資源簡介

考點 31 平面向量基本定理及坐標表示（3 種核心題型+基礎
保分練+綜合提升練+拓展沖刺練）
【考試提醒】
1.了解平面向量基本定理及其意義.
2.掌握平面向量的正交分解及其坐標表示.
3.會用坐標表示平面向量的加法、減法與數乘運算
4.理解用坐標表示的平面向量共線的條件．
【知識點】
1．平面向量基本定理
如果 e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量 a，有且只有
一對實數 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2.
若 e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內所有向量的一個基底．
2．平面向量的正交分解
把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
3．平面向量的坐標運算
(1)向量加法、減法、數乘運算及向量的模
設 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy 2 21)，|a|＝ x1＋y1.
(2)向量坐標的求法
①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標．
→ →
②設 A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A B＝(x2－x1，y2－y1)，|A B|＝ x2－x1 2＋ y2－y1 2.
4．平面向量共線的坐標表示
設 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0，則 a∥b x1y2－x2y1＝0
常用結論
x1＋x2 y1＋y2
已知 P 為線段 AB 的中點，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，則點 P 的坐標為( ， )；已知2 2
△ABC 的頂點 A(x1 ， y1) ， B(x2 ， y2) ， C(x3 ， y3) ，則△ABC 的重心 G 的坐標為
x1＋x2＋x3 y1＋y2＋y3
( ， .3 3 )
. 【核心題型】
題型一　平面向量基本定理的應用
(1)應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的
加、減或數乘運算．
(2)用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一個基底，并運用該基底將條件和
結論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決．
【例題 1】（2024·湖南衡陽·三模）在三角形 ABC 中，點M 在平面 ABC 內，且滿足
uuuur uuur uuur uuuur uuuur
BM = lBA + m BC(l, m R)，條件P : AM = 3MC ，條件Q : 2m - 2l = 1，則 P 是Q的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
【答案】A
uuuur 1 uuur 3 uuur
【分析】由向量的線性運算法則可得BM = BA + BC ，從而可判斷充分性成立；令l = 1得
4 4
m 3= ，可判斷必要性不成立.
2
uuuur uuuur
【詳解】若 AM = 3MC ，由向量的線性運算法則，
uuuur uuur uuuur uuur 3 uuur uuur 3 uuur uuur 1 uuur 3 uuur
可得BM = BA + AM = BA + AC = BA + (BC - BA) = BA + BC ，
4 4 4 4
uuuur uuur uuur 1 3
因為BM = lBA + m BC ，所以l = ，m = ，所以 2m - 2l =1，所以 P 是Q的充分條件；
4 4
2m - 2l =1 m 3
uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur
若 ，令l = 1得 = ，代入BM = lBA + m BC ，得BM = BA
3
+ BC ，
2 2
uuuur uuuur
由三點共線充要條件可知點M AC ，此時 AM = 3MC 不成立，所以 P 不是Q的必要條件.
故選：A
uuur 1 uuur
【變式 1】（2024·河北·模擬預測）在邊長為 1 的正三角形 ABC 中， AD = AB ，
3
uuur 1 uuur uuur uuurBE = BC ， AE 與CD 交于點F ，則
3 CD × BF =
（ ）
1
A．1 B．0 C．- D 3． -
2 2
【答案】B
uuur uuur uuur uuur 4 uuur 1 uuur
【分析】設BF = lBA + m BC ,根據平面向量的基本定理求出BF = BA + BC ，再根據平面
7 7
向量的數量積運算即可求解.
uuur uuur uuur
【詳解】設BF = lBA + m BC ,
uuur 3 uuur uuur uuur
因為BA = BD, BC = 3BE ，
2
uuur 3l uuur uuur uuur uuur uuur
所以BF = BD + m BC , BF = lBA + 3m BE .
2
因為F , D,C 三點共線, F , A, E 三點共線,
4
ì3l ì
+ m =1
l =
7 uuur 4 uuur 1 uuur
所以 í 2 ,解得 í ,所以BF = BA + BC .
l + 3m =1 m
1
= 7 7
7
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
所以CD × BF = BD - BC 4× BA 1+ BC ÷
è 7 7
2 uuur uuur uuurBA 4 1
uuur
= - BC

÷ ×

BA + BC

3 ÷è è 7 7
8 uuur2 2 1 4 uuur uuur 1 uuur2= BA +
21
- ÷ BA × BC - BC
è 3 7 7 7
8 uuur2 10 uuur uuur 1 uuur2
= BA - BA × BC - BC
21 21 7
8 12 10 1 1= - 1 1 - 12 = 0 .
21 21 2 7
故選:B.
【變式 2】（2023·陜西咸陽·模擬預測）在VABC 中，點D是BC 的中點，點E 在 AD 上，且
uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuurBE = BA + lBC ， AE = xBA + yBC ，則lx - y = .
3
5
【答案】-
9
【分析】根據平面向量共線定理的推論求出l ，再根據平面向量基本定理求出 x 、 y ，即可
得解.
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【詳解】依題意 AD = AB + BD = AB
1
+ BC 1，又點E 在 AD 上，且BE = BA + lBC ，
2 3
uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur
所以BE = BA
1 1
+ lBC = BA + 2lBD，所以 + 2l =1，解得l = ，
3 3 3 3
uuur 1 uuur 2 uuur
即BE = BA + BD ，
3 3
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
所以 AE = AB + BE = AB
1
+ BA 2+ BD 2= - BA 2 2 1+ BD = - BA + BC ，
3 3 3 3 3 3
uuur uuur uuur
x 2 1又 AE = xBA + yBC ，所以 = - ， y = ，
3 3
所以lx - y
1 2= 1 5 - ÷ - = - .3 è 3 3 9
5
-
故答案為： 9
【變式 3】（2023·廣東佛山·模擬預測）在VABC 中， AB = 2 ，BC = 2 7 ，M 點為 BC 的中
1
點，N 點在線段 AC 上且 AN = AC ，BN = 2 .
3
(1)求 AC；
(2)若點 P 為 AM 與 BN 的交點，求 MPN 的余弦值.
【答案】(1) 6
(2) 13
13
【分析】（1）利用兩次余弦定理建立方程求解即可；
uuuur uuur uuuur uuur
（2）把 MPN 的余弦值轉化為求 cos AM , BN ，向量分解表示 AM , BN ，利用數量積夾角
公式求解即可.
【詳解】（1）在VABC 中， AB = 2 ，BC = 2 7 ，
AB2 + AC 2 - BC 2 -24 + AC 2
由余弦定理得 cos A = = ，
2AB × AC 4AC
1
在VABN 中， AB = 2 ， AN = AC ，BN = 2，
3
1 2
AB2 + AN 2 - BN 2 AC 1
由余弦定理得 cos A = = 9 = AC ，
2AB × AN 4 AC 12
3
-24 + AC 2 1 2
所以 = AC ，即 AC 2 = 24，解得 AC = 6 ；
4AC 12 3
1
（2）由（1）知 cos A = ，又 A (0, π)
π
，所以 A =
2 3
，
uuur uuur 1 uuuur 1 uuur uuur
所以 AB × AC = 2 6 = 6，又 M 點為 BC 的中點，所以 AM = (AB + AC)，
2 2
1 uuur uuur uuur 1 uuur uuur
因為 AN = AC ，所以BN = AN - AB = AC - AB，
3 3
uuuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur2 1 uuur2 uuur uuur
所以 AM × BN = (AB + AC) × ( AC - AB) = - AB + AC
1
- AB × AC = 2 ，
2 3 2 6 3
uuuur 1 uuur uuur 1 uuur2 uuur2 uuur uuur uuur
又 AM = (AB + AC)2 = AB + AC + 2AB × AC = 13 ，且 BN = 2 ，
2 2
uuuur uuur uuuur uuur
cos MPN cos AM , BN uAuuMur × BuuNur 2 13 = = = =
AM × BN 2 13 13
所以
題型二　平面向量的坐標運算
(1)利用向量的坐標運算解題，主要是利用加法、減法、數乘運算法則，然后根據“兩個向
量相等當且僅當它們的坐標對應相等”這一原則，化歸為方程(組)進行求解．
(2)向量的坐標表示使向量運算代數化，成為數與形結合的載體，可以使很多幾何問題的解
答轉化為我們熟知的數量運算．
【例題 2】（2023·廣東佛山·二模）已知YABCD的頂點 A -1, -2 ，B 3, -1 ，C 5,6 ，則頂
點D的坐標為（ ）
A． 1,4 B． 1,5 C． 2,4 D． 2,5
【答案】B
uuur uuur
【分析】由平行四邊形可得 D C = A B 進而即得．
uuur uuur
【詳解】因為 A -1, -2 ，B 3, -1 ，C 5,6 ，由平行四邊形可得DC = AB = 4,1 ，
設D x, y ，則 5 - x,6 - y = 4,1 ，
所以 x =1, y = 5，即D的坐標為 1,5 .
故選：B.
uuur
【變式 1】（2024·全國·模擬預測）在平面直角坐標系 xOy 內，已知點 A -1,1 , AB = 1, -2 ，
uuur
則OB =（ ）
A． 2,-3 B． 0, -1 C． -2,3 D． 0,1
【答案】B
【分析】根據題意，結合向量的坐標表示與運算，即可求解.
uuur uuur
【詳解】因為點 A -1,1 , AB = 1, -2 ，則OA = (-1,1)，
uuur uuur uuur
可得OB = OA + AB = -1,1 + 1,-2 = 0,-1 .
故選：B．
ur uur r
【變式 2】(多選)（2022·海南·模擬預測）用下列 e1 ， e2 能表示向量 a = 3,2 的是（ ）
ur uur ur uur
A． e1 = 6,4 ， e2 = 9,6 B． e1 = -1,2 ， e2 = 5, -2
ur uur ur uur
C． e1 = 3,5 ， e2 = 6,10 D． e1 = 2,-3 ， e2 = -2,3
【答案】AB
r ur uur
【分析】根據題意，設 a = xe1 + ye2 ，利用向量的坐標運算，得到關于 x, y的方程組，結合
方程組的解，即可求解.
r ur uur
【詳解】對于 A 中，設 a = xe1 + ye2 ，可得 3,2 = x(6, 4) + y(9,6)，
ì6x + 9y = 3 r ur uur
則 í4x 6y 2，方程組有無數組解，例如
x = -1, y =1時， a = -e + e ，所以 A 成立；
+ =
1 2
r ur uur
對于 B 中，設 a = xe1 + ye2 ，可得 3,2 = x(-1,2) + y(5, -2)，
ì-x + 5y = 3 r ur uur
則 í2x 2y 2，解得
x = 2, y =1時， a = 2e
- = 1
+ e2 ，所以 B 成立；

r ur uur
對于 C 中，設 a = xe1 + ye2 ，可得 3,2 = x(3,5) + y(6,10)，
ì3x + 6y = 3 ur uur r
則 í5x 10y 2，此時方程組無解，所以
e1,e2 不能表示 a ，所以 C 不成立；
+ =
r ur uur
對于 D 中，設 a = xe1 + ye2 ，可得 3,2 = x(2, -3) + y(-2,3) ，
ì2x - 2y = 3 ur uur r
則 í 3x 3y 2 ，此時方程組無解，所以
e1,e2 不能表示 a ，所以 D 不成立.
- + =
故選：AB.
【變式 3】（2023·全國·模擬預測）在平行四邊形 ABCD中，點 A 0,0 ，B -4,4 ，
D 2,6 ．若 AC 與BD的交點為M ，則DM 的中點E 的坐標為 ,
1 ,11 【答案】
è 2 2 ÷
uuur uuur
【分析】利用平行四邊形法則表示出向量 AE，利用坐標運算計算出向量 AE的坐標，由A
為坐標原點，所以即可得E 的坐標
【詳解】在平行四邊形 ABCD中，
因為 AC 與BD的交點為M ，且E 為DM 的中點，
uuur 1 uuur uuuur所以 AE = AD + AM2
1 uuur 1 uuur uuur uuur uuur
= éê AD + AB + AD ù 3 12 2 ú = AD + AB4 4
3
= 1 112,6 1+ -4,4 = ,
4 4 è 2 2 ÷
，

