資源簡介

易錯 02 不等式（4 個易錯點錯因分析與分類講解+7 個易錯核
心題型 60 題強化訓練）
易錯點錯因分析與分類講解
易錯點 1 忽視不等式中的等號而致誤
1. [江蘇鎮江一中等三校 2023質檢]（多選）下列命題是真命題的為（ ）
A. 若ac2 < bc2 ,則a < b B. 若a,b R,則a2 + b2 > 2 a - b -1
b2 a2
C. 若 3 a > 3 b ,則a > b D. 若a > b > 0,則 + > a + b
a b
易錯點 2 忽略基本不等式成立的條件致誤
2. [廣東廣州 2023階段練習]（多選）下列函數中最小值為 8 的是（ ）
A. y 16= ln x + B. y = sin x 16+
ln x sin x
2
C. y = 4x 2-x
x + 25
+ 4 D. y =
x2 + 9
3. [陜西咸陽 2022二模]若 x > 0, y > 0 且 x + y = 2 ，則下列結論中正確的是（）
A. x2 + y2的最小值是1
B. xy 1的最大值是
4
C. 2 1+ 的最小值是4 2
x y
D. x + y的最大值是2
易錯點 3 忽視對二次項系數的分類討論致誤
4. [安徽六安 2023第五次質檢]“-1 < k < 0 2”是“關于 x 的不等式 kx + 2kx - k + 2 < 0恒成立”的
（）
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
2
5. [河南中原名校 2022 第二次聯考]已知命題 p：$x R,ax - ax +1< 0 ，若命題 p 是假命題，則
實數 a 的取值范圍為 。
易錯點 4 要注意反比例函數的定義域
6.[山東 2022第二次聯合檢測] m已知非零實數m, n滿足 e > en ，則下列關系式一定成立的是（）
A. 1 1 1 1< B. ln m2 +1 > ln n2 +1 C. m + > n + D. m m > n n
m n m n
【易錯核心題型強化訓練】
一．不等關系與不等式（共 4 小題）
1．（2023 秋 揭西縣期末）b 克糖水中含 a克糖 (b > a > 0) ，若再加入m 克糖 (m > 0)，則糖水變甜了．請根
據此事實提煉一個不等式 (　　 )
A a a + m B a a + m C a a - m a a． < ． > ． < D． <
b b + m b b + m b b - m b b + m
2．（2023 c秋 興文縣校級期末）設 a…b…c，且 1 是一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的一個實根，則 的取值范
a
圍為 (　　 )
A．[-2 ， 0] B．[ 1- ， 0] C．[-2 1 1， - ] D．[-1， - ]
2 2 2
3．（2023 秋 紹興期末）已知實數 x ， y ， z 滿足3x = 5y - 2y ，5z = 3y + 2y ，且 x < y ，則 (　　 )
A． z > y B． 0 < y < 1 C． x + z > 2y D． x + z < 2y
4．（2023 秋 阜寧縣期末）已知 a > 0，b > 0 ，且 a + b = 4，則下列結論正確的是 (　　 )
A． ab 4 B 1 1． + …1 C． 2a + 2b…16 D． a2 + b2 > 8
a b
二．基本不等式及其應用（共 12 小題）
5 2024 x 1 y x 9．（ 博野縣校級開學）若 > ，則函數 = + 的最小值為 (　　 )
x -1
A．6 B．7 C．8 D．9
6．（2023 1 4 y秋 五華區校級期末）若兩個正實數 x ， y 滿足 + = 2，且不等式 x + < m2 - m有解，則實數m
x y 4
的取值范圍是 (　　 )
A． (-1,2) B． (- ， -2) (1， + )
C． (-2,1) D． (- ， -1) (2 ， + )
7．（2024 汕頭二模）若實數 a，b 滿足 0 < a < b，且 a + b = 1．則下列四個數中最大的是 (　　 )
A 1． B． a2 + b2 C． 2ab D． a
2
8．（2024 揚中市校級開學）已知正數 x ， y 滿足 x + y = 4，則下列選項不正確的是 (　　 )
A 1 1． + 的最小值是 4 B． xy 的最大值是 4
x y
C． x2 + y2 的最小值是 8 D． x(y 25+1) 的最大值是
2
9．（2023 秋 懷仁市期末）下列命題正確的是 (　　 )
A．若 a > b > 0 ，m a a + m> 0，則 <
b b + m
B．若正數 a、b 滿足 a + b 1 1 1 4= ，則 + …
a +1 b +1 3
C．若 x > 0 4，則 2 - 3x - 的最大值是 2 - 4 3
x
D．若 x = (x - 2)y ， x > 0 ， y > 0 ，則 x + 2y 的最小值是 9
10．（2024 豐城市校級開學）下列說法正確的為 ( )
A．若 x > 0 ，則 x(2 - x) 最大值為 1
B y 2(x
2 + 4)
．函數 = 的最小值為 4
x2 + 3
C 1． | x + |…2
x
D a 3 a 4 …2 a 4 4 4．已知 > 時， + × ，當且僅當 a = 即 a = 4時， a + 取得最小值 8
a - 3 a - 3 a - 3 a - 3
11．（2024 a + b 岳麓區校級一模）設 a，b 為兩個正數，定義 a，b 的算術平均數為 A(a,b) = ，幾何平均數
2
為G(a,b) = ab ，則有：G(a ，b) A(a ，b) ，這是我們熟知的基本不等式．上個世紀五十年代，美國數學
p p
家 D ． H a + b． Lehmer 提出了“ Lehmer 均值”，即 Lp (a,b) = p-1 ，其中 p 為有理數．下列關系正確的是a + b p-1
(　　 )
A． L0.5 (a ，b) A(a ，b) B． L0 (a ，b)…G(a，b)
C． L2 (a ，b)…L1(a,b) D． Ln+1(a，b) Ln (a,b)
12．（2023 秋 灌南縣校級期末）已知 a，b 為正實數，且 ab + a + b = 8，則 (　　 )
A． ab的最大值為 4
B． (a +1)2 + (b +1)2 的最小值為 18
C． a + b的最小值為 4
D 1 1 2． + 的最小值為
a +1 b +1 2
13．（2024 金東區校級模擬）已知 a，b R ，若 a2 + b2 - ab = 2 ，則 ab的取值范圍是　 ?。?br/>14．（2024 3b - a春 上城區校級期中）已知實數 a > 0，b < 0，則 的取值范圍是 　?。?br/>a2 + b2
15．（2023 秋 金平區期末）在 4 □ +9 □ = 60的兩個□中，分別填入兩自然數，使它們的倒數和最小，應
分別填上　　和　　．
16．（2023 秋 濠江區校級期末）若實數 a， b ， c 滿足 2a + 2b = 2a+b ， 2a + 2b + 2c = 2a+b+c ，則 c 的最大值
是　　．
三．其他不等式的解法（共 2 小題）
17．（2023 1秋 普陀區校級期末）不等式 < 1的解集為　?。?br/>x
18 2x +1．（2023 秋 吉林期末）不等式 1的解集是　 ?。?br/>x + 2
四．指、對數不等式的解法（共 6 小題）
19．（2024 宣城模擬）若 a < x < 3是不等式 log1 x > -1成立的一個必要不充分條件，則實數 a的取值范圍是
2
(　　 )
A． (- ,0) B． (- ， 0] C．[0 ， 2) D． (2,3)
20．（2024 開封一模） a，b 為實數，則“ a > b > 1”是“ a + lnb > b + lna ”的 (　　 )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
21．（2024 良慶區校級模擬）若集合 A = {x Z | x2 - 2x - 8 0}， B = {x | log2 x > 1}，則 AIB = (　　 )
A．{2 ， 4} B．{1， 4} C．{3， 4} D．{2 ，3， 4}
22．（2023 秋 青浦區期末）用函數的觀點：不等式 4x + log2 x < 1的解集為 　?。?br/>23．（2023 秋 沙坪壩區校級期末）設集合 A = {x |1 ex-1 e}，若關于 x 的不等式 x2 + mx + n 0 的解集為 A．
（1）求函數 f (x) = x2 + mx + n的解析式．
（2）求關于 x 的不等式 f (x) + l 2 > l(3 - 2x) + 2 的解集，其中l R．
24 2023 f (x) 2
x -1 1
．（ 秋 渝中區校級期末）已知函數 = x
2x
， g(x) = log
+1 4
(2 -1) - x．
2
2x -1 1
（1）解不等式 x > - ；2 +1 2
（2）方程 g(x) = log4 af (x) - log4 (2
x -1)(a > 0) 在[log2 3， 2]上有解，求 a的取值范圍？
五．二次函數的性質與圖象（共 3 小題）
25．（2024 春 化州市期中）設函數 f (x) = x2 + mx + n2 ， g(x) = x2 + (m + 4)x + n2 + 2m + 4 ，其中 x R ，若
對任意的 t R ， f (t) ， g(t) 至少有一個為非負值，則實數m 的最大值是 (　　 )
A．1 B． 2 C．2 D． 5
26．（2023 秋 廈門期末）已知函數 f (x) = x2 + 2x + c(c > 0) ，若 f (t) < 0，則 (　　 )
A． f (t -1) > 0 B． f (t +1) < 0 C． f (t - 2) < 0 D． f (t + 2) > 0
27．（2023 秋 廈門期末）已知函數 f (x) = x2 + ax + b ．
（1）若 f (x) < 0的解集為 (-3,1) ，求 a，b ；
（2）若 f （1） = 2， a，b (0, ) 1 4+ ，求 + 的最小值．
a b
六．一元二次不等式及其應用（共 32 小題）
28．（2023 秋 牡丹區校級期末）不等式 (x + 3)2 < 1的解集是 (　　 )
A．{x | x > -2} B．{x | x < -4} C．{x | -4 < x < -2} D．{x | -4 x - 2}
29．（2024 南海區校級模擬）已知 a， b ， c R 且 a 0，則“ ax2 + bx + c > 0 的解集為 {x | x 1}”是
“ a + b + c = 0 ”的 (　　 )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
30．（2023 秋 漣源市期末）已知二次函數 y = -x2 + bx + c 的零點為 -2 和 1，則關于 x 的不等式 x2 + bx - c > 0
的解集為 (　　 )
A． (- ， -1) (2 ， + ) B． (-1,2)
C． (-2,1) D． (- ， -2) (1， + )
31．（2023 秋 石嘴山期末）已知一元二次不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集為 (- ，m) (-1， + )(m < -1)，
4
則b + 的最小值為 (　　 )
a(1- m)
A．1 B．2 C．3 D．4
32．（ 2023 1 1秋 長樂區校級月考）若不等式 ax2 + 2x + c < 0 的解集是 (- ,- )U( ,+ )，則不等式3 2
cx2 - 2x + a 0的解集是 (　　 )
A 1 1 1 1．[- , ] B．[- , ] C．[-2 ，3] D．[-3， 2]
2 3 3 2
33．（2024 龍鳳區校級開學）若關于 x 的不等式 x2 + mx - 4 > 0 在區間[2 ， 4]上有解，則實數m 的取值范圍
為 (　　 )
A． (-3,+ ) B． (0,+ ) C． (- ,0) D． (- ,-3)
34．（2024 廣豐區校級開學）不等式mx2 - ax -1 > 0(m > 0)的解集不可能是 (　　 )
A．{x | x 1 1 3< -1或 x > } B． R C．{x | - < x < } D．{x | x < -3
4 3 2
或 x > 5}
35．（2023 秋 梅州期末）已知不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集為 (-2,1) ，則下列結論正確的是 (　　 )
A． a < 0 B．b < 0 C． c > 0 D． a - b + c < 0
36．（2023 秋 吉林期末）下列說法正確的是 (　　 )
A．命題“$x 0 ，使得 ex x +1”的否定是“"x > 0，都有 ex > x +1”
B 1．“ < 1”是“ a > 1”的必要不充分條件
a
C．若不等式 ax2 + 2x + c > 0 的解集為{x | -1 < x < 2}，則 a + c = 2
D 1．當 x > 1時， 2x + 的最小值為 2 2 + 2
x -1
37．（2023 秋 新化縣期末）已知關于 x 的不等式 (2a + 3m)x2 - (b - 3m)x -1 > 0(a > 0， b > 0)的解集為
( 1- ,-1)U( ,+ ) ，則下列結論正確的是 (　　 )2
A． 2a + b = 1 B． ab 1的最大值為
8
C 1 2． + 的最小值為 4 D 1 1． + 的最小值為3 + 2 2
a b a b
38．（2023 秋 宿州期末）已知關于 x 的不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集為{x | 2 < x < 3}，則下列說法正確的是
(　　 )
A． a > 0
B． a + b + c < 0
C．不等式 cx2 - bx a 1+ < 0 的解集為{x | x < - 或 x 1> - }
2 3
2
D c + 4． 的最小值為 6
a + b
39．（2023 秋 松山區期末）已知不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集為{x | m < x < n}，其中m > 0，則以下選項正
確的有 (　　 )
A． a < 0
B． c > 0
C． cx2 + bx + a 1> 0 的解集為{x | < x 1< }
n m
D cx2 bx a 1 1． + + > 0 的解集為{x | x < 或 x > }
n m
40．（2024 春 浦東新區校級月考）設 a > 0，若關于 x 的不等式 x2 - ax < 0的解集是區間 (0,1) 的真子集，則 a
的取值范圍是 　?。?br/>41．（2023 秋 清河區校級期末）已知關于 x 的不等式 ax2 + bx + c 1> 0 的解集為 (- ， 2) ，那么關于 x 的不等
3
式 cx2 + bx + a < 0 的解集為　　．
42．（2024 重慶模擬）若關于 x 的不等式 0 ax2 + bx + c 2(a > 0) 的解集為{x | -1 x 3}，則 3a + b + 2c的取
值范圍是 　?。?br/>43．（2023 秋 阜南縣期末）解關于 x 的不等式 (x - a)(x -1) 0(a R) ．
44．（2023 秋 南充期末）已知函數 f (x) = x2 - mx +1．
（1）若關于 x 的不等式 f (x) + n -1 0 的解集為[-1， 2]，求實數m ， n的值；
（2）求關于 x 的不等式 f (x) - x + m -1 > 0(m R) 的解集．
45．（2023 秋 阿勒泰地區期末）已知集合 A = {x | x2 - 3x - 4 < 0}， B = {x | a +1 < x < 3a +1}．
（1）當 a = 2時，求 AUB ；
（2）若 AIB = B ，求 a的取值范圍．
46．（2023 秋 金安區校級期末）已知集合 A = {x | -3 x < 0}，集合 B = {x | 2 - x > x2}．
（1）求 AIB ；
（2）若集合C = {x | 2a x a + 2}，且C (AIB)，求實數 a的取值范圍．
47．（2023 秋 沙坪壩區校級期末）若函數 f (x) = ax2 + bx + 4，
（1）若不等式 f (x) 1< 0的解集為 ( ,4) ，求 a，b 的值；
2
（2）當 a = 1時，求 f (x) > 0(b R)的解集．
48．（2023 秋 山西期末）已知關于 x 的不等式 ax2 - 3x + b > 0的解集為{x | x < 1或 x > 2}．
（1）求 a，b 的值；
（2）當 c > 0時，求關于 x 的不等式 cx2 - (ac +1)x +1 < 0 的解集（用 c 表示）．
49．（2023 秋 陽江期末）已知不等式 x2 - (a + 2)x + b 0的解集為{x |1 x 2}．
（1）求實數 a，b 的值；
（2）解關于 x 的不等式： (x - c)(ax - 2) > 0(c 為常數，且 c 2)
50．（2023 秋 雙塔區校級期末）已知關于 x 的不等式 ax2 + 2bx - 3 < 0 的解集為{x | -1 < x < 2}．
（1）求實數 a，b 的值；
（2）解關于 x 的不等式： (ax +1)(-bx + m) > 0 ，其中m 是實數．
51．（2023 秋 廣州期末）設全集為 R ，集合 A = {x | x2 - 5x - 6 > 0}， B = {x | a +1 < x < 2a -1}．
（1）若 a = 4，求 AUB ， AI R B ；
（2）若 ( R A)IB = ，求實數 a的取值范圍．
52．（2023 秋 呼和浩特期末）（1）若關于 x 的不等式 ax2 + 4ax - 3 < 0對"x R 都成立，求 a的取值范圍；
（2）已知二次不等式 ax2 + 4ax - 3 < 0的解集為{x | x1 < x < x2}，且 | x1 - x2 |= 5，求 a的值．
53．（2023 秋 定西期末）已知集合 A = {x | x2 - 2x - 3 < 0}， B = {x | x2 - (2m -1)x - 2m 0}．
（1）當m = 1時，求 AUB ；
（2）若 x A是 x B 的充分不必要條件，求實數m 的取值范圍．
54．（2023 秋 西安區校級期末）已知關于 x 的不等式 2ax2 - 8x - 3a2 < 0的解集為{x | -1 < x < b}．
（1）求實數 a，b 的值；
2 a b（ ）當 x > 0 ， y > 0 ，且滿足 + = 1時，求3x + 2y 的最小值．
x y
55．（2024 春 湖北月考）已知函數 f (x) = x2 + (4 - a)x + a - 4， (a R) ．
（1）解關于 x 的不等式： f (x) 1；
（2）命題“"x (1,+ )， f (x)…0”是真命題，求 a的最大值．
56．（2023 秋 天津期末）函數 f (x) = ax2 + bx +1(a,b R)．
（1）若 f (x) < 0的解集是{x | x < -2 ，或 x > 3}，求不等式 ax2 + bx 1+ > 0的解集；
3
（2）當 a > 0時，求關于 x 的不等式 f (x) + (a - b +1)x > 0的解集．
57．（2023 秋 金安區校級期末）已知函數 f (x) = x2 - (a + b)x + a ．
（1）若關于 x 的不等式 f (x) < 0的解集為 (1,2)，求 a，b 的值；
（2）當b = 1時，解關于 x 的不等式 f (x) > 0 ．
58．（2023 秋 三明期末）集合 A = {x | ax2 - 3x - 4…0}， B = {x | x…b 或 x -1}，且 A = B．
（1）求 a，b 的值；
（2）若集合 P = {x | m +1 < x < 2m}，且“ x P ”是“ x R A ”的充分不必要條件，求實數m 的取值范圍．
59．（2023 秋 德慶縣校級期末）已知函數 f (x) = ax2 - (2a +1)x + c ，且 f (0) = 2．
（1）若 f (x) < 0的解集為{x | 2 < x f (x)< 8}，求函數 y = 的值域；
x
（2）當 a > 0時，解不等式 f (x) < 0．
七．一元二次方程的根的分布與系數的關系（共 1 小題）
60．（2023 秋 青羊區校級期末）方程 x2 + (m - 2)x + 5 - m = 0的兩根都大于 2，則m 的取值范圍是 (　　 )
A． (-5， -4] B． (- ， -4]
C． (- ， -2] D． (- ， -5) (-5， -4]易錯 02 不等式（4 個易錯點錯因分析與分類講解+7 個易錯核
心題型 60 題強化訓練）
易錯點錯因分析與分類講解
易錯點 1 忽視不等式中的等號而致誤
1. [江蘇鎮江一中等三校 2023質檢]（多選）下列命題是真命題的為（ ）
A. 2若ac2 < bc ,則a < b 2 2 B. 若a,b R,則a + b > 2 a - b -1
b2 a2
C. 若 3 a > 3 b ,則a > b D. 若a > b > 0,則 + > a + b
a b
特別提醒：在判斷不等式是否成立時，需要考慮等號是否成立，此題的 B 選項易錯之處在于忽略等號也能
成立而致誤.
1
【解析】對于 A ，若 ac2 < bc2 , 2 2，則 c 0 ，且 c > 0 ，兩邊同乘 c2 ，可得
a < b ，故 A 正確；
對于 B ，若 a =1，b = -1，則 a2 + b2 = 2 a - b -1 ，故 B 錯誤；
1
對于C ，根據函數 y = x3 在 R 上為增函數可知，若 3 a > 3 b ，則 a > b ，故C 正確；
b2 a2 b2 a2
對于 D ， + - a + b = - a ÷ + - ba b a b ÷è è
b2 - a2 a2 - b2
= +
a b
b - a b + a a - b b + a
= +
a b
= b - a b + a 1 1 -

