資源簡介

易錯(cuò) 03 函數(shù)及其性質(zhì)（10 個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)錯(cuò)因分析與分類講解+6
個(gè)易錯(cuò)核心題型強(qiáng)化訓(xùn)練）
易錯(cuò)點(diǎn)錯(cuò)因分析與分類講解
易錯(cuò)點(diǎn) 1 對(duì)復(fù)合函數(shù)定義域的理解不透徹致誤
1.[江蘇三校 2023 聯(lián)考]已知函數(shù) y = f (2x -1) [ 2,3] y f (x)的定義域是 - ，則 = 的定義域是（ ）
x + 2
A. -2,5 B. -2,3 C. -1,3 D. -2,5
特別提醒：
（1）已知 f (x) 的定義域?yàn)?a,b ，則 f g(x) 的定義域?yàn)?a g(x) b 的解集；
（2）已知 f g(x) 的定義域?yàn)?a,b ，則 f (x) 的定義域?yàn)?g(x)在 a,b 上的值域.
【解析】因?yàn)楹瘮?shù) y = f (2x -1)的定義域 -2,3 ，所以 -2 x 3，所以 -5 2x -1 5，所以函數(shù)
y = f (x) 的定義域?yàn)?-5,5
-5 x 5
要使 y f (x) ì= 有意義，則需要 í ，解得-2 < x 5 y
f (x)
，所以 = 的定義域是 -2,5 .故選
x + 2 x + 2 > 0 x + 2
D.
【答案】D
2. [江蘇揚(yáng)州高郵 2022調(diào)研]已知 g(x) = f 2x -1 +1，且 g(x)的定義域?yàn)? 1,4 ，值域?yàn)?3, + ，設(shè)函
數(shù) f (x) 的定義域?yàn)?A，值域?yàn)?B ，則 AI B = （ ）
A B. 4,7 é 5 ù C. 2,7 D. ê2, 2ú
特別提醒：
（1）已知 f (x) 的定義域?yàn)?a,b ，則 f (g(x)) 的定義域?yàn)椴坏仁?a g(x) b 的解集；
（2）已知 f (g(x)) 的定義域?yàn)?a,b ，則 f (x) 的定義域?yàn)?g(x)在 a,b 上的值域.
【解析】因?yàn)?g(x) = f (2x -1) +1，且 g(x)的定義域?yàn)? 1,4 ，值域?yàn)? 3, + ，所以 f (2x -1)的定義域
為 1,4 ，值域?yàn)?2, + .由1< x 4得1< 2x -1 7 ，所以 f (x) 的定義域?yàn)? 1,7 ，值域?yàn)?2, + ，則
A = 1,7 ， B = 2, + ，所以 AI B = 2,7 .故選C .
【答案】C
易錯(cuò)點(diǎn) 2 忽視函數(shù)定義域而致誤
3.[重慶 2023 一診]已知定義域?yàn)?(0, + )的減函數(shù) f (x) 滿足 f (xy) = f (x) + f (y) ，且 f (2) = -1，則不
等式 f (x + 2) + f (x + 4) > -3的解集為 .
特別提醒：本題中 f (x) 的定義域 (0, + )，在解不等式 f (x + 2) + f (x + 4) > -3時(shí)，要保證 x + 2 > 0且
x + 4 > 0.
【解析】因?yàn)?f (xy) = f (x) + f (y) 且 f (2) = -1，令 x = y = 2，則 f (4) = 2 f (2) = -2，令 x = 4 ，
y = 2 ， 則 f (8) = f (4) + f (2) = -3， 所 以 不 等 式 f (x + 2) + f (x + 4) > -3 = f (8)， 即
ì x + 2 > 0

í x + 4 > 0 即，解得-2 < x < 0，所以不等式的解集 (-2,0)

f é x + 2 (x + 4) ù > f (8)
4.[安徽黃山 2022 一模]連續(xù)函數(shù) f (x) 是定義在 (-1,1) 上的偶函數(shù)，當(dāng) x 0 時(shí)， xf (x) > 0.若
f (a +1) - f (2a) > 0，則 a 的取值范圍是（ ）
A. 1 - ,1
1 1 1
3 ÷
B. - ,0÷ C. - ,1÷ D. - ,0è ÷è 2 è 2 è 3
特別提醒：本題中 f (x) 的定義域?yàn)椋? 1, 1），在解不等式 f (a +1) - f (2a) > 0時(shí)，要保證-1 < a +1 <1且
-1 < 2a <1.
【解析】當(dāng) 0 < x <1時(shí)，由 xf (x) > 0 得 f (x) > 0；當(dāng) -1 < x < 0時(shí)，由 xf (x) > 0 得 f (x) < 0 .所以函
數(shù) f (x) 在（- 1, 0）上單調(diào)遞減，在( 0, 1)上單調(diào)遞增.由 f (a +1) - f (2a) > 0可得 f (a +1) > f (2a) ，所以
ì a +1 > 2a ,
1
í-1 < a +1 <1, 解得- < a < 0 .故選 D .
3
-1 < 2a <1,
【答案】 D
exf (x) -15.[河南中原頂級(jí)名校 2022聯(lián)考]函數(shù) = -1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
1- x 2+1
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
特別提醒：在本題中，若忽視定義域?yàn)?x 0 且 x -2 ，則得到的函數(shù) f x 有 2個(gè)零點(diǎn)，因此在利用數(shù)形
結(jié)合判斷函數(shù)零點(diǎn)時(shí)，將零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，需要注意一些特殊點(diǎn)（如定義域或端
點(diǎn)）和特殊位置（如直線與曲線的切點(diǎn)、曲線的間斷點(diǎn)等）.
【 解 析 】 令 f x = 0， 則 ex -1 =1- (x +1)2 ， x 0且x -2 x. 令 y 1= e -1 x 0且x -2 ，
y 2 =1- (x +1)
2 x 0且x -2 ，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出這兩個(gè)函數(shù)的大致圖象，易得這兩個(gè)函數(shù)
的圖象只有 1個(gè)交點(diǎn)，所以原函數(shù)只有 1個(gè)零點(diǎn).故選 B .
易錯(cuò)點(diǎn) 3 忽視分段函數(shù)交界處的函數(shù)值的大小
ì(3a -1)x + 4a, x 1

6.[湖北鄂西北四校 2022 聯(lián)考]已知 f (x) = í 1 滿足對(duì)于任意實(shí)數(shù) x1 x2 ，都有2 x-1

a + , x >1,
2
f x1 - f x2 < 0成立，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 .
x1 - x2
特別提醒：本題中的函數(shù) f (x) 在 x =1處是兩端的交界，研究該函數(shù)在 R 上單調(diào)遞減時(shí)，一定要保證當(dāng) x =1
2-1 1
時(shí)，第一段的函數(shù)值不小于第二段的函數(shù)值，即 (3a -1) + 4a a +
2
f (x ) - f (x )
【解析】因?yàn)閷?duì)于任意實(shí)數(shù) x1 x2 ，都有 1 2 < 0 成立，所以函數(shù) f (x) 在 R 上單調(diào)遞增，所以x1 - x2
ì
3a -1< 0,
0 1í < a <1, ，解得 a
1 é1 1< ，所有實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 , .
4 3
÷
ê4 3
(3a -1) 1+ 4a a2-1 + ,
2
易錯(cuò)點(diǎn) 4 不能正確理解分段函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性致誤
ì 3a - 2 x + 3, x 1,
7.[吉林部分學(xué)校 2023 大聯(lián)考]已知函數(shù) f (x) = í a > 0且a 1 是 R 上的單調(diào)函數(shù)，
loga x + 5a, x >1,
則 a 的取值范圍是（ ）
A. 0,
2
÷ U 1, +
1
B. 0, ÷ U 1, +
è 3 è 2
C. 2 ,1 ÷ U 1,+
1
D. ,1

÷ U 1,+
è 3 è 2
特別提醒：分段函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，不僅需要限制每段內(nèi)是單調(diào)性相同的單調(diào)函數(shù)，還需要限制
交界處函數(shù)值的大小.本題中的分段函數(shù) f (x) 在 x =1處是兩段的交界，當(dāng) f (x) 在 R 上單調(diào)遞增時(shí)，需限
制3a - 2 + 3 loga 1+ 5a ，當(dāng) f (x) 在 R 上單調(diào)遞減時(shí)，需限制3a - 2 + 3 loga 1+ 5a .
ì(3a - 2)x + 3, x 1，
【解析】 f (x) = í (a > 0且a 1)是 R 上單調(diào)遞增，
loga x + 5a, x >1
若 f (x) 在 R 上單調(diào)遞增，
ì 3a - 2 > 0,

則 í a
1
>1, 解得0 < a
2
3a - 2 + 3 loga 1+ 5a,
1 ù
綜上， a 的取值范圍是 0, ú U 1, + .故選 B .è 2
【答案】B
易錯(cuò)點(diǎn) 5 對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域?yàn)?R 和值域?yàn)?R 理解不透徹致誤
8.[河北“五個(gè)一”名校 2023 聯(lián)考]已知函數(shù) f (x) = lg(ax2 - 6x + 5)的值域?yàn)?R ，那么 a 的取值范圍
是 .
特別提醒：（1）若 f (x) = lg(ax2 - 6x + 5)的定義域?yàn)?R ，當(dāng) a = 0 時(shí)不符合題意，當(dāng) a 0 時(shí)需 a > 0 且
D < 0；
2
（2）若 f (x) = lg(ax - 6x + 5)的值域?yàn)?R ，當(dāng) a = 0 時(shí)符合題意，當(dāng) a 0 時(shí)需 a > 0 且D 0
【解析】令m(x) = ax2 - 6x + 5 的值域?yàn)?A，若 f (x) = lg(ax2 - 6x + 5)的值域?yàn)?R ，則 0, + A，若
a = 0 ，則m(x) = -6x + 5, A = R ，符合題意；
ì a > 0,
若 a 9 0 ，則當(dāng) í 即0 < a 時(shí)， 0, + A，符合題意.
D = (-6)
2 - 4a 5 0, 5
9 é 9ù
綜上, 0 < a ,所以 a 的取值范圍是 ê0, .5 5ú
易錯(cuò)點(diǎn) 6 函數(shù)的圖象畫的不準(zhǔn)確而致誤
ì 3x+1 -1 , x 0,
9.[河北 2023聯(lián)考]已知函數(shù) f (x) = í
ln x, x > 0.
若函數(shù) g(x) = f (x) - a 有 3個(gè)零點(diǎn)，則 a 的取值范圍是（ ）
A. 0, 1 B. 0, 2 C. （2， + ） D. （1， + ）
特別提醒：利用函數(shù)的圖象解決問題時(shí)，需準(zhǔn)確畫出函數(shù)的圖象，注意特殊點(diǎn)、漸近線的位置，否則可能
導(dǎo)致解題錯(cuò)誤.本題中畫函數(shù) y = f (x) 的圖象時(shí)，注意當(dāng) x < -1時(shí)， y = f (x) 單調(diào)遞減，當(dāng) x - 時(shí)，
f (x) = 3x+1 -1 的圖象與直線 y =1無限接近，忽略這點(diǎn)可能導(dǎo)致解題錯(cuò)誤.
【解析】要使函數(shù) g(x) = f (x) - a 有 3 個(gè)零點(diǎn)，則 f (x) = a 有 3 個(gè)不相等的實(shí)根，即 f (x) 的圖象與直線
y = a有 3個(gè)交點(diǎn).畫出函數(shù) y = f (x) 的圖象與直線 y = a如圖所示.
由圖象可以看出，若 f (x) 的圖象與直線 y = a有 3個(gè)交點(diǎn)，則 a 0, 1 ，故選 A .
【答案】 A
易錯(cuò)點(diǎn) 7 利用數(shù)形結(jié)合法求方程根的個(gè)數(shù)時(shí)，所畫的兩函數(shù)的圖象的位置不準(zhǔn)確而致誤
10.[江蘇常州一中 2023 調(diào)研]若函數(shù) f (x) 的定義域?yàn)?R ， f (x -1)為奇函數(shù)， f (x +1)為偶函數(shù)，當(dāng)
x -1,1 時(shí)， f (x) = -x2 +1，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A. f (7) 3= - B. f x + 7 為奇函數(shù)
2 4
C. f (x)在 6, 8 上單調(diào)遞增 D. 方程 f (x) + lg x = 0僅有7個(gè)實(shí)數(shù)根
特別提醒：本題的 D選項(xiàng)，確定方程 f (x) + lg x = 0的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)，即 y = f (x) 與 y = - lg x 的圖象的交
點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，需畫出兩函數(shù)的圖象，在畫函數(shù) y = - lg x 的圖象時(shí)需要注意到，當(dāng) x =10 時(shí)， y = -1，而當(dāng)
x >10 時(shí)， y < -1，所以當(dāng) x 10時(shí)， y = f (x) 與 y = - lg x 的圖象無交點(diǎn).本題的易錯(cuò)之處在于不能準(zhǔn)確
把握 y = f (x) 與 y = - lg x 的圖象的位置.
【解析】因?yàn)?f x -1 為奇函數(shù)，所以 f (x) 的圖象關(guān)于點(diǎn)（-1，0）對(duì)稱，- f (-x) = f x - 2 .因?yàn)?f x +1
為偶函數(shù)，所以 f (x) 的圖象關(guān)于直線 x =1對(duì)稱， f (-x) = f x + 2 ，則 f x + 2 = - f (x - 2)，
f (x + 6) = - f (x + 2) = f (x - 2) ，所以 f (x) 的周期為 8，結(jié)合題意，作出 f (x) 的圖象，如圖所示.
對(duì)于 A， f 7 = - f 1- 1 3 ÷ ÷ = - - +1

