資源簡介

考點 25 簡單的三角恒等變換（3 種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜
合提升練+拓展沖刺練）
【考試提醒】
　能運(yùn)用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式推導(dǎo)二倍角的正弦、余弦、正切公式，并進(jìn)行
簡單的恒等變換(包括推導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，這三組公式不要求記憶)．
【知識點】
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式 S2α：sin 2α＝2sin αcos α.
(2)公式 C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
2tan α
(3)公式 T2α：tan 2α＝ .1－tan2α
2．常用的部分三角公式
α α
(1)1－cos α＝2sin2 ,1＋cos α＝2cos2 .(升冪公式)
2 2
α α
(2)1±sin α＝(sin ± cos 2.(升冪公式)2 2)
1－cos 2α 1＋cos 2α 1－cos 2α
(3)sin2α＝ ，cos2α＝ ，tan2α＝ .(降冪公式)
2 2 1＋cos 2α
【核心題型】
題型一　三角函數(shù)式的化簡
(1)三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則：
一看角，二看名，三看式子結(jié)構(gòu)與特征．
(2)三角函數(shù)式的化簡要注意觀察條件中角之間的聯(lián)系(和、差、倍、互余、互補(bǔ)等)，尋找式
子和三角函數(shù)公式之間的聯(lián)系點．
π π
【例題 1】（2024·河北承德·二模）函數(shù) f x = 3sin 2x - ÷ + cos 2x - ÷的圖象的對稱軸
è 2 è 6
方程為（ ）
x π kπA． = + ,k Z B． x
π kπ
= + ,k Z
3 2 2 2
5π kπ
C． x = + , k Z x
7π kπ
D． = + , k Z
12 2 12 2
【答案】C
π
【分析】利用三角恒等變換得 f x = sin 2x - ÷，再根據(jù)正弦型函數(shù)對稱性得到方程，解
è 3
出即可.
f x = - 3cos2x + cos2x 3× + sin2x 1 3× = - cos2x 1 π+ sin2x = sin 2x - 【詳解】 ，
2 2 2 2 è 3 ÷
π π 5π kπ
所以 2x - = + kπ ， k Z，解得 x = + ,k Z3 2 ，12 2
故選：C.
π
2023· · sin2 + sin2
π π π
【變式 1】（ 廣東珠海 模擬預(yù)測） + sin sin = ．
12 4 12 4
3
【答案】 /0.75
4
sin2 a 1- cos 2a【分析】法 1：利用特殊角的三角函數(shù)值代入；法 2：利用降冪公式 = 求解；
2
π π
法 3：利用余弦定理 a2 = b2 + c2 - 2bc cos A及正弦定理，再取特殊角 , ,
2π
代入求解.
12 4 3
2 2

【詳解】法 1： sin2
π π
+ sin2 + sin π sin π 6 - 2 2 6 - 2 2 3= ÷÷ + ÷÷ + = .12 4 12 4 è 4 è 2 4 2 4

π 1- cos
π 2
÷ 1- cos
π
法 2： sin2 + sin2
π sin π sin π 2 2 3+ = 6 ÷ + ÷÷ +
6 = .
12 4 12 4 2 ÷ è 2 2 2 4
è
法 3：余弦定理 a2 = b2 + c2 - 2bc cos A，
2 2 π π 2π根據(jù)正弦定理， sin A = sin B + sin2 C - 2sin B sin C cos A，取三角形三個內(nèi)角分別 , , ，12 4 3
sin2 π sin2 π 2sin π sin π cos 2π sin2 2π 3則 + - = = ．
12 4 12 4 3 3 4
3
故答案為： .
4
3 x x
【變式 2】（2023·河北·一模）函數(shù) f (x) = sin cos - sin
x cos3 x 的最小值為 .
2 2 2 2
1
【答案】- / -0.25
4
1
【分析】根據(jù)二倍角公式化簡 f x = - sin 2x ，即可求解最值.
4
x x x x
【詳解】因為 f (x)
x x x x
= sin3 cos - sin cos3 = sin cos sin2 - cos2 ÷ =
1
- sin x cos x
2 2 2 2 2 2 è 2 2 2
1
= - sin 2x 2x π，所以當(dāng) = + 2kπ,k Z時， sin 2x =1，此時 f (x)
1
的最小值為- .
4 2 4
1
故答案為：-
4
【變式 3】（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）在VABC 中，內(nèi)角A ， B ，C 的對邊分別為 a，b ，
c 1 2 2 2，已知該三角形的面積 S = a - b - c sinA．2
(1)求角A 的大??；
uuur 1 uuur uuur uuur
(2)線段BC 上一點D滿足BD = BC ， AD = BD =1，求 AB 的長度．
4
2π
【答案】(1) A = 3
(2) AB 4 7=
7
【分析】（1）根據(jù)已知條件利用面積公式和余弦定理求解即可；
C π（2）由已知可得 ADB = π - 2B ，BC = 4， = - B，在VADB 和VABC 中分別利用正弦
3
3
定理可得 tan B = ，即可求解.
2
1 1 2
【詳解】（1）在VABC 中， S = bc sin A = a - b2 - c2 sin A，2 2
而0 < A < π ，即 sin A > 0，b2 + c2 - a2 = -bc，
b2 + c2 - a2 1 2π
由余弦定理得 cos A = = - ，所以 A = 3 ；2bc 2
uuur uuur
（2）因為 AD = BD =1，所以 B = BAD，
所以 ADB = π - 2B ，
π
由 AD = BD =1，BC = 4，C = - B，
3
AD AB AB 1 AB
在VADB 中 = = =sin B sin(π 2B) sin 2B ，即 ，- sin B sin 2B
sin 2B
則 AB = = 2cos B ，
sin B
AB BC 8
= 2π =在VABC 中 sin π - B sin 3 ， ÷
è 3 3
AB 8
=
則 3 ，cos B 1- sin B 3
2 2
3
綜上，可得 tan B = ，又0
π
< B < ，
2 3
則 cos B 2 7 AB 4 7= ，故 = .
7 7
題型二　三角函數(shù)式的求值
(1)給值(角)求值問題求解的關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系，借助角之間的
聯(lián)系尋找轉(zhuǎn)化方法．
(2)給值(角)求值問題的一般步驟
①化簡條件式子或待求式子；
②觀察條件與所求式子之間的聯(lián)系，從函數(shù)名稱及角入手；
③將已知條件代入所求式子，化簡求值．
命題點 1　給角求值
π π π π
【例題 2】（20-21 高三·江蘇南京· 2階段練習(xí)）設(shè) a = sin - sin2 ，b = tan6 12 12 ，
c = sin
8 ，則
（ ）
A．b < a < c B． a < c < b C． a < b < c D． c【答案】C
【分析】先根據(jù)三角恒等變換求 a,b,c2 的值，再利用作差法比較 a,b,c的大小.
π
2 1- cos
【詳解】 a = sin2 π - sin2 π = 1 6 3 -1 ÷ - = > 0 ，6 12 è 2 2 4
tan π tan π-
b tan π tan π π 3 4 3 -1 = = - ÷ =12 è 3 4 1 tan π tan π
= = 2 - 3 > 0 ，
+ 1+ 3
3 4
∵ a b 3 -1- = - 2 - 3 5 3 - 9= < 0 ，則 a < b ，4 4
∵ c sin π 0,cos π 1 2sin2 π 2 π 2 - 2又 = > = - = ，則 c2 = sin2 =
8 4 8 2 8 4
c2 b2 2 - 2
2
- = - 2 - 3 2 -1.5> - 0.32 > 0，則 c2 > b2 ，即c > b4 4
∴ a < b < c
故選：C.
【變式 1】（2022·廣東汕頭·二模）若l sin160o + tan 20o = 3 ，則實數(shù)l 的值為（ ）
A． 4 B． 4 3 C． 2 3 D 4 3．
3
【答案】A
【分析】利用輔助角公式以及二倍角的正弦公式、誘導(dǎo)公式化簡可得l 的值.
【詳解】由已知可得
l 3 - tan 20
o 3 cos 20o - sin 20o 2 sin 60o cos 20o - cos 60o sin 20o
= = =
sin 180o - 20o sin 20o cos 20o 1 sin 40o
2
4sin 40o
=
sin 40o
= 4 .
故選：A.
【變式 2】（23-24 高三上·安徽·期中） tan20° + 4sin20° = ．
【答案】 3
【分析】由兩角和與差的正弦和余弦公式即可化簡求值.
tan 20 4sin 20 sin 20° 4sin 20°cos 20°【詳解】 ° + ° = +
cos 20° cos 20°
sin 20° + 2sin 40° sin(30° -10°) + 2sin(30° +10°)
= =
cos 20° cos(30° -10°)
3sin 30°cos10° + cos30°sin10°
=
cos30°cos10° + sin 30°sin10°
3 cos10 3° + sin10°
= 2 2 = 3 .
3 cos10 1° + sin10°
2 2
故 tan 20° + 4sin 20° = 3 .
故答案為： 3 .
【變式 3】（2024 高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù) f (x) = 3sin wx +j , w 0, p p> - j ÷
è 2 2
p
的圖像關(guān)于直線 x = 對稱，且圖像上相鄰兩個最高點的距離為p ．
3
(1)求w 和j 的值；
f a 3 p 2p
3p
(2) 若 ÷ = , a ，求 cos a + 的值．
è 2 4 6 3 ÷
2 ÷è è
p
【答案】(1)２，－ ．
６
(2) 3 + 15
8
【分析】（1）由相鄰兩個最高點的距離為一個周期，可求得w = 2，再利用正弦函數(shù)的對稱
wx j p kp p p p軸方程滿足 + = + 和- j 可確定j = - ；
2 2 2 6
p 1 3p
（2）由已知 sin(a - ) = 的值，去求 cos
6 4
a +
2 ÷ 的值，想到è
cos(a 3p+ ) = sina = sin[(a p p- ) + ] p 2p，從而利用同角關(guān)系及 a 可求得
2 6 6 6 3
cos(a p 15- ) = ，最后用兩角和正弦公式就可求出結(jié)果.
6 4
【詳解】（1）由題意 f (x) 最小正周期為T = p ，
T 2p= w 2p由公式 w 可得： = = 2 ，T
又因為w > 0，所以w = 2，
p
又由 f (x) 圖象關(guān)于 x = 對稱，
3
p p
則 2 × +j = kp + ,k Z
p
，即j = kp - ,k Z
3 2 6
p j p又因為- ，所以 k = 0,j
p
= - .
2 2 6
p 1
（2 a）由已知得： f ( ) = 3sin(2 a p 3× - ) = ，則 sin(a - ) = ，
2 2 6 4 6 4
p a 2p p p又因為 ，所以0 a - ，
6 3 6 2
2
即 cos(a p- ) = 1- sin2 (a p- ) = 1 1 15-
6 6 ÷
= ，
è 4 4
于是 cos(a
3p
+ ) = sina = sin[(a p p- ) + ]
2 6 6
sin a p cos p cos a p sin p 1 3 15 1 3 + 15= - ÷ + - ÷ = + = .
è 6 6 è 6 6 4 2 4 2 8
命題點 2　給值求值
a 0, π , cos a π 5【例題 3】（2024·四川眉山·三模）已知 ÷ + ÷ = - ，則 sina = （ ）
è 2 è 3 13
A 12 + 5 3 B 12 - 5 3 C 12 3 + 5． ． ． D 12 3 - 5．
26 26 26 26
【答案】A
π π π
【分析】先根據(jù)平方關(guān)系求出 sin a + ÷，再根據(jù)a = a + ÷ - 結(jié)合兩角差的正弦公式即
è 3 è 3 3
可得解.
a 0, π a π π+ , 5π sin a π 1 cos2 a π 12【詳解】因為 ÷ ，所以 ，有
è 2 3 è 3 6 ÷
+ ÷ = - + ÷ = ，
è 3 è 3 13
sina sin é a π π ù sin a π cos π= + - = + - cos a π+ π所以 ê ÷ sin
è 3 3
ú ÷ ÷
è 3 3 è 3 3
12 1 5 3 12 + 5 3= - - = .
13 2 è 13 ÷ 2 26
故選；A.
π
【變式 1】（2024·陜西銅川·三模）已知 cos a
π 3
- ÷ - cosa = ，則 sin

3 2
2a +
6 ÷
=（ ）
è è
1 1 3 3A．- B． 2 C．- D．2 4 4
【答案】A
π 3
【分析】利用和差公式、輔助角公式化簡得 sin a - 6 ÷
= ，然后通過整體代換，根據(jù)誘
è 2
導(dǎo)公式和二倍角公式即可求解.
Qcos a π- 【詳解】 ÷ - cosa
3 1
= sina - cosa = sin a
π 3
-
3 2 2 6 ÷
= ，
è è 2
sin 2a π\(zhòng) é π π ù é π ù 2 π 1 + ÷ = sin6 ê
2 a - 6 ÷
+
2 ú
= cos ê2 a - ÷ú =1- 2sin a - ÷ = - .è è è 6 è 6 2
故選：A.
【變式 2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知a , b 為銳角，滿足
sina sinb 5 2 1
a + b
+ = ,cos a + b = - ，則 sin = ， cos a - b = ．
6 9 2
5 1
【答案】 / 5
1
/ 0.25
3 3 4
a + b a - b a + b a - b
【分析】由a = + , b = - ，利用兩角和與差的正弦公式和余弦的二倍
2 2 2 2
a + b
角公式，求出 sin ；再用余弦的二倍角公式求出 cos a - b .
2
a + b a - b a + b a - b
【詳解】因為a = + , b = - ，所以
2 2 2 2
sina a + b a - b a + b a - b a + b+ sinb = sin + ÷ + sin

