資源簡介

培優點 05 三角函數中有關ω的范圍問題（4 種核心題型+基
礎保分練+綜合提升練+拓展沖刺練）
【考試提醒】
在三角函數的圖象與性質中，ω 的求解是近幾年高考的一個熱點內容，但因其求法復雜，涉
及的知識點多，歷來是我們復習中的難點．
【核心題型】
題型一　三角函數的單調性與 ω 的關系
確定函數的單調區間，根據區間之間的包含關系，建立不等式，即可求 ω 的取值范圍．
2π π π
【例題 1】（2024·廣東湛江·一模）已知函數 f x = sin wx + ÷ w > 0 在區間 ,3 12 6 ÷上單è è
調遞增，則w 的取值范圍是（ ）
A． 2,5 B． 1,14 C． 9,10 D． 10,11
【答案】D
2π
【分析】由 x 的范圍可求得wx + 的范圍，結合正弦函數單調性，采用整體代換的方式即
3
可構造不等式組求得結果.
π π 2π π 2π π 2π
【詳解】當 x , ÷時，wx + w + , w +12 6 3 12 3 6 3 ÷
，
è è
ì π
w
2π π
+ - + 2kπ
Q f x π π 12 3 2在 , 上單調遞增，\ k Z ，
è12 6 ÷
í
π w 2π π+ + 2kπ
6 3 2
ìw -14 + 24k k Z ì-14 + 24k -1+12k解得： í ，又w > 0，\ ，
w -1+12k
í
-1+12k > 0
1 13
解得： < k ，又 k Z ，\k =1，\10 w 11，
12 12
即w 的取值范圍為 10,11 .
故選：D.
【變式 1】（多選）（23-24高三上·遼寧葫蘆島·期末）已知函數 f x = sin wx +j (w > 0,j R)
π π π 5π
在區間 ,4 2 ÷ 上單調，且滿足
f ÷ = - f ÷ ，下列結論正確的有（ ）
è è 4 è 12
f π A． ÷ = 0
è 3
f π B．若 - x ÷ = f x
2π
，則函數 f x 的最小正周期為
è 3 3
C．關于 x 方程 f x =1在區間 0,2π 上最多有 4 個不相等的實數解
f x éπ ,11πD ．若函數 在區間 ê ÷ 上恰有 5 個零點，則w
8 ,3ù
3 6
的取值范圍為
è 3 ú
【答案】ABD
【分析】對 A：利用對稱性直接求得；
π π
對 B：根據對稱中心與對稱軸可得周期表達式，結合區間 ,4 2 ÷上單調求出函數的最小正周è
期，即可判斷；
π π 2π
對 C：先判斷出周期T 4 - ÷ = ，結合周期越大， f x =1的根的個數越少，解出
è 2 3 3
f x =1在區間 0,2π 上最多有 3 個不相等的實數根，即可判斷.
2T 11π π 5T對 D：由題意分析 < - ，建立關于w 的不等式組，求出w 的取值范圍.
6 3 2
【詳解】函數 f x = sin wx +j f π = - f 5π 滿足 4 ÷ ÷ .è è 12
5π π
+ π
對 A：因為 12 4 π ，所以 f= ÷ = 0，故 A 正確；
2 3 è 3
π π π
對 B：由于 f - x ÷ = f x ，所以函數 f x 的一條對稱軸方程為 x 3 π .又 ,0= = 3 ÷為一è 3 2 6 è
個對稱中心，
1 1 π π π
由正弦圖像和性質可知，所以函數的最小正周期滿足 + k ÷T = - = k N ，即
è 4 2 3 6 6
T 2π= k N 3 2k +1 .
π , π 1 π π又區間 ÷上單調，故 T - ，即T
π
，故T
2π
=
4 2 ，故
B 正確；
è 2 2 4 2 3
f x sin wx π π= +j , f π = - f 5π 對 C：函數 在區間 4 2 ÷上單調，且滿足 4 ÷ ÷，è è è 12
f π π π 2π可得： ÷ = 0，所以周期T 4 - ÷ = ，
è 3 è 2 3 3
又周期越大， f x =1的根的個數越少.
T 2π w 2π
π
當 = 時， = = 3，又 f

÷ = 0， f x = sin π +j = 0，得 f x = sin 3x .3 T è 3
所以 f x =1在區間 0,2π π 5π 3π上有 3 個不相等的實數根： x = ， x = 或 x = ，
6 6 2
故至多 3 個不同的實數解，故 C 錯誤.
對 D：函數 f x é π ,11π 11π π 5T在區間 ê ÷ 上恰有 5 個零點，所以 2T < - ， 3 6 6 3 2
2 2π 3π 5 2π 8 10
π π 2π 2π 2π
所以 × < × ，解得： < w ，且滿足T 4
- = ，即 ，即
w 2 2 w 3 3 è 2 3 ÷ 3 w 3
w 3
8 ù
，故 ,3ú .故 D 正確.è 3
故選：ABD
【變式 2】（2024·福建南平·二模）函數 f x = sinwx w 0 é π π> ù在區間 ê- , 6 3 ú 上單調遞增，且
在區間 0, 2π 上恰有兩個極值點，則w 的取值范圍是 .
3 5
【答案】 < w
4 4
3 3 5
【分析】利用正弦型函數的單調性可得0 < w ，利用正弦型函數的極值點可得 < w .
2 4 4
π π
【詳解】由 f x = sinwx w > 0 é- , ù在區間 ê ú 上單調遞增， 6 3
π w π π π可得- - + 2kπ， w + 2kπ ， k Z，
6 2 3 2
3 3
即w 3-12k ，w + 6k ， k Z，即0 < w ，
2 2
又 f x = sinwx w > 0 在區間 0,2π 上恰有兩個極值點，
3π
可得 < 2wπ
5π 3 5
，即 < w .
2 2 4 4
3 5
綜上， < w .
4 4
3
故答案為： < w
5
.
4 4
π
【變式 3】（23-24 高三下·

甘肅·階段練習）已知函數 f (x) = sin wx + ÷ (w > 0)6 ．è
(1)當w = 2時，求函數 f (x) 在點 (0, f (0)) 處的切線方程；
(2)若函數 f (x) 的導函數為 g(x)，且 g(x) é在 ê0,
π ù
2 ú
上為減函數，求 ω 的取值范圍．

1
【答案】(1) y = 3x +
2

(2) 0,
5ù
è 3 ú
1 π
【分析】（1）代入w = 2，依次求得 f 0 = ， f 0 = 2cos = 3 即可得解；
2 6
g x = -w2 sin π é π（2 ù）原題等價于 wx + ÷ 0在 ê0, 2 ú 上恒成立，進一步結合復合函數單調性、è 6
值域即可列出不等式組求解.
π
【詳解】（1）因為w = 2，所以 f (x) = sin 2x + ÷，
è 6
故 f 0 1= ，且 f x = 2cos 2x
π
+ f 0 π÷，從而 = 2cos = 3 ，2 è 6 6
此時函數 f (x) 在點 (0, f (0))
1 1
處的切線方程 y - = 3x ，即 y = 3x + .
2 2
（2） g x = f x = w cos wx π+ 2 ÷， g x = -w sin wx
π
+
6 6 ÷
，
è è
因為 g(x) é0,
π ù é π ù
在 ê 2 ú 上為減函數，所以
g x 0在 ê0, 2 ú 上恒成立，
-w2 sin π é π ù即 wx + ÷ 0在 0, 上恒成立，
è 6 ê 2 ú
sin π é π ù也就是 wx + ÷ 0在 0, 上恒成立，
è 6 ê 2 ú
x é0, π ù
π é π
注意到w > 0，且當 ê ú 時，有wx + ê ,
π w π+ ù，
2 6 6 2 6 ú
ì π w π + π 5
所以當且僅當 í 2 6 滿足題意，解得0 < w ，
w > 0
3
5ù
也就是說 ω 的取值范圍為 0,
è 3 ú
.
題型二　三角函數的對稱性與 ω 的關系
T
　三角函數兩條相鄰對稱軸或兩個相鄰對稱中心之間的“水平間隔”為 ，相鄰的對稱軸和
2
T
對稱中心之間的“水平間隔”為 ，這就說明，我們可根據三角函數的對稱性來研究其周期
4
性，解決問題的關鍵在于運用整體代換的思想，建立關于 ω 的不等式組，進而可以研究
“ω”的取值范圍．
【例題 2】（2023·內蒙古赤峰·三模）已知函數 f x = 3 sinwx - coswx w > 0 的一條對稱軸
是 x
π
= ，若存在m,c R3 使直線
x + my + c = 0與函數 f x 的圖像相切，則當w 取最小正數
時，實數 m 的取值范圍是（ ）
1
A． - ,0

1
÷ ,
1 1
+ é é ÷ B． - ,0 ,+
è 2 è 2 ê 2 ÷ ÷ ê 2
- , 1- 1 1 ù é1 C． 4 ÷
U ,+ D． - , - , +
è è 4 ÷ ÷ è 4ú ê 4
【答案】D
【分析】利用輔助角公式化簡函數解析式，結合正弦函數的對稱性求w ，再由導數的幾何意
義求 m 的取值范圍.
【詳解】 f x = 3 sinwx - coswx = 2sin π wx -

÷，
è 6
∵ x π= 是 f x 3 的一條對稱軸，
wπ π π
∴ - = + kπ ， k Z，
3 6 2
∴w = 2 + 3k ，又w > 0，
∴w 的最小正整數值為 2．
∴ f x = 2sin 2x π- ÷，
è 6
∴ f x = 4cos 2x
π
- ÷ -4,4 ，
è 6
若$m,c R 使 x + my + c = 0與 f x 相切，
4 1 4 m 1 1則m 0 ，且- - ，解得 或m -
m 4 4
故選：D.
1
【變式 1】（2023·四川成都·模擬預測）已知函數 f (x) = 2 2 coswx sin(wx
π
+ ) é ù的圖象在 0,
4 ê 2 ú
上恰有一條對稱軸和一個對稱中心，則實數w 的取值范圍為 .
( 5π , 3π 3π【答案】 - - ]U[ ,
5π)
4 4 4 4
【分析】根據兩角和的正弦公式和二倍角公式化簡 f (x) ，再根據正弦函數的對稱軸和對稱中
心可求出結果.
f (x) 2 2 coswx sin(wx π) 2 2 coswx(sinwx cos π【詳解】 = + = + coswx sin
π)
4 4 4
π
= sin 2wx + cos 2wx +1 = 2 sin(2wx + ) +1 ,
4
當w = 0 時， f (x) 為常數，不合題意，
0 x 1 π 2wx π π當w > 0， 時， + w + ，
2 4 4 4
é0, 1 ù要使 f (x) 在 ê ú 上恰有一條對稱軸和一個對稱中心， 2
π w π 3π 3π 5π則 + < ，即 w < ，
4 2 4 4
1 π π π
當w < 0 ，0 x 時，w + 2wx + ，
2 4 4 4
é0, 1 ù要使 f (x) 在 ê ú 上恰有一條對稱軸和一個對稱中心， 2
π w π π 5π w 3π則- < + - ，即- < - .
4 2 4 4
( 5π , 3π故答案為： - - ]U[
3π , 5π)
4 4 4 4
1
【變式 2】（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x = + 3sinwxcoswx - cos2wx w > 0 ，若 f x
2
的圖象在 0, π 上有且僅有兩條對稱軸，則w 的取值范圍是 ．
é5
【答案】 ê ,
4
6 3 ÷
【分析】運用正余弦二倍角公式及輔助角公式化簡 f x ，由已知條件結合正弦函數性質可
得結果.
【詳解】因為 f x 1 3sinwxcoswx cos2wx 3 sin2wx 1 cos2wx sin 2wx π= + - = - = -

，
2 2 2 ֏ 6
因為 f x 的圖象在 0, π 3π上有且僅有兩條對稱軸，所以 2wπ π 5π- < ，
2 6 2
5 4 5 4
解得 w < ，所以w
é
的取值范圍是 , ．
6 3 ê ÷ 6 3
é5 4
故答案為： ê ,6 3 ÷
.

【變式 3】（2023·上海普陀·三模）設函數 f x 3= sin2wx +cos2wx，其中0 < w < 2 .
2
(1)若 f x 的最小正周期為 π，求 f x 的單調增區間；
(2) f x π ù若函數 圖象在 0, 3 ú 上存在對稱軸，求w 的取值范圍.è
é π
【答案】(1) ê- + kπ,
π
+ kπùú ， k Z 3 6
1
(2) w < 2
2
【分析】（1）根據三角恒等變換化簡函數表達式，然后根據最小正周期公式算出w ，然后利
用正弦函數的單調性求解；
（2）利用正弦函數 y = sin x 的對稱軸公式求參數的范圍.
【詳解】（1）由題意，
f x 3 sin2wx cos2wx 3= + = sin2wx 1+ (cos 2wx +1) = sin 2wx
π 1+ + ，
2 2 2 ֏ 6 2
2π
又0 < w < 2，于是 = π ，則w =1，則 f x π 1= sin
2w
2x + ÷ + ，
è 6 2
π é π
根據正弦函數的單調遞增區間，令 2x + ê2kπ - , 2kπ
π
+ ù
6 2 2 ú
, k Z，

é π π ù
解得 ê- + kπ, + kπú ， k Z ,即為 f (x) 的單調遞增區間. 3 6
x 0, π ù 2wx π π , 2πw π+ + ù（2）當
è 3 ú
， ，
6 è 6 3 6 ú
2πw π π
0 w 2 + ,
3π
注意到題干 < < ，則 ，
3 6 ֏ 6 2
根據正弦函數 y = sin x 的對稱軸 x = kπ
π
+ ,k Z，
2
π π 3π
顯然只有 k = 0 時一條對稱軸 x =
2
,
6 2 ÷
，
è
2πw π π 1
于是 + ，解得w ，
3 6 2 2
1
結合0 < w < 2可得 w < 2
2
題型三　三角函數的最值與 ω 的關系
利用三角函數的最值與對稱軸或周期的關系，可以列出關于 ω 的不等式(組)，進而求出 ω
的值或取值范圍．
【例題 3】（23-24 高三上·廣東·階段練習）已知函數 f x = sin wx π+ ÷ (w > 0)
π
在區間 0,6 2 ÷è è
內有最大值，但無最小值，則w 的取值范圍是（ ）
2 , 8ù é1 , 5 A B C
2 , 5ù é1 8 ． ú ． ．è 3 3 ê6 6 ÷ è 3 6 ú
D． , ÷
ê6 3
【答案】A
【分析】
根據正弦型函數的單調性，結合數形結合思想進行求解即可.
【詳解】因為w > 0，所以當 0 < x π< 2 時，
π wx π π π則有 < + < w + ，
6 6 2 6
因為 f x π 在區間 0, ÷內有最大值，但無最小值，
è 2
π π w π 3π結合函數圖象，得 < + ，
2 2 6 2
2 8
解得 < w ，
3 3
故選：A
【變式 1】（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x = sin wx π+j w > 0 滿足 f x f 12 ÷，è
且 f x é π π ù在區間 ê- , ú 上恰有兩個最值，則實數w 的取值范圍為 ． 3 3
é12
【答案】 ê , 4

5 ÷
π
【分析】先根據 f 12 ÷
是函數的最小值求出w 與j 間的等量關系，進行消元，再結合在給定
è
區間上恰有兩個最值的條件建立不等關系，建立不等關系時，要注意結合三角函數的圖像，
特別注意端點值的取舍．
【詳解】因為 f x f π ÷，所以 f
π = sin π w +j
12 12 ÷ ÷
= -1，
è è è12
π 3π π 3π
所以 w +j = 2kπ + ， k Z ，即j = 2kπ - w + ， k Z ，
12 2 12 2
f x sin wx 2kπ π w 3π cos éw x π ù所以 = + - + ÷ = - ê -

