資源簡介

考點 01 集合（4 種核心題型+基礎保分練+
綜合提升練+拓展沖刺練）
【考試提醒】
1.了解集合的含義，了解全集、空集的含義.2.理解元素與集合的屬于關系，理解集合間
的包含和相等關系.3.會求兩個集合的并集、交集與補集.4.能用自然語言、圖形語言、集
合語言描述不同的具體問題，能使用 Venn 圖表示集合間的基本關系和基本運算．
【知識點】
1．集合與元素
(1)集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性．
(2)元素與集合的關系是屬于或不屬于，用符號∈或 表示．
(3)集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法．
(4)常見數集的記法
非負整數集
集合 正整數集 整數集 有理數集 實數集
(或自然數集)
符號 N N*(或 N＋) Z Q R
2.集合的基本關系
(1)子集：一般地，對于兩個集合 A，B，如果集合 A 中任意一個元素都是集合 B 中的元
素，就稱集合 A 為集合 B 的子集，記作 A B(或 B A)．
(2)真子集：如果集合 A B，但存在元素 x∈B，且 x A，就稱集合 A 是集合 B 的真子
集，記作 A B(或 B A)．
(3)相等：若 A B，且 B A，則 A＝B.
(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，記為 .空集是任何集合的子集，是任何非空
集合的真子集．
3．集合的基本運算
表示
集合語言 圖形語言 記法
運算
并集 {x|x∈A，或 x∈B} A∪B
交集 {x|x∈A，且 x∈B} A∩B
補集 {x|x∈U，且 x A} UA
常用結論
1．若集合 A 有 n(n≥1)個元素，則集合 A 有 2n個子集，2n－1 個真子集．
2．A∩B＝A A B，A∪B＝A B A.
【核心題型】
題型一　集合的含義與表示
解決集合含義問題的關鍵有三點：一是確定構成集合的元素；二是確定元素的限制條件；
三是根據元素的特征(滿足的條件)構造關系式解決相應問題．
【例 1】下列四組集合中表示同一集合的為（ ）
A．M 1,3 ， N 3, 1 B．M 1,3 ， N 3, 1
C．M x, y | y x2 + 3x ， N x | y x2 + 3x D．M 0 ， N 0
【答案】B
【分析】根據集合元素的性質逐一判斷即可.
【詳解】選項 A：兩個集合中元素對應的坐標不同，A 錯誤；
選項 B：集合中的元素具有無序性，兩個集合是同一集合，B 正確；
選項 C：兩個集合研究的對象不同，一個是點集，一個是數集，C 錯誤；
選項 D：M 是以 0 為元素的集合， N 是數字 0，D 錯誤.
故選：B
【變式 1】已知集合{a,b,c} { 1,0,1}，若下列三個關系有且只有一個正確：① a 1；
② b = -1；③ c 0，則a2023 2b + 4c （ ）
A．2 B．3 C．5 D．8
【答案】B
【分析】根據集合相等的定義分類討論進行求解即可.
【詳解】假設① a 1，② b = -1錯，③ c 0對，
因為{a,b,c} { 1,0,1}，
所以有 a 1,b=0, c=1，此時 a2023 2b + 4c 1+ 4 3；
假設① a 1，③ c 0錯，② b = -1對，
因為 a 1錯，必有 a 1，而b = -1，不符合集合元素的互異性，假設不成立；
假設② b = -1，③ c 0錯，① a 1對，
因為 c 0錯，所以 c = 0 ，
因為b = -1錯，所以b 1對，而 a 1對，因此只能 a b 1，不符合集合元素的互異
性，假設不成立，
綜上所述： a2023 2b + 4c 3，
故選：B
【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是利用假設法、應用集合元素的互異性進行判斷.
2
【變式 2】（23-24 高三下·江西·階段練習）已知 A x x ax +1 0 ，若2 A，且
3 A，則 a的取值范圍是（ ）
é5 ,10 5 ,10 5 10A ù é． ê ÷ B． ú C． ê ,+

÷ D

． ,
2 3 è 2 3 2 ÷ è 3
【答案】A
【分析】根據題目條件得到不等式，求出答案.
5 10
【詳解】由題意得 4 2a +1 0且9 3a +1 > 0，解得 a < ．
2 3
故選：A
2
【變式 3】（23-24 · · A x ex 2x高三下 湖南長沙 階段練習）已知集合 1 ，
B 1,0,1 ，則集合 A B 的非空子集個數為（ ）
A．4 B．3 C．8 D．7
【答案】B
【分析】由題意化簡集合A ，得 AI B 0,1 ，由此即可進一步求解.
【詳解】因為 A x x2 2x 0 x 0 x 2 ，B 1,0,1 ，因此 AI B 0,1 ．
故該集合的非空子集個數為22 1 3個.
故選：B．
題型二　集合間的基本關系
(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合關系問題時，必須考慮空集的情況，否則易造成
漏解．
(2)已知兩個集合間的關系求參數時，關鍵是將條件轉化為元素或區間端點間的關系，進
而轉化為參數所滿足的關系，常用數軸、Venn 圖等來直觀解決這類問題．
【例 2】在集合 A 1,1,2,3,4,5,6 的子集中，含有 3 個元素的子集的個數為 .
【答案】35
【分析】根據給定條件，利用子集的意義，借助組合列式計算即得.
【詳解】集合 A 1,1,2,3,4,5,6 中有 7 個元素，
所以含有 3 3個元素的子集的個數為C7 35 .
故答案為：35
【變式 1】（2024· 2海南·模擬預測）已知集合 A 1,2,4 , B a,a ，若 AI B B ，則
a .
【答案】2
【分析】根據交集結果可知B A，結合子集關系分析求解.
【詳解】因為 AI B B ，可得B A，
可知 a, a2 A，且 a a2 ，所以 a 2 .
故答案為：2.
【變式 2】集合 A { 3,m}，B m2 + 4m, 1 ，且 A B ，則實數m ．
【答案】 1
ìm 1
【分析】根據集合關系 A B ，可得 í 2 ，從而可求解.
m + 4m 3
【詳解】由題意得 A B ，
ìm 1
則 í 2 ，解得m 1
m + 4m
.
3
故答案為： 1 .
2
【變式 3】若集合 A x ax ax +1< 0 ，則實數 a 的值的集合為 ．
【答案】{a∣0 a 4}
【分析】分 a 0與 a 0兩種情況，結合根的判別式得到不等式，求出答案.
【詳解】當 a 0時， A x 1 < 0 滿足題意；
ìa > 0
當 a 0時，應滿足 íΔ 0，解得0 < a 4 ；
綜上可知，a 的值的集合為{a∣0 a 4}．
故答案為：{a∣0 a 4}．
題型三　集合的基本運算
命題點 1　集合的運算
ì π 2π ü
【例 3】（23-24 高三下·江西·階段練習）已知集合 A íx 2kπ + < x < 2kπ + ,k Z ，
6 3


集合B
ì
íx kπ
π
+ < x kπ π< + ,k Zü ，則 AI B （ ）
4 3
2kπ π+ , 2kπ π+ k Z kπ
π
+ , kπ π+ A． ÷， B． ÷， k Z
è 4 3 è 4 3
2kπ π ,2kπ π π πC． + +

÷， k Z

D． kπ + , kπ +

÷， k Z
è 6 3 è 6 3
【答案】A
【分析】根據給定條件把集合 B 寫成用 2kp +q (k Z)形式表示的集合，再與集合 A 求
交集即可.
【詳解】依題意，
B π π ìx 2kπ + < x < 2kπ + , k Zü ìx 2kπ 5π + < x < 2kπ 4π+ ,k Züí 4 3 í
，
4 3
ì
而 A íx 2kπ
π x 2π+ < < 2kπ + ,k Zü ，
6 3
所以 A B
ì
íx 2kπ
π
+ < x < 2kπ π+ ,k π π Zü 2kπ + , 2kπ +

÷， k Z .
4 3 è 4 3
故選：A
【變式 1】（2024·云南紅河·二模）設集合 A 0,1,2 , B 3, m ，若 A B 2 ，則 A B
（ ）
A． 0,1, 2,3 B． 0,1,2 C． 1,2,3 D． 2,3
【答案】A
【分析】根據集合的運算性質進行判斷即可.
【詳解】由 A B 2 得m 2 ，
所以 B 2，3 ， A B 0，1，2，3 .
故選：A.
【變式 2】（23-24 高一上·陜西寶雞·期中）已知
U {1,2,3,4,5,6,7}, A {2,4,5}, B {1,3,5,7},則 AI U B （ ）
A．{1,3,4} B．{3,4} C．{2,4,6} D．{2,4}
【答案】D
【分析】由已知集合的交集及補集定義運算即得．
【詳解】因U {1,2,3,4,5,6,7}, A {2,4,5}, B {1,3,5,7},
則 U B {2,4,6} ,故 AI ( U B) {2,4} .
故選：D．
命題點 2　利用集合的運算求參數的值(范圍)
對于集合的交、并、補運算，如果集合中的元素是離散的，可用 Venn 圖表示；如果集
合中的元素是連續的，可用數軸表示，此時要注意端點的情況．
【例 4】（2024·四川涼山·二模）已知集合 A y y x +1, 1 x 1 ，B x x a ，若
A B B ，則 a的取值范圍為（ ）
A． 0,2 B． 2, + C． , 2 D． ,1
【答案】B
【分析】求出函數值域化簡集合 A，再利用給定的運算結果，借助包含關系求解即得.
【詳解】集合 A y y x +1, 1 x 1 [0, 2]，而B ( ,a]，
由 A B B ，得 A B ，則 a 2，
所以 a的取值范圍為 2, + .
故選：B
【變式 1】（2024·全國·模擬預測）已知集合 A 5, 1,1,5 ，B x a < x < a + 3 ，若
A B 中有 2 個元素，則實數 a的取值范圍是（ ）
A． 2, 1 B． 2, 1 C． 2,2 D． 5, 1
【答案】A
【分析】根據兩集合的元素特征和 A B 中只有 2 個元素的要求，可得到關于 a的不等
式組，解之即得.
【詳解】因為B x a < x < a + 3 ， a + 3 a 3，
又 A 5, 1,1,5 ， A B 中有 2 個元素，
ì 5 a < 1
所以 A B 中的 2 個元素只能是 1,1，則 í 2 < a < 1
1< a 3 5
，解得 .
+
故選：A.
【變式 2】．已知集合 A x 3 < 2x +1 < 7 ，B x x < 4或 x > 2 ，
C x 3a 2 < x < a +1 ．
(1)求 AI R B ；
(2)若“ p : x R AU B ”是“ q : x C ”的充分不必要條件，求實數 a的取值范圍．
【答案】(1) x | 2 < x 2
(2) 3 < a
2
<
3
【分析】（1）先求出集合A ，再求出 R B，最后由交集的運算求出 AI R B ；
（2）先求出 A B ，再求出 R A B ，再由充分不必要條件構造關于 a的方程組，解
出即可.
【詳解】（1）因為 A x 3 < 2x +1 < 7 x 2 < x < 3 ，又 R B = x | -4 x 2 ，
所以 AI R B = x | -2 < x 2 .
（2） A B x x < 4或 x > 2 ，所以 R AU B = x | -4 x -2 ，
因為“ p : x R AU B ”是“ q : x C ”的充分不必要條件，
則 R AU B C ，又C x 3a 2 < x < a +1 ，
ì3a 2 < 4 2
所以 í 3 < a <
a +1
.
> 2 3
題型四　集合的新定義問題
解決集合新定義問題的關鍵
解決新定義問題時，一定要讀懂新定義的本質含義，緊扣題目所給定義，結合題目所給
定義和要求進行恰當轉化，切忌同已有概念或定義相混淆．
ì1, x A
【例 5】（23-24 高三下·上?！るA段練習）對于全集 R 的子集 A，定義函數 fA x í
0, x A
為 A 的特征函數．設 A，B 為全集 R 的子集，下列結論中錯誤的是（ ）
A．若 A B ，則 fA x fB x B． fA (x) 1 fA (x)
C． fA B (x) fA (x) × fB (x) D． fA B (x) fA (x) + fB (x)
【答案】D
【分析】根據新定義進行驗證．
【詳解】選項 A， A B ，若 x A，則 x B ，此時 fA (x) fB (x) 1，
若 x B 且 x A，則 fA (x) 0， fB (x) 1，若 x B，則 x A，則 fA (x) fB (x) 0，所
以 fA (x) fB (x)成立，A 正確；
選項 B，由補集定義知 x A時， x A， fA (x) 1, fA (x) 0，
同樣知 x A時， x A， fA (x) 0, fA (x) 1，
所以 fA (x) 1 fA (x) ，B 正確；
選項 C， x AI B時，必有 x A且 x B ，因此 fAIB (x) fA (x) fB (x) 1，
當 x AI B時， x A與 x B中至少有一個成立，
因此 fAIB (x) 0，而 fA (x) 0與 fB (x) 0至少有一個成立，
綜上有 fA B (x) fA (x) × fB (x) ，C 正確；
選項 D，當 A B 時，若 x AI B，則 x AU B ， x A， x B ，
因此 fAUB (x) fA (x) fB (x) 1，此時 fA B (x) fA (x) + fB (x)不成立，D 錯誤．
故選：D．
ì 0, x 0
3
【變式1】（2024·河南·模擬預測）定義 sgn x ì ü í x ，若集合 A íy | y sgn xi ，
, x 0x i 1
則 A 中元素的個數為（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【分析】利用集合的新定義找到符合條件的元素個數即可.
【詳解】由題知 y 的可能取值有 3， 2， 1，0，1，2，3，則集合 A 中有 7 個元素.
故選：B.
【變式 2】（2024·黑龍江·二模）已知集合 A 1,2 ，B 3,4 ，定義集合：
A* B x, y x A, y B ，則集合 A* B 的非空子集的個數是（ ）個．
A．16 B．15 C．14 D．13
【答案】B
【分析】先確定集合 A* B 有四個元素，則可得其非空子集的個數.
【詳解】根據題意， A* B x, y x A, y B 1,3 ， 1,4 ， 2,3 ， 2,4 ，
則集合 A* B 的非空子集的個數是 24 1 15 .
故選：B
1+ a
【變式 3】已知實數集A 滿足條件:若 a A，則 A，則集合A 中所有元素的乘積
1 a
為（ ）
A．1 B． 1 C．±1 D．與 a的取值有
關
【答案】A
【分析】根據題意，遞推出集合 A 中所有元素，可得答案．
1+ a
【詳解】由題意，若 a A， A，
1 a
1 1+ a+
\ 1 a 11 a A1 +
，
a
1 a
1 1+ a ÷è a 1\ A，
1 1 a +1 a ֏
1 a 1+
\ a +1a 1 a A1
，

