資源簡介

考點 13 函數的圖像（3 種核心題型+基礎保分練+綜合提升練
+拓展沖刺練）
【考試提醒】
1.在實際情境中，會根據不同的需要選擇恰當的方法(如圖象法、列表法、解析法)表示函
數.
2.會畫簡單的函數圖象.
3.會運用函數圖象研究函數的性質，解決方程解的個數與不等式解的問題．
【知識點】
1．利用描點法作函數圖象的方法步驟：列表、描點、連線．
2．利用圖象變換法作函數的圖象
(1)平移變換
(2)對稱變換
關于
①y＝f(x) ― ― ―
x 軸―對稱―→
y＝－f(x)．
― 關―于―y 軸―對稱②y＝f(x) ―→ y＝f(－x)．
關
③y＝f(x) ― ―
于原―點―對稱―→
y＝－f(－x)．
x 關于 y＝x 對稱④y＝a (a>0，且 a≠1) ― ― ― ― ―→ y＝logax(a>0，且 a≠1)．
(3)翻折變換
①y＝f(x) ― ― ―
保留―x 軸― 上―方圖―象 ― ―→
將 x 軸下方圖 象翻折上去 y＝|f(x)|.
保留 y 軸右側圖象，并作其
②y＝f(x) ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― →關于 y 軸對 稱的圖象 y＝f(|x|)．
常用結論
1．左右平移僅僅是相對 x 而言的，即發生變化的只是 x 本身，利用“左加右減”進行操
作．如果 x 的系數不是 1，需要把系數提出來，再進行變換．
2. 函數圖象自身的對稱關系
a＋b
(1)若函數 y＝f(x)的定義域為R，且有 f(a＋x)＝f(b－x)，則函數 y＝f(x)的圖象關于直線 x＝
2
對稱．
(2)函數 y＝f(x)的圖象關于點(a，b)成中心對稱 f(a＋x)＝2b－f(a－x) f(x)＝2b－f(2a－x)．
3．兩個函數圖象之間的對稱關系
(1)函數 y＝f(x)與 y＝f(2a－x)的圖象關于直線 x＝a 對稱．
(2)函數 y＝f(x)與 y＝2b－f(2a－x)的圖象關于點(a，b)對稱．
【核心題型】
題型一 作函數圖象
函數圖象的常見畫法及注意事項
(1)直接法：對于熟悉的基本函數，根據函數的特征描出圖象的關鍵點，直接作圖．
(2)轉化法：含有絕對值符號的，去掉絕對值符號，轉化為分段函數來畫．
(3)圖象變換法：若函數圖象可由某個基本函數的圖象經過平移、伸縮、翻折、對稱得到，
則可利用圖象變換作圖．
(4)畫函數的圖象一定要注意定義域．
2
【例題 1】（2024 高三下·全國·專題練習）已知函數 f x = x - x - 2 + x - 2 ．
(1)畫出函數 f x 的圖象；
(2)求關于 x 的不等式 f x x +1 的解集．
【答案】(1)圖像見解析
é -1+ 13 ,1+ 21
ù
(2) ê ú
2 2
【分析】（1）分類去絕對值得分段函數 f x 的解析式，進而可作出函數 f x 的圖象；
（2）法一：分類去絕對值，解不等式即可求得 f (x) | x +1|的解集.
法二：求得 4 - x2 = x +1與 x2 - 4 = x +1的解，數形結合可求得 f (x) | x +1|的解集.
【詳解】（1）由 x2 - x - 2 = 0 ，解得 x = 2或 x=-1，
當 x 2時， f (x) = x2 - x - 2 + x - 2 = x2 - 4，
當-1 < x < 2時， f (x) = -x2 + x + 2 - x + 2 = 4 - x2 ，
當 x -1時， f (x) = x2 - x - 2 - x + 2 = x2 - 2x ，
ì x2 - 4, x 2
所以 f (x) =
2
í4 - x ,-1< x < 2 ，
2
x - 2x, x -1
畫出函數 f x 的圖象如圖所示．
（2）法一：當 x 2 1+ 21時，原不等式轉化為 x2 - 4 x +1，得 2 x ；
2
當-1 < x < 2 -1+ 13時，原不等式轉化為 4 - x2 x +1，得 x < 2；
2
當 x -1時，原不等式轉化為 x2 - 2x -x -1，無解．
é -1+ 13 1+ 21 ù
綜上，原不等式的解集為 ê , ú ．
2 2
4 x2 x 1 x -1± 13法二：當 - = + 時，解得 = ，
2
x2 4 1± 21當 - = x +1時，解得 x = ，
2
數形結合可知，當 f x x +1 -1+ 13 x 1+ 21時，
2 2
é -1+ 13 ,1+ 21
ù
ê 2 2 ú
即原不等式的解集為
【變式 1】（2024·陜西西安·二模）設函數 f (x) = 2x - x +1 .
(1)在坐標系中畫出函數 f (x) 的圖象；
(2)若 f (x) 4 - a - 2 對任意 x R 恒成立，求 a的取值范圍.
【答案】(1)答案見解析；
(2) (- , -3]U[7,+ ) .
【分析】（1）根據題意求出 f x 的分段函數解析式，作出圖像，從而可求解.
（2）由（1）中圖像可知 f x = -1min ，即 f x 4 - a - 2min 任意 x R 對從而可求解.
ì-x +1, x < -1

【詳解】（1）由題意得 f x = í-3x -1, -1 x 0 ，作出圖象，如圖所示，

x -1, x > 0
（2）由（1）知 f x = -1，所以-1 4 - a - 2min 對任意 x R 恒成立，
即 a - 2 > 5，解得 a 7或 a -3，
所以 a的取值范圍為 - ,-3 7, + .
【變式 2】（2024·四川南充·二模）已知函數 f (x) =| 2x - 2 | + | 2x - a |．
(1)當 a = -2 時，畫出 f (x) 的圖象，并根據圖象寫出函數 f (x) 的值域；
(2)若關于 x 的不等式 f (x) + 2a a2 有解，求 a 的取值范圍．
【答案】(1)圖象見解析， 4, +
(2) - , -1 2, +
【分析】（1）分類討論求出函數的解析式畫圖求值域即可；
（2）利用絕對值三角不等式求出函數 f (x) =| 2x - 2 | + | 2x - a |的最小值，不等式有解的問題，
a - 2 a2只需 - 2a ，求解即可.
【詳解】（1）當 a = -2 時， f (x) = 2x - 2 + 2x + 2 ，
ì-4x, x -1
所以 f (x) =

í4,-1< x <1，作出圖象如圖所示：

4x, x 1
函數 f (x) 的值域為： 4, + .
（2）關于 x 的不等式 f (x) + 2a a2 有解，
所以 f (x) a2 - 2a 有解，
由絕對值三角不等式得 f (x) = 2x - 2 + 2x - a a - 2 ，
ìa - 2 a2 - 2a
所以 a - 2 a2 - 2a ，所以 í ，
a - 2 -a
2 + 2a
所以 a -1或 a 2，
a - , -1 2,+ 所以 的取值范圍為：
【變式 3】（2024·陜西西安·三模）已知函數 f (x) =| 2x +1| + | x + m |（其中m -1,0 ）．
1
(1)在給定的平面直角坐標系中畫出m = - 時函數 f x 的圖象；
2
(2)求函數 f x 的圖象與直線 y = 3圍成多邊形的面積的最大值，并指出面積最大時m 的
值．
【答案】(1)作圖見解析；
17
(2)最大值為 ，m = 0 .
6
1
【分析】（1）把m = - 代入，再畫出函數圖象即可.
2
（2）作出函數 y = f (x) 與直線 y = 3圍成多邊形，并求出面積表達式，再求出最大值即得.
ì 3x 1 1 - - , x -
2 2
1
【詳解】（1）當m = - 時， f (x) 2x 1
1 3 1 1
= + + x - = íx + ,- < x < ，2 2 2 2 2
3x 1 1 + , x 2 2
在坐標平面內作出函數 f (x) 的圖象，如圖：
ì
-3x -1- m, x
1
-
2
（2）依題意， f (x) = 2x 1 x m
1
+ + + = íx +1- m, - < x < -m，其圖象如圖：
2
3x +1+ m, x -m

令 y = 3，得函數 y = f (x)
4 + m 2 - m
的圖象與直線 y = 3的兩個交點 A(- ,3), D( ,3)，
3 3
直線 y = x +1- m 與直線 y = 3交于點E(2 + m,3) ，
f ( 1顯然 - )
1
= - m, f (-m) =1 2m B( 1 , 1- ，即點 - - m),C(-m,1- 2m) ，
2 2 2 2
函數 y = f (x) 的圖象與直線 y = 3圍成多邊形為四邊形 ABCD，其面積為：
SABCD = SVABE - S
1
VCDE = [(2 + m) (
4 + m
- - )][3 1 1- ( - m)]- [(2 + m) 2 - m- ][3 - (1- 2m)]
2 3 2 2 3
(5 + 2m)2 4(1+ m)2 -4m2 + 4m +17
= - = ，
6 3 6
-4m2y + 4m +17顯然函數 = 在[-1,0]
17
上單調遞增，當m = 0時， ymax = ，6 6
17
所以函數 y = f (x) 的圖象與直線 y = 3圍成多邊形的面積的最大值為 6 ，此時m = 0
題型二 函數圖像的識別
識別函數的圖象的主要方法
(1)利用函數的性質，如奇偶性、單調性、定義域等判斷．
(2)利用函數的零點、極值點等判斷．
(3)利用特殊函數值判斷．
x cos 2x
【例題 2】（2024·四川成都·三模）函數 f (x) = ln(x2 1) 的圖象大致是（ ）+
A． B．
C． D．
【答案】A
x (0, π【分析】由函數的奇偶性排除兩個選項，再根據 )時的函數值為正排除余下兩個中的
4
一個即得.
f (x) x cos 2x -x cos 2x【詳解】函數 = 2 的定義域為 (- ,0) U (0, + )， f (-x) = 2 = - f (x)ln(x 1) ln(x 1) ，+ +
函數 f (x) 是奇函數，圖象關于原點對稱，BD 不滿足；
當 x (0,
π)時， cos 2x > 0, ln(x2 +1) > 0 ，則 f (x) > 0 ，C 不滿足，A 滿足.
4
故選：A
1
【變式 1】（2024·湖北·模擬預測）函數 f x = ex - e x - lnx2 的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據 x < 0 時 f x 的單調性可排除 BC；再由奇偶性可排除 D.
1
1 ì x
x 2 e - e
x - 2ln -x , x < 0
【詳解】 f x = e - e x - lnx = í 1 ，
x
e - e x - 2lnx, x > 0
1
因為當 x < 0 時， y = ex , y = -e x , y = -2ln -x 都為增函數，
1
所以， y = ex - e x - 2ln -x 在 - ,0 上單調遞增，故 B，C 錯誤；
1
-
又因為 f -x = e- x - e x - ln x2 - f x ，
所以 f x 不是奇函數，即圖象不關于原點對稱，故 D 錯誤.
故選：A
f x x cos x + sin x【變式 2】（2024·全國·模擬預測）函數 = 的部分圖象為（
1 x2 ）+
A． B．
C． D．
【答案】B
π
【分析】利用排除法，根據函數奇偶性排除 A；分別取 x 0, ÷ ， x

π,
3π
÷，結合函數符
è 2 è 2
號排除 CD.
【詳解】由題意可知： f x 的定義域為 R，關于原點對稱，
且 f -x
-xcos -x + sin -x -xcos x - sin x
= 2 = 2 = - f x 1+ ，-x 1+ x
所以 f x 為奇函數，其圖象關于原點對稱，排除 A；

