資源簡介

考點(diǎn) 36 等比數(shù)列（3 種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜合提升練+
拓展沖刺練）
【考試提醒】
1.理解等比數(shù)列的概念.
2.掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前 n 項(xiàng)和公式.
3.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．
【知識(shí)點(diǎn)】
1．等比數(shù)列有關(guān)的概念
(1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第 2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這
個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母 q(q≠0)表示.
(2)等比中項(xiàng)：如果在 a 與 b 中間插入一個(gè)數(shù) G，使 a，G，b 成等比數(shù)列，那么 G 叫做 a 與
b 的等比中項(xiàng)，此時(shí)，G2＝ab.
2．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前 n 項(xiàng)和公式
(1)若等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為 a1，公比是 q，則其通項(xiàng)公式為 an＝a qn－11 .
(2)等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推廣：an＝a n－mmq .
a1 1－qn a1－anq
(3)等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式：當(dāng) q＝1 時(shí)，Sn＝na1；當(dāng) q≠1 時(shí)，Sn＝ ＝ .1－q 1－q
3．等比數(shù)列性質(zhì)
(1)若 m＋n＝p＋q，則 aman＝apaq，其中 m，n，p，q∈N*.特別地，若 2w＝m＋n，則 aman＝
a2w，其中 m，n，w∈N*.
(2)ak，a mk＋m，ak＋2m，…仍是等比數(shù)列，公比為 q (k，m∈N*)．
pan
(3)若數(shù)列{an}，{bn}是兩個(gè)項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，則數(shù)列{an·bn}，{pan·qbn}和{ 也是qbn }
等比數(shù)列(b，p，q≠0)．
(4)等比數(shù)列{an}的前 n 項(xiàng)和為 Sn，則 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為 qn.(n 為
偶數(shù)且 q＝－1 除外)
(5) {a1 > 0， a1 < 0，若 q > 1 或{0 < q < 1 則等比數(shù)列{an}遞增．，
{a1 > 0， {a1 < 0，若 0 < q < 1 或 q > 1 則等比數(shù)列{an}遞減．，
常用結(jié)論
1．等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式可以寫成 a ＝cqnn ，這里 c≠0，q≠0.
2．等比數(shù)列{an}的前 n 項(xiàng)和 Sn可以寫成 Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1,0)．
3．?dāng)?shù)列{an}是等比數(shù)列，Sn是其前 n 項(xiàng)和．
T2n T3n
(1)若 a1·a2·…·an＝Tn，則 Tn， ， ，…成等比數(shù)列．Tn T2n
S 偶 S 奇－a1 S 偶
(2)若數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為 2n，則 ＝q；若項(xiàng)數(shù)為 2n＋1，則 ＝q，或 ＝qS 奇 S 偶 S 奇－an
【核心題型】
題型一　等比數(shù)列基本量的運(yùn)算
等比數(shù)列基本量的運(yùn)算的解題策略
(1)等比數(shù)列中有五個(gè)量 a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)可迎刃
而解．
(2)解方程組時(shí)常常利用“作商”消元法．
(3)運(yùn)用等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式時(shí)，一定要討論公比 q＝1 的情形，否則會(huì)漏解或增解．
【例題 1】（2024·廣東東莞·模擬預(yù)測）等差數(shù)列 an 和等比數(shù)列 bn 都是各項(xiàng)為正實(shí)數(shù)的無
窮數(shù)列，且 a1 b1 ， a2 b2， an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn ， bn 的前 n 項(xiàng)和為Tn ，下列判斷正確的
是（ ）
A． an 是遞增數(shù)列 B． bn 是遞增數(shù)列
C． Sn > Tn D． Sn Tn
【答案】D
【分析】特例法排除 A，B，C，對(duì)于 D，根據(jù)題意，可得an+1 an，bn+1 bn ，且
bn-1 - an-1 bn - an ，故 an bn，從而可證.
【詳解】設(shè)數(shù)列 an 和數(shù)列 bn 均為常數(shù)列1,1,1,1,L，所以排除 A，B，C，選 D，
對(duì)于 D，設(shè)等差數(shù)列 an 的公差為d ，等比數(shù)列 bn 的公比為q，
由 an > 0，可知 a1 > 0,d 0，故an+1 an，
由bn > 0 ，可知b1 > 0, q > 0 ，又由 a1 b1 ， a2 b2，有 q 1，故bn+1 bn ，
且 d b1 q -1 b2 q -1 L bn-1 q -1 ，
故 d bn - bn-1，即 an - an-1 bn - bn-1，
所以bn-1 - an-1 bn - an ，故 an bn，
所以 Sn Tn .
故選：D
【變式 1】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知正項(xiàng)等比數(shù)列 an 的前三項(xiàng)和為 28 且
a3 4，則 a8 （ ）
1 1 1 1A． 2 B． C． D．4 8 16
【答案】C
【分析】先求出公比q，再根據(jù)通項(xiàng)公式基本量的計(jì)算即可求解.
1 1
【詳解】由題意設(shè)公比為q > 0 ，則 4 1
1 1
+ +
q q2 ÷
28，即 + - 6 0
è q
2 q ，
1 5
解得 q > 0 a a q5 4 1 1滿足題意，所以
2 8
3 × .
è 2 ÷ 8
故選：C.
【變式 2】（2024·上海·三模）數(shù)列 an 滿足 an+1 2an（ n為正整數(shù)），且 a2與 a4的等差中項(xiàng)
是 5，則首項(xiàng) a1
【答案】1
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】數(shù)列{an}滿足 an+1 2an (n為正整數(shù)），則數(shù)列{an}為等比數(shù)列，
不妨設(shè)其公比為q，則 q = 2，
因?yàn)?a2與 a4的等差中項(xiàng)是 5，
所以 a2 + a 10 ，即 a q + a 34 1 1q 10a1 10，解得 a1 1．
故答案為：1
【變式 3】（2024·四川遂寧·三模）等比數(shù)列 an 中， a1 1， a5 4a3 ．
(1)求 an 的通項(xiàng)公式：
(2)記 Sn 為 an 的前 n 項(xiàng)和，若 Sm 31，求 m．
(1) a 2n-1【答案】 n 或 an -2
n-1
．
(2) m 5．
【分析】（1）由條件求出公比，即可求解通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，代入等比數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式，即可求解.
【詳解】（1）Q等比數(shù)列 an 中， a1 1， a5 4a3 ．
\1 q4 4 1 q2 ，解得 q ±2 ，
q = 2 a 2n-1當(dāng) 時(shí)， n ，
當(dāng) q -2 n-1時(shí)， an -2 ，
\ a a 2n-1 a -2 n-1n 的通項(xiàng)公式為， n 或 n ．
（2）記 Sn 為 an 的前 n 項(xiàng)和．
n
a 1 q -2 S a1(1- q ) 1- (-2)
n 1- (-2)n
當(dāng) 1 ， 時(shí)， n 1- q 1- ( ，-2) 3
S 31 S 1- (-2)
m
由 m ，得 m 31，m N，無解；3
n n
當(dāng) a1 1 q 2 S
a1(1- q ) 1- 2 n， = 時(shí)， n 2 -1，1- q 1- 2
由 Sm 63 S 2m，得 m -1 31，m N，
解得m 5
題型二　等比數(shù)列的判定與證明
等比數(shù)列的三種常用判定方法
an＋1 an
(1)定義法：若 ＝q(q 為非零常數(shù)，n∈N*)或 ＝q(q 為非零常數(shù)且 n≥2，n∈N*)，則{a
a a n
}
n n－1
是等比數(shù)列．
(2)等比中項(xiàng)法：若數(shù)列{an}中，an≠0 且 a2n＋1＝an·an＋2(n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列．
(3)前 n 項(xiàng)和公式法：若數(shù)列{an}的前 n 項(xiàng)和 Sn＝k·qn－k(k 為常數(shù)且 k≠0，q≠0,1)，則{an}
是等比數(shù)列
*
【例題 2】（2023·天津和平·三模）已知數(shù)列 an 滿足 a1 1， an+1 2an +1 n N ， Sn 是數(shù)
列 an 的前 n項(xiàng)和，則 S9 （ ）
A． 29 -10 B． 29 -11 C． 210 -10 D． 210 -11
【答案】D
【分析】由題意可得 an+1 +1 2(an +1) n N* ，可得數(shù)列 an +1 是以 2 為公比的等比數(shù)列，
從而可求出 an ，進(jìn)而可求出S9 .
【詳解】因?yàn)?an+1 2an +1 n N* *，所以 an+1 +1 2(an +1) n N ，
a +1
由于 a +1 2 a +1 0 n+11 ，則 n ，所以 2an +1
，
所以數(shù)列 an +1 是以 2 為公比，2 為首項(xiàng)的等比數(shù)列，
n-1 n
所以 an +1 2 2 2 ，
n
所以 an 2 -1，
1
所以 S9 (2 -1) + (2
2 -1) + (23 -1) + ×××+ (29 -1)
(21 + 22 + 23 + ×××+ 29 ) - 9
2(1- 29 )
- 9
1- 2
210 -11，
故選：D
【變式 1】（2024·寧夏銀川·二模）已知數(shù)列{an}滿足 a1 1，a2 4 ，3an+2 + an 4an+1，則下
列是等比數(shù)列的是（ ）
A．{an + 3} B．{an - 3} C． an+1 + an D． an+1 - an
【答案】D
【分析】由數(shù)列的遞推式，計(jì)算前四項(xiàng)，由等比數(shù)列的性質(zhì)可判斷 ABC ；由數(shù)列的遞推式
推得 an+2 - a
1
n+1 (an+1 - a3 n
) ，可判斷D．
【詳解】由 a1 1， a2 4 ，3an+2 + an 4an+1 ，
可得3a3 + a1 4a2 ，即3a3 +1 16 ，解得 a3 5，
又3a4 + a2 4a3 ，即3a4 + 4 20
16
，解得 a4 3 ，
由 a1 + 3 4， a2 + 3 7 ， a + 3 8， 723 4 8，故 A 錯(cuò)誤；
由 a1 - 3 -2 ， a2 - 3 1， a3 - 3 2，12 -2 2，故 B 錯(cuò)誤；
a + a 5 a + a 9 a a 31+ 92 5 31由 2 1 ， 3 2 ， 4 3 ， 3 3 ，故 C 錯(cuò)誤；
由3an+2 + an 4an+1 ，可得3(an+2 - an+1) an+1 - an ，
1 1
即為 an+2 - an+1 (an+1 - an )3 ，又
a2 - a1 3，可得{an+1 - an}是首項(xiàng)為 3，公比為 的等比數(shù)列，3
故 D 正確．
故選：D
【變式 2】（2023·四川內(nèi)江·一模）數(shù)列 an 中， a1 2， am+n aman ，若 ak +1 1024，則
k .
【答案】9
【分析】令m 1，由遞推公式可知 an 為等比數(shù)列，然后可解.
【詳解】令m 1，則 an+1 a1an 2an ，
因?yàn)?a1 2，所以數(shù)列 an 是以 2 為首項(xiàng)和公比的等比數(shù)列，
故數(shù)列 an n的通項(xiàng)公式為 an 2 ,
a 2 ×2k 2k +1所以， k +1 1024 2
10
，
所以， k +1 10，得 k 9，
故答案為：9
【變式 3】（2024·四川成都·模擬預(yù)測）記數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn ，已知
2Sn n
2 + an + a1 -1．
(1)若 a1 1，證明： an - n 是等比數(shù)列；
1
(2)若 a2是 a1和a3的等差中項(xiàng)，設(shè)bn a a ，求數(shù)列 bn 的前 n 項(xiàng)和為Tn ．n n+2
【答案】(1)證明見解析
T 3 1 1 1(2) n - ( + )4 2 n +1 n + 2
ì S1 n 1
【分析】（1）利用公式 an íS 得到數(shù)列的遞推公式，構(gòu)造法證明
a - n 是等
n - Sn-1 n 2
n
比數(shù)列；
（2）由已知求出 an n ，裂項(xiàng)相消求數(shù)列 bn 的前 n 項(xiàng)和為Tn ．
【詳解】（1）對(duì) 2Sn n
2 + an + a1 -1①，當(dāng) n 2
2
時(shí)，有 2Sn-1 (n -1) + an-1 + a1 -1②，
① - ②： 2(Sn - Sn-1) 2n -1+ an - an-1 ，即 2an 2n -1+ an - an-1，
經(jīng)整理，可得 an - n (-1) an-1 - (n -1) ，
a1 1，故 an - n 是以 a1 -1為首項(xiàng)、 -1為公比的等比數(shù)列．
2 n-1（ ）由（1）知 an - n (-1) (a1 -1)，有 a2 3 - a1 ， a3 a1 + 2，
題設(shè)知 2a2 a1 + a3，即 2(3 - a1) a1 + (a1 + 2)，則 a1 1，故 an n ．
b 1 1 1 1 1而 n -

