資源簡介

考點 10 二次函數(shù)與冪函數(shù)（3 種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜合
提升練+拓展沖刺練）
【考試提醒】
1.通過具體實例，了解冪函數(shù)及其圖象的變化規(guī)律.
2.掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(單調(diào)性、對稱性、頂點、最值等)．
【知識點】
1．冪函數(shù)
(1)冪函數(shù)的定義
一般地，函數(shù) y＝xα叫做冪函數(shù)，其中 x 是自變量，α 是常數(shù)．
(2)常見的五種冪函數(shù)的圖象
(3)冪函數(shù)的性質(zhì)
①冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義；
②當(dāng) α>0 時，冪函數(shù)的圖象都過點(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；
③當(dāng) α<0 時，冪函數(shù)的圖象都過點(1,1)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；
④當(dāng) α 為奇數(shù)時，y＝xα為奇函數(shù)；當(dāng) α 為偶數(shù)時，y＝xα為偶函數(shù)．
2．二次函數(shù)
(1)二次函數(shù)解析式的三種形式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
頂點式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，頂點坐標為(m，n)．
零點式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2為 f(x)的零點．
(2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)
函數(shù) y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0)
圖象(拋物線)
定義域 R
4ac－b2 ( 4ac－b2值域 [ ，＋∞) －∞，4a 4a ]
b
對稱軸 x＝－
2a
( b 4ac－b2頂點坐標 － ，2a 4a )
奇偶性 當(dāng) b＝0 時是偶函數(shù)，當(dāng) b≠0 時是非奇非偶函數(shù)
在( b－∞，－ ]上單調(diào)遞減； 在( b－∞，－ 上單調(diào)遞增；2a 2a]
單調(diào)性
[ b b在 － ，＋∞ 上單調(diào)遞增 在 － ，＋∞ 上單調(diào)遞減2a ) [ 2a )
【核心題型】
題型一　冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)
(1)對于冪函數(shù)圖象的掌握只要抓住在第一象限內(nèi)三條線分第一象限為六個區(qū)域，即 x＝1，y
＝1，y＝x 所分區(qū)域．根據(jù) α<0,0<α<1，α＝1，α>1 的取值確定位置后，其余象限部分由奇
偶性決定．
(2)在比較冪值的大小時，必須結(jié)合冪值的特點，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進行比
較．
【例題 1】（2024·四川南充·二模）已知函數(shù) f x 的圖象如圖所示，則 f x 的解析式可能是
（ ）
1 1
A． - 3
1
y = x 2 B． y = x 2 C． y = x D． y = x3
【答案】D
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.
1
【詳解】對于 A：函數(shù) y = x 2 = x 的定義域為 0, + ，顯然不符合題意，故 A 錯誤；
1
- 1
對于 B：函數(shù) y = x 2 = 的定義域為 0, + ，顯然不符合題意，故 B 錯誤；
x
對于 C：函數(shù) y = x3的定義域為R ，又 y = x3為奇函數(shù)，
但是 y = x3在 0, + 上函數(shù)是下凸遞增，故不符合題意，故 C 錯誤；
1 1
對于 D： y = x3 = 3 x 定義域為R ，又 y = x3 為奇函數(shù)，
1
且 y = x3 在 0, + 上函數(shù)是上凸遞增，故 D 正確.
故選：D
【變式 1】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知正數(shù) a，b 滿足 aea = blnb = 2 ，則（ ）
A． a <1 < b B． a < b <1
C． a > 1 > b D． a > b >1
【答案】A
a 2 2
【分析】由已知可得 e = 且 lnb = ，分別作出相關(guān)的函數(shù)圖象即可求解.
a b
【詳解】由 aea = blnb = 2 ，得
x 2
所以方程 e =
2
的實根為 a，方程 lnx = x 的實根為b ，x
x 2
在同一坐標系下畫出 y = e , y = lnx, y = 的圖象，顯然 a <1 < b，
x
故選:A．
【變式 2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知 a = 22.1 ，b = log 15， c = 51.052 ，則 a,b,c的大小關(guān)系為
（ ）
A．b < a < c B．b【答案】A
【分析】利用指數(shù)函數(shù) y = 2x 與對數(shù)函數(shù) y = log2x 的單調(diào)性比較 a,b與中間值 4 的大小關(guān)系
進而得到 a與b 的大小關(guān)系；利用冪函數(shù) y = x2.1 的單調(diào)性得到 a與 c的大小關(guān)系，最終得到
a,b,c的大小關(guān)系.
【詳解】Q y = 2x 是R 上的增函數(shù)， 2.1 > 2，\a = 22.1 > 22 = 4 ．
Q y = log2x在 0, + 上單調(diào)遞增，15 < 24 ，
\b = log 4215 < log2 2 = 4，\b < a，
Qc = 51.05
2.1
= 5 ， y = x2.1 在 0, + 上單調(diào)遞增， 2 < 5 ，
2.1 2.1\a = 2 < 5 = c，\b < a < c ，
故選：A．
【變式 3】（2024·四川南充·二模）已知函數(shù) f x 的圖象如圖所示，則 f x 的解析式可能是
（ ）
1 1 1
A． y = x 2 B．
-
y = x 2 C． y = x
3 D． y = x3
【答案】D
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.
1
【詳解】對于 A：函數(shù) y = x 2 = x 的定義域為 0, + ，顯然不符合題意，故 A 錯誤；
1
- 1
對于 B：函數(shù) y = x 2 = 的定義域為 0, + ，顯然不符合題意，故 B 錯誤；
x
對于 C：函數(shù) y = x3的定義域為R ，又 y = x3為奇函數(shù)，又 y = x3在 0, + 上函數(shù)是下凸遞
增，故不符合題意，故 C 錯誤；
1 1 1
對于 D：函數(shù) y = x3 = 3 x 的定義域為R ，又 y = x3 為奇函數(shù)，且 y = x3 在 0, + 上函數(shù)是
上凸遞增，故 D 正確.
故選：D
題型二　二次函數(shù)的解析式
求二次函數(shù)解析式的三個策略：
(1)已知三個點的坐標，宜選用一般式；
(2)已知頂點坐標、對稱軸、最大(小)值等，宜選用頂點式；
(3)已知圖象與 x 軸的兩交點的坐標，宜選用零點式．
【例題 2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知二次函數(shù) f x 滿足對于任意的 x, y R ，
f x f y = f xy ，且 f 2 = 4 .若 f p + q + f q =1，則 p2 + 2q2 的最大值與最小值之和
是（ ）
A． 4 + 2 2 B． 2 2 C．4 D． 2
【答案】C
f x = ax2【分析】設(shè) + bx + c a 0 ，根據(jù)題意求得 f x = x2 ，由 f p + q + f q =1得到
p + q 2 + q2 =1，設(shè) p + q = cosq ， q = sinq ，即 p = cosq - sinq ， q = sinq ，利用三角函數(shù)
的性質(zhì)求最大值最小值即可.
【詳解】設(shè) f x = ax2 + bx + c a 0 ，
因為 f x f y = f xy ，令 y = 0 ，得 f x f 0 = f 0 ，故 f 0 = 0，所以 c = 0 ，
令 y =1，得 f x f 1 = f x ，故 f 1 =1，即 a + b =1，
又 f 2 = 4，即 4a + 2b = 4，故 a =1，b = 0 2，所以 f x = x ，
2
由 f p + q + f q =1，得 p + q + q2 =1，設(shè) p + q = cosq ， q = sinq ，即 p = cosq - sinq ，
q = sinq ，
則 p2 + 2q2 = cosq - sinq 2 + 2sin2 q =1- 2sinq cosq + 2sin2 q =1- sin 2q + 1- cos 2q
= 2 - sin 2q - cos 2q = 2 - 2 sin 2q
π
+ ÷ é 2 - 2,2 + 2ùè 4
，
所以 p2 + 2q2 的最大值與最小值之和為 2 + 2 + 2 - 2 = 4，
故選：C
【變式 1】（多選）（2023·全國·模擬預(yù)測）已知二次函數(shù) f x 滿足對于任意的
x, y R, f x f y = f xy 且 f 2 = 4．若 f p + q + f q =1，則下列說法正確的是（ ）
A． p + 2q -1 B． p + 2q 2
C． p2 + 2q2 2 - 2 D． p2 + 2q2 2 + 2
【答案】BD
【分析】設(shè) f x = ax2 + bx + c a 0 ，根據(jù)題意，求得 f x = x2 ，由 f p + q + f q =1，
得到 p + q 2 + q2 =1，設(shè) p + q = cosq ,q = sinq ，得到 p = cosq - sinq ,q = sinq ，結(jié)合三角函
數(shù)的性質(zhì)，逐項計算，即可求解.
【詳解】設(shè)二次函數(shù) f x = ax2 + bx + c a 0 ，
因為 f x f y = f xy ，令 y = 0 ，可得 f x f 0 = f 0 ，故 f 0 = 0，所以 c = 0 ，
令 y =1，得 f x f 1 = f x ，故 f 1 =1，即 a + b =1；
又因為 f 2 = 4，即 4a + 2b = 4，解得 a =1,b = 0，所以 f x = x2 ，
由 f p + q + f q =1 2，可得 p + q + q2 =1，
設(shè) p + q = cosq ,q = sinq ，即 p = cosq - sinq ,q = sinq ，
從而 p + 2q = cosq + sinq = 2 sin
q p+ ÷ é - 2, 2ù ，故 A 錯誤，B 正確；è 4
又由 p2 + 2q2 = cosq - sinq 2 + 2sin2 q =1- 2sinq cosq + 2sin2 q =1- sin 2q + 1- cos 2q
= 2 - sin 2q - cos 2q = 2 π- 2 sin 2q +

÷ é 2 - 2,2 + 2ù ，所以 C 錯誤、D 正確．è 4
故選：BD．
【變式 2】（多選）（2023·河北滄州·三模）已知二次函數(shù) g x 滿足 g x - 4 = g 2 - x ，
2
g x x；當(dāng) x 0,2 時， g x x +1 ÷ .函數(shù) f x 的定義域為R ， y = f x + e
x
是奇函數(shù)，
è 2
y = f x - 3ex 是偶函數(shù)， e為自然對數(shù)的底數(shù)，則（ ）
A．函數(shù) g x 的最小值為 0
B． f 0 =1
C． f g x -1
D．函數(shù) f x 的導(dǎo)函數(shù) f x 的最小值為 2 2
【答案】ACD
2
【分析】設(shè) g x = ax + bx + c a 0 ，根據(jù)已知條件求出 a、b 、 c的值，可得出函數(shù) g x 的
解析式，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可判斷 A 選項；利用函數(shù)奇偶性的定義可得出關(guān)于 f x 、
f -x 的等式組，求出 f x 的解析式，求出 f 0 的值，可判斷 B 選項；利用函數(shù)的最值與
導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷 C 選項；利用基本不等式求出 f x 的最小值，可判斷 D 選項.
【詳解】設(shè) g x = ax2 + bx + c a 0 ，
由 g x - 4 = g 2 - x 知函數(shù) g x 的圖象關(guān)于直線 x = -1對稱，
b
即- = -1，解得b = 2a .
2a
因為 g x x，由題意可得 g 1 1，
x 0,2 g x x +1
2