a +1
A ì綜上，集合 ía,
1 a 1 1+ a
, , ü .
a a +1 1 a


1 a 1 1+ a
所以集合 A 中所有元素的乘積為 a × ÷ × × 1 .
è a a +1 1 a
故選：A.
【課后強化】
【基礎保分練】
一、單選題
1．下列說法中正確的是（ ）
A．1 與 1 表示同一個集合
B．由 1，2，3 組成的集合可表示為 1,2,3 或{3,2,1}
C．方程 x 1 2 x 2 0 的所有解的集合可表示為{1,1,2}
D．集合 x | 4 < x < 5 可以用列舉法表示
【答案】B
【分析】根據集合的相關概念以及表示方法，對每個選項進行逐一分析，即可判斷選擇.
【詳解】對于 A，1 不能表示一個集合，故錯誤；
對于 B，因為集合中的元素具有無序性，故正確；
對于 C，因為集合的元素具有互異性，而{1,1,2}中有相同的元素，故錯誤；
對于 D，因為集合 x | 4 < x < 5 中有無數個元素，無法用列舉法表示，故錯誤.
故選：B.
2．（2024·福建廈門·二模）設集合 A 1,0,1 ，B x1, x2 , x3 , x4 , x5 xi A, i 1,2,3,4,5 ，
那么集合 B 中滿足1 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 3的元素的個數為（ ）
A．60 B．100 C．120 D．130
【答案】D
【分析】明確集合 B 中滿足1 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 3的含義，結合組合數的計算，
即可求得答案.
【詳解】由題意知集合 B 中滿足1 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 3的元素的個數，
即指 x1 , x2 , x3 , x4 , x5中取值為-1 或 1 的個數和為 1 或 2 或 3，
故滿足條件的元素的個數為C1 2 25 2 + C5 2 + C
3
5 2
3 10 + 40 + 80 130（個），
故選：D
3．集合M {x N∣0 < x < 3}的子集的個數是（ ）
A．16 B．8 C．7 D．4
【答案】D
【分析】首先判斷出集合M 有 2 個元素，再求子集個數即可.
【詳解】易知集合M {x N∣0 < x < 3} 1,2 有 2 個元素，
所以集合M 的子集個數是 22 4 .
故選：D.
4．（2024·浙江·模擬預測）已知全集
U 1,2,3,4,5 , M I U N 1,2 , U M I N 4 , U M U N 3 ，則M N （ ）
A． B． 4 C． 5 D． 1,2
【答案】C
【分析】根據Venn 圖，即可求解.
【詳解】如圖，畫出Venn 圖，并將條件中的集合標在圖中，
如圖，集合M N 1,2,5 4,5 5 ．
故選：C
二、多選題
5．（2024·全國·模擬預測）設 A1， A2，× × × ， An n 4 為集合 S 1,2, × × ×, n 的 n個不同子
ì0, i A
集，為了表示這些子集，作 n行 n列的數陣，規定第 i行第 j j列的數為 aij í
1, i A
．則
j
下列說法中正確的是（ ）
A．數陣中第一列的數全是 0，當且僅當 A1
B．數陣中第 n列的數全是 1，當且僅當 An S
C．數陣中第 j 行的數字和表明集合 Aj 含有幾個元素
D．數陣中所有的 n2 個數字之和不超過 n2 n +1
【答案】ABD
ì0, i A
【分析】由集合的子集的概念和規定第 i行與第 j 列的數為 aij
j
í
1, i A
，對選項一一
j
判斷即可．
【詳解】選項 A：數陣中第一列的數全是 0 ，當且僅當1 A1， 2 A1，× × × ， n A1，
\ A1 ，故 A 正確．
選項 B：數陣中第 n列的數全是 1，當且僅當1 An ， 2 An ，× × × ， n An ，\ An S ，
故 B 正確．
選項 C：數陣中第 j 列的數字和表明集合 Aj 含有幾個元素，故 C 錯誤．
選項 D：當 A1， A2，× × × ， An 中一個為S 本身，其余 n 1個子集為S 互不相同的 n 1元
子集時，
2
數陣中所有的 n2 個數字之和最大，且為 n + n 1 n2 n +1，故 D 正確.
故選：ABD
6．（2024 高三·全國·專題練習）由無理數引發的數學危機一直延續到 19 世紀，直到 1872
年，德國數學家戴德金從連續性的要求出發，用有理數的“分割”來定義無理數(史稱戴
德金分割)，并把實數理論建立在嚴格的科學基礎上，才結束了無理數被認為“無理”的
時代，也結束了持續 2000 多年的數學史上的第一次大危機．所謂戴德金分割，是指將
有理數集Q劃分為兩個非空的子集 M 與 N，且滿足M N Q，M N ，M 中的
每一個元素小于 N 中的每一個元素，則稱 (M , N )為戴德金分割．試判斷下列選項中，
可能成立的是（ ）
A．M x x < 0 ， N x x > 0 是一個戴德金分割
B．M 沒有最大元素，N 有一個最小元素
C．M 有一個最大元素，N 有一個最小元素
D．M 沒有最大元素，N 也沒有最小元素
【答案】BD
【分析】根據戴德金分割的定義，結合選項，分別舉例，判斷正誤.
【詳解】對于 A，因為M x x < 0 ， N x x > 0 ，所以M N x x 0 Q ，故 A
錯誤；
對于 B，設M x x < 0, x Q ， N x x 0, x Q ，滿足戴德金分割，
此時M 沒有最大元素， N 有一個最小元素為 0，故 B 正確；
對于 C，若M 有一個最大元素， N 有一個最小元素，
則不能同時滿足M N Q，M N ，故 C 錯誤；
對于 D，設M x x < 2, x Q ， N x x 2, x Q ，滿足戴德金分割，
此時M 沒有最大元素， N 也沒有最小元素，故 D 正確．
故選：BD.
三、填空題
7．已知集合 A 1, 2 , B 1, a,3 ，且 A B ，則a ．
【答案】2
【分析】根據集合自己的概念即可求解．
【詳解】∵ A 1, 2 , B 1, a,3 ，且 A B ，
∴集合 A 里面的元素均可在集合 B 里面找到，
∴a=2．
故答案為：2
四、解答題
8．已知集合 A U ，B U ，全集U 1,2,3,4,5,6 ，且 U A 1,3,4 ，B 3,5,6
(1)求集合A ；
(2)求 A B .
【答案】(1) 2,5,6
(2) 5,6
【分析】（1）根據補集的定義和運算即可求解；
（2）根據交集的定義和運算即可求解.
【詳解】（1）因為U {1,2,3,4,5,6}, U A {1,3,4}，
所以 A {2,5,6} .
（2）B {3,5,6}，由（1）知，
AI B {5,6} .
9．已知集合 A 1,4 ，B 1,4,5,6 .
(1)求 A B 及 A B ；
(2)求 BA.
【答案】(1) AI B 1,4 ， A B 1,4,5,6
(2) B A 5,6
【分析】利用交集，并集及補集運算直接求解.
【詳解】（1）集合 A 1,4 ，B 1,4,5,6 ,
故 AI B 1,4 ， A B 1,4,5,6
（2） B A 5,6 .
【綜合提升練】
一、單選題
1 2．（2024 高三·全國·專題練習）已知集合 A x x 4x 5 0 , B x a 3 < x < a + 4 ，
若 A U B R，則實數 a的取值范圍為（ ）
A． a a >1 B． a 1< a < 2
C． a a < 2 D． a 1 a 2
【答案】D
【分析】先求出一元二次不等式的解集，依題借助于數軸得到關于 a的不等式組，解之
即得.
【詳解】Q x2 4x 5 0,\ x 1或 x≥5，\ A x x 1或 x 5 ，
A B R, ì
a 3 1
又 \í ，解得1 a 2
a
.
+ 4 5
故選:D.
2．（23-24 高三下·河南·階段練習）已知全集U = -2,-1,0,1,2 ，集合
A 2,0 , B x x2 2x 0 ，則 U A B （ ）
A． 1,1,2 B． 1,0,1 C． 1 D． 1,1
【答案】D
【分析】根據集合的并集與補集運算即可.
【詳解】因為 A 2,0 , B 0,2 ，所以 A B 2,0,2 ，又U = -2,-1,0,1,2 ，
所以 U AU B 1,1 ．
故選：D.
3．（23-24 高三下·湖北·階段練習）已知集合 A {1,2}，B {0,2}，若定義集合運算：
A* B z z xy, x A, y B ，則集合 A* B 的所有元素之和為（ ）
A．6 B．3 C．2 D．0
【答案】A
【分析】計算出 z 的所有取值即可得.
【詳解】 x 可為1、 2， y 可為 0 、 2，有 z 0、 2、 4，
故 A* B {0,2,4}，所以集合 A* B 的所有元素之和為 6.
故選：A．
4．（2024·全國·模擬預測）已知集合U Z， A x x 2k +1, k Z ，
B x x 4k + 2,k Z ，則 x x 4k, k Z （ ）
A． U A B B． U AU B C． U AI B D． U A B
【答案】B
【分析】分析集合 A 可知 A {x x 4k +1或 4k + 3,k Z}，結合并集和補集的定義與運算
即可求解.
【詳解】對于集合 A x x 2k +1, k Z 中的元素，
當 k = 2t ， t Z時， x 4t +1；當 k 2t +1， t Z時， x 4t + 3，
所以 A B {x x 4k +1或 4k + 2或 4k + 3,k Z}，
故 U (A B) x x 4k, k Z .
故選：B．
ì x 3 ü
5．設全集U R ，集合 Aíx 0 ．集合B x lnx 1 ，則 AI U B （x 2 ） +
A． e,3 B． e,3 C． 2,e D． 2,e
【答案】D
【分析】先求集合 A, B，再結合集合間的運算求解.
x 3 ì x 3 x + 2 0
【詳解】因為 0等價于 í ，解得 2 < x 3，即 A x 2 < x 3 ，x + 2 x + 2 0
又因為B x lnx 1 x x e ，可得 U B x | x < e ，
所以 A U B 2,e .
故選：D.
ì x +1 ü
6．（2024·陜西咸陽· 2二模）已知集合 A íx 0 ， B 5 x x y log2 x 16 ，則
A R B （ ）
A． 1,4 B． 1,4 C． 1,5 D． 4,5
【答案】B
【分析】計算出集合A 、 B 后，借助補集定義及交集定義即可得.
x +1 ì x +1 5 x 0
【詳解】由 0，即 í ，解得 1 x < 5，故 A x 1 x < 5 ，5 x 5 x 0
由 y log2 x2 16 ，可得 x2 16 > 0，即 x>4或 x< 4，故 R B x 4 x 4 ，
故 A R B x 1 x 4 .
故選：B.
7．已知集合S 是由某些正整數組成的集合，且滿足：若 a S ，則當且僅當 a m + n
（其中正整數m 、 n S 且m n）或 a p + q （其中正整數 p 、 q S 且 p q）．現有
如下兩個命題：① 5 S ；②集合 x x 3n, n N* S ．則下列判斷正確的是（ ）
A．①對②對 B．①對②錯 C．①錯②對 D．①錯②錯
【答案】A
【分析】根據集合S 的定義即可判斷①是假命題，根據集合S 的定義先判斷5 S ，
3n S ，再由"x A，有 x 3n + 5，3n S ，5 S 且3n 5，所以 x S ，可判斷 ②是
真命題.
【詳解】因為若 a S ，則當且僅當 a m + n(其中m,n S 且m n)，或 a p + q(其中
p, q S , p,q Z*且 p q)，
且集合S 是由某些正整數組成的集合，
所以1 S ， 2 S ，
因為3 1+ 2，滿足 a p + q(其中 p, q S , p,q Z*且 p q)，所以3 S ，
因為 4 1+ 3，且1 S ，3 S ，所以 4 S ，
因為 5 =1+ 4，1 S ， 4 S ，所以5 S ，故①對；
下面討論元素3n n 1 與集合S 的關系，
當 n 1時，3 S ；
當 n 2時， 6 2 + 4， 2 S ， 4 S ，所以6 S ；
當 n 3時，9 3+ 6，3 S ，6 S ，所以9 S ；
當 n 4時，12 3+ 9，3 S ，9 S ，所以12 S ；依次類推，
當 n 3時，3n 3+ 3 n 1 ，3 S ，3 n 1 S ，
所以3n S ，則 x x 3n, n N* S ，故②對.
故選：A.
【點睛】關鍵點睛：本題解題的關鍵在于判斷1 S ， 2 S ，3 S ， 4 S ，再根據集合
S 的定義求解.
x
8．已知函數 f x 4 x ， y x 為高斯函數，表示不超過實數 x 的最大整數，例如4 + 2
ì ü 0.5 1， 1.3 1.記 A 2, 1,0,1 ， B y y é f x 1 ù + é f 1 x 1 ùí ê ú , x R2 ， ê 2 ú
則集合A ， B 的關系是（ ）
A． A B 2 B． AI B 1,0,1
C． A B 1,0 D． AI B 0,1
【答案】C
【分析】根據題意分別求出集合B 0, 1 ，然后利用集合的交集運算從而求解.
4x
【詳解】由題意得 f x x ，所以4 + 2
y é f x 1 ù é f 1 x 1 ù 1 2 2 1 ê ú + ê ú
é ù + é ù ，
2 2 ê 2 4x + 2 ú ê 4x + 2 2 ú
1 1 2 1 2 1 1
因為 4x + 2 > 2 ，所以0 < x < ，所以 x 0,1 ，所以 4 + 2 2 4 + 2 2 4x

