資源簡介

考點 16 導數的概念及其意義、導數的運算（3 種核心題型+
基礎保分練+綜合提升練+拓展沖刺練）
【考試提醒】
1.了解導數的概念、掌握基本初等函數的導數.2.通過函數圖象，理解導數的幾何意義.3.能夠
用導數公式和導數的運算法則求簡單函數的導數，能求簡單的復合函數(形如 f(ax＋b))的導
數
【知識點】
1．導數的概念
(1)函數 y＝f(x)在 x＝x0處的導數記作 f′(x0)或 y′| x＝x .0
Δy f x0＋Δx －f x0
f′(x0)＝ lim
→ ＝ lim → .
Δx 0 Δx Δx 0 Δx
(2)函數 y＝f(x)的導函數(簡稱導數)
f x＋Δx －f x f′(x)＝y′＝ lim→ .
Δx 0 Δx
2．導數的幾何意義
函數 y＝f(x)在 x＝x0 處的導數的幾何意義就是曲線 y＝f(x)在點 P(x0，f(x0))處的切線的斜率，
相應的切線方程為 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
3．基本初等函數的導數公式
基本初等函數 導函數
f(x)＝c(c 為常數) f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈R，且 α≠0) f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a>0，且 a≠1) f′(x)＝axln a
f(x)＝ex f′(x)＝ex
1
f(x)＝logax(a>0，且 a≠1) f′(x)＝
xln a
1
f(x)＝ln x f′(x)＝
x
4.導數的運算法則
若 f′(x)，g′(x)存在，則有
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
f x f′ x g x －f x g′ x[g x ]

′＝ (g(x)≠0)；
[g x ]2
[cf(x)]′＝cf′(x)．
5．復合函數的定義及其導數
復合函數 y＝f(g(x))的導數與函數 y＝f(u)，u＝g(x)的導數間的關系為 yx′＝yu′·ux′，即 y
對 x 的導數等于 y 對 u 的導數與 u 對 x 的導數的乘積．
常用結論
1．區分在點處的切線與過點處的切線
(1)在點處的切線，該點一定是切點，切線有且僅有一條．
(2)過點處的切線，該點不一定是切點，切線至少有一條．
1 －f′ x
2.[ ]′＝ (f(x)≠0)f x [f x ]2
【核心題型】
題型一　導數的運算
(1)求函數的導數要準確地把函數拆分成基本初等函數的和、差、積、商，再利用運算法則
求導．
(2)抽象函數求導，恰當賦值是關鍵，然后活用方程思想求解．
(3)復合函數求導，應由外到內逐層求導，必要時要進行換元
2 + Dx 3 - 23
【例題 1】（2024·重慶·模擬預測） lim =（ ）
Dx 0 Dx
A．72 B．12 C．8 D．4
【答案】B
3
【分析】令 f x = x ，根據導數的概念，可求解.
【詳解】令 f x = x3 ，根據導數的概念，
2 + Dx 3 -8 2 + Dx 3 - 23 f 2 + Dx - f 2
lim lim lim = = = f 2 ，
Dx 0 Dx Dx 0 Dx Dx 0 Dx
f x = 3x2，所以 f 2 =12 .
故選：B．
【變式 1】（2024·廣西·二模）記函數 y = f x 的導函數為 y ， y 的導函數為 y ，則曲線
y
y = f x K =的曲率 3 ．若函數為 y = lnx2 ，則其曲率的最大值為（ ）é1+ y ù 2
A 2 B 2 2 3 2 3． ． C． D．
3 2 9 3
【答案】C
【分析】根據定義求解 y 和 y ，由曲率的定義求出曲率K ，利用導數判斷單調性求出最大
值.
【詳解】函數 y = ln x 0, + y 1 1的定義域為 ， = ， y = -
x x2
，
1
x2 x
所以曲線 y = ln x K = =的曲率 3 3 ，
é1 1+ ù
2 x2 +1
ê x2 ú
3 1
1+ x2 2 3- x × × 1+ x2 2 ×2x 2
\K 1- 2x= 2 3 = 5 ， x > 0， 1+ x2 1+ x2 2
2 2
當0 < x < 時，K > 0，當 x > 時，K < 0，
2 2

0, 2
2
K 在 ÷÷ 上單調遞增，在 ,+ ÷÷ 上單調遞減，
è 2 è 2
2 2 3
所以當 x = 時，曲率K 取得最大值 .
2 9
故選：C.
【變式 2】（多選）（2024·全國·模擬預測）記函數 fn x 的導函數為 fn+1 x ，已知
f x = x2ex 2 x1 ，若數列 an ， bn 滿足 fn x = x + an x + bn e ，則（ ）
A． an 為等差數列 B． bn 為等比數列
50
1 48C． =b 49 D．8bn 2
an
n=3 n
【答案】ACD
【分析】利用給定定義結合等差數列定義判斷 A，排除法判斷 B，利用累加法求出bn ，再用
裂項相消法判斷 C，利用數列的性質判斷單調性判斷 D 即可.
【詳解】若 f1 x = x2ex f x = (x2 x，則 2 e ) = (x2 + 2x)ex ，
f 2 x 2 xn x = x + an x + bn e ， fn+1 x = x + an+1x + bn+1 e ，
故 an+1 - an = 2 ，易知 a1 = 0,b1 = 0,a2 = 2,b2 = 0，經檢驗 a2 - a1 = 2 ，
故 an 是以 0 為首項， 2為公差的等差數列，故 A 正確，
而 b1 = 0，又因為等比數列中不能有 0 ，則 bn 不可能為等比數列，故 B 錯誤，
易得 an = 2 n -1 = 2n - 2，bn+1 = an + bn ，故bn+1 - bn = 2n - 2，
b (n -1)(2n - 2)則 n - b1 = 0 + + 2n - 4 = ，則bn = (n -1)(n - 2)，2
50
1 1 1 1 1 1 1 48故 = + + = - + + - =
n=3 bn 1 2 48 49 2 48 49 49
，故 C 正確，
a n-1
令T nn = 2 -8bn = 4 -8(n -1)(n - 2)，且T1 > 0,T2 > 0,T3 = 0，
當n 4時，令Cn = Tn+1 -Tn = 3 4
n-1 -16(n -1) n-1，Cn+1 - Cn = 9 4 -16 > 9 4
3 -16 > 0 ，
故Cn > 9 4
3 -16 > 0，故Tn+1 -Tn > 0，即 Tn 此時為單調遞增數列，
故Tn > T4 > 0
a
，即Tn 0 恒成立，故8b 2 nn 成立，故 D 正確.
故選：ACD
【點睛】關鍵點點睛：本題解題關鍵是構造新數列，利用數列的性質判斷單調性，然后求出
端點值，得到所要證明的不等關系即可
【變式 3】（2023·全國· 2模擬預測）已知函數 f x = x × f 0 + x × f 1 - 2，則 f 2 =（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】B
ì f 1 = f 0 + f 1 - 2
【分析】求導，根據 í 即可求解 f x = 2x2 + 2x - 2，代入即可求值.
f 0 = f 1
ì f 1 = f 0 + f 1 - 2
【詳解】由題意知 f x = 2x × f 0 + f 1 ,所以 í
f 0
，解得
= f 1
f 0 = f 1 = 2，則 f x = 2x2 + 2x - 2，故 f 2 =10．
故選：B
題型二　導數的幾何意義
(1)處理與切線有關的問題，關鍵是根據曲線、切線、切點的三個關系列出參數的方程：①
切點處的導數是切線的斜率；②切點在切線上；③切點在曲線上．
(2)注意區分“在點 P 處的切線”與“過點 P 的切線”．
命題點 1　求切線方程
【例題 2】（多選）（2024· 3河南鄭州·模擬預測）過點 P a,b 作直線 l 與函數 f x = -2x 的圖
象相切，則（ ）
A．若 P 與原點重合，則 l 方程為 y = 0
B．若 l 與直線 x - 6y = 0垂直，則6a + b = 4
C．若點 P 在 f x 的圖象上，則符合條件的 l 只有 1 條
a3D 1．若符合條件的 l 有 3 條，則 < -
b 2
【答案】AD
【分析】設切點坐標，求出切線斜率滿足的等量關系，依據在點處的切線方程的求法求出切
線方程判斷選項 A；根據斜率求出切點的橫坐標，分別討論點P a,b 是否在函數 f x 的圖
象上，可判斷選項 B；通過切線斜率求解切點個數可判斷直線條數，從而判斷選項 C；符合
條件的 l 有 3 條時，點P a,b 不在圖象上，通過斜率求切點與點P a,b 坐標的關系可判斷
選項 D.
3
【詳解】設 l 與 f x = -2x 的圖象切于點Q t, -2t3 ，當點 P 與點Q不重合時，切線斜率
k f t 6t 2 -2t
3 - b
= = - = ，整理得： 4t3 - 6at 2 - b = 0，當點 P 與點Q重合時，切線斜率
t - a
k = f a = -6a2 = -6t 2 ，
3
對于 A，若 P 與原點重合，點 P 在函數 f x = -2x 圖象上，則 a = b = 0，此時 t = 0， k = 0，
l 即 x 軸，方程為 y = 0 ，A 正確；
對于 B，若 l 與直線 x - 6y = 0垂直，則 k = -6t 2 = -6， t = ±1，
當點P a,b 為切點時，6a + b = 4 或6a + b = -4，
-2t3 - b
當點P a,b 不為切點時，滿足-6t 2 = ，整理得 4t3 - 6at 2 - b = 0，
t - a
當 t =1時 4 - 6a - b = 0，6a + b = 4 ，當 t = -1時-4 - 6a - b = 0，6a + b = -4，B 錯誤；
對于 C，當點 P 在 f x 的圖象上時，b = -2a3， 4t3 - 6at 2 - b = 0，則 4t3 - 6at 2 + 2a3 = 0，
2 a
即 t - a 2t + a = 0，所以 t = a 或 t = - ，故 a 0有兩解，符合條件的直線有兩條， C 錯
2
誤；
對于 D，若符合條件的 l 有 3 條，則點 P a,b 不在 f x 圖象上，設 l 與 f x = -2x3的圖象
切于點Q t,-2t3 ，則有 4t3 - 6at 2 - b = 0，
3
設 g t = 4t - 6at 2 - b = 0， g t =12t 2 -12at = 0，
由 g t = 0得 t = 0或 t = a，符合條件的 l 有 3 條， g t 有 3 個零點，
3 3
則 g 0 g a = -b -2a3 - b < 0 3 2a a 1，所以b 2a + b < 0 ， +1< 0， < - ，D 正確.
b b 2
故選：AD
【變式 1】（2024·貴州·模擬預測）過點P(1,-3)作曲線 y = 2x3 - 3x 的切線，請寫出切線的方
程 .
【答案】3x + y = 0或 21x - 2y - 27 = 0
【分析】設切點 (a, 2a3 - 3a)，求導并寫出切線方程，代入點 (1, -3)求出 a值即可.
【詳解】設切點為 (a, 2a3 - 3a)，而 f (x) = 6x2 - 3，
所以切線的斜率 k = f (a) = 6a2 - 3，故切線方程為 y - (2a3 - 3a) = (6a2 - 3)(x - a)，
因為切線過點 (1, -3)，\-3- (2a3 - 3a) = (6a2 - 3)(1- a)，
3
化簡可得 a = 0或 a = ，則切點為 0,0 3或 ,
9
2 2 4 ÷
，
è
則代入得切線方程為：3x + y = 0或 21x - 2y - 27 = 0 ，
故答案為：3x + y = 0或 21x - 2y - 27 = 0
【變式 2】（2024·山西呂梁·二模）若曲線 f x = lnx 在點P x0, y 0 處的切線過原點O 0,0 ，
則 x0 = .
【答案】 e
【分析】求導，根據點斜式求解直線方程，即可代入O 0,0 求解.
1
【詳解】因為 f x = lnx ，所以 f x = ，
x
1
所以 f x 在點P x0, y 0 處的切線方程為 y - lnx0 = x - x x 0 .0
又切線過原點O 0,0 ，則-lnx0 = -1，所以 x0 = e .
故答案為： e
2x
【變式 3】（2024·四川成都·二模）已知函數 f x ae -1= 的圖象在 1, f 1 處的切線經過點
x
2,2e2 ．
(1)求 a的值及函數 f x 的單調區間；
(2) 3若關于 x 的不等式l x - x - lnxe2lx + lnx < 0在區間 1, + 上恒成立，求正實數l 的取值
范圍．
【答案】(1)1
é1
(2) ê ,+

