資源簡介

考點 09 函數的對稱性（3 種核心題型+基礎保分練+綜合提升
練+拓展沖刺練）
【考試提醒】
1.能通過平移，分析得出一般的軸對稱和中心對稱公式和推論.2.會利用對稱公式解決問
題．
【知識點】
1．奇函數、偶函數的對稱性
(1)奇函數關于 對稱，偶函數關于 對稱．
(2)若 f(x－2)是偶函數，則函數 f(x)圖象的對稱軸為 ；若 f(x－2)是奇函數，則函數
f(x)圖象的對稱中心為 ．
2．若函數 y＝f(x)的圖象關于直線 x＝a 對稱，則 f(a－x)＝f(a＋x)；
若函數 y＝f(x)滿足 f(a－x)＝－f(a＋x)，則函數的圖象關于點 對稱．
3．兩個函數圖象的對稱
(1)函數 y＝f(x)與 y＝f(－x)關于 對稱；
(2)函數 y＝f(x)與 y＝－f(x)關于 對稱；
(3)函數 y＝f(x)與 y＝－f(－x)關于 對稱．
【核心題型】
題型一　軸對稱問題
　函數 y＝f(x)的圖象關于直線 x＝a 對稱 f(x)＝f(2a－x) f(a－x)＝f(a＋x)；
a＋b
若函數 y＝f(x)滿足 f(a＋x)＝f(b－x)，則 y＝f(x)的圖象關于直線 x＝ 成軸對稱．
2
【例題 1】（2024·遼寧·一模）已知函數 f (x + 2)為偶函數，且當 x 2時，
f x = log 1 x2 - 4x + 7 ，若 f (a) > f (b) ，則（ ）
7
A． (a + b - 4)(a - b) < 0 B． (a + b - 4)(a - b) > 0
C． (a + b + 4)(a - b) < 0 D． (a + b + 4)(a - b) > 0
【變式 1】（2024·四川瀘州·二模）定義域為R 的函數 f x 滿足 f x + 2 = f x - 2 ，當
x -2,2 時，函數 f x = 4 - x2 g(x) = e-|x-2|，設函數 -2 < x < 6 ，則方程 f x - g x = 0的
所有實數根之和為（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【變式 2】（2024·陜西安康·模擬預測）已知函數 f x = x -1 ，公差不為 0 的等差數列 an
的前 n項和為 Sn .若 f a1012 = f a1013 ，則 S2024 =（ ）
A．1012 B．2024 C．3036 D．4048
【變式 3】（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x 及其導數 f x 的定義域為R ，記
g x = f x ，且 f x , g x +1 都為奇函數．若 f -5 = 2，則 f 2023 =（ ）
1
A．0 B．- C．2 D．-2
2
題型二　中心對稱問題
函數 y＝f(x)的圖象關于點(a，b)對稱 f(a＋x)＋f(a－x)＝2b 2b－f(x)＝f(2a－x)；若函數 y＝
a＋b c
f(x)滿足 f(a＋x)＋f(b－x)＝c，則 y＝f(x)的圖象關于點( ， )成中心對稱．2 2
【例題 2】（2024·全國·模擬預測）設 f x 是定義域為R 的偶函數，且 f 2x +1 為奇函數.若
f 1 1 1 1 2023 2023 3 ÷
= , f = f3 2 ÷ 2 ，則 ÷
+ f
3
=
2 ÷ （ ）è è è è
1 1 5 5
A． B．- C．- D．
6 6 6 6
【變式 1】（2024·全國·模擬預測）定義在R 上的偶函數 f x 滿足 f 2- x = - f x ，則
（ ）
A． f x = f 2 + x B． f -x = f 2 - x
C． f x = f 4 - x D． f x - 2 是奇函數
3
【變式 2】（2024·四川南充·二模）已知函數 f x = ，則函數 y = f x -1 +1x 的圖象（ ）
A．關于點 1,1 對稱 B．關于點 -1,1 對稱
C．關于點 -1,0 對稱 D．關于點 1,0 對稱
【變式 3】（23-24 高三下·江蘇揚州·開學考試）定義在R 上的函數 y = f (x) 和 y = g(x) 的圖象
關于 y 軸對稱，且函數 y = f (x - 2) +1是奇函數，則函數 y = g(x) 圖象的對稱中心為（ ）
A． (2,1) B． (-2,-1) C． (-2,1) D． (2,-1)
題型三　兩個函數圖象的對稱
b－a
函數 y＝f(a＋x)的圖象與函數 y＝f(b－x)的圖象關于直線 x＝ 對稱．
2
【例題 3】（2024 上·北京·高二統考學業考試）在同一坐標系中，函數 y = f x 與 y = - f x
的圖象（ ）
A．關于原點對稱 B．關于 x 軸對稱
C．關于 y 軸對稱 D．關于直線 y = x 對稱
【變式 1】（2024 下·江蘇揚州·高三統考開學考試）定義在R 上的函數 y = f (x) 和 y = g(x) 的
圖象關于 y 軸對稱，且函數 y = f (x - 2) +1是奇函數，則函數 y = g(x) 圖象的對稱中心為
（ ）
A． (2,1) B． (-2,-1) C． (-2,1) D． (2,-1)
【變式 2】（2020 上·安徽·高一校聯考期末）已知函數 y = f (x -1)是定義在 R 上的奇函數，
函數 y = g(x) 的圖象與函數 y = f (x) 的圖象關于直線 x - y = 0對稱，那么 y = g(x) 的對稱中
心為(　　)
A． (1,0) B． (-1,0) C．( 0, 1) D． (0,-1)
【變式 3】（2024 高三·全國·專題練習）若函數 y＝f(x)的定義域為 R，則函數 y＝f(x－1)與 y＝
f(1－x)的圖象關于直線（ ）
A．x＝0 對稱 B．y＝0 對稱 C．x＝1 對稱 D．y＝1 對稱
【課后強化】
基礎保分練
一、單選題
1．（23-24 高三上·寧夏銀川·階段練習）函數 y = f x 滿足對任意 x R 都有 f x + 2 = f -x
成立，函數 y = f x -1 的圖象關于點 1,0 對稱，且 f 1 = 4 ，則
f 2018 + f 2019 + f 2020 =（ ）
A．-4 B．0 C．4 D．8
2．（2023·寧夏銀川·模擬預測）已知函數 f (x) = x3 + ax2 + x + b的圖象關于點 (1,1) 對稱，則b =
（ ）
A． -1 B．1 C．-2 D．2
ì2
-1-x + 2, x < -1,
3．（23-24 高三上·全國·開學考試）已知函數 f x = í 則 f x 的圖象關于
2 - 2
x+1, x > -1,
（ ）
A．點 1,-2 對稱 B．點 -1,2 對稱 C．直線 x =1對稱 D．直線 x=-1對稱
4．（2023·云南·模擬預測）已知函數 f x ， g x 的定義域均為 R ， f x +1 + f x -1 = 2，
g x + 2 是偶函數，且 f x + g 2 + x = 4， g 2 = 2，則（ ）
A． f x 關于直線 x =1對稱 B． f x 關于點 1,0 中心對稱
15
C． f 2023 =1 D． f (k) =15
k =1
5．（2023·甘肅張掖·模擬預測）已知函數 f (x) 的定義域為R ， f x -1 的圖象關于點 (1,0)對
稱， f
f x - f x
3 = 0 2 1 ，且對任意的 x1, x2 - ,0 ， x1 x2 ，滿足 < 0，則不等式x2 - x1
x -1 f x +1 0的解集為（ ）
A． - ,1 2, + B． -4, -1 0,1
C． -4, -1 1,2 D． -4, -1 2, +
二、多選題
6．（2024·全國·二模）已知 f x 是定義在R 上不恒為0的函數， f x -1 的圖象關于直線 x =1
對稱，且函數 y
1
= 的圖象的對稱中心也是 f x 圖象的一個對稱中心，則（
x 2 ）-
A．點 -2,0 是 f x 的圖象的一個對稱中心
B． f x 為周期函數，且 4 是 f x 的一個周期
C． f 4 - x 為偶函數
D． f 31 + f 35 = 2
7．（2024·江蘇南通·二模）已知函數 f x ， g x 的定義域均為 R， f x 的圖象關于點(2，
0)對稱， g(0) = g(2) =1， g(x + y) + g(x - y) = g(x) f (y)，則（　　）
A． f x 為偶函數 B． g x 為偶函數
C． g(-1- x) = -g(-1+ x) D． g(1- x) = g(1+ x)
三、填空題
8．（2024·寧夏銀川·一模）已知偶函數 f x 的圖象關于直線 x = 2對稱， f 2 = 2，且對任意
x , x 0,1 f x + x = f x + f x f 7 7+ f 7 7 1 2 ，均有 1 2 1 2 成立，若 ÷ + f 2 ÷ +L+ f2 2 ÷ < tè è è 2n
對任意 n N* 恒成立，則 t 的最小值為 .
9．（23-24 高三下·河南濮陽·開學考試）已知函數 f x 的定義域為R ，且 f 4x +1 的圖象關
100
于點 0,2 中心對稱，若 f 2 + x - f 2 - x + 4x = 0，則 f i = .
i=1
四、解答題
10．（2024 高三·全國·專題練習）下列函數是否存在對稱軸或對稱中心？
2
(1)f(x) x + x +1＝ ；
x
(2)f(x)＝(ex－e－x)2；
4
(3)f(x)＝2x＋ .
2x
11．（2024·湖南·二模）已函數 f (x) = x3 + ax2 + bx + c(a,b,c R) ，其圖象的對稱中心為 (1, -2) .
(1)求 a - b - c 的值；
(2)判斷函數 f x 的零點個數.
12．（2024 高三下·浙江杭州·專題練習）已知函數 f x x + 7= 關于點 -1,1 中心對稱．
x + a
(1)求函數 f x 的解析式；
(2)討論 g 2x = x f x 在區間 0, + 上的單調性；
(3)設 a1 =1, an+1 = f an ，證明： 2n-2 2ln an - ln 7 <1．
綜合提升練
一、單選題
1 2024· · f x = ex + e2-x．（ 云南昆明 一模）已知函數 ，則下列說法正確的是（ ）
A． f x 為增函數 B． f x 有兩個零點
C． f x 的最大值為 2e D． y = f x 的圖象關于 x =1對稱
2．（2024·河南新鄉·二模）已知函數 f x 滿足 f x + y +1 = f x + f y ，則下列結論一定
正確的是（ ）
A． f x +1是奇函數 B． f x -1 是奇函數
C． f x -1是奇函數 D． f x +1 是奇函數
x
3．（2024 高三·全國· x-1 - x+1專題練習）已知函數 f x = ， g x = e - e +1，則 f x 與 g x
x -1
的圖象交點的縱坐標之和為（ ）
A．4 B．2 C．1 D．0
4．（2024·全國·模擬預測）若定義在R 上的函數 f x 滿足 f x = f x ，且
f 2 + x + f 2 - x = 6, f 3 = 6，則下列結論錯誤的是（ ）
A． f 8 + x = f x B． f x 的圖象關于直線 x = 4對稱
C． f 201 = 3 D． y = f x + 2 - 3是奇函數
5 ．（ 23-24 高 三 下 · 山 東 菏 澤 · 階 段 練 習 ） 已 知 函 數 f x 定 義 域 為 R ， 且
f 2 + x - f 2 - x = -4x ， f 1+ 3x 關于 0,2 對稱，則 f 2025 =（ ）
A．-4046 B． 4046 C．1 D． 0
6．（2024·陜西西安·模擬預測）已知 f x 的定義域為R ，函數 f x 滿足
f x + f 4 - x = 6, g x 12x + 2023= ， f x , g x 圖象的交點分別是
4x -8
x1, y1 , x2 , y2 , x3 , y3 , x4 , y4 ,LL， xn , yn ，則 y1 + y2 +LL+ yn可能值為（ ）
A．2 B．14 C．18 D．25
f x f x -1 7．（2024·福建漳州·一模）已知可導函數 的定義域為R ， ÷ 為奇函數，設 g x
è 2
10
是 f x 的導函數，若 g 2x +1 為奇函數，且 g 0 1= ，則 kg 2k =（2 ）k =1
13 13 11
A． B．-
11
C． D． -
2 2 2 2
8．（2024·安徽蕪湖·二模）已知函數 f x 的定義域為R ，且 f x + 2 - 2為奇函數， f 3x +1
2024
為偶函數， f 1 = 0，則 f k =（ ）
k =1
A．4036 B．4040 C．4044 D．4048
二、多選題
9．（2023·山東·模擬預測）已知函數 f x 的定義域為R ， f 2x +1 為奇函數，
f 4 - x = f x ， f 0 = 2 ，且 f x 在 0,2 上單調遞減，則（ ）
A． f 1 = 0 B． f 8 = 2
C． f x 在 6,8 上單調遞減 D． f x 在 0,100 上有 50 個零點
10．（2024·全國·模擬預測）設 f x 是定義域為R 的偶函數，且 f 2x +1 為奇函數．若
f 1 1 ÷ = , f
1 1
÷ =3 3 ，則（ ）è è 2 2
A． f x 的圖象關于點 1,0 對稱 B． f x 的周期是 2
C． f x 2023 2023 1的圖象關于直線 x = 2對稱 D． f ÷ + f ÷ =
è 3 è 2 6
11．（2024·湖北·二模）我們知道，函數 y = f (x) 的圖象關于坐標原點成中心對稱圖形的充要
條件是函數 y = f (x) 為奇函數．有同學發現可以將其推廣為：函數 y = f (x) 的圖象關于點
P(a,b) 4成中心對稱圖形的充要條件是函數 y = f (x + a) - b為奇函數．已知函數 f (x) = ，
2x + 2
則下列結論正確的有（ ）
A．函數 f (x) 的值域為 (0, 2]
B．函數 f (x) 的圖象關于點 (1,1) 成中心對稱圖形
C．函數 f (x) 的導函數 f (x) 的圖象關于直線 x =1對稱
D．若函數 g(x)滿足 y = g(x +1) -1為奇函數，且其圖象與函數 f (x) 的圖象有 2024 個交
2024
點，記為 Ai (xi , yi )(i =1,2,L, 2024) ，則 (xi + yi ) = 4048
i=1
三、填空題
12．（2024 高三·全國·專題練習）若函數 y＝g（x）的圖象與 y＝ln x 的圖象關于直線 x＝2 對
稱，則 g（x）＝ ．
13．（2024·寧夏銀川·一模）已知定義在 R 上的偶函數 f x 滿足 f (x) = f (2 - x)，當 x [0,1]
