資源簡(jiǎn)介

考點(diǎn) 06 函數(shù)的概念及其表示（3 種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜
合提升練+拓展沖刺練）
【考試提醒】
1.了解函數(shù)的含義.2.在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、
解析法)表示函數(shù).3.了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，并會(huì)簡(jiǎn)單的應(yīng)用．
【知識(shí)點(diǎn)】
1．函數(shù)的概念
一般地，設(shè) A，B 是非空的實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合 A 中的任意一個(gè)數(shù) x，按照某種確定的對(duì)
應(yīng)關(guān)系 f，在集合 B 中都有唯一確定的數(shù) y 和它對(duì)應(yīng)，那么就稱 f：A→B 為從集合 A 到集合
B 的一個(gè)函數(shù)，記作 y＝f(x)，x∈A.
2．函數(shù)的三要素
(1)函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域．
(2)如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)為同一個(gè)函數(shù)．
3．函數(shù)的表示法
表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法．
4．分段函數(shù)
若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的式子來(lái)表示，這種函
數(shù)稱為分段函數(shù)．
常用結(jié)論
1．直線 x＝a 與函數(shù) y＝f(x)的圖象至多有 1 個(gè)交點(diǎn)．
2．在函數(shù)的定義中，非空數(shù)集 A，B，A 即為函數(shù)的定義域，值域?yàn)?B 的子集．
3．分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù)．分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)
的定義域的并集，值域等于各段函數(shù)的值域的并集．
【核心題型】
題型一　函數(shù)的定義域
(1)無(wú)論抽象函數(shù)的形式如何，已知定義域還是求定義域，均是指其中的 x 的取值集合；
(2)若已知函數(shù) f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，則復(fù)合函數(shù) f(g(x))的定義域由不等式 a≤g(x)≤b 求出；
(3)若復(fù)合函數(shù) f(g(x))的定義域?yàn)閇a，b]，則函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?g(x)在[a，b]上的值域．
ì x -1 ü
【例題 1】（2024 高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知集合 A = x y = -x ，B = íx 0 ，則
x +1


AI B =（ ）
A． -1,0 B． -1,0 C． 0,1 D． - ,1
【答案】B
【分析】分別求解集合 A, B，再求 A B 即可.
【詳解】因?yàn)?y = -x 的定義域?yàn)? - ,0 ，所以 A = - ,0 ，
x -1 ì x +1 x -1 0
由 0得 í ，解得-1 < x 1，所以B = -1,1 ，x +1 x +1 0
故 AI B = -1,0 ，
故選：B．
【變式 1】（2023·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù) y = f x 的定義域?yàn)?0,4 ，則函數(shù)
y f (x +1)= + (x - 2)0 的定義域是（
x 1 ）-
A． 1,5 B． 1,2 2,5 C． 1,2 2,3 D． 1,3
【答案】C
【分析】根據(jù)給定條件，利用函數(shù)有意義并結(jié)合復(fù)合函數(shù)的意義列出不等式組，求解不等式
組作答.
f (x +1)
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù) y = f x 0的定義域?yàn)?0,4 ，又函數(shù) y = + (x - 2) 有意義，
x -1
ì0 x +1 4

則有 íx -1 > 0 ，解得1< x < 2或 2 < x 3，

x - 2 0
f (x +1)
所以函數(shù) y = + (x - 2)0 的定義域是 1,2 2,3 .
x -1
故選：C
【變式 2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若集合 A = x N y = 3- x ，B = 0,1 ，則集合 A B 的
真子集的個(gè)數(shù)為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】先求集合 A，確定 A B 即可求解.
【詳解】因?yàn)?A = x N 3- x 0 = 0,1,2,3 ，B = 0,1 ，所以 AI B = 0,1 ，
所以集合 A B 的真子集的個(gè)數(shù)為22 -1 = 3 .
故選:D.
【變式 3】（2023·江蘇鎮(zhèn)江·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù) y = f 2x 的定義域?yàn)?-2,4 ，則
y = f x - f -x 的定義域?yàn)椋? ）
A． -2,2 B． -2,4
C． -4,4 D． -8,8
【答案】C
【分析】利用抽象函數(shù)定義域的求解原則可求出函數(shù) f x 的定義域，對(duì)于函數(shù)
y = f x - f -x ，可列出關(guān)于 x 的不等式組，由此可得出函數(shù) y = f x - f -x 的定義域.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù) y = f 2x 的定義域?yàn)?-2,4 ，則-2 x 4，可得-4 2x 8，
所以，函數(shù) y = f x 的定義域?yàn)?-4,8 ，
ì-4 x 8
對(duì)于函數(shù) y = f x - f -x ，則有 í ，解得-4 x 4，
-4 -x 8
因此，函數(shù) y = f x - f -x 的定義域?yàn)?-4,4 .
故選：C.
題型二　函數(shù)的解析式
函數(shù)解析式的求法
(1)配湊法；(2)待定系數(shù)法；(3)換元法；(4)解方程組法．
1- x2
【例題 2】（2023·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù) f 1- x = 2 x 0 ，則 f x =（ ）x
1 1
A． 2 -1 x 0 B． 2 -1 x 1
4 4
C． 2 -1 x 0 D． 2 -1 x 1 x -1 x -1 x -1 x -1
【答案】B
【分析】利用換元法令 t =1- x ，運(yùn)算求解即可.
【詳解】令 t =1- x ，則 x =1- t ，且 x 0，則 t 1，
1- 1- t 2 1
可得 f t = 2 = 2 -1, t 1 ， 1- t t -1
所以 f x
1
= 2 -1 x 1 x .-1
故選：B.
【變式 1】（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù) f (x) 對(duì)定義域{x∣x 0}內(nèi)的任意實(shí)數(shù) x 滿足
f (2x) - 2 f 2 ÷ = 4x ，則 f (x) = .
è x
2 x 16【答案】- -
3 3x
4
【分析】先把 x 都化為 2x，進(jìn)行化簡(jiǎn)得到 f (x) - 2 f ÷ = 2x
4
，再把 x 替換為 得到
è x x
f 4 ÷ - 2 f (x)
8
= ，最后聯(lián)立方程組求解即可.
è x x
f (2x) - 2 f 2 4x f (2x) 2 f 4 【詳解】由 ÷ = ，得 - ÷ = 2 × (2x)，即 f (x)
4
- 2 f ÷ = 2x ①，
è x è 2x è x
x 4 4 將 換為 ，得 f ÷ - 2 f (x)
4
= 2 ②，由①+2②，得-3 f (x) 2x
16
= + ，故
x è x x x
f (x) 2 x 16= - - .
3 3x
2 x 16故答案為：- - .
3 3x
1 25
【變式 2】（2023·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù) f (x) 的最大值是 f ÷ = ，且它的圖像過(guò)
è 2 4
點(diǎn) (2, 4)，求函數(shù) f (x) 的解析式．
2
【答案】 f (x) = - x
1
-
25
÷ +
è 2 4
【分析】由二次函數(shù)性質(zhì)與待定系數(shù)法求解．
2
f (x) a x 1 25【詳解】解：根據(jù)題意設(shè) = - ÷ + ，
è 2 4
1
2
25
又過(guò)點(diǎn) (2, 4)，則 a 2 - 2 ÷
+ = 4
è 4
解得 a = -1，
2
f (x) x 1 25故 = - - 2 ÷
+
è 4
【變式 3】（2024·山東濟(jì)南·一模）已知集合 A = u x u x = ax2 - a + b x + b ,a,b R ，函
2
數(shù) f x = x -1 . 若 函 數(shù) g x 滿 足 ： 對(duì) 任 意 u x A， 存 在 l, m R ， 使 得
u x = l f x + mg x ，則 g x 的解析式可以是 .（寫出一個(gè)滿足條件的函數(shù)解析式即
可）
【答案】 g x = x -1（滿足 g 1 = 0，且一次項(xiàng)系數(shù)不為零的所有一次或者二次函數(shù)解析式
均正確）
【分析】根據(jù)u 1 = 0，求得 g 1 = 0，則滿足 g 1 = 0的一次函數(shù)或二次函數(shù)均可.
【詳解】u x = ax2 - a + b x + b 2， f x = x -1，
u 1 = a - a + b + b = 0 ， f 1 = 0，
u x = l f x + mg x ，u 1 = l f 1 + mg 1 = mg 1 = 0，
所以 g 1 = 0，則 g x 的解析式可以為 g x = x -1 .
經(jīng)檢驗(yàn)， g x = x -1滿足題意.
故答案為： g x = x -1（答案不唯一）.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)的形式，確定函數(shù)的關(guān)鍵特征和條件.
題型三　分段函數(shù)
分段函數(shù)求值問(wèn)題的解題思路
(1)求函數(shù)值：當(dāng)出現(xiàn) f(f(a))的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值．
(2)求自變量的值：先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的
值，切記要代入檢驗(yàn)．
ì4x , x 0
【例題 3】（2024·四川廣安·二模）已知函數(shù) f x = í ，則 f é f -2 ù 的值為 .
log2 x, x > 0
【答案】-4
【分析】先求 f -2 的值，結(jié)合所求結(jié)果的符號(hào)，再代入 f x 解析式求得.
1
【詳解】Q f -2 = 4-2 = > 0，
16
\ f é f -2 ù = f
1 = log 1 = log -4 16 ÷ 2 16 2
2 = -4 .
è
故答案為：-4 .
ì
x
2 - 3x, x 3
【變式 1】（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù) f x = í ，若 $x R ，使得
log3 x, x > 3
0
f x 20 10m + 4m 成立，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍為（ ）
é 9 1 ù é 5 ù
A． ê- , - ú B． ê- ,0 4 4 2 ú
9 ù é 1 5 ù
C． - ,- - ,+ ÷ D． - ,-
è 4 ú ê 4 è 2 ú
0, +

【答案】C
【分析】先求出分段函數(shù)的最小值；再求解不等式的解集即可.
3ù 3
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù) y = x2 - 3x在區(qū)間 - , ú 上單調(diào)遞減，在區(qū)間 ，3÷上單調(diào)遞增，è 2 è 2
x 3 9所以當(dāng) = 時(shí)，函數(shù) y = x2 - 3x, x 3取得最小值- .
2 4
又因?yàn)楹瘮?shù) y = log3 x在區(qū)間 3, + 上單調(diào)遞增，
所以當(dāng) x > 3時(shí)， log3 x >1.
ìx2 - 3x, x 3 9
綜上可得函數(shù) f x = í 的最小值為- .
log3 x, x > 3 4
因?yàn)?x0 R ，使得 f x0 10m + 4m2成立，
9 2 9 1
所以- 10m + 4m ，解得：m - 或m - .
4 4 4
故選：C.
ì f (x +1), x < 4
【變式 2】（2024·陜西西安·三模）已知函數(shù) f (x) = í x ，則 f 2 + log2 , x 4 23 = （ ）
A．8 B．12 C．16 D．24
【答案】D
【分析】根據(jù)給定條件，判斷并代入計(jì)算函數(shù)值即得.
【詳解】由1< log2 3 < 2，得3 < 2 + log23 < 4，
所以 f (2 + log23) = f (3 + log 3) = 2
3+log2 3
2 = 2
3 2log2 3 = 24 .
故選：D
ìx2 + ax, x < 0

【變式 3】（23-24 高三下·內(nèi)蒙古赤峰·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù) f x = í x 的最小值為
- , x 0 x +1
-1，則a = .
【答案】2
【分析】由題意得出函數(shù) y = x2 + ax在 - ,0 上取得最小值-1，由此即可列出式子求解.
y x 1【詳解】當(dāng) x 0 時(shí)， = - = -1 > -1 .
x +1 x +1
因?yàn)?f x 的最小值為-1，所以函數(shù) y = x2 + ax在 - ,0 上取得最小值-1，
ì a
- < 0 2
則 í 2 ，解得 a = 2 .
a- = -1
4
故答案為：2.
【課后強(qiáng)化】
基礎(chǔ)保分練
一、單選題
1．（2024·陜西西安·一模）已知全集U = R ，集合M = {x | y = 1- x}， N = {- 2,0,1,2, 3}，
則 ( U M ) I N =（ ）．
A．{- 2,0,1} B．{2, 3} C．{1,2, 3} D． N = {2}
【答案】B
【分析】先求集合 M，然后由集合的運(yùn)算可得.
【詳解】由1- x 0解得M = - ,1 ，
所以 U M = 1,+ ，所以 ( U M ) N = 2, 3 .
故選：B
ì 1, x > 0,