e ÷
【分析】（1）求導，求出切線方程，然后代點 2,2e2 求出 a的值，進而利用導數求函數單
調性即可；
x2 -1 e2lx -1
（2）將不等式變形為 ，然后令 t = ln x, t > 0 ，可得 f t f lx ，利用 f x
ln x lx
的單調性得到 t lx ，進而構造函數求導求最值即可.
2x
【詳解】（1）函數 f x ae -1= 的定義域為 - ,0 0, + ，
x
2axe2x - ae2x -1 2 2
則 f x = ，則 f 1 = ae +1，又 f 1 = ae -1，
x2
所以 f x 在點 1, f 1 y - ae2處的切線 -1 = ae2 +1 x -1 ，
2,2e2 2e2 2代入點 得 - ae -1 = ae2 +1 2 -1 ，解得 a =1；
2xe2x - e2x -1 2x -1 e
2x +1
則 f x = = ，設j x = 2x -1 e2x +1, x 0
x2 x2
則j x = 4xe2x ，令j x > 0，得 x > 0，令j x < 0，得 x < 0 ，
所以j x > j 0 = 0，即 f x > 0在 - ,0 0, + 上恒成立，
所以函數 f x 的單調增區間為 - ,0 , 0, + ，無單調減區間；
e2x
（2）由（1）得 f x -1=
x
2 2lx
l x3 - x - lnxe2lx + lnx < 0在區間 1, + x -1 e -1上恒成立，即 ，
ln x lx
2t 2lx
令 t = ln x, t > 0 e -1 e -1，則 ，即 f t f lx ，
t lx
ln x
只需要 t lx ，也就是l 在 1, + 上恒成立，
x
h x ln x , x 1 h x 1- ln x令 = > ，則 = ，
x x2
令 h x > 0得0 < x < e，令 h x < 0得 x>e，
故 h x 1 1= h e = l max ，所以 ，e e
é1
即正實數l 的取值范圍是 ê ,+ e ÷ .
x2 -1 e2lx -1
【點睛】關鍵點點睛：本題第二問關鍵是將不等式變形為 ，令 t = ln x, t > 0 ，
ln x lx
然后轉化為 f t f lx ，利用函數函數 f x 的單調性來解答，充分利用了函數單調性來
解決問題.
命題點 2　求參數的值(范圍)
a
【例題 3】（2024· 2內蒙古呼倫貝爾·二模）已知曲線 y = x + 3x + 在 x =1處的切線與直線
x
x - 2y +1 = 0垂直，則a = （ ）
9 11
A．3 B． C．7 D．
2 2
【答案】C
【分析】利用導數求出切線斜率，再結合垂直關系列式計算即得.
【詳解】由 y = x2 + 3x
a a
+ ，求導得 y = 2x + 3- 2 ，當 x =1時， y = 5 - a ，x x
由曲線 y = x2 3x
a
+ + 在 x =1處的切線與直線 x - 2y +1 = 0垂直，得5 - a = -2 ，
x
所以 a = 7 .
故選：C
【變式 1】（2024·全國·模擬預測）若直線 y = 2x - b與曲線 f (x) = e2x - 2ax(a > -1)相切，則b
的最小值為（ ）
A．-e B．－2 C．－1 D．0
【答案】C
1
【詳解】根據直線與函數相切，可得 x0 = ln a +1 以及-b = a +1 é1- ln a +1 ù2 ，即可換元
t = a +1 t > 0 , 構造函數 g t = t 1- lnt t > 0 ，利用導數求解函數的最值求解.
【分析】設切點坐標為 x0 , y0 ．由已知，得 f x = 2e2x - 2a，則 f x = 2e2x00 - 2a = 2 ，
x 1解得 0 = ln a +1 ．2
又切點在切線 y = 2x - b與曲線 f x = e2x - 2ax 上，
所以 ln(a +1) - b = a +1- aln a +1 ，所以-b = a +1 é 1- ln a +1 ù ．
令 t = a +1 t > 0 , g t = t 1- lnt t 0 1> ，則 g t =1- lnt + t - ÷ = -lnt ．
è t
令 g t = -lnt = 0，解得 t =1．當 t 0,1 時， g t >0，則 g t 在 0,1 上單調遞增；
當 t 1,+ 時， g t < 0，則 g t 在 1, + 上單調遞減．
所以 g t g 1 =1，即-b 1，所以b -1，則b 的最小值為－1．
故選：C
【變式 2】（2024·全國·模擬預測）曲線 y = ex 在 A x1, y1 處的切線與曲線 y = ln x + m相切于點
1 1B x2 , y2 ，若 x1 < x2且 + =1x - x y - y ，則實數m 的值為 .2 1 2 1
2
【答案】
e
【分析】利用導數求出 y = ex 在 A x1, y x1 處的切線方程為 y = e 1 x - x1 + y1 ，函數 y = ln x + m
1
在點B x2 , y2 處的切線方程為 y - y2 = x - x x2 ，，根據兩切線重合求解 x1 +1 e 1 = 0x ，求2
出 x1，x2 ，進而求出m .
【詳解】函數 y = ex 在 A x1, y1 處的切線斜率為 y = ex1 則切線方程為
y = ex1 x - x1 + y = ex11 x - x1ex1 + y1，
1 1
函數 y = ln x + m在B x2 , y2 處的切線斜率為 y = ，則切線方程為 y - y2 = x - x2 x x ，即2 2
y 1= x -1+ y
x 2 ，2
x 11
由題意有 e = x ①且-x1e
x1 + y1 = y2 -1②
- x x
，故 x 1 12 = e ， y2 - y1 = -x1e +1，
2
1 1 1 x1
+ = + 1 e +1從而 = =1 x +1 ex1 = 0x2 - x y y e
- x 1
1 2 - 1 - x
，整理得 ，
1- x ex11 1 1- x1e
x1 1
1
所以 x1 = -1，即 x2 = e, y1 = .e
代入式②，得 ln e + m
1 1 2 2
-1 = + = ，即m = .
e e e e
2
故答案為：
e
【變式 3】（2024·全國·模擬預測）已知函數 f (x) = (x -1)2 ex - ax，且曲線 y = f (x) 在點
(0, f (x))處的切線方程為 y = -2x + b．
(1)求實數 a，b 的值；
(2)證明：函數 f (x) 有兩個零點．
【答案】(1) a =1,b =1
(2)證明見解析
【分析】（1）根據導數的幾何意義計算即可求解；
2 2
x
（ ）利用轉化的思想將原問題轉化為函數 g(x) = (x -1) - x 有兩個零點，利用導數研究函e
數 g(x)的單調性，結合零點的存在性定理即可證明.
2 x
【詳解】（1）由題意可得 f (x) = x -1 e - a，由切線方程可知其斜率為-2，
ì f 0 = -2 ìa =1
所以 í f 0 b ，解得 =
í
b =1
；
（2）由 f (x)
x
= 0 可得 (x -1)2 ex - x = 0 (x -1)2，所以 - = 0．
ex
函數 f (x) 2
x
有兩個零點即函數 g(x) = (x -1) - x 有兩個零點．e
g (x) = (x 1-1) 2 + ÷ ，
è ex
當 x <1時， g (x) < 0， g(x)單調遞減；當 x >1時， g (x) > 0， g(x)單調遞增．
又 g(0)
1 2
= 1 > 0， g(1) = - < 0 ， g(2) =1- 2 > 0，e e
所以 g(0)g(1) < 0， g(1)g(2) < 0．
由零點存在定理可得$x1 (0,1)使得 g x1 = 0，$x2 (1, 2)使得 g x2 = 0，
所以函數 f (x) 有兩個零點
題型三　兩曲線的公切線
公切線問題，應根據兩個函數在切點處的斜率相等，且切點既在切線上又在曲線上，列出有
關切點橫坐標的方程組，通過解方程組求解．或者分別求出兩函數的切線，利用兩切線重合
列方程組求解．
【例題 4】（2023·山西· 3 2模擬預測）已知函數 f x = a - 3 x + a - 2 x + a -1 x + a若對任意
x0 R ，曲線 y = f x 在點 x0 , f x0 和 -x0 , f -x0 處的切線互相平行或重合，則實數a =
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】求得 f x = 3 a - 3 x2 + 2 a - 2 x + a -1，根據題意轉化為 y = f x 為偶函數，即
可求解.
【詳解】由函數 f x = a - 3 x3 + a - 2 x2 + a -1 x + a，
2
可得 f x = 3 a - 3 x + 2 a - 2 x + a -1，
因為曲線 y = f x 在點 x0 , f x0 和 -x0 , f -x0 處的切線互相平行或重合，
可得 y = f x 為偶函數，所以a - 2 = 0，解得 a = 2 .
故選：C.
【變式1】（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x = x + a 2 + lnx 的圖象上存在不同的兩點 A, B，
使得曲線 y = f x 在點 A, B處的切線都與直線 x + 2y = 0 垂直，則實數 a的取值范圍是（ ）
A． - ,1- 2 B． 1- 2,0 C． - ,1+ 2 D． 0,1+ 2
【答案】A
【分析】根據題意知 f (x) = 2有兩個不相等的正實數根，結合一元二次方程根的分布即可
求得參數的范圍.
【詳解】由題意知 f (x) = 2x
1
+ 2a + ，因為切線與直線 x + 2y = 0 垂直，
x
所以曲線 y = f x 在點 A, B處的切線斜率都是 2，
即關于 x 的方程 f x = 2x 2a 1+ + = 2有兩個不相等的正實數根，
x
x2化簡得， - 1- a x 1+ = 0有兩個不相等的正實數根，
2
ì 1- a > 0

則 í ，解得Δ = 1- a 2 1- 4 > 0 a <1- 2 . 2
故選：A.
1
【變式 2】（2024·北京朝陽·一模）已知函數 f x = sin 2x .若曲線 y = f x 在點 A x1, f x 2 1
處的切線與其在點B x2 , f x2 處的切線相互垂直，則 x1 - x2 的一個取值為 .
π
【答案】 (答案不唯一)
2
【分析】利用導數的幾何意義，結合條件可知， cos 2x1 ×cos 2x2 = -1，再根據函數的取值，
即可求解.
【詳解】 f x = cos 2x，由題意可知， f x1 f x2 = -1，
ìcos 2x =1
cos 2x ×cos 2x = -1 1 x = k π x π即 1 2 ，所以 í ，得 1 1 ， 2 = + k2π ， k1, k2 Z
cos 2x 1
，
2 = - 2
ìcos 2x1 = -1 π
或 í x = + k π x = k π k ,k Z
cos 2x2 =1
，得 1 3 ，2 2 4
， 3 4 ，
所以 x1 - x
π π
2 = - + k1 - k2 π ， x1 - x2 = + k3 - k4 π ， k1, k2 ,k3 ,k4 Z ,2 2
所以 x1 - x
π
2 的一個取值為 .2
π
故答案為： (答案不唯一)
2
【變式 3】（2023·江蘇南通· 2 2 x-1模擬預測）已知函數 f x = x - ax + a ，g x = 2e - ax
(1)若 a =1，證明：曲線 y = f x 與曲線 y = g x 有且僅有一條公切線；
(2)當 x 1時， f x - g x 2ax，求 a 的取值范圍．
【答案】(1)證明見解析
(2) -1+ ln2 a 1+ 2
【分析】（1）先設切點再分別求出切線，斜率和截距對應相等求解,再由單調性證明唯一性
即可;
（2）把不等式化簡構造函數，根據導函數求解最值即可求出參數范圍.
2
【詳解】（1）當 a =1時， f x = x - x +1，g x = 2ex-1 - x，
f x = 2x -1，g x = 2ex-1所以 -1
2
所以曲線 y = f x 在點（x1，x1 - x1 +1）處的切線方程為
y - x21 - x1 +1 = 2x1 -1 x - x 21 ，即 y = 2x1 -1 x - x1 +1，
曲線 y = g x 在點（x2， 2ex2 -1 - x2）處的切線方程為
y - 2ex2 -1 - x2 = 2ex2 -1 -1 x - x2 ，
y = 2ex2 -1即 -1 x - 2ex2 -1 x2 -1
ì 2x -1 = 2ex2 -1 -1 ìx = ex2 -11 1
令 í-x2 +1 = -2ex2 -1 x -1 得 í-x2 1 2 1 +1 = -2e
x2 -1 x2 -1
2
消去x2，整理得 x1 - 2x1lnx1 -1 = 0
所以 x1 - 2lnx
1
1 - = 0．x 1
2
設 h x = x - 2lnx 1- （x > 0），則
x h
x -1x =
x2
0
所以 h(x)在（0，+∞）上單調遞增，
又 h 1 = 0，
所以 h(x)在（0，+∞）上有唯一的零點 x =1，
所以方程 x - 2lnx
1
- = 0有唯一的解 x =1
x
所以曲線 y = f x 與曲線 y = g x 有且僅有一條公切線 y = x ．
（2）因為對"x 1，f x - g x 2ax恒成立，
所以 2ex-1 x - a 2 在 x 1,+ )上恒成立，
x - a 2
所以 在 x 1,+ )上恒成立，
ex-1
2
x - a 2
令G x =
ex-1
x 1 ，
x - a 2 - 2 x - a x - a éx - a + 2 ùG x = - x-1 = - ，e ex-1

則當 x < a時G x < 0，G(x)單調遞減，
當a < x < a + 2 時，G x > 0，G(x)單調遞增，
當 x > a + 2 時，G x < 0單調遞減，
所以在 x = a處 G(x)有極小值，在 x = a + 2處 G(x)有極大值．
①當 a + 2 1，即 a -1時，由G x = G 1 = 1- a 2 2，max 解得1- 2 a 1+ 2 ，舍
去．
②當 a + 2 >1，即 a > -1時，則G x = max G a + 2max ,G 1 ，
ìa > -1
ìa > -1
4
所以，由 íG a + 2 = a+1 2 ，解得 ía -1+ ln2
e

G 1 = 1 a
2 2 1- 2 a 1+ 2-
2 2
因為8 > e2 ，所以 2 > e3 ，所以 ln2 > ，3
2 1
所以-1+ ln2 > -1+ = - >1- 2 > -1，
3 3
所以-1+ ln2 a 1+ 2
綜上，a 的取值范圍為-1+ ln2 a 1+ 2
【課后強化】
基礎保分練
一、單選題
cos x
1．（2024 高三·全國·專題練習）已知函數 f x = x + 2x ，則曲線 y = f x 在 x = 0處的切e
線方程為（ ）
A． 2x - 2y +1 = 0 B． x + y -1 = 0
C． x - y +1 = 0 D．2x - y +1 = 0
【答案】C
【分析】代入法求得 f 0 ，以及利用導數的四則運算法則求得 f x 進一步求得 f 0 即可
得解.
-sin x - cos x
【詳解】由題意知 f x = x + 2 ， f 0 =1，e
∴曲線 y = f x 在 x = 0處的切線的斜率為 f 0 -sin 0 - cos 0= + 2 =1，
e0
∴曲線 y = f x 在 x = 0處的切線方程為 y -1 = x，且 x - y +1 = 0 .
故選：C．
2．（2024·廣東·二模）函數 f x 的定義域為R, f 2 = 3，若"x R, f x > 1，則 f x > x +1
的解集為（ ）
A． -2,2 B． 2, + C． - , 2 D． - , +
【答案】B
【分析】構造函數 f x = 2x -1，解不等式即可得出答案.
【詳解】構造函數 f x = 2x -1，滿足 f 2 = 3， f x = 2 >1，
則由 f x > x +1可得 2x -1 > x +1，解得： x > 2 .
故選：B.
1
3．（2024·全國·模擬預測）若曲線 f x = + loga x（ a > 0且a 1）有兩條過坐標原點的切x
線，則 a的取值范圍為（ ）

