資源簡介

考點(diǎn) 14 函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解（3 種核心題型+基礎(chǔ)保分練+
綜合提升練+拓展沖刺練）
【考試提醒】
1.理解函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解的聯(lián)系.2.理解函數(shù)零點(diǎn)存在定理，并能簡單應(yīng)用.
3.了解用二分法求方程的近似解．
【知識點(diǎn)】
1．函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解
(1)函數(shù)零點(diǎn)的概念
對于一般函數(shù) y＝f(x)，我們把使 f(x)＝0 的實(shí)數(shù) x 叫做函數(shù) y＝f(x)的零點(diǎn)．
(2)函數(shù)零點(diǎn)與方程實(shí)數(shù)解的關(guān)系
方程 f(x)＝0 有實(shí)數(shù)解 函數(shù) y＝f(x)有零點(diǎn) 函數(shù) y＝f(x)的圖象與 x 軸有公共點(diǎn)．
(3)函數(shù)零點(diǎn)存在定理
如果函數(shù) y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有 f(a)f(b)<0，那么，函數(shù)
y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個零點(diǎn)，即存在 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0，這個 c 也就是方程
f(x)＝0 的解．
2．二分法
對于在區(qū)間[a，b]上圖象連續(xù)不斷且 f(a)f(b)<0 的函數(shù) y＝f(x)，通過不斷地把它的零點(diǎn)所在
區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分
法．
常用結(jié)論
1．若連續(xù)不斷的函數(shù) f(x)是定義域上的單調(diào)函數(shù)，則 f(x)至多有一個零點(diǎn)．
2．連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號
【核心題型】
題型一　函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判定
確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法
(1)利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理：首先看函數(shù) y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有
f(a)·f(b)<0.若有，則函數(shù) y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點(diǎn)．
(2)數(shù)形結(jié)合法：通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與 x 軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來判斷．
【例題 1】（2024· · 3x貴州貴陽 模擬預(yù)測）設(shè)方程 × log3 x =1的兩根為x1， x2 x1 < x2 ，則
（ ）
1
A．0 < x1 <1， x2 > 3 B． x1 > x2
C．0 < x1x2 <1 D． x1 + x2 > 4
【答案】C
【分析】由數(shù)形結(jié)合及零點(diǎn)的判定方法可確定出0 < x1 <1 < x2 < 2，即可判斷 AD，計算出
log3 x1x2 < 0，可判斷 BC.
x
3x × log x =1 log x 1= = 1 【詳解】由 3 可得 3 3x ÷
，
è 3
x
在同一直角坐標(biāo)系中同時畫出函數(shù) y = log3 x 和 y
1
= ÷ 的圖象，如圖所示：
è 3
log 1 1
1 1 2
因?yàn)?3 < ÷ = ， log3 2 = log3 2
1 1
> ÷ = ，
è 3 3 è 3 9
由圖象可知，0 < x1 <1 < x2 < 2，
所以1< x1 + x2 < 3故 A，D 錯誤；
1
x
1 1
x
2log3 x1x2 = log3 x1 + log3 x2 = - ÷ + ÷ ，
è 3 è 3
x x
x < x 1
1
>
1 2
因?yàn)?1 2，所以 ÷ ÷ ，所以 log3 x1x2 < 0，
è 3 è 3
1
所以0 < x1x2 <1，即 x1 < x ，故 B 錯誤，C 正確.2
故選：C
【變式 1】（2023·河北·模擬預(yù)測）已知函數(shù) f x = 3x + x - 6 有一個零點(diǎn) x = x0，則 x0 屬于下
列哪個區(qū)間（ ）
1 ,1 3 3 5 A． 2 ÷ B．
1, , 2
2 ÷ C． 2 ÷ D．è è
2, ÷
è è 2
【答案】B
【分析】利用零點(diǎn)存在性定理計算即可.
【詳解】由題知 f x 在R 上單調(diào)遞增，
1 3
∵ f ÷ = 3 - 5.5 < 0， f 1 = -2 < 0 f
3
， = 32 - 4.5，
è 2 ÷è 2
3 2 f 3 > 0 1, 3 又3 - 4.5 > 0，∴ ÷ ，即在 2 ÷上存在 x 使得 f x = 0 .è 2 è 0 0
故選：B.
x-1
【變式 2】（2023·海南·模擬預(yù)測）函數(shù) f x = 2 + x - 3的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（ ）
A． -1,0 B． 0,1 C． 1,2 D． 2,3
【答案】C
【分析】利用零點(diǎn)存在定理計算出滿足條件的區(qū)間即可.
x-1
【詳解】易知函數(shù) f x = 2 + x - 3在R 上單調(diào)遞增，
又 f 1 =1+1- 3 < 0， f 2 = 2 + 2 - 3 > 0，
由函數(shù)的零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù) f x 的零點(diǎn)所在的一個區(qū)間是 1,2 ．
故選：C
6
【變式 3】（2023·遼寧葫蘆島·一模）請估計函數(shù) f x = - log2 x 零點(diǎn)所在的一個區(qū)間 .x
【答案】 3,4
【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在性定理求解即可.
【詳解】根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，
函數(shù) f x 6= - log2 x 為 0，+ 上的減函數(shù),x
函數(shù)的圖像在 0，+ 上為一條連續(xù)不斷的曲線,
又 f 3 = 2 - log2 3 > 2 - log2 4 = 0 , f 4
3 3 1
= - log2 4 = - 2 = - < 0 ,2 2 2
6
所以函數(shù) f x = - log2 x 零點(diǎn)所在的一個區(qū)間為 3,4 .x
3,4
故答案為:
題型二　函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的判定
求解函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的基本方法
(1)直接法：令 f(x)＝0，方程有多少個解，則 f(x)有多少個零點(diǎn)；
(2)定理法：利用定理時往往還要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等；
(3)圖象法：一般是把函數(shù)拆分為兩個簡單函數(shù)，依據(jù)兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)個數(shù)得出函數(shù)的零
點(diǎn)個數(shù)．
【例題 2】（2024·天津·二模）已知函數(shù) f x = sin2 x + 2sin x cos x - cos2 x ，關(guān)于 f x 有下面
四個說法：
① f x 的圖象可由函數(shù) g x = 2 sin 2x π的圖象向右平行移動 8 個單位長度得到；
② f x é π在區(qū)間 ê- ,
π ù
4 4 ú
上單調(diào)遞增；

x é π , π ù
é
3 -1
ù
③當(dāng) ê ú 時， f x 的取值范圍為6 2 ê
, 2 ；
2
ú

④ f x 在區(qū)間 0,2π 上有3個零點(diǎn)．
以上四個說法中，正確的個數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】首先把 f x 用三角恒等變換公式化簡，再逐一比對各個命題，判斷真假即可.
【詳解】因?yàn)?f x = sin2 x + 2sin x cos x - cos2 x = sin 2x - cos2 x - sin2 x ，
即 f x = sin2x -cos2x = 2sin 2x
π
- ÷ .
è 4
對于①，函數(shù) g x = 2 sin 2x π的圖象向右平行移動 8 個單位長度，
得到 y = 2 sin 2
x π -

÷ = 2 sin
π
2x - ÷ ，所以①正確；
è 8 è 4
π π π 3π π
對于②， x
é
ê- ,
ù
ú，則 2x -
é- , ù
4 4 ， 4 ê 4 4 ú
f x = 2 sin 2x π- ÷先減后增，所以②錯誤；
è 4
x π π é , ù 2x π é π , 3π ù對于③，當(dāng) ê ，則 - ， 6 2 ú 4 ê12 4 ú
2x π π x 3π當(dāng)且僅當(dāng) - = 時，即 = 時， f x = 2
4 2 8 max
，
當(dāng)且僅當(dāng) 2x
π π π
- = π π 6 - 2 3 -1時，即 x = ， f x = 2 sin 2 - = 2 = ，
4 12 6 min 6 4 ֏ 4 2
é 3 -1 ù
所以 f x 的取值范圍為 ê , 2ú，所以③正確；
2
π é π 15π ù
對于④，由 x 0,2π ，則 2x - - ,
4 ê 4 4 ú
，

π
則當(dāng) 2x - = 0,2x
π π
- = π,2x - = 2π,2x π- = 3π時， f x = 0，
4 4 4 4
所以 f x = 0在 x 0,2π 上有 4個零點(diǎn)，所以④錯誤.
故選：B.
【變式 1】（2024·湖南·模擬預(yù)測）已知函數(shù) f x 滿足 f x + 8 = f x ， f x + f 8 - x = 0，
當(dāng) x 0,4 時， f x = ln π 1+ sin x ÷，則函數(shù)F x = f 3x - f x 在 0,8 內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù)為
è 4
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，判斷 y = f 3x 的圖象關(guān)于點(diǎn) 4,0 對稱，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù) f x 在 0,4
上的單調(diào)性，在同一坐標(biāo)系中作出 y = f 3x 與 y = f x 的圖象，得出交點(diǎn)個數(shù)，并結(jié)合對
稱性及 f 12 = f 4 = 0可得解.
【詳解】根據(jù)題意，函數(shù) f x 的周期為 8，圖象關(guān)于點(diǎn) 4,0 對稱，
又 f é 3 8 - x ù + f 3x = f 8 - 3x + f 3x = - f 3x + f 3x = 0，
所以函數(shù) y = f 3x 的圖象也關(guān)于點(diǎn) 4,0 對稱，
由 x 0,4 ， f x = ln 1+ sin
π x
4 ÷
，
è
π cos π x
\ f x = 4 4 0 π x π ππ ，Q < ， sin x 0，1+ sin x 4 4
4
令 f x > 0，解得0 x < 2，令 f x < 0，解得 2 < x < 4 ，
所以函數(shù) f x 在 0,2 上單調(diào)遞增，在 2,4 上單調(diào)遞減， f 2 = ln 2， f 0 = f 4 = 0，
在同一個坐標(biāo)系中，作出函數(shù) y = f 3x 與 y = f x 的圖象，如圖，
由圖可得，函數(shù) y = f 3x 與 y = f x 在 0,4 上有兩個交點(diǎn)，
因?yàn)楹瘮?shù) y = f 3x 與 y = f x 圖象均關(guān)于點(diǎn) 4,0 對稱，
所以函數(shù) y = f 3x 與 y = f x 在 4,8 上有兩個交點(diǎn)，又 f 12 = f 4 = 0，
所以函數(shù)F x = f 3x - f x 在 0,8 內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù)為 5.
故選：C.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)問題，依據(jù)題意，可判斷函數(shù)
y = f 3x 與 y = f x 圖象均關(guān)于點(diǎn) 4,0 對稱，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù) y = f x 在 0,4 上的單
調(diào)性，并根據(jù)單調(diào)性，極值作出 y = f x 與 y = f 3x 在 0,4 上的圖象，根據(jù)圖象求得結(jié)果.
【變式 2】．（2024·青海西寧·二模）記t x 是不小于 x 的最小整數(shù),例如
t 1.2 = 2,t 2 = 2,t -1.3 = -1, - x 1則函數(shù) f x =t x - x - 2 + 的零點(diǎn)個數(shù)為 .
8
【答案】3
【分析】先將 f x =t x 1 1- x - 2- x + 的零點(diǎn)個數(shù)轉(zhuǎn)化為 g x =t x - x和 h x = 2- x - 的交
8 8
點(diǎn)個數(shù)，然后畫圖確定交點(diǎn)個數(shù).
【詳解】令 f x = 0 ,則t x - x 1= 2- x - ,
8
令 g x =t x - x, h x = 2- x 1- ,
8
則 g x 與 h x 的交點(diǎn)個數(shù)即為 f x 的零點(diǎn)個數(shù),
當(dāng)-1 < x 0時, g x = 0 - x = -x 0,1 ,
又 g x +1 =t x +1 - x +1 =t x - x = g x ,
所以 g x 是周期為 1 的函數(shù),
h x 在R 上單調(diào)遞減,且 h -1 >1, h 0 7= ,h 3 = 0 ,
8
所以可作出 g x 與 h x 的圖象如圖,
所以 g x 與 h x 有 3 個交點(diǎn)，故 f x 的零點(diǎn)個數(shù)為 3,
故答案為：3.
【變式 3】（2024·北京西城·一模）關(guān)于函數(shù) f x = sinx + cos2x，給出下列三個命題：
① f x 是周期函數(shù)；
②曲線 y = f x x π關(guān)于直線 = 2 對稱；
③ f x 在區(qū)間 0,2π 上恰有 3 個零點(diǎn)．
其中真命題的個數(shù)為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】選項(xiàng)①，根據(jù)條件得到 f x + 2π = f (x) ，即可判斷出①的正誤；選項(xiàng)②，根據(jù)條
件得出 f (π - x) = f (x) ，根據(jù)對稱軸的定義，即可得出②的正誤；選項(xiàng)③，令 f (x) = 0 ，直
接求出 x 的值，即可得出③的正誤，從而得出結(jié)果.
【詳解】對于①，因?yàn)?f x = sinx + cos2x，所以
f x + 2π = sin(x + 2π) + cos2(x + 2π) = sin x + cos2x = f (x)，故T = 2π，所以選項(xiàng)①正確，
對于②，因?yàn)?f (π - x) = sin(π - x) + cos2(π - x) = sin x + cos2x = f (x)，
π
由對稱軸的定義知， x = 2 為函數(shù)
f (x) 的一條對稱軸，所以選項(xiàng)②正確，
對于③，因?yàn)?f x = sinx + cos2x = -2sin2x + sin x +1，令 f (x) = 0 ，得到
-2sin2x + sin x +1 = 0，
sin x 1 x 0,2π sin x 1 11π解得 = - 或 sin x = 1，又 ，由 = - x 7π，得到 = 或 x = ，
2 2 6 6
x π由 sin x = 1，得到 = 2 ，所以選項(xiàng)③正確，
故選：D.
題型三　函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用
根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)的三種常用方法
(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍．
(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決．
(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)
合求解.
命題點(diǎn) 1　根據(jù)零點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)
2x x 2
【例題 3】（多選）（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù) f x = e - 2 a +1 xe + a a + 2 x （其
中 e為自然對數(shù)的底數(shù)），則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．$a R ，使函數(shù) f x 恰有 1 個零點(diǎn)
B．$a R ，使函數(shù) f x 恰有 3 個零點(diǎn)
C．"a R ，函數(shù) f x 都有零點(diǎn)
D．若函數(shù) f x 有 2 個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) a的取值范圍為 e - 2,e
【答案】AB
2
ex x
【分析】通過觀察式子的結(jié)構(gòu)得到 ÷ - 2 a
e
+1 + a a + 2 = 0 ，從而將問題化為函數(shù)
è x x
g x e
x
= 圖象與 y = a 或 y = a + 2的交點(diǎn)問題，利用導(dǎo)數(shù)研究 g x 的圖象，從而數(shù)形結(jié)合
x
即可得解．
【詳解】令 f x = e2x - 2 a +1 xex + a a + 2 x2 = 0，顯然 x = 0不是 f x 的零點(diǎn)，
2
ex 2 a 1 e
x ex ex
所以 ÷ - + + a a + 2 = 0 ，即 - a ÷ - a - 2÷ = 0，
è x x è x è x
ex ex
從而得 = a或 = a + 2．
x x
x x
設(shè) g e e x -1x = ，則 g x = ．
x x2
令 g x = 0，得 x =1，
可知當(dāng) x >1時， g x > 0，所以函數(shù) g x 在 1, + 上單調(diào)遞增，
可知當(dāng) x < 0 或0 < x <1時， g x < 0，所以函數(shù) g x 在 - ,0 , 0,1 上單調(diào)遞減，
且 g 1 = e．作出函數(shù) g x 的大致圖象，如圖．
ìa < 0
對于 A，結(jié)合圖像知，當(dāng) a + 2 = e或 í ，即 a = e - 2或-2 a < 00 a 2 e 時，函數(shù)
f x 恰
+ <
有 1 個零點(diǎn)，故 A 正確．
對于 B，結(jié)合圖像知，當(dāng) a = e時，函數(shù) f x 恰有 3 個零點(diǎn)，故 B 正確．
ìa 0
對于 C，結(jié)合圖像知，當(dāng) ía 2 ，即0 a < e-2時，函數(shù)
f x 沒有零點(diǎn)，故 C 錯誤．
+ < e
ì0 a < e
對于 D，結(jié)合圖像知，當(dāng) í 或 a + 2 < 0，即 a < -2或e-2 < a < e時，函數(shù) f x
a + 2 > e
有 2
個零點(diǎn)，故 D 錯誤．
故選：AB．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；
（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；
（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫
出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.
【變式 1】（2024·安徽黃山·二模）若函數(shù) f (x) = 1- x2 - k x -1 - 4有兩個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) k
的取值范圍是 .
15
【答案】 ( ,2]8 ．
【分析】令 f (x) = 0 ，則有 1- x2 = k(x -1) + 4，將問題轉(zhuǎn)化為半圓 x2 + y2 =1(y 0)與直線
y = k(x -1) + 4 有兩個交點(diǎn)，作出圖象，結(jié)合圖象求解即可．
【詳解】令 f (x) = 1- x2 - k(x -1) - 4 = 0，
則 1- x2 - k(x -1) - 4 = 0 ，所以 1- x2 = k(x -1) + 4，
又因?yàn)?y = 1- x2 0，即為 x2 + y2 =1(y 0)，表示單位圓位于 x 軸上及上方部分；
而 y = k(x -1) + 4 ，表示過點(diǎn) (1, 4)且斜率為 k 的直線，
所以將問題轉(zhuǎn)化為半圓 x2 + y2 =1(y 0)與直線 y = k(x -1) + 4 有兩個交點(diǎn)，
| 4 - k | 15
當(dāng)直線與半圓相切時； =1，解得 k =
1+ k 2
，
8
當(dāng)直線過點(diǎn) (-1,0) 時，則有-2k + 4 = 0，解得 k = 2，
15
綜上， k ( ,2]8 ．
15
故答案為： ( ,2]8 ．
【變式 2】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）若方程 ax2 - ln x = 0在 1, + 上有兩個不同的根，則
a 的取值范圍為（ ）
1 1 A． 0, ÷ B． - , ÷ C． 1,e D． - , 2
è 2e è e
【答案】A
ln x ln x
【分析】變形得到 a = 2 ， x >1，即 y = a 與 f x = 2 ， x >1有兩個不同的交點(diǎn)，令x x
ln x 1f x = 2 ， x 1