2．（2024·山西運(yùn)城·一模）已知符號(hào)函數(shù) sgn x = í 0, x = 0, 則函數(shù)

-1, x < 0.
f (x) = sgn(x) × ln x + x2 +1 的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先得到 f (x) 為偶函數(shù)，排除 AB，再計(jì)算出 f 1 = ln 2 > 0，得到正確答案.
【詳解】 sgn x 定義域?yàn)?R，且為奇函數(shù)，故 sgn -x = -sgn x ，
f (x) = sgn(x) × ln x + x2故 +1 的定義域?yàn)?R，
且 f (-x) = sgn(-x) × ln
2
-x + -x +1÷ = -sgn x × ln
è -x + x2 +1

= -sgn x 1× ln ÷ = sgn x × ln x2 +1 + x = f x ，
è x2 +1 + x
故 f (x) = sgn(x) × ln x + x2 +1 為偶函數(shù)，AB 錯(cuò)誤；
當(dāng) x =1時(shí)， f 1 = sgn 1 × ln 2 = ln 2 > 0 ，C 錯(cuò)誤，D 正確.
故選：D
3．（2023·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）給出下列 4個(gè)函數(shù)，其中對(duì)于任意 x R 均成立的是（ ）
A． f sin 3x = sin x B． f sin 3x = x3 + x2 + x
C 2． f x + 2 = x + 2 D f x2． + 4x = x + 2
【答案】D
【分析】根據(jù)函數(shù)定義逐項(xiàng)判斷 ABC，采用換元的方法求解 D 中函數(shù)的解析式并進(jìn)行判斷.
【詳解】對(duì)于 A，當(dāng) x = 0時(shí)， f 0 = 0 π 3；當(dāng) x = 3 時(shí)， f 0 = ，與函數(shù)定義矛盾，不符合；2
π 3 2
對(duì)于 B π π π，當(dāng) x = 0時(shí)， f 0 = 0；當(dāng) x = 3 時(shí)， f 0 = ÷ + ÷ + ，與函數(shù)定義矛盾，不è 3 è 3 3
符合；
對(duì)于 C，當(dāng) x = -2時(shí)， f 6 = 0；當(dāng) x = 2時(shí)， f 6 = 4 ，與函數(shù)定義矛盾，不符合；
2
對(duì)于 D，令 x + 2 = t ，則 x = t - 2，所以 f é t - 2 + 4 t - 2 ù = f t
2 - 4 = t ，
令 t 2 - 4 = m -4, + ，所以 t = ± m + 4 ，
所以 f m = ± m + 4 = m + 4 m -4 ，
所以 f x = x + 4 x -4 ，符合.
故選：D.
ì x -1
4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知集合 A = íx 0
ü
，B = x y = 2x - x2 ，則 AI B =
x
（ ）
A． x 0 < x 1 B． x 0 x 1 C． x 0 < x 2 D． x 0 x 2
【答案】A
【分析】先解不等式，再利用集合的交集即可求解.
【詳解】因?yàn)榧?A = {x |
x -1
0} = {x | x(x -1) 0且 x 0 ，所以 A = x 0 < x 1 ．
x
2
又集合B = x 2x - x 0 ，所以B = x 0 x 2 ，則 A B = x 0 < x 1 ．
故選：A．
二、多選題
5．（23-24 高三下·河南·階段練習(xí)）已知非常數(shù)函數(shù) f x 的定義域?yàn)镽 ，且
f x f y = f xy + xy x + y ，則（ ）
A． f 0 = 0 B． f 1 = -2或 f 1 =1
f x
C ． 是 x x R且x 0 上的增函數(shù) D． f x 是R 上的增函數(shù)
x
【答案】AC
f x
【分析】A.

令 y = 0 判斷；B.令 g x = , x 0，分別令 x = y = -1， x = y =1判斷；CD.由
x
f x
g x = , x 0，令 y =1判斷.
x
【詳解】解：在 f x f y = f xy + xy x + y 中，
令 y = 0 ，得 f 0 f x = f 0 ，即"x R, f 0 é f x -1ù = 0．
因?yàn)楹瘮?shù) f x 為非常數(shù)函數(shù)，所以 f 0 = 0，A 正確．
g x f x 令 = , x 0，則 g x g y = g xy + x + y．
x
令 x = y = -1，則[g -1 ]2 = g 1 - 2，①
令 x = y =1 2，則[g 1 ] = g 1 + 2 ，②
由①②，解得 g 1 = 2, g -1 = 0，從而 f 1 = 2 ，B 錯(cuò)誤．
令 y =1，則 g x g 1 = g x + x +1，即 g x = x +1，
因?yàn)?f 0 = 0，所以 f x = x x +1 ，所以 C 正確，D 錯(cuò)誤．
故選：AC
ì 2x -1 , x 2
6．（2023·江蘇連云港·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù) f x = í ，若關(guān)于 x 的方程 f x - m = 0
-x + 5, x > 2
恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則下列選項(xiàng)中可以作為實(shí)數(shù)m 取值范圍的有（ ）
A． 0,3 B． 1,2
C． 2,3 D． 0
【答案】BCD
【分析】將方程 f x - m = 0有根轉(zhuǎn)化為曲線 y = f x 和直線 y = m的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，根據(jù)
函數(shù)圖像分析運(yùn)算即可得解.
【詳解】解：因?yàn)殛P(guān)于 x 的方程 f x - m = 0恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
所以函數(shù) y = f x 的圖象與直線 y = m的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，作出函數(shù)圖象，如下圖所示，
所以當(dāng)m 1,3 U 0 時(shí)，函數(shù) y = f x 與 y = m的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
所以實(shí)數(shù) m 的取值范圍是 1,3 U 0 ．
四個(gè)選項(xiàng)中只要是 1,3 U 0 的子集就滿足要求.
故選：BCD.
三、填空題
7．（2024·北京懷柔·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù) f x lg1+ 2x= 的定義域是 .
x
( , 1【答案】 - - ) U (0,+ )
2
【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的定義，列出不等式求解即得.
【詳解】函數(shù) f x lg1+ 2x 1+ 2x 1= 有意義，則 > 0 x(2x +1) > 0，解得 x < - 或 x > 0，
x x 2
所以函數(shù) f x = lg1+ 2x 1的定義域是 (- ,- ) U (0,+ ) .
x 2
1
故答案為： (- ,- ) U (0,+ )
2
8．（23-24 高三上·河北保定·階段練習(xí)）已知函數(shù) f x 在R 上可導(dǎo)，且 f (2x + 3) = 4x2 -1，
則 f (1) = ．
【答案】-4
【分析】利用換元法求得 f x 解析式，求導(dǎo)，求 f (1) 即可.
t 2x 3 x t - 3【詳解】令 = + ，則 = 2 ，則 f (t) = t
2 - 6t + 8，即 f x = x - 6x + 8，
f x = 2x - 6，所以 f (1) = -4 ．
故答案為：-4
四、解答題
9．（2023·江西九江·模擬預(yù)測(cè)）若 f x 的定義域?yàn)?-4,4 ，求 g(x) = f (2x +1) + f x2 的定
義域．
é
【答案】 ê-2,
3ù
.
2ú
【分析】由題意列出不等式組解之即得.
【詳解】由函數(shù) y = f x 2的定義域?yàn)?-4, 4 ，則要使函數(shù) g(x) = f (2x +1) + f x 有意義，
ì-4 2x +1 4
則 í
-4
，
x2 4
3
解得-2 x ,
2
3
∴函數(shù) g(x) = f (2x +1) + f x2 é的定義域?yàn)?ê-2, ùú . 2
10．（2023·河南信陽(yáng)·一模）已知函數(shù) f x = x - 2 + x + 2 .
(1)求不等式 f x x + 3的解集；
(2) 2若 g x = x - 3 + x + 3 ，F(xiàn) x = f x + g x ，且F a - 3a + 2 = F a - 2 ，求滿足條件的
整數(shù) a的所有取值的和.
【答案】(1) - ,1 3, +
(2)6
【分析】（1）分 x -2， -2 < x 2 和 x > 2三種情況討論，去絕對(duì)值符號(hào)，解不等式即可；
（2）先判斷函數(shù)的奇偶性，再去絕對(duì)值符號(hào)，作出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象分類討論即可得
解.
【詳解】（1）解：當(dāng) x -2時(shí)， f x = 2 - x - 2 - x = -2x ，
∴ -2x x + 3，∴ x -1，∴ x -2；
當(dāng) -2 < x 2 時(shí)， f x = 2 - x + x + 2 = 4，∴ 4 x + 3， x 1，∴ -2 < x 1；
當(dāng) x > 2時(shí)， f x = x - 2 + x + 2 = 2x ，∴ 2x x + 3， x 3，∴ x 3，
綜上，不等式 f x x + 3的解集為 - ,1 3, + ；
（2）解：因?yàn)镕 -x = -x - 2 + -x + 2 + -x - 3 + -x + 3 = x + 2 + x - 2 + x + 3 + x - 3 = F x ，
∴ F x 為偶函數(shù)，
當(dāng)0 x < 2時(shí)，F(xiàn) x = 2 - x + 3- x + x + 2 + x + 3 =10，
當(dāng) 2 x < 3時(shí)，F(xiàn) x = x - 2 + 3 - x + x + 2 + x + 3 = 2x + 6，
當(dāng) x 3時(shí)，F(xiàn) x = x - 2 + x - 3 + x + 2 + x + 3 = 4x ，
作出函數(shù)圖象如圖所示，
F a2若 - 3a + 2 = F a - 2 ，則
① a2 - 3a + 2 = a - 2，∴ a = 2；
② a2 - 3a + 2 = - a - 2 ，∴ a = 0或 a = 2；
③ -2 a2 - 3a + 2 2，-2 a - 2 2，∴ 0 a 3，
綜上整數(shù) a的取值為 0，1，2，3，故和為 6.
11．（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù) f x = x - 2 + 2x -1 ．
(1)求 f x 的最小值；
(2)若 f x 2x - a 恒成立，求實(shí)數(shù) a的取值范圍．
3
【答案】(1)
2
é1, 5 ù(2)
ê 2ú
【分析】（1）利用分類討論，去掉絕對(duì)值，結(jié)合一次函數(shù)的單調(diào)性即可得解；
（2）結(jié)合（1）中結(jié)論，作出 f (x) 與 h(x) 的大致圖象，求得 f (x) | 2x - a |恒成立的臨界情
況對(duì)應(yīng)的 a值，從而得解.
【詳解】（1）因?yàn)?f x = x - 2 + 2x -1 ，
當(dāng) x 2時(shí)， f x = 3x - 3，此時(shí) f x 3 2 - 3 = 3；
1
當(dāng) < x < 2時(shí)， f x = x +1 1，此時(shí) +1 < f x 2 1 3< + ，即 < f x < 3；
2 2 2
x 1當(dāng) 時(shí)， f x = 3- 3x f x 3 3 1 3，此時(shí) - = ；
2 2 2
f x 3綜上， 的最小值為 .
2
（2）記 h(x) =| 2x - a |，作出 f (x) 與 h(x) 的大致圖象，
要使 f (x) | 2x - a |恒成立，
則只需當(dāng)函數(shù) h(x)
1 3
的圖象過(guò)點(diǎn) A , ÷ 或B(2,3)2 2 時(shí)，為臨界情況（如圖），è
h 1 3由 ÷ = 1- a = a
5 a 1，得 = 或 = - （舍去），
è 2 2 2 2
由 h(2) =| 4 - a |= 3，得 a =1或 a = 7（舍去），
1 5 a é 5 ù所以 ≤ a ≤ 2 ，即實(shí)數(shù) 的取值范圍為 ê
1,
2 ú
.

