資源簡介

考點 12 對數與對數函數（3 種核心題型+基礎保分練+綜合提
升練+拓展沖刺練）
【考試提醒】
1.理解對數的概念及運算性質，能用換底公式將一般對數轉化成自然對數或常用對數.
2.通過實例，了解對數函數的概念，會畫對數函數的圖象，理解對數函數的單調性與特殊點.
3.了解指數函數 y＝ax(a>0，且 a≠1)與對數函數 y＝logax(a>0，且 a≠1)互為反函數．
【知識點】
1．對數的概念
一般地，如果 ax＝N(a>0，且 a≠1)，那么數 x 叫做以 a 為底 N 的對數，記作 ，
其中 叫做對數的底數， 叫做真數．
以 10 為底的對數叫做常用對數，記作 .
以 e 為底的對數叫做自然對數，記作 .
2．對數的性質與運算性質
(1)對數的性質：loga1＝ ，logaa＝ aloga N， ＝ (a>0，且 a≠1，
N>0)．
(2)對數的運算性質
如果 a>0，且 a≠1，M>0，N>0，那么：
①loga(MN)＝ ；
M
②loga ＝ ；N
③logaMn＝ (n∈R)．
logcb
(3)對數換底公式：logab＝ (a>0，且 a≠1；b>0；c>0，且 c≠1)．logca
3．對數函數的圖象與性質
a>1 0圖象
定義域
值域
性 過定點 ，即 x＝1 時，y＝0
質 當 x>1 時， ； 當 x>1 時， ；
當 0在(0，＋∞)上是 在(0，＋∞)上是
4.反函數
指數函數 y＝ax(a>0，且 a≠1)與對數函數 (a>0，且 a≠1)互為反函數，它們的圖
象關于直線 對稱．
常用結論
n
1．logab·logba＝1， log bn ＝ log b.am m a
2．如圖給出 4 個對數函數的圖象
則 b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的對數函數圖象從左到右底數逐漸增大．
3．對數函數 y＝logax(a>0，且 a≠1)的圖象恒過點(1,0)，(a,1)，(1，－1a ).
【核心題型】
題型一　對數式的運算
解決對數運算問題的常用方法
(1)將真數化為底數的指數冪的形式進行化簡．
(2)將同底對數的和、差、倍合并．
(3)利用換底公式將不同底的對數式轉化成同底的對數式，要注意換底公式的正用、逆用及
變形應用．
【例題 1】（23-24 高三下·湖南衡陽·階段練習）集合 A = x N |1 2x-1 4 ,則集合
B = m | m = logab,a,b A 的元素個數為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【變式 1】（2024·全國·模擬預測）在一個空房間中大聲講話會產生回音，這個現象叫做“混
響”．用聲強來度量聲音的強弱，假設講話瞬間發出聲音的聲強為W0 ，則經過 t 秒后這段聲
t
-
音的聲強變為W t = W e t ，其中t 是一個常數．把混響時間TR 定義為聲音的聲強衰減到原0
來的10-6 所需的時間，則TR 約為（參考數據： ln2 0.7,ln5 1.6）（ ）
A．6.72t B．8.3t C．13.8t D．148t
【變式 2】（2024·遼寧丹東·一模）若2a = 3，3b = 5，5c = 4，則 log4 abc = （ ）
A 1 2．-2 B． 2 C． D．12
【變式 3】（2024·全國·模擬預測）已知數列 an 為等差數列，且 a1 + a4 + a6 + a8 + a11 = 80，
則 log2 a5 + a7 的值為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．3
題型二　對數函數的圖象及應用
對數函數圖象的識別及應用方法
(1)在識別函數圖象時，要善于利用已知函數的性質、函數圖象上的特殊點(與坐標軸的交點、
最高點、最低點等)排除不符合要求的選項．
(2)一些對數型方程、不等式問題常轉化為相應的函數圖象問題，利用數形結合法求解．
1
【例題 2】（2024·北京東城·一模）設函數 f x = +1，則（ ）
ln x
f x + f 1 2 f x f 1 A． ÷ = B． - = 2
è x è x ÷
C． f x f 1 1 = 2 D． f x = 2 f
è x ÷ x ÷ è
ì x +1 ü
【變式 1】（2024·陜西咸陽·二模）已知集合 A = íx 0 ，B = x y = log5 x 2 x
2 -16 ，則
-
A R B = （ ）
A． -1,4 B． -1,4 C． -1,5 D． 4,5
【變式 2】（2024·全國·模擬預測）若3m - 9n + log3m - 2log n
m
9 = 0，則 的取值范圍為（ ）n
A． 0,2 B． 0,2 C． 2, + D． 2, +
2
【變式 3】（2024·重慶·模擬預測）若函數 f x = ln x - 2ax + 3a 在 1, + 上單調遞增，則
實數 a的取值范圍是（ ）
A． (- ,1］ B． -1,1 C． -1, + D． 1, +
題型三　對數函數的性質及應用
求與對數函數有關的函數值域和復合函數的單調性問題，必須弄清三個問題：一是定義域；
二是底數與 1 的大小關系；三是復合函數的構成．
命題點 1　比較對數式的大小
【例題 3】（2024·云南·一模）已知 f x = lgx a f 1 ，若 = ,b = f
1 ,c = f 3 ，則（ ）
è 4 ÷ 2 ÷
è
A． a > b > c B． a > c > b
C． c > a > b D．b > a > c
【變式 1】（2024·全國·二模）已知 a = 30.4 ,b = log a 33 ,c = log3 log3a ，則（ ）
A． a > b > c B． a > c > b
C．b > c > a D． c > a > b
【變式 2】（2024·浙江溫州·二模）已知 a = sin0.5,b = 30.5 ,c = log0.30.5，則 a,b,c的大小關系是
（ ）
A． a < b < c B． a < c < b C． c < a < b D． c < b < a
【變式 3】（2024·重慶·模擬預測）設 a = log2024 2023，b = log2023 2022， c = log0.2024 0.2023，
則（ ）
A． cC．b < a < c D． a < b < c
命題點 2　解對數方程、不等式
【例題 4】（2023· 2山東·模擬預測）已知集合M = x 4x -8x + 3 < 0 ， N = x 0 < log3x <1 ，
則M N =（ ）
1 ,3 3 1,3 1 31, A． 2 ÷ B． 2 ÷ C． D．è , ÷è è 2 2
【變式 1】（2024·上海青浦·二模）已知 f x = lg x -1， g x = lg x - 3，若
f x + g x = f x + g x ，則滿足條件的 x 的取值范圍是 ．
ìx +1, x 0
【變式 2】（2024·湖北·一模）已知函數 f x = í fln x 1 , x 0 ，則關于 x 的不等式 x ≤1 + >
的解集為 ．
【變式 3】（23-24 高三下·北京·開學考試）函數 y = lgx + lg 5 - 2x 的定義域是 .
命題點 3　對數函數的性質及應用
ì 1 1 1 1 ü
【例題 5】（2024·廣東·一模）已知集合 A = í- ,- , , , 2,3 ，若 a,b,c A且互不相等，則
2 3 2 3
使得指數函數 y = a x ，對數函數 y = logb x ，冪函數 y = xc 中至少有兩個函數在 (0, + )上單調
遞增的有序數對 (a,b, c)的個數是（ ）
A．16 B．24 C．32 D．48
【變式 1】（2024·江西九江·二模）若函數 f x = ln ax +1 在（1，2）上單調遞減，則實數 a
的取值范圍是（ ）
1 1
A． - ,0 - ,0 éB． ÷ C． ê- ,0

÷ D． -1,0
è 2 2
【變式 2】（2024·全國·模擬預測）在區間 1,4 內隨機取一個數 b，則函數
f x = log x22 - 2bx + 8 在區間 1,2 上單調遞減的概率為（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
16 8 4 3
【變式 3】（2024·遼寧·一模）若函數 f x 使得數列 an = f (n) ， n N* 為遞減數列，則稱函
數 f x 為“數列保減函數”，已知函數 f x = ln x - ax為“數列保減函數”，則 a 的取值范圍
（ ）
A． ln3,+ B． ln 2,+ C． 1, + D． 0, +
【課后強化】
基礎保分練
一、單選題
1．（2023 高三上·四川·學業考試）函數 f x = lnx 的圖象是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·廣西·二模）已知函數 f x = ln é x - a x + e + 2e
2
ù a R 為偶函數，則 f x 的
最小值為（ ）
A．2 B．0 C．1 D． ln2
3．（2024·湖南·一模）已知 a,b R ，且 a > 0,b > 0，則ab >1是 lna × lnb > 0的（ ）
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
4．（2024·浙江·二模）若函數 f x = ln ex +1 + ax為偶函數，則實數 a 的值為（ ）
1
A 1．- B．0 C．
2 2
D．1
二、多選題
5．（23-24 高三上·河南·階段練習）已知函數 f x = ln x ，0 < a < b，且 f a = f b ，則下
列說法正確的是（ ）
A．ab =1 B． ab =10
C．a + 2b的最小值為 2 2 D． a +1 2 + b +1 2 > 8
6．（2024·甘肅武威·模擬預測）函數 y = loga x -1 +1(a > 0, a 1)的圖象恒過定點 P ，若點 P
在直線mx + ny -1 = 0(m > 0,n > 0)上，則（ ）
A mm
1
B 4m2 + n2
1 2
． ． C．m + n
1 1 2 8
> D． + >
8 2 4 m +1 n 3
三、填空題
7．（2024·云南紅河·二模）已知 f x 是定義在 R 上的奇函數，當 x > 0時， f x =1+ log2x，
則 f -2 + f 0 = .
8．（23-24 高三上·上海普陀·期末）已知 f x = 2loga x -1 +1（ a > 0且 a 1)，函數 y = f x
的圖象恒過定點 P ，則點 P 的坐標為 ．
四、解答題
9．（23-24 高三上·青海西寧·階段練習）已知 a = log 0.2， b = 20.2 ， c = 0.20.32 ，比較 a、 b 、
c的大小.
10．（23-24 高三上·上海長寧·期中）已知函數 f x = loga x ，其中常數 a > 0且a 1.
(1)判斷上述函數在區間 0,1 上的單調性，并用函數單調性定義證明你的結論；
(2)若 t > 0，利用上述函數在區間 0,1 f t f 2 上的單調性，討論 和 2 ÷ 的大小關系，并述è t +1
理由.
2
11．（23-24 高三上·山東泰安·階段練習）已知 f x = log1 x - ax + 5a ．
3
(1)若 a = 2，求 f x 的值域；
(2)若 f x 在 1, + 上單調遞減，求 a 的取值范圍．
綜合提升練
一、單選題
1．（2024 高三上·全國·競賽） log2 4 =（ ）
A． -1 B．0 C．1 D．2
ì
2．（2024·陜西西安·一模）設集合 A = íx
1 ü ì
<1 ，B = íy y lg
1 ü
= ，則 A R B =（ ）
x x
A．R B． 0, + C． D． - ,0 1, +
3．（23-24 高三上·四川成都·階段練習）已知函數 f (x) = e|x| + log 2| x |，設
a = f (log 12 ),b = f (7
-0.1),c = f (log1 25)，則 a3 ，b ， c的大小關系為（ ）4
A．b < a < c B． c < a < b C． c < b < a D． a < c < b
4．（23-24高三上·北京大興·階段練習）已知 f x 是定義在R 上周期為 2的奇函數，當 x 0,1
f x lg 1時， = ，則 f x 在 1,2 上是（ ）.
1- x
A．增函數且 f x < 0 B．增函數且 f x > 0
C．減函數且 f x < 0 D．減函數且 f x > 0
ì -x2 + 2x, x 0

