資源簡介

考點 27 函數 y＝Asin(ωx＋φ)（3 種核心題型+基礎保分練
+綜合提升練+拓展沖刺練）
【考試提醒】
1.結合具體實例，了解 y＝Asin(ωx＋φ)的實際意義；能借助圖象理解參數 ω，φ，A 的意義，
了解參數的變化對函數圖象的影響.
2.會用三角函數解決簡單的實際問題，體會可以利用三角函數構建刻畫事物周期變化的數學
模型．
【知識點】
1．簡諧運動的有關概念
已知函數 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0
振幅 周期 頻率 相位 初相
2π 1 ω
A T＝ f＝ ＝ ωx＋φ φ
ω T 2π
2.用“五點法”畫 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一個周期內的簡圖時，要找五個特征點
π 3π
ωx＋φ 0 π 2π
2 2
0 φ π π φ 3π－ －φ － －φ 2π－φx 2 2
ω ω ω ω ω
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
3.函數 y＝sin x 的圖象經變換得到 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象的兩種途徑
常用結論
1．函數 y＝Asin(ωx＋φ)＋k 圖象平移的規律：“左加右減，上加下減”．
π
2．函數 y＝Asin(ωx＋φ)圖象的對稱軸由 ωx＋φ＝kπ＋ ，k∈Z 確定；對稱中心由 ωx＋φ＝
2
kπ，k∈Z 確定其橫坐標．
【核心題型】
題型一　函數 y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及變換
φ
(1)由 y＝sin ωx 的圖象到 y＝sin(ωx＋φ)的圖象的變換：向左平移 (ω>0，φ>0)個單位長度而
ω
非 φ 個單位長度．
(2)如果平移前后兩個圖象對應的函數的名稱不一致，那么應先利用誘導公式化為同名函數，
ω 為負時應先變成正值
2π
【例題 1】（2024·四川·模擬預測）已知函數 f x = sin wx +

÷ w > 0 的最小正周期為 π，
è 3
給出下列三個結論：
3 f x 0, π① ② f 0 = ； 函數 在 3 ÷上單調遞減；2 è
π
③將 y = cos 2x的圖象向左平移 個單位可得到 f x 的圖象．
12
其中所有正確結論的序號是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【分析】由函數的最小正周期求出w ，即可求出函數解析式，再根據正弦函數的性質一一判
斷即可.
【詳解】因為函數 f x 的最小正周期為 π且w 0 2π> ，所以T = = π，解得w = 2w ，
所以 f x = sin 2x
2π
+ ÷；
è 3
則 f 0 2π 3= sin = ，故①正確；
3 2
0 x π
2π 2x 2π 4π
2π 4π
當 < < 時， < + < ，因為 y = sin x

3 在
,
3 3 ÷上單調遞減，3 3 3 è
所以函數 f x 0, π 在 3 ÷上單調遞減，故②正確；è
將 y = cos2x
π π π
的圖象向左平移 個單位得到 y = cos 2
12
x + = cos
12 ÷
2x + ÷ ，
è è 6

因為 f x = sin 2x
2π π π π+ ÷ = sin

2x + +

÷ = cos
2x + ÷，所以結論③正確.
è 3 è 6 2 è 6
故選：D
【變式 1】（2024·北京通州·二模）已知的數 f x = sin π wx + ÷（w > 0），若 f x 的最小正
è 6
周期為 π， f x π的圖象向左平移 個單位長度后，再把圖象上各點的橫坐標變為原來的 2
6
倍（縱坐標不變）得到函數 g x 的圖象，則 g x = ；若 f x 0, π 在區間 2 ÷上有 3è
個零點，則w 的一個取值為 ．
【答案】 cos x或 sin
π
x + ÷ 6（答案不唯一）
è 2
【分析】由 f x 的最小正周期為 π，可求出 f x = sin π 2x + ÷ ，再根據三角函數的平移和
è 6
π π π wπ π
伸縮變化可求出 g x = cos x ；根據 x 0, 2 ÷ ，求出wx + , + ÷，結合題意可得è 6 è 6 2 6
3π wπ π< + 4π ，解不等式即可得出答案.
2 6
f x π T 2π【詳解】因為 的最小正周期為 ，所以 = = πw ，解得：w = 2，
f x sin 2x π= + π所以 ÷ ， f x 的圖象向左平移 個單位長度后，
è 6 6
y é= sin 2 可得： ê x
π
+
π ù
÷ + ú = sin

2x
π
+
6 6 2 ÷
= cos 2x，
è è
再把圖象上各點的橫坐標變為原來的 2 倍（縱坐標不變）得到函數 g x 的圖象，
所以 g x = cos x ；
π π π wπ π
因為 x 0, ，wx + , + ，
è 2 ÷ 6 6 2 6 ÷ è
f x 在區間 0, π 2 ÷上有 3 個零點，è
3π wπ π所以 < + 4π
17
，解得： < w
23
，
2 6 3 3
則w 的一個取值可以為 6.
故答案為： cos x或 sin x
π
+ 2 ÷
；6（答案不唯一）.
è
【變式 2】（2024·山東·模擬預測）在VABC 中，角A ， B ，C 所對的邊分別為 a，b ， c，函
數 f x = 2sin wx +j w > 0,0 π< j < f x π ÷ ， 圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為 ，且
è 2 2
f π ÷ =1，將 y = f x
π
的圖象向右平移 個單位得到 y = g x 的圖象且 g A = 2，VABC
è 3
的
6
內切圓的周長為 2π．則VABC 的面積的最小值為 .
【答案】3 3
【分析】根據題意求出 f x 的解析式，由平移規律得到 y = g x 的解析式，由 g A = 2得
3
到A ，由面積公式和余弦定理 b2 + c2 - bc = bc - b - c ，借助基本不等式即可求出bc的取
2
值，進而得到面積最小值.
π
【詳解】因為函數 f x 圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為 ，
2
所以T = π ，可得w = 2，
所以 f x = 2sin 2x +j ，
f π 2π 2π 1故 ÷ = 2sin

+j

÷ =1

，即 sin +j = ，
è 3 è 3 è 3 ÷ 2
2π j π 2π 5π所以 + = + 2kπ,k Z或 +j = + 2kπ,k Z，
3 6 3 6
π
所以j = - + 2kπ,k Z
π
或j = + 2kπ,k Z ，
2 6
π
因為 0 < j < 2 ，
j π所以 = ，即 f x = 2sin π
6
2x +
6 ÷
，
è
因為將 y = f x π的圖象向右平移 個單位得到 y = g x 的圖象，
6
g x 2sin 2x π= - 所以 6 ÷ .è
π
由 g A = 2，得 2sin 2A - ÷ = 2，
è 6
所以 2A
π π π
- = + 2kπ,k Z，即 A = + kπ, k Z，
6 2 3
且0
π
< A < π ，所以 A = .3
因為VABC 的內切圓的周長為 2π，
所以VABC 的內切圓的半徑為 1，
1
所以 a + b + c 1 1= bc sin π ，所以
2 2 3 a + b
3 3
+ c = bc ，即 a = bc - b - c，
2 2
在VABC 2 2 2 π中，由余弦定理得： a = b + c - 2bccos 3 ，
3
所以 b2 + c2 - bc = bc - b - c ，
2
2bc 3所以 - bc bc - 2 bc ，
2
所以 bc 2 3，即bc 12，
當且僅當b = c = 2 3 時取等號，所以VABC 的面積的最小值為3 3 .
故答案為：3 3
【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構成和的二項之積轉化成定值；要求積的最大值，
則必須把構成積的因式的和轉化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這
個定值就不是所求的最值，這也是最容易發生錯誤的地方.
【變式 3】（2024·全國· 3 1模擬預測）將函數 y = sin2x - cos2x 圖象上所有點的橫坐標伸長
2 2
π
至原來的 2 倍（縱坐標不變），再向左平移 個單位長度，得到函數 f x 的圖象．
6
(1)求函數 f x 在區間 0,2024 內的所有零點之和；
(2)若 g x f x= 2 - x ，討論函數 g x 的單調性．e
【答案】(1) 207690π
(2) g x π 5π 5π 9π在 + 2kπ, + 2kπ
, k Z ÷ 上單調遞增，在 + 2kπ, + 2kπ ÷ ,k Z上單調遞減
è 4 4 è 4 4
【分析】（1）利用三角恒等變換及平移公式化簡可得函數 f x = sinx，利用正弦函數的圖象
及性質可得求得 f x = sinx的零點，進而求得結果．
g x 2 sinx 2sin
x π-
（2）由（1）可得， = - x ， g x sinx - cosx
÷
è 4 ，結果三角函數性e = x =e ex
質計算即可求得結果．
3 1 π
【詳解】（1）由題可得， y = sin2x - cos2x = sin 2x - ，
2 2 ֏ 6
所以函數 f x = sinx．
根據正弦函數的圖象及性質可得， f x = sinx的零點為 x = kπ, k Z ，
所以函數 f x 在區間 0,2024 內的所有零點之和為
0 π 2π 3π 644π 645π 644+ + + + ×××+ = = 207690π．
2
sinx
（2）由（1）可得， f x = sinx，所以 g x = 2 - x ，e
2sin x π-
所以 g x sinx - cosx

= = è 4
÷
．
ex ex
π
令 g x > 0，得 sin x - ÷ > 0，
è 4
2kπ x π π 2kπ, k Z π所以 < - < + ，解得 + 2kπ < x
5π
< + 2kπ, k Z ，
4 4 4
所以函數 g x π 5π 的單調遞增區間為 + 2kπ, + 2kπ ÷ , k Z；
è 4 4
令 g x < 0 ，得 sin x
π
- ÷ < 0，
è 4
π 2kπ x π所以 + < - < 2π + 2kπ, k
5π
Z，解得 + 2kπ < x
9π
< + 2kπ,k Z，
4 4 4
5π 9π
所以函數 g x 的單調遞減區間為 + 2kπ, + 2kπ ,k Z．
è 4 4 ÷
g x π + 2kπ, 5π + 2kπ , k Z 5π 9π 綜上，函數 在 ÷ 上單調遞增，在 + 2kπ, + 2kπ4 4 4 4 ÷ ,k Z上單è è
調遞減．
題型二　由圖象確定 y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
確定 y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步驟和方法
M－m M＋m
(1)求 A，b.確定函數的最大值 M 和最小值 m，則 A＝ ，b＝ .
2 2
2π
(2)求 ω.確定函數的最小正周期 T，則 ω＝ .
T
(3)求 φ.常用方法如下：把圖象上的一個已知點代入(此時要注意該點在上升區間上還是在下
降區間上)或把圖象的最高點或最低點代入．
【例題 2】（2024·陜西西安·模擬預測）已知函數 f (x) = 2sin(wx +j)(w > 0,|j |< π)的部分圖象
π
如圖所示，將函數 f x 的圖象向左平移 個單位長度后得到函數 g x 的圖象，則在下列區
6
間上函數 g x 單調遞增的是（ ）
é π π ù é3π 5π ù é5π 7π ù é 3π ù
A． ê , B． , C． , D． π, 6 3 ú ê 2 2 ú ê 6 6 ú ê 2 ú
【答案】C
【分析】由 f x π的圖象，棱臺三角函數的性質求得 f (x) = 2sin(2x - )，進而得到
3
g(x) = 2sin 2x，結合正弦型函數的性質，即可求解.
3T 5π π 3π
【詳解】由函數 f x 的圖象，可得 = - - ÷ =4 12 3 4 ，解得T = π ，所以w = 2，è
所以 f (x) = 2sin(2x +j) f (
5π) 2sin(2 5π 5π，又由 = +j) = 2，即 sin( +j) =1，
12 12 6
5π j π可得 + = + 2kπ,k
π
Z，即j = - + 2kπ,k Z，
6 2 3
π π
因為 j < π，所以j = - 3 ，所以 f (x) = 2sin(2x - )，3
所以 g(x)
é π π ù
= 2sin 2 π πê x + ÷ - ú = 2sin 2x，令- + 2kπ 2x + 2kπ, k Z，
è 6 3 2 2
π kπ x π解得- + + kπ,k Z，
4 4
所以函數 g x é π- + kπ x π + kπù的單調增區間是 ê ú , k Z . 4 4
故選：C.
【變式 1】（2024·海南·模擬預測）如圖是某質點做簡諧運動的部分圖像，該質點的振幅為 2，
y t y = Acos(wt +j) A > 0,w > 0,j π π 位移 與時間 滿足函數 - , ÷÷ ，點P(0,1),Q(4,1) 在該函
è è 2 2
j
數的圖象上，且位置如圖所示，則 = .
w
2
【答案】-
3
【分析】由函數圖象求出函數解析式，再確定j 與w 的比值.
2π π π
【詳解】由圖象可知： A = 2，T = 4 = w = （w > 0），所以 y = 2cos t +j ，w 2 ÷è 2
π π
由 f 0 =1 cosj 1= ，又j π
2
- , ÷，所以j = ± .
è 2 2 3
又 y
π π π
= -2sin t +j × = -πsin
t +j ， y | = -πsinj > 0 j π= - .
è 2 ÷ 2 2 ÷ t=0è 3
π
j - 3 2
所以 = π = - .w 3
2
2
故答案為：-
3
【變式 2】（2024·湖北武漢·二模）函數 f x = 2sin 2x +j +1 j < p 的部分圖象如圖所示，
則j = .
π
【答案】
3
【分析】令 f x = 0，解出 sin 2x 1+j = - ，根據圖中零點得到方程解出即可.
2
【詳解】令 f x = 2sin 2x +j +1 = 0，則 sin 2x +j 1= - ，
2
π
根據圖象得 x = - 4 為函數零點，零點左右函數為上升趨勢，
2 π π則 - ÷ +j = 2kp - ,k Z，
è 4 6
則j
π π
= 2kπ + ,k Z，因為 j < p ，則 k = 0，j = ，
3 3
π
故答案為：
3
【變式 3】（2023·河北·模擬預測）已知函數 f x = 3 sin wx +j 的部分圖象如圖所示，其
中w > 0, j
π
< ，且 ACB = 90° .
2
(1)求w 與j 的值；
(2) 6π若斜率為 的直線與曲線 y = f x 相切，求切點坐標.
4
π π
【答案】(1)w = ，j = -
2 4
6 6
(2) 4k, - ÷÷或 4k +1, ÷÷ k Z
è 2 è 2
1 1
【分析】（1）在Rt△ABC 中，由射影定理得DB長，即 個周期，從而待定w ，再由 f = 0
4 ֏ 2
求解j 即可；
（2）設切點坐標，利用導數的幾何意義表示出切線斜率，求解切點坐標.
【詳解】（1）
如圖，過點C 向 x 軸引垂線交于點D，
由正弦曲線的性質知 AD = 3DB，
由射影定理知CD2 = AD × DB，而CD = 3 ，∴ 3 = 3DB × DB ，
∴ DB =1，
∴T 4
2π
= = π
w ，由w > 0，解得w = .2
w p
1
當 = f = 02 時，由 ÷ ，且由已知圖象及五點對應法，è 2
π
得 +j = 2kπ k Z ，
4
j π
π
由 < 2 ，則當
k = 0時，j = - ；
4
π π
所以有w = ，j = - ；
2 4
（2）
由（1）知 f x = 3 sin π x
π
- ÷ ，設切點 x0 , f (x0 ) ，
è 2 4
∴ f x 3 π cos π π= x -

2 è 2 4 ÷
6π π π 2 π π π
則 f x0 = ，∴ cos x0 - = ，則 x - = 2kπ ± k Z ，4 è 2 4 ÷ 0 2 2 4 4
∴ x0 = 4k 或 x0 = 4k +1 k Z 6 6，且 f (4k) = - , f (4k +1) = ，
2 2