當(dāng) 時， ÷ ，則 g 1 1，
è 2
所以 g 1 =1，故 a + b + c =1，即 c =1- 3a，
所以 g x = ax2 + 2ax +1- 3a a 0 .
又 g x x 2恒成立，即 ax + 2a -1 x +1- 3a 0恒成立，
ì a > 0 ìa > 0 1
于是 í ，整理可得 í ，解得 a = ，
Δ = 2a -1
2 - 4a 1- 3a 0 4a -1
2 0 4
所以， g x 1 1 1 1= x2 + x + = x +1 2 ，則 g x = g -1 = 0，
4 2 4 4 min
因此，函數(shù) g x 的最小值為 0 ，A 正確；
因為函數(shù) y = f x + ex - x x為奇函數(shù)，則 f -x + e = - f x - e ，①
又因為函數(shù) y = f x - 3ex 為偶函數(shù)，則 f -x - 3e- x = f x - 3ex ，②
聯(lián)立①②可得 f x = ex - 2e- x ，于是， f 0 = -1，B 錯誤；
f x = ex + 2e- x于是， > 0 ，即 f x 在R 上單調(diào)遞增.
注意到 g x 0，從而 f g x f 0 = -1，C 正確；
由基本不等式可得 f x = ex + 2e- x 2 ex ×2e- x = 2 2 ，當(dāng)且僅當(dāng) ex = 2e- x 時，
x 1即當(dāng) = ln 2時，等號成立，故函數(shù) f x 的最小值為
2 2 2
，D 正確，
故選：ACD.
【變式 3】（2023·山東·一模）已知二次函數(shù) f x 滿足 f (0) = -1，頂點為 (1, -2) .
(1)求函數(shù) f x 的解析式；
(2)若函數(shù) f x 在區(qū)間[a -1,4]上單調(diào)遞增，求實數(shù) a的取值范圍.
【答案】(1) f (x) = x2 - 2x -1
(2) 2,5
【分析】（1）由二次函數(shù) f x 頂點為 (1, -2) 可設(shè) f (x) = a(x -1)2 - 2 ，由 f (0) = -1即可求出
a，則求出 f x 的解析式.
（2）根據(jù)二次函數(shù) f x 的開口和對稱軸即可求得實數(shù) a的取值范圍.
【詳解】（1）設(shè) f (x) = a(x -1)2 - 2 ，
則由 f (0) = -1得：a - 2 = -1，
\a = 1，
\ f (x) = (x -1)2 - 2 = x2 - 2x -1.
（2）由（1）知 f (x) = x2 - 2x -1，開口向上，對稱軸為 x =1，
則若函數(shù) f x 在區(qū)間[a -1,4]上單調(diào)遞增，
ìa -1< 4
需滿足 í ，
a -1 1
\2 a < 5，
∴實數(shù) a 的取值范圍為 2,5 .
題型三　二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)
二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型：軸定區(qū)間定、軸動區(qū)間定、軸定區(qū)間動，不論
哪種類型，解題的關(guān)鍵都是對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，當(dāng)含有參數(shù)時，要依據(jù)對稱軸與區(qū)間
的位置關(guān)系進行分類討論．
命題點 1　二次函數(shù)的圖象
【例題 3】（2024·浙江·模擬預(yù)測）如圖①，在矩形 ABCD中，動點M 從點A 出發(fā)，沿
A B C 的方向運動，當(dāng)點M 到達點C 時停止運動．過點M 作MN ^ AM 交CD 于點 N ，
設(shè)點M 的運動路程為 x,CN = y，圖②表示的是 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系的大致圖象，則矩形
ABCD的面積是（ ）
A．20 B．18 C．10 D．9
【答案】A
BM CN
【分析】設(shè) AB = m，則BC = 9 - m，由正切值 tan MAB = tan NMC = ，代入
AB CM
數(shù)值后得出二次函數(shù)關(guān)系，再結(jié)合圖象和對稱軸，頂點坐標求出m ，最后求出面積即可.
【詳解】由圖②可知， AB + BC = 9，設(shè) AB = m，則BC = 9 - m，
如圖，當(dāng)點M 在BC 上時，
則 AB = m, BM = x - m, MC = 9 - x, NC = y，
因為MN ^ AM MAB = NMC ，所以 tan MAB = tan NMC
BM CN
= ，
AB CM
x - m y
即 = ，化簡為 y
1 x2 9 + m= - + x - 9，
m 9 - x m m
2
9 + m
x 9 + m
÷
當(dāng) = 時，代入上式并結(jié)合圖②可得 y 42 = -9 +
è m = ，4 5
m
m 81解得m = 5或 = （舍去），所以 AM = 5, BC = 4，
5
所以矩形 ABCD的面積是 20，
故選：A.
【變式 1】（2023·山東棗莊·二模）指數(shù)函數(shù) y = a x 的圖象如圖所示，則 y = ax2 + x圖象頂點
橫坐標的取值范圍是（ ）
, 1 1 A． - - ÷ B． - ,0
è 2 è 2 ÷
1 1
C． 0, D． - , +
è 2 ÷ 2 ÷ è
【答案】A
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象可知， a 0,1 ，再結(jié)合二次函數(shù)的頂點式即可解出．
2
【詳解】由圖可知， a 0,1 y ax2 x a 1 1 1，而 = + = x + ÷ - a 0 ，頂點橫坐標為 x = - ，
è 2a 4a 2a
1 1
所以- - , - ．
2a 2 ֏
故選：A．
uuur uuur
【變式 2】（多選）（2023·湖北孝感·模擬預(yù)測）已知向量 AB = ax,-1 ， BC = x - ax,1- x ，
uuur uuur
則函數(shù) f x = AB × AC 的大致圖象可能為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根據(jù)向量的坐標表示得函數(shù)解析式，然后分 a = 0， a > 0， a<0討論即可.
uuur uuur uuur uuur uuur
【詳解】因為 AC = AB + BC = (x, -x) ，所以 f (x) = AB × AC = ax2 + x .
當(dāng) a = 0時， f x = x，A 正確；
當(dāng) a > 0時， f x 1 1的零點為 0 和- ，且 - < 0 ，B 正確，Ca 錯誤；a
1 1
當(dāng) a<0時， f x 的零點為 0 和- ，且 - > 0 ，Da 正確.a
故選：ABD.
【變式 3】（多選）（23-24 高三上·河北邯鄲·階段練習(xí)）已知二次函數(shù) y = ax2 + bx + c的圖象
如圖所示，有以下結(jié)論：① a + b + c > 0 ；② a - b + c<0；③ abc > 0；④ b2 > 4ac；⑤
b
-3 < < -2，下面的選項中所有序號結(jié)論全正確的是（ ）
a
A．①②④ B．②③④ C．①④⑤ D．③④⑤
【答案】AC
【分析】觀察題圖結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)即可逐一判斷每一序號，從而即可求解.
【詳解】由圖可知 f 1 = a + b + c > 0，故結(jié)論①正確；
由圖可知 f -1 = a - b + c < 0，故結(jié)論②正確；
由圖可知二次函數(shù)圖象開口向下，所以 a<0，且 f 0 = c > 0 ，對稱軸
x b= - >1 > 0 b > 0 ，所以 abc < 0，故結(jié)論③不正確；
2a
由圖可知二次函數(shù)圖象與 x 軸有兩個交點，所以D = b2 - 4ac > 0 b2 > 4ac，故結(jié)論④正確；
b 3 b
由圖可知對稱軸1< - < -3 < < -2，故結(jié)論⑤正確；
2a 2 a
綜上所述：下面的選項中所有序號結(jié)論正確的有①②④⑤.
故選：AC.
命題點 2　二次函數(shù)的單調(diào)性與最值
f (x) x2 (m 2)x 1 é 1 1 ù【例題 4】（2024·全國·模擬預(yù)測）若函數(shù) = - - + 在 ê- , ú上單調(diào)，則實數(shù)m 2 2
的取值范圍為（ ）
é1 ,1ù U é3, 9 ù é1 ,2ù é 9 ùA． ê ú ê B． U 3, 2 2 ú ê 2 ú ê 2 ú
é 1
C． ê- ,1
ù
ú U
é
ê3,
9 ù é 1
ú D． ê- , 2
ù U é3, 9 ù
2 2 2 ú ê 2 ú
【答案】C
【分析】由題意，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)建立不等式組，解之即可求解.
【詳解】令 g x = x2 - m - 2 x +1，
ìm - 2 1 , ì m - 2 1 m - 2 1 m - 2 1 ,
ì - , ì - ,
2 2 2 2 2 2 2 2
則 í
g 1
或 í 或 í 或 í
÷ 0 g
1 1 1
-

÷ 0 g
-
2 2 2 ÷
0 g ÷ 0,
è è è è 2
9 1
解得3 m 或- ≤m≤12 ，2
1 9
即實數(shù) m 得取值范圍為[- ,1]U [3, ] .2 2
故選：C．
1
【變式 1】（23-24 高三上·山東菏澤·階段練習(xí)）函數(shù) y = 2 的單調(diào)增區(qū)間為（6 5x x ）- -
é 5 5 ù
A． ê- , + ÷ B．2
-6, -
è 2 ú
é 5 5
C． ê- ,1

÷和 1, + D．（- , -6）U

-6, -
ù
2 è 2 ú
【答案】C
【分析】令 t = -x2 - 5x + 6 ，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出 t 的單調(diào)區(qū)間，再由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性
即可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.
【詳解】設(shè) t = -x2 - 5x + 6 ，則有 x -6 且 x 1，
t = -x2 - 5x + 6 = -(x 5+ )2 49+ ，則 t 49- ,0 U ù
2 4
0, ú ，è 4
1
所以函數(shù) y = 2 的定義域為：{x | x -6且 x 1}，6 - 5x - x
5 ù é 5
由二次函數(shù)的性質(zhì)可知 t 的單調(diào)遞增區(qū)間為： - , -6 ， -6,- ú；單調(diào)遞減區(qū)間為： - ,1è 2 ÷ ê 2
和 1, + ；
y 1又因為 = 在區(qū)間 - ,0 和 0, + 上單調(diào)遞減，
t
y 1 é
5
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知：函數(shù) = 2 的單調(diào)增區(qū)間為：6 - 5x - x ê
- ,1÷和 1, + .
2
故選：C.
【變式 2】（2024·遼寧·模擬預(yù)測）命題 p ：存在m -1,1 ，使得函數(shù) f x = x2 - 2mx在區(qū)間
a,+ 內(nèi)單調(diào)，若 p 的否定為真命題，則 a的取值范圍是 .
【答案】 - , -1
【分析】先給出命題 p 的否定，由函數(shù) f (x) = x2 - 2mx的單調(diào)性進行求解.
【詳解】命題 p 的否定為：任意m -1,1 ，使得函數(shù) f (x) = x2 - 2mx在區(qū)間[a, + )內(nèi)不單
調(diào)，
由函數(shù) f (x) = x2 - 2mx在 - , m 上單調(diào)遞減，在 m,+ 上單調(diào)遞增，
則 a < m ，而m -1,1 ，
得 a < -1，
- , -1
故答案為：
【變式 3】（23-24 高三下·北京· 2階段練習(xí)）已知函數(shù) f (x) = x + ax + b 在區(qū)間[0, 4]上的最大
值為 M，當(dāng)實數(shù) a，b 變化時，M 最小值為 ．
【答案】2
2
【分析】 f (x) = x - 4x -[-(a + 4)x - b] ，則M 即為函數(shù) g(x) = x2 - 4x與函數(shù)
h(x) = -(a + 4)x - b圖象上點的縱向距離的最大值中的最小值，作出函數(shù)圖象，由圖象觀察
即可得出答案.
2 2
【詳解】 f (x) = x - 4x + (a + 4)x + b = x - 4x -[-(a + 4)x - b] ，
上述函數(shù)可理解為當(dāng)橫坐標相同時，函數(shù) g(x) = x2 - 4x， x [0 , 4]與函數(shù) h(x) = -(a + 4)x - b，
x [0 , 4]圖象上點的縱向距離，
則M 即為函數(shù) g(x) = x2 - 4x與函數(shù) h(x) = -(a + 4)x - b圖象上點的縱向距離的最大值中的最
小值，
作出函數(shù) g(x),h(x)圖象，如圖，
由圖象可知，當(dāng)函數(shù) h(x) 的圖象剛好為 y=- 2 時此時 a = -4,b = 2，M 取得最小值為 2.
故答案為：2
【課后強化】
基礎(chǔ)保分練
一、單選題
1．（23-24 2高三上·全國·期末）二次函數(shù) f x = ax + bx + 5滿足條件 f -1 = f 3 ，則 f 2
的值為（ ）
A．5 B．6 C．8 D．7
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，由二次函數(shù)的對稱性，代入計算，即可得到結(jié)果.
2
【詳解】因為函數(shù) f x = ax + bx + 5滿足條件 f -1 = f 3 ，
所以 f x = ax2 + bx + 5 -1+ 3的圖像關(guān)于直線 x = =1對稱，
2
則 f 2 = f 0 = 5．
故選：A．
é 1 1 ù
2 2．（2024·全國·模擬預(yù)測）若函數(shù) f (x) = x - (m - 2)x +1 在 ê- , ú上單調(diào)，則實數(shù)m 的取 2 2
值范圍為（ ）
é1 ,1ù U éA． ê ú ê3,
9 ù é1 ù é
ú B． ê , 2ú U ê3,
9 ù
2 2 2 2 ú
é 1 ù é
C． ê- ,1ú U ê3,
9 ù é 1 ù é 9 ù
2 2 ú
D． ê- , 2 2 ú
U ê3, 2 ú
【答案】C
【分析】由題意，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)建立不等式組，解之即可求解.
【詳解】令 g x = x2 - m - 2 x +1，
ìm - 2 1 ì m - 2 1 ìm - 2 1 ìm - 2 1

, , - , - ,
2 2 2 2 2 2 2 2
則 í 或 í 或 1 1 í
或
g 0 g - 0 g 1-
í
÷ ÷ ÷ 0 g
1
÷ 0, è 2 è 2 è 2 è 2
9 1
解得3 m 或- ≤m≤12 ，2
即實數(shù) m 得取值范圍為[
1
- ,1]U [3, 9] .
2 2
故選：C．
3．（22-23 高三·全國·對口高考）已知二次函數(shù) f x 滿足 f (2) = -1, f (1- x) = f (x)，且 f x
的最大值是 8，則此二次函數(shù)的解析式為 f (x) =（ ）
A．-4x2 + 4x + 7 B．4x2 + 4x + 7
C．-4x2 - 4x + 7 D．-4x2 + 4x - 7
【答案】A
2
f (x) = a 1 【分析】根據(jù)條件設(shè)二次函數(shù)為 x - ÷ + k(a 0)，代入條件求解即可.
è 2
【詳解】根據(jù)題意，由 f (1- x) = f (x) 得: f (x)
1
圖象的對稱軸為直線 x = ，
2
1
2

設(shè)二次函數(shù)為 f (x) = a x - ÷ + k(a 0)，
è 2
1
因 f (x)
1
的最大值是 8，所以 a<0，當(dāng) x = 時， f
2 2 ÷
= k = 8 ，
è
1 2
即二次函數(shù) f (x) = a x -
+ 8(a 0)，
è 2 ÷
2
由 f (2) = -1得: f (2) = a 2
1
- ÷ + 8 = -1，解得： a = -4 ，
è 2
1 2
則二次函數(shù) f (x) = -4 x - ÷ + 8 = -4x
2 + 4x + 7，
è 2
故選：A.
1
4．（23-24 高三上·山東菏澤·階段練習(xí)）函數(shù) y = 2 的單調(diào)增區(qū)間為（6 5x x ）- -
é 5
A． ê- , +

