資源簡介

考點 03 等式性質與不等式性質（3 種核心題型+基礎
保分練+綜合提升練+拓展沖刺練）
【考試提醒】
1. 掌握等式性質.2.會比較兩個數的大小.3.理解不等式的性質，并能簡單應用．
【知識點】
1．兩個實數比較大小的方法
a－b > 0 a b，
作差法{a－b＝0 a b， (a，b∈R)a－b < 0 a b.
2．等式的性質
性質 1　對稱性：如果 a＝b，那么 ；
性質 2　傳遞性：如果 a＝b，b＝c，那么 ；
性質 3　可加(減)性：如果 a＝b，那么 a±c＝b±c；
性質 4　可乘性：如果 a＝b，那么 ac＝bc；
性質 5　可除性：如果 a＝b，c≠0，那么 .
3．不等式的性質
性質 1　對稱性：a>b ；
性質 2　傳遞性：a>b，b>c ；
性質 3　可加性：a>b a＋c>b＋c；
性質 4　可乘性：a>b，c>0 ；a>b，c<0 ；
性質 5　同向可加性：a>b，c>d ；
性質 6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0 ；
性質 7　同正可乘方性：a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2)．
常用結論
1 1
1．若 ab>0，且 a>b < .
a b
b b＋m
2．若 a>b>0，m>0 < ；
a a＋m
b b＋m
若 b>a>0，m>0 > .
a a＋m
【核心題型】
題型一　數(式)的大小比較
比較大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②變形；③定號；④得出結論．
(2)作商法：①作商；②變形；③判斷商與 1 的大小關系；④得出結論．
(3)構造函數，利用函數的單調性比較大小．
e2 021＋1 e2 022＋1
【例題 1】(1)已知 M＝ ，N＝ ，則 M，N 的大小關系為________．
e2 022＋1 e2 023＋1
(2)若 a>b>1 ，P＝aeb，Q＝bea，則 P，Q 的大小關系是(　　)
A．P>Q B．P＝Q
C．P（3）(2022·全國甲卷)已知 9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，則(　　)
A．a＞0＞b B．a＞b＞0
C．b＞a＞0 D．b＞0＞a
e +1
【變式 1】（2024·云南貴州·二模）已知 a = ln( 2e),b = ,c
ln 5
= +1，則 a,b,c的大關系為
e 5
（ ）
A． c > a > b B．b > a > c
C． a > b > c D．b > c > a
【變式 2】（2024·全國· 0.4模擬預測）若 a = 2 ,b = 30.25 ,c = log0.7 0.5，則 a,b,c的大小關系為
（ ）
A． a < b < c B．b < a < c C．b < c < a D． c1
【變式 3】（2024·云南昆明·模擬預測）設 a = ,b
ln5 ln6
= ,c = ，則（ ）
6 10 12
A． c < b < a B． cC．b題型二　不等式的性質
判斷不等式的常用方法
(1)利用不等式的性質逐個驗證．
(2)利用特殊值法排除錯誤選項．
(3)作差法．
(4)構造函數，利用函數的單調性．
【例題 2】．（1）(多選)(2023·汕頭模擬)已知 a，b，c 滿足 c一定成立的是(　　)
A．ac(a－c)>0 B．c(b－a)<0
C．cb2ac
（2）（2024·河北滄州·一模）下列命題為真命題的是（ ）
A．"x > 0,ex > cosx B．"a > b, a2 > b2
C．$x > 0,cosx ex D．$a > b,a3 < b3
【變式 1】已知 a>b>c>0，下列結論正確的是(　　)
A．2ab(a－c)
1 1
C. > D．(a－c)3>(b－c)3
a－c b－c
【變式 2】(多選)若 a>0>b>－a，ca b
A．ad>bc B. ＋ <0
d c
C．a－c>b－d D．a(d－c)>b(d－c)
【變式 3】(多選)設 a，b，c，d 為實數，且 a>b>0>c>d，則下列不等式正確的有(　　)
A．c2c d
C．ac0
a b
題型三　不等式性質的綜合應用
求代數式的取值范圍，一般是利用整體思想，通過“一次性”不等關系的運算求得整體范
圍．
b
【例題 3】（2023·湖南岳陽·模擬預測）已知1< a < 3,3 < b < 6 ，則 的取值范圍為（ ）2a
3 ,1 A． ÷ B． 2,6
1
C． 1,6 D． ,3
è 2 2 ÷ è
c
【變式 1】已知實數 a，b，c，滿足 a>b>c，且 a＋b＋c＝0，那么 的取值范圍是
a
________．
【變式 2】（2024·浙江·模擬預測）已知正數 a，b，c 滿足 a2 + c2 =16，b2 + c2 = 25，則
k = a2 + b2 的取值范圍為 ．
ax + by
【變式 3】（2024·浙江·模擬預測）對 x, y定義一種新運算T ，規定：T x, y = 2x y （其中+
a,b a 0 + b 1均為非零常數），這里等式右邊是通常的四則運算，例如：T 0,1 = = b ，已
2 0 +1
ì T 2m,5 - 4m 4
知T 1, -1 = -2,T 4,2 =1，若關于m 的不等式組 í
T m,3 2m P
恰好有 3 個整數解，則
- >
實數 P 的取值范圍是 .
【課后強化】
【基礎保分練】
一、單選題
1．（2023·陜西西安·模擬預測）“ a > b > 0,c > 0
a b
”是“ > ”的（ ）
a + c b + c
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
2．（2024·全國·模擬預測）設 a = ln4,b = tan
1
+ tan1,c 3= ，則（ ）
2 2
A． a < b < c B．b < c < a C． c3 3 3
3．（23-24 高三上·陜西西安·階段練習）若 a = ln 4，b = ， c = sin + tan ，則 a，b，c 的
2 4 4
大小關系為（ ）
A． a < b < c B．b < a < c C． a < c < b D． c二、多選題
4．（2024·福建龍巖·一模）下列命題正確的是（ ）
A．若 a < b < 0，則 a2 > ab > b2
B．若 a < b < 0，則 ac2 < bc2
c c
C．若0 < a < b < c ，則 >
a b
b
D．若0 < a < b，則 2a + > 2 ab
2
三、填空題
5．（2024·全國·模擬預測）已知實數 x，y 滿足-1 < x < y <1，則 x + y 的取值范圍
是 ．
6．（2024·河北邯鄲·三模）記min{x, y, z}表示 x，y，z 中最小的數．設 a > 0，b > 0，則
min ìía,
1 , 1 + 3bü
b a 的最大值為
．