4k, 6
6
∴故其切點坐標為 - ÷÷ 或 4k +1, ÷÷ k Z
è 2 è 2
題型三　三角函數圖象、性質的綜合應用
(1)研究 y＝Asin(ωx＋φ)的性質時可將 ωx＋φ 視為一個整體，利用換元法和數形結合思想進
行解題．
(2)方程根的個數可轉化為兩個函數圖象的交點個數．
(3)三角函數模型的應用體現在兩方面：一是已知函數模型求解數學問題；二是把實際問題
抽象轉化成數學問題，利用三角函數的有關知識解決問題．
命題點 1　圖象與性質的綜合應用
【例題 3】（2024·四川·模擬預測）已知函數 f x = sin wx +j (w > 0,0 < j < π) 的最小正周期
π π 為 ，且 y = f x 的圖象關于點 ,06 ÷中心對稱，給出下列三個結論：è
① f 0 3= ；
2
f x 0, π② 函數 在 ÷上單調遞減；
è 3
③將 y = cos2x
π
的圖象向左平移 個單位可得到 f x 的圖象．
12
其中所有正確結論的序號是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
f x sin 2x 2π 【分析】由題意先求出 = + 3 ÷，再由三角函數的性質對選項一一判斷即可得出è
答案.
【詳解】因為函數 f x 的周期為 π，所以w = 2，
π
又圖象對稱中心為 ,0
π
÷，即 sin 2 +j6 ÷
= 0，
è è 6
π
則 +j = kπ,k Z，有j = kπ
π
- ,k Z，
3 3
2π 2π
由0 < j < π ，所以 k =1,j = ，故 f x = sin
3
2x +
3 ÷，è
2π 3
此時 f 0 = sin = ，結論①正確；
3 2
π 2π 2π 4π
當 0 < x < 時， < 2x + < ，函數 f x 3 單調遞減，結論②正確；3 3 3
將 y
π
= cos2x π 的圖象向左平移 個單位可得圖象對應的函數為 y = cos 2x + ÷，12 è 6
sin 2x 2π π π 因為 + ÷ = sin 2x + + ÷ = cos
2x π+
3 ÷
，所以結論③正確．
è è 6 2 è 6
故選：D.
【變式 1】（23-24 高三下· 1 3天津·階段練習）已知函數 f x = sin2wx + cos2wx(w > 0)，且
2 2
f x 的最小正周期為 π，給出下列結論：
①函數 f x π , 7π 在區間 ÷單調遞減；
è 2 12
②函數 f x x π關于直線 = 對稱；
12
③把函數 y = sin2x
π
的圖象上所有點向左平移 個單位長度，可得到函數 y = f x 的圖象.
3
其中所有正確結論的序號是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【分析】先將函數 f x 化簡為最簡形式，然后利用周期求出w 的值，再利用正弦函數的性
質進行判斷即可求解.
1
【詳解】因為函數 f x = sin2wx 3+ cos2wx = sin 2wx π+ ，
2 2 3 ֏
2π
又 f x 的最小正周期為 π且w > 0，所以T = = π，解得w =1，
2w
f x = sin π 所以 2x + ÷ .
è 3
π x 7π 4π 2x π 3π y sin x
4π
因為 < < ，所以 < + < ，因為 = 在 ,
3π
÷上單調遞減，2 12 3 3 2 è 3 2
π π 7π
所以函數 f x = sin 2x + ÷在 ,2 12 ÷上單調遞減，故①正確；è 3 è
令 2x
π kπ π kπ π π+ = + , k Z ，解得 x = + , k Z ，所以直線 x = 是函數 f x 的一條對稱
3 2 2 12 12
軸，故②正確；
將函數 y = sin2x
p
的圖象上所有點向左平移 個單位長度可得到
3
y = sin 2π 2x + ÷ sin
2x π + ÷，故③錯誤，
è 3 è 3
所以正確的結論序號為：①②.
故選：A.
【變式 2】（2024·青海西寧·模擬預測）將函數 y = 4sin9x的圖象上所有點的橫坐標伸長到原
來的 3 倍，縱坐標不變，得到函數 y = f x 的圖象，則 f x 的最小正周期為 ，
f 7π ÷ = .
è 18
2p 2
【答案】 / p -2
3 3
2π 7π
【分析】根據三角函數圖象的伸縮變換可得 f x = 4sin3x，結合T = w 和求出 f è 18 ÷即可
求解.
【詳解】由題意知， f x = 4sin3x，
則 f x 2π的最小正周期T = ，
3
f 7π ÷ = 4sin
7π
= -4sin π = -2 .
è 18 6 6
2π
故答案為： ；-2
3
【變式 3】（2023·山西·模擬預測）已知函數 f x = Asin wx +j (A > 0,w > 0,0 < j < π)的部
分圖象如圖所示.
(1)求 f x 的解析式；
(2)將 f x π é 7π π ù的圖象向右平移 個單位長度，得到函數 g x 的圖象，求 g x 在
6 ê
- , -
12 12ú 上
的值域.
π
【答案】(1) f x = 3sin 2x +

6 ֏
é 3 3 ù
(2) ê-3, .
2
ú

π π
【分析】（1）由圖可知 A = 3，根據最小正周期求得w = 2，由圖象經過點 ,3÷求得j = ，
è 6 6
即可得出 f x ；
（2）利用圖象平移規律得 g x ，根據三角函數的性質求得值域.
【詳解】（1）由圖可知 A = 3，
2π
f x 4 11π π 的最小正周期T = - ÷ = π ，則T = = πw ，即w = 2 .3 è 12 6
f x π ,3 f π 因為 的圖象經過點 ÷，所以 ÷ = 3sin
2 π +j

÷ = 3，
è 6 è 6 è 6
π
解得j = + 2kπ k Z ，因為0 < j < π π，所以j = ，
6 6
故 f x π= 3sin 2x +

÷ .
è 6
é π π ù π
（2）由（1）結合題意可得 g x = 3sin ê2 x - + = 3sin 2x - .
è 6
÷ ÷
6 ú è 6
因為 x
é 7π π ù π é 4π π ù
ê- ,- ，所以 2x - - , - . 12 12 ú 6 ê 3 3 ú
2x π 4π x 7π當 - = - ，即 = - 時， g x 3 3取得最大值 ；
6 3 12 2
π π x π當 2x - = - ，即 = - 時， g x 取得最小值-3 .
6 2 6
g x é 7π
é ù
故 在 ê- ,
π 3 3
- ù
12 12ú 上的值域為 ê
-3, ú .
2
命題點 2　函數零點(方程根)問題
【例題 4】（2023·河南·模擬預測）若關于 x 的方程 sin 2x + 2cos 2x = -2在[0, π) 內有兩個不同
的解a , b ，則 cos(a - b )的值為（ ）
A 5 B 5 C 2 5．- ． ．- D 2 5．
5 5 5 5
【答案】D
【分析】利用輔助角公式化簡已知方程，求得a - b ，進而求得 cos(a - b ) .
【詳解】關于 x 的方程 sin 2x + 2cos 2x = -2在[0, π) 內有兩個不同的解a , b ，
5
即 sin(2x +q ) 1 cosq 5 2 5= - （ = ,sinq = ，取q 為銳角）
2 5 5
在[0, π) 內有兩個不同的解a , b ，
2 5
即方程 sin(2x +q ) = - 在[0, π) 內有兩個不同的解a , b ．
5
不妨令0 a < b < π，由 x [0, π)，則 2x +q [q , 2π +q ) ，
所以 sin(2a +q ) 2 5= - ,sin(2b +q ) 2 5= - ，
5 5
所以 sinq = -sin(2a +q ) = -sin(2b +q ) ．則 2a +q = π +q , 2b +q = 2π -q ，
即 2a - 2b = -π + 2q ，
π
所以a - b = - +q , cos(a b ) cos q π 2 5- = -

÷ = sinq = ．2 è 2 5
故選：D．
π
【變式 1】（2022·陜西渭南·一模）若關于 x 的方程 2sin2 x - 3 sin 2x + m -1 = 0在 ,π ÷上有
è 2
實數根，則實數m 的取值范圍是 ．
【答案】[-2,1)
【分析】利用三角函數的倍角公式,將方程整理化簡,利用三角函數的圖象和性質,確定條件關
系,進行求解即可.
【詳解】Q 2sin2 x - 3 sin 2x + m -1 = 0，
\ 1- cos 2x - 3 sin 2x + m -1 = 0 ，
即 cos 2x + 3 sin 2x - m = 0，
\ 2sin(2x p ) m p m + = ，即 sin(2x + ) = ，
6 6 2
Q x π ,π 2x p 7p 13p ÷， + ( , )，
è 2 6 6 6
2x p 7p 13p m 7p 13p設 + = t, t ( , )，則 sin t = 在 t ( , ) 上有實數根，
6 6 6 2 6 6
\ m 7p 13p y1 = sin t ， y2 = 在 t ( , ) 的圖像有交點，如圖2 6 6
由于 sin
13p 1
=
6 2
m 1
由圖象可知， -1 < ，即-2 m < 1
2 2
故答案為：[-2,1)
【變式 2】（2022·全國·模擬預測）若方程 sin x cos x - 3 cos2 x 3 1+ = 在 0,p 上的兩個不
2 5
等實根為x1，x2，則 cos x1 - x2 = ．
1
【答案】 /0.2
5
【分析】利用二倍角公式及正弦函數的兩角差公式化簡原方程，利用正弦函數的對稱性得到
x1, x2 的關系式即可求解.
【詳解】解：
sinxcosx - 3cos2x 3 1+ = sin2x 3 1+ cos2x 3 1 3- × + = sin2x - cos2x = sin 2x p- 1
2 2 2 2 2 2 3 ÷
= ，
è 5
當 x 0,p p p p 1時，- < 2x p 5p- < ．由題意可得 sin 2x1 - ÷ = sin 2x 2 - ÷ = ，根據正弦3 3 3 è 3 è 3 5

2x
p p
1 - ÷ +
2x - 5p 5p
函數的對稱性得 3 2 3 ÷è è p ，即 x1 + x2 = ，則 x = - x= 6 2 6 1
，所以
2 2
cos x - x = cos éx - 5p x ù 5p p p p- = cos 2x - = cos 2x - - = sin 2x - 11 2 ê 1 6 1 ÷ú 1 6 ÷ 1 3 2 ÷ 1 3 ÷ = ． è è è è 5
1
故答案為： .
5
2023· · f x sin x cos x 3 cos2 x 3【變式 3】（ 上海寶山 二模）已知函數 = - + ．
2
(1)求函數 y = f x 的最小正周期和單調區間；
π
(2) é ù若關于 x 的方程 f x - m = 0在 x ê0, 2 ú 上有兩個不同的實數解，求實數m 的取值范圍．
é π 5π ù
【答案】(1)最小正周期T = π ；單調遞增區間為 êkπ - , kπ + k Z ；單調遞減區間為 12 12 ú
ékπ 5πê + ,kπ
11p
+ ùú k Z . 12 12
é 3
(2) ê ,12 ÷÷
【分析】（1）利用降冪公式和輔助角公式化簡函數解析式，用周期公式求周期，整體代入法
求函數單調區間；
（2）由區間內函數的單調性和函數值的變化范圍求解實數m 的取值范圍．
f x sin x cos x 3 cos2 x 3 1 sin 2x 3 cos 2x sin 2x π【詳解】（1） = - + = - =
2 2 2
- ÷，
è 3
y = f x T 2π則函數 的最小正周期 = = π2 ；
令 2kπ
π
- 2x π π- 2kπ + k π 5π Z ，解得 kπ - x kπ + k Z ，
2 3 2 12 12
可得函數 y = f x ékπ π 5π ù的單調遞增區間為 ê - , kπ + ú k Z · 12 12
2kπ π 2x π 2kπ 3π令 + - + k Z 5π 11p ，解得 kπ + x kπ + k Z ，
2 3 2 12 12
y f x ékπ 5π ,kπ 11p可得因數 = 的單調遞減區間為 ê + +
ù
ú k Z ； 12 12
é π ù é 5π ù é5π π ù
（2）由（1）可知， x ê0, 2 ú 時，
y = f x 在
ê
0,
12 ú
上單調遞增，在 ê , 上單調遞減， 12 2 ú
x é0, 5π ù π π當 ê ú， 2x -
é
ê- ,
π ù
， f x 3由 - 增大到 1，
12 3 3 2 ú 2
x é5π , π ù 2x π é π 2π當
ù
ê ， - , ， f x 1
3
由 減小到 ，
12 2 ú 3 ê 2 3 ú 2
若關于 x 的方程 f x - m = 0 x π在 é0, ùê 2 ú 上有兩個不同的實數解，則實數m 的取值范圍為
é 3
ê ,12 ÷÷
命題點 3　三角函數模型
【例題 5】（2024·四川涼山·三模）摩天輪是一種大型轉輪狀的機械建筑設施，游客坐在摩天
輪的座艙里慢慢地往上轉，可以從高處俯瞰四周景色．某摩天輪最高點距離地面高度為120m，
轉盤直徑為 110m，設置 48 個座艙，開啟后按逆時針方向勻速旋轉，游客在座艙轉到距離
地面最近位置進倉，轉一周大約需要 30min．某游客坐上摩天輪的座艙 10min 后距離地面高
度約為（ ）
55 3
A．92.5m B．87.5m C．82.5m D． + 652 ÷÷
m
è
【答案】A
【分析】以軸心O為坐標原點，與地面平行的直線為 x 軸建立平面直角坐標系，根據題意，
求得函數 f x = 55sin( π x π- ) + 65，令 t =10時，即可求解.
15 2
【詳解】設座艙距離地面的最近的位置為點 P ，以軸心O為原點，與地面平行的直線為 x 軸
建立平面直角坐標系，如圖所示，
設函數 f x = Asin(wx j) b(A 0,w π+ + > > 0, j )表示游客離底面的高度，
2
因為摩天輪的最高點距離地面為120m，直徑為110m，且轉一周大約需要30min ，
A + b =120, -A + b =10 A 55,b 65,w 2π π周期T = 30， ，所以 = = = = ，
T 15
即 f x = 55sin( π x +j) + 65，
15
當 t = 0min 時，游客在點P(0,-55)，其中以OP
π
為終邊的角為- ，
2
所以 f x = 55sin( π x π- ) + 65，
15 2
當 t =10時，可得 f 10 = 55sin(2π π- ) + 65 π= 55sin + 65 = 92.5m
3 2 6
所以，摩天輪的座艙 t =10后距離地面高度約為92.5m .
故選：A.
【變式 1】（2024·四川成都·二模）筒車亦稱“水轉筒車”，是一種以水流作動力，取水灌田的
工具，唐陳廷章《水輪賦》：“水能利物，輪乃曲成.升降滿農夫之用，低徊隨匠氏之程.始崩
騰以電散，俄宛轉以風生.雖破浪于川湄，善行無跡；既斡流于波面，終夜有聲.”如圖，一個
半徑為 4 m的筒車按逆時針方向每分鐘轉一圈，筒車的軸心 O 距離水面的高度為 2m .在筒車
轉動的一圈內，盛水筒 P 距離水面的高度不低于 4m 的時間為（ ）
A．9 秒 B．12 秒 C．15 秒 D．20 秒
【答案】D
【分析】畫出示意圖，結合題意和三角函數值可解出答案.
【詳解】假設 A,O, B所在直線垂直于水面，且 AB = 4 米，如下示意圖，
由已知可得OA = OB = 2,OP = OP1 = 4 ，
OB 1
所以 cos P1OB = = P1OB = 60°OP 2 ，處在劣弧P