÷ B． -6,
5
- ù
2 è 2 ú
é 5 5 ù
C． ê- ,1÷和 1, + D．（- , -6）U -6, - 2 è 2 ú
【答案】C
【分析】令 t = -x2 - 5x + 6 ，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出 t 的單調(diào)區(qū)間，再由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性
即可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.
【詳解】設(shè) t = -x2 - 5x + 6 ，則有 x -6 且 x 1，
49
t = -x2 5 49- 5x + 6 = -(x + )2 + ，則 t - ,0 U 0, ù ，
2 4 è 4 ú
y 1所以函數(shù) = 2 的定義域為：{x | x -6且 x 1}，6 - 5x - x
t , 6 6, 5 ù é 5 由二次函數(shù)的性質(zhì)可知 的單調(diào)遞增區(qū)間為： - - ， - - ú；單調(diào)遞減區(qū)間為： ê- ,1÷è 2 2
和 1, + ；
y 1又因為 = 在區(qū)間 - ,0 和 0, + 上單調(diào)遞減，
t
1 é 5
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知：函數(shù) y = 2 的單調(diào)增區(qū)間為： ê- ,1÷和 1, + .6 - 5x - x 2
故選：C.
二、多選題
5．（23-24 高三上·福建廈門·期中）下列函數(shù)中，滿足“ "x1， x2 0，+ ，都有
f (x1) - f (x2 ) < 0
x - x ”的有（ ）1 2
A． f (x) = -3x +1 B． f x = ex - e- x
C 2． f x = x + 4x + 3 f x 2D． =
x
【答案】AD
【分析】根據(jù)題意可知滿足題意的函數(shù)為在 0，+ 上減函數(shù)，由此一一判斷選項中函數(shù)的
單調(diào)性，可得答案.
f (x ) - f (x )【詳解】由"x1， x2 0，+ 1 2，都有 < 0，可知函數(shù) f (x) 在 x 0，+ x - x 時減函數(shù).1 2
函數(shù) f (x) = -3x +1在 x 0，+ 時為減函數(shù)，符合題意，故 A 正確；
1
函數(shù) y = -e- x = -( )x 在 x 0，+ x - x時為增函數(shù)，所以 f x = e - e 在 x 0，+ 時為增函數(shù)，
e
故 B 錯誤；
2
函數(shù) f x = x + 4x + 3圖象的對稱軸為 x = -2，故在 x 0，+ 時 f x = x2 + 4x + 3為增函數(shù)，
故 C 錯誤；
函數(shù) f x 2= 在 x 0，+ 時單調(diào)遞減，符合題意，故 D 正確.
x
故選：AD.
6．（2024·全國·模擬預(yù)測）下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又是定義域上的減函數(shù)的是（ ）
A． f x = -3x5 B． f x = 2x
1
C． f x 1= D．
x f x = -2x
3
【答案】AD
【分析】由解析式直接判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性即可得解.
【詳解】對于 A， f x = -3x5是奇函數(shù)，在其定義域上單調(diào)遞減，故 A 正確；
對于 B， f x = 2x 是在其定義域上單調(diào)遞增的指數(shù)函數(shù)，故 B 錯誤；
對于 C， f -1 = -1, f 1 =1 f x 1，故 = 在其定義域上不單調(diào)遞減，故 C 錯誤；
x
1
對于 D， f x = -2x3 是奇函數(shù)，在其定義域上單調(diào)遞減，故 D 錯誤.
故選：AD.
三、填空題
x
7．（2024· x-1全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù) f x = , g x = e - e- x+1 +1，則 f x 與 g x 的圖
x -1
象交點的縱坐標之和為 ．
【答案】2
【分析】分析函數(shù)的奇偶性，由圖象的平移變換求解即可.
f x x 1【詳解】對于 = = +1，可以把 f x 的圖象看作：
x -1 x -1
1
由 f1 x = 的圖象向上平移 1 個單位長度得到，x -1
而 f1 x
1
的圖象可看作由 f2 x = 的圖象向右平移 1 個單位長度得到；x
對于 g x = ex-1 - e- x+1 +1 = ex-1 1- x-1 +1的圖象可看作由e
g1 x = ex-1
1
- x-1 的圖象向上平移 1 個單位長度得到，e
而 g1 x x
1
的圖象可看作由 g2 x = e - x 的圖象向右平移 1 個單位長度得到．e
易知 f2 x
1 1
= g x與
x 2
x = e - x 都為奇函數(shù)，e
則易知 f2 x 與 g2 x 的圖象共有兩個關(guān)于原點對稱的交點，且交點的縱坐標之和為 0．
因為將函數(shù)圖象向右平移不改變 f1 x 與 g1 x 兩函數(shù)圖象交點處函數(shù)值的大小，
所以 f1 x 與 g1 x 的圖象交點的縱坐標之和為 0，
又將函數(shù)圖象向上平移 1 個單位長度會使得原交點處的函數(shù)值都增加 1，
則 f x 與 g x 的圖象的兩個交點的縱坐標與 f1 x 與 g1 x 的圖象兩個交點的縱坐標相比
都增加 1，
故 f x 與 g x 的圖象交點的縱坐標之和為 2．
故答案為：2
8．（23-24 2高三下·北京·階段練習(xí)）已知函數(shù) f (x) = x + ax + b 在區(qū)間[0, 4]上的最大值為 M，
當(dāng)實數(shù) a，b 變化時，M 最小值為 ．
【答案】2
【分析】 f (x) = x2 - 4x -[-(a + 4)x - b] ，則M 即為函數(shù) g(x) = x2 - 4x與函數(shù)
h(x) = -(a + 4)x - b圖象上點的縱向距離的最大值中的最小值，作出函數(shù)圖象，由圖象觀察
即可得出答案.
2 2
【詳解】 f (x) = x - 4x + (a + 4)x + b = x - 4x -[-(a + 4)x - b] ，
上述函數(shù)可理解為當(dāng)橫坐標相同時，函數(shù) g(x) = x2 - 4x， x [0 , 4]與函數(shù) h(x) = -(a + 4)x - b，
x [0 , 4]圖象上點的縱向距離，
則M 即為函數(shù) g(x) = x2 - 4x與函數(shù) h(x) = -(a + 4)x - b圖象上點的縱向距離的最大值中的最
小值，
作出函數(shù) g(x),h(x)圖象，如圖，
由圖象可知，當(dāng)函數(shù) h(x) 的圖象剛好為 y=- 2 時此時 a = -4,b = 2，M 取得最小值為 2.
故答案為：2
9．（2024·遼寧· 2模擬預(yù)測）命題 p ：存在m -1,1 ，使得函數(shù) f x = x - 2mx在區(qū)間 a,+
內(nèi)單調(diào)，若 p 的否定為真命題，則 a的取值范圍是 .
【答案】 - , -1
【分析】先給出命題 p 的否定，由函數(shù) f (x) = x2 - 2mx的單調(diào)性進行求解.
【詳解】命題 p 的否定為：任意m -1,1 ，使得函數(shù) f (x) = x2 - 2mx在區(qū)間[a, + )內(nèi)不單
調(diào)，
由函數(shù) f (x) = x2 - 2mx在 - , m 上單調(diào)遞減，在 m,+ 上單調(diào)遞增，
則 a < m ，而m -1,1 ，
得 a < -1，
故答案為： - , -1
四、解答題
10．（23-24 高三上·全國·期末）已知二次函數(shù) f x 滿足 f x +1 - f x = -4x -1，且
f 0 = -1．求 f x 的解析式；
【答案】 f (x) = -2x2 + x -1
【分析】由題意設(shè) f (x) = ax2 + bx -1，再由已知得 a(x +1)2 + b(x +1) -1- (ax2 + bx -1) = -4x -1，
根據(jù)多項式相等列方程求參即可.
【詳解】由 f 0 = -1，設(shè) f x = ax2 + bx -1 a 0 ，
由 f x +1 - f x = -4x -1，則 a(x +1)2 + b(x +1) -1- (ax2 + bx -1) = -4x -1，
2a = -4
整理得 2ax + (a + b) = -4x
ì
-1，則 í ，解得 a = -2,b =1．
a + b = -1
所以 f (x) = -2x2 + x -1．
11．（2024·陜西咸陽·二模）已知函數(shù) f x = 2x +1 + 3x - 3 ．
(1)解不等式 f x > 5；
(2)設(shè)函數(shù) g x = -3x2 +12x + m，若函數(shù) f x 與 g x 的圖象無公共點，求參數(shù)m 的取值范
圍．
ì 3 7 ü
【答案】(1) íx | x < - 5 或
x >
5
, 73(2) - -

12 ֏
【分析】（1）分類討論去絕對值，然后列不等式求解；
（2）通過觀察圖象可得 f x = g x 在 1, + 2上無解，然后轉(zhuǎn)化為m < 3x - 7x - 2 min ，利
用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可.
ì
2 - 5x, x
1
-
2
1
【詳解】（1） f x = 2x +1 + 3x - 3 = í4 - x, - < x <1，
2
5x - 2, x 1

ì x 1 1 -
ì- < x <1 x 1
若 f x > 5
ì
，即 í 2 或 í 2 或 í ，
2 - 5x > 5 4 - x > 5
5x - 2 > 5
3 7
解之得 x < - 或 x > ，
5 5
ì 3 7 ü
則原不等式的解集為 íx | x < - 或 x >5 5
；

（2）函數(shù) g x = -3x2 +12x + m，
若函數(shù) f x 與 g x 的圖象無公共點，即 f x = g x 在 1, + 上無解，
可得：-3x2 +12x + m = 5x - 2無解，即3x2 - 7x - m - 2 = 0在 1, + 上無解，
m < 3x2即 - 7x - 2 ， x 1,+ min ，
2
因為函數(shù) y = 3x2 7 73- 7x - 2 = 3 x -

÷ - ，
è 6 12
當(dāng) x 1,+ 73時， ymin = - ，12
73
所以m < - ，即m ,
73
的取值范圍為 - - ．12 è 12 ÷
12．（23-24 高三上·陜西咸陽·階段練習(xí)）已知二次函數(shù) f (x) = x2 - 2(a -1)x + 4．
(1)若 a = 2，求 f (x) 在[-2,3]上的最值；
(2)求函數(shù) f (x) 在[1, 2]上的最小值．
【答案】(1)最小值為3，最大值為12
ì7 - 2a, a 2
(2) f (x)min =

í-a2 + 2a + 3,2 < a < 3

12 - 4a, a 3
【分析】（1）代入 a = 2，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，得出單調(diào)區(qū)間，進而結(jié)合端點處的函數(shù)值，
即可得出最值；
（2）求出函數(shù)的對稱軸，分類討論對稱軸與區(qū)間的關(guān)系，得出函數(shù)的單調(diào)性，進而得出函
數(shù)的最小值.
【詳解】（1）當(dāng) a = 2時， f (x) = x2 - 2x + 4, x [-2,3] .
∵ f (x) 的對稱軸為 x =1，
∴ f (x) 在[-2,1]上單調(diào)遞減，在[1,3]上單調(diào)遞增.
又 f -2 =12， f 1 = 3， f 3 = 7 ，
所以，當(dāng) x =1時， f (x) 取得最小值為 f (1) = 3，
當(dāng) x = -2時， f (x) 取得最大值為 f (-2) =12．
（2）二次函數(shù) f (x) = x2 - 2(a -1)x + 4的對稱軸為 x = a -1 .
當(dāng) a -1 1，即 a 2時， f (x) 在[1, 2]上單調(diào)遞增，
∴ f (x)min = f (1) =1- 2(a -1) + 4 = 7 - 2a ；
當(dāng)1< a -1< 2，即 2 < a < 3時， f (x) 在[1, a -1]上單調(diào)遞減，在[a -1,2]上單調(diào)遞增，
∴ f (x)min = f (a -1) = (a -1)
2 - 2(a -1)2 + 4 = -a2 + 2a + 3；
當(dāng) a -1 2，即 a 3時， f (x) 在[1, 2]上單調(diào)遞減，
∴ f (x)min = f (2) = 2
2 - 4(a -1) + 4 =12 - 4a ．
ì7 - 2a, a 2
f (x) = 綜上， min í-a
2 + 2a + 3,2 < a < 3 .