．
è 12 2 è 12
÷
ú
π π 5πw w x π πw當- x 時，- - ÷ w > 0 3 3 12 è 12 4 ．
f x é π , π ù 5πw πw因為 在區間 ê- ú 上恰有兩個最值，且 - >12 4 ， 3 3
ì
w > 0

2π 5πw所以 í- < - -π
12
，解得 w < 4．
12 5
0 πw < < π 4
é12 ,4 故答案為： ê 5 ÷
．

【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于根據已知條件建立不等關系，特別注意端點值的取舍
【變式 2】（23-24 高三下·廣東·階段練習）已知函數 f x = cos wx -j 的圖象關于原點對稱，
其中w > 0，j -π,0 é π π ù，且在區間 ê- , 上有且只有一個最大值和一個最小值，則w 的取 3 6 ú
值范圍為 ．
é 9
【答案】 ê3, 2 ÷
【分析】先根據余弦函數的對稱性求出j ，再根據正弦函數的圖象和性質求解即可.
【詳解】因為函數 f x = cos wx -j 的圖象關于原點對稱，
所以 f 0 = cos -j = cosj = 0，
又因j -π,0 π，所以j = - ，
2
f x cos wx j cos wx π 所以 = - = + ÷ = -sinwx ，
è 2
x é π , π ù wx é π w, π由 ê- ú且w
ù
> 0，得 ê- wú，有且只有一個最大值和一個最小值， 3 6 3 6
ì 3π π π
- < - w - 2 3 2 9
由正弦函數的圖象與性質可得 í ，解得3 w <π π 3π ， w < 2
2 6 2
é 9
所以w 的取值范圍為 ê3, ÷ . 2
é
故答案為： ê3,
9
÷ .
2
【變式 3】（23-24 高三上·遼寧沈陽·階段練習）已知函數 f x 的定義域為D，若存在實數
a x + f x ，使得對于任意 x 1 21 D 都存在 x2 D滿足 = a ，則稱函數 f x 為“自均值函2
數”.
(1)判斷函數 f x = 2x 是否為“自均值函數”，并說明理由；
g x sin wx π(2)若函數 = +

÷ w > 0)， x 0,1 為“自均值函數”，求w 的取值范圍.
è 6
【答案】(1)不是，理由見解析
é5π
(2) ê , +

÷
6
x x
【分析】（1）假設滿足條件得到 2 2 = 2a - x1，分別計算函數 h x1 = 2a - x1， g x2 = 2 2 的
值域，不滿足條件，得到答案.
π
（2）變換得到 sin wx2 + ÷ = 2a - x1， y = 2a - x1的值域是 2a -1,2a ，根據值域關系排除
è 6
w π π π π π+ 的情況，得到w + > ，計算函數最值得到w + π ，解得答案.
6 2 6 2 6
【詳解】（1） f x = 2x ，D = R x，若 f x = 2 是“自均值函數”，
則存在實數 a，使得對于任意 x1 R 都存在 x R
x + f x
2 滿足
1 2 = a ，
2
x1 + 2
x2
即 = a，即 2x2 = 2a - x1，2
函數 h x x1 = 2a - x1的值域為R ， g x2 = 2 2 的值域為 0, + ，不滿足條件，
故函數 f x = 2x 不是為“自均值函數”.
（2）存在 a R ，對于"x1 0,1 ，存在 x2 0,1
x
，有 1
+ g x2 = a ，
2
即 sin

wx
π
2 + = 2a - x ，
è 6 ÷ 1
當 x1 0,1 時， y = 2a - x1的值域是 2a -1,2a ，
g x = sin wx π+ 2 2 ÷在 x2 0,1 值域包含 2a -1,2a ，
è 6
當 x2 0,1 π π π時，w > 0，則 wx2 + w + ，6 6 6
w π π若 + ，則 g x 1= g x ≤1
6 2 2 min
， 2 ，2
g x 1此時 2 值域的區間長度不超過 2 ，而區間 2a -1,2a 長度為1，不符合題意，
π π
于是得w + > ， g x
6 2 2
=1max ，
π
要使 g x2 = sin wx2 + ÷在 x2 0,1 的值域包含 2a -1,2a ，
è 6
π
則 g x2 = sin wx2 + ÷在 x2 0,1 的最小值小于等于 0 ，
è 6
wx π π 3π+ é , ù π 5π又 2 ê ú 時， g x2 遞減且 sin π = 0，而有w + π ，解得w ，6 2 2 6 6
此時取 a
1
= ， y = 2a - x1的值域是 0,1 ，2
而 g x2 0， g x2 =1max ，故 g x2 在 x2 0,1 的值域包含 0,1min ，
所以w
é5π
的取值范圍是 ê , + 6 ÷
.

【點睛】關鍵點睛：本題考查了函數的新定義，意在考查學生的計算能力，轉化能力和綜合
應用能力，其中將題目的新定義問題，轉化為函數的值域的包含問題，再求解是解題的關鍵，
這種轉化思想是常用的思想，需要熟練掌握.
題型四　三角函數的零點與 ω 的關系
T
三角函數兩個零點之間的“水平間隔”為 ，根據三角函數的零點個數，可以研究“ω”的
2
取值．
π
【例題 4】（2023·河南開封·模擬預測）將函數 f x = cos 2x 的圖象向右平移 個單位長度后，
6
1
再將所得圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的 w >1 ，得到函數 g x 的圖象，若在區間
w
0,π 內有 5 個零點，則w 的取值范圍是（ ）
23 w 29 23A． < B． < w
29

12 12 12 12
29 w 35 29 w 35C． < D． < ≤
12 12 12 12
【答案】D
π
【分析】根據三角函數圖象的平移變換可得 g x = cos 2wx - ÷ ，再根據余弦函數的圖象
è 3
9π π 11π
可得 < 2wπ - ，求解即可.
2 3 2
π
【詳解】將函數 f x = cos 2x 的圖象向右平移 個單位長度，得到
6
f x
π
- ÷ = cos
é
ê2
π ù π
6
x -
6 ÷è è ú
= cos 2x - ÷的圖象，
è 3
1 π
再將所得圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的 w >1 ，得到函數 g x = cos 2wx - 的
w ֏ 3
圖象.
x π π 0, π 時， 2wx - éê- , 2wπ
π
- ，
3 ÷ 3 3
y = cos x y x π , 3π , 5π , 7π , 9π ,11π在 軸右方的零點為 = ,L
2 2 2 2 2 2
因為函數 g x 的圖象在區間 0,π 內有 5 個零點，
9π 2wπ π 11π 29 35所以 < - ，解得 < w ≤ .
2 3 2 12 12
故選:D.
【變式 1】（2023·全國·三模）將函數 f x = sin2x π的圖像先向右平移 個單位長度，再把所
8
2
得函數圖像的橫坐標變為原來的 w > 0 倍，縱坐標不變，得到函數 g x 的圖像，若函數
w
g x π在 , π

÷上沒有零點，則w 的取值范圍是 .
è 4
1 ù é 5ù
【答案】 0, U 1,
è 4 ú ê 4 ú
【分析】先根據平移伸縮得到函數的解析式，再根據無零點列出不等式組，解出取值范圍即
可.
【詳解】將函數 f x = sin2x π的圖像先向右平移 個單位長度，得到函數
8
y = sin2 x π -

÷ = sin

2x
π
-
8 ÷
的圖像，
è è 4
2
再把所得函數圖像的橫坐標變為原來的 w > 0 倍，縱坐標不變，得到函數
w
g x = sin 2 w x π π -

2 4 ÷
= sin wx - ÷ 的圖像，
è è 4
x π , π wx π wπ π當 ÷時， - - ,wπ
π π- ÷ .由 g x 在4 4 4 4 4 , π ÷上沒有零點，得è è è 4
ìwπ π
- kπ, 4 4
í k Z π ， wπ - k +1 π 4
ì
4k
5
+1 w k + ,
4
即 í k Z 0 w 1 5，解得 < 或1 w .
4k +1 k 5+ 4 4
4
0, 1 ù故答案為： ú U
é 5ù
è 4 ê
1, .
4 ú
π 1
【變式 2】（22-23 高三上·寧夏銀川·階段練習）已知函數 f x = cos wx - ÷ - (w > 0) ，將
è 3 2
f x 1的圖像上所有點的橫坐標縮短為原來的 2 ，縱坐標不變，得到函數 g x 的圖像.已知
g x 在 0,p 上恰有 5 個零點，則w 的取值范圍是 .
7
【答案】 2 w <
3
π 1 1 é π π ù
【分析】求得 g x = cos 2wx - ÷ - ，換元轉化為 cost = 在 t ê- , 2πw -è 3 2 2 3 3 ú 上恰有
5

個不相等的實根，結合 y = cos t 的性質列出不等式求解.
g x cos 2wx π 1【詳解】 = - ÷ -
π
，令 t = 2wx - ，
è 3 2 3
由題意 g x 在 0, π 上恰有 5 個零點，
π π
即 cost
1
= 在 t
é
ê- , 2πw -
ù
ú 上恰有 5 個不相等的實根，2 3 3
由 y = cost
11π π 13π 7
的性質可得 2πw - < ，解得 2 w < ．
3 3 3 3
7
故答案為： 2 w < ．
3
【變式 3】（21-22 高三上·福建龍巖·階段練習）已知函數 f (x) = sinwx + 3 coswx(w > 0) .
5
(1)當0 < w < 3時，函數 y = f (x
p
- ) - f (x)
3 的圖象關于直線
x = p 對稱，求 f (x) 在 0,p 上的
w 12
單調遞增區間；
(2)若 f (x)
p p
的圖像向右平移 個單位得到的函數 g(x)在[ ,p ]上僅有一個零點，求 ω 的取值
3 2
范圍．
é
【答案】(1) ê0,
p ù é7p
和 ,p
ù
12 ú ê 12 ú
(2)1 w
5
<
2
f (x) 2sin(wx p y 2sin wx
p
【分析】（1）化簡函數 = + )，得到 = -

÷，結合三角函數的性質，3 è 3
12 p
求得w = k + 2, k Z ，得到w = 2，得出 f x = 2sin 2x + ÷ ，進而求得 g x 的單調增區5 è 3
間.
kp p w p2 + -（ ）令 g(x) = 0 ，求得 x = 3 3 ,k Z ，根據 g(x)在[
p ,p ]上僅有一個零點，列出不等
w 2
式組，即可求解.
【詳解】（1）解：因為 f (x) = sinwx + 3 coswx
p
= 2sin(wx + )(w > 0)，
3
所以 y = f (x
p
- ) - f (x) = 2sinwx - 2sin wx p+
3w 3 ֏
= 2sinwx - 2sinwx cos p - 2coswx sin p
3 3
2(1 sinwx 3= - coswx) = 2sin wx
p
- ÷，2 2 è 3
y p 5p p由 = 2sin

wx -
5
÷的圖象關于直線 x = p 對稱，可得 sin w - = ±1，
è 3 12 ÷ è 12 3
5p p p
所以 w - = kp + , k
12
Z 解得w = k + 2, k Z ，
12 3 2 5
又因為0 < w < 3，所以當 k = 0時，w = 2 .
p p p p
所以 f x = 2sin 2x + ÷ ，令 - + 2kp 2x + + 2kp,k Z2 3 2 ，è 3
5p p
解得- + kp x + kp ,k Z ，
12 12
又由 x 0,p ，所以， k = 0或 k =1，
即 g(x)在 0,p é上的單調遞增區間為 ê0,
p ù é7p
和 ,p
ù
.
12ú ê 12 ú
（2）解：由已知得 g(x) = 2sin[w(x
p
- ) p+ ]，令 g(x) = 0 得w(x
p p
- ) + = kp ,k Z
3 3 3 3 ，
kp p p+ w - p
即 x = 3 3 ,k Z ，因為 g(x)在[ ,p ]上僅有一個零點，
w 2
ì
p kp
p p
+ w -
3 3 p
2 w
p p
(k -1)p + w -3 3 p
所以 í < ,k Z ，
w 2

(k +1)p
p p
+ w -
3 3 > p
w

ì3k -1 ì
w 6k - 2 6k - 2 > 0
2
w 6k 8 , 3k -1由于w > 0，所以 í > - 得 í 6k - 2 ，
2
w 3k + 2< 3k + 2
2 6k -8 < 2
1
解得 k 2
5
< 因為 k Z，所以 k =1，所以1 w <
3 2
【課后強化】
【基礎保分練】
一、單選題
f x sin wx π 1．（2024·內蒙古呼和浩特·一模）已知函數 = - ÷ (w > 0) 在區間 0, π 上有且僅
è 3
有兩條對稱軸，則w 的取值范圍是（ ）
é11,17 17 23ù 11 17 é17 23 A． ê ÷ B , C
ù
． ú ． , ú D． ê , 6 6 è 6 6 è 6 6 6 6 ÷
【答案】A
【分析】由 x
3π π 5π
的取值范圍求出wx
π
-
3 ，再結合題意及正弦函數的性質得到
wπ - < ，
2 3 2
解得即可.
【詳解】當 x 0, π ，則wx π π π- éê- ,wπ -
ù
ú， w > 0 ，3 3 3
3π π 5π é11 17
依題意可得 wπ - <

，解得w ,
2 3 2 ê 6 6 ÷
，

故選：A
2．（2023·浙江杭州·一模）已知函數 f (x) = coswx - 3 sinwx （ω＞0），若 f（x）在區間 0,2p
上有且僅有 3 個零點和 2 條對稱軸，則 ω 的取值范圍是（　　）
é5 4 é13 19
A．
ê
,
6 3 ÷
B．
ê
,
12 12 ÷
é 4 19 é13 4
C． ê , ÷ D． , ÷ 3 12 ê12 3
【答案】D
【分析】首先根據三角函數恒等變換將三角函數化簡成余弦型函數，根據自變量 x 的取值范
p
圍求解出wx + 的取值范圍，進而根據已知條件結合三角函數圖像求得w 的取值范圍
3
【詳解】函數 f (x) = coswx - 3 sinwx
1 3
= 2 coswx - sinwx2 2 ÷÷è
= 2cos wx p+ ÷，
è 3
因為 x [0, 2p ]，
wx p+ ép , 2pw p+ ù所以
3 ê 3 3 ú
，

由于函數 f (x) 在區間[0, 2p ]上有且僅有 3 個零點和 2 條對稱軸，
根據函數的圖像：
5p p 13
所以 2pw + < 3p é，整理得：w ê ,
4
÷．2 3 12 3
故選：D．
π π
3．（2024·河南鄭州·一模）已知函數 f (x) = 2sin wx - (w > 0) é ÷ 在 ê0,
ù
2 ú 上的值域為 -1,2 ，è 6
則w 的取值范圍為（ ）
é4 4A ù é． ê , 2ú B． ê ,
8ù é2 , 4ù é2 , 8ù
3 ú C3 3 ． ê
D．
3 3ú ê3 3ú
【答案】B
π é π π π ù π π π π
【分析】根據題意可得wx - ê- , w - ú ，再利用值域可限定 w - π + ，解6 6 2 6 2 2 6 6
w é 4 , 8ù得 的取值范圍為 ê . 3 3ú
x é0, π ù【詳解】由 ê ú 及w > 0可得wx
π π
- éê- ,
π w π- ùú ， 2 6 6 2 6
根據其值域為 -1,2 ，且 2sin π -

