資源簡介

考點 28 正弦定理、余弦定理（2 種核心題型+基礎保分練+綜
合提升練+拓展沖刺練）
【考試提醒】
1.掌握正弦定理、余弦定理及其變形.
2.理解三角形的面積公式并能應用.
3.能利用正弦定理、余弦定理解決一些簡單的三角形度量問題．
【知識點】
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC 中，若角 A，B，C 所對的邊分別是 a，b，c，R 為△ABC 外接圓半徑，則
定理 正弦定理 余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccos A；
a b c
內容 ＝ ＝ ＝2R b2＝c2＋a2－2cacos B；
sin A sin B sin C
c2＝a2＋b2－2abcos C
(1)a＝2Rsin A，
b＝2Rsin B，
b2＋c2－a2
c＝2Rsin C； cos A＝ ；
2bc
a
(2)sin A＝ ， c2＋a2－b2
變形 2R cos B＝ ；
2ac
b c
sin B＝ ，sin C＝ ； a2＋b2－c2
2R 2R cos C＝
2ab
(3)a∶b∶c
＝sin A∶sin B∶sin C
2．三角形解的判斷
A 為銳角 A 為鈍角或直角
圖形
關系式 a＝bsin A bsin A< ab
解的個數 一解 兩解 一解 一解
3．三角形中常用的面積公式
1
(1)S＝ aha(ha表示邊 a 上的高)；2
1 1 1
(2)S＝ absin C＝ acsin B＝ bcsin A；
2 2 2
1
(3)S＝ r(a＋b＋c)(r 為三角形的內切圓半徑)．
2
常用結論
在△ABC 中，常有以下結論：
(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.
(2)任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．
(3)a>b A>B sin A>sin B，cos AA＋B C A＋B
(4)sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin ＝cos ；cos
2 2 2
C
＝sin .
2
(5)三角形中的射影定理
在△ABC 中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.
1
(6)三角形中的面積 S＝ p p－a p－b p－c (p＝ a＋b＋c2 ).
【核心題型】
題型一　利用正弦定理、余弦定理解三角形
φ
(1)由 y＝sin ωx 的圖象到 y＝sin(ωx＋φ)的圖象的變換：向左平移 (ω>0，φ>0)個單位長度而
ω
非 φ 個單位長度．
(2)如果平移前后兩個圖象對應的函數的名稱不一致，那么應先利用誘導公式化為同名函數，
ω 為負時應先變成正值
【例題 1】（2024·廣東江門·二模） P 是VABC 內一點，
ABP = 45°, PBC = PCB = ACP = 30°，則 tan BAP =（ ）
2 2 1
A 1． B． C3 ． D．5 3 2
【答案】D
【分析】在VABP,VACP 中，分別使用正弦定理，結合BP = CP化簡整理即可得解
【詳解】因為 ABP = 45°, PBC = PCB = ACP = 30°，
所以 BAC =180° - 45° + 30° + 30° + 30° = 45° ，
設 BAP = a ，因為 PBC = PCB，所以BP = CP．
AP sin 45° AP sin 30°
在VABP,VACP 中，由正弦定理可得 = , =BP sina CP sin 45° -a ，
sin 45° sin 30°
則 =sin sin 45 ，即 sin 45°sin 45° -a = sin 30°sinaa ° -a ，
2 2
即 (cosa -sina) 1= sina ，
2 2 2
tana sina 1解得 = = ．
cosa 2
故選：D
【變式 1】（2024·河北滄州·模擬預測）記VABC 的內角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，若
3bcosB = acosC + ccosA，且3b = 4c ，則C = .
p
【答案】 / 45°
4
1
【分析】根據三角恒等變換的化簡計算可得 cosB = ，由同角的平方關系可得 sinB 2 2= ，
3 3
結合正弦定理計算即可求解.
【詳解】3bcosB = acosC + ccosA，
3sinBcosB = sinAcosC + sinCcosA，
3sinBcosB = sin A + C .又 sin A + C = sinB 0，
1
所以 cosB = ，所以 sinB = 1- cos2 B 2 2= .3 3
因為3b = 4c ，由正弦定理知3sinB = 4sinC ，
π
所以 sinC 2= ，又 B > C ，所以C = .
2 4
π
故答案為：
4
【變式 2】（2024·山東日照·二模）VABC 的內角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c．分別以 a,b,c為
邊長的正三角形的面積依次為 S , S , S 31 2 3 ，且 S1 - S2 - S3 = bc．4
(1)求角A ；
uuur uuur π
(2)若BD = 4CD， CAD = ，求 sin ACB6 ．
2π
【答案】(1)
3
(2) 2 7
7
1
【分析】（1）根據題意，化簡得到 a2 - b2 - c2 = bc ，利用余弦定理求得 cos A = - ，即可求2
解；
（2 3）設 ACB = a ，在△ABD 和VACD中，利用正弦定理化簡得到 cosa = sina ，結合
2
三角函數基本關系式，聯立方程組，求得 sin ACB 的值.
【詳解】（1）解：由分別以 a,b,c為邊長的正三角形的面積依次為
S 3 21 = a , S
3 2 3 2
4 2
= b , S
4 3
= c ，
4
則 S S 3 3 3 31 - 2 - S = a
2 - b2 - c2 = bc ，可得 a2 - b23 - c
2 = bc ，
4 4 4 4
2 2 2
由余弦定理得 cos A
b + c - a 1
= = - ，
2bc 2
2π
因為 A (0, π)，所以 A = .3
（2）解：設 ACB = a （其中a 為銳角），
BD AD CD AD
= =
在△ABD 和VACD中，由正弦定理可得 sin(2π π+ ) sin(π a ) 且 sin π- sin(π -a ) ，
3 6 3 6
BD sin(π -a )
3 CD sina
于是 5π = ，sin sin π
6 6
sina sina
= = 4
又因為BD = 4CD,sin
5π π
= sin ，所以 sin(π6 6 -a ) 3
，
3 cosa
1
- sina
2 2
3
化簡得 cosa = sina ，
2
根據同角三角函數的基本關系式，可得 cos2 a + sin2 a =1，
因為 sina > 0 2 7 2 7，聯立方程組，解得 sina = ，即 sin ACB =
7 7
【變式 3】（2024·遼寧沈陽·模擬預測）在VABC 中，內角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，
2
c sin C - sin C sin B，且 2 2 =1 .cos B - cos A
(1)求角 A 的大小；
(2)若VABC 為銳角三角形，點 F 為VABC 的垂心， AF = 6，求CF + BF 的取值范圍.
A π【答案】(1) = 3
(2) 6 3,12
【分析】（1）由正弦定理及余弦定理可得 cos A的值，再由角A 的范圍，可得角A 的大小；
（2）設 FAB = a ，分別在兩個三角形中，由正弦定理可得 BF ，CF 的表達式，由輔助角
公式可得BF + CF 的取值范圍．
sin2 C - sin C sin B
【詳解】（1）因為 =1，
cos2 B - cos2 A
所以 sin2 C - sin C sin B = cos2 B - cos2 A = 1- sin2 B -1+ sin2 A，
所以 sin2 B + sin2 C - sin2 A = sin C sin B ，
由正弦定理可得b2 + c2 - a2 = bc ，
b2 + c2 - a2 1
由余弦定理可得 cos A = = ， A (0, π)，
2bc 2
π
可得 A = 3 ；
（2）延長 AF 交BC 于D，延長 BF 交 AC 于E ，延長CF 交 AB 于 P ， AF = 6，
根據題意可得BC ^ AD ，BE ^ AC，因為 CAB π= ，所以 EBA = ACP π= 6 ，3
π AF BF
設 FAB = a ，a (0, )，在△ABF3 中，由正弦定理可得
=
sin EBA sin FAB ，
6 BF
即 1
=
sina ，可得 BF = 12sina ，
2
π
同理在△CFA中，可得CF = 12sin( -a )3 ，
BF CF 12[sina sin(p 3 1所以 + = + -a )] = 12(sina + cosa - sina )
3 2 2
12(1= sina 3+ cosa ) = 12sin(a
π
+ )
2 2 3
，
a (0, π
2π
因為 )，所以a
π π
+ ( , )
3 3 3 ，3
sin(a π) ( 3所以 + ,1]，
3 2
所以 BF + CF (6 3 ,12]．
題型二　正弦定理、余弦定理的簡單應用
命題點 1　三角形的形狀判斷
判斷三角形形狀的兩種思路
(1)化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應關系，從而判斷三角形的形狀．
(2)化角：通過三角恒等變換，得出內角的關系，從而判斷三角形的形狀．此時要注意應用 A
＋B＋C＝π 這個結論．
【例題 2】（2024·陜西渭南·三模）已知VABC 中，角 A，B，C 所對的邊分別是 a，b，c，若
b cosC + c cos B = b ，且 a = c cos B ，則VABC 是（ ）
A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形
【答案】D
π
【分析】由正弦定理和 sin A = sin B + C 得到 a = b， cosC = 0，求出C = 2 ，得到答案.
【詳解】bcosC + c cos B = b sin B cosC + sin C cos B = sin B sin B + C = sin B，
即 sin A = sin B ，故 a = b，
a = c cos B sin A = sin C cos B sin B + C = sin C cos B
sin B cosC + cos B sin C = sin C cos B sin B cosC = 0，
因為B 0, π ，所以 sin B 0 ，故 cosC = 0，
因為C 0, π π，所以C = 2 ，
故VABC 為等腰直角三角形.
故選：D
【變式 1】（2024·湖南衡陽·模擬預測）在VABC 中，角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，若
sin 2A = sin 2B ，則VABC 的形狀為 .
【答案】等腰三角形或直角三角形.
2a b
2 + c2 - a2 22b a + c
2 - b2
【分析】根據題意，結合正弦定理和余弦定理，得到 × = × ，化簡
2bc 2ac
2 2 2 2 2
得到 a - b c - a - b = 0，進而得到答案.
【詳解】因為 sin 2A = sin 2B ，可得 2sin Acos A = 2sin B cos B，
b22a + c
2 - a2 2 2 2
由正弦定理和余弦定理，可得 × = 2b a + c - b× ，
2bc 2ac
a2 b2 + c2 - a2 = b2 a2 + c2整理得 - b2 ，即 a2c2 - a4 - b2c2 + b4 = 0 ，
c2 a2 - b2 - a2 - b2 a2 + b2 = 0 a2 - b2 c2即 ，可得 - a2 - b2 = 0，
所以 a = b或 a2 + b2 = c2 ，所以VABC 是等腰三角形或直角三角形.
故答案為：等腰三角形或直角三角形.
【變式 2】（2024·安徽淮北·二模）記VABC 的內角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，已知
c A- b = 2csin2
2
(1)試判斷VABC 的形狀；
(2)若 c =1，求VABC 周長的最大值.
【答案】(1) VABC 是直角三角形
(2) 2 +1
b
【分析】（1）根據題意，求得 cos A = ，利用余弦定理列出方程，得到 a2 + b2 = c2 ，即可求
c
解；
（2）由（1）和 c =1，得到 a = sin A, b = cos A，則VABC 周長為1+ sin A + cos A，結合三角
函數的性質，即可求解.
c b 2csin2 A sin2 A c - b 1- cos A c - b【詳解】（1）解：由 - = ，可得 = ，所以 = ，
2 2 2c 2 2c
1 cos A 1 b
即 - = - ，所以 cos A
b
= ，
2 2 2 2c c
b2 + c2 - a2 b π
又由余弦定理得 = ，可得 a2 + b2 = c2 ，所以C = ，
2bc c 2
所以VABC 是直角三角形
（2）解：由（1）知，VABC 是直角三角形，且 c =1，可得 a = sin A, b = cos A，
所以VABC 周長為1+ sin A + cos A =1+ 2 sin A
π
+

