資源簡介

考點 04 基本不等式（3 種核心題型+基礎保分練+綜合
提升練+拓展沖刺練）
【考試提醒】
1.了解基本不等式的推導過程.
2.會用基本不等式解決簡單的最值問題.
3.理解基本不等式在實際問題中的應用．
【知識點】
a＋b
1．基本不等式： ab≤
2
(1)基本不等式成立的條件： .
(2)等號成立的條件：當且僅當 時，等號成立．
(3)其中 叫做正數 a，b 的算術平均數， 叫做正數 a，b 的幾何平均數．
2．幾個重要的不等式
(1)a2＋b2≥ (a，b∈R)．
b a
(2) ＋ ≥ (a，b 同號)．
a b
(3)ab≤ (a，b∈R)．
a2＋b2
(4) ≥ (a，b∈R)．
2
以上不等式等號成立的條件均為 a＝b.
3．利用基本不等式求最值
(1)已知 x，y 都是正數，如果積 xy 等于定值 P，那么當 x＝y 時，和 x＋y 有最小值 .
(2)已知 x，y 都是正數，如果和 x＋y 等于定值 S，那么當 x＝y 時，積 xy 有最大值 .
注意：利用基本不等式求最值應滿足三個條件“一正、二定、三相等”．
【核心題型】
題型一　利用基本不等式求最值
(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．
(2)要根據式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數的形式，然后再利用基本不等式．
(3)條件最值的求解通常有三種方法：一是配湊法；二是將條件靈活變形，利用常數“1”代
換的方法；三是消元法．
命題點 1　配湊法
m m
【例題 1】（2024·遼寧·一模）已知m > 2n > 0，則 + 的最小值為（ ）m - 2n n
A．3 + 2 2 B．3- 2 2 C． 2 + 3 2 D．3 2 - 2
【變式 1】故選：D（2024·四川德陽·模擬預測）已知正實數 x ， y ， z 滿足
x2 + xy + yz + xz + x + z = 6 ，則3x + 2y + z 的最小值是 .
【變式 2】（2024·內蒙古呼倫貝爾·一模）已知函 f x = x + 3 + 10 - 2x 的最小值為 m．
(1)求 m 的值；
(2)若 a，b 為正數，且 a + b = m，求 3a +1 + 3b + 2 的最大值.
2ab
【變式 3】（2024·黑龍江·二模）已知實數 a，b 且 ab > 0，則 取得最大值時，
a2 + b2 + a2b2 + 9
a + b 的值為（ ）
A． 3 B． 2 3 C．-2 3 D． 2 3 或-2 3
命題點 2　常數代換法
1 1
【例題 2】（2024·江蘇南通·二模）設 x > 0， y > 0， + 2y = 2，則 x + y 的最小值為（　　）x
3 3
A． B． 2 2 C． + 2 D．32 2
1 1
【變式 1】（2024·四川成都·模擬預測）若 a,b是正實數，且 + =1，則 a + b 的最
3a + b 2a + 4b
小值為（ ）
4 2
A． B． C．1 D3 ． 25
【變式 2】（23-24 高三上·浙江寧波·期末）已知 a > 0,b > 0，則下列選項中，能使 4a + b 取得
最小值 25 的為（ ）
A． ab = 36 B． ab = 9a + b C．a2 + b = 21 D．16a2 + b2 = 625
1 1
【變式 3】（2024·全國·模擬預測）設正實數 a，b 滿足 a + b = 2 ，則 + 的最小值為
a +1 b + 2
（ ）
2 3 4 5
A． B C D3 ． ． ．4 5 6
命題點 3　消元法
2 2
【例題 3】（2024·全國·模擬預測）已知 x > 0， y > 0且 x + y =1
x y
，則 2 + 2 的最小值為1+ x 1+ y
（ ）
1 2 3 4
A． B． C． D．
5 5 5 5
【變式 1】（2023·重慶·模擬預測）已知 x > 0， y > 0，且 xy + 2x + y = 6，則 2x + y 的最小值
為（ ）．
A．4 B．6 C．8 D．12
【變式 2】 (2023·煙臺模擬 )已知 x>0， y>0， x＋3y＋ xy＝9，則 x＋3y 的最小值為
________．
1 1
【變式 3】（2024·浙江·模擬預測）已知a,b > 0,ab = 1，求 S = + 的最小值．
1+ a 1+ 2b
題型二　基本不等式的常見變形應用
基本不等式的常見變形
a + b
2 a2＋b2
(1)ab ≤ ≤ .
2 2
2 a＋b a2＋b2
(2) ≤ ab≤ ≤ (a>0，b>0)．
1 1 2 2
a＋b
【例題 4】（2023·全國·三模）已知 a > 0，b > 0，且 a + b =1，則下列不等式不正確的是
（ ）
ab 1 a2 b2 1A． B． +
4 2
1 1
C． + > 2 D．
a b 1 a + b 1+
【變式 1】（2023·遼寧·二模）數學命題的證明方式有很多種．利用圖形證明就是一種方
式．現有如圖所示圖形，在等腰直角三角形VABC 中，點 O 為斜邊 AB 的中點，點 D 為斜邊
AB 上異于頂點的一個動點，設 AD = a，BD = b，用該圖形能證明的不等式為（ ）．
a + b
A． ab a > 0,b 0 2ab> B． ab a > 0,b > 0
2 a + b
C a + b a
2 + b2
． a > 0,b > 0 D． a2 + b2 2 ab a > 0,b > 0
2 2
【變式 2】（2023·陜西寶雞·二模）設 a，b R ，則“ a + b 2 ”是“ a2 + b2 2 ”的（ ）
A．充要條件 B．必要不充分條件
C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件
2
【變式 3】（2024·全國·模擬預測）已知正項數列 an 的前 n項和為 Sn ， Sn +1 = n +1，則
下列說法正確的是（ ）
A． a1 = 2 -1 B． an 是遞減數列
99
1 n + 5C． (-1)n 1 = 8 D． an+1 + <
n=1 an an 2
題型三　基本不等式的實際應用
　利用基本不等式求解實際問題時，要根據實際問題，設出變量，注意變量應滿足實際意義，
抽象出目標函數的表達式，建立數學模型，再利用基本不等式求得函數的最值．
【例題 5】（2023·湖南岳陽·模擬預測）如圖，某人沿圍墻CD 修建一個直角梯形花壇 ABCD，
設直角邊 AD = x 米，BC = 2x 米，若 AD + AB + BC =12米，問當 x = 米時，直角梯形
花壇 ABCD的面積最大．
【變式 1】（2024·黑龍江哈爾濱·一模）已知某商品近期價格起伏較大，假設第一周和第二周
的該商品的單價分別為 m 元和 n 元 (m n)，甲、乙兩人購買該商品的方式不同，甲每周購
買 100 元的該商品，乙每周購買 20 件該商品，若甲、乙兩次購買平均單價分別為 a1,a2，則
（ ）
A． a1 = a2 B． a1 < a2 C． a1 > a2 D． a1,a2的大小無法確定
【變式 2】（2024·內蒙古呼和浩特·一模）小明在春節期間，預約了正月初五上午去美術館欣
賞油畫，其中有一幅畫吸引了眾多游客駐足觀賞，為保證觀賞時可以有最大視角，警衛處的
同志需要將警戒線控制在距墻多遠處最合適呢？（單位：米，精確到小數點后兩位）已知該
畫掛在墻上，其上沿在觀賞者眼睛平視的上方 3 米處，其下沿在觀賞者眼睛平視的上方 1 米
處.（ ）
A．1.73 B．1.41 C．2.24 D．2.45
【變式 3】（2024·廣東韶關·二模）在工程中估算平整一塊矩形場地的工程量 W（單位：平方
米）的計算公式是W = 長 + 4 寬+ 4 ，在不測量長和寬的情況下，若只知道這塊矩形場
地的面積是 10000 平方米，每平方米收費 1 元，請估算平整完這塊場地所需的最少費用（單
位：元）是（ ）
A．10000 B．10480 C．10816 D．10818
【課后強化】
基礎保分練
一、單選題
1 1
1.（2024·河南南陽·一模）已知正實數 x, y滿足 + =1 4xy - 3xx y ，則 的最小值為（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
2．（2023·河南開封·三模）已知 a > 0，b > 0，且 a + b =1， a b ，則下列不等式成立的是
（ ）
a b 2 1 1 a b 1 1A． + < < a + b B． + < + < 22 2 2a 2b
1 1 1 1
C． a + b < 2 < a + b D． a + b < a + b < 22 2 2 2
3．（22-23 高三上·湖南長沙·階段練習）甲、乙兩名司機的加油習慣有所不同，甲每次加油
都說“師傅，給我加 300 元的油”，而乙則說“師傅幫我把油箱加滿”，如果甲、乙各加同一種
汽油兩次，兩人第一次與第二次加油的油價分別相同，但第一次與第二次加油的油價不同，
乙每次加滿油箱，需加入的油量都相同，就加油兩次來說，甲、乙誰更合算（ ）
A．甲更合算 B．乙更合算
C．甲乙同樣合算 D．無法判斷誰更合算
4．（2024·陜西西安·一模）“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見于中國南北朝時期的
數學著作《脅子算經》卷下第二十六題，叫做“物不知數”，原文如下：今有物不知其數，三
三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何 現有這樣一個相關的問題：被3除
余 2且被5除余3的正整數按照從小到大的順序排成一列，構成數列 an ，記數列 an 的前 n
S 2Sn + 60項和為 n ，則 的最小值為（ ）n
A．60 B．61 C．75 D．76
2
5．（2023·河南信陽·模擬預測）若 -5 < x 1 f x x + 2x + 2< - ，則函數 = 有（ ）
2x + 2
A．最小值 1 B．最大值 1 C．最小值 -1 D．最大值 -1
e 1 ab
6．（2024·四川涼山·二模）已知正數 a,b滿足 a + 2b = ò dx，則1 x a2 的最大值為（ ）+ b
1
A． 2 B． 2 2 C． D．2 2 +1 2 2 +1
二、多選題
7．（2024·江蘇·一模）已知 x, y R ，且12x = 3，12y = 4，則( )
A． y > x B． x + y > 1
C． xy
1
< D． x + y < 2
4
8．（2024·貴州貴陽·一模）已知 a > 0,b > 0，且 a + b = 2 ，則（ ）
A． 2a
1 1
+ 2b 2 2 B． + 2a b
C． log2a + log2b 1 D． a2 + b2 2
三、填空題
9.（2024·云南紅河·二模）如圖，在棱長均相等的斜三棱柱 ABC - A1B1C1 中，
uuuur uuur uuur uuuur uuuur uuur
A AB π1 = A1AC = , BM = lBB1 ，CN = mCC1 ，若存在l 0,1 , m 0,1 ，使3 AM × BN = 0
成立，則l + m 的最小值為 .
10．（2024·江西九江·二模）在 VABC 中，角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c.已知 A，B，
C 成等差數列， a2 + c2 = 4，則VABC 面積的最大值是 ， 4sin Asin C + 3 b2 = .
四、解答題
11．（2024·四川廣安·二模）已知 a，b ， c均為正數，且 a + b + c = 3 .
1 9
(1)是否存在 a，b ， c，使得 + 0,5 ，說明理由；
a b + c
(2)證明： 3 + a + 3 + b + 3 + c ≤6 .
12．（2024·四川成都·二模）已知函數 f x = 2x - 3 , g x = 3- x - 2
(1)求不等式 f x g x 的解集 N ；
2 2
(2)設 N 的最小數為 n a,b
3n b + 3 a
，正數 滿足 a + b = ，求 + 的最小值.
2 a b
綜合提升練
一、單選題
1．（2024·廣東湛江·一模）已知 ab > 0， a2 + ab + 2b2 =1，則 a2 + 2b2 的最小值為（ ）
A 8 - 2 2
3
． B 2 2． C D 7 - 2 2． ．
7 3 4 8
2．（2024·遼寧鞍山·二模）已知a ，b 均為銳角， sina = 3sin b cos a + b ，則 tana 取得最
大值時， tan a + b 的值為（ ）
A． 2 B． 3 C．1 D．2
3．（23-24 高三上·浙江金華·期末）若 tan 2a = 3tan a - b ，則 tan a + b 的最大值為（ ）
A 3． 3 B．1 C． 2 - 3 D．
3
4．（2024·黑龍江齊齊哈爾·二模）早在西元前 6 世紀，畢達哥拉斯學派已經知道算術中項，
幾何中項以及調和中項，畢達哥拉斯學派哲學家阿契塔在《論音樂》中定義了上述三類中項，
a
其中算術中項，幾何中項的定義與今天大致相同．若 2a + 2b = 1，則 4 +1 4b +1 的最小值
為（ ）
25 9 9 25
A． B． C． D．
4 16 4 16
5．（2024· 2陜西西安·一模）已知二次函數 y = -x + b - a x + ab的圖象與 x 軸交于A 、 B 兩點，
圖象在A 、 B 兩點處的切線相交于點 P ．若ab =1，則VABP的面積的最小值為（ ）．
A．1 B． 2 C． 2 D． 4
6．（2023·山東泰安·模擬預測）在實驗課上，小明和小芳利用一個不等臂的天平秤稱取藥
品. 實驗一：小明將5克的砝碼放在天平左盤，取出一些藥品放在右盤中使天平平衡；實驗
二：小芳將 20克的砝碼放在右盤，取出一些藥品放在天平左盤中使天平平衡，則在這兩個
實驗中小明和小芳共秤得的藥品（ ）
A．大于 20克 B．小于 20克
C．大于等于 20克 D．小于等于 20克
7．（2024·云南楚雄·模擬預測）足球是一項深受人們喜愛的體育運動.如圖，現有一個 11 人
制的標準足球場，其底線寬 AB = 68m，球門寬EF = 7.32m，且球門位于底線 AB 的中間，
在某次比賽過程中，攻方球員帶球在邊界線 AC 上的M 點處起腳射門，當 EMF 最大時，
點M 離底線 AB 的距離約為（ ）
A． 26.32m B． 28.15m C．33.80m D．37.66m
3
8．（23-24 高三上·浙江寧波·期末）設實數 x，y 滿足 x > ， y > 3，不等式
2
k 2x - 3 y - 3 ≤8x3 + y3 -12x2 - 3y2 恒成立，則實數 k 的最大值為（ ）
A．12 B．24 C． 2 3 D． 4 3
二、多選題
1 1
9．（23-24 高三上·河北滄州·階段練習）已知 a > 0，b > 0，且 + =1，則下列說法正確的
a b
有（ ）
A． ab 8 B． a + b 4 C．a2 +b2 8 D． a + 4b 9
10．（23-24 高三上·湖南常德·期末）已知a > b > 0，則下列不等式一定成立的是（ ）
a b
A > B 2ab a
2 + b2
． ． <
a +1 b +1 a + b 2
C． a + b + ln ab > 2 1 1D． <
1+ ln a 1+ lnb
1 1 1
11．（2024·全國·模擬預測）已知正實數 a，b，c 滿足 < < ，則（
a b c ）
A c a c b B b b - c． - > - ． >
a a - c
a + b 1
C． a - c 2 a - b b - c D．
a + 2 2ab 2
三、填空題
12．（2024·陜西咸陽·二模）已知總體的各個個體的值由小到大依次為 2，4，4，6，a，b，
1 1
12，14，18，20，且總體的平均值為 10．則 + 的最小值為 ．
a b
3 1 l
13．（2024·遼寧大連·一模）對于任意的正數 m，n，不等式 + 成立，則 λ 的最
m n 2m + n
大值為
14．（2024·四川瀘州·二模）VABC 的內角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，已知
c2 = 3a2 - 3b2 ，則 tan A - B 的最大值為 ．
四、解答題
15．（2024·四川成都·二模）已知函數 f x = x + a + b ，不等式 f x < 4的解集為
{x∣0 < x < 6} .
(1)求實數 a,b的值；
1 1
(2)函數 f x 的最小值為 t ，若正實數m, n, p滿足m + 2n + 3p = t ，求 +m + 2 p 2n 的最小+ p
值.
16．（2023·陜西寶雞·二模）已知函數 f x = 2x - 2 + x +1 ．
(1)求 f x 5的解集；
(2)設 f x 的最小值為m ，若正數 a，b ， c滿足 a + b + c = m ，求 ab + ac + bc的最大值．
17．（2024·青海·一模）已知正數 a,b,c滿足 a + b + c = 2．求證：
(1) a2 + b2 + c2
4
；
3
(2) 3a + 2 + 3b + 2 + 3c + 2 6．
18．（2024·廣東·一模）海參中含有豐富的蛋白質、氨基酸、維生素、礦物質等營養元素，隨
著生活水平的提高，海參逐漸被人們喜愛．某品牌的海參按大小等級劃分為 5、4、3、2、1
五個層級，分別對應如下五組質量指標值： [300,350)， [350,400)， [400,450)， [450,500)，
[500,550]．從該品牌海參中隨機抽取 10000 顆作為樣本，統計得到如圖所示的頻率分布直
方圖．
(1)質量指標值越高，海參越大、質量越好，若質量指標值低于 400 的為二級，質量指標值
不低于 400 的為一級．現利用分層隨機抽樣的方法按比例從不低于 400 和低于 400 的樣本
中隨機抽取 10 顆，再從抽取的 10 顆海參中隨機抽取 4 顆，記其中一級的顆數為 X，求 X 的
分布列及數學期望；
(2)甲、乙兩人計劃在某網絡購物平臺上參加該品牌海參的訂單“秒殺”搶購活動，每人只能搶
*
購一個訂單，每個訂單均由 n n 2, n N 箱海參構成．假設甲、乙兩人搶購成功的概率均
1
為 n + 5 2 ，記甲、乙兩人搶購成功的訂單總數量為 Y，搶到海參總箱數為 Z．
①求 Y 的分布列及數學期望；
②當 Z 的數學期望取最大值時，求正整數 n 的值．
19．（2023·四川達州·二模）在VABC 中，角A 、 B 、C 所對的邊分別為 a、b 、 c，
b c a 3a
+ = + .
cosB cosC cosA cosBcosC
(1)求 tan B tan C；
(2)若bc = 3，求VABC 面積S 的最小值.
拓展沖刺練
一、單選題
a b
1．（2024·遼寧·一模）已知 a,b R ．則“ a > 0且b > 0 ”是“ + 2 ”的（ ）
b a
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
2．（2024·山東濟寧·一模）已知VABC 的內角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，且 a = 3，
a cos B = (2c - b)cos A，則VABC 面積的最大值為（ ）
9 3 9 3 9 9A． B． C． D．
4 2 4 2
3．（2024·湖北武漢·模擬預測）在三棱錐 P - ABC 中， AB = 2 2 ， PC = 1， PA + PB = 4 ，
CA - CB = 2，且PC ^ AB，則二面角P- AB-C 的余弦值的最小值為（ ）
3
A 2 B C 1 10． ． ．
3 4 2
D．
5
4．（23-24 高三上·江蘇鎮江·開學考試）某校在校慶期間舉辦羽毛球比賽，某班派出甲 乙兩
名單打主力，為了提高兩位主力的能力，體育老師安排了為期一周的對抗訓練，比賽規則如
下：甲、乙兩人每輪分別與體育老師打 2 局，當兩人獲勝局數不少于 3 局時，則認為這輪訓
練過關；否則不過關.若甲 乙兩人每局獲勝的概率分別為 p1， p2，且滿足 p1 + p
4
2 = ，每局3
之間相互獨立.記甲、乙在 n輪訓練中訓練過關的輪數為 X ，若E X =16，則從期望的角度
來看，甲 乙兩人訓練的輪數至少為（ ）
A．27 B．24 C．32 D．28
二、多選題
sinx
5．（2024·江蘇·一模）已知函數 f x = ，則（ ）
2 - cos2x
A． f x 的最小正周期為 π B． f x 的圖象關于點 π,0 對稱
C．不等式 f x > x D f x 2無解 ． 的最大值為
4
6 a．（23-24 高三上·江蘇連云港·階段練習）已知 a > 0， e 1- ln b =1，則（ ）
A．1< b < e B．a > ln b C． ea - ln b <1 D．b - a <1
7．（2023·全國·模擬預測）實數 a，b 滿足 a2 + 4b2 = 2，則（ ）
ab 1A．
2
B． a + b 的最大值為 2 3
é
a b 10 10
ù
C． - ê- , ú
2 2
D． a + 2b a3 + 8b3 9的最大值為
2
三、填空題
2 1
8．（2024·四川成都·模擬預測）已知實數 x > 0，y > 0，若 2x + 3y =1，則 +x y 的最小值為 ．
9．（2024·福建漳州·模擬預測）如圖，某城市有一條公路從正西方向 AO 通過路口O后轉向
西北方向OB，圍繞道路OA,OB打造了一個半徑為 2km的扇形景區，現要修一條與扇形景區
相切的觀光道MN ，則MN 的最小值為 km．
四、解答題
10．（2023·四川資陽·模擬預測）已知 a > 0，b > 0，且 a + b = 2 ．
(1)求 a2 + b2 的最小值；
(2)證明： a +1 + b +1 2 2 ．
11．（22-23 高一下·四川·期末）蜀繡又名“川繡”，與蘇繡，湘繡，粵繡齊名，為中國四大名
繡之一，蜀繡以其明麗清秀的色彩和精湛細膩的針法形成了自身的獨特的韻味，豐富程度居
四大名繡之首．1915 年，蜀繡在國際巴拿馬賽中榮獲巴拿馬國際金獎，在繡品中有一類具
有特殊比例的手巾呈如圖所示的三角形狀，點 D 為邊 BC 上靠近 B 點的三等分點，
ADC = 60°， AD = 2．
(1)若 ACD = 45°，求三角形手巾的面積；
AC
(2)當 取最小值時，請幫設計師計算 BD 的長．
AB
12．（2024·江蘇鹽城·模擬預測）根據多元微分求條件極值理論，要求二元函數 z = f (x, y)在
約束條件 g(x, y) 的可能極值點，首先構造出一個拉格朗日輔助函數
L(x, y,l) = f (x, y) + lg(x, y)，其中l 為拉格朗日系數．分別對 L(x, y,l) 中的 x, y, λ部分求導，
并使之為 0，得到三個方程組，如下：
ìLx (x, y,l) = fx (x, y) + lgx (x, y) = 0