a a n(n + 2) 2 n n ，+ 2 ÷ n n+2 è
Tn b
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 + b2 +L+ b

n-1 + bn - + - +L+ - + -

2 è1 3 2 4 n -1 n +1 n n + 2 ÷
T 1 1 1 1 1n + - -

2 è1 2 n +1 n + 2 ÷
T 3 1 1 1n -
+
故 4 2

è n +1 n + 2 ÷ .
題型三　等比數(shù)列的性質(zhì)
(1)等比數(shù)列的性質(zhì)可以分為三類：一是通項(xiàng)公式的變形，二是等比中項(xiàng)的變形，三是前 n
項(xiàng)和公式的變形，根據(jù)題目條件，認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破
口．
(2)巧用性質(zhì)，減少運(yùn)算量，在解題中非常重要
【例題 3】（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列 an 中，已知 a2 >1，其
前 n項(xiàng)之積為Tn ，且T20 T10 ，則Tn 取得最大值時(shí)，則 n的值為（ ）
A．15 B．16 C． 29 D．30
【答案】A
T20
【分析】由已知可得 a a
5 1 a a
T 15 16 ，進(jìn)而可得 2 29
1，可得等比數(shù)列 an 是遞減數(shù)列，
10
且 a15 >1 > a16 > 0，可求Tn 取得最大值時(shí) n的值．
T20
【詳解】由T20 T10 ，得 a11a12 La
5
T 19
a20 a15a16 1， a15a16 1，
10
則 a1a30 a2a29 a15a16 1，由于 a2 >1，得0 < a29 <1，
所以等比數(shù)列 an 是遞減數(shù)列，故 a15 >1 > a16 > 0，則Tn 取得最大值時(shí)n 15．
故選：A
【變式 1】（2024·海南·模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列 an 的公比為3, a2 + a4 12，則 a5 - a1
（ ）
A．20 B．24 C．28 D．32
【答案】D
【分析】根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)運(yùn)算求解.
a + a
【詳解】由題意可知 a 2 41 + a3 4, a3 + a5 3 a2 + a4 36，3
所以 a5 - a1 a3 + a5 - a1 + a3 36 - 4 32 .
故選：D.
【變式 2】（23-24 高三上 ·云南昆明 ·開學(xué)考試）設(shè) an 是等比數(shù)列，且 a1 + a4 7 ，
a3 + a6 21，則a7 +a10 .
【答案】189
【分析】
由 an 是等比數(shù)列，則 a1 + a4 ， a3 + a6， a5 + a8， a7 + a10 成等比數(shù)列，再根據(jù)新等比數(shù)列
的性質(zhì)計(jì)算即可.
【詳解】
由 an 是等比數(shù)列，設(shè)其公比為q，
則 a1 + a ， a + a 24 3 6， a5 + a8， a7 + a10 構(gòu)成等比數(shù)列，且公比為 q ，
Qa + a q23 6 a1 + a4 ，
\q2 3，
a + a 4則 7 10 q a3 + a6 21 9 189 .
故答案為：189.
【變式 3】（2023·全國· n-1模擬預(yù)測）已知數(shù)列 an ，滿足 a1 + 2a2 + ×××+ 2 an 1024n．
(1)若Tn 是數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)積，求Tn 的最大值；
(2)抽去數(shù)列 an 的第 3，6，9，…，3m，…項(xiàng)，余下的項(xiàng)順序不變，構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列 tn ，
求數(shù)列 tn 的前 2023 項(xiàng)和 S2023．
【答案】(1) 255
12
(2) 3 2 - 5 2
-3023
7
n 21-n
【分析】（1）先根據(jù)前 n 項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系求出 an 的通項(xiàng)公式，表示出T 2 2 ，結(jié)合n
二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得出答案；
（2）方法一：每兩項(xiàng)分為一組，構(gòu)成一個(gè)新的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列求和公式，即可得
出答案；方法二：分為 a1,a4 ,a7 , × × ×,a3034 以及 a2 , a5 , a8 , × × ×, a3032兩組，分別根據(jù)等比數(shù)列求和公
式求出和，即可得出答案.
10
【詳解】（1）當(dāng) n 1時(shí)， a1 1024 2 ．
當(dāng) n 2時(shí)，
2n-1a 1024n -1024 n -1 1024 210n ，解得 an 211-n ①．
因?yàn)?a1滿足①式，
所以 a 11-nn 2 ，
a 10-nn+1 2 1 a 1則 11-n ，所以 n 為等比數(shù)列，公比為 ，an 2 2 2
n 10+11-n n 21-n
所以T 2102928n × × × 2
11-n 2 2 2 2 ．
又因?yàn)楫?dāng) n 10 n 11 n 21- n 或 時(shí)， 取最大值 55，
2
所以Tn 的最大值為 255 ．
（2）方法一： S2023 t1 + t2 + t3 + t4 + ×××+ t2021 + t2022 + t2023
a1 + a2 + a4 + a5 + ×××+ a3031 + a3032 + a3034
a a a a 1
3 1 3 1010 3033
+ + + + ××× + a + a × + a 1 1 2 1 2 2 ÷ 1 2 ÷ 1 ÷è è 2 è 2
1- 2-3033 3 212 - 5 2-3023
3 29 + 210 2-3033-3 ．1- 2 7
2022
方法二：因?yàn)? 3 3033，
2
所以，根據(jù)已知可知， t2022 a3033-1 a3032，
則 t2021 a3033-2 a3031 ， t2023 a3031+3 a3034 .
3
所以， a ,a ,a , × × ×,a 10 1 是以a 2 為首項(xiàng)， 2-31 4 7 3034 1 ÷ 為公比的等比數(shù)列，
è 2
10 é -3 10122 1- 2 ù 213 - 2-3023
所以， a ê ú1 + a4 + a + ×××+ a
.
7 3034 1- 2-3 7
3
a , a , a , × × ×, a a 29 1 2 5 8 3032 是以 2 為首項(xiàng)， -3 ÷ 2 為公比的等比數(shù)列，
è 2
9 é -3 10112 1- 2 ù 12 -3021
所以， a a a L a ê ú
2 - 2
+ + + + .2 5 8 3032 1- 2-3 7
所以， S2023 a1 + a4 + a7 + ×××+ a3034 + a2 + a5 + a8 +L+ a3032
213 - 2-3023 212 - 2-3021 3 212 - 5 2-3023
+
7 7 7
【課后強(qiáng)化】
【基礎(chǔ)保分練】
一、單選題
1．（2024· 2陜西渭南·模擬預(yù)測）已知數(shù)列 an 滿足 an+1 anan+2 ，若 a2 1，a8 9，則 a5
（ ）
A．-3 B． ±3 C．3 D．5
【答案】B
【分析】借助等比數(shù)列定義與性質(zhì)計(jì)算即可得.
2
【詳解】 an+1 anan+2 ，又 a2 1, a8 9 ，
故數(shù)列 an 為等比數(shù)列，
a2則 5 a2a8 9，故 a5 ±3 .
故選：B.
2．（2024·安徽滁州·三模）已知 an 是單調(diào)遞增的等比數(shù)列， a4 + a5 24, a3a6 128，則公比
q的值是（ ）
A．2 B．-2 C．3 D．-3
【答案】A
【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)求出 a4a5，再解方程組求出 a4 ,a5，即可得解.
【詳解】因?yàn)?an 是等比數(shù)列，
所以 a4a5 a3a6 128，
ìa4 + a5 24 ìa4 8 ìa4 16
則 ía a 128 ，解得 í 4 5 a5 16
或 í ，
a5 8
又因?yàn)?an 是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，
ìa4 8
所以 ía ， 5 16
a5
所以公比 q 2a .4
故選：A.
3．（2024· n安徽合肥·模擬預(yù)測）已知“正項(xiàng)數(shù)列 an 滿足an+1 × an 4 ”，則“ a2 2a1 ”是“數(shù)列 an
為等比數(shù)列”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不
充分又不必要條件
【答案】C
n
【分析】由an+1 × an 4 可得正項(xiàng)數(shù)列 an 隔項(xiàng)成等比數(shù)列，再由 a2 2a1結(jié)合充分條件和必
要條件的定義求解即可.
n n+1
【詳解】因?yàn)閍n+1 × an 4 ，所以 an+2 ×an+1 4 ，
a n+1n+2 ×an+1 4
兩式相除可得： 4 ，
a nn+1 × an 4
an+2
所以 4a ，n
a
所以當(dāng) n 2k 2k +2，則 4a ，所以 a2k 是以 a2為首項(xiàng)， 4為公比的等比數(shù)列，2k
k -1 2 k -1所以 a2k a2 ×4 a2 × 2 a2 ×22k -2，
a
n 2k -1 2k +1所以當(dāng) ，則 4，所以 aa 2k -1 是以 a1為首項(xiàng)， 4為公比的等比數(shù)列，2k -1
所以 a2k -1 a1 × 4
k -1 a1 × 2
2k -2
，
a 2a a 2a × 22k -2 a × 22k -1 a a × 2 2k -1 -1當(dāng) 2 1，則 2k 1 1 ， 2k -1 1 ，
所以數(shù)列 an 為公比為 2的等比數(shù)列，
所以“ a2 2a1 ”能推出“數(shù)列 an 為等比數(shù)列”，
若數(shù)列 an 為等比數(shù)列，則公比為 2，故 a2 2a1，
所以“數(shù)列 an 為等比數(shù)列”能推出“ a2 2a1 ”.
故“ a2 2a1 ”是“數(shù)列 an 為等比數(shù)列”的充要條件.
故選：C.
a
4．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知在正項(xiàng)等比數(shù)列 an 中， a2a4 16，且 a3 ,10, 6 成等差數(shù)2
列，則 a1 + a4 + a7 （ ）
A．157 B．156 C．74 D．73
【答案】D
【分析】由等比中項(xiàng)性質(zhì)求得 a3 4，由等差中項(xiàng)性質(zhì)得 a6 32，根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式基
本量運(yùn)算求得 q = 2，進(jìn)而求解 a1 + a4 + a7 即可.
【詳解】由等比中項(xiàng)性質(zhì)知 a3 a2a4 4 .
a ,10, a6 20 a a由 3 成等差數(shù)列，得 3 + 6 ，所以 a6 32，2 2
a6 a3 4
所以等比數(shù)列 an 的公比 q 3 2，所以 a1 2 1, a4 a3q 8, aa q 7
a3q 64，
3
所以 a1 + a4 + a7 73 .
故選：D.
二、多選題
5．（2024·江西·模擬預(yù)測）已知-1,2,8是等比數(shù)列 an 的前 5 項(xiàng)中的其中 3 項(xiàng)，且 a2 > 0，
則 an 的前 7 項(xiàng)和可能為（ ）
43 43 43
A．-43 B．- C． D．
4 6 2
【答案】AB
ìa 2 ìa 8
【分析】根據(jù)等比數(shù)列分析可知：q < 0且 a 2 8 2 22 或 ，分 ía 8 或 ía 2，結(jié)合等比數(shù)列 4 4
通項(xiàng)公式分析求解，再結(jié)合等比數(shù)列求和公式分析求解.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列 an 的公比為q，
因?yàn)榈缺葦?shù)列中所有奇數(shù)項(xiàng)同號(hào)，所有偶數(shù)項(xiàng)同號(hào)，
結(jié)合已知可知q < 0，其中 2，8 這兩項(xiàng)的奇偶性相同，
又因?yàn)?a2 > 0，可知 a2 2或 8，則有：
ìa a q 2 ìa -1
若 a2 2 a 8
2 1 1
， 4 ，則 ía a q3 8，解得 í ，符合題意， 4 1 q -2
-1 é1- -2 7 ù
所以 an 的前 7 項(xiàng)和為 -43；
1- -2
ìa a q 8 ìa1 -16
若 a2 8
2 1
， a4 2 ，則 ía a q3 2 ，解得 í 1 ，此時(shí)
a5 -1，符合題意，
4 1 q - 2
é 1
7
ù-16 ê1- - ÷ ú
所以 a è 2 的前 7 項(xiàng)和為 ê ú 43n - ；
1 1- 4 - ÷
è 2
綜上所述： a 43n 的前 7 項(xiàng)和為-43或- ．4
故選：AB．
6．（23-24 高三下·福建·開學(xué)考試）在前 n 項(xiàng)和為 Sn 的正項(xiàng)等比數(shù)列 an 中， a1a4 8，
log a
a3 a2 + 2 b
2 n
， n S +1 ，則（ ）n
A． a6 - 4a5 -48 B． S7 127
C． Sn 2an -1 D．?dāng)?shù)列 bn 中的最大項(xiàng)為b2
【答案】BC
【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式，逐項(xiàng)判斷選項(xiàng) A、B、C；對(duì)于選項(xiàng) D，由
b log 2an n -1 f n n -1 f n 1 f n n n -1 2 - nn S 1 2n ，令 n ，利用 + - + 2 2n+1 - n n+1 研究數(shù)列的增n 2 2
減性即可得出.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列 an 的公比為 q，由 a1a4 8，有 a2a3 8，
ìa2a3 8, ìa2 2, ìa2 -4,
聯(lián)立方程 ía a 2, 解得 + í 3 2 a3 4
或 ía （舍去）， 3 -2
q a 3 2 a a qn-2 n-2 n-1有 a ，可得 n 2 2 2 2 ．2
對(duì)于 A 5 4選項(xiàng)，由 a6 2 32， a5 2 16，
有 a6 - 4a5 32 - 64 -32，故 A 選項(xiàng)錯(cuò)誤；
1- 27
對(duì)于 B 選項(xiàng)， S7 127，故 B 選項(xiàng)正確；1- 2
n
對(duì)于 C 1- 2選項(xiàng)，由 S 2nn -1，有 Sn 2an -1，故 C 選項(xiàng)正確；1- 2
log a n-1
D 2 n
log
2
2 n -1
對(duì)于 選項(xiàng)，由 Sn +1 2n -1 +1 2n ，
令 f n n -1 n ，有 f n +1 f n
n n -1 2 - n
-
2 2n+1
- n 2 2n+1
，
可得 f 1 < f 2 f 3 > f 4 > ×××有 f n f 2 f 3 1 max ，4
可得數(shù)列 bn 中的最大項(xiàng)為b2或b3，故 D 選項(xiàng)錯(cuò)誤，
故選：BC．
三、填空題
7．（2024·河北保定·二模）在等比數(shù)列 an 中， a1a3a5 a2a6 , a4a13 -27 ，則 a6 ．
【答案】-3
【分析】根據(jù)給定條件，利用等比數(shù)列性質(zhì)，結(jié)合通項(xiàng)公式求解即得.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列 an 的公比為q，由 a3a5 a2a6 , a1a3a5 a2a6，得 a1 1，
由 a a -27 ，得 q3 ×q12 154 13 q -27 ，
a q5所以 6 -3 .
故答案為：-3
8．（2024·黑龍江哈爾濱·三模）在等比數(shù)列 an 中， a3 2, a11 8，則 a7 .
【答案】4
【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解.
【詳解】在等比數(shù)列 an 中， a3 2, a11 8，
2
由等比數(shù)列的性質(zhì)， a3a7 a5 > 0，則 a7 > 0，
2
又a3a11 a7 16，所以 a7 4 .
故答案為：4
9．（2023·全國·模擬預(yù)測）設(shè) Sn 是數(shù)列 an 的前 n項(xiàng)和， Sn 2an + n - 3，令
bn log4 an -1 ，則數(shù)列 bn 的前 121 項(xiàng)和為 .
【答案】3630
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合 an Sn - Sn-1，求得 an -1 2(an-1 -1) ，進(jìn)而得到數(shù)列 an -1 是為等
a -1 2n-1 1比數(shù)列，得到 n ，得出bn (n -1)，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，即可求解.2
【詳解】由數(shù)列 an 的前 n項(xiàng)和 Sn 2an + n - 3，
當(dāng) n 2時(shí)，可得 Sn-1 2an-1 + n -1 - 3，
兩式相減，可得 an Sn - Sn-1 2an + n - 3 - 2an-1 - n -1 + 3 2an - 2an-1 +1，
即 an 2an-1 -1，即 an -1 2(an-1 -1) ，
當(dāng) n 1時(shí)， a1 S1 2a1 - 2 ，可得 a1 2，所以 a1 -1 1，
所以數(shù)列 an -1 是以1為首項(xiàng)，以 2為公比的等比數(shù)列，所以 an -1 2n-1，
n-1
b log a 1 log n-1 2 1則 n 4 n - 4 2 log4 4 (n -1)，2
b 121(b1 + b121) 1 121 (0 +120)所以數(shù) n 的前 121 項(xiàng)和為 3630 .2 2 2
故答案為：3630 .
四、解答題
10．（2022·江西新余·二模）已知數(shù)列 an 是遞增的等差數(shù)列， a2 3，若 a1， a3 - a1， a8 + a1
成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；
ì ü
(2)若b 3an
8bn
n ，數(shù)列 í 的前 n 項(xiàng)和
S ，求 S .
bn + 2 bn+1 + 2
n n