4 ÷
，
è
A π π π 3π因為

0,
A + , ÷ ，可得 ，
è 2 4 ÷è 4 4
p
所以，當 A = 時，即VABC 為等腰直角三角形，周長有最大值為
4 2 +1
.
【變式 3】（2024·內蒙古·三模）在VABC 中，內角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，且
a - 2b cosC = c 2cosB - cosA .
b
(1)求 的值；
a
(2)若B = 2C ，證明：VABC 為直角三角形.
【答案】(1) 2
(2)證明見解析
【分析】（1）由正弦定理和逆用正弦和角公式得到b = 2a，求出答案；
（2）由（1）得到 sinB = 2sinA，結合B = 2C ，得到
2 π π
sin 2C = 2 sin 2C cosC + 2 cos 2C sin C ，化簡得到 cosC = ，C = , B = ，得到答案.
2 4 2
【詳解】（1）由 a - 2b cosC = c 2cosB - cosA ，
可得acosC + ccosA = 2 bcosC + ccosB ，
所以 sinAcosC + sinCcosA = 2 sinBcosC + sinCcosB ，
所以 sin B = 2 sin A，
b
則b = 2a，即 = 2 .a
（2）證明：由（1）可得 sinB = 2sinA .
又B = 2C ，所以 sin 2C = 2 sin B + C = 2 sin 3C ，
即 sin 2C = 2 sin 2C + C = 2 sin 2C cosC + 2 cos 2C sin C ，
故 2sin C cosC = 2 2 sin C cos2 C + 2 cos 2C sin C ，
所以 2cosC = 2 2 cos2 C + 2 2 cos2 C - 2 ，
即4 2cos2C - 2cosC - 2 = 0，
因為B = 2C ，所以C 為銳角，
π π
解得 cosC 2= （負值舍去），即C = , B = ，
2 4 2
所以VABC 為直角三角形.
命題點 2　三角形的面積
三角形面積公式的應用原則
1 1 1
(1)對于面積公式 S＝ absin C＝ acsin B＝ bcsin A，一般是已知哪一個角就使用哪一個公
2 2 2
式．
(2)與面積有關的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進行邊和角的轉化．
【例題 3】（2024·云南昆明·三模）已知VABC 中， AB = 3，BC = 4， AC = 5 ，則VABC 的
面積等于（ ）
A．3 B． 11 C．5 D． 2 5
【答案】B
【分析】由余弦定理及同角三角函數的平方關系得出 sin B ，再根據三角形面積公式計算即
可．
2
2 2 2 32 + 42 - 5
【詳解】由余弦定理得， cos B AB + BC - AC
5
= = = ，因為 B 為三角形內
2AB × BC 2 3 4 6
角，
則 sin B = 1- cos2 B 11= ，
6
S 1所以 VABC = AB × BC ×sin B
1
= 3 4 11 = 11，
2 2 6
故選：B．
【變式 1】（2024·安徽·三模）在VABC 中，a，b，c 分別為內角 A，B，C 所對的邊，且滿足
a = 3 , (a + c)(sin A + sin C) = bsin B + 3c sin A,
sin C 1- cosC
= ，則VABC 的面積
sin B cos B
是 ．
3 3 3
【答案】 / 3
4 4
sin C 1- cosC
【分析】先化角為邊結合余弦定理得出 B ，利用 = 可得 A = B ，利用面積公式
sin B cos B
可得答案.
【詳解】因為 (a + c)(sin A+ sinC) = bsin B +3csin A，
2 2 2
由正弦定理可得 (a + c)2 = b2 + 3ca ，整理得 a2 + c2 - b2 = ac， cos B
a + c - b 1
= = ，
2ac 2
因為B 0, π π，所以 B = 3 ；
sin C 1- cosC
由 = 得 sin C cos B + sin B cosC = sin B ，即 sin B + C = sin B ，
sin B cos B
因為 sin B + C = sin π - A = sin A，
A B π所以 sin A = sin B ，即 = = ，所以三角形是正三角形，
3
因為 a = 3，所以VABC S 3 3 3 3的面積是 = = .
4 4
3 3
故答案為：
4
【變式 2】（2024·浙江紹興·二模）在三角形 ABC 中，內角 A, B,C 對應邊分別為 a,b,c且
bcosC + 3c sin B = a + 2c .
(1)求 B的大小；
(2)如圖所示，D為VABC 外一點， DCB = B ，CD = 3 ， BC =1， CAD = 30o ，求
sin BCA及VABC 的面積.
【答案】(1)120°
(2) 2 3 + 3，
2 4
【分析】（1）利用正弦定理邊化角可得 sin B cosC + 3 sin C sin B = sin A + 2sin C ，根據式子
特點，變換sin A = sin(B +C)，從而可以化簡三角恒等式為 3 sin B - cos B = 2 ，最后利用輔
助角公式求出B =120°；
（2）設 BCA = q ，可知用q 表示 D， BAC ，利用正弦定理可得公共邊 AC 的式子，最
2
后可得一個關于角q 的三角方程求解出角q 的大小，然后求出求出 sin BCA = 和
2
AC 3 2 + 6= ，最后利用面積公式即可求出面積.
2
【詳解】（1） bcosC + 3c sin B = a + 2c，由正弦定理邊化角得：
sin B cosC + 3 sin C sin B = sin A + 2sin C ，由三角形內角和為180°可得：sin A = sin(B +C)，
即 sin B cosC + 3 sin C sin B = sin(B + C) + 2sin C = sin B cosC + cos B sin C + 2sin C ，
即 3 sin C sin B - cos B sin C = 2sin C ，
又 sin C 0 3 sin B - cos B = 2 3 sin B 1- cos B =1，
2 2
即 sin B - 30° =1，又 0° < B <180° ， B - 30° = 90°，即B =120° .
AC CD
（2）設 BCA = q ，在VACD中， = ，
sin D sin CAD
D =180° - 30° - 120° -q = 30° +q ，CD = 3 ，
AC sin(q + 30
o )
= CD = 2 3 sin q + 30oo ，sin 30
AC BC
在VABC 中， = ， BAC =180° -120° -q = 60° -q ， BC =1，
sin B sin BAC
AC sin120
o 3 3
= BC = = ，
sin(60o -q ) 2sin(60o -q ) 2cos(q + 30o )
即 2 3 sin q + 30o 3= ，
2cos(q + 30o )
4sin(q + 30o ) cos(q + 30o ) =1 2sin(2q + 60o ) =1，
sin(2q 60o ) 1+ = ，又
2 0
° < q <120°，
2q + 60o =150o ，解得q = 45o，
sin 2 BCA = sinq = sin 45° = ，
2
又由 AC = = 2 3 sin(q + 30o）= 2 3 sin(45o + 30o）

= 2 3 2 3 2 1 3 2 + 6 + 2 2 2 2 ÷÷
= ，
è 2
1
于是 SVABC = BC × AC ×sin BCA
1 1 3 2 + 6 2 3 + 3 = =
2 2 2 2 4
sin A + sin B sin C
【變式 3】（2024·全國·模擬預測）在VABC 中，已知 =sin A - B sin B .
(1)求證： sin A = 2sin B ；
(2)若 D 為 AB 7的中點，且 AB = 3 ，CD = ，求VABC 的面積.
2
【答案】(1)證明見解析；
(2) 3
2
sin A + sin B sin C sin A + B
【分析】（1）由 = =sin A B sin B sin B ，利用兩角和與差的正弦函數化簡求解； -
uuur 1 uuur uuur
（2）由 D 為 AB 的中點，得到CD = CA + CB ，再兩邊平方得到 CA，CB 的一個關系式，2
由 AB = 3 ，利用余弦定理得到再得到得到 CA，CB 的一個關系式，然后利用（1）的結論
BC = 2AC 求解.
sin A + sin B sin C sin A + B
【詳解】（1）因為 = =sin A - B sin B sin B ，
所以 sin Asin B + sin2 B = sin Acos B 2 - cos Asin B 2 = sin2 A - sin2 B，
即 sin A + sin B sin A - 2sin B = 0，
因為 sin A + sin B 0，所以 sin A = 2sin B ；
7
（2）因為 D 為 AB 的中點，且 AB = 3 ，CD = ，
2
uuur 1 uuur uuur所以CD = CA + CB2 ，
uuur2 1 uuur2 uuur2 uuur uuur兩邊平方得CD = CA + CB + 2CA ×CB ，4
1 uuur2 uuur2 uuur uuur= CA + CB + 2 CA × CB ×cos ACB4 ，
即CA2 + CB2 + 2CA ×CB ×cos ACB = 7，
又 AB2 = CA2 + CB2 - 2CA ×CB ×cos ACB，
即CA2 + CB2 - 2CA ×CB ×cos ACB = 3，
由（1）知BC = 2AC ，
解得BC = 2, AC =1，又 AB = 3 ，且CA2 + AB2 = CB2 ，
π 1 3
所以 A = ，則
2 SVABC = AC × AB =
.
2 2
命題點 3　與平面幾何有關的問題
在平面幾何圖形中研究或求與角有關的長度、角度、面積的最值、優化設計等問題時，通常
是轉化到三角形中，利用正、余弦定理通過運算的方法加以解決．在解決某些具體問題時，
常先引入變量，如邊長、角度等，然后把要解三角形的邊或角用所設變量表示出來，再利用
正、余弦定理列出方程，再解方程即可．若研究最值，常使用函數思想
【例題 4】（2024·山東聊城·二模）如圖，在平面四邊形 ABCD中，
AB = AD = 2, B = 2 D =120° ，記VABC 與VACD的面積分別為 S1, S2，則 S2 - S1 的值為
（ ）
A．2 B 3． 3 C．1 D．
2
【答案】B
【分析】根據余弦定理得 BC 2 - AC 2 = -2BC - 4、CD2 - AC 2 = 2CD - 4，兩式相減可得CD - BC = 2，
3
由三角形的面積公式得 S2 - S1 = (CD - BC) ，即可求解.2
VABC cos B AB
2 + BC 2 - AC 2
【詳解】在 中，由余弦定理得 = ，
2AB × BC
1 4 + BC 2 - AC 2
即 - = ，得 BC 2 - AC 2 = -2BC - 4 ①，
2 4BC
2 2 2
在VACD AD + CD - AC中，由余弦定理得 cos D = ，
2AC ×CD
1 4 + CD2 - AC 2
即 = ，得CD2 - AC 2 = 2CD - 4 ②，
2 4CD
S 1又 1 = AB × BC sin120
° 3 BC,S 1= 2 = AD ×CDsin 60
° 3= CD ，
2 2 2 2
3 3 3
所以 S2 - S1 = CD - BC = (CD - BC) ③，2 2 2
由② - ①，得CD2 - BC 2 = 2(CD + BC) ，由CD + BC > 0，
得CD - BC = 2，代入③得 S2 - S1 = 3 .
故選：B
1
【變式 1】（22-23 高三上·江蘇揚州·期末）如圖，在VABC 中， sin A = ， AB = 2 3 ，D、E3
分別在邊BC 、 AC 上，EC = EB ，ED ^ BC 且DE =1 .則 cosC 值是 ；VABE 的面
積是 .
3 7 2 7
【答案】 / 2
3 6 6
EB 1【分析】分析可得 AEB = 2 C ， = ，在△ AEB 中，利用正弦定理結合二倍角的正
sin C
弦公式可求得 cosC 的值；求出EB的長，利用兩角和的正弦公式求出 sin ABE 的值，利用
三角形的面積公式可求得VABE 的面積.
【詳解】因為EB = EC ，則 EBC = C ，故 AEB = 2 C ，
DE 1
因為ED ^ BC ，則D為BC 的中點，且EB = = ，
sin EBC sin C
AB BE
在△ AEB 中，由正弦定理可得 = 2 3 3，即
sin AEB sin A =
，
sin 2C sin C
2 3 3 3
易知C 為銳角，故 = ，可得 cosC = ，
2sin C cosC sin C 3
所以，sinC = 1-cos2 C 6= ，則 sin AEB = sin 2C = 2sin C cosC 2 2= ，
3 3
cos AEB = cos 2C 1=1- 2sin2 C = - ，
3
EB 1 6 AB VABE A 2 2= = < ，故在 中， 為銳角，故 cos A = 1- sin2 A = ，
sin C 2 3
所以， sin ABE = sin AEB + A = sin AEB cos A cos AEB sin A 7+ = ，
9
1
因此， S△ABE = AB × BE sin ABE
7 2
= .
2 6
3 7 2
故答案為： ； .
3 6
【變式 2】（2024·廣東梅州·二模）在VABC 中，角 A，B，C 所對應的邊分別為 a，b，c，
3a cos B - bsin A = 3c， c = 2，
(1)求 A 的大小：
(2)點 D 在 BC 上，
（Ⅰ）當 AD ^ AB，且 AD =1時，求 AC 的長；
（Ⅱ）當BD = 2DC ，且 AD =1時，求VABC 的面積 SVABC ．
2π
【答案】(1) A = 3
(2) AC 8 3 + 4 S 3 2 + 3= ； =
11 V ABC 4
【分析】（1）利用正弦定理，三角函數恒等變換的應用化簡已知等式可得 tan A的值，結合
A (0,p )即可求解A 的值；
（2）（Ⅰ）根據銳角三角函數和差角公式可得
cos ABC AB 2 = = ,sin ABC AD 1= = ,sin C 5 15= - +
BD BD 10 5 正弦定理即可求解
.
5 5
（Ⅱ）采用面積分割的方法以及正弦定理即可解決．
【詳解】（1）因為 3a cos B - bsin A = 3c，
所以由正弦定理可得 3 sin Acos B - sin Bsin A = 3 sin C ，
又 sin C = sin(A + B) = sin Acos B + cos Asin B，
所以 -sin Bsin A = 3 cos Asin B ，
因為 B 為三角形內角， sin B > 0，
所以-sin A = 3 cos A，可得 tan A = - 3 ，
因為 A (0, π) A
2π
，所以 = 3 ；
（2）（Ⅰ）此時 AB = 2 = 2AD ， AD ^ AB，
所以DB = AB2 + AD2 = 5，所以
cos ABC AB 2 ,sin ABC AD 1 ,sin C sin B 2π 1 1 2 3 5 15 = = = = = + = - + = - +
BD 5 BD 5 3 ÷ 5 ÷
，
è è 2 5 2 10 5
在VABC 中，由正弦定理可得
2 1
AC AB AC AB sin ABC 8 3 + 4= = = 5 =
sin ABC sin C sin C ；5 15 11
- +
10 5
（Ⅱ）設 CAD = a ，由 SVABC = SVBAD + SVCAD ，
可得 3b = 2sin(
2π
-a ) + bsina 3b bsina 2π，化簡可得 - = 2sin( -a )3 3
b CD
= , 2 BD=
有 sin ADC sina sin ADB sin(2π -a ) ，
3
bsina sin ADB 1
=
由于BD = 2DC ，所以 sin ADC 2sin(2π -a ) 2 ，
3
sin(2π -a )
所以b 3 1 3b - bsina 3
6 +1
= = sina = , b = ，
sina 2 sina 3 2
1
則 SV ABC = bcsin A
3 2 + 3
= ．
2 4
【變式 3】（23-24 高三下·山東·開學考試）如圖所示，圓O的半徑為 2，直線 AM 與圓O相
切于點 A, AM = 4，圓O上的點 P 從點A 處逆時針轉動到最高點 B 處，記
AOP = q ,q 0, π .
q 2π(1)當 = 時，求△ APM 的面積；
3
(2)試確定q 的值，使得△ APM 的面積等于VAOP 的面積的 2 倍.
【答案】(1)6
π
(2)q =
2
【分析】（1）過點 P 作PQ ^ AM ，利用圓的性質求得 PQ，代入面積公式直接求解即可；
（2）設VAOP 的面積為 S1,VAPM 的面積為 S2 ，結合三角形面積公式建立方程，利用輔助角
公式化簡求解即可.
【詳解】（1）過點 P 作PQ ^ AM 交 AM 于點Q，如圖：
O PQ = 2 + 2sin
π
因為圓 的半徑為 2，由題意 q - ÷ = 2 - 2cosq = 2 - 2cos
2π
= 3，
è 2 3
1
又 AM = 4，所以△ APM 的面積為 4 3 = 6 .
2
（2）連接 AP ，設VAOP 的面積為 S1,VAPM 的面積為 S2 ，
S 1 2 2 sinq 1 1又 1 = = 2sinq ， S2 = AM × PQ = 4 2 1- cosq = 4 1- cosq ，2 2 2
由題意知 S2 = 2S1，所以 4 1- cosq = 4sinq ，即 sinq + cosq =1，所以 sin q
π
+
2
4 ÷
= ，
è 2
因為q 0, π ，所以q π π 5π+ , q π 3π π ú ，所以 + = ，所以q = ，4 è 4 4 4 4 2
π
所以當q = 時，使得△ APM 的面積等于VAOP 的面積的 2 倍.
2
【課后強化】
【基礎保分練】
一、單選題
1．（2024·河南新鄉·二模）在 VABC 中，內角A ， B ，C 的對邊分別為 a，b ， c，且 a = 7，
b = 3， c = 5，則（ ）
A．VABC 為銳角三角形 B．VABC 為直角三角形
C．VABC 為鈍角三角形 D．VABC 的形狀無法確定
【答案】C
【分析】根據余弦定理求解最大角的余弦值即可求解.
b2 + c2 - a2 32 + 52cos A - 7
2 9 + 25 - 49
【詳解】由于 = = = < 0 ,
2bc 30 30
故A 為鈍角，進而三角形為鈍角三角形
故選：C
2．（2024·貴州遵義·三模）在VABC 中，角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，D 為 AC 的中點，已
知 c = 2，BD 7= ，且 acos B + bcos A = -2ccos B，則VABC 的面積為（ ）
2
A 2 3 B 3． ． C． 3 D 3 3．
2 2
【答案】D
【分析】先利用正弦定理化邊為角求出角 B ，在向量化求出邊 a，再根據三角形的面積公式
即可得解.
【詳解】因為 acos B + bcos A = -2ccos B，
由正弦定理得 sin Acos B + sin B cos A = -2sin C cos B，
即 sin A + B = sin C = -2sin C cos B ，
又 sin C > 0，所以 cos B
1
= - ，
2
又B 0, π 2π，所以B = ，
3
uuur 1 uuur uuur在VABC 中，D 為 AC 的中點，則BD = BA + BC ，2
uuur2 1 uuur uuur 2 uuur2 uuur2 uuur uuur
則BD = BA + BC 1= BA + BC + 2BA × BC4 4 ，
7 1
即 = 4 + a2 - 2a ，解得 a = 3（ a = -1舍去），4 4
1
所以 S△ABC = 2
3 3 3
3 = .
2 2 2
故選：D.
3．（23-24 高三下·河南·階段練習）記VABC 的內角 A，B，C 的對邊分別是 a，b，c，已知
a = 3，b2 = c2 + 3c + 9， ABC 的平分線交邊 AC 于點 D，且 BD = 2，則b =（ ）
A． 2 5 B． 2 7 C．6 D．3 7
【答案】D
1 2π
【分析】根據題意，利用余弦定理求得 cos B = - ，得到B = ，結合
2 3
S△ABC = S△ABD + S△BCD ，列出方程求得 c = 6，再利用余弦定理，即可求解.
【詳解】因為 a = 3及b2 = c2 + 3c + 9，可得b2 = a2 + c2 + ac ，
2 2 2
由余弦定理得 cos B a + c - b 1= = - ，
2ac 2
2π
又由0 < B < π ，所以B = ，
3
S 1 1因為 △ABC = S△ABD + S△BCD ，即 ac sin ABC = BD × (a + c)sin ABD，解得 c = 6，2 2
b2 62 32 2 6 3 cos 2p由余弦定理得 = + - = 63，即b = 3 7 ．
3
故選：D．
4．（2024·山東棗莊·模擬預測）在 VABC 中， ACB =120°，BC = 2AC ， D為 VABC 內一點，
AD ^ CD ， BDC =120°，則 tan ACD =（ ）
A 3 3 3． 2 2 B． C． 6 D．
2 2
【答案】B
【分析】在RtVADC 中，設 ACD = q ， AC = x，即可表示出CB，CD ，在△BCD中利用
2x xcosq
=
正弦定理得到 3 sin(q - 60°) ，再由兩角差的正弦公式及同角三角函數的基本關系將弦化切，
2
即可得解.
π
【詳解】在RtVADC 中，設 ACD = q 0 < q <