5．（23-24 高三上·山東濟寧·期中）已知函數 f x = í 1 ，則函數 y = f é f x -1ù
ln -x + , x < 0 x
的零點個數是（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（2024·全國·模擬預測）下列結論中錯誤的個數為（ ）
lg2 1 1
① < e ② é 2 ù 6 ③ 2lg3 3lg2 ④ e
x
x-2lnx
lge log e （其中 為自然對數的底數）； -8 ； = ； = e3 = -2 x2
（其中 x > 0）．
A．0 B．1 C．2 D．3
7．（23-24 高三下·山東菏澤·階段練習）若對于任意正數 x，y，不等式 x 1+ lnx xlny - ay
恒成立，則實數 a的取值范圍是 （ ）
0, 1ù é 1 , 1ù é 1 ,+ é 1 A．
è e ú
B． ê 3 C． D． e e ú êe2 ÷ ê
,+
e3 ÷
8．（23-24 高三下·陜西安康·階段練習）已知9a = 8，m =10a - 9 ， n = 8a - 7，則（ ）
A．m > 0 > n B．m > n > 0 C． n > m > 0 D． n > 0 > m
二、多選題
9 2．（2024 高三·全國·專題練習）已知定義在R 上的函數 f x = log2 x + ax + b ，
g x = x - a x + b ，其中 a，b 分別是將一枚質地均勻的骰子拋擲兩次得到的點數．設“函
數 f x 的值域為 0, + ”為事件 A，“函數 g x 為偶函數”為事件 B，則下列結論正確的是
（ ）
A．P AB 1= B．P A + B 7=
18 36
P B A 1 1C． = D．P
2 B A = 30
1
10．（23-24 x高三上·江蘇淮安·期中）已知函數 f x = log4 1+ 4 - x ，則下列說法中正確的2
是（ ）
A．函數 f x 的圖象關于 y 軸對稱 B．函數 f x 的圖象關于原點對稱
C．函數 f x 在 0, + 上是增函數 D．函數 f x é1的值域為 ê , +

÷
2
11．（2023·全國·模擬預測）已知 loga c > logb c（ a,b > 0且 a,b,c 1），則下列說法正確的是
（ ）
A．當 c >1時， a < b
B．當0 < c <1時， a < b
C．當 a < b 時， (a -1)(b -1)(c -1) > 0
D．當1< b < a時， 2c - 2 < 0
三、填空題
12．（23-24高三上·上海靜安·階段練習）由函數的觀點，不等式 log3x < 3- 3
x
的解集是 .
13．（2024 x高三·全國·專題練習）已知 x1, x2 是方程 2 + x =10，log2x + x =10的兩個根，則
x1 + x2 =
14．（2024·天津·一模）已知定義在 0, + 上的函數 f x 滿足 f x = f 5x ，當 x 1,5 時，
f x = ln x .若在區間 1,25 內，函數 g x = f x - ax 有三個不同零點，則實數 a的取值范圍
為 .
四、解答題
15．（23-24 2高三上·黑龍江齊齊哈爾·階段練習）已知函數 f x = lg ax - 2ax + 2 的定義域為
R .
(1)求實數 a的取值范圍；
(2)若 a > 0，函數 f x 在 0,3 上的最大值與最小值的和為 lg5，求實數 a的值.
16．（2023·陜西·模擬預測）已知函數 f x 1- x 1= log a , f1+ x 2 ÷ = -1．è
(1)求 a及函數 f x 的定義域；
(2)求函數 g x = f x - loga 3 - 3x 的零點．
17．（23-24 高三上·湖北·期中）記M n 是各項均為正數的數列 an 的前 n項積，已知 a1 =1，
2anM n = M n+1 - M n .
(1)求 an 的通項公式；
(2)證明： log 2 M n n
2 + n - 2 .
2
18．（2023 高三·全國·專題練習）設函數 f x = ln x + 2 - 的定義域為 D，若命題 p：
a - x
“ $x D ， f x 0 ”為假命題，則 a 的取值范圍是
19．（23-24 2高三上·安徽淮南·階段練習）（1）已知函數 f x = x - 2x + 3, g x = log2x + m，
若對"x1 2,4 ,$x2 16,32 ，使得 f x1 g x2 ，求實數m 的取值范圍；
2 p f x = log x3 1 （ ）若命題 ：函數 a - ax （ a > 0且a 1）在區間 - ,0÷內單調遞增是真
è 2
命題，求 a的取值范圍.
拓展沖刺練
一、單選題
1．（23-24 高三下·江西· a階段練習）已知實數 a，b 滿足2 + a = 2,b = log16 3，則（ ）
A． a > b B． a < b C． a = b D．a，b 的大小無法判
斷
2．（2024·湖南岳陽·二模）設 a = log23，b = log35， c = log58，則（ ）
A． a > b > c B．b > a > c C．b > c > a D． c > a > b
3. （ 2024· 陜 西 西 安 · x - x 2一 模 ） 已 知 函 數 f x = e + e x ， 若 滿 足