【答案】(1) an 2n -1
1 1
(2) Sn -5 32n+1 + 2
【分析】（1）由等差數(shù)列的基本量運(yùn)算和等比數(shù)列的性質(zhì)列方程組解得 a1和公差d 得通項(xiàng)公
式；
（2）求出bn ，用裂項(xiàng)相消法求和．
【詳解】（1）設(shè) an 的公差為 d， d > 0，
ì a1 + d 3
2 ìa1 1
由條件得 ía1 2a1 + 7d 2d ，∴ í
d 2
d > 0

∴ an 1+ 2 n -1 2n -1 .
2 2n-1（ ）由（1）bn 3 ，bn+1 9bn ，
8bn 1 1 -
bn + 2 bn+1 + 2 bn + 2 b ，n+1 + 2
S 1 1 1 1 1 1∴ n - + - + + -b1 + 2 b2 + 2 b2 + 2 b2 + 2 bn + 2 bn+1 + 2
1 1
- 1 1
b - ．1 + 2 bn+1 + 2 5 32n+1 + 2
11．（23-24 高二下·河南·期中）已知數(shù)列 an 的首項(xiàng) a1 3，且 an+1 - 2an +1 0.
(1)證明: an -1 是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列 an log2 an -1 的前 n項(xiàng)和Tn .
【答案】(1)證明見解析
n2(2)Tn n
+ n
-1 2n+1 + + 2
2
【分析】（1）利用等比數(shù)列的定義證明即可；
（2）結(jié)合（1）中結(jié)論求得 an log2 an -1 的通項(xiàng)公式，再利用錯(cuò)位相減法及分組求和法即
可得解.
【詳解】（1）因?yàn)?an+1 - 2an +1 0， a1 3，
所以 an+1 -1 2 an -1 ， a1 -1 2，
a -1
顯然 an -1 0
n+1
，則 2a -1 ，n
故 an -1 是首項(xiàng)為 2，公比為 2的等比數(shù)列.
（2）由（1 a n-1 n）知， n -1 2 2 2 ，所以 an log2 an -1 2n +1 × n n ×2n + n，
則T 1n 1 2 + 2 2
2 +L+ (n -1) ×2n-1 + n × 2n + 1+ 2 +L+ n ，
令Rn 1 2
1 + 2 22 +L+ (n -1) ×2n-1 + n × 2n ，
故 2R 1 22 + 2 23 +L+ (n -1) × 2n + n ×2n+1n ，
n+1
-R 21 +L+ 2n-1 n上兩式相減得， n + 2 - n × 2
n+1 2 - 2 - n × 2n+1 1- n 2n+1 - 2，
1- 2
n+1
所以Rn n -1 2 + 2，
2
T n -1 2n+1 1+ n ×n+ 2 + n -1 2n+1 n + nn + + 2
所以 2 2
【綜合提升練】
一、單選題
1．（2023·四川巴中·模擬預(yù)測）在等比數(shù)列 an 中， a1 + a3 2，a5 + a7 18，則 a3 + a5
（ ）
A．3 B．6 C．9 D．18
【答案】B
【分析】已知條件作商可求得 q2 ，然后根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)可得.
a 45 + a7 a1q + a q
4
3 4
【詳解】因?yàn)?a 21 + a3 2，a5 + a7 18，所以 q 9，解得 q 3，則a1 + a3 a1 + a3
a3 + a5 a1 + a3 q2 6．
故選：B
2．（2023·河南駐馬店·二模）設(shè)等比數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)之積為 Sn，若 S3 1， S9 512 ，則
a11=（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】C
【分析】根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可得 a2 1， a5 2，進(jìn)而可得 q3 2，運(yùn)算求解即可.
【詳解】因?yàn)?S3 1， S9 512 3，所以 a1a2a3 a2 1， a1a2a3La9 a
9
5 512 ，
解得 a2 1， a5 2，
q3 a則 5 2 ，故 a11 a2q
9 23 8
a ．2
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．
3．（2024·浙江·三模）已知數(shù)列 an 滿足 a1 2，則“ an 為等比數(shù)列”是“ am ×an am+n（"m ，
n N* ）”的（ ）
A．充分條件但不是必要條件 B．必要條件但不是充分條件
C．充要條件 D．既不是充分條件也不是必要條件
【答案】B
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式及充分條件、必要條件的定義判斷即可.
n-1
【詳解】若 an 為等比數(shù)列，則 an 2q ，
a ×a 2qm-1 2qn-1所以 m n 4q
m+n-2
， am+n 2q
m+n-1
，
當(dāng) q 2時(shí) am ×an am+n ，故充分性不成立；
若 am ×an am+n（"m ， n N* ），不妨令m 1，則 a1 ×an a1+n ，又 a1 2，
a
所以 2an a
n+1
n+1，即 2a ，所以 an 為公比為 2的等比數(shù)列，故必要性成立；n
故“ an 為等比數(shù)列”是“ am ×an am+n（"m ， n N* ）”的必要不充分條件.
故選：B
4．（2024·湖北黃岡·模擬預(yù)測）已知數(shù)列 an a
1
的首項(xiàng) ，且滿足 a
an
1 n+1