-

÷ = 2sin ×cos
a - b
，
è 2 2 è 2 2 2 2
又 sina + sinb 5 2= ，所以 sin a + b cos a - b 5 2= ，
6 2 2 12
因為a , b
a + b
為銳角，所以 為銳角，
2
cos a b 1 2sin2 a + b 1又 + = - = - a + b 5，所以
2 9 sin =
，
2 3
sin a + b cos a - b 5 2 cos a - b 10又 = ，所以 = ，
2 2 12 2 4
所以cos a - b = 2cos2 a - b -1 2 10 1= -1 = ．
2 16 4
5 1
故答案為： ； .
3 4
【變式 3】（23-24 高三下·江西贛州·期中）已知函數(shù) f x = Asin wx +j （ A > 0 ，w > 0，
π π
- < j < ），函數(shù) f x 和它的導(dǎo)函數(shù) f x 的圖象如圖所示.
2 2
(1)求函數(shù) f x 的解析式；
f a 6= f 2a π(2)已知 ，求 -

12 ÷的值
.
5 è
π
【答案】(1) f (x) = 2sin(2x - )
6
28
(2)
25
π
【分析】（1）由函數(shù) f (x) 與 f (x) 的圖象可得， A = 2,w = 2，再通過 f (x) 圖象過點 ( ,0)，
12
得到
6
（2）根據(jù)倍角公式對 f a = 進(jìn)行化簡即可求解.
5
【詳解】（1） f (x) = Aw cos(wx +j)，
由圖象可以得到： A = 2,w = 2，
π π
因為 f (x) 圖象過點 ( ,0)，- < j
π
< ，
12 2 2
π
所以 2 +j = kπ
π
，所以j = - ，
12 6
所以 f (x) = 2sin(2x
π
- ) .
6
（2）由 f (a )
6
= ，得 sin(2a
π 3
- ) = ，
5 6 5
f (x) = 4cos(2x π- ) ，
6
f (2a π π π- ) = 4cos(4a - ) = 4cos 2(2a - ) = 4[1 π 28- 2sin2 (2a - )] =
12 3 6 6 25
命題點 3　給值求角
π
【例題 4】（2024·江西九江·二模）已知a , b 0, ÷， cos a - b
5
= ， tana × tan b
1
= ，則
è 2 6 4
a + b = （ ）
π π π 2π
A． B． C． D．
3 4 6 3
【答案】A
【分析】利用兩角差的余弦公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得到方程組，即可求出 sina sin b 、
cosa cos b ，再求出 cos a + b 即可.
【詳解】因為 cos a - b 5= ， tana × tan b 1= ，
6 4
ì
cosa cos b sina sin b
5
+ =
6
所以 í
sina sin b 1
，
=
cosa cos b 4
ì
cosa cos b
2
=
3
解得 í ，
sina sin b 1=
6
所以 cos a + b = cosa cos b - sina sin b 1= ，
2
又a , b
0, π ÷，所以a + b 0, π
π
，所以a + b = .
è 2 3
故選：A
【變式 1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知角q 的頂點為坐標(biāo)原點，始邊與 x 軸的正半軸重合，
P sin 2023π ,cos 2023π sin2q點 ÷ 在角q 的終邊上，則 = （4 6 1 cos2 ）è + q
A 6 B 6 C 6 D 6． ．- ． ．-
3 3 2 2
【答案】C
【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡，可求出 P 點坐標(biāo)，根據(jù)三角函數(shù)定義即可求得 tanq ，利用二
倍角公式化簡求值，即可得答案.
2023π
【詳解】由于 sin = sin 504π
7π
+
7π 2
4 ÷
= sin = - ，
è 4 4 2
cos 2023π = cos 336π
7π 7π 3
+
6 6 ÷
= cos = - ，
è 6 2

P 2 , 3

所以 - - ÷ ，
è 2 2
3
P
-
由于點 sin
2023π ,cos 2023π 6÷ 在角q 的終邊上，所以 tanq = 2 = ，
è 4 6 - 2
2
2
sin2q 2sinqcosq 6
故 = = tanq =1+ cos2q 1 ，+ 2cos2q -1 2
故選：C.
5
【變式 2】（2024·海南海口·模擬預(yù)測）已知 cos a + 2b = , tan a + b tanb = -4，寫出符合
6
條件的一個角a 的值為 .
2π
【答案】 （答案不唯一）
3
【分析】根據(jù)題目條件得到 cos a 1 2+ b cos b = 和 sin a + b sin b = - ，從而求出
6 3
cosa = cos é a + b - b
1 2 1
ù = - = - ，進(jìn)而求出角a 的值.6 3 2
【詳解】 cos a + 2b = cos é a + b + b ù = cos a + b cos b - sin a + b sin b ，
故 cos a + b cos b 5- sin a + b sin b = ，
6
sin a + b sin b
tan a + b tanb = -4，即 = -4cos a + b cos b ，
故 sin a + b sin b = -4cos a + b cos b ，
故5cos a + b cos b 5= ，即 cos a + b cos b 1= ，
6 6
則 sin a + b sin b = -4cos a + b cos b 2= - ，
3
則 cosa = cos é a + b - b ù = cos a + b cos b + sin a + b sin b
1 2 1
= - = - ，
6 3 2
可取a
2π
= .
3
2π
故答案為：
3
【變式 3】（2024·北京平谷·模擬預(yù)測）已知函數(shù) f x = sin 2x cosj - cos 2x sinj ，其中
j π< ，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知條件，使 f x 存
2
在，并完成下列兩個問題．
(1)求j 的值；
(2)若m > 0，函數(shù) f x 在區(qū)間 0, m 1上最小值為- ，求實數(shù)m 的取值范圍．
2
π
條件①：對任意的 x R ，都有 f x f 3 ÷成立；è
f π 1條件②： ÷ = -4 ；è 2
f π f π 條件③： - - = 2．
è 3 ÷ 6 ÷ è
【答案】(1)答案見解析
2π ù
(2) 0,
è 3 ú
【分析】（1）根據(jù)所選條件分別計算能否使 f x 成立，從而可求解.
π π π π
（2）根據(jù)（1）中可得 f x = sin 2x -
é
÷，再利用整體代換法得 2x - ê- , 2m -
ù
，從
è 6 6 6 6 ú
2m π而可求得 - π
π
+ ，再結(jié)合m > 0，從而可求解.
6 6
【詳解】（1）由 f x = sin 2x cosj - cos 2x sinj = sin 2x -j ，
π f πx = = sin
2π
-j =1 j π j π若選條件①：可知當(dāng) 時， ÷ ÷ ，因為 < ，即 = ，且對任意3 è 3 è 3 2 6
π
x R ，都有 f x f ÷ =1恒成立，故選條件①時 f x 存在，故可選①；
è 3
π π 1
若選條件②： f ÷ = sin
-j = cosj = - 2π 4π ÷ ，解得j = + 2kπ或j = + 2kπ， k Z ，
è 4 è 2 2 3 3
j π因為 < ，所以與條件矛盾，故不選②；
2
若選條件③：
f π π 2π π é π ù π ÷ - f - ÷ = sin -j ÷ - sin - -j ÷ = sin π - + φ ÷ + sin +j

÷ = sin
π π
+j

÷ + sin
+j = 2
è 3 ÷ è 6 è 3 è 3 ê è 3
ú
è 3 è 3 è 3
，
所以 sin
π
+j

÷ =1
π π
，因為 j < ，可得j = ，故條件③能使 f x 3 成立，故可選③；è 2 6
π
綜上所述：故可選擇條件①或③，此時j = .
6
π π é π π ù
（2）由（1）知 f x = sin 2x - ÷，當(dāng) x 0, m 時， 2x - ê- , 2m - ，è 6 6 6 6 ú
且 f x 1 π π 2π的最小值為- ，所以可得 2m - π + ，解得m ，又m > 0，
2 6 6 3
0 m 2π所以 < ，
3
所以m 的取值范圍為 0,
2π ù
è 3 ú
.
題型三　三角恒等變換的綜合應(yīng)用
(1)進(jìn)行三角恒等變換要抓?。鹤兘?、變函數(shù)名稱、變結(jié)構(gòu)，尤其是角之間的關(guān)系；注意公
式的逆用和變形使用．
(2)形如 y＝asin x＋bcos x 化為 y＝ a2＋b2sin(x＋φ)，可進(jìn)一步研究函數(shù)的周期性、單調(diào)性、
最值與對稱性．
5
【例題 5】（2024·貴州貴陽·二模）已知cosa - cos b = ,sina - sin b 2= - ，則 tan(a + b )的
3 3
值為（ ）
A．-4 5 B． 4 5 C．-2 5 D． 2 5
【答案】A
a a + b a - b , b a + b a - b【分析】拆分角度 = + = - ，再根據(jù)和差化積公式求得
2 2 2 2
tan a + b ，由正切二倍角公式即可得所求.
2
a a + b a - b , b a + b a - b【詳解】由 = + = - 得
2 2 2 2
cosa - cos b = -2sin a + b sin a - b 5= ， sina - sin b 2cos
a + b sin a - b 2= = - ，
2 2 3 2 2 3
a + b 5
兩式相除可得 tan = ，
2 2
2 tan a + b
所以 tan(a + b ) = tan
2 a + b× = 2 ÷ a + b = -4 5 .è 2 1- tan2
2
故選：A．
【變式 1】（2024 高三下·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù) f x = 2sin x cos x - a sin2 x - cos2 x ，若
f x f x 5p- = - ÷ ，則直線 24x - 9p y -8p = 0與 f x 的圖象的交點個數(shù)為（ ）
è 6
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
5p
【分析】先將函數(shù) f x 化簡得 f x == sin 2x + a cos 2x，再結(jié)合 f -x = f x - ÷ 以及 x
è 6
的任意性求出 a的值，從而求出 f x 的解析式，再數(shù)形結(jié)合探究即可得出結(jié)果.
2 2
【詳解】由題 f x = 2sin x cos x - a sin x - cos x = sin 2x + a cos 2x ，
f -x = f 5π由 x -

÷知 f 0 f
5π=
6
- ÷ ，
è è 6
所以 a = sin
5π 5π
-

3 ÷
+ a cos - ÷，解得 a = 3，
è è 3
所以 f x = sin 2x + 3 cos 2x = 2sin 2x
π
+
3 ÷
.
è
24x - 9πy -8π = 0 y = 0 x π y = 2 x 13π對于 ，令 ，得 = 3 ；令 ，得 = ，12
π 13π
故直線 24x - 9πy -8π = 0經(jīng)過點 ,0÷與點 , 2 .
è 3 è 12 ÷
易知 f x π的圖象也過點 ,0
13π
3 ÷與點
, 2÷，
è è 12
在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù) f x 的圖象與直線 24x - 9πy -8π = 0，如圖所示：
結(jié)合圖象可知 f x 的圖象與直線 24x - 9πy -8π = 0恰有 5 個交點，
故選：C.
tana = 2 tan b sin(a b ) 1【變式 2】（2024·山西晉城·二模）已知 ， + = ，則
4
sin(b -a ) = ．
1
【答案】-
12
【分析】由 tana = 2 tan b 切化弦可得 sina cos b = 2cosa sin b ，結(jié)合兩角和差公式分析求解.
sina 2sin b
【詳解】因為 tana = 2 tan b ，即 =cosa cos b ，可得
sina cos b = 2cosa sin b ，
又因為 sin a + b = sina cos b + cosa sin b 3cosa sin b 1= = ，可得 cosa sin b 1= ，
4 12
所以 sin b -a = cosa sin b - sina cos b 1= -cosa sin b = - .
12
1
故答案為：- .
12
【變式 3】（2024·天津紅橋·二模）在VABC 中，內(nèi)角A ， B ，C 的對邊分別為 a，b ， c，已
1
知 a = 6， cos B = ，且bsin A = 3csin B ．
3
(1)求 c的值；
(2)求b 的值；
(3)求 cos

2B
π
+
6 ÷
的值．
è
【答案】(1) 2
(2) 4 2
(3) 7 3 + 4 2-
18
【分析】（1）利用正弦定理將角化邊，即可得解；
（2）利用余弦定理計算可得；
（3）根據(jù)平方關(guān)系求出 sin B ，即可求出 sin 2B 、 cos 2B，最后由兩角和的余弦公式計算可
得.
【詳解】（1）因為bsin A = 3csin B ，由正弦定理可得 ab = 3cb ，所以 a = 3c，
又 a = 6，所以 c = 2；
（2）由余弦定理b2 = a2 + c2 - 2ac cos B ，
b2 = 62 22 2 6 2 1即 + - = 32 ，
3
所以b = 4 2 （負(fù)值已舍去）；
1
（3 2 2）由 cos B = ，B 0, π ，所以 sin B = 1- cos2 B = ，3 3
所以 sin 2B = 2sin B cos B 2 1 2 2 4 2= = ，
3 3 9
2
cos 2B = 2cos2 B 1 7-1 = 2 ÷ -1 = - ，
è 3 9
所以 cos

2B
π
+ ÷ = cos 2B cos
π
- sin 2B sin π
è 6 6 6
7 3 4 2 1 7 3 + 4 2
= - - = - .
9 2 9 2 18
【課后強(qiáng)化】
【基礎(chǔ)保分練】
一、單選題
sin2a
1．（2024·河南三門峽·模擬預(yù)測）若 tana = 2 ，則 2 的值為（ ）cos2a - sin a
4 2 4 4
A．- B． C． D．
7 3 9 7
【答案】A
sin2a 2sinacosa
【分析】由倍角公式可得 2 = 2 ，根據(jù)題意結(jié)合齊次式問題分析求cos2a - sin a cos a - 2sin2a
解.
sin2a 2sinacosa 2tana 4 4
【詳解】由題意可得： = = = = - .
cos2a - sin2a cos2a - 2sin2a 1- 2tan2a 1-8 7
故選：A.
2．（2024·山東·二模）已知函數(shù) f x = 3sin2x - cos2x，則下列結(jié)論正確的是（ ）．
A．函數(shù) f x 的最大值是 3
é π π ù
B．函數(shù) f x 在 ê- , ú 上單調(diào)遞增 6 3
C．該函數(shù)的最小正周期是 2π
π
D．該函數(shù)向左平移 個單位后圖象關(guān)于原點對稱
6
【答案】B
f x 2sin 2x π 【分析】根據(jù)題意，化簡函數(shù) = - ÷，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐項判定，
è 6
即可求解.
f x 3sin2x cos2x 2sin 2x π 【詳解】由函數(shù) = - = - ，
è 6 ÷
可得最大值是 2，最小正周期是 π，所以選項 A，C 錯誤；
x é π π - , ù 2x π- é π π ù當(dāng) ê ，可得 - , 6 3 ú 6 ê 2 2 ú
，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，

