資源簡介

考點 11 指數與指數函數（3 種核心題型+基礎保分練+綜合提
升練+拓展沖刺練）
【考試提醒】
1.理解有理數指數冪的含義，了解實數指數冪的意義，掌握指數冪的運算性質.
2.通過實例，了解指數函數的實際意義，會畫指數函數的圖象.3.理解指數函數的單調性、特
殊點等性質，并能簡單應用．
【知識點】
1．根式
(1)一般地，如果 xn＝a，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n>1，且 n∈N*.
(2)式子n a叫做根式，這里 n 叫做根指數，a 叫做被開方數．
(3)(n a)n＝a.
當 n 為奇數時，n an＝a，
， ，
當 n a a ≥ 0為偶數時，n an＝|a|＝{－a，a < 0.
2．分數指數冪
m
正數的正分數指數冪： a n ＝n am(a>0，m，n∈N*，n>1)．
m
－ 1 1
正數的負分數指數冪： a n ＝ *m ＝ (a>0，m，n∈N ，n>1)．n m
a n
a
0 的正分數指數冪等于 0,0 的負分數指數冪沒有意義．
3．指數冪的運算性質
aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈Q)．
4．指數函數及其性質
(1)概念：一般地，函數 y＝ax(a>0，且 a≠1)叫做指數函數，其中指數 x 是自變量，定義域
是 R.
(2)指數函數的圖象與性質
a>1 0圖象
定義域 R
值域 (0，＋∞)
過定點(0,1)，即 x＝0 時，y＝1
當 x>0 時，y>1； 當 x<0 時，y>1；
性質
當 x<0 時，00 時，0在(－∞，＋∞)上是增函數 在(－∞，＋∞)上是減函數
常用結論
1
1．指數函數圖象的關鍵點(0,1)，(1，a)，(－1， ).a
2.如圖所示是指數函數(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx 的圖象，則 c>d>1>a>b>0，即
在第一象限內，指數函數 y＝ax(a>0，且 a≠1)的圖象越高，底數越大．
【核心題型】
題型一　指數冪的運算
(1)指數冪的運算首先將根式、分數指數冪統一為分數指數冪，以便利用法則計算，還應注
意：
①必須同底數冪相乘，指數才能相加．
②運算的先后順序．
(2)運算結果不能同時含有根號和分數指數，也不能既有分母又含有負指數．
y x
【例題 1】（2024·廣東·模擬預測）若 xy 3，則 x + y ．
x y
【答案】±2 3
【分析】分 x > 0, y > 0和 x < 0, y < 0兩種情況分類計算.
x > 0, y > 0 x y y x【詳解】當 時， + xy + xy 2 3 ，
x y
當 x < 0, y < 0
y x
時， x + y - xy + - xy -2 3 .
x y
故答案為：±2 3
1 (x +1)2 + ex - e- x
【變式 1】（2024 x高三下·全國·專題練習）已知函數 f (x) ( ) -2 12(x2 +1) ，則
f (log 6) f (log 12 + 2 ) 6 ．
【答案】6
2x + ex - e- x
【分析】根據函數奇偶性的定義可判斷 g(x) 2(x2 +1) 為奇函數，即可得
h(log 6) h(log 1 12 + 2 ) 6 6 ，進而根據指數冪的運算即可求解
.
1 x (x +1)2 + ex - e- x
【詳解】Q函數 f (x) ( ) -2 12(x2 +1) ，
h(x) (x +1)
2 + ex - e- x 2x + ex - e- x 1
設 +12(x2 +1) 12(x2 +1) 12 ，
g(x) 2x + e
x - e- x
令 2(x2 +1) ，
- x x x
g( x) -2x + e - e 2x + e - e
- x
則 - - -g(x)2[(-x)2 +1] 2(x2 +1) ，
h(x) 1 + h(-x) g(x) + g(-x) +
6 ，
又 - log2 6 log
1
2 ， h(log2 6) + h(log
1 1
6 2
)
6 6 ，
Q(1) log 6 (1
log 1
) 22 + 6 1 + 6 ，
2 2 6
f (log2 6)
1
+ f (log2 ) 66 ．
故答案為：6．
ì 2x , x 1, 7
【變式 2

】（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x í f
f x - 2 , x >1,
則 ÷ ．
è 2
2 1
【答案】 / 2
2 2
【分析】直接代入分段函數求函數值即可.
7 3 1-
【詳解】由題意得 f ÷ f ÷ f
1 2 2 2
2 2
-
2 ÷
．
è è è 2
2
故答案為： .
2
【變式 3】（2024 高三·全國·專題練習）化簡下列各式：
2
é 1 -2.5 ù 3
（1） ê 0.0645 ÷ ú
3
- 3 3 - π0 =
êè ú 8
a3b2 3 ab2
4
（2） 1 1 1 1- （ a > 0,b > 0 =
a 4b2 ÷ a 3b3
è
1 1
（3 設 - -1x 2 + x 2 3，則 x + x 的值為
a
【答案】 0 / ab-1 7
b
【分析】（1）根據指數冪的運算性質，化簡求值，即得答案；
（2）將根式化為指數冪的形式，結合指數冪的運算，即可求得答案；
1 1
（3）將 -x 2 + x 2 3平方，即可求得答案.
2
é 1 -2.5 ù 3
【詳解】（1 ） ê 0.0645
3 0
÷ ú - 3 3 - π
êè ú 8
3 1 ( 2.5) 2 14 - 3 5 3 3 3 ÷ -10 2 ÷
-1
è è
2 -1 3 5 ÷
- -1
è 2
5 3
- -1 0 .
2 2
1 2 1
a3b2 3 ab2 (a3b2a3b3 )2 5 2 4 7- -3 3
4 1 1 a b3 3 ab
-1 a
（2） 1 1 1 1- 2 - b ；3 3
a 4b2 ÷ a 3b3 ab a b
è
1 1
（3）因為 -x 2 + x 2 3，
1 1
2
-
x + x-1 x 2 + x 2 ÷ - 2 32 - 2 7 .
è
a
故答案為：（1）0；（2） ；（3）7
b
題型二　指數函數的圖象及應用
對于有關指數型函數的圖象問題，一般是從最基本的指數函數的圖象入手，通過平移、伸縮、
對稱變換得到．特別地，當底數 a 與 1 的大小關系不確定時應注意分類討論．
1
【例題 2】（2024 高三·全國·專題練習）在同一平面直角坐標系中，函數 y＝ x ，y＝loga（xa
1
＋ ）（a＞0，且 a≠1）的圖象可能是（　　）
2
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】略
x
【變式 1】（23-24 高三下·江西·開學考試）函數 f x x - x 的圖象大致為（ ）2 - 2
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由奇函數性質以及指數函數單調性即可判斷.
【詳解】 f -x -x - x x - f x ，且函數定義域為{x | x 0}，關于原點對稱，所以 f x 2 - 2
為奇函數，排除 CD．
當 x > 0時， 2x - 2- x > 0，所以 f x > 0，排除 B，經檢驗 A 選項符合題意.
故選：A．
【變式 2】（23-24 高三上·山東濰坊·期中）已知指數函數 y a x ，對數函數 y logb x 的圖象
如圖所示，則下列關系成立的是（ ）
A． 0 < a < b <1 B．0 < a < 1 < b
C．0 < b < 1 < a D． a < 0 <1 < b
【答案】B
【分析】根據題意，由指數函數以及對數函數的單調性即可得到 a,b的范圍，從而得到結
果.
【詳解】由圖象可得，指數函數 y a x 為減函數，
對數函數 y logb x 為增函數，
所以0 < a <1,b >1，
即0 < a < 1 < b .
故選：B
【變式 3】（2024·四川·模擬預測）已知函數 y xa， y bx ， y log c x 在同一平面直角坐標
系的圖象如圖所示，則（ ）
A． log 1 c < b
a < sin b log c < sin b < baB． 1
2 2
C． sin b < b
a < log 1 c D． sin b < log 1 c < b
a
2 2
【答案】B
【分析】根據冪函數，指數與對數函數的性質可得 a,b,c的取值范圍，進而根據指對數與三
角函數的性質判斷即可.
【詳解】因為 y xa圖象過 1,1 ，故由圖象可得 a<0，
又 y bx 圖象過 0,1 ，故由圖象可得0 < b <1，
又 y log c x 圖象過 1,0 ，故由圖象可得 c >1 .
故 log 1 c < log 1 1 0
a
，0 < sin b <1，ba > b0 1，故 log 1 c < sin b < b .
2 2 2
故選：B
題型三　指數函數的性質及應用
(1)利用指數函數的性質比較大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原則，比較大小
還可以借助中間量．
(2)求解與指數函數有關的復合函數問題，要明確復合函數的構成，涉及值域、單調區間、
最值等問題時，要借助“同增異減”這一性質分析判斷．
命題點 1　比較指數式大小
【例題 3】（2024·甘肅武威·模擬預測）設a 0.8-0.4 , b log0.50.8, c log0.40.9，則 a,b,c的大
小關系是（ ）
A．b > c > a B． a > c > b C．b > a > c D． a > b > c
【答案】D
【分析】利用中間值“1”與 a,b,c比較得出 a >1,0 < b,c <1，再由作差比較法比較b,c，利用
換底公式和對數函數的單調性即得.
a 0.8-0.4 > 0.80【詳解】因為 1,b log0.50.8 < log0.50.5 1，所以 a > b．同理 a > c.
又因 y log0.5 x 在定義域內為減函數，故b log0.50.8 > log0.5 0.9，
而 log0.50.9 - log0.4 0.9
1 1 log0.9 0.4 - log - 0.9 0.5
log0.9 0.5 log0.9 0.4 log0.9 0.5 × log
，
0.9 0.4
因 log0.9 0.5 > 0， log0.9 0.4 > 0，且 log0.9 0.4 - log0.9 0.5 > 0，故 log0.50.9 > log0.4 0.9，即 b > c，
所以 a > b > c．
故選：D.
【變式 1】（2024·全國·模擬預測）已知 a log5 2，b lg4， c 2e-1，則 a,b,c的大小關系為
（ ）
A． a < b < c B．b < a < c C．b < c < a D． c < b < a
【答案】A
【分析】根據題意利用指、對數函數單調性以及指、對數運算分析判斷.
【詳解】因為 a log5 2 < log5 5
1
，b lg4 > lg 10
1
，所以 a < b ；
2 2
又因為3lg2 lg23 lg8 <1,3e-1 >1，則3lg2 < 3e-1 ，
即 lg2 < e-1 ，所以 2lg2 lg4 < 2e-1 ，即b < c ；
所以 a < b < c．
故選：A．
【變式 2】（2024·北京房山·一模）已知 a,b,c R ，則下列命題為假命題的是（ ）
A．若 a > b，則 a + c > b + c B．若a > b > 0，則 a0.4 > b0.4
1 a+c 1 b+cC a > b < ．若 ，則 ÷ ÷ D．若 a > b > 0,c > 0
b b + c
，則 >
è 2 è 2 a a + c
【答案】D
【分析】根據不等式的性質即可判斷 A；根據冪函數單調性可判斷 B；根據指數函數的性質
即可判斷 C；利用作差法即可判斷 D.
【詳解】對于 A，因為 a > b，所以 a + c > b + c，故 A 結論正確；
對于 B，當a > b > 0時，因為冪函數 y x0.4 在 0, + 上單調遞增，所以 a0.4 > b0.4 ，故 B
結論正確；
對于 C，因為 a > b，所以 a + c > b + c，
1 x 1 a+c 1 b+c
而函數 y ÷ 為減函數，所以 ÷ <