uuur
由A 為坐標原點，所以向量 AE的坐標即為E 的坐標，
1 11
故點E 的坐標為 , ÷．
è 2 2
1
,
11
÷
故答案為： è 2 2 .
題型三　向量共線的坐標表示
平面向量共線的坐標表示問題的解題策略
(1)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0，則 a∥b 的充要條件是 x1y2＝x2y1.
(2)在求與一個已知向量 a 共線的向量時，可設所求向量為 λa(λ∈R)．
命題點 1　利用向量共線求參數
r r
【例題 3】（2024·陜西渭南·三模）已知向量m = 2,l ， n = 2 - l,-4 ，若mr r與 n共線且反向，
則實數l 的值為（ ）
A．4 B．2 C．-2 D．-2或 4
【答案】A
【分析】利用向量共線的坐標表示求出l ，再結合反向共線即可得解.
r r
【詳解】由向量m = 2,l ， n = 2 - l,-4 共線，得l(2 - l) = -8，解得l = -2 或l = 4，
r
當l = -2 時，m = 2, -2 r， n = 4, -4 mr nr， 與 同向，不符合題意，
r
當l = 4時，m = 2,4 ， nr = -2, -4 ，mr 與 nr反向，符合題意，
所以實數l 的值為 4.
故選：A
r r r r
【變式 1】（2024·浙江·模擬預測）已知向量 a = 4,m 2，b = m , 2 ，若 a∥b，則m =（ ）
A．4 或 2 B．-2 C．2 D．2 或-2
【答案】C
【分析】根據向量平行的坐標表示，即可求解.
r r
【詳解】由 a / /b ，則 4 2 - m3 = 0，得m = 2 .
故選：C
r r r r r
【變式 2】（2024·四川綿陽·模擬預測）已知向量 a = 3,4 ，b = 2, k ，且 a + b //a，則實數
k = .
8
【答案】
3
【分析】由向量線性運算的坐標表示和向量共線的坐標運算，求 k 的值.
r r r r r
【詳解】 a + b = 5,4 + k ，由 a + b //a得3 4 + k = 5 4 8，解得 k = .3
8
故答案為： .
3
r r
【變式 3】（2023·四川成都·一模）已知向量 a = sinx,1 ，b = 3cosx,-2 ，函數
r
f x = ar r+ b × a .
r
(1) ar若 //b ，求cos2x的值；
1
(2) a，b ， c為VABC 的內角A ， B ，C 的對邊， a = 2，且 f A = ，求VABC 面積的最大
2
值.
1
【答案】(1)
7
(2) 3
【分析】（1）根據向量共線定理可得 tan x = - 3 ，再利用二倍角的余弦公式，結合齊次式
2
的應用可得解；
（2）根據向量數量積公式可得 f x ，進而可得A ，再利用余弦定理和基本不等式求bc的
最大值，最后用三角形面積公式即可得解.
r
【詳解】（1）Qar//b ，\ 3 cos x = -2sin x ，則 tan x = -
3
；
2
2

1 3- -2 2 2 2 ÷
cos2x = cos2 x - sin2 x cos x - sin x 1- tan x 1= = = è
sin2 x + cos2 x tan2 x +1 2
= .
3 7
- ÷ +1
è 2
故 cos2x
1
= .
7
r
（2） f x = ar + b r× a = sin x + 3 cos x sin x + 1- 2 1 = sin2 x + 3 sin x cos x -1
3 πsin 2x 1 cos 2x 1 sin 2x π 1 f x = sin 2x - 1= - - = - - ，即 - .2 2 2 è 6 ÷ 2 ÷ è 6 2
又 f A 1= ，所以 sin 2A π -

÷ =1
π π
，得 2A - = + 2kπ,k Z，又 A 0, π π，即 A =
2 è 6 6 2 3
，
因為 a = 2，且由余弦定理 a2 = b2 + c2 - 2bc cos A可知，
4 = b2 + c2 - 2bc cos π ，所以b2 + c2 = 4 + bc ，
3
由基本不等式可得b2 + c2 = 4 + bc 2bc，
所以bc 4，（當且僅當b = c = 2時取等），
S 1△ABC = bc sin A
1
= 4 3 = 3
max
故 2 2 2 ，即VABC 面積最大值為 3
命題點 2　利用向量共線求向量或點的坐標
uuur 1 uuuur
【例題 4】（2024·全國·模擬預測）已知M 4, -2 ， N -6, -4 ，且MP = - MN ，則點 P 的
2
坐標為（ ）
A． 1,1 B． 9, -1 C． -2,2 D． 2,-1
【答案】B
1 uuuur uuur uuur 1 uuuur
【分析】由M , N 的坐標得出- MN ，設點P x, y ，得出MP ，根據MP = - MN 列出方2 2
程組求解即可．
【詳解】因為M 4, -2 ， N -6, -4 ，
1 uuuurMN 1所以- = - -10, -2 = 5,1 ，
2 2
uuur
設P x, y ，則MP = x - 4, y + 2 ，
uuur uuuur
又MP
1
= - MN ，
2
ìx - 4 = 5 ìx = 9
所以 í
y + 2 =1
，解得 í
y
，
= -1
所以點 P 的坐標為 9, -1 ．
故選：B．
r r r
【變式 1】（2024·江蘇南京·二模）已知向量 a = 1,2 ，b = x, x + 3 ar．若 P b ，則 x =（ ）
A．-6 B．-2 C．3 D．6
【答案】C
【分析】利用向量平行的判定方法得到1× x + 3 = 2 × x ，再解方程即可.
r r
【詳解】由 a P b ，知1× x + 3 = 2 × x ，解得 x = 3 .
故選：C
uuur
【變式 2】（2023·山東青島·一模）已知O 0,0 ， A 1,2 ，B 3, -1 r r，若向量m∥OA，且m
uuur r
與OB 的夾角為鈍角，寫出一個滿足條件的m 的坐標為 ．
【答案】 -1, -2
【分析】根據向量的共線和向量乘法的坐標計算公式即可求解.
uuur uuur
【詳解】根據題意可得：OA = 1,2 ，OB = 3,-1 ，
ur
設m = x, y ，
r uuur r uuur
因為向量m∥OA，且m 與OB 的夾角為鈍角，
ì1× y = 2 × x