可得函數(shù) f x 2sin 2x π é π , π= -
ù
÷在 ê- ú 上單調(diào)遞增，所以 B 正確；è 6 6 3
將函數(shù) f x π圖象向左平移 得到函數(shù) f x = 2sin π
6
2x + ÷，
è 6
此時函數(shù) f x 的圖象不關(guān)于原點對稱，所以 D 錯誤.
故選：B．
2sin18o 3cos2 9o - sin2 9o -1
3．（2023·重慶·模擬預(yù)測）式子 化簡的結(jié)果為（ ）
cos 6o + 3 sin 6o
A 1． 2 B．1 C． 2sin 9
o D． 2
【答案】B
【分析】利用二倍角公式以及輔助角公式可化簡所求代數(shù)式.
2sin18o 3cos2 9o - sin2 9o - cos2 9o - sin2 9o
【詳解】原式=
2sin 6o + 30o
2sin18o 2cos2 9o - 2sin2 9o 2sin18o cos18o sin 36o
= .
2sin 36o
= = =1
sin 36o sin 36o
故選：B.
π
4．（2024·貴州畢節(jié)·一模）已知函數(shù) f x = 2sin wx +j +1 w > 0,0 < j < , x > 02 ÷的零點從è
小到大分別為 x1, x2 , x3 ,L .若 x2 - x1 = π ，則w =（ ）
1 2 3
A． B． C3 ． D．33 2
【答案】B
【分析】根據(jù)已知條件及函數(shù)的零點的定義，利用三角方程的解法即可求解.
【詳解】令 f x = 2sin wx +j +1 = 0 ，即 sin wx +j 1 π= - ，解得wx +j = - + 2kπ或
2 6
wx +j 5π= - + 2kπ,k Z ,
6
因為函數(shù) f x = 2sin wx +j π+1 w > 0,0 < j < , x > 0÷的零點從小到大分別為 x1, x2 , x3 ,L，
è 2
wx j 5π π所以 1 + = - + 2π,①，wx2 +j = - + 2π,②6 6
2π
由②-①，得w x2 - x1 = ，3
又因為 x2 - x1 = π ，
wπ 2π 2所以 = ，解得w = .
3 3
故選：B.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題主要利用函數(shù)零點的定義及三角方程的解法即可.
二、多選題
5．（2024·江西贛州·二模）已知函數(shù)
f x cos wx π cos wx π 2 3 sin wx cos wx= + ÷ + - ÷ + w > 0 ，則（3 ）è è 3 2 2
π
A．若 f x 相鄰兩條對稱軸的距離為 ，則w = 2
2
B．當(dāng) f x π π的最小正周期為2p ，- x 時，- 3 f x 1
2 12
π
C．當(dāng)w = 2時， f x 的圖象向右平移 個單位長度得到函數(shù)解析式為 y = -2cos 2x
3
D．若 f x é π ù在區(qū)間 ê0, ú上有且僅有兩個零點，則11 w <17 6
【答案】ACD
【分析】先對原函數(shù)化簡 f x = 2coswx cos π + 3 sinwx = 2cos wx π- ÷；對于 A，直接求3 è 3
出w 即可；對于 B，求出 f x 在指定區(qū)間的最值，判斷即可；對于 C，直接求出平移后的函
數(shù)解析式即可；對于 D，由整體法直接求出w 的取值范圍即可.
f x π= 2coswx cos + 3 sinwx = 2cos π 【詳解】由題意知： wx -3 3 ÷，è
1 T π
2π
對于 A， =2 2 ，所以
T = π = ，所以w = 2，故 A 正確；
w
2π π π π é 5π π ù
對于 B，由T = 2π= ，所以w =1，由- x ， x - - ,- ，
w 2 12 3 ê 6 4 ú
π 5π
所以當(dāng) x - = - x
π
時，即 = - f2 時， x = - 3 ，3 6 min
π π π
當(dāng) x - = - ，即 x = 時， f x = 2max ， 故 B 錯誤；3 4 12
對于 C，當(dāng)w = 2時，
f x π的圖象向右平移 個單位長度，
3
é
得到函數(shù)解析式為 y = 2cos ê2
x π- π ù ÷ - ú = -2cos 2x ，故 C 正確；
è 3 3
f x é π ù π é π π π ù對于 D，若 在區(qū)間 ê0, ú上有且僅有兩個零點，則wx - ê- , w - ， 6 3 3 6 3 ú
3π π π 5π
所以 w - < ，即11 w <17，故 D 正確.
2 6 3 2
故選：ACD.
1
6．（23-24 高三上·安徽合肥·階段練習(xí)）下列代數(shù)式的值為 的是（ ）
4
o
A． cos2 o
tan15
75 - sin2 75o B．
1+ tan2 15o
C． cos36o cos 72o D． 2cos 20o cos 40o cos80o
【答案】BCD
【分析】利用二倍角的余弦公式可判斷 A 選項；利用切化弦以及二倍角的正弦公式可判斷 B
選項；利用二倍角的正弦公式可判斷 CD 選項.
【詳解】對于 A 選項， cos2 75o - sin2 75o = cos150o = cos 180o - 30o 3= -cos30o = - ；2
sin15o
tan15o ocos15o sin15 cos15
o 1
對于 B 選項， 2 o = 2 o = 2 o 2 o = sin 30
o 1=
sin 15 ；1+ tan 15 1+ cos 15 + sin 15 2 4
cos2 15o
1 o o
o
對于 C 選項， cos36o cos 72o sin 36 cos36
o cos 72o sin 72 cos 722 1 sin144
o 1
= o = = × = ；sin 36 sin 180o -144o 4 sin144o 4
2cos 20o sin 20o cos 40o cos80o
對于 D 選項， 2cos 20o cos 40o cos80o =
sin 20o
1 o
sin 40o cos 40o cos80o sin80 cos80
o
o
= = 2 1 sin160 1= × = .
sin 20o sin 180o -160o 4 sin160o 4
故選：BCD.
三、填空題
3π π
7．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）已知q , π ÷ ， tan 2q = -4 tan q +4 4 ÷
，則
è è
1+ sin 2q
2 = .2cos q + sin 2q
1
【答案】 /0.25
4
1
【分析】根據(jù)題意利用三角恒等變換可得 tanq = - ，再利用倍角公式以及齊次化問題分析
2
求解.
π -4

tanq + tan
π
÷
tan 2q = -4 tan q + 2 tanq è 4 -4 tanq +1 【詳解】因為 ÷，則 = = ，
è 4 1- tan2 q 1 tanq tan π- × 1- tanq
4
tanq
顯然1- tanq 0 ，可得 = -2 tanq +1 ，
1+ tanq
1
整理得 2 tan2 q + 5 tanq + 2 = 0，解得 tanq = -2或 tanq = - ，
2
q 3π又因為
, π ÷，則 tanq -1,0 ，可得 tanq
1
= - ，
è 4 2
1+ sin 2q sin2 q + cos2 q + 2sinq cosq sinq + cosq 1
所以 = = = tanq 1+1 = .
2cos2 q + sin 2q 2cos2 q + 2sinq cosq 2cosq 2 4
1
故答案為： .
4
8．（2024·遼寧·二模）已知 cos(a π+ ) 10= ，則 sin 6a = ．
4 5
71
【答案】
125
1
【分析】利用余弦的和角公式，同角三角形函數(shù)的和積關(guān)系及二倍角公式先得 sin 2a = ，
5
再將三倍角化為二倍角推導(dǎo)計算得 sin 6a = 3sin 2a - 4sin3 2a 即可.
π 10 2 2 10 2 5
【詳解】由 cos(a + ) = ，得 cosa - sina = 即 cosa - sina = ，
4 5 2 2 5 5
兩邊平方得1- 2sina cosa
20
= ，得 sin 2a
1
= ，
25 5
所以 sin 6a = sin(4a + 2a ) = sin 4a cos 2a + cos 4a sin 2a
= 2sin 2a cos2 2a + (1- 2sin2 2a )sin 2a = 2sin 2a (1- sin2 2a ) + sin 2a - 2sin3 2a
= 3sin 2a - 4sin3 2a 71= ．
125
71
故答案為： ．
125
é π
9．（2023·貴州六盤水·模擬預(yù)測）設(shè)a ê ,
π ù b éπ , πù， ，且 sina + cosa = 2 cos b ，則
4 2 ú ê 4 2 ú
a - b = .
π
【答案】
4
π é π π ù éπ πù
【分析】根據(jù)三角恒等變化化簡可得 cos a - 4 ÷
= cos b ，再結(jié)合a
è ê
, ， b , ，
4 2 ú ê4 2 ú
解方程即可得a - b 的值.
【詳解】因為

sina +cosa 2= 2 sina
2
+ cosa π π π
2 2 ÷÷
= 2 sin sina +cos cosa4 4 ÷
= 2 cos a - ÷，
è è è 4
所以 2 cos
π
a - ÷ = 2 cosb cos
a π- ，即 ÷ = cos b
è 4 è 4
é π , π ù b éπ , πù a π é0, πa - ù又 ê ú ， ，所以 4 2 ê4 2ú 4 ê ú
，
4
a π b π π π π則可得 - = = ，則a = , b = 故a - b = .
4 4 2 4 4
π
故答案為： .
4
四、解答題
10．（2024·天津·一模）在VABC 中，角A ， B ，C 的對邊分別為 a，b ， c .已知b = 2 ，
cos B 5 2sin A = 2 sin C ， = .
8
(1)求 a的值；
(2)求 cosC 的值；
(3)求 sin 2C + B 的值.
【答案】(1) 2 2
3
(2)
4
(3) 14
4
【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再由余弦定理計算可得；
（2）利用余弦定理計算可得；
（3）首先求出 sin C ，從而由二倍角公式求出 sin 2C 、 cos 2C ，最后由兩角和的正弦公式計
算可得.
【詳解】（1）因為 sin A = 2 sin C ，
由正弦定理可得 a = 2c ，
又b = 2 ， cos B
5 2
= ，
8
2
a2 + c2 - b2 5 2 2c2 + c2 - 2
由余弦定理 cos B = = ，即 5 2= ，解得 c = 2或 c = -2（舍2ac 8 2 2c2 8
去），
所以 a = 2c = 2 2 .
2
a2 + b22 - c
2 2 2 + 2 2 - 22
（ ）由余弦定理 cosC 3= = = .
2ab 2 2 2 2 4
（3）由（2）可得 sin C = 1- cos2 C 7= ，
4
sin 2C 7 3 3 7所以 = 2sinC cosC = 2 = ，
4 4 8
2
cos 2C = 2cos2 C -1 = 2 3 1 ÷ -1 = ，
è 4 8
又 sin B 14= 1- cos2 B = ，
8
所以 sin 2C + B = sin 2C cos B + cos 2C sin B
3 7 5 2 1 14 14
= + = .
8 8 8 8 4
11．（2023·廣東·模擬預(yù)測）已知函數(shù) f x =1+ 2 2cosx ×sin x π- , f A π- 2 ÷ ÷ = - .
è 4 è 2 8 3
(1)求 cosA；
(2)若VABC 的面積為10 2 且 sinB + sinC = 2 ，求VABC 的周長.
1
【答案】(1)
3
(2)20
【分析】（1）利用三角恒等變換化簡，結(jié)合已知條件列出方程，求解即可；
（2）由（1）求出 sinA，由面積公式求出bc = 30 ，因為 sinB + sinC = 2 ，則
sinB + sinC 3 3
= ，由正弦定理可得b + c = a ，由余弦定理求得a = 8，則b + c =12，即可
sinA 2 2
得解.

1 f x =1+ 2 2cosx 2 sinx 2- cosx ÷ =1+ 2sinxcosx - 2cos2【詳解】（ ） x
è 2 2 ÷
= sin2x - cos2x = 2sin 2x
π
- ÷，
è 4
A π 2
因為 f - ÷ = - ，
è 2 8 3
2sin é2 A π π ù π 2所以 ê - ÷ - ú = 2sin

A - ÷ = - 2cosA = - ，
è 2 8 4 è 2 3
解得 cosA
1
= ；
3
π
（2）在VABC 中，由（1）可得 0 < A < 2 ， sinA = 1- cos
2 A 2 2= ，
3
S 1∵ △ABC = bcsinA = 10 2 ，即bc = 30 ，2
sinB + sinC 2 3
= =
因為 sinB + sinC = 2 ，則 sinA 2 2 2，
3
b + c 3
由正弦定理可得 = ，即b
3
+ c = a ，
a 2 2
a2 = b2由余弦定理得 + c2 - 2bccosA = (b + c)2 - 2bc - 2bc
1 9
= a2 8- 30 ，
3 4 3
∴a = 8，則b + c =12，
∴三角形周長 l△ABC = a + b + c = 20
【綜合提升練】
一、單選題
2cos 65°cos15°
1．（2024·重慶·模擬預(yù)測） 的值為（ ）
tan15°cos10° + sin10°
A 2 + 3 B 1+ 3． ． C 2 + 3 1+ 3． D．
2 2 4 4
【答案】A
【分析】由同角的商數(shù)關(guān)系，兩角和的正弦公式，降冪公式，誘導(dǎo)公式化簡求值即可．
2cos 65°cos15° 2cos 65°cos2 15°
【詳解】 =
tan15°cos10° + sin10° sin15°cos10 × + sin10°cos15°
sin 25° (1+ cos30°) 1 3 2 + 3= = + = ，
sin 25° 2 2
故選：A．
π π 1 π
2．（2024·江西南昌·二模）已知 2cos 2x + ÷cos x - ÷ - cos3x = ，則 sin - 2x =
è 12 è 12 ÷ 4 è 6
（ ）
A 1
1 7 7
． B．-2 C． D．-2 8 8
【答案】D
π 1
【分析】利用余弦的和角公式化簡得 cos x + 6 ÷
=
4 ，再根據(jù)二倍角公式及誘導(dǎo)公式計算即è
可.
2cos 2x π cos x π é π π ù 1【詳解】由已知知： + ÷ -
- cos 2x + +
12 12 ÷ ê 12 ÷
x - ÷ = ，
è è ú è è 12 4
π π π π
化簡得 cos 2x + ÷cos x - ÷ + sin 2x + sin12 12 12 ÷
x - ÷
è è è è 12
= cos é π π ùê 2x +
- ÷ x - ÷ú = cos
π 1
12 12
x + = ，
è è è 6
÷
4
令 t
π π
= x + ，則 x = t - ，cos t
1
= ，
6 6 4
π
所以 sin - 2x
é π π ù= sin - 2 t - = sin π
6 ÷ ê 6 6 ÷ú
- 2t
2 ÷
= cos 2t
è è è
1 2
= 2cos2 t -1 = 2 7 ÷ -1 = - .
è 4 8
故選：D
é π π ù é π π ù
3．（23-24 高三上·河北廊坊·期中）設(shè)a ê , ú , b ê ,4 2 4 2 ú
，且 sina + cosa = 2cosb ，則