π 3π
12．（2023·浙江溫州·三模）已知函數(shù) f (x) = sin(wx - ) 在區(qū)間[0, ]上恰有 3 個(gè)零點(diǎn)，其中
4 2
w 為正整數(shù).
(1)求函數(shù) f x 的解析式；
g x
(2)將函數(shù) f x π的圖象向左平移 個(gè)單位得到函數(shù) g x F x 的圖象，求函數(shù) = f x 的單調(diào)4
區(qū)間.
【答案】(1) f (x) = sin(2x
π
- )；
4
(kπ 3π , kπ π(2) - + )(k Z) .
2 8 2 8
π
【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出wx - 4 的范圍，再結(jié)合正弦函數(shù)的零點(diǎn)情況列出不等式求
解作答.
（2）由（1）求出函數(shù) g x 的解析式，進(jìn)而求出F x ，再利用正切函數(shù)的單調(diào)性求解作答.
3π π π 3πw π
【詳解】（1）由 x [0, ]，得wx - [- , - ]，
2 4 4 2 4
因?yàn)楹瘮?shù) f (x) = sin(wx
π 3π
- ) 在區(qū)間[0, ]上恰有 3 個(gè)零點(diǎn)，
4 2
2π 3πw π 3π 3 w 13于是 - < ，解得 < ，而w 為正整數(shù)，因此w = 2，
2 4 2 6
所以 f (x) = sin(2x
π
- ) .
4
π π π π
（2）由（1）知， g(x) = f (x + ) = sin[2(x + ) - ] = sin(2x + )，
4 4 4 4
π kπ π
由 f (x) 0，得 2x - kπ,k Z ，即有 x + , k Z，
4 2 8
g(x) sin(2x
π
+ ) sin(2x π+ )
因此F (x) = = 4 = 4 = - tan(2x
π
+ )，
f (x) sin[(2x π+ ) π- ] -cos(2x π+ ) 4
4 2 4
由 kπ
π 2x π- < + < kπ π+ ,k Z kπ 3π x kπ π ，解得 - < < + ,k Z，
2 4 2 2 8 2 8
所以函數(shù)F (x)
g(x)
= kπ 3π kπ π的單調(diào)減區(qū)間為 ( - , + )(k Z)f (x) .2 8 2 8
綜合提升練
一、單選題
ìlog3 x, x > 0f (x) = f ( f (11．（2024·陜西西安·一模）已知函數(shù) í x )) =9 , x 0 ，則 （2 ）
1
A B 1 2． ． 2 C． D．24 2
【答案】A
【分析】根據(jù)給定的分段函數(shù)，依次代入計(jì)算即得.
ìlog x, x > 0f (x) = 3 f (1【詳解】函數(shù) í x ，則 ) = log
1
3 < 09 , x 0 ， 2 2
1 1 log 1 13 log3 1
所以 f ( f ( )) = f (log 2 2 2
2 3
) = 9 = (3 ) = .
2 4
故選：A
2．（2023·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù) f (x) 滿足 2 f (x) + f (-x) = 3x2 + 2x + 6，則（ ）
2x2 + 4x + 3
A． f (x) 的最小值為 2 B．$x R, < 2f x
2x2 + 4x + 5
C． f (x) 的最大值為 2 D．"x R, < 2f x
【答案】B
2
【分析】首先根據(jù)題意得到 f x = x + 2x + 2，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)依次判斷選項(xiàng)即可.
【詳解】因?yàn)?2 f (x) + f (-x) = 3x2 + 2x + 6， 2 f (-x) + f (x) = 3x2 - 2x + 6，
所以 f x = x2 + 2x + 2 .
所以 f x = x +1 2 +1 1，所以 f x 的最小值1，無(wú)最大值，為故 A，C 錯(cuò)誤.
2x2 + 4x + 3 1
對(duì)選項(xiàng) B， = 2 - ，
x2 + 2x + 2 x2 + 2x + 2
1 2x2 + 4x + 3
因?yàn)?x2 + 2x + 2 = x +1 2 +1 1，所以 2 - 2 < 2，即 < 2，x + 2x + 2 f (x)
故 B 正確.
2x2D + 4x + 5 2 1對(duì)選項(xiàng) ，
x2
= + ，
+ 2x + 2 x2 + 2x + 2
2
x2 + 2x + 2 = x +1 2 1 2x + 4x + 5因?yàn)?+1 1，所以 2 + 2 > 2，即 > 2，x + 2x + 2 f (x)
故 D 錯(cuò)誤.
故選：B
3．（2023·浙江·二模）已知函數(shù) f x 滿足 f 2x = f x +1 ，則 f x 可能是（ ）．
A． f x = x B． f x = log2 x
x ì1, x QC． f x = 2 D． f x = í
0, x Q
【答案】D
【分析】根據(jù)函數(shù) f x 滿足 f 2x = f x +1 ，一一驗(yàn)證各選項(xiàng)中的函數(shù)是否滿足該性質(zhì)，
即可得答案.
【詳解】對(duì)于 A， f x = x，則 f 2x = 2x ， f x +1 = x +1，不滿足 f 2x = f x +1 ；
對(duì)于 B， f x = log2 x，則 f 2x = log2 2x =1+ log2 x， f x +1 = log2 (x +1)，
不滿足 f 2x = f x +1 ；
C f x = 2x f 2x = 22x對(duì)于 ， ，則 = 4x， f x +1 = 2x+1 = 2 2x ，不滿足 f 2x = f x +1 ；
ì1, x Q對(duì)于 D， f x = í ，當(dāng) x Q時(shí)， 2x Q,x +1 Q，故 f 2x = f x +1 =10, x Q ；
當(dāng) x Q 時(shí)， 2x Q,x +1 Q，故 f 2x = f x +1 = 0，
即此時(shí) f x ì
1, x Q
= í 滿足 f 2x = f x +1 D0, x Q ， 正確，
故選：D
ì 1 ü
4．（2024·山東棗莊·一模）已知集合M = x log3x < 0 ， N = íx y = x + x -1 ，則
M U R N = （ ）
A． - ,1 B． - ,1 C． - ,0 0,1 D． - ,0 0,1
【答案】D
【分析】首先解對(duì)數(shù)不等式求出集合M ，再根據(jù)函數(shù)的定義求出集合 N ，最后根據(jù)補(bǔ)集、
并集的定義計(jì)算可得.
【詳解】由 log3x < 0，可得 log3x < log31，所以0 < x <1，
即M = x log3x < 0 = x 0 < x <1 ，
ìx 0
對(duì)于函數(shù) y = x
1
+ ，則
x 1 í
，解得0 x <1x 1 0 或 x >1，- -
ì 1 ü
所以 N = íx y = x + = 0,1 1,+ ，
x -1
所以 R N = - ,0 1 ，
所以M R N = - ,0 0,1 .
故選：D
ìlog x +1, x 1
5．（2023· 2全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù) f x = í 2 f a = 2 a
x , x 1
，若 ，則 的值為（
< ）
A．2 或- 2 B．2 或 2 C． 2 或- 2 D．1 或 2
【答案】A
【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式，討論 a的范圍，明確方程，解出即可.
【詳解】當(dāng)a 1時(shí)， log2a +1 = 2，解得 a = 2，
當(dāng)a < 1時(shí)， a2 = 2，得 a = - 2 ，
所以 a的值是 2 或- 2 ．
故選：A.
ìx
2 +
a > 0, a 1 f x = a - 5 x +1, x 16．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知 ，函數(shù) í x 是R 上的減函
1- a , x >1
數(shù)，則 a的取值范圍是（ ）
A． 1,3 B． 2,3 C． 2, + D． 3, +
【答案】B
【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性列出不等式組，解之即可直接得出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù) y = 1- a x (a > 0,a 1)是減函數(shù)，所以 a > 1．
2 5 - a又因?yàn)楹瘮?shù) y = x + (a - 5） x +1圖像的對(duì)稱軸是直線 x = ，
2
y = x2 + a - 5 x +1 5 - a 5 - a所以函數(shù) 在 - ,

÷上單調(diào)遞減，在2
,+ ÷上單調(diào)遞增．
è è 2
ìa >1

f x 5 - a又函數(shù) 是R 上的減函數(shù)，所以 í 1 ，解得 2 a 3，
2
a - 3 1- a
所以 a的取值范圍是 2,3 ．
故選:B．
7．（23-24 高三上·四川遂寧·期中）函數(shù) y = loga (2x -1) + 3(a > 0,a 1) 的圖象恒過(guò)點(diǎn) (m, n)，
函數(shù) f (x) = (
n )x 的定義域?yàn)?0,2 ， g(x) = f (2x) + f (x)，則函數(shù) g(x)的值域?yàn)椋? ）m
A． 2,90 B． 2,6 C． 2,12 D． 2,20
【答案】C
【分析】由題可知，當(dāng) 2x -1 =1時(shí)，即可求出定點(diǎn)坐標(biāo) (m, n)，即可求得 f (x) 的解析式，進(jìn)
而可得 g(x)的解析式，再結(jié)合抽象函數(shù)的定義域求得 g(x)的定義域，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即
可求解.
【詳解】當(dāng) 2x -1 =1時(shí)，即 x =1，則 y = loga 1+ 3 = 3，
所以 y = loga (2x -1) + 3(a > 0,a 1) 恒過(guò)定點(diǎn) (1,3)，
則 f (x) = 3x ，定義域?yàn)?0,2 ，由0 2 x 2 ，得0 x 1，
則 g(x) = f (2x) + f (x)的定義域?yàn)?0,1 ，
則 g(x) = f (2x) + f (x) = 32x + 3x ， x [0,1]
又 y = 3x , y = 32x 在 0,1 上單調(diào)遞增，則 g(x) = 32x + 3x 在 0,1 上單調(diào)遞增，
g(x) 0 0則 min = g(0) = 3 + 3 = 2，
g(x)max = g(1) = 3
2 + 31 =12，
所以函數(shù) g(x)的值域?yàn)?2,12 .
故選：C
8．（2024·浙江溫州·二模）已知定義在 0,1 上的函數(shù)
ì1 , x m是有理數(shù) m,n是互質(zhì)的正整數(shù)
f x = ín n ，則下列結(jié)論正確的是（ ）
1,x是無(wú)理數(shù)
A． f x 1 1 1 的圖象關(guān)于 x = 對(duì)稱 B． f x 的圖象關(guān)于 , ÷對(duì)稱2 è 2 2
C． f x 在 0,1 單調(diào)遞增 D． f x 有最小值
【答案】A
【分析】利用特殊值可排除 B、C，利用函數(shù)的性質(zhì)可確定 A、D.
f 2 1 3【詳解】對(duì)于 BC，由題意可知： - ÷ = f

- 2 +

÷ =12 ，è è 2
f x 1 , 1 2 3 2 1顯然 的圖象不關(guān)于 ÷對(duì)稱，而- + < - ，故 B、C 錯(cuò)誤；
è 2 2 2 2
對(duì)于 D，若 x 為有理數(shù)，則 f x 1= ，顯然 n + ，函數(shù)無(wú)最小值，故 D 錯(cuò)誤；
n
m
對(duì)于 A，若 x = n 是有理數(shù)，即
m, n m < n 互質(zhì)，則 n - m,n 也互質(zhì)，即
f m 1 n - m n ÷
= = f
n ÷
，
è è n
若 x 為無(wú)理數(shù)，則1- x也為無(wú)理數(shù)，即 f x = f 1- x =1，
1
所以 f x 的圖象關(guān)于 x = 對(duì)稱，故 A 正確.
2
下證：m, n互質(zhì)，則 n - m,n 也互質(zhì).
反證法：若m, n互質(zhì)， n - m,n 不互質(zhì)，不妨設(shè) n - m = ka,n = kb ，
則m = k b - a ,n = kb，此時(shí)與假設(shè)矛盾，所以 n - m,n 也互質(zhì).
故選：A
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：根據(jù)抽象函數(shù)的對(duì)稱性結(jié)合互質(zhì)的定義去判定 A、B，而作為抽象函數(shù)
可以適當(dāng)選取特殊值驗(yàn)證選項(xiàng)，提高正確率.
二、多選題
9．（2022·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）下列說(shuō)法不正確的是（ ）
1
A．函數(shù) f x = 在定義域內(nèi)是減函數(shù)
x
B．若 g x 是奇函數(shù)，則一定有 g 0 = 0
ì-x2 - ax - 5 x 1
C．已知函數(shù) f x = ía 在 R 上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是