a b ֏
b a 2- b + a
=
ab
b - a 2 b + a b2 a2
因為 a > b > 0 ，所以 > 0 ，即 + > a + b ，故選 D
ab a b
【答案】 ACD
易錯點 2 忽略基本不等式成立的條件致誤
2. [廣東廣州 2023階段練習]（多選）下列函數中最小值為 8 的是（ ）
A. y = ln x 16+ B. y = sin x 16+
ln x sin x
2
x 2-x D. y x + 25C. y = 4 + 4 =
x2 + 9
特別提醒：利用基本不等式求最值時，要注意必須滿足的三個條件：“一正、二定、三相等".
（1）“一正”是求最值的各項必須為正數；
（2）“二定”是含變量的各項的和或積必須是定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號，則這個值就不是
所求的最值，這也是最容易發生錯誤的地方.
【解析】對于 A ， y = ln x 16 16+ 2 ln x × = 8，當且僅當 ln x 16= 即 x = e4 -4或 x = e 時
ln x ln x ln x
取等號，故 A 正確；
對于 B ， y = sin x 16 2 sin x 16 16+ × = 8，當且僅當 sin x = ，即 sin x = ±4時取等
sin x sin x sin x
號，又 sin x = ±4無實根，故不能取等號，故 B 錯誤；
16
對于C ， y = 4x 42-x
16 16
+ = 4x + 2 4x × = 8 x
x x 當且僅當 4 =4 4 4x
，即 x =1時取等號，故C 正確；
2
D y x + 25 16 16 16對于 ， = = x2 + 9 + 2 x2 + 9 + = 8 2，當且僅當 x + 9 = ，
x2 + 9 x2 + 9 x2 + 9 x2 + 9
即 x = ± 7 時取等號，故 D 正確.
【答案】 ACD
3. [陜西咸陽 2022二模]若 x > 0, y > 0 且 x + y = 2 ，則下列結論中正確的是（）
A. x2 + y2的最小值是1
B. xy 1的最大值是
4
C. 2 1+ 的最小值是4 2
x y
D. x + y的最大值是2
特別提醒：利用基本不等式求最值時，要注意必須滿足的三個條件：“一正、二定、三相等”.
（1）“一正”就是各項必須為正數
（2）“二定”就是含變量的各項的和或積必須是定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號，則這個定值就不
是所求的最值，這也是最容易發生錯誤的地方.
【解析】
2
2
對于 A ，Q x + y2 = x + y 2 x + y- 2xy = 4 - 2xy 4 - 2 2 ÷ = 2 （當且僅當 x = y =1時取等è
號），\ x2 + y2 = 2 ， A 錯誤max
x
2
+ y
對于 B ，Q xy ÷ =1（當且僅當 x = y =1取等號），\ xy =1max ， B 錯誤è 2
C Q 2 1 1 2 1