÷，令 AC = x x > 0 ，
è 2
則CB = 2x，CD = xcosq ，
在△BCD中，可得 BCD =120° -q ， CBD = q - 60°，
BC CD
由正弦定理 = ，
sin CDB sin CBD
2x xcosq xcosq
= =
得 3 sin(q - 60°) 1 sinq 3- cosq ，
2 2 2
4 1
=
所以 3 1 tanq 3 ，-
2 2
tanq 3 3 tan ACD 3 3可得 = ，即 = ．
2 2
故選：B．
【點睛】關鍵點點睛：本題解答關鍵是找到角之間的關系，從而通過設元、轉化到△BCD
中利用正弦定理得到關系式.
二、多選題
5．（2024·江西·二模）已知 VABC 中， AB =1, AC = 4, BAC = 60°, AE 為 BAC 的角平分線，
交BC 于點E, D 為 AC 中點，下列結論正確的是（ ）
A 13．BE =
5
B AE 4 2． =
5
C VABE 3． 的面積為
5
1
D． P 在△ABD 的外接圓上，則PB + PD 的最大值為
2 7
【答案】ACD
【分析】對每一個選項逐一判斷，由余弦定理求出BC = 13 ，再由角平分線定理可知
BE 13 1 p 3= ，利用三角形面積公式求出 SVABE = AE 1 sin = ，再設 PBD = q ，將5 2 6 5
PB 1+ PD 表示為q 的三角函數求最值即可判斷.
2
VABC BC 2 2 p【詳解】在 中，由余弦定理得 =1+ 4 - 2 1 4 cos =13, BC = 13 ，
3
BE : EC BA : AC 1: 4, BE : BC 1: 5, BE 1 BC 13由角平分線定理得： = = = = = ，所以 A 正確；
5 5
1 p 1 p 1 p 4 3
由 SVABE + SVACE = SVABC 得 AE 1 sin + AE 4 sin = 1 4 sin ，解得2 6 2 6 2 3 AE =
，
5
所以 B 錯誤；
S 1VABE = AE 1 sin
p 3
= ，所以 C 正確；
2 6 5
在△BDP 中，BD = 1+ 22 - 2 2 cos p = 3, BPD p= ,
3 3
2p PD BP BD 3
PBD q PDB = -q = 2 = = = 2,設 = ，則 ，由正弦定理得：
3 sin q sin(
p
- q) sin p 3
3 3 2
PB 1+ PD = 2sin(2p - q) + sin q = 3 cos q + 2sin q = 7 sin(q + j) 3，其中
2 3 tanj =
，所以 D
2
正確.
故選：ACD.
6．（2024·重慶·模擬預測）已知VABC 的三個內角 A、B、C 所對的邊分別為 a、b、c，則下
列說法正確的有（ ）
A．若 a > b，則 sinA > sinB B．若 a > b，則 cosA > cosB
C．若 a2 + b2 < c2 ，則VABC 為鈍角三角形D．若 a2 + b2 > c2，則VABC 為銳角三角形
【答案】AC
【分析】由正弦定理可判斷 A；余弦函數的單調性可判斷 B；由余弦定理可判斷 C，D.
【詳解】對于 A，在VABC 中， a > b，
由正弦定理可得： sin A > sin B，故 A 正確；
對于 B， a > b A > B， A + B < π,即 A < π - B ，
因為 y = cos x在 0, π 上單調遞減，所以 cos A < cos π - B ，
cosA < cosB，故 B 錯誤；
2 2 2
對于 C， a2 + b2 < c2 a + b - c， cosC = < 0，
2ab
因為C 0, π C π ，所以 , π2 ÷，è
所以角C 為鈍角，故 C 正確；
2 2 2
對于D ， a + b > c ， cosC a + b - c= > 0，
2ab
因為C 0, π ，所以C π 0, 2 ÷，è
則只能判斷角C 為銳角， A，B 兩角可能有鈍角，故D 錯誤.
故選：AC.
三、填空題
7．（2024·北京昌平·二模）已知VABC 中， a = 4,b = 2c, cosA
3
= - ，則 SVABC = ．4
7
【答案】
2
【分析】由余弦定理求出b,c，由同角三角函數的平方關系求出 sinA，最后由三角形的面積
公式即可求出答案.
b2 + c2 - a2 4c2 + c2 -16 3
【詳解】由余弦定理可得： cosA = = 2 = - ，2bc 4c 4
解得： c = 2 ，所以b = 2c = 2 2 ，
3
又因為 cosA = - ，所以
4 sinA = 1- cos
2 A 7= ，
4
S 1所以 VABC = bc sin A
1
= 2 2 2 7 7 = .
2 2 4 2
7
故答案為： .
2
8．（2024·江蘇·二模）設鈍角VABC 三個內角 A，B，C 所對應的邊分別為 a，b，c，若
a = 2，bsin A = 3 ， c = 3，則b = .
【答案】 19
【分析】利用余弦定理表示出 cos A，再利用同角三角函數的平方關系，得到
cos A 3= 1- 2 ，建立方程，求出 b 的值，然后利用鈍角三角形，排除一個答案.b
b2 + c2 - a2 b2 + 9 - 4 b2 + 5
【詳解】由余弦定理得， cos A = = = ，
2bc 6b 6b
而由bsin A = 3 ，得 sin B 3= ，
b
因為VABC 是鈍角三角形，且 c > a ，故 A 為銳角，所以 cos A 3= 1- 2 ，b
3 b21 + 5所以 - 2 = ，解得b
2 = 7或b 2 = 19，
b 6b
當b2 = 7時，即b = 7 ， c > b > a，由大邊對大角得：最大角為 C，
2 2 2
cosC b + a - c 7 + 4 - 9= = > 0，故 C 為銳角，不符合題意；
2ba 6 7
當b 2 = 19時，即b = 19 ，b > c > a，由大邊對大角得：最大角為 B，
cos B c
2 + a2 - b2 9 + 4 -19
= = < 0，故 B 是鈍角，符合題意，
2ca 6 2
故答案為： 19
9．（2024·河南·三模）如圖，在VABC 中，角 A, B,C 所對的邊分別為 a,b,c，已知
B = 60o , A = 45o ,c - a = 3， B的平分線BD交邊 AC 于點D, AB邊上的高為CF , BC 邊上的
高為 AE, BD CF = P， AE CF = R, BD AE = Q ，則 PQR = ；PQ = .
【答案】 60o 3
【分析】根據題意結合角度關系分析可知： ADB =105o ， CAE =15o ，即可得結果；根據
3 +1
題意利用正項定理可得 c = a， a = 3 3 + 3，根據圖形分別求BD, BP,QD ，即可得結
2
果.
【詳解】在VABC 中，可知 ACB =180o - CAB - ABC = 75o，
因為 B = 60o，且BD為 B的平分線，可知 ABD = CBD = 30o，
則 ADB = ACB + CBD =105o ，
在RtVACE 中，可得 CAE =180o - ACB - AEC =15o ，
在△ADQ中，可得 AQD =180o - ADB - CAE = 60o，
所以 PQR = AQD = 60o ；
因為 sin105o = sin 75o = sin 45o + 30o = sin 45o cos30o + cos 45o sin 30o 6 + 2= ，4
sin15o = sin 45o - 30o = sin 45o cos30o - cos 45o sin 30o 6 - 2= ，4
V c a在 ABC a sin ACB 3 +1中，由正弦定理 = 可得 ，
sin ACB sin c = = a BAC sin BAC 2
c a 3 -1則 - = a = 3，解得 a = 3 3 + 3，
2
a b
= a sin ABC 6由正弦定理 可得 ，
sin BAC sin b = = a ABC sin BAC 2
且BD為 B AD AB 3 +1 2的平分線，則 = = ，可得 AD = a ，
DC BC 2 2
QD AD AD ×sin QAD
在△ADQ中，由正弦定理 =sin QAD sin AQD 可得
QD = = 3
sin AQD ，
在△BCD中，可知 BDC = BCD = 75o，則BD = BC = 3 3 + 3，
在RtVBCF 中，可知BF 1 3 3 + 3= BC = ，
2 2
BF
在RtVPBF 中，可知BP = = 3 + 3，
cos ABD
所以PQ = BD - BP - QD = 3 .
故答案為：60o ； 3 .
四、解答題
10．（2024·上海寶山·二模）在VABC中，角A 、 B 、C 的對邊分別為 a、b 、 c，已知
sin2 A + sin2C = sin2B + sinAsinC .
(1)求角 B 的大小；
(2)若VABC的面積為 3 ，求 a + c的最小值，并判斷此時VABC的形狀.
p
【答案】(1)
3
(2)4，VABC 為等邊三角形
【分析】（1）由正弦定理角化邊可得 a2 + c2 = b2 + ac ，進而根據余弦定理可求 B ；
（2）由三角表面積可求得 ac = 4，根據均值不等式可求得 a + c的最小值，根據取得最小值
可判斷三角形的形狀.
【詳解】（1）由正弦定理得 a2 + c2 = b2 + ac ，
2 2 2
又由余弦定理得 cosB a + c - b ac 1= = = ，
2ac 2ac 2
因為 B 是三角形內角，所以B
p
= ；
3
（2）由三角形面積公式得：
S 1VABC = acsinB
1
= acsin p 3= ac = 3，
2 2 3 4
解得 ac = 4，
因為 a + c 2 ac = 4，當且僅當 a = c = 2 時取等號，
所以 a + c的最小值為 4，此時VABC 為等邊三角形.
11．（2024·江西·模擬預測）在VABC 中，內角 A, B,C 所對的邊分別為 a,b,c，其外接圓的半
3
徑為 2 3 ，且bcosC = a + csinB ．
3
(1)求角 B ；
(2)若 B的角平分線交 AC 于點D, BD = 3，點E 在線段 AC 上，EC = 2EA，求△BDE 的
面積．
2π
【答案】(1) B = ；
3
(2) 3 ．
2
【分析】（1）利用正弦定理以及兩角和的正弦公式化簡可求得 tan B = - 3 ，結合角的取值
范圍可求得角 B 的值；
（2）利用正弦定理可求得b 的值，利用 SVABC = SVBCD + SVABD 可得 ac = 3 a + c ，余弦定理
可得 (a + c)2 - ac = 36，兩式聯立可得 a = c = 2 3 ，然后利用三角形的面積公式可求得△BDE
的面積.
1 bcosC a 3【詳解】（ ）因為 = + csinB ，
3
3
由正弦定理可得 sinBcosC = sinA + sinCsinB，
3
又 A = π - B + C ，所以 sinBcosC = sin B + C 3+ sinCsinB ，
3
3
所以 sinBcosC = sin B cosC + cos B sin C + sinCsinB ，
3
即 sinCcosB 3+ sinCsinB = 0，
3
C 0, π ，故 sin C 0，
cosB 3+ sinB = 0，即 tan B = - 3 ，
3
又B 0, π 2π，則B = ．
3
（2）
由（1）可知，B
2π
= ，又外接圓的半徑為
3 2 3
；
b
由正弦定理可知 = 4 3 ，
sinB
b 4 3 sin 2π所以 = = 6，
3
1 π
因為BD是 ABC 的平分線，故 CBD = ABD = ABC = ，
2 3
又BD = 3 ，
由 SVABC = SVBCD + SVABD ，
1 acsin 2π 1 a 3sin π 1 c 3sin π可得 = × + × ，即 ac = 3 a + c ．①
2 3 2 3 2 3
2 2 2
由余弦定理可知，b = a + c - 2accos
2π
，即 (a + c)2 - ac = 36．②
3
由①②可知 a = c = 2 3 ．
所以BD ^ AC ，
又 EC = 2AE ，則DE =1，
1 3
所以 SVBDE = 1 3 = .2 2
【綜合提升練】
一、單選題
1．（2024·浙江金華·三模）在VABC 中，角 A, B,C 的對邊分別為 a，b ， c .若 a = 7 ，
b = 2 ， A = 60°，則 c為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．1 或 3
【答案】C
【分析】根據余弦定理直接求解即可.
b2 + c2 - a2
【詳解】由余弦定理得 cos A = ,
2bc
2 2 22 + c -
即 7 1= ，即 c2 - 2c - 3 = 0，解得 c = 3或 c = -1（舍）.
2 2c 2
故選：C.
2．（2024· 6青海西寧·二模）在VABC 中，內角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，若b = c，且
2
3sin A + cos A = 2cosC ，則 cosC 的值為（ ）
3 3
A 6 B 6 C 30 D 10． ． ． ．
6 4 6 4
【答案】B
【分析】由已知可得 cosC = cos
π A- π A ÷ ，利用余弦函數的單調性可得C = - ，進而可得
è 3 3 3 3
6
B = 2C c，由正弦定理得 2 c= ，計算可求 cosC .
2sinCcosC sinC
【詳解】因為 3sin
A cos A+ = 2cosC ，
3 3
所以 2cosC = 2

