資源簡介

考點(diǎn) 23 同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式（3 種核心題型
+基礎(chǔ)保分練+綜合提升練+拓展沖刺練）
【考試提醒】
sin α π
1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 sin2α＋cos2α＝1， ＝tan α(α ≠ ＋kπ，k ∈ Z .cos α 2 )
2.掌握誘導(dǎo)公式，并會(huì)簡單應(yīng)用．
【知識(shí)點(diǎn)】
1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
(1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1.
sin α π
(2)商數(shù)關(guān)系： ＝tan α α ≠ ＋kπ，k ∈ Z
cos α ( 2 ).
2．三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式
公式 一 二 三 四 五 六
π π
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
2 2
正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α
余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α
正切 tan α tan α －tan α －tan α
口訣 奇變偶不變，符號(hào)看象限
常用結(jié)論
同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的常見變形
sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；
cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
【核心題型】
題型一　同角三角函數(shù)基本關(guān)系
(1)應(yīng)用公式時(shí)注意方程思想的應(yīng)用：對于 sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α 這三個(gè)式子，
利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．
(2)注意公式逆用及變形應(yīng)用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
cos(a π- )
【例題 1】（2024·河南信陽·一模）若 2 5 -1= ，則sin
4 a +cos4 a =（ ）
sin 2a 2
A 11- 5 B 5 + 5 C 5 + 5 11- 5． ． ． D．
12 12 16 16
【答案】D
5 +1
【分析】根據(jù)題意，由二倍角公式化簡可得 cosa = ，再由同角的平方關(guān)系可得 sin2 a
4
的值，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
cos(a π- ) sina 1 5 -1 cosa 5 +1【詳解】 2 = = = ，得 = ，
sin 2a 2sina cosa 2cosa 2 4
cos2 a 3+ 5則 = ， sin2 a =1- cos2 a 5 - 5= ，
8 8
sin4 a cos4 a (sin2 a cos2 a )2 2sin2 a cos2 a 1 2 5 - 5 3+ 5 11- 5故 + = + - = - = .
8 8 16
故選：D．
2
【變式 1】（多選）（2023·海南·模擬預(yù)測）已知 cosa = ，且 sina < 0，則（ ）
4
A． tana > -1 B． tan2a <1 C． sin2a > 0 D． cos2a < 0
【答案】BD
【分析】由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系與商數(shù)關(guān)系結(jié)合二倍角公式計(jì)算即可.
【詳解】由已知及 sin2 a + cos2 a =1 sina = - 1- cos2 a 14= - ，
4
故 tana
sina
= = - 7 < -1，A 錯(cuò)誤；
cosa
tan 2a 2 tana 7= = <1，B 正確；
1- tan2 a 3
因?yàn)?sina < 0， sin 2a = 2sina cosa < 0 ，C 錯(cuò)誤；
cos 2a 2cos2 a 1 3= - = - < 0 ，D 正確；
4
故選：BD
5
【變式 2】（2024 高三·全國·專題練習(xí)）已知 cosa = - 13sina + 5 tana =13，則 .
【答案】0
【分析】利用同角的三角函數(shù)關(guān)系直接求解，注意分類討論．
【詳解】因?yàn)閏osa 5= - < 0且 cosa -1，可知a 為第二象限角或第三象限角，
13
2 2 sina 1 cos2 a 12由 sin a + cos a =1得 = ± - = ±
13
（1）當(dāng)a
12 12
為第二象限角時(shí)， sina = ， tana = - ，13sina + 5 tana = 0；
13 5
12 12
（2）當(dāng)a 為第三象限角時(shí)， sina = - ， tana = ，13sina + 5 tana = 0；
13 5
綜上可知：13sina + 5 tana = 0 .
故答案為：0.
【變式 3】（2024·山西朔州·一模）若 tan
a π- ÷ = 2，則
è 6
tan π π 1 a - ÷ + cos
2
a - ÷ - = ．
è 3 è 6 2
83
【答案】- + 5 3
10
cos2 π 1 π 【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求出 a - ÷ = ，利用正切差角公式得到 tan a - ÷，
è 6 5 è 3
從而求出答案.
sin a π- = 2cos π 【詳解】由題意得 ÷ a - ÷，
è 6 è 6
sin2 π 又 a - ÷ + cos
2 π 2 π 1
a - ÷ =1，解得 cos a -

÷ = ，
è 6 è 6 è 6 5
tan a π -

÷ - tan
π
π é π π ù 6 6 2
3
-
tan a - ÷ = tan
è 3
ê a - ÷ - ú = = = -8 + 5 3 ，è 3 è 6 6 1+ tan π a - ÷ tan
π
1 2 3+
è 6 6 3
tan π 2 π 1 1 1 83 a - ÷ + cos a - ÷ - = -8 + 5 3 + - = - + 5 3 .
è 3 è 6 2 5 2 10
故答案為： 83- + 5 3
10
題型二　誘導(dǎo)公式
誘導(dǎo)公式的兩個(gè)應(yīng)用
(1)求值：負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了；
(2)化簡：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少為終了．
2 23-24 · · x é π ù
3π
【例題 】（ 高三上 江蘇南通 期末）已知 ê0, ú ,sinx
3 5
+ cosx = ，則 tan x - ÷ =
4 5 è 4
（ ）
A．3 B．-3 C．- 5 D．2
【答案】A
tan x π 【分析】利用輔助角公式結(jié)合同角關(guān)系式結(jié)合條件可得 + = 3，然后利用誘導(dǎo)公式
è 4 ÷
求解即可.
π 3 5 π 3 10
【詳解】因?yàn)?sinx + cosx 3 5 = ，所以 2sin x + ÷ = ，所以 sin x + ÷ = ，5 è 4 5 è 4 10
又 x
é
ê0,
π ù x π π πú ，所以 +
é , ù cos π ê ú，所以 x + ÷ = 1- sin
2 x π 10+ = ，
4 4 4 2 4 ÷è è 4 10
tan x π+ 3π é π所以 ÷ = 3，故 tan x - ÷ = tan

ê x + ÷ - π
ù
ú = tan
x π +

÷ = 3 .
è 4 è 4 è 4 è 4
故選：A
【變式 1】（多選）（22-23 高一下·河南焦作·階段練習(xí)）已知角 A, B，C 是銳角三角形 ABC
的三個(gè)內(nèi)角，下列結(jié)論一定成立的有（ ）
A． sin B + C = sin A B． sin A + B ÷ = cos
C
è 2 2
C．cos A+ B < cosC D． sin A < cos B
【答案】ABC
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和及誘導(dǎo)公式，三角函數(shù)單調(diào)性一一判定選項(xiàng)即可.
p
【詳解】由題易知 A + B + C = π A、B、C < ÷ sin B + C = sin π - A = sin A，
è 2
sin A + B = sin π - C C ÷ ÷ = cos ， cos A + B = cos π - C = -cosC < 0 < cosC ，
è 2 è 2 2
即 A、B、C 結(jié)論成立.
p π
對于 D，由銳角三角形知， A + B > ，得0 < - B A
π
< < ，
2 2 2
sin A > sin π 因此 - B ÷ = cos B ，所以錯(cuò)誤.
è 2
故選：ABC
【變式 2】（2024·全國·模擬預(yù)測）在VABC 中， tan A， tan B 是方程 x2 - 6x + 7 = 0的兩個(gè)根，
則C 的值是 ．
p
【答案】 / 45°
4
【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系及兩角和的正切公式求得 tan A + B ，再利用誘導(dǎo)公式求解.
【詳解】由題意， tan A + tan B = 6， tan A × tan B = 7，
所以 tan (A B)
tan A + tan B 6
+ = = = -1，
1- tan A × tan B 1- 7
在VABC 中， tan C = tan éπ - A + B ù = - tan A + B =1，
π
由0 < C < π，可知C = .
4
π
故答案為：
4
【變式 3】（2023·湖南邵陽·模擬預(yù)測）在VABC 中，角A ， B ，C 所對的邊分別是 a，b ，
c，若3cos A + B = cos 2C + 2 .
(1)求角C 的大小；
(2)若 c = 6，求VABC 的面積S 的最大值.
2π
【答案】(1)
3
(2)3 3
【分析】（1）根據(jù)內(nèi)角和關(guān)系和誘導(dǎo)公式，二倍角余弦公式化簡方程，可求 cosC ，由此可
得角C 的大小；
（2）由條件根據(jù)余弦定理可得 a2 + b2 - 36 = -ab，結(jié)合基本不等式求 ab的最大值，結(jié)合三
角形面積公式求S 的最大值.
【詳解】（1）因?yàn)?cos A + B = cos π - C = -cosC ， cos 2C = 2cos2 C -1，
所以3cos A + B = cos 2C + 2 可化為 2cos2 C + 3cosC +1 = 0，
所以 2cosC +1 cosC +1 = 0 ，又因?yàn)?cosC -1,1
解得 cosC
1
= - ，又因?yàn)镃 0, π ，
2
2π
所以C = .
3
a2 + b2 - c2 1
（2）由余弦定理得 cosC = = - ，所以 a2 + b2 - c2 = -ab，
2ab 2
又 c = 6，所以 a2 + b2 - 36 = -ab，
所以 a2 + b2 = 36 - ab，
又因?yàn)?a2 + b2 2ab，當(dāng)且僅當(dāng) a = b時(shí)等號(hào)成立，
所以36 - ab 2ab，所以 ab 12，當(dāng)且僅當(dāng) a = b = 2 3時(shí)等號(hào)成立，
1
所以三角形的面積 S = absin C 3= ab 3 3 ，當(dāng)且僅當(dāng) a = b = 2 3時(shí)等號(hào)成立，
2 4
所以三角形面積的最大值為3 3 .
題型三　同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用
(1)利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式求值或化簡時(shí)，關(guān)鍵是尋求條件、結(jié)論間的聯(lián)
系，靈活使用公式進(jìn)行變形．
(2)注意角的范圍對三角函數(shù)值符號(hào)的影響．
【例題 3】（22-23 高三上·陜西安康·階段練習(xí)）在VABC 中，“ tan A tan B =1”是
“ sin2 A + sin2 B =1”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】利用同角的三角函數(shù)關(guān)系和誘導(dǎo)公式分別證明充分性和必要性，進(jìn)而得出結(jié)果.
sin A sin B
【詳解】若 tan A tan B =1，則 × = 1，
cos A cos B
即cos Acos B - sin Asin B = cos(A + B) = -cosC = 0，
p p p p
所以C = ，所以 A + B =2 ，即 A = - B ，所以
sin A = sin - B ，
2 2 ֏ 2
sin2 A = sin2 p - B 所以 ÷ = cos
2 B = 1- sin2 B ，所以 sin22 A + sin
2 B =1，
è
所以“ tan A tan B =1”是“ sin2 A + sin2 B =1”的充分條件．
cos2 A cos2 B
若 sin2 A + sin2 B =1，則 cos2 A + cos2 B =1，則 + =1，
sin2 A + cos2 A sin2 B + cos2 B
1 1
即 2 + 2 =1，所以 tan2 A tan2 B = 1，所以 tan A tan B =1或 tan A tan B = -1，tan A +1 tan B +1
所以“ tan A tan B =1”不是“ cos2 A + cos2 B =1”的必要條件，
所以“ tan A tan B =1”是“ cos2 A + cos2 B =1”的充分不必要條件．
故選：A．
π
【變式 1】（2024·廣西·二模）已知 sin2a = sin2a ，則 tan a + ÷ = .
è 4
【答案】1 或-3
π
【分析】由已知可得 sina = 0或 sina = 2cosa ，從而可求出 tan a + ÷ 的值.
è 4
【詳解】由 sin2a = sin2a 可得 sin2a = 2sina cosa ，所以 sina = 0 或 sina = 2cosa ，
即 tana = 0 或 tana = 2 ，
tana 0 tan
π tana +1
當(dāng) = 時(shí)， a + ÷ = =1
è 4 1- tana
π tana +1
當(dāng) tana 2