+ 2
, ÷，
è 2 2
2 1 1 1
x

,

，
4 + 2 2 ֏ 2 2
2
0, 1 1 2 1 2 1 1當 x ÷時， x
0, ，
,0 ，此時 y 0 + 1 1，
4 + 2 è 2 2 4 + 2 è 2 ÷ 4x + 2 2 è 2 ÷
2 1 ,1 1 2 1 ,0 2 1 當 x ÷時， x ÷， x 0,
1
÷，此時 y 1+ 0 14 2 2 ，+ è 2 4 + 2 è 2 4 + 2 2 è 2
2 1 1 2 2 1
當 時，
4x + 2 2 2 4x + 2 4x
0，此時 y 0 + 0 0，
+ 2 2
綜上：B 0, 1 ，所以 A B 1,0 ，故 C 正確.
故選：C.
é 1 ù é
【點睛】關鍵點點睛：根據高斯函數對 y ê f x ú + ê f 1 x
1
ùú 分情況討論具體的 2 2
取值求出集合 B ，從而求解.
二、多選題
9．若全集U 1,2,3,4,5,6 ，M 1,4 ， N 2,3 ，則集合 5,6 等于（ ）
A． M U N B． M U N C． M N D． N MU U U U U
【答案】BCD
【分析】根據交并補的混合運算逐個選項判斷即可.
【詳解】對 A， U M 2,3,5,6 ， U N 1,4,5,6 ，故 U M U U N 1,2,3,4,5,6 ，故 A
錯誤；
對 B，M U N 1,2,3,4 ，故 U M U N 5,6 ，故 B 正確；
對 C， U M 2,3,5,6 ，故 M N 5,6 ，故 C 正確；U
對 D， U N 1,4,5,6 ，故 M 5,6 ，故 D 正確.U N
故選：BCD
12
10．（2024·遼寧遼陽· 2一模）已知集合 A {x | N, x N}, B {x | x 6x < 7}，則
x +1
（ ）
A． A B 1,2,3,5 B． A B 1,7 11
C．12 x y∣x A, y B D．$a A, y∣y lg x2 ax + 9 R
【答案】BCD
【分析】求出集合 A, B，根據集合的運算即可判斷 A，B；結合 x y <12，可判斷 C；
由 y∣y lg x2 ax + 9 R ，結合判別式，可求得 a 的范圍，即可判斷 D.
12
【詳解】由題意得 A {x | N, x N} {0,1,2,3,5,11}, B {x | x2 6x < 7} ( 1,7) ，
x +1
故 A B 0,1,2,3,5 ， A B 1,7 11 ，A 錯誤，B 正確；
由于 x A, y B，故 x y <11 ( 1) 12，則12 x y∣x A, y B ，C 正確；
y∣y lg x2若 ax + 9 R ，則 x2 ax + 9能取到所有的正數，
即 a2 36 0，則 a 6或 a 6，
即$a A, y∣y lg x2 ax + 9 R ，D 正確，
故選：BCD
11．已知集合 A, B滿足B x, y, z ∣x + y + z 11, x, y, z A ，則下列說法正確的是
（ ）
A．若 A 2,0,1,13 ，則 B 中的元素的個數為 1
B．若 A x∣x 2k +1, k N ，則 B 中的元素的個數為 15
C．若 A N+ ，則 B 中的元素的個數為 45
D．若 A N ，則 B 中的元素的個數為 78
【答案】BCD
【分析】對于 A，由集合 B 的定義即可列舉出集合 B 中所有的元素即可判斷；對于 B，
A 中的元素均為正奇數，對 x 分類討論即可驗算；對于 C，原問題等價于將 11 個大小
相同、質地均勻的小球分給甲 乙 丙 3 個人，每人至少分 1 個，利用隔板法即可驗算；
對于 D，原問題等價于將 14 個大小相同、質地均勻的小球分給甲、乙、丙 3 個人，每
人至少分 1 個，利用隔板法驗算即可.
【詳解】由題意得B { 2,0,13 , 2,13,0 , 0, 2,13 , 13,0, 2 , 13, 2,0 , 13,0, 2 }，
所以 B 中的元素的個數為6，A 錯誤.
由題意得A 中的元素均為正奇數，在 B 中，
當 x 1時，有 1,1,9 , 1,3,7 , 1,5,5 , (1,7,3), 1,9,1 共 5 個元素，
當 x 3時，有 3,1,7 , 3,3,5 , 3,5,3 , 3,7,1 共 4 個元素，
當 x 5時，有 5,1,5 , 5,3,3 , 5,5,1 共 3 個元素，
當 x 7時，有 7,1,3 , 7,3,1 共 2 個元素，
當 x 9 時，有 9,1,1 共 1 個元素，
所以 B 中的元素的個數為5 + 4 + 3 + 2 +1 15，B 正確.
B x, y, z∣ x + y + z 11, x, y, z N+ ，可轉化為將 11 個大小相同、質地均勻的小球分
給甲 乙 丙 3 個人，每人至少分 1 個，
2
利用隔板法可得分配的方案數為C10 45，所以 B 中的元素的個數為 45，C 正確.
B x, y, z∣ x + y + z 11, x, y, z N { x, y, z ∣ x +1 + y +1 + z +1 14, x +1, y +1, z +1 N+
，
可轉化為將 14 個大小相同、質地均勻的小球分給甲、乙、丙 3 個人，每人至少分 1 個，
利用隔板法可得分配的方案數為C213 78，所以 B 中的元素的個數為78，D 正確.
故選：BCD.
【點睛】關鍵點點睛：判斷 CD 選項的關鍵是將問題進行適當的轉換，并利用隔板法，
由此即可順利得解.
三、填空題
12．已知集合M 2,0,2,4 ， N x x m ，若M N M ，則m 的最大值
為 ．
【答案】 2
【分析】依題意可得M N ，即可求出m 的取值范圍，從而得解.
【詳解】因為M 2,0,2,4 ， N x x m 且M N M ，
所以M N ，則m 2，所以m 的最大值為 2 .
故答案為： 2
13 2．（2024·廣東湛江·一模）已知全集U 為實數集R ，集合 A x x 4 ，
B x log2 x > 2 ，則 AU U B ．
【答案】 , 4
【分析】解不等式可分別求得集合 A, B，根據并集和補集定義可得到結果.
【詳解】由 x2 4得： 2 x 2，即 A 2,2 ；
由 log2 x > 2得： x>4，即B 4,+ ，\ U B , 4 ，\ AU U B , 4 .
故答案為： , 4 .
14．（2024·遼寧·一模）已知集合M x | y 2x2 + 3x + 2 ， N {x N∣x > 2}，則
M ，M N .
ì
【答案】 íx |
1
x 2ü 0,1,2
2
【分析】首先解一元二次不等式求出集合M ，再根據交集的定義計算可得.
1
【詳解】由 2x2 + 3x + 2 0，即 2x +1 x 2 0，解得 x 2 ，2
所以M x | y 2x2 1+ 3x + 2 ìíx | x 2ü2 ，
又 N {x N∣x > 2}，所以M I N 0,1,2 .
ì 1 ü
故答案為： íx | x 2 ； 0,1,2
2
四、解答題
15．（2024 高三·全國·專題練習）已知集合 A＝{x|x2－2x＋a＝0}，B＝{1，2}，且 A B，
求實數 a 的取值范圍．
【答案】[1，＋∞).
【詳解】解：若 A＝ ，則 Δ＝4－4a＜0，解得 a＞1；
若 1∈A，由 1－2＋a＝0 得 a＝1，此時 A＝{1}，符合題意；
若 2∈A，由 4－4＋a＝0 得 a＝0，此時 A＝{0，2}，不符合題意．
綜上，實數 a 的取值范圍是[1，＋∞).
【考查意圖】利用集合間的關系求參數的取值范圍．
16．（2024 高三·全國·專題練習）已知集合 A＝{x|x2－4x－5≤0}，B＝{x|2x－6≥0}，M＝
A∩B.
(1)求集合 M；
(2)已知集合 C＝{x|a－1≤x≤7－a，a∈R}，若 M∩C＝M，求實數 a 的取值范圍．
【答案】(1)[3，5]
(2)（－∞，2]
【詳解】（1） 由 x2－4x－5≤0，得－1≤x≤5，
所以 A＝[－1，5].
由 2x－6≥0，得 x≥3，所以 B＝[3，＋∞）.
所以 M＝[3，5].
（2） 因為 M∩C＝M，所以 M C，
則 解得 a≤2.
故實數 a 的取值范圍是（－∞，2].
17．已知 a 2為實數，設集合 A x 2x + a x ．
(1)設集合B x lgx 0 ，若B A，求實數 a的取值范圍．
(2)若集合 A R ，求實數 a的取值范圍；
【答案】(1) a 3
(2) a 1
【分析】（1）根據包含關系可得1 A，故可求參數的取值范圍.
（2）根據解集為R 可得判別式的符號，故可求參數的取值范圍.
【詳解】（1）B 1 ，因為B A，故1 A，故 2 1+ a 1即 a 3 .
（2）因為 A R ，故 2x + a x2 即 x2 + 2x a 0 在R 上恒成立，
故D 4 + 4a 0，故 a 1 .
ì 1, x M
18．對于集合M ，定義函數 fM x í1, x M ．對于兩個集合M , N ，定義集合
M N x∣fM x × fN x 1 ．已知集合 A 1,3,5,7,9 , B 2,3,5,6,9 ．
(1)求 fA 1 與 fB 1 的值；
(2)用列舉法寫出集合 A B ；
(3)用Card M 表示有限集合M 所包含元素的個數．已知集合 X 是正整數集的子集，求
Card X A + Card X B 的最小值，并說明理由.
【答案】(1) fA 1 1， fB 1 1；
(2) A B {1,2,6,7}；
(3)4.
【分析】（1）根據給定的定義計算即得.
（2）求出 A B ，再結合定義及運算寫出集合 A B .
（3）根據給定的定義分析得出取最小值的條件，即可求得答案.
【詳解】（1）依題意，1 A,1 B ，所以 fA 1 1， fB 1 1 .
（2）由 A 1,3,5,7,9 , B 2,3,5,6,9 ，得 A B 3,5,9 ，
因此屬于A 不屬于 B 的元素為1,7 ，屬于 B 不屬于A 的元素為 2,6，
