資源簡介

培優點 01 函數性質的綜合應用（4 種核心題型+基礎保分練+
綜合提升練+拓展沖刺練）
【考試提醒】
函數性質的綜合應用是歷年高考的一個熱點內容，經常以客觀題出現，通過分析函數的
性質特點，結合圖象研究函數的性質，往往多種性質結合在一起進行考查．
【核心題型】
題型一　函數的奇偶性與單調
(1)解抽象函數不等式，先把不等式轉化為 f(g(x))>f(h(x))，利用單調性把不等式的函數符號
“f”脫掉，得到具體的不等式(組)．
(2)比較大小，利用奇偶性把不在同一單調區間上的兩個或多個自變量的函數值轉化到同一
單調區間上，進而利用其單調性比較大?。?br/>【例題 1】（2024·吉林長春· x - x模擬預測）已知函數 f x = 3 - 3 ，則不等式的解集為 （ ）

A． - ,
1 1 1
÷ 1, +

B． - , ÷ C． ，1

÷ D． 1，+
è 3 è 3 è 3
【變式 1】（2024·遼寧大連·一模）設函數 f (x) = sin πx + e3x-3 - e3-3x - x + 3則滿足
f (x) + f (3 - 2x) < 4 的 x 的取值范圍是（ ）
A． (3, + ) B． (- ,3) C． (1, + ) D． (- ,1)
【變式 2】（2024 高三·全國·專題練習）已知定義在 R 上的函數 f (x) ，其導函數為 f (x) ．若
f (x) = f (-x) - 2sin x ，且當 x 0 時，有 f (x) + cos x > 0成立，則不等式
f x
p
+ ÷ > f (x) + sin x - cos x 的解集為（ ）
è 2

A． - ,
p p p p
÷ B． ,+

÷ C． - , ÷ D． - ,+

2 2 4 4 ÷è è è è
【變式 3】（2024·全國·模擬預測）已知定義在 - ,0 U 0, + 上的函數 f x ，對于定義域
內任意的 x，y，都有 f xy = f x + f y ，且 f x 在 0, + 上單調遞減，則不等式
x +1f x < log2 的解集為 .2
題型二　函數的奇偶性與周期性
周期性與奇偶性結合的問題多考查求函數值、比較大小等，常利用奇偶性和周期性將所求函
數值的自變量轉化到已知解析式的函數定義域內，或已知單調性的區間內求解．
【例題 1】（2024·內蒙古赤峰·一模）已知 f x 是定義在 R 上的偶函數，且周期T = 6 .若當
x -3,0 時， f (x) = 4- x ，則 f 2024 =（ ）
1 1
A．4 B．16 C． D．
16 4
【變式 1】（多選）（2024·重慶·模擬預測）已知定義在 R 上的奇函數 f x 滿足：
f x + 2 = f x + f -1 ，則（ ）
A． f 1 1 3= 0 f + f B． ÷ = 0
è 2 è 2 ÷
C． f x + 4 = - f x f x f 1 D． ÷
è 2
【變式 2】（多選）（2024·湖南邵陽·二模）已知函數 f x 在R 上可導，且 f x 的導函數為
g x .若 f x = 4 - f x + 2 , g 2x -1 為奇函數，則下列說法正確的有（ ）
A． g 1 = 0 B． f 2 = 0
2024
C． f 2 = f 8 D． f (i) = 4048
i=1
【變式 3】（2024 高三·全國·專題練習）已知定義在R 上的函數 f x 對任意 x, y R 均有：
f x + y + f x - y = 2 f x f y 且 f x 不恒為零.則下列結論正確的是 .① f 0 = 0；
② f 0 =1；③ f 0 = 0或 f 0 =1；④函數 f x 為偶函數；⑤若存在實數 a 0使
f a = 0，則 f x 為周期函數且 2a 為其一個周期.
題型三　函數的奇偶性與對稱性
由函數的奇偶性與對稱性可求函數的周期，常用于化簡求值、比較大小等．
【例題 1】（23-24 高三下·上?！るA段練習）已知函數 f (x) 及其導函數 f (x)的定義域均為R ，
記 g(x) = f (x)
3
．若 f ( - 2x)， g(2 + x) 均為偶函數，則（ ）
2
1
A． f (0) = 0 B． g(- ) = 0 C． f -2 = f 1 D． g -1 = g 2
2
【變式 1】（多選）（2024 高三·全國·專題練習）關于函數 f（x）＝x|x|＋px＋q，下列命題正
確的是（　?。?br/>A．當 q＝0 時，f（x）為奇函數
B．y＝f（x）的圖象關于點（0，q）對稱
C．當 p＝0，q＞0 時，方程 f（x）＝0 有且只有一個實數根
D．方程 f（x）＝0 至多有兩個實數根
【變式 2】（多選）（23-24 高三下·重慶·階段練習）函數 f x 的定義域為 R，且滿足
f x + y + f x - y = 2 f x f y ， f 4 = -1，則下列結論正確的有（ ）
A． f 0 = 0 B． f 2 = 0
C． f x 為偶函數 D． f x 的圖象關于 1,0 對稱
【變式 3】（2024·河南·一模）已知函數 f x 及其導函數 f x 的定義域均為 R，記
g x = f x .且 f 1- 3x + f 3x -1 = 0， g(1+ x) + g(1- x) = 0，當 x 0,1 ， f (x) sin π= x ，
2
2024
則 f (i) = .（用數字作答）
i=1
題型四　函數的周期性與對稱性
函數的奇偶性、對稱性、周期性和單調性是函數的四大性質，在高考中常常將它們綜合在一
起命題，解題時，往往需要借助函數的奇偶性、對稱性和周期性來確定另一區間上的單調性，
即實現區間的轉換，再利用單調性解決相關問題．
【例題 1】（2024·河北滄州·一模）已知定義在R 上的函數 f x 滿足：
2024
f x + f 2 - x = 2, f x - f 4 - x = 0，且 f 0 = 2 ．若 i N* ，則 f (i) =（ ）
i=1
A．506 B．1012 C．2024 D．4048
【變式 1】（23-24 高三下·重慶·階段練習）已知函數 f x 的定義域是R ，
f 3 + x ÷ = f
3
- x ÷， f x + f 6 - x = 0
3
，當0 x 時， f x = 4x - 2x22 ，則è è 2 2
f 2024 = ．
【變式2】（2024·全國·模擬預測）寫出一個同時滿足下列三個條件的函數 f x 的解析式 ．
① f x = - f x + 2 ；
② f x +1 = f 1- x ；
③ f x 的導數為 f x 且 f x = f -x ．
【變式3】（23-24高三下·陜西·開學考試）已知定義在R 上的函數 f x +1 為奇函數， f x + 2
為偶函數，當 x 0,1 時， f x = 3x3 - 3x，則方程 f x = -1在 0,99 上的實根個數
為 ．
【課后強化】
基礎保分練
一、單選題
2
1．（2023· 2河南信陽·三模）已知函數 f x = log2 x + x +1 +1- x ，則對任意實數2 +1
a,b,a + b > 0是 f a + f b > 0 （ ）
A．充分必要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．不充分且不必要條件
2 - x．（2024 高三·全國·專題練習）已知函數 f x = e ，則使得 f 2a < f a -1 成立的正實數 a
的取值范圍是（ ）
1 ,+ é1 1A． ÷ B． ,+

÷ C． 0,1 D． 0, ÷
è 3 ê 3 è 3
3．（23-24 高三上·遼寧遼陽·期末）已知 f x +1 是偶函數， f x 在 1, + 上單調遞增，
f 0 = 0，則不等式 x +1 f x > 0的解集為（ ）
A． 1, + B． 2, +
C． -2,0 0,2 D． -1,0 2, +
4．（2024·山東濟寧·一模）設函數 f (x) 定義域為R ， f (2x -1)為奇函數， f (x - 2)為偶函數，
當 x [0,1]時， f (x) = x2 -1，則 f (2023) - f (2024) =（ ）
A． -1 B．0 C．1 D．2
二、多選題
5．（23-24 高三下·海南省直轄縣級單位·開學考試）已知定義域為R 的函數 f (x) 對任意實數
x, y f (x) f (y) f ( x + y ) f ( x - y都有 + = ) ，且 f (0) 0, f (1) = 1，則下列說法正確的是（ ）
2 2
A． f (0) = 3
B． f (x) = f (-x)
1
C．函數 f (x) 的圖象關于點 ( ,0)對稱
2
D． f (1) + f (2) +L+ f (2024) = 0
1
6．（2024·廣東·一模）已知偶函數 f (x)