當 x 0,
π
÷ 時， x cos x + sin x > 0，所以 f x > 0，排除 D；
è 2
x 當 π,
3π
÷時， xcos x + sin x < 0，所以 f x < 0 ，排除 C．
è 2
故選：B
m
【變式 3】（多選）（2024· 3安徽合肥·一模）函數 f x = x - m R 的圖象可能是（ ）x
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】利用分類討論及函數的單調性與導數的關系，結合函數的性質即可求解.
【詳解】由題意可知，函數 f x 的定義域為 - ,0 0, + ，
m
當m > 0時， f x = 3x2 + 2 > 0，函數 f x 在 - ,0 , 0, + 上單調遞增，故 B 正確；x
當m = 0時， f x = x3 ， f x = 3x2 > 0，所以在 - ,0 , 0, + 上單調遞增，故 D 正確；
m m
當m < 0 3 3時，當 x > 0時， f x = x - > 0；當 x < 0 時， f x = x - < 0；
x x
故 A 正確；C 錯誤.
故選：ABD.
題型三　函數圖象的應用
對含參的不等式，應對參數進行分類討論，常見的分類有
(1)根據二次項系數為正、負及零進行分類．
(2)根據判別式 Δ 與 0 的關系判斷根的個數．
(3)有兩個根時，有時還需根據兩根的大小進行討論．
當不等式問題不能用代數法求解或用代數法求解比較困難，但其對應函數的圖象可作出時，
常將不等式問題轉化為圖象的位置關系問題，從而利用數形結合思想求解．
命題點 1　利用圖象研究函數的性質
【例題 3】（2023·貴州·模擬預測）已知函數 f x = x -1 -1，下列結論正確的是（ ）
A． f x 是偶函數
B． f x 在 0, + 上單調遞增
C． f x 的圖象關于直線 x =1對稱
D． f x 的圖象與 x 軸圍成的三角形面積為 2
【答案】C
x - 2, x 1
【分析】去掉絕對值，得到 f x ì= í x, x 1 ，畫出其圖象，進而判斷出四個選項. - <
【詳解】A 選項， f ì
x - 2, x 1
x = x -1 -1 = í x, x 1 ， - <
畫出其函數圖象，如下：
故 f x 不是偶函數，A 錯誤；
B 選項， f x 在 0,1 上單調遞減，故 B 錯誤；
C 選項， f x 的圖象關于直線 x =1對稱，C 正確；
2 1
D 選項， f x 的圖象與 x 軸圍成的三角形面積為 =1，D 錯誤.
2
故選：C
【變式 1】（2022·重慶沙坪壩·模擬預測）若函數 f x +1 為奇函數，且在 2,3 單調遞減，則
下列函數在 0,1 一定單調遞增的是（ ）
A． y = f x -1 B． y = f 1- x C． y = f 2x -1 D． y = f -x -1
【答案】D
【分析】由題意判斷函數 f (x) 的性質，作出大致圖象，利用函數圖象的平移以及伸縮變換，
可得答案.
【詳解】由題意函數 f x +1 為奇函數，且在 2,3 單調遞減，
則函數 y = f (x) 關于點 (1,0) 對稱，且在 (3, 4), (-2, -1) 上都是單調遞減，
作出其圖象示意圖如圖：
對于 A， y = f x -1 圖象是將 y = f (x) 的圖象向右平移一個單位得到，在( 0, 1)上的單調性
不確定，故 A 不正確；
對于 B， y = f 1- x 的圖象是由 y = f (x) 的圖象關于 y 軸對稱，再向右平移一個單位得到，
作出其示意圖：
可知 y = f 1- x 在( 0, 1)上的單調性不確定，故 B 不正確；
對于 C， y = f 2x -1 是將 y = f (x) 1 1的圖象橫坐標縮短到原來的 2 ，再向右平移 2 個單位，
結合 y = f (x) 圖象可知， y = f 2x -1 在( 0, 1)上的單調性不確定，故 C 不正確；
對于 D， y = f -x -1 的圖象是由 y = f (x) 的圖象關于 y 軸對稱，再向左平移一個單位得到，
作出其示意圖：
可知 y = f -x -1 在( 0, 1)上的單調遞增，故 D 正確；
故選：D
【變式 2】（多選）（22-23 高三上·湖北·階段練習）已知函數 f x = x x - a ， a R ，下列判
斷中，正確的有（ ）
A．存在 k R ，函數 y = f x - k 有 4 個零點
B．存在常數 a，使 f x 為奇函數
C．若 f x 在區間 0,1 上最大值為 f 1 ，則 a的取值范圍為 a 2 2 - 2 或 a 2
D．存在常數 a，使 f x 在 1,3 上單調遞減
【答案】BC
【分析】把 f x 表示為分段函數，分類討論作出函數圖像，數形結合研究函數的奇偶性、
單調區間、最值等性質.
ìx2 - ax, x a,
【詳解】函數 f x = x x - a = í
-x2
函數圖像如圖所示：
+ ax, x < a,
由圖像可知，函數 f x 的圖像與直線 y = k 不可能有 4 個交點，所以不存在 k R 使函數
y = f x - k 有 4 個零點，A 選項錯誤；
當 a = 0時， f x = x x ，函數定義域為 R， f -x = -x -x = -x x = - f (x)，此時 f x 為奇
函數，B 選項正確；
當 a 0或 a 2時， f x 在區間 0,1 上單調遞增，最大值為 f 1 ；
a
當1 a < 2時， <1， f x é0, a ù éa ,1ù在區間 ê ú 上單調遞增，在區間 ê 2 ú上單調遞減，最大值為2 2
f a ÷，不合題意；
è 2
é a ù éa ù
當 0 < a < 1時， f x 在區間 ê0, ú 上單調遞增，在區間 ê , a2 ú 上單調遞減，在區間 a,1 上單 2
調遞增，若最大值為 f 1 ，則有 f 1 f (a a a ) ，即 1- a - a ，由 0 < a < 1，所以
2 2 2
2
1- a a ÷ ，解得 0 < a 2 2 - 2；
è 2
綜上， f x 在區間 0,1 上最大值為 f 1 ，則 a的取值范圍為 a 2 2 - 2 或 a 2，C 選項正
確；
ìa
若 f x 在 11,3 上單調遞減，則有 í 2 ，不等式組無解，故不存在常數 a使 f x 在 1,3 上
a 3
單調遞減，D 選項錯誤；
故選：BC
【變式 3】（多選）（2023·全國·模擬預測）小菲在學校選修課中了解了艾賓浩斯遺忘曲線．為
了解自己記憶一組單詞的情況，她記錄了隨后一個月的有關數據，繪制圖象，擬合了記憶保
ì 7
- x +1,0 < x 1
持量 y 與時間 x
20
（單位：天）之間的函數關系 y = f x = í
1 9
1 ．則下列說
-
+ ÷ x 2 ,1< x 30 5 è 20
法中正確的是（ ）
A．隨著時間的增加：小菲的單詞記憶保持量降低
B．第一天小菲的單詞記憶保持量下降最多
C．9天后，小菲的單詞記憶保持量不低于 40%
D． 26天后，小菲的單詞記憶保持量不足 20%
【答案】AB
【分析】根據艾賓浩斯遺忘曲線對選項進行分析，從而確定正確答案.
【詳解】由函數解析式和圖象可知 f x 隨著 x 的增加而減少，故 A 正確．
由圖象的減少快慢可知：第一天小菲的單詞記憶保持量下降最多，B 正確．
1
-
當1 < x 30時， f x 1 9= + ÷ x 2 ，5 è 20
1
-
則 f 9 1 9= + 9 2 = 0.35，5 è 20 ÷
即9天后，小菲的單詞記憶保持量低于 40%，故 C 錯誤．
1 9 1-f 26 1= + ÷ 26 2 > ，故 D 錯誤．5 è 20 5
故選：AB
命題點 2　利用圖象解不等式
ìlog x,0 < x 2,
【例題 4】（23-24 高三下· 2山西·階段練習）已知函數 f x = í
2x - 3, x
若
> 2,
f a +1 - f 2a -1 0 ，則實數 a的取值范圍是（ ）
A． - , 2 B． 2, + C． 2,6 1 ,2ùD．
è 2 ú
【答案】D
【分析】畫出函數圖象，根據單調性得到不等式解出即可.
【詳解】畫出 f (x) 的圖象如圖所示，由圖可知 f (x) 在 (0, + )上單調遞增，
又 f (a +1) f (2a -1)
1
，所以 a +1 2a -1 > 0，解得 < a 2 .
2
故選：D.
ìx2 + 2x +1, x 0
【變式 1】（22-23 高三上·貴州貴陽·開學考試）已知函數 f (x) = í x-1 若關于 x
2 - 2 , x > 0
的不等式 f (x) +1 a(x +1)恒成立， 則 a的取值范圍是（ ）
A． (- , -2]
1 1
éê , +

÷ B． (- , -2]
é ù
3 ê
0,
3ú
é
C． ê-2,
1ù é1
ú D．[-2,0] ê ,+

3 3 ÷
【答案】C
【分析】構造函數 g x = f (x) +1，由題可知直線 y = a(x +1)要在函數 y = g(x) 的圖象的下
面，利用數形結合即得.
ìx2 + 2x +1, x 0
【詳解】∵ f (x) = í x-1 ，
2 - 2 , x > 0
ìx2 + 2x + 2, x 0
設 g x = f (x) +1 = í x 1 ，則 g(x) a(x +1)- 恒成立，
2 - 2 +1, x > 0
作出函數 y = g(x) 與 y = a(x +1)的大致圖象，
由 y = a(x +1)可知過定點 A -1,0 ，則過 A -1,0 的直線要在函數 y = g(x) 的圖象的下面，
由圖象可知當 y = a(x +1)與 y = g(x) 相切與C 點時為一個臨界值，
把 y = a(x +1)代入 y = x2 + 2x + 2 2，可得 x + 2 - a x + 2 - a = 0，
D = 2 - a 2由 - 4 2 - a = 0，可得 a = -2 或 a = 2 (舍去)，
1- 0 1
當過 A -1,0 的直線經過 B 時為另一個臨界值，此時 a = =2 - -1 3，
1
所以 a
é-2, ùê ú . 3
故選：C.
【變式 2】（2023·安徽·模擬預測）定義在 0, + 上的函數 f x 滿足：對"x1, x2 0, + ，
f x
x x 1 - f x2 且 1 2 都有 >1，則不等式 f 2log2x - f x > log2x2 - x的解集為（x x ）1 - 2
A． 1,2 B． 2,4 C． 4,8 D． 8,16
【答案】B
【分析】由題可得 h x = f x - x 單調遞增，又 f 2log2x - f x > log2x2 - x l og x22 > x ，
結合圖象可得解集.
【詳解】根據題意：當 x1 > x2 時，
f x1 - f x2 >1 f x1 - f x2 > x1 - x2 f x1 - x1 > f x2 - x ，x 21 - x2
當 x1 < x2時,
f x1 - f x2 >1 f x1 - f x2 < x1 - x2 f x1 - xx - x 1 < f x2 - x21 2
可得函數 h x = f x - x 在 0, + 單調遞增.
則 f 2log2x - f x > log x22 - x f log2x2 - log 22x > f x - x
log x2 > x log x22 2 > log
x 2
2 2 x > 2
x
，
在同一坐標系中畫出 y = x2 與 y = 2x 圖象.
得 2 < x < 4 ，則不等式的解集為 2,4 ，
故選：B.
【變式 3】（2023·四川成都·模擬預測）定義：設不等式F x < 0的解集為 M，若 M 中只有
2
唯一整數，則稱 M 是最優解．若關于 x 的不等式 x - 2x - 3 - mx + 2 < 0 有最優解，則實數 m
的取值范圍是（ ）
2 , 7 ù é 7A． ú B． ê- , -2

÷
è 3 4 2
é 7 , 2 é2 , 7 ù é 7 2 7 ùC． ê- - ÷ 2 ê 3 4 ú
D． ê- , -22 ÷
U ,
è 3 4 ú
【答案】D
2
【分析】將不等式轉化為 x - 2x - 3 < mx - 2 .設 f x = x2 - 2x - 3 ， g x = mx - 2，根據m
的取值范圍分類，作出 f x , g x 的圖象，結合圖象，即可求得m 的取值范圍.
x2【詳解】 - 2x - 3 - mx + 2 < 0 2可轉化為 x - 2x - 3 < mx - 2 .
設 f x = x2 - 2x - 3 ， g x = mx - 2，則原不等式化為 f x < g x .
易知 m＝0 時不滿足題意.
當 m>0 時，要存在唯一的整數 x0 ，滿足 f x0 < g x0 ，
f x = x2 - 2x - 3 g x = mx - 2
在同一平面直角坐標系中分別作出函數 ， 的圖象，如圖 1所
示
ì f (2) g(2) ì3 2m - 2
f (3) < g(3) 0 < 3m - 2 2 m 7則 í ，即 í ，解得 < .
3 4
f (4) g(4) 5 4m - 2
當 m<0 時，要存在唯一的整數 x0 ，滿足 f x0 < g x0 ，
f x = x2在同一平面直角坐標系中分別作出函數 - 2x - 3 ， g x = mx - 2的圖象，如圖 2 所
示
ì f 0 g 0 ì3 -2

則 í f -1 < g -1 7，即 í0 < -m - 2 ，解得- m < -2 .
2 f -2 g -2 5 -2m - 2
é 7 2 7 ù
綜上，實數 m 的取值范圍是 ê- , -2÷ U , . 2 è 3 4 ú
故選：D
命題點 3　利用圖象求參數的取值范圍
f x = sin wx 2π- 【例題 5】（2024·四川瀘州·三模）已知函數 ÷（w > 0）在 0, π 有且僅有
è 3
三個零點，則w 的取值范圍是（ ）
é8 ,11ù é8 ,11 é5 , 8ù é5 8 A． ê ú B． ê ÷ C． ê ú D． ,3 3 3 3 3 3 ê3 3 ÷
【答案】B
2π wx 2π wπ 2π0 x π 2π【分析】當 時，- - - ，依題意有 2π wπ - < 3π ，解出即
3 3 3 3
可.
2π wx 2π wπ 2π【詳解】因為0 x π ，所以- - - ，
3 3 3
2π
因為函數 f x = sin wx - ÷（w > 0）在 0, π 有且僅有三個零點，
è 3
2π
結合正弦函數的圖象可知 2π wπ - < 3π ，
3
8 w 11解得 < ，
3 3
故選：B.
【變式 1】（2024·山西長治·一模）已知函數 f (x) = Asin(wx +j)(A
π
> 0,w > 0,|j |< ) 的部分圖
2
π
象如圖所示，若方程 f (x) = m在[- ,0]上有兩個不相等的實數根，則實數 m 的取值范圍是
2
（ ）
A．[-2, - 3] B． (-2, - 3] C． (-2, -1] D．[-2,-1]
【答案】B
【分析】根據給定的函數圖象，結合五點法作圖求出函數 f (x) 的解析式，再分析 f (x) 在
[ π- ,0]上的圖象性質即可得解.
2
【詳解】觀察圖象知， A = 2，函數 f (x) T
4 [ π ( 2π的周期 = - - )] = π
2π
，w = = 2，
3 12 3 T
由 f (
π ) 2 2 π j π= ，得 + = + 2kπ,k
π
Z，而 |j |
π
< ，則j = ，
12 12 2 2 3
π π 2π
于是 f (x) = 2sin(2x
π
+ )，當 x [- ,0]時， 2x + [- ,
π ]
3 ，2 3 3 3
2x π當 + [
2π π
- ,- ]，即 x
π 5π
[- ,- ]，函數 f (x) 單調遞減，函數值從- 3 減小到-2，
3 3 2 2 12
2x π [ π π 5π當 + - , ]，即 x [- ,0]時，函數 f (x) 單調遞增，函數值從-2增大到
3 2 3 12 3
，
顯然函數 f (x) [
π , π] x 5π的 - - 上的圖象關于直線 = - 對稱，
2 3 12
方程 f (x) = m在[
π π
- ,0]上有兩個不相等的實數根，即直線 y = m與函數 y = f (x) 在[- ,0]上
2 2
的圖象有兩個公共點，
所以實數 m 的取值范圍是 (-2,- 3] .
故選：B
ì x2 - 2x, x 1
【變式 2】（2024·安徽合肥·二模）已知函數 f x = í x
1- x 3 , x 1
，若關于 的方程
- >
f x - f 1- a = 0至少有兩個不同的實數根，則 a的取值范圍是（ ）
A． - ,-4 U é 2,+ B． -1,1
C． -4, 2 D． é -4, 2 ù
【答案】D
【分析】作出函數的圖象，由題意可得 y = f (x) 的圖象與 y = f (1- a) 至少有兩個不同的交點，
從而得-1 f (1- a) 1，結合圖象可得1- 2 1- a 5，求解即可．
2
2 ìx - 2x, x 1 ìx - 2x, x 1
【詳解】因為 f (x) = í =