時， f x = 2x .函數 g x = e- x-1 -1< x < 3 ，則 f (x) 與 g(x)的圖象所有交點的橫坐標之和
為 .
14．（2024· x-1 1-x 3內蒙古呼和浩特·一模）已知定義在R 上的函數 f x = e - e + (x -1) + x，滿
足不等式 f 2x - 4 + f 2 - 3x 2，則 x 的取值范圍是 ．
四、解答題
x 3a 15．（23-24 高三上·重慶·階段練習）已知函數 f x = 2 ，函數 h x 與 f x 關于點 log2 3, ÷
è 2
中心對稱．
(1)求 h x 的解析式；
(2)若方程 f x = h x 有兩個不等的實根x1，x2，且 x1 - x2 = 2，求 a 的值．
3
16．（2023 高三·全國·專題練習）已知函數 f x = x ．9 + 3
1 1
(1)求證：函數 f x 的圖象關于點 , ÷對稱；
è 2 2
(2)求 S = f -2022 + f -2021 +L+ f 0 +L+ f 2022 + f 2023 的值．
n
17．（23-24 高三上·上海·期中）已知函數 f x = m - x m, n R .4 +1
(1)當m = 3時，確定是否存在 n，使得 f x 的圖象關于原點中心對稱；
(2)對于任意給定的非零常數m ， y = f x 的圖象與 x 軸負半軸總有公共點，求 n的取值范圍；
(3)當 n =1時，函數 g x 的圖象與 y = f x 圖象關于點 1,0 對稱，若對任意： x 1,2 ，
g x < 0恒成立，求m 的取值范圍.
18．（23-24 高三上·陜西咸陽·階段練習）已知函數 f x = 2 x + 2x - m m > 0 的圖象關于直
線 x =1對稱．
(1)求 m 的值，及 f x 的最小值；
a b 1 4(2)設 ， 均為正數，且 a + b = m，求 + 的最小值.
a b
19．（23-24 高三下·山東·開學考試）已知函數 f x = ln x +1 ．
(1)討論函數F x = ax - f x a R 的單調性；
1 1
(2)設函數 g x = x +1 f ÷ - f +1x x ÷．è è
（ⅰ）求 g 1 - g -2 的值；
（ⅱ）證明：存在實數m ，使得曲線 y = g x 關于直線 x = m 對稱．
拓展沖刺練
一、單選題
3
1．（23-24 高三下·陜西安康·階段練習）已知函數 f x = x ，則 f x 的圖象（3 1 ）+
3 3
A．關于點 ,0÷對稱 B．關于直線 x = 對稱
è 2 2
0, 3 x 1C．關于點 ÷ 對稱 D．關于直線 = 對稱
è 2 2
2 3
2．（2024·山西呂梁·一模）已知函數 f x 滿足 f x + y + f x - y = f x f y ，f 1 = ，
3 2
則下列結論不正確的是（ ）
A． f 0 =3 B．函數 f 2x -1 1關于直線 x = 對稱
2
C． f x + f 0 0 D． f x 的周期為 3
3．（2023·四川樂山·一模）已知函數 f x 定義域為 R，且滿足 f 0 = 0， f -x = f x ，
f 1- t - f 1+ t + 4t = 0，給出以下四個命題：
① f -1 = f 3 ；
② f x + 2 = f x ；
③ f 4 = 64 ；
④函數 y = f x - 2x 的圖象關于直線 x =1對稱.
其中正確命題的個數是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
1
4．（22-23 高三下·全國·階段練習）已知函數 f x = x + 2ax，則下列關于 f x 的結論中e +1
正確的是（ ）
A． f x 在 1, + 1上有最小值 B．若 a = ，則 f x 有最大值
4
C． f -e + f e =1 D． f x 關于點 0,1 中心對稱
5．（2023·新疆烏魯木齊·二模）已知 f x ， g x 都是定義在R 上的函數，對任意 x，y 滿足
f x - y = f x g y - g x f y ，且 f -2 = f 1 0，則下列說法正確的是（ ）
A． f 0 =1 B．函數 g 2x +1 的圖象關于點 1,0 對稱
2023
C． g 1 + g -1 = 0 D．若 f 1 =1，則 f n = 1
n=1
二、多選題
π
6．（23-24 高三上·浙江杭州·期末）已知函數 f x = cos 2x ， g x = sin 2x + ÷，則（3 ）è
A．將函數 y = f x π的圖象右移 個單位可得到函數 y = g x 的圖象
12
B．將函數 y = f x π的圖象右移 個單位可得到函數 y = g x 的圖象
6
C．函數 y = f x 與 y = g x 的圖象關于直線 x π= 對稱
24
7π
D．函數 y = f x 與 y = g x 的圖象關于點 ,0÷對稱
è 24
7．（2024·吉林白山·二模）已知函數 f x 的定義域為R ，其圖象關于 1,2 中心對稱，若
f x - f 4 - x
= 2 - x ，則（ ）
4
A． f 2 - 3x + f 3x = 4 B． f x = f x - 4
20
C． f 2025 = -4046 D． f (i) = -340
i=1
三、填空題
x
8．（2023·四川瀘州·一模）函數 f x = 的對稱中心為 ．
x -1
f x 1 x3 x2 x 1, f m 2, f n 29．（23-24 高三上·河南·階段練習）已知函數 = - + + = = ，則
3 3
m + n = ．
四、解答題
1
10．（2023 高三·全國·專題練習）已知函數 f (x) = a 1- 2 x - 2 ÷
， a R 且 a > 0
è
1
(1)證明：函數 f (x) 的圖像關于直線 x = 對稱；
2
(2)若 x0 滿足 f ( f (x0 )) = x0 但 f (x ) x， 0 0 ，則 x0 稱為函數 f (x) 的二階周期點，如果 f (x) 有兩
個二階周期點 x1, x2 ，試確定實數 a的取值范圍．
11．（2023·上海嘉定·二模）已知 f x = x + 2sin x，等差數列 an 的前 n項和為 Sn ，記
n
Tn = f ai ．
i=1
(1)求證：函數 y = f x 的圖像關于點 p ,p 中心對稱；
(2)若 a1、 a2、a3是某三角形的三個內角，求T3的取值范圍；
(3)若 S100 =100p ，求證：T100 =100p ．反之是否成立？并請說明理由．考點 09 函數的對稱性（3 種核心題型+基礎保分練+綜合提升
練+拓展沖刺練）
【考試提醒】
1.能通過平移，分析得出一般的軸對稱和中心對稱公式和推論.2.會利用對稱公式解決問
題．
【知識點】
1．奇函數、偶函數的對稱性(1)奇函數關于原點對稱，偶函數關于 y 軸對稱．
(2)若 f(x－2)是偶函數，則函數 f(x)圖象的對稱軸為 x＝－2；若 f(x－2)是奇函數，則函數 f(x)
圖象的對稱中心為(－2,0)．
2．若函數 y＝f(x)的圖象關于直線 x＝a 對稱，則 f(a－x)＝f(a＋x)；
若函數 y＝f(x)滿足 f(a－x)＝－f(a＋x)，則函數的圖象關于點(a,0)對稱．
3．兩個函數圖象的對稱
(1)函數 y＝f(x)與 y＝f(－x)關于 y 軸對稱；
(2)函數 y＝f(x)與 y＝－f(x)關于 x 軸對稱；
(3)函數 y＝f(x)與 y＝－f(－x)關于原點對稱．
【核心題型】
題型一　軸對稱問題
　函數 y＝f(x)的圖象關于直線 x＝a 對稱 f(x)＝f(2a－x) f(a－x)＝f(a＋x)；
a＋b
若函數 y＝f(x)滿足 f(a＋x)＝f(b－x)，則 y＝f(x)的圖象關于直線 x＝ 成軸對稱．
2
【例題 1】（2024·遼寧·一模）已知函數 f (x + 2)為偶函數，且當 x 2時，
f x = log 1 x2 - 4x + 7 ，若 f (a) > f (b) ，則（ ）
7
A． (a + b - 4)(a - b) < 0 B． (a + b - 4)(a - b) > 0
C． (a + b + 4)(a - b) < 0 D． (a + b + 4)(a - b) > 0
【答案】A
【分析】由題意判斷 f (x) 的圖象關于直線 x = 2對稱，結合當 x 2時的函數解析式，判斷其
單調性，即可判斷 f (x) 在直線 x = 2兩側的增減，從而結合 f (a) > f (b) ，可得 | a - 2 |<| b - 2 |，
化簡，即得答案.
【詳解】因為函數 f (x + 2)為偶函數，故其圖象關于 y 軸對稱，則 f (x) 的圖象關于直線 x = 2
對稱，
當 x 2時， f x = log 1 x2 - 4x + 7 ，因為 y = x2 - 4x + 7 在[2,+ )上單調遞增且 y 7，
7
而 y = log 1 x 在 (0, + )上單調遞減，故 f x 在[2,+ )上單調遞減，
7
則 f x 在 (- , 2]上單調遞增，
故由 f (a) > f (b) 可得 | a - 2 |<| b - 2 |，即 | a - 2 |2 <| b - 2 |2 ，
則 a2 - 4a + 4 < b2 - 4b + 4，故 (a + b - 4)(a - b) < 0，
故選：A
【變式 1】（2024·四川瀘州·二模）定義域為R 的函數 f x 滿足 f x + 2 = f x - 2 ，當
x -2,2 時，函數 f x = 4 - x2 ，設函數 g(x) = e-|x-2| -2 < x < 6 ，則方程 f x - g x = 0的
所有實數根之和為（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】首先得到 f x 是以 4為周期的周期函數， g x 關于 x = 2對稱，在同一平面直角坐
標系中畫出 y = g x 與 y = f x x -2,6 的圖象，數形結合判斷函數的交點，再根據對稱
性計算可得.
【詳解】因為定義域為R 的函數 f x 滿足 f x + 2 = f x - 2 ，即 f x + 4 = f x ，
所以 f x 是以 4為周期的周期函數，
又 g(x) = e- x-2 -2 < x < 6 ，則 g 4 - x = e- 4-x -2 = e- x-2 = g x ，
所以 g x - -2-2 1關于 x = 2對稱，又 g -2 = g 6 = e = 4 > 0，e
- x+2
g(x) = e- x-2
ìe ,2 x < 6
又 = íex-2
，
, -2 < x < 2
2
又當 x -2,2 時，函數 f x = 4 - x ，所以 f -2 = f 2 = 0，則 f 6 = f 2 = 0，
令 f x - g x = 0 ，即 f x = g x ，
在同一平面直角坐標系中畫出 y = g x 與 y = f x x -2,6 的圖象如下所示：
由圖可得 y = g x 與 y = f x x -2,6 有 4個交點，交點橫坐標分別為 x1, x2 , x3 , x4 ，
且x1與 x4關于 x = 2對稱，x2與 x3 關于 x = 2對稱，
所以 x1 + x4 = 4， x3 + x2 = 4，
所以方程 f x - g x = 0 的所有實數根之和為 x1 + x2 + x3 + x4 = 8 .
故選：D
【變式 2】（2024·陜西安康·模擬預測）已知函數 f x = x -1 ，公差不為 0 的等差數列 an
的前 n項和為 Sn .若 f a1012 = f a1013 ，則 S2024 =（ ）
A．1012 B．2024 C．3036 D．4048
【答案】B
【分析】先根據題中條件得到a1012 + a1013 = 2，故 a1 + a2024 = 2，結合等差數列的前 n項和公
式可得.
【詳解】由題可知函數 f x 的圖象關于直線 x =1對稱，
因為 an 的公差不為 0，所以 a1012 a1013
又因 f a1012 = f a
a
，所以 1012
+ a1013
1013 = 1，2
所以a + a = 2
2024 a + a 2024 a
，故 S 1 2024 1012
+ a1013
1012 1013 2024 = = = 2024 ，2 2
故選：B
【變式 3】（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x 及其導數 f x 的定義域為R ，記
g x = f x ，且 f x , g x +1 都為奇函數．若 f -5 = 2，則 f 2023 =（ ）
1
A．0 B．- C．2 D．-2
2
【答案】C
【分析】根據 g x 的性質結合導數運算分析可知 f x 的圖象關于 x =1對稱，結合奇函數分
析可知 f x 的周期為 4，根據周期性運算求解.
【詳解】因為 g x +1 為奇函數，則 g 1+ x = -g 1- x ，
即 g 1+ x + g 1- x = 0 ，可知 g x = f x 的圖象關于點 1,0 對稱，
可得 f 1+ x + c = f 1- x + c，即 f 1+ x = f 1- x ，
可知 f x 的圖象關于 x =1對稱，則 f x = f 2 - x ，
又因為 f x 為奇函數，則 f x = - f -x ，
可得 f x + 4 = - f x + 2 = f x ，可知 f x 的周期為 4，
所以 f 2023 = f 507 4 - 5 = f -5 = 2 .
故選：C．
題型二　中心對稱問題
函數 y＝f(x)的圖象關于點(a，b)對稱 f(a＋x)＋f(a－x)＝2b 2b－f(x)＝f(2a－x)；若函數 y＝
a＋b c
f(x)滿足 f(a＋x)＋f(b－x)＝c，則 y＝f(x)的圖象關于點( ， )成中心對稱．2 2
【例題 2】（2024·全國·模擬預測）設 f x 是定義域為R 的偶函數，且 f 2x +1 為奇函數.若
f 1 1 ÷ = , f
1 1 2023 2023
3 3 2 ÷
= f
2 ，則 3 ÷
+ f ÷ =（ ）
è è è è 2
1 1 5 5
A． B．- C．- D．
6 6 6 6
【答案】A
【分析】根據所給函數性質求出函數周期，利用周期化簡即可得解.
【詳解】由 f 2x +1 為奇函數，得 f 2x +1 + f -2x +1 = 0 ，
得 f x 的圖象關于點 1,0 對稱，所以 f x = - f 2 - x .
又因為 f x 是定義域為R 的偶函數，所以 f x = - f 2 - x = - f x - 2 ，
f x = - f x - 2 = f x - 4 ，
所以 f x 的周期為 4，
f 2023 + f 2023 = f 168 4 1+ 2 + 1+ f 252 4 + 3+ 所以 3 ÷ 2 ÷ 3 ÷ ÷è è è è 2
= f 2
1
+ ÷ + f