= 時(shí)， tan a + 4 ÷
= = -3，
è 1- tana
故答案為：1 或-3 .
【變式 2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知點(diǎn) A cos b -a ,sin b -a 與點(diǎn)
B cos
b 5π+ 5π ÷ ,sin b + ÷÷ 關(guān)于原點(diǎn)對稱，則 sina + cosa = ．
è è 12 è 12
2 1
【答案】 / 2
2 2
7π 7π
【分析】根據(jù)題意，列出方程組，求得a - b = 2kπ + - b , k Z，得到a = 2kπ + , k Z，
12 12
π
結(jié)合 sina + cosa = 2sin a + ÷，即可求解．
è 4
A cos b a ,sin b a B - - cos 5π 【詳解】因?yàn)辄c(diǎn) 與點(diǎn) b + ÷ ,sin
5π
12
b + ÷÷ 關(guān)于原點(diǎn)對稱，
è è è 12
ì ìcos b a 5π é 5π ù - = -cos

b + ÷ cos a - b = cos êπ - b +
è 12 è 12
÷
ú
所以 í ，即 í ，

sin b -a = -sin
5π é 5π ù
b + ÷ sin a - b = sin êπ -è 12
b +
è 12 ÷ ú
所以a - b = 2kπ
7π 7π
+ - b , k Z，解得a = 2kπ + , k Z，
12 12
所以 sina + cosa = 2sin a π+ ÷ = 2sin
7π π
+
= 2sin 5π 2= ．
è 4 è 12 4 ÷ 6 2
2
故答案為： .
2
【變式 3】（23-24 高三上·北京· 2階段練習(xí)）已知a 是第二象限內(nèi)的角， tana = - .
2
π
(1)求 cos 2a - ÷的值；
è 2
(2)已知函數(shù) f x x x 2 x 1 π= sin cos - sin + ，求 f a + ÷ 的值．2 2 2 2 è 12
2 2
【答案】(1) -
3
(2) 6 1-
12 2
【分析】（1 3 6）利用同角三角函數(shù)之間的關(guān)系以及平方和關(guān)系即可求得 sina = , cosa = - ，
3 3
再利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式可計(jì)算出結(jié)果.
f x 2（2）根據(jù)二倍角公式化簡可得 = sin x π+ ÷ ，代入計(jì)算可求出答案.2 è 4
【詳解】（1）因?yàn)?α 是第二象限內(nèi)的角， tana 2 sina 2= - ,即 = - ,
2 cosa 2
又 sin2 a + cos2 a =1，所以可得 sina 3 6= , cosa = - .
3 3
cos π 所以 2a - ÷ = sin2a = 2sinacosa
2 2
= - ；
è 2 3

即 cos 2a
π
-
2 2
÷ = - .
è 2 3
1 1- cosx 1
（2）易知 f x = sinx - +
2 2 2
1 sinx 1 cosx 2= + = sin x
π
+ ，
2 2 2 ֏ 4
π 2
所以 f a + ÷ = sin

a
π 2 1 3+ ÷ = sina + cosa ÷è 12 2 è 3 2 ÷è 2 2
2 3 2 6 1
= - = - ；2 è 6 2
÷÷
12 2
f π 6 1即 a + ÷ = - .
è 12 12 2
【課后強(qiáng)化】
【基礎(chǔ)保分練】
一、單選題
π π tana 2
1．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測）若- < a < b < ，且 cosa sin b
1
= ， =tan b 3 ，則4 4 2
cos a - b = （ ）
A 11． B 11．- C 35． D 35．-
6 6 6 6
【答案】C
【分析】利用切化弦可得 sina cos b
1
=
3 ，再由兩角和差公式先求
sin a - b ，最后由同角基
本關(guān)系式求解.
sina
tana 2 cosa 2 2 1
【詳解】因?yàn)?=tan b 3 ，則 sin b
=
3 ，則 sina cos b = cosa sin b = ，3 3
cos b
sin a 1 1 1所以 - b = sina cos b - cosa sin b = - = - ，
3 2 6
π
而- < a b
π π
< < ，則- < a - b < 0，
4 4 2
所以 cos a - b = 1- sin2 a - b 35= .
6
故選：C
2．（2024·廣東·二模） tan 7.5° - tan82.5° + 2 tan15° =（ ）
A．-2 B．-4 C．-2 3 D．-4 3
【答案】D
【分析】利用切化弦的思想，結(jié)合誘導(dǎo)公式及二倍角的正余弦公式計(jì)算得解.
【詳解】 tan 7.5 tan82.5
sin 7.5° sin82.5°
° - ° + 2 tan15° = - + 2 tan15°
cos 7.5° cos82.5°
sin 7.5° cos 7.5° 22 tan15 sin 7.5° - cos
2 7.5°
= - + ° = + 2 tan15°
cos 7.5° sin 7.5° sin 7.5°cos 7.5°
cos15° 2sin15° 2(sin2 15° - cos2 15°) -4cos30°
= - 1 + = = = -4 3sin15° cos15° sin15°cos15° sin 30°
.
2
故選：D
3π 4
3 2sin
2 a +1+ cos 2a - 2 tana
．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知 cos -a = ，則4 ÷ 7 =
（ ）
è sina
A 112 2 B 56 2 C 224 2．- ．- ．- D 28 2．-
17 17 17 17
【答案】A
【分析】利用余弦的二倍角公式、同角間的三角函數(shù)關(guān)系變形，已知式由兩角差的余弦公式
展開化簡得 sina - cosa ，再利用同角間三角函數(shù)關(guān)系變形得出 sina cosa ，代入待求式變形
后的式子計(jì)算可得．
【詳解】
2sina
2sin2 a +1+ cos 2a - 2 tana 2sin2 a + 2cos2 a - 2 tana 2 - 2 tana 2 - cosa 4 cosa - sina = = = =
sina sina sina sina 2sina cosa
（※）
而 cos
3π 2 2 4
-a

÷ = - cosa + sina = ，則sina
4 2
-cosa = ，
è 4 2 2 7 7
兩側(cè)平方可得1- 2sina cosa
32 2sina cosa 17= ，則 = ，
49 49
2sin2 a +1+ cos 2a - 2 tana 16 2 49 112 2
代入（※）式可知 = - = - ，
sina 7 17 17
故選：A．
4．（2024·遼寧沈陽·二模）已知 a 0, π ，且 sina cosa 1+ = ，則 tan2a =（ ）
5
12 12 24
A． B．-
24
C． D7 ．
-
7 7 7
【答案】C
【分析】根據(jù) sina + cosa
1
= 結(jié)合 a 0, π 可得sina,cosa與 tan a ，進(jìn)而可得 tan2a .
5
1 1
【詳解】 sina + cosa = 則 sina + cosa 2 =1+ 2sin a cos a = ，
5 25
即 sin a cos a
12
= - ，
25
π
又因?yàn)?a 0, π ，故 sin a > 0 ， cos a < 0， a ,π ÷ ，
è 2
故 sina - cosa 2 1 49= - 2sin a cos a = a π ，因?yàn)? ,π ÷ ，則 sina - cosa 7= ，25 è 2 5
結(jié)合 sina + cosa
1
= 可得 sina
4
= ， cosa
3
= - ，則 tana
4
= - .
5 5 5 3
8
-
tan2a 2 tan a 3 24故 = 2 =1- tan a 4 2
=
7 .
1- -
è 3 ÷
故選：C
二、多選題
5．（23-24 高三上·江西·階段練習(xí)）下列結(jié)論正確的是（ ）
a b πA．若 - = ，則 sina = cos b B． 2sin2 a + 3 sin 2a =1+ 2sin
2a π-
2 3 ֏
C．若 sina - cosa
1 3
= 5，則 sin 2a = D．若銳角a 滿足 cosa = ，則2 4 5
tan π +a

÷ = -3
è 4
【答案】ACD
【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡即可判斷 A；利用二倍角公式和輔助角公式化簡等式即可判斷
B；兩邊平方，結(jié)合二倍角公式可判斷 C；利用基本關(guān)系式求 tana ，結(jié)合正切的兩角和公式
可判斷 D.
π sina sin b π 【詳解】因?yàn)閍 = b + ，所以 = + ÷ = cos b ，A 正確．2 è 2
因?yàn)?2sin2 a + 3 sin 2a =1- cos 2a + 3 sin 2a =1+ 2sin
π
2a - ÷，所以 B 錯(cuò)誤．
è 6
sina cosa 1 1 sin 2a 1 sin 2a 3將方程 - = 兩邊平方，得 - = ，解得 = ，C 正確．
2 4 4
因?yàn)?cosa 5 2 5= ，所以 sina = ， tana = 2 ，
5 5
tan π +a 1+ tana 1+ 2則 ÷ = = = -3，D 正確．
è 4 1- tana 1-1 2
故選：ACD
π
6 π．（2024·河南周口·模擬預(yù)測）設(shè)a (0, )， b (0, )，則下列計(jì)算正確的是（
2 2 ）
A． cos a + b < cos a - b
B．若 sin(a
π
+ ) cos(a π+ ) 1= - ，則 tana = 2
4 4 6
tana tan b 1 πC．若 + = ，則 2b -a =
cosa 2
cos 2a 1
D．若 + = 0 a
3π
+ b =
1+ sin 2a tan b ，則 4
【答案】AD
【分析】由兩角和差的余弦公式判斷 A，利用二倍角公式及同角三角函數(shù)關(guān)系判斷 B，化弦
為切，結(jié)合兩角和差的正余弦公式求解判斷 C，利用二倍角公式及三角恒等變換化簡求解判
斷 D.
π π
【詳解】對于 A，因?yàn)閍 (0, )， b (0, )，則 cos(a + b ) = cosa cos b - sina sin b ，
2 2
cos(a - b ) = cosa cos b + sina sin b ，故 cos(a - b ) - cos(a + b ) = 2sina sin b > 0 ，
所以 cos a + b < cos a - b ，正確；
sin(a π對于 B，因?yàn)?+ ) cos(a
π
+ ) 1= sin(2a π) 1+ = cos 2a 1 1= - ，所以 cos 2a = - ，
4 4 2 2 2 6 3
2 π
而 cos 2a =1- 2sin2 a sin2，所以 a = ，又a (0, ) 6 3，所以3 2 sina =
， cosa = ，
3 3
所以 tana = 2 ，錯(cuò)誤；
sina sin b 1
對于C，由 tana + tan b
1
= 得， + = ，所以 sina cos b + cosa sin b = cos b ，
cosa cosa cos b cosa
即 sin(a + b ) = sin
π
- b
π π
÷，因?yàn)閍 (0, )， b (0, )，所以a + b (0, π),
π
- b (0, π)，
è 2 2 2 2 2
則a + b
π π π
= - b 或a + b + - b = π π，即a + 2b = 或a = （不合題意，舍去），錯(cuò)誤；
2 2 2 2
對于 D，
cos 2a 1 cos2 a - sin2 a cos b cos2 a - sin2 a cos b cosa - sina cos b
+ = + = + = +
1+ sin 2a tan b 1+ 2sina cosa sin b ，sina + cosa 2 sin b sina + cosa sin b
cos 2a 1 cosa - sina cos b
因?yàn)?+ = 0 + = 01+ sin 2a tan b ，所以 sina + cosa sin b ，
即 cosa sin b - sina sin b + sinacosb + cosa cos b = 0，即 sin(a + b ) + cos(a + b ) = 0，
所以 2 sin(a + b
π
+ ) 0 π= ，即 sin(a + b + ) = 0，
4 4
因?yàn)閍 + b (0, π)
π π 5π
，所以a + b + ( , )，
4 4 4
所以a
π 3π
+ b + = π ，所以a + b = ，正確.
4 4
故選：AD
三、填空題
6cosa
7．（2024·全國·二模）已知 tana = ，則 cos2a = .
7 - sina
7
【答案】 /0.28
25
【分析】切化弦，然后整理可得 sina ，再利用倍角公式計(jì)算即可.
6cosa sina
【詳解】 = tana = ，
7 - sina cosa
得 7 - sina sina = 6cos2 a = 6 1- sin2 a ，
3
解得 sina = 或 sina = -2（舍）
5
2
所以 cos2a = 1- 2sin2 a = 1- 2
3 7
5 ÷
= .
è 25
7
故答案為： .
25
4
8．（2024·廣東惠州·一模）若角a 的終邊在第四象限，且 cosa = ，則
5
tan π -a