1P1 時高度不低于 4米，
1
360°
轉動的角速度為 = 6° /每秒，
60
120
所以水筒 P 距離水面的高度不低于 4m 的時間為 = 20秒，
6
故選：D.
【變式 2】（2024·廣東佛山·二模）近年，我國短板農機裝備取得突破，科技和裝備支撐穩步
增強，現代農業建設扎實推進.農用機械中常見有控制設備周期性開閉的裝置.如圖所示，單
位圓 O 繞圓心做逆時針勻速圓周運動，角速度大小為 2πrad/s ，圓上兩點 A，B 始終滿足
AOB 2p= ，隨著圓 O 的旋轉，A，B 兩點的位置關系呈現周期性變化.現定義：A，B 兩點
3
的豎直距離為 A，B 兩點相對于水平面的高度差的絕對值.假設運動開始時刻，即 t = 0秒時，
點 A 位于圓心正下方：則 t = 秒時，A，B 兩點的豎直距離第一次為 0；A，B 兩點的豎
直距離關于時間 t 的函數解析式為 f t = .
1
【答案】 3 | sin(2πt
π
+ ) |
3 3
【分析】以 O 為原點，以 OA 所在直線為 y 軸建立平面直角坐標系，利用三角函數定義表示
點 A, B的坐標，由已知結合和角的正弦公式化簡即得.
【詳解】以 O 為原點，以 OA 所在直線為 y 軸，建立平面直角坐標系，由于角速
w = 2πrad/s ，
設點 A(cos(2πt
π
- ),sin(2πt π- )) 2p，圓上兩點 A、B 始終保持 AOB = ，
2 2 3
則B(cos(2πt
π
+ ),sin(2πt π+ ))，要使 A、B 兩點的豎直距高為 0，
6 6
則 sin(2πt
π
- ) = sin(2πt π π 1+ )，第一次為 0 時， 4πt - = π ，解得 t = ，
2 6 3 3
f (t) =| sin(2πt π+ ) - sin(2πt π- ) | 3=| sin 2πt 1+ cos 2πt + cos 2πt |
6 2 2 2
| 3= sin 2πt 3+ cos 2πt |= 3 | sin(2πt π+ ) | .
2 2 3
1 π
故答案為： ； 3 | sin(2πt + ) |
3 3
【點睛】關鍵點點睛：涉及三角函數實際應用問題，探求動點坐標，找出該點所在射線為終
邊對應的角是關鍵，特別注意，始邊是 x 軸非負半軸
【變式 3】（2023·江西鷹潭·模擬預測）如圖，均勻的圓面繞圓心O作逆時針方向的勻速旋轉，
π
圓面上一初始位置為 A 點，t 秒后轉到點 B，旋轉的角速度為w = rad / s ，在旋轉圓面的
30
右側有一固定相機 C（C，O兩點在 AB 的兩側），且OA = 5m， AC = 7m .
(1)記旋轉角為q .若q 2n +1 π,2 n +1 π n N ，求 t 的取值范圍及弦 AB 的長度；
(2)在（1）的條件下，若 t =110s ，BC = 8m，求OC 的長.
【答案】(1) t 30 + 60n,60 + 60n n π N ； AB =10 sin t 米；
60
(2) 129 米.
【分析】（1）延長 AO 交圓于 D，計算旋轉一周的時間，第一次到 D 和第二次到 D 的時間，
由此可得 t 的取值范圍，利用圓的性質解VOAB求 AB ；
（2）求出 t =110s 時 AB 的值，再由余弦定理求 ABC ，結合余弦定理可求OC .
【詳解】（1）如圖所示，延長 AO 交圓于 D，
2π
根據題意可知，旋轉一周的時間T = = 60 秒，
w
所以第一次旋轉到 D 用 30 秒，第二次旋轉到 D 用 30+60 秒，
所以q 2n +1 π,2 n +1 π n N 時，
t 30 + 60n,60 + 60n n N ，
π π
又因為 t + AOB = 2 n +1 π AOB = 2 n +1 π - t ，
30 30
AOB π π
在VOAB中， AB = 2AO ×sin =10sin
é ù
2 ê
n +1 π - tú =10 sin t ， 60 60
π
（2）由（1）知， t =110s 時 AB =10 sin 110 = 5，
60
在VABC 中 ABC 0, π ，由余弦定理易知
2 2 2 2
cos ABC AB + BC - AC 5 + 8
2 - 72 1 π
= = = ABC = ，
2AB × BC 80 2 3
又因為 OA = OB = AB
π 2π
，所以 OBA = ABC = OBC = ，
3 3
在△OBC 中，由余弦定理易知OC 2 = OB2 + BC 2 - 2OB × BC ×cos OBC =129 OC = 129
【課后強化】
【基礎保分練】
一、單選題
1．（2024·河北邯鄲·模擬預測）若函數 y = 3 cos wx +j w > 0,-π < j < π 的部分圖象如圖
所示，M -3, 3 ， N 1, - 3 為圖象上的兩個頂點.設 MON = q ，其中 O 為坐標原點，
0 q π，則 sin q +j 的值為（ ）
A 6 + 2 B 6 + 2 3 +1 3 +1．- ． C． - D．
4 4 2 2
【答案】A
【分析】首先由已知條件列出方程組求解得j ，再利用向量求出夾角q ，最后求得 sin q +j
即可.
T 2π π
【詳解】由圖可知， = 4，T = 8 = ，w = ，
2 w 4
ì π
ì 3 cos -3w +j = 3 w = 4
由題意知 í ，解得 í .
3 cos w +j = - 3 j 3π=
4
uuuur uuur
又因為OM = -3, 3 ，ON = 1,- 3 ，且 MON = q ，
uuuur uuur
cosq uOuuMur ×O則 = uu
Nur -6 3= = -
OM × ON 2 3 2 2 ，
因為0 q π，所以q
5π
= .
6
sin q j sin 3π 5π所以 + = + ÷ = sin
3π cos 5π cos 3π sin 5π+
è 4 6 4 6 4 6
2 3 2 1 6 + 2
= -2 2 ÷÷
+ - ÷÷ = - .
è è 2 2 4
故選：A
2．（2024·陜西西安·模擬預測）已知函數 f x = Asin wx +j (A > 0,w > 0, j < π) 的部分圖像
f π 7π 如圖所示，則 ÷ + f -4 ÷
= （ ）
è è 6
A 2 + 3 B 2 C 0 D 6． ． ． ．
2 2 2
【答案】B
【分析】結合函數圖像可求得函數的解析式，然后代入計算可得到結果.
T 7π π π
= - = T 2π【詳解】由圖可得 A = 2 ， ， = = π w = 24 12 3 4 w
，所以 ，
所以 f x π= 2sin 2x +j ，因為 ,0

÷在函數的圖像上，
è 3
π π 2π
可得 f ÷ = 2sin 2 +j ÷ = 0 ，解得 +j = π + 2kπ k Z ，
è 3 è 3 3
π
因為 j < π，所以j = ， f x π= 2sin
3
2x + ÷，
è 3
f π f 7π π π 7π π所以 ÷ + - ÷ = 2sin 2 +

÷ + 2sin
-2 +
è 4 è 6 è 4 3 è 6 3 ÷
1 2
= 2 + 2sin -2π = .
2 2
故選：B.
3．（2024·吉林長春·模擬預測）已知函數 f x = sin wx +j ，如圖 A, B 1是直線 y = 與曲線
2
y f x π 13π 5π= 的兩個交點， AB = , f = -1，則 f =（ ）
6 24 ÷ ÷ è è 6
A 0 B 1． ． 2 C
3 3
． D． -
2 2
【答案】C
A x , 1 , B x , 1 π 1【分析】設 1 ÷ 2 ÷ ，依題可得， x - x = ，結合 sin x = 的解可得
è 2 è 2 2 1 6 2
w x x 2π2 - 1 = ，從而得到w f
13
的值，再根據 π ÷ = -1即可得 f (x) = sin

4x
2
- π
3 ÷
，進而
è 24 è 3
5π
求得 f ÷ ．
è 6
1
【詳解】設 A x1, , B x ,
1 π
，由 AB = 可得 x
π
- x = ，
è 2 ÷ 2 è 2 ÷ 6 2 1 6
sin x 1 x π 2kπ x 5π由 = 可知， = + 或 = + 2kπ， k Z，由圖可知，
2 6 6
當w > 0時，wx2 +j - wx j
5 π π 2π w x x 2π1 + = - = ，即 2 - 1 = ，\w = 4 ；6 6 3 3
5 π 2π 2π
當w < 0 時，wx1 +j - wx2 +j = π - = ，即w x1 - x2 = ，\w = -4；6 6 3 3
綜上：w = ±4 ；
因為同一圖象對應的解析式是一樣的，所以此時不妨設ω = 4，則 f x = sin 4x +j ，
f 13π sin 13π 因為 =24 ÷
+j
6 ÷
= -1，
è è
13π
則 +j = 2kπ
3π 2π
+ , k Z，解得j = - + 2kπ,k Z，
6 2 3
所以 f (x) = sin

4x
2π
- + 2kπ = sin 4x 2- π ，
è 3 ÷ ÷ è 3
f 5π 10π 2 2π 2π 3\ ÷ = sin - π ÷ = sin 2π + ÷ = sin = ．
è 6 è 3 3 è 3 3 2
故選：C.
4．（2024·湖北武漢·模擬預測）若函數 f x = sinwx + 3coswx (w > 0) 在區間[a,b]上是減函
數，且 f a =1， f b = -1，b - a = π ，則w =（ ）
1 2
A． B． C．1 D3 ．23
【答案】A
【分析】利用輔助角公式化簡函數表達式，根據單調性與函數值，結合正弦函數的圖象，確
wa π π定 + 與wb + 的值，兩式相減，即可求出w 的值.
3 3
【詳解】由題知 f x = sinwx + 3coswx = 2sin wx
π
+ ÷，
è 3
因為 f a =1， f b = -1，
sin wa π 1 sin π+ = 1所以 3 ÷
，
2
wb + = -
è è 3 ÷ 2
又因為 f x 在區間[a,b]上是減函數，
wa π 5π所以 + = + 2kπ k Z π 7π，wb + = + 2kπ k Z
3 6 3 6
π
兩式相減，得w b - a = ，
3
因為b - a = π ，所以w
1
= .
3
故選：A.
二、多選題
5．（2024·遼寧丹東·一模）已知函數 f (x) = sin(wx +j)（w > 0， |j |< π ）滿足
- f π = f π = f 2π ÷ ÷ ÷，且 f x
π π
在
6 2 3
,
6 2 ÷上單調遞減，則（ ）è è è è
π π
A．j = B． f (x - )為奇函數
3 12
f x x π kπC． 的對稱軸為 = + ， k Z D． f x 在 0, π 上有 3 個零點
12 2
【答案】AC
π 7π
【分析】先通過條件推知 ,0÷是 f x 3 的對稱中心，以及 x = 是 f x 的的對稱軸，然后è 12
f x π , π f π π π 結合 在 6 2 ÷上單調遞減得出 = 1， f x 在 , 上單調遞減，再推知è è12 ÷ è12 2 ÷
f x = sin 2x π+ π ÷，至此可直接驗證 A 正確，而驗證 f ÷是否為 0 即可判斷 B，分別解
è 3 è12
sin 2x π方程 +
=1和 sin
2x π+ = 0 即可判斷 C 和 D.
è 3 ÷ è 3 ÷
f x π , π π π 1 π π π【詳解】由于 在 6 2 ÷上單調遞減，- f ÷ = f ，故 + = 對應的點è è 6 è 2 ÷ 2 ÷ è 6 2 3
π ,0 f x f π ÷是 的對稱中心，即 ÷ = 0 .
è 3 è 3
同樣地由于 f x π π π π 2π在 , ÷上單調遞減，故最小正周期T 2 - ÷ = .
è 6 2 è 2 6 3
同時，由于對任意的實數 a，方程 f x = a在一個形如 u,u +T 的區間上至多有兩個根，且
在有兩個根的情況下，這兩個根的平均值 x0 對應的直線 x = x0一定是 f x 的的對稱軸，而
f π f 2π= 2π π π π 2π π π 2π π π ÷ ÷， = + < + +T
é
，從而 , , +T ÷，故
è 2 è 3 3 2 6 2 3 2 2 3 ê 2 2
x 1 π 2π 7π0 = + ÷ =
7π
對應的直線 x = 一定是 f x 的的對稱軸.
2 è 2 3 12 12
π
現在，由于 ,0
7π π
÷是 f x 的對稱中心， x = 是 f x 3 的的對稱軸，故 x = 是 f x 的對è 12 12
稱軸. 而 f x π , π π π π π T f π π π- = < = 1 f x , 在
è 6 2 ÷
上單調遞減， ，故 ， 在
6 12 12 3 2 12 ÷ ÷è è12 2
上單調遞減.
π T π π 2π
再由 ,0÷是 f x 的對稱中心，就知道 = - ，所以T = π ，故w = = 2 .
è 3 4 3 12 T
π π
此時得到 f x = sin 2x +j ，代入 f π π 12 ÷ = 1得 sin +jè 6 ÷
=1，即 +j = + 2kπ k Z .
è 6 2
π π π
從而j = + 2kπ k Z ，由 j < π知 k = 0，所以j = ，即 f x = sin
3 3
2x + ÷ .
è 3
經驗證， f x = sin 2x
π
+
3 ÷
滿足條件.
è
然后逐一驗證各個選項：
π
我們已經推出j = ，故 A 正確；
3
由 f
π sin π π 1 π - =

÷ - + ÷ = 0，知函數 f x - ÷ 在 x = 0處有定義但不過原點，從而不
è 12 è 6 3 2 è 12
可能是奇函數，B 錯誤；
由于 f x =1當且僅當 sin 2x π+ =1 2x π π kπ k Z x π kπ ÷ ，即 + = + ，即 = + k Z ，
è 3 3 2 12 2
f x x π kπ故 的對稱軸是 = + k Z ，C 正確；
12 2
π
由于 f x = 0當且僅當 sin 2x +

÷ = 0 2x
π
，即 + = kπ k Z x π kπ，即 = - + k Z ，故
è 3 3 6 2
f x 在 0, π π 5π上的全部零點是 , ，只有 2 個，D 錯誤.
3 6
故選：AC.
6．（2024·山東日照·二模）已知函數 f x = Asin wx +j A > 0,w > 0,0 < j < π 的部分圖象
如圖中實線所示，圖中圓C 與 f x 的圖象交于M , N 兩點，且M 在 y 軸上，則下列命題正
確的是（ ）
A．函數 f x 的最小正周期是 π
B．函數 f x 7π π在 - ,-

÷上單調遞減
è 12 3
C．函數 f x π π的圖象向左平移 個單位后關于直線 x = 2 對稱12
5π
D．若圓C 的半徑為 ，則 f x 3π= sin 2x π+
12 6 ֏ 3
【答案】ACD
【分析】A 選項，先求出C 點的橫坐標，求出最小正周期，A 正確；B 選項，求出
w 2π π= = 2，得到特殊點的函數值得到j = ，得到函數解析式，整體法得到 f x 在
T 3
7π π
- ,-
π
÷上不單調遞減，B 錯誤；C 選項，求出向左平移 個單位的解析式，代入檢驗得
è 12 3 12
5π π π
到 C 3π正確；D 選項，由 CM = 和勾股定理得到 OM = ，代入 0,12 4 4 ÷
求出 A = ，得到
è 6
函數解析式.
0 2π+
【詳解】A 選項，由對稱性可知C 點的橫坐標為 3 π= ，
2 3
設 f x 1 T π π π的最小正周期為T ，則 = - - ÷ = ，解得T = π ，A 正確；2 3 è 6 2
2π
B 選項，因為w > 0，所以w = = 2，
T
π π- 3 6 ÷, A π , A π 點 ÷在圖象上，即點 ÷在圖象上，將其代入函數解析式得 Asin +j ÷ = A，
2 ÷ è12 è 6
è
又0 < j < π
π j π j π，故 + = ，解得 = ，
6 2 3
故 f x = Asin 2x
π
+
3 ÷
，
è
7π x π 5π π π當- < < - 時，- < 2x + < - ，
12 3 6 3 3
又 A > 0 ， y = sin z z
5π π
在 - ,-

÷上不單調，
è 6 3
故函數 f x 7π π 在 - ,- ÷上不單調遞減，B 錯誤；
è 12 3
π
C 選項，函數 f x 的圖象向左平移 個單位后得到
12
g x = Asin 2x π π+ + ÷ = Asin
2x π+ ÷ = Acos 2x，
è 6 3 è 2
g π 其中 ÷ = Acos π = -A，故 g x π關于直線 x = 對稱，C2 正確；è 2
5π 5π
D 選項，若圓C 的半徑為 ，即 CM = ，
12 12
x π= π
2 2
+ OM 2 5π 又 M ，故 ÷ = ÷ ，解得 OM
π
= ，
3 è 3 è 12 4
0, π 所以將 ÷代入 f x = Asin
2x π+ π π 3π ÷ 中得， Asin = ，解得 A = ，
è 4 è 3 3 4 6
則 f x 3π= sin 2x
π
+ ，D 正確.
6 è 3 ÷
故選：ACD
三、填空題
7．（22-23 高三上·河北·階段練習）如圖是函數 f x = K sin wx j K 0,w π π+ > > 0,- < j <

