資源簡介

考點 08 函數的奇偶性、周期性（3 種核心題型+基礎保分練+
綜合提升練+拓展沖刺練）
【考試提醒】
1.了解函數奇偶性的含義，了解函數的周期性及其幾何意義.
2.會依據函數的性質進行簡單的應用．
【知識點】
1．函數的奇偶性
奇偶性 定義 圖象特點
一般地，設函數 f(x)的定義域為 D，
偶函數 如果 x∈D，都有－x∈D，且 f(－x)＝ 關于 y 軸對稱
f(x)，那么函數 f(x)就叫做偶函數
一般地，設函數 f(x)的定義域為 D，
奇函數 如果 x∈D，都有－x∈D，且 f(－x)＝ 關于原點對稱
－f(x)，那么函數 f(x)就叫做奇函數
2.周期性
(1)周期函數：一般地，設函數 f(x)的定義域為 D，如果存在一個非零常數 T，使得對每一個
x∈D 都有 x＋T∈D，且 f(x＋T)＝f(x)，那么函數 y＝f(x)就叫做周期函數，非零常數 T 叫做
這個函數的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函數 f(x)的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數
就叫做 f(x)的最小正周期．
常用結論
1．奇函數在關于原點對稱的區間上具有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上具
有相反的單調性．
2．函數周期性常用結論
對 f(x)定義域內任一自變量的值 x：
(1)若 f(x＋a)＝－f(x)，則 T＝2a(a>0)．
1
(2)若 f(x＋a)＝ ，則 T＝2a(a>0)．
f x
【核心題型】
題型一　函數奇偶性的判斷
判斷函數的奇偶性，其中包括兩個必備條件
(1)定義域關于原點對稱，否則即為非奇非偶函數．
(2)判斷 f(x)與 f(－x)是否具有等量關系，在判斷奇偶性的運算中，可以轉化為判斷奇偶性的
等價等量關系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函數)或 f(x)－f(－x)＝0(偶函數))是否成立．
π
【例題 1】（多選）（2024·遼寧·模擬預測）函數 f x 的圖像向左平移 個單位長度后得到
6
y = 2sin2 x + cos 2x π- 3 ÷
的圖像，則（ ）
è
A． f 0 =1 B． f x 是偶函數
C． f x π的圖像關于點 ,1
π
÷中心對稱 D．當 x = 時， f x 2 取到最小值è 4
【答案】BC
【分析】利用三角變換和圖象變換得到 f x = -cos 2x +1，代入計算后可判斷 AD 的正誤，
根據定義可判斷 B 的正誤，利用整體法可求判斷 C 的正誤.
π 1 3
【詳解】 y = 2sin2 x + cos 2x -

÷ =1- cos 2x + cos 2x + sin 2x
è 3 2 2
3
= sin 2x 1- cos 2x +1 = sin 2x π- ÷ +1，2 2 è 6
故 f x = sin 2x π π - -
+1 = -cos 2x +1，
è 3 6 ÷
對于 A， f 0 = -cos 0 +1 = 0，故 A 錯誤.
對于 B， f -x = -cos -2x +1 = -cos 2x +1 = f (x) ，而 x R ，故 f x 為偶函數，故 B 正確.
2x kπ π對于 C，令 = + ,k Z x
kπ π
，則 = + ,k Z，
2 2 4
f x kπ π π 故 的圖像的對稱中心對稱為 + ,1÷ ,k Z，當 k = 0時，對稱中心為 ,1 ，故 C 正
è 2 4 4 ÷ è
確.
f x cos 2x 1 2 cos π 1 f π f π對于 D， = - + = - + = ÷，故 ÷為 f x 取到最大值，故 D 錯誤.
è 2 è 2
故選：BC.
【變式 1】（2024·北京豐臺·一模）已知函數 f x 具有下列性質：
①當 x1, x2 0,+ 時，都有 f x1 + x2 = f x1 + f x2 +1；
②在區間 0, + 上， f x 單調遞增；
③ f x 是偶函數．
則 f 0 = ；函數 f x 可能的一個解析式為 f x = ．
【答案】 -1 f (x) =| x | -1（答案不唯一）
【分析】令 x1 = x2 = 0即可求出 f 0 ，再找到符合題意的函數解析式（一個），然后一一驗
證即可.
【詳解】因為當 x1, x2 0,+ 時，都有 f x1 + x2 = f x1 + f x2 +1，
令 x1 = x2 = 0可得 f 0 = f 0 + f 0 +1，解得 f 0 = -1，
不妨令 f (x) =| x | -1， x R ，
x -1, x 0
則 f (x) x 1
ì
= - = í ，所以 f x 在 0, + x 1, x 0 上單調遞增，滿足②； - - <
又 f (-x) =| -x | -1 =| x | -1 = f (x)，所以 f x 為偶函數，滿足③；
當 x1, x2 0,+ 時 f x1 + x2 = x1 + x2 -1 = x1 + x2 -1，
f x1 = x1 -1 = x1 -1， f x2 = x2 -1 = x2 -1，
所以 f x1 + x2 = f x1 + f x2 +1，滿足①.
故答案為： -1； f (x) =| x | -1（答案不唯一）
2 2024· · f x e
x - e- x ex + e- x
【變式 】（ 內蒙古赤峰 一模）已知 = ， g x = ．下列結論中可能2 2
成立的有 ．
① f 2x = 2 f x × g x ；
2 2② g 2x = é f x ù - é g x ù ；
③ h x
f x
=
g x 是奇函數；
④對"x0 > 0 ， f f x0 > f x0 ．
【答案】①③④
【分析】根據題意，由指數的運算即可判斷①②，由函數奇偶性的定義即可判斷③，利用
導數判斷函數的單調性，即可判斷④.
ex - e- x x - x 2x -2x
【詳解】因為 2 f x × g x = 2 e + e e - e× × = = f 2x ，故①正確；
2 2 2
2x -2x
f 2 2x g x e - 2 + e e
2x + 2 + e-2x
因為 é ù - é ù = - = -1 g 2x ，故②錯誤；4 4
ex - e- x e2x -1
f x
h x 2 e
x - e- x x e2x -1 2
因為 = = x - x = =
e
g x e + e ex + e- x e2x
= 2x =1-1 ，+ e +1 e2x +1
2 ex
定義域為R ，關于原點對稱，
2x
h -x =1 2 2 2e- -2x =1- =1-則 e +1 1+ e2x e2x +1，
e2x
2x 2 e2x +1
2e 2 所以 h -x + h x =1- 2x +1- = 2 - = 0，e +1 e2x +1 e2x +1
f x
所以 h x = g x 是奇函數，故③正確；
x
m x f x x e - e
- x
令 = - = - x ，其中 x 0, + ，
2
m x 1= ex + e- x 1 1- 2 ex - x則 ×e -1 = 0 ，2 2
當且僅當 ex = e- x 時，即 x = 0時，等號成立，
所以m x > 0，即函數m x 在 0, + 上單調遞增，
所以m x > m 0 = 0，即 f x > x，
f x 1= ex + e- x 1 2 ex - x又 ×e =1，2 2
當且僅當 ex = e- x 時，即 x = 0時，等號成立，
所以 x 0, + 時， f x >1 > 0，則函數 f x 在 0, + 上單調遞增，
所以對"x0 > 0 ， f f x0 > f x0 ，故④正確；
故答案為：①③④
【變式 3】（2024· x河南信陽·一模）若函數 f (x) = sin x ×[log3(9 + 2m) - x]的圖像關于原點對稱，
則 m＝ ．
1
【答案】 / 0.5
2
【分析】根據題意，由條件可得 g(x) = log3(9
x + 2m) - x = log (3x 2m3 + x )為偶函數，再由偶函3
數的性質即可得到結果.
【詳解】因為 f x 的圖像關于原點對稱，則 f x 為奇函數，且 y = sin x 為奇函數，
g(x) log (9x 2m) x 2m則 = 3 + - = log (3
x
3 + x )為偶函數，即 g(-x) = g(x)，3
log3(3
- x + 2m ×3x ) = log3(3
x + 2m 1×3- x )，則 2m =1，則m = ．
2
1
故答案為： 2
題型二　函數奇偶性的應用
(1)利用函數的奇偶性可求函數值或求參數的取值，求解的關鍵在于借助奇偶性轉化為求已
知區間上的函數或得到參數的恒等式，利用方程思想求參數的值．
(2)利用函數的奇偶性可畫出函數在其對稱區間上的圖象，結合幾何直觀求解相關問題．
命題點 1　利用奇偶性求值(解析式)
【例題 2】（2023·四川·模擬預測）已知 f x 是定義在R 上的奇函數，當 x 0 時，
f x = x2 - ax + a -1，則滿足 f x 0的 x 的取值范圍是（ ）
A． - , -1 0,1 B． -1,1 C． -1,0 1, + D． - , -1 1, +
【答案】C
【分析】先通過函數為奇函數求出 a，再通過求解二次不等式以及奇函數的對稱性得答案.
【詳解】依題意 f x 是奇函數，所以 f 0 = a -1 = 0，即 a =1，
則 f x = x2 - x， x 0 ，
當 x 0 時，令 f x 0，解得 x 1或 x = 0，
根據對稱性，當-1 x < 0時， f x 0，
故滿足 f x 0的 x 的取值范圍是 -1,0 1, + ．
故選：C．
【變式 1】（2023·安徽馬鞍山·三模）函數 f (x) 的定義域為R ， y = f (x) + 2ex 是偶函數，
y = f (x) - 3ex 是奇函數，則 f (x) 的最小值為（ ）
A． e B． 5 C． 2 2 D． 2 5
【答案】B
ex + 5e- x
【分析】根據奇偶函數的定義可得 f (x) = ，再利用基本不等式求最小值.
2
x
ì f (x) + 2e = f (-x) + 2e
- x
ex + 5e- x
【詳解】由題意可得 í ，解得 f (x) = ，
f (x) - 3e
x = - é - x f (-x) - 3e ù 2
ex + 5e- x x - x 1
因為 f (x) 2 e 5e= = 5 ，當且僅當 ex = 5e- x，即 x = ln 52 時，等號成立，2 2
所以 f (x) 的最小值為 5 .
故選：B.
【變式 2】（2024·陜西安康·模擬預測）寫出一個對稱中心為 1,0 的奇函數 f x = .
【答案】 sinπx（答案不唯一）
【分析】根據對稱中心，考慮正弦函數（答案不唯一，正確即可）
【詳解】因為奇函數關于原點對稱，且此函數又關于點 1,0 對稱，
所以此函數可類比于正弦函數，
因為正弦函數 y = sinx是奇函數，且關于點 π,0 對稱，
所以可聯想到 f x = sinπx .
故答案為： sinπx（答案不唯一）.
【變式 3】（2024·云南昆明·模擬預測）已知 f x ， g x 分別為定義在R 上的奇函數和偶函
3 2
數， f x + g x = x + ax + a ，則 f 3 = ．
【答案】27
【分析】根據函數奇偶性的定義，利用方程組法求出函數 f x 的解析式，即可得解.
【詳解】因為 f x ， g x 分別為定義在R 上的奇函數和偶函數，
而 f x + g x = x3 + ax2 + a ，①
所以 f (-x) + g(-x) = -x3 + ax2 + a ，即 f (x) - g(x) = x3 - ax2 - a ，②
由① + ②得 f (x) = x3 ，所以 f (3) = 27．
故答案為： 27 .
命題點 2　利用奇偶性解不等式
【例題 3】（2024·廣西柳州·三模）設函數 f x 是定義在R 上的奇函數，且對于任意的 x，
y R ，都有 f x - f y < x - y .若函數 g x - f x = x 2，則不等式 g 2x - x + g x - 2 < 0
的解集是（ ）
A． -1,2 B． 1,2
C． - , -1 U 2, + D． - ,1 U 2, +
【答案】D
【分析】由 f (x) 的奇偶性可判斷 g(x)也為奇函數，然后結合 | f (x) - f (y) |<| x - y |，及單調性
的定義可判斷 g(x)單調遞增，結合單調性及奇函數的定義可求．
【詳解】Q g(x) - f (x) = x，\ g(x) = f (x) + x ，
由于 f x 是定義在R 上的奇函數，即 f x + f -x = 0，
\ g(-x) = f (-x) - x = - f (x) - x = -g(x)，故 g x 為奇函數，
Q對于任意的 x ， y R ，有 | f (x) - f (y) |<| x - y |，
\ g(x) - x - g(y) - y <| x - y | ，
x y g(x) - g(y) - (x - y)當 時，有 < 1| x ，- y |
g(x) - g(y)
即 -1 <1，
x - y
0 g(x) - g(y)\ < < 2， \ g(x)x - y 單調遞增，
Q g(2x - x2 ) + g(x - 2) < 0 ，
\ g(2x - x2 ) < -g(x - 2) = g(2 - x)，
\2x - x2 < 2 - x ，
整理可得， x2 - 3x + 2 > 0 ，
解可得， x > 2或 x <1，
故選：D
【變式 1】（2024·遼寧·一模）已知函數 f x = log2 4x +16 - x - 2，若 f a -1 f 2a +1 成立，
則實數 a 的取值范圍為（ ）
A． - , -2 B． - , -2 U 0, +
é 2, 4ù , 2 U é4- - - , + C． ê ú D．3 ê3 ÷
【答案】C
【分析】構造函數 g x = f x + 2 ，判斷 g x 的奇偶性，再利用導數討論其單調性，然后
根據單調性將不等式去掉函數符號即可求解.
【詳解】記 g x = f x + 2 = log 4x+22 +16 - x - 4, x R，
4x+2 ln 4 4x+2g x -16令 = -1 = 4x+2 +16 ln 2 4x+2
= 0
+16 ，解得 x = 0，
當 x > 0時， g x > 0， g x 單調遞增，
當 x < 0 時， g x < 0， g x 單調遞減.
16 1+ 4x
因為 g -x = log 4- x+22 +16 + x - 4 = log2 x + x - 44
= log 4x+22 +16 - x - 4 = g x ，