íLy (x, y,l) = f y (x, y) + lg y (x, y) = 0，解此方程組，得出解 (x, y)，就是二元函數 z = f (x, y)

Ll (x, y,l) = g(x, y) = 0
在約束條件 g(x, y) 的可能極值點． x, y的值代入到 f (x, y)中即為極值．
補充說明：【例】求函數 f (x, y) = x2 + xy + y2關于變量 x 的導數．即：將變量 y 當做常數，即：
fx (x, y) = 2x + y ，下標加上 x ，代表對自變量 x 進行求導．即拉格朗日乘數法方程組之中的
Lx , Ly , Ll 表示分別對 x, y, λ進行求導．
(1)求函數 f (x, y) = x2 y2 + 2xy + xy2關于變量 y 的導數并求當 x =1處的導數值．
(2)利用拉格朗日乘數法求：設實數 x, y滿足 g(x, y) = 4x2 + y2 + xy -1 = 0 ，求 f (x, y) = 2x + y
的最大值．
(3)①若 x, y, z為實數，且 x + y + z =1 2，證明： x + y2 + z2
1
．
3
2 1 1② 2設 a > b > c > 0，求 2a + + -10ac + 25cab a(a b) 的最小值．-考點 04 基本不等式（3 種核心題型+基礎保分練+綜合
提升練+拓展沖刺練）
【考試提醒】
1.了解基本不等式的推導過程.
2.會用基本不等式解決簡單的最值問題.
3.理解基本不等式在實際問題中的應用．
【知識點】
a＋b
1．基本不等式： ab≤
2
(1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0.
(2)等號成立的條件：當且僅當 a＝b 時，等號成立．
a＋b
(3)其中 叫做正數 a，b 的算術平均數， ab叫做正數 a，b 的幾何平均數．
2
2．幾個重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
b a
(2) ＋ ≥2(a，b 同號)．
a b
2
(3)ab
a b
≤ (a，b∈R)．
2
a2＋b2 a b
2
(4) ≥ (a，b∈R)．2 2
以上不等式等號成立的條件均為 a＝b.
3．利用基本不等式求最值
(1)已知 x，y 都是正數，如果積 xy 等于定值 P，那么當 x＝y 時，和 x＋y 有最小值 2 P.
1
(2)已知 x，y 都是正數，如果和 x＋y 等于定值 S，那么當 x＝y 時，積 xy 有最大值 S2.
4
注意：利用基本不等式求最值應滿足三個條件“一正、二定、三相等”．
【核心題型】
題型一　利用基本不等式求最值
(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．
(2)要根據式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數的形式，然后再利用基本不等式．
(3)條件最值的求解通常有三種方法：一是配湊法；二是將條件靈活變形，利用常數“1”代
換的方法；三是消元法．
命題點 1　配湊法
【例題 1】（2024·遼寧·一模）已知m > 2n 0
m m
> ，則 的最小值為（
m 2n n ）-
A．3 2 2 B．3- 2 2 C． 2 3 2 D．3 2 - 2
【答案】A
【分析】根據題意，m = m - 2n 2n，將所求式子變形，利用基本不等式求解.
【詳解】由m > 2n > 0，
\m - 2n > 0，m = m - 2n 2n，
m m m - 2n 2n m - 2n 2n 2n m - 2n
\ = = 3 3 2 2 ，
m - 2n n m - 2n n m - 2n n
2n m - 2n
當且僅當 = ，即m = 2 2 n時等號成立.m - 2n n
故選：A.
【變式 1】故選：D（2024·四川德陽·模擬預測）已知正實數 x ， y ， z 滿足
x2 xy yz xz x z = 6 ，則3x 2y z 的最小值是 .
【答案】 4 3 - 2
x z 6【分析】因式分解得到 = ，變形后得到3x 2y z = 2 x 6 y x y 1 x y 1，利用基
本不等式求出最小值.
【詳解】因為 x, y, z為正實數，
x2故 xy yz xz x z = 6 x2 xz xy yz x z = 6，
即 x x 6 z y x z x z = 6 x y 1 x z = 6 x z = x y 1 ，
3x 2y z = 2 x y x z = 2 x y 6
x y 1
= 2 x y 1 6 - 2 2 2 x y 1 6 × - 2 = 4 3 - 2，
x y 1 x y 1
當且僅當 2 x y 6 1 = ，即 x y = 3 -1，此時 x 6 z = = 2 3x y 1 x ， y 1
所以3x 2y z 的最小值為 4 3 - 2 .
故答案為： 4 3 - 2
【變式 2】（2024·內蒙古呼倫貝爾·一模）已知函 f x = x 3 10 - 2x 的最小值為 m．
(1)求 m 的值；
(2)若 a，b 為正數，且 a b = m，求 3a 1 3b 2 的最大值.
【答案】(1) m = 8；
(2) 3 6 .
【分析】（1）討論去絕對值，將 f x 轉換為分段函數，求最小值.
（2）原式平方后，運用基本不等式求得最大值.
ì3x - 7, x 5
【詳解】（1）∵ f x = x 3 10 - 2x = í13 - x,-3 < x < 5，

7 - 3x, x -3
∴當 x≥5時， f x 8，
當-3 < x < 5時，8 < f (x) <16，
當 x -3時， f (x) 16，
∴ f (x)min = f 5 = 8，即m = 8 .
（2）由（1）可得 a b = 8，
∴ 23a 1 3b 2 = 3a 1 3b 2 2 3a 1 3b 2 = 27 2 3a 1 3b 2 ，
2
因為 2 3a 1 3b 2 3a 1 3b 2 = 27，所以 3a 1 3b 2 54 ，
所以 3a 1 3b 2 的最大值為3 6 ，
25 23
當且僅當 3a 1 = 3b 2 ，即 a = ,b = 時，等號成立．6 6
綜上所述：最大值為3 6 .
a b ab 0 2ab【變式 3】（2024·黑龍江·二模）已知實數 ， 且 > ，則 取得最大值時，
a2 b2 a2b2 9
a b 的值為（ ）
A． 3 B． 2 3 C．-2 3 D． 2 3 或-2 3
【答案】D
【分析】利用基本不等式求解.
2ab 2ab 2
【詳解】 a2 b2
=
a2b2 9 2ab a2b2 9 2 ab 9 ，
ab
又 ab > 0 9，所以 ab 2 ab 9× = 6 ，
ab ab
2ab 1
所以 2 ，a b2 a2b2 9 4
當且僅當 ab = 3，即 a = b = 3 ，或 a = b = - 3 取等號，
所以 a b = 2 3 或 a b = -2 3 .
命題點 2　常數代換法
2 x 0 y > 0 1
1
【例題 】（2024·江蘇南通·二模）設 > ， ， 2y = 2，則 x y 的最小值為（　　）x
3 3
A． B． 2 2 C． 2 D．32 2
【答案】C
【分析】由不等式“1”的代換求解即可.
1 1
【詳解】因為 2y = 2，所以 y =1，
x 2x
1 1 1 1 1
因為 x > 0， y > 0