> ，求導(dǎo)得到單調(diào)性和極值，最值情況，進(jìn)而得到 a
x
0,
2e ÷
,
è
ax2 ln x 0 a ln x【詳解】 - = = 2 ， x >1，x
f x ln x令 = 2 ， x >1，x
即 y = a 與 f x ln x= 2 ， x >1有兩個不同的交點(diǎn)，x
f x x - 2x ln x 1- 2ln x則 = = ， x >1，
x4 x3
令 f x 0 1> ，即1- 2ln x > 0 ，解得1< x < e2 ，
令 f x < 0，即1- 2ln x < 0 1，解得 x > e2 ，
ln x
1 1
故 f x = 2 在 1,e2 ÷上單調(diào)遞增，在 e
2 ,+ ÷ 上單調(diào)遞減，x è è
1 1
故 f x ln x 1= 2 在 x = e2 處取得極大值，也是最大值， f e2 = ，x ÷è 2e
且當(dāng) x >1時， f x ln x= 2 > 0，當(dāng) x =1時， f 1 = 0，x
當(dāng) x + 時， f x ln x= 趨向于 0，
x2
故 a
1
0, 2e ÷
,
è
故選：A
【變式 3】（2024·上海徐匯·二模）已知函數(shù) y = f (x) ，其中 f (x)
2 + x
= log 1 x - 2 .2
(1)求證： y = f (x) 是奇函數(shù)；
(2)若關(guān)于 x 的方程 f (x) = log 1 x + k 在區(qū)間[3, 4]上有解，求實(shí)數(shù) k 的取值范圍.
2
【答案】(1)證明見解析
(2) -1,2
【分析】（1）結(jié)合奇偶性的定義以及對數(shù)函數(shù)運(yùn)算法則即可得證；
4
（2）分離參數(shù)，將原問題等價轉(zhuǎn)換為 k = - x +1在 3,4 上有解，由此轉(zhuǎn)換為求函數(shù)值域
x - 2
問題.
2 + x
【詳解】（1）函數(shù) y = log 1 的定義域?yàn)镈 = - ,-2 2,+ ，
2 x - 2
在D中任取一個實(shí)數(shù) x ，都有-x D，并且
f ( x) log 2 - x
-1
- = 1 = log
x - 2 x + 2
1 = log

1 ÷ = - f (x) .
2 -x - 2 2 x + 2 2 è x - 2
2 + x
因此， y = log 1 x - 2 是奇函數(shù).2
（2） f (x) = log 1 x + k 等價于 x + k x + 2 k x + 2 4= 即 = - x = - x +1在 3,4 上有解.
2 x - 2 x - 2 x - 2
記 g(x)
4
= - x +1，因?yàn)?g(x)在 3,4 上為嚴(yán)格減函數(shù)，
x - 2
所以， g(x)max = g(3) = 2， g(x)min = g(4) = -1，
g(x) -1,2 k -1,2 故 的值域?yàn)?，因此，實(shí)數(shù) 的取值范圍為 .
命題點(diǎn) 2　根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的范圍求參數(shù)
f x π= cos wx + π【例題 4】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知函數(shù) ÷ w > 0

在區(qū)間 ,π4 3 ÷
上
è è
單調(diào)遞減，且 f x 在區(qū)間 0, π 上只有 1 個零點(diǎn)，則w 的取值范圍是（ ）
0, 1 ù 1A． ú B． ,
3 ù 1 3 ù 1
ú C． , ú D． ,
5 ù
è 4 è 2 4 è 4 4 è 4 4 ú
【答案】C
【分析】結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性與零點(diǎn)列式計算即可得.
π π π π π 3π
【詳解】當(dāng) x 0, π 時，wx + ,wπ +4 4 4 ÷， 則 < wπ + ，è 2 4 2
當(dāng) x
π π π π π π
, π ÷時，wx + 3 4
w+ ,wπ + ÷，則wπ + π ，
è è 3 4 4 4
π
即有 < wπ
π
+ π 1 3，解得 < w .
2 4 4 4
故選：C.
2
【變式 1】（2024·四川巴中·一模）若函數(shù) f x = 2ax + 3x -1在區(qū)間 -1,1 內(nèi)恰有一個零點(diǎn)，
則實(shí)數(shù) a 的取值集合為（ ）
A． a | -1 < a < 2 B．{a | a 9= - 或-1 < a < 2} .
8
C．{a | -1 a 2} D．{a | a
9
= - 或-1 a 2} .
8
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，分 a = 0和 a 0，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，以及零點(diǎn)存在性定理，列出不
等式，即可求解.
由函數(shù) f x = 2ax2 + 3x -1，
2
【詳解】由函數(shù) f x = 2ax + 3x -1，
若 a = 0，可得 f x
1
= 3x -1，令 f x = 0，即3x -1 = 0，解得 x = ，符合題意；
3
若 a 0，令 f x = 0，即 2ax2 + 3x -1 = 0，可得D = 9 + 8a ，
9 9 2
當(dāng)Δ = 0時，即9 + 8a = 0 2，解得 a = - ，此時 f x = - x + 3x -1，解得 x = ，符合題意；
8 4 3
0 a 9當(dāng)D > 時，即 > - 且 a 0，則滿足 f -1 × f 1 = (2a - 4)(2a + 2) 08 ，
解得 -1 a 2 且 a 0，
若 a = -1，可得 f x = -2x2 + 3x -1，令 f x = 0，即 2x2 - 3x +1 = 0 ，
1 1
解得 x =1或 x = ，其中 x = (-1,1)，符合題意；
2 2
若 a = 2，可得 f x = 4x2 + 3x -1，令 f x = 0，即 4x2 + 3x -1 = 0 ，
1 1
解得 x=-1或 x = ，其中 x = (-1,1)，符合題意；
4 4
9
綜上可得，實(shí)數(shù) a的取值范圍為{a | a = - 或-1 a 2} .
8
故選：D.
【變式 2】（2023·河南·模擬預(yù)測）已知函數(shù) f (x) = log2 (x -1) + a在區(qū)間 (2,3) 上有且僅有一
個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) a的取值范圍為 .
【答案】 (-1,0)
【分析】結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)的存在定理，即可求解
【詳解】解： 由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得 f x 為單調(diào)遞增函數(shù)，且函數(shù) f (x) 在 (2,3) 上有且
僅有一個零點(diǎn)，
所以 f 2 × f 3 < 0 ，即 a × (a +1) < 0 ，解得-1 < a < 0，
所以實(shí)數(shù) a的取值范圍是 (-1,0) ，
故答案為： (-1,0)
【變式 3】（2023·全國· p模擬預(yù)測）將函數(shù) f (x) 2= sinwx(w > 0)的圖像向右平移 個單位
2 3w
長度得到函數(shù) g(x)
π 5π
的圖像．若 g(x)在區(qū)間 , ÷ 內(nèi)有零點(diǎn)，無極值，則w 的取值范圍
è 3 6
是 ．
2 ,1 【答案】 5 ÷è
【分析】根據(jù)題意，求得平移之后的函數(shù) g x ，再由條件，列出不等式，代入計算，即可
得到結(jié)果.
g(x) 2= sinw x π- 2 π 【詳解】
2 ÷
= sin wx - ÷ (w > 0)，
è 3w 2 è 3
5π π T 2π
依題意得 - ，\T π，又T = ，\0 < w 2．
6 3 2 w
Q x π , 5π π π π 5π π 3 6 ÷，
\ w - < wx - < w - ．
è 3 3 3 6 3
Q g(x) π , 5π 函數(shù) 在區(qū)間 3 6 ÷ 內(nèi)有零點(diǎn)，無極值，è
ì π π π
- < w - < 0
\ 3 3 3 2 2í < w <1 w
,1
0 5π w π π
，解得 ，即 的取值范圍是 5 ÷ ．
< - 5 è
6 3 2
2 ,1 ÷
故答案為： è 5
【課后強(qiáng)化】
基礎(chǔ)保分練
一、單選題
x
1．（2023·浙江寧波· 1一模）已知函數(shù) f (x) = 2x + log 2 x, g(x) = ÷ - log2 x, h(x) = x
3 + log2 x 的
è 2
零點(diǎn)分別為 a,b,c，則（ ）
A． a > b > c B．b > a > c
C． c > a > b D．b > c > a
【答案】D
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判斷 a,c 小于 1，b 大于 1，再由數(shù)形結(jié)合判斷 a,c
即可.
x x
【詳解】令 g(x) 1 1= ÷ - log2 x = 0，可得2 ÷
= log2 x > 0，所以 x >1，即b >1；
è è 2
令 f (x) = 2x + log2 x = 0
x
，可得 2 = - log2 x > 0，即 log2 x < 0 ，所以0 < x <1，
即 0 < a < 1；
令 h(x) = x3 + log2 x = 0 x
3
，可得 = - log2 x，由此可得 log2 x < 0 ，所以0 < x <1，
即0 < c <1，
作 y = 2x , y = - log x, y = x32 的圖象，如圖，
由圖象可知， a < c，所以 a < c < b .
故選：D
2 2023· · f x = x2 - 4x + a e2 x-4 4-2 x．（ 貴州畢節(jié) 模擬預(yù)測）若函數(shù) + e 有唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a =
（ ）
A 1．2 B． 2 C．4 D．1
【答案】A
【分析】由函數(shù)解析式推導(dǎo)出函數(shù)的對稱性，然后結(jié)合只有唯一的零點(diǎn)求出參數(shù)的值.
f 4 - x = 4 - x 2 - 4 4 - x + a e2(4-x)-4 4-2(4-x)【詳解】由 + e
= x2 - 4x + a e4-2x + e2x-4 = f x ，
得 f 4 - x = f x ，即函數(shù) f x 的圖象關(guān)于 x = 2對稱，
2 2 x-4 4-2 x
要使函數(shù) f x = x - 4x + a e + e 有唯一的零點(diǎn)，
則 f 2 = 0 ，即 4 -8 + 2a = 0 ，得 a = 2．
故選：A．
3．（23-24 高三下· x四川雅安·開學(xué)考試）已知函數(shù) f x = 2 + x - 4，若存在 x1 < x2，使得
f x1 f x2 < 0，則下列結(jié)論不正確的是（ ）
A． x1 <1 B． x2 >1
C． f x 在 x , x x + x 1 2 內(nèi)有零點(diǎn) D．若 f x 在 1 2 x1, 2 ÷ 內(nèi)有零點(diǎn)，則è
f x1 + x2 ÷ > 0
è 2
【答案】A
【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在定理逐項(xiàng)判斷即可得結(jié)論.
f x = 2x【詳解】因?yàn)?+ x - 4在 0, + 上單調(diào)遞增，且 x1 < x2， f x1 f x2 < 0，
所以 f x1 < 0， f x2 > 0，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得函數(shù) f x 在 x1, x2 內(nèi)有零點(diǎn)，故 C 正
確；
又因?yàn)?f 1 = -1< 0，所以 x2 >1，故 B 正確；
3
又因?yàn)?f 1.21 = 21.21 + 1.21 - 4 < 22 - 2.9 = 2 2 - 2.9 < 0，則x1可能大于1，故 A 不正確；
若函數(shù) f x x , x1 + x2 f x + x 在 1 2 ÷ 內(nèi)有零點(diǎn)，則
1 2
÷ > 0，故 D 正確.
è è 2
故選：A.
ìx3 , x 0
4．（2024·北京海淀·一模）已知 f x = í ，函數(shù) f (x) m (0,2)
lg x 1 , x
的零點(diǎn)個數(shù)為 ，過點(diǎn)
+ > 0
與曲線 y = f (x) 相切的直線的條數(shù)為 n，則m, n的值分別為（ ）
A．1,1 B．1,2 C． 2,1 D． 2, 2
【答案】B
【分析】借助分段函數(shù)性質(zhì)計算可得m ，借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義及零點(diǎn)的存在性定理可得 n .
【詳解】令 f x = 0，即 x 0 時， x3 = 0，解得 x = 0，
x > 0時， lg x +1 = 0，無解，故m =1，
設(shè)過點(diǎn) (0,2)與曲線 y = f (x) 相切的直線的切點(diǎn)為 x0 , y0 ，
當(dāng) x < 0 時， f x = 3x2，則有 y - x30 = 3x20 x - x0 ，
有 2 - x30 = 3x
2
0 -x0 3，整理可得 x0 = -1，即 x0 = -1，
即當(dāng) x0 < 0 時，有一條切線，
lg e
當(dāng) x > 0時， f x = ，則有 y - lg x 1
lg e
0 + = x - x x +1 x 0 ，0 +1
有 2 - lg x0 +1
lg e
= -x
x 1 0 ，整理可得 2 + lg e x0 + 2 - x0 +1 lg x0 +1 = 0+ ，0
令 g x = 2 + lg e x + 2 - x +1 lg x +1 x > 0 ，
則 g x = 2 - lg x +1 ，
令 g x = 0 ，可得 x = 99 ，
故當(dāng) x 0,99 時， g x > 0，即 g x 在 0,99 上單調(diào)遞增，
當(dāng) x 99, + 時， g x < 0，即 g x 在 99, + 上單調(diào)遞減，
由 g 99 = 2 + lg e 99 + 2 - 200 = 99lg e > 0，
g 0 = 2 - 0 = 2 > 0，故 g x 在 x 0,99 上沒有零點(diǎn)，
又 g 999 = 2 + lg e 999 + 2 -1000 3 = 999lg e -1000 < 0，
故 g x 在 99,999 上必有唯一零點(diǎn)，
即當(dāng) x0 > 0 時，亦可有一條切線符合要求，
故 n = 2 .
故選：B.
f x 2sin 2x j π π5．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù) = + - < j <
π
÷的圖像關(guān)于點(diǎn)2 2
,0÷中
è è 3
π
心對稱，將函數(shù) f x 的圖像向右平移 個單位長度得到函數(shù) g x 的圖像，則下列說法正確
3
的是（ ）
A． f x π π- 在區(qū)間 ， ÷上的值域是 -1，2
è 3 6
B． g x = -2sin2x
é π 5π ù
C．函數(shù) g x 在 ê- ， ú上單調(diào)遞增 12 12
D．函數(shù) g x 在區(qū)間 -π，π 內(nèi)有 3 個零點(diǎn)
【答案】C
f π 0 π π【分析】先通過 ÷ =

求出j ，則求出了函數(shù) f x 解析式，對于 A：通過 x - , ÷，
è 3 è 3 6
π
求出 2x + 的范圍，進(jìn)而可得函數(shù)值域；對于 B：直接平移可得答案；對于 C：通過
3
π 2kπ 2x π π- + - + 2kπ,k Z求出函數(shù) g x 的單調(diào)遞增區(qū)間；對于 D：通過 g x = 0求
2 3 2
出 x 取值即可.
【詳解】Q函數(shù) f x π π 2π 的圖像關(guān)于點(diǎn) ,0÷中心對稱，\ f = 2sin +j = 0
è 3
，
è 3 ÷ è 3 ÷
2π 2π
\ +j = kπ,k Z ，即j = - + kπ,k Z
π π
，又- < j < ，
3 3 2 2
\j π= ，則 f x = 2sin 2x π+
3 ÷
．
è 3
x π π π π 2π - , 2x + - , sin