對于 ， + = + ÷ x + y
1 3 2y y 1= + +

÷ 3 + 2
2y y 3 + 2 2
× ÷÷ = （當且x y 2 è x y 2 è x x 2 è x x 2
2y y
僅當 = ，即 x = 4 - 2 2, y = 2 2 2
2 1 3+ 2 2
- 取等號），\ + = ，C 錯誤；
x x x y ֏ min 2
對于 D ，Q x + y 2 = x + y + 2 xy = 2 + 2 xy 2 + x + y = 4（當且僅當 x = y =1取等號），
\ x + y = 2 D 正確，故選 D .
min
易錯點 3 忽視對二次項系數的分類討論致誤
4. [安徽六安 2023第五次質檢]“-1 < k < 0”是“關于 x 的不等式 kx2 + 2kx - k + 2 < 0恒成立”的
（）
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
特別提醒：本題的易錯點是在解決含參的一元二次不等式恒成立問題時，忽視對二次項系數等于 0 這種特
殊情況的討論，不能認為它就是一元二次不等式直接進行求解.
2
【 解 析 】 當 k = 0 時 ， -2 < 0, 恒 成 立 ， 當 k 0時 ， kx + 2kx - k + 2 < 0恒 成 立 ， 得
ì k < 0,
í 2 解 得 -1 < k < 0， 所 以 當 -1 < k 0時 ， 關 于 x 的 不 等 式
D = 4k + 4k k + 2 < 0,
kx2 + 2kx - k + 2 < 0 2恒成立，所以“-1 < k < 0”是"關于 x 的不等式 kx + 2kx - k + 2 < 0恒成立
"的充分不必要條件.故選 A .
【答案】 A
2
5. [河南中原名校 2022 第二次聯考]已知命題 p：$x R,ax - ax +1< 0 ，若命題 p 是假命題，則
實數 a 的取值范圍為 。
特別提醒：本題的易錯點是在解決一元二次不等式恒成立問題時，忽視二次項系數等于 0 這種特殊情況的
討論.不能默認為它就是一元二次不等式直接進行求解.
【解析】當 a = 0 時，1< 0命題 p 是假命題，符合題意；當 a 0時，若命題 p 是假命題，則
2 ì a > 0,ax - ax +1 0恒成立，則 í ，解得0 < a 4 .綜上可得實數 a2 的取值范圍為 0,4 .
D = a - 4a 0,
易錯點 4 要注意反比例函數的定義域
6.[山東 2022第二次聯合檢測] m n已知非零實數m, n滿足 e > e ，則下列關系式一定成立的是（）
A. 1 1< B. ln m2 +1 > ln n2 +1 C. m 1+ > n 1+ D. m m > n n
m n m n
1 1
特別提醒：本題容易錯解 m > n ，得到 首先應該注意函數的定義域，看兩個變量是不是在一個區間內，再做判斷.
m n
【解析】因為 e > e ，所以m > n .
1 1
取m =1,n = -2，得 > ，故選項 A 不正確.
m n
取m =1,n = -2 m2，得 +1 < n2 +1，所以 ln m2 +1 < ln n2 +1 ，故選項 B 不正確
1 1 1 1
取m = ,n = ，得m + < n + ，故選項C 不正確
2 3 m n
當m > n > 0 m2 > n2 m m - n n = m2 - n2 > 0 m m > n n n < m < 0 m2 < n2時， 所以 ，所以 ；當 時 ，
所 以 m m - n n = -m2 - -n2 = n2 - m2 > 0 ； 所 以 m m > n n ； 當 m > 0 > n 時 ，
m m > 0 > n n ，所以m m > n n ，綜上， D 選項正確.故選 D
【易錯核心題型強化訓練】
一．不等關系與不等式（共 4 小題）
1．（2023 秋 揭西縣期末）b 克糖水中含 a克糖 (b > a > 0) ，若再加入m 克糖 (m > 0)，則糖水變甜了．請根
據此事實提煉一個不等式 (　　 )
A a a + m B a a + m a a - m． < ． > C． < D a a． <
b b + m b b + m b b - m b b + m
【分析】 bg 糖水中有 ag 糖 (b > a > 0) ，若再添mg 糖 (m > 0)，濃度發生了變化，只要分別計算出添糖前后
的濃度進行比較即得．
【解答】解：Qbg 糖水中有 ag 糖，
a
糖水的濃度為： ；
b
bg 糖水中有 ag 糖 (b > a > 0) ，若再添mg 糖 (m > 0)，
a + m
則糖水的濃度為： ；
b + m
又糖水變甜了，說明濃度變大了，
a a + m
\ <
b b + m
故選： A．
【點評】本小題主要考查不等式、不等式的應用等基礎知識，考查運算理解能力，建模能力、化歸與轉化
思想．屬于基礎題．
2．（2023 c秋 興文縣校級期末）設 a…b…c，且 1 是一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的一個實根，則 的取值范
a
圍為 (　　 )
A．[-2 ， 0] B．[ 1- ， 0] C 1．[-2 ， - ] D．[ 1-1， - ]
2 2 2
【分析】利用 1 是一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的一個實根，得到 a + b + c = 0 ，得 b = -a - c ，利用條件不
等式進行求解即可．
【解答】解：Q1是一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的一個實根，
\a + b + c = 0，得b = -a - c ，
\a…b…c ，
即 a… - a - c…c ，
ìa… - a - c ì2a… - c
即 í 得 ，
-a - c…c
í
-a…2c
ì2… c- ì c … - 2
a > 0 a
a c 1
若 ，則不等式等價為 í ，即 í 得 -2 - ，
1… 2c c 1 a 2- -
a a 2
ì c c
2 -
ì
- 2
a < 0 a a若 ，則不等式等價為 í ，即 ，此時不等式無解，
1 2c
í c
- … 1-
a a 2
c c 1
綜上 的取值范圍為 -2 - ，
a a 2
故選：C ．
【點評】本題主要考查不等式的應用，結合根與方程的關系得到b = -a - c ，然后代入不等式進行求解是解
決本題的關鍵．
3．（2023 秋 紹興期末）已知實數 x ， y ， z 滿足3x = 5y - 2y ，5z = 3y + 2y ，且 x < y ，則 (　　 )
A． z > y B． 0 < y < 1 C． x + z > 2y D． x + z < 2y
【分析】由 5z = 3y + 2y 得 5z- y 3= ( ) y 2+ ( ) y ，判斷 g(y) = (3) y (2+ ) y 是減函數，得出 5z- y > 50 ，即 z > y ，判
5 5 5 5
斷選項 A；
3x 5y 2y 3x- y (5) y (2由 = - 得 = - ) y ，判斷 f (y) 5= ( ) y - (2) y 是增函數，得出 0 < y < 1，判斷選項 B ；
3 3 3 3
由3x- y × 3z- y < 3x- y × 5z- y < 1，得出 x + z < 2y ，判斷選項C 、 D 即可．
【解答】解：由 5z = 3y + 2y ，得 5z- y (3= ) y + (2) y 3 2，因為 g(y) = ( ) y + ( ) y 在 (0,1) 上單調遞減，且 g （1）
5 5 5 5
= 1，
所以5z- y > 1 = 50 ，所以 z - y > 0，即 z > y ，選項 A正確；
因為3x = 5y - 2y ，所以3x- y = (5) y (2- ) y ，因為 x < y ，所以 x - y < 0 ，所以3x- y (0,1) ，
3 3
又 f (y) (5= ) y - (2) y 在 (0,+ )上單調遞增，且 f (0) = 0， f （1） = 1，所以 0 < y < 1，選項 B 正確；
3 3
因為3x- y × 5z- y = [(5) y - (2) y ][(3) y (2+ ) y ] 2= 1+ ( ) y[(5) y - (2) y -1] < 1，
3 3 5 5 5 3 3
所以3x- y × 3z- y < 3x- y × 5z- y < 1，所以 x + z - 2y < 0，即 x + z < 2y ，選項 D 正確，C 錯誤．
故選： ABD ．
【點評】本題考查了不等式的性質應用問題，也考查了構造函數判斷函數的單調性問題，是中檔題．
4．（2023 秋 阜寧縣期末）已知 a > 0，b > 0 ，且 a + b = 4，則下列結論正確的是 (　　 )
A ab 4 B 1 1． ． + …1 C． 2a + 2b…16 D． a2 + b2 > 8
a b
1 1 1 1 1
【分析】由基本不等式及其轉化可直接判斷選項 ACD ，化簡 + = ( + )(a b) 1 (a b+ = + + 2) ，從而判
a b 4 a b 4 b a
斷選項 B ．
【解答】解：Qa > 0，b > 0 ，且 a + b = 4，
\ab (a + b)2 = 4 ，（當且僅當 a = b = 2 時，等號成立），
2
故 A正確；
1 1 1
+ = (1 1+ )(a + b)
a b 4 a b
1 (a b 2)… 1= + + 4 = 1，
4 b a 4
a b
（當且僅當 = ，即 a = b = 2 時，等號成立），
b a
故 B 正確；
2a + 2b…2 2a2b = 2 24 = 8，
（當且僅當 2a = 2b ，即 a = b = 2 時，等號成立），
故C 錯誤；
a2 + b2…2 (a + b )2 = 8，
2
（當且僅當 a = b = 2 時，等號成立），
故 D 錯誤；
故選： AB ．
【點評】本題考查了基本不等式及其變形的應用，考查了轉化思想與整體思想的應用，是中檔題．
二．基本不等式及其應用（共 12 小題）
5．（2024 9 博野縣校級開學）若 x > 1，則函數 y = x + 的最小值為 (　　 )
x -1
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】將 x 湊成 x -1，然后利用基本不等式求最值．
【解答】解：因為 x > 1，故 x -1 > 0 ，
x 9所以 + = x -1 9 9+ +1…2 (x -1) × +1 = 7，當且僅當 x = 4時取等號．
x -1 x -1 (x -1)
故選： B ．
【點評】本題考查基本不等式的應用，屬于基礎題．
6．（2023 1 4 y秋 五華區校級期末）若兩個正實數 x ， y 滿足 + = 2，且不等式 x + < m2 - m有解，則實數m
x y 4
的取值范圍是 (　　 )
A． (-1,2) B． (- ， -2) (1， + )
C． (-2,1) D． (- ， -1) (2 ， + )
y y
【分析】將不等式 x + < m2 - m有解轉化為m2 - m > (x + )min 即可，利用 1 的代換結合基本不等式進行求4 4
解即可．
x y y【解答】解：若不等式 + < m2 - m有解，即m2 - m > (x + )
4 4 min
即可，
Q 1 4+ = 2 1 2，\ + = 1，
x y 2x y
x y (x y )( 1 2) 1 2 2x y …1 2 2x y 1 2 1 1則 + = + + = + + + + × = + = 1+ 2 = 1+1 = 2 ，
4 4 2x y 2 4 y 8x y 8x 4 2
2x y
當且僅當 = ，即 y2 = 16x2 ，即 y = 4x時取等號，此時 x = 1， y = 4 ，
y 8x
即 (x y+ )
4 min
= 2 ，
則由m2 - m > 2 得m2 - m - 2 > 0，即 (m +1)(m - 2) > 0 ，
得m > 2或m < -1，
即實數m 的取值范圍是 (- ， -1) (2 ， + ) ，
故選： D ．
【點評】本題主要考查基本不等式的應用，利用不等式有解轉化為最值問題是解決本題的關鍵．
7．（2024 汕頭二模）若實數 a，b 滿足 0 < a < b，且 a + b = 1．則下列四個數中最大的是 (　　 )
A 1． B． a2 + b2 C． 2ab D． a
2
【分析】取 a = 0.4 ，b = 0.6，再分別求出 a2 + b2 ， 2ab 的值，由此能夠找到四個數中最大的數．
【解答】解：取 a = 0.4 ，b = 0.6，
則 a2 + b2 = 0.16 + 0.36 = 0.52，
2ab = 2 0.4 0.6 = 0.48，
故選： B ．
【點評】本題考查基本不等式的性質和應用，解題時要認真審題，認真解答．
8．（2024 揚中市校級開學）已知正數 x ， y 滿足 x + y = 4，則下列選項不正確的是 (　　 )
A 1 1． + 的最小值是 4 B． xy 的最大值是 4
x y
C． x2 + y2 25的最小值是 8 D． x(y +1) 的最大值是
2
【分析】由基本不等式依次對 4 個選項判斷即可．
1 1
【解答】解：對于選項 A，當 x = 2， y = 2 時， + = 1，故不正確；
x y
x + y
對于選項 B ，由基本不等式知 xy ( )2 = 4 ，
2
當且僅當 x = y = 2 時，等號成立，故正確；
對于選項C ， x2 + y2…2( x + y )2 = 8，
2
當且僅當 x = y = 2 時，等號成立，故正確；
對于選項 D ，Q x + y = 4 ，\ x + y +1 = 5，
\ x(y +1) ( x + y +1)2 25= ，
2 4
當且僅當 x = y +1 5= 時，等號成立，故不正確；
2
故選： AD ．
【點評】本題考查了基本不等式的應用，屬于基礎題．
9．（2023 秋 懷仁市期末）下列命題正確的是 (　　 )
A a b 0 m 0 a a + m．若 > > ， > ，則 <
b b + m
B 1 1 4．若正數 a、b 滿足 a + b = 1，則 + …
a +1 b +1 3
C．若 x > 0 ，則 2 4- 3x - 的最大值是 2 - 4 3
x
D．若 x = (x - 2)y ， x > 0 ， y > 0 ，則 x + 2y 的最小值是 9
A a a + m【分析】對于選項 ，作差法比較 與 的大小即可；
b b + m
對于選項 B ，化簡 a 1 b 1 3 1 1 1 (b +1 a +1+ + + = ， + = × + + 2)，從而利用基本不等式判斷；
a +1 b +1 3 a +1 b +1
對于選項C ，利用基本不等式判斷即可；
1 2 x 4y
對于選項 D ，化簡得 + = 1， x + 2y = + + 4 ，利用基本不等式判斷即可．
y x y x
【解答】解：對于選項 A，
a a + m (a - b)m
- = ，
b b + m b(b + m)
Qa > b > 0，m > 0，
a a + m
\ - > 0，
b b + m
a a + m
\ > ，
b b + m
故命題不正確；
對于選項 B ，
Qa + b = 1，
\a +1+ b +1 = 3 ，
1 1
\ +
a +1 b +1
1 1 1
= × ( + ) × (a +1+ b +1)
3 a +1 b +1
1 b +1 a +1
= × ( + + 2)
3 a +1 b +1
… 4 ，
3
b +1 a +1 1
當且僅當 = ，即 a = b = 時，等號成立；
a +1 b +1 2
故命題正確；
對于選項C ，
Q3x 4 4+ …2 3x × = 4 3 ，
x x
當且僅當3x 4 x 2 3= ，即 = 時，等號成立；
x 3
\ 2 - 3x 4- 2 - 4 3 ，
x
2 3x 4故 - - 的最大值是 2 - 4 3 ，
x
故命題正確；
對于選項 D ，
Q x = (x - 2)y ，
\ x + 2y = xy ，
1 2
\ + = 1，
y x
\ x + 2y = (x 1 2+ 2y)( + )
y x
x 4y
= + + 4
y x
…2 x 4y× + 4 = 8，
y x
x 4y
當且僅當 = ，即 x = 4， y = 2 時，等號成立；
y x
故 x + 2y 的最小值是 8，
故命題不正確；
故選： BC ．
【點評】本題考查了基本不等式的應用及作差法的應用，屬于中檔題．
10．（2024 豐城市校級開學）下列說法正確的為 ( )
A．若 x > 0 ，則 x(2 - x) 最大值為 1
B y 2(x
2 + 4)
．函數 = 的最小值為 4
x2 + 3
C． | x 1+ |…2
x
D 4 4 4 4．已知 a > 3 時， a + …2 a × ，當且僅當 a = 即 a = 4時， a + 取得最小值 8
a - 3 a - 3 a - 3 a - 3
【分析】由基本不等式的性質依次對 4 個選項判斷即可．
x + 2 - x
【解答】解：對于選項 A， x(2 - x) ( )2 = 1，
2
當且僅當 x = 2 - x，即 x = 1時，等號成立，故正確；
