1時 y = 0 ，所以 (1,0) 是函數(shù) f (x) 圖象上的點，
且 x = 1時 k = f （1） = 0 +1 = 1，所以過該點的切線方程為 y = x -1，只有 1 條，因此 D 錯誤．
故選： B ．
【點評】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，也考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)的極值，零點問題，是綜合題．
ì1 (x A)
16．（2024 春 普陀區(qū)校級月考）對于全集 R 的子集 A，定義函數(shù) fA (x) = í 為 A的特征函數(shù)．設(shè)
0 (x CR A)
A， B 為全集 R 的子集，下列結(jié)論中錯誤的是 (　　 )
A．若 A B ， fA (x) fB (x) B． f A (x) = 1- fA (x)R
C． f I (x) = fA (x) × fB (x) D． f (x) = f (x) + f (x)A B AUB A B
【分析】根據(jù)題中特征函數(shù)的定義，利用幾何的交集、并集、補集運算法則，對 A、 B 、C 、 D 各項中的
運算加以驗證，進而求解；
1 (x A) 1 (x B)
【解答】解： A :Q A ì ì B ，可得 x A則 x B ，Q fA (x) = í ， fB (x) = í ，而C0 (x C R
A中
R A) 0 (x CR B)
可能有 B 的元素，但CR B中不可能有 A的元素，\ fA (x) fB (x) ，故 A正確；
ì1, x C AB ：因為 f A (x) =
U
í ，綜合 fA (x)的表達式，可得 f A = 1- fA (x)，故 B 正確；R 0, x A R
ì 1, x AIB ì 1, x A B ì1, x A ì1, x BC : f I (x) =
I
í I = í U = í × = f (x) × f (x) ，故C 正確；A B 0, x CR (A B) 0, x (CR A) (CR B) 0, x C íR A 0, x CR B A B
ì0, x A B
D : f U (x) =
U
í f (x) + f (x)，故 D 錯誤；A B
1, x C (AUB) A BU
故選： D ．
【點評】考查接受新知識，理解運用新知識的能力，交集、并集、補集運算法則，屬于中檔題；
17．（2024 綏中縣校級開學(xué)）下列命題中是真命題的有 (　　 )
A．有 A， B ，C 三種個體按3:1: 2的比例分層抽樣調(diào)查，如果抽取的 A個體數(shù)為 9，則樣本容量為 30
B．一組數(shù)據(jù) 1，2，3，3，4，5 的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)相同
C．若甲組數(shù)據(jù)的方差為 5，乙組數(shù)據(jù)為 5，6，9，10，5，則這兩組數(shù)據(jù)中較穩(wěn)定的是甲
D．某一組樣本數(shù)據(jù)為 125，120，122，105，130，114，116，95，120，134，則樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間
[114.5，124.5]內(nèi)的頻率為 0.4
【分析】 A中，由分層抽樣原理求出樣本容量的值；
B 中，計算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)即可；
C 中，計算乙組數(shù)據(jù)的方差，與甲組數(shù)據(jù)的方差比較即可；
D 中，由樣本容量、頻數(shù)和頻率的關(guān)系，計算即可．
9
【解答】解：對于 A，由分層抽樣原理知，樣本容量為 n = 3 = 18，所以選項 A錯誤；
3 +1+ 2
對于 B ，數(shù)據(jù) 1，2，3，3，4 5 x 1， 的平均數(shù)為 = (1+ 2 + 3 + 3 + 4 + 5) = 3，
6
眾數(shù)為 6，中位數(shù)也是 3，所以它們的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)相同，選項 B 正確；
對于C ，甲組數(shù)據(jù)的方差為 5，乙組數(shù)據(jù)為 5，6，9，10，5；
1
它的平均數(shù)是 x = (5 + 6 + 9 +10 + 5) = 7 ，