÷ = ．
è 4
【答案】 7
3
【分析】利用同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系可求得 tana = - ，再利用兩角差的正切公式代
4
入計(jì)算可得結(jié)果.
2
【詳解】由 cosa
4
= 可得 sina = ± 1- cos25 a = ± 1
4 3
- ÷ = ± ，
è 5 5
又角a
3 3
的終邊在第四象限，可得 sina = - ，即 tana = - ；
5 4
π tan
π
- tana 1- tana 1
3
+
所以 tan 4 -a ÷ = = = 4 = 7 .
è 4 1+ tan π tana 1+ tana 1 3-
4 4
π
即 tan -a
= 7 .
è 4 ÷
故答案為： 7
π 2
9．（2024· 全國·模擬預(yù)測）已知 tan x + ÷ = - , x為第二象限角，則
è 7 4
sin 10π x + ÷ = ．
è 21
【答案】1- 2 66
tan π 2
π π
【分析】由 x + ÷ = - 及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得 sin x + ÷ , cos x + ÷，再
è 7 4 è 7 è 7
x 10π π+ = x + π根據(jù) ÷ + 并結(jié)合兩角和的正弦公式即可得解．21 è 7 3
Q tan x π 2【詳解】 +

÷ = - ，
è 7 4
sin x π 2\ + = - cos x π+ 7 ÷ 4 7 ÷
，
è è
2
é ù
\sin2 x π+ + cos2 π 2 π ÷ x + ÷ = ê- cos x + ÷ú + cos
2 x π+ ÷
è 7 è 7 4 è 7 è 7
9
= cos2 π
8
x + ÷ =1，
è 7
Q π 1x 為第二象限角，\ cos x π 2 2

+

÷ = - ，\sin7
x + = ，
è 3 è 7
÷
3
sin x 10π sin é x π π ù\ + = + + = sin
x π cos π cos x π π+ + + sin
è 21 ÷ ê 7 ÷ 3 ú 7 ÷ 3 ÷ è è è 7 3
1 1 2 2 3 1- 2 6
= - = ．
3 2 3 2 6
故答案為：1- 2 66
四、解答題
10．（2023·廣東珠海·模擬預(yù)測）在三角形 ABC 中，內(nèi)角A 、 B 、C 對應(yīng)的邊分別是 a、b 、
c，已知 a =1，b = 2 ， c = 6 .求：
(1) sin B 的值：
(2) cos 2B - sin A + C 的值.
【答案】(1) 10
4
(2) 1+ 10-
4
【分析】（1）利用余弦定理求出 cos B的值，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得 sin B 的
值；
（2）利用二倍角的余弦公式以及誘導(dǎo)公式可求得所求代數(shù)式的值.
【詳解】（1）解：在 VABC 中，因?yàn)閮?nèi)角A 、 B 、C 對應(yīng)的邊分別是 a、b 、 c，已知 a =1，
b = 2 ， c = 6 ，
a2 + c2 - b2 1+ 6 - 4 6
由余弦定理得 cos B = = = ，
2ac 2 1 6 4
2

由 sin2 B + cos2 B =1且0 < B < π ，得 sin B = 1- cos2 B = 1 6 10- ÷÷ = .
è 4 4
（2）解：由（1）可得 sin B 10= ，
4
cos 2B - sin A + C =1- 2sin2 B - sin π - B
2
=1- 2sin2

B sin B 1 2 10 10 1+ 10- = - ÷÷ - = - .
è 4 4 4
11．（2023·河南·模擬預(yù)測）已知函數(shù) f x = 2cosx sinx + 3cosx - 3 .
f a π 10 f 2a π (1)若 + 4 ÷
= ，求 - ÷的值；
è 13 è 12
(2)設(shè) g x = f x π π 1+ + f x - - f ÷ ÷ x
π f π+
12 6 2 12 ÷
x - ÷ ，求函數(shù) g x 的最小值.
è è è è 6
238
【答案】(1)
169
(2) -2 2 -1
【分析】（1）先把函數(shù)化成 f x = Asin wx +j 的形式，在結(jié)合誘導(dǎo)公式和兩角和與差的
三角函數(shù)公式求值；
（2）先化簡 g x 得表達(dá)式，用換元法把問題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)在給定區(qū)間上的值域問題求解.
2 π
【詳解】（1）因?yàn)?f x = 2sin x cos x + 3 2cos x -1 = sin 2x + 3 cos 2x = 2sin 2x + ÷ .
è 3
f a π+ 10 π π 10 π= 2sin 2a + + 5 4 ÷ 13 2 3 ÷
= cos 2a + ÷ = .
è è 13 è 3 13
f 2a
π
- ÷ = 2sin
é2 ê 2a
π π ù π é π π ù- ÷ + = 2sin

12 12 3 ú
4a + ÷ = 2sin 2 2a + ÷ -
è è è 6 ê è 3 2 ú
2cos é2 2a π ù 2 é2cos2 2a π ù
é 5 2 ù 238
= - ê + ÷ú = -

è 3 ê
+ ÷ -1
è 3 ú
= -2 ê2 13 ÷
-1ú = .
ê è ú 169
f x π 2sin 2x π π （2）因?yàn)椋? + ÷ = + + ÷ = 2cos 2x，
è 12 è 6 3
f π x - ÷ = 2sin
π π
2x - + ÷ = 2sin 2x .
è 6 è 3 3
所以： g x = 2sin 2x + 2cos 2x - 2sin 2x·cos 2x .
π
設(shè) sin 2x + cos 2x = t ，則 t = 2 sin 2x + ÷ é- 2, 2 ù ，且 2sin 2x·cos 2x = t 24 -1，è
所以： y = -t 2 + 2t +1 = - t -1 2 + 2，
當(dāng) t = - 2 時(shí)， ymin = -2 2 -1 .
所以 g x 的最小值為-2 2 -1 .
【綜合提升練】
一、單選題
cos 3π - 2a
1．（2024 2高三·全國·專題練習(xí)）已知 sina = ，則 2 ÷è （= ）4 tana
7 7 1 1
A．- B． C． D．-
4 4 4 4
【答案】A
【分析】由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出 cos2 a ，再由誘導(dǎo)公式、二倍角公式化簡所求式即
可得出答案．
2 2 1 7
【詳解】由 sina = 得 cos a =1- = ，
4 8 8
cos 3π - 2a

2 ÷è -sin2a 2sina cosa 7則 = = - 2
tana tana sina
= -2cos a = - ．
4
cosa
故選：A.
1
2．（2024·河南·二模）已知 sinx + cosx = ，則 cos 2x
π
- ÷ =3 2
（ ）
è
- 3 3 8 8A． B． C． D．-
5 5 9 9
【答案】D
【分析】對已知等式兩邊平方結(jié)合平方關(guān)系、二倍角公式以及誘導(dǎo)公式即可運(yùn)算求解.
【詳解】
Qsinx + cosx 1= ,\(sinx + cosx)2 1 sin2x 1 , 8 π 8= + = \sin2x = - ,\cos 2x -

÷ = sin2x = - .3 9 9 è 2 9
故選：D.
sinacosa 1
3．（2024·全國·模擬預(yù)測）若 = - ，則 sin2a = （ ）
sina + cosa +1 5
16 16 9 9
A． B．- C． D -
25 25 25
．
25
【答案】B
sinacosa 1 3
【分析】法一：由已知得 = sina + cosa -1 ，可得 sina + cosa = ，兩邊平
sina + cosa +1 2 5
方化簡可求結(jié)論.
法二：由已知得5sina cosa + sina +cosa +1 = 0 ，利用輔助角公式可得
10sin2 a π+ ÷ + 2 2sin a
π
+ ÷ - 3 = 0，可求得 sin a
π 3 2
+ ÷ = ，進(jìn)而可求結(jié)論.è 4 è 4 è 4 10
【詳解】法一：由題知 sina + cosa +1 0，
1 é
sinacosa sina + cosa
2 -1ù
得 = 2 1= sina 1+ cosa -1 = - ，
sina + cosa +1 sina + cosa +1 2 5
所以 sina + cosa
3
= 2，兩邊同時(shí)平方，可得 sin a + 2sina cosa + cos2 a
9
= ，
5 25
9 16
所以1+ sin2a = ，所以 sin2a = - ．
25 25
sinacosa 1
法二：由 = - ，得5sina cosa + sina +cosa +1 = 0 ，
sina + cosa +1 5
π
所以5sin2a + 2 2sin a + ÷ + 2 = 0 ，
è 4
即-5cos

2a
π
+ ÷ + 2 2sin
a π +

÷ + 2 = 0 ，
è 2 è 4
10sin2 a π 2 2sin a π即 +

÷ + + ÷ - 3 = 0，又 sina + cosa +1 0，
è 4 è 4
sin π 3 2
π
所以 a + ÷ = ，所以 sin2a = -cos 2a + ÷ = 2sin
2 a π+ -1 16= - ．
è 4 10
÷
è 2 è 4 25
故選：B．
4．（2024·江西·二模）已知 cos 140° -a = cos 200° +a + sin 130° -a ，求 tana =（ ）
A 3． B 3．- C． 3 D．- 3
3 3
【答案】D
o
【分析】由誘導(dǎo)公式將條件式化簡為-cos 40 +a = -cos 20o +a + cos 40o -a ，再利用
兩角和與差公式化簡運(yùn)算得解.
【詳解】根據(jù)題意， cos é 180
o - 40o +a ù = cos o é180 + 20o +a ù + sin é90o + 40o -a ù ，
由誘導(dǎo)公式，可得-cos 40o +a = -cos 20o +a + cos 40o -a ，
所以 cosa cos 20o - 2cosa cos 40o = sin 20o sina ，
cos 20o - 2cos 40o cos 20o - 2cos 60o - 20o 則 tana = =
sin 20o sin 20o
- 3 sin 20o
= = - 3 .
sin 20o
故選：D.
5．（2024·山東濟(jì)南·三模）若 sina - cosa = 2 ，則 tana =（ ）
A．1 B． -1 C．2 D．-2
【答案】B
【分析】由同角的三角函數(shù)和二倍角公式結(jié)合特殊角的三角函數(shù)計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)?sina - cosa = 2 ，
所以 sina - cosa 2 = sin2 a + cos2 a - 2sina cosa = 1- sin 2a = 2，
3 3
所以 sin 2a = -1 2a = 2kπ + π a = kπ + π,k Z ，
2 4
所以 tana = -1，
故選：B
6．（2024·湖南岳陽·二模）已知 n Z,sin
nπ +a ÷ + cos
nπ 1
-a