2x π 3
ù
當(dāng) ÷時， ÷ ， +

÷ 3 6 3 3 3 3
- ,1ú ，
è è è è 2
\ f x - 3,2ù ，故 A 錯誤；
π π
將函數(shù) f x 的圖像向右平移 個單位長度得到函數(shù) g x = 2sin 2x - ÷的圖像，故 B 錯誤；3 è 3
π π π π 5π
令- + 2kπ 2x - + 2kπ,k Z，得- + kπ x + kπ, k Z，
2 3 2 12 12
π 5π π 5π
當(dāng) k = 0
é ù
時，- x ，\函數(shù) g x 在 - , 上單調(diào)遞增，故 C 正確；
12 12 ê 12 12 ú
令 2x
π
- = kπ, k Z π kπ，得 x = + ， k Z ，
3 6 2
\ 5π π π函數(shù) g x 在區(qū)間 -π, π 內(nèi)的零點(diǎn)有 x = - ， x = - , x = , x 2π= ，共 4 個，故 D 錯
6 3 6 3
誤．
故選：C.
二、多選題
6．（2024·甘肅定西·一模）已知函數(shù) f x = 2x -1 - a, g x = x2 - 4 x + 2 - a ，則（ ）
A．當(dāng) g x 有 2 個零點(diǎn)時， f x 只有 1 個零點(diǎn)
B．當(dāng) g x 有 3 個零點(diǎn)時， f x 只有 1 個零點(diǎn)
C．當(dāng) f x 有 2 個零點(diǎn)時， g x 有 2 個零點(diǎn)
D．當(dāng) f x 有 2 個零點(diǎn)時， g x 有 4 個零點(diǎn)
【答案】BD
【分析】將問題轉(zhuǎn)化為 y = 2x -1 , y = x2 - 4 x + 2 與 y = a 的圖象交點(diǎn)問題，結(jié)合圖象，逐一
分析各選項(xiàng)中 a的取值范圍，從而得解.
【詳解】令 f x = 0, g x = 0，得 2x -1 = a, x2 - 4 x + 2 = a，
x 2
利用指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)作出 y = 2 -1 , y = x - 4 x + 2 的大致圖象，如圖所示，
由圖可知，當(dāng) g x 有 2 個零點(diǎn)時， a = -2 或 a > 2，
此時 f x 無零點(diǎn)或只有 1 個零點(diǎn)，故 A 錯誤；
當(dāng) g x 有 3 個零點(diǎn)時， a = 2，此時 f x 只有 1 個零點(diǎn)，故 B 正確；
當(dāng) f x 有 2 個零點(diǎn)時， 0 < a < 1，此時 g x 有 4 個零點(diǎn)．故 C 錯誤，D 正確.
故選：BD.
7．（2023·安徽馬鞍山·三模）已知函數(shù) f (x) = (x2 + x)ex + ln x的零點(diǎn)為 x0 ，下列判斷正確的是
（ ）
1 1
A． x0 < B． x0 >2 e
C． ex0 + ln x0 < 0 D． x0 + ln x0 < 0
【答案】ABD
1 1
【分析】求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷 f (x) 的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可得 x0 ,e 2 ÷，進(jìn)而逐è
項(xiàng)分析判斷.
2 x 1
【詳解】由題意可得： f (x) 的定義域?yàn)?(0, + )，且 f (x) = (x + 3x +1)e + x ，
2
因?yàn)?f (x) = (x + 3x +1)ex
1
+ > 0
x ，所以函數(shù)
f (x) 在 (0, + )上單調(diào)遞增，
1 3 1
對于 A：因?yàn)?f ( ) = e - ln 2 > 1- ln 2 > 02 4 ，所以 x0 < ，故 A 正確；2
B f (1) e +1
1 e +1 1 3 3 3- -
對于 ：因?yàn)?= ee2 -1 < e2 -1 = e 2 (e +1- e2 ) < e 2 (e
3
+1- e) < 0，
e e e2 2
1
所以 x0 > ，故 B 正確；e
對于 C：因?yàn)?x
1
0 > ，則 ln x > -1， ex00 >1，所以 e
x0 + ln x0 > 0，故 C 錯誤；e
1 1
對于 D：因?yàn)?x0 < ，所以 x0 + ln x0 < - ln 2 < 02 ，故 D 正確．2
故選：ABD.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)的相關(guān)問題，利用導(dǎo)數(shù)和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想來求
解．這類問題求解的通法是：
（1）構(gòu)造函數(shù)，這是解決此類題的關(guān)鍵點(diǎn)和難點(diǎn)，并求其定義域；
（2）求導(dǎo)數(shù)，得單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)；
（2）數(shù)形結(jié)合，挖掘隱含條件，確定函數(shù)圖象與 x 軸的交點(diǎn)情況進(jìn)而求解．
三、填空題
8．（2024·重慶·模擬預(yù)測）若1< w 2π，則關(guān)于 x 的方程 sinwx = x 的解的個數(shù)是 ．
【答案】3
【分析】根據(jù)題意可知，在同一坐標(biāo)系下分別畫出 y = sinwx 和 y = x 的圖象，找出兩函數(shù)圖
象交點(diǎn)個數(shù)即可.
【詳解】由 y = sinwx ，知 sinwx -1,1 2π，T = ，
w
因?yàn)?< w 2π，所以1 T < 2π，
在同一坐標(biāo)系下分別畫出 y = sinwx 和 y = x 的圖象，由圖象可得 y = sinwx 和 y = x 共有 3 個
交點(diǎn)，
即方程 sinwx = x 有 3 個根.
故答案為：3.
x 1
9．（2023·河北· xe + - ln x模擬預(yù)測）已知 f (x) = x ， x0 是該函數(shù)的極值點(diǎn)，定義 x 表示超
2
過實(shí)數(shù) x 的最小整數(shù)，則 f x0 的值為 .
e +1
【答案】
2
x 1
【分析】求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，轉(zhuǎn)化為求增函數(shù) g(x) = e - x2 的零點(diǎn)
x0 ，利用零點(diǎn)存在性定理確定
x 1 0 ,1÷ ，根據(jù)新定義求解即可.
è 2
x 1
∵ xe + - ln x【詳解】 f (x) = x , (x > 0)，
2
∴ f x 1= x +1 ex 1 -

2 x2 ÷
，
è
g(x) = ex 1令 - 2 ，則 g x = ex
2
+ 3 > 0x ，x
∴ g(x)在 (0, + )上為增函數(shù)，
g 1 1又 ÷ = e - 4 < 0, g(1) = e -1 > 0 x

，∴存在唯一 0 ,1

÷ ，使得 g x0 = 0，
è 2 è 2
1
即 f (x) 唯一的極值點(diǎn) x0 ,12 ÷
，
è
∴ x0 = 1，∴ f x0 = f (1) e +1= ，2
e +1
故答案為： .
2
四、解答題
10．（2023· 2四川成都·一模）已知函數(shù) f x = ax - xcosx + sinx -1 .
(1)若 a =1時，求曲線 y = f x 在點(diǎn) 0, f 0 處的切線方程；
(2)若 a =1時，求函數(shù) f x 的零點(diǎn)個數(shù)；
π
(3)若對于任意 x é ùê0, ú ， f (x) 1- 2a a2 恒成立，求 的取值范圍.
【答案】(1) y = -1
(2)兩個
(3) 1, +
【分析】（1）當(dāng)a =1 f x = x2， - xcosx + sinx -1，然后即可求解；
（2）求出導(dǎo)數(shù) f x = x 2 - sinx ，x R ，然后根據(jù) f x 的單調(diào)性并結(jié)合零點(diǎn)存在定理，
即可求解.
（3 2）利用（2）中結(jié)論，即證 x + 2 a - xcosx + sinx - 2 0恒成立，從而可求解.
2
【詳解】（1）當(dāng)a =1時，函數(shù) f x = x - xcosx + sinx -1，因?yàn)?f 0 = -1，所以切點(diǎn)為
0, -1 ，
由 f x = 2x - cosx + xsinx + cosx = x 2 + sinx ，x R ，得 f 0 = 0，
所以曲線在點(diǎn) 0, f 0 處的切線斜率為 0 ，
所以曲線 y = f x 在點(diǎn) 0, f 0 處的切線方程為 y = -1.
（2）由（1）可知 f x = 2x - cosx + xsinx + cosx = x 2 + sinx ，x R ，
因?yàn)?sinx -1,1 ，所以 2 + sinx > 0 ，令 f x = 0，則 x = 0，
當(dāng) x - ，0 時， f x < 0， f (x) 單調(diào)遞減；
當(dāng) x 0，+ 時， f x > 0， f x 單調(diào)遞增；
π p 2 π π2
又因?yàn)?f 0 = -1< 0， f ÷ = > 0, f - ÷ = - 2 > 0，
è 2 4 è 2 4
π
所以，由零點(diǎn)存在定理可知，存在唯一的 x1 - ,0÷使得 f x1 = 0

，存在唯一的 x2 0,
π
è 2 ÷ è 2
使得 f x2 = 0 .
故函數(shù) f x 有且僅有兩個零點(diǎn).
（3）因?yàn)?x
π
é ùê0, 2 ú ，當(dāng) x = 0時，由 f (0) = -1 1- 2a 得a 1，
é π ù
下面證明：當(dāng)a 1時，對于任意 x ê0, ， f (x) 1- 2a恒成立， 2 ú
即證 ax2 - xcosx + sinx -1 1- 2a，即證 x2 + 2 a - xcosx + sinx - 2 0；
而當(dāng)a 1 2時， x + 2 a - xcosx + sinx - 2 x2 + 2 - xcosx + sinx - 2 = x2 - xcosx + sinx，
2 2由（ ）知， x2 - xcosx + sinx 0 ；所以a 1時， x + 2 a - xcosx + sinx - 2 0恒成立；
綜上所述， a 1,+ .
f x sin wx π= - π11．（2024·福建福州·模擬預(yù)測）已知函數(shù) ÷ (0 < w < 3)， x = 是 f x 的零
è 4 8
點(diǎn)．
(1)求w 的值；
y f x π f 1 π= - + x + (2)求函數(shù) ÷ ÷的值域．
è 8 è 2 8
【答案】(1)w = 2
é 9(2) ùê- , 2 8 ú
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)性質(zhì)并結(jié)合范圍求解w .
（2）利用余弦二倍角公式以及二次函數(shù)的性質(zhì)求值域.
f π sin π w π 【詳解】（1）由已知可得 8 ÷
= -8 4 ÷
= 0 ，
è è
π π
解得 w - = kπ,k Z，
8 4
即w = 2 + 8k, k Z ，
又0 < w < 3，可得w = 2．
（2）由 f x sin 2x π= - ÷，可得
è 4
y π= f 1 π x - ÷ + f x +8 2 8 ÷è è
= sin 2x
π
-
2 ÷
+ sinx
è
= -cos2x + sinx
= - 1- 2sin2x + sinx
2
= 2 1 9 sinx + ÷ - ，
è 4 8
其中-1 sinx 1，
1
則當(dāng) sinx = - 時，函數(shù) y = f x
π f 1- + x π+ 9÷ ÷取得最小值- ，4 è 8 è 2 8 8
π
sinx 1 y = f x -
1 π
當(dāng) = 時，函數(shù) ÷ + f8
x + ÷取得最大值 2，
è è 2 8
故函數(shù) y = f

x
π 1 π 9
- ÷ + f

x +
é ù
÷的值域?yàn)?- , 2 ．
è 8 è 2 8 ê 8 ú
12．（2023·四川綿陽·模擬預(yù)測）函數(shù) f x = 2x2 + m x - m + 2 ．
(1)若 f x 為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)m 的值；
(2)已知 f x 僅有兩個零點(diǎn)，證明：函數(shù) y = f x - 3僅有一個零點(diǎn)．
【答案】(1) 2
(2)證明見解析
【分析】（1）利用奇函數(shù)的定義計算m 的值即可；
（2）利用 f x 僅有兩個零點(diǎn)確定m 的值，之后研究函數(shù) y = f x - 3的單調(diào)性，進(jìn)而研究
函數(shù)零點(diǎn)個數(shù).
【詳解】（1）解：因?yàn)?f (x) = (2x2 + m)(x - m + 2)=2x3 - 2(m - 2)x2 + mx - m(m - 2)為奇函數(shù)，
所以可知 f (x) 的定義域?yàn)镽 ，且 f (x) + f (-x) = 0，
即 2x3 - 2(m - 2)x2 + mx - m(m - 2) + 2(-x)3 - 2(m - 2)(-x)2 + m(-x) - m(m - 2) = 0，
即-2(m - 2)x2 - m(m - 2) = 0，
ì-2(m - 2) = 0
所以 í m(m 2) 0，解得
m = 2 .
- - =
（2）證明：①當(dāng)m > 0時， 2x2 + m > 0 ，
所以函數(shù) f (x) = (2x2 + m)(x - m + 2)不可能有兩個零點(diǎn)，此時不合題意；
②當(dāng)m < 0時，令 f (x) = 0 m，解得： x = ± - 或m - 2，
2
m m
又因 - > 0, - - < 0,m - 2 < 0 ，
2 2
f x m 2 m則要使得 （ ）僅有兩個零點(diǎn)，則 - = - - ，
2
即 2m2 - 7m + 8 = 0 ，此方程無解，此時不合題意；
③當(dāng)m = 0時，即 f (x) = 2x3 + 4x2 ，
令 f (x) = 0 ，解得 x = 0或 x = -2，符合題意，所以m = 0 .
令 h(x) = f (x) - 3 = 2x3 + 4x2 - 3，則 h (x) = 6x2 + 8x = 2x(3x + 4)，
令 h (x) > 0
4 4
，解得： x > 0或 x < - ，令 h (x) < 0解得：- < x < 0，
3 3
故 h(x) (
4
在 - ，- )， (0
4
，+ )
3 上遞增，在
(- ，0)
3 上遞減，
又 h(
4 17
- ) = - < 0
3 27 ，
x + , f (x) +
故函數(shù) y = f (x) - 3僅有一個零點(diǎn)．
綜合提升練
一、單選題
1．（2023·吉林長春·一模）方程 log3 x + x = 2的根所在區(qū)間是（ ）
A． 0,1 B． 1,2 C． 2,3 D． 3,4
【答案】B
【分析】將問題轉(zhuǎn)化為 f x = log3 x + x - 2零點(diǎn)所在區(qū)間的求解問題，利用零點(diǎn)存在定理求
解即可.
【詳解】設(shè) f x = log3 x + x - 2，則方程 log3 x + x = 2根所在區(qū)間即為 f x 零點(diǎn)所在區(qū)間，
Q y = log3 x 與 y = x - 2在 0, + 上均為增函數(shù)，\ f x 在 0, + 上單調(diào)遞增；
對于 A，Q f 1 = log3 1+1- 2 = -1，\當(dāng) x 0,1 時， f x < -1，A 錯誤；
對于 B，Q f 1 = -1< 0， f 2 = log3 2 + 2 - 2 = log3 2 > 0，即 f 1 f 2 < 0，
\$x0 1,2 ，使得 f x0 = 0，B 正確；
對于 CD，當(dāng) x > 2時， f x > f 2 > 0，\ f x 在區(qū)間 2,3 和 3,4 上無零點(diǎn)，C 錯誤，D
錯誤.
故選：B.
2．（2023·全國·模擬預(yù)測）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王
子”的稱號，設(shè) x R ，用 x 表示不超過 x 的最大整數(shù)， y = x 也被稱為“高斯函數(shù)”，例如
2.1 = 2， 3 = 3， -1.5 = -2，設(shè) x0 為函數(shù) f x 3= log3 x - 的零點(diǎn)，則 x =（ ）x +1 0
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷 x0 所在區(qū)間，最后根據(jù)高斯函
數(shù)的定義計算可得.
3
【詳解】解：因?yàn)?y = log3 x與 y = - 在 0, + 上單調(diào)遞增，x +1
所以 f x = log 33 x - 在 0, + 上單調(diào)遞增，x +1
f 3 log 3 3 1 3 1又 = 3 - = - = > 0 f 2 log 2
3
， = 3 - = log3 2 -1 < 0 ，3+1 4 4 2 +1
所以 f x 在 2,3 上存在唯一零點(diǎn) x0 ，即 x0 2,3 ，所以 x0 = 2 .
故選：A
3．（2023· 2寧夏銀川·三模）函數(shù) f x = log2 x + x + m 在區(qū)間 2,4 上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m 的
取值范圍是（ ）
A． - , -18 B． (5,+ )
C． (5,18) D． -18, -5
【答案】D
【分析】由函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可得.
【詳解】若函數(shù) f x = log2 x + x2 + m 在區(qū)間 2,4 上存在零點(diǎn)，
由函數(shù) f (x) 在 (2, 4)的圖象連續(xù)不斷，且為增函數(shù)，
則根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知，只需滿足 f (2) × f (4)<0，
即 (m + 5)(m +18) < 0，
解得-18所以實(shí)數(shù)m 的取值范圍是 -18, -5 .
故選：D.
4．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）若函數(shù) f x = 3cos wx +j π w < 0，- < j
π
< 的最小正周期
è 2 2 ÷
π π , π- π 為 ，在區(qū)間 ÷上單調(diào)遞減，且在區(qū)間 0, ÷上存在零點(diǎn)，則j 的取值范圍是（ ）
è 6 6 è 6
π π π π ù é π π π
A． , ÷ B． - ,- C． , D