，所以 x =
y
x y
y 2x
= xy 1
2 2xy
3 xy 1 3 2 xy 1 3 2 3= × = 2 = 2 .
2 2xy 2 2xy 2 2 2
ì 1
xy = ì 1 2 2xy x =
當且僅當 í ，即 í 2 時取等.
1
y =1
y = 2 - 2
2x
故選：C.
1 1
【變式 1】（2024·四川成都·模擬預測）若 a,b是正實數，且 =1，則 a b 的最
3a b 2a 4b
小值為（ ）
4 2
A． B． C D
5 3
．1 ． 2
【答案】A
【分析】觀察等式分母可知 3a b 2a 4b = 5 a b ，利用基本不等式中“1”的妙用可得
結果.
【詳解】因為
a b 1= 5a 5b 1= é 3a b 2a
1
4b ù = é 3a b 2a 4b
1 1 ù
5 5 5 3a b 2a 4b
1 2 2a 4b 3a b 1

2 2 2a 4b 3a b
4
= × = ，5 3a b 2a 4b 5

3a b 2a 4b 5
3 1
當且僅當 a = ,b = 時取等號，
5 5
4
所以 a b 的最小值為 .
5
故選：A
【變式 2】（23-24 高三上·浙江寧波·期末）已知 a > 0,b > 0，則下列選項中，能使 4a b 取得
最小值 25 的為（ ）
A． ab = 36 B． ab = 9a b C．a2 b = 21 D．16a2 b2 = 625
【答案】B
【分析】A 選項，利用基本不等式直接進行求解；B 選項，利用基本不等式“1”的妙用求解；
25 π
C 選項，可以舉出反例；D 選項，設 a = cosq ,b = 25sinq

，q 0,

，利用三角恒等變換4 2
得到 4a b = 25 2 cos

q
π
-
4
25,25 2 ù .

【詳解】A 選項， 4a b 2 4ab = 4 ab = 24，
當且僅當 4a = b，即 a = 3,b =12時，等號成立，A 錯誤；
9 1
B 選項，因為 ab = 9a b ，所以 =1，
b a
4a b 4a b 9 1 36a b 36a b故 = = 4 9 13 2 × = 25，
b a b a b a
36a b b 15,a 5當且僅當 = ，即 = = 時，等號成立，B 正確；
b a 2
C 選項，當 a = 4,b = 5時，滿足a2 b = 21，此時 4a b =16 5 = 21 < 25，C 錯誤；
D 選項， a > 0,b > 0
25 π
，設 a = cosq ,b = 25sinq ，其中q 0, ，4 2
π
則 4a b = 25cosq 25sinq = 25 2 cos

q - ，
4
q 0, π π π π π因為 ，所以q - - ,

，故 4a b = 25 2 cos
q - 25,25 2 ù，
2 4 4 4 4
顯然 4a b 取不到最小值 25，D 錯誤.
故選：B
1 1
【變式 3】（2024·全國·模擬預測）設正實數 a，b 滿足 a b = 2 ，則 的最小值為
a 1 b 2
（ ）
2 3 4 5
A． B． C3 ． D．4 5 6
【答案】C
【分析】由已知可得 a 1 b 2 = 5，根據“1”的代換化簡得出
1 1 1 2 b 2 a 1 = .進而根據基本不等式，即可求得答案.
a 1 b 2 5 a 1 b 2
【詳解】因為 a b = 2 ，所以 a 1 b 2 = 5，
1 1 1 1 1 1 b 2 a 1
所以 =

a 1 b 2 5 a 1 b 2
a 1 b 2 = 2 5 a 1 b 2
1 2 2 b 2 a 1
4
× = ，
5 a 1 b

2 5
當且僅當 a 1 = b 2, a b = 2
3
，即 a = ,b
1
= 時，等號成立，
2 2
1 1 4
所以 的最小值為 ．
a 1 b 2 5
故選：C．
命題點 3　消元法
x2 y2
【例題 3】（2024·全國·模擬預測）已知 x > 0， y > 0且 x y =1，則 2 的最小值為1 x 1 y2
（ ）
1 2 3 4
A． B． C． D．
5 5 5 5
【答案】B
1 1 3- 2xy
【分析】由基本不等式和 x y =1可得 0 < xy
1
，化簡可得 =
4 1 x2 1
，
y2 2 - 2xy x2 y2
令 t = 3- 2xy ，利用換元法，結合對勾函數的性質計算即可求解.
1
【詳解】因為 x y =1，所以 x y =1 2 xy ，當且僅當 x = y = 時等號成立，
2
所以0
1
< xy ．
4
1 1 1 x2 1 y2 22 x2 y2 2 x y - 2xy
因為1 x2
2 = =1 y 1 x2 1 y2 1 x2 y2
=
x2 y2 1 x y 2 - 2xy x2 y2
3- 2xy
=
2 - 2xy x2 y2 ，
t 5= 3- 2xy t é ,3 xy 3- t令 ，則 ê ， = ， 2 2
1 1 t 4t 4
2 2 = 2 = =
所以1 x 1 y 3 - t t 2 - 2t 5 52 - 3 - t t - 2
，
4 t
5 5 5
由對勾函數 y = x 在[ ,3)上單調遞增，則當 x = 時函數取到最小值，
x 2 2
1 1 4 8
5 2 2 =
所以當 t = 1 x 1 y 5 2 5 5時， - 5 ，2 2
2
2 2 x2 1 -1 y2x y 1 -1 1 1 8 2
所以 2 2 = = 2 - 2 - = .1 x 1 y 1 x2 1 y2 2 2 1 x 1 y 5 5
故選：B．
【變式 1】（2023·重慶·模擬預測）已知 x > 0， y > 0，且 xy 2x y = 6，則 2x y 的最小值
為（ ）．
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】A
【分析】利用基本不等式和消元思想對本題目進行求解.
【詳解】解：已知 x > 0，y > 0，且 xy+2x+y=6，
6 - 2x
y=
x 1
6 - 2x 8 4 4 2 x 1 82x+y=2x+ =2(x+1) - ，當且僅當 = , x =1時取等號，
x 1 x 1 x 1
故 2x+y 的最小值為 4.
故選:A
【變式 2】 (2023·煙臺模擬 )已知 x>0， y>0， x＋3y＋ xy＝9，則 x＋3y 的最小值為
________．
【答案】　6
【解析】方法一　(換元消元法)
1 1 x 3y 2
由已知得 9－(x＋3y)＝xy ＝ ·x·3y≤ · ，當且僅當 x＝3y，即 x＝3，y＝1 時取等3 3 2
號．
即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0，
令 x＋3y＝t，則 t>0 且 t2＋12t－108≥0，
得 t≥6，即 x＋3y 的最小值為 6.
方法二　(代入消元法)
9－3y
由 x＋3y＋xy＝9，得 x＝ ，
1＋y
9－3y 9－3y＋3y 1＋y
所以 x＋3y＝ ＋3y＝
1＋y 1＋y
9＋3y2 3 1＋y 2－6 1＋y ＋12
＝ ＝
1＋y 1＋y
12 12
＝3(1＋y)＋ －6≥2 3 1＋y · －6
1＋y 1＋y
＝12－6＝6，
12
當且僅當 3(1＋y)＝ ，即 y＝1，x＝3 時取等號，
1＋y
所以 x＋3y 的最小值為 6.
1 1
【變式 3】（2024·浙江·模擬預測）已知a,b > 0,ab = 1，求 S = 的最小值．
1 a 1 2b
【答案】 2 2 - 2
b 1 S 1
1
= -
【分析】根據條件， = 代入消去b ，將S 的表達式分離常數得 a 2 3，利用基本a a
不等式求得結果.
【詳解】Qa,b > 0 ，ab =1，
S 1 1 1 1\ = =
1 a 1 2b 1 a 1 2
a
1 a a2 2a 2 1 a= = = -
1 a a 2 a2 3a 2 a2 3a 2
1 1= -
a 2 3，
a
a 2 2
2
Q 2 a × = 2 2 ，當且僅當 a = ，即 a = 2 時等號成立，
a a a
S 1 1所以 - = 2 2 - 2 .
2 2 3
故S 的最小值為 2 2 - 2 .
題型二　基本不等式的常見變形應用
基本不等式的常見變形
a b
2 a2＋b2
(1)ab ≤ 2
≤ .
2
2 a＋b a2＋b2
(2) ≤ ab≤ ≤ (a>0，b>0)．
1 1 2 2
a＋b
【例題 4】（2023·全國·三模）已知 a > 0，b > 0，且 a b =1，則下列不等式不正確的是
（ ）
A． ab
1
B a2． b2
1

4 2
1 1
C． > 2 D．
a b 1 a b 1
【答案】D
【分析】根據基本不等式逐項判斷 ABD，消元，化簡，結合不等式性質判斷 C.
【詳解】因為 a > 0，b > 0，且 a b =1，
ab a b
2
1
由基本不等式可得 = （當且僅當 a = b時取等號），A 正確；
2 4
a b a2 b2 1 a2 b2
由基本不等式知 ，則 ，
2 2 2 2
2
即 a b2
1
（當且僅當 a = b時取等號），B 正確；
2
1 1 1 1 2
由題得 = = ，
a b 1 1- b b 1 1- b2
2 2
由已知0 < b <1，故1- b 0,1 ，所以 > 2，
1- b2
1 1
故 > 2 ，C 正確；
a b 1
a b a b 1
由基本不等式可得 = ，
2 2 2
即 a b 2 （當且僅當 a = b時取等號），D 錯誤.
故選：D.
【變式 1】（2023·遼寧·二模）數學命題的證明方式有很多種．利用圖形證明就是一種方
式．現有如圖所示圖形，在等腰直角三角形VABC 中，點 O 為斜邊 AB 的中點，點 D 為斜邊
AB 上異于頂點的一個動點，設 AD = a，BD = b，用該圖形能證明的不等式為（ ）．
a b
A． ab a > 0,b 2ab> 0 B． ab a > 0,b > 0
2 a b
C a b a
2 b2
． a > 0,b > 0 D a2 b2． 2 ab a > 0,b > 0
2 2
【答案】C
a b
【分析】由VABC 為等腰直角三角形，得到OC = ，OD = OB - BD ，然后在Rt△OCD
2
中，得到 CD 判斷.
1 a b a b a - b
【詳解】解：由圖知：OC = AB = ,OD = OB - BD = - b = ，
2 2 2 2
2 2
在Rt△OCD中，CD = OC 2 OD2 a b= ，
2
OC OD a b a
2 b2
所以 ，即 a > 0,b > 0 ，
2 2
故選：C
【變式 2】（2023·陜西寶雞·二模）設 a，b R ，則“ a b 2 ”是“ a2 b2 2 ”的（ ）
A．充要條件 B．必要不充分條件 C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要
條件
【答案】C
【分析】由基本不等式結合充分條件和必要條件的定義即可得出答案.
2
【詳解】若 a b 2 2 2 a b，則 a b 2成立，當且僅當 a = b =1時取等，
2
若 a2 b2 2 ，不妨設 a = b = -1，則 a b 2不成立，
所以“ a b 2 ”是“ a2 b2 2 ”的充分不必要條件.
故選：C.
【變式 3】（2024·全國· 2模擬預測）已知正項數列 an 的前 n項和為 Sn ， Sn 1 = n 1，則
下列說法正確的是（ ）
A． a1 = 2 -1 B． an 是遞減數列
99
n 1 a 1 n 5C． (-1) = 8a D． n 1 【答案】ABD
【分析】令 n =1，求得 a1的值可以判斷 A；利用數列的前 n項和與裂項的關系求出數列的通
1
項，再利用分子有理 a 的特點，采用裂項相消的方法求和可判斷 B；采用裂項相消的方法n
求和可判斷 C；先恒等變形，再連續使用兩次基本不等式及其變形可判斷 D．
A S 1 2 = n 1 n 1 S 1 2 =1 1 = a 1 2【詳解】選項 ：由 n ，令 = ，得 1 1 ，
又 an > 0，所以 a1 = 2 -1，故選項 A 正確；
2
選項 B：因為 an 為正項數列，且 Sn 1 = n 1，所以 Sn = n 1 -1，
所以當 n 2時， an = Sn - Sn-1 = n 1 - 1- ( n -1) = n 1 - n(n 2) ，
又 a1 = 2 -1滿足上式，所以 an = n 1 - n(n 1)，
( n 1 - n)( n 1 n) 1
所以 an = n 1 - n = = ，n 1 n n 1 n
顯然 n 1 n 是遞增數列，且 n 1 n > 0，所以 an 是遞減數列，故選項 B 正確；
選項 C：
1
-1 n = (-1)n
a n 1 n ，所以n
99
1 n 1- = - 2 -1 3 2 - 4 - 3 L-a 100 - 99 = -11，故選項 C 錯誤；n=1 n
a 1 1選項 D： n 1 = n 2 - n 1 a n 1 - n = n 2 - n 1 n 1 n = n 2 n ，n
2
1
所以 2 a én 1 = ( n 2 n) 2 ( n 2)
2 ( n)2 ù = 4(n 1)， an
因為 n 2 n ，所以等號取不到，
1 4 n 1 n 5
所以 an 1 < 4(n 1) =a 2 2 ，故選項 D 正確．n
故選：ABD.
【點睛】方法點睛：與基本不等式相關的 4 種常考類型，
根式形式： a b 2 ab(a > 0,b > 0)，當且僅當 a = b時，等號成立．利用基本不等式求最值，
一定要注意“一正、二定、三相等”缺一不可．
ab a b
2