（ ）
A．a(chǎn) + b
π a b π= B． - =
4 4
a b π πC． + = D．a(chǎn) - b = -
2 4
【答案】B
【分析】利用三角恒等變換可得答案.
【詳解】因為 sina + cosa = 2sin

a
π
+ = 2cosb ，所以
è 4 ÷
sin a π + ÷ = cosb = sin
π
4
- b ÷．
è è 2
a π π é , ù , b é π , π ù a π é π , 3π+ ù , π - b é因為 ê ú ê ú，所以 ê ú ê0,
π ù
，
4 2 4 2 4 2 4 2 4 ú
a π π所以 + + - b = π ，則a - b
π
= ．
4 2 4
故選：B.
π 4 π
4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知 sin a + ÷ = ，則 sin 2a -6 5 6 ÷
=（ ）
è è
24 24 7
A 7． B．- C． D．-
25 25 25 25
【答案】C
π
【分析】設(shè) b a
π a b π= + ，則 = - ，根據(jù)誘導(dǎo)公式可得 sin 2a - ÷ = -cos 2b ，結(jié)合二倍6 6 è 6
角的余弦公式計算即可求解.
b a π π【詳解】設(shè) = + ，則a = b - ， sin b
4
= ，
6 6 5
sin 2a π sin é π π ù π所以 - ÷ = ê2 b -

÷ - ú = sin

2b -

÷ = -cos 2b ，
è 6 è 6 6 è 2
所以-cos 2b = - 1- 2sin2 b 16 7= 2sin2 b -1 = 2 -1 = .25 25
故選：C．
3 1 a + b
5．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知a , b 為銳角， tan a - b = ,sinasinb = ，則 sin =
4 2 2
（ ）
4 3
A B 2 5 15． ． C． D．
5 5 5 5
【答案】D
【分析】借助三角恒等變換、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計算即可得.
a , b a - b π π a + b π 【詳解】因為 為銳角，所以 - , ÷， a + b 0, π , 0, ÷，
è 2 2 2 è 2
3 sin a - btan 又 a - b = = 4 ，所以 cos a - b = = cosacosb + sinasinb4 cos a b ，- 5
而 sinasinb
1
= ，所以cosacosb
3
= ，
2 10
所以 cos a + b = cosacosb - sinasinb 3 1 1= - = - =1- 2sin2 a + b ，
10 2 5 ֏ 2
因此 sin a + b 3 15= = .
2 5 5
故選：D．
a , b 0, π
sin 2b
6．（2024·遼寧·二模）已知 ÷， 2 tana = cos
2a + b π+ =
è 2 sin b + sin2 b
，則 3 ÷è
（ ）
A 3 3 1． B． - C 1． 2 D．-2 2 2
【答案】B
2 tana sin 2b 2sina 2cos b【分析】由 = =sin b sin2 b ，可得 cosa 1 sin b ，進(jìn)而可得+ +
sina + sina sin b = cosa cos b ，再根據(jù)兩角差的余弦公式化簡求出a , b 的關(guān)系，即可得解.
sin 2b
【詳解】因為 2 tana = sin b sin2 b ，+
2sina 2sin b cos b 2cos b
所以 = =cosa sin b + sin2 b 1 ，+ sin b
所以 sina + sina sin b = cosa cos b ，
所以 sina = cosa cos b - sina sin b = cos a + b ，
cos π所以 -a

÷ = cos a + b ，
è 2
因為a , b

0,
π π π
÷，所以 -a 0, ÷ ,a + b 0, π ，
è 2 2 è 2
π π
所以 -a = a + b ，所以 2a + b = ，
2 2
π 5π 3
所以 cos 2a + b + ÷ = cos = - .
è 3 6 2
故選：B.
7．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知 cos b - 2sin b = 2,sina = 2sin(a + b ) ，則 tan(a + b ) = （ ）
1
A B 1 C 5 -1 5 +1． ． 2 ． D．3 2 2
【答案】B
【分析】首先利用三角恒等變換 sina = sin[(a + b ) - b ]，再根據(jù)已知條件變換，即可求解.
【詳解】由 sina = 2sin(a + b )和 sina = sin[(a + b ) - b ]得
sin(a + b ) cos b - cos(a + b )sin b = 2sin(a + b ) ，
cos a + b sin b
即 sin a + b = ，又因為 cos b - 2 = 2sin b ，且 sin b 0，
cos b - 2
tan(a b ) sin(a + b ) 1所以得 2sin(a + b ) = cos(a + b )，因此 + = =cos( .a + b ) 2
故選：B.
8．（2024·安徽合肥·二模）記VABC 的內(nèi)角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，已知
c = 2, 1 1 1+ + = 1．則VABC 面積的最大值為（
tanA tanB tanAtanB ）
A．1+ 2 B．1+ 3 C． 2 2 D． 2 3
【答案】A
【分析】由題意及正切與正弦與余弦的關(guān)系，兩角和的正弦公式及余弦公式可得角C 的大小，
再由余弦定理及基本不等式可得 ab的最大值，進(jìn)而求出該三角形的面積的最大值．
1 1 1
【詳解】因為 + + = 1，可得 tan A + tan B +1 = tan A tan Btan A tan B tan A tan B ，
sin A sin B 1 sin Asin B即 + + =cos A cos B cos Acos B ，
整理可得 sin Acos B + cos Asin B + cos Acos B = sin Asin B ，
即 sin(A + B) = -cos(A + B)，
在三角形中 sin(A + B) = sin C ， cos(A + B) = -cosC ，
即 sin C = cosC ，C 0, π π,可得C = 4 ；
2 π
由余弦定理可得 c = b2 + a2 - 2ab cos 2ab - 2ab，當(dāng)且僅當(dāng) a = b時取等號，
4
而 c = 2，
所以 ab
4
= 2(2 + 2)，
2 - 2
S 1所以 VABC = absin C
1
2(2 2+ 2) =1+ 2 ．
2 2 2
即該三角形的面積的最大值為1+ 2 ．
故選：A．
二、多選題
9．（2024·浙江金華·三模）已知函數(shù) f x = sin 2wx cosj + cos 2wx sinj π w > 0,0 < j < ÷的部
è 2
分圖象如圖所示，則（ ）
j πA． = B．w = 2
6
f πC． x +
é π ù 1
÷為偶函數(shù) D． f x 在區(qū)間 0, 的最小值為-
è 6 ê 2 ú 2
【答案】ACD
π
【分析】先由正弦展開式，五點法結(jié)合圖象求出 f x = sin 2x + 6 ÷，可得 A 正確，B 錯誤；è
由誘導(dǎo)公式可得 C 正確；整體代入由正弦函數(shù)的值域可得 D 正確.
【詳解】由題意得 f x = sin 2w +j ，
由圖象可得 f 0 1= sinj 1= ，
2 2
π j π又 0 < j < 2 ，所以 = ，6
w 4π π 3π由五點法可得 + = w =1，
3 6 2
π
所以 f x = sin 2x + ÷ .
è 6
π
A：由以上解析可得j = ，故 A 正確；
6
B：由以上解析可得w =1，故 B 錯誤；
π
C： f x + ÷ = sin
é2 x π+ π ùê ÷ + ú = cos 2x，故 C 正確；è 6 è 6 6
x é0, π ù 2x π π 7π π 1D：當(dāng) ê ú +
é , ù sin 2x + éê ú 時， ÷ ê- ,1
ù
，
2 6 6 6 è 6 2 ú
1
所以最小值為- ，故 D 正確；
2
故選：ACD.
π π
10．（2024·安徽合肥·二模）已知函數(shù) f x = sin x +

÷ - sinx - sin ，則（ ）
è 6 6
f x é π ,πùA．函數(shù) 在
ê 2 ú
上單調(diào)遞減

5π 1
B．函數(shù) y = f x + ÷ + 為奇函數(shù)
è 12 2
x é π π ùC．當(dāng) ê- , ú時，函數(shù) y = 4 f x +1恰有兩個零點 2 2
2024
D．設(shè)數(shù)列 a π π 2027n 是首項為 ，公差為 的等差數(shù)列，則 = f a6 6 i = -i=1 2
【答案】BCD
【分析】利用三角恒等變換化簡 f x ，再利用正弦函數(shù)單調(diào)性奇偶性判斷 ABC，利用裂項
相消及累加求和判斷 D.
sin 7π sin π π 3 2 1 2 6 + 2【詳解】易知 = + ÷ = × + × = ，12 è 3 4 2 2 2 2 4
sin π同理 = cos 7π 6 - 2= ，
12 12 4
f x = sin π x + ÷ - sinx sin
π
-
è 6 6
3 - 2 6 - 2sin x 1 cos x 1 = sin
7π 1
= + - x + ÷ -2 2 2 2 è 12 2
é π ù 7π 13π 19π
對 A, x ê , πú , x +
é
ê ,
ù
ú , f x 先減后增，故 A 錯誤； 2 12 12 12
5π 1 6 - 2
對 B, y = f x + ÷ + = - sin x為奇函數(shù)，故 B 正確；
è 12 2 2
x é π π 7π π 13π對 C, ê- ,
ù
ú , t = x +
é
ê ,
ù
ú ,
π π
則 sin t 在 , 單調(diào)遞增，
2 2 12 12 12 è12 2 ÷
π ,13π 在 ÷ 單調(diào)遞減，即 f x
π π π π
在 - , -

單調(diào)遞增，在 - , 單調(diào)遞減，
è 2 12 è 2 12 ÷ è 12 2 ÷
f π- = 2 3 -1 - 2又 1
è 12 ÷ > -
，
4 4
f π 6 - 2 sin π 1 6 - 2 6 - 2 1 3 1 - ÷ = - = × - = - < - ，
è 2 4 12 2 4 4 2 4 4
故函數(shù) y = 4 f x +1恰有兩個零點，故 C 正確；
a n對 D,易知 n = π ，令 g x = sin
x π+ ÷ - sinx ，則 f x = g x
1
- ，
6 è 6 2
g a1 = sin
π
- sin π ，
3 6
g a π π2 = sin - sin ,2 3
……………………..
g a sin 2024π π 2023π π 2024 = + ÷ - sin + ,
è 6 6 ÷ è 6 6
i=1
g a sin 2024π π 則 i = + ÷ - sin
π
= sin π 1 3
6 6 6
337π + ÷ - = - ，
2024 è è 2 2 2
i=1 i=1
f a g a 2024 1 2027故 = i = i - = - ，故 D 正確.
2024 2024 2 2
故選：BCD.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)及數(shù)列求和應(yīng)用，關(guān)鍵是利用利用裂項相消
及累加求和判斷 D.
11．（2024·全國·模擬預(yù)測）在單位圓O : x2 + y2 =1上任取一點P(x, y) ，圓 O 與 x 軸正半軸
的交點是 A，設(shè)將OA繞原點 O 旋轉(zhuǎn)到OP所成的角為q ，記 x，y 關(guān)于q 的表達(dá)式分別為
x = f (q ), y = g(q )，則下列說法中正確的是（ ）
A． x = f (q ) 是偶函數(shù)， y = g(q )是奇函數(shù)
B． f (q ) + g(q ) >1 q é0,
pù
對于
ê 2 ú
恒成立

C．設(shè) h(q ) = f (q ) + g(q )，若 h(wq )(w > 0)在q [0,p ]上有且僅有 3 個極值點，則
9 13
w <
4 4
D 3 3．函數(shù) t = 2 f (q ) + g(2q )的最大值為
2
【答案】ACD
【分析】關(guān)鍵利用任意角三角函數(shù)定義可知 f (q ) = cosq , g(q ) = sinq ，再結(jié)合輔助角公式，
從而可以判斷 A、B；對于 C 選項，要用好正弦函數(shù)曲線，把相位看成一個整體變量，就很
容易分析并得到參數(shù)的范圍；對于 D 選項，這個式子的最大值求法上雖然不能轉(zhuǎn)化為二次
型復(fù)合函數(shù)，但是用構(gòu)造四元均值不等式來突破很是方便.
【詳解】由題意可知， x = f (q ) = cosq , y = g(q ) = sinq ．
因為 f (q ) = cosq 是偶函數(shù)， g(q ) = sinq 是奇函數(shù)，故選項 A 正確．
因為 f (q ) + g(q ) = cosq + sinq
p
= 2 sin q +

4 ÷
，
è
é
又因為q ê0,
pù p ép 3p ù p
ú，所以q + ê , ú ，則 2 sin q + ÷ [1, 2]，故選項 B2 錯誤． 4 4 4 è 4
h(wq ) 2 sin wq p 因為 = + ÷在q [0,p ]
p ép p ù
上有且僅有 3 個極值點，且wq +
è 4 4 ê
,wp +
4 4 ú
，