cos
A cos π π+ sin sin A = 2cos π A- ，
è 3 3 3 3 ÷ ÷ è 3 3
即 cosC = cos
π A- π A π 3 3 ÷ ，因為
0 < A < π,0 < C < π ，則0 < - < ，
è 3 3 3
且余弦函數 y = cosx
π A
在 0, π 上單調遞減，所以C = - ，
3 3
所以 A + 3C = π ，又 A + B + C = π，所以B = 2C ，
b c 6
由正弦定理得 = c，即
sinB sinC 2
c
= ，
2sinCcosC sinC
所以 cosC 6= .
4
故選：B.
3．（2024·山東·模擬預測）在VABC 中，角 A, B,C 的對邊分別是 a,b,c，且
2asinA = 2b + c sinB + 2c + b sinC ，則 cosA =（ ）
1 1
- 1 2A． B． C．
2 3 2
D． 3
【答案】A
【分析】根據題意，利用正弦定理化簡得b2 + c2 - a2 = -bc，結合余弦定理，即可求解.
【詳解】因為 2asinA = 2b + c sinB + 2c + b sinC ，
2
由正弦定理得 2a = 2b + c b + 2c + b c ，即b2 + c2 - a2 = -bc，
b2 + c2 - a2 1
又由余弦定理得 cosA = = - .
2bc 2
故選：C.
4．（2024·四川成都·模擬預測）在VABC 中，角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c，給出以
下 4 個命題：
（1）若 a > b，則cos2A < cos2B ；
（2）若 a cos B - bcos A = c ，則VABC 一定為直角三角形；
（3）若 a = 4，b = 5， c = 6，則VABC 16 7外接圓半徑為 ；
7
（4）若 cos(A - B) cos(B - C) cos(C - A) =1，則VABC 一定是等邊三角形.
則其中真命題的個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】利用正弦定理得到 sin A 和 sin B 的大小關系，再利用倍角公式可以比較 cos 2A和
cos 2B，進而判斷（1）；利用正弦定理邊化角，再利用兩角和的正弦公式求角，判斷（2）；
利用余弦定理求出 cos A，再利用同角三角函數關系得 sin A ，由正弦定理可以得到外接圓半
徑；根據三角形內角的范圍和余弦值的范圍可以對（4）進行判斷.
【詳解】（1）若 a > b，則 sin A > sin B > 0，則 sin2 A > sin2 B ，
則1- 2sin2 A < 1- 2sin2 B ，即cos2A < cos2B ，故（1）是真命題；
（2）若 a cos B - bcos A = c ，由正弦定理得 sin Acos B - sin B cos A = sin C ，
又因為C = π - A + B ，所以 sin C = sin A + B = sin Acos B + cos Asin B ，
即 sin Acos B - sin B cos A = sin Acos B + cos Asin B整理可得 cos Asin B = 0，
B 0, π sin B 0 A 0, π A π因為 ，所以 ，所以 cos A = 0，因為 ，故 = ，
2
所以VABC 一定為直角三角形，故（2）是真命題；
2 2 2
（3）若 a = 4，b = 5， c 6 cos A b + c - a 25 + 36 -16 3= ，由余弦定理得 = = = ，則
2bc 2 5 6 4
sin A 1 cos2 A 7= - = ，
4
2R a 4 16 7= = = 8 7
由正弦定理得 sin A 7 7 ，故外接圓半徑R = ，故（3）是假命題；7
4
（4）若 cos(A - B) cos(B - C) cos(C - A) =1，則 cos(A - B) = cos(B - C) = cos(C - A) = 1，
則 A - B = B - C = C - A = 0，從而 A= B=C，則VABC 一定是等邊三角形，故（4）是真命題；
綜上，真命題有 3 個.
故選：C.
5．（2024·內蒙古赤峰·一模）已知VABC 的三個內角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c，滿
足 2a + b = 2c cos B ，且 sin A + sin B =1，則VABC 的形狀為（ ）
A．等邊三角形 B．頂角為120°的等腰三角形
C．頂角為150°的等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
1 2π
【分析】由正弦定理和兩角和的正弦公式化簡 2a + b = 2c cos B ，可得 cosC = - ，即C = ，
2 3
再由兩角差的正弦公式化簡 sin A + sin B
π
=1，可得 A = B = ，即可得出答案.
6
【詳解】由正弦定理可得 2sin A + sin B = 2sin C cos B，
因為 A + B + C = π，所以 B + C = π - A，
所以 2sin B + C + sin B = 2sin C cos B ，即 2sin B cosC + 2cos B sin C + sin B = 2sin C cos B ，
即 2sin B cosC + sin B = 0，因為B 0, π ，所以 sin B 0 ，
cosC 1 C 0, π C 2π B A π所以 = - ，因為 ，所以 = ，所以 + = ，
2 3 3
π
因為 sin A + sin B =1，所以 sin A + sin - A3 ÷
=1，
è
3
所以 sin A + cos A 1 sin A 1 3- = ，即 cos A 1+ sin A =1，
2 2 2 2
即 sin
A π +
=1 A ÷ ，因為 0,
π π π
÷ ，所以 A + = ，所以 A
π
= ，
è 3 è 3 3 2 6
因為B + A
π
= .所以 A = B
π
= ，
3 6
所以VABC 的形狀為頂角為120°的等腰三角形.
故選：B.
6．（2024·吉林長春·模擬預測）VABC 的內角 A B C 所對的邊分別為
a b c,a = 3,b =1, A = 2B，則 c = （ ）
A．2 B． 3 C． 2 D．1
【答案】A
【分析】由已知可得 sin A = sin 2B ，結合三角恒等變換，正弦定理可得 a = 2bcos B，由此可
求 A B C ，再結合勾股定理求 c即可.
【詳解】因為 A = 2B，
所以 sin A = sin 2B ，故 sin A = 2sin B cos B ，
a b
由正弦定理可得 = ，
sin A sin B
所以 a = 2bcos B，又 a = 3,b =1，
cos B 3所以 = ，又B 0, π ，
2
π π
所以 B = A =6 ， 3 ，
π
故C = π - A - B =
2
由勾股定理可得 c2 = a2 + b2 = 4，
所以 c = 2，
故選：A.
7．（2024·河北秦皇島·三模）在VABC 中，內角A ， B ，C 的對邊分別為 a，b ， c，且
B = 2C ，b = 2a，則（ ）
A．VABC 為直角三角形 B．VABC 為銳角三角形
C．VABC 為鈍角三角形 D．VABC 的形狀無法確定
【答案】A
【分析】由正弦定理得 sin B = 2 sin A，利用正余弦的二倍角公式、兩角和與差的正弦展開
式化簡可得 4 2 cos2 C - 2cosC - 2 = 0，解方程可得答案.
【詳解】由b = 2a，可得 sin B = 2 sin A，
則 sin 2C = 2 sin π - 3C = 2 sin 3C ，
sin 2C = 2 sin 2C cosC + 2 cos 2C ×sin C ，
2cosC = 2 2 cos2 C + 2 2cos2 C -1 ，
即 4 2 cos2 C - 2cosC - 2 = 0，
由B = 2C > C 2，故C 只能為銳角，可得 cosC = ，
2
0 C π π π因為 < < ，所以C = ，B = .
2 4 2
故選：A.
8．（2024·重慶·三模）若圓內接四邊形 ABCD滿足 AC = 2， CAB = CAD = 30°，則四邊形
ABCD的面積為（ ）
A 3． B． 3 C．3 D． 2 3
2
【答案】B
sin q π+ sin q π-
【分析】由正弦定理結合圓的性質分別得到 ÷ ÷AB = AC × è 6 和 AD = AC × è 6 ，
sinq sinq
再利用三角形的面積公式和兩角和與差的正弦展開式求解.
【詳解】
設 ABC = q ，
π 5π
則∠ADC = π -q ， ACD =q - ， ACB = -q ，
6 6
π
在V
sin q +
ABC 和△ADC 中，由正弦定理可得 AC AB ÷
= AB = AC × è 6 ；同理
sinq sin ACB sinq
sin π q - ÷
AD = AC × è 6 ，
sinq
所以四邊形 ABCD的面積
S = S S 1VABC + VADC = AC×AB×sin
π 1
+ AC×AD π×sin
2 6 2 6
sin q π sin q π + -
1 ÷ ÷ ÷
= AC × AC × è 6 + AC × è 6 ÷ 1= AC 2 éêsin
q π+ + sin q π-
4 sinq sinq ÷ 4sinq 6 ÷ è è 6
÷
ú
÷
è
sin q
π
+ + sin q π- π
= è 6
÷ 6 ÷ 2sinqcos è = 6 = 3 ，
sinq sinq
故選：B.
1
【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于利用三角形面積公式 S = absin C 表示出四邊形面積，
2
再結合正弦定理求解.
二、多選題
9．（2024·全國·模擬預測）若 VABC 的三個內角為 A, B,C ，則下列說法正確的有（ ）
A． sin A,sin B,sin C 一定能構成三角形的三條邊
B． sin 2A,sin 2B,sin 2C 一定能構成三角形的三條邊
C． sin2 A,sin2 B,sin2 C 一定能構成三角形的三條邊
D． sin A, sin B , sin C 一定能構成三角形的三條邊
【答案】AD
【分析】根據題意，利用正弦定理和特例，結合構成三角形的條件，逐項判定，即可求解.
【詳解】對于 A 中，由正弦定理得 sin A : sin B : sin C = a : b : c ，
所以 sin A,sin B,sin C 作為三條線段的長一定能構成三角形，所以 A 正確；
對于 B 中，例如：設VABC中， A = 30o , B = 30o ,C =120o，
可得 2A = 60o , 2B = 60o , 2C = 240o，可得 sin 2A 3= ,sin 2B 3= ,sin 2C 3= - < 0，
2 2 2
顯然 sin 2A,sin 2B,sin 2C 作為三條線段不一定構成三角形，所以 B 錯誤；
對于 C 中，例如：設VABC中， A = 30o , B = 60o ,C = 90o，
1 3
可得 sin A 1= ,sin B 3= ,sin C =1，所以 sin2 A = ,sin2 B = ,sin2 C =1，
2 2 4 4
此時 sin2 A + sin2 B = sin2 C ，所以 sin2 A,sin2 B,sin2 C 作為三條線段不能構成三角形，所以 C
錯誤；
對于 D 中，由正弦定理得 sin A : sin B : sin C = a : b : c ，
不妨設 a < b < c，則 a + b > c，且 a < b < c ，
又由 ( a + b)2 - ( c )2 = a + b - c + 2 ab > 2 ab > 0 ，即 a + b > c ，
所以 D 正確.
故選：AD.
10．（2024·廣東廣州·二模）在梯形 ABCD中，
AB//CD, AB =1,CD = 3,cos DAC 2= , cos 3 ACD = ，則（ ）
4 4
3 2 uuur uuur 3A． AD = B．cos BAD 2= - C．BA × AD = - D． AC ^ BD
2 4 4
【答案】ABD
【分析】在VACD中由正弦定理求解 AD 判斷 A；利用兩角和差公式求解 cos ADC 判斷 B；
uuur uuur uuur uuur
利用向量數量積計算BA × AD 判斷 C；利用數量積計算 AC × BD = 0判斷 D．
【詳解】在VACD中， cos DAC 2= , cos ACD 3= ，
4 4
則 sin DAC 14= ,sin ACD 7= ，
4 4
AD CD
由正弦定理知 = ，
sin ACD sin DAC
7
AD CDsin ACD
3
4 3 2即 = = = ，故 A 正確；
sin DAC 14 2
4
cos ADC = cos π - DAC - ACD
= -cos DAC + ACD
= sin DACsin ACD - cos DACcos ACD
14 7 2 3 2
= - = ，
4 4 4 4 4
AB//CD, BAD = π - ADC ，
cos BAD = cos π - ADC = -cos ADC 2= - ，故 B 正確；
4
uuur uuur uuur uuur
BA × AD = BA × AD cos π - BAD
uuur uuur
BA 3 2 2 3= × AD cos ADC =1 = ，故 C 錯誤；
2 4 4
uuur uuur uuur uuur uuur uuurAC × BD = AD + DC × BA + AD
uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur uuur
= AD × BA + DC × BA + AD + DC × AD
2
3 3 2 3 2 2
= -1 3+ ÷÷ + 3 -4 2 2 ÷÷
= 0，
è è 4
uuur uuur
故 AC ^ BD ，即 AC ^ BD ，故 D 正確．
故選：ABD
11．（2024·浙江·三模）已知 VABC 的內角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，且
2 a A + C×sin2 = b ×sin A
2 ，下列結論正確的是（3 ）
B πA． =
3
B．若 a = 4，b = 5 ，則 VABC 有兩解
C 3．當 a - c = b 時， VABC 為直角三角形
3
D．若 VABC 為銳角三角形，則 cos A + cosC 3的取值范圍是 ( ,1]
2
【答案】ACD
【分析】通過正弦定理、誘導公式、二倍角公式及輔助角公式即可判斷 A；通過余弦定理即
可判斷 B；通過余弦定理及 a - c 3= b 可得 a = 2c 或 c = 2a ，即可判斷 C；通過求A 的取值
3
π π
范圍 < A < ，并將 cos A + cosC = sin(A
π
+ )即可判斷 D.6 2 6
2 2 A + C
【詳解】對于 A，因為 a ×sin = b ×sin A，
3 2
2 sin A sin2 π - B所以由 A + B + C = π及正弦定理得， × = sin B ×sin A，
3 2
2 2 B
由誘導公式得， sin A ×cos = sin B ×sin A2 ，3
2 B B B
因為 A (0, π)，故 sin A 0 ，所以 cos2 = 2sin cos
3 2 2 2
，
B B B B B π
化解得 cos ( 3 sin - cos ) = 0，即 cos sin( - ) = 0，
2 2 2 2 2 6
B π
所以 cos
B
= 0或 sin( - ) = 0 ，即B π= π2 （舍）或
B =
3 ，故
A 正確；
2 6
1
對于 B，由余弦定理得b2 = a2 + c2 - 2ac cos B ，即 25 =16 + c2 -8 c ，得 2 ，2 c - 4c - 9 = 0
由D = (-4)2 - 4 (-9) = 52 > 0，所以 c = 2 + 13 (負值舍)，即VABC 有一解，故 B 錯誤；
2
對于 C，因為 a - c 3= b ，兩邊平方得 a2 - 2ac
b
+ c2 = ，
3 3
由余弦定理得b2 = a2 + c2 - 2ac cos B = a2 + c2 - ac，
由兩式消b2 得， 2a2 - 5ac + 2c2 = 0，解得 a = 2c 或 c = 2a ，
B π π由 = ，a = 2c，b = 3c解得 A = ，
3 2
由B
π
= ，c = 2a，b = 3a π解得 C = ;
3 2
故VABC 為直角三角形，故 C 正確；
VABC B π對于 D，因為 為銳角三角形，且 = 3 ，
ì0 A π π < <
ì0 < A <
2 2 π π所以 í π í
< A <
0 2π π
，
< C < 0 < - A < 6 2
2 3 2
即 cos A + cosC = cos A + cos(2π - A) 1= cos A 3+ sin A = sin(A π+ ) ，
3 2 2 6
所以 A
π π
+ ( , 2π) π，所以 sin(A + ) ( 3 ,1]，故 D 正確.
6 3 3 6 2
故選：ACD.
三、填空題
12．（2024·全國·模擬預測）已知在VABC 中，點M 在線段BC 上，且
AM =10, AC =14, MC = 6, π ABC = ，則 AB = ．
4
【答案】5 6
【分析】由題意，根據正弦定理、余弦定理計算即可求解.
VAMC cos AMC 36 +100 -196 1【詳解】在 中，由余弦定理，得 = = - ，
2 6 10 2
則 AMC
2π
= ，即 AMB
π
= ，
3 3
在VABM 中， AM =10, ABM
π
= , AMB π= ，
4 3
10 AB
=
由正弦定理得 sin π sin π ，解得 AB = 5 6 ．
4 3
故答案為：5 6
13．（2024·湖南長沙·二模）在V
4 4ABC 中，若BC = 2， tan A = - ， cos B = ，則 AC = .
3 5
3
【答案】
2
【分析】由同角三角函數關系求解 sin A,sin B ，再由正弦定理可得解.
4 4
【詳解】由已知 tan A = - ， cos B = ，
3 5
ì sin A 4
= -
則 ícos A 3 ， sin2 B + cos2 B =1，
sin
2 A + cos2 A =1
又 A, B 0, π ，
4 3
所以 sin A = ， sin B = ，
5 5
BC AC
又根據正弦定理 = ，
sin A sin B
AC = sin B則 × BC =
3
，
sin A 2
3
故答案為： .
2
14．（2024·福建廈門·三模）記銳角VABC 的內角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c.若
2cosC 3b a= - ，則 B 的取值范圍是 .
a b
π , π 【答案】 ÷
è 6 2
【分析】由題意及余弦定理可得 a,b,c cos B
3 c
的關系，由余弦定理可得 = × ，再由VABC 為
4 a
c 2
銳角三角形可得 B 的取值范圍.
3
3b a
【詳解】因為 2cosC = - ，所以
a b 2ab cosC = 3b
2 - a2 ，
由余弦定理可得：2abcosC = a2 +b2 -c2，
b2 = a2 1 2可得 - c ，在銳角VABC 中，由余弦定理可得：
2
2 2 2 a
2 + c2 1- a2 - c2 3 ÷ c2
cos B a + c - b= = è 2 2 3 c ，= = ×
2ac 2ac 2ac 4 a
ìa2 a2 1+ - c2ìa2 + b2 > c2 > c
2
2 2 3
因為 í 2b2 2 2
，即 í ，即 2a > c ，
+ c > a a2 1- c2 + c2 > a2 2
2
c 2
所以 π π
所以 cos B
3 c 3 2 3
= × < × = ，所以B , .
4 a 4 3 2