x >1
x
-3, -1
é 1 3ù
D．若 f x 的定義域?yàn)?-2,2 ，則 f 2x -1 的定義域?yàn)?ê- , 2 2ú
【答案】ABC
1
【分析】對(duì)于 AB，取 g x = f x = ，-1 <1即可說(shuō)明；對(duì)于 C，分段討論，但要注意結(jié)合
x
-12 - a a 1- 5 ，由此即可判斷；對(duì)于 D，由-2 2x -1 2 即可判斷.
1
【詳解】對(duì)于 AB，若 g x = f x 1= ，因?yàn)?1 <1， g x 是奇函數(shù)，但
x
f -1 = -1 < f 1 =1， x = 0時(shí)， g x 無(wú)意義，故 AB 描述不正確，符合題意；
ì-x2 - ax - 5 x 1
對(duì)于 C，已知函數(shù) f x = ía 在 R 上是增函數(shù)，
x >1 x
首先當(dāng) x >1時(shí)， f x a= 單調(diào)遞增，則 a<0，
x
x 1 f x = -x2 a a其次當(dāng) 時(shí)， - ax - 5（對(duì)稱軸為 x = - ）單調(diào)遞增，則- 1，即 a -2，
2 2
ì-x2 - ax - 5 x 1
2 a
但若要保證函數(shù) f x = ía 在 R 上是增函數(shù)，還需滿足 -1 - a 1- 5 ，
x >1 1 x
即 a -3，
所以實(shí)數(shù) a的取值范圍是 -3, -2 ，故 C 描述不正確，符合題意；
1 3
對(duì)于D，若 f x 的定義域?yàn)?-2,2 ，則 f 2x -1 的定義域滿足-2 2x -1 2 ，解得- x ，
2 2
故 D 描述正確，不符合題意.
故選：ABC.
10．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù) f x 是定義域?yàn)镽 的偶函數(shù)， g x 是定義域?yàn)镽 的奇
函數(shù)，且 f x + g x = 2ex .函數(shù)F x = f 2x - 2mf x 在 0, + 上的最小值為-11，則下列
結(jié)論正確的是（ ）
A f x = ex + e- x． B． g x 在實(shí)數(shù)集R 單調(diào)遞減
13
C．m = 3 D．m = -3.3或
4
【答案】AC
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可得出關(guān)于 f x , g x 的方程組，即可得 f x , g x 的解析式，
從而得選項(xiàng) A；結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，可判斷選項(xiàng) B；根據(jù) f x 的解析式，求出F x 的解析
式，利用換元法，將所求函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題，結(jié)合二次函數(shù)的對(duì)稱軸和二次函
數(shù)的定義域，即可求出其最小值，從而解得m = 3，即可判斷選項(xiàng) C 與選項(xiàng) D.
【詳解】A，因?yàn)?f x 為偶函數(shù)，所以 f -x = f x ，又 g x 為奇函數(shù)，所以
g -x = -g x ，
因?yàn)?f x + g x = 2ex ①，所以 f -x + g -x = 2e- x ，即 f x - g x = 2e- x ②，
由①②得： f x = ex + e- x ， g x = ex - e- x ，所以選項(xiàng) A 正確；
B，因?yàn)楹瘮?shù) y = ex , y = -e- x 在R 上均為增函數(shù)，
g x = ex - e- x故 在R 上單調(diào)遞增，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
2
C、D，因?yàn)?f 2x = e2x + e-2x = ex + e- x - 2，
所以F x = ex + e- x 2 - 2m ex + e- x - 2 ，
又 f x = ex + e- x 2 exe- x = 2 x - x，當(dāng) ex = e- x ，即 x = 0時(shí)等號(hào)成立， t = e + e 2, + ，
h t = t 2設(shè) - 2mt - 2 = (t - m)2 - m2 - 2 t 2 ，對(duì)稱軸 t = m，
當(dāng)m > 2 時(shí)，函數(shù) h t 在 2, m 上為減函數(shù)，在 m, + 上為增函數(shù)，
則 h(t)min = h m = -m2 - 2 = -11，解得m = 3或m = -3（舍）；
當(dāng)m 2時(shí)， h t 在 2, + 上單調(diào)遞增， h(t)min = h 2 = 2 - 4m = -11 m
13
，解得： = > 2，
4
不符合題意.
綜上m = 3，所以選項(xiàng) C 正確，D 錯(cuò)誤.
故選：AC .
ìsin πx, x 0,2
11．（23-24 高三上·黑龍江大慶·階段練習(xí)）對(duì)于函數(shù) f x = í1 ．下列結(jié) f x - 2 , x 2, + 2
論正確的是（ ）
A．任取 x1, x2 2,+ ，都有 f x1 - f x2 1
B．函數(shù) y = f x - ln x -1 有 2 個(gè)零點(diǎn)
C．函數(shù) y = f x 在 4,5 上單調(diào)遞增
D．若關(guān)于 x 的方程 f x = m m < 0 有且只有兩個(gè)不同的實(shí)根 x1, x2 ，則 x1 + x2 = 3．
【答案】AD
【分析】利用分段函數(shù)及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)一一判定選項(xiàng)即可.
【詳解】
1 1
根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)可知： x 2,4 時(shí)， f x = sin éπ x - 2 ù = sin πx，2 2
當(dāng) x 4,6 時(shí)， f x 1= sin πx，……可作出函數(shù) y = f x 的部分圖象，如上所示，
4
x 2 f x é 1 - , 1 ù對(duì)于選項(xiàng) A，易知 時(shí)， ，
ê 2 2 ú
故任取 x1, x2 2,+ ，都有 f x1 - f x2 1，
f x 1 , f x 1 1 1當(dāng) 1 = 2 = - 或 f x1 = - , f x2 = 時(shí)取得等號(hào)，故 A 正確；2 2 2 2
對(duì)于選項(xiàng) B， y = f x - ln x -1 的零點(diǎn)即 y = ln x -1 與 y = f x 的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，
易知 y = ln x -1 在 1, + 上單調(diào)遞增，
f 3 = sin 3π = -1 = ln 1 < ln 3 5 1而 ÷ -1÷， f ÷ = sin
5π 1 5
= = ln e > ln
2 2 e 2 2 2 2 2
-1
2 ÷
，
è è è è
f 2 = 0 = ln 2 -1 ，
利用零點(diǎn)存在性定理及三角函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合圖象可知，
y = f x - ln x 1 3- 5 在 1, 2 ÷ 和 ,3÷上分別各一個(gè)零點(diǎn)，è è 2
又 x = 2也是其一個(gè)零點(diǎn)，故 B 錯(cuò)誤；
1 é 9 ù
對(duì)于 C 項(xiàng)，易知 x 4,5 f x = sin πx ，此時(shí) y = f x 在 ê4, 2ú 上單調(diào)遞增，故 C 錯(cuò)誤；4
m 1, 1對(duì)于 D 項(xiàng)，由圖象可知 - -

2 ÷時(shí)滿足題意，由三角函數(shù)的對(duì)稱性可知
x1 + x2 = 3，故 D
è
正確.
故選：AD
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題利用函數(shù)的“類周期”性質(zhì)，作出函數(shù)草圖，根據(jù)數(shù)形結(jié)合及三角函
數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)與方程的關(guān)系一一判定選項(xiàng)即可.
三、填空題
1
12．（2024·北京平谷·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù) f x = + ln 1- x 的定義域是
x + 2
【答案】 - , -2 -2,1
【分析】根據(jù)分?jǐn)?shù)和對(duì)數(shù)有意義的條件即可求解.
1 ìx + 2 0
【詳解】函數(shù) f x = + ln 1- x 有意義的條件是
x 2 í
，解得 x <11 x 0 且
x -2，
+ - >
所以函數(shù) f x 定義域?yàn)? - , -2 -2,1 .
故答案為： - , -2 -2,1 .
13．（2023·湖南婁底·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù) f x 滿足以下條件：①在區(qū)間 0, + 上單調(diào)遞
增；②對(duì)任意x1，x2，均有 f x1x2 = f x1 + f x2 -1，則 f x 的一個(gè)解析式為 ．
【答案】 f x = ln x +1（答案不唯一）
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)及對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)寫出一個(gè)函數(shù)解析式即可.
【詳解】如： f x = ln x +1，則 f x1 = ln x1 +1， f x2 = ln x2 +1，
又 f x1x2 = ln x1x2 +1 = ln x1 + ln x2 +1，則 f (x1x2 ) = f (x1) + f (x2 ) -1，
此時(shí) f (x) 在區(qū)間 0, + 上單調(diào)遞增，滿足題設(shè).
故答案為： f x = ln x +1（答案不唯一）
14 2．（2024·遼寧·一模）已知集合M = x | y = -2x + 3x + 2 ， N = {x N∣x > -2}，則
M = ，M N = .
ì 1 ü
【答案】 íx | - x 2 0,1,2
2


【分析】首先解一元二次不等式求出集合M ，再根據(jù)交集的定義計(jì)算可得.
1
【詳解】由-2x2 + 3x + 2 0，即 2x +1 x - 2 0，解得- x 2 ，2
所以M = x | y = -2x2 + 3x + 2 = ìíx | 1- x 2ü ，
2
又 N = {x N∣x > -2}，所以M I N = 0,1,2 .
ì 1
故答案為： íx | - x 2
ü
； 0,1,2
2
四、解答題
m
15．（2023·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù) f (x) = x + 的圖像過(guò)點(diǎn) (1,3)x ．
(1)求實(shí)數(shù)m 的值；
(2)判斷函數(shù)的奇偶性并證明．
【答案】(1)2
(2)奇函數(shù)，證明見(jiàn)解析
【分析】（1）將點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式求解，
（2）由奇函數(shù)的定義證明．
【詳解】（1）解：∵函數(shù) f (x) = x
m
+
x 的圖像過(guò)點(diǎn)
(1,3)，
∴ 3 =1+ m，∴ m = 2 ；
m
（2）證明：∵函數(shù) f (x) = x + 的定義域?yàn)閧x | x 0}x ，
又 f (-x) = -x
2
- = - f (x)，
x
∴函數(shù) f (x) 是奇函數(shù)．
16．（2023·四川遂寧· x - (a +1)模擬預(yù)測(cè)）已知集合 A = x -3 < x 2 ，函數(shù) g(x) = 的定義
x - a
域?yàn)榧?B ．
(1)當(dāng) a =1時(shí)，求 A B ；
(2)設(shè)命題 p： x A，命題 q： x B ，若 p 是 q 的充分不必要條件，求實(shí)數(shù) a的取值范
圍．
【答案】(1) AI B = -3,1 U 2
(2) - , -4 U 2,+
【分析】（1）根據(jù)題意得B = {x | x <1或 x 2}，再求交集運(yùn)算即可；
（2）由題知B = {x | x a +1或 x < a ， A B，再根據(jù)集合關(guān)系求解即可.
x - (a +1) x - 2
【詳解】（1）解：當(dāng) a =1時(shí)， g(x) = = ，
x - a x -1
x - 2
由題意 0，解得 x <1或 x 2，所以B = {x | x <1或 x 2}，
x -1
又 A = x | -3 < x 2 ，
所以 AI B = -3,1 U 2 .
x - (a +1) ì(x - a)[x - (a +1)] 0
（2）解：由題意 0，即 í ，解得： x a +1x a 0 或
x < a，
x - a -
所以B = {x | x a +1或 x < a ，
因?yàn)?p 是 q 的充分不必要條件，
所以，集合A 是集合 B 的真子集，
所以 a > 2或 a +1 -3，解得 a > 2或 a -4
故實(shí)數(shù) a的取值范圍 - , -4 U 2,+ ．
f x
17．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知 f x 為定義在R 上的偶函數(shù)， g x = ，且
ln 2
f x + g x = 2x+1．
(1)求函數(shù) f x ， g x 的解析式；

(2)求不等式 2 é f x ù - 3g x 8的解集．
【答案】(1) f (x) = 2x + 2- x ； g(x) = 2x - 2- x ；
(2) 0,1 .
【分析】（1）由題可得函數(shù) g x 為奇函數(shù)，然后根據(jù)奇函數(shù)和偶函數(shù)的性質(zhì)列方程求函數(shù)
f x ， g x 的解析式；

（2）令 2x - 2- x = t ，進(jìn)而 2 é f x 2 ù - 3g x 8可化為 2t - 3t 0，根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)解不
等式即得.
【詳解】（1）由題意易知， f -x = f x ，則 é f -x ù = é f x ù ，
即- f -x = f x ，
f x f
xg x 故 為奇函數(shù)，故 = 為奇函數(shù)，
ln 2
又 f (x) + g(x) = 2x+1 ①，則 f (-x) + g(-x) = 2- x+1，
故 f (x) - g(x) = 2- x+1 ②，
由①②解得 f (x) = 2x + 2- x ， g(x) = 2x - 2- x ；
2
（2）由 2 é f x x - x ù - 3g x 8，可得 2 2 + 2 - 3 2x - 2- x 8，
2 22x 2所以 + 2 + 2-2x - 3 2x - 2- x 8 x - x，即 2 éê 2 - 2 + 4ùú - 3 2x - 2- x 8，
令 2x - 2- x = t ，則 2t 2 - 3t 0，
0 t 3解得 ，
2
ì2x - 2- x 0 ì22x 1

所以 í x - x 3 ，即 í2 - 2 22x 3 x
，
2
- ×2 -1 0
2
ìx 0

所以 í 1 x ，
- 2 2 2
解得0 x 1，
故不等式的解集為 0,1 ．
18．（23-24 高三下·青海海南·開(kāi)學(xué)考試）已知m 0，函數(shù) f (x) =| 2x -1| - | x - m | .
(1)當(dāng)m = 0時(shí)，解不等式 f (x) 0 ;
(2)若 f (x)
3
的圖象與 x 軸圍成的面積小于 ，求m 的取值范圍.
2
1ù
【答案】(1) - , ú 1, + è 3
(2) -1 < m 0
【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值不等式及一元二次不等式的解法求解；
（2）轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，求出三角形頂點(diǎn)坐標(biāo)即可求出面積，解不等式得解.
【詳解】（1）當(dāng)m = 0時(shí)， f (x) 0化為 | 2x -1| - | x | 0，即 2x -1 x ，
可得， 2x -1 2 x2 ，即3x2 - 4x + 1 0，
3x -1 (x -1) 0 x 1 x 1所以 ，解得 或 ，
3

所以不等式的解集為 - ,
1ù
è 3ú
1, + .

