資源簡介

考點 05 一元二次方程、不等式（2 種核心題型+基礎保分練+
綜合提升練+拓展沖刺練）
【考試提醒】
1. 會從實際情景中抽象出一元二次不等式.
2. 結合二次函數圖象，會判斷一元二次方程的根的個數，以及解一元二次不等式.
3.了解簡單的分式、絕對值不等式的解法．
【知識點】
1．二次函數 y＝ax2＋bx＋c(a>0)與一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式 ax2＋bx＋
c>0(a>0)的解的對應關系
判別式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函數的圖象
有兩個相等的實數根
有兩個不相等的實數
方程的根 b 沒有實數根
根 x1，x2(x1b
不等式的解集 {x|xx2} {x|x≠－ } R
2a
2．分式不等式與整式不等式
f x
(1) >0(<0) f(x)g(x)>0(<0)；
g x
f x
(2) ≥0(≤0) f(x)g(x)≥0(≤0)且 g(x)≠0.
g x
3．簡單的絕對值不等式
|x|>a(a>0)的解集為(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|0)的解集為(－a，a)．
【核心題型】
題型一　一元二次不等式的解法
對含參的不等式，應對參數進行分類討論，常見的分類有
(1)根據二次項系數為正、負及零進行分類．
(2)根據判別式 Δ 與 0 的關系判斷根的個數．
(3)有兩個根時，有時還需根據兩根的大小進行討論．
命題點 1　不含參數的不等式
【例題 1】（2024·青海·一模）已知集合 A = x y = lg -x2 + 2x + 3 B = x x2， - 4 < 0 ，則
A B =（ ）
A． -1,3 B． -1,2 C． -2,3 D． -2,2
【答案】C
【分析】根據對數真數大于零和一元二次不等式的解法可分別求得集合 A, B，根據并集定義
可求得結果.
2
【詳解】由-x2 + 2x + 3 > 0得： x - 2x - 3 = x +1 x - 3 < 0 ，\-1 < x < 3，\ A = -1,3 ；
由 x2 - 4 < 0得： x + 2 x - 2 < 0 ，\-2 < x < 2 ，\B = -2,2 ，\ AUB = -2,3 .
故選：C.
【變式 1】（2024·全國· 2模擬預測）已知集合M = x | x - 6x + 8 < 0 , N = {x |1 < x 3}，則
M N =（ ）
A．{x | 2 x 3} B．{x | 2 < x 3} C．{x | 2 < x 4} D．{x |1 < x 3}
【答案】B
【分析】解一元二次不等式化簡集合 M，再根據交集運算求解即可.
2
【詳解】因為M = x | x - 6x + 8 < 0 = {x | 2 < x < 4}， N = {x |1 < x 3}，
所以M I N = {x | 2 < x 3} .
故選：B
【變式2】（2024·山東濟寧·一模）設集合 A = x | x2 - x - 6 < 0 ，B = {x | -a x a}，若 A B ，
則實數 a的取值范圍是 ．
【答案】 3, +
【分析】求解一元二次不等式解得集合A ，再根據集合的包含關系，列出不等式求解即可.
2
【詳解】集合 A = x | x - x - 6 < 0 = x| x - 3 x + 2 < 0 = {x | -2 < x < 3}，
又B = {x | -a x a}，且 A B ，
ì-a -2 ìa 2
故可得 í ，即 í ，解得 a 3,+ .
a 3 a 3
故答案為： 3, + .
2
【變式 3】（2024·安徽合肥·一模）已知集合 A = x∣x 4 , B = x∣a -1 x a +1 ，若
A B = ，則 a的取值范圍是 .
【答案】 - , -3 U 3, +
【分析】利用一元二次不等式的解法及交集的定義即可求解.
【詳解】由 x2 4，得 x - 2 x + 2 0 ,解得-2 x 2，
所以 A = x∣- 2 x 2 。
因為 A B = ，
所以 a +1< -2或 a -1 > 2，解得 a < -3或 a > 3，
所以 a的取值范圍是 - , -3 U 3, + .
故答案為： - , -3 U 3, + .
命題點 2　含參數的一元二次不等式
1 1
【例題 2】（2024·云南紅河·二模）已知 a,b均為正實數，則“ > ”是“ a2 + 2b2a b > 3ab
”的
（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】運用不等式的性質，證明充分性，否定必要性即可.
1 1
【詳解】因為 a，b 均為正實數，若 > ，則b > a > 0；
a b
若 a2 + 2b2 > 3ab，則 (a - 2b)(a - b) > 0 ，即 a > 2b > 0或b > a > 0；
1 1
所以“ > ”是“ a2 + 2b2 > 3ab ”的充分不必要條件.a b
故選:A.
【變式 1】（23-24 高三下·陜西安康·階段練習）在區間 0，5 內隨機取一個實數 a，則關于 x
2
的不等式 x + 2 - a x - 2a < 0僅有 2 個整數解的概率為（ ）
2 3 1 1
A． B． C． D．
5 10 5 10
【答案】C
【分析】利用一元二次不等式解得 x -2, a ，可得區間 -2, a 內僅包含-1,0兩個整數，再
利用幾何概型概率公式可得結果.
2
【詳解】根據題意可得不等式 x + 2 - a x - 2a < 0等價于 x + 2 x - a < 0；
因為 a 0,5 ，所以不等式的解集為 -2, a ；
依題意可得區間 -2, a 內僅有兩個整數，即包含-1,0兩個整數，可得0 < a 1；
1- 0 1
由幾何概型概率公式可得其概率為P = = .
5 - 0 5
故選：C
ìex - ax2 , x > 0
【變式 2】（2023·江西南昌·三模）函數 f (x) = í 2 ，若關于 x 的不等式
-x + (a - 2)x + 2a, x 0
f (x) 0的解集為[-2,+ )，則實數 a的取值范圍是（ ）
e ù é e ù é e2 ù é 2
A． -2,
e
ú B． ê0, ú C． ê0, ú D．{0}U ê ,+ ÷è 2 2 4 4
【答案】C
【分析】當 x > 0時，運用參數分離法，構造函數利用導數研究函數的性質即得，當 x 0 時
根據二次不等式的解法討論 a的范圍進而即得.
【詳解】由題意知，當 x - ,-2 時， f x < 0 ；當 x -2,0 時， f x 0；當 x 0, +
時， f x 0．
x x
x 2 e e x - 2
當 x > 0時， f x = e - ax 0 ，即 a 2 ，構造函數 g x = '2 , g x = ex ，x x x3
'
當 x＞2 時， g x ＞0, g x 單調遞增，當 0＜x＜2 時， g ' x ＜0, g x 單調遞減，
e2 2g x = g 2 = ，\a e ；min 4 4
當 x 0 時， f x = - x + 2 x - a ，當 a - ,-2 時，由 f x 0，解得 x a, -2 ，不合題
意；
當 a = -2 時，由 f x 0，得 x = -2，不合題意；
當a -2,0 時，由 f x 0，得 x -2,a ， x 0 ，所以 x -2,a ，此時
-2, a U 0, + -2, + ，不合題意；
當 a = 0時， f x = -x x + 2 ，由 f x 0，解得-2 x 0，
x
此時當 x > 0時 f x = e > 0恒成立，所以 f x 0的解集為[-2,+ )，符合題意；
當 a 0, + 時，由 f x 0，得 x -2,a ，又 x 0 ，所以 x -2,0 ，此時
-2,0 U 0, + = -2, + 適合題意；
2
綜上，關于 x 的不等式 f x 0的解集為 -2, + e，則0 a .
4
故選：C.
2
【變式 3】．（2023·湖南·模擬預測）若關于 x 的不等式 x + 7a < 7 + a x的解集恰有 50 個整
數元素，則 a 的取值范圍是 ，這 50 個整數元素之和為 ．
【答案】 -44, -43 U 57,58 -925或 1625
【分析】討論 a的范圍，解出不等式，結合題意確定 a的范圍及解集中的整數解，再利用等
差數列求和公式求和即可.
2
【詳解】不等式 x + 7a < 7 + a x等價于不等式 x - a x - 7 < 0．
當 a = 7時， x - a x - 7 < 0的解集為 ，不合題意；
當 a < 7時， x - a x - 7 < 0的解集為 a,7 ，
則 50 個整數解為-43，-42，…，5，6，
-43 + 6 50
所以-44 a < -43 ，這 50 個整數元素之和為 = -925；
2
當 a > 7時， x - a x - 7 < 0的解集為 7,a ，
則 50 個整數解為 8，9，…，56，57，所以57 < a 58，
8 + 57 50
這 50 個整數元素之和為 =1625．
2
綜上，a 的取值范圍是 -44, -43 U 57,58 ，這 50 個整數元素之和為-925或 1625．
故答案為： -44, -43 U 57,58 ；-925或 1625
題型二　一元二次不等式恒成立問題
恒成立問題求參數的范圍的解題策略
(1)弄清楚自變量、參數．一般情況下，求誰的范圍，誰就是參數．
(2)一元二次不等式在 R 上恒成立，可用判別式 Δ；一元二次不等式在給定區間上恒成立，
不能用判別式 Δ，一般分離參數求最值或分類討論．
命題點 1　在 R 上恒成立問題
2
【例題 3】（2024·浙江·模擬預測）若不等式 kx + k - 6 x + 2 > 0的解為全體實數，則實數 k
的取值范圍是（ ）
A． 2 k 18 B．-18 < k < -2
C． 2 < k <18 D．0 < k < 2
【答案】C
【分析】分類討論 k = 0與 k 0兩種情況，結合二次不等式恒成立問題的解決方法即可得解.
2
【詳解】當 k = 0時，不等式 kx + k - 6 x + 2 > 0可化為-6x + 2 > 0，顯然不合題意；
當 k 0 2時，因為 kx + k - 6 x + 2 > 0的解為全體實數，
ì k > 0
所以 í 2 ，解得 2 < k <18；
Δ = k - 6 - 4k 2 < 0
綜上： 2 < k <18 .
故選：C.
【變式 1】（23-24 高三上·河南·期中）“關于 x 的不等式 2a - 3 x2 - 2a - 3 x + 4 0的解集為
3
R ”是“ < a < 9 ”的（
2 ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
2
【分析】求出不等式 2a - 3 x - 2a - 3 x + 4 0的解集為R 的 a的范圍，再由必要不充分條
件的定義判斷可得答案.
3
【詳解】當2a - 3 = 0 即 a = 時，不等式0 x2 - 0 x + 4 0的解集為R ，符合題意；2
3
當2a - 3 0 a 2即 時，若不等式 2a - 3 x - 2a - 3 x + 4 0的解集為R ，
2
ì2a - 3 > 0 3 19
可得 í 2a - 3 2
，解得 < a ，
-16 2a - 3 0 2 2
2
所以不等式 2a - 3 x - 2a - 3 x + 4 0 3 a 19的解集為R 可得 ，充分性不成立，
2 2
3
若 < a < 9，則不等式 2a - 3 x2 - 2a - 3 x + 4 0的解集為R ，必要性成立，
2
所以不等式 2a - 3 x2 - 2a - 3 x + 4 0 3的解集為R ”是“ < a < 9 ”的必要不充分條件.
2
故選：B.
【變式 2】（2023·福建廈門·二模）“ b 0,4 ”是“ "x R ，bx2 - bx +1 > 0成立”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不
充分也不必要條件
【答案】A
【分析】由"x R ，bx2 - bx +1 > 0成立求出 b 的范圍，再利用充分條件、必要條件的定義
判斷作答.
【詳解】由"x R ，bx2 - bx +1 > 0成立，則當b = 0時，1 > 0恒成立，即b = 0，
ìb > 0
當b 0 時， íb2 ，解得
0 < b < 4
4b 0 ， - <
因此"x R ，bx2 - bx +1 > 0成立時，0 b < 4，
因為 (0, 4) [0, 4)，所以“ b 0,4 ”是“ "x R ，bx2 - bx +1 > 0成立”的充分不必要條件.
故選：A
【變式 3】（23-24 高三上·河北邢臺·階段練習）“不等式 ax2 + 2ax -1< 0恒成立”的一個充分不
必要條件是（ ）
A．-1 a < 0 B． a 0
C．-1 < a 0 D．-1 < a < 0
【答案】D
【分析】分 a = 0和 a 0兩種情況討論求出 a的范圍，再根據充分條件和必要條件的定義即
可得解.
【詳解】當 a = 0時，-1 < 0恒成立，
ìa < 0
當 a 0時，則 í 2 ，解得-1 < a < 0
4a
，
+ 4a < 0
綜上所述，不等式 ax2 + 2ax -1< 0恒成立時，-1 < a 0，
所以選項中“不等式 ax2 + 2ax -1< 0恒成立”的一個充分不必要條件是-1 < a < 0 .
故選：D.
命題點 2　在給定區間上恒成立問題
【例題 4】（2023·浙江寧波·一模）已知函數 f x = x2 + ax + b，若不等式 f x 2 在 x 1,5
上恒成立，則滿足要求的有序數對 (a , b ) 有（ ）
A．0 個 B．1 個 C．2 個 D．無數個
【答案】B
ì-2 1+ a + b 2, 1