． 0,
ù
è 6 2 è 2 3 ú ê 3 2 ÷

è 3 ú
【答案】B
【分析】根據(jù)給定周期求得w = -2 ，再結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、單調(diào)性及零點(diǎn)所在區(qū)間
列出不等式組，然后結(jié)合已知求出范圍.
π 2π【詳解】由函數(shù) f (x) 的最小正周期為 ，得 = π| | ，而w < 0 ，解得w = -2w ，
則 f (x) = 3cos(-2x +j) = 3cos(2x -j) ，由 2kπ 2x -j 2kπ + π,k Z，
得 2kπ+j 2x 2kπ + π +j, k Z，又 f (x) (
π π
在 - , ) 上單調(diào)遞減，
6 6
因此 2kπ+j
π π
- ，且 2kπ + π +j, k Z
2π 2kπ j π ，解得- - - - 2kπ,k Z ①，
3 3 3 3
π
由余弦函數(shù)的零點(diǎn)，得 2x -j = nπ + , n Z，即 2x = nπ
π
+ +j,n Z，
2 2
而 f (x) 在 (0,
π ) π π上存在零點(diǎn)，則0 < nπ + +j < ,n Z，
6 2 3
于是-nπ
π π π π π π
- < j < -nπ - , n Z ②，又- < j < ，聯(lián)立①②解得- < j - ，
2 6 2 2 2 3
所以j
π π
的取值范圍是 (- ,- ] .
2 3
故選：B
f x sin wx j w 0,0 j p5．（2023· 內(nèi)蒙古赤峰·二模）記函數(shù) = + > < < ÷的最小正周期為T .
è 2
p
若 f T 3= ， x = 為 f x 的零點(diǎn)，則w 的最小值為（ ）
2 6
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
2p 3 p
【分析】先求出函數(shù)的周期T = ，再由 f T = 可求出j ，然后由 x = 為 f x 的零w 2 6
點(diǎn)，可求得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?f x = sin wx +j w > 0,0 j
p
< < 2p 3÷的最小正周期為T = ，且2 fw T = ，è 2
2p 3
所以 sin w × +j = sinj = ，
è w ÷ 2
0 j p p因?yàn)?< < ，所以j = ，
2 3
所以 f x = sin wx
p
+
3 ÷
，
è
p
因?yàn)?x = 為 f x 的零點(diǎn)，
6
f p p所以 ÷ = sin w
p
+
6 6 3 ÷
= 0，
è è
p p
所以 w + = kp , k Z，解得w = 6k - 2, k Z，
6 3
因?yàn)閣 > 0，所以w 的最小值為 4，
故選：C
6．（2024·安徽蕪湖·二模）在數(shù)列 an 中， Sn 為其前 n 項(xiàng)和，首項(xiàng) a1 =1，且函數(shù)
f x = x3 - an+1 sin x + 2an +1 x +1的導(dǎo)函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則 S5 =（ ）
A．26 B．63 C．57 D．25
【答案】C
【分析】計算 f x ，分析 f x 的奇偶性，可判斷零點(diǎn)取值，代入計算可得 an 的遞推關(guān)
系，求出前 5 項(xiàng)，計算求和即可.
3
【詳解】因?yàn)?f x = x - an+1 sin x + 2an +1 x +1，
所以 f x = 3x2 - an+1 cos x + 2an +1 ，由題意可知： f x = 0有唯一零點(diǎn).
令 g x = f x = 3x2 - an+1 cos x + 2an +1 ，可知 g x 為偶函數(shù)且有唯一零點(diǎn)，
則此零點(diǎn)只能為 0，即 g 0 = 0，代入化簡可得： an+1 = 2an +1，
又 a1 =1，所以 a2 = 3， a3 = 7 ， a4 =15， a5 = 31，所以 S5 = 57 .
故選：C
7．（2023· x四川南充·模擬預(yù)測）函數(shù) f x = xlnx -1的零點(diǎn)為x1，函數(shù) g x = e x -1 - e的
零點(diǎn)為x2，則下列結(jié)論正確的是（ ）
1
A． ex2 × lnx1 = e
2 B ex2 -1． + > 2x1
1
C． lnx1 - x2 =1 D． x2 + 21+ lnx1
【答案】B
【分析】由 y = ln x 與 y = ex 互為反函數(shù)，可得 x1(x2 -1) =1，運(yùn)用等量代換及基本不等式可分
別判定各個選項(xiàng).
【詳解】由題意知， f (x1) = x1 ln x
1
1 -1 = 0 ln x1 = x ，1
g(x x2 x22 ) = e (x2 -1) - e = 0 e (x2 -1) = e e
x2 -1 1=
x2 -1
，
令 t = x -1 et
1
2 ，則 = ，t
又因?yàn)?y = ln x 與 y = ex 互為反函數(shù)，
所以 y = ln x 、 y = ex
1
分別與 y = 的的交點(diǎn)關(guān)于 y = xx 對稱，
所以 x1t =1，即： x1(x2 -1) =1，
又因?yàn)?f (1) = -1 < 0 ， f (2) = 2ln 2 -1 = ln 4 - ln e > 0，
所以由零點(diǎn)存在性定理可知， x1 (1,2) ，
1
又因?yàn)?x1(x2 -1) =1，即 x2 = +1x ，1
所以 x2 (
3 , 2)
2 ，
x x e 12 2
對于 A 項(xiàng)，因?yàn)?e (x2 -1) - e = 0 e = ， ln x1 = ， x1(x -1) =1x2 -1 x
2
1
x e 1 e2
所以 e × ln x1 = × = = ex2 -1 x1 x (x -1)
，故 A 項(xiàng)錯誤；
1 2
1
對于 B 項(xiàng)，因?yàn)?x1(x2 -1) =1，所以 = x2 -1x ，1
又因?yàn)?ex -1
1
2 = x ( 3 , 2)
x2 -1
， 2 2 ，
ex2 -1 1 1 1所以 + = ( ) + (x2 -1) > 2 ( ) × (x2 -1) = 2，故 B 項(xiàng)正確；x1 x2 -1 x2 -1
1 1 1
對于 C 項(xiàng)，因?yàn)?ln x1 = x ，
= x
x 2
-1，所以 ln x1 - x2 = - x2 = (x2 -1) - x2 = -1x ，故 C 項(xiàng)錯1 1 1
誤；
1 1
對于 D 項(xiàng)，因?yàn)?ln x1 = ， x2 = +1 xx x ， 1
(1,2) ，
1 1
x 1 1 12 + = ( +1) + 1 > 2 (
1
+1) 1× = 2
所以 1+ ln x1 x1 1+ x 1 11 + ，故 D 項(xiàng)錯誤.
x1 x1
故選：B.
8．（2024·山西呂梁·模擬預(yù)測）用[ a ]表示不大于實(shí)數(shù) a 的最大整數(shù)，如[1.68]=1，設(shè) x1, x2 分
別是方程 x + 2x = 4及 x + ln(x -1) = 4的根，則[x1 + x2 ] = （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】用零點(diǎn)存在性定理確定兩個根的取值范圍即可.
【詳解】因?yàn)?x1, x2 分別是方程 x + 2x = 4， x + ln(x -1) = 4的根，
則 x1, x2 分別是函數(shù) g(x) = x + 2x - 4及 h(x) = x + ln(x -1) - 4的零點(diǎn)，
3 5 3
而函數(shù) g(x)是單調(diào)遞增函數(shù)，又 g(1) = -1 < 0 ， g( ) = 2 2 - > 0，則 1< x
2 2 1
< ，
2
7 5 1 7
函數(shù) h(x) 在 (1, + )上單調(diào)遞增， h(3) = ln 2 -1 < 0 ， h( ) = ln - > 0，則3 < x < ，
2 2 2 2 2
因此 4 < x1 + x2 < 5，所以[x1 + x2 ] = 4 .
故選：C
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用零點(diǎn)存在性定理不僅要函數(shù) f (x) 在區(qū)間[a,b]上是連續(xù)不斷的曲線，
且 f (a) × f (b) < 0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個
零點(diǎn).
二、多選題
9．（2024· 3 2甘肅隴南·一模）已知函數(shù) f x = x + x + ax - 4 有 3 個不同的零點(diǎn) x1, x2 , x3 ,且
2
x x1x2 = 3 ，則（ ）2
A． a = -4 B． f x < 0 的解集為 -1,2
C． y = x - 7是曲線 y = f x 的切線 D．點(diǎn) -1,0 是曲線 y = f x 的對稱中心
【答案】AC
【分析】利用三次函數(shù)的零點(diǎn)式，結(jié)合條件可求得 a，從而可判斷 AB，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意
義可判斷 C，舉反例排除 D.
A f x = x3 + x2【詳解】對于 ，因?yàn)?+ ax - 4 有 3 個不同的零點(diǎn) x1, x2 , x3 ,
所以不妨設(shè) f x = x - x1 x - x2 x - x3 ，
易知 f x 展開式中的常數(shù)項(xiàng)為-x1x2x3，故-x1x2x3 = -4，
x2x 3 x
3
又 31x2 = ，所以- = -4，解得 x2 2 3
= 2，
所以 f x3 = f 2 = 23 + 22 + 2a - 4 = 0，解得 a = -4 ，故 A 正確；
對于 B，因?yàn)?f x = x3 + x2 - 4x - 4 = x - 2 x + 2 x +1 ，
令 f x < 0 ，即 x - 2 x + 2 x +1 < 0，
利用數(shù)軸穿根法，解得 x<- 2或-1 < x < 2，故 B 錯誤；
對于 C，易得 f x = 3x2 + 2x - 4，
當(dāng)切線斜率為1時，令 f x = 3x2 + 2x - 4 =1 x 5，解得 = - 或 x =1，
3
當(dāng) x =1時， f 1 = 1- 2 1+ 2 1+1 = -6，
此時切線為 y + 6 = x -1，即 y = x - 7，故 C 正確；
對于 D，因?yàn)?f -3 = -3 - 2 -3 + 2 -3 +1 = -10，又 f 1 = -6，
所以 f -3 f 1 ，所以點(diǎn) -1,0 是曲線 y = f x 的對稱中心，故 D 錯誤.
故選：AC.
10．（2023·河北唐山·模擬預(yù)測）已知函數(shù) f x = 2 sin wx + j w > 0 的最小正周期T < π ，
f π =1 f x x π ÷ ，且 在 = 處取得最大值.下列結(jié)論正確的有（5 ）è 10
A． sinj 2=
2
15
B．w 的最小值為
2
π π 35
C．若函數(shù) f x 在 , ÷上存在零點(diǎn)，則w 的最小值為
è 20 4 2
13π 11π
D．函數(shù) f x 在 , ÷上一定存在零點(diǎn)
è 20 15
【答案】ACD
f x x π= f π 【分析】A 選項(xiàng)，由 圖象關(guān)于 對稱結(jié)合 ÷ =1可判斷選項(xiàng)；B 選項(xiàng)，由最小10 è 5
π
正周期T < π ， f ÷ =1，且 f x 在 x
π
= 處取得最大值可得w 表達(dá)式；C 選項(xiàng)，結(jié)合 AB
è 5 10
5 35 5 35
選項(xiàng)分析確定w 表達(dá)式，驗(yàn)證即可；D 選項(xiàng)，分ω = , ，ω , 兩種情況分析零
2 2 2 2
點(diǎn)即可.
π π
【詳解】A 選項(xiàng)，因 f x 在 x = 處取得最大值，則 f x 圖象關(guān)于 x = 對稱，則
10 10
f 0 f π 2= ÷ = 2 si n φ = 1 si n φ = ，故 A 正確；
è 5 2
2π π B 選項(xiàng)，最小正周期T < π ，則 < π ω > 2 ， f ÷ =1，ω è 5
π π
則 ω φ
π π 3π
+ = + 2mπ或 ω + φ = + 2mπ，又 f x 在 x = 處取得最大值，
5 4 5 4 10
π
則 ω + φ
π 5
= + 2nπ，則ω = - + 20 m - n 或ω 5= + 20 m - n ，
10 2 2 2
5
其中m, n Z ，則w 的最小值為 ，故 B 錯誤；
2
C 選項(xiàng)，由 AB
π π 5
選項(xiàng)分析結(jié)合 ω + φ = + 2mπ，可知ω = - + 20 m - n 時，
5 4 2
j 3π
k 3 - π
可取 = ，令 3 4 ÷4 ωx π
，
+ = kπ x = è
4 ω
3
k - ÷π π π 則 è 4 , ÷ 4k - 3 < ω < 20k - 15，其中 k Z . è 20 4
ω
35
當(dāng) k 1時，不存在相應(yīng)的w ，當(dāng) k = 2時，5 < ω < 25，則存在w = 滿足題意；
2
由 AB
π
選項(xiàng)分析結(jié)合 ω φ
3π 5
+ = + 2mπ，可知ω = + 20 m - n 時，
5 4 2
k 1 π - π可取j = ÷4 ，令ωx π+ = kπ x = è 4
，
4 ω
k 1 - ÷π π , π 則 è 4 ÷ 4k - 1 < ω < 20k - 5， è 20 4
ω
k 45當(dāng) 1時，不存在相應(yīng)的w ，當(dāng) k = 2時，7 < ω < 35，則存在ω = 滿足題意，
2
綜上可知w
35
的最小值為 ，故 C 正確；
2
35 35 3p
D 選項(xiàng)，由 C 分析可知，w = 時，可取 f x = 2 sin x +2 è 2 4 ÷
，