÷
è 2 2
的部分圖象，A 是圖象的一個最高點，D 是圖象與 y 軸的交點，B，C 是圖象與 x 軸的交點，
D 0, -1 V π πABC 且 ， 的面積等于 ．若 x ,π ÷時，關于 x 的方程[ f (x)]2 - (m +1) f (x) + m = 02 è12
恰有 3 個不同的實數根，則 m 的取值范圍是 ．
【答案】[-1,0]U{-2,2}
π
【分析】根據三角函數的圖象特征可求解析式為 f (x) = 2sin 2x - ÷，根據 f x =1以及
è 6
f (x) = m 有一共 3 個交點即可求解.
【詳解】由題意可得K = 2, S
1 1 π
△ABC = | BC | ×yA = | BC | ×2 = ，2 2 2
設 f (x)
T 2π π
的最小正周期為 T，則 = =| BC |= ，即w = 2．所以 f (x) = 2sin(2x +j) ，又圖
2 2w 2
π π π
象過點 D(0,-1)，則 f (0) = 2sinj = -1，又因為- < j < ，所以j = - ，所以
2 2 6
f (x) = 2sin 2x π- ÷，
è 6
x π ,π 2x π 0,11π π當 ÷時， - ÷， f (x)

在 ,π

上先增后減再增，且
è12 6 è 6 è12 ÷
f π = 0, f π 2 π ÷ ÷ = 2, f (π) = -1，由[ f (x)] - (m +1) f (x) + m = 0，解得 f (x) = 1在 ,π12 3 12 ÷
上有 2
è è è
個不同的實數根，所以 f (x) = m需要有 1 個實數根，此時-1 m 0 ，或m = ±2，故 m 的取
值范圍為[-1,0]U{-2,2}．
故答案為：[-1,0]U{-2,2}
8．（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x = sin wx + j w > 0,0 < j < π 的部分圖象如圖所
示，將 f x 2圖象上所有點的橫坐標縮小為原來的 m > 0 ，縱坐標不變，得到 g x 的圖
m
象，若 g x 在區間 0, π 上恰有兩個極大值點，則實數 m 的取值范圍是 ．
25 49ù
【答案】 ,
è 12 12 ú
【分析】結合圖象求得 f x 的最小正周期，即可求得w = 2，然后結合圖象上的點的坐標及
0 < j < π j 5π可求得 = ，得到 f x 的解析式，進而利用三角函數圖象的變換法則得到 g x
12
的解析式，最后利用正弦函數的圖象求得 m 的取值范圍．
【詳解】設 f x 1 13π 7π π的最小正周期為 T，則由圖象知 T = - = T = π，
4 24 24 4
2π
所以w = = 2，則 f x = sin 2x +j ，
T
f x x 13π由 在 = 處取得最小值，可得 2 13π 3π +j = + 2kπ， k Z，
24 24 2
5π
得j = + 2kπ ， k Z．因為0 < j < π
5π
，所以j = ，
12 12
所以 f x = sin 2x 5π +

÷ ；
è 12
ìw 7π +j = π + 2kπ 24 5π
（或由題意可得 í ， k Z，亦可得 f x = sin 13π 3π 2x + ÷ ） w +j 12= + 2kπ è
24 2
g x 5π= sin mx +

12 ÷
，
è
由 x 0, π mx 5π 5π，得 + ,mπ 5π+ ，
12 ֏ 12 12
5π mπ 5π 9π 25 m 49所以由題意得 < + ，解得 < ，
2 12 2 12 12
25 , 49 ù即實數 m 的取值范圍是 ．
è 12 12 ú
25 , 49 ù故答案為： ú .è 12 12
9．（2024·江西南昌·一模）“南昌之星”摩天輪半徑為 80 米，建成時為世界第一高摩天輪，成
為南昌地標建筑之一.已知摩天輪轉一圈的時間為 30 分鐘，甲乙兩人相差 10 分鐘坐上摩天
輪，那么在摩天輪上，他們離地面高度差的絕對值的取值范圍是 .
【答案】 é 0,80 3ù
【分析】由已知設甲乙兩人坐上摩天輪的時間分別為 t ， t +10，得到甲乙兩人坐上摩天輪轉
π π 2π
過的角度，分別列出甲乙離地面的高度 h1 = 80 -80cos t ， h2 = 80 -80cos15
t +
15 3 ÷
，然
è
π π
后得到 h1 - h2 = 80 3 sin t + ÷ ，由 t 的取值范圍即可求解.
è15 3
【詳解】設甲乙兩人坐上摩天輪的時間分別為 t ， t +10，
2π π 2π π 2π
則甲乙兩人坐上摩天輪轉過的角度分別為 t = t ， t +10 = t + ，
30 15 30 15 3
π
則甲距離地面的高度為 h1 = 80 -80cos t ，15
π 2π
乙距離地面的高度為 h2 = 80 -80cos t + ÷，
è15 3
則 h1 - h2 = 80 -80cos
π t -80 + 80cos π 2π
15
t +
è15 3 ÷
80cos π t 2π= + ÷ -80cos
π t = 80 cos π t cos 2π - sin π t sin 2π - cos π t
è15 3 15 15 3 15 3 15
= 80 3 cos π t 3 sin π- - t = 80 3 3 cos π t 1 π+ sin t = 80 3 sin π t π+
2 15 2 15 2 15 2 15 è15 3 ÷
0 π t π 7π因為0 t 30 ，所以 + ，所以0 sin
π
t
π
+ ÷ 1，15 3 3 è15 3
即 h1 - h é0,80 3ù2 .
故答案為： é 0,80 3ù .
四、解答題
10．（23-24

高三上·山西·階段練習）已知函數 f (x) = 2sin(wx + j) w
π
> 0,|j |<
2 ÷的部分圖象如圖è
所示．
(1)求 f (x) 的解析式；
(2) f (x) é0,
π ù
求 在 ê 2 ú 上的值域．
π
【答案】(1) f (x) = 2sin 2x -

3 ֏
(2)[- 3,2]
T 2π= 2 f (x) x 5π π【分析】（1）根據 = j = -| w | 得到w = ，根據 的圖象關于直線 對稱得到 3 ，即12
可得到 f x 的解析式；
（2）根據正弦型函數的單調性求值域即可.
5π π
【詳解】（1）由圖可得， f (x) 的最小正周期T = 4

-12 6 ÷
= π ．
è
2π
因為T = | w | ，且w > 0，所以w = 2．
因為 f (x)
5π
的圖象關于直線 x = 對稱，
12
所以2
5π
+j π= + 2kπ,k Z π，解得j = - + 2kπ,k Z．
12 2 3
因為 |j |
π π
<
2 ，所以
j = -
3 ．
故 f (x) = 2sin 2x
π
-
3 ÷．è
0 x π π 2x π 2π（2）由 ，得- - ．
2 3 3 3
2x π π x 5π當 - = ，即 = 時， f (x) 取得最大值，最大值為 2；
12 3 2
當 2x
π π
- = - ，即 x = 0時， f (x) 取得最小值，最小值為- 3 ．
3 3
故 f (x)
é π ù
在 ê0, 上的值域為[- 3,2]． 2 ú
11．（2023·四川綿陽·一模）已知函數 f (x) = Asin(wx +j)

A > 0,w > 0,|j |
π
< 的部分圖象如
è 2 ÷
圖所示．
(1)求函數 f (x) 的解析式；
f (x) π(2)將函數 的圖象向右平移 個單位長度，得到 g(x)的圖象，求函數 y = g(x) 在 x é0,
p ù
3 ê 2 ú
上的單調遞減區間．
【答案】(1) f (x) = 3sin 2x
π
+
è 3 ÷
é5π
(2) ê ,
π ù
12 2 ú
【分析】（1）根據函數圖象求出 A = 3 ，T = π ，進而得出w .根據“五點法”，即可求出j 的
值；
（2）先求出 g(x) = 3 sin
π p p 2p
2x - 3 ÷，根據已知得出
- 2x - .結合正弦函數的單調性，
è 3 3 3
π π 2π
解 2x - ，即可得出答案.
2 3 3
T 5π π π
【詳解】（1）由圖易知 A = 3 ， = - = ，2 6 3 2
2π 2π
所以T = π ，w = = = 2 ．
T π
T π
易知 = ，故函數 f (x) 的圖象經過點M
π , 3
4 4 12 ÷
，
è
3 sin 2 π 所以 + j ÷ = 3 ．
è 12
j π π又 < ，∴j = ．
2 3
∴ f (x) 3 sin 2x
π
= +

÷ ．
è 3
g(x) 3 sin é2 x π π ù= - + = 3 sin π （2）由題意，易知 ê 3 ÷ 3 ú
2x - ÷，
è è 3
0 x p p 2x p 2p因為 時，所以- - .
2 3 3 3
π 2x π 2π 5π π解 - 可得， x ，
2 3 3 12 2
g(x) = 3 sin 2x π- 此時 3 ÷單調遞減，è
é5π
ê ,
π ù
ú
故函數 y = g(x) 的單調遞減區間為 12 2
【綜合提升練】
一、單選題

1．（2024·四川·模擬預測）已知函數 f x = sin wx -j w > 0,0 < j
π
< ÷的部分圖象如圖所
è 2
示，則下列結論正確的是（ ）．
x 2πA．當 , π

÷時， f x 3的最小值為 -
è 3 2
B． f x é π在區間 ê ,
π ù
上單調遞增
4 2 ú
C． f x 的最小正周期為 2π
π
D． f x 的圖象關于直線 x = 3 對稱
【答案】D
【分析】先由函數圖象得到函數解析式，A 選項，整體法求解函數的值域；B 選項，整體法
2π π
求解函數單調性；C 選項，利用 = π 得到 C 正確；D 選項，代入得到 f ÷ =13 ，
D 正確.
w è
【詳解】由圖可知， f 0 1= sin -j = - ，
2
ìw 5π - π ÷ - = 2kπ - π,k Z
π π è 12 6
又因為 0 < j < j =2 ，所以 ，所以6 í
，
0 5π 2π -

-
<
è 12
÷
2w
所以w = 2，即 f x sin π= 2x - ÷．
è 6
2π π 7π 11π é 1
對于 A：當 x , π ÷， 2x - 3 6
, ÷，∴ f x 6 6 ê-1, - 2 ÷，A 錯誤；è è
é π
對于 B： x ê ,
π ù π é π 5π ù
ú ， 2x - ê , ú ， 4 2 6 3 6
é π π ù
由于 y = sin z 在 z ê , ú 上單調遞增，在 z
π
éê ,
5π ù
3 2 2 6 ú
上單調遞減，

所以 f x é π在 ê ,
π ù
ú上先增后減，B 錯誤； 4 2
2π
對于 C： f x 的最小正周期為 = π ，C 錯誤；
w
π π π
x π 對于 D：當 = 3 時，
2x - = ，故 f =1，
6 2 3 ֏
所以 f x π的圖象關于直線 x = 3 對稱，D 正確，
故選：D．
1 π
2．（2024·陜西渭南·三模）將函數 y = 2sin x + ÷的圖象向左平移j j > 0 個單位長度，
è 2 4
所得圖象關于原點對稱，則j 的值可以為（ ）
π π 3π 3π
A． B． C． D．
4 2 4 2
【答案】D
【分析】根據三角函數的圖象變換，整理變換之后的函數解析式，結合三角函數的奇偶性，
可得答案.
é1 π ù
【詳解】由題意可知函數 y = 2sin ê x +j + ú = 2sin
1 x 1 π + j +

÷ 的圖象關于原點對稱，
2 4 è 2 2 4
1
則 j
π π
+ = kπ k Z ，整理可得j = - + 2kπ k Z ，
2 4 2
k 3π當 =1時，j = .
2
故選：D.
3．（2023·遼寧撫順·模擬預測）水車是古老黃河的文化符號，是我國勞動人民智慧的結晶，
是最早的自動灌溉系統．黃河邊上的一架水車直徑為 16 米，入水深度 4 米，為了計算水車
的旋轉速度，某人給剛出水面的一個水斗（圖中點 A）做上記號，經過 60 秒該水斗到達水
車最頂端（圖中點 B），再經過 11 分 20 秒，做記號的水斗與水面的距離為 n 米，則 n 所在
的范圍是（ ）
A． 0,4 B． 4,8 C． 8,10 D． 10,12
【答案】B
34
【分析】理解題意，可列出時間 x（分鐘）后距離水面高度 y 滿足關系，從而可將 x = 代
3
入即可得出結論.
【詳解】以水面與水車的交線為 x 軸，過水車軸垂直水面的直線為 y 軸建立平面直角坐標系，
2p
水斗從 A 轉到 B，則轉過的角為 3 ，從點 B 開始，記水斗經過時間 x（分鐘）后距離水面
高度 y 滿足關系； y = 8sin
2p p
x +
1 34
÷ + 4，又當 x =11+ = 分鐘時，
è 3 2 3 3
y = 8sin 2p 34 p + ÷ + 4 = 8sin
p
+ 4 4,8 ．
è 3 3 2 18
故選：B．
4．（2024·廣東廣州·二模）已知函數 f (x) = 2sin(wx +j)(w > 0,|j |
π
< )的部分圖象如圖所示，
2
若將函數 f (x) 的圖象向右平移q (q > 0)個單位后所得曲線關于 y 軸對稱，則q 的最小值為
（ ）
π π 3π π
A． B C D8 ． ． ．4 8 2
【答案】A
【分析】根據給定的圖象特征，結合五點法作圖列式求出w 和j ，再根據圖象的平移變換，
以及圖象的對稱性即可得解.
π π 2 π
【詳解】由 f ( ) = 1，得 sin( w +j) = ，又點 ( ,1) 及附近點從左到右是上升的，則
4 4 2 4
π w +j π= + 2kπ,k Z，
4 4
f (5π由 ) = 0，點 (
5π ,0)及附近點從左到右是下降的，且上升、下降的兩段圖象相鄰，得
8 8
5π w +j = π + 2kπ,k Z，
8
π
聯立解得w = 2，j = - + 2kπ,k
π π
Z，而 |j |
π
<
2 ，于是
j = - ， f (x) = 2sin(2x - )，
4 4 4
π
若將函數 f (x) 的圖像向右平移q (q > 0)個單位后，得到 y = sin(2x - 2q - )，
4
則-2q
π π 3π kπ
- = - kπ,k Z ，而q > 0，因此q = - + ,k N ，
4 2 8 2
所以當 k =1時，q π取得最小值為 .8
故選：A
5．（2024·陜西安康·模擬預測）已知函數 f x = Asin wx +j (A > 0,w > 0, π < j < 2π)的部分
π 5π
圖象如圖所示，其圖象上最高點的縱坐標為 2，且圖象經過點 0, -1 , ,13 ÷，則 f - =è è 6 ÷
（ ）
A． 3 B．1 C．－1 D．- 3
【答案】A
π
【分析】先通過圖象經過點 0, -1 , ,1÷列方程求出w,j ，進而可得 f x 的解析式，再代
è 3
x 5π入 = - 計算即可.
6
【詳解】由已知得 A = 2，
所以 f x = 2sin wx +j ，
0, 1 , π又圖象經過點 - ,1