【分析】由題意有 í-2 9 + 3a + b 2, 2 ，通過分析得到 a = -6 ，b = 7 是滿足題意的唯一

-2 25 + 5a + b 2, 3
解，注意檢驗.
【詳解】由題意若不等式 f x 2 在 x 1,5 上恒成立，
ì-2 f 1 2 ì-2 1+ a + b 2, 1

則必須滿足 í-2 f 3 2 ，即 í-2 9 + 3a + b 2, 2 ，

-2 f 5 2 -2 25 + 5a + b 2, 3
ì-2 -1- a - b 2, 1
由 í ，兩式相加得-4 8 + 2a 4 -6 a -2, 4
-2 9 3a b 2, 2
，
+ +
ì-2 -9 - 3a - b 2, 2
再由 í ，兩式相加得-4 16 + 2a 4 -10 a -6, 5
-2 25 + 5a + b
，
2, 3
ì-2 -5 + b 2, 1

結合（4），（5）兩式可知 a = -6 ，代入不等式組得 í-2 -9 + b 2, 2 ，

-2 -5 + b 2, 3
解得b = 7 ，
經檢驗，當 a = -6 ，b = 7 時， f x = x2 - 6x + 7 = x - 3 2 - 2，
有 é f x ù = f 1 = f 5 = 2， é f x ù = f 3 = -2 ，滿足 f x 2 在 x 1,5 max min 上恒成立，
綜上所述：滿足要求的有序數對 (a , b ) 為： -6,7 ，共一個.
故選：B.
ì-2 f 1 2

【點睛】關鍵點點睛：解題的關鍵是首先得到 í-2 f 3 2 ，進一步由不等式的性質通過

-2 f 5 2
分析即可求解.
é1 ù
【變式 1】（2023· 2陜西咸陽·模擬預測）已知命題 p ：任意 x ê , 2 2 ú
，使 log2 x - m × log2 x - 3 0
為真命題，則實數m 的取值范圍為（ ）
A． - , 2 B． - , -2 C． -2,2 D． -2, +
【答案】C
【分析】設 t = log2 x ，由題意可得任意 t -1,1 ， t 2 - mt - 3 0恒成立，結合二次函數
性質列不等式求m 的取值范圍.
【詳解】設 t = log2 x ，則 t -1,1 ，
原命題等價于：任意 t -1,1 ，使 t 2 - mt - 3 0為真命題，
t 2所以 - mt - 3 0 ，其中 t -1,1
max
設 f t = t 2 - mt - 3 -1 t 1 ， 則
2
函數 f t = t - mt - 3， t -1,1 的最大值為 f -1 與 f 1 中的較大者，
ì f -1 0
所以 í ，
f 1 0
ì1+ m - 3 0
∴ í -2 m 2
1- m
，解得 ，
- 3 0
故選：C.
【變式 2】（2023·遼寧鞍山·二模）已知當 x > 0時，不等式： x2 - mx +16 > 0恒成立，則實數
m 的取值范圍是（ ）
A． -8,8 B． - ,8 C． - ,8 D． 8,+
【答案】C
16 16
【分析】先由 x2 - mx +16 > 0得m < x + ，由基本不等式得 x + 8，故m < 8 .
x x
16
【詳解】當 x > 0時，由 x2 - mx +16 > 0得m < x + ，
x
16 16 x 16因 x > 0，故 x + 2 x = 8，當且僅當 = 即 x = 4時等號成立，
x x x
m x 16因當 x > 0時， < + 恒成立，得m < 8，
x
故選：C
【變式 3】（2024·全國·模擬預測）已知函數 f (x) = x2 + ax + b，若對任意 x [1,5], f (x) 2，
則所有滿足條件的有序數對 (a , b ) 是 ．
【答案】 (-6,7)
ì-2 f (1) 2

【分析】由題意可得 í-2 f (3) 2，然后利用不等式的性質對不等式組變形可求得結果.

-2 f (5) 2
【詳解】因為 f (x) = x2 + ax + b對任意 x [1,5], f (x) 2，
ì-2 f (1) 2

所以必須滿足 í-2 f (3) 2，

-2 f (5) 2
ì-2 1+ a + b 2

即 í-2 9 + 3a + b 2 ，

-2 25 + 5a + b 2
ì-2 -1- a - b 2
由 í 2 9 3a b 2，得
-4 8 + 2a 4，
- + +
解得-6 a 2，①，
ì-2 -9 - 3a - b 2
再由 í -4 16 + 2a 4
-2 25 + 5a + b 2
，得 ，
解得-10 a -6，②，
由①②得 a = -6 ，
ì-2 1- 6 + b 2 ì3 b 7

