資源簡介

考點 33 復　數（3 種核心題型+基礎保分練+綜合提升練+拓
展沖刺練）
【考試提醒】
1.通過方程的解，認識復數.
2.理解復數的代數表示及其幾何意義，理解兩個復數相等的含義.
3.掌握復數的四則運算，了解復數加、減運算的幾何意義．
【知識點】
1．復數的有關概念
(1)復數的定義：形如 a＋bi(a，b∈R)的數叫做復數，其中 是復數 z 的實部，
是復數 z 的虛部，i 為虛數單位．
(2)復數的分類：
復數 z＝a＋bi(a，b∈R)
{實數 b 0 ，虛數 b 0 當 a 0 時為純虛數 .
(3)復數相等：
a＋bi＝c＋di (a，b，c，d∈R)．
(4)共軛復數：
a＋bi 與 c＋di 互為共軛復數 (a，b，c，d∈R)．
(5)復數的模：
→
向量O Z的模叫做復數 z＝a＋bi 的模或絕對值，記作 或 ，即|z|＝|a＋
bi|＝ (a，b∈R)．
2．復數的幾何意義
一一對應
(1)復數 z＝a＋bi(a，b∈R) 復平面內的點 Z(a，b)．
一一對應 →
(2)復數 z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量O Z.
3．復數的四則運算
(1)復數的加、減、乘、除運算法則：
設 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ ；
②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ ；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝ ；
z1 a＋bi a＋bi c－di
④除法： ＝ ＝ ＝ (c＋di≠0)．
z2 c＋di c＋di c－di
(2)幾何意義：復數加、減法可按向量的平行四邊形法則或三角形法則進行．
如圖給出的平行四邊形 OZ1ZZ2可以直觀地反映出復數加、減法的幾何意義，
→ —→
即O Z＝ ，Z 1Z2＝ .
常用結論
1＋i 1－i
1．(1±i)2＝±2i； ＝i； ＝－i.
1－i 1＋i
2．－b＋ai＝i(a＋bi)(a，b∈R)．
3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．
4．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)．
5．復數 z 的方程在復平面上表示的圖形
(1)a≤|z|≤b 表示以原點 O 為圓心，以 a 和 b 為半徑的兩圓所夾的圓環；
(2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)為圓心，r 為半徑的圓
【核心題型】
題型一　復數的概念
解決復數概念問題的方法及注意事項
(1)復數的分類及對應點的位置問題都可以轉化為復數的實部與虛部應該滿足的條件問題，
只需把復數化為代數形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可．
(2)解題時一定要先看復數是否為 a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實部和虛部．
i
【例題 1】（2024·四川· z = - i2024模擬預測）已知復數 （ i為虛數單位），則 z 的虛部為
1+ i
（ ）
1 1 1 1A．- B． C． - i D． i
2 2 2 2
【變式 1】（2024·遼寧·三模）已知復數 z 在復平面上對應的點為 (m,1)，若 iz > -2，則實數m
的值為（ ）
A．0 B． -1 C．1 D．1 或 -1
【變式 2】（2023·江蘇·三模）設 z 為復數（ i為虛數單位），下列命題正確的有（ ）
A．若 z R ，則 z = z B．若 z2 R，則 z R
C．若 1+ i z =1- i，則 z =1 D．若 z2 +1 = 0，則 z = i
【變式 3】（2024·山東日照·二模）設m R, i 為虛數單位．若集合 A = 1,2m + m -1 i ，
B = 0,1,2 ，且 A B ，則m = ．
題型二　復數的四則運算
(1)復數的乘法：復數乘法類似于多項式的乘法運算．(2)復數的除法：除法的關鍵是分子分
母同乘以分母的共軛復數．
【例題 2】（2024·湖北·模擬預測）已知復數 z = a + bi(a,b R ， i為虛數單位)，若 z =1且
z - i =1，則 z - 2i = （ ）
A．2 B． 3 C． 2 D．1
【變式 1】（2024·山東·模擬預測）已知復數 z 滿足 z =1，且 z -1 = z + i ，則 z2 =（ ）
A．1 B． -1 C． i D．- i
【變式 2】（2024·福建福州·三模）已知復數 z1, z2 滿足： z1 + 3 + z1 - 3 = 4， z2 - 2i =1，
則（ ）
A． z2 的最小值是 1 B． z1 的最大值是 2
z
C． 2 的最大值是 3 D． z1 - z2 的最大值是 4z1
3- 2i
【變式 3】（2024·湖南·模擬預測）已知 i是復數的虛數單位，且 = a + bi a,b R ，則 a + b
i
的值為 ．
題型三　復數的幾何意義
由于復數、點、向量之間建立了一一對應的關系，因此可把復數、向量與解析幾何聯系在一
起，解題時可運用數形結合的方法，使問題的解決更加直觀
uuur uuur
【例題 3】（2024·全國·模擬預測）如圖，復數 z 對應的向量為OZ ，且 z - i = 5，則向量OZ
uuur
在向量OP 上的投影向量的坐標為（ ）
1 , 2 2 , 4 3 6 4 8 A． ÷ B． ÷ C． , ÷ D． ,5 5 ÷è è 5 5 è 5 5 è 5 5
1- 2i
【變式 1】（2024·海南?？凇ざ＃┰趶推矫鎯?， 對應的點位于（ ）
2 + i
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【變式 2】（2024·湖南長沙·二模）在復平面內，復數 z1 和 z2 對應的點分別為 A, B，則
z1 × z2 = .
【變式 3】（23-24 高三上·江蘇鹽城·階段練習）已知函數 f x = asin2x + cos2x，且
f x f π - 6 ÷ ．è
(1)求函數 f x 的解析式；
(2)O為坐標原點，復數 z1 = -2 - 4i， z2 = -2 + f t i 在復平面內對應的點分別為A ， B ，求
OAB面積的取值范圍．
【課后強化】
【基礎保分練】
一、單選題
1．（2024·湖南衡陽·模擬預測）已知復數 z1 =1- bi b R 在復平面內對應的點在直線
x + y -1 = 0 上，則復數 z2 = b + i 在復平面對應的點在（ ）
A．實軸正半軸 B．實軸負半軸 C．虛軸正半軸 D．虛軸負半軸
1+ i 3
2．（2024·河南·三模）已知 i為虛數單位， = （ ）
1- i 2
A．1+ i B．1- i C．-1+ i D．-1- i
z
3．（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預測）已知復數 z 在復平面內對應的點的坐標為 (-1,1)，則 =z
（ ）
A． 2i B．i C．- i D． -2i
4
4 1+ i ．（2024·吉林長春·模擬預測）已知 z = ，則 z 的虛部為（ ）
1- i
A．2i B． -2i C．-2 D．2
二、多選題
5．（2024·湖南·二模）已知 i 為虛數單位，下列說法正確的是（ ）
1+ i
A．若復數 z = ，則 z301 i = -1-
B．若 z1 > z2 ，則 z2 21 > z2
z z
C．若 z2 0，則 1 =
1
z2 z2
D．復數 z 在復平面內對應的點為Z ，若 z + i + z - i = 2，則點Z 的軌跡是一個橢圓
6．（2024·廣東廣州·模擬預測）已知復數 z1 ， z2 ，下列結論正確的有（ ）
A． z1 - z2 z1 + z2 B．若 z1 - z2 > 0，則 z1 > z2
z
C．若 z1 - z2 = z1 + z
1
2 ，則 z1 × z2 = 0 D．若 z1 =1+ i， z2 =1- i，則 z 為純虛數2
三、填空題
7．（2024·山西·三模）已知復數 1+ 2i - m 3- i 在復平面內對應的點位于第四象限，則實數
m 的取值范圍是 ．
2
8．（2024· z四川成都·模擬預測）設 z = 2- i，則 的虛部為 ．
z2
9．（2024·甘肅張掖·模擬預測）已知復數 z = i + 2i2 + 3i3 +L+ 2023i2023 ，則 z 的虛部為 .