2(x2 + 4) 2
對于選項 B ， y = = 2 x2 + 3 + …4，
x2 + 3 x2 + 3
但方程 2 x2 + 3 2= 無解，
x2 + 3
故 2 x2 2+ 3 + > 4 ，故錯誤；
x2 + 3
1
對于選項C ，Q x 與 同號，
x
\| x 1 1+ |=| x | + | |…2 ，
x x
當且僅當 x = 1或 x = -1時，等號成立，故正確；
4
對于選項 D ，Qa × 不是定值，
a - 3
故不能利用基本不等式求最值，故錯誤；
故選： AC ．
【點評】本題考查了基本不等式的性質應用，屬于中檔題．
11．（2024 a + b 岳麓區校級一模）設 a， b 為兩個正數，定義 a， b 的算術平均數為 A(a,b) = ，幾何平
2
均數為G(a,b) = ab ，則有：G(a ，b) A(a ，b) ，這是我們熟知的基本不等式．上個世紀五十年代，美
D H L (a,b) a
p + b p
國數學家 ． ． Lehmer 提出了“ Lehmer 均值”，即 p = a p-1 p-1
，其中 p 為有理數．下列關
+ b
系正確的是 (　　 )
A． L0.5 (a ，b) A(a ，b) B． L0 (a ，b)…G(a，b)
C． L2 (a ，b)…L1(a,b) D． Ln+1(a，b) Ln (a,b)
【分析】根據基本不等式比較大小可判斷四個選項．
a + b a + b
【解答】解：對于 A， L0.5 (a,b) = 1 1 = ab = A(a,b)，當且僅當 a = b 時，等號成立，所以選
+ 2
a b
項 A正確；
對于 B ， L (a,b) 2 2ab 2ab0 = 1 1 = = ab = G(a,b) ，當且僅當 a = b 時，等號成立，所以選項 B 錯誤；
+ a + b 2 ab
a b
C L (a,b) a
2 + b2 a2 + b2 + a2 + b2 a2 2… + b + 2ab (a + b)
2 a + b
對于 ， 2 = = = = = L1(a,b) ，當且僅當 a = b 時，a + b 2(a + b) 2(a + b) 2(a + b) 2
等號成立，所以選項C 正確；
D a + b對于 ，當 n = 1時，由C 可知， L2 (a,b)… = L1(a,b) ，所以選項 D 錯誤．2
故選： AC ．
【點評】本題考查了利用基本不等式比較大小的應用問題，是基礎題．
12．（2023 秋 灌南縣校級期末）已知 a，b 為正實數，且 ab + a + b = 8，則 (　　 )
A． ab的最大值為 4
B． (a +1)2 + (b +1)2 的最小值為 18
C． a + b的最小值為 4
D 1 1 2． + 的最小值為
a +1 b +1 2
【分析】根據題意，結合基本不等式及其變形，逐項判定，即可求解．
【解答】解：對于 A，因為8 = ab + a + b…ab + 2 ab ，當且僅當 a = b = 2 時取等號，
解得 -4 ab 2 ，即 ab 4 ，故 ab的最大值為 4，所以 A正確；
對于 B ， (a +1)2 + (b +1)2…2(a +1) × (b +1) = 2(ab + a + b +1) = 18，
當且僅當 a +1 = b +1，即 a = b = 2 時取等號，此時 (a +1)2 + (b +1)2 取得最小值 18，所以 B 正確；
對于C ，由 a + b = 8 - ab…8 - (a + b)2 ，當且僅當 a = b = 2 時，等號成立，
2
可得 (a + b)2 + 4(a + b) - 32…0 ，解得 a + b…4 ，即 a + b的最小值為 4，所以C 正確；
D 1 1 1 1 1 2對于 ， + …2 × = 2 = ，
a +1 b +1 a +1 b +1 ab + a + b +1 3
當且僅當 a +1 = b +1，即 a 1 1 2= b = 2 時取等號，此時 + 取得最小值 ，所以 D 錯誤．
a +1 b +1 3
故選： ABC ．
【點評】本題主要考查基本不等式的應用，考查計算能力，屬于中檔題也是易錯題．
13．（2024 2 金東區校級模擬）已知 a，b R ，若 a2 + b2 - ab = 2 ，則 ab的取值范圍是　[- ， 2]?。?br/>3
【分析】靈活應用基本不等式 a2 + b2…2ab，即可求出 ab的取值范圍．
【解答】解：當 ab > 0時，
Qa ，b R ，且 a2 + b2 - ab = 2 ，
\a2 + b2 = ab + 2 ，
又 a2 + b2…2ab當且僅當 a = b 時“ = ”成立；
\ab + 2…2ab ，
\ab 2，當且僅當 a = b = ± 2 時“ = ”成立；
即 0 < ab 2；
當 ab = 0時，不妨設 a = 0，則b = ± 2 ，滿足題意；
當 ab < 0時，
又Qa2 + b2… - 2ab，
\ab + 2… - 2ab，
\-3ab 2，
\ab… 2- ，
3
a 6 6 6 6當且僅當 = 、b = - ，或 a = - 、b = 時“ = ”成立；
3 3 3 3
即 0 > ab… 2- ；
3
2
綜上， ab的取值范圍是[- ， 2]．
3
[ 2故答案為： - ， 2]．
3
【點評】本題考查了基本不等式的應用問題，解題時應注意不等式成立的條件是什么．
14．（2024 3b - a春 上城區校級期中）已知實數 a > 0，b < 0，則 的取值范圍是 　[-2 ， -1) ?。?br/>a2 + b2
b
3b - a 3 × -1a b x f (x) 3x -1【分析】化 = ，設 = ，構造函數 = ， x (- ,0) ，利用導數判斷 f (x) 的單
a2 + b2 a 21+ (b )2 1+ x
a
調性，求出最值，即可求出 f (x) 的取值范圍．
3b - a 3
b
× -1
【解答】解：因為實數 a > 0，b < 0，所以 = a ，
a2 + b2 1 (b+ )2
a
b x x 0 f (x) 3x -1設 = ，則 < ，所以函數 = ，其中 x (- ,0) ，
a 1+ x2
3 1 x2 ( 3x 1) x× + - -
2 3 + x
求導數 f (x) = 1+ x
1+ x2
= 3 ，
(1+ x2 )2
令 f (x) = 0 ，解得 x = - 3 ，
所以 x (- ,- 3)時， f (x) < 0 ， f (x) 單調遞減，
x (- 3 ， 0) 時， f (x) > 0 ， f (x) 單調遞增，
f (x) f ( 3) 3 (- 3) -1所以 在 x = - 3 時取得最小值為 - = = -2，
1+ 3
3 1-
又因為 x 0時 f (x) -1， x - 時， f (x) = - x - 3 ，
(1)2 +1
x
所以 f (x) 的取值范圍是[-2 ， -1) ．
故答案為：[-2 ， -1) ．
【點評】本題考查了函數的性質與應用問題，也考查了轉化思想，是中檔題．
15．（2023 秋 金平區期末）在 4 □ +9 □ = 60的兩個□中，分別填入兩自然數，使它們的倒數和最小，應
分別填上　6　和　　．
【分析】本題運用均值不等式來解決：設兩數為 x 、 y ，即 4x + 9y = 60 ，然后利用基本不等式求出 x 與 y
的倒數和的最小值，即可得到此時 x 與 y 滿足的關系式，與 4x + 9y = 60 聯立即可求出此時 x 與 y 的值．
【解答】解：設兩數為 x 、 y ，即 4x + 9y = 60 ，
1 1 (1 1 ) (4x + 9y) 1 4x 9y又 + = + = (13 + + )… 1 (13 +12) 5= ，
x y x y 60 60 y x 60 12
4x 9y
當且僅當 = ，且 4x + 9y = 60 ，即 x = 6 且 y = 4 時成立，
y x
故答案為：6；4．
【點評】此題考查學生靈活運用基本不等式求函數的最小值及掌握取最小值時的條件，是一道中檔題．學
生做題時一定注意 4x + 9y = 60 這個條件的利用與靈活變形．
16．（2023 秋 濠江區校級期末）若實數 a，b ， c 滿足 2a + 2b = 2a+b ， 2a + 2b + 2c = 2a+b+c ，則 c 的最大值是　
2 - log2 3　．
a+b
【分析】由基本不等式得 2a + 2b…2 2a2b = 2 2 2 ，可求出 2a+b 的范圍，
再由 2a + 2b + 2c = 2a+b+c = 2a+b2 c = 2a+b + 2c ， 2c 可用 2a+b 表達，利用不等式的性質求范圍即可．
a+b a+b
【解答】解：由基本不等式得 2a + 2b…2 2a2b = 2 2 2 ，即 2a+b…2 2a2b = 2 2 2 ，所以 2a+b…4 ，
t 1
令 t = 2a+b ，由 2a + 2b + 2c = 2a+b+c 可得 2a+b + 2c = 2a+b2 c ，所以 2c = = 1+
t -1 t -1
因為 t…4 t 4 4 4，所以1 < ，即1 < 2c ，所以 0 < c log2 = 2 - log 3t -1 3 3 3 2
故答案為： 2 - log2 3
【點評】本題考查指數的運算法則，基本不等式求最值、不等式的性質等問題，綜合性較強．
三．其他不等式的解法（共 2 小題）
17．（2023 1秋 普陀區校級期末）不等式 < 1的解集為　 (1， + ) (- ， 0) ?。?br/>x
【分析】首先移項通分，等價變形為整式不等式解之
x -1
【解答】解：原不等式等價于 > 0 ，即 x(x -1) > 0 ，
x
所以不等式的解集為 (1， + ) (- ， 0) ；
故答案為： (1， + ) (- ， 0)
【點評】本題考查了分式不等式的解法；關鍵是正確轉化為整式不等式解之．
18．（2023 2x +1秋 吉林期末）不等式 1的解集是　 (-2，1]?。?br/>x + 2
【分析】先化簡分式不等式，再進行等價轉化為一元二次不等式組，由一元二次不等式的解法求出解集．
2x +1
【解答】解：由 1 2x +1得 -1 0 x -1，則 0 ，
x + 2 x + 2 x + 2
ì(x + 2)(x -1) 0
所以 í ，解得 -2 < x 1，
x + 2 0
即不等式的解集是 (-2，1]，
故答案為： (-2，1]．
【點評】本題考查了分式不等式的化簡及轉化，一元二次不等式的解法，以及轉化思想，屬于中檔題．
四．指、對數不等式的解法（共 6 小題）
19．（2024 宣城模擬）若 a < x < 3是不等式 log1 x > -1成立的一個必要不充分條件，則實數 a的取值范圍是
2
(　　 )
A． (- ,0) B． (- ， 0] C．[0 ， 2) D． (2,3)
【分析】求出不等式 log1 x > -1的解集，根據必要不充分條件即可寫出實數 a的取值范圍．
2
【解答】解：不等式 log1 x > -1可化為 log1 x > log 1 2，解得 0 < x < 2，
2 2 2
若 a < x < 3是不等式 log1 x > -1成立的一個必要不充分條件，則實數 a的取值范圍是 (- ， 0]．
2
故選： B ．
【點評】本題考查了對數不等式的解法與應用問題，是基礎題．
20．（2024 開封一模） a，b 為實數，則“ a > b > 1”是“ a + lnb > b + lna ”的 (　　 )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【分析】令 f (x) = x - lnx， x (0,+ ) ，利用導數說明函數的單調性，再結合充分條件、必要條件的定義判
斷即可．
【解答】解：令 f (x) = x - lnx， x (0,+ ) ，
f (x) 1 1 x -1則 = - = ，所以當 0 < x < 1時 f (x) < 0 ，當 x > 1時 f (x) > 0 ，
x x
即 f (x) 在 (0,1) 上單調遞減，在 (1,+ )上單調遞增，
所以當 a > b > 1時可以得到 f （a） > f （b），即 a - lna > b - lnb成立，
即 a + lnb > b + lna 成立，所以充分性成立，
當 0 < a < b < 1時 f （a） > f （b），即 a - lna > b - lnb成立，即 a + lnb > b + lna 成立，
所以由 a + lnb > b + lna 推不出 a > b > 1，所以必要性不成立，
所以“ a > b > 1”是“ a + lnb > b + lna ”的充分不必要條件．
故選： A．
【點評】本題考查了利用導數判斷函數的單調性，以及充分與必要條件的判斷問題，是中檔題．
21．（2024 良慶區校級模擬）若集合 A = {x Z | x2 - 2x - 8 0}， B = {x | log2 x > 1}，則 AIB = (　　 )
A．{2 ， 4} B．{1， 4} C．{3， 4} D．{2 ，3， 4}
【分析】利用一元二次不等式的解法和對數的單調性解不等式化簡集合，再求交集即可．
【解答】解：由 x2 - 2x - 8 0，解得 -2 x 4 ，
又因為 x Z ，所以 A = {-2， -1，0，1，2，3， 4}，
又由 log2 x > 1，解得 x > 2，所以 B = {x | x > 2}，
所以 AIB = {3， 4}．
故選：C ．
【點評】本題考查了一元二次不等式的解法和對數的單調性應用問題，是基礎題．
22．（2023 1秋 青浦區期末）用函數的觀點：不等式 4x + log2 x < 1的解集為 　 (0, ) 　．2
【分析】根據函數 f (x) = 4x + log x 12 是定義域 (0,+ )的單調增函數，且 f ( ) = 1，由此求出不等式的解集．2
1
【解答】解：因為函數 f (x) = 4x + log2 x ，是定義域 (0,
1
+ )的單調增函數，且 f ( ) = 42 1+ log
2 2
= 1，
2
所以不等式 4x + log2 x < 1
1
的解集為 (0, ) ．
2
1
故答案為： (0, ) ．
2
【點評】本題考查了利用函數的單調性求不等式解集的問題，是基礎題．
23．（2023 秋 沙坪壩區校級期末）設集合 A = {x |1 ex-1 e}，若關于 x 的不等式 x2 + mx + n 0 的解集為 A．
（1）求函數 f (x) = x2 + mx + n的解析式．
（2）求關于 x 的不等式 f (x) + l 2 > l(3 - 2x) + 2 的解集，其中l R．
【分析】（1）化簡集合 A，根據不等式 x2 + mx + n 0 的解集為 A求出m 、 n即可．
（2）不等式可化為 x2 + (2l - 3)x + l(l - 3) > 0 ，解一元二次不等式即可．
【解答】解：（1）集合 A = {x |1 ex-1 e} = {x | 0 x -1 1} = {x |1 x 2}，
因為不等式 x2 + mx + n 0 的解集為{x |1 x 2}，
所以 1 和 2 是方程 x2 + mx + n = 0的解，
ì1+ 2 = -m
由根與系數的關系知， í ，
1 2 = n
解得m = -3， n = 2，
所以 f (x) = x2 - 3x + 2 ．
（2）不等式 f (x) + l 2 > l(3 - 2x) + 2 可化為 x2 - 3x + 2 + l 2 > l(3 - 2x) + 2 ，
即 x2 + (2l - 3)x + l(l - 3) > 0 ，
即 (x + l)[x + (l - 3)] > 0，
解得 x < -l 或 x > -l + 3，
所以不等式的解集為{x | x < -l 或 x > -l + 3}．
【點評】本題考查了一元二次不等式的解法與應用問題，也考查了指數不等式的解法問題，是基礎題．
2x24．（2023 -1秋 渝中區校級期末）已知函數 f (x) = x ， g(x) = log (2
x -1) 1- x．
2 +1 4 2
2x -1 1
（1）解不等式 x > - ；2 +1 2
（2）方程 g(x) = log af (x) - log x4 4 (2 -1)(a > 0) 在[log2 3， 2]上有解，求 a的取值范圍？
t -1 1
【分析】（1）設 2x = t ，不等式化為 > - ，求出 t 的取值范圍，再解指數不等式即可；
t +1 2
x x
（2）化簡函數 g(x) (2 +1)(2 -1)，由方程求出 a的表達式，根據題意得出 a =
2x
在 [log2 3， 2]上有解，利用
換元法即可求出 a的取值范圍．
【解答】解：（1）設 2x = t ，則 t > 0 ，
2x -1 1
所以不等式 x > -
t -1 1
，可化為 > - ，
2 +1 2 t +1 2
即 2(t -1) > -(t +1)，解得 t 1> ，
3
1 1
即 2x > ，解得 x > log2 ，即 x > - log 3，3 3 2
所以不等式的解集為 (- log2 3， + ) ；
x
（2）函數 g(x) = log4 (2
x -1) - log 2x log 2 -14 = 4 x ，2
由 log4 af (x) - log4 (2
x -1) = log a4 x ，2 +1
2x -1 a (2x x