÷ = -1，
è 6
π π π π
由正弦函數圖象性質可得 w - π + ，
2 2 6 6
2 w 8 4 8
即可得 ，解得 w .
3 2 6 3 3
故選：B
4．（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x = sin 2pwx w > 0 在區間 0,2 上單調，且在區間
0,18 上有 5 個零點，則w 的取值范圍為（ ）
1 , 5 é1 5 ùA． ÷ B． ,
è 9 36 ê9 36 ú
1 , 1 é1 , 1ùC． D
è 9 8 ÷
．
ê9 8ú
【答案】D
【分析】根據復合型三角函數最小正周期的計算公式，結合其單調性和零點，可得答案.
f x = sin 2πwx f x T 2π 1【詳解】因為 ，所以函數 的最小正周期 = = w > 0 ．
2πw w
因為 f x 在區間 0,2 1 1上單調，所以 T = 2 1，可得w ；
4 4w 8
因為 f x 5 2 5在區間 0,18 上有 5 個零點，所以 2T 18 < T ，即 18 < ，可得
2 w 2w
1
w 5< ；
9 36
1 1
綜上， w ．
9 8
故選：D．
二、多選題
π
5．（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x = Asin wx +j A > 0,w > 0, j < 2 ÷的部分圖象如è
圖所示，則下列說法正確的是（ ）
j πA． = - 3
π
B．若w = 2，則函數 f x 的對稱中心為 + kπ,0÷ k Z
è 6
C．若函數 f x π , π 5 ù在 ÷內單調遞增，則w 的取值范圍為 0,
è 2 è 6 ú
1 ù
D．若函數 f x 在 -π,2π 內沒有最值，則w 的取值范圍為 0,
è 6 ú
【答案】ACD
【分析】借助圖象可得j 的值，再結合正弦型函數的性質逐項判斷即可得.
【詳解】對 A：由題意可知， A = 2，由 f 0 = 2sinj = - 3 3，可得 sinj = - ，
2
π
因為 j < ，所以j
π
= -
3 ，故選項
A 正確；
2
f x 2sin π= π π kπ對 B：若w = 2，則 2x - ÷，令 2x - = kp , k Z，則 x = + ,k Z，
è 3 3 6 2
所以函數 f x π kπ 的對稱中心為 + ,0÷ k Z ，故選項 B 不正確；
è 6 2
f x 2sin wx π= - π π π對 C：因為 ÷，令- + 2kπ wx - + 2kπ,k Z，
è 3 2 3 2
π 2kπ
得- + x
5π 2kπ
+ , k Z，根據 f x 的部分圖象可知 k = 0，
6w w 6w w
ì π π-
6w 2 1 5 5
所以 í ，即- w 5π ，因為
w > 0，所以0 < w ，故選項 C 正確；
π 3 6 6
6w
π 5π
對 D：由選項 C 可知， k = 0 é ù， f x 在 ê- , ú 上單調遞增． 6w 6w
ì π
- -π
因為 f x 在 -π,2π 6w 1內沒有最值，所以 í ,又w > 05π ，可得0 < w ， 2π 6
6w
故選項 D 正確.
故選：ACD．
6．（23-24 高三下·江蘇揚州·開學考試）已知w > 0，函數 f x = cos π wx + ÷ ，下列選項正
è 6
確的有（ ）
A．若 f x 的最小正周期T π= ，則ω = 4；
2
π
B．當w = 2時，函數 f x 的圖象向右平移 后得到 g x = cos 2x 的圖象；
6
f x π , π w é5 11ùC．若 在區間 2 ÷上單調遞增，則 的取值范圍是è ê
, ú ； 3 6
D．若 f x 在區間 0, π 4 7 ù上有兩個零點，則w 的取值范圍是 , ú；è 3 3
【答案】AC
【分析】利用周期公式可判斷 A 正確；由平移規則可求判斷 B 錯誤；由余弦函數圖像性質
ì
π
π 1 2π
-
2 2 w
πw π
可得 í + -π + 2kπ,k Z，解不等式可判斷 C 正確；根據零點個數可求得
2 6

wπ
π
+ 2kπ,k Z
6
3π π 5π 4 7
wπ + < ，即可得w
é
的取值范圍是 ê , ÷，可得 D 錯誤.2 6 2 3 3
π 2π π
【詳解】對于 A，若 f x 的最小正周期T = ，可得T = = 2 ，可得ω = 4，即 A 正確；2 w
f x cos 2x π對于 B，當w = 2時，可得 = + ÷ ， f x
π
的圖象向右平移 后得到
è 6 6
g x cos π π π= 2

x -

÷ + = cos

6 6 ÷
2x -
6 ÷ ，即 B 錯誤；è è è
w 0 f x π , π π πw π對于 C，由 > 可知若 在區間 ÷上單調遞增，可得wx + + ,wπ
π
+
2 ÷，è 6 è 2 6 6
ìπ π 1 2π -
2 2 w w 2
πw π
ì
因此需滿足 í + -π + 2kπ,k Z

，解得 ；
2 6
í 7 1
- + 4k w - + 2k
π 3 6
wπ + 2kπ,k Z 6
é5 11ù
顯然當 k =1時符合題意，即可得w ê , ú ，所以 C 正確； 3 6
對于 D，當 x 0, π wx π é π ,wπ π+ + ù時， 6 ê 6 6 ú，
3π π 5π 4 7
若 f x 在區間 0, π 上有兩個零點，可得 wπ + < ，解得 w < ；
2 6 2 3 3
é4 7
即w 的取值范圍是 ê , ÷，所以 D 錯誤； 3 3
故選：AC
三、填空題
π
7．（2023·全國·模擬預測）已知函數 f x = sinwx 1- (w > 0) 在區間 , π4 ÷有且僅有 1 個零點，2 è
則w 的取值范圍為 ．
1 , 2 5 ,13 ù【答案】 ÷
è 6 3 è 6 6 ú
8 πw
【分析】先由周期與所給區間長度關系得出 0 < w ，據此可得 的范圍，根據原題可轉
3 4
π 5π
化為討論 在區間內， 在區間內兩種情況得出w 的取值范圍.
6 6
1 π 【詳解】 f x = sinwx - 在
2
, π
4 ÷有且僅有
1 個零點，
è
1 π
即方程 sinwx = 在
2
, π
4 ÷上有且只有
1 個根，
è
T 2π π 3π= π - = 0 w 8由 ，可得 < ，
w 4 4 3
π
因為 x , π
πw
÷ ，所以wx , πw

，
è 4 è 4 ÷
8 0 πw 2π由 0 < w 知 < ，
3 4 3
0 πw π
π
當 < < 時，即0
2
< w < 時，方程 sinwx
1
= 在
4 6 3 2
, π ÷上有且只有 1 個根，
è 4
π
則需 < πw
5π 1 5 1 2
，解得 < w ，所以 < w < ；
6 6 6 6 6 3
π πw 5π 2 10 1 π
當 < 時，即 w <

時，方程 sinwx = 在 , π4 ÷上有且只有
1 個根，
6 4 6 3 3 2 è
5π π 5
則需 < πw 2π + ，解得 < w
13 5 13
8，所以 < w ，滿足 0 < w ，
6 6 6 6 6 6 3
1 2 5 13ù
綜上，w 的取值范圍為 ,6 3 ÷
, ú .è è 6 6
1 2 5 13
故答案為： , ÷
, ù
è 6 3 è 6 6 ú
π π
8．（2024· ·

全國 模擬預測）已知函數 f x = 2sin wx - ÷ w > 0 在區間 0, ÷上不單調，且
è 6 è 3
2π
在區間 , π

÷上單調，則w 的取值范圍是 ．
è 3
é 5 , 8ù【答案】 ê 2 3 ú
π wπ π π 2π
【分析】由函數在區間 0, ÷上不單調，可得 - >3 ，解得w > 2；由函數在區間 , πè 3 6 2 è 3 ÷
2πw π π π π
上單調，可得 - , πw - ÷ kπ - , kπ + ÷ k Z ，列出不等式組求解即可.
è 3 6 6 è 2 2
π π wx π wπ π【詳解】解：因為w > 0，所以當 0 < x < 3 時，- < - < - ．6 6 3 6
因為函數 f x 0, π 在區間 ÷上不單調，
è 3
wπ π π
所以 - > ，解得w > 2．
3 6 2
2π x π 2πw π wx π π當 < < 時， - < - < πw - ．
3 3 6 6 6
因為函數 f x 2π在區間 , π

÷上單調，
è 3
2πw π , πw π kπ π ,kπ π所以 - - ÷ - +
k Z ，
è 3 6 6 è 2 2 ÷
（易錯：在區間上單調需要考慮單調遞增或單調遞減兩種情況），
ì2πw π
- kπ
π
-
3 6 2
所以 í ，其中 k Z ，
πw π- kπ+ π
6 2
3
解得 k
1
- w k 2 + k Z ．
2 2 3
3
由 k
1 2 7
- k + ，得 k ，
2 2 3 3
又因為w > 0，所以 k 0,1,2 ．
2
當 k = 0時，0 < w ；
3
k 1 1 w 5當 = 時， ；
3
5 8
當 k = 2時， w ．
2 3
又因為w > 2，
é 5 8ù
所以w 的取值范圍是 ê , ． 2 3ú
é 5 8ù
故答案為： ê , 2 3 ú
9．（2024·山西晉城·一模）若函數 f (x) = coswx(0 < w <100)

在 π,
5π
上至少有兩個極大值
è 2 ÷
點和兩個零點，則w 的取值范圍為 ．
8 12
【答案】 , 2÷ U ,1005 5 ÷è è
【分析】先求出極大值點表達式，利用題干條件列不等式賦值求解.
2kπ
【詳解】令wx = 2kπ ， k Z ，得 f (x) 的極大值點為 x = ， k Z ，則存在整數 k ，使得
w
ì
w > 0

2kπ
í > π ，
w
2 k +1 π 5π
<
w 2
4(k +1)
解得 < w < 2k(k N*)．
5
因為函數 y = cos x在兩個相鄰的極大值點之間有兩個零點，
4(k +1)
所以 < w < 2k(k N*)．
5
當 k =1
8 12
時， < w < 2．當 k = 2時， < w < 4．
5 5
4(k +1) 4(k + 2)
當 k 2時， < < 2k ．又0 < w <100，
5 5
8 12 16 204 8 12
所以w 的取值范圍為 , 2÷ , 4 5 5 ÷
,6÷ ××× ,100÷ = , 2÷ ,100÷．
è è è 5 è 5 è 5 è 5
8 12
故答案為： , 2÷ ,100

÷
è 5 è 5
【點睛】
4 k +1
關鍵點點睛：本題考查三角函數的圖象及其性質，求出 < w < 2k k N* 并賦值計算5
是解決問題關鍵.
四、解答題
10．（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x = 2sin wx j w 0, j π+ >

÷ .
è 2
(1)若 f x 的圖象經過點 A 3π π ,04 ÷，B , 24 ÷，且點 B 恰好是 f x 的圖象中距離點A 最近的è è
最高點，試求 f x 的解析式；
(2)若 f 0 1 f x 5π= - , π 3π ，且 在 ÷ 上單調，在 0, ÷ 上恰有兩個零點，求w 的取值范圍.
è 9 è 4
f x = 2sin π【答案】(1) x +

4 ֏
14 5ù
(2) ,
è 9 3 ú
【分析】（1）依題意可得函數 f x 的周期求出w ，又過點 B 取最值求j ；
（2）根據 f 0 = -1求j ，由已知條件及正弦函數的性質求w 的取值范圍.
T 3π π π 2π
【詳解】（1）依題意可知： = - = ，即T = 2π= ，所以w =1，
4 4 4 2 w
B π ,2 又過點 ÷，所以1
π π
+j = + 2kπ,k π Z ,即j = + 2kπ,k Z ，
è 4 4 2 4
π π
又 j ，所以j = ，即 f x = 2sin x π+
2 4 ÷
.
è 4
（2）因為 f 0 = 2sinj = -1 j π π π，且 ，所以j = - ，即 f x = 2sin wx -

÷ w > 0 ，2 6 è 6
又當 x
0, 3π ÷時 f x
π π 3π π
恰有兩個零點，- < wx - < w - ，
è 4 6 6 4 6
3π π 14 26
依題意： π < w - 2π，即 < w ，
4 6 9 9
f x 5π , π 5π π又 在 ÷上單調，所以 w - < wx
π π
- < πw - ，
è 9 9 6 6 6
ì5π w π π - - ìw > 0
; 9 6 2
2 14 26
依題意 若 í 0 < w < w π π ，即 í 2 ，所以 ，因 ，故不合題意； πw - w 3 9 9
6 2 3
ì5π π π 6
w -
ìw
9 6 2 5 6 w 5 14 w 26 14 5若 í ，即 í ，所以 ，因 < ，故 < w ；
πw π 3π- w 5 5 3 9 9 9 3
6 2 3
ì5π w π 3π - ìw 3 9 6 2
若 í
πw π 5π
，即 í 8 ，顯然不等式組無解；
- w
6 2 3
w 14 , 5ù綜上 的取值范圍為 .
è 9 3 ú

11．（2023·河北承德·模擬預測）已知w >1，函數 f (x) = cos wx
π
-
3 ÷
.
è
(1)當w = 2時，求 f (x) 的單調遞增區間；
π
(2)若 f (x)
é
在區間 ê ,
π ù
上單調，求w 的取值范圍.
6 3 ú
π
【答案】(1)[- + kπ,kπ
π
+ ],k Z
3 6
(2)w [2, 4]
π
【分析】（1）令-π + 2kπ 2x - 2kπ,k Z求 x 的范圍，即可得增區間；
3
（2）由題意 y = cos t t
πw π
在 [ - ,
πw π
- ]上單調，討論分別為遞減區間、遞增區間求w 的
6 3 3 3
取值范圍.
π π
【詳解】（1）由題設 f (x) = cos(2x - )3 ，令
-π + 2kπ 2x - 2kπ,k Z，
3
π kπ x kπ π ,k Z f (x) [ π所以- + + ，故 的單調遞增區間為 - + kπ,kπ
π
+ ],k Z .
3 6 3 6
x π π é , ù t wx π [ π w π , π w π（2）由 ê ú ，則 = - - - ]， 6 3 3 6 3 3 3
πw π πw π
所以 y = cos t 在[ - , - ]上單調，又w >1，
6 3 3 3
ì πw π
- 2kπ
[ πw π , πw π- - ] [2kπ, π + 2kπ] k Z 6 3若 ， ，則
6 3 3 3 í
， k Z，
πw π- π + 2kπ
3 3
所以 2 +12k w 4 + 6k ， k Z，故 k = 0時 2 w 4 ，滿足題設；
ì πw π- -π + 2kπ
[ πw π , πw π

若 - - ] [-π + 2kπ,2kπ] k

Z 6 3， ，則 ， k Z，
6 3 3 3 í πw π- 2kπ
3 3
所以-2 +12k w 1+ 6k ， k Z，此時沒有滿足題設的 k 值；
綜上，w [2, 4]
【綜合提升練】
一、單選題
π 2π
1．（2023·河南·
é ù
模擬預測）若函數 f (x) = sin(wx + )(w > 0) 在 ê0,6 3 ú 上恰有兩個零點，且在
é π π ù
ê- ,12 12ú 上單調遞增，則
w 的取值范圍是（ ）

11,4ù é11,4ù é11 17 11A． ú B． ê ú C． ê , ÷ D． ,
17
4 4 4 4 4 4 ÷è è
【答案】B
é 2π ù π π
【分析】有函數在 ê0, ú 區間上有兩個零點可知 2π
2π π é ù
w × + < 3π f (x) - ,
3 3 6
，由 在 上
ê 12 12ú
單調遞增可求出w 的取值范圍，然后聯立即可求出答案.
【詳解】解：由題意得：
Q 2π函數 f (x) = sin(wx
π
+ )(w > 0) é在 ê0,
ù
6 3 ú 上恰有兩個零點，
\ 2π w 2π π × + < 3π
3 6 ，
11 17
解得： w < ①，
4 4
π π
又Q f (x)
é- , ù在 ê 12 12ú 上單調遞增，
ì π π π
- w + -
12 6 2
π π π
\ í w + ，解得：12 6 2 0 w > 0

é11 ù
由①②式聯立可知w 的取值范圍是 ê , 4 4 ú
.