所以 g x 為偶函數.
所以 f a -1 f 2a +1 f a - 3+ 2 f 2a -1+ 2 g a - 3 g 2a -1 ，
又 g x 在 0, + 上單調遞增，
所以 a - 3 2a -1
4
，即3a2 + 2a -8 0，解得-2 a .
3
故選：C
【點睛】方法點睛：抽象函數不等式問題主要利用單調性求解，本題需結合奇偶性，并利用
導數研究單調性進行求解.
x
【變式 2】（2024·四川南充·二模）設函數 f x = sin x + e - e- x - x + 3，則滿足
f (x) + f (3 - 2x) < 6的 x 的取值范圍是（ ）
A． - ,1 B． 1, + C． 3, + D． - ,3
【答案】C
【分析】構造函數 g x = f x - 3，說明其單調性和奇偶性, f (x) + f (3 - 2x) < 6轉化為
g(x) < g(2x - 3) 解不等式即可求解.
x - x
【詳解】 f x = sin x + e - e - x + 3，
設 g x = f x - 3 = sin x + ex - e- x - x ，
又易知 g(-x) = -g(x)，\ g(x) 為R 上的奇函數，
又 g (x) = cos x + ex + e- x -1 cos x + 2 -1 =1+ cos x 0，
\ g(x) 在R 上單調遞增，
又 f (x) + f (3- 2x) < 6，
\[ f (x) - 3] + [ f (3 - 2x) - 3] < 0 ，
\ g(x) + g(3 - 2x) < 0，
\ g(x) < -g(3 - 2x)，又 g(x)為R 上的奇函數，
\ g(x) < g(2x - 3)，又 g(x)在R 上單調遞增，
\ x < 2x - 3，
\ x > 3，
故滿足 f (x) + f (3 - 2x) < 6的 x 的取值范圍是 (3, + )．
故選：C．
【變式 3】（2024·貴州貴陽·一模）已知 f x 是定義在R f x + ex上的偶函數，且 也是偶函
數，若 f a > f 2a -1 ，則實數 a的取值范圍是（ ）
A． - ,1 1, 1 1B． + ,1 C． ÷ D． - , ÷ 1,+
è 3 è 3
【答案】D
x
【分析】首先根據函數 f x 是定義在R 上的偶函數， f -x = - f x ，再由函數 f x + e
也是偶函數，變形求得函數 f x 的解析式，并求得函數 f x 的單調區間，即可求解不等
式.
【詳解】因為函數 f x 是定義在R 上的偶函數， f -x = f x ，所以- f -x = f x ，則
f -x = - f x ，
x - x
又因為函數 f x + e 也是偶函數，所以 f -x + e = f x + ex f x 1= e- x - ex，得 ，2
1
因為 y = e- x - x x為減函數， y = ex 為增函數，所以 f x = e - e 為減函數，2
令 f x = 0，得 x = 0，
所以 x > 0時， f x < 0， f x 在 0, + 上單調遞減，
根據偶函數的性質可知，函數 f x 在 - ,0 上單調遞增，
所以 f a > f 2a -1 ，即 f a > f 2a -1 ，即 a < 2a -1 1，得 a > 1或 a < ，
3
1
所以不等式的解集為 - , ÷ 1, + .
è 3
故選：D
【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是根據 f -x = f x ，得到 f x = - f -x ，從而求得
函數 f x 的解析式.
題型三　函數的周期性
(1)求解與函數的周期有關的問題，應根據題目特征及周期定義，求出函數的周期．
(2)利用函數的周期性，可將其他區間上的求值、求零點個數、求解析式等問題，轉化到已
知區間上，進而解決問題．
【例題 4】（2024·陜西渭南·模擬預測）已知定義在 R 上的函數 f x 滿足 f x + 3 = - f x ，
g x = f x -1為奇函數，則 f 198 = （ ）
A． -1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】先根據 f x + 3 = - f x 得出函數 f x 的周期；再根據 g x 為奇函數得出
（f x）+ （f - x）= 2，利用賦值法求出 （f 0）；最后利用 f x 的周期即可求解.
【詳解】因為 f x + 3 = - f x ，
所以 f x + 6 = - f x + 3 = f x ，
所以 f x 的周期為 6.
又因為 g x = f x -1為奇函數，
所以 g x + g -x = 0，即 f x -1+ f -x -1 = 0，即 f x + f -x = 2，
令 x = 0，則 2 f 0 = 2，即 f 0 =1.
所以 f 198 = f 6 33 + 0 = f 0 =1，
故選：C.
【變式 1】（2024·江蘇徐州·一模）若定義在 R 上的函數 f x 滿足 f x + 2 + f (x) = f 4 ，
f 2x +1 1 1是奇函數， f ( ) = 則（ ）
2 2
17
f (k 1) 1
17
A． - = - B． f (k 1- ) = 0
k =1 2 2 k =1 2
17
kf (k 1 17
17
) 1 17C． - = -2 2 D． kf (k - ) =k =1 k =1 2 2
【答案】D
【分析】根據給定條件，求出函數 f (x) 的周期，及 f (-x +1) + f (x +1) = 0和
f (x + 2) + f (x) = 0，再逐項計算判斷得解.
【詳解】由 f (x + 2) + f (x) = f 4 ，得 f (x + 4) + f (x + 2) = f 4 ，則 f (x + 4) = f (x) ，即函數 f (x)
的周期為 4，
由 f (2x +1)是 R 上的奇函數，得 f (-2x +1) = - f (2x +1) ，即 f (-x +1) + f (x +1) = 0，
1 3
于是 f ( ) + f ( ) 0 f (
5
= ， ) + f (
7) 5 1= f ( ) + f (- ) = 0 f (1) 3，即 + f ( )
5 7
+ f ( ) + f ( ) = 0 ，
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
17
f (k 1因此 - ) = 4[ f (1) + f (3) + f (5) 7+ f ( )] + f (16 1+ ) = f (1) 1=
k =1 2 2 2 2 2 2 2 2
，AB 錯誤；
由 f (x + 4) + f (x + 2) = f 4 ，取 x = 0，得 f (2) = 0，則 f (4) = f (0) = - f (2) = 0，
f (x + 2) + f (x) = 0 x 3 f (3因此 ，取 = ，得 ) + f (
7) = 0，
2 2 2
1 3 5 7 1 3 5 7 3 7
于是 f ( ) + 2 f ( ) + 3 f ( ) + 4 f ( ) = [ f ( ) + f ( )]+ 3[ f ( ) + f ( )]+ f ( ) + f ( ) = 0，
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
17
kf (k 1) 4[ f (1則 - = ) + 2 f (3) + 3 f (5) + 4 f (7)] +17 f (16 1) 17+ =2 2 2 2 2 2 2 ，C 錯誤，D 正確.k =1
故選：D
【點睛】思路點睛：涉及抽象函數等式問題，利用賦值法探討函數的性質，再借助性質即可
求解.
【變式 2】（2024·全國·模擬預測）已知定義域為R 的函數 f x 滿足
f -x + f x - 2 = 0, f x = f -x - 4 ，則 f 2023 =（ ）
A．-3 B．-2 C．0 D．3
【答案】C
【分析】根據抽象函數的周期性求函數值.
【詳解】因為 f x = f -x - 4 ，所以 f -x = f x - 4 ．
又因為 f -x + f x - 2 = 0，所以 f x - 4 + f x - 2 = 0，
所以 f x - 2 + f x = 0，即 f x - 2 = - f x ，
所以 f x - 4 = - f x - 2 = f x ，所以函數 f x 是周期為 4 的函數．
在 f -x + f x - 2 = 0中令 x =1，得 2 f -1 = 0，即 f -1 = 0，
所以 f 2023 = f 506 4 -1 = f -1 = 0．
故選:C．
【變式 3】（多選）（2024·全國·模擬預測）若定義在R 上的函數 f x , g x 滿足
f 1+ x + f 1- x = 0, f x + 3 + g x = 2, f x + g 1- x = 2，則下列結論中正確的是（ ）
A． f x 是奇函數 B． g x 是周期為 4 的周期函數
n=1
C． f 1 + f 2 + f 3 + f 4 = 0 D． g n = 40
20
【答案】BCD
【分析】利用賦值法結合抽象函數的奇偶性、對稱性、周期性計算一一判定選項即可.
【詳解】因為 f x + g 1- x = 2，所以 f 1- x + g x = 2．
又因為 f x + 3 + g x = 2，所以 f x+3 = f 1- x ．
又 f 1+ x + f 1- x = 0 ，則 f 1+ x + f x + 3 = 0，
即 f x + 2 = - f x ，所以 f x + 4 = f x ，故 f x 是周期為 4 的周期函數．
因為 f x + 3 + g x = 2，所以 g x 也是周期為 4 的周期函數，故 B 正確；
因為 f 1+ x + f 1- x = 0 ，則 f x + 2 = - f -x ，即- f x = - f -x ，
所以 f -x = f x ，所以 f x 為偶函數，故 A 錯誤；
因為 f x + 2 = - f x ，令 x =1，得 f 3 = - f 1 ，即 f 1 + f 3 = 0，
令 x = 2，得 f 4 = - f 2 ，即 f 2 + f 4 = 0，
故 f 1 + f 2 + f 3 + f 4 = 0，故 C 正確；
由 g x = 2 - f x + 3 ，
得 g 1 + g 2 + g 3 + g 4 = é 2 - f 4 ù + é 2 - f 5 ù + é 2 - f 6 ù + é 2 - f 7 ù
= 8 - é f 4 + f 1 + f 2 + f 3 ù = 8，
20
所以 g n = 5 é g 1 + g 2 + g 3 + g 4 ù = 40 ，故 D 正確．
n=1
故選：BCD．
【課后強化】
基礎保分練
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x 的定義域為R ，設甲： y = f x 的圖象關于 y 軸
對稱；乙： f x 是奇函數或偶函數，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
【答案】B
【分析】由寄偶函數的概念及圖像性質可判斷必要性成立，通過舉特例可判斷充分性不成立.
【詳解】令 g x = f x ，若 f x 是奇函數或偶函數，則 g -x = f -x = f x = g x ，
所以 g x 是偶函數，所以 y = f x 的圖像關于 y 軸對稱，必要性成立；
ì1, x <1,反之，不妨令 f x = í f x =11, x 1,則 ，所以 y = f x 的圖像關于
y 軸對稱，
-
但是 f x 是非奇非偶函數，充分性不成立，則甲是乙的必要條件但不是充分條件．
故選：B．
2．（2024·天津·一模）如圖是函數 f x 的部分圖象，則 f x 的解析式可能為（ ）
f x sin5x f x cos5xA． =
2x
B． =
- 2- x 2x + 2- x
f x cos5x sin5xC． = - x x D． f x =2 - 2 2- x - 2x
【答案】D
【分析】根據函數的奇偶性可排除 C，根據在原點附近的函數值的正負可排除 BA，即可求
解.
【詳解】由圖可知： f x 的圖象關于 y 軸對稱，則為偶函數，
對于 A， f
sin -5x
-x -sin5x= - x x = = f x 2 - 2 - 2x - 2- x ，為偶函數，
但當 x 取一個很小的正數，例如 x = 0.0001，選項中的 f 0.0001 > 0，而原圖象中值為負數，
故 A 不符合，舍去，
cos -5xB, f x cos5x對于 - =
2- x + 2x
= x - x = f x ,為偶函數，但是 x = 0處有意義，但是原函數在2 + 2
x = 0處無意義，故 B 不符合，
cos -5x cos5x
對于 C， f -x = x C- x = x = - f x ，為奇函數，故 不符合，2 - 2 2 - 2- x
故選：D
3．（2024·河北·模擬預測）定義在R 上的函數 f x 周期為 4，且 f 2x +1 為奇函數，則
（ ）
A． f x 為偶函數 B． f x +1 為偶函數
C． f x + 2 為奇函數 D． f x + 3 為奇函數
【答案】D
【分析】根據周期性與奇偶性的定義推導 B、D，利用反例說明 A、C.
【詳解】定義在R 上的函數 f x 周期為 4，所以 f x + 4 = f x ，
又 f 2x +1 為奇函數，所以 f -2x +1 = - f 2x +1 ，
即 f -x +1 = - f x +1 ，所以 f x +1 為奇函數，故 B 錯誤；
所以 f -x + 2 = - f x ，則 f -x + 2 = - f x + 4 ，
所以 f -x + 3 = - f x + 3 ，則 f x + 3 為奇函數，故 D 正確；
由 f -x +1 = - f x +1 ，所以 f -x +1 + f x +1 = 0 ，則 f x 關于 1,0 對稱，
令 f x = sin πx ，則 f x + 4 = sin π x + 4 = sin πx = f x ，滿足函數 f x 周期為 4，
且 f 2x +1 = sin 2πx + π = -sin 2πx 滿足 f 2x +1 為奇函數，
但是 f x = sin πx 為奇函數，故 A 錯誤；
令 f x = cos π x ÷，則 f x 4 cos
é π+ = ê x + 4
ù = cos π ú x ÷ = f x ，滿足函數 f x 周期為2 2 2 4，è è
f 2x 1 cos é π 2x 1 ù cos πx π又 + = ê + =