得 log +1)(2 -1)4 x = log4 x ，解得 a = ，2 2 +1 2x
由 g(x) = log4 af (x) - log
x
4 (2 -1)(a > 0) 在[log2 3， 2]上有解，
(2xa +1)(2
x -1)
等價于 =
2x
在[log2 3， 2]上有解，
(2x x2x t [3 4] y +1)(2 -1) (t +1)(t -1) t
2 -1 1
設 = ， ，則 = x = = = t - ， t [3， 4]，2 t t t
1
所以函數 y = t - 在 t [3， 4]上單調遞增，
t
t 3 y 8 t 4 y 15當 = 時， = ，當 = 時， = ，
3 4
a 8 15所以 的取值范圍是[ ， ]．
3 4
【點評】本題考查了對數函數的性質應用問題，也考查了運算求解能力，是難題．
五．二次函數的性質與圖象（共 3 小題）
25．（2024 春 化州市期中）設函數 f (x) = x2 + mx + n2 ， g(x) = x2 + (m + 4)x + n2 + 2m + 4 ，其中 x R ，若
對任意的 t R ， f (t) ， g(t) 至少有一個為非負值，則實數m 的最大值是 (　　 )
A．1 B． 2 C．2 D． 5
【分析】根據函數 f (x) 、 g(x) 是定義域為 R 的二次函數，利用兩個函數圖象交點處的函數值大于等于 0 即
可求出結果．
【解答】解： f (x) = x2 + mx + n2 m 1= (x + )2 + n2 - m2 ，
2 4
g(x) = x2 + (m 4)x n2 m + 4+ + + 2m + 4 = (x + )2 + n2 1- m2 ，
2 4
根據 f (x) 、 g(x) 是定義域為 R 的二次函數，圖象是拋物線，
若對任意的 n， t R ， f (t) 和 g(t) 至少有一個為非負值，
只需兩個函數圖象交點處的函數值大于等于 0 即可，
由 f (x) g(x) x m + 2= ，可得 = - ，
2
f ( m + 2) g( m + 2 4 - m
2
所以 - = - ) = n2 + …0 ，
2 2 4
解得 -2 n2 +1 m 2 n2 +1，
所以 n = 0 時m 取得最大值為 2．
故選：C ．
【點評】本題考查了二次函數的圖象與性質的應用問題，是中檔題．
26．（2023 秋 廈門期末）已知函數 f (x) = x2 + 2x + c(c > 0) ，若 f (t) < 0，則 (　　 )
A． f (t -1) > 0 B． f (t +1) < 0 C． f (t - 2) < 0 D． f (t + 2) > 0
【分析】因為函數 f (x) = x2 + 2x + c(c > 0) 且 f (t) < 0，利用 f (x) 的圖象，結合對稱軸為 x = -1，
f (0) = c > 0 ，可知 -2 < t < 0，則 t + 2 > 0，由此可知 f (t + 2) > 0 ，問題可解．
【解答】解：由題意作出 f (x) 的圖象：
易知 -2 < t < 0，所以 t -1， t +1的范圍沒法確定對應函數值的符號，
而 t - 2 < -2 ，則 f (t - 2) > 0 ， t + 2 > 0，則 f (t + 2) > 0 ，
故 ABC 錯， D 正確．
故選： D ．
【點評】本題考查二次函數的圖象及應用，屬于中檔題．
27．（2023 秋 廈門期末）已知函數 f (x) = x2 + ax + b ．
（1）若 f (x) < 0的解集為 (-3,1) ，求 a，b ；
（2）若 f （1） = 2， a，b (0, ) 1 4 + ，求 + 的最小值．
a b
【分析】（1）根據解集可知 -3，1 是對應方程的根，據此求解；
（2）利用基本不等式求解．
1 ì
-3 +1 = -a
【解答】解：（ ）由題意得 í ，
-3 1 = b
解得 a = 2，b = -3；
（2）由題意得： a + b = 1，
1 4 1 4 b 4a b 4a
所以 + = ( + )(a + b) = 5 + + …5 + 2 = 9，
a b a b a b a b
2
當且僅當b = 2a = 時取等號．
3
【點評】本題考查一元二次不等式的解法和性質以及基本不等式的應用，屬于中檔題．
六．一元二次不等式及其應用（共 32 小題）
28．（2023 秋 牡丹區校級期末）不等式 (x + 3)2 < 1的解集是 (　　 )
A．{x | x > -2} B．{x | x < -4} C．{x | -4 < x < -2} D．{x | -4 x - 2}
【分析】把不等式 (x + 3)2 < 1化一般形式，求出解集即可；
或者把不等式 (x + 3)2 < 1化為 -1 < x + 3 < 1，求出它的解集也可．
【解答】解：【方法一】不等式 (x + 3)2 < 1可化為 x2 + 6x + 8 < 0 ，
(x + 4)(x + 2) < 0 ，
解得 -4 < x < -2，
\該不等式的解集為{x | -4 < x < -2}．
【方法二】不等式 (x + 3)2 < 1可化為 -1 < x + 3 < 1，
兩邊都減去 3，得 -4 < x < -2，
\該不等式的解集為{x | -4 < x < -2}．
故選：C ．
【點評】本題考查了一元二次不等式的解法與應用問題，是基礎題目．
29．（2024 南海區校級模擬）已知 a， b ， c R 且 a 0，則“ ax2 + bx + c > 0 的解集為 {x | x 1}”是
“ a + b + c = 0 ”的 (　　 )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【分析】分別判斷充分性與必要性是否成立即可．
ì b
- = 2
【解答】解：由題意知，一元二次不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集為{x | x 1} a，所以 a > 0且 í ，
c = 1
a
所以b = -2a ，且 c = a ；所以 a + b + c = 0 ，充分性成立；
若 a 0，且 a + b + c = 0 ，則 ax2 + bx + c > 0 可化為 ax2 + bx - a - b > 0，即 (x -1)(ax + a + b) > 0， a > 0時，
不等式化為 (x -1)(x b+1+ ) > 0，b = 0 時不等式的解集不是{x | x 1}，必要性不成立；
a
所以是充分不必要條件．
故選： A．
【點評】本題考查了一元二次不等式的解法與應用問題，也考查了充分必要條件的判斷問題，是基礎題．
30．（2023 秋 漣源市期末）已知二次函數 y = -x2 + bx + c 的零點為 -2 和 1，則關于 x 的不等式 x2 + bx - c > 0
的解集為 (　　 )
A． (- ， -1) (2 ， + ) B． (-1,2)
C． (-2,1) D． (- ， -2) (1， + )
【分析】根據二次函數的零點求出b 、 c 的值，代入不等式 x2 + bx - c > 0 中求解集即可．
【解答】解：二次函數 y = -x2 + bx + c 的零點為 -2 和 1，
所以 -2 和 1 是方程 -x2 + bx + c = 0的實數根，
ì-2 +1 = b
由根與系數的關系知， í ，
-2 1 = -c
解得b = -1， c = 2，
所以不等式 x2 + bx - c > 0 可化為 x2 - x - 2 > 0 ，
解得 x < -1或 x > 2，
所以不等式的解集為 (- ， -1) (2 ， + ) ．
故選： A．
【點評】本題考查了二次函數與對應方程和不等式的應用問題，是基礎題．
31．（2023 秋 石嘴山期末）已知一元二次不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集為 (- ，m) (-1， + )(m < -1)，
b 4則 + 的最小值為 (　　 )
a(1- m)
A．1 B．2 C．3 D．4
b
【分析】根據給定的解集，可得m -1 = - 并且b > 0 ，再利用均值不等式求出最小值即可．
a
【解答】解：由一元二次不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集為 (- ，m) (-1， + )(m < -1)，
所以m ， -1是方程 ax2 + bx + c = 0 的兩個不等實根，并且 a > 0，
b
所以m -1 = - ，即有b = a(1- m) > 0 ，
a
4 4 4
所以b + = b + …2 b × = 4，
a(1- m) b b
4
當且僅當b = ，即b = 2 時取等號，
b
所以b 4+ 的最小值為 4．
a(1- m)
故選： D ．
【點評】本題考查了一元二次不等式的解集與對應方程根的關系應用問題，也考查了基本不等式應用問題，
是基礎題．
32．（ 2023 1 1秋 長樂區校級月考）若不等式 ax2 + 2x + c < 0 的解集是 (- ,- )
3 U( ,+ )，則不等式2
cx2 - 2x + a 0的解集是 (　　 )
A 1．[- , 1] B 1．[- , 1] C．[-2 ，3] D．[-3， 2]
2 3 3 2
【分析】根據不等式的解集求出 a， c 的值，從而求出不等式 cx2 - 2x + a 0的解集即可
1 1
【解答】解：不等式 ax2 + 2x + c < 0 的解集是 (- ,- ) ( ,+ )，
3 U 2
ì 1 1 2
- + = -1 1
\- 和 是方程 ax2 + 2x + c = 0 3 2 a的兩個實數根，由
3 2 í
，
1 1 c- =
3 2 a
解得： a = -12， c = 2，
故不等式 cx2 - 2x + a 0即 2x2 - 2x -12 0，
即 x2 - x - 6 0，解得： -2 x 3，
所以所求不等式的解集是：[-2 ，3] ，
故選：C ．
【點評】本題考查了一元二次不等式的解法與應用問題，是基礎題．
33．（2024 龍鳳區校級開學）若關于 x 的不等式 x2 + mx - 4 > 0 在區間[2 ， 4]上有解，則實數m 的取值范圍
為 (　　 )
A． (-3,+ ) B． (0,+ ) C． (- ,0) D． (- ,-3)
【分析】關于 x 的不等式 x2 + mx - 4 > 0 在區間 [2 ， 4]上有解，結合二次函數的圖像得出 42 + 4m - 4 > 0 ，
求解即可．
【解答】解：設 f (x) = x2 + mx - 4 ，因為 f (x) m是二次函數，且開口向上，對稱軸為 x = - ；
2
因為關于 x 的不等式 x2 + mx - 4 > 0 在區間[2 ， 4]上有解，
等價于 42 + 4m - 4 > 0 ，
解得m > -3，
所以實數m 的取值范圍是 (-3,+ ) ．
故選： A．
【點評】本題考查了一元二次不等式在閉區間上有解的問題，是基礎題．
34．（2024 廣豐區校級開學）不等式mx2 - ax -1 > 0(m > 0)的解集不可能是 (　　 )
A．{x | x 1 1 3< -1或 x > } B． R C．{x | - < x < } D．{x | x < -3
4 3 2
或 x > 5}
【分析】根據不等式與對應的一元二次方程之間的關系，利用判別式即可得出結論．
【解答】解：不等式mx2 - ax -1 > 0 中，因為m > 0，所以△ = a2 + 4m > 0，
所以不等式對應的一元二次方程有兩個不等的實數根，
所以該不等式的解集不可能是選項 B 和C ．
故選： BC ．
【點評】本題考查了一元二次不等式與對應方程的關系應用問題，是基礎題．
35．（2023 秋 梅州期末）已知不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集為 (-2,1) ，則下列結論正確的是 (　　 )
A． a < 0 B．b < 0 C． c > 0 D． a - b + c < 0
【分析】根據不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集得出 -2 和 1 是方程 ax2 + bx + c = 0 的解，判斷 a < 0 ，由此得出選
項中的命題是否正確．
【解答】解：不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集為 (-2,1) ，所以 -2 和 1 是方程 ax2 + bx + c = 0 的解，且 a < 0 ，選
項 A正確；
ì b
-2 +1 = - a
由根與系數的關系知， í ，解得b = a < 0 ， c = -2a > 0 ，選項 B 正確，C 正確；
-2 1 c=
a
由不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集為 (-2,1) ，且 -1 (-2,1)，所以 a - b + c > 0 ，選項 D 錯誤．
故選： ABC ．
【點評】本題考查了一元二次不等式的解法與應用問題，是基礎題．
36．（2023 秋 吉林期末）下列說法正確的是 (　　 )
A．命題“$x 0 ，使得 ex x +1”的否定是“"x > 0，都有 ex > x +1”
B 1．“ < 1”是“ a > 1”的必要不充分條件
a
C．若不等式 ax2 + 2x + c > 0 的解集為{x | -1 < x < 2}，則 a + c = 2
D．當 x > 1時， 2x 1+ 的最小值為 2 2 + 2
x -1
【分析】 A中，根據存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，判斷即可；
B 1中，求出 < 1時 a的取值范圍，即可判斷充分與必要條件；
a
C 中，根據不等式與對應方程的關系，即可求出 a、 c 的值；
D 中，利用基本不等式求解即可．
【解答】解：對于 A，命題“$x 0 ，使得 ex x +1”的否定是“"x 0，都有 ex > x +1”，選項 A錯誤；
對于 B 1， < 1 1時， a < 0 或 a > 1，所以“ < 1”是“ a > 1”的必要不充分條件，選項 B 正確；
a a
ì 2
-1+ 2 = - a ìa = -2
對于 C ，由題意知 -1和 2 是方程 ax2 + 2x + c = 0 的實數解，所以 í ，解得 í ，所以
c c = 4-1 2 =
a
a + c = 2 ，選項C 正確；
對于 D x 1， > 1時， 2x + = 2(x 1) 1- + + 2…2 2(x -1) 1× + 2 = 2 2 + 2，當且僅當 2(x -1) 1= ，
x -1 x -1 x -1 x -1
即 x 1 2= + 時取等號，
2
所以 2x 1+ 的最小值為 2 2 + 2 ，選項 D 正確．
x -1
故選： BCD．
【點評】本題考查了命題真假的判斷問題，是基礎題．
37．（2023 秋 新化縣期末）已知關于 x 的不等式 (2a + 3m)x2 - (b - 3m)x -1 > 0(a > 0， b > 0)的解集為
(- ,-1)U(1 ,+ ) ，則下列結論正確的是 (　　 )2
A 1． 2a + b = 1 B． ab的最大值為
8
C 1 2 4 D 1 1． + 的最小值為 ． + 的最小值為3 + 2 2
a b a b
【分析】根據一元二次不等式與二次方程的關系可得 a，b 的關系，結合基本不等式分別檢驗各選項，即可
得解．
【解答】解：因為關于 x 的不等式 (2a + 3m)x2 - (b - 3m)x -1 > 0(a > 0， b > 0)的解集為 (- ， -1) (1 ，
2
+ ) ，
ì 1 1 b - 3m- + =
2 2a + 3m
所以 í ，所以 2a + 3m = 2，b - 3m = -1，所以 2a + b = 1，選項 A正確；
1 1-1 = -
2 2a + 3m
因為 a > 0，b > 0 ，所以1 = 2a + b…2 2ab 2a b 1 1，當且僅當 = = 時取等號，解得 ab ，選項 B 正確；
2 8
1 2 2a + b 4a + 2b 4 b 4a …4 2 b 4a+ = + = + + + × = 8 1，當且僅當b = 2a = 時取等號，選項C 錯誤；
a b a b a b a b 2
1 1 2a + b 2a + b 3 b 2a+ = + = + + …3 + 2 2 b 2a，當且僅當 = 且 2a + b = 1，即 a = 1 2- ，b = 2 -1時取
a b a b a b a b 2
等號，選項 D 正確．
故選： ABD ．
【點評】本題考查了不等式與對應方程根的關系，以及利用基本不等式求最值的問題，是中檔題．
38．（2023 秋 宿州期末）已知關于 x 的不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集為{x | 2 < x < 3}，則下列說法正確的是
(　　 )
A． a > 0
B． a + b + c < 0
C．不等式 cx2 - bx + a < 0 的解集為{x | x 1< - 或 x 1> - }
2 3
2
D c + 4． 的最小值為 6
a + b
ì
a < 0