5
1
方差為 s2 = [(5 - 7)2 + (6 - 7)2 + (9 - 7)2 + (10 - 7)2 + (5 - 7)2 ] = 4.4 ，
5
這兩組數(shù)據(jù)中較穩(wěn)定的是乙，所以選項C 錯誤；
對于 D ，由題意知樣本容量為 10，樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[114.5，124.5]內(nèi)的頻數(shù)是 4，
所以頻率為 0.4，選項 D 正確．
故選： BD．
【點評】本題考查樣本的數(shù)字特征應(yīng)用問題，也考查了命題真假的判斷問題，是基礎(chǔ)題．
18．（2024 春 芝罘區(qū)校級月考）如圖，點 E 是正方體 ABCD - A1B1C1D1 的棱 DD1 的中點，點 M 在線段 BD1
上運動，則下列結(jié)論正確的是 (　　 )
A．直線 AD 與直線C1M 始終是異面直線
B．存在點 M ，使得 B1M ^ AE
C．四面體 EMAC 的體積為定值
D．當 D1M = 2MB 時，平面 EAC ^ 平面 MAC
【分析】當 M 為 BD1 的中點時可知 A錯誤，證明 BD1 / / 平面 EAC 可知C 正確；建立空間坐標系，利用向量
判斷 BD即可．
【解答】解：（1）當 M 為 BD1 的中點時，直線 AD 與直線C1M 是相交直線，交點為 A，故 A錯誤；
（2）以 D 為原點，以 DA， DC ， DD1 為坐標軸建立空間坐標系 D - xyz ，
設(shè)正方體棱長為 1，則 A(1，0， 0) ， E(0 1，0， )， B(1，1， 0) ， D1(0，0，1) ， B1(1，1，1) ，2
uuur uuur uuuur
\ AE = ( 1-1，0， )， B1B = (0，0， -1) ， BD = (-1， -1，1) ．2 1
uuuur uuuur uuuur uuur uuuur
BM = lBD1(0 l 1)，則 B1M = B1B + BM = (-l ， -l ，l -1) ，
uuuur uuur
若 B1M ^ AE ，則 B1M × AE = 0，即l
1 (l 1) 0 l 1+ - = ，解得 = ，
2 3
\當 M 為線段 BD1 的靠近 B 的三等分點時， B1M ^ AE ，故 B 正確；
（3）連接 BD，取 BD的中點O，連接 EO，則O也是 AC 的中點，
由中位線定理可知 BD1 / /EO ，
\ BD1 / / 平面 ACE ，故VE-MAC = VM - ACE = VB- ACE ，故C 正確；
（4）Q AC ^ BD， AC ^ DD1 ， BDIDD1 = D ，
\ AC ^ 平面 BDD1，
\ AC ^ OE ， AC ^ OM ，故 EOM 為二面角 E - AC - M 的平面角，
D M 2BM M (2 2 1當 1 = 時， ， ， ) ，又O(
1 1
， ， 0) ，
3 3 3 2 2
uuuur uuur
\ OM = (1 1 1 1 1 1， ， ) ，OE = (- ， - ， )，
6 6 3 2 2 2
uuur uuuur
\ OE 1 1 1× OM = - - + = 0，\OE ^ MO ，
12 12 6
故平面 EAC ^ 平面 MAC ，故 D 正確．
故選： BCD．
【點評】本題考查了空間線面位置關(guān)系的判斷與性質(zhì)，可適當選用平面向量法解決幾何問題，屬于中檔題．
19．（2024 春 璧山區(qū)校級月考）為了評估某治療新冠肺炎藥物的療效，現(xiàn)有關(guān)部門對該藥物在人體血管中
的藥物濃度進行測量．已知該藥物在人體血管中藥物濃度 c 隨時間 t 的變化而變化，甲、乙兩人服用該藥物
后，血管中藥物濃度隨時間 t 變化的關(guān)系如圖所示．則下列結(jié)論正確的是 (　　 )
A．在 t1 時刻，甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同
B．在 t2 時刻，甲、乙兩人血管中藥物濃度的瞬時變化率相同
C．在[t2 ， t3 ]這個時間段內(nèi)，甲、乙兩人血管中藥物濃度的平均變化率相同
D．在[t1 ， t2 ]和[t2 ， t3 ]兩個時間段內(nèi)，甲血管中藥物濃度的平均變化率相同
【分析】理解瞬時變化率和平均變化率的概念，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，瞬時變化率是在此點處切線的