+ ÷ = -sin πx 滿足 f 2x +1 為奇函數，
2 ú è 2
但是 f x + 2 = cos é πê x + 2
ù
ú = cos
π x + π π
2 2 ÷
= -cos x ÷為偶函數，故 C 錯誤.
è è 2
故選：D
1
4．（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x = x ，則使得 f 2a < f a -1 成立的正實cosx + e
數 a的取值范圍為（ ）
é1 1 1
A． ê ,+

÷ B． ,+ ÷ C． - , -1 D． - , -1 , +
3 è 3 è 3 ÷
【答案】B
【分析】分析函數的奇偶性，單調性，利用函數的單調性求解不等式即可.
f x 1 1【詳解】由題知 f x 的定義域為R ，且 - = x = x = f x cos -x + e - cosx + e ，
所以 f x 為偶函數．
f x 1 , f x sinx - e
x
又當 x 0 時， = = < 0cosx + ex 2 ，cosx + ex
所以函數 f x 在 0, + 上單調遞減，在 - ,0 上單調遞增，
ì 2a > a -1
所以若 f 2a < f a -1 1成立，則需 í 解得 a > ．
a > 0, 3
故選 B．
二、多選題
5．（2023·全國·模擬預測）已知函數 f x 和 g x 分別為 R 上的奇函數和偶函數，滿足
f x + g x = 2ex ， f x ， g x 分別為函數 f x 和 g x 的導函數，則下列結論中正確的
是（ ）
A f x = ex - e- x．
B．當 x > 0時， g x 的值域為 2, +
C．當 x 0 時，若 f x ax恒成立，則 a 的取值范圍為 - , 2
n
D．當 n N* 時，滿足 g 1 g 2 × × × g n > en+1 + 2 2
【答案】ACD
f x + g x = 2ex f x = ex - e- x【分析】根據函數奇偶性以及 即可求得 ，可得 A 正確；利
用基本不等式可得 g x = ex + e- x 2 ex ×e- x = 2，但等號不成立，即 B 錯誤；對參數 a 的取
值進行分類討論，利用導數求得函數單調性即可得 a 的取值范圍為 - , 2 ，即 C 正確；易
知 g x g x > ex1 +x21 2 + 2，累成即可得 D 正確.
【詳解】對于 A，因為 f x 和 g x 分別為 R 上的奇函數和偶函數，滿足 f x + g x = 2ex ，
即可得 f -x + g -x = - f x + g x = 2e- x ，
f x = ex - x x所以可得 - e ， g x = e + e- x ，故 A 正確；
對于 B， g x = ex + e- x 2 ex ×e- x = 2，
當且僅當 x = 0時，等號成立，又因為 x > 0，所以 g x 的值域為 2, + ，故 B 錯誤．
對于 C，分兩種情況．① a 2，令 h x = f x - ax，
當 x 0 時，則 h x = ex + e- x - a 2 - a 0 ， h x 單調遞增，
所以 h x h 0 = 0，即 f x ax；
2
② a > 2，方程 h x = 0的正根為 x1 = ln
a + a - 4
，
2
若 x 0, x1 ，則 h x < 0， h x 單調遞減，
h x < h 0 = 0 ，即 f x < ax，與題設 f x ax矛盾．
綜上，a 的取值范圍是 - , 2 ，故 C 正確．
x +x - x +x x -x -x +x x +x - x +x x +x
對于 D， g x1 g x2 = e 1 2 + e 1 2 + e 1 2 + e 1 2 e 1 2 + e 1 2 + 2 > e 1 2 + 2，
g 1 g n > en+1則 + 2 ，
g 2 g n -1 > en+1 + 2，
…
g n g 1 > en+1 + 2 ，
累乘得 é g 1 g
2
2 × × × g n ù
= é g 1 g n ù ég 2 g n -1 ù ××× ég n g 1 ù > en+1
n
+ 2 ，
n
故 g 1 g 2 × × × g n > en+1 + 2 2 ，故 D 正確．
故選：ACD
x 1
6．（2024·浙江金華·模擬預測）已知函數 f (x) = 2sin x × tan + sin 2x × tan x，則（ ）2 2
A． f (x) 是偶函數 B． f (x) 的最小正周期為 2π
C． f (x) 的最大值為 4 D． f (x) 的最小值為 0
【答案】ABD
【分析】先將 f x 化簡，再逐項分析答案即可.
π
【詳解】因為 f (x) = 2sin x × tan
x 1
+ sin 2x × tan x ì ü的定義域為 íx | x kπ + 且x 2k +1 π ，2 2 2
所以 cos x -1,0 0,1 ，
x 1
又因為 f (x) = 2sin x × tan + sin 2x × tan x
2 2
sin x
= 4sin x ×cos x × 2x + sin x cos x
sin x
2 2 cos cos x
2
4sin2 x= + sin2 x = 2 1- cos x +1- cos2 x
2
= - cos x +1 2 + 4，
所以 f x 為偶函數，故 A 正確；
f x 的最小正周期為 2π，故 B 正確；
因為 cos x -1，所以 f x 沒有最大值；
當 cos x =1時， f x min = 0 ，故 D 正確.
故選：ABD
三、填空題
7．（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x 的定義域為R ， f (x + 2)是奇函數， f (x -1)是偶函
數， f (0) =1，則 f (726) = ．
【答案】 -1
【分析】根據題意，結合 f (x + 2)是奇函數， f (x -1)是偶函數，推得函數 f x 是周期為 12
的周期函數，進而求得 f (726)的值，得到答案.
【詳解】解法一因為 f (x + 2)是奇函數，可得 f (2 - x) = - f (2 + x)，所以 f (4 - x) = - f (x)，
又因為 f (x -1)是偶函數，可得 f (-1- x) = f (-1+ x)，即 f (-2 - x) = f (x)，
所以 f (x +12) = f (4 - (-x -8)) = - f (-8 - x) = - f (-2 - (6 + x)) = - f (6 + x)
= - f (4 - (-2 - x)) = f (-2 - x) = f (x)，
所以 f x 是周期為 12 的周期函數，則 f (726) = f (60 12 + 6) = f (6) = - f (0) = -1．
解法二 因為 f (x + 2)是奇函數，可得 f x 的圖象關于點 (2,0)對稱，
又因為 f (x -1)是偶函數，可得 f x 的圖象關于直線 x=-1對稱，
所以 f x 是周期為 4 -1- 2 = 12 的周期函數，所以 f (726) = f (60 12 + 6) = f (6) = - f (-2) ，
因為 f x 的圖象關于直線 x=-1對稱，所以 f (-2) = f (0) =1，則 f (726) = - f (-2) = -1．
故答案為： -1 .
8．（2023·黑龍江·模擬預測）已知函數 f x 是定義在R 上的奇函數，當 x < 0 時，
f x = x - cosx +1，則當 x…0時， f x = ．
【答案】 x + cosx -1
【分析】由奇函數的性質即可求解，注意當 x = 0時要單調獨驗證.
【詳解】解：當 x > 0, -x < 0, f -x = -x - cos -x +1，又因為 f x 為R 上的奇函數，
所以 f -x = - f x = -x - cos -x +1，解得 f x = x + cosx -1，
又 f 0 = 0 + cos0 -1 = 0，所以當 x 0, f x = x + cosx -1．
故答案為： x + cosx -1.
四、解答題
9．（2023· · f x = ax3陜西西安 模擬預測）已知奇函數 + bx2 + cx 在 x =1處取得極大值 2.
(1)求 f x 的解析式；
(2)求 f x 在 -4,3 上的最值.
3
【答案】(1) f x = -x + 3x
(2)最大值為 52，最小值為-18
【分析】（1）利用函數奇偶性可得b = 0，再由 f x 在 x =1上取得極大值2可求得 a = -1,c = 3，
可得解析式；
（2）由（1）中解析式求導可得其在 -4,3 上的單調性，得出極值并比較端點處的函數值即
可求出其最值.
【詳解】（1）易知函數 f x 的定義域為 x R ，
因為 f x 是奇函數，所以 f -x = - f x ，則b = 0 .
由 f x = ax3 + cx ，得 f x = 3ax2 + c .
因為 f x 在 x =1上取得極大值 2，
ì f 1 = 3a + c = 0, ìa = -1,
所以 í
f 1
解得
= a + c = 2, í c = 3,
ìa = -1,
經經檢驗當 í 時， f x 在 x =1處取得極大值 2
c = 3
，
故 f x = -x3 + 3x .
（2）由（1）可知， f x = -3x2 + 3 = -3 x -1 x +1 ，
當 x -1,1 時， f x > 0, f x 單調遞增；
當 x -4, -1 和 1,3 時， f x < 0, f x 單調遞減；
即函數 f x 在 x=-1處取得極小值 f -1 = -2，在 x =1處取得極大值 f 1 = 2 ；
又因為 f -4 = 52, f 3 = -18，
所以 f x 在 -4,3 上的最大值為 52，最小值為-18 .
2 π
10．（2023· 陜西寶雞·模擬預測）設函數 f x = cos 2 2x + ÷ + sin x .2 è 4
é π π ù
(1)求函數 f x 在區間 ê- , 上的最大值和最小值； 12 3 ú
(2)設函數 g x x R g x π+ π對任意 é ù，有 ÷ = g x ，且當 x ê0, ú 時， g x
1
= - f x2 2 ；求è 2
函數 g x 在 -p ,0 上的解析式.
3
【答案】(1)最大值為 ，最小值為 0
4
ì 1
- sin2x
π
- x 0

2 2 ÷
(2) g x = è í
1
sin2x
π
-π x < -

÷
2 è 2
1 1
【分析】（1）利用三角恒等變換得到 f x = - sin 2x + ，再利用三角函數的性質求解；
2 2
g x π π（2）由 + ÷ = g x 2 得到函數 g x 的一個周期為 ，再由（1）得到è 2
g x 1= sin 2x x é0, π ù ê ú ÷求解.2 è 2
2
【詳解】（1）由已知 f x = cos 2x
π
+ ÷ + sin
2 x ，
2 è 4
2
= cos 2x ×cos
π
- sin 2x ×sin π 1- cos 2x 1 1
2 4 4 ÷
+ = - sin 2x + ，
è 2 2 2
x é π π π 2π又因為 ê- ,
ù 2x éú 則 ê- ,
ù
12 3 6 3 ú
，

所以 sin 2x
1
é- ,1ù f x = f π- 3= f x π= f ê ú ，即 = 0 2 max ，è 12 ÷ 4 min ，è 4 ÷
所以函數 f x é π π在區間 ê- ,
ù 3
上的最大值和最小值分別為 和 0.
12 3 ú 4
g x π+ （2）由 ÷ = g x 可知函數 g x
π
2 的一個周期為 ，è 2
1
又由（1）可知 g x = sin 2x x é π ù
2
0,
è ê 2 ú
÷，

x é π ù π π π 1 π 1當 ê- ,0ú時， x +
é0, ù g x + = sin 2 x + ê ú ，則 ÷ = - sin 2x， 2 2 2 è 2 2 ÷è 2 2
g x π g x g x 1由 + ÷ = 知， = sin 2
x π 1 +

÷ = - sin 2x
è 2
，
2 è 2 2
é
當 x ê-π,
π
- ÷時， x
π
+ π éê0,
1
÷則 g x + π = sin 2 x
1
+ π = sin 2x，
2 2 2 2
由 g x + π = g x 知 g x 1= sin 2x ，
2
ì 1
- sin2x
π
2
- x 0
è 2 ÷
綜上， g x = í .
1 sin2x -π
π
x < -
2 è 2
÷

11．（22-23 高三上·河南·階段練習）已知 f (x) 是定義在R 上的偶函數，且
f (x) = log2 2x +1 - kx, g(x) = f (x) + 2x .
(1)求 f (x) 的解析式；
(2) x x若不等式 g 4 - a × 2 +1 > g(-15) 恒成立，求實數 a的取值范圍；
(3)設 h(x) = x2 - 2mx + 5，若存在 x1 [0, 2]，對任意的 x2 [1, 4]，都有 g x1 h x2 ，求實數
m 的取值范圍.
【答案】(1) f x = log2 2x +1 1- x2
(2) - ,8
(3) - , 2
【分析】（1）利用偶函數定義可得參數值，從而 f (x) 的解析式；
（2）易知 g x 在R 上單調遞增，逆用單調性化為具體不等式問題，參變分離求最值即可；
（3）原問題等價于 g x 在 0,2 上的最小值不大于 h x 在 1,4 上的最小值.
【詳解】（1 - x）由題意知 log2 2 +1 + kx - log2 2x +1 + kx = 0，
- x 1 1
即-2kx log 2 +1= 2 x = -x ，所以k =
x
，故 f x = log2 2 +1 - x .2 +1 2 2
（2）由（1）知， g x = f x + 2x = log2 2x 3+1 + x ，易知 g x 在R 上單調遞增，2
g 4x - a × 2x所以不等式 +1 > g -15 恒成立，等價于 4x - a × 2x +1 > -15，
x
即 a 4 +16< x 恒成立.2
4x +16 16
又 = 2x + …8，當且僅當 x = 2x x 時，等號成立，2 2
所以 a < 8，即實數 a的取值范圍是 - ,8 .
（3）因為存在 x1 0,2 ，對任意的 x2 1,4 ，都有 g x1 h x2 ，
所以 g x 在 0,2 上的最小值不大于 h x 在 1,4 上的最小值.
g x log 2x 1 3因為 = 2 + + x在 0,2 上單調遞增，2
所以當 x 0,2 時， g(x)min = g 0 =1.
h x = x2 - 2mx + 5圖象的對稱軸方程為 x = m, x 1,4 ，
當m 1時， h x 在 1,4 上單調遞增， h(x)min = h 1 = 6 - 2m…1 5，解得m ，2
所以m 1；
當1< m < 4時， h x 在 1, m 上單調遞減，在 m, 4 上單調遞增，
h(x)min = h m = 5 - m2…1，解得1< m 2；
當m…4 時， h x 在 1,4 上單調遞減， h(x)min = h 4 = 21-8m…1 m 5，解得 ，2
所以m .
綜上，實數m 的取值范圍是 - , 2 .
2
12．（2023·黑龍江佳木斯·模擬預測）已知 f x ax + bx + c= 是定義在[－2，2]上的函數，若
4 + x2
滿足 f x + f -x = 0且 f (1) 1= ．
5
(1)求 f x 的解析式；
(2) g x = x2設函數 - 2mx + 4 m R ，若對任意 x1, x2 1,2 ，都有 g x2 < f x1 恒成立，
求 m 的取值范圍．
x
【答案】(1) f x =
4 + x2
m 12(2) >
5
【分析】（1）根據函數的奇偶性即可得 c = 0 f (1)
1
，進而結合 = 即可求解，
5
（2）將問題轉化為 g x2 < f xmax 1 min ，進而根據函數的單調性的定義即可求解最值，或者
利用對勾函數的單調性求解.
【詳解】（1） x -2,2 ，且 f x + f -x = 0，所以 f x 為奇函數，
將 x = 0代入 f x + f -x = 0可得 f 0 = 0 c，即 = 0，所以 c = 0 ，
4
ìa + b 1=
ax2 + bx 1 1 5 5
即 f x = ，因為 f (1) = ，所以 f -1 = -2 ，代入可得 í4 + x 5 5 a - b 1
，
= -
5 5
ìa = 0 x
解得 í f x =
b =1
，故 2 ；4 + x
f x x= 2 , f x
-x
= 2 = - f x
x
，函數為奇函數，滿足，故 f x = ．
4 + x 4 + x 4 + x2
（2）只要 g x2 < f x 1 x < xmax 1 min ，設 1 2 2，則
x2 x1 x2 - xf x 1 4 - x1x2 2 - f x1 = 2 - =4 + x2 4 + x21 4 + x22 4 + x2 ，1
∵1 x1 < x2 2，∴ x2 - x1 > 0,4 - x1x2 > 0，∴ f x2 - f x1 > 0，即 f x2 > f x1 ，
x 1
故函數 f x = 2 在[1，2]上單調遞增，最小值為 f (1) = ．4 + x 5
2
法一： g x = x - 2mx + 4 1< 在[1，2]上恒成立，只要 2m x 19> +