整式形式： (a,b R)， a
2 b2 2ab(a,b R) ， (a b)2 4ab(a,b R) ，
2
a b
2
a2 b2
(a,b R)，以上不等式當且僅當 a = b時，等號成立．
2 2
b a
分式形式： 2(ab > 0)，當且僅當 a = b時，等號成立．
a b
1
倒數形式： a 2(a 0)
1
> ，當且僅當 a =1時，等號成立； a -2(a < 0)，當且僅當 a = -1
a a
時，等號成立．
題型三　基本不等式的實際應用
　利用基本不等式求解實際問題時，要根據實際問題，設出變量，注意變量應滿足實際意義，
抽象出目標函數的表達式，建立數學模型，再利用基本不等式求得函數的最值．
【例題 5】（2023·湖南岳陽·模擬預測）如圖，某人沿圍墻CD 修建一個直角梯形花壇 ABCD，
設直角邊 AD = x 米，BC = 2x 米，若 AD AB BC =12米，問當 x = 米時，直角梯形
花壇 ABCD的面積最大．
【答案】 2
【分析】先求出面積的表達式，再根據基本不等式即可得解.
【詳解】由題意 AB =12 - 3x米，
則直角梯形花壇 ABCD的面積
2
x 2x 12 - 3xS 1 é3x 12 - 3x ù= = 3x 12 1- 3x =18，
2 2 2 4
當且僅當3x =12 - 3x，即 x = 2時，等號成立，
所以當 x = 2米時，直角梯形花壇 ABCD的面積最大．
故答案為： 2 .
【變式 1】（2024·黑龍江哈爾濱·一模）已知某商品近期價格起伏較大，假設第一周和第二周
的該商品的單價分別為 m 元和 n 元 (m n)，甲、乙兩人購買該商品的方式不同，甲每周購
買 100 元的該商品，乙每周購買 20 件該商品，若甲、乙兩次購買平均單價分別為 a1,a2，則
（ ）
A． a1 = a2 B． a1 < a2 C． a1 > a2 D． a1,a2的大小無法
確定
【答案】B
【分析】由題意求出 a1,a2的表達式，利用基本不等式，比較大小，即得答案.
a 200 2mn1 = 100 100 = a 20(m n) m n【詳解】由題意得 m n ， 2 = = ，
m n 40 2
2mn 2mn
因為m > 0, n > 0, m n
m n
，故 > mn ， < = mn
2 m n
，
2 mn
即 a1 < a2 ，
故選：B
【變式 2】（2024·內蒙古呼和浩特·一模）小明在春節期間，預約了正月初五上午去美術館欣
賞油畫，其中有一幅畫吸引了眾多游客駐足觀賞，為保證觀賞時可以有最大視角，警衛處的
同志需要將警戒線控制在距墻多遠處最合適呢？（單位：米，精確到小數點后兩位）已知該
畫掛在墻上，其上沿在觀賞者眼睛平視的上方 3 米處，其下沿在觀賞者眼睛平視的上方 1 米
處.（ ）
A．1.73 B．1.41 C．2.24 D．2.45
【答案】A
【分析】由題意作出圖形，選設觀賞者與油畫的水平距離為 x ，觀賞時的視角為 ADB = q ，
求出△ABD 中的三邊，由余弦定理求得 cosq 的表達式，依題應使q 最大，即使 cosq 最小，
求出表達式的最小值以及此時 x 的值即得.
【詳解】
如圖，設觀賞者的眼睛在點D處，油畫的上沿在點A 處，下沿在點 B 處，
點C 在線段 AB 延長線上，且保持與點D在同一水平線上，
則 ADB = q 即觀賞時的視角.
依題意 AB = 2, BC = 1, AC ^ DC ，
不妨設DC = x ，則BD = x2 1, AD = x2 9 ，
cosq 2x
2 6
△ABD = x
4 6x2 9
在 中，由余弦定理，
2 =2 x 1 × x2 9 x4 10x2 9
2 4
= 1 4x = 1-- 9 ，
x4 2 10x2 9 x x2
10
9
因 x > 0 2，則 x 2 2 9 = 6，當且僅當 4x x = 9
時，即 x = 3 時等號成立，
x2 9由 6可得 x2
9
10 16，
x2 x2
0 4 1< 9 cosq
4 3
= 1-
則 x2 2 10
4 ，則 2 9 2 ，
x x 2 10x
π π
因函數 y = cos x在 (0, ) 上單調遞減，故得0 q ，
2 6
π
即最大視角為 ，此時觀賞者距離油畫的直線距離為
6 3 1.73
.
故選：A.
【變式 3】（2024·廣東韶關·二模）在工程中估算平整一塊矩形場地的工程量 W（單位：平方
米）的計算公式是W = 長 4 寬 4 ，在不測量長和寬的情況下，若只知道這塊矩形場
地的面積是 10000 平方米，每平方米收費 1 元，請估算平整完這塊場地所需的最少費用（單
位：元）是（ ）
A．10000 B．10480 C．10816 D．10818
【答案】C
x W 4x 40000【分析】設矩形場地的長為 米，則 = 10016x ，結合基本不等式計算即可求解.
10000
【詳解】設矩形場地的長為 x 米，則寬為 米，
x
W (x 4)(10000 4) 4x 40000= = 10016 2 4x 40000× 10016 = 10816 ，
x x x
40000
當且僅當 4x = ，即 x =100 時，等號成立.
x
所以平整這塊場地所需的最少費用為1 10816 = 10816元.
故選：C
【課后強化】
基礎保分練
一、單選題
1.（2024·河南南陽·一模）已知正實數 x, y
1 1
滿足 =1x y ，則
4xy - 3x 的最小值為（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【分析】利用條件轉化得 xy = x y，將問題式化簡結合基本不等式求最值.
1 1
【詳解】由 x > 0, y > 0，且 =1，可得 xy = x yx y .所以
4xy - 3x = 4x 4 y - 3x = x 4 y .
1 1
又因為 x 4y = (x 4y) = 5
4y x
9，
x y x y
4y x
當且僅當 = ，即 x = 3, y
3
= 時取等號，所以 4xy - 3x 9x y .2
故選：B.
2．（2023·河南開封·三模）已知 a > 0，b > 0，且 a b =1， a b ，則下列不等式成立的是
（ ）
a b 2 1 1 1 1A． < < a b B． a b < a b < 22 2 2 2
1 1 1 1
C．
2a
b < 2 < a b D． a < a b < 22 2 2b
【答案】A
【分析】使用基本不等式求解，注意等號成立條件.
【詳解】 2a b = a b 2 ab =1 2 ab 1 a b = 2，
∵ a b ，∴等號不成立，故 a b < 2 ；
1 1 2 1 1 1 1a b a × b = 2 a b = 2 = 2 ，2 2 2 2 2 2
1 1
∵ a b ，∴等號不成立，故 a b > 2 ，2 2
a b 2 1 1綜上， < < a 2 2b
.
故選：A.
3．（22-23 高三上·湖南長沙·階段練習）甲、乙兩名司機的加油習慣有所不同，甲每次加油
都說“師傅，給我加 300 元的油”，而乙則說“師傅幫我把油箱加滿”，如果甲、乙各加同一種
汽油兩次，兩人第一次與第二次加油的油價分別相同，但第一次與第二次加油的油價不同，
乙每次加滿油箱，需加入的油量都相同，就加油兩次來說，甲、乙誰更合算（ ）
A．甲更合算 B．乙更合算
C．甲乙同樣合算 D．無法判斷誰更合算
【答案】A
【分析】根據題意列出甲乙兩次加油的平均單價，進而根據不等式即可求解.
【詳解】設兩次的單價分別是 x, y x y 元/升，
600 2
=
甲加兩次油的平均單價為 300 300 1 1 ，單位：元/升，
x y x y
a ax ay x y乙每次加油 升，加兩次油的平均單價為 =2a 2 ，單位：元/升，
因為 x > 0， y > 0， x y ，
2 x y
1 1 x y x y <
所以 x y
x y = 2 > 2 2 × = 4，即 1 1 2 ，
y x y x x y
即甲的平均單價低，甲更合算.
故選：A
4．（2024·陜西西安·一模）“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見于中國南北朝時期的
數學著作《脅子算經》卷下第二十六題，叫做“物不知數”，原文如下：今有物不知其數，三
三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何 現有這樣一個相關的問題：被3除
余 2且被5除余3的正整數按照從小到大的順序排成一列，構成數列 an ，記數列 an 的前 n
2S 60
項和為 S ，則 nn 的最小值為（ ）n
A．60 B．61 C．75 D．76
【答案】B
【分析】先由“兩個等差數列的公共項構成的新的等差數列的公差為兩個等差數列公差的最
S 2Sn 60小公倍數”得 n ，再由基本不等式求得 的最小值.n
【詳解】被3除余 2且被5除余3的正整數按照從小到大的順序所構成的數列是一個首項為8，
公差為15的等差數列 an ，
S 8n n(n -1)所以 n = 15
15 1
= n2 n，
2 2 2
2 15 n2 1 n

60∴ 2Sn 60 = 2 2 =15n 60 1 2 15n 60× 1 = 61，
n n n n
15n 60當且僅當 = ，即 n = 2時取等號，
n
2S 60
∴當 n = 2時 n 取最小值為61．
n
故選：B.
2
5．（2023· x 2x 2河南信陽·模擬預測）若 -5 < x < -1，則函數 f x = 有（ ）
2x 2
A．最小值 1 B．最大值 1 C．最小值 -1 D．最大值 -1
【答案】D
é - x 1 1 ù
【分析】由題意，0 < - x 1 < 4， f x = - ê ú ，利用基本不等式求解.ê 2 -2 x 1 ú
【詳解】因為 -5 < x < -1，所以0 < - x 1 < 4，
x 1 2 1 é - x 1 1 ùf x - x 1 1= = - ê ú -2 × = -12 .x 1 ê 2 -2 x 1 ú 2 -2 x 1
- x 1 1
當且僅當 =2 2 x 1 ，即 x = -2時等號成立，-
所以函數 f x 有最大值 -1 .
故選：D.
e 1 ab
6．（2024·四川涼山·二模）已知正數 a,b滿足 a 2b = ò dx，則 2 的最大值為（ ）1 x a b
1
A． 2 B． 2 2 C． D．2 2 1 2 2 1
【答案】C
e 1 ab
【分析】先由 ò dx得到 a 2b =1，然后代入 2 ，利用基本不等式求最值即可.1 x a b
e 1 e
【詳解】 ò dx = ln x |1 = ln e - ln1 =1，則 a 2b =1，又 a > 0,b > 0，1 x
ab 1 1 1 1 1
= =
所以 a2 b a 1 a a 2b
= a 2b =
1 a 2b 2 2 1，
b a b a b a 2 1b a
a 2b 1 1
當且僅當 = ，即 a = ,b = 時等號成立.
b a 2 1 2 2
故選：C.
二、多選題
7．（2024·江蘇·一模）已知 x, y R ，且12x = 3，12y = 4，則( )
A． y > x B． x y > 1
C． xy
1
< D． x y < 2
4
【答案】ACD
【分析】用對數表示 x，y，利用對數函數的性質、對數的計算、基本不等式等即可逐項計
算得到答案．
【詳解】∵12x = 3，∴ x = log12 3，同理 y = log12 4，
∵ y = log12 x 在 x > 0時遞增，故 y > x ，故 A 正確；
∵ x y = log12 12 =1，∴B 錯誤；
2
∵ x > 0， y > 0 x y 1
1
，∴ xy = ，當且僅當 x = y 時等號成立，而 x < y ，故 xy < ，∴C
2 4 4
正確；
2
∴ x y = x y 2 xy =1 2 xy < 2 ，即 x y < 2 ，∴D 正確．
故選：ACD．
8．（2024·貴州貴陽·一模）已知 a > 0,b > 0，且 a b = 2 ，則（ ）
1 1
A． 2a 2b 2 2 B． 2a b
C． log2a log2b 1 D． a2 b2 2
【答案】ABCD
【分析】首先結合選項變形，再根據基本不等式，即可判斷選項.
【詳解】A. 2a 2b 2 2a b = 4 > 2 2 ，當 a = b =1時，等號成立，故 A 正確；
1 1 a b 2 2
= = = 2
B. a b ab ab a b
2
，當 a = b =1時，等號成立，故 B 正確；