1- | x - 3 , x 1 í
x - 2,1 < x < 3，

-x + 4, x 3
作出函數的圖象，如圖所示：
由此可知函數 y = f (x) 在 (- ,1)和 (3, + )上單調遞減，在 (1,3)上單調遞增，
且 f 1 = -1， f 3 = 1，
又因為關于 x 的方程 f (x) - f (1- a) = 0 至少有兩個不同的實數根，
所以 f (x) = f (1- a) 至少有兩個不同的實數根，
即 y = f (x) 的圖象與 y = f (1- a) 至少有兩個不同的交點，所以-1 f (1- a) 1，
又因為當 x 1時， f (x) = x2 - 2x ，令 x2 - 2x = 1，可得 x =1- 2 ；
當 x 3時， f (x) = 4 - x，令 4 - x = -1，解得 x = 5，
又因為-1 f (1- a) 1，所以1- 2 1- a 5，解得-4 a 2 ．故選:D
ì log2 x -1 , x >1
【變式 3】（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x = í ，若關于 x 的方程 f (x) = m
3
x -1 , x 1
有 3 個不相等的實數根，則m 的取值范圍是 ．
【答案】1 m 2
【分析】利用分段函數，指數函數，對數函數的性質作出函數 f x 的圖象，結合圖象，從
而確定m 的取值范圍.
【詳解】由 f (x) 的解析式作出 f (x) 的大致圖像．如圖所示：
方程 f (x) = m有 3 個不等實數根等價于 f (x) 的圖象與直線 y = m有 3 個不同的公共點，則
1 m 2．故答案為：1 m 2
【課后強化】
基礎保分練
一、單選題
2
1 x．（2024·遼寧撫順·三模）函數 f x = x-1 的圖象大致為（ ）e
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用導數判斷函數的單調性即可得到函數的大致圖象.
x 2 - x【詳解】易知 x R ，因為 f x = x-1 ，令 f (x) = 0，得 x = 0，或 x = 2，e
則 x - ,0 2,+ 時， f (x) < 0 ， x 0,2 時， f (x) > 0 ，
所以 f x 在 - ,0 和 (2,+ ) 上單調遞減，在 0,2 上單調遞增，
所以選項 A 符合題意,
故選：A.
1 a b
2
1
．（2024·海南·模擬預測）已知正實數 a,b,c滿足 3 ÷
= log3a, = log2 ÷ 3
b,c = log1c ，則
è è 3
（ ）
A． a < b < c B． c < b < a
C．b【答案】D
【分析】利用數形結合法，根據題意結合圖象交點分析判斷.
【詳解】因為 c = log1c = -log3c ，即-c = log3c ，
3
x
1
由題意可知： a為 y = ÷ 與 y = log3x的交點橫坐標；
è 3
x
b y = 1 為 ÷ 與 y = log3x的交點橫坐標；
è 2
c為 y = -x與 y = log3x的交點橫坐標；
1
x x

在同一平面直角坐標系中作出 y = , y = log x, y =
1 , y = -x 的圖象，
è 2 ÷ 3 3 ÷ è
由圖可得： c故選：D.
3．（2024·全國·模擬預測）若方程 x x - a + 2k = 0在區間 0,2 上有解，-4 + 4 2 a < 4，則
實數 k 的取值范圍為（ ）
é a2 ù é a2 ù é 2 ù é 2 ù
A． ê- ,0ú B． ê- ,0ú C． ê0,
a a
8 4 8 ú
D． ê0, ú
4
【答案】A
ìx2 - ax, x a
【分析】把方程 x x - a + 2k = 0在區間 0,2 上有解，轉化為函數 f x = í 的圖
-x
2 + ax, x < a
像與直線 y = -2k 在區間 0,2 上有交點，根據函數單調性，分類討論分別求出最值求解即可
【詳解】因為方程 x x - a + 2k = 0，即 x x - a = -2k 在區間 0,2 上有解，
ìx2 - ax, x a設函數 f x = í 2 ，則函數 f x 的圖像與直線 y = -2k 在區間 0,2 上有交點．
-x + ax, x < a
a
因為-4 + 4 2 a < 4，所以0 < -2 + 2 2 < 2，2
所以函數 f x é在 ê0,
a ù a ù
上單調遞增，在 ,a 上單調遞減，在 a,+ 上單調遞增．
2 ú è 2 ú
2
當 2 a < 4時，在區間 0,2 上， f x = f a a ÷ = ， f x = f 0 = 0max ，è 2 4 min
2 2
則0 -2k a a ，解得- k 0．
4 8
a a2
當-4 + 4 2 a < 2時，因為 f 0 = f a = 0， f ÷ = ， f 2 = 4 - 2a ．
è 2 4
a2 2
則 = 4 - 2a a，解得 a = -4 ± 4 2 ，又-4 + 4 2 a < 2，所以 4 - 2a ，
4 4
2 2
則0 -2k a a ，解得- k 0，
4 8
é a2 ù
綜上，實數 k 的取值范圍為 ê- ,0ú ．
8
故選：A．
4．（2024·陜西西安·模擬預測）以下四個選項中的函數，其函數圖象最適合如圖的是（ ）
x x2 +1 ex ex 2x2A． y e= B ．
2x y =
C． y = D． y =
x 2x ex
【答案】C
【分析】利用排除法，結合函數值的符號和定義域逐項分析判斷．
【詳解】根據題意，用排除法分析：
A f x e
x
對于選項 ： = ，當 x < 0 時，有 f x < 0 ，不符合題意；
2x
x2 +1 ex
對于選項 B：當 x < 0 時， f x = < 0，不符合題意；
x
D y 2x
2
對于選項 ： = x 的定義域為R ，不符合題意；e
故選：C．
ì-xex+1, x 0

5．（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x = í ln x 1 ， - , x > 0
4
2h x = é f x ù - 2af x + 4 a R ，若函數 h x 恰有 6 個零點，則實數 a的取值范圍是
（ ）
5 , 5 A． + ÷ B． , 4÷ C． 1, + D． 0, +
è 2 è 2
【答案】A
【分析】先利用導數研究當 x 0 時，函數 f x 的圖象和性質，結合對數函數的圖象及絕對
值的意義作出函數 f x 的大致圖象，然后根據題意及一元二次方程根的分布得到關于 a的
不等式，解不等式即可得到實數 a的取值范圍．
【詳解】當 x 0 時， f x = -xex+1， f x = - x +1 ×ex+1 ，
令 f x = 0，得 x=-1，當 x < -1時， f x > 0， f x 單調遞增，
當-1 < x 0時， f x < 0， f x 單調遞減，
又 f -1 =1， f 0 = 0，當 x 趨近于- 時， f x 趨近于 0，
結合對數函數的圖象及絕對值的意義可作出函數 f x 的圖象如圖所示．
f x = t h x = t 2令 ，則 - 2at + 4，數形結合可知要使 h x 有 6 個零點，
則 g t = t 2 - 2at + 4 = 0有兩個不相等的實數根 t1 、 t2 ，不妨令 t1 > t2，有如下兩種情況：
若 t2 = 0 < t1 <1，但 g(0) = 4 0，故排除此種情況，
若 t1 >1 > t2 > 0，對于二次函數 g t 開口向上，又 g 0 = 4 > 0，則 g 1 =12 - 2a 1+ 4 < 0，
得 a
5
> ，
2
5
綜上，實數 a的取值范圍是 ,+ ÷．
è 2
故選：A
【點睛】關鍵點點睛：解決此類問題需注意以下幾點：
（1）會轉化，即會將問題轉化為方程的根的問題，然后利用函數、方程、不等式的關系進
行解答；
（2）會作圖，即會根據基本初等函數的圖象、圖象的平移變換法則或函數與導數的關系畫
出相關函數的大致圖象；
（3）會觀察，即會利用數形結合思想列方程（組）或不等式（組）．
二、多選題
ì ln x -1 , x >1
6．（2023·山西·模擬預測）已知函數 f x = í 2 ，則下列結論正確的是（ ）
x - 4 x + 3, x 1
A．函數 f x 在 0,2 上單調遞減
B．函數 f x 的值域是 -1, +
C．若方程 f x = a有 5 個解，則 a的取值范圍為 0,3
1 1
D．若函數 f x - a 有 3 個不同的零點 x1, x2 , x3 x1 < x2 < x3 ，則 x1 + +x x 的取值范圍為2 3
- , -3
【答案】BCD
【分析】AB 選項，畫出 f x 的圖象，數形結合得到函數的單調性和值域，得到 A 錯誤，B
正確；C 選項，方程 f x = a有 5 個解，轉化為 y = f x 與 y = a 有 5 個交點，數形結合得
到 a的取值范圍；D 選項，由零點個數得到 x1 < -4，由對數函數的性質得到
1 1
x2x3 - x2 + x3 = 0 ，從而求出 x1 + +x x 的取值范圍.2 3
ìln x -1 , x 2
ì ln x -1 , x >1 - ln x -1 ,1 < x < 2
【詳解】 f

x = í =
x2
í
- 4 x + 3, x 1 x2
，
- 4x + 3,0 < x 1
x
2 + 4x + 3, x 0
畫出 f x 的圖象，如下：
A 選項，函數 f x 在 0,1 和 1,2 上單調遞減，不能說在 0,2 上單調遞減，A 錯誤；
B 選項，函數 f x 在 x = -2處取得最小值為 -1，故值域是 -1, + ，B 正確；
C 選項，若方程 f x = a有 5 個解，則要滿足 y = f x 與 y = a 有 5 個交點，
故 0 < a < 3，所以 a的取值范圍為 0,3 ，C 正確；
D 選項，若函數 f x - a 有 3 個不同的零點 x1, x2 , x3 x1 < x2 < x3 ，則 a 3,+ ，
2
令 x1 + 4x1 + 3 > 3，解得： x1 < -4，
又- ln x2 -1 = ln x3 -1 ，因為 y = ln x 在 0, + 上單調遞增，
1
解得： = x -1x -1 3 ，即
x2x3 - x2 + x3 = 0 ，
2
x 1 1 x + x1 + + = x + 2 31 = x1 +1 - ,-3 x x x x ，2 3 2 3
故 x
1 1
1 + +x x 的取值范圍為 - , -3 .2 3
故選：BCD
【點睛】方法點睛：
函數零點問題：將函數零點問題或方程解的問題轉化為兩函數的圖象交點問題，將代數問題
幾何化，借助圖象分析，大大簡化了思維難度，首先要熟悉常見的函數圖象，包括指數函數，
對數函數，冪函數，三角函數等，還要熟練掌握函數圖象的變換，包括平移，伸縮，對稱和
翻折等，涉及零點之和問題，通常考慮圖象的對稱性進行解決.
7．（2023·福建泉州·模擬預測）函數 f (x) = ln 1+ x - k ln 1- x 的大致圖像可能為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】利用函數的單調性和奇偶性，通過對 k 進行分類討論，得出 f (x) 的單調區間和奇偶
性，再逐一對各個選項即可得出結果.
【詳解】因為 f (x) = ln 1+ x - k ln 1- x ，
ì1+ x > 0
所以 í ，解得-1 < x <1，故 f x 1 定義域為 -1,1 . - x > 0
1 k x k -1 +1+ kf x = + = ， f (-x) = ln2 1- x - k ln 1+ x ，1+ x 1- x 1- x
1 k
因為 k > 0時， f (x) = + > 0在區間 (-1,1)上恒成立，
1+ x 1- x
所以 f (x) 在區間 (-1,1)上單調遞增.
當 k =1時， f (-x) = - f (x) ，此時 f (x) 為奇函數，故選項 B 正確；
當 k = 0時， f (x) = ln 1+ x ，易知其圖像為選項 D，故選項 D 正確.
f (x) = 0 x 1+ k 2k 1+ k 2當 k < 0時，由 ，得 = =1+ ，又 - (-1) = > 0，
1- k 1- k 1- k 1- k
1 1+ k 1 f (x) ( 1,1+ k ) (1+ k所以- < < ，即 在區間 - 上單調遞增，在區間 ,1)上單調遞減，
1- k 1- k 1- k
綜上可知， f (x) 在區間 (-1,1)上不嚴格單調遞減，故選項 A 不正確；
當 k = -1時， f (-x) = f (x)，此時 f (x) 為偶函數，
且 f (x) 在區間 (-1,0) 上單調遞增，在區間( 0, 1)上單調遞減，故選項 C 正確，
故選：BCD.
三、填空題
ì ln x , x > 0,
8．（2023·北京房山·一模）設函數 f (x) = í 2 給出下列四個結論：①函數 f (x)
x + 4x +1, x 0.
的值域是R ；② "a >1 +，方程 f (x) = a恰有 3 個實數根；③ $x0 R ，使得
f -x0 - f x0 = 0；④若實數 x1 < x2 < x3 < x4 ，且 f x1 = f x2 = f x3 = f x4 .則
x1 + x2 x3 - x4 的最大值為 4e
4
- .其中所有正確結論的序號是 .
e
【答案】②③④
【分析】畫出函數圖象，結合圖象對四個結論依次分析，即可求解結論.
ì ln x , x > 0,
【詳解】因為函數 f (x) = í 2 ，其圖象如下圖所示：
x + 4x +1, x 0.
對于①，由圖可知，函數 f (x) 的值域不是R ，故①不正確；
對于②，由圖可知，"a >1，方程 f (x) = a恰有 3 個實數根，故②正確；
+
對于③，當$x0 R 時，使得有 f (-x0 ) = f (x0 )成立，即 y = x
2 - 4x+1與 y = ln x 有交點，這
顯然成立，故③正確；
對于④，不妨設互不相等的實數 x1, x2 , x3 , x4 滿足 x1 < x2 < x3 < x4 ，當滿足
f x1 = f x2 = f x3 = f x4 時，
x + x
由圖可知 1 2 = -2，即 x1 + x2 = -4，2
ln x 13 = ln x4 ，即 - ln x3 = ln x4 , x3 = x ，4
x x 1 x 1 所以 1 + 2 -x 4 ÷ = -4 - x4 ÷，由圖可知， xx 4 1,e ，è 4 è 4
1 1 é1
而 y = - x在 x 1,e 上單調遞減，所以 - x - e,0
x x 4 êe ÷
，
4
x x x 1 4 1 4所以 1 +
ù
2 3 - ÷ = -x
- x4 ÷ 0,4e - ú ，
è 3 è x4 è e
則 x1 + x2 x3 - x4 的最大值為 4e
4
- ，故④正確.
e
故答案為：②③④.
ì x +1
, x 0
9．（23-24 高三上·河南漯河·期末）已知函數 f (x) = í ex ，若關于 x 的不等式
x2 - x, x > 0
f 2 (x) - af (x) < 0恰有一個整數解，則實數 a的取值范圍為 .
【答案】 é -2e
3 , -e2 U (1, 2]
【分析】由導數得出函數 f (x) 的圖象，討論 a與 0 的關系，結合圖象得出實數 a的取值范
圍.
exx +1 - x +1f (x) e
x -x
【詳解】當 x 0 時， f (x) = ，所以 = 2 = 0
ex ex ex ，
所以 f (x) 在 - ,0 單調遞增，
ì x +1
由 f (x) =