的定義域為R ， f x +1

÷為奇函數，且 f (x) 在 0,1
è 2
上單調遞增，則下列結論正確的是（ ）
A． f
3 4 2024
- ÷ < 0 B． f ÷ > 0 C． f (3) < 0 D． f ÷ > 0
è 2 è 3 è 3
7．（23-24 高三下·重慶·階段練習）已知函數 f x = sin x - cos x + sin 2x ，則下列選項正確的
是（ ）
A． π是函數 f x 的一個周期
x πB． = - 是函數 f x 的一條對稱軸
4
5
C．函數 f x 的最大值為 ，最小值為
4 2 -1
é 3 5
D．函數 f x 在 ê π, π
ù
ú 上單調遞減 4 4
8．（23-24 高三下·遼寧·開學考試）已知函數 y = f x 是 R 上的奇函數，對于任意 x R ，都
有 f x + 4 = f x + f 2 成立，當 x 0,2 時 f x = 2x -1，則下列結論中正確的是（ ）
A． f 0 = 0 B．函數 y = f x 在 -6, -2 上單調遞增
C．函數 y = f x 在 -6,6 上有 3 個零點 D．點 4,0 是函數 y = f x 的圖象的一個對稱
中心
三、填空題
9．（2024·貴州畢節·模擬預測）定義在R 上的可導函數 f x 滿足 f x < 3，若
f 2m - f m -1 3m + 3，則m 的取值范圍為 ．
10．（2024·寧夏銀川·一模）已知 f x +1 是偶函數， f x 在 1, + 上單調遞增， f 0 = 0，
則不等式 x +1 f x > 0的解集為 .
四、解答題
11 2024 · · R f(x) -2
x + b
．（ 高三 全國 專題練習）已知定義域為 的函數 ＝ x+1 是奇函數．2 + a
(1)求實數 a，b 的值；
(2)求證：函數 f(x)在(－∞，＋∞)上是單調遞減函數；
(3)若對任意的 t∈R，不等式 f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0 恒成立，求實數 k 的取值范圍
綜合提升練
一、單選題
1．（2024·陜西西安·一模）已知定義在R 上的奇函數 f x 滿足 f x = f x + 2 ，則以下說法
錯誤的是（ ）
A． f 0 = 0
B． f x 是周期函數，且 2 是其一個周期
C． f 2025 =1
D． f 3 = f 4 + f 5
2．（2024·廣西南寧·一模）已知函數 f x 的定義域為 R, f x + y f x - y = f 2 x - f 2 y ，
且當 x > 0時， f x > 0，則（ ）
A． f 0 =1 B． f x 是偶函數 C． f x 是增函數 D． f x 是周期函數
3．（2024·云南貴州·二模）若函數 f x 的定義域為R 且圖象關于 y 軸對稱，在 0，+ 上是
增函數，且 f -3 = 0，則不等式 f x < 0 的解是（ ）
A． - ，- 3 B． 3，+
C． -3，3 D． - ，- 3 3，+
4．（2024·廣東·一模）已知 f (x) = 2|x| + x2 ，若 f (a) < 3，則（ ）
A． a (1,+ ) B． a (-1,1) C．a (- ,1) D． a (0,1)
2 25．（2024·四川成都·二模）已知函數 f x = ln x + x +1 - x ，且 f x1 + f x + 2 < 0，2 +1 2
則（ ）
A． x1 + x2 < 0 B． x1 + x2 > 0 C． x1 + x2 > -2 D． x1 + x2 < -2
6．（2024·四川·模擬預測）已知函數 y = f x - 2 的圖象關于直線 x = 2對稱，對任意的
x R ，都有 f x + 3 = f x -1 成立，且當 x -2,0 時， f x = -x，若在區間 -2,10 內方
程 f x - loga x + 2 = 0 有 5 個不同的實數根，則實數 a的取值范圍為（ ）
A． 2,2 2 B． 2,2 2ù C． 2 2,2 3 D． 2 2,2 3ù
7．（23-24 高三上·四川·階段練習）已知函數 f x 及其導函數 f x 的定義域均為R ，且
27
f x -1 為奇函數， f 2 - x + f x = -2， f -1 = -2，則 f 2i -1 = （ ）
i=1
A． -28 B．-26 C．-24 D．-22
8．（23-24 高三下·北京西城·開學考試）函數 f x 及其導數 f x 的定義域均為R ，記
g x = f x ，若 f 1- x 和 g x + 2 都是偶函數，則（ ）
A． f x 是奇函數 B． f x 是偶函數
C． g x 是奇函數 D． g x 是偶函數
二、多選題
9．（2024 高三·全國·專題練習）(多選)已知函數 f(x)＝2x－2－x＋1，則下列說法正確的是
（ ）
A．函數 f(x)是奇函數
B．函數 f(x)是偶函數
C．函數 f(x)在 R 上是增函數
D．函數 f(x)的圖象的對稱中心是(0，1)
10．（2024·海南省直轄縣級單位·一模）已知定義在R 上的奇函數 f x ，滿足
f 2x -1 = f 3 - 2x ，當 x 0,1 時， f x = x，則下列結論正確的是（ ）
A．函數 f x 的最小正周期為 6 B．函數 f x 在 2024,2025 上遞增
22
C． f k =1 D．方程 f x = log5 x 有 4 個根
k =1
11．（2024·安徽池州·二模）已知函數 f x 的定義域為R, f x +1 是奇函數，且"x R ，恒
有 f f x = x，當 x a,1 時（其中 0 < a < 1）， f x = aloga x + b .若 f 0 + f
7 3
4 ÷
= ，則
è 4
下列說法正確的是（ ）
A． f x 圖象關于點 1,0 對稱
B． f x 圖象關于點 0,1 對稱
C．4a + b = 1
1
D． f - ÷ = 2
è 8
三、填空題
12．（2023·廣東·二模）設奇函數 f x 的定義域為R ，且 f x +1 是偶函數，若 f 1 = 7 ，則
f 2023 + f 2024 = .
13．（23-24 高三下·安徽·階段練習）若函數 f x + 2 為偶函數， y = g x +1 -5是奇函數，且
f 2 - x + g x = 2 ，則 f 2023 = .
14．（2024 高一·全國·專題練習）定義R 上單調遞減的奇函數 f (x) 滿足對任意 t R ，若
f (t 2 - 2t) + f (2t 2 - k) < 0恒成立，求 k 的范圍 .
四、解答題
ax + b
15．（23-24 高三上·河南周口·期末）已知函數 f x = 2 是定義在 -1,1 上的函數，1+ x
f -x = - f x 1 2恒成立，且 f ÷ = .
è 2 5
(1)確定函數 f x 的解析式，并用定義研究 f x 在 -1,1 上的單調性；
(2)解不等式 f x -1 + f x < 0 .
16．（23-24 高三上·山西晉中·開學考試）設 f x 是定義在 R 上的奇函數，且對任意實數 x，
恒有 f x + 2 = - f x 2，當 x 0,2 時， f x = 2x - x ．
(1)求證： f x 是周期函數；
(2)當 x 2,4 時，求 f x 的解析式；
(3)計算 f 0 + f 1 + f 2 + ×× × + f 2023 ．
17．（23-24 高三上·甘肅天水·階段練習）設函數 f x 對任意 x、 y R，都有
f x + y = f x + f y ，且 x > 0時， f x < 0 ．
(1)證明： f x 為奇函數；
(2)證明： f x 在 R 上為減函數．
18．（2023 高三·全國·專題練習）已知函數 y = f (x) 是定義在R 上的周期函數，周期T = 5，
函數 y = f (x) （-1 x 1）是奇函數．又已知 y = f (x) 在 0,1 上是一次函數，在 1,4 上是二
次函數，且在 x = 2時函數取得最小值-5．
(1)證明： f (1) + f (4) = 0；
(2)求 y = f (x), x [1, 4]的解析式；
(3)求 y = f (x) 在[4，9]上的解析式．
19．（2023 高三·全國·專題練習）設 f (x) 是定義在 R 上的偶函數，其圖象關于直線 x =1對稱，
é 1 ù
對任意x ， x1 2 ê0, ú，都有 f (x1 + x2 ) = f (x1) × f (x2 ) ，且 f (1) = a > 02 ．
1
(1)求 f ( ), f (
1)；
2 4
(2)證明 f (x) 是周期函數；
a = f (2n 1(3)記 n + )，求 a2n n
．
拓展沖刺練
一、單選題
1．（2024· x陜西西安·一模）已知定義在R 上的可導函數 f x ，滿足 f x ×e < 0 ，且
f x + f -x = 0 .若 f 1 = -1，則滿足 f x -1 1的 x 的取值范圍是（ ）
A． 1,3 B． -2,1 C． 0,2 D． -1,2
2．（2024·四川瀘州·二模）已知 f x ， g x 都是定義在 R 上的函數，對任意 x，y 滿足
f x - y = f x g y - g x f y ，且 f -2 = f 1 0，則下列說法正確的是（ ）
2024
A． g 0 = 0 B．若 f 1 = 2024 ，則 f n = 2024
n=1
C．函數 f 2x -1 1的圖象關于直線 x = 對稱 D． g 1 + g -1 = -1
2
3．（2023·安徽蕪湖·模擬預測）已知函數 f x 在R 上可導，其導函數為 f x ，若 f x 滿
足： x -1 é f x - f x ù > 0， f 2 - x = f x e2-2x ，則下列判斷正確的是（ ）
A． f 1 > ef 0 B． f 2 > e2 f 0 C． f 3 > e3 f 0 D f 4 < e4． f 0
二、多選題
4．（2024·遼寧大連·一模）已知函數 f x 是定義域為 R 的可導函數，若
f x + y = f x + f y + 3xy x + y ，且 f 0 = -3，則（ ）
A． f x 是奇函數 B． f x 是減函數
C． f 3 = 0 D． x =1是 f x 的極小值點
5．（23-24 高三下·江西·階段練習）已知函數 f (x), g(x)及其導函數 f (x), g (x) 的定義域均為
R ，若 f (2x -1)的圖象關于直線 x =1對稱， f (x) + g(x +1) = x +1, f (x +1) = g(-x) + x ，且
g(2) =1，則（ ）
A． f (x) 為偶函數 B． g(x)的圖象關于點 (3,3) 對稱
99
C． g (202) = 1 D． g(i) = 4949
i=1
三、填空題
6．（2024·陜西·二模）偶函數 f x 的定義域為D，函數 f x 在 0, + 上遞減，且對于任意
a,b D, a 0,b 0均有 f ab = f a + f b ，寫出符合要求的一個函數 f x 為 .
7．（2024·上海長寧·二模）已知函數 y = f x 是定義域為R 的奇函數，當 x > 0時，
f x = log2x ，若 f a >1，則實數 a的取值范圍為 ．
四、解答題
2
8．（2024 高三·全國·專題練習）對于函數 f x = a - x a R .2 +1
(1)探索函數 f x 的單調性；
(2)是否存在實數 a使函數 f x 為奇函數？
9．（23-24 高三上·山東菏澤·階段練習）函數 f x x R 滿足 f x + 6 + f x = 2 f 3 ，函
數 y = f x -1 的圖象關于點 1,0 對稱，求 f 2022 的值.
10．（22-23 高三上·湖北· x開學考試）已知函數 f x = log2 4 +1 + kx為偶函數．
(1)求實數 k 的值；
(2)解關于m 的不等式 f 2m +1 > f m -1 ；
(3)設 g x = log a ×2x2 + a a 0 ，若函數 f x 與 g x 圖象有 2個公共點，求實數 a的取值
范圍．培優點 01 函數性質的綜合應用（4 種核心題型+基礎保分練+
綜合提升練+拓展沖刺練）
【考試提醒】
函數性質的綜合應用是歷年高考的一個熱點內容，經常以客觀題出現，通過分析函數的
性質特點，結合圖象研究函數的性質，往往多種性質結合在一起進行考查．
【核心題型】
題型一　函數的奇偶性與單調
(1)解抽象函數不等式，先把不等式轉化為 f(g(x))>f(h(x))，利用單調性把不等式的函數符號
“f”脫掉，得到具體的不等式(組)．
(2)比較大小，利用奇偶性把不在同一單調區間上的兩個或多個自變量的函數值轉化到同一
單調區間上，進而利用其單調性比較大?。?br/>x - x
【例題 1】（2024·吉林長春·模擬預測）已知函數 f x = 3 - 3 ，則不等式
f 2x -1 - f x > 0的解集為 （ ）
, 1 1, , 1 1- + - 1 A． ÷ B． ÷ C． ，÷ D． 1，+
è 3 è 3 è 3
【答案】A
【分析】判斷 f x 的奇偶性和單調性，再根據函數性質求解不等式即可.
x
【詳解】 f x = 3 - 3- x - x x，定義域為R ，又 f -x = 3 - 3 = f x ，故 y = f x 為偶函數；
又當 x > 0時， y = 3x , y = -3- x x均為單調增函數，故 g x = 3 - 3- x 為 0, + 上的單調增函數；
又 g 0 = 0，故當 x > 0時， g x > 0，則此時 y = f x = g x 為 0, + 上的單調增函數，
故 x < 0 時， y = f x 為單調減函數；
f 2x -1 - f x > 0，即 f 2x -1 > f x ，則 2x -1 > x ，即 2x -1 2 > x2 ，
3x2 - 4x +1 > 0 ，
也即 3x -1 x -1 > 0 1 ，解得 x - , ÷ 1, + .
è 3
故選：A.
【變式 1】（2024·遼寧大連·一模）設函數 f (x) = sin πx + e3x-3 - e3-3x - x + 3則滿足
f (x) + f (3 - 2x) < 4 的 x 的取值范圍是（ ）
A． (3, + ) B． (- ,3) C． (1, + ) D． (- ,1)
【答案】C
【分析】觀察題設條件與所求不等式，構造函數 g x = f x +1 - 2，利用奇偶性的定義與導
數說明其奇偶性和單調性，從而將所求轉化為 g x -1 < g 2x - 2 ，進而得解.
【詳解】因為 f (x) = sin πx + e3x-3 - e3-3x - x + 3，
f x +1 = sin πx + π + e3x+3-3 - e3-3x-3所以 - x -1+ 3
= -sin πx + e3x - e-3x - x + 2 ，
設 g x = f x +1 - 2 = -sin πx + e3x - e-3x - x ，顯然定義域為R ， g x -1 = f x - 2，
g(-x) = -sin -πx + e-3x - e3x + x = - -sin πx + e3x - e-3x又 - x = -g(x) ，
所以 g x 為R 上的奇函數，
又 g (x) = -π cos πx + 3e3x + 3e-3x -1 -π cos x + 2 3e3x ×3e-3x -1 = 5 - π cos x > 0，
所以 g x 在R 上單調遞增，
又 f (x) + f (3 - 2x) < 4 ，則 f (x) - 2 + f (3 - 2x) - 2 < 0，
所以 g x -1 + g 2 - 2x < 0，即 g x -1 < -g 2 - 2x = g 2x - 2 ，
所以 x -1< 2x - 2，解得 x >1，
則滿足 f (x) + f (3 - 2x) < 4 的 x 的取值范圍是 (1, + )．
故選：C．
【變式 2】（2024 高三·全國·專題練習）已知定義在 R 上的函數 f (x) ，其導函數為 f (x) ．若
f (x) = f (-x) - 2sin x ，且當 x 0 時，有 f (x) + cos x > 0成立，則不等式
f x p +

÷ > f (x) + sin x - cos x 的解集為（ ）
è 2
p p p p
A． - , ÷ B． ,+ ÷ C． - ,2 2 4 ÷
D． - ,+ ÷
è è è è 4
【答案】D
【分析】設 g(x) = f (x) + sin x ，由題意，得出 g x 為定義在 R 上的偶函數，且在 0, + 上

單調遞增，再把不等式 f x
p
+ ÷ > f (x) + sin x - cos x 轉化為 g
x π +

÷ > g x ，利用單調性
è 2 è 2
求解.
【詳解】設 g(x) = f (x) + sin x ，則 g(-x) = f (-x) + sin(-x) ．
由 f (x) = f (-x) - 2sin x ，得 f (x) + sin x = f (-x) + sin(-x)，所以 g(x)為偶函數．
因為當 x 0 時，有 g (x) = f (x) + cos x > 0成立，
所以 g(x)在 0, + 上單調遞增，
又 g(x)為偶函數，所以 g(x)在 (- ,0)上單調遞減，
p
因為 f x + ÷ + cos x f
x p= + ÷ + sin
x p+ ÷ > f (x) + sin x g