2
2
C. log2a log b = log
a b
2 2 ab log2 = 0 <1，故 C 正確；
2
2
D. a2 b2 = a b 2 - 2ab = 4 - 2ab 4 2 a b- = 2，當 a = b =1時等號成立，故 D 正確 .
2
故選：ABCD
三、填空題
9.（2024·云南紅河·二模）如圖，在棱長均相等的斜三棱柱 ABC - A1B1C1 中，
π uuuur uuur uuur uuuur uuuur uuur A1AB = A1AC = , BM = lBB1 ，CN = mCC1 ，若存在l 0,1 , m 0,1 ，使3 AM × BN = 0
成立，則l m 的最小值為 .
1
【答案】 2 -
2
uuur r uuur r uuur r uuuur uuur
【分析】設 AB = a, AC = b, AA1 = c ，將向量 AM × BN = 0
m
轉化為基底表示，可得 - 12 2 lm = 0 ，
再利用基本不等式求解.
uuur r uuur r uuurAB a, AC b , AA cr,| ar
r
【詳解】設 = = 1 = |=| b | | c
r
= |，
uuuur uuur uuuur uuur uuur uuur r
則 AM = AB BM ar lcr = , BN r r= BC CN = b - a mc
uuuur uuur r r r
因為 AM × BN = 0 ，所以 a lc × b ar r- mc = 0，
r
ar r r r
r r r r r
即 ×b - a2 ma ×c lb ×c - la ×c lmc 2 = 0 ，
- 1 m即 2 2 lm = 0 ，由
l 0,1 , m 0,1 1，得 m = 1 2 ，l (0,1) l ，
l m = l 1 = l 1 1 1 1 1 1所以 1 2l 2 1 - 2 2 2 - 2 = 2 -2(l 2 ，2)
l 1 1 2 -1
當且僅當 2 = 2(l 1) ，即l = 時等號成立，2 2
所以l m
1
的最小值為 2 - .
2
1
故答案為： 2 - .
2
10．（2024·江西九江·二模）在 VABC 中，角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c.已知 A，B，
C 成等差數列， a2 c2 = 4，則VABC 面積的最大值是 ， 4sin Asin C 3 b2 = .
3
【答案】 12
2
【分析】由等差數列性質可得 B，結合重要不等式及三角形面積公式即可求得三角形面積的
3a 3c
最大值；運用正弦定理可得 sin A = ， sin C = ，由余弦定理可得b2 = 4 - ac ，代入求
2b 2b
解即可.
【詳解】由題意知， 2B = A C ，
π
又 A B C = π，所以 B = 3 ，
又 a2 c2 = 4， a2 c2 2ac，當且僅當 a = c 時取等號，
所以 ac 2，當且僅當 a = c 時取等號，
S 1 1 π 3 3所以 a = cABC = ac sin B = ac sin = ac ，當且僅當 時取等號.△ 2 2 3 4 2
故VABC 3面積的最大值為 .
2
a c b
因為 = = ， B
π
= ，
sin A sin C sin B 3
sin A a sin B 3a sin C c sin B 3c所以 = = ， = = ，
b 2b b 2b
3a 3c 3ac
所以 4sin Asin C = 4 = ，
2b 2b b2
2 2 2 π
由余弦定理得b = a c - 2ac cos B = 4 - 2ac cos = 4 - ac，
3
所以 (4sin Asin C 3)b2 = (
3ac 2 2
2 3)b = 3ac 3b = 3ac 3(4 - ac) =12 .b
3
故答案為： ；12 .
2
四、解答題
11．（2024·四川廣安·二模）已知 a，b ， c均為正數，且 a b c = 3 .
a b c 1 9(1)是否存在 ， ， ，使得 0,5 ，說明理由；
a b c
(2)證明： 3 a 3 b 3 c ≤6 .
【答案】(1)不存在，理由見解析
(2)證明見解析
1 9 1 9
【分析】（1）依題意可得b c = 3- a > 0 ，則 = ，利用乘“1”法及基本不等
a b c a 3- a
1 9
式求出 的最小值，即可說明；
a b c
（2）將 3 a 3 b 3 c 平方，再利用基本不等式計算可得.
1 9
【詳解】（1）不存在 a，b ， c，使得 0,5 .理由如下：
a b c
因為 a，b ， c都是正數，且 a b c = 3，所以b c = 3- a > 0 ，
1 9 1 9 1 a 3 1 9所以 = = é - a ù
a b c a 3- a 3 a 3- a
1
= 10
3-a 9a 1 10 2 3-a 9a 16 × = ，3 a 3-a 3 a 3-a 3
3- a 9a 3 9
當且僅當 = ，即 a = ,b c = 時取等號，
a 3- a 4 4
1 9 16
即 的最小值為 ，
a b c 3
1 9
所以不存在 a，b ， c，使得 0,5 .
a b c
2
（2）因為 3 a 3 b 3 c
= 9 a b c 2 3 a × 3 b 2 3 b × 3 c 2 3 a × 3 c
12 3 a 3 b 3 b 3 c 3 a 3 c
= 30 2 a b c
= 36，當且僅當 a = b = c =1時等號成立，
所以 3 a 3 b 3 c ≤6 .
12．（2024·四川成都·二模）已知函數 f x = 2x - 3 , g x = 3- x - 2
(1)求不等式 f x g x 的解集 N ；
3n 2 2
(2) b 3 a設 N 的最小數為 n，正數 a,b滿足 a b = ，求 的最小值.
2 a b
(1) N = ì【答案】 íx |
2 x 8 ü
3 3
(2) 6
【分析】（1）依題意可得 2x - 3 x - 2 ≤3，利用零點分段法分類討論，分別計算可得；
3n 2 2 4 1
（2 b 3 a）由（1）可得 a b = = 12 ，將式子 變形為
- 3
a b ，再由乘
“1”法及基本不等
a b
式計算可得.
【詳解】（1）不等式 f x g x ，即 2x - 3 3 - x - 2 ，
即 2x - 3 x - 2 ≤3，
ìx 3 ì3 < x < 2 ìx 2
所以 í 2 或 í2 或 í2x 3 x 2 3， -2x 3 - x 2 3 2x - 3 - x 2 3
- -
2 x 3 3 8解得 或 < x < 2或 2 x ，
3 2 2 3
2
綜上可得 x
8
，
3 3
ì 2 8ü
所以不等式的解集為 N = íx | x
3 3
；

2
（2）因為 N 的最小數為 n = ，所以 a b
3n
= = 1
2 ，可得
a =1- b，
3
ìb =1- a > 0
所以 í ，解得 0 < a < 1
a > 0
，
b2 3 a2 1- a 2 3 1- b 2
所以 = = a b 4 1 2 4 1 - - 2 = - 3
a b a b a b a b
4 1= a b - 3 = 5
4b a 4b a 4b a
- 3 = 2 2 2 × = 6
a b a b a b a b
，
4b a a 2 b 1當且僅當 = ，即 = ， = 時取等號，
a b 3 3
b2 3 a2
所以 的最小值為6．
a b
綜合提升練
一、單選題
1．（2024·廣東湛江·一模）已知 ab > 0， a2 ab 2b2 =1，則 a2 2b2 的最小值為（ ）
A 8 - 2 2
3
． B 2 2． C D 7 - 2 2． ．
7 3 4 8
【答案】A
【分析】利用不等式 a2 2b2 2 2ab，將等式 a2 ab 2b2 =1左邊轉化為因式 a2 2b2 表
示，求解即可.
【詳解】因為 ab > 0，得： a2 2b2 2 2a2b2 = 2 2ab （當且僅當 a = 2b時成立），
2 2
即得： ab
a 2b 2
= (a2 2b2 ) ，
2 2 4
1 a2 ab 2b2 a2 2b2 2則 = (a2 2b2 ) 4 2= (a2 2b2 )，
4 4
a2 2b2 1 8 - 2 2 =
得： 4 2 7 ，
4
所以 a2 2b2 8 - 2 2 的最小值為 ，
7
故選：A.
2．（2024·遼寧鞍山·二模）已知a ，b 均為銳角， sina = 3sin b cos a b ，則 tana 取得最
大值時， tan a b 的值為（ ）
A． 2 B． 3 C．1 D．2
【答案】D
【分析】先利用 sina = sin a b - b 展開變形，可得 tan a b = 4 tan b ，再利用
tan b = tan a b -a 展開變形，將 tana 用 tan a b 表示出來，利用基本不等式求最值及
等號成立條件即可.
【詳解】 sina = sin a b - b = sin a b cos b - cos a b sin b = 3sin b cos a b ,
則 sin a b cos b = 4sin b cos a b ，
所以 tan a b = 4 tan b = 4 tan a b -a
tan a b - tana
= 4
1 tan a b tana ，
3tan a b
tan a 3= =
整理得 tan2 a b 4 tan a b 4 ，
tan a b
因為a ，b 均為銳角，且3sin b cos a b = sina > 0 ，即 cos a b > 0，
所以 tan a b > 0 ，
所以 tan a b 4 2 tan a b 4 × = 4tan a b tan a b ，
當且僅當 tan a b
4
=
tan tan a b = 2a b ，即 時等號成立，
tana 3 3=
所以 tan a 4 b 4 ，
tan a b
所以 tana 取得最大值時， tan a b 的值為 2 .
故選：D.
3．（23-24 高三上·浙江金華·期末）若 tan 2a = 3tan a - b ，則 tan a b 的最大值為（ ）
A． 3 B 3．1 C． 2 - 3 D．
3
【答案】D
【分析】由角度關系得到a b = 2a - a - b ，再用兩角差的正切公式展開，設 tan a - b = t ，
結合基本不等式求出最值，注意取等號的條件.
【詳解】因為a b = 2a - a - b ，
tan 2a - tan a - b 2 tan a - b 所以 tan a b = tan é 2a - a - b ù = =1 tan 2a tan a - b 1 ， 3tan2 a - b
2 tan a - b 2t 2 2 3
設 tan a - b = t = = =，則1 3tan2 a - b 1 3t 2 1 3t 1 3 ，
t 2 3tt
ì1
= 3t t 3當且僅當 ít = 時，等號成立.
t > 0
3
故選：D
4．（2024·黑龍江齊齊哈爾·二模）早在西元前 6 世紀，畢達哥拉斯學派已經知道算術中項，
幾何中項以及調和中項，畢達哥拉斯學派哲學家阿契塔在《論音樂》中定義了上述三類中項，
a b
其中算術中項，幾何中項的定義與今天大致相同．若 2a 2b = 1，則 4 1 4 1 的最小值
為（ ）
25 9 9 25
A． B． C． D．
4 16 4 16
【答案】D
【分析】令m = 2a ， n = 2b ，結合基本不等式可得0 < mn
1
a，化簡 4 1 4b 1 可得
4
4a 1 4b 1 = mn 2 - 2mn 1 2，轉化為求關于mn 的二次函數在區間 (0, ]上的最小值即可.4
【詳解】不妨設m = 2a ， n = 2b ，則m > 0， n > 0，
所以m n 2 mn ，當且僅當m = n 時取等號，
即0 < mn
1
，當且僅當m = n 時取等號，
4
所以 4a 1 4b 1 = m2 1 n2 1 = mn 2 m2 n2 1 = mn 2 m n 2 - 2mn 1
2 1= mn - 2mn 2 = mn -1 2 1，（0 < mn ）
4
1
所以當mn = 時， 25mn 2 - 2mn 2取得最小值 ，
4 16
故選：D．
5．（2024· 2陜西西安·一模）已知二次函數 y = -x b - a x ab的圖象與 x 軸交于A 、 B 兩點，
圖象在A 、 B 兩點處的切線相交于點 P ．若ab =1，則VABP的面積的最小值為（ ）．
A．1 B． 2 C． 2 D． 4
【答案】C
【分析】根據導數的幾何意義可得切線方程及點 P 坐標，結合韋達定理及面積公式可得面積
的最值.
【詳解】設 A x1,0 ，B x2 ,0 ，
則x1與x
2
2是方程-x b - a x ab = 0的兩根，
則 x1 x2 = b - a ， x1x2 = -ab，
AB = x1 - x2 = x1 - x2
2 - 4x1x2 = a b ，
又 y = -2x b - a ，
則函數 y = -x2 b - a x ab在點 A x1,0 處的切線方程為 y = -2x1 b - a x - x1 ，
y = -x2同理函數 b - a x ab在點B x2 ,0 處的切線方程為 y = -2x2 b - a x - x2 ，
ì x1 x2 b - a
ìy = -2x1 b - a x - x
x = =
1 2 2
則 í
y = -2x2 b - a x - x2
，解得 í ，
-x
2
1 x2 x1 x2
2 - 4x1x2 a b
2
y = = = 2 2 2

P b - a , a b
2
即點 2 2
，

S 1 AB y 1 1則 VABP = × P = a b
3 ×4ab ×2 ab = 2，當且僅當 a = b =1時等號成立，
2 4 4
故選：C.
6．（2023·山東泰安·模擬預測）在實驗課上，小明和小芳利用一個不等臂的天平秤稱取藥
品. 實驗一：小明將5克的砝碼放在天平左盤，取出一些藥品放在右盤中使天平平衡；實驗
二：小芳將 20克的砝碼放在右盤，取出一些藥品放在天平左盤中使天平平衡，則在這兩個
實驗中小明和小芳共秤得的藥品（ ）
A．大于 20克 B．小于 20克
C．大于等于 20克 D．小于等于 20克
【答案】C
【分析】設出力臂和藥品數量，根據杠桿原理得到5a = bx,ay = 20b，再根據均值不等式計
算得到答案.
【詳解】設天平左、右兩邊臂長分別為 a,b，小明、小芳放入的藥品的克數分別為 x ， y ，
5a = bx,ay = 20b x 5a則由杠桿原理得： ，于是 = , y
20b
= ，
b a
x y 5a 20b 2 5a 20b故 = × = 20 ，當且僅當 a = 2b時取等號.
b a b a
故選：C.
7．（2024·云南楚雄·模擬預測）足球是一項深受人們喜愛的體育運動.如圖，現有一個 11 人
制的標準足球場，其底線寬 AB = 68m，球門寬EF = 7.32m，且球門位于底線 AB 的中間，
在某次比賽過程中，攻方球員帶球在邊界線 AC 上的M 點處起腳射門，當 EMF 最大時，
點M 離底線 AB 的距離約為（ ）
A． 26.32m B． 28.15m C．33.80m D．37.66m
【答案】C
【分析】根據題意可設 AMF = b , AME = a ， AM = x > 0，利用兩角差的正切公式可得當
2 2
x AB - EF= 時， EMF 取得最大時，代入數據可得結果.
2
【詳解】設 AMF = b , AME = a ， AM = x > 0，所以 EMF = b -a ；
記 AB = a = 68m, EF = b = 7.32m可得 tan b
a b
= , tana a - b= ；
2x 2x
a b a - b b
-
tan b tan b - tana-a = = 2x 2x x 4b=
1 tan b tana a b a - b a2
=
1 × 1 - b
2 2
4x a - b
2 ，
2x 2x 4x2 x
tan b 4b-a =
當 EMF 取最大時， 2 24x a - b 取最大即可，
x
a2 - b2 a2 - b2
易知 4x 2 4x × = 4 a2 - b2 ，此時 tan b a
b
- =
2 2 取到最大值，x x a - b
2
4x a - b
2 2
= a - b
2
當且僅當 時，即 x = 時，等號成立，
x 2
2 2
將 a = 68m,b = 7.32m a - b代入可得 x = 33.80m .
2
故選：C
3
8．（23-24 高三上·浙江寧波·期末）設實數 x，y 滿足 x > ， y > 3，不等式
2
k 2x - 3 y - 3 ≤8x3 y3 -12x2 - 3y2 恒成立，則實數 k 的最大值為（ ）
A．12 B．24 C． 2 3 D． 4 3
【答案】B
4x2 y2 4x2 y2
【分析】令 a = 2x - 3 > 0，b = y - 3 > 0 ，不等式變形為 k ，求出
y - 3 2x - 3 y - 3 2x - 3
的最小值，從而得到實數 k 的最大值.
【詳解】 x
3
> ， y > 3，變形為 2x - 3 > 0，y - 3 > 0，
2
令 a = 2x - 3 > 0，b = y - 3 > 0 ，
則 k 2x - 3 y - 3 8x3 y3 -12x2 - 3y2 轉化為
8x3 y3 -12x2 - 3y2k 4x
2 y2
k2x - 3 y - 3 ，即 ，y - 3 2x - 3
2 2
4x2 y2其中 a 3
2 b 3 2 2 3a 2 3b
=
y - 3 2x - 3 b a b a
12 a b a b=