ép p ù
再根據(jù)正弦函數(shù) y = sin x 曲線在 x ê ,wp + ú 上有且僅有 3 個極值點， 4 4
p 3p 5p ép
即： , , ê ,wp
p ù 7p ép+ ú且 ê ,wp
p
+ ù ，
2 2 2 4 4 2 4 4 ú
5p
則 wp
p 7p 9 13
+ < ，解得 w < ，故選項 C 正確．
2 4 2 4 4
令函數(shù) t = 2 f (q ) + g(2q ) = 2cosq + sin 2q = 2cosq (1+ sinq )，由于函數(shù) t 的最大值一定是正數(shù)，
所以平方可得：
t 2 = 4cos2 q (1+ sinq )2 = 4(1- sin2 q )(1+ sinq )2 4= × 3(1- sinq ) (1+ sinq )(1+ sinq )(1+ sinq )
3
4 é3(1- sinq ) + (1+ sinq ) + (1+ sinq ) + (1+ sinq )
4
ù 4
4
6 27 × ê = × = ，3 4 ú 3 ÷è 4 4
t 3 3 sinq 1= t 3 3所以正數(shù) 的最大值是 ，即當(dāng) 時，函數(shù) 能取到最大值 ，故選項 D 正確．
2 2 2
故選：ACD．
三、填空題
3 2
12．（2024·江西·模擬預(yù)測）已知 cos a + b = ， cosacosb = ，則 cos 2a - 2b = .
5 5
23
【答案】 - 25
【分析】利用和角、差角的余弦公式以及二倍角公式求解即可.
【詳解】因為 cos a + b = cosacosb - sinasinb 3= ， cosacosb 2= ，
5 5
sinasinb 1所以 = - ，
5
所以 cos a - b = cosacosb + sinasinb 1= ，
5
所以 cos 2a - 2b = cos2 a - b = 2cos2 a 23- b -1 = - .
25
23
故答案為： - .25
wx 5π wx
13．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù) f (x) = sin + ÷cos w > 0 在區(qū)間 0, π 內(nèi)恰有
è 2 6 2
2 個極值點和 3 個零點，則w 的取值范圍是 ．
7 8ù
【答案】 ,
è 3 3ú
1 1
【分析】根據(jù)題意利用三角恒等變換可得 f x = + cos π
4 2
wx + ÷，分析可知
è 3
cos wx
π
+
1 π
÷ = - ，且 f (x) 的極值點即為 y = cos wx + ÷的極值點，結(jié)合余弦函數(shù)圖象分
è 3 2 è 3
析求解.

【詳解】由題意可得： f x = sin wx 5π cos wx 1 cos wx 3 sin wx + ÷ = - ÷÷cos
wx
è 2 6 2 è 2 2 2 2 2
1
= cos2 wx 3- sin wx cos wx 1= 1+ coswx 3- sinwx
2 2 2 2 2 4 4
1 1 π
= + cos wx +
4 2 ÷
，
è 3
f x π 1令 = 0 ，可得 cos wx + ÷ = - ，
è 3 2
f (x) y = cos wx π+ 且 的極值點即為 ÷的極值點，
è 3
π π π
因為 0 < x < π ，則 < wx + < wπ + ，
3 3 3
8π π 7 8
由題意結(jié)合余弦函數(shù)圖象可得： < wπ + 3π，解得 < w ，
3 3 3 3
7
所以w 的取值范圍是 ,
8ù
ú ．è 3 3
7 8ù
故答案為： , .
è 3 3ú
2 2 π
14．（2024·上海嘉定·二模）已知 f x = + ， x 0,
sin x cos x 2 ÷
，則函數(shù) y = f x 的最小值
è
為 ．
【答案】 4 2
【分析】令 t = sin x
π
+ cos x = 2 sin(x + )，可求 t 的范圍，利用同角的基本關(guān)系對已知函數(shù)
4
化簡計算，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求解.
f (x) 2 2 2(sin x + cos x)【詳解】由題意知， = + =sin x cos x sin xcos x ，
令 t = sin x + cos x = 2 sin(x
π
+ ) 0 x π π π 3π，由 < < 2 ，得 < x + < ，4 4 4 4
2 π
所以 < sin(x + ) 1，則1 < t 2 .
2 4
由 t = sin x + cos x ，得 t2 = (sin x + cos x)2 = 1+ 2sin xcos x ，
2 g(t) 2t 4t 4= = =
所以 sin x cos x t -1= ，則原函數(shù)可化為 t 2 -1 t 2 -1 1 ，
2 t -2 t
y t, y 1 y t 1又函數(shù) = = - 在 (1, 2]上單調(diào)遞增，所以 = - 在 (1, 2]上單調(diào)遞增，
t t
1 2
故當(dāng) t = 2 時， y = t - 取得最大值 ，此時 g(t)取得最小值t 4 2
.
2
故答案為： 4 2
四、解答題
15．（2023·安徽合肥·模擬預(yù)測）記VABC 的內(nèi)角A ， B ，C 的對邊分別為 a，b ， c，已知
cos B 1= .
3
B
(1) cos2 + tan2
A + C
求 的值；
2 2
(2)若b = 4 ， SVABC = 2 2 ，求 c的值.
8
【答案】(1)
3
(2) c = 2 或 c = 3 2
【分析】（1）利用二倍角公式及誘導(dǎo)公式計算可得；
（2）由面積公式求出 ac ，再由余弦定理得到關(guān)于 c的方程，解得即可.
【詳解】（1）因為 cosB
1
= ，
3
2 A + C
cos2 B 2 A + C 1+ cosB
sin
所以 + tan = + 2
2 2 2 cos2 A + C
2
1+ cosB 1- cos A + C
= +
2 1+ cos A + C
1 1
1+ cosB 1+ cosB 1+ 1+
= + = 3 + 3 8
2 1- cosB 2 1 1
= .
- 3
3
（2）因為 cos B
1
= ，所以
3 sin B = 1- cos
2 B 2 2= ，
3
1 1 2 2
因為 SVABC = 2 2 ，即 acsinB = ac × = 2 2 ，所以 ac = 6，2 2 3
2
再由余弦定理知b2 2
6 1
= a + c2 - 2accosB ，即 42 = ÷ + c
2 - 2 6 ，
è c 3
即 c4 - 20c2 + 36 = 0 ，解得 c2 = 2或 c2 =18，
所以 c = 2 或 c = 3 2 （負(fù)值舍去）.
16．（2023·天津津南·模擬預(yù)測）在VABC 中， a = 3,b = 2 6, B = 2 A .
(1)求 cosA的值；
(2)求 c的值；
(3)求 cos
B π- ÷的值.
è 6
(1) 6【答案】 (2)5 (3) 3 + 2 2
3 6
【分析】（1）根據(jù)倍角公式結(jié)合正弦定理分析運(yùn)算；
（2）利用倍角公式和兩角和差公式求 sin C ，再利用余弦定理求 c的值；
（3）利用兩角和差公式運(yùn)算求解.
【詳解】（1）因為 B = 2 A，則 sin B = sin 2A = 2sin Acos A，
由正弦定理可得：b = 2a cos A，即 2 6 = 2 3 cos A，
6
所以 cos A = .
3
（2）由（1）可得： cos A 6= 且 A 0, π ，則 sin A 3= 1- cos2 A = ，
3 3
sin B sin 2A 2sin Acos A 2 2 1可得 = = = , cos B = 2cos2 B -1 = ，
3 3
所以 sin C = sin A + B = sin Acos B + cos Asin B 5 3= ，
9
5 3
a c a sin C 3 9
由正弦定理 = ，可得 c = = = 5 .
sin A sin C sin A 3
3
π π π 1 3 2 2 1 3 + 2 2
（3）由（2）可得 cos B - ÷ = cos B cos + sin B sin = + = .
è 6 6 6 3 2 3 2 6
17．（2023·江蘇徐州·模擬預(yù)測）在VABC 中， cos 2B - cos 2A = 2sin B sin C ．
(1)若 B = C ，求A ；
π 4 S
(2)設(shè)D是BC VABD邊上一點，若 B = ， cos CAD = ，求
6 5 S
．
VADC
π
【答案】(1) A =
2
(2) 4 3 - 3
3
【分析】（1）根據(jù)已知條件及三角形的內(nèi)角和定理，結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和降冪公式即
可求解；
（2）利用二倍角公式及正弦定理，結(jié)合余弦定理及同角函數(shù)的基本關(guān)系，再利用兩角差的
正弦公式及三角形的面積公式即可求解.
【詳解】（1）∵在VABC 中， B = C ，
B C π - A∴ = = 2 ，
∵ cos 2B - cos 2A = 2sin B sin C ，
∴ cos(π - A) cos 2A
π - A
- = 2sin2 ÷ ，即 -cos A - cos 2A = cos A +12 ，∴ 2cos
2 A + 2cos A = 0，∴ cos A = 0
è
或 cos A = -1，
∵ A (0, π)，
π
∴ A = ．
2
（2）∵ cos 2B - cos 2A = 2sin B sin C ，
∴1- 2sin2 B - (1- 2sin2 A) = 2sin Bsin C ，
由正弦定理得 a2 - b2 = bc ，
又由余弦定理得 a2 = b2 + c2 - 2bc cos A，
∴ b2 + bc = b2 + c2 - 2bc cos A，即b = c - 2bcos A，
∴ sin B = sin C - 2sin B cos A = sin Acos B - cos Asin B = sin(A - B)，
∵ A, B為VABC 內(nèi)角，
∴ A = 2B．
∵ B π= 6 ，
∴ A π C
π
= ， =3 ，2
cos CAD 4又 = ，
5
∴ BAD
π
+ CAD =
3 ，
2
∴ sin CAD = 1- cos2 CAD 1 4 3= - ÷ = ，
è 5 5
∴ sin BAD sin(π = - CAD) = sin π cos CAD - cos π sin CAD 3 4 1 3 4 3 - 3 = - = ，
3 3 3 2 5 2 5 10
S 1△ABD 2 AB × AD × sin BAD sin C × sin BAD
4 3-3
10 4 3 - 3∴ = = = =S 1△ADC 2 AC × AD × sin DAC sin B × sin DAC 1 3
．
2 × 5 3
18．（2024·云南·二模）VABC 中，內(nèi)角 A、B、C 的對邊分別為 a、b、c，B 是A 與C 的等差
中項.
a a + b
(1)若 = ，判斷VABC 的形狀;
b - a c
tan B
(2)若VABC 是銳角三角形，求 的取值范圍.
tan A + tanC
【答案】(1)是以 c為斜邊的直角三角形.
1 ù
(2) 0,
è 2 ú
π
【分析】（1）根據(jù)等差中項性質(zhì)及三角形內(nèi)角和性質(zhì)得 B = 3 ，再結(jié)合已知和余弦定理得
a2 + b2 = c2 ，即可判斷三角形形狀；
π π
（2）先根據(jù)銳角三角形性質(zhì)得 < A <6 2 ，然后化切為弦結(jié)合三角恒等變換化簡目標(biāo)函數(shù)，
利用正弦函數(shù)性質(zhì)求解范圍即可.
【詳解】（1）QB是A 與C 的等差中項，\2B = A + C .
Q A π+ B + C = π,\B = .
3
Q a a + b= ,\b2 = a2 + ac .
b - a c
b2 = a2 + c2 1 2 2由余弦定理得： - 2ac = a + c - ac，即
2 a
2 + ac = a2 + c2 - ac ，
化簡得 c = 2a .\b2 = a2 + ac = a2 + 2a2 = 3a2 ，即b = 3a .
\a2 + b2 = a2 + 3a2 = 4a2 = c2 .Qb = 3a a ，
\VABC 是以 c為斜邊的直角三角形.
π
（2）QB = ,VABC 是銳角三角形，
3
ì 2π
C = - A > 0
3
2π π
\ íC = - A <
π A π，解得 < <
3 2 6 2
，

0 A
π
< <
2
tan B 3 3 cos AcosC
\ =
tan A + tan C sin A sin C
=
+ sin AcosC + cos Asin C
cos A cosC
3 cos AcosC 3 cos AcosC
= = = 2cos AcosC
sin(A + C) sin B

= 2cos Acos 2π - A

÷ = 2cos A
1
- cos A
3
+ sin A÷
è 3 ÷è 2 2
cos2 A 3 sin Acos A cos 2A +1 3 sin 2A= - + = - +
2 2
3
= sin 2A 1- cos 2A 1- = sin 2A π- 1- .
2 2 2 ֏ 6 2
π A π π 2A π 5π
1 π
由 < < 得 < - < \ < sin 2A - 16 2 6 6 6 ， ÷ ，2 è 6
\0 < sin 2A
π 1 1
- ÷ -
tan B 1
，即0 < .
è 6 2 2 tan A + tanC 2
tan B 1
\ 的取值范圍為 0,
ù
.
tan A + tanC è 2 ú
19．（2024·全國·模擬預(yù)測）記VABC 的內(nèi)角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c .已知
b b2 + c2 - a2
= ．
2c - b a2 + c2 - b2
(1)求A ；
(2)若D為 AB 的中點，且6CD = 13AB ，求 cos ACB．
π
【答案】(1) (2) 7
3 14
2 2 2
【分析】（1 b b + c - a）根據(jù)已知條件 = 右邊的形式聯(lián)想到利用余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，
2c - b a2 + c2 - b2
a b c sin A cos A
由正弦定理 = =sin A sin B sin C 實現(xiàn)邊化角：
= ，進(jìn)而求得結(jié)果；
2sin C - sin B cos B
（2）分析VACD中的邊角關(guān)系，由余弦定理得CD2 = AD2 + AC 2 - 2AD ×考慮到D為 AB 的
中點，再次應(yīng)用余弦定理.由正弦定理得 sin ACB = 3 3 cos ACB，利用同角三角基本關(guān)系
式求得結(jié)果.
【詳解】（1）由余弦定理形式b2 + c2 - a2 = 2bc cos A和 a2 + c2 - b2 = 2ac cos B ，
b2 + c2 - a2 2bc cos A bcos A
因此 2 2 = = ．a(chǎn) + c - b2 2ac cos B a cos B
b b2 + c2 - a2 b bcos A a cos A
又 = 2 2 2 ,\ = ，即 = ，2c - b a + c - b 2c - b a cos B 2c - b cos B
a b c a sin A cos A
由正弦定理 = =sin A sin B sin C 得：
= = ，
2c - b 2sin C - sin B cos B
整理得： sin Acos B = 2sin C cos A - cos Asin B ，
\ sin(A + B) = sin(π - C) = sin C = 2sin C cos A．
Q sin C > 0，\ cos A
1
= ，
2
Q A (0, π) \ A π， = 3 ．
（2）由6CD = 13AB ，得6CD = 13c CD 13c，得 = ．
6
在VACD中，由余弦定理得CD2 = AD2
π
+ AC 2 - 2AD × AC cos ，3
QD為 AB 的中點，
\CD2 1= c2 + b2 2 1 c b 1 1 c2 b2 1 bc 13- = + - = c2 ，
4 2 2 4 2 36
即 2c2 + 9bc -18b2 = 0，\ (c + 6b)(2c - 3b) = 0（其中 c + 6b 0 ），
\ 2c = 3b ．
由正弦定理得 2sin ACB = 3sin B ，Q B = π - (A + ACB)，
\ 2sin ACB = 3sin(A + ACB) = 3sin ACB
π
+ 3 3 3
3 ÷
= sin ACB + cos ACB，
è 2 2
即 sin ACB = 3 3 cos ACB．
\ sin2 ACB + cos2 ACB = 28cos2 ACB =1，
由 sin ACB = 3 3 cos ACB，可得 cos ACB > 0；
cos2 ACB 1 cos ACB 7= =
\ 28 ， 14 ．
【拓展沖刺練】
一、單選題
π
1．（2024·安徽池州·二模）已知 sinb + cosb
1
= , b 0, π ，則 tan
5
b + ÷ =（ ）
è 4
1 1
A．7 B．-7 C． D．-
7 7
【答案】D
1 tan b π【分析】由 sinb + cosb = 可求 tan b

