資源簡介

考點 30 平面向量的概念及線性運算（3 種核心題型+基礎保
分練+綜合提升練+拓展沖刺練）
【考試提醒】
1.理解平面向量的意義、幾何表示及向量相等的含義.
2.掌握向量的加法、減法運算，并理解其幾何意義及向量共線的含義.
3.了解向量線性運算的性質及其幾何意義．
【知識點】
1．向量的有關概念
(1)向量：既有大小又有 的量叫做向量，向量的大小稱為向量的 ．
(2)零向量：長度為 的向量，記作 ．
(3)單位向量：長度等于 長度的向量．
(4)平行向量：方向相同或 的非零向量，也叫做共線向量，規定：零向量與任意
向量 ．
(5)相等向量：長度相等且方向 的向量．
(6)相反向量：長度相等且方向 的向量．
2．向量的線性運算
向量運算 法則(或幾何意義) 運算律
交換律：a＋b＝ ；
加法
結合律：(a＋b)＋c＝________
減法 a－b＝a＋(－b)
|λa|＝ ，當 λ>0 時，λa 的方向
λ(μa)＝ ；
與 a 的方向 ；
數乘 (λ＋μ)a＝ ；
當 λ<0 時，λa 的方向與 a 的方向 ；
λ(a＋b)＝
當 λ＝0 時，λa＝
3.向量共線定理
向量 a(a≠0)與 b 共線的充要條件是：存在唯一一個實數 λ，使 .
常用結論
1．一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量終點的
—→ —→ —→ ———→ —→
向量，即A 1A2＋A 2A3＋A 3A4＋…＋ An－ 1An ＝A 1An，特別地，一個封閉圖形，首尾連接而成的
向量和為零向量．
→ 1 → →
2．若 F 為線段 AB 的中點，O 為平面內任意一點，則O F＝ (O A＋O B)．2
→ → → → 1 →
3．若 A，B，C 是平面內不共線的三點，則P A＋P B＋P C＝0 P 為△ABC 的重心，A P＝ (A3 B
→
＋A C)．
4．對于任意兩個向量 a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
【核心題型】
題型一　平面向量的基本概念
平行向量有關概念的四個關注點
(1)非零向量的平行具有傳遞性．
(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點無關．
(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量．
a
(4) 是與 a 同方向的單位向量．
|a|
uuur uuur
【例題 1】（2024·湖南永州·三模）在VABC 中， ACB = 120o ， AC = 3， BC = 4 ，
uuur uuur uuur uuur
DC × DB = 0，則 AB + AD 的最小值為（ ）
A．6 3 -2 B． 2 19 - 4 C．3 3 -1 D． 19 - 2
r r
r r a b r r
【變式 1】（2023·北京大興·三模）設 a ，b 是非零向量，“ r = r ” “a b 是 a = b ”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
r r
【變式 2】（2022·江蘇·三模）已知向量 a = 6,2 ，與 a共線且方向相反的單位向量
r
b = .
r r r r r r
【變式 3】（2022·上海虹口·二模）已知向量 a ，b 滿足 a = 2， b =1， a + b = 3 ，則
r r
a - b = .
題型二　平面向量的線性運算
平面向量線性運算的常見類型及解題策略
(1)向量求和用平行四邊形法則或三角形法則；求差用向量減法的幾何意義．
(2)求參數問題可以通過向量的運算將向量表示出來，進行比較，求參數的值．
命題點 1　向量加、減法的幾何意義
uuur uuur
【例題 2】（2024·福建福州·三模）已知線段 AB 是圓O的一條長為 2 的弦，則 AO × AB =
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
uuur uuur uuur uuur uuur
【變式 1】（2024·河南三門峽·模擬預測）在VABC 中， AN = 3NC, BP = 4PN ，則 AP =（ ）
1 uuur 3 uuur 3 uuur 4 uuur
A． AB + CA B． AB - CA
5 5 5 5
3 uuur 1 uuur 1 uuur 3 uuur
C． AB - CA D． AB - CA
5 5 5 5
【變式 2】（2023·四川樂山·一模）已知正六邊形 ABCDEF 邊長為 2，MN 是正六邊形
uuuur uuur
ABCDEF 的外接圓的一條動弦，MN = 2，P 為正六邊形 ABCDEF 邊上的動點，則PM × PN
的最小值為 .