四、解答題
10．（2022·湖南·模擬預測）國際數學教育大會（ICME）是世界數學教育規模最大、水平最
高的學術性會議，第十四屆大會將在上海召開，其會標如圖，包含若許多數學元素，主畫面
是非常優美的幾何化的中心對稱圖形，由弦圖、圓和螺線組成，主畫面標明的 ICME—14 下
方的“ ”是用中國古代八進制的計數符號寫出的八進制數 3744，也可以讀出
n
其二進制碼（0）11111100100 1+ i ，換算成十進制的數是 n，求 (1+ i)2n 及 ÷ 的值．
è 2
π
11．（2023·安徽蕪湖·模擬預測）已知函數 f x = asin2x + cos2x，且 f x f - ÷ .
è 6
(1)求 f x 的最大值；
(2)從①②中任選一個作答.若選擇多個分別作答.按第一個解答計分.
① A 為函數 f x 圖象與 x 軸的交點，點 B ，C 為函數 f x 圖象的最高點或者最低點，求
ABC 面積的最小值.
② O為坐標原點，復數 z1 = -2 - 4i， z2 = -2 + f t i 在復平面內對應的點分別為A ， B ，求
OAB面積的取值范圍.
【綜合提升練】
一、單選題
1 - i
2 + i
．（2024·湖北武漢·模擬預測）設復數 z = ,則
1 i3 z
的虛部是（ ）
- -
A．1 B． -1 C． i D．- i
2．（2024·河北·模擬預測）若 1+ ai a - i > 0,a R ，則（ ）
A． a =1 B． a = ±1
C． a -1或a 1 D．a 1
1+ i
3．（2024·全國·模擬預測）已知 z = ，則 3 5 （ ）
1- i z + z + z =
A．i B．- i C．1+ i D．1- i
2
4．（2024·江西·模擬預測）在復平面內，復數 z 對應的點的坐標為 1,-1 z，則 = （ ）1- 2i
4 2 2 4 4 2 2 4
A． - i B． - i C． + i D． + i
5 5 5 5 5 5 5 5
-2 + ai
5．（2024·四川成都·模擬預測）復數 z = 在復平面上對應的點位于虛軸上，則實數 a
1- i
的值為（　?。?br/>A．1 B． 2 C． -1 D．-2
1+ i
6．（2024·山西運城·三模）設 z = ，則 （
1 i2 i5 z = ）+ +
A．1- i B．1+ i C．-1- i D．-1+ i
7
7．（2024· i + a陜西西安·模擬預測）已知 i是虛數單位，若 z = 是純虛數，則實數a = （ ）
2 + i
1
A．-2 B．2 C 1．- D．
2 2
8．（2024·黑龍江齊齊哈爾·三模）復平面內 A, B,C 三點所對應的復數分別為1- i, 2 - i,3+ i ，
若四邊形 ABCD為平行四邊形，則點D對應的復數為（ ）
A．2 B． 2 + i C．1 D．1+ i
二、多選題
9．（2024·江蘇南通·模擬預測）已知 z1 ， z2 都是復數，下列正確的是（ ）
A．若 z1 = z2 ，則 z1z2 R B．若 z1z2 R ，則 z1 = z2
C．若 z1 = z 2 22 ，則 z 2 21 = z2 D．若 z1 + z2 = 0 ，則 z1 = z2
10．（2024·廣東江門·一模）下列說法正確的是（ ）
A． z × z = z 2 ， z C
B． i2024 = -1
C．若 z =1， z C，則 z - 2 的最小值為 1
D．若-4 + 3i 2是關于 x 的方程 x + px + q = 0 p,q R 的根，則 p = 8
11．（2024·河南·三模）在復平面內，設O為坐標原點，復數 z2 , z 對應的點分別為A ， B ，
uuur uuur
若OA ^ OB，則 z 可能是（ ）
A． 2i B．1- 3i C． 3 + i D． 3 - i
三、填空題
2 + 4i
12．（2023·天津南開·一模） i是虛數單位，復數 3 = .3- i
13．（2024·遼寧葫蘆島·二模）已知復數 z 滿足 (z - i)(1- i) = 2，則 z 的值為 .
14．（2024·福建廈門·三模）復數 z 滿足 z + z = 2， zz = 4 ，則 | z - z |= .
四、解答題
15．（2021·上海浦東新·模擬預測）已知關于 x 得二次方程：
x2 + (2 + i)x + 4ab + (2a - b)i = 0(a,b R) .
(1)當方程有實數根時，求點 (a , b ) 的軌跡方程；
(2)求方程實數根的取值范圍.
16．（2022·浙江·模擬預測）在正三棱臺OAB - OA1B1 中， OAB是邊長為 4的等邊三角形，
| AB |
= 2 π且 A B .已知 OO1 = 5， OCH = ，D， H 分別是線段OB， AB 的中點，當直線GH1 1 6
上一動點C 在射線OO1 上時， O1C =1， tan CA1B1 = 2 .
(1)證明：OC ^平面 A1B1C ；
(2)求直線GH 與平面 ABB1A1所成角的正弦值；
(3)連接CA，CB，已知點C 在平面OAB 投影是C1，平面OAB 是一個分別以DA，DO 作為 x ，
uuuur
y 軸的復平面， z = DC1 .當CA ^ CB時，請直接寫出 z 的虛部（不要求寫出過程）.
17．（2021· 2上海·模擬預測）已知關于 x 的方程 x - 3ax - 3a = 0 a R 的虛數根為x1、x2 .
（1）求 x1 + x2 的取值范圍；
（2）若 x1 - x2 =1，求實數 a的值.
18．（2021·黑龍江大慶·模擬預測）已知復數 z = m - i（m R），且 z × 1+ 3i 為純虛數（ z 是
z 的共軛復數）.
m + 2i
（1）設復數 z1 = ，求 z ；1- i 1
2021
（2）復數 z a - i2 = 在復平面對應的點在第一象限，求實數 a的取值范圍.z
19．（2024·安徽蚌埠·模擬預測）對于無窮數列 a0 ,a1,a2 ,L,an ,L，我們稱

f (x) a= n xn = a a x a+ + 20 1 x2 a+L+ n xn +L（規定0!=1）為無窮數列 an 的指數型母函
n=0 n! 2! n!
1 x2 xn
數．無窮數列 1，1，…，1，…的指數型母函數記為 e(x) = xn =1+ x + +L+ +L，
n=0 n! 2! n!
它具有性質 e(x)e(y) = e(x + y)．
1
(1)證明： e(-x) = e(x) ；
(-1)k 2 4 2k
(2) c(x) = x2k 1 x x L ( 1)k x L c(x) e(ix) + e(-ix)記 = - + + + - + ．證明： = （其中 i
k =0 (2k)! 2! 4! (2k)! 2
為虛數單位）；
x
(3)以函數 e(x) 為指數型母函數生成數列
B ，
-1 n
x B= n xn B= B + B x + 2 x2 B+L+ n xn0 1 +L．其中Bn 稱為伯努利數．證明：e(x) -1 n=0 n! 2! n!
B 11 = - ．且B2k +1 = 0(k =1,2,3,L) ．2
【拓展沖刺練】
一、單選題
1．（2024·浙江溫州·二模）已知 z C，則“ z2 R ”是“ z R ”的（ ）
A．充分條件但不是必要條件 B．必要條件但不是充分條件
C．充要條件 D．既不是充分條件也不是必要條件
2．（2024·全國·模擬預測）已知 i為虛數單位，且復數 zi2024 = 6，則下列說法中正確的是
（ ）.
A．復數 z 為實數 B． i2024 = i
C．復數 z 為純虛數 D． z = -6i
3．（2024·全國· 2024模擬預測）已知復數 z 滿足： 1+ i z = 2 + 3i （ i為虛數單位），則 z 在復平
面內對應的點在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（2024·遼寧葫蘆島·一模）設 z1 ， z2 為復數，則下列命題正確的是（ ）
A．若 z1 + z2 > 0，則 z2 = z1
B．若 z1z2 = 0，則 z1 = 0 且 z2 = 0
C．若 z1 = z 22 ，則 z1 = z
2
2
D．若 z - z1 = z - z2 ，且 z1 z2 ，則 z 在復平面對應的點在一條直線上
二、多選題
5．（2024·遼寧丹東·二模）已知復數 z1 的虛部與 z2 的實部均為 2，則下列說法正確的是（ ）
A． z1 是虛數
B．若 z1 = z2 = 2，則z1 = z2
C．若 z1 = z2 ，則 z1 與 z2 對應的點關于 x 軸對稱
D．若 z1 × z2 是純虛數，則 z1 = z2
6．（2024·山東青島·一模）已知復數 z，下列說法正確的是（ ）
A．若 z - z = 0，則 z 為實數 B．若 z2 + z 2 = 0，則 z = z = 0
C．若 z - i =1，則 | z |的最大值為 2 D．若 | z - i |=| z | +1，則 z 為純虛數
三、填空題
7．（2024·上海普陀·二模）已知復數 z =1+ i，其中 i為虛數單位，則 z 在復平面內所對應的
點的坐標為 .