所以 A B {1,2,6,7} .
（3）依題意，對于集合C ， X ，
①若 a C 且 a X ，則Card(C (X a )) Card(C X ) 1，
②若 a C 且 a X ，則Card(C (X a )) Card(C X ) +1，
因此要使Card(X A) + Card(X B)的值最小，3，5，9 一定屬于集合 X ，
1,2,6,7是否屬于集合 X 不影響Card(X A) + Card(X B)的值，集合 X 不能含有 A B
之外的元素，
所以當 X 為集合{1,2,6,7}的子集與集合 3,5,9 的并集時，Card(X A) + Card(X B)
取得最小值 4 .
【點睛】關鍵點點睛：涉及集合新定義問題，關鍵是正確理解給出的定義，然后合理利
用定義進行集合的分拆并結合集合元素的性質、包含關系以及集合運算等知識綜合解決.
19．對于數集 X 1, x1, x2 ,× × ×, xn ，其中0 < x1 < x2 < ×× × < xn ， n 2，定義向量集
Y ar ar s, t , s X , t X r r r r，若對任意 a1 Y ，存在 a2 Y ，使得 a1 ×a2 0 ，則稱 X 具
有性質 P．
(1)設 X 1,1,2 ，請寫出向量集 Y 并判斷 X 是否具有性質 P（不需要證明）．
0 < x 1< ì
1
(2)若 ，且集合 í 1, x, ,1
ü
具有性質 P，求 x 的值；2 2
x3 x4 x(3) n若 X 具有性質 P，且 x2 q ，q 為常數且 q > 1 ，求證： ××× qx2 x
．
3 xn 1
【答案】(1)Y 1, 1 , 1,1 , 1,2 , 1, 1 , 1,1 , 1,2 , 2, 1 , 2,1 , 2,2 ， X 具有性
質 P ；
1
(2) ；
4
(3)證明見解析.
【分析】（1）根據向量集 Y 的定義，結合 X 的元素，直接寫出Y ，再判斷是否滿足性質
P 即可；
（2）根據性質 P 的定義，任取 m
r
a,b x, 1 ÷， n
r
c,d 1,d ，討論
2 d 的取值，è
結合 x 的范圍，即可求得 x 的取值；
x
（3 i）根據性質 P 的定義推出 x 為定值，結合
x1 1，即可推證.
j
【詳解】（1）根據向量集Y 的定義可得：
Y 1, 1 , 1,1 , 1,2 , 1, 1 , 1,1 , 1,2 , 2, 1 , 2,1 , 2,2 ，
ur uur r r
若 a1 1, 1 ，則存在 a2 1, 1 ，使得 a1 ×a2 0 ，
r
同理亦可證明對任意 a1 Y ，也滿足性質 P ，
故 X 1,1,2 具有性質 P．
（2）對任意 a，b X ，都存在 c， d X ，使得 ac + bd 0，
r
即對于m a, b r r r，都存在 n c, d ，使得m × n 0 ，其中 a，b，c， d X ，
ì
因為集合 í 1, x,
1 ,1ü 具有性質 P，
2
r 1 r
選取m a,b x, 1 ÷， n c,d 1,d ，則有 x + d 0，
è 2 2
假設 d x，則有 x
1
+ x 0 1，解得 x 0，這與0 < x < 矛盾，
2 2
x 1假設 d 1，則有 0
1 1
，解得 x ，這與0 < x < 矛盾，
2 2 2
1 1 1
假設 d 1，則有 x + 0，解得 x ，這與0 < x < 矛盾，
2 2 2
d 1 x 1 0 x 1 1 1假設 ，則有 + ，解得 ，滿足0 < x < ，故 x ；
2 4 4 2 4
ì 1 1
經檢驗，集合 í 1, , ,1
ü
具有性質 P．
4 2
（3）證明：取 a
r
1 x1, x
r r r
1 Y ，設 a2 s, t Y 且滿足 a1 ×a2 0 ，
由 s + t x1 0得 s + t 0，從而 s，t 異號，
∵－1 是 x 中唯一的負數，
∴s，t 中一個為－1，另一個為 1，故1 X ．
因為 x2 q >1，所以 x1 1，
X 具有性質 P，取 a,b xi , x j ，1 i j n，
設 cxi + dx j 0，因為 x j > xi ，且 c，d 中的正數大于等于 1，
所以只能 d 1，
xi
所以 c Xx ，
1 i j n．
j
又 X 中只有 n 1 個大于 1 的正數，
即 x2 x3 < ××× < xn 1 < xn ，
x3 x4 x
且 < < ××× < n < xx x x n ，這 n 1 個大于 1 的正整數都屬于集合 X，2 2 2
x3 x4 xn
所以只能 x x xx 2 ， x 3，… x n 1，2 2 2
x3 x4 xn
即 ××× xx x 2 ，2 3 xn 1
x3 x4 x
即 ××× n qx x ．2 3 xn 1
【點睛】關鍵點點睛：處理本題第三問的關鍵是能夠根據性質 P 的定義，推出 x1 1，
xi
以及 x 為定值，進而根據 X 中只有 n 1 個大于 1 的正數解決問題.j
【拓展沖刺練】
一、單選題
1．（2023·上海寶山·一模）已知集合S 是由某些正整數組成的集合，且滿足：若 a S ，
則當且僅當 a m + n(其中m,n S 且m n)，或 a p + q(其中 p, q S , p,q Z*且
p q) .現有如下兩個命題: ① 4∈S ；②集合 x x 3n + 5, n N S .則下列選項中正確
的是（ ）
A．①是真命題， ②是真命題； B．①是真命題， ②是假命題
C．①是假命題， ②是真命題； D．①是假命題， ②是假命題.
【答案】C
【分析】根據集合S 的定義即可判斷①是假命題，根據集合S 的定義先判斷5 S ，
3n S ，再由"x A，有 x 3n + 5，3n S ，5 S 且3n 5，所以 x S ，可判斷 ②是
真命題.
【詳解】因為若 a S ，則當且僅當 a m + n(其中m,n S 且m n)，或 a p + q(其中
p, q S , p,q Z*且 p q)，
且集合S 是由某些正整數組成的集合，
所以1 S ， 2 S ，
因為3 1+ 2，滿足 a p + q(其中 p, q S , p,q Z*且 p q)，所以3 S ，
因為 4 1+ 3，且1 S ，3 S ，所以 4 S ，故①是假命題；
記 A x x 3n + 5,n N ，
當 n 0時，5 A，因為 5 =1+ 4，1 S ， 4 S ，所以5 S ；
下面討論元素3n n 1 與集合S 的關系，
當 n 1時，3 S ，當 n 2時， 6 2 + 4， 2 S ， 4 S ，所以6 S ，
當 n 3時，9 3+ 6，3 S ，6 S ，所以9 S ，
當 n 4時，12 3+ 9，3 S ，9 S ，所以12 S ，依次類推，
當 n 3時，3n 3+ 3 n 1 ，3 S ，3 n 1 S ，所以3n S ，
下面討論 n 1時，集合A 中元素與集合S 的關系，
因為"x A，有 x 3n + 5，3n S ，5 S 且3n 5，所以 x S ，
綜上所述，"x A，有 x S ，
即 x x 3n + 5, n N S ，故②是真命題.
故選：C.
【點睛】關鍵點睛：本題解題的關鍵在于判斷1 S ， 2 S ，3 S ， 4 S ，再根據集合
S 的定義求解.
2 2．已知函數 f x x 2ax +1 a R ，若非空集合
A x∣f x 0 , B x∣f f x 1 ，滿足 A B ，則實數 a的取值范圍是（ ）
A． é 1 2, 1ù B． é 2, 1ù C． é ù é ù 1, 2 D． 1,1+ 2
【答案】A
【分析】不妨設 f (x) 1的解集為[m, n]，從而得B x∣m f x n ，進而得到 n 0
且m f (x)min 0 ，又m ， n(m n)為方程 f (x) 1的兩個根，可得m 2a，由此得到關于
a的不等式組，解之即可得解.．
【詳解】因為 f x x2 2ax +1，
不妨設 f (x) 1的解集為[m, n]，則由 f f x 1得m f x n ，
所以B x∣f f x 1 x∣m f x n ，
又 A x∣f x 0 ， A B ，所以 n 0且m f (x)min < 0 ，
因為 f (x) 1的解集為[m, n]，所以m, n是 f (x) 1，即 x2 2ax +1 1的兩個根，
故m + n 2a ，即m 2a，
此時由m < n 0，得 2a < 0，則 a<0，
因為 f x x2 2ax +1，顯然D 4a2 + 4 > 0 ，且 f x 開口向上，對稱軸為 x a，
所以 f x 2min f a a 2a
2 +1 a2 +1，則 2a a2 +1 0，
又 a<0，解得 2 1 a 1，即 a é 1 2, 1ù .
故選：A.
【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵在于假設 f (x) 1的解集為[m, n]，進而得到 n 0
且m f (x)min < 0 ，從而得解.
3．已知集合 A x Z x +1 0 ，B x 2 < x < 3 ，則 AI B （ ）
A． x Z x 1 B． x 1 x 3
C． 1,0,1,2,3 D． 1,0,1,2
【答案】D
【分析】根據給定條件，利用交集的定義直接求解即得.
【詳解】集合 A x Z x +1 0 ，B x 2 < x < 3 ，所以 A B 1,0,1,2 .
故選：D
4 x．（2024·全國·模擬預測）已知集合M x 2x 3 > 0 , N y y e +1 ，則（ ）
A．M I N 1,
3 B M U N
3
÷ ． ,
3
+
2 2 ÷
C． N M 1, ÷ D．M N
è è è 2
【答案】D
【分析】先求解不等式和求函數的值域得到集合M , N 的范圍，再根據交并補和集合間
的關系的定義分別判斷各選項即得.
【詳解】QM x 2x 3 > 0 3 ,+ ÷， N y y >1 1,+ ，
è 2
因M N
3 ,+