f 13π 11π 163π此時 ÷ = 2
97π
si n > 0， f ÷ = 2 si n < 0 ，存在零點(diǎn)；
è 20 8 è 15 12
w 5= 5 p 時，可取 f x = 2 sin x +2 2 4 ÷ ，è
f 13π 15π 11π 25π此時 ÷ = 2 si n < 0， f ÷ = 2 si n > 0，存在零點(diǎn)；
è 20 8 è 15 12
5 35 45 4π T
當(dāng)ω , 11π 13π π 2π時，ω mi n
2 2 mi n
= Tmax = ，注意到 - = > = ，2 45 15 20 15 2 45
f x 13π ,11π 則此時函數(shù) 在 上一定存在零點(diǎn)，
è 20 15 ÷
f x 13π ,11π 綜上 在 20 15 ÷上一定存在零點(diǎn)，故 D 正確.è
故選：ACD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：三角函數(shù)常利用整體代換法確定參數(shù)值，本題還用到了對稱性.對于三
角函數(shù)的零點(diǎn)問題，常利用代值驗(yàn)證結(jié)合周期分析可解決問題.
2
11 2023· · f (x) ax - 2x +1．（ 江西 模擬預(yù)測）已知函數(shù) = x ，則下列結(jié)論正確的是（ ）e
A．對于任意的 a R ，存在偶函數(shù) g(x)，使得 y = ex f (x) + g(x)為奇函數(shù)
B．若 f (x) 只有一個零點(diǎn)，則 a =1
C．當(dāng) a =1時，關(guān)于 x 的方程 f (x)
4
= m有 3 個不同的實(shí)數(shù)根的充要條件為0 < m <
e3
D．對于任意的 a R ， f (x) 一定存在極值
【答案】ACD
【分析】取 g(x) = -ax2 -1可判斷 A；由 f (x) = 0 得 ax2 - 2x +1 = 0，分 a = 0與 a 0討論求解
可判斷 B；利用導(dǎo)數(shù)研究 f (x) 的性質(zhì)，作出圖象，轉(zhuǎn)化為圖象交點(diǎn)問題，數(shù)形結(jié)合可判斷
C；分 a = 0與 a 0討論，結(jié)合極值的定義可判斷 D.
【詳解】若 y = ex f (x) + g(x) = ax2 - 2x +1+ g(x)為奇函數(shù)，顯然可取 g(x) = -ax2 -1，故選項(xiàng)
A 正確；
由 f (x) = 0 ，得 ax2 - 2x +1 = 0．
1
當(dāng) a = 0時，解得 x = ；當(dāng) a 0時，D1 = 4 - 4a = 0，解得 a =1，2
所以若 f (x) 只有一個零點(diǎn)，則 a = 0或 a =1，故選項(xiàng) B 錯誤；
x2a =1 f (x) - 2x +1 f (x) -x
2 + 4x - 3
當(dāng) 時， = ，則 = ．由 f (x) = 0x x ，解得 x =1或 x = 3．e e
當(dāng) x - ,1 時 f (x) < 0 ， f (x) 單調(diào)遞減；當(dāng) x 1,3 時， f (x) < 0 ， f (x) 單調(diào)遞增；當(dāng)
x 3,+ 時， f (x) < 0 ， f (x) 單調(diào)遞減，
所以 f (x) 的極小值為 f (1) = 0，極大值為 f (3)
4
=
e3
．
又當(dāng) x =1時， f (x) = 0 ；當(dāng) x 1時， f (x) > 0 ，
當(dāng) x + 時， f (x) 0；當(dāng) x - 時 f (x) + ，
f (x) 的大致圖象如圖，
4
由圖可知，當(dāng) y = f (x) 的圖象與直線 y = m有 3 個交點(diǎn)時，有0 < m < 3 ，e
4
所以關(guān)于 x 的方程 f (x) = m有 3 個不同的實(shí)數(shù)根的充要條件為0 < m < 3 ，故選項(xiàng) C 正確；e
-ax2f (x) + (2a + 2)x - 3= x ，e
3
若 a = 0，則 f (x) 只有一個變號零點(diǎn) x = ，此時函數(shù) f (x) 存在極值；
2
若 a 0 2 2，因?yàn)?ax2 + (2a + 2)x - 3 = 0 的判別式D2 = (2a + 2) -12a = 4 a - a +1 > 0，
所以 f (x) 有兩個變號零點(diǎn)，此時函數(shù) f (x) 既存在極大值又存在極小值，故選項(xiàng) D 正確．
故選：ACD．
三、填空題
1
12．（2023·廣東深圳·一模）定義開區(qū)間 a,b 的長度為b - a 1．經(jīng)過估算，函數(shù) f x = x - x32
1
的零點(diǎn)屬于開區(qū)間 （只要求寫出一個符合條件，且長度不超過 的開區(qū)間）．
6
1 1
【答案】 , ÷（不唯一）
è 3 2
【分析】利用函數(shù)的零點(diǎn)存在定理求解.
1 1
【詳解】解：因?yàn)?y = x , y = -x3 都是減函數(shù)，2
1
所以 f x 1= x - x3 是減函數(shù)，2
1 1 1 1
2 3 3 3
又 f 1 1= -1 1= - < 0, f 1 = 1 - 1 < 0, f 1 = 1 - 1 > 0，
2 2 2 ÷ 2 ÷ 2 ÷ 3 ÷ ÷ ÷è è è è è 2 è 3
f 1 f 1 即 ×2 ÷ 3 ÷
< 0 ，
è è
所以函數(shù) f x 1在 ,
1 1 1 1
3 2 ÷
上有零點(diǎn)，且 - = ，
è 2 3 6
1 1
故答案為 , ÷（不唯一）
è 3 2
13 2．（2024·河南南陽·一模）已知函數(shù) f x = 3x - 2lnx + a -1 x + 3在區(qū)間 1,2 上有最小值，
則整數(shù) a的一個取值可以是 ．
【答案】-4（答案不唯一， a {a Z | -10 < a < -3}中的任意整數(shù)均可）
【分析】將問題“ f (x) 在 (1, 2)上有最小值”轉(zhuǎn)化為 f (x) 在 (1, 2)上有變號零點(diǎn)且在零點(diǎn)兩側(cè)的
函數(shù)值左負(fù)右正，結(jié)合二次函數(shù)零點(diǎn)分布求解即可.
2
【詳解】由 f (x) = 3x2 - 2ln x + (a -1)x + 3 2可知， f (x) = 6x - + a 1 6x + (a -1)x - 2- = ，
x x
又 f (x) = 3x2 - 2ln x + (a -1)x + 3在 (1, 2)上有最小值，
所以 f (x) 在 (1, 2)上有變號零點(diǎn)且在零點(diǎn)兩側(cè)的函數(shù)值左負(fù)右正，
令 h(x) = 6x2 + (a -1)x - 2，則 h(x) 在 (1, 2)上有變號零點(diǎn)且在零點(diǎn)兩側(cè)的函數(shù)值左負(fù)右正，
ì Δ = (a -1)2 + 4 6 2 > 0

所以 í h(1) = 6 + a -1- 2 < 0 ，解得-10 < a < -3，

h(2) = 6 4 + 2(a -1) - 2 > 0
又因?yàn)?a Z，所以 a {a Z | -10 < a < -3} .
故答案為：-4（答案不唯一， a {a Z | -10 < a < -3}中的任意整數(shù)均可）.
14．（2023·山西陽泉·模擬預(yù)測）已知函數(shù) f (x) = ex + x - 2 的零點(diǎn)為x ，函數(shù) g(x) = 2 - x - ln x1
的零點(diǎn)為x ，給出以下三個結(jié)論：① ex1 +ex
3
2
2 > 2e；② x1x2 > 4 ；③ x2 ln x1 + x1 ln x2 < 0 .其中所
有正確結(jié)論的序號為 .
【答案】①③
【分析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性推出 x1 = ln x2 = 2 - x2，可得 x1 + x2 = 2 .利用基
1
本不等式可判斷①；結(jié)合二次函數(shù)單調(diào)性可判斷②；判斷出 0 < x1 < , x1 + x2 = 22 ，即可推出
lnx1 < ln
1
= -lnx2 ，從而推出 x2lnx1 + x1lnx2 < -x2lnx2 + x1lnx =x 2 x1 - x2 × lnx2 ，即可判斷③.2
【詳解】由題意得 ex1 + x1 - 2 = 0, ln x2 + x2 - 2 = e
ln x2 + ln x2 - 2 = 0，則 f x1 = f ln x2 = 0，
即x1和 ln x2為 f (x) = e
x + x - 2 的零點(diǎn)；
而 f (x) = ex + x - 2 在 R 上單調(diào)遞增，且 f (0) = -1 < 0, f (1) = e -1 > 0，
\ f (x)在 R 上有且僅有一個零點(diǎn)，\ x1 = ln x2 = 2 - x2 ,\ x1 + x2 = 2 ，
又 x x 1,\ex1 + ex2 > 2 ex1 ex21 2 = 2e ，①正確；
f (0) = -1 < 0, f 1 3又 ÷ = e - > 0,\0 < x
1
1 <2 2 2 ，è
而 y = -x2 + 2x在 (0, 1)上單調(diào)遞增，
2
\ x1x
2 1 1 3
2 = x1 2 - x1 = -x1 + 2x1 < 2 2 - 2 ÷ = ，②錯誤；è 4
Q 0 x 1 3
1 1 2
< 1 < , x1 + x2 = 2,\ < x < 2 < <2 2 2 ， 2 x ，2 3
則 lnx1 < ln
1
= -lnx2 ,\ x2lnx1 + x1lnx2 < -x2lnx2 + x1lnx2 = x1 - x2 × lnxx 2 ，2
而 x1 - x2 < 0, ln x2 > 0，故 x1 - x2 × lnx2 < 0，即 x2 ln x1 + x1 ln x2 < 0，③正確.
綜上，所有正確結(jié)論的序號為①③，
故答案為：①③
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題綜合性較強(qiáng)，涉及到函數(shù)零點(diǎn)以及單調(diào)性以及不等式證明相關(guān)知識，
解答的關(guān)鍵在于根據(jù) ln x2 + x2 - 2 = 0，變式為 eln x2 + ln x2 - 2 = 0，從而推出x1和 ln x2為
f (x) = ex + x - 2 的零點(diǎn)，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，說明 x1 = ln x2 = 2 - x2，以下問題則可順利解
決.
四、解答題
15．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù) f (x) =| x - a | .
(1)若不等式 f (x) - f (x + m) 1恒成立，求實(shí)數(shù) m 的最大值；
1
(2)若函數(shù) g(x) = f (x) + 有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù) a的取值范圍.
a
【答案】(1)m 最大值為 1
(2) (- ,0)
【分析】（1）利用絕對值三角不等式將原不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化從而求解；
（2）通過分類討論求解不等式.
【詳解】（1）∵ f (x) =| x - a |，∴ f (x + m) =| x + m - a |，
∴ f (x) - f (x + m) =| x - a | -∣x + m - a |，則原不等式恒成立等價于：
| x - a | -∣x + m - a | 1恒成立，由絕對值不等式 a - b a ± b 可得：
| x - a | -∣x + m - a | m ，
∴ | m | 1，∴ -1 m 1，
∴實(shí)數(shù) m 的最大值為 1；
（2）由題意可得 g(x) = x - a
1
+ , a 0，
a
當(dāng) a > 0時， g(x) > 0 恒成立，故沒有零點(diǎn)，不符合題意；
當(dāng) a<0時， x - a
1 1
+ = 0，解得： x = a ± ，即原函數(shù)有零點(diǎn)，
a a
綜上所述，實(shí)數(shù) a的取值范圍為 (- ,0)
16．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù) f x = xlnx + ax a R .
(1)求函數(shù) f x 的單調(diào)區(qū)間；
(2)當(dāng) a = -1時，方程 f x = m有兩個解，求參數(shù)m 的取值范圍.
(1) 0,e-a-1 -a-1【答案】 單調(diào)遞減區(qū)間是 ，單調(diào)遞增區(qū)間是 e , +
(2) -1,0
【分析】（1）求出函數(shù)定義域并求導(dǎo)，研究單調(diào)性即可.
（2）研究函數(shù)當(dāng) a = -1時的單調(diào)性及最值并結(jié)合圖像求出m 的取值范圍.
【詳解】（1）由題意知函數(shù) f x 的定義域?yàn)? 0, + ， f x = lnx +1+ a .
令 f x = 0，得 x = e-a-1 .
-a-1
當(dāng) x 0,e 時， f x < 0, f x 單調(diào)遞減；
-a-1
當(dāng) x e ,+ 時， f x > 0, f x 單調(diào)遞增.
所以 f x 的單調(diào)遞減區(qū)間是 0,e-a-1 -a-1，單調(diào)遞增區(qū)間是 e , + .
（2）當(dāng) a = -1時， f x = xlnx - x，則 f x = lnx，函數(shù) f x 的定義域?yàn)? 0, + ，
令 f x = 0，得 x =1，
當(dāng) x 0,1 時， f x < 0, f x 單調(diào)遞減；
當(dāng) x 1, + 時， f x > 0, f x 單調(diào)遞增.
所以當(dāng) x =1時， f x 取得最小值，為 f 1 = -1.
又當(dāng) x 0 時， f x 0, f e = 0，
畫出 f x 的大致圖象，如圖：
因?yàn)榉匠?f x = m 有兩個解，
所以-1 < m < 0 ，即m -1,0 .
π
17．（2023·江蘇·三模）將函數(shù) f x = sin x的圖象先向右平移 個單位長度，再將所得函圖象
4
1
上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?（ω＞0）倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù) y = g x 的圖象．
w
é π π(1) ù若w = 2，求函數(shù) y = g x 在區(qū)間
ê
- ,
4 4 ú上的最大值；
(2) y = g x π , π 若函數(shù) 在區(qū)間 4 2 ÷ 上沒有零點(diǎn)，求 ω 的取值范圍．è
2
【答案】(1)
2

(2) 0,
1 ù 5
ú
é1, ù ．
è 2 ê 2ú
π
【分析】（1）由函數(shù)圖象變換知識可得 g x = sin 2x - 4 ÷，后由 y = g x 單調(diào)性可得最值è
ìwπ π
- kπ 4 4
情況；（2）由（1）結(jié)合題意可知 í ， k Zπ π .后由 w - k +1 π 2 4
4k +1≤ 2k 5+ 可進(jìn)一步確認(rèn) k 大致范圍，后可得答案.
2
π
【詳解】（1）函數(shù) f x = sin x的圖象先向右平移 個單位長度，則解析式變?yōu)椋?br/>4
sin x π- 1 ÷，再將所得函圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?（ω＞04 ）倍（縱坐標(biāo)不變），è w

則解析式變?yōu)閟i n ωx
π g x sin 2x π- ÷ .則 = -

4 4 ÷
.
è è
π x π 3π π π當(dāng)- 時，- ≤ 2x - ≤ ，
4 4 4 4 4
é 3π πù π π
因函數(shù) y = sin x 在 ê- , -
é ù
ú 上單調(diào)遞減，在 ê- , ú 上單調(diào)遞增， 4 2 2 4
π ì 3π πüsi n π 2 - 2 ÷
= -1，max ísi n - ÷ , si n = si n = .
è è 4 4 4 2
∴ π 2 é
π π
-1≤ sin 2x -