f log3m + f log1m÷ - 2e
2
- < 0 ，則實數m 的取值范圍為（
e ）è 3
1 1
A． 0, ÷ B． ,3÷ C． 0,3 D． 3, +
è 3 è 3
4．（23-24 高三下·江西·開學考試）142857 被稱為世界上最神秘的數字，
142857 1 =142857,142857 2 = 285714,142857 3 = 428571,142857 4 = 571428,
142857 5 = 714285,142857 6 = 857142，所得結果是這些數字反復出現，若
a = e0.142857 ,b ln1.285714= +1,c = 1.285714 ，則（
2 ）
A． a > b > c B． c > b > a
C．b > a > c D． a > c > b
5．（23-24 高三上·山東日照·階段練習）已知函數 f (x) = lg x2 - 2x + 2023x-1 + 20231-x ，則不
等式 f 3x < f x + 3 成立的 x 的取值范圍是（ ）
1 , 3 1 ,0 U 2 , 3 A． - ÷ B． - ÷ ÷ C． -1,0 U
0, 3 2 3
4 2 4 3 2 ÷
D． , ÷
è è è è 2 è 3 2
二、多選題
6．（2024 高三·全國·專題練習）（多選）若實數 a，b 滿足 log3a＜log3b，則下列各式一定正
確的是（　　）
1
A．3a＜3b B．（ ）a－b＞1
3
C．ln （b－a）＞0 D．loga3＜logb3
a -1
7．（2023·遼寧撫順·模擬預測）已知實數 a，b 滿足 a > 0，a 1，b > 0，且 ln b = ，則
a
下列結論正確的是（ ）
A．當 0 < a < 1時，b < a B．當 a > 1時，b > a
C． loga b >1 D． loga b > 2
三、填空題
8 a b
b
．（23-24 高三上·湖南·階段練習）已知正實數 a,b滿足：3 = 27 + log3 ，則 a與3ba 大小關
系為 .
n
9．（2022·全國·模擬預測）已知數列 an 的通項公式為 an = ，若 x 表示不超過 x 的最大整2
數，如[0.5] = 0，[lg 499] = 2，則數列 lg an 的前 2022 項的和為 ．
四、解答題
ax +1
10．（23-24 高三上·上海浦東新·期中）已知函數 f x = log2 是奇函數.1- x
(1)求實數 a的值；
1+ x
(2)當b > 0，b R ，解關于 x 的不等式 f x > log2 .b
11．（2023·上海·模擬預測）已知 f x = ex ln 1+ x .記 g x = mf ax ，其中常數 m， a > 0 .
(1)證明：對任意 m， a > 0，曲線 y = g x 過定點；
(2)證明：對任意 s， t > 0， f s + t > f s + f t ；
(3)若對一切 x 1和一切使得 g 1 =1的函數 y = g x ， y lx 恒成立，求實數l 的取值范圍.考點 12 對數與對數函數（3 種核心題型+基礎保分練+綜合提
升練+拓展沖刺練）
【考試提醒】
1.理解對數的概念及運算性質，能用換底公式將一般對數轉化成自然對數或常用對數.
2.通過實例，了解對數函數的概念，會畫對數函數的圖象，理解對數函數的單調性與特殊點.
3.了解指數函數 y＝ax(a>0，且 a≠1)與對數函數 y＝logax(a>0，且 a≠1)互為反函數．
【知識點】
1．對數的概念
一般地，如果 ax＝N(a>0，且 a≠1)，那么數 x 叫做以 a 為底 N 的對數，記作 x＝logaN，其
中 a 叫做對數的底數，N 叫做真數．
以 10 為底的對數叫做常用對數，記作 lg N.
以 e 為底的對數叫做自然對數，記作 ln N.
2．對數的性質與運算性質
(1) log N對數的性質：log 1＝0，log a＝1， a aa a ＝N(a>0，且 a≠1，N>0)．
(2)對數的運算性質
如果 a>0，且 a≠1，M>0，N>0，那么：
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
M
②loga ＝logaM－logaN；N
③log Mna ＝nlogaM (n∈R)．
logcb
(3)對數換底公式：logab＝ (a>0，且 a≠1；b>0；c>0，且 c≠1)．logca
3．對數函數的圖象與性質
a>1 0圖象
定義域 (0，＋∞)
值域 R
性 過定點(1,0)，即 x＝1 時，y＝0
質 當 x>1 時，y>0； 當 x>1 時，y<0；
當 00
在(0，＋∞)上是增函數 在(0，＋∞)上是減函數
4.反函數
指數函數 y＝ax(a>0，且 a≠1)與對數函數 y＝logax(a>0，且 a≠1)互為反函數，它們的圖象
關于直線 y＝x 對稱．
常用結論
n
1．logab·logba＝1， log m bn ＝ loga m a
b.
2．如圖給出 4 個對數函數的圖象
則 b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的對數函數圖象從左到右底數逐漸增大．
1
3．對數函數 y＝logax(a>0，且 a≠1)的圖象恒過點(1,0)，(a,1)，( ，－1).a
【核心題型】
題型一　對數式的運算
解決對數運算問題的常用方法
(1)將真數化為底數的指數冪的形式進行化簡．
(2)將同底對數的和、差、倍合并．
(3)利用換底公式將不同底的對數式轉化成同底的對數式，要注意換底公式的正用、逆用及
變形應用．
【例題 1】（23-24 x-1高三下·湖南衡陽·階段練習）集合 A = x N |1 2 4 ,則集合
B = m | m = logab,a,b A 的元素個數為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】先求出集合A 中的元素，然后利用對數的運算確定集合 B 中的元素即可.
【詳解】 A = x N |1 2x-1 4 = 1,2,3 ，
則m = log2 1 = log3 1 = 0或m = log2 2 = log3 3 =1或m = log3 2或m = log2 3，
所以B = 0,1, log3 2, log2 3 ，元素個數為 4 .
故選：B.
【變式 1】（2024·全國·模擬預測）在一個空房間中大聲講話會產生回音，這個現象叫做“混
響”．用聲強來度量聲音的強弱，假設講話瞬間發出聲音的聲強為W0 ，則經過 t 秒后這段聲
t
-
音的聲強變為W t = W e t ，其中t 是一個常數．把混響時間TR 定義為聲音的聲強衰減到原0
來的10-6 所需的時間，則TR 約為（參考數據： ln2 0.7,ln5 1.6）（ ）
A．6.72t B．8.3t C．13.8t D．148t
【答案】C
【分析】根據已知公式及對數運算可得結果.
【詳解】由題意，W T 10-6W T= ，即 - RR 0 e t =10-6，等號兩邊同時取自然對數得
T
- R T
lne t = ln10-6 ，即-
R = -6ln10，所以TR =t 6ln10 =t 6 ln2 + ln5 13.8t ．t
故選：C．
【變式 2】（2024·遼寧丹東·一模）若2a = 3，3b = 5，5c = 4，則 log4 abc = （ ）
A -2 B 1 2． ． 2 C． D．12
【答案】B
【分析】根據題意，結合指數冪與對數的互化公式，結合對數的換底公式，即可求解.
【詳解】由2a = 3，3b = 5，5c = 4，可得 a = log2 3,b = log3 5,c = log5 4，
所以 abc = log2 3 log3 5 log 4
lg3 lg5 lg 4
5 = = 2 log abc = log 2
1
=
lg 2 lg3 lg5 ，則 4 4 .2
故選：B.
【變式 3】（2024·全國·模擬預測）已知數列 an 為等差數列，且 a1 + a4 + a6 + a8 + a11 = 80，
則 log2 a5 + a7 的值為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．3
【答案】B
【分析】根據題意，利用等差數列的性質和對數的運算法則，準確計算，即可求解.
【詳解】由等差數列的性質，可得 a1 + a4 + a6 + a8 + a11 = 5a6 = 80 ，解得 a6 =16，
所以 log2 a5 + a7 = log2 2a6 = log232 = 5 .
故選：B.
題型二　對數函數的圖象及應用
對數函數圖象的識別及應用方法
(1)在識別函數圖象時，要善于利用已知函數的性質、函數圖象上的特殊點(與坐標軸的交點、
最高點、最低點等)排除不符合要求的選項．
(2)一些對數型方程、不等式問題常轉化為相應的函數圖象問題，利用數形結合法求解．
【例題 2】（2024·北京東城·一模）設函數 f x 1= +1，則（ ）
ln x
A． f x + f 1 ÷ = 2 B． f x - f
1 = 2
è x ÷ è x
1 1
C． f x f ÷ = 2 D． f x = 2 f x x ÷è è
【答案】A
【分析】根據函數解析式，分別計算即可得解.
【詳解】函數 f x 1= +1的定義域為 0,1 U 1, + ，
ln x
f x f 1+ 1 1 1 1 ÷ = +1+ +1 = + + 2 = 2對于 A， è x ln x ln 1 ln x - ln x ，故 A 正確；
x
f x - f 1 1 1 1 1 2 ÷ = +1- 1 -1 = - - =對于 B， è x ln x ln ln x - ln x ln x ，故 B 錯誤；
x
x=e f x 1= +1 = 2, f 1 1對于 CD，當 時， ÷ = +1 = 0，故 CD 錯誤.1 è x -1
故選：A.
ì x +1 ü
【變式 1】（2024·陜西咸陽·二模）已知集合 A = íx 0 ，B = x y = log2 x2 -165 x ，則 -
A R B = （ ）
A． -1,4 B． -1,4 C． -1,5 D． 4,5
【答案】B
【分析】計算出集合A 、 B 后，借助補集定義及交集定義即可得.
x +1 ì0 x +1 5 - x 0【詳解】由 ，即 í ，解得-1 x < 5，故 A = x -1 x < 5 ，5 - x 5 - x 0
由 y = log2 x2 -16 ，可得 x2 -16 > 0，即 x>4或 x<- 4，故 R B = x -4 x 4 ，
故 A R B = x -1 x 4 .
故選：B.
m
【變式 2】（2024·全國· m n模擬預測）若3 - 9 + log3m - 2log9n = 0，則 的取值范圍為（n ）
A． 0,2 B． 0,2 C． 2, + D． 2, +
【答案】A
【分析】由3m + log m = 32n3 + log3n
x
．構造函數 f x = 3 + log3x ，再結合 log3n < log3 2n ，
利用函數 f x 為增函數求解．
m n
【詳解】解：法一：因為3 - 9 + log3m - 2log9n = 0，
m
所以3 + log3m = 3
2n + log3n．
x
構造函數 f x = 3 + log3x ， f x 的定義域為 0, + ，且 f x 為增函數．
因為 log3n < log3 2n 2n，所以3 + log3n < 32n + log3 2n ，
3m + log m < 32n即 3 + log3 2n ，即 f m < f 2n ，所以m < 2n ，
m
即 的取值范圍為 0,2 ．
n
故選：A．
m
法二：因為3 - 9n + log3m - 2log9n = 0，
3m + log m = 32n所以 3 + log3n．
構造函數 f x = 3x + log3x ， f x 的定義域為 0, + ，且 f x 為增函數．
因為 f m - f 2n = 3m + log3m - é 3
2n + log 2n 2n 2n3 ù = 3 + log3n - é3 + log3 2n ù = log
1
3 < 0，2
所以 f m < f 2n ，所以m < 2n ，
m
即 的取值范圍為 0,2 ．
n
故選：A．【變式 3】（2024·重慶·模擬預測）若函數 f x = ln x2 - 2ax + 3a 在 1, + 上單調
遞增，則實數 a的取值范圍是（ ）
A． (- ,1］ B． -1,1 C． -1, + D． 1, +
【答案】B
【分析】根據復合函數單調性的規則以及函數在 1, + 上有意義列不等式求解即可.
【詳解】因為函數 f x = ln x2 - 2ax + 3a 在 1, + 上單調遞增，
ì -2a
- 1
所以 í 2 ，解得-1 < a 1.
1- 2a + 3a > 0
故選：B.
題型三　對數函數的性質及應用
求與對數函數有關的函數值域和復合函數的單調性問題，必須弄清三個問題：一是定義域；
二是底數與 1 的大小關系；三是復合函數的構成．
命題點 1　比較對數式的大小
1 1
【例題 3】（2024·云南·一模）已知 f x = lgx ，若 a = f ÷ ,b = f ÷ ,c = f 3 ，則（4 ）è è 2
A． a > b > c B． a > c > b
C． c > a > b D．b > a > c
【答案】B
【分析】根據 f x = lgx 將 a,b,c進行轉化，再利用 y = lg x 在 0, + 上為增函數進行判斷
即可.
f x lgx a f 1 lg 1【詳解】由 = 得： = ÷ = = - lg 4 = lg 4， b = f
1 1
÷ = lg = - lg 2 = lg 2，
è 4 4 è 2 2
c = f 3 = lg3，
因為 y = lg x 在 0, + 上為增函數，
所以 lg 4 > lg3 > lg 2 ，
即 a > c > b .
故選：B.
【變式 1】（2024·全國·二模）已知 a = 30.4 ,b = log a 33 ,c = log3 log3a ，則（ ）
A． a > b > c B． a > c > b
C．b > c > a D． c > a > b
【答案】A
【分析】根據指數函數、對數函數的性質及對數的運算性質判斷即可.
【詳解】因為 a = 30.4 > 30 3=1，b = log a = log 30.43 3
3
= 0.43 < 0.40 =1，又0.43 > 0，
所以 a >1 > b > 0 c = log log 0.4，又 3 3a = log3 log33 = log30.4 < log31 = 0 ，
所以 a > b > c .
故選：A
0.5
【變式 2】（2024·浙江溫州·二模）已知 a = sin0.5,b = 3 ,c = log0.30.5，則 a,b,c的大小關系是
（ ）
A． a < b < c B． a < c < b C． c < a < b D． c < b < a
【答案】B
【分析】構造函數 y = sin x - x，利用導數法求最值得 sin x < x ，從而有 a < 0.5，再利用函數
y = log0.3x 單調遞減得0.5 < c <1，利用函數 y = 3x 單調遞增得b >1，即可比較大小.
【詳解】對 x
0, π ÷，因為 y = sin x - x，則 y = cos x
π
-1 < 0 ，即函數 y = sin x - x在
2
0, ÷
è è 2
單調遞減，
且 x = 0時， y = 0 ，則 sin x - x < 0，即 sin x < x ，所以 a = sin0.5 < 0.5，
因為 2log0.30.5 = log0.30.25 > log0.30.3 =1且 log0.30.5 < log0.30.3 =1，所以0.5 < c = log0.30.5 <1，
又b = 30.5 > 30 =1，所以 a < c < b .
故選：B
【變式 3】（2024·重慶·模擬預測）設 a = log2024 2023，b = log2023 2022， c = log0.2024 0.2023，
則（ ）
A． cC．b < a < c D． a < b < c
【答案】C
【分析】利用對數函數的性質得到 c最大，再利用作差法，結合基本不等式得到b < a ，從
而得解.
【詳解】由對數函數的性質知 c = log0.2024 0.2023 > log0.2024 0.2024 =1，
0 = log2024 1< log2024 2023 < log2024 2024 =1，
0 = log2023 1 < log2023 2022 < log2023 2023 =1，
所以 c >1， 0 < a < 1，0 < b <1；
當 n > 2時， ln n +1 > ln n > ln n -1 > 0，
2
所以 ln n +1 é ln n +1 + ln n -1 ù× ln n -1 - ln n 2 < ê - ln n
2
2
ú

2 2
é ln n +1 n -1 ù é ln n2 -1 ù
= ê ú -

ln n 2 = ê ú - ln n 2
2 ê 2 ú
2
ln n2
< - ln n
2 = ln n 2 - ln n 2 = 0，
è 2
÷

取 n = 2023，則 lg 2022 × lg 2024 - lg 2023 2 < 0，
b a log 2022 log 2023 lg 2022 lg 2023所以 - = 2023 - 2024 = -lg 2023 lg 2024
lg 2022 × lg 2024 - lg 2023 2
= < 0 ，即b < a ，
lg 2023 × lg 2024
綜上，b < a < c
命題點 2　解對數方程、不等式
【例題 4】（2023· 2山東·模擬預測）已知集合M = x 4x -8x + 3 < 0 ， N = x 0 < log3x <1 ，
則M N =（ ）
1 ,3 1, 3 1,3 1 3 A． B． C． D． ,
è 2 ÷
÷
è 2
2 2 ֏
【答案】A
【分析】解一元二次不等式及對數不等式后結合并集定義計算即可得.
1 3
【詳解】由 4x2 -8x + 3 < 0，可得 2x - 3 2x -1 < 0，解得 < x < ，2 2
M ìx 1 x 3ü即 = í < <2 2
，

由0 < log3x <1，即 log31< log3x < log33，即1< x < 3，
N x 1 x ì 1即 = < < 3 ，故M N = íx < x ü< 32 .
故選：A.
【變式 1】（2024·上海青浦·二模）已知 f x = lg x -1， g x = lg x - 3，若
f x + g x = f x + g x ，則滿足條件的 x 的取值范圍是 ．
【答案】 0,10 U 1000,+ ；
【分析】由絕對值等式可知 f x g x 0 ，代入函數后解不等式再結合對數的運算和取值
范圍求出結果即可.
【詳解】因為 f x + g x = f x + g x ，
所以 f x g x 0 ，即 lg x -1 lg x - 3 0，
解得 lg x 1或 lg x 3，
所以 x 的取值范圍是 0,10 U 1000,+ ，
故答案為： 0,10 U 1000,+ .
ìx +1, x 0
【變式 2】（2024·湖北·一模）已知函數 f x = í
ln x +1 , x > 0
，則關于 x 的不等式 f x ≤1
的解集為 ．
【答案】 - , e -1
【分析】根據分段函數的性質及對數函數的單調性解不等式可得結果.
【詳解】當 x 0 時， f x = x +1 1得 x 0 ，\ x 0
當 x > 0時， f x = ln x +1 1，得-1 < x e -1，所以0 < x e -1，
綜上： f x ≤1的解集為 - , e -1 ，
故答案為： - , e -1 .
【變式 3】（23-24 高三下·北京·開學考試）函數 y = lgx + lg 5 - 2x 的定義域是 .
é1, 5 【答案】 ÷
ê 2
【分析】結合函數解析式得到不等式組，進而可得到答案.
ì
ìlg x 0 x 1