ì
-x +1- m , x < m

（2）由題設(shè)可知， f x = í-3x +1+ m , m x 1 ，
2

x -1+ m, x
1
>
2
所以 f (x) 的圖象與 x 軸圍成的三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別為
m +1
,0

÷ , 1- m ,0 ,
1
,m
1
- ，
è 3 è 2 2 ÷
2
S 1 é m +1= ù 1 1- 2m 3所以三角形面積
2 ê
1- m -
è 3 ÷ ú
m - = < ，
2 6 2
即 1- 2m 2 < 9，所以-3 <1- 2m < 3，解得-1 < m < 2，
又m 0，所以-1 < m 0 .
ìx lnx - , x 1
19．（2023·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù) f x = aí a > 1
1 lnx
，其中
+ ,0 < x <1
x a
(1)求 f x 的單調(diào)區(qū)間
(2) f ex-1求方程 = f lnx + a 的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
【答案】(1)單調(diào)增區(qū)間是 1, + ,單調(diào)減區(qū)間是 0,1
(2) 3個(gè)
【分析】(1)求 f x 的導(dǎo)函數(shù),解導(dǎo)函數(shù)不等式,即可求出單調(diào)遞增和遞減區(qū)間;
(2)利用（1）中函數(shù)的單調(diào)性可得相應(yīng)的方程，再構(gòu)建新函數(shù)，從而可判斷相應(yīng)方程的根，
f x = f 1 注意結(jié)合 ÷這個(gè)性質(zhì).
è x
lnx 1 ax -1
【詳解】（1）當(dāng) x 1, f x = x - , f x =1- = ,又因?yàn)?a > 1 ,所以 f
a ax ax x > 0 , 1, +
是單調(diào)增區(qū)間;
0 x 1, f x 1 lnx f x 1 1 x - a當(dāng) < < = + , = - 2 + = 2 ,又因?yàn)?a > 1 ,所以 f x < 0 , 0,1 是單調(diào)x a x ax ax
減區(qū)間;
（2）對(duì)于方程 f ex-1 = f lnx + a ,
當(dāng) x 1, ex-1 e0 =1, lnx + a 0 + a >1,
當(dāng) x 1, f x 在 1, + 是單調(diào)遞增的;
f ex-1方程 = f lnx + a ,所以 ex-1=lnx + a ,
t x = ex-1設(shè) - lnx - a, x > 0, a >1
t x = ex-1 1 1- , x-1設(shè) h x = e - , h x 1= ex-1 + 2 > 0 ,x x x
t x 在 0, + 是單調(diào)遞增的，而 t 1 = 0，
故當(dāng) x 0,1 時(shí)， t x < 0，當(dāng) x 1,+ 時(shí)， t x > 0，
故 t x 在 1, + 上是單調(diào)遞增，在 0,1 上單調(diào)遞減.
故在 1, + 上有 t x = t 1 =1- a < 0min ，
下證當(dāng) x > e, x > 2ln x，
u x = x - 2ln x, x > e u x x - 2設(shè) ，則 = > 0，
x
故u x 在 e, + 上為增函數(shù)，故u x > u e = e - 2 > 0，
故原不等式成立.
由 x > e, x > 2ln x可得 x > e,ex > x2 ，
ì 3+ 1+ 4a ü 2
故當(dāng) x > max íe +1, 2
時(shí)，有 t x > x -1 - x -1 - a > 0，

x-1
故此時(shí)方程 f e = f lnx + a 在 1, + 上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.
當(dāng)0 < x < e1-a 時(shí)， ex-1由 f x 在 0,1 為減函數(shù)可得 ex-1=lnx + a ，其中0 < x < e1-a ，
因?yàn)?t x = ex-1 - lnx - a 0,1 t x = ex-1 - lnx - a 0,e1-a在 為減函數(shù)，故 在 為減函數(shù)，
t e-a = ee- a -1 1-a 1-a> 0 ， t e1-a = ee -1 - 1- a - a = ee -1 -1，
因?yàn)?a > 1，故1- a < 0，所以 e1-a 1 0 t e1-a- < ，故 < 0，
故方程 f ex-1 = f lnx + a 在0 < x < e1-a 上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.
若 e1-a x <1，則 ex-1 < e0 =1, lnx + a 1，
而由 f x 的解析式可得 f x = f 1 ÷ .
è x
f ex-1故方程 = f lnx + a 1-x即為 f e = f lnx + a ，
此時(shí) e1-x > e0 =1，故 e1-x = lnx + a ，其中 e1-a x <1，
v x = e1-x - lnx - a e1-a x <1 v x = -e1-x 1設(shè) ， ，則 - < 0，x
v x ée1-a故 在 ,1 上為減函數(shù)，而 v 1 =1- a < 0，
v e1-a = e1-e1-a - 1-a1- a - a = e1-e -1 > 0，
1-a
故此時(shí) v x 在 é e ,1 有且只有零點(diǎn)
即 f ex-1 = f lnx + a 在 ée1-a ,1 有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
方程 f ex-1 = f lnx + a 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)有3個(gè)
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：復(fù)合方程的解的個(gè)數(shù)討論，應(yīng)該根據(jù)外函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)解析式滿足
的性質(zhì)將復(fù)雜方程轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單方程來(lái)處理，后者可進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)來(lái)處理.
拓展沖刺練
一、單選題
1．（2023·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，將輸出的 y 看成輸入的 x 的函數(shù)，
得到函數(shù) y = f (x) ，若 f

f
1
÷÷ = 4，則a = （4 ）è è
3 3
A． -1 B．- C． -1或- D．1
2 2
【答案】B
1
【分析】根據(jù)程序框圖得到函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)解析式求出 f ÷，再分類討論，結(jié)合
è 4
函數(shù)解析式計(jì)算可得.
ì2x , x 1 1 1 1
【詳解】由程序框圖可得 y = f x = í ，則 f ÷ = 2 - a = - a，
2x - a, x <1 è 4 4 2
1 a 1 a 1
1 1
若 - < ，即 > -

時(shí)， f f ÷÷ = 2
- a - a =1- 3a = 4，解得 a = -1（舍去）；
2 2 4 2 ÷è è è
1 1 1 -a
若 - a≥1，即 a
1 2 3 - 時(shí)， f f2 2 ÷÷
= 22 = 4 = 2 ，解得 a = - .
è è 4 2
故選：B
ì x ,0 < x <1 2
2．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè) f x = í ，若 f m = f m +1 ，則 f2 x -1 , x 1 m ÷
= （ ）
è
A．14 B．16 C．2 D．6
【答案】A
【分析】根據(jù) f x 的定義域可得m > 0，分m 1和0 < m <1兩種情況，結(jié)合題意解得
m 1= ，代入求解即可.
4
【詳解】因?yàn)?f ì
m > 0
x 的定義域?yàn)? 0, + ，則 ím 1 0，解得m > 0， + >
若m 1，則m +1 2 >1，可得 2 m -1 = 2m - 2 2m，不合題意；
1
若0 < m <1，則m +1 >1，可得 m = 2m ，解得m = ；4
1
綜上所述：m = .
4
所以 f
2
= f 8 =14 .
è m ÷
故選：A.
2
3．（2023·河南鄭州·二模）若函數(shù) f x = 的部分圖象如圖所示，則 f 5 = （ ）
ax2 bx c + +
1 2 1 1
A．- B．- C．- D．-
3 3 6 12
【答案】A
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，即可得解.
【詳解】由圖象知， ax2 + bx + c = 0的兩根為 2，4，且過(guò)點(diǎn) (3,1)，
ì 2
=1
9a + 3b + c
c
所以 í2 4 = ，解得 a = -2,b =12,c = -16，
a
2 4 b + = - a
所以 f x 2 1= = ，
-2x2 +12x -16 -x2 + 6x -8
所以 f (5)
1 1
= = - ，
-25 + 30 -8 3
故選：A
4．（23-24 高三上·河北保定·期末）已知函數(shù) f (x) 滿足："x， y Z，
f (x + y) = f (x) + f ( y) + 2xy +1成立，且 f (-2) =1，則 f 2n n N* =（ ）
A． 4n + 6 B．8n -1 C． 4n2 + 2n -1 D．8n2 + 2n - 5
【答案】C
【分析】令 x = y = 0 ，求出 f 0 ，令 x = y = -1，求出 f -1 ，令 x = 1, y = -1，求出 f 1 ，
再令 x = n, y =1, n N*，可求出 f n +1 , f n 的關(guān)系，再利用累加法結(jié)合等差數(shù)列前 n項(xiàng)和
公式即可得解.
【詳解】令 x = y = 0 ，則 f 0 = f 0 + f 0 +1，所以 f 0 = -1，
令 x = y = -1，則 f -2 = f -1 + f -1 + 2 +1 = 2 f -1 + 3 =1，
所以 f -1 = -1，
令 x = 1, y = -1，則 f 0 = f 1 + f -1 - 2 +1 = f 1 - 2 = -1，所以 f 1 =1，
令 x = n, y =1,n N*，則 f n +1 = f n + f 1 + 2n +1 = f n + 2n + 2，
所以 f n +1 - f n = 2n + 2，
則當(dāng) n 2時(shí)， f n - f n -1 = 2n，
則 f n = f n - f n -1 + f n -1 - f n - 2 +L+ f 2 - f 1 + f 1
2n + 4 n -1= 2n + 2n - 2 +L+ 4 +1 = +1 = n2 + n -1，
2
當(dāng) n =1時(shí)，上式也成立，
2
所以 f n = n + n -1 n N* ，
所以 f 2n = 4n2 + 2n -1 n N* .
故選：C.
ì elnx
x > 0
5．（2024 高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù) f x = í x ，若關(guān)于 x 的方程
x +1 x 0
2
é f x ù - af x +1- a = 0 有 8 個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù) a的取值范圍為（ ）
A． 1,2 2 -1 B． 2 -1,1
C． 2 2 - 2,1 D． 1,2 2 + 2
【答案】C
elnx
【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù) h x = 的圖象和性質(zhì)，結(jié)合絕對(duì)值函數(shù)的圖象作出函數(shù) f x
x
的大致圖象，然后根據(jù)題意得到一元二次方程根的分布，從而得到關(guān)于 a的不等式組，解不
等式組即可得到實(shí)數(shù) a的取值范圍.
elnx e 1- lnx
【詳解】令 h x = ，則 h x = 2 ，令 h x = 0，解得 x=e，x x
故當(dāng)0 < x < e時(shí)， h x > 0, h x 單調(diào)遞增，當(dāng) x>e時(shí)， h x < 0, h x 單調(diào)遞減，
所以 h x = h e =1 hmax ，且當(dāng) x >1時(shí)， x > 0 ，當(dāng)0 < x <1時(shí)， h x < 0，
結(jié)合絕對(duì)值函數(shù)的圖象可畫出函數(shù) f x 的大致圖象，如圖所示：
令 t = f x 2，則方程 é f x ù - af x +1- a = 0 ，
2
即方程 t - at +1- a = 0 * Δ = a2， - 4 1- a = a2 + 4a - 4，
①當(dāng)Δ < 0 時(shí)， * 式無(wú)實(shí)數(shù)根，直線 y = t 和 f x 的圖象無(wú)交點(diǎn)，原方程無(wú)實(shí)數(shù)根；
②當(dāng)Δ = 0時(shí)， * 式有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，直線 y = t 和 f x 的圖象最多有 4 個(gè)交點(diǎn)，
2因此要使 é f x ù - af x +1- a = 0 有 8 個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
則 * 式有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，不妨設(shè)為 t1, t2 ，且 t1 < t2 ，則0 < t1 < t2 <1.
ìΔ = a2 + 4a - 4 > 0