所以 í-2 9 -18 + b 2

，即 í7 b 11，解得b = 7 ，

-2 25 - 30 + b 2 3 b 7
經檢驗，當 a = -6 ，b = 7 時， f (x) = x2 - 6x + 7 = (x - 3)2 - 2，則
f (x) 的最大值為 f (1) = f (5) = 2 ， f (x) 的最小值為 f (3) = -2，
滿足任意 x [1,5], f (x) 2，
所以滿足條件的有序數對 (a , b ) 只有一對 (-6,7)，
故答案為： (-6,7)
命題點 3　在給定參數范圍內的恒成立問題
【例題 5】（23-24 高三上·河南信陽·階段練習）若mx2 -1< 0對于m 0,2 恒成立，則實數 x
的取值范圍為 ．
2 2
【答案】 - , ÷÷ .
è 2 2
ì f (0) < 0
【分析】令 f (m) = mx2 -1(m [0, 2])，則由題意可得 í f (2) 0，解不等式組可得結果
.
<
【詳解】令 f (m) = mx2 -1(m [0, 2])，
因為mx2 -1< 0對于m 0,2 恒成立，
ì f (0) < 0 ì-1 < 0 2 2
所以 í
f (2) < 0
，即 í2x2 1 0，解得 ， - <
- < x <
2 2
2 2
所以實數 x 的取值范圍為 - , ÷÷，
è 2 2
2 2
故答案為： - , ÷÷ .
è 2 2
【變式 1】（2024 高三·全國·專題練習）設函數 f (x) 是定義在 (- , + )上的增函數．若不等
式 f 1- ax - x2 < f (2 - a)對于任意a [0,1]恒成立，求實數 x 的取值范圍.
【答案】 (- , -1) (0,+ )
【分析】首先利用函數的單調性，把函數值的大小關系轉化為自變量的大小關系，接下來把
a 作為主元（變量），x 作為參數，把不等式恒成立問題轉化為求函數的最值解決，
2
【詳解】∵ f (x) 是增函數，∴ f 1- ax - x < f (2 - a)對于任意a [0,1]恒成立．
1- ax - x2 < 2 - a ，即 x2 + ax +1- a > 0對于任意a [0,1]恒成立．
令 g(a) = (x -1)a + x2 +1．a [0,1]， g(a)為關于 a 的一次函數，在[0,1]上是一條線段，
ìg 0 = x2 +1 > 0
由 í 2 ，得 x (- ,-1) (0,+ )．
g 1 = x + x > 0
【變式 2】（22-23 高三上·山東濰坊·階段練習）若對于任意m -1,1 ，任意 y R ，使得不
2
等式 x + 3- m x - 6 < y -1 + y - 3 成立，則實數 x 的取值范圍是 ．
【答案】 -4,2 3 - 2
【分析】應用恒成立問題與最值的關系轉化兩個恒成立,再解不等式即可.
【詳解】因為對于任意m -1,1 ,任意 y R ，使得不等式 x2 + 3- m x - 6 < y -1 + y - 3 成
立,
設 t y = y -1 + y - 3 ,則 x2 + 3- m x - 6 < t y min
又因為 t y = y -1 + y - 3 y -1 - y - 3 = 2 ,所以 t y = 2min .
2
所以 x + 3- m x - 6 < 2 2即 x + 3- m x -8 < 0
設 g m = x2 + 3 - m x -8 = -mx + x2 + 3x -8 ,
對于任意m -1,1 , g m = -mx + x2 + 3x -8 < 0 ,應用一次函數性質可知
ì g 1 = -x + x2 + 3x -8 < 0
í
g -1 = x + x2 + 3x -8 < 0
ìx2 + 2x -8 < 0 ì -2 - 2 3 < x < 2 3 - 2
即得 í 2 ,解得 í
x + 4x -8 < 0 -4 < x < 2
則實數 x 的取值范圍是 -4,2 3 - 2 .
故答案為: -4,2 3 - 2 .
2
【變式 3】（2023 高三·全國·專題練習）若不等式 2x -1 > m x -1 對任意m -1,1 恒成立，
實數 x 的取值范圍是 .
【答案】 3 -1,2
2 2
【分析】把題意轉化為m x -1 - 2x +1< 0 ，設 f m = m x -1 - 2x +1，由一次函數的單
調性列不等式組，即可求解.
【詳解】 2x -1 > m x2 -1 2可轉化為m x -1 - 2x +1< 0 .
設 f m = m x2 -1 - 2x +1，則 f m 是關于 m 的一次型函數.
ì
f 1f m 0 = x
2 - 2x < 0
要使 < 恒成立，只需 í
f -1 = -x2 - 2x 2 0
，
+ <
解得 3 -1< x < 2 .
故答案為： 3 -1,2
【課后強化】
基礎保分練
一、單選題
1 2．（2024 高三·全國·專題練習）已知集合 A = x x - 4x - 5 0 , B = x a - 3 < x < a + 4 ，若
A U B = R，則實數 a的取值范圍為（ ）
A． a a >1 B． a 1 < a < 2
C． a a < 2 D． a 1 a 2
【答案】D
【分析】先求出一元二次不等式的解集，依題借助于數軸得到關于 a的不等式組，解之即得.
【詳解】Q x2 - 4x - 5 0,\ x -1或 x≥5，\ A = x x -1或 x 5 ，
a - 3 -1
又 A B = R,
ì
\í 1 a 2 .
a + 4 5
，解得
故選:D.
2．（2024· 2浙江·模擬預測）若不等式 kx + k - 6 x + 2 > 0的解為全體實數，則實數 k 的取值
范圍是（ ）
A． 2 k 18 B．-18 < k < -2
C． 2 < k <18 D．0 < k < 2
【答案】C
【分析】分類討論 k = 0與 k 0兩種情況，結合二次不等式恒成立問題的解決方法即可得解.
2
【詳解】當 k = 0時，不等式 kx + k - 6 x + 2 > 0可化為-6x + 2 > 0，顯然不合題意；
2
當 k 0時，因為 kx + k - 6 x + 2 > 0的解為全體實數，
ìk > 0
所以 í 2 ，解得 2 < k <18；
Δ = k - 6 - 4k 2 < 0
綜上： 2 < k <18 .
故選：C.
1 1
3．（2024·云南紅河·二模）已知 a,b均為正實數，則“ > ”是“ a2 + 2b2 > 3ab ”的（a b ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】運用不等式的性質，證明充分性，否定必要性即可.
1 1
【詳解】因為 a，b 均為正實數，若 > ，則b > a > 0；
a b
若 a2 + 2b2 > 3ab，則 (a - 2b)(a - b) > 0 ，即 a > 2b > 0或b > a > 0；
1 1
所以“ > ”是“ a2 + 2b2 > 3ab ”的充分不必要條件.a b
故選:A.
4．（2024 高三·全國·專題練習）若不等式 a - 2 x2 + 2 a - 2 x - 4 < 0 對一切 x R 恒成立，
則實數 a 的取值范圍是（ ）
A． - , 2 B． -2,2
C． -2,2 D． - , -2
【答案】C
【分析】對二次項系數進行分類討論可得 a = 2符合題意，當 a 2時利用判別式可求得結果.
【詳解】當a - 2 = 0，即 a = 2時，不等式為-4<0 對一切 x R 恒成立．
ì a - 2 < 0
當 a 2時，需滿足 í ，
Δ = 4 a - 2
2 +16 a - 2 < 0
ìa - 2 < 0
即 í ，解得-2 < a < 2 .
a - 2 + 4 > 0
綜上可知，實數 a 的取值范圍是 -2,2 ．
故選：C
5．（23-24 高三下·湖南衡陽·階段練習）條件 p 是q的充分不必要條件是（ ）
A．函數 y = f (x) 定義域為A ， p ： f (x) 0在 A 上成立. q： y = f (x) 為增函數；
B． p
1
："x R, x2 - 3x + a > 0成立，q： a + 最小值為 4；
a - 2
C．p:函數 f (x) = 24ax2 + 4x -1在區間 (
1 1
-1,1)恰有一個零點，q: - < a < ；
8 4
D．p:函數 f (x) = cos 2x cosj + sin 2x sinj 為偶函數（ x R ），q:j = kπ(k Z)
【答案】B
1
【分析】對于 A，D 我們都可以證明 p, q互為充要條件，對于 C，取 a = - 即可判斷；對于
6
9 1
B， p 成立當且僅當 a > ，注意到 a > 2時有q： a + 最小值為 4 成立，由此即可判斷.
4 a - 2
【詳解】對于 A，不妨設 f x = 0，則函數 y = f (x) 定義域為全體實數， f (x) = 0 0在實
數域上成立，但它不是增函數，故 A 不符合題意；
2
對于 B， p ："x R, x2 - 3x + a > 0成立等價于 a > -x2 + 3x 3 9= - x - ÷ + 恒成立，從而
è 2 4
a 9> ，
4
1
注意到當 a > 2時有， a + = a 2
1
- + + 2 2 + 2 = 4，等號成立當且僅當 a = 3，即 a > 2
a - 2 a - 2
1
時有q： a + 最小值為 4 成立，故 B 符合題意；
a - 2
1
對于 C，當 a = - 時， f (x) = 24ax2 + 4x -1 = -4x2 + 4x -1在區間 (-1,1)
1
恰有一個零點 x = ，
6 2
a 1 a 1但此時 不滿足- < < ，故 C 不滿足題意；
8 4
對于 D，p:函數 f (x) = cos 2x cosj + sin 2x sinj 為偶函數（ x R ）等價于
cos 2x cosj + sin 2x sinj = cos -2x cosj + sin -2x sinj 恒成立，
也就是說 2sin 2x sinj = 0恒成立，這意味著只能 sinj = 0 ，從而當且僅當j = kπ(k Z)，故
D 不滿足題意.
故選：B.
6．（2024 高三·全國·專題練習）已知 a ,b R 且 ab 0，若 x - a x - b x - 2a - b 0在 x 0
上恒成立，則（ ）
A． a < 0 B． a > 0 C．b < 0 D．b > 0
【答案】C
【分析】對 a,b的符號分正負兩種情況討論，結合穿根法及三次函數的性質分析即可得到答
案．
【詳解】由 ab 0得 a 0,b 0，
f x = x - a x - b x - 2a - b = 0 x1 = a, x2 = b, x3 = 2a + b
①若 a > 0,b > 0，則 2a + b > 0 ，且 2a + b > a， 2a + b > b ，
根據穿根法可知 x a, 2a + b 或 x b, 2a + b 時不符合題意，舍去；
②若 a > 0,b < 0 ，要滿足題意則 a = 2a + b > b a + b = 0 ，符合題意，如圖所示；
③當 a < 0,b > 0 時，同理要滿足題意需 2a + b = b > a a = 0，與前提矛盾；
④當 a < 0,b < 0，此時 2a + b < 0，則 f x = x - a x - b x - 2a - b 的三個零點都是負數，
由穿根法可知符合題意；
綜上可知滿足 x - a x - b x - 2a - b 0在 x 0 恒成立時，只有b < 0滿足題意.
故選：C ．
二、多選題
1．（23-24 高三上·湖南邵陽·階段練習）已知 a > 0，b > 0，且 a + 2b = 7 ，若 a2 + 3b2 t 恒成
立，則實數 t 的值可能為（ ）
A．20 B．21 C．49 D．50
【答案】CD
7
【分析】利用 a,b的關系式以及其范圍可得 a = 7 - 2b 且0 < b < ，將不等式轉化為
2
7 b - 2 2 + 21 t ，利用二次函數單調性即可得 t 49 .
【詳解】由 a + 2b = 7 可得 a = 7 - 2b ，
又 a > 0可得0 < b
7
< ，
2
所以可得 a2 + 3b2 = 7 - 2b 2 + 3b2 = 7b2 - 28b + 49 = 7 b - 2 2 + 21，
2 0 b 7即7 b - 2 + 21 t 在 < < 時恒成立即可，2
2
由二次函數單調性可得7 0 - 2 + 21 t ，即 t 49，可知 CD 滿足題意；
故選：CD
2．（2024 高三·全國·專題練習）(多選)下列命題正確的是（ ）
A．若不等式 ax2＋bx＋c<0 的解集為(x1，x2)，則必有 a>0
B．若方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)沒有實數根，則不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集為 R
C．不等式 ax2＋bx＋c≤0 在 R 上恒成立的條件是 a<0 且 Δ＝b2－4ac≤0
D．若二次函數 y＝ax2＋bx＋c 的圖象開口向下，則不等式 ax2＋bx＋c<0 的解集一定不是
空集
【答案】AD
【解析】略
三、填空題
1．（23-24 高三下·上海·階段練習）設 a > 0，若關于 x 的不等式 x2 - ax < 0的解集是區間 0,1
的真子集，則 a的取值范圍是 ．
【答案】 0,1
【分析】解一元二次不等式結合真子集的概念即可得解.
【詳解】因為 a > 0，所以 x2 - ax < 0 0 < x < a ，
又不等式 x2 - ax < 0的解集是區間 0,1 的真子集，則 a 0,1 .
故答案為： 0,1 .
2．（23-24高三下·河北保定·開學考試）已知集合 A = x log2 3- x < 2 , B = x x 5 - x - 4 0 ，
則 AI B = .
【答案】 1,3
【分析】由對數不等式和一元二次不等式化簡集合 A, B，再由交集運算即可求解.
【詳解】 log2 3- x < 2 0 < 3- x < 4，解得-1 < x < 3，故 A = -1,3 ；
x 5 - x - 4 0 x2 - 5x + 4 0 ，解得1 x 4，故B = 1,4 ，故 A B = 1,3 .
故答案為： 1,3
四、解答題
1．（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x = 2x - a ，且 f x b 的解集為 -1,3 ．
(1)求 a和b 的值；
(2)若 f x x - t 在 -1,0 上恒成立，求實數 t 的取值范圍．
【答案】(1) a = 2,b = 4
(2) - , -5 3, +
【分析】（1）根據絕對值不等式的性質即可求解，
（2 2）將問題轉化為3x + 2t -8 x + 4 - t 2 0在 -1,0 上恒成立，即可利用二次函數零點分布
求解.
【詳解】（1）由 f x b 得 2x - a b，
a - b b + a
易知b 0，則-b 2x - a b，解得 x ，
2 2
由于 f x b -1,3 b + a a - b的解集為 ，則 = 3, = -1，解得 a = 2,b = 4．
2 2
（2）由（1）知 f x = 2x - 2 ，由 f x x - t 得 2x - 2 x - t ，
3x2 + 2t -8 x + 4 - t 2得 0在 -1,0 上恒成立，
Δ = (2t -8)2 - 4 3 4 - t 2 =16 t -1 2 > 0，故 t 1．
令 g x = 3x2 + 2t -8 x + 4 - t 2 ，若 g x 0在 -1,0 上恒成立，
ì g -1 0 ì-t 2 - 2t +15 0
則 í ，即 í 2 ，解得 t -5 t 3 g 0 0
或 ，
4 - t 0
故實數 t 的取值范圍為 - , -5 3, + ．
2．（2024 高三·全國·專題練習）（1）解關于實數 x 的不等式： x2 - (a +1)x + a < 0 ．
（2）解關于實數 x 的不等式： x2 - ax +1 < 0．
【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析；
【分析】對不等式所對應方程的判別式進行判斷，分情況討論參數 a即可求得（1）（2）中
的不等式解集.
【詳解】（1）易知方程 x2 - (a +1)x + a = 0 2的Δ = a -1 0，
由 x2 - (a +1)x + a = 0得 (x - a)(x -1) = 0，解得 x1 = a, x2 =1，
當 a > 1時， x2 - (a +1)x + a < 0 的解集為 x 1< x < a ，
當 a =1時， x2 - (a +1)x + a < 0 的解集為 ，
當a < 1時， x2 - (a +1)x + a < 0 的解集為 x a < x <1 ．
（2）對方程 x2 - ax +1 = 0 ，
當D = a2 - 4 0時，
即-2 a 2時,不等式的解集為
當D = a2 - 4 > 0時，
即 a > 2或 a < -2時,
2
x2 - ax +1 = 0 x a - a - 4 , x a + a
2 - 4
的根為 1 = = ，2 2 2
ì 2 2x a - a - 4 x a + a - 4
ü
不等式的解集為 í < <

2 2
；

綜上可得，-2 a 2時,不等式的解集為 ，
ì a - a2 2 ü
a > 2或 a < -2時，不等式的解集為 íx
- 4 a + a - 4
< x < .
2 2
3．（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x = 2x +1 ．
(1)求不等式 f x - f x -1 >1的解集；
(2)若 h x = f x + f x -1 ，且存在 x R 2使不等式 a + 2a -1 h x 成立，求實數 a的取值
范圍．
1
【答案】(1) ,+
è 4 ÷
(2) - , -3 1, +
【分析】（1）借助零點分段法計算即可得；
（2）借助絕對值三角不等式可得 h x min ，再解出含 a的不等式即可得.
【詳解】（1） f x - f x -1 >1，即 2x +1 - 2x -1 >1，
1
當 x < - 時，-2x -1+ 2x -1 >1，該方程無解；
2
1 x 1 1 1當- 時， 2x +1+ 2x -1 >1，解得 < x ；
2 2 4 2
1 1
當 x > 時， 2x +1- 2x +1 >1，解得 x > ；
2 2
1
綜上所述， x > ，
4
1
\ 不等式 f x - f x -1 >1的解集為 , + 4 ÷；è
（2）由題知， h x = 2x +1 + 2x -1 2x +1- 2x -1 = 2，
當且僅當 2x +1 2x -1 0 時等號成立，
\a2 + 2a -1 h x = 2min ，解得 a -3或a 1，
\實數 a的取值范圍為 - , -3 1, + .
綜合提升練
一、單選題
1．（2023·遼寧鞍山·二模）若對任意的 x (0,+ ), x2 - mx +1 > 0 恒成立，則 m 的取值范圍是
（ ）
A． (-2,2) B． (2,+ ) C． (- ,2) D． (- , 2]
【答案】C
【分析】變形給定不等式，分離參數，利用均值不等式求出最小值作答.
【詳解】"x (0, + ), x2
1
- mx +1 > 0 m < x + ，而當 x > 0 x 1 2 x 1時， + × = 2，當且僅
x x x
當 x
1
= ，即 x =1時取等號，
x
則m < 2，所以 m 的取值范圍是 (- ,2) .
故選：C
2．（2023 高三·全國·專題練習）已知命題 p：“ x∈ R ，(a＋1)x2－2(a＋1)x＋3>0”為真命題，
則實數 a 的取值范圍是（ ）
A．－1C．a<－1 D．－1≤a<2
【答案】D
2
【分析】根據題意，利用解含參的一元二次不等式 a +1 x - 2 a +1 x + 3 > 0恒成立問題的
方法求解，即可得出答案.
【詳解】當 a＝－1 時，3>0 成立；
ì a +1 > 0
當 a≠－1 時，需滿足 í ，
Δ = 4 a +1
2 -12 a +1 < 0
解得－1綜上所述，－1≤a<2.
故選：D
3．（2024·陜西西安·模擬預測）已知集合 A = x N∣y = 6 - 2x ，B = y∣y2 - 4 0 ，則集
合 A B 中元素的個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】分別求解集合 A, B，根據交集的定義計算即可.
【詳解】因為集合 A = x N∣y = 6 - 2x = 0,1,2,3 , B = y∣y2 - 4 0 = y∣- 2 y 2 ，故
AI B = 0,1,2 .
故選：C.
f (x) ax2 2x a x é
1 ,2ù4．（23-24 高三上·重慶長壽·期末）已知函數 = - + ，對 ê 都有 f (x) 0 2 ú
成立，則實數 a的取值范圍是（ ）
A． 1, é 4 é 4+ ù 4 ùB． ê ,+ ÷ C． ê ,15 ú D．5 - , è 5 ú
【答案】A
a 2 é1
【分析】根據不等式恒成立，分離參數，可得 1 ，對 x ê , 2
ù
x + ú 恒成立，構造函數，
x 2
結合函數的單調性求得其最小值，即可求得答案.
é1 ù
【詳解】由題意知函數 f (x) = ax2 - 2x + a，對 x ê , 2 2 ú
都有 f (x) 0成立，