，即 x
p
+ ÷ > g(x)，
è 2 è 2 è 2 è 2
p p
所以 x + > x ，解得 x > -2 ．4
故選：D．
【變式 3】（2024·全國·模擬預測）已知定義在 - ,0 U 0, + 上的函數 f x ，對于定義域
內任意的 x，y，都有 f xy = f x + f y ，且 f x 在 0, + 上單調遞減，則不等式
x +1f x < log2 的解集為 .2
【答案】 x x < -1或 x >1
【分析】由 f xy = f x + f y ，利用賦值法，得到函數 f x 的奇偶性，構造函數
x +1 x +1F x = f x - log2 ，研究其單調性和奇偶性，再由F 1 = 0，將不等式 f x < log2 2 2
轉化為F x < F 1 求解.
【詳解】由 f xy = f x + f y ，令 x = y =1，得 f 1 = f 1 + f 1 ，所以 f 1 = 0 .
令 x = y = -1，得 f -1 = 0 .令 y = -1，得 f -x = f x + f -1 = f x ，所以函數 f x 為偶
函數.
x +1
構造函數F x = f x - log2 ，因為F -x = F x ，所以F x 為偶函數，且在 0, + 2
上為減函數.
F 1 f 1 log 1+1因為 = - 2 = 0，2
所以不等式 f x +1x < log2 等價于F x
x +1
= f x - log2 < 0 = F 1 ，2 2
所以F x < F 1 ，即 x >1，所以 x < -1或 x >1，
x +1
故不等式 f x < log2 的解集為 x | x < -1或 x >1 .2
故答案為： x | x < -1或 x >1 .
題型二　函數的奇偶性與周期性
周期性與奇偶性結合的問題多考查求函數值、比較大小等，常利用奇偶性和周期性將所求函
數值的自變量轉化到已知解析式的函數定義域內，或已知單調性的區間內求解．
【例題 1】（2024·內蒙古赤峰·一模）已知 f x 是定義在 R 上的偶函數，且周期T = 6 .若當
x -3,0 時， f (x) = 4- x ，則 f 2024 =（ ）
1 1
A．4 B．16 C． D．
16 4
【答案】B
【分析】由函數的奇偶性和周期性求解即可.
【詳解】因為 f 2024 = f 6 337 + 2 = f 2 = f -2 = 42 =16 .
故選：B.
【變式 1】（多選）（2024·重慶·模擬預測）已知定義在 R 上的奇函數 f x 滿足：
f x + 2 = f x + f -1 ，則（ ）
1 3
A． f 1 = 0 B． f ÷ + f2 ÷ = 0è è 2
C． f x + 4 = - f x 1 D． f x f 2 ÷è
【答案】AB
1
【分析】對 A：令 x=-1，結合函數是奇函數，即可求得結果；對 B：令 x = - ，結合函數
2
是奇函數，即可判斷；對 C：根據 B 中所求 f x + 2 = f x ，即可判斷；對 D：取滿足題意
的特殊函數，即可判斷.
【詳解】對 A：對 f x + 2 = f x + f -1 ，令 x=-1，可得 f 1 = 2 f -1 ，
又 f x 在 R 上是奇函數，故 f 1 = -2 f 1 ，解得 f 1 = 0，故 A 正確；
對 B：對 f x + 2 = f x + f -1 x 1 3= - 1 ，令 ，可得 f = f - + f -1 ，2 è 2 ÷ ÷ è 2
f x f 3 = - f 1 - f 1 f 1 3 又 在 R 上是奇函數，故 ÷ ÷ ，即 + f = - f 1 ，
è 2 è 2 è 2 ÷ ÷ è 2
f 1 0 f 1 f 3 由 A 可知， = ，故 ÷ + = 0 ，故 B 正確；
è 2 è 2 ÷
對 C：因為 f -1 = - f 1 = 0，則 f x + 2 = f x + f -1 即 f x + 2 = f x ，
則 f x + 4 = f x + 2 = f x ，即 f x + 4 = f x ，故 C 錯誤；
對 D：由 C 可知， f x 為周期為 2的奇函數，
不妨畫出滿足題意的一個 f x 的圖象如下所示：
f x 1 f 顯然 ÷，故 D 錯誤.
è 2
故選：AB.
【變式 2】（多選）（2024·湖南邵陽·二模）已知函數 f x 在R 上可導，且 f x 的導函數為
g x .若 f x = 4 - f x + 2 , g 2x -1 為奇函數，則下列說法正確的有（ ）
A． g 1 = 0 B． f 2 = 0
2024
C． f 2 = f 8 D． f (i) = 4048
i=1
【答案】ACD
【分析】根據已知條件可得 y = f x 的周期，由 g 2x -1 為奇函數可得 g x 的對稱性，利
用導數公式及函數的周期性、對稱性可判斷各選項.
【詳解】對于 D，由 f x + f x + 2 = 4 ，所以 f x + 2 + f x + 4 = 4，即 f x = f x + 4 ，
所以 y = f x 的周期為 4，
且 f 1 + f 2 + f 3 + f 4 = é f 1 + f 3 + f 2 + f 4 ù = 8，
2024 4
所以 f (i) = 506 f (i) = 4048，故 D 正確；
i=1 i=1
對于 A，由 g 2x -1 為奇函數知 g x 關于 -1,0 對稱，所以 g -1 = 0，
由 f x + f x + 2 = 4 得 f x + f x + 2 = 0，即 g x + g x + 2 = 0 ，
故 g x 的周期為 4 且 g -1 + g 1 = 0，可得 g 1 = 0，故 A 正確；
對于 BC，由上知 g x 的周期為 4 且 g x 關于 -1,0 對稱，所以 g x 關于 3,0 對稱，
則有 g x + g 6 - x = 0，即 f x + f 6 - x = 0，所以 f x - f 6 - x = c，
令 x = 3，得 c = 0 ，故 f x - f 6 - x = 0，所以 f x 關于 x = 3對稱，
又 f 2 + f 4 = 4 ，所以 f 2 = f 4 = 2，故 B 錯誤；
又 f 4 = f 8 ，所以 f 2 = f 8 ，故 C 正確.
故選：ACD.
【點睛】本題關鍵是利用函數的周期性和對稱性，結合函數的導數即可判斷各選項.
【變式 3】（2024 高三·全國·專題練習）已知定義在R 上的函數 f x 對任意 x, y R 均有：
f x + y + f x - y = 2 f x f y 且 f x 不恒為零.則下列結論正確的是 .① f 0 = 0；
② f 0 =1；③ f 0 = 0或 f 0 =1；④函數 f x 為偶函數；⑤若存在實數 a 0使
f a = 0，則 f x 為周期函數且 2a 為其一個周期.
【答案】②④
【分析】根據賦值法及抽象函數的奇偶性、周期性一一判定結論即可.
【詳解】令 y = 0 ，則"x R,2 f x = 2 f x f 0 恒成立，
因為 f x 不恒為零，所以 f 0 =1，即②正確，①③錯誤；
令 x = 0，則"y R, f y + f -y = 2 f y f 0 = 2 f y f y = f -y 恒成立，
所以函數 f x 為偶函數，即④正確；
令 y = a ，則 f x + a + f x - a = 2 f x f a = 0，
所以 f x + 2a + f x = 0, f x + 4a + f x + 2a = 0 f x + 4a = f x ，
則 f x 為周期函數且 4a為其一個周期，即⑤錯誤.
故答案為：②④
題型三　函數的奇偶性與對稱性
由函數的奇偶性與對稱性可求函數的周期，常用于化簡求值、比較大小等．
【例題 1】（23-24 高三下·上?！るA段練習）已知函數 f (x) 及其導函數 f (x)的定義域均為R ，
記 g(x) = f (x)．若 f (
3
- 2x)， g(2 + x) 均為偶函數，則（ ）
2
A． f (0) = 0 B． g(
1
- ) = 0 C． f -2 = f 1 D． g -1 = g 2
2
【答案】B
3
【分析】根據 f ( - 2x)， g(2 + x) 為偶函數得到等式關系，可判斷 C,D；根據函數的對稱軸
2
可求得函數的極值點，結合極值點的性質可判斷選項 B；根據函數 f (x) 的圖象的不確定性，
可判斷選項 A.
【詳解】Q f (
3
- 2x) 3 3
2 為偶函數，
\可得 f ( - 2x) = f ( + 2x)2 2 ，
\ f (x) 3關于 x = 對稱，
2
f -2 = f 5 ，故C 不正確；
Q g(2 + x) 為偶函數，
\ g(2 + x) = g(2 - x) ， g(x)關于 x = 2對稱，故D 不正確；
Q f (x) x 3 3關于 = 對稱，\ x = 是函數 f (x) 的一個極值點，
2 2
\
3 3 3
函數 f (x) 在 , t ÷處的導數為 0，即 g( ) = f ( ) = 0
è 2 2 2
，
又\ g(x)
5 3
的圖象關于 x = 2對稱，\ g( ) = g( ) = 02 2 ，
5
\ 函數 f (x) 在 , t ÷的導數為 0，
è 2
\ x 5= 是函數 f (x) 的極值點，又 f (x) x
3
的圖象關于 = 對稱，
2 2
\
5 3 1
, t ÷關于 x = 的對稱點為2 2
, t
2 ÷
，
è è
由 x
5
= 是函數 f (x)
1
的極值點可得 x = 是函數 f (x) 的一個極值點，
2 2
\ g(1) = f (1) = 0
2 2 ，
g(1
7
進而可得 ) = g(
7) = 0 x = f (x)
2 2 ，故 是函數 的極值點，2
又 f (x)
3
的圖象關于 x = 對稱，
2
7 3 1\ , t ÷關于 x = 的對稱點為2
- , t ÷，
è 2 è 2
\ g( 1- ) = f 1 (- ) = 0
2 2 ，故B正確；
f (x) 圖象位置不確定，可上下移動，
即每一個自變量對應的函數值不是確定值，故A 錯誤．
故選:B.
【變式 1】（多選）（2024 高三·全國·專題練習）關于函數 f（x）＝x|x|＋px＋q，下列命題正
確的是（　?。?br/>A．當 q＝0 時，f（x）為奇函數
B．y＝f（x）的圖象關于點（0，q）對稱
C．當 p＝0，q＞0 時，方程 f（x）＝0 有且只有一個實數根
D．方程 f（x）＝0 至多有兩個實數根
【答案】ABC
【詳解】解析：若 q＝0，則 f（x）＝x|x|＋px＝x（|x|＋p）為奇函數，所以 A 正確；由 A
知，當 q＝0 時，f（x）為奇函數，圖象關于原點對稱，f（x）＝x|x|＋px＋q 的圖象由函數 y
＝x|x|＋px 的圖象向上或向下平移|q|個單位長度得到的，所以圖象關于點（0，q）對稱，
所以 B 正確；當 p＝0，q＞0 時，f（x）＝x|x|＋q＝ 當 f（x）＝0，得 x＝－
，只有一解，所以 C 正確；取 q＝0，p＝－1，f（x）＝x|x|－x＝ 由 f
（x）＝0，可得 x＝0，x＝±1，有三個實根，所以 D 不正確．故選 ABC.
【變式 2】（多選）（23-24 高三下·重慶·階段練習）函數 f x 的定義域為 R，且滿足
f x + y + f x - y = 2 f x f y ， f 4 = -1，則下列結論正確的有（ ）
A． f 0 = 0 B． f 2 = 0
C． f x 為偶函數 D． f x 的圖象關于 1,0 對稱
【答案】BC
【分析】利用特殊值法，結合函數的奇偶性即可求解.
【詳解】由題可知 f x + y + f x - y = 2 f x f y
令 x = 4， y = 0 ，則 f 4 + 0 + f 4 - 0 = 2 f 4 f 0 ，
即 f 4 + f 4 = 2 f 4 f 0 ，可得 f 0 =1，故 A 錯；
令 x = y = 2，則 f 2 + 2 + f 2 - 2 = 2 f 2 f 2 ，即 f 4 + f 0 = 2 f 2 2 ，
又因為 f 4 = -1， f 0 =1，可得 f 2 = 0 ，故 B 正確；
令 x = 0，可得 f y = f -y ，故 C 正確；
若 f x 的圖象關于 1,0 對稱，則函數 f x 滿足 f 0 + f 2 = 0，
而 f 2 = 0 ， f 0 =1，顯然 f 0 + f 2 =1 0，故 D 錯，
令 x = 2，可得 f 2 + y + f 2 - y = 2 f 2 f y = 0，
\ f x 的圖象關于 2,0 對稱.
故選：BC.
【變式 3】（2024·河南·一模）已知函數 f x 及其導函數 f x 的定義域均為 R，記
g x = f x f 1- 3x + f 3x -1 = 0 g(1+ x) + g(1- x) = 0 x 0,1 f (x) sin π.且 ， ，當 ， = x ，
2
2024
則 f (i) = .（用數字作答）
i=1
【答案】1012
【分析】根據 f 1- 3x + f 3x -1 = 0推出函數 f x 為奇函數，由 g(1+ x) + g(1- x) = 0還原
成 f (1+ x) = - f (1- x) ，推理得到 f (1+ x) = f (1- x) ，得出函數 f x 圖象關于直線 x =1對
稱，兩者結合得出 f x 為以 4 為周期的函數，分別求出 f (1), f (2), f (3), f (4)，計算即得
2024
f (i) .
i=1
【詳解】由 f 1- 3x + f 3x -1 = 0可得 f 1- 3x = f [-(3x -1)] = - f 3x -1 ，即
f -x = - f (x) ①
又由 g(1+ x) + g(1- x) = 0可得 g(1+ x) = -g(1- x) ，即 f (1+ x) = - f (1- x) ，從而
f (1+ x) = [ f (1- x)] ，
故 f (1+ x) = f (1- x) + C ( C 是常數)，因當 x = 0時 f (1) = f (1) + C ，則C = 0 ,即得
f (1+ x) = f (1- x) ②，
由② 可得 f (2 + x) = f (-x) ，又由① 得 f (2 + x) = - f (x)，即 f (x + 4) = - f (2 + x) = f (x)，故
函數 f x 為周期函數，周期為 4.
由 x 0,1 ， f (x) π= sin x 可知 f (1) =1，因 f x 是 R 上的奇函數， f 0 = 0 ,則由
2
f (2 + x) = f (-x) 可得 f (2) = f (0) = 0，
f (3) = f (-1) = - f (1) = -1， f (4) = f (0) = 0，
2024
則 | f (1) | + | f (2) | + | f (3) | | f (4) | 2 f (i) 2 2024+ = ，于是 = =1012.
i=1 4
故答案為：1012.
題型四　函數的周期性與對稱性
函數的奇偶性、對稱性、周期性和單調性是函數的四大性質，在高考中常常將它們綜合在一
起命題，解題時，往往需要借助函數的奇偶性、對稱性和周期性來確定另一區間上的單調性，
即實現區間的轉換，再利用單調性解決相關問題．
【例題 1】（2024·河北滄州·一模）已知定義在R 上的函數 f x 滿足：
2024
f x + f 2 - x = 2, f x - f 4 - x = 0，且 f 0 = 2 ．若 i N* ，則 f (i) =（ ）
i=1
A．506 B．1012 C．2024 D．4048
【答案】C
【分析】根據條件得到函數 f x 是周期為 4的函數，再根據條件得出
f 1 ，f 2 ，f 3 ，f 4 ，即可求出結果.
【詳解】Q f x + f 2 - x = 2，①
\ f 1+ x + f 2 - 1+ x = 2，
即 f 1+ x + f 1- x = 2，所以 f 1+ x -1 = - f 1- x -1 ，
所以函數 f x 的圖象關于 1,1 對稱，
令 x =1，則 f 1 + f 1 = 2 ，所以 f 1 =1，
令 x = 2， f 2 + f 0 = 2，又 f 0 = 2 ，所以 f 2 = 0 ，
又Q f x - f 4 - x = 0 ，\ f 2 - x = f 4 - 2 - x = f 2 + x ，②
即函數 f x 的圖象關于直線 x = 2對稱，
f (3) = f (1) =1
且由①和②，得 f x + f 2 + x = 2 f 2 + x + f 4 + x = 2，
所以 f x = f 4 + x ，則函數 f x 的一個周期為 4，
則 f (4) = f (0) = 2，
2024
所以 f (i) = 506 f (1) + f (2) + f (3) + f (4) = 506 1+ 0 +1+ 2 = 2024 .
i=1
故選：C
【變式 1】（23-24 高三下·重慶·階段練習）已知函數 f x 的定義域是R ，
f 3 x f 3+ = - x ÷ ÷， f x + f 6 - x = 0，當0
3
x 2
2 2 時，
f x = 4x - 2x ，則
è è 2
f 2024 = ．
【答案】 2
【分析】根據已知關系式可推導求得 f x + 6 = f x ，利用周期性和對稱性可得
f 2024 = f 1 ，結合已知函數解析式可求得結果.
f 3 + x = f 3 - x é3 3 ù【詳解】由 2 ÷ 2 ÷得：
f x = f - x - ÷ = f 3- x ，
è è ê 2 è 2 ú
又 f x + f 6 - x = 0，\ f 3 - x + f 6 - x = 0，
\ f x = - f é6 - 3- x ù = - f x + 3 ，\ f x + 6 = - f x + 3 = f x ，
\ f 2024 = f 6 337 + 2 = f 2 = f 1 = 4 - 2 = 2 .
故答案為： 2 .
【變式2】（2024·全國·模擬預測）寫出一個同時滿足下列三個條件的函數 f x 的解析式 ．
① f x = - f x + 2 ；
② f x +1 = f 1- x ；
③ f x 的導數為 f x 且 f x = f -x ．
【答案】 f x = sin π x ÷ （答案不唯一）
è 2
【分析】借助函數的周期性、對稱性、奇偶性計算即可得.
【詳解】由①得 f x + 4 = f x ，所以函數 f x 圖象的周期為 4，
由②得 f x 的圖象關于直線 x =1對稱，
由③得 f x 關于 0,c 對稱， c為常數，
π
則同時滿足三個條件的一個函數可以為 f x = sin x ÷ ．
è 2
故答案為： f x = sin π x ÷ （答案不唯一）.
è 2
【變式3】（23-24高三下·陜西·開學考試）已知定義在R 上的函數 f x +1 為奇函數， f x + 2
為偶函數，當 x 0,1 時， f x = 3x3 - 3x，則方程 f x = -1在 0,99 上的實根個數
為 ．
【答案】98
【分析】根據條件確定函數周期性，畫出函數 f x 在區間 0,4 上的圖象，根據圖象可得實
根個數.
【詳解】函數 f x +1 為奇函數，即 f x +1 = - f -x +1 ，對稱中心為 1,0 ，
函數 f x + 2 為偶函數，即 f x + 2 = f -x + 2 ，對稱軸為 x = 2，
又由 f x = - f -x + 2 = - f x + 2 = f x + 4 可得
函數 f x 是周期函數，且周期為 4，
3
當 x 0,1 時， f x = 3x - 3x，則 f x = 9x2 - 3，
令 f x > 0 3，得 < x <1， f x 單調遞增，
3
令 f x < 0，得0 < x 3< ， f x 單調遞減，
3
3