2 ÷
，故 C 結論正確；
è è 2 è 2
b b + c b a + c - a b + c c b - a
對于 D， - a a + c a a + c a a ，+ c
因為 a > b > 0,c > 0，所以 c b - a 0, a a + c 0，
b b + c c b - a
所以 - < 0
b b + c
a a c a a c ，所以 < ，故 D 結論錯誤.+ + a a + c
故選：D.
【變式 3】（2024·陜西西安·模擬預測）若 a 0.311.5 ,b log312,c log
2
3
2 6,d - ，則有3
（ ）
A． a > b > c B．b > a > d
C． c > a > b D．b > c > a
【答案】B
【分析】由題意首先得0 < a <1, d 2 3 - < 0，進一步
3
b log312 1+ log3 4 > 2,c log2 6 1+ log23 > 2，從而我們只需要比較 log3 4, log2 3的大小關
系即可求解，兩式作商結合基本不等式、換底公式即可比較.
【詳解】 a 0.311.5 < 0.310 1，所以0 < a <1, d
2
3 - < 0，
3
b log312 1+ log3 4 > 2,c log2 6 1+ log23 > 2，
2
ln4 + ln2
又因為 log3 4 ln4 × ln2
÷
è 2 (ln2 2)2 ， < <1
log23 ln3 × ln3 ln3 × ln3 (ln3)
2
所以b < c ，即 d < a < b < c .
故選：B.
命題點 2　解簡單的指數方程或不等式
【例題 4】（23-24 高三上· x陜西咸陽·階段練習）若函數 f x a +1（ a > 0且a 1）在區間
1,2 上的值域為 3,5 ，則實數 a的值為（ ）
1 1A． 2 B．2 C．3 D． 3
【答案】B
【分析】分 a > 1與 0 < a < 1兩種情況，結合函數單調性得到方程組，求出答案.
【詳解】①當 a > 1時， f x a x +1單調遞增，
ì f 1 a +1 3
故 í 2 ，解得 a 2；
f 2 a +1 5
②當 0 < a < 1時， f x a x +1單調遞減，
ì f 1 a +1 5
í f 2 a2 1 3，無解， +
綜上可知 a 2 .
故選：B
【變式 1】（23-24 高三上·河南周口·階段練習）已知函數 f (x) 22x - a × 2x + 4 ，若 f (x) 0恒
成立，則實數 a的取值范圍為（ ）
A． (- ,4] B． (- , 2] C．[4,+ ) D．[2,+ )
【答案】A
x 4 x 4
【分析】參變分離可得 a 2 + x 恒成立，結合基本不等式求出 2 + x 的最小值，即可求出2 2
參數的取值范圍.
【詳解】因為 f (x) 0恒成立，即 22x - a × 2x + 4 0恒成立，
a 2x 4所以 + x 恒成立，又由 2
x 4 4+ 2 2x
2 2x 2x
4（當且僅當 x 1時取等號），
所以 a 4．
故選：A．
【變式 2】（2023·山東菏澤·三模）已知函數 f x sinx + x，若 x R ，不等式
f 2x m+ f - 2 2 x ÷ > 0恒成立，則正實數m 的取值范圍為（2 ）è
A． 3,4 B． 2, + C． 3, + D． 4, +
【答案】B
【分析】分析出函數 f x 為奇函數，利用導數分析可知函數 f x 在R 上為增函數，由
f 2x f m+ x - 2 2 > 0可得出m > 2 2 × 2x 2÷ - 2x ，令2 t 2
x > 0 ，求出函數 y 2 2t - t 2 在
è
0, + 上的最大值，即可得出實數m 的取值范圍.
【詳解】因為 f x sinx + x，其中 x R ，則 f x cos x +1 0，且 f x 不恒為零，
所以，函數 f x 在R 上為增函數，
又因為 f -x sin -x + -x -sin x - x - f x ，故函數 f x 為奇函數，
x
由 f 2 + f m m x - 2 2 x÷ > 0可得 f - 2 2 > - f 22 2x ÷ f -2
x ，
è è
m 2
所以， x - 2 2 > -2
x
，所以，m > 2 2 × 2x - 2x ，2
令 t 2x > 0 ，因為 y 2 2t - t 2 - t - 2 2 + 2 2 ，當且僅當 t 2 時，等號成立，
所以，m>2 .
故選：B.
x
【變式 3】（2024 高三·全國·專題練習）若集合 A x log2x 1 ，集合B x e 2 ，則 AI B
（ ）
ì 1
A． íx x ln2
ü
B． x 0 < x 1 C． x 0 < x ln2 D． x 0 < x 2
2
【答案】C
【分析】先求出集合 A, B，再由交集的定義求解即可.
【詳解】因為 A x log2x 1 x 0 < x 2 ，
B x ex 2 x x ln2 ，所以 A B x 0 < x ln2 ，
故選：C.
命題點 3　指數函數性質的綜合應用
1
【例題 5】（23-24 高三上·陜西·階段練習）已知函數 f x x - a是奇函數.2 +1
(1)求 a的值；
(2)求 f x 在 -1,3 上的值域.
1
【答案】(1) a
2
é 7 1- , ù(2) ê 18 6ú
.

【分析】（1）根據 f x 1 x - a，利用函數是奇函數求解；2 +1
1 1
（2）根據指數函數的單調性易證 f x x - 是R 上的減函數求解.2 +1 2
1
【詳解】（1）解：因為 f x x - a，2 +1
x
所以 f -x 1 2 - x - a x - a .2 +1 2 +1
因為 f x 是奇函數，
f -x - f x 2
x 1
所以 ，即 x - a - - a ，2 +1 ÷è 2x +1
2a 1 2
x
即 + 1，
2x +1 2x +1
a 1解得 .
2
（2）由（1）可知 f x 1 1 - ，
2x +1 2
1 1
易知 t 2x +1在R 上單調遞增且 t 2x +1 >1， y - 在 1, + 上單調遞減，t 2
所以 f x 是R 上的減函數.
f 1 1 f 3 7因為 - ， - ，
6 18
所以 f x 在 -1,3 é 7上的值域為 ê- ,
1 ù
.
18 6 ú
【變式 1】（23-24 高三上·廣東茂名·階段練習）若函數 f (x) (2a -1)x-3 + b的圖象恒經過定點
(3, -2)．
(1)求b 的值；
(2)當 f (x) 在R 上是增函數，求 a 的范圍．
【答案】(1) -3
(2) a > 1
【分析】（1）利用條件建立方程1+ b -2，即可求出結果；
（2）由（1）得到 f (x) (2a -1)x-3 - 3，再根據條件即可得到結果.
【詳解】（1）因為 f (x) 的圖象過 (3, -2)
所以 f (3) (2a -1)3-3 + b -2，得到1+ b -2，所以b -3 .
（2）由（1）知， f (x) (2a -1)x-3 - 3
因為 f (x) 在R 上是增函數，所以 2a -1 >1，得到 a > 1 .
【變式 2】（2024·全國·模擬預測）已知函數 f (x) | 2x - 4 | + | x + 3 |．
f ( x)
(1) 1 1求不等式 ÷ 的解集；
è 2 128
(2)若 f (x) > kx +1恒成立，求實數 k 的取值范圍．
x x 0 x 8 ü【答案】(1) 或 3
(2) -3,2 ．
【分析】（1）根據指數函數的單調性得到不等式，求出 f x 2x - 4 + x + 3 7，三段法解
絕對值不等式，求出不等式解集；
（2）畫出 f (x) | 2x - 4 | + | x + 3 |的圖象，數形結合得到答案.
1 f x 1 1
7 x
1
【詳解】（ ）依題意， ，由于 y 在 R 上單調遞減，
è 2 ÷ ÷ ÷ è 2 è 2
故 f x 2x - 4 + x + 3 7，
當 x < -3時， 4 - 2x - x - 3 7 ，解得 x -2，故 x < -3；
當-3 x 2時， 4 - 2x + x + 3 7，解得 x 0 ，故-3 x 0 ；
當 x > 2時， 2x
8 8
- 4 + x + 3 7，解得 x ，故 x ；
3 3
f x
1 1 8ü
綜上所述，不等式 ÷ 的解集為 x x 0或 x
è 2 128 3
．

ì 1- 3x, x < -3,
（2）由（1）可知， f x í7 - x,-3 x 2,，

3x -1, x > 2,
作出函數 f x 的圖象如圖所示，
觀察可知，臨界狀態為直線 y kx +1過B 2,5 或與直線 y 1- 3x 平行，
當直線 y kx +1過B 2,5 時， 2k +1 5，解得 k 2，
當直線 y kx +1與直線 y 1- 3x 平行時， k -3，此時 y -3x +1與 y kx +1重合，
故實數 k 的取值范圍為 -3,2 ．
【變式 3】（23-24 高三上·江蘇淮安·期中）已知不等式 log2 x + 2 log2 8 - 2x .
(1)求不等式的解集A ；
x-1 x
(2)若當 x A 1 1時，不等式 ÷ - 4

÷ + 2 m總成立，求m 的取值范圍.
è 4 è 2
【答案】(1) A -2, 2
(2) m 1
【分析】（1）根據對數函數的單調性結合對數不等式可得出關于 x 的不等式組，即可解出集
合A ；
1 x-1 x2 1 （ ）求出函數 f x ÷ - 4 ÷ + 2在 -2,2 上的最小值，即可得出實數m 的取值范圍.
è 4 è 2
x + 2 > 0
【詳解】（1）解：因為 log2 x + 2
ì
log2 8 - 2x ，則 í -2 < x 28 ，解得 ， - 2x x + 2
故 A -2, 2 .
x-1
2 f x 1 1
x
（ ）解：令 ÷ - 4

÷ + 2，則原問題等價 f x 4 2 min
m，
è è
f x 1
x 1 x
4 × 且 ÷ - 4 × ÷ + 2，其中 x -2,2 ，
è 4 è 2
x
t 1 1 1
2 é1
令 ÷
é
ê , 4÷，可得 y f x 4t
2 - 4t + 2 4 t -

÷ +1，其中 t ê , 4

÷ ，
è 2 4 è 2 4
當 t
1
時，即當 x 1時，函數 y f x 取得最小值，即 f x fmin 1 1，2
所以，m 1.
【課后強化】
基礎保分練
一、單選題
5
1．（2024· 1 四川綿陽·二模） x - ÷ 的展開式中，x 的系數為（ ）
è x
A．-5 B．-10 C．5 D．10
【答案】A
【分析】寫出二項展開式的通項，由 x 的指數為 1 求得 r 值，則答案可求．
1 5 r x - T Cr × x 5-r 1× -
5-3r
【詳解】 的展開式的通項為 (-1)r × Cr ÷ r+1 5 × x
2 ．
è x è x
÷ 5

5 - 3r
令 1，得 r 1．
2
x 1的系數為-C5 -5．
故選：A．
3x2 - b．（2024·內蒙古包頭·一模）已知 f x x b > 0 是奇函數，則b （ ）3 + b
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】根據題意，利用 f 0 0，求得b 1，結合函數奇偶性的定義與判定，即可求解.
x 0
【詳解】由函數 f x 3 - b x b > 0 是奇函數，可得 f 0
3 - b 1- b