，
5 ֏ 5x max
é 95 ù é 95
y = x 19+ 在 ê1, ú 上單調遞減，在 ê , 2÷÷上單調遞增，5x 5 5
x 19 24 19 39 24當 x =1時， + = ，當 x = 2時， x + = < ，
5x 5 5x 10 5
19 24 12
故當 x =1時， x + ÷ = ，所以m >5x ．è max 5 5
法二： g x = x2 - 2mx + 4 = x - m 2 + 4 - m2 ， x 1,2 ，
m 3 1 1 39當 時， g x = g(2) < 4 - 4m + 4 < m >
2 max
， ，解得 ，舍去；
5 5 20
m 3當 > 時， g x = g(1) 1< ，1 2m 4 1 12 12- + ，因此m > ，2 5 5 5 5
m 12綜上所述： > ．
5
綜合提升練
一、單選題
1．（2024·廣東佛山·一模）已知 f x = x +1 x + a x + b 為奇函數，則 y = f x 在 x = 0處
的切線方程為（ ）
A． x + y = 0 B． x - y = 0
C．3x + y = 0 D．3x - y = 0
【答案】A
【分析】根據奇函數定義求出函數表達式，再結合導數和切線相關知識求解切線方程即可.
【詳解】因為 f x = x +1 x + a x + b = x +1 éx2 + a + b x + abù
= x3 + a + b +1 x2 + a + b + ab x + ab，
所以 f -x = -x3 + a + b +1 x2 - a + b + ab x + ab ，
因為 f x 為奇函數，所以 f -x + f x = 2 a + b +1 x2 + 2ab = 0對 x R 恒成立，
ìa + b +1 = 0
所以 í f x = x3 - x
ab = 0
，代入函數表達式得 ，
所以 f x = 3x2 -1，則 f 0 = 0, f 0 = -1，
所以 y = f x 在 x = 0處的切線方程為 y = -x，即 x + y = 0 .
故選：A
2 2024· · f x = sin x + x3．（ 四川 模擬預測）已知 +1，若 f -a = m，則 f a = （ ）
A．-m B．1- m C． 2 - m D．m -1
【答案】C
【分析】構造奇函數 g x = sin x + x3，利用奇函數的性質運算即可求解.
【詳解】設 g x = sin x + x3，顯然它定義域關于原點對稱，
且 g -x = sin -x + -x 3 = - sin x + x3 = -g x ，
所以 g x 為奇函數，
f -a = g -a +1 = m ，則 g -a = -g a = m -1，
所以 g a =1- m， f a = g a +1 =1- m +1 = 2 - m .
故選：C.
3．（2024·廣東茂名·一模）函數 y = f x 和 y = f x - 2 均為R 上的奇函數，若 f 1 = 2 ，則
f 2023 =（ ）
A．-2 B． -1 C．0 D．2
【答案】A
【分析】由奇函數性質推導出 y = f x 的周期為 4，利用周期性、奇偶性求函數值.
【詳解】因為 y = f x - 2 為奇函數，所以 y = f x 關于 -2,0 對稱，即
f (-x) + f (x - 4) = 0，
又 y = f x 關于原點對稱，則 f (-x) = - f (x) ，有 f (x) = f (x - 4) f (x + 4) = f (x)，
所以 y = f x 的周期為 4，故 f 2023 = f -1+ 2024 = f -1 = - f 1 = -2 .
故選：A
4．（2023·廣東·一模）已知函數 f (x) 是定義在R 上的奇函數，當 x > 0時， f (x) = ax +1，若
f (-2) = 5，則不等式 f (x)
1
> 的解集為（
2 ）
1
A． - , - ÷ U 0,
1 1 ,0 U 0, 1 ÷ B． -
è 2 è 6 è 2 ÷ ÷ è 6
, 1 1 1 1C． - -
,+ ÷ ÷ D． - ,0÷ U ,+ ÷
è 2 è 6 è 2 è 6
【答案】A
【分析】根據條件可求得 x > 0時 f (x) 的解析式，根據函數為奇函數繼而可求得當 x < 0 時
f (x) 的解析式，分情況解出不等式即可.
【詳解】因為函數 f (x) 是定義在R 上的奇函數，
所以 f (-2) = - f (2) = 5，則 f (2) = -5，
則 2a +1 = -5，所以 a = -3，
則當 x > 0時， f (x) = -3x +1，
當 x < 0 時， -x > 0，
則 f (x) = - f (-x) = -[-3 (-x) +1] = -3x -1，
1 1
則當 x > 0時，不等式 f (x) > 為-3x +1 > ，
2 2
0 1解得 < x < ，
6
f (x) 1 1當 x < 0 時，不等式 > 為-3x -1 > ，
2 2
解得 x
1
< - ，
2

故不等式的解集為 - ,
1 1-
2 ÷
0, ÷，
è è 6
故選：A.
5．（2024· 2 2安徽蕪湖·二模）已知直線 l： Ax + By + C = 0 A + B 0 與曲線 W： y = x3 - x有
三個交點 D、E、F，且 DE = EF = 2，則以下能作為直線 l 的方向向量的坐標是（ ）．
A． 0,1 B． 1,-1 C． 1,1 D． 1,0
【答案】C
【分析】由函數 y = x3 - x的性質可得曲線W 的對稱中心 (0,0)，即得E(0,0) ，再根據給定長
度求出點D的坐標即得.
【詳解】顯然函數 f (x) = x3 - x的定義域為 R， f (-x) = (-x)3 - (-x) = - f (x) ，即函數 f (x) 是
奇函數，
因此曲線W 的對稱中心為 (0,0)，由直線 l 與曲線W 的三個交點 D, E, F 滿足 DE = EF = 2，
得E(0,0) ，
設D(x, x3 - x) ，則 x2 + (x3 - x)2 = 4 ，令 x2 = t ，則有 t3 - 2t 2 + 2t - 4 = 0 ，即
(t 2 + 2)(t - 2) = 0，
uuur
解得 t = 2，即 x = ± 2 ，因此點D( 2, 2)或D(- 2, - 2)，ED = ( 2, 2)或
uuur
ED = (- 2, - 2)，
uuur
選項中只有坐標為 (1,1) 的向量與ED共線，能作為直線 l 的方向向量的坐標是 (1,1) .
故選：C
【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵首先是得到曲線對稱中心為 (0,0)，從而得到E(0,0) ，然
后再去設點D坐標，根據 DE = 2 ，得到高次方程，利用換元法結合因式分解解出D的坐標
即可.
6．（2024·四川成都·模擬預測）已知函數 f x = x3 + lg x2 +1 + x +1，若等差數列 an 的前 n
項和為 Sn ，且 f a4 -1 = -9， f a2021 - 3 =11，則 S2024 =（ ）
A．-4048 B．0 C．2024 D．4048
【答案】D
【分析】先得到 f -x + f x = 2，從而得到 a4 + a2021 = 4，利用等差數列的性質和公式求出
答案.
【詳解】令 g x = f x -1 = x3 + lg x2 +1 + x ，定義域為 R，
x2 +1 - x x2 +1 + x
且 g -x = -x3

+ lg x2 +1 - x = -x3 + lg
x2 +1 + x
= - éx3ê + lg x2 +1 + x ùú = -g x ，
故 g x 為奇函數，
即 f -x -1 = - f x +1， f -x + f x = 2，
又 f a4 -1 + f a2021 - 3 =11- 9 = 2，
所以 a4 -1+ a2021 - 3 = 0 ，即 a4 + a2021 = 4，
2024 aS 1 + a2014 2024 = =1012 a4 + a2021 =1012 4 = 40482
故選：D
7．（2024·全國·模擬預測）已知定義在R 上的函數 f x 滿足 f x + 2 = 4 - f x ，且
2026
f x + 3 - 2為奇函數， f 4 = 5，則 f k =（ ）
k =1
A．4047 B．4048 C．4049 D．4050
【答案】C
【分析】首先判斷抽象函數的周期，再根據條件求函數值，再根據周期求函數值的和.
【詳解】由 f x + 2 = 4 - f x 可得 f x + 4 = 4 - f x + 2 = 4 - é4 - f x ù = f x ，
故 f x 的一個周期為 4，
由 f x + 3 - 2為奇函數可得 f 0 + 3 - 2 = 0，得 f 3 = 2，
對于 f x + 2 = 4 - f x ，令 x =1，得 f 1 + f 3 = 4，則 f 1 = 2 ，
令 x = 2，得 f 2 + f 4 = 4 ，又 f 4 = 5，所以 f 2 = -1，
則 f 1 + f 2 + f 3 + f 4 = 8，
2026
故 f k = f 1 + f 2 + f 3 + f 4 +L+ f 2026
k =1
= 506 é f 1 + f 2 + f 3 + f 4 ù + f 1 + f 2 = 506 8 + 2 + -1 = 4049 .
故選：C.
8．（2024·黑龍江吉林 ·二模）已知偶函數 f x 滿足 f x = f 2 - x ，且當 x 0,1 時，

f x = 2x +1，則 f log 1 19÷的值為（ ）
è 2
35 3 29 35
A． B． C．- D．
29 16 35 16
【答案】D
【分析】由偶函數 f x 滿足 f x = f 2 - x ，可得函數 f x 是以 2為周期的周期函數，再
根據函數的周期性求解即可.
【詳解】因為函數 f x 為偶函數，所以 f x =f -x ，
又 f x = f 2 - x ，所以 f -x = f 2 - x ，即 f x = f 2 + x ，
所以函數 f x 是以 2為周期的周期函數，
因為 4 = log2 16 < log2 19 < log2 32 = 5，

所以 f log 1 19÷ = f - log2 19 = f log
19
2 19 = f log2 19 - 4 = f log2 16 ÷è 2 è
log 19
= 2 2 16 19+1 = +1 35= .
16 16
故選：D.
【點睛】方法點睛：函數的三個性質：單調性、奇偶性和周期性，在高考中一般不會單獨命
題，而是常將它們綜合在一起考查，其中單調性與奇偶性結合、周期性與抽象函數相結合，
并結合奇偶性求函數值，多以選擇題、填空題的形式呈現，且主要有以下幾種命題角度；
（1）函數的單調性與奇偶性相結合，注意函數的單調性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數
圖象的對稱性．
（2）周期性與奇偶性相結合，此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行交換，
將所求函數值的自變量轉化到已知解析式的函數定義域內求解；
（3）周期性、奇偶性與單調性相結合，解決此類問題通常先利用周期性轉化自變量所在的
區間，然后利用奇偶性和單調性求解.
二、多選題
9．（2022·江蘇南通·模擬預測）華人數學家李天巖和美國數學家約克給出了“混沌”的數學定
義，由此發展的混沌理論在生物學 經濟學和社會學領域都有重要作用.在混沌理論中，函數
的周期點是一個關鍵概念，定義如下：設 f (x) 是定義在 R 上的函數，對于 x R，令
xn = f (xn-1)(n =1，2，3，L) ，若存在正整數 k 使得 xk = x0，且當 0ì
2x，x
1
<
2
的一個周期為 k 的周期點.若 f (x) = í ，下列各值是 f (x) 周期為 1 的周期點的
2(1- x)， x… 1
2
有（ ）
1 2
A．0 B． C． D．1
3 3
【答案】AC
1 2
【分析】根據題意中周期點定義，分別求出當 x0 = 0、 x0 = 、 x0 = 、 x0 = 1時的函數周期，3 3
進而得出結果.
【詳解】A： x0 = 0時， x1 = f 0 = 0，周期為 1，故 A 正確；
1 x f 1 2 x f 2 2B： x0 = 時， 1 = ÷ = ， 2 = ÷ = ，x3 =L x
2
= = ，
3 è 3 3 è 3 3 n 3
1
所以 不是 f x 的周期點.故 B 錯誤；
3
2 2
C： x0 = 時， x3 1
= x2 =L = xn = ，周期為 1，故 C 正確；3
D： x0 = 1時， x1 = f 1 = 0 ，\1不是 f x 周期為 1 的周期點，故 D 錯誤.
故選：AC.
10．（2023·山西·模擬預測）奇函數 f x 與偶函數 g x 的定義域均為R ，且滿足
f x - g x = 2x ，則下列判斷正確的是（ ）
x
A f x + g x 0 B f x 2 - 2
- x
． ． =
2
C． f x 在R 上單調遞增 D． g x 的值域為 - , -1
【答案】BCD
【分析】根據奇偶性求出 f x , g x 即可判斷 ABC；利用基本不等式可判斷 D.
【詳解】因為 f x 為奇函數， g x 為偶函數，所以 f -x = - f x , g -x = g x ，
因為 f x - g x = 2x ①，所以 f -x - g -x = 2- x ，即- f x - g x = 2- x ②，
x
①② f x 2 - 2
- x x - x
所以由 解得 = , g x 2 + 2= - ，故 B 正確；
2 2
f x + g x = -2- x < 0，故 A 錯誤；
y = 2x R y=2-x在 上單調遞增， 在R 上單調遞減，則 f x 在R 上單調遞增，故 C 正確；
g x 2
x + 2- x 2 2x ×2- x
因為 = - - = -1，當且僅當 x = 0時取等號，
2 2
所以 g x 的值域為 - , -1 ，所以 D 正確.
故選：BCD.
11．（2024·湖南·二模）已知函數 f x , g x 的定義域均為R, g x +1 + f 1- x =1，
f x +1 - g x + 2 =1，且 y = f x 的圖像關于直線 x =1對稱，則以下說法正確的是（ ）
A． f x 和 g x 均為奇函數 B．"x R, f x = f x + 4
3
C．"x R, g x = g x + 2 D． g - = 0
è 2 ÷
【答案】BCD
【分析】利用函數奇偶性，對稱性與周期性的性質，逐一分析各選項即可得解.
【詳解】對于 B，由 f (x +1) - g(x + 2) =1，得 f (x) - g(x +1) =1，
又 g(x +1) + f (1- x) =1，\ f (x) + f (1- x) = 2，
Q y = f (x)的圖象關于直線 x =1對稱，\ f (1- x) = f (1+ x)，
\ f (x) + f (1+ x) = 2,\ f (x + 2) + f (1+ x) = 2，
\ f (x) = f (x + 2)，則 f x 是周期函數，且周期為T = 2，
所以 f (x) = f (x + 4) ，故 B 正確；
對于 A，Q y = f (x)的圖象關于直線 x =1對稱，
\ f (-x) = f (2 + x),\ f (x) = f (-x),\ f (x)是偶函數，
若 f (x) 為奇函數，則 f (x) = 0 恒成立，不滿足 f (x) + f (1+ x) = 2，故 A 錯誤；
對于 C，由 f (x +1) - g(x + 2) =1，得 g(x) + f (2 - x) =1，
\ g(x) + f (x) =1,\ g(2 + x) + f (2 + x) =1，
因為 f (x) = f (x + 2) ，則 g(x + 2) = g(x)，
所以 g(x)是周期函數，且周期為T = 2，則 g x = g x + 2 ，故 C 正確；
對于 D，由 f (x) + f (1- x) = 2 f
1
，得 2 ÷
=1，
è
又 f (x) = f (x
3
+ 2),\ f - ÷ =1，
è 2
由 g(x) f (x) 1 g
3 f 3+ = ，得 - ÷ + -