í ex
, x 0
，
x
2 - x, x > 0
3 2
易得 f (-3) = -2e , f (-2) = -e , f (-1) = 0, f 0 =1, f 1 = 0, f 2 = 2,
故函數 f (x) 的圖象如下圖所示：
由 f 2 (x) - af (x) < 0得 f (x) f (x) - a < 0，
當 a = 0時，顯然不成立；
當 a > 0時，解得0 < f (x) < a ，
要使得不等式只有唯一整數解，則1< a 2，此時整數解 x = 0；
當 a<0時，解得 a < f (x) < 0 ，
要使得不等式只有唯一整數解，則-2e3 < a -e2 ，此時整數解 x = -2；
3 2
綜上所述：實數 a的取值范圍為 é-2e , -e (1, 2] .
故答案為： é-2e
3 , -e2 (1, 2] .
【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是能夠通過分類討論得到函數的圖象，進而利用數形結合
思想確定整數解的取值，從而得到不等關系求得結果.
四、解答題
10．（2022 高三上·河南·專題練習）設 f (x) = 2 x +1 - x - 3 ．
(1)在如圖坐標系中作出函數 f x 的圖象，并根據圖象求不等式 f (x) 0的解集；
(2)若存在實數 x ，使得不等式 f (x) x - 3 + t 2 - 7t 成立，求實數 t 的取值范圍．
【答案】(1)作圖見解析；[-5,
1]
3
(2) -1,8
【分析】（1）根據函數的解析式，結合分段函數的性質，畫出函數 f x 的圖象，結合圖象
得到不等式 f (x) 0的解集；
（2 2）根據題意，不等式轉化為 2( x +1 - x - 3 ) t - 7t ，結合絕對值的性質，轉化為不等式
t 2 - 7t 8，即可求解.
ì-x - 5, x -1

【詳解】（1）解：由題意得，函數 f (x) = 2 x +1 - x - 3 = í3x -1,-1< x 3，

x + 5, x > 3
列表如下：
1
x -5 -1 3 43
f (x) 0 -4 0 8 9
描點、連線，得函數 f x 的圖象如下：
1
由圖可知，不等式 f (x) 0的解集為[-5, ]3 ．
（2）解：由 f (x) x - 3 + t 2 - 7t ，可得 2 x +1 - x - 3 x - 3 + t 2 - 7t ，
即 2( x +1 - x - 3 ) t 2 - 7t ，
因為 2( x +1 - x - 3 ) = 2( x +1 - 3- x ) 2 (x +1) + (3- x) = 8，
當且僅當 (x +1)(3 - x) 0，即-1 x 3時取等號，
所以 t 2 - 7t 8，解得-1 t 8，所以實數 t 的取值范圍 -1,8 ．
11．（23-24 高三上· 2新疆阿克蘇·階段練習）定義域為 R 的奇函數滿足 f x = x - 2x(x > 0) .
(1)求 f x 解析式；
(2)求不等式 f x 0的解集.
2
【答案】(1) f x
ìx - 2x, x > 0
= í
-x
2 - 2x, x 0
(2) x x 2或-2 x 0
【分析】（1）根據奇函數的性質即可求解，
（2）利用函數的圖象即可求解.
【詳解】（1）當 x < 0 時，則 -x > 0，故 f -x = -x 2 - 2 -x = x2 + 2x ，
由于 f x 2為奇函數，所以 f x = - f -x = -x - 2x，
又 f 0 = 0，
ìx2 - 2x, x > 0故 f x = í
-x
2 - 2x, x 0
（2）作出 f x 圖象如下：
由圖象可知：當 x 2或-2 x 0時， f x 0 ，
故 f x 0 的解為 x x 2或-2 x 0
綜合提升練
一、單選題
1．（23-24 高三上·北京昌平·期末）設函數 f x 的定義域為R ，則“ "x R, f x +1 < f x ”
是“ f x 為減函數”的（ ）
A．充分必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分而不必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】利用函數的單調性及充分、必要條件的定義判定選項即可.
ì-x, x 0 ì-x -1, x -1
【詳解】若 f x = í0,0 < x < 0.5 ，則 f x +1 = í0, -1 < x < -0.5 ，

-x + 0.5, x 0.5 -x - 0.5, x -0.5
作出函數圖象，
，
由圖象可知"x R, f x +1 < f x 成立，但顯然 f x 不為減函數；
若 f x 為減函數，又 x +1 > x ，則 f x +1 < f x ，
所以“ "x R, f x +1 < f x ”是“ f x 為減函數”的必要不充分條件.
故選：B
2x +1 sin π + 3x 2．（2024·四川德陽·二模）函數 2 ÷f x è 的圖象大致是（= ）
2x -1
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據誘導公式化簡 f x ，再利用函數奇偶性的定義判斷 f (x)的奇偶性，從而得解.
2x +1 sin π + 3x
【詳解】因為 2 ÷ x è 2 +1 ，定義域為
- ,0 U 0, +
f x ，= = ×cos3x
2x -1 2x -1
f ( x) 2
- x +1 x
又 - = - x ×cos -3x
2 +1
= - x ×cos3x = - f x ，2 -1 2 -1
所以 f (x)是奇函數，從而 ACD 錯誤，B 正確.
故選：B.
3．（2024·四川·模擬預測）函數 f x = 2xln x -1 的大致圖象為（ ）
A． B． C．
D．
【答案】B
【分析】根據定義域、特殊值可以對選項進行排除，從而得到正確選項.
【詳解】因為 f x 的定義域為 - ,1 1, + ，故排除C ；
又 f 3 = 6ln2 > 0 ，故排除A ；
f 1 3 -

÷ = -ln < 0，故排除 D．
è 2 2
故選：B．
4．（2024·天津·二模）函數 f x 的圖象如圖所示，則 f x 的解析式可能為（ ）
ln x
x - x
A． f x = 2 B f x
e - e
． =
x +1 x2
x2C． f x -1= D． f ln xx =
x x
【答案】C
【分析】根據奇偶性判斷 A；驗證 f 1 的值判斷 B；根據奇偶性、單調性判斷 C；根據單調
性判斷 D.
【詳解】由圖象知，該函數圖象關于原點對稱，所以函數 f x 為奇函數，且 f 1 = 0，
ln -x ln x對于 A， f -x = 2 = 2 = f x -x +1 x +1 ，為偶函數，故 A 錯誤；
1 -1
對于 B， f 1 e - e 1= 2 = e - 0 ，故 B 錯誤；1 e
-x 2C -1
2 x2 -1 1
對于 ， f -x x -1= = - ，為奇函數，當 x > 0時， f x = = x - ，
-x x x x
因為 y = x
1
， y = - 在 0, + 為單調遞增函數，所以 f x = x 1- 在 0, + 單調遞增，故 C
x x
正確；
f x ln x f x 1- ln x對于 D，當 x > 0時， = ， = 2 ，所以 x 0,e 時， f x > 0，x x
f x 單調遞增，當 x e, + 時， f x < 0， f x 單調遞減，故 D 錯誤，
故選：C.
5．（2024·四川成都·三模）若函數 f x = ex - kx2 大于 0 的零點有且只有一個，則實數 k 的值
為（ ）
e 2
A．4 B． 2 e C． D
e
．
2 4
【答案】D
ex
【分析】根據題意，函數 f x 有且僅有一個正零點，轉化為方程 k = 2 有且僅有一個正根，x
x
令 g x e= 2 ，利用導數研究函數單調性、極值，數形結合判斷得解.x
x
【詳解】函數 f x e有且僅有一個正零點，即方程 k = 2 有且僅有一個正根，x
x ex x - 2
令 g x e = 2 ，則 g x = ，x x3
當 x < 0 時， g x > 0，當0 < x < 2時， g x < 0，當 x > 2時， g x > 0，
2
即函數 g x 在 - ,0 和 2, + 上單調遞增，在 0,2 e上單調遞減，且 g 2 = ，
4
x 0 時， g x + ， x - 時， g x 0， x + 時， g x + ，可作出圖象如下，
exk e
2
方程 = 2 有且僅有一個正根，所以 k = .x 4
故選：D.
ì2sin 2p x, 15 x 5 -
f x = 6 2024· · 5 4 4．（ 陜西西安 一模）已知函數 í ，若存在實數
log x 1 , x 5
2
- >
4
x1, x2 , x3 , x4 x1 < x2 < x3 < x4 滿足 f x1 = f x2 = f x3 = f x4 = m ，則錯誤的是（ ）
A x2 + x2 8 x x
5
． 3 4 < B． 1 + 2 = - C． x2 3
x4 - x3 - x4 = 0 D．0 < m < 2
【答案】A
【分析】畫出 f x 的圖象，根據圖象可得m 的取值范圍，再根據圖象的局部對稱性可得
x 51 + x2 = - ，且 x3x4 - x3 - x4 = 0，故可判斷各項的正誤.2
ì2sin 2π x, 15 x 5 -
5 4 4
5【詳解】 f x = í- log2 x -1 , < x < 2，
4
log2 x -1 , x 2


故 f x 的圖象如圖所示，
考慮直線 y = m與 y = f x 圖象的交點，
x x 5 5則 1 + 2 = -2 = - ，且- log2 x3 -1 = log2 x4 -1 = m，0 < m < 2，故 BD 正確.4 2
1
由- log2 x3 -1 = log2 x4 -1 = m可得 = x4 -1即 x3 -1 x4 -1x 1 =1- ，3
整理得到 x3x4 - x3 - x4 = 0，故 C 正確.
又 x2 + x2 23 4 = x3 + x4 - 2x
2
3x4 = x3x4 - 2x3x4，
由 x3x4 = x3 + x4 2 x3x4 可得 x3x4 4 ，但 x3 x4 ，故 x3x4 > 4，
2
故 x3 + x
2
4 >16 -8 = 8，故 A 錯誤.
故選：A.
【點睛】關鍵點點睛：分段函數的零點問題，可先刻畫其圖象，根據圖象的性質可得各零點
的性質，結合基本不等式等考慮目標代數式的范圍等.
7 2024· · f x sin
3 x
．（ 全國 模擬預測）函數 = 4 的大致圖象是（ ）x - 2
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據函數的奇偶性可判定 A，C；當0 < x < 4 2 時， f x < 0 ，可判定 B，D.
【詳解】Q f x x x ± 4的定義域為 2 ，
f x -sin
3 x
- = = - f x ，\函數 f x 是奇函數，
x4 - 2
\ f x 的圖象關于原點對稱，排除 A，C；
當0 < x < 4 2 時， sin3 x > 0，
（提示：0 < 4 2 < π ，故當0 < x < 4 2 時， sin x > 0，得 sin3 x > 0）
sin3 x
x4 - 2 < 0，\ f x = 4 < 0，排除 B．x - 2
故選:D．
ìx -1, x < 0
8．（2024·北京順義·二模）若函數 f x = í 0, x = 0 ，則“ x1 + x2 > 0 ”是“ f x1 + f x2 > 0 ”