3 + b 30
0，
+ b 1+ b
3x -1
解得b 1，即函數 f x ，
3x +1
1
3x -1 3- x -1 3x
-1 1- 3x
又由函數 f x 的定義域為R ，且 f -x - x 1 x - f xx ，3 +1 3 +1 +1 3 +1
3x
所以函數 f x 為奇函數，所以b 1符合題意.
故選：D.
3．（23-24 高三上·廣東梅州·期中）計算：1.10 + 3 64 - 0．5-2 + lg25 + 2lg2 （ ）
A．1 B． 2 C．3 D． 4
【答案】C
【分析】根據根式、指數、對數運算求得正確答案.
-2
1.10 + 3 64 - 0.5-2 + lg25 + 2lg2 1+ 3 43 - 1 【詳解】 ÷ + lg 25 + lg 4
è 2
1+ 4- 22 + lg(25 4) 1+ 2 3 .
故選：C
x
4．（2024 · · f (x) 4 ×2010 + 2高三下 全國 專題練習）已知 x + x cos x(-1 x 1)，設函數 f (x)2010 +1
的最大值是M ，最小值是 N ，則（ ）
A．M + N 8 B．M - N 8
C．M + N 6 D．M - N 6
【答案】C
f (x) 4 ×2010
x + 2
【分析】將 看成兩個函數的和，函數 g(x) 在R 上單調遞增，函數 y x cos x
2010x +1
為奇函數，從而函數 f (x) 的最大值與最小值之和為函數 g(x)的最大值和最小值之和，結合
單調性利用指數運算化簡求值即可.
x x
【詳解】因為 g(x) 4 ×2010 + 2 4 × (2010 +1) - 2 4 2- ，
2010x +1 2010x +1 2010x +1
由復合函數單調性的判斷方法，知此函數 g(x)在R 上為增函數
又 -x cos -x -x cos x，所以 y x cos x為R 上的奇函數，故其最大值加最小值為 0，
所以M + N g(1) + g(-1) 8 (
2 2 ) 8 (2 2010 2 - -1 + 1 - + ) 8 - (
2 2011) 6 .
2010 +1 2010 +1 2010 +1 2010 +1 2011
故選：C
二、多選題
5．（23-24 高三上· - x x福建漳州·階段練習）小明同學對函數 f x a - ka (a > 0且 a 1)進得
研究，得出如下結論，其中正確的有（ ）
A．函數 f x 的定義域為R B．函數 f x 有可能是奇函數，也有可能是偶
函數
C．函數 f x 在定義域內單調遞減 D．函數 f x 不一定有零點
【答案】ABD
【分析】根據解析式確定定義域，令 k 1、 k -1研究 f x 的性質判斷各項的正誤即可.
【詳解】由 x R ，有 a x > 0，即 f x 恒有意義，故定義域為R ，A 對；
當 k 1，則 f x a- x - a x x - x，故 f -x a - a - f (x)，此時為奇函數，
當 k -1，則 f x a- x + a x f -x a x + a- x，故 f (x)，此時為偶函數，B 對；
f x a- x 1+ a x x 1若 x + a > 0 ，令 t a x ，易知 y t + 在 0,1 上遞減，在 1, + 上遞增，a t
當 a > 1時， t a x 在 - , + 上遞增，根據復合函數的單調性可知，
f x 在 0, + 上遞增，在 - ,0 上遞減，所以 f x 在定義域內不遞減，且無零點，C 錯；
若 f x a- x - a x ，顯然 f 0 0，此時函數有零點，綜上， f x 不一定有零點，D 對.
故選：ABD
2
6．（2024·山東臨沂·一模）已知函數 f x x + a a R ，則（ ）2 -1
A． f x 的定義域為 - ,0 U 0, +
B． f x 的值域為R
C．當 a 1時， f x 為奇函數
D．當 a 2時， f -x + f x 2
【答案】ACD
【分析】由分母不為零求出函數的定義域，即可判斷 A，再分 2x -1 > 0、-1 < 2x -1 < 0分別
求出函數值的取值范圍，即可得到函數的值域，從而判斷 B，根據奇偶性判斷 C，根據指數
冪的運算判斷 D.
【詳解】對于函數 f x 2 x + a a R ，令 2x -1 0，解得 x 0，2 -1
所以 f x 的定義域為 - ,0 U 0, + ，故 A 正確；
2 2
因為 2x > 0，當 2x -1 > 0時 x > 0，所以 + a > a ，2 -1 2x -1
2 2
當-1 < 2x -1 < 0時 x < -2，所以 x + a < -2 + a ，2 -1 2 -1
綜上可得 f x 的值域為 - , -2 + a U a,+ ，故 B 錯誤；
a 1 2 2
x +1 2- x +1 2x +1
當 時 f x x +1 x ，則 f -x - x - x - f x ，2 -1 2 -1 2 -1 2 -1
2
所以 f x x +1為奇函數，故 C 正確；2 -1
2 2x +1 x - x
當 a 2時 f x x + 2 x +1，則 f -x f x
2 +1 1 2 +1+ x + + - x +1 2，2 -1 2 -1 2 -1 2 -1
故 D 正確.
故選：ACD
三、填空題
x
7．（2023·上海金山·一模）若 x > 0時，指數函數 y m2 - 3 的值總大于 1，則實數m 的取
值范圍是 .
【答案】m < -2或m>2
【分析】根據指數函數的性質以及單調性，即可得到關于m 的不等式，求解不等式即可得
到結果.
【詳解】由已知可得，m2 - 3 > 0且m2 - 3 1.
又 x > 0時， y > 1，
即 x 0m2 - 3 >1 m2 - 3 ，
所以有m2 - 3 >1，即 m + 2 m - 2 > 0，
解得m < -2或m>2 .
故答案為：m < -2或m>2 .
8．（23-24 高三上·江蘇連云港·階段練習）設 x R ，用 x 表示不超過 x 的最大整數，則 y x
x
稱為高斯函數.例如： 2.1 2， -3.1 -4 . f (x) 2 + 3已知函數 ，則 é f -1 ù x+1 ，1+ 2
函數 y f (x) 的值域為 .
【答案】 1 0,1,2
1 5
【分析】利用分離參數法可得 f (x) +1 ，根據題意直接代入求解即可得
2 è1+ 2x+1 ÷
é f -1 ù ；根據指數函數性質可得 f (x) 的值域，進而可得 y f (x) 的值域.
x
f (x) 2 + 3 1 5【詳解】因為 x+1 +1

，
1+ 2 2 è1+ 2x+1 ÷
é f -1 7ù é ù所以 ê 4 ú
1；

又因為 2x+1 > 0 ，則1+ 2x+1 >1，
1 1
可得0 < x f x ,31+ 2 +1
<1，所以 ÷，
è 2
f x 1 ,1 若 ÷ ， é
è 2
f x ù 0 ；
若 f x 1,2 ， é f x ù 1；
若 f x 2,3 ， é f x ù 2；
綜上所述：函數 y f (x) 的值域為 0,1,2 .
故答案為：1； 0,1,2 .
四、解答題
9．（2024 高三·全國·專題練習）畫下列函數圖像
(1) y 2x+2 ；
y x + 2(2) .
x -1
【答案】(1)圖象見解析
(2)圖象見解析
【分析】（1）利用函數圖象平移的性質，結合指數函數的圖象即可得解；
（2）利用函數圖象平移的性質，結合反比例函數的圖象即可得解.
【詳解】（1）將 y 2x 的圖象向左平移 2 個單位，即可得到 y 2x+2 的圖象，如圖，
y x + 2（2）因為 1
3
+ ，
x -1 x -1
3 x + 2
先作出 y x 的圖象，將其圖象向右平移
1 個單位，再向上平移 1 個單位，即得 y 的
x -1
圖象，如圖，
10．（2024 高三·全國·專題練習）化簡：
(1) (27
2
- 1-
) 3 + (0.002) 2 -10( 5 - 2)-1 + ( 2 - 3)0 ；
8
(2) 3 (1+ 2)3 + 4 (1- 2)4
167
【答案】(1)－
9
(2) 2 2
167
【詳解】(1) 原式＝( )－ ＋( )－ － ＋1＝ ＋10 －10 －20＋1＝－ .9
(2) 原式＝(1＋ )＋|1－ |＝1＋ ＋ －1＝ 2 2 .
x - x x - x
11 23-24 · 2 + 2 2 - 2．（ 高三上 安徽合肥·階段練習）已知函數 f x ， g x .
2 2
(1)若存在 x 0, + x 1，使得 f x t × 2 + 成立，求實數 t 的取值范圍；
2
(2)若不等式 f 2x + 2bg x 0，對任意的 x 1,2 恒成立，求實數b 的取值范圍.
é3 1
【答案】(1) t ê , ； 8 2 ÷
é 17
(2) ê- ,+ . 12 ÷
1 -2x - x
【分析】（1）由題設，問題化為 t 2 - 2 +1 在 x 0, + 有解，應用換元法及二次函2
數性質求參數范圍；
22x2 + 2
-2x m2 + 2
（ ）由題設得 + b 2x + 2- x 0，令 2x - 2- x m ，問題進一步化為b - 對任2 2m
m é3 ,15 ù意的 ê 恒成立，根據右側單調性求最值，即可得參數范圍. 2 4 ú
1 ∵ f x 2
x + 2- x
【詳解】（ ） ， f x t 1×2x + ，
2 2
∴ 2
x + 2- x t 2x 1
1
× + t 2-2x - x，即 - 2 +1 在 x 0, + 有解，
2 2 2
2
令m 2- x 0,1 t 3 1 m 1 ，所以 + - ,
8 2 ֏ 2
1 3 3 1
當m t 1 é 時 min ；當m 趨向于 0 或1時 t 趨向于 ，即 t ,2 8 2 ê8 2 ÷
.