，再由兩角和的正切可求
5
+ ÷ .
è 4
【詳解】因為 sinb cosb
1
+ = , b 0, π ，故 sin2b + cos2b + 2sin b cos b 1= ，
5 25
π
故 2sin b cos b
24
= - < 0 ，而 b 0, π ，故 b , π ÷，故 sin b > 0,cos b < 0 ，25 è 2
而 sinb - cosb 2 49 7 4 3= ，故 sinb - cosb = ，所以 sinb = , cos b = - ，
25 5 5 5
4
- +1
4 tan b π 3 1故 tanb = - ，故 + ÷ = = - ，
3 è 4 1 4- 7 - ÷ 1
è 3
故選：D.
1
2．（2023·山東·模擬預(yù)測）若 sin a + b = ， tana = 5 tan b ，則 sin a - b =（ ）
2
1 1 7
A B C D 2 2． ． ． ．
6 3 9 3
【答案】B
【分析】根據(jù) tana = 5 tan b 切化弦可得 sina cos b = 5cosa sin b ，結(jié)合兩角和差公式運(yùn)算求
解.
sina 5sin b
【詳解】因為 tana = 5 tan b ，即 = ，可得 sina cos b = 5cosa sin bcosa cos b ，
又因為 sin a + b = sina cos b + cosa sin b = 6cosa sin b 1= ，可得 cosa sin b 1= ，
2 12
所以 sin a + b = sina cos b - cosa sin b = 4cosa sin b 1= .
3
故選：B.
π
3．（2023·江蘇無錫·三模）已知 tanb
cosa
= ， tan a b 1+ sina+ = b 0, ，若 ，則 b =
1- sina cosa è 2 ÷
（ ）
π π p π
A． B． C． D．
12 6 4 3
【答案】C
【分析】利用已知條件和兩角和的正切公式，先求出角a ，再利用已知條件即可求解.
【詳解】因為 tana =tan a + b - b tan(a + b ) - tanb= 1+ tan(a + b ) × tanb ，
tanb cosa tan a b 1+ sina又因為 = ， + = ，
1- sina cosa
1+ sina cosa (1+ sina ) × (1- sina ) - cosa ×cosa
-
tana = cosa 1- sina cosa (1- sina )所以
1 1+ sina cosa
= cosa × (1- sina ) + cosa × (1+ sina ) ，
+ ×
cosa 1- sina cosa (1- sina )
tana (1+ sina ) × (1- sina ) - cosa ×cosa 1- sin
2 a - cos2 a
所以 = =
cosa × (1- sina ) + cosa × (1+ sina ) 2cosa
因為 sin2 a + cos2 a =1，所以 tana = 0，
所以a = kπ,k Z，
所以當(dāng) k 為奇數(shù)時， cosa = -1，sina = 0，
當(dāng) k 為偶數(shù)時， cosa =1，sina = 0，
因為 tanb
cosa
= ，所以 tanb = 1，
1- sina
b π π因為 0, ÷，所以 b = .
è 2 4
故選：C.
cos A cosC
4．（2024·全國·模擬預(yù)測）在銳角VABC 中，若 3 sin A + ÷ = sin B sin C ，且
è a c
3sinC + cosC = 2，則 a + b 能取到的值有（ ）
A．5 B．4 C． 2 3 D．3
【答案】B
C π 3 sin A
cos A cosC
【分析】由 3sinC + cosC = 2可求 = ，再根據(jù) + ÷ = sin B sin C ，化3 è a c
a b c 4 3 4 3
簡可得 = = = ，用對應(yīng)角的正弦來表示邊，得 a + b = (sin A + sin B)，
sin A sin B sin C 3 3
最后結(jié)合兩角差的正弦公式、輔助角公式即可求解.
【詳解】由 3 sin C + cosC
π
= 2sin C +

÷ = 2，
è 6
又C (0,
π) π C + π , 2π
2 6 6 3 ÷
，
è
所以C
π π π
+ = ，則C = ．
6 2 3
3 sin A cos A cosC因為 +

÷ = sin B sin C ,
è a c
b 3×
根據(jù)正弦定理得 cos A cosC sin B sin C+ = = 2 b= ，
a c 3 sin A 3a 2a
cos A cosC b
故 + = ，
sin A sin C 2sin A
即 sin C cos A + cosC sin A bsin C 3b= = ，
2 4
sin(A C) sin B 3b b 4 3所以 + = = ，即 = ．
4 sin B 3
a b c 4 3
根據(jù)正弦定理得 = = = ，
sin A sin B sin C 3
a 4 3 4 3所以 = sin A，b = sin B ．
3 3
因為VABC
π
為銳角三角形，且C = ，
3
π 0 B π π 0 π π A π所以 0 < A < ， < < ，即 0 A
π π
< < ， < - - <2 2 ，解得
< A < ，
2 3 2 6 2
a b 4 3 (sin A sin B) 4 3 é+ = + = sin A + sin 2π ù所以 ê - A

3 3 3 ÷è ú
4 3 3
= sin A + cos A
1
+ sin A 4 3 3÷÷ = cos A
3
+ sin A÷÷ = 4sin
A π +

．
3 è 2 2 3 è 2 2 6
÷
è
π π π A π 2π< A < < + < 3 π 因為 6 2 ，所以 ，則 < sin A +3 6 3 2 6 ÷
1，
è
π
所以2 3 < 4sin A + ÷ 4，即6 2 3 < a + b 4
．
è
故選：B．
π
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于用正弦定理的邊角互化，求出C = 和用對應(yīng)角表示對
3
應(yīng)邊，將所求邊長之和轉(zhuǎn)化為關(guān)于角的三角函數(shù)進(jìn)行化簡，再根據(jù)所求角的范圍來求值域即
可.
二、多選題
5．（2024·浙江·二模）關(guān)于函數(shù) f x = 2sin x × cos x + 2 3 cos2 x，下列說法正確的是（ ）
π
A．最小正周期為 2π B．關(guān)于點 - , 36 ÷
中心對稱
è
é 5π π ù
C．最大值為 3 + 2 D．在區(qū)間 ê- , 上單調(diào)遞減 12 12ú
【答案】BC
【分析】首先化簡函數(shù)的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，判斷選項.
【詳解】 f x = 2sin x ×cos x + 2 3 cos2 x = sin 2x + 3 cos 2x +1 ，
= 2sin 2x
π
+ ÷ + 3 ，
è 3
2π
函數(shù)的最小正周期T = = π，故 A2 錯誤；
f π- ÷ = 2sin
π π
- + ÷ + 3 = 0 + 3 3
π= ，所以函數(shù) f x 圖象關(guān)于點 - , 3 ÷中心對稱，
è 6 è 3 3 è 6
故 B 正確；
f x = 2sin 2x
π
+ ÷ + 3 ，所以函數(shù)的最大值為3 2 + 3
，故 C 正確；
è
x é 5π , π ù 2x π π由 ê- ú ， +
é
ê- ,
π ù é π π ù
12 12 3 2 2 ú
，函數(shù) y = sin x 在區(qū)間 ê- , 2 2 ú
單調(diào)遞增，

f x é 5π , π所以函數(shù) 在區(qū)間 ê-
ù
上單調(diào)遞增，故 D 錯誤.
12 12ú
故選：BC
6．（2024·湖南·二模）在VABC 中，角 A, B,C 所對的邊分別為 a,b,c，且 c = b 2cosA +1 ，則
下列結(jié)論正確的有（ ）
A． A = 2B
B．若 a = 3b ，則VABC 為直角三角形
C．若VABC
1 1
為銳角三角形， - 的最小值為 1
tanB tanA
2 2 3
D．若VABC
c
為銳角三角形，則 的取值范圍為
a
,
2 3 ÷÷è
【答案】ABD
【分析】根據(jù)正弦定理和三角恒等變換可得 sin A - B = sinB ，即可得 A = 2B，所以 A 正確；
3 π
再利用 a = 3b 由正弦定理計算可得 cosB = ，可得C = ，B 正確；由銳角三角形可得
2 2
π B π< < 1 1 1+ tan
2B
，再由二倍角公式可得 - = >1，即 C 錯誤；由正弦定理可得
6 4 tanB tanA 2tanB
c
= 2cosB 1- ，結(jié)合 B 的范圍并利用函數(shù)單調(diào)性可得 D 正確.
a 2cosB
【詳解】對于A,VABC 中，由正弦定理得 sinC = 2sinBcosA + sinB ，
由 sinC = sin A + B ，得 sinAcosB - cosAsinB = sinB，即 sin A - B = sinB ，
由0 < A, B < π，則 sinB > 0，故0 < A - B < π，所以 A - B = B或 A - B + B = π ，
即 A = 2B或 A = π（舍去），即 A = 2B，A 正確；
B a 3b b對于 ，若 a = 3b ，結(jié)合 A = 2B和正弦定理知 = = , cosB 3= ，
sinA sin2B sinB 2
π π
又0 < A, B < π，所以可得 A = 2B = ,C = ，B 正確；
3 2
π π π
對于C ，在銳角VABC 中，0 < B < ,0 < A = 2B < ,0 < C = π - 3B < ，即
2 2 2
π B π 3< < , < tanB <1.
6 4 3
1 1 1 1- tan2B 1+ tan2B
故 - = - = >1，C 錯誤；
tanB tanA tanB 2tanB 2tanB
對于D ，在銳角VABC π π 2 3中，由 < B < , < cosB < ，
6 4 2 2
c sinC sin3B sin2BcosB + cos2BsinB
= = = = 2cosB 1- ，
a sinA sin2B sin2B 2cosB

令 cosB = t
2 3
,
c
÷÷，則 = f t = 2t
1
- ，
è 2 2 a 2t
f t 2t 1 c
2 2 3
易知函數(shù) = - 單調(diào)遞增，所以可得 , ÷÷，D 正確；2t a è 2 3
故選：ABD.
三、填空題
π 1 7
7 ．（ 2024· 廣 西 南 寧 · 一 模 ） 已 知 0 < a < < b < π,cosb = - ,sin a + b = ， 則
2 3 9
tana = ．
2
【答案】
4
【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系結(jié)合兩角差的正弦值可得 sina ，進(jìn)而可得 tana .
π 3π
【詳解】由題意， sin b = 1 2 2- cos2b = ，且 < a + b < ，故
3 2 2
cos a + b = - 1- sin2 a + b 4 2= - .
9
故 sina = sin a + b - b = sin a + b cos b - cos a + b sin b
7 1 4 2 2 2 1= - ÷ - - ÷ = .9 è 3 è 9 ÷ 3 3
1
2
故 cosa 1 1 2 2 tana = 3= - = ， =
32 3 2 2 4
.
3
2
故答案為：
4
π
8．（2023·江蘇徐州· π 2模擬預(yù)測）已知 sin(2a - ) = ，則 tan(a + ) tan(a
π
+ ) = ．
12 3 3 12
【答案】5
π π π
【分析】由條件等式右邊含有 2 ，可聯(lián)想到 2a - 12 中分離出 來處理，設(shè) x = 2a - ，待4 3
求表達(dá)式中用 x 表示，結(jié)合萬能公式進(jìn)行求解.
x 2a π【詳解】設(shè) = - π 2 π π，于是 sin(2a - ) = = sin(x + ) = sin x cos + cos xsin π ，
3 12 3 4 4 4
2 tan x 1 tan2 x2 -
整理可得 sin x + cos x
2
= ，根據(jù)萬能公式， sin x + cos x = = 2 + 2 ，
3 3 1+ tan2 x 1 x+ tan2
2 2
tan2 x 1 6整理可得 = + tan
x
，
2 5 5 2
由 x 2a
π π x π π x π
= - 可得，a + = + ,a + = + ，
3 3 2 2 12 2 4
故 tan(a
π
+ ) tan(a π+ ) = tan x π+ tan x π ÷ +