3 ÷
，
è
ì f 0 = 2sinj = -1 ì sinj
1
= -
2
則 í f π
，即 ，
÷ = 2sin
π
w +j

÷ =1
í
π 1
è 3 è 3 sin w +j ÷ = è 3 2
又 0, π-1 為單調減區間上的點， ,1

÷為單調增區間上的點，且在一個周期內，
è 3
ìj 5π= - + 2kπ
6
所以 í ,k Z
π
，
w π+j = + 2kπ
3 6
π
兩式相減得 w = π，所以w = 3，又 π < j < 2π ，
3
7π
所以j = ，
6
f x = 2sin 3x 7π+ 所以 ÷ ，
è 6
f 5π 2sin 5π 7π 4π 所以 - ÷ = - + ÷ = 2sin - ÷ = 2sin
2π
= 3 .
è 6 è 2 6 è 3 3
故選：A.
6．（2024·甘肅酒泉·三模）函數 f x = Asin wx +j A > 0,w > 0, -π < j < 0 ，其部分圖象如
圖所示，則wj =（ ）
5π 5π 10π
A．- B - C - D
5π
． ． ． -
2 3 3 6
【答案】B
2π
【分析】根據最值可得 A =1，最小正周期可得w = 2，分析可知 x = 為 f x 3 的最大值點，
j 5π進而可得 = - ，即可得結果.
6
【詳解】設 f x 的最小正周期為T ，
T 11π 5π π
由題意可知： A =1， = - = ，即T = π ，
2 12 12 2
2π
且w > 0，則w = = 2，
T
可得 f x = sin 2x +j ，
5π 11π
+
由圖象可知： x = 12 12 2π f x= 為 的最大值點，
2 3
4π j 2kπ π則 + = + , k Z ，解得j = 2kπ
5π
- , k Z，
3 2 6
且-π < j < 0 k
5π 5π
，可知 = 0,j = - ，所以wj = - .
6 3
故選：B.
π
7．（23-24 高三下·河南·階段練習）已知函數 f (x) = 3sin 2x - ÷ - 4cos
2x π -

÷，將 f (x) 的
è 3 è 3
π
圖象向左平移 個單位長度后，得到函數 g(x)的圖象．若x1，x2是關于 x 的方程 g(x) = a6
é π ù π
在 ê0, 2 ú 內的兩個不同的根，則
sin + x1 + x2 ÷ =（2 ） è
- 3 3 4 4A． B． C．- D．
5 5 5 5
【答案】C
【分析】利用輔助角公式化簡 f (x) ，根據圖象的平移變換可得 g(x)的表達式，再結合題意
π
利用正弦函數的對稱性可得 x1 + x2 = +j ，即可求得答案.2
π
【詳解】 f (x) = 3sin 2x - ÷ - 4cos
π π
3
2x - ÷ = 5sin 2x - -j ÷，
è è 3 è 3
其中j
3 π
為輔助角， sinj
4
= ， cosj = j
0, ，
5 5 ÷÷è è 2
則 g(x) = f

x
π
+ ÷ = 5sin
é2 ê x
π π
+ ÷ - -j
ù
ú = 5sin(2x -j)，è 6 è 6 3
當 x
π
é ùê0, 時， 2x -j [-j, π -j]，-j
π - ,0 ， π -j
π , π ，
2 ú ÷ ÷è 2 è 2
x x é因為 0,
π ù
1，x2是關于 的方程 g(x) = a在 ê 2 ú 內的兩個不同根，
2x -j + 2x -j π π
所以 1 2 = x1 + x2 = +j ，2 2 2
sin π因此 + x1 + x

2 ÷ = sin(π
4
+j) = -sinj = - ．
è 2 5
故選：C．
π
8．（2024·重慶·模擬預測）將函數 f x = sin 2x -

÷的圖象向右平移j j > 0 個單位后，所
è 3
得圖象關于坐標原點對稱，則j 的值可以為（ ）
2π π π π
A． B． C． D．
3 3 6 4
【答案】B
π
【分析】由三角函數的平移變化結合奇函數的性質可得 2j + = kπ，k Z ，解方程即可得
3
出答案.
【詳解】因為 f x 向右平移j 個單位后解析式為 y=sin 2x
π
- 2j - ÷，
è 3
又圖象關于原點對稱，
2j π\ + = kπ π kπ π，k Z，\j = - + ,k Z，Qj > 0，\k =1時，j = ，
3 6 2 3
故選：B.
二、多選題
π
9．（2024·安徽合肥·三模）已知 x1, x2 是函數 f (x) = 2sin wx - ÷ (w > 0) 的兩個零點，且 x1 - x
è 6 2
π
的最小值是 ，則（ ）
2
π
f (x) é0, ùA． 在 ê ú 上單調遞增 3
B． f (x)
π
的圖象關于直線 x = - 對稱
6
C． f (x) 的圖象可由 g(x) = 2sin 2x
π
的圖象向右平移 個單位長度得到
6
π
D． f (x)
é
在 ê , π
ù
2 ú上僅有
1 個零點

【答案】ABD
【分析】依題意可得 f (x) 的最小正周期T = π ，即可求出w ，從而得到 f x 解析式，再根據
正弦函數的性質一一判斷即可.
π 2π
【詳解】由題意可知，函數 f (x) 的最小正周期T = 2 = ，\w = 2，
2 w
\ f (x) = 2sin 2x π -

÷．
è 6
é π ù
對于A ，當 x ê0, ú 時， 2x
π π π
- é- , ù
3 6 ê 6 2 ú
，

π
因為 y = sin x
é π π ù
在 ê- , ú 上單調遞增，所以 f (x)
é
在 ê0,
ù
6 2 ú 上單調遞增，故
A 正確；
3
π é π π ù
對于 B，因為 f - ÷ = 2sin ê2 - ÷ - ú = 2sin
π-
6 6 6 2 ÷
= -2，
è è è
所以 f (x)
π
的圖象關于直線 x = - 對稱，故 B 正確；
6
對于 C，將 g(x) = 2sin 2x
π
的圖象向右平移 個單位長度得到：
6
y 2sin 2 x π= - ÷ = 2sin
2x π-
6 3 ÷
f (x)，故 C 錯誤；
è è
é π ù π 5π 11π
對于 D，當 x ê , πú 時， 2x -
é , ù π2x 7πê ú，僅當 - = π ，即 x = 時， f (x) = 0 ， 2 6 6 6 6 12
π
即 f (x)
é
在 ê , π
ù
2 ú上僅有
1 個零點，故 D 正確．

故選：ABD．
10．（2024·浙江金華·三模）已知 f x = coswx + 3sinwx w > 0 在 0, π 上是單調函數，且
y = f x 的圖象關于點 -π,0 對稱，則（ ）
A．若 f x1 - f x2 = 4，則 x1 - x2 = 6πmin
B． f x 的圖象的一條對稱軸方程為 x = 2π
C．函數 y = f x 在 -π,5π 上無零點
D．將 f x 的圖象向左平移 π個單位長度后得到的函數為偶函數
【答案】ABC
π π
【分析】利用 y = f x 在 0, π 上單調，可得wπ + ，再根據 y = f x 的圖象關于點
6 2
-π,0 w 1 k f x 2sin(1 x π對稱，可得 = - ，進而可得 = + )，結合每個選項計算可判斷其正
6 6 6
確性.
【詳解】 f x = coswx + 3sinwx 2(1 coswx 3= + sinwx) = 2sin(wx π+ )，
2 2 6
x 0, π π π π當 ，可得 wx + wπ + ，又 y = f x 在 0, π 上單調，
6 6 6
wπ π π 0 w 1所以 + ，解得 < ，
6 2 3
π 1
又 y = f x 的圖象關于點 -π,0 對稱，所以-wπ + = kπ，解得w = - k ，
6 6
w 1 f x 2sin(1 π當 k = 0時， = ，符合題意，所以 = x + )，
6 6 6
對于 A：若 f x1 - f x2 = 4，則可得 f x1 , f x2 分別為函數 y = f x 的極大值與極小值，
x1 - x
1 T 1 2π= = = 6π
可得 2 min 2 2 1 ，故 A 正確；
6
f 2π = 2sin(1 2π π+ ) = 2，所以 f x 的圖象的一條對稱軸方程為 x = 2π ，故 B 正確；
6 6
因為 x -π,5π 1 π，所以0 < x + < π，所以函數 y = f x 在 -π,5π 上無零點，故 C 正確；
6 6
將 f x 的圖象向左平移 π個單位長度后得到的函數為
g(x) 1 π 1 π= f x = 2sin[ (x + π) + ] = 2sin( x + ) ，
6 6 6 3
所以 f x 的圖象向左平移 π個單位長度后得到的函數不為偶函數，故 D 不正確.
故選：ABC.
11．（2024·河北石家莊·三模）函數 f x = 4sin wx j 0 π π+ < w 2,- < j <

÷的部分圖象如
è 2 2
圖所示，則下列說法中正確的是（ ）
A．j
π
= -
6
B． f x 的圖象關于直線 x = π 對稱
f x 1 2πC． = 4cos x -

÷
è 2 3
D．若方程 f x = 2在 0, m 26π上有且只有 5 個根，則m ,10π
ù
è 3 ú
【答案】ACD
【分析】根據圖象可求得函數 f x 的解析式，再根據三角函數的性質依次判斷各選項.
1 π π
【詳解】對于 A，由 f 0 = -2，得 4sinj = -2，即 sinj = - ，又- < j < ，
2 2 2
\j π= -
6 ，故
A 正確；
π π wπ π
對于 C，又 f x 的圖象過點 ,0÷，則 f ÷ = 0 ，即 sin - = 0
è 3
，
è 3 3 6 ÷ è
wπ π 1 1
\ - = kπ，即得w = 3k + ， k Z ，又0 < w 2，\w = ，
3 6 2 2
f x = 4sin 1所以 x
π
- ÷ = 4sin
π 1 2π 1 2π
+
x - ÷÷ = 4cos x -

÷ ，故 C 正確；
è 2 6 è 2 è 2 3 è 2 3
1 π π π π
對于 B，因為 f x = 4sin x -2 6 ÷ ，而 f π = 4sin - ÷ = 4sin = 2 3，è è 2 6 3
故直線 x = π 不是函數 f x 的對稱軸，故 B 錯誤；
f x 2 cos 1 x 2π= - 1對于 D，由 ，得 ÷ = ，
è 2 3 2
解得 x = 2π 4kπ 2π+ 或 + 4kπ， k Z3 ，
f x = 2 0, m 2π ,2π,14π ,6π, 26π方程 在 上有 5 個根，從小到大依次為： ，
3 3 3
26π
而第 7 個根為10π ，所以 < m 10π ，故 D 正確.
3
故選：ACD.
三、填空題
12．（2024·江蘇· 1模擬預測）將函數 f x = sin 2x +j 圖象上的每個點的橫坐標變為原來的 2
π
倍（縱坐標不變），再將得到的圖象向左平移 個單位長度，所得的圖象關于 y 軸對稱，寫
6
出一個符合條件的j 的值 .
π
【答案】 - 6 （答案不唯一）
【分析】由函數平移、伸縮變換法則得新函數表達式，結合三角函數奇偶性即可列式求得參
數j 的值.
【詳解】將函數 f x = sin 2x +j 1圖象上的每個點的橫坐標變為原來的 2 倍（縱坐標不變），
π
再將得到的圖象向左平移 個單位長度，所得的圖象對應的解析式為
6
g x sin 4 x π 2π= + 6 ÷ +j ÷ = sin 4x + +j ÷，è è è 3
由題意 g x 的圖象關于 y 軸對稱，
2π
所以 +j
π kπ,k Z π π= + ，解得j = kπ - ， k Z ，令 k = 0，得j = - .
3 2 6 6
π
故答案為： - 6 （答案不唯一）
.
13．（2024·貴州貴陽·一模）函數 f (x) = Asin(wx +j)(A > 0,w > 0,0 < j < π)的部分圖象如圖所
示，已知 f (x1) + f (x2 ) = 0，且 | x x |
π π
2 - 1 < ，則 f (x1 + x2 + ) = ．2 6
【答案】1
【分析】先求出 f x 的解析式，再根據 f x1 + f x2 = 0得到 x1 + x
π
2 = - + kπ, k Z，從而6
π
得到 f x1 + x2 +

÷的值.
è 6
4 11π π
【詳解】由函數的部分圖象得 A = 2，函數 f (x) 的周期T = ( - ) = π ，w = 2，
3 12 6
即 f (x) = 2sin(2x +j) ，由 f (
π) = 2sin(π π π+j) = 2，得 +j = 2kπ + ,k Z，而0 < j < π ，
6 3 3 2
π
于是j = ， f (x) = 2sin(2x
π
+ )，由 f (x1) + f (x2 ) = 0，得 sin(2x
π
1 + )+sin(2x
π
2 + ) = 06 ，6 6 6
π π
整理得 sin(2x1 + ) = sin(2x6 2
+ + π) ，
6
2x π π因此 1 + + 2x2 + + π = π + 2nπ, n Z 2x
π 2x π或 1 + = 2 + + π + 2nπ,n Z，6 6 6 6
π π
即 x1 + x2 = - + nπ,n Z 或 x1 = x2 + + nπ, n Z與 | x2 - x1 |
π
< 矛盾，
6 2 2
π
于是 x1 + x2 = - + nπ,n
π
Z ， x1 + x2 + = nπ, n Z，6 6
π π
所以 f (x1 + x2 + ) = 2sin(2nπ + ) =1 .6 6
故答案為：1
【點睛】思路點睛：依據圖象求解析式時，要遵循“兩看一算”即看周期與振幅，利用對稱軸
算初相位，另外，已知三角函數值的關系要求自變量的關系時，要利用誘導公式化成同名的
三角函數的相等關系，再依據終邊的位置關系得到自變量的關系.
f x = Asin wx +j 14．（2024 高三·全國·專題練習）已知函數 A > 0,w > 0, j
π
<
2 ÷
的部分
è
圖象如圖所示，將函數 f x π圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的 ，縱坐標伸長到原來的 2
4
π
倍，再把得到的圖象向左平移 個單位長度，可得到 y = g x 的圖象．若方程 g x = m在
12
é π
ê- ,0
ù
ú 上有兩個不相等的實數根，則m 的取值范圍為 ． 2
【答案】 -2, - 3ù
2 10 1
【分析】易得 A =1，再由點 ,1÷ , , - ÷在 f x 的圖象上，代入函數解析式求得
è 3 è 3 2
f x = sin π x
π π
+ ÷，再利用伸縮變換和平移變換得到 g x = 2sin 2x + ÷，作出其圖象，
è 2 6 è 3
利用數形結合法求解．
【詳解】解：由 f x 的部分圖象，可得 A =1．
2 ,1 10 1 2 10 1由圖可知點 3 ÷
, , - ÷在 f x 的圖象上，則 sin w +j ÷ =1， sin w +j3 2 3 3 ÷ = - ，è è è è 2
w 2 j π w 10 j 2π π π π由五點作圖法可得 + = ， + = - ，解得w = ,j = ，則
3 2 3 6 2 6
f x π π= sin x + ÷．
è 2 6
將函數 f x π圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的 ，縱坐標伸長到原來的 2 倍得到
4
y = 2sin 2x π+ ÷的圖象，
è 6
π π
再把得到的圖象向左平移 個單位長度，可得到 g x = 2sin
12
2x +
3 ÷
的圖象．
è
作出函數 g x 的部分圖象如圖所示，
由根據函數 g x 的圖象知：
é π ù
當-2 < m - 3 時，直線 y = m與函數 g x 在 ê- ,0ú 上的圖象有兩個交點， 2
é π ù
即方程 g x = m在 ê- ,0 上有兩個不相等的實數根． 2 ú
故答案為： -2, - 3ù
四、解答題
15．（23-24 高三上·吉林白城·階段練習）已知函數
f x = 3sin wx wx +j π+j +1- 2cos2 ÷ w > 0, j < ÷ 為奇函數，且 f x 圖象的相鄰兩條
è 2 è 2
π
對稱軸間的距離為 .
2
(1)求 f x 的解析式與單調遞減區間；
π
(2) 1將函數 f x 的圖象向右平移 個單位長度，再把橫坐標縮小為原來的 2 （縱坐標不變），6
得到函數 y = g x 的圖象，當 x 0,
π 2
÷ 時，求方程 2g x + 3g x - 3 = 0 的所有根的和.
è 2
é π 3π
【答案】(1) f x = 2sin2x， ê + kπ, + kπ
ù
ú ,k Z 4 4
5π
(2) .
6
【分析】（1）利用恒等變換化簡后，結合三角函數的性質求解；
（2）利用圖象變換法,求得 y = g x 的函數表達式，解方程求得 g x 的值，利用換元思想，
結合三角函數的圖象和性質分析求出即可.
【詳解】（1）由題意可得：
f x = 3sin wx +j wx +j+1- 2cos2 ÷ = 3sin wx +j - cos wx +j = 2sin

wx j
π
+ - ,
è 2 ÷ è 6
因為 f x π圖象的相鄰兩條對稱軸間的距離為 ，
2
所以 f x 的最小正周期為T = π ，即可得w = 2，
f x j π又 為奇函數，則 - = kπ,k Z，
6
j π π又 < ，所以j = ，故 f x = 2sin2x .
2 6
π 2kπ 2x 3π令 + + 2kπ, k Z
π
，得 + kπ
3π
x + kπ, k Z，
2 2 4 4
所以函數 f x é π 3π ù的遞減區間為 ê + kπ, + kπú ,k Z . 4 4
（2）將函數 f x π π 的圖象向右平移 個單位長度，可得 y = 2sin 2x - 3 ÷ 的圖象，6 è
1
再把橫坐標縮小為原來的 2 ，得到函數
y = g x π= 2sin 4x -