r r r ur
【變式 3】（2023·上海金山·二模）已知 a 、b 、 c、 d 都是平面向量，且
r r r r r r ur p r ur r ur
| a | = | 2a - b | = | 5a - c | =1，若 a, d = ，則 | b - d | + | c - d |的最小值為 ．
4
命題點 2　向量的線性運算
【例題 3】（2023·河北·模擬預測）在平行四邊形 ABCD中，已知 A D = 2 A B = 4 ，且
uuur uuur uuur uuur
AB × BC = -4 ，則向量 AB 與 AC 的夾角的余弦值為（ ）
1
A．- B．0 C 1 3． 2 D．2 2
uuur r uuur r
【變式 1】（2024·安徽·模擬預測）已知O為等邊VABC 的中心，若OA = 3a, AB = 2b ，則
uuur r r
AC = ．（用 a,b表示）
r r r r r r r r
【變式 2】（2024·黑龍江哈爾濱·二模）已知不共線的三個單位向量 a,b ,c 滿足a + lb + c = 0,a
r π
與b 的夾角為 ，則實數l = .3
【變式 3】（2024·江蘇揚州·模擬預測）記VABC 的內角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，若
a + b + c a + b - c = 3，且VABC 3 3的面積為 .
4
(1)求角C ；
uuur uuur
(2)若 AD = 2DB ，求 CD 的最小值.
命題點 3　根據向量線性運算求參數
r π r π r r
【例題4】（2024·江蘇·二模）已知非零向量 a = (cos 2a ,sin(a + ))，b = (sin(a + ),1)，若 ，
4 4 a / /b
則 sin 2a =（ ）
4 3
A 10．-1 B． C． D．
10 5 5
r r r r【變式 1】（2024·浙江杭州·三模）已知不共線的平面向量 a ，b 滿足 a + lb ∥
r r
la + 2b ，
則正數l =（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D．2
r r r
【變式 2】（2024·上海·三模）設平面向量 a = sinq ,1 b = cosq , 3 ar， ，若 ，b 不能組成平
面上的一個基底，則 tanq = ．
【變式 3】（2023·四川南充·一模）在VABC 中，設角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c．已知
mr向量 = 3 cos A,sin A r， n = 1, -1 r r，且m∥n．
(1)求角 A 的大小；
(2)若 a = 2 6 ， a sin B - c sin A = 0，求VABC 的面積．
題型三　共線定理及其應用
利用共線向量定理解題的策略
(1)a∥b a＝λb(b≠0)是判斷兩個向量共線的主要依據．
(2)若 a 與 b 不共線且 λa＝μb，則 λ＝μ＝0.
→ → →
(3)若O A＝λO B＋μO C(λ，μ 為常數)，則 A，B，C 三點共線的充要條件是 λ＋μ＝1.
uuur uuur
【例題 5】（2024·全國·模擬預測）已知平面上點O，A ， B 滿足 OA = OB = 2，且
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
| OA + OB |= OA ，點C 滿足 OC 21- OB = ，動點 P 滿足OP = tOA + 1- t OC ，則 OP 的最
7
小值為（ ）
A 21 B 2 21 C 1 D 1 21． ． ． ． 或
7 7 7
ur uur
【變式 1】（2024·浙江·模擬預測）已知向量 e1 ， e2 是平面上兩個不共線的單位向量，且
uuur ur uur uuur ur uur uuur ur uur
AB = e1 + 2e2 ，BC = -3e1 + 2e2 ，DA = 3e1 - 6e2 ，則（ ）
A． A、B、C 三點共線 B． A、B、D 三點共線
C． A、C、D 三點共線 D． B、C、D三點共線
【變式 2】（2024·上海松江·二模）已知正三角形 ABC 的邊長為 2，點D滿足
uuur uuur uuur uuur
CD = mCA + nCB ，且m > 0， n > 0， 2m + n =1，則 | CD |的取值范圍是 .