3
1
+ ÷ = - f
1- 1 1 1 1 1 1
3 2 3 ÷
+ f - ÷ = - f ÷ + f ÷ = - + = .
è è è è 2 è 3 è 2 3 2 6
故選：A.
【變式 1】（2024·全國·模擬預測）定義在R 上的偶函數 f x 滿足 f 2- x = - f x ，則
（ ）
A． f x = f 2 + x B． f -x = f 2 - x
C． f x = f 4 - x D． f x - 2 是奇函數
【答案】C
【分析】根據題中條件，可知 f 2 - x = - f -x , f 2 + x = - f -x = - f x ，故 A、B 錯誤；
對于 C，令 x = x + 2，可得 f 4 + x = f x ，繼而 f 4 - x = f x ，C 正確；對于 D， f x - 2
的圖象可由 f x 的圖象平移得到，從而得到 f x - 2 的對稱中心，即可判斷 D.
【詳解】因為 f 2 - x = - f x ， f x 為偶函數，
所以 f 2 - x = - f -x , f 2 + x = - f -x = - f x ，
所以 A、B 錯誤；
因為 f x 是偶函數，所以 f 2 + x = - f x ，
所以 f 4 + x = - f x + 2 = f x ，
而 f 4 - x = f -x = f x ，所以 C 正確；
因為 f 2 - x = - f x ，
所以 f x 的圖象關于 1,0 中心對稱，
f x - 2 的圖象可由 f x 的圖象向右平移 2 個單位長度得到，
則 f x - 2 的圖象關于 3,0 對稱，不是奇函數，所以 D 錯誤．
故選：C.
3
【變式 2】（2024·四川南充·二模）已知函數 f x = x ，則函數 y = f x -1 +1的圖象（ ）
A．關于點 1,1 對稱 B．關于點 -1,1 對稱
C．關于點 -1,0 對稱 D．關于點 1,0 對稱
【答案】A
【分析】首先判斷函數 f x 3= x 為奇函數，再根據函數平移規則判斷即可.
3 3
【詳解】函數 f x = 的定義域為 x | x 0 ，又 f -x = - = - f x x x ，
f x 3所以 = x 為奇函數，則函數 f x 的圖象關于原點 0,0 對稱，
又 y = f x -1 +1 3的圖象是由 f x = x 的圖象向右平移1個單位，再向上平移1個單位得到，
所以函數 y = f x -1 +1的圖象關于點 1,1 對稱.
故選：A
【變式 3】（23-24 高三下·江蘇揚州·開學考試）定義在R 上的函數 y = f (x) 和 y = g(x) 的圖象
關于 y 軸對稱，且函數 y = f (x - 2) +1是奇函數，則函數 y = g(x) 圖象的對稱中心為（ ）
A． (2,1) B． (-2,-1) C． (-2,1) D． (2,-1)
【答案】D
【分析】利用奇函數的性質結合函數的對稱性求解即可.
【詳解】由題意得函數 y = f (x - 2) +1是奇函數，則 y = f (x) 關于 -2, -1 對稱，
另知函數 y = f (x) 和 y = g(x) 的圖象關于 y 軸對稱，故 y = g(x) 關于 (2,-1)對稱，
故選：D
題型三　兩個函數圖象的對稱
b－a
函數 y＝f(a＋x)的圖象與函數 y＝f(b－x)的圖象關于直線 x＝ 對稱．
2
【例題 3】（2024 上·北京·高二統考學業考試）在同一坐標系中，函數 y = f x 與 y = - f x
的圖象（ ）
A．關于原點對稱 B．關于 x 軸對稱
C．關于 y 軸對稱 D．關于直線 y = x 對稱
【答案】B
【分析】根據函數上點的關系即可得函數圖象的關系.
【詳解】當 x = a時， y = f a 與 y = - f a 互為相反數，
即函數 y = f x 與 y = - f x 的圖象關于 x 軸對稱.
故選：B.
【變式 1】（2024 下·江蘇揚州·高三統考開學考試）定義在R 上的函數 y = f (x) 和 y = g(x) 的
圖象關于 y 軸對稱，且函數 y = f (x - 2) +1是奇函數，則函數 y = g(x) 圖象的對稱中心為
（ ）
A． (2,1) B． (-2,-1) C． (-2,1) D． (2,-1)
【答案】D
【分析】利用奇函數的性質結合函數的對稱性求解即可.
【詳解】由題意得函數 y = f (x - 2) +1是奇函數，則 y = f (x) 關于 -2, -1 對稱，
另知函數 y = f (x) 和 y = g(x) 的圖象關于 y 軸對稱，故 y = g(x) 關于 (2,-1)對稱，
故選：D
【變式 2】（2020 上·安徽·高一校聯考期末）已知函數 y = f (x -1)是定義在 R 上的奇函數，
函數 y = g(x) 的圖象與函數 y = f (x) 的圖象關于直線 x - y = 0對稱，那么 y = g(x) 的對稱中
心為(　　)
A． (1,0) B． (-1,0) C．( 0, 1) D． (0,-1)
【答案】D
【解析】由奇函數的性質以及函數圖象的平移變換法則得出函數 y = f (x) 的圖象關于 (-1,0)
對稱
再根據函數 y = g(x) 的圖象與函數 y = f (x) 的圖象關于直線 x - y = 0對稱，求出函數
y = g(x) 的對稱中心.
【詳解】函數 y = f (x -1)是定義在 R 上的奇函數，則其圖象關于原點對稱
由于函數 y = f (x -1)的圖象向左平移一個單位得到函數 y = f (x) 的圖象
則函數 y = f (x) 的圖象關于 (-1,0) 對稱
又因為函數 y = g(x) 的圖象與函數 y = f (x) 的圖象關于直線 x - y = 0對稱
所以函數 y = g(x) 的圖象關于 (0, -1) 對稱
故選：D
【點睛】本題主要考查了奇函數圖象的對稱性、函數圖象的平移變換以及反函數圖象的關系，
屬于中檔題.
【變式 3】（2024 高三·全國·專題練習）若函數 y＝f(x)的定義域為 R，則函數 y＝f(x－1)與 y＝
f(1－x)的圖象關于直線（ ）
A．x＝0 對稱 B．y＝0 對稱 C．x＝1 對稱 D．y＝1 對稱
【答案】C
【詳解】因為函數 f(x－1)的圖象是 f(x)的圖象向右平移 1 個單位長度得到，f(1－x)＝f(－(x－
1))的圖象是 f(－x)的圖象也向右平移 1 個單位長度得到；因為 f(x)與 f(－x)的圖象是關于 y 軸
(直線 x＝0)對稱，所以函數 y＝f(x－1)與 y＝f(1－x)的圖象關于直線 x＝1 對稱．故選 C.
【課后強化】
基礎保分練
一、單選題
1．（23-24 高三上·寧夏銀川·階段練習）函數 y = f x 滿足對任意 x R 都有 f x + 2 = f -x
成立，函數 y = f x -1 的圖象關于點 1,0 對稱，且 f 1 = 4 ，則
f 2018 + f 2019 + f 2020 =（ ）
A．-4 B．0 C．4 D．8
【答案】A
【分析】根據函數的奇偶性及周期性，逐步轉化計算，即可得到本題答案.
【詳解】因為函數 y = f x -1 的圖象關于點 1,0 對稱，
所以函數 y = f (x) 的圖象關于 (0,0)對稱，即 y = f (x) 為R 上奇函數，
所以 f (-x) = - f (x) ，且 f (0) = 0，
又因為 f x + 2 = f -x = - f (x)，所以 f (x + 4) = - f (x + 2)，
所以 f (x + 4) = f (x) ，則 y = f (x) 的周期為 4，
因為 f x + 2 = f -x ，令 x = 0得， f (2) = f (0) = 0
所以， f 2018 + f 2019 + f 2020 = f (2) + f (3) + f (4)
= f (0) + f (-1) + f (0) = - f (1) = -4 .
故選：A
2．（2023·寧夏銀川·模擬預測）已知函數 f (x) = x3 + ax2 + x + b的圖象關于點 (1,1) 對稱，則b =
（ ）
A． -1 B．1 C．-2 D．2
【答案】D
【分析】根據對稱性可得 f x + f 2 - x = 2 ，由此可構造方程求得結果.
【詳解】Q f x 圖象關于點 1,1 對稱，\ f x + f 2 - x = 2，
f 2 - x = 2 - x 3又 + a 2 - x 2 + 2 - x + b
= -x3 + a + 6 x2 - 4a +13 x +10 +4a +b，
\ f x + f 2 - x = 2a + 6 x2 - 4a +12 x +10 + 4a + 2b = 2，
ì2a + 6 = 0
\ í4a +12 = 0 ，解得： a = -3，b = 2 .

10 + 4a + 2b = 2
故選：D.
ì2-1-x + 2, x < -1,
3．（23-24 高三上·全國·開學考試）已知函數 f x = í x+1 則 f x 的圖象關于
2 - 2 , x > -1,
（ ）
A．點 1,-2 對稱 B．點 -1,2 對稱 C．直線 x =1對稱 D．直線 x=-1對稱
【答案】B
【分析】根據 g x 是奇函數，可得 g x 關于原點對稱，進而根據 f x = g x +1 + 2即可根
據平移求解.
ì2- x , x < 0,
【詳解】因為 g x = f x -1 - 2 = í x
-2 , x > 0,
由于 g x 的定義域關于原點對稱，且 g -x = -g x ，所以 g x 是奇函數，
所以 f x = g x +1 + 2的圖象關于點 -1,2 對稱.
故選：B.
4．（2023·云南·模擬預測）已知函數 f x ， g x 的定義域均為 R ， f x +1 + f x -1 = 2，
g x + 2 是偶函數，且 f x + g 2 + x = 4， g 2 = 2，則（ ）
A． f x 關于直線 x =1對稱 B． f x 關于點 1,0 中心對稱
15
C． f 2023 =1 D． f (k) =15
k =1
【答案】C
【分析】對于 A，由 g x + 2 是偶函數，且 f x + g 2 + x = 4，可得 f x 為偶函數，可求
得其對稱軸，對于 B，再結合 f x +1 + f x -1 = 2，可得 f x 關于點 (1，1)中心對稱，對于
CD，由前面的計算可得 f x 的周期為 4，然后根據已知條件求出 f (0), f (1), f (2), f (3)，從
而可判斷.
【詳解】對于 A，∵g(x + 2) 是偶函數，∴g(2 - x) = g(2 + x)，
又 f (x) + g(2 + x) = 4，f (-x) + g(2 - x) = 4，
\ f (-x) = f (x)，\ f (x)是偶函數，∴ f x 關于直線 x = 0對稱，所以 A 錯誤，
對于 B，∵ f (x + 2) + f (x) = 2，∴ f (x + 2) + f (-x) = 2，∴ f (x)關于點 (1，1)中心對稱，所以 B
錯誤，
對于 CD，又 f (-x + 2) + f (-x) = 2，∴ f (-x + 2) = f (x + 2)，即 f (x + 4) = f (x)，∴4 是 f (x) 的
一個周期；
令 x = 0，可得 f (0) + g(2) = 4，
∴ f (0) = 2，f (2) = 0，又 f (1) =1，∴ f (3) =1，
∴ f (2023) = f (4 505 + 3) = f (3) =1，
15
f (k) = 4 3 + f (1) + f (2) + f (3) =12 + 2 =14，
k =1
所以 C 正確，D 錯誤，
故選：C.
5．（2023·甘肅張掖·模擬預測）已知函數 f (x) 的定義域為R ， f x -1 的圖象關于點 (1,0)對
f x - f x
稱， f 3 = 0，且對任意的 x1, x