é1 ù
即 ax2 - 2x + a 0對 x , 2
ê 2 ú
恒成立，

a 2x 2 2 = x é1 ù即 x +1 ,2x 1+ ，對 ê ú 恒成立， 2x
g(x) x 1
1
設 = + ，由于 g(x)
1
= x + é ,1ù在 上單調遞減，在 1,2 上單調遞增，
x x ê 2 ú
2
則 g
1
min (1) = 2，則 x 1+ ，當且僅當 x =1時等號成立，
x
故a 1，即實數 a的取值范圍為[1, + ），
故選：A
5．（23-24 高三上·內蒙古通遼· 2階段練習）已知命題 p : $x0 R， x0 + a -1 x0 +1< 0 ，若命
題 p 是假命題，則 a的取值范圍為（ ）
A．1 a 3 B．-1 < a < 3
C．-1 a 3 D．0 a 2
【答案】C
2
【分析】利用含有一個量詞命題的否定轉化為不等式 x + a -1 x +1 0對"x R 恒成立，根
據判別式可求得-1 a 3 .
2
【詳解】根據題意可知，命題 p 的否定為“ "x R ， x + a -1 x +1 0 ”為真命題；
2
即不等式 x + a -1 x +1 0對"x R 恒成立，
所以D = a -1 2 - 4 0，解得-1 a 3；
可得 a的取值范圍為-1 a 3 .
故選：C
6．（23-24 2 2高三下·山東菏澤·階段練習）已知條件q：“不等式 a - 4 x + a + 2 x -1 0的解
集是空集”，則條件 p ： “ -2 a <1”是條件q的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】先分 a 2 - 4 = 0 和 a 2 - 4 0 兩種情況討論求出 a的范圍，再根據充分條件和必要條
件的定義即可得解.
2 2
【詳解】因為不等式 a - 4 x + a + 2 x -1 0的解集是空集，
2 2
所以不等式 a - 4 x + a + 2 x -1 < 0的解集是R ，
當 a 2 - 4 = 0 即 a = ±2 時，
1
若 a = 2 ，則 4x -1< 0， x < ( 舍 )；
4
若 a = -2 ，則 -1 < 0， x R ；
ìa2 - 4 < 0
2 6當 a - 4 0 時，則 í ，解得 -2 < a <
Δ < 0 5
，
綜上所述-2 a
6
< ，
5
所以條件 p 是條件q的充分不必要條件．
故選：A．
7．（2024·天津河西·一模）“ x2
1
x ”是“ 1”的（x ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】根據分式不等式和一元二次不等式的解法，結合充分條件和必要條件的定義即可得
解.
【詳解】由 x2 x得 x x -1 0 ，解得0 x 1，
1 1- x ìx x -1 0
由 1得 0，所以
x x í
，解得0 < x 1，
x 0
1
所以“ x2 x ”是“ 1”成立的必要不充分條件.x
故選：B
ì p, p q
8．（2023· x廣東廣州·三模）定義max p, q = í ，設函數 f x = max 2 - 2, x2 - 2ax + aq, p < q ，
若$x R 使得 f x 0 成立，則實數 a 的取值范圍為（ ）．
A． - ,0 U 1, + B． -1,0 1, +
C． - , -1 1,+ D． -1,1
【答案】A
【分析】先考慮命題$x R 使得 f x 0 成立的否定為真命題時 a 的取值范圍，再求其補集
即可.
【詳解】命題$x R 使得 f x 0 成立的否定為對"x R ， f x > 0，
因為當 x >1或 x < -1時， 2 x - 2 > 0，當-1 x 1時， 2 x - 2 < 0，
所以當 x >1或 x < -1時， f x > 0，
若命題"x R ， f x > 0為真命題，
則當-1 x 1時， x2 - 2ax + a > 0恒成立，
x2所以 - 2ax + a > 0min ，其中 x -1,1 ，
設 g x = x2 - 2ax + a -1 x 1 ，
當 a -1時，函數 g x 在 -1,1 單調遞增，
所以當 x=-1時，函數 g x 取最小值，所以1+ 2a + a > 0 ，
1
所以 a > - ，矛盾；
3
當a 1時，函數 g x 在 -1,1 單調遞減，
所以當 x =1時，函數 g x 取最小值，所以1- 2a + a > 0，
所以a < 1，矛盾；
當-1 < a <1時，函數 g x 在 -1, a 上單調遞減，在 a,1 上單調遞增，
所以 x = a時，函數 g x 取最小值，所以 a2 - 2a2 + a > 0，
所以 0 < a < 1，
所以當 0 < a < 1時，命題"x R ， f x > 0為真命題，
所以若$x R 使得 f x 0 成立，則 a 的取值范圍為 - ,0 U 1, + .
故選：A.
【點睛】關鍵點點睛：“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運
算五種，然后根據此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有
助于對新定義的透徹理解.但是，透過現象看本質，它們考查的還是基礎數學知識，所以說“新
題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應萬變才是制勝法寶.
二、多選題
1．（23-24 高三上·浙江紹興·期末）已知 a R ，關于 x 的一元二次不等式 ax - 2 x + 2 > 0
的解集可能是（ ）
ì 2
A． íx x > 或 x < -2 B． x x > -2
a
ì
C． íx 2
2 ü ì 2 ü
- < x < D． íx < x < -2a a
【答案】ACD
2
【分析】分 a = 0， a > 0， a<0三種情況結合 與-2的大小關系討論，可得不等式的解集.
a
【詳解】當 a = 0時， ax - 2 x + 2 = -2 x + 2 > 0 x < -2；
2
當 a > 0時， ax - 2 x + 2 = a x - ÷ x + 2
2
> 0 x > 或 x<- 2，故 A 正確；
è a a
當 a < 0時， ax - 2 x + 2 = a x 2 -

a ÷
x + 2 ，
è
2
若 = -2 a = -1，則解集為空集；
a
2 2
若 < -2 -1< a < 0 ，則不等式的解為： < x < -2，故 D 正確；
a a
2 2
若 > -2 a < -1，則不等式的解為：-2 < x < ，故 C 正確.
a a
故選：ACD
2．（2024·廣東深圳·模擬預測）下列說法正確的是（ ）
ì 1 ü
A．不等式 4x2 - 5x +1 > 0的解集是 íx x > 或x <1
4
ì
B．不等式 2x2 - x - 6 0的解集是 íx x
3 x ü - 或 2
2
C．若不等式 ax2 + 8ax + 21 < 0 恒成立，則 a 的取值范圍是
1
D．若關于 x 的不等式 2x2 + px - 3 < 0的解集是 q,1 ，則 p + q 的值為-
2
【答案】CD
【分析】對于 AB，直接解一元二次不等式即可判斷；對于 C，對 a分類討論即可判斷；對于
D，由一元二次不等式的解集與一元二次方程的根的關系，先求得 p, q，然后即可判斷.
【詳解】對于 A， 4x2 - 5x +1 > 0 x -1 4x -1 > 0 1 x < 或 x >1，故 A 錯誤；
4
B 2x2對于 ， - x - 6 0 x - 2 2x + 3 0 3 - x 2 ，故 B 錯誤；
2
若不等式 ax2 + 8ax + 21 < 0 恒成立，
當 a = 0時， 21< 0是不可能成立的，
ìa < 0
所以只能 íΔ 64a2 84a 0，而該不等式組無解，綜上，故
C 正確；
= - <
對于 D，由題意得 q,1是一元二次方程 2x2 + px - 3 = 0 的兩根，
ì
q 1
-3
= 3
從而 í 2 ，解得 p =1, q = - ，
2 + p - 3 = 0
2
3
而當 p =1, q = - 時，一元二次不等式 2x2 + x - 3 < 0 x -1 2x 3 3+ < 0 - < x <1滿足題
2 2
意，
p + q 1所以 的值為- ，故 D 正確.
2
故選：CD.
3．（22-23 高三上· 2河北唐山·階段練習）若 ax - 4 x + b 0對任意 x - ,0 恒成立，其中
a ，b 是整數，則 a+b 的可能取值為（ ）
A． -7 B．-5 C．-6 D． -17
【答案】BCD
2
【分析】對b 分類討論，當b 0時，由 ax - 4 x + b 0可得 ax - 4 0，由一次函數的圖
2
象知不存在；當b < 0時，由 ax - 4 x + b 0，利用數形結合的思想可得出 a,b的整數解.
2
【詳解】當b 0時，由 ax - 4 x + b 0可得 ax - 4 0對任意 x - ,0 恒成立，
4
即 a 對任意 x - ,0 恒成立，此時 a 不存在；
x
當b < 0時，由 ax - 4 x2 + b 0對任意 x - ,0 恒成立，
可設 f x = ax - 4， g x = x2 + b，作出 f x , g x 的圖象如下，
ì a<0
ì a=- 1 ìa=- 4 ìa=- 2
由題意可知 í 4 ，再由 a ，b 是整數可得 í
=- -b b=- 16
或 í
b= 1
或
- í b=- 4 a
所以 a+b 的可能取值為 -17或-5或-6
故選：BCD
三、填空題
ìx2 + 2x + a - 2, x 0
1．（2024 高三 ·全國 ·專題練習）已知 a R ，函數 f x = í 2 若對任意
-x + 2x - 2a, x > 0
x –3, + ， f x x 恒成立，則 a 的取值范圍是 ．
é1
【答案】 ê , 2
ù
8 ú
【分析】由題意分類討論 x > 0和 x 0 兩種情況，結合恒成立的條件整理計算即可求得最終
結果.
【詳解】分類討論：①當 x > 0時， f x x 即：-x2 + 2x - 2a x，
1 2 1
整理可得： a - x + x，
2 2
1 1
由恒成立的條件可知： a - x
2 + x ÷ x > 0 2 2 ，è max
1 1 2 1 1 1 1
結合二次函數的性質可知：當 x = 時， - x + x ÷ = - + =
1
，則 a ；
2 è 2 2 max 8 4 8 8
②當-3 x 0 時， f x x 即： x2 + 2x + a - 2 -x ，整理可得： a -x2 - 3x + 2，
2
由恒成立的條件可知： a -x - 3x + 2 -3 x 0 min ，
2
結合二次函數的性質可知：當 x = -3或 x = 0時， -x - 3x + 2 = 2min ，則 a 2；
é1 ù
綜合①②可得 a的取值范圍是 ê , 2ú， 8
é1
故答案為: ê , 2
ù
ú . 8
2 2 2．（23-24 高三上·河南·階段練習）若命題“ $x R， a -1 x + a -1 x -1 0 ”為假命題，則
a的取值范圍為 .
3
【答案】 - ,1
ù
è 5 ú
【分析】根據已知條件知命題“ "x R ， a2 -1 x2 + a -1 x -1 < 0 ”為真命題，再分類討論，
即可求解.
2 2
【詳解】由題意可知，命題“ "x R ， a -1 x + a -1 x -1 < 0 ”為真命題.
當a2 -1 = 0時，可得 a = ±1 .
若 a =1，則有-1 < 0，符合題意；
1
若 a = -1，則有-2x -1 < 0 ，解得 x > - ，不符合題意；
2
ì 2 a -1< 0 3
當 a2 -1 0時，則 í ，解得- < a <1 .
D = a -1
2 + 4 a2 -1 < 0 5
綜上， a
3
的取值范圍是 - ,1
ù
ú .è 5
3
故答案為： - ,1
ù
.
è 5 ú
3．（23-24 高三下·上海閔行·階段練習）設集合 A = {x | 4x2 1}， B = {x | lnx < 0}，則 AI B = .
【答案】 (0,
1]
2
【分析】分別求出A 與 B 中不等式的解集，再根據交集的運算法則求解.
1 1 1 1 1
【詳解】由A 2中不等式變形得： x ，解得：- x ，即 A = [- , ]
4 2 2 2 2
，
由 B 中 lnx < 0 = ln1，得到0 < x <1，即B = (0,1)，
則 A I B
1
= (0, ] ,
2
1
故答案為： (0, ] .
2
四、解答題
1．（2024 高三·全國·專題練習）已知集合 A＝{x|x2－4x－5≤0}，B＝{x|2x－6≥0}，M＝A∩B.
(1)求集合 M；
(2)已知集合 C＝{x|a－1≤x≤7－a，a∈R}，若 M∩C＝M，求實數 a 的取值范圍．
【答案】(1)[3，5]
(2)（－∞，2]
【詳解】（1） 由 x2－4x－5≤0，得－1≤x≤5，
所以 A＝[－1，5].
由 2x－6≥0，得 x≥3，所以 B＝[3，＋∞）.
所以 M＝[3，5].
（2） 因為 M∩C＝M，所以 M C，
則 解得 a≤2.
故實數 a 的取值范圍是（－∞，2].
2．（23-24 高三上·河南南陽·階段練習）二次函數 f (x) 滿足 f (x +1) - f (x) = 2x，且 f (0) =1
(1)求 f (x) 的解析式；
(2)在區間[-1,1]上，函數 y = f (x) 的圖象恒在直線 y = m的上方，試確定實數 m 的取值范
圍．
【答案】(1) f (x) = x2 - x +1
3
(2) m <
4
【分析】（1）設 f (x) = ax2 + bx + c(a 0)，利用 f (0) =1求得 c，由 f (x +1) - f (x) = 2x可求
得 a,b，即得答案；
（2）由題意可知 x2 - x +1 > m在區間 [-1,1]上恒成立，結合二次函數性質求出 f (x) 的最小值，
即可得答案.
【詳解】（1）由題意設 f (x) = ax2 + bx + c(a 0)，
由 f (0) =1得 c =1；
由 f (x +1) - f (x) = 2x得 a(x +1)2 + b(x +1) + c - ax2 - bx - c = 2x，
即 2ax + a + b = 2x恒成立，故 2a = 2, a + b = 0，
則 a =1,b = -1，
故 f (x) = x2 - x +1；
（2）由題意在區間[-1,1]上，函數 y = f (x) 的圖象恒在直線 y = m的上方，
即 x2 - x +1 > m在區間[-1,1]上恒成立，
2 1 2 3 1
由于 f (x) = x - x +1 = (x - ) + ，當 x [-1, ]時， f (x) 單調遞減；
2 4 2
當 x [
1 ,1]時， f (x) 單調遞增；
2
故當 x [-1,1]
1 3 3
時， f (x)min = f ( ) = ，故m < .2 4 4
3．（2024 高三·全國·專題練習）設函數 f (x) = x2 +1 - ax ，其中 a > 0．解不等式 f (x) 1；
【答案】答案見解析
ì a2 -1 x + 2a 0
【分析】由題知 x2 +1 1+ ax ，進而得 x 0 ，將問題轉化為 í ，再分
x 0
0 < a < 1，a 1兩種情況討論求解即可；
【詳解】因為 f (x) = x2 +1 - ax a > 0 ，不等式 f (x) 1等價于 x2 +1 1+ ax ，
又 x2 +1 1，所以1 1+ ax，即 ax 0，其中 a > 0，所以 x 0 ，
ìx2 +1 1+ ax 2
所以原不等式等價于 í ，
x 0
ì a2 -1 x + 2a 0
即 í ，
x 0
ì a2 -1 x + 2a 0 é 2a ù
所以當 0 < a < 1時，不等式組 í 的解集為 ê0, 2 ú；
x 0 1- a
ì a2 -1 x + 2a 0
當a