12 - 4a, a 3
綜合提升練
一、單選題
1．（23-24 高三上·山東濟寧·期中）函數(shù) f (x) = 2x2 - x - 3 的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）
1 3- , ù (- , -1) é , + é1 A． ú B． C． ê2 ÷
D． ê ,+ 4 4 ÷è
【答案】C
【分析】由根式性質(zhì)求定義域，結(jié)合二次函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì)確定增區(qū)間.
【詳解】由題意，令 t = 2x2 - x - 3 = 2x - 3 x +1 0 3，即 x -1或 x ，2
é3
根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)知： t = 2x2 - x - 3在 (- ,-1]上遞減，在 ê ,+ 2 ÷ 上遞增
3
又 y t é = 在定義域上遞增，故 f x = 2x2 - x - 3 的單調(diào)遞增區(qū)間為 ê ,+ ÷ . 2
故選：C
2
2．（2024·遼寧·一模）若函數(shù) f x = 3-2x +ax 在區(qū)間 1,4 內(nèi)單調(diào)遞減，則 a的取值范圍是
（ ）
A． - , 4 B． 4,16 C． 16, + D． 16, +
【答案】A
【分析】利用“同增異減”判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，從而求參數(shù)的取值范圍.
u u
【詳解】設(shè) f u = 3 ，u = -2x2 + ax，則 f u = 3 在 - , + 上單調(diào)遞增.
因為 f x -2x2= 3 +ax 在區(qū)間 (1, 4)內(nèi)單調(diào)遞減，所以函數(shù)u = -2x2 + ax在區(qū)間 1,4 內(nèi)單調(diào)遞減，
a
結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得： 1，解得 a 4.
4
故選：A
3．（2023 高三上·江蘇徐州·學(xué)業(yè)考試）下列函數(shù)中，定義域為 R 且為奇函數(shù)的是（ ）
A． y = x B． y = log x C． y = x3 D． y = 2x2
【答案】C
【分析】分別求出每個函數(shù)的奇偶性和定義域，逐個選項分析求解即可.
【詳解】對于 A 選項，定義域為 0，+ ，故 A 錯誤，
對于 B 選項，定義域為 0，+ ，故 B 錯誤，
對于 C 選項，定義域為R ，且令 f (x) = y = x3，則 f (-x) = -x3，
f (-x) + f (x) = 0， f (-x) = - f (x) ，故 f (x) 是奇函數(shù)，故 C 正確，
對于 D 選項，定義域為R ，且令 f (x) = y = 2x ，則 f (-x) = 2- x ，
故 f (-x) - f (x)，故 f (x) 不是奇函數(shù)，故 D 錯誤
故選：C
4．（2023·廣東韶關(guān)·模擬預(yù)測）已知方程 x + 5 + ln x = 0和 x + 5 + ex = 0的解分別是a 和b ，
則函數(shù) f x = x +a x + b 的單調(diào)遞減區(qū)間是（ ）

A． - ,
5 ù é5
ú B． ê ,+

÷ C． - ,5 D． 5,+
è 2 2
【答案】A
【分析】根據(jù)給定條件，利用互為反函數(shù)的函數(shù)圖象特征求出a + b 即可作答.
【詳解】方程 x + 5 + ln x = 0和 x + 5 + ex = 0依次化為： ln x = -x - 5和 ex = -x - 5，
因此a 和b 分別是直線 y=- x- 5與曲線 y = ln x 和 y = ex 的交點橫坐標，
而函數(shù) y = ln x 和 y = ex 互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線 y = x 對稱，
又直線 y=- x- 5垂直于直線 y = x ，因此直線 y=- x- 5與曲線 y = ln x 和 y = ex 的交點關(guān)于直
線 y = x 對稱，
于是a + b = -5，函數(shù) f (x) = x2 + (a + b )x +ab = x2 - 5x +ab ，
所以函數(shù) f (x) 的單調(diào)遞減區(qū)間是 (
5
- , ] .
2
故選：A
5．（2024 高三·全國·專題練習(xí)）若函數(shù) f(x)＝ax2＋2x－3 在區(qū)間(－∞，4)上單調(diào)遞增，則實
數(shù) a 的取值范圍是（ ）
1 1
A．(－ ，＋∞) B．[－ ，＋∞)
4 4
1 1
C．[－ ，0) D．[－ ，0]
4 4
【答案】D
【詳解】當(dāng) a＝0 時，f(x)＝2x－3，在定義域 R 上是單調(diào)遞增的，故在(－∞，4)上單調(diào)遞增；
當(dāng) a≠0 時，二次函數(shù) f(x)圖象的對稱軸為直線 x＝－ ，因為 f(x)在(－∞，4)上單調(diào)遞增，所
以 a<0，且－ ≥4，得－ ≤a<0.綜上，得－ ≤a≤0.
6 2．（2024 高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù) f x = x + ax + b a,b R 的最小值為 0，若關(guān)于 x
的不等式 f x < c的解集為 m, m + 4 ，則實數(shù) c的值為（ ）
A．9 B．8 C．6 D．4
【答案】D
【分析】先由 f x = x2 + ax + b a,b R 的最小值為 0，得到Δ = 0，再由 f (x) < c的解集為
(m,m + 4)，得到 f (x) - c = 0 的根為m, m + 4，從而利用韋達定理即可求解.
【詳解】因為 f x = x2 + ax + b a,b R 開口向上，最小值為 0 ，
2
\D = a2 - 4b = 0, a\b = ，
4
f (x) x2 ax a
2 2
= + + = x a 則 +
4 2 ÷
，
è
Q f (x) < c 的解集為 (m,m + 4)，所以m, m + 4是 f (x) - c = 0 的兩個不等實根，
2
即m, m + 4是 x2 + ax a+ - c = 0的兩個不等實根，
4
m -a - 4所以m + m + 4 = -a ，則 = ，
2
2 2
\c = f (m) = m
a -a - 4 a+ ÷ =
+ ÷ = 4 .
è 2 è 2 2
故選：D.
2
7．（2024·四川成都·二模）已知函數(shù) f x = 2ax -x+1 的值域為 M ．若 1, + M ，則實數(shù) a
的取值范圍是（ ）
1 1 1 1 1
A． - ,
ù é ù ù é é
è 4 ú
B． ê0, ú C． - , - ú ê , + ÷ D． , + 4 è 4 ÷ 4 ê4
【答案】B
【分析】對實數(shù) a分類討論，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及指數(shù)函數(shù)的值域可得結(jié)果.
【詳解】當(dāng) a = 0時， f x = 2- x+1 0,+ ，符合題意；
2
當(dāng) a 0時，因為函數(shù) f x = 2ax -x+1的值域為M 滿足 1, + M ，
由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，即二次函數(shù) y = ax2 - x +1的最小值小于或等于零；
4a -1 1
若 a > 0時，依題意有 y = ax2 - x +1的最小值 0，即0 < a ，
4a 4
若 a < 0時，不符合題意；
1
綜上：0 a ，
4
故選：B.
8．（23-24 高三下·廣東·階段練習(xí)）已知函數(shù) f x = ax2 - 2x + ln x 存在極值點，則實數(shù) a的
取值范圍是（ ）
1 1 ù
A． - , B． - , 2 C． - , D． - , 2
è 2 ÷ è 2 ú
【答案】A
1
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由題意可得 f x = 2ax - 2 + = 0 在 (0, + )上有變號零點，即可
x
分離參數(shù)，利用換元法，結(jié)合二次方程的判別式以及二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得 a 的物質(zhì)范
圍.
2
【詳解】函數(shù) f x = ax - 2x + ln x 的定義域為 (0, + )，且 f x = 2ax 2 1- + ，
x
由于函數(shù) f x 存在極值點，即 f x = 2ax 2 1- + = 0 在 (0, + )上有變號零點，
x
由 f x = 2ax 1 1 1- 2 + = 0 ，得 a = - ，
x x 2x2
t 1 0 a t 1 t 2 y t 1令 = > 2，則 = - ，則 a 的取值范圍為 = - t 在 (0, + )上的值域，
x 2 2
1 2 1
且需滿足 t - t + a = 0的D =1- 2a > 02 ，即 a < ；2
y t 1 1 1 1對于 = - t 2 = - t -1 2 + ，當(dāng) t > 0時， y = - t -1 2 1 1+ ，
2 2 2 2 2 2
1 1
故 a <

，即實數(shù) a的取值范圍是
2
- ,
2 ÷ ，è
故選：A
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)存在極值點求參數(shù)的范圍，解答的關(guān)
鍵是求導(dǎo)后，將原問題轉(zhuǎn)化為 f x = 2ax 1- 2 + = 0 在 (0, + )上有變號零點的問題，繼而參
x
變分離，結(jié)合二次方程以及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
二、多選題
9．（2023·浙江寧波·模擬預(yù)測）隨機變量x 的分布列如表：其中 xy 0，下列說法正確的是
（ ）
x 0 1 2
y 2y
P x
3 3
A． x + y =1 B．E x 5y=
3
C．D x 有最大值 D．D x 隨 y 的增大而減小
【答案】ABC
【分析】利用分布列的性質(zhì)以及期望與方差公式，列出表達式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)判斷選
項的正誤即可．
y 2y
【詳解】由題意可知 x + + =1，即 x + y =1，故 A 正確；
3 3
E x = 0 x 1 y 2y 5y + + 2 = ，故 B 正確；
3 3 3
2 2 2
D x = x 0
5y y- + 1 5y 2y 2 5y- + -
3 ÷ 3 ÷ ÷è è 3 3 è 3
2 2 2
= 1- y 0 5y y 5y 2y- 5y 25 2 3 ÷ + 1- ÷ + 2 - ÷ = - y + 3y，è 3 è 3 3 è 3 9
因為 xy 0， x + y =1，易得0 < y <1，
f y 25= - y2而 + 3y 27開口向下，對稱軸為 y = ，
9 50
f y 0, 27 27所以 在 ÷ 上單調(diào)遞增，在 ,1

÷上單調(diào)遞減，
è 50 è 50
f y y 27故 在 = 處取得最大值，
50
所以D x 27隨著 y 的增大先增大后減小，當(dāng) y = 時取得最大值，故 C 正確，D 錯誤.
50
故選：ABC.
10．（2024·河南信陽· 2模擬預(yù)測）若函數(shù) f x = x - m 2 x 1 é 1 , 1- + 在 - ù
ê 2 2 ú
上單調(diào)，則實數(shù)m

的值可以為（ ）
1 5
A． -1 B．- C． D．3
2 2
【答案】BD
【分析】分別討論D 0和D > 0兩種情況，結(jié)合二次函數(shù)的圖像分析，即可得到答案.
【詳解】①當(dāng)D = (m - 2)2 - 4 0，即0 m 4時， f x = x2 - m - 2 x +1 = x2 - m - 2 x +1，
所以 f (x) x
m - 2
的對稱軸為 = ，則 f (x) 的圖象如下：
2
2 é 1 1 ù m - 2 1
結(jié)合圖象可知，要使函數(shù) f x = x - m - 2 x +1 在 ê- , ú上單調(diào)，則 或 2 2 2 2
m - 2 1
- ，解得：m 3或m 1，即3≤m≤ 4 或0 m 1；
2 2
②當(dāng)D = (m - 2)2 - 4 > 0，即m < 0或m > 4 2，令 h(x) = x - m - 2 x +1，則 h(x) 的對稱軸為
x m - 2= ，則 h(x) 的圖象如下：
2
2
結(jié)合圖象可知，要使函數(shù) f x = x - m 2 x 1 é 1 1- + 在 ê- ,
ù
ú上單調(diào)， 2 2
ì1 m - 2 1 m - 2 1 m - 2 1 m - 2