b
【分析】由不等式與方程的關系得 í2 + 3 = - ，從而可得b = -5a ， c = 6a ，且 a < 0 ，再依次對四個選項判
a
2 3 c = a
斷即可．
【解答】解：Q不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集為{x | 2 < x < 3}，
ì
a < 0
b
\ í2 + 3 = - ，
a

2 3
c
=
a
即b = -5a ， c = 6a ，且 a < 0 ，
故選項 A錯誤；
a + b + c = a - 5a + 6a = 2a < 0 ，故選項 B 正確；
cx2 - bx + a < 0 可化為 6ax2 + 5ax + a < 0 ，
即 6x2 + 5x +1 > 0，
1 1
故不等式的解集為{x | x < - 或 x > - }，
2 3
故選項C 正確；
c2 + 4 36a2 + 4
= = (-9a) + ( 1- )…6，
a + b -4a a
1
當且僅當 a = - 時，等號成立，
3
故選項 D 正確；
故選： BCD．
【點評】本題考查了二次不等式及二次方程關系及基本不等式的應用，屬于中檔題．
39．（2023 秋 松山區期末）已知不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集為{x | m < x < n}，其中m > 0，則以下選項正
確的有 (　　 )
A． a < 0
B． c > 0
C． cx2 1 1+ bx + a > 0 的解集為{x | < x < }
n m
D． cx2 + bx + a > 0 的解集為{x | x 1 x 1< 或 > }
n m
【分析】依題意，可判斷 a < 0 ， c > 0，利用根與系數的關系求出 a、b 、 c 的關系，代入 cx2 + bx + a > 0 求
解即可．
【解答】解：不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集為{x | m < x < n}，其中m > 0，
b
所以 a < 0 ，且m + n = - ，mn c= ，選項 A正確；
a a
所以b = -a(m + n) ， c = amn > 0，選項 B 錯誤；
所以不等式 cx2 + bx + a < 0 可化為 amnx2 - a(m + n)x + a > 0 ；
又 a < 0 ，所以mnx2 - (m + n)x +1 < 0 ，即 (mx -1)(nx -1) < 0 ；
0 m n 1 1 1 1又 < < ，所以 > ，所以 < x < ，
m n n m
1 1
即不等式 cx2 + bx + a < 0 的解集是{x | < x < }，
n m
所以選項C 正確、 D 錯誤．
故選： AC ．
【點評】本題考查了一元二次不等式的解法與應用問題，也考查了轉化與運算能力，是中檔題．
40．（2024 春 浦東新區校級月考）設 a > 0，若關于 x 的不等式 x2 - ax < 0的解集是區間 (0,1) 的真子集，則 a
的取值范圍是 　 (0,1) 　．
【分析】解一元二次不等式結合真子集的概念即可得解．
【解答】解：因為 a > 0，所以解不等式 x2 - ax < 0，得 0 < x < a ，
又因為不等式 x2 - ax < 0的解集是區間 (0,1) 的真子集，
所以 a的取值范圍是 (0,1) ．
故答案為： (0,1) ．
【點評】本題考查了含參數的不等式求解問題，是基礎題．
41．（2023 1秋 清河區校級期末）已知關于 x 的不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集為 (- ， 2) ，那么關于 x 的不等
3
式 cx2 1+ bx + a < 0 的解集為　 (-3, )?。?br/>2
【分析】由不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集求出 a、 b 和 c 的關系，再把不等式 cx2 + bx + a < 0 化為
2x2 + 5x - 3 < 0，求出解集即可．
【解答】解：不等式 ax2 + bx + c 1> 0 的解集為 (- ， 2) ，
3
1
所以 - 和 2 是方程 ax2 + bx + c = 0 的解，
3
ì 1
- + 2
b
= -
3 a
1
所以 í- 2
c
= ，
3 a
a < 0