四、解答題
(x + y)2 1 1
7．（2024·四川綿陽·二模）（1）已知 a，b，x，y 均為正數，求證： 2 2 + 并指出ax + by a b
等號成立的條件；
2
2 1 f (x) 4x + 4x +1（ ）利用（ ）的結論，求函數 = 2 (x > 0)的最大值，并指出取最大值時 x 的5x + 4x + 2
值．
【綜合提升練】
一、單選題
1
1．（2023·廣東·二模）若 a = 3 + ,b 5
1 ,c 2 1= - = + ，則（
2 2 2 3 3 ）
A． a > c > b B． a > b > c
C． c > b > a D．b > c > a
2．（2023·江蘇南通·模擬預測）已知 a - b 0,1 , a + b 2,4 ，則 4a - 2b 的取值范圍是（ ）
A． 1,5 B． 2,7 C． 1,6 D． 0,9
3．（2024·陜西西安·一模）已知 a,b,c R ，則下列選項中是“ a < b ”的充分不必要條件的是
（ ）
c c
A． > B． ac2 < bc2 C． a2 < b2 D．3a < 3b
a b
a 2 14 2023· · = + ln 2,b =1+ 20.2 ,c = 21.1．（ 遼寧沈陽 模擬預測）已知 ，則（
5 ）
A． a < b < c B．b < a < c
C． c < b < a D． a < c < b
a 17 b cos 1 c 3sin 15．（2023·全國·模擬預測）設 = ， = ， = ，則下列正確的是（ ）
18 3 3
A．b > a > c B．b > c > a C． c > a > b D． c > b > a
二、填空題
6．（2024·河南·模擬預測）以maxM 表示數集M 中最大的數．設0 < a < b < c <1，已知b 2a
或 a + b 1，則max b - a,c - b,1- c 的最小值為 ．
四、解答題
7．（2024·遼寧沈陽· 2一模）已知等比數列 an 的各項均為正數，且 a1 + 2a2 =1,a3 = 2a2 × a5 .
(1)求數列 an 的通項公式；
2n
(2)設bn = loga 2 ，求證：1+ b < .n n 2n +1
8．（2023·河北·模擬預測）已知 x 0,1 f x = ex， .
(1)證明： x +1 f x 1 ；
1- x
f 2x 1+ x(2)比較 與 的大小.
1- x
2
9．（2023·全國·模擬預測）（1 a 3a - b）設 a，b 為正實數，求證： ．
a + b 4
2 a b c a
3 b3 c3 ab + bc + ac
（ ）設 ， ， 為正實數，求證： + + ．
a + b b + c c + a 2
【拓展沖刺練】
一、單選題
1．（2024· 2云南大理·模擬預測）若m 為函數 f x = m(x - m) n - x （其中m 0 ）的極小值
點，則（ ）
A．m > n > 0 B．m < n < 0
C．mn > m2 D．mn < m2
2
2．（2023·貴州貴陽· 2 4 2三模）已知正實數 a,b,c分別滿足 a = ，b = ln 2 ， c = ，其中 e是e 3e
自然常數，則 a,b,c的大小關系為（ ）
A． a > c > b B． a > b > c C．b > c > a D．b > a > c
3．（2023·湖南岳陽·模擬預測）已知 a,b,c為實數，則下列命題成立的是（ ）
A．若 a < b ，則 ac < bc
B．若 a < b ，則 a - c > b - c
C．若 a c > b c ，則 a > b
2 2
D．若 a > b，則 <
a b
1
4．（2023·四川南充·一模）已知： 2a+1 = 3 b-3， 2 = ，則下列說法中錯誤的是（ ）3
3
A． a + b = 2 B．1< b < C．b - a <1 D．ab >1
2
二、多選題
5．（2023· 2廣東肇慶·二模）已知正數 a,b滿足等式 a - b = 2 2lnb - lna ，則下列不等式中可
能成立的有（ ）
1
A． a > b2 > B． a
1
< b2 <
2 2
C． a > b >1 D．b < a <1
1
6．（2023· · 17 1 1 35河北 三模）已知a = ,b = cos ,c = 3tan ,d = e18 ,m = ln ，則下列不等式成立
18 3 3 18
的是（ ）
A． c > b > a B． c > a > b
C．d > a > m D．a > d > m
7．（2023·河南洛陽·模擬預測）設實數 a,b滿足1 ab 4,4
a
9，則（ ）
b
A． 2 a 6 B．1 b 3 C． 4 a3b 144 D．1 ab3 4
三、填空題
sin1
8．（2023· · a = b 3 c π 2 - 3內蒙古赤峰 一模）已知 ， = ， = -3 ，則
a,b,c的大小關系
2π 9 6
是 .
9 2 2．（2023·四川涼山·一模）已知P x, y 是曲線 x + y = 1 x > 0 x + y +1上的點，則 的取值
x +1
范圍是 .
10．（2023·廣東深圳·模擬預測）已知數列 an 的前 n 項和為 Sn ，滿足：
2an+1 = a + a
* 2
n n+2 n N ，且a3，a7為方程 x -18x + 65 = 0的兩根，且 a7 > a3 .若對于任意
n N* ，不等式 2n an 4 - l > an -1
2
恒成立，則實數l 的取值范圍為 .
四、解答題
11．（2023·山東濰坊·模擬預測）已知函數 f x = ex + k ln x +1 -1 k R ．
(1)當 k =1時，求曲線 y = f x 在點 0, f 0 處的切線方程；
(2)若對任意 x 1,+ ，都有 f x 0，求實數 k 的取值范圍；
1
(3)當 k - 時，對任意的 s, t 0,+ ，且 s t ，試比較 f s + f t 2 f s - 2 f t 與 的大
2 s - t
小．考點 03 等式性質與不等式性質（3 種核心題型+基礎
保分練+綜合提升練+拓展沖刺練）
【考試提醒】
1. 掌握等式性質.2.會比較兩個數的大小.3.理解不等式的性質，并能簡單應用．
【知識點】
1．兩個實數比較大小的方法
a－b > 0 a > b，
作差法{a－b＝0 a＝b， (a，b∈R)a－b < 0 a < b.
2．等式的性質
性質 1　對稱性：如果 a＝b，那么 b＝a；
性質 2　傳遞性：如果 a＝b，b＝c，那么 a＝c；
性質 3　可加(減)性：如果 a＝b，那么 a±c＝b±c；
性質 4　可乘性：如果 a＝b，那么 ac＝bc；
a b
性質 5　可除性：如果 a＝b，c≠0，那么 ＝ .
c c
3．不等式的性質
性質 1　對稱性：a>b b性質 2　傳遞性：a>b，b>c a>c；
性質 3　可加性：a>b a＋c>b＋c；
性質 4　可乘性：a>b，c>0 ac>bc；a>b，c<0 ac性質 5　同向可加性：a>b，c>d a＋c>b＋d；
性質 6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0 ac>bd；
性質 7　同正可乘方性：a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2)．
常用結論
1 1
1．若 ab>0，且 a>b < .
a b
b b＋m
2．若 a>b>0，m>0 < ；
a a＋m
b b＋m
若 b>a>0，m>0 > .
a a＋m
【核心題型】
題型一　數(式)的大小比較
比較大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②變形；③定號；④得出結論．
(2)作商法：①作商；②變形；③判斷商與 1 的大小關系；④得出結論．
(3)構造函數，利用函數的單調性比較大小．
e2 021＋1 e2 022＋1
【例題 1】(1)已知 M＝ ，N＝ ，則 M，N 的大小關系為________．
e2 022＋1 e2 023＋1
【答案】M>N
e2 021＋1 e2 022＋1
【解析】方法一　M－N＝ －
e2 022＋1 e2 023＋1
e2 021＋1 e2 023＋1 － e2 022＋1 2
＝
e2 022＋1 e2 023＋1
e2 021＋e2 023－2e2 022
＝
e2 022＋1 e2 023＋1
e2 021 e－1 2
＝ >0.
e2 022＋1 e2 023＋1
∴M>N.
ex＋1
方法二　令 f(x)＝
ex＋1＋1
1
ex＋1
1 1
e ＋1 ＋1－e 1 1－e
＝ ＝ ＋ ，
ex＋1＋1 e ex＋1＋1
顯然 f(x)是 R 上的減函數，
∴f(2 021)>f(2 022)，即 M>N.
(2)若 a>b>1 ，P＝aeb，Q＝bea，則 P，Q 的大小關系是(　　)
A．P>Q B．P＝Q
C．P【答案】C
eb
P aeb b
【解析】　P，Q 作商可得 ＝ ＝ ，
Q bea ea
a
ex ex x－1
令 f(x)＝ ，則 f′(x)＝ ，
x x2
ex
當 x>1 時，f′(x)>0 ，所以 f(x)＝ 在(1，＋∞)上單調遞增，
x
eb ea
因為 a>b>1，所以 < ，
b a
eb
eb ea P
又 >0， >0 b，所以 ＝ a<1，所以 Pa
（3）(2022·全國甲卷)已知 9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，則(　　)
A．a＞0＞b B．a＞b＞0
C．b＞a＞0 D．b＞0＞a
【答案】　A
【解析】　∵9m＝10，∴m∈(1,2)，
令 f(x)＝xm－(x＋1)，x∈(1，＋∞)，
∴f′(x)＝mxm－1－1，
∵x>1 且 1∴xm－1>1，∴f′(x)>0，
∴f(x)在(1，＋∞)上單調遞增，
又 9m＝10，∴9m－10＝0，即 f(9)＝0，
又 a＝f(10)，b＝f(8)，
∴f(8)e +1 ln 5
【變式 1】（2024·云南貴州·二模）已知 a = ln( 2e),b = ,c = +1，則 a,b,c的大關系為
e 5
（ ）
A． c > a > b B．b > a > c
C． a > b > c D．b > c > a
【答案】B
ln x
【分析】根據 a,b,c的特點，構造函數 f (x) = ，判斷其單調性，得到
x
f (x)max = f (e)
1
= ，故有 f (e) > f (5), f (e) > f (2)，再運用作差法比較 f (5), f (2)即得.
e
ln x f (x) 1- ln x【詳解】設 f (x) = ，則 = 2 ，x x
當0 < x < e時， f (x) > 0 ， f (x) 在 (0, e)上遞增；
當 x>e時， f (x) < 0 ， f (x) 在 (e,+ ) 上遞減,
故 f (x)max = f (e)
1
= .
e
1 ln 5
則 > ,
1 ln 2
> ，即b > c,b > a；
e 5 e 2
25
由 ln 5 ln 2 2ln 5 - 5ln 2 ln 32 0可知 c < a- = = < ，故b > a > c .
5 2 10 10
故選：B.
0.4 0.25
【變式 2】（2024·全國·模擬預測）若 a = 2 ,b = 3 ,c = log0.7 0.5，則 a,b,c的大小關系為
（ ）
A． a < b < c B．b < a < c C．b < c < a D． c【答案】B
【分析】利用指數函數的單調性以及對數函數單調性可判斷 a,c 范圍，比較它們的大小；利
用作商法比較 a,b的大小，即可得答案.
【詳解】因為函數 y = 2x 在 R 上單調遞增，所以 a = 20.4 < 20.5 = 2 ．
1 1 1
a 20.4 20.4 20 20 28 20又 256 20= = ÷ = ÷ =