8．（2023·北京海淀·二模）在復平面內，復數 z 所對應的點為 (1,1) ，則 z × z = ．
9．（2024·上海楊浦·二模）設復數 z1 與 z2 所對應的點為Z1 與Z2 ，若 z1 =1+ i， z2 = i × z1，則
uuuur
Z1Z2 = .
四、解答題
10．（2022·甘肅蘭州·一模）實數m 取什么值時，復數 z = m + 3+ (m - 3)i是
(1)實數？
(2)虛數？
(3)純虛數？
11．（2024·貴州黔南·二模）1799 年，哥廷根大學的高斯在其博士論文中證明了如下定理：
任何復系數一元 n次多項式方程在復數域上至少有一根（ n 1）.此定理被稱為代數基本定
理，在代數乃至整個數學中起著基礎作用.由此定理還可以推出以下重要結論： n次復系數
多項式方程在復數域內有且只有 n個根（重根按重數計算）.對于 n次復系數多項式
f x = xn + an-1xn-1 + ×××+ a1x + a0 ，其中 an-1， an-2 ， × × ×,a0 C，若方程 f x = 0有 n個復根
ì n
xi = -an-1
i=1
n
xi x j = an-2
1 i< j n
x1, x

2 , × × ×, xn ，則有如下的高階韋達定理： í n
xi x j xk = -a n-31 i< j
M

x1x2 × × × xn = -1
n a0
(1)在復數域內解方程 x2 + 4 = 0；
(2)若三次方程 x3 + ax2 + bx + c = 0的三個根分別是 x1 =1- i， x2 =1+ i， x3 = 2（ i為虛數單
位），求 a，b ， c的值；
(3) n 4 n n-1 2在 的多項式 f x = x + an-1x + ×××+ a1x + a0 中，已知 an-1 = -1， a1 = -n a， a0 = a ，
a為非零實數，且方程 f x = 0的根恰好全是正實數，求出該方程的所有根（用含 n的式子
表示）.考點 33 復　數（3 種核心題型+基礎保分練+綜合提升練+拓
展沖刺練）
【考試提醒】
1.通過方程的解，認識復數.
2.理解復數的代數表示及其幾何意義，理解兩個復數相等的含義.
3.掌握復數的四則運算，了解復數加、減運算的幾何意義．
【知識點】
1．復數的有關概念
(1)復數的定義：形如 a＋bi(a，b∈R)的數叫做復數，其中 a 是復數 z 的實部，b 是復數 z 的
虛部，i 為虛數單位．
(2)復數的分類：
復數 z＝a＋bi(a，b∈R)
{實數 b＝0 ，虛數 b ≠ 0 當 a＝0 時為純虛數 .
(3)復數相等：
a＋bi＝c＋di a＝c 且 b＝d(a，b，c，d∈R)．
(4)共軛復數：
a＋bi 與 c＋di 互為共軛復數 a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(5)復數的模：
→
向量O Z的模叫做復數 z＝a＋bi 的?；蚪^對值，記作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝ a2＋b2(a，
b∈R)．
2．復數的幾何意義
一一對應
(1)復數 z＝a＋bi(a，b∈R) 復平面內的點 Z(a，b)．
一一對應 →
(2)復數 z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量O Z.
3．復數的四則運算
(1)復數的加、減、乘、除運算法則：
設 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
z1 a＋bi a＋bi c－di ac＋bd bc－ad
④除法： ＝ ＝ ＝ ＋ i(c＋di≠0)．
z2 c＋di c＋di c－di c2＋d2 c2＋d2
(2)幾何意義：復數加、減法可按向量的平行四邊形法則或三角形法則進行．
→ —→
如圖給出的平行四邊形 OZ1ZZ2可以直觀地反映出復數加、減法的幾何意義，即O Z＝O Z1＋
—→ —→ —→ —→
O Z2，Z 1Z2＝O Z2－O Z1 .
常用結論
1＋i 1－i
1．(1±i)2＝±2i； ＝i； ＝－i.
1－i 1＋i
2．－b＋ai＝i(a＋bi)(a，b∈R)．
3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．
4．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)．
5．復數 z 的方程在復平面上表示的圖形
(1)a≤|z|≤b 表示以原點 O 為圓心，以 a 和 b 為半徑的兩圓所夾的圓環；
(2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)為圓心，r 為半徑的圓
【核心題型】
題型一　復數的概念
解決復數概念問題的方法及注意事項
(1)復數的分類及對應點的位置問題都可以轉化為復數的實部與虛部應該滿足的條件問題，
只需把復數化為代數形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可．
(2)解題時一定要先看復數是否為 a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實部和虛部．
i
【例題 1】（2024· · 2024四川 模擬預測）已知復數 z = - i （ i為虛數單位），則 z 的虛部為
1+ i
（ ）
1
A．- 1
1 1
B． C． - i2 D． i2 2 2
【答案】A
【分析】先利用 i的性質化簡 i2024，再利用復數的四則運算與共軛復數的定義，結合復數的
概念即可得解.
【詳解】因為 i4 = 1，所以 i2024 = i4 506 =1，
i 1- i
z i i2024 1 i +1 1 i由 = - = - = -1 = - +1+ i 1 ，+ i 1- i 2 2 2
z 1 i 1\ = - - ，其虛部為- .
2 2 2
故選：A
【變式 1】（2024·遼寧·三模）已知復數 z 在復平面上對應的點為 (m,1)，若 iz > -2，則實數m
的值為（ ）
A．0 B． -1 C．1 D．1 或 -1
【答案】A
【分析】由條件結合復數的幾何意義，得到 z = m + i ，根據 iz > -2可得 iz 為實數，列方程可
求m 的值.
【詳解】因為復數 z 在復平面上對應的點為 m,1 ，
所以 z = m + i ，
因為 iz > -2，
因為 iz = i m + i = -1+ mi為實數，
得m = 0 .
故選：A.
【變式 2】（2023·江蘇·三模）設 z 為復數（ i為虛數單位），下列命題正確的有（ ）
A．若 z R ，則 z = z B．若 z2 R，則 z R
C．若 1+ i z =1- i，則 z =1 D．若 z2 +1 = 0，則 z = i
【答案】AC
【分析】利用共軛復數的定義可判斷 A 選項；利用特殊值法可判斷 B 選項；利用復數的除
法化簡復數 z ，利用復數的模長公式可判斷 C 選項；解方程 z2 +1 = 0，可判斷 D 選項.
【詳解】對于 A 選項，若 z R ，則 z = z ，A 對；
對于 B 選項，若 z2 R，不妨取 z = i ，則 z2 = -1 R ，但 z R ，B 錯；
2
對于 C 選項，若 1+ i z 1 i 1- i= - ，則 z 1- i = = = -i，故 z =1，C 對；
1+ i 1+ i 1- i
對于 D 選項，若 z2 +1 = 0，則 z2 = -1，解得 z = ±i ，D 錯.
故選：AC.
【變式 3】（2024·山東日照·二模）設m R, i 為虛數單位．若集合 A = 1,2m + m -1 i ，
B = 0,1,2 ，且 A B ，則m = ．
【答案】1
【分析】根據題意，利用集合的包含關系，列出方程組，即可求解.
【詳解】由集合 A = 1,2m + m -1 i ，B = 0,1,2 ，因為 A B ，
ì2m = 0
當 2m + m -1 i = 0時，此時 í
m 1
，方程組無解；
- = 0
ì2m = 2當 2m + m -1 i = 2時，此時 í m =1
m -1
，解得 ，
= 0
綜上可得，實數m 的值為1.