所以 í3 × x + (-1) × y < 0

3 × y (-1) × x
所以 x < 0 ，
不妨令 x = -1,
所以 y = -2,
mr = -1, -2 ，
故答案為： -1, -2
【變式 3】（2024·河南信陽·模擬預測）拋物線E ： y2 = 4x的焦點為F ，直線 AB ，CD 過F
分別交拋物線E 于點A ， B ，C ，D，且直線 AD ，BC 交 x 軸于 N ，M ，其中 N 2,0 ，
則M 點坐標為 ．
1
【答案】 ,0÷ / 0.5,0
è 2
【分析】設出直線 AB 的方程，與拋物線方程聯立，用點 B 的坐標表示點A 的坐標，同理用
點C 的坐標表示點D的坐標，再利用共線向量的坐標表示求解即得.
【詳解】依題意，F (1,0)，顯然直線 AB 不垂直于 y 軸，設直線 AB 的方程為 x = ty +1，
ìx = ty +1 y2 2 4
由 í 2 消去 x 得： y
2 - 4ty - 4 = 0
y 4x ，設 A(
1 , y1), B(
y0 , y0 )，則 y= 1
y0 = -4 ，即 y1 = - y ， 4 4 0
4 4 y2 4 4
于是點 A( ,- )y2 y ，設點C(
2 , y2 )，同理得D( ,- )y2 y ，0 0 4 2 2
uuur
NA ( 4 4
uuur
= 2 - 2,- ), ND = (
4 2, 4- - )
y 2 ，0 y0 y2 y2
uuur uuur 4 ( 4 2) 4 4 2 1 2顯然 NA / /ND，則- 2 - = - ( 2 - 2)y y y y ，整理得
y2 = - y ，即點
C( 2 ,- )
2 0 0 2 0 y0 y
，
0
uuur y2 uuuur uuur uuuur
設M (m,0) MB = ( 0，則 - m, y0 ), MC = (
1 2
4 y2
- m, - )，而
y MB / /MC
，
0 0
2 y2 1 2 2
因此- ( 0 - m) = y y0
y 4 0
( 2 - m)，整理得y - + 2m =1- my
2 y，即 (2 + y2 )m =1+ 0 ，
0 0 2
0 0 2
解得m
1 1
= ，所以M 點坐標為 ( ,0)
2 2
1
故答案為： ( ,0)
2
【課后強化】
【基礎保分練】
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預測）如圖所示，在邊長為 2 的等邊VABC 中，點E 為中線 BD 的三等
uuur uuur
分點（靠近點 B），點 F 為 BC 的中點，則FE × FB =（ ）
3 1 3A．- B．- C D
1
． ．
4 2 4 2
【答案】D
【分析】由平面向量數量積公式以及平面向量基本定理求解結果.
uuur uuur
【詳解】由已知有 | BA |= 2， | BC |= 2 ， ABC = 60°，
uuur uuur uuur uuur
所以BA × BC =| BA || BC | cos ABC 2
1
= 2 = 2．
2
uuur 1 uuur uuur uuur 1 uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur
已知D是 AC 的中點，則BD = (BA + BC)，BE = BD
1
= (BA + BC), BF = FC = BC ，
2 3 6 2
uuur uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur
所以FE = BE - BF = (BA + BC) - BC = BA - BC ，
6 2 6 3
uuur uuur 1 uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur2
則FE × FB = BA - BC
×
1
÷ - BC
1
÷ = - BA × BC
1
+ BC 1 2 1 1= - + 4 =
è 6 3 è 2 12 6 12 6 2
．
故選：D．
2．（2024·河北承德·二模）在VABC 中，D為BC 中點，連接 AD ，設E 為 AD 中點，且
uuur r uuur uuurBA = x, BE yr= ，則BC = （ ）
r
A． 4x + 2y
r r r
B．-4x + y
4xr 2yrC．- - D． 4y
r 2xr-
【答案】D
uuur uuur uuur uuur
【分析】利用平面向量基本定理將 BE 用BC, BA表示出來，再用向量的線性運算把BC 用
uuur uuur
BE, BA表示即可.
uuur 1 uuur uuur 1 uuur 1 uuur uuur uuur uuur【詳解】由于BE = BA + BD = BA + BC r r，所以BC = 4BE - 2BA = 4y - 2x ，2 2 4
故選：D
r r
a = m,2m+3 b = 1,4m+1 m 3 r r3．（2024·河北秦皇島·二模）已知向量 ， ，則“ = - ”是“ 與4 a b
共線”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
【答案】A
【分析】根據向量共線的坐標關系運算求出m 的值，判斷得解.
r r
【詳解】向量a = m,2m+3 ，b = 1,4m+1 ，
r r
若 a 與b 共線，則m 4m + 1 2m 3 0 m
3
- + = .解得 = - 或m =1，
4
3 r r
所以“ m = - ”是“ a 與b 共線”的充分不必要條件，4
故選：A.
r r r r
4．（2024·四川·模擬預測）已知向量 a = 2,1 ，b = x, 2 ，若 a//b ，則 x =（ ）
A．4 B．2 C．1 D． -1
【答案】A
【分析】利用共線向量的坐標表示計算得解.
r r r r
【詳解】向量 a = 2,1 ，b = x, 2 ，由 a / /b，得 2 2 - x = 0 ，所以 x = 4．
故選：A
二、多選題
r r
5．（2024·全國·模擬預測）已知向量a = x,1 ,b = 4,2 ，則（ ）
r rA．若 a∥b ，則 x = 2
r 1
B r．若 a ^ b ，則 x = 2
x r
r
C．若 = 3 7 2，則向量 a與向量b 的夾角的余弦值為
10
r
D．若 x=-1
r
，則向量b 在向量 a上的投影向量為 2, 2
【答案】AC
【分析】利用向量共線的充要條件的坐標表示判斷 A；利用向量垂直的充要條件的坐標表示
判斷 B；利用向量夾角的坐標表示判斷 C; 利用向量投影的坐標表示判斷 D
r r
【詳解】若 a∥b，則 2x - 4 = 0，解得 x = 2，故 A 正確．
r r 1
若 a ^ b，則 4x + 2 = 0 ，解得 x = - ，故 B 錯誤．2
r r r r
若 x = 3，則 a = 3,1 ，又b = 4,2 ，所以向量 a 與向量b 的夾角的余弦值為
ar
r
×br 12 + 2 7 2r = =a b 10 2 5 10 ，故 C 正確．
r r
若 x=-1，則 a = -1,1 r r，又b = 4,2 ，所以向量b 在向量 a 上的投影向量為
ar
r
×b ar -2 -1,1
r × r = = 1, -1 a a ，故 D 錯誤．2 2
故選：AC．
r r
6．（23-24 高三上·山東棗莊·期末）設m = -1,3 ， n = 1,2 ，則（ ）
A． m
r
- 2nr =10
B． mr r r- 2n ^ m
C．若 mr - 2nr P kmr r+ n ，則 k 1= -
2
nrD mr
1 r
． 在 上的投影向量為 m
2
【答案】BCD
【分析】根據向量的坐標運算計算驗證各選項是否正確.
mr 2nr【詳解】因為： - = -1,3 - 2 1,2 r r= -3,-1 ，所以 m - 2n = -3, -1 = 10 ，故 A 錯誤；
mr 2nr ·mr因為： - = -3, -1 · r r r-1,3 = 3- 3 = 0，所以 m - 2n ^ m，故 B 正確；
r
因為 m - 2nr P kmr + nr 1 1- -2 k = 0 k 1= - ，故 C 正確；
2
mr·nr 5 10 10 mr 10 mr 1 r
因為： r = = ， r = = m，故 D 正確.m 10 2 2 m 2 10 2
故選：BCD
三、填空題
uuur uuur
7．（2023·河南鄭州·模擬預測）已知點 O 為坐標原點，OA = 1,1 ，OB = -3,4 ，點 P 在線
uuur
段 AB 上，且 AP =1，則點 P 的坐標為 ．
1 8
【答案】 ( , )
5 5
【分析】解設 A, B點坐標，根據已知得出 A 1,1 , B -3,4 ，利用直線 AB 方程，解設 P 點坐
uuur
標，再根據 AP =1，得出答案即可.
【詳解】由題知，O 0,0 ，設 A x1, y1 , B x2 , y2 ，
uuur uuur
QOA = 1,1 ，OB = -3,4 ，\ x1 - 0, y1 - 0 = 1,1 ， x2 - 0, y2 - 0 = -3,4 ，
ìx1 =1 ìx2 = -3\í
y1 =1
， í ，
y2 = 4
\ A 1,1 , B -3,4 ， k 3 3 7AB = - ，則直線 AB 方程為 y = - x + ，4 4 4
3 7
設 P 點坐標為 x0 ,- x0 + ÷，-3 < x0 <1，
è 4 4
uuur uuur 2\ AP = x0 -1,
3
- x 3+ ，
4 0 4 ÷ \ AP
3 3
= x0 -1
2 +
è
- x0 + ÷ =1，
è 4 4
求解可得， x
1 8 1 8
0 = ，\ y0 = ，即 P 點坐標為 ( , ) .5 5 5 5
(1 , 8故答案為： )
5 5
r r r r r r8．（2024·陜西安康·模擬預測）已知平面向量 a = 3,4 ，b = m,3 .若向量 a - 2b 與 a + b 共線，
則實數m 的值為 .
9
【答案】
4
【分析】借助向量的坐標運算與共線性質計算即可得.
r r r
【詳解】由題意，知 a - 2b = 3- 2m, -2 ,ar + b = 3+ m,7 ，
r r r r 9
由向量 a - 2b 與 a + b 共線，得7 3- 2m + 2 3 + m = 0，解得m = .4
9
故答案為： .
4
r uuur
9．（2023·河南開封·模擬預測）已知兩點 A(-1,2)，B(2,4)，若向量 a = (2,m)與 AB 垂直，則
m = ．
【答案】-3
uuur
【分析】求出 AB = 3,2 uuur，根據 ar × AB = 0即可求解.
uuur
【詳解】因為 A(-1,2)，B(2,4)，所以 AB = 3,2 .
ar (2,m) uuur因為向量 = 與 AB 垂直，
r uuur所以 a × AB = 2 3 + 2m = 0，解答m = -3 .
故答案為: -3 .
四、解答題
10．（2024·湖北·二模）如圖，O為坐標原點，F 為拋物線 y2 = 2x的焦點，過F 的直線交拋
物線于 A, B兩點，直線 AO 交拋物線的準線于點D，設拋物線在 B 點處的切線為 l．
(1)若直線 l與 y 軸的交點為E ，求證： DE = EF ；
(2)過點 B 作 l的垂線與直線 AO 交于點G ，求證： | AD |2 = AO × AG ．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）根據拋物線方程可得焦點坐標和準線方程，設直線 AB 的方程為
1 1 yx = my + , A x1, y1 , B x , y ,

2 2 聯立直線和拋物線方程求得D - , y2 ÷ ，E 0,
2
÷，即可得2 è 2 è 2
uuur uuur
DE = EF ，得證；
（2 2）寫出過點 B 的 l的垂線方程，解得交點G 的縱坐標為 yG = y2 y2 + 2 ，再由相似比即可
2 2
得 y2 - y1 = y1 × yG - y1 ，即證得 | AD | = AO × AG .
1 1
【詳解】（1）易知拋物線焦點F ,0÷，準線方程為 x = - ；
è 2 2
1
設直線 AB 的方程為 x = my + , A x1, y1 , B x2 , y2 2 ,
ì
x
1
= my +
聯立 í 2 得 y2 - 2my -1 = 0，
2 y = 2x
ìΔ = 4m2 + 4 > 0
-1
可得 íy1 + y2 = 2m ，所以 y1 = ；
y2
y1y2 = -1
1
不妨設A 在第一象限， B 在第四象限，對于 y = - 2x , y = - ；
2x
1 1 1
可得 l的斜率為- = - =2x 22 y y2 2
1 1
l y - y = x - x y = x y+ 2所以 的方程為 2 y 2 ，即為 .2 y2 2
y
令 x = 0得E 0, 22 ÷è
y 2
直線OA 1的方程為 y = x = x = -2y2xx y ，1 1
x 1
1
令 = - D

得
2
- , y
2 2 ÷
．
è
F 1 ,0 uuur uuur又 2 ÷，所以DE = EFè
即 DE = EF 得證．
（2）方法 1：
1
由（1）中 l的斜率為 y 可得過點 B 的 l的垂線斜率為
-y2 ，
2
2
所以過點 B 的 l的垂線的方程為 y - y2 = -y2
y x - x 22 ，即 y = -y2x + y2 1+ 2 ÷ ，è
如下圖所示：
ì 2
y = -y2x + y2 1
y
+ 2 ÷
聯立 í è 2 ，解得G 的縱坐標為 yG = y2 y 22 + 2

y = -2y2x
要證明 | AD |2 = AO × AG ，因為 A,O, D,G 四點共線，
2
只需證明 y2 - y1 = y1 × yG - y1 （*）．
2 2
2 1 1+ y 2Q y - y = y + = 2 2 1 2 ，y y 22 2
21 1+ y 2y × y - y = - y 2 2 1 G 1 y 2 y2 + 2 - y1 = ．2 y 22
2
所以（*）成立， | AD | = AO × AG 得證.
方法 2：
D 1由 - , y

2 ÷ , B x2 , y2 知DB與 x 軸平行，
è 2
AF AO
\ =
AB AD ①
又DF 的斜率為-y2 , BG的斜率也為-y2 ，所以DF 與BG 平行，
AF AD
\ =
AB AG ②，
AO AD
由①②得 = ，即 | AD |2 = AO × AGAD AG 得證.
ì
y y
2
= -y 22x + y2 1+ ÷
【點睛】關鍵點點睛：本題第二問的關鍵是采用設點法，從而得到 í è 2 ，

y = -2y2x
解出點G 2的坐標，從而轉化為證明 y2 - y1 = y1 × yG - y1 即可.
11．（2022·北京·三模）如圖四棱錐 P- ABCD中，VPAD是以 AD 為斜邊的等腰直角三角形，
BC∥AD ， AB ^ AD ， AD = 2AB = 2BC = 2，PC = 2 ，E 為PD的中點.
(1)求證：直線CE∥平面PAB
(2)求直線 PB與平面PAC 所成角的正弦值.
(3)設F 是 BE 的中點，判斷點F 是否在平面PAC 內，并證明結論.
【答案】(1)證明見解析
1
(2)
3
(3)在平面 PAC 內，證明見解析
【分析】（1）通過做輔助線證明四邊形 GECB 為平行四邊形，再通過直線與平面平行的判
定公理證明
（2）通過建立空間直角坐標系，利用平面法向量與直線向量求得直線與平面所成角的正弦
值
（3）建立空間直角坐標系，根據平面向量基本定理求證結果
【詳解】（1）
取 AP 中點 G，連接 GE，GB，EC
因為VPAD是以 AD 為斜邊的等腰直角三角形，AD=2
所以 GE=1
因為GE P AD ， AD∥ BC
所以GE P BC ，又因為GE = BC
所以四邊形 GECB 是平行四邊形，所以EC P GB
又因為EC 平面 PAB
GB 平面 PAB
所以CE∥平面PAB
（2）
取 AD 中點 O，連接 PO，CO，由已知△PAD 是以 AD 為斜邊的等腰直角三角形
所以PO ^ AD 又 AD=2，所以PA = PD = 2 。PO=OD=1
1
而 AB ^ AD ，AB=1，BC = AD = 1
2
所以四邊形 ABCO 為正方形，即 AD ^ CO
PC = 2 ，PO=1，OC=1，所以PC 2 = PO2 + OC 2
所以PO ^ OC
因為 AD IOC = O，所以PO ^平面 ABCD
所以以 OC 為 x 軸，OD 為 y 軸，OP 為 z 軸，建立如圖所示空間直角坐標系
所以
P(0,0,1),A(0,-1,0),C(1,0,0),B(1,-1,0)
r
設平面 PAC 的一個法向量為 n = (x1, y1, z1)
uuur
PA = (0, -1, -1)
uuur
AC = (1,1,0)
uuur
PB = (1, -1, -1)
v uuuvìn × ì-y - z = 0 r
由 í v u
PuAuv = 0 1 1得 í x y 0 可取 n = (1, -1,1) n × AC = 0 1 + 1 =
設直線 PB 與平面 PAC 所成角為q
uuur r
uuur r PB ×n
則 sinq = cos PB,n uuur r
1 1
< > = = =
PB × n 3 3 3
1 1 1 1 1
（3）證：E 為 PD 的中點，由（2）可知E(0, , )，又 F 是 BE 的中點，所以F ( , - , )
2 2 2 4 4
uur
CP = (-1,0,1)
uuur
CA = (-1, -1,0)
uuur
CF = ( 1 1- ,- , 1)
2 4 4
uuur uuur uuur
設CF = xCA + yCP，即
ì 1
- = -x - y
2 ì 1
1 x = 4
í - = -x 解得
4
í