f x f 3
3 3 2 3
所以 =min 3 ÷÷
= 3 ÷÷ - 3 3 3 ÷÷
= - .
è è è 3
作出函數 f x 在區間 0,4 上的圖象如下：
即在區間 0,4 上，方程 f x = -1有 4個實根，
又99 = 4 24 + 3 ,
則方程 f x = -1在 0,99 上的實根個數為 4 24 + 2 = 98 .
故答案為：98 .
【課后強化】
基礎保分練
一、單選題
2
1．（2023· 2河南信陽·三模）已知函數 f x = log2 x + x +1 +1- 2x ，則對任意實數+1
a,b,a + b > 0是 f a + f b > 0 （ ）
A．充分必要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．不充分且不必要條件
【答案】A
f x = log x + x2【分析】判斷函數 2 +1 +1 2- x 的單調性和奇偶性，繼而判斷“對任意2 +1
實數 a,b,a + b > 0 ”和 f a + f b > 0 之間的邏輯關系，即得答案.
y = x + x2 2【詳解】由于 +1, y =1- x 在 R 上單調遞增，2 +1
且 f x = log2 x + x2 1 1 2+ + - x 的定義域為 R，則 f x 在 R 上單調遞增，2 +1
x
又 f -x = log2 x2 +1 2- x +1- - x = log 1 2 22 +1-2 +1 x2 1 x 2x+ + +1
= -log2 x2 +1 + x 2-1+ x = - f x ，即 f x 為奇函數，2 +1
對任意實數 a,b,a + b > 0，即 a > -b ，可得 f (a) > f (-b) = - f (b),\ f (a) + f (b) > 0 ；
反之， f a + f b > 0 時，可得 f a > - f b = f (-b) ，則 a > -b ，即 a + b > 0，
故對任意實數 a,b,a + b > 0是 f a + f b > 0 的充分必要條件，
故選：A
2．（2024 高三·全國·專題練習）已知函數 f x = e- x ，則使得 f 2a < f a -1 成立的正實數 a
的取值范圍是（ ）
1 , é1 , 0,1 0, 1 A． + ÷ B． ê + ÷ C． D．3 è 3 è 3 ÷
【答案】A
【分析】分析函數的奇偶性，單調性，利用函數 f x = e- x 的單調性求解不等式即可.
- - x - x
【詳解】由題意可知 f x 的定義域為R ，且 f -x = e = e = f x ，所以 f x 為偶函
數．
當 x > 0時， f x 1= x ，則函數 f x 在 0, + 上單調遞減，且 f x > 0．e
所以不等式 f 2a < f a -1 成立，需 2a > a -1 ，
1
解得 a < -1或 a > ，又 a > 0，
3
1 1
所以 a > ，即正實數 a的取值范圍是 ,+ ．3 ÷è 3
故選：A．
3．（23-24 高三上·遼寧遼陽·期末）已知 f x +1 是偶函數， f x 在 1, + 上單調遞增，
f 0 = 0，則不等式 x +1 f x > 0的解集為（ ）
A． 1, + B． 2, +
C． -2,0 0,2 D． -1,0 2, +
【答案】D
【分析】由條件結合圖象平移得到 f (x) 的圖象，結合圖象即可求解.
【詳解】函數 f (x) 的圖象可由 f x +1 的圖象向右平移 1 個單位得到，
因為 f x +1 是偶函數，則其圖象關于 y 軸對稱，
所以 f (x) 的圖象關于直線 x =1對稱，
又 f x 在 1, + 上單調遞增，則 f x 在 (- ,1]上單調遞減，
又 f 0 = 0，則有 f 2 = 0 ，
當 x +1 > 0，即 x > -1時，需 f (x) > 0 ，
解得-1 < x < 0或 x > 2；
當 x +1< 0，即 x < -1時，需 f (x) < 0，無解；
綜上，不等式 x +1 f x > 0的解集為 -1,0 2, + .
故選：D
4．（2024·山東濟寧·一模）設函數 f (x) 定義域為R ， f (2x -1)為奇函數， f (x - 2)為偶函數，
當 x [0,1]時， f (x) = x2 -1，則 f (2023) - f (2024) =（ ）
A． -1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】由 f (2x -1)為奇函數得到函數的對稱中心，由 f (x - 2)為偶函數得到函數的對稱軸，
進一步求得函數的周期，然后將 f (2023)與 f (2024)轉化到已知區間求解即可.
【詳解】因為函數 f (x) 定義域為R ， f (2x -1)為奇函數，所以 f (2x -1) = - f (-2x -1)，所以
函數 f (x) 關于點 -1,0 中心對稱，且 f -1 = 0，
因為 f (x - 2)為偶函數，所以 f (x - 2) = f (-x - 2) ，所以函數 f (x) 關于直線 x = -2軸對稱，
又因為 f x = - f -2 - x = - f -2 + x = - é - f -4 + x ù ，所以函數 f (x) 的周期為 4，
因為當 x [0,1]時， f (x) = x2 -1，
所以 f (2023) = f 4 506 -1 = f -1 = 0， f (2024) = f 4 506 = f 0 = -1，
所以 f (2023) - f (2024) =1.
故選：C.
二、多選題
5．（23-24 高三下·海南省直轄縣級單位·開學考試）已知定義域為R 的函數 f (x) 對任意實數
x, y f (x) f (y) f ( x + y ) f ( x - y都有 + = ) ，且 f (0) 0, f (1) = 1，則下列說法正確的是（ ）
2 2
A． f (0) = 3
B． f (x) = f (-x)
1
C．函數 f (x) 的圖象關于點 ( ,0)對稱
2
D． f (1) + f (2) +L+ f (2024) = 0
【答案】BD
【分析】根據給定條件，賦值計算判斷 ABC；推理確定函數 f (x) 的周期，再利用周期性求值
判斷 D.
x + y x - y
【詳解】定義域為R 的函數 f (x) 對任意實數 x, y都有 f (x) + f (y) = f ( ) f ( ) ，
2 2
令 x = y =1，則 f (1) + f (1) = f (1) f (0)，而 f (1) =1，因此 f (0) = 2，A 錯誤；
x R ，令 y = -x，則 f (x) + f (-x) = f (0) f (x) = 2 f (x) ，則 f (x) = f (-x)，B 正確；
顯然 f (0) + f (1) = 3 0
1
，則函數 f (x) 的圖象關于點 ( ,0)不對稱，C 錯誤；
2
令 y = x - 2，則 f (x) + f (x - 2) = f (x -1) f (1) = f (x -1)，同理 f (x +1) + f (x -1) = f (x)，
因此 f (x +1) = - f (x - 2) ，即 f (x + 3) = - f (x)，
從而 f (x + 6) = - f (x + 3) = f (x)，即函數 f (x) 的周期是 6，
由 f (x + 3) = - f (x)，得 f (2) = - f (-1) = - f (1) ，則 f (1) + f (2) = 0，
顯然 f (4) = - f (1), f (5) = - f (2), f (6) = - f (3) ，
所 以 f (1) + f (2) +L+ f (2024) = 337[ f (1) + f (2) + f (3) + f (4) + f (5) + f (6)]+ f (1) + f (2) = 0 ，
D 正確.
故選：BD
1
6．（2024·廣東·一模）已知偶函數 f (x) 的定義域為R ， f x +1÷為奇函數，且 f (x) 在 0,1
è 2
上單調遞增，則下列結論正確的是（ ）
f 3 0 f 4 0 f (3) 0 f 2024 A． - ÷ < B．2 ÷
> C． < D． > 0
è è 3 3 ÷ è
【答案】BD
【分析】根據奇函數、偶函數的性質，首先推出函數為周期函數，再根據函數的單調性，判
斷函數的符號，可得有關的結論.
【詳解】因為 f x 為偶函數，所以 f -x = f x ；
1
因為 f x +12 ÷ 是R 上的奇函數，所以
f 1 = 0，
è
f x + 2 x x 且 2 ÷的圖象是由
f ÷ 的圖象向左平移 2個單位得到的，所以 f ÷ 的圖象關于
è è 2 è 2
2,0 點對稱，進一步得 f x 的圖象關于點 1,0 中心對稱，即 f 1+ x = - f 1- x .
所以 f x + 2 = f 1+ 1+ x = - f 1- 1+ x = - f -x = - f x ，所以
f x + 4 = - f x + 2 = f x .所以函數 f x 是周期函數，且周期為 4；
又 f x 在 0,1 上單調遞增，所以在 0,1 上，有 f x < 0 .
所以函數的草圖如下：
3 4
由圖可知： f - ÷ > 0，故 A 錯； f2 ÷
> 0，故 B 對； f 3 = 0，故 C 錯；
è è 3
f 2024 ÷ = f 674
2 2+ ÷ = f 4 168 + 2 + ÷ = f 2
2
+ ÷ > 0，故 D 對.
è 3 è 3 è 3 è 3
故選：BD
7．（23-24 高三下·重慶·階段練習）已知函數 f x = sin x - cos x + sin 2x ，則下列選項正確的
是（ ）
A． π是函數 f x 的一個周期
π
B． x = - 是函數 f x 的一條對稱軸
4
5
C．函數 f x 的最大值為 ，最小值為
4 2 -1
é 3 5 ù
D．函數 f x 在 ê π, π 上單調遞減 4 4 ú
【答案】ABC
【分析】利用函數周期性及對稱性的定義可得 A、B，使用換元法，令
t π= 2 sin 2 x - ÷ é 0, 2 ù ，可得 y = -t + t +1，結合復合函數單調性可得 C、D.è 4
【詳解】對 A： f x + π = sin x + π - cos x + π + sin 2 x + π = sin x - cos x + sin 2x，
故 π是函數 f x 的一個周期，故 A 正確；
π
對 B： f - - x