è 6 2 ÷
π
故答案為： ,
π
÷ .
è 6 2
四、解答題
15．（2024·陜西西安·模擬預測）設VABC 的內角 A, B,C 所對的邊分別是 a,b,c,且向量
ur r ur r
m = (a,b), n = (- 3 cos A,sin B)滿足m / /n .
(1)求 A；
(2)若 a = 13,b = 3，求 BC 邊上的高 h .
2π
【答案】(1)
3
(2) h 3 39=
26
2π
【分析】（1）根據向量平行關系得到方程，結合正弦定理得到 tan A = - 3 ，求出 A = 3 ；
（2）由余弦定理得到 c =1，根據三角形面積得到方程，求出答案.
ur r
【詳解】（1）因為m / /n，所以 a sin B + 3bcos A = 0，
由正弦定理得 sin Asin B + 3 sin B cos A = 0，
因為B 0, π ，所以 sin B 0 ，所以 tan A = - 3 ，
又 A 0, π 2π，解得 A = 3 ；
2π
（2）因為 a = 13,b = 3, A = ，所以 a23 = b
2 + c2 - 2bc cos A，
( 13)2 = 32 + c2即 - 2 3c
1
-

÷ ,
è 2
化簡得 c2 + 3c - 4 = 0，解得 c =1或 c = -4 (舍去)，
1 1
由VABC 的面積 S = bc sin A，又 S = ah ，
2 2
1
故 3 1 3 1 3 39 = 13h，解得h = .
2 2 2 26
16．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，在平面四邊形 ABCD中， AB//CD ，
AD ×sin D = 3AC ×cos ACD ， BAC 的角平分線與BC 相交于點E ，且 AE = 1, AB = 3 .
(1)求 ACD的大小；
(2)求BC 的值.
π
【答案】(1)
3
3
(2)
2
【分析】（1）在VACD中利用正弦定理結合已知條件求出 tan ACD，即可得解；
（2）依題意可得 BAC
π
= ，由 SVBAE + SVCAE = SVBAC 求出 AC ，再在VABC 中利用余弦定理3
計算可得.
AD AC
【詳解】（1）在VACD中，由正弦定理得 = ，
sin ACD sin D
所以 AD ×sin D = AC ×sin ACD ，
又 AD ×sin D = 3AC ×cos ACD ，
所以 AC ×sin ACD = 3AC ×cos ACD，因為cos ACD 0，
所以 tan ACD = 3 .
π
因為0 < ACD < π，所以 ACD = .
3
π
（2）因為 AB//CD ，所以 BAC = ACD = .3
因為 AE 平分 BAC ，所以 BAE
π
= CAE = .
6
因為 SVBAE + SVCAE = SVBAC ，
1 AB AE sin π 1 π 1 π所以 × × + AC × AE ×sin = AB × AC ×sin ，
2 6 2 6 2 3
又 AB = 3 ， AE =1 1 3 1 1 1，所以 + AC 1 1 1 3 = 3AC ，
2 2 2 2 2 2
3
解得 AC = ，
2
因為 BAC
π
= ，所以BC 2 = AC 2 + AB2 - 2AB × AC cos BAC
3
2
3
= +2 ÷÷ 3
2 3 1 9
- 2 3 = ，
è 2 2 4
BC 3所以 = .
2
17．（2023·黑龍江·模擬預測）某校高中“數學建模”實踐小組欲測量某景區位于：“觀光湖”內
兩處景點 A，C 之間的距離，如圖，B 處為碼頭入口，D 處為碼頭，BD 為通往碼頭的棧道，
π π
且BD =100m ，在 B 處測得 ABD = ， CBD = ，在 D 處測得
4 6
BDC 2π= ， ADC 3π= ．（A，B，C，D 均處于同一測量的水平面內）
3 4
(1)求 A，C 兩處景點之間的距離；
(2)棧道 BD 所在直線與 A，C 兩處景點的連線是否垂直？請說明理由．
【答案】(1)100 5
(2)不垂直，理由見解析
【分析】（1）根據已知條件利用正弦余弦定理求解即可；
uuur uuur
（2）在△BCD和△ABD 中利用正弦余弦定理求解，然后計算BD × AC 是否為零即可.
BCD CBD π 2π【詳解】（1）由已知在△ 中， = ， BDC = ，BD =100，
6 3
BCD π 2π π π所以 = - - = ，則△BCD為等腰三角形，
3 6 6
則BD = DC =100，
π 3π
在△ABD 中，BD =100， ABD = ， ADC = ，
4 4
ADB 2π 3π 7π 7π π π則 = 2π - - = , BAD = π - - = ，
3 4 12 12 4 6
100 AD
BD AD =
由正弦定理 = ，即 1 2 ，解得sin BAD sin ABD AD =100 2
，
2 2
3π
在VACD中，DC =100, ADC = ，
4 AD =100 2
，
由余弦定理 AC = 100 2 2 +1002 - 2 100 2 100 2 - ÷÷ =100 5 ，
è 2
即 A，C 兩處景點之間的距離為100 5 ；
（2）在△BCD中，BC = 1002 1+1002 - 2 100 100 - 2 ÷
=100 3 ，
è
在△ABD 中，因為 ADB
7π
= ，
12
7π
所以 sin ADB = sin = sin π π 2 + 6 + ÷ = ，12 è 4 3 4
BD AD AB
由正弦定理 = = ，
sin BAD sin ABD sin ADB
100 AB
即 1
=
2 + 6 ，得 AB = 50 2 + 6 ，
2 4
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
所以BD × AC = BD × BC - BA = BD × BC - BD × BA
100 100 3 3= -100 50 2 2+ 6 =100 150 -100 502 2 1+ 3 0 ，
即棧道 BD 所在直線與 A，C 兩處景點的連線不垂直.
18．（2024·湖南·模擬預測）在VABC 中，內角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，且
cosA 3= , a + c sinA + sinC = bsinB + 3csinA．
5
(1)證明：VABC 是銳角三角形；
(2)若 a = 2，求VABC 的面積．
【答案】(1)證明見解析；
(2) 9 + 4 3 ．
8
【分析】（1）由正弦定理和余弦定理求解即可；
（2）由兩角和的正弦公式求出 sinC ，再由正弦定理和三角形的面積公式求解即可.
【詳解】（1）證明：因為 a + c sinA + sinC = bsinB + 3csinA，
所以由正弦定理得 (a + c)2 = b2 + 3ac，整理得 a2 + c2 - b2 = ac．
2 2 2
cos B a + c - b ac 1
π
則 = = = ，因為B 0, π ，所以 B = 3 ，2ac 2ac 2

因為 cosA
3 1 2
= , π π 2π
5 ÷÷
, A 0, π ，所以 A , ÷ ，因為 A + C = ，
è 2 2 è 4 3 3
C π 5π所以

, ÷ ，所以VABC 是銳角三角形．
è 3 12
cosA 3（2）因為 = ，所以 sinA
4
= ，
5 5
sinC sin A B sinAcosB cosAsinB 4 1 3 3 4 + 3 3所以 = + = + = + = ．
5 2 5 2 10
2 c
a c 4 =VABC = 4 3 3 c 4 + 3 3在 中，由正弦定理得 ，即 + ，所以sinA sinC =
，
5 10 4
VABC 1 1 4 + 3 3 3 9 + 4 3所以 的面積為 acsinB = 2 = ．
2 2 4 2 8
19．（2023·遼寧鞍山·二模）請從① a sin B - 3bcos B cosC = 3c cos2 B ；②
sin A - sin C 2 = sin2 B - sin Asin C ③ 3bsin A； = a 這三個條件中任選一個，補充在下面問
1+ cos B
題中，并加以解答（如未作出選擇，則按照選擇①評分.選擇的編號請填寫到答題卡對應位
置上）
在△ABC 中，a，b，c 分別是角 A，B，C 的對邊，若___________，
(1)求角 B 的大小；
(2)若△ABC 為銳角三角形， c =1，求 a2 + b2 的取值范圍.
π
【答案】(1) B = 3
(2) 1,7
【分析】（1）選①，利用正弦定理結合 sin B + C = sin A得到 sin B = 3 cos B ，求出答案；
1
選②，由正弦定理得到 a2 + c2 - b2 = ac，利用余弦定理得到 cos B = ，求出答案；
2
π 1
選③，由正弦定理得到 3 sin B =1+ cos B，由輔助角公式得到 sin B - ÷ = ，求出答案；
è 6 2
（2 3 3）利用正弦定理和余弦定理得到 a2 + b2 =1+ + ，結合△ABC 為銳角三角形，
2 tan2 C 2 tan C
C π , π 求出 ÷，求出答案.
è 6 2
【詳解】（1）若選①
因為 a sin B - 3bcos B cosC = 3c cos2 B ，
由正弦定理得 sin Asin B = 3 sin B cos B cosC + 3 sin C cos2 B ，
即 sin Asin B = 3 cos B(sin B cosC + sin C cos B) = 3 cos B sin(B + C)，
所以 sin Asin B = 3 cos B sin A，
由 A (0, π)，得 sin A 0 ，所以 sin B = 3 cos B ，即 tan B = 3 ，
因為 B (0, π) B
π
，所以 = .3
若選②
由 (sin A - sin C)2 = sin2 B - sin Asin C ，化簡得 sin2 A + sin2 C - sin2 B = sin Asin C .
2 2 2
由正弦定理得： a2 + c2 2
a + c - b 1 1
- b = ac，即 = ，所以 cos B = .
2ac 2 2
因為 B (0, π)
π
，所以 B = .3
若選③
3 sin B sin A
由正弦定理得 = sin A，即 3 sin B sin A = sin A(1+ cos B)，
1+ cos B
因為0 < A < π ，所以 sin A 0 ，
所以 3 sin B =1+ cos B，所以 sin
π 1
B - 6 ÷
= ，
è 2
π π 5π
又因為- < B - < ，所以 B
π
= .
6 6 6 3
a c c sin A
（2 c sin B 3）在VABC 中，由正弦定理 = ，得 a = ，
sin A sin C sin C b = =sin C 2sin C
π
由（1）知： B = ，又 с=13 代入上式得：
3
a2 + b2 = c2 + 2ab cosC 1 2(sin A= + 2 )cosC 1 3 sin A= + 2 cosC 1
3 sin(B + C)
= + 2 cosCsin C sin C sin C sin C
3 sin(π + C) 3 cosC 1+ sin C 3 3
=1+ 3 2 2
sin2
cosC =1+ 3 2 cosC =1+ +C sin C 2 tan2 C 2 tan C
ì0 C π < <
VABC 2 C
π π
因為 為銳角三角形，所以 í 2π π ，解得
, ，
0 < - C < è 6 2
÷