斜率，
f (t +Vt) - f (t)
平均變化率是 再結(jié)合圖象，逐一判斷項即可．
Vt
【解答】解：選項 A，在 t1 時刻，兩圖象相交，說明甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同，即選項 A正確；
選項 B ，在 t2 時刻，兩圖象的切線斜率不相等，即兩人的 f (t2 ) 不相等，
說明甲、乙兩人血管中藥物濃度的瞬時變化率不相同，即選項 B 錯誤；
選項C ，由平均變化率公式知，甲、乙兩人在
f (t ) - f (t )
[t2 ， t3 ]內(nèi)，血管中藥物濃度的平均變化率均為 3 2 ，即選項C 正確；t3 - t2
D f (t ) - f (t )選項 ，在 [t1 ， t2 ]和 [t2 ， t3 ]兩個時間段內(nèi)，甲血管中藥物濃度的平均變化率分別為 2 1 和t2 - t1
f (t3 ) - f (t2 )
t3 - t2
顯然不相同，即選項 D 不正確．
故選： AC ．
【點評】本題考查函數(shù)的實際應(yīng)用，判斷的關(guān)鍵是理解兩個概念：瞬時變化率和平均變化率，考查邏輯推
理能力，屬于基礎(chǔ)題．
20．（2024 p春 沙坪壩區(qū)校級月考）設(shè)函數(shù) f (x) = sin(wx - )(w > 0) ，已知 f (x) 在 [0 ，p ]有且僅有 3 個零
6
點，下列結(jié)論正確的是 (　　 )
A．在 (0,p ) 上存在 x1 ， x2 ，滿足 f (x1) - f (x2 ) = 2
B． f (x) 在 (0,p ) 有且僅有 1 個最小值點
C． f (x) 在 (0, p )單調(diào)遞增
2
D w [13 ,19． 的取值范圍是 ]
6 6
【分析】由題意根據(jù) f (x) 在區(qū)間 [0 ，p ]有 3 個零點畫出大致圖象，可得區(qū)間長度p 介于周期 [T + | OA |，
3 T + | OA |)，再用w 表示周期，得w 的范圍．
2
【解答】解：畫出函數(shù) f (x) = sin(wx p- )大致圖象如圖所示，
6
當 x = 0 時 y = sin( p ) 1- = - ；
6 2
又w > 0 ，所以 x > 0 時 f (x) 在 y 軸右側(cè)第一個最大值區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，
函數(shù)在[0 ，p ]僅有 3 個零點時，則p 的位置在C ~ D 之間（包括C ，不包括 D) ，
令 f (x) = sin(wx p p p 1- ) = 0，則wx - = kp 得， x = ( + kp ) × (k z)，
6 6 6 w
y p 2p軸右側(cè)第一個點橫坐標為 ，周期T = ，
6w w
p
所以 + T p p 3< + T ，
6w 6w 2
p 2p p p 3 2p 13 19即 + < + × ，解得 w < ，所以 D 錯誤；
6w w 6w 2 w 6 6
在區(qū)間[0 ，p ]上，函數(shù) f (x) 達到最大值和最小值，
所以存在 x1 ， x2 ，滿足 f (x1) - f (x2 ) = 2，所以 A正確；
由大致圖象得， f (x) 在 (0,p ) 內(nèi)有且只有 1 個最小值點， B 正確；
13
因為w 最小值為 ，所以 0 < x p p wx p 11p p p< 時， - < - < (- ， ) ，
6 2 6 6 12 2 2
x (0, p所以 ) 時，函數(shù) f (x) 不單調(diào)遞增，所以C 錯誤．
2
故選： AB ．
【點評】本題考查了三角函數(shù)圖象及周期的計算問題，由題意求出w 的范圍，再判斷命題的真假性，是解
題的關(guān)鍵．
21．（2024 春 沙坪壩區(qū)校級月考）已知 f (x) = ax2 + bx + c(a 0) ，且關(guān)于 x 的方程 f (x) = x 無實數(shù)根，現(xiàn)有
下列說法，其中說法正確的是 (　　 )
A．若 a > 0，則不等式 f ( f (x) ) > x 對一切 x R 恒成立
B．若 a < 0 ，則必然存在實數(shù) x0 使不等式 f ( f (x0 )) > x0 成立
C．關(guān)于 x 的方程 f ( f (x)) = x一定沒有實數(shù)根
D．若 a + b + c = 0 ，則不等式 f ( f (x) ) < x 對一切 x R 恒成立