÷ = sin
π- - x ÷ - cos
π
- - x ÷ + sin 2
π
- - x

÷ = sin x - cos x + sin -π - 2x
è 2 è 2 è 2 è 2
= sin x - cos x + sin 2x π，故 x = - 是函數 f x 4 的一條對稱軸，故 B 正確；
對 C、D：令 sin x - cos x = t ，有 sin 2x =1- t 2 ，
因為 sin 2x -1,1 2，所以 t 0,2 ，
2
則 y = sin x - cos x + sin 2x 1 5= -t 2 + t +1 = - t - ÷ + ，
è 2 4
由 t 2 sin
x π= - ÷ é ù 0, 2 ，則函數 f x
5
的最大值為 ，最小值為
4 2 -1
，故 C 正確；
è 4
函數 f x 由 y = -t 2 + t +1和 t = sin x - cos x 復合而成，
函數 y = -t 2 + t +1在 é0, 2ù 上先增后減， t = 2 sin
π é3π 5π ù
x - ÷ 在 ê , ú上遞減，且è 4 4 4
t é0, 2 ù ，
é3π 5π ù
則函數 f x 在 ê , 上不是單調遞減，故 D 錯誤. 4 4 ú
故選：ABC.
8．（23-24 高三下·遼寧·開學考試）已知函數 y = f x 是 R 上的奇函數，對于任意 x R ，都
有 f x + 4 = f x + f 2 成立，當 x 0,2 時 f x = 2x -1，則下列結論中正確的是（ ）
A． f 0 = 0 B．函數 y = f x 在 -6, -2 上單調遞增
C．函數 y = f x 在 -6,6 上有 3 個零點 D．點 4,0 是函數 y = f x 的圖象的一個對稱
中心
【答案】AD
【分析】由 f x + 4 = f x + f 2 ，令 x = -2，得到 f -2 = 0，進而得到 f x + 4 = f x
逐項判斷.
【詳解】解：由 f x + 4 = f x + f 2 ，令 x = -2，得 f -2 = 0，
又函數 y = f x 是 R 上的奇函數，則 f 0 = 0，故 A 正確；
由 f 2 = - f -2 = 0，得 f x + 4 = f x ，則周期為T = 4，
作出函數 f x 的部分圖象，如圖所示：
由圖象知：函數 y = f x 在 -6, -2 上單調遞增，又 f -6 = f -2 = f 2 = 0，在 2 處不連
續，
則函數 y = f x 在 -6, -2 上不單調，
由 f 6 = f 2 = 0, f -6 = f -2 = 0， f 0 = 0， f -4 = f 4 = 0，
則函數 y = f x 在 -6,6 上有 7 個零點，故 BC 錯誤；
因為 0,0 是函數的一個個對稱中心，則 4,0 也是函數的一個對稱中心，故 D 正確；
故選：AD
三、填空題
9．（2024·貴州畢節·模擬預測）定義在R 上的可導函數 f x 滿足 f x < 3，若
f 2m - f m -1 3m + 3，則m 的取值范圍為 ．
【答案】 - , -1
【分析】構造函數 g x = f x - 3x ，利用導數判斷出函數的單調性，再將所求不等式變形
為函數 g x 的形式，再根據函數的單調性解不等式即可.
【詳解】令 g x = f x - 3x ，則 g x = f x - 3 < 0，
所以函數 g x 在R 上是減函數，
由 f 2m - f m -1 3m + 3，得 f 2m - 3 2m f m -1 - 3 m -1 ，
即 g 2m g m -1 ，
所以 2m m -1，解得m -1，
所以m 的取值范圍為 - , -1 .
故答案為： - , -1 .
10．（2024·寧夏銀川·一模）已知 f x +1 是偶函數， f x 在 1, + 上單調遞增， f 0 = 0，
則不等式 x +1 f x > 0的解集為 .
【答案】 -1,0 2, +
【分析】首先得出 f x 的對稱性結合 f x 的單調性可得 f x 的符號變化情況，由此可通
過列表法求解.
【詳解】由題意 f x +1 是偶函數，所以 f x 的對稱軸是 x =1，
因為 f x 在 1, + 上單調遞增，所以 f x 在 - ,1 上單調遞減，
又 f 0 = 0，所以 f 2 = f 0 = 0 ，
所以當1 x < 2時， f x < f 2 = 0，當 x > 2時， f x > f 2 = 0，
由對稱性當 x < 0 時， f x > f 0 = 0，當0 < x 1時， f x < f 0 = 0
所以 x +1, f x , x +1 f x 的符號隨 x 的變化情況如下表：
x < -1 -1 < x < 0 0 < x < 2 x > 2
x +1 - + + +
f x + + - +
x +1 f x - + - +
所以由上表可知不等式 x +1 f x > 0的解集為 -1,0 2, + .
故答案為： -1,0 2, + .
四、解答題
x
11．（2024 · -2 + b高三 全國·專題練習）已知定義域為 R 的函數 f(x)＝ 是奇函數．
2x+1 + a
(1)求實數 a，b 的值；
(2)求證：函數 f(x)在(－∞，＋∞)上是單調遞減函數；
(3)若對任意的 t∈R，不等式 f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0 恒成立，求實數 k 的取值范圍
【答案】(1)a＝2，b＝1
(2)證明見解析
1
(3)(－∞，－ )
3
【詳解】
(1) 解：因為 f(x)是奇函數，所以 f(0)＝0，
即 b＝1，所以 f(x)＝ .
由 f(1)＝－f(－1)，知 ＝－ ，解得 a＝2.
經檢驗 a＝2，b＝1 符合題意．
(2) 證明：由(1)知 f(x)＝ ＝－ ＋ ，
設任意 x1，x2∈(－∞，＋∞)，且 x1＜x2，
則 f(x2)－f(x1)＝ .
因為 y＝2x 在(－∞，＋∞)上為增函數，所以 2x1－2x2＜0，
所以 f(x2)－f(x1)＜0，即 f(x1)＞f(x2)，
所以 f(x)在(－∞，＋∞)上為減函數．
(3) 解：因為 f(x)在(－∞，＋∞)上為減函數，且是奇函數，
f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0，
所以 f(t2－2t)＜f(－2t2＋k)，
所以 3t2－2t－k＞0 對任意
綜合提升練
一、單選題
1．（2024·陜西西安·一模）已知定義在R 上的奇函數 f x 滿足 f x = f x + 2 ，則以下說法
錯誤的是（ ）
A． f 0 = 0
B． f x 是周期函數，且 2 是其一個周期
C． f 2025 =1
D． f 3 = f 4 + f 5
【答案】C
【分析】根據條件，對各個選項逐一分析判斷，即可得出結果.
【詳解】選項 A，因為 f x 是定義在R 上的奇函數，所以 f (-0) = f (0) = - f (0)，即
f 0 = 0，所以選項 A 正確，
選項 B，由 f x = f x + 2 ，知 f x 是周期函數，且 2 是其一個周期，所以選項 B 正確，
選項 C，因為 f 2025 = f (1+ 2 1012) = f (1) ，又 f -1 = f -1+ 2 = f (1) ， f -1 = - f (1)，
得到 f (1) = 0，所以選項 C 錯誤，
選項 D， f 3 = f (1) = 0, f 4 + f 5 = f (0) + f (1) = 0，所以選項 D 正確，
故選：C.
2．（2024· 2 2廣西南寧·一模）已知函數 f x 的定義域為 R, f x + y f x - y = f x - f y ，
且當 x > 0時， f x > 0，則（ ）
A． f 0 =1 B． f x 是偶函數 C． f x 是增函數 D． f x 是周期函數
【答案】C
【分析】對 A，令 x - y = 0求解即可；對 B，令 x = 0化簡可得 f -y + f y = 0即可；對 C，
x > x > 0 f 2 x - f 2設 2 1 ，結合題意判斷 2 x1 > 0判斷即可；對 D，根據 f x 是增函數判斷即
可.
【詳解】對 A，令 x - y = 0 2，則 f 0 = f 2 0 - f 2 0 ，得 f 0 = 0，故 A 錯誤；
對 B，令 x = 0，得 f y f -y = f 2 0 - f 2 y ，
由 f 0 = 0整理可得 f y é f -y + f y ù = 0，
將 y 變換為 -y，則 f -y é f y + f -y ù = 0，
故 é f
2
y + f -y ù = 0，故 f -y + f y = 0，故 f x 是奇函數，故 B 錯誤；
對 C，設 x2 > x1 > 0 ，則 f x2 > 0, f x1 > 0，
且 f 2 x - f 22 x1 = f x2 + f x1 f x2 - f x1
= f x2 + x1 f x 22 - x1 > 0 ，故 f x2 - f 2 x1 > 0，則 f x2 > f x1 .
又 f 0 = 0， f x 是奇函數，故 f x 是增函數，故 C 正確；
對 D，由 f x 是增函數可得 f x 不是周期函數，故 D 錯誤.
故選：C
3．（2024·云南貴州·二模）若函數 f x 的定義域為R 且圖象關于 y 軸對稱，在 0，+ 上是
增函數，且 f -3 = 0，則不等式 f x < 0 的解是（ ）
A． - ，- 3 B． 3，+
C． -3，3 D． - ，- 3 3，+
【答案】C
【分析】先分析不等式在 0，+ 上的解，再根據對稱性得出不等式在上 - ,0 的解即可.
【詳解】因為 f x 在 0，+ 上是增函數且 f -3 = 0，所以 f x < 0 在 0，+ 范圍內的解
為 0,3 .
因為函數 f x 在定義域 R 上圖象關于 y 軸對稱，所以 f x < 0 在 - ,0 內的解為 -3,0 ，
所以不等式 f x < 0 在 R 內的解為 -3，3 .
故選：C
4．（2024·廣東·一模）已知 f (x) = 2|x| + x2 ，若 f (a) < 3，則（ ）
A． a (1,+ ) B． a (-1,1) C．a (- ,1) D． a (0,1)
【答案】B
【分析】根據函數為偶函數及函數在[0, + ) 單調遞增即可求解.
【詳解】因為 f (x) = 2|x| + x2 的定義域為R ，且 f (-x) = 2 - x + (-x)2 = 2 x + x2 = f (x)，
所以 f (x) 為偶函數，
又當 x 0 時， f (x) = 2x + x2 單調遞增，且 f (1) = 3，
所以由 f (a) < 3可得 f ( a ) < 3 = f (1) ，即 a <1，
解得-1 < a <1，
故選：B
5．（2024·四川成都·二模）已知函數 f x = ln x + x2 2+1 - x ，且 f x1 + f x2 + 2 < 0，2 +1
則（ ）
A． x1 + x2 < 0 B． x1 + x2 > 0 C． x1 + x2 > -2 D． x1 + x2 < -2
【答案】A
【分析】先判斷函數單調性和奇偶性，然后結合單調性及奇偶性求解不等式.
f (-x) + f (x) = ln 1+ x2 2 2【詳解】由已知 - x - - x + ln 1+ x2 + x -1+ 2 1+ 2x
ln é 1 x2 x 1 x2 x ù 2 ×2
x 2
= ê + - + + ú - 1+ 2x
- x = -2，1+ 2
因為 f x1 + f x2 + 2 < 0，令 g x = f x +1，則定義域為 R，
則 g -x + g x = f -x + f x + 2 = 0 ，故 g x 為奇函數，
又 y = ln x + x2 +1 , y 2= - x 在 0, + 上單調遞增，2 +1
則 g x 在 0, + 上單調遞增，又其為奇函數，
故 g x 在R 上單調遞增，
所以 g x1 + g x2 < 0，即 g x1 < -g x2 = g -x2 ，
所以 x1 < -x2，即 x1 + x2 < 0 .
故選：A.
6．（2024·四川·模擬預測）已知函數 y = f x - 2 的圖象關于直線 x = 2對稱，對任意的
x R ，都有 f x + 3 = f x -1 成立，且當 x -2,0 時， f x = -x，若在區間 -2,10 內方
程 f x - loga x + 2 = 0 有 5 個不同的實數根，則實數 a的取值范圍為（ ）
A． 2,2 2 B． 2,2 2ù C． 2 2,2 3 D． 2 2,2 3ù
【答案】D
【分析】由題意可知函數 y = f x 的圖象關于 y 軸對稱且周期為 4，由此可畫出函數 f x
在區間 -2,10 上的圖象，若在區間 -2,10 內方程 f x - loga x + 2 = 0 有 5 個不同的實數
根，即函數 y = f x 與 y = loga x + 2 的圖象有 5 個交點，數形結合列出不等式組求解即
可.
【詳解】因為函數 y = f x - 2 的圖象關于直線 x = 2對稱，
所以函數 y = f x 的圖象關于 y 軸對稱，
因為對任意的 x R ，都有 f x + 3 = f x -1 成立，
所以 f x + 4 = f é x +1 + 3 ù = f é x +1 -1 ù = f x ，
所以函數 f x 的周期為 4，
畫出函數 f x 在區間 -2,10 上的圖象，如圖所示：
若在區間 -2,10 內方程 f x - loga x + 2 = 0 有 5 個不同的實數根，
即函數 y = f x 與 y = loga x + 2 的圖象有 5 個交點，
ìloga 6 + 2 < 2
顯然 a > 1，則 í ，解得 2 2 < a 2 3，
loga 10 + 2 2
即實數 a的取值范圍為 2 2,2 3ù .
故選：D．
7．（23-24 高三上·四川·階段練習）已知函數 f x 及其導函數 f x 的定義域均為R ，且
27
f x -1 為奇函數， f 2 - x + f x = -2， f -1 = -2，則 f 2i -1 = （ ）
i=1
A． -28 B．-26 C．-24 D．-22
【答案】B
【分析】根據題意利用賦值法求出 f 1 、 f 3 、 f 5 、 f 7 的值，推出函數 f x 的周
期，結合 f 1 + f 3 + f 5 + f 7 + ×××+ f 49 ，每四個值為一個循環，即可求得答案.
【詳解】由 f 2 - x + f x = -2，令 x =1，得 2 f 1 = -2，所以 f 1 = -1，
由 f x -1 為奇函數，得 f x -1 = - f -x -1 ，所以 f x -1 = f -x -1 ，
故 f x = f -x - 2 ①．
又 f 2 - x + f x = -2 ②，
由①和②得 f 2 - x + f -x - 2 = -2 ，即 f 4 - x - 2 + f -x - 2 = -2，
所以 f x + f x + 4 = -2，③
令 x=-1，得 f -1 + f 3 = -2，得 f 3 = 0 ，
令 x =1，得 f 1 + f 5 = -2 ，得 f 5 = -1，
又 f x + 4 + f x + 8 = -2 ④，
由③ - ④得 f x - f x + 8 = 0，即 f x = f x + 8 ，
所以函數 f x 是以 8 為周期的周期函數，
故 f 7 = f -1 = -2，
所以 f 1 + f 3 + f 5 + f 7 = -1+ 0 -1- 2 = -4，
27
所以 f 2i -1 = f 1 + f 3 + f 5 + f 7 + ×××+ f 53
i=1
= 6 é f 1 + f 3 + f 5 + f 7 ù + f 1 + f 3 + f 5 = -24 -1+ 0 -1 = -26 .
故選：B．
8．（23-24 高三下·北京西城·開學考試）函數 f x 及其導數 f x 的定義域均為R ，記
g x = f x ，若 f 1- x 和 g x + 2 都是偶函數，則（ ）
A． f x 是奇函數 B． f x 是偶函數
C． g x 是奇函數 D． g x 是偶函數
【答案】D
【分析】根據函數的奇偶性可知函數 f (x) 、 g(x)的圖象分別關于直線 x =1、 x = 2對稱，結
合導數的幾何意義可知函數 f (x) 圖象關于 (0, f 0 )與 (2, f 2 )對稱，且 g(x)的圖象關于點
(1,0)對稱，進而證得函數 g(x)的周期為 4，則 g(x) = g(4 + x) = g(-x) ，即可求解.
【詳解】由 f (1- x)是偶函數，得f (1 - x ) = f (1 + x )，
所以函數 f (x) 的圖象關于直線 x =1對稱；
由 g(x + 2) 是偶函數，得 g(x + 2) = g(-x + 2) ，
所以函數 g(x)的圖象關于直線 x = 2對稱，又 g(x) = f (x) ，
則 f (x) 關于 (2, f 2 )對稱，所以 (0, f 0 )是函數 f (x) 圖象的對稱中心，
由于不確定 f 0 的值，所以無法判斷函數 f (x) 的奇偶性，故排除選項 A、B；
又 g(x) = f (x) ，由f (1 - x ) = f (1 + x )，得 - f (1- x) = f (1+ x)，
即 -g(1- x) = g(1+ x)，得 g(1+ x) + g(1- x) = 0，
所以函數 g(x)的圖象關于點 (1,0)對稱；
由 -g(1- x) = g(1+ x)，得 -g(-x) = g(2 + x) ，即 -g(-x) = g(2 - x) ，
所以 -g(x) = g(2 + x) ，即 g(4 + x) = -g(2 + x) = g(x)，
所以函數 g(x)的周期為 4，所以 g(x) = g(4 + x) = g(-x) ，
所以函數 g(x)為偶函數，故排除 C，選擇 D.
故選：D
【點睛】關鍵點點睛：本題通過函數的奇偶性、對稱性和周期性，結合導數的幾何意義、運
算和合理賦值，尋找函數 g(x)圖象的對稱性是解題的關鍵，原函數與導函數圖象的關系、
奇偶性的聯系都是解題的思路.
二、多選題
9．（2024 高三·全國·專題練習）(多選)已知函數 f(x)＝2x－2－x＋1，則下列說法正確的是
（ ）
A．函數 f(x)是奇函數
B．函數 f(x)是偶函數
C．函數 f(x)在 R 上是增函數
D．函數 f(x)的圖象的對稱中心是(0，1)
【答案】CD
【詳解】易知 y＝2x，y＝－2－x 為增函數，所以 f(x)在 R 上是增函數；f(x)＋f(－x)＝2x－2－x＋
1＋2－x－2x＋1＝2，故 f(x)的對稱中心是(0，1).故選 CD.
10．（2024·海南省直轄縣級單位·一模）已知定義在R 上的奇函數 f x ，滿足
f 2x -1 = f 3 - 2x ，當 x 0,1 時， f x = x，則下列結論正確的是（ ）
A．函數 f x 的最小正周期為 6 B．函數 f x 在 2024,2025 上遞增
22
C． f k =1 D．方程 f x = log5 x 有 4 個根
k =1
【答案】BC
【分析】由題設可得 f x 最小正周期為 4，可判斷 A，B，C；根據已知區間解析式畫出 f x
圖象，再畫出 y = log5 x 的圖象判斷交點情況即知 D 的正誤.
【詳解】令 2x等價于 x ，所以 f x -1 = f 3 - x ，
所以 f x + 2 = f -x = - f x ，所以 f x + 4 = - f x + 2 = f x ，
所以函數 f x 的最小正周期為 4，故 A 錯誤；
當 x 0,1 時， f x = x，所以函數 f x 在 0,1 上遞增，
因為函數 f x 的最小正周期為 4，所以函數 f x 在 2024,2025 上的單調性與 0,1 單調性相
同，故 B 正確；
又因為 f 0 = 0， f 1 =1，令 x = 0時，則 f 2 = - f 0 = 0，
令 x =1時，則 f 3 = - f 1 = -1，又 f 4 = f 0 = 0，
所以 f 1 + f 2 + f 3 + f 4 = 0，
k =1
f k = 5 é f 1 + f 2 + f 3 + f 4 ù + f 1 + f 2 =1，故 C 正確；22
又當 x 0,1 時， f x = x，結合對稱性與周期性作出函數 f x 的圖象，如圖，
作出 y = log5 x 的圖象，由圖知兩函數共有 5 個交點，
可得方程 f x = log5 x 有 5 個根，則 D 錯誤；
故選：BC.
【點睛】方法點睛：函數的對稱性：
（1）若 f x + a + f -x + b = c ，則函數 f x a + b c 關于 , 中心對稱；
è 2 2 ÷
a + b
（2）若 f x + a = f -x + b ，則函數 f x 關于 x = 對稱.
2
11．（2024·安徽池州·二模）已知函數 f x 的定義域為R, f x +1 是奇函數，且"x R ，恒
有 f f x = x，當 x a,1 7 3時（其中 0 < a < 1）， f x = aloga x + b .若 f 0 + f ÷ = ，則
è 4 4
下列說法正確的是（ ）
A． f x 圖象關于點 1,0 對稱
B． f x 圖象關于點 0,1 對稱
C．4a + b = 1
f 1 D． - ÷ = 2
è 8
【答案】ABC
【分析】根據 f x +1 是奇函數判斷 A 項正確；由 f 1 = 0代入可得b = 0，又由 f f x = x
推導出 y = f x 1 1圖象關于直線 y = x 對稱，從而判斷 B 項；利用題設條件得到 f ÷ = ，分
è 4 4
類討論 a
1 3
的取值情況求出 a的值，從而判斷 C 項；利用選項 C 的結論，求得 f - ÷ = ，否
è 8 2
定 D 項.
【詳解】對于 A 項，由 f x +1 是奇函數得 f -x +1 + f x +1 = 0 ，
所以函數 f x 關于點 1,0 對稱，故 A 項正確；
對于 B 項，由函數 f x 的定義域為R,且 f x 關于點 1,0 對稱，則 f 1 = 0，
所以 f 1 = aloga 1+ b = 0，因 0 < a < 1，故解得b = 0 .
由 f f x = x得點 f x , x 在函數 y = f x 圖象上，
又點 x, f x 在函數 y = f x 圖象上，
所以函數 y = f x 圖象關于直線 y = x 對稱.
又由 f x 關于點 1,0 對稱，可得 f x 關于 0,1 對稱，故 B 項正確；
對于 C 項，由函數 f x 關于點 0,1 對稱得 f 0 =1，
由函數 f x 7 1 關于點 1,0 對稱得 f ÷ = - f4 ÷，è è 4
故由 f 0 7+ f 3 ÷ = 可得 f
1 1
4 4 4 ÷
= .
è è 4
1 1 1 1 1 1
① 0 < a 1當 時， [a,1]，所以 f ÷ = aloga = ， ( )a = a 4 ，4 4 è 4 4 4 4
1 1 1
因 g(x) = x 4 - (1)x , x (0, 1 ]是增函數，又 g( ) = 0，故得 a = ；
4 4 4 4
1
②當 a > 時，由函數 f x 關于直線 y = x 對稱可知函數 f x 在 0,1 內單減，
4
f a 1 1 1所以 < f ÷ ，又 f a = a, f
1
4 ÷
= ，所以 a < ，
è è 4 4 4
a 1 1這與題設 > 矛盾，舍去.所以 a = ，又b = 0，即4a + b = 1，故 C 項正確；
4 4
é1 ù
對于 D 項，由上分析，當 x ê ,1ú時， f x
1
= log x 1= - log x，
4
1 2
4 4 8
1 1 1 1
顯然 f ÷ = ，由函數 f x 關于 y = x 對稱，可知 f = ，
è 2 8 è 8 ÷ 2
由 f x 關于點 0,1 1 1 1 3對稱得 f -