÷ = - ，故 A正確
è 2 è 2 è 4 4
對(duì)于 B ， f (x) 的圖象關(guān)于點(diǎn)（-1，0）對(duì)稱，周期為 8，則 f (x) 的圖象關(guān)于點(diǎn)（7，0）對(duì)稱，
則 f (x + 7)為奇函數(shù)，故 B 正確；
對(duì)于C ， f (x) 在（6，8）上單調(diào)遞增，故C 正確；
對(duì)于 D ， f (x) + lg x = 0的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)即為 y = f (x) 與 y = - lg x 的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如圖，
由圖可知 y = f (x) 與 y = - lg x 的圖象有 6 個(gè)交點(diǎn)，所以方程 f (x) + lg x = 0有 6 個(gè)實(shí)數(shù)根，
故 D 錯(cuò)誤.
【答案】D
易錯(cuò)點(diǎn) 8 底數(shù)含參數(shù)的對(duì)數(shù)函數(shù)忽視分類討論而致誤
1 x
11.[江蘇南京師大附中 2022開學(xué)考改編]當(dāng)0 < x 時(shí)， 4 loga x，則 a 的取值范圍是 .2
特別提醒：若對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含有參數(shù)，則要注意按照底數(shù)大于 1 和底數(shù)大于 0 小于 1 兩種情況討論，
以免漏解，同時(shí)需要注意對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)要大于 0.
x
【解析】分別記函數(shù) f (x) = 4 ， g(x) = loga x .
當(dāng) a >1時(shí)，作出 f (x) 和 g(x)的大致圖像，
如圖①所示，由圖①知，當(dāng) a >1時(shí)，不滿足題意.
當(dāng)0 < a <1時(shí)，作出 f (x) 和 g(x)的大致圖像，如圖②所示，
0 1 1 1< x 4x log x f g
1 1
要使當(dāng) 時(shí)，不等式 a 恒成立，只需滿足2 2 ÷ ÷
，即 42 loga ，即
è è 2 2
2 log 1 2a ，解得 a <12 2
易錯(cuò)點(diǎn) 9 對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷不清致誤
x 2
12.[四川瀘州江陽區(qū) 2022期末]若函數(shù) y = f (x) 與 y = 5 互為反函數(shù)，則 y = f x - 2x 的單調(diào)遞減區(qū)間
是 .
特別提醒：一般地，若 a >1，則函數(shù) y = loga f (x)的單調(diào)性與函數(shù) y = f (x) 的單調(diào)性相同，若0 < a <1，
則函數(shù) y = loga f (x)的單調(diào)性與函數(shù) y = f (x) 的單調(diào)性相反.
【解析】因?yàn)?y = f (x) 與 y = 5x 互為反函數(shù)，所以 f (x) = log x 25 ，則 f x - 2x = log5 x2 - 2x .設(shè)
m = x2 - 2x ，則 f (m) = log5 m x
2
，由 - 2x > 0，解得 x < 0 或 x > 2 ，因?yàn)?f (m) = log5 m 在其定義域
m = x2上單調(diào)遞增，又 - 2x 在 - ,0 2上單調(diào)遞減，在 2, + 上單調(diào)遞增，所以 y = f x - 2x 的單調(diào)
遞減區(qū)間是 - ,0
易錯(cuò)點(diǎn) 10 忽視函數(shù)圖象端點(diǎn)的取值致錯(cuò)
ì ln x, x > 0, 2
13.[陜西安康 2022期末]已知函數(shù) y = f (x) í ，若函數(shù) y = f x + mf (x) +1有
-x
2 - 4x - 3, x 0,
6個(gè)零點(diǎn)，則 m 的取值范圍是（ ）
A. -2,
10 10ù
÷ B.3
-2,
è è 3 ú
C. 10 2, ÷ D. 2,
10ù
è 3 è 3 ú
特別提醒：在本題中，若忽視當(dāng) x = 0 時(shí)， f (x) = -3則得到 g(t) = 0在 (-3,1)上有個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，會(huì)得
到 2 3< m < .故解答此類問題，既要注意最值，也要注意端點(diǎn)值，有時(shí)需要著重檢驗(yàn)斷點(diǎn)的取值是否符合
10
題意
【解析】設(shè) t = f (x) ，則 y = g(t) = t 2 + mt +1，作出函數(shù) f (x) 的大致圖象，如圖所示.
則函數(shù) y = ( f (x))2 + fm(x) +1有 6 個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于方程 g(t) = 0在上有 2 個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則
ìm2 - 4 > 0
g(-3) = 9 - 3m +1 0