1 y
1
=
= y 4 4
1 1 uuur 1 uuur 1 uuur
故有唯一一組實數對 ( , )使得CF = CA + CP
4 4 4 4
因此符合向量基本定理，故 CF 與 CA，CP 共面，即 F 在平面 PAC 內
【綜合提升練】
一、單選題
r r r r r r
1．（2024·安徽合肥·模擬預測）已知向量 a = (2, t) ，b = (1, 2)，若當 t = t1 時， a ×b = a × b ，
r r
當 t = t2 時， a ^ b ，則（ ）
A． t1 = -4， t2 = -1 B． t1 = -4， t2 =1
C． t1 = 4， t2 = -1 D． t1 = 4， t2 =1
【答案】C
【分析】根據向量同向及數量積為 0 分別建立方程求解.
r r
【詳解】當 t t
r r
= r r 2 t1 時，由 a ×b = a × b 可知 a與b 方向相同，得 = 1 > 0，解得 t1 = 4；1 2
t = t ar
r
當 2 時， ×b = 0，即 2 + 2t = 0，解得 t2 = -1．
故選：C
r r r r r r
2．（2024·山西·模擬預測）已知向量 a = 2, x ，b = -1,3 ，若 a∥b，則 a + b =（ ）
A． 6 B． 2 2 C．3 D． 10
【答案】D
【分析】根據向量平行，建立坐標關系，求出 x.再利用模長公式求出模長.
r r
【詳解】因為 a∥b，所以 2 3- -1 × x = 0，即 x = -6 .
ar
r r
因為 + b = 2, -6 + -1,3 = 1, -3 ar，所以 + b = 12 + -3 2 = 10 .
故選：D.
r r
3．（2024· r重慶·三模）已知向量a = (2,3),b = (m -1,2m +1)，若 ar / /b ，則m =（ ）
1 1
A．3 B． C．- D．-5
8 8
【答案】D
【分析】利用平面向量共線的坐標表示計算即可.
【詳解】由題意可知 2 2m +1 = 3 m -1 m = -5 .
故選：D
r r r r r
4．（2024·浙江溫州·三模）平面向量a = m,2 ,b = -2,4 ，若 a∥ a - b ，則m =（ ）
A． -1 B．1 C．-2 D．2
【答案】A
【分析】根據向量平行滿足的坐標關系即可求解.
r r r r r
【詳解】 a - b = m + 2, -2 ，由于 a∥ a - b ，所以-2m = 2 m + 2 ，解得m = -1，
故選：A
5．（2024·遼寧·二模）已知平行四邊形 ABCD，點 P 在△BCD的內部（不含邊界），則下列
uuur
選項中， AP 可能的關系式為（ ）
uuur 1 uuur 3 uuur uuur 1 uuur 3 uuur
A． AP = AB + AD B． AP = AB + AD
5 5 4 4
uuur 2 uuur 3 uuur uuur 2 uuur 4 uuur
C． AP = AB + AD D． AP = AB + AD
3 4 3 3
【答案】C
uuur uuur uuur
【分析】根據題意，設 AP = xAB + y AD，結合平面向量的基本定理，逐項判定，即可求
解.
uuur uuur uuur
【詳解】設 AP = xAB + y AD(x, y R)，由平面向量的基本定理，可得：
當 x + y =1時，此時點 P 在直線 BD 上；
當0 < x + y <1時，此時點 P 在點 A 和直線 BD 之間；
當1< x + y < 2時，此時點 P 在點 C 和直線 BD 之間；
當 x + y = 2 時，此時點 P 在過點 C 且與直線 BD 平行的直線上，
uuur 1 uuur 3 uuur 1 3
對于 A 中，由向量 AP = AB + AD，滿足 + <1，所以點 P 在△ABD 內部，所以 A 錯誤；
5 5 5 5
uuur 1 uuur 3 uuur 1 3
對于 B 中，由 AP = AB + AD，滿足 + =1，所以點 P 在BD上，所以 B 錯誤；
4 4 4 4
uuur 2 uuur 3 uuur 2 3
對于 C 中，由 AP = AB + AD，滿足1< + < 2 ，所以點 P 可能在△BCD內部，所以 C
3 4 3 4
正確；
uuur 2 uuurAP AB 4
uuur 2 4
對于 D 中，由 = + AD，滿足 + = 2，此時點 P 在過點 C 且與直線 BD 平行的
3 3 3 3
直線上，所以 D 錯誤.
故選：C.
uuur uuur r uuur uuur
6．（2024·全國·模擬預測）在VABC 中，點D滿足BD + 2AD = 0．若 CA = 3， CD = 2 ，
uuur
ACD π= ，則 CB =（ ）
4
A．4 B． 2 5 C．3 2 D． 2 3
【答案】C
uuur r uuur r uuur uuur uuur2
【分析】首先根據已知取基CA = a,CD = b ，然后用基底表示CB，然后利用 CB = CB 求
出即可
uuur r uuur r uuur uuur uuur r
【詳解】如圖，在VACD中，記CA = a,CD = b r，則 AD = CD - CA = b - a ．
uuur uuur r uuur uuur r
QBD + 2AD = 0，\DB = 2AD = 2b - 2ar ．
uuur uuur uuur r r r r r rBCD a = 3, b = 2 a,b π在△ 中，CB = CD + DB = 3b - 2a ，又 ， = ，4
uuur r r
\ CB = 9b 2 + 4ar2 -12ar ×b = 18 2+ 36 -12 3 2 = 3 2 ．
2
故選：C．
7．（2023·全國·模擬預測）在VABC 中，點 D 是線段 AB 上靠近 B 的四等分點，點 E 是線段
uuur
CD 上靠近 D 的三等分點，則 AE =（ ）
2 uuur 1 uuur 1 uuur 5 uuur 5 uuur 1 uuur uuur uuur
A．- CA + CB B． CA - CB C．- CA + CB
1
D．- CA
2
+ CB
3 3 2 6 6 2 3 3
【答案】C
【分析】方法一：利用平面向量基本定理得到答案；
方法二：設VABC 是等腰直角三角形，且CA = CB = 4，建立空間直角坐標系，寫出點的坐
uuur uuur uuur
標，設 AE = mCA + nCB，從而得到方程組，求出答案.
uuur 2 uuur uuur 3 uuur
【詳解】方法一：如圖，由題意得CE = CD ， AD = AB，
3 4
uuur uuur uuur uuur 2 uuur uuur 2 uuur uuur 1 uuur 2 uuur
故 AE = AC + CE = AC + CD = AC + AD - AC = AC + AD3 3 3 3
1 uuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur uuur uuur uuur= AC AB CA CB CA 5 1+ = - + - = - CA + CB ；3 2 3 2 6 2
方法二：不妨設VABC 是等腰直角三角形，且CA = CB = 4，
以 C 為坐標原點建立平面直角坐標系，如圖所示，
則C 0,0 , A 0,4 , B 4,0 , D 3,1 , E 2,
2
÷，
è 3
uuur uuur
則CA = 0,4 ,CB = 4,0 ，
uuur uuur uuur
設 AE = mCA + nCB，

故 2,
10
- ÷ = m 0,4 + n 4,0 ，
è 3
所以 4n = 2,4m
10 5 1
= - ，解得m = - ,n = ，
3 6 2
uuur uuur uuur
故 AE
5 CA 1= - + CB ．
6 2
故選：C．
r r r r
8．（2024·山東泰安·模擬預測）已知向量 a = -2,3 ，b = 3,m ，且 a∥b，則m =（ ）
9 9
A．2 B．-2 C． D． -
2 2
【答案】D
【分析】由向量平行的充要條件列方程即可求解.
r r r r
【詳解】因為向量 a = -2,3 ，b = 3,m 9，且 a∥b，所以-2m - 9 = 0，解得m = - .2
故選：D.
二、多選題
uuur uuur uuur uuur
9．（2024·江西景德鎮·三模）等邊VABC 邊長為 2， AD = 2DC ， AE = EB，BD與CE交于
點F ，則（ ）
uuur 2 uuur 1 uuur uuur 1 uuur
A．BD = BA + BC B．CF = CE
3 3 2
uuur uuur uuur uuur 5 uuur
C．BD ×CE = -1 D．BD在BC 方向上的投影向量為 BC6
【答案】BD
uuur uuur
【分析】利用平面向量的線性運算可判斷 A 選項的正誤；以E 為坐標原點， EA、EC 分別
為 x 軸、 y 軸正方向建立平面直角坐標系，求出點F 的坐標，可判斷 B 選項的正誤；利用平
面向量數量積的坐標運算和投影向量的定義可判斷 CD 選項的正誤.
【詳解】對于 A，由平面向量線性運算可得，
uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur 2 uuur uuurBD 1= BC + CD = BC + CA = BC + BA - BC = BC + BA，A 錯誤；3 3 3 3
對于 B，以E 為坐標原點，EA、EC 分別為 x 軸、 y 軸正方向建立平面直角坐標系，如圖所
示，

則E 0,0 , A 1,0 , B -1,0 ,C 0, 3 , D 1 ,
2 3
3 3 ÷÷
,
è
uuur uuur 設 F (0, y)， y 0, 3 BF 1, y , DF 1 2 3，所以 = = - , y - ，
è 3 3 ÷
÷

uuur uuur 2 3 1 3 uuur 1 uuur
因為BF //DF ，所以 y - = - y，解得 y = ，所以CF = CE ，B 正確；
3 3 2 2
uuur 4 2 3 uuur
對于 C，由 B 可知，BD = , ÷÷ ,CE = 0,- 3 ，
è 3 3
uuur uuur
BD CE 4 2 3所以 × = 0 + - 3 = -2，C 錯誤；3 3
uuur 4 2 3 uuur uuur uuur
對于 D，BD = , ÷÷ , BC = 1, 3 4 2 3，所以3 3 BD × BC = 1+ 3
10
= ，
è 3 3 3
uuur uuur uuur uuur uuur
10 uuur
BD × BC uuur所以BD在BC 方向上的投影向量為 uuur . uBuCur = 3 BC 5× = BC ，D 正確；
BC BC 2 2 6
故選：BD.
10．（2024·山東濟南·二模）如圖，在直角三角形 ABC 中， AB = BC = 2 ， AO = OC ，點 P
uuur uuur uuur
是以 AC 為直徑的半圓弧上的動點，若BP = xBA + yBC ，則（ ）
uuur uuur uuur
A．BO
1 BA 1= + BC
2 2
uuur uuur
B．CB × BO =1
uuur uuur
C．BP × BC 最大值為1+ 2
D． B ，O， P 三點共線時 x + y = 2
【答案】ACD
【分析】依題意可得O為 AC 的中點，根據平面向量加法的平行四邊形法則判斷 A，建立平
2 2 π 3π
面直角坐標系，求出圓O的方程，設P + cosq , + sinq
é ù
÷÷ ，q ê- , ú，利用坐標法
è 2 2 4 4
uuur uuur
判斷 B、C，由三點共線得到BP//BO ，即可求出q ，從而求出 x ， y ，即可判斷 D.
uuur 1 uuur 1 uuur
【詳解】因為 AO = OC ，即O為 AC 的中點，所以BO = BA + BC ，故 A 正確；
2 2

如圖建立平面直角坐標，則B 0,0 ，C 2,0 ， A 0, 2 O 2 2， , ÷÷，
è 2 2
uuur uuur 2 uuur uuur
所以CB = - 2,0 ，BO = ,
2
2 2 ÷ CB BO 2
2 2
÷，則 × = - + 0 = -1，故 B 錯誤；
è 2 2
又 AC = 2 2 + 2 2 = 2，
2 2