0, e
e
A． ÷÷ B． ,1÷÷ C． 1, e D． e,+
è e

è e
【答案】C
1 2
【分析】先設出切點，列出切線方程，再根據 =lna x 1- lnx ，構造函數0 0
g x 2=
x 1- lnx ，根據導數求得 g(x)的單調性，即可得到關于參數 a的不等式，解不等式
即可.
【詳解】由 f x 1 1 1= + loga x，得 f x = - 2 + ．x x xlna
1 1 1設切點為P x0 , + logx a
x0 ÷ ，則 f x0 = - 2 +x x lna ，è 0 0 0
1 1 1
所以曲線 f x 在點 P 處的切線方程為 y - + loga x0 ÷ = - 2 + ÷ x - x0 ，
è x0 è x0 x0lna
1 1 1
將點 0,0 的坐標代入切線方程，得- + loga x0 ÷ = - 2 + ÷ -x0 ，
è x0 è x0 x0lna
1 log x 2 1 2所以 - =lna a 0 x ，即
1- lnx =
0 lna
0 x ．0
1 2
顯然 x0 e，所以 =lna x0 1- lnx ．0
g x 2設 = 2lnxx 1- lnx （ x > 0且 x e），則 g
x =
x2 (1- lnx)2 ．
當 x 0,1 時， g x < 0；當 x 1,e e,+ 時， g x > 0．
所以 g x 在 0,1 上單調遞減，在 1,e 和 e, + 上分別單調遞增．
又當 x 0,e 時， g x > 0，當 x e, + 時， g x < 0 ，且 g x 的極小值為 g 1 = 2 ，所
以 g x 的大致圖象如圖．
1 1
由題意可知，函數 g x 的圖象與直線 y = 有兩個不同的交點，結合圖象可知 > 2，所
lna lna
0 1以 < lna < ，所以
2 1< a < e
．
故選：C．
【點睛】關鍵點點睛：本題考查函數切線的含參問題，其中根據切線方程化簡得到等式
1 2
= ，從而構造函數 g x
2
=
lna x 1- lnx x 1- lnx 是關鍵，再對 g(x)求導，利用導數求單調0 0
1
性，從而得到 g(x)的大致圖象，結合圖象可知 > 2求解.
lna
6
4．（2024· 6 2 6四川·模擬預測）已知 (1+ x) = a0 + a1x + a2x +L+ a6x ，則 iai =（ ）
i=1
A．48 B．192 C．128 D．72
【答案】B
【分析】令 f x = (1+ x)6 ，求導，然后令 x =1求解.
6
【詳解】解：令 f x = (1+ x) ，
則 f x = 6(1+ x)5 = a + 2a 2 51 2x + 3a3x +L+ 6a6x ，
6
令 x =1，得 iai = 192．
i=1
故選：B．
5．（2024·湖南婁底·一模）若直線 ex - 4y + eln4 = 0 是指數函數 y = a x (a > 0且 a 1)圖象的一
條切線，則底數a = （ ）
A 2 1． 或 2 B．
e C． e D． e或 e
【答案】D
【分析】設切點坐標為 x0 , f x0 ，根據導數的幾何意義，列式運算求得 a的值.
【詳解】設切點坐標為 x0 , f x ，對函數 y = a x0 ，求導得 y = a xlna，
切線方程 ex - 4y + eln4 = 0
e
化成斜截式為 y = x
eln4
+ ，
4 4
ì e = a x0 lna > 0 4
由題設知 í lna > 0 a > 1
a x ex
，顯然 ，即 ，
0 + eln40 =
4
a x e e ex + eln4 1由 0 = ，得 = 0 ，即 = x + ln4，
4lna 4lna 4 lna 0
即1 = x0 × lna + lnaln4 = lna
x0 + ln4lna = ln a x0 ×4lna ，
x e
即 e = a 0 × 4lna = × 4lna ，化簡得
4lna 4
lna = 4lna ，
令 lna = t > 0 1，即 4t = 4t ，利用指數函數與一次函數的性質，可知 t =1或 2 ，
即 lna =1 1或 ，解得 a = e2 或 e .
故選：D.
二、多選題
6．（2023·黑龍江齊齊哈爾·三模）若一條直線與兩條或兩條以上的曲線均相切，則稱該直線
為這些曲線的公切線，已知直線 l： y = kx + b為曲線C1： y = aex (a > 0)和C2 ：
y = ln x (a > 0)的公切線，則下列結論正確的是（ ）
a
A．曲線C1的圖象在 x 軸的上方
B．當 a =1時， ln k + b = -1
1
C．若b = 0，則 a =
e
D．當 a =1時，C1和C
1
2 必存在斜率為 的公切線k
【答案】ABD
【分析】由函數解析式可直接判斷 A，利用導數研究曲線C2 的切線方程，可用含 k 的式子表
ax ln x
示出切點的坐標，再將其代入直線 l，即可判斷 B，設 f x = e ， g x = ，利用
a
f x1 = g x2 = k
1 1
，并結合斜率的計算公式，可得 a = 判斷 C，若C1和C2 存在斜率為 的e k
公切線，則存在m 和 n f m 1 1使得 = ， g n = ，再結合選項 B 中所得，求出m 和 n的值
k k
判斷 D．
【詳解】選項 A，由 a > 0， ex > 0得 ae x > 0，可知曲線C1的圖象在 x 軸的上方，故 A 正確；
選項 B，當 a =1時，C1： y = ex ，C2 ： y = ln x ，
C 1對于 2 ： y = ln x ，有 y = (x > 0)，x
因為直線 l： y = kx + b為曲線C2 的切線，
1 1 1
所以 = k ，即 x = ，此時 y = ln = - ln k ，
x k k
1
所以切點坐標為 ,- ln k ÷，將其代入切線方程 y = kx + b中，
è k
有- ln k =1+ b ，整理得 keb+1 =1，可得 ln k + b = -1，即 B 正確；
選項 C，當b = 0時，公切線 l為 y = kx ，
x 1
設 f (x) = aex ， g(x) = ln ，則 f (x) = aex ， g (x) = (x > 0)，
a x
aex ln x1 2f x = aex = k = 1 x = x =1 a 1所以 11 ，x g x = = k = a ，解得 1 2 ， = ，故 C 錯誤；1 2 x x e2 2
選項 D，當 a =1時， f (x) = ex ， g(x) = ln x，則 f (x) = ex ， g (x)
1
= (x > 0)，
x
C C 1 m n f (m) em 1 1 1若 1和 2 存在斜率為 的公切線，則存在 和 使得 = = ， g (n) = = (n > 0) ，k k n k
b+1 1
由選項 B 可知， keb+1 =1，即 e = ，k
所以 eb+1 m eb+1
1 1
= e ， = ，即m = b +1， n =n eb+1
，符合題意，
1
故當 a =1時，C1和C2 必存在斜率為 的公切線，即 D 正確．k
故選：ABD．
7．（2023·全國·模擬預測）若過點P 1,l 最多可作 n n N* 條直線與函數 f x = x -1 ex的
圖象相切，則（ ）
A．當 l = 0 時，切線方程為 y = e x -1
l 4n 1 - , - B．當 = 時， ÷ U 0
è e
C．當 n = 2時，λ 的值不唯一
D．l + n的值一定小于 3
【答案】ABD
【分析】設切點，求導得切線方程，進而將問題轉化為直線 y = l 與函數
g x = -ex x2 - 2x +1 的圖象的交點情況，結合選項即可逐一求解.
x
【詳解】不妨設切點為 x , x -1 e 00 0 ，
因為 f x = xex x，則過點P 1,l 的切線方程為 y - l = x e 00 x -1 ，
x x
即 x0 -1 e 0 - l = x0e 0 x -1 l = -ex 20 ，整理得 0 x0 - 2x0 +1 ．
令 g x = -ex x2 - 2x +1 g x = -ex x2，則 -1 ．
當 x < -1或 x >1時， g x < 0， g x 單調遞減，
當-1 < x <1時， g x > 0， g x 單調遞增，
g 1 4- = - ， g 0 = -1， g 1 = 0，
e
當 x - 時， g x 0，
當 x + 時， g x - ．
綜上， g x 的大致圖象如圖．
當 l = 0 時，切點為P 1,0 ，切線方程為 y = e x -1 ，故 A 正確．此時l + n = 0 +1 < 3成
立．
4
當 n =1時，直線 y = l 與函數 g x 的圖象只有一個交點，由圖象可知：l - , - e ÷ U 0 ，è
故 B 正確．此時滿足l + n < 3．
當 n = 2時，當l = g -1 4= - ，此時直線 y = l 與函數 g x 的圖象有兩個交點，故 C 錯
e
誤．此時l + n < 3成立．
l 4當 n = 3時， - ,0

e ÷，所以
l + n < 3．
è
綜上，l + n < 3，故 D 正確．
故選：ABD
三、填空題
1
8．（2024·四川·模擬預測）已知m > 0, n > 0 ，直線 y = x + m +1與曲線 y = lnx - n + 3相切，
e
則m + n = ．
【答案】2
【分析】根據導數的幾何意義設切點坐標為 x0 , y0 ，求導由斜率可得 x0 的值，從而代入曲
線方程與切線方程可得 y0 ，即可得m + n的值.
【詳解】設切點坐標為 x0 , y0 ，對函數 y = lnx - n + 3
1
求導得 y = ，
x
1 1
則切線斜率 k = = x = ex ，得 0 ，0 e
所以 y0 = ln e - n + 3 = 4 - n y
1
，且 0 = ×e + m +1 = 2 + m ，e
則 4 - n = 2 + m，即m + n = 2．
故答案為：2.
9．（2024·山東·一模）已知 A，B 分別為直線 y = 3x - 3和曲線 y = 2ex + x上的點，則 AB 的
最小值為 ．
10 1
【答案】 / 10
2 2
【分析】由題意 AB 的最小值為A 到直線 y = 3x - 3上距離的最小值，再設 A x0 , y0 ，則當A
處的切線與 y = 3x - 3平行時取得最小值.
【詳解】由題意 AB 的最小值為曲線上點A 到直線 y = 3x - 3距離的最小值，
設 f x = 2ex + x - 3x - 3 = 2ex - 2x + 3 f x = 2ex，則 - 2為增函數，
令 f x = 0則 x = 0，故當 x < 0 時 f x < 0， f x 單調遞減；當 x > 0時 f x > 0， f x
單調遞增.
故 f x f 0 = 5 > 0，即 y = 3x - 3在曲線 y = 2ex + x下方.
則當A 處的切線與3x - y - 3 = 0平行時 AB 取得最小值.
設 A x0 , y0 ，對 y = 2ex + x求導有 y = 2ex +1，由 y = 3可得 x0 = 0 .
3 0 - 2 - 3
故當 A 0,2 時取最小值 AB
10
= = .
32 + -1 2 2
10
故答案為：
2
四、解答題
10．（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預測）已知函數 f (x) = 2(mx - ln x) + e .
(1)若 f (x) 的圖象在點 (1, f (1))處的切線與直線 l : 2x + y +1 = 0 垂直，求m 的值;
(2)討論 f (x) 的單調性與極值.
5
【答案】(1) m =
4
(2)答案見解析.

【分析】（1）求導，根據直線垂直可得 f (1) = 2(m -1)
1
= ，即可求解，
2
（2）求導，對m 進行討論，判斷導函數的正負，即可得函數的單調性和極值.
【詳解】（1）由題得， f (x) 的定義域為 (0, + ) .
\ f (x) = 2m 2 2(mx -1)- = .
x x
Q f (x)的圖象在點 (1, f (1))處的切線與直線 l:2x + y +1 = 0垂直，
\ f (1) = 2(m -1) 1= ，
2
m 5解得 = .
4
f (x) 2(mx -1)（2）由（1）知 = .
x
①當m 0時， f (x) < 0 恒成立.
\ f (x)在 (0, + )上為減函數，此時 f (x) 無極值;
②當m > 0時，由 f (x) > 0
1
，得 x > ，由 f (x) < 0 ，得0 < x
1
< ，
m m
1
\ f (x) 0, 1 在 m ÷上單調遞減，在
, + ÷上單調遞增，
è è m
1
故 f (x)

的極小值為 f m ÷
= 2ln m + 2 + e .
è
綜上可得，當m 0時， f (x) 在 (0, + )上為減函數， f (x) 無極值;
當m > 0 時， f (x) 在 0,
1 1
÷上單調遞減，在 ,+