3 2
1
所以 tan C 3> ， (0, 3) ，
3 tan C
2

a2 b2 1 3 3 3 1 3
7
所以 + = + 2 + = + ÷÷ + 1,7 .2 tan C 2 tan C 2 è tan C 6 8
【點睛】解三角形中最值或范圍問題，通常涉及與邊長，周長有關的范圍問題，與面積有關
的范圍問題，或與角度有關的范圍問題，
常用處理思路：①余弦定理結合基本不等式構造不等關系求出答案；
②采用正弦定理邊化角，利用三角函數的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，
或其他的限制，通常采用這種方法；
③巧妙利用三角換元，實現邊化角，進而轉化為正弦或余弦函數求出最值
【拓展沖刺練】
一、單選題
1．（2024·山東·二模）在VABC 中，設內角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，設甲：
b - c = a(cosC - cosB) ，設乙：VABC 是直角三角形，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
【答案】D
【分析】利用正弦定理定理、和角的正弦公式化簡命題甲，再利用充分條件、必要條件的定
義判斷即得.
【詳解】在VABC 中，由正弦定理及b - c = a(cosC - cosB) ，得 sin B - sin C = sin A(cosC - cosB)，
即 sin(A + C) - sin(A + B) = sin A(cosC - cosB)，整理得 cos Asin C - cos Asin B = 0，
π
由正弦定理得 c cos A - b cos A = 0，則 cos A = 0或b = c ，即 A = 或b = c ，
2
A π因此甲： = 或b = c，顯然甲不能推乙；
2
乙：VABC 是直角三角形，當角 B 或C 是直角時，乙不能推甲，
所以甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件.
故選：D
2．（2024·安徽·模擬預測）在VABC 中，內角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，若 a = c ，且
sin2 B
2 = 2 1+ 3 sin B ，則B =（ ）sin A
π 2π 3π 5π
A． B． C． D．
3 3 4 6
【答案】D
2 2
【分析】由已知等式結合正弦定理可得b = 2a 1+ 3 sin B ，再由余弦定理可得
b2 = a2 + c2 - 2ac cos B = 2a2 1- cos B ，最后結合同角的三角函數關系和特殊三角函數值得
到結果即可
sin2 B 2
【詳解】由 2 = 2 1+ 3 sin B b及正弦定理得 = 2 1+ 3 sin B ，即b2 = 2a2 1+ 3 sin B ，sin A a2
由 a = c 2 2 2 2及余弦定理可得b = a + c - 2ac cos B = 2a 1- cos B ，
∴ 2a2 1+ 3 sin B = 2a2 1- cos B ，∴ 3 sin B = -cos B，∴ tan B 3= - .
3
5π
又0 < B < π ，∴ B = .
6
故選：D.
3．（2024·陜西咸陽·三模）為了進一步提升城市形象，滿足群眾就近健身和休閑的需求，2023
年某市政府在市區多地規劃建設了“口袋公園”.如圖，在扇形“口袋公園” OPQ 中，準備修一
π
條三角形健身步道OAB ，已知扇形的半徑OP = 3，圓心角 POQ = ，A 是扇形弧上的動
3
點， B 是半徑OQ 上的動點， AB / /OP ，則VOAB面積的最大值為（ ）
3 3 3 3A． B． C 3 3． D．
4 4 5 5
【答案】A
【分析】設 POA = q ，在VOAB中利用正弦定理及三角形面積公式列出函數關系，再求出
函數最大值即得.
【詳解】設 POA = q ,q (0,
π)，由 AB / /OP ，得 OAB = q , OBA
2π
= ，
3 3
OB OA
= = 2 3
在VOAB中，由正弦定理得 sinq sin 2π ，即OB = 2 3 sinq ，
3
1 π
則VOAB的面積 S = OB ×OAsin AOB = 3 3 sinq sin( -q )
2 3
= 3 3 sinq ( 3 cosq 1- sinq ) = 3 3( 3 sin 2q 1 1- cos 2q- × )
2 2 4 2 2
3 3 π 1 π π 5π π π π 3 3
= [sin(2q + ) - ]，顯然 2q + ( , ) 2q + = q =
2 6 2 6 6 6
，因此當 ，即 時，
6 2 6 Smax =
，
4
3 3
所以VOAB面積的最大值為 .
4
故選：A
4．（2024·遼寧·模擬預測）三棱錐 P﹣ABC 所有棱長都等于 2，動點 M 在三棱錐 P﹣ABC 的
uuuur uuuur uuuur
外接球上，且 AM × BM = 0,| PM |的最大值為 s，最小值為 t，則 s : t =（ ）
A．2 B． 2 C． 3 D．3
【答案】C
uuuur
【分析】根據題意確定M 點的軌跡，結合余弦定理求 PM 的取值范圍.
【詳解】如圖：
過 P 作 PH ^平面 ABC 于 H ，則正四面體的外接球球心（也是內切球球心）在線段 PH 上，
設為O，設內切球半徑為 r ，外接球半徑為 R .
AH 2
4 2 6
則 = ×2 ×sin 60o 2 3= ，PH = 4 - = ，
3 3 3 3
2 2
2 6 R 2 3
6 6
而 - ÷÷ + ÷
2
÷ = R ，所以R = OA = OP = ， r = OH = .
è 3 è 3 2 6
uuuur uuuur
因為M 在P - ABC 的外接球上，且 AM × BM = 0 ，
所以M 在以 AB 為直徑的球面上，取 AB 中點為E ，
則M 在圓E 上，圓E 所在的平面與OE垂直.
在△POE 中，OP 6= ，OE = OA2 - AE2 3 2= -1 = ，PE = 3 ，
2 2 2
過O作OG ^ PE 于 G，則G 為正VPAB 的中心，且OG = OH = r ，
6
OG 3
所以在RtVOEG中， OGE = 90°，所以 sin PEO = = 6 = .
OE 2 3
2
設 PEM = a ，則當點P,O, E, M 共面時，a 取得最值，即 POE a π - POE
3
所以- cosa 3 .
3 3
在△PEM 中，由余弦定理：PM 2 = EP2 + EM 2 - 2EP × EM ×cosa = 4 - 2 3 cosa .
所以 2 PM 2 6，
所以 s = 6 ， t = 2 ， s : t = 3 .
故選：C
uuuur uuuur
【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵點是弄清楚M 點的軌跡.因為M 點滿足 AM × BM = 0 ，所
以M 點在以 AB 為直徑的球面上，又M 點在正四面體P - ABC 的外接球上，故M 點的軌跡
上兩球的交線，即如圖所示的圓E 上.
二、多選題
5．（2024·湖北·模擬預測）在 VABC 中， A, B,C 所對的邊為 a,b,c，設 BC 邊上的中點為 M ，
VABC 的面積為S ，其中 a = 2 3 ，b2 + c2 = 24，下列選項正確的是（ ）
π
A．若 A = 3 ，則 S = 3 3 B．S 的最大值為3 3
π
C． AM = 3 D．角A 的最小值為
3
【答案】ABC
【分析】由余弦定理、三角形面積公式結合均值不等式判斷 ABD 三個選項，利用向量的模
的計算公式判斷 C 選項.
π
【詳解】選項 A，若 A = 3 ，由余弦定理 a
2 = b2 + c2 - 2bc cos A，得12 = 24 - bc，所以
bc =12 ，
S 1則三角形面積 = bc sin A 1 3= 12 = 3 3 ，A 正確；
2 2 2
選項 B，由基本不等式可得 24 = b2 + c2 2bc，即bc 12，
當且僅當b = c = 2 3 時，等號成立，
2
cos A b + c
2 - a2 24 -12 6
由余弦定理可得 = = = ，
2bc 2bc bc
則 S
1
= bc sin A 1= bc 1- cos2 A 1= bc 2 - 36 1 122 - 36 = 3 3 ，B 正確；
2 2 2 2
uuur 1 uuur uuur選項 C，因為BC 邊上的中點為M ，所以 AM = AB + AC ，2
而 a2 = b2 + c2 - 2bc cos A，即12 = 24 - 2bc cos A，則bc cos A = 6，
uuuur 1 uuur 2 uuur 2 uuur uuur
所以 AM
1
= AB + AC + 2 AB AC cos A = b2 + c2 + 2bc cos A
2 2
1
= 24 + 2 6 = 3，故 C 正確；
2
選項 D，因為 24 = b2 + c2 2bc，即bc 12，
2 2 2
cos A b + c - a 12 6 1所以由余弦定理得 = = = ，
2bc 2bc bc 2
π
又0 < A < π ，且函數 y = cos x在 0, π 上單調遞減，所以0 < A ，D 錯誤.
3
故選：ABC.
6．（23-24 高一下·河北石家莊·階段練習）已知VABC 的內角 A，B，C 所對的邊分別為 a，
b，c，下列說法中正確的是（ ）
A．若a cos A = bcos B ，則VABC 一定是等腰三角形
B．若 cos(A - B) ×cos(B - C) =1，則VABC 一定是等邊三角形
C．若 a cosC+ c cos A = c，則VABC 一定是等腰三角形
D．若cos(2B + C) + cosC > 0 ，則VABC 一定是鈍角三角形
【答案】BCD
π
【分析】對于 A：利用正弦定理得到 A = B 或 A + B = ，即可判斷；對于 B：由余弦函數的
2
π
有界性求出 A = B = C = ，即可判斷；對于 C：由余弦定理求出b = c ，即可判斷；對于 D：
3
利用三角公式判斷出 cos B < 0或 cos A < 0，即可得到答案.
【詳解】對于 A：因為a cos A = bcos B ，由正弦定理得： sin Acos A = sin B cos B，
所以 sin 2A = sin 2B .
因為A ， B 為VABC 的內角，所以 2A = 2B或 2A + 2B = π，
π
所以 A = B 或 A + B = .所以VABC 是等腰三角形或直角三角形.錯誤；
2
對于 B：由余弦函數的有界性可知：若-1 cos A - B 1, -1 cos B - C 1 .
因為 cos A - B ·cos B - C =1，所以 cos A - B =1,cos B - C =1或
cos A - B = -1,cos B - C = -1 .
當 cos A - B =1,cos B - C =1 π時，有 A = B 且 B = C ，所以 A = B = C = ，
3
所以VABC 是等邊三角形.
當 cos A - B = -1,cos B - C = -1時，有 A - B = π 且B - C = π，不符合題意.
所以VABC 一定是等邊三角形.正確；
2 2 2 2 2 2
對于 C：因為 a cosC+ c cos A = c a + b - c c + b - a，由余弦定理得： a × + c × = c，
2ab 2bc
所以 2b2 = 2bc，所以b = c ，則VABC 一定是等腰三角形.正確；
對于 D：在VABC 中， A + B + C = π，所以 cos 2B + C = cos B + π - A = -cos B - A
cosC = cos π - A - B = -cos A + B .
所以 cos 2B + C + cosC = -cos B - A - cos B + A > 0，
所以 cos B - A + cos B + A < 0 ，即 2cos B cos A < 0，所以 cos B < 0或 cos A < 0 .
所以VABC 一定是鈍角三角形，正確.
故選：BCD
三、填空題
uuur uuur
7．（2024·全國·三模）在 VABC 中， AB = uuur uuurcosq ,sinq ， BC = 3sinq ,3cosq .若 AB × BC = 2，
則VABC 的面積為 .
5
【答案】
2
【分析】結合復數模的運算，根據數量積的定義求得 cos B
2
= -
3 ，利用同角三角函數基本關
5
系求得 sin B = ，然后利用三角形面積公式求解即可.
3
uuur uuur
【詳解】 AB = cos2 q + sin2 q =1， BC = 9sin2 q + 9cos2 q = 3，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
則 AB × BC = -BA × BC = - BA × BC cos B = -3cos B = 2，所以 cos B
2
= -
3 ，
sin B 1 5所以 = - cos2 B = .
3
1 uuur uuur
所以 SVABC = AB × BC ×sin B
1 1 3 5 5= = .
2 2 3 2
5
故答案為：
2
8．（2024·陜西銅川·三模）已知VABC 的內角 A, B,C 所對的邊分別是 a,b,c，點D是 AB 的中
點.若2a + b = 2ccosB ，且 AC =1,CD 3= ，則 AB = .
2
【答案】 7
【分析】根據題意，利用正弦定理和三角恒等變換，求得 cosC
1
= - ，再由
2
uuur uuur uuur
CD 1= CA + CB ，列出方程求得 a = 2，結合余弦定理，即可求解.2
【詳解】因為2a + b = 2ccosB ，由正弦定理得2sinA + sinB = 2sinCcosB ，
又因為 sinA = sin B + C = sinBcosC + cosBsinC ，
所以 2sinBcosC + sinB = 0 ，
因為B 0, π 1，可得 sin B > 0，所以 cosC = -
2
uuur uuur uuur
又因為CD 為VABC
1
的一條中線，可得CD = CA + CB ，
2
uuur2 1 uuur2 uuur2 uuur uuur所以CD = CA + CB + 2CA ×CB4 ，
3 1 é
= 1+ a2 + 2 1 a 1- 即
4 4 ê ÷è 2 ú
，解得 a = 2或 a = -1（舍）.