÷ =1,
3
\ g -

÷ = 0，故 D 正確.
è 2 è 2 è 2
故選：BCD.
【點睛】結論點睛：解決抽象函數的求值、性質判斷等問題，常見結論：
（1）關于對稱：若函數 f (x) 關于直線 x = a軸對稱，則 f (x) = f (2a - x)，若函數 f (x) 關于
點 (a , b ) 中心對稱，則 f (x) = 2b- f (2a - x)，反之也成立；
1 1
（2）關于周期：若 f (x + a) = - f (x)，或 f (x + a) = ，或 f (x + a) = -f (x) f (x) ，可知函數
f (x)
的周期為 2a .
三、填空題
12．（2023·四川雅安·一模）已知函數 f (x) 的定義域為 (- , + ), y = f (x) + ex為偶函數，
y = f (x) - 2ex 為奇函數，則 f (x) 的最小值為 .
1
【答案】 3 / 32
【分析】根據奇偶性得出關于 f (x) 和 f (-x) 的兩個方程，聯立解得 f (x) ，再由基本不等式得
最小值．
【詳解】 y = f (x) + ex 是偶函數，所以 f (-x) + e- x = f (x) + ex ，
y = f (x) - 2ex 是奇函數，所以 f (-x) - 2e- x = - f (x) + 2ex，
1 x 3 - x
兩式聯立解得 f (x) = e + e ，
2 2
由基本不等式得 f (x)
1 ex 3= + e- x 1 2 ex ×3e- x = 3 ，當且僅當 ex = 3e- x ，即 x = ln 3時，2 2 2
等號成立，因此 f (x) 的最小值是 3．
故答案為： 3．
13．（2024·山東棗莊·一模）已知 f x + 2 為偶函數，且 f x + 2 + f x = -6，則
f 2027 = ．
【答案】-3
【分析】由條件結合偶函數定義可得 f x + 2 = f -x + 2 ，由 f x + 2 + f x = -6結合周期
函數定義證明 f x 為周期函數，利用周期性及賦值法求結論.
【詳解】因為 f x + 2 為偶函數，
所以 f x + 2 = f -x + 2 ，又 f x + 2 + f x = -6，
所以 f -x + 2 + f x = -6，
因為 f x + 2 + f x = -6，所以 f x + 4 + f x + 2 = -6，
所以 f x + 4 = f x ，
所以函數 f x 為周期函數，周期為 4，
所以 f 2027 = f 3 = f -1 ，
由 f -x + 2 + f x = -6，可得 f 1 + f 1 = -6 ，
由 f x + 2 + f x = -6，可得 f 1 + f -1 = -6，
所以 f 1 = f -1 = -3，
所以 f 2027 = -3，
故答案為：-3 .
14．（2023·四川綿陽·模擬預測）已知函數 f x , g x 的定義域為R ，且
31
f -x = f x + 6 , f 2 - x + g x = 4，若 g x +1 為奇函數， f 2 = 3，則 g(k) = ．
k =1
【答案】 -1
【分析】由 f x 的對稱性及 f 2 - x + g x = 4 得 g x = g -2 - x ，再由 g x +1 為奇函數
得 g x = -g x - 4 ，從而得 g x -8 = g x ，即 g x 是周期為 8 的周期函數，再利用周期
可得答案.
【詳解】由 g x +1 為奇函數，得 g -x +1 = -g x +1 ，即 g 2 - x = -g x ，
由 f -x = f x + 6 ，得 f 2 - x = f x + 4 = f é2 - -2 - x ù ，又 f 2 - x + g x = 4 ，
于是 4 - g x = 4 - g -2 - x ，即 g x = g -2 - x ，從而 g 2 - x = -g -2 - x ，
即 g x + 4 = -g x ，因此 g x -8 = -g x - 4 = g x ，函數 g x 的周期為 8 的周期函數，
顯然 g(1) + g(5) = g(2) + g(6) = g(3) + g(7) = g(4) + g(8) = 0，又 g(32) = g(0) = 4 - f (2) =1，
31 8
所以 g(k) = 4 g(k) - g(32) = 4 0 -1 = -1.
k =1 k =1
故答案為： -1
【點睛】結論點睛：函數 f x 關于直線 x = a對稱，則有 f a + x = f (a - x)；函數 f x 關
于 (a , b ) 中心對稱，則有 f 2a - x + f (x) = 2b ；函數 f x 的周期為 2a ，則有
f x - a = f (x + a) .
四、解答題
15．（2023·河南洛陽·模擬預測）已知函數 f x 是定義在R 上的奇函數，當 x < 0 時，
f x log 1+ 2
x
= 2 ．3- 2x
(1)求 f x 的解析式；
(2)若關于 x 的方程 f x = k 在R 上有解，求實數 k 的取值范圍．
ì 1+ 2x
log2 x , x < 0
【答案】(1) f x = 3- 2í
3 2
x -1
log2 x , x 0 1+ 2
(2) -log23, log23
【分析】（1）根據函數奇偶性求解析式；
（2）求函數 f x 的值域，即可求 k 的取值范圍.
【詳解】（1）當 x > 0時，-x < 0，
- x x
則 f -x = log 1+ 22 = log
1+ 2
，
3- 2- x 2 3 2x -1
因為函數 f x 是定義在R 上的奇函數，
所以 f -x = - f x ，
f x log 1+ 2
x x
log 3 2 -1故 = - 2 = ，3 2x -1 2 1+ 2x
當 x = 0時， f 0 = 0，符合上式，
ì x
log
1+ 2
2 , x < 0
f x f x = 3- 2
x
綜上，所以 的解析式為 í .
log 3 2
x -1
2 x
, x 0
1+ 2
1+ 2x 4
（2）當 x < 0 時， f x = log 2 3- 2x = log2 -1+ ，è 3- 2x ÷
x 1 4因為 x < 0 ，所以-1 < -2 < 0 ，所以 < -1+
3 3 - 2x
<1，
所以-log23 < f x < 0，
由對稱性可知，當 x > 0時，0 < f x < log23，
當 x = 0時， f 0 = 0，
綜上，-log23 < f x < log23，
所以實數 k 的取值范圍是 -log23, log23 ．
16．（2023·上海黃浦·一模）已知集合A和定義域為R 的函數 y = f x ，若對任意 t A， x R ，
都有 f x + t - f x A，則稱 f x 是關于 A 的同變函數.
(1)當 A = 0, + x與 0,1 時，分別判斷 f x = 2 是否為關于 A 的同變函數，并說明理由；
(2)若 f x 是關于 2 的同變函數，且當 x 0,2 時， f x = 2x ，試求 f x 在
2k, 2k + 2 k Z 1上的表達式，并比較 f x 與 x + 的大小；
2
(3) n f x é2-n , 21-n若 為正整數，且 是關于 ù的同變函數，求證： f x 既是關于
m ×2-n m Z 的同變函數，也是關于 0, + 的同變函數.
【答案】(1)當 A = 0, + f x = 2x時， 是關于 0, + 的同變函數；當 A = 0,1 時， f x
不是關于 0,1 的同變函數，理由見解析.
(2) f x = 2 x - 2k + 2k ，當 x = 2k 1+ k Z 時， f x x 1 1= + ；當 x 2k + k Z 時，
2 2 2
f x 1< x + .
2
(3)證明見解析.
【分析】（1）當 A = 0, + 時，運用定義證明即可；當 A = 0,1 時，舉反例說明即可.
（2）由定義推導出 y = f x - x 是以 2 為周期的周期函數，進而可得 f (x) 在
2k, 2k + 2 k Z 1解析式，再運用作差法后使用換元法研究函數的最值來比較 f (x) 與 x +
2
的大小.
（3）運用定義推導出 f x - x 是以 2-n 為周期的周期函數，再用定義分別證明
t = m ×2-n m Z 與 t 0, + 兩種情況即可.
x t
【詳解】（1）當 A = 0, + 時，對任意的 t A， x R ， f x + t - f x = 2 2 -1 ，
由 2t >1，可得 2t -1 > 0 ，又 2x > 0，所以 f x + t - f x A，
故 f x = 2x 是關于 0, + 的同變函數；
當 A = 0,1 1 2時，存在 A，2 R ，使得 f x + t - f x = 2
2 2 -1 >1，即
f x + t - f x A，所以 f x 不是關于 0,1 的同變函數.
（2）由 f x 是關于 2 的同變函數，可知 f x + 2 = f x + 2 恒成立，
所以 f x + 2 - x + 2 = f x - x恒成立，故 y = f x - x 是以 2 為周期的周期函數.
當 x 2k, 2k + 2 k Z 時， x - 2k 0,2 ，由 f x - x = f x - 2k - x - 2k ，
可知 f x = f x - 2k + 2k = 2 x - 2k + 2k .
（提示： f x = f x - 2k + 2k 也可通過分類討論與累加法予以證明，下面的*式也同理可證）
對任意的 x R ，都存在 k Z ，使得 x 2k, 2k + 2 ，故 f x = 2 x - 2k + 2k .
所以 f x 1- x + ÷ = 2 x 2k 2k x
1
- + - -
è 2 2
t 2
令 2 x - 2k = t，則 x - 2k = ，可得 t 0,2 ，
2
2
所以 f x 1 t 1 1 1- 2 x + ÷ = t - - = - t -1 0（當且僅當 t =1，即 x = 2k + 時取等號）.
è 2 2 2 2 2
1 1
所以當 x = 2k + k Z 時， f x = x + ；
2 2
當 x 2k
1
+ k Z 時， f x < x 1+ .
2 2
（3）因為 f x -n 1-n是關于 é2 ,2 ù 的同變函數，
所以對任意的 t é 2
-n , 21-n ù ， x R ，都有 f x + t - f x é 2
-n , 21-n ù，
f x + 2-n - f x 2-n故 ，用 x + 2-n 代換 x 1-n，可得 f x + 2 - f x + 2-n 2-n ，
é f x + 2-n - f x ù + é f x + 21-n - f x + 2-n ù 21-n f x + 21-n - f x 21-n所以 ，即 ，
又 f x + 21-n - f x 21-n 1-n，故 f x + 2 - f x = 21-n f x + 2-n - f x = 2-n，且 .
所以 f x + 2-n - x + 2-n = f x - x，故 f x - x 是以 2-n 為周期的周期函數.
對任意的 t = m ×2-n m Z ， x R ，由 f x + m × 2-n - x + m × 2-n = f x - x ，
可得 f x + m × 2-n - f x = m ×2-n ，（*）
-n
所以 f x 是關于 m ×2 m Z 的同變函數.
-n -n
對任意的 t 0, + ，存在非負整數 m，使 t é m × 2 , m +1 × 2 ù ，
所以 t - m -1 ×2-n é -n 2 ,2
1-n ù ，對任意的 x R ， f x + t - f x =
f x + t - m -1 ×2-n + m -1 ×2-n - f x = f x + t - m -1 × 2-n + m -1 × 2-n - f x
2-n + m -1 × 2-n = m × 2-n 0，即 f x + t - f x 0, + ，
所以 f x 是關于 0, + 的同變函數.
故 f x 既是關于 m ×2-n m Z 的同變函數，也是關于 0, + 的同變函數.
17．（2023· x - x上海普陀·一模）設函數 y = f x 的表達式為 f x = ae + e .
(1)求證：“ a =1”是“函數 y = f x 為偶函數”的充要條件；
(2)若 a =1，且 f m + 2 f 2m - 3 ，求實數m 的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析；
1
(2) m 或m 5 .
3
【分析】（1）根據給定條件，利用偶函數的定義、結合充要條件的意義推理即得.
（2）利用偶函數性質及在[0, + ) 的單調性求解不等式即可.
【詳解】（1）函數 f x = aex + e- x 的定義域為 R， e x - e- x 不恒為 0，
函數 y = f x 為偶函數 "x R, f (-x) - f (x) = 0
"x R, ae- x + ex - (aex + e- x ) = 0 "x R,(1- a)(ex - e- x ) = 0 a =1，
所以“ a =1”是“函數 y = f x 為偶函數”的充要條件.
（2）當 a =1時， f (x) = ex + e- x ，求導得 f (x) = ex - e- x ，函數 f (x) 在 R 上單調遞增，
當 x > 0時， f (x) > f (0) = 0 ，即函數 f (x) = ex + e- x 在[0, + ) 單調遞增，又 f (x) 是偶函數，
因此 f (m + 2) f (2m - 3) f (| m + 2 |) f (| 2m - 3 |) | m + 2 | | 2m - 3 |，
即 (m - 5)(3m -1) 0
1
，解得m 或m 5，
3
1
所以實數m 的取值范圍是m 或m 5 .
3
18．（2024· x全國·模擬預測）已知函數 f x = g x e +1 + 2 ．
(1)若 g x = x，求證：當 x > 0時， f x > 2ex
(2)若 g x = sinx -1，求證： f x 在 -π, π 上有且僅有三個零點x1，x2， x3 （ x1 < x2 < x3），
且 x1 + x2 + x3 = 0 ．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）構造函數 h x ，利用導數判斷單調性求出最值可得結果，
（2）函數零點即圖像與 x 軸交點，構造函數j x ，利用函數奇偶性、單調性及零點存在性
性定理可得結果.
x
【詳解】（1）若 g x = x，則 f x = x e +1 + 2．設
h x = f x - 2ex = x - 2 ex + x + 2 , x > 0，
則 h x = x -1 ex +1 = m x ，m x = xex > 0，所以 h x 在 0, + 上單調遞增．
所以 h x > h 0 = 0．又 h x 在 0, + 上單調遞增，
所以 h x > h 0 = 0．即當 x > 0時， f x > 2ex ．
（2）若 g x = sinx -1，則 f x = sinx -1 ex +1 + 2．
x x
令 f x = 0 e -1，得 x - sinx = 0 ,設j x
e -1
= x - sinx ， x -π, π ．e +1 e +1
j x e
- x -1
則 - = - x - sin -x = -j x ．所以j x 為奇函數．e +1
又j 0 = 0，所以 0 是j x 的一個零點．
下面證明：函數j x 在 0, π 上存在唯一的零點．
x x
j x e -1
2e
因為 = - sinx ， x 0, π ，所以j x = 2 - cosx ．
ex +1 ex +1
é π
所以當 x ê , π ÷時，j x > 0，j x 2 單調遞增．
π
j π e
2 -1 eπ -1
又 ÷ = -1< 0，j π = > 0，所以j x
é π
2 π π
在
e +1 ê
, π ÷ 上存在唯一的零點 x0 ．
è 2 2 e +1
x
由（1）知當 x > 0時， x - 2 ex + x + 2 > 0 e -1 x，即 x < ，e +1 2
π x
所以當 0 < x < 2 時，
j x < - sinx ．
2
F πx x sinx x 0, F x 1設 = - ， ÷，則 = - cosx．2 è 2 2
π
所以當 x
0, ÷時，F x < 0，F x 單調遞減；
è 3
π
當 x ,
π
3 2 ÷時，
F x > 0，F x 單調遞增，
è
F x max ì所以 < íF 0 , F π
ü
= max ì0, π -1ü ÷ í = 0．
è 2 4