íg(1) =1+ m +1 > 0

m-3 < - <1
2
解得 2 < m 10 ，故選 D
3
【易錯(cuò)核心題型強(qiáng)化訓(xùn)練】
一．函數(shù)的圖象與圖象的變換（共 2 小題）
1．（2024 長安區(qū)校級(jí)一模）函數(shù) f (x) = (1 2- x )sin x 的圖象的大致形狀是 (　　 )1+ e
A．
B．
C．
D．
【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，結(jié)合對(duì)稱性以及極限思想進(jìn)行判斷即可．
f (x) 1+ e
x - 2 x
【解答】解： = x × sin x
e -1
= × sin x ，
1+ e ex +1
- x
f ( x) e -1 sin( x) 1- e
x ex -1
則 - = - x × - = x (-sin x) = x × sin x = f (x) ，e +1 1+ e e +1
則函數(shù) f (x) 是偶函數(shù)，圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱，排除C ， D ，
當(dāng) x > 0 ，且 x 0， f (x) > 0 ，排除 B ，
故選： A．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)圖象的識(shí)別和判斷，利用函數(shù)的奇偶性和極限思想進(jìn)行排除是解決本題的關(guān)鍵．
2
2 2024 y x -1．（ 臨渭區(qū)三模）下列可能是函數(shù) = 的圖象的是 (　　 )
e|x|
A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)函數(shù)定義域和特殊值可排除 ABD ．
【解答】解：函數(shù)定義域?yàn)?R ，排除選項(xiàng) AB ，當(dāng) x > 1時(shí)， y > 0 ，排除選項(xiàng) D ，
故選：C ．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的識(shí)圖問題，注意利用函數(shù)的奇偶性、定義域進(jìn)行篩選，特殊值驗(yàn)證法的應(yīng)用，屬
于中檔題．
二．函數(shù)的最值及其幾何意義（共 2 小題）
3．（2024 天心區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù) f (x) = lg(x2 41- x + ) ，則 (　　 )
4
A． f (x) 的最小值為 1 B．$x R， f （1） + f (x) = 2
C． f (log 2) f (2> ) D 1． f (90.1 - ) > f (30.18 19 - )3 2 2
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解 AB ，由二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算，即可求解CD．
【解答】解： f (x) = lg[(x 1- )2 1+10]…lg10 = 1，當(dāng)且僅當(dāng) x = 時(shí)， f (x) 取得最小值 1， A正確；
2 2
x 1因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng) = 時(shí)， f (x) 取得最小值，且最小值為 1，所以 f （1） > 1，所以 f （1） + f (x) > 2 ， B 錯(cuò)
2
誤；
0 log 2 lg2 lg2 1 | log 2 1 1 2 1 1 1 1因?yàn)?< 9 = < = ，所以 9 - |> ，又 | - |= ，且 f (x) 在 (- , ) 上單調(diào)遞減，在 ( ,+ )lg9 lg8 3 2 6 3 2 6 2 2
f (log 2) f (2上單調(diào)遞增，所以 9 > ) ，C 正確；3
因?yàn)?0.1 = 30.2 > 30.18 > 1，所以90.1 1 1 1- > 30.18 - > ，所以 D 正確．
2 2 2
故選： ACD ．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性判斷、最值的求法及其應(yīng)用，屬于中檔題．
4．（2024 莊浪縣校級(jí)一模）設(shè) f (x) = loga (1+ x) + loga (3 - x)(a > 0 ， a 1) ，且 f （1） = 2．
（1）求 a的值及 f (x) 的定義域．
（2 3）求 f (x) 在區(qū)間[0 ， ]上的最大值．
2
【分析】（1）由 f （1） = 2，求出 a的值，由對(duì)數(shù)的真數(shù)大于 0，求得 x 的取值范圍，即得定義域；
（2 3）化簡 f (x) ，考查 f (x) 在區(qū)間[0 ， ]上的單調(diào)性，求出最大值．
2
【解答】解：（1）Q f (x) = loga (1+ x) + loga (3 - x)(a > 0， a 1) ，
\ f （1） = loga 2 + loga 2 = 2loga 2 = 2 ，
\a = 2 ；
\ f (x) = log2 (1+ x) + log2 (3 - x) ，
ì1+ x > 0
\ í ，
3 - x > 0
解得 -1 < x < 3；
\ f (x)的定義域是 (-1,3)．
（2）Q f (x) = log (1+ x) + log (3 - x) = log (1+ x)(3 - x) = log [-(x -1)22 2 2 2 + 4]，
且 x (-1,3) ；
\當(dāng) x = 1時(shí)， f (x) 在區(qū)間[0 3， ]上取得最大值，是 log2 4 = 2．2
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了求函數(shù)的定義域和在閉區(qū)間上的最值問題，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)函數(shù)的解析式，求出定義域，
根據(jù)定義域求出最值，是基礎(chǔ)題．
三．函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷（共 2 小題）
5 2024 f (x) (x +1)(x + a)．（ 安寧區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)函數(shù) = 為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù) a的值為 (　　 )
x
A．0 B．1 C． -1 D．2
【分析】法一：由函數(shù) f (x) 為奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得到 f (-x) = - f (x) ，分別代入列出關(guān)于 a的方程，
即可求出 a的值．
法二：由奇函數(shù)的性質(zhì)可知， g(x) = (x +1)(x + a) = x2 + (a +1)x + a 為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)
的對(duì)稱軸 x = 0 可求 a
【解答】解：由題意可得， x 0， f (-x) = - f (x) ，
(-x +1)(-x + a) (x +1)(x + a)
\ = - ，
-x x
整理可得， 2(a +1)x = 0對(duì)任意 x 0都成立，
\a +1 = 0 ，
\a = -1，
故答案為： -1．
法二：Q y (x +1)(x + a)= 是奇函數(shù)，
x
由奇函數(shù)的性質(zhì)可知， g(x) = (x +1)(x + a) = x2 + (a +1)x + a 為偶函數(shù)，
根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)的對(duì)稱軸 x = -(a +1) = 0 ，
\a = -1，
故選：C ．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，當(dāng)函數(shù)為偶函數(shù)時(shí)有 f (-x) = f (x) ；當(dāng)函數(shù)為奇函數(shù)時(shí)有
f (-x) = - f (x) ，熟練掌握此性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵
6．（2024 涪陵區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù) f (x) 的定義域?yàn)?R ，且 f (x +1)為奇函數(shù)， f (x + 2)為偶函數(shù)，則 (　　 )
A．4 為 f (x) 的一個(gè)周期
B． f (211) = 0
C．由 f (0) + f （1） + f （2） + f （3） + f （4） = 2可知， f （2） = 2
D．函數(shù) y = f (x) + lg | x |的所有零點(diǎn)之和為 0
【分析】根據(jù)已知條件得到 f (x) 的對(duì)稱性、周期性，進(jìn)而畫出草圖逐項(xiàng)判斷即可．
【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù) f (x) 的定義域?yàn)?R ，且 f (x +1)為奇函數(shù)， f (x + 2)為偶函數(shù)，
所以 f (x) 的圖象關(guān)于 (1,0) 對(duì)稱，關(guān)于 x = 2對(duì)稱，
即 f (2 - x) + f (x) = 0 ， f (2 - x) = f (2 + x) ，
所以 f (2 + x) = - f (x) ， f (4 + x) = f (x) ，即函數(shù)的周期T = 4， A正確；
根據(jù)題意，畫出 f (x) 可能的兩個(gè)周期內(nèi)的圖象：
由 f (x +1)為奇函數(shù)，所以 f （1） = 0， f （3） = 0，所以 f (211) = f (4 52 + 3) = f （3） = 0， B 正確；
若 f (0) + f （1） + f （2） + f （3） + f （4） = 2，結(jié)合 f (0) = - f （2） = f （4）， f （1） = f （3） = 0，
所以 f （4） = 2， f （2） = -2，所以C 錯(cuò)誤；
y = f (x) + lg | x |的所有零點(diǎn)，即為 y = f (x) 與 y = -lg | x |圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，這兩個(gè)函數(shù)都是偶函數(shù)，
所以它們的交點(diǎn)也是關(guān)于 (0,0) 對(duì)稱成對(duì)出現(xiàn)，所以所有零點(diǎn)之和為 0， D 正確．
故選： ABD ．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根以及兩函數(shù)圖象交點(diǎn)間的關(guān)系，屬于中檔題．
四．抽象函數(shù)及其應(yīng)用（共 17 小題）
7．（2024 山東模擬）已知函數(shù) f (x) 的定義域?yàn)?R ，若 f (-x) = - f (x) ， f (1+ x) = f (1- x) ，則 f (2024) = ( 　　
)
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根據(jù) f (-x) = - f (x) 得出 f (x) 為奇函數(shù)，且 f (0) = 0；根據(jù) f (1+ x) = f (1- x) ，得出 f (x) 的圖象關(guān)
于 x = 1對(duì)稱，從而得出 f (x) 的周期為 4，計(jì)算 f (2024) 即可．
【解答】解：因?yàn)?f (x) 的定義域?yàn)?R ，且 f (-x) = - f (x) ，所以 f (x) 為奇函數(shù)，所以 f (0) = 0；
又因?yàn)?f (1+ x) = f (1- x) ，所以 f (x) 的圖象關(guān)于 x = 1對(duì)稱，所以 f (-x) = f (2 + x) ；
所以 f (2 + x) = - f (x) ，所以 f (4 + x) = - f (2 + x) = f (x) ，所以 f (x) 的周期為 4，
所以 f (2024) = f (506 4) = f (0) = 0．
故選： A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了抽象函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．
8．（2024 安徽模擬）若定義在 R 上的函數(shù) f (x) ，滿足 2 f (x + y) f (x - y) = f (2x) + f (2y) ，且 f （1） = -1，
則 f (0) + f （1） + f （2） + + f (2024) = ( 　　 )
A．0 B． -1 C．2 D．1
1 1
【分析】利用賦值法，先后求出 f (0) = 1， f ( ) = 0，再令 y = x - ，得到 f (x) + f (x -1) = 0 ，則問題可解．
2 2
【解答】解：由 2 f (x + y) f (x - y) = f (2x) + f (2y) ，且 f （1） = -1，
令 x = y 1= ，可得 2 f （1） f (0) = f （1） + f （1），所以 f (0) = 1，
2
x 1 1再令 = ， y = 0 ，所以 2 f ( ) f (1) = f (1) + f (0) = -1+1 = 0 ，可得 f (1) = 0，
2 2 2 2
y x 1 1 1再令 = - ，可得 2 f (2x - ) f ( ) = f (2x) + f (2x -1) ，
2 2 2
1
由 f ( ) = 0得 f (2x) + f (2x -1) = 0 ，即 f (x) + f (x -1) = 0 ，
2
所以 f (0) + f （1） + f （2） +L+ f (2024)
= f (0) + [ f （1） + f （2） ] + × × × + [ f (2023) + f (2024)] = 1+1012 0 = 1．
故選： D ．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查抽象函數(shù)的奇偶性、周期性以及賦值法的應(yīng)用，屬于中檔題．
9 1．（2024 遵義二模）已知定義在 R 上的函數(shù) f (x) 滿足： f (1) = ，且 f (x + y) + f (x - y) = 2 f (x) f (y) ，則
2
下列結(jié)論正確的是 (　　 )
A． f (0) = 0 B． f (x) 的周期為 4
C f (2x 1． -1)關(guān)于 x = 對(duì)稱 D． f (x) 在 (0,+ )單調(diào)遞減
2
1 p
【分析】根據(jù)給的抽象函數(shù)的性質(zhì)，構(gòu)造特殊函數(shù) f (x) = cos ax ，結(jié)合 f (1) = ，可取 a = ，然后利用函
2 3
f (x) p數(shù) = cos x ，逐項(xiàng)判斷即可．
3
【解答】解：因?yàn)?f (x + y) + f (x - y) = 2 f (x) f (y) 符合余弦函數(shù)模型，所以令 f (x) = cos ax ，
因?yàn)?f (1) 1= ，所以代入可得 a p= + 2kp 或 a p= - + 2kp (k Z )，
2 3 3
p p
取 a = ，即 f (x) = cos x 進(jìn)行驗(yàn)證，
3 3
對(duì)于 A， f (0) = cos0 = 1，故 A錯(cuò)誤；
對(duì)于 B 2p， f (x) = cos p x ， f (x) 的周期為 = 6p ，故 B 錯(cuò)誤；3
3
C f (2x 1) cos(2p x p 1對(duì)于 ， - = - ) ，此時(shí) f (2 -1) = cos0 = 1 1，取得最大值，故 x = 為對(duì)稱軸，C 正確；
3 3 2 2
對(duì)于 D ，因?yàn)?f (x) 是周期函數(shù)，故 f (x) 在 (0,+ )不可能單調(diào)遞減， D 錯(cuò)誤．
故選：C ．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查抽象函數(shù)的性質(zhì)，余弦函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，屬于中檔題．
10．（2024 鄠邑區(qū)三模）已知定義在 R 上的函數(shù) f (x) 滿足 f (2 + x) - f (2 - x) = 4x ．若 f (2x - 3) 的圖象關(guān)于
點(diǎn) (2,1)對(duì)稱，且 f (0) = 0，則 f （1） + f （2） + + f (50) = ( 　　 )
A．0 B．50 C．2509 D．2499
【分析】根據(jù) f (2x - 3) 的圖象關(guān)于點(diǎn) (2,1)對(duì)稱，判斷 f (x) 的圖象關(guān)于點(diǎn) (1,1)對(duì)稱，由 f (2 + x) - f (2 - x) = 4x ，
得出 g(x) 的圖象關(guān)于直線 x = 2對(duì)稱，且 g(x) 的圖象關(guān)于點(diǎn) (1,-1)對(duì)稱，判斷 g(x) 是周期函數(shù)，由此求解即
可．
【解答】解：因?yàn)?f (2x - 3) 的圖象關(guān)于點(diǎn) (2,1)對(duì)稱，
所以 f (2x - 3) + f (2(4 - x) - 3) = 2 ，即 f (2x - 3) + f (5 - 2x) = 2 ，
用 x 代替 2x ，得 f (x - 3) + f (5 - x) = 2 ，
即 f (x - 3) = - f (5 - x) + 2 ，
所以 f (x) 的圖象關(guān)于點(diǎn) (1,1)對(duì)稱．
所以 f (1+ x) + f (1- x) = 2，
由 f (2 + x) - f (2 - x) = 4x ，可得 f (2 + x) - 2x = f (2 - x) + 2x，
即 f (2 + x) - 2(2 + x) = f (2 - x) - 2(2 - x) ．
令 g(x) = f (x) - 2x，則 g(2 + x) = g(2 - x)，
則 g(x) 的圖象關(guān)于直線 x = 2對(duì)稱．
又因?yàn)?g(1+ x) + g(1- x) = f (1+ x) - 2(1+ x) + f (1- x) - 2(1- x) = f (1+ x) + f (1- x) - 4 = 2 - 4 = -2 ，
則 g(x) 的圖象關(guān)于點(diǎn) (1,-1)對(duì)稱，
即 g(1+ x) + g(1- x) = -2， g(2 + x) + g(-x) = -2，
又 g(2 + x) = g(2 - x)，
所以 g(2 - x) + g(-x) = -2，
即 g(2 + x) + g(x) = -2，
g(4 + x) + g(x + 2) = -2，
所以 g(x + 4) = g(x)，
故 g(x) 是以 4 為周期的函數(shù)，
因?yàn)?g(0) = f (0) - 2 0 = 0 ， g （1） = -1， g （2） = -2 - g(0) = -2， g （3） = g （1） = -1，
所以 g(0) + g （1） +g （2） +g （3） = -4，即 g （1） +g （2） +g （3） +g （4） = -4，
所以 f （1） + f （2） +L+ f (50) = g （1） +g （2） +L+ g(50) + 2(1+ 2 +L+ 50)
= -4 12 -1- 2 + 2550 = 2499．
故選： D ．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了抽象函數(shù)的應(yīng)用問題，也考查了推理與運(yùn)算能力，屬于難題．
11．（2024 保定二模）已知定義域?yàn)?R 的函數(shù) f (x) 滿足 f (xy) = y3 f (x) + x3 f (y) ，則 (　　 )
A． f (0) = 0
B． f (-1) = -1
C． f (x) 是奇函數(shù)
D．存在函數(shù) f (x) 以及 x0 ，使得 f (x0 ) 的值為 4e
2
【分析】根據(jù)題意，利用賦值法對(duì)選項(xiàng)逐一分析，即可判斷 A， B ，C ， D ．
【解答】解，對(duì)于 A，由 f (xy) = y3 f (x) + x3 f (y) ，取 x = y = 0 ，得 f (0) = 0，選項(xiàng) A正確．
對(duì)于 B ，令 x = y = 1，得 f （1） = 2 f （1），解得 f （1） = 0．
令 x = y = -1，得 f （1） = -2 f (-1) = 0 ，
所以 f (-1) = 0，選項(xiàng) B 錯(cuò)誤．
對(duì)于C ，令 y = -1，得 f (-x) = - f (x) + x3 f (-1) = - f (x)，
所以 f (x) 是奇函數(shù)，選項(xiàng)C 正確．
對(duì)于 D ，當(dāng) xy 0 時(shí)，在 f (xy) = y3 f (x) + x3 f (y) 兩邊同時(shí)除以 x3 y3 ，
f (xy) f (x) f (y)
得 3 3 =x y x3
+ 3 ，y
f (x) ìx3ln x , x 0
令 3 = ln | x |，則 f (x) = ，x í 0, x = 0
當(dāng) x > 0 時(shí)， f (x) = x3lnx ，
所以 f (x) = x2 × (3lnx +1)，
所以 f （e） = e2 (3lne +1) = 4e2 ，選項(xiàng) D 正確．
故選： ACD ．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了抽象函數(shù)的應(yīng)用問題，也考查了推理與運(yùn)算能力，是中檔題．
12．（2024 泊頭市模擬）已知函數(shù) f (x) 的定義域?yàn)?R ，且 2 f (x) f (y) = f (x + y) ， f （1） = 1，則 (　　 )
A． f (0) 1=
2
B． f (x) 為偶函數(shù)
C． f (x + y) = f (x -1) f (y +1) + f (y -1) f (x +1)
23
D． f (i) = f (24)(i N * )
i=1
【分析】利用賦值法，求出 f (0) ，即可判斷選項(xiàng) A，求出 f （1）與 f (-1) ，即可判斷選項(xiàng) B ；
計(jì)算 f (x + y) 與 f (x -1) f (y +1) + f (y -1) f (x +1) 的值，判斷選項(xiàng)C ；
判斷 f （1）， f （2）， f （3），L， f (24) 是等比數(shù)列，求出首項(xiàng)和公比，求和即可判斷選項(xiàng) D ．
【解答】解：對(duì)于 A，令 x = 1， y = 0 ，得 2 f （1） f (0) = f （1），所以 f （1）[2 f (0) -1] = 0 ，
因?yàn)?f （1） = 1，所以 2 f (0) -1 = 0 ，解得 f (0) 1= ，選項(xiàng) A正確；
2
對(duì)于 B ，令 x = 1， y 1= -1，得 2 f （1） f (-1) = f (0) ，所以 f (-1) = f (1) ，選項(xiàng) B 錯(cuò)誤；
4
對(duì) 于 C ， 令 y = 1， 得 2 f (x) f （ 1 ） = f (x +1)， 所 以 f (x +1) = 2 f (x)， 所 以
f (y 1) 2 f (y), f (x 1) f (x)+ = - = , f (y -1) f (y)= ，
2 2
所以 f (x -1) f (y f (x)+1) + f (y -1) f (x +1) = × 2 f (y) f (y)+ × 2 f (x) = 2 f (x) f (y) = f (x + y) ，選項(xiàng)C 正確；
2 2
對(duì)于 D ，由 f (x +1) = 2 f (x)知， f （1）， f （2）， f （3），L， f (24) 是等比數(shù)列，且首項(xiàng)為 f （1） = 1，
公比為 2，
23 23 23
由等比數(shù)列的前 n 1- 2項(xiàng)和公式，得 f (i) = = 223 -1, f (24) = 1 224-1 = 223 ，所以 f (i) f (24) ，選項(xiàng) D
i=1 1- 2