故答案為：1
題型二　復數的四則運算
(1)復數的乘法：復數乘法類似于多項式的乘法運算．(2)復數的除法：除法的關鍵是分子分
母同乘以分母的共軛復數．
【例題 2】（2024·湖北·模擬預測）已知復數 z = a + bi(a,b R ， i為虛數單位)，若 z =1且
z - i =1，則 z - 2i = （ ）
A．2 B． 3 C． 2 D．1
【答案】B
【分析】根據復數的模求出 a,b，再根據復數的模的計算公式即可得解.
ì 1
ìa2 + b2 =1 b =
【詳解】由 z =1且 z - i =1
2
，得 í 2 2 ，解得 í 3 ， a + b -1 =1 a2 =
4
2 3 9
則 z - 2i = a2 + b - 2 = + = 3 .
4 4
故選：B.
【變式 1】（2024·山東·模擬預測）已知復數 z 滿足 z =1，且 z -1 = z + i ，則 z2 =（ ）
A．1 B． -1 C． i D．- i
【答案】D
【分析】設 z = a + bi(a,b R)，然后由已知條件列方程組可求出 a + b = 0， 2ab = -1 ,從而可
求出 z2
【詳解】設 z = a + bi(a,b R)，則由 z =1，得 a2 + b2 =1，
由 z -1 = z + i ，得 a + bi -1 = a + bi + i ，即 (a -1) + bi = a + (b +1)i ，
所以 (a -1)2 + b2 = a2 + (b +1)2 ，化簡整理得 a + b = 0，得 a = -b ，
所以 a2 + b2 + 2ab = 0 ，得 2ab = -1，
所以 z2 = (a + bi)2 = a2 + 2abi - b2 = -i ，
故選：D
【變式 2】（2024·福建福州·三模）已知復數 z1, z2 滿足： z1 + 3 + z1 - 3 = 4， z2 - 2i =1，
則（ ）
A． z2 的最小值是 1 B． z1 的最大值是 2
z
C． 2 的最大值是 3 D． z1 - z2 的最大值是 4z1
【答案】ABC
【分析】對于 A，設 z1 = a + bi, z2 = c + di，依題意可得 c2 + d - 2 2 =1，可知復數 z2 的對應
點 P 在以C 0,2 為圓心，1 為半徑的圓上，根據復數幾何意義可判斷 A；對于 B，根據題意
2
可得 a + 3 + b2 + 2a - 3 + b2 = 4，表示復數 z1 的對應點Q在以 ± 3,0 為焦點，長
軸長為 4 的橢圓上，根據圖形和 z1 = z1 可判斷 B；對于 C，根據復數除法運算和復數模公式
z
證明 2
z
= 2 ，結合圖形求得1 z1 2,1 z2 3，然后可判斷 C；對于 D，根據復數減法z1 z1
的幾何意義可知 z1 - z2 = PQ ，結合圖形轉化為求 CQ +1的最值，根據點 P 在橢圓
x2
+ y2 =1上，利用二次函數性質求解可得.
4
【詳解】設 z1 = a + bi, z2 = c + di,a,b,c,d R ，
對于 A，因為 z2 - 2i = c + d - 2 i =1，所以 c2 + d - 2 2 =1，
所以，復數 z2 的對應點 P 在以C 0,2 為圓心，1 為半徑的圓上，
由圖可知，點 P 到原點的最小距離為 1，即 z2 的最小值是 1，A 正確；
2 2
對于 B，因為 z1 + 3 + z1 - 3 = a + 3 + b2 + a - 3 + b2 = 4，
所以，復數 z1 的對應點Q在以 ± 3,0 為焦點，長軸長為 4 的橢圓上，
由橢圓幾何性質可知，點Q到原點的最大距離為 2，即 z1 的最大值為 2，
又 z1 = z1 ，所以 z1 的最大值是 2，B 正確；
z2 c + di ac + bd ad - bc
對于 C，因為 = = 2 + iz1 a + bi a + b
2 a2 + b2 ，
z ac + bd
2
ad - bc
2
a2c2 + b2d 2 + b2c21 + a
2d 2
所以 = + =z 22 è a + b
2 ÷ ÷ è a2 + b2 a2 + b2 2
a2 + b2 c2 + d 2 c2 + d 2 z
= = = 22 ， a2 + b2 a2 + b2 z1
由圖可知，1 z1 2,1 z
z
2 3，所以當 z1 =1, z2 = 3時， 2 取得最大值 3，C 正確；z1
對于 D，因為 z1 - z2 = a - c + b - d i = a - c
2 + b - d 2 表示P,Q 的距離，
2
所以 z1 - z2 的最大值為 CQ +1
x
，設Q x, y ，則 + y2 =1，即 x2 = 4 - 4 y2 ，
4
2
所以 CQ +1 = x2 + y - 2 +1 = 4 - 4y2 + y2 - 4y + 4 +1 = -3y2 - 4y + 8 +1，
2 2 21
由二次函數性質可知，當 y = - 時， CQ +1取得最大值
3 +1
，D 錯誤.
3
故選：ABC
3- 2i
【變式 3】（2024·湖南·模擬預測）已知 i是復數的虛數單位，且 = a + bi a,b R ，則 a + b
i
的值為 ．
【答案】-5
3- 2i
【分析】計算出 ，從而求出 a，b 以及 a + b 的值.
i
3- 2i (3 - 2i)i 3i + 2
【詳解】因為 =
i i2
= = -2 - 3i，
-1
所以 a = -2 ，b = -3，
所以 a + b = -5，
故答案為：-5
題型三　復數的幾何意義
由于復數、點、向量之間建立了一一對應的關系，因此可把復數、向量與解析幾何聯系在一
起，解題時可運用數形結合的方法，使問題的解決更加直觀
uuur uuur
【例題 3】（2024·全國·模擬預測）如圖，復數 z 對應的向量為OZ ，且 z - i = 5，則向量OZ
uuur
在向量OP 上的投影向量的坐標為（ ）
1 , 2 2 , 4 3 , 6 4 , 8 A． ÷ B． ÷ C． ÷ D．
è 5 5 è 5 5 5 5 ÷ è è 5 5
【答案】D
【分析】首先根據復數的幾何意義設出復數 z = -m+ mi m > 0 ，再根據復數模的公式，即
可求解m ，再代入向量的投影公式，即可求解.
【詳解】由題圖可知， z = -m+ mi m > 0 ，則 z -i = -m+ m-1 i = m2 + m-1 2 =5，
解得m = 4 （m = -3舍去），
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur OZ ×OP OP
所以OZ = -4,4 ，OP = 2,4 ，則向量OZ 在向量OP 上的投影向量為 uuur × uuurOP OP ，
-4,4 × 2,4 2,4 8 2,4 4
所以其坐標為 = = ,
8
．
22 + 42 22 + 42 20 20

è 5 5 ÷
故選：D
1- 2i
【變式 1】（2024·海南海口·二模）在復平面內， 對應的點位于（ ）
2 + i
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】利用復數的模長公式、除法運算法則及幾何意義計算即可.
1- 2i 5 2 - i 2 5 5
【詳解】易知 1- 2i = 12 + -2 2 = 5 ，所以 = = - i2 + i 2 + i 2 - i ，5 5
1- 2i 2 5 5
即 對應的點為 ,- ÷
2 + i 5 5 ÷
，位于第四象限.
è
故選：D
【變式 2】（2024·湖南長沙·二模）在復平面內，復數 z1 和 z2 對應的點分別為 A, B，則
z1 × z2 = .
【答案】-1- 3i / -3i -1
【分析】根據條件，利用復數的運算，即可求出結果.
【詳解】由題意可知， z1 = -2 - i, z2 =1+ i，
則 z1 × z2 = -2 - i 1+ i = -2 - i - 2i - i2 = -2 +1- 3i = -1- 3i，
故答案為：-1- 3i
【變式 3】（23-24 高三上·江蘇鹽城·階段練習）已知函數 f x = asin2x + cos2x，且
f x π f - ÷ ．
è 6
(1)求函數 f x 的解析式；
(2)O為坐標原點，復數 z1 = -2 - 4i， z2 = -2 + f t i 在復平面內對應的點分別為A ， B ，求
OAB面積的取值范圍．
π
【答案】(1) f x = -2sin 2x -

÷ ；
è 6
(2) 2,6 .