2 - ,0 ， x1 x 2 12 ，滿足 < 0，則不等式x2 - x1
x -1 f x +1 0的解集為（ ）
A． - ,1 2, + B． -4, -1 0,1
C． -4, -1 1,2 D． -4, -1 2, +
【答案】C
【分析】首先根據 f (x -1)的圖象關于點 (1,0)對稱，得出 (x)是定義在 R 上的奇函數，由對任
f (x ) - f (x )
意的x1， x2 (- ,0) ， x1 x
2 1
2 ，滿足 < 0 f (x) (- ,0)x - x ，得出 在 上單調遞減，然2 1
后根據奇函數的對稱性和單調性的性質，求解即可．
【詳解】Q f (x -1) 的圖象關于點 (1,0)對稱，\ f (x)的圖象關于點 (0,0)對稱，\ f (x)是定
義在 R 上的奇函數，
f (x ) - f (x )
Q對任意的x1， x2 (- ,0) ， x1 x
2 1
2 ，滿足 < 0，\ f (x)在 (- ,0)x - x 上單調遞減，2 1
所以 f (x) 在 (0, + )上也單調遞減，
又 f 3 = 0所以 f -3 = 0，且 f 0 = 0，
所以當 x - ,-3 0,3 時， f x > 0；當 x -3,0 3, + 時， f x < 0 ，
所以由 x -1 f x +1 ì
x -1< 0, ì x -1 > 0,
0可得 í 3 x 1 0或- + í 或
x -1 = 0
0
，
x +1 3
解得 -4≤ x ≤ -1或1 x 2，即不等式 x -1 f x +1 0的解集為 é-4, -1 1,2ù ．
故選：C.
二、多選題
6．（2024·全國·二模）已知 f x 是定義在R 上不恒為0的函數， f x -1 的圖象關于直線 x =1
1
對稱，且函數 y = 的圖象的對稱中心也是 f x 圖象的一個對稱中心，則（
x 2 ）-
A．點 -2,0 是 f x 的圖象的一個對稱中心
B． f x 為周期函數，且 4 是 f x 的一個周期
C． f 4 - x 為偶函數
D． f 31 + f 35 = 2
【答案】AC
【分析】根據給定條件，借助平移變換分析函數 f (x) 的性質，再逐項推理判斷得解.
【詳解】由 f (x -1)的圖象關于直線 x =1對稱，得函數 f (x) 關于 y 對稱，即 f (x) 為偶函數，
f (-x) = f (x)，
1 1
顯然函數 y = x 圖象的對稱中心為原點，則函數
y = 的圖象的對稱中心為 (2,0)，即
x - 2
f (2 + x) + f (2 - x) = 0，
對于 A， f (-2 + x) + f (-2 - x) = f (2 - x) + f (2 + x) = 0 ，則 (-2,0) 是 f (x) 圖象的一個對稱中心，
A 正確；
對于 B，由 f (2 + x) + f (2 - x) = 0，得 f (4 + x) + f (-x) = 0，即 f (x + 4) = - f (x)，
f (x + 8) = - f (x + 4) = f (x)， f (x) 是周期函數，8 是該函數的一個周期，
若 4 是 f (x) 的一個周期，則 f (x + 4) = f (x) ，而 f (x + 4) = - f (x)，從而 f (x) = 0 與已知矛盾，
B 錯誤；
對于 C， f (4 - x) = f [-8 + (4 - x)] = f (-4 - x) = f (4 + x) ，因此 f (4 - x)為偶函數，C 正確；
對于 D，由 f (2 + x) + f (2 - x) = 0，得 f (3) + f (1) = 0，
則 f (31) + f (35) = f (8 4 -1) + f (8 4 + 3) = f (-1) + f (3) = f (1) + f (3) = 0，D 錯誤.
故選：AC
7．（2024·江蘇南通·二模）已知函數 f x ， g x 的定義域均為 R， f x 的圖象關于點(2，
0)對稱， g(0) = g(2) =1， g(x + y) + g(x - y) = g(x) f (y)，則（　　）
A． f x 為偶函數 B． g x 為偶函數 C． g(-1- x) = -g(-1+ x)
D． g(1- x) = g(1+ x)
【答案】ACD
【分析】由賦值法，函數奇偶性，對稱性對選項一一判斷即可得出答案.
【詳解】令 y = -y ，則 g(x - y) + g(x + y) = g(x) f (-y) ，注意到 g x 不恒為 0 ，
故 f y = f -y ，故 A 正確；
因為 f x 的圖象關于點(2，0)對稱，所以 f (2) = 0，
令 x = 0, y = 2，得 g(2) + g(-2) = g(0) f (2) = 0，
故 g(-2) = -1 g 2 ，故 B 錯誤；
令 x = y = -1，得 g(-2) + g(0) = g(-1) f (-1) = 0，
令 x = y =1，得 g(2) + g(0) = g(1) f (1) = 2 ，故 g(1), f (1) 0，
從而 f (-1) 0，故 g(-1) = 0 ,
令 x=-1，得 g(-1+ y) + g(-1- y) = 0，化簡得 g(-1- y) = -g(-1+ y)，故 C 正確；
令 y = 2，得 g(x + 2) + g(x - 2) = 0 ，而 g(1- x) = -g(x - 3) = g 1+ x ，故 D 正確.
故選：ACD.
【點睛】方法點睛：抽象函數的對稱性常有以下結論
（1） f x + a = f b - x f x x a + b關于 = 軸對稱，
2
f x a + b（2） + a + f b - x = 2c f x 關于 ,c 中心對稱，
è 2 ÷
三、填空題
8．（2024·寧夏銀川·一模）已知偶函數 f x 的圖象關于直線 x = 2對稱， f 2 = 2，且對任意
x1, x2 0,1 ，均有 f x x f x f x f 7 f
7 f 71 + 2 = 1 + 2 成立，若 + ÷ +

÷ +L+ f
7
÷ < t
è 2 è 22 è 2n
對任意 n N* 恒成立，則 t 的最小值為 .
【答案】5
f (1) 1 f 1 1 , f 1 1【分析】先得到函數的周期，賦值法得到 = ， ÷ = ÷ = ，從而得到
è 2 2 è 4 4
f 7 1, f 7= 1 7 7 ÷ = ，進而得到當 n 2

時， f ÷ = ，從而利用求和得到
è 2 2 è 2n 2n
f 7 f 7 7 7+ 7 2 ÷ + f 2 ÷ +L+ f 1 ÷ = 5 - n-1 ，從而得到 t 的最小值.è è 2 è 2 2
【詳解】因為函數 f x 的圖象關于直線 x = 0和 x = 2對稱，
所以 f x = f 4 - x = f x - 4 ，所以其周期T = 4，
f x1 + x2 = f x1 + f x2 中，令 x1 = x2 =1得， f (2) = 2 f (1)，
又 f 2 = 2，解得 f 1 =1 f 1 1，同理可得 ÷ = , f
1 1
2 2 ÷
= ，
è è 4 4
所以 f 7 = f 3 = f 1 =1, f 7 1 1 ÷ = f ÷ = ，
è 2 è 2 2
f 7 ÷ = f

1
3
+ ÷ = f 1
1 1
+ f + ÷ = f 1 f
1 1 7+
4 4 2 4 2 ÷
+ f ÷ = ，
è è è è è 4 4
f 7 = f 7 + f 7 7 7 7 2 ÷ 3 ÷ 3 ÷ = ，解得 f2 2 2 4 ÷
= ，
è è è è 23 23
7 7
依次類推，可得當 n 2 時， f ÷ = ，
è 2n 2n
7 7
- n+1
所以 f 7 7 7 7 1 7+ f ÷ + f 2 ÷ +L+ f
=1+ + 4 2
2 ÷
= 5 - ，
è è 2 è 2n 2 1 1
n
- 2
2
f 7 f 7 f 7 7又 + + 2 ÷ 22 ÷ +L+ f ÷ < t 對任意 n N
* 恒成立，故 t 5 .
è è è 2n
故答案為：5.
【點睛】關鍵點點睛：關鍵是得到 f 7 =1, f 7 1 7 7 ÷ = ，以及 f n ÷ = n ，由此即可順利得è 2 2 è 2 2
解.
9．（23-24 高三下·河南濮陽·開學考試）已知函數 f x 的定義域為R ，且 f 4x +1 的圖象關
100
于點 0,2 中心對稱，若 f 2 + x - f 2 - x + 4x = 0，則 f i = .
i=1
【答案】-9700
【分析】先根據條件證明 f 1+ x + f 1- x = 4 ，然后由 f 2 + x - f 2 - x + 4x = 0證明
f n - 2 + f n =12 - 4n，再由此證明 f 4n - 3 + f 4n - 2 + f 4n -1 + f 4n = 28 - 32n，
100 25
最后由 f i = f 4i - 3 + f 4i - 2 + f 4i -1 + f 4i 得到結果.
i=1 i=1
【詳解】對任意 x R ，由于 4x +1 R ，且函數 f x 的定義域為R ，
故點 x, f 4x +1 在曲線 y = f 4x +1 上，且曲線 y = f 4x +1 關于點 0,2 中心對稱，
故點 -x, 4 - f 4x +1 也在曲線 y = f 4x +1 上，從而 4 - f 4x +1 = f -4x +1 ，
從而對任意 x R 有 f 1+ 4x + f 1- 4x = 4 .
x f 1 4 x x從而對任意 x R ，由 R 知 + ×