i=1
錯(cuò)誤．
故選： AC ．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了抽象函數(shù)的應(yīng)用問題，也考查了推理與運(yùn)算能力，是中檔題．
13．（2024 開封模擬）已知函數(shù) f (x) 的定義域?yàn)?R ，且 f (x + y) + f (x - y) = f (x) f (y)， f （1） = 1，則 (　　 )
A． f (0) = 2
B． f (3 - x) = f (3 + x)
C． f (x) 是周期函數(shù)
D p． f (x) 的解析式可能為 f (x) = 2sin x
6
【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的和差化積公式，構(gòu)造函數(shù) f (x) = 2cos p x ，然后逐項(xiàng)判斷即可．
3
【解答】解：根據(jù) cos x cos y 2cos x + y cos x - y p+ = ，且 f （1） = 1，不妨設(shè) f (x) = 2cos x ，
2 2 3
顯然 f (0) = 2cos0 = 2 ， A對(duì)；
因?yàn)?f （3） = 2cosp = -2 ，所以 x = 3是 f (x) 的對(duì)稱軸，即 f (3 - x) = f (3 + x) ， B 對(duì)；
2p
該函數(shù)最小正周期為T = = 6p ，C 對(duì)；
3
對(duì)于 D 選項(xiàng)，由 A正確可知， 2sin 0 = 0 2 ， D 錯(cuò)．
故選： ABC ．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查抽象函數(shù)的奇偶性、周期性以及對(duì)稱性的判斷及應(yīng)用，屬于中檔題．
14．（2024 汕頭模擬）已知定義域?yàn)?R 的函數(shù) f (x) ．滿足 f (x + y) = f (x) f (y) - f (1- x) f (1- y) ，且
f (0) 0， f (-1) = 0，則 (　　 )
A． f （1） = 0 B． f (x) 是偶函數(shù)
2024
C．[ f (x)]2 + [ f (1+ x)]2 = 1 D． f (i) = -1
i
【分析】通過對(duì)抽象等式中的自變量進(jìn)行賦值求值，依次判斷函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性、周期性，再利用周
期性求出若干值，對(duì)選項(xiàng)依次判斷求解．
【解答】解：對(duì)于 A項(xiàng)，由 f (x + y) = f (x) f (y) - f (1- x) f (1- y) ，
x y 1 1 1令 = = ，則 f (1) = [ f ( )]2 - [ f ( )]2 = 0 ，故 A項(xiàng)正確；
2 2 2
對(duì)于 B 項(xiàng)，令 x = y = 0 ，則 f (0) = [ f (0)]2 - [ f （1） ]2 = [ f (0)]2 ，
因 f (0) 0，故 f (0) = 1，
令 y = 1，則 f (x +1) = f (x) f （1） - f (1- x) f (0) = - f (1- x) ①，
所以函數(shù) f (x) 關(guān)于點(diǎn) (1,0) 成中心對(duì)稱，
令 x = y = 1，則 f （2） = [ f （1） ]2 - [ f (0)]2 = -1，
令 y = 2 ，則 f (x + 2) = f (x) f （2） - f (1- x) f (-1) = - f (x) ②，
由①可得： f (x + 2) = - f (-x) ③，由②③可知： f (-x) = f (x) ，
且函數(shù) f (x) 的定義域?yàn)?R ，則函數(shù) f (x) 是偶函數(shù)，故 B 項(xiàng)正確；
對(duì)于C 項(xiàng)，令 y = -x ，則 f (0) = f (x) f (-x) - f (1- x) f (1+ x) ，
因?yàn)?f (0) = 1， f (-x) = f (x) ， f (x +1) = - f (1- x) ，代入上式中得，
故得：[ f (x)]2 + [ f (1+ x)]2 = 1，故C 項(xiàng)正確；
對(duì)于 D 項(xiàng)，由上可知： f (x + 2) = - f (x) ，則 f (x + 4) = - f (x + 2) = f (x) ，
故函數(shù) f (x) 的一個(gè)周期為 4，故 f （4） = f (0) = 1，
令 x = 2， y = 1，則 f （3） = f （2） f （1） - f (-1) f (0) = 0，
所以 f （1） + f （2） + f （3） + f （4） = 0 + (-1) + 0 +1 = 0 ，
2024
則 f (i) = 254 0 = 0，故 D 項(xiàng)錯(cuò)誤．
i=1
故選： ABC ．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查抽象函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性以及周期性的判斷和應(yīng)用，屬于中檔題．
15．（2024 茂名模擬）已知函數(shù) f (x) 的定義域?yàn)?R ，且 f (x + y) × f (x - y) = f 2 (x) - f 2 (y) ， f （1） = 2，
f (x +1)為偶函數(shù)，則 (　　 )
A． f （3） = 2 B． f (x) 為奇函數(shù)
2024
C． f （2） = 0 D． f (k) = 0
k =1
【分析】利用賦值法，結(jié)合 f (x +1)為偶函數(shù)，得到 f (x) 的奇偶性與周期性，再逐項(xiàng)計(jì)算求解、判斷即可．
【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù) f (x) 的定義域?yàn)?R ，且 f (x + y) × f (x - y) = f 2 (x) - f 2 (y) ，
f （1） = 2， y = f (x +1) 為偶函數(shù)，
令 x = y = 0 ，得 f (0) = 0，再令 x = 0 ，則 f (y) f (-y) = f 2 (0) - f 2 (y) ，
顯然 f (y) 不恒為零，所以 f (-y) = - f (y) ，即 f (x) 為奇函數(shù)， B 正確；
所以 f (x +1) = f (-x +1) = - f (x -1) ，所以 f (x + 2) = - f (x) ，所以 f (x + 4) = - f (x + 2) = f (x) ，即 f (x) 的周
期為 4，
則 f （3） = f (-1) = - f （1） = -2， A錯(cuò)誤；
f (0 + 2) = - f (0) = 0 ，C 正確；
由 A， B ，C 可知， f （1） = 2， f （2） = 0， f （3） = -2， f （4） = f (0) = 0 ，且 f (x) 的周期為 4，
2024
所以 f (k) = 506 [ f （1） + f （2） + f （3） + f （4） ] = 0， D 正確．
k =1
故選： BCD．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查抽象函數(shù)的奇偶性、周期性的判斷和應(yīng)用，賦值法的應(yīng)用，屬于中檔題．
16 2024 f (x) R f a f b 2 f (a + b a - b．（ 保定一模）若函數(shù) 的定義域?yàn)?，且 （ ） + （ ） = ) f ( )， f （4） = -1，
2 2
則 (　　 )
A． f (0) = 0
B． f (x) 為偶函數(shù)
C． f (x) 的圖象關(guān)于點(diǎn) (2,0) 對(duì)稱
2024
D． f (i) = 0
i=1
【分析】利用賦值法，結(jié)合函數(shù) f (x) 的奇偶性、周期性逐項(xiàng)判斷即可．
【解答】解：對(duì)于 A：令 a = b = 4 ，則 2 f （4） = 2 f （4） f (0) ，\ f (0) = 1， A錯(cuò)誤；
對(duì)于 B : b = -a 時(shí)， f （a） + f (-a) = 2 f (0) f （a） = 2 f （a），
\ f （a） = f (-a)， f (x) 為偶函數(shù)， B 正確；
對(duì)于C ：令 a = 4，b = 0 ，由 A選項(xiàng)可知， f （4） + f (0) = 2 f 2 （2） = 0，\ f （2） = 0，
\ f (2 + x) + f (2 - x) = 2 f （2） f (x) = 0 ，\ f (x) 關(guān)于點(diǎn) (2,0) 對(duì)稱，C 正確；
對(duì)于 D ：由C 知 f (x) 是以 8 為周期的周期函數(shù)，且每個(gè)周期內(nèi)函數(shù)值之和為 0，又 2024 可被 8 整除，
2024
\ f (i) = 0， D 正確．
i=1
故選： BCD．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查抽象函數(shù)的性質(zhì)，賦值法在研究抽象函數(shù)中的應(yīng)用，屬于中檔題．
17．（2024 如皋市模擬）設(shè) a為常數(shù)， f (0) 1= ， f (x + y) = f (x) f (a - y) + f (y) f (a - x)，則 (　　 )
2
A f (a) 1 B f (x) 1． = ． = 恒成立
2 2
C． f (x + y) = 2 f (x) f (y) D．滿足條件的 f (x) 不止一個(gè)
【分析】利用賦值法，對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行判斷．
1 1
【解答】解：令 x = y = 0 ，可得 f (0) = 2 f (0) f （a），結(jié)合 f (0) = ，解得 f （a） = ，故 A正確；
2 2
令 y = 0 ，原式化為 f (x) = f (x) f （a） + f (0) f (a - x)，
代入 f (a) 1= 可得 f (x) = f (a - x) ，所以原式即： f (x + y) = 2 f (x) f (y) ，故C 正確；
2
再令 y = x 得 f (2x) = 2[ f (x)]2…0，即函數(shù)值非負(fù)，
令 y = a - x ，可得 f （a） = 2[ f (x)]2 ，即 f (x) 1= ± （負(fù)值舍去），故 B 正確；
2
1
所以僅有一個(gè)函數(shù)關(guān)系式 f (x) = 滿足條件，故 D 錯(cuò)誤．
2
故答案為： ABC ．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，同時(shí)考查了學(xué)生的邏輯推理能力，屬于中檔題．
18．（2024 秦皇島二模）已知函數(shù) f (x) 滿足：對(duì)"x ， y R ，都有 f (x - y) = f (x) f (y) + f (1+ x) f (1+ y) ，
且 f (0) f （2），則下列說法正確的是 (　　 )
A． f （1） = 0 B． f (0) = 0
2026
C． f (x) + f (2 - x) = 0 D． f (i) = -1
i=1
【分析】利用賦值法，即可求出 f (0) 和 f （1）的值，判斷選項(xiàng) A和 B ；
由題意，判斷 f (x) 為偶函數(shù)，利用賦值法，推導(dǎo)出 f (x) + f (2 - x) = 0 ，判斷選項(xiàng)C ；
2026
由 f (x) 為偶函數(shù)，且 f (x) = - f (2 - x) ，推導(dǎo)出 f (x) 是周期函數(shù)，由此計(jì)算 f (i) 的值，判斷選項(xiàng) D ．
i=1
ì
A x y 0 x y 1 f (0) = f
2 (0) + f 2 (1)
【解答】解：對(duì)于 ，分別令 = = 和 = = ，得 í ，
f (0) = f
2 (1) + f 2 (2)
所以[ f (0)]2 = [ f （2） ]2 ，
又因?yàn)?f (0) f （2），所以 f (0) = - f （2），
令 x = 1， y = 0 ，則 f （1） = f (0) f （1） + f （1） f （2） = 0，選項(xiàng) A正確；
對(duì)于 B ，結(jié)合選項(xiàng) A，解得 f (0) = 0或 f (0) = 1，
若 f (0) = 0，則 f (0) = [ f （1） ]2 + [ f （2） ]2 = 0，所以 f （2） = 0，
此時(shí)與 f (0) f （2）矛盾，舍去；
若 f (0) = 1，則 f (0) = [ f （1） ]2 + [ f （2） ]2 = 1，解得 f （2） = ±1，
因?yàn)?f (0) f （2），所以 f （2） = -1，選項(xiàng) B 錯(cuò)誤；
對(duì)于C ，令 x = 0 ，則 f (-y) = f (0) f (y) + f （1） f (1+ y) ，
因?yàn)?f （1） = 0， f (0) = 1，所以 f (-y) = f (y) ，所以 f (x) 為偶函數(shù)，
令 x = 1，則 f (1- y) = f （1） f (y) + f （2） f (1+ y) = f （2） f (1+ y) = - f (1+ y) ，
所以 f (1- y) = - f (1+ y)，
令 y = 1- x ，則 f (x) = - f (2 - x) ，即 f (x) + f (2 - x) = 0 ，選項(xiàng)C 正確；
對(duì)于 D ，由 f (x) 為偶函數(shù)，所以 f (-x) = f (x) = - f (2 - x)，
則 f (x + 2) = - f (-x) = - f (x) ，則 f (x + 4) = - f (x + 2) = f (x) ，
即 f (x + 4) = f (x) ，所以 f (x) 是周期為 4 的周期函數(shù)，
又 f （1） + f （2） + f （3） + f （4） = -1+ f （3） + f （4） = -1+ f (-1) + f (0) = f (-1) = f （1） = 0，
2026
所以 f (i) = 506[ f （ 1 ） + f （ 2 ） + f （ 3 ） + f （ 4 ） ] + f （ 1 ） + f （ 2 ） = f （ 1 ） + f （ 2 ）
i=1
= 0 + (-1) = -1，選項(xiàng) D 正確．
故選： ACD ．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了抽象函數(shù)的奇偶性與周期性應(yīng)用問題，也考查了推理與判斷能力，是中檔題．
19．（2024 友誼縣校級(jí)模擬）已知函數(shù) f (x) 的導(dǎo)函數(shù)為 f (x) ，"x R ， f (8 - x) - f (x) = 0 ，且 f (x + 3)為
奇函數(shù)，若 f (-1) = -2，則 (　　 )
A． f （3） = 0
B． f (x) 的一個(gè)周期為 2
C． f （4） = 0
D． f (2023) + f (2024) - f (2025) = 4
【分析】由 f (x + 3)為奇函數(shù)，得 f (-x + 3) = - f (x + 3) ，令 x = 0 求得 f （3）的值，即可判斷選項(xiàng) A，求出
f (x) 是周期函數(shù)，判斷選項(xiàng) B ；
對(duì) f (8 - x) = f (x) 兩邊求導(dǎo)數(shù)，求得 f （4）的值，判斷選項(xiàng)C ，對(duì) f (x + 2) = - f (x) 兩邊求導(dǎo)數(shù)，求得 f
（1）和 f (-1) ，對(duì) f (x + 4) = f (x) 兩邊求導(dǎo)數(shù)，求得 f （4），根據(jù)周期性求出 f (2023) + f (2024) - f (2025)
的值，判斷選項(xiàng) D ．
【解答】解：選項(xiàng) A中，由 f (x + 3)為奇函數(shù)，得 f (-x + 3) = - f (x + 3) ，令 x = 0 ，得 f （3） = - f （3），
解得 f （3） = 0，所以 A對(duì)；
選 項(xiàng) B 中 ， 因 為 f (-x + 3) = - f (x + 3) ， 所 以 f (x) = - f (6 - x) ， 又 因 為 f (8 - x) - f (x) = 0 ， 所 以
f (6 - x) = - f (8 - x) ，即 f (x + 2) = - f (x) ，
所以 f (x + 4) = - f (x + 2) = f (x) ，所以 f (x) 的一個(gè)周期為 4，所以 B 錯(cuò)；