2x -2x
（2） f 2x + 2bg x 0 2 + 2，即 + b
2 2
x + 2- x 0，
令 2x - 2- x m ，因為 x 1,2 ，所以 y 2x - 2- x 為增函數，
m é3 ,15 ù所以 ，則 22x + 2-2x m2ê ， 2 4 ú
+ 2

m2 + 2 m2 + 2 é3 15ù
所以 + bm 0，化為b - 對任意的m , 恒成立，
2 2m ê2 4 ú
j m m
2 + 2 m 1
- - + m é
3 ,15 ù ÷在 ê ú 上單調遞減，2m è 2 m 2 4
3 j 3 3 2 17當m 時，取得最大值為 - + - ，
2 2 ÷ ÷è è 4 3 12
17 17
所以b - ，實數b é 的取值范圍為 - ,+ .
12 ê 12 ÷
12．（23-24 x高三上·河南鄭州·階段練習）已知函數 f x a + b， g x loga x， a > 0, a 1 ，
其中 a,b均為實數.
(1)若函數 f x 的圖像經過點 A 0,2 ，B 1,3 ，求 a,b的值;
(2)如果函數 f x 的定義域和值域都是 -1,0 ，求 a + b 的值.
(3)若 a滿足不等式 22a+1 > 25a-2 ，且函數 g 2x -1 在區間 1,3 上有最小值-2，求實數 a 的
值.
【答案】(1) a 2，b 1
3
(2) a + b -
2
(3) a 5
5
x
【分析】（1）將 A, B點坐標代入 f x a + b直接求解即可；
（2）根據指數函數的單調性結合定義域和值域的概念分情況討論即可；
（3）先根據指數函數的單調性求出 a的范圍，再由對數函數的單調性求出 a 的值即可.
【詳解】（1）因為函數 f x a x + b的圖像經過點 A 0,2 ，B 1,3 ，
ìa0 + b 2 ìa 2
所以 í 1 ，解得a b í
.
+ 3 b 1
x
（2）當 a > 1時，函數 f x a + b在 -1,0 上為增函數，
ì f -1 a-1 + b -1
由題意可得 í
f 0 a0
無解；
+ b 0
當 0 < a < 1時，函數 f x a x + b在 -1,0 上為減函數，
ì f -1 a-1 + b 0 ì 1 a
由題意可得 í f 0 ，解得 a0 + b -1 í 2 ， b -2
所以 a b
3
+ - .
2
（3）因為 22a+1 > 25a-2 ，所以 2a +1 > 5a - 2，解得a < 1，
又 a > 0，所以 0 < a < 1，函數 g 2x -1 loga 2x -1 在區間 1,3 上單調遞減，
所以當 x 3時， g 2x -1 取得最小值-2，
即 g 2 3-1 loga 2 3-1 loga 5 -2，
a 5解得 .
5
綜合提升練
一、單選題
1．（2023·廣東珠海·模擬預測）已知 a > 0且a 1，下列等式正確的是（ ）
6
A．a-2 × a3 a-6
a
B． a2
a3
3
-
C． a6 + a3 a9 D． a 2
1

a3
【答案】D
【分析】ABC 選，利用指數冪的運算法則判斷，D 選項，由分數指數冪的定義得到 D 正確.
【詳解】A 選項， a > 0且a 1，故 a-2 ×a3 a-2+3 a，A 錯誤；
6
B 選項， a > 0且a 1 a ，故 3 a
6-3 a3，B 錯誤；
a
C 選項， a6 + a3 a9 ，C 錯誤；
3
- 1 1
D 選項， a > 0且a 1 2，故 a 3 3 ，D 正確.
a 2 a
故選：D
2x2．（23-24 高三下·重慶·階段練習）已知 f x ax 為奇函數，則 f 1 （ ）2 -1
2 2
A． B．- C．2 D．-23 3
【答案】A
【分析】利用奇函數的定義求參數 a得函數解析式，再求值即可.
x - x x - x ax x - x+ax
【詳解】由題意可知 f x f x 2 2 2 2 × 2 2 - 2+ -
2ax
+
-1 2-ax
+ 0，
-1 2ax -1 1- 2ax 2ax -1
2x所以 - 2- x+ax 0 x - -x + ax 0 a 2 ，
2x
所以 f x 2 2
22x
f 1 .
-1 4 -1 3
故選：A
3 x．（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x 3 ，若 a f log36 ,b f log
3
510 ,c f ÷ ，則
è 2
（ ）
A． a < b < c B． c < b < a C．b < a < c D．b < c < a
【答案】D
【分析】根據給定條件，利用指數函數、對數函數單調性比較大小.
【詳解】依題意， log36 1+ log3 2 1 log 3
3 3
> + 3 ， log510 1+ log5 2 <1+ log5 5 ，2 2
因此 log510
3
< < log36，而函數 f (x) 3x 在R 上單調遞增，2
所以 f (log510) < f (
3) < f (log36)，即b < c < a .2
故選：D
ì2x + 2- x , x 3

4．（2024·江蘇南通·二模）已知函數 f x í x ，則 f log2 9 （ ）
f ÷ , x 3
>
è 2
8 10 80 82
A． B． C． D．
3 3 9 9
【答案】B
ì2x + 2- x , x 3
f x 【詳解】因為 í f x 2 ÷ , x > 3 è
由于 log2 9 > 3，則 f (log2 9) f (
1 log 1 1 102 9) f (log2 3) 2
log2 3 +
2 2log 3
3 +
2 3 3 ．
故選：B
5 x．（2023·江西南昌·三模）設函數 f x a 0 < a <1 ， g x logb x b >1 ，若存在實數m
滿足：① f (m) + g(m) 0 ；② f (n) - g(n) 0，③ | m - n | 1
1
，則 m - n 的取值范圍是
2
（ ）
1
A． (- ,
1
- ) B ( 1 , 3- 5
3 1
． - - ) C． (- , - ) D 3+ 5．
2 4 4 2 (- ,
1
- )
2 4 4 2
【答案】D
【分析】由① f (m) + g(m) 0 ，② f (n) - g(n) 0解出0 < m <1， n >1，解出
1 m - n 1< - ；結合③ 3+ 5轉化為線性規劃問題解出 .
2 2 z > - 4
x
【詳解】函數 f x a 0 < a <1 ， g x logb x b >1 ，
若存在實數m 滿足：① f (m) + g(m) 0 ；② f (n) - g(n) 0，
am - log m an log n m即 b ，且 b n，則 a - a logb mn < 0，
1 1
則0 < mn < 1，且0 < m <1， n >1，所以 m - n < - ，
2 2
又因為③ | m - n | 1，
ì0 < mn <1 1
則 í ，令 z m - n
m - n 1
，
2
不防設 x m ， y n ，則轉化為線性規劃問題，
在A 點處 z 取最小值.
ì
1 -1+ 5ì
y
x
2
由 í x 解得 í ，
y x +1 y 5 +1 2
3+ 5
代入解得 z > - .
4
故選：D .
6．（23-24 高三上·福建莆田·階段練習）函數 y a x-1 + 2(a > 0且 a 1)的圖象恒過定點 k,b ，
9 1
若m + n b - k 且m > 0, n > 0 ，則 + 的最小值為（ ）
m n
9 5
A．9 B．8 C． D．
2 2
【答案】B
【分析】先求出函數過定點的坐標，再利用基本不等式求最值.
【詳解】函數 y a x-1 + 2(a > 0且 a 1)的圖象恒過定點 1,3 ，所以m + n 3 -1 2，
2 9 1 m n 9 1 10 9n m + ÷ + + ÷ + + 10 + 2 9 16，
è m n è m n m n
2 9 1 +

÷ 16,
9 1
+ 8，
è m n m n
9n m 1 3
當且僅當 ，即 n , m 等號成立，
m n 2 2
9 1
所以 + 的最小值為8 .
m n
故選：B.
7．（23-24 高三上·云南楚雄·期末）設 3 9 的小數部分為 x，則 x3 + 6x2 +12x （ ）
3 2
A．1 B． C．2 D．
2 3
【答案】A
3
【分析】先算出 3 9 的整數部分，再表示出 3 9 的小數部分，所以有 x + 2 9，利用二項式
定理即可計算 x3 + 6x2 +12x .
【詳解】由3 > 3 9 > 3 8 2，得 3 9 的整數部分為 2，則 3 9 x + 2，
3
所以 x + 2 9 x3 + 2C1 2 2 2 3 2，即 3x + 2 C3 x + 8 x + 6x +12x + 8 9，
所以 x3 + 6x2 +12x 1 .
故選：A
8．（23-24 高三上·河南鄭州·階段練習）下列結果正確的是（ ）
A． n an a B． loga (MN ) loga M＋loga N
C 1 1 3． a 2 a 2 a a 2 D． (log3 2 + log9 2) × (log4 3+ log8 3)
5

4
【答案】D
【分析】根據指數冪運算及對數運算公式判斷各個選項.
【詳解】對 A：當 n為偶數且 a<0時， n an a -a ，故 A 不正確；
對 B：只有M > 0, N > 0時， loga (MN ) loga M＋loga N 才成立，故 B 不正確；
C 1 1 1 1 1 1 1 1 1對 ： a 2 a 2 a a 2 a 2 ×a 2 a 2 a a 2 × a 2 a 2 ，故 C 不正確；
(log 2 log 2) (log 3 log 3) (log 2 1 log 2) (1 log 3 1對 D： 3 + 9 × 4 + 8 3 + 2 3
× 2 + log 3)2 3 2
3 log 2 5 log 3 3 ln 2 5 ln 3 5 3 × × × × ，故 D 正確；2 6 2 2 ln 3 6 ln 2 4
故選：D
二、多選題
9．（2024·廣西柳州·三模）若 a > b，則（ ）
A． a3 - b3 > 0 B． ln a - b > 0 C． ea-b > 1 D． a - b > 0
【答案】AC
【分析】利用冪函數、對數函數、指數函數的性質，結合特殊值法即可得解.
【詳解】對于 A，因為 y x3在R 上單調遞增， a > b，
所以 a3 > b3，即 a3 - b3 > 0 ，故 A 正確；
對于 B，取 a 1,b 0，滿足 a > b，但 ln a - b ln1 0，故 B 錯誤；
對于 C，因為 a > b，所以 a - b > 0，則 ea-b > e0 1，故 C 正確；
對于 D，取 a 0,b -1，此時 a - b -1 < 0，故 D 錯誤.
故選：AC.
x
10．（23-24 高三上·浙江溫州·期末）已知函數 f x 2 -1 x ，則（ ）2 +1
1
A．不等式 f x < 的解集是 -1,1
3
B．"x R ，都有 f -x f x
C． f x 是 R 上的遞減函數
D． f x 的值域為 -1,1
【答案】AD
2
【分析】由題意可得 f (x) 1- x ，利用絕對值不等式、指數不等式的解法計算即可判斷2 +1
A；利用奇偶函數的定義計算即可判斷 B；舉例說明即可判斷 C；根據指數型函數的的值域
的求法計算即可判斷 D.
x
A f (x) 2 -1 1 2 f (x) 1 1 1 2 1 1 1 2【詳解】 ： x - x ，由 < 3 ，得 - < -2 1 2 1 3 2x
<
1 3 ，即
<
+ 3 2x
<
+ + +1 3
，
3
得 < 2x +1 < 3，解得-1 < x <1，即原不等式的解集為 (-1,1)，故 A 正確；
2
x+1
B： f (-x) 1 2 1 2- - x -2 +1 2x
f (x)，故 B 錯誤；
+1
C f (1) 1 2 1 3 2： - < 1- f (2)3 3 5 5 ，所以
f (x) 在 R 上單調遞減不成立，故 C 錯誤；
2
D：由0 < < 2
2
知 -1 < 1- f (x)x < 1，即函數 的值域為 (-1,1)x ，故 D 正確.2 +1 2 +1
故選：AD
x - x
11．（22-23 高三上·河北邯鄲·期中）設函數 f(x) e - e＝ ，則下列結論正確的是（ ）
2
A．|f(x)|是偶函數 B．-f(x)是奇函數
C．f(x)|f(x)|是奇函數 D．f(|x|)f(x)是偶函數
【答案】ABC
【分析】首先判斷函數 f x 的奇偶性，再此基礎依次判斷選項.
ex - e- x e- x x
【詳解】函數 f(x)= 定義域為 R，則 f(-x) - e＝ ＝-f(x)，∴f(x)是奇函數，
2 2
f -x - f x f x ，所以函數 f x 是偶函數，故 A 正確；
- f -x f x - é- f x ù ，所以函數- f x 是奇函數，故 B 正確；
f x 是奇函數， f x 是偶函數，所以 f x f x 是奇函數，故 C 正確；
∵f(|-x|)＝f(|x|)，∴f(|x|)是偶函數，∴f(|x|)f(x)是奇函數，故 D 不正確．
故選：ABC
三、填空題
12．（2024·北京房山·一模）若對任意m,n R ，函數 f (x) 滿足 f (m) f (n) f (m + n) ，且當m > n
時，都有 f (m) < f (n)，則函數 f x 的一個解析式是 ．
x
【答案】 f x 1 2 ÷ （答案不唯一）è
【分析】根據指數的運算性質及指數函數的單調性即可得解.
x
1
【詳解】由題意，可取 f x ÷ ，
è 2
x
1
函數 f x ÷ 是減函數，滿足m > n 時，都有 f (m) < f (n)，
è 2
m n m+n
因為 f m f n 1 1 1 × ÷ ÷ ÷ f m + n ，
è 2 è 2 è 2
x
所以函數 f x 1 ÷ 滿足題意.
è 2
x
1
故答案為： f x ÷ .（答案不唯一）
è 2
x
13．（2024·全國·模擬預測）已知16log12 x - 9log12 x x，16log9 y -12log9 y y ，則 y ．
5 +1
【答案】
2
【分析】根據等式結構特征先利用換元法化簡等式形式為16m - 9m 12m ，16n - 9n 12n ，然
9 x x x x 3+ 9 1 3 后通過兩等式的聯系（均可化為 ÷ ÷ 形式），構造函數 y ÷ + ÷ 研究出 m
è16 è 4 è16 è 4
x
與 n 的關系，從而建立 x 與 y 的關系，進而求出 y .
【詳解】令m log12 x， n log9 y ，則 x 12m ， y 9n，
由題可得16m - 9m 12m ，16n - 9n 12n ，
9
m 3 m n 9 3
n
所以 + 1
+ ， 1 .
è16 ÷ 4 ÷ 16 ÷ ÷ è è è 4
9 x 3 x
因為函數 y ÷ + ÷ 在R 上單調遞減，所以m n .
è16 è 4
9 m 3 m m
2
é 3 ù 3
m
由 ÷ + ÷ 1