【詳解】由題意，得 íx > 0 ，即 íx > 0 ，

5 - 2x > 0 x 5<
2
5
所以1 x
5
< é ，所以定義域為
2 ê
1, ÷ .
2
é1, 5 故答案為： ê 2 ÷
命題點 3　對數函數的性質及應用
ì 1 1 1
【例題 5】（2024·廣東·一模）已知集合 A = í- ,- , ,
1 , 2,3ü ，若 a,b,c A且互不相等，則
2 3 2 3
使得指數函數 y = a x ，對數函數 y = logb x ，冪函數 y = xc 中至少有兩個函數在 (0, + )上單調
遞增的有序數對 (a,b, c)的個數是（ ）
A．16 B．24 C．32 D．48
【答案】B
【分析】分類討論單調性，結合排列數、組合數運算求解.
【詳解】若 y = a x 和 y = logb x 在 (0, + )上單調遞增， y = xc 在 (0, + )上單調遞減，
2 1
則有A2 ×C2 = 4 個；
若 y = a x 和 y = xc 在 (0, + )上單調遞增， y = logb x 在 (0, + )上單調遞減，
C1 ×C1 1則有 2 2 ×C2 = 8個；
若 y = logb x 和 y = xc 在 (0, + )上單調遞增， y = a x 在 (0, + )上單調遞減，
C1 ×C1 1則有 2 2 ×C2 = 8個；
若 y = a x 、 y = logb x 和 y = xc 在 (0, + )
2 1
上單調遞增，則有A2 ×C2 = 4 個；
綜上所述：共有 4 + 8 + 8 + 4 = 24個.
故選：B.
【點睛】方法點睛：兩個計數原理的應用技巧
（1）在應用分類加法計數原理和分步乘法計數原理時，一般先分類再分步，每一步當中又
可能用到分類加法計數原理．
（2）對于復雜的兩個計數原理綜合應用的問題，可恰當列出示意圖或表格，使問題形象化、
直觀化．
【變式 1】（2024·江西九江·二模）若函數 f x = ln ax +1 在（1，2）上單調遞減，則實數 a
的取值范圍是（ ）
A． 1 1- ,0 B． - ,0
é
÷ C． ê- ,0

÷ D． -1,0
è 2 2
【答案】C
【分析】利用復合函數的單調性結合函數求解.
【詳解】函數 f x = ln ax +1 在 1,2 上單調遞減，
由函數 y = ln x 在定義域內單調遞增，所以函數 g x = ax +1在 1,2 上單調遞減且恒大于 0，
ìa < 0 1
則有 íg 2 2a 1 0，解得- a < 0 . = + 2
故選：C
【變式 2】（2024·全國·模擬預測）在區間 1,4 內隨機取一個數 b，則函數
f x = log x22 - 2bx + 8 在區間 1,2 上單調遞減的概率為（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
16 8 4 3
【答案】D
【分析】依題意根據復合函數的單調性可得 y = x2 - 2bx + 8在區間 1,2 上單調遞減，且
2 ìb 2y = x - 2bx + 8 > 0在區間 1,2 上恒成立，即可得到 í b4 4b 8 0，從而求出 的取值范圍， - + >
再根據幾何概型的概率公式計算可得.
【詳解】若 f x = log 22 x - 2bx + 8 在區間 1,2 上單調遞減，
又函數 y = log2x 在定義域上是增函數，
所以 y = x2 - 2bx + 8在區間 1,2 上單調遞減，且 y = x2 - 2bx + 8 > 0在區間 1,2 上恒成立，
ìb 2
P 3- 2 1所以 í ，解得 2 b < 3，故所求的概率 = = .
4 - 4b + 8 > 0 4 -1 3
故選：D.
【變式 3】（2024·遼寧·一模）若函數 f x 使得數列 an = f (n) ， n N* 為遞減數列，則稱函
數 f x 為“數列保減函數”，已知函數 f x = ln x - ax為“數列保減函數”，則 a 的取值范圍
（ ）
A． ln3,+ B． ln 2,+ C． 1, + D． 0, +
【答案】B
【分析】易知 f n +1 < f n 對任意的 n N*恒成立，參變分離即可求解.
【詳解】由題可知 f n +1 < f n 對任意的 n N*恒成立，
即 a > ln

1
1
+ ÷ 對任意的n n N
*恒成立，
è
1
因為 t =1+ 在 n 1時單調遞減， y = lnt 在 t > 0時單調遞增，
n
y 1\ = ln 1+ ÷ 在 n 1時單調遞減，
è n
1
\ln 1+ ÷ 在 n＝1 時取最大值,且最大值為n ln 2，è
\a > ln2 .
故選：B.
【課后強化】
基礎保分練
一、單選題
1．（2023 高三上·四川·學業考試）函數 f x = lnx 的圖象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據函數定義域及函數值的正負判斷即可.
【詳解】因為 f x = lnx 的定義域為 (0, + )，故 BD 錯誤；
又 f x = lnx 0，故 C 錯誤；故 A 正確.
故選：A
2．（2024·廣西·二模）已知函數 f x = ln é x - a x + e + 2e
2 ù a R 為偶函數，則 f x 的
最小值為（ ）
A．2 B．0 C．1 D． ln2
【答案】A
【分析】由函數 f x 2 2為偶函數，求得 a = e，得到 f x = ln(x + e ) ，結合對數函數的性質，
進而求得函數的最小值，得到答案.
f x = ln é x - a x + e + 2e2 ù = ln[x2 - (a - e)x - ae + 2e2【詳解】由函數 ]，
可得 f -x = ln[x2 + (a - e)x - ae + 2e2 ]，
因為函數 f x 為偶函數，可得 x2 - (a - e)x - ae + 2e2 = x2 + (a - e)x - ae + 2e2，
a = e f x = ln(x2 + e2可得 ，即 ) ，
當 x = 0時，函數 f x 取得最小值，最小值為 f 0 = ln e2 = 2 .
故選：A.
3．（2024·湖南·一模）已知 a,b R ，且 a > 0,b > 0，則ab >1是 lna × lnb > 0的（ ）
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】D
【分析】利用不等式的性質、對數運算及充分、必要條件的定義判定即可.
【詳解】若 a = e,b =1，符合ab >1，但此時 ln a × ln b = 0 ，不滿足充分性，
若 a = e-1 = b ，符合 lna × lnb > 0，但是 ab <1，不滿足必要性.
故選：D
4．（2024·浙江· x二模）若函數 f x = ln e +1 + ax為偶函數，則實數 a 的值為（ ）
1
A．- B 0 C 1． ．
2 2
D．1
【答案】A
【分析】根據偶函數滿足的關系即可化簡求解.
【詳解】 f x = ln ex +1 + ax的定義域為R ，
x
f -x = ln e- x 1 e +1+ - ax = ln x ÷ - ax = ln ex +1 - x - ax，
è e
由于 f x = ln ex +1 + ax為偶函數，故 f -x = f x ，即
ln ex +1 - 1+ a x = ln ex +1 + ax 1+ 2a x = 0，
1 2a 1故 + = 0 ，解得 a = -
2
故選：A
二、多選題
5．（23-24 高三上·河南·階段練習）已知函數 f x = ln x ，0 < a < b，且 f a = f b ，則下
列說法正確的是（ ）
A．ab =1 B． ab =10 C．a + 2b的最小值為 2 2
D． a +1 2 + b +1 2 > 8
【答案】AD
【分析】根據題意，由 lg a = lgb ，得到 lg ab = 0，可判定 A 正確、B 不正確；由基本不
2
等式，求得 a + 2b > 2 2 ，可得判定 C 不正確；結合 a +1 + b +1 2 = a2 + b2 + 2 a + b + 2，
結合基本不等式，可判定 D 正確.
【詳解】由函數 f x = ln x ，且 f a = f b ，如圖所示，可得0 < a < 1 < b，
所以 lg a = lgb ，即- ln a = ln b，可得 lg ab = 0，解得ab =1，故 A 正確；B 錯誤；
由 a + 2b 2 a × 2b = 2 2 ，當且僅當 a = 2b時等號成立，
因為0 < a < 1 < b，所以 a + 2b > 2 2 ，故 C 錯誤；
由 a +1 2 + b +1 2 = a2 + b2 + 2 a + b + 2 2ab + 4 ab + 2 = 8，
2 2
當且僅當 a = b時等號成立，因為0 < a < 1 < b，所以 a +1 + b +1 > 8，故 D 正確．
故選：AD．
6．（2024·甘肅武威·模擬預測）函數 y = loga x -1 +1(a > 0, a 1)的圖象恒過定點 P ，若點 P
在直線mx + ny -1 = 0(m > 0,n > 0)上，則（ ）
1
A mm B 4m2 + n2 1 2． ． C．m + n
1 1 2 8
> D． + >
8 2 4 m +1 n 3
【答案】BCD
【分析】根據對數函數的性質可得定點，得出 2m + n =1，利用均值不等式判斷 A，重要不
等式判斷 B，轉化為二次函數判斷 C，根據“1”的變形技巧及均值不等式判斷 D.
【詳解】由題得點P 2,1 ，即2m + n 1= 1,0 < m < ,0 < n < 1，
2
1 1
所以 2m + n =1 2 2mn ，即mn ，當且僅當 2m = n = 時取等號，故 A 錯誤；8 2
2 1
4m2 n2 (2m + n) 1+ = ，當且僅當 2m = n = 時取等號，故 B 正確；
2 2 2
2
m2 + n = m2 - 2m +1 = (m 1)2 1 1 1- > - ÷ = ，故 C 正確；
è 2 4
由 2m + n =1，2(m +1) + n = 3，
1 2 1 1 é n 4 m +1 ù + ÷ é2 m +1 + nù = ê2 2
1 8
+ + + ú 4 + 4 = ，且取不到等號，
è m +1 n 3 3 m +1 n 3 3
1 2 8
故 + > ，故 D 正確．
m +1 n 3
故選：BCD
三、填空題
7．（2024·云南紅河·二模）已知 f x 是定義在 R 上的奇函數，當 x > 0時， f x =1+ log2x，
則 f -2 + f 0 = .
【答案】-2
【分析】根據奇函數的定義和 x > 0時的解析式分別求出 f (0)和 f (-2)的值即可.
【詳解】因為 f (x) 是定義域為 R 的奇函數，
所以 f (-x) = - f (x) ，得 f (0) = 0，
f (-2) = - f (2) = -(log2 2 +1) = -2，
所以 f (-2) + f (0) = -2 .
故答案為：-2 .
8．（23-24 高三上·上海普陀·期末）已知 f x = 2loga x -1 +1（ a > 0且 a 1)，函數 y = f x
的圖象恒過定點 P ，則點 P 的坐標為 ．
【答案】 2,1
【分析】令 x -1 = 1即可求出定點.
【詳解】令 x -1 = 1得 x = 2，
此時 f 2 =1，
所以函數 y = f x 的圖象恒過定點 2,1 ，即點P 2,1 .
故答案為： 2,1 .
四、解答題
9．（23-24 高三上·青海西寧·階段練習）已知 a = log 0.2， b = 20.22 ， c = 0.20.3 ，比較 a、 b 、
c的大小.
【答案】 a < c < b
【分析】根據指數函數和對數函數的單調性比較大小即可.
【詳解】因 log2 0.2 < log2 1 = 0，所以 a<0，
因 20.2 > 20 =1，所以b >1，
因0 < 0. 20. 3 < 0. 20 = 1，所以0 < c <1，
所以 a < c < b
10．（23-24 高三上·上海長寧·期中）已知函數 f x = loga x ，其中常數 a > 0且a 1.
(1)判斷上述函數在區間 0,1 上的單調性，并用函數單調性定義證明你的結論；
2
(2)若 t > 0 ，利用上述函數在區間 0,1 上的單調性，討論 f t 和 f 2 ÷ 的大小關系，并述è t +1
理由.
【答案】(1)函數在區間 0,1 上的單調遞減，證明見解析；
2 2
(2)當 t =1時， f t = f 2 ÷，當 t > 0且 t 1時， f t > f .è t +1 t 2 +1÷ è
【分析】（1）利用定義法結合對數函數單調性即可得到其單調性；
（2）利用（1）中的結論即可得到大小關系.
【詳解】（1） f x = loga x 在區間 0,1 上單調遞減，
證明：當 0 < a < 1時，任取0 < x1 < x2 1，
則 f x1 - f x2 = loga x1 - loga x2 = loga x1 - loga x2 = log
x1
a x ，2
x x
因為0 < x1 < x2 1
1 1
，則0 < <1x ，所以
loga > 0
2 x
，
2
即 f x1 - f x2 > 0，即 f x1 > f x2 ，所以此時 f x = loga x 在區間 0,1 上單調遞減，
當 a > 1時，任取0 < x1 < x2 1，
f x1 - f x2 = loga x log x log x log x log
x2
1 - a 2 = - a 1 + a 2 = a x1
x
因為0 < x1 < x 1
2
2 ，則 >1 log
x2
，所以 a > 0x x ，1 1
即 f x1 - f x2 > 0，即 f x1 > f x2 ，所以此時 f x = loga x 在區間 0,1 上單調遞減，
綜上所述， f x = loga x 在區間 0,1 上單調遞減，
（2）當 x >1時， 0 < a < 1時，函數 f x = - loga x 在 1, + 上單調遞增，
當 a > 1時，函數 f x = loga x在 1, + 上單調遞增，
由（1） f x 在 0,1 上單調遞減，在 1, + 上單調遞增，
2 2
當 t =1時， 2 =1 f t = f