2 ÷
,故 A 項錯誤；
è
由M N 1, + ，知 B 項錯誤；
由 N M

1,
3 ù
ú ,知 C 項錯誤；è 2
因M N ，故 D 項正確.
故選：D.
5．（23-24 高三上·上海·期中）設 a R 且 a 0，n 為正整數，集合
S ì íx cos aπx x
ü
．有以下兩個命題：①對任意 a，存在 n，使得集合 S 中至少有 2
n
2
個元素；②若存在兩個 n，使得 S 中只有 1 個元素，則 a < ，那么（ ）
5
A．①是真命題，②是假命題 B．①是假命題，②是真命題
C．①、②都是假命題 D．①、②都是真命題
【答案】A
【分析】
x
對于①命題，令函數 f (x) cos(ap x) ，分 a > 0和 a < 0兩種情況，利用零點存在定
n
理得即可判斷；對于②命題，通過舉例說明.
【詳解】對于①命題，設 a > 0，令函數 f (x) cos(ap x)
x
，
n
因為 f (0) 1 > 0， f (2n) cos(2anp ) 2 < 0，
所以存在 x1 (0, 2n)有 f (x1) 0，
1 1
當 n > 時， f ( ) cos( p )
1 1
+ 1 < 0 ，
a a an an
1
所以存在 x0 ( ,0)有 f (xa 0
) 0，
對于 a< 0 ，因為 y cos(anp ) 是偶函數，
所以 a<0和 a > 0情況一樣，故①是真命題；
對于②命題，通過①得出一下結論： n越小，集合S 元素數量越少，同理得出如果集合
S 只能有一個元素，只能是 x > 0的區間存在一個零點，
因此先討論 g(x) cos(
2 p x) x , h(x) cos(2 p x) x 的零點情況（如果 n 2只有一個零
5 2 5 3
點， n 1也只有一個零點），
其圖象如下圖：
2
即 a 時，也滿足
5
故②是假命題.
故選：A.
【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于零點存在定理的應用以及由①得出的結論.
二、多選題
6．設集合 X 是實數集R 的子集，如果點 x0 R 滿足：對任意 a > 0，都存在 x X ，使
得0 < x x0 < a ，稱 x0 為集合 X 的聚點，則在下列集合中，以 0 為聚點的集合有（ ）
A． x | x R, x 0 B．{x Z | x 0}
ì 1
C． íx x , n
n
N* ü ìD x x ,n N*
ü
． í
n n +1


【答案】AC
【分析】根據集合聚點的定義，逐一分析每個集合中元素的性質，并判斷是否滿足集合
聚點的定義，從而得到答案.
【詳解】對于集合 x | x R, x 0 ，對任意的 a a> 0，都存在 x ，使得
2
0 < x 0 a < a，
2
所以 0 是集合 x | x R, x 0 的聚點，A 選項正確；
對于集合{x Z | x 0}，對于某個實數 a > 0，比如 a 0.5，
此時對任意的 x {x Z | x 0}，都有 x 0 1，
也就是說不可能0 <| x 0 |< 0.5，從而 0 不是集合{x Z | x 0}的聚點，B 選項錯誤；
ì 1
對于集合 íx x , n N*
ü a 1 1 ，對任意的 > 0，都存在 x n > ，即 < a ，
n a n
1
0 < x 0 1 < a ìx x , n N* ü使 ，所以 0 是集合 í 的聚點，C 選項正確； n n
ì n * ü n 1 n
對于集合 íx x ,n N ， 1 ， 隨著 n 增大而增大，
n +1 n +1 n +1 n +1
n 1 1 1
的最小值為 ，故當 a < 時，即不存在 x，使得0 < x 0 < a ，D 選項錯
n +1 1+1 2 2
誤.
故選：AC
【點睛】關鍵點點睛：集合新定義的應用，其中解答中認真審題，正確理解集合的新定
義——集合中聚點的含義，結合集合的表示及集合中元素的性質，逐項判定是解答的關
鍵，著重考查推理與論證能力.
7．下列說法正確的是（ ）
M ìx x π kπ , k Zü N ìx x π kπ ,k ZüA．已知集合 í + ， í + ，則M N
4 2 2 4
B．終邊落在 y 軸上的角的集合可表示為 a a 90° + kπ,k Z
ì π 5π
C．若 sin x cos x > 0 ，則 x íx + 2kπ < x < + 2kπ,k Z
ü
4 4
D．在VABC 中，若 sin 2A sin 2B ，則VABC 為等腰三角形
【答案】AC
【分析】根據集合M ， N 表示終所在的位置，即可判斷 A；根據角度與弧度不能混用
即可判斷 B；根據輔助角公式結合正弦函數的性質即可判斷 C；由題意可得 2A 2B或
2A + 2B π，即可判斷 D.
【詳解】集合M 表示終邊落在直線 y ±x上角的集合，
集合 N 表示終邊落在直線 y ±x及坐標軸上角的集合，因此 A 正確；
B 選項出現角度與弧度混用錯誤；
C sin x cos x 0 2 sin 選項， > 即 x
π

π
÷ > 0

，即 sin x ÷ > 0，
è 4 è 4
所以 2kπ
π
< x < π + 2kπ π，解得 + 2kπ
5π
< x < + 2kπ, k Z，故 C 正確；
4 4 4
D 選項，若 sin 2A sin 2B ，
因為 A, B 0, π ，所以 2A, 2B 0,2π ，
π
所以 2A 2B或 2A + 2B π，所以 A B 或 A + B ，
2
所以VABC 為等腰三角形或直角三角形，故 D 錯誤．
故選：AC.
三、填空題
8．（23-24 高三下·上海·開學考試）已知集合 A x 2 < x 1 ，集合
B x 2a 1 x a +1 ，若 A B ，則實數 a的取值范圍為 .
【答案】 , 3 1,+
【分析】由題意分集合 B 是否為空集進行討論，結合 A B ，列出相應的不等式
（組），從而即可得解.
【詳解】集合 A x 2 < x 1 ，集合B x 2a 1 x a +1 ，且 A B ，
若B ，則 2a 1 > a +1，即 a > 2，此時滿足 A B ，即 a > 2滿足題意；
若B ，則 2a 1 a +1，即 a 2，此時若要使得 A B ，
則還需 2a 1 >1或 a +1 2，解得 a 3或 a > 1，
注意到此時 a 2，從而此時滿足題意的 a的范圍為 a 3或1< a 2；
綜上所述，實數 a的取值范圍為 , 3 1,+ .
故答案為： , 3 1,+ .
2p
9．（2024·四川遂寧· *二模）已知等差數列 an 的公差為 ，集合 S {x | x cos an , n N }3
有且僅有兩個元素，則這兩個元素的積為 ．
1
【答案】 / 0.5
2
【分析】根據給定的等差數列，寫出通項公式，再結合余弦型函數的周期及集合只有兩
個元素分析、推理作答.
【詳解】 an a1 + n 1 d a
2π
1 + n 1 ，3
則 cos a cos
é
n êa
2π
1 + n 1
ù cos 2π n + a 2π
3 ú 3 1
，
è 3 ÷
2π
2π 3其周期為 ，而 n N* ，即 cos an 最多 3 個不同取值，
3
集合 S {x | x cos an ,n N
*}有且僅有兩個元素，設 S {a,b}，
則在 cos an , cos an+1, cos an+2 中， cos an cos an+1 cos an+2 或 cos an cos an+1 cos an+2 ，
或 cos an cos an+2 cos an+1，又 cos an cos an+3 ，即 cos an+3 cos an+2 cos an+1，
所以一定會有相鄰的兩項相等，設這兩項分別為 cosq , cos
2π
q +