2 2 ÷
= ，則（
3 ）è è
A． cosa + sina
1
=
3
B． cosa + sina
1
= -
3
8
C． sin2a = -
9
8
D． sin2a =
9
【答案】C
【分析】分類討論并利用誘導(dǎo)公式對 sin
nπ
+a
nπ
÷ + cos -a
1
2 2 ÷
= 進(jìn)行化簡，再利用同角
è è 3
三角函數(shù)關(guān)系式、倍角公式的逆用求得sin2a .
【詳解】設(shè) k Z
sin nπ① n = 4k 時(shí)， +a

÷ + cos
nπ
-a

÷ = sin 2kπ +a + cos 2kπ -a = sina +cosa
1
= ，
è 2 è 2 3
② n = 4k +1時(shí)，
sin nπ a cos nπ+ + -a = sin ÷ ÷ 2kπ+
π a cos 2kπ+ π 1+ ÷ + -a

÷ = cosa +sina = ，
è 2 è 2 è 2 è 2 3
③ n = 4k + 2時(shí)，
sin nπ a cos nπ + ÷ + -a

÷ = sin 2kπ+π +a + cos 2kπ+π
1
-a = -sina - cosa = ，
è 2 è 2 3
此時(shí) cosa +sina
1
= -
3
④ n = 4k + 3時(shí)，
sin nπ nπ +a ÷ + cos -a ÷ = sin

2kπ+
3 π +a ÷ + cos

2kπ+
3 π -a ÷ = -sina - cosa
1
= ，
è 2 è 2 è 2 è 2 3
此時(shí) cosa +sina
1
= -
3
綜合①②③④，可以排除A 、 B ,
sina +cosa 2 = sin2 a +cos2 a + 2sina cosa = sin2 a +cos2 a + sin 2a 1=1+ sin 2a = ，
9
8
所以 sin2a =- ，
9
故選：C.
π
7．（2024 高三下·全國·專題練習(xí)）已知角a 為第三象限角， tana = 2 2 ，則 cos a - 6 ÷
=
è
（ ）
A 1+ 2 6．- B．1- 2 66 C
2 2 - 3
． D 3 + 2 2．-
6 6 6
【答案】D
【分析】先利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出a 的正弦值與余弦值，利用兩角差的余弦公式
π
即可求出 cos a - 6 ÷
．
è
【詳解】∵ tana = 2 2 ，∴ sina = 2 2cosa ，
∴ sin2a + cos2a = (2 2cosa )2 + cos2a = 9cos2a =1．
1
Q角a 為第三象限角，∴ cosa = - ，
3 sina
2 2
= - ，
3
∴ cos a π- ÷ = cosacos
π
+ sinasin π 1 3 2 2 1 3 + 2 2=
6 6 6
-
3 ÷
- = - ，
è è 2 3 2 6
故選：D．
8．（2024·新疆·一模）已知: sin 20o -q + sin 20o +q + sin 40o -q = 0，則 tanq = （ ）
A 3．- 3 B．- C 3． D． 3
3 3
【答案】D
【分析】利用三角恒等變換計(jì)算即可.
o o o
【詳解】由 sin 20 -q + sin 20 +q + sin 40 -q = 0
2sin 20o cosq + sin 40o cosq = cos 40o sinq ，
o o o
則 tanq sinq 2sin 20
o + sin 40o 2sin 20 + sin 60 - 20
= =
cosq cos 40o
=
cos 40o
3 sin 20o 3+ cos 20o
2 2 3 sin 20o + 30o .= o = = 3cos 40 cos 40o
故選：D
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用等式條件及正弦的和差角公式及同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系得出
tanq 2sin 20
o + sin 40o
= o ，再根據(jù)特殊角及正弦的差角公式與誘導(dǎo)公式計(jì)算即可.cos 40
二、多選題
9．（23-24 高一上·廣東清遠(yuǎn)·期末）已知 tana - tanb = tan a - b kπ，其中a k Z 且
2
b mπ m Z ，則下列結(jié)論一定正確的是（
2 ）
A． sinasinb = 0 B． sin a - b = 0
C． cos a - b =1 D． sin2a + cos2b =1
【答案】BD
sin a - b = 0 sinasinb = 0 a kπ k Z b mπ【分析】由題意化簡得 或 ，結(jié)合 且 m Z
2 2
即可判斷 AB；結(jié)合平方關(guān)系以及a - b = nπ, n Z即可判斷 CD.
kπ mπ
【詳解】因?yàn)?tana - tanb = tan a - b ，其中a k Z 且 b m Z ，
2 2
tana tanb sina sinb sinacosb - sinbcosa
sin a - b sin a - b
所以 - = - = = =cosa cosb cosacosb cosacosb cos a b ，-
所以 sin a - b = 0或 cos a - b = cosacosb ，即 sin a - b = 0或 sinasinb = 0 .
a kπ k Z b mπ因?yàn)? 且 m Z ，所以 sinasinb 0，所以 sin a - b = 0，B 正確，A
2 2
錯(cuò)誤；
因?yàn)?sin a - b = 0，所以a - b = nπ, n Z，所以 cos a - b = ±1，C 錯(cuò)誤；
因?yàn)閍 - b = nπ, n Z sin2a + cos2，所以 b = sin2 nπ + b + cos2b = sin2b + cos2b =1，D 正確.
故選：BD.

10．（2024·云南·一模）為得到函數(shù) y = 6sin 2x
π
+ ÷ 的圖象，只需要將函數(shù) y = 6sin2x的圖象
è 3
（ ）
π π
A．向左平行移動(dòng) 個(gè)單位 B．向左平行移動(dòng) 個(gè)單位
6 3
5π 11π
C．向右平行移動(dòng) 個(gè)單位 D．向右平行移動(dòng) 個(gè)單位
6 6
【答案】ACD
【分析】根據(jù)已知條件，逐項(xiàng)分析各個(gè)選項(xiàng)，利用誘導(dǎo)公式化簡函數(shù)解析式即可判斷.
π é π ù
【詳解】A 選項(xiàng)，向左平行移動(dòng) 個(gè)單位，有 y = 6sin ê2 x + ÷ú = 6sin
2x π + ÷，A 正確；6 è 6 è 3
π é π ù 2π
B 選項(xiàng)，向左平行移動(dòng) 個(gè)單位，有 y = 6sin ê2 x + ÷ú = 6sin3
2x + ÷，B 錯(cuò)誤；
è 3 è 3
5π
C 選項(xiàng)，向右平行移動(dòng) 個(gè)單位，有 y = 6sin
é 5π ù
ê2 x - ÷ú = 6sin 2x
5π
- ÷ ，6 è 6 è 3
y = 6sin 5π é π ù π 2x - ÷ = 6sin3 ê
2x +
3 ÷
- 2πú = 6sin 2x + ÷ ，C 正確；è è è 3
11π é 11π ù 11π
D 選項(xiàng)，向右平行移動(dòng) 個(gè)單位，有 y = 6sin 2 x -
6 ê 6 ÷ú
= 6sin 2x - ÷ ，
è è 3
y 6sin 2x 11π é π ù= -

÷ = 6sin ê 2x + ÷ - 4πú = 6sin
π
3
2x + ÷ ，D 正確；
è è 3 è 3
故選：ACD
11．（2023·廣東·模擬預(yù)測）如圖是函數(shù) f x 的部分圖象，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． f x 2sin 2x π= + 4 ÷è
B． f x 3π= -2sin - 2x4 ÷è
C． f x = 2cos 3π 2x + ÷
è 4
D． f x π= 2cos - 2x

÷
è 4
【答案】AD
【分析】由圖象求出 f x 的解析式，再結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式逐項(xiàng)分析即得.
【詳解】設(shè) f x = Asin wx +j A > 0,w > 0 ，
2π 3π π
則 f x 的最小正周期為：T = = 4 - =π ，
w è 8 8 ÷
所以w = 2，因?yàn)?f x 的最大值為 2，最小值為-2，
所以 A = 2，所以 f x = 2sin 2x +j ，
2 π因?yàn)? +j
π
= + 2kπ,k Z π，所以j = + 2kπ,k Z ，
8 2 4
所以 f x = 2sin 2x
π π
+ + 2kπ ÷ =2sin

2x +

÷，故 A 正確，
è 4 è 4
f x =2sin 2x + π 3π- = 2sin éπ + 2x 3π ù- = -2sin 2x 3π- = 2sin 3π 4 ÷ ê 4 ÷ú ÷ - 2x ÷ ，故 B 不正è è è 4 è 4
確；
f x 2sin 2x π π 2sin π 2x π= + - = + - π π ÷ ÷ = 2cos

2x -

÷ = 2cos
- 2x ÷ ，故 D 正確；
è 2 4 è 2 4 è 4 è 4
f x 3π= 2cos π - - 2x
=2cos éπ - 3π + 2x ù 3π÷ ê ÷ú = -2cos

+ 2x

÷，故 C 不正確.
è 4 è 4 è 4
故選：AD.
三、填空題
12 1．（2024·黑龍江·二模）已知函數(shù) f x 滿足： f tan x = cos 2x ，則
f (2) + f (3) +L+ f (2024) f 1+ + f 1 1 2 ÷ ÷
+L+ f
3 ÷
= ．
è è è 2024
【答案】 0
【分析】借助三角恒等變換公式可得 f tan x + f
1
÷ = 0，即可得解.
è tan x
f tan x 1 cos
2 x + sin2 x 1+ tan2 x
【詳解】 = = =
cos 2x cos2 x - sin2 x 1- tan2
，
x
1
f tan x f 1 1+ tan
2 x 1+ 2 1+ tan2 x tan2
+ = + tan x x +1則 = + = 0
è tan x ÷ 1- tan2 x 1 1
2 2 ，
- 1- tan x tan x -1
tan2 x
則 f (2) + f (3) +L+ f (2024) + f
1 + f 1 ÷ ÷ +L+ f
1
÷
è 2 è 3 è 2024
é
=
1 ù é 1 ù é 1 ù
ê f 2 + f ÷ú + ê f 3 + f ÷ú +L+ f 2024 + f