【變式 3】（2022·江蘇鹽城·模擬預測）如圖，已知正方形 ABCD 的邊長為 2，過中心 O 的直
線 l 與兩邊 AB，CD 分別交于點 M，N．
uuuur uuur
(1)若 Q 是 BC 的中點，求QM ×QN 的取值范圍；
uuur uuur uuur uuuur uuur
(2)若 P 是平面上一點，且滿足 2OP = lOB + (1- l)OC ，求PM × PN 的最小值．
【課后強化】
【基礎保分練】
一、單選題
r r r r
1．（2024· · r r全國 模擬預測）已知平面向量 a，b ，則“ a / /b ”是“存在l R ，使得 a = lb ”的
（ ）
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
2．（2023·貴州黔東南·三模）在△ABC 中，已知 AB = 4 ，M 為線段 AB 的中點，CM = 3，若
uuur uuuur uuur uuur
CN = 2NM ，則 NA × NB =（ ）
9
A． - B 4 3 4 22 ．-3 C．- D．-9 9
3．（2024·廣東深圳·模擬預測）已知點 A 2,6 ，B -2, -3 ，C 0,1 D 7， ,6

÷ ，則與向量
è 2
uuur uuur
AB + 2CD同方向的單位向量為（ ）
3 10 , 10
10 3 10
A． 10 10 ÷÷
B． , ÷÷
è è 10 10
2 5 5 4 3
C ,- D - , ． ．
è 5 5
÷÷
è 5 5
÷

r r r r r
4．（2024· r山西朔州·一模）已知 a = 2,b = 2,1 ，且 a ^ b ，則 a - 2b = （ ）
A． 2 2 B． 2 3 C．4 D． 2 5
二、多選題
5．（2024·遼寧·二模）VABC 的重心為點G ，點 O，P 是VABC 所在平面內兩個不同的點，
uuur uuur uuur uuur
滿足OP = OA + OB + OC ，則（ ）
O, P,G uuur uuurA． 三點共線 B．OP = 2OG
uuur uuur uuur uuur
C．2OP = AP + BP + CP D．點 P 在VABC 的內部
r r r r r
6．（2024·浙江寧波·二模）若平面向量 ar,b ,cr滿足 a =1, b =1, c = 3且 ar ×cr = b r×c ，則（ ）
r r r
A． a + b + c 的最小值為 2
r r r
B． a + b + c 的最大值為 5
r r r
C． a - b + c 的最小值為 2
r r r
D． a - b + c 的最大值為 13
三、填空題
uuur uuur uuur uuur uuur
7．（2023·重慶·一模）在VPAB 中， AB = 4, APB
p
= ，點 Q 滿足QP = 2(AQ + BQ)，則QA ×QB
3
的最大值為 .
r ra b ar
r r
8．（2023·云南大理·模擬預測）若 = ， + b = 8， a
r b 6 r- = ，則 ar在b 上投影向量的模
為 ．
uuur uuur r uuur uuur uuur
9．（2023·陜西西安·模擬預測）若平面四邊形 ABCD滿足 AB + CD = 0， AB - AD × AC = 0，
則該四邊形一定是 .
四、解答題
10．（2024·山西朔州·一模）已知VABC 的內角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，向量
mr = a + b,c ,nr = sinA - sinC,sinA - sinB ，且mr //nr．
(1)求 B ；
2
(2) b求 2 2 的最小值．a + c
11．（2024·四川·模擬預測）已知VABC 的內角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，且
cosB 2a - b
= ．
cosC c
(1)求角C ；
uuur uuur
(2)若 AB + AC = 4，求VABC 面積的最大值．
【綜合提升練】
一、單選題
uuur uuur uuur
1．（2023·四川南充·一模）已知正方形 ABCD的邊長為 1，則 AB + BC - CA =（ ）
A．0 B． 2 C． 2 2 D．4
r r
2．（2024·全國·模擬預測）已知向量 a = 4, m r，b = m - 2,2 r，則“ m = 4 ”是“ a與b 共線”的
（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
ur uur r ur uur r ur ur
3．（2024·安徽馬鞍山·三模）已知平面向量 e1 ， e2 不共線， a = (2k -1)e1 + 2e2 ，b = e1 - e2 ，
r r
且 a//b ，則 k = （ ）
1 3