3 ÷
,
è
2π
于是有 cosq cos(q
2π
+ ) q + ，即有 q +

÷ 2kπ,k Z
π
，解得q kπ ,k Z ，
3 è 3 3
不相等的兩項為 cosq , cos
q 4π+ ÷，
è 3
故 ab cos(kπ
π
) cos[(kπ π ) 4π+ ] π cos(kπ ) cos kπ cos2 kπ cos π 1 ， k Z .
3 3 3 3 3 2
1
故答案為： .
2
【點睛】關鍵點點睛：此題關鍵是通過周期性分析得到相等的項為相鄰的兩項，不相等
的兩項之間隔一項，從而求得答案.
10．（23-24 高三上·江西·期末）定義：有限集合 A x x ai , i n, i N+ ,n N+ ，
S a1 + a2 +L+ an 則稱S 為集合A 的“元素和”，記為 A .若集合
P x x i +1 2i , i n, i N+ ,n N+ ，集合 P 的所有非空子集分別為 P1， P2，…， Pk ，
則 P1 + P2 +L+ Pk .
【答案】 n × 4n
【分析】根據錯位相減可得 P 中的元素和，根據每一個元素在子集中出現的次數為 2n 1 ，
因此 P1 + P2 +L+ Pk 2
n 1 Sn ，即可求解．
【詳解】由題意知集合 P 中的元素分別為 2 21，3 22， 4 23，L， (n +1) ×2n ，
設 Sn 2 2
1 + 3 22 +L+ (n +1) × 2n ①，則 2S 2 22 3n + 3 2 +L + (n +1) × 2n+1 ②，
n
① ②，得 S 4 + (22 + 23 +L+ 2n ) (n 1) 2n+1 4 4 2 2+ × + (n +1) × 2n+1 n × 2n+1n ，所以1 2
S n × 2n+1n ．
由于集合 P 中每一個元素在子集中出現的次數為 2n 1 ，所以
| P1 | + | P2 | +L+ | P | 2
n 1 × S 2n 1 n+1k n × n × 2 n × 2
2n n × 4n ．
故答案為： n × 4n ．
四、解答題
11．設自然數 n 3，由 n個不同正整數 a1,a2 ,a3L,an 構成集合 S a1, a2 , a3L,an ，若
集合S 的每一個非空子集所含元素的和構成新的集合PS ，記 card PS 為集合PS 元素的個
數
(1)已知集合 A {1,2,3,4}，集合B {1,2,4,8}，分別求解 card PA , card PB ．
(2)對于集合 S a1, a2 , a3L,an ，若 card PS 取得最大值，則稱該集合S 為“極異集合”
①求 card PS 的最大值（無需證明）．
② S a , a , a L,a d a 2i 1已知集合 1 2 3 n 是極異集合，記 i i 求證：數列 dn 的前 n項和
Dn 0．
【答案】(1) card PA 10 , card PB 15；
(2)① 2n 1；②證明見解析
【分析】（1）根據 card PS 定義求出集合的子集個數即可得出結果；
（2）①根據元素個數可得集合 S a1, a2 , a3L,an 共有 2n 1個非空子集， card PS 的
最大值為 2n 1 ；
n
②根據極異集合的定義，利用等比數列前 n項和即可得只需證明 ai 2n 1，再由元
i 1
素互異性和元素的取值范圍可得結論.
【詳解】（1）已知集合 A {1,2,3,4}的非空子集有 15 個：
{1},{2},{3},{4},{1,2},{1,3}L{1,2,3,4}
計算可得PA {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，即 card PA 10 ．
集合B {1,2,4,8}的非空子集有 15 個：{1},{2},{4},{8},{1,2},{1,4}L{1,2,4,8}
計算可得PB {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15}，即 card PB 15
（2）①集合 S a n n1, a2 , a3L,an 共有 2 1個非空子集， card PS 的最大值為 2 1
②Qd i 1i ai 2 ，
\Dn d1 + d2 + d3 +L+ dn a1 2
0 + a 212 +L+ an 2
n 1
n
a + a 0 1 n 11 2 +L+ an 2 + 2 +L+ 2 ai 2n 1 0
i 1
n
即證 ai 2n 1
i 1
不妨設 a1 < a2 < a3 a1,a2 ,a3L,an
Q集合S 是極異集合，\card PS 2n 1，代表有 2n 1個不同的正整數，
P ì
n
即 S ía1,L, a üi ，
i 1
所以PS 中有 2n 1個元素，由元素互異性可得
n
a a ni 1 + 2 2
i 1
n
Qa 1 a a + 2n 2 2n又 1 ，即可得 i 1 1，
i 1
因此數列 dn 的前 n項和Dn 0 .
【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于理解新的定義，并結合數列及其前 n項和性質進行
化簡計算，并由集合元素的互異性得出結論.
12．（23-24 高三下·北京·階段練習）設 k 是正整數，A 是 N* 的非空子集（至少有兩個元
素），如果對于 A 中的任意兩個元素 x，y，都有 | x y | k ，則稱 A 具有性質 P(k ) ．
(1)試判斷集合 B {1,2,3,4}和C {1,4,7,10}是否具有性質 P(2)？并說明理由．
(2)若 A a1,a2 , ,a12 {1,2, , 20}．證明：A 不可能具有性質 P(3) ．
(3)若 A {1,2, , 2023}且 A 具有性質P(4)和P(7)．求 A 中元素個數的最大值．
【答案】(1) B 不具有性質 P(2)，C 具有性質 P(2)，理由見解析
(2)證明見解析
(3)920
【分析】（1）根據定義判斷B,C 是否具有性質P 2 即可；
（2）將 1,2,L, 20 分為11個子集，結合抽屜原理證明結論；
（3）先證明連續11個自然數中至多有5個元素屬于A ，由此可得集合 A 中元素個數不
超過920個，再舉例說明存在含有920個元素的滿足要求的集合A .
【詳解】（1）因為B 1,2,3,4 ，又1 N* , 2 N* ,3 N* , 4 N*，
但 4 2 2，所以集合 B 不具有性質P 2 ，
因為C 1,4,7,10 ，又1 N* , 4 N* ,7 N* ,10 N*，
但 4 1 3, 7 1 6, 10 1 9, 7 4 3, 10 4 6, 10 7 3，
所以集合C 具有性質P 2 .
（2）將集合 1,2,L, 20 中的元素分為如下11個集合，
1,4 , 2,5 , 3,6 , 7,10 , 8,11 , 9,12 , 13,16 , 14,17 , 15,18 , 19 , 20 ，
所以從集合 1,2,L, 20 中取12個元素，則前9個集合至少要選 10 個元素，
所以必有 2個元素取自前9個集合中的同一集合，即存在兩個元素其差為3，
所以 A 不可能具有性質P 3 .
（3）先說明連續 11 項中集合A 中最多選取 5 項，
以1,2,3 × ××,11為例.
構造抽屜{1,8}，{2, 9}，{3,1 0} ，{4,11}，{5}，{6}，{7}.
① 5,6,7 同時選，因為具有性質P(4)和P(7)，
所以選 5 則不選1,9；選 6 則不選 2,10；選 7 則不選3,11；
則只剩 4,8 . 故1,2,3 × ××,11中屬于集合A 的元素個數不超過 5 個.
② 5,6,7 選 2 個，
若只選5,6，則1,2,9,10,7不可選，又{4,11}只能選一個元素，
3,8可以選，故1,2,3 × ××,11中屬于集合A 的元素個數不超過 5 個.
若選5,7 ，則只能從 2,4,8,10 中選，但 4,8不能同時選，
故1,2,3 × ××,11中屬于集合A 的元素個數不超過 5 個.
若選6,7 ，則 2,3,10,11,5不可選，又{1,8}只能選一個元素，
4,9 可以選，故1,2,3 × ××,11中屬于集合A 的元素個數不超過 5 個.
③ 5,6,7 中只選 1 個，
又四個集合{1,8}，{2, 9}，{3,1 0} ，{4,11}每個集合至多選 1 個元素，
故1,2,3 × ××,11中屬于集合A 的元素個數不超過 5 個.
由上述①②③可知，連續 11 項自然數中屬于集合A 的元素至多只有 5 個，
如取1,4,6,7,9 .
因為 2023=183×11+10，則把每 11 個連續自然數分組，前 183 組每組至多選取 5 項；
從 2014 開始，最后 10 個數至多選取 5 項，故集合A 的元素最多有184 5 920個.
給出如下選取方法：從1,2,3 × ××,11中選取1,4,6,7,9；
然后在這 5 個數的基礎上每次累加 11，構造 183 次.
此時集合A 的元素為：1,4,6,7,9；12,15,17,18,20 ； 23,26,28,29,31； ××××××；
2014,2017,2019,2020,2022，共920個元素.
經檢驗可得該集合符合要求，故集合A 的元素最多有920個.
【點睛】關鍵點點睛：“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、
新運算五種，然后根據此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，
這樣有助于對新定義的透徹理解.
13．（2024·北京·模擬預測）已知集合 A 1,2,3, , n *，其中 n N , A1, A2 ,L, Am 都是A
的子集且互不相同，記M i Ai 的元素個數， Nij Ai Aj 的元素個數
(i, j 1,2,L, m , i < j) .
(1)若 n 4, A1 1,2 , A2 1,3 , N13 N23 1，直接寫出所有滿足條件的集合 A3；
(2)若 n 5，且對任意1 i < j m，都有 Nij > 0，求m 的最大值；
(3)若n 7, M i 3 i 1,2,L,m 且對任意1 i < j m，都有 Nij 1，求m 的最大值.
【答案】(1) A3 {1}或 A3 {1,4}或 A3 {2,3}或 A3 {2,3,4}
(2) mmax 16
(3) mmax n
【分析】（1）根據新定義對交集情況分類討論即可；
（2）將集合 A {1,2,3,4,5}的子集進行兩兩配對得到 16 組，寫出選擇A 的 16 個含有元
素 1 的子集即可得到mmax ；
（3）分 A1 ~ Am中有一元集合和沒有一元集合但有二元集合，以及 A1 ~ Am均為三元集合
討論即可.
【詳解】（1）因為 N13 N23 1，則 A1 A3 和 A2 I A3的元素個數均為 1，
又因為 n 4, A1 1,2 , A2 1,3 ，則 A 1,2,3,4 ，
若 A1 A3 1 ， A2 A3 1 ，則 A3 {1}或 A3 {1,4}；
若 A1 A3 2 ， A2 A3 3 ，則 A3 {2,3}或 A3 {2,3,4}；
綜上 A3 {1}或 A3 {1,4}或 A3 {2,3}或 A3 {2,3,4} .
（2）集合 A {1,2,3,4,5}共有 32 個不同的子集，
將其兩兩配對成 16 組Bi ,Ci (i 1,2,L,16)，
使得Bi Ci , Bi Ci A，則Bi ,Ci 不能同時被選中為子集 Aj ( j 1,2,L,m) ，故
m 16 .
選擇A 的 16 個含有元素 1 的子集: A1 {1}, A2 {1,2}, A3 {1,3}, A16 A，符合題意.
綜上，mmax 16 .
（3）結論: mmax n，令 A1 {1}, A2 {1,2}, A3 {1,3},L, An {1, n}，集合 A1 ~ An 符合題
意.
證明如下：
①若 A1 ~ Am中有一元集合，不妨設 A1 {1}，則其它子集中都有元素 1，且元素 2 ~ n都
至多屬于 1 個子集，
所以除 A1外的子集至多有 n 1個，故m n .
②若 A1 ~ Am中沒有一元集合，但有二元集合，不妨設 A1 {1,2} .其它子集分兩類:
B j 1,b j 或 1,b j ,b j ( j 1,2,L, s)，和C j 2,c j 或 2,c j ,c j ( j 1,2,L, t) ，
其中 s t,b j ,b j 互不相同， c j ,c j 互不相同且均不為 1，2.
若 t 0，則 s n 2，有m 1+ s + t n 1 < n
若 t 1，則由 B j C1 1得每個集合 Bj 中都恰包含C1中的 1 個元素（不是 2)，且互不
相同，
因為C1中除 2 外至多還有 2 個元素，所以 s 2 .
所以m 1+ s + t 1+ 2 + 2 < n .
③若 A1 ~ Am均為三元集合，不妨設 A1 {1,2,3} .將其它子集分為三類：
B j 1,b j ,b j ( j 1,2,L, s),C j 2,c j ,c j ( j 1,2,L, t), D j 3,d j ,d j ( j 1,2,L, r) ，其
中 s t r .
s n 3若 t r 0，則 (除 1，2，3 外，其它元素兩個一組與 1 構成集合B1 ~ Bs )，2
所以m 1+ s 1
n 3
+ < n .
2
若 t 1，不妨設C1 {2,4,5}，則由 B j C1 1得每個集合 Bj 中都或者有 4、或者有 5，
又B1, B2 ,L, Bs 中除 1 外無其它公共元素，所以 s 2 .
所以m 1+ s + t + r 1+ 2 + 2 + 2 7 n .
綜上，mmax n .
【點睛】關鍵點點睛：本題第三問的關鍵是充分理解集合新定義，然后對 A1 ~ Am中集
合元素個數進行分類討論；當 A1 ~ Am均為三元集合時，不妨設 A1 {1,2,3}，再將其它
子集分為三類討論.考點 01 集合（4 種核心題型+基礎保分練+
綜合提升練+拓展沖刺練）
【考試提醒】
1.了解集合的含義，了解全集、空集的含義.2.理解元素與集合的屬于關系，理解集合間
的包含和相等關系.3.會求兩個集合的并集、交集與補集.4.能用自然語言、圖形語言、集
合語言描述不同的具體問題，能使用 Venn 圖表示集合間的基本關系和基本運算．
【知識點】
1．集合與元素
(1)集合中元素的三個特性：____________、____________、____________.
(2)元素與集合的關系是________或________，用符號______或________表示．
(3)集合的表示法：__________、____________、____________.
(4)常見數集的記法
非負整數集
集合 正整數集 整數集 有理數集 實數集
(或自然數集)
符號 N*(或 N＋)
2.集合的基本關系
(1)子集：一般地，對于兩個集合 A，B，如果集合 A 中____________都是集合 B 中的元
素，就稱集合 A 為集合 B 的子集，記作________(或 B A)．
(2)真子集：如果集合 A B，但存在元素 x∈B，且________，就稱集合 A 是集合 B 的真
子集，記作________(或 B A)．
(3)相等：若 A B，且________，則 A＝B.
(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，記為 .空集是________________的子集，是
________________________的真子集．
3．集合的基本運算
表示
集合語言 圖形語言 記法
運算 　
并集
交集
補集
常用結論
1．若集合 A 有 n(n≥1)個元素，則集合 A 有 2n個子集，2n－1 個真子集．
2．A∩B＝A A B，A∪B＝A B A.
【核心題型】
題型一　集合的含義與表示
解決集合含義問題的關鍵有三點：一是確定構成集合的元素；二是確定元素的限制條件；
三是根據元素的特征(滿足的條件)構造關系式解決相應問題．
【例 1】下列四組集合中表示同一集合的為（ ）
A．M 1,3 ， N 3, 1 B．M 1,3 ， N 3, 1
C．M x, y | y x2 + 3x 2， N x | y x + 3x D．M 0 ， N 0
【變式 1】已知集合{a,b,c} { 1,0,1}，若下列三個關系有且只有一個正確：① a 1；
② b = -1；③ c 0，則a2023 2b + 4c （ ）
A．2 B．3 C．5 D．8
【變式 2】（23-24 高三下·江西·階段練習）已知 A x x2 ax +1 0 ，若2 A，且
3 A，則 a的取值范圍是（ ）
é5 ,10 A B
5 10 ù 5 10
． ê ÷ ． , ú C
é
．
2 3 è 2 3 ê
,+ ÷ D． ,
2 è 3 ÷
2
【變式 3】（23-24 高三下·湖南長沙·階段練習）已知集合 A x ex 2x 1 ，
B 1,0,1 ，則集合 A B 的非空子集個數為（ ）
A．4 B．3 C．8 D．7
題型二　集合間的基本關系
(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合關系問題時，必須考慮空集的情況，否則易造成
漏解．
(2)已知兩個集合間的關系求參數時，關鍵是將條件轉化為元素或區間端點間的關系，進
而轉化為參數所滿足的關系，常用數軸、Venn 圖等來直觀解決這類問題．
【例 2】在集合 A 1,1,2,3,4,5,6 的子集中，含有 3 個元素的子集的個數為 .
【變式 1】（2024·海南· 2模擬預測）已知集合 A 1,2,4 , B a,a ，若 AI B B ，則
a .
【變式 2】集合 A { 3,m} B m2， + 4m, 1 ，且 A B ，則實數m ．
【變式 3】若集合 A x ax2 ax +1< 0 ，則實數 a 的值的集合為 ．
題型三　集合的基本運算
命題點 1　集合的運算
ì π 2π ü
【例 3】（23-24 高三下·江西·階段練習）已知集合 A íx 2kπ + < x < 2kπ + ,k Z ，
6 3
B ìx kπ π π ü集合 í + < x < kπ + ,k Z ，則 AI B （4 3 ）