所以當 x 0,
π
2 ÷
時，j x < 0．
è
所以當 x 0, π 時，j x 僅有一個零點 x0 ．
因為j x 為奇函數，所以當 x -π,0 時，j x 也僅有一個零點-x0 ．
所以j x 在 -π, π 上有 3 個零點，分別為 x1 = -x0， x2 = 0， x3 = x0 ．
即 f x 有 3 個零點 x1, x2 , x3，且 x1 + x2 + x3 = 0 ．
【點睛】解決本題關鍵是構造函數，利用函數的奇偶性，零點存在性定理及導數判斷函數的
單調性證得結果.
19．（2023·上海徐匯·一模）若函數 y = f (x), x R 的導函數 y = f (x), x R 是以T (T 0)為周
期的函數，則稱函數 y = f (x), x R 具有“T 性質”．
(1)試判斷函數 y = x2 和 y = sin x 是否具有“ 2π性質”，并說明理由；
(2)已知函數 y = h(x)，其中 h(x) = ax2 +bx + 2sinbx(0 < b < 3)具有“ π性質”，求函數 y = h(x)在[0, p]
上的極小值點；
(3)若函數 y = f (x), x R 具有“T 性質”，且存在實數M > 0使得對任意 x R 都有 | f (x) |< M
成立，求證： y = f (x), x R 為周期函數．
（可用結論：若函數 y = f (x), x R 的導函數滿足 f (x)=0, x R ，則 f (x) = C （常數）．）
【答案】(1) f (x) = x2 不具有“ 2π性質”， g(x) = sin x 具有“ 2π性質”，理由見解析
2π
(2)
3
(3)證明見解析
【分析】（1）根據所給定義計算可得；
（2）法一：依題意可得 h (x + π) = h (x)
aπ
可得 cosbx - cosb(x + π) = x Rb 對 恒成立，再令
x = 0、 x π= 求出 a、 b 的值，再利用導數求出函數的極小值點；法二：依題意可得
b
sin(bx bπ) sin(bπ) aπ sin(bπ) 0 aπ+ × = ，所以 = 且 = 02 2 2b 2 2b ，即可求出
a、b 的值，再利用導數求出函
數的極小值點；
（3）令 h x = f x +T - f x ，則 h x = 0，從而得到 h x = c（ c為常數），法一：分
c = 0 、 c > 0、 c < 0三種情況討論；法二：分 c = 0 和 c 0兩種情況討論，當 c 0時，不妨令
M
c > 0 é ù，記 n = ê +1，推出矛盾即可得解. c ú
【詳解】（1） f (x) = x2 不具有“ 2π性質”．理由是： f (x) = 2x ， f 2π - f (0) = 4π 0，
\ f 2π f (0)；
g(x) = sin x 具有“ 2π性質”．理由是： g (x) = cos x， g (x + 2π) = g (x) ．
（2）法一： h(x) = ax2 +bx + 2sinbx(0 < b < 3)，則 h (x) = 2ax + b + 2bcosbx(0 < b < 3)，
由 h (x + π) = h (x) cosbx
aπ
可得 - cosb(x + π) = 對 x Rb 恒成立．
令 x = 0 aπ π，得1- cosbπ = ①；令 x = ，得 -1+ cosbπ aπ= ②．
b b b
2aπ
① +②得 = 0 ，因此 a = 0，從而 cosbx = cos(bx + bπ)恒成立，
b
\bπ = 2kπ 即有b = 2k,k Z 且b 0 ．
π 2π
由0 < b < 3得b=2，所以 h (x) = 2 + 4cos 2x ，當 x [0, π]時，令 h (x) = 0可得 x = , x = ，列
3 3
表如下：
π π p 2π 2π
x [0, ) ( ,
2p) ( , π]
3 3 3 3 3 3
h (x) + 0 - 0 +
h(x) Z 極大值 ] 極小值 Z
函數 h(x) 在[0, p]
2π
的極小值點為 ．
3
法二： h (x) = 2ax + b + 2bcosbx(0 < b < 3)，
由 h (x + π) = h (x)，可得 cosbx - cosb(x + π)
aπ
=
b ，
cos é bx bπ+ bπ ù é bπ bπ ù aπ所以 ê ÷ - ú - cos ê bx + + =
è 2 2
÷ ú ，
è 2 2 b
cos bx bπ cos bπ sin bx bπ sin bπ cos bx bπ cos bπ bπ bπ aπ即 + ÷ + + ÷ - + ÷ + sin

2 2 2 2 2 2
bx + ÷sin = ，
è è è è 2 2 b
sin(bx bπ所以 + ) sin(
bπ) aπ× = ，所以 sin(
bπ) 0 aπ= 且 = 0，所以 a = 0且b=2k(k Z) b 02 2 2b 2 2b 且 ．
由0 < b < 3得b=2，所以 h (x) = 2 + 4cos 2x ，當 x [0, π]時，令 h (x) = 0 x
π , x 2π可得 = = ，列
3 3
表如下：
π π p 2p 2π 2π
x [0, ) ( , ) ( , π]
3 3 3 3 3 3
h (x) + 0 - 0 +
h(x) Z 極大值 ] 極小值 Z
函數 h(x) 在[0, p]
2π
的極小值點為 ．
3
（3）令 h x = f x +T - f x ，因為 y = f x , x R 具有“T ”性質
\ f x +T = f x ，
\h x = f x +T - f x = 0，
\h x = c = f x +T - f x （ c為常數），
法一：
① 若 c = 0 ， f (x) 是以T 為周期的周期函數；
②若 c > 0，由 f (nT ) = f (0) + nc ，
n M - f (0)當 時， f (nT ) = f (0) + nc f (0) + M - f (0) = M ，這與 f x < M 矛盾，舍去；
c
③若 c < 0，由 f (nT ) = f (0) + nc ，
n -M - f (0)當 時， f (nT ) = f (0) + nc f (0) - M - f (0) = -M ，這與 f x < M 矛盾，舍去．
c
綜上， c = 0 ． f x +T - f x = 0，所以 f x 是周期函數．
法二：
當 c = 0 時， f x +T - f x = 0，所以 f x 是周期函數．
n é M當 c 0時，不妨令 c > 0 ù，記 = ê ú +1，其中 [x]表示不大于 x 的最大整數．（ c < 0同理可 c
證），
若存在 f x0 > 0，這 f x0 + nT = f x0 + nc
M
> nc = é ù ê ú +1÷c > M ．è c
這與 f x < M 矛盾．
f x M 若存在 0 < 0
é ù
，這 f x0 - nT =| f x0 - nc |> nc = ê ú +1÷c > M ．è c
這與 f x < M 矛盾．
若不存在 x0 R ，使得 f x0 > 0或 f x0 < 0，則 f x =0, x R ，此時 c = 0 ，與 c 0矛盾，
故舍去．
綜上， c = 0 ． f x +T - f x = 0，所以 f x 是周期函數．
【點睛】方法點睛：函數新定義問題的方法和技巧：
（1）可通過舉例子的方式，將抽象的定義轉化為具體的簡單的應用，從而加深對信息的理
解；
（2）可用自己的語言轉述新信息所表達的內容，如果能清晰描述，那么說明對此信息理解
的較為透徹；
（3）發現新信息與所學知識的聯系，并從描述中體會信息的本質特征與規律；
（4）如果新信息是課本知識的推廣，則要關注此信息與課本中概念的不同之處，以及什么
情況下可以使用書上的概念.
拓展沖刺練
一、單選題
1．（23-24 高三下·江西·階段練習）已知函數 f x = lg x -1 + 2x + 2- x，則滿足不等式
f x +1 < f 2x 的 x 的取值范圍為（ ）
A． -2, -1 B 1． 1,2 C． - , - 3 1,+ D． - , -2 U 1, +
【答案】D
【分析】先利用函數奇偶性的定義，結合復合函數的單調性與導數，分析得 f x 的奇偶性
與單調性，從而轉化所求不等式得到關于 x 的不等式組，解之即可得解.
【詳解】由 x -1 > 0，得 f x 的定義域為 - , -1 1,+ ，
又 f -x = lg x -1 + 2- x + 2x = f x ，故 f x 為偶函數，
而當 x >1時，易知 y = lg x -1 = lg x -1 單調遞增，
而對于 y = 2x + 2- x ， y = 2x + 2- x = 2x + 2- x ln 2 > 0在 1, + 上恒成立，
所以 y = 2x + 2- x 在 1, + 上也單調遞增，
故 f x 在 1, + 上單調遞增，
ì x +1 < 2x
則由 f x +1 < f 2x ，得 í x 1 1 ，解得 x >1或 x < -2 . + >
故選：D.
2．（2024·重慶·一模）已知定義在 R 上的函數 f x 滿足： f x1 + x2 = f x1 + f x2 ，且 x > 0
時， f x < 0 2，則關于 x 的不等式 f x + f 2x 0的解集為（ ）
A． -2,0 B． 0,2
C． - , -2 U 0, + D． - ,0 2, +
【答案】A
【分析】根據函數單調性和奇偶性則得到不等式，解出即可.
【詳解】任取 t1 < t2 ，則 t2 - t1 > 0，
而 x > 0時， f x < 0 ，則 f t2 - t1 < 0 ，
f t2 = é t2 - t1 + t1 ù = f t2 - t1 + f t1 < f t1 ，
所以 f x 在R 上單調遞減，
"x1, x2 R ， f x1 + x2 = f x1 + f x2 ，
取 x1 = x2 = 0，則 f (0) = 0，令 x2 = -x1，
得 f 0 = f x1 + f -x1 = 0，
所以 f x 為R 上的奇函數，
f x2 + f 2x 0 2，即 f x f -2x ，則 x2 -2x ，解得 x -2,0
故選：A.
3．（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x = x3 + a -1 x2 - x + b是定義在 m，2 + m 上的奇函
數， f x 為 f x 的導函數，則 f a + b + m =（ ）
A． -1 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】本題考查函數的奇偶性，根據奇函數的定義和性質進行運算研究即可．
【詳解】因為奇函數的定義域關于原點對稱，所以m + 2 + m = 0 ，得m = -1．
由 f x 為奇函數可得 f 0 = 0，得b = 0，
又 f -x = - f x ，所以 a =1，
所以 f x = x3 - x ， f x = 3x2 -1，
故 f a + b + m = f 0 = -1，
故選：A.
1
4．（2024·云南紅河· 3二模）已知函數 f x = x - x ，對于任意的 x 1,2 ，不等式e +1

f x +1 f t +1 ÷ + 2 ÷÷ <1 t 恒成立，則實數 的取值范圍為（x 1 (x 1) x 6 ）è - è - -
A． 1, + B． -1,1 C． - , -1 D． - , -1
【答案】C
1 x +1 t +1
【分析】令 g(x) = f x - ，得到 g(x)為奇函數，從而得到 g ÷ < g - ÷2 è x -1 è x -1
2 x - 6 ÷
恒成立，根據函數單調性得到不等式，化簡得到 x 1，2 時， x +1 x -1 x - 6 < - t +1 恒
成立，設 p(x) = x +1 x -1 x - 6 = x3 - 6x2 - x + 6， x 1，2 ，求導得到其單調性，結合特
殊點的函數值，得到0 - t +1 ，得到答案.
1 x
【詳解】設 g(x)
1
= f x - x R ，則 g x = x - x3
1 1- e
- = - x3
e +1 2 2 ex 1 x R + ，2
1- e- xg x x3 e
x -1
- = + = + x3 = -g x
- x x ，所以 g(x)2 e +1 2 e +1 為奇函數.
f x +1
t +1 x +1 1
所以 ÷ + f 2 ÷ <1 f - < - f
t +1 ÷ 1+
è x -1
，
è x -1 x - 6 ÷ è x -1
÷
2 è x -1
2 x - 6 ÷ 2
g x +1

g t +1

即 ÷ < - 2 ÷ 恒成立，è x -1 è x -1 x - 6 ÷
由 f x 在R 上單調遞減且 g(x) = f x 1- ，得 g(x)在R 上單調遞減，
2
x +1 t +1
所以 > -x -1 x .-1 2 x - 6 恒成立
由 x 1，2 ，知 x -1 > 0且 x -1 > 0，
所以 x 1，2 時， x +1 x -1 x - 6 < - t +1 恒成立.
設 p(x) = x +1 x -1 x - 6 = x3 - 6x2 - x + 6， x 1，2 ，
p (x) = 3x2 -12x -1，當 x 1，2 時 p (x) < 0，
所以 p(x)在 p(x) < 0內單調遞減，而 p(1) = 0，所以 p(x) < 0，
所以0 - t +1 ，即 t -1 .
故選：C.
【點睛】方法點睛：對于求不等式成立時的參數范圍問題，一般有三個方法，一是分離參數
法, 使不等式一端是含有參數的式子，另一端是一個區間上具體的函數，通過對具體函數的
研究確定含參式子滿足的條件.二是討論分析法，根據參數取值情況分類討論，三是數形結
合法，將不等式轉化為兩個函數，通過兩個函數圖像確定條件.
二、多選題
5．（2024·湖南岳陽·二模）已知函數 f x 的定義域為R ，對任意 x, y R 都有
2 f x + y x - y ÷ f ÷ = f x + f y ，且 f 1 = -1，則下列說法正確的是（2 2 ）è è
1
A． f -1 =1 B． f x +