b 5解得 = - a 2， c = - a ，且 a < 0 ；
3 3
所以關于 x 的不等式 cx2 + bx + a < 0
2 5
化為 - ax2 - ax + a < 0，
3 3
整理為 2x2 + 5x - 3 < 0，
3 x 1解得 - < < ，
2
1
不等式的解集為 (-3, )．
2
故答案為： (-3, 1)．
2
【點評】本題考查了不等式的解法與應用問題，也考查了運算求解能力，是基礎題．
42．（2024 重慶模擬）若關于 x 的不等式 0 ax2 + bx + c 2(a > 0) 的解集為{x | -1 x 3}，則 3a + b + 2c的取
值范圍是 [3　 ， 4) ?。?br/>2
【分析】根據一元二次不等式的解集得到對稱軸，再根據端點得到兩個等式和一個不等式，求出 a的取值范
圍，把3a + b + 2c都表示成 a的形式即可求解．
【解答】解：因為不等式 0 ax2 + bx + c 2(a > 0) 的解集為{x | -1 x 3}，
所以二次函數 f (x) = ax2 + bx + c 的對稱軸為直線 x = 1，
ì f (-1) = 2 ìa - b + c = 2
ìb = -2a
且需滿足 í f (3) = 2 ，即 í9a + 3b + c = 2，解得 í ，
f (1)…0 a + b + c…0 c = -3a + 2
所以 a + b + c = a - 2a - 3a + 2…0 1 1，解得 a ，所以 a的取值范圍是 (0 ， ]，
2 2
3
所以3a + b + 2c = 3a - 2a - 6a + 4 = 4 - 5a [ ,4) ．
2
3
故答案為：[ ,4)．
2
【點評】本題考查了一元二次不等式的解法與應用問題，關鍵是轉化為二次函數問題，求出對稱軸和端點
的值，是中檔題．
43．（2023 秋 阜南縣期末）解關于 x 的不等式 (x - a)(x -1) 0(a R) ．
【分析】根據不等式對應方程的兩個實數根，討論兩根的大小寫出不等式的解集．
【解答】解：不等式 (x - a)(x -1) 0 對應方程的兩個實數根為 a和 1，
當 a > 1時，不等式的解集為[1， a] ；
當 a = 1時，不等式的解集為{1}；
當 a < 1時，不等式的解集為[a，1]．
【點評】本題考查了求含有字母系數的一元二次不等式解集的應用問題，是基礎題．
44．（2023 秋 南充期末）已知函數 f (x) = x2 - mx +1．
（1）若關于 x 的不等式 f (x) + n -1 0 的解集為[-1， 2]，求實數m ， n的值；
（2）求關于 x 的不等式 f (x) - x + m -1 > 0(m R) 的解集．
【分析】（1）不等式化為 x2 - mx + n 0 ，根據不等式的解集與對應方程的關系，列方程組求出m 、 n的值；
（2）不等式化為 (x - m)(x -1) > 0，討論m 與 1 的大小，即可寫出不等式的解集．
【解答】解：（1）因為函數 f (x) = x2 - mx +1，所以不等式 f (x) + n -1 0 可化為 x2 - mx + n 0 ，
所以 -1和 2 是方程 x2 - mx + n = 0的兩個實數根，
ì-1+ 2 = m
由根與系數的關系知， í ，解得m = 1， n = -2 ；
-1 2 = n
（2）不等式 f (x) - x + m -1 > 0 可化為 x2 - (m +1)x + m > 0 ，
即 (x - m)(x -1) > 0，
m = 1時，不等式化為 (x -1)2 > 0 ，解得 x 1；
m > 1時，解不等式得， x < 1或 x > m ；
m < 1時，解不等式得， x < m或 x > 1；
綜上知，m = 1時，不等式化的解集為{x | x 1}；
m > 1時，不等式的解集為{x | x < 1或 x > m}；
m < 1時，不等式的解集為{x | x < m或 x > 1}．
【點評】本題考查了一元二次不等式的解法與應用問題，是基礎題．
45．（2023 秋 阿勒泰地區期末）已知集合 A = {x | x2 - 3x - 4 < 0}， B = {x | a +1 < x < 3a +1}．
（1）當 a = 2時，求 AUB ；
（2）若 AIB = B ，求 a的取值范圍．
【分析】（1）化簡集合 A，求出 a = 2時集合 B ，根據并集的定義計算 AUB ．
（2）由 AIB = B 得 B A，討論 B = 和 B 時，求出 a的取值范圍．
【解答】解：（1）由題意得， A = {x | (x +1)(x - 4) < 0} = {x | -1 < x < 4}；
當 a = 2時， B = {x | 3 < x < 7}，
所以 AUB = {x | -1 < x < 7}．
（2）若 AIB = B ，則 B A，
所以當 B = 時， a +1…3a +1，解得 a 0 ；
ìa > 0,
當 B 時， ía +1… -1, ，解得 0 < a 1；

3a +1 4,
綜上， a的取值范圍是 (- ，1]．
【點評】本題考查了集合的化簡與運算問題，是基礎題．
46．（2023 秋 金安區校級期末）已知集合 A = {x | -3 x < 0}，集合 B = {x | 2 - x > x2}．
（1）求 AIB ；
（2）若集合C = {x | 2a x a + 2}，且C (AIB)，求實數 a的取值范圍．
【分析】（1）整理集合 A、 B ，即可得到它們的交集；
（2）討論C = 與C 時，求出滿足條件的 a的取值范圍即可．
【解答】解：（1）因為集合 B = {x | 2 - x > x2} = {x | x2 + x - 2 < 0} = {x | -2 < x < 1}，
所以 AIB = {x | -2 < x < 0}．
（2）當C = 時， 2a > a + 2，即 a > 2，滿足條件；
ì2a a + 2
C 當 時， í2a > -2 ，不等式組無解；

a + 2 < 0
綜上，實數 a的取值范圍是{a | a > 2}．
【點評】本題考查了集合關系中參數的取值范圍問題，是基礎題．
47．（2023 秋 沙坪壩區校級期末）若函數 f (x) = ax2 + bx + 4，
（1）若不等式 f (x) 0 (1< 的解集為 , 4) ，求 a，b 的值；
2
（2）當 a = 1時，求 f (x) > 0(b R)的解集．
【分析】（1）根據不等式的解集得出對應方程的解，由韋達定理列方程組求出 a、b 的值；
（2）利用判別式△即可求出對應不等式 f (x) > 0 的解集．
【解答】解：（1）根據不等式 f (x) 1< 0的解集為 ( ,4) 1知， 和 4 是方程 ax2 + bx + 4 = 0的解，
2 2
ì1 9 b
+ 4 = = - 2 2 a
由韋達定理知， a > 0且 í ，解得 a = 2，b = -9；
1 4× 4 = 2 =
2 a
（2）因為 a = 1，所以 f (x) = x2 + bx + 4 ，
因為△ = b2 -16 ，
當△< 0 ，即 -4 < b < 4時，不等式 f (x) > 0 的解集為 R ；
當△ = 0，即b = ±4時，不等式 f (x) > 0 的解集為{x | x b }；
2
f (x) 0 {x | x -b - b
2 -16 -b + b2 -16
當△ > 0，即b < -4或b > 4 時，不等式 > 的解集為 < 或 x > }．
2 2
【點評】本題考查了一元二次不等式與對應方程的應用問題，是基礎題．
48．（2023 秋 山西期末）已知關于 x 的不等式 ax2 - 3x + b > 0的解集為{x | x < 1或 x > 2}．
（1）求 a，b 的值；
（2）當 c > 0時，求關于 x 的不等式 cx2 - (ac +1)x +1 < 0 的解集（用 c 表示）．
【分析】（1）根據不等式的解集得出對應方程的根，利用根與系數的關系求出 a、b ；
（2）把 a、b 代入不等式 cx2 - (ac +1)x +1 < 0 中，化簡求解即可．
【解答】解：（1）因為不等式 ax2 - 3x + b > 0的解集為{x | x < 1或 x > 2}，
所以 1，2 是方程 ax2 - 3x + b = 0的兩根，
ì
1 2
3
+ =
a ìa = 1
由根與系數的關系知 í ，解得 í ；
1 b b = 2 2 =
a
（2）把 a = 1，b = 2 代入不等式 cx2 - (ac +1)x +1 < 0 ，得 cx2 - (c +1)x +1 < 0，
令 cx2 - (c +1)x +1 = 0 1，解得 x = 1或 x = ，
c
① c = 1時，不等式為 (x -1)2 < 0 ，解集為 ；
② c 1> 1時， < 1，不等式的解集為{x | 1 < x < 1}；
c c
③ 0 < c 1 1 1 1< 時， > ，不等式的解集為{x |1 < x < }．
c c
【點評】本題考查了不等式的解法與應用問題，是基礎題．
49．（2023 秋 陽江期末）已知不等式 x2 - (a + 2)x + b 0的解集為{x |1 x 2}．
（1）求實數 a，b 的值；
（2）解關于 x 的不等式： (x - c)(ax - 2) > 0(c 為常數，且 c 2)
【分析】（1）根據不等式的解集得出對應方程的兩根，由根與系數的關系求出 a、b 的值．
（2）不等式為 (x - c)(x - 2) > 0，討論 c < 2和 c > 2，寫出對應不等式的解集．
【解答】解：（1）因為不等式 x2 - (a + 2)x + b 0的解集為{x |1 x 2}，
所以 1 和 2 是方程 x2 - (a + 2)x + b = 0 的兩根，
ì1+ 2 = a + 2
由根與系數的關系知， í ，解得 a = 1，b = 2 ．
1 2 = b
（2）不等式 (x - c)(ax - 2) > 0即為 (x - c)(x - 2) > 0，
由 c 2 ，則 c < 2時，解不等式得， x < c或 x > 2；
c > 2時，解不等式得， x < 2 或 x > c ；
綜上， c < 2時，不等式的解集為{x | x < c或 x > 2}；
c > 2時，不等式的解集為{x | x < 2 或 x > c}．
【點評】本題考查了不等式的解法與應用問題，是基礎題．
50．（2023 秋 雙塔區校級期末）已知關于 x 的不等式 ax2 + 2bx - 3 < 0 的解集為{x | -1 < x < 2}．
（1）求實數 a，b 的值；
（2）解關于 x 的不等式： (ax +1)(-bx + m) > 0 ，其中m 是實數．
【分析】（1）根據不等式的解集對應方程的根，利用根與系數的關系列式求解即可；
（2）根據兩根大小關系分類解不等式即可．
【解答】解：（1）因為 ax2 + 2bx - 3 < 0 ，所以 ax2 + 2bx - 3 = 0 的根為 -1和 2，且 a > 0，
ì
-1 2
2b 3
+ = - ìa =
a
所以 í ，解得
2
í ；
1 2 3 b 3- = - = -
a 4
（2 3 3）不等式 (ax +1)(-bx + m) > 0 可化為 ( x +1)( x + m) > 0 ，
2 4
即 (x 2+ )(x 4m+ ) > 0，
3 3
4 m 2 m 1 ( , 4 m)U( 2①當 - < - ，即 > 時，不等式的解集為 - - - ,+ ) ；3 3 2 3 3
4
②當 - m 2 m 1 2 2= - ，即 = 時，不等式的解集為 (- ,- )U(- ,+ ) ；3 3 2 3 3
4 2 1 2 4
③當 - m > - ，即m < 時，不等式的解集為 (- ,- )U(- m,+ ) ．3 3 2 3 3
【點評】本題考查了不等式的解法與應用問題，也考查了分類討論思想，是基礎題．
51．（2023 秋 廣州期末）設全集為 R ，集合 A = {x | x2 - 5x - 6 > 0}， B = {x | a +1 < x < 2a -1}．
（1）若 a = 4，求 AUB ， AI R B ；
（2）若 ( R A)IB = ，求實數 a的取值范圍．
【分析】（1）解不等式求出集合 A，寫出 a = 4時集合 B ，根據并集、交集和補集的定義計算即可；
（2）根據 ( R A)IB = ，討論 a的取值情況，即可求出實數 a的取值范圍．
【解答】解：（1）因為集合 A = {x | x2 - 5x - 6 > 0} = {x | x < -1或 x > 6}，
a = 4時，集合 B = {x | 5 < x < 7}，
所以 AUB = {x | x < -1或 x > 5}，
又因為全集為 R ，所以 R B = {x | x 5或 x…7}，
所以 AI( R B) = {x |x < -1或 x…7}；
（2）因為 R A = {x | -1 x 6}，且 ( R A)IB = ，
所以 a +1…2a -1時， a 2 ，此時 B = ，滿足題意；
ìa > 2
由 í … ，解得 a…5； a +1 6
ìa > 2
由 í ，解得 a ；
2a -1 -1
綜上，實數 a的取值范圍是{a | a 2 或 a…5}．
【點評】本題考查了集合的定義與運算問題，也考查了分類討論思想，是基礎題．
52．（2023 秋 呼和浩特期末）（1）若關于 x 的不等式 ax2 + 4ax - 3 < 0對"x R 都成立，求 a的取值范圍；
（2）已知二次不等式 ax2 + 4ax - 3 < 0的解集為{x | x1 < x < x2}，且 | x1 - x2 |= 5，求 a的值．
【分析】（1）討論 a = 0時和 a 0時，利用判別式△< 0 求出 a的取值范圍；
（2）由題意知 x1 、 x2 是對應方程的實數根，利用根與系數的關系即可求出 a的值．
【解答】解：（1） a = 0時，不等式 ax2 + 4ax - 3 < 0為 -3 < 0 ，滿足題意；
ìa < 0
a 0 3時，應滿足 í 2 ，解得 - < a < 0，
V= 16a +12a < 0 4
所以 a的取值范圍是{a | 3- < a 0}；
4
（2）由題意知， x1 、 x2 是方程 ax
2 + 4ax - 3 = 0的實數根，且 a > 0，
ìx1 + x2 = -4
由根與系數的關系知， í 3 ，
x1 × x2 = - a
3
因為 | x1 - x2 |= 5，所以 (x
2
1 - x2 ) = (x
2
1 + x2 ) - 4x1x2 = 16 - 4 (- ) = 25，a
4
解得 a = ．
3
【點評】本題考查了一元二次不等式的解法與應用問題，是基礎題．
53．（2023 秋 定西期末）已知集合 A = {x | x2 - 2x - 3 < 0}， B = {x | x2 - (2m -1)x - 2m 0}．
（1）當m = 1時，求 AUB ；
（2）若 x A是 x B 的充分不必要條件，求實數m 的取值范圍．
【分析】（1）化簡集合 A、 B ，根據并集的定義求出 AUB ；
（2）根據 x A是 x B 的充分不必要條件得出 A是 B 的真子集，由此列不等式求出 B 中m 的取值范圍．
【解答】解：（1）集合 A = {x | x2 - 2x - 3 < 0} = {x | -1 < x < 3}，
m = 1時， B = {x | x2 - x - 2 0} = {x | -1 x 2}，
所以 AUB = {x | -1 x < 3}；
（2）若 x A是 x B 的充分不必要條件，則 A是 B 的真子集，
由 B = {x | x2 - (2m -1)x - 2m 0} = {x | (x - 2m)(x +1) 0}，
所以 2m 和 -1是對應方程的兩個解，且 2m > -1；
ì2m > -1
所以 í ，
2m…3
解得m… 3 ，
2
3
所以實數m 的取值范圍是{m | m… }．
2
【點評】本題考查了一元二次不等式的解法與應用問題，是基礎題．
54．（2023 秋 西安區校級期末）已知關于 x 的不等式 2ax2 - 8x - 3a2 < 0的解集為{x | -1 < x < b}．
（1）求實數 a，b 的值；
2 x 0 y 0 a b（ ）當 > ， > ，且滿足 + = 1時，求3x + 2y 的最小值．
x y
【分析】（1）根據一元二次不等式與對應方程的關系，利用根與系數的關系即可求出 a、b 的值．
（2）根據題意，利用基本不等式，即可求出3x + 2y 的最小值．
【解答】解：（1）因為不等式 2ax2 - 8x - 3a2 < 0的解集為{x | -1 < x < b}，
所以 a > 0，且 -1，b 是方程 2ax2 - 8x - 3a2 = 0的兩個根，
ì 4
-1+ b =
由根與系數的關系知， aí ，
1 b 3- = - a
2
4
解得 a = 2或 a = - （不合題意，舍去），b = 3．
3
2 3
（2）當 x > 0 ， y > 0 時，由（1）得 + = 1，
x y
所以 2x + y = (3x + 2y)(2 3) 12 4y 9x…12 2 4y 9x+ = + + + × = 24，
x y x y x y
ì4y 9x
=
當且僅當 í x y ，即 x = 4， y = 6 時，等號成立，
2y + 3x = xy
所以3x + 2y 的最小值為 24．
【點評】本題考查了一元二次不等式與對應方程的關系應用問題，也考查了利用基本不等式求最值的問題，
是基礎題．
55．（2024 春 湖北月考）已知函數 f (x) = x2 + (4 - a)x + a - 4， (a R) ．
（1）解關于 x 的不等式： f (x) 1；
（2）命題“"x (1,+ )， f (x)…0”是真命題，求 a的最大值．
【分析】（1）根據條件得到 (x -1)[x - (a - 5)] 0，利用含參的一元二次不等式的解法，對 a進行討論，即可
求出結果；
（2）根據條件得到 f (x) = x2 + (4 - a)x + a - 4…0 在區間 (1,+ )上恒成立，從而轉化成求 f (x) 在區間 (1,+ )
上的最小值，即可解決問題．
【解答】解：（1）由 f (x) 1，得 x2 + (4 - a)x + a - 4 1，即 (x -1)[x - (a - 5)] 0，
當 a - 5 < 1，即 a < 6 時，解得 a - 5 x 1，
當 a = 6時，解得 x = 1，
當 a - 5 > 1，即 a > 6時，解得1 x a - 5，
綜上所述， a < 6 時，原不等式的解為{x | a - 5 x 1}，
當 a = 6時，原不等式的解為{x | x = 1}，
當 a > 6時，原不等式的解為{x |1 x a - 5}．
（2）由題知， f (x) = x2 + (4 - a)x + a - 4…0 在區間 (1,+ )上恒成立，
又 f (x) = x2 + (4 - a)x + a - 4 a對稱軸為 x = - 2，
2
a
當 x = - 2 1，即 a 6 時， f (x) = x2 + (4 - a)x + a - 4在區間 (1,+ )上單調遞增，
2
所以，當 x (1,+ ) 時， f (x) > f （1） = 1+ 4 - a + a - 4 = 1 > 0恒成立，即 a 6 滿足條件，
x a當 = - 2 > 1，即 a > 6，由題有△ = (4 - a)2 - 4(a - 4) 0，得到 4 a 8，所以 6 < a 8 ，
2
綜上， a的最大值為 8．
【點評】本題考查了函數與不等式的應用問題，也考查了運算求解能力，是中檔題．
56．（2023 秋 天津期末）函數 f (x) = ax2 + bx +1(a,b R)．
（1）若 f (x) 1< 0的解集是{x | x < -2 ，或 x > 3}，求不等式 ax2 + bx + > 0的解集；
3
（2）當 a > 0時，求關于 x 的不等式 f (x) + (a - b +1)x > 0的解集．
【分析】（1）不等式 f (x) < 0可化為 ax2 + bx +1 < 0，利用不等式的解集與對應方程的關系求出 a、b ，代入
不等式 ax2 + bx 1+ > 0中求解即可；
3
（2 1）不等式可化為 (x + )(x +1) > 0，討論 a與 1 的大小，即可寫出不等式的解集．
a
【解答】解：（1）由函數 f (x) = ax2 + bx +1，得不等式 f (x) < 0可化為 ax2 + bx +1 < 0，
所以 -2 和 3 是方程 ax2 + bx +1 = 0的解，由根與系數的關系知，
ì
-2 + 3
b
= -
a 1 1
í ，解得 a = - ，b = ；
2 3 1 6 6- =
a
所以不等式 ax2 bx 1 0 1+ + > 可化為 - x2 1 1+ x + > 0，
3 6 6 3
即 x2 - x - 2 < 0 ，解得 -1 < x < 2，
所以該不等式的解集為{x | -1 < x < 2}；
（2）不等式 f (x) + (a - b +1)x > 0可化為 ax2 + (a +1)x +1 > 0，
即 (ax +1)(x +1) > 0 ，
因為 a 1> 0，所以不等式化為 (x + )(x +1) > 0，
a
當 a = 1時，不等式為 (x +1)2 > 0 ，解得 x -1；
當 0 1 1< a < 1時， - < -1，解不等式得， x < - 或 x > -1；
a a
當 a > 1 1時， - > -1，解不等式得， x < -1或 x 1> - ；
a a
綜上， a = 1時，不等式的解集為{x | x -1}；
0 a 1 {x | x 1< < 時，不等式的解集為 < - 或 x > -1}；
a
a > 1 1時，不等式的解集為{x | x < -1或 x > - }．
a
【點評】本題考查了一元二次不等式的解法與應用問題，是中檔題．
57．（2023 秋 金安區校級期末）已知函數 f (x) = x2 - (a + b)x + a ．
（1）若關于 x 的不等式 f (x) < 0的解集為 (1,2)，求 a，b 的值；
（2）當b = 1時，解關于 x 的不等式 f (x) > 0 ．
【分析】（1）由不等式 f (x) < 0的解集得出對應方程的實數根，利用根與系數的關系求出 a、b 的值；
（2）b = 1時不等式可化為 (x - a)(x -1) > 0，討論 a與 1 的大小，從而求出不等式的解集．
【解答】解：（1）由函數 f (x) = x2 - (a + b)x + a ，不等式 f (x) < 0化為 x2 - (a + b)x + a < 0，
由不等式的解集為 (1,2)，所以方程 x2 - (a + b)x + a = 0的兩根為 1 和 2，
ì1+ 2 = a + b
由根與系數的關系知： í ，解得 a = 2，b = 1；
1 2 = a
（2）b = 1時不等式 f (x) > 0 可化為 x2 - (a +1)x + a > 0，
即 (x - a)(x -1) > 0；
當 a > 1時，解不等式得 x < 1或 x > a；
當 a = 1時，解不等式得 x 1；
當 a < 1時，解不等式得 x < a 或 x > 1．
所以 a > 1時，不等式的解集為{x | x < 1或 x > a}；
a = 1時，不等式的解集為{x | x 1}；
a < 1時，不等式的解集為{x | x < a 或 x > 1}．
【點評】本題考查了一元二次不等式的解法與應用問題，也考查了分類討論思想，是中檔題．
58．（2023 秋 三明期末）集合 A = {x | ax2 - 3x - 4…0}， B = {x | x…b 或 x -1}，且 A = B．
（1）求 a，b 的值；
（2）若集合 P = {x | m +1 < x < 2m}，且“ x P ”是“ x R A ”的充分不必要條件，求實數m 的取值范圍．
【分析】（1）由 x = -1是方程 ax2 - 3x - 4 = 0的根得 a，再結合已知條件解一元二次不等式得b ．
（2）由充分不必要條件得集合的包含關系，列不等式組求解即可．
【解答】解：（1）因為 A = B， B = {x | x…b 或 x -1}，
所以 x = -1是方程 ax2 - 3x - 4 = 0的根，所以 a = 1．
由 x2 - 3x - 4…0可得 x…4 或 x -1，所以 A = {x | x…4或 x -1}，
又因為 A = B， B = {x | x…4或 x -1}，
所以b = 4 ， a = 1．
（2）因為 A = {x | x…4或 x -1}，
所以 R A = {x | -1 < x < 4}，
因為“ x P ”是“ x R A ”的充分不必要條件，所以 P 是 R A的真子集，
ìm +1 < 2m ìm +1 < 2m