，得 ê ÷ ú + ÷ -1 0，
è16 è 4 ê è 4 ú è 4
3
m
5 -1 x 12m 4
m
2 5 +1
得 ÷ ，故 4 2 y 9n ÷
.
è è 3 5 -1 2
5 +1
故答案為： .
2
2x+1
14．（23-24 高三下·江西·階段練習）已知函數 f (x) x - x -1- a ，存在實數 x1, x2 ,L, xn 使2 + 2
n-1
得 f xi f xn 成立，若正整數 n的最大值為 8，則正實數 a的取值范圍是 .
i 1
9 4
【答案】 a <
7 3
2x+1g(x) -1
【分析】設 2x + 2- x ，得到-1- a < g(x) - a <1- a，然后分類討論 a的范圍，解出
即可.
x+1
g(x) 2 1 1 2 x - -
【詳解】設 2 + 2- x (2x )2 +1，又因為 (2x )2 > 0, (2x )2 +1 >1，所以
-1 < g(x) <1，
則-1- a < g(x) - a <1- a，當0 a 1時，-1- a -1,0 1- a 1，
n-1
則0 f (x) a +1，顯然存在任意正整數 n使得 f (xi ) f (xn ) 成立；
i 1
當 a > 1時，-1- a <1- a < 0， a -1< f (x) < a +1，
ì7(a -1) < a +1 9 4
要使得正整數 n的最大值為 8，則 í ，解得 a <
8(a -1)
，
a +1 7 3
a 9 4則實數 的取值范圍是 a < .
7 3
9 4
故答案為： a < .
7 3
【點睛】關鍵點點睛：本題考查了分段函數值域的求法，解題的關鍵是分類討論求出函數 f (x)
的值域，然后根據題意列不等式求解.
四、解答題
15．（23-24 高三上·內蒙古通遼·階段練習）求值或化簡
1 0
1
(1) 2計算：0.0643 + 5 2 1- - + 0.1-2 ÷ ÷ ；
è 2 è 4
b a3 × 3 ab
(2)化簡（用分數指數冪表示）： (a > 0,b > 0)
a3 b2 × ab
【答案】(1)99.9
19 1
(2) - -a 12b 12
【分析】（1）利用分數指數冪運算法則計算出答案；
（2）將根式化為分數指數冪，再進行計算即可.
1 1
1 0 1 é 2 ù 2 -2
【詳解】（1
2
）0.0643 5+ - - 2 1 + 0.1-2 ÷ ÷ 0.43 3 +1- 3 1 ê ÷ ú +
è 2 è 4 ÷ ê è 2 ú è10
0.4 +1 3- +100 99.9
2
1
1 1 2
b a3

× a3b3 ÷ 5 1 5 7
b a3 × 3 ab è b ×a3b6 a3b6
5 13 7 5
- - 19 1- -
（2） a3 4 6 4 12 12
3 2 1 1 5 13 5
b a b .
a b × ab 1 1 2 a3 × a 4b4 a 4 b4a3 b2 × a 2b2 ÷
è
16．（2023 x高三·全國·專題練習）已知 f x 2 的圖象，指出下列函數的圖象是由 f x 的圖
象通過怎樣的變換得到的.
(1) y 2x+1 ；
(2) y 2x +1；
(3) y 2-x；
(4) y 2 x .
【答案】(1)答案見解析
(2)答案見解析
(3)答案見解析
(4)答案見解析
【分析】直接根據函數圖像的平移和對稱法則得到答案.
【詳解】（1） y 2x+1 的圖象是由 y 2x 的圖象向左平移 1 個單位長度得到的．
（2） y 2x +1的圖象是由 y 2x 的圖象向上平移 1 個單位長度得到的．
（3） y 2-x與 y 2x 的圖象關于 y 軸對稱，
作 y 2x 的圖象關于 y -x軸的對稱圖形便可得到 y 2 的圖象．
（4） y 2 x 為偶函數，其圖象關于 y 軸對稱，
故保留當 x 0 時， y 2x 的圖象，再作其關于 y 軸的對稱圖形，即可得到 y 2 x 的圖象．
2
17．（23-24 2 m -2m高三上·安徽·階段練習）已知冪函數 f x m - 5m + 5 x 在 0, + 上單調
x
遞減，函數 g x 2 - k ．
(1)求m 的值；
(2)記集合 A y y f x , x 1,2 ，集合B y y g x , x -1,1 ，若 AI B A，求實
數 k 的取值范圍．
【答案】(1) m 1
(2) 0,1
【分析】（1）由冪函數的定義和單調性，求m 的值；
（2）由函數的單調性，求 f x 和 g x 在區間內的值域，由集合的包含關系，求實數 k 的
取值范圍.
【詳解】（1）由題意得，m 2 - 5m + 5 1，解得m 1或m 4 ，
m 1 f x x-1 1當 時， ，在 0, + 上單調遞減，滿足題意；
x
當m 4 時， f x x8 ，此時 f x 在 0, + 上單調遞增，不滿足題意．
綜上，m 1．
（2）由（1）知， f x 1 ，又 x 1,2 1，則 A é ,1ùê ．x 2 ú
∵ g x 2x - k ， x -1,1 é1，∴ B ê - k, 2 - k
ù
2 ú
．