a 0 < <1
則 í 2 ，解得 2 2 - 2 < a <1 .
1- a > 0

2 1 - a 1+1- a > 0
故選：C.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于借助導(dǎo)數(shù)與絕對(duì)值函數(shù)的性質(zhì)作出函數(shù) f x 的大致圖
象，然后根據(jù)題意得到一元二次方程根的分布，從而得到關(guān)于 a的不等式組，
二、多選題
6．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù) f (x) 在 R 上單調(diào)遞增，函數(shù) g(x)在 (- ,0)上單調(diào)遞增，
在[0, + ) 上單調(diào)遞減，則（ ）
A．函數(shù) f ( f (x))在 R 上單調(diào)遞增
B．函數(shù) f (g(x)) 在 (- ,0)上單調(diào)遞增
C．函數(shù) g(-g(x)) 在 (- ,0)上單調(diào)遞減
D．函數(shù) g(- f (x))在[0, + ) 上單調(diào)遞減
【答案】AB
【分析】由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷方法逐一判斷即可.
【詳解】因?yàn)?f (x) 在 R 上單調(diào)遞增，所以 f ( f (x))在 R 上單調(diào)遞增，故 A 正確；
因?yàn)?f (x) 在 R 上單調(diào)遞增， g(x)在 (- ,0)上單調(diào)遞增，所以 f (g(x)) 在 (- ,0)上單調(diào)遞增，
故 B 正確；
因?yàn)?g(x)在 (- ,0)上單調(diào)遞增，所以 -g(x)在 (- ,0)上單調(diào)遞減，因?yàn)?-g(x)的值域是否在
(- ,0)上無(wú)法判斷，
所以 g(-g(x)) 在 (- ,0)上的單調(diào)性無(wú)法判斷，故 C 錯(cuò)誤；
因?yàn)? f (x) 在 R 上單調(diào)遞減， g(x)在[0, + ) 上單調(diào)遞減，因- f (x) 的值域是否在[0, + ) 上
無(wú)法判斷，所以 g(- f (x))在[0, + ) 上的單調(diào)性無(wú)法判斷，故 D 錯(cuò)誤.
故選：AB.
ì1, x > 0

7．（2023·海南·模擬預(yù)測(cè)）已知符號(hào)函數(shù) sgn x = í0, x = 0 ，

-1, x < 0
π
函數(shù) f x = sgn x - ÷ + sin2x, g x = 2x - 2π-x , 則下列說(shuō)法正確的是（ ）
è 2
sgn x π πA． -
> 0
2 ÷ 的解集為
,+
2 ÷è è
B．函數(shù) f x 在R 上的周期為 π
π
C．函數(shù) g x 的圖象關(guān)于點(diǎn) ,02 ÷對(duì)稱è
D．方程 f x = g x 的所有實(shí)根之和為 2π
【答案】AC
【分析】利用新定義及三角函數(shù)的性質(zhì)一一判定即可.
ì
1, x
π
>
2
π π π π
【詳解】根據(jù)定義可知 sgn x - ÷ = í0, x = ，故 sgn x - ÷ > 0的解集為 , + ÷，A 正
è 2 2 è 2 è 2
1, x π - < 2
確；
ì
1+ sin 2x, x
π
>
2
所以 f x = sgn π x - ÷ + sin2x =

ísin2x, x
π
= ，
è 2 2
π
-1+ sin2x, x < 2
ì1 sin 2x, x π + > -
2
而 f x + π = ísin2x, x π= - ，顯然 f x f x + π ， π不是函數(shù) f x 的一個(gè)周期，故 B
2
π

-1+ sin2x, x < -
2
錯(cuò)誤；
g -x + π = 2- x+π - 2π- - x+π - x+π x由題意可得 = 2 - 2 = -g x ，即函數(shù) g x 的圖象關(guān)于點(diǎn)
π
,0

÷對(duì)稱，故 C 正確；
è 2
ì π
-1- sin 2x, x >
2
π
由上可知 f -x + π = í-sin2x, x = ，故 f x + f -x + π = 0，
2

1- sin2x, x
π
<
2
f x π 即函數(shù) 的圖象也關(guān)于點(diǎn) ,0÷對(duì)稱且最大值為 2，易知 g x 在R 上單調(diào)遞增，
è 2
g π = 0 = f π 1, g 3π
3π π π π
且 ÷ ÷ ÷ = 2 4 - 24 = 24 22 -1 2 = f x ，
è 2 è 2 è 4
÷
maxè
π 3π
所以由零點(diǎn)存在性定理知在 , ÷ 內(nèi)方程 f x = g x 存在一根，
è 2 4
由函數(shù)的對(duì)稱性可知 f x = g x 有 3 個(gè)根，
2 π π 3π且該 3 根之和為 + = ，
2 2 2
故 D 錯(cuò)誤.
故選：AC
【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵在于函數(shù)的對(duì)稱性，二級(jí)結(jié)論如下：若函數(shù) y = h x 滿足
h x + a + h -x b c y h x a + b c+ = 函數(shù) = 關(guān)于 , ÷ 中心對(duì)稱，此外 D 項(xiàng)需要判定函數(shù)的
è 2 2
π
單調(diào)性及零點(diǎn)存在位置，注意不能忽略 x = .2
8．（2024·全國(guó)·一模）已知函數(shù) f (x) 的定義域?yàn)閇0, + ) ，且滿足① f (xf (y)) f (y) = f (x + y)；
② f (2) = 0；③當(dāng) x [0, 2)時(shí)， f (x) 0，則（ ）
A． f (3) = -2 B．若 f (x + y) = 0，則 x 2 - y
C． f (1) = 2 D． f (x) 在區(qū)間[0, 2)是減函數(shù)
【答案】BC
ì0 x 2
【分析】根據(jù)題意求出 f x 的解析式 f x = í 2 ，然后就可逐項(xiàng)求解判斷.
0 x < 2 2 - x
【詳解】由題意得當(dāng) x > 2時(shí)，令 x = 2 + t t > 0 ，則 f é tf 2 ù f 2 = f t + 2 = f x ，
因?yàn)?f 2 = 0 ，所以 f x = 0 x 2 ，
當(dāng)0 x < 2時(shí)，令 x + t = 2 t > 0 ，則0 = f 2 = f x + t = f étf x ù f x ，
又因?yàn)?f étf x ù = 0，所以 tf x 2
2 2
，即 f x = ，
t -x + 2
但 f x 2> 在 x 0,2 時(shí)不成立，
2 - x
若有 x1 f x
2
0,2 且 1 > f x 2 - x > 22 - x ，則得 1 1 ，1
這時(shí)總可以找到 y < 2 - x1，使 f x1 ·y 2，所以 f é yf x1 ù = 0 ,
即 f x1 + y = f
2
é yf x1 ù f x1 = 0 ，此式與 x1 + y 2矛盾，即 f x = ，2 - x
ì0 x 2
f x = 從而 í 2 ，
0 x < 2 2 - x
對(duì) A： f 3 = 0，故 A 錯(cuò)誤；
對(duì) B： f x + y = 0，即 x + y 2，即 x 2 - y，故 B 正確；
對(duì) C： f 1 2= = 2，故 C 正確；
2 -1
2
對(duì) D：當(dāng) x 0,2 ， f x = 為增函數(shù)，故 D 錯(cuò)誤；
2 - x
故選：BC.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要是根據(jù)題中給出的 3 個(gè)條件進(jìn)行合理運(yùn)用求出函數(shù)的解析式，
在求解析式時(shí)需要分情況討論并且要巧妙的當(dāng) x > 2時(shí)設(shè) x = 2 + t t > 0 ，當(dāng)0 x < 2時(shí)設(shè)
x + t = 2 t > 0 ，再結(jié)合題中條件從而可求解.
三、填空題
9．（2023·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）寫出一個(gè)同時(shí)具備下列性質(zhì)①②③的函數(shù) f x = .
①定義城為 - ,0 ，②導(dǎo)函數(shù) f x > 0；③值域?yàn)? - , +
【答案】 log1 -x （答案不唯一）
e
【分析】取 f x = log1 -x ，驗(yàn)證定義域，導(dǎo)數(shù)，值域即可.
e
【詳解】取 f x = log1 -x ，
e
因?yàn)?-x > 0，解得 x < 0 ，所以 f x 的定義城為 - ,0 ，符合①；
f x 1= 1 × -1
1
= - > 0
-x ln x ，符合②；
e
因?yàn)?-x > 0，所以 f x 的值域?yàn)? - , + ，符合③.
故答案為： log1 -x （答案不唯一）
e
2 - x
10．（2023·上海徐匯·三模）函數(shù) y = lg( ) 的定義域?yàn)? .
x + 3
【答案】 (-3,2)
【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的定義列出不等式，求解不等式作答.
【詳解】函數(shù) y
2 - x
= lg( ) 2 - x中， > 0，即 (x - 2)(x + 3) < 0，解得-3 < x < 2，
x + 3 x + 3
y lg(2 - x所以函數(shù) = ) 的定義域?yàn)?(-3,2) .
x + 3
故答案為： (-3,2)
四、解答題
11．（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù) f x = 2x - 2 - 2 x +1 ．
(1)畫出函數(shù) f (x) 的圖象；
(2)設(shè)函數(shù) f (x) 的最大值為m ，若正實(shí)數(shù) a，b ， c滿足 a + 3b + 4c = m，求 a2 + 2ab + 5b2 + 4c2
的最小值．
【答案】(1)作圖見(jiàn)解析；
8
(2) .
3
【分析】（1）化函數(shù) f (x) 為分段函數(shù)，再作出圖象即得.
（2）由（1）求出m 的值，再利用柯西不等式求出最小值.
ì4, x -1
【詳解】（1）依題意，函數(shù) f (x) = 2|x -1| - 2|x +1| =

í-4x,-1 < x <1，函數(shù) f (x) 的圖象如下：

-4, x 1
（2）由（1）知，當(dāng) x -1時(shí)， f (x) = 4，當(dāng)-1 < x <1時(shí)， f (x) 單調(diào)遞減，-4 < f (x) < 4，
當(dāng) x 1時(shí)， f (x) = -4 ，
因此 f (x)max = 4 ，即m = 4 ，則 a + 3b + 4c = 4，有 (a + b) + 2b + 4c = 4，
由柯西不等式得[(a + b)2 + (2b)2 + (2c)2 ](12 +12 + 22 ) [(a + b) + 2b + 4c]2 =16，
2
于是 é a + b + 2b
2 8 a + b 2b 2c+ 2c 2 ù ，當(dāng)且僅當(dāng) = = 時(shí)取等號(hào)，3 1 1 2
a + b 2b 2c 1 2
由 = = ，且 a + 3b + 4c = 4，得 a = b = ,c = ，
1 1 2 3 3
a b 1 2 8所以當(dāng) = = ,c = 時(shí)， 2 2 2 取得最小值 .
3 3 a + 2ab + 5b + 4c 3
12．（23-24 高三上·河北·期末）在信息論中，熵（entropy）是接收的每條消息中包含的信息
的平均量，又被稱為信息熵 信源熵 平均自信息量.這里，“消息”代表來(lái)自分布或數(shù)據(jù)流中
的事件 樣本或特征.（熵最好理解為不確定性的量度而不是確定性的量度，因?yàn)樵诫S機(jī)的信
源的熵越大）來(lái)自信源的另一個(gè)特征是樣本的概率分布.這里的想法是，比較不可能發(fā)生的
事情，當(dāng)它發(fā)生了，會(huì)提供更多的信息.由于一些其他的原因，把信息（熵）定義為概率分
布的對(duì)數(shù)的相反數(shù)是有道理的.事件的概率分布和每個(gè)事件的信息量構(gòu)成了一個(gè)隨機(jī)變量，
這個(gè)隨機(jī)變量的均值（即期望）就是這個(gè)分布產(chǎn)生的信息量的平均值（即熵）.熵的單位通
常為比特，但也用Sh、 nat 、Hart計(jì)量，取決于定義用到對(duì)數(shù)的底.采用概率分布的對(duì)數(shù)作
為信息的量度的原因是其可加性.例如，投擲一次硬幣提供了 1Sh的信息，而擲m 次就為m
位.更一般地，你需要用 log2 n位來(lái)表示一個(gè)可以取 n個(gè)值的變量.在 1948 年，克勞德 艾爾伍
德 香農(nóng)將熱力學(xué)的熵，引入到信息論，因此它又被稱為香農(nóng)滳.而正是信息熵的發(fā)現(xiàn)，使得
1871 年由英國(guó)物理學(xué)家詹姆斯 麥克斯韋為了說(shuō)明違反熱力學(xué)第二定律的可能性而設(shè)想的
麥克斯韋妖理論被推翻.設(shè)隨機(jī)變量x 所有取值為1,2,L, n，定義x 的信息熵
n n
H (x ) = - Pi log2 Pi ，（ Pi =1， i = 1,2,L,n）。
i=1 i=1
(1)若 n = 2，試探索x 的信息熵關(guān)于P1的解析式，并求其最大值；
1
(2)若P1 = P2 = ，Pk +1 = 2Pk （ k = 2,3,L,nn-1 ），求此時(shí)的信息熵.2
【答案】(1) H (x ) = -P1 log2 P1 - (1- P1) log2 (1- P1)，P1 (0,1) ，最大值為1.
1
(2) H (x ) = 2 - n-2 .2
【分析】（1）由題意可知P1 + P2 =1且H (x ) = -P1 log2 P1 - P2 log2 P2 ，減少變量可得x 的信息
熵關(guān)于P1的解析式，求導(dǎo)可得單調(diào)性，故而求出最大值；
1
（2）由Pk +1 = 2Pk 可知數(shù)列 Pk 從第二項(xiàng)起，是首項(xiàng)為 2n-1 ，公比為 2 的等比數(shù)列，故而可
n
求出Pk （ k = 2,3,L,n）的通項(xiàng)公式，再由H (x ) = - Pi log2 Pi 可得H (x ) 的解析式.
i=1
【詳解】（1）當(dāng) n = 2時(shí)，P1 (0,1) , H (x ) = -P1 log2 P1 - (1- P1) log2 (1- P1)，
令 f (t) = -t log2 t - (1- t) log2 (1- t)， t (0,1)，
則 f '(t) = - log2 t + log2 (1- t) = log
1
2 -1÷ ，
è t
所以函數(shù) f t 1 1 在 0, ÷上單調(diào)遞增，在 ,1
è 2 è 2
÷上單調(diào)遞減，