故選：B
π
2．（2023·貴州黔東南·三模）已知函數 f x = cos wx + (w > 0)在 0, π 有且僅有兩個零點，
è 6 ÷
則w 的取值范圍是（ ）
é1
A． ê ,
4 1 4ù 4 7 ù é4 7
÷ B． , C． , D． ,
2 3 è 2 3ú è 3 3ú ê 3 3 ÷
【答案】C
【分析】根據余弦函數的性質結合整體思想即可得解.
【詳解】因為 f x = cos π wx + ÷ ，且在 0, π 僅有兩個零點，w > 0，
è 6
故wx
π ,wπ π 4 7 +
3π π 5π ù
，所以 < wπ + ，解得w , .
è 6 6 ÷ 2 6 2 è 3 3ú
故選：C.
π
3．（2022·湖南長沙·模擬預測）已知函數 f (x) = A tan(wx
π
+ )(w > 0) f x ，若 （ ）在區間 ，π
3 ֏ 2
內單調遞減，則w 的取值范圍是（ ）

A． 0
1 1 7
， ÷ B． ( , ) C． (0,
1]U[1 , 7] D． (0,
1) U (1 , 7)
è 6 3 6 6 3 6 6 3 6
【答案】C
π
【分析】轉化為 y = tan(wx
π
+ )(w > 0) 在區間 ，π2 ÷ 內單調遞增，根據正切函數的單調區3 è
π
間求出 y = tan(wx
π
+ )(w π> 0) 的單調遞增區間，再根據區間 ，π3 2 ÷
是 y = tan(wx + )(w > 0)
è 3
的單調遞增區間的子集列式可求出結果.
π π
【詳解】因為 （f x）在區間 ，π ÷ 內單調遞減，所以 A < 0， y = tan(wx + )(w > 0)2 在區間è 3
π
，π2 ÷ 內單調遞增，è
π π π kπ 5π kπ π
由 kπ - < wx + < kπ + ， k Z，得 - < x < + ， k Z，
2 3 2 w 6w w 6w
kπ 5π kπ π
所以 y = tan(wx
π
+ )(w > 0) 的單調遞增區間為 - , +

， k Z，
3 è w 6w w 6w ÷
π π kπ 5π , kπ π 依題意得 ， ÷ - + ， k Z
è 2
，
è w 6w w 6w ÷
ìkπ 5π π
- w 6w 2
所以 í k Z
π kπ π
， ，
+
w 6w
所以 2k
5
- w k 1+ ， k Z，
3 6
2k 5 1 11 1 1由 - k + 得 k ，由0 < w k + 得 k - ，
3 6 6 6 6
1 k 11所以- 且 k Z，
6 6
所以 k = 0或 k =1，
5 1 1
當 k = 0時，- w ，又w > 0，所以0 < w ，
3 6 6
1 7
當 k =1時， w .
3 6
1 1 7
綜上所述：w (0, ]U[ , ] .
6 3 6
故選：C.
4．（23-24 高三上·河北·期末）函數 f x = 2sin wx +j w > 0,0 < j < π 的部分圖象如下圖所
π ù
示，若 f x 在區間 0, ú 恰有一條對稱軸和一個對稱中心，則w 的取值范圍是（2 ）è
é 4 7 4 7 ù
A． ê , B． , 3 3 ÷ è 3 3 ú
é5 , 8 5C． ê ÷ D． ,
8ù
3 3 è 3 3ú
【答案】C
2π
【分析】根據函數圖象求出j ，由 x 的取值范圍求出wx + 的取值范圍，再結合正弦函數
3
圖象得到不等式組，解得即可.
3
【詳解】由圖可知函數過點 0, 3 ，所以 f 0 = 2sinj = 3 ，即 sinj = ，又0 < j < π ，
2
j π j 2π所以 = 或 = ，依題意可得w > 0，
3 3
j π若 = 則靠近 y 軸的最大值的橫坐標不可能為負數，故舍去；
3
j 2π 2π所以 = f x = 2sin ，即 wx +
3 3 ÷
，
è
x 0, π ù wx 2π 2π , wπ 2π+ + ù因為 ，所以 ．
è 2 ú 3 è 3 2 3 ú
又 y = sin x x
2π
， ,3π

3 ÷的圖象如下所示：è
f x 0, π ù要使函數 在區間 恰有一條對稱軸和一個對稱中心，
è 2 ú
3π wπ 2π 5 8 5 8
則 + < 2π，解得 w <
é
，即w 的取值范圍是 ê , .2 2 3 3 3 3 3 ÷
故選：C．
5．（2023·吉林長春·一模）將函數 f (x) = cos

x
2π
+ ÷ 圖象上所有點的橫坐標變為原來的
è 3
1 é0, 2π ù é π π(w > 0) ù，縱坐標不變，所得圖象在區間 ê 3 ú 上恰有兩個零點，且在 ê
- ,
12 12ú 上單調遞w
減，則w 的取值范圍為（ ）
A é
9 ,3ù é9． ê ú B． ê , 4
é11 ù 11
÷ C． ê , 4ú D． ,6
ù
4 4 4 è 4 ú
【答案】C
é 2π ù
【分析】先根據題目的要求伸縮變換得到解析式，然后結合函數在 0,
ê 3 ú
上恰有兩個零點

é π , π ù以及在 ê-12 12ú 上單調遞減，列出不等式組，即可求得本題答案
.

2π
【詳解】依題意可得 y = cos wx + ÷，
è 3
0 x 2因為 π
2π wx 2π 2w π 2π，所以 + + ，
3 3 3 3 3
y 2π 2π π因為 = cos
é ù
wx + ÷在 ê0, 3 ú 恰有
2 個零點，且 cos + k1π ÷ = 0， k1 Z，
è 3 è 2
5π 2w π 2π 7π 11 17所以 + < ，解得 w< ，
2 3 3 2 4 4
2k π wx 2π π 2k π k Z 2π 2k2π x π 2k π令 2 + + 2 ， 23 2
，得- + + ， k Z，
3w w 3w w 2
令 k2 = 0，得 y = cos
wx 2π é 2π , π ù + ÷在 ê- 上單調遞減，è 3 3w 3w ú
é π , π ù é 2π , π所以 ê- -
ù
12 12 ú ê 3w 3w ú
，

ì 2π π
- - 3w 12
所以 í π π ，又
w > 0，解得0
3w 12
11 é11 ù
綜上所述， w 4，故w 的取值范圍是 , 4 ．
4 ê 4 ú
故選：C.
6．（2024·貴州貴陽·一模）將函數 f x =sinx π的圖像先向右平移 個單位長度，再把所得函
3
1
數圖像上的每個點的縱坐標不變，橫坐標都變為原來的 (w > 0) 倍，得到函數 g x 的圖像.
w
π
若函數 g x 在 - ,02 ÷ 上單調遞增，則w 的取值范圍是（ ）è

A． 0,
1 ù 1ù 1 ù
ú B． 0, ú C． 0, ú D． 0,1 è 6 è 3 è 2
【答案】B
【分析】首先求函數 g x π的解析式，再根據 x - ,0 ÷，代入函數的解析式，結合正弦導
è 2
函數的圖像和性質，即可求解.
π
【詳解】由三角函數的圖像變換規律可知， g x = sin wx - ÷，
è 3
x π π π π - ,0

÷，wx - - ×w - ,
π
-
2 3 2 3 3 ÷
，
è è
因為函數 g x π在 - ,0
π w π π- × - - w > 0
è 2 ÷
上單調遞增，所以 ，且 ，
2 3 2
1
得0 < w .
3
故選：B
7．（2024·四川雅安·三模）已知函數 f x = sinwx + 3coswx(w > 0)，則下列說法中正確的個
數是（ ）
①當w = 2時，函數 y = f x - 2logπ x 有且只有一個零點；
②當w = 2時，函數 y = f x +j π為奇函數，則正數j 的最小值為 ；
3
③若函數 y = f x 0, π w 1在 3 ÷上單調遞增，則 的最小值為 ；è 2
④若函數 y = f x 在 0, π 上恰有兩個極值點，則w 13 25ù的取值范圍為 , .
è 6 6 ú
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】利用輔助角公式化簡函數，由圖象分析判斷①；由正弦函數的性質判斷②③；由
極大值的意義結合正弦函數的性質判斷④.
【詳解】依題意，w > 0，函數 f (x) = 2(1 sinwx 3+ coswx) = 2sin(wx π+ )，
2 2 3
對于①： f (x)
π
= 2sin(2x + )，令 y = f x - 2logπ x = 0 ，即 f x = 2log3 π
x，
作出函數 y = f (x) 和函數 y = 2logπ x的圖象，如圖，
(0, 7π) f (13π觀察圖象知，兩個函數在 上只有一個零點， ) = 2sin
5π
= 2，
12 12 2
當 x
13π 13π
= 時， y = 2logπ = 2log
13
π +2logπ π = 2+2log
13
12 12 12 π
> 2，
12
x 13π當 > 時， 2logπ x > 2 f (x) ，12
因此函數 y = f x 與函數 y = 2logπ x的圖象有且只有一個交點，①正確；
對于②： f (x +j) = 2sin(2x + 2j
π π
+ )為奇函數，則 2j + = kπ,k Z ，
3 3
j π kπ π= - + ,k Z，即正數j 的最小值為 ，②正確；
6 2 3
π π π π(w +1) π
對于③：當 x (0, ) 時，wx + ( , ) ，由 y = f x 3 在 (0, )3 上單調遞增，3 3 3
ì π(w +1) π
1 1
得 í 3 2 ，解得0 < w≤ ，正數w 有最大值 ，③錯誤；
2 2 w > 0
對于④：當 x (0, π) wx
π
時， + (
π ,wπ π+ ) ，而 y = f x 在 (0, π) 上恰有兩個極值點，
3 3 3
3π π 5π 7 13 7 13
由正弦函數的性質得 < wπ + ，解得 < w ，因此w 的取值范圍是 ( , ]，④
2 3 2 6 6 6 6
錯誤.
綜上，共 2 個正確，
故選：B.
p p
8．（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x = 3 cos wx + ÷ + cos wx - ÷ w > 0
p p 在 ，
3 6 2 ÷è è è
上單調遞增，則w 的取值范圍是（ ）
é 4 5ù é5 11ù é5 11ù é7 ù
A． ê ，ú B． ê ， ú C． ， D． ，2 3 3 6 6 ê3 6 ú ê 6 ú
【答案】C
【分析】根據函數結構特征利用三角恒等變換公式將函數解析式化為一角一函數形式，再結
合三角函數的圖象與性質進行求解即可.
p
【詳解】法一:由題 f x = 3 cos wx + ÷ + cos wx
p
- = 3 cos wx p+ ÷ ÷ + sin
p
wx +

3 ÷è è 6 è 3 è 3
2cos wx p p p= + -

÷ = 2cos

wx +
p
÷，令p + 2kp wx + 2p + 2kp ， k Z ，
è 3 6 è 6 6
5p 11p
因為w > 0 + 2kp + 2kp，所以 6 x 6 ， k Z ，
w w
π 5p 11p+ 2kp + 2kp
因為 f x 在 ,π ÷上單調遞增，所以 6 p 且 6 p ，è 2 w 2 w
5 4k 11 5 11 1得 + w + 2k ．由 + 4k + 2k ，得 k ，
3 6 3 6 12
5 11
又 k Z 且w > 0，所以 k = 0， w .
3 6
故選:C.
法二:由題 f x = 3 cos wx p p p p + ÷ + cos wx -

÷ = 3 cos

3 6
wx + ÷ + sin3
wx + ÷
è è è è 3
= 2cos p p wx + - ÷ = 2cos

wx
p
+ ÷，
è 3 6 è 6
p x p wp p wx p p由 < < ，得 + < + < wp + ，
2 2 6 6 6
設 f x p T p的最小正周期為 T，則由題意得p - = ，所以0 < w 2，
2 2 w
p wp p p
從而 < + p + ，結合函數 y = cos x在 p , 2p π 上單調遞增， f x 在 ,π ÷上單調遞6 2 6 6 è 2
wp p
增，得 + p
p 5 11
，且wp + 2p ，解得 w .
2 6 6 3 6
故選:C.
二、多選題

9．（2023·吉林·模擬預測）已知函數 f (x) = cos wx
π
- ÷ + B(w > 0, B > 0) ，則（6 ）è
π
A．若函數 f (x) 的圖象關于直線 x = 對稱，則w 的值可能為 33
x f (x) = B [0, p] w é
11,14 B．若關于 的方程 在 上恰有四個實根，則 的取值范圍為 ÷
ê 3 3
π
C．若函數 f (x) 的圖象向右平移 個單位長度，再向下平移B個單位長度，得到的函數 g(x)
3
為奇函數，則w 的最小值是 1
π 3π
D．若函數 f (x)
é
在區間 ê ,
ù
4 4 ú 上單調，則
1 w 2

【答案】BC
1
【分析】根據函數的對稱軸代入得出w = 3k + (k Z) 判斷 A，由根的個數可確定
2
7π wπ π 9π - < ，據此判斷 B，平移后由函數為奇函數可得w = 3k +1(k Z)，可判斷 C，
2 6 2
特殊值檢驗可判斷 D.
π πw π
【詳解】對于 A，因為函數 f (x) 的圖象關于直線 x = 對稱，所以 - = kπ(k Z)3 ，則3 6
w 1= 3k + (k Z) ，因為w > 0，則w 的值不可能為 3，故 A 錯誤；
2
π é π π
對于 B，當 x [0, π]時，wx - ê- ,wπ -
ù
ú，若 f (x) = B在 x [0, π]上恰有四個實根，則6 6 6
7π wπ π 9π 11 14 - < ，解得 w < ，故 B 正確；
2 6 2 3 3
對于 C，由已知得 g(x) = cos
éw x π π ù é πw π ùê - ÷ - ú = cos êwx -
+ ÷ú ，因為函數 g(x)為奇函數，
è 3 6 è 3 6
πw π π
所以 + = kπ + (k Z)，即w = 3k +1(k Z)，因為w > 0，所以w 的最小值是 1，故 C
3 6 2
正確；
對于 D，當w = 2時， f (x) = cos 2x
π é π 3π- ù÷ + B(B > 0)，因為 x
è 6 ê
, ú ， 4 4
2x π é π , 4π ù é π 3π- ù所以 ê ú，所以函數 f (x) 在區間 ê ,4 4 ú 上不單調，故
D 錯誤．
6 3 3
故選：BC．
π
10．（23-24