÷ >1，所以b < a < 2 ．b 30.25 30.25 20 5è è 3 è 243
3
因為0.52 = 0.25 < 0.343，故0.5 < 0.343 = 0.72 , y = log x在 (0, + )上單調遞減，0.7
3 3
所以 log 2 a < c0.7 0.5 > log0.7 0.7 = > 2 ，所以 ，2
所以實數 a,b,c的大小關系為b < a < c，
故選：B．
1 ln5 ln6
【變式 3】（2024·云南昆明·模擬預測）設 a = ,b = ,c = ，則（ ）
6 10 12
A． c < b < a B． cC．b【答案】A
lnx
【分析】構造函數 f x = 2 ，利用函數單調性確定b,c大小，通過作差 a - b，判斷正負即x
可確定 a,b大小即可.
lnx
【詳解】設 f x = 2 ，則 f x
1- 2lnx
= = 0，得 ，
x x3 x = e
則 f x 在 0, e 上單調遞增，在 e,+ 上單調遞減，
b = f 5 ,c = f 6 ，則b > c，
a b 1 ln5 5 - 3ln5 lne
5 - ln125
又 - = - = = > 0，得 a > b，
6 10 30 30
所以 a > b > c，
故選：A
題型二　不等式的性質
判斷不等式的常用方法
(1)利用不等式的性質逐個驗證．
(2)利用特殊值法排除錯誤選項．
(3)作差法．
(4)構造函數，利用函數的單調性．
【例題 2】．（1）(多選)(2023·汕頭模擬)已知 a，b，c 滿足 c一定成立的是(　　)
A．ac(a－c)>0 B．c(b－a)<0
C．cb2ac
【答案】BCD
【解析】因為 a，b，c 滿足 c所以 c<0，a>0，b>0，a－c>0，b－a>0，
所以 ac(a－c)<0，c(b－a)<0，cb2ac.
（2）（2024·河北滄州·一模）下列命題為真命題的是（ ）
A．"x > 0,ex > cosx B．"a > b, a2 > b2
C．$x > 0,cosx ex D．$a > b,a3 < b3
【答案】A
【分析】根據指數函數和余弦函數的性質即可判斷 AC；舉出反例即可判斷 B；由作差法即
可判斷 D.
【詳解】對于 AC，當 x > 0時，"x > 0,ex >1,cosx 1，
所以"x > 0,ex > cosx，故 A 正確，C 錯誤；
對于 B，當 a = 0,b = -1時， a2 = 0 <1 = b2，故 B 錯誤；
é 2 ù
對于 D a3 - b3， = a - b a2 + ab + b2 1 3= a - b ê a + b÷ + b2 ú ，
ê è 2 4 ú
é 1 2 3 ù
因為 a > b 3 3，所以 a - b = a - b ê 2 a + b÷ + b ú > 0，故 D 錯誤.
ê è 2 4 ú
故選：A.
【變式 1】已知 a>b>c>0，下列結論正確的是(　　)
A．2ab(a－c)
1 1
C. > D．(a－c)3>(b－c)3
a－c b－c
【答案】D
【解析】∵a>b>c>0，∴2a>b＋c，故 A 錯誤；
取 a＝3>b＝2>c＝1>0，則 a(b－c)＝3由 a>b>c>0 可知，a－c>b－c>0，
1 1
∴ < ，(a－c)3>(b－c)3，故 C 錯誤，D 正確．
a－c b－c
【變式 2】(多選)若 a>0>b>－a，ca b
A．ad>bc B. ＋ <0
d c
C．a－c>b－d D．a(d－c)>b(d－c)
【答案】BCD
【解析】因為 a>0>b，c0，所以 ad因為 0>b>－a，所以 a>－b>0，因為 cac＋bd a b
所以－c>－d>0，所以 a(－c)>(－b)(－d)，所以 ac＋bd<0，cd>0，所以 ＝ ＋ <0，故
cd d c
B 正確；
因為 c－d，因為 a>b，所以 a＋(－c)>b＋(－d)，即 a－c>b－d，故 C 正確；
因為 a>0>b，d－c>0，所以 a(d－c)>b(d－c)，故 D 正確．
【變式 3】(多選)設 a，b，c，d 為實數，且 a>b>0>c>d，則下列不等式正確的有(　　)
A．c2c d
C．ac0
a b
【答案】AD
【解析】因為 a>b>0>c>d，
所以 a>b>0,0>c>d，
對于 A，因為 0>c>d，由不等式的性質可得 c2對于 B，取 a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，
則 a－c＝3，b－d＝3，
所以 a－c＝b－d，故選項 B 錯誤；
對于 C，取 a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，
則 ac＝－2，bd＝－2，
所以 ac＝bd，故選項 C 錯誤；
對于 D，因為 a>b>0，dc d
所以 > ，
a b
c d
故 － >0，故選項 D 正確．
a b
題型三　不等式性質的綜合應用
求代數式的取值范圍，一般是利用整體思想，通過“一次性”不等關系的運算求得整體范
圍．
b
【例題 3】（2023·湖南岳陽·模擬預測）已知1< a < 3,3 < b < 6 ，則 的取值范圍為（
2a ）
3 1
A． ,1÷ B． 2,6 C． 1,6 D． ,3
è 2 è 2 ÷
【答案】D
【分析】由不等式的性質即可得解.
【詳解】因為1< a < 3,3 < b < 6
1 1 1
，所以 2 < 2a < 6， < < ，
6 2a 2
1 b b b
所以 < < < < 3 .
2 6 2a 2
故選：D.
c
【變式 1】已知實數 a，b，c，滿足 a>b>c，且 a＋b＋c＝0，那么 的取值范圍是
a
________．
c 1
【答案】－2< <－
a 2
【解析】由于 a>b>c，且 a＋b＋c＝0，
c
所以 a>0，c<0，b＝－a－c，－a－c－c， >－2，
a
c 1
－a－c>c，－a>2c， <－ ，
a 2
c 1
所以－2< <－ .
a 2
【變式 2】（2024·浙江·模擬預測）已知正數 a，b，c 滿足 a2 + c2 =16，b2 + c2 = 25，則
k = a2 + b2 的取值范圍為 ．
【答案】9 < k < 41
【分析】根據不等式的性質即可求解.
【詳解】Q正數 a、b 、 c滿足 a2 + c2 =16，b2 + c2 = 25，
\c2 =16 - a2， a2 > 0所以0 < c2 <16
同理：有 c2 = 25 - b2得到0 < c2 < 25，所以0 < c2 <16
兩式相加： a2 + b2 + 2c2 = 41
即 a2 + b2 = 41- 2c2
又Q-16 < -c2 < 0 ,即-32 < -2c2 < 0
\9 < 41- 2c2 < 41
即9 < k < 41．
故答案為：9 < k < 41
【變式 3】（2024·浙江·模擬預測）對 x, y定義一種新運算T ，規定：T x, y ax + by= 2x y （其中+
a,b a 0 + b 1均為非零常數），這里等式右邊是通常的四則運算，例如：T 0,1 = = b ，已
2 0 +1
ìT 2m,5 - 4m 4
知T 1, -1 = -2,T 4,2 =1，若關于m 的不等式組 í 恰好有 3 個整數解，則
T m,3- 2m > P
實數 P 的取值范圍是 .
【答案】-2 P
1
< -
3
【分析】根據已知得出關于 a,b的方程組，求出 a,b，再代入不等式組求出解集，再根據已
知條件得到取值范圍.
【詳解】因為T 1, -1 = -2,T 4,2 =1，
a - b 2, 4a + 2b所以 = - + 2 =1，解得 a =1,b = 3，
2 -1 2 4
2m + 3 5 - 4m 1所以T 2m,5 - 4m = 4 m - ，
4m + 5 - 4m 2
m + 3 3- 2mT m,3 2m - = > P 9 - 3P m < ，
2m + 3 - 2m 5
因為不等式組恰有 3 個整數解，
9 - 3P 1
所以 2 < 3 -2 P < - ，
5 3
1
故答案為：-2 P < - .
3
【課后強化】
【基礎保分練】
一、單選題
a b
1．（2023·陜西西安·模擬預測）“ a > b > 0,c > 0 ”是“ > ”的（ ）
a + c b + c
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】利用作差法根據不等式性質即可得充分性成立，取特殊值可知必要性不成立，可得
出結論.
a b a - b c
【詳解】若 a > b > 0,c > 0，則 - = > 0a + c b + c a + c b + c ，即充分性成立，
令 a = -1,b = -2,c = 3
-1 -2
，則 > ，即必要性不成立；
-1+ 3 -2 + 3
a > b > 0,c > 0 a b故“ ”是“ > ”的充分不必要條件.
a + c b + c
故選：A
1 3
2．（2024·全國·模擬預測）設 a = ln4,b = tan + tan1,c = ，則（ ）
2 2
A． a < b < c B．b < c < a C． c【答案】D
π
【分析】構造函數 f x = tan x - x, x 0, ÷，利用導數判斷單調性，可得 tan x > x，進而得
è 2
b > c，再結合對數的性質，利用作差比較法可得 a < c，從而可得正確答案.
π
【詳解】構造函數 f x = tan x - x, x 0, ÷，
è 2
f x sin x