è 2
÷
ê ú è 3 è 2024
= 0 + 0 +L+ 0 = 0 .
故答案為： 0 .
13．（2023·青海·模擬預(yù)測）如圖，直徑 AB =10的半圓，D為圓心，點(diǎn)C 在半圓弧上，
sin ADC = 0.8, P 為 AB 的中點(diǎn)， AP 與BC 相交于點(diǎn)E ，則 cos PEC = .
10
【答案】-
10
【分析】連接 AC, DP ，根據(jù)條件先求解出 sin CAP 的值，然后再根據(jù)圓的幾何性質(zhì)結(jié)合誘
導(dǎo)公式以及二倍角公式得到 cos PEC 與 sin CAP 的等量關(guān)系，由此可求結(jié)果.
【詳解】連接 AC, DP ，如下圖所示：
因?yàn)?P 為 AB 的中點(diǎn)，所以 ADP = 90° ，
所以 sin ADC = sin 90° - CDP = cos CDP = 0.8，
1
又因?yàn)?CAP = CDP ，
2
所以 cos CDP = cos 2 CAP =1- 2sin2 CAP = 0.8，
所以 sin 10 CAP = （負(fù)值舍去），
10
因?yàn)?AB 為直徑，所以 ACB = 90°，
所以 cos PEC = cos ACE + CAE = cos 90° + CAE = -sin CAE 10= -sin CAP = - ，10
10
故答案為：- .
10
π 1 1
14．（2024·江蘇·一模）已知a , b 0, ÷，且 sina - sin b = - ， cosa - cos b = ，則
è 2 2 2
tana + tanb = ．
8 2
【答案】 / 2
3 3
π
【分析】變形后得到 sina + cosa = sinb + cosb ，利用輔助角公式得到a + b = ，得到
2
sina cosa 1- = - ，兩邊平方后得到 sina cosa
3
= ，利用同角三角函數(shù)關(guān)系求出
2 8
tana + tan b 1 8= = .
sina cosa 3
【詳解】由題可知 sina - sinb = -cosa + cosb ，所以 sina + cosa = sinb + cosb ，
所以 2 sin
a π+ π ÷ = 2 sin
b + ，
è 4 ÷ è 4
a , b π π π 3π π π 3π 因?yàn)? 0, 2 ÷
，所以a + , ÷ , b + , ÷，
è 4 è 4 4 4 è 4 4
a b a π b π π a b π又 ，所以 + + + = ，故 + = ，
4 4 2
所以 sina - sin b = sina cosa
1
- = - ，
2
2 2 1 3
兩邊平方后得 sin a - 2sina cosa + cos a = ，故 sina cosa = ，
4 8
tana tan b 1 sina cosa 1 8+ = tana + = + = = ．
tana cosa sina sina cosa 3
8
故答案為：
3
四、解答題
15．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）在銳角VABC 中，角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c，已
知 tan 2C
3
= - ．
4
(1)求 cosC ；
(2)若 c = 4，求VABC 面積的最大值．
【答案】(1) cosC 10=
10
(2) 4 + 4 10
3
【分析】
（1）利用二倍角公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算即可；
（2）利用余弦定理及基本不等式結(jié)合三角形面積公式計(jì)算即可.
【詳解】（1）Q tan 2C
2 tan C 3
= = - ，解得 tan C = 3（負(fù)值舍去），
1- tan2 C 4
又VABC 是銳角三角形，則 sin C > 0,cosC > 0，
1- cos2 C 10
故 = 3 cosC = ；
cosC 10
2 Qa2 b2 c2 2ab cosC 16 10（ ） + = + = + ab 2ab，
5
ab 80 + 8 10解得 80 + 8 10，當(dāng)且僅當(dāng) a = b = 時(shí)取得等號(hào)，
9 9
3
由（1）知 sin C =
10
S 1 absin C 1 80 + 8 10 3 4 + 4 10故 △ABC = = ，2 2 9 10 3
故VABC 4 + 4 10面積的最大值為 ．
3
16．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知VABC 為銳角三角形，且 sinC + 3cosC = 3cos A - B ．
(1)求 tanA + tanB 的值；
1
(2)求 的最小值．
sinAsinBsinC
【答案】(1) 6
(2) 37 -1
3
【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和為 π，結(jié)合兩角和與差的正弦余弦公式將
sinC + 3cosC = 3cos A - B 變形，求解即可；
1
（2）結(jié)合（1）把 變形，整理得到關(guān)于正切的式子，令 a = tanA，b = tanB，
sinAsinBsinC
然后利用不等式求解最小值.
【詳解】（1）因?yàn)?A + B + C = π，所以 sin C = sin A + B ， cosC = -cos A + B ，
在銳角VABC 中，因?yàn)?sinC + 3cosC = 3cos A - B ，
所以 sin A + B - 3cos A + B = 3cos A - B ，
即 sin A + B = 3 écos A + B + cos A - B ù，
所以 sinAcosB + cosAsinB = 6cosAcosB ，
在銳角VABC 中，A ， B 為銳角，所以 cosAcosB 0，
所以 tanA + tanB = 6 ；
（2）由（1）知 sinAcosB + cosAsinB = 6cosAcosB ，所以 sin A + B = 6cosAcosB，
即 sinC = 6cosAcosB ，
1 1
所以 =
sinAsinBsinC 6sinAcosAsinBcosB
1 sin2 A + cos2 A sin2B + cos2B
= × ×
6 sinAcosA sinBcosB
1
= tanA
1
+ ÷ tanB
1
+ ，
6 è tanA è tanB ÷
令 a = tanA，b = tanB，則 a + b = 6，
1 1 2 2 a + b
2 - 2ab
所以原式= a + ÷ b
1 1 ab 1 a + b 1+ ÷ = + + = ab
1
+ + ÷
6 è a è b 6 è ab ab
÷
6 è ab ab ÷
1
= ab 1 36 - 2ab+ + 1

÷ =

ab
37 2 1+ - ÷ 2 ab
37 37 -1
× - 2÷÷ = ，6 è ab ab 6 è ab 6 è ab 3
37
當(dāng)且僅當(dāng) ab = ，即 tan A tan B = 37 ，又 tan A + tan B = 6，ab
ì tan A = 3 + 9 - 37 ìtan A = 3 - 9 - 37 6 37 +1
即 í 或 í ， tan C = = 時(shí)等號(hào)成立，符合
tan B = 3 - 9 - 37 tan B = 3 + 9 - 37 37 -1 6
37 -1
銳角三角形，所以原式的最小值為 .
3
π
17．（2024·湖北·一模）在VABC 中，已知 AB = 2 2, AC = 2 3,C = ．
4
(1)求 B 的大小；
(2)若BC > AC ，求函數(shù) f x = sin 2x - B - sin 2x + A + C 在 -π, π 上的單調(diào)遞增區(qū)間．
π 2π
【答案】(1) B = B =3 或 3
é 7π-π,- ù(2) ê ,
é π , 5π- ù , é11π , πù
12 ú ê 12 12 ú ê 12 ú
【分析】（1）利用正弦定理及三角函數(shù)的特殊值對應(yīng)特殊角即可求解；
（2）利用大邊對大角及三角形的內(nèi)角和定理，再利用誘導(dǎo)公式及三角函數(shù)的性質(zhì)即可求
解.
【詳解】（1）在VABC 中，由正弦定理可得：
AB AC 2 2 2 3
= = 3，即 2 sinB ，解得sinC sinB sinB =
，
2
2
2π
又0 < B < π ，故 B π= 3 或B = ．3
π 2π
（2）由BC > AC ，可得A > B，故B = , A + C = .
3 3
f x sin 2x π sin 2x 2π= - - + = sin 2x π- - sin π 3 ÷ 3 ÷ 3 ÷ 2x + π - ÷è è è è 3
= 2sin 2x π- ÷ ,
è 3
π 2kπ 2x π π π 5π令- + - + 2kπ,k Z ,解得- + kπ x + kπ，k Z .
2 3 2 12 12
由于 x -π,π π x 7π π 5π 11π，取 k = -1，得- - ；取 k = 0，得- x ；取 k =1，得 x π，
12 12 12 12
f x -π, π é π, 7π ù , é π- - - , 5π ù , é11π ù故 在 上的單調(diào)遞增區(qū)間為
ê 12 ú ê 12 12 ú ê
, πú ． 12
18．（2024·四川內(nèi)江·三模）在斜VABC 中，角 A、B、C 所對的邊分別為
a, b,c, 2 cos π B + ÷ + cos(A + C) + 2 = 0．
è 2
(1)求 cos 2B的值；
A C π(2)若 = + ,b = 3 ，求VABC 的面積．
2
7
【答案】(1)
9
(2) 3 2
2
π
【分析】（1）化簡 2 cos B + ÷ + cos(A + C) + 2 = 0 可得2 cos B = 2 - 2 sin B，結(jié)合è
sin2 B + cos2 B =1，解方程即可求得答案；
（2 3）利用二倍角公式可求出 sinC = ,cosC 6= ，繼而求得 sin A ，再由正弦定理求出 a，
3 3
由三角形面積公式，即可求得答案.
π
【詳解】（1）由于 2 cos B + ÷ + cos(A + C) + 2 = 0 ，
è 2
故 2 sin B + cos B = 2 ，則 cos B = 2 - 2 sin B，
代入 sin2 B + cos2 B =1，得3sin2 B - 4sin B +1 = 0，
解得 sin B
1
= 或 sin B =1，由于VABC 為斜三角形，故 sin B =1舍去；
3
cos 2B 2 7則 = 1- 2sin2 B = 1- =9 9 ；
A C π , A π（2）由 = + + B + C = π ，得 2C = - B，
2 2
則 cos 2C = cos
π 1
- B ÷ = sin B = ，
è 2 3
1 1
即1- 2sin2 C = ,sin2 C =
π
，由于 A = C + 2 ，故 C 為銳角，3 3
π 6
則 sinC 3= ,cosC 6= ，故 sin A = sin C +

÷ = cosC = ，3 3 è 2 3
a b 3
b 3 = = 1 = 3 3又 = ，故 sin A sin B ，
3
則 a 6= 3 3 sin A = 3 3 = 3 2 ，
3
1 1 3 3 2
所以 SVABC = absin C = 3 2 3 = .2 2 3 2
19．（2022·浙江·模擬預(yù)測）記VABC 的內(nèi)角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，已知
cos A
=1+ sin A .
tan B
(1)若 A = B ，求 C；
a sin B + bsin A
(2)求 的取值范圍.
2bcos B
【答案】(1) C
2π
=
3
(2) 0,1
π 2π
【分析】（1）先由題給條件求得 A = B = ，進(jìn)而求得C = ；
6 3
π π
（2）先利用正弦定理和題給條件求得 A = - 2B 和0 < B < ，再構(gòu)造函數(shù)
2 4
1 2 a sin B + bsin Ay = 2t - , < t <1，求得此函數(shù)值域即為 的取值范圍
t 2 2bcos B
cos A
【詳解】（1）由 A = B ， =1+ sin A
tan B
cos A
可得 =1+ sin A 2，則 cos A = 1+ sin A sin A
tan A
1
整理得 2sin2 A + sin A -1 = 0，解之得 sin A = 或 sin A = -12
π π π 2π
又 0 < A < ，則 A =2 ，則
B = C =
6 6
，則
3
（2）A ，B 為VABC 的內(nèi)角，則1+ sin A > 0
cos A 1 sin A cos A則由 = + ，可得 > 0，則 A、B均為銳角
tan B tan B
cos2 A - sin2 A 1- tan A
tan B cos A= = 2 2 = 2 = tan π A-
1+ sin A A ÷(sin + cos A)2 1+ tan A è 4 2
2 2 2
0 B π ,0 π A π π A又 < < < - < ，則B = - ，0 < B
π
<
2 4 2 4 4 2 4
A π
π
則 = - 2B