O x 2
2
所以圓 的方程為 - ÷÷ + y -2 ÷÷
=1，
è è 2

P 2 cosq , 2

sinq q é π , 3π+ + ù設 ， - ，
è 2 2
÷÷

ê 4 4 ú
uuur 2 2 uuur
則BP = + cosq , + sinq ÷÷，又BC = 2,0 ，
è 2 2
uuur uuur
BP BC 2 2
2
所以 × = + cosq ÷÷ + 0 + sinq ÷÷ =1+ 2 cosq ，
è 2 è 2
q é π , 3π
é 2 ù
因為
ù
ê- ú，所以 cosq 4 4 ê
- ,1ú ，
2
所以 2 cosq é ù -1, 2 ，
uuur uuur
é uuur uuur所以BP × BC 0,1+ 2 ù ，故BP × BC 最大值為1+ 2 ，故 C 正確；
uuur uuur
因為 B ，O， P 三點共線，所以BP//BO ，
uuur 2 2 uuur
又BO = , ÷÷，BP
2 2
= + cosq , + sinq2 2 2 2 ÷÷
，
è è
2 2 2 2
所以 + sinq ÷÷ = 2 2 2
+ cosq
2 ÷÷
，即 sinq = cosq ，
è è
q π所以 = ，
4
uuur uuur uuur
所以BP = 2, 2 ，又BC = 2,0 ，BA = 0, 2 ，
uuur uuur uuur
且BP = xBA + yBC ，即 2, 2 = x 0, 2 + y 2,0 = 2y, 2x ，
ì 2x = 2 ìx =1
所以 í ，所以 íy 1，所以
x + y = 2 ，故 D 正確.
2y = 2 =
故選：ACD
r r
11．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知向量a = cosq ,sinq ,b = -3,4 ，則下列命題為真命題
的是（ ）
r r 4A．若 a / /b ，則 tanq = - 3
r 3
B．若 ar ^ b ，則 sinq = 5
r r
C． a - b 的最大值為 6
ar r
r r r
D．若 × a - b = 0，則 a - b = 2 6
【答案】ACD
【詳解】利用向量平行的坐標表示判斷 A；利用向量垂直的坐標表示判斷 B 選項；根據向量
r r
減法的三角形法則，結合 a,b 反向檢驗等號成立的條件，從而判斷 C；利用向量數量積運算
r r
法則得到 4sinq - 3cosq =1，進而求得 a - b ，從而判斷 D.
r r
【分析】對于 A，因為a = cosq ,sinq ,b = r-3,4 r， a / /b ，
4
則 4cosq = -3sinq ，解得 tanq = - ，故 A 正確；
3
B r
r 3
對于 ，因為 a ^ b ，則-3cosq + 4sinq = 0，解得 tanq = ，4
ì sinq 3
= 3
所以 ícosq 4 ，解得 sinq = ± ，故 B 錯誤；
sin
2 q + cos2 q =1 5
r r
對于 C，因為 a = cos2q + sin2q =1, b = (-3)2 + 42 = 5，
r r r
而 a
r b ar- + b = 6 r，當且僅當 a,b 反向時，等號成立，
ì 4 ì 4
ì4cosq = -3sinq sinq = - sinq = 5 5
此時 í
sin
2 ，解得 或 ，q + cos2 q =1 í í cosq 3= cosq 3= -
5 5
r
當 sinq
4
= , cosq 3= - ， ar,b 同向，舍去；
5 5
sinq 4 3
r
當 = - , cosq = r，滿足 a,b 反向；故 C 正確；
5 5
r r r r
對于 D，若 a × a - b = 0，則 ar2 r- a ×b = 0，
即 cos2q + sin2q + 3cosq - 4sinq = 0 ，所以 4sinq - 3cosq =1，
ar
r
- b = (cosq + 3)2則 + (sinq - 4)2 = 6cosq -8sinq + 26
= -2 3cosq - 4sinq + 26 = 24 = 2 6 ，故 D 正確.
故選：ACD
三、填空題
r uuur r
12．（2022·黑龍江·一模）已知向量 a = -3,4 ， AB = 2a，點A 的坐標為 3, -4 ，則點 B 的
坐標為 ．
【答案】 -3,4
【分析】利用平面向量的坐標運算可求得點 B 的坐標.
uuur r
【詳解】設點B x, y ，因為 AB = 2a，則 x - 3, y + 4 = -6,8 ，解得 x = -3， y = 4 .
故點B -3, 4 .
故答案為： -3,4 .
v v v v v
13．（2020 高三上·全國·專題練習）已知向量 a = x, 2 ，b = 2,1 ，且 a//b ，則 a =
【答案】 2 5
【解析】根據向量共線的公式求解得 x = 4 ,再根據模長公式求解即可.
r r r
【詳解】由 a//b 得， x ×1- 2 2 = 0，即 x = 4 ，所以 | a |= 42 + 22 = 20 = 2 5 .
故答案為： 2 5
【點睛】本題主要考查了向量的平行公式與模長公式,屬于基礎題型.
r
14．（2023·上海徐匯·三模）函數 y = ln -x 沿著向量 a 平移后得到函數 y = ln 1- x + 2，則
r
向量 a 的坐標是 .
【答案】 (1, 2)
【分析】根據函數的平移和表達式變換即可求解.
【詳解】 y = ln -x 向右平移 1 個單位后得 y = ln é- x -1 ù = ln(1- x)，
所以 y = ln -x 向右平移 1 個單位，向上平移兩個單位可以得到 y = ln 1- x + 2，
r
所以 a = (1, 2)，
故答案為： (1, 2) .
四、解答題
r r
15．（2023·吉林·一模）已知向量 a = 3 sin x, cos x ，b = cos x, cos x ．
r r
(1)若 a//b 且 x 0, π ，求 x ；
r r 1
(2)若函數 f x = a ×b - ，求 f x 的單調遞增區間．
2
π π
【答案】(1) x = 或 x =2 6
é π
(2) ê- + kπ,
π
+ kπù k Z
3 6 ú
【分析】（1）根據向量平行列方程，從而求得 x .
（2）化簡 f x 的解析式，然后利用整體代入法求得 f x 的單調遞增區間．
r r
【詳解】（1）Q a//b ，\ 3 sin x cos x - cos2 x = 0，
即 cos x 3 sin x - cos x = 0 ，
\cos x = 0 tan x 3或 = ，
3
Q x 0, π π π，\ x = 或 x = .
2 6
r r
方法二：Q a//b ，\ 3 sin x cos x - cos2 x = 0，
3
\ sin 2x 1+ cos 2x- = 0 ，
2 2
\sin π 1 2x - ÷ = ，
è 6 2
Q x 0, π 2x π π 11π，\ - - , ÷，6 è 6 6
\2x π π π 5π- = 或 2x - = ，
6 6 6 6
x π\ = 或 x
π
= .
6 2
r r
Q f x a b 1 3 sin x cos x cos2 x 1（2） = × - = + -
2 2
3 π
= sin 2x 1+ cos 2x = sin

2x + 6 ÷
，
2 2 è
π 2kπ 2x π π令- + + + 2kπ k Z ，
2 6 2
π kπ x π\- + + kπ，
3 6
\ f x é π π ù的單調遞增區間是 ê- + kπ, + kπ 3 6 ú
k Z .

16．（2023·安徽滁州·模擬預測）已知VABC 的內角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c ，向量
ur
p = a, c - b ,
r
ur rq = si n C + si n B, si n A + si n B ，且 p∥q .
(1)求角C；
(2) 3 3若 c = 3 2,VABC 的面積為 ，求VABC 的周長.
2
2
【答案】(1) π3
(2) 3 2 + 2 6
ur r
【分析】（1）由 p∥q結合正弦定理可得 a2 + b2 - c2 = -ab，后由余弦定理可得答案；（2）
2
1 3 3由（ ）結合 c = 3 2 可得 a + b = 18 + ab，后由 S△ABC = 可得 ab，即可得VABC 周長.2
ur r
【詳解】（1）由 p∥q可知 a si n A + si n B = c - b si n C + si n B ，
由正弦定理，得 a a + b = c - b c + b ，即 a2 + b2 - c2 = -ab .
2 2 2 2π
所以 cosC a + b - c 1= = - ，又C （0，π），所以C = ；
2ab 2 3
（2）由（1）知 a2 + b2 - c2
2
= -ab，所以 a + b - ab = c2 = 18
2a + b = 18 + ab . S 1又 △ABC = absin C 3 ab 3 3= = ，2 4 2
2
所以 ab = 6，所以 a + b = 18 + ab = 24，即 a + b = 2 6 ，所以VABC 的周長為
a + b + c = 3 2 + 2 6 .
r r
17．（2020·山東濟寧·模擬預測）已知向量 a = 1,1 ，b = 2, m ，m R ．
r r
(1)若 a//b ，求 m 的值；
r r
(2)若 a ^ b，求 m 的值；
r r
(3)若 a 與b 夾角為銳角，求 m 的取值范圍．
【答案】(1) m = 2
(2) m = -2
(3) -2,2 2, +
【分析】（1）由向量平行坐標表示即可；
（2）由向量垂直坐標表示即可；
r r r r
（3）由向量夾角為銳角可知 a ×b > 0且 a,b 不同向，由此可構造不等式組求得m 的范圍
r r r r
【詳解】（1）因為向量 a = 1,1 ，b = 2, m ， a//b ，
所以1 m = 2 1，解得m = 2 ；
r r
r r（2）因為向量 a = 1,1 ，b = 2, m ， a ^ b，
所以1 2 +1 m = 0，解得m = -2；
r r r3 Qa,b r ar
r ì1 2 +1 m > 0
（ ） 夾角為銳角，\a ×b > 0且 ,b 不同向，\í ，
m 2
解得：m > -2且m 2，\m的取值范圍為 -2,2 2, + .
18．（2023·全國·模擬預測）記VABC 的內角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，已知
c = 2acosAcosB - bcos2A A B ．
(1)求A ；
(2)若D是BC 上的一點，且BD : DC =1: 2, AD = 2，求 a的最小值．
π
【答案】(1) A = 3
(2) 6 7
7
【分析】（1）根據正弦定理化簡可得 sinC = sin 2A - B ，再根據角度關系分析即可；
uuur uuur uuur
2 2AB + AC（ ）根據平面向量基本定理可得 AD = ，再兩邊平方可得b2 + 4c2 + 2bc = 36，結
3
2
4 c + 2 c +1
36 b ÷ b ÷è è c
合余弦定理可得 2 = 2 ，再令 = x ，結合函數單調性與最值求解即可.a c c b
b ÷
- ÷ +1
è è b
【詳解】（1）Qc = 2acosAcosB - bcos2A A B ，
\sinC = 2sinAcosAcosB - sinBcos2A
\sinC = sin2AcosB - sinBcos2A = sin 2A - B > 0
又0 < 2A - B < π ，則C = 2A - B或C + 2A - B = π，
若C = 2A π- B，則 A = 3 ；
若C + 2A - B = π，則 A = 2B，又 A B ，不符合題意，舍去，
綜上所述 A
π
= .
3
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 22AB + AC uuur 2AB + AC
（2）Q2BD = DC,\ AD = ,\(AD)2 =
3 ֏ 3
\b2 + 4c2 + 2bc = 36 ①，又 a2 = b2 + c2 - bc ②，
2
c c
2 2 4 ÷ + 2 ÷ +136 4c + b + 2bc
①÷②得： 2 = 2 =
è b è b
a b + c2 - bc c 2 - c ÷ ÷ +1
è b è b
c
令 = x ，又 A B,\a b,\a2 b2 ,\b2 + c2 - bc b2 ，
b
c
\c b,\0 < = x 1，
b
2
f x 4x + 2x +1 6x - 3令 = 2 (0 < x 1),Q f x = 4 +x - x +1 x2 - x +1
令6x - 3 = t, x
t + 3
= ，
6
令 g t 36t= f x = 4 + 2 (-3 < t 3)，t + 27
g t 4 36t 0 g t = 4 = + 27 (-3 < t 3)當 = 時 ，當 t 0時 t + ，
t
y t 27由對勾函數性質可得當0 < t 3時， = + 為減函數，故 t
27 3 27+ + =12，
t t 3
27
同理當 t < 0時 t + < -12，
t
\1 < g t 7, 36 6 7\ 2 7,\a a 7
6 7
所以當三角形 ABC 為等邊三角形時 a最小，最小值為
7
19．（2023·福建福州·三模）△ABC 的內角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c.已知
sin A
= cos A + C sin C ， c = 2 .
a
(1)求 B；
3
(2)D 為 AC 的中點，BD2 = BC ,求VABC 的面積.
4
2π
【答案】(1)
3
(2) 2 3 或, 3
2
【分析】（1）由誘導公式化簡，再應用正弦定理，最后由余弦即可求出 B .
（2）由 D 為 AC 的中點，求出 a,c 關系, c = 2可得 a，最后求出面積即可.
Q sinA cos A C sinC sinA【詳解】（1） = + ，\ = cos π-B sinC，
a a
sinA
\ = -cosBsinC sin C，\ = -cosBsinC，
a c
1 2π
\- = cosB，B 0, π ,\B =
2 3
uuur uuur uuur
（2）D 為 AC 的中點，\2BD = BA + BC ,
uuur2 uuur uuur 2
\4BD = BA + BC = c2 + a2 + 2ac 1- QBD2 3 ÷ , = BC 3= a ,
è 2 4 4
\3a = c2 + a2 + 2ac 1 -