2 - a ，若2 n
1 1 1 1
+ + + ××× + < 1000，則滿足條件的最大整數(shù) n a a a a （ ）1 2 3 n
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
1 n-1
【分析】令bn a ，根據(jù)構(gòu)造法求得bn 2 +1，結(jié)合等比數(shù)列前 n 項(xiàng)求和公式建立不等式n
即可求解.
1 2 1
【詳解】 -1a a ，令
bn ，
n+1 n an
1
則bn+1 -1 2 bn -1 ，又b1 -1 -1 1a ，1
所以{bn -1}是以 1 為首項(xiàng)，2 為公比的等比數(shù)列，
b -1 2n-1得 n ，所以bn 2
n-1 +1，
∴ b1 + b2 + ××× + bn 1+ 2 + 2
2 + ××× + 2n-1 + n 2n + n -1，
由2n + n -1< 1000，解得 n 9 .
故選：B
5．（2024·寧夏石嘴山·三模）已知數(shù)列 an 是等比數(shù)列，且a2a3a4 64,則 log2 a3 的值為
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)求出a3，再代入求解即可.
【詳解】因?yàn)閧an}為等比數(shù)列，所以 a2a4 a
2
3 ，
因此 a2a3a4 a
3
3 64，即 a3 4，
所以 log2 a3 log2 4 2，
故選：B.
6．（2024·山東聊城·一模）已知數(shù)列 an 滿足 an+1 3an + 2，則“ a1 -1”是“ an 是等比數(shù)
列”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】根據(jù)充分必要條件的證明方法，結(jié)合等比數(shù)列的定義與數(shù)列遞推式即可得解.
【詳解】當(dāng) a1 -1時(shí)，因?yàn)?an+1 3an + 2，所以 an+1 +1 3 an +1 ，
又 a1 -1，則 a1 +1 0，則 a2 +1 3 a1 +1 0,L，
依次類推可知 an +1 0，故 an -1，
則 an 是首項(xiàng)為 -1，公比為1的等比數(shù)列，即充分性成立；
當(dāng) an 是等比數(shù)列時(shí)，因?yàn)?an+1 3an + 2，所以 an+1 +1 3 an +1 ，
a
a +1 0 n+1
+1
當(dāng) n 時(shí)， 3，則 an +1a +1 是公比為3的等比數(shù)列，n
所以 an +1 a1 +1 3n-1 ，即 an a1 +1 3n-1 -1，
則 a2 a1 +1 -1 a1， a2 3 a1 +1 -1 3a1 + 2， a3 9 a1 +1 -1 9a1 + 8，
a2 2由 2 a1a3，得 3a1 + 2 a1 × 9a1 + 8 ，解得 a1 -1，不滿足題意；
當(dāng) an +1 0，即 a1 -1時(shí)，易知滿足題意；
所以 a1 -1，即必要性成立.
故選：C.
7．（2024· *陜西西安·模擬預(yù)測）等差數(shù)列 an 的前項(xiàng) n和為 Sn ，且 an N ，數(shù)列 bn 為等比
數(shù)列，則下列說法錯(cuò)誤的選項(xiàng)是（ ）
A a．?dāng)?shù)列 2 n 一定是等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列 ba 一定是等比數(shù)列n
ìS ü
C n．?dāng)?shù)列 í 一定是等差數(shù)列 D．?dāng)?shù)列 bn + bn+1 一定是等比數(shù)列
n
【答案】D
【分析】利用等差、等比數(shù)列的定義判斷 A、B、C，特殊值判斷 D，即可得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)閿?shù)列 an 是等差數(shù)列，設(shè)其通項(xiàng)公式為 an a1 + (n -1)d ，
2an+1
所以 2an+1 -an d aa 2 是定值，所以數(shù)列 2 n 一定是等比數(shù)列，A 選項(xiàng)正確;2 n
因?yàn)閿?shù)列 b n-1n 為等比數(shù)列，設(shè)其通項(xiàng)公式為bn b1q ，
b an+1-1
b b qan -1, an+1 b 1q qan+1-an所以 a 1 q
d
n b b qan -1 是定值，an 1
所以數(shù)列 ba 一定是等比數(shù)列，B選項(xiàng)正確;n
n 2a1 + (n -1)d S 2a + (n -1)d d因?yàn)?Sn ，所以 n 1 a + (n -1) × ，2 n 2 1 2
ìS
í n
ü
所以數(shù)列 一定是等差數(shù)列，C 選項(xiàng)正確;
n
當(dāng)bn (-1)
n 時(shí)，bn + bn+1 0，則 bn + bn+1 不是等比數(shù)列，D 選項(xiàng)錯(cuò)誤，
故選: D .
8．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）設(shè)等比數(shù)列 a a a f x x3 + 3a x2 + a x + a2n 中， 3， 7使函數(shù) 3 7 3
在 x=-1時(shí)取得極值 0 ，則 a5 的值是（ ）
A．± 3 或±3 2 B． 3或3 2
C．±3 2 D．3 2
【答案】D
【分析】根據(jù) f x 在 x=-1時(shí)取得極值 0 ，可求得a3，a7，代回驗(yàn)證可得 a3 2， a7 9，
再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解.
2
【詳解】由題意 f x 3x + 6a3x + a7 ，
因?yàn)?f x 在 x=-1時(shí)取得極值 0 ，
ì f -1 -1+ 3a3 - a7 + a23 0
所以 í f ， -1 3 - 6a3 + a7 0
ìa3 1 ìa3 2
解得 ía 3或 í ， 7 a7 9
當(dāng) a3 1， a7 3時(shí)，
f x 3x2 + 6x + 3 3 x +1 2 0，
所以 f x 在R 上單調(diào)遞增，不合題意，
當(dāng) a3 2， a7 9時(shí)，
f x 3x2 +12x + 9 3 x +1 x + 3 ，
所以 x - ,-3 U -1,+ 時(shí)， f x > 0，
x -3, -1 時(shí)， f x < 0，
所以 f x 在 - , -3 ， -1, + 上單調(diào)遞增，在 -3, -1 上單調(diào)遞減，
所以當(dāng) x=-1時(shí) f x 取得極小值，滿足題意，
a2所以 5 a3 ×a7 18，
又a3， a5 ，a7同號(hào)，
所以 a5 3 2 .
故選：D .
二、多選題
9．（2024·江西·三模）已知數(shù)列 an 滿足 a1 1, an+1 2an +1，則（ ）
A．?dāng)?shù)列 an 是等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列 log2 an +1 是等差數(shù)列
C．?dāng)?shù)列 an 的前 n項(xiàng)和為 2n+1 - n - 2 D． a20 能被 3 整除
【答案】BCD
【分析】利用構(gòu)造法得到數(shù)列 an +1 是等比數(shù)列，從而求得通項(xiàng)，就可以判斷選項(xiàng)，對(duì)于數(shù)
列求和，可以用分組求和法，等比數(shù)列公式求和完成，對(duì)于冪的整除性問題可以轉(zhuǎn)化為用二
項(xiàng)式定理展開后，再加以證明.
【詳解】由 an+1 2an +1可得：an+1+1 2 an +1 ，所以數(shù)列 an +1 是等比數(shù)列，即
an =2
n -1，
則 a1=1, a2 =3,a3 =7,顯然有 a1 ×a3 a
2
2 ，所以 a1,a2 ,a3 不成等比數(shù)列，故選項(xiàng) A 是錯(cuò)誤的；
由數(shù)列 an +1 n是等比數(shù)列可得： an +1=2 ，即 log2 an +1 = log n2 2 n ，故選項(xiàng) B 是正確的；
n
由 a =2n -1可得：前 n 2 1- 2 項(xiàng)和 S =21 -1+ 22 -1+ 23 -1+ ×××+ 2n -1 - n 2n+1n n - n - 2，故1- 2
選項(xiàng) C 是正確的；
由 a =220 -1= 3 -1 20 -1 C0 320 1 19 2 18 2 19 19 20 2020 20 + C203 × -1 + C203 × -1 + ×××+ C203 × -1 + C20 -1 -1
3 éC0 19 203 + C
1 18 2
203 × -1 + C20317 × -1
2 + ×××+ C19 19 ù20 -1 ，故選項(xiàng) D 是正確的；
方法二：由 210 1024，1024 除以 3 余數(shù)是 1，所以10242除以 3 的余數(shù)還是 1，從而可得 220 -1
能補(bǔ) 3 整除，故選項(xiàng) D 是正確的；
故選：BCD．
10．（2024· 2遼寧大連·一模）已知遞增等比數(shù)列 an 的公比為q，且滿足 a3 + 3a4 a5，下列
情況可能正確的是（ ）
q = 2 q 1A． B． C． a4 -1 D． a4 20242
【答案】BCD
【分析】原數(shù)列遞增等價(jià)于 an > 0， q > 1 或 an < 0，0 < q <1，進(jìn)一步得 a4 q
3 - 3q2 ，從而
分類討論得 q > 3或0 < q <1，構(gòu)造函數(shù)求得 a4的范圍，對(duì)比選項(xiàng)即可得解.
【詳解】原數(shù)列遞增等價(jià)于 an > 0， q > 1 或 an < 0，0 < q <1.
a2 3a a a
2
+ 4 + 3a a q a q3 23 4 5等價(jià)于 2 4 4 ，即 4 - 3q .q
從而 q3 - 3q2 > 0， q > 1 或 q3 - 3q2 < 0，0 < q <1.
這意味著q的范圍是 q > 3或0 < q <1，
令 f x x3 - 3x2 ， x > 3或0 < x <1，則 f x 3x x - 2 ，
當(dāng) x > 3時(shí)， f x > 0， f x 單調(diào)遞增，
當(dāng)0 < x <1時(shí)， f x < 0， f x 單調(diào)遞減，
從而 f x > f 3 0或 f 1 -2 < f x < f 0 0，
a q3 - 3q2這表明了 4 的范圍是-2 < a4 < 0 或 a4 > 0 .
所以 A 錯(cuò)誤，B 正確，C 正確，D 正確.
故選：BCD.
11．（2024· *浙江紹興·二模）已知數(shù)列{an}與{bn}滿足 a1 1，且 an+1 2an +1(n N )，
bn log2 (an +1) .若數(shù)列{an}保持順序不變，在 a 與 a kk k +1項(xiàng)之間都插入 2 個(gè)bk 后，組成新數(shù)列
{cn}，記{cn}的前 n項(xiàng)和為 Sn ，則（ ）
A a 2n． n+1 B．bn n
C． c2024 10 D． S2024 20150
【答案】BCD
【分析】利用構(gòu)造等比數(shù)列法判斷 A；繼而結(jié)合bn log2 (an +1)可判斷 B；根據(jù)數(shù)列的規(guī)律，
計(jì)算數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，可確定 c2024 10 ，判斷 C，確定數(shù)列的項(xiàng)，利用等比數(shù)列的求和公式可判
斷 D.
【詳解】對(duì)于 A， a1 1，且 an+1 2an +1(n N
*)，則 an+1 +1 2 an +1 , (n N*)，
{a +1} a +1 2 a +1 2n,\a 2n即數(shù)列 n 為等比數(shù)列， 1 ，故 n n -1，
則a n+1n+1 2 -1，A 錯(cuò)誤；
對(duì)于 B，bn log2 (an +1) log2 2
n n，B 正確；
{c } 1,1,1,3,2,2,2,2,7,L 2 1- 2
9 2 1- 210
對(duì)于 C ，新數(shù)列 n 為 ，由于 1022， 2046，
1- 2 1- 2
即數(shù)列{cn}從 a1 1到 a10 1023共有1022 +10 1032項(xiàng)，到 a11 共有 2046 +11 2057項(xiàng)，
而 a10 和 a11 之間有210個(gè) 10，故 c2024 10 ，C 正確；
對(duì)于 D，結(jié)合 C 的分析，可得
2 1- 210
S2024 -10 + 1× 2
1 + 2 ×22 +L+ 9 × 29 + (2024 -1032) 10
1 - 2
2036 + 8194 + 9920 20150 ，D 正確，
故選：BCD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵時(shí) CD 選項(xiàng)的判斷，解答時(shí)要結(jié)合數(shù)列的特點(diǎn)，判斷數(shù)
列的項(xiàng)數(shù)，從而確定項(xiàng)的取值.
三、填空題
12．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知數(shù)列 an 為各項(xiàng)均不相等的等比數(shù)列，其前 n項(xiàng)和為
S
S 3a , 2a 3n ，且 2 3 ,a4 成等差數(shù)列，則 a .4
13
【答案】
27
2 3
【分析】數(shù)列公比為q，則 q 1，則由題意可得 4a1q 3a1q + a1q ，解出公比q，從而可求
S3
出 a .4
【詳解】設(shè)數(shù)列公比為q，則 q 1，
Q3a2 ,2a3,a4成等差數(shù)列，\4a3 3a2 + a4 ，
4a 2 3即 21q 3a1q + a1q ，整理得 q - 4q + 3 0，
解得 q 3，或 q 1（舍去），
S3 a1 + a q + a q
2
1 1 1+ 3 + 3
2 13
∴ 3 .a4 a1q 3
3 27
13
故答案為：
27
13．（2024·湖南邵陽·一模）已知數(shù)列 an 的首項(xiàng)為1， anan+1 3n n N* ，則 a8 .
【答案】81
a
【分析】由 anan+1 3
n n N* n+2得 3 n N*a ，進(jìn)而判斷 an 中各個(gè)偶數(shù)項(xiàng) a2 , a4 , a6 L構(gòu)n
成首項(xiàng)為 3，公比為 3 的等比數(shù)列，即可得到 a8 .
1
a a 3n n N* n+1 * 3【詳解】由 n n+1 得 an+1an+2 3 n N ， a2 3 ,a1
a n+1n+1an+2 a n+2 3
a
于是 n 3 n N* n+2 *，即 3 n N .anan+1 an 3 an
所以數(shù)列 an 中，各個(gè)奇數(shù)項(xiàng) a1,a3 ,a5 L 構(gòu)成首項(xiàng)為 1，公比為 3 的等比數(shù)列，
n n
同理，各個(gè)偶數(shù)項(xiàng) a2 , a4 , a6 L 也構(gòu)成首項(xiàng)為 3，公比為 3 的等比數(shù)列，即 -1an a232 32 .
所以 a8 3
4 81 .
故答案為：81.
1
14．（2024·上海·三模）無窮等比數(shù)列 an 滿足： a1 + a2 1， a3 + a4 ，則 an 的各項(xiàng)和4
為 ．
4
【答案】
3
【分析】設(shè)無窮等比數(shù)列 an 的公比為q， an 的前 n項(xiàng)和為 Sn ，根據(jù)所給條件求出q、
a1，即可求出 Sn ，再取極限即可.
【詳解】設(shè)無窮等比數(shù)列 an 的公比為q， an 的前 n項(xiàng)和為 Sn ，
2 a3 + a4 1
則 q a a 4 ，解得 q
1 q 1
+ 或
- ，
1 2 2 2
q 1 a a a 1 2當(dāng) 時(shí) 1 + 2 2 1
+ a1 1，解得 a ，2 1 3
2 é n ù
ê1
1
-
a 1 ú1 - q
n 3 2 ÷
所以 S ê è ú 4 é 1
n
1-
ù
n 1 ê1- q 3 ÷
ú，
1- ê è 2 ú
2
4 é 1 n ù é 4 4 1 n ù 4
所以 lim Sn lim ê1- ÷ ú lim ê - ú ；n n 3 ê è 2 ú n ê 3 3
÷
è 2 ú 3
q 1 1當(dāng) - 時(shí) a1 + a2 a1 - a1 1，解得 a1 2，2 2
é 1
n
ù
a1 1- qn
2 ê1- - 2 ÷ ú n
所以 S ê
è ú 4 é 1
ù
n ê1- - ú ，1- q ÷1 1- - 3 ê è 2 ÷ ú
è 2
lim S lim 4
é 1 n ù é 4 4 1 n ù 4
所以 1-
- ê ú lim -