÷≤ ，∴ y = g x 在區(qū)間 ê- ,
ù 2
4 4 ú上的最大值為 ．è 4 2 2
（2） g x = sin wx
π
- π π πw π π πw π÷，當(dāng) < x < 時， - < wx - < - ，
è 4 4 2 4 4 4 2 4
ìwπ π
π π
- kπ
g x , 4 4要使 在 4 2 ÷ 上無零點(diǎn)，則 í k Zπ π ， .è w - k +1 π 2 4
4k +1≤w 5 5 3≤ 2k + ， k Z ，w > 0， 4k +1≤ 2k + k ≤ ，
2 2 4
k 0 1 w 5
1
當(dāng) = 時， ；當(dāng) k = -1時，-3≤w ≤ 0 w
1
< ≤ ，
2 2 2
當(dāng) k -2時，w < 0 舍去．
綜上：w
1 ù é 5 ù
的取值范圍為 0,
è 2 ú
ê1, ． 2ú
a
18 2024· · f x = x2 x-1．（ 全國 模擬預(yù)測）已知函數(shù) - x +1 e - 2x3 + 3x2 +16 ．
(1)當(dāng) a = 2時，求曲線 y = f x 在點(diǎn) 1, f 1 處的切線方程．
(2)設(shè)函數(shù) g x = f x - x2ex-1 1+ ax3，若 g x 有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù) a的取值范圍．
3
【答案】(1) 2x + y -1 = 0
(2) 0,
6
e ֏
【分析】（1）先將 a = 2的值代入函數(shù)，對函數(shù)求導(dǎo)，求出切線斜率，再求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)
而求出切線方程.
2 a -x +1 e
x-1
（ ）由 g x 有兩個零點(diǎn)，得出 = 有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，構(gòu)造函數(shù)
6 3x2 +1
h x -x +1 e
x-1 a
= ，將問題轉(zhuǎn)化為 h x 與直線 y = 的圖像有兩個不同的交點(diǎn)，進(jìn)而得出 a
3x2 +1 6
的取值范圍.
2 x-1 1 3 2
【詳解】（1）當(dāng) a = 2時， f x = x - x +1 e - 2x + 3x +1 ，且 f 1 = -1，3
f x = 2x -1 ex-1 x2 1所以 + - x +1 ex-1 - 6x2 + 6x3 = x
2 + x ex-1 - 2x2 - 2x ，
則 k = f 1 = 2 1- 2 - 2 = -2，
所以曲線 y = f x 在點(diǎn) 1, f 1 處的切線方程為 y +1 = -2 x -1 ，即 2x + y -1 = 0 .
（2）函數(shù) g x = f x - x2ex-1 1+ ax3 = -x +1 ex-1 a- 3x2 +1 ，3 6
因?yàn)?g x 有兩個零點(diǎn)，
x-1
所以 -x a+1 ex-1 = 3x2 +1 a -x +1 e，即 = 有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，6 6 3x2 +1
-x +1 ex-1 x 3x2 - 6x + 7 ex-1
設(shè)函數(shù) h x = ，則 h x = - 2 ，
3x2 +1 3x2 +1
2
因?yàn)? -6 - 4 3 7 = -48 < 0，所以3x2 - 6x + 7 > 0 恒成立，
所以當(dāng) x - ,0 時， h x > 0,h x 單調(diào)遞增，且0 < h x < h 0 1= ；
e
當(dāng) x 0, + 時， h x < 0, h x 1單調(diào)遞減，且 h x < h 0 = ，
e
-x +1 ex-1 a
因?yàn)楹瘮?shù) h x = 的圖像與直線 y = 有兩個不同的交點(diǎn)，
3x2 +1 6
0 a 1 6 6所以 < < ，即0 < a < ．所以實(shí)數(shù) a的取值范圍為 0, ．
6 e e ֏ e
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題的方法：
（1）直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基
本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與 x 軸的交點(diǎn)問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體
現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；
（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題；
（3）參變量分離法：由 f x = 0分離變量得出 a = g x ，將問題等價轉(zhuǎn)化為直線 y = a 與函
數(shù) y = g x 的圖象的交點(diǎn)問題.
19．（2023·福建福州·模擬預(yù)測）設(shè) a > -1，函數(shù) f x = x +1 lnx + a -1 x +1．
(1)判斷 f x 的零點(diǎn)個數(shù)，并證明你的結(jié)論；
(2)若 a 0，記 f x 的一個零點(diǎn)為 x0 ，若 x1 + a = sinx1，求證： x1 - lnx0 0．
【答案】(1)零點(diǎn)個數(shù)=1，證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù) a 的取值范圍確定函數(shù) f x 的單調(diào)性，從而判斷零點(diǎn)的個數(shù)；
（2）將不等式 x1 - ln x0 0 理解為當(dāng)兩函數(shù)值相等時對應(yīng)的自變量的大小關(guān)系即可.
'
【詳解】（1） f x = ln x 1 x -1+ + a ，令 h x = f ' x '，則 h x =
x x2
，
當(dāng) x >1 '時， h x > 0,h x 單調(diào)遞增，當(dāng)0 < x <1 '時， h x < 0, h x h'單調(diào)遞減， 1 = 0，
在 x =1處 h x 取得極小值也是最小值，Qa > -1，\ h 1 =1+ a > 0 f '，即 x > 0, f x 單調(diào)
遞增，
x 2 2當(dāng) 趨于 0 時， f x 趨于- ， f e = 2 e +1 + a -1 e2 +1 = e2 a +1 + 3 > 3 > 0，
\ 2在 x 0,e 內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)，即 f x 的零點(diǎn)個數(shù)為 1；
（2）令 g x = sin x - x, g ' x = cos x -1 0, g x 是減函數(shù)， g 0 = 0，
即當(dāng) x > 0時， g x < 0,sin x < x ，當(dāng) x < 0 時， g x > 0,sin x > x，
由 x1 + a = sin x1知： a = sin x1 - x1 0,\ x1 0；
由（1）的討論知 f x 存在唯一的零點(diǎn) x0 ，
當(dāng) a 0時， f 1 = a 0 ，\ x0 0,1 ，
\ x0 +1 ln x0 + a -1 x0 +1 = 0, x0 0,1 , a
x0 +1ln x 1\ = -
x 0
- +1 0
x ，0 0
sin x x x +1又a = sin x1 - x1，\ 1 -
0
1 = - ln x
1
- +1 x 0,1 , x 0
x 0 x …①，其中 0 1 ，0 0
令 t = ln x0， x0 = e
t
，則 t 0；
et +1 1
式即為 sin x1 - x1 = - t t - t +1 = - 1+ e-t t - e-t +1 ，不等式 x1 - ln x0 0 等價于 x1 t ，e e
其意義為：當(dāng)函數(shù) g x = sin x - x, x 0 與函數(shù) p x = - 1+ e- x x - e- x +1 , x 0 的函數(shù)值
相等時，比較對應(yīng)的自變量之間的大小關(guān)系；
\設(shè)m x = p x - g x = - x +1 e- x - sin x +1, x 0 ，
m' x = xe- x - cos x x π ù，當(dāng) - ,0ú 時， cos x > 0, xe
- x < 0,\m' x < 0 π，當(dāng) x - 時，
è 2 2
π πxe- x - e 2 < -1 '，m x = xe- x - cos x < -1- cos x < 0,\m x 是減函數(shù)，
2
又m 0 = 0，\ x 0時， m x 0，即 p x g x ，
\ p t = g x1 時 x1 t ，當(dāng)且僅當(dāng) x1 = t = 0 時等號成立；
即 x1 - ln x0 0
g x p x
【點(diǎn)睛】本題第二問的難點(diǎn)在于對不等式 x1 - ln x0 0 的幾何解釋，即當(dāng) 與 的函數(shù)
m x = p x - g x
值相等時，對應(yīng)的自變量的大小關(guān)系，如此構(gòu)造函數(shù) 并判斷單調(diào)性就順
理成章了，其中對于導(dǎo)函數(shù)中有三角函數(shù)時，往往采用分區(qū)間 討論符號
拓展沖刺練
一、單選題
1 2024· · f (x) = 2sin 3x
π
+ ．（ 山西晉城 二模）將函數(shù) 4 ÷ 的圖象向右平移
j （j > 0）個單位長
è
度，得到函數(shù) g(x)的圖象，若函數(shù) g(x)在區(qū)間 (0,j)上恰有兩個零點(diǎn)，則j 的取值范圍是
（ ）
é5π , 3π é3π 13π 5π 3π ù 3π 13π ùA． ê ÷ B． ê , ÷ C． , D． , 12 4 4 12 è 12 4 ú è 4 12 ú
【答案】C
π
【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移變換可得 g(x) = 2sin(3x + - 3j)，由 g(x)在 (0,j)4 上有 2 個
π
零點(diǎn)得 -2π - 3j < -π4 ，解之即可求解.
π
【詳解】將函數(shù) f (x) = 2sin(3x + )的圖象向右平移j 個單位長度，
4
π π π
得 g(x) = 2sin(3x
π
+ - 3j)的圖象， 由 0 < x < j ，得 - 3j < 3x + - 3j <4 ，4 4 4
又 g(x)在 (0,j) π上有 2 個零點(diǎn)，所以 -2π - 3j < -π4 ，
5π j 3π j (5π , 3π解得 < ，即實(shí)數(shù) 的取值范圍為 ]12 4 12 4 .
故選：C
π π
2．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù) f x = cos wx + 在區(qū)間 0, 上恰有 3 個零點(diǎn)、2 個極
è 4 ÷
÷
è 2
值點(diǎn)，則w 的取值范圍是（ ）
7
A ． ,
9 ù 9 11ù 9 13ù 7 13ù
2 2ú
B． , C． , D． ,
è è 2 2 ú è 2 2 ú è 2 2 ú
【答案】B
【分析】首先根據(jù)題意確定w > 0，再代入求整體角的取值范圍，得到 3 個零點(diǎn)、2 個極值
點(diǎn)的位置，解不等式求得結(jié)果.
【詳解】當(dāng)w < 0 時，無法滿足函數(shù) f x 0, π 在區(qū)間 ÷上的零點(diǎn)比極值點(diǎn)多，所以w > 0，
è 2
選項(xiàng)表示的區(qū)間也全部在正半軸．
函數(shù) f x = cos wx
π
+
π
÷ 在區(qū)間 0, ÷上恰有 3 個零點(diǎn)、2 個極值點(diǎn)，
è 4 è 2
t wx π π , πw π令 = +

+ ÷，則相當(dāng)于函數(shù) y = cost
π πw π
在區(qū)間
4 4 2 4
, + ÷上恰有 3 個零點(diǎn)、2
è è 4 2 4
個極值點(diǎn)．
π 3π 5π
如圖，要使函數(shù) y = cost 恰有 3 個零點(diǎn) , , 2 π,2π2 2 2 、 個極值點(diǎn) ，
5π πw π
則 < + 3π ，
2 2 4
9 11
所以 < w ．
2 2
故選：B．
3．（2023·北京· x - x模擬預(yù)測）已知函數(shù) f x = e - e ，下列命題正確的是（ ）
① f x 是奇函數(shù)；
②方程 f x = x2 + 2x有且僅有 1 個實(shí)數(shù)根；
③ f x 在R 上是增函數(shù)；
④如果對任意 x 0, + ，都有 f x > kx ，那么 k 的最大值為 2.
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④
【答案】B
2
【分析】對于①，根據(jù)奇函數(shù)的定義判斷，對于②，令 g x = f x - x - 2x，可得
g 0 = 0，再結(jié)合零點(diǎn)存在性定理分析判斷，對于③,對函數(shù)求導(dǎo)后利用導(dǎo)數(shù)判斷，對于④,
問題轉(zhuǎn)化為 ex - e- x - kx > 0恒成立，構(gòu)造函數(shù) h(x) = ex - e- x - kx ，求導(dǎo)后分析判斷.
① f x = ex - e- x【詳解】對于 ，因?yàn)?的定義域?yàn)镽 ，
f -x = e- x x x - x且 - e = - e - e = - f x ，所以 f x 是奇函數(shù)，所以①正確，
對于②，令 g x = f x - x2 - 2x = ex - e- x - x2 - 2x，
因?yàn)?g 0 = 0，所以方程所以 f x = x2 + 2x有一個根為 0，
g 2 = e2 - e-2因?yàn)?-8 < 0， g 3 = e3 - e-3 -15 > 0，
所以方程 f x = x2 + 2x在 (2,3) 至少有一個根，所以②錯誤，
對于③，由 f x = ex - e- x x，得 f x = e + e- x > 0，
所以 f x 在R 上是增函數(shù)，所以③正確，
對于④，若對任意 x 0, + ，都有 f x > kx ，即 ex - e- x - kx > 0恒成立，
令 h(x) = ex - e- x - kx ，則 h (x) = ex + e- x - k ，
ex + e- x 2 ex × e- x = 2，當(dāng)且僅當(dāng) ex = e- x ，即 x = 0時取等號，
因?yàn)?x > 0，所以取不到等號，所以 ex + e- x > 2 ，
若 k 2，則 h (x) > 0恒成立，所以 h(x) 在 x 0, + 上遞增，
所以 h(x) > h(0) = 0，即 ex - e- x - kx > 0恒成立，
若 k > 2，則存在 x0 (0, + ) 使 h (x0 ) = 0，
所以當(dāng)0 < x < x0 時， h (x) < 0，當(dāng) x > x0時， h (x) > 0，
所以 h(x) 在 (0, x0 )上遞減，在 (x0 ,+ )上遞增，
所以 h(x) 在 (0, x0 )上，有 h(x) < h(0) = 0 不合題意，
綜上， k 2，所以 k 的最大值為 2，所以④正確，
故選：B
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：此題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，第④個解的關(guān)鍵
是將問題轉(zhuǎn)化為 ex - e- x - kx > 0恒成立，然后構(gòu)造函數(shù) h(x) = ex - e- x - kx ，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合基
本不等式討論，考查分類思想和計算能力，屬較難題.
2
4．（2023·四川南充·一模）已知函數(shù) f (x) = ln x - + 2 - m （0 < m < 3）有兩個不同的零點(diǎn)
x
x1，x2（ x1 < x2），下列關(guān)于x1，x2的說法正確的有（ ）個
x
① 2 < e2mx
2
② x1 > ③ x1xm + 2 2
>1
1
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】令 g x = ln x 2- + 2 ，判斷 g x 的單調(diào)性結(jié)合 g 1 = 0得到0 < x1 <1， x2 >1，進(jìn)x
而有 ln x
2 2
1 - + 2 = -m， ln xx 2
- + 2 = m，兩式作差可判斷①；根據(jù)0 < x1 <1得到 ln x1 < 0
1 x2
可判斷②；將得到的兩式相加，再利用換元法可判斷③.
【詳解】Q f (x)
2
= ln x - + 2 - m （0 < m < 3）有兩個不同的零點(diǎn)x1，x2，且 x1 < x2，x
2
即x1，x2是方程 ln x - + 2 = m的兩個不同的根，x
令 g x 2= ln x - + 2 ， x 0, + ，易知 g 1 = 0，
x
Q g x 1 1= + 2 > 0 ，\ g x 在 0, + 單調(diào)遞增，x x
\ x 0,1 時， g x = ln x 2- + 2 < 0，
x
x 1, + 時， g x = ln x 2- + 2 > 0，
x
2 2
\ 0 < x1 <1， x2 >1，\ ln x1 - + 2 = -m， ln x2 - + 2 = mx1 x
，
2
2
對于①，兩式作差得， ln x2 - + 2 - ln x
2
x 1
- + 2÷ = 2m，
2 è x1
x2 2 x2 - x1 整理得， ln + = 2m
x1 x1x2
2 x - x
Q 2 1

> 0 \ ln
x2
， < 2m
x2 2m
，即 < e ，故①正確；
x1x2 x1 x1
2
對于②，Q ln x1 - + 2 = -mx ，且
0 < x1 <1，\ ln x1 < 0，
1
2
\ - + 2
2
> -m ，即 < m + 2
2
x x ，
\ x1 > ，故②正確；
1 1 m + 2
ln x 2 2 m ln x 2對于③，Q 1 - + = - ， 2 - + 2 = mx x ，1 2
2 2
兩式相加得， ln x1 - + ln x2 - + 4 = 0x x ，1 2
2 x + x
整理得，\ ln x1x2

- 1 2 + 4 = 0，即 2 x1 + x2 = x1x2 ln x x + 4x x ，x 1 2 1 21x2
Q 2 x1 + x2 > 2 × 2 x1x2 ，
即 x1x2 ln x1x2 + 4x1x2 > 2 ×2 x1x2 ，
令 t = x x t > 0 ，則 t 21 2 ln t 2 + 4t 2 > 2 ×2t ，
2
整理得 t ln t + 2t - 2 > 0，即 ln t - + 2 > 0 ，
t
Q x 0,1 2時， g x = ln x - + 2 < 0，
x
x 1, + 時， g x = ln x 2- + 2 > 0，
x
\ t = x1x2 >1，即 x1x2 >1，故③正確.
故選：D.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)零點(diǎn)的問題，解答的關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)
性確定零點(diǎn)的范圍.
5 23-24 · · 2x．（ 高三下 湖南 階段練習(xí)）設(shè)方程 × log2x = 1的兩根為x1， x2 x1 < x2 ，則（ ）
1
A．0 < x1 <1， x2 > 2 B． x1 > x2
C．0 < x1x2 <1 D． x1 + x2 > 3
【答案】C
【分析】首先結(jié)合函數(shù)的圖象和零點(diǎn)存在性定理確定 x1, x2 的范圍，判斷 AD；再去絕對值后，
即可判斷 BC.
0 < x < x 2x × log x =1 log x 1
x

【詳解】由題意得， 1 2 ，由 2 得 2 - 2 ÷
= 0，
è
x
如圖畫出函數(shù) y = log 12 x 和 y =

÷ 的圖象，兩個函數(shù)有 2 個交點(diǎn)，
è 2
x
1 1 1 3 1 1令 f x = log x - 2 ÷ x > 0 ，則 f 1 = - < 0， f 2 =1- = > 0 f

，
2 2 4 4 ÷
=1- > 0 ，
è è 2 2
f 1 由 ÷ × f 1 < 0 ， f 1 × f 2 0 x
1
< 得 1

,1

÷ ， x2 1,2 ，故 A 錯；
è 2 è 2
x
1 2
x1 x2 x1
由 log2x2 - ÷ = log x
1
- = 0 log x - log x = 1 1 ，得 -
2 2 1 2 ÷ 2 2 2 1 2 ÷ 2 ÷
，
è è è è
x2 x1
由 x
1
1 ,1÷ ， x2 1,2 ，得2 log2x2 + log
1 1
2x1 = ÷ - ÷ < 0，è è 2 è 2
即 log2 x1x2 < 0，所以0 < x1x2 <1，故 C 對，B 錯，
x 1 由 1 ,1÷ ， x2 1,2 ，所以 x1 + x2 < 3，D 錯誤.
è 2
故選：C
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是將方程的根的問題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，并結(jié)
合零點(diǎn)存在性定理，判斷根的范圍，這是這個題的關(guān)鍵.
二、多選題
1
6．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù) f x = 3sinwxcoswx - cos2wx,w > 0，則下列結(jié)論
2
正確的是（ ）
A．"w 0,1 , f x é π在 ê- ,
π ù
上單調(diào)遞增
6 4 ú
B．若w =1且 f x1 - f x2 = 2，則 x1 - x2 = πmin
C．若 f x =1在 0, π é5 4 上有且僅有 2 個不同的解，則w 的取值范圍為 ê , 6 3 ÷
D．存在w 0,1 π，使得 f x 的圖象向左平移 個單位長度后得到的函數(shù)為奇函數(shù)
6
【答案】ACD
f x = sin 2wx π- 【分析】由 ÷，選項(xiàng) A：利用正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷； 選項(xiàng) B：利用正
è 6
弦函數(shù)的最值、周期判斷；選項(xiàng) C：利用正弦函數(shù)的圖象判斷； 選項(xiàng) D：利用三角函數(shù)的
圖象變換判斷.
【詳解】 f x = 3 sinwx coswx 1- cos 2wx = sin 2wx
π
-
2 6 ÷
，
è
w 0,1 x é π , π ù π
é 2w +1 π ù2wx , π w π é π , π" ，當(dāng) ê- ú 時， - ê- - ú -
ù
6 4 6 ê ú
，
6 2 6 2 2
é π π ù
由復(fù)合函數(shù)、正弦函數(shù)單調(diào)性可知 f x 在 ê- , ú 上單調(diào)遞增，故 A 正確； 6 4
T π
對于 B，若w =1且 f x1 - f x2 = 2，則 x1 - x2 = =min ，故 B 不正確；2 2
π π
對于 C，若 x 0, π ，則 2wx - éê- , 2wπ
π
- ù
6 6 6 ú
，

若 f x sin 2wx π= -

÷ =1在 0, π 上有且僅有 2 個不同的解，如圖所示：
è 6
3 5 4
可得 π 2wπ
π 5 5 4
- < π，解得 w < ，也就是w
é
的取值范圍為 , ，故 C 正確；
2 6 2 6 3 ê6 3 ÷
對于 D， g x = sin 2w x π π + - = sin 2wx wπ π+ - 1 ÷ ÷ ÷，可知當(dāng)w = 時， g x = sin x是
è è 6 6 è 3 6 2
奇函數(shù)，故 D 正確.
故選：ACD.
ì
x
4
+ , x > 0,
7．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù) f x = í x 的圖象與直線 y = a 的交點(diǎn)的

log2 -x - 2 , x < 0
橫坐標(biāo)分別為 x1, x2 , x3 , x4 x1 < x2 < x3 < x4 ，則（ ）
A． a > 4 B． x1x2 = 4