A． 2kπ
π π
+ , 2kπ + π π
4 3 ÷
， k Z B． kπ + , kπ +4 3 ÷，
k Z
è è

C． 2kπ
π π π
+ , 2kπ + ÷， k Z D． kπ + , kπ
π
+ ， k Z
è 6 3 ÷ è 6 3
【變式 1】（2024·云南紅河·二模）設集合 A 0,1,2 , B 3, m ，若 A B 2 ，則 A B
（ ）
A． 0,1, 2,3 B． 0,1,2 C． 1,2,3 D． 2,3
【變式 2】（23-24 高一上·陜西寶雞·期中）已知
U {1,2,3,4,5,6,7}, A {2,4,5}, B {1,3,5,7},則 AI U B （ ）
A．{1,3,4} B．{3,4} C．{2,4,6} D．{2,4}
命題點 2　利用集合的運算求參數的值(范圍)
對于集合的交、并、補運算，如果集合中的元素是離散的，可用 Venn 圖表示；如果集
合中的元素是連續的，可用數軸表示，此時要注意端點的情況．
【例 4】（2024·四川涼山·二模）已知集合 A y y x +1, 1 x 1 ，B x x a ，若
A B B ，則 a的取值范圍為（ ）
A． 0,2 B． 2, + C． , 2 D． ,1
【變式 1】（2024·全國·模擬預測）已知集合 A 5, 1,1,5 ，B x a < x < a + 3 ，若
A B 中有 2 個元素，則實數 a的取值范圍是（ ）
A． 2, 1 B． 2, 1 C． 2,2 D． 5, 1
【變式 2】．已知集合 A x 3 < 2x +1 < 7 ，B x x < 4或 x > 2 ，
C x 3a 2 < x < a +1 ．
(1)求 AI R B ；
(2)若“ p : x R AU B ”是“ q : x C ”的充分不必要條件，求實數 a的取值范圍．
題型四　集合的新定義問題
解決集合新定義問題的關鍵
解決新定義問題時，一定要讀懂新定義的本質含義，緊扣題目所給定義，結合題目所給
定義和要求進行恰當轉化，切忌同已有概念或定義相混淆．
ì1, x A
【例 5】（23-24 高三下·上?！るA段練習）對于全集 R 的子集 A，定義函數 fA x í
0, x A
為 A 的特征函數．設 A，B 為全集 R 的子集，下列結論中錯誤的是（ ）
A．若 A B ，則 fA x fB x B． fA (x) 1 fA (x)
C． fA B (x) fA (x) × fB (x) D． fA B (x) fA (x) + fB (x)
ì 0, x 0
ì 3 ü
【變式1】（2024·河南·模擬預測）定義 sgn x í x , x 0 ，若集合 A íy | y sgn xi ， x i 1
則 A 中元素的個數為（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【變式 2】（2024·黑龍江·二模）已知集合 A 1,2 ，B 3,4 ，定義集合：
A* B x, y x A, y B ，則集合 A* B 的非空子集的個數是（ ）個．
A．16 B．15 C．14 D．13
1+ a
【變式 3】已知實數集A 滿足條件:若 a A，則 A，則集合A 中所有元素的乘積
1 a
為（ ）
A．1 B． 1 C．±1 D．與 a的取值有
關
【課后強化】
【基礎保分練】
一、單選題
1．下列說法中正確的是（ ）
A．1 與 1 表示同一個集合
B．由 1，2，3 組成的集合可表示為 1,2,3 或{3,2,1}
C．方程 x 1 2 x 2 0 的所有解的集合可表示為{1,1,2}
D．集合 x | 4 < x < 5 可以用列舉法表示
2．（2024·福建廈門·二模）設集合 A 1,0,1 ，B x1, x2 , x3 , x4 , x5 xi A, i 1,2,3,4,5 ，
那么集合 B 中滿足1 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 3的元素的個數為（ ）
A．60 B．100 C．120 D．130
3．集合M {x N∣0 < x < 3}的子集的個數是（ ）
A．16 B．8 C．7 D．4
4．（2024·浙江·模擬預測）已知全集
U 1,2,3,4,5 , M I U N 1,2 , U M I N 4 , U M U N 3 ，則M N （ ）
A． B． 4 C． 5 D． 1,2
二、多選題
5．（2024·全國·模擬預測）設 A1， A2，× × × ， An n 4 為集合 S 1,2, × × ×, n 的 n個不同子
ì0, i Aj
集，為了表示這些子集，作 n行 n列的數陣，規定第 i行第 j 列的數為 aij í ．則
1, i Aj
下列說法中正確的是（ ）
A．數陣中第一列的數全是 0，當且僅當 A1
B．數陣中第 n列的數全是 1，當且僅當 An S
C．數陣中第 j 行的數字和表明集合 Aj 含有幾個元素
D．數陣中所有的 n2 個數字之和不超過 n2 n +1
6．（2024 高三·全國·專題練習）由無理數引發的數學危機一直延續到 19 世紀，直到 1872
年，德國數學家戴德金從連續性的要求出發，用有理數的“分割”來定義無理數(史稱戴
德金分割)，并把實數理論建立在嚴格的科學基礎上，才結束了無理數被認為“無理”的
時代，也結束了持續 2000 多年的數學史上的第一次大危機．所謂戴德金分割，是指將
有理數集Q劃分為兩個非空的子集 M 與 N，且滿足M N Q，M N ，M 中的
每一個元素小于 N 中的每一個元素，則稱 (M , N )為戴德金分割．試判斷下列選項中，
可能成立的是（ ）
A．M x x < 0 ， N x x > 0 是一個戴德金分割
B．M 沒有最大元素，N 有一個最小元素
C．M 有一個最大元素，N 有一個最小元素
D．M 沒有最大元素，N 也沒有最小元素
三、填空題
7．已知集合 A 1, 2 , B 1, a,3 ，且 A B ，則a ．
四、解答題
8．已知集合 A U ，B U ，全集U 1,2,3,4,5,6 ，且 U A 1,3,4 ，B 3,5,6
(1)求集合A ；
(2)求 A B .
9．已知集合 A 1,4 ，B 1,4,5,6 .
(1)求 A B 及 A B ；
(2)求 BA.
【綜合提升練】
一、單選題
1．（2024 高三·全國· 2專題練習）已知集合 A x x 4x 5 0 , B x a 3 < x < a + 4 ，
若 A U B R，則實數 a的取值范圍為（ ）
A． a a >1 B． a 1< a < 2
C． a a < 2 D． a 1 a 2
2．（23-24 高三下·河南·階段練習）已知全集U = -2,-1,0,1,2 ，集合
A 2,0 , B x x2 2x 0 ，則 U A B （ ）
A． 1,1,2 B． 1,0,1 C． 1 D． 1,1
3．（23-24 高三下·湖北·階段練習）已知集合 A {1,2}，B {0,2}，若定義集合運算：
A* B z z xy, x A, y B ，則集合 A* B 的所有元素之和為（ ）
A．6 B．3 C．2 D．0
4．（2024·全國·模擬預測）已知集合U Z， A x x 2k +1, k Z ，
B x x 4k + 2,k Z ，則 x x 4k, k Z （ ）
A． U A B B． U AU B C． U AI B D． U A B
ì x 3
5．設全集U R ，集合 Aíx 0
ü
x + 2
．集合B x lnx 1 ，則 AI U B （ ）