24 × = 24
b a b a
ìa = 3,
b = 3
當且僅當 í ，即 x = 3, y = 6時取等號，可知 k 24 .
b a
= a b
故選：B
【點睛】思路點睛：不等式恒成立問題，先分離參數后，然后利用基本不等式求最值.
利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構成和的二項之積轉化成定值；要求積的最大值，
則必須把構成積的因式的和轉化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這
個定值就不是所求的最值，這也是最容易發生錯誤的地方.
二、多選題
1 1
9．（23-24 高三上·河北滄州·階段練習）已知 a > 0，b > 0，且 =1，則下列說法正確的
a b
有（ ）
A． ab 8 B． a b 4 C．a2 b2 8 D． a 4b 9
【答案】BCD
【分析】根據均值不等式判斷 A，利用“1”的變形技巧及均值不等式判斷 BD，由重要不等式
及不等式性質判斷 C.
1 1 1 1 1 1
【詳解】當 a > 0，b > 0時， 2 ，即1 2 ，所以 ，即 ab 4，
a b ab ab ab 4
1 1
當且僅當 = ，即 a = b = 2時取等號，故 A 錯誤；
a b
1 1
因為 a > 0，b > 0，所以 a b = (a b) = 2
b a 2 b a 2 × = 4 ，
a b a b a b
b a
當且僅當 = ，即 a = b = 2a b 時取等號，故 B 正確；
由 A 可知， a2 b2 2ab 2 4 = 8，當且僅當 a = b，即 a = b = 2時取等號，故 C 正確；
因為 a 0 1 1 a 4b a 4b> ，b > 0，所以 a 4b =1 4 5 2 × = 5 4 = 9，
a b b a b a
4b a
當且僅當 = ，即 a = 3,b
3
= 時取等號，故 D 正確．
a b 2
故選：BCD．
10．（23-24 高三上·湖南常德·期末）已知a > b > 0，則下列不等式一定成立的是（ ）
a b 2 2
A． > B 2ab a b． <
a 1 b 1 a b 2
C． a b ln ab > 2 1 1D． <
1 ln a 1 lnb
【答案】AB
【分析】根據不等式的性質和基本不等式判斷 AB，利用特值法判斷 CD．
1 1 a 1 b 1 a b
【詳解】∵a > b > 0，∴1 <1 即0 < < ，∴ > ，A 正確；
a b a b a 1 b 1
2ab 2ab
由基本不等式知： = ab
a b
a = b
a b 2 ，當且僅當 時等號成立 2 ab
又 a2 b2 2ab，∴ 2 a2 b2 a b 2
a2 +b2 a +b 2 a b a2 b2∴ 即 ,當且僅當 a = b時等號成立；
2 4 2 2
a > b > 0 , 2ab a
2 b2
已知 故 < ，B 正確;
a b 2
a 1,b 1 a b ln ab 1 1 ln 1 1令 = = ， = = < 2，C 錯誤；
e e e e
令b
1
= ，1 ln b =1 ln
1
= 0，分母為零無意義，D 錯誤．
e e
故選：AB．
1 1 1
11．（2024·全國·模擬預測）已知正實數 a，b，c 滿足 < < ，則（
a b c ）
A． c - a > c - b B b b - c． >
a a - c
a b 1
C． a - c 2 a - b b - c D．
a 2 2ab 2
【答案】BCD
b b - c
【分析】選項 A，利用不等式的性質可判斷；選項 B，根據 - > 0，可判斷；選項 C
a a - c
和 D，利用均值不等式可判斷.
1 1 1
【詳解】選項 A：由0 < < < ，得 a > b > c > 0，
a b c
則-a < -b ，所以 c - a < c - b ，A 錯誤．
b b - c b a - c - a b - c c a - b
選項 B：因為 - = = > 0a a - c a a - c a a ，- c
b b - c
所以 > ，B 正確．
a a - c
選項 C：由 a > b > c > 0，得 a - b > 0，b - c > 0，
所以 a - c = a - b b - c 2 a - b b - c ，
當且僅當 a - b = b - c時取等號， C 正確．
選項 D：因為 a 2 2ab a a 2b = 2 a b ，
a b 1
當且僅當 a = 2b時取等號，所以 2 ，D 正確．a 2 2ab
故選：BCD
三、填空題
12．（2024·陜西咸陽·二模）已知總體的各個個體的值由小到大依次為 2，4，4，6，a，b，
1 1
12，14，18，20，且總體的平均值為 10．則 的最小值為 ．
a b
1
【答案】 / 0.2
5
1 1
【分析】根據平均數的概念可求 a b 的值，再利用不等式可求 的最小值.
a b
【詳解】因為各個個體的值是有小到大排列的，所以6 a b 12，
2 4 4 6 a b 12 14 18 20
又總體平均值為10，所以 =10 a b = 20 .
10
1 1 1 a b 1 1 1 2 b a 1

2 2 b a
1
所以 = = × = （當且僅當 a = b =10
a b 20 a b 20 a b 20

a b

5
時取“ = ”）.
1
故答案為：
5
3 1 l
13．（2024·遼寧大連·一模）對于任意的正數 m，n，不等式 成立，則 λ 的最
m n 2m n
大值為
【答案】7 2 6 / 2 6 7
【分析】根據題意，轉化為l (2m n)(
3 1
)成立，利用 (2m n)(
3 1) 7 3n 2m = ，
m n m n m n
結合基本不等式求得最小值，即可求解.
3 1 l 3 1
【詳解】因為m, n都為正數，則不等式 成立，即為l (2m n)( )成立，
m n 2m n m n
又由 (2m n)( 3 1 ) = 7 3n 2m 7 2 3n 2m × = 7 2 6 ，
m n m n m n
3n 2m
當 =m n 時，即 3n = 2m 時，等號成立，
所以l 7 2 6 ，即l 的最小值為7 2 6 .
故答案為：7 2 6 .
14．（2024·四川瀘州·二模）VABC 的內角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，已知
c2 = 3a2 - 3b2 ，則 tan A - B 的最大值為 ．
2
【答案】
4
【分析】利用正余弦定理，結合三角恒等變換得到 tan A = 2 tan B，再利用基本不等式即可
得解.
【詳解】由余弦定理得 a2 = b2 c2 - 2bc cos A,b2 = a2 c2 - 2ac cos B ，
兩式相減得 2 a2 - b2 = 2c(a cos B - bcos A)，
因為 c2 = 3a2 - 3b2 ，所以 c = 3(a cos B - bcos A) ，
由正弦定理得 sin C = 3(sin Acos B - sin B cos A) ，
即 sin(A B) = 3(sin Acos B - sin B cos A)，
所以 sin Acos B sin B cos A = 3(sin Acos B - sin B cos A)，
則 sin Acos B = 2cos Asin B ，
因為在VABC 中， cos A, cos B不同時為 0 ， sin A > 0,sin B > 0，故 cos A 0,cos B 0，
所以 tan A = 2 tan B，
π
又 c2 = 3a2 - 3b2 > 0，所以 a > b，則A > B，故0 < B < ，則 tan B > 0，2
tan A B tan A - tan B tan B 1- = = =
所以 1 tan A tan B 1 2 tan2 B 1 2 tan B
tan B
1 2
=
4 ，
2 1 2 tan B
tan B
1
當且僅當 = 2 tan B 2，即 tan B = 時，等號成立，tan B 2
tan A - B 2則 的最大值為 .
4
2
故答案為： .
4
【點睛】易錯點睛：在應用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一
正——各項均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得”，若忽略了某個條件，
就會出現錯誤．
四、解答題
15．（2024·四川成都·二模）已知函數 f x = x a b ，不等式 f x < 4的解集為
{x∣0 < x < 6} .
(1)求實數 a,b的值；
1 1
(2)函數 f x 的最小值為 t ，若正實數m, n, p滿足m 2n 3p = t ，求 m 的最小 2 p 2n p
值.
ìa = -3
【答案】(1) í
b =1
(2)最小值為 4
【分析】（1）根據解集得到方程，解出 a,b即可；
（2）根據乘“1”法即可得到最小值.
【詳解】（1）Q x a b < 4，易知 4 - b > 0，
\b - a - 4 < x < 4 - a - b .
Q f x < 4的解集為{x∣0 < x < 6}，
ìb - a - 4 = 0 ìa = -3
\í4 a b 6 ，解得
.
- - =
í
b =1
（2）由（1）得 f x = x - 3 1，
\ f x 的最小值為 1，即m 2n 3p =1.
1 1 1 1
\ = m 2 p 2n p
m 2 p 2n p m 2 p 2n p


1 1 2n p m 2 p 2 2 2n p m 2 p= × = 4 ，
m 2 p 2n p m 2 p 2n p
1
當且僅當m 2 p = 2n p = 時，等號成立.
2
1 1
\
m 2 p 2n 的最小值為 4. p
16．（2023·陜西寶雞·二模）已知函數 f x = 2x - 2 x 1 ．
(1)求 f x 5的解集；
(2)設 f x 的最小值為m ，若正數 a，b ， c滿足 a b c = m ，求 ab ac bc的最大值．
4 ù
【答案】(1) - ,- ú 2, 3
4
(2)
3
【分析】（1）分 x 1，-1 < x <1和 x -1三種情況求解即可；
（2）先分情況求出 f x 的最小值為 2，則 a b c = 2，兩邊平方化簡后利用基本不等式可
求得 ab ac bc的最大值．
【詳解】（1）當 x 1時， f x = 2x - 2 x 1≥5，解得 x 2；
當-1 < x <1時， f x = 2 - 2x x 1≥5，解得 x -2（舍去）；
當 x -1時， f x = 2 - 2x - x -1 4≥5，解得 x - ．
3
綜上， f x 5 4 ù的解集為 - ,- ú 2, ． 3
（2）當 x 1時， f x = 3x -1 2；
當-1 < x <1時， f x = 3- x 2,4 ；
當 x -1時， f x =1- 3x 4．
所以 f x 的最小值為 2，即m = 2 ，則 a b c = 2，
所以 a b c 2 = a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac 1 1 1 1 = a2 b2 a2 c2 1 b2 1 c2
2 2 2 2 2 2
2ab 2ac 2ac
1
2 a2 1× b2 2 1 a2 1× c2 1 2 b2 1× c2 2ab 2ac 2bc = 3 ab bc ac ，
2 2 2 2 2 2
2
當且僅當 a = b = c = 時，取等號，
3
即 ab bc ac
4 4
，所以 ab ac bc的最大值為 ．
3 3
17．（2024·青海·一模）已知正數 a,b,c滿足 a b c = 2．求證：
(1) a2 b2 c2
4
；
3
(2) 3a 2 3b 2 3c 2 6．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
2
【分析】（1）根據 a b c = a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac，結合基本不等式，即可得證；
（2）由 3a 2 3b 2 3c
1
2 = × (2 × 3a 2 2 × 3b 2 2 × 3c 2)，結合基本不等式，
2
即可得證.
【詳解】（1）證明：因為正數 a,b,c滿足 a b c = 2，
由 a2 b2 2ab,b2 c2 2bc,a2 c2 2ac，當且僅當 a = b = c時，等號成立，
2
可得 a b c = a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac 3(a2 b2 c2 )，
即3(a2 b2
4
c2 ) 4 2 2，所以 a b c2 ，當且僅當 a = b = c時，等號成立.
3
（2）證明：由 3a 2 3b
1
2 3c 2 = × (2 × 3a 2 2 × 3b 2 2 × 3c 2)
2
1 (4 3a 2 4 3b 2 4 3c 2 1 3 ) = ×[ (a b c) 9] = 6，
2 2 2 2 2 2
當且僅當3a 2 = 4,3b 2 = 4,3c 2 = 4，即 a
2
= b = c = ，等號成立.
3
所以 3a 2 3b 2 3c 2 6 .
18．（2024·廣東·一模）海參中含有豐富的蛋白質、氨基酸、維生素、礦物質等營養元素，隨
著生活水平的提高，海參逐漸被人們喜愛．某品牌的海參按大小等級劃分為 5、4、3、2、1
五個層級，分別對應如下五組質量指標值： [300,350)， [350,400)， [400,450)， [450,500)，
[500,550]．從該品牌海參中隨機抽取 10000 顆作為樣本，統計得到如圖所示的頻率分布直
方圖．
(1)質量指標值越高，海參越大、質量越好，若質量指標值低于 400 的為二級，質量指標值
不低于 400 的為一級．現利用分層隨機抽樣的方法按比例從不低于 400 和低于 400 的樣本
中隨機抽取 10 顆，再從抽取的 10 顆海參中隨機抽取 4 顆，記其中一級的顆數為 X，求 X 的
分布列及數學期望；
(2)甲、乙兩人計劃在某網絡購物平臺上參加該品牌海參的訂單“秒殺”搶購活動，每人只能搶
*
購一個訂單，每個訂單均由 n n 2, n N 箱海參構成．假設甲、乙兩人搶購成功的概率均
1
為 n 5 2 ，記甲、乙兩人搶購成功的訂單總數量為 Y，搶到海參總箱數為 Z．
①求 Y 的分布列及數學期望；
②當 Z 的數學期望取最大值時，求正整數 n 的值．
【答案】(1)分布列見解析，期望E X 8=
5
2
(2)①分布列見解析，期望值E Y = n 5 2 ；②正整數 n 的值為 5；
3
【分析】（1）利用頻率分布直方圖計算出分層抽樣比為 ，可得抽取的 10 顆樣本中有 6 顆
2
二級品，4 顆一級品，利用超幾何分布公式計算概率即可得分布列和期望值；
（2）①易知訂單總數量為 Y 的所有可能取值為0,1,2，分別求得對應概率可得 Y 的分布列
和期望值；
E Z = nE Y 2=
② 顯然Z = nY ，利用期望值性質計算可得 n 10 25 ，再由基本不等式即
n
可得 Z 的數學期望取最大值時，正整數 n 的值為 5.
【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，質量指標為二級與一級的分層隨機抽樣的比例為
0.008 0.004 3
= ；
0.005 0.002 0.001 2
所以抽取的 10 顆樣本中有 6 顆二級品，4 顆一級品；
從抽取的 10 顆海參中隨機抽取 4 顆，記其中一級的顆數為 X，則 X 的所有可能取值為
0,1,2,3,4；
4
P X C 1 C
3C1 8 C2C2 3
易知 = 0 = 64 = ，P X =1 = 6 44 = , P X = 2 = 6 44 = ,C10 14 C10 21 C10 7
C1 3 4P X = 3 = 6C4 44 = , P X = 4
C 1
= 4 =
C10 35 C
4
10 210
；
所以可得 X 的分布列為
X 0 1 2 3 4
1 8 3 4 1
P 14 21 7 35 210
E X 0 1 1 8 3可得數學期望 = 2 3 4 1 8 4 = .
14 21 7 35 210 5
（2）根據題意可知訂單總數量為 Y 的所有可能取值為0,1,2，
2 2
é ù n2 10n 24
則P Y 1= 0 = ê1- ú = ；
ê n 5
2
ú n 5
4
1 é 1 ù 2 n2 10n 24 P Y =1 = C12 × ê1- ú = ； n 5 2 2 4 ê n 5 ú n 5
P Y 2 1= =
n 5 4 ；
所以 Y 的分布列為
Y 0 1 2
2n2 10n 24 2 n2 10n 24 1
P
4
4
n 5 4 n 5 n 5
n2 2 10n 24 2 n2 10n 24 1 2
數學期望E Y = 0 1 2 = ；
n 5 4 n 5 4 n 5 4 n 5 2
2n
易知Z = nY ，所以E Z = E nY = nE Y = n 5 2 ；
又 n 2,n N* ，
E Z 2n 2n 2 2 1= = = =
所以Z 的數學期望 n 5 2 n2 10n 25 n 10 25 10
n 10 2 n
25 ，