【分析】函數(shù) f [ f (x)]為一個復(fù)合函數(shù)，把 f (x) 看作為一個未知數(shù) t ， t 的范圍就是 f (x) 的值域；
由此入手進行判斷，能夠得到正確答案．
【解答】解：函數(shù) f [ f (x)]為一個復(fù)合函數(shù)，可以把方括號里的 f (x) 看作為一個未知數(shù) t ， t 的范圍就是 f (x)
的值域；
對于 A， f [ f (x)]可以看作 f (t) ，而題中 f (x) = x 無實根，方括號里的 f (x) 看作為一個未知數(shù) t ，
則外層為一個開口向上的 2 次函數(shù)，且 f (x) = x 無實根，且 a > 0，
所以不等式 f [ f (x)] > x對一切 x R 都成立， A正確；
對于 B ， a < 0 時，由 f (x) = x 無實根知二次函數(shù) y = f (x) - x 開口向下，且與 x 軸沒有交點，
同理，令 t = f (x) ，則二次函數(shù) y = f (t) - t 也開口向下，且與橫軸沒有交點，
所以不等式 f [ f (x)] < x 對一切 x R 都成立， B 錯誤；
對于C ， f [ f (x)]看為 f (t) ，而題中 f (x) = x 無實根，所以方程 f [ f (x)] = x無實根，所以C 正確；
對于 D ，由 a + b + c = 0 知 f （1） = 0 < 1，又 f (x) = x 無實根，所以 a < 0 ，
由選項 B 知不等式 f ( f (x) ) < x 對一切 x R 恒成立， D 正確．
故選： ACD ．
【點評】本題考查了命題真假的判斷問題，也考查了函數(shù)的定義與性質(zhì)的應(yīng)用問題，考查了分析與運算求
解能力，是中檔題．
22．（2024 p p 平羅縣校級一模）設(shè)函數(shù) f (x) = 3sin(wx + j)(w > 0,- < j < ) 2p的圖象關(guān)于直線 x = 對稱，它
2 2 3
的周期是p ，有下列說法：
① f (x) 的函數(shù)圖象過點 (0, 3) ；
2
② f (x) p在[ , 2p ]上是減函數(shù)；
12 3
5p
③ f (x) 的一個對稱中心是 ( ,0)；
12
④將 f (x) 的圖象向右平移 |j |個單位長度得到函數(shù) y = 3sinwx的圖象．
其中正確的序號是　①③　．（正確的序號全填上）
p
【分析】由題意求出函數(shù) f (x) 的解析式為 f (x) = 3sin(2x + ) ，再判斷題目中的命題是否正確．
6
【解答】解：因為函數(shù) f (x) 的周期為T p w 2p= ，所以 = = 2，
T
2
又函數(shù) f (x) 的圖象關(guān)于直線 x = p 對稱，
3
所以由 f (x) = 3sin(2x + j) ，
2
可知 2 p + j = kp p+ ，解得j = kp 5p- ，
3 2 6
p p
又 - < j < ，
2 2
p
所以 k = 1時，j = ；
6
\函數(shù)的解析式為： f (x) = 3sin(2x p+ ) ；
6
當 x = 0 時 f (0) 3= ， f (x) 3的圖象過點 (0, ) ，①正確；
2 2
x [ p 2p p p 3p ， ]時， 2x + [ ， ]， f (x) 是先增后減，②錯誤；
12 3 6 3 2
x 5p當 = 時， f (x) 0 5p= ，即函數(shù) f (x) 的一個對稱中心是 ( ， 0) ，③正確；
12 12
j p由 = ，w = 2 ，將 f (x) p的圖象向右平移 個單位，得函數(shù) y = 3sin[2(x p- ) p+ ] = 3sin(2x p- )的圖象，
6 6 6 6 6
不是函數(shù) y = 3sin 2x 的圖象，④錯誤；
綜上所述，正確的序號是①③．
故答案為：①③．
【點評】本題主要考查了正弦函數(shù)的單調(diào)性、周期性、對稱性以及三角函數(shù)解析式的求法應(yīng)用問題，是基
礎(chǔ)題．易錯 01 集合與常用邏輯用語（3 個易錯點錯因分析與分類講
解+10 個易錯核心題型強化訓(xùn)練）
易錯點錯因分析與分類講解
易錯點 1 忽視對空集的討論而致誤
【例 1】. [ 2湖南師大附中 2023 第三次月考]已知集合 A = x -1 < x 4 ， B = x x - 2a x - a -1 .