3 12 è 2 2 è 2 4 ÷
，

sin x π + ÷ cos
x
根據(jù)誘導(dǎo)公式， tan
x π+ è 2 2 2 1 2 2 ÷
= = - = - ，
è cos x π sin
x
+ ÷ tan
x
è 2 2 2 2
x
x π tan +12
根據(jù)兩角和的正切公式， tan + ÷ = ，
è 2 4 1 x- tan
2
π π 1 tan
x
+1 tan x +1 tan x x+1 tan +1
故 tan(a + ) tan(a + ) = - × 2 = 2 = 2 = 2 = 53 12 .tan x 1- tan x tan2 x - tan x 1 6 tan x tan x 1 1 tan x+ - +
2 2 2 2 5 5 2 2 5 5 2
故答案為：5
9．（2024·山西晉中·三模）已知函數(shù) f q = a cosq + bsinq + a sinq - b cosq 的最大值為
4 2 ，則滿足條件b > ea 的整數(shù) a的個數(shù)為 ．
【答案】5
【分析】先用基本不等式證明 f q 的最大值是 2 × a2 + b2 ，得到 a2 + b2 =16，再由 a是整
數(shù)及b > ea > 0確定b = 16 - a2 ， a -3, -2, -1,0,1,2,3 ，最后逐個枚舉 a的可能值并分類討
論即可得到全部的 a .
【詳解】因為 f q = a cosq + bsinq + a sinq - b cosq
= a cosq + bsinq 2 + a sinq - bcosq 2 + 2 a cosq + bsinq a sinq - b cosq
a cosq + bsinq 2 + a sinq - bcosq 2 + a cosq + bsinq 2 + a sinq - b cosq 2
= 2a2 cos2 q + 2b2 sin2 q + 4ab cosq sinq + 2a2 sin2 q + 2b2 cos2 q - 4ab cosq sinq
= 2 × a2 + b2 ，
且不等號取等的充要條件是 a cosq + bsinq = a sinq - bcosq ，即
a cosq + bsinq 2 = a sinq - b cosq 2 2 2，展開并化簡即得 a - b cos 2q + 2absin 2q = 0 .
2 2 2 2 2 2 2 2
由 a - b cos 0 + 2absin 0 = a - b 及 a - b cos π + 2absin π = b - a ，結(jié)合零點存在定理知
關(guān)于q 的方程 a2 - b2 cos 2q + 2absin 2q = 0一定有解.
所以 f q 的最大值是 2 × a2 + b2 ，從而 2 × a2 + b2 = 4 2 ，即 a2 + b2 =16 .
若要 a Z ，b > ea ，則b > ea > 0，所以b = 16 - a2 > 0，這得到-4 < a < 4 .
從而 a -3, -2, -1,0,1,2,3 ，且 16 - a2 > ea .
若 a 0，則 16 - a2 16 - 32 = 7 >1 ea ；
若 a =1，則 16 - a2 = 15 > 3 > e = ea ；
若 a 2，則 16 - a2 16 = 4 = 22 < e2 ea .
所以滿足條件的 a共有 5 個：-3, -2, -1,0,1 .
故答案為：5．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵點在于使用基本不等式證明 f q 的最大值是 2 × a2 + b2 ，
中間需要一定的平方式計算.
四、解答題
10．（23-24 高三上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）計算求值：
sin110°sin20°
(1) ；
cos2155° - sin2155°
(2)已知a ，b 均為銳角， sina
1
= cos a b 5 3， + = ，求 sin b 的值．7 14
1
【答案】(1) 2
(2) 39 3
98
【分析】（1）發(fā)掘角關(guān)系再利用誘導(dǎo)公式，降冪公式化簡求值即可.
（2）先將b 用 a +b -a 來表示，代入 sin b ，利用兩角和差公式求解即可.
1
【詳解】（1） sin110°sin20° sin70°sin20° cos20°sin20° sin40° 1
2 2 = = =
2 =
cos 155° - sin 155° cos310° cos50° sin40° 2
（2）∵a 、b 都為銳角，∴ 0 < a + b < p，
5 3 sina 1又 cos a + b = ， =
14 7
2

∴ sin a + b = 1- cos2 a b 1 5 3 11+ = - ÷÷ = ，
è 14 14
cosa 1 1
2
4 3= - ÷ = ，
è 7 7
∴ sinb = sin é a + b -a ù = sin a + b cosa - sinacos a + b
11 4 3 1 15 3 39 3
= - = .
14 7 7 14 98
11．（2024·海南海口·二模）已知函數(shù) f x = x - 6sin x，等差數(shù)列 an 的前 n項和為 Sn ，記
n
Tn = f ai .
i=1
(1)求證： f x 的圖象關(guān)于點 π, π 中心對稱；
(2)若 a1， a2，a3是某三角形的三個內(nèi)角，求T3的取值范圍；
(3)若 S100 =100π ，求證：T100 =100π .反之是否成立 并請說明理由.
【答案】(1)證明見解析；
(2) π - 6 3, π - 9 3ù ；
(3)證明見解析，反之不成立，理由見解析.
【分析】（1）設(shè)出 f x 的圖象任意一點的坐標(biāo)，計算判斷點 P 2π - x, 2π - y 也在 f x 的圖
象上即可.
π 2π
（2）利用三角形內(nèi)角和為 π和等差中項性質(zhì)求解出 a2 = 和 a1 + a3 = ，再根據(jù)定義展開3 3
T3，根據(jù)三角函數(shù)恒等變換展開化簡即可求出T3的取值范圍.
（3）根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可得 an + a101-n = 2π ，將該關(guān)系式代入Tn 計算即可，當(dāng)T100 =100π時，
利用等差數(shù)列性質(zhì)，構(gòu)造函數(shù)并結(jié)合零點存在性定理推理即得..
【詳解】（1）設(shè) f x 的圖象上任意一點P x, y ，則 y = f x ，
點 P 關(guān)于點 π, π 的對稱點為 P 2π - x, 2π - y ，
因為 f 2π - x = 2π - x - 6sin 2π - x = 2π - x + 6sin x = 2π - y，
因此點 P 2π - x, 2π - y 在 f x 的圖象上，
所以 f x 的圖象關(guān)于點 π, π 中心對稱.
（2）若 a1， a2，a3是某三角形的三個內(nèi)角，則 a1 + a2 + a3 = π，又 an 是等差數(shù)列，則
a π2 = ，3
因此T3 = f a1 + f a2 + f a3 = a1 + a2 + a3 - 6 sin a1 + sin a2 + sin a3
= π - 3 3 - 6sin a1 - 6sin(
2π
- a1) = π - 3 3 - 9sin a1 - 3 3 cos a3 1
= π - 3 3 - 6 3 sin(a π1 + )，6
π
不妨設(shè)a1 a3 ，則 a1 (0, ] a
π ( π，即有 1 + ,
π ]， sin(a
π
1 + )
1
( ,1]，
3 6 6 2 6 2
所以T3 (π - 6 3, π - 9 3] .
（3）由 an 是等差數(shù)列，且 S100 = a1 + a2 + ×××+ a100 =100π
100(a + a )
，得 1 100 =100π ，
2
即 a1 + a100 = 2π ，因此當(dāng)m + n = 101時， am + an = 2π ， sin am + sin an = 0，
100 100
T100 = f ai = S100 - 6 sinai
i=1 i=1
=100π - 6 é sin a1 + sin a100 + sin a2 + sin a99 + ×××+ sin a50 + sin a51 ù =100π .
所以T100 =100π成立.
反之不成立.
99(a + a )
考慮存在等差數(shù)列 a 1 99n ，滿足 a50 = a1 + 49d = π ，則 S99 = = 99a50 = 99π，2
顯然當(dāng)m + n =100時， am + an = 2a50 = 2π ， sin am + sin an = 0，于是T99 = 99π，
下面證明，存在d ，可以使得 f a100 = π ，且 a100 π，
不妨設(shè) d > 0，由 a1 + 49d = π ，得 a100 = a1 + 99d π ，
f (a100 ) = π + 50d - 6sin(π + 50d )，即 f a100 - π = 50d + 6sin 50d ，
設(shè) g x = x + 6sin x 3π 3π，其中 x > 0，顯然 g π = π > 0， g( ) = - 6 < 0 ，
2 2
x (π, 3π則存在 )，使得 g x = 0 π 3π，即存在 d ( , ) ，使得 f a100 = π ， T100 =100π，2 50 100
但此時 S100 100π ，所以反之不成立.
【點睛】方法點睛：
常見函數(shù)的累加求值：①若函數(shù)呈周期性變化，或者函數(shù)的部分呈周期性變化，因此在累
加求值的過程中，先找到函數(shù)的周期性，再計算出一個周期中的取值情況，最后整體計算；
②若無周期變化，該函數(shù)還可能呈首尾相加取定值，可先判斷是否存在該規(guī)律，再進(jìn)行整
體計算.考點 25 簡單的三角恒等變換（3 種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜
合提升練+拓展沖刺練）
【考試提醒】
　能運(yùn)用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式推導(dǎo)二倍角的正弦、余弦、正切公式，并進(jìn)行
簡單的恒等變換(包括推導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，這三組公式不要求記憶)．
【知識點】
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式 S2α：sin 2α＝ .
(2)公式 C2α：cos 2α＝ ＝ ＝ .
(3)公式 T2α：tan 2α＝ .
2．常用的部分三角公式
(1)1－cos α＝ ，1＋cos α＝ .(升冪公式)
(2)1±sin α＝ .(升冪公式)
(3)sin2α＝ ，cos2α＝ ，tan2α＝ .(降冪公式)
【核心題型】
題型一　三角函數(shù)式的化簡
(1)三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則：
一看角，二看名，三看式子結(jié)構(gòu)與特征．
(2)三角函數(shù)式的化簡要注意觀察條件中角之間的聯(lián)系(和、差、倍、互余、互補(bǔ)等)，尋找式
子和三角函數(shù)公式之間的聯(lián)系點．
π π
【例題 1】（2024·河北承德·二模）函數(shù) f x = 3sin 2x - ÷ + cos 2x - ÷的圖象的對稱軸
è 2 è 6
方程為（ ）
x π kπ ,k π kπA． = + Z B． x = + ,k Z
3 2 2 2
5π kπ 7π kπ
C． x = + , k Z D． x = + , k Z
12 2 12 2
2023· · sin2
π
+ sin2 π π【變式 1】（ 廣東珠海 模擬預(yù)測） + sin sin
π
= ．
12 4 12 4
x x x x
【變式 2】（2023·河北· 3 3一模）函數(shù) f (x) = sin cos - sin cos 的最小值為 .
2 2 2 2
【變式 3】（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）在VABC 中，內(nèi)角A ， B ，C 的對邊分別為 a，b ，
c 1 2 2 2，已知該三角形的面積 S = a - b - c sinA．2
(1)求角A 的大??；
uuur uuur uuur uuur
(2)線段BC 上一點D滿足BD
1
= BC ， AD = BD =1，求 AB 的長度．
4
題型二　三角函數(shù)式的求值
(1)給值(角)求值問題求解的關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系，借助角之間的
聯(lián)系尋找轉(zhuǎn)化方法．
(2)給值(角)求值問題的一般步驟
①化簡條件式子或待求式子；
②觀察條件與所求式子之間的聯(lián)系，從函數(shù)名稱及角入手；
③將已知條件代入所求式子，化簡求值．
命題點 1　給角求值
π π π π
【例題 2】（20-21 · · a = sin2高三 江蘇南京 階段練習(xí)）設(shè) - sin2 b = tan c = sin6 12 ， 12 ， 8 ，則
（ ）
A．b < a < c B． a < c < b C． a < b < c D． c【變式 1】（2022·廣東汕頭·二模）若l sin160o + tan 20o = 3 ，則實數(shù)l 的值為（ ）
A 4 B 4 3 C 2 3 D 4 3． ． ． ．
3
【變式 2】（23-24 高三上·安徽·期中） tan20° + 4sin20° = ．
【變式 3】（2024 高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù) f (x) 3sin wx j , w 0, p p= + > - j

è 2 2 ÷
p
的圖像關(guān)于直線 x = 對稱，且圖像上相鄰兩個最高點的距離為p ．
3
(1)求w 和j 的值；
f a 3 , p 2p
3p
a (2)若 ÷ =2 4

6 3 ÷
，求 cos a + ÷ 的值．
è è è 2
命題點 2　給值求值
a 0, π , cos a π+ 5【例題 3】（2024·四川眉山·三模）已知 ÷ ÷ = - ，則 sina = （2 3 13 ）è è
A 12 + 5 3 B 12 - 5 3 C 12 3 + 5 D 12 3 - 5． ． ． ．
26 26 26 26
π 3
【變式 1】（2024·陜西銅川·三模）已知 cos a - ÷ - cosa = ，則 sin

2a
π
+ ÷ =（ ）
è 3 2 è 6
1 1 3 3A．- B． -
2 2
C． D．
4 4
【變式 2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知a , b 為銳角，滿足
5 2 a + bsina + sinb = ,cos a + b 1= - ，則 sin = ， cos a - b = ．
6 9 2
【變式 3】（23-24 高三下·江西贛州·期中）已知函數(shù) f x = Asin wx +j （ A > 0 ，w > 0，
π j π- < < ），函數(shù) f x 和它的導(dǎo)函數(shù) f x 的圖象如圖所示.
2 2
(1)求函數(shù) f x 的解析式；
6 π
(2)已知 f a = ，求 f 2a - ÷的值.5 è 12
命題點 3　給值求角
π 5
【例題 4】（2024·江西九江·二模）已知a , b 0, ÷， cos a - b = ， tana × tan b
1
= ，則
è 2 6 4
a + b = （ ）
π π π 2π
A． B． C． D．
3 4 6 3
【變式 1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知角q 的頂點為坐標(biāo)原點，始邊與 x 軸的正半軸重合，