高三上·山東濱州·期末）已知函數 f x = cos wx + ÷ w > 0 3 ，下列選項中正確的有è
（ ）
A．若 f x 的最小正周期T = 2，則w = π
B．當w = 2時，函數 f x π的圖象向右平移 個單位長度后得到 g x = cos 2x 的圖象
3
C．若 f x 在區間 0, π 上單調遞減，則w 的取值范圍是 0,
2ù
è 3 ú
D．若 f x 1 7 ù在區間 0, π 上只有一個零點，則w 的取值范圍是 ,
è 6 6 ú
【答案】ACD
【分析】利用最小正周期公式可得w ，可判斷 A；利用三角函數圖象的平移可得 g(x)，可判
斷 B；利用余弦函數的減區間列不等式組求w 的取值范圍，可判斷 C；結合 y = cos x在區間
0, π 上只有一個零點，列不等式組可求w 的取值范圍，可判斷 D.
2π
【詳解】對于 A：由 f x 的最小正周期T = 2可得 = 2，又w > 0，解得w = πw ，故 A 正確；
對于 B：當w = 2時， f x = cos 2x
π
+ π÷，將其圖象向右平移 個單位長度后，得
è 3 3
g x cos é2 x π π ù cos π= - + = ê 3 ÷ 3 ú 2x - ÷ 的圖象，故 B 錯誤； è è 3
x 0, π π wx π wπ π π對于 C：由 得 < + < + ，令wx + = t ，
3 3 3 3
則 y = cos t
π π
在區間 ,wπ + ÷ 上單調遞減，
è 3 3
ìw > 0
2
于是 í π ，解得0 < w
2
w ù，即 0, ，故 C 正確；
wπ + π 3 è 3
ú
3
對于 D：因為 f x 在區間 0, π 上只有一個零點，
y = cos t π π 所以 在區間 ,wπ + ÷ 只有一個零點，
è 3 3
ì
w > 0

wπ π π+ > 1 w 7< w
1
于是 í ，解得 ，即 ,
7 ù
ú，故 D .
3 2 6 6 è 6 6
正確


wπ
π 3π
+
3 2
故選：ACD.
11．（2023·安徽·模擬預測）已知函數 f x = sinwx + 3coswx(w > 0)，下列說法正確的是
（ ）
A．函數 f x 的值域為 -2,2
B．若存在 x1, x2 R ，使得對"x R 都有 f x1 f x f x2 ，則 x1 - x2 的最小值為
2π
w
é π π ù 1 ù
C．若函數 f x 在區間 ê- , ú 上單調遞增，則w 的取值范圍為6 3 0, è 2 ú
D．若函數 f x 在區間 0, π 上恰有 3 個極值點和 2 個零點，則w 的取值范圍為
13 8ù
,
è 6 3 ú
【答案】ACD
【分析】化簡 f x 的解析式，根據三角函數的值域、最值、周期、單調性、極值點等知識
對選項進行分析，從而確定正確答案.
【詳解】已知函數 f x = 2sin π wx + ÷，可知其值域為 -2,2 ，故選項 A 正確；
è 3
若存在 x1, x2 R ，使得對"x R 都有 f x1 f x f x2 ，
所以 x1 - x
T π
2 的最小值為 = ，故選項 B 錯誤；2 w
函數 f x π π的單調遞增區間為 2kπ - wx + 2kπ π+ ，
2 3 2
é2kπ 5π πê - 2kπ +
ù
ú
x 6 6ê ,w w ú
k Z ，
ê ú

ì
2kπ
5π
- π
6 - w 6 1
所以 í ，令 k = 0，則0 < w ,\w 的取值范圍為 0,
1 ù
ú ，故選項 C 正確；
2kπ π+ 2 è 2
6 π
w 3
若函數 f x 在區間 0, π wx π π ,wπ π 上恰有 3 個極值點和 2 個零點， + + ÷，3 è 3 3
5π wπ π 3π 13 8由如圖可得： < + < w ，
2 3 6 3
13 8
\w 的取值范圍為 ,
ù
ú ，故選項 D 正確；è 6 3
故選：ACD
三、填空題
p
12．（2023·山東·模擬預測）已知函數 f ( x ) =| sin w x | + | cos w x | (w > 0)
,p 在區間 4 ÷
上單調遞
è
增，則w 的取值范圍是 ．
1 ù
【答案】 0,
è 4ú
【分析】將 f (x) 變形，求出 f (x)
π
單調遞增區間，將 ( , π) 包含于 f (x) 單調遞增區間列式即可.
4
【詳解】解： f (x) = 1+ 2 | sinwx || coswx | = 1+ | sin 2wx | 1 1- cos 4wx= + ，
2
令 2kπ 4wx (2k +1)π
kπ x (2k +1)π， k Z，所以 ,k Z，w > 0．即 f (x) 單調遞增區
2w 4w
[ kπ , (2k +1)π間為 ],k Z，w > 0，
2w 4w
ì kπ π


2w 4 2k w 2k +1所以只需 í k Z ,k Z(2k 1)π ， ，解得 ，
w > 0，
+ π 4
4w
ì
2k
2k +1

4 1 1 1
則 í - < k 2k 1 ，解得 ，又
k Z，所以 k = 0，所以0 < w ，即w 的取值范圍
+ 0 2 6> 4
4
0, 1 ù是 ．
è 4ú
1 ù
故答案為： 0, .
è 4ú
13．（2024·廣西賀州·一模）已知函數 f (x) = 4sinwx, g(x) = 4cos(wx
π
- ) + b(w > 0) ，且
3
"x1, x2 R,| f (x1) - g(x2 ) | 8，將 f (x) = 4sinwx
p
的圖象向右平移 3w 個單位長度后，與函數
uuur uuur
g(x)的圖象相鄰的三個交點依次為 A，B，C，且BA × BC < 0，則w 的取值范圍
是 ．
2π
【答案】 (0, )
8
【分析】求出函數 f (x), g(x)的值域，由給定不等式求出b ，求出 f (x) 的圖象平移后的函數
解析式，作出圖形，數形結合求解即得.
【詳解】依題意，函數 f (x) 的值域為[-4,4]， g(x)的值域為[b - 4,b + 4]，
由"x1, x2 R, f (x1) - g(x2 ) 8，得 | (b - 4) - 4 | 8，且 | (b + 4) - (-4) | 8，解得b = 0，
g(x) π π= 4cos(wx - ) = 4sin(wx + ) ，將 f (x) = 4sinwx p的圖象向右平移 3w 個單位長度后，3 6
得 h(x) = 4sinw(x
p
- ) = 4sin(wx p- ) ，在同一坐標系內作出函數 y = g(x), y = h(x)的圖象，
3w 3
觀察圖象知， | AC |
2π
= ，取 AC 中點D，連接BD，由對稱性知 | AB |=| BC |，BD ^ ACw ，
uuur uuur
由BA × BC < 0，得 ABC
π
> ，即 ABD
π
> ， | AD |>| BD |，
2 4
由h(x) = g(x)
p
，得 sin(wx - )
π p π
= sin(wx + ) ，則wx - +wx + = π + 2kπ,k Z，
3 6 3 6
wx 7 π kπ,k 7 p解得 = + Z ，于是 y = 4sin( π + kπ - ) = ±2 2 ，則 | BD |= 4 2 ，
12 12 3
π
因此 > 4 2 2π，解得0 < w < ，
w 8
所以w 的取值范圍是 (0, 2π) .
8
(0, 2π故答案為： )
8
【點睛】關鍵點點睛：解決兩個正余弦型函數圖象交點問題，利用誘導公式化成同名函數，
作出對應圖象是解題的關鍵.
π
14．（2024·浙江·模擬預測）設函數 f x = sin -wx ÷ (w > 0) ，若存在 x0 0, π 使 f x
1
è 6 0
=
2
成立，則w 的取值范圍是 .
【答案】 (
4 , + )
3
π π π
【分析】根據題意確定 x 0, π 時， -wx ( -wπ, )，結合正弦函數的圖象和性質找到
6 6 6
當 x
π π 1
< 時，離 最近且使得 sinx = 的 x 值，由此列出不等式，即可求得答案.
6 6 2
【詳解】由于函數 f x = sin π -wx

÷ (w > 0) ，
è 6
π π π
當 x 0, π 時， -wx ( -wπ, )，
6 6 6
y = sinx x π π 1 7π根據正弦函數 的性質可知當 < 時，離 最近且使得 sinx = 的 x 值為- ,
6 6 2 6
故存在 x 0, π f x 1 π0 ，使 0 = 成立，需滿足 -wπ<
7π
- ,\w 4> ，
2 6 6 3
4
即w 的取值范圍為 ( , + )，
3
故答案為： (
4 , + )
3
四、解答題
r
15．（22-23 高三上·安徽阜陽·期中）已知向量m = 3sinwx,
3 nr 3- ÷， = , coswx ÷÷，w > 0，è 2 è 2
函數 f x mr r= × n ．
1
(1)若w = ，求 f x 在 0,3π 上的單調遞減區間；
3
3
(2)若關于 x 的方程 f x = - 在 0,1 上有 3 個解，求w 的取值范圍．
2
【答案】(1) 2π,3π
é
(2) ê2π,
10π
÷．
3
1 π
【分析】(1)化簡得 f x = 3sin x - ÷，由正弦函數的性質可得函數 f x 的單調遞減區間
è 3 6
為[2π + 6kπ,5π + 6kπ] k Z ，進而可得在 0,3π 上的單調遞減區間；
sin wx π 1(2)由題意可得 -
= - x ,0, 4π , 2π ,10π , 4π÷ ，從而可得 =L ,L，結合題意可得
è 6 2 3w w 3w w
ì10π
>1 3w
í .
2π
，求解即可
1
w
f x mr r 3
3 3 1
【詳解】（1）解：依題意， = ×n =

3sinwx, -

÷ × , coswx ÷÷ = 3 sinwx - coswx ÷è 2 2 2 2 ÷è è
= 3sin π wx -

÷，
è 6
w 1當 = 時， f x 1 π= 3sin x - ．
3 è 3 6 ÷
π 2kπ 1 x π 3π令 + - + 2kπ k Z ，
2 3 6 2
得 2π + 6kπ x 5π + 6kπ k Z ，
當 k = 0時， 2π x 5π，
故 f x 在 0,3π 上的單調遞減區間為 2π,3π ；
π 1
（2）解：依題意， sin wx - ÷ = - ，
è 6 2
wx π 7π 2kπ k Z wx π 11π則 - = + 或 - = + 2kπ k Z ，
6 6 6 6
4π 2kπ
則 x = + k Z x 2π + 2kπ 或 = k Z ．
3w w w
則 x =L,0,
4π , 2π ,10π , 4π ,L，
3w w 3w w
ì10π
>1 3w 10π
則 í2π ，解得
2π w < ，
1 3
w
w é2π,10π 即 的取值范圍為 ê ÷． 3
16．（2023·湖南長沙·模擬預測）在VABC 中，內角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，已知邊 c = 6，
且 sin A + sin B = 2sin C ．
(1)求VABC 面積的最大值；
(2)設當VABC 的面積取最大值時的內角 C 為j ，已知函數 f (x) = sin(wx -j)(w > 0)在區間

0,
π
2 ÷上恰有三個零點和兩個極值點，求
w 的取值范圍．
è
【答案】(1) 9 3
14 w 17(2) <
3 3
【分析】（1）法一：由正弦定理可得 a + b = 2c，推出頂點 C 的軌跡是以 A, B為焦點的橢圓，
利用橢圓的幾何性質結合三角形面積可求得答案；法二：由正弦定理可得 a + b = 2c，利用
cosC 54 - ab余弦定理求得 = ，進而求出 sin C ，利用三角形面積公式結合基本不等式可求得
ab
答案；
π
（2）由條件可確定 f (x) = sin

wx -

÷ ，根據函數的零點個數以及極值點個數列出相應不等
è 3
式可求得答案.
【詳解】（1）法一：由題意知 c =| AB |= 6，
由 sin A + sin B = 2sin C 得： a + b = 2c，即 | CA | + | CB |=12 >| AB |，
則頂點 C 的軌跡是以 A, B為焦點的橢圓（除去長軸的兩個端點），
當頂點 C 為橢圓的短軸的端點時VABC 的面積最大，
π
此時 a = b = c = 6，VABC 是等邊三角形，C = ，
3
S 1所以 VABC = ×62 ×sin
π
= 9 3
max ．2 3
法二：由 sin A + sin B = 2sin C 得： a + b = 2c =12，
2
QcosC a + b
2 - 36 (a + b)2 - 36 - 2ab 54 - ab
= = = ，
2ab 2ab ab
\sin C = 1- cos2 C 6= 3ab -81，
ab
1 2
所以 S△ABC = absin C = 3 3ab 81
a + b
- 3 3 ÷ -81 = 9 3 ，2 è 2
當且僅當 a = b時取等號，
此時VABC
π
是等邊三角形，C = ，VABC 的面積的最大值為
3 9 3
.
π
（2）由（1）有 f (x) = sin wx - 3 ÷
，
è
x 0, π當

÷ 時，wx
π π wπ π
- - , -
2 3 3 2 3 ÷
，
è è
Q函數 f (x) = sin(wx -j)(w > 0) 在區間 0,
π
2 ÷上恰有三個零點和兩個極值點，è
2π wπ π 5π 14 17則 < - ，解得 < w ．
2 3 2 3 3
π
17．（2023·江蘇鹽城·三模）已知函數 f x = 2a sin ax + a cos ax + ÷ + b a > 0 的值域為
è 4
-1,3 .
(1)求 f x 的單調遞增區間；
(2)若 f wx w > 0 é在 ê0,
π ù
ú上恰有一個零點，求w 的取值范圍. 6
ékπ 3π , kπ π ù【答案】(1) ê - + ú k Z 8 8
é11,19 (2) ÷
ê 4 4
【分析】（1）利用三角恒等變換化簡函數 f x 的解析式，利用函數 f x 的值域可得出關于
a、b 的方程組，解出這兩個量的值，可得出函數 f x 的解析式，，利用正弦型函數的單調
性可求得函數 f x 的遞增區間；
f wx w > 0 0 x π π 2wx π πw π（2）由（1）可得出 的表達式，由 ，則 + + ，根據
6 4 4 3 4
已知條件可得出關于w 的不等式，解之即可.
【詳解】（1）解：

f x = 2a sin ax + a cos ax π+ ÷ + b
2 2
= 2a sin ax + a cos ax - sin ax + bè 4 è 2 2
÷÷

2 a sin ax 2 a cos ax π= + + b = a sin ax +

2 2 4 ÷
+ b，
è
a = 2
因為 a > 0，且函數 f ì
-a + b = -1 ì
x 的值域為 -1,3 ，則 í
a + b
，解得
= 3 í b
，
=1
所以， f x = 2sin 2x π+ 4 ÷ +1，è
2kπ π 2x π 2kπ π k Z 3π π由 - + + 可得 kπ - x kπ + k Z ，
2 4 2 8 8
é 3π π ù
因此，函數 f x 的增區間為 êkπ - , kπ + ú k Z . 8 8
（2）解：因為 f wx π= 2sin 2wx + ÷ +1，
è 4
π π π πw π
由于0 x ，則 2wx + + ，
6 4 4 3 4
π 1
由 f wx = 0可得 sin 2wx +

÷ = - ，
è 4 2
因為 f wx w > 0 é0, π ù 7π πw π 11π 11 19在 ê ú上恰有一個零點，則 + < ，解得 w < . 6 6 3 4 6 4 4
é11 19
因此，w 的取值范圍是 ê , . 4 4 ÷
18．（23-24 高三上·山東濟寧·階段練習）已知函數
f (x) = 4sin2 π + 2x ÷ ×sin x + (cos x + sin x) × (cos x - sin x)．
è 4
(1)化簡函數 f (x) ；
π 2π
(2)已知常數w > 0 y = f (wx) é ù，若函數 在區間 ê- , 上是增函數，求w 的取值范圍 2 3 ú
【答案】(1) f (x) = 2sin x +1