÷ ,Qc = 2 ,
è 2
\a2 - 5a + 4 = 0,\a =1或 a = 4 ,
a = 4 , S 1 1 3當 時 VABC = BA × BC ×sinB = 4 2 = 2 3 ，2 2 2
a =1 , S 1時 VABC = BA × BC ×sinB
1
= 1 2 3 3 =
2 2 2 2
S 3
VABC VABC
= S = 2 3
所以 的面積為 2 或 VABC
【拓展沖刺練】
一、單選題
uuur uuur
1．（2024·河南·模擬預測）已知向量 AB = 2,-1 ， AC = 3,2 ，點C -1,2 ，則點 B 的坐標
為（ ）
A． -2, -1 B． 0,5 C． 2, -5 D． 2,-1
【答案】A
【分析】由向量坐標的線性運算求解即可.
uuur uuur uuur
【詳解】由題意得，CB = AB - AC = (2,-1) - (3, 2) = (-1, -3)，
uuur
設點 B 的坐標為 (x, y)，則CB = (x +1, y - 2) = (-1, -3)，所以點 B 的坐標為 (-2,-1) .
故選：A.
r r r r
2．（2024·山東濟南·一模）已知 a = m,1 ，b = 3m -1,2 ，若 a//b ，則m =（ ）
2 2
A．1 B． -1 C． D．-3 3
【答案】A
【分析】根據平面向量共線的充要條件即可得解.
r r r r
【詳解】因為 a = m,1 ，b = 3m -1,2 ， a//b ，
所以 2m - 3m -1 = 0，解得m =1.
故選：A.
uuur uuur uuur
3．（2024·陜西榆林·二模）若向量 AB = 0,1 uuur,CD = m, -2 , AB P CD，則m =（ ）
A． -1 B．2 C．1 D．0
【答案】D
【分析】利用向量平行的坐標表示直接求解.
【詳解】依題意得m 1 = 0 -2 ，即m = 0 .
故選：D.
4．（2024·全國·模擬預測）已知O為平面直角坐標系的原點，向量
uuur uuur uuur uuur uuur
OA = (1,3), AB = (-2, -1), AP = (1,-2) ，設 M 是直線OP上的動點，當 MA × MB 取得最小值時，
uuuur
OM = （ ）
1, 1 1 A． ÷ B． -1, - ÷ C． (2,1) D． (-2,-1)
è 2 è 2
【答案】A
uuuur uuur uuur uuuur
【分析】設M 在OP上求得OM ，計算當MA × MB 取得最小值時，求得OM 即可.
uuur uuur uuur uuuur uuur
【詳解】OP = OA + AP = (2,1), M 是直線OP上的動點，則可設OM = lOP = (2l,l) ，
uuur uuur uuuur
則MA = OA - OM = (1- 2l,3- l),
uuur uuur uuur uuur uuur 2
MB MA AB ( 1 2l, 2 l), MA MB 5l 2 5l 5 5 l 1 15= + = - - - × = - + = - ÷ + ，
è 2 4
1 uuur uuur uuuur 1
所以當l =

時，MA × MB 取得最小值，此時OM = 1, ÷，2 è 2
故選：A
二、多選題
r r r
5．（2023· r r r全國·模擬預測）已知向量a = (1,2),b = (-2,1) .若 (xa - b)//(a - xb)，則 x =（ ）
A． -1 B．0 C．1 D．2
【答案】AC
【分析】利用向量線性運算的坐標表示，結合向量共線的坐標表示列式計算即得.
r r r r
【詳解】向量a = (1,2),b r= (-2,1)，則 xa - b = (x + 2,2x -1) ， ar - xb = (1+ 2x, 2 - x)，
r r r
由 (xa - b)//(ar - xb)，得 (x + 2) × (2 - x) = (2x -1)(1+ 2x) ，即 x2 =1，解得 x = ±1，
所以 x=-1或 x =1 .
故選：AC
r r r
6．（2024·遼寧葫蘆島·二模）已知向量 a ，b ， c為非零向量，下列說法正確的有（ ）
r r r r r r
A．若 a ^ b，b ^ c，則 a ^ c
r r r r
B．已知向量 a = 1,2 ， 2a + b = 3,2 ，則b = 1,2
r r r r r r r
C．若 a ×b = a ×c ，則b 和 c在 a 上的投影向量相等
uuur r r uuur r r uuur r r
D．已知 AB = a + 2b ，BC = -5a + 6b ，CD = 7a - 2b，則點 A，B，D 一定共線
【答案】CD
【分析】根據向量的線性運算、投影向量的意義和向量共線定理即可判斷出正確答案.
r r r r r r
【詳解】對于 A，若 a ^ b，b ^ c，則 a 與 c可能平行，故 A 錯誤；
r r r
對于 B，設b = x, y ，則 2ar + b = 2 + x, 4 + y = 3,2 ，解得 x =1, y = -2 ，所以b = 1,-2 ，
故 B 錯誤；
r r r r
ar
r
b cos ar
r
,b ar cr cos ar,cr
r r r r r
對于 C，若 a ×b = a ×c ，則 × = × ，所以 b cos a,b = c cos a
r,cr，所以b 和
r r
c在 a 上的投影向量相等，故 C 正確；
uuur r r uuur uuur uuur r r uuur uuur
對于 D，因為 AB = a + 2b ，BD = BC + CD = 2a + 4b ，所以BD = 2AB ,所以點 A，B，D 一定
共線，故 D 正確.
故選：CD.
三、填空題
r r r r r r
7．（2024·山東濰坊·三模）已知向量 a = 1,2 ,b = 4, -2 ,c = 1,l ，若 c × 2a + b = 0，則實數
l =
【答案】-3
【分析】根據向量線性運算和數量積公式得到方程，求出答案.
r r
【詳解】 2a + b = 2,4 + 4, -2 = 6,2 ，
r r rc × 2a + b = 1,l × 6,2 = 6 + 2l = 0，
解得l = -3 .
故答案為：-3
r r r r r
8．（23-24 高三下·陜西西安·階段練習）已知向量 a = 1, -1 ，b = 2,1 ，則 a × a - b =
【答案】1
【分析】根據平面向量減法運算的坐標運算以及平面向量的數量積運算求解即可.
r r r r
【詳解】因為 a = 1, -1 ，b = 2,1 ，故 a - b = -1,-2 ，
r r r所以 a × a - b =1 -1 -1 -2 =1，
故答案為：1.
r r r r r
9．（2023·上海普陀·二模）設 x、 y R ，若向量 a ，b ， c滿足 a = (x,1)，b = (2, y)，
r r r rc = (1,1) r，且向量 a - b 與 c互相平行，則 | a
r | +2 | b |的最小值為 ．
【答案】3 5
r uuur
【分析】由向量平行的坐標表示可得 x + y = 3，在坐標系中 a = OA = (x,1)，
r uuur r
2b = OD = (4,6 - 2x)，將D按向量 a平移至C ，根據C 軌跡為直線 2x + y -15 = 0 ，將問題化
r r uuur uuur
為 a +2 b = OA + AC 最小，數形結合法求原點到直線距離即可得結果.
r r r r
【詳解】由 a - b = (x - 2,1- y) r，又向量 a - b 與 c互相平行，
所以 x - 2 =1- y ，故 x + y = 3，
r uuur r uuur r uuur
令 a = OA = (x,1)，b = OB = (2,3 - x)，則 2b = OD = (4,6 - 2x)，
所以 A(x,1), D(4,6 - 2x)
r
，將D按向量 a平移至C(4 + x,7 - 2x) ，
所以C 是直線 2x + y -15 = 0 上的動點，如下圖示，
r uuur uuur
ar
r uuur uuur
所以 2b = OD = AC ，故 +2 b = OA + AC ，
r r
由圖知：要使 | a | +2 | b |最小，只需O, A,C 三點共線且O到直線 2x + y -15 = 0 距離最短，
r -15
故 | ar | +2 | b |最小值為原點到直線 2x + y -15 = 0 的距離，最小值為 d = = 3 5 ，此時
22 +12
題設中的 x=2，y=1.
故答案為：3 5
r uuur r uuur uuur
【點睛】關鍵點點睛：找到 2b = OD 的D，并將其平移至C 使 2b = OD = AC ，即有
ar
r uuur uuur
+2 b = OA + AC ，問題化為求點到直線距離.
四、解答題
p
10．（2023·
2
河南洛陽·一模）已知函數 f (x) = 2 3 cos x - ÷cos x + 2sin x ，在VABC 中，內
è 2
角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，且 f (A) = 3．
(1)求角 A；
(2)若 b=3，c=2，點 D 為 BC 邊上靠近點 C 的三等分點，求 AD 的長度．
A π【答案】(1) = .3
(2) AD 2 13= .
3
【分析】（1）運用三角恒等變換化簡函數，再運用特殊角的三角函數值解方程即可.
（2）方法一：在△ABC 中運用余弦定理求得 BC 及 cos B，再在△ABD 中運用余弦定理可求
得 AD 的值.
uuur 2 uuur 1 uuur
方法二：運用平面向量基本定理可得 AD = AC + AB ，兩邊同時平方運用數量積求解即可.
3 3
π
【詳解】（1）因為 f (x) = 2 3 cos x - ÷cos x + 2sin
2 x = 2 3 sin x cos x + 2sin2 x
è 2
= 3 sin 2x + (1- cos 2x) = 3 sin 2x - cos 2x 1 π+ = 2sin 2x -