1時，不等式組 í 的解集為 0, + .
x 0
é 2a ù
綜上，當 0 < a < 1時，不等式 f (x) 1的解集為 ê0, ； 1- a2 ú
當a 1時，不等式 f (x) 1的解集為 0, + ；
ì x
, x…0
4．（2024 高三·全國·專題練習）已知 f(x)＝ í 2 求 f(f(x))≥1 的解集．
x
2 , x < 0
【答案】{x|x≥4 或 x≤－ }
【詳解】解：當 x≥0 時，f(x)＝ ≥0，所以 f(f(x))＝f( )＝ ≥1，解得 x≥4；當 x<0 時，f(x)＝
x2>0，所以 f(f(x))＝f(x2)＝ ≥1，解得 x≥ (舍去)或 x≤－ ．綜上，f(f(x))≥1 的解集為{x|x≥4
或 x≤－ }．
5．（2023·河南開封·模擬預測）已知函數 f x 滿足
2 f x + f 1- x = 3x2 + a - 2 x - 2a +1 x R ．
(1)討論 f x 的奇偶性；
(2)設函數 h x = x + ln é f x ù x 1 ，求證： 1, + y∣y = h x ．
【答案】(1)答案見解析；
(2)證明見解析.
【分析】（1）對已知等式中的 x 用1- x代換，得到新的等式，結合已知等式可求出 f (x) ，然
后分 a = 0和 a 0討論函數的奇偶性，
（2）由（1）知 h x = x + ln x2 + ax - a = ln éex x2 + ax - a ù ，則 x2 + ax - a > 0對 x 1,+
恒成立，得 a > -4 ，設函數M x = ex x2 + ax - a ，利用導數可求出函數的最小值得函數 h x
的值域，并求出最小的范圍，進而根據集合關系即可證明.
【詳解】（1）因為 2 f x + f 1- x = 3x2 + a - 2 x - 2a +1，
2 f 1- x + f x = 3(1- x)2所以 + a - 2 1- x - 2a +1，
根據以上兩式可得3 f x = 2 é 2 f x + f 1- x - 2 f 1- x + f x ù 2 = 3x + 3ax - 3a，
所以， f x = x2 + ax - a .
a = 0 f x = x2當 時， 為偶函數.
當 a 0時，因為 f -x = (-x)2 - ax - a = x2 - ax - a ，
所以 f (-x) f (x)， f (-x) - f (x)，
所以 f x 為非奇非偶函數.
（2）由（1）知 h x = x + ln x2 + ax - a = ln éex x2 + ax - a ù .
依題意得 x2 + ax - a > 0對 x 1,+ 恒成立.
a
當- 1，即 a -2時，12 + a - a > 0恒成立；2
a 2
當- >1，即 a < -2 a- 時， ÷ - a > 0，得-4 < a < -2 .2 è 2
故 a > -4 .
設函數M x = ex x2 + ax - a ，
則M x = ex éx
2 + a + 2 x ù = xe
x x + a + 2 .
因為 a > -4 ，所以-a - 2 < 2 .
①當-a - 2 1，即 a -3時，M x 0在 1, + 上恒成立，
故M x 在 1, + 上單調遞增，M x M 1 = e，則 h x lne =1，
即 h x 在 1, + 上的最小值為 1.
②當1 < -a - 2 < 2，即-4 < a < -3時，
因為當M x > 0時， x > -2 - a，當M x < 0時，1 x < -2 - a ，
所以M x 在 1, -2 - a 上單調遞減，在 -2 - a,+ 上單調遞增，
故M x M -2 - a = a + 4 e-2-a ，
則 h x ln é a + 4 e
-2-a
ù = -2 - a + ln a + 4 ，
即 h x 在 1, + 上的最小值為-2 - a + ln a + 4 .
ì1, a 3綜上，函數 h x 在 1, + 上的最小值 h(x)min = í
-2 - a + ln(a + 4), -4 < a 3
，
< -
所以，函數 h x 在 1, + 上的值域為 h(x)min ,+ ，
當-4 < a < -3，令 g a = -2 - a + ln a + 4 ，
g a 1 1 -a - 3則 = - + = > 0，故 g a 在 -4, -3 上單調遞增，
a + 4 a + 4
因為 g -3 = -2 + 3 + ln -3+ 4 =1，
所以， g a < g -3 =1，即函數 h x 在 1, + 上的最小值 h(x)min 1，
所以， 1, + y∣y = h x .
【點睛】關鍵點點睛：此題第（2）問解題的關鍵是由題意得 x2 + ax - a > 0對 x 1,+ 恒
x 2
成立，求出 a的范圍，然后構造函數M x = e x + ax - a ，利用導數求其最小值的取值范
圍即可證明.
拓展沖刺練
一、單選題
1．（2024 2高三·全國·專題練習）已知集合 A = x x - x -12 < 0 ， B = x R log2 5 - x <1 ，
則 R A I B =（ ）
A． x -3 < x 4 B． x -3 x < 4 C． x x 4 D． x 4 x < 5
【答案】D
【分析】分別解二次不等式，對數不等式化簡集合 A，B，后由補集，交集定義可得答案.
【詳解】由 x2 - x -12 < 0 ，得-3 < x < 4，所以 A = x -3 < x < 4 ；
由 log2 5 - x <1，得0 < 5 - x < 2，解得3 < x < 5，所以B = x 3 < x < 5 .
所以 R A = x x -3或 x 4 ，所以 R A B = x 4 x < 5 .
故選：D．
2．（23-24 高三下·陜西安康·階段練習）在區間 0，5 內隨機取一個實數 a，則關于 x 的不等式
x2 + 2 - a x - 2a < 0僅有 2 個整數解的概率為（ ）
2 3 1 1
A． B． C． D．
5 10 5 10
【答案】C
【分析】利用一元二次不等式解得 x -2, a ，可得區間 -2, a 內僅包含-1,0兩個整數，再
利用幾何概型概率公式可得結果.
2
【詳解】根據題意可得不等式 x + 2 - a x - 2a < 0等價于 x + 2 x - a < 0；
因為 a 0,5 ，所以不等式的解集為 -2, a ；
依題意可得區間 -2, a 內僅有兩個整數，即包含-1,0兩個整數，可得0 < a 1；
1- 0 1
由幾何概型概率公式可得其概率為P = = .
5 - 0 5
故選：C
3．（2023·福建廈門·二模）不等式 ax2 - 2x +1 > 0 （ a R ）恒成立的一個充分不必要條件是
（ ）
1
A． a > 2 B．a 1 C． a > 1 D．0 < a <
2
【答案】A
【分析】分 a = 0和 a 0兩種情況討論求出 a的范圍，再根據充分條件和必要條件的定義即
可得解.
1
【詳解】當 a = 0時，-2x +1 > 0，得 x < ，與題意矛盾，
2
ìa > 0
當 a 0時，則 í ，解得 a > 1Δ 4 4a 0 ， = - <
綜上所述， a > 1，
所以不等式 ax2 - 2x +1 > 0 （ a R ）恒成立的一個充分不必要條件是 A 選項.
故選：A.
4 3 2．（2023·全國·模擬預測）已知函數 f x = x + sin x，若不等式 f x - ax + 2 0 恒成立，
則實數 a 的最大值為（ ）
A． 2 B．2 C． 2 2 D．4
【答案】C
【分析】先根據導函數結合余弦函數的范圍得出函數單調遞增.又 f 0 = 0，根據已知可推
得 x2 - ax + 2 0恒成立，得出D 0，求解即可得出答案.
【詳解】由題， f x = 3x2 + cos x ，
π π
當 x
é- , ùê 時， cos x 0恒成立， f x > 0； 2 2 ú
x π π當 - ,- ÷或 x ,+

÷ 時，-1 cos x 1，3x2 >1，所以 f xè 2 2 > 0．è
所以 f x 在 R 上單調遞增．
又 f 0 = 0，
f x2所以由 - ax + 2 0 2恒成立，可得 f x - ax + 2 f 0 恒成立，
即 x2 - ax + 2 0恒成立，
故D = a2 -8 0，得-2 2 a 2 2 ，所以 a 的最大值為 2 2 ．
故選：C.
二、多選題
r r r r
5．（2023·全國·模擬預測）已知平面向量 a,b滿足 | a |= 2 ， | b |= 4，且對任意的實數 t ，都有
r
b + tar r b - a 恒成立，則下列結論正確的是（ ）
r r r r rA． 4a - b 與b 垂直 B． (3a
r
+ b) ×b = 27
lar 1
r r r r
C． - b + la
r b r r 1- 的最小值為 21 D． la - b - la - b 的最大值為4 2 2 2
【答案】AC
r
b tar r【分析】根據題中條件，結合向量的運算法則，不等式 + b - a ，可化為
1 r r
t 2 + 4t cosq + 4cosq -1 0，利用D 0，可求得 cosq = ，故可求得 a ×b 的值，繼而可判斷2
r r r 1 r r r r r r 1 r
出 A,B；設 a = (2,0)，b = (2, 2 3) ，用坐標表達 la - b + la - b 及 la - b - la - b ，結4 2
合結果的幾何意義即可求得最值，繼而判定 C,D.
r r r r r 2 r 2
【詳解】由 b + ta b - a 恒成立得 b + ta | b - a | ，
r r r r
即b 2 + 2tar ×b + t 2ar2 b 2 - 2ar ×b + ar2恒成立，
r r
因為 | a |= 2 ， | b |= 4，
r r
設 a,b夾角為q ，則 t 2 + 4t cosq + 4cosq -1 0恒成立，
所以Δ = (4cosq )2 - 4(4cosq -1) 0，
即 4cos2 q - 4cosq +1 0，
所以 (2cosq -1)2 0 ，則 cosq
1
= ，
2
r r r
所以 a ×b a
r b 1= = 4，
2
r r r r
所以 (4ar - b) ×b = 4ar ×b - b 2 = 4 4 -16 = 0，
r r r
所以 4a - b 與b 垂直，A 正確；
r r r r r r(3a + b) ×b = 3a ×b + b 2 = 3 4 +16 = 28，B 不正確；
r r
設 a = (2,0)，b = (2, 2 3) ，
lar 1
r 1 3 1 3
則 - b = (2l,0) - ( , ) = (2l - ,- )，
4 2 2 2 2
r rla - b = (2l,0) - (2, 2 3) = (2l - 2, -2 3)
r 1 r r rla b la b (2l 1)2 ( 3所以 - + - = - + - )2 + (2l - 2)2 + (-2 3)2
4 2 2
2( (l 1= - )2 + (0 3+ )2 + (l -1)2 + (0 - 3)2 ) ，
4 4
1 3
其幾何意義是 A(l,0)與 B( ,- )和C(1, 3)連線的距離之和的 2 倍，
4 4
3 5 3
當三點共線時取得最小值，最小值為 2 | BC |= 2 ( )2 + ( )2 = 21，C 正確；
4 4
r r lar 1
r
la - b = (2l - 2,-2 3) ， - b = (2l,0) - (1, 3) = (2l -1, - 3)，
2
r r rla - b r 1- la - b = (2l - 2)2 + (-2 3)2所以 - (2l -1)2 + (- 3)2
2
= 2( (l -1)2 1 3+ (- 3)2 - (l - )2 + (- )2 )
2 2
A(l,0) C(1, 3) D(1 , 3其幾何意義是 與 和 )連線的距離之差的 2 倍，
2 2
1
2 3
當三點共線時最得最大值，最大值為 2 CD = 2 1-