x cos
2 x + sin2 x sin2 x
則 = ÷ - = -1 = = tan
2 x > 0，
è cos x cos2 x cos2 x
所以 f x 在 0, π 2 ÷內單調遞增，又 f 0 = tan 0 - 0 = 0，è
f x 0, π 于是 在 2 ÷內 tan x - x > 0，即 tan x > x恒成立.è
由0
1 1 π 1 1< < < ，得 < tan ,1 < tan1，
2 2 2 2
tan 1所以 + tan1
1 1 3> + = ，故b > c；
2 2 2
3 3 1 1
又 ln 4 - = ln 4 - ln e2 = ln 16 2 - ln e3 2 1 ln 16= ，2 2 e3
易知，函數 y = ln x 在 0, + 16 16內單調遞增，又 3 <1，所以 ln < ln1 = 0，e e3
ln 4 3 1 ln 16 3于是 - = 3 < 0，即 ln 4 < ，故 a < c．2 2 e 2
綜上所述， a < c < b．
故選:D.
3 3 3
3．（23-24 高三上·陜西西安·階段練習）若 a = ln 4，b = ， c = sin + tan ，則 a，b，c 的
2 4 4
大小關系為（ ）
A． a < b < c B．b < a < c C． a < c < b D． c【答案】A
π
【分析】由對數函數的性質可得b > a，構造函數 h(x) = sin x + tan x - 2x, (x 0, 4 ÷
) ，利用導
è
數可得c > b ，則答案可求.
3
2
3 3 2 3【詳解】因為 4 < e2 ÷ ，所以 4 < e2 ，所以 a = ln 4 < b = = ln e2 ，
è 2
h x = sin x + tan x - 2x, x π 0, 令 ÷÷，所以，則
è è 4
1 cos3 x 2cos2 x 1 cos3 x - cos2- + x - cos2 x -1 h (x) = cos x + - 2 = =
cos2 x cos2 x cos2 x
cos2 x cos x -1 - cos x +1 cos x -1 cos x -1 cos2 x - cos x -1
= = ，
cos2 x cos2 x
2
2 cos x - cos x 1 cos x 1 5 1+ 2- = -

÷ - - ,-1 ，
è 2 4
2 ÷÷è
cos x -1 cos2 x - cos x -1
所以 h x = > 0，
cos2 x
即 h x = sin x π + tan x - 2x, x
0, ÷÷恒為遞增函數，
è è 4
3
則 h( ) > h(0) = 0，即 sin
3
+ tan 3 3- > 0，所以c > b ，
4 4 4 2
綜上： a < b < c，
故選：A.
二、多選題
4．（2024·福建龍巖·一模）下列命題正確的是（ ）
A．若 a < b < 0，則 a2 > ab > b2
B．若 a < b < 0，則 ac2 < bc2
c c
C．若0 < a < b < c ，則 >
a b
b
D．若0 < a < b，則 2a + > 2 ab
2
【答案】AC
【分析】對 A 和 C 利用不等式性質即可判斷，對 B 和 D 舉反例即可反駁.
【詳解】對 A，因為 a < b < 0，則兩邊同乘 a得a2 > ab ，兩邊同乘b 得 ab > b2 ，
則 a2 > ab > b2 ，故 A 正確；
對 B，當 c = 0 時， ac2 = bc2 ，故 B 錯誤；
1 1 c c
對 C，因為0 < a < b，則 > ，又因為 c > 0，所以 > ，故 C 正確；
a b a b
對 D，舉例 a = 2,b = 8，則 2a
b
+ = 2 2 8 + = 8，而
2 2 2 ab = 2 2 8 = 8
，
此時兩者相等，故 D 錯誤.
故選：AC.
三、填空題
5．（2024·全國·模擬預測）已知實數 x，y 滿足-1 < x < y <1，則 x + y 的取值范圍
是 ．
【答案】 -2,2
【分析】根據不等式的性質即可求解.
【詳解】由-1 < x < y <1可得-1 < x <1，-1 < y <1，所以-2 < x + y < 2，
故答案為： -2,2
6．（2024·河北邯鄲·三模）記min{x, y, z}表示 x，y，z 中最小的數．設 a > 0，b > 0，則
min ìa, 1 , 1í + 3b
ü
b a 的最大值為
．

【答案】2
1 1
【分析】分 a是否大于 進行討論，由此即可簡化表達式，若 a ，則可以得到
b b
min ìa, 1 1í + 3b
ü 2 1 ，并且存在 a = 2，b =
ì
，使得min ía, + 3b
ü = 2 a 1>
a ，，同理 時，我們 2 a

b
可以證明min
ì
ía,
1 , 1 + 3bü < 2 .
b a
，由此即可得解

a 1
1 1 1
【詳解】若 ，則 ab 1，此時min
ì
ía, , + 3b
ü = min ìa, + 3bü
b b a
í ，
a
a 1因為 + 3b

÷ =1+ 3ab 4 a
1
，所以 和 + 3ba 中至少有一個小于等于
2，
è a
min ìa, 1 + 3bü 2 b 1 1 1所以 í ，又當 a = 2 =a ， 時，
a = = + 3b = 2，
2 b a
所以min
ì
ía,
1 , 1 + 3bü
b a 的最大值為
2．

a 1
1
若 > ，則ab ì>1，此時min ía, ,
1 3bü min ì1 1+ = , + 3bü
b a í ，b b a
1 1
因為 + 3b
1= + 3 < 4 1 1
b a ÷ ab ，所以 和
+ 3b中至少有一個小于 2，
è b a
min ìa, 1 , 1所以 í + 3b
ü
< 2b a ．
綜上，min
ì 1 1 ü
ía, , + 3bb a 的最大值為
2．