6 ÷
+1，
è
所以 f (A) = 2sin
2A π- ÷ +1 = 3，所以 sin

2A
π
- ÷ =1．
è 6 è 6
2A π π所以 - = + 2kπ,k Z A
π
，即 = + kπ, k Z．
6 2 3
又0 < A
π
< π ，所以 A = 3 ．
（2）如圖所示，
1
方法一：在△ABC 2 2 2 2中，由余弦定理可得BC = a = b + c - 2bc cos BAC = 9 + 4 -12 = 7，
2
則BC = 7 ．又點 D 為 BC 2 7邊上靠近點 C 的三等分點，所以BD = ．
3
a2 + c2 - b2 7 + 4 - 9 7
又在△ABC 中， cos B = = = ，
2ac 4 7 14
在△ABD 中，由余弦定理可得
AD2 BA2 BD2 28 2 7 7 52= + - 2BA BD cos B = 4 + - 2 2 = ，
9 3 14 9
2 13
所以 AD = ．
3
uuur 2 uuur 1 uuur
方法二：因為點 D 為 BC 邊上靠近點 C 的三等分點，所以 AD = AC + AB ．
3 3
uuur 4 uuur 1 uuur 4 uuur uuur2 2 2
等式兩邊同時平方可得 | AD | = | AC | + | AB | + AC × AB = 4
4 4 3 2 1 52+ + = ．
9 9 9 9 9 2 9
uuur 2 13 2 13
所以 | AD |= ，即 AD = ．
3 3
x2 211．（2023· y江蘇·三模）已知橢圓 E： + =1，橢圓上有四個動點 A，B，C，D，
16 4
CD//AB ，AD 與 BC 相交于 P 點.如圖所示.
(1)當 A，B 恰好分別為橢圓的上頂點和右頂點時，試探究：直線 AD 與 BC 的斜率之積是否
為定值？若為定值，請求出該定值；否則，請說明理由；
(2)若點 P 的坐標為 8,6 ，求直線 AB 的斜率.
1
【答案】(1)是定值，定值為
4
1
(2) -
3
【分析】（1） 由題意求出直線 AB 的斜率，再求CD//AB 可設直線 CD 的方程為
y 1= - x + t t 2 ，設D x1, y1 ，C x2 , y2 ，將直線方程代入橢圓方程化簡，利用根與系數2
的關系，然后求解 kADkBC 即可；
uuur uuur
（2）設 A x3, y3 ，B x4 , y4 ，D x, y ，記PD = lDA，表示出點D的坐標，將 A，D 兩點
uuur uuur
的坐標代入橢圓方程，化簡得lx3 + 3l y3 +12 - 2l = 0，再由CD∥ AB 可得PC = lCB，從而
可得lx4 + 3l y4 +12 - 2l = 0，進而可得直線 AB 的方程，則可求出其斜率.
1
【詳解】（1）由題意知， a = 4，b = 2 ，所以 A(0, 2)，B 4,0 ，所以 kAB = - ，2
1
設直線 CD 的方程為 y = - x + t t 2 ，設D x1, y1 ，C x2 , y ，2 2
ì x2 y2
+ =1
CD 16 4聯立直線 與橢圓的方程 í ，整理得 x2 - 2tx + 2t 2 -8 = 0 ，
y 1= - x + t
2
2 2
由D = 4t - 4 2t -8 > 0，解得-2 2 < t < 2 2 ，且 t 2，
則 x 21 + x2 = 2t ， x1x2 = 2t -8，
1 1
- x + t - 2

1 ÷ - x2 + t ÷
所以 y1 - 2 yk k = 2 = è 2 è 2 AD BC x1 x2 - 4 x1x2 - 4x1
1 x x 11 2 - t(x1 + x2 ) + t
2 + x2 - 2t
= 4 2
x1x2 - 4x1
t 2 - 4 2x 2t t - 4+ 2 - + 2t - x1 - 2t
= 2 = 2
x1x2 - 4x1 x1x2 - 4x1
t2 - 4
- x
= 2
1 1
= ，
2t2 - 8 - 4x1 4
1
故直線 AD 與 BC 的斜率之積是定值，且定值為 .
4
uuur uuur（2）設 A x3, y3 ，B x4 , y4 ，D x, y ，記PD = lDA ( l 0 )，
ì lx3 + 8
ì x -8 = lx3 - lx
x =