π
【分析】（1）根據- 是 f x 的對稱軸，結合對稱軸處 f x 取得最值，計算即可；
6
（2）根據復數的幾何意義，建立三角形面積關于 t 的三角函數關系，求函數值域即可.
f x f π【詳解】（1）∵ -
π
÷ ，即當 x = - 時函數 f x 取到最值，
è 6 6
又 f x = asin2x + cos2x = a2 +1sin 2x +j a2 +1，
tanj 1其中 = a 0 ，
a
2 2
∴ é f π ù 2 é π π- ù 2ê è 6 ÷ ú
= a +1，代入得 êa sin 2 - 6 ÷
+ cos 2 - ÷ = a +1，
è è 6 ú
2
3 2
即 - a
1
+ 2÷÷ = a +1，解得 a + 3 = 0，∴ a = - 3
è 2 2
f x = - 3sin2x cos2x π+ = -2sin 2x -

；
è 6 ÷
（2）由（1）可得： f x π= -2sin 2x -

÷ ，
è 6
由復數的幾何意義知： A -2, -4 ，B -2, f t
1 π
∴ S△ABC = 2 AB = AB = f t + 4 = -2sin2 2t - 6 ÷ + 4，è
π
當 2t
p
- = 2kπ p- ， k Z，即 t = kπ - ， k Z時， S
6 2 6 OAB
有最大值 6；
當 2t
π
- = 2kπ π π+ ， k Z，即 t = kπ + ， k Z時， S
6 2 3 OAB
有最小值 2；
∴ S△OAB 2,6 .
【課后強化】
【基礎保分練】
一、單選題
1．（2024·湖南衡陽·模擬預測）已知復數 z1 =1- bi b R 在復平面內對應的點在直線
x + y -1 = 0 上，則復數 z2 = b + i 在復平面對應的點在（ ）
A．實軸正半軸 B．實軸負半軸 C．虛軸正半軸 D．虛軸負半軸
【答案】C
【分析】根據復數的幾何意義，由復數 z1 =1- bi b R 對應點代入直線方程可求得b ，即可
得出結果.
【詳解】復數 z1 =1- bi b R 在復平面內對應的點為 1, -b ，
代入直線 x + y -1 = 0 ，可得1- b -1 = 0，即b = 0，
則 z2 = b + i=i ，在復平面內對應的點為 0,1 .
故選：C
1+ i 3
2．（2024·河南·三模）已知 i為虛數單位， = （ ）
1- i 2
A．1+ i B．1- i C．-1+ i D．-1- i
【答案】D
【分析】根據復數乘法、除法運算化簡即可.
1+ i 3 1+ i 2 1+ i 2i 1+ i
【詳解】 2 = = = -1- i . 1- i -2i -2i
故選：D
z
3．（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預測）已知復數 z 在復平面內對應的點的坐標為 (-1,1)，則 =z
（ ）
A． 2i B．i C．- i D． -2i
【答案】B
【分析】利用復數的坐標表示，共軛復數的定義以及復數除法運算計算可得答案.
z -1- i (-1- i)2
【詳解】由題意可知， z = -1+ i，則 z = -1- i，所以 = = = i．
z -1+ i 2
故選：B
4
4．（2024· 1+ i 吉林長春·模擬預測）已知 z = ，則 z 的虛部為（ ）
1- i
A．2i B． -2i C．-2 D．2
【答案】C
【分析】根據復數代數形式的乘除法運算化簡，再判斷其虛部.
2 2
【詳解】因為 1+ i
4 é
1+ i ù 2i
2 -4 1+ iz = = = = = -2 1+ i = -2 - 2i，
1- i 1- i 1- i 1- i 1+ i
所以 z 的虛部為-2．
故選：C
二、多選題
5．（2024·湖南·二模）已知 i 為虛數單位，下列說法正確的是（ ）
A．若復數 z
1+ i
= ，則
1 i z
30 = -1
-
B．若 z > z ，則 z2 21 2 1 > z2
z1 zC 1．若 z2 0，則 =z2 z2
D．復數 z 在復平面內對應的點為Z ，若 z + i + z - i = 2，則點Z 的軌跡是一個橢圓
【答案】AC
【分析】利用復數的四則運算與 i的乘方性質判斷 A，舉反例排除 B，利用復數的四則運算
與模的運算判斷 C，利用復數的幾何意義，結合兩點距離公式判斷 D.
1+ i (1+ i)2
【詳解】對于 A，因為 z = = = i1- i (1- i)(1+ i) ，
所以 z30 = i30 = i4 7+2 = i2 = -1，故 A 正確；
對于 B z = 2i, z =1 z > z z2 < z2，令 1 2 ，滿足 1 2 ，但 1 2 ，故 B 錯誤；
對于 C，設 z1 = a + bi(a,b R), z2 = c + di(c,d R 且不同時為 0) ，
z1 a + bi (a + bi)(c - di) ac + bd + (bc - ad )i則 = = =
z2 c + di (c + di)(c - di) c
2 + d 2
1
= 2 (ac + bd )
2 + (bc - ad )2 1= a2 + b2 c2 + d 2c + d 2 c2 + d 2
a2 + b2 z
= = 1 ，故 C 正確；
c2 + d 2 z2
對于 D，設復數 z = x + yi，則點Z x, y ，
由 z + i + z - i = 2，得 x2 + y +1 2 + x2 + y -1 2 = 2，
則點Z 到點 0, -1 與點 0,1 的距離和為 2，
故點Z 的軌跡是線段，故 D 錯誤.
故選：AC.
6．（2024·廣東廣州·模擬預測）已知復數 z1 ， z2 ，下列結論正確的有（ ）
A． z1 - z2 z1 + z2 B．若 z1 - z2 > 0，則 z1 > z2
z
C 1．若 z1 - z2 = z1 + z2 ，則 z1 × z2 = 0 D．若 z1 =1+ i， z2 =1- i，則 z 為純虛數2
【答案】AD
【分析】由復數的向量表示結合向量知識即可驗證 A，通過一些舉例可以排除 B、C 選項，
由復數的除法運算集合復數的概念即可驗證 D.
uuuur uuuur
【詳解】對于 A，設 z1 ， z2 對應的向量分別為OZ1 ，OZ2 ，則由向量三角不等式得
uuuur uuuur uuuur uuuur
OZ1 - OZ2 OZ1 + OZ2 ，
所以 z1 - z2 z1 + z2 恒成立，故 A 正確；
對于 B，取 z1 = -1+ i ， z2 = -2 + i，但 z1 = 2 ， z2 = 5 ，故 B 錯誤；
對于 C，當 z1 =1+ i， z2 =1- i時， z1 - z2 = 2 = z1 + z2 ，而 z1 × z2 = 2，故 C 錯誤；
z1 1+ i 1+ i
2
2i
對于 D， = = = = i，故 D 正確；
z2 1- i 1- i 1+ i 2
故選：AD
三、填空題
7．（2024·山西·三模）已知復數 1+ 2i - m 3- i 在復平面內對應的點位于第四象限，則實數
m 的取值范圍是 ．
【答案】 (- , -2)
【分析】整理得到不等式組，解出即可.
【詳解】由于 (1+ 2i) - m(3 - i) = (1- 3m) + (2 + m)i，
1- 3m > 0
故點 (1- 3m, 2
ì
+ m)位于第四象限，因此 í2 m 0 ，解得
m < -2，
+ <
即m 的取值范圍是 (- , -2) .
故答案為： (- , -2) .
2
8．（2024· · z = 2- i z四川成都 模擬預測）設 ，則 的虛部為 ．
z2
4
【答案】 /0.8
5
【分析】利用復數的乘法法則，除法法則和模長公式求出答案.
2
【詳解】 z2 = 2 - i = 4 - 4i + i2 = 3- 4i ，
其中 z = 4 +1 = 5 ，
z 2 5 5 3+ 4i 3 4
則 2 = = = + i，z 3- 4i 3 - 4i 3 + 4i 5 5
z 2 4
故 的虛部為 .
z2 5
4
故答案為：
5
9．（2024·甘肅張掖·模擬預測）已知復數 z = i + 2i2 + 3i3 +L+ 2023i2023 ，則 z 的虛部為 .