故答案為：2.
1
【點睛】關鍵點點睛：關鍵是分 a是否大于 進行討論，結合不等式的性質即可順利得解.
b
四、解答題
(x + y)2 1 1
7．（2024·四川綿陽·二模）（1）已知 a，b，x，y 均為正數，求證： + 并指出
ax2 + by2 a b
等號成立的條件；
2 4x
2 + 4x +1
（ ）利用（1）的結論，求函數 f (x) = 2 (x > 0)的最大值，并指出取最大值時 x 的5x + 4x + 2
值．
ax = by f x 5【答案】（1）證明見解析，當 時取等號；（2） 的最大值為 ，此時 x = 2 .
6
【分析】（1）采用作差法進行證明，再根據最后化簡的式子分析取等條件；
2é x +1 + xù
（2 ）將 f x 變形為 f x = 2 ，然后根據（1）的結論求解出最大值并確定此時2 x +1 + 3x2
x 的值.
1 1 x + y 2 a + b x + y 2 a + b ax2 + by2 - ab x + y 2
【詳解】（1）因為 + ÷ - 2 2 = - =è a b ax + by ab ax2 + by2 ab ax2 + by2
a2 2
2
x + b2 y2 - 2abxy ax - by
= =
ab ax2 + by2 ab ax2 + by2
a,b, x, y ab ax2 + by2又 均為正數，所以 > 0, ax - by 2 0，
2 2
1 1 x + y x + y 1 1
所以 +

÷ - 0，所以 + ，
è a b ax2 + by2 ax2 + by2 a b
當且僅當 ax - by = 0，即 ax = by 時取等號；
2
4x2 + 4x +1 é x +1 + xù
（2）因為 f x =
5x2
= ，
+ 4x + 2 2 x +1 2 + 3x2
2 é x +1 + xù 1 1 5
由（1）可知
2 x +1 2
+ = ，
+ 3x2 2 3 6
當且僅當 2 x +1 = 3x ，即 x = 2時取等號，
所以 f x 5的最大值為 ，此時 x = 2 .
6
【綜合提升練】
一、單選題
1 1 1
1．（2023·廣東·二模）若 a = 3 + ,b = 5 - ,c = 2 + ，則（
2 2 2 3 3 ）
A． a > c > b B． a > b > c
C． c > b > a D．b > c > a
【答案】A
【分析】利用作差法比較大小即可得出正確選項.
a c 3 2 3 - 2 2 4 2 - 3 3 32 - 27【詳解】因為 - = - + = = > 0，所以 a > c .
2 6 2 6 2 6
c b 3 2 2 + 3 - 2 5- = 2 - 5 + = ，
2 3 2
因為 (2 2 + 3)2 - (2 5)2 = 4 6 - 9 = 96 - 81 > 0，
且 2 2 + 3 > 0,2 5 > 0，所以 2 2 + 3 > 2 5 ，所以 c - b > 0，所以c > b .故 a > c > b .
故選： A
2．（2023·江蘇南通·模擬預測）已知 a - b 0,1 , a + b 2,4 ，則 4a - 2b 的取值范圍是（ ）
A． 1,5 B． 2,7 C． 1,6 D． 0,9
【答案】B
【分析】利用方程組以及不等式的性質計算求解.
【詳解】設 4a - 2b = m a - b + n a + b = m + n a - m - n b ，
ìm + n = 4 ìm = 3
所以 í ，解得 í ，
m - n = 2 n =1
所以 4a - 2b = 3 a - b + a + b ，
又 a - b 0,1 , a + b 2,4 ，
所以3 a - b 0,3 , 4a - 2b 2,7 ，故 A，C，D 錯誤.
故選：B.
3．（2024·陜西西安·一模）已知 a,b,c R ，則下列選項中是“ a < b ”的充分不必要條件的是
（ ）
c c
A． > B． ac2 < bc2 C． a2 < b2 D．3a < 3b
a b
【答案】B
【分析】根據不等式性質及指數函數的單調性，結合充分條件，必要條件的定義逐項判斷即
可.
a = -1,b =1 c c【詳解】對于 A，當 ，滿足 a < b ，但 > 不成立，
a b
當 a =1,b = -1,c =1
c c
時，滿足 > ，但 a < b 不成立，故 A 錯誤；
a b
對于 B，當 c = 0 時， a < b ac2 < bc2，但 ac2 < bc2 a < b ，故 B 正確；
對于 C， a = -2,b =1時， a < b ，但 a2 < b2 不成立，
a =1,b = -2 時， a2 < b2 ，但 a < b 不成立，故 C 錯誤；
對于 D，因為指數函數 y = 3x 在R 上單調遞增，故 a < b 3a < 3b，故 D 錯誤.
故選：B
1
4 2023· · a = 2 + ln 2,b =1+ 20.2 1.1．（ 遼寧沈陽 模擬預測）已知 ,c = 2 ，則（
5 ）
A． a < b < c B．b < a < c
C． c < b < a D． a < c < b
【答案】D
【分析】利用作差法比較大小以及函數的導數與單調性及最值的關系比較大小求解.
【詳解】因為b - c =1+ 20.2 - 21.1 = 20.1 2 - 2 × 20.1 +1 = 220.1 -1 > 0，所以b > c；
c 1- a = 21.1 - 2 + ln 2÷ = 2 2
0.1 - 2 - ln 20.2 = 2(20.1 -1- ln 20.1)，
è 5
設函數 f (x) = x -1- ln x, f (x) =1
1 x -1
- = ，
x x
所以 x (0,1) 時， f (x) < 0 ，函數 f (x) 單調遞減，
x 1, + 時， f (x) > 0 ，函數 f (x) 單調遞增，
所以 f (x) f (1) = 0，而 20.1 1，
所以 f (20.1) = 20.1 -1- ln 20.1 > 0，所以 c > a ，
所以 a < c < b，
故選：D.
17 1 1
5．（2023·全國·模擬預測）設 a = ，b = cos ， c = 3sin ，則下列正確的是（ ）
18 3 3
A．b > a > c B．b > c > a C． c > a > b D． c > b > a
【答案】D
π
【分析】先利用導數證明當 x (0, )時， tan x > x > sin x ，再分別利用作商，作差比較法可
2
判斷 a，b ， c大小.
【詳解】先來證明當 x (0,
π)時， tan x > x > sin x .
2
2
令 f x = tan x - x ， x (0, π)，則 f
2 x
1- cos x
=
cos2
> 0，
x
π
所以函數 f x 在 (0, ) 上單調遞增，可得 f x > f 0 = 0，即得 tan x > x；
2
令 g x = x - sin x ， x (0, π)，則 g x =1- cos x > 0，
2
所以函數 g x 在 (0, π) 上單調遞增，可得 g x > g 0 = 0，即得 x > sin x ；
2
所以當 x (0,
π)時， tan x > x > sin x .
2
因為 a >,b > 0,c > 0，
1
c 3sin 1
由 = 3 = 3tan
1 π 1 1
1 ，因為 (0, )，所以 tan > ，則3tan
1
> 1，所以c > b3 ，b cos 3 3 2 3 3
3
a b 17- = - cos 1 17= - (1- 2sin2 1又 ) = 2sin2
1 1
- < 2 (1)2 1- = 0 a < b
18 3 18 6 6 18 6 18 ，所以 ，
所以 c > b > a .
故選：D.
二、填空題
6．（2024·河南·模擬預測）以maxM 表示數集M 中最大的數．設0 < a < b < c <1，已知b 2a
或 a + b 1，則max b - a,c - b,1- c 的最小值為 ．
1
【答案】 /0.2
5
ìb =1- n - p
【分析】利用換元法可得 ía 1 m n p，進而根據不等式的性質，分情況討論求解
.
= - - -
【詳解】令b - a = m,c - b = n,1- c = p,其中m, n, p > 0，
ìb =1- n - p
所以 ía 1 m n p， = - - -
若b 2a ，則b =1- n - p 2 1- m - n - p ，故 2m + n + p 1，
令M =max b - a,c - b,1- c = max m, n, p ，
ì2M 2m

因此 íM n ,故 4M 2m + n + p 1
1
,則M ，
4
M p
若 a + b 1，則1- n - p +1- m - n - p 1，即m + 2n + 2 p 1，
M =max b - a,c - b,1- c = max m, n, p ，
ìM m