選項(xiàng)C 中，由 f (8 - x) = f (x) ，兩邊求導(dǎo)數(shù)，得 - f (8 - x) = f (x)，令 x = 4，得 - f （4） = f （4），所以 f
（4） = 0，所以C 對(duì)；
選項(xiàng) D 中，由 f (x + 2) = - f (x) ，兩邊求導(dǎo)數(shù)，得 f (x + 2) = - f (x) ，令 x = -1，得 f （1） = - f (-1) ，
由 f (x + 4) = f (x) ，兩邊求導(dǎo)數(shù)，得 f (x + 4) = f (x) ，所以 f (x) 的一個(gè)周期為 4，
所以 f (2023) = f (-1) = -2， f (2024) = f （4） = 0， f (2025) = f （1） = - f (-1) = 2 ，
所以 f (2023) + f (2024) - f (2025) = -2 + 0 - 2 = -4 ，所以 D 錯(cuò)．
故選： AC ．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了抽象函數(shù)的周期性與奇偶性應(yīng)用問題，也考查了推理與運(yùn)算能力，是中檔題．
20．（2024 3 河南一模）已知函數(shù) f (x) 的定義域?yàn)?R ， f (x + y) - f (x - y) = f (x + ) f (y 3+ ) ， f (0) 0，則
2 2
(　　 )
A． f (3) = 0 B． f (0) = -2
2
2022
C． f (x) k的一個(gè)周期為 3 D． f ( ) = 2
k =1 2
【分析】根據(jù)抽象等式，利用賦值法，變形得到函數(shù)的奇偶性和周期性，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，依次判斷 A、
B 、C 選項(xiàng)，最后結(jié)合周期性以及函數(shù)值求解 D 選項(xiàng)．
【解答】解：對(duì)于 A，令 x = y = 0 ，則 f (0) - f (0) = f 2 (3) 3，所以 f ( ) = 0，選項(xiàng) A正確；
2 2
對(duì)于 B ，令 x = 0 ，則 f (y) - f (-y) = f (3) f (y 3+ ) = 0 ，即 f (y) = f (-y) ，
2 2
3
所以 f （3） = f (-3)，令 x = y = ，則 f （3） - f (0) = f 2 （3），
2
令 x = y 3= - ，則 f (-3) - f (0) = f 2 (0) = f （3） - f (0) ，所以 f 2 (0) = f 2 （3），
2
因?yàn)?f 2 (0) + f (0) = f （3），所以[ f 2 (0) + f (0)]2 = f 2 （3），
所以 ( f 2 (0) + f (0))2 = f 2 (0)，
因?yàn)?f (0) 0，所以 f (0) = -2， f （3） = 2，選項(xiàng) B 正確；
3
對(duì)于C ，令 y = - ，則 f (x 3- ) - f (x 3 3+ ) = f (x + ) f (0) = -2 f (x 3+ ) ，
2 2 2 2 2
f (x 3) f (x 3所以 - + + ) = 0， = 0, f (x 3) 9+ + f (x + ) = 0，
2 2 2 2
3 9
所以 f (x - ) = f (x + )，所以 f (x) = f (x + 6) ，
2 2
由此知， f (x) 的一個(gè)周期為 6，選項(xiàng)C 錯(cuò)誤；
對(duì)于C ，因?yàn)?f (x 3- ) + f (x 3+ ) = 0，且 f (y) = f (-y) ，
2 2
x 1 x 1, f ( 1) f (5 1令 = ， = - + ) = f ( ) + f (5) = 0，
2 2 2 2
1 1
令 x = ， x = , f (-1) + f (2) = f (1) + f (2) = 0，
2 2
且 f （3） = 2， f (3) = 0，
2
f (1所以 ) 3+ f (1) + f ( ) + f (2) + f (5) + f (3) = 2 ，
2 2 2
由 f (x 3- ) + f (x 3+ ) = 0知， f (x) + f (x + 3) = 0，所以 f （6） = 0，
2 2
因?yàn)?f (x) 的一個(gè)周期為 6，且 2022 = 12 168 + 6，
2022
所以 f (k ) = f (3) = 2，選項(xiàng) D 正確．
k =1 2
故選： ABD ．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用賦值法求函數(shù)的周期、對(duì)稱性、特殊點(diǎn)的函數(shù)值應(yīng)用問題，是中檔題．
21．（2024 玉林模擬）已知定義在 R 上的函數(shù) f (x) 滿足 f (2 + x) - f (2 - x) = 4x ．若 f (2x - 3) 的圖象關(guān)于點(diǎn)
(2,1)對(duì)稱，且 f (0) = 0，則 (　　 )
A． f (x) 的圖象關(guān)于點(diǎn) (1,1)對(duì)稱
B．函數(shù) g(x) = f (x) - 2x的圖象關(guān)于直線 x = 2對(duì)稱
C．函數(shù) g(x) = f (x) - 2x的周期為 2
D． f （1） + f （2） + + f (50) = 2499
【分析】選項(xiàng) A中，由 f (2x - 3) 的圖象關(guān)于點(diǎn) (2,1)對(duì)稱，得出 f (x - 3) + f (5 - x) = 2 ，判斷 f (x) 的圖象關(guān)
于點(diǎn) (1,1)對(duì)稱；
選項(xiàng) B 中，由 f (2 + x) - f (2 - x) = 4x ，得出 g(2 + x) = g(2 - x)，判斷 g(x) 的圖象關(guān)于直線 x = 2對(duì)稱；
選項(xiàng)C 中，由 g(1+ x) + g(1- x) = -2，得出 g(x) 的圖象關(guān)于點(diǎn) (1,-1)對(duì)稱，判斷 g(x) 是以 4 為周期的函數(shù)；
選項(xiàng) D 中，由 g(x) 是周期函數(shù)，由此計(jì)算即可求出 f （1） + f （2） + + f (50) 的值．
【解答】解：對(duì)于 A，因?yàn)?f (2x - 3) 的圖象關(guān)于點(diǎn) (2,1)對(duì)稱，所以 f (2x - 3) + f (2(4 - x) - 3) = 2 ，即
f (2x - 3) + f (5 - 2x) = 2 ，
所以 f (x - 3) + f (5 - x) = 2 ，即 f (x +1) + f (x -1) = 2，所以 f (x) 的圖象關(guān)于點(diǎn) (1,1)對(duì)稱，選項(xiàng) A正確．
對(duì)于 B ，由 f (2 + x) - f (2 - x) = 4x ，得 f (2 + x) - 2(2 + x) = f (2 - x) - 2(2 - x) ，所以 g(2 + x) = g(2 - x)，
所以 g(x) 的圖象關(guān)于直線 x = 2對(duì)稱，選項(xiàng) B 正確．
對(duì)于C ， g(1+ x) + g(1- x) = f (1+ x) - 2(1+ x) + f (1- x) - 2(1- x) = f (1+ x) + f (1- x) - 4 = -2 ，
則 g(x) 的圖象關(guān)于點(diǎn) (1,-1)對(duì)稱，所以 g(x) 是以 4 為周期的函數(shù)，即 g(x + 4) = g(x)，選項(xiàng)C 錯(cuò)誤．
對(duì)于 D ，因?yàn)?g(0) = f (0) - 2 0 = 0 ， g （1） = -1， g （2） = -2 - g(0) = -2， g （3） = g （1） = -1，
所以 f （1） + f （2） + + f (50) = g （1） +g （2） + + g(50) + 2(1+ 2 + + 50) = -4 12 -1- 2 + 2550 = 2499，
選項(xiàng) D 正確．
故選： ABD ．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了抽象函數(shù)的對(duì)稱性與周期性應(yīng)用問題，也考查了推理與運(yùn)算能力，是中檔題．
22．（2024 安徽三模）已知函數(shù) f (x) 的定義域?yàn)?R ，且 f (x + y) f (x - y) = f 2 (x) - f 2 (y)， f （1） = 1， f
（2） = 0，則下列說法中正確的是 (　　 )
A． f (x) 為偶函數(shù) B． f （3） = -1
2023
C． f (-1) = - f （5） D． f (k) = 1
k =1
【分析】利用和差角公式證明正弦平方差公式： sin2 A - sin2 B = sin(A + B)sin(A - B) ，符合題意，據(jù)此構(gòu)造
p x
函數(shù) f (x) = sin ，再逐項(xiàng)驗(yàn)證選項(xiàng)即可；
2
【解答】解：先介紹正弦平方差公式： sin2 A - sin2 B = sin(A + B)sin(A - B) ，
證明過程如下：
sin2 A - sin2 B = (sin A + sin B)(sin A - sin B)
(sin( A + B A - B ) sin( A + B A - B= + + - )) (sin( A + B A - B× + ) A + B A - B- sin( - ))
2 2 2 2 2 2 2 2
= (2sin A + B cos A - B )(2sin A - B cos A + B )
2 2 2 2
= (2sin A + B cos A + B )(2sin A - B cos A - B )
2 2 2 2
= sin(A + B)sin(A - B) ；
p p
由題意，可以令 f (x) = sin x ，因?yàn)?f (x) = sin x 為奇函數(shù)，故選項(xiàng) A錯(cuò)誤；
2 2
因?yàn)?f （3） = -1，故選項(xiàng) B 正確；
因?yàn)?f (-1) = -1 = - f （5），故選項(xiàng)C 正確；
2023
因?yàn)門 = 4， 2023 4 = 505LL3，故 f (k) = f (1) + f (2) + f (3) = 0 ，故選項(xiàng) D 錯(cuò)誤．
k =1
故選： BC ．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查抽象函數(shù)的函數(shù)值、奇偶性、周期性的判斷及應(yīng)用，屬于較難的題目．
23 ．（ 2024 青 羊 區(qū) 校 級(jí) 模 擬 ） 已 知 函 數(shù) f (x) 的 定 義 域 為 R ， 對(duì) 于 任 意 實(shí) 數(shù) x 、 y 均 滿 足
f ( x + 2y ) f (x) + 2 f (y)= ，若 f （2） = 1， f （5） = 10，則 f (724) =　2167　．
3 3
【分析】由 x = 5 ， y = 2 ，可得 f （3），由 x = 2， y = 5，可得 f （4），計(jì)算 f （6），猜想 f (n) 的解析式，
利用數(shù)學(xué)歸納法證明，即可計(jì)算 f (724)的值．
x + 2y f (x) + 2 f (y)
【解答】解：因?yàn)?f ( ) = ，且 f （2） = 1， f （5） = 10，
3 3
x 5 y 2 f (5 + 4) f (5) + 2 f (2) 10 + 2令 = ， = ，可得 = = = 4 ，所以 f （3） = 4，
3 3 3
x 2 y 5 f (2 +10) 1+ 2 10令 = ， = ，可得 = = 7 ，所以 f （4） = 7，
3 3
f ( x + 2y ) f (x) + 2 f (y) x + 2y由 = ，得 f (x) = 3 f ( ) - 2 f (y)，
3 3 3
f (6) 3 f (6 + 2 3所以 = ) - 2 f (3) = 3 f (4) - 2 f (3) = 13，
3
結(jié)合 f （2） = 1， f （3） = 4， f （4） = 7， f （5） = 10， f （6） = 13，
可猜想 f (n) = 3(n -1) - 2 = 3n - 5．
用數(shù)學(xué)歸納法證明：
當(dāng) n 6(n N *) 時(shí)，由上述知 f (n) = 3n - 5成立．
假設(shè)當(dāng) n k(n,k N *) 時(shí)有 f (n) = 3n - 5，
則當(dāng) n = k +1時(shí)，不妨設(shè) k…6 ， f (k +1) = 3 f ((k +1) + 2(k - 5)) - 2 f (k - 5) = 3 f (k - 3) - 2 f (k - 5)
3
= 3[3(k - 3) - 5] - 2[3(k - 5) - 5]) = 3(k +1) - 5．
所以 f (n) = 3n - 5成立，所以 f (724) = 3 724 - 5 = 2167 ．
故答案為：2167．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了抽象函數(shù)的應(yīng)用問題，也考查了猜想與數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用問題，是難題．
五．函數(shù)的周期性（共 1 小題）
24．（ 2024 玄武區(qū)三模）已知 f (x) 是定義在 R 上的函數(shù)， f （ 1） = 10，且對(duì)于任意 x R 都有
f (x + 20)…f (x) + 20 ， f (x +1) f (x) +1，若 g(x) = f (x) - x +1，則 g(10) =　10　．
【分析】解決此題關(guān)鍵是要分析出 f (x) 或 g(x) 的性質(zhì)，根據(jù) f (x + 20)…f (x) + 20 ， f (x +1) f (x) +1，若
g(x) = f (x) +1- x ，不難得到 g(x) 是一個(gè)周期函數(shù)，且周期 T = 1，則只要根據(jù) f （ 1 ） = 10，
g(x) = f (x) +1- x 求出 g （1）就不難求出 g(x) 的其它函數(shù)值．
【解答】解：由 g(x) = f (x) +1- x 知 f (x) = g(x) + x -1，從而有
g(x + 20) + (x + 20) -1…f (x + 20)…f (x) + 20 = g(x) + x -1+ 20
則 g(x + 20)…g(x)
又由 f (x +1) f (x) +1得 g(x +1) + (x +1) -1 g(x) + x -1+1 g(x +1) g(x)
則有： g(x) g(x + 20) g(x +19) g(x +1) g(x)
得 g(x) = g(x +1)，即 g(x) 是周期為 1 的周期函數(shù)，
又Q g （1） = f （1） +1-1 = 10
\ g(10) = 10
故答案為 10
【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于抽象函數(shù)問題的處理，有兩種思路，一是“湊”出題目中要求的值，二是分析函數(shù)性質(zhì)根據(jù)
函數(shù)的性質(zhì)解題．若題干中出現(xiàn)： f (x + y) = f (x)g f (y) ； f (x + y) = f (x) + f (y)； f (xgy) = f (x)g f (y)；
f (xgy) = f (x) + f (y) 類的條件時(shí)一般采用第一種思路，而本題中未出現(xiàn)這種情況，一般要采用第二種思路．
六．函數(shù)恒成立問題（共 10 小題）
25 ．（ 2024 榆 林 三 模 ） 已 知 a (0,2p ) ， 若 當(dāng) x [0， 1]時(shí) ， 關(guān) 于 x 的 不 等 式
(sina + cosa +1)x2 - (2sina +1)x + sina > 0 恒成立，則a 的取值范圍為 (　　 )
A ( p , 5p ) B (p , 5p ) C (p , p． ． ． ) D (p． , 5p )
12 12 6 6 6 3 3 6
【 分 析 】 先 利 用 f (0) > 0， f （ 1 ） > 0得 sina > 0， cosa > 0 ， 由 此 可 知 函 數(shù)
f (x) = (sina + cosa +1)x2 - (2sina +1)x + sina 的對(duì)稱軸落在 (0,1) 上，則只需△< 0 ，解出a 的范圍．
【解答】解：當(dāng) x = 0 時(shí)， sina > 0，當(dāng) x = 1時(shí)， cosa > 0 ，
所以函數(shù) f (x) = (sina + cosa +1)x2 - (2sina +1)x + sina 的對(duì)稱軸：
sina 1+
x = 2 (0,1) ，
sina + cosa +1
ìsina > 0