(2) 0,
3ù
．
è 4 ú
【分析】（1）由二倍角公式、誘導公式、平方關系化簡可得；
（2）利用正弦函數性質求得函數的單調增區間，然后利用集合的包含關系得出不等關系后
可得參數范圍．
【詳解】（1）
f (x) = 2 é ê1- cos
π + x ù 2 2 2 2 ÷ú
×sin x + cos x - sin x = (2 + 2sin x) ×sin x +1- 2sin x = 2sin x +1；
è
（2）∵ f (wx) = 2sinwx +1，
π 2kπ wx π 2kπ(k π 2kπ π 2kπ由- + + Z) 得：- + x + (k Z) ，
2 2 2w w 2w w
y f (wx) é π 2kπ , π 2kπ∴ = - + + ù的遞增區間為 ê ú ,k Z， 2w w 2w w
y f (wx) é π , 2π ù é π , 2π π π∵ = - ù é ù在 ê 上是增函數，∴當 k = 0時， - - , ， 2 3 ú ê 2 3 ú ê 2w 2w ú
ì
w > 0

p p , 3 3∴ í- - 解得0 < w ,\w
ù
的取值范圍是 0, ú ;
2w 2 4 è 4
p 2p
2w 3
19．（2023 高三·全國·專題練習）已知函數 f (x) = 2sin(2wx
π
+ )(w > 0) .
6
(5π
3π
(1)若點 ,0)是函數 f (x)
é ù
圖像的一個對稱中心，且w (0,1) ，求函數 f (x) 在 ê0, ú 上的值8 4
域；
π 2π
(2)若函數 f (x)

在 ,3 3 ÷上單調遞增，求實數
w 的取值范圍.
è
【答案】(1)[-1,2]
1
(2) ù 0,
è 4ú
4 1 2
【分析】（1）利用整體代入法求w = k - ÷，從而得到w = ，進而利用正弦函數的性質，5 è 6 3
結合 x 的取值范圍即可得解；
（2）利用整體代入法求得 f (x) 的單調性，從而利用數軸法得到關于 k0 ,w 的不等式，結合正
弦函數的周期性先確定 k0 的值，再得到w 的取值范圍，由此得解.
5π π 4 1
【詳解】（1）由題意得:w × + = kπ,k Z ,\w = k - ÷ ,k Z,4 6 5 è 6
Qw (0,1) 2\w = ,
3
\ f (x) = 2sin π 4 π 2wx + ÷ = 2sin

x +
,
è 6 ÷ è 3 6
Q x éê0,
3π ù 4 π π 7π
ú ,\ x +
é ù
4 3 6 ê
, ú ， 6 6
sin 4 x π\ + é 1 - ,1ù ，
è 3 6 ÷ ê 2 ú
é0, 3π故函數 f (x)
ù
在 ê ú 上的值域為[-1,2] . 4
π 2kπ 2wx π π 2kπ, k Z kπ π（2）令- + + + ，解得 - x
kπ π
+ ，
2 6 2 w 3w w 6w
Q π 2π函數 f (x)

在 , 上單調遞增，
è 3 3 ÷
π , 2π k\ 0π π , k- 0π π+ ,k3 3 ÷ w 3w w 6w ÷ 0
Z，
è è
ìk0π π π
- w 3w 3 ì 3k0 1+w\í ,即 í ,
k0π π 2π+ 6k0 +1 4w
w 6w 3
2π π 1 1 2π 3
又w > 0， - T = × ,\0 < w ,
3 3 2 2 2w 2
1 5 1
\- < k0 ,\k0 = 0,\0 < w ，6 6 4
1 ù
所以w 的取值范圍為 0, .
è 4ú
【拓展沖刺練】
一、單選題
p é π 3 ù
1．（2023·

廣西·模擬預測）已知函數 f (x) = cos wx + 3 ÷
(w > 0)在區間
è ê
, π
4 4 ú
上單調遞減，

則實數w 的取值范圍為（ ）

A． 0,
8ù
ú B． 1,2 è 9
2ù
C． 0,1 D． 0,
è 3 ú
【答案】A
【分析】先由周期大于等于單調區間的長度的 2 倍，求得w 的初步范圍，然后結合余弦函數
的單調性進一步確定w 的范圍，得到答案.
π πw π 5π 3πw π
【詳解】由題意有T
2π
= π
w ，可得
0 < w 2，又由 < + ，必有 + π ，可
3 4 3 6 4 3
0 w 8得 < .
9
故選：A
π π 3π
2．（2023·陜西商洛·模擬預測）若函數 g x = cos wx + é ù÷ 在區間 ê ,4 4 ú 上單調遞減，則正è 3
數w 的取值范圍為（ ）
8ù 5 8ù
A． 0, B． ,
è 9 ú è 3 3ú

C． 0,
2ù 8
ú D． ,+

è 3 ÷ è 3
【答案】A
3π π π
【分析】由題意知T 2 -4 4 ÷
= π ，可得w 的大致范圍，由此可得wx + 的取值范圍，再
è 3
由 y = cos x的單調遞減區間列出不等式組，即可解出答案.
【詳解】根據函數 y = g x é π 3π ù在區間 ê , 4 4 ú 上單調遞減，
T 2π 3π π得 = 2
-
w 4 4 ÷
= π，可得0 < w 2，
è
π πw π 5π
又由 < + ，
3 4 3 6
3πw π
必有 + π ，
4 3
可得0
8
< w .
9
故選：A
p π3 ．（2023·四川瀘州·一模）已知函數 f x = 2sin wx - ÷ (w > 0)在 0, ÷上存在最值，且在
è 6 è 3
2π , π ÷上單調，則w 的取值范圍是（3 ）è

A． 0,
2ù é1, 5ù é 5ú B． ê ú C． ê ,
8ù é11,17 ùD．
è 3 3 2 3ú ê 4 3 ú
【答案】C
π 2π
【分析】利用整體法，結合三角函數圖像性質對 x 0, ÷ 進行最值分析，對區間 x , π3 3 ÷è è
上進行單調分析；
π π π wπ π
【詳解】當 0 < x < 時，因為w > 0，則- < wx - < -3 ，6 6 3 6
因為函數 f x 0, π wπ π π在 3 ÷上存在最值，則 - > ，解得w > 2，è 3 6 2
2π x π 2πw π wx π當 < < 時， - < - < πw
π
- ，
3 3 6 6 6
因為函數 f x 2π在 , π

上單調，
è 3 ÷
2πw π π π π
則 - , πw - ÷ kπ - ,kπ +3 6 6 2 2 ÷
k Z ，
è è
ì2πw π π- kπ - ,
3 6 2 3 1 2
所以 í 其中 k Zπ π ，解得
k - w k + k Z ，
πw - kπ + , 2 2 3
6 2
3 k 1 2 7所以 - k + ，解得 k ，
2 2 3 3
又因為w > 0，則 k 0,1,2 ．
2
當 k = 0時，0 < w ；
3
當 k =1時，1 w
5
；
3
5 w 8當 k = 2時， ．
2 3
w > w é 5 8ù又因為 2，因此 的取值范圍是 ê , 2 3ú
．

故選：C．
【點睛】關鍵點睛：整體法分析是本題的突破點，結合三角函數圖像分析是本題的核心.
4．（2023·河南·二模）已知函數 f x = asinwx + bcoswx，其中w > 0，若函數滿足以下條件：
①函數 f x é 3在區間 ê π,
4 πù π ú 上是單調函數；② f x f ÷ 對任意 x R 恒成立； 7 7 è 4
③經過點 b, 2a 的任意直線與函數 y = f x 恒有交點，則w 的取值范圍是（ ）
A． 0,1 éê3,
28ù é 28ù
ú B． (0,1) 3, 9 ê 9 ú
C． 0,1 3,5 7 D． 0,1 3,5
【答案】A
2π π
【分析】根據題意得到函數的周期為 ，由②得到 x = 是函數的一條對稱軸，結合①可
w 4
知0 w
28 28 w 56< ， ，再結合②和③即可求解.
9 5 9
【詳解】由函數 f x = a sinwx + b coswx 2π可知，函數的周期為T = ，
w
f x f p π由條件② ÷ 對任意 x R 恒成立，可知 x = 是函數的一條對稱軸，
è 4 4
é 3 4 ù
結合條件①函數 f x 在區間 ê π, πú 上是單調函數，則有 7 7
ì π
+ n
π 3π ìw 28n×
4 w 7 5 28n w 28(n +1)í ，又w > 0π ，解得 í

(n 1) π 4π w 28(n 1)
，即 ，
+
+ + × 5 9
4 w 7 9
ì28(n +1)
> 0 ìn > -1 9
又因為w > 0，故 í n Z
28(n +1) 28n
，解得 í 5 ，又 ，
n
9 5 4
從而 n = 0或 n =1 .
0 w 28 28 56當 n = 0時， < ；當 n =1時， w ，
9 5 9
由② f x f p ÷ 對任意 x R 恒成立， f (x) = w(a coswx - bsinwx)，則
è 4
f (π) = w(a cos wπ wπ- bsin ) = 0，由③經過點 b, 2a 的任意直線與函數 y = f x 恒有交4 4 4
a
點，得 2a
a
a2 +b2 ，解得 a b ，易知b 0 ， 1，-1 1，
b b
π wπ wπ wπ a wπ
此時由 f ( ) = w(a cos - bsin ) = 0，可得 tan = ，從而-1 tan 1，
4 4 4 4 b 4
0 28 28 56 wπ π 3π wπ 7π由 < w 或 w ，得0 < 或 ，
9 5 9 4 4 4 4 9
28
所以0 < w 1或3 w ，
9
故選：A.
【點睛】根據三角函數的單調性和對稱軸求參數，研究三角函數的性質基本思想將函數看成
y = Asin(wx + j)的形式，根據整體思想來研究相關性質.
二、多選題
5．（2022·山東聊城·一模）已知函數 f x = 2sin wx +j + a,w > 0，則下列結論正確的是
（ ）
A．若對于任意的 x R ，都有 f x 1成立，則 a -1
B．若對于任意的 x R ，都有 f x +p = f x 成立，則w = 2
p 1
C．當j
p
= 時，若 f x é ù 在 ê0, 上單調遞增，則w 的取值范圍為 0,
ù
3 2 ú è 3ú
é p ù
D．當a = - 3時，若對于任意的j R ，函數 f x 在 ê0, ú上至少有兩個零點，則w 的 2
取值范圍為 4, +
【答案】ACD
【分析】由題可得 a 1- 2sin wx +j 恒成立，利用三角函數的性質可判斷 A，利用函數的
wp
周期的含義可判斷 B，利用正弦函數的單調性可判斷 C，由題可得 +j -j 2p ，進而可
2
判斷 D.
【詳解】對于 A，對于任意的 x R ，都有 f x 1成立，
所以 a 1- 2sin wx +j 恒成立，又 sin wx +j -1,1 ，1- 2sin wx +j -1,3 ，
∴ a -1，故 A 正確；
對于 B，由題可得p 是函數的周期，但不能推出函數的最小正周期為p ，故 B 錯誤；
j p é
p ù
對于 C，當 = 時，當 x ê0, ú 時，wx
p p wp p
+ é , + ù
3 2 3 ê 3 2 3 ú
，

wp p p 1
則 + ，w > 0，故0 < w ，故 C 正確；
2 3 2 3
é
對于 D，當a = - 3時，當 x ê0,
p ù é wp ù
2 ú
時，wx +j êj, +j ， 2 ú
p
由 f x = 2sin wx +j - 3 é在 ê0,
ù
ú上至少有兩個零點， 2
wp
則 +j -j 2p ，即w 4，故 D 正確.
2
故選：ACD.
π
6．（2023·廣東湛江·一模）已知w > 0，函數 f x = cos wx + ，下列選項正確的有（3 ÷ ）è
A．若 f x 的最小正周期T = 2，則w = π
B．當w = 2時，函數 f x π的圖象向右平移 個單位長度后得到 g x = cos 2x 的圖象
3
2π é 5ù
C．若 f x 在區間 , π ÷上單調遞增，則w 的取值范圍是 ê1,è 3 3ú
D．若 f x 在區間 0, π 1 7 ù上只有一個零點，則w 的取值范圍是 ,
è 6 6 ú
【答案】ACD
【分析】由余弦函數周期的公式，可判定 A 正確；利用三角函數的圖象變換，可判定 B 錯
2π
誤；根據 f x 在區間 , π ÷上單調遞增，列出不等式組，求得w 的范圍，得到當 k = 0時，
è 3
不等式有解，可判定 C 正確；由 f x 在區間 0, π 上只有一個零點，列出不等式組，求得w
的范圍，可判定 D 正確．
2π
【詳解】解：由余弦函數圖象與性質，可得T = = 2，得w = π ，所以 A 正確；
w
當w = 2時，可得 f x π= cos 2x + 3 ÷ ，è
π
將函數 f x 的圖象向右平移 個單位長度后得
3
f x π- = cos é2 x π π ù- + = cos π 3 ÷ ê 3 ÷è è 3 ú
2x - ÷ g x ，所以 B 錯誤；
è 3
ì2πw π+ p + 2kπ
f x 2π

若 在區間 , π
3 3
÷上單調遞增，則 í ,k Z ，
è 3 πw π+ 2π + 2kπ
3
解得1+ 3k
5
w + 2k, k Z，
3
5
又因為w > 0，所以只有當 k = 0時，此不等式有解，即1 w ，所以 C 正確；
3
ìpw π π+ >
f x 0, π
3 2 1 7
若 在區間 上只有一個零點，則 í π 3π ，解得
< w ，所以 D 正確．
pw + 6 6
3 2
故選：ACD．
三、填空題
7．（2024·山東煙臺·一模）若函數 f (x) = sinwx + 3coswx -1在 0,2π 上恰有 5 個零點，且在
[ π- , π ]上單調遞增，則正實數w 的取值范圍為 .
4 15
9 5
【答案】 w
4 2
【分析】根據給定條件，利用輔助角公式化簡函數 f (x) ，再利用正弦函數的性質求解即得.
【詳解】依題意，函數 f (x) = 2sin(wx
π
+ ) -1，由 f (x) = 0 ，得 sin(wx
π
+ ) 1= ，
3 3 2
wx π 2kπ π wx π 2kπ 5π則 + = + 或 + = + , k Z，
3 6 3 6
由 x [0, 2π] wx
π π
，得 + [ , 2πw
π
+ ]，由 f (x) 在[0, 2π]上恰有 5 個零點，
3 3 3
29π π 37π 9 35
得 2πw + < ，解得 w < ，
6 3 6 4 12
π wx π π 5π π 5π π由- + ，得- x ，即函數 f (x) 在[- , ]上單調遞增，
2 3 2 6w 6w 6w 6w
π π 5π π 5π π π π 5
因此[- , ] [- , ]，即- - ，且 ，解得0 < w ，
4 15 6w 6w 6w 4 6w 15 2
9 5
所以正實數w 的取值范圍為 w .
4 2
9 w 5故答案為：
4 2
【點睛】方法點睛：求函數 y = Asin wx +j A > 0,w > 0 的單調區間時，可把wx + j 看成
π 3π
一個整體，由 + 2kπ wx +j + 2kπ k Z 求得函數的單調遞減區間，由
2 2
π
- + 2kπ wx π+j + 2kπ k Z 求得函數的單調遞增區間．
2 2
π
8．（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預測）已知函數 f (x) = -sin wx - ÷ (w > 0)
π
在區間 , π