1
由余弦定理得 AB = c = a2 + b2 - 2abcosC = 22 +12 - 2 1 2 - 2 ÷
= 7 .
è
故答案為： 7 .
9．（2024·廣西·模擬預測）在銳角VABC 中，角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，且VABC
2
的面積 S = bc(1- cos A) a，則 的取值范圍為 ．
bc
é4 16
【答案】 ê ,5 15 ÷
3 2cos A = sin A 4= a b c 6
b sin B
【分析】由已知求得 ， ，由余弦定理得 = + - ，令 t = = ，
5 5 bc c b 5 c sin C
b
由銳角三角形及兩角和正弦公式求 t = 的取值范圍即可．
c
1
【詳解】由三角形面積公式 S = bc sin A，結合 S = bc(1- cos A)，且VABC 為銳角三角形，
2
1
可知 sin A =1- cos A，即 sin A = 2(1- cos A)，
2
又由平方關系 sin2 A + cos2 A =1，所以 4(1- cos A)2 + cos2 A = 1，
即5cos2 A -8cos A + 3 = 0，
ì
cos A
3
=
5 ìcos A =1
解得 í 4 或 ísin A 0 （舍去）， sin A ==
5
由余弦定理有 a2 = b2 + c2 - 2bc cos A，
a2 b2 + c2 - 2bc cos A b c 2cos A b c 6所以 = = + - = + - ，
bc bc c b c b 5
t b= a
2 b c 6 1 6
令 ，所以 = + - = t + - ，
c bc c b 5 t 5
故只需求出 t 的范圍即可，
t b sin B sin[π - (A + C)] sin(A + C)由正弦定理邊化角得 = = = =
c sin C sin C sin C
sin AcosC + cos Asin C sin A
= = + cos A 4 3= + ，
sin C tan C 5 tan C 5
注意到在銳角VABC A C
π
中，有 + > ，簡單說明如下：
2
若 A + C
π π π
，則B = π - (A + C) π - = ，
2 2 2
即 B 不是銳角，但這與VABC 是銳角三角形矛盾，
所以在銳角VABC 中，有 A + C
π
> ，
2
所以在銳角VABC 0
π
中，有 < - A < C
π
< ，
2 2
因為正切函數 y = tan x

在 0,
π
÷上單調遞增，所以
è 2
sin π - A 3
tan C tan π A
÷
è 2 cos A 3> 5 - ÷ = = = =
è 2 cos π
，
- A sin A
4 4
÷
è 2 5
3 t 4 3 4 3 5< = + < + =
從而 5 5 tan C 5 5 3 5 3 ，
4
a2 1 6 3 5
而函數 = t + - = f (t)在 ,15 ÷單調遞減，在
1, ÷單調遞增，bc t 5 è è 3
4 f (1) f (t) max ì f 3 , f 5 ü max ì16 16ü 16所以 = <
5 í ÷ ÷
= í , = ．
è 5 è 3 15 15 15
a2 é 4 16
綜上所述： 的取值范圍為 ,
bc ê5 15 ÷
．

é 4 ,16 故答案為： ê . 5 15 ÷
【點睛】思路點睛：本題可以從以下方面解題
（1）通過三角形的面積公式及平方和關系求出三角函數值；
b
（2）利用余弦定理將目標式子進行變形，并通過正弦定理確定 的取值范圍；
c
2
（3 a）根據基本不等式解 的取值范圍即可.
bc
四、解答題
10．（2024·河南·三模）已知 P 是VABC 內一點，
PB = PC, BAC π= , BPC 3π= , ABP = q .
4 4
π
(1)若q = , BC = 2 ，求 AC ；
24
π
(2)若q = ，求 tan BAP .
3
【答案】(1) AC =1
(2) tan BAP = 3- 6 .
【分析】（1）在等腰△BPC 中可得 PBC ，進而得 ABC ，在VABC 中運用正弦定理可求
得 AC 的值.
π
（2）求出 ACP 的值，設 BAP = a ，則 PAC = -a ，在VABP、△APC 中，由正弦定
4
AP AP
理可得 、 ，結合PB = PC 求解即可.
PB PC
【詳解】（1）如圖所示，
BPC 3π在△BPC 中， = , PB = PC ，所以 PBC
π
= .
4 8
所以 ABC = PBC
π π π
+q = + = .
8 24 6
AC BC AC 2=
在VABC 中，由正弦定理得 = ，即 1 2 ，解得 AC =1 .sin ABC sin BAC
2 2
（2）如圖所示，
q π當 = 時， ACP = π - BAC - ABP - 2 PBC
π
= .
3 6
π
設 BAP = a ，則 PAC = -a .
4
π
在V sinABP中，由正弦定理得 AP = 3 .
PB sina
π
AP sin
APC = 6在△ 中，由正弦定理得 PC π .sin -a ÷
è 4
sin π sin π 3 1
PB = PC 3 = 6因為 ，所以 2 2sin =a π ，即 ，sin -a
sina 2
4 ÷ cosa - sinaè 2
3 2 3 2
整理得 = ，即 = ，解得 tana = 3 - 6 ，即 tan BAP = 3- 6 .
sina cosa - sina tana 1- tana
11．（2024·黑龍江大慶·模擬預測）某公園計劃改造一塊四邊形區域 ABCD 鋪設草坪，其中
AB = 2 百米， BC =1百米， AD = CD ， AD ^ CD ，草坪內需要規劃 4 條人行道 DM、DN、
EM、EN 以及兩條排水溝 AC、BD，其中 M、N、E 分別為邊 BC、AB、AC 的中點．
π
(1)若 ABC = ，求排水溝 BD 的長；
2
(2)若 ABC = a ，試用a 表示 4 條人行道的總長度．
【答案】(1) 3 2 百米；
2
(2) 9 + sina - cosa 3+ + sina - cosa 3+ 百米.
4 2 2
【分析】（1）在RtVABC 中，求出 AC ， sin BAC, cos BAC ，利用和差公式求 cos BAD ，
再由余弦定理可得；
（2）設 ABC = a , BAC = b , ACB = g sin b
sina sin g 2sina，利用正弦定理求得 = ， = ，
AC AC
MED b π由 = + 和 NED
π
= g + 可得cos MED = -sin b ， cos NED = -sin g ，分別在
2 2
VMDE ，△NDE 中求出DM , DN ，然后可得答案.
ABC π【詳解】（1）因為 = ， AB = 2 百米， BC =1百米，
2
AC 5所以 = 5 百米，所以 sin BAC = , cos 2 5 BAC = ，
5 5
又 AD = CD ， AD ^ CD ，所以VACD為等腰直角三角形，
所以 AD = AC sin π 10= 百米，
4 2
因為 cos BAD = cos BAC
π 2 2 5 2 5 10+ ÷ = - = ，
è 4 2 5 2 5 10
2

△ABD BD 22 10
10 10 3 2
所以在 中，由余弦定理得 = + 2 ÷÷
- 2 2 = 百米.
è 2 10 2
（2）因為 M、N、E 分別為邊 BC、AB、AC 的中點，
所以EN =
1
百米，EM =1百米，
2
設 ABC = a , BAC = b , ACB = g ，其中a 0, π ，
在VABC 中，由余弦定理可得 AC2 = 5 - 4cosa ，
V sin b sina 2sina在 ABC 中，由正弦定理可得 = ,sin g = ，
AC AC
連接DE ，則DE ^ AC ，
π π
在VMDE 中， MED = b + ， cos MED = cos
2
b + ÷ = -sin b ，
è 2
由余弦定理得DM 2 = ME2 + DE2 - 2ME × DE cos MED
2
= 1 AC+ + AC ×sin b 9= + sina - cosa ，
4 4
π π
在△NDE 中， NED = g + ， cos NED = cos