，則 sin A = sin - 2B ÷ = cos 2B2 è 2
因?yàn)?a sin B = bsin A ,
a sin B + bsin A 2bsin A 2bcos 2B 2cos2 B -1
則 = = = = 2cos B 1-
2bcos B 2bcos B 2bcos B cos B cos B
π
令 t = cos B 0 < B <
2
4 ÷ ，則 < t <1è 2
2
又 f (t) = 2t
1
- 2在 ,1÷÷單調(diào)遞增，t 2 f ( ) = 0
， f (1) =1
è 2
可得0 < 2t
1
- <1，則 2cos B
1
- 的取值范圍為 0,1 ，
t cos B
a sin B + bsin A
則 的取值范圍為 0,1
2bcos B
【拓展沖刺練】
一、單選題
π 1 2π
1．（2024·福建南平·二模）已知 tan a + ÷ = ，則 cos 2a - ÷ = （ ）
è 6 2 è 3
3 3 4 4
A．- B． C．- D．
5 4 5 5
【答案】A
2 π 1
【分析】由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出 sin a + ÷ = ，再由二倍角的余弦公式和誘導(dǎo)公
è 6 5
式化簡代入即可得出答案.
ì sin a π+ ÷
è 6 1=
tan a π 1 【詳解】因?yàn)? + ÷ = ，所以 ícos

a
π
+ 2
è 6 2 è 6
÷ ，


sin2 a π+ + cos2 ÷ a
π
+ ÷ =1
è 6 è 6
解得： sin2
a π 1 +
= ，
è 6 ÷ 5
cos 2a
2π
- = cos é2 a π πù cos é2 a π ù é+ - = - + = - 1- 2sin2 a π+ ù
3 ÷ ê 6 ÷ ú ê 6 ÷è è è ú ê ÷ è 6
ú

1 3
= - éê1- 2
ù = - .
5ú 5
故選：A.
π (1+ sina )(1+ cosa )
2．（2024·遼寧丹東·一模）已知a (0, )， = 4 2 +1，則 sin 2a =（
2 ）(1- sina )(1- cosa )
A 4 2 +1 B 4 2 +1 C 4 2 -1． ． ． D 4 2 -1．
8 16 8 16
【答案】A
【分析】首先結(jié)合二倍角公式、半角公式以及角的范圍將已知等式變形為
1 sina cosa +1+
2 2
cosa -1 1 = 4 2 +1，解得 sina + cosa
2
=1+ ，兩邊平方即可求解.
+ sina 4
2 2
【詳解】因?yàn)閍 (0,
π) a ，所以 (0,
π) a a，所以 cos > sin ，
2 2 4 2 2
2
sin a + cos a ×2cos2 a
(1+ sina )(1+ cosa ) ÷
= è 2 2 2所以
(1- sina )(1- cosa ) 2 sin a cos a 2sin2 a - ÷ ×
è 2 2 2
sin a + cos
a cos a 1 cosa +1
= è 2 2
÷
2
sina +
= 2 2cosa 1 1 = 4 2 +1- ，
-sin
a
+ cos a a÷sin + sina
è 2 2 2 2 2
1 1 1
所以 sina + cosa + = sina + cosa × 4 2 +12 2 2
1
- ×
2 4 2 +1 ，
即 2 2 sina + cosa = 2 2 +1，
所以 sina + cosa =1 2+ ，
4
2

即 sina + cosa 2 =1+ 2sina cosa =1+ sin 2a 2= 1+ 4 ÷÷ ，è
sin 2a 4 2 +1所以 = .
8
故選：A.
2
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是得出 sina + cosa =1+ ，由此即可順利得解.
4
3．（2024·河南南陽·一模）已知三個(gè)銳角a , b ,g 滿足 sina cos b 2= ,sin b cosg 1= ，則
2 2
sing cosa 的最大值是（ ）
1 3
A． B．
4 4
C 3 -1 D 6 - 2． ．
4 4
【答案】D
【分析】先根據(jù)題意分別求出 cos b ,sin b ，再根據(jù)平方關(guān)系求出 sing , cosa 的關(guān)系，再利用
基本不等式即可得解.
【詳解】因?yàn)槿齻€(gè)銳角a , b ,g 滿足 sinacosb 2= ,sinbcosg 1= ，
2 2
所以 cos b
2
= ,sin b 1= ，
2sina 2cosg
cos2 b sin2 b 1 1則 + = + =12sin2 a 4cos2 g ，
1 1
所以 + =12 1- cos2 a 4 1- sin2 g ，
整理得 4 sin g cosa 2 +1 = 2sin2 g + 3cos2 a 2 6 sin g cosa ，
又 sin g cosa <1，
于是解得 sin g cosa 6 - 2 ，
4
當(dāng)且僅當(dāng) 2sin2 g = 3cos2 a 時(shí)取等號(hào)，
所以 sing cosa 6 - 2的最大值為 .
4
故選：D.
2 1
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù) sina cos b = ,sin b cosg = 求出 cos b ,sin b ，再根據(jù)平方關(guān)
2 2
系求出 sing , cosa 的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.
tan q π 1+ -
4．（23-24 高三上·浙江·階段練習(xí)）若3sinq + cosq = 10 ，則 è 8 ÷ tan q π+ 的值為 8 ÷è
（ ）
1
A． -7 B．-14 C 2． D．
7 7
【答案】B
【分析】先由三角函數(shù)平方關(guān)系結(jié)合已知求出 sinq , cosq ，從而求出 tanq ，再由
π 2 tan
π
tan =1 = 8π 即可求出 tan
π
，最后由兩角和的正切公式代入表達(dá)式即可求解.
4 1- tan2 8
8
【詳解】一方面由題意3sinq + cosq = 10 ，且注意到 sin2 q + cos2 q =1，
3 10 10
聯(lián)立得10sin2 q - 6 10 sinq + 9 = 0，解得 sinq = , cosq = ，
10 10
所以 tanq
sinq
= = 3，
cosq
π π 2 tan
π
另一方面不妨設(shè) x = tan > 0，且 tan =1 = 8 ，
8 4 1 π- tan2
8
π
所以有 x2 + 2x -1 = 0，解得 x = -1+ 2 或 x = -1- 2 （舍去），即 x = tan = -1+ 2 ，8
由兩角和的正切公式有
tan q π tanq + x
3+ -1+ 2 2 + 2 4 + 3 2
+ 8 ÷
= = = = -
1- x × tanq
7 + 5 2 ，
è 1- 3 -1+ 2 4 - 3 2 4 + 3 2
tan q π 1 + ÷ - = - 7 + 5 2 1+
所以 è 8 tan q π+ 7 + 5 2 ÷
è 8
= - 7 + 5 2 7 - 5 2+ 7 + 5 2 7 - 5 2
= -7 - 5 2 + 5 2 - 7 = -14 .
故選：B.
二、多選題
5．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知 a = sin sin 2024° ， b = sin cos 2024° ， c = cos sin 2024° ，
d = cos cos 2024° ，則（ ）
A． a < c B．b < d C． a < b D． d < c
【答案】ABD
【分析】先利用誘導(dǎo)公式化簡 2024°的三角函數(shù)值，再根據(jù) sin 44°, cos 44°的大小可判斷各數(shù)
的大小.
【詳解】∵ 2024° = 360° 5 +180° + 44°，∴ cos 2024° = -cos 44°， sin 2024° = -sin 44°，
∵1 > cos 44° > sin 44° > 0，
∴ a = sin sin 2024° = -sin sin 44° ，b = sin cos 2024° = -sin cos 44° ，
c = cos sin 2024° = cos sin 44° ， d = cos cos 2024° = cos cos 44° ，
即 cos sin 44° > cos cos 44° > 0， sin cos 44° > sin sin 44° > 0，
所以-sin cos 44° < -sin sin 44° < 0，
即b < a < 0 < d < c ，所以 ABD 正確，C 錯(cuò)誤.
故選：ABD.
6．（2024·湖北·模擬預(yù)測）設(shè) sin52° = t ，則（ ）
A． cos 76° =1- 2t 2 B． sin104° = 2t 1- t 2
C tan38 1- t
2
D sin 64 1- 1- t
2
． ° = ． ° =
t 2
【答案】BC
【分析】對 A，利用誘導(dǎo)公式求解判斷；對 B，利用二倍角正弦公式運(yùn)算求解；對 C，利用
商數(shù)關(guān)系切化弦，再根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡求解；對 D， sin64° = cos26°，又
1- 1- t 2
= sin2 26° ，假設(shè) cos26° = sin2 26°，可推出矛盾.
2
【詳解】對于 A， cos76° = cos 180° -104° = -cos104° = 2sin252° -1 = 2t 2 -1，故 A 錯(cuò)誤；
對于 B， sin104° = 2sin52°cos52° = 2t 1- t 2 ，故 B 正確；
sin 38° sin 90° - 38°tan38 cos52° 1- t
2
對于 C， ° = = = = ，故 C 正確；cos38° cos 90° - 38° sin 52° t
2
sin64 cos26 1- 1- t 1- cos52° 1- 1- 2sin
2 26°
對于 D， ° = °， = = = sin2 26°，
2 2 2
2 sin26 cos 26° sin 64°若 cos26° = sin 26°，則 ° = = > sin64°，矛盾，故 D 錯(cuò)誤．sin 26° sin 26°
故選：BC.
三、填空題
3π
7．（21-22 高二下·浙江金華·階段練習(xí)）已知 sin(a - 3π) = 2sin(-a + ) ，求
2
sin(π -a ) 3π- 5sin( -a )
2 = .
2cos(2π -a ) - sin(-a )
7
【答案】
4
【分析】根據(jù)給定條件，利用誘導(dǎo)公式化簡求解作答.
【詳解】由 sin(a - 3π) 2sin( a
3π π
= - + ) ，得 sin(a + π) = -2sin(a + ) ，即-sina = -2cosa ，
2 2
因此 sina = 2cosa ，
sin(π a ) 5sin(3π a ) sina 5sin( π- - - + +a )
所以 2 2 sina + 5cosa 7cosa 7= = = = .
2cos(2π -a ) - sin(-a ) 2cosa + sina 2cosa + sina 4cosa 4
7
故答案為：
4
π π
8．（2023·廣東惠州·二模）函數(shù) f (x) = tan(wx +j) w > 0,|j |< ÷經(jīng)過點(diǎn) ,-12 ÷，圖象如圖è è 6
f 2023π 所示，圖中陰影部分的面積為6π，則 = .
è 3 ÷
3
【答案】-
3
f x f 2023π 【分析】根據(jù)陰影部分的面積以及已知點(diǎn)求得 的解析式，進(jìn)而求得 3 ÷ .è
【詳解】由圖可知T 3 = 6π,
π
3 = 6π,w 1= ，
w 2
f x 1則 = tan x +j 2 ÷，è
π π
依題意， f = tan +j = -1，
è 6 ÷ ÷ è12
π j π , 5π π j 7π由于- < < - < + < ，
2 2 12 12 12
π π π
所以 +j = - ,j = - ，
12 4 3
所以 f x 1 π= tan x - ÷ .
è 2 3
f 2023π tan 2023π π 2021π則 ÷ =