÷ = 2 - f

÷ = 2 - = ，故 D 項錯誤.
è 8 è 8 2 2
故選：ABC.
【點睛】思路點睛：本題解題思路在于利用函數奇偶性及相關條件推斷出函數具備的軸對稱
和中心對稱的特征，再利用對稱性推斷結論，得到相關點的函數值，確定參數值，得到函數
的解析式，再利用函數對稱性求出相應函數值.
三、填空題
12．（2023·廣東·二模）設奇函數 f x 的定義域為R ，且 f x +1 是偶函數，若 f 1 = 7 ，則
f 2023 + f 2024 = .
【答案】 -7
【分析】根據所給函數性質求出函數周期，利用周期化簡即可得解.
【詳解】因為 f x 是奇函數，且 f x +1 是偶函數，
所以 f x +1 = f -x +1 = - f x -1 ，
所以 f x + 2 = - f x ，即 f x + 4 = - f x + 2 = f x ，
故 f x 是 4 為周期的周期函數，且有 f (0) = 0，
則 f 2023 + f 2024 = f -1 + f 0 = - f 1 = -7 .
故答案為： -7
13．（23-24 高三下·安徽·階段練習）若函數 f x + 2 為偶函數， y = g x +1 -5是奇函數，且
f 2 - x + g x = 2 ，則 f 2023 = .
【答案】-3
【分析】根據抽象函數的奇偶性、對稱性、周期性計算即可.
【詳解】由題意可知 f x 關于 x = 2軸對稱， g x 關于 1,5 中心對稱，
f 2 - x + g x = 2 f 2 - x +10 - g 2 - x = 2 f 2 - x - g 2 - x = -8，
所以 f x - g x = -8，故 f x + f 2 - x = -6 = f x + f 2 + x ，
所以 f x + 2 + f x + 4 = -6 f x = f x + 4 ，
即T = 4是 f x 的一個正周期，則 f 2023 = f 3 = f 1
由 f 2 - x + f x = -6 f -1 + f 3 = -6，且 f -1 = f 3 ，則 f 1 = -3，
故答案為：-3
14．（2024 高一·全國·專題練習）定義R 上單調遞減的奇函數 f (x) 滿足對任意 t R ，若
f (t 2 - 2t) + f (2t 2 - k) < 0恒成立，求 k 的范圍 .

【答案】 - ,
1
- ÷
è 3
【分析】根據 f (x) 為 R 上的奇函數且為減函數，可得出 k < 3t 2 - 2t 對任意的 t R 恒成立，
這樣求出 y = 3t 2 - 2t 的最小值，從而可得出 k 的取值范圍.
【詳解】因為 f (x) 是定義在 R 上的奇函數，所以
f t 2 - 2t + f 2t 2 - k < 0 f t 2 - 2t < - f 2t 2 - k = f k - 2t 2 ，
又因 f (x) 在 R 上單調遞減，
所以 t 2 - 2t > k - 2t 2 對任意 t R 恒成立，
所以 k < 3t 2 - 2t 對任意 t R 恒成立，所以 k < 3t 2 - 2t min ，
1
設 y = 3t 2 - 2t ，對稱軸 t = ，
3
2
所以當 t
1
= y 3 1 2 1 1時， min = ÷ - = - ，3 è 3 3 3
1
所以 k < - .
3
1
故答案為： - ,- ÷ .
è 3
四、解答題
ax + b
15．（23-24 高三上·河南周口·期末）已知函數 f x = 2 是定義在 -1,1 上的函數，1+ x
f -x = - f x f 1 2恒成立，且 2 ÷ = .è 5
(1)確定函數 f x 的解析式，并用定義研究 f x 在 -1,1 上的單調性；
(2)解不等式 f x -1 + f x < 0 .
x
【答案】(1) f x = 2 ，函數 f x 在 -1,1 上是增函數1+ x
1
(2) (0, )
2
1 2
【分析】（1）根據 f 0 = 0, f ÷ = ，待定系數即可求得函數解析式；利用單調性的定義，
è 2 5
結合函數解析式即可判斷和證明；
（2）利用函數奇偶性和單調性求解不等式即可.
ax + b
【詳解】（1）根據題意， f x = 2 是 -1,1 上的奇函數，故 f 0 = b = 0，1+ x
a
f 1 又 = 2
2 2 x
÷
è 2 5
= a = ，故 a =1，則 f x = 2 ，5 5 1+ x
4
x -1,1 時， f -x -x= 2 = f x ，所以 f x 為奇函數，1+ x
x
故 f x = 2 .1+ x
f x x=
1+ x2
在 -1,1 上是增函數，理由如下，
x x (x - x )(1- x x )
設 -1 < x1 < x < 1
1 2 1 2 1 2
2 ，則 f (x1) - f (x2 ) = 1+ x2
- 2 = 2 2 ，
1 1+ x2 (1+ x1 )(1+ x2 )
因為 -1 < x1 < x2 < 1，所以-1 < x1x2 <1，且 x1 - x2 < 0，則1- x1x2 > 0，
則 f (x1) - f (x2 ) < 0 ，即 f (x1) < f (x2 )，
所以函數 f x 在 -1,1 上是增函數；
（2） f x -1 + f x < 0等價于 f x -1 < - f x = f -x ，
ì-1 < x -1<1
又 f x 在 -1,1 是單調增函數，故可得 í-1 < x <1 ，