x +1, x > 0
的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】根據題意分析可知 f x 為奇函數且在R 上單調遞增，分析可知 x1 + x2 > 0等價于
f x1 + f x2 > 0，即可得結果.
【詳解】由題意可知： f x 的定義域為R ，且 f 0 = 0，
若 x > 0，則-x < 0，可知 f x + f -x = x +1 + -x -1 = 0 ，
若 x < 0 ，同理可得 f x + f -x = 0 ，所以 f x 為奇函數，
作出函數 f x 的圖象，如圖所示，
由圖象可知 f x 在R 上單調遞增，
若 x1 + x2 > 0，等價于 x1 > -x2，等價于 f x1 > f -x2 = - f x2 ，等價于 f x1 + f x2 > 0，
所以“ x1 + x2 > 0 ”是“ f x1 + f x2 > 0 ”的充要條件.
故選：C.
二、多選題
9．（2023·全國·模擬預測）若函數 f x = 2x2ln x 的定義域為D，則下列說法正確的是（ ）
A．D = 0, + B． f x 是偶函數
C．"x D, y D, f xy = x2 f y + y2 f x D．若方程 f x = k 有 4 個不同的實數根，則
1
- < k < 0
e
【答案】BCD
【分析】根據函數定義域的求解可判定 A，根據函數奇偶性的定義即可判定 B，根據對數的
運算即可判定 C，根據導數求解函數單調性，即可結合函數的最值以及奇偶性作出函數圖象，
結合函數圖象即可求解 D.
【詳解】選項 A：由對數函數可知 x > 0 ，得 x 0，所以函數 f x 的定義域
D = - ,0 0, + ，所以 A 錯誤．
選項 B：因為函數 f x 的定義域D = - ,0 0, + 關于原點對稱，
f -x = 2 -x 2 ln -x = 2x2ln x = f x ，所以 f x 是偶函數，所以 B 正確．
2
選項 C：因為 f xy = 2 xy ln xy = 2x2 y2 ln x + ln y ，
x2 f y + y2 f x = x2 2y2ln y + y2 2x2ln x = 2x2 y2 ln x + ln y ，所以 C 正確．
對于 D：因為 f x 是偶函數，所以只需要討論， x 0, + 時函數 f x 的情況即可，
當 x 0, + 2時， f x = 2x lnx，所以 f x = 2x 2lnx 1 f x 0 1+ ，令 = ，解得 -x = e 2 ，
1- 1-
易知當 x 0,e 2 ÷時， f x < 0, f x 單調遞減，當 x e 2 , + ÷時， f x > 0, f x 單調遞
è è
增，
1-
所以 f x 1的最小值為 f e 2 ÷ = - ，且 x + 時， f x + ．作出 f x 的大致圖象和直
è e
線 y = k ，
如圖，若方程 f x = k 有 4 個不同的實數根，則 f x 的圖象與直線 y = k 有 4 個不同的交點，
k
1
- ,0 所以 的取值范圍為 ÷． 所以 D 正確．
è e
故選：BCD
ì1- 2x +1 , x < 0
10．（2024·云南昆明·一模）已知函數 f x = í ， g(x) = f ( f (x)) - f (x) - ax ，則
e -1, x 0
（ ）
A．當 a = 0時， g(x)有 2 個零點
a 3B．當 = 時， g(x)有 2 個零點
2
C．存在 a R ，使得 g(x)有 3 個零點
D．存在 a R ，使得 g(x)有 5 個零點
【答案】BCD
【分析】令 t = f x ，可得 y = f (t) - t - a ，結合圖象分析方程 f (t) = t + a的根的分布，再結合
圖象分析 t = f x 的交點個數，即可得解.
【詳解】由 f (x) 的圖象可知， f (x) 的值域為R ，
對于選項 AC：令 h x = ex - x -1, x 0，
則 h x = ex -1 0在 0, + 上恒成立，
可知 h x 在 0, + 上單調遞增，則 h x h 0 = 0，
即 ex -1 x, x 0 當且僅當 x = 0等號成立，
令 t = f x ，若 a = 0，可得 y = f (t) - t ，
令 y = f (t) - t = 0，
當 t 0，則 et -1- t = 0 ，可知 t = 0；
1
當 t < 0，結合圖象可知當且僅當 t - ，方程 f (t) - t = 1+ 2t +1- t = 0 有根，解得 t = -2；
2
即 f x = -2 或 f x = 0，結合圖象可知：
f x = -2 有 1 個根； f x = 0有 2 個根；
綜上所述：當 a = 0時， g(x)有 3 個零點，故 A 錯誤，C 正確；
對于選項 B：令 t = f x a 3，若 = ，可得 y = f (t) t 3- - ，
2 2
令 y = f (t) - t
3
- = 0，即 f (t)
3
= t +
2 2 ，
注意到 f 1 e 1 3= - <1+ ，
2
3 1
由圖象可知方程 f (t) = t + 2 有兩個根為一根為
- ，另一根不妨設為m, m >1，
2
即 f x 1= - 或 f x = m ，結合圖象可知：
2
f x 1= - 有 1 個根； f x = m >1有 1 個根；
2
a 3綜上所述：當 = 時， g(x)有 2 個零點，故 B 正確；
2
對于選項 D：令 t = f x ，若 a = 0.2，可得 y = f (t) - t - 0.2，
令 y = f (t) - t - 0.2 = 0，即 f (t) = t + 0.2 ，
令 ex -1 = 1，解得 x = ln 2，
由圖象可設方程 f (t) = t + 0.2 有三個根為 t1, t2 , t3 ，且 t1 < t2 < 0 < t3 < ln 2 < 1，
即 f x = t1 或 f x = t2 或 f x = t3，結合圖象可知：
f x = t1 或 f x = t2 有 1 個根； f x = t3有 3 個根；
綜上所述：當 a = 0.2時， g(x)有 5 個零點，故 D 正確；
故選：BCD.
【點睛】易錯點睛：利用數形結合求方程解應注意兩點
1.討論方程的解(或函數的零點)可構造兩個函數，使問題轉化為討論兩曲線的交點問題，但
用此法討論方程的解一定要注意圖象的準確性、全面性、否則會得到錯解．
2.正確作出兩個函數的圖象是解決此類問題的關鍵，數形結合應以快和準為原則而采用，不
要刻意去數形結合．
11．（2024·河北滄州·一模）已知函數 f (x) 的定義域為R ，且"x R ，都有
f (-3 + x) + f (-1 x) 3 1- = 0 f - + x = f - - x f (-5) = -2 f 7 3， 2 ÷ ÷， ，2 ÷
= - ，當
è è è 2 4
x [-1,0]時， f (x) = ax2 + bx，則下列說法正確的是（ ）
A．函數 f (x) 的圖象關于點 (-2,0) 對稱
B． f (1) = 2
C． f (2023) + f (2024) + f (2025) = 2
D．函數 f (x) 與函數 y =| ln | x ||的圖象有 8 個不同的公共點
【答案】ABD
【分析】根據條件先得到函數的對稱性及周期性，進而判斷 ABC，畫出函數 f (x) 與函數
y =| ln | x ||的圖象，根據圖象觀察交點個數即可判斷 D.
【詳解】由 f (-3 + x) + f (-1- x) = 0得函數 f (x) 關于 -2,0 對稱，A 正確；
f 3 1由 - + x
= f ÷ - - x ÷得函數 f (x) 關于 x=-1對稱，
è 2 è 2
所以 f (-4 + x) + f (-x) = 0 ， f -2 + x = f -x ，
所以 f (x - 4) + f (x - 2) = 0，即 f (x) + f (x + 2) = 0，
所以 f x = - f x + 2 = f x + 4 ，故函數 f (x) 的周期為 4，
由 f (-5) = -2 知 f (-1) 2 f
7 1 3= - ， ÷ = f - ÷ = - ，
è 2 è 2 4
ìa - b = -2
又 x [-1,0]時， f (x) = ax2
ìa = -1
+ bx ，所以 í1 ，解得 ，
a
1 b 3 í- = - b =1
4 2 4
所以 x [-1,0]時， f (x) = -x2 + x ，
所以 f 1 = - f -1 = 2，B 正確；
f (2023) + f (2024) + f (2025) = f -1 + f 0 + f 1 = 0，C 錯誤；
畫出函數 f (x) 和函數 y =| ln | x ||的圖象，如圖：
ln - 7 ||= ln 7 < 2 = f -7 ，觀察圖象可得函數 f (x) 與
函數 y =| ln | x ||的圖像有 8 個不同的公共點，D 正確.
故選：ABD.
三、填空題
12．（2024·全國·模擬預測）若不等式 f x > 0或 f x < 0 只有一個整數解，則稱不等式為單
元集不等式．已知不等式 a(x +1)2 - | log2 x | +1> 0為單元集不等式，則實數a的取值范圍是 ．
1
【答案】 - ,0
ù
è 4 ú
【分析】不等式轉化為∣log2 x∣< a x +1
2 +1，引入函數 f x = log2 x ， g x = a x +1 2 +1，
分類討論作出函數圖象，利用數形結合思想求解．
2
【詳解】根據題意可轉化為滿足∣log2 x∣< a x +1 +1的整數 x 的個數為 1．
令 f x = log2 x ， g x = a x +1 2 +1，
當 a > 0 ×時，作出函數 f (x) = log2 x 和 g(x) = a x +1 -1的圖象，如圖所示，
數形結合得， f x < g x 的解集中整數的個數有無數多個，不符合題意；
1
當 a = 0時， g x =1，所以 | log2 x |< 1，解得 < x < 2，只有一個整數解 x =1，2
所以 a = 0符合題意；
當 a<0 ×時，作出函數 f (x) = log2 x 和 g(x) = a x +1 -1的圖象，如圖所示，
ì g 1 > 0
要使∣ log2 x∣ < a(x +1)
2 +1的整數解只有一個，只需滿足 í
f 2
，
g 2
ì4a +1 > 0 1
即 í ，結合 a<0可得- < a < 0
1 9a
．
+1 4
1 ù
綜上所述，實數 a 的取值范圍是 - ,0
è 4 ú
．

故答案為： (
1
- ,0]．
4
【點睛】方法點睛：根據函數的零點個數求解參數范圍，一般方法：
（1）轉化為函數最值問題，利用導數解決；
（2）轉化為函數圖像的交點問題，數形結合解決問題；
（3）參變分離法，結合函數最值或范圍解決.
ì-x2 + 4x - 3, x 2
13．（2024 高三·上海·專題練習）已知函數 f x = í ，則不等式 f 2x -1 < 2
log2 x, x > 2
的解集是
5
【答案】 - , ÷
è 2
【分析】首先根據函數 f x 的圖象判斷函數的單調性，根據單調性求解不等式.
【詳解】作出函數 f x 的圖像如圖所示，由圖可知，函數 f x 在 R 上單調遞增，
因為 f 4 = log2 4 = 2，
所以 f (2x -1) < 2 等價于 f (2x -1) < f 4 ，
5
即 2x -1< 4，解得 x < ，
2
所以不等式 f 2x -1 < 2 5 的解集是 - , 2 ÷ ．è
5
故答案為： - , 2 ÷è
sinx
14．（2022·北京海淀·三模）已知函數 f x = , x -2p ,0 0,2p ，給出下列四個結論：
x
① f x 是偶函數；
② f x 有 4 個零點；
③ f x 1的最小值為- ；
2
1 11 7 p 5
④ f x < 的解集為 - p , - p 0, p , 2p .
2x 6 6 ÷ 6 ÷ è è è 6 ÷
其中，所有正確結論的序號為 .
【答案】①②④
【分析】對于①：利用函數的奇偶性的定義直接判斷；
對于②：令 f x = 0，直接解得；
對于③：利用圖像法直接判斷；
1
對于④：直接解不等式 f x < 即可判斷.
2x
【詳解】對于①：因為函數的定義域為 -2p ,0 U 0,2p ，且
sinf x -x -sinx- = = = f x ，所以 f x 是偶函數.故①正確；
-x -x
對于②：在 x -2p ,0 0,2p ，令 f x = 0，解得： x = -2p ， x = -p ， x = p ， x = 2p .
所以 f x 有 4 個零點.故②正確；
對于③：因為 f x 是偶函數，所以只需研究 x 0,2p 的情況. 如圖示，作出 y = sin x
（ x 0,2p y 1）和 = - x的圖像如圖所示：
2
在 x 0,2p 1 sin x 1 1上，有 sin x > - x，所以 > - ，即 f x 的最小值大于- .故③錯誤；
2 x 2 2
對于④：當 x -2p ,0 0,2p 時， f x 1< 可化為：
2x
1 p 5
當 x > 0時， sin x <
ù
，解得： x 0, ÷ p , 2p ；2 è 6 è 6 ú
1 11 7
當 x < 0 時， sin x > ，解得： x
- p ,- p ；
2 ֏ 6 6
1 11p , 7 p 0, p 5綜上所述： f x < - - 的解集為 ÷ ÷ p , 2p
ù
.故④正確.
2x è 6 6 è 6 è 6 ú
故答案為：①②④
【點睛】（1）函數奇偶性的判斷，通常用定義法；
（2）解三角不等式（方程），利用三角函數的單調性和特殊角的三角函數值.
四、解答題
1 1 1
15．（2023·四川樂山·三模）已知函數 f (x) = x - 2 + x +1 + x + 2 ．
2 2 2
(1)畫出 f（x）的圖象，并寫出 f (x) 6的解集；
1 1 T
(2)令 f（x）的最小值為 T，正數 a，b 滿足 a + b = T ，證明： + ．
a2 +1 b2 +1 10
【答案】(1)作圖見解析， x | -6 x 2
(2)證明見解析
【分析】（1）由絕對值的定義分類討論去掉絕對值符號得分段函數解析式，然后分段作出函
數圖象，由圖象得不等式的解集；
（2）由（1）得最小值T ，然后用基本不等式得出 ab的范圍，再用基本不等式得
1 1 2
+ 2 2
a2 +1 b2 +1 (a2 2 ，利用二次函數性質得
(a +1)(b +1)
+1)(b 1) 的范圍，從而可得不等+
式成立，注意等號取得的條件是否一致．
ì 1
- x + 3, x < -2,
2
1
【詳解】（1）由題，得 f (x) = í x + 5,-2 x 4,，圖象如圖所示．
2
3
x +1, x > 4, 2
由圖可知， f (x) 6的解集為 x | -6 x 2 ．
（2）由（1）知，函數 f（x）的最小值為T = 4，則 a + b = 4 ．
1 1 4 2
只需證明
a2
+
+1 b2
= 即可．
+1 10 5
由已知， a > 0，b > 0，則 4 = a + b 2 ab ，所以0 < ab 4．
1 1 2
于是 2 + a +1 b2 +1 (a2 +1)(b2 +1) ，
因為 (a2 +1)(b2 +1) = a2b2 + a2 + b2 +1
= a2b2 + (a + b)2 - 2ab +1
= a2b2 - 2ab +17
= (ab -1)2 +16，
由于0 < ab 4，則16 (ab -1)2 +16 25，即16 (a2 +1)(b2 +1) 25，
1 1 2 2 2
所以 2 + 2 =a +1 b +1 2 2 25 5 ，當且僅當 a = b = 2(a 1)(b 1) 時，等號成立．+ +
16 1．（2023·江西宜春·模擬預測）設 f (x) = x2 tx 3ln x g(x)
2x + t
- + =
2 ， x2 - 3 ，且 a、b 為函數 f x 的極
值點 (0 < a < b)
(1)判斷函數 g x 在區間 (-b,-a)上的單調性，并證明你的結論；
(2)若曲線 g(x)在 x =1處的切線斜率為-4，且方程 g(x) - m = 0(x 0)有兩個不等的實根，求
實數 m 的取值范圍.
【答案】(1) g(x)在區間 (-b,- 3) ， (- 3,-a)上單調遞增，證明見解析.
(2) m 4 [- ,-1) U ( 1- ,0)3 3
2 ìt = a + b
【分析】（1 x - tx + 3）求導得 f (x) = ，則 x2 - tx + 3 = 0x ，利用韋達定理得 í 3 = ab
，則
g (x) -2(x + a)(x + b)= 2 (x ± 3)(x - 3)2 ，分析出-b < - 3 < -a < 0，根據其導數與單調性關系即可得到答
案.
（2
2x + 4
）根據 g (x) = -4求出 t = 4，則 g(x) = x2 - 3 ，求導，求出其極值，作出其函數圖象，利用直
線 y = m與 g x 交點個數即可得到答案.
2
【詳解】（1）依題設方程 f (x) x t 3 x - tx + 3= - + = = 0 ，即方程 x2 - tx + 3 = 0x x
ìt = a + b
的兩根分別為 a、b∴ í
3 = ab
g (x) 2(x
2 + tx + 3) -2(x2 + (a + b)x + ab) -2(x + a)(x + b)
∴ = 2 = = (x ± 3)(x - 3)2 (x2 - 3)2 (x2 - 3)2
因為0 < a < b，且 ab = 3，則0 < a < 3 < b ，
∴ -b < - 3 < -a < 0，∴當 x (-b,-a)且 x - 3時， g (x) > 0，
∴ g(x)在區間 (-b,- 3) ， (- 3,-a)上單調遞增.
（2）由 g 1 2 t + 4 = - = -4，得 t = 4，∴ g(x) 2x + 4= ，∴ g (x) -2(x +1)(x + 3)=x2 - 3 (x2 - 3)2 ，4
g (x) = 0時 x = -3或 -1，當 x 在 (- ,0)上變化時， g (x) ， g(x)的變化情況如下：
(- , -3) -3 (-3, - 3) (- 3,-1) -1 -1,0 0
g (x) - 0 + + 0 -
g(x) 1 4] 極小值- Z Z 極大值 -1 ] -
3 3
∴ y = g x x 0 的大致圖象如圖,
∴方程 g(x) - m = 0(x 0)有兩個不等根時，轉化為直線 y = m與函數 y = g x x 0 的圖象
有兩交點，
則m [
4
- ,-1) U ( 1- ,0)
3 3 .
17．（2023·四川樂山·一模）已知 f x = 2 x - a - x + a， a > 0 .
8
(1)若曲線 y = f x 與直線 y = a 圍成的圖形面積為 ，求 a的值；
3
(2)求不等式 f x > x的解集.
【答案】(1) a = 2
, 3a(2) -