m ÷上單調遞增
.
è è m
f (x) 的極小值為2ln m + 2 + e，無極大值.
11．（2024·廣東深圳·二模）已知函數 f x = ax +1 ex ， f x 是 f x 的導函數，且
f x - f x = 2ex ．
(1)若曲線 y = f x 在 x = 0處的切線為 y = kx + b，求 k，b 的值；
(2)在（1）的條件下，證明： f x kx + b．
【答案】(1) k = 3，b =1；
(2)證明見解析.
【分析】（1）根據題意，求導可得 a的值，再由導數意義可求切線，得到答案；
（2）設函數 g x = 2x +1 ex - 3x -1，利用導數研究函數 g(x)的單調性從而求出最小值大
于 0，可得證.
【詳解】（1）因為 f x = ax +1 ex ，所以 f x = ax + a +1 ex ，
因為 f x - f x = 2ex ，所以 a = 2．
則曲線 y = f (x) 在點 x = 0處的切線斜率為 f 0 = 3．
又因為 f 0 =1，
所以曲線 y = f (x) 在點 x = 0處的切線方程為 y = 3x +1，
即得 k = 3，b =1．
（2）設函數 g x = 2x +1 ex - 3x -1， x R ，
則 g x = 2x + 3 ex - 3，
設 h x = g x x，則 h x = e 2x + 5 ，
5
所以，當 x > - 時， h x > 0， g x 單調遞增．
2
又因為 g 0 = 0，
所以， x > 0時， g x > 0， g x 單調遞增；
5
- < x < 0時， g x < 0， g x 單調遞減．
2
5
又當 x - 時， g x = 2x + 3 ex - 3 < 0 ，
2
綜上 g x 在 - ,0 上單調遞減，在 0, + 上單調遞增，
所以當 x = 0時， g x 取得最小值 g 0 = 0，
即 2x +1 ex - 3x -1≥0，
所以，當 x R f x 3x +1時，
綜合提升練
一、單選題
1．（2023· x全國·模擬預測）已知函數 f x = xe +1，過點P 2,1 可作曲線 y = f x 的切線條
數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
x
【分析】求出 f x 的導函數，設切點坐標為 x 00 , x0e +1 ，寫出切線方程，把 2,1 代入，
得到關于 x0 的方程，根據方程解的個數即可得出切線的條數．
【詳解】解法一 由 f x = xex +1，得 f x = x +1 ex ．設切點坐標為 x0 , x0ex0 +1 ，
x
則切線方程為 y - x 00e -1 = e
x0 x0 +1 x - x0 ，
x x
把 2,1 代入可得-x0e 0 = e 0 x0 +1 2 - x0 ，即 x20 - 2x0 - 2 = 0 ，
因為Δ =12 > 0，所以該方程有 2 個不同的實數解，故切線有 2 條．
解法二 由 f x = xex +1，得 f x = x +1 ex ，令 f x = 0，得 x=-1．
當 x < -1時， f x < 0，當 x > 0時， f x > 0，
故 f x 在 - , -1 上單調遞減，在 (-1, + )上單調遞增，
1
故 f x 的極小值為 f -1 =1- ，且 f 0 =1，則點P 2,1 在曲線 y = f x 的下方，
e
數形結合可知，過點 P 可作曲線 y = f x 的 2 條切線．
故選：B
1
2．（2023·陜西咸陽·模擬預測）已知函數 f x =
ex
-1，則曲線 y = f x 在點 -1, f -1 處
的切線方程為（ ）
A． ex + y +1 = 0 B． ex - y +1 = 0
C． ex + y -1 = 0 D． ex - y -1 = 0
【答案】A
【分析】先由導數求切線的斜率，再求出切點，結合點斜式方程寫出即可.
【詳解】由 f x 1 1= x -1，得 f x = -e ex ，
所以 f -1 = -e，又 f -1 = e -1，
故曲線 y = f x 在點 -1, f -1 處的切線的方程為 y - e -1 = -e x +1 ，即 ex + y +1 = 0 .
故選：A.
3．（2024·福建漳州·一模）若曲線 y = aex-2 + x在點 2,2 + a 處的切線方程為 y = 4x + b ，則
a + b =（ ）
A．3 B．-3 C．0 D．1
【答案】C
【分析】根據題意結合導數的幾何意義列式求解即可.
【詳解】因為 y = aex-2 + x，則 y = aex-2 +1，
ìa +1 = 4 ìa = 3
由題意可得： í8 b 2 a ，解得 íb 3，所以
a + b = 0 .
+ = + = -
故選：C.
4．（2023·全國·模擬預測）已知函數 f x = x2 - x + 2 ex ，則函數 f x 的圖象在 x =1處的切
線方程為（ ）
A．3ex - y + e = 0 B． 2ex - y - e = 0 C．3ex - y - e = 0 D． 2ex + y - 4e = 0
【答案】C
【分析】先求出導函數，然后利用導數幾何意義求出切線斜率，代入點斜式方程即可求解.
【詳解】對 f x = x2 - x + 2 ex 求導，
得 f x = 2x -1 ex + x2 - x + 2 ex = x2 + x +1 ex ，
∴ f x 的圖象在 x =1處的切線斜率為 f 1 = 3e，又 f 1 = 2e，
∴ f x 的圖象在 x =1處的切線方程為 y - 2e = 3e x -1 ，
即3ex - y - e = 0 .
故選：C
5．（2024· x江西上饒·一模）已知函數 f x = xe ，則下列說法正確的是（ ）
A． f x 的導函數為 f x = x -1 ex B． f x 在 -1, + 上單調遞減
C． f x 1的最小值為 - D． f x 的圖象在 x = 0e 處的切線方程為
y = 2x
【答案】C
【分析】根據導數的運算性質，結合導數的性質、幾何意義逐一判斷即可.
x x x x
【詳解】A： f x = xe f x = e + xe = x +1 e ，因此本選項不正確；
B：由上可知： f x = ex + xex = x +1 ex ，
當 x > -1時， f x > 0，函數 f x 單調遞增，因此本選項不正確；
C：由上可知： f x = x +1 ex ，
當 x > -1時， f x > 0，函數 f x 單調遞增，
當 x < -1時， f x < 0，函數 f x 單調遞減，
所以當 x=-1時，函數 f x 1的最小值為 - e ，因此本選項正確；
D f x = x +1 ex：由上可知 ，因為 f 0 =1，f 0 = 0，
所以 f x 的圖象在 x = 0處的切線方程為 y = x ，因此本選項不正確，
故選：C
6．（2024·重慶· x模擬預測）已知直線 y = ax + b 與曲線 y = ex 相切于點 x 00 , e ，若 x0 - ,3 ，
則 a + b 的取值范圍為（ ）
A． - , e B． -e3 ,eù C． 0,e D 0,e3． ù
【答案】B
【分析】由導數幾何意義可得 a = ex0 ，b = 1- x x00 e ，所以 a + b = 2 - x x00 e ，令
g x = 2 - x ex ，對 g x 求導，得到 g x 的單調性和最值，即可得出答案.
【詳解】因為 y = ex ，所以 y = ex ，∴ a = ex0 ．
又∵切點 x , ex00 在直線 y = ax + b 上，
∴ ex0 = ax + b = x ex0 + b b = 1- x ex0 ∴ a + b = 2 - x ex00 0 ，解得 0 ． 0 ．
令 g x = 2 - x ex ，則 g x = 1- x ex ， x - ,3 ，
令 g x > 0，解得： x <1；令 g x < 0，解得：1< x < 3；
可得 g x 在 - ,1 上單調遞增，在 1,3 上單調遞減，
x < 2時， g x > 0， 2 < x < 3時， g x < 0 ，
當 x 趨近負無窮時， g x 趨近 0 ， g 3 = -e3 ； g x = g 1 = emax ，
故 a + b 3的取值范圍為 -e ,eù ．
故選：B．
7．（2024·陜西西安·三模）已知函數 f (x) = x sin x在點 xi , f xi 處的切線均經過坐標原點，
5
其中0 < xi < 5π， i =1,2,3,4,5 ，則 f (xi ) =（ ）
1
5π 25π
A．5π B． C． D．15π
2 2
【答案】B
【分析】首先求出導函數，根據導數的幾何意義表示出切線方程，從而得到 cos xi = 0 ，即可
求出 xi ，再代入計算可得.
【詳解】 f (x) = x sin x，則 f (x) = sin x + x cos x， f (xi ) = sin xi + xi cos xi
故函數 f (x) 點 xi , f xi 處的切線為 y - xi sin xi = (sin xi + xi cos xi )(x - xi )，
又切線均經過坐標原點，則 0 - xi sin xi = (sin xi + xi cos xi )(0 - xi ) ，化簡整理可得 x2i cos xi = 0，
又0 < xi < 5π， i =1,2,3,4,5 ，所以 cos xi = 0 ，
π 3 5 7 9
則 x1 = ， x2 = π ， x2 3
= π
2 ，
x4 = π2 ，
x5 = π2 ，2
f x π sin π π 3π 3π 3π 5π 5π 5π又 1 = = ， f x2 2 2 2 = sin = - ， f x = sin = ，2 2 2 3 2 2 2
f x 7π 7π 7π 7π 9π 9π4 = f
= sin = - f x = f ÷ ， 5 ÷ = sin
9π 9π
= ，
è 2 2 2 2 è 2 2 2 2
5 π 3π 5π 7π 9π 5π
所以 f (xi ) = f ÷ + f ÷ + f ÷ + f ÷ + f ÷ = ．
i=1 è 2 è 2 è 2 è 2 è 2 2
故選：B．
8．（2024·寧夏銀川·一模）已知函數 y = a x 與 y =loga x（ a > 0且a 1）的圖象只有一個交
1 1 1
點，給出四個值：① ；② ；③
4 16 e
e ；④ e ，則 a的可能取值為（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【答案】B
1
x

【分析】構造函數 f x = ÷ - log 1 x ，利用導數確定其零點個數判斷①；通過特殊點判
è 4 4
斷②；對③④：在 a > 1，由兩個函數圖象只有一個交點，則它們與直線 y = x 相切，設切
點為 (m,m)，利用公切線求出 a值進行判斷．
1
x

【詳解】對于①：令 f x = ÷ - log 1 x, x > 0，
è 4 4
x 1
x
ln 1
2

x -1
f x 1 ln 1 1
÷
則 = - = è 4 è 4
÷

÷ ，
è 4 4 x ln 1 x ln 1
4 4
1 x 1 2 1 x 2 1 1
令 g x = x ÷ ln ÷ -1, x > 0， g x = ÷ 1+ x ln4 4 4 4 ÷ ln ÷ ，è è è è è 4
x 0, 1 當 ÷時， g x > 0， g x ln 4 單調遞增；è
x 1 ,+ 當 ÷時， g x < 0， g x 單調遞減；
è ln 4
2
g x g 1 = g log e log= 4 e ln 1 -1 log e= 4 ln 4 2 ln 4所以 ÷ 4 ÷ -1 = -1 < 0 ，
è ln 4 e è 4 e e
所以 f x 1 單調遞增，且 f ÷ < 0， f 1 > 0，
è 4
所以 f x 有唯一零點，從而 y = a x 與 y =loga x的圖像只有一個交點，故①正確；
1 1 1 1 1
對于②：若 a = ，可知 , ÷和 , ÷是 y = a x 與 y =loga x的圖像的兩個交點，故②錯16 è 4 2 è 2 4
誤；
對于③④：因為 a > 1，因為 y = a x 與 y =loga x互為反函數，
若兩個函數圖象只有一個交點,則兩個函數的圖像都與直線 y = x 相切，
設切點為 m, m ，則 am = m ， a x = a x ln a am ln a =1，所以m ln a =1，
log m m ln m且 a = = m m ln a = ln m，所以 ln m = 1，解得m = e，ln a
1
所以 a = ee ，故③正確，④錯誤；
故選：B．
【點睛】
關鍵點點睛：對于③④：分析可知兩個函數圖象只有一個交點,則兩個函數的圖像都與直線
y = x 相切，結合導數的幾何意義分析求解.
二、多選題
9．（2024·浙江·二模）設定義在 R 上的函數 f x 的導函數為 f x ，若"x R ，均有
xf x = x +1 f x ，則（ ）
A． f 0 = 0 B． f -2 = 0 （ f x 為 f x 的二階導數）
C． f 2 < 2 f 1 D． x = -1是函數 f x 的極大值點
【答案】AB

【分析】由 xf x = x +1 f x ，令 x = 0 é f x ù f x ，即可判斷 A；由已知得 ê ú = ，即得函數
x x
f x
= ex + c ，確定 c = 0 x，從而可得 f x = x e + c ，求導數，即可判斷 B；令
x
f x
g x = , (x > 0)，判斷其單調性，即可判斷 C；根據極值點與導數的關系可判斷 D.
x
【詳解】由"x R ， xf x = x +1 f x ，令 x = 0，則 0 = 0 +1 f 0 ,\ f 0 = 0，A 正確；
f x × x - f x f x
當 x 0 時，由 xf x = x +1 f x 得 xf x - f x = xf x ，故 2 = ，x x
é f x ù f x f x
即 ê ú = ，則 = e
x + c （c 為常數），則 f x = x ex + c ，
x x x
f 0 = 0滿足該式，故 f x = x ex + c x，則 f x = e + c + xex ，
將 f x = x ex + c 代入 xf x = x +1 f x x中，得 x e + c + xex = x +1 x ex + c ，
即 xex + xc + x2ex = x2ex + x2c + cx + xex ，而 x R ，故 c = 0 ，
則 f x = xex f x = ex + xex f x = ex， ， + ex + xex = ex (2 + x) ，
故 f -2 = ex (2 - 2) = 0，B 正確；
g f xx 令 = , (x > 0)， g x = ex > 0，故 g x 在 (0,+ )上單調遞增，
x
f 2 f 1
故 > ，即 f 2 > 2 f 1 ，C 錯誤；
2 1
x x x
由于 f x = e + xe ，令 f x > 0,\e 1+ x > 0，即得 x > -1，
令 f x < 0,\ex 1+ x < 0，即得 x < -1，
故 f x 在 ( - ,-1)上單調遞減，在 ( -1,+ )上單調遞增，
故 x = -1是函數 f x 的極小值點，D 錯誤，
故選：AB
10．（2024·
3
全國·模擬預測）已知函數 f x = x - a + b．若過原點可作函數的三條切線，則
（ ）
A 3． f x 恰有 2 個異號極值點 B．若 a > 0，則b 0，a
C． f x 3恰有 2 個異號零點 D．若 a<0，則b a ，0
【答案】BD
【分析】利用函數導數的符號可判斷 AC，設切點，利用導數求出切線方程，代入原點方程
有三解，轉化為利用導數研究函數極值，由數形結合求解即可判斷 BD.
【詳解】因為 f x = 3 x - a 2 0(x R)，所以 f (x) 在R 上單調遞增，故 AC 錯誤；
2
設過原點的函數的切線的切點為 x0 , y0 ，則切線的斜率 k = f x0 = 3 x0 - a ，
所以切線方程為 y - y0 = 3 x0 - a
2 x - x0 ，
3
即 y - é x0 - a + bù = 3 x - a
2
0 x - x0 ，
因為過原點 (0,0)，所以- é x0 - a
3 + bù = 3 x0 - a
2 -x0 ，
化簡得 2x30 - 3ax
2
0 + a
3 = b，即方程有 3 個不等實數根，
令 g(x) = 2x3 - 3ax2 + a3，則 g (x) = 6x(x - a)，
當 a > 0時， x < 0 或 x > a時， g (x) > 0，0 < x < a 時， g (x) < 0，
所以 g(x)在 (- ,0), (a,+ )上單調遞增，在 (0,a)上單調遞減，
所以 g(x)極大值 g(0) = a3，極小值為 g(a) = 0，如圖，
所以 y = b與 y = g(x) 相交有三個交點需滿足0 < b < a3，故 B 正確；
同理，當 a<0時，可知 g(x)極大值 g(a) = 0，極小值為 g(0) = a3，如圖，
可得 a3 < b < 0時， y = b與 y = g(x) 相交有三個交點，故 D 正確.
故選：BD
11．（2023·湖北·模擬預測）若存在直線與曲線 f x = x3 - x, g x = x2 - a2 + a 都相切，則 a
的值可以是（ ）
A 2．0 B．- C． log2 7
e π
D． +
4 π e
【答案】ABC
【分析】設該直線與 f x 相切于點 x1, x31 - x 2 31 ，求出切線方程為 y = 3x1 -1 x - 2x1 ，設該
2 2 2 2
直線與 g x 相切于點 x2 , x2 - a + a ，求出切線方程為 y = 2x2x - x2 - a + a ，聯立方程組，
a2 a 9得到- + = x4 2x3
3 x2 1 h x 9 x4 2x3 31 - 1 - 1 + ，令 = - - x2
1
+ ，討論 h x 的單調性，從
4 2 4 4 2 4
而得到最值，則可得到-a2 + a -1，解出 a的取值范圍，四個選項的值分別比較與區間端
點比較大小即可判斷是否在區間內.
3 2 2
【詳解】設該直線與 f x 相切于點 x1, x1 - x1 ，因為 f x = 3x -1，所以 f x1 = 3x1 -1，
3 2 2 3
所以該切線方程為 y - x1 - x1 = 3x1 -1 x - x1 ，即 y = 3x1 -1 x - 2x1 .
2 2
設該直線與 g x 相切于點 x2 , x2 - a + a ，因為 g x = 2x，所以 g x2 = 2x2 ，
2 2 2 2
所以該切線方程為 y - x2 - a + a = 2x2 x - x2 ，即 y = 2x2x - x2 - a + a ，
ì3x21 -1 = 2x2
所以 í 3 2 2 ，
-2x1 = -x2 - a + a
2 2
所以-a2

+ a = x2 - 2x3 3x= 1
-1 3 9 4 3 3 2 1
2 1 ÷ - 2x1 = x1 - 2x2 4 1
- x1 + ，
è 2 4
h x 9= x4令 - 2x3 3 1- x2 + ,\h x = 9x3 - 6x2 - 3x ，
4 2 4
x , 1 U 0,1 h x x 1所以當 - -