若 AI B = ，則實數(shù) a 的取值范圍為（）
A. a a > 2 B. a a 2 C. a a =1或a 2 D. a a 1
【變式】.[江西景德鎮(zhèn)樂平中學(xué) 2022月考]設(shè)集合M = x -3 < x < 7 ,
N = x 2 - t < x < 2t +1, t R .若 M U N = M ， 實數(shù) t 的取值范圍為（ ）
A. 3, + B. - ,3 C. - ,3 D. 3,+
易錯點 2 忽略集合中元素的互異性而致誤
【例 2】. [湖南邵陽二中 2023 第五次月考]已知 a,b R ì，若 ía,
b ,1ü = a2 ,a + b,0 2022 2022，則 a + b
a
的值為（）
A. -1 B. 0 C. 1 D. ±1
ì b ü 2
【變式】 . [福建龍巖一中 2022 月考 ]已知 a R,b R ,若集合 ía, ,1 = a ,a + b,0 ，則
a
a2021 + b2021 （）
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
易錯點 3 沒有正確理解充分不必要條件的意義而致誤
【 例 3 】 . [ 河 南 駐 馬 店 二 中 2023 第 二 次 培 優(yōu) 考 ] 已 知 p : x - x -12 0，
q : x + m é x - 1+ 2m ù 0 m > 0 .若 p 是 q 的充分不必要條件，則實數(shù)m 的取值范圍是 .
2
【變式】. [湖南名校 2022第二次聯(lián)考]已知“ a x a +1”是“-2 x 5 ”的充分不必要條件，則
實數(shù)的取值范圍是（）
A. -2,+ B. -2,2 C. -2,2 D. -2,2
【易錯核心題型強化訓(xùn)練】
一．元素與集合關(guān)系的判斷（共 1 小題）
1．（2024 瀘縣校級開學(xué)）設(shè)集合 A = {(x1， x2 ， x3 ， x4 ， x5 ) | xi {-1，0，1}， i = 1，2，3，4，5}，那么
集合 A中滿足條件1 | x1 | + | x2 | + | x3 | + | x4 | + | x5 | 3的元素的個數(shù)為 (　　 )
A．60 B．100 C．120 D．130
二．集合的確定性、互異性、無序性（共 1 小題）
2．（2024 揚中市校級開學(xué)）設(shè)集合 A = {2，1- a ， a2 - a + 2}，若 4 A，則 a = (　　 )
A． -3或 -1或 2 B． -3或 -1 C． -3或 2 D． -1或 2
三．集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用（共 1 小題）
x x P
3．（2024 f (x) ì 浦東新區(qū)校級模擬）函數(shù) = í ，其中 P 、 M 為實數(shù)集 R 的兩個非空子集，又規(guī)定
-x x M
f (P) = {y | y = f (x) ， x P}， f (M ) = {y | y = f (x)， x M}．給出下列四個判斷，其中正確判斷有 (　　 )
①若 PIM = ，則 f (P)I f (M ) = ；
②若 PIM ，則 f (P)I f (M ) ；
③若 PUM = R ，則 f (P)U f (M ) = R ；
④若 PUM R ，則 f (P)U f (M ) R ．
A．1 個 B．2 個 C．3 個 D．4 個
四．并集及其運算（共 1 小題）
4．（2024 浙江學(xué)業(yè)考試）已知集合 A = {0，1， 2}，集合 B = {0，2， 4}，則 AUB = (　　 )
A．{0} B．{2} C．{0 ，2， 4} D．{0 ，1，2， 4}
五．交集及其運算（共 4 小題）
5．（2024 沙依巴克區(qū)校級模擬）已知集合 A = {x | 2 x 4}， B = {x | -a < x a + 3}，若 AIB = A，則 a取值
范圍是 (　　 )
A． a > -2 B． a -1 C． a…1 D． a > 2
6．（2024 北京學(xué)業(yè)考試）已知集合 A = {-1，0，1}， B = {1， 2}，則 AIB 等于 (　　 )