C． x3x4 = 4 D．a(chǎn)
x3
+1
32 3
x ÷的最小值為è 4 9
【答案】ACD
【分析】先根據(jù)函數(shù)關(guān)系式正確作出函數(shù)圖象，平移直線 y = a ，即可確定實(shí)數(shù) a的取值范
圍，挖掘x1與 x2 , x3 與 x4之間的等量關(guān)系，由此即可逐一判斷每個選項(xiàng).
4
【詳解】當(dāng) x > 0時， f x = x + 在 0,2 單調(diào)遞減，在 2, + 單調(diào)遞增，且 f 2 = 4．
x
當(dāng) x < 0 時， f x = log2 -x - 2 在 - ,-4 單調(diào)遞減，在 -4,0 單調(diào)遞增，且 f -4 = 0．
作出函數(shù) f x 的圖象，如圖．
對于 A，當(dāng) a > 4時，函數(shù) f x 的圖像與直線 y = a 有 4 個交點(diǎn)，A 正確．
對于 B，易知 x1 < -4,-4 < x2 < 0，由 f x1 = f x2 ，
可得 log2 -x1 - 2 + log2 -x2 - 2 = 0，即 log2x1x2 = 4，所以 x1x2 =16 ，B 錯誤．
4
對于 C，易知0 < x3 < 2, x4 > 2, x3, x4 是方程 x + = ax 的兩個根，
即關(guān)于 x 的方程 x2 - ax + 4 = 0 的兩個根，由根與系數(shù)的關(guān)系，得 x3x4 = 4，C 正確．
對于 D，由根與系數(shù)的關(guān)系，得 x3 + x4 = a ．
2

x 4

+
x3 x + x x + x
2 3 x ÷
所以 a 1 1 4 + ÷ = a × 3 4 =
3 4 = è 3 3 ．
x x x 4
= x
4 3
+ 2x3 +
è 4 4 4 x3
x3
g x 1 x3 2x 4 3 4設(shè) = + + (0 < x < 2) g x = x2，則 + 2 - ．
4 x 4 x2
g x = 0 3 x2令 ，則 + 2 4- = 0．
4 x2
3x4 8x2 16 0 x 2 3整理，得 + - = ，解得 = （負(fù)值已舍去），
3
2 3 2 3
所以 g x 在 0, 單調(diào)遞減，在 , 2 單調(diào)遞增，
è 3 ÷
÷ ÷÷
è 3
2 3 g x g 32 3所以 3 ÷÷ = ，D 正確．è 9
故選：ACD．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：D 選項(xiàng)的判斷是本題的關(guān)鍵點(diǎn)，注意利用等量關(guān)系消元，再借助導(dǎo)數(shù)
求其最小值，體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)的工具作用．
ì x
ex
, x 0

f x ln x8．（2023·河南焦作·模擬預(yù)測）已知函數(shù) = í , 0 < x 4，則下列說法正確的
x
2 f x - 4 , x > 4

是（ ）
A *．函數(shù) f (x) 在 (4k，4k + e) k N 上單調(diào)遞增
B．函數(shù) f (x) 在 (4k + e，4k + 4) k N* 上單調(diào)遞減
x
C．若方程 f (x) = a(x <1) 1有兩個實(shí)數(shù)根x1，x ，則 = a2 x2
f (x) = bx(0 x 8) b ln 2D．當(dāng)方程 的實(shí)數(shù)根最多時， 的最小值為
8
【答案】ABD
【分析】先利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在 0,4 上的單調(diào)性，再結(jié)合函數(shù)的已知性質(zhì)，分析函數(shù)在
4k, 4k + 4 ， k N* 的單調(diào)性，可判斷 AB 的真假；對 C：分 x1 < x2和 x1 > x2 兩種情況討論，
可判斷 C 的真假；借助函數(shù)單調(diào)性的結(jié)論，分析方程 f (x) = bx(0 x 8)解的個數(shù)，判斷 D
的真假.
1
【詳解】當(dāng) x (0, 4]時， f (x) = f (x + 4)，
2
即 f (x + 4) = 2 f (x) ，故 f (x + 4) = 2 f (x) ，
又當(dāng) x (0, 4]時， f (x)
1- ln x
= ，
x2
由 f (x + 4) = 0得 2 f (x) = 0，解得 x = e，
故 f (x) 在 (0, e)上單調(diào)遞增，在 (e,4]上單調(diào)遞減.
故 f (x) ， x 4,8 在 (4, 4 + e)上單調(diào)遞增，在 (4 + e,8]上單調(diào)遞減，
同理得 f (x) 在 (4k, 4k + e) k N* *上單調(diào)遞增，在 (4k + e,4k + 4) k N 上單調(diào)遞減，故 A，
B 正確；
若方程 f (x) = a(x <1)有兩個實(shí)數(shù)根x1，x2，由圖象可知：
x x (0,1) ln x則當(dāng) x < 0 時 = a ，當(dāng) x 時， = ae ，x
x ln x
x < 0 < x <1 1 = 2 = ln x不妨設(shè) 21 2 ，則 ex x ln x = a ，1 2 e 2
x

1- x 1- x
又 ÷ = ，當(dāng) x < 0 時， > 0恒成立.
è ex ex ex
x x x1 x
所以函數(shù) y = x 在 (- ,0)
1
上單調(diào)遞增，則 x = e 1 ， = = a，
e 2 x ex12
x1 1
若 x1 > x2 ，則 =x a ，故 C 錯誤；2
由 f (x) = bx知 x = 0時有 1 個根，
由函數(shù)的單調(diào)性，做函數(shù)在 0,8 上的草圖如下：
若直線 y = bx 與 y = f (x)(0 < x 4) 的圖象有兩個交點(diǎn)，
4b f (4) ln 4 b ln 2則 = ，即 ，又 f (8) = 2 f (4)，
4 8
則當(dāng)b
ln 2
= 時，直線 y = bx過點(diǎn) (4, f (4))和點(diǎn) (8, f (8))，
8
此時直線 y = bx 與 y = f (x)(0 < x 8)有 4 個交點(diǎn)，即方程 f (x) = bx有 4 個根，根的個數(shù)最多.
所以方程 f (x) = bx在 0,8 的根就有 5 個.
b 要是再小一點(diǎn)，方程 f (x) = bx在 0,8 的根就只有 3 個.
b ln 2故 的最小值為 ，故 D 正確.
8
故選：ABD
【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：該題當(dāng) x 0,4 時，函數(shù)的解析式是知道的，所以函數(shù)的單調(diào)性也好分
析，但當(dāng) x 4k, 4k + 4 時，函數(shù)解析式不明確，分析函數(shù)的單調(diào)性就有點(diǎn)困難.此時可利用
f x = 2 f x - 4 f ' x = 2 f ' x - 4 ，所以函數(shù)在 4k, 4k + 4 和在 0,4 的單調(diào)性有一致性，
從而分析函數(shù)在 4k, 4k + 4 的單調(diào)性.
三、填空題
9．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知 f x = 4sin x sin x - 3 cos x +1相鄰的兩個零點(diǎn)分別為
x1, x2 ，則 cos x1 - x2 = .
3
【答案】± / ±0.75
4
【分析】解法一：利用三角恒等變形，化歸到一般形式 f x π= 3- 4sin 2x + ÷，易知 x1 - x
è 6 2
即有可能是銳角，也有可能是鈍角，再利用函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為已知角的特值問題，即
sin 2x
π
+ = sin π 31 ÷ 2x2 +
π 7 π 7
÷ = ，再去求 cos 2x + = ， cos 2x + = - ，然后利
è 6 è 6 4 1 6 ÷ 4 2 ÷è è 6 4
用兩角差公式求 cos é 2 x1 - x2
1 2 9ù = ，再利用降倍升次的二倍角公式求得 cos x8 1 - x2 = ，16
最后即可求出結(jié)果.
π kπ
解法二：根據(jù)正弦型函數(shù)性質(zhì)知這兩個零點(diǎn)一定關(guān)于直線 x = +6 2 對稱，也就是有一個相
π
等關(guān)系 x1 + x2 = + kπ，這樣可以利用這個關(guān)系消去其中一個變量x2，就可以化簡3
cos x1 - x2 = ± cos
π
2x1 - ÷ ，再利用誘導(dǎo)公式即可轉(zhuǎn)化到已知零點(diǎn)的函數(shù)值，即求出結(jié)果.
è 3
【詳解】解法一：因?yàn)?f x = 4sin x sin x - 3 cos x +1 = 4sin2 x - 4 3 sin x cos x +1
= 2 1- cos 2x - 2 3 sin 2x +1 = 3- 4sin p 2x +

6 ÷
，
è
π π 3
由 f (x)

相鄰的兩個零點(diǎn)分別為 x1, x2 ，不妨設(shè) sin 2x1 + ÷ = sin 2x2 + = ，
è 6 è 6 ÷ 4
3
由于正弦值為 的相鄰兩個角一定是第一象限角和第二象限角，
4
所以 cos π 7 π 7 2x1 + ÷ = ， cos 2x2 + ÷ = - ，
è 6 4 è 6 4
則 cos é2 x1 - x2 ù = cos
é
ê 2x
π
1 +

÷ -

2x
π ù
6 2
+ ÷
è è 6
ú


cos 2x p cos 2x π sin 2x π sin 2x p 7 7 3 3 1= 1 + ÷ 2 + ÷ + 1 + ÷ 2 + ÷ =
è 6 è 6 è 6 è 6 4
- + = .
è 4
÷÷
4 4 8
1
所以 2 1+cos2 x - xcos x
1+ 9
1 - x = 1 2 = 8 = ,2 2 2 16
又因?yàn)?f (x) 的周期為 π，所以兩個零點(diǎn) x1, x2 有可能落在半個周期之內(nèi)，也有可能落在半個周
期之外且一個周期之內(nèi)，即 x1 - x2 0, π ，
又不妨設(shè) x1 < x2，則 cos x1 - x2 = cos(x2 - x1)考點(diǎn) 14 函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解（3 種核心題型+基礎(chǔ)保分練+
綜合提升練+拓展沖刺練）
【考試提醒】
1.理解函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解的聯(lián)系.2.理解函數(shù)零點(diǎn)存在定理，并能簡單應(yīng)用.
3.了解用二分法求方程的近似解．
【知識點(diǎn)】
1．函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解
(1)函數(shù)零點(diǎn)的概念
對于一般函數(shù) y＝f(x)，我們把使 的實(shí)數(shù) x 叫做函數(shù) y＝f(x)的零點(diǎn)．
(2)函數(shù)零點(diǎn)與方程實(shí)數(shù)解的關(guān)系
方程 f(x)＝0 有實(shí)數(shù)解 函數(shù) y＝f(x)有 函數(shù) y＝f(x)的圖象與 有公共點(diǎn)．
(3)函數(shù)零點(diǎn)存在定理
如果函數(shù) y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有 ，那么，函
數(shù) y＝f(x)在區(qū)間 內(nèi)至少有一個零點(diǎn)，即存在 c∈(a，b)，使得 ，這個 c
也就是方程 f(x)＝0 的解．
2．二分法
對于在區(qū)間[a，b]上圖象連續(xù)不斷且 的函數(shù) y＝f(x)，通過不斷地把它的零點(diǎn)所在
區(qū)間 ，使所得區(qū)間的兩個端點(diǎn)逐步逼近 ，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法
叫做二分法．
常用結(jié)論
1．若連續(xù)不斷的函數(shù) f(x)是定義域上的單調(diào)函數(shù)，則 f(x)至多有一個零點(diǎn)．
2．連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號
【核心題型】
題型一　函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判定
確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法
(1)利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理：首先看函數(shù) y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有
f(a)·f(b)<0.若有，則函數(shù) y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點(diǎn)．
(2)數(shù)形結(jié)合法：通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與 x 軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來判斷．
x
【例題 1】（2024·貴州貴陽·模擬預(yù)測）設(shè)方程3 × log3 x =1的兩根為x1， x2 x1 < x2 ，則
（ ）
A．0 < x1 <1， x2 > 3 B． x
1
1 > x2
C．0 < x1x2 <1 D． x1 + x2 > 4
x
【變式 1】（2023·河北·模擬預(yù)測）已知函數(shù) f x = 3 + x - 6 有一個零點(diǎn) x = x0，則 x0 屬于下
列哪個區(qū)間（ ）
1 3 5,1 1, 3 , 2 A． 2 ÷ B． 2 ÷ C． ÷ D． 2,è è 2 2 ÷è è
【變式 2】（2023· · f x = 2x-1海南 模擬預(yù)測）函數(shù) + x - 3的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（ ）
A． -1,0 B． 0,1 C． 1,2 D． 2,3
6
【變式 3】（2023·遼寧葫蘆島·一模）請估計函數(shù) f x = - log2 x 零點(diǎn)所在的一個區(qū)間 .x
題型二　函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的判定
求解函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的基本方法
(1)直接法：令 f(x)＝0，方程有多少個解，則 f(x)有多少個零點(diǎn)；
(2)定理法：利用定理時往往還要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等；
(3)圖象法：一般是把函數(shù)拆分為兩個簡單函數(shù)，依據(jù)兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)個數(shù)得出函數(shù)的零
點(diǎn)個數(shù)．
【例題 2】（2024·天津·二模）已知函數(shù) f x = sin2 x + 2sin x cos x - cos2 x ，關(guān)于 f x 有下面
四個說法：
① f x 的圖象可由函數(shù) g x = 2 sin 2x π的圖象向右平行移動 8 個單位長度得到；
② f x é π在區(qū)間 ê- ,
π ù
4 4 ú上單調(diào)遞增；
x é π π ù
é 3 -1 ù
③當(dāng) ê , ú 時， f x 的取值范圍為 , 2 ； 6 2 ê ú 2
④ f x 在區(qū)間 0,2π 上有3個零點(diǎn)．
以上四個說法中，正確的個數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式 1】（2024·湖南·模擬預(yù)測）已知函數(shù) f x 滿足 f x + 8 = f x ， f x + f 8 - x = 0，
當(dāng) x 0,4 時， f x = ln 1+ sin
π x ÷，則函數(shù)F x = f 3x - f x 在 0,8 內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù)為
è 4
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【變式 2】．（2024·青海西寧·二模）記t x 是不小于 x 的最小整數(shù),例如
t 1.2 = 2,t 2 = 2,t -1.3 = -1,則函數(shù) f x 1=t x - x - 2- x + 的零點(diǎn)個數(shù)為 .
8
【變式 3】（2024·北京西城·一模）關(guān)于函數(shù) f x = sinx + cos2x，給出下列三個命題：
① f x 是周期函數(shù)；
②曲線 y = f x π關(guān)于直線 x = 2 對稱；
③ f x 在區(qū)間 0,2π 上恰有 3 個零點(diǎn)．
其中真命題的個數(shù)為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
題型三　函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用
根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)的三種常用方法
(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍．
(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決．
(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)
合求解.
命題點(diǎn) 1　根據(jù)零點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)
【例題 3】（多選）（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù) f x = e2x - 2 a +1 xex + a a + 2 x2 （其
中 e為自然對數(shù)的底數(shù)），則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．$a R ，使函數(shù) f x 恰有 1 個零點(diǎn)
B．$a R ，使函數(shù) f x 恰有 3 個零點(diǎn)
C．"a R ，函數(shù) f x 都有零點(diǎn)
D．若函數(shù) f x 有 2 個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) a的取值范圍為 e - 2,e
【變式 1】（2024·安徽黃山·二模）若函數(shù) f (x) = 1- x2 - k x -1 - 4有兩個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) k
的取值范圍是 .
【變式 2】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）若方程 ax2 - ln x = 0在 1, + 上有兩個不同的根，則
a 的取值范圍為（ ）
A ． 0,
1 1
÷ B． - ,