【答案】-1012
【分析】根據 in 的值的周期性特點，將原式化簡并重新按照四項為一組進行分組求和即得.
i + 2i2 + 3i3 +L+ 2023i2023【詳解】 = i - 2 - 3i + 4 + 5i - 6 - 7i + 8 +L
+ 2017i - 2018 - 2019i + 2020 + 2021i - 2022 - 2023i
= 505 2 - 2i + -2022 - 2i = -1012 -1012i，
則 z 的虛部為-1012 .
故答案為：-1012 .
四、解答題
10．（2022·湖南·模擬預測）國際數學教育大會（ICME）是世界數學教育規模最大、水平最
高的學術性會議，第十四屆大會將在上海召開，其會標如圖，包含若許多數學元素，主畫面
是非常優美的幾何化的中心對稱圖形，由弦圖、圓和螺線組成，主畫面標明的 ICME—14 下
方的“ ”是用中國古代八進制的計數符號寫出的八進制數 3744，也可以讀出
n
其二進制碼（0）11111100100，換算成十進制的數是 n，求 (1+ i)2n 1+ i 及 ÷ 的值．
è 2
n
【答案】 (1+ i)2n = 22020 1+ i ， = -1．
è 2 ÷
【分析】利用進位制求出 n的值，然后利用復數代數形式的乘除運算化簡即可求出結果.
【詳解】∵11111100100 =1 210 +1 29 +1 28 +1 27 +1 26
+1 25 + 0 24 + 0 23 +1 22 + 0 21 + 0 20 =2020．
∴ n = 2020，
∴ (1+ i)2n = é(1+ i)2
n
ù = (2i)2020 = 22020 i2020 = 2
2020 ，
1 i n 1 i 2020 1 i 2 1010 + = + + 1010 2 ÷ 2 ÷
= ÷ = i = -1．
è è è 2
11．（2023·安徽蕪湖·模擬預測）已知函數 f x = asin2x + cos2x，且 f x π f - 6 ÷ .è
(1)求 f x 的最大值；
(2)從①②中任選一個作答.若選擇多個分別作答.按第一個解答計分.
① A 為函數 f x 圖象與 x 軸的交點，點 B ，C 為函數 f x 圖象的最高點或者最低點，求
ABC 面積的最小值.
② O為坐標原點，復數 z1 = -2 - 4i， z2 = -2 + f t i 在復平面內對應的點分別為A ， B ，求
OAB面積的取值范圍.
【答案】(1) 2
(2)① π；② 2,6 ．
π
【分析】（1）由已知可得，當 x = - 時函數 f x 取到最值，列方程解出 a，代入 f x ，進
6
而可得 f x 的最大值；
（2）若選①：分 B ，C 對應的 f x 同為最大值或最小值和 B ，C 對應的 f x 一個為最大
值，另一個為最小值兩種情況討論，分別利用三角形的面積公式求解，可得 ABC 面積的最
小值；若選②：由復數的幾何意義，得出 A -2, -4 ，B -2, f t ，再由三角形的面積公式
結合正弦函數的性質求解．
π
【詳解】（1）Q f x f - ÷ ，即當 x
π
= - 時函數 f x 取到最值，
è 6 6
又 f x 1= asin2x + cos2x = a2 +1sin 2x +j a2 +1，其中 tanj = a 0 ，a
2
é f π
2
\ -
ù
= a2 +1 éasin2 π- ，代入得 + cos2 π ù- = a2ê 6 ÷è ú ê ÷ ÷ú
+1，
è 6 è 6
2
3 2
即 - a
1
+ ÷÷ = a
2 +1，解得 a + 3 = 0，\a = - 3 ，
è 2 2
f x = - 3sin2x + cos2x π= -2sin 2x -

÷，
è 6
2x π當 - = 2kπ
π π
+ , k Z ，即 x = kπ + ,k Z時， f x 取到最大值 2；
6 2 3
（2）由（1）可得： f x π= -2sin 2x -

÷ ，
è 6
2π
選①：可得T = = π2 ，
當 B ，C 對應的 f x 同為最大值或最小值時，
S 1 1得 △ABC = A ×kT A ×T
1
= 2 π = π；
2 2 2
當 B ，C 對應的 f x 一個為最大值，另一個為最小值時，
得 S
1
△ABC = ×2A k
T 1
× A ×T 1= 2 π = π ；
2 2 2 2
綜上： ABC 面積的最小值為 π
選②：由復數的幾何意義知： A -2, -4 ，B -2, f t ，
\S 1 π △OAB = 2 AB = AB = f t + 4 = -2sin 2x - ÷ + 4，2 è 6
當 2x
π π
- = 2kπ - ,k Z，即 x = kπ
π
- ,k Z時， S 有最大值6；
6 2 6 OAB
2x π 2kπ π , k Z x kπ π當 - = + ，即 = + ,k Z時， S OAB 有最小值 2；6 2 3
\S△OAB 2,6
【綜合提升練】
一、單選題
2
1．（2024· - i + i湖北武漢·模擬預測）設復數 z = 3 ,則 z 的虛部是（ ）-1- i
A．1 B． -1 C． i D．- i
【答案】A
【分析】由 i2 = -1對式子進行化簡,再根據除法規則,分母實數化即可.
z 1+ i 1+ i 1+ i 【詳解】 = = - = -i1 ,則 ,虛部是 .- + i 1- i 1+ i z = i 1
故選:A.
2．（2024·河北·模擬預測）若 1+ ai a - i > 0,a R ，則（ ）
A． a =1 B． a = ±1
C． a -1或a 1 D．a 1
【答案】A
【分析】利用復數的乘法運算計算，再根據所得結果為實數求出 a .
ì2a > 0
【詳解】顯然 (1+ ai)(a - i) = 2a + (a2 -1)i，依題意， 2a + (a2 -1)i是正實數，因此 ía2 ， -1 = 0
所以 a =1 .
故選：A
1+ i
3．（2024·全國·模擬預測）已知 z = ，則
1 i z + z
3 + z5 =（ ）
-
A．i B．- i C．1+ i D．1- i
【答案】A
【分析】運用復數的代數形式的乘除運算法則求得 z = i ，代入所求式計算即得.
z 1+ i (1+ i)
2 2i
【詳解】因為 = = = =i ，
1- i (1- i)(1+ i) 2
所以 z + z3 + z5 = i + i3 + i5 = i - i + i=i．
故選：A．
2
4．（2024·江西· z模擬預測）在復平面內，復數 z 對應的點的坐標為 1,-1 ，則 = （ ）1- 2i
4 2 i 2 4 i 4 2 i 2 4A． - B． - C． + D． + i
5 5 5 5 5 5 5 5
【答案】A
【分析】根據復數的幾何意義，由復平面內復數 z 對應的點的坐標可以得出對應復數的代數
形式，再結合復數的四則運算法則，即可得解.
【詳解】因為復數 z 對應的點的坐標為 1,-1 ，所以 z =1- i，
2 z
2 2i 2i 1+ 2i 4 2
所以 z = 1- i 2 = -2i，所以 = - = - = - i1- 2i 1- 2i 1- 2i 1 ．+ 2i 5 5
故選：A．
-2 + ai
5．（2024·四川成都·模擬預測）復數 z = 在復平面上對應的點位于虛軸上，則實數 a
1- i
的值為（　?。?br/>A．1 B． 2 C． -1 D．-2
【答案】D
-2 - a + a - 2 i
【分析】利用復數除法法則得到 z = ，從而得到方程，求出答案.
2
-2 + ai -2 + ai 1+ i -2 - a + a - 2 i
【詳解】Q z = = =1 i 1 i 1 i 2 在復平面上對應的點位于虛軸上，- - +
ì-2 - a = 0
∴ í a 2 0 ，即
a = -2 .
-
故選：D
1+ i
6．（2024·山西運城·三模）設 z = ，則 （
1 i2 ）+ + i5 z =
A．1- i B．1+ i C．-1- i D．-1+ i
【答案】B
【分析】根據復數代數形式的除法、乘方運算化簡，再求出其共軛復數.