A． e,3 B． e,3 C． 2,e D． 2,e
ì x +1 ü
6．（2024· · 2陜西咸陽 二模）已知集合 A íx 0 ， B x y log5 x 2 x 16 ，則
A R B （ ）
A． 1,4 B． 1,4 C． 1,5 D． 4,5
7．已知集合S 是由某些正整數組成的集合，且滿足：若 a S ，則當且僅當 a m + n
（其中正整數m 、 n S 且m n）或 a p + q （其中正整數 p 、 q S 且 p q）．現有
*
如下兩個命題：① 5 S ；②集合 x x 3n, n N S ．則下列判斷正確的是（ ）
A．①對②對 B．①對②錯 C．①錯②對 D．①錯②錯
8 4
x
．已知函數 f x ， y xx 為高斯函數，表示不超過實數 x 的最大整數，例如4 + 2
0.5 1， 1.3 1.記 A ì ü 2, 1,0,1 ， B íy y éê f x
1
ù + éú ê f 1
1
x ùú , x R ，
2 2
則集合A ， B 的關系是（ ）
A． A B 2 B． AI B 1,0,1
C． A B 1,0 D． AI B 0,1
二、多選題
9．若全集U 1,2,3,4,5,6 ，M 1,4 ， N 2,3 ，則集合 5,6 等于（ ）
A． U M U U N B． U M U N C． U M N D． U N M
12
10．（2024·遼寧遼陽·一模）已知集合 A {x | N, x N}, B {x | x2 6x < 7}，則
x +1
（ ）
A． A B 1,2,3,5 B． A B 1,7 11
C．12 x y∣x A, y B D．$a A, y∣y lg x2 ax + 9 R
11．已知集合 A, B滿足B x, y, z ∣x + y + z 11, x, y, z A ，則下列說法正確的是
（ ）
A．若 A 2,0,1,13 ，則 B 中的元素的個數為 1
B．若 A x∣x 2k +1, k N ，則 B 中的元素的個數為 15
C．若 A N+ ，則 B 中的元素的個數為 45
D．若 A N ，則 B 中的元素的個數為 78
三、填空題
12．已知集合M 2,0,2,4 ， N x x m ，若M N M ，則m 的最大值
為 ．
13．（2024· 2廣東湛江·一模）已知全集U 為實數集R ，集合 A x x 4 ，
B x log2 x > 2 ，則 AU U B ．
14．（2024·遼寧·一模）已知集合M x | y 2x2 + 3x + 2 ， N {x N∣x > 2}，則
M ，M N .
四、解答題
15．（2024 高三·全國·專題練習）已知集合 A＝{x|x2－2x＋a＝0}，B＝{1，2}，且 A B，
求實數 a 的取值范圍．
16．（2024 高三·全國·專題練習）已知集合 A＝{x|x2－4x－5≤0}，B＝{x|2x－6≥0}，M＝
A∩B.
(1)求集合 M；
(2)已知集合 C＝{x|a－1≤x≤7－a，a∈R}，若 M∩C＝M，求實數 a 的取值范圍．
17 2．已知 a為實數，設集合 A x 2x + a x ．
(1)設集合B x lgx 0 ，若B A，求實數 a的取值范圍．
(2)若集合 A R ，求實數 a的取值范圍；
ì 1, x M18．對于集合M ，定義函數 fM x í1, x M ．對于兩個集合M , N ，定義集合
M N x∣fM x × fN x 1 ．已知集合 A 1,3,5,7,9 , B 2,3,5,6,9 ．
(1)求 fA 1 與 fB 1 的值；
(2)用列舉法寫出集合 A B ；
(3)用Card M 表示有限集合M 所包含元素的個數．已知集合 X 是正整數集的子集，求
Card X A + Card X B 的最小值，并說明理由.
19．對于數集 X 1, x1, x2 ,× × ×, xn ，其中0 < x1 < x2 < ×× × < xn ， n 2，定義向量集
Y ar ar r r r r s, t , s X , t X ，若對任意 a1 Y ，存在 a2 Y ，使得 a1 ×a2 0 ，則稱 X 具
有性質 P．
(1)設 X 1,1,2 ，請寫出向量集 Y 并判斷 X 是否具有性質 P（不需要證明）．
0 x 1
1
< < ì 1, x, ,1ü(2)若 ，且集合 í 具有性質 P，求 x 的值；2 2
x x x
(3) X 3 4 n若 具有性質 P，且 x2 q ，q 為常數且 q > 1 ，求證： ××× qx ．2 x3 xn 1
【拓展沖刺練】
一、單選題
1．（2023·上海寶山·一模）已知集合S 是由某些正整數組成的集合，且滿足：若 a S ，
則當且僅當 a m + n(其中m,n S 且m n)，或 a p + q(其中 p, q S , p,q Z*且
p q) .現有如下兩個命題: ① 4∈S ；②集合 x x 3n + 5, n N S .則下列選項中正確
的是（ ）
A．①是真命題， ②是真命題； B．①是真命題， ②是假命題
C．①是假命題， ②是真命題； D．①是假命題， ②是假命題.
2．已知函數 f x x2 2ax +1 a R ，若非空集合
A x∣f x 0 , B x∣f f x 1 ，滿足 A B ，則實數 a的取值范圍是（ ）
A． é 1 2, 1ù B． é 2, 1ù C． é1, 2 ù D． é 1,1+ 2 ù
3．已知集合 A x Z x +1 0 ，B x 2 < x < 3 ，則 AI B （ ）
A． x Z x 1 B． x 1 x 3
C． 1,0,1,2,3 D． 1,0,1,2
4．（2024· · M x 2x 3 > 0 , N y y ex全國 模擬預測）已知集合 +1 ，則（ ）
A．M I N 1,
3 B
3 3
÷ ．M U N ,+

÷ C． N M 1, ÷ D．M N
è 2 è 2 è 2
5．（23-24 高三上·上海·期中）設 a R 且 a 0，n 為正整數，集合
S ì íx cos aπx x
ü
．有以下兩個命題：①對任意 a，存在 n，使得集合 S 中至少有 2
n
2
個元素；②若存在兩個 n，使得 S 中只有 1 個元素，則 a < ，那么（ ）
5
A．①是真命題，②是假命題 B．①是假命題，②是真命題
C．①、②都是假命題 D．①、②都是真命題
二、多選題
6．設集合 X 是實數集R 的子集，如果點 x0 R 滿足：對任意 a > 0，都存在 x X ，使
得0 < x x0 < a ，稱 x0 為集合 X 的聚點，則在下列集合中，以 0 為聚點的集合有（ ）
A． x | x R, x 0 B．{x Z | x 0}
ìx x 1 , n N* ü ìx x n üC *． í D． í ,n N
n n +1


7．下列說法正確的是（ ）
ì π kπ
A．已知集合M íx x + , k Z
ü ì π kπ
， N íx x + ,k Z
ü
，則M N
4 2 2 4
B．終邊落在 y 軸上的角的集合可表示為 a a 90° + kπ,k Z
ì π
C．若 sin x cos x > 0 ，則 x íx + 2kπ x
5π 2kπ,k Zü< < +
4 4
D．在VABC 中，若 sin 2A sin 2B ，則VABC 為等腰三角形
三、填空題
8．（23-24 高三下·上?！ら_學考試）已知集合 A x 2 < x 1 ，集合
B x 2a 1 x a +1 ，若 A B ，則實數 a的取值范圍為 .
2p
9．（2024·四川遂寧· *二模）已知等差數列 an 的公差為 ，集合 S {x | x cos an , n N }3
有且僅有兩個元素，則這兩個元素的積為 ．
10．（23-24 高三上·江西·期末）定義：有限集合 A x x ai , i n, i N+ ,n N+ ，
S a1 + a2 +L+ an 則稱S 為集合A 的“元素和”，記為 A .若集合
P x x i +1 2i , i n, i N+ ,n N+ ，集合 P 的所有非空子集分別為 P1， P2，…， Pk ，
則 P1 + P2 +L+ Pk .
四、解答題
11．設自然數 n 3，由 n個不同正整數 a1,a2 ,a3L,an 構成集合 S a1, a2 , a3L,an ，若
集合S 的每一個非空子集所含元素的和構成新的集合PS ，記 card PS 為集合PS 元素的個
數
(1)已知集合 A {1,2,3,4}，集合B {1,2,4,8}，分別求解 card PA , card PB ．
(2)對于集合 S a1, a2 , a3L,an ，若 card PS 取得最大值，則稱該集合S 為“極異集合”
①求 card PS 的最大值（無需證明）．
②已知集合 S a1, a2 , a3L,an i 1是極異集合，記 di ai 2 求證：數列 dn 的前 n項和
Dn 0．
12．（23-24 高三下·北京·階段練習）設 k 是正整數，A 是 N* 的非空子集（至少有兩個元
素），如果對于 A 中的任意兩個元素 x，y，都有 | x y | k ，則稱 A 具有性質 P(k ) ．
(1)試判斷集合 B {1,2,3,4}和C {1,4,7,10}是否具有性質 P(2)？并說明理由．
(2)若 A a1,a2 , ,a12 {1,2, , 20}．證明：A 不可能具有性質 P(3) ．
(3)若 A {1,2, , 2023}且 A 具有性質P(4)和P(7)．求 A 中元素個數的最大值．
13．（2024· *北京·模擬預測）已知集合 A 1,2,3, , n ，其中 n N , A1, A2 ,L, Am 都是A
的子集且互不相同，記M i Ai 的元素個數， Nij Ai Aj 的元素個數
(i, j 1,2,L, m , i < j) .
(1)若 n 4, A1 1,2 , A2 1,3 , N13 N23 1，直接寫出所有滿足條件的集合 A3；
(2)若 n 5，且對任意1 i < j m，都有 Nij > 0，求m 的最大值；
(3)若n 7, M i 3 i 1,2,L,m 且對任意1 i < j m，都有 Nij 1，求m 的最大值.

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