，
t +1 t 2 +1÷
，
è
2
當0 < t <1時， t 2 +1 1,2 ， 1,2 ，
t 2 +1
f t log t 1 1= a = - loga = logt a ，t
t -1 21 2
- 2 = > 0
1 2
2 ，即 > ，t t +1 t t +1 t t 2 +1
\ f t = f 1 2 ÷ > ft ÷，è è t 2 +1
2 1 1 1 2
當 t > 1時，0 < 2 <1，0 < <1， f t = f ÷，且 >t +1 t è t t t 2 ，+1
f t f 1 2 所以 = ÷ > f 2 ÷，è t è t +1
2
綜上，當 t =1時， f t = f ÷，
è t 2 +1
t 0 t 1 f t > f 2 當 > 且 時， 2 ÷ .è t +1
2
11．（23-24 高三上·山東泰安·階段練習）已知 f x = log1 x - ax + 5a ．
3
(1)若 a = 2，求 f x 的值域；
(2)若 f x 在 1, + 上單調遞減，求 a 的取值范圍．
【答案】(1) - , -2
1
(2) - , 2
ù
è 4 ú
【分析】（1）根據二次函數的性質及對數函數的性質，即可求解；
ìa
1
（2）根據復合函數單調性結合條件可得 í 2 ，進而即得.
1- a + 5a > 0
2
【詳解】（1）若 a = 2，則 f x = log1 x - 2x +10 ，
3
因為 x2 - 2x +10 = x -1 2 + 9 9 > 0 ，當且僅當 x =1時，等號成立，
可知 f x 的定義域為R ，
且 y = log1 x在定義域內單調遞減，可得 f x log1 9 = -2 ，
3 3
所以 f x 的值域為 - , -2 .
（2）因為 y = log1 x在定義域內單調遞減，
3
由題意可知： y = x2 - ax + 5a 在 1, + 上單調遞增，且 x2 - ax + 5a > 0 在 1, + 上恒成立，
ìa
1 1
可得 í 2 ，解得- < a 2，
1- a + 5a > 0
4
1 ù
所以 a 的取值范圍 - , 2ú .è 4
綜合提升練
一、單選題
1．（2024 高三上·全國·競賽） log2 4 =（ ）
A． -1 B．0 C．1 D．2
【答案】D
【分析】對數運算可解.
2
【詳解】 log2 4 = log2 2 = 2 .
故選：D
ì 1 ü ì 1 ü
2．（2024·陜西西安·一模）設集合 A = íx <1x
，B = íy y = lg x
，則 A R B =（ ）

A．R B． 0, + C． D． - ,0 1, +
【答案】C
【分析】分別求出 A = - ,0 1,+ ，B = R ，然后求出 R B = ，從而可求解，
1
【詳解】由題意得 <1，解得 x >1或 x < 0 ，所以 A = - ,0 1,+ ，
x
1
由 y = lg 的值域為R ，所以B = R ，即 R B = ，x
所以 A R B = ，故 C 正確.
故選：C.
3．（23-24 高三上·四川成都·階段練習）已知函數 f (x) = e|x| + log 2| x |，設
a = f (log 12 ),b = f (7
-0.1),c = f (log
3 1
25)，則 a，b ， c的大小關系為（ ）
4
A．b < a < c B． c < a < b C． c < b < a D． a < c < b
【答案】A
【分析】先研究函數 f (x) = e|x| + log 2| x |的性質，利用奇偶性對函數值進行等價變形，最后利
用單調性進行比較大小.
【詳解】解：已知 f (x) 的定義域為R ，且 f (-x) = e|- x| + log 2| -x |= f (x) ，
所以函數 f (x) 為偶函數，
當 x (0,+ )時，函數 f (x) = ex + log 2 x為增函數，
所以 a = f (log
1) = f (- log 3) = f (log 3)， c = f (log1 25) = f (- log4 25) = f (log4 25)2 2 2 .3 4
因為 y = log2 x 在定義域上為單調遞增函數，
所以 log2 2 < log2 3 < log2 4 ，即1< log2 3 < 2，
因為 y = 7x 在R 上為增函數，
所以0 < 7-0.1 < 70 =1，
因為 y = log4 x 在定義域上為單調遞增函數，
所以 log4 25 > log -0.14 16 = 2，所以 log4 25 > log2 3 > 7 > 0，
根據函數 f (x) = ex + log 2 x在 0, + 上為增函數，
所以 f (log4 25) > f (log 3) > f (7
-0.1
2 ) ，所以 c > a > b .
故選：A．
4．（23-24高三上·北京大興·階段練習）已知 f x 是定義在R 上周期為 2的奇函數，當 x 0,1
時， f x = lg 1 ，則 f x 在 1,2 上是（ ）.
1- x
A．增函數且 f x < 0 B．增函數且 f x > 0
C．減函數且 f x < 0 D．減函數且 f x > 0
【答案】A
【分析】根據題意，由函數的奇偶性可得 x -1,0 的解析式，再由其周期即可得到 x 1,2
的圖像，即可判斷.
【詳解】因為 f x 是定義在R 上的奇函數，所以 f -x = - f x ，
當 x 0,1 時， f x = lg 1 ，設-x 0,1 ，則 x -1,0 ，
1- x
f x lg 1 1所以 - = = - f x ，則 f x = - lg = lg 1+ x ，
1+ x 1+ x
且0 <1+ x <1，所以 f x = lg 1+ x < 0，
又 f x 是周期為 2 的函數，
所以 f x 在 1,2 的圖像與 -1,0 的圖像相同，且為增函數，且 f x < 0 .
故選：A
ì -x2 + 2x, x 0

5．（23-24 高三上·山東濟寧·期中）已知函數 f x = í 1 ，則函數 y = f é f x -1ù
ln -x + , x < 0 x
的零點個數是（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】令 f x -1 = t ，先求出使 f t = 0時的 t 的值，然后畫出函數 f x 和函數 y = t +1，
其中 t 0,2, t3 的圖象，觀察其交點個數即可得答案.
【詳解】由已知 f é f x -1 ù = 0，
令 f x -1 = t ，即 f t = 0，
ì-t 2 + 2t = 0
當 í 時，得 t1 = 0或 t2 = 2，
t 0
ì
ln -t 1+ = 0 1
當 í t 時，明顯函數 g t = ln -t + 在 - ,0 上單調遞減，且
t t < 0
g -1 = -1 0, g -2 = ln 2 1- = ln 2 - ln e 0， g -1 g -2 < 0，
2
ln t 1故存在 t3 -2, -1 ，使 - 3 + = 0t ，3
ì -x2 + 2x, x 0
畫出 f x = í 1 的圖象如下，
ln -x + , x < 0 x
再畫出直線 y = t +1，其中 t 0,2, t3 ，
觀察圖象可得交點個數為5個，
即函數 y = f é f x -1 ù 的零點個數是5 .
故選：D.
6．（2024·全國·模擬預測）下列結論中錯誤的個數為（ ）
lg2 1 1 x
① < （其中 elge log e 為自然對數的底數）；② é -8
2 ù 6 = -2；③ 2lg3 = 3lg2
e
；④ x-2lnx
x2
= e
3
（其中 x > 0）．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】由對數函數的單調性即可判斷①，由指數的運算即可判斷②，由對數的運算即可
判斷③④
lg2 1
【詳解】對于①：由于 = ln2, = ln3，又 y = lnx x > 0lge log e 是增函數，故①正確．3
1 1 1
對于②：由于 é
-8
2 ù 6
= 8
2 6 = 83 = 2，所以②錯誤．
對于③：對 2lg3 = 3lg2 兩邊同時取常用對數，得 lg2lg3 = lg3lg2 ，即 lg3 lg2 = lg2 lg3，顯然正
確，故③正確．
x x x
對于④： ex-2lnx e e e= 2lnx = 2 = 2 ，故④正確．e elnx x
綜上，錯誤結論的個數為 1.
故選：B．
7．（23-24 高三下·山東菏澤·階段練習）若對于任意正數 x，y，不等式 x 1+ lnx xlny - ay
恒成立，則實數 a的取值范圍是 （ ）
0, 1ù é 1 , 1ù é 1 ,+ é 1 A． ú B．è e ê e3 e ú
C． ê 2 ÷ D． ê 3 ,+ e e ÷
【答案】C
x y x y ln t -1
【分析】對不等式分離參數得到 a ln - ，令 t = ，構造函數 g(t) =y x y ，x t
t 0, + ，則 a g(t)max ，通過導數研究 g(t)單調性求出最大值即可.
【詳解】由不等式 x 1+ lnx xlny - ay 恒成立，且 x > 0，y > 0，
分離參數得 ay x lny - lnx x x x y x- x ，所以 a lny - lnx - ，即 a ln -y y y x y ，
t y a lnt -1 t 0, + g(t) ln t -1設 = ，得 ， ，設 = ， t 0, + ，則 a g(t)
x t t max
.
g (t) 2 - ln t= 2 ，由 g (t) = 0得 t = e2 ，當 t (0,e
2 )時， g (t) > 0， g(t)單調遞增；當 t (e2 ,+ )
t
時， g (t) < 0 ， g(t)單調遞減；
所以 g(t) g(e2 )
2 -1 1
max = = 2 = .e e2
a 1所以 2 .e
故選：C.
8．（23-24 高三下·陜西安康·階段練習）已知9a = 8，m =10a - 9 ， n = 8a - 7，則（ ）
A．m > 0 > n B．m > n > 0 C． n > m > 0 D． n > 0 > m
【答案】D
【分析】分別求解m = 0, n = 0 時的解，比較解與 a的大小，代入計算可判斷m, n與 0 的關系.
【詳解】解：9a = 8，解得 a = log9 8，
令10t - 9 = 0，解得： t = lg9，
令8t - 7 = 0，解得： t = log8 7，
' 1
ln x +1
1
- ln x
令 f x = log x+1 x x >1 ，則 é ùf x ln x= ê = x x +1 ，
ê ln x +1
ú 2
ú ln x +1
1 1 1 1
因為 x >1，所以 > > 0， ln x +1 > ln x > 0 ，則有 ln x +1 - ln x > 0，
x x +1 x x +1
即 f x > 0恒成立，所以 f x 在 1,+ 上單調遞增，
則有 log8 7 < log9 8 < lg9，
所以 n = 8a - 7 = 8log9 8 - 7 > 8log8 7 - 7 = 0，
m =10a - 9 =10log9 8 - 9 <10lg9 - 9 = 0，
所以 n > 0 > m .
故選：D
二、多選題
9．（2024 高三·全國· 2專題練習）已知定義在R 上的函數 f x = log2 x + ax + b ，
g x = x - a x + b ，其中 a，b 分別是將一枚質地均勻的骰子拋擲兩次得到的點數．設“函
數 f x 的值域為 0, + ”為事件 A，“函數 g x 為偶函數”為事件 B，則下列結論正確的是
（ ）
A．P AB 1= B．P A 7+ B =
18 36
C．P B A 1= D．P B A 1=2 30
【答案】BC
【分析】根據給定條件，求出事件 A, B的所有可能結果，并求出概率，再結合事件的和與積、
條件概率逐項分析即可.
【詳解】將一枚質地均勻的骰子拋擲兩次出現的點數共有6 6 = 36種情況，
函數 f (x) = log (x22 + ax + b) 的值域為 0, + ，即函數 y = x2 + ax + b 的最小值為 1，則
2
b a= +1，
4
b a
2
滿足 = +1的 a,b 有 2,2 4,5 P A 2 1， ，共 2 種情況，則 = = ，
4 36 18
P A 17=1- P A = ，
18
由函數 g x = x - a x + b = x2 + b - a x - ab 為偶函數，得 a = b，
滿足 a = b的 a,b 有 1,1 ， 2,2 ， 3,3 ， 4,4 ， 5,5 ， 6,6 ，共 6 種情況，
P B 6 1= = ，
36 6
對于 A，滿足事件 A，B 同時發生的 a,b 有 2,2 ，P AB 1= ，A 錯誤；
36
對于 B，事件 A + B 包含的 a,b 有 1,1 ， 2,2 ， 3,3 ， 4,4 ， 5,5 ， 6,6 ， 4,5 ，共
7 種情況，
因此P A + B 7= ，B 正確；
36
1
P ABP B A 1對于 C， = = 36 = 1 ，C 正確；P A 2
18
對于 D，滿足事件 A，B 同時發生的 a,b 有 1,1 ， 3,3 ， 4,4 ， 5,5 ， 6,6 ，共 5 種情
況，
5
5 P AB 5因此P AB = ，則P B A = =
36 = ，D 錯誤．
36 P A 17 34
18
故選：BC
10 23-24 · · f x = log 1+ 4x 1．（ 高三上 江蘇淮安 期中）已知函數 4 - x ，則下列說法中正確的2
是（ ）
A．函數 f x 的圖象關于 y 軸對稱 B．函數 f x 的圖象關于原點對稱
é1
C．函數 f x 在 0, + 上是增函數 D．函數 f x 的值域為 ê , + 2 ÷
【答案】ACD
【分析】利用對數的運算性質將函數解析式化簡為 f x = log x - x4 2 + 2 ，利用函數奇偶性
的定義可判斷 AB 選項；利用函數單調性的定義以及復合函數的單調性可判斷 C 選項；利用
函數 f x 的單調性求出函數 f x 的值域，可判斷 D 選項.
x
【詳解】因為 f x = log 1+ 4x 1- x = log 1+ 4x - log 2x log 1+ 4= = log 2x + 2- x4 2 4 4 4 2x 4 ，
對于 A 選項，對任意的 x R ， 2x + 2- x > 0，則函數 f x 的定義域為R ，
f -x = log - x4 2 + 2x = f x ，所以，函數 f x 為偶函數，A 對 B 錯；
對于 C 選項，任取x1、 x2 0, + 且 x1 > x2 ，即 x1 > x2 0，則 2x1 > 2x2 1，
x1 + x2 > 0，則 2x1 +x2 >1，
x1 x2
所以， 2x 2- x 2x 2- x 2x 2x 1 1 2 - 21 + 1 - 2 + 2 = 1 - 2 + x - = 2x1 - 2x2 -è 2 1 2x2 ÷ 2x1 +x2
2x1 - 2x2 2x1 +x2 -1
= x +x > 0，即 2
x1 + 2- x1 > 2x2 + 2- x2 > 0，
2 1 2
f x = log 2x - x x - x所以， 1 + 2 1 > log 2 2 + 2 21 4 4 = f x2 ，
故函數 f x 在 0, + 上是增函數，C 對；
對于 D 選項，因為函數 f x 為R 上的偶函數，且在 0, + 上為增函數，
故函數 f x 在 - ,0 1上為減函數，所以， f x f 0 = log4 2 = ，2
故函數 f x é1的值域為 ê ,+