上單
è 4 ÷ è 3
調遞減，則w 的取值范圍是 .
0, 3ù【答案】
è 4 ú
wπ π wx π【分析】由題可得 - < - < wπ
π
- ，由于 y = -sin x的單調遞減區間為
3 4 4 4
ìwπ π π
é π π ù
- 2kπ -
3 4 2
ê2kπ - , 2kπ + (k Z)，可得 w . 2 2
í
ú wπ π π
，從而求得 的取值范圍
- 2kπ+
4 2
π
【詳解】當 x , π
wπ π wx π π÷ 時， - < - < wπ - ，
è 3 3 4 4 4
y sin x é2kπ π ,2kπ π又 = -
ù
的單調遞減區間為 ê - + ú (k Z)， 2 2
ìwπ π
- 2kπ
π
-
3 4 2
所以 í (k Z)，
wπ π- 2kπ+ π
4 2
3
解得6k - w 2k
3
+ (k Z) 3，且 2k + 6k
3
- (k Z)，解得 k
3
，又w > 0，
4 4 4 4 8
3ù
所以 k = 0，所以w 的取值范圍為 0,
è 4 ú
.
0, 3ù故答案為：
è 4 ú

9．（2024·廣東茂名·一模）函數 f x = 2sin wx
π π π
+ ÷（w > 0

）在區間
6
,
6 2 ÷上有且只有兩è è
個零點，則w 的取值范圍是 .
11,5 17 23ù【答案】 3 ÷
,
è è 3 3 ú
【詳解】利用三角函數的性質分析求解即可.
f x π , π T π 3T由于 在區間 ÷上有且只有兩個零點，所以 <
è 6 2
，
2 3 2
π π 3π
即 < 3 < w 9
π
，由 f x = 0得，wx + = kπ ， k Z ，
w 3 w 6
x π , π∵

÷，∴wx
π
+
πw π πw π
+ , +
6 2 6 ÷
，
è è 6 6 2 6
ì πw π
+ < π
ìπ πw π + < 2π
∴ 6 6 6 6
11 17 23
í 或 í ，解得 < w < 5或 < w ，
2π πw π 3π 3π πw π< + < + 4π 3 3 3
2 6 2 6
w 11 17 23所以 的取值范圍是 ,5÷

,
ù
.
è 3 è 3 3 ú
11,5 17 23ù故答案為： 3 ÷
,
è è 3 3 ú
wx π πw π , πw π 【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是利用整體法得到 + + + ÷，再根據零點6 è 6 6 2 6
個數得到不等式組，解出即可.
四、解答題
π
10．（22-23 高三上·上海黃浦·期中）已知函數 f x = sin wx + ÷，w > 0；
è 3
(1)當w = 2時，求 f x é π ù在 ê0, 的值域； 2 ú
π
(2)若至少存在三個 x0 (0, )使得 f x0 = -1，求w 的取值范圍；3
π é π
(3)若 f x é ù在 ê ,πú 上是增函數，且存在m ê , π
ù f 2m π 2ú，使得 -

÷ >2 成立，求實數
w
2 è 3ω 2
的取值范圍.
【答案】(1)[ 3- ,1]
2
31
(2) ( , + )
2
1 1
(3) ( , ]
8 6
π π 4π
【分析】（1）由題意可得 2x + ,據此即可求得函數的值域；
3 3 3
π π wπ π
（2）由題意得到wx + ( , + ) ,列出關于w 的不等式，求解不等式即可確定w 的取值
3 3 3 3
范圍；
（3）由題意列出關于w 的不等式，求解不等式即可確定w 的取值范圍．
f (x) sin(2x π【詳解】（1）當w = 2時， = + ) ,
3
由 x
π
é ù π π 4π 3ê0, 2 ú ，可得 2x + ,\- sin(2x
π
+ ) 1，
3 3 3 2 3
故 f (x) 的值域為[ 3- ,1]．
2
π π
（2）∵對于函數 f (x) = sin(wx + )(w > 0)3 ，至少存在三個 x0 (0, )，使得
f (x0 ) = -1，3
π
即函數 f (x) = sin(wx
π
+ )(w > 0) 的圖象在 (0, )3 至少有 3 個最低點，3
x (0, π) π π wπ π，所以wx + ( , + )，
3 3 3 3 3
wπ π 3π
故 + > + 2π 2，即有w
31
> ，
3 3 2 2
即w
31
的取值范圍是 ( ,+ ) .
2
f x [ π ,π] π π 1 2π（3）由題意 在 是增函數，則 - ，w > 0，所以0 < w 2，
2 2 2 w
wx π [wπ π ,wp π] wπ π ( π , 4π],wπ π ( π , 7π+ + + ，而 + + ]，
3 2 3 3 2 3 3 3 3 3 3
故wπ
π π
+ ，即0
1
< w ，
3 2 6
π π 2 é π π ù 2
由于存在m [ , π]使得 f (2m - ) > ，即 sin w(2m - ) + > 成立，2 3w 2 ê 3ω 3 ú 2
2 π π
即 sin 2wm > 成立，而 2wm [wπ,2wπ]，又wπ (0, ], 2wπ (0, ]，
2 6 3
故 2wπ
π 1
> ，即w > ，
4 8
1 1
綜上可得， < w ，即w
1 1
的取值范圍是 ( , ] .
8 6 8 6
π
11．（22-23 高三上·遼寧·階段練習）已知函數 f x = sinwx w > 0 ù在區間 0, 6 ú 內是增函è
數．
(1)求w 的取值范圍；
π 2π
(2)將函數 y = f x 的圖像向左平移 個單位長度后得到的圖像與將其向右平移 個單位
3 3
長度后所得到的圖像重合．求w 的值．
【答案】(1) 0 < w 3
(2)2
π
【分析】（1）確定wx 0, w
ù π π
ú ，根據單調性得到 w ，解得答案.è 6 6 2
（2）根據三角函數的平移法則得到w = 2k ，結合w 的范圍得到答案.
π ù π ù
【詳解】（1）因為 x 0, ú，w > 0，則wx 0, wú ，è 6 è 6
已知 f x = sinwx w > 0 在區間 0, π ù π π6 ú 內是增函數，則 w ，解得0 < w 3．è 6 2
sin éw x π ù sin éw x 2π ù sin wx π （2）由已知可得 ê + ÷ú = ê - ÷ú，即 + w ÷ = sin
wx 2π- w ÷，
è 3 è 3 è 3 è 3
π 2π
所以 w - - w ÷ = 2kπ ，即w = 2k ， k Z，當且僅當 k =1時，w = 2，符合0 < w 3．3 è 3
故w = 2．培優點 05 三角函數中有關ω的范圍問題（4 種核心題型+基
礎保分練+綜合提升練+拓展沖刺練）
【考試提醒】
在三角函數的圖象與性質中，ω 的求解是近幾年高考的一個熱點內容，但因其求法復雜，涉
及的知識點多，歷來是我們復習中的難點．
【核心題型】
題型一　三角函數的單調性與 ω 的關系
確定函數的單調區間，根據區間之間的包含關系，建立不等式，即可求 ω 的取值范圍．
2π
【例題 1】（2024·廣東湛江·一模）已知函數 f x = sin wx + ÷ w > 0
π
在區間 ,
π
上單
è 3 è12 6 ÷
調遞增，則w 的取值范圍是（ ）
A． 2,5 B． 1,14 C． 9,10 D． 10,11
【變式 1】（多選）（23-24高三上·遼寧葫蘆島·期末）已知函數 f x = sin wx +j (w > 0,j R)
π , π f π = - f 5π 在區間 4 2 ÷ 上單調，且滿足 4 ÷ ÷ ，下列結論正確的有（ ）è è è 12
f π A． = 0
è 3 ÷
f π - x = f x f x 2πB．若 ÷ ，則函數 的最小正周期為
è 3 3
C．關于 x 方程 f x =1在區間 0,2π 上最多有 4 個不相等的實數解
D．若函數 f x éπ ,11π 在區間 ê ÷ 上恰有 5 個零點，則w
8 ,3ù
3 6
的取值范圍為
è 3 ú
é π π ù
【變式 2】（2024·福建南平·二模）函數 f x = sinwx w > 0 在區間 ê- , 上單調遞增，且 6 3 ú
在區間 0, 2π 上恰有兩個極值點，則w 的取值范圍是 .
π
【變式 3】（23-24 高三下·甘肅·階段練習）已知函數 f (x) = sin
wx + ÷ (w > 0)6 ．è
(1)當w = 2時，求函數 f (x) 在點 (0, f (0)) 處的切線方程；
(2)若函數 f (x) 的導函數為 g(x)，且 g(x) é在 ê0,
π ù
2 ú 上為減函數，求 ω 的取值范圍．
題型二　三角函數的對稱性與 ω 的關系
T
　三角函數兩條相鄰對稱軸或兩個相鄰對稱中心之間的“水平間隔”為 ，相鄰的對稱軸和
2
T
對稱中心之間的“水平間隔”為 ，這就說明，我們可根據三角函數的對稱性來研究其周期
4
性，解決問題的關鍵在于運用整體代換的思想，建立關于 ω 的不等式組，進而可以研究
“ω”的取值范圍．
【例題 2】（2023·內蒙古赤峰·三模）已知函數 f x = 3 sinwx - coswx w > 0 的一條對稱軸
是 x
π
= ，若存在m,c R 使直線 x + my + c = 03 與函數
f x 的圖像相切，則當w 取最小正數
時，實數 m 的取值范圍是（ ）
1
A． - ,0
1 1 , + é- ,0 é1
2 ÷
B．
2 ÷ ê 2 ÷
,+ ÷
è è ê 2
1 1 1 ù é1
C． - , - ÷ U ,+ D． - , - , +
è 4 è 4 ÷ ÷ è 4ú ê 4
1
【變式 1】（2023·四川成都·模擬預測）已知函數 f (x) = 2 2 coswx sin(wx
π
+ ) é的圖象在 ê0,
ù
4 2 ú
上恰有一條對稱軸和一個對稱中心，則實數w 的取值范圍為 .
1
【變式 2】（2024·全國· 2模擬預測）已知函數 f x = + 3sinwxcoswx - cos wx w > 0 ，若 f x
2
的圖象在 0, π 上有且僅有兩條對稱軸，則w 的取值范圍是 ．
【變式 3】（2023·上海普陀· 3三模）設函數 f x = sin2wx +cos2wx，其中0 < w < 2 .
2
(1)若 f x 的最小正周期為 π，求 f x 的單調增區間；
(2)若函數 f x π ù圖象在 0, 3 ú 上存在對稱軸，求w 的取值范圍.è
題型三　三角函數的最值與 ω 的關系
利用三角函數的最值與對稱軸或周期的關系，可以列出關于 ω 的不等式(組)，進而求出 ω
的值或取值范圍．
【例題 3】（23-24 高三上·廣東·階段練習）已知函數 f x = sin wx π+ ÷ (w > 0) 在區間 0,
π
è 6
÷
è 2
內有最大值，但無最小值，則w 的取值范圍是（ ）
2 , 8ù é1 , 5 2 , 5ù é1 8 A． ú B． ê ÷ C． D3 6ú ．
,
è 3 3 6 6 ê6 3 ÷ è
【變式 1】（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x = sin wx +j w > 0 π 滿足 f x f 12 ÷，è
且 f x é π π ù在區間 ê- , ú 上恰有兩個最值，則實數w 的取值范圍為 ． 3 3
【變式 2】（23-24 高三下·廣東·階段練習）已知函數 f x = cos wx -j 的圖象關于原點對稱，
é π π ù
其中w > 0，j -π,0 ，且在區間 ê- , ú上有且只有一個最大值和一個最小值，則w 的取 3 6
值范圍為 ．
【變式 3】（23-24 高三上·遼寧沈陽·階段練習）已知函數 f x 的定義域為D，若存在實數
a，使得對于任意 x1 D x
x1 + f x 都存在 22 D滿足 = a ，則稱函數 f x 為“自均值函2
數”.
(1) x判斷函數 f x = 2 是否為“自均值函數”，并說明理由；
(2)若函數 g x = sin wx
π
+ ÷ w > 0)， x 0,1 為“自均值函數”，求w 的取值范圍.
è 6
題型四　三角函數的零點與 ω 的關系
T
三角函數兩個零點之間的“水平間隔”為 ，根據三角函數的零點個數，可以研究“ω”的
2
取值．
π
【例題 4】（2023·河南開封·模擬預測）將函數 f x = cos 2x 的圖象向右平移 個單位長度后，
6
1
再將所得圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的 w >1 ，得到函數 g x 的圖象，若在區間
w
0,π 內有 5 個零點，則w 的取值范圍是（ ）
23 w 29 23 29A． < B． < w
12 12 12 12
29 w 35 29 35C． < D． < w ≤
12 12 12 12
π
【變式 1】（2023·全國·三模）將函數 f x = sin2x 的圖像先向右平移 個單位長度，再把所
8
2
得函數圖像的橫坐標變為原來的 w > 0 倍，縱坐標不變，得到函數 g x 的圖像，若函數
w
g x π 在 , π ÷上沒有零點，則w 的取值范圍是 .
è 4
π 1
【變式 2】（22-23 高三上·寧夏銀川·階段練習）已知函數 f x = cos wx - 3 ÷ - (w > 0) ，將è 2
f x 1的圖像上所有點的橫坐標縮短為原來的 ，縱坐標不變，得到函數 g x2 的圖像.已知
g x 在 0,p 上恰有 5 個零點，則w 的取值范圍是 .
【變式 3】（21-22 高三上·福建龍巖·階段練習）已知函數 f (x) = sinwx + 3 coswx(w > 0) .
p 5
(1)當0 < w < 3時，函數 y = f (x - ) - f (x) 的圖象關于直線 x = p 對稱，求 f (x) 在 0,p 3 上的w 12
單調遞增區間；
(2)若 f (x)
p p
的圖像向右平移 個單位得到的函數 g(x)在[ ,p ]上僅有一個零點，求 ω 的取值
3 2
范圍．
【課后強化】
【基礎保分練】
一、單選題
1．（2024·內蒙古呼和浩特·一模）已知函數 f x sin π= wx -