A．- B．0 C．1 D．
2 2
4．（2024·四川遂寧·模擬預測）在VABC 中，點 F 為線段 BC 上任一點（不含端點），若
uuur uuur uuur
1 2AF = xAB + 2y AC x > 0, y > 0 ，則 +x y 的最小值為（ ）
A．3 B．4 C．8 D．9
uuur uuur uuur
5．（2023·四川南充·一模）已知正方形 ABCD的邊長為 1，則 AB + BC - CA =（ ）
A．0 B． 2 C．2 D． 2 2
r r r r r r r r r
6．（23-24 高三下·山東菏澤·階段練習）已知向量 a，b ，滿足 a = b = a - b ，則 a· a + b =
（ ）
1 ar 1
r r r
A 2 B 2
1 2 2
． ． b C． ar b 1+ D． ar - b2 2 2 2
r r r
7．（23-24 高三上·全國·階段練習）設平面向量 a = (1,3) ， | b | 2 r= ，且 | a - b |= 10 ，則
r r2a + b r· ar - b =（ ）
A．1 B．14 C． 14 D． 10
r r r r r r
8．（2024·上海楊浦·二模）平面上的向量 a 、b 滿足： a = 3， b = 4， a ^ b .定義該平面上
r
A {xr || xr r r r r r
r
的向量集合 = + a |<| x + b |, x × a > x ×b} .給出如下兩個結論：
r ur r r
①對任意 c A，存在該平面的向量 d A，滿足 c - d = 0.5
r ur r r
②對任意 c A，存在該平面向量 d A，滿足 c - d = 0.5
則下面判斷正確的為（ ）
A．①正確，②錯誤 B．①錯誤，②正確
C．①正確，②正確 D．①錯誤，②錯誤
二、多選題
9．（2023·海南海口·模擬預測）下列命題為真命題的是（ ）
A．一組數據 22 ，20 ，17 ，15，13，11，9，8，8，7 的第 90 百分位數是 21
B．若等差數列{an}滿足 ax + ay = ap + aq (x、 y 、 p 、 q N*)，則 x + y = p + q
r r r r r r r r rC．非零平面向量 a 、b 、 c 滿足 a //b ，b //c ，則 a //c
D．在VABC 中，“ AB > AC ”與“ cosC < cos B ”互為充要條件
r r
10．（2024·全國·模擬預測）設 a,b是兩個非零向量，下列命題正確的是（ ）
r r r r r r r r r r
A．若 a ×b = 0 ，則a / /b B．若 a ×b = a × b ，則a / /b
r r r r r r 2 r r r r r r
C．若a ^ b ，則 a ×b = a ×b D．若 a + b = a - b ，則a ^ b
11．（2022·遼寧·模擬預測）“圓冪定理”是平面幾何中關于圓的一個重要定理，它包含三個結
論，其中一個是相交弦定理：圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等.如圖，
已知圓 O 的半徑為 2，點 P 是圓 O 內的定點，且OP = 2 ，弦 AC、BD 均過點 P，則下列
說法正確的是（ ）
uuur uuur uuur uuur
A．PA× PC 為定值 B．OA ×OC 的取值范圍是 -2,0
uuur uuur uuur uuur
C．當 AC ^ BD 時， AB ×CD為定值 D． AC × BD 的最大值為 12
三、填空題
2π uuur uuur
12．（2024·天津·一模）已知平行四邊形 ABCD的面積為6 3 ， BAD = ，且3 BE = 2EC
.
uuur uuur
AF 5
uuur uuur
若 F 為線段DE 上的動點，且 = l AB + AD，則實數l 的值為 ； AF 的最小值
6
為 .
ur uur ur
13．（2023·河南·模擬預測）已知向量 e1 = cosa ,sina ， e2 = cos b ,sin b ，m = 0,1 ，若
ur uur ur ur uur
e1 + e2 = m，則 e1 ×e2 = ．
r r r r r
14．（2024·青海西寧·二模）若向量 a,b不共線，且 xa + b / / ar + yb ，則 xy的值為 ．
四、解答題
15．（2024·吉林延邊·一模）已知VABC的內角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c，
sin A + sin B c - a
= ．
sin C b - a
(1)求 B；
a
(2)若點 D 在 AC 上，且 AD = BD = 2DC ，求 ．
c
16．（2024·浙江溫州·模擬預測）VABC 的角 A, B,C 對應邊是 a，b，c ，三角形的重心是
O.已知OA = 3,OB = 4,OC = 5 .