則 í2M 2n ,故5M m + 2n + 2 p 1 M
1
,則 ，
5
2M 2 p
當且僅當m + 2n + 2 p =1且max m,n, p 1= 時等號成立，
5
m n 1如取 = = p = 時可滿足等號成立，
5
綜上可知max b - a,c - b,1- c 1的最小值為 ，
5
1
故答案為：
5
【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是利用換元法，在b 2a 和 a + b 1前提下進行合理分類討
論，根據題意得到相對應的不等式組，注意題目的條件關鍵詞是“或”.
四、解答題
7．（2024·遼寧沈陽· 2一模）已知等比數列 an 的各項均為正數，且 a1 + 2a2 =1,a3 = 2a2 × a5 .
(1)求數列 an 的通項公式；
b log 2 1 b 2n(2)設 n = a ，求證： + n < .n 2n +1
1
【答案】(1) an = 2n
(2)證明見解析
【分析】（1）利用等比數列基本量計算；
1 2n
（2）根據對數運算求得bn = - ，由1+ bn - < 0得證.2n 2n +1
【詳解】（1）設 an 的公比為q a2 2
2
，由 43 = 2a2 ×a5知 a1q = 2 a1q a1q ，
\q 1= ，
2
由 a1 + 2a =1
1
2 得 a1 + 2 × a1 × q =1,\a1 = ，2
1
\an = n .2
1
（2）證明：由題知bn = loga 2 = - ，n 2n
1 b 2n 1 1 2n -1所以 + n - = - - = < 02n +1 2n 2n +1 2n 2n +1 ，
2n
\1+ bn < .2n +1
8．（2023·河北·模擬預測）已知 x 0,1 ， f x = ex .
(1)證明： x +1 f x 1 ；
1- x
f 2x 1+ x(2)比較 與 的大小.
1- x
【答案】(1)證明見解析
(2) f (2x)
1+ x

1- x
x
【分析】（1）通過構造函數 h x = e - x -1，利用導數與函數的單調性間的關系，求出
h x = ex - x -1的最小值，從而得出 ex x +1，即可證明結果；
（2 g x = ex 1- x - e- x）通過構造函數 1+ x ，利用導數與函數的單調性間的關系，求出
g x = ex 1- x - e- x 1+ x 在區間 0,1 x上的最大值，從而得出 e 1- x e- x 1+ x ，即可得
出結果；
x 1 f x 1 x 1【詳解】（1）要證 + ，即證 x +1 e ，
1- x 1- x
設 h x = ex - x -1，則 h x = ex -1，
由 h x > 0，得 x > 0，由 h x < 0，得 x < 0 ，
所以 h x = ex - x -1在區間 - ，0 上單調遞減，在區間 0，+ 上單調遞增，
所以 h x 在 x = 0處取得最小值，即 h x h 0 = 0，所以 ex x +1，
∵ ex x +1，用-x代替 x ，得 e- x 1- x > 0 ，
e x 1 1所以 ，結論成立，所以不等式 x +1 f x 成立.
1- x 1- x
（2）因為 f 2x = e2x ， x éê0,
1
÷ ，
2
令 g x = ex 1- x - e- x 1+ x ，
所以 g x = ex (1- x) - ex + e- x (1+ x) - e- x = x e- x - ex ，
é 1 é 1
易知，當 x ê0, 2 ÷
時， e- x - ex 0，所以 g x 在區間 ê0, ÷上單調遞減， 2
又因為 g 0 = 0 g x 0 ex 1- x e- x 1+ x e2x 1+ x，所以 ，即 ，得到 ，
1- x
f 2x 1+ x所以 .
1- x
2
9 2023· · 1 a b a 3a - b．（ 全國 模擬預測）（ ）設 ， 為正實數，求證： ．
a + b 4
3
2 a a b
3 c3 ab + bc + ac
（ ）設 ，b，c 為正實數，求證： + + ．
a + b b + c c + a 2
【答案】（1）證明見解析 ；（2）證明見解析 ．
【分析】（1）（2）根據題意，由不等式的性質，代入計算，即可證明.
a2 3a - b (a - b)2
【詳解】（1）因為 - = ，a，b 為正實數，
a + b 4 4(a + b)
(a - b)2 a2 3a - b
所以 0 ，所以 ，當且僅當 a = b時，取等號．
4(a + b) a + b 4
a3 3a2 - ab
（2）由（1），得 ．
a + b 4
b3 3b2 - bc c3 3c2 - ac
同理，得 ，
b + c 4 c + a 4
a3 b3 c3 3a2 - ab + 3b2 - bc + 3c2 - ac
所以 + + =
a + b b + c c + a 4
3 a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac 3(ab + bc + ac) - (ab + bc + ac) ab + bc + ac
= ，
4 4 2
當且僅當 a = b = c時，取等號．
【拓展沖刺練】
一、單選題
1．（2024· 2云南大理·模擬預測）若m 為函數 f x = m(x - m) n - x （其中m 0 ）的極小值
點，則（ ）
A．m > n > 0 B．m < n < 0
C．mn > m2 D．mn < m2
【答案】C
【分析】m = n 時 f x 為單調函數，無極值點不符合題意；令 f x = 0有兩根為 x = m 或
x m + 2n= ，分m > 0、m < 03 討論，根據
m 為極小值點需滿足的條件，結合不等式性質可得
答案.
【詳解】若m = n ，則 f x = -m(x - m)3為單調函數，無極值點，不符合題意，故m n .
由于 f x = m x - m -3x + m + 2n ，且m n，故 f x = 0 m + 2n有兩根為 x = m 或 x = 3
m + 2n
①當m > 0時，若m 為極小值點，則需滿足：m < ，故有0 < m < n，
3
可得mn > m2；
m + 2n
②當m < 0時，若m 為極小值點，則需滿足：m > ，故有：0 > m > n，
3
可得mn > m2 .
故 A，B 選項錯誤，綜合①②有：mn > m2 .
故選：C.
【點睛】關鍵點點睛：解題的關鍵點是根據m 為極小值點得到m, n的關系再結合不等式的性
質解題.
2
2 2 4 2．（2023·貴州貴陽·三模）已知正實數 a,b,c分別滿足 a = ，b = ln 2 ， ，其中 e是
e c = 3e
自然常數，則 a,b,c的大小關系為（ ）
A． a > c > b B． a > b > c C．b > c > a D．b > a > c
【答案】A
ln x
【分析】利用作商法可比較出 a,c 大小關系；可構造函數 f x = ，將 a,b和b,c大小關系
x
的比較轉化為 f 2 , f e 和 f e2 , f 8 大小的比較，利用導數可求得 f x 單調性，從而比
較出大小關系.
a2 2= a 2 a 2 3e 3 e【詳解】由 得： = ，\ = = ，
e e c e 4 2 4
2
Qe 4 16 e
4
> = \ > a 3 e ÷ ， ，\ = >1，又 c > 0，\a > c；
è 3 9 3 c 4
f x ln x
1 1
- ln x ×
令 = ，則
x f x = x 2 x 2 - ln x= ，x 2x × x
\當 x 0,e2 時， f x > 0 2；當 x e ,+ 時， f x < 0；
\ f x 在 0,e2 上單調遞增，在 e2 ,+ 上單調遞減；
\ f ln e 1 ln 2e > f 2 2，即 = > ，\ > ln 2，即 a > b；
e e 2 e
2 ln e2 2 ln8 3ln 2 4 2
且 f e > f 8 ，即 = > = ，
e e \ln 2 <
，即b < c ；
2 2 2 2 3e
綜上所述： a > c > b .
故選：A.
【點睛】關鍵點點睛：本題考查構造函數，利用函數單調性比較大小的問題；解題關鍵是能
ln x
夠根據所給數字的特征，將問題轉化為 f x = 的不同函數值的比較問題，從而利用導數
x
求得函數單調性，根據單調性得到大小關系.
3．（2023·湖南岳陽·模擬預測）已知 a,b,c為實數，則下列命題成立的是（ ）
A．若 a < b ，則 ac < bc
B．若 a < b ，則 a - c > b - c
C．若 a c > b c ，則 a > b
2 2
D．若 a > b，則 <
a b
【答案】C
【分析】根據不等式性質對選項逐一判斷即可得出結論.
【詳解】對于 A，若 a < b ，當 c = 0 時，不滿足 ac < bc，即 A 錯誤；
對于 B，若 a < b ，則 a - c < b - c ，所以 B 錯誤；
a c b c
對于 C，若 a c > b c ，可知 c 0，不等式兩邊同時除以 c ，即 > a > bc c ，可得 ，即 C
正確；
對于 D，若 a > b，不妨取 a =1,b = -1
2
，則 = 2
2
> = -2，可得 D 錯誤；
a b
故選：C
1
4．（2023·四川南充· b-3一模）已知： 2a+1 = 3， 2 = ，則下列說法中錯誤的是（ ）
3
3
A． a + b = 2 B．1< b < C．b - a <1 D．ab >1
2
【答案】D
2a+1 = 3 2b-3
1
【分析】由 ， = ，得到 a = log2 3 -1,b = 3- log2 3，再由 log2 3
2 > log2 2
3
，得到
3
3
2 > log2 3 > log2 22
3
= ，然后逐項判斷.
2
2a+1 = 3 2b-3
1
【詳解】解：因為 ， = ，
3
所以 a = log2 3 -1,b = 3- log2 3，
則 a + b = log2 3 -1 + 3 - log2 3 = 2，故 A 正確；
3
因為 log 32 > log 23 ，則 2 > log 3 > log 2 32 2 2 2 2 = ，2
1 3 3所以 < 3 - log2 3 < ，即1< b < ，故 B 正確：2 2
2 log 3 3因為 > 2 > ，所以b - a = 3 - log2 2
3 - log2 3 -1 = 4 - 2log2 3 <1，故 C 正確；
2 log 3 3因為 > 2 > ，所以2
ab = log2 3 -1 3- log2 3 = - log2 3
2 + 4log2 3 - 3 = - log2 3 - 2
2 +1<1，故 D 錯誤；
故選：D
二、多選題
5 2．（2023·廣東肇慶·二模）已知正數 a,b滿足等式 a - b = 2 2lnb - lna ，則下列不等式中可
能成立的有（ ）
a b2 1A > > B a < b2
1
． ． <
2 2
C． a > b >1 D．b < a <1
【答案】AC
【分析】將已知轉化為 a2 + lna2 = b + lnb4 ，通過構造函數法，結合導數判斷當 b 0,1 時，
b2 + ln b2 > a2 + lna2 ，進而構造函數 g(x) = x + ln x，根據單調性即可判斷選項 CD；同理利用
構造函數和求導即可判斷 AB.
2
【詳解】因為 a - b = 2 2lnb - lna ， a > 0，b > 0，
a2所以 - b = 2 lnb2 - lna ，
所以 a2 + lna2 = b + 2lnb2 = b + lnb4 ，
構造 f (b) = b2 + ln b2 - (b + ln b4 )
= b2 + 2ln b - b - 4ln b = b2 - b - 2ln b，
2 1
所以 f (b) = 2b -1- = 2(b - ) -1，
b b
1 1+ 17
當 2 b - ÷ -1 < 0，即b b
0,
4 ÷è ÷
時，
è
分析b 0,1 即可，
所以 f b 在 0,1 上單調遞減，
所以 f (b) > f (1) = 0，所以 f (b) > 0，
所以b2 + ln b2 - (b + ln b4 ) > 0，
所以b2 + ln b2 > b + ln b4 ，
由b + ln b4 = a2 + ln a2 ，
所以b2 + ln b2 > a2 + lna2 ，
構造 g(x) = x + ln x， x 0,1 ，
則 g (x)
1
=1+ > 0，
x
所以 g(x)在 0,1 上單調遞增，
所以由b2 + ln b2 > a2 + lna2 得 g(b2 ) > g(a2 )，
所以b2 > a2 ，
故此時 a < b <1， D 選項錯誤；