÷
è 4
【分析】（1）將 f x 表示為分度函數的形式，結合圖象以及圍成圖形的面積列方程，從而
求得 a .
（2）對 x 進行分類討論，由此求得不等式 f x > x的解集.
x - a, x > a
【詳解】（1）由題得 f x = 2 x ì- a - x + a = í .
-3x + 3a, x a
畫出 y = f x 及 y = a 得圖象，如下圖所示，
易知 A a,0 B 2a， ,a

÷ ，C 2a, a ，\ BC
4a
= .
è 3 3
S 1 BC a 1 4a a 2a
2 8
\ VABC = × = × × = = ，解得 a = 2 .2 2 3 3 3
ìx - a, x > a（2）由（1）知 f x = í
-3x + 3a, x a
，
當 x > a時， f x > x即為 x - a > x，得 a < 0，與條件矛盾，此時不等式的解為 ；
當 x a時， f x > x 3a 3a即為-3x + 3a > x，得 x < ，此時不等式的解為 x < .
4 4
3a
綜上所述，原不等式的解集為 - ,

÷ .
è 4
18．（2023·陜西榆林·模擬預測）已加 f x = 2x - 3 + x ．
(1)解不等式 f x 3；
(2)令 g x = f x - a，若 g x 3的圖象與 x 軸所圍成的圖形的面積為 ，求實數 a的值．
2
【答案】(1) 0,2
(2) a = 3
【分析】（1）去絕對值，結合一元一次不等式即可求解；（2）結合圖像平移即可求解.
ì
3- 3x, x < 0
3
【詳解】（1） f x = 2x - 3 + x = í3 - x,0 x ，
2
3x - 3, x 3>
2
當 x < 0 時， f x = 3- 3x 3，解得 x 0 ，無解；
3
當0 x 時， f x = 3- x 3 3，解得 x 0 ，所以0 x ；
2 2
x 3當 > 時， f x = 3x - 3 3 3，解得 x 2，所以 < x 2．
2 2
綜上所述，不等式 f x 3的解集為 0,2 ．
1 3 3
（2）畫出 f x 的圖象，由（1）知，陰影部分的面積為 2 3- ÷ = ，2 è 2 2
所以 f x 的圖象向下平移至陰影部分的上沿與 x 軸重合時，圖形與 x 軸所圍成圖形的面積
3
恰為陰影部分的面積，即為 ，
2
此時函數 f x 的圖象向下平移的距離為 3，故 a = 3．
19．（2024·全國·模擬預測）設函數 f x = x -1 - 2 x +1 ．
(1)作出函數 f x 的圖象；
(2)若 f x 的最大值為m ，正實數 a,b,c滿足 ab + 2b2 + 3ac + 6bc = m，求 a + 3b + 3c 的最小
值．
【答案】(1)圖象見解析
(2) 2 2
【分析】（1）分別在 x -1、-1 < x <1及 x 1的情況下，討論得到 f x 的解析式，由此可
得函數圖象；
（2）結合圖象可確定m = 2 ，化簡已知等式得到 a + 2b b + 3c = 2，根據
a + 3b + 3c = a + 2b + b + 3c ，利用基本不等式可求得結果.
【詳解】（1）當 x -1時， f x = -x +1+ 2 x +1 = x + 3；
當-1 < x <1時， f x =1- x - 2 x +1 = -3x -1；
當 x 1時， f x = x -1- 2 x +1 = -x - 3；
作出 f x 的圖象如下圖所示，
（2）由（1）可知：當 x=-1時， f x = 2max ，即m = 2 ，
\ab + 2b2 + 3ac + 6bc = 2，即 a + 2b b + 3c a + 2b = a + 2b b + 3c = 2 ，
\a + 3b + 3c = a + 2b + b + 3c 2 a + 2b b + 3c = 2 2 （當且僅當 a + 2b = b + 3c，即
a + b = 3c時等號成立），
\ a + 3b + 3c = 2 2min .
拓展沖刺練
一、單選題
1．（23-24 高三上·黑龍江齊齊哈爾·期末）設函數 f x = x x - 2x ，則 f x （ ）
A．是偶函數，且在 1, + 上單調遞增 B．是奇函數，且在 -1,1 上單調遞減
C．是偶函數，且在 - ,-1 上單調遞增 D．是奇函數，且在 - ,-1 上單調遞減
【答案】B
【分析】根據奇偶性的定義判斷函數的奇偶性，畫函數圖象，然后結合圖象得函數的單調區
間.
【詳解】因為函數 f x = x x - 2x 的定義域為R，且 f -x = -x x + 2x = - x x - 2x = - f x ，
ìx
2 - 2x, x 0
所以 f x 是奇函數，又 f x = x x - 2x = í ，作出函數 f x 圖象如下圖：
-x
2 - 2x
由圖知，函數 f x 在 - ,-1 和 1, + 上單調遞增，在 -1,1 上單調遞減.
故選：B
ì 3x -1 , x <1
2．（23-24 高三上·貴州遵義·階段練習）已知函數 f x = í ，若函數 g x = f x + m
log2x, x 1
有 3 個零點，則m 的取值范圍是（ ）
A． 0,2 B． -2,0
C． 0,1 D． -1,0
【答案】D
【分析】轉化為 f x 與 y = -m圖象有 3 個不同的交點，畫出兩函數圖象，數形結合得到答
案.
【詳解】令 g x = f x + m = 0 ，故 f x = -m ，
ì 3x -1 , x <1
畫出 f x = í 與 y = -m的圖象，
log2x, x 1
函數 g x = f x + m 有 3 個零點，即 f x 與 y = -m圖象有 3 個不同的交點，
則-m 0,1 ，
解得m -1,0 .
故選：D
sin x
3．（2024·全國·模擬預測）函數 f x = 的圖像大致是（ ）
x
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先由根據圖象，由 f x 的奇偶性排除部分選項，再由0 < x < π 時，函數值的正反
判斷.
f x x | x 0 sin -x【詳解】解：因為 的定義域為 ，且 f -x = = - f x ，
-x
\ f x 是奇函數，排除選項 B．
當0 < x < π 時， f x > 0，排除選項 A，C．
故選：D．
4．（2023·天津河北·一模）函數 f x = xsinx + cosx 的導數為 g x ，則 y = g x 的部分圖象
大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】對函數 f x 求導可得 g x = x cos x，再由函數奇偶性可排除 BD 選項，再由余弦函
數圖象性質可知 C 選項符合題意.
【詳解】根據題意可得 g x = f x = x sinx + x sinx + cosx = x cos x ，
易知 g x = x cos x的定義域為 x R ，且滿足 g -x = -x cos -x = -x cos x = -g x ，
即可得 y = g x 為奇函數，圖象應關于原點對稱，可排除 BD；
π
利用余弦函數圖象性質可知，當 x 0, ÷ 時， g x = x cos x > 0，該部分圖象在 x 軸的上方，
è 2
可排除 A，
C 選項符合題意.
故選：C
5．（2022·全國·模擬預測）已知關于 x 的不等式 ax2 + 2x - x2 ln x > 0的解集中只有 1 個整數，
則實數 a 的取值范圍是（ ）．
A． -2, ln 2 -1 B． -2, ln 2 -1

C． ln 2 -1, ln 3
1
- ù é
1
3ú
D． êln 2 -1, ln 3- 3 ÷è
【答案】B
【分析】由題可得不等式 f x = ax + 2 - x ln x > 0 僅有 1 個整數解，利用數形結合可得
ì f 1 > 0
í f 2 0 ，即求.
【詳解】由題可知 x 0, + ，
所以不等式 ax2 + 2x - x2 ln x > 0，即 ax + 2 - x ln x > 0只有一個整數解，
令 f x = ax + 2 - x ln x ，不等式 f x > 0僅有 1 個整數解，
令 y = ax + 2， g x = x ln x，則函數 g x = x ln x圖象上僅有 1 個橫坐標為整數的點落在直
線 y = ax + 2的下方，
∵ g x =1+ ln x 1，由 g x =1+ ln x = 0，得 x = ，
e
g x 0, 1 1 ∴ 在 ÷上單調遞減，在 ,+ e ÷上單調遞增，因為直線 y = ax + 2恒過點 0,2 ，è e è
作出函數 g x = x ln x與直線 y = ax + 2的大致圖象，
1,0
ì f 1 > 0
由圖象可知，這個點 ，可得 í f 2 0 ，即-2 < a ln 2 -1．
故選：B．
【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是把問題轉化為函數 g x = x ln x與直線 y = ax + 2的的交
點的位置問題，然后利用數形結合解決.
二、多選題
6．（2024 高三·全國·專題練習）（多選）小菲在學校選修課中了解到艾賓浩斯遺忘曲線，為
了解自己記憶一組單詞的情況，她記錄了隨后一個月的有關數據，繪制圖象，擬合了記憶保
ì 7
- x +1,0 < x 1 20
持量 f（x）與時間 x（天）之間的函數關系 f（x）＝ í1 9 1
則下列說法正確
-+ x 2 ,1< x 30
5 è 20
÷

的是（　　）
A．隨著時間的增加，小菲的單詞記憶保持量降低
B．第一天小菲的單詞記憶保持量下降最多
C．9 天后，小菲的單詞記憶保持量低于 40%
D．26 天后，小菲的單詞記憶保持量不足 20%
【答案】ABC
【詳解】解析：由函數解析式可知 f（x）隨著 x 的增加而減少，故 A 正確；由圖象可得 B 正
確；當 1詞記憶保持量低于 40%，故 C 正確；f（26）＝ ＋ ×26－ > ，故 D 錯誤．故選 ABC.
ì x -1 , x 2
7．（22-23 高三下·黑龍江大慶·開學考試）已知函數 f (x) = í 2 ，則下列說法
-x + 4x - 3, x > 2
正確的是（ ）
A． f (x) 的單調減區間為 (- ,1] [2,+ )
B．若 f (x) = k 有三個不同實數根x1，x2， x3 ，則 4 < x1 + x2 + x3 < 5
C．若 f (x + a) > f (x)
9
恒成立，則實數 a的取值范圍是 (- , - )
4
x + x
D．對任意的x ，x (2, + ) ，不等式 f ( 1 2
1
1 2 ) [ f (x1) + f (x2 )]恒成立2 2
【答案】BCD
【分析】對于 A，作出函數 f x 的圖象即可判斷；對于 B，根據題意結合圖象的對稱性分析
運算即可判斷；對于 C，根據圖象結合圖象平移分析運算即可判斷；對于 D，利用作差法計
算證明即可.
【詳解】對于 A，作出函數 f x 的圖象，如圖 1 所示：
由圖可知， f (x) 的單調減區間為 (- ,1],[2,+ ) ，但不能用并集符號鏈接，A 錯誤；
對于 B，根據題意作 y = k 交 f (x) 于 3 點，并且三點的橫坐標分別為 x1, x2 , x3，
不妨設 x1 < x2 < x3，易知 x1, x2 關于 x =1對稱，所以 x1 + x2 = 2，
又因為 2 < x3 < 3，所以 4 < x1 + x2 + x3 < 5，B 正確；
對于 C，當 a = 0時， f (x) > f (x)顯然不成立， a = 0不合題意，舍去；
當 a > 0時， f (x + a)可以通過 f (x) 向左平移 a個單位得到，如圖 2 ，顯然不成立，舍去；
當 a<0時， f (x + a)可以通過 f (x) 向右平移 a 個單位得到，如圖 3，
以射線 y = -x +1- a與 y=- x2 +4x- 3相切為臨界.
即-x +1- a = -x2 + 4x - 3，則 x2 - 5x + 4 - a = 0 ，
9 9
\D = (-5)2 - 4 (4 - a) = 0 ，解得 a = - ，則 a < - ，
4 4
9
綜上所述，實數 a的取值范圍是 - ,- ÷，C 正確；
è 4
對于 D，對任意的m, n (2, + )
m + n
，則 (2,+ ) ，
2
2 2
f (m) + f (n) f m + n
-m + 4m - 3 + -n + 4n - 3 é m + n 2\ - m + n ù ÷ = - ê- ÷ + 4 ÷ - 3ú2 è 2 2 ê è 2 è 2 ú
(m - n)2
= - 0，當且僅當m = n 時，等號成立，
4
f (m) + f (n) f m + n 0 f m + n f (m) + f (n)即 - ，則
2 2 ÷ ÷
，
è è 2 2
f x1 + x2
f x
\ 1
+ f x2
÷ ，D 正確.
è 2 2
故選：BCD.
三、填空題
8．（2024 2高三·全國·專題練習）若關于 x 的不等式 k x + 2x < ln x +1的解集中恰有 2 個整數，
則 k 的取值范圍是 ．
ln3+1 k ln2 +1【答案】 <
15 8
lnx +1 lnx +1
【分析】將不等式變形為 k(x + 2) < ，構造函數 f (x) = ，求導得其單調性，進而
x x
結合函數的圖象可得答案.
\ k x2 + 2x < ln x +1 k(x 2) lnx +1【詳解】Q x > 0 ， 不等式 可化為 + < ，
x
lnx +1 -lnx
令 f (x) = ，\ f x = 2 ，x x
由 f x > 0解得0 < x <1，由 f x < 0解得 x >1，
\ f (x) 在 0,1)為增函數， f (x)在 , + )為減函數，
令 g x) = k x + 2) ，則 g(x)的圖象恒過 -2,0) ，若解集恰有 2個整數，
當 k 0時，有無數個整數解，不滿足題意；
當 k > 0時， 如圖畫出函數的大致圖象，則兩個整數為 1 和 2，故 2 滿足不等式且 3 不滿足
不等式，
ln3+1 ln2 +1
即8k < ln2 +1且15k ln3 +1，解得 k < ，
15 8
ln3+1 k ln2 +1故答案為： < .
15 8
ì x -1 , x 2
9．（2024 高三下·北京·專題練習）已知函數 f (x) = í 2 ，則下列說法正確的有
-x + 4x - 3, x > 2
①． f (x) 的單調減區間為 - ,1 2, +
②．若 f (x) = k 有三個不同實數根x1，x2， x3 ，則 4 < x1 + x2 + x3 < 5
③．若 f (x + a) > f (x)
9
恒成立，則實數 a的取值范圍是 - ,- 4 ÷è
x + x 1
④．對任意的x ，x (2, + ) f 1 2 ，不等式 é f x + f x ù1 2 è 2 ÷ 1 2 恒成立 2
【答案】②③④
【分析】對于①，作出函數 f x 的圖象即可判斷；對于②，根據題意結合圖象的對稱性
分析運算即可判斷；對于③，根據圖象結合圖象平移分析運算即可判斷；對于④，利用作
差法計算證明即可.
【詳解】對于①，作出函數 f x 的圖象，如圖 1 所示：
由圖可知， f (x) 的單調減區間為 - ,1 , 2,+ ，但不能用并集符號鏈接，①錯誤；
對于②，根據題意作 y = k 交 f (x) 于 3 點，并且三點的橫坐標分別為 x1, x2 , x3，
不妨設 x1 < x2 < x3，易知 x1, x2 關于 x =1對稱，所以 x1 + x2 = 2，
又因為 2 < x3 < 3，所以 4 < x1 + x2 + x3 < 5，②正確；
對于③，當 a = 0時， f (x) > f (x)顯然不成立， a = 0不合題意，舍去；
當 a > 0時， f (x + a)可以通過 f (x) 向左平移 a個單位得到，如圖 2 ，顯然不成立，舍去；
當 a<0時， f (x + a)可以通過 f (x) 向右平移 a 個單位得到，如圖 3，
以射線 y = -x +1- a與 y=- x2 +4x- 3相切為臨界.
即-x +1- a = -x2 + 4x - 3，則 x2 - 5x + 4 - a = 0 ，
9 9
可得D = (-5)2 - 4 (4 - a) = 0，解得 a = - ，則 a < - ，
4 4
9
綜上所述，實數 a的取值范圍是 - ,- ÷，③正確；
è 4
對于④，對任意的m, n (2, + )
m + n
，則 (2,+ ) ，
2
2 2
f (m) + f (n) m + n -m + 4m - 3 + -n + 4n - 3 é m + n 2- f = - m + n ù則 ÷ ê-2 2 2 2 ÷ + 4 ÷ - 3úè ê è è 2 ú
(m - n)2
= - 0，當且僅當m = n 時，等號成立，
4
f (m) + f (n) f m + n m + n f (m) + f (n)即 -
2 ÷
0 ，則 f
2 2 ÷
，
è è 2
x1 + x2 f x1 + f x2 所以 f ÷ ，故④正確.
è 2 2
故答案為：②③④.
【點睛】方法點睛：利用函數與方程思想解決交點及根的問題的思路
（1）應用方程思想把函數圖象交點問題轉化為方程根的問題，應用函數思想把方程根的問
題轉論為函數零點問題．
（2）含參數的方程問題一般通過直接構造函數或分離參數化為函數解決．
四、解答題
10．（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x = 2x + 2 + 3x - 3 ．
(1)畫出 f x 的圖象；
(2)求不等式 f x < 6 的解集．
【答案】(1)作圖見解析
7
(2) -1,
è 5 ÷
【分析】根據絕對值的定義去絕對值，然后畫出函數的圖象，解絕對值不等式即可；
ì1- 5x, x < -1