÷的圖象，
è 3
又 2g 2 x + 3g x - 3 = 0 ，則 g x = - 3 g x 3或 = ，
2
即 sin 4x
π 3
- ÷ = - 或 sin 4x
π
-
3
3 2 3 ÷
= .
è è 4
π π π 5π
令 z = 4x
π
- x 0, z = 4x - - , ，當 時， ，
3 2 ÷ 3 ÷è è 3 3
畫出 y = sinz 的圖象如圖所示：
3 sinz = 的兩個根 z1, z
3 3 π
2 對應的點
4
z1, ÷÷ , z2 , ÷÷關于直線 z = 對稱，即 z1 + z2 = π，
è 4 è 4 2
4π
sinz 3= - 有 z3 = ，2 3
π π π
sin 4x
π 3
- = 在 0, ÷上有兩個不同的根 x , x , 4x - + 4x - = π ，
è 3 ÷ 4 è 2
1 2 1 3 2 3
x x 5π所以 1 + 2 = ；12
5π
又 sin 4x
π 3
- ÷ = - 的根為 ，
è 3 2 12
2 π 5π
所以方程 2g x + 3g x - 3 = 0 x 在 0,

÷ 內所有根的和為 .
è 2 6
p
16．（2024·福建三明·三模）已知函數 f (x) = sinwx + cos(wx + )（其中w > 0）其中圖象的
6
p
兩條相鄰對稱軸間的距離為 .
2
(1)若 f (x) 在 (0, m)上有最大值無最小值，求實數m 的取值范圍；
p
(2)將函數 f (x) 的圖象向右平移 個單位長度；再將圖象上所有點的橫坐標變為原來的 2 倍
6
（縱坐標不變），得到 g(x)的圖象，設 h(x) g(x)
1
= + x ，求 h(x) 在 (-2p, p)的極大值點.
2
p , 7p【答案】(1) ù
è12 12 ú
4p
(2) -
2p
和
3 3
【分析】（1）化簡函數 f (x) ，利用周期求出 f (x) 解析式，再結合正弦函數圖象求解即可.
（2）先根據圖象的平移伸縮變換得到 h(x) 的解析式，再求導求其極大值點即可.
p
【詳解】（1） f (x) 1= sinwx 3+ coswx = sin(wx + ) (w > 0)
2 2 3
p
因為圖象相鄰對稱軸間的距離為 ，
2
p 2p
所以周期T = 2 = p ，即w = = 2，
2 T
因此 f (x)
p
= sin(2x + )
3 ，
當 x (0,m) 2x
p p p
時， + ( , 2m + )
3 3 3
若 f (x) 在 (0, m)有最大值無最小值，由正弦函數圖象得
p 2m p 3p p 7p只需 < + ，解得 < m ，
2 3 2 12 12
即m
p
的取值范圍為 ( ,
7p ] .
12 12
（2）將 f (x)
p
的圖象向右平移 個單位得 y = sin[2(x
p p
- ) + ] = sin 2x
6 6 3
再將圖象所有點橫坐標變為原來 2 倍得 g(x) = sin x ，
所以 h(x) = g(x)
x
+ = sin x x+
2 2
h (x) 1= cos x + ， x (-2p,p)
2
令 h (x) = 0得 cos x
1
= - ，
2
解得 x
4p
= - 或 x
2p 2p
= - 或 x = ，
3 3 3
當 x (-2p,
4p
- )時， h (x) > 0， h(x) 單調遞增，
3
x ( 4p當 - ,
2p
- )時， h (x) < 0， h(x) 單調遞減，
3 3
x ( 2p 2p當 - , )時， h (x) > 0， h(x) 單調遞增，
3 3
當 x (
2p ,p )時， h (x) < 0， h(x) 單調遞減，
3
4p
所以 h (x)
2p
的極大值點為- 和 .
3 3
17．（2023·貴州遵義·模擬預測）已知函數 f x = Asin wx +j A > 0,w π> 0, j < ÷的部分圖
è 2
象如圖所示.
(1)
求函數 f x 的解析式；
y = f 2x - m é(2)若函數 在區間 ê0,
π ù
ú 上恰有兩個零點 x3 1
, x2 ，求 x1 + x2 的值.

【答案】(1) f x 2sin 2x π= - 3 ÷è
5π
(2) x1 + x2 = 12
【分析】（1）結合五點法作圖，由周期得w ，結合最值點可得j ，代入點 0, - 3 的坐標得
A，即可得函數解析式；
g x = f 2x , x é π ù（2）由題意知 ê0, 和 y = m的圖象有兩個不同交點，作出函數 y = g x 3 ú
é0, π ù在 ê ú 上的圖象，結合函數的對稱性可得 x1 + x2 的值． 3
2π
【詳解】（1）設 f x T 2π π π的最小正周期為T ，則 = - = ，可得T = = π ,
2 3 6 2 w
且w > 0，解得w = 2，
2π π
+
由圖象可知：當 x = 3 6 5π f x= 時， 取到最大值，
2 12
5πA 且 > 0 ，則 f = Asin
5π +j = A，
è 12 ÷ ÷ è 6
5π
可得 +j = 2kπ
π π
+ , k Z，解得j = 2kπ - , k Z ，
6 2 3
π j π k 0,j π又因為- < < ，可得 = = - ，則 f x = Asin 2x
π
- ÷ A > 0 ，2 2 3 è 3
且 f x 的圖象過點 0, - 3 ，則 f 0 = Asin π- 3 ÷ = - A = - 3 ，解得 A = 2，
è 3 2
f x 2sin 2x π所以 = -

3 ÷
.
è
（2）令 g x = f 2x = 2sin π 4x - ÷，
è 3
由 y = f 2x - m = 0，可得 f 2x = m，
可知 y = f 2x - m的零點等價于 y = g x 與 y = m的圖象交點橫坐標，
且 g 0 = 2sin π -

÷ = - 3, g
5π
÷ = 2sin
π
= 2, g π ÷ = 2sin π = 0，
è 3 è 24 2 è 3
作出 y = g x é π ù在 ê0, ú 內的圖象，不妨設 x1 < x2，如圖所示： 3
由圖象可知：0 m < 2，且 x1, g x1 , x2 , g x 5π2 關于直線 x = 對稱，所以24
x x 2 5π 5π1 + 2 = = .24 12
18 2023· · f x = 2cos wx +j w 0, j π ．（ 海南省直轄縣級單位 模擬預測）如圖為函數 > <
è 2 ÷
的

π 5π
部分圖象，且 CD = ， A - , -2÷ ．4 è 12
(1)求w ，j 的值；
(2)將 f x 3π的圖象上所有點的橫坐標擴大到原來的 3 倍（縱坐標不變），再向右平移 個單
4
位長度，得到函數 g x 的圖象，討論函數 y = g x - a é在區間 ê-π,
π ù
2 ú 的零點個數．
π
【答案】(1)w = 2，j = -
6
(2)答案見解析
5π
【分析】（1）由周期求出w ，根據 A - , -2 求出j ；
è 12 ÷
（2）首先求出 g x é π ù的解析式，函數 y = g x - a 在區間 ê-π, 2 ú 的零點個數即為函數 g x 的
圖象與直線 y = a
é
在 ê-π,
π ù 2 2π
2 ú 上的交點個數，由
x 的取值范圍，求出 x - 的取值范圍，再
3 3
結合余弦函數的圖象即可得解.
T π 2π
【詳解】（1）根據題意得， = ，故T = π ，w = = 2，故 f x = 2cos 2x +j ．
4 4 T
A 5π將 - , -2
5π π
÷ 代入，得 2 - ÷ +j = -π + 2kπ k Z ，解得j = - + 2kπ k Z ，
è 12 è 12 6
又 j
π π
< ，故j = - ．
2 6
g x 2cos é 2 x 3π π ù 2cos 2 x 2π （2）依題意， = ê - - = - ．
3
4 ÷è 6 ú è 3 3
÷

é π ù é π ù
函數 y = g x - a 在區間 ê-π, 2 ú 的零點個數即為函數 g x 的圖象與直線
y = a 在 ê-π, 上 2 ú
的交點個數．
當 x
é
ê-π,
π ù 2 x 2π é 4π , πú時， - - -
ù
ê ú，結合余弦函數圖象可知， 2 3 3 3 3
x é-π, π- ù g x x π π - , ù當 ê ú 時， 單調遞減，當 ú 時， g x 單調遞增， 2 è 2 2
g -π = -1 g π 1 g π 且 ， = ， - = -2，
è 2 ÷ 2 ÷ è
作出函數 g x é在 ê-π,
π ù
2 ú 上的大致圖象如圖所示．
觀察可知，當 a = -2 或-1 < a 1時， y = g x - a 有1個零點；
當-2 < a -1時， y = g x - a 有 2個零點；
當 a < -2或 a > 1時， y = g x - a 有 0 個零點．
19．（2023·陜西安康·一模）已知函數 f (x) = Asin(wx +j) + B

A > 0,w
π
> 0,|j |< ÷的部分圖
è 2
象如圖所示.
(1)求函數 f (x) 的解析式；
π
(2)將函數 y = f (x) 圖象上所有的點向右平移 個單位長度，再將所得圖象上每一個點的橫坐
4
y g(x) x é0,13π ù標變為原來的 2 倍（縱坐標不變），得到函數 = 的圖象.當 ê ú時，方程 6
g(x) - a = 0恰有三個不相等的實數根， x1, x2 , x3 x1 < x2 < x3 ，求實數 a 的取值范圍以及
x1 + 2x2 + x3的值.
f (x) 2sin 2x π【答案】(1) = +

÷ + 3
è 3
(2) a [2,3] x 2x x
14π
， 1 + 2 + 3 = 3
【分析】（1）由三角函數圖象的最大值與最小值，求出 A = 2, B = 3，得到最小正周期，求出
w 2π π= = 2，再代入特殊點的坐標，求出j = ，得到函數解析式；
T 3
π π é π ù
（2）先根據平移變換和伸縮變換得到 g(x) = 2sin x - ÷ + 3，令 t = x - - , 2π ，換元
è 6 6 ê 6 ú
后利用整體法求出函數的單調性和端點值，得到 a [2,3]，再根據對稱性得到
π π π πt1 + t2 = 2 = π, t
3π
2 + t3 = 2 = 3π，相加后得到 x1 - ÷ + 2 x2 - ÷ + x3 - ÷ = 4π，求出答2 2 è 6 è 6 è 6
案.
ìA + B = 5 5 -1 5 +1
【詳解】（1）由圖示得： í ，解得： A = = 2, B = = 3，
-A + B =1 2 2
T 7 π 1 π π 2π又 = - = ，所以T = π ，所以w = = 2，
2 12 12 2 T
所以 f (x) = 2sin(2x +j) + 3 .
π π π
又因為 f (x)

過點 ,5÷，所以5 = 2sin 2 +j12 ÷
+ 3，即 sin +φ÷÷ =1，
è è 12 è6
π j π π所以 + = + 2kπ,k Z，解得j = + 2kπ,k Z，
6 2 3
|j | p j π又 < ，所以 = ，所以 f (x) = 2sin
2x π+ + 3 .
2 3 3 ֏
π
（2） y = f (x) 圖象上所有的點向右平移 個單位長度，得到
4
f (x) = 2sin é ê2 x
π ù
- + + 3 = 2sin π
4 ÷ 3 ú
2x -
6 ÷
+ 3，
è è
將所得圖象上每一個點的橫坐標變為原來的 2 倍（縱坐標不變），得到
g(x) = 2sin π x - ÷ + 3，
è 6
x é0,13π ù x π é π當 ê 時， - - , 2π
ù
，
6 ú 6 ê 6 ú
t x π π π令 = -
é ù
ê- , 2πú ，則 2sin x - ÷ + 3 = 2sin t + 3，6 6 è 6
令 h(t)
π π π 3π
= 2sin t + 3 t é- , ù ù，在 ê ú上單調遞增，在 t , ú上單調遞減， 6 2 è 2 2
3π
在 t , 2π
ù
ú 上單調遞增，è 2
h π- = 2sin π π 且 ÷ - ÷ + 3 = 2,h ÷ = 2sin
π
+ 3 = 5，
è 6 è 6 è 2 2
h 3π ÷ = 2sin
3π
+ 3 =1,h(2π) = 2sin 2π + 3 = 3 ,
è 2 2
所以 a [2,3]
é 13π ù
時，.當 x ê0, 時，方程 g(x) - a = 0恰有三個不相等的實數根. 6 ú
因為 h(t) - a = 0有三個不同的實數根 t1, t2 , t3 t1 < t2 < t3 ，
t , t π 3π且 1 2 關于 t = 對稱， t2 , t3關于 t = 對稱，2 2
π 3π
則 t1 + t2 = 2 = π, t2 2
+ t3 = 2 = 3π，2
兩式相加得： t1 + 2t2 + t3 = 4π，
x π- + 2 x π- + x π- = 4π x 2x x 14π即 1 ，所以 +
è 6 ÷ 2 6 ÷ 3 ÷ è è 6 1 2
+ 3 = .3
【拓展沖刺練】
一、單選題
1．（2024·四川攀枝花·三模）將函數 y = sin2x - cos2x的圖象向右平移m(m > 0)個單位長度后得
到的圖象與 y = sin2x的圖象關于原點對稱，則m 的最小值是（ ）
p 3p p 3p
A． B． C． D．
4 4 2 2
【答案】B
【分析】根據已知條件利用二倍角公式化簡求出函數的解析式 f x = -cos 2x，根據函數的
變化規律結合誘導公式即可求得結論.
【詳解】令 f x = sin2x - cos2x ，則有 f x = -cos 2x，
設 f x 向右平移m(m > 0)個單位長度后得到的函數為 g x ，
則有 g x = -cos é2 x - m ù = -cos 2x - 2m ，
根據已知條件 g x 的圖象與 y = sin2x的圖象關于原點對稱，
則有 g x = -sin -2x = sin 2x，即-cos 2x - 2m = sin 2x ，
π
所以-2m = + 2kπ k Z ，解得m π= - - kπ k Z ,
2 4
又因為m > 0，所以當 k = -1時，m
3π
取最小值為 .
4
故選：B
π
2．（2024·遼寧·三模）已知函數 f x = Asin wx +j A > 0,w > 0, j < ÷，圖象如圖所示，
è 2
下列說法正確的是（ ）
A．函數 f x π的振幅是 2，初相是
6
B．若函數 f x π的圖象上的所有點向左平移 后，對應函數為奇函數，則w = 2
12
π π é 10ù
C．若函數 f x 在 ,3 2 ÷上單調遞減，則w 的取值范圍為 ê2,è 3 ú
f x 7πD．若函數 的圖象關于 ,0