ê -

ú ；
n n n 3 ÷ ê è 2 ú n ê 3 3

è 2 ÷ ú 3
4
綜上可得 an 的各項(xiàng)和為 .3
4
故答案為：
3
四、解答題
15．（2023·山東威海·二模）已知 2n＋2 個(gè)數(shù)排列構(gòu)成以 qn qn >1 為公比的等比數(shù)列，其中
第 1 個(gè)數(shù)為 1，第 2n＋2 個(gè)數(shù)為 8，設(shè) an log2 qn．
ì 1 ü
(1)證明：數(shù)列 í 是等差數(shù)列；
an
π π
(2)設(shè)bn tan tan ，求數(shù)列 ba a n 的前 100 項(xiàng)和 S100 ．n n+1
【答案】(1)證明見詳解
(2) -99
3
【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)分析可得 an ，再結(jié)合等差數(shù)列的定義分析證明；2n +1
3 π π
（2）根據(jù)兩角差的正切公式整理得bn - tan - tan ÷ -1，結(jié)合裂項(xiàng)相消法運(yùn)算求3 è an+1 an
解.
1 2n+1
8 3
【詳解】（ ）由題意可得： qn 8，且 qn >1，可得 q 22n+1 ，1 n
3 1 2n +1
所以 an log 22n+1
3
2 ，可得 ，2n +1 an 3
1 1 2 n +1 +1 2n +1 2
則 - - ，
an+1 an 3 3 3
ì 1 ü 2
所以數(shù)列 í 是以公差為 3 的等差數(shù)列. an
π π 2π
（2）由（1）可得 - an+1 a 3
，
n
tan π - tan π
tan 2π
π π an+1 an
則 tan - - 3 ，
3 ÷è an+1 an 1 tan π tan π+
an+1 an

b tan π tan π 3 tan π tan π

整理得 n - - -1，an a
÷
n+1 3 è an+1 an
則
é 3 ù é ù é S b b b tan π tan π 1 3 π π 3 π π
ù
100 1 + 2 + ×××+ 100 ê- - ÷ - ú + ê- tan - tan ÷ -1ú + ××× + ê- tan - tan -1
3 è a
÷ ú
2 a1 3 è a3 a2 3 è a101 a100
3 é π π ù
- ê tan - tan ÷ + tan
π tan π π π- + ×××+
3 ÷
tan - tan ÷ú -100
è a2 a1 è a3 a2 è a101 a100
3 tan π

tan π 100 3 tan 203π - - ÷ - - - tan π

÷ -1003 è a101 a1 3 è 3
3
- tan 68π π 100 3 tan π- - -100 -99，
3 3 ֏ 3 3
所以數(shù)列 bn 的前 100 項(xiàng)和 S100 -99 .
16．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）已知數(shù)列 an 滿足 a1 1, a2 1, 當(dāng) n 3時(shí)，
ìa
a n-1
+ an-2 ,n為奇數(shù)
n í
2an-2 +1, n為偶數(shù)
(1)求 a4和 a6，并證明當(dāng) n為偶數(shù)時(shí) an +1 是等比數(shù)列；
(2)求a1 +a3 +a5 +......+a29
【答案】(1)3，7，證明見解析
(2) 216 -122
【分析】（1）利用遞推公式易求 a4， a6，利用遞推關(guān)系可證結(jié)論；
n
（2 k）由（1）可得 n為偶數(shù)時(shí)，a 22 -1，當(dāng) n為奇數(shù)時(shí)， a2k +1 2 -1+ an 2k -2 + a2k -3 ，
k +1
可求得 a2k +1 2 - k -1，計(jì)算可求結(jié)論.
ìa + a ,n為奇數(shù)
【詳解】（1）因?yàn)?a1 1, a2 1, 當(dāng) n 3
n-1 n-2
時(shí)， an í ，
2an-2 +1, n為偶數(shù)
所以 a4 2a2 +1 3，a6 2a4 +1 7 .
a2k +2 2a2k +1，a2k+2 +1 2(a2k +1)，又 a2 +1 2，
\當(dāng) n為偶數(shù)時(shí)， an +1 是以 2為首項(xiàng)，以 2為公比的等比數(shù)列；
2 1 a +1 (a +1)2k-1 k（ ）由（ ）知， 2k 2 2 ，
n n
設(shè) n 2k ，則a 22 -1 \n為偶數(shù)時(shí)，n an 22 -1
當(dāng) n為奇數(shù)時(shí)，a2k+1 a2k + a2k-1 2
k -1+ a2k-1 2
k -1+ a2k-2 + a2k-3
2k -1+ 2k-1 -1+ a2k-3 ...... 2
k -1+ 2k-1 -1+......+ (21 -1) + a1
a 2(1- 2
k )
\ - k + a 2k +12k +1 1 - k -1 ；1- 2
n+1 n + 1
設(shè) n 2k +1，\n為奇數(shù)時(shí)， an 2 2 - ，2
\a1 + a3 + a5 + ......+ a29 (2
1 -1) + (22 - 2) + (23 - 3) + ......+ (215 -15)
21 + 22 + 23 +L+ 215 - 1+ 2 + 3 +L+15
21 1- 215 15 1+15
-
1- 2 2
216 -122 .
17．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知公比大于 1 的等比數(shù)列 an 滿足： a2 + a3 + a4 28，且
a3 + 2是 a2和 a4的等差中項(xiàng)．
(1)求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；
(2)若bn an × log0．5an，求 bn 的前 n項(xiàng)和 Sn ．
【答案】(1) an 2n ；
(2) Sn (1- n)2
n+1 - 2 .
ìa + a + a 28
【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列 an 的公比為 q 2 3 4，由 í
2 a3 + 2 a2 + a
求解；
4
n
（2）由（1）得到bn an log 1 an -n × 2 ，利用錯(cuò)位相減法求得 Sn .
2
【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列 an 的公比為q，
因?yàn)?a3 + 2是 a2和 a4的等差中項(xiàng)，
所以 2 a3 + 2 a2 + a4 ，又 a2 + a3 + a4 28，
代入得 a3 + 2 a3 + 2 28，即 a3 8，
ìa 23 8 ìa
í 1
q 8
所以 a a 20，即 ， 2 +
ía q24 1 + a q
3
1 20
ìa1 32 ìa1 2
解得 í 1 或 í ，

q q 22
又因?yàn)閿?shù)列 an 是 q > 1 的等比數(shù)列，
所以 a1 2, q 2,\a
n
n 2 ．
（2）由（1）知bn an·log0.5 an -n ×2
n ,
\Sn - 1 2 + 2 22 3 23 +L+ n 2n ①，
2Sn - 1 22 + 2 23 + 3 24 +L+ n 2n+1 ②，
é 2 1- 2n ù
① - ②得-Sn - 2 + 22 + 23 +L+ 2n - n 2n+1 - ê - n 2n+1 ú (n -1)2n+1 + 2 ,
ê 1- 2 ú
\Sn (1- n)2
n+1 - 2 .
18．（2024·青海海南·二模）已知數(shù)列 an 的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前 n項(xiàng)和為 Sn , Sn 是等比數(shù)
列，a3 a1a2 ,2S5 a6 .
(1)求數(shù)列 Sn 的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)bn an × log3 Sn ，求數(shù)列 bn 的前 n項(xiàng)和Tn .
【答案】(1) Sn 3
n
T 3 1 + n - (2) nn 2 2 ÷
×3
è
【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列 Sn 的公比為q，由等比數(shù)列的性質(zhì)和 an 與 Sn 的關(guān)系，解方程可
得首項(xiàng)和公比q，即可求解；
ì3, n 1
（2）先求出 an í2 3n-1, n 2，再由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求得
bn ，根據(jù)數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和，
×
結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可求解.
【詳解】（1）由 Sn 是等比數(shù)列，設(shè)公比為q，則由 2S5 a6 得 2S5 S6 - S5 ，所以 S6 3S5，
所以 q 3，所以 S2 3S1, S3 3S2 9S1 ，故由 a3 a1a2 得 S3 - S2 S1 S2 - S1 ，
所以6S1 S1 2S1，所以 S1 3，所以 Sn 3 3
n-1 3n ；
2 1 S 3n（ ）由（ ）可得 n ，當(dāng) n 1時(shí)， a1 S1 3 .
n n-1 n-1
當(dāng) n 2時(shí)， an Sn - Sn-1 3 - 3 2 ×3 .經(jīng)檢驗(yàn) a1 3不適合 an 2 ×3
n-1
，
ì3, n 1 ì3, n 1
所以 an í n-1 ，所以bn an × log S 2 ×3 , n 2 3 n í 2n ×3
n-1, n ， 2
b n T 3+ 4 ×3+ 6 ×32 + 8 ×33 +L+ 2 n -1 ×3n-2 + 2n ×3n-1則數(shù)列 n 的前 項(xiàng)和 n ，
3Tn 9 + 4 ×3
2 + 6 ×33 + 8 ×34 +L+ 2 n -1 ×3n-1 + 2n ×3n ，
n
兩式相減可得-2T 2 3 + 32 + 33 +L+ 3n-1 - 2n ×3n 3- 3n 2 - 2n ×3n -3 + 1- 2n ×3n ，1- 3
3 1 n
所以Tn + n -2 2 ÷
×3 .
è
19．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列 an 的首項(xiàng)為 1，前 n 項(xiàng)和為 Sn ，且 Sn 2Sn-1 +1，其
中 n 2．
(1)求證：數(shù)列 an 是等比數(shù)列；
1 1 1 1 1
(2)當(dāng) n 2時(shí)，求證： + + + ×××+ < 2
1-
S n ÷．1 S2 S3 Sn è 2
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）利用 Sn 與 an 的關(guān)系證明 an 是等比數(shù)列
1 1 ì 1 ü
（2）求得 Sn 2n -1，利用放縮得 n 2 ，再求 í 的和即可證得結(jié)論.
n Sn
【詳解】（1）由 Sn 2Sn-1 +1 n 2 ，得 Sn+1 2Sn +1，
兩式相減，得 Sn+1 - Sn 2 Sn - Sn-1 n 2 ，
又當(dāng) n 2時(shí)， an Sn - Sn-1， an+1 Sn+1 - Sn ，
an+1
所以 an+1 2an， 2 n 2 a ，n
a a
又 S2 2S1 +1， a1 1，所以 a2 2
2
， 2 n+1a ，（注意驗(yàn)證 n 1是否符合
2 ）
1 an
因此數(shù)列 an 是以 1 為首項(xiàng)，2 為公比的等比數(shù)列．
n
2 1 a 2n-1 S 1- 2（ ）由（ ）知 n ，所以 n 2
n -1．
1- 2
當(dāng) n 2時(shí)， 2n-1 >1，
所以 Sn 2
n -1 > 2n - 2n-1 2n-1 > 0，
1 1 1
所以 S 2n
<
-1 2n-1 ， n
1 n1-
n 2 1 1 1 1 1 1 1 1
÷ 1
所以當(dāng) 時(shí)， + + + ×××+ < + + 2 + ×××+
è 2 2 1- ．
S S S S 2 2 2n-1 1 2n ÷1 2 3 n 1- è
2
【點(diǎn)睛】數(shù)列型不等式問題的求解過程中常用到放縮法，一般有兩種情況：一是先放縮，再
求和；二是先求和，再放縮．常用的放縮技巧如下：
1 1 1 1 1
（1）對(duì) 2 的放縮，根據(jù)不同的要求，大致有三種情況：① 2 < 2 - n 2 ；n n n - n n -1 n
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 < 2