b 1,1+ 17

當 ÷÷時， f (b) < f (1) = 0 ，此時b
2 + ln b2 < a2 + lna24 ,b < a，è
所以 a > b >1可能成立，故 C 選項可能正確，
由 a2 + lna2 = b + 2lnb2 = b + lnb4 ，即 a2 + lna2 = b2 + 2lnb2 ，
構造 h a = a2 + 2lna - 2lna - a = a2 - a a > 0 ，
1 4a a -1 h a 0, a 1所以 h a = 2a - = ，設 0 = 0 < ，2 a 2 a 2
當0 < a < a0 時， h a < 0，所以 h a 在 0, a0 單調遞減，在 a0 ,1 上單調遞增，
且 h 1 = h 0 = 0，所以當 0 < a < 1時， h a < 0
即 a2 + 2lna < 2lna + a ，
所以 2ln b2 + b2 < 2ln a + a ，
構造m x = 2ln x + x , x 0,
1
2 ÷
，
è
則m x 2 1= + > 0，所以m x 在 0, + x 上單調遞增，2 x
所以b2 < a ，故 A 可能正確，B 項錯誤；
故選：AC
【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查利用導數研究函數的單調性，考查函數思想與邏輯推理
能力，屬于難題.注意事項：利用構造法，關鍵在于構造函數 f (b) = b2 - b - 2ln b 以及
h a = a2 + 2lna - 2lna - a ，利用導數以及參數的范圍進行判斷.
1
6．（2023· 17 1河北·三模）已知a = ,b = cos ,c = 3tan 1 ,d 35= e18 ,m = ln ，則下列不等式成立
18 3 3 18
的是（ ）
A． c > b > a B． c > a > b
C．d > a > m D．a > d > m
【答案】AC
1 1
【分析】先利用三角函數線得到 tana > a > sina ，進而得到 c = 3tan > 3 =1，作差法得
3 3
到b > a，得到 c > b > a；再構造函數 f x = ex - x -1， x > 0與 g x = ln x - x +1， x > 0，證明
出d > a > m .
【詳解】設 AOB = a 為銳角，作出單位圓，與 x 軸交于A 點，則 A(1,0)，
過點A 作 AC 垂直于 x 軸，交射線OB于點C ，連接 AB ，過點 B 作BD ⊥ x 軸于點D，
由三角函數定義可知 AC = tana ，BD = sina ，
1
設扇形OAB 的面積為 S1，則 SVOAC > S1 > SVABO ，即 tana
1 a 1> > sina ，故
2 2 2
tana > a > sina ，
所以 c = 3tan
1
> 3 1 =1，
3 3
b a cos 1 17 1 2sin2 1 17 1- = - = - - = - 2sin2 1 = 2 1 sin2 1- ，
3 18 6 18 18 6 36 6 ֏
1 1
sin 1 1< b - a = 2 - sin2 因為 ，所以 ÷ > 0，故b > a，6 6 è 36 6
綜上： c > b > a，A 正確，B 錯誤；
令 f x = ex - x -1， x > 0，則 f x = ex -1，
當 x > 0 x時， f x = e -1 > 0，故 f x 在 0, + 上單調遞增，
1 1 19
所以 f ÷ > f 0 = 0 ，所以 e18 > ，
è18 18
令 g x = ln x - x +1 g x 1 1 1- x， x > 0，則 = - = ，
x x
當0 < x <1時， g x > 0， g x 單調遞增，當 x >1時， g x < 0， g x 單調遞減，
g 35 = ln 35 35- +1 < g 1 = 0 ln 35 35 1 17故 ÷ ，故 < - = ，
è 18 18 18 18 18 18
故d > a > m ，C 正確，D 錯誤；
故選：AC
【點睛】方法點睛：我們經常使用不等式放縮來比較大小或證明不等式，常用的不等式有
x x ln x x -1 x > 0 ln 1 1 1 1 1e ex ， e x +1， ， -1， < ln +1 < 等.x x 1+ x è x ÷ x
a
7．（2023·河南洛陽·模擬預測）設實數 a,b滿足1 ab 4,4 9，則（ ）
b
A． 2 a 6 B．1 b 3 C． 4 a3b 144 D．1 ab3 4
【答案】AC
【分析】根據不等式的性質，變形求解.
a
【詳解】1 ab 4,4 9，兩式相乘得 4 a2 36，所以 2 a 6，A 正確；
b
1 b 1 1 ab 4 1 b2 1由題得 ，又 ，兩式相乘得 1，所以 b 1，B 錯誤；
9 a 4 9 3
2 2
因為1 a b 16,4
a
9，所以兩式相乘得
b 4 a
3b 144，C 正確；
因為1 a2b2 16,
1 b 1 1
3，所以兩式相乘得 ab 4，D 錯誤．
9 a 4 9
故選：AC
三、填空題
sin1
8．（2023· 3內蒙古赤峰·一模）已知 a = ，b = ， c π 2 - 3= -3 ，則
a,b,c的大小關系
2π 9 6
是 .
【答案】 c > a > b
sinx
【分析】構造函數 f x = ，利用函數的單調性比較出 a與b 的大小，再用作差比較出 a
3x
與 c的大小，即可得出結果.
f x sinx f x xcosx - sinx【詳解】根據題意，設 = ，則其導數 = .
3x 3x2
令 g(x) = xcosx - sinx， g (x) = cosx - xsinx - cosx = -xsinx
0, π 故在區間 ÷上， g (x) < 0恒成立，則有 g(x) < g(0)2 ，即 xcosx - sinx < 0 恒成立è
\ f x < 0 0, π π 在 2 ÷上恒成立，\函數 f x 在 0, 2 ÷上單調遞減，è è
sin π
則有 f 1 > f π sin1 3 3 ÷ ，即 > =
è 3 3 3 π 2π
3
\a > b
又 c - a π 2 - 3 sin1 2π - 6 + 3 3 - 6sin1 π 3= - - = ，而 sin1 < sin = ，
9 6 3 18 3 2
\c - a 2π - 6> > 0，即 c > a
18
故答案為： c > a > b
【點睛】方法點睛：構造適當的函數，利用函數的單調性來比較大小是一種常用的方法.
9．（2023·四川涼山· 2 2一模）已知P x, y 是曲線 x + y = 1 x > 0 x + y +1上的點，則 的取值
x +1
范圍是 .
【答案】 0,2
【分析】根據已知條件做出圖形，利用兩點斜率公式及不等式的性質即可求解.