ì ì- ì-
2 2 2 2 2 2 2 2
則 í ，或 í ，或 í ，或 í
h(1) 0 h( 1- ) 0 h(1) 0 h( 1- ) 0
2 2 2 2
9 1
解得： 4 < m≤ ，或- m < 0，
2 2
9 1
綜上：3 m 或- ≤m≤12 ；2
故選：BD
11．（2024·浙江·模擬預(yù)測）二次函數(shù) y = ax2 + bx + c（a，b，c 是常數(shù)，且 a 0）的自變量 x
與函數(shù)值 y 的部分對應(yīng)值如下表：
x … -1 0 1 2 …
y … m 2 2 n …
3
且當(dāng) x = 時，對應(yīng)的函數(shù)值 y < 0 .下列說法不正確的有（
2 ）
A． abc > 0
mn 100B． >
9
1
C．關(guān)于 x 的方程 ax2 + bx + c = 0一定有一正、一負兩個實數(shù)根，且負實數(shù)根在- 和 02
之間
P t + 2, y P t - 2, y t 1D． 1 1 和 2 2 在該二次函數(shù)的圖象上，則當(dāng)實數(shù) < 時， y1 > y2 2
【答案】BCD
ìb = -a 3
【分析】先根據(jù)二次函數(shù)圖象上的點求得 íc 2 ，再由當(dāng)
x = 時，對應(yīng)的函數(shù)值 y < 0 求
= 2
a 8得 < - ，從而求得 abc<0 ，判斷 A，求出mn = 4 a +1 2 后求解范圍判斷 B，根據(jù)拋物線的
3
1
對稱性及函數(shù)過點 0,2 得函數(shù)零點范圍即可判斷 C，由 y1 > y2 列不等式求解 t < 判斷 D.2
ìa + b + c = 2 ìb = -a
【詳解】將 0,2 , 1,2 代入 y = ax2 + bx + c得 íc 2 ，解得= í ， c = 2
3
所以二次函數(shù) y = ax2 - ax + 2，當(dāng) x = 時，對應(yīng)的函數(shù)值 y < 0 ，
2
9 a 3 a 8 8所以 - + 2 < 0，解得 a < - ，所以b = -a > ，
4 2 3 3
所以 a 0.b 0,c > 0，所以 abc<0 ，故 A 錯誤；
當(dāng) x=-1時，m = a + a + 2 = 2a + 2，當(dāng) x = 2時， n = 4a - 2a + 2 = 2a + 2，
所以mn = 2a + 2 2 8 100= 4 a +1 2，因為 a < - ，所以mn > ，故 B 正確；
3 9
因為二次函數(shù) y = ax2 - ax + 2過 0,2 , 1,2 1，所以其對稱軸為 x = ，
2
3
又當(dāng) x = 時，對應(yīng)的函數(shù)值 y < 0 ，
2
1
根據(jù)二次函數(shù)的對稱性知，當(dāng) x = - 時，對應(yīng)的函數(shù)值 y < 0 ，
2
而當(dāng) x = 0時， y = 2 > 0
1
，所以二次函數(shù)與 x 軸負半軸的交點橫坐標在- 和 0 之間，
2
1
所以關(guān)于 x 的方程 ax2 + bx + c = 0一定有一正、一負兩個實數(shù)根，且負實數(shù)根在- 和 0 之間，2
故 C 正確；
因為P1 t + 2, y1 和P2 t - 2, y2 在該二次函數(shù)的圖象上，
所以 y1 = a t + 2
2 - a t + 2 + 2， y2 = a t - 2
2 - a t - 2 + 2，
若 y1 > y2 ，則 a t + 2 2 - a t + 2 + 2 > a t - 2 2 - a t - 2 + 2，
2
因為 a<0，所以 t + 2 - t + 2 1< t - 2 2 - t - 2 ，解得 t < ，故 D 正確.
2
故選：BCD
三、填空題
12．（2023·河南信陽·一模）在-2， -1，0，1，2 的五個數(shù)字中，有放回地隨機取兩個數(shù)字
分別作為函數(shù) y = ax2 + 3bx - 2中 a，b 的值，則該函數(shù)圖像恰好經(jīng)過第一、三、四象限的概
率為 ．
1
【答案】 /0.2
5
【分析】利用一次函數(shù)二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合概率求法分析得出答案.
【詳解】五個數(shù)字任取一個作數(shù)字作系數(shù) a，放回后隨機任取一個數(shù)作為 b，有5 5 = 25種
不同取法.
當(dāng) a = 0時，函數(shù)圖像為一條直線 y = 3bx - 2，若圖像恰好經(jīng)過第一、三、四象限，則b > 0，
即有 a = 0，b =1； a = 0，b = 2 兩組數(shù)滿足；
a 0時，二次函數(shù)經(jīng)過第一、三、四象限則開口向下，又圖像過點 0, -2 ，頂點必在第一
a<0 3b象限，即滿足 ，- > 0，D > 0，有 a = -2 ，b = 2 ； a = -1，b =1； a = -1，b = 2 三
2a
組數(shù)滿足．故共有 5 組滿足，
5 1
所求概率為 = ．
25 5
1
故答案為：
5
13．（2024·北京延慶·一模）已知函數(shù) f (x) = xa (0 < a < 1) 在區(qū)間 (-1,0) 上單調(diào)遞減，則a 的一
個取值為 ．
2
【答案】 3 （不唯一）
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性奇偶性即可得解.
【詳解】因為 f (x) = xa (0 < a < 1) 在 (0, + )上單調(diào)遞增，又 f (x) 在區(qū)間 -1,0 上單調(diào)遞減，
所以 f (x)
2
可以為偶函數(shù)，不妨取a = ，
3
2
此時 f (x) = x 3 = 3 x2 ，函數(shù)定義域為 x R ，
2 2
且 f (-x) = -x 3 = 3 -x 2 = f (x) ，故 f (x) = x 3 為偶函數(shù)，
滿足在區(qū)間 (-1,0) 上單調(diào)遞減.
2
故答案為： 3 （不唯一）
3 3
14．（2023· · a + b浙江 二模）若 a2 + b2 = a + b ，則
a2 + b2
的取值范圍是 .
【答案】 (0,
9]
8
a3 + b3 a3 + b3 a3 + b3
【分析】利用基本不等式結(jié)合
a2 2
= 求得0 < a + b 2，將 整理變形為
+ b a + b a2 + b2
a3 + b3 a (a + b)
2 - (a + b)
2 2 = + b - ，令 t = a + b, t (0, 2]，結(jié)合二次函數(shù)知識即可求得答案.a + b 2
【詳解】由 a2 + b2 = a + b 可得 a + b = a2 + b2 2ab ，
2
而 2(a2 + b2 ) (a + b)2 ,\a2 b2 (a + b)+ ，當(dāng)且僅當(dāng) a = b時，等號成立，
2
a b (a + b)
2
即 + ，解得0 a + b 2，
2
a3 + b3 a3 + b3
由 2 2 a + b 0,\0 < a + b 2
a2 + b2
= = a + b - ab可知 ，
a + b
a3 + b3 (a + b)2 - (a + b)
所以 2 2 = a + b - ab = a + b - ，a + b 2
3 3
令 t = a + b, t (0, 2] a + b 1 t 2 3 1 3，則 = - + t = - (t - )2 9
a2 2
+ ，
+ b 2 2 2 2 8
1 2 3 3 3
函數(shù) y = - t + t 在 (0, ]單調(diào)遞增，在[ , 2]單調(diào)遞減
2 2 2 2
0 1 t 2 3 9故 < - + t ，
2 2 8
a3 + b3 9
即 2 2 的取值范圍是 (0, ]，a + b 8
故答案為： (0,
9]
8
四、解答題
15．（23-24 高三上· 2山東菏澤·期末）已知函數(shù) f x = -x + mx - m ．
(1)若函數(shù) f x 的最大值為 0，求實數(shù) m 的值．
(2)若函數(shù) f x 在 -1,0 上單調(diào)，求實數(shù) m 的取值范圍．
【答案】(1) m = 0或m = 4
(2) - , -2 U 0, +
【分析】（1）利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；
（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的單調(diào)性即可求解.
2 2
【詳解】（1） f x = -x2 mx m m m+ - = - x -

2 ÷
- m + ，
è 4
2
由二次函數(shù)的性質(zhì)， f x m的最大值為-m + ，
4
因為函數(shù) f x 的最大值為 0，
m2
所以-m + = 0即m2 - 4m = 0，解得m = 0或m = 4 .
4
2 f x x2 mx m x m
2
= - + - = - -
m2
（ ） 2 ÷
- m + ，
è 4
所以函數(shù) f x m圖象的對稱軸是 x = ，
2
要使函數(shù) f x 在 -1,0 上單調(diào)，
m m
只需要 0或 -1 ,解得m 0 或m -2 .
2 2
所以實數(shù) m 的取值范圍為 - , -2 U 0, + .
16．（23-24 · · f x +1 = x2高三上 貴州黔東南 階段練習(xí)）已知函數(shù) - 2x .
(1)求 f x 的解析式；
(2)若為任意實數(shù)，試討論 f x 在 a - 2, a 上的單調(diào)性和最小值.
(1) f x = x2【答案】 - 4x + 3
(2)答案見解析
【分析】（1）利用配湊法，通過整體代換得到解析式；
（2）分別討論 a 2、 a - 2 < 2 < a 和 a - 2 2的情況，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可求得結(jié)果.
【詳解】（1）Q f x +1 = x2 - 2x = x +1 2 - 4 x +1 + 3 \ f x = x2， - 4x + 3 .
（2）由（1）得： f x 為開口方向向上，對稱軸為 x = 2的拋物線；
① 2當(dāng) a 2時， f x 在 a - 2, a 上單調(diào)遞減，\ f x = f a = a - 4a + 3min ；
②當(dāng) a - 2 < 2 < a ，即 2 < a < 4時， f x 在 a - 2,2 上單調(diào)遞減，在 2, a 上單調(diào)遞增，
\ f x = f 2 = 4 -8 + 3 = -1min ；
③當(dāng) a - 2 2，即 a 4時， f x 在 a - 2, a 上單調(diào)遞增，
\ f x = f a - 2 = a - 2 2 - 4 a - 2 + 3 = a2 -8a +15min ；
2
綜上所述：當(dāng) a 2時， f x 在 a - 2, a 上單調(diào)遞減， f x = a - 4a + 3min ；
當(dāng) 2 < a < 4時， f x 在 a - 2,2 上單調(diào)遞減，在 2, a 上單調(diào)遞增， f x = -1min ；
當(dāng) a 4時， f x 在 a - 2, a 上單調(diào)遞增， f x = a2 -8a +15min .
17．（22-23 高三上·山東菏澤·期中）已知函數(shù) f x = ax2 - 2ax +1+ b a > 0 ，函數(shù)在區(qū)間 2,3
上的最大值為 4， f 0 =1.
(1)求 f x 的解析式；
(2)設(shè) g f xx = x x，若不等式 g 2 k ×2 在 -1,1 上有解，求實數(shù) k 的取值范圍.
x
【答案】(1) f x = x2 - 2x +1
(2) - ,1
【分析】（1）判斷 f x 在 2,3 上的單調(diào)性，結(jié)合其最大值和 f 0 =1求得 a,b，即得答案；
（2）結(jié)合（1）求出 g x f x = x的表達式，繼而將 g 2 k ×2x 在 -1,1 上有解，轉(zhuǎn)化為
x
k 1 1 2 + 2 - 在 -1,1 上有解，利用換元結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可求得答案.t t
【詳解】（1） f x = ax2 - 2ax +1+ b = a x -1 2 +1+ b - a，其圖象對稱軸為 x =1，
Qa > 0，\ f x 在 2,3 單調(diào)遞增，
\ f 3 = 4 即9a - 6a +1+ b = 3a + b +1 = 4，\3a + b = 3 .
又 f 0 =1，則有1+ b =1即b = 0，所以 a =1，b = 0，
所以 f x 2的解析式為 f x = x - 2x +1 .
2
（2）由（1）得 g x f x x - 2x +1= = = x 1+ - 2，
x x x
g 2x k ×2x則 在 -1,1 x上有解，即 g 2 - k × 2x = 2x 1+ x - 2 - k ×2x 0在 -1,1 上有解，.2
x 1
令 t = 2 t 2

÷，則 k
1 2
1+ 2 - 在 -1,1 上有解，è 2 t t
k 1 1 2 + - 1所以
è t 2 ÷
, t 2
t ， max 2
1 1 2 1
2 1 1 1 1 2 2
+ - = -1 2 = 2 1+ - = 1 又
t 2 t t ÷
， ，故當(dāng) 時，
2 t t t 2 t
-1÷ 取到最大值 1，
è è t
1 2
即 1+ - =1t 2 t ÷ ，所以 k 1，è max
所以實數(shù) k 的取值范圍是 - ,1 .
18 2．（2024 高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù) f x = x + ax - 3
(1)若函數(shù) f x 在 -4,5 上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù) a的取值范圍.
(2)當(dāng) a = 3, x -1,1 時，不等式 f x > m + 2x - 4恒成立，求實數(shù)m 的取值范圍.
【答案】(1) (- , -10]U[8,+ )
3- , (2) 4 ֏
【分析】（1）利用二次函數(shù)的性質(zhì)，建立不等式即可求出結(jié)果；
（2 2）根據(jù)題意得，當(dāng) x [-1,1]時， x2 + x +1 > m 恒成立，構(gòu)造函數(shù) g x = x + x +1，將問
題轉(zhuǎn)化為 g x > mmin 即可求解.
2 a
【詳解】（1）函數(shù) f x = x + ax - 3的對稱軸為 x = - ，
2
又函數(shù) f x 在 -4,5 上是單調(diào)函數(shù)，
a 5 a\- 或- -4 ，解得 a -10或 a 8，
2 2
∴實數(shù) a 的取值范圍為 (- , -10]U[8,+ ) ；.
（2）
當(dāng) a = 3， x -1,1 時， f (x) > m + 2x - 4恒成立，即 x2 + x +1 > m 恒成立，
g x = x2令 + x +1, x -1,1 ， g x > mmin 恒成立，
函數(shù) g x 1的對稱軸 x = - -1,1 ，
2
\ g x g 1 3 3= - = ,\m 3
故 m 的范圍為 - ,

÷ .
è 4
19．（2024 高三·全國·專題練習(xí)）函數(shù) f x = kx2 + 2kx +1在區(qū)間 -3,2 上有□ □ 值為 4，求
實數(shù) k 的值．兩個方框處為無法辨認的兩個漢字，請你結(jié)合上下文把這兩個字補上并解答該
題．
【答案】兩個模糊的字應(yīng)當(dāng)是“最大”，解答見解析
【分析】由于是兩個字，我們展開聯(lián)想，與函數(shù)有關(guān)的有最大值、最小值或者也許就是函數(shù)
值，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)逐一求解計算．
【詳解】由于是兩個字，我們展開聯(lián)想，與函數(shù)有關(guān)的有最大值、最小值或者也許就是函數(shù)
值，不妨來逐一試一試．
（1）最大值為 4．顯然 k = 0不合題意．
當(dāng) k 0時，化成配方形式 f x = k x +1 2 +1- k ，圖象對稱軸為 x=-1，頂點橫坐標在區(qū)間
-3,2 內(nèi)．
當(dāng) k < 0時，在頂點處即當(dāng) x=-1時函數(shù)有最大值，于是 f -1 =1- k = 4，得 k = -3；
3
當(dāng) k > 0時，在離頂點較遠的端點 x = 2處有最大值，于是 f 2 = 9k - k +1 = 4，得 k = ．
8
3
于是，所求 k = -3或 8 ．
（2）最小值為 4．
3
當(dāng) k < 0時，在離頂點較遠的端點 x = 2處有最小值，于是 f 2 = 9k - k +1 = 4，得 k = ，舍
8
去；
當(dāng) k > 0時，在頂點處即當(dāng) x=-1時函數(shù)有最小值，于是 f -1 =1- k = 4，得 k = -3 < 0，舍
去．
因此，不存在實數(shù) k 使函數(shù)的最小值為 4．
（3）函數(shù)值為 4．（不妨設(shè)不是最大值與最小值）
由于 k = 0時 f x =1，因此 k 0，
函數(shù)值域為一閉區(qū)間，
當(dāng) k < 0時， x=-1時函數(shù)有最大值 f -1 =1- k ，當(dāng) x = 2時有最小值 f 2 = 8k +1，
因此值域為 8k +1,1- k , 4 8k +1,1- k ，且8k +1 < 4 <1- k ，解得 k < -3；
當(dāng) k > 0時，值域為 1- k,9k - k +1 ,1- k < 4 < 8k +1 3，解得 k > ．
8
3
因此取 k < -3或者 k > 的一切實數(shù)值皆可．
8
從解答過程我們可以判斷．兩個模糊的字應(yīng)當(dāng)是“最大”．
拓展沖刺練
一、單選題
3m
1．（23-24 高三下·河南·開學(xué)考試）已知正數(shù)m，n滿足 +1 = 2m，若
n m + 2n lmn
2恒成立，
則實數(shù)l 的最小值為（ ）
1 2
A B C 1
4
． ． ． 2 D．4 5 5
【答案】D
1 2m -1
= 4m
2 + 8m - 5 l 4m
2 + 8m - 5 4
【分析】變形得到 ，變形得到 2 ，求出 ，得到答n 3m 9m 9m2 5
案.
【詳解】因為m > 0, n > 0 ，所以m + 2n lmn2
1 2

n2
+ l ，
mn
3m 1 2m 1 2m -1因為 + = ，所以 = ，
n n 3m
2m -1
2
2 2m -1 2
故 ÷ + × l
4m + 8m - 5