(1)求 a 的長.
(2)求VABC 的面積.
17．（2023·湖南·模擬預測）在VABC 中，角 A, B,C 所對的邊分別為 a,b,c,VABC 的面積為
3c2 sin π - A
3 3 ÷
sinA .
è
(1)求C 的大小.
uuur uuur uuur
(2)點D滿足 AD = CA .若 c = 7, BD = 2 3 ，求 a,b .
18．（2023·四川成都·三模）在銳角VABC 中，內角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，且
a = 6， 2sin A + C + 2bsin(B + C) = 7 3 ．
(1)求角 B 的大小；
uuur uuur
(2)若 AC = 3DC ，BD = 37 ，求 c 的值．
19．（2024·山東青島·一模）已知 O 為坐標原點，點 W 為eO ： x2 + y2 = 4和eM 的公共點，
uuuur uuuur
OM ×OW = 0 ，eM 與直線 x + 2 = 0相切，記動點 M 的軌跡為 C．
(1)求 C 的方程；
(2)若 n > m > 0 ，直線 l1 : x - y - m = 0與 C 交于點 A，B，直線 l2 : x - y - n = 0 與 C 交于點 A ，
B ，點 A， A 在第一象限，記直線 AA 與BB 的交點為 G，直線 AB 與 BA 的交點為 H，線
段 AB 的中點為 E．
①證明：G，E，H 三點共線；
②若 m +1 2 + n = 7，過點 H 作 l1的平行線，分別交線段 AA ，BB 于點T ，T ，求四邊形
GTET 面積的最大值．
【拓展沖刺練】
一、單選題
uuur uuur
1．（2024·黑龍江·模擬預測）已知在梯形 ABCD中， AB//CD 且滿足 AB = 2DC ，E 為 AC 中點，
uuur uuur r uuur
F 為線段 AB 上靠近點 B 的三等分點，設 AB ar= ， AD = b ，則EF =（ ）．
2 ar 1
r
b 3 ar 1
r
b 5 r 1
r r
A． -
1
B． - C． a - b D． ar 1- b
3 2 4 6 12 2 2 6
r r r r r
2．（2024·北京西城·二模）已知向量 a ，b 滿足 a = 4,3 ， a - 2b = 10, -5 ，則（ ）
r r r r r r r r r
A． a + b = 0 B． a ×b = 0 C． a > b D． a∥b
uuur uuur uuur uuur
3．（2024·全國·二模）點O, P 是 VABC 所在平面內兩個不同的點，滿足OP = OA + OB + OC ，
則直線OP經過VABC 的（ ）
A．重心 B．外心 C．內心 D．垂心
uuur 1 uuur
4．（2024·浙江寧波·模擬預測）已知VABC 是邊長為 1 的正三角形， AN = NC, P 是BN 上
3
uuur uuur 2 uuur uuur uuur
一點且 AP = mAB + AC ，則 AP × AB = （ ）9
2 1 2
A． B C9 ． ． D 19 3
．
二、多選題
uuur uuur uuur uuur
5．（2024·福建廈門·三模）已知等邊 VABC 的邊長為 4，點 D，E 滿足 BD = 2DA， BE = EC ，
AE 與 CD 交于點O，則（ ）
uuur 2 uuur 1 uuur uuur uuur
A．CD = CA + CB B．
3 3 BO × BC = 8
uuur uuur uuur uuur uuur
C．CO = 2OD D． | OA + OB + OC |= 3
6．（2024·安徽淮北·一模）如圖，邊長為 2 的正六邊形 ABCDEF ，點 P 是VDEF 內部（包括
uuur uuur uuur
邊界）的動點， AP = xAB + y AD， x ， y R .（ ）
uuur uuur uuur r
A． AD - BE + CF = 0 B．存在點 P ，使 x = y
3 uuur uuur
C．若 y = ，則點 P 的軌跡長度為 2 D． AP × AB的最小值為-24
三、填空題
7．（2024·山西太原·三模）趙爽是我國古代數學家、天文學家，大約在公元 222 年，趙爽為
《周髀算經》一書作序時，介紹了 “勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖” (以直角三角形的斜邊為
邊得到的正方形). 類比 “趙爽弦圖”，構造如圖所示的圖形，它是由三個全等的三角形與中
間的一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，且 DF = AF ，點 P 在 AB 上， BP = 2AP，
uuur uuur uuur
點Q在VDEF 內 (含邊界)一點，若PQ = lPD + PA，則l 的最大值為 .