所以 ícosa > 0 ，

(2sina +1)
2 - 4sina (sina + cosa +1) < 0
ì
sina > 0

即 ícosa > 0 ，結(jié)合a (0,2p )
p a 5p ，解得 < < ．
12 12
sin 2a 1>
2
故選： A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次不等式恒成立問題的解題方法，三角不等式的解法，屬于中檔題．
26．（2024 牡丹江一模）已知 g(x) = x3 f (x) 是定義在 R 上的奇函數(shù)，且 f (x) 在區(qū)間 (- ， 0]上單調(diào)遞減，
若關(guān)于實(shí)數(shù)m 的不等式 f (log2 m) + f (log0.5 m)…2 f （3）恒成立，則m 的取值范圍是 (　　 )
A． (0, 1] B．[8， + ) C． (0, 1]U[8， + ) D． (0, 1]U[8， + )3 3 8
【分析】根據(jù) g(x) = x3 f (x) 是定義在 R 上的奇函數(shù)，可知 f (x) 是偶函數(shù)，然后結(jié)合單調(diào)性構(gòu)造關(guān)于m 的不
等式求解．
【解答】解：因?yàn)?g(x) = x3 f (x) 是定義在 R 上的奇函數(shù)，
所以 f (x) 是偶函數(shù)， f (log0.5 m) = f (- log2 m) = f (log2 m) ，
所以 f (log2 m) + f (log0.5 m)…2 f （3）可化為：
f (log2 m)…f （3），又 f (x) 在區(qū)間 (- ， 0]上單調(diào)遞減，所以 f (x) 在 (0,+ )上遞增，
所以 | log2 m |…3，即 log2 m…3或 log2 m - 3，
即m…8 1或 0 < m ．
8
故選： D ．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題．
27．（2024 龍崗區(qū)校級(jí)模擬）已知 ex + sin x…ax +1對(duì)任意 x [0， + ) 恒成立，則實(shí)數(shù) a的取值范圍為 (　　 )
A． (- ， 2] B．[2 ， + ) C． (- ，1] D．[1， + )
【分析】令 f (x) = ex + sin x - ax -1， x…0，由題意可知： f (x)…0對(duì)任意 x [0， + ) 恒成立，且 f (0) = 0，
可得 f (0) = 2 - a…0，解得 a 2 ，并代入檢驗(yàn)即可．
【解答】解：令 f (x) = ex + sin x - ax -1， x…0，則 f (x) = ex + cos x - a ，
由題意可知： f (x)…0對(duì)任意 x [0， + ) 恒成立，且 f (0) = 0，
可得 f (0) = 2 - a…0，解得 a 2 ，
若 a 2 ，令 g(x) = f (x) ， x…0，
則 g (x) = ex - sin x…1- sin x…0，
則 g(x) 在[0 ， + ) 上遞增，可得 g(x)…g(0) = 2 - a…0 ，
即 f (x)…0對(duì)任意 x [0， + ) 恒成立，
則 f (x) 在[0 ， + ) 上遞增，可得 f (x)…f (0) = 0 ，
綜上所述： a 2 符合題意，即實(shí)數(shù) a的取值范圍為 (- ， 2]．
故選： A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值，進(jìn)而解決不等式恒成立問題的解題思路，屬于中檔
題．
x-e
28．（2024 e 呼和浩特模擬）若 e + lnax 在 x (0,+ ) 上恒成立，則 a的最大值為 (　　 )
a
e2-e 1 1-e 1+ -eA． B． 2e2 C． e1-e D． e e
2
【分析】顯然 a > 0，然后原式可化為 ex-e - ae - alnax…0，令函數(shù) f (x) = ex-e - ae - alnax ， x > 0 ，結(jié)合隱零
點(diǎn)問題的解題思路，求其最小值，令其大于等于零，解出 a的范圍即可．
【解答】解：因?yàn)?x > 0 ，結(jié)合 lnax 有意義可知， ax > 0 ，所以 a > 0，
原式可化為 ex-e - ae - alnax…0，令函數(shù) f (x) = ex-e - ae - alnax ， x > 0 ，
f (x) = ex-e a- ，顯然該函數(shù)為增函數(shù)， x 0時(shí)， f (x) - ， x + 時(shí)， f (x) + ，
x
所以存在 t > 0 ，使得 f (t) = 0 ， et-e a- = 0，可得 et-e a= ， lnt = lna - t + e ，
t t
且 0 < x < t 時(shí)， f (x) < 0 ， f (x) 遞減， x > t 時(shí)， f (t) > 0 ， f (x) 遞增，
令 f (x)min = f (t) = e
t-e - ae - alnat a= + at - 2ae - 2alna
t
…2 a × at - 2ae - 2alna = 2a(1- e - lna)…0 ，
t
即1- e - lna…0，所以 lna 1- e，解得 a e1-e ．
故選：C ．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查不等式恒成立問題的解題思路，函數(shù)最值的求法，屬于中檔題．
29．（2024 江蘇模擬）已知不等式 (ax + 3)(x2 - b) 0對(duì)任意 x (0,+ ) 恒成立，其中 a， b 是整數(shù)，則 a + b
的取值可以為 (　　 )
A． -4 B． -2 C．0 D．8
【分析】結(jié)合 y = ax + 3與 y = x2 - b在 (0,+ )上的圖象判斷即可．
【解答】解：畫出 y = ax + 3與 y = x2 - b在 (0,+ )上的圖象如圖所示時(shí)，
不等式 (ax + 3)(x2 - b) 0對(duì)任意 x (0,+ ) 恒成立，
由 ax 3+ 3 = 0得 x = - ， x2 - b = 0得 x = ± b （負(fù)值舍去），
a
ì
b > 0

此時(shí) ía < 0 ，結(jié)合 a，b Z 得 a = -1，b = 9或 a = -3 ，b = 1，

3- = b
a
所以 a + b = 8 或 -2 ．
故選： BD．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查不等式的解法和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題．
30．（2024 新縣校級(jí)模擬）已知 a N * ，函數(shù) f (x) = e3x - xa > 0恒成立，則 a的最大值為 　7　．
【分析】顯然 a為奇數(shù) (a N *)，然后只需研究 x > 0 時(shí)， e3x 3x- xa > 0 恒成立，整理得 a < ，再研究函數(shù)
lnx
g(x) 3x= 在 (0,+ )上最小值即可．
lnx
【解答】解：當(dāng) a為正偶數(shù)時(shí)，當(dāng) x - 時(shí)， e3x 0且 xa + ，此時(shí) e3x - xa > 0 不恒成立，
所以 a為正奇數(shù)，則當(dāng) x < 0 時(shí)， xa < 0 < e3x 恒成立，
所以只需研究 x > 0 時(shí)， e3x - xa 0 a 3x> 恒成立即可，即 < ， (x > 0) 恒成立，
lnx
g(x) 3x x 0 g (x) 3(lnx -1)令函數(shù) = ， > ，令 = 2 = 0 ，則 x = e，lnx (lnx)
g (x) > 0 x > e， g(x) 遞增， g (x) < 0 0 < x < e ， g(x) 遞減，
所以 g(x)min = g （e） = 3e 8.2 ，
所以 a 7 ．
故答案為：7．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，解決不等式恒成立的解題思路，屬于中檔題．
31．（2024 馬鞍山模擬）已知不等式 (x +1)2 l(x2 +1)(x2 - 2x + 5)對(duì)任意 x R 恒成立，則實(shí)數(shù)l 的取值范圍
[1是 　 ， + ) 　．
2
1
【分析】分離參數(shù)，然后令 t = x +1，將原式化為函數(shù) g(t) = 4 ，再研究 t 的范圍，利用函數(shù)的單(t + - 3)2 +1
t
調(diào)性求值域．
l… (x +1)
2
【解答】解：原不等式可化為： ，令 x +1 = t ，
(x2 +1)(x2 - 2x + 5)
t2
則不等式右邊可化為 g(t) = ，
t4 - 6t3 +18t2 - 24t +16
t = 0 時(shí)， g(t) = 0 ；
t 0 時(shí)， g(t) 1 1=
t2 16
=
6t 24 18 (t 4
，
+ 2 - - + + - 3)
2 +1
t t t
4
因?yàn)?t + …4 t 4或 + 4 4- 4，所以 t + - 3…1，或 t + - 3 - 7 ，
t t t t
1 1
所以 4
1
，所以要使原式恒成立，只需l ．
(t + - 3)2 +1 2 2
t
1
故答案為：[ ， + ) ．
2
【點(diǎn)評(píng)】本題考查不等式恒成立問題的解題思路，基本不等式的應(yīng)用等，屬于中檔題．
32．（2024 3 月份模擬）若存在實(shí)數(shù) a，對(duì)任意實(shí)數(shù) x [0，1]，使得不等式 x3 - m x + a x3 + m 恒成立，
3
則實(shí)數(shù)m 的取值范圍是 　[ ,+ ) 　．
9
ìx3 - x m + a
【分析】原式可化為 í 對(duì)任意實(shí)數(shù) x [0，1]恒成立，由此得到的關(guān)于 a的不等式有解，進(jìn)而3
x - x -m + a
求出m 的范圍．
3
【解答】解：不等式 x3 - m 3 ìx - x m + ax + a x + m 等價(jià)于： í 對(duì)任意實(shí)數(shù) x [0，1]恒成立，x3 - x -m + a
令 f (x) = x3 - x， x [0，1]，令 f (x) = 3x2 -1 = 0得： x 1= ± （負(fù)值舍去），
3
x [0, 1 ) 時(shí)， f (x) < 0 ， f (x) 遞減， x ( 1 ,1]時(shí)， f (x) > 0 ， f (x) 遞增，
3 3
1 2 3
所以 f (x)min = f ( ) = - ， f (x)max = f (0) = f （1） = 0，3 9
ìm + a 0