÷ 中心對稱，則函數 f x 的最小正周期12 T 的最小值為è
7π
【答案】C
f 0 1 j f x 2sin wx π= - = - 【分析】根據函數圖象得到A ，由 求出 ，即可得到 ÷，再根
è 6
據正弦函數的性質一一判斷即可.
【詳解】由圖可知 A = 2，且 f 0 = 2sinj = -1，即 sinj 1= - ，
2
j π
π
又 < ，所以j = - ，所以 f x = 2sin wx
π
-
2 ÷，6 è 6
π
故函數 f x 的振幅是 2，初相是 - 6 ，故 A 錯誤；
將 f x = 2sin wx
π
- π÷的圖象上的所有點向左平移 得到
è 6 12
y é π π ù π π= 2sin êw x + ÷ - = 2sin wx + w - ÷，
è 12 6
ú
è 12 6
π w π依題意 - = kπ,k N，解得w = 2 +12k,k N，故 B 錯誤；
12 6
ì2π π
若函數 f x π π T π π π π

在 , ÷上單調遞減，則 - = ，即T ，則 w 3 ，解得
è 3 2 2 2 3 6 3
í
w > 0
0 < w 6，
x π π , wx π π w π又 ÷，所以 - - ,
π w π- ，
è 3 2 6 è 3 6 2 6 ÷
ì π w π π-
π π w π 11π
10
又- < -
3 6 2
，所以 ，解得 2 w ，
6 3 6 6 í π w π 3π- 3
2 6 2
f x π , π w é2,10ù即函數 在 C
è 3 2 ÷
上單調遞減，則 的取值范圍為
ê 3 ú
，故 正確；
7π 7π π
若函數 f x 的圖象關于 ,0÷ 中心對稱，則 w - = kπ,k Z ，
è 12 12 6
w 2 12解得 = + k, k Z，
7 7
2 12 2π
又w > 0，所以w = + k, k N ，又函數的最小正周期T = ，顯然T 沒有最小值，故 D
7 7 w
錯誤.
故選：C
3．（2024·內蒙古呼和浩特·二模）如圖所示的曲線為函數
f x = Acos wx -j A > 0,w > 0, j
p
< ÷ 的部分圖象，將 y = f x 圖象上所有點的橫坐標伸
è 2
3 p
長到原來的 倍，再將所得曲線向左平移 個單位長度，得到函數 y = g x 的圖像，則 g x
2 8
的解析式為（ ）
A． g x 2cos 9x p= - ÷ B． g x = 2cos
2x p- ÷
è 2 8 è 8
C． g x = 2sin2x D． g x = 2cos2x
【答案】D
【分析】結合圖象，以及周期公式，求出 f x ，再結合平移伸縮的法則即可求解.
π 2π
+
【詳解】由圖象可知 A = 2, 6 3 5π= ，
2 12
則 f x 5π 的一個最低點為 ,-2÷，
è 12
f x 2π 2π的最小正周期為T = ，則w = = 3，
3考點 27 函數 y＝Asin(ωx＋φ)（3 種核心題型+基礎保分練
+綜合提升練+拓展沖刺練）
【考試提醒】
1.結合具體實例，了解 y＝Asin(ωx＋φ)的實際意義；能借助圖象理解參數 ω，φ，A 的意義，
了解參數的變化對函數圖象的影響.
2.會用三角函數解決簡單的實際問題，體會可以利用三角函數構建刻畫事物周期變化的數學
模型．
【知識點】
1．簡諧運動的有關概念
已知函數 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0
振幅 周期 頻率 相位 初相
1 ω
A T＝_____ f＝ ＝ ωx＋φ φ
T 2π
2.用“五點法”畫 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一個周期內的簡圖時，要找五個特征點
π 3π
ωx＋φ 0 π 2π
2 2
x
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
3.函數 y＝sin x 的圖象經變換得到 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象的兩種途徑
常用結論
1．函數 y＝Asin(ωx＋φ)＋k 圖象平移的規律：“左加右減，上加下減”．
π
2．函數 y＝Asin(ωx＋φ)圖象的對稱軸由 ωx＋φ＝kπ＋ ，k∈Z 確定；對稱中心由 ωx＋φ＝
2
kπ，k∈Z 確定其橫坐標．
【核心題型】
題型一　函數 y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及變換
φ
(1)由 y＝sin ωx 的圖象到 y＝sin(ωx＋φ)的圖象的變換：向左平移 (ω>0，φ>0)個單位長度而
ω
非 φ 個單位長度．
(2)如果平移前后兩個圖象對應的函數的名稱不一致，那么應先利用誘導公式化為同名函數，
ω 為負時應先變成正值
f x sin wx 2π 【例題 1】（2024·四川·模擬預測）已知函數 = + ÷ w > 0 的最小正周期為 π，
è 3
給出下列三個結論：
π
① f 0 3= ；②函數 f x 在 0, 3 ÷上單調遞減；2 è
③將 y = cos 2x
π
的圖象向左平移 個單位可得到 f x 的圖象．
12
其中所有正確結論的序號是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【變式 1】（2024·北京通州·二模）已知的數 f x = sin wx
π
+ ÷（w > 0），若 f x 的最小正
è 6
周期為 π， f x π的圖象向左平移 個單位長度后，再把圖象上各點的橫坐標變為原來的 2
6
π
倍（縱坐標不變）得到函數 g x 的圖象，則 g x = ；若 f x 在區間 0, 2 ÷上有 3è
個零點，則w 的一個取值為 ．
【變式 2】（2024·山東·模擬預測）在VABC 中，角A ， B ，C 所對的邊分別為 a，b ， c，函
數 f x = 2sin wx +j w > 0,0 j π< < π ÷ ， f x 圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為 ，且
è 2 2
f π ÷ =1，將 y = f x
π
的圖象向右平移 個單位得到 y = g x 的圖象且 g A = 2，VABC 的
è 3 6
內切圓的周長為 2π．則VABC 的面積的最小值為 .
3 1
【變式 3】（2024·全國·模擬預測）將函數 y = sin2x - cos2x 圖象上所有點的橫坐標伸長
2 2
π
至原來的 2 倍（縱坐標不變），再向左平移 個單位長度，得到函數 f x 的圖象．
6
(1)求函數 f x 在區間 0,2024 內的所有零點之和；
(2)若 g f xx = 2 - ，討論函數 gx x 的單調性．e
題型二　由圖象確定 y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
確定 y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步驟和方法
M－m M＋m
(1)求 A，b.確定函數的最大值 M 和最小值 m，則 A＝ ，b＝ .
2 2
2π
(2)求 ω.確定函數的最小正周期 T，則 ω＝ .
T
(3)求 φ.常用方法如下：把圖象上的一個已知點代入(此時要注意該點在上升區間上還是在下
降區間上)或把圖象的最高點或最低點代入．
【例題 2】（2024·陜西西安·模擬預測）已知函數 f (x) = 2sin(wx +j)(w > 0,|j |< π)的部分圖象
π
如圖所示，將函數 f x 的圖象向左平移 個單位長度后得到函數 g x 的圖象，則在下列區
6
間上函數 g x 單調遞增的是（ ）
é π
A． ê ,
π ù é3π , 5π ù é5π , 7π ù é 3π ùB． C． D． π,
6 3 ú ê 2 2 ú ê 6 6 ú ê 2 ú
【變式 1】（2024·海南·模擬預測）如圖是某質點做簡諧運動的部分圖像，該質點的振幅為 2，
y t y = Acos(wt +j) A > 0,w > 0,j π π - , 位移 與時間 滿足函數 ÷÷ ，點P(0,1),Q(4,1) 在該函
è è 2 2
j
數的圖象上，且位置如圖所示，則 = .
w
【變式 2】（2024·湖北武漢·二模）函數 f x = 2sin 2x +j +1 j < p 的部分圖象如圖所示，
則j = .
【變式 3】（2023·河北·模擬預測）已知函數 f x = 3 sin wx +j 的部分圖象如圖所示，其
中w > 0, j
π
< ，且 ACB = 90° .
2
(1)求w 與j 的值；
(2) 6π若斜率為 的直線與曲線 y = f x 相切，求切點坐標.
4
題型三　三角函數圖象、性質的綜合應用
(1)研究 y＝Asin(ωx＋φ)的性質時可將 ωx＋φ 視為一個整體，利用換元法和數形結合思想進
行解題．
(2)方程根的個數可轉化為兩個函數圖象的交點個數．
(3)三角函數模型的應用體現在兩方面：一是已知函數模型求解數學問題；二是把實際問題
抽象轉化成數學問題，利用三角函數的有關知識解決問題．
命題點 1　圖象與性質的綜合應用
【例題 3】（2024·四川·模擬預測）已知函數 f x = sin wx +j (w > 0,0 < j < π) 的最小正周期
為 π，且 y
π
= f x 的圖象關于點 ,0÷中心對稱，給出下列三個結論：
è 6
① f 0 3= ；
2
f x 0, π② 函數 在 3 ÷上單調遞減；è
y = cos2x π③將 的圖象向左平移 個單位可得到 f x 的圖象．
12
其中所有正確結論的序號是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【變式 1】（23-24 1 3高三下·天津·階段練習）已知函數 f x = sin2wx + cos2wx(w > 0)，且
2 2
f x 的最小正周期為 π，給出下列結論：
π 7π
①函數 f x 在區間 , ÷單調遞減；
è 2 12
②函數 f x π關于直線 x = 對稱；
12
③把函數 y = sin2x
π
的圖象上所有點向左平移 個單位長度，可得到函數 y = f x 的圖象.
3
其中所有正確結論的序號是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【變式 2】（2024·青海西寧·模擬預測）將函數 y = 4sin9x的圖象上所有點的橫坐標伸長到原
來的 3 倍，縱坐標不變，得到函數 y = f x 的圖象，則 f x 的最小正周期為 ，
f 7π 18 ÷
= .
è
【變式 3】（2023·山西·模擬預測）已知函數 f x = Asin wx +j (A > 0,w > 0,0 < j < π)的部
分圖象如圖所示.
(1)求 f x 的解析式；
π é 7π π ù
(2)將 f x 的圖象向右平移 個單位長度，得到函數 g x 的圖象，求 g x 在 - , - 上
6 ê 12 12ú
的值域.
命題點 2　函數零點(方程根)問題
【例題 4】（2023·河南·模擬預測）若關于 x 的方程 sin 2x + 2cos 2x = -2在[0, π) 內有兩個不同
的解a , b ，則 cos(a - b )的值為（ ）
A 5 B 5 2 5 2 5．- ． C．- D．
5 5 5 5
π
【變式 1】（2022·陜西渭南·一模）若關于 x 的方程 2sin2 x - 3 sin 2x + m -1 = 0在 ,π2 ÷上有è
實數根，則實數m 的取值范圍是 ．
【變式 2】（2022·全國·模擬預測）若方程 sin x cos x - 3 cos2 x 3 1+ = 在 0,p 上的兩個不
2 5
等實根為x1，x2，則 cos x1 - x2 = ．
【變式 3】（2023· 3上海寶山·二模）已知函數 f x = sin x cos x - 3 cos2 x + ．
2
(1)求函數 y = f x 的最小正周期和單調區間；
(2)若關于 x 的方程 f x - m = 0 x π在 é ùê0, 2 ú 上有兩個不同的實數解，求實數m 的取值范圍．
命題點 3　三角函數模型
【例題 5】（2024·四川涼山·三模）摩天輪是一種大型轉輪狀的機械建筑設施，游客坐在摩天
輪的座艙里慢慢地往上轉，可以從高處俯瞰四周景色．某摩天輪最高點距離地面高度為120m，
轉盤直徑為 110m，設置 48 個座艙，開啟后按逆時針方向勻速旋轉，游客在座艙轉到距離
地面最近位置進倉，轉一周大約需要 30min．某游客坐上摩天輪的座艙 10min 后距離地面高
度約為（ ）
55 3
A．92.5m B．87.5m C．82.5m D． + 65 m
è 2
÷÷

【變式 1】（2024·四川成都·二模）筒車亦稱“水轉筒車”，是一種以水流作動力，取水灌田的
工具，唐陳廷章《水輪賦》：“水能利物，輪乃曲成.升降滿農夫之用，低徊隨匠氏之程.始崩
騰以電散，俄宛轉以風生.雖破浪于川湄，善行無跡；既斡流于波面，終夜有聲.”如圖，一個
半徑為 4 m的筒車按逆時針方向每分鐘轉一圈，筒車的軸心 O 距離水面的高度為 2m .在筒車
轉動的一圈內，盛水筒 P 距離水面的高度不低于 4m 的時間為（ ）
A．9 秒 B．12 秒 C．15 秒 D．20 秒
【變式 2】（2024·廣東佛山·二模）近年，我國短板農機裝備取得突破，科技和裝備支撐穩步
增強，現代農業建設扎實推進.農用機械中常見有控制設備周期性開閉的裝置.如圖所示，單
位圓 O 繞圓心做逆時針勻速圓周運動，角速度大小為 2πrad/s ，圓上兩點 A，B 始終滿足
AOB 2p= ，隨著圓 O 的旋轉，A，B 兩點的位置關系呈現周期性變化.現定義：A，B 兩點
3
的豎直距離為 A，B 兩點相對于水平面的高度差的絕對值.假設運動開始時刻，即 t = 0秒時，
點 A 位于圓心正下方：則 t = 秒時，A，B 兩點的豎直距離第一次為 0；A，B 兩點的豎
直距離關于時間 t 的函數解析式為 f t = .
【變式 3】（2023·江西鷹潭·模擬預測）如圖，均勻的圓面繞圓心O作逆時針方向的勻速旋轉，
π
圓面上一初始位置為 A 點，t 秒后轉到點 B，旋轉的角速度為w = rad / s ，在旋轉圓面的
30
右側有一固定相機 C（C，O兩點在 AB 的兩側），且OA = 5m， AC = 7m .
(1)記旋轉角為q .若q 2n +1 π,2 n +1 π n N ，求 t 的取值范圍及弦 AB 的長度；
(2)在（1）的條件下，若 t =110s ，BC = 8m，求OC 的長.
【課后強化】
【基礎保分練】
一、單選題
1．（2024·河北邯鄲·模擬預測）若函數 y = 3 cos wx +j w > 0,-π < j < π 的部分圖象如圖
所示，M -3, 3 ， N 1, - 3 為圖象上的兩個頂點.設 MON = q ，其中 O 為坐標原點，
0 q π，則 sin q +j 的值為（ ）
A 6 + 2 B 6 + 2．- ． C 3 +1 3 +1． - D．
4 4 2 2
2．（2024·陜西西安·模擬預測）已知函數 f x = Asin wx +j (A > 0,w > 0, j < π) 的部分圖像
f π f 7π+ - 如圖所示，則 4 ÷ 6 ÷
= （ ）
è è
A 2 + 3 B 2． ． C．0 D 6．
2 2 2
3．（2024·吉林長春·模擬預測）已知函數 f x = sin wx +j ，如圖 A, B 1是直線 y = 與曲線
2
y = f x π 13π 的兩個交點， AB = , f ÷ = -1，則 f
5π
÷ =（6 24 6 ）è è
A 0 B 1． ． 2 C
3
． D 3． -
2 2
4．（2024·湖北武漢·模擬預測）若函數 f x = sinwx + 3coswx (w > 0) 在區間[a,b]上是減函
數，且 f a =1， f b = -1，b - a = π ，則w =（ ）
1 2
A． B． C3 ．1 D．23
二、多選題
5．（2024·遼寧丹東·一模）已知函數 f (x) = sin(wx +j)（w > 0， |j |< π ）滿足
f π- f π= f 2π ÷ ÷ = ÷，且 f x
π
在 ,
π
6 2 3 6 2 ÷
上單調遞減，則（ ）
è è è è
j π f (x πA． = B． - )為奇函數
3 12
C． f x x π kπ的對稱軸為 = + ， k Z D． f x 在 0, π 上有 3 個零點
12 2
6．（2024·山東日照·二模）已知函數 f x = Asin wx +j A > 0,w > 0,0 < j < π 的部分圖象
如圖中實線所示，圖中圓C 與 f x 的圖象交于M , N 兩點，且M 在 y 軸上，則下列命題正
確的是（ ）
A．函數 f x 的最小正周期是 π
B．函數 f x 7π在 - ,
π
- ÷上單調遞減
è 12 3
C．函數 f x π π的圖象向左平移 個單位后關于直線 x = 對稱
12 2
C 5πD．若圓 的半徑為 ，則 f x 3π= sin 2x
π
+
12 6 3 ֏
三、填空題
π π
7．（22-23 高三上·河北·階段練習）如圖是函數 f x = K sin wx +j K > 0,w > 0,- < j <
è 2 2 ÷
的部分圖象，A 是圖象的一個最高點，D 是圖象與 y 軸的交點，B，C 是圖象與 x 軸的交點，
π π
且D 0, -1 ，VABC 的面積等于 ．若 x ,π ÷時，關于 x 的方程[ f (x)]2 - (m +1) f (x) + m = 02 è12
恰有 3 個不同的實數根，則 m 的取值范圍是 ．
8．（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x = sin wx + j w > 0,0 < j < π 的部分圖象如圖所
示，將 f x 2圖象上所有點的橫坐標縮小為原來的 m > 0 ，縱坐標不變，得到 g x 的圖
m
象，若 g x 在區間 0, π 上恰有兩個極大值點，則實數 m 的取值范圍是 ．
9．（2024·江西南昌·一模）“南昌之星”摩天輪半徑為 80 米，建成時為世界第一高摩天輪，成
為南昌地標建筑之一.已知摩天輪轉一圈的時間為 30 分鐘，甲乙兩人相差 10 分鐘坐上摩天
輪，那么在摩天輪上，他們離地面高度差的絕對值的取值范圍是 .
四、解答題
10．（23-24 高三上·山西·階段練習）已知函數 f (x) = 2sin(wx
π
+ j) w > 0,|j |< 2 ÷的部分圖象如圖è
所示．
(1)求 f (x) 的解析式；
(2)求 f (x)
é
在 ê0,
π ù
2 ú 上的值域．
π
11．（2023·四川綿陽·一模）已知函數 f (x) = Asin(wx +j) A > 0,w > 0,|j |< ÷的部分圖象如
è 2
圖所示．
(1)求函數 f (x) 的解析式；
π é p ù
(2)將函數 f (x) 的圖象向右平移 個單位長度，得到 g(x)的圖象，求函數 y = g(x) 在 x 0,
3 ê 2 ú
上的單調遞減區間．
【綜合提升練】
一、單選題
f x sin wx j w 0,0 j π= - > < < 1．（2024·四川·模擬預測）已知函數 ÷的部分圖象如圖所
è 2
示，則下列結論正確的是（ ）．
x 2πA．當