g +

÷ = -sin g ，2 è 2
由余弦定理得DN 2 = NE2 + DE2 - 2NE × DE cos NED
1 AC 2
= + + AC ×sin g 3= + sina - cosa ，
4 4 2
9 3 3
所以 4 條人行道的總長度為 + sina - cosa + + sina - cosa + 百米.
4 2 2考點 28 正弦定理、余弦定理（2 種核心題型+基礎保分練+綜
合提升練+拓展沖刺練）
【考試提醒】
1.掌握正弦定理、余弦定理及其變形.
2.理解三角形的面積公式并能應用.
3.能利用正弦定理、余弦定理解決一些簡單的三角形度量問題．
【知識點】
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC 中，若角 A，B，C 所對的邊分別是 a，b，c，R 為△ABC 外接圓半徑，則
定理 正弦定理 余弦定理
2
a a ＝ ；
＝ ＝ ＝
內容 sin A b2＝ ；
2R c2＝
(1)a＝2Rsin A，
b＝ ，
c＝ ；
cos A＝ ；
a
變形 (2)sin A＝ ， cos B＝ ；
2R
cos C＝
sin B＝ ，
sin C＝ ；
(3)a∶b∶c＝____________
2．三角形解的判斷
A 為銳角 A 為鈍角或直角
圖形
關系式 a＝bsin A bsin A< ab
解的個數 一解 兩解 一解 一解
3．三角形中常用的面積公式
1
(1)S＝ ah (h
2 a a
表示邊 a 上的高)；
(2)S＝ ＝ ＝ ；
(3)S＝ (r 為三角形的內切圓半徑)．
常用結論
在△ABC 中，常有以下結論：
(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.
(2)任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．
(3)a>b A>B sin A>sin B，cos AA＋B C A＋B
(4)sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin ＝cos ；cos
2 2 2
C
＝sin .
2
(5)三角形中的射影定理
在△ABC 中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.
1
(6)三角形中的面積 S＝ p p－a p－b p－c (p＝ a＋b＋c2 ).
【核心題型】
題型一　利用正弦定理、余弦定理解三角形
φ
(1)由 y＝sin ωx 的圖象到 y＝sin(ωx＋φ)的圖象的變換：向左平移 (ω>0，φ>0)個單位長度而
ω
非 φ 個單位長度．
(2)如果平移前后兩個圖象對應的函數的名稱不一致，那么應先利用誘導公式化為同名函數，
ω 為負時應先變成正值
【例題 1】（2024·廣東江門·二模） P 是VABC 內一點，
ABP = 45°, PBC = PCB = ACP = 30°，則 tan BAP =（ ）
2 2 1
A B C D 1． 3 ． ． ．5 3 2
【變式 1】（2024·河北滄州·模擬預測）記VABC 的內角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，若
3bcosB = acosC + ccosA，且3b = 4c ，則C = .
【變式 2】（2024·山東日照·二模）VABC 的內角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c．分別以 a,b,c為
3
邊長的正三角形的面積依次為 S1, S2 , S3 ，且 S1 - S2 - S3 = bc．4
(1)求角A ；
uuur uuur π
(2)若BD = 4CD， CAD = ，求 sin ACB6 ．
【變式 3】（2024·遼寧沈陽·模擬預測）在VABC 中，內角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，
c sin
2 C - sin C sin B
，且 =1 .
cos2 B - cos2 A
(1)求角 A 的大小；
(2)若VABC 為銳角三角形，點 F 為VABC 的垂心， AF = 6，求CF + BF 的取值范圍.
題型二　正弦定理、余弦定理的簡單應用
命題點 1　三角形的形狀判斷
判斷三角形形狀的兩種思路
(1)化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應關系，從而判斷三角形的形狀．
(2)化角：通過三角恒等變換，得出內角的關系，從而判斷三角形的形狀．此時要注意應用 A
＋B＋C＝π 這個結論．
【例題 2】（2024·陜西渭南·三模）已知VABC 中，角 A，B，C 所對的邊分別是 a，b，c，若
b cosC + c cos B = b ，且 a = c cos B ，則VABC 是（ ）
A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形
【變式 1】（2024·湖南衡陽·模擬預測）在VABC 中，角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，若
sin 2A = sin 2B ，則VABC 的形狀為 .
【變式 2】（2024·安徽淮北·二模）記VABC 的內角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，已知
c - b = 2csin2 A
2
(1)試判斷VABC 的形狀；
(2)若 c =1，求VABC 周長的最大值.
【變式 3】（2024·內蒙古·三模）在VABC 中，內角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，且
a - 2b cosC = c 2cosB - cosA .
b
(1)求 的值；
a
(2)若B = 2C ，證明：VABC 為直角三角形.
命題點 2　三角形的面積
三角形面積公式的應用原則
1 1 1
(1)對于面積公式 S＝ absin C＝ acsin B＝ bcsin A，一般是已知哪一個角就使用哪一個公
2 2 2
式．
(2)與面積有關的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進行邊和角的轉化．
【例題 3】（2024·云南昆明·三模）已知VABC 中， AB = 3，BC = 4， AC = 5 ，則VABC 的
面積等于（ ）
A．3 B． 11 C．5 D． 2 5
【變式 1】（2024·安徽·三模）在VABC 中，a，b，c 分別為內角 A，B，C 所對的邊，且滿足
a = 3 , (a + c)(sin A + sin C) = bsin B + 3c sin A,
sin C 1- cosC
= ，則VABC 的面積
sin B cos B
是 ．
【變式 2】（2024·浙江紹興·二模）在三角形 ABC 中，內角 A, B,C 對應邊分別為 a,b,c且
bcosC + 3c sin B = a + 2c .
(1)求 B的大小；
(2)如圖所示，D為VABC 外一點， DCB = B ，CD = 3 ， BC =1， CAD = 30o ，求
sin BCA及VABC 的面積.
sin A + sin B sin C
【變式 3】（2024·全國·模擬預測）在VABC 中，已知 =sin A - B sin B .
(1)求證： sin A = 2sin B ；
(2)若 D 為 AB 的中點，且 AB = 3 ，CD 7= ，求VABC 的面積.
2
命題點 3　與平面幾何有關的問題
在平面幾何圖形中研究或求與角有關的長度、角度、面積的最值、優化設計等問題時，通常
是轉化到三角形中，利用正、余弦定理通過運算的方法加以解決．在解決某些具體問題時，
常先引入變量，如邊長、角度等，然后把要解三角形的邊或角用所設變量表示出來，再利用
正、余弦定理列出方程，再解方程即可．若研究最值，常使用函數思想
【例題 4】（2024·山東聊城·二模）如圖，在平面四邊形 ABCD中，
AB = AD = 2, B = 2 D =120° ，記VABC 與VACD的面積分別為 S1, S2，則 S2 - S1 的值為
（ ）
A．2 B C 1 D 3． 3 ． ．
2
1
【變式 1】（22-23 高三上·江蘇揚州·期末）如圖，在VABC 中， sin A = ， ，D、E
3 AB = 2 3
分別在邊BC 、 AC 上，EC = EB ，ED ^ BC 且DE =1 .則 cosC 值是 ；VABE 的面
積是 .
【變式 2】（2024·廣東梅州·二模）在VABC 中，角 A，B，C 所對應的邊分別為 a，b，c，
3a cos B - bsin A = 3c， c = 2，
(1)求 A 的大小：
(2)點 D 在 BC 上，
（Ⅰ）當 AD ^ AB，且 AD =1時，求 AC 的長；
（Ⅱ）當BD = 2DC ，且 AD =1時，求VABC 的面積 SVABC ．
【變式 3】（23-24 高三下·山東·開學考試）如圖所示，圓O的半徑為 2，直線 AM 與圓O相
切于點 A, AM = 4，圓O上的點 P 從點A 處逆時針轉動到最高點 B 處，記
AOP = q ,q 0, π .
2π
(1)當q = 時，求△ APM 的面積；
3
(2)試確定q 的值，使得△ APM 的面積等于VAOP 的面積的 2 倍.
【課后強化】
【基礎保分練】
一、單選題
1．（2024·河南新鄉·二模）在 VABC 中，內角A ， B ，C 的對邊分別為 a，b ， c，且 a = 7，
b = 3， c = 5，則（ ）
A．VABC 為銳角三角形 B．VABC 為直角三角形
C．VABC 為鈍角三角形 D．VABC 的形狀無法確定
2．（2024·貴州遵義·三模）在VABC 中，角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，D 為 AC 的中點，已
c = 2 BD 7知 ， = ，且 acos B + bcos A = -2ccos B，則VABC 的面積為（ ）
2
A． 2 3 B 3． C． 3 D 3 3．
2 2
3．（23-24 高三下·河南·階段練習）記VABC 的內角 A，B，C 的對邊分別是 a，b，c，已知
a = 3，b2 = c2 + 3c + 9， ABC 的平分線交邊 AC 于點 D，且 BD = 2，則b =（ ）
A． 2 5 B． 2 7 C．6 D．3 7
4．（2024·山東棗莊·模擬預測）在 VABC 中， ACB =120°，BC = 2AC ， D為 VABC 內一點，
AD ^ CD ， BDC =120°，則 tan ACD =（ ）
A． 2 2 B
3 3 3
． C． 6 D．
2 2
二、多選題
5．（2024·江西·二模）已知 VABC 中， AB =1, AC = 4, BAC = 60°, AE 為 BAC 的角平分線，
交BC 于點E, D 為 AC 中點，下列結論正確的是（ ）
A．BE 13=
5
B 4 2． AE =
5
C．VABE 3的面積為
5
D． P 在△ABD
1
的外接圓上，則PB + PD 的最大值為
2 7
6．（2024·重慶·模擬預測）已知VABC 的三個內角 A、B、C 所對的邊分別為 a、b、c，則下
列說法正確的有（ ）
A．若 a > b，則 sinA > sinB B．若 a > b，則 cosA > cosB
C．若 a2 + b2 < c2 ，則VABC 為鈍角三角形D．若 a2 + b2 > c2，則VABC 為銳角三角形
三、填空題
3
7．（2024·北京昌平·二模）已知VABC 中， a = 4,b = 2c, cosA = - ，則 SVABC = ．4
8．（2024·江蘇·二模）設鈍角VABC 三個內角 A，B，C 所對應的邊分別為 a，b，c，若
a = 2，bsin A = 3 ， c = 3，則b = .
9．（2024·河南·三模）如圖，在VABC 中，角 A, B,C 所對的邊分別為 a,b,c，已知
B = 60o , A = 45o ,c - a = 3， B的平分線BD交邊 AC 于點D, AB邊上的高為CF , BC 邊上的
高為 AE, BD CF = P， AE CF = R, BD AE = Q ，則 PQR = ；PQ = .
四、解答題
10．（2024·上海寶山·二模）在VABC中，角A 、 B 、C 的對邊分別為 a、b 、 c，已知
sin2 A + sin2C = sin2B + sinAsinC .
(1)求角 B 的大小；
(2)若VABC的面積為 3 ，求 a + c的最小值，并判斷此時VABC的形狀.
11．（2024·江西·模擬預測）在VABC 中，內角 A, B,C 所對的邊分別為 a,b,c，其外接圓的半
3
徑為 2 3 ，且bcosC = a + csinB ．
3
(1)求角 B ；
(2)若 B的角平分線交 AC 于點D, BD = 3，點E 在線段 AC 上，EC = 2EA，求△BDE 的
面積．
【綜合提升練】
一、單選題
1．（2024·浙江金華·三模）在VABC 中，角 A, B,C 的對邊分別為 a，b ， c .若 a = 7 ，
b = 2 ， A = 60°，則 c為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．1 或 3
2．（2024·青海西寧·二模）在VABC 中，內角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，若b 6= c，且
2
3sin A + cos A = 2cosC ，則 cosC 的值為（ ）
3 3
A 6 B 6 C 30 10． ． ． D．
6 4 6 4
3．（2024·山東·模擬預測）在VABC 中，角 A, B,C 的對邊分別是 a,b,c，且
2asinA = 2b + c sinB + 2c + b sinC ，則 cosA =（ ）
1 1
A - B C 1
2
． ． ．
2 3 2
D． 3
4．（2024·四川成都·模擬預測）在VABC 中，角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c，給出以
下 4 個命題：
（1）若 a > b，則cos2A < cos2B ；
（2）若 a cos B - bcos A = c ，則VABC 一定為直角三角形；
（3）若 a = 4，b = 5， c = 6 16 7，則VABC 外接圓半徑為 ；
7
（4）若 cos(A - B) cos(B - C) cos(C - A) =1，則VABC 一定是等邊三角形.
則其中真命題的個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2024·內蒙古赤峰·一模）已知VABC 的三個內角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c，滿
足 2a + b = 2c cos B ，且 sin A + sin B =1，則VABC 的形狀為（ ）
A．等邊三角形 B．頂角為120°的等腰三角形
C．頂角為150°的等腰三角形 D．等腰直角三角形
6．（2024·吉林長春·模擬預測）VABC 的內角 A B C 所對的邊分別為
a b c,a = 3,b =1, A = 2B，則 c = （ ）
A．2 B． 3 C． 2 D．1
7．（2024·河北秦皇島·三模）在VABC 中，內角A ， B ，C 的對邊分別為 a，b ， c，且
B = 2C ，b = 2a，則（ ）
A．VABC 為直角三角形 B．VABC 為銳角三角形
C．VABC 為鈍角三角形 D．VABC 的形狀無法確定
8．（2024·重慶·三模）若圓內接四邊形 ABCD滿足 AC = 2， CAB = CAD = 30°，則四邊形
ABCD的面積為（ ）
A 3． B． 3 C．3 D． 2 3
2
二、多選題
9．（2024·全國·模擬預測）若 VABC 的三個內角為 A, B,C ，則下列說法正確的有（ ）
A． sin A,sin B,sin C 一定能構成三角形的三條邊
B． sin 2A,sin 2B,sin 2C 一定能構成三角形的三條邊
C． sin2 A,sin2 B,sin2 C 一定能構成三角形的三條邊
D． sin A, sin B , sin C 一定能構成三角形的三條邊
10．（2024·廣東廣州·二模）在梯形 ABCD中，
AB//CD, AB =1,CD = 3,cos DAC 2 3= , cos ACD = ，則（ ）
4 4
3 2 2 uuur uuur 3A． AD = B．cos BAD = - C．BA × AD = - D． AC ^ BD
2 4 4
11．（2024·浙江·三模）已知 VABC 的內角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，且
2 a ×sin2 A + C = b ×sin A
2 ，下列結論正確的是（3 ）
π
A．B =
3
B．若 a = 4，b = 5 ，則 VABC 有兩解
C a c 3．當 - = b 時， VABC 為直角三角形
3
D．若 VABC 為銳角三角形，則 cos A + cosC 3的取值范圍是 ( ,1]
2
三、填空題
12．（2024·全國·模擬預測）已知在VABC 中，點M 在線段BC 上，且
AM =10, AC =14, MC = 6, ABC π= ，則 AB = ．
4
4 4
13．（2024·湖南長沙·二模）在VABC 中，若BC = 2， tan A = - ， cos B = ，則 AC = .
3 5
14．（2024·福建廈門·三模）記銳角VABC 的內角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c.若
2cosC 3b a= - ，則 B 的取值范圍是 .
a b
四、解答題
15．（2024·陜西西安·模擬預測）設VABC 的內角 A, B,C 所對的邊分別是 a,b,c,且向量
ur r ur r
m = (a,b), n = (- 3 cos A,sin B)滿足m / /n .
(1)求 A；
(2)若 a = 13,b = 3，求 BC 邊上的高 h .
16．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，在平面四邊形 ABCD中， AB//CD ，
AD ×sin D = 3AC ×cos ACD ， BAC 的角平分線與BC 相交于點E ，且 AE = 1, AB = 3 .
(1)求 ACD的大小；
(2)求BC 的值.
17．（2023·黑龍江·模擬預測）某校高中“數學建模”實踐小組欲測量某景區位于：“觀光湖”內
兩處景點 A，C 之間的距離，如圖，B 處為碼頭入口，D 處為碼頭，BD 為通往碼頭的棧道，
ABD π CBD π且BD =100m ，在 B 處測得 = ， = ，在 D 處測得
4 6
BDC 2π 3π = ， ADC = ．（A，B，C，D 均處于同一測量的水平面內）
3 4
(1)求 A，C 兩處景點之間的距離；
(2)棧道 BD 所在直線與 A，C 兩處景點的連線是否垂直？請說明理由．
18．（2024·湖南·模擬預測）在VABC 中，內角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，且
cosA 3= , a + c sinA + sinC = bsinB + 3csinA．
5
(1)證明：VABC 是銳角三角形；
(2)若 a = 2，求VABC 的面積．
19．（2023·遼寧鞍山·二模）請從① a sin B - 3bcos B cosC = 3c cos2 B ；②
sin A - sin C 2 = sin2 B - sin Asin C ③ 3bsin A； = a 這三個條件中任選一個，補充在下面問
1+ cos B
題中，并加以解答（如未作出選擇，則按照選擇①評分.選擇的編號請填寫到答題卡對應位
置上）
在△ABC 中，a，b，c 分別是角 A，B，C 的對邊，若___________，
(1)求角 B 的大小；
(2)若△ABC 為銳角三角形， c =1，求 a2 + b2 的取值范圍.
【拓展沖刺練】
一、單選題
1．（2024·山東·二模）在VABC 中，設內角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，設甲：
b - c = a(cosC - cosB) ，設乙：VABC 是直角三角形，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
2．（2024·安徽·模擬預測）在VABC 中，內角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，若 a = c ，且
sin2 B
2 = 2 1+ 3 sin B ，則B =（ ）sin A
π 2π 3π 5π
A． B． C． D．
3 3 4 6
3．（2024·陜西咸陽·三模）為了進一步提升城市形象，滿足群眾就近健身和休閑的需求，2023
年某市政府在市區多地規劃建設了“口袋公園”.如圖，在扇形“口袋公園” OPQ 中，準備修一
π
條三角形健身步道OAB ，已知扇形的半徑OP = 3，圓心角 POQ = ，A 是扇形弧上的動
3
點， B 是半徑OQ 上的動點， AB / /OP ，則VOAB面積的最大值為（ ）
3 3 3 3A． B． C 3 3． D．
4 4 5 5
4．（2024·遼寧·模擬預測）三棱錐 P﹣ABC 所有棱長都等于 2，動點 M 在三棱錐 P﹣ABC 的
uuuur uuuur uuuur
外接球上，且 AM × BM = 0,| PM |的最大值為 s，最小值為 t，則 s : t =（ ）
A．2 B． 2 C． 3 D．3
二、多選題
5．（2024·湖北·模擬預測）在 VABC 中， A, B,C 所對的邊為 a,b,c，設 BC 邊上的中點為 M ，
VABC 的面積為S ，其中 a = 2 3 ，b2 + c2 = 24，下列選項正確的是（ ）
π
A．若 A = 3 ，則 S = 3 3 B．S 的最大值為3 3
π
C． AM = 3 D．角A 的最小值為
3
6．（23-24 高一下·河北石家莊·階段練習）已知VABC 的內角 A，B，C 所對的邊分別為 a，
b，c，下列說法中正確的是（ ）
A．若a cos A = bcos B ，則VABC 一定是等腰三角形
B．若 cos(A - B) ×cos(B - C) =1，則VABC 一定是等邊三角形
C．若 a cosC+ c cos A = c，則VABC 一定是等腰三角形
D．若cos(2B + C) + cosC > 0 ，則VABC 一定是鈍角三角形
三、填空題
uuur uuur
7．（2024·全國·三模）在 VABC 中， AB = uuur uuurcosq ,sinq ， BC = 3sinq ,3cosq .若 AB × BC = 2，
則VABC 的面積為 .
8．（2024·陜西銅川·三模）已知VABC 的內角 A, B,C 所對的邊分別是 a,b,c，點D是 AB 的中
點.若2a + b = 2ccosB 3，且 AC =1,CD = ，則 AB = .
2
9．（2024·廣西·模擬預測）在銳角VABC 中，角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，且VABC
2
的面積 S = bc(1- cos A) a，則 的取值范圍為 ．
bc
四、解答題
10．（2024·河南·三模）已知 P 是VABC 內一點，
PB = PC, BAC π= , BPC 3π= , ABP = q .
4 4
π
(1)若q = , BC = 2 ，求 AC ；
24
(2)若q
π
= ，求 tan BAP .
3
11．（2024·黑龍江大慶·模擬預測）某公園計劃改造一塊四邊形區域 ABCD 鋪設草坪，其中
AB = 2 百米， BC =1百米， AD = CD ， AD ^ CD ，草坪內需要規劃 4 條人行道 DM、DN、
EM、EN 以及兩條排水溝 AC、BD，其中 M、N、E 分別為邊 BC、AB、AC 的中點．
ABC π(1)若 = ，求排水溝 BD 的長；
2
(2)若 ABC = a ，試用a 表示 4 條人行道的總長度．

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