÷，D 對.
2
故選：ACD.
11．（2023·全國·模擬預測）已知 loga c > logb c（ a,b > 0且 a,b,c 1），則下列說法正確的是
（ ）
A．當 c >1時， a < b
B．當0 < c <1時， a < b
C．當 a < b 時， (a -1)(b -1)(c -1) > 0
D．當1< b < a時， 2c - 2 < 0
【答案】CD
【分析】根據對數函數的圖象與性質，畫出函數的圖象，結合選項，逐項判定，即可求解.
【詳解】由滿足 loga c > logb c的情況有以下六種：
ì0 < c <1
（1）如圖 1 所示，可得 í1 ， < b < a
ìc >1
（2）如圖 2 所示，可得 í1 ， < a < b
ì0 < c <1
（3）如圖 3 所示，可得 í
0 < a <1 b
，
<
ìc >1
（4）如圖 4 所示，可得 í
0 < b <1 a
，
<
ì0 < c <1
（5）如圖 5 所示，可得 í
0 b
，
< < a <1
ìc >1
（6）如圖 6 所示，可得 í
0
，
< a < b <1
對于 A 中，當 c >1時，第（4）種情況不滿足 a < b ，所以 A 錯誤；
對于 B 中，當0 < c <1時，第（1）種和第（5）種情況不滿足 a < b ，所以 B 錯誤；
對于 C 中，當 a < b 時，第（2）種、第（3）種和第（6）種情況均有 (a -1)(b -1)(c -1) > 0 ，
所以 C 正確；
對于 D 中，當1< b < a時，如第（1）種情況，則0 < c <1，所以 2c - 2 < 0 成立，所以 D 正確.
故選：CD．
三、填空題
12．（23-24高三上·上海靜安·階段練習）由函數的觀點，不等式 log3x < 3- 3
x
的解集是 .
【答案】 0,1
【分析】由不等式 log3x < 3- 3
x x
可得3 + log3x - 3 < 0，構建函數 f x = 3x + log3x - 3，利用
函數單調性解不等式.
【詳解】由不等式 log3x < 3- 3
x x
，可得3 + log3x - 3 < 0，
令 f x = 3x + log3x - 3，可知 f x 的定義域為 0, + ，
y = 3x因為 ,y = log3x在定義域 0, + 上單調遞增，
可知 f x 在定義域 0, + 上單調遞增，且 f 1 = 0，
對于不等式即為 f x < f 1 ，解得0 < x <1，
x
所以不等式 log3x < 3- 3 的解集是 0,1 .
故答案為： 0,1 .
13．（2024 高三· x全國·專題練習）已知 x1, x2 是方程 2 + x =10，log2x + x =10的兩個根，則
x1 + x2 =
【答案】10
【分析】根據指數和對數函數的性質，結合指數函數和對數函數的圖象，數形結合，即可求
得結果.
x
【詳解】由題可知， x1, x2 也是 y = 2 , y = log2 x與 y = -x +10圖象交點的橫坐標，
在同一坐標系中，作圖如下：
數形結合可知， x1, x2 為 A, B兩點對應的橫坐標；
x
根據指數函數和對數函數的性質可知， y = 2 , y = log x關于 y = x2 對稱；
又 y = -x +10與 y = x 垂直，故 y = -x +10與 y = x 的交點 H 為線段 AB 的中點，
ì y = x ìx = 5
聯立 í ，可得 í ，即H 5,5 x + x，故 1 2 = 5，解得 x1 + x2 =10 .
y = -x +10 y = 5 2
故答案為：10 .
14．（2024·天津·一模）已知定義在 0, + 上的函數 f x 滿足 f x = f 5x ，當 x 1,5 時，
f x = ln x .若在區間 1,25 內，函數 g x = f x - ax 有三個不同零點，則實數 a的取值范圍
為 .
ln 5 1
【答案】 ,
è 25 5e ÷
ì ln x,1 x < 5