÷ + 3 - ÷
è 2 2 ÷
= 2，D 不正確，
è
故選：AC.
6．（23-24 2高三上·遼寧葫蘆島·階段練習）若關于 x 的不等式 x + 7a < 7 + a x的解集恰有 50
個整數元素，則下列各選項正確的是（ ）
A． a的值可能為-43
B．這 50 個整數元素之和可能為-925
C． a的值可能為 57.5
D．這 50 個整數元素之和可能為 1625
【答案】BCD
【分析】考慮 a = 7， a < 7， a > 7，解不等式，再根據解集恰有 50 個整數元素，計算得到
答案.
2
【詳解】不等式 x + 7a < 7 + a x等價于不等式 x - a x - 7 < 0 .
當 a = 7時， x - a x - 7 < 0的解集為 ，不合題意；
當 a < 7時， x - a x - 7 < 0的解集為 a,7 ，則 50 個整數解為-43, -42,L,5,6，
-43 + 6 50
所以-44 a < -43，這 50 個整數元素之和為 = -925；
2
當 a > 7時， x - a x - 7 < 0的解集為 7,a ，則 50 個整數解為8,9,L,56,57 ，
8 + 57 50
所以57 < a 58 ，這 50 個整數元素之和為 =1625 .
2
綜上所述： a的取值范圍是 -44, -43 U 57,58 ，這 50 個整數元素之和為-925 或 1625.
故選：BCD.
三、填空題
7．（2022 高三上·河南·專題練習）已知 p : x -1 < 1， q : x2 - a +1 x + a 0，若 p 是q的必要不
充分條件，則實數 a的取值范圍是 ．
【答案】 0,2
【分析】先對 p 求解得 p : 0 < x < 2，對q化簡得 q : x -1 x - a 0，再結合 p 是q的必要不
充分條件，對 a進行分類討論，即可求解.
【詳解】
由 x -1 <1，解得0 < x < 2，所以 p : 0 < x < 2，
對于 q : x2 - a +1 x + a 0，即 x -1 x - a 0 ，
若 a > 1，解得1 x a ，要使 p 是q的必要不充分條件，則 a < 2，所以1 < a < 2 ；
若a < 1，解得 a x 1，要使 p 是q的必要不充分條件，則 a > 0，所以 0 < a < 1；
若 a =1，則q為{x | x =1}，符合題意，所以實數 a的取值范圍是 0,2 .
故答案為： 0,2 .
8．（23-24 高三上·江蘇·階段練習）已知二次函數 y = ax -1 x - a ．甲同學： y > 0的解集
為 1- ,a U ,+

÷ ；乙同學： y
1
< 0 的解集為 - ,a U ,+
a ÷
；丙同學：y 的對稱軸大于
è è a
零．在這三個同學的論述中，只有一個假命題，則 a 的范圍為 ．
【答案】 0 < a < 1
【分析】利用二次函數的性質分別分析甲乙丙三位同學的論述，從而得解.
1
【詳解】若甲正確，則 a > 0且 > a，即a2 < 1，則 0 < a < 1；a
0 a 1若乙正確，則 a< 且 < ，即 a2 > 1，則 a < -1；
a
a2 +1
若丙正確，則二次函數的對稱軸方程 x = > 0 ，可得 a > 0；
2a
因為只有一個同學的論述為假命題，所以只能乙的論述錯誤，故 0 < a < 1 .
故答案為： 0 < a < 1
9．（2024 高三·全國·專題練習）已知函數 f (x) = x2 + ax + b，若對任意 x 1,5 , f x 2，
則所有滿足條件的有序數對 a,b 是 ．
【答案】 (-6,7)
ì-2 f (1) 2

【分析】由題意可得 í-2 f (3) 2，然后利用不等式的性質對不等式組變形可求得結果.

-2 f (5) 2
【詳解】因為 f (x) = x2 + ax + b對任意 x [1,5], | f (x) | 2，
ì-2 f (1) 2

所以必須滿足 í-2 f (3) 2，

-2 f (5) 2
ì -2 1+ a + b 2

即 í -2 9 + 3a + b 2 ，

-2 25 + 5a + b 2
ì-2 -1- a - b 2
由 í ，得-4 8 + 2a 4，
-2 9 + 3a + b 2
解得-6 a 2，①，
ì-2 -9 - 3a - b 2
再由 í ，得-4 16 + 2a 42 25 5a b 2 ， - + +
解得-10 a -6，②，
由①②得 a = -6 ，
ì -2 1- 6 + b 2 ì 3 b 7

所以 í -2 9 -18 + b 2

，即 í7 b 11，解得b = 7 ，

-2 25 - 30 + b 2 3 b 7
2
經檢驗，當 a = -6 ，b = 7 時， f x = x2 - 6x + 7 = x - 3 - 2，則
f (x) 的最大值為 f (1) = f (5) = 2 ， f (x) 的最小值為 f (3) = -2，
滿足任意 x [1,5], | f (x) | 2，
所以滿足條件的有序數對 (a , b ) 只有一對 (-6,7)，
故答案為： (-6,7) .
10．（23-24 高三上·全國·階段練習）對任意的 x R ，不等式
2 2x - 7x +14 m x2 - 6x +13 x2 - 8x +17 恒成立，則實數m 的取值范圍為 ．
1 ù
【答案】 - ,
è 2 ú
【分析】設u = x2 - 6x +13 = x - 3 2 + 4 4 ， v = x2 -8x +17 = x - 4 2 +1 1，將不等式恒成
é u + v - 2 2 ùm ê ú u + v - 2
2
立問題轉化成 ，構造
4uv f v = ，根據單調性求最值.ê ú 4uvmin
2
【詳解】設u = x2 - 6x +13 = x - 3 + 4 4 ，
v = x2 -8x +17 = x - 4 2 +1 1，
x2 7x 14 1則 - + = u + v - 2 ，
2
2
則 x2 - 7x +14 m 2 1 2x - 6x +13 x2 -8x +17 恒成立可化為 u + v - 2 muv恒成立，4
u + v - 2 2 é u + v - 2m
2 ù
即m 恒成立，故 ê ú ，
4uv ê 4uv úmin
u + v - 2
2 v2 + 2 u - 2 v + u - 2 2 1 é u - 2 2 ù
設 f v = = = êv + + 2 u - 2 ú，
4uv 4uv 4u ê v ú
易知 f v 在1< v < u - 2時遞減，在 v > u - 2時遞增，
f v f u 2 u - 2所以 = - = =1 2- = g umin ，u u
而 g u 1顯然在u 4時單調遞增，所以 g u = g 4 =min ，2
m 1
ìu = 4
故 ，當且僅當 í 時，即 x = 3時，等號成立，2 v = 2
1 ù
所以實數m 的取值范圍為 - ,
è 2 ú
.

【點睛】方法點睛：本題將恒成立問題轉化成求最值問題，然后采用雙換元和輪流作主法求
最值.
四、解答題
11．（23-24 2高三上·福建莆田·階段練習）解關于 x 的不等式： ax - a + 2 x + 2 < 0 a R .
【答案】答案見詳解
【分析】討論 a = 0, a > 0, a < 0時，分別解出不等式即可.
【詳解】若 a = 0，不等式化為-2x + 2 < 0，解得 x >1；
不等式的解集為{x | x >1}；
若 a 0，則不等式化為 (ax - 2)(x -1) < 0，
且 (ax - 2)(x -1) = 0
2
時， x1 = , x2 =1，a
①若 a > 0，
2
則若 >1，即0 < a < 2 2時，原不等式的解集為{x |1 < x < }；
a a
2
若 =1，即 a = 2時，原不等式的解集為 ；
a
2 2
若 < 1，即 a > 2時，原不等式的解集為{x | < x <1}；
a a
2
②若 a<0，則 < 1，
a
且不等式變化為 (-ax + 2)(x -1) > 0，
解得 x >1或 x
2
< ，
a
ìx x 1 x 2< ü原不等式的解集 í 或 ；
a
綜上所述，當 a<0時，不等式的解集為{x | x > 1 ìíx x 1或x
2
< ü；
a


當 a = 0，不等式的解集為{x | x >1}；
當0 < a < 2 時，不等式的解集為{x |1 < x 2< }；
a
當 a = 2時，不等式的解集為 ；
2
當 a > 2時，不等式的解集為{x | < x <1}；
a
12．（2024 2高三·全國·專題練習）設函數 f x = mx - mx -1．
(1)若對于一切實數 x ， f (x) < 0恒成立，求實數m 的取值范圍；
(2)若對于 x 1,3 ， f (x) < -m + 5恒成立，求實數m 的取值范圍．
【答案】(1) -4,0
ì
(2) ím | m
6
< ü
7
【分析】（1）分m = 0和m 0 兩類情況，當m = 0時采用驗證法即可；當m 0 時根據一元
二次不等式和二次函數之間的關系建立不等式組即可求出實數m 的取值范圍.
6 6
（2）方法一：先利用分離參數法得出m < 2 ；再求出函數 y = 在[1,3]上的最x - x +1 x2 - x +1
2
小值即可求解. 1 3方法二：先將問題轉化為m x - ÷ + m - 6 < 0 在 x 1,3 上恒成立；再分類
è 2 4
1 2
討論，利用函數的單調性求出函數 g x = m x
3- ÷ + m - 6, x 1,3 的最大值即可求解.
è 2 4
【詳解】（1）要使mx2 - mx -1 < 0恒成立，
若m = 0，顯然-1 < 0；
ìm < 0
若m 0 ，則 íΔ m2 4m 0，解得
-4 < m < 0 ．
= + <
綜上：實數m 的取值范圍是 -4,0 ．
（2）方法一：
由 f (x) < -m + 5得：mx2 - mx -1 < -m + 5 2，即m x - x +1 - 6 < 0 .
2
因為 x2
6
- x +1 = x
1 3- + > 0，所以m < ．
è 2 ÷ 2 4 x - x +1
因為函數 y = x2 - x +1在[1,3]上單調遞增，
y 6 6= =
所以函數 x2 - x +1 2 1 3 在[1,3]上單調遞減，
x - +
è 2 ÷ 4
y 6= 6
當 x = 3 2時，函數 x 1- 3 在
[1,3]
+ 上取得最小值，最小值為 ， 2 ÷ 4 7è
6 ì 6 ü
所以只需m < 即可，所以m 的取值范圍是 ím | m <7
．
7
方法二：
2
由 f (x) < -m + 5 1 3，得mx2 - mx -1 < -m + 5，即m x - 2 ÷
+ m - 6 < 0 .
è 4
2
1 3
令 g x = m x - ÷ + m - 6, x 1,3 ，
è 2 4
當m > 0時， g(x)在[1,3]上是增函數，
則 g x = g 3 = 7m - 6 < 0 m 6max ，解得 < ，所以0 < m
6
< ；
7 7
當m = 0時， g x = -6 < 0恒成立；
當m < 0時， g(x)在[1,3]上是減函數，
則 g x = g 1 = m - 6 < 0max ，解得m < 6，所以m < 0．
ì 6 ü
綜上所述，m 的取值范圍是 ím | m < 7 ．
1
13 2．（2023·陜西咸陽·模擬預測）已知函數 f (x) = x - 3x + 2ln x .
2
(1)求曲線 y = f (x) 在點 (1, f (1))處的切線方程;
(2)（ⅰ）若對于任意 x1, x2 [1,3]，都有 f (x1) - f (x2 ) 2m - 2，求實數m 的取值范圍;
（ⅱ）設 g(x) = f (x)
1 x2 7+ ，且 g(x1) + g(x2 ) = 0 ，求證: x1 + x2 > .2 2
5
【答案】(1) y = -
2
(2)（ⅰ）m ln
3 3
+ ；（ⅱ）證明見解析
2 4
【分析】（1）運用導數幾何意義求得切線斜率，進而求得切線方程.
（2）（ⅰ）運用導數求 f (x) 的最值，代入解不等式即可.（ⅱ）運用導數研究 h(t) = 2t - 2ln t
在 (0, + )上的最小值，進而解關于 x1 + x2 的一元二次不等式即可.