è 3m m 3m 9m2
l ，
4m2 + 8m - 5 5 1
2
8 1 4 5 1 4
2
4 4
即 2 = - ÷ + × + = - - ÷ + ，9m 9 è m 9 m 9 9 è m 5 5 5
當(dāng)且僅當(dāng)m
5
= 時，等號成立，
4
故l
4 4
，實數(shù)l 的最小值為 .
5 5
故選：D
2．（2023 高三·全國·專題練習(xí)）函數(shù) y = x2 +3x 的單調(diào)遞減區(qū)間為（ ）
, 3ù é 3A． - - ú B． ê- ,+

è 2 ÷ 2
C． 0, + D． - , -3
【答案】D
【分析】先求出函數(shù) (- , -3]的定義域，再利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合冪函數(shù)與二次函數(shù)
的單調(diào)性即可得解.
【詳解】由題意，得 x2 + 3x 0，解得 x -3或 x 0 ，
所以函數(shù) y = x2 +3x 的定義域為 (- , -3]U[0, + )，
3
令 t = x2 + 3x，則 t = x2 + 3x開口向上，對稱軸為 x = - ，2
所以 t = x2 + 3x在 (- , -3]上單調(diào)遞減，在[0, + ) 上單調(diào)遞增，
而 y = t 在[0, + ) 上單調(diào)遞增，
所以函數(shù) y = x2 +3x 的單調(diào)遞減區(qū)間為 (- , -3] .
故選：D.
3．（2023 高三·全國·專題練習(xí)）已知 y＝(x－m)(x－n)＋2 023(n>m)，且 α，β(α<β)是方程 y＝0
的兩個實數(shù)根，則 α，β，m，n 的大小關(guān)系是（ ）
A．αC．m<α<β【答案】C
【分析】根據(jù)方程與函數(shù)的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)圖像以及平移變換，可得答案.
【詳解】∵α，β 為方程 y＝0 的兩個實數(shù)根，
∴α，β 為函數(shù) y＝(x－m)(x－n)＋2 023 的圖像與 x 軸交點的橫坐標，
令 y1＝(x－m)(x－n)，
∴m，n 為函數(shù) y1＝(x－m)(x－n)的圖像與 x 軸交點的橫坐標，
易知函數(shù) y＝(x－m)(x－n)＋2 023 的圖像可由 y1＝(x－m)(x－n)的圖像向上平移 2 023 個單位
長度得到，
∴m<α<β故選：C.
4．（2023·四川綿陽·模擬預(yù)測）在 y = 3x , y = log0.3 x, y = x
3, y = x ，這四個函數(shù)中，對于定
f x + f x
義域中的任意 x , x (x x )
x + x
，使 f 1 2
1 2
1 2 1 2 ÷ < 恒成立的函數(shù)的個數(shù)是（ ）
è 2 2
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
x1 + x2 f x1 + f x2 【分析】根據(jù) f ÷ < 可得函數(shù)圖象上任意兩點 x1, f x1 , x2 , f x2 中
è 2 2
點的函數(shù)值小于中點的縱坐標，再數(shù)形結(jié)合判斷即可.
f x1 + x2
f x1 + f x2
【詳解】由 ÷ < 可得函數(shù)圖象上任意兩點 x1, f x1 , x2 2 2 , f x2 中點è
的函數(shù)值小于中點的縱坐標，則函數(shù)為凹函數(shù).
又 y = 3x , y = log0.3 x圖象滿足題意.
故選：C
二、多選題
5．（22-23 高三上·山東煙臺·期末）已知函數(shù) f (x) = x2 - 2x + 2 ，關(guān)于 f (x) 的最值有如下結(jié)論，
其中正確的是（ ）
A． f (x) 在區(qū)間[-1,0]上的最小值為 1
B． f (x) 在區(qū)間[-1,2]上既有最小值，又有最大值
C． f (x) 在區(qū)間 2,3 上的最小值為 2，最大值為 5
D． f (x) 在區(qū)間[0,a](a > 1)上的最大值為 f (a)
【答案】BC
【分析】 f (x) = x2 - 2x + 2 = (x -1)2 +1的圖象開口向上，對稱軸為直線 x =1 ,根據(jù)二次函數(shù)的
性質(zhì)逐項判斷即可.
【詳解】函數(shù) f (x) = x2 - 2x + 2 = (x -1)2 +1的圖象開口向上，對稱軸為直線 x =1．
在選項 A 中，因為 f (x) 在區(qū)間[-1,0]上單調(diào)遞減，
所以 f (x) 在區(qū)間[-1,0]上的最小值為 f (0) = 2，A 錯誤．
在選項 B 中，因為 f (x) 在區(qū)間[-1,1]上單調(diào)遞減，在 1,2 上單調(diào)遞增，
所以 f (x) 在區(qū)間[-1,2]上的最小值為 f (1) =1．
又因為 f (-1) = 5, f (2) = 2, f (-1) > f (2) ，
所以 f (x) 在區(qū)間[-1,2]上的最大值為 f (-1) = 5，B 正確．
在選項 C 中，因為 f (x) 在區(qū)間 2,3 上單調(diào)遞增，
所以 f (x) 在區(qū)間 2,3 上的最小值為 f (2) = 2 ，最大值為 f (3) = 5，C 正確．
在選項 D 中，當(dāng)1< a 2時， f (x) 在區(qū)間 0,a 上的最大值為 2，
當(dāng) a > 2時，由圖象知 f (x) 在區(qū)間 0,a 上的最大值為 f (a) ，D 錯誤．
故選:BC.
6．（2024 高三·全國·專題練習(xí)）(多選)若函數(shù) y＝x2－3x－4 的定義域為[0，m]，值域為[－
25
，－4]，則實數(shù) m 的取值范圍可以是（
4 ）
3
A．[0，4] B．[ ，2]
2
8
C．[ ，2] D．[1，2]
5
【答案】BC
【詳解】∵ y＝x2－3x－4＝(x－ )2－ ，作出函數(shù) y＝x2－3x－4 在區(qū)間[0，m]上的圖象如圖
所示．由圖象可知，當(dāng) x＝ 時，ymin＝－ .令 y＝x2－3x－4＝－4 得出 x＝0 或 x＝3.當(dāng) 0＜m
＜ 時，函數(shù) y＝x2－3x－4 在區(qū)間[0，m]上單調(diào)遞減，此時 ymin＝m2－3m－4＞－ ，不符
合題意；當(dāng) ≤m≤3 時，且當(dāng) x∈[0，m]時，由圖象可知 ymin＝－ ，ymax＝－4，符合題意；當(dāng)
m＞3 時，且當(dāng) x∈[0，m]時，由圖象可知 ymin＝－ ，ymax＝m2－3m－4＞－4，不符合題
意．綜上所述，實數(shù) m 的取值范圍是[ ，3].故選 BC.
三、填空題
7．（20-21 高三上·遼寧大連·階段練習(xí)）函數(shù) f (x) =| x2 - 3x + 2 |的單調(diào)遞減區(qū)間
是 .
( ,1) 3【答案】 - 和 , 2

è 2 ÷
【分析】對函數(shù)化簡后，作出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象可求得結(jié)果.
【詳解】當(dāng) x 2或 x 1時， f (x) = x2
3
- 3x + 2，對稱軸為 x = ，
2
當(dāng)1 x 2
3
< < 時， f (x) = -x2 + 3x - 2 ，對稱軸為 x = ，
2
作出 f (x) 的圖象如圖所示，
由圖可知 f (x)
3
單調(diào)遞減區(qū)間為 (- ,1)和( , 2) ，
2
故答案為： (- ,1)
3 ,2 和 ÷
è 2
8．（2024 高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù) f x = x - ax - b ,a,b R，若對任意的
x0 0,4 ，使得 f x0 M ，求實數(shù)M 的取值范圍是 ．
1
【答案】 - ,
ù
è 4 ú
【分析】利用換元法結(jié)合三點控制法求解即可.
【詳解】令 x = t, x = t 2 ，則 f x = g t = -at 2 + t - b , t 0,2 ，
ìg 0 M ì b M

取三點控制得 íg 1 M ，進而 í -a +1- b M ，
g 2 M -4a + 2 - b M
ì 3b 3M

化簡得 í -4a + 4 - 4b 4M ，可得8M 3b + -4a + 4 - 4b + -4a + 2 - b ，

-4a + 2 - b M
即8M 3b + -4a + 4 - 4b - -4a + 2 - b = 2 1，解得M ．
4
1
故答案為： - ,
ù
è 4 ú
四、解答題
9．（23-24 高三上·安徽合肥·階段練習(xí)）已知函數(shù) f x = a 3x 1× + x-1 是定義域為R 的偶函數(shù).3
(1)求 a 的值；
(2) g x = 9x + 9- x若 + mf x + m2 -1，求函數(shù) g x 的最小值.
【答案】(1) 3
ì 5 2 4
- m - 3,m < -
(2) g(x) = 4 3min í
m2 4+ 6m +1,m -
3
【分析】（1）由偶函數(shù)的定義轉(zhuǎn)化為等式恒成立問題，由系數(shù)為 0 求 a值即可；
（2）由換元法，把函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，然后分類討論確定函數(shù)的最小值，從而求得參數(shù)m
值．
【詳解】（1） f x = a 1×3x + xx-1 = a ×3 + 3 ×3- x3
f -x = a ×3- x + 3 ×3x則 ，
因為 f (x) 是定義域為R 的偶函數(shù)，
則 a ×3- x + 3 ×3x = a ×3x + 3 ×3- x ，
3- a 3x - 3- x即 = 0對任意 x R 恒成立，則 a = 3；
（2）由（1 x - x）知， f (x) = 3 3 + 3
g x = 32x + 3-2x + 3m 3x則 + 3- x + m2 -1
= 3x + 3- x 2 + 3m 3x + 3- x + m2 - 3，
令 t = 3x + 3- x ，由基本不等式可得 t 2，當(dāng)且僅當(dāng) x = 0時等號成立，
則原函數(shù)化為： h(t) = t 2 + 3mt + m2 - 3， t 2, + ，
3m 2 4①當(dāng)- 即m - 時，
2 3
h(t) = t 2 + 3mt + m2 - 3在 2, + 上單調(diào)遞增，
則 h(t)min = h(2) = m
2 + 6m +1 2，即 g x = m + 6m +1min ，；
3m
②當(dāng)- > 2，即m
4
< - 時，
2 3
3m 3m
h(t) t 2 = + 3mt + m2 - 3在 2, -