x -1< -x
解得0 < x
1
< ，即不等式 f x -1 + f x < 0 1 的解集為 0, ÷ .2 è 2
16．（23-24 高三上·山西晉中·開學考試）設 f x 是定義在 R 上的奇函數，且對任意實數 x，
恒有 f x + 2 = - f x ，當 x 0,2 時， f x = 2x - x2 ．
(1)求證： f x 是周期函數；
(2)當 x 2,4 時，求 f x 的解析式；
(3)計算 f 0 + f 1 + f 2 + ×× × + f 2023 ．
【答案】(1)證明過程見解析
(2) f x = x2 - 6x + 8
(3) 0
【分析】（1）根據已知等式，利用賦值法進行證明即可；
（2）根據函數的周期性，結合奇函數的性質進行求解即可；
（3）根據函數的周期性進行求解即可.
【詳解】（1） f x + 2 = - f x f x + 2 + 2 = - f x + 2 f x + 4 = f x ，
所以： f x 是以 4為周期的周期函數；
（2）當 x -2,0 時，因為 f x 函數是定義在 R 上的奇函數，
所以 f x = - f -x = -[2 -x - -x 2 ] = x2 + 2x，
當 x 2,4 時， f x = f x - 4 = x - 4 2 + 2 x - 4 = x2 - 6x + 8；
（3） f 0 = 0, f 1 =1, f 2 = 0, f 3 = -1，
因為函數 f x 的周期為 4，
所以 f 0 + f 1 + f 2 + ×××+ f 2023 = 506 é f 0 + f 1 + f 2 + f 3 ù = 0 .
17．（23-24 高三上·甘肅天水·階段練習）設函數 f x 對任意 x、 y R，都有
f x + y = f x + f y ，且 x > 0時， f x < 0 ．
(1)證明： f x 為奇函數；
(2)證明： f x 在 R 上為減函數．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）取 x = y = 0 可得 f 0 ，再取 y = -x即可證明；
（2）任取 x1 > x2 ， x1, x2 R ，計算 f x1 - f x2 的正負即可判斷.
【詳解】（1）取 x = y = 0 得 f 0 = f 0 + f 0
\ f 0 = 0，
取 y = -x得 f 0 = f x + f -x = 0，
即 f x = - f -x ，所以 f x 為奇函數；
（2）任取 x1 > x2 ， x1, x2 R ，
則 f x1 - f x2 = f x1 - x2 + x2 - f x2 = f x1 - x2 + f x2 - f x2 = f x1 - x2 ，
由 x1 > x2 ，得 x1 - x2 > 0，所以 f x1 - x2 < 0，
即 f x1 - f x2 < 0，
故 f x 在 R 上為減函數．
18．（2023 高三·全國·專題練習）已知函數 y = f (x) 是定義在R 上的周期函數，周期T = 5，
函數 y = f (x) （-1 x 1）是奇函數．又已知 y = f (x) 在 0,1 上是一次函數，在 1,4 上是二
次函數，且在 x = 2時函數取得最小值-5．
(1)證明： f (1) + f (4) = 0；
(2)求 y = f (x), x [1, 4]的解析式；
(3)求 y = f (x) 在[4，9]上的解析式．
【答案】(1)證明見解析
(2) f (x) = 2(x - 2)2 - 5(1 x 4)
ì-3x +15,4 x 6
(3) f x = í
2 x - 7
2 - 5,6 < x 9
【分析】（1）根據函數周期性，可得 f 4 = f -1 ，再結合函數奇偶性即可求得結果；
（2）設出二次函數解析式，結合（1）中結論，求得未知參數，則問題得解；
（3）先求出 f x 在 0,1 的解析式，再結合函數周期性，即可求得結果.
【詳解】（1）證明：∵f (x)是以5為周期的周期函數，∴ f (4) = f (4 - 5) = f (-1)，
又∵ y = f (x)(-1 x 1)是奇函數，∴ f (1) = - f (-1) = - f (4) ，∴ f (1) + f (4) = 0
（2）當 x [1, 4]時，由題意可設 f (x) = a(x - 2)2 - 5(a > 0)，
由 f (1) + f (4) = 0，得 a(1- 2)2 - 5 + a(4 - 2)2 - 5 = 0 ，∴ a = 2，
∴ f (x) = 2(x - 2)2 - 5(1 x 4) .
（3）根據（2）中所求，可知 f 1 = -3；又 f x 在 -1,1 上是奇函數，故 f 0 = 0，
故當 x 0,1 時，設 f x = kx k 0 ，則 k 1 = -3，解得 k = -3 .
故當 x 0,1 時， f x = -3x .
又 f x 在 -1,1 上是奇函數，故當 x -1,0 時， f x = -3x .
綜上，則 x -1,1 時， f x = -3x .
因為 x 1,4 時， f x = 2 x - 2 2 - 5 .
所以當 x 4,6 時， x - 5 -1,1 ，所以 f x = f x - 5 = -3 x - 5 = -3x +15；
當 x 6,9 時， x - 5 1,4 ，所以 f x = f x - 5 = 2 x - 7 2 - 5，
-3x +15, 4 x 6
綜上所述， f (x)
ì
= í .
2(x - 7)
2 - 5, 6 < x 9
19．（2023 高三·全國·專題練習）設 f (x) 是定義在 R 上的偶函數，其圖象關于直線 x =1對稱，
é 1 ù
對任意x1， x2 ê0, ú，都有 f (x1 + x2 ) = f (x ) × f (x ) f (1) = a > 02 1 2 ，且 ．
1
(1)求 f ( ), f (
1)；
2 4
(2)證明 f (x) 是周期函數；
(3)記 an = f (2n
1
+ )，求 a
2n n
．
1 1
【答案】(1) f (1) 1= a 2 , f ( ) = a 4
2 4
(2)證明見解析
1
(3) an = a 2n
1 2 1 1 2
【分析】（1）根據題意可得 f (1) = [ f ( )] 、 f ( ) = [ f ( )] ，結合 f (1) = a > 0 即可求解；
2 2 4
（2）根據抽象函數的對稱性和奇偶性可得 f (x) = f (x + 2), x R ，即可得出結果；
1 1
（3）由（1）可得 f ( ) = f (n
1 1
× ) = f ( ) f ( 1 ) ×L× f ( 1 ) = [ f ( 1 )]n 1，結合 f ( ) = a 2 和周
2 2n 2n 2n 2n 2n 2
期為 2，即可求解.
1
【詳解】（1）因為對任意的 x1, x2 [0, ]，都有 f (x1 + x2 ) = f (x ) f (x )，2 1 2
所以 f (x) = f (
x x
+ ) = f ( x ) f ( x ) 0, x [0,1]，
2 2 2 2
又 f (1)
1 1 1 1 1
= f ( + ) = f ( ) f ( ) = [ f ( )]2 ，
2 2 2 2 2
f (1) f (1 1= + ) 1= f ( ) f (1) = [ f (1)]2 ， f (1) = a > 0 ，
2 4 4 4 4 4
1 1
∴ f (1) a 2 , f (1= ) = a 4 .
2 4
（2）設 y = f (x) 關于直線 x =1對稱，故 f (x) = f (1+1- x) ，
即 f (x) = f (2 - x), x R ，又 f (x) 是偶函數，
所以 f (-x) = f (x), x R ，
∴ f (-x) = f (2 - x), x R ，將上式中-x以 x 代換，
得 f (x) = f (x + 2), x R ，
則 f (x) 是 R 上的周期函數，且 2 是它的一個周期．
（3）由（1）知 f (x) 0, x [0,1]，
f (1) f (n 1 ) f [ 1∵ = × = + (n -1)
1
× ] f ( 1 ) f [(n 1) 1= - × ] =L
2 2n 2n 2n 2n 2n
f ( 1 ) f ( 1 ) L f ( 1= × × ) = [ f ( 1 )]n ，
2n 2n 2n 2n
1 1
又 f (1) = a 2 ，∴ f ( 1 ) = a 2n .
2 2n
∵ f (x) 的一個周期是 2，
1
∴ f (2n
1 1
+ ) = f ( )，因此 2n ．
2n 2n an = a
拓展沖刺練
一、單選題
1．（2024·陜西西安·一模）已知定義在R 上的可導函數 f x ，滿足 f x ×ex < 0 ，且
f x + f -x = 0 .若 f 1 = -1，則滿足 f x -1 1的 x 的取值范圍是（ ）
A． 1,3 B． -2,1 C． 0,2 D． -1,2
【答案】C
x
【分析】由 f x ×e < 0 ，可得函數 f x 在R 上是減函數，由 f x + f -x = 0，可得函數
f x 為奇函數，再根據函數的單調性解不等式即可.
【詳解】因為 f x ×ex < 0,ex > 0，所以 f x < 0，
所以函數 f x 在R 上是減函數，
又因為 f x + f -x = 0，所以 f x = - f -x ，
所以函數 f x 為奇函數，
因為 f 1 = -1，所以 f -1 =1，
由 f x -1 1，得-1 f x -1 1，即 f 1 f x -1 f -1 ，
所以-1 x -1 1，解得0 x 2，
所以滿足 f x -1 1的 x 的取值范圍是 0,2 .
故選：C.
2．（2024·四川瀘州·二模）已知 f x ， g x 都是定義在 R 上的函數，對任意 x，y 滿足
f x - y = f x g y - g x f y ，且 f -2 = f 1 0，則下列說法正確的是（ ）
2024
A． g 0 = 0 B．若 f 1 = 2024 ，則 f n = 2024
n=1
C．函數 f 2x -1 1的圖象關于直線 x = 對稱 D． g 1 + g -1 = -1
2
【答案】D
2π 2π
【分析】利用賦值法結合題目給定的條件可判斷 A、D，取 f x = sin x, g x = cos x 可
3 3
判斷 C，對于 B，通過觀察選項可以推斷 f x 很可能是周期函數，結合 f x g y , g x f y
的特殊性及一些已經證明的結論，想到令 y = -1和 y =1時可構建出兩個式子，兩式相加即可
2024
得出 f x +1 + f x -1 = - f x ，進一步得出 f x 是周期函數，從而可求 f n 的值.
n=1
【詳解】對于 A，令 x = y = 0 ，可得 f 0 = f 0 g 0 - g 0 f 0 = 0，得 f 0 = 0，
令 y = 0 ， x =1，代入已知等式得 f 1 = f 1 g 0 - g 1 f 0 ，
可得 f 1 é1- g 0 ù = -g 1 f 0 = 0，結合 f 1 0 得1- g 0 = 0 ，
所以 g 0 =1，故 A 錯誤；
對于 D，因為 g 0 =1，令 x = 0，代入已知等式得 f -y = f 0 g y - g 0 f y ，
將 f 0 = 0， g 0 =1代入上式，得 f -y = - f y ，所以函數 f x 為奇函數.
令 x =1， y = -1，代入已知等式，得 f 2 = f 1 g -1 - g 1 f -1 ，
因為 f -1 = - f 1 ，所以 f 2 = f 1 é g -1 + g 1 ù ，
又因為 f 2 = - f -2 = - f 1 ，所以- f 1 = f 1 ég -1 + g 1 ù，
因為 f 1 0 ，所以 g 1 + g -1 = -1，故 D 正確；
對于 B，分別令 y = -1和 y =1，代入已知等式，得以下兩個等式：
f x +1 = f x g -1 - g x f -1 ， f x -1 = f x g 1 - g x f 1 ，
兩式相加易得 f x +1 + f x -1 = - f x ，所以有 f x + 2 + f x = - f x +1 ，
即 f x = - f x +1 - f x + 2 ，
有- f x + f x = f x +1 + f x -1 - f x +1 - f x + 2 = 0 ，
即 f x-1 = f x+2 ，所以 f x 為周期函數，且周期為3，
因為 f 1 = 2024 ，所以 f -2 = 2024，所以 f 2 = - f -2 = -2024， f 3 = f 0 = 0，
所以 f 1 + f 2 + f 3 = 0，
2024
所以 f n = f 1 + f 2 + f 3 +L+ f 2024
n=1
= f 2023 + f 2024 = f 1 + f 2 = 0，故 B 錯誤；
2π 2π
對于 C，取 f x = sin x， g x = cos x ，滿足 f x - y = f x g y - g x f y 及
3 3
f -2 = f 1 0，
所以 f 2x -1 = sin 2π 2x -1 ，又 f 0 = sin 0 = 0，
3
所以函數 f 2x -1 1的圖像不關于直線 x = 對稱，故 C 錯誤；
2
故選：D.
【點睛】思路點睛：對于含有 x, y的抽象函數的一般解題思路是：觀察函數關系，發現可利
用的點，以及利用證明了的條件或者選項；抽象函數一般通過賦值法來確定、判斷某些關系，
特別是有 x, y雙變量，需要雙賦值，可以得到一個或多個關系式，進而得到所需的關系，此
過程中的難點是賦予哪些合適的值，這就需要觀察題設條件以及選項來決定.
3．（2023·安徽蕪湖·模擬預測）已知函數 f x 在R 上可導，其導函數為 f x ，若 f x 滿
足： x -1 é f x - f x ù > 0， f 2 - x = f x e2-2x ，則下列判斷正確的是（ ）
A． f 1 > ef 0 B． f 2 > e2 f 0 C． f 3 > e3 f 0 D． f 4 < e4 f 0
【答案】C
f x
【分析】根據已知條件構造函數F x = x ，利用導數及題干所給條件求得的單調性，利e
用函數的對稱性，可得F (1) < F (0) = F (2) < F (3) < F (4)，對其進行比較即可判斷各選項.
x x
f x e f x - e f x f
x - f x
【詳解】設F x = x ，則F x =e e2x
= x ，e
因為函數 f x 滿足： x -1 é f x - f x ù > 0，
當 x >1時， f x - f (x) > 0,\F x > 0，所以F x 在 1, + 上單調遞增；
當 x <1時， f x - f (x) < 0,\F x < 0，所以F x 在 - ,1 上單調遞減；
又由 f 2 - x = f x e2-2x f 2 - x f x 2-x = x F 2 - x = F x ，e e
所以F x 關于直線 x =1對稱，從而F (1) < F (0) = F (2) < F (3) < F (4)，
即F (1) < F (0)
f 1 f 0
，\ 1 < 0 ,\ f (1) < ef (0)，故 A 錯誤；e e
由F (0) = F (2)
f 0 f 2
，\ 0 = 2 ,\ f (2) = e
2 f (0) ，故 B 錯誤；
e e
f 0 f 3
由F (0) < F (3)