點P sin
2023π ,cos 2023π sin2q÷ 在角q 的終邊上，則 = （ ）
è 4 6 1+ cos2
q
A 6 B 6 C 6 6． ．- ． D．-
3 3 2 2
5
【變式 2】（2024·海南?？凇つM預(yù)測）已知 cos a + 2b = , tan a + b tanb = -4，寫出符合
6
條件的一個角a 的值為 .
【變式 3】（2024·北京平谷·模擬預(yù)測）已知函數(shù) f x = sin 2x cosj - cos 2x sinj ，其中
j π< ，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知條件，使 f x 存
2
在，并完成下列兩個問題．
(1)求j 的值；
(2)若m > 0，函數(shù) f x 在區(qū)間 0, m 1上最小值為- ，求實數(shù)m 的取值范圍．
2
π
條件①：對任意的 x R ，都有 f x f ÷成立；
è 3
f π 1條件②： ÷ = -4 ；è 2
f π f π- - 條件③： 3 ÷ 6 ÷
= 2．
è è
題型三　三角恒等變換的綜合應(yīng)用
(1)進(jìn)行三角恒等變換要抓?。鹤兘?、變函數(shù)名稱、變結(jié)構(gòu)，尤其是角之間的關(guān)系；注意公
式的逆用和變形使用．
(2)形如 y＝asin x＋bcos x 化為 y＝ a2＋b2sin(x＋φ)，可進(jìn)一步研究函數(shù)的周期性、單調(diào)性、
最值與對稱性．
5 2
【例題 5】（2024·貴州貴陽·二模）已知cosa - cos b = ,sina - sin b = - ，則 tan(a + b )的
3 3
值為（ ）
A．-4 5 B． 4 5 C．-2 5 D． 2 5
2
【變式 1】（2024 高三下·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù) f x = 2sin x cos x - a sin x - cos2 x ，若
f -x = f x 5p- ÷ ，則直線 24x - 9p y -8p = 0與 f x 的圖象的交點個數(shù)為（6 ）è
A．3 B．4 C．5 D．6
1
【變式 2】（2024·山西晉城·二模）已知 tana = 2 tan b ， sin(a + b ) = ，則
4
sin(b -a ) = ．
【變式 3】（2024·天津紅橋·二模）在VABC 中，內(nèi)角A ， B ，C 的對邊分別為 a，b ， c，已
1
知 a = 6， cos B = ，且bsin A = 3csin B ．
3
(1)求 c的值；
(2)求b 的值；
(3)求 cos
2B π +

÷的值．
è 6
【課后強(qiáng)化】
【基礎(chǔ)保分練】
一、單選題
sin2a
1．（2024·河南三門峽·模擬預(yù)測）若 tana = 2 ，則 2 的值為（ ）cos2a - sin a
4 2 4 4
A．- B． C3 ． D．7 9 7
2．（2024·山東·二模）已知函數(shù) f x = 3sin2x - cos2x，則下列結(jié)論正確的是（ ）．
A．函數(shù) f x 的最大值是 3
é π π ù
B．函數(shù) f x 在 ê- , 上單調(diào)遞增 6 3 ú
C．該函數(shù)的最小正周期是 2π
π
D．該函數(shù)向左平移 個單位后圖象關(guān)于原點對稱
6
2sin18o 3cos2 9o - sin2 9o -1
3．（2023·重慶·模擬預(yù)測）式子 化簡的結(jié)果為（ ）
cos 6o + 3 sin 6o
A 1． 2 B．1 C． 2sin 9
o D． 2
π
4．（2024·貴州畢節(jié)·一模）已知函數(shù) f x = 2sin wx +j +1 w > 0,0 < j < , x > 0÷的零點從
è 2
小到大分別為 x1, x2 , x3 ,L .若 x2 - x1 = π ，則w =（ ）
1 2 3
A． B． C3 ． D．33 2
二、多選題
5．（2024·江西贛州·二模）已知函數(shù)
f x π π wx wx= cos wx + ÷ + cos wx - ÷ + 2 3 sin cos w > 0 ，則（ ）
è 3 è 3 2 2
π
A．若 f x 相鄰兩條對稱軸的距離為 ，則w = 2
2
π π
B．當(dāng) f x 的最小正周期為2p ，- x 時，- 3 f x 1
2 12
C．當(dāng)w = 2時， f x π的圖象向右平移 個單位長度得到函數(shù)解析式為 y = -2cos 2x
3
f x éD．若 在區(qū)間 ê0,
π ù
ú上有且僅有兩個零點，則11 w <17 6
1
6．（23-24 高三上·安徽合肥·階段練習(xí)）下列代數(shù)式的值為 的是（ ）
4
A tan15
o
． cos2 75o - sin2 75o B．
1+ tan2 15o
C． cos36o cos 72o D． 2cos 20o cos 40o cos80o
三、填空題
3π
7．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）已知q , π

÷ ， tan 2q
π
= -4 tan q +

，則
è 4 è 4 ÷
1+ sin 2q
2 = .2cos q + sin 2q
8．（2024·遼寧·二模）已知 cos(a π 10+ ) = ，則 sin 6a = ．
4 5
é π
9．（2023·貴州六盤水·模擬預(yù)測）設(shè)a ê ,
π ù éπ
ú ，b ê ,
πù
，且
4 2 ú sina + cosa = 2 cos b ，則 4 2
a - b = .
四、解答題
10．（2024·天津·一模）在VABC 中，角A ， B ，C 的對邊分別為 a，b ， c .已知b = 2 ，
5 2
sin A = 2 sin C ， cos B = .
8
(1)求 a的值；
(2)求 cosC 的值；
(3)求 sin 2C + B 的值.
π
11．（2023·廣東· 模擬預(yù)測）已知函數(shù) f x =1+ 2 2cosx ×sin x - ÷ , f
A π 2
-

÷ = - .
è 4 è 2 8 3
(1)求 cosA；
(2)若VABC 的面積為10 2 且 sinB + sinC = 2 ，求VABC 的周長.
【綜合提升練】
一、單選題
2cos 65°cos15°
1．（2024·重慶·模擬預(yù)測） 的值為（ ）
tan15°cos10° + sin10°
A 2 + 3 B 1+ 3 C 2 + 3． ． ． D 1+ 3．
2 2 4 4
π
2．（2024·江西南昌·二模）已知 2cos 2x + ÷cos
x π 1 π -
- cos3x = ，則 sin
- 2x =
è 12 è 12 ÷ 4 è 6 ÷
（ ）
1 1 7 7A． B．-2 C． D．-2 8 8
a π π é , ù , b é π π ù3．（23-24 高三上·河北廊坊·期中）設(shè) ê 4 2 ú ê
,
4 2 ú
，且 sina + cosa = 2cosb ，則

（ ）
A．a(chǎn) + b
π π
= B．a(chǎn) - b =
4 4
a b π πC． + = D．a(chǎn) - b = -
2 4
4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知 sin
a π+ 4 π ÷ =

，則 sin 2a - =
è 6 5 è 6 ÷
（ ）

24 24 7 7A． B．- C． D．-
25 25 25 25
a , b tan a b 3 ,sinasinb 1 a + b5．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知 為銳角， - = = ，則 sin =
4 2 2
（ ）
4 3
A． B C 2 5． ． D 15．
5 5 5 5
a , b π 0, 2 tana
sin 2b π
6．（2024·遼寧·二模）已知 ÷， = cos 2a + b + =
è 2 sin b + sin2 b
，則 3 ÷è
（ ）
A 3 1． B 3 1． - C． D．-
2 2 2 2
7．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知 cos b - 2sin b = 2,sina = 2sin(a + b ) ，則 tan(a + b ) = （ ）
1
A 1． B． 2 C
5 -1
． D 5 +1．
3 2 2
8．（2024·安徽合肥·二模）記VABC 的內(nèi)角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，已知
c 2, 1 1 1= + + = 1．則VABC 面積的最大值為（ ）
tanA tanB tanAtanB
A．1+ 2 B．1+ 3 C． 2 2 D． 2 3
二、多選題
9．（2024·浙江金華·三模）已知函數(shù) f x = sin 2wx cosj + cos 2wx sinj w 0,0 j π > < <

÷的部
è 2
分圖象如圖所示，則（ ）
π
A．j = B．w = 2
6
π π 1
C． f x + ÷為偶函數(shù) D． f x é在區(qū)間 ê0,
ù -
è 6 2 ú
的最小值為
2
π π
10．（2024·安徽合肥·二模）已知函數(shù) f x = sin x + ÷ - sinx - sin ，則（6 6 ）è
é π
A．函數(shù) f x 在 ê ,π
ù
ú上單調(diào)遞減 2
B．函數(shù) y = f
x 5π 1 + ÷ + 為奇函數(shù)
è 12 2
x é πC．當(dāng) ê- ,
π ù
ú時，函數(shù) y = 4 f x +1恰有兩個零點 2 2
π π 2024 a 2027D．設(shè)數(shù)列 n 是首項為 ，公差為 的等差數(shù)列，則 = f a = -6 6 ii=1 2
11．（2024·全國·模擬預(yù)測）在單位圓O : x2 + y2 =1上任取一點P(x, y) ，圓 O 與 x 軸正半軸
的交點是 A，設(shè)將OA繞原點 O 旋轉(zhuǎn)到OP所成的角為q ，記 x，y 關(guān)于q 的表達(dá)式分別為
x = f (q ), y = g(q )，則下列說法中正確的是（ ）
A． x = f (q ) 是偶函數(shù)， y = g(q )是奇函數(shù)
B f (q ) + g(q ) >1 q é
pù
． 對于 ê0, 2 ú恒成立
C．設(shè) h(q ) = f (q ) + g(q )，若 h(wq )(w > 0)在q [0,p ]上有且僅有 3 個極值點，則
9 w 13 <
4 4
D．函數(shù) t = 2 f (q ) + g(2q ) 3 3的最大值為
2
三、填空題
3 2
12．（2024·江西·模擬預(yù)測）已知 cos a + b = ， cosacosb = ，則 cos 2a - 2b = .
5 5
wx 5π wx
13．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù) f (x) = sin + ÷cos w > 0 在區(qū)間 0, π 內(nèi)恰有
è 2 6 2
2 個極值點和 3 個零點，則w 的取值范圍是 ．
14．（2024·上海嘉定·二模）已知 f x 2 2= + ， x π
sin x cos x
0, ÷ ，則函數(shù) y = f x 的最小值
è 2
為 ．
四、解答題
15．（2023·安徽合肥·模擬預(yù)測）記VABC 的內(nèi)角A ， B ，C 的對邊分別為 a，b ， c，已知
cos B 1= .
3
cos2 B(1) + tan2
A + C
求 的值；
2 2
(2)若b = 4 ， SVABC = 2 2 ，求 c的值.
16．（2023·天津津南·模擬預(yù)測）在VABC 中， a = 3,b = 2 6, B = 2 A .
(1)求 cosA的值；
(2)求 c的值；
cos B π- (3)求 6 ÷
的值.
è
17．（2023·江蘇徐州·模擬預(yù)測）在VABC 中， cos 2B - cos 2A = 2sin B sin C ．
(1)若 B = C ，求A ；
π S
(2)設(shè)D是BC 邊上一點，若 B = ， cos CAD
4
= VABD，求
6 5 S
．
VADC
18．（2024·云南·二模）VABC 中，內(nèi)角 A、B、C 的對邊分別為 a、b、c，B 是A 與C 的等差
中項.
a a + b
(1)若 = ，判斷VABC 的形狀;
b - a c
(2)若VABC
tan B
是銳角三角形，求 的取值范圍.
tan A + tanC
19．（2024·全國·模擬預(yù)測）記VABC 的內(nèi)角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c .已知
b b2 + c2 - a2
= ．
2c - b a2 + c2 - b2
(1)求A ；
(2)若D為 AB 的中點，且6CD = 13AB ，求 cos ACB．
【拓展沖刺練】
一、單選題
1 π
1．（2024·安徽池州·二模）已知 sinb + cosb = , b 0, π tan b + ，則
5 ÷
=（ ）
è 4
1 1
A．7 B．-7 C． D．-
7 7
1
2．（2023·山東·模擬預(yù)測）若 sin a + b = ， tana = 5 tan b ，則 sin a - b =（ ）
2
1 1 7
A． B． C． D 2 2．
6 3 9 3
tanb cosa
π
3．（2023·江蘇無錫·三模）已知 = ， tan a b 1+ sina+ = ，若 b
1- sina cosa
0, ÷，則 b =
è 2
（ ）
π π p π
A． B． C． D．
12 6 4 3
3 sin A cos A cosC 4．（2024·全國·模擬預(yù)測）在銳角VABC 中，若 + ÷ = sin B sin C ，且
è a c
3sinC + cosC = 2，則 a + b 能取到的值有（ ）
A．5 B．4 C． 2 3 D．3
二、多選題
5．（2024·浙江·二模）關(guān)于函數(shù) f x = 2sin x × cos x + 2 3 cos2 x，下列說法正確的是（ ）
π
A．最小正周期為 2π B．關(guān)于點 - , 3

÷中心對稱
è 6
é 5π π ù
C．最大值為 3 + 2 D．在區(qū)間 ê- , ú 上單調(diào)遞減 12 12
6．（2024·湖南·二模）在VABC 中，角 A, B,C 所對的邊分別為 a,b,c，且 c = b 2cosA +1 ，則
下列結(jié)論正確的有（ ）
A． A = 2B
B．若 a = 3b ，則VABC 為直角三角形
C．若VABC
1 1
為銳角三角形， - 的最小值為 1
tanB tanA
2 2 3
D．若VABC
c
為銳角三角形，則 的取值范圍為 ,a è 2 3 ÷
÷

三、填空題
π 1 7
7 ．（ 2024· 廣 西 南 寧 · 一 模 ） 已 知 0 < a < < b < π,cosb = - ,sin a + b = ， 則
2 3 9
tana = ．
π π
8．（2023·江蘇徐州· π 2模擬預(yù)測）已知 sin(2a - ) = ，則 tan(a + ) tan(a + ) =
12 3 3 12
．
9．（2024·山西晉中·三模）已知函數(shù) f q = a cosq + bsinq + a sinq - b cosq 的最大值為
4 2 ，則滿足條件b > ea 的整數(shù) a的個數(shù)為 ．
四、解答題
10．（23-24 高三上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）計算求值：
sin110°sin20°
(1) ；
cos2155° - sin2155°
1
(2) 5 3已知a ，b 均為銳角， sina = ， ，求 sin b 的值．
7 cos a + b = 14
11．（2024·海南?？凇ざ＃┮阎瘮?shù) f x = x - 6sin x，等差數(shù)列 an 的前 n項和為 Sn ，記
n
Tn = f ai .
i=1
(1)求證： f x 的圖象關(guān)于點 π, π 中心對稱；
(2)若 a1， a2，a3是某三角形的三個內(nèi)角，求T3的取值范圍；
(3)若 S100 =100π ，求證：T100 =100π .反之是否成立 并請說明理由.

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