ì1 - k 1
∵ AI B A，∴ A B

，∴ í2 2 ，解得0 k 1，
2 - k 1
即實數 k 的取值范圍為 0,1 ．
18．（23-24 高三上·陜西西安·階段練習）解不等式：
(1) log1 x2 - x - 2 > log1 (x -1) -1．
2 2
(2)1 4x - 3 ×2x + 3 7．
【答案】(1) 2,3
(2) - ,0 1,2
【分析】（1）利用對數函數的單調性解不等式即可，注意對數函數的定義域；
（2）分1 4x - 3 × 2x + 3和 4x - 3 ×2x + 3 7兩部分進行求解，然后取交集即可.
2
【詳解】（1） log 1 x - x - 2 > log 1 x -1 -1 log 1 é2 x -1 ù，
2 2 2
ìx2 - x - 2 > 0
由對數函數的性質可得： í ，解得 x > 2，
x -1 > 0
由于 y log 1 x 2為遞減函數，所以 x - x - 2 < 2 x -1 ，解得0 < x < 3，
2
綜上：不等式的解集為 2,3 .
x
（2）首先求解1 4x - 3 × 2x + 3的解，轉化可得 2 -1 2x - 2 0，
所以 2x 1或 2x 2，解得 x 0 或 x 1；
再解 4x - 3 ×2x + 3 7，轉化可得 2x - 4 2x +1 0，
所以 2x 4，解得 x 2，
綜上：1 4x - 3 × 2x + 3 7的解集為 - ,0 U 1,2 .
ì 1 ü ì 2 ü ì 1 a 1 ü
19．（23-24 高三下·全國·自主招生） S1 ía a3 < 2 , S2 ía loga < 2 , S3 ía ÷ <3 3 2
，
è
求 S1 S2 U S3
【答案】 S1 S2 U S3 0, +
【分析】根據指數函數，對數函數的單調性化簡集合，即可由集合的運算求解.
1
【詳解】由 a3 < 2 a < 8, S1 a a < 8 ,
log 2
6
由 a < 2, a >1或3 0 < a
6
< ，故 S2 0,
3 3 ÷
÷ 1,+ ,
è
1 a 1 1 a
由 ÷ < log1 ÷ > log
1
1 a > log3 2，故 S3 a a > log 2 ，
è 3
3
2 3 è 3 3 2
6
因此 S1 S2 0, 3 ÷÷
1,8 ,
è
由于 23 < 32 < 3 6 ，所以 log3 2
3 < log3 3
6 3log3 2 < 6 log 2
6
3 < <13
故 S1 S2 U S3 0, +
拓展沖刺練
一、單選題
1．（2024·寧夏固原·一模）已知函數 f x 的部分圖像如圖所示，則 f x 的解析式可能為
（ ）
ex - e- x ex - e- x
A． f x f x 4 x - 3 B． 3- 4 x
x
f x e + e
- x x
C． 4 x 3 D．
f x
- x -1
【答案】A
【分析】利用 f x 在 1, + 上的值排除 B，利用奇偶性排除排除 C，利用 f x 在 1, + 上
的單調性排除 D，從而得解.
x
B x >1 f x e - e
- x
【詳解】對于 ，當 時， ，易知 ex - e- x > 0，3- 4x < 0，
3- 4x
則 f x < 0 ，不滿足圖象，故 B 錯誤；
exf x + e
- x
, 3 U 3 3- - - , 3 對于 C， 4 x 3 ，定義域為- 4 ÷ 4 4 ÷
U , + ÷ ，
è è è 4
e- x + ex xf ( x) e + e
- x
又 - f (x) f x y4 -x 3 4 x 3 ，則 的圖象關于 軸對稱，故 C 錯誤；- -
x x 1
對于 D，當 x >1時， f x 1+x -1 x -1 x -1，
由反比例函數的性質可知， f x 在 1, + 上單調遞減，故 D 錯誤；
x - x
檢驗選項 A， f x e - e 4 x - 3 滿足圖中性質，故 A 正確.
故選：A.
2．（2024·河北滄州·一模）下列命題為真命題的是（ ）
A．"x > 0,ex > cosx B．"a > b, a2 > b2
C．$x > 0,cosx ex D．$a > b,a3 < b3
【答案】A
【分析】根據指數函數和余弦函數的性質即可判斷 AC；舉出反例即可判斷 B；由作差法即
可判斷 D.
【詳解】對于 AC，當 x > 0時，"x > 0,ex >1,cosx 1，
所以"x > 0,ex > cosx，故 A 正確，C 錯誤；
對于 B，當 a 0,b -1時， a2 0 <1 b2，故 B 錯誤；
é 2 ù
對于 D 3， a - b3 a - b a2 ab 1 3+ + b2 a - b ê a + b 2 ÷ + b ú ，
ê è 2 4 ú
é 1
2
3 ù
因為 a > b，所以 a3 - b3 a - b ê a + b÷ + b2 ú > 0，故 D 錯誤.
ê è 2 4 ú
故選：A.
1
3．（2024·陜西西安·一模）已知函數 f x 為偶函數，滿足 f x + 2 - f x ，且-2 x 0
x
3
時， f x x ÷÷ - 2 ，若關于 的方程 f x - loga x +1 0至少有兩解，則 a的取值范圍
è 3
為（ ）．
1
A． ,3÷ B． 0,
1ù 3, 0, 1ù U 3, é1 + ùC． + D． ,3
è 3 è 3ú è 5ú ê 5 ú
【答案】C
【分析】根據函數的對稱性與周期性，數形結合可得函數交點情況，進而確定方程解的情況.
1 1
【詳解】由已知 f x + 2 - ，則
f x -
f x f x 2 ，則 f x + 2 f x - 2- ，
可知函數 f x 為周期函數，最小正周期T 4，
x
3
又當-2 x 0時， f x 3 ÷÷ - 2，è
可知函數 f x 的圖象如圖所示，且 f x 的值域為 -1,1 ，
關于 x 的方程 f x - loga x +1 0至少有兩解，
可得函數 y f x 與函數 y loga x +1 的圖象至少有兩個交點，
如圖所示，
可知當 0 < a < 1時， loga 4 +1
1 1 1
-1 loga ，解得 a a
0, ù，即
a 5
，
è 5ú
當 a > 1時， loga 2 +1 1 loga a ，解得 a 3，即 a 3,+ ，
a 0, 1ù綜上所述 ú 3,+ ，è 5
故選：C.
4 x．（23-24 高三上·寧夏銀川·階段練習）已知函數 f x 3 -1 ， a < b < c，且
f a > f c > f b ，則（ ）
A． a<0，b < 0， c < 0 B． a<0，b 0， c > 0
C．3-a < 3c D．3a + 3c < 2
【答案】D
【分析】畫出 f x 的圖象，根據 a,b,c以及 f a , f c , f b 的大小關系確定正確答案.
【詳解】令 f x 3x -1 1，解得 x log3 2，
畫出 f x 3x -1 的圖象如下圖所示，
由于 a < b < c，且 f a > f c > f b ，
由圖可知： a<0，0 < c < log3 2，b 的值可正可負也可為 0 ，所以 AB 選項錯誤.
1 8 1
當 a -2,b 0,c
1
時， f -2 -1 , f 0 0, f 3 -1，
2 9 9 ֏ 2
滿足 f a > f c f b 1> ，3-a 32 9 > 32 ，所以 C 選項錯誤.
f a 3a -1 1- 3a , f c 3c -1 3c -1，
f a > f c ,1- 3a > 3c -1，所以3a + 3c < 2，D 選項正確.
故選：D
5．（2024·全國·模擬預測）若 2x - 4y 2 ，x， y R ，則 x - y的最小值為（ ）
A 1
3 5
． 2 B． C． D．42 4
【答案】C
22x
【分析】構造 4x- y y ，變形 2
x 4x + 2 ，然后用基本不等式求出結果即可.
4
【詳解】因為 2x 4x + 2 ，
2x 4y 2+ 2 2 y y所以 4x- y 2 4 + 2 2 ×4 + 2 4y 2y y y + + 2 2 ．4 4 4 4y
2 2
因為 2y > 0，所以 4y + y 2 4
y
4 4y
2 2 ．
5 5
所以 4x- y 4 2 44 ，即 x - y ．4
y 2 1 3
當且僅當 4 y ， 2x4 4
y + 2 ，即 y ， x 時等號成立，4 2
x - y 5所以 的最小值為 ．
4
故選：C．
二、多選題
6．（23-24 高三上· x - x江蘇揚州·期末）已知函數 f x x e + a ×e 是奇函數或偶函數，則
y f x 的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】利用奇偶性求對應參數 a 的值，再由指數型函數性質判斷 x > 0時的函數值符號，
即可得答案.
f -x -x e- x【詳解】由已知得 + a ×ex ，
y f x -x e- x若 為偶函數，則 + a ×ex x ex + a ×e- x 恒成立，
所以 x(1+ a)(ex + e- x ) 0恒成立，故 a -1，則 f x x ex - e- x ，
所以 x > 0時有 f x > 0，顯然 C 對，D 錯；
y f x -x e- x + a ×ex -x ex若 為奇函數，則 + a ×e- x 恒成立，
所以 x(a -1) ex - e- x 0恒成立，故 a 1，則 f x x ex + e- x ，
所以 x > 0時有 f x > 0，顯然 B 對，A 錯；
故選：BC
7．（2024 高三·全國·專題練習）下列大小關系正確的是．（ ）
3
A． 6 + 7 > 2 2 + 5 B． ln3 2 > logπ 3
1
e -C 2． 2 17 <17 D． ln π > π ÷è
【答案】ABD
【分析】平方之后再作差即可判斷 A，根據指數、對數函數的性質判斷 B，當 x>4時，
ln x
2x > x2 ，即可判斷 C，令 g(x) 1 (x > 0)，利用導數說明函數的單調性，即可判斷 D.
x 2
【詳解】對于 A，因為
2 26 + 7 - 2 2 + 5 13+ 2 42 - 13 + 4 10 2 42 - 40 > 0，
2 2
即 6 + 7 > 2 2 + 5 ，顯然 6 + 7 > 0， 2 2 + 5 > 0，
所以 6 + 7 > 2 2 + 5 ，故 A 正確；
3 3 3
對于 B， ln > 0 ，所以 ln3 2 >1，又 log 3 < log π 1，所以
ln
2 π π 3
2 > log 3，故 B 正確；π
對于 C，當 x > 0時，函數 y 2x 與函數 y = x2 有 2個交點 (2, 4)， (4,16)，
作出 y 2x 和 y = x2 的圖象，如圖所示，
2
結合圖象可知，當 x>4時， 2x > x2 ，又 17 > 4 ，所以 2 17 > 17 ，故 C 錯誤；
ln x 1 1- ln x
對于 D，設 g(x) 1 (x > 0)，則 g (x) 2 ，
x 2 3x 2
令 g (x) > 0，則 0 < x < e2 ，令 g (x) < 0，則 x > e2 ，
所以 g(x)在 (0,e2 )上單調遞增，在 (e2 ,+ )上單調遞減，
ln π ln e 1-
又0 < e < π < e2 ，所以 g(π) > g(e) 2，即 1 > 1 ，化簡得 ln π e>
π 2 e2 ÷
，故 D 正確．
è π
故選：ABD
ln x
【點睛】關鍵點點睛：D 選項的關鍵是構造函數 g(x) 1 (x > 0)，利用導數說明函數的單
x 2
調性，從而比較函數值的大小.
三、填空題
8．（23-24 2+ 2-3x高三上·上海靜安·階段練習）函數 y x +1 + x - 2 + 3 的最小值為 .
【答案】12
【分析】根據函數的定義域，討論 x 的不同取值，去絕對值，再根據函數的單調性求函數的
最小值.
2
【詳解】函數的定義域需滿足 2 - 3x 0 x
2
ù，即 ，即定義域為 - ,
3 è 3
，
ú
當 x -1時， y -1- x + 2 - x + 32+ 2-3x 1- 2x + 32+ 2-3x ，
函數在區間 - , -1 單調遞減，當 x=-1時， y 2+ 5min 3+ 3 ，
1 x 2當- < 時， 2+ 2-3x 2+ 2-3x ，
3 y x +1+ 2 - x + 3 3+ 3
2 ù 2 2
函數在區間 -1, ú 單調遞減，當 x 時， ymin 3+ 3 12 ，è 3 3
綜上可知，函數的最小值為12 .
故答案為：12
四、解答題
9 x．（23-24 高三上·河北石家莊·期末）已知函數 f x e ．
(1)若函數 f mx2 - x + m 的值域為 1, + ，求m 的取值范圍；
(2)若過點 2, n 可以作曲線 y f x 的兩條切線，求 n的取值范圍．
é 1 ù
【答案】(1) ê0, 2ú
(2) 0,e2
2
【分析】（1）設函數 g x mx - x + m 的值域為D，由題意結合復合函數的值域可知
0, + D ，對m 是否為 0 分類討論即可.
（2）設出切點，求出過該切點的切線方程，將點 2, n 代入切線方程可得 n的表達式，由題
意直線 y n t與函數 h t 3- t e 有兩個不同的交點，利用導數來研究函數單調性，進而求
解即可.
2
【詳解】（1）令函數 g x mx - x + m 的值域為D．
2
因為 f mx - x + m 的值域為 1, + ，所以 0, + D ．
當m 0時，D R，符合題意；
ìm > 0
當m
1
0 時， í 0 < m
Δ 1- 4m
2 ，解得 ． 0 2
é 1 ù
綜上，m 的取值范圍為 ê0, 2ú ．
2 x t（ ）在曲線 f x e 上任取一點P t, e , f x ex，
t t
所以曲線 y ex 在點 P 處的切線方程為 y - e e x - t ，即 y et x + 1- t et ．
由題意可知，點 2, n 在直線 y et x + 1- t et t上，可得 n 2e + 1- t et 3- t et ．
令 h t 3- t et ，則 h t 2 - t et ．
當 t < 2時， h t > 0，此時 h t 單調遞增，當 t > 2時， h t < 0 ，此時 h t 單調遞減，
所以 h(t) 2max h 2 e ，且當 t < 2時， h t > 0，當 2 < t < 3時， h t > 0．
由題意可知，直線 y n 與曲線 y h t 的圖象有兩個交點，則0 < n < e2 ，
所以 n的取值范圍為 0,e2 ．
a - x
10．（23-24 高三上·河北邢臺·階段練習）已知函數 f x log1
9 2 + bx
，
g x m ×4x - 2x+2 + 3 .
(1)若 y lg ég x ù 的值域為R ，求滿足條件的整數m 的值；
(2)若非常數函數 f x 是定義域為 -2,2 的奇函數，且"x1 1,2 ，$x2 -1,1 ，
f x 11 - g x2 > - ，求m 的取值范圍.2
【答案】(1)1
(2) - , 2
【分析】（1）根據函數 y lg é g x ù 的值域為R ，可得函數 g x 的值域包含 0, + ，再分
m 0，m > 0和m < 0三種情況討論，結合二次函數的性質即可得解；
（2）根據函數的奇偶性求出函數 f x 的解析式，再根據"x1 1,2 ，$x2 -1,1 ，
f x1 - g x2
1 1
> - ，則只要 f x + > g x f xmin 即可，求出函數 的最小值，再從m 分2 2 min
情況討論，結合二次函數的性質求出 g x 的最小值即可.
【詳解】（1）因為函數 y lg ég x ù 的值域為R ，
所以函數 g x 的值域包含 0, + ，
2g x m × 4x - 2x+2 + 3 m × 2x - 4 ×2x + 3，
x+2
當m 0時， g x -2 + 3，其值域為 - ,3 ，不滿足條件，
當m 0 x時，令 t 2 , t 0, + ，
則函數 y mt 2
2
- 4t + 3的對稱軸為 t ，
m
2 2m > 0 y m × 當 時， min ÷ - 4
2
× + 3 4 3- ，
è m m m
即 g x é3 4的值域為 ê - , +