1
所以當(dāng)P1 = 時(shí)，H (x ) 取得最大值，最大值為H (x ) =1.2 max
1
（2）因?yàn)镻1 = P2 = ，P = 2P （ k = 2,3,L,n），2n-1 k +1 k
k -2
P P 2k -2 2 1所以 k = 2 × = = （ k = 2,3,L,nn-1 n-k +1 ），2 2
故Pk log
1
2 Pk = n-k +1 log
1 n - k +1
2 2 2n-k +1
= -
2n-k +1
，
P log P 1 log 1 n -1而 1 2 1 = 2n-1 2 2n-1
= - ，
2n-1
n
于是H (x )
n -1 P log P n -1 n -1 n - 2 2 1= 2n-1 + k 2 k = 2n-1 + n-1 + +L+ + ，k =2 2 2n-2 22 2
整理得H (x )
n -1 n n n -1 n - 2 2 1
=
2n-1
- n + + +2 2n 2n-1 2n-2
+L+ +
22 2
S 1 2 3 n -1 n令 n = + 2 + +L+ + ，2 2 23 2n-1 2n
1 S 1 2 3 L n -1 n則 n = 2 + 3 + 4 + + + ，2 2 2 2 2n 2n+1
1 1 1 1 1 n n + 2
兩式相減得 Sn = + + +L+ -2 2 22 23 2n 2n+1
=1-
2n+1
因此 S 2
n + 2
n = - n ，2
H (x ) n -1 n S n -1 n n + 2所以 = n-1 - n + n = n-1 - n + 2 - n = 2
1
-
2 2 2 2 2 2n-2
.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問(wèn)，根據(jù)等比數(shù)列定義寫出Pk ，進(jìn)而寫出H (x ) 的通項(xiàng)公式，應(yīng)
用裂項(xiàng)相消及等比數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式求化簡(jiǎn).考點(diǎn) 06 函數(shù)的概念及其表示（3 種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜
合提升練+拓展沖刺練）
【考試提醒】
1.了解函數(shù)的含義.
2.在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函
數(shù).
3.了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，并會(huì)簡(jiǎn)單的應(yīng)用．
【知識(shí)點(diǎn)】
1．函數(shù)的概念
一般地，設(shè) A，B 是 ，如果對(duì)于集合 A 中的 一個(gè)數(shù) x，按照某種
確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系 f，在集合 B 中都有 的數(shù) y 和它對(duì)應(yīng)，那么就稱 f：A→B 為從集
合 A 到集合 B 的一個(gè)函數(shù)，記作 y＝f(x)，x∈A.
2．函數(shù)的三要素
(1)函數(shù)的三要素： 、 、 ．
(2)如果兩個(gè)函數(shù)的 相同，并且 完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)為同一
個(gè)函數(shù)．
3．函數(shù)的表示法
表示函數(shù)的常用方法有 、圖象法和 ．
4．分段函數(shù)
若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的式子來(lái)表示，這種函
數(shù)稱為分段函數(shù)．
常用結(jié)論
1．直線 x＝a 與函數(shù) y＝f(x)的圖象至多有 1 個(gè)交點(diǎn)．
2．在函數(shù)的定義中，非空數(shù)集 A，B，A 即為函數(shù)的定義域，值域?yàn)?B 的子集．
3．分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù)．分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)
的定義域的并集，值域等于各段函數(shù)的值域的并集．
【核心題型】
題型一　函數(shù)的定義域
(1)無(wú)論抽象函數(shù)的形式如何，已知定義域還是求定義域，均是指其中的 x 的取值集合；
(2)若已知函數(shù) f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，則復(fù)合函數(shù) f(g(x))的定義域由不等式 a≤g(x)≤b 求出；
(3)若復(fù)合函數(shù) f(g(x))的定義域?yàn)閇a，b]，則函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?g(x)在[a，b]上的值域．
ì x -1
【例題 1】（2024 高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知集合 A = x y = -x ，B = íx 0ü ，則
x +1
AI B =（ ）
A． -1,0 B． -1,0 C． 0,1 D． - ,1
【變式 1】（2023·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù) y = f x 的定義域?yàn)?0,4 ，則函數(shù)
y f (x +1)= + (x - 2)0 的定義域是（
x 1 ）-
A． 1,5 B． 1,2 2,5 C． 1,2 2,3 D． 1,3
【變式 2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若集合 A = x N y = 3- x ，B = 0,1 ，則集合 A B 的
真子集的個(gè)數(shù)為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【變式 3】（2023·江蘇鎮(zhèn)江·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù) y = f 2x 的定義域?yàn)?-2,4 ，則
y = f x - f -x 的定義域?yàn)椋? ）
A． -2,2 B． -2,4
C． -4,4 D． -8,8
題型二　函數(shù)的解析式
函數(shù)解析式的求法
(1)配湊法；(2)待定系數(shù)法；(3)換元法；(4)解方程組法．
2
【例題 2】（2023·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù) f 1- x 1- x= x 0 ，則 f x =2 （ ）x
1
A． 2 -1 x 0
1 4 4
B． 2 -1 x 1 C． 2 -1 x 0 -1 x 1 x -1 x -1 x -1 D． x -1 2
【變式 1】（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù) f (x) 對(duì)定義域{x∣x 0}內(nèi)的任意實(shí)數(shù) x 滿足
f (2x) 2- 2 f ÷ = 4x ，則 f (x) = .
è x
1 25
【變式 2】（2023·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù) f (x) 的最大值是 f ÷ = ，且它的圖像過(guò)
è 2 4
點(diǎn) (2, 4)，求函數(shù) f (x) 的解析式．
【變式 3】（2024·山東濟(jì)南·一模）已知集合 A = u x u x = ax2 - a + b x + b ,a,b R ，函
2
數(shù) f x = x -1 . 若 函 數(shù) g x 滿 足 ： 對(duì) 任 意 u x A， 存 在 l, m R ， 使 得
u x = l f x + mg x ，則 g x 的解析式可以是 .（寫出一個(gè)滿足條件的函數(shù)解析式即
可）
題型三　分段函數(shù)
分段函數(shù)求值問(wèn)題的解題思路
(1)求函數(shù)值：當(dāng)出現(xiàn) f(f(a))的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值．
(2)求自變量的值：先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的
值，切記要代入檢驗(yàn)．
ì
4
x , x 0
【例題 3】（2024·四川廣安·二模）已知函數(shù) f x = í ，則 f é f -2 ù 的值為 .
log2 x, x > 0

ìx2 - 3x, x 3
【變式 1】（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù) f x = í ，若 $x R ，使得
log3 x, x > 3
0
f x0 10m + 4m2成立，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍為（ ）
é 9 1 ù é 5
A． ê- , - B - ,0
ù
4 4 ú
．
ê 2 ú

C． - ,
9
- ù é
1
ú ê- ,
5
+ ù÷ D． - ,-
è 4 4 è 2 ú
0, +

ì f (x +1), x < 4
【變式 2】（2024·陜西西安·三模）已知函數(shù) f (x) = í x ，則 f 2 + log23 =2 , x 4 （ ）
A．8 B．12 C．16 D．24
ìx2 + ax, x < 0

【變式 3】（23-24 高三下·內(nèi)蒙古赤峰·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù) f x = í x 的最小值為
- , x 0 x +1
-1，則a = .
【課后強(qiáng)化】
基礎(chǔ)保分練
一、單選題
1．（2024·陜西西安·一模）已知全集U = R ，集合M = {x | y = 1- x}， N = {- 2,0,1,2, 3}，
則 ( U M ) I N =（ ）．
A．{- 2,0,1} B．{2, 3} C．{1,2, 3} D． N = {2}
ì 1, x > 0,
2．（2024·山西運(yùn)城·一模）已知符號(hào)函數(shù) sgn x = í 0, x = 0, 則函數(shù)

-1, x < 0.
f (x) = sgn(x) × ln x + x2 +1 的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）給出下列 4個(gè)函數(shù)，其中對(duì)于任意 x R 均成立的是（ ）
A． f sin 3x = sin x B． f sin 3x = x3 + x2 + x
C． f x2 + 2 = x + 2 D f x2． + 4x = x + 2
ì x -1 ü
4．（2024·全國(guó)· 2模擬預(yù)測(cè)）已知集合 A = íx 0 ，B = x y = 2x - x ，則 AI B =
x
（ ）
A． x 0 < x 1 B． x 0 x 1 C． x 0 < x 2 D． x 0 x 2
二、多選題
5．（23-24 高三下·河南·階段練習(xí)）已知非常數(shù)函數(shù) f x 的定義域?yàn)镽 ，且
f x f y = f xy + xy x + y ，則（ ）
A． f 0 = 0 B． f 1 = -2或 f 1 =1
f x
C ． 是 x x R且x 0 上的增函數(shù) D． f x 是R 上的增函數(shù)
x
ì 2x -1 , x 2
6．（2023·江蘇連云港·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù) f x = í ，若關(guān)于 x 的方程 f x - m = 0
-x + 5, x > 2
恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則下列選項(xiàng)中可以作為實(shí)數(shù)m 取值范圍的有（ ）
A． 0,3 B． 1,2
C． 2,3 D． 0
三、填空題
7．（2024·北京懷柔·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù) f x lg1+ 2x= 的定義域是 .
x
8．（23-24 高三上·河北保定·階段練習(xí)）已知函數(shù) f x 在R 上可導(dǎo)，且 f (2x + 3) = 4x2 -1，
則 f (1) = ．
四、解答題
9．（2023·江西九江·模擬預(yù)測(cè)）若 f x 的定義域?yàn)?-4,4 ，求 g(x) = f (2x +1) + f x2 的定
義域．
10．（2023·河南信陽(yáng)·一模）已知函數(shù) f x = x - 2 + x + 2 .
(1)求不等式 f x x + 3的解集；
(2)若 g x = x - 3 + x + 3 ，F(xiàn) x = f x + g x ，且F a2 - 3a + 2 = F a - 2 ，求滿足條件的
整數(shù) a的所有取值的和.
11．（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù) f x = x - 2 + 2x -1 ．
(1)求 f x 的最小值；
(2)若 f x 2x - a 恒成立，求實(shí)數(shù) a的取值范圍．
12．（2023·浙江溫州·三模）已知函數(shù) f (x) = sin(wx
π) [0, 3π- 在區(qū)間 ]上恰有 3 個(gè)零點(diǎn)，其中
4 2
w 為正整數(shù).
(1)求函數(shù) f x 的解析式；
g x
(2)將函數(shù) f x π