2 ÷單調(diào)遞減，在
- , + ÷單調(diào)遞增，
è è 2
2
則 h(t) 3 3m 3m 5min = h(- m) =
- 2 2
2 2 ÷
+ 3m - ÷ + m - 3 = - m - 3；
è è 2 4
g x 5即 = - m2 - 3min ，4
ì 5- m2 - 3,m
4
< -
綜上所述， g(x)
4 3
min = í .
m2 + 6m +1,m 4 -
3
10．（2023 高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù) f x = x x - 2 - 2， x R ．求函數(shù) f x 的單調(diào)區(qū)
間．
【答案】單調(diào)遞增區(qū)間為 - ,1 和 2, + ，單調(diào)遞減區(qū)間為 1,2
ìx2 - 2x - 2, x 2
【分析】由 f x = x x - 2 - 2 = í ，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.
-x
2 + 2x - 2, x < 2
2
【詳解】由題意得 f x
ìx - 2x - 2, x 2,
= x x - 2 - 2 = í
-x2 + 2x - 2, x < 2.
2
當(dāng) x 2時， f x = x -1 - 3，
此時函數(shù) f x 的單調(diào)遞增區(qū)間為 2, + ，沒有單調(diào)遞減區(qū)間；
當(dāng) x < 2時， f x = - x -1 2 -1，
此時函數(shù) f x 的單調(diào)遞增區(qū)間為 - ,1 ，單調(diào)遞減區(qū)間為 1,2 ．
綜上所述，函數(shù) f x 的單調(diào)遞增區(qū)間為 - ,1 和 2, + ，單調(diào)遞減區(qū)間為 1,2 .
11．（2024 高三·全國· 2專題練習(xí)）已知函數(shù) f x = x - 2ax + b a,b R ，記M 是 f x 在區(qū)
間 0,1 上的最大值．
(1)當(dāng)b = 0且M = 2時，求 a的值；
1
(2)若M ，證明0 a 1．
2
1 3
【答案】(1) a = - 或 a = ；
2 2
(2)證明見解析.
【分析】（1）由 f x 在 0,1 上的最大值在 0,1 的端點處或?qū)ΨQ軸處取得，分類討論求出 a
的值并檢驗即可；
1+ f 0 - f 1 1 1
（2）a = ，由 f 0 , f 1 ，求出 f 0 - f 1 的取值范圍即可證明結(jié)
2 2 2
論.
【詳解】（1）b = 0時， f x = x2 - 2ax ，易知， f x 在 0,1 上的最大值在 0,1 的端點處或
對稱軸處取得．
而 f 0 = 0，所以M = f 1 或 f a
若M = f 1 = 1- 2a = 2 a 1 a 3= - = 2 2，解得 或 ，此時， f x = x + x或 f x = x - 3x，
2 2
當(dāng) f x = x2 + x， f x 在 0,1 上單調(diào)遞增，最大值為 f 1 = 2；
f x = x2當(dāng) - 3x時， f x 在 0,1 上單調(diào)遞增，最大值為 f 1 = 2；
若M = f a = a2 = 2，解得 a = ± 2 ，
當(dāng) a = - 2 時， f x = x2 + 2 2x， f x 在 0,1 上單調(diào)遞增，最大值為 f 1 =1+2 2 2；
當(dāng) a = 2 時， f x = x2 - 2 2x ， f x 在 0,1 上單調(diào)遞增，最大值為 f 1 = 2 2 -1 2，
綜上， a
1 3
= - 或 a = ．
2 2
M 1 f 0 1 , f 1 1 1 1 1（2）由 ，得 ，即- f 0 ,- f 1 1 ，
2 2 2 2 2 2 2
ì f 0 = b
所以-1 f 0 - f 1 1 1+ f 0 - f 1 ，且 í
f 1 =1- 2a b
，所以a = ，
+ 2
而 f 0 - f 1 -1,1 ，所以 a 0,1 ，即0 a 1.
12．（23-24 高三上·江蘇揚州·期中）已知函數(shù) f x = x2 - px - q ln x p,q R .
(1)若 p = a, q = a2 ， f x 的最小值為 0，求非零實數(shù) a 的值；
(2)若 p = a2 ,q = a， f x 0恒成立，求實數(shù) a 的取值范圍.
3
【答案】(1)1 或-2e4
(2)[0,1]
【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，解出 f (x) = 0的解.分 a > 0，以及 a<0兩種情況，得出函數(shù)的單
調(diào)性，進而根據(jù)函數(shù)的最小值，列出方程，求解即可得出答案；
（2）先根據(jù)已知推得 a 0，取特殊點得出0 a 1，即證當(dāng)0 a 1時，
f (x) = x2 - a2x - a ln x 0恒成立.方法一：將函數(shù)看成關(guān)于 a的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的
性質(zhì)，列出不等式組，求解即可說明；方法二：先證明 x -1 ln x .放縮得出
x2 - a2x - a ln x x2 - a2x - a(x -1) = x2 - a2 + a x + a ，通過計算得出D 0，即可得出
x2 - a2 + a x + a 0 恒成立，進而得出證明.
【詳解】（1）因為 f (x) = x2 - ax - a2 ln x(x > 0)，
2 2
f (x) 2x a a 2x - ax - a
2 (x - a)(2x + a)
則 = - - = = ，
x x x
a
令 f (x) = 0，則 x = - 或 x = a .
2
1°若 a > 0，則 a 0
a
> > - ，
2
解 f (x) < 0 ，可得0 < x < a ，所以 f (x) 在 (0,a)單調(diào)遞減；
解 f (x) > 0 ，可得 x > a，所以 f (x) 在 (a,+ ) 單調(diào)遞增.
所以 f (x) 2min = f (a) = -a ln a = 0，解得 a =1；
a
2°若 a<0，則 a < 0 < - ，
2
f (x) < 0 0 x a< < - f (x) a解 ，可得 ，所以 在 0,-

÷單調(diào)遞減；2 è 2
解 f (x)
a
> 0 ，可得 x
a
> - ，所以 f (x)

在 - , +

2 ÷單調(diào)遞增
.
2 è
2 2
所以 f (x) = f
a a a 2 a
min - ÷ = + - a ln - ÷ = 0，
è 2 4 2 è 2
3
= ln a即 -
3
4 ÷
，解得
è 2 a = -2e
4 .
3
綜上， a的值為 1 或-2e4 .
（2 2）若 a<0時， f (x) = x x - a - a ln x，
當(dāng)0 < x < min a2 ,1 時， x - a2 < 0, -a ln x < 0 ，則 f (x) < 0不滿足條件.
若 a 0時，由 f (1) =1- a2 0，可得0 a 1.
下面證明其充分性，即證當(dāng)0 a 1時， f (x) = x2 - a2x - a ln x 0恒成立.
解法一：關(guān)于 a的函數(shù) h(a) = -xa2 - a ln x + x2 ,0 a 1是一段開口向下的拋物線.
只要證 h 0 = x2 0 ① 2以及 h 1 = -x - ln x + x 0 ②都成立即可，其中①式顯然成立.
令j (x) = x2 - x - ln x ，
j (x) 2x 1 1 2x
2 - x -1 (2x +1)(x -1)
則 = - - = = ，
x x x
所以當(dāng) x (0,1) 時，j (x) < 0，j(x) 單調(diào)遞減；
當(dāng) x (1,+ )時，j (x) > 0 ，j(x) 單調(diào)遞增.
所以j(x) j(1) = 0，②式得證.
所以，當(dāng)0 a 1時， f (x) = x2 - a2x - a ln x 0恒成立.
綜上， a的取值范圍是[0,1] .
解法二：令 h(x) = x -1- ln x
1 x -1
，則 h (x) =1- = = 0 .
x x
當(dāng) x (0,1) 時，h (x) < 0,h(x)單調(diào)遞減；當(dāng) x (1,+ )時，h (x) > 0,h(x)單調(diào)遞增.
所以 h(x) h(1) = 0 ，則 x -1 ln x .
由 ln x x -1，得a [0,1]時， x2 - a2x - a ln x x2 - a2x - a(x -1) = x2 - a2 + a x + a ，
a [0,1] x2又當(dāng) 時，方程 - a2 2+ a x + a = 0的D = a2 + a - 4a = a éa(a +1)2 - 4 ù 0，
所以 x2 - a2x - a ln x 0對"x (0,+ )恒成立.
所以，a [0,1]均滿足.
綜上， a的取值范圍是[0,1] .
【點睛】方法點睛：在研究 f (x) = x2 - a2x - a ln x 0恒成立時，為了簡便，將函數(shù)看做關(guān)于
a的函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可列出不等式組.考點 10 二次函數(shù)與冪函數(shù)（3 種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜合
提升練+拓展沖刺練）
【考試提醒】
1.通過具體實例，了解冪函數(shù)及其圖象的變化規(guī)律.
2.掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(單調(diào)性、對稱性、頂點、最值等)．
【知識點】
1．冪函數(shù)
(1)冪函數(shù)的定義
一般地，函數(shù) 叫做冪函數(shù)，其中 x 是自變量，α 是常數(shù)．
(2)常見的五種冪函數(shù)的圖象
(3)冪函數(shù)的性質(zhì)
①冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義；
②當(dāng) α>0 時，冪函數(shù)的圖象都過點 和 ，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；
③當(dāng) α<0 時，冪函數(shù)的圖象都過點 ，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；
④當(dāng) α 為奇數(shù)時，y＝xα為 ；當(dāng) α 為偶數(shù)時，y＝xα為 ．
2．二次函數(shù)
(1)二次函數(shù)解析式的三種形式
一般式：f(x)＝ ．
頂點式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，頂點坐標為 ．
零點式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2為 f(x)的 ．
(2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)
函數(shù) y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0)
圖象(拋物線)
定義域
值域
對稱軸 x＝
頂點坐標
奇偶性 當(dāng) b＝0 時是偶函數(shù)，當(dāng) b≠0 時是非奇非偶函數(shù)
( b ] b在 －∞，－ 上單調(diào)遞 ； 在(－∞，－ ]上單調(diào)遞 ；2a 2a
單調(diào)性
[ b b在 － ，＋∞)上單調(diào)遞 在[－ ，＋∞)上單調(diào)遞 2a 2a
【核心題型】
題型一　冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)
(1)對于冪函數(shù)圖象的掌握只要抓住在第一象限內(nèi)三條線分第一象限為六個區(qū)域，即 x＝1，y
＝1，y＝x 所分區(qū)域．根據(jù) α<0,0<α<1，α＝1，α>1 的取值確定位置后，其余象限部分由奇
偶性決定．
(2)在比較冪值的大小時，必須結(jié)合冪值的特點，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進行比
較．
【例題 1】（2024·四川南充·二模）已知函數(shù) f x 的圖象如圖所示，則 f x 的解析式可能是
（ ）
1 1 1
A． - 3y = x 2 B． y = x 2 C． y = x D． y = x3
【變式 1】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知正數(shù) a，b 滿足 aea = blnb = 2 ，則（ ）
A． a <1 < b B． a < b <1
C． a > 1 > b D． a > b >1
【變式 2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知 a = 22.1 ，b = log215， c = 51.05，則 a,b,c的大小關(guān)系為
（ ）
A．b < a < c B．b【變式 3】（2024·四川南充·二模）已知函數(shù) f x 的圖象如圖所示，則 f x 的解析式可能是
（ ）
1 1 3 1A． -y = x 2 B． y = x 2 C． y = x D． y = x3
題型二　二次函數(shù)的解析式
求二次函數(shù)解析式的三個策略：
(1)已知三個點的坐標，宜選用一般式；
(2)已知頂點坐標、對稱軸、最大(小)值等，宜選用頂點式；
(3)已知圖象與 x 軸的兩交點的坐標，宜選用零點式．
【例題 2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知二次函數(shù) f x 滿足對于任意的 x, y R ，
f x f y = f xy ，且 f 2 = 4 .若 f p + q + f q =1，則 p2 + 2q2 的最大值與最小值之和
是（ ）
A． 4 + 2 2 B． 2 2 C．4 D． 2
【變式 1】（多選）（2023·全國·模擬預(yù)測）已知二次函數(shù) f x 滿足對于任意的
x, y R, f x f y = f xy 且 f 2 = 4．若 f p + q + f q =1，則下列說法正確的是（ ）
A． p + 2q -1 B． p + 2q 2
C． p2 + 2q2 2 - 2 D． p2 + 2q2 2 + 2
【變式 2】（多選）（2023·河北滄州·三模）已知二次函數(shù) g x 滿足 g x - 4 = g 2 - x ，
2
g x x；當(dāng) x 0,2 g x x +1 時， ÷ .函數(shù) f x
x
的定義域為R ， y = f x + e 是奇函數(shù)，
è 2
y = f x - 3ex 是偶函數(shù)， e為自然對數(shù)的底數(shù)，則（ ）
A．函數(shù) g x 的最小值為 0
B． f 0 =1
C． f g x -1
D．函數(shù) f x 的導(dǎo)函數(shù) f x 的最小值為 2 2
【變式 3】（2023·山東·一模）已知二次函數(shù) f x 滿足 f (0) = -1，頂點為 (1, -2) .
(1)求函數(shù) f x 的解析式；
(2)若函數(shù) f x 在區(qū)間[a -1,4]上單調(diào)遞增，求實數(shù) a的取值范圍.
題型三　二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)
二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型：軸定區(qū)間定、軸動區(qū)間定、軸定區(qū)間動，不論
哪種類型，解題的關(guān)鍵都是對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，當(dāng)含有參數(shù)時，要依據(jù)對稱軸與區(qū)間
的位置關(guān)系進行分類討論．
命題點 1　二次函數(shù)的圖象
【例題 3】（2024·浙江·模擬預(yù)測）如圖①，在矩形 ABCD中，動點M 從點A 出發(fā)，沿
A B C 的方向運動，當(dāng)點M 到達點C 時停止運動．過點M 作MN ^ AM 交CD 于點 N ，
設(shè)點M 的運動路程為 x,CN = y，圖②表示的是 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系的大致圖象，則矩形
ABCD的面積是（ ）
A．20 B．18 C．10 D．9
【變式 1】（2023·山東棗莊·二模）指數(shù)函數(shù) y = a x 的圖象如圖所示，則 y = ax2 + x圖象頂點
橫坐標的取值范圍是（ ）
- , 1- 1 A． ÷ B． - ,02 2 ÷è è

C． 0,
1 1
÷ D． - , +

è 2 è 2 ÷
uuur uuur
【變式 2】（多選）（2023·湖北孝感·模擬預(yù)測）已知向量 AB = ax,-1 ， BC = x - ax,1- x ，
uuur uuur
則函數(shù) f x = AB × AC 的大致圖象可能為（ ）
A． B．
C． D．
【變式 3】（多選）（23-24 高三上·河北邯鄲·階段練習(xí)）已知二次函數(shù) y = ax2 + bx + c的圖象
如圖所示，有以下結(jié)論：① a + b + c > 0 ；② a - b + c<0；③ abc > 0；④ b2 > 4ac；⑤
-3 b< < -2，下面的選項中所有序號結(jié)論全正確的是（ ）
a
A．①②④ B．②③④ C．①④⑤ D．③④⑤
命題點 2　二次函數(shù)的單調(diào)性與最值
【例題 4】（2024·全國·模擬預(yù)測）若函數(shù) f (x) x2 (m 2)x 1
é 1 , 1= - - + - ù在
ê 2 2ú
上單調(diào)，則實數(shù)m

的取值范圍為（ ）
é1 ù é
A． ê ,1ú U ê3,
9 ù é1 ,2ùú B． ê ú U
é
ê3,
9 ù
2 2 2 2 ú
é 1- ,1ù U é3, 9 ù é 1- , 2ù éC． ê ú ê ú D． ê ú U ê3,
9 ù
2 2 2 2 ú
1
【變式 1】（23-24 高三上·山東菏澤·階段練習(xí)）函數(shù) y = 2 的單調(diào)增區(qū)間為（ ）6 - 5x - x
é 5 5 ù
A． ê- , + ÷ B． -6, - 2 è 2 ú
é 5
C． ê- ,1