A．{-1，0，1} B．{0 ，1} C．{1} D．{1， 2}
7．（2024 讓胡路區(qū)校級開學(xué)）設(shè)全集U = R ，集合 A = {x | x2 - x - 2 0}， B = {x | lgx > 0}，則 AIB = (　　 )
A．{x | -1 x 2} B．{x |1 < x 2} C．{x |1 < x < 2} D．{x | x… -1}
8．（2024 平江縣校級開學(xué)）已知集合 A = {y | y = -2x ， x [2，3]}， B = {x | x2 + 3x - a2 - 3a > 0}．
（1）當 a = 4時，求 AIB ；
（2）若命題“ x A”是命題“ x B ”的充分不必要條件，求實數(shù) a的取值范圍．
六．交、并、補集的混合運算（共 1 小題）
9．（2024 合江縣校級開學(xué)）設(shè)全集U = {1，2，3，4， 5}，集合 A = {1，3， 5}，集合 B = {3， 4}，則
( U A)IB = (　　 )
A．{3} B．{4} C．{3， 4} D．{2 ，3， 4}
七．充分條件與必要條件（共 2 小題）
10．（2024 東坡區(qū)校級開學(xué)）設(shè) x ， y R ，下列說法中錯誤的是 (　　 )
A．“ x > 1”是“ x2 > 1”的充分不必要條件
B．“ xy = 0 ”是“ x2 + y2 = 0”的必要不充分條件
C．“ x > 1， y > 1”是“ x + y > 2， xy > 1”的充要條件
D．“ x > y ”是“ x2 > y2 ”的既不充分也不必要條件
11．（2024 春 順德區(qū)校級月考）設(shè){an}是公差不為 0 的無窮等差數(shù)列，則“{an}為遞增數(shù)列”是“存在正
整數(shù) N0 ，當 n > N0 時， an > 0”的 (　　 )
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
八．全稱量詞和全稱命題（共 1 小題）
12．（2023 秋 昆明期末）已知"x [0 ， 2]， p > x ； $x0 [0， 2]， q > x0 ．那么 p ， q的取值范圍分別為
(　　 )
A． p (0,+ )， q (0,+ ) B． p (0,+ )， q (2,+ )
C． p (2,+ )， q (0,+ ) D． p (2,+ )， q (2,+ )
九．存在量詞和特稱命題（共 1 小題）
13 1．（2024 開福區(qū)校級模擬）若命題“$a < 0， a + > b”是假命題，則實數(shù)b 的取值范圍為 　　．
a
一十．命題的真假判斷與應(yīng)用（共 9 小題）
14．（2024 紅谷灘區(qū)校級模擬）已知m ， n表示兩條直線，a ， b ， g 表示三個平面，則下列是真命題的
有 (　　 )個．
①若aIg = m， bIg = n，m / /n，則a / /b ；
②若m ， n相交且都在a ， b 外，m / /a ，m / /b ， n / /a ， n / /b ，則a / /b ；
③若m / /a ，m / /b ，則a / /b ；
④m / /a ， n / /b ，m / /n，則a / /b ．
A．1 B．2 C．3 D．4
15．（2024 春 寶山區(qū)校級月考）函數(shù) f (x) = xlnx ，正確的命題是 (　　 )
A．值域為 R B．在 (1,+ )上是增函數(shù)
C． f (x) 有兩個不同零點 D．過 (1,0) 點的切線有兩條
ì1 (x A)
16．（2024 春 普陀區(qū)校級月考）對于全集 R 的子集 A，定義函數(shù) fA (x) = í 為 A的特征函數(shù)．設(shè)
0 (x CR A)
A， B 為全集 R 的子集，下列結(jié)論中錯誤的是 (　　 )
A．若 A B ， fA (x) fB (x) B． f A (x) = 1- fA (x)R
C． f I (x) = fA (x) × fB (x) D． f U (x) = fA (x) + fB (x)A B A B