- ÷ = tan
è 3 è 6 3 6
= tan 336π
5π 5π 3
+ ÷ = tan = - .
è 6 6 3
3
故答案為：-
3
9．（2022·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測）已知銳角三角形 ABC 的內(nèi)角 A，B，C 所對的邊分別是 a，
7
b，c，且A > B，若 sinC = 2cos Asin B + ，則 tan B 的取值范圍為 ．
25
3 24
【答案】 , ÷
è 4 7
【分析】由題可得 tan A - B ，將 tan B 用含 tan A的式子表示，然后根據(jù)角A 的范圍，求 tan B
的取值范圍.
sinC 2cos Asin B 7【詳解】∵ = + ，
25
∴ sin A + B = sin Acos B + cos Asin B = 2cos Asin B 7+ ，即 sin A - B 7= ，
25 25
∵又A > B，且 A, B都為銳角，故 cos A - B 24= ， tan A 7- B = ，
25 24
因?yàn)殇J角三角形 ABC ，所以 tan A > 0, tan B > 0, tan C > 0,
7
+ tan B
所以 tan A = tan é A - B
tan A - B + tan B
+ B ù = = 24 > 01- tan A - B × tan B 1 7- × tan B
24
所以1
7 24
- × tan B > 0,所以 tan B < ，
24 7
tan C tan A B tan A + tan B又因?yàn)?= - + = > 0
tan A × tan B -1
7
+ tan B
所以 tan A × tan B -1 = 247 × tan B -1 > 01- × tan B
24
3 4
所以12 tan2 B + 7 tan B -12 > 0，解得 tan B > 或 tan B < - (舍去)
4 3
3 24
故 < tan B < .
4 7
3 24
故答案為： , ÷ .
è 4 7
四、解答題
10．（2024·全國·模擬預(yù)測）在VABC 中，已知
uuur uuur
AB = 2AC = 2, BD = lDC, tan CAD = sin BAC ．
(1)若l = 2，證明：VABC 為直角三角形；
(2)若l = 1，求VABC 的面積．
【答案】(1)證明見解析
(2) 3 ．
2
【分析】（1）先根據(jù)已知條件及正弦定理得到 BAD = CAD ；再由 tan CAD = sin BAC
及同角三角函數(shù)基本關(guān)系即可證明
（2）先結(jié)合（1）中結(jié)論可得出 2sina = sinb ；再根據(jù)a = BAC - b 及兩角差的正弦公式可
求出 cos BAC
1
= ；最后利用三角形的面積公式即可求解.
2
【詳解】（1）證明：
因?yàn)?AB = 2AC = 2
BD AB 2
所以在△ABD 中，由正弦定理得： = = ，
sin BAD sin ADB sin ADB
CD AC 1
在VACD中，由正弦定理得： = = ．
sin CAD sin ADC sin ADC
因?yàn)?ADB + ADC = π ，
所以 sin ADB = sin ADC ,
BD 2CD
則 = .
sin BAD sin CAD
uuur uuur
因?yàn)锽D = 2DC ，
所以 sin BAD = sin CAD，
所以 BAD = CAD ．
不妨令 BAD = CAD = q ,q
0, π ÷，
è 2
由 tan CAD = sin
sinq
BAC ，得 tanq = sin2q ，即 = 2sinqcosq .
cosq
π π
所以 cosq
2
= ,q 0, π
2 2 ÷
，解得：q = ，即 BAC=
è 4 2
所以VABC 為直角三角形．
（2）
當(dāng)l = 1時(shí)，D為BC 的中點(diǎn).
則BD = CD .
設(shè) BAD = a , CAD = b ，
BD 2CD
由（1）可知 = ，
sin BAD sin CAD
所以 2sina = sinb ，
所以 2sin BAC - b = sinb ，即 2sin BACcosb - 2cos BACsinb = sinb ，
所以 2sin BAC - 2cos BACtanb = tanb ．
因?yàn)?tan CAD = sin BAC ，即 tanb = sin BAC ，
所以 cos BAC
1
= ，
2
則 sin BAC 3= .
2
S 1 3所以 △ABC = 1 2 sin BAC = ．2 2
11．（22-23 高三上· 2陜西商洛·期中）在非Rt△ABC 中，已知 sin Asin B sin C -q = l sin C ，
其中 tanq
3
=
π
0 < q <

÷．4 è 2
1 1
(1)若 tan C = 2，l = 1，求 + 的值；
tan A tan B
1 1 2
(2)是否存在l 使得 + + 為定值？若存在，求l 的值，并求出該定值為多少；
tan A tan B tan C
若不存在，請說明理由．
1
【答案】(1) 2
(2)存在；l
3 8
= ，定值為
10 3
3 4 2 5
【分析】（1）由題意求得 sinq = ， cosq = ， sin C = ，從而條件轉(zhuǎn)化為5 5 5
sin Asin B tan C sin C 4 5= 1 1 sin C 14 3 = 5 ，進(jìn)而 + = = ；tan C - tan A tan B sin Asin B 2
5 5
1 4 3 2
（2）由（1）得 sin C - cosC
sin C 1 1 2
÷ = ，從而 + + =l è 5 5 sin Asin B tan A tan B tan C
4 3 cosC 2cosC 4 3 cosC 2cosC
- + ，令 - + = k ，即
5l 5l sin C sin C 5l 5l sin C sin C
ì4 = 5lk
4sin C - 3cosC +10l cosC = 5lk sin C 恒成立，從而得到 í3 10l ，即可求解
.
=
ì
tanq
sinq 3
= = π 3 4
【詳解】（1）由 í cosq 4 且0 < q < ，可得 sinq = ， cosq = ．
sin2 q + cos2 q =1 2 5 5
2 5
同理可得由 tan C = 2，可得 sin C = ，
5
因?yàn)?sin Asin B sin C -q = sin2 C 4，即 sin Asin B × sin C
3
- cosC ÷ = sin
2 C
5 5 ，è
sin Asin B tan C sin C 4 5=
所以 4 tan C 3
=
5 ，-
5 5
1 1 cos A cos B sin C 1
所以 + = + = = ．
tan A tan B sin A sin B sin Asin B 2
sin Asin B × 4 sin C 3- cosC 2（2）由（1）得 5 5 ÷
= l sin C ，
è
1 4 sin C 3 cosC sin
2 C
即
l
- = ，
è 5 5 ÷ sin Asin B
1 1 2 sin C 2cosC sin2 C 2cosC
又由 + + = + = +
tan A tan B tan C sin Asin B sin C sin Asin B sin C sin C
1 1
=
4 3
sin C - cosC
2cosC 1 4 1 3 cosC 2cosC
÷ + = - + = k （令其值為 k ），sin C l è 5 5 sin C l 5 l 5 sin C sin C
即 4sin C - 3cosC +10l cosC = 5lk sin C 恒成立，
ì4 = 5lk 8 3
可得 í ，解得 k = ，l = ，
3 =10l 3 10
l 3 1 1 2 8故存在 = 使得 + + 為定值，其定值為 ．
10 tan A tan B tan C 3
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：
1 4 2
先由條件得 sin C
3 cosC sin C 1 1 2- ÷ = ，再計(jì)算 + +l è 5 5 sin Asin B tan A tan B tan C
4 3 cosC 2cosC 4 3 cosC 2cosC
= - + ，在這里關(guān)鍵令 - + = k ，從而轉(zhuǎn)化為
5l 5l sin C sin C 5l 5l sin C sin C
ì4 = 5lk
4sin C - 3cosC +10l cosC = 5lk sin C 恒成立，進(jìn)而得到 í .
3 =10l
，進(jìn)而求解考點(diǎn) 23 同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式（3 種核心題型
+基礎(chǔ)保分練+綜合提升練+拓展沖刺練）
【考試提醒】
sin α π
1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 sin2α＋cos2α＝1， ＝tan α α ≠ ＋kπ，k ∈ Z .
cos α ( 2 )
2.掌握誘導(dǎo)公式，并會(huì)簡單應(yīng)用．
【知識(shí)點(diǎn)】
1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
(1)平方關(guān)系： .
(2)商數(shù)關(guān)系： .
2．三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式
公式 一 二 三 四 五 六
π π
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
2 2
正弦 sin α
余弦 cos α
正切 tan α －tan α
口訣 奇變偶不變，符號(hào)看象限
常用結(jié)論
同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的常見變形
sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；
cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
【核心題型】
題型一　同角三角函數(shù)基本關(guān)系
(1)應(yīng)用公式時(shí)注意方程思想的應(yīng)用：對于 sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α 這三個(gè)式子，
利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．
(2)注意公式逆用及變形應(yīng)用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
π
【例題 1】（2024·
cos(a - )
河南信陽·一模）若 2 5 -1= ，則sin
4 a +cos4 a =（ ）
sin 2a 2
A 11- 5 B 5 + 5 C 5 + 5 11- 5． ． ． D．
12 12 16 16
2
【變式 1】（多選）（2023·海南·模擬預(yù)測）已知 cosa = ，且 sina < 0，則（ ）
4
A． tana > -1 B． tan2a <1 C． sin2a > 0 D． cos2a < 0
5
【變式 2】（2024 高三·全國·專題練習(xí)）已知 cosa = - ，則13sina + 5 tana =13 .
π
【變式 3】（2024·山西朔州·一模）若 tan a - ÷ = 2，則
è 6
tan a π- + cos2 a π- 1 ÷ ÷ - = ．
è 3 è 6 2
題型二　誘導(dǎo)公式
誘導(dǎo)公式的兩個(gè)應(yīng)用
(1)求值：負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了；
(2)化簡：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少為終了．
é π ù 3 5 3π
【例題 2】（23-24 高三上·江蘇南通·期末）已知 x ê0, ú ,sinx + cosx = ，則 tan x - ÷ = 4 5 è 4
（ ）
A．3 B．-3 C．- 5 D．2
【變式 1】（多選）（22-23 高一下·河南焦作·階段練習(xí)）已知角 A, B，C 是銳角三角形 ABC
的三個(gè)內(nèi)角，下列結(jié)論一定成立的有（ ）
A． sin B + C = sin A B． sin A + B C 2 ÷ = cosè 2
C．cos A+ B < cosC D． sin A < cos B
【變式 2】（2024·全國·模擬預(yù)測）在VABC 中， tan A， tan B 是方程 x2 - 6x + 7 = 0的兩個(gè)根，
則C 的值是 ．
【變式 3】（2023·湖南邵陽·模擬預(yù)測）在VABC 中，角A ， B ，C 所對的邊分別是 a，b ，
c，若3cos A + B = cos 2C + 2 .
(1)求角C 的大小；
(2)若 c = 6，求VABC 的面積S 的最大值.
題型三　同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用
(1)利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式求值或化簡時(shí)，關(guān)鍵是尋求條件、結(jié)論間的聯(lián)
系，靈活使用公式進(jìn)行變形．
(2)注意角的范圍對三角函數(shù)值符號(hào)的影響．
【例題 3】（22-23 高三上·陜西安康·階段練習(xí)）在VABC 中，“ tan A tan B =1”是
“ sin2 A + sin2 B =1”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
π
【變式 1】（2024·廣西·二模）已知 sin2a = sin2a ，則 tan a + ÷ = .
è 4
【變式 2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知點(diǎn) A cos b -a ,sin b -a 與點(diǎn)
B cos b 5π 5π +

÷ ,sin b + ÷÷ 關(guān)于原點(diǎn)對稱，則 sina + cosa = ．
è è 12 è 12
2
【變式 3】（23-24 高三上·北京·階段練習(xí)）已知a 是第二象限內(nèi)的角， tana = - .
2