【分析】根據題意得到 f x = í x 畫出函數圖像，計算直線 y = ax 與函數相切和
ln ,5 x < 25 5
過點 25, ln 5 時的斜率，根據圖像得到答案.
【詳解】函數 f x 滿足 f x = f 5x ，當 x 1,5 , f x = lnx ，
所以當 x 5,25 , x 1,5 , f x f x= ÷ =ln
x
，
5 è 5 5
ì ln x,1 x < 5
f x = 故 í x ， g x = f x - ax = 0，\ f x = ax ，
ln ,5 x < 25 5
畫出函數圖像，如圖所示，觀察圖像可知，要使函數 g(x) = f (x) - ax有三個不同零點，
則直線 y = ax 應在圖中的兩條虛線之間，
上方的虛線為直線與 f x = ln x 5 x < 25 相切時，
5
下方的虛線是直線 y = ax 經過點 25, ln 5 時，
當直線 y = ax 與 f x x= ln 5 x < 25 相切時，
5
f x 1= ，設切點為P x0 , ln
x0
÷，x è 5
ln x01 - 0 1則斜率 a 5 ln x= = ，\ 0 =1，\ x = 5e ，此時 a = ，
x x - 0 5 0 5e0 0
當直線 y = ax 經過點 25, ln 5 a k ln 5時， = = ，
25
ln 5
故答案為： ,
1
.
è 25 5e ÷
ì ln x,1 x < 5
【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵點在于先求出 f x = í x ，再畫出函數圖像，計
ln ,5 x < 25 5
算直線 y = ax 與函數相切和過點 25, ln 5 時的斜率，根據圖象得到答案.
四、解答題
15 2．（23-24 高三上·黑龍江齊齊哈爾·階段練習）已知函數 f x = lg ax - 2ax + 2 的定義域為
R .
(1)求實數 a的取值范圍；
(2)若 a > 0，函數 f x 在 0,3 上的最大值與最小值的和為 lg5，求實數 a的值.
【答案】(1) 0,2 ；
1
(2)1或 .
3
【分析】（1）利用對數函數定義列出不等式，再利用恒成立的不等式求解即可.
（2）利用函數單調性求出最大最小值，列式求解即可.
【詳解】（1）由 f x 的定義域為R ，得 ax2 - 2ax + 2 > 0對任意的 x R 恒成立，
當 a = 0時， ax2 - 2ax + 2 = 2 > 0恒成立，則 a = 0；
ìa > 0
當 a 0時， í 0 < a < 2 0 < a < 2
Δ = 4a
2 -8a < 0，解得 ，則 ，
所以實數 a的取值范圍是0 a < 2 ，即 a 0,2 .
（2 2）令u = ax - 2ax + 2 a > 0 ，顯然函數u = ax2 - 2ax + 2 在[0,1]上單調遞減，在[1,3]上單
調遞增，
而函數 y = lgu 在 (0, + )上單調遞增，因此函數 f x 在[0,1]上單調遞減，在[1,3]上單調遞增，
于是 f x = f 1 = lg 2 - a 0 < a < 2 ，而 f 3 = lg 3a + 2 > lg 2 = fmin 0 ，則
f x = f 3max = lg 3a + 2 ，
依題意， lg 2 - a + lg 3a + 2 = lg5，即 (2 - a)(3a + 2) = 5 a 1，解得 a =1或 = ，
3
1
所以實數 a的值是1或 .
3
1- x 1
16．（2023·陜西·模擬預測）已知函數 f x = loga , f = -1．1+ x ÷è 2
(1)求 a及函數 f x 的定義域；
(2)求函數 g x = f x - loga 3 - 3x 的零點．
【答案】(1) a = 3，定義域為 (-1,1)
2
(2) x = -
3
1
【分析】（1）利用 f ÷的值求得 a，解分式不等式求得 f x 的定義域.
è 2
（2）通過解對數方程求得正確答案.
1 1 1 -
【詳解】（1）依題意 f = log 2 ÷ a 1 = log
1
a = - loga 3 = -1,a = 3，
è 2 1+ 3
2
所以 f x log 1- x 1- x= 3 ，由 > 0得 1- x 1+ x > 0，1+ x 1+ x
解得-1 < x <1，所以 f x 的定義域為 -1,1 .
（2） g x = f x - loga é3 1- x ù = log
1- x
3 - loga é3 1- x ù ，1+ x
ì-1 < x <1
則 í -1 < x <1 g x -1,1
1- x
，所以 的定義域為 ，
> 0
令 g x = 0得 log 1- x3 = loga é3 1- x ù，1+ x
ì1- x
= 3 1- x 1 1 2
所以 í1+ x ，1 - x > 0 ，則 = 3,1+ x = , x = - .
-1 < x <1
1+ x 3 3
17．（23-24 高三上·湖北·期中）記M n 是各項均為正數的數列 an 的前 n項積，已知 a1 =1，
2anM n = M n+1 - M n .
(1)求 an 的通項公式；
(2)證明： log 2 M n
2
n + n - 2 .
n
【答案】(1) an = 2 -1
(2)證明見解析
【分析】（1）由M n 與 an 關系 2anM n = M n+1 - M n，轉化為遞推關系 2an = an+1 -1，再構造數
列求解即可；
（2）由0 < 2i -1 < 2i ，放縮后累乘可證.
【詳解】（1）因為數列 an 的各項均為正數，故M n > 0，
M
由 2anM n = M n+1 - M
n+1
n可得， 2an = -1M ，n
即 2an = an+1 -1 .
所以有 2 an +1 = an+1 +1，
故 an +1 是公比為 2，首項為 a1 +1 = 2 的等比數列，
所以 an +1 = a1 +1 2n-1 n， an = 2 -1.
2
1 n n+ -1
（2）方法 1：由（1）可知，M n = 2 -1 22 -1 × × × 2n -1 21 22 ××× 2n = 2 2 2 .2
n2 n
+ -1 2
所以 log 2 M n log 2
2 2 n n
2 = + -1÷ log 2 2 = n
2 + n - 2 .
è 2 2
方法 2：由（1）可知，
n n
log M = log 2i -1 = log 2i2 n 2 2 -1
i=1 i=2
n n
log 2i 2 i 2 (2 + n)(n -1)< 2 = = × = n2 + n - 2 .
i=2 i=2 2
當 n =1時， log 22 M n = n + n - 2，
所以 log 2 M n n
2 + n - 2 .
2
18．（2023 高三·全國·專題練習）設函數 f x = ln x + 2 - 的定義域為 D，若命題 p：
a - x
“ $x D ， f x 0 ”為假命題，則 a 的取值范圍是
【答案】 - , -2
【分析】根據特稱命題為假命題轉化為全稱命題是真命題，進而轉化為恒成立問題，利用恒
成立問題即可求解.
【詳解】命題 p：“ $x D ， f x 0 ”為假命題，則“ "x D， f x > 0 ”為真命題.
則函數 g x = ln x + 2 2的圖象要恒在 h x = 圖象的上方（兩個函數需都有意義）.
a - x
h x 2 2= 的圖象可看做 y = - 平移得到，由于 g x = ln x + 2 的圖象以 x = -2為漸近線，
a - x x
故作圖可知，只有當 a -2時，才能滿足要求.
所以 a 的取值范圍是 - , -2 .
故答案為： - , -2 .
19．（23-24 高三上·安徽淮南·階段練習）（1）已知函數 f x = x2 - 2x + 3, g x = log2x + m，
若對"x1 2,4 ,$x2 16,32 ，使得 f x1 g x2 ，求實數m 的取值范圍；
3 1
（2）若命題 p ：函數 f x = loga x - ax （ a > 0且a 1）在區間 - ,0÷內單調遞增是真
è 2
命題，求 a的取值范圍.
【答案】（1） - , -1 é3 ,1 （2）
ê4 ÷
【分析】（1）由題意只需 é f x1 ù ég x2 ùmin min ，由函數的單調性求出最小值即可.
（2）由題意首先由真數大于 0 求出 a的取值范圍，然后對底數 a進行分類討論結合復合函
數單調性即可求解.
【詳解】（1）因為"x1 2,4 ,$x2 16,32 ，使得 f x1 g x2 ，
所以只需 é f x1 ù ég x2 ùmin min ，
因為 f x = x2 - 2x + 3 = x -1 2 + 2 在 2,4 上單調遞增，
所以 f x = x -1 2 + 2在 2,4 上的最小值 é f x1 ù = f 2 = 2 -1
2
+ 2 = 3，min
因為 g x = log2x + m在 16,32 上單調遞增，
所以 g x = log2x + m在 16,32 上的最小值 é g x2 ù = g 16 = log2 16 + m = 4 + mmin ，
所以m + 4 3，解得m -1 .
所以實數m 的取值范圍為 - , -1 .
1
（2）由題意真數 x3 - ax > 0 在 - ,02 ÷
上恒成立，
è
2 1- ,0 1即 a > x 在 ÷上恒成立，所以 a ，且注意到a 1，
è 2 4
3 1
由題意函數 f x = loga x - ax （ a > 0且a 1）在區間 - ,0÷內單調遞增，
è 2
不妨設 y = g t = loga t = f x t x = x3， - ax，
接下來分以下兩種情形來求 a的取值范圍：
1
情形一：當 a <1時，函數 y = g t = loga t 關于 t 單調遞減，4
t x = x3 - ax 1 由復合函數單調性可知，只需 在區間 - ,0÷內單調遞減，
è 2
t x = 3x2 1- a 0 - ,0 a 3 1
2 3
即 在區間 ÷上恒成立，所以2 -

è ÷
= ，
è 2 4
1
又 a <1
3
，所以此時有 a <1.
4 4
情形二：當 a > 1時，函數 y = g t = loga t 關于 t 單調遞增，
3 1
由復合函數單調性可知，只需 t x = x - ax在區間 - ,0÷內單調遞增，
è 2
即 t x = 3x2 1- a 0 在區間 - ,0

÷上恒成立，所以2 a 3 0
2 = 0，
è
又a >1，所以此時 a不存在.
é3
綜上所述：符合題意的 a的取值范圍為 ê ,1 . 4 ÷
拓展沖刺練
一、單選題
1．（23-24 高三下·江西·階段練習）已知實數 a，b a滿足2 + a = 2,b = log16 3，則（ ）
A． a > b B． a < b C． a = b D．a，b 的大小無法判
斷
【答案】A
【分析】根據給定條件，構造函數 f (x) = 2x + x ，利用單調性并借助媒介數比較大小.
1 1
【詳解】函數 f (x) = 2x + x 在R 上單調遞增，且 f ( ) = 2 + < 2，則由 2a + a = 2，得
2 2
a 1> ，
2
又b = log16 3 < log 4
1
16 = ，所以 a > b .2
故選：A
2．（2024·湖南岳陽·二模）設 a = log23，b = log35， c = log58，則（ ）
A． a > b > c B．b > a > c C．b > c > a D． c > a > b
【答案】A
3 3 3
【分析】根據指數函數性質得出 a > ，b < ， c < ，然后利用作差法比較b 與 c的大小關
2 2 2
系即可.
2 3 3 3
【詳解】因為32 > 23 ，所以 log2 3 > log2 2 ，即 2log2 3 > 3，所以 log2 3 > ，即 a > ；2 2
3 3
因為52 < 33 ，所以 l og3 5
2 < l og 33 3 ，即2 l og3 5 < 3，所以 log3 5 < ，即b < ；2 2
因為82 < 53
3 3
，所以 l og5 8
2 < l og 535 ，即2 l og5 8 < 3，所以 log5 8 < ，即 c < ；2 2
1 - l og 3 × l og 8
又因為b - c
1
= l og3 5 - l og5 8 = - l og 8 =
5 5
l og5 3
5 l og5 3
，
且2 l og5 3 × l og5 8 < l og5 3 + l og5 8 = l og5 24 < l og5 25 = 2，
所以 l og5 3 × l og5 8 < 1，所以b - c > 0，所以b > c；
綜上所述， a > b > c .
故選：A.
3. （ 2024· 陜 西 西 安 · 一 模 ） 已 知 函 數 f x = ex + e- x x2 ， 若 滿 足

f log3m + f
2
log1m÷ - 2e - < 0 ，則實數m 的取值范圍為（ ）
è 3 e
0, 1 1 A． ÷ B． ,3÷ C． 0,3 D． 3, +
è 3 è 3
【答案】B
【分析】判斷函數 f x 的奇偶性和單調性，結合函數性質將已知的不等式轉化為
f log3m < f 1 ，再利用奇偶性和單調性求解即可.
【詳解】 f x 的定義域為R ， f -x = e- x + ex -x 2 = e- x + ex x2 = f x ，
f x 為偶函數，
f x = ex - e- x x2 + 2x ex + e- x ， f 0 = 0，
當 x > 0時， ex >1，0 0， f x > 0，
f x 在 0, + 上單調遞增，

f log m f log m 2e 23 + 1 ÷ - - < 0 ，
è 3 e
即 f log3m + f -log m 2e
2
3 < + = 2 f (1)，e
即 2 f log3m < 2 f 1 ，也就是 f log3m < f 1 ，
f x = ex + e- x x2 在 0, + 單調遞增且為偶函數，
f log3m < f 1 f log3m < f 1 ，
log3m <1，即-11
，解得 < m < 3 .
3
1
實數m 的取值范圍為 ,3