17．（2024 綏中縣校級開學(xué)）下列命題中是真命題的有 (　　 )
A．有 A， B ，C 三種個體按3:1: 2的比例分層抽樣調(diào)查，如果抽取的 A個體數(shù)為 9，則樣本容量為 30
B．一組數(shù)據(jù) 1，2，3，3，4，5 的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)相同
C．若甲組數(shù)據(jù)的方差為 5，乙組數(shù)據(jù)為 5，6，9，10，5，則這兩組數(shù)據(jù)中較穩(wěn)定的是甲
D．某一組樣本數(shù)據(jù)為 125，120，122，105，130，114，116，95，120，134，則樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間
[114.5，124.5]內(nèi)的頻率為 0.4
18．（2024 春 芝罘區(qū)校級月考）如圖，點 E 是正方體 ABCD - A1B1C1D1 的棱 DD1 的中點，點 M 在線段 BD1
上運動，則下列結(jié)論正確的是 (　　 )
A．直線 AD 與直線C1M 始終是異面直線
B．存在點 M ，使得 B1M ^ AE
C．四面體 EMAC 的體積為定值
D．當 D1M = 2MB 時，平面 EAC ^ 平面 MAC
19．（2024 春 璧山區(qū)校級月考）為了評估某治療新冠肺炎藥物的療效，現(xiàn)有關(guān)部門對該藥物在人體血管中
的藥物濃度進行測量．已知該藥物在人體血管中藥物濃度 c 隨時間 t 的變化而變化，甲、乙兩人服用該藥物
后，血管中藥物濃度隨時間 t 變化的關(guān)系如圖所示．則下列結(jié)論正確的是 (　　 )
A．在 t1 時刻，甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同
B．在 t2 時刻，甲、乙兩人血管中藥物濃度的瞬時變化率相同
C．在[t2 ， t3 ]這個時間段內(nèi)，甲、乙兩人血管中藥物濃度的平均變化率相同
D．在[t1 ， t2 ]和[t2 ， t3 ]兩個時間段內(nèi)，甲血管中藥物濃度的平均變化率相同
20．（2024 p春 沙坪壩區(qū)校級月考）設(shè)函數(shù) f (x) = sin(wx - )(w > 0) ，已知 f (x) 在 [0 ，p ]有且僅有 3 個零
6
點，下列結(jié)論正確的是 (　　 )
A．在 (0,p ) 上存在 x1 ， x2 ，滿足 f (x1) - f (x2 ) = 2
B． f (x) 在 (0,p ) 有且僅有 1 個最小值點
C． f (x) 在 (0, p )單調(diào)遞增
2
D 13 19．w 的取值范圍是[ , ]
6 6
21．（2024 春 沙坪壩區(qū)校級月考）已知 f (x) = ax2 + bx + c(a 0) ，且關(guān)于 x 的方程 f (x) = x 無實數(shù)根，現(xiàn)有
下列說法，其中說法正確的是 (　　 )
A．若 a > 0，則不等式 f ( f (x) ) > x 對一切 x R 恒成立
B．若 a < 0 ，則必然存在實數(shù) x0 使不等式 f ( f (x0 )) > x0 成立
C．關(guān)于 x 的方程 f ( f (x)) = x一定沒有實數(shù)根
D．若 a + b + c = 0 ，則不等式 f ( f (x) ) < x 對一切 x R 恒成立
22．（2024 平羅縣校級一模）設(shè)函數(shù) f (x) = 3sin(wx + j)(w 0, p p> - < j < ) x 2p的圖象關(guān)于直線 = 對稱，它
2 2 3
的周期是p ，有下列說法：
① f (x) 3的函數(shù)圖象過點 (0, ) ；
2
② f (x) 在[ p , 2p ]上是減函數(shù)；
12 3
③ f (x) 5p的一個對稱中心是 ( ,0)；
12
④將 f (x) 的圖象向右平移 |j |個單位長度得到函數(shù) y = 3sinwx的圖象．
其中正確的序號是　　．（正確的序號全填上）

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