3 ÷
(w > 0) 在區間 0, π 上有且僅
è
有兩條對稱軸，則w 的取值范圍是（ ）
é11,17 17 , 23ù 11,17A B C ù é
17 23
． ê ÷ ． ú ． ú D． , 6 6 è 6 6 è 6 6 ê 6 6 ÷
2．（2023·浙江杭州·一模）已知函數 f (x) = coswx - 3 sinwx （ω＞0），若 f（x）在區間 0,2p
上有且僅有 3 個零點和 2 條對稱軸，則 ω 的取值范圍是（　　）
é5
A． ê ,
4 é13 ,19 B．
6 3 ÷ ê12 12 ÷
é 4 ,19 é13 4 C． ê ÷ D． ,3 12 ê12 3 ÷
3．（2024·河南鄭州·一模）已知函數 f (x) = 2sin
π é π ù
wx - ÷ (w > 0) 在 ê0, 2 ú 上的值域為 -1,2 ，è 6
則w 的取值范圍為（ ）
é4 ù é4 , 8ù é2 , 4ù é2 8ùA． ê , 23 ú B． ê C3 3ú ．
D． ,
ê 3 3ú ê 3 3ú
4．（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x = sin 2pwx w > 0 在區間 0,2 上單調，且在區間
0,18 上有 5 個零點，則w 的取值范圍為（ ）
1
A． ,
5 é1
÷ B． ê ,
5 ù
è 9 36 9 36 ú
1 , 1 é1C． ÷ D． ê ,
1ù
è 9 8 9 8ú
二、多選題
5．（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x = Asin wx +j A > 0,w 0, j π> < ÷的部分圖象如
è 2
圖所示，則下列說法正確的是（ ）
j πA． = - 3
π
B．若w = 2，則函數 f x 的對稱中心為 + kπ,06 ÷ k Z è
C．若函數 f x π , π 5 ù在 ÷內單調遞增，則w 的取值范圍為 0,
è 2 è 6 ú
1 ù
D．若函數 f x 在 -π,2π 內沒有最值，則w 的取值范圍為 0,
è 6 ú
π
6．（23-24 高三下·江蘇揚州·開學考試）已知w > 0，函數 f x = cos wx + ÷ ，下列選項正
è 6
確的有（ ）
A．若 f x T π的最小正周期 = ，則ω = 4；
2
π
B．當w = 2時，函數 f x 的圖象向右平移 后得到 g x = cos 2x 的圖象；
6
f x π , π w é5 ,11ùC．若 在區間 2 ÷上單調遞增，則 的取值范圍是 ；è ê3 6 ú
4
D．若 f x 在區間 0, π 上有兩個零點，則w 的取值范圍是 ,
7 ù
；
è 3 3ú
三、填空題
1 π
7．（2023·全國·模擬預測）已知函數 f x = sinwx - (w > 0)在區間 , π4 ÷有且僅有 1 個零點，2 è
則w 的取值范圍為 ．
8．（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x π= 2sin wx -
w > 0 0, π ÷ 在區間 3 ÷上不單調，且è 6 è
2π
在區間 , π 上單調，則w 的取值范圍是 ．
è 3 ÷
5π
9．（2024·山西晉城·一模）若函數 f (x) = coswx(0 < w <100)

在 π,

÷ 上至少有兩個極大值
è 2
點和兩個零點，則w 的取值范圍為 ．
四、解答題
10．（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x = 2sin wx +j w
π
> 0, j ÷ .
è 2
(1)若 f x A 3π ,0 π 的圖象經過點 B4 ÷， , 24 ÷，且點 B 恰好是 f x 的圖象中距離點A 最近的è è
最高點，試求 f x 的解析式；
5π 3π
(2)若 f 0 = -1 ，且 f x 在 , π ÷ 上單調，在 0,

÷ 上恰有兩個零點，求w 的取值范圍.
è 9 è 4
11．（2023·河北承德·模擬預測）已知w >1，函數 f (x) = cos wx
π
-
3 ÷
.
è
(1)當w = 2時，求 f (x) 的單調遞增區間；
π π
(2)若 f (x)
é
在區間 ê ,
ù
6 3 ú
上單調，求w 的取值范圍.

【綜合提升練】
一、單選題
π é0, 2π1．（2023·河南·模擬預測）若函數 f (x) = sin(wx + )(w > 0) ù6 在 ê 3 ú 上恰有兩個零點，且在
é π
ê- ,
π ù
12 12ú 上單調遞增，則
w 的取值范圍是（ ）

11
A． , 4
ù é11,4ù é11,17 11 17
4 ú
B． ê C．4 ú ê 4 4 ÷
D． , ÷
è è 4 4
2．（2023·貴州黔東南·三模）已知函數 f x = cos wx
π
+ ÷ (w > 0)在 0, π 有且僅有兩個零點，
è 6
則w 的取值范圍是（ ）
é1 , 4 1A． ê ÷ B． ,
4ù 4
C． ,
7 ù é4 7
D． , ÷
2 3 è 2 3ú è 3 3ú ê3 3
π π
3．（2022·湖南長沙·模擬預測）已知函數 f (x) = A tan(wx + )(w > 0)，若 （f x

）在區間 ，π
3 ֏ 2
內單調遞減，則w 的取值范圍是（ ）
0 1 (1 , 7A． ， ÷ B． )
1 1 7
C． (0, ]U[ , ] D． (0,
1) U (1 , 7)
è 6 3 6 6 3 6 6 3 6
4．（23-24 高三上·河北·期末）函數 f x = 2sin wx +j w > 0,0 < j < π 的部分圖象如下圖所
f x 0, π ù示，若 在區間 ú 恰有一條對稱軸和一個對稱中心，則w 的取值范圍是（2 ）è
é 4 , 7 4 7 ùA． ê ÷ B． , 3 3 è 3 3 ú
é5
C． ê ,
8 5 , 8ù
3 3 ÷
D．
è 3 3ú
2π
5．（2023·吉林長春·一模）將函數 f (x) = cos x + 3 ÷
圖象上所有點的橫坐標變為原來的
è
1 2π π π(w > 0) é0, ù é ù，縱坐標不變，所得圖象在區間 ê 3 ú 上恰有兩個零點，且在 ê
- ,
12 12ú 上單調遞w
減，則w 的取值范圍為（ ）
A é
9 ,3ù é9． ê ú B． ê , 4
é11 ù 11 ù
4 ÷
C． ê , 4ú D． ,6 4 4 è 4 ú
π
6．（2024·貴州貴陽·一模）將函數 f x =sinx的圖像先向右平移 個單位長度，再把所得函
3
1
數圖像上的每個點的縱坐標不變，橫坐標都變為原來的 (w > 0) 倍，得到函數 g x 的圖像.
w
π
若函數 g x 在 - ,02 ÷ 上單調遞增，則w 的取值范圍是（ ）è
0, 1 ù 1ù 1 ùA． B． 0,
è 6 ú è 3ú
C． 0, ú D． 0,1 è 2
7．（2024·四川雅安·三模）已知函數 f x = sinwx + 3coswx(w > 0)，則下列說法中正確的個
數是（ ）
①當w = 2時，函數 y = f x - 2logπ x 有且只有一個零點；
②當w = 2時，函數 y = f x +j π為奇函數，則正數j 的最小值為 ；
3
③若函數 y = f x 在 0, π w 1
è 3 ÷
上單調遞增，則 的最小值為
2
；
y f x 0, π w 13 25ù④若函數 = 在 上恰有兩個極值點，則 的取值范圍為 ,
è 6 6 ú
.
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x = 3 cos wx
p
+ ÷ + cos
wx p p -

÷ w > 0

在 ，p
è 3 è 6 è 2 ÷
上單調遞增，則w 的取值范圍是（ ）
é 4 5ù é5 11ù é5 11ù é7 ù
A． ê ，ú B． ê ， ú C． ê ， ú D． ê ，2 3 3 6 6 3 6 6 ú
二、多選題
9．（2023·吉林·模擬預測）已知函數 f (x) = cos

wx
π
- ÷ + B(w > 0, B > 0) ，則（6 ）è
A．若函數 f (x)
π
的圖象關于直線 x = 3 對稱，則
w 的值可能為 3
B．若關于 x 的方程 f (x) = B在[0,
11 14
p] é 上恰有四個實根，則w 的取值范圍為 , ÷
ê 3 3
C．若函數 f (x)
π
的圖象向右平移 個單位長度，再向下平移B個單位長度，得到的函數 g(x)
3
為奇函數，則w 的最小值是 1
é π , 3πD ù．若函數 f (x) 在區間 ê 上單調，則1 w 2 4 4 ú
π
10 ．（23-24 高三上·山東濱州·期末）已知函數 f x = cos wx + ÷ w > 0 3 ，下列選項中正確的有è
（ ）
A．若 f x 的最小正周期T = 2，則w = π
π
B．當w = 2時，函數 f x 的圖象向右平移 個單位長度后得到 g x = cos 2x 的圖象
3
C．若 f x 在區間 0, π 2ù上單調遞減，則w 的取值范圍是 0,
è 3 ú
f x 0, π w 1 , 7 ùD．若 在區間 上只有一個零點，則 的取值范圍是
è 6 6 ú
11．（2023·安徽·模擬預測）已知函數 f x = sinwx + 3coswx(w > 0)，下列說法正確的是
（ ）
A．函數 f x 的值域為 -2,2
B．若存在 x1, x2 R ，使得對"x R 都有 f x1 f x f x2 ，則 x1 - x2 的最小值為
2π
w
C．若函數 f x é π , π- ù在區間 ê ú 上單調遞增，則w
1 ù
的取值范圍為 0,
6 3 è 2 ú
D．若函數 f x 在區間 0, π 上恰有 3 個極值點和 2 個零點，則w 的取值范圍為
13 8ù
,
è 6 3 ú
三、填空題
p
12．（2023·山東·模擬預測）已知函數 f ( x ) =| sin w x | + | cos w x | (w

> 0) 在區間 ,p ÷上單調遞
è 4
增，則w 的取值范圍是 ．
π
13．（2024·廣西賀州·一模）已知函數 f (x) = 4sinwx, g(x) = 4cos(wx - ) + b(w > 0) ，且
3
"x1, x2 R,| f (x1) - g(x2 ) | 8，將 f (x) = 4sinwx
p
的圖象向右平移 3w 個單位長度后，與函數
uuur uuur
g(x)的圖象相鄰的三個交點依次為 A，B，C，且BA × BC < 0，則w 的取值范圍
是 ．
π 1
14．（2024·浙江·模擬預測）設函數 f x = sin -wx ÷ (w > 0) ，若存在 x0 0, π 使 f x0 =è 6 2
成立，則w 的取值范圍是 .
四、解答題
mr = 3sinwx, 3- r
3
15．（22-23 高三上·安徽阜陽·期中）已知向量 ÷， n = , coswxè 2 2
÷
÷
，w > 0，
è
r r
函數 f x = m × n ．
1
(1)若w = ，求 f x 在 0,3π 上的單調遞減區間；
3
3
(2)若關于 x 的方程 f x = - 在 0,1 上有 3 個解，求w 的取值范圍．
2
16．（2023·湖南長沙·模擬預測）在VABC 中，內角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，已知邊 c = 6，
且 sin A + sin B = 2sin C ．
(1)求VABC 面積的最大值；
(2)設當VABC 的面積取最大值時的內角 C 為j ，已知函數 f (x) = sin(wx -j)(w > 0)在區間

0,
π
÷上恰有三個零點和兩個極值點，求w 的取值范圍．
è 2
17．（2023·江蘇鹽城·三模）已知函數 f x = 2a sin ax + a cos ax
π
+ ÷ + b a > 0 的值域為
è 4
-1,3 .
(1)求 f x 的單調遞增區間；
(2)若 f wx w > 0 é在 ê0,
π ù
ú上恰有一個零點，求w 的取值范圍. 6
18．（23-24 高三上·山東濟寧·階段練習）已知函數
f (x) = 4sin2 π + 2x ÷ ×sin x + (cos x + sin x) × (cos x - sin x)．
è 4
(1)化簡函數 f (x) ；
π 2π
(2)已知常數w > 0，若函數 y = f (wx) é ù在區間 ê- , ú 上是增函數，求w 的取值范圍 2 3
π
19．（2023 高三·全國·專題練習）已知函數 f (x) = 2sin(2wx + )(w > 0) .
6
5π é 3π ù
(1)若點 ( ,0)是函數 f (x) 圖像的一個對稱中心，且w (0,1) ，求函數 f (x) 在 ê0, 上的值8 4 ú
域；
π 2π
(2)若函數 f (x) 在 , w .
è 3 3 ÷
上單調遞增，求實數 的取值范圍

【拓展沖刺練】
一、單選題
1．（2023·廣西·模擬預測）已知函數 f (x) = cos wx
p
+ ÷ (w
π 3
> 0) é在區間 , π
ù
上單調遞減，
è 3 ê 4 4 ú
則實數w 的取值范圍為（ ）
8ù
A． 0, ú B9 ．
1,2
è
C． 0,1 D． 0,
2ù
è 3 ú
π π 3π
2．（2023·陜西商洛·模擬預測）若函數 g x = cos é ù wx + ÷ 在區間 ê ,4 4 ú 上單調遞減，則正è 3
數w 的取值范圍為（ ）
0, 8ù 5 , 8ùA． B9 ． è ú è 3 3ú
0, 2ù 8C． ú D． ,+

è 3 ÷ è 3
p
3
π
．（2023·四川瀘州·一模）已知函數 f x = 2sin wx - ÷ (w > 0)在 0, 3 ÷上存在最值，且在è 6 è
2π
, π

÷上單調，則w 的取值范圍是（3 ）è

A． 0,
2ù é1, 5ù é 5 , 8ù é11 17 ùB． C． D． ,
è 3 ú ê 3 ú ê2 3ú ê 4 3 ú
4．（2023·河南·二模）已知函數 f x = asinwx + bcoswx，其中w > 0，若函數滿足以下條件：
①函數 f x é 3 π, 4 πù π 在區間 ê ú 上是單調函數；② f x f ÷ 對任意 x R 恒成立； 7 7 è 4
③經過點 b, 2a 的任意直線與函數 y = f x 恒有交點，則w 的取值范圍是（ ）
0,1 é3, 28A． ùê ú B． (0,1)
28
é3, ù
9 ê 9 ú
C． 0,1 3,5 7 D． 0,1 3,5
二、多選題
5．（2022·山東聊城·一模）已知函數 f x = 2sin wx +j + a,w > 0，則下列結論正確的是
（ ）
A．若對于任意的 x R ，都有 f x 1成立，則 a -1
B．若對于任意的 x R ，都有 f x +p = f x 成立，則w = 2
p 1
C．當j
p
= é ù ù時，若 f x 在
3 ê
0, ú上單調遞增，則w 的取值范圍為 0, 2 è 3ú
D．當a = - 3時，若對于任意的j R ，函數 f x é0, p ù在 ê ú上至少有兩個零點，則w 的 2
取值范圍為 4, +
6．（2023·廣東湛江·一模）已知w > 0，函數 f x = cos wx π + ÷ ，下列選項正確的有（3 ）è
A．若 f x 的最小正周期T = 2，則w = π
π
B．當w = 2時，函數 f x 的圖象向右平移 個單位長度后得到 g x = cos 2x 的圖象
3
f x 2π , π w é 5ùC．若 在區間 ÷上單調遞增，則 的取值范圍是 1,
è 3 ê 3 ú
D．若 f x 1 7 ù在區間 0, π 上只有一個零點，則w 的取值范圍是 ,
è 6 6 ú
三、填空題
7．（2024·山東煙臺·一模）若函數 f (x) = sinwx + 3coswx -1在 0,2π 上恰有 5 個零點，且在
[ π- , π ]上單調遞增，則正實數w 的取值范圍為 .
4 15
π π
8．（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預測）已知函數 f (x) = -sin wx - ÷ (w > 0) 在區間 , π4 3 ÷
上單
è è
調遞減，則w 的取值范圍是 .
9．（2024·廣東茂名·一模）函數 f x π= 2sin wx + π π ÷（w > 0）在區間 ,6 6 2 ÷上有且只有兩è è
個零點，則w 的取值范圍是 .
四、解答題
π
10．（22-23 高三上·上海黃浦·期中）已知函數 f x = sin wx + ÷，w > 0；
è 3
f x é0, πw 2 ù(1)當 = 時，求 在 ê 2 ú的值域；
π
(2)若至少存在三個 x0 (0, )使得 f x0 = -1，求w 的取值范圍；3
π π
(3)若 f x é在 ê ,π
ù é
ú 上是增函數，且存在m ê , π
ù f 2m π- 2，使得
2 2 ú 3ω ÷
> 成立，求實數w
è 2
的取值范圍.
11．（22-23 高三上·遼寧·階段練習）已知函數 f x = sinwx w > 0 π ù在區間 0,
è 6 ú
內是增函

數．
(1)求w 的取值范圍；
(2)將函數 y = f x π 2π的圖像向左平移 個單位長度后得到的圖像與將其向右平移 個單位
3 3
長度后所得到的圖像重合．求w 的值．

展開更多......

收起↑