÷和 1,
5
+ ùD．（- , -6）U -6, -
2 è 2 ú
【變式 2】（2024·遼寧·模擬預(yù)測）命題 p ：存在m -1,1 2，使得函數(shù) f x = x - 2mx在區(qū)間
a,+ 內(nèi)單調(diào)，若 p 的否定為真命題，則 a的取值范圍是 .
【變式 3】（23-24 高三下·北京· 2階段練習(xí)）已知函數(shù) f (x) = x + ax + b 在區(qū)間[0, 4]上的最大
值為 M，當(dāng)實數(shù) a，b 變化時，M 最小值為 ．
【課后強化】
基礎(chǔ)保分練
一、單選題
1．（23-24 高三上·全國·期末）二次函數(shù) f x = ax2 + bx + 5滿足條件 f -1 = f 3 ，則 f 2
的值為（ ）
A．5 B．6 C．8 D．7
2．（2024·全國·模擬預(yù)測）若函數(shù) f (x) = x2 - (m - 2)x
1 1
+1 é- , ù在 ê ú上單調(diào)，則實數(shù)m 的取 2 2
值范圍為（ ）
é1 ,1ù U é3, 9 ù é1A． ê ú ê ú B． ê , 2
ù U é3, 9 ù
2 2 2 ú ê 2 ú
é 1- ,1ù U é 9 ù é 1 ù é 9 ùC． ê 2 ú ê
3, ú D． ê- , 2ú U 3,2 2 ê 2 ú
3．（22-23 高三·全國·對口高考）已知二次函數(shù) f x 滿足 f (2) = -1, f (1- x) = f (x)，且 f x
的最大值是 8，則此二次函數(shù)的解析式為 f (x) =（ ）
A．-4x2 + 4x + 7 B．4x2 + 4x + 7
C．-4x2 - 4x + 7 D．-4x2 + 4x - 7
1
4．（23-24 高三上·山東菏澤·階段練習(xí)）函數(shù) y = 2 的單調(diào)增區(qū)間為（6 5x x ）- -
é 5- , + A． ê ÷ B． -6,
5
- ù
2 è 2 ú
é 5 ,1 1, , 6 U 6, 5C． ê- ÷和 + D．（- - ） - -
ù
2 è 2 ú
二、多選題
5．（23-24 高三上·福建廈門·期中）下列函數(shù)中，滿足“ "x1， x2 0，+ ，都有
f (x1) - f (x2 ) < 0
x1 - x
”的有（ ）
2
A． f (x) = -3x +1 B f x = ex - e- x．
C． f x = x2 + 4x + 3 2D． f x =
x
6．（2024·全國·模擬預(yù)測）下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又是定義域上的減函數(shù)的是（ ）
A． f x = -3x5 B． f x = 2x
1
C． f x 1= D．
x f x = -2x
3
三、填空題
x
7 2024· · f x = , g x = ex-1 - e- x+1．（ 全國 模擬預(yù)測）已知函數(shù) +1，則 f x 與 g x 的圖
x -1
象交點的縱坐標之和為 ．
8．（23-24 高三下·北京· 2階段練習(xí)）已知函數(shù) f (x) = x + ax + b 在區(qū)間[0, 4]上的最大值為 M，
當(dāng)實數(shù) a，b 變化時，M 最小值為 ．
9 2024· · p m -1,1 f x = x2．（ 遼寧 模擬預(yù)測）命題 ：存在 ，使得函數(shù) - 2mx在區(qū)間 a,+
內(nèi)單調(diào)，若 p 的否定為真命題，則 a的取值范圍是 .
四、解答題
10．（23-24 高三上·全國·期末）已知二次函數(shù) f x 滿足 f x +1 - f x = -4x -1，且
f 0 = -1．求 f x 的解析式；
11．（2024·陜西咸陽·二模）已知函數(shù) f x = 2x +1 + 3x - 3 ．
(1)解不等式 f x > 5；
(2) 2設(shè)函數(shù) g x = -3x +12x + m，若函數(shù) f x 與 g x 的圖象無公共點，求參數(shù)m 的取值范
圍．
12．（23-24 高三上·陜西咸陽·階段練習(xí)）已知二次函數(shù) f (x) = x2 - 2(a -1)x + 4．
(1)若 a = 2，求 f (x) 在[-2,3]上的最值；
(2)求函數(shù) f (x) 在[1, 2]上的最小值．
綜合提升練
一、單選題
1．（23-24 高三上·山東濟寧·期中）函數(shù) f (x) = 2x2 - x - 3 的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）
1- , ù 3 1A． ú B． (- , -1)
é , + éC． ê ÷ D． ,+

4 ÷è 2 ê4
2
2．（2024·遼寧·一模）若函數(shù) f x = 3-2x +ax 在區(qū)間 1,4 內(nèi)單調(diào)遞減，則 a的取值范圍是
（ ）
A． - , 4 B． 4,16 C． 16, + D． 16, +
3．（2023 高三上·江蘇徐州·學(xué)業(yè)考試）下列函數(shù)中，定義域為 R 且為奇函數(shù)的是（ ）
A． y = x B． y = log2x C． y = x3 D． y = 2x
4．（2023·廣東韶關(guān)·模擬預(yù)測）已知方程 x + 5 + ln x = 0和 x + 5 + ex = 0的解分別是a 和b ，
則函數(shù) f x = x +a x + b 的單調(diào)遞減區(qū)間是（ ）
5 5
A． - ,
ù é
ú B． ê ,+

÷ C． - ,5 D． 5,+
è 2 2
5．（2024 高三·全國·專題練習(xí)）若函數(shù) f(x)＝ax2＋2x－3 在區(qū)間(－∞，4)上單調(diào)遞增，則實
數(shù) a 的取值范圍是（ ）
1 1
A．(－ ，＋∞) B．[－ ，＋∞)
4 4
1 1
C．[－ ，0) D．[－ ，0]
4 4
6．（2024 高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù) f x = x2 + ax + b a,b R 的最小值為 0，若關(guān)于 x
的不等式 f x < c的解集為 m, m + 4 ，則實數(shù) c的值為（ ）
A．9 B．8 C．6 D．4
2
7．（2024·四川成都·二模）已知函數(shù) f x = 2ax -x+1 的值域為 M ．若 1, + M ，則實數(shù) a
的取值范圍是（ ）
1 1 1 1 1
A． - ,
ù é ù ù é é
ú B． ê0, ú C．4 4
- , -
è è 4ú
ê , + ÷ D． , + ÷ 4 ê 4
8．（23-24 高三下·廣東· 2階段練習(xí)）已知函數(shù) f x = ax - 2x + ln x 存在極值點，則實數(shù) a的
取值范圍是（ ）
1- , A． ÷ B． - , 2
1
C． - ,
ù
ú D． - , 2 è 2 è 2
二、多選題
9．（2023·浙江寧波·模擬預(yù)測）隨機變量x 的分布列如表：其中 xy 0，下列說法正確的是
（ ）
x 0 1 2
y 2y
P x
3 3
A． x + y =1 B．E x 5y=
3
C．D x 有最大值 D．D x 隨 y 的增大而減小
2 é 1 1 ù10．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）若函數(shù) f x = x - m - 2 x +1 在 ê- , ú上單調(diào)，則實數(shù)m 2 2
的值可以為（ ）
1 5
A． -1 B．- C． D．3
2 2
11．（2024·浙江·模擬預(yù)測）二次函數(shù) y = ax2 + bx + c（a，b，c 是常數(shù)，且 a 0）的自變量 x
與函數(shù)值 y 的部分對應(yīng)值如下表：
x … -1 0 1 2 …
y … m 2 2 n …
3
且當(dāng) x = 時，對應(yīng)的函數(shù)值 y < 0 .下列說法不正確的有（
2 ）
A． abc > 0
B．mn
100
>
9
1
C．關(guān)于 x 的方程 ax2 + bx + c = 0一定有一正、一負兩個實數(shù)根，且負實數(shù)根在- 和 02
之間
D．P1 t + 2, y1 和P2 t - 2, y2
1
在該二次函數(shù)的圖象上，則當(dāng)實數(shù) t < 時， y1 > y2 2
三、填空題
12．（2023·河南信陽·一模）在-2， -1，0，1，2 的五個數(shù)字中，有放回地隨機取兩個數(shù)字
分別作為函數(shù) y = ax2 + 3bx - 2中 a，b 的值，則該函數(shù)圖像恰好經(jīng)過第一、三、四象限的概
率為 ．
13．（2024·北京延慶·一模）已知函數(shù) f (x) = xa (0 < a < 1) 在區(qū)間 (-1,0) 上單調(diào)遞減，則a 的一
個取值為 ．
3 3
14．（2023·浙江· a + b二模）若 a2 + b2 = a + b ，則 的取值范圍是 .
a2 + b2
四、解答題
15．（23-24 高三上·山東菏澤·期末）已知函數(shù) f x = -x2 + mx - m ．
(1)若函數(shù) f x 的最大值為 0，求實數(shù) m 的值．
(2)若函數(shù) f x 在 -1,0 上單調(diào)，求實數(shù) m 的取值范圍．
16．（23-24 2高三上·貴州黔東南·階段練習(xí)）已知函數(shù) f x +1 = x - 2x .
(1)求 f x 的解析式；
(2)若為任意實數(shù)，試討論 f x 在 a - 2, a 上的單調(diào)性和最小值.
17．（22-23 高三上· 2山東菏澤·期中）已知函數(shù) f x = ax - 2ax +1+ b a > 0 ，函數(shù)在區(qū)間 2,3
上的最大值為 4， f 0 =1.
(1)求 f x 的解析式；
f
(2) g x x 設(shè) = x x，若不等式 g 2 k ×2 在 -1,1 上有解，求實數(shù) k 的取值范圍.
x
18．（2024 2高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù) f x = x + ax - 3
(1)若函數(shù) f x 在 -4,5 上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù) a的取值范圍.
(2)當(dāng) a = 3, x -1,1 時，不等式 f x > m + 2x - 4恒成立，求實數(shù)m 的取值范圍.
19．（2024 高三·全國· 2專題練習(xí)）函數(shù) f x = kx + 2kx +1在區(qū)間 -3,2 上有□ □ 值為 4，求
實數(shù) k 的值．兩個方框處為無法辨認的兩個漢字，請你結(jié)合上下文把這兩個字補上并解答該
題．
拓展沖刺練
一、單選題
3m
1．（23-24 高三下·河南·開學(xué)考試）已知正數(shù)m，n滿足 +1 = 2m，若m + 2n lmn2恒成立，n
則實數(shù)l 的最小值為（ ）
1 2
A B C 1
4
． ． ． 2 D．4 5 5
2．（2023 高三·全國·專題練習(xí)）函數(shù) y = x2 +3x 的單調(diào)遞減區(qū)間為（ ）
3ù é 3
A． - , - ú B2 ． ê
- ,+
2 ֏
C． 0, + D． - , -3
3．（2023 高三·全國·專題練習(xí)）已知 y＝(x－m)(x－n)＋2 023(n>m)，且 α，β(α<β)是方程 y＝0
的兩個實數(shù)根，則 α，β，m，n 的大小關(guān)系是（ ）
A．αC．m<α<β4．（2023·四川綿陽·模擬預(yù)測）在 y = 3x , y = log0.3 x, y = x
3, y = x ，這四個函數(shù)中，對于定
f x + f x
義域中的任意 x1, x2 (x x
x1 + x2 1 2
1 2 )，使 f ÷ < 恒成立的函數(shù)的個數(shù)是（ ）
è 2 2
A．0 B．1 C．2 D．3
二、多選題
5．（22-23 高三上·山東煙臺·期末）已知函數(shù) f (x) = x2 - 2x + 2 ，關(guān)于 f (x) 的最值有如下結(jié)論，
其中正確的是（ ）
A． f (x) 在區(qū)間[-1,0]上的最小值為 1
B． f (x) 在區(qū)間[-1,2]上既有最小值，又有最大值
C． f (x) 在區(qū)間 2,3 上的最小值為 2，最大值為 5
D． f (x) 在區(qū)間[0,a](a > 1)上的最大值為 f (a)
6．（2024 高三·全國·專題練習(xí)）(多選)若函數(shù) y＝x2－3x－4 的定義域為[0，m]，值域為[－
25
，－4]，則實數(shù) m 的取值范圍可以是（
4 ）
3
A．[0，4] B．[ ，2]
2
8
C．[ ，2] D．[1，2]
5
三、填空題
7．（20-21 高三上·遼寧大連·階段練習(xí)）函數(shù) f (x) =| x2 - 3x + 2 |的單調(diào)遞減區(qū)間
是 .
8．（2024 高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù) f x = x - ax - b ,a,b R，若對任意的
x0 0,4 ，使得 f x0 M ，求實數(shù)M 的取值范圍是 ．
四、解答題
9．（23-24 高三上·安徽合肥·階段練習(xí)）已知函數(shù) f x a 1= ×3x + x-1 是定義域為R 的偶函數(shù).3
(1)求 a 的值；
(2)若 g x = 9x + 9- x + mf x + m2 -1，求函數(shù) g x 的最小值.
10．（2023 高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù) f x = x x - 2 - 2， x R ．求函數(shù) f x 的單調(diào)區(qū)
間．
11．（2024 2高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù) f x = x - 2ax + b a,b R ，記M 是 f x 在區(qū)
間 0,1 上的最大值．
(1)當(dāng)b = 0且M = 2時，求 a的值；
M 1(2)若 ，證明0 a 1．
2
12．（23-24 高三上·江蘇揚州·期中）已知函數(shù) f x = x2 - px - q ln x p,q R .
(1)若 p = a, q = a2 ， f x 的最小值為 0，求非零實數(shù) a 的值；
(2)若 p = a2 ,q = a， f x 0恒成立，求實數(shù) a 的取值范圍.

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