÷ .
è 3
故選：B.
【點睛】關鍵點睛：本題考查利用函數的奇偶性和單調性解不等式，解答本題的關鍵是得出
f x 為偶函數和在 0, + 上單調遞增，由對數的性質結合函數為偶函數將不等式化為
f log3m < f 1 ，再由單調性求解.
4．（23-24 高三下·江西·開學考試）142857 被稱為世界上最神秘的數字，
142857 1 =142857,142857 2 = 285714,142857 3 = 428571,142857 4 = 571428,
142857 5 = 714285,142857 6 = 857142，所得結果是這些數字反復出現，若
a e0.142857 ,b ln1.285714= = +1,c = 1.285714 ，則（
2 ）
A． a > b > c B． c > b > a
C．b > a > c D． a > c > b
【答案】D
【分析】設 f x = ex - x -1(x > 0)，利用導數研究函數 f (x) 的單調性可得 ex > x +1(x > 0)，
結合 x +1 > 1+ 2x (x > 0) 可得 ex > 1+ 2x (x > 0) ，則 a > c ；由 ex > x +1(x > 0)得
x > lnx +1(x >1)，進而c > b ，即可求解.
【詳解】由題意知， a = e0.142857 ,c = 1.285714 = 1+ 2 0.142857 ，
設 f x = ex - x -1(x > 0)， f (x) = ex -1，
當 x 0, + 時， f x > 0, f x 單調遞增，
x
所以 f x = e - x -1 > f 0 = 0，所以 ex > x +1(x > 0) .
因為 x2 + 2x +1 >1+ 2x(x > 0) ，所以 x +1 > 1+ 2x (x > 0) ，
得 ex > 1+ 2x (x > 0) ，所以 e0.142857 > 1+ 2 0.142857 ，即 a > c ；
由 ex > x +1(x > 0)，得 x > ln(x +1)(x > 0)，所以 x -1 > lnx(x >1)，即 x > lnx +1(x >1)，
所以 1.285714 > ln 1.285714 1
ln1.285714
+ = +1，即c > b .
2
綜上 a > c > b .
故選：D.
【點睛】方法點睛：利用導數比較大小的基本步驟：
(1)作差或變形；
(2)構造新的函數 h x ；
(3)利用導數研究 h x 的單調性或最值；
(4)根據單調性及最值，得到所證不等式．
π
常用的不等式： sin x < x < tan x 0 < x < 2 ÷
， ln(x +1) < x(x > 0) ，
è
ln x x -1 x2 - x x > 0 ， ex x x+1， e ex > x x > 0 .
5 23-24 · · f (x) = lg x2 - 2x + 2023x-1 + 20231-x．（ 高三上 山東日照 階段練習）已知函數 ，則不
等式 f 3x < f x + 3 成立的 x 的取值范圍是（ ）
1 , 3 1 ,0 U 2 , 3 A． - ÷ B． - ÷ ÷ C． -1,0 U
3 2 3
4 2 4 3 2
0, ÷ D． ,
è è è è 2 ÷ è 3 2
【答案】B
【分析】先判斷的對稱性，然后利用導數討論其單調性，結合對稱性即可求解，注意最后的
范圍要考慮定義域..
【詳解】由 x2 - 2x > 0得的定義域為 (- ，0) U (2，+ ) ，
因為 f 1- x = lg é 1- x
2 - 2 1- x ù + 2023
1-x -1 + 20231- 1-x = lg x2 -1 + 2023- x + 2023x
2 1+x -1 1- 1+x 2 x - x
， f 1+x = lg é 1+x - 2 1+x ù + 2023 + 2023 = lg x -1 + 2023 + 2023 ， 所 以
f 1- x =f 1+x ，所以 f (x) 的圖象關于 x =1對稱.
記 g x = f x +1 = lg x2 -1 + 2023x + 2023- x ，
當 x > 0 2時，由復合函數單調性易知 y = lg x -1 單調遞增，
記 h x = 2023x + 2023- x，則 h x = 2023x - 2023- x ln 2023，
記m x = 2023x - 2023- x ，則m x = 2023x + 2023- x ln 2023 > 0，
所以m x 在 0, + 上單調遞增，所以m(x) > m(0) = 0，所以 h (x) > 0，所以 h x 在 0, +
上單調遞增，所以 g x 在 0, + 上單調遞增，
綜上， f (x) 在 1, + 上單調遞增，圖象關于 x =1對稱，
由此可知，要使 f (3x) < f (x + 3)，必有 | 3x -1|<| x + 3 -1|，兩邊平方整理得8x2 -10x - 3 < 0，
1 3
解得- < x < ，
4 2
又3x (- ,0) (2, + ),x + 3 (- ,0) (2, + )
2
，得 x < -3或 x > 或-1 < x < 0，
3
1 2
所以 f (3x) < f (x + 3)的解集為 - ,0÷ ,
3
÷ .
è 4 è 3 2
故選：B.
二、多選題
6．（2024 高三·全國·專題練習）（多選）若實數 a，b 滿足 log3a＜log3b，則下列各式一定正
確的是（　　）
1
A．3a＜3b B．（ ）a－b＞1
3
C．ln （b－a）＞0 D．loga3＜logb3
【答案】AB
【詳解】解析：因為函數 y＝log3x 為（0，＋∞）上的增函數，由 log3a＜log3b，可得 b＞a＞
0.由于函數 y＝3x 為 R 上的增函數，則 3a＜3b，故 A 正確；函數 y＝（ ）x 為 R 上的減函
數，且 a－b＜0，則（ ）a－b＞（ ）0＝1，故 B 正確；由對數的性質可得 b－a＞0，但 b－
a 與 1 的大小關系不確定，故 ln （b－a）與 0 的大小關系不確定，故 C 錯誤；取 a＝3，b＝
9，則有 log33＝1＞ ＝log93，即 loga3＞logb3，故 D 錯誤．
a -1
7．（2023·遼寧撫順·模擬預測）已知實數 a，b 滿足 a > 0，a 1，b > 0，且 ln b = ，則
a
下列結論正確的是（ ）
A．當 0 < a < 1時，b < a B．當 a > 1時，b > a
C． loga b >1 D． loga b > 2
【答案】ABC
【分析】構造函數，利用導數判斷單調性，結合對數函數的性質進行求解判斷即可.
a -1 1
【詳解】因為 ln b - ln a = - ln a = a - - 2ln a ，
a a
f x x 1
2
令函數 = - - 2ln x 1 2 x -1 ，則 ，
x f x =1+ 2 - = 0x x x2
則函數 f x 在 0, + 上單調遞增，且 f 1 = 0，
可知當 x 0,1 時， f x < 0 ；當 x 1,+ 時， f x > 0；
且 f a 1= ln b - ln a = a - - 2ln a ，則有：
a
當0 < a < 1時， f a < 0，即 ln b - ln a < 0，可得 0 < b < a <1，故 A 正確；
當 a >1時， f a > 0，即 ln b - ln a > 0，可得b > a >1，故 B 正確；
又因為當 0 < b < a <1時， y =loga x在定義域內單調遞減，可得 loga b > loga a =1；
當b > a >1時， y =loga x在定義域內單調遞增，可得 loga b > loga a =1，
所以 C 正確，D 錯誤．
故選：ABC.
1
【點睛】關鍵點睛：構造函數 f x = x - - 2ln x，利用導數判斷單調性，結合單調性進行
x
求解運算是解題的關鍵.
三、填空題
b
8．（23-24 a b高三上·湖南·階段練習）已知正實數 a,b滿足：3 = 27 + log3 a ，則
a與3b大小關
系為 .
【答案】 a < 3b
【分析】由題意可得3a + log3a < 3
3b + log33b ，令 f x = 3x + log3 x(x > 0)，則有 f a < f 3b ，根
據函數的單調性即可得答案.
a b b
【詳解】解：因為3 = 27 + log a 3b 3b3 ，所以3 + log3a = 3 + log3 3b - 1 < 3 + log3 3ba ，
設 f x = 3x + log3 x(x > 0)，又因為 y = 3x 與 y = log3x在 0, + 上單調遞增，
所以 f x = 3x + log3x 在 0, + 上單調遞增，
因為 f a < f 3b ，
所以 a < 3b .
故答案為： a < 3b
n
9．（2022·全國·模擬預測）已知數列 an 的通項公式為 an = ，若 x 表示不超過 x 的最大整2
數，如[0.5] = 0，[lg 499] = 2，則數列 lg an 的前 2022 項的和為 ．
【答案】3848
【分析】由題意 lg an ì n ü= é ùíêlg ú ，由 k lg an < k +1, k Z,k -1 解不等式，對 n分類討 2
論，結合分組求和即可得解.
Q lg a ìé n ùü【詳解】 n = í
ê
lg ú ， 2
\數列 lg an 的 2022 項的和為 lg a1 + lg a2 + lg a3 + L + lg a2022 ，
當-1 lg a1 < 0時， n =1；當0 lg an <1時， n = 2,3,4,L,19；
當1 lg an < 2時， n = 20,21,22,L,199；當 2≤lgan < 3時， n = 200,201,22,L,1999；當
lg an = 3時， n = 2000,2001,2002,2003,L, 2022，
\數列 lg an 的前 2022 項的和為 lg a1 + lg a2 + lg a3 +L+ lg a2022
= -1 1+18 0 +1 180 + 2 1800 + 3 23 = 3848．
故答案為：3848.
【點睛】關鍵點點睛：關鍵是由 x 的定義由 k lg an < k +1, k Z,k -1 分類討論即可順利
得解.
四、解答題
ax +1
10．（23-24 高三上·上海浦東新·期中）已知函數 f x = log2 是奇函數.1- x
(1)求實數 a的值；
1+ x
(2)當b > 0，b R ，解關于 x 的不等式 f x > log2 .b
【答案】(1)1
(2)答案見解析
【分析】（1）根據函數奇偶性的定義列方程，解方程得到 a的值.
（2）利用函數的單調性列不等式，分類討論解不等式，得到 x 取值范圍即可.
ax +1
【詳解】（1）因為 f x = log2 是奇函數，1- x
2 2
所以 f -x +f x = log -ax +1 log ax +1 log 1- a x2 + =1+ x 2 1- x 2 1- x2 = 0，
1- a2x2
即 2 =1，解得 a = ±1，1- x
又 a = -1時 f x = log 1- x2 ，其定義域為 x x 1 ，此時 f x 為非奇非偶函數，1- x
所以 a =1 .
（2）由（1）得 f x 1+ x= log2 ，所以 f x > log
1+ x 1+ x 1+ x
，即 log > log ，
1- x 2 b 2 1- x 2 b
ì1+ x
> 0 ì
1- x -1 < x <1
1+ x
根據對數函數的定義域和單調性可得 í > 0 ，由于b > 0，所以 í1+ x > 0 ，
b
1+ x 1+ x>
1 1
>
1- x b
1- x b
ì-1 < x <1 ì-1 < x <1
所以 í1 x b ，即 íx ， - < >1- b
因此，當1- b -1，即b 2時，不等式的解為-1 < x <1，
當-1 <1- b <1，即0 < b < 2時，不等式的解為1- b < x <1，
綜上所述，當b 2時，不等式解集為 x -1< x <1 ，當0 < b < 2時，不等式解集為
x 1- b < x <1 .
11 x．（2023·上海·模擬預測）已知 f x = e ln 1+ x .記 g x = mf ax ，其中常數 m， a > 0 .
(1)證明：對任意 m， a > 0，曲線 y = g x 過定點；
(2)證明：對任意 s， t > 0， f s + t > f s + f t ；
(3)若對一切 x 1和一切使得 g 1 =1的函數 y = g x ， y lx 恒成立，求實數l 的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3) - ,1 .
【分析】（1）常數 m， a > 0，當 x = 0時， g 0 = mf 0 = 0，故曲線 y = g x 過原點.
（2） f 0 = 0，由 f s + t > f s + f t 等價于 f s + t - f s > f t - f 0 ，用作差法構
造函數 h x = f x + t - f x ，對函數 h x 進行求導，判斷函數 h x 的單調性，得
h x > h 0 = 0，從而可得證.
2u
（3）用作差法證明對數平均不等式，函數 y = ln(1+ u) - ，通過求導和基本不等式可得
2 + u
出 y 0，得出結論；
【詳解】（1） g 0 = mf 0 = 0，故曲線 y = g x 過原點.
（2）當 x = 0時， f 0 = 0，故 f s + t > f s + f t 等價于 f s + t - f s > f t - f 0 .
考慮 h x = f x + t 1- f x .則 h (x) = ex+t ln(1+ x + t) + ÷ - ex

ln(1+ x)
1
+ .
è 1+ x + t è 1+ x ÷
令 y=et - 1+ t , y = et -1,
當 t > 0時， et >1, t 0所以 y = et > 0, y=e - 1+ t 在 0, + 單調遞增， y > y = e - 0 -1 = 0t=0 ，
所以 y=et - 1+ t > 0 ，即 et >1+ t ，
et ln(1 x t) 1 (1 t) ln(1 x t) 1+ t ln(1 x) 1+ t所以 + + + ÷ + + + + > + + ，
è 1+ x + t 1+ x + t 1+ x + t
1+ t 1
而 x 0 ，且 t > 0時， > ，
1+ x + t 1+ x
故 h x > 0，函數 y = h x 在 0, + 上嚴格增.
因此當 x > 0時， h x > h 0 = 0 .特別地， f s + t - f s > f t - f 0 .證畢.
2u
（3）首先證明對數平均不等式：當 n 0 時， ln(1+ u) .
2 + u
2
考慮函數 y = ln(1+ u)
2u 1 4 u
- ，則 y = - = 0，等號成立當且僅當
2 + u 1+ u (2 + u)2 (1+ u)(2 + u)2
u = 0 .
2u
故當u 0 時， ln(1+ u) - 0 .
2 + u
因為 g 1 =1，所以由 g 1 l ×1得l 1 .
下證當l 1時， y lx 對任意 x 1和一切使得 g 1 =1的函數 y = g x 成立.
1
由題意，1 = g(1) = mea ln(1+ a)，故m = ea ln(1+ a) .
令 k = lea ln(1+ a) ，考慮函數 y = eax ln(1+ ax) - kx .
則 y aeax
ln(1 ax) 1= + + - k aeax ln(1+ ax) 1+ - ea ÷ ÷ ln(1+ a) .
è 1+ ax è 1+ ax
當 a > 0且 x 1時， ax > 0 .由對數平均不等式， ln(1+ ax)
2ax ax
.
2 + ax 1+ ax
y aeax ln(1 ax) 1 a故 + + - e ln(1+ a) ae
a - ea ln(1+ a) > 0，
è 1+ ax ÷
從而函數 y = eax ln(1+ ax) - kx 在 1, + 上嚴格增，得 y 0，即證.
綜上，所求范圍為 - ,1 .
【點睛】關鍵點睛：用作差法構造函數和對數平均不等式是解題的關鍵，通過求出構造函數
的單調性討論及最值，從而得出結論，考查分類討論思想，整體思想，屬于較難題.

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