【詳解】（1）由題知， f (x) = í5 - x,-1 x 1，①

5x -1, x >1
作出 f (x) 的圖象如圖所示．②
ì1- 5x < 6 ì5 - x < 6 ì5x -1< 6
（2）由題知， í ③
x 1
或 í 或 ，< - -1 x 1
í
x >1
解得-1 < x
7
< ，\原不等式的解集為 -1,
7
5 ֏ 5
11．（23-24 高三上·寧夏銀川·階段練習）已知函數 f x = x +1 - 2x - 3 .
(1)畫出 y = f x 的圖象；
(2)求不等式 f x >1的解集．
【答案】(1)答案見解析
{x | x 1(2) < 或1< x < 3或 x > 5}．.
3
【分析】（1）化為分段函數，再作圖；
（2）由圖象解不等式 f (x) >1和 f (x) < -1可得．
ì
x - 4, x -1

3
【詳解】（1） f x = x +1 - 2x - 3 = í3x - 2, -1< x ，
2
3
-x + 4, x > 2
作出射線 y = x - 4(x -1)和射線 y = -x
3
+ 4(x ) ，再作出線段 y = 3x - 2(-1
3
x ) 即可得：
2 2
（2）由 f (x) 的表達式及圖像，當 f (x) = 1時，可得 x =1或 x = 3；
當 f (x) = -1
1
時，可得 x = 或 x = 5，
3
故 f (x) >1的解集為 x |1< x < 3 ； f (x) < -1 1的解集為{x | x < 或 x > 5}，
3
1
所以 | f (x) |>1
{x | x <
的解集為 3 或1< x < 3或 x > 5}考點 13 函數的圖像（3 種核心題型+基礎保分練+綜合提升練
+拓展沖刺練）
【考試提醒】
1.在實際情境中，會根據不同的需要選擇恰當的方法(如圖象法、列表法、解析法)表示函
數.
2.會畫簡單的函數圖象.
3.會運用函數圖象研究函數的性質，解決方程解的個數與不等式解的問題．
【知識點】
1．利用描點法作函數圖象的方法步驟： 、 、 ．
2．利用圖象變換法作函數的圖象
(1)平移變換
(2)對稱變換
― 關―于―x 軸―對稱①y＝f(x) ―→ y＝ ．
關于
②y＝f(x) ― ― ―
y 軸―對稱―→
y＝ ．
關
③y＝f(x) ― ―
于原―點―對稱―→
y＝ ．
關于
④y＝ax (a>0，且 a≠1) ― ― ―
y＝x―對稱―→
y＝ ．
(3)翻折變換
保留 x 軸上方圖象
①y＝f(x) ― ― ― ― ― ― ― ― ―→將 x 軸下方圖 象翻折上去 y＝ .
②y＝f(x) ― ― ―
保留―y 軸―右側― 圖象―，并―作其― ― →
關于 y 軸對 稱的圖象 y＝ ．
常用結論
1．左右平移僅僅是相對 x 而言的，即發生變化的只是 x 本身，利用“左加右減”進行操
作．如果 x 的系數不是 1，需要把系數提出來，再進行變換．
2. 函數圖象自身的對稱關系
a＋b
(1)若函數 y＝f(x)的定義域為R，且有 f(a＋x)＝f(b－x)，則函數 y＝f(x)的圖象關于直線 x＝
2
對稱．
(2)函數 y＝f(x)的圖象關于點(a，b)成中心對稱 f(a＋x)＝2b－f(a－x) f(x)＝2b－f(2a－x)．
3．兩個函數圖象之間的對稱關系
(1)函數 y＝f(x)與 y＝f(2a－x)的圖象關于直線 x＝a 對稱．
(2)函數 y＝f(x)與 y＝2b－f(2a－x)的圖象關于點(a，b)對稱．
【核心題型】
題型一 作函數圖象
函數圖象的常見畫法及注意事項
(1)直接法：對于熟悉的基本函數，根據函數的特征描出圖象的關鍵點，直接作圖．
(2)轉化法：含有絕對值符號的，去掉絕對值符號，轉化為分段函數來畫．
(3)圖象變換法：若函數圖象可由某個基本函數的圖象經過平移、伸縮、翻折、對稱得到，
則可利用圖象變換作圖．
(4)畫函數的圖象一定要注意定義域．
【例題 1】（2024 2高三下·全國·專題練習）已知函數 f x = x - x - 2 + x - 2 ．
(1)畫出函數 f x 的圖象；
(2)求關于 x 的不等式 f x x +1 的解集．
【變式 1】（2024·陜西西安·二模）設函數 f (x) = 2x - x +1 .
(1)在坐標系中畫出函數 f (x) 的圖象；
(2)若 f (x) 4 - a - 2 對任意 x R 恒成立，求 a的取值范圍.
【變式 2】（2024·四川南充·二模）已知函數 f (x) =| 2x - 2 | + | 2x - a |．
(1)當 a = -2 時，畫出 f (x) 的圖象，并根據圖象寫出函數 f (x) 的值域；
(2)若關于 x 的不等式 f (x) + 2a a2 有解，求 a 的取值范圍．
【變式 3】（2024·陜西西安·三模）已知函數 f (x) =| 2x +1| + | x + m |（其中m -1,0 ）．
1
(1)在給定的平面直角坐標系中畫出m = - 時函數 f x 的圖象；
2
(2)求函數 f x 的圖象與直線 y = 3圍成多邊形的面積的最大值，并指出面積最大時m 的
值．
題型二 函數圖像的識別
識別函數的圖象的主要方法
(1)利用函數的性質，如奇偶性、單調性、定義域等判斷．
(2)利用函數的零點、極值點等判斷．
(3)利用特殊函數值判斷．
f (x) x cos 2x【例題 2】（2024·四川成都·三模）函數 = ln(x2 +1) 的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
1
【變式 1】（2024·湖北·模擬預測）函數 f x = ex - e x - lnx2 的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
x cos x + sin x
【變式 2】（2024·全國·模擬預測）函數 f x = 的部分圖象為（ ）
1 x2 +
A． B．
C． D．
3 m
【變式 3】（多選）（2024·安徽合肥·一模）函數 f x = x - m R 的圖象可能是（ ）x
A． B．
C． D．
題型三　函數圖象的應用
對含參的不等式，應對參數進行分類討論，常見的分類有
(1)根據二次項系數為正、負及零進行分類．
(2)根據判別式 Δ 與 0 的關系判斷根的個數．
(3)有兩個根時，有時還需根據兩根的大小進行討論．
當不等式問題不能用代數法求解或用代數法求解比較困難，但其對應函數的圖象可作出時，
常將不等式問題轉化為圖象的位置關系問題，從而利用數形結合思想求解．
命題點 1　利用圖象研究函數的性質
【例題 3】（2023·貴州·模擬預測）已知函數 f x = x -1 -1，下列結論正確的是（ ）
A． f x 是偶函數
B． f x 在 0, + 上單調遞增
C． f x 的圖象關于直線 x =1對稱
D． f x 的圖象與 x 軸圍成的三角形面積為 2
【變式 1】（2022·重慶沙坪壩·模擬預測）若函數 f x +1 為奇函數，且在 2,3 單調遞減，則
下列函數在 0,1 一定單調遞增的是（ ）
A． y = f x -1 B． y = f 1- x C． y = f 2x -1 D． y = f -x -1
【變式 2】（多選）（22-23 高三上·湖北·階段練習）已知函數 f x = x x - a ， a R ，下列判
斷中，正確的有（ ）
A．存在 k R ，函數 y = f x - k 有 4 個零點
B．存在常數 a，使 f x 為奇函數
C．若 f x 在區間 0,1 上最大值為 f 1 ，則 a的取值范圍為 a 2 2 - 2 或 a 2
D．存在常數 a，使 f x 在 1,3 上單調遞減
【變式 3】（多選）（2023·全國·模擬預測）小菲在學校選修課中了解了艾賓浩斯遺忘曲線．為
了解自己記憶一組單詞的情況，她記錄了隨后一個月的有關數據，繪制圖象，擬合了記憶保
ì 7
- x +1,0 < x 1
x 20持量 y 與時間 （單位：天）之間的函數關系 y = f x = í 1 ．則下列說
1 9 -+
5
x 2 ,1< x 30
è 20
÷

法中正確的是（ ）
A．隨著時間的增加：小菲的單詞記憶保持量降低
B．第一天小菲的單詞記憶保持量下降最多
C．9天后，小菲的單詞記憶保持量不低于 40%
D． 26天后，小菲的單詞記憶保持量不足 20%
命題點 2　利用圖象解不等式
ìlog2x,0 < x 2,【例題 4】（23-24 高三下·山西·階段練習）已知函數 f x = í
2x
若
- 3, x > 2,
f a +1 - f 2a -1 0 ，則實數 a的取值范圍是（ ）
A． - , 2 B． 2, + C． 2,6 1D． , 2ù
è 2 ú
ì 2 x + 2x +1, x 0
【變式 1】（22-23 高三上·貴州貴陽·開學考試）已知函數 f (x) = í x-1 若關于 x
2 - 2 , x > 0
的不等式 f (x) +1 a(x +1)恒成立， 則 a的取值范圍是（ ）
A． ( ,
1 1
- -2] éê , +
é ù
÷ B3 ．
(- , -2] 0,
ê 3 ú
é 2, 1ù [ 2,0] é1C． ê- ú D． - ê ,+