n
25 1
當且僅當 n = ，即 n = 5時，等號成立，E Z 取得最大值 ；
n 10
因此 Z 的數學期望取最大值時，正整數 n 的值為 5.
19．（2023·四川達州·二模）在VABC 中，角A 、 B 、C 所對的邊分別為 a、b 、 c，
b c a 3a
= .
cosB cosC cosA cosBcosC
(1)求 tan B tan C；
(2)若bc = 3，求VABC 面積S 的最小值.
1
【答案】(1) 2
(2) 2
【分析】（1）利用正弦定理結合兩角和的余弦公式化簡可得出 2sinBsinC = cosBcosC ，即可
求得 tan B tan C的值；
（2）分析可知 B 、C 均為銳角，利用兩角和的正切公式結合基本不等式可得出
tan A - 2 ，求出 sin A 的最小值，即可求得S 的最小值.
b c a 3a
【詳解】（1）解：Q = ，
cosB cosC cosA cosBcosC
\ bcosC ccosB cosA = a cosBcosC 3cosA .
由正弦定理得 sinBcosC cosBsinC cosA = sinA cosBcosC 3cosA .
\sin B C cosA = sinA cosBcosC 3cosA .
因為0 < A < π ，則 sin A > 0，
Q A B C = π ， sin B C = sinA，
則 cosA = -cos B C = sinBsinC - cosBcosC ，
所以， cos A = cos B cosC 3cos A，即 2cos A cos B cosC = 0，
所以， 2 sinBsinC - cosBcosC cos B cosC = 0，
1
\2sinBsinC = cosBcosC ，即 tanBtanC = .
2
1
（2）解：由（1）得 tanBtanC = .
2
ìtan B < 0
若 í ，則 B 、C 均為鈍角，則B C > πtan C 0 ，矛盾， <
所以， tan B > 0， tan C > 0，此時 B 、C 均為銳角，合乎題意，
\ tanA = -tan B tanB tanC C = = -2 tanB tanC -4 tanBtanC = -2 2 ，
tanBtanC -1
2
當且僅當 tanB = tanC = 時，等號成立，且A 為鈍角.
2
Q tan A -2 2 ，則 tan π - A 2 2 ，且 π - A為銳角，
ì
tan
sin π - Aπ - A = 2 2
cos π - A
由 ísin2 π - A cos2 π - A =1 2 2 2 2，解得 sin π - A ，即 sin A ，
cos π A 0 3 3 - >
sin π - A > 0
當且僅當 tanB = tanC 2= 時，等號成立，
2
Qbc = 3 S 1 bc sin A 3 sin A 3 2 2，\ = = = 2 .
2 2 2 3
因此，VABC 面積的最小值為 2 .
拓展沖刺練
一、單選題
1．（2024·遼寧·一模）已知 a,b R
a b
．則“ a > 0且b > 0 ”是“ 2 ”的（ ）
b a
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】根據條件，利用充分條件和必要條件的判斷方法，即可求出結果.
a b a b a b a b
【詳解】當 a > 0且b > 0時， > 0, > 0，所以 2 × = 2，當且僅當 = ，即 a = b
b a b a b a b a
時取等號，
a b
所以由 a > 0且b > 0可以得出 2，
b a
a b
顯然，當 a = b = -2，有 2成立，但得不出 a > 0且b > 0，
b a
a b
所以“ a > 0且b > 0 ”是“ 2 ”的充分而不必要條件，
b a
故選：A.
2．（2024·山東濟寧·一模）已知VABC 的內角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，且 a = 3，
a cos B = (2c - b)cos A，則VABC 面積的最大值為（ ）
A 9 3 9 3
9 9
． B． C． D．
4 2 4 2
【答案】A
【分析】利用正弦定理對已知條件進行邊角轉化，求得A ，結合余弦定理以及不等式求得bc
的最大值，再求三角形面積的最大值即可.
【詳解】因為a cos B = (2c - b)cos A，由正弦定理可得： sin Acos B = 2sin C cos A - sin B cos A，
即 sin A B = 2sin C cos A， sin C = 2sin C cos A，
又C 0, π 1， sin C π 0，故 cos A = ；由 A 0, π ，解得 A = ；
2 3
1 b2 c2 - 9
由余弦定理，結合 a = 3，可得 cos A = = ，
2 2bc
即b2 c2 = bc 9 2bc ，解得bc 9，當且僅當b = c = 3時取得等號；
故VABC 1的面積 S = bc sin A 1 3 bc 3 9 9 3= = ，當且僅當b = c = 3時取得等號.
2 2 2 4 4
9 3
即VABC 的面積的最大值為 .
4
故選：A.
3．（2024·湖北武漢·模擬預測）在三棱錐 P - ABC 中， AB = 2 2 ， PC = 1， PA PB = 4 ，
CA - CB = 2，且PC ^ AB，則二面角P- AB-C 的余弦值的最小值為（ ）
2 3A 1 10． B． C．
3 4 2
D．
5
【答案】A
【分析】首先得P,C 的軌跡方程，進一步作二面角P- AB-C 的平面角為 PHC ，結合軌
跡的參數方程以及余弦定理、基本不等式即可求解，注意取等條件.
2 2
【詳解】因為PA PB = 4 = 2a，所以 a = 2 x y，點 P 的軌跡方程為 =1（橢球），
4 2
又因為CA - CB = 2，所以點C 的軌跡方程為 x2 - y2 =1，（雙曲線的一支）
過點 P 作PH ^ AB, AB ^ PC ，而PH PC = P, PF , PC 面PHC ，
所以 AB ^ 面PHC ，
設O為 AB 中點，則二面角P- AB-C 為 PHC ，
π ù
所以不妨設OH = 2cosq ,q 0, ú , PH = 2 sinq ,CH = 4cos
2 q -1，
2
2
cos PHC 2sin q 4cos
2 q -1-1 2cos2 q 2 1- sin2 q
所以 = = = × ，
2 2 sinq 4cos2 q -1 2 2 sinq 4cos2 q -1 2 sinq 3- 4sin2 q
2 2
cos2 PHC 1
1- sin q
所以 = × ，令1- sin2 q = t,0 < t <1，
2 sin2 q 3 - 4sin2 q
21- sin2 q 2 2
cos2 PHC 1 1 t 1 t 2 = × = × × =
所以 2 sin2 q 3 - 4sin2 q 2 1- t 4t -1 2 1- t 4t -1 2 9 ，

2
2
等號成立當且僅當 t = =1- sin2 q ，
5
15 10
所以當且僅當 sinq = , cosq = 時， cos PHC 2= .
5 5 min 3
故選：A.
【點睛】關鍵點點睛：關鍵是用定義法作出二面角的平面角，結合軌跡方程設參即可順利得
解.
4．（23-24 高三上·江蘇鎮江·開學考試）某校在校慶期間舉辦羽毛球比賽，某班派出甲 乙兩
名單打主力，為了提高兩位主力的能力，體育老師安排了為期一周的對抗訓練，比賽規則如
下：甲、乙兩人每輪分別與體育老師打 2 局，當兩人獲勝局數不少于 3 局時，則認為這輪訓
4
練過關；否則不過關.若甲 乙兩人每局獲勝的概率分別為 p1， p2，且滿足 p1 p2 = ，每局3
之間相互獨立.記甲、乙在 n輪訓練中訓練過關的輪數為 X ，若E X =16，則從期望的角度
來看，甲 乙兩人訓練的輪數至少為（ ）
A．27 B．24 C．32 D．28
【答案】A
【分析】先求得每一輪訓練過關的概率，利用二項分布的期望列方程，結合基本不等式以及
二次函數的性質求得正確答案.
【詳解】設每一輪訓練過關的概率為 p ，
則 p = p2 p2 2 1 2 11 2 p1 C2 p2 1- p2 p2 C2 p1 1- p1
= -3p21 p
2
2 2 p1 p2 p1 p2 = -3p2 p21 2 2 p1 p
4
2 = -3p
2
1 p
2 8
2 p1 p ，3 3 2
2
0 < p p p1 p2 4
2
1 2 = ，當且僅當 p2 9 1
= p2 = 時等號成立.
3
y 3x2 8函數 = - x 的開口向上，對稱軸為 x
4
= ，
3 9
2
所以0 < -3p2 p2 8 4 8 4 161 2 p1 p2 -3 ×

× = ，3 9 3 9 27
依題意， X : B n, p E X = n -3p2 p2 8，則 1 2 p1 p

2 =16，
3
n 16 16= = 27
-3p2 p2 8 p p 16 ，所以至少需要 27輪.1 2 3 1 2 27
故選：A
【點睛】方法點睛：求解相互獨立事件和獨立重復事件結合的問題，要注意區別兩者的不同，
相互獨立事件的概率可以不相同，獨立重復事件概率是相同的.求最值的方法可以考慮二次
函數的性質，也可以考慮基本不等式，利用基本不等式時，要注意“一正二定三相等”.
二、多選題
sinx
5．（2024·江蘇·一模）已知函數 f x = ，則（ ）
2 - cos2x
A． f x 的最小正周期為 π B． f x 的圖象關于點 π,0 對稱
C．不等式 f x > x 2無解 D． f x 的最大值為
4
【答案】BD
【分析】對于選項 A:驗證 f π x = f x 是否成立即可判斷；對于選項 B:驗證
f 2π - x = - f x 是否成立即可判斷；對于選項 C:利用 f -π = 0 > -π 即可驗證 f x > x有
解；對于選項 D:利用二倍角公式，結合基本不等式即可判斷.
sin π x -sinx【詳解】對于選項 A: f π x = = f x ,\π f x 2 cos2 π x 2 cos2x 不是 的周期，故- -
A 錯誤;
sin 2π - x
對于選項 B: f 2π x
-sinx
- = = = - f x ,\ f x π,02 - cos2 2π - x 2 - cos2x 關于 對稱，故 B 正
確；
對于選項 C: f -π = 0 > -π,\ f x > x 有解，故 C 錯誤；
f x sinx sinx對于選項 D: = =2 - 1- 2sin2x 2sin2x 1，若 sinx 0 ，則 f x 0 ，
sinx > 0, f x
1 1 2
= =
若 則 ，
2sinx 1 2 2 4
sinx
當且僅當 2sinx
1
= 2，即 sinx = 時，原式取等，故 D 正確.sinx 2
故選:BD.
6．（23-24 a高三上·江蘇連云港·階段練習）已知 a > 0， e 1- ln b =1，則（ ）
A．1< b < e B．a > ln b C． ea - ln b <1 D．b - a <1
【答案】ABD
【分析】由已知條件，利用對數式的運算判斷范圍，通過構造函數，利用基本不等式和導數
求最值判斷不等式是否成立.
1
【詳解】已知 a > 0，則 ea > 1，有0 <
ea
<1，
a
由 e 1- ln b =1 1，得1- ln b = a ，則0 <1- ln b <1，即0 < ln b <1，e
所以1< b < e，A 選項正確；
函數 f x = ex - x -1，有 f x = ex -1，
x < 0 時， f x < 0， f x 單調遞減， x > 0時， f x > 0， f x 單調遞增，
f x = f 0 = 0 f x = ex - x -1 0min ， ，即 ex x 1， x = 0時等號成立，
a 0 1 ln b 1已知 > ，由 - = a = e
-a > -a 1，所以a > ln b，B 選項正確；
e
1 1
已知 a > 0，則 ea > 1， ea a 2 e
a 1× a = 2
a
，當且僅當 e = ，即
ea e
a =1等號成立，
e e
所以 ea
1
a > 2，有 ea 1- ln b > 2，得 ae e - ln b >1
，C 選項錯誤；
1
設1- ln b = a = t ，有0 < t <1，則 a = - ln t ，b = e1-t ，有e b - a = e
1-t ln t ，
設 g t = e1-t ln t 0 < t <1 g t e1-t 1，有 = - ，
t
設 p t = ln t - t 1 0 < t <1 1，則 p t = -1 > 0 0 < t <1 ，
t
所以 p t = ln t - t 1< 0，即 ln t < t -1，- ln t >1- t ，
1 1-t
所以 > e ， g t >0在 0,1 上恒成立，
t
得 g t 在 0,1 上單調遞增， g t < g 1 =1，即b - a <1，D 選項正確.
故選：ABD.
【點睛】方法點睛：
導數是研究函數的單調性、極值(最值)最有效的工具，要證明不等式，構造一個適當的函數，
利用它的單調性進行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能
獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.
7．（2023·全國·模擬預測）實數 a，b 滿足 a2 4b2 = 2，則（ ）
ab 1A．
2
B． a b 的最大值為 2 3
é
a b 10 10
ù
C． - ê- ,2 2 ú
D a 2b a3 8b3 9． 的最大值為
2
【答案】ACD
【分析】對于 A 選項，利用基本不等式即可判斷；對于 B 選項，利用參數方程即可求解；
對于 C 選項，利用 B 選項即可求解；對于 D 選項，令 t = 2ab 即可求解,
【詳解】對于 A 選項，由 a2 4b2 4ab ，得 4ab 2，
ab 1所以 ，當且僅當 a = 2b時取“=”，故 A 正確；
2
ìa = 2 cosq ,