÷，
m
ì 4
3- 0 4
所以 í m ，解得0 < m ，
3 m > 0
2
當m < 0時， < 0，則函數 y mt 2 - 4t + 3的值域為 - ,3 ，
m
即函數 g x 的值域為 - ,3 ，不滿足條件，
4
綜上所述，0 < m ，所以滿足條件的整數m 的值為1；
3
（2）因為函數 f x 是定義域為 -2,2 的奇函數，
ì f 0 0
所以 í
f -1 f 1
，
-
ì
log
a
1 0
9 2 ìa 2 ìa 2
即 í ，解得 í 或 í ，
log a +1 - log a -1 b 1 b -1
1 2 - b 1 9 9 2 + b
ìa 2
由函數 f x 不是常數函數，所以 í ，
b 1
ìa 2
經檢驗，符合題意，所以 íb 1 ，
f x log 2 - x即 1
9 2 + x
，
由"x1 1,2 ，$x2 -1,1 ， f x1 - g x2
1
> - ，
2
得"x1 1,2 ，$x2 -1,1 f x
1
， 1 + > g x2 2 ，
只要 f x 1+ > gmin x min 即可，2
當 x 1,2 2 - x 4 - 2 + x 4時， -1 0, 1 ù ，
2 + x 2 + x 2 + x è 3ú
所以函數 f x log
1 1
1 min ，
9 3 2
1
則 f x + 1min ，2
g x m × 4x - 2x+2 x 2+ 3 m × 2 - 4 ×2x + 3，
令 n 2x ，因為 x -1,1 1，所以 n é , 2ùê ， 2 ú
函數 y m ×n2
1
- 4n + 3,n éê , 2
ù
，
2 ú
當m 0時， y 4n 3,n
é1 - + , 2ùê ， 2 ú
則 n 2時， ymin -5 <1恒成立，符合題意；
m 0 y m ×n2當 時，函數 - 4n + 3,n é
1
ê , 2
ù 2
ú 的對稱軸為 n ， 2 m
當m < 0時，則 n 2時， ymin 4m - 5 < 0恒成立，符合題意；
0 2 1當 < ，即m > 4 時，
m 2
n 1則 時， y
1
min m +1，2 4
ìm > 4

所以 í1 ，不等式組無解；
m +1<1 4
2
當 2，即0 < m 1時，
m
則 n 2時， ymin 4m - 5 < 0恒成立，符合題意；
1 2
當 < < 2，即1< m < 4時，
2 m
則 n
2 y 4 時， min - + 3，m m
ì1< m < 4

所以 í 4 ，解得1< m < 2，
- + 3 <1 m
綜上所述，m 的取值范圍為 - , 2 .
【點睛】結論點睛：本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規則轉化：
一般地，已知函數 y f x ， x a,b ， y g x ， x c, d .
（1）若"x1 a,b ，"x2 c, d ，有 f x1 < g x2 成立，則 f x < g xmax min ；
（2）若"x1 a,b ，$x2 c, d ，有 f x1 < g x2 成立，則 f x < g xmax max ；
（3）若$x1 a,b ，$x2 c, d ，有 f x1 < g x2 成立，則 f x < gmin x max ；
（4）若"x1 a,b ，$x2 c, d ，有 f x1 g x2 成立，則 f x 的值域是 g x 的值域的子
集.考點 11 指數與指數函數（3 種核心題型+基礎保分練+綜合提
升練+拓展沖刺練）
【考試提醒】
1.理解有理數指數冪的含義，了解實數指數冪的意義，掌握指數冪的運算性質.
2.通過實例，了解指數函數的實際意義，會畫指數函數的圖象.3.理解指數函數的單調性、特
殊點等性質，并能簡單應用．
【知識點】
1．根式
(1)一般地，如果 xn＝a，那么 叫做 a 的 n 次方根，其中 n>1，且 n∈N*.
(2)式子n a叫做 ，這里 n 叫做根指數，a 叫做被開方數．
(3)(n a)n＝ .
當 n 為奇數時，n an＝ ，
，
n a a ≥ 0
，
當 為偶數時，n an＝|a|＝{－a，a < 0.
2．分數指數冪
m
正數的正分數指數冪： a n ＝ (a>0，m，n∈N*，n>1)．
m
－ 1
正數的負分數指數冪： a n ＝ ＝ (a>0，m，n∈N*，n>1)．
n am
0 的正分數指數冪等于 ,0 的負分數指數冪沒有意義．
3．指數冪的運算性質
aras＝ ；(ar)s＝ ；(ab)r＝ (a>0，b>0，r，s∈Q)．
4．指數函數及其性質
(1)概念：一般地，函數 y＝ax(a>0，且 a≠1)叫做指數函數，其中指數 x 是自變量，定義域
是 .
(2)指數函數的圖象與性質
a>1 0圖象
定義域
值域
性質 過定點 ，即 x＝0 時，y＝1
當 x>0 時， ； 當 x<0 時， ；
當 x<0 時， 當 x>0 時，
在(－∞，＋∞)上是_______ 在(－∞，＋∞)上是_______
常用結論
1
1．指數函數圖象的關鍵點(0,1)，(1，a)，(－1， .a)
2.如圖所示是指數函數(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx 的圖象，則 c>d>1>a>b>0，即
在第一象限內，指數函數 y＝ax(a>0，且 a≠1)的圖象越高，底數越大．
【核心題型】
題型一　指數冪的運算
(1)指數冪的運算首先將根式、分數指數冪統一為分數指數冪，以便利用法則計算，還應注
意：
①必須同底數冪相乘，指數才能相加．
②運算的先后順序．
(2)運算結果不能同時含有根號和分數指數，也不能既有分母又含有負指數．
y x
【例題 1】（2024·廣東·模擬預測）若 xy 3，則 x + y ．
x y
2 x - x
【變式 1】（2024 高三下·全國·專題練習）已知函數 f (x)
1 (x +1) + e - e
( )x -
2 12(x2 +1) ，則
f (log 6) f (log 12 + 2 ) 6 ．
ì 2x , x 1, 7
【變式 2】（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x í f f x 2 , x 1,則 ÷ ． - > è 2
【變式 3】（2024 高三·全國·專題練習）化簡下列各式：
2
é 1 -2.5 ù 3
（1） ê 0.0645
3 0
÷ ú - 3 3 - π =
êè ú 8
a3b2 3 ab2
（2） 1 1
4
1 1- （ a > 0,b > 0 =
a 4b2 ÷ a 3b3
è
1 1
（3 設 -x 2 + x 2 3，則 x + x
-1的值為
題型二　指數函數的圖象及應用
對于有關指數型函數的圖象問題，一般是從最基本的指數函數的圖象入手，通過平移、伸縮、
對稱變換得到．特別地，當底數 a 與 1 的大小關系不確定時應注意分類討論．
1
【例題 2】（2024 高三·全國·專題練習）在同一平面直角坐標系中，函數 y＝ x ，y＝loga（xa
1
＋ ）（a＞0，且 a≠1）的圖象可能是（　　）
2
A． B．
C． D．
x
【變式 1】（23-24 高三下·江西·開學考試）函數 f x x - x 的圖象大致為（ ）2 - 2
A． B．
C． D．
【變式 2】（23-24 高三上·山東濰坊·期中）已知指數函數 y a x ，對數函數 y logb x 的圖象
如圖所示，則下列關系成立的是（ ）
A． 0 < a < b <1 B．0 < a < 1 < b
C．0 < b < 1 < a D． a < 0 <1 < b
【變式 3】（2024·四川·模擬預測）已知函數 y xa， y bx ， y log c x 在同一平面直角坐標
系的圖象如圖所示，則（ ）
a a
A． log 1 c < b < sin b B． log 1 c < sin b < b
2 2
C． sin b < b
a < log 1 c D． sin b < log 1 c < b
a
2 2
題型三　指數函數的性質及應用
(1)利用指數函數的性質比較大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原則，比較大小
還可以借助中間量．
(2)求解與指數函數有關的復合函數問題，要明確復合函數的構成，涉及值域、單調區間、
最值等問題時，要借助“同增異減”這一性質分析判斷．
命題點 1　比較指數式大小
【例題 3】（2024·甘肅武威·模擬預測）設a 0.8-0.4 , b log0.50.8, c log0.40.9，則 a,b,c的大
小關系是（ ）
A．b > c > a B． a > c > b C．b > a > c D． a > b > c
【變式 1】（2024·全國·模擬預測）已知 a log5 2，b lg4， c 2e-1，則 a,b,c的大小關系為
（ ）
A． a < b < c B．b < a < c C．b < c < a D． c < b < a
【變式 2】（2024·北京房山·一模）已知 a,b,c R ，則下列命題為假命題的是（ ）
A．若 a > b，則 a + c > b + c B．若a > b > 0，則 a0.4 > b0.4
1 a+c b+c 1 b b + cC．若 a > b，則 ÷ < ÷ D．若 a > b > 0,c > 0，則 >
è 2 è 2 a a + c
2
【變式 3】（2024·陜西西安·模擬預測）若 a 0.311.5 ,b log312,c log2 6,d 3 - ，則有3
（ ）
A． a > b > c B．b > a > d
C． c > a > b D．b > c > a
命題點 2　解簡單的指數方程或不等式
【例題 4】（23-24 高三上·陜西咸陽·階段練習）若函數 f x a x +1（ a > 0且a 1）在區間
1,2 上的值域為 3,5 ，則實數 a的值為（ ）
A 1
1
． 2 B．2 C．3 D． 3
【變式 1】（23-24 高三上·河南周口·階段練習）已知函數 f (x) 22x - a × 2x + 4 ，若 f (x) 0恒
成立，則實數 a的取值范圍為（ ）
A． (- ,4] B． (- , 2] C．[4,+ ) D．[2,+ )
【變式 2】（2023·山東菏澤·三模）已知函數 f x sinx + x，若 x R ，不等式
f 2x + f m x - 2 2 ÷ > 0恒成立，則正實數m 的取值范圍為（2 ）è
A． 3,4 B． 2, + C． 3, + D． 4, +
3 2024 · · A x log x 1 B x ex【變式 】（ 高三 全國 專題練習）若集合 2 ，集合 2 ，則 AI B
（ ）
ìx 1A． í x ln2
ü
2
B． x 0 < x 1 C． x 0 < x ln2 D． x 0 < x 2

命題點 3　指數函數性質的綜合應用
1
【例題 5】（23-24 高三上·陜西·階段練習）已知函數 f x x - a是奇函數.2 +1
(1)求 a的值；
(2)求 f x 在 -1,3 上的值域.
【變式 1】（23-24 高三上·廣東茂名·階段練習）若函數 f (x) (2a -1)x-3 + b的圖象恒經過定點
(3, -2)．
(1)求b 的值；
(2)當 f (x) 在R 上是增函數，求 a 的范圍．
【變式 2】（2024·全國·模擬預測）已知函數 f (x) | 2x - 4 | + | x + 3 |．
(1) 1
f ( x)
1
求不等式 ÷ 的解集；
è 2 128
(2)若 f (x) > kx +1恒成立，求實數 k 的取值范圍．
【變式 3】（23-24 高三上·江蘇淮安·期中）已知不等式 log2 x + 2 log2 8 - 2x .
(1)求不等式的解集A ；
x-1 x
(2) x A 1 1 若當 時，不等式 ÷ - 4 ÷ + 2 m總成立，求m 的取值范圍.
è 4 è 2
【課后強化】
基礎保分練
一、單選題
1 1
5