x28．（2022·遼寧鞍山·模擬預測）點 P 在橢圓 + y2 =1上， P 不在坐標軸上， A 2,0 ，C 2,1 ，
4
B1 0,1 ， B2 0,-1 ，直線B P 1 與 x = 2交于點T ，直線B2P與 x 軸交于點S ，設OS = l OA，

AT = m AC ，則l + m 的值為 ．
9．（2023·四川樂山·一模）已知正方形 ABCD邊長為 2 2 ，MN 是正方形 ABCD的外接圓的
uuur uuur
一條動弦， MN = 2， P 為正方形 ABCD邊上的動點，則MP × PN 的最大值為 .
四、解答題
10．（2023·江西·模擬預測）在VABC 中，內角A ， B ，C 的對邊分別為 a，b ， c，已知M
uuuur uuur a(a - b)
為BC 邊的中點， AM ×CB = ．
2
(1)求角C 的大小；
(2)若VABC 的面積為 4 3 ，求VABC 周長的最小值．
11．（2023·河北·模擬預測）如圖，D 為VABC 內部一點，DE ^ BC 于 E， AB = AD .請從下
uuur uuur
面①②③中選取兩個作為條件，證明另一個成立.① CE = 3EB；②
2
sin B + C = 2 sin B - sin C ③ AD DE 2 AE； + + = .
DE AD AD × DE27世紀載言
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考點30平面向量的概念及線性運算（3種核心題型+基礎保
分練+綜合提升練+拓展沖刺練)
川【考試提醒】
1理解平面向量的意義、幾何表示及向量相等的含義.
2掌握向量的加法、減法運算，并理解其幾何意義及向量共線的含義
3.了解向量線性運算的性質及其幾何意義，
山
【知識點】
1.向量的有關概念
()向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小稱為向量的長度（或模）
(2)零向量：長度為0的向量，記作Q.
(3)單位向量：長度等于1個單位長度的向量.
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共線向量，規定：零向量與任意向量平
行
(⑤)相等向量：長度相等且方向相同的向量.
(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量.
2.向量的線性運算
向量運算
法則（或幾何意義）
運算律
a+b
/b
交換律：a+b=b十4：
加法
三角形法則
b dib
結合律：(a十b)十c=a十(b十c
a
平行四邊形法則
b
a-b
減法
a-b=a+(-b)
幾何意義
2d=@,當>0時，a的方向與a
(ua=( 0a:
的方向相同：
數乘
(十0)a=2a土4：
當<0時，a的方向與a的方向相反：
(a+b)=1a+b
當1=0時，a=0
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3.向量共線定理
向量(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數1，使b=4
[常用結論】
1.一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量終點的
向量，即AA2十A2A3十A3A4十…十An1An=A1An,特別地，一個封閉圖形，首尾連接而成的
向量和為零向量，
*1→
2.若F為線段AB的中點，O為平面內任意一點，則OF=(OA十OB).
1一
3.若A,B,C是平面內不共線的三點，則PA十PB十PC=0臺P為△ABC的重心，AP=AB
十AC):
4.對于任意兩個向量a,b,都有ld一b1≤ab≤d十b1.
【核心題型】
題型一平面向量的基本概念
平行向量有關概念的四個關注點
(1)非零向量的平行具有傳遞性。
(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點無關：
(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量.
(4是與4同方向的單位向量.
a
【例題1】(2024-湖南永州三模)在△ABC中，∠ACB=120°，AC=3,BC=4,
DC.DB=0,則AB+AD的最小值為()
A.6√5-2
B.2W19-4
C.35-1
D.V19-2
【答案】A
【分析】以C為坐標原點，CB所在直線為x軸，過C垂直BC的直線為y軸建立如圖所示
的平面直角坐標系，求得點D的軌跡方程，取BD的中點為M,求得M的軌跡方程，數形
結合可求AB+ADlm
【詳解】由題意，以C為坐標原點，CB所在直線為x軸，過C垂直CB的直線為y軸建立
如圖所示的平面直角坐標系，
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