2 ÷為奇函數è
C． f x - f 2 - x = 0 D． f 1 + f 2 + f 3 + ×××+ f 2025 = -1
【答案】BCD
【分析】根據題意運用賦值代入法計算，結合函數的奇偶性、周期性逐一驗證選項可得答案.
【詳解】令 x = y =1，則 2 f 1 f 0 = f 1 + f 1 = 2 f 1 ，所以 f 0 =1，
令 x = -1, y =1，則 2 f 0 f -1 = f -1 + f 1 = 2 f -1 ，\ f -1 = f 1 = -1，故 A 錯誤；
f x 1 1+ 1 要證 ÷為奇函數，只需證 f x + ÷ + f - x ÷ = 0，即 f x + f 1- x = 0，
è 2 è 2 è 2
x 1, y 1 1 1= = 0 2 f f = f 1 + f 0 = 0 \ f 令 ，則 ， = 0，
è 2 ÷ è 2 ÷ ÷ è 2
y =1- x 1 2x -1 令 ，則 2 f ÷ f ÷ = f x + f 1- x = 0 ，所以成立，故 B 正確；
è 2 è 2
令 y = -x，則 2 f 0 f x = f x + f -x = 2 f x ，\ f x = f -x ，所以 f x 為偶函數，
由 B 可知， f 1- x = - f x ，所以 f 1- x = - f x = - f -x ，則有
f 2 - x = - f 1- x = f x ，故 C 正確；
由 C 可知 f 2 - x = f x ，又 f x 為偶函數，所以 f 2 - x = f -x ，則 f x 周期為 2，
f 1 = -1， f 2 = f 0 =1，所以 f 1 + f 2 + f 3 + ×××+ f 2025 =1012 0 -1 = -1，故 D
正確.
故選：BCD
【點睛】結論點睛：（1）若 f x 為奇函數，則滿足 f x = - f -x ，若 f x 為偶函數，則
滿足 f x = f -x ；（2）若 f x 為周期函數，且周期為T ，則滿足 f x +T = f x ；（3）
若 f x 關于點 a,0 對稱，且關于直線 x = b 對稱，則 f x 為周期函數，周期為 4 a - b .
6．（2024·河南·一模）定義在 R 上的函數 f (x) = loga ( 1+ b
2x2 + bx) （ a > 0且 a 1，b 0 ），
若存在實數 m 使得不等式 f (-m + m2 +12) + f (-m) 0恒成立，則下列敘述正確的是（ ）
A．若 a > 1，b > 0，則實數 m 的取值范圍為 -2,2
B．若 0 < a < 1，b < 0，則實數 m 的取值范圍為 - , 2
C．若 a > 1，b < 0，則實數 m 的取值范圍為 - ,-2 U 2,+
D．若 0 < a < 1，b > 0，則實數 m 的取值范圍為 2, +
【答案】BD
【分析】先判斷函數 f (x) = log ( 1+ b2x2 + bx) 為奇函數，再分 a > 1和 0 < a < 1討論 y = log ta a
的單調性，分b > 0和b < 0討論函數 t = 1+ b2x2 + bx 的單調性，根據復合函數的單調性判斷
得出 f (x) 的單調性，利用單調性將 f (-m + m2 +12) + f (-m) 0進行等價轉化成含參數m 的
不等式，求解即得.
【詳解】對于函數 f (x) = log ( 1+ b2x2a + bx) ，因
f (x) + f (-x) = loga ( 1+ b
2x2 + bx) + loga ( 1+ b
2x2 - bx)
= loga[( 1+ b
2x2 + bx)( 1+ b2x2 - bx)] = 0 ，則函數 f (x) 是奇函數.
不妨設 t = 1+ b2x2 + bx ，則 y = loga t ，
對于 A 項，當 a > 1時， y = loga t 在定義域內為增函數，
因b > 0，則 t = 1+ b2x2 + bx 在 R 上也是增函數，故 f (x) = log ( 1+ b2a x
2 + bx) 在 R 上也是
增函數.
由 f (-m + m2 +12) + f (-m) 0 f (-m + m2 +12) - f (-m) = f (m)，則
-m + m2 +12 m ，即 m2 +12 2m （*），
①當m 0時，此時恒成立；② 當m > 0時，由（*）可得m2 +12 4m2 ，解得-2 m 2 ，
綜上可知，m (- , 2]，故 A 項錯誤；
對于 B 項，當 0 < a < 1時， y = log 2 2a t 在定義域內為減函數，因b < 0，則 t = 1+ b x + bx 在 R
上也是減函數，故 f (x) = log ( 1+ b2x2a + bx) 在 R 上是增函數，
由 A 項分析可得， f (-m + m2 +12) + f (-m) 0恒成立可得，m (- , 2]，故 B 項正確；
對于 C 項，當 a > 1時， y = loga t 在定義域內為增函數，因b < 0，則 t = 1+ b2x2 + bx 在 R 上
是減函數，故 f (x) = log 2 2a ( 1+ b x + bx) 在 R 上是減函數，
由 f (-m + m2 +12) + f (-m) 0 f (-m + m2 +12) - f (-m) = f (m)，則
-m + m2 +12 m ，即 m2 +12 2m （*），
①當m 0時，無解；② 當m > 0時，由（*）可得m2 +12 4m2 ，解得m -2或m 2，
綜上可知，m [2,+ )，故 C 項錯誤；
對于 D 項，當 0 < a < 1時， y = loga t 在定義域內為減函數，因b > 0，則 t = 1+ b2x2 + bx 在 R
上也是增函數，故 f (x) = loga ( 1+ b
2x2 + bx) 在 R 上是減函數，
由 C 項分析可得， f (-m + m2 +12) + f (-m) 0恒成立可得，m [2,+ )，故 D 項正確.
故選：BD.
【點睛】思路點睛：一般先考慮函數的奇偶性，再根據參數分類判斷，構成復合函數的內外
函數的單調性，利用單調性去掉抽象函數的符號，將其化成含參數m 的不等式恒成立問題，
再對參數m 分類討論不等式解的情況即得.
三、填空題
7．（2024·陜西西安·二模）已知定義域為R 的函數 f (x) 滿足 f (x + 2) = - f (x) ，且當0 < x < 2時，
f (x) = 3x - ln x，則 f (211) = .
【答案】-3
【分析】利用函數的奇偶性與周期性計算即可.
【詳解】由已知可得 f x + 2 + f x = 0，所以 f x + 4 + f x + 2 = 0，
所以 f x + 4 = f x ，即T = 4是函數 f x 的一個周期，
所以 f 211 = f 3 = - f 1 = - 31 - ln1 = -3 .
故答案為：-3
8．（2024·陜西西安·模擬預測）定義在R 上的函數 f x 的導函數為 f x ，且有
f -3 = -12, f -x + f x = 0，且對任意 x R 都有 f x > 3，則使得 f ex - 3ex - 3 0成
立的 x 的取值范圍是 .
【答案】 ln3,+
【分析】構造函數 g x = f x - 3x，根據導數確定函數的單調性，即可結合奇偶性求解.
【詳解】由 f -x + f x = 0 知 f x 是奇函數，\ f 3 = - f -3 =12，
設 g x = f x - 3x，則 g 3 = f 3 - 3 3 =12 - 9 = 3, g x = f x - 3 > 0 ，
\ g x x x x x在R 上單調遞增，由 f e - 3e - 3 0得 f e - 3e 3，
x
即 g e g 3 ，\ex 3，得 x ln3, x的取值范圍是 ln3,+ .
故答案為： ln3,+
ì 1- x2 , -1 x 1
9．（2024·內蒙古呼和浩特·一模）已知 f x = í ，若直線 y = kn x 與 f x 有 2n
f x - 2 , x >1
個交點 n N* 2，則 k1 + k 22 +L+ k 2n = .
n
【答案】
2n +1
【分析】由題意首先確定函數的性質，然后結合直線與圓的位置關系得到 kn 的表達式，最
2 2
后裂項求和即可求得 k1 + k2 +L+ k
2
n 的值.
【詳解】當-1 x 1時， y = f x = 1- x2 ，即 x2 + y2 =1， y 0，
當 x >1時， f (x) = f (x - 2)，所以可得函數周期為 2，
畫出函數圖象，如圖所示：
若直線 y = kn x 與 f x 有 2n個交點，
根據圖象知，直線 y = kn x 與第 n +1個半圓相切其圓心為On+1 2n,0
不妨設切點為 P ，連接POn+1，
POn+1 1
所以在RtVOPO 中， tan POOn+1 = = = kn+1 OP n ， O 2 2n+1O -1
k 1 1= = k 2 1 1 1 1 1 1= = = = - n
2n 2 -1 4n2 -1 ，故
n 2 ÷
，2n 2 -1 4n -1 2n -1 2n +1 2 è 2n -1 2n +1
k 2 k 2 L k 2 1 1 1 1 1 1 n所以 1 + 2 + + n =

1- + - +L+ -

÷ = .2 è 3 3 5 2n -1 2n +1 2n +1
n
故答案為： .
2n +1
【點睛】方法點睛：已知函數有零點(方程有根)求參數值(取值范圍)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數范圍；
（2）分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域問題加以解決；
（3）數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫
出函數的圖象，利用數形結合的方法求解。
四、解答題
10．（23-24 高三上·全國·階段練習）已知函數 f (x) = log x2 2 +1 + ax 是偶函數.
(1)求 a的值;
(2)設 g(x) = f (x) + x ， h(x) = x2 - 2x + m，若對任意的 x1 0,4 ，存在 x2 0,5 ，使得
g x1 h x2 ，求m 的取值范圍.
1
【答案】(1) a = -
2
(2) (- , 2]
【分析】（1）由偶函數的性質即可求解 a的值；
（2）由題意可得 g x 在 0,4 上的最小值不小于 h x 在 0,5 上的最小值，分別求出 g x
和 h x 的最小值，即可求解.
【詳解】（1）因為 f (x) = log2 2x +1 + ax 是偶函數，
所以 f (-x) = f (x)，
log 2- x即 2 +1 - ax = log x2 2 +1 + ax，
log 2x2 +1 - log 2- x2 +1 + 2ax = 0 ，
log2 2x +1 - log 12 x +1 ÷ + 2ax = 0，è 2
x
x log2 2 +1 - log 1+ 22 x ÷ + 2ax = 0，
è 2
2x +1
log2 + 2ax = 0 1+ 2x ，
x ÷
è 2
log2 2
x + 2ax = 0，
x + 2ax = 0，
1+ 2a x = 0，
所以1+ 2a
1
= 0 ，即 a = - .
2
（2） g(x) = log2 2x +1 1+ x ，2
因為對任意的 x1 0,4 ，存在 x2 0,5 ，使得 g x1 h x2 ，
所以 g x 在 0,4 上的最小值不小于 h x 在 0,5 上的最小值，
因為 g(x) = log 2x 12 +1 + x 在 0,4 上單調遞增，2
所以 g x 考點 08 函數的奇偶性、周期性（3 種核心題型+基礎保分練+
綜合提升練+拓展沖刺練）
【考試提醒】
1.了解函數奇偶性的含義，了解函數的周期性及其幾何意義.
2.會依據函數的性質進行簡單的應用．
【知識點】
1．函數的奇偶性
奇偶性 定義 圖象特點
一般地，設函數 f(x)的定義域為 D，
如果 x∈D，都有－x∈D，
偶函數 關于 對稱
且 ，那么函數 f(x)就叫做
偶函數
一般地，設函數 f(x)的定義域為 D，
如果 x∈D，都有－x∈D，
奇函數 關于 對稱
且 ，那么函數 f(x)就叫做
奇函數
2.周期性
(1)周期函數：一般地，設函數 f(x)的定義域為 D，如果存在一個非零常數 T，使得對每一個
x∈D 都有 x＋T∈D，且 ，那么函數 y＝f(x)就叫做周期函數，非零常數 T 叫做
這個函數的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函數 f(x)的所有周期中存在一個 的正數，那么這個
就叫做 f(x)的最小正周期．
常用結論
1．奇函數在關于原點對稱的區間上具有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上具
有相反的單調性．
2．函數周期性常用結論
對 f(x)定義域內任一自變量的值 x：
(1)若 f(x＋a)＝－f(x)，則 T＝2a(a>0)．
1
(2)若 f(x＋a)＝ ，則 T＝2a(a>0)．
f x
【核心題型】
題型一　函數奇偶性的判斷
判斷函數的奇偶性，其中包括兩個必備條件
(1)定義域關于原點對稱，否則即為非奇非偶函數．
(2)判斷 f(x)與 f(－x)是否具有等量關系，在判斷奇偶性的運算中，可以轉化為判斷奇偶性的
等價等量關系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函數)或 f(x)－f(－x)＝0(偶函數))是否成立．
π
【例題 1】（多選）（2024·遼寧·模擬預測）函數 f x 的圖像向左平移 個單位長度后得到
6
y = 2sin2 x π+ cos 2x -

÷的圖像，則（ ）
è 3
A． f 0 =1 B． f x 是偶函數
C． f x π π的圖像關于點 ,1÷中心對稱 D．當 x = 時， f x 2 取到最小值è 4
【變式 1】（2024·北京豐臺·一模）已知函數 f x 具有下列性質：
①當 x1, x2 0,+ 時，都有 f x1 + x2 = f x1 + f x2 +1；
②在區間 0, + 上， f x 單調遞增；
③ f x 是偶函數．
則 f 0 = ；函數 f x 可能的一個解析式為 f x = ．
ex - e- x ex + e- x
【變式 2】（2024·內蒙古赤峰·一模）已知 f x = ， g x = ．下列結論中可能2 2
成立的有 ．
① f 2x = 2 f x × g x ；
2② g 2x = é f x ù - ég x
2
ù ；
③ h x
f x
=
g x 是奇函數；
④對"x0 > 0 ， f f x0 > f x0 ．
3 2024· · f (x) = sin x ×[log (9x【變式 】（ 河南信陽 一模）若函數 3 + 2m) - x]的圖像關于原點對稱，
則 m＝ ．
題型二　函數奇偶性的應用
(1)利用函數的奇偶性可求函數值或求參數的取值，求解的關鍵在于借助奇偶性轉化為求已
知區間上的函數或得到參數的恒等式，利用方程思想求參數的值．
(2)利用函數的奇偶性可畫出函數在其對稱區間上的圖象，結合幾何直觀求解相關問題．
命題點 1　利用奇偶性求值(解析式)
【例題 2】（2023·四川·模擬預測）已知 f x 是定義在R 上的奇函數，當 x 0 時，
f x = x2 - ax + a -1，則滿足 f x 0的 x 的取值范圍是（ ）
A． - , -1 0,1 B． -1,1 C． -1,0 1, + D． - , -1 1, +
【變式 1】（2023·安徽馬鞍山·三模）函數 f (x) 的定義域為R ， y = f (x) + 2ex 是偶函數，
y = f (x) - 3ex 是奇函數，則 f (x) 的最小值為（ ）
A． e B． 5 C． 2 2 D． 2 5
【變式 2】（2024·陜西安康·模擬預測）寫出一個對稱中心為 1,0 的奇函數 f x = .
【變式 3】（2024·云南昆明·模擬預測）已知 f x ， g x 分別為定義在R 上的奇函數和偶函
數， f x + g x = x3 + ax2 + a ，則 f 3 = ．
命題點 2　利用奇偶性解不等式
【例題 3】（2024·廣西柳州·三模）設函數 f x 是定義在R 上的奇函數，且對于任意的 x，
y R ，都有 f x - f y < x - y .若函數 g x - f x = x 2，則不等式 g 2x - x + g x - 2 < 0
的解集是（ ）
A． -1,2 B． 1,2
C． - , -1 U 2, + D． - ,1 U 2, +
【變式 1】（2024·遼寧·一模）已知函數 f x = log 4x2 +16 - x - 2，若 f a -1 f 2a +1 成立，
則實數 a 的取值范圍為（ ）
A． - , -2 B． - , -2 U 0, +
é
C． ê-2,
4ù
ú D． - , -2 U
é4 , +
3 ÷ ê 3
【變式 2】（2024· x四川南充·二模）設函數 f x = sin x + e - e- x - x + 3，則滿足
f (x) + f (3 - 2x) < 6的 x 的取值范圍是（ ）
A． - ,1 B． 1, + C． 3, + D． - ,3
【變式 3】（2024·貴州貴陽·一模）已知 f x x是定義在R 上的偶函數，且 f x + e 也是偶函
數，若 f a > f 2a -1 ，則實數 a的取值范圍是（ ）
,1 1, 1- + ,1 1 A． B． C． ÷ D． - , ÷ 1,+
è 3 è 3
題型三　函數的周期性
(1)求解與函數的周期有關的問題，應根據題目特征及周期定義，求出函數的周期．
(2)利用函數的周期性，可將其他區間上的求值、求零點個數、求解析式等問題，轉化到已
知區間上，進而解決問題．
【例題 4】（2024·陜西渭南·模擬預測）已知定義在 R 上的函數 f x 滿足 f x + 3 = - f x ，
g x = f x -1為奇函數，則 f 198 = （ ）
A． -1 B．0 C．1 D．2
【變式 1】（2024·江蘇徐州·一模）若定義在 R 上的函數 f x 滿足 f x + 2 + f (x) = f 4 ，
f 2x +1 f (1) 1是奇函數， = 則（ ）
2 2
17
f (k 1 1
17 1
A． - ) = -2 2 B． f (k - ) = 0k =1 k =1 2
17 17
C． kf (k 1) 17 1 17- = - D． kf (k - ) =
k =1 2 2 k =1 2 2
【變式 2】（2024·全國·模擬預測）已知定義域為R 的函數 f x 滿足
f -x + f x - 2 = 0, f x = f -x - 4 ，則 f 2023 =（ ）
A．-3 B．-2 C．0 D．3
【變式 3】（多選）（2024·全國·模擬預測）若定義在R 上的函數 f x , g x 滿足
f 1+ x + f 1- x = 0, f x + 3 + g x = 2, f x + g 1- x = 2，則下列結論中正確的是（ ）
A． f x 是奇函數 B． g x 是周期為 4 的周期函數
n=1
C． f 1 + f 2 + f 3 + f 4 = 0 D． g n = 40
20
【課后強化】
基礎保分練
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x 的定義域為R ，設甲： y = f x 的圖象關于 y 軸
對稱；乙： f x 是奇函數或偶函數，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
2．（2024·天津·一模）如圖是函數 f x 的部分圖象，則 f x 的解析式可能為（ ）
sin5x cos5x
A． f x = B． f x =
2x - 2- x 2x + 2- x
cos5x sin5x
C． f x = D． f x =
2- x - 2x 2- x - 2x
3．（2024·河北·模擬預測）定義在R 上的函數 f x 周期為 4，且 f 2x +1 為奇函數，則
（ ）
A． f x 為偶函數 B． f x +1 為偶函數
C． f x + 2 為奇函數 D． f x + 3 為奇函數
1
4．（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x = x ，則使得 f 2a < f a -1 成立的正實cosx + e
數 a的取值范圍為（ ）
é1 1
A． ê ,+ ÷ B． ,+ ÷ C． - , -1 D． - , -1
1 , +