【詳解】因為 i2 = -1， i5 = i4 i = i ，
1+ i 1+ i 1+ i i
所以 z = 2 5 = = 2 =1- i，1+ i + i 1-1+ i i
所以 z =1+ i .
故選：B
7
7．（2024· i + a陜西西安·模擬預測）已知 i是虛數單位，若 z = 是純虛數，則實數a = （ ）
2 + i
1
A 1．-2 B．2 C．- D．
2 2
【答案】D
2a -1 2 + a
【分析】根據虛數性質結合復數的除法運算可得 z = - i，再根據 z 是純虛數列式
5 5
求解.
7
z i + a -i + a -i + a 2 - i 【詳解】 = = = = 2a -1 2 + a- i2 + i 2 + i 2 + i 2 i 5 5 ，-
ì2a -1
7 = 0
z i + a
5 1
又因為 = 是純虛數，所以 í2 a ，所以
a = .
2 + i + 0 2
5
故選：D.
8．（2024·黑龍江齊齊哈爾·三模）復平面內 A, B,C 三點所對應的復數分別為1- i, 2 - i,3+ i ，
若四邊形 ABCD為平行四邊形，則點D對應的復數為（ ）
A．2 B． 2 + i C．1 D．1+ i
【答案】B
【分析】根據復數的幾何意義，利用向量相等即可求解.
【詳解】由題意知 A, B,C 三點的坐標為 A(1, -1), B(2, -1),C(3,1)，
uuur uuur
設復平面內點D(x, y) ，則 AB = (1,0), DC = (3 - x,1- y) ，
uuur uuur ì3- x =1 ìx = 2
又四邊形 ABCD是復平面內的平行四邊形，則 AB = DC ，則 í D(2,1)
1 y 0
，解得 í ，則 ．- = y =1
故選:B．
二、多選題
9．（2024·江蘇南通·模擬預測）已知 z1 ， z2 都是復數，下列正確的是（ ）
A．若 z1 = z2 ，則 z1z2 R B．若 z1z2 R ，則 z1 = z2
C．若 z1 = z z2 22 ，則 1 = z2 D．若 z2 21 + z2 = 0 ，則 z1 = z2
【答案】AD
【分析】根據共軛復數的定義及復數的乘法運算即可判斷 A；舉出反例即可判斷 BC；根據
復數的乘法運算及復數的模的計算公式即可判斷 D.
【詳解】設 z1 = a + bi, z2 = c + di, a,b,c,d R ，
對于 A， z 2 2若 1 = z2 ，則 z1 = c - di，故 z1z2 = c + d R ，故 A 正確；
對于 B，當 z1 = z2 = i時， z1z2 = -1 R, z2 = -i z1，故 B 錯誤；
C z =1, z = i z2 =1, z2對于 ，當 1 2 時， 1 2 = -1，故 C 錯誤；
對于 D，若 z2 + z21 2 = 0 ，則 z
2
1 = -z
2 2 2 2
2 ，所以 z1 = -z2 = z2 ，
z2 = a2 - b2
2
+ 2abi = a2 - b2 + 4a2b2 = a2 + b21
2
= a2 + b2 = z 21 ，
z2 = z 2 z 2 = z 2同理 2 2 ，所以 1 2 ，所以 z1 = z2 ，故 D 正確.
故選：AD.
10．（2024·廣東江門·一模）下列說法正確的是（ ）
A． z × z = z 2 ， z C
B． i2024 = -1
C．若 z =1， z C，則 z - 2 的最小值為 1
D．若-4 + 3i 2是關于 x 的方程 x + px + q = 0 p,q R 的根，則 p = 8
【答案】ACD
【分析】根據復數的乘法運算結合復數的模的計算，可判斷 A；根據虛數單位的性質可判斷
B；設 z = x + yi,(x, y R) ，根據復數的模的計算公式，可得 x2 + y2 =1，以及
z - 2 = -4x + 5 ，結合 x 的范圍可判斷 C；將 -4 + 3i 代入方程，結合復數的相等，求出 p，
即可判斷 D.
【詳解】對于 A， z C，設復數 z = a + bi,(a,b R) ，則 z = a - bi,(a,b R) ， | z |= a2 + b2 ，
故 z × z = (a + bi)(a - bi) = a2 + b2 = z 2 ，A 正確；
對于 B，由于 i2 = -1,i4 =1，故 i2024 = (i4 )506 =1，B 錯誤；
對于 C， z C，設 z = x + yi,(x, y R) ，由于 z =1，則 x2 + y2 =1,\ x2 + y2 =1，
故 z - 2 = (x - 2)2 + y2 = (x - 2)2 +1- x2 = -4x + 5 ，
由 x2 + y2 =1，得-1 x 1，則-4x + 5 1，
故當 x =1時， z - 2 的最小值為 1，C 正確；
對于 D，-4 + 3i 2是關于 x 的方程 x + px + q = 0 p,q R 的根，
故 (-4 + 3i)2 + p(-4 + 3i) + q = 0( p, q R)，即7 - 4 p + q + (3p - 24)i = 0，
ì7 - 4 p + q = 0 ì p = 8
故 í ,\í ，D 正確，
3p - 24 = 0 q = 25
故選：ACD
11．（2024·河南·三模）在復平面內，設O為坐標原點，復數 z2 , z 對應的點分別為A ， B ，
uuur uuur
若OA ^ OB，則 z 可能是（ ）
A． 2i B．1- 3i C． 3 + i D． 3 - i
【答案】ACD
【分析】設 z = a + bi,a,b R ，根據復數的四則運算以及幾何意義可得
A a2 - b2 , 2ab , B a,-b ，再結合向量垂直的坐標表示分析求解.
【詳解】設 z = a + bi,a,b R ，則 z2 = a2 - b2 + 2abi, z = a - bi，
uur uuur
可知 A a2 - b2 , 2ab , B a,-b ，即OA = a2 - b2 , 2ab ,OB = a, -b ，
uuur uuur
OA OB a a2若 ^ ，則 - b2 +2ab(-b) = a a2 - 3b2 = 0，
整理得所以 a = 0或 a2 = 3b2，
對比選項可知 ACD 正確，B 錯誤.
故選：ACD．
三、填空題
2 + 4i
12．（2023·天津南開·一模） i是虛數單位，復數 3 = .3- i
【答案】1+ i / i +1
【分析】根據虛數的性質，先計算 i3 = i2 × i = -i，然后代入原式，利用復數的四則運算法則
計算求解.
【詳解】已知 i3 = i2 × i = -i
2 + 4i 2 + 4i 2 + 4i 3 - i 10 +10i
所以 3 = = 2 2 = =1+ i .3 - i 3+ i 3 - i 10
故答案為：1+ i
13．（2024·遼寧葫蘆島·二模）已知復數 z 滿足 (z - i)(1- i) = 2，則 z 的值為 .
【答案】 5
【分析】由條件根據復數的運算求出 z 的代數形式，再利用復數模的公式計算.
2 2 2 1+ i
【詳解】由題意可得 z - i = ，則 z = i + = i + =1+ 2i，
1- i 1- i 1- i 1+ i
所以 z = 12 + 22 = 5 .
故答案為： 5 .
14．（2024·福建廈門·三模）復數 z 滿足 z + z = 2， zz = 4 ，則 | z - z |= .
【答案】 2 3
【分析】根據復數的運算以及模長公式求解即可.
【詳解】設 z = a + bi a,b R ，則 z = a - bi ，
由 z + z = 2， zz = 4 ，
ì2a = 2 ìa =1
得 ía2 + b2 4，解得= í ， b = ± 3
所以 z - z = 2bi = 2 3 ，
故答案為： 2 3 .
四、解答題
15．（2021·上海浦東新·模擬預測）已知關于 x 得二次方程：
x2 + (2 + i)x + 4ab + (2a - b)i = 0(a,b R) .
(1)當方程有實數根時，求點 (a , b ) 的軌跡方程；
(2)求方程實數根的取值范圍.
【答案】(1) (2a -1)2 + (b +1)2 = 2；
(2) -4，0 .