-

② ÷
n2
< - n 2 ；③ 1
n2 -1 2 n -1 n +1÷ n n2è - è 2n -1 2n +1
．
4
1
（2）對(duì) 的放縮，根據(jù)不同的要求，大致有兩種情況：
2 n
1 1
① > n +1 n
1 1
- ；② < n - n -1 n 2 ．
2 n n + n +1 2 n n + n -1
1 1 1
n n n-1
（3）對(duì) 2 -1的放縮，為 2 -1 2
【拓展沖刺練】
一、單選題
1．（2024·山東菏澤·二模）已知 an 是等差數(shù)列，a1 3,a4 12，在數(shù)列 bn 中
b1 4,b4 20，若 bn - an 是等比數(shù)列，則b2024 的值為（ ）
A．6072 B． 22023
C．22023 + 6072 D．22023 - 6072
【答案】C
【分析】求出公差，得 an ，求出公比，得bn ，即可求b2024 ．
【詳解】設(shè) an 的公差為 d , bn - an 的公比為q，
則由題意可得， a4 a1 + 3d ，即12 3 + 3d ，解得 d 3，
所以 an 3+ n -1 3 3n
根據(jù)已知又有：b1 - a1 1,b4 - a4 8，
則8 1× q3，得 q = 2，
所以bn - an 1× 2
n-1 b 2n-1，進(jìn)而 n + 3n ，
b 22023故 2024 + 6072 .
故選：C.
2．（2024·山東濟(jì)南·三模）已知 an 是等比數(shù)列，且 a2a7 -a8 -4a4，則a3 （ ）
A．- 2 B．± 2 C．-2 D．±2
【答案】C
【分析】設(shè)等比數(shù)列 an 的公比為q，利用條件 -a8 -4a4，得到 q2 2，再由 a2a7 -4a4 ，
a3
得 a3q
4 -4a3qq ，即可得出結(jié)果.
4
【詳解】設(shè)等比數(shù)列 an 的公比為q，因?yàn)?a8 -4a4，所以-a4q -4a4 ，
得到 q4
a
4 ，所以 q2 2，由 a2a7 -4a
3 4
4 ，得到 a3q -4aq 3
q，
4
所以 a3 - 2 -2q ，
故選：C.
3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列 an 的前 n項(xiàng)和為
Sn , a
2
n -1 an-1 -1 an+1 -1 n 2 ,a1 2, a2 3，則 S8 （ ）
A．127 B．135 C．255 D．263
【答案】D
【分析】由等比中項(xiàng)的性質(zhì)證明 an -1 為等比數(shù)列，由此可求 an 的通項(xiàng)，然后利用分組
求和求解出結(jié)果.
2 a -1 2
【詳解】由題意知當(dāng) n 2時(shí)， an -1 an-1 -1 an+1 -1 ，且 a1 -1 1, 2 2a -1 1 ，1
所以 an -1 是首項(xiàng)為1，公比為 2的等比數(shù)列，
n-1
所以 an -1 2 ，即 an 2
n-1 +1，
1 1- 28
所以 S8 + 8 263，1- 2
故選：D.
4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列 an 滿足 a1 1, a2 1,an+1 2an + 3an-1 n 2 ，數(shù)列 an
的前 n項(xiàng)和為 Sn ，則S2023 （ ）
32024 -1 32024 - 4 32025 - 2 32023A． B C +1． ． D．
2 8 2 4
【答案】D
【分析】方法一：變形得到 an+2 + an+1 9 an + an-1 ， a2n + a2n+1 是以 6 為首項(xiàng)，9 為公比的
等比數(shù)列，分組求和,結(jié)合等比數(shù)列求和公式求出答案；
n-1
方法二：推出 an+1 + an 是首項(xiàng)為 2，公比為 3 的等比數(shù)列，故 an+2 - an 4 3 ，分 n為奇
數(shù)和偶數(shù)兩種情況，利用累加法得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用等比數(shù)列求和公式求出答案.
【詳解】方法一：因?yàn)?an+1 2an + 3an-1 n 2 ,a1 1, a2 1，所以 a3 5．
因?yàn)?an+1 2an + 3an-1 n 2 ，所以 an+1 + an 3 an + an-1 ，
所以 an+2 + an+1 9 an + an-1 ．
因?yàn)?a2 + a3 6，所以 a2n + a2n+1 是以 6 為首項(xiàng)，9 為公比的等比數(shù)列．
所以 S2023 a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + ×××+ a2022 + a2023
a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + ×××+ a2022 + a2023
6 1- 91011 2023
1 3 +1+ ；
1- 9 4
方法二：因?yàn)楫?dāng) n 2時(shí)， an+1 2an + 3an-1，即 an+1 + an 3 an + an-1 ，
又 a1 + a2 1+1 2，所以 an+1 + an 是首項(xiàng)為 2，公比為 3 的等比數(shù)列，故
an+1 + an 2 3
n-1
．
a n-1 n n n-1 n-1由 n+1 + an 2 3 ，得 an+2 + an+1 2 3 ，兩式相減得 an+2 - an 2 3 - 2 3 4 3 ．
當(dāng) n為偶數(shù)且n 4時(shí)， a4 - a2 4 3
1,a6 - a4 4 3
3 , × × ×,an - an-2 4 3
n-3
，
n-2
3 1- 9 2 3n-1 -1
以上式子相加得 ÷ n-1
a a 4 è 3 - 3
，又 a2 1，所以 an ．
n - 2 21- 9 2
3n-1a -1又 2 1滿足上式，所以 an ．2
n 0 2 n-3當(dāng) 為奇數(shù)且 n 3時(shí)， a3 - a1 4 3 ,a5 - a3 4 3 , × × ×,an - an-2 4 3 ，
n-1
30
以上式子相加得
1- 9 2 ÷ n-1
3n-1
3 +1
è -1，又 a1 1，所以 aa - a 4 n
，
n 1 21- 9 2
n-1
又 a1 1 a
3 +1
滿足上式，所以 n ．2
ì3n-1 +1
,n 2k -1,k N
*
a 2綜上， n í n-1 ，
3 -1
,n 2k,k N
*
2
1 3 1- 91011 1 1 1- 91012所以 S 1011 1 1012 3
2023 +1
2023 - + + ．2 1- 9 2 2 1- 9 2 4
故選：D
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列中的奇偶項(xiàng)問題考查方向：①等差，等比數(shù)列中的奇偶項(xiàng)求和問
題；②數(shù)列中連續(xù)兩項(xiàng)和或積問題；③含有 -1 n 的問題；④通項(xiàng)公式分奇偶項(xiàng)有不同表
達(dá)式問題；含三角函數(shù)問題，需要對(duì) n分奇偶討論，尋找奇數(shù)項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)之間的關(guān)系，分組
求和，期間可能會(huì)涉及錯(cuò)位相減和求和或裂項(xiàng)相消法求和.
二、多選題
5．（2023·江蘇鹽城·三模）已知數(shù)列 a 2 2 2n 對(duì)任意的整數(shù) n 3，都有 n an-2an+2 n - 4 an ，
則下列說法中正確的有（ ）
A．若 a2 2, a4 2 ，則 a6 2
B．若 a1 1， a3 3，則 a2n+1 2n +1 n N
C．?dāng)?shù)列 an 可以是等差數(shù)列
D．?dāng)?shù)列 an 可以是等比數(shù)列
【答案】BC
【分析】利用賦值，遞推式以及假設(shè)法，即可逐一選項(xiàng)進(jìn)行判斷.
【詳解】若 a2 2, a4 2 ，
當(dāng) n 4 16a 2時(shí)， 2a6 12a4 ，
3
解得 a6 ，故 A 錯(cuò)；2
若 a1 1， a3 3，
當(dāng) n 3時(shí)，9a1a5 5a
2
3 ，
解得 a5 5，
當(dāng) n 5時(shí)， 25a3a7 21a
2
5 ，
解得 a7 7 ，
L，
根據(jù)遞推關(guān)系可知，
當(dāng) n為奇數(shù)，即 n 2n +1時(shí)，
a2n+1 2n +1 n N ，故 B 正確；
若 an n ，
則 n2 n - 2 n + 2 n2 - 4 n2 成立，
故數(shù)列 an 可以是等差數(shù)列，即 C 正確；
若數(shù)列 an 是等比數(shù)列，假設(shè)公比為q，
n2a a 2 2則由 n-2 n+2 n - 4 an ，
得 n +1 2 a é 2 ù 2n-1an+3 n +1 - 4 an+1，
n +1 2 n +1 2a a - 4 a2
兩式相除得， n-1 n+3 n+1
n2

a 2 2
，
n-2 an+2 n - 4 an
n +1 2 2 n +1
2 - 4
即 q q2 ，
n2 n2 - 4
解得 n
1
- ，不符合題意，
2
則假設(shè)不成立，故 D 錯(cuò).
故選：BC
6．（2024·江西贛州·一模）已知等比數(shù)列 an 的前 n項(xiàng)和為 Sn , a3 18, S3 26，則（ ）
A． an > 0 B． Sn > 0
C．?dāng)?shù)列 an 為單調(diào)數(shù)列 D．?dāng)?shù)列 Sn 為單調(diào)數(shù)列
【答案】BC
ìq 3 ì 3 q -
【分析】根據(jù)條件得到 ía 或 2 í
4 ，再對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷，即可求出結(jié)果.
1 a1 32
【詳解】設(shè)數(shù)列 an 的首項(xiàng)為 a1，公比為q，
ìa q21 18 ìq 3
ì
q
3
-
由題有 ía + a q + a q2
，解得 或 4 ，
1 1 1 26
í
a1 2
í
a1 32
ì 3
q -
對(duì)于選項(xiàng) A，當(dāng) í 4 ， n為奇數(shù)時(shí)， an < 0，所以選項(xiàng) A 錯(cuò)誤，
a1 32
a (1 qn ) ìq
3
- - ìq 3
對(duì)于選項(xiàng) B，因?yàn)?S 1n ，當(dāng) í 4 ，顯然有 S > 0，當(dāng) 時(shí)，1 í- q n
a 32
a1 2
1
1- q < 0,1- qn < 0，所以 Sn > 0，故選項(xiàng) B 正確，
對(duì)于選項(xiàng) C，當(dāng) q 3時(shí)，數(shù)列 an 是首項(xiàng)為 2，公比為3的遞增數(shù)列，
當(dāng) q
3 3
- 時(shí)，數(shù)列 an 是首項(xiàng)為32，公比為 的遞減數(shù)列，所以選項(xiàng) C 正確，4 4
對(duì)于選項(xiàng) D，由選項(xiàng) B 知 Sn > 0，所以 Sn Sn，
ì 3 3 n
q - 32(1- (- ) ) 128
當(dāng) í 4 時(shí)， Sn 43 [1 (
3
- - )n ]，此時(shí) Sn 不具有單調(diào)性，所以選項(xiàng) D 錯(cuò)誤，
a
7 4
1 32 1+ 4
故選：BC.
三、填空題
7 *．（2024·江蘇南京·模擬預(yù)測）已知數(shù)列 an 滿足 a1 1,2an+1 - an + anan+1 0(n N ) ，則數(shù)
列 an 的通項(xiàng)公式為 ．
1
【答案】 an 2n -1
【分析】根據(jù)給定的遞推公式，利用構(gòu)造法求出通項(xiàng)即得.
【詳解】數(shù)列 an 中， a1 1， 2an+1 - an + anan+1 0 ，顯然 an 0 ，
1 2 1則有 × +1
1 1 1
a a ，即
+1 2( +1) +1 2
a a ，而 a ，n+1 n n+1 n 1
1
因此數(shù)列{ +1}a 是以 2 為首項(xiàng)，2 為公比的等比數(shù)列，n
1
所以 +1 2n
1
a ，即
an 2n
．
n -1
1
故答案為： an 2n -1
8．（2024·重慶·模擬預(yù)測）在正項(xiàng)等比數(shù)列 an 中， a1 16, a3 + a5 12，則 a2a4 LLa2n 的最
大值為 ．
【答案】 256
2 1 2
【分析】設(shè)等比數(shù)列 an 的公比為q，列出方程求得 q ，得到 - n +4n
2 a2a ×… × a 2
2 ，
4 2n
結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列 an 的公比為q(q > 0)，
因?yàn)?a1 16, a3 + a5 12，可得 a1q
2 + a q41 12 ，即16q2 +16q4 12 q
2
，解得 ，
2
n2
1 1- n2 +4n - (n-4)2 +8
所以 a2a4 ×… × a
n 1+3+L+(2n-1)
2n a1 q 2
4n 2× 2 ÷
2 2 *
÷ 2 2 ,n N ，
è
所以當(dāng) n 4時(shí)， a2a4 ×… × a2n取得最大值，最大值為 28 256．
故答案為： 256 .
9．（2024·北京·三模）已知等比數(shù)列 an 滿足： a2 < an < a1（ n 3,4,5, × × ×），請(qǐng)寫出符合上
述條件的一個(gè)等比數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式： ．
1 n-1 n-1
【答案】 an (- ) （答案不唯一， an a1q （ a1 > 0，-1 < q < 0））2
【分析】根據(jù)給定條件，可得 a1 > 0，公比 q (-1,0) ，再寫出數(shù)列 an 的一個(gè)通項(xiàng)公式即可.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列 an 的公比為q，由 a2 < an < a1， n 3,4,5, × × ×，得 a1 > 0，
顯然 a2 <| a3 |，即 a1q <| a
2 2
1q |< a1，于是 q < q <1，解得-1 < q < 0，
a n-1n a1q ，滿足 a2 < an < a1， n 3,4,5, × × ×，
a 1 1 n-1取 1 1, q - ， an (- ) .2 2
1 n-1
故答案為： an (- )2
四、解答題
10．（2023·河北滄州·模擬預(yù)測）在各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列 an 中， a1， a2 -1， a3 -1成等
比數(shù)列， a6 11．
(1)求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列 an
a
n S b n+1 5的前 項(xiàng)和為 n ， n S S ，證明：b1 + b2 +L+ b <2n-1 × n
．
2n+3 36
【答案】(1) an 2n -1
(2)證明過程見詳解
【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列 an 的公差為d ，結(jié)合題意求得d ，從而即可求得 a1，進(jìn)而即可求
得等差數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；
（2）結(jié)合（1）可得數(shù)列 an 的前 n項(xiàng)和為 Sn ，從而即可求得 bn 的通項(xiàng)公式，再根據(jù)裂項(xiàng)
相消即可證明結(jié)論．
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列 an 的公差為d ，
由已知得 a2 -1
2 a1 a3 -1 ，
即 a 21 + d -1 a1 a1 + 2d -1 ，
又 a6 a1 + 5d 11，解得 d 2（舍負(fù)），
則 a1 1，所以 an 2n -1．
n 1+ 2n -1
（2