【詳解】（1）由已知得 f (x) x 3
2 5
= - + ，切點 (1, - )，
x 2
則切線斜率 k = f (1) = 0，
5
所以切線方程為 y = - .
2
（2）（ⅰ）依題意知，只要 f x - f x 2m - 2 x [1,3]max min ， ，
2
因為 f (x) x 2 x - 3x + 2 (x -1)(x - 2）= - 3 + = = ，
x x x
f (x) < 0 1< x < 2， f (x) > 0 2 < x < 3，
所以 f (x) 在[1,2)遞減，在 (2,3]遞增，
所以 f (x)max = max{ f (1), f (3)} max{
5 ,2 ln 3 9} 2ln 3 9= - - = - ， f (x)min = f (2) = 2ln 2 - 4，2 2 2
所以 2m - 2 2ln 3
9
- - (2 ln 2 - 4) = 2ln 3 1- ，
2 2 2
m ln 3 3解得： + .
2 4
（ⅱ）證明：因為 g(x) = x2 - 3x + 2ln x ，定義域為 (0, + )，
由 g(x1) + g(x
2
2 ) = 0 得 x1 + x
2
2 - 3(x1 + x2 ) + 2(ln x1 + ln x2 ) = 0，
即 (x 21 + x2 ) - 3(x1 + x2 ) = 2x1x2 - 2ln(x1x2 )，
令 t = x1x2 > 0
令 h(t) = 2t - 2ln t t 0 h (t)
2(t -1)
， > ，則 = ，
t
h (t) > 0 t >1， h (t) < 0 0 < t <1，
所以 h(t)在( 0, 1)上單調遞減，在 (1, + )上單調遞增，
所以 h(t) h(1) = 2，
所以 (x1 + x2 )
2 - 3(x1 + x2 ) = 2x1x2 - 2ln(x1x2 ) 2
2
即 (x1 + x2 ) - 3(x1 + x2 ) - 2 0 ，
又因為 x1, x2 > 0，
所以 x 3 + 17 71 + x2 > ，即 x1 + x
7
2 > .2 2 2
【點睛】運用導數證明不等式策略
（1）將不等式轉化為函數的最值問題，
（2）將不等式轉化為兩個函數的最值進行比較，
（3）適當放縮證明不等式.
2x
14．（23-24 高三上·天津南開· a - b期中）設函數 f (x) = x (a > 0, 且a 1)是定義域為R 的奇a
函數，且 y = f (x)
3
的圖象過點 1, 2 ÷ .è
(1)求 a，b 的值；
(2)設 g(x) = (x - p)(x - q)2 , p < q，若"x R, f (-g(x)) + f mxg (x) 0 （ g (x) 為函數 g(x)的
導數），試寫出符合上述條件的函數 g(x)的一個解析式，并說明你的理由．
【答案】(1)2
(2) g(x) = (x +1)x2 ，理由見解析
【分析】（1）根據奇函數的定義和過定點，代入即可；
（2）結合奇函數和單調性性，可化為mxg (x) g(x) 對"x R 恒成立，整理的
(x - q) (1- 3m)x2 + [m(2 p + q) - ( p + q)x]+ pq 0 1，分m 1與m = 3討論即可.3
【詳解】（1）因為 f (x) 是定義域為R 的奇函數，
-2x 2x
所以 f (-x) = - f (x)
a - b a - b
，即 = - ，
a- x a x
(b -1) a x + a- x整理得 = 0 ，解得b =1，
所以 f (x) = a x - a- x ，
又 y = f (x) 的圖象過點 1,
3
2 ÷，è
a - a-1 3 1則 = ，解得 a = 2或 a = - ，
2 2
又 a > 0，且a 1，
所以 a = 2．
（2）因為 f (x) 為奇函數，
所以 f (-g(x)) + f mxg (x) 0，得 f mxg (x) f (g(x)) ．
由（1）可得， f (x) = 2x - 2- x ，
因為 f (x) = 2x + 2- x ln 2 > 0，
所以 f (x) 為R 上的單調遞增函數，
所以mxg (x) g(x) 對"x R 恒成立．
因為 g(x) = (x - p)(x - q)2 ， g (x) = (x - q)2 + 2(x - p)(x - q)，
所以mx(x - q)(3x - 2 p - q) (x - p)(x - q)2 ，
整理得 (x - q) (1- 3m)x2 + [m(2 p + q) - ( p + q)x]+ pq 0 ，*
當m
1
時，左邊是一個一次因式乘一個恒正（或恒負）的二次三項式，
3
或者是三個一次因式的積，
無論哪種情況，總有一個一次因式的指數是奇次的，這個因式的零點左右的符號不同，
1
因此不可能恒非負，所以m = 3．
所以*式化為 (x - q)[-( p + 2q)x + 3pq] 0恒成立，
p 2q 0, q 3pq所以 + < = p + 2q ．
①若 q = 0，則 p < 0；
3p
②若 q 0，則 =1p 2q ，即
p = q ，與 p < q 矛盾，舍去．
+
m 1綜上， = , p < 0, q = 0，
3
所以 g(x) = (x +1)x2 為滿足條件的 g(x)的一個解析式．（答案不唯一）考點 05 一元二次方程、不等式（2 種核心題型+基礎保分練+
綜合提升練+拓展沖刺練）
【考試提醒】
1. 會從實際情景中抽象出一元二次不等式.
2. 結合二次函數圖象，會判斷一元二次方程的根的個數，以及解一元二次不等式.
3.了解簡單的分式、絕對值不等式的解法．
【知識點】
1．二次函數 y＝ax2＋bx＋c(a>0)與一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式 ax2＋bx＋
c>0(a>0)的解的對應關系
判別式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函數的圖象
有兩個相等的實數根
有兩個不相等的實數
方程的根 b 沒有實數根
根 x1，x2(x1b
不等式的解集 {x|x≠－ } R
2a
2．分式不等式與整式不等式
f x
(1) >0(<0) ；
g x
f x
(2) ≥0(≤0) .
g x
3．簡單的絕對值不等式
|x|>a(a>0)的解集為 ，|x|0)的解集為 ．
【核心題型】
題型一　一元二次不等式的解法
對含參的不等式，應對參數進行分類討論，常見的分類有
(1)根據二次項系數為正、負及零進行分類．
(2)根據判別式 Δ 與 0 的關系判斷根的個數．
(3)有兩個根時，有時還需根據兩根的大小進行討論．
命題點 1　不含參數的不等式
【例題 1】（2024·青海·一模）已知集合 A = x y = lg -x2 + 2x + 3 2，B = x x - 4 < 0 ，則
A B =（ ）
A． -1,3 B． -1,2 C． -2,3 D． -2,2
【變式 1】（2024·全國· 2模擬預測）已知集合M = x | x - 6x + 8 < 0 , N = {x |1 < x 3}，則
M N =（ ）
A．{x | 2 x 3} B．{x | 2 < x 3} C．{x | 2 < x 4} D．{x |1 < x 3}
【變式2】（2024·山東濟寧·一模）設集合 A = x | x2 - x - 6 < 0 ，B = {x | -a x a}，若 A B ，
則實數 a的取值范圍是 ．
【變式 3】（2024·安徽合肥·一模）已知集合 A = x∣x2 4 , B = x∣a -1 x a +1 ，若
A B = ，則 a的取值范圍是 .
命題點 2　含參數的一元二次不等式
【例題 2】（2024·云南紅河·二模）已知 a,b
1 1
均為正實數，則“ > ”是“
a b a
2 + 2b2 > 3ab ”的
（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式 1】（23-24 高三下·陜西安康·階段練習）在區間 0，5 內隨機取一個實數 a，則關于 x
2
的不等式 x + 2 - a x - 2a < 0僅有 2 個整數解的概率為（ ）
2 3 1 1
A． B． C． D．
5 10 5 10
ìex - ax2 , x > 0
【變式 2】（2023·江西南昌·三模）函數 f (x) = í ，若關于 x 的不等式
-x
2 + (a - 2)x + 2a, x 0
f (x) 0的解集為[-2,+ )，則實數 a的取值范圍是（ ）
-2, e ù é0, e ù
é e2 ù é 2
A． ú B． ê ú C． ê0, ú D．{0}U
e
ê ,+ ÷
è 2 2 4 4
【變式 3】．（2023· 2湖南·模擬預測）若關于 x 的不等式 x + 7a < 7 + a x的解集恰有 50 個整
數元素，則 a 的取值范圍是 ，這 50 個整數元素之和為 ．
題型二　一元二次不等式恒成立問題
恒成立問題求參數的范圍的解題策略
(1)弄清楚自變量、參數．一般情況下，求誰的范圍，誰就是參數．
(2)一元二次不等式在 R 上恒成立，可用判別式 Δ；一元二次不等式在給定區間上恒成立，
不能用判別式 Δ，一般分離參數求最值或分類討論．
命題點 1　在 R 上恒成立問題
【例題 3】（2024· 2浙江·模擬預測）若不等式 kx + k - 6 x + 2 > 0的解為全體實數，則實數 k
的取值范圍是（ ）
A． 2 k 18 B．-18 < k < -2
C． 2 < k <18 D．0 < k < 2
【變式 1】（23-24 高三上·河南·期中）“關于 x 的不等式 2a - 3 x2 - 2a - 3 x + 4 0的解集為
3
R ”是“ < a < 9 ”的（
2 ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式 2】（2023·福建廈門·二模）“ b 0,4 ”是“ "x R ，bx2 - bx +1 > 0成立”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式 3】（23-24 高三上·河北邢臺·階段練習）“不等式 ax2 + 2ax -1< 0恒成立”的一個充分不
必要條件是（ ）
A．-1 a < 0 B． a 0
C．-1 < a 0 D．-1 < a < 0
命題點 2　在給定區間上恒成立問題
【例題 4】（2023·浙江寧波· 2一模）已知函數 f x = x + ax + b，若不等式 f x 2 在 x 1,5
上恒成立，則滿足要求的有序數對 (a , b ) 有（ ）
A．0 個 B．1 個 C．2 個 D．無數個
é1 ù 2
【變式 1】（2023·陜西咸陽·模擬預測）已知命題 p ：任意 x ê , 2ú ，使 log2 x - m × log2 x - 3 0 2
為真命題，則實數m 的取值范圍為（ ）
A． - , 2 B． - , -2 C． -2,2 D． -2, +
【變式 2】（2023·遼寧鞍山·二模）已知當 x > 0時，不等式： x2 - mx +16 > 0恒成立，則實數
m 的取值范圍是（ ）
A． -8,8 B． - ,8 C． - ,8 D． 8,+
【變式 3】（2024·全國·模擬預測）已知函數 f (x) = x2 + ax + b，若對任意 x [1,5], f (x) 2，
則所有滿足條件的有序數對 (a , b ) 是 ．
命題點 3　在給定參數范圍內的恒成立問題
【例題 5】（23-24 高三上·河南信陽·階段練習）若mx2 -1< 0對于m 0,2 恒成立，則實數 x
的取值范圍為 ．
【變式 1】（2024 高三·全國·專題練習）設函數 f (x) 是定義在 (- , + )上的增函數．若不等
式 f 1- ax - x2 < f (2 - a)對于任意a [0,1]恒成立，求實數 x 的取值范圍.
【變式 2】（22-23 高三上·山東濰坊·階段練習）若對于任意m -1,1 ，任意 y R ，使得不
2
等式 x + 3- m x - 6 < y -1 + y - 3 成立，則實數 x 的取值范圍是 ．
【變式 3】（2023 高三·全國·專題練習）若不等式 2x -1 > m x2 -1 對任意m -1,1 恒成立，
實數 x 的取值范圍是 .
【課后強化】
基礎保分練
一、單選題
1 2．（2024 高三·全國·專題練習）已知集合 A = x x - 4x - 5 0 , B = x a - 3 < x < a + 4 ，若
A U B = R，則實數 a的取值范圍為（ ）
A． a a >1 B． a 1 < a < 2
C． a a < 2 D． a 1 a 2
2．（2024·浙江·模擬預測）若不等式 kx2 + k - 6 x + 2 > 0的解為全體實數，則實數 k 的取值
范圍是（ ）
A． 2 k 18 B．-18 < k < -2
C． 2 < k <18 D．0 < k < 2
1 1
3．（2024·云南紅河·二模）已知 a,b均為正實數，則“ > ”是“ a2 + 2b2 > 3ab ”的（ ）a b
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
4．（2024 2高三·全國·專題練習）若不等式 a - 2 x + 2 a - 2 x - 4 < 0 對一切 x R 恒成立，
則實數 a 的取值范圍是（ ）
A． - , 2 B． -2,2
C． -2,2 D． - , -2
5．（23-24 高三下·湖南衡陽·階段練習）條件 p 是q的充分不必要條件是（ ）
A．函數 y = f (x) 定義域為A ， p ： f (x) 0在 A 上成立. q： y = f (x) 為增函數；
B． p
1
："x R, x2 - 3x + a > 0成立，q： a + 最小值為 4；
a - 2
1 1
C．p:函數 f (x) = 24ax2 + 4x -1在區間 (-1,1)恰有一個零點，q: - < a < ；
8 4
D．p:函數 f (x) = cos 2x cosj + sin 2x sinj 為偶函數（ x R ），q:j = kπ(k Z)
6．（2024 高三·全國·專題練習）已知 a ,b R 且 ab 0，若 x - a x - b x - 2a - b 0在 x 0
上恒成立，則（ ）
A． a < 0 B． a > 0 C．b < 0 D．b > 0
二、多選題
1．（23-24 高三上·湖南邵陽·階段練習）已知 a > 0，b > 0，且 a + 2b = 7 ，若 a2 + 3b2 t 恒成
立，則實數 t 的值可能為（ ）
A．20 B．21 C．49 D．50
2．（2024 高三·全國·專題練習）(多選)下列命題正確的是（ ）
A．若不等式 ax2＋bx＋c<0 的解集為(x1，x2)，則必有 a>0
B．若方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)沒有實數根，則不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集為 R
C．不等式 ax2＋bx＋c≤0 在 R 上恒成立的條件是 a<0 且 Δ＝b2－4ac≤0
D．若二次函數 y＝ax2＋bx＋c 的圖象開口向下，則不等式 ax2＋bx＋c<0 的解集一定不是
空集
三、填空題
1．（23-24 高三下·上海·階段練習）設 a > 0，若關于 x 的不等式 x2 - ax < 0的解集是區間 0,1
的真子集，則 a的取值范圍是 ．
2．（23-24 高三下·河北保定·開學考試）已知集合 A = x log2 3- x < 2 , B = x x 5 - x - 4 0 ，
則 AI B = .
四、解答題
1．（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x = 2x - a ，且 f x b 的解集為 -1,3 ．
(1)求 a和b 的值；
(2)若 f x x - t 在 -1,0 上恒成立，求實數 t 的取值范圍．
2．（2024 高三·全國·專題練習）（1）解關于實數 x 的不等式： x2 - (a +1)x + a < 0 ．
（2）解關于實數 x 的不等式： x2 - ax +1 < 0．
3．（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x = 2x +1 ．
(1)求不等式 f x - f x -1 >1的解集；
(2)若 h x = f x + f x -1 ，且存在 x R 2使不等式 a + 2a -1 h x 成立，求實數 a的取值
范圍．
綜合提升練
一、單選題
1．（2023·遼寧鞍山·二模）若對任意的 x (0,+ ), x2 - mx +1 > 0 恒成立，則 m 的取值范圍是
（ ）
A． (-2,2) B． (2,+ ) C． (- ,2) D． (- , 2]
2．（2023 高三·全國·專題練習）已知命題 p：“ x∈ R ，(a＋1)x2－2(a＋1)x＋3>0”為真命題，
則實數 a 的取值范圍是（ ）
A．－1C．a<－1 D．－1≤a<2
3．（2024·陜西西安·模擬預測）已知集合 A = x N∣y = 6 - 2x ，B = y∣y2 - 4 0 ，則集
合 A B 中元素的個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
é1 ù
4．（23-24 高三上·重慶長壽·期末）已知函數 f (x) = ax2 - 2x + a，對 x ê , 2 都有 f (x) 0 2 ú
成立，則實數 a的取值范圍是（ ）
1, 4 4+ é ,+ é ,1ù 4 ùA． B． ê C． D．5 ÷ ê5 ú - , è 5 ú
5．（23-24 2高三上·內蒙古通遼·階段練習）已知命題 p : $x0 R， x0 + a -1 x0 +1< 0 ，若命
題 p 是假命題，則 a的取值范圍為（ ）
A．1 a 3 B．-1 < a < 3
C．-1 a 3 D．0 a 2
6．（23-24 高三下·山東菏澤· 2階段練習）已知條件q：“不等式 a - 4 x2 + a + 2 x -1 0的解
集是空集”，則條件 p ： “ -2 a <1”是條件q的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
1
7．（2024·天津河西·一模）“ x2 x ”是“ 1”的（x ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
8．（2023·廣東廣州·三模）定義max p, q ì
p, p q
= í ，設函數 f x = max 2 x - 2, x2 - 2ax + aq, p < q ，
若$x R 使得 f x 0 成立，則實數 a 的取值范圍為（ ）．
A． - ,0 U 1, + B． -1,0 1, +
C． - , -1 1,+ D． -1,1
二、多選題
1．（23-24 高三上·浙江紹興·期末）已知 a R ，關于 x 的一元二次不等式 ax - 2 x + 2 > 0
的解集可能是（ ）
ì 2
A． íx x > 或 x < -2 B． x x > -2
a
ì
C． íx -2 < x
2 ü ì
< D． íx
2 x 2ü< < -
a a