3 ÷ è 3 è 3
二、多選題
5．（2023·全國·模擬預測）已知函數 f x 和 g x 分別為 R 上的奇函數和偶函數，滿足
f x + g x = 2ex ， f x ， g x 分別為函數 f x 和 g x 的導函數，則下列結論中正確的
是（ ）
A． f x = ex - e- x
B．當 x > 0時， g x 的值域為 2, +
C．當 x 0 時，若 f x ax恒成立，則 a 的取值范圍為 - , 2
n
D．當 n N* 時，滿足 g 1 g 2 × × × g n > en+1 + 2 2
x 1
6．（2024·浙江金華·模擬預測）已知函數 f (x) = 2sin x × tan + sin 2x × tan x，則（
2 2 ）
A． f (x) 是偶函數 B． f (x) 的最小正周期為 2π
C． f (x) 的最大值為 4 D． f (x) 的最小值為 0
三、填空題
7．（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x 的定義域為R ， f (x + 2)是奇函數， f (x -1)是偶函
數， f (0) =1，則 f (726) = ．
8．（2023·黑龍江·模擬預測）已知函數 f x 是定義在R 上的奇函數，當 x < 0 時，
f x = x - cosx +1，則當 x…0時， f x = ．
四、解答題
9．（2023·陜西西安·模擬預測）已知奇函數 f x = ax3 + bx2 + cx 在 x =1處取得極大值 2.
(1)求 f x 的解析式；
(2)求 f x 在 -4,3 上的最值.
2 π
10．（2023· 陜西寶雞·模擬預測）設函數 f x = cos 2x + ÷ + sin2 x .2 è 4
(1)求函數 f x é π在區間 ê- ,
π ù
ú上的最大值和最小值； 12 3
(2)設函數 g x π對任意 x R ，有 g x + ÷ = g x x é，且當 ê0,
π ù 1
è 2 2 ú
時， g x = - f x ；求
2
函數 g x 在 -p ,0 上的解析式.
11．（22-23 高三上·河南·階段練習）已知 f (x) 是定義在R 上的偶函數，且
f (x) = log2 2x +1 - kx, g(x) = f (x) + 2x .
(1)求 f (x) 的解析式；
(2)若不等式 g 4x - a × 2x +1 > g(-15) 恒成立，求實數 a的取值范圍；
(3)設 h(x) = x2 - 2mx + 5，若存在 x1 [0, 2]，對任意的 x2 [1, 4]，都有 g x1 h x2 ，求實數
m 的取值范圍.
12 2023· · f x ax
2 + bx + c
．（ 黑龍江佳木斯 模擬預測）已知 = 2 是定義在[－2，2]上的函數，若4 + x
滿足 f x + f -x = 0 1且 f (1) = ．
5
(1)求 f x 的解析式；
(2)設函數 g x = x2 - 2mx + 4 m R ，若對任意 x1, x2 1,2 ，都有 g x2 < f x1 恒成立，
求 m 的取值范圍．
綜合提升練
一、單選題
1．（2024·廣東佛山·一模）已知 f x = x +1 x + a x + b 為奇函數，則 y = f x 在 x = 0處
的切線方程為（ ）
A． x + y = 0 B． x - y = 0
C．3x + y = 0 D．3x - y = 0
2．（2024·四川·模擬預測）已知 f x = sin x + x3 +1，若 f -a = m，則 f a = （ ）
A．-m B．1- m C． 2 - m D．m -1
3．（2024·廣東茂名·一模）函數 y = f x 和 y = f x - 2 均為R 上的奇函數，若 f 1 = 2 ，則
f 2023 =（ ）
A．-2 B． -1 C．0 D．2
4．（2023·廣東·一模）已知函數 f (x) 是定義在R 上的奇函數，當 x > 0時， f (x) = ax +1，若
f (-2) = 5 1，則不等式 f (x) > 的解集為（ ）2
1 1 1 1
A． - , -

÷ U

0,

÷ B． - ,0÷ U 0,

è 2 è 6 è 2 è 6 ÷
, 1 1 , 1 1 C． - - ÷ + ÷ D． - ,0÷ U2
,+ ÷
è è 6 è 2 è 6
5．（2024·安徽蕪湖·二模）已知直線 l： Ax + By + C = 0 A2 + B2 0 與曲線 W： y = x3 - x有
三個交點 D、E、F，且 DE = EF = 2，則以下能作為直線 l 的方向向量的坐標是（ ）．
A． 0,1 B． 1,-1 C． 1,1 D． 1,0
6．（2024· 3 2四川成都·模擬預測）已知函數 f x = x + lg x +1 + x +1，若等差數列 an 的前
n項和為 Sn ，且 f a4 -1 = -9， f a2021 - 3 =11，則 S2024 =（ ）
A．-4048 B．0 C．2024 D．4048
7．（2024·全國·模擬預測）已知定義在R 上的函數 f x 滿足 f x + 2 = 4 - f x ，且
2026
f x + 3 - 2為奇函數， f 4 = 5，則 f k =（ ）
k =1
A．4047 B．4048 C．4049 D．4050
8．（2024·黑龍江吉林 ·二模）已知偶函數 f x 滿足 f x = f 2 - x ，且當 x 0,1 時，

f x = 2x +1，則 f log 1 19÷的值為（ ）
è 2
35 3 29 35
A． B． C．- D．
29 16 35 16
二、多選題
9．（2022·江蘇南通·模擬預測）華人數學家李天巖和美國數學家約克給出了“混沌”的數學定
義，由此發展的混沌理論在生物學 經濟學和社會學領域都有重要作用.在混沌理論中，函數
的周期點是一個關鍵概念，定義如下：設 f (x) 是定義在 R 上的函數，對于 x R，令
xn = f (xn-1)(n =1，2，3，L) ，若存在正整數 k 使得 xk = x0，且當 0ì2x x 1 ， <
的一個周期為 k 的周期點.若 f (x) =
2
í ，下列各值是 f (x) 周期為 11 的周期點的 2(1- x)， x…
2
有（ ）
1 2
A．0 B． C． D．1
3 3
10．（2023·山西·模擬預測）奇函數 f x 與偶函數 g x 的定義域均為R ，且滿足
f x - g x = 2x ，則下列判斷正確的是（ ）
x - x
A． f x + g x 0 B． f x 2 - 2=
2
C． f x 在R 上單調遞增 D． g x 的值域為 - , -1
11．（2024·湖南·二模）已知函數 f x , g x 的定義域均為R, g x +1 + f 1- x =1，
f x +1 - g x + 2 =1，且 y = f x 的圖像關于直線 x =1對稱，則以下說法正確的是（ ）
A． f x 和 g x 均為奇函數 B．"x R, f x = f x + 4
C．"x R, g x 3= g x + 2 D． g - = 0
è 2 ÷
三、填空題
12．（2023·四川雅安·一模）已知函數 f (x) 的定義域為 (- , + ), y = f (x) + ex為偶函數，
y = f (x) - 2ex 為奇函數，則 f (x) 的最小值為 .
13．（2024·山東棗莊·一模）已知 f x + 2 為偶函數，且 f x + 2 + f x = -6，則
f 2027 = ．
14．（2023·四川綿陽·模擬預測）已知函數 f x , g x 的定義域為R ，且
31
f -x = f x + 6 , f 2 - x + g x = 4，若 g x +1 為奇函數， f 2 = 3，則 g(k) = ．
k =1
四、解答題
15．（2023·河南洛陽·模擬預測）已知函數 f x 是定義在R 上的奇函數，當 x < 0 時，
x
f x log 1+ 2= 2 ．3- 2x
(1)求 f x 的解析式；
(2)若關于 x 的方程 f x = k 在R 上有解，求實數 k 的取值范圍．
16．（2023·上海黃浦·一模）已知集合A和定義域為R 的函數 y = f x ，若對任意 t A， x R ，
都有 f x + t - f x A，則稱 f x 是關于 A 的同變函數.
(1)當 A = 0, + 與 0,1 x時，分別判斷 f x = 2 是否為關于 A 的同變函數，并說明理由；
(2)若 f x 是關于 2 的同變函數，且當 x 0,2 時， f x = 2x ，試求 f x 在
2k, 2k + 2 k Z 1上的表達式，并比較 f x 與 x + 的大小；
2
(3) n -n 1-n若 為正整數，且 f x 是關于 é 2 ,2 ù 的同變函數，求證： f x 既是關于
m ×2-n m Z 的同變函數，也是關于 0, + 的同變函數.
17．（2023·上海普陀·一模）設函數 y = f x 的表達式為 f x = aex + e- x .
(1)求證：“ a =1”是“函數 y = f x 為偶函數”的充要條件；
(2)若 a =1，且 f m + 2 f 2m - 3 ，求實數m 的取值范圍.
18．（2024· x全國·模擬預測）已知函數 f x = g x e +1 + 2 ．
(1)若 g x = x，求證：當 x > 0 f x > 2ex時，
(2)若 g x = sinx -1，求證： f x 在 -π, π 上有且僅有三個零點x1，x2， x3 （ x1 < x2 < x3），
且 x1 + x2 + x3 = 0 ．
19．（2023·上海徐匯·一模）若函數 y = f (x), x R 的導函數 y = f (x), x R 是以T (T 0)為周
期的函數，則稱函數 y = f (x), x R 具有“T 性質”．
(1)試判斷函數 y = x2 和 y = sin x 是否具有“ 2π性質”，并說明理由；
(2)已知函數 y = h(x)，其中 h(x) = ax2 +bx + 2sinbx(0 < b < 3)具有“ π性質”，求函數 y = h(x)在[0, p]
上的極小值點；
(3)若函數 y = f (x), x R 具有“T 性質”，且存在實數M > 0使得對任意 x R 都有 | f (x) |< M
成立，求證： y = f (x), x R 為周期函數．
（可用結論：若函數 y = f (x), x R 的導函數滿足 f (x)=0, x R ，則 f (x) = C （常數）．）
拓展沖刺練
一、單選題
1．（23-24 高三下·江西·階段練習）已知函數 f x = lg x -1 + 2x + 2- x，則滿足不等式
f x +1 < f 2x 的 x 的取值范圍為（ ）
A． -2, -1 B． 1,2 C 1． - , - 3 1,+ D． - , -2 U 1, +
2．（2024·重慶·一模）已知定義在 R 上的函數 f x 滿足： f x1 + x2 = f x1 + f x2 ，且 x > 0
時， f x < 0 2，則關于 x 的不等式 f x + f 2x 0的解集為（ ）
A． -2,0 B． 0,2
C． - , -2 U 0, + D． - ,0 2, +
3．（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x = x3 + a -1 x2 - x + b是定義在 m，2 + m 上的奇函
數， f x 為 f x 的導函數，則 f a + b + m =（ ）
A． -1 B．0 C．1 D．2
1
4．（2024· 3云南紅河·二模）已知函數 f x = x - x ，對于任意的 x 1,2 ，不等式e +1
f x +1

f t +1

÷ + ÷ <1恒成立，則實數 t 的取值范圍為（ ）
è x -1 è (x -1)
2 x - 6 ÷
A． 1, + B． -1,1 C． - , -1 D． - , -1
二、多選題
5．（2024·湖南岳陽·二模）已知函數 f x 的定義域為R ，對任意 x, y R 都有
2 f x + y f x - y ÷ ÷ = f x + f y ，且 f 1 = -1，則下列說法正確的是（2 2 ）è è
1
A． f -1 =1 B． f x +

÷為奇函數
è 2
C． f x - f 2 - x = 0 D． f 1 + f 2 + f 3 + ×××+ f 2025 = -1
6．（2024·河南·一模）定義在 R 上的函數 f (x) = log ( 1+ b2x2a + bx) （ a > 0且 a 1，b 0 ），
若存在實數 m 使得不等式 f (-m + m2 +12) + f (-m) 0恒成立，則下列敘述正確的是（ ）
A．若 a > 1，b > 0，則實數 m 的取值范圍為 -2,2
B．若 0 < a < 1，b < 0，則實數 m 的取值范圍為 - , 2
C．若 a > 1，b < 0，則實數 m 的取值范圍為 - ,-2 U 2,+
D．若 0 < a < 1，b > 0，則實數 m 的取值范圍為 2, +
三、填空題
7．（2024·陜西西安·二模）已知定義域為R 的函數 f (x) 滿足 f (x + 2) = - f (x) ，且當0 < x < 2時，
f (x) = 3x - ln x，則 f (211) = .
8．（2024·陜西西安·模擬預測）定義在R 上的函數 f x 的導函數為 f x ，且有
f -3 = -12, f -x + f x = 0，且對任意 x R 都有 f x > 3，則使得 f ex - 3ex - 3 0成
立的 x 的取值范圍是 .
f x =
ì 1- x2 , -1 x 1
9．（2024·內蒙古呼和浩特·一模）已知 í ，若直線 y = kn x 與 f x 有 2n
f x - 2 , x >1
* 2 2 2
個交點 n N ，則 k1 + k2 +L+ kn = .
四、解答題
10．（23-24 高三上·全國·階段練習）已知函數 f (x) = log2 2x +1 + ax 是偶函數.
(1)求 a的值;
(2)設 g(x) = f (x) + x ， h(x) = x2 - 2x + m，若對任意的 x1 0,4 ，存在 x2 0,5 ，使得
g x1 h x2 ，求m 的取值范圍.
11．（2024·全國·模擬預測）行列式是近代數學中研究線性方程的有力工具，其中最簡單的二
a11 a12
階行列式的運算定義如下： = aa a 11
a22 - a21a12 ．
21 22
x -2023
(1)在等比數列 an 中， a1,a4045 是 = -3 a ×ax x 的兩個實根，求 2021 2022 × a2023 ×a2024 ×a2025 的
值；
2n 5n+1 +1 1 b b
(2)已知數列 bn 的前 n 2項和為Tn ，且Tn = ，若 cn = n nn ，求數列 cn 1 3 n 的前
-1 2-1
2
n項和；
(3)已知 f x 是奇函數， g x 是偶函數．設函數F x = f x + g x ，且存在實數M ，使得
F x + 4 1
= M
F x 1 對于任意的 x R 都成立，若
f 2 =1，求 f 1234 的值．
12．（23-24 高三上·云南昆明·階段練習）懸鏈線的原理運用于懸索橋、架空電纜、雙曲拱橋、
ex + e- x
拱壩等工程．通過適當建立坐標系，懸鏈線可為雙曲余弦函數 ch x = 的圖象，類比
2
三角函數的三種性質：①平方關系：① sin2 x + cos2 x =1，②和角公式：
ì sin x = cos x,
cos x + y = cos x cos y - sin x sin y ，③導數： í cos x 定義雙曲正弦函數 = -sin x,
x - x
sh x e - e= ．
2
(1)直接寫出 sh x ， ch x 具有的類似①、②、③的三種性質（不需要證明）；
(2)若當 x > 0時， sh x > ax恒成立，求實數 a 的取值范圍；
(3)求 f x = ch x - cos x - x2 的最小值．

展開更多......

收起↑