x + y +1 y
【詳解】 =1+ ，
x +1 x +1
由題意可知,作出圖形，如圖所示，
因為P x, y 2是曲線 x + y2 =1 x > 0 上的點，則
y
表示過點P x, y ,Q -1,0 兩點直線的斜率，
x +1
y 1- 0
顯然當 P 位于 A 0,1 處時， 有最大值 kQA = =1
x +1 0 - -1 ，
-1- 0
顯然當 P 位于B 0, -1 y處時， 有最小值 kQB = = -1，
x +1 0 - -1
y
所以-1 < <1
x +1
所以0 <1
y
+ < 2
x +1
x + y +1
故 的取值范圍是 0,2
x +1
故答案為： 0,2 .
10．（2023·廣東深圳·模擬預測）已知數列 an 的前 n 項和為 Sn ，滿足：
2an+1 = a
* 2
n + an+2 n N ，且a3，a7為方程 x -18x + 65 = 0的兩根，且 a7 > a3 .若對于任意
* 2n a 4 - l > a -1 2n N ，不等式 n n 恒成立，則實數l 的取值范圍為 .
18
【答案】 - ， ÷
è 5
n -1 2
【分析】先利用等差數列通項公式求解 an ，再利用數列的單調性求解數列bn = 2n -1 × 2n-2
的最大值，進而解決不等式恒成立問題即可.
*
【詳解】由 2an+1 = an + an+2 n N 可知數列 an 是等差數列，設其公差為d ，
解方程 x2 -18x + 65 = 0得 x = 5或 x =13，又 a7 > a3 ，
\ a3 = 5，a7 =13，Qa7 - a3 = 4d d
13 - 5
，\ = = 2 ，
4
\an = 5 + 2 n - 3 = 2n -1 .
由 2n an 4 - l > an -1
2
得 2n 2n -1 4 - l > 2n - 2 2 ，
n -1 2 n -14 l
2
\ - >
2n-2
，設bn = ， 2n -1 2n -1 × 2n-2
2 n -1 2 3 2
則b
n -2n + 5n - 2
n+1 - bn = 2n +1 × 2n-1
- =
，2n -1 ×2n-2 4n2 -1 × 2n-1
4n2 -1 × 2n-1由 > 0對于任意 n N* 恒成立，所以只考慮-2n3 + 5n2 - 2的符號，
設 f n = -2n3 + 5n2 - 2 n 1 ， f n = -6n2 +10n = -2n 3n - 5 ，
令 f n > 0解得1 5 n < ，即 f n 5在1 n < 上單調遞增，
3 3
令 f n < 0 5 5解得 n > ，即 f n 在 n > 上單調遞減，
3 3
f 1 =1， f 2 = 2， f 3 = -11，
當 n 3， f x f 3 < 0，
當 n =1， n = 2時， f n > 0，即bn+1 - bn > 0，\b1 < b2 < b3 ，
3
b b -2n + 5n
2 - 2
當 n 3， f x < 0 ，即 n+1 - n = < 0 4n2 -1 ×2n-1 ，
即從 n 3，bn 開始單調遞減，
b 2 2 18即 n b3 = ，\4 - l > ，即l < ，5 5 5
18
\l 的取值范圍為 -

， ÷ .
è 5
18
故答案為： - ， ÷ .
è 5
四、解答題
11．（2023·山東濰坊·模擬預測）已知函數 f x = ex + k ln x +1 -1 k R ．
(1)當 k =1時，求曲線 y = f x 在點 0, f 0 處的切線方程；
(2)若對任意 x 1,+ ，都有 f x 0，求實數 k 的取值范圍；
1
(3) k - s, t 0,+ s t f s + f t 2 f s - 2 f t 當 時，對任意的 ，且 ，試比較 與 的大
2 s - t
小．
【答案】(1) 2x - y = 0
(2) k = -1
2 f
(3) f s f t s - 2 f t + >
s - t
【分析】（1）利用導數幾何意義求切線方程；
（2）由已知不等式恒成立且 f 0 = 0知 f 0 = 0，進而求得 k = -1，再代入 y = f x 應用
導數研究 f x 0恒成立，根據充要關系確定參數值；
（3）設 s > t 0，構造 g s = é f s + f t ù s - t - 2 é f s - f t ù ，利用導數研究 g s 單
調性，進而確定其函數值符號，即可證結論.
【詳解】（1）當 k =1時 f x = ex + ln x +1 -1， f 0 = 0 x 1，所以 f x = e + ，
x +1
f 0 = 2，
所以 y = f x 在點 0, f 0 處的切線方程為 2x - y = 0．
（2）對"x -1,+ k都有 f x 0且 f 0 = 0 x，而 f x = e + ，則 f 0 =1+ k = 0，
x +1
所以 k = -1 x，此時 f x = e - ln x +1 -1，故 f x g(x) ex 1= = - ，則
x +1
g (x) 1= ex +
x +1 2 ，
在 x -1, + 上 g (x) > 0，即 g(x) = f x 單調遞增，且 f 0 = 0，
當 x -1,0 時 f 0 < 0， f x 單調遞減，當 x 0, + 時 f 0 > 0， f x 單調遞增，
所以 f x f 0 = 0 ，滿足題意，
綜上， k = -1．
（3）不妨設 s > t 0，令 g s = é f s + f t ù s - t - 2 é f s - f t ù ，
所以 g s = f s s - t + f t - f s ，則 g s = f s s - t ，
又 f x = ex k+ ， f x = ex
k
- 2 ， f x ex
2k
= +
x 1 x 1 3 ，且 x > 0，x +1 + +
1 f x ex 2k x 1 1當 k - ， = + 3 e - 3 ，而 ex >1， <1
2 x +1 x +1 x +1 3 ，
所以 f x > 0，故 g x = f s s - t > 0， g s 在 0, + 上單調遞增，
所以 g s > g t = 0，所以 g s 單調遞增，故 g s > g t = 0，
g s = é f s + f t ù s - t - 2 é f s - f t ù > 0 2 ff s f t s - 2 f t 所以 ，即 + > ．s - t
【點睛】關鍵點點睛：第二問，根據不等式恒成立及 f 0 = 0得 f 0 = 0求參數范圍，求證
所得參數范圍使不等式恒成立，由充要關系確定范圍；第三問，構造
g s = é f s + f t ù s - t - 2 é f s - f t ù 研究其函數值符號即可.

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