【分析】（1）根據復數相等結合條件可列出關于 a,b的方程，整理即可求得點 (a , b ) 的軌跡方
程；
（2）由題可得8a2 + 4ax0 + (x
2
0 + 2x0 ) = 0，然后根據判別式大于等于零即得．
【詳解】（1）設方程的實數根為 x0 ，則有
x 20 + (2 + i)x0 + 4ab + (2a - b)i = 0，
即 (x20 + 2x0 + 4ab) + (x0 + 2a - b)i = 0，
ìx20 + 2x0 + 4ab = 0
所以 í ，
x0 + 2a - b = 0
兩式消去 x0 可得 (b - 2a)2 + 2(b - 2a) + 4ab=0，
整理可得 (2a -1)2 + (b +1)2 = 2，
即點 (a , b ) 的軌跡方程是 (2a -1)2 + (b +1)2 = 2；
ìx20 + 2x0 + 4ab = 02 í x2（ ）由 可得 0 + 2x0 + 4a(x0 + 2a) = 0 ，
x0 + 2a - b = 0
2
整理得8a + 4ax0 + (x
2
0 + 2x0 ) = 0，
Qa R ，
\D =16x20 - 32(x
2
0 + 2x0 ) 0，
解得-4 x0 0，
\方程的實數根的取值范圍是 -4，0 .
16．（2022·浙江·模擬預測）在正三棱臺OAB - OA1B1 中， OAB是邊長為 4的等邊三角形，
| AB |
且 = 2
π
A B .已知 OO1 = 5， OCH = ，D， H 分別是線段OB， AB 的中點，當直線GH1 1 6
上一動點C 在射線OO1 上時， O1C =1， tan CA1B1 = 2 .
(1)證明：OC ^平面 A1B1C ；
(2)求直線GH 與平面 ABB1A1所成角的正弦值；
(3)連接CA，CB，已知點C 在平面OAB 投影是C1，平面OAB 是一個分別以DA，DO 作為 x ，
uuuur
y 軸的復平面， z = DC1 .當CA ^ CB時，請直接寫出 z 的虛部（不要求寫出過程）.
【答案】(1)證明見解析
(2) 142 - 6
24
(3) 1 3- ±
2
【分析】（1）過點O1作O1M ^面OAB ，過點C 作CH ^ A1B1，證明 AB ^ 面COH ，可得 A1B1 ^
面COH ，進而可得 A1B1 ^ O1C ，求出 CH 、 O1C 、 O1H 的長，由勾股定理逆定理可證明
O1C ^ CH ，再由線面垂直的判定定理即可求證；
（2）過點C 作CN ^面 ABB1A1，由對稱性可得點 N 在直線HH 上， CHN 即為GH 與平面
ABB1A
π
1所成角，在△OHC 中，由正弦定理求得 OHC = ，延長OO1 、HH 交于點 I ，可3
得O1H 為 IOH 的中位線，在 HIO中，由余弦定理可得 cos H HO的值，進而可得
sin H HO的值，再計算 sin CHH = sin H HO - OHC 即可求解；
uuuur uuur
（3）根據已知條件分析DC1 在DO 上的投影，即可得 z 的虛部.
【詳解】（1）過點O1作O1M ^面OAB ，過點C 作CH ^ A1B1，
因為 OAB 1邊長為 4的等邊三角形，且上底面與下底面相似，比邊長之為 2 ，
所以 O1A1 = A1B1 = O1B
1
1 = OA = 2，2
在正三棱臺OAB - OA1B1 中，連接OH ，因為O1M ^面OAB ，
則點M 必落在OH 上，O1M ^ AB ，
因為 OAB為等邊三角形， H 是線段 AB 的中點，可得OH ^ AB ，
因為O1M 面COH ，OH 面COH ，O1M OH = M ，所以 AB ^ 面COH ，
因為 AB//A1B1 ，所以 A1B1 ^面COH ，所以 A1B1 ^ CO ， A1B1 ^ CH ，
因為 CA1 = CB1 ，所以 H 是 A1B1 的中點，
1
因為 tan CA1B1 = 2 ，所以 CH = A1B1 × tan CA2 1
B1 = 2 ，
因為 H A B o是 1 1 的中點，所以 O1H = O1A1 ×sin 60 = 3 ，
2 2
所以 O1C + CH = O1H
2
，可得O1C ^ CH ，
因為 A1B1 ^ O1C ，CH A1B1 = H ，所以OC ^平面 A1B1C ，
（2）過點C 作CN ^面 ABB1A1，由對稱性可得點 N 在直線HH 上，
因為 OC = OO1 + O1C = 6，
OH OC
在△OHC 中，由正弦定理可得： = ，
sin OCH sin OHC
2 3 6
= 3 π
即 1 sin OHC ，所以 sin OHC = ，所以 OHC = ，
2 2
3
因為HH 為梯形 ABB1A1的一條高，
所以 CHN 即為GH 與平面 ABB1A1所成角，
因為 OO1 = 5， O1H = 3 ， HH = 2 6 ， OH = 2 3 ，
延長OO1 、HH 交于點 I ，
1
因為 O1H = OH ，O1H //OH ，所以O1H 為 IOH 的中位線，2
所以 IO =10 ， IH = 4 6 ，
HIO
2
4 6 + 2 3 2 -102
在 中，由余弦定理可得： cos H HO 2= = ，
2 4 6 2 3 12
sin H HO 1 cos2 H HO 142所以 = - = ，
12
所以 sin CHH = sin H HO 142 1 2 3 142 - 6 - OHC = - = ，
12 2 12 2 24
142 - 6
所以直線GH 與平面 ABB1A1所成角的正弦值為 .
24
3
（3）-1± .
2
17．（2021·上海·模擬預測）已知關于 x 的方程 x2 - 3ax - 3a = 0 a R 的虛數根為x1、x2 .
（1）求 x1 + x2 的取值范圍；
（2）若 x1 - x2 =1，求實數 a的值.
【答案】（1） 0,4 2 3；（2） a = - ± .
3 3
【分析】（1）由題意 x1 = x2 ，從而 x1 + x2 = 2 x1 ，由復數的運算可得
2 x1 = 2 x1 x1 = 2 x1x2 ，根據判別式得出 a的范圍，從而得出答案.
（2）將 x1 - x2 =1平方，將韋達定理代入，結合判別式得出 a的范圍，可得答案.
4
【詳解】由題意知，D = 9a2 +12a < 0，則- < a < 0 ， x3 1
+ x2 = 3a， x1 × x2 = -3a
（1） x1 = x2 ， x1 + x2 = 2 x1 = 2 x1 x1 = 2 x1x2 = 2 -3a
4
因為- < a < 0 ，所以
3 0 < 2 -3a < 4
，故 x1 + x2 的取值范圍是 0,4 .
（2）1 = x1 - x
2
2 = x - x
2
1 2 = x1 + x
2
2 - 4x
2
1x2 = 9a +12a
因為9a2 +12a 0 2 3< ，所以19a2 +12a = -1，所以 a = - ± .
3 3
18．（2021·黑龍江大慶·模擬預測）已知復數 z = m - i（m R），且 z × 1+ 3i 為純虛數（ z 是
z 的共軛復數）.
m + 2i
（1）設復數 z1 = ，求 z1 ；1- i
2021
（2）復數 z a - i2 = 在復平面對應的點在第一象限，求實數 a的取值范圍.z
26
【答案】（1） ；（2） 3, + .
2
1 5
【分析】（1）先根據條件得到 z = 3- i，進而得到 z1 = + i ，由復數的模的求法得到結果；2 2
z 3a +1 a - 3（2）由第一問得到 2 = + i，根據復數對應的點在第一象限得到不等式，進而求10 10
解.
【詳解】（1）∵ z × 1+ 3i = m + i 1+ 3i = m - 3+ 3m +1 i為純虛數，
∴ m - 3 = 0，3m +1 0，解得m = 3 .
3+ 2i 3+ 2i 1+ iz 1 5∴ 1 = = = + i 261 i 1 i 1 i 2 2 ，則- - + z1 = .2
505
（2） i2021 = i4 × i = i，
z a - i a - i 3 + i 3a +1 a - 3復數 2 = = = + i3- i 3- i 3+ i 10 10 在復平面對應的點在第一象限，
3a +1 0 a - 3∴ > ， > 0 ，解得 a > 3 .
10 10
∴實數 a的取值范圍是 3, + .
【點睛】結論點睛：如果 z 是