的圖象向左平移 個(gè)單位得到函數(shù) g x 的圖象，求函數(shù)F x =
4 f x 的單調(diào)
區(qū)間.
綜合提升練
一、單選題
f (x) ì
log
1 2024· · = 3
x, x > 0 1
．（ 陜西西安 一模）已知函數(shù) í9x , x 0 ，則
f ( f ( )) = （ ）
2
1
A． B 1． 2 C
2
． D．2
4 2
2．（2023·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù) f (x) 滿足 2 f (x) + f (-x) = 3x2 + 2x + 6，則（ ）
2x2 + 4x + 3
A． f (x) 的最小值為 2 B．$x R, < 2f x
2x2x R, + 4x + 5C． f (x) 的最大值為 2 D．" < 2f x
3．（2023·浙江·二模）已知函數(shù) f x 滿足 f 2x = f x +1 ，則 f x 可能是（ ）．
A． f x = x B． f x = log2 x
1, x Q
C． f x = 2x ìD． f x = í
0, x Q
ì 1 ü
4．（2024·山東棗莊·一模）已知集合M = x log3x < 0 ， N = íx y = x + ，則
x -1


M U R N = （ ）
A． - ,1 B． - ,1 C． - ,0 0,1 D． - ,0 0,1
ìlog2x +1, x 15．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù) f x = í 2 ，若 f a = 2，則 ax , x 1 的值為（< ）
A．2 或- 2 B．2 或 2 C． 2 或- 2 D．1 或 2
ìx
2 + a - 5 x +1, x 1
6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知 a > 0, a 1，函數(shù) f x = í 是R 上的減函
1- a
x , x >1
數(shù)，則 a的取值范圍是（ ）
A． 1,3 B． 2,3 C． 2, + D． 3, +
7．（23-24 高三上·四川遂寧·期中）函數(shù) y = loga (2x -1) + 3(a > 0,a 1) 的圖象恒過(guò)點(diǎn) (m, n)，
函數(shù) f (x)
n
= ( )x 的定義域?yàn)?0,2 ， g(x) = f (2x) + f (x)，則函數(shù) g(x)的值域?yàn)椋?）
m
A． 2,90 B． 2,6 C． 2,12 D． 2,20
8．（2024·浙江溫州·二模）已知定義在 0,1 上的函數(shù)
ì1 m
, x是有理數(shù) m,n是互質(zhì)的正整數(shù)f x = ín n ，則下列結(jié)論正確的是（ ）
1,x是無(wú)理數(shù)
A． f x x 1 1 1 的圖象關(guān)于 = 對(duì)稱 B． f x 的圖象關(guān)于 ,
2 2 2 ÷
對(duì)稱
è
C． f x 在 0,1 單調(diào)遞增 D． f x 有最小值
二、多選題
9．（2022·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）下列說(shuō)法不正確的是（ ）
1
A．函數(shù) f x = 在定義域內(nèi)是減函數(shù)
x
B．若 g x 是奇函數(shù)，則一定有 g 0 = 0
ì-x2 - ax - 5 x 1

C．已知函數(shù) f x = ía 在 R 上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是
x >1 x
-3, -1
D．若 f x é 1 3ù的定義域?yàn)?-2,2 ，則 f 2x -1 的定義域?yàn)?ê- , 2 2 ú
10．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù) f x 是定義域?yàn)镽 的偶函數(shù)， g x 是定義域?yàn)镽 的奇
函數(shù)，且 f x + g x = 2ex .函數(shù)F x = f 2x - 2mf x 在 0, + 上的最小值為-11，則下列
結(jié)論正確的是（ ）
A． f x = ex + e- x B． g x 在實(shí)數(shù)集R 單調(diào)遞減
13
C．m = 3 D．m = -3.3或
4
ìsin πx, x 0,2
11．（23-24 高三上·黑龍江大慶·階段練習(xí)）對(duì)于函數(shù) f x = í1 ．下列結(jié) f x - 2 , x 2, + 2
論正確的是（ ）
A．任取 x1, x2 2,+ ，都有 f x1 - f x2 1
B．函數(shù) y = f x - ln x -1 有 2 個(gè)零點(diǎn)
C．函數(shù) y = f x 在 4,5 上單調(diào)遞增
D．若關(guān)于 x 的方程 f x = m m < 0 有且只有兩個(gè)不同的實(shí)根 x1, x2 ，則 x1 + x2 = 3．
三、填空題
1
12．（2024·北京平谷·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù) f x = + ln 1- x 的定義域是
x + 2
13．（2023·湖南婁底·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù) f x 滿足以下條件：①在區(qū)間 0, + 上單調(diào)遞
增；②對(duì)任意x1，x2，均有 f x1x2 = f x1 + f x2 -1，則 f x 的一個(gè)解析式為 ．
14 2024· · M = x | y = -2x2．（ 遼寧 一模）已知集合 + 3x + 2 ， N = {x N∣x > -2}，則
M = ，M N = .
四、解答題
f (x) x m15．（2023·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù) = + 的圖像過(guò)點(diǎn) (1,3)x ．
(1)求實(shí)數(shù)m 的值；
(2)判斷函數(shù)的奇偶性并證明．
16．（2023·四川遂寧·模擬預(yù)測(cè)）已知集合 A = x -3 < x 2 ，函數(shù) g(x) x - (a +1)= 的定義
x - a
域?yàn)榧?B ．
(1)當(dāng) a =1時(shí)，求 A B ；
(2)設(shè)命題 p： x A，命題 q： x B ，若 p 是 q 的充分不必要條件，求實(shí)數(shù) a的取值范
圍．
f x
17．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知 f x 為定義在R 上的偶函數(shù)， g x = ，且
ln 2
f x + g x = 2x+1．
(1)求函數(shù) f x ， g x 的解析式；

(2)求不等式 2 é f x ù - 3g x 8的解集．
18．（23-24 高三下·青海海南·開(kāi)學(xué)考試）已知m 0，函數(shù) f (x) =| 2x -1| - | x - m | .
(1)當(dāng)m = 0時(shí)，解不等式 f (x) 0 ;
3
(2)若 f (x) 的圖象與 x 軸圍成的面積小于 ，求m 的取值范圍.
2
ìx lnx - , x 1
19．（2023·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù) f x = aí a > 1
1 lnx
，其中
+ ,0 < x <1
x a
(1)求 f x 的單調(diào)區(qū)間
(2) f ex-1求方程 = f lnx + a 的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
拓展沖刺練
一、單選題
1．（2023·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，將輸出的 y 看成輸入的 x 的函數(shù)，
得到函數(shù) y = f (x)
1
，若 f f 4 ÷÷
= 4，則a = （ ）
è è
3 3
A． -1 B．- C． -1或- D．1
2 2
ì x ,0 < x <1
2．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè) f x = í ，若 f m 2= f m +1 f ，則 ÷ = （2 x 1 , x 1 m ） - è
A．14 B．16 C．2 D．6
2
3．（2023·河南鄭州·二模）若函數(shù) f x = 的部分圖象如圖所示，則 f 5 = （ ）
ax2 + bx + c
1 2 1 1
A．- B．- C．- D．-
3 3 6 12
4．（23-24 高三上·河北保定·期末）已知函數(shù) f (x) 滿足："x， y Z，
f (x + y) = f (x) + f ( y) + 2xy +1 *成立，且 f (-2) =1，則 f 2n n N =（ ）
A． 4n + 6 B．8n -1 C． 4n2 + 2n -1 D．8n2 + 2n - 5
ì elnx
x > 0
5．（2024 高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù) f x = í x ，若關(guān)于 x 的方程
x +1 x 0
é f x
2
ù - af x +1- a = 0 有 8 個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù) a的取值范圍為（ ）
A． 1,2 2 -1 B． 2 -1,1
C． 2 2 - 2,1 D． 1,2 2 + 2
二、多選題
6．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù) f (x) 在 R 上單調(diào)遞增，函數(shù) g(x)在 (- ,0)上單調(diào)遞增，
在[0, + ) 上單調(diào)遞減，則（ ）
A．函數(shù) f ( f (x))在 R 上單調(diào)遞增
B．函數(shù) f (g(x)) 在 (- ,0)上單調(diào)遞增
C．函數(shù) g(-g(x)) 在 (- ,0)上單調(diào)遞減
D．函數(shù) g(- f (x))在[0, + ) 上單調(diào)遞減
ì1, x > 0

7．（2023·海南·模擬預(yù)測(cè)）已知符號(hào)函數(shù) sgn x = í0, x = 0 ，

-1, x < 0
函數(shù) f x π= sgn x -

÷ + sin2x, g x = 2x - 2π-x , 則下列說(shuō)法正確的是（2 ）è
π π
A． sgn x - ÷ > 0的解集為 ,+
è 2 2 ÷ è
B．函數(shù) f x 在R 上的周期為 π
g x π C．函數(shù) 的圖象關(guān)于點(diǎn) ,0 對(duì)稱
è 2 ÷
D．方程 f x = g x 的所有實(shí)根之和為 2π
8．（2024·全國(guó)·一模）已知函數(shù) f (x) 的定義域?yàn)閇0, + ) ，且滿足① f (xf (y)) f (y) = f (x + y)；
② f (2) = 0；③當(dāng) x [0, 2)時(shí)， f (x) 0，則（ ）
A． f (3) = -2 B．若 f (x + y) = 0，則 x 2 - y
C． f (1) = 2 D． f (x) 在區(qū)間[0, 2)是減函數(shù)
三、填空題
9．（2023·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）寫出一個(gè)同時(shí)具備下列性質(zhì)①②③的函數(shù) f x = .
①定義城為 - ,0 ，②導(dǎo)函數(shù) f x > 0；③值域?yàn)? - , +
10．（2023·上海徐匯·三模）函數(shù) y = lg(
2 - x ) 的定義域?yàn)? .
x + 3
四、解答題
11．（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù) f x = 2x - 2 - 2 x +1 ．
(1)畫出函數(shù) f (x) 的圖象；
(2)設(shè)函數(shù) f (x) 的最大值為m ，若正實(shí)數(shù) a，b ， c滿足 a + 3b + 4c = m，求 a2 + 2ab + 5b2 + 4c2
的最小值．
12．（23-24 高三上·河北·期末）在信息論中，熵（entropy）是接收的每條消息中包含的信息
的平均量，又被稱為信息熵 信源熵 平均自信息量.這里，“消息”代表來(lái)自分布或數(shù)據(jù)流中
的事件 樣本或特征.（熵最好理解為不確定性的量度而不是確定性的量度，因?yàn)樵诫S機(jī)的信
源的熵越大）來(lái)自信源的另一個(gè)特征是樣本的概率分布.這里的想法是，比較不可能發(fā)生的
事情，當(dāng)它發(fā)生了，會(huì)提供更多的信息.由于一些其他的原因，把信息（熵）定義為概率分
布的對(duì)數(shù)的相反數(shù)是有道理的.事件的概率分布和每個(gè)事件的信息量構(gòu)成了一個(gè)隨機(jī)變量，
這個(gè)隨機(jī)變量的均值（即期望）就是這個(gè)分布產(chǎn)生的信息量的平均值（即熵）.熵的單位通
常為比特，但也用Sh、 nat 、Hart計(jì)量，取決于定義用到對(duì)數(shù)的底.采用概率分布的對(duì)數(shù)作
為信息的量度的原因是其可加性.例如，投擲一次硬幣提供了 1Sh的信息，而擲m 次就為m
位.更一般地，你需要用 log2 n位來(lái)表示一個(gè)可以取 n個(gè)值的變量.在 1948 年，克勞德 艾爾伍
德 香農(nóng)將熱力學(xué)的熵，引入到信息論，因此它又被稱為香農(nóng)滳.而正是信息熵的發(fā)現(xiàn)，使得
1871 年由英國(guó)物理學(xué)家詹姆斯 麥克斯韋為了說(shuō)明違反熱力學(xué)第二定律的可能性而設(shè)想的
麥克斯韋妖理論被推翻.設(shè)隨機(jī)變量x 所有取值為1,2,L, n，定義x 的信息熵
n n
H (x ) = - Pi log2 Pi ，（ Pi =1， i = 1,2,L,n）。
i=1 i=1
(1)若 n = 2，試探索x 的信息熵關(guān)于P1的解析式，并求其最大值；
1
(2)若P1 = P2 = ，Pk +1 = 2Pk （ k = 2,3,L,nn-1 ），求此時(shí)的信息熵.2

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