，\ 0 3 ,\ f (3) e
3 f (3) ，故 C 正確；
e e
f 0 f 4
F (0) < F (4) \ ,\ f (4) e4由 ， 0 4 f (0)，故 D 錯誤.e e
故選：C.
f x
【點睛】關鍵點睛：解決本題的關鍵是構造函數F x = x ，利用導數法研究函數的單調e
性，結合函數的對稱性即可.
二、多選題
4．（2024·遼寧大連·一模）已知函數 f x 是定義域為 R 的可導函數，若
f x + y = f x + f y + 3xy x + y ，且 f 0 = -3，則（ ）
A． f x 是奇函數 B． f x 是減函數
C． f 3 = 0 D． x =1是 f x 的極小值點
【答案】ACD
【分析】令 x = y = 0 求出 f 0 ，令 y = -x可確定奇偶性，將 y 當作常數， x 作為變量，對
原式求導，然后可通過賦值，解不等式求單調性及極值.
【詳解】令 x = y = 0 ，得 f 0 = 0，令 y = -x，得 0 = f x + f -x ，所以 f x 是奇函數，
A 正確；
Q f x + y = f x + f y + 3x2 y + 3xy2 ,\ f x + y = f x + 6yx + 3y2
令 x = 0,\ f y = f 0 + 3y2 ，
又Q f 0 = -3,\ f y = 3y2 - 3,\ f y = y3 - 3y + c，
Q f 0 = 0,\c = 0,\ f y = y3 - 3y,\ f x = x3 - 3x,\ f 3 = 0，
令 f x = 0，\ x = ±1， f x > 0， x < -1或 x >1, f x < 0, -1 < x <1
\ f x 在 - ,-1 和 1, + 上為增函數， f x 在 -1,1 上為減函數，
\ x =1是 f x 的極小值，故 CD 正確，B 錯誤.
故選：ACD.
5．（23-24 高三下·江西·階段練習）已知函數 f (x), g(x)及其導函數 f (x), g (x) 的定義域均為
R ，若 f (2x -1)的圖象關于直線 x =1對稱， f (x) + g(x +1) = x +1, f (x +1) = g(-x) + x ，且
g(2) =1，則（ ）
A． f (x) 為偶函數 B． g(x)的圖象關于點 (3,3) 對稱
99
C． g (202) = 1 D． g(i) = 4949
i=1
【答案】BCD
【分析】首先根據抽象函數的對稱性，判斷函數 f x 的對稱性，以及周期，并結合條件轉
化，判斷函數 g x 的對稱性，利用抽象函數的導數公式，以及周期性，求 g 202 ，最后利
用函數 f x 與 g x 的關系求和.
【詳解】由 f (2x -1)的圖象關于直線 x =1對稱，可得 f (x -1)的圖象關于直線 x = 2對稱，即
f (x) 的圖象關于直線 x =1對稱，則 f 2 + x = f -x
由 f (x) + g(x +1) = x +1，可得 f (-x -1) + g(-x) = -x，又 f (x +1) = g(-x) + x ，
所以 f (-x -1) + f (x +1) = 0，所以 f (x) 的圖象關于點 (0,0)對稱，即 f (x) 為奇函數，
所以 f 2 + x = f -x = - f x ，即 f 4 + x = f x ，即函數 f x 的周期為 4，
由 f (x) + g(x +1) = x +1，可得 f (x + 5) + g(x + 6) = x + 6，因為 f (x) 的周期為 4，所以
f (x + 5) = f (x +1)，
則 g(-x) + x + g(x + 6) = x + 6，即 g(-x) + g(x + 6) = 6，所以 g(x)的圖象關于點 (3,3) 對稱，
故 B 正確；
因為 f (x) 的圖象關于直線 x =1對稱，則 f (2 - x) = f (x)，所以- f (2 - x) = f (x)，所以
f (1) = 0，
因為 f (x) 的周期為 4，所以 f (x) 的周期也為 4.由 f (x) + g(x +1) = x +1，可得
f (x) + g x +1 =1，所以 g (202) = 1- f (201) = 1- f (1) = 1，故 C 正確；
由 f (x) + g(x +1) = x +1，可得 g(x) = x - f (x -1) ，所以 g(2) = 2 - f (1)，即
99
f (1) = 1, f (2) = f (0) = 0, f (3) = -1, g(i) = (1+ 2 + 3 +L+ 99)
i=1
-[ f (0) + f (1) +L+ f (98)] = 4950 - f (0) - f (1) - f (2) = 4949，故 D 正確.
故選：BCD
【點睛】關鍵點點睛：本題考察抽象函數的性質，以及導數運算問題，本題的關鍵是以條件
等式為橋梁，發現函數 f x 與 g x 的性質關系，以及解析式的關系.
三、填空題
6．（2024·陜西·二模）偶函數 f x 的定義域為D，函數 f x 在 0, + 上遞減，且對于任意
a,b D, a 0,b 0均有 f ab = f a + f b ，寫出符合要求的一個函數 f x 為 .
【答案】 y = -logm x (m >1) （答案不唯一）
【分析】根據題意，結合對數型函數的性質，即可得到滿足條件的一個函數.
【詳解】由函數 f x = -logm x (m >1)，
當 x 0, + ，可得 f x = -logm x ，此時函數在 0, + 上單調遞減，
又由 logmab = logma + logmb，即滿足 f ab = f a + f b ，
故 y = -logm x (m >1) 均滿足要求.
故答案為： y = -logm x (m >1) （答案不唯一）
7．（2024·上海長寧·二模）已知函數 y = f x 是定義域為R 的奇函數，當 x > 0時，
f x = log2x ，若 f a >1，則實數 a的取值范圍為 ．
a | 1【答案】 - < a < 0或 a > 2
2
【分析】由已知結合奇函數的定義可求出 x < 0 及 x = 0時的函數解析式，然后結合對數函數
性質即可求解不等式.
【詳解】因為函數 y = f x 是定義域為R 的奇函數，
所以 f 0 = 0，
當 x > 0時， f x = log2x ，
當 x < 0 時， -x > 0，
所以 f -x = log2 -x = - f x ，
所以 f x = - log2 -x ，
若 f a >1，
當 a > 0時，可得 log2 a >1，解得 a > 2，
當 a<0時，可得- log2 -a >1
1
，解得- < a < 0 ，
2
當 a = 0時，可得0 > 1，顯然不成立，
1
故 a的取值范圍為 a | - < a < 0或 a > 2 .
2
1
故答案為： a | - < a < 0或 a > 2 .
2
四、解答題
2
8．（2024 高三·全國·專題練習）對于函數 f x = a - x a R .2 +1
(1)探索函數 f x 的單調性；
(2)是否存在實數 a使函數 f x 為奇函數？
【答案】(1) f (x) 在R 上為增函數
(2)存在 a =1使函數 f x 為奇函數
【分析】（1）根據復合函數的單調性判斷，再利用單調性的定義證明即可；
（2）假設存在實數 a使 f (x) 為奇函數，則 f (-x) = - f (x) ，即可求出 a的值.
f x a 2【詳解】（1）函數 = - x a R 的定義域為R ，2 +1
而 y = 2x 在定義域R 上單調遞增且 y = 2x > 0 ，
又 y
2
= 在 0, + 上單調遞減，
x
2
所以 y = x 在R 上單調遞減，2 +1
所以 f x a 2= - x 在R 上單調遞增，2 +1
證明如下：任取 x x2 x11, x2 R ，且 x1 < x2，則 2 > 2 > 0，
f x - f x 2= a - 2 所以 2 1 x - a -è 2 2 +1÷ ÷ è 2x1 +1
2 2 2 2x2 - 2x1
= x - x = > 0，2 1 +1 2 2 +1 2x1 +1 2x2 +1
\ f x2 > f x1 ，
故 f x 在R 上為增函數.
（2）假設存在實數 a使 f (x) 為奇函數，則 f (-x) = - f (x) ，
a 2 2\ -
2- x
= -a + x ，+1 2 +1
2a 2 2= + 2 2 2 2 2
x
即
2x +1 2- x
，又 x + - x = x + = 2，+1 2 +1 2 +1 2 +1 2x +1
\a = 1，
故存在實數 a =1，使函數 f (x) 為奇函數.
9．（23-24 高三上·山東菏澤·階段練習）函數 f x x R 滿足 f x + 6 + f x = 2 f 3 ，函
數 y = f x -1 的圖象關于點 1,0 對稱，求 f 2022 的值.
【答案】0
【分析】由條件 f x + 6 + f x = 2 f 3 可得函數 f x 是周期為 12 的周期函數，由周期性
得 f (2022) = f (6)，再由圖象平移關系可得 f (x) 的對稱性，結合對稱性與周期性賦值得 f (-6)
與 f (6)的兩個等式，解出 f (6)即可.
【詳解】根據題意，由 f x + 6 + f x = 2 f 3 ，
知 f (x +12) + f (x + 6) = 2 f (3) ，
兩式相減，得 f x +12 = f x ，即 f x 是周期為 12 的周期函數，
由 f x +12 = f x ，\ f (2022) = f (12 168 + 6) = f (6) .
又由 y = f x -1 的圖象關于點 1,0 對稱，
且 y = f x 的圖象是由 y = f x -1 的圖象向左平移一個單位長度得到的，
則 y = f x 的圖象關于點 0,0 對稱，即 y = f x 是奇函數.
由 f (x) 周期為12，可得 f (-6) = f (6)，
而 f x 為奇函數，則 f (-6) = - f (6) = f (6)，所以 f 6 = 0，
故 f 2022 = f 6 = 0 .
10．（22-23 x高三上·湖北·開學考試）已知函數 f x = log2 4 +1 + kx為偶函數．
(1)求實數 k 的值；
(2)解關于m 的不等式 f 2m +1 > f m -1 ；
(3)設 g x = log a ×2x2 + a a 0 ，若函數 f x 與 g x 圖象有 2個公共點，求實數 a的取值
范圍．
【答案】(1) -1
(2) - ,-2 0,+
(3) 2 2 - 2，1
【分析】（1）根據偶函數的定義建立方程，解出即可；
（2）考查函數在R 的單調性，根據條件轉化不等式，解出即可；
（3）根據題意可知方程 f x = g x 有兩個不同的根，化簡方程后，列出條件，解出即可.
【詳解】（1）函數的定義域為R ，
因為函數 f x = log x2 4 +1 + kx為偶函數．
所以 f -x = f x ，
log 4- x即 2 +1 - kx = log2 4x +1 + kx ，
所以 2kx = log2 4- x +1 - log x2 4 +1
4x +1
x
= log 42 x = log2 4
- x = -2x，
4 +1
所以 k = -1；
x
（2）因為 f x = log2 4x 1 4 +1+ - x = log2 x ÷ = log 2 2x 1+ ，
è 2 è 2
x ÷
1
當 x 0 時， 2x 1， y = 2x + x 單調遞增，2
所以 f x 在 0, + 上單調遞增，又函數 f x 為偶函數，
所以函數 f x 在 - ,0 上單調遞減；
因為 f 2m +1 > f m -1 ，所以 2m +1 > m -1 ，
解得m < -2或m > 0，
所以不等式的解集為 - ,-2 0,+
（3）因為函數 f x 與 g x 圖象有 2個公共點，
所以方程 f x = g x 有兩個不同的根，
方程即為 log2 4x +1 - x = log2 a ×2x + a ，
4x +1 1
可化為 a ×2x + a = x = 2
x +
2 2x
，
則有 a ×2x + a > 0， a > 0，
1
設 t = 2x > 0 ，則 at + a = t + ，t
即 a -1 t 2 + at -1 = 0，
又 t = 2x 在R 上單調遞增，
所以方程 a -1 t 2 + at -1 = 0有兩個不等的正根；
ìa -1 0

Δ = a
2 - 4 a -1 -1 > 0
a
所以 í- > 0 ，
a -1
1
- > 0
a -1
解得 2 2 - 2 < a <1，
a 2 2 - 2，1 所以 的取值范圍為 ．

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