）結(jié)合（1）得 Sn n
2，
2
b an+1 2n +1 1
é 1 1 ù
則 n ê - ú ， S2n-1 × S2n+3 2n -1 2 2n + 3 2 8 2ê 2n -1 2n + 3
2
ú
所以
1 é 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ùb1 + b2 +L+ bn ê1- 2 + 2 - 2 + 2 - 2 +L+ 2 - 2 + 2 - 2 ú8 ê 5 3 7 5 9 2n - 3 2n +1 2n -1 2n + 3 ú
1 é 1 1 1 ù
1+ 1 10 5ê
8 32
- 2 - 2 ú < ．
ê 2n +1 2n + 3 ú 8 9 36
11．（2024·貴州畢節(jié)·三模）在無窮數(shù)列 an 中，若對(duì)任意的 n N*，都存在m N* ，使得
a + a 2a *n n+2m n+m ，則稱 an 為 m 階等差數(shù)列.在正項(xiàng)無窮數(shù)列 bn 中，若對(duì)任意的 n N ，
都存在m N* ，使得bnb
2
n+2m bn+m ，則稱 bn 為 m 階等比數(shù)列．
b b b b 7(1)若數(shù)列 n 為 1 階等比數(shù)列， 1 + 2 + 3 ，b3 + b
7
4 + b5 ，求 bn 的通項(xiàng)公式及前 n2 8
項(xiàng)的和；
(2)若數(shù)列 ln cn 為 m 階等差數(shù)列，求證： cn 為 m 階等比數(shù)列；
(3)若數(shù)列 ln cn 既是 m 階等差數(shù)列，又是m +1階等差數(shù)列，證明： cn 是等比數(shù)列．
1 1
【答案】(1) bn 2n-2
， Sn 4 - 2n-2
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）由題意可知數(shù)列 bn 為正項(xiàng)等比數(shù)列，求出首項(xiàng)和公比，再根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)
公式和求和公式求解即可；
（2）由 ln cn 為 m 階等差數(shù)列，所以對(duì)任意的 n N*，都存在m N* ，可得
c c c 2n n+2m n+m ，即可證明；
（3）由數(shù)列 ln cn 既是 m 階等差數(shù)列，又是m +1階等差數(shù)列，可得 cn ， cn+m+1， cn+2m+2成
cn+m+1 q 0 cn+m+1等比，cn+1， cn+m+1， cn+2m+1成等比，設(shè) 1 > ， q2 > 0c c ，即可證明.n n+1
【詳解】（1）因?yàn)?bn 為 1 階等比數(shù)列，所以 bn 為正項(xiàng)等比數(shù)列，
設(shè)公比為q，則q為正數(shù)，
ì b 1+ q + q2 7 1 2 1
由已知得 í q2
b q2 1 q q2 7
，解得 ，
+ + 4
1
8
1
因?yàn)閝 > 0 ，所以 q ，所以b 2，
2 1
所以 bn n-1
1 1
的通項(xiàng)公式為bn b1q 2 n-1 n-2 ，2 2
1
b 1- qn 2