2．（2024·廣東深圳·模擬預測）下列說法正確的是（ ）
ì 1 ü
A．不等式 4x2 - 5x +1 > 0的解集是 íx x > 或x <1
4


ì 3 ü
B．不等式 2x2 - x - 6 0的解集是 íx x - 或x 2
2


C．若不等式 ax2 + 8ax + 21 < 0 恒成立，則 a 的取值范圍是
1
D．若關于 x 的不等式 2x2 + px - 3 < 0的解集是 q,1 ，則 p + q 的值為-
2
3 2．（22-23 高三上·河北唐山·階段練習）若 ax - 4 x + b 0對任意 x - ,0 恒成立，其中
a ，b 是整數，則 a+b 的可能取值為（ ）
A． -7 B．-5 C．-6 D． -17
三、填空題
ìx2 + 2x + a - 2, x 01．（2024 高三 ·全國 ·專題練習）已知 a R ，函數 f x = í 若對任意
-x
2 + 2x - 2a, x > 0
x –3, + ， f x x 恒成立，則 a 的取值范圍是 ．
2．（23-24 高三上· 2 2河南·階段練習）若命題“ $x R， a -1 x + a -1 x -1 0 ”為假命題，則
a的取值范圍為 .
3．（23-24 高三下·上海閔行·階段練習）設集合 A = {x | 4x2 1}， B = {x | lnx < 0}，則 AI B = .
四、解答題
1．（2024 高三·全國·專題練習）已知集合 A＝{x|x2－4x－5≤0}，B＝{x|2x－6≥0}，M＝A∩B.
(1)求集合 M；
(2)已知集合 C＝{x|a－1≤x≤7－a，a∈R}，若 M∩C＝M，求實數 a 的取值范圍．
2．（23-24 高三上·河南南陽·階段練習）二次函數 f (x) 滿足 f (x +1) - f (x) = 2x，且 f (0) =1
(1)求 f (x) 的解析式；
(2)在區間[-1,1]上，函數 y = f (x) 的圖象恒在直線 y = m的上方，試確定實數 m 的取值范
圍．
3．（2024 高三·全國·專題練習）設函數 f (x) = x2 +1 - ax ，其中 a > 0．解不等式 f (x) 1；
ì x
, x…0
4．（2024 高三·全國·專題練習）已知 f(x)＝ í 2 求 f(f(x))≥1 的解集．
x
2 , x < 0
5．（2023·河南開封·模擬預測）已知函數 f x 滿足
2 f x + f 1- x = 3x2 + a - 2 x - 2a +1 x R ．
(1)討論 f x 的奇偶性；
(2)設函數 h x = x + ln é f x ù x 1 ，求證： 1, + y∣y = h x ．
拓展沖刺練
一、單選題
1 2．（2024 高三·全國·專題練習）已知集合 A = x x - x -12 < 0 ， B = x R log2 5 - x <1 ，
則 R A I B =（ ）
A． x -3 < x 4 B． x -3 x < 4 C． x x 4 D． x 4 x < 5
2．（23-24 高三下·陜西安康·階段練習）在區間 0，5 內隨機取一個實數 a，則關于 x 的不等式
x2 + 2 - a x - 2a < 0僅有 2 個整數解的概率為（ ）
2 3 1 1
A． B． C． D．
5 10 5 10
3．（2023·福建廈門·二模）不等式 ax2 - 2x +1 > 0 （ a R ）恒成立的一個充分不必要條件是
（ ）
1
A． a > 2 B．a 1 C． a > 1 D．0 < a <
2
4．（2023· 3全國·模擬預測）已知函數 f x = x + sin x 2，若不等式 f x - ax + 2 0 恒成立，
則實數 a 的最大值為（ ）
A． 2 B．2 C． 2 2 D．4
二、多選題
r r r r
5．（2023·全國·模擬預測）已知平面向量 a,b滿足 | a |= 2 ， | b |= 4，且對任意的實數 t ，都有
r
b + tar b ar- 恒成立，則下列結論正確的是（ ）
r r r r rA． 4a - b 與b 垂直 B． (3a
r
+ b) ×b = 27
lar 1
r r r r
C． - b + la
r r r 1
- b 的最小值為 21 D． la - b - la - b 的最大值為4 2 2 2
6．（23-24 高三上· 2遼寧葫蘆島·階段練習）若關于 x 的不等式 x + 7a < 7 + a x的解集恰有 50
個整數元素，則下列各選項正確的是（ ）
A． a的值可能為-43
B．這 50 個整數元素之和可能為-925
C． a的值可能為 57.5
D．這 50 個整數元素之和可能為 1625
三、填空題
7．（2022 高三上·河南· 2專題練習）已知 p : x -1 < 1， q : x - a +1 x + a 0，若 p 是q的必要不
充分條件，則實數 a的取值范圍是 ．
8．（23-24 高三上·江蘇·階段練習）已知二次函數 y = ax -1 x - a ．甲同學： y > 0的解集
為 - ,a U 1 ,+

÷ ；乙同學： y 0 ,a U
1< 的解集為 - ,+

a a ÷
；丙同學：y 的對稱軸大于
è è
零．在這三個同學的論述中，只有一個假命題，則 a 的范圍為 ．
9．（2024 高三·全國·專題練習）已知函數 f (x) = x2 + ax + b，若對任意 x 1,5 , f x 2，
則所有滿足條件的有序數對 a,b 是 ．
10．（23-24 高三上·全國·階段練習）對任意的 x R ，不等式
2x2 - 7x +14 m x2 - 6x +13 x2 - 8x +17 恒成立，則實數m 的取值范圍為 ．
四、解答題
11．（23-24 高三上· 2福建莆田·階段練習）解關于 x 的不等式： ax - a + 2 x + 2 < 0 a R .
12．（2024 高三·全國·專題練習）設函數 f x = mx2 - mx -1．
(1)若對于一切實數 x ， f (x) < 0恒成立，求實數m 的取值范圍；
(2)若對于 x 1,3 ， f (x) < -m + 5恒成立，求實數m 的取值范圍．
1
13．（2023· 2陜西咸陽·模擬預測）已知函數 f (x) = x - 3x + 2ln x .
2
(1)求曲線 y = f (x) 在點 (1, f (1))處的切線方程;
(2)（ⅰ）若對于任意 x1, x2 [1,3]，都有 f (x1) - f (x2 ) 2m - 2，求實數m 的取值范圍;
g(x) f (x) 1 2 7（ⅱ）設 = + x ，且 g(x1) + g(x2 ) = 0 ，求證: x + x > .2 1 2 2
2x
14．（23-24 高三上· · a - b天津南開 期中）設函數 f (x) = x (a > 0, 且a 1)是定義域為R 的奇a
函數，且 y = f (x)
3
的圖象過點 1, ÷ .
è 2
(1)求 a，b 的值；
(2)設 g(x) = (x - p)(x - q)2 , p < q，若"x R, f (-g(x)) + f mxg (x) 0 （ g (x) 為函數 g(x)的
導數），試寫出符合上述條件的函數 g(x)的一個解析式，并說明你的理由．

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