÷ 時， < 0；當 - ,0 U 1, + 時， h x > 0；
è 3 è 3 ÷
1 1
\h x - , - 0,1 - ,0 在 ÷ 和 上單調遞減；在 ÷和 1, + 上單調遞增；
è 3 è 3
又 h
1 5
-

÷ = ,h 1 = -1，所以 h x -1, + ，
è 3 27
a2 1- 5 1+ 5
é1- 5 1+ 5 ù
所以- + a -1，解得 a ，所以 a的取值范圍為 ê , ú ，
2 2 2 2
所以 A 正確；
2 1- 5 2 5 - 2 + 2B 1- 5 2對于 ，- - = > 0，所以 < - < 0，所以 B 正確；
4 2 4 2 4
3 1+ 5
對于 C， 因為0 < log2 7 < log2 2 2 = < ，所以 C 正確；2 2
e π e π 1+ 5
對于 D， 因為 + > 2 × = 2 > ，所以 D 不正確.
π e π e 2
故選：ABC
三、填空題
12．（2024·全國·模擬預測）曲線 y = (x + 2)ex-1在 x =1處的切線方程為 ．
【答案】 4x - y -1 = 0
【分析】求出函數的導數，根據導數的幾何意義 ，即可求得答案.
【詳解】由題意得 y = ex-1 + (x + 2)ex-1 = (x + 3)ex-1，且 y = 4x=1 ，
x =1時， y = 3，所以曲線 y = (x + 2)ex-1在 x =1處的切線方程為 y - 3 = 4 x -1 ，
即 4x - y -1 = 0 ，
故答案為： 4x - y -1 = 0
13．（2024·全國·模擬預測）設直線 y = kx 與曲線 y = ln x 相切，則 k = ．
1
【答案】
e
1
【分析】設出切點，由導數的意義可得 k = x ，與直線斜率相等，從而解出
x0 = e，求出斜
0
率即可.
【詳解】設切點為P x0 , ln x0 ，
y 1
1
因為 = ，所以切線的斜率 k = x ，x 0
ln x
又因為 k = k 0OP = x ，0
從而 ln x0 =1，解得 x0 = e，
所以 k
1
= ．
e
1
故答案為： .
e
14．（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x = sin wx +j w π> 0, j π ÷， x = 為 y = f x
è 2 6
π f x x π的圖象的對稱軸， x = - 為 的零點.若$ 0 - ,
π
使得 y = f x 的圖象在
3 è 3 6 ÷
x0 , f x π 7π0 處的切線與 x 軸平行，則w 的最小值為 f x ；若 在 , ÷上單調，則w
è 2 12
的最大值為 ．
【答案】 3 9
【分析】根據已知對稱性推得w = 2k +1 n N .進而結合已知可知w 3，即可得出w 的最
π
小值；根據函數的單調性，得出T ≥ ，解得w 12．逐個檢驗w =11以及w = 9 ，結合函
6
數的零點解出j 的值，檢驗單調性，即可得出答案.
【詳解】設 y = f x 的周期為T ，
因為 x
π
= 為 y = f x x π圖象的對稱軸， = - 為 f x 的零點，
6 3
1+ 2k π π π 2k +1 2π π
所以，所以有 T = -
4 6
- ÷ = , k N，所以 × = k N ，
è 3 2 4 w 2
所以w = 2k +1 n N ，即w 為正奇數．
$x π π- , 又因為 0 y = f x x , f x x
è 3 6 ÷
使得 的圖象在 0 0 處的切線與 軸平行，

則 x = x0是 y = f x 的圖象的對稱軸.
π π π 3 T 3 2π 3π所以， - - ÷ = = × = ，w 3，滿足條件.6 è 3 2 4 4 w 2w
所以，w 的最小值為 3；
π 7π 7π π π T 2π π
因為 f x 在 , ÷上單調，則有 - = ，即T = 2 12 ，解得w 12．è 12 2 12 2 w 6
π f x π檢驗當w =11時，由 x = - 為 的零點可知，- 11+j = kπ,k Z ．
3 3
π π π
因為 j ，所以j = - ，此時 f x = sin 11x -2 3 ÷ ．è 3
當 x
π , 7π 11x π 31π 73π ÷時， - ,

è 2 12
，
3 è 6 12 ÷
結合正弦函數的性質可知，此時 f x x π , 7π 在 2 12 ÷上不單調，不符合題意；è
π f x π檢驗當w = 9 時，由 x = - 為 的零點可知，- 9 +j = kπ,k Z ．
3 3
j π因為 ，所以j = 0，此時 f x = sin9x．
2
x π 7π , 9π 21π π 7π 當 2 12 ÷時，
9x , ÷ ，此時 f x 在 x , 上單調，符合題意.
è è 2 4 ÷ è 2 12
所以w 的最大值為 9，此時j = 0．
故答案為：3；9.
四、解答題
15．（2024· 2 x廣西·二模）已知函數 f x = 2x - 5x + 2 e ．
(1)求曲線 y = f x 在點 0, f 0 處的切線方程；
(2)求 f x 的單調區間與極值．
【答案】(1) 3x + y - 2 = 0
3 3 9
(2)單調遞增區間為 - , -1 和 ,+ ÷，單調遞減區間為 -1, 2 ÷；極大值為 ，極小值為è 2 è e
3
-e2
【分析】（1）求出函數的導數，根據導數的幾何意義，即可求得答案；
（2）由函數的導數判斷正負，即可判斷函數的單調性，繼而判斷出函數極值點，求得極
值.
2 x 2 x
【詳解】（1）由 f x = 2x - 5x + 2 e ，可知 f x = 2x - x - 3 e ，
所以 f 0 = -3e0 = -3，又 f 0 = 2 ，
所以 f x 在點 0, f 0 處的切線方程為 y - 2 = -3(x - 0)，即3x + y - 2 = 0 ；
2 f x = 2x2（ ） - x - 3 ex = x +1 2x - 3 ex ， f x 的定義域為R ，
由 f x = 0，得 x 3= ，或 x=-1，
2
3 3
當 x < -1或 x > 時， f x > 0， f x 在 (- , -1), ( ,+ ) 上均單調遞增；2 2
當-1 < x
3
< 時， f x < 0 3 ， f x 在 -1, 上單調遞減；
2 è 2 ÷
3 3
所以函數 f x 的單調遞增區間為 - , -1 和 ,+ ÷；單調遞減區間為 -1,2 2 ÷，è è
9
故函數 f x 在 x=-1處取得極大值，極大值為 f -1 = ；
e
3 3
在 x = 處取得極小值，極小值為
2 -e2
.
16．（2024·北京平谷·模擬預測）設函數 f x = x + 2 ln x +1 - ax ，曲線 y = f x 在點
0, f 0 處的切線斜率為 1．
(1)求 a 的值；
(2)設函數 g x = f x ，求 g x 的單調區間；
(3)求證： xf x 0．
【答案】(1) a =1
(2)單調遞減區間為 -1,0 ，單調遞增區間為 0, +
(3)證明見解析
【分析】（1）求出函數的導數，根據導數的幾何意義，即可求得答案；
（2）求出 g x 的導數，判斷導數的正負，即可求得單調區間；
（3）結合（2），可得 f x 在 -1, + 為增函數，結合函數值的正負，即可證明結論.
x + 2
【詳解】（1）由題意得 f x 的定義域為 -1, + ， f x = ln x +1 + - a ，
x +1
因為 f 0 =1．所以 ln1+ 2 - a =1，解得 a =1 .
（2）因為 g x = f x = ln x x + 2+1 + -1， g x 的定義域為 -1, + ，
x +1
g x 1 1 x= - =
x +1 x +1 2 x +1 2 ，
令 g x = 0，得 x = 0，
g x 與 g x 在區間 0, + 上的情況如下：
x -1,0 0 0, +
g x - 0 +
g x 遞減 極小 遞增
所以 g x 的單調遞減區間為 -1,0 ，單調遞增區間為 0, + ；
（3）證明：由（2）得，在 x = 0時， g x 取得最小值 1，所以 f x > 0恒成立，
所以 f x 在 -1, + 為增函數，又因為 f 0 = 0，
當-1 < x < 0時， f x < 0 ，所以 xf x > 0；
當 x > 0時， f x > 0，所以 xf x > 0，
當 x = 0時， xf x = 0，
綜上， xf x 0 .
17．（2023·海南省直轄縣級單位·三模）已知函數 f x = 2ln x ， g x = -x2 + ax - 3 a R ．
(1)證明：對于"a - , 4 ， x 1,+ ，都有 f x g x ．
(2)當 a = 4時，直線 l： y = kx + b與曲線 y = f x 和 y = g x 均相切，求直線 l的方程．
【答案】(1)證明見解析
(2) y = 2x - 2
【分析】（1）由 f x g x 得 2ln x + x2 - ax + 3 0，根據 a - , 4 轉化為證明
2ln x + x2 - 4x + 3 0，構造函數F x = 2ln x + x2 - 4x + 3 x 1 后利用導函數證不等式.
2
（2）先設 y = f x 的切線方程為 y = x + 2ln xx 1 - 2，結合其和 y = g x 也相切，聯立后根1
1 1 4
據二次方程有唯一解可得 2ln + - + 3 = 0 F xx x2 x ，利用 的性質，求出x1即可.1 1 1
【詳解】（1）因為 f x g x ，所以 2ln x -x2 + ax - 3，即 2ln x + x2 - ax + 3 0．
當 a - , 4 時, 2ln x + x2 - ax + 3 2ln x + x2 - 4x + 3，
欲證"a - , 4 ， f x g x ，只需證 2ln x + x2 - 4x + 3 0在 x 1,+ 上恒成立．
令F x = 2ln x + x2 - 4x + 3 x 1 ，F x 2= + 2x - 4，
x
2 2 2
當 x 1時 + 2x - 4 2 2x - 4 = 0 ，當且僅當 = 2x即 x =1時等號成立，
x x x
故F x 2= + 2x - 4 0，
x
所以函數F x 在區間 1, + 上單調遞增，所以F x F 1 = 0 ，所以 f x g x ．
綜上所述，對于"a - , 4 ， x 1,+ ，都有 f x g x ．
（2 2）當 a = 4時， g x = -x + 4x - 3，設直線 l與曲線 y = f x 的切點為 x1, 2 ln x1 ，
2
因為 f x 2= ，所以曲線 y = f x 在點 x1, 2 ln x1 的切線方程為 y = x + 2ln xx x 1
- 2，
1
ì 2
y = x + 2ln x1 - 2 2 2
聯立方程 í x1 ，得 x + - 4÷ x + 2ln x1 +1 = 0 ，
2 è x1 y = -x + 4x - 3
2
2 1 1 4
由Δ = 0，得 - 4÷ - 4 2ln x1 +1 = 0 ，即 2ln + 2 - + 3 = 0．
è x1 x1 x1 x1
2
由（1）知，函數F x 在 0, + 上單調遞增，且F 1 = 2ln1+1 - 4 1+ 3 = 0，
2ln 1 1 4所以方程 + 2 - + 3 = 0x x x 有且只有一個實根， 1 1 1
1
所以 =1 x =1x ，即 1 ，1
代入 y
2
= x + 2ln x1 - 2得 y = 2x - 2x ，1
所以直線 l的方程為 y = 2x - 2 ．
2
18．（2024· · f x 1 a x x全國 模擬預測）已知曲線 = - - + alnx 在點 2, f 2 處的切線與直
2
1
線 y = - x +1垂直．
2
(1)求 a的值．
(2)判斷 f x 的單調性，并求極值．
【答案】(1) -6
(2)函數 f x 在 0,1 ， 6, + 上單調遞減，在 1,6 13上單調遞增，極小值為 ，極大值為
2
24 - 6ln6．
1
【分析】（1）求導，再根據導數的幾何意義可得 f 2 × - ÷ = -1，即可得解；
è 2
（2）先求導，再根據導函數的符號即可求出函數的單調區間，再根據極值的定義求極值即
可.
f x 1 a x a f 2 1 a【詳解】（1）由題意得 = - - + ，則 = - - ，
x 2
又因為曲線 f x 在點 2, f 2 y 1處的切線與直線 = - x +1垂直，
2
-1 a- 1 所以 ÷ × -2 2 ÷
= -1，解得 a = -6 ；
è è
2
（2）由（1 x）知 a = -6 ，則 f x = 7x - - 6lnx，定義域為 0, + ，
2
6 x - 6 x -1所以 f x 7 x = - - = - x > 0 ，
x x
令 f x < 0，解得0 < x <1或 x > 6，令 f x > 0，解得1< x < 6，
所以函數 f x 在 0,1 ， 6, + 上單調遞減，在 1,6 上單調遞增，
13
故函數 f x 的極小值為 f 1 = ，極大值為 f 6 = 42 -18 - 6ln6 = 24 - 6ln6．
2
19．（2024· x天津·二模）已知函數 f x = e - ax ， a R ．
(1)若曲線 y = f x 在 x =1處的切線的斜率為 2，求 a的值；
"x 0,1 f 2x 1+ x(2)當 a = 0時，證明： ， < ；
1- x
(3)若 f x + sin x >1在區間 0, + 上恒成立，求 a的取值范圍．
【答案】(1) a = e - 2
(2)證明見解析
(3) a 2
【分析】（1）對于 f x ，求導，利用導數的幾何意義即可得解；
（2）將問題化為證明 2x < ln(1+ x) - ln(1- x)恒成立，構造函數
g x = ln 1- x - ln 1+ x + 2x，利用導數即可得證.
（3 x）構造函數j x = e - ax + sin x，將問題轉化為j x >1恒成立，利用導數分類討論 a 2
與 a > 2兩種情況，從而得解.
x
【詳解】（1）由 f x = e - ax ，可知 f x = ex - a ，
因為 y = f x 在 1, f 1 處的切線斜率為 2，
所以 f 1 = e - a = 2，所以， a = e - 2．
（2）證明：當 a = 0時， f 2x = e2x，要證 f 2x 1+ x< ，
1- x
2x 1+ x 2x 1+ x
即證 e < ，兩邊取對數得， ln e < ln ，
1- x 1- x
即證 2x < ln(1+ x) - ln(1- x)，
令 g x = ln 1- x - ln 1+ x + 2x，只需證 g x < 0即可．
-1 1 -2x2g x = - + 2 = < 0
1- x 1+ x 1- x 1 x ．+
所以， g x 在 x 0,1 上單調遞減．
所以， g x < g 0 = 0成立，
1+ x
所以"x 0,1 ， f 2x < .
1- x
（3）若 f x + sin x >1在區間 0, + 上恒成立，
即 ex - ax + sin x >1在區間 0, + 上恒成立．
令j x = ex - ax + sin x x．則j x = e - a + cos x，
x x
令m x = e - a + cos x，m x = e - sin x ，因為 x > 0，
ex x所以 >1，所以 ex > sin x，m x = e - sin x > 0
所以m x 在 x 0, + 時單調遞增．
可知m x > m 0 = 2 - a ．
當 a 2時，m x > 0 ，即j x > 0，所以j x 在 x 0, + 時單調遞增．
所以j x > j 0 =1成立．
當 a > 2時，m 0 = 2 - a < 0 ，
當 x + 時，m x > 0 ，
所以$x0 0, + 使得m x0 = 0．
當 x 0, x0 時，m x < 0，即j x < 0，所以j x 此時單調遞減；
當 x x0 ,+ 時，m x > 0 ，即j x > 0，所以j x 此時單調遞增；
所以，j(x)min = j x0 < j 0 =1不成立，舍去．
綜上， a 2．
【點睛】方法點睛：利用分離參數法確定不等式 f x,l 0（ x D ，l 為參數）恒成立問
題中參數范圍的步驟：
1.將參數與變量分離，不等式化為 f1 l f2 x 或 f1 l f2 x 的形式；
2.求 f2 x 在 x D 時的最大值或者最小值；
3.解不等式 f1 l f2 x fmax 或 1 l f2 x min ，得到l 的取值范圍.
拓展沖刺練
一、單選題
1．（2023·北京東城·一模）過坐標原點作曲線 y = ex-2 +1的切線，則切線方程為（ ）
A． y = x B． y = 2x y
1
C． = x D． y = ex
e2
【答案】A
【分析】設切點坐標為 (t, et-2 +1) ，求得切線方程為 y - (et-2 +1) = et-2 (x - t) ，把原點 (0,0)代
入方程，得到 (t -1)et-2 =1，解得 t = 2，即可求得切線方程.
【詳解】由函數 y = ex-2 +1，可得 y = ex-2 ，
設切點坐標為 (t, et-2 +1) ，可得切線方程為 y - (et-2 +1) = et-2 (x - t) ，
把原點 (0,0)代入方程，可得0 - (et-2 +1) = et-2 (0 - t)，即 (t -1)et-2 =1，
解得 t = 2，所以切線方程為 y - (e0 +1) = e0 (x - 2)，即 y = x .
故選：A.
2．（2024·山西晉中·模擬預測）已知函數
f x = 2x x - 2 x - 22 x - 23 x - 24 x - 25 x - 26 ，則 f 0 = （ ）
A． 220 B． 221 C．222 D． 223
【答案】C
2
【分析】觀察 f (x) ，構造函數j x = x - 2 x - 2 x - 23 x - 24 x - 25 x - 26 ，利用導數
的四則運算得到 f (x) = 2j(x) + 2xj (x)，代入 x = 0即可得解.
j x = x - 2 x - 22 x - 23 x - 24【詳解】設 x - 25 x - 26 ，
則 f (x) = 2xj(x)，故 f (x) = 2j(x) + 2xj (x)，
所以 f (0) = 2j(0) = 2 0 - 2 0 - 22 0 - 23 0 - 24 0 - 25 0 - 26
= 21+1+2+3+4+5+6 = 222 .
故選：C.
1
3．（2024·四川德陽·三模）已知函數 f (x) = sin x + cos x ，且 f (x0 ) = f (x0 ) ，則 tan 2x0 的值2
是（ ）
2 3
- 2
4
A． B． C． D．-
3 4 3 3
【答案】B
【分析】求出函數 f (x) 的導函數，利用給定等式求出 tan x0 ，再利用二倍角的正切計算即
得.
【詳解】函數 f (x) = sin x + cos x ，求導得 f (x) = cos x - sin x ，
f (x ) 1由 0 = f (x0 ) ，得 cos x0 - sin x
1
0 = (cos x
1
0 + sin x0 ) ，解得 tan x0 = ，2 2 3
2 1
tan 2x 2 tan x0 3 3所以 0 = = = .1- tan2 x 1 10 - ( )2 4
3
故選：B
ì 1
x