÷ C． 1,e D． - , 2
è 2e è e
【變式 3】（2024·上海徐匯·二模）已知函數(shù) y = f (x) f (x)
2 + x
，其中 = log 1 x - 2 .2
(1)求證： y = f (x) 是奇函數(shù)；
(2)若關(guān)于 x 的方程 f (x) = log 1 x + k 在區(qū)間[3, 4]上有解，求實(shí)數(shù) k 的取值范圍.
2
命題點(diǎn) 2　根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的范圍求參數(shù)
π π
【例題 4】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知函數(shù) f x = cos wx + 4 ÷ w > 0 在區(qū)間 ,π3 ÷ 上è è
單調(diào)遞減，且 f x 在區(qū)間 0, π 上只有 1 個零點(diǎn)，則w 的取值范圍是（ ）
0, 1 ù 1 3 ù 1 3 ù 1 5 ùA． 4 ú
B． , C． , D．2 4 ú 4 4 ú
,
è è è è 4 4 ú
【變式 1】（2024·四川巴中·一模）若函數(shù) f x = 2ax2 + 3x -1在區(qū)間 -1,1 內(nèi)恰有一個零點(diǎn)，
則實(shí)數(shù) a 的取值集合為（ ）
A． a | -1 < a < 2 B．{a | a 9= - 或-1 < a < 2} .
8
C．{a | -1 a 2} D．{a | a
9
= - 或-1 a 2} .
8
【變式 2】（2023·河南·模擬預(yù)測）已知函數(shù) f (x) = log2 (x -1) + a在區(qū)間 (2,3) 上有且僅有一
個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) a的取值范圍為 .
2 p
【變式 3】（2023·全國·模擬預(yù)測）將函數(shù) f (x) = sinwx(w > 0)的圖像向右平移 3w 個單位2
長度得到函數(shù) g(x)的圖像．若 g(x)
π , 5π 在區(qū)間 ÷ 內(nèi)有零點(diǎn)，無極值，則w 的取值范圍
è 3 6
是 ．
【課后強(qiáng)化】
基礎(chǔ)保分練
一、單選題
x
1．（2023·浙江寧波·一模）已知函數(shù) f (x) = 2x + log2 x, g(x)
1= - log x, h(x) = x
3 + log x 的
è 2 ÷ 2 2
零點(diǎn)分別為 a,b,c，則（ ）
A． a > b > c B．b > a > c
C． c > a > b D．b > c > a
2．（2023·貴州畢節(jié)· 2 2 x-4 4-2 x模擬預(yù)測）若函數(shù) f x = x - 4x + a e + e 有唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a =
（ ）
A．2 B 1． 2 C．4 D．1
3．（23-24 高三下·四川雅安·開學(xué)考試）已知函數(shù) f x = 2x + x - 4，若存在 x1 < x2，使得
f x1 f x2 < 0，則下列結(jié)論不正確的是（ ）
A． x1 <1 B． x2 >1
C． f x 在 x , x x + x內(nèi)有零點(diǎn) D．若 f x 在 x , 1 2 1 2 1 ÷ 內(nèi)有零點(diǎn)，則
è 2
f x1 + x2 ÷ > 0
è 2
ìx3 , x 0
4．（2024·北京海淀·一模）已知 f x = í ，函數(shù) f (x) 的零點(diǎn)個數(shù)為m ，過點(diǎn) (0,2)
lg x +1 , x > 0
與曲線 y = f (x) 相切的直線的條數(shù)為 n，則m, n的值分別為（ ）
A．1,1 B．1,2 C． 2,1 D． 2, 2
π π π
5．（2024· · 全國 模擬預(yù)測）已知函數(shù) f x = 2sin 2x +j - < j < ÷的圖像關(guān)于點(diǎn) ,0÷中
è 2 2 è 3
π
心對稱，將函數(shù) f x 的圖像向右平移 個單位長度得到函數(shù) g x 的圖像，則下列說法正確
3
的是（ ）
A． f x π π 在區(qū)間 - ， ÷上的值域是 -1，2
è 3 6
B． g x = -2sin2x
C．函數(shù) g x é π 5π ù在 ê- ， 上單調(diào)遞增 12 12 ú
D．函數(shù) g x 在區(qū)間 -π，π 內(nèi)有 3 個零點(diǎn)
二、多選題
6．（2024· x甘肅定西·一模）已知函數(shù) f x = 2 -1 - a, g x = x2 - 4 x + 2 - a ，則（ ）
A．當(dāng) g x 有 2 個零點(diǎn)時， f x 只有 1 個零點(diǎn)
B．當(dāng) g x 有 3 個零點(diǎn)時， f x 只有 1 個零點(diǎn)
C．當(dāng) f x 有 2 個零點(diǎn)時， g x 有 2 個零點(diǎn)
D．當(dāng) f x 有 2 個零點(diǎn)時， g x 有 4 個零點(diǎn)
7．（2023·安徽馬鞍山·三模）已知函數(shù) f (x) = (x2 + x)ex + ln x的零點(diǎn)為 x0 ，下列判斷正確的是
（ ）
1 1
A． x0 < B． x0 >2 e
C． ex0 + ln x0 < 0 D． x0 + ln x0 < 0
三、填空題
8．（2024·重慶·模擬預(yù)測）若1< w 2π，則關(guān)于 x 的方程 sinwx = x 的解的個數(shù)是 ．
x 1
9 2023· · xe + - ln x．（ 河北 模擬預(yù)測）已知 f (x) = x ， x0 是該函數(shù)的極值點(diǎn)，定義 x 表示超
2
過實(shí)數(shù) x 的最小整數(shù)，則 f x0 的值為 .
四、解答題
10．（2023· 2四川成都·一模）已知函數(shù) f x = ax - xcosx + sinx -1 .
(1)若 a =1時，求曲線 y = f x 在點(diǎn) 0, f 0 處的切線方程；
(2)若 a =1時，求函數(shù) f x 的零點(diǎn)個數(shù)；
(3) é若對于任意 x ê0,
π ù
ú ， f (x) 1- 2a2 恒成立，求
a的取值范圍.

π
11．（2024·福建福州·模擬預(yù)測）已知函數(shù) f x = sin wx - ÷ (0 < w < 3)
π
， x = 是 f x 的零
è 4 8
點(diǎn)．
(1)求w 的值；
π 1 π
(2)求函數(shù) y = f x - ÷ + f8
x + ÷的值域．
è è 2 8
12．（2023· 2四川綿陽·模擬預(yù)測）函數(shù) f x = 2x + m x - m + 2 ．
(1)若 f x 為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)m 的值；
(2)已知 f x 僅有兩個零點(diǎn)，證明：函數(shù) y = f x - 3僅有一個零點(diǎn)．
綜合提升練
一、單選題
1．（2023·吉林長春·一模）方程 log3 x + x = 2的根所在區(qū)間是（ ）
A． 0,1 B． 1,2 C． 2,3 D． 3,4
2．（2023·全國·模擬預(yù)測）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王
子”的稱號，設(shè) x R ，用 x 表示不超過 x 的最大整數(shù)， y = x 也被稱為“高斯函數(shù)”，例如
2.1 = 2， 3 = 3， -1.5 = -2 3，設(shè) x0 為函數(shù) f x = log3 x - 的零點(diǎn)，則 x0 =（ ）x +1
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2023· 2寧夏銀川·三模）函數(shù) f x = log2 x + x + m 在區(qū)間 2,4 上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m 的
取值范圍是（ ）
A． - , -18 B． (5,+ )
C． (5,18) D． -18, -5
4．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）若函數(shù) f x = 3cos wx π π+j w < 0，- < j <

÷ 的最小正周期
è 2 2
π π π
為 π，在區(qū)間 - , 上單調(diào)遞減，且在區(qū)間 0, 上存在零點(diǎn)，則j 的取值范圍是（ ）
è 6 6 ÷ 6 ÷
è
π
A． ,
π π π π π
÷ B． - ,-
ù é
ú C． ê ,

D 0,
π ù
÷ ．
è 6 2 è 2 3 3 2 è 3 ú
p
5．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·二模）記函數(shù) f x = sin wx +j w > 0,0 < j <

÷的最小正周期為T .
è 2
p
若 f T 3= ， x = 為 f x 的零點(diǎn)，則w 的最小值為（ ）
2 6
A．2 B．3 C．4 D．6
6．（2024·安徽蕪湖·二模）在數(shù)列 an 中， Sn 為其前 n 項(xiàng)和，首項(xiàng) a1 =1，且函數(shù)
f x = x3 - an+1 sin x + 2an +1 x +1的導(dǎo)函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則 S5 =（ ）
A．26 B．63 C．57 D．25
7．（2023·四川南充·模擬預(yù)測）函數(shù) f x = xlnx -1的零點(diǎn)為x1，函數(shù) g x = ex x -1 - e的
零點(diǎn)為x2，則下列結(jié)論正確的是（ ）
1
A． ex2 × lnx1 = e
2 B x2 -1． e + > 2x1
1
C． lnx1 - x2 =1 D． x2 + 21+ lnx1
8．（2024·山西呂梁·模擬預(yù)測）用[ a ]表示不大于實(shí)數(shù) a 的最大整數(shù)，如[1.68]=1，設(shè) x1, x2 分
別是方程 x + 2x = 4及 x + ln(x -1) = 4的根，則[x1 + x2 ] = （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、多選題
9．（2024· 3 2甘肅隴南·一模）已知函數(shù) f x = x + x + ax - 4 有 3 個不同的零點(diǎn) x1, x2 , x3 ,且
2
x1x
x
= 32 ，則（ ）2
A． a = -4 B． f x < 0 的解集為 -1,2
C． y = x - 7是曲線 y = f x 的切線 D．點(diǎn) -1,0 是曲線 y = f x 的對稱中心
10．（2023·河北唐山·模擬預(yù)測）已知函數(shù) f x = 2 sin wx + j w > 0 的最小正周期T < π ，
f π π ÷ =1，且 f x 在 x = 處取得最大值.下列結(jié)論正確的有（ ）
è 5 10
A． sinj 2=
2
15
B．w 的最小值為
2
f x π , π 35C．若函數(shù) 在 ÷上存在零點(diǎn)，則w 的最小值為
è 20 4 2
D．函數(shù) f x 13π在 ,
11π
÷上一定存在零點(diǎn)
è 20 15
2
11．（2023·江西· ax - 2x +1模擬預(yù)測）已知函數(shù) f (x) = x ，則下列結(jié)論正確的是（ ）e
A．對于任意的 a R ，存在偶函數(shù) g(x)，使得 y = ex f (x) + g(x)為奇函數(shù)
B．若 f (x) 只有一個零點(diǎn)，則 a =1
4
C．當(dāng) a =1時，關(guān)于 x 的方程 f (x) = m有 3 個不同的實(shí)數(shù)根的充要條件為0 < m <
e3
D．對于任意的 a R ， f (x) 一定存在極值
三、填空題
1
12．（2023· 1廣東深圳·一模）定義開區(qū)間 a,b 的長度為b - a．經(jīng)過估算，函數(shù) f x = 3
2x
- x
1
的零點(diǎn)屬于開區(qū)間 （只要求寫出一個符合條件，且長度不超過 的開區(qū)間）．
6
13．（2024·河南南陽·一模）已知函數(shù) f x = 3x2 - 2lnx + a -1 x + 3在區(qū)間 1,2 上有最小值，
則整數(shù) a的一個取值可以是 ．
14．（2023·山西陽泉·模擬預(yù)測）已知函數(shù) f (x) = ex + x - 2 的零點(diǎn)為x ，函數(shù) g(x) = 2 - x - ln x1
3
的零點(diǎn)為x ，給出以下三個結(jié)論：① ex1 +ex22 > 2e；② x1x2 > 4 ；③ x2 ln x1 + x1 ln x2 < 0 .其中所
有正確結(jié)論的序號為 .
四、解答題
15．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù) f (x) =| x - a | .
(1)若不等式 f (x) - f (x + m) 1恒成立，求實(shí)數(shù) m 的最大值；
(2)若函數(shù) g(x) = f (x)
1
+ 有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù) a的取值范圍.
a
16．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù) f x = xlnx + ax a R .
(1)求函數(shù) f x 的單調(diào)區(qū)間；
(2)當(dāng) a = -1時，方程 f x = m有兩個解，求參數(shù)m 的取值范圍.
π
17．（2023·江蘇·三模）將函數(shù) f x = sin x的圖象先向右平移 個單位長度，再將所得函圖象
4
1
上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?（ω＞0）倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù) y = g x 的圖象．
w
π π
(1)若w = 2 é ù，求函數(shù) y = g x 在區(qū)間 ê- ,4 4 ú上的最大值；
(2)若函數(shù) y = g x π在區(qū)間 , π 4 2 ÷ 上沒有零點(diǎn)，求 ω 的取值范圍．è
18．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù) f x = x2 - x +1 ex-1 a- 2x3 + 3x2 +1 ．6
(1)當(dāng) a = 2時，求曲線 y = f x 在點(diǎn) 1, f 1 處的切線方程．
(2) g x = f x - x2 x-1 1設(shè)函數(shù) e + ax3，若 g x 有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù) a的取值范圍．
3
19．（2023·福建福州·模擬預(yù)測）設(shè) a > -1，函數(shù) f x = x +1 lnx + a -1 x +1．
(1)判斷 f x 的零點(diǎn)個數(shù)，并證明你的結(jié)論；
(2)若 a 0，記 f x 的一個零點(diǎn)為 x0 ，若 x1 + a = sinx1，求證： x1 - lnx0 0．
拓展沖刺練
一、單選題
π
1．（2024·山西晉城·二模）將函數(shù) f (x) = 2sin 3x +

÷ 的圖象向右平移j （j > 04 ）個單位長è
度，得到函數(shù) g(x)的圖象，若函數(shù) g(x)在區(qū)間 (0,j)上恰有兩個零點(diǎn)，則j 的取值范圍是
（ ）
é5π , 3π é3πA． ê ÷ B． ê ,
13π 5π 3π ù 3π 13π ù
12 4 4 12 ÷
C． , D． ,
è 12 4 ú è 4 12 ú
π
2．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù) f x = cos wx +

÷ 在區(qū)間 0,
π
2 ÷上恰有 3 個零點(diǎn)、2 個極è 4 è
值點(diǎn)，則w 的取值范圍是（ ）
7 , 9 ù 9 ,11ù 9 13ù 7 13ùA． B．
è 2 2ú è 2 2 ú
C． , D． ,
è 2 2 ú è 2 2 ú
3．（2023·北京·模擬預(yù)測）已知函數(shù) f x = ex - e- x ，下列命題正確的是（ ）
① f x 是奇函數(shù)；
② 2方程 f x = x + 2x有且僅有 1 個實(shí)數(shù)根；
③ f x 在R 上是增函數(shù)；
④如果對任意 x 0, + ，都有 f x > kx ，那么 k 的最大值為 2.
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④
2
4．（2023·四川南充·一模）已知函數(shù) f (x) = ln x - + 2 - m （0 < m < 3）有兩個不同的零點(diǎn)
x
x1，x2（ x1 < x2），下列關(guān)于x1，x2的說法正確的有（ ）個
x
① 2 < e2m
2
x ② x1 > ③ x x >11 m + 2 1 2
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（23-24 高三下· x湖南·階段練習(xí)）設(shè)方程2 × log2x = 1的兩根為x1， x2 x1 < x2 ，則（ ）
1
A．0 < x1 <1， x2 > 2 B． x1 > x2
C．0 < x1x2 <1 D． x1 + x2 > 3
二、多選題
1
6．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù) f x = 3sinwxcoswx - cos2wx,w > 0，則下列結(jié)論
2
正確的是（ ）
π π
A．"w 0,1 , f x é在 ê- ,
ù
上單調(diào)遞增
6 4 ú
B．若w =1且 f x1 - f x2 = 2，則 x1 - x2 = πmin
C．若 f x =1在 0, π é5 4 上有且僅有 2 個不同的解，則w 的取值范圍為 ê ,6 3 ÷
π
D．存在w 0,1 ，使得 f x 的圖象向左平移 個單位長度后得到的函數(shù)為奇函數(shù)
6
ì 4
x + , x > 0,
7．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù) f x = í x 的圖象與直線 y = a 的交點(diǎn)的

log2 -x - 2 , x < 0
橫坐標(biāo)分別為 x1, x2 , x3 , x4 x1 < x2 < x3 < x4 ，則（ ）
A． a > 4 B． x1x2 = 4
x
C x 32 3． 3x4 = 4 D．a(chǎn) 3 +1
è x
÷的最小值為
4 9
ì x
, x 0
e
x
ln x
8．（2023·河南焦作·模擬預(yù)測）已知函數(shù) f x = í , 0 < x 4，則下列說法正確的
x
2 f x - 4 , x > 4

是（ ）
A．函數(shù) f (x) 在 (4k，4k + e) k N* 上單調(diào)遞增
B．函數(shù) f (x) 在 (4k + e，4k + 4) k N* 上單調(diào)遞減
x
C f (x) = a(x <1) x x 1．若方程 有兩個實(shí)數(shù)根 1， 2，則 = ax2
ln 2
D．當(dāng)方程 f (x) = bx(0 x 8)的實(shí)數(shù)根最多時，b 的最小值為
8
三、填空題
9．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知 f x = 4sin x sin x - 3 cos x +1相鄰的兩個零點(diǎn)分別為
x1, x2 ，則 cos x1 - x2 = .
10．（2024· x 2四川成都·三模）若函數(shù) f x = e - kx 大于 0 的零點(diǎn)有且只有一個，則實(shí)數(shù) k 的
值為 ．
四、解答題
11．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù) f (x) = ex ， g(x) = xa ．
(1)當(dāng) a =1時，求 f (x) - g(x)的最小值；
(2)討論函數(shù) y = f (x) 和 y = g(x) 的圖象在 (0, + )上的交點(diǎn)個數(shù)．
2
12．（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知函數(shù) f x = x - 3 ex + a + lnxx ÷ a R ,è
(1)若過點(diǎn) 2,0 的直線與曲線 y = f x 切于點(diǎn) 1, f 1 ，求 a的值；
(2)若 f x 有唯一零點(diǎn)，求 a的取值范圍．

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