3 3 ÷
【變式 2】（2023·安徽·模擬預測）定義在 0, + 上的函數 f x 滿足：對"x1, x2 0, + ，
f x1 - f xx x 2 且 1 2 都有 >1，則不等式 f 2log2x - f x > log 22x - x的解集為（x x ）1 - 2
A． 1,2 B． 2,4 C． 4,8 D． 8,16
【變式 3】（2023·四川成都·模擬預測）定義：設不等式F x < 0的解集為 M，若 M 中只有
唯一整數，則稱 M 是最優解．若關于 x x2的不等式 - 2x - 3 - mx + 2 < 0 有最優解，則實數 m
的取值范圍是（ ）
2 7 ù é 7
A． , ú B． ê- , -2è 3 4 2 ÷
é 7 é2 7 ù é 7 2 7 ù
C． ê- , -2÷ ê , ú D． ê- , -2÷ U , 2 3 4 2 è 3 4 ú
命題點 3　利用圖象求參數的取值范圍
2π
【例題 5】（2024·四川瀘州·三模）已知函數 f x = sin wx - ÷（w > 0）在 0, π 有且僅有
è 3
三個零點，則w 的取值范圍是（ ）
é8 ,11ù é8 11 é5 8ù é5 8 A． ê ú B． ê , C． , D． , 3 3 3 3 ÷ ê3 3ú ê3 3 ÷
【變式 1】（2024·山西長治·一模）已知函數 f (x) = Asin(wx +j)(A > 0,w > 0,|j |
π
< ) 的部分圖
2
象如圖所示，若方程 f (x) = m在[
π
- ,0]上有兩個不相等的實數根，則實數 m 的取值范圍是
2
（ ）
A．[-2, - 3] B． (-2, - 3] C． (-2, -1] D．[-2,-1]
ì 2
【變式 2】（2024·安徽合肥·二模）已知函數 f
x - 2x, x 1
x = í1 x 3 , x 1，若關于
x 的方程
- - >
f x - f 1- a = 0至少有兩個不同的實數根，則 a的取值范圍是（ ）
A． - ,-4 U é 2,+ B． -1,1
C． -4, 2 D． é-4, 2 ù
ì log2 x -1 , x >1
【變式 3】（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x = í x ，若關于 x 的方程 f (x) = m
3 -1 , x 1
有 3 個不相等的實數根，則m 的取值范圍是 ．
【課后強化】
基礎保分練
一、單選題
2
1．（2024· x遼寧撫順·三模）函數 f x = x-1 的圖象大致為（ ）e
A． B．
C． D．
1 a 1 b
2．（2024· 海南·模擬預測）已知正實數 a,b,c滿足 ÷ = log3 3
a, ÷ = log3b,c = log1c ，則
è è 2 3
（ ）
A． a < b < c B． c < b < a
C．b3．（2024·全國·模擬預測）若方程 x x - a + 2k = 0在區間 0,2 上有解，-4 + 4 2 a < 4，則
實數 k 的取值范圍為（ ）
é a2 ù é a2 ù é a2 ù é,0 a
2 ù
A． ê- ú B．8 ê
- ,0ú C． 0,4 ê ú
D． ê0,
8 4
ú

4．（2024·陜西西安·模擬預測）以下四個選項中的函數，其函數圖象最適合如圖的是（ ）
e x x2 +1 ex ex 2A． y = B． y = C． y = 2x2x D． y =2x x ex
ì-xex+1, x 0

5．（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x = í ，
ln x
1
- , x > 0
4
h x 2= é f x ù - 2af x + 4 a R ，若函數 h x 恰有 6 個零點，則實數 a的取值范圍是
（ ）
5
A． ,+
5
÷ B． , 42 2 ÷
C． 1, + D． 0, +
è è
二、多選題
ì ln x -1 , x >1
6．（2023·山西·模擬預測）已知函數 f x = í 2 ，則下列結論正確的是（ ）
x - 4 x + 3, x 1
A．函數 f x 在 0,2 上單調遞減
B．函數 f x 的值域是 -1, +
C．若方程 f x = a有 5 個解，則 a的取值范圍為 0,3
D．若函數 f x
1 1
- a 有 3 個不同的零點 x1, x2 , x3 x1 < x2 < x3 ，則 x1 + +x x 的取值范圍為2 3
- , -3
7．（2023·福建泉州·模擬預測）函數 f (x) = ln 1+ x - k ln 1- x 的大致圖像可能為（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
ì ln x , x > 0,
8．（2023·北京房山·一模）設函數 f (x) = í 2 給出下列四個結論：①函數 f (x)
x + 4x +1, x 0.
+
的值域是R ；② "a >1，方程 f (x) = a恰有 3 個實數根；③ $x0 R ，使得
f -x0 - f x0 = 0；④若實數 x1 < x2 < x3 < x4 ，且 f x1 = f x2 = f x3 = f x4 .則
x + x x - x 4e 41 2 3 4 的最大值為 - .其中所有正確結論的序號是 .e
ì x +1, x 0
9．（23-24 高三上·河南漯河·期末）已知函數 f (x) =

í ex ，若關于 x 的不等式
x
2 - x, x > 0
f 2 (x) - af (x) < 0恰有一個整數解，則實數 a的取值范圍為 .
四、解答題
10．（2022 高三上·河南·專題練習）設 f (x) = 2 x +1 - x - 3 ．
(1)在如圖坐標系中作出函數 f x 的圖象，并根據圖象求不等式 f (x) 0的解集；
(2)若存在實數 x ，使得不等式 f (x) x - 3 + t 2 - 7t 成立，求實數 t 的取值范圍．
11．（23-24 2高三上·新疆阿克蘇·階段練習）定義域為 R 的奇函數滿足 f x = x - 2x(x > 0) .
(1)求 f x 解析式；
(2)求不等式 f x 0的解集.
綜合提升練
一、單選題
1．（23-24 高三上·北京昌平·期末）設函數 f x 的定義域為R ，則“ "x R, f x +1 < f x ”
是“ f x 為減函數”的（ ）
A．充分必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分而不必要條件 D．既不充分也不必要條件
2x +1 sin π + 3x 2．（2024·四川德陽·二模）函數 2 ÷f x è 的圖象大致是（ ）=
2x -1
A． B．
C． D．
3．（2024·四川·模擬預測）函數 f x = 2xln x -1 的大致圖象為（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·天津·二模）函數 f x 的圖象如圖所示，則 f x 的解析式可能為（ ）
ln x ex - xA． f x = 2 B． f x
- e
=
x +1 x2
2
C． f x -1 ln xx = D． f x =
x x
5．（2024· x 2四川成都·三模）若函數 f x = e - kx 大于 0 的零點有且只有一個，則實數 k 的值
為（ ）
e 2
A．4 B． 2 e C
e
． D．
2 4
ì
2sin
2p x, 15- x 5
f x = 6 2024· · 5 4 4．（ 陜西西安 一模）已知函數 í ，若存在實數
log x 5-1 , x >
2

4
x1, x2 , x3 , x4 x1 < x2 < x3 < x4 滿足 f x1 = f x2 = f x3 = f x4 = m ，則錯誤的是（ ）
A 2 2． x3 + x4 < 8 B． x1 + x
5
2 = - C． x3x4 - x3 - x4 = 0 D．0 < m < 22
3
7 sin x．（2024·全國·模擬預測）函數 f x = 4 的大致圖象是（ ）x - 2
A． B．
C． D．
ìx -1, x < 0
8．（2024·北京順義·二模）若函數 f x = í 0, x = 0 ，則“ x1 + x2 > 0 ”是“ f x1 + f x2 > 0 ”

x +1, x > 0
的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
二、多選題
9．（2023·全國· 2模擬預測）若函數 f x = 2x ln x 的定義域為D，則下列說法正確的是（ ）
A．D = 0, + B． f x 是偶函數
C．"x D, y D, f xy = x2 f y + y2 f x D．若方程 f x = k 有 4 個不同的實數根，則
1
- < k < 0
e
ì1- 2x +1 , x < 010．（2024·云南昆明·一模）已知函數 f x = í ， g(x) = f ( f (x)) - f (x) - a ，則
e
x -1, x 0
（ ）
A．當 a = 0時， g(x)有 2 個零點
3
B．當 a = 時， g(x)有 2 個零點
2
C．存在 a R ，使得 g(x)有 3 個零點
D．存在 a R ，使得 g(x)有 5 個零點
11．（2024·河北滄州·一模）已知函數 f (x) 的定義域為R ，且"x R ，都有
f (-3 + x) + f (-1- x) 3= 0 ， f - + x ÷ = f
1
- - x

÷， f ( 5) 2 f
7 3- = - ， = - ，當
è 2 ÷ è 2 è 2 4
x [-1,0]時， f (x) = ax2 + bx，則下列說法正確的是（ ）
A．函數 f (x) 的圖象關于點 (-2,0) 對稱
B． f (1) = 2
C． f (2023) + f (2024) + f (2025) = 2
D．函數 f (x) 與函數 y =| ln | x ||的圖象有 8 個不同的公共點
三、填空題
12．（2024·全國·模擬預測）若不等式 f x > 0或 f x < 0 只有一個整數解，則稱不等式為單
元集不等式．已知不等式 a(x +1)2 - | log2 x | +1> 0為單元集不等式，則實數a的取值范圍是 ．
ì
-x
2 + 4x - 3, x 2
13．（2024 高三·上海·專題練習）已知函數 f x = í ，則不等式 f 2x -1 < 2
log2 x, x > 2
的解集是
sinx
14．（2022·北京海淀·三模）已知函數 f x = , x -2p ,0 0,2p ，給出下列四個結論：
x
① f x 是偶函數；
② f x 有 4 個零點；
1
③ f x 的最小值為- ；
2
1 11 7 p 5④ f x < 的解集為 - p , - p ÷ 0, ÷ p , 2p2x 6 6 6 6 ÷ .è è è
其中，所有正確結論的序號為 .
四、解答題
1 1
15．（2023·四川樂山·三模）已知函數 f (x) = x - 2 + x +1
1
+ x + 2 ．
2 2 2
(1)畫出 f（x）的圖象，并寫出 f (x) 6的解集；
1 1 T
(2)令 f（x）的最小值為 T，正數 a，b 滿足 a + b = T ，證明： 2 + 2 ．a +1 b +1 10
16 2023· · f (x) 1 x2 tx 3ln x g(x) 2x + t．（ 江西宜春 模擬預測）設 = - +2 ， = x2 - 3 ，且 a、b 為函數 f x 的極
值點 (0 < a < b)
(1)判斷函數 g x 在區間 (-b,-a)上的單調性，并證明你的結論；
(2)若曲線 g(x)在 x =1處的切線斜率為-4，且方程 g(x) - m = 0(x 0)有兩個不等的實根，求
實數 m 的取值范圍.
17．（2023·四川樂山·一模）已知 f x = 2 x - a - x + a， a > 0 .
8
(1)若曲線 y = f x 與直線 y = a 圍成的圖形面積為 ，求 a的值；
3
(2)求不等式 f x > x的解集.
18．（2023·陜西榆林·模擬預測）已加 f x = 2x - 3 + x ．
(1)解不等式 f x 3；
(2)令 g x = f x - a 3，若 g x 的圖象與 x 軸所圍成的圖形的面積為 ，求實數 a的值．
2
19．（2024·全國·模擬預測）設函數 f x = x -1 - 2 x +1 ．
(1)作出函數 f x 的圖象；
(2)若 f x 的最大值為m ，正實數 a,b,c滿足 ab + 2b2 + 3ac + 6bc = m，求 a + 3b + 3c 的最小
值．
拓展沖刺練
一、單選題
1．（23-24 高三上·黑龍江齊齊哈爾·期末）設函數 f x = x x - 2x ，則 f x （ ）
A．是偶函數，且在 1, + 上單調遞增 B．是奇函數，且在 -1,1 上單調遞減
C．是偶函數，且在 - ,-1 上單調遞增 D．是奇函數，且在 - ,-1 上單調遞減
ì 3x -1 , x <1
2．（23-24 高三上·貴州遵義·階段練習）已知函數 f x = í ，若函數 g x = f x + m
log2x, x 1
有 3 個零點，則m 的取值范圍是（ ）
A． 0,2 B． -2,0
C． 0,1 D． -1,0
3．（2024·全國·模擬預測）函數 f x sin x= 的圖像大致是（ ）
x
A． B．
C． D．
4．（2023·天津河北·一模）函數 f x = xsinx + cosx 的導數為 g x ，則 y = g x 的部分圖象
大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·全國·模擬預測）已知關于 x 的不等式 ax2 + 2x - x2 ln x > 0的解集中只有 1 個整數，
則實數 a 的取值范圍是（ ）．
A． -2, ln 2 -1 B． -2, ln 2 -1

C． ln 2 -1, ln 3
1
- ù éú D． êln 2 -1, ln 3
1
-
3 3 ֏
二、多選題
6．（2024 高三·全國·專題練習）（多選）小菲在學校選修課中了解到艾賓浩斯遺忘曲線，為
了解自己記憶一組單詞的情況，她記錄了隨后一個月的有關數據，繪制圖象，擬合了記憶保
ì 7
- x +1,0 < x 1 20
持量 f（x）與時間 x（天）之間的函數關系 f（x）＝ í1 9 1 則下列說法正確 -+ ÷ x 2 ,1< x 30
5 è 20
的是（　　）
A．隨著時間的增加，小菲的單詞記憶保持量降低
B．第一天小菲的單詞記憶保持量下降最多
C．9 天后，小菲的單詞記憶保持量低于 40%
D．26 天后，小菲的單詞記憶保持量不足 20%
ì x -1 , x 2
7．（22-23 高三下·黑龍江大慶·開學考試）已知函數 f (x) = í 2 ，則下列說法
-x + 4x - 3, x > 2
正確的是（ ）
A． f (x) 的單調減區間為 (- ,1] [2,+ )
B．若 f (x) = k 有三個不同實數根x1，x2， x3 ，則 4 < x1 + x2 + x3 < 5
C．若 f (x + a) > f (x)
9
恒成立，則實數 a的取值范圍是 (- , - )
4
D．對任意的x ，x (2, + )1 2 ，不等式 f (
x1 + x2 ) 1 [ f (x1) + f (x2 )]恒成立2 2
三、填空題
8 2．（2024 高三·全國·專題練習）若關于 x 的不等式 k x + 2x < ln x +1的解集中恰有 2 個整數，
則 k 的取值范圍是 ．
ì x -1 , x 2
9．（2024 高三下·北京·專題練習）已知函數 f (x) = í 2 ，則下列說法正確的有
-x + 4x - 3, x > 2
①． f (x) 的單調減區間為 - ,1 2, +
②．若 f (x) = k 有三個不同實數根x1，x2， x3 ，則 4 < x1 + x2 + x3 < 5
③．若 f (x + a) > f (x)
9
恒成立，則實數 a的取值范圍是 - ,- 4 ÷è
x1 + x2 1④．對任意的x (2, + )1，x2 ，不等式 f ÷ é f x1 + f x2 ù2 2 恒成立è
四、解答題
10．（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x = 2x + 2 + 3x - 3 ．
(1)畫出 f x 的圖象；
(2)求不等式 f x < 6 的解集．
11．（23-24 高三上·寧夏銀川·階段練習）已知函數 f x = x +1 - 2x - 3 .
(1)畫出 y = f x 的圖象；
(2)求不等式 f x >1的解集．

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