4 4 ÷
+ f 1- 4 × ÷ = 4，即 f 1+ x + f 1- x = 4 .
è è 4
根據條件又有 f 2 + x - f 2 - x + 4x = 0，即 f 2 + x - f 2 - x = -4x .
現在對任意的整數 n，我們有：
f n = f 2 + n - 2
= f 2 - n - 2 - 4 n - 2
= f 4 - n + 8 - 4n
= f 1+ 3 - n + 8 - 4n
= 4 - f 1- 3- n + 8 - 4n
= - f n - 2 +12 - 4n，
所以 f n - 2 + f n =12 - 4n，從而有：
f 4n - 3 + f 4n - 2 + f 4n -1 + f 4n
= f 4n - 3 + f 4n -1 + f 4n - 2 + f 4n
=12 - 4 4n -1 +12 - 4 4n
= 28 - 32n .
故有：
100
f i = f 1 + f 2 + ...+ f 100
i=1
= f 1 + f 2 + f 3 + f 4 + f 5 + f 6 + f 7 + f 8 + ...+ f 97 + f 98 + f 99 + f 100
25
= f 4i - 3 + f 4i - 2 + f 4i -1 + f 4i
i=1
25
= 28 - 32i
i=1
25
= 28 × 25 - 32 i
i=1
= 28 × 25 - 32 1× × 1+ 25 × 25
2
= -9700 .
故答案為：-9700 .
【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是對函數方程的處理，通過其中 x 取值的任意性，代入合
適的值得到關鍵條件.
四、解答題
10．（2024 高三·全國·專題練習）下列函數是否存在對稱軸或對稱中心？
2
(1)f(x) x + x +1＝ ；
x
(2)f(x)＝(ex－e－x)2；
4
(3)f(x)＝2x＋ .
2x
【答案】(1)存在對稱中心
(2)存在對稱軸
(3)存在對稱軸
【詳解】（1）f(x)＝ ＝x＋ ＋1，f(x) 的圖象關于點(0，1)中心對稱．
（2） 因為 f(x)＝(ex－e－x)2 滿足 f(－x)＝f(x)，所以 f(x)的圖象關于 y 軸對稱．
（3）因為 f(x)＝2x＋ 滿足 f(1－x)＝f(1＋x)，所以 f(x)的圖象關于直線 x＝1 對稱．
【考查意圖】函數對稱性的判斷．
11．（2024·湖南·二模）已函數 f (x) = x3 + ax2 + bx + c(a,b,c R) ，其圖象的對稱中心為 (1, -2) .
(1)求 a - b - c 的值；
(2)判斷函數 f x 的零點個數.
【答案】(1) -3
(2)答案見解析
【分析】（1）由 f x 的圖象關于 (1, -2) 對稱，得到 f x +1 + f -x +1 = -4，列出方程組即
可求解；
（2）由（1）得到函數 f x 的解析式，求出 f x ，利用D判斷 f x =0根的情況，分類討
論確定零點的個數.
【詳解】（1）因為函數 f x 的圖象關于點 1, -2 中心對稱，故 y = f x +1 + 2為奇函數，
從而有 f x +1 + 2 + f -x +1 + 2 = 0，即 f x +1 + f -x +1 = -4，
f x +1 = (x +1)3 + a(x +1)2 + b x +1 + c = x3 + a + 3 x2 + 2a + b + 3 x + a + b + c +1，
f 1- x = (1- x)3 + a(1- x)2 + b 1- x + c = -x3 + a + 3 x2 - 2a + b + 3 x + a + b + c +1，
ì2a + 6 = 0 ìa = -3
所以 í2a 2b 2c 2 4，解得 + + + = -
í
b + c 0
，
=
所以 a - b - c = -3；
（2 3 2）由（1）可知， f x = x - 3x - cx + c f x = 3x2， - 6x - c，Δ = 36 +12c，
①當 c -3時，Δ = 36 +12c 0， f x 0，所以 f x 在R 上單調遞增，
Q f 1 = -2 < 0， f 3 = 27 - 3 9 - 3c + c = -2c > 0，
\函數 f x 有且僅有一個零點；
c
②當 -3 < c < 0時， x1 + x2 = 2 > 0， x1 × x2 = - > 0，3
\ f x = 0 2有兩個正根，不妨設 x1 < x2，則3x1 - 6x1 - c = 0，
\函數 f x 在 - , x1 單調遞增，在 x1, x2 上單調遞減，在 x2 , + 上單調遞增，
Q f x = x3 21 1 - 3x1 - x1 -1 3x21 - 6x1 = -2x1 x21 - 3x1 + 3 < 0， f 3 = -2c > 0，
\函數 f x 有且僅有一個零點；
③當 c = 0 時， f x = x3 - 3x2 ，
令 f x = x3 - 3x2 = 0，解得 x = 0或 x = 3，
\ f x 有兩個零點；
c
④當 c > 0時， x1 + x2 = 2， x1 × x2 = - < 0，3
\ f x = 0有一個正根和一個負根，不妨設 x1 < 0 < x2 ，
\函數 f x 在 - , x1 上單調遞增，在 x1, x2 上單調遞減，在 x2 , + 上單調遞增，
Q f x1 > f 0 = c > 0， f x2 < f 1 = -2 < 0，
\函數 f x 有且僅有三個零點；
綜上，當 c > 0時，函數 f x 有三個零點；
當 c = 0 時，函數 f x 有兩個零點；
當 c < 0時，函數 f x 有一個零點.
x + 7
12．（2024 高三下·浙江杭州·專題練習）已知函數 f x = 關于點 -1,1 中心對稱．
x + a
(1)求函數 f x 的解析式；
2(2)討論 g x = x f x 在區間 0, + 上的單調性；
(3)設 a1 =1, a
n-2
n+1 = f an ，證明： 2 2ln an - ln 7 <1．
x + 7
【答案】(1) f x =
x +1
(2)答案見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）由中心對稱函數的性質得出即可；
（2）利用導數分析其單調性即可；
a2 1
（3 n）將要證明的不等式利用對數運算變形為 ln < n-2 ，再用數學歸納法結合（2）證明7 2
即可.
f x x + 7【詳解】（1）因為函數 = 關于點 -1,1 中心對稱，
x + a
所以 f -1- x + f -1+ x = 2 -1- x + 7 -1+ x + 7，即 + = 2，
a -1- x -1+ x + a
4 8
取 x = 2，可得 + = 2，解得 a =1或 a = 7（舍去），
a - 3 a +1
所以 a =1， f x x + 7= .
x +1
（2）因為 g x = x 2f x ， x > 0，
2
g x x + 7
2
x + 7 é 6 ù x + 7 é x - 2 + 3ù
所以 = 2 + 2x ê- ú =
，
x +1 x +1 ê x +1
2 3
ú x +1
3
因為 x + 7 > 0, x +1 > 0, x - 2 2 + 3 3，所以 g x > 0恒成立，
所以 g x = x f x 2 在區間 0, + 上單調遞增.
2
3 n-2（ ）證明：要證 2 2ln an - ln 7 <1，即證 ln
an 1<
7 2n-2
，
a2 1 1
當 n =1時， ln 1 < 1-2 ln = ln 7 < ln e
2 = 2，成立，
7 2 7
a2ln n+1 1 a
2 2
< ln n+1 1 an即證
7 2n-1
，即證 < ln ，
7 2 7
2
由題意得 an > 0 ln
an+1 an
，則即證 < ln ，
7 7
an + 7
因為 a1 =1, an+1 = f an = an +1
，
a + 7 an n - 7 1- 7 an+1 - 7 = - 7 = ，an +1 an +1
由 an > 0，即 an - 7 與 an+1 - 7 異號，
7 a 7 a
當 an > 7
n n
，0 < a ln < ln 2
2 7 + a 即證 anan+1 > 7 7 ，即證 an n1+ a ÷
> 7 7 ，
è n
由（2）可知，當 an > 7, g an > g 7 = 7 7 成立.
a2 7 a2
當 a > 7,0 < a < 7 ，即證 ln n+1 < ln ，即證 n+1
7
n+1 n < ，7 an 7 an
2
即證 a a2
7 + a
n n+1 < 7 7 ，即證 an n < 7 7 ，
è 1+ a
÷
n
由（2）可知，當0 < an < 7, g an < g 7 = 7 7 成立.
綜上，得證.
【點睛】關鍵點點睛：（1）若函數 f x 滿足 f m - x + f m + x = 2n，則對稱中心為
m, n ；
（2）判斷符合函數的單調性時，常用導數判斷；
（3）證明數列不等式，可用數學歸納法證明，分別取當 n =1時的特例和 n >1的一般情況證
明.
綜合提升練
一、單選題
1．（2024· x 2-x云南昆明·一模）已知函數 f x = e + e ，則下列說法正確的是（ ）
A． f x 為增函數 B． f x 有兩個零點
C． f x 的最大值為 2e D． y = f x 的圖象關于 x =1對稱
【答案】D
【分析】利用導數討論函數的單調性，結合選項依次計算，即可求解.
【詳解】A： f (x) = ex - e2-x ，令 f (x) = 0，得 x =1，
當 x <1時， f (x) < 0 ，當 x >1時， f (x) > 0 ，
所以函數 f (x) 在 (- ,1)上單調遞減，在 (1, + )上單調遞增，故 A 錯誤；
B：由選項 A 知，函數 f (x) 在 (- ,1)上單調遞減，在 (1, + )上單調遞增，
且 f 1 = 2e > 0，所以函數 f (x) 在 R 上沒有零點，故 B 錯誤；
C：由選項 A 知，函數 f (x) 在 (- ,1)上單調遞減，在 (1, + )上單調遞增，
所以 f x = fmin 1 = 2e，即函數 f x 的最小值為 2e，故 C 錯誤；
D： f (2 - x) = e2-x + ex = f (x)，所以函數 f (x) 圖象關于直線 x =1對稱，故 D 正確.
故選：D
2．（2024·河南新鄉·二模）已知函數 f x 滿足 f x + y +1 = f x + f y ，則下列結論一定
正確的是（ ）
A． f x +1是奇函數 B． f x -1 是奇函數
C． f x -1是奇函數 D． f x +1 是奇函數
【答案】B
【分析】利用賦值法推得 f (x) + f (-2 - x) = 0，從而得到 f (x) 的對稱性，再利用函數圖象平
移的性質可判斷 B，舉反例排除 ACD，由此得解.
【詳解】因為 f x + y +1 = f x + f y ，
令 x = y = -1，可得 f -1 = f -1 + f -1 ，則 f (-1) = 0；
令 y = -2 - x ，則 f (-1) = f (x) + f (-2 - x) = 0，
故 f (x) 的圖象關于點 (-1,0) 對稱，
則 f (x -1)的圖象關于點 (0,0)對稱，即 f (x -1)是奇函數，故 B 正確；
對于 C，令 x = y = 0 ，可得 f 1 = f 0 + f 0 1，則 f 0 = f 1 ，
2
當 f 1 2時， f 0 -1 0，此時 f x -1不可能是奇函數，
由于無法確定 f 1 的值，故 f x -1不一定是奇函數，故 C 錯誤；
對于 AD，取 f x = x +1，滿足題意，但易知 D 錯誤；
故選：B.
x
3．（2024 x-1 - x+1高三·全國·專題練習）已知函數 f x = ， g x = e - e +1，則 f x 與 g x
x -1
的圖象交點的縱坐標之和為（ ）
A．4 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【分析】分別判斷函數 f x 與 g x 的對稱性與單調性，進而求解即可.
【詳解】因為函數 p x 1= 為奇函數，其圖象關于點 0,0 對稱，且 p x 在 - ,0 ， 0, +
x
上單調遞減，
f x x x -1+1 1而 = = =1+ = p x -1 +1，
x -1 x -1 x -1
所以 f x 的圖象關于點 1,1 對稱，且 f x 在 - ,1 ， 1, + 上單調遞減．
x - x
因為函數 q x = e - e 為奇函數，其圖象關于點 0,0 對稱，且為R 上的增函數，
所以 g x = q x -1 +1的圖象關于點 1,1 對稱，且為R 上的增函數．
從而 f x 與 g x 的圖象有兩個關于點 1,1 對稱的交點，故兩交點的縱坐標之和為 2．
故選：B．
4．（2024·全國·模擬預測）若定義在R 上的函數 f x 滿足 f x = f x ，且
f 2 + x + f 2 - x = 6, f 3 = 6，則下列結論錯誤的是（ ）
A． f 8 + x = f x B． f x 的圖象關于直線 x = 4對稱
C． f 201 = 3 D． y = f x + 2 - 3是奇函數
【答案】C
【分析】本題考查抽象函數的圖象與性質內容，根據已有條件 f x = f x 和
f 2 + x + f 2 - x = 6, f 3 = 6，以及 x 的任意性結合函數奇偶性和周期性概念、對稱性的
判定知識去進行轉化推理即可.
【詳解】由 f x = f x f -x = f x ，所以 f 2 - x = f x - 2
又 f 2 + x + f 2 - x = 6，所以 f 4 + x + f x = 6，且 f 8 + x + f 4 + x = 6，
所以 f 8 + x = f x ，故 A 正確
由 A 可得， f 8 + x = f -x ，所以 f x 的圖象關于直線 x = 4對稱，故 B 正確
由 A 可得， f x 是周期為 8 的函數， f 201 = f 1 ，
又由 f 2 + x + f 2 - x = 6, f 3 = 6，得 f 3 + f 1 = 6，所以 f 201 = f 1 = 0 ，故 C 錯
誤
對于 D，由 f 2 + x + f 2 - x = 6 f x 的圖象關于點 2,3 對稱，
所以 y = f x + 2 - 3的圖象關于原點對稱，故 D 正確，
故選：C.
5 ．（ 23-24 高 三 下 · 山 東 菏 澤 · 階 段 練 習 ） 已 知 函 數 f x 定 義 域 為 R ， 且
f 2 + x - f 2 - x = -4x ， f 1+ 3x 關于 0,2 對稱，則 f 2025 =（ ）
A．-4046 B． 4046 C．1 D． 0
【答案】A
【詳解】令 g x = f x + 2x，通過條件得到 g x 的對稱性，進而得到其周期，再通過賦值
求出 g 1 ，進而通過 f 2025 = g 2025 - 2 2025計算求解即可.
【解答】由題設條件得 f 2 + x + 2 2 + x = f 2 - x + 2 2 - x ，
令 g x = f x + 2x ，有 g 2 + x = g 2 - x ，
則 g x 的圖象關于直線 x = 2 對稱，
因 為 f 1- 3x + f 1+ 3x = 4 ， 有 f 1- 3x + 2 1- 3x + f 1+ 3x + 2 1+ 3x = 8 ， 即
g 1- 3x + g 1+ 3x = 8 ，
則 g x 的圖象關于 1,4 對稱 .
所以 g x + g 2 - x = 8 ，又 g 2 + x = g 2 - x ，
所以 g x + g 2 + x = 8， g x + 2 + g 4 + x = 8 ，
所以 g 4 + x = g x ，
所以 4為 g x 的一個周期，
因為 g x + g 2 - x = 8
把 x =1 代入得 g 1 = 4 ，
故 g 2025 = g 4 406 +1 = g 1 = 4 ，
有 f 2025 = g 2025 - 2 2025 = -4046 ．
故選：A.
6．（2024·陜西西安·模擬預測）已知 f x 的定義域為R ，函數 f x 滿足
f x + f 4 - x = 6, g x 12x + 2023= ， f x , g x 圖象的交點分別是
4x -8
x1, y1 , x2 , y2 , x3 , y3 , x4 , y4 ,LL， xn , yn ，則 y1 + y2 +LL+ yn可能值為（ ）
A．2 B．14 C．18 D．25
【答案】C
【分析】可以分別說明 f x , g x 的對稱中心為 2,3 ，從而兩個函數的圖象交點關于 2,3
對稱，即 y1 + y2 +LL+ yn應為 6 的倍數，由此即可逐一判斷.
【詳解】因為函數 f x 滿足 f x + f 4 - x = 6，所以 f x 的對稱中心為 2,3 ，
12 2 + x + 2023 12 2 - x + 2023注意到 g 2 + x + g 2 - x = +4 2 + x -8 4 2 - x -8
12 2 + x + 2023 12 2 - x + 2023
= - = 6，
4x 4x
g x 12x + 2023所以 = 的對稱中心也是 2,3 ，
4x -8
故兩個函數的圖象交點關于 2,3 對稱，
故 y1 + y2 +LL+ yn應為 6 的倍數，對比選項可知 C 選項符合題意.
故選：C.
7．（2024·福建漳州·一模）已知可導函數 f x 的定義域為R ， f x -1

÷ 為奇函數，設 g x
è 2
10
是 f x 1的導函數，若 g 2x +1 為奇函數，且 g 0 = ，則 kg 2k =（ ）2 k =1
13 13 11
- 11A． B． C． D． -
2 2 2 2
【答案】D
x
【分析】由 f -1÷為奇函數，結合導數運算可得 g x -1 = g -x -1 ，由 g 2x +1 為奇函
è 2
數，可得 g x +1 + g -x +1 = 0 ，整理可得 g x + 4 = -g x ，進而分析可得
g 8k 2 g 8k 4 1+ = + = - , g 8k + 6 = g 8k 8 1+ = ,k Z ，即可得結果.
2 2
f x -1 x x【詳解】因為 為奇函數，則 f -1 = - f - -1