則關(guān)于 a的不等式 í
m a -2 3
有解，
- + 9
2 3 2 3
只需 -m a m - 能成立，所以 -m m - ，
9 9
3
所以m ．
9
3
故答案為：[ ,+ ) ．
9
【點(diǎn)評(píng)】本題考查不等式恒成立問題的解題思路，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題．
33．（2024 江西模擬）若不等式 | a ×3x + bx + b | 2x + 2 在 x [0， 2]上恒成立，則 a - b的最大值為 　6　．
3x 3x
【分析】結(jié)合 0 x 2 ，原式可化為 | a × + b | 2 ，利用函數(shù) f (x) = ， x [0， 2]為增函數(shù)，即函數(shù)
x +1 x +1
x x
g(x) a ×3 a ×3= + b 在 [0 ， 2]上為單調(diào)函數(shù)，則 | + b |的最值在 0 和 2 處取得，據(jù)此構(gòu)造關(guān)于 a，b 的不等
x +1 x +1
式組，即可求得 a - b的最大值．
x
【解答】解：因?yàn)?0 x 2 3，所以 | a ×3x + bx + b | 2x + 2 可化為 | a × + b | 2 ，
x +1
x x
f (x) 3= x [0 2] f (x) 3 [(x +1)ln3 -1]…3
x (ln3 -1)
令 ， ， ，則 = > 0 ，
x +1 (x +1)2 (x +1)2
x
故 f (x) 在[0 ， 2] 3上單調(diào)遞增，即 [1,3]，
x +1
所以 | a + b | 2， | 3a + b | 2，即 -2 a + b 2， -2 3a + b 2 ，
故 a - b = (3a + b) - 2(a + b) 6，當(dāng)且僅當(dāng) a = 2，b = -4 時(shí)，上式成立，
所以 a - b的最大值為 6．
故答案為：6．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的單調(diào)性與最值的關(guān)系，含絕對(duì)值不等式的性質(zhì)等，屬于中檔題．
34．（2024 萍鄉(xiāng)二模）固定項(xiàng)鏈的兩端，在重力的作用下項(xiàng)鏈所形成的曲線是懸鏈線．1691 年，萊布尼茨
x x
-
c
y c(e + e
c )
等得出懸鏈線的方程為 = ，其中 c 為參數(shù)．當(dāng) c = 1時(shí)，該表達(dá)式就是雙曲余弦函數(shù)，記為
2
ex + e- xcosh x = ，懸鏈線的原理常運(yùn)用于懸索橋、架空電纜、雙曲拱橋、拱壩等工程．已知三角函數(shù)滿足
2
ì(sin x) = cos x
性質(zhì)：①導(dǎo)數(shù)： ；②二倍角公式： cos 2x = 2cos2í x -1；③平方關(guān)系： sin2 x + cos2 x = 1．定
(cos x) = -sin x
ex - e- x
義雙曲正弦函數(shù)為 sinh x = ．
2
（1）寫出 sinh x ， cosh x 具有的類似于題中①、②、③的一個(gè)性質(zhì)，并證明該性質(zhì)；
（2）任意 x > 0 ，恒有 sinh x - kx > 0成立，求實(shí)數(shù) k 的取值范圍；
17
（3）正項(xiàng)數(shù)列{an}(n N
*) 滿足 a 21 = a > 1， an+1 = 2an -1，是否存在實(shí)數(shù) a，使得 a2024 = ？若存在，求出8
a的值；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）①求導(dǎo)數(shù)，②用二倍角公式，③利用平方關(guān)系；證明即可；
（2）構(gòu)造函數(shù) F (x) = sinh x - kx ，求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，求 k 的取值范圍即可；
（3）方法一、求出 a1， a2 ， a3 ，猜想 an ，用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．
方法二、構(gòu)造數(shù)列{xn}，根據(jù) an = cosh(xn ) ，利用遞推公式求解即可．
【解答】解：（1）①導(dǎo)數(shù)： (sinh(x)) = cosh(x)， (cosh(x)) = sinh(x)，證明如下：
ì x - x x - x
(sinh x) (
e - e ) e + e = = = cosh x
2 2
í ，x - x x - x

(cosh x)
e + e e - e
= ( ) = = sinh x
2 2
②二倍角公式： cosh(2x) = 2(cosh x)2 -1，證明如下：
ex + e- x e2x + 2 + e-2x e2x + e-2x2(cosh x)2 -1 = 2 ( )2 -1 = -1 = = cosh(2x) ；
2 2 2
③平方關(guān)系： (cosh x)2 - (sinh x)2 = 1，證明如下：
ex + e- x ex - e- x 2x -2x 2x -2x(cosh x)2 - (sinh x)2 ( )2 ( )2 e + 2 + e e - 2 + e= - = - = 1；
2 2 4 4
（2）令 F (x) = sinh x - kx ， x (0,+ ) ， F (x) = cosh x - k ，
x - x
①當(dāng) k 1時(shí)，由 cosh x e + e= … ex × e- x = 1，又因?yàn)?x > 0 ，所以 ex e- x ，等號(hào)不成立，
2
所以 F (x) = cosh x - k > 0，即 F (x)為增函數(shù)，
此時(shí) F (x) > F (0) = 0 ，對(duì)任意 x > 0 ， sinh x > kx 恒成立，滿足題意；
②當(dāng) k > 1時(shí)，令G(x) = F (x) ， x (0,+ ) ，則G (x) = sinh x > 0 ，可知G(x)是增函數(shù)，
由G(0) = 1- k < 0 與G(ln2k) 1= > 0 可知，存在唯一 x0 (0, ln2k)，使得G(x4k 0
) = 0 ，
所以當(dāng) x (0, x0 ) 時(shí)， F (x) = G(x) < G(x0 ) = 0，則 F (x)在 (0, x0 ) 上為減函數(shù)，
所以對(duì)任意 x (0, x0 ) ， F (x) < F (0) = 0 ，不合題意；
綜上知，實(shí)數(shù) k 的取值范圍是 (- ，1]；
x - x
（3 e + e）方法一、由 a1 = a > 1，函數(shù) cosh x = 的值域?yàn)閇1， + ) ，2
對(duì)于任意大于 1 的實(shí)數(shù) a1，存在不為 0 的實(shí)數(shù)m ，使得 cosh m = a1，
類比雙曲余弦函數(shù)的二倍角公式 cosh(2x) = 2(cosh x)2 -1，由 cosh m = a1，
a2 = 2(cosh m)
2 -1 = cosh(2m) ， a3 = cosh(2
2 m) ，猜想： an = cosh(2
n-1m)，
由數(shù)學(xué)歸納法證明如下：①當(dāng) n = 1時(shí)， a1 = a = cosh(2
1-1m) = cosh(m) 成立；
②假設(shè)當(dāng) n = k(k 為正整數(shù)）時(shí)，猜想成立，即 a = cosh(2k -1k m)，則
ak +1 = 2a
2
k -1 = 2[cosh(2
k -1m)]2 -1 = cosh(2 2k -1m) = cosh(2k m)，符合上式，
綜上知， an = cosh(2
n-1m)；
et + e-t 17
若 a = cosh(22023 m) 17= ，設(shè) t = 22023 m，則 cosh t = = ，解得： et 4 12024 = 或 ，8 2 8 4
t ln4 m ln2 e
m + e-m 1 1 -1
= ± = ± a = cosh m = = (222022 + 222022即 ，所以 2022 ，即 1 )．2 2 2
1 1 -1a = (222022 2022 17綜上知，存在實(shí)數(shù) + 22 )，使得 a2024 = 成立．2 8
方法二、構(gòu)造數(shù)列{xn}(xn > 0) ，且 an = cosh(xn ) ，
因?yàn)?a = 2a2n+1 n -1，所以 an+1 = 2(cosh x
2
n ) -1 = cosh(2xn )，則 an+1 = cosh(xn+1) = cosh(2xn ) ，
因?yàn)?cosh(x) 在 (0,+ )上單調(diào)遞增，所以 xn+1 = 2xn ，即{xn}是以 2 為公比的等比數(shù)列，
1
2023
所以 x = x 22023 ，所以 ex2024 = (ex1 )2 ，所以 ex1 = (ex20242024 1 )2
2023
，
1
又因?yàn)?a = cosh(x ) = (ex2024 + e- x 17 12024 x20242024 2024 ) = ，解得 e = 4或 ，2 8 4
1 1 1 -1 1 -12023 2023 1 2022 2022
所以 a = a1 = cosh(x ) = (e
x1 + e- x1 ) = (42 + 42 ) = (22 + 221 ) ，2 2 2
1 1 -1
綜上知，存在實(shí)數(shù) a = (222022 + 222022 ) 17，使得 a
2 2024
= 成立．
8
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)與數(shù)列的應(yīng)用問題，也考查了推理與運(yùn)算能力，是難題．易錯(cuò) 03 函數(shù)及其性質(zhì)（10 個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)錯(cuò)因分析與分類講解+6
個(gè)易錯(cuò)核心題型強(qiáng)化訓(xùn)練）
易錯(cuò)點(diǎn)錯(cuò)因分析與分類講解
易錯(cuò)點(diǎn) 1 對(duì)復(fù)合函數(shù)定義域的理解不透徹致誤
1.[江蘇三校 2023 聯(lián)考]已知函數(shù) y = f (2x -1) [ 2,3] y f (x)的定義域是 - ，則 = 的定義域是（ ）
x + 2
A. -2,5 B. -2,3 C. -1,3 D. -2,5
2. [江蘇揚(yáng)州高郵 2022調(diào)研]已知 g(x) = f 2x -1 +1，且 g(x)的定義域?yàn)? 1,4 ，值域?yàn)?3, + ，設(shè)函
數(shù) f (x) 的定義域?yàn)?A，值域?yàn)?B ，則 AI B = （ ）
A B. 4,7 C. 2,7 é 5 ù D. ê2, 2 ú
易錯(cuò)點(diǎn) 2 忽視函數(shù)定義域而致誤
3.[重慶 2023 一診]已知定義域?yàn)?(0, + )的減函數(shù) f (x) 滿足 f (xy) = f (x) + f (y) ，且 f (2) = -1，則不
等式 f (x + 2) + f (x + 4) > -3的解集為 .
4.[安徽黃山 2022 一模]連續(xù)函數(shù) f (x) 是定義在 (-1,1) 上的偶函數(shù)，當(dāng) x 0 時(shí)， xf (x) > 0.若
f (a +1) - f (2a) > 0，則 a 的取值范圍是（ ）
A. 1- ,1 1 ÷ B. - ,0
1 1
÷ C. - ,1÷ D. - ,0è 3 2 2 ÷è è è 3
ex -1
5.[河南中原頂級(jí)名校 2022聯(lián)考]函數(shù) f (x) = 2 -1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）1- x +1
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
易錯(cuò)點(diǎn) 3 忽視分段函數(shù)交界處的函數(shù)值的大小
ì(3a -1)x + 4a, x 1
6.[湖北鄂西北四校 2022 聯(lián)考]已知 f (x) = í 滿足對(duì)于任意實(shí)數(shù) x x ，都有
a
2 x-1 1+ , x >1, 1 2
2
f x1 - f x2 < 0成立，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 .
x1 - x2
易錯(cuò)點(diǎn) 4 不能正確理解分段函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性致誤
ì 3a - 2
f (x) x + 3, x 1,7.[吉林部分學(xué)校 2023 大聯(lián)考]已知函數(shù) = í a > 0且a 1 是 R 上的單調(diào)函數(shù)，
loga x + 5a, x >1,
則 a 的取值范圍是（ ）
A. 0,
2
÷ U 1, B.
0, 1+ ÷ U 1, +
è 3 è 2
C. 2 ,1

÷ U 1,
1
+ D. ,1÷ U 1,+
è 3 è 2
易錯(cuò)點(diǎn) 5 對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域?yàn)?R 和值域?yàn)?R 理解不透徹致誤
8.[河北“五個(gè)一”名校 2023 聯(lián)考]已知函數(shù) f (x) = lg(ax2 - 6x + 5)的值域?yàn)?R ，那么 a 的取值范圍
是 .
易錯(cuò)點(diǎn) 6 函數(shù)的圖象畫的不準(zhǔn)確而致誤
ì 3x+1 -1 , x 0,
9.[河北 2023聯(lián)考]已知函數(shù) f (x) = í
ln x, x > 0.
若函數(shù) g(x) = f (x) - a 有 3個(gè)零點(diǎn)，則 a 的取值范圍是（ ）
A. 0, 1 B. 0, 2 C. （2， + ） D. （1， + ）
易錯(cuò)點(diǎn) 7 利用數(shù)形結(jié)合法求方程根的個(gè)數(shù)時(shí)，所畫的兩函數(shù)的圖象的位置不準(zhǔn)確而致誤
10.[江蘇常州一中 2023 調(diào)研]若函數(shù) f (x) 的定義域?yàn)?R ， f (x -1)為奇函數(shù)， f (x +1)為偶函數(shù)，當(dāng)
x -1,1 時(shí)， f (x) = -x2 +1，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A. f (7) 3= - B. f x + 7 為奇函數(shù)
2 4
C. f (x)在 6, 8 上單調(diào)遞增 D. 方程 f (x) + lg x = 0僅有7個(gè)實(shí)數(shù)根
易錯(cuò)點(diǎn) 8 底數(shù)含參數(shù)的對(duì)數(shù)函數(shù)忽視分類討論而致誤
1 x
11.[江蘇南京師大附中 2022開學(xué)考改編]當(dāng)0 < x 時(shí)， 4 loga x，則 a 的取值范圍是 .2
易錯(cuò)點(diǎn) 9 對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷不清致誤
x 2
12.[四川瀘州江陽區(qū) 2022期末]若函數(shù) y = f (x) 與 y = 5 互為反函數(shù)，則 y = f x - 2x 的單調(diào)遞減區(qū)間
是 .
易錯(cuò)點(diǎn) 10 忽視函數(shù)圖象端點(diǎn)的取值致錯(cuò)
ì ln x, x > 0,
13.[陜西安康 2022期末]已知函數(shù) y = f (x)
2
í 2 ，若函數(shù) y = f x + mf (x) +1有
-x - 4x - 3, x 0,