f x ÷ ln
1 , x 0
4．（2024·陜西漢中·二模）已知函數 = í è 2 è 2 ÷ ，若函數 g x = f x - mx有

4ln
2x, x > 0
4 個零點，則m 的取值范圍為（ ）
ìm m 16üA． í 2 B． m m eln2 2
e


ì 16ü ì 16ü
C． ím eln2 2 < m < 2e2
D． ím m = eln 2或m = 2
e
【答案】D
【分析】由題意可知：函數 g x 的零點個數即為 y = f x 與 y = mx 的交點個數，利用導數
求過原點的切線，結合圖象分析求解.
【詳解】作出 f x 的圖象，如圖所示
令 g x = f x - mx = 0，可得 f x = mx，
由題意可知：函數 g x 的零點個數即為 y = f x 與 y = mx 的交點個數，
若 x > 0，則 f x = 4ln2 x f x 8ln x，可得 = ，
x
設切點坐標為 8ln xx1, 4 ln2 x 11 , x1 >1，切線斜率為 k1 = x ，1
則切線方程為 y - 4ln2 x
8ln x1
1 = x - x x 1 ，1
2 2
代入點O 0,0 ，可得-4ln x1 = -8ln x1，解得 x1 = e ，
16
此時切線斜率為 k1 = ；e2
x 0 f x 1
x 1 1 x ln 1
x
若 ，則 = ÷ = - ln 2 ×

÷ ，可得 f x = ln2 2 ×

2 2 2 2 ÷
，
è è è
x
x ,- ln 2 × 1
2 x2
設切點坐標為 2 ÷ ÷÷ , x2 0
1
，切線斜率為
2 k2 = ln
2 2 ×
è 2 ÷
，
è è
x
1 2
x
1 2
則切線方程為 y + ln 2 × 2 ÷ = ln 2 × ÷ x - x2 ，
è 2 è 2
1 x 2 1
x
2 1
代入點O 0,0 ，可得 ln 2 × 2 ÷ = ln 2 × ÷ -x2 ，解得 x2 = - = - log2 e，
è 2 è 2 ln 2
此時切線斜率為 k2 = e × ln
2 2；
ì
結合圖象可知m 的取值范圍為 ím m = eln2 2
16
或m = ü2 . e
故選：D.
【點睛】易錯點睛：數形結合就是通過數與形之間的對應和轉化來解決數學問題．它包含以
形助數和以數解形兩個方面．一般來說，涉及函數、不等式、確定參數取值范圍、方程等問
題時，可考慮數形結合法．運用數形結合法解題一定要對有關函數圖象、方程曲線、幾何圖
形較熟悉，否則，錯誤的圖象反而導致錯誤的選擇．
5．（2024·重慶· 4模擬預測）設點 P (異于原點)在曲線C : y = ax a 0 上，已知過 P 的直線 l
é 3
垂直于曲線C 過點 P 的切線，若直線 l的縱截距的取值范圍是 ê , + ÷，則a = （4 ）
A．2 B．1 C． -1 D． ±1
【答案】B
【分析】設P x0 ,ax40 x0 0 ，求出函數的導函數，即可得到切線的斜率，從而表示出直線
1
l 2的方程，即可得到直線 l的縱截距，再令 f (x) = + ax (x > 0)，當 a > 0時利用均值不等
4ax
式計算可得，當 a<0時推出矛盾.
【詳解】設P x0 ,ax40 x0 0 ，由曲線C : y = ax4 a 0 ，則 y = 4ax3 ，
所以 y |x=x = 4ax
3
，
0 0
1
由直線 l垂直于曲線C 過點 P 的切線，則直線 l的斜率為- 4ax 3 ，0
4 1 1 1 4
所以直線 l的方程為 y - ax0 = - (x - x ) y = - x + + ax4ax3 0 ，即0 4ax
3 4ax2 0 ，0 0
1 4 1
令 x = 0 4，則 y = 2 + ax0 ，即直線 l的縱截距為 2 + ax4ax0 4ax
0 ，
0
f (x) 1設函數 = + ax2 (x > 0)，
4ax
a 1
1
若 > 0，則 f (x) 1 1 3 1 33 × × x2 = 3 ，當且僅當 = x2 ，即 x = 12 時取等號，8ax 8ax 4 a 8ax 2a3
3
因為直線 l
é 3 1 3
的縱截距的取值范圍為 ê , + ÷，則 3 = ，解得 a =1； 4 4 a2 4
1
若 a<0， f (x) 3 1 1 3 1 - 3 × × x2 = - 3 ，當且僅當 = x2 ，即 x
1
= - 1 時取等號，不
8ax 8ax 4 a2 8ax 2a3
合題意；
綜上可得 a =1 .
故選：B
【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是利用導數的幾何意義及兩直線垂直斜率的關系得到直線
l的斜率，從而得到直線 l的方程，再表示出縱截距.
二、多選題
6 2023· · f x = x3 - 3x2．（ 廣東 二模）已知函數 +1的圖象在點 m, f m 處的切線為 lm ，則
（ ）
A． lm 的斜率的最小值為-2 B． lm 的斜率的最小值為-3
C． l0 的方程為 y =1 D． l-1的方程為 y = 9x + 6
【答案】BCD
f x = x3 2【分析】對函數 - 3x +1求導，表示出在點 m, f m 的切線斜率即可.
【詳解】因為 f x = 3x2 - 6x = 3(x -1)2 - 3 -3，所以 lm 的斜率的最小值為-3 .
因為 f 0 = 0, f 0 =1，所以 l0 的方程為 y =1.
因為 f -1 = 9, f -1 = -3，所以 l-1的方程為 y + 3 = 9 x +1 ，即 y = 9x + 6 .
故選：BCD.
y
K x =
7．（23-24 高三下· 河南·階段練習）定義函數 y = f x 的曲率函數 3 （ y 是1+ y 2 2
y 的導函數），函數 y = f x 在 x = x0處的曲率半徑為該點處曲率K x0 的倒數，曲率半徑
是函數圖象在該點處曲率圓的半徑，則下列說法正確的是（ ）
A．若曲線在各點處的曲率均不為 0，則曲率越大，曲率圓越小
B．函數 y = sinx x
π
在 = 處的曲率半徑為 12
C．若圓C 為函數 y = lnx的一個曲率圓，則圓C 半徑的最小值為 2
1
D．若曲線 y = lnx在 x1, x2 x1 x2 處的彎曲程度相同，則 x1x2 < 2
【答案】ABD
【分析】直接根據倒數的性質即知 A 正確；直接根據曲率半徑的定義計算函數 y = sinx在
x π=
2 處的曲率，再取倒數得到曲率半徑即可判斷
B 正確；使用三元均值不等式可以證明函
數 y = lnx 2 2的曲率圓的半徑一定大于 2，從而 C 錯誤；設 x1 = a， x2 = b ，然后將條件轉化為
關于 a,b的等式，再使用基本不等式進行處理，即可證明 D 正確.
【詳解】對于 A，若曲線在各點處的曲率均不為 0，顯然K x 0，由K x 0知
K x > 0，
1
由于曲線在 x = x0處的曲率為K x0 ，曲率圓的半徑為 K x ，0
所以曲率圓的半徑等于曲率的倒數. 而曲率大于 0，所以曲率越大，曲率圓越小，A 正確；
y
B y = sinx K x
-sin x sin x
= =
對于 ，若 ，直接計算知 3 3
= 3 ，所以
1+ y 2 2 1+ cos x 2 2 1+ cos2 x 2
sin π
K π 1 ÷ =
2 = =1
è 2 3 π 2 1
，
2
1+ cos
è 2 ÷
從而函數 y = sinx x
π
在 = 處的曲率為 1，從而函數 y = sinx
π
2 在
x =
2 處的曲率半徑為
1 的倒數，
即 1，B 正確；
1
y -
1
x2 x2
y = lnx K x
x
= 3 = 3 = =對于 C，若 ，直接計算知 3 3 2 ，這1+ y 2 2 1 2 1 21+ 1+ x2 2 1+ ÷ ÷ 2 ÷
è è x ÷ è
x