得 í .
1+ l .
y 6 l y l y
所以
- = í3 - y l y3 + 6=
1+ l
ì x2 23 y+ 3 =1
16 4
又 A，D 均在橢圓上，所以 í lx + 8 2 2 l y + 6 ，
3 3
è 1+ l
÷ ÷
+ è 1+ l =1
16 4
化簡得lx3 + 3l y3 +12 - 2l = 0，
uuur uuur
因為CD∥ AB ，所以PC = lCB，
同理可得lx4 + 3l y4 +12 - 2l = 0，
即直線 AB：lx + 3l y +12 - 2l = 0，
1
所以 AB 的斜率為- .
3
【點睛】關鍵點睛：此題考查直線與橢圓的位置關系，考查橢圓中的定值問題，解題的關鍵
是設出直線 CD 的方程，代入橢圓方程中消元化簡，再利用根與系數的關系，再利用直線的
斜率公式表示出 kADkBC ，結合前面的式子化簡計算可得結果，考查計算能力和數形結合的思
想，屬于較難題.考點 31 平面向量基本定理及坐標表示（3 種核心題型+基礎
保分練+綜合提升練+拓展沖刺練）
【考試提醒】
1.了解平面向量基本定理及其意義.
2.掌握平面向量的正交分解及其坐標表示.
3.會用坐標表示平面向量的加法、減法與數乘運算
4.理解用坐標表示的平面向量共線的條件．
【知識點】
1．平面向量基本定理
如果 e1，e2是同一平面內的兩個 向量，那么對于這一平面內的任一向量 a，
一對實數 λ1，λ2，使 a＝ .
若 e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內所有向量的一個 ．
2．平面向量的正交分解
把一個向量分解為兩個 的向量，叫做把向量作正交分解．
3．平面向量的坐標運算
(1)向量加法、減法、數乘運算及向量的模
設 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則
a＋b＝ ，a－b＝ ，λa＝ ，|a|＝ .
(2)向量坐標的求法
①若向量的起點是坐標原點，則 坐標即為向量的坐標．
→ →
②設 A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A B＝ ，|A B|＝ .
4．平面向量共線的坐標表示
設 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0，則 a∥b .
常用結論
x1＋x2 y1＋y2
已知 P 為線段 AB 的中點，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，則點 P 的坐標為( ，2 2 )；已知
△ABC 的頂點 A(x1 ， y1) ， B(x2 ， y2) ， C(x3 ， y3) ，則△ABC 的重心 G 的坐標為
x1＋x2＋x3 y1＋y2＋y3
( ，3 3 ).
. 【核心題型】
題型一　平面向量基本定理的應用
(1)應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的
加、減或數乘運算．
(2)用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一個基底，并運用該基底將條件和
結論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決．
【例題 1】（2024·湖南衡陽·三模）在三角形 ABC 中，點M 在平面 ABC 內，且滿足
uuuur uuur uuur uuuur uuuur
BM = lBA + m BC(l, m R)，條件P : AM = 3MC ，條件Q : 2m - 2l = 1，則 P 是Q的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
uuur 1 uuur
【變式 1】（2024·河北·模擬預測）在邊長為 1 的正三角形 ABC 中， AD = AB ，
3
uuur uuur uuur uuur
BE 1= BC ， AE 與CD 交于點F ，則CD × BF =（ ）3
1
A．1 B 0 C - D 3． ． ． -
2 2
【變式 2】（2023·陜西咸陽·模擬預測）在VABC 中，點D是BC 的中點，點E 在 AD 上，且
uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuurBE = BA + lBC ， AE = xBA + yBC ，則lx - y = .
3
【變式 3】（2023·廣東佛山·模擬預測）在VABC 中， AB = 2 ，BC = 2 7 ，M 點為 BC 的中
1
點，N 點在線段 AC 上且 AN = AC ，BN = 2 .
3
(1)求 AC；
(2)若點 P 為 AM 與 BN 的交點，求 MPN 的余弦值.
題型二　平面向量的坐標運算
(1)利用向量的坐標運算解題，主要是利用加法、減法、數乘運算法則，然后根據“兩個向
量相等當且僅當它們的坐標對應相等”這一原則，化歸為方程(組)進行求解．
(2)向量的坐標表示使向量運算代數化，成為數與形結合的載體，可以使很多幾何問題的解
答轉化為我們熟知的數量運算．
【例題 2】（2023·廣東佛山·二模）已知YABCD的頂點 A -1, -2 ，B 3, -1 ，C 5,6 ，則頂
點D的坐標為（ ）
A． 1,4 B． 1,5 C． 2,4 D． 2,5
uuur
【變式 1】（2024·全國·模擬預測）在平面直角坐標系 xOy 內，已知點 A -1,1 , AB = 1, -2 ，
uuur
則OB =（ ）
A． 2,-3 B． 0, -1 C． -2,3 D． 0,1
ur uur r
【變式 2】(多選)（2022·海南·模擬預測）用下列 e1 ， e2 能表示向量 a = 3,2 的是（ ）
ur uur ur uur
A． e1 = 6,4 ， e2 = 9,6 B． e1 = -1,2 ， e2 = 5, -2
ur uur ur uur
C． e1 = 3,5 ， e2 = 6,10 D． e1 = 2,-3 ， e2 = -2,3
【變式 3】（2023·全國·模擬預測）在平行四邊形 ABCD中，點 A 0,0 ，B -4,4 ，
D 2,6 ．若 AC 與BD的交點為M ，則DM 的中點E 的坐標為 ,
題型三　向量共線的坐標表示
平面向量共線的坐標表示問題的解題策略
(1)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0，則 a∥b 的充要條件是 x1y2＝x2y1.
(2)在求與一個已知向量 a 共線的向量時，可設所求向量為 λa(λ∈R)．
命題點 1　利用向量共線求參數
r
【例題 3】（2024·陜西渭南·三模）已知向量m = 2,l ， nr = 2 - l,-4 r r，若m 與 n共線且反向，
則實數l 的值為（ ）
A．4 B．2 C．-2 D．-2或 4
r r r r
【變式 1】（2024·浙江· 2模擬預測）已知向量 a = 4,m ，b = m , 2 ，若 a∥b，則m =（ ）
A．4 或 2 B．-2 C．2 D．2 或-2
r r r r r
【變式 2】（2024·四川綿陽·模擬預測）已知向量 a = 3,4 ，b = 2, k ，且 a + b //a，則實數
k = .
r r
【變式 3】（2023·四川成都·一模）已知向量 a = sinx,1 ，b = 3cosx,-2 ，函數
f x r
r r
= a + b × a .
(1) r
r
若 a //b ，求cos2x的值；
(2) a，b ， c為VABC
1
的內角A ， B ，C 的對邊， a = 2，且 f A = ，求VABC 面積的最大
2
值.
命題點 2　利用向量共線求向量或點的坐標
uuur 1 uuuur
【例題 4】（2024·全國·模擬預測）已知M 4, -2 ， N -6, -4 ，且MP = - MN ，則點 P 的
2
坐標為（ ）
A． 1,1 B． 9, -1 C． -2,2 D． 2,-1
r r r r
【變式 1】（2024·江蘇南京·二模）已知向量 a = 1,2 ，b = x, x + 3 ．若 a P b ，則 x =（ ）
A．-6 B．-2 C．3 D．6
uuur
【變式 2】（2023·山東青島·一模）已知O 0,0 ， A 1,2 ，B 3, -1 r r，若向量m∥OA，且m
uuur r
與OB 的夾角為鈍角，寫出一個滿足條件的m 的坐標為 ．
【變式 3】（2024·河南信陽·模擬預測）拋物線E ： y2 = 4x的焦點為F ，直線 AB ，CD 過F
分別交拋物線E 于點A ， B ，C ，D，且直線 AD ，BC 交 x 軸于 N ，M ，其中 N 2,0 ，
則M 點坐標為 ．
【課后強化】
【基礎保分練】
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預測）如圖所示，在邊長為 2 的等邊VABC 中，點E 為中線 BD 的三等
uuur uuur
分點（靠近點 B），點 F 為 BC 的中點，則FE × FB =（ ）
3 1 3A B - C 1．- ． ． D．
4 2 4 2
2．（2024·河北承德·二模）在VABC 中，D為BC 中點，連接 AD ，設E 為 AD 中點，且
uuur r uuur uuurBA = x, BE = yr，則BC = （ ）
r r r r
A． 4x + 2y B．-4x + y
4xr 2yr 4yr 2xrC．- - D． -
r r 3 r r
3．（2024·河北秦皇島·二模）已知向量a = m,2m+3 ，b = 1,4m+1 ，則“ m = - ”是“4 a 與b
共線”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
r r r r
4．（2024·四川·模擬預測）已知向量 a = 2,1 ，b = x, 2 ，若 a//b ，則 x =（ ）
A．4 B．2 C．1 D． -1
二、多選題
r r
5．（2024·全國·模擬預測）已知向量a = x,1 ,b = 4,2 ，則（ ）
r rA．若 a∥b ，則 x = 2
r 1
B．若 ar ^ b ，則 x = 2
r
C．若 x = 3 r 7 2，則向量 a與向量b 的夾角的余弦值為
10
r
D．若 x=-1
r
，則向量b 在向量 a上的投影向量為 2, 2
r r
6．（23-24 高三上·山東棗莊·期末）設m = -1,3 ， n = 1,2 ，則（ ）
r r
A． m - 2n =10
B． mr r r- 2n ^ m
mrC．若 - 2nr P kmr r+ n 1，則 k = -
2
D nr mr
1 r
． 在 上的投影向量為 m
2
三、填空題
uuur uuur
7．（2023·河南鄭州·模擬預測）已知點 O 為坐標原點，OA = 1,1 ，OB = -3,4 ，點 P 在線
uuur
段 AB 上，且 AP =1，則點 P 的坐標為 ．
r r r
8．（2024·陜西安康·模擬預測）已知平面向量 a
r
= 3,4 ，b = m,3 . r r若向量 a - 2b 與 a + b 共線，
則實數m 的值為 .
r uuur
9．（2023·河南開封·模擬預測）已知兩點 A(-1,2)，B(2,4)，若向量 a = (2,m)與 AB 垂直，則
m = ．
四、解答題
10．（2024·湖北·二模）如圖，O為坐標原點，F 為拋物線 y2 = 2x的焦點，過F 的直線交拋
物線于 A, B兩點，直線 AO 交拋物線的準線于點D，設拋物線在 B 點處的切線為 l．
(1)若直線 l與 y 軸的交點為E ，求證： DE = EF ；
(2)過點 B 作 l 2的垂線與直線 AO 交于點G ，求證： | AD | = AO × AG ．
11．（2022·北京·三模）如圖四棱錐 P- ABCD中，VPAD是以 AD 為斜邊的等腰直角三角形，
BC∥AD ， AB ^ AD ， AD = 2AB = 2BC = 2，PC = 2 ，E 為PD的中點.
(1)求證：直線CE∥平面PAB
(2)求直線 PB與平面PAC 所成角的正弦值.
(3)設F 是 BE 的中點，判斷點F 是否在平面PAC 內，并證明結論.
【綜合提升練】
一、單選題
r r r r
1．（2024·安徽合肥·模擬預測）已知向量 a = (2, t)
r
，b = (1, 2)，若當 t = t1 時， a ×b a
r
= × b ，
r r
當 t = t2 時， a ^ b ，則（ ）
A． t1 = -4， t2 = -1 B． t1 = -4， t2 =1
C． t1 = 4， t2 = -1 D． t1 = 4， t2 =1
r r r r
2．（2024·山西·模擬預測）已知向量 a = 2, x ，b = -1,3 r r，若 a∥b，則 a + b =（ ）
A． 6 B． 2 2 C．3 D． 10
r r
3．（2024·重慶· r三模）已知向量a = (2,3),b = (m -1,2m +1) r，若 a / /b ，則m =（ ）
1 1
A．3 B． C．- D．-5
8 8
r r r r r
4．（2024·浙江溫州·三模）平面向量a = m,2 ,b = -2,4 ，若 a∥ a - b ，則m =（ ）
A． -1 B．1 C．-2 D．2
5．（2024·遼寧·二模）已知平行四邊形 ABCD，點 P 在△BCD的內部（不含邊界），則下列
uuur
選項中， AP 可能的關系式為（ ）
uuur 1 uuur 3 uuur uuur 1 uuur 3 uuur
A． AP = AB + AD B． AP = AB + AD
5 5 4 4
uuur
AP 2
uuur 3 uuur uuur uuur uuur
C． = AB + AD D． AP
2
= AB 4+ AD
3 4 3 3
uuur uuur r uuur uuur
6．（2024·全國·模擬預測）在VABC 中，點D滿足BD + 2AD = 0．若 CA = 3， CD = 2 ，
uuur
ACD π= ，則 CB =（ ）
4
A．4 B． 2 5 C．3 2 D． 2 3
7．（2023·全國·模擬預測）在VABC 中，點 D 是線段 AB 上靠近 B 的四等分點，點 E 是線段
uuur
CD 上靠近 D 的三等分點，則 AE =（ ）
2 uuur 1 uuur 1 uuur 5 uuurCA CB CA CB 5
uuur uuur uuur uuur
A．- + B． - C．- CA
1 CB 1 2+ D．- CA + CB
3 3 2 6 6 2 3 3
r r
r r8．（2024·山東泰安·模擬預測）已知向量 a = -2,3 ，b = 3,m ，且 a∥b，則m =（ ）
9 9
A．2 B．-2 C． D． -
2 2
二、多選題
uuur uuur uuur uuur
9．（2024·江西景德鎮·三模）等邊VABC 邊長為 2， AD = 2DC ， AE = EB，BD與CE交于
點F ，則（ ）
uuur 2 uuur 1 uuur uuur uuur
A．BD
1
= BA + BC B．CF = CE
3 3 2
uuur uuur uuur uuur 5 uuur
C．BD ×CE = -1 D．BD在BC 方向上的投影向量為 BC6
10．（2024·山東濟南·二模）如圖，在直角三角形 ABC 中， AB = BC = 2 ， AO = OC ，點 P
uuur uuur uuur
是以 AC 為直徑的半圓弧上的動點，若BP = xBA + yBC ，則（ ）
uuur 1 uuur 1 uuur
A．BO = BA + BC
2 2
uuur uuur
B．CB × BO =1
uuur uuur
C．BP × BC 最大值為1+ 2
D． B ，O， P 三點共線時 x + y = 2
r r
11．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知向量a = cosq ,sinq ,b = -3,4 ，則下列命題為真命題
的是（ ）
r r tanq 4A．若 a / /b ，則 = - 3
r 3
B ar．若 ^ b ，則 sinq = 5
r
C． a
r
- b 的最大值為 6
r r
D．若 a
r ar× - b = 0 r，則 a - b = 2 6
三、填空題
r uuur r
12．（2022·黑龍江·一模）已知向量 a = -3,4 ， AB = 2a，點A 的坐標為 3, -4 ，則點 B 的
坐標為 ．
v v
13．（2020 高三上·全國·專題練習）已知向量 a = x, 2 b v v， = 2,1 v，且 a//b ，則 a =
r
14．（2023·上海徐匯·三模）函數 y = ln -x 沿著向量 a 平移后得到函數 y = ln 1- x + 2，則
r
向量 a 的坐標是 .
四、解答題
r r
15．（2023·吉林·一模）已知向量 a = 3 sin x, cos x ，b = cos x, cos x ．
r r
(1)若 a//b 且 x 0, π ，求 x ；
r r
(2)若函數 f x = a ×b 1- ，求 f x 的單調遞增區間．
2
16．（2023·安徽滁州·模擬預測）已知VABC 的內角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c ，向量
ur
p = a, c - b ,
r
ur rq = si n C + si n B, si n A + si n B ，且 p∥q .
(1)求角C；
(2) 3 3若 c = 3 2,VABC 的面積為 ，求VABC 的周長.
2
r r
17．（2020·山東濟寧·模擬預測）已知向量 a = 1,1 ，b = 2, m ，m R ．
r r
(1)若 a//b ，求 m 的值；
r r
(2)若 a ^ b，求 m 的值；
r r
(3)若 a 與b 夾角為銳角，求 m 的取值范圍．
18．（2023·全國·模擬預測）記VABC 的內角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，已知
c = 2acosAcosB - bcos2A A B ．
(1)求A ；
(2)若D是BC 上的一點，且BD : DC =1: 2, AD = 2，求 a的最小值．
19．（2023·福建福州·三模）△ABC 的內角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c.已知
sin A
= cos A + C sin C ， c = 2 .
a
(1)求 B；
(2)D AC BD2
3
為 的中點， = BC ,求VABC 的面積.
4
【拓展沖刺練】
一、單選題
uuur uuur
1．（2024·河南·模擬預測）已知向量 AB = 2,-1 ， AC = 3,2 ，點C -1,2 ，則點 B 的坐標
為（ ）
A． -2, -1 B． 0,5 C． 2, -5 D． 2,-1
r r r r
2．（2024·山東濟南·一模）已知 a = m,1 ，b = 3m -1,2 ，若 a//b ，則m =（ ）
2 2
A．1 B． -1 C． D．-3 3
uuur uuur uuur uuur
3．（2024·陜西榆林·二模）若向量 AB = 0,1 ,CD = m, -2 , AB P CD，則m =（ ）
A． -1 B．2 C．1 D．0
4．（2024·全國·模擬預測）已知O為平面直角坐標系的原點，向量
uuur uuur uuur uuur uuur
OA = (1,3), AB = (-2, -1), AP = (1,-2) ，設 M 是直線OP上的動點，當 MA × MB 取得最小值時，
uuuur
OM = （ ）
1, 1 1 A． B．2 ÷
-1, - ÷ C． (2,1) D． (-2,-1)
è è 2
二、多選題
r r r r r5 r．（2023·全國·模擬預測）已知向量a = (1,2),b = (-2,1) .若 (xa - b)//(a - xb)，則 x =（ ）
A． -1 B．0 C．1 D．2
r r r
6．（2024·遼寧葫蘆島·二模）已知向量 a ，b ， c為非零向量，下列說法正確的有（ ）
r r r r r r
A．若 a ^ b，b ^ c，則 a ^ c
r r r r
B．已知向量 a = 1,2 ， 2a + b = 3,2 ，則b = 1,2
r r r r r r r
C．若 a ×b = a ×c ，則b 和 c在 a 上的投影向量相等
uuur r r uuur r r uuur r r
D．已知 AB = a + 2b ，BC = -5a + 6b ，CD = 7a - 2b，則點 A，B，D 一定共線
三、填空題
r r r r r r
7．（2024·山東濰坊·三模）已知向量 a = 1,2 ,b = 4, -2 ,c = 1,l ，若 c × 2a + b = 0，則實數
l =
r r r r r
8．（23-24 高三下·陜西西安·階段練習）已知向量 a = 1, -1 ，b = 2,1 ，則 a × a - b =
r r r r
9．（2023·上海普陀·二模）設 x、 y R ，若向量 a ，b ， c滿足 a
r
= (x,1)，b = (2, y)，
r r r
cr = (1,1) r r，且向量 a - b 與 c互相平行，則 | a | +2 | b |的最小值為 ．
四、解答題
p
10 2023· · f (x) = 2 3 cos x - cos x + 2sin2．（ 河南洛陽 一模）已知函數 ÷ x ，在VABC 中，內
è 2
角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，且 f (A) = 3．
(1)求角 A；
(2)若 b=3，c=2，點 D 為 BC 邊上靠近點 C 的三等分點，求 AD 的長度．
2 2
11．（2023·江蘇·三模）已知橢圓 E x y： + =1，橢圓上有四個動點 A，B，C，D，
16 4
CD//AB ，AD 與 BC 相交于 P 點.如圖所示.
(1)當 A，B 恰好分別為橢圓的上頂點和右頂點時，試探究：直線 AD 與 BC 的斜率之積是否
為定值？若為定值，請求出該定值；否則，請說明理由；
(2)若點 P 的坐標為 8,6 ，求直線 AB 的斜率.

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