1-

n ÷
前 n 項(xiàng)的和為 S 1 è 2 4 1n - n-2 ；1- q 1 1- 2
2
（2）因?yàn)?ln cn 為 m 階等差數(shù)列，所以對(duì)任意的 n N*，都存在m N* ，
使得 ln cn + ln cn+2m 2ln cn+m 成立，
2
所以 ln cn ×cn+2m ln cn+m ，
2
即 cncn+2m cn+m ，所以 cn 為 m 階等比數(shù)列；
（3）因?yàn)?ln cn 既是 m 階等差數(shù)列，又是m +1階等差數(shù)列，
所以對(duì)"n N*，有 ln cn + ln cn+2m 2ln cn+m 與 ln cn + ln cn+2(m+1) 2ln cn+m+1同時(shí)成立，
2
所以 cncn+2m cn+m 與 cncn+2(m+1) cn+m+1
2
同時(shí)成立，
所以 cn ， cn+m ， cn+2m 成等比， cn ， cn+m+1， cn+2m+2成等比，
由 cn ， cn+m ， cn+2m 成等比，得cn+1， cn+m+1， cn+2m+1也成等比，
cn+m+1 cn+m+1
設(shè) q1 > 0， q2 > 0c c ，n n+1
cn+1 q 1所以 > 0 "n N* cc q ，所以數(shù)列 n 是等比數(shù)列.n 2
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：新定義題型的特點(diǎn)是通過給出一個(gè)新的概念來創(chuàng)設(shè)全新的問題情境，要
求學(xué)生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息遷移，
達(dá)到靈活解題的目的，遇到新定義的問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義，弄清新定義的性質(zhì)，
按新定義的要求運(yùn)算求解考點(diǎn) 36 等比數(shù)列（3 種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜合提升練+
拓展沖刺練）
【考試提醒】
1.理解等比數(shù)列的概念.
2.掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前 n 項(xiàng)和公式.
3.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．
【知識(shí)點(diǎn)】
1．等比數(shù)列有關(guān)的概念
(1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第 項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于 常數(shù)，
那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的 ，公比通常用字母 q(q≠0)
表示.
(2)等比中項(xiàng)：如果在 a 與 b 中間插入一個(gè)數(shù) G，使 成等比數(shù)列，那么 G 叫做 a
與 b 的等比中項(xiàng)，此時(shí)，G2＝ .
2．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前 n 項(xiàng)和公式
(1)若等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為 a1，公比是 q，則其通項(xiàng)公式為 an＝ .
(2)等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推廣：an＝amqn－m.
(3)等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式：當(dāng) q＝1 時(shí)，Sn＝na1；當(dāng) q≠1 時(shí)，Sn＝ ＝ .
3．等比數(shù)列性質(zhì)
(1)若 m＋n＝p＋q，則 ，其中 m，n，p，q∈N*.特別地，若 2w＝m＋n，
則 ，其中 m，n，w∈N*.
(2)a *k，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數(shù)列，公比為 (k，m∈N )．
pan
(3)若數(shù)列{an}，{bn}是兩個(gè)項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，則數(shù)列{an·bn}，{pan·qbn}和{ 也是qbn }
等比數(shù)列(b，p，q≠0)．
(4)等比數(shù)列{an}的前 n 項(xiàng)和為 Sn，則 Sn， ， 仍成等比數(shù)列，其公比
為 qn.(n 為偶數(shù)且 q＝－1 除外)
(5) {a1 > 0，若 q > 1 {
a1 < 0，
或 0 < q < 1 則等比數(shù)列{an}遞 ．，
{a1 > 0， {a1 < 0，若 0 < q < 1 或 q > 1 則等比數(shù)列{an}遞 ．，
常用結(jié)論
1．等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式可以寫成 an＝cqn，這里 c≠0，q≠0.
2．等比數(shù)列{an}的前 n 項(xiàng)和 Sn可以寫成 S nn＝Aq －A(A≠0，q≠1,0)．
3．?dāng)?shù)列{an}是等比數(shù)列，Sn是其前 n 項(xiàng)和．
T2n T3n
(1)若 a1·a2·…·an＝Tn，則 Tn， ， ，…成等比數(shù)列．Tn T2n
S 偶 S 奇－a1 S 偶
(2)若數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為 2n，則 ＝q；若項(xiàng)數(shù)為 2n＋1，則 ＝q，或 ＝qS 奇 S 偶 S 奇－an
【核心題型】
題型一　等比數(shù)列基本量的運(yùn)算
等比數(shù)列基本量的運(yùn)算的解題策略
(1)等比數(shù)列中有五個(gè)量 a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)可迎刃
而解．
(2)解方程組時(shí)常常利用“作商”消元法．
(3)運(yùn)用等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式時(shí)，一定要討論公比 q＝1 的情形，否則會(huì)漏解或增解．
【例題 1】（2024·廣東東莞·模擬預(yù)測）等差數(shù)列 an 和等比數(shù)列 bn 都是各項(xiàng)為正實(shí)數(shù)的無
窮數(shù)列，且 a1 b1 ， a2 b2， an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn ， bn 的前 n 項(xiàng)和為Tn ，下列判斷正確的
是（ ）
A． an 是遞增數(shù)列 B． bn 是遞增數(shù)列
C． Sn > Tn D． Sn Tn
【變式 1】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知正項(xiàng)等比數(shù)列 an 的前三項(xiàng)和為 28 且
a3 4，則 a8 （ ）
A 1
1 1 1
． 2 B． C． D．4 8 16
【變式 2】（2024·上海·三模）數(shù)列 an 滿足 an+1 2an（ n為正整數(shù)），且 a2與 a4的等差中項(xiàng)
是 5，則首項(xiàng) a1
【變式 3】（2024·四川遂寧·三模）等比數(shù)列 an 中， a1 1， a5 4a3 ．
(1)求 an 的通項(xiàng)公式：
(2)記 Sn 為 an 的前 n 項(xiàng)和，若 Sm 31，求 m．
題型二　等比數(shù)列的判定與證明
等比數(shù)列的三種常用判定方法
an＋1 an
(1)定義法：若 ＝q(q 為非零常數(shù)，n∈N*)或 ＝q(q 為非零常數(shù)且 n≥2，n∈N*)，則{a }
an a
n
n－1
是等比數(shù)列．
(2)等比中項(xiàng)法：若數(shù)列{an}中，an≠0 且 a2n＋1＝an·an＋2(n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列．
(3)前 n 項(xiàng)和公式法：若數(shù)列{an}的前 n 項(xiàng)和 Sn＝k·qn－k(k 為常數(shù)且 k≠0，q≠0,1)，則{an}
是等比數(shù)列
*
【例題 2】（2023·天津和平·三模）已知數(shù)列 an 滿足 a1 1， an+1 2an +1 n N ， Sn 是數(shù)
列 an 的前 n項(xiàng)和，則 S9 （ ）
A． 29 -10 B． 29 -11 C． 210 -10 D． 210 -11
【變式 1】（2024·寧夏銀川·二模）已知數(shù)列{an}滿足 a1 1，a2 4 ，3an+2 + an 4an+1，則下
列是等比數(shù)列的是（ ）
A．{an + 3} B．{an - 3} C． an+1 + an D． an+1 - an
【變式 2】（2023·四川內(nèi)江·一模）數(shù)列 an 中， a1 2， am+n aman ，若 ak +1 1024，則
k .
【變式 3】（2024·四川成都·模擬預(yù)測）記數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn ，已知
2Sn n
2 + an + a1 -1．
(1)若 a1 1，證明： an - n 是等比數(shù)列；
1
(2)若 a2是 a1和a3的等差中項(xiàng)，設(shè)bn b Tana
，求數(shù)列 n 的前 n 項(xiàng)和為 n ．
n+2
題型三　等比數(shù)列的性質(zhì)
(1)等比數(shù)列的性質(zhì)可以分為三類：一是通項(xiàng)公式的變形，二是等比中項(xiàng)的變形，三是前 n
項(xiàng)和公式的變形，根據(jù)題目條件，認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破
口．
(2)巧用性質(zhì)，減少運(yùn)算量，在解題中非常重要
【例題 3】（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列 an 中，已知 a2 >1，其
前 n項(xiàng)之積為Tn ，且T20 T10 ，則Tn 取得最大值時(shí)，則 n的值為（ ）
A．15 B．16 C． 29 D．30
【變式 1】（2024·海南·模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列 an 的公比為3, a2 + a4 12，則 a5 - a1
（ ）
A．20 B．24 C．28 D．32
【變式 2】（23-24 高三上 ·云南昆明 ·開學(xué)考試）設(shè) an 是等比數(shù)列，且 a1 + a4 7 ，
a3 + a6 21，則a7 +a10 .
【變式 3】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列 an a n-1，滿足 1 + 2a2 + ×××+ 2 an 1024n．
(1)若Tn 是數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)積，求Tn 的最大值；
(2)抽去數(shù)列 an 的第 3，6，9，…，3m，…項(xiàng)，余下的項(xiàng)順序不變，構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列 tn ，
求數(shù)列 tn 的前 2023 項(xiàng)和 S2023．
【課后強(qiáng)化】
【基礎(chǔ)保分練】
一、單選題
1．（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測）已知數(shù)列 an a2滿足 n+1 anan+2 ，若 a2 1，a8 9，則 a5
（ ）
A．-3 B． ±3 C．3 D．5
2．（2024·安徽滁州·三模）已知 an 是單調(diào)遞增的等比數(shù)列， a4 + a5 24, a3a6 128，則公比
q的值是（ ）
A．2 B．-2 C．3 D．-3
3．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）已知“正項(xiàng)數(shù)列 an 滿足a nn+1 × an 4 ”，則“ a2 2a1 ”是“數(shù)列 an
為等比數(shù)列”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
4．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知在正項(xiàng)等比數(shù)列 a an 中， a2a4 16，且 a ,10, 63 成等差數(shù)2
列，則 a1 + a4 + a7 （ ）
A．157 B．156 C．74 D．73
二、多選題
5．（2024·江西·模擬預(yù)測）已知-1,2,8是等比數(shù)列 an 的前 5 項(xiàng)中的其中 3 項(xiàng)，且 a2 > 0，
則 an 的前 7 項(xiàng)和可能為（ ）
43 43
A．-43 -
43
B． C． D．
4 6 2
6．（23-24 高三下·福建·開學(xué)考試）在前 n 項(xiàng)和為 Sn 的正項(xiàng)等比數(shù)列 an 中， a1a4 8，
log a
a3 a2 + 2 b
2 n
， n S +1 ，則（ ）n
A． a6 - 4a5 -48 B． S7 127
C． Sn 2an -1 D．?dāng)?shù)列 bn 中的最大項(xiàng)為b2
三、填空題
7．（2024·河北保定·二模）在等比數(shù)列 an 中， a1a3a5 a2a6 , a4a13 -27 ，則 a6 ．
8．（2024·黑龍江哈爾濱·三模）在等比數(shù)列 an 中， a3 2, a11 8，則 a7 .
9．（2023·全國·模擬預(yù)測）設(shè) Sn 是數(shù)列 an 的前 n項(xiàng)和， Sn 2an + n - 3，令
bn log4 an -1 ，則數(shù)列 bn 的前 121 項(xiàng)和為 .
四、解答題
10．（2022·江西新余·二模）已知數(shù)列 an 是遞增的等差數(shù)列， a2 3，若 a1， a3 - a1， a8 + a1
成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；
a ì 8b ü(2) n若b nn 3 ，數(shù)列 í 的前 n 項(xiàng)和 S ，求
S .
bn + 2 b
n n
n+1 + 2
11．（23-24 高二下·河南·期中）已知數(shù)列 an 的首項(xiàng) a1 3，且 an+1 - 2an +1 0.
(1)證明: an -1 是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列 an log2 an -1 的前 n項(xiàng)和Tn .
【綜合提升練】
一、單選題
1．（2023·四川巴中·模擬預(yù)測）在等比數(shù)列 an 中， a1 + a3 2，a5 + a7 18，則 a3 + a5
（ ）
A．3 B．6 C．9 D．18
2．（2023·河南駐馬店·二模）設(shè)等比數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)之積為 Sn，若 S3 1， S9 512 ，則
a11=（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
3．（2024·浙江·三模）已知數(shù)列 an 滿足 a1 2，則“ an 為等比數(shù)列”是“ am ×an am+n（"m ，
n N* ）”的（ ）
A．充分條件但不是必要條件 B．必要條件但不是充分條件
C．充要條件 D．既不是充分條件也不是必要條件
1 a
4 n．（2024·湖北黃岡·模擬預(yù)測）已知數(shù)列 an 的首項(xiàng) a1 ，且滿足 an+1 2 - a ，若2 n
1 1 1 1
+ + + ××× + < 1000 n
a1 a a a
，則滿足條件的最大整數(shù) （ ）
2 3 n
A．8 B．9 C．10 D．11
5．（2024·寧夏石嘴山·三模）已知數(shù)列 an 是等比數(shù)列，且a2a3a4 64,則 log2 a3 的值為
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2024·山東聊城·一模）已知數(shù)列 an 滿足 an+1 3an + 2，則“ a1 -1”是“ an 是等比數(shù)
列”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
7．（2024· *陜西西安·模擬預(yù)測）等差數(shù)列 an 的前項(xiàng) n和為 Sn ，且 an N ，數(shù)列 bn 為等比
數(shù)列，則下列說法錯(cuò)誤的選項(xiàng)是（ ）
A a．?dāng)?shù)列 2 n 一定是等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列 ba 一定是等比數(shù)列n
ìS ü
C n．?dāng)?shù)列 í 一定是等差數(shù)列 D．?dāng)?shù)列 bn + bn n+1 一定是等比數(shù)列
8．（2024· 3 2 2陜西商洛·模擬預(yù)測）設(shè)等比數(shù)列 an 中，a3，a7使函數(shù) f x x + 3a3x + a7 x + a3
在 x=-1時(shí)取得極值 0 ，則 a5 的值是（ ）
A．± 3 或±3 2 B． 3或3 2
C．±3 2 D．3 2
二、多選題
9．（2024·江西·三模）已知數(shù)列 an 滿足 a1 1, an+1 2an +1，則（ ）
A．?dāng)?shù)列 an 是等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列 log2 an +1 是等差數(shù)列
C．?dāng)?shù)列 an 的前 n項(xiàng)和為 2n+1 - n - 2 D． a20 能被 3 整除
10．（2024· 2遼寧大連·一模）已知遞增等比數(shù)列 an 的公比為q，且滿足 a3 + 3a4 a5，下列
情況可能正確的是（ ）
q = 2 q 1A． B． C． a4 -1 D． a4 20242
11．（2024·浙江紹興·二模）已知數(shù)列{an}與{bn}滿足 a1 1，且 an+1 2an +1(n N
*)，
bn log2 (an +1) .若數(shù)列{an}保持順序不變，在 a kk 與 ak +1項(xiàng)之間都插入 2 個(gè)bk 后，組成新數(shù)列
{cn}，記{cn}的前 n項(xiàng)和為 Sn ，則（ ）
A． a nn+1 2 B．bn n
C． c2024 10 D． S2024 20150
三、填空題
12．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知數(shù)列 an 為各項(xiàng)均不相等的等比數(shù)列，其前 n項(xiàng)和為
S
Sn ，且3a2 , 2a3 ,a
3
4 成等差數(shù)列，則 a .4
13 n *．（2024·湖南邵陽·一模）已知數(shù)列 an 的首項(xiàng)為1， anan+1 3 n N ，則 a8 .
1
14．（2024·上海·三模）無窮等比數(shù)列 an 滿足： a1 + a2 1， a3 + a4 ，則 an 的各項(xiàng)和4
為 ．
四、解答題
15．（2023·山東威海·二模）已知 2n＋2 個(gè)數(shù)排列構(gòu)成以 qn qn >1 為公比的等比數(shù)列，其中
第 1 個(gè)數(shù)為 1，第 2n＋2 個(gè)數(shù)為 8，設(shè) an log2 qn．
ì 1 ü
(1)證明：數(shù)列 í 是等差數(shù)列；
an
π π
(2)設(shè)bn tan tana a ，求數(shù)列 bn 的前 100 項(xiàng)和 S100 ．n n+1
16．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）已知數(shù)列 an 滿足 a1 1, a2 1, 當(dāng) n 3時(shí)，
ìa + a ,n為奇數(shù)
an
n-1 n-2
í
2an-2 +1, n為偶數(shù)
(1)求 a4和 a6，并證明當(dāng) n為偶數(shù)時(shí) an +1 是等比數(shù)列；
(2)求a1 +a3 +a5 +......+a29
17．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知公比大于 1 的等比數(shù)列 an 滿足： a2 + a3 + a4 28，且
a3 + 2是 a2和 a4的等差中項(xiàng)．
(1)求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；
(2)若bn an × log0．5an，求 bn 的前 n項(xiàng)和 Sn ．
18．（2024·青海海南·二模）已知數(shù)列 an 的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前 n項(xiàng)和為 Sn , Sn 是等比數(shù)
列，a3 a1a2 ,2S5 a6 .
(1)求數(shù)列 Sn 的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)bn an × log3 Sn ，求數(shù)列 bn 的前 n項(xiàng)和Tn .
19．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列 an 的首項(xiàng)為 1，前 n 項(xiàng)和為 Sn ，且 Sn 2Sn-1 +1，其
中 n 2．
(1)求證：數(shù)列 an 是等比數(shù)列；
1 1 1 1 1
(2)當(dāng) n 2時(shí)，求證： + + + ×××+ < 2 1-S n ÷．1 S2 S3 Sn è 2
【拓展沖刺練】
一、單選題
1．（2024·山東菏澤·二模）已知 an 是等差數(shù)列，a1 3,a4 12，在數(shù)列 bn 中
b1 4,b4 20，若 bn - an 是等比數(shù)列，則b2024 的值為（ ）
A．6072 B． 22023
C．22023 + 6072 D．22023 - 6072
2．（2024·山東濟(jì)南·三模）已知 an 是等比數(shù)列，且 a2a7 -a8 -4a4，則a3 （ ）
A．- 2 B．± 2 C．-2 D．±2
3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列 an 的前 n項(xiàng)和為
Sn , a
2
n -1 an-1 -1 an+1 -1 n 2 ,a1 2, a2 3，則 S8 （ ）
A．127 B．135 C．255 D．263
4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列 an 滿足 a1 1, a2 1,an+1 2an + 3an-1 n 2 ，數(shù)列 an
的前 n項(xiàng)和為 Sn ，則S2023 （ ）
32024 -1 32024 - 4 32025A B C - 2 3
2023 +1
． ． ． D．
2 8 2 4
二、多選題
5．（2023· 2 2 2江蘇鹽城·三模）已知數(shù)列 an 對(duì)任意的整數(shù) n 3，都有 n an-2an+2 n - 4 an ，
則下列說法中正確的有（ ）
A．若 a2 2, a4 2 ，則 a6 2
B．若 a1 1， a3 3，則 a2n+1 2n +1 n N
C．?dāng)?shù)列 an 可以是等差數(shù)列
D．?dāng)?shù)列 an 可以是等比數(shù)列
6．（2024·江西贛州·一模）已知等比數(shù)列 an 的前 n項(xiàng)和為 Sn , a3 18, S3 26，則（ ）
A． an > 0 B． Sn > 0
C．?dāng)?shù)列 an 為單調(diào)數(shù)列 D．?dāng)?shù)列 Sn 為單調(diào)數(shù)列
三、填空題
7．（2024·江蘇南京· *模擬預(yù)測）已知數(shù)列 an 滿足 a1 1,2an+1 - an + anan+1 0(n N ) ，則數(shù)
列 an 的通項(xiàng)公式為 ．
8．（2024·重慶·模擬預(yù)測）在正項(xiàng)等比數(shù)列 an 中， a1 16, a3 + a5 12，則 a2a4 LLa2n 的最
大值為 ．
9．（2024·北京·三模）已知等比數(shù)列 an 滿足： a2 < an < a1（ n 3,4,5, × × ×），請(qǐng)寫出符合上
述條件的一個(gè)等比數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式： ．
四、解答題
10．（2023·河北滄州·模擬預(yù)測）在各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列 an 中， a1， a2 -1， a3 -1成等
比數(shù)列， a6 11．
(1)求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列
a
an 的前 n n+1
5
項(xiàng)和為 Sn ，bn S × S ，證明：b1 + b2 +L+ bn < ．2n-1 2n+3 36
11．（2024·貴州畢節(jié)·三模）在無窮數(shù)列 an 中，若對(duì)任意的 n N*，都存在m N* ，使得
an + an+2m 2an+m ，則稱 an 為 m 階等差數(shù)列.在正項(xiàng)無窮數(shù)列 bn 中，若對(duì)任意的 n N*，
2
都存在m N* ，使得bnbn+2m bn+m ，則稱 bn 為 m 階等比數(shù)列．
(1)若數(shù)列 b 7 7n 為 1 階等比數(shù)列，b1 + b2 + b3 ，b3 + b4 + b5 ，求 b 的通項(xiàng)公式及前 n2 8 n
項(xiàng)的和；
(2)若數(shù)列 ln cn 為 m 階等差數(shù)列，求證： cn 為 m 階等比數(shù)列；
(3)若數(shù)列 ln cn 既是 m 階等差數(shù)列，又是m +1階等差數(shù)列，證明： cn 是等比數(shù)列．

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