里 x > 0 .
3
1+ x2 2
所以 x 處的曲率圓半徑 R x 1= = ，
K x x
從而我們有
3
3
3 1 1 22 1 1 2
1+ x2 2 + + x
2 3 1 1
1 ÷
3 × × x2 2 ÷ 3 3 × × × x
2
，
R x 3 3= = = è 2 2 è = 2 2 = > 2
K x x x x x 2
所以圓C 的半徑一定大于 2，不可能以 2 為最小值，C 錯誤；
x
對于 D，若 y = lnx C K x =，在 選項的過程中已經計算得知 3 1+ x2 ，2
現在如果曲線 y = lnx在 x1, x2 x1 x2 處的彎曲程度相同，則K x1 = K x2 ，故
x1 x= 23 3
1+ x2 ，21 1+ x22 2
x2 2 2 3 2 31 x2 1+ x 1+ x
所以 2 3
=
2 3 ，即
1 2 .
1+ x 2 = 21 1+ x2 x1 x2
1+ a 3 1+ b 3 3 3x2 = a x2 = b a b a,b > 0 1+ a 1+ b 設 1 ， 2 ，則 ， ， = ，將 = 兩邊展開，
a b a b
a2 3a 1得到 + + 3+ = b2 3b 3
1
+ + + ，從而 a2 1 1- b2 + 3 a - b + - ÷ = 0 .a b è a b
2 2
故 0 = a - b + 3 a b 1 1- + - a b a b 3 a b b - a a b a b 3 1 ÷ = - + + - + = - + + - ÷ ，
è a b ab è ab
而 a b ，
a b 3 1 0 1故 + + - = ，這意味著 = a + b + 3 > 2 ab + 3，從而
ab ab
3 2
2 ab 3 2+ 3 ab 1 2 1< = + 3 1 2 ÷ ÷ .è è 2
定義函數 g x = 2x3 + 3x2 1 3 2，則 g ab < g ÷ ，由于 ab > 0，函數 g x = 2x + 3x 在 0, +
è 2
上遞增，
1 2 2 1
故 ab < ，所以 x1x2 = x1 x2 = ab < ，D 正確.2 2
故選：ABD.
【點睛】關鍵點點睛：在適當的時候使用均值不等式是解決本題 C，D 選項的關鍵.
三、填空題
2
8．（2024·上海閔行·二模）函數 y = - x 在 x =1x 處的切線方程為 .
【答案】3x + y - 4 = 0
【分析】切線的斜率是在 x =1處的導數，切線過 1, f 1 ，由直線的點斜式方程可以求出切
線方程.
【詳解】 f x 2= - x f '， x 2= - 2 -1 f 1 =1, f
'
，所以 1 = -3，
x x
所以在 x =1處的切線方程為 y -1 = -3 x -1 ，即3x + y - 4 = 0，
故答案為：3x + y - 4 = 0 .
9．（2024·全國·模擬預測）曲線 y = 2 x 與 y = 2 + lnx的公切線方程為 .
【答案】 x - y +1 = 0
【分析】設出兩曲線的切點 A x1,2 x1 x1 > 0 和B x2 ,2 + lnx2 x2 > 0 ，由導數的意義可得
1
x2 = x1 ，再由點斜式得出公切線方程 y = x + lnx2 +1x ，把點A 代入直線方程可得2
ln x1 - x1 +1 = 0，構造函數 h x = lnx - x +1，求導分析單調性得到 h(x)max = h 1 = 0，進
而得出 x1 =1, x2 =1，最后得到直線方程.
【詳解】設曲線 f x = 2 x 上的切點為 A x1,2 x1 x1 > 0 ，曲線 g x = 2 + lnx 上的切點為
B x2 ,2 + lnx2 x2 > 0 .
f x 1 , g x 1因為 = = x ，x
1 1
則公切線的斜率 k = =x x ，所以 x2 = x1 .1 2
1
因為公切線的方程為 y - 2 + lnx2 = x - x2
1
，即 y = x + lnx2 +1x ，2 x2
將 xx1,2 x1 1代入公切線方程得2 x1 = + lnx +1x 2 ，2
由 x2 = x1 ，得 ln x1 - x1 +1 = 0 .
令h x = lnx - x +1, x > 0 1，則 h x = -1，
x
當0 < x <1時， h x > 0；當 x >1時， h x < 0，
故函數 h x 在 0,1 上單調遞增，在 1, + 上單調遞減， h(x)max = h 1 = 0，
所以 x1 =1, x2 =1，
故公切線方程為 y = x +1，即 x - y +1 = 0 .
故答案為： x - y +1 = 0 .
四、解答題
10．（2024·河北·模擬預測）已知函數 f x = eax - ex - b在 x = 0處的切線為 x 軸．
(1)求 a,b的值；
(2)求 f x 的單調區間．
【答案】(1) a = e，b =1
(2)單調遞減區間為 - ,0 ，單調遞增區間為 0, +
【分析】（1）求出函數的導函數，依題意可得 f 0 = 0且 f 0 = 0，即可得到方程組，解得
即可；
（2）求出函數的導函數 f x ，再利用導數說明 f x 的單調性，即可求出 f x 的單調區
間.
【詳解】（1）因為 f x = eax - ex - b f x = aeax，所以 - e，
依題意 f 0 = 0且 f 0 = 0，
ìe0 - b = 0 ìa = e
所以 í 0 ，解得 .
ae - e = 0
í
b =1
（2）由（1）可得 f x = eex - ex -1函數的定義域為R ，
f x = eex+1 - e = e eex又 -1 ，
令 g x = f x = eex+1 - e ，則 g x = eex+2 > 0，所以 g x （ f x ）在定義域R 上單調遞增，
又 f 0 = 0，所以當 x < 0 時 f x < 0，當 x > 0時 f x > 0，
所以 f x 的單調遞減區間為 - ,0 ，單調遞增區間為 0, + .
11．（2023·貴州·模擬預測）已知函數 f x = ln x, g x = a x -1 2 -1 .
1
(1)當 a = 時，求函數F x = f x - g x 的最大值；
4
1
(2)當 a = - 時，求曲線 y = f x 與 y = g x 的公切線方程.
4
3
【答案】(1) ln 2 +
4
(2) y = x -1
1
【分析】（1）代入 a = ，然后求出F x ，進而可得單調性求出最值；
4
1
（2）代入 a = - ，設出切點，求出切線方程，利用方程為同一直線，列方程組求解即可.
4
a 1【詳解】（1）當 = 時,
4
F x = f x - g x = ln x - é1ê x -1
2 -1ù ln x 1= - x2 1 3ú + x + ， 4 4 2 4
F x 1 1 x 1 -x
2 + x + 2 - x - 2 x +1
\ = - + = = ，
x 2 2 2x 2x
令F x > 0，得0 < x < 2，令F x < 0，得 x > 2，
\求函數F x 在 0,2 上單調遞增，在 2, + 上單調遞減，
F x F 2 ln 2 1 4 1 2 3 3\ = = - + + = ln 2 +max ；4 2 4 4
a 1= - g x 1= - x -1 2（2）當 時， -1 1= - x2 1 x 5+ - ，
4 4 4 2 4
設函數 f x = ln x上一點為 x1, ln x1 ，
1
又 f x 1= ，\ f x1 = x ，x 1
1
\函數 f x = ln x上過點 x1, ln x1 的切線方程為： y = x - x1 + ln xx 1，1
y 1即 = x + ln x -1x 1 ，1
設函數 g x x , 1 x2 1 x 5 上一點為 2 - + - ，
è 4 2 2 2 4 ÷
g x 1 x 1又 = - + ，\ g x2
1 1
= - x2 +2 2 2 2
1 1 5 1 1 1 1 5
\ 2過點 x2 ,- x2 + x -

的切線方程為： y = - x + x - x - x2 + x - ，
è 4 2 2 4 ÷ 2 ÷ 2 è 2 2 4 2 2 2 4
y 1 x 1 x 1 5即 = - 2 + ÷ + x
2
2 2 4 2
- ，
è 4
1
若 y = x + ln x -1 y =
1 x 1 1- + 2 5
x 1 與 2 2 2 ÷
x + x2 - 為同一直線，
1 è 4 4
ì 1 1 1

- x + =
2 2 2 x1 ìx1 =1則 í ，解得 í ,
1 2 5 x2 = -1

x - = ln x -1
4 2 4 1
\公切線的方程為： y = x -1 .
12．（2024·陜西安康·模擬預測）已知函數 f x = lnx +1, g x = ex -1.
(1)求曲線 y = f x 與 y = g x 的公切線的條數；
(2)若 a > 0,"x -1, + , f x +1 a2g x + a2 - a +1，求 a的取值范圍.
【答案】(1)2 條
(2) a 1
【分析】（1）設切點，求導，分別求解 f x , g x 的切線方程，根據公切線可得
ì 1 = ex 2
í x1 ，即可求解 x2 = 0或 x2 =1，從而得解，
ln x1 = -x2e
x2 + ex2 -1
（2 2 x）將問題轉化為 ln x +1 a e - a對于"x -1,+ 恒成立，根據 x = 0可得a 1，進而
構造函數m(x) = ln x - x +1,證明 ln x +1 x ，即可先求解 x a2ex - a ，構造函數
F x = x - a2ex + a, x > -1 ，求導，結合分類討論即可求解.
【詳解】（1）設 f x = lnx +1, g x = ex -1的切點分別為 x1, f x1 , x2 , g x2 ，
f x 1則 = , g (x) = ex ，
x
故 f x = lnx +1, g x = ex -1在切點處的切線方程分別為
y 1= x - x 11 + ln x1 +1 y = x + ln xx x 1，1 1
y = ex2 x - x x22 + e -1 y = ex2 x - x x2 x22e + e -1
則需滿足；
ì 1
= e
x2
í x1 ,故 ln
1
= -x ex2x 2 + e
x2 -1 ex2 -1 x2 -1 = 0，2
ln x = -x ex 2 + e
x2
1 2 -1
e
解得 x2 = 0或 x2 =1，
因此曲線 y = f x 與 y = g x 有兩條不同的公切線，
2 f x +1 a2g x + a2 - a +1 ln x +1 +1 a2 ex 2（ ）由 可得 -1 + a - a +1，
ln x +1 a2即 ex - a對于"x -1,+ 恒成立，
ln 0 +1 a2e0 - a ，結合 a > 0,解得a 1
設m(x) = ln x - x +1,，
則當 x >1時m (x)
1
= -1< 0,m x 單調遞減，當0 < x <1時，m (x) > 0, m x 單調遞增，
x
故當m(x) m 1 = 0，故 ln x x -1,
因此 ln x +1 x ， x > -1 ，
F x = x - a2 x令 e + a, x > -1 ，則F x =1- a2ex ，
令F x =1- a2ex = 0，得 x = -2ln a，
當-2ln a -1 2時，此時 a e ，F x =1- a ex < 0，故F x 在 x > -1上單調遞減，
所以
e 2 2 2a e e e e e
2
2 2 - - + - - - + + e
F x F 1 1 a a -a + ea - e
÷ ÷
< - = - - + = = è 2 4 è 2 4 = e - 2 < 0
e e e e
，
所以F x = x - a2ex + a < 0，由于 ln x +1 x 進而 ln(x +1) - a2ex + a < 0，滿足題意，
當-2ln a > -1時，此時1 < a < e ，
F x =1- a2ex令 > 0，解得-1 < x < -2ln a, F x 單調遞增，
令F x =1- a2ex < 0，解得 x > -2ln a, F x 單調遞減，
故F x F x = F -2ln amax = -2ln a -1+ a ，
令 p a = -2ln a -1+ a 2 a - 2，則 p a = - +1 = ，
a a
2 a - 2
由于 1< a < e ，所以 p a = - +1 = < 0，a a
故 p a 在1 < a < e 單調遞減，故 p a < p 1 ，即可 p a < 0，
因此F x F x = F -2ln a = -2ln a -1+ a < 0 F x < 0max
所以F x = x - a2ex + a < 0，由于 ln x +1 x 進而 ln(x +1) - a2ex + a < 0，滿足題意，
綜上可得a 1
【點睛】方法點睛：對于利用導數研究函數的綜合問題的求解策略：
1、通常要構造新函數，利用導數研究函數的單調性，求出最值，從而求出參數的取值范圍；
2、利用可分離變量，構造新函數，直接把問題轉化為函數的最值問題．
3、根據恒成立或有解求解參數的取值時，一般涉及分離參數法，但壓軸試題中很少碰到分
離參數后構造的新函數能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題考點 16 導數的概念及其意義、導數的運算（3 種核心題型+
基礎保分練+綜合提升練+拓展沖刺練）
【考試提醒】
1.了解導數的概念、掌握基本初等函數的導數.2.通過函數圖象，理解導數的幾何意義.3.能夠
用導數公式和導數的運算法則求簡單函數的導數，能求簡單的復合函數(形如 f(ax＋b))的導
數
【知識點】
1．導數的概念
(1)函數 y＝f(x)在 x＝x0處的導數記作 或 .
Δy
f′(x0)＝ lim
→ ＝ .
Δx 0 Δx
(2)函數 y＝f(x)的導函數(簡稱導數)
f x＋Δx －f x
f′(x)＝y ′＝ lim→ .
Δx 0 Δx
2．導數的幾何意義
函數 y＝f(x)在 x＝x0處的導數的幾何意義就是曲線 y＝f(x)在點 P(x0，f(x0))處的切線的 ，
相應的切線方程為 ．
3．基本初等函數的導數公式
基本初等函數 導函數
f(x)＝c(c 為常數) f′(x)＝______
f(x)＝xα(α∈R，且 α≠0) f′(x)＝______
f(x)＝sin x f′(x)＝______
f(x)＝cos x f′(x)＝______
f(x)＝ax(a>0，且 a≠1) f′(x)＝______
f(x)＝ex f′(x)＝______
f(x)＝logax(a>0，且 a≠1) f′(x)＝______
f(x)＝ln x f′(x)＝_____
4.導數的運算法則
若 f′(x)，g′(x)存在，則有
[f(x)±g(x)]′＝ ；
[f(x)g(x)]′＝ ；
f x f′ x g x －f[ ]
x g′ x
′＝ (g(x)≠0)；
g x [g x ]2
[cf(x)]′＝ ．
5．復合函數的定義及其導數
復合函數 y＝f(g(x))的導數與函數 y＝f(u)，u＝g(x)的導數間的關系為 yx′＝ ，即
y 對 x 的導數等于 y 對 u 的導數與 u 對 x 的導數的乘積．
常用結論
1．區分在點處的切線與過點處的切線
(1)在點處的切線，該點一定是切點，切線有且僅有一條．
(2)過點處的切線，該點不一定是切點，切線至少有一條．
1 －f′ x
2.[ ] ′＝ (f(x)≠0)f x [f x ]2
【核心題型】
題型一　導數的運算
(1)求函數的導數要準確地把函數拆分成基本初等函數的和、差、積、商，再利用運算法則
求導．
(2)抽象函數求導，恰當賦值是關鍵，然后活用方程思想求解．
(3)復合函數求導，應由外到內逐層求導，必要時要進行換元
2 + Dx 3 - 23
【例題 1】（2024·重慶·模擬預測） lim =（ ）
Dx 0 Dx
A．72 B．12 C．8 D．4
【變式 1】（2024·廣西·二模）記函數 y = f x 的導函數為 y ， y 的導函數為 y ，則曲線
y
y = f x K =的曲率 3 ．若函數為 y = lnx2 ，則其曲率的最大值為（ ）é
1+ y ù
2