所以 í m +1… -1 或 í m +1 > -1 ，則1 < m 2 ，

2m < 4 2m 4
所以實數 a的取值范圍是 (1， 2]．
【點評】本題考查了一元二次不等式的解法與應用問題，也考查了集合的運算問題，是中檔題．
59．（2023 秋 德慶縣校級期末）已知函數 f (x) = ax2 - (2a +1)x + c ，且 f (0) = 2．
（1）若 f (x) < 0 f (x)的解集為{x | 2 < x < 8}，求函數 y = 的值域；
x
（2）當 a > 0時，解不等式 f (x) < 0．
【分析】（1）由 f (0) 求出 c 的值，再根據 f (x) < 0 f (x)的解集求出 a的值，寫出 y = 的解析式，求函數的值
x
域即可．
（2）利用分類討論法求不等式 f (x) < 0的解集．
【解答】解：由題意可得， f (0) = c = 2 ；
c 2 1
（1）因為 f (x) < 0的解集為{x | 2 < x < 8}，所以 2 8 = = ，解得 a = ，
a a 8
y f (x) 1 x 2 5所以 = = + - ．
x 8 x 4
x 0 1 x 2 5…2 1 2 5 1當 > 時， + - x × - = - ，當且僅當 x = 4時等號成立；
8 x 4 8 x 4 4
x 0 1 x 2 5 [( 1 x) ( 2)] 5 2 ( 1 2 5 9當 < 時， + - = - - + - - - - x) × (- ) - = - ，當且僅當 x = -4 時等號成立．
8 x 4 8 x 4 8 x 4 4
f (x)
所以函數 y = 的值域為 (- , 9- ]U[ 1- ,+ )．x 4 4
（2） f (x) = ax2 - (2a +1)x + 2 = (ax -1)(x - 2) ．
當 a > 0時，分三種情況討論：
1 1 1
①當 < 2 ，即 a > 時，解不等式 f (x) < 0，得 < x < 2 ；
a 2 a
1
②當 = 2 a 1，即 = 時，不等式化為 (x - 2)2 < 0 ，無解；
a 2
1
③當 > 2 ，即 0 1< a < 時，解不等式 f (x) < 0，得 2 1< x < ．
a 2 a
1
綜上所述，當 a > 時，不等式 f (x) 1< 0 ì的解集為 íx | < x < 2
ü
2 a
；

a 1當 = 時，不等式 f (x) < 0的解集為 ；
2
1 1
當 0 < a < 時，不等式 f (x) < 0 ì的解集為 íx | 2 < x <
ü
．2 a
【點評】本題考查了一元二次不等式域對應方程和函數的應用問題，是中檔題．
七．一元二次方程的根的分布與系數的關系（共 1 小題）
60．（2023 秋 青羊區校級期末）方程 x2 + (m - 2)x + 5 - m = 0的兩根都大于 2，則m 的取值范圍是 (　　 )
A． (-5， -4] B． (- ， -4]
C． (- ， -2] D． (- ， -5) (-5， -4]
【分析】方程 x2 + (m - 2)x + 5 - m = 0的兩根都大于 2，則其相應的函數 f (x) = x2 + (m - 2)x + 5 - m與 x 軸的
兩個交點都在直線 x = 2的右邊，由圖象的特征知應有對稱軸大于 2， f （2） > 0，且△…0，解此三式組成
的方程組即可求出參數m 的范圍．
【解答】解：令 f (x) = x2 + (m - 2)x + 5 - m 2 - m，其對稱軸方程為 x =
2
ì2 - m
> 2
2
由已知方程 x2 + (m - 2)x + 5 - m = 0的兩根都大于 2，故有 í f (2) > 0

V…0

ì2 - m
> 2
2
即 í4 + 2m - 4 + 5 - m > 0 解得 -5 < m - 4

(m - 2)
2- 4(5 - m)…0

m 的取值范圍是 (-5， -4]
故應選 A．
【點評】本題考點是一元二次方程根的分布與系數的關系，考查知道了一元二次方程根的特征，將其轉化
為方程組解參數范圍的能力，本題解題技巧是數形結合，借助圖象轉化出不等式組，此是這一類題的常用
方法．

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