(1)求 cos 2a
π
- ÷的值；
è 2
(2)已知函數(shù) f x sin x π= cos x - sin2 x 1+ f a + ，求
2 2 2 2 12 ÷
的值．
è
【課后強(qiáng)化】
【基礎(chǔ)保分練】
一、單選題
π π 1 tana 2
1．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測）若- < a < b < ，且 cosa sin b = ， = ，則
4 4 2 tan b 3
cos a - b = （ ）
A 11． B 11 C 35 35．- ． D．-
6 6 6 6
2．（2024·廣東·二模） tan 7.5° - tan82.5° + 2 tan15° =（ ）
A．-2 B．-4 C．-2 3 D．-4 3
cos 3π 4 2sin
2
3 2024· · a +1+ cos 2a - 2 tana．（ 全國 模擬預(yù)測）已知 -a ÷ = ，則 =（ ）
è 4 7 sina
A 112 2 B 56 2 C 224 2 28 2．- ．- ．- D．-
17 17 17 17
4．（2024·遼寧沈陽·二模）已知 a 0, π ，且 sina + cosa 1= ，則 tan2a =（ ）
5
12 12 24 24
A． B．- C． D．-
7 7 7 7
二、多選題
5．（23-24 高三上·江西·階段練習(xí)）下列結(jié)論正確的是（ ）
π π
A a - b = sina = cos b B 2sin2．若 ，則 ． a + 3 sin 2a =1+ 2sin
2
2a -
è 3 ÷
C．若 sina
1
- cosa = ，則 sin 2a
3
= D．若銳角a 滿足
2 4 cosa
5
= ，則
5
tan π +a4 ÷
= -3
è
π
6．（2024·
π
河南周口·模擬預(yù)測）設(shè)a (0, )， b (0, )，則下列計(jì)算正確的是（ ）2 2
A． cos a + b < cos a - b
π π 1
B．若 sin(a + ) cos(a + ) = - ，則 tana = 2
4 4 6
1 π
C．若 tana + tan b = ，則 2b -a =
cosa 2
cos 2a 1
D．若 + = 0
3π
1 sin 2a tan b ，則
a + b =
+ 4
三、填空題
tana 6cosa7．（2024·全國·二模）已知 = ，則 cos2a = .
7 - sina
4
8．（2024·廣東惠州·一模）若角a 的終邊在第四象限，且 cosa = ，則
5
tan π -a

÷ = 4 ．è
π
9 2024· · tan x + 2．（ 全國 模擬預(yù)測）已知 ÷ = - , x為第二象限角，則
è 7 4
sin 10π x + ÷ = ．
è 21
四、解答題
10．（2023·廣東珠海·模擬預(yù)測）在三角形 ABC 中，內(nèi)角A 、 B 、C 對應(yīng)的邊分別是 a、b 、
c，已知 a =1，b = 2 ， c = 6 .求：
(1) sin B 的值：
(2) cos 2B - sin A + C 的值.
11．（2023·河南·模擬預(yù)測）已知函數(shù) f x = 2cosx sinx + 3cosx - 3 .

(1)若 f a
π
+
10 π
÷ =

，求 f 2a - 的值；
è 4 13 è 12 ÷
(2)設(shè) g x = f x
π
+ ÷ + f
x π 1 f π- - π
12 6 ÷ 2
x + ÷ f x - ÷ ，求函數(shù) g x 的最小值.
è è è 12 è 6
【綜合提升練】
一、單選題
3π
1 2024 · · sina 2
cos - 2a
．（ 高三 全國 專題練習(xí)）已知 = ，則 ÷
4 è
2 （= ）
tana
7 7 1 1
A．- B． C． D．-
4 4 4 4
1 π
2．（2024·河南·二模）已知 sinx + cosx = ，則 cos 2x - = （
3 2 ÷ ）è
- 3 3 8 8A． B． C． D．-
5 5 9 9
sinacosa 1
3．（2024·全國·模擬預(yù)測）若 = - ，則 sin2a = （ ）
sina + cosa +1 5
16 16 9
A． B．-
9
C． D -
25 25 25
．
25
4．（2024·江西·二模）已知 cos 140° -a = cos 200° +a + sin 130° -a ，求 tana =（ ）
A 3 3． B．- C． 3 D．- 3
3 3
5．（2024·山東濟(jì)南·三模）若 sina - cosa = 2 ，則 tana =（ ）
A．1 B． -1 C．2 D．-2
n Z,sin nπ nπ 16．（2024·湖南岳陽·二模）已知 +a ÷ + cos -a ÷ = ，則（2 2 3 ）è è
1
A． cosa + sina =
3
B． cosa + sina
1
= -
3
C． sin2a
8
= -
9
D． sin2a
8
=
9
π
7．（2024 高三下·全國·專題練習(xí)）已知角a 為第三象限角， tana = 2 2 ，則 cos a - ÷ =
è 6
（ ）
A 1+ 2 6 2 2 - 3 3 + 2 2．- B．1- 2 66 C． D．-6 6 6
8．（2024·新疆·一模）已知: sin 20o -q + sin 20o +q + sin 40o -q = 0，則 tanq = （ ）
A 3 3．- 3 B．- C． D． 3
3 3
二、多選題
kπ
9．（23-24 高一上·廣東清遠(yuǎn)·期末）已知 tana - tanb = tan a - b ，其中a k Z 且
2
b mπ m Z ，則下列結(jié)論一定正確的是（
2 ）
A． sinasinb = 0 B． sin a - b = 0
C． cos a - b =1 D． sin2a + cos2b =1
10．（2024·云南·一模）為得到函數(shù) y = 6sin 2x
π
+ ÷ 的圖象，只需要將函數(shù) y = 6sin2x的圖象
è 3
（ ）
π π
A．向左平行移動(dòng) 個(gè)單位 B．向左平行移動(dòng) 個(gè)單位
6 3
5π 11π
C．向右平行移動(dòng) 個(gè)單位 D．向右平行移動(dòng) 個(gè)單位
6 6
11．（2023·廣東·模擬預(yù)測）如圖是函數(shù) f x 的部分圖象，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． f x = 2sin π 2x + 4 ÷è
f x 2sin 3πB． = - - 2x

4 ֏
C． f x = 2cos 2x
3π
+
è 4 ÷
D． f x = 2cos π - 2x
è 4 ÷
三、填空題
12．（2024·黑龍江·
1
二模）已知函數(shù) f x 滿足： f tan x = cos 2x ，則
f (2) f (3) L f (2024) 1 1 1+ + + + f + f ÷ ÷ +L+ f ÷ = ．
è 2 è 3 è 2024
13．（2023·青海·模擬預(yù)測）如圖，直徑 AB =10的半圓，D為圓心，點(diǎn)C 在半圓弧上，
sin ADC = 0.8, P 為 AB 的中點(diǎn)， AP 與BC 相交于點(diǎn)E ，則 cos PEC = .
π 1 1
14．（2024·江蘇·一模）已知a , b 0, ÷，且 sina - sin b = - ， cosa - cos b = ，則
è 2 2 2
tana + tanb = ．
四、解答題
15．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）在銳角VABC 中，角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c，已
知 tan 2C
3
= - ．
4
(1)求 cosC ；
(2)若 c = 4，求VABC 面積的最大值．
16．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知VABC 為銳角三角形，且 sinC + 3cosC = 3cos A - B ．
(1)求 tanA + tanB 的值；
1
(2)求 的最小值．
sinAsinBsinC
π
17．（2024·湖北·一模）在VABC 中，已知 AB = 2 2, AC = 2 3,C = ．
4
(1)求 B 的大小；
(2)若BC > AC ，求函數(shù) f x = sin 2x - B - sin 2x + A + C 在 -π, π 上的單調(diào)遞增區(qū)間．
18．（2024·四川內(nèi)江·三模）在斜VABC 中，角 A、B、C 所對的邊分別為
a, b,c, 2 cos B π +

÷ + cos(A + C) + 2 = 0．
è 2
(1)求 cos 2B的值；
π
(2)若 A = C + ,b = 3 ，求VABC 的面積．
2
19．（2022·浙江·模擬預(yù)測）記VABC 的內(nèi)角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，已知
cos A
=1+ sin A .
tan B
(1)若 A = B ，求 C；
a sin B + bsin A
(2)求 的取值范圍.
2bcos B
【拓展沖刺練】
一、單選題
tan a π 1 cos 2a 2π 1．（2024·福建南平·二模）已知 + ÷ = ，則6 2
- ÷ = （ ）
è è 3
- 3 3 4 4A． B． C．- D．
5 4 5 5
a (0, π) (1+ sina )(1+ cosa )2．（2024·遼寧丹東·一模）已知 ， = 4 2 +1，則 sin 2a =（
2 ）(1- sina )(1- cosa )
A 4 2 +1 B 4 2 +1 C 4 2 -1 D 4 2 -1． ． ． ．
8 16 8 16
3．（2024·河南南陽·一模）已知三個(gè)銳角a , b ,g 滿足 sina cos b 2 1= ,sin b cosg = ，則
2 2
sing cosa 的最大值是（ ）
1 3
A． B．
4 4
C 3 -1 D 6 - 2． ．
4 4
tan q π 1+ -
4．（23-24 ÷高三上·浙江·階段練習(xí)）若3sinq + cosq = 10 ，則 è 8 tan q π +
的值為
÷
è 8
（ ）
1
A 2． -7 B．-14 C． D．
7 7
二、多選題
5．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知 a = sin sin 2024° ， b = sin cos 2024° ， c = cos sin 2024° ，
d = cos cos 2024° ，則（ ）
A． a < c B．b < d C． a < b D． d < c
6．（2024·湖北·模擬預(yù)測）設(shè) sin52° = t ，則（ ）
A． cos 76° =1- 2t 2 B． sin104° = 2t 1- t 2
2 2
C． tan38 1- t 1- 1- t° = D． sin 64° =
t 2
三、填空題
3π
7．（21-22 高二下·浙江金華·階段練習(xí)）已知 sin(a - 3π) = 2sin(-a + ) ，求
2
sin(π -a ) - 5sin(3π -a )
2 = .
2cos(2π -a ) - sin(-a )

8．（2023·廣東惠州·二模）函數(shù) f (x) = tan(wx +j) w 0,|j |
π π
> < ÷經(jīng)過點(diǎn)2
,-1÷，圖象如圖
è è 6
2023π
所示，圖中陰影部分的面積為6π，則 f ÷ = .
è 3
9．（2022·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測）已知銳角三角形 ABC 的內(nèi)角 A，B，C 所對的邊分別是 a，
b，c，且A > B，若 sinC = 2cos Asin B
7
+ ，則 tan B 的取值范圍為 ．
25
四、解答題
10．（2024·全國·模擬預(yù)測）在VABC 中，已知
uuur uuur
AB = 2AC = 2, BD = lDC, tan CAD = sin BAC ．
(1)若l = 2，證明：VABC 為直角三角形；
(2)若l = 1，求VABC 的面積．
11．（22-23 高三上· 2陜西商洛·期中）在非Rt△ABC 中，已知 sin Asin B sin C -q = l sin C ，
tanq 3 其中 = 0 q
π
< < ÷．4 è 2
1 1
(1)若 tan C = 2，l = 1，求 + 的值；
tan A tan B
1 1 2
(2)是否存在l 使得 + + 為定值？若存在，求l 的值，并求出該定值為多少；
tan A tan B tan C
若不存在，請說明理由．

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