6個(gè)零點(diǎn)，則 m 的取值范圍是（ ）
A. 10 10ù -2, ÷ B. -2,
è 3 è 3 ú
C. 10 10ù 2, ÷ D. 2,
è 3 è 3 ú
【易錯(cuò)核心題型強(qiáng)化訓(xùn)練】
一．函數(shù)的圖象與圖象的變換（共 2 小題）
1．（2024 2 長安區(qū)校級(jí)一模）函數(shù) f (x) = (1- )sin x 的圖象的大致形狀是 (　　 )
1+ ex
A． B．
C． D．
2
2．（2024 y x -1 臨渭區(qū)三模）下列可能是函數(shù) = |x| 的圖象的是 (　　 )e
A． B．
C． D．
二．函數(shù)的最值及其幾何意義（共 2 小題）
3 41．（2024 天心區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù) f (x) = lg(x2 - x + ) ，則 (　　 )
4
A． f (x) 的最小值為 1 B．$x R， f （1） + f (x) = 2
C． f (log 29 2) > f ( ) D． f (9
0.1 1- ) > f (30.18 1- )
3 2 2
4．（2024 莊浪縣校級(jí)一模）設(shè) f (x) = loga (1+ x) + loga (3 - x)(a > 0 ， a 1) ，且 f （1） = 2．
（1）求 a的值及 f (x) 的定義域．
（2）求 f (x) 3在區(qū)間[0 ， ]上的最大值．
2
三．函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷（共 2 小題）
5 2024 f (x) (x +1)(x + a)．（ 安寧區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)函數(shù) = 為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù) a的值為 (　　 )
x
A．0 B．1 C． -1 D．2
6．（2024 涪陵區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù) f (x) 的定義域?yàn)?R ，且 f (x +1)為奇函數(shù)， f (x + 2)為偶函數(shù)，則 (　　 )
A．4 為 f (x) 的一個(gè)周期
B． f (211) = 0
C．由 f (0) + f （1） + f （2） + f （3） + f （4） = 2可知， f （2） = 2
D．函數(shù) y = f (x) + lg | x |的所有零點(diǎn)之和為 0
四．抽象函數(shù)及其應(yīng)用（共 17 小題）
7．（2024 山東模擬）已知函數(shù) f (x) 的定義域?yàn)?R ，若 f (-x) = - f (x) ， f (1+ x) = f (1- x) ，則 f (2024) = ( 　　
)
A．0 B．1 C．2 D．3
8．（2024 安徽模擬）若定義在 R 上的函數(shù) f (x) ，滿足 2 f (x + y) f (x - y) = f (2x) + f (2y) ，且 f （1） = -1，
則 f (0) + f （1） + f （2） + + f (2024) = ( 　　 )
A．0 B． -1 C．2 D．1
9．（2024 1 遵義二模）已知定義在 R 上的函數(shù) f (x) 滿足： f (1) = ，且 f (x + y) + f (x - y) = 2 f (x) f (y) ，則
2
下列結(jié)論正確的是 (　　 )
A． f (0) = 0 B． f (x) 的周期為 4
C． f (2x 1-1)關(guān)于 x = 對(duì)稱 D． f (x) 在 (0,+ )單調(diào)遞減
2
10．（2024 鄠邑區(qū)三模）已知定義在 R 上的函數(shù) f (x) 滿足 f (2 + x) - f (2 - x) = 4x ．若 f (2x - 3) 的圖象關(guān)于
點(diǎn) (2,1)對(duì)稱，且 f (0) = 0，則 f （1） + f （2） + + f (50) = ( 　　 )
A．0 B．50 C．2509 D．2499
11．（2024 保定二模）已知定義域?yàn)?R 的函數(shù) f (x) 滿足 f (xy) = y3 f (x) + x3 f (y) ，則 (　　 )
A． f (0) = 0
B． f (-1) = -1
C． f (x) 是奇函數(shù)
D．存在函數(shù) f (x) 以及 x0 ，使得 f (x0 ) 的值為 4e
2
12．（2024 泊頭市模擬）已知函數(shù) f (x) 的定義域?yàn)?R ，且 2 f (x) f (y) = f (x + y) ， f （1） = 1，則 (　　 )
A． f (0) 1=
2
B． f (x) 為偶函數(shù)
C． f (x + y) = f (x -1) f (y +1) + f (y -1) f (x +1)
23
D． f (i) = f (24)(i N * )
i=1
13．（2024 開封模擬）已知函數(shù) f (x) 的定義域?yàn)?R ，且 f (x + y) + f (x - y) = f (x) f (y)， f （1） = 1，則 (　　 )
A． f (0) = 2
B． f (3 - x) = f (3 + x)
C． f (x) 是周期函數(shù)
D． f (x) p的解析式可能為 f (x) = 2sin x
6
14．（2024 汕頭模擬）已知定義域?yàn)?R 的函數(shù) f (x) ．滿足 f (x + y) = f (x) f (y) - f (1- x) f (1- y) ，且
f (0) 0， f (-1) = 0，則 (　　 )
A． f （1） = 0 B． f (x) 是偶函數(shù)
2024
C．[ f (x)]2 + [ f (1+ x)]2 = 1 D． f (i) = -1
i
15．（2024 茂名模擬）已知函數(shù) f (x) 的定義域?yàn)?R ，且 f (x + y) × f (x - y) = f 2 (x) - f 2 (y) ， f （1） = 2，
f (x +1)為偶函數(shù)，則 (　　 )
A． f （3） = 2 B． f (x) 為奇函數(shù)
2024
C． f （2） = 0 D． f (k) = 0
k =1
16．（2024 保定一模）若函數(shù) f (x) a + b a - b的定義域?yàn)?R ，且 f （a） + f （b） = 2 f ( ) f ( )， f （4） = -1，
2 2
則 (　　 )
A． f (0) = 0
B． f (x) 為偶函數(shù)
C． f (x) 的圖象關(guān)于點(diǎn) (2,0) 對(duì)稱
2024
D． f (i) = 0
i=1
17．（2024 如皋市模擬）設(shè) a為常數(shù)， f (0) 1= ， f (x + y) = f (x) f (a - y) + f (y) f (a - x)，則 (　　 )
2
A． f (a) 1= B． f (x) 1= 恒成立
2 2
C． f (x + y) = 2 f (x) f (y) D．滿足條件的 f (x) 不止一個(gè)
18．（2024 秦皇島二模）已知函數(shù) f (x) 滿足：對(duì)"x ， y R ，都有 f (x - y) = f (x) f (y) + f (1+ x) f (1+ y) ，
且 f (0) f （2），則下列說法正確的是 (　　 )
A． f （1） = 0 B． f (0) = 0
2026
C． f (x) + f (2 - x) = 0 D． f (i) = -1
i=1
19．（2024 友誼縣校級(jí)模擬）已知函數(shù) f (x) 的導(dǎo)函數(shù)為 f (x) ，"x R ， f (8 - x) - f (x) = 0 ，且 f (x + 3)為
奇函數(shù)，若 f (-1) = -2，則 (　　 )
A． f （3） = 0
B． f (x) 的一個(gè)周期為 2
C． f （4） = 0
D． f (2023) + f (2024) - f (2025) = 4
20．（2024 河南一模）已知函數(shù) f (x) 的定義域?yàn)?R ， f (x + y) - f (x 3- y) = f (x + ) f (y 3+ ) ， f (0) 0，則
2 2
(　　 )
A． f (3) = 0 B． f (0) = -2
2
2022
C f (x) k． 的一個(gè)周期為 3 D． f ( ) = 2
k =1 2
21．（2024 玉林模擬）已知定義在 R 上的函數(shù) f (x) 滿足 f (2 + x) - f (2 - x) = 4x ．若 f (2x - 3) 的圖象關(guān)于點(diǎn)
(2,1)對(duì)稱，且 f (0) = 0，則 (　　 )
A． f (x) 的圖象關(guān)于點(diǎn) (1,1)對(duì)稱
B．函數(shù) g(x) = f (x) - 2x的圖象關(guān)于直線 x = 2對(duì)稱
C．函數(shù) g(x) = f (x) - 2x的周期為 2
D． f （1） + f （2） + + f (50) = 2499
22．（2024 安徽三模）已知函數(shù) f (x) 的定義域?yàn)?R ，且 f (x + y) f (x - y) = f 2 (x) - f 2 (y)， f （1） = 1， f
（2） = 0，則下列說法中正確的是 (　　 )
A． f (x) 為偶函數(shù) B． f （3） = -1
2023
C． f (-1) = - f （5） D． f (k) = 1
k =1
23 ．（ 2024 青 羊 區(qū) 校 級(jí) 模 擬 ） 已 知 函 數(shù) f (x) 的 定 義 域 為 R ， 對(duì) 于 任 意 實(shí) 數(shù) x 、 y 均 滿 足
f ( x + 2y ) f (x) + 2 f (y)= ，若 f （2） = 1， f （5） = 10，則 f (724) =　　．
3 3
五．函數(shù)的周期性（共 1 小題）
24．（ 2024 玄武區(qū)三模）已知 f (x) 是定義在 R 上的函數(shù)， f （ 1） = 10，且對(duì)于任意 x R 都有
f (x + 20)…f (x) + 20 ， f (x +1) f (x) +1，若 g(x) = f (x) - x +1，則 g(10) =　　．
六．函數(shù)恒成立問題（共 10 小題）
25 ．（ 2024 榆 林 三 模 ） 已 知 a (0,2p ) ， 若 當(dāng) x [0， 1]時(shí) ， 關(guān) 于 x 的 不 等 式
(sina + cosa +1)x2 - (2sina +1)x + sina > 0 恒成立，則a 的取值范圍為 (　　 )
A ( p , 5p ) B (p． ． , 5p ) C p p． ( , ) D p 5p． ( , )
12 12 6 6 6 3 3 6
26．（2024 牡丹江一模）已知 g(x) = x3 f (x) 是定義在 R 上的奇函數(shù)，且 f (x) 在區(qū)間 (- ， 0]上單調(diào)遞減，
若關(guān)于實(shí)數(shù)m 的不等式 f (log2 m) + f (log0.5 m)…2 f （3）恒成立，則m 的取值范圍是 (　　 )
A． (0, 1] B．[8， + ) C． (0, 1]U[8， + ) D． (0, 1]U[8， + )3 3 8
27．（2024 龍崗區(qū)校級(jí)模擬）已知 ex + sin x…ax +1對(duì)任意 x [0， + ) 恒成立，則實(shí)數(shù) a的取值范圍為 (　　 )
A． (- ， 2] B．[2 ， + ) C． (- ，1] D．[1， + )
x-e
28．（2024 e 呼和浩特模擬）若 e + lnax 在 x (0,+ ) 上恒成立，則 a的最大值為 (　　 )
a
e2-e 1 -e 1A． B． 2e2 C． e1-e
1+ -e
D． e e
2
29．（2024 江蘇模擬）已知不等式 (ax + 3)(x2 - b) 0對(duì)任意 x (0,+ ) 恒成立，其中 a， b 是整數(shù)，則 a + b
的取值可以為 (　　 )
A． -4 B． -2 C．0 D．8
30．（2024 新縣校級(jí)模擬）已知 a N * ，函數(shù) f (x) = e3x - xa > 0恒成立，則 a的最大值為 　　．
31．（2024 馬鞍山模擬）已知不等式 (x +1)2 l(x2 +1)(x2 - 2x + 5)對(duì)任意 x R 恒成立，則實(shí)數(shù)l 的取值范圍
是 　　．
32．（2024 3 月份模擬）若存在實(shí)數(shù) a，對(duì)任意實(shí)數(shù) x [0，1]，使得不等式 x3 - m x + a x3 + m 恒成立，
則實(shí)數(shù)m 的取值范圍是 　　．
33．（2024 江西模擬）若不等式 | a ×3x + bx + b | 2x + 2 在 x [0， 2]上恒成立，則 a - b的最大值為 　　．
34．（2024 萍鄉(xiāng)二模）固定項(xiàng)鏈的兩端，在重力的作用下項(xiàng)鏈所形成的曲線是懸鏈線．1691 年，萊布尼茨
x x
-
y c(e
c + e c )
等得出懸鏈線的方程為 = ，其中 c 為參數(shù)．當(dāng) c = 1時(shí)，該表達(dá)式就是雙曲余弦函數(shù)，記為
2
ex + e- xcosh x = ，懸鏈線的原理常運(yùn)用于懸索橋、架空電纜、雙曲拱橋、拱壩等工程．已知三角函數(shù)滿足
2
ì(sin x) = cos x
性質(zhì)：①導(dǎo)數(shù)： ；②二倍角公式： cos 2x = 2cos2í x -1；③平方關(guān)系： sin2 x + cos2 x = 1．定
(cos x) = -sin x
ex - e- x
義雙曲正弦函數(shù)為 sinh x = ．
2
（1）寫出 sinh x ， cosh x 具有的類似于題中①、②、③的一個(gè)性質(zhì)，并證明該性質(zhì)；
（2）任意 x > 0 ，恒有 sinh x - kx > 0成立，求實(shí)數(shù) k 的取值范圍；
（3）正項(xiàng)數(shù)列{an}(n N
*) 滿足 a1 = a > 1， a
2
n+1 = 2an -1
17
，是否存在實(shí)數(shù) a，使得 a2024 = ？若存在，求出8
a的值；若不存在，請說明理由．

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