, π ÷時， f x 3的最小值為 -
è 3 2
f x é πB． 在區間 ê ,
π ù
4 2 ú
上單調遞增

C． f x 的最小正周期為 2π
D． f x π的圖象關于直線 x = 3 對稱
1 π
2．（2024·陜西渭南·三模）將函數 y = 2sin x + ÷的圖象向左平移j j > 0 個單位長度，
è 2 4
所得圖象關于原點對稱，則j 的值可以為（ ）
π π 3π 3π
A． B． C． D．
4 2 4 2
3．（2023·遼寧撫順·模擬預測）水車是古老黃河的文化符號，是我國勞動人民智慧的結晶，
是最早的自動灌溉系統．黃河邊上的一架水車直徑為 16 米，入水深度 4 米，為了計算水車
的旋轉速度，某人給剛出水面的一個水斗（圖中點 A）做上記號，經過 60 秒該水斗到達水
車最頂端（圖中點 B），再經過 11 分 20 秒，做記號的水斗與水面的距離為 n 米，則 n 所在
的范圍是（ ）
A． 0,4 B． 4,8 C． 8,10 D． 10,12
4．（2024·廣東廣州·二模）已知函數 f (x) = 2sin(wx +j)(w > 0,|j |
π
< )的部分圖象如圖所示，
2
若將函數 f (x) 的圖象向右平移q (q > 0)個單位后所得曲線關于 y 軸對稱，則q 的最小值為
（ ）
π π 3π π
A． B C8 ． ． D．4 8 2
5．（2024·陜西安康·模擬預測）已知函數 f x = Asin wx +j (A > 0,w > 0, π < j < 2π)的部分
π 5π
圖象如圖所示，其圖象上最高點的縱坐標為 2，且圖象經過點 0, -1 , ,1÷，則 f - ÷ =
è 3 è 6
（ ）
A． 3 B．1 C．－1 D．- 3
6．（2024·甘肅酒泉·三模）函數 f x = Asin wx +j A > 0,w > 0, -π < j < 0 ，其部分圖象如
圖所示，則wj =（ ）
5π 5π 10π
A．- B - C - D
5π
． ． ． -
2 3 3 6
π π
7．（23-24 高三下·河南·階段練習）已知函數 f (x) = 3sin 2x - ÷ - 4cos 2x - ÷，將 f (x) 的
è 3 è 3
π
圖象向左平移 個單位長度后，得到函數 g(x)的圖象．若x1，x2是關于 x 的方程 g(x) = a6
é0, π ù π 在 ê 2 ú 內的兩個不同的根，則 sin + x + x =（ ） 2 1 2 ÷è
3 3 4 4
A．- B． C．- D．
5 5 5 5
π
8．（2024·重慶·模擬預測）將函數 f x = sin 2x - 3 ÷的圖象向右平移j j > 0 個單位后，所è
得圖象關于坐標原點對稱，則j 的值可以為（ ）
2π π π π
A． B． C． D．
3 3 6 4
二、多選題

9．（2024·安徽合肥·三模）已知 x1, x2 是函數 f (x) = 2sin wx
π
- ÷ (w > 0) 的兩個零點，且 x6 1
- x2
è
π
的最小值是 ，則（ ）
2
é0, π ùA． f (x) 在 ê 上單調遞增 3 ú
B． f (x)
π
的圖象關于直線 x = - 對稱
6
f (x) g(x) = 2sin 2x πC． 的圖象可由 的圖象向右平移 個單位長度得到
6
π
D． f (x)
é
在 ê , π
ù
2 ú
上僅有 1 個零點

10．（2024·浙江金華·三模）已知 f x = coswx + 3sinwx w > 0 在 0, π 上是單調函數，且
y = f x 的圖象關于點 -π,0 對稱，則（ ）
A．若 f x1 - f x2 = 4，則 x1 - x2 = 6πmin
B． f x 的圖象的一條對稱軸方程為 x = 2π
C．函數 y = f x 在 -π,5π 上無零點
D．將 f x 的圖象向左平移 π個單位長度后得到的函數為偶函數
π π
11．（2024·河北石家莊·三模）函數 f x = 4sin wx +j 0 < w 2,- < j < 的部分圖象如
è 2 2 ÷
圖所示，則下列說法中正確的是（ ）
π
A．j = -
6
B． f x 的圖象關于直線 x = π 對稱
f x 1 2πC． = 4cos x -

÷
è 2 3
D．若方程 f x = 2在 0, m 26π上有且只有 5 個根，則m ,10π
ù
è 3 ú
三、填空題
12 1．（2024·江蘇·模擬預測）將函數 f x = sin 2x +j 圖象上的每個點的橫坐標變為原來的 2
π
倍（縱坐標不變），再將得到的圖象向左平移 個單位長度，所得的圖象關于 y 軸對稱，寫
6
出一個符合條件的j 的值 .
13．（2024·貴州貴陽·一模）函數 f (x) = Asin(wx +j)(A > 0,w > 0,0 < j < π)的部分圖象如圖所
示，已知 f (x1) + f (x2 ) = 0，且 | x x
π π
2 - 1 |< ，則 f (x1 + x2 + ) = ．2 6
π
14．（2024 高三·全國·專題練習）已知函數 f x = Asin wx +j A > 0,w > 0, j < 2 ÷的部分è
f x π圖象如圖所示，將函數 圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的 ，縱坐標伸長到原來的 2
4
π
倍，再把得到的圖象向左平移 個單位長度，可得到 y = g x 的圖象．若方程 g x = m在
12
é π
ê- ,0
ù
ú 上有兩個不相等的實數根，則m 的取值范圍為 ． 2
四、解答題
15．（23-24 高三上·吉林白城·階段練習）已知函數
f x = 3sin wx wx +j+j +1- 2cos2 ÷ w
π
> 0, j < ÷ 為奇函數，且 f x 圖象的相鄰兩條
è 2 è 2
π
對稱軸間的距離為 .
2
(1)求 f x 的解析式與單調遞減區間；
(2)將函數 f x π 1的圖象向右平移 個單位長度，再把橫坐標縮小為原來的 2 （縱坐標不變），6
得到函數 y = g x x 0, π 2g 2的圖象，當 ÷ 時，求方程 x + 3g x - 3 = 0 的所有根的和.
è 2
p
16．（2024·福建三明·三模）已知函數 f (x) = sinwx + cos(wx + )（其中w > 0）其中圖象的
6
p
兩條相鄰對稱軸間的距離為 .
2
(1)若 f (x) 在 (0, m)上有最大值無最小值，求實數m 的取值范圍；
(2)將函數 f (x)
p
的圖象向右平移 個單位長度；再將圖象上所有點的橫坐標變為原來的 2 倍
6
（縱坐標不變），得到 g(x)的圖象，設 h(x) = g(x)
1
+ x ，求 h(x) 在 (-2p, p)的極大值點.
2
17．（2023·貴州遵義·模擬預測）已知函數 f x = Asin wx +j A > 0,w > 0, j
π
<
2 ÷
的部分圖
è
象如圖所示.
(1)
求函數 f x 的解析式；
(2)若函數 y = f 2x π- m é ù在區間 ê0, ú 上恰有兩個零點 x1, x3 2 ，求 x1 + x2 的值.
π
18．（2023·

海南省直轄縣級單位·模擬預測）如圖為函數 f x = 2cos wx +j w > 0, j < 2 ÷的è
π 5π
部分圖象，且 CD = ， A - , -2

4 12 ÷
．
è
(1)求w ，j 的值；
3π
(2)將 f x 的圖象上所有點的橫坐標擴大到原來的 3 倍（縱坐標不變），再向右平移 個單
4
位長度，得到函數 g x é π ù的圖象，討論函數 y = g x - a 在區間 ê-π, 2 ú 的零點個數．
π
19．（2023·陜西安康·一模）已知函數 f (x) = Asin(wx +j) + B A > 0,w > 0,|j |< ÷的部分圖
è 2
象如圖所示.
(1)求函數 f (x) 的解析式；
π
(2)將函數 y = f (x) 圖象上所有的點向右平移 個單位長度，再將所得圖象上每一個點的橫坐
4
標變為原來的 2 倍（縱坐標不變），得到函數 y = g(x)
é
的圖象.當 x ê0,
13π ù
ú時，方程 6
g(x) - a = 0恰有三個不相等的實數根， x1, x2 , x3 x1 < x2 < x3 ，求實數 a 的取值范圍以及
x1 + 2x2 + x3的值.
【拓展沖刺練】
一、單選題
1．（2024·四川攀枝花·三模）將函數 y = sin2x - cos2x的圖象向右平移m(m > 0)個單位長度后得
到的圖象與 y = sin2x的圖象關于原點對稱，則m 的最小值是（ ）
p 3p p 3p
A． B． C． D．
4 4 2 2
π
2．（2024·遼寧·三模）已知函數 f x = Asin wx +j A > 0,w > 0, j < ÷，圖象如圖所示，
è 2
下列說法正確的是（ ）
π
A．函數 f x 的振幅是 2，初相是
6
π
B．若函數 f x 的圖象上的所有點向左平移 后，對應函數為奇函數，則w = 2
12
C．若函數 f x π , π é 10ù在 3 2 ÷上單調遞減，則w 的取值范圍為è ê
2,
3 ú
D．若函數 f x 7π 的圖象關于 ,0÷ 中心對稱，則函數 f x 的最小正周期12 T 的最小值為è
7π
3．（2024·內蒙古呼和浩特·二模）如圖所示的曲線為函數
f x = Acos wx -j p A > 0,w > 0, j < ÷ 的部分圖象，將 y = f x 圖象上所有點的橫坐標伸
è 2
3 p
長到原來的 倍，再將所得曲線向左平移 個單位長度，得到函數 y = g x 的圖像，則 g x
2 8
的解析式為（ ）
g x 2cos 9x p pA． = -2 8 ÷ B． g x = 2cos 2x - 8 ÷è è
C． g x = 2sin2x D． g x = 2cos2x
é 1 3 ù
4．（2024·山東聊城·三模）設函數 f x 的圖象與函數 y = 2cosπx x - , ÷的圖象關于 x
è ê 2 2 ú
1 1
軸對稱，將 f x 的圖象向右平移 g x y =2 個單位長度后得到函數 的圖象，則函數 的x -1
圖象與 y = g x 的圖象的所有交點的橫坐標之和為（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
二、多選題
5．（2024·山東泰安·模擬預測）已知函數 f x = coswx - 3sinwx,則下列結論正確的是（ ）
A．當w =1時， f x 5π 的圖象關于 - ,0÷中心對稱
è 6
π
B．當w = 2時，將 f x 圖象向右平移 個單位長度后的函數圖象關于 y 軸對稱
6
é π ù
C．當w = 3時， f x 在 ê0, ú 上單調遞減 3
D．設 f x 的周期為 T，若T = π 時，x1，x2為方程 f x =1的兩個不相等實根，則
x π1 - x2 =min 3
6．（2023·湖南·模擬預測）已知函數 f x = sin wx +j (w > 0,0 < j < 2π) 的部分圖象如圖所
示，則（ ）
j 4πA． =
3
B． f x é 5π π ù在區間 ê- , - ú上單調遞增 6 2
C．將函數 y = cosx 1圖象上各點橫坐標變為原來的 2 （縱坐標不變），再將所得圖象向右
π
平移 個單位長度，可得函數 f x 的圖象
12
D．函數 y = 4 f x + 2x π+ 的零點個數為 7
3
三、填空題
7．（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x = 3sin wx +j (w > 0, j < p )的部分圖像如圖所示.
2
若函數 f x 的圖像在區間 m, n 上有兩條對稱軸，且 f m + f n = 3 n m 2π，則 - + 的取
j
值范圍是 .
8．（2024 高三·全國·專題練習）已知函數 f x = 2sin wx +j w > 0,0 < j < π 的部分圖象如
圖所示，則w + j = ．
π
9．（2024·遼寧撫順·一模）已知 x1, x2 是函數 f x = 2sin wx +j - 3 w > 0, j < ÷的兩個零
è 2
π
點，且 x1 - x2 = f xmin ，若將函數
π
的圖象向左平移 個單位后得到的圖象關于 y 軸對稱，
6 3
且函數 f x π在 ,q

÷內恰有 2 個最值點，則實數q 的取值范圍為 ．
è 6
四、解答題
10．（2023·四川瀘州·一模）已知函數 f (x) = 2sin2 wx + 2 3 sinwx coswx -1(w > 0)的相鄰兩對
稱軸間的距離為p ．
(1)求函數 f (x) 的解析式；
2π
(2)將函數 f (x) 圖象上點的橫坐標伸長到原來的 2倍，縱坐標不變，再向右平移 個單位長
3
g(x) g π 2 π 度得到函數 的圖象，若 2q + ÷ = - ，q 3
0, ÷，求sinq 的值．
è 7 è 2
11．（22-23 高一下·安徽馬鞍山·階段練習）已知函數
f x = Asin wx +j A > 0,w > 0,0
π
< j < ÷的部分圖像如圖所示，其中 f x 的圖像與 x 軸
è 2
π
的一個交點的橫坐標為- ．
12
(1)求這個函數的解析式；
(2)若函數 g x π π= f x - a é ù在區間 ê- , ú上存在零點，求實數 a的取值范圍． 2 12

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