．（2024·四川綿陽·二模） x - ÷ 的展開式中，x 的系數為（ ）
è x
A．-5 B．-10 C．5 D．10
x
2．（2024·內蒙古包頭·一模）已知 f x 3 - b x b > 0 是奇函數，則b （ ）3 + b
A．4 B．3 C．2 D．1
3．（23-24 高三上·廣東梅州·期中）計算：1.10 + 3 64 - 0．5-2 + lg25 + 2lg2 （ ）
A．1 B． 2 C．3 D． 4
x
4．（2024 4 ×2010 + 2高三下·全國·專題練習）已知 f (x) x + x cos x(-1 x 1)，設函數 f (x)2010 +1
的最大值是M ，最小值是 N ，則（ ）
A．M + N 8 B．M - N 8
C．M + N 6 D．M - N 6
二、多選題
5 - x x．（23-24 高三上·福建漳州·階段練習）小明同學對函數 f x a - ka (a > 0且 a 1)進得
研究，得出如下結論，其中正確的有（ ）
A．函數 f x 的定義域為R B．函數 f x 有可能是奇函數，也有可能是偶
函數
C．函數 f x 在定義域內單調遞減 D．函數 f x 不一定有零點
2
6．（2024·山東臨沂·一模）已知函數 f x x + a a R ，則（ ）2 -1
A． f x 的定義域為 - ,0 U 0, +
B． f x 的值域為R
C．當 a 1時， f x 為奇函數
D．當 a 2時， f -x + f x 2
三、填空題
x
7．（2023·上海金山·一模）若 x > 0時，指數函數 y m2 - 3 的值總大于 1，則實數m 的取
值范圍是 .
8．（23-24 高三上·江蘇連云港·階段練習）設 x R ，用 x 表示不超過 x 的最大整數，則 y x
x
稱為高斯函數.例如： 2.1 2， -3.1 -4 . f (x) 2 + 3已知函數 ，則 é f -1 ù1+ 2x+1
，
函數 y f (x) 的值域為 .
四、解答題
9．（2024 高三·全國·專題練習）畫下列函數圖像
(1) y 2x+2 ；
x + 2
(2) y .
x -1
10．（2024 高三·全國·專題練習）化簡：
27 2- 1-(1) ( ) 3 + (0.002) 2 -10( 5 - 2)-1 + ( 2 - 3)0 ；
8
(2) 3 (1+ 2)3 + 4 (1- 2)4
x - x x - x
11．（23-24 2 + 2 2 - 2高三上·安徽合肥·階段練習）已知函數 f x ， g x .
2 2
(1)若存在 x 0, + ，使得 f x t 1× 2x + 成立，求實數 t 的取值范圍；
2
(2)若不等式 f 2x + 2bg x 0，對任意的 x 1,2 恒成立，求實數b 的取值范圍.
12．（23-24 x高三上·河南鄭州·階段練習）已知函數 f x a + b， g x loga x， a > 0, a 1 ，
其中 a,b均為實數.
(1)若函數 f x 的圖像經過點 A 0,2 ，B 1,3 ，求 a,b的值;
(2)如果函數 f x 的定義域和值域都是 -1,0 ，求 a + b 的值.
(3)若 a滿足不等式 22a+1 > 25a-2 ，且函數 g 2x -1 在區間 1,3 上有最小值-2，求實數 a 的
值.
綜合提升練
一、單選題
1．（2023·廣東珠海·模擬預測）已知 a > 0且a 1，下列等式正確的是（ ）
6
A．a-2 × a3 a-6
a
B． 3 a
2
a
3
- 1
C． a6 + a3 a9 D． a 2
a3
2x2．（23-24 高三下·重慶·階段練習）已知 f x ax 為奇函數，則 f 1 （ ）2 -1
2 2
A． B - C 2 D -23 ． ． ．3
3 x．（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x 3 ，若 a f log36 ,b f log510 ,c f
3
÷ ，則
è 2
（ ）
A． a < b < c B． c < b < a C．b < a < c D．b < c < a
ì2x + 2- x , x 3
4．（2024·江蘇南通·二模）已知函數 f x í x ，則 f log 9 （f , x 3 2 ） ÷ >
è 2
8 10 80 82
A． B． C． D．
3 3 9 9
5．（2023·江西南昌·三模）設函數 f x a x 0 < a <1 ， g x logb x b >1 ，若存在實數m
滿足：① f (m) + g(m) 0 ；② f (n) - g(n) 0，③ | m - n | 1
1
，則 m - n 的取值范圍是
2
（ ）
( 1 1 3 1A． - , - ) B 1． (- , 3- 5- ) C． (- , - ) D ( 3+ 5 , 1．2 4 4 2 - - )2 4 4 2
6．（23-24 高三上·福建莆田·階段練習）函數 y a x-1 + 2(a > 0且 a 1)的圖象恒過定點 k,b ，
若m + n b - k 且m > 0, n > 0
9 1
，則 + 的最小值為（ ）
m n
9 5
A．9 B．8 C． D．
2 2
7．（23-24 高三上·云南楚雄·期末）設 3 9 的小數部分為 x，則 x3 + 6x2 +12x （ ）
3 2
A．1 B． C．2 D．
2 3
8．（23-24 高三上·河南鄭州·階段練習）下列結果正確的是（ ）
A． n an a B． loga (MN ) loga M＋loga N
C 1 1 3
5
． a 2 a 2 a a 2 D． (log3 2 + log9 2) × (log4 3+ log8 3) 4
二、多選題
9．（2024·廣西柳州·三模）若 a > b，則（ ）
A． a3 - b3 > 0 B． ln a - b > 0 C． ea-b > 1 D． a - b > 0
x
10．（23-24 高三上· 2 -1浙江溫州·期末）已知函數 f x x ，則（ ）2 +1
A．不等式 f x 1< 的解集是 -1,1
3
B．"x R ，都有 f -x f x
C． f x 是 R 上的遞減函數
D． f x 的值域為 -1,1
x - x
11 e - e．（22-23 高三上·河北邯鄲·期中）設函數 f(x)＝ ，則下列結論正確的是（ ）
2
A．|f(x)|是偶函數 B．-f(x)是奇函數
C．f(x)|f(x)|是奇函數 D．f(|x|)f(x)是偶函數
三、填空題
12．（2024·北京房山·一模）若對任意m,n R ，函數 f (x) 滿足 f (m) f (n) f (m + n) ，且當m > n
時，都有 f (m) < f (n)，則函數 f x 的一個解析式是 ．
x
13．（2024·全國·模擬預測）已知16log12 x - 9log12 x x，16log9 y -12log9 y y ，則 y ．
2x+1
14．（23-24 高三下·江西·階段練習）已知函數 f (x) x - x -1- a ，存在實數 x2 + 2 1
, x2 ,L, xn 使
n-1
得 f xi f xn 成立，若正整數 n的最大值為 8，則正實數 a的取值范圍是 .
i 1
四、解答題
15．（23-24 高三上·內蒙古通遼·階段練習）求值或化簡
1
1 0
(1) 2計算：0.0643 5+ - 1 ÷ -
-2
2
2 ÷ + 0.1 ；
è è 4
b a3 × 3 ab
(2)化簡（用分數指數冪表示）： (a > 0,b > 0)
a3 b2 × ab
16．（2023 高三·全國· f x 2x專題練習）已知 的圖象，指出下列函數的圖象是由 f x 的圖
象通過怎樣的變換得到的.
(1) y 2x+1 ；
(2) y 2x +1；
(3) y 2-x；
(4) y 2 x .
2
17．（23-24 高三上·安徽· 2 m -2m階段練習）已知冪函數 f x m - 5m + 5 x 在 0, + 上單調
g x 2x遞減，函數 - k ．
(1)求m 的值；
(2)記集合 A y y f x , x 1,2 ，集合B y y g x , x -1,1 ，若 AI B A，求實
數 k 的取值范圍．
18．（23-24 高三上·陜西西安·階段練習）解不等式：
2
(1) log1 x - x - 2 > log1 (x -1) -1．
2 2
(2)1 4x - 3 ×2x + 3 7．
ì 1 ü ì
a ü
19．（23-24 高三下·全國·自主招生） S1 ía a3 2
, S ì 2 ü 1 1< 2 ía loga < 2

3
, S3 ía ÷ < ，
è 3 2
求 S1 S2 U S3
拓展沖刺練
一、單選題
1．（2024·寧夏固原·一模）已知函數 f x 的部分圖像如圖所示，則 f x 的解析式可能為
（ ）
x - x x - x
A． f x e - e B． f x e - e 4 x - 3 3- 4 x
x
f x e + e
- x x
C． D． f x 4 x - 3 x -1
2．（2024·河北滄州·一模）下列命題為真命題的是（ ）
A．"x > 0,ex > cosx B．"a > b, a2 > b2
C．$x > 0,cosx ex D．$a > b,a3 < b3
1
3．（2024·陜西西安·一模）已知函數 f x 為偶函數，滿足 f x + 2 - f x ，且-2 x 0
x
3
時， f x x ÷÷ - 2 ，若關于 的方程 f x - loga x +1 0至少有兩解，則 a的取值范圍
è 3
為（ ）．
1 1ù 1ù é1 ù
A． ,3÷ B． 0, 3, + C． 0, U 3, + D． ,3
è 3 è 3ú è 5ú ê 5 ú
4．（23-24 x高三上·寧夏銀川·階段練習）已知函數 f x 3 -1 ， a < b < c，且
f a > f c > f b ，則（ ）
A． a<0，b < 0， c < 0 B． a<0，b 0， c > 0
C．3-a < 3c D．3a + 3c < 2
5．（2024·全國·模擬預測）若 2x - 4y 2 ，x， y R ，則 x - y的最小值為（ ）
1 3 5A． 2 B． C． D．42 4
二、多選題
6．（23-24 x - x高三上·江蘇揚州·期末）已知函數 f x x e + a ×e 是奇函數或偶函數，則
y f x 的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024 高三·全國·專題練習）下列大小關系正確的是．（ ）
3
A． 6 + 7 > 2 2 + 5 B． ln3 2 > logπ 3
1
-
C 2． 2 17 <17 D． ln π e> ÷
è π
三、填空題
8．（23-24 高三上·上海靜安·階段練習）函數 y x +1 + x - 2 + 32+ 2-3x 的最小值為 .
四、解答題
9．（23-24 高三上·河北石家莊· f x ex期末）已知函數 ．
(1) 2若函數 f mx - x + m 的值域為 1, + ，求m 的取值范圍；
(2)若過點 2, n 可以作曲線 y f x 的兩條切線，求 n的取值范圍．
a - x
10．（23-24 高三上·河北邢臺·階段練習）已知函數 f x log1
9 2 + bx
，
g x m ×4x - 2x+2 + 3 .
(1)若 y lg ég x ù 的值域為R ，求滿足條件的整數m 的值；
(2)若非常數函數 f x 是定義域為 -2,2 的奇函數，且"x1 1,2 ，$x2 -1,1 ，
f x 11 - g x2 > - ，求m 的取值范圍.2

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