A 2 B 2 C 2 3 2 3． ． ． D．
3 2 9 3
【變式 2】（多選）（2024·全國·模擬預測）記函數 fn x 的導函數為 fn+1 x ，已知
f1 x = x2ex ，若數列 an ， bn 滿足 fn x = x2 + an x + bn ex ，則（ ）
A． an 為等差數列 B． bn 為等比數列
50 1 48
C． = D．8bn 2an
n=3 bn 49
2
【變式 3】（2023·全國·模擬預測）已知函數 f x = x × f 0 + x × f 1 - 2，則 f 2 =（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
題型二　導數的幾何意義
(1)處理與切線有關的問題，關鍵是根據曲線、切線、切點的三個關系列出參數的方程：①
切點處的導數是切線的斜率；②切點在切線上；③切點在曲線上．
(2)注意區分“在點 P 處的切線”與“過點 P 的切線”．
命題點 1　求切線方程
3
【例題 2】（多選）（2024·河南鄭州·模擬預測）過點 P a,b 作直線 l 與函數 f x = -2x 的圖
象相切，則（ ）
A．若 P 與原點重合，則 l 方程為 y = 0
B．若 l 與直線 x - 6y = 0垂直，則6a + b = 4
C．若點 P 在 f x 的圖象上，則符合條件的 l 只有 1 條
3
D．若符合條件的 l 有 3 a 1條，則 < -
b 2
【變式 1】（2024·貴州·模擬預測）過點P(1,-3)作曲線 y = 2x3 - 3x 的切線，請寫出切線的方
程 .
【變式 2】（2024·山西呂梁·二模）若曲線 f x = lnx 在點P x0, y 0 處的切線過原點O 0,0 ，
則 x0 = .
ae2x -1
【變式 3】（2024·四川成都·二模）已知函數 f x = 的圖象在 1, f 1 處的切線經過點
x
2,2e2 ．
(1)求 a的值及函數 f x 的單調區間；
(2) 3 2lx若關于 x 的不等式l x - x - lnxe + lnx < 0在區間 1, + 上恒成立，求正實數l 的取值
范圍．
命題點 2　求參數的值(范圍)
a
【例題 3】（2024· 2內蒙古呼倫貝爾·二模）已知曲線 y = x + 3x + 在 x =1處的切線與直線
x
x - 2y +1 = 0垂直，則a = （ ）
9 11
A．3 B． C．7 D．
2 2
【變式 1】（2024·全國·模擬預測）若直線 y = 2x - b與曲線 f (x) = e2x - 2ax(a > -1)相切，則b
的最小值為（ ）
A．-e B．－2 C．－1 D．0
【變式 2】（2024·全國·模擬預測）曲線 y = ex 在 A x1, y1 處的切線與曲線 y = ln x + m相切于點
B x2 , y2
1 1
，若 x1 < x2且 + =1 mx - x y - y ，則實數 的值為 .2 1 2 1
【變式 3】（2024·全國·模擬預測）已知函數 f (x) = (x -1)2 ex - ax，且曲線 y = f (x) 在點
(0, f (x))處的切線方程為 y = -2x + b．
(1)求實數 a，b 的值；
(2)證明：函數 f (x) 有兩個零點．
題型三　兩曲線的公切線
公切線問題，應根據兩個函數在切點處的斜率相等，且切點既在切線上又在曲線上，列出有
關切點橫坐標的方程組，通過解方程組求解．或者分別求出兩函數的切線，利用兩切線重合
列方程組求解．
3 2
【例題 4】（2023·山西·模擬預測）已知函數 f x = a - 3 x + a - 2 x + a -1 x + a若對任意
x0 R ，曲線 y = f x 在點 x0 , f x0 和 -x0 , f -x0 處的切線互相平行或重合，則實數a =
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2
【變式1】（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x = x + a + lnx 的圖象上存在不同的兩點 A, B，
使得曲線 y = f x 在點 A, B處的切線都與直線 x + 2y = 0 垂直，則實數 a的取值范圍是（ ）
A． - ,1- 2 B． 1- 2,0 C． - ,1+ 2 D． 0,1+ 2
1
【變式 2】（2024·北京朝陽·一模）已知函數 f x = sin 2x .若曲線 y = f x 在點 A x1, f x1 2
處的切線與其在點B x2 , f x2 處的切線相互垂直，則 x1 - x2 的一個取值為 .
【變式 3】（2023· 2 2江蘇南通·模擬預測）已知函數 f x = x - ax + a ，g x = 2ex-1 - ax
(1)若 a =1，證明：曲線 y = f x 與曲線 y = g x 有且僅有一條公切線；
(2)當 x 1時， f x - g x 2ax，求 a 的取值范圍．
【課后強化】
基礎保分練
一、單選題
cos x
1．（2024 高三·全國·專題練習）已知函數 f x = x + 2x ，則曲線 y = f x 在 x = 0處的切e
線方程為（ ）
A． 2x - 2y +1 = 0 B． x + y -1 = 0
C． x - y +1 = 0 D．2x - y +1 = 0
2．（2024·廣東·二模）函數 f x 的定義域為R, f 2 = 3，若"x R, f x > 1，則 f x > x +1
的解集為（ ）
A． -2,2 B． 2, + C． - , 2 D． - , +
1
3．（2024·全國·模擬預測）若曲線 f x = + loga x（ a > 0且a 1）有兩條過坐標原點的切x
線，則 a的取值范圍為（ ）

0, e
e
A． e ÷÷
B． ,1e ÷÷
C． 1, e D． e,+
è è
6
4．（2024· 6 2 6四川·模擬預測）已知 (1+ x) = a0 + a1x + a2x +L+ a6x ，則 iai =（ ）
i=1
A．48 B．192 C．128 D．72
5．（2024·湖南婁底·一模）若直線 ex - 4y + eln4 = 0 是指數函數 y = a x (a > 0且 a 1)圖象的一
條切線，則底數a = （ ）
A 2 1． 或 B． e2 C． e D．
e或 e
二、多選題
6．（2023·黑龍江齊齊哈爾·三模）若一條直線與兩條或兩條以上的曲線均相切，則稱該直線
為這些曲線的公切線，已知直線 l： y = kx + b為曲線C1： y = aex (a > 0)和C2 ：
y = ln x (a > 0)的公切線，則下列結論正確的是（ ）
a
A．曲線C1的圖象在 x 軸的上方
B．當 a =1時， ln k + b = -1
1
C．若b = 0，則 a =
e
1
D．當 a =1時，C1和C2 必存在斜率為 的公切線k
7．（2023·全國· * x模擬預測）若過點P 1,l 最多可作 n n N 條直線與函數 f x = x -1 e 的
圖象相切，則（ ）
A．當 l = 0 時，切線方程為 y = e x -1
4
B．當 n =1時，l

- , -

÷ U 0
è e
C．當 n = 2時，λ 的值不唯一
D．l + n的值一定小于 3
三、填空題
8．（2024·四川·模擬預測）已知m > 0, n > 0 y
1
，直線 = x + m +1與曲線 y = lnx - n + 3相切，
e
則m + n = ．
9．（2024·山東·一模）已知 A，B 分別為直線 y = 3x - 3和曲線 y = 2ex + x上的點，則 AB 的
最小值為 ．
四、解答題
10．（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預測）已知函數 f (x) = 2(mx - ln x) + e .
(1)若 f (x) 的圖象在點 (1, f (1))處的切線與直線 l : 2x + y +1 = 0 垂直，求m 的值;
(2)討論 f (x) 的單調性與極值.
11．（2024· x廣東深圳·二模）已知函數 f x = ax +1 e ， f x 是 f x 的導函數，且
f x - f x = 2ex ．
(1)若曲線 y = f x 在 x = 0處的切線為 y = kx + b，求 k，b 的值；
(2)在（1）的條件下，證明： f x kx + b．
綜合提升練
一、單選題
1．（2023·全國·模擬預測）已知函數 f x = xex +1，過點P 2,1 可作曲線 y = f x 的切線條
數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
1
2．（2023·陜西咸陽·模擬預測）已知函數 f x = x -1，則曲線 y = f x 在點 -1, f -1 處e
的切線方程為（ ）
A． ex + y +1 = 0 B． ex - y +1 = 0
C． ex + y -1 = 0 D． ex - y -1 = 0
3．（2024·福建漳州·一模）若曲線 y = aex-2 + x在點 2,2 + a 處的切線方程為 y = 4x + b ，則
a + b =（ ）
A．3 B．-3 C．0 D．1
4 2023· · f x = x2 - x + 2 ex．（ 全國 模擬預測）已知函數 ，則函數 f x 的圖象在 x =1處的切
線方程為（ ）
A．3ex - y + e = 0 B． 2ex - y - e = 0 C．3ex - y - e = 0 D． 2ex + y - 4e = 0
5 x．（2024·江西上饒·一模）已知函數 f x = xe ，則下列說法正確的是（ ）
A f x f x = x -1 ex． 的導函數為 B． f x 在 -1, + 上單調遞減
C． f x 1的最小值為 - D． f x e 的圖象在 x = 0處的切線方程為
y = 2x
6．（2024·重慶·模擬預測）已知直線 y = ax + b 與曲線 y = ex 相切于點 x0 , ex0 ，若 x0 - ,3 ，
則 a + b 的取值范圍為（ ）
A． - , e B -e3． ,eù C． 0,e D． 0,e3 ù
7．（2024·陜西西安·三模）已知函數 f (x) = x sin x在點 xi , f xi 處的切線均經過坐標原點，
5
其中0 < xi < 5π， i =1,2,3,4,5 ，則 f (xi ) =（ ）
1
5π 5π 25πA． B． C． D．15π
2 2
8．（2024·寧夏銀川·一模）已知函數 y = a x 與 y =loga x（ a > 0且a 1）的圖象只有一個交
1 1 1
點，給出四個值：① ；② ；③ ee ；④ e ，則 a的可能取值為（16 ）4
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
二、多選題
9．（2024·浙江·二模）設定義在 R 上的函數 f x 的導函數為 f x ，若"x R ，均有
xf x = x +1 f x ，則（ ）
A． f 0 = 0 B． f -2 = 0 （ f x 為 f x 的二階導數）
C． f 2 < 2 f 1 D． x = -1是函數 f x 的極大值點
10．（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x = x - a 3 + b．若過原點可作函數的三條切線，則
（ ）
A． f x 恰有 2 個異號極值點 B．若 a > 0，則b 0，a3
C． f x 3恰有 2 個異號零點 D．若 a<0，則b a ，0
11．（2023·湖北·模擬預測）若存在直線與曲線 f x = x3 - x, g x = x2 - a2 + a 都相切，則 a
的值可以是（ ）
A 0 B 2 e π． ．- C． log
4 2
7 D． +
π e
三、填空題
12．（2024·全國·模擬預測）曲線 y = (x + 2)ex-1在 x =1處的切線方程為 ．
13．（2024·全國·模擬預測）設直線 y = kx 與曲線 y = ln x 相切，則 k = ．

14．（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x = sin wx +j w > 0, j
π
π÷， x = 為 y = f x
è 2 6
π
的圖象的對稱軸， x = - 為 f x x π , π的零點.若$ 0 -

÷使得 y = f x 的圖象在3 è 3 6
x π 7π 0 , f x0 處的切線與 x 軸平行，則w 的最小值為 ；若 f x 在 , 上單調，則w
è 2 12 ÷
的最大值為 ．
四、解答題
15．（2024· 2廣西·二模）已知函數 f x = 2x - 5x + 2 ex．
(1)求曲線 y = f x 在點 0, f 0 處的切線方程；
(2)求 f x 的單調區間與極值．
16．（2024·北京平谷·模擬預測）設函數 f x = x + 2 ln x +1 - ax ，曲線 y = f x 在點
0, f 0 處的切線斜率為 1．
(1)求 a 的值；
(2)設函數 g x = f x ，求 g x 的單調區間；
(3)求證： xf x 0．
17 2．（2023·海南省直轄縣級單位·三模）已知函數 f x = 2ln x ， g x = -x + ax - 3 a R ．
(1)證明：對于"a - , 4 ， x 1,+ ，都有 f x g x ．
(2)當 a = 4時，直線 l： y = kx + b與曲線 y = f x 和 y = g x 均相切，求直線 l的方程．
2
18．（2024· · f x 1 a x x全國 模擬預測）已知曲線 = - - + alnx 在點 2, f 2 處的切線與直
2
y 1線 = - x +1垂直．
2
(1)求 a的值．
(2)判斷 f x 的單調性，并求極值．
19．（2024· x天津·二模）已知函數 f x = e - ax ， a R ．
(1)若曲線 y = f x 在 x =1處的切線的斜率為 2，求 a的值；
1+ x
(2)當 a = 0時，證明："x 0,1 ， f 2x < ；
1- x
(3)若 f x + sin x >1在區間 0, + 上恒成立，求 a的取值范圍．
拓展沖刺練
一、單選題
1．（2023·北京東城·一模）過坐標原點作曲線 y = ex-2 +1的切線，則切線方程為（ ）
A． y = x B． y = 2x
1
C． y = x D． y = ex
e2
2．（2024·山西晉中·模擬預測）已知函數
f x = 2x x - 2 x - 22 x - 23 x - 24 x - 25 x - 26 ，則 f 0 = （ ）
A． 220 B． 221 C．222 D． 223
1
3．（2024·四川德陽·三模）已知函數 f (x) = sin x + cos x ，且 f (x0 ) = f (x0 ) ，則 tan 2x0 的值2
是（ ）
2 3 2 4
A．- B． C． D．-
3 4 3 3
ì 1 x ln 1 f x ÷ ÷ , x 04．（2024·陜西漢中·二模）已知函數 = íè 2 è 2 ，若函數 g x = f x - mx有
2
4ln x, x > 0
4 個零點，則m 的取值范圍為（ ）
ìm m 16üA． í 2 B． m m eln2 2
e
ì
C． ím eln2 2 m
16ü ìm m eln2 2 m 16< < = = üD． 或
e2
í
e
2
5．（2024·重慶· 4模擬預測）設點 P (異于原點)在曲線C : y = ax a 0 上，已知過 P 的直線 l
é 3
垂直于曲線C 過點 P 的切線，若直線 l的縱截距的取值范圍是 ê , +

÷，則a = （4 ）
A．2 B．1 C． -1 D． ±1
二、多選題
6．（2023·廣東· 3二模）已知函數 f x = x - 3x2 +1的圖象在點 m, f m 處的切線為 lm ，則
（ ）
A． lm 的斜率的最小值為-2 B． lm 的斜率的最小值為-3
C． l0 的方程為 y =1 D． l-1的方程為 y = 9x + 6
y
K x =
7．（23-24 高三下·河南·階段練習）定義函數 y = f x 的曲率函數 3 （ y 是1+ y 2 2
y 的導函數），函數 y = f x 在 x = x0處的曲率半徑為該點處曲率K x0 的倒數，曲率半徑
是函數圖象在該點處曲率圓的半徑，則下列說法正確的是（ ）
A．若曲線在各點處的曲率均不為 0，則曲率越大，曲率圓越小
B．函數 y = sinx x
π
在 = 2 處的曲率半徑為
1
C．若圓C 為函數 y = lnx的一個曲率圓，則圓C 半徑的最小值為 2
D．若曲線 y = lnx在 x1, x2 x1 x
1
2 處的彎曲程度相同，則 x1x2 < 2
三、填空題
2
8．（2024·上海閔行·二模）函數 y = - x 在 x =1處的切線方程為 .x
9．（2024·全國·模擬預測）曲線 y = 2 x 與 y = 2 + lnx的公切線方程為 .
四、解答題
10．（2024· ax河北·模擬預測）已知函數 f x = e - ex - b在 x = 0處的切線為 x 軸．
(1)求 a,b的值；
(2)求 f x 的單調區間．
11．（2023·貴州·模擬預測）已知函數 f x = ln x, g x = a x -1 2 -1 .
1
(1)當 a = 時，求函數F x = f x - g x 的最大值；
4
1
(2)當 a = - 時，求曲線 y = f x 與 y = g x 的公切線方程.
4
12．（2024·陜西安康·模擬預測）已知函數 f x = lnx +1, g x = ex -1.
(1)求曲線 y = f x 與 y = g x 的公切線的條數；
(2)若 a > 0,"x -1, + , f x +1 a2g x + a2 - a +1，求 a的取值范圍.

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