，
è 2 ÷ ÷ ÷ è 2 è 2
即 f x -1 = - f -x -1 ，兩邊求導得 f x -1 = f -x -1 ，
則 g x -1 = g -x -1 ，可知 g x 關于直線 x=-1對稱，
又因為 g 2x +1 為奇函數，則 g 2x +1 + g -2x +1 = 0 ，
即 g x +1 + g -x +1 = 0 ，可知 g x 關于點 1,0 對稱，
令 x =1，可得 g 2 + g 0 = 0，即 g 2 1= -g 0 = - ，
2
由 g x -1 = g -x -1 可得 g x = g -x - 2 ，
由 g x +1 + g -x +1 = 0 ，可得 g x + g -x + 2 = 0，即 g x = -g -x + 2 ，
可得 g -x - 2 = -g -x + 2 ，即 g x + 4 = -g x ，
g 4 g 0 1令 x = 0，可得 = - = - ；
2
令 x = 2，可得 g 6 1= -g 2 = ；
2
且 g x + 8 = -g x + 4 = - é-g x ù = g x ，可知 8 為 g x 的周期，
可知 g 8k + 2 = g 8k + 4 1= - , g 8k + 6 = g 8k + 8 1= ,k Z ，
2 2
10
所以 kg 2k 1= - 1 2 5 6 1 11+ + + + 9 +10 + 3 + 4 + 7 + 8 = - .
k =1 2 2 2
故選：D.
【點睛】方法點睛：函數的性質主要是函數的奇偶性、單調性和周期性以及函數圖象的對稱
性，在解題中根據問題的條件通過變換函數的解析式或者已知的函數關系，推證函數的性質，
根據函數的性質解決問題．
8．（2024·安徽蕪湖·二模）已知函數 f x 的定義域為R ，且 f x + 2 - 2為奇函數， f 3x +1
2024
為偶函數， f 1 = 0，則 f k =（ ）
k =1
A．4036 B．4040 C．4044 D．4048
【答案】D
【分析】根據題中 f x + 2 - 2為奇函數， f 3x +1 為偶函數，從而可得出 f x 為周期為 4
的函數，從而可求解.
【詳解】由題意得 f x + 2 - 2為奇函數，所以 f x + 2 - 2 + f -x + 2 - 2 = 0，即
f x + 2 + f -x + 2 = 4，所以函數 f x 關于點 2,2 中心對稱，
由 f 3x +1 為偶函數，所以可得 f x +1 為偶函數，則 f x +1 = f -x +1 ，所以函數 f x
關于直線 x =1對稱，
所以 f x + 2 = f -x = - f -x + 2 ，從而得 f x = f x + 4 ，所以函數 f x 為周期為 4 的
函數，
因為 f 1 = 0，所以 f 1 + f 3 = 4 ，則 f 3 = 4，
因為 f x 關于直線 x =1對稱，所以 f 3 = f -1 = 4，
又因為 f x 關于點 2,2 對稱，所以 f 2 = 2，
又因為 f 4 = f -2 = f 0 ，又因為 f -2 = f -2 + 4 = f 2 = 2，所以
f 1 + f 2 + f 3 + f 4 = 8，
2024
f k 2024所以 = é f 1 + f 2 + f 3 + f 4 ù = 4048，故 D 正確.
k =1 4
故選：D.
二、多選題
9．（2023·山東·模擬預測）已知函數 f x 的定義域為R ， f 2x +1 為奇函數，
f 4 - x = f x ， f 0 = 2 ，且 f x 在 0,2 上單調遞減，則（ ）
A． f 1 = 0 B． f 8 = 2
C． f x 在 6,8 上單調遞減 D． f x 在 0,100 上有 50 個零點
【答案】ABD
【分析】利用抽象函數的奇偶性、對稱性、單調性、周期性一一計算即可.
【詳解】由函數 f x 的定義域為R ， f 2x +1 為奇函數可知： f 2x +1 = - f 1- 2x ，
令 x = 0，得 f 1 = - f 1 f 1 = 0，故 A 正確；
由上可知 f x 關于 1,0 中心對稱，則 f 2 - x = - f x ，
因為 f 4 - x = f x ，則 f x 關于 x = 2軸對稱，
且 f 4 - x = - f 2 - x f 4 + x = - f 2 + x = f x ，
所以 f x 的一個周期為 4，即 f 8 = f 0 = 2，故 B 正確；
因為 f x 在 0,2 上單調遞減，所以 f x 在 2,4 上單調遞增，
由周期性知 f x 在 -2,0 上單調遞增，所以 f x 在 6,8 上單調遞增，故 C 錯誤；
易知 f 1 = f 1+ 4 = f 1+ 2 4 =L = f 1+ 24 4 = 0，
且 f 1 = f 3 = f 3+ 4 =L = f 3+ 24 4 = 0，
合計得 f x 在 0,100 上有 25 2個零點，故 D 正確.
故選：ABD
10．（2024·全國·模擬預測）設 f x 是定義域為R 的偶函數，且 f 2x +1 為奇函數．若
f 1 1 , f 1 1 ÷ = =
è 3 3 2 ÷ 2
，則（ ）
è
A． f x 的圖象關于點 1,0 對稱 B． f x 的周期是 2
f x f 2023 f 2023 1C． 的圖象關于直線 x = 2對稱 D． ÷ + ÷ =
è 3 è 2 6
【答案】ACD
【分析】求得 f x 的圖象的對稱中心判斷 A；求得 f x 的周期判斷 B；求得 f x 圖象的對
2023 2023
稱軸判斷 C；求得 f ÷ + f ÷的值判斷 D.
è 3 è 2
【詳解】由 f 2x +1 為奇函數得 f 2x +1 + f -2x +1 = 0 ，所以 f x 的圖象關于點 1,0 對
稱，故 A 正確；
因為 f x 的圖象關于點 1,0 對稱，所以 f 2 - x + f x = 0, f 2 + x + f -x = 0．
又因為 f x 是定義域為R 的偶函數，所以 f -x = f x ，
所以 f 2 - x = f 2 + x ，所以 f x 的圖象關于直線 x = 2對稱，故 C 正確；
（另解：因為 f x 的圖象關于點 1,0 對稱，且關于直線 x = 0對稱，所以 f x 的圖象關于
直線 x = 2對稱，故 C 正確）；
因為 f 2 + x = - f x ，所以 f 4 + x = - f x + 2 = f x ，所以 f x 的周期為 4，故 B 錯誤；
（另解：因為 f x 的圖象關于點 1,0 對稱，且關于直線 x = 0對稱，所以 4 是 f x 的一個
周期）；
f 2023 2023+ f = f 674 1+ 1 1 1 3 ÷ 2 ÷ 3 ÷
+ f 1011+ ÷ = f 2 + ÷ + f 3+ ÷
è è è è 2 è 3 è 2
f 1 f 1 f 1 f 1 1 1 1= - 3 ÷
+ - ÷ = -2 3 ÷
+ ÷ = - = ，故 D 正確．
è è è è 2 2 3 6
故選：ACD．
11．（2024·湖北·二模）我們知道，函數 y = f (x) 的圖象關于坐標原點成中心對稱圖形的充要
條件是函數 y = f (x) 為奇函數．有同學發現可以將其推廣為：函數 y = f (x) 的圖象關于點
P(a,b) 成中心對稱圖形的充要條件是函數 y = f (x + a) - b f (x)
4
為奇函數．已知函數 =
2x
，
+ 2
則下列結論正確的有（ ）
A．函數 f (x) 的值域為 (0, 2]
B．函數 f (x) 的圖象關于點 (1,1) 成中心對稱圖形
C．函數 f (x) 的導函數 f (x) 的圖象關于直線 x =1對稱
D．若函數 g(x)滿足 y = g(x +1) -1為奇函數，且其圖象與函數 f (x) 的圖象有 2024 個交
2024
點，記為 Ai (xi , yi )(i =1,2,L, 2024) ，則 (xi + yi ) = 4048
i=1
【答案】BCD
【分析】借助指數函數的值域求解判斷 A；利用給定定義計算判斷 B；利用復合函數求導法
則結合對稱性判斷 C；利用中心對稱的性質計算判斷 D.
4
【詳解】對于 A，顯然 f (x) 的定義域為 R， 2x > 0，則0 < x < 2，即函數 f (x) 的值域為2 + 2
(0,2)，A 錯誤；
x - x x
對于 B，令 h(x) = f (x +1) -1 4 2 1- 2 1- 2 2 -1= x+1 -1 = x -1 = x ， h(-x) = - x = x = -h(x) ，2 + 2 2 +1 1+ 2 1+ 2 2 +1
即函數 y = f (x +1) -1是奇函數，因此函數 f (x) 的圖象關于點 (1,1) 成中心對稱圖形，B 正確；
對于 C，由選項 B 知， f (-x +1) -1 = -[ f (x +1) -1]，即 f (1- x) + f (1+ x) = 2，
兩邊求導得- f (1- x) + f (1+ x) = 0，即 f (1- x) = f (1+ x) ，
因此函數 f (x) 的導函數 f (x) 的圖象關于直線 x =1對稱，C 正確；
對于 D，由函數 g(x)滿足 y = g(x +1) -1為奇函數，得函數 g(x)的圖象關于點 (1,1) 成中心對
稱，
由選項 B 知，函數 g(x)的圖象與函數 f (x) 的圖象有 2024 個交點關于點 (1,1) 對稱，
2024 2024 2024
因此 (xi + yi ) = xi + yi =1012 2 +1012 2 = 4048，D 正確.
i=1 i=1 i=1
故選：BCD
【點睛】結論點睛：函數 y = f (x) 的定義域為 D，"x D，
①存在常數 a，b 使得 f (x) + f (2a - x) = 2b f (a + x) + f (a - x) = 2b ，則函數 y = f (x) 圖象
關于點 (a , b ) 對稱.
②存在常數 a 使得 f (x) = f (2a - x) f (a + x) = f (a - x)，則函數 y = f (x) 圖象關于直線
x = a對稱.
三、填空題
12．（2024 高三·全國·專題練習）若函數 y＝g（x）的圖象與 y＝ln x 的圖象關于直線 x＝2 對
稱，則 g（x）＝ ．
【答案】ln （4－x）
【分析】利用對稱的定義求解即可.
【詳解】在函數 y＝g（x）的圖象上任取一點（x，y），則點（x，y）關于直線 x＝2 對稱的
點為（4－x，y），且點（4－x，y）在函數 y＝ln x 的圖象上，所以 y＝ln （4－x）,
即 g x = ln 4 - x ,
故答案為： ln 4 - x
13．（2024·寧夏銀川·一模）已知定義在 R 上的偶函數 f x 滿足 f (x) = f (2 - x)，當 x [0,1]
時， f x = 2x . g x = e- x-1函數 -1< x < 3 ，則 f (x) 與 g(x)的圖象所有交點的橫坐標之和
為 .
【答案】4
【分析】在同一坐標系內作出 f x 與 g x 的圖象，再利用圖象的對稱性即可求得 f x 與
g x 的圖象所有交點的橫坐標之和.
- x
【詳解】函數 y = e 是偶函數，圖象對稱軸為 x = 0，則函數 y = e- x-1 的圖象有對稱軸 x =1，
g x =e- x-1所以函數 -1< x <3 的圖象有對稱軸 x =1，
x-1
g 1 =1， x 1,3 時 g x = e- x-1 = 1 ÷ ，在 1,3 上單調遞減且 g x > 0，
è e
定義在 R 上的偶函數 f x 滿足 f (x) = f (2 - x)，
則函數 f x 有對稱軸 x = 0, x =1，又當 x [0,1]時， f x = 2x，
在同一坐標系在 (-1,3)內作出 f x 與g x 的圖象，
由圖象可得， f x 與 g x 的圖象有 4 個交點，
又 f x 與 g x 的圖象均有對稱軸 x =1，
則兩函數所有交點的橫坐標之和為 4.
故選：B
14．（2024· x-1 1-x 3內蒙古呼和浩特·一模）已知定義在R 上的函數 f x = e - e + (x -1) + x，滿
足不等式 f 2x - 4 + f 2 - 3x 2，則 x 的取值范圍是 ．
【答案】 - , -4
【分析】由函數解析式可令 h x = f x -1，且 h x 是R 上的增函數并關于點 1,0 成中心
對稱，將不等式變形即可求得 h 2x - 4 h 3x ，解得 x -4 .
【詳解】易知函數 y = ex-1, y = -e1-x , y = (x -1)3 , y = x在R 上為單調性遞增，
f x = ex-1 - e1-x 3即可得 + (x -1) + x是R 上的增函數，
x-1 1-x
令 h x = f x -1 = e - e + (x -1)3 + x -1，則 h x 是R 上的增函數，
易知 h 2 - x = e1-x - ex-1 + (1- x)3 +1- x = -h x ，可得 h 2 - x + h x = 0 ,
即 h x 的圖象關于點 1,0 成中心對稱，
由 f 2x - 4 + f 2 - 3x 2可得 f 2x - 4 -1 - é f 2 - 3x -1 ù，
即 h 2x - 4 -h 2 - 3x ，由 h 2 - x + h x = 0可得 h 3x = -h 2 - 3x ；
所以 h 2x - 4 h 3x ，利用 h x 是R 上的增函數可得 2x - 4 3x，
解得 x -4 .
即 x 的取值范圍是 - , -4 .
故答案為： - , -4
【點睛】方法點睛：解函數不等式的方法步驟：
（1）根據解析式特征得出函數奇偶性、對稱性、周期性等性質；
（2）再判斷得出函數單調性，利用單調性并結合定義域得出不等式（組）；
（3）解不等式可得結論；
四、解答題
15．（23-24 高三上·重慶·階段練習）已知函數 f x = 2x ，函數 h x 與 f x 關于點 log 3,
3a
2 2 ֏
中心對稱．
(1)求 h x 的解析式；
(2)若方程 f x = h x 有兩個不等的實根x1，x2，且 x1 - x2 = 2，求 a 的值．
9
【答案】(1) h x = 3a -
2x
a 5(2) =
2
【分析】（1）根據函數的對稱性可得 h x + f 2log2 3 - x = 3a ，從而可得 h x 的解析式；
（2）根據方程的根，利用一元二次方程根與系數的關系與指數函數的性質，結合
x1 - x2 = 2，即可求得 a 的值．
【詳解】（1）已知函數 f x = 2x h x f x log 3, 3a ，函數 與 關于點 2 ÷ 中心對稱
è 2
所以 h x + f 2log2 3 - x = 3a ，則 h x = 3a - f 2log2 3 - x
9
= 3a - 22log2 3-x = 3a -
2x
（2）由于方程 f x = h x 有兩個不等的實根x1，x2，不妨設 x1 > x2
x 9 2
即 2 = 3a - 兩個不等的實根，則 2x - 3a 2x + 9 = 0，由于函數 y = 2xx 是遞增函數，2
所以 2x1 + 2x2 = 3a ①， 2x1 × 2x2 = 9 ②
因為 x1 - x2 = 2， x1 > x2 ，則 x1 = 2 + x2，
所以 2x1 -x2 = 4，則 2x1 = 22+x2 代入②得： 22+2x2 = 9，解得 x2 = log2 3-1，
① a
1
= 2x 1 1 3 5代入 得 1 + 2x2 = 2log2 3+1 + 2log2 3-1 = 6 + 3 3 3 2 ÷ = .è 2
3
16．（2023 高三·全國·專題練習）已知函數 f x = x ．9 + 3
(1)求證：函數 f x 1 1 的圖象關于點 , 對稱；
è 2 2 ÷
(2)求 S = f -2022 + f -2021 +L+ f 0 +L+ f 2022 + f 2023 的值．
【答案】(1)證明見解析
(2) S = 2023
1 1
【分析】（1）證明 f x 圖象關于點 , ÷對稱，轉化為證明關系式 f x + f 1 - x = 1；
è 2 2
（2）由第（1）問結論，利用倒序相加法求和.
x x
【詳解】（1）因為 f x 3= x ，所以 f9 3 1
3 3 ×9 9
- x = 1-x = = ，+ 9 + 3 9 + 3 ×9x 9x + 3
所以 f x + f 1 - x = 1，即函數 f x 1 , 1 的圖象關于點 2 2 ÷對稱.è
（2）由（1）知與首尾兩端等距離的兩項的和相等，使用倒序相加求和.
因為 S = f -2022 + f -2021 +L + f 0 + f (1) +L + f 2022 + f 2023 ，
所以 S = f 2023 + f 2022 +L + f 1 + f (0) +L + f -2021 + f -2022 （倒序），
又由（1）得 f x + f 1 - x = 1，
所以 2S = 4046，所以 S = 2023 .
n
17．（23-24 高三上·上海·期中）已知函數 f x = m - x m, n R .4 +1
(1)當m = 3時，確定是否存在 n，使得 f x 的圖象關于原點中心對稱；
(2)對于任意給定的非零常數m ， y = f x 的圖象與 x 軸負半軸總有公共點，求 n的取值范圍；
(3)當 n =1時，函數 g x 的圖象與 y = f x 圖象關于點 1,0 對稱，若對任意： x 1,2 ，
g x < 0恒成立，求m 的取值范圍.
【答案】(1)存在 n = 6，使得 f x 的圖象關于原點中心對稱；
(2) m > 0時，m < n < 2m ，m < 0時， 2m < n < m；
1
(3) m
2
【分析】（1）由 f (0) = 0求得 n值，然后檢驗其滿足題意；
（2） f (x) = 0 總有負數解可得；
（3）轉化為 x (0,1) 時， f (x) > 0 恒成立，再轉化為新函數的取值范圍，從而得參數范圍．
【詳解】（1）m = 3時， f (x) = 3
n
- x ，若 f x 的圖象關于原點中心對稱，則4 +1
f (0) 3 n= - = 0， n = 6，
2
x
此時 f (x) 3 6 3 × (4 -1)= - x = ，4 +1 4x +1
f ( x) 3(4
- x -1) 3(1- 4x )
- = - x = x = - f (x) , f (x) 是奇函數，圖象關于原點對稱，滿足題意．4 +1 1+ 4
所以存在 n = 6，使得 f x 的圖象關于原點中心對稱；
（2）由 f (x) = m
n n
- x = 0
x
，因為m 0 ，所以 4 = -1，
4 +1 m
n
由題意 x < 0 ，則0 < 4x <1，即0 < -1<1，m
所以m > 0時，m < n < 2m ，m < 0時， 2m < n < m；
f (x) m 1（3）當 n =1時， = - x ，4 +1
函數 g x 的圖象與 y = f x 圖象關于點 1,0 對稱，若對任意 x 1,2 ， g x < 0恒成立，
則對任意 x (0,1) ， f (x) > 0 恒成立，
1 1 1
0 < x <1時，1< 4x < 4， < < ，5 4x +1 2
f (x) m 1= - x > 0
1 1
，則m > x ，所以m ．4 +1 4 +1 2
18．（23-24 高三上·陜西咸陽·階段練習）已知函數 f x = 2 x + 2x - m m > 0 的圖象關于直
線 x =1對稱．
(1)求 m 的值，及 f x 的最小值；
(2)設 a b
1 4
， 均為正數，且 a + b = m，求 + 的最小值.
a b
【答案】(1) m = 4 ，4
9
(2)
4
【分析】（1）先整理 f x ，再利用題意中的對稱求出m = 4 ，然后用三角不等式求出最小值
即可；
（2）由（1）可得 a + b = 4 ，然后利用“1”的妙用和基本不等式即可求解.
【詳解】（1）因為 f x = 2 x + 2x - m = 2x + 2x - m ，
令 2x = 0
m
，解得 x = 0；令 2x - m = 0，解得 x = ，
2
因為函數 f x 的圖象關于直線 x =1對稱，
m
所以0 + = 2 1，解得m = 4 ，
2
則 f x = 2x + 2x - 4 ，可得 f 2 - x = 2 2 - x + 2 2 - x - 4 = 2x + 2x - 4 = f x ，
所以m = 4 符合題意，
可得 f x = 2x + 2x - 4 2x - 2x - 4 = 4，
當且僅當 2x × 2x - 4 0 ，即0 x 2時，等號成立，
所以 f x 的最小值為 4.
1
（2）由（1）可得 a + b = 4 ，即 a + b =1，
4
1 4 1 1 4
所以 + = + ÷ a b
1 b 4a 1 b 4a 9+ =
a b 4 a b 4
+ + 5
a b ÷
2 × + 5
4 a b ÷è è ÷
= ，
è 4
b 4a 4 8
當且僅當 = ，即 a = ,b = 時，等號成立，
a b 3 3
1 4 9
所以 + 的最小值為 .
a b 4
19．（23-24 高三下·山東·開學考試）已知函數 f x = ln x +1 ．
(1)討論函數F x = ax - f x a R 的單調性；
1 1
(2)設函數 g x = x +1 f x ÷ - f +1÷．è è x
（ⅰ）求 g 1 - g -2 的值；
（ⅱ）證明：存在實數m ，使得曲線 y = g x 關于直線 x = m 對稱．
【答案】(1)答案見解析
(2)（ⅰ）0；（ⅱ）證明見解析
【分析】（1）求出F x = ax - ln x +1 ，求導F x = a 1 ax + a -1- = ， x -1, + ，分
x +1 x +1
a 0和 a > 0兩種情況討論函數的單調性.
1
（2）（ⅰ）求出 g x = x +1 ln 1+ ÷ - ln
2 1 + ÷，直接計算 g 1 ， g -2 即可得結果；
è x è x
（ⅱ）根據 g x 1的定義域，推斷函數的對稱軸為 x = m = - ，驗證 g -1- x = g x 2 即可.
【詳解】（1）由題意可知F x = ax - ln x +1 ，則F x 的定義域為 -1, + ，
F x a 1 ax + a -1= - = ， x -1, + ，
x +1 x +1
當 a 0時，F x a 1= - < 0，則F x 在 -1, + 上單調遞減；
x +1
當 a > 0時，令F x = 0 1，即 ax + a -1 = 0，解得 x = -1，
a
1 x 1- a 1 1 F x ax + a -1若- < = - ， = 0；
a a x +1
x 1若 > -1，F x ax + a -1= > 0，
a x +1
F x 1-1, -1ù 1 則 在 ú 上單調遞減，在 -1, + a ÷ 上單調遞增．è a è
綜上所述，當 a 0時，F x 在 -1, + 上單調遞減；
當 a > 0時，F x 在 -1,
1
-1ù 1 ú 上單調遞減，在 -1, + a ÷ 上單調遞增．è a è
1 1 4
（2）（ⅰ）函數 g x = x +1 ln 1+ ÷ - lnx 2 + ÷，則 g 1 = 2ln2 - ln3 = ln ，è è x 3
g 2 1 3 3 4- = -ln - ln = -ln = ln ，故 g 1 - g -2 = 0 ．
2 2 4 3
（ⅱ）函數 g x 的定義域為 - ,-1 0, + ．若存在m ，使得曲線 y = g x 關于
直線 x = m 對稱，則 - ,-1 0, + 1關于直線 x = m 對稱，所以m = -
2
由 g -1- x = 1 1-x ln 1+ ÷ - ln