對于 B 選項，令 í 2 且q 0,2p ，則 a b = 2 cosq
2 sinq 10 = sin q j ，
b = sinq , 2 2
2
sinj 2其中 = ， cosj
1
= ，
5 5
又q 0,2p ，所以 sin q j 的最大值為 1，
所以 a b 10的最大值 ，故 B 錯誤；
2
2
對于 C 選項，由 B 中的分析知， a - b = 2 cosq - sinq 10= - sin q -j ，
2 2
其中 sinj
2 cosj 1= ， = ，
5 5
é 10 10 ù
又q 0,2p ，所以 a - b ê- ,2 2 ú ，故 C 正確；
對于 D 選項，令 t = 2ab ，
則 a 2b a3 8b3 = a4 2b 4 a3 ×2b a 2b 3
1 2
= a2 2 4b2 - 2 2ab 2 2ab a2 4b2 = 4 - 2t 2 2t 9= -2 t - ，
2 2
1
t 1 t = a 2b a3 8b3 9且 ，所以當 時， 取最大 ，
2 2
故 D 正確.
故選：ACD.
三、填空題
2 1
8．（2024·四川成都·模擬預測）已知實數 x > 0，y > 0，若 2x 3y =1，則 x y 的最小值為 ．
【答案】7 4 3 / 4 3 7
【分析】由乘“1”的方法，利用基本不等式求最值.
【詳解】由 x > 0，y > 0，
2 1 2 1 1 2 1 2x 3y 4 3 6y 2x = = = x y x y x y x y
6y 2x
7 2 × = 7 4 3 ，
x y
ì
x 6 - 3 3=
6y 2x 3
當且僅當 =x y ，即 í 時，等號成立， y 2 3 - 3 = 3
2 1
所以 x y 的最小值為為7 4 3 .
故答案為：7 4 3 .
9．（2024·福建漳州·模擬預測）如圖，某城市有一條公路從正西方向 AO 通過路口O后轉向
西北方向OB，圍繞道路OA,OB打造了一個半徑為 2km的扇形景區，現要修一條與扇形景區
相切的觀光道MN ，則MN 的最小值為 km．
【答案】 4 2 4
【分析】在VOMN 2中，利用余弦定理結合基本不等式可得MN 2 2 ab ，利用正弦定
4
理可得 ab = sinasin 45° -a ，利用三角函數的有界性建立不等式，即可求解.
【詳解】如圖，設切點為 P ，連接OP．由題意得 MON =135°，
設OM = akm,ON = bkm ，
在VOMN 中，
MN 2 = a2 b2 - 2ab cos135°
= a2 b2 2ab 2 2 ab ,
當且僅當 a = b時取等號．
設 OMN = a ，則 ONM = 45° -a ，
2
所以 a = ,b
2
=
sina sin 45° -a ，
故 ab
4
=
sinasin 45° -a
16 16
=
2sin 2a 45° - 2 2 - 2
（當且僅當a = 22.5°時取等號），
16 2 2
所以MN 2 =16( 2 1)2 ，
2 - 2
解得MN 4 2 1 ，所以MN 的最小值為 4 2 4 km．
故答案為： 4 2 4 .
四、解答題
10．（2023·四川資陽·模擬預測）已知 a > 0，b > 0，且 a b = 2 ．
(1)求 a2 b2 的最小值；
(2)證明： a 1 b 1 2 2 ．
【答案】(1)2
(2)證明見解析
【分析】（1）由基本不等式即可求出 a2 b2 的最小值．
2 a 1 b 1 4 2 a 1 2 b 1 a 3 b 3（2）化簡已知得 ，即 = 4，利用基2 2
本不等式即可得證.
【詳解】（1）（2）因為 a b = 2 ，所以 a2 b2 2ab = 4，所以 a 2 b2 = 4 - 2ab．
2
因為 a > 0，b > 0 a b ，所以 ab = 1，當且僅當 a = b =1時，等號成立，
2
則 a2 b2 4 - 2 = 2，即 a2 b2 的最小值是 2．
（2）證明：因為 2 a 1
a 3
，當且僅當 a =1時，等號成立，
2
2 b 1 b 3 ，當且僅當b =1時，等號成立，
2
所以 2 a 1 2 b 1
a 3 b 3
= 4．當且僅當 a = b =1時，等號成立
2 2
則 2 a 1 b 1 4，即 a 1 b 1 2 2 ，當且僅當 a = b =1時，等號成立．
【點睛】關鍵點睛：本題第二小問中用配湊法將 a 1 b 1 2 2 的證明轉化為
2 a 1 a 3 b 3 b 1 4的證明，其中 = 4是解題關鍵，本題考查不等式的證明，基2 2
本不等式的應用，屬于較難題.
11．（22-23 高一下·四川·期末）蜀繡又名“川繡”，與蘇繡，湘繡，粵繡齊名，為中國四大名
繡之一，蜀繡以其明麗清秀的色彩和精湛細膩的針法形成了自身的獨特的韻味，豐富程度居
四大名繡之首．1915 年，蜀繡在國際巴拿馬賽中榮獲巴拿馬國際金獎，在繡品中有一類具
有特殊比例的手巾呈如圖所示的三角形狀，點 D 為邊 BC 上靠近 B 點的三等分點，
ADC = 60°， AD = 2．
(1)若 ACD = 45°，求三角形手巾的面積；
AC
(2)當 取最小值時，請幫設計師計算 BD 的長．
AB
(1) 9 3 3【答案】
4
(2) 3 -1
【分析】（1）由正弦定理求得DC 的長，即可得DB的長，由三角形面積公式即可求得答
案.
2
（2）設CD = BD = 2m, (m > 0) AC，利用余弦定理表示出 AC 2 , AB2 ，即可得 2 的表達式，結AB
合基本不等式確定其最小值，即可求得答案.
【詳解】（1）在VACD中， ACD = 45°， ADC = 60°，故 DAC = 75°， ADB =120°，
DC AD 2 sin 75°
由正弦定理得 = ，即DC = ，
sin DAC sin ACD sin 45°
而 sin 75° = sin(30° 45 1 2 3 2 2 6°) = = ，
2 2 2 2 4
2 2 6
故DC = 4 =1 3 ，
2
2
1 1
故BD = DC = (1 3) ,
2 2
1
故三角形手巾的面積為 SVADC SVADB = AD DC
1
sin ADC AD DB sin ADB
2 2
1 2 (1 3) 3 1 1 3 3 9 3 3= 2 =
2 2 2 2 2 4
（2）設BD = m(m > 0)，則CD = 2m，
則在△ABD 中， AB2 = BD2 AD2 - 2BD × AD cos ADB = m2 4 2m，
在VACD中， AC 2 = CD2 AD2 - 2CD × AD cos ADC = 4m2 4 - 4m，
AC 2 4m2 4 - 4m 4(m2 4 2m) -12(1 m)
故 2 =AB m2
=
4 2m m2 4 2m
4 12(1 m) 12(1 m)= - 2 = 4 - = 4
12
-
m 4 2m (m 1)2 3 (m 1) 3 ，
m 1
3
由于 (m 1) 3 2 (m 1) 3 × = 2 3 ，當且僅當m 1 = ，即
m 1 m = 3 -1
時取等號，
m 1 m 1
4 12 4 12- - = 4 - 2 3
故 (m 1) 3 2 3 ，
m 1
AC 2 AC
即 2 取到最小值即 取最小值時，m = 3 -1，AB AB
即此時BD = 3 -1 .
AC
【點睛】關鍵點睛：第二問求解 取最小值時 BD的長，關鍵是設CD = BD = 2m, (m > 0)，
AB
AC 2
分別利用余弦定理表示出 AC 2 , AB2 ，從而可得 2 的表達式，進而利用基本不等式求解.AB
12．（2024·江蘇鹽城·模擬預測）根據多元微分求條件極值理論，要求二元函數 z = f (x, y)在
約束條件 g(x, y) 的可能極值點，首先構造出一個拉格朗日輔助函數
L(x, y,l) = f (x, y) lg(x, y)，其中l 為拉格朗日系數．分別對 L(x, y,l) 中的 x, y, λ部分求導，
并使之為 0，得到三個方程組，如下：
ìLx (x, y,l) = fx (x, y) lgx (x, y) = 0

íLy (x, y,l) = f y (x, y) lg y (x, y) = 0，解此方程組，得出解 (x, y)，就是二元函數 z = f (x, y)

Ll (x, y,l) = g(x, y) = 0
在約束條件 g(x, y) 的可能極值點． x, y的值代入到 f (x, y)中即為極值．
補充說明：【例】求函數 f (x, y) = x2 xy y2關于變量 x 的導數．即：將變量 y 當做常數，即：
fx (x, y) = 2x y ，下標加上 x ，代表對自變量 x 進行求導．即拉格朗日乘數法方程組之中的
Lx , Ly , Ll 表示分別對 x, y, λ進行求導．
(1)求函數 f (x, y) = x2 y2 2xy xy2關于變量 y 的導數并求當 x =1處的導數值．
(2)利用拉格朗日乘數法求：設實數 x, y滿足 g(x, y) = 4x2 y2 xy -1 = 0 ，求 f (x, y) = 2x y
的最大值．
1
(3)①若 x, y, z 2 2 2為實數，且 x y z =1，證明： x y z ．
3
②設 a > b > c > 0，求 2a2
1 1
-10ac 25c2
ab a(a - b) 的最小值．
【答案】(1) f y (x, y) = 2x
2 y 2x 2xy， f y (1, y) = 4y 2；
(2) 2 10 ；
5
(3)①證明見解析；②4.
【分析】（1）根據給定條件，對變量 y 求導并求值.
（2）利用拉格朗日乘數法求出極值，再判斷并求出最大值.
（3）①利用換元法，結合平方數是非負數推理即得；②利用二次函數、均值不等式求出
最小值.
2
【詳解】（1）函數 f (x, y) = x2 y2 2xy xy2，對變量 y 求導得： f y (x, y) = 2x y 2x 2xy，
當 x =1時， f y (1, y) = 4y 2 .
（2）令 L(x, y,l) = 2x y l(4x2 y2 xy -1) ，
ì 10 ì 10
x = - x =
L (x, y,l) 2 8lx l y 0 10

10ì x = =
10
則 íLy (x, y,l) =1 2l y
10
lx = 0 ，解得 íy = -

或 íy = ，
L (x, y,l) = 4x2 y2
5 5
l xy -1 = 0
l 10
10
= l = -
5 5
于是函數 f (x, y)在約束條件 g(x, y) = 0 ( 10 , 10的可能極值點是 - - ) ( 10 , 10， )，
10 5 10 5
x 10 , y 10 f (x, y) f ( 10 , 10 ) 2 10當 = - = - 時，函數 的一個極值為函數 - - = - ，
10 5 10 5 5
x 10 , y 10 f (x, y) f ( 10 , 10 ) 2 10當 = = 時，函數 的一個極值為函數 = ，
10 5 10 5 5
方程 4x2 y2 xy -1 = 0視為關于 x 的方程： 4x2 yx y2 -1 = 0 ，則 D1 = y
2 -16(y2 -1) 0，
解得 | y |
4
，
15
2 2 2
視為關于 y 的方程： y2 xy 4x2 -1 = 0，則D2 = x - 4(4x -1) 0，解得 | x | ，15
因此函數 z = f (x, y) 2 10 2 10對應的圖形是封閉的，而 > - ，
5 5
所以 f (x, y) 2 10的最大值為 .
5
（3）①由 x y z =1， x, y, z R x
1 l , y 1 l , z 1，設 = 1 = = - (l l ),l ,l R ，3 3 2 3 1 2 1 2
x2 y2 z2 1 1則 = ( l1)
2 ( l 2 1 1 12 ) [ - (l l )]
2
1 2 = l
2 l 2 (l l )21 2 1 2 ，3 3 3 3 3
當且僅當l1 = l2 = 0時取等號，
x2 y2 z2 1所以 .
3
1 1
②當 a > b > c > 0時， 2a2 -10ac 25c2 a2
(a - b) b
= (a - 5c)2
ab a(a - b) ab(a - b)
ìa = 5c
a2 1 1 a2 = a2 4 2 a2 4 × = 4
b(a - b) (b a - b)2 a
2 a2 ，當且僅當 íb = a - b時取等號，
2 a = 2
2 1 1
所以5c = 2b = a = 2 時， 2a -10ac 25c
2
ab a(a b) 取得最小值 4.-
【點睛】方法點睛：利用基本不等式最值的方法與技巧：
①在運用基本不等式時，要特別注意“拆”、“拼”、“湊”等技巧，使用其滿足基本不等式的“一
正”、“二定”、“三相等”的條件；
②利用基本不等式求最值時，要從整體上把握運用基本不等式，有時可乘以一個數或加上
一個數，以及“1”的代換等應用技巧.

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