2 +

-1- x -1- x ÷è è
xln x ln 2x +1 xln x +1 ln 2x +1 x +1 x +1 2x +1= - - = - = 1+ x ln - ln - ln
x +1 x +1 x x +1 x x x +1
= 1+ x ln x +1 ln 2x +1- = g x ．
x x
可知曲線 y = g x 1關于直線 x = - 對稱．
2
拓展沖刺練
一、單選題
3
1．（23-24 高三下·陜西安康·階段練習）已知函數 f x = x ，則 f x 的圖象（3 1 ）+
3 3
A．關于點 ,0÷對稱 B．關于直線 x = 對稱
è 2 2
3 1
C．關于點 0, ÷ 對稱 D．關于直線 x = 對稱
è 2 2
【答案】C
【分析】根據對稱性對選項進行分析，從而確定正確答案.
3
【詳解】AB 選項， f 1 = , f 2 3= , f 1 ± f 2 ，所以 AB 選項錯誤.
4 10
x x
C 選項， f 3 3 1+ 3-x = ， f x f x 3 3 3 3 3 3- x +1 - + = x + - x = x + x = x = 3，3 +1 3 +1 3 +1 1+ 3 1+ 3
所以 f x 3 的圖象關于點 0, ÷ 對稱，C 選項正確.
è 2
3
D 選項， f 0 = , f 0 ± f 1 ，所以 D 選項錯誤.
2
故選：C
2 3
2．（2024·山西呂梁·一模）已知函數 f x 滿足 f x + y + f x - y = f x f y ，f 1 = ，
3 2
則下列結論不正確的是（ ）
A． f 0 =3 B．函數 f 2x -1 1關于直線 x = 對稱
2
C． f x + f 0 0 D． f x 的周期為 3
【答案】D
【分析】解法一：令 x =1， y = 0 代入判斷 A；令 x = 0，利用奇偶性和對稱性的概念判斷 B；
令 y = x
π
判斷 C；令 y =1，利用周期性的概念判斷 D；解法二：構造函數 f (x) = 3cos x，依
3
次驗證各選項即可.
【詳解】解法一：
令 x =1， y = 0 ，則 2 f 1 2= f 1 f 0 ，解得 f 0 = 3，A 正確；
3
2
令 x = 0，則 f y + f -y = f 0 f y = 2 f y ，
3
所以 f y = f -y ，即 f x 是偶函數，
所以 f 2x -1 = f -2x +1 = f é 2 1- x -1ù
1
，所以函數 f 2x -1 關于直線 x = 對稱，B 正確；2
令 y = x ，則 f 2x 2+ f 0 = f 2 x 0，
3
令 t = 2x，則 f t + f 0 0，所以 f x + f 0 0，C 正確；
令 y =1，則 f x +1 + f x -1 = f x ①，
所以 f x + 2 + f x = f x +1 ②，
①②聯立得 f x + 2 = - f x -1 ，
所以 f x + 3 = - f x ， f x + 6 = - f x + 3 = f x ，即 f x 的周期為6，D 錯誤；
解法二：
π
構造函數 f (x) = 3cos x，
3
f 1 3滿足 = ，且
2
f x + y + f x - y = 3cos π x + y + 3cos π x - y = 6cos π x cos π y 2= f x f y ，
3 3 3 3 3
f 0 = 3cos 0 = 3，A 正確；
f 2x -1 = 3cos π 2x -1 = 3cos 2π x π é 2π 1 ù -

3 3 3 ÷
= 3cos x - ÷ ，
è ê 3 è 2
ú

因為 f 2x -1 表示 y = 3cos 2π x 1的圖象向右平移 個單位，且 y = 3cos 2π x2 的圖象關于 y 軸3 3
對稱，
所以 f 2x -1 1關于直線 x = 對稱，B 正確；
2
由余弦函數的圖象和性質可知 f x + f 0 = 3cos π x +1 0，C 正確；
3
2π
f x T = = 6的周期 π ，D 錯誤；
3
故選：D
3．（2023·四川樂山·一模）已知函數 f x 定義域為 R，且滿足 f 0 = 0， f -x = f x ，
f 1- t - f 1+ t + 4t = 0，給出以下四個命題：
① f -1 = f 3 ；
② f x + 2 = f x ；
③ f 4 = 64 ；
④函數 y = f x - 2x 的圖象關于直線 x =1對稱.
其中正確命題的個數是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】利用賦值法推出 f -1 = f 3 -8，判斷①，利用賦值法得 f 0 + 4 = f 2 ，結合
f x + 2 = f x ，可判斷②；利用賦值法結合函數的奇偶性求出 f 4 ，判斷③，設
g(x) = f x - 2x，根據函數的對稱性可判斷④.
【詳解】對于 f 1- t - f 1+ t + 4t = 0，令 t = 2，則 f -1 - f 3 + 8 = 0，
即 f -1 = f 3 -8，①錯誤；
令 t =1，則 f 0 - f 2 + 4 = 0，即 f 0 + 4 = f 2 ，
而對于 f x + 2 = f x ，令 x = 0，則 f 2 = f 0 ，矛盾，
故②錯誤；
由題意知 f 0 = 0， f -x = f x ，
令 t = -1，則 f 2 - f 0 - 4 = 0,\ f 2 = f 0 + 4 = 4，
令 t = 3，則 f -2 - f 4 +12 = 0,\ f 4 = f -2 +12，
故 f 4 = f 2 +12 =16，③錯誤；
又 f 1- t - f 1+ t + 4t = 0可得 f (1- t) - 2(1- t) = f (1+ t) - 2(1+ t) ，
設 g(x) = f x - 2x，則 f (1- x) - 2(1- x) = f (1+ x) - 2(1+ x)，
即 g(1- x) = g(1+ x) ，即函數 y = g x 的圖象關于直線 x =1對稱
即函數 y = f x - 2x 的圖象關于直線 x =1對稱，④正確，
故選：B
【點睛】難點點睛：解答本題的難點是④的判斷，解答時要根據已知等式進行變形為
f (1- t) - 2(1- t) = f (1+ t) - 2(1+ t) ，從而設 g(x) = f x - 2x，可得 g(1- x) = g(1+ x) ，即可
判斷其正誤.
1
4．（22-23 高三下·全國·階段練習）已知函數 f x =
ex
+ 2ax，則下列關于 f x 的結論中
+1
正確的是（ ）
A． f x 在 1, + 1上有最小值 B．若 a = ，則 f x 有最大值
4
C． f -e + f e =1 D． f x 關于點 0,1 中心對稱
【答案】C
【分析】對于 AB，求導后根據 a的取值范圍或者取特殊值，分別分析導函數的正負區間，
判斷函數單調性，即可判斷最值情況；對與 C，D，計算 f -x + f x ，根據結果可判斷
f -e + f e 的值以及函數對稱性.
ex x
【詳解】對于 A， f x = - 2 + 2a
e
，當 a 0時， f x = - 2 + 2a < 0 ，ex +1 ex +1
故 f x 在 R 上單調遞減，則 f x 在 1, + 上有最大值，
ex 2x1 e + e
x +1
當 a 時， f x = - 2 +1+ 2a -1 = 2 + 2a -1 > 0，
2 ex +1 ex +1
故 f x 在 R 上單調遞增，則 f x 在 1, + 上有最小值，故 A 不正確；
x 2x
1
對于 B，當 a = 時， f x
e 1 e +1
= - 2 + = > 0
4 2 ，ex +1 2 2 ex +1
f x 在 R 上單調遞增，函數無最值，故 B 錯誤；
x
對于 C D 1 1 e 1， ， f -x + f x = - x - 2ax + + 2ax = + =1，e +1 ex +1 1+ ex ex +1
故 f x 1 關于點 0, ÷中心對稱 ，則 f -e + f e =1，C 正確，D 不正確；
è 2
故選：C
【點睛】結論點睛：函數的對稱性：
f x a f x a + b c若 + + - + b = c，則函數 f x 關于 , ÷ 中心對稱，
è 2 2
若 f x + a = f -x + b ，則函數 f x a + b關于 x = 對稱，
2
5．（2023·新疆烏魯木齊·二模）已知 f x ， g x 都是定義在R 上的函數，對任意 x，y 滿足
f x - y = f x g y - g x f y ，且 f -2 = f 1 0，則下列說法正確的是（ ）
A． f 0 =1 B．函數 g 2x +1 的圖象關于點 1,0 對稱
2023
C． g 1 + g -1 = 0 D．若 f 1 =1，則 f n = 1
n=1
【答案】D
f x sin 2π 2π【分析】利用賦值法結合題目給定的條件可判斷 AC，取 = x, g x = cos x 可判
3 3
斷 B，對于 D，通過觀察選項可以推斷 f x 很可能是周期函數，結合 f x g y , g x f y 的
特殊性及一些已經證明的結論，想到令 y = -1和 y =1時可構建出兩個式子，兩式相加即可得
2023
出 f x +1 + f x -1 = - f x ，進一步得出 f x 是周期函數，從而可求 f n 的值.
n=1
【詳解】解：對于 A，令 x = y = 0 ，代入已知等式得 f 0 = f 0 g 0 - g 0 f 0 = 0，得
f 0 = 0，故 A 錯誤；
2π 2π
對于 B，取 f x = sin x, g x = cos x ，滿足 f x - y = f x g y - g x f y 及
3 3
f -2 = f 1 0，
因為 g 3 = cos 2π =1 0，所以 g x 的圖象不關于點 3,0 對稱，
所以函數 g 2x +1 的圖象不關于點 1,0 對稱，故 B 錯誤；
對于 C，令 y = 0 ， x =1，代入已知等式得 f 1 = f 1 g 0 - g 1 f 0 ，
可得 f 1 é 1- g 0 ù = -g 1 f 0 = 0，結合 f 1 0 得1- g 0 = 0 ， g 0 =1，
再令 x = 0，代入已知等式得 f -y = f 0 g y - g 0 f y ，
將 f 0 = 0， g 0 =1代入上式，得 f -y = - f y ，所以函數 f x 為奇函數.
令 x =1， y = -1，代入已知等式，得 f 2 = f 1 g -1 - g 1 f -1 ，
因為 f -1 = - f 1 ，所以 f 2 = f 1 ég -1 + g 1 ù ，
又因為 f 2 = - f -2 = - f 1 ，所以- f 1 = f 1 é g -1 + g 1 ù ，
因為 f 1 0 ，所以 g 1 + g -1 = -1，故 C 錯誤；
對于 D，分別令 y = -1和 y =1，代入已知等式，得以下兩個等式：
f x +1 = f x g -1 - g x f -1 ， f x -1 = f x g 1 - g x f 1 ，
兩式相加易得 f x +1 + f x -1 = - f x ，所以有 f x + 2 + f x = - f x +1 ，
即： f x = - f x +1 - f x + 2 ，
有：- f x + f x = f x +1 + f x -1 - f x +1 - f x + 2 = 0 ，
即： f x-1 = f x+2 ，所以 f x 為周期函數，且周期為 3，
因為 f 1 =1，所以 f -2 =1，所以 f 2 = - f -2 = -1， f 3 = f 0 = 0，
所以 f 1 + f 2 + f 3 = 0，
2023
所以 f n =1 = f 1 + f 2 + f 3 +L+ f 2023 = f 2023 = f 1 =1，故 D 正確.
n=1
故選：D.
【點睛】思路點睛：對于含有 x, y的抽象函數的一般解題思路是：觀察函數關系，發現可利
用的點，以及利用證明了的條件或者選項；抽象函數一般通過賦值法來確定、判斷某些關系，
特別是有 x, y雙變量，需要雙賦值，可以得到一個或多個關系式，進而得到所需的關系，此
過程中的難點是賦予哪些合適的值，這就需要觀察題設條件以及選項來決定.
二、多選題
π
6．（23-24 高三上·浙江杭州·期末）已知函數 f x = cos 2x ， g x = sin 2x +

÷，則（3 ）è
π
A．將函數 y = f x 的圖象右移 個單位可得到函數 y = g x 的圖象
12
π
B．將函數 y = f x 的圖象右移 個單位可得到函數 y = g x 的圖象
6
C．函數 y = f x 與 y = g x π的圖象關于直線 x = 對稱
24
D．函數 y = f x 與 y = g x 7π的圖象關于點 ,0

÷對稱
è 24
【答案】ACD
π
【分析】由三角函數的平移變換可判斷 A，B；由 g x = f x - ÷可判斷 C；由
è 12
g 7π - x

÷ = - f x 可判斷 D.
è 12
g x sin 2x π é π π ù π【詳解】因為 = +

÷ = cos ê- +

2x +

÷ = cos

2x -

3 2 ÷
，
è è 3
ú
è 6
將函數 y = f x π é π ù π 的圖象右移 個單位可得到 y = cos ê2 x - ÷ = cos12
2x - ÷，
è 12
ú
è 6
é π ù π
將函數 y = f x π 的圖象右移 個單位可得到 y = cos
6 ê
2 x - 6 ÷ú
= cos 2x - 3 ÷
，
è è
故 A 正確，B 錯誤；
由 A 選項可知， g x = f x
π π
- ÷，所以函數 y = f x 與 y = g x = f12 x - ÷的圖象關于直è è 12
x π線 = 對稱，故 C 正確；
24
若函數 y = f x 與 y = g x 7π的圖象關于點 ,0

è 24 ÷
對稱，

則在 y = f x 上取點 A x , y 7π 7π 1 1 關于 ,024 ÷的對稱點 A - x1,-y1 ÷必在 y = g x 上，è è 12
y cos2x g 7π x sin é2 7π x π ù 7π π所以 1 = 1，所以 - 1 ÷ = ê - 1 ÷ + ú = sin - 2x1 +

è 12 è 12 3 è 6 3
÷

= sin 3π - 2x

1 ÷ = -cos 2x1 = -y1 ，故 D 正確.
è 2
故選：ACD.
7．（2024·吉林白山·二模）已知函數 f x 的定義域為R ，其圖象關于 1,2 中心對稱，若
f x - f 4 - x
= 2 - x ，則（ ）
4
A． f 2 - 3x + f 3x = 4 B． f x = f x - 4
20
C． f 2025 = -4046 D． f (i) = -340
i=1
【答案】ACD
【分析】根據對稱性即可判斷 A，根據 f 1 = 2 ， f 3 = -2 ， f -1 = 6的值即可排除 B,根
據 f x + 4 - f x = -8可求解 C，根據 f (1) + f (2) + f (3) + f (4) = -4, 即可求解 D.
【詳解】因為 f x 的圖象關于 1,2 中心對稱，則 f 2 - x + f x = 4 ,故 A 正確；
f x - f 4 - x
由 = 2 - x ，可得 f x - f 4 - x = 8 - 4x，則 f 2 - x - f 2 + x = 4x，取 x =1
4
得 f 1 - f 3 = 4，
在 f 2 - x + f x = 4中取 x =1可得 f 1 = 2 ，則 f 3 = -2 ，
由 f -1 + f 3 = 4 ，得 f -1 = 6 f 3 ，故 B 錯誤；
由 f 2 - x - f 2 + x = 4x，得 4 - f x - f 2 + x = 4x,
\ f x + f x + 2 = 4 - 4x ①\ f x + 2 + f x + 4 = -4 - 4x ②，
②-①得 f x + 4 - f x = -8，又
Q2025 =1+ 4 506,\ f 2025 = f 1 -8 506 = 2 -8 506 = -4046，故 C 正確；
又由① f (2) + f (4) = -4,\ f (1) + f (2) + f (3) + f (4) = -4,
20
\ f (i) 5 4= -4 5 + (-32) = -340，故 D 正確.
i=1 2
故選：ACD.
三、填空題
x
8．（2023·四川瀘州·一模）函數 f x = 的對稱中心為 ．
x -1
【答案】 1,1
1
【分析】依題意可得 f x =1+ ，再根據冪函數的性質及函數的平移變換判斷即可.
x -1
【詳解】因為 f x x x -1+1= = =1 1+ ，
x -1 x -1 x -1
x 1
則 f x = 的圖象可以由函數 y = x 向右平移一個單位，再向上平移一個單位得到，x -1
y 1因為 = 0,0 x 為奇函數，函數圖象關于原點 對稱，所以 f x 關于 1,1 對稱.
故答案為： 1,1
1 2
9．（23-24 · 3 2高三上 河南·階段練習）已知函數 f x = x - x + x +1, f m = 2, f n = ，則
3 3
m + n = ．
【答案】2
4
【分析】求導函數，得出導函數關于 x =1對稱，得出原函數關于 1, 3 ÷ 中心對稱，即可得出è
答案.
【詳解】由 f x = x2 - 2x +1 = (x -1)2 0，所以 f x 在R 上嚴格增，又 f 1 4= ，
3
f x + f (2 x) 1 x3 x2 1- = - + x +1+ 2 - x 3 - 2 - x 2 + 2 - x +1
3 3
1
= x3 - x2 + x +1 1+ (8 + 6x2 -12x - x3) - (4 - 4x + x2 ) + 2 - x +1 8= ，
3 3 3
4
所以 f x 關于 1, 3 ÷ 中心對稱，è
又 f m + f n 8= ， f x 在R 上嚴格增，
3
所以m + n = 2．
故答案為：2.
四、解答題
1
10．（2023 高三·全國·專題練習）已知函數 f (x) = a 1- 2 x - ÷ ， a R 且 a > 0
è 2
1
(1)證明：函數 f (x) 的圖像關于直線 x = 對稱；
2
(2)若 x0 滿足 f ( f (x0 )) = x0 但 f (x0 ) x， 0 ，則 x0 稱為函數 f (x) 的二階周期點，如果 f (x) 有兩
個二階周期點 x1, x2 ，試確定實數 a的取值范圍．
【答案】(1)證明見解析
1
(2) a >
2
f 1 1 【分析】（1）證明 + x2 ÷
= f - x2 ÷
即可；
è è
（2）分0 < a
1
< ， a
1 1
= 和 a > 三種情況討論去絕對值符號，結合二階周期點的定義即可
2 2 2
得解.
1 1
【詳解】（1）因為 f + x ÷ = a 1- 2 x ， f - x ÷ = a 1- 2 x ，
è 2 è 2
f 1 x f 1+ = 有 2 ÷
- x ÷，
è è 2
所以函數 f x 1的圖像關于直線 x = 對稱；
2
ì
1 2ax, x
1


（2） f (x) = a 1- 2 x

- = 2÷ í ，
è 2 a 2 - 2x , x 1> 2
ì 2
4a x, x
1

0 a 1當 < < 時，有 f f x = 2
2 í
，
4a2 (1- x), x 1>
2
ì 1 ìx 1>
令 f
x
f x = x ，則 í 2 或 í 2 ，解得 x = 0，
4a2 x = x 4a
2 1- x = x
所以 f f x = x只有一個解 x = 0，
又 f 0 = 0，故 0 不是二階周期點．
ì 1
x, x
當 a
1
= 時，有 f f x = 2í 1 ，2 1- x, x >
2
ì
x
1
ì
1
f f x x
x > 1
令 = ，則 í 2 或 í 2 ，解得 x ，
x = x 1- x = x
2
ì 1 ü
所以 f f x = x有解集 íx x ，
2
1 ì 1 ü
又當 x 時， f x = x，故 íx x 中的所有點都不是二階周期點，2 2
ì4a2 x x
1
，
4a

2a
1 1
- 4a2x, < x
1
當 a > 時，有 f f x = 4a 2
2 í
，
2a(1 1 4a -1- 2a) + 4a2x, < x
2 4a

4a2 4a2x x 4a -1－ ， >
4a
令 f f x = x，
ì 1 ì 1 1 ì1 x 4a -1x x < ìx 4a -1 < >
則 í 4a

或 í4a 2

或 í2 4a

或 í 4a ，
4a2x = x 2a - 4a2x = x 2a 1- 2a + 4a2x = x 4a2 - 4a2 x = x
2a 2a 2
解得 x = 0 4a或 2 或 或 2 ，1+ 4a 1+ 2a 1+ 4a
f f x = x 0, 2a , 2a 4a
2
所以 有四個解 , ，
1+ 4a2 1+ 2a 1+ 4a2

2 2
又 f 0 = 0 f 2a 2a 2a 2a 4a 4a， ÷ = ， f ， f ，
è1+ 2a 1+ 2a è1+ 4a2 ÷ 1+ 4a2 è1+ 4a
2 ÷
1+ 4a
2
2a 2
故只有 , 4a 是 f x 的二階周期點，
1+ 4a2 1+ 4a2
1
綜上所述，所求 a的取值范圍為 a > ．
2
11．（2023·上海嘉定·二模）已知 f x = x + 2sin x，等差數列 an 的前 n項和為 Sn ，記
n
Tn = f ai ．
i=1
(1)求證：函數 y = f x 的圖像關于點 p ,p 中心對稱；
(2)若 a1、 a2、a3是某三角形的三個內角，求T3的取值范圍；
(3)若 S100 =100p ，求證：T100 =100p ．反之是否成立？并請說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2) π + 2 3, π + 3 3ù ；
(3)證明見解析，理由見解析
【分析】（1）函數中心對稱性質： f a + x + f b - x = c ，則 f x a + b c 的圖象關于點 , ÷
è 2 2
中心對稱，根據此定義證明即可；
π 2π
（2）利用三角形內角和為 π和等差中項性質求解出 a2 = 和 a1 + a3 = ，再根據定義展開3 3
T3，根據三角函數恒等變換展開化簡即可求出T3的取值范圍；
（3）根據等差數列性質可得 an + a101-n = 2π ，將該關系式代入Tn 計算即可.
【詳解】（1） f x = x + 2sin x，
f 2π - x = 2π - x + 2sin 2π - x = 2π - x - 2sin x ，
f x + f 2π - x = x + 2sin x + 2π - x - 2sin x = 2π，
故函數 y = f x 的圖象關于點 π, π 中心對稱；
（2）因為 an 為等差數列，所以 a1 + a2 + a3 = 3a2 ，
又因 a1、 a
π 2π
2、a3是某三角形的三個內角，所以 a1 + a2 + a3 = π，得 a2 = ， a + a = ，3 1 3 3
T3 = a1 + 2sin a1 + a2 + 2sin a a
π 2π
2 + 3 + 2sin a3 = π + 2sin a1 + 2sin + 2sin - a

3 1 ֏ 3
化簡得：T3 = π + 3 + 3sin a1 + 3 cos a1 = π + 3 + 2 3 sin
π
a1 + ÷，
è 6
π 2π
因為 a1、 a2、a3是某三角形的三個內角，且 a2 = ，所以 a1 0,3 3 ÷
，
è
a π π 5π+ π 1 ù即 1 6
, ÷， sin a1 + ÷ ,1 ，可得T π + 2 3, π + 3 3ù ；
è 6 6 è 6 è 2 ú 3

（3 +）證明：若 S100 =100π ，根據等差數列性質可得50 an + a101-n =100π, 1 n 50,n N ，
由此可得 an + a101-n = 2π ， a101-n = 2π - an ， sin a101-n = sin 2π - an = -sin an ，
即 sin an + sin a101-n = 0，
n n n n
T100 = f ai = ai + 2sin ai = ai + 2 sin ai = Sn + 2 50 sin an + sin a101-n ，
i=1 i=1 i=1 i=1
解得T100 = Sn =100π ，證畢.
n 100
反之，若T100 =100π，即Tn = f ai =S100 + sin ai =100π
i=1 i=1
S +
因為 an 為等差數列，所以50 a + a 100n 101-n = S100 an + a101-n = , 1 n 50,n N ，50
n 50
即T
é
n = f ai =S100 + êsin ai + sin
S100 ù
- ai ÷ =100π ，
i=1 i=1 è 50
ú

sin S100 - a 當且僅當 i ÷ = -sin a 時， S50 i 100
=100π ，
è
S100
若 sin - ai ÷ -sin ai ，則 S100 100π ，
è 50
故反之不成立，證畢.
【點睛】方法點睛：
常見函數的累加求值：
①若函數呈周期性變化，或者函數的部分呈周期性變化，因此在累加求值的過程中，先找
到函數的周期性，再計算出一個周期中的取值情況，最后整體計算；
②若無周期變化，該函數還可能呈首尾相加取定值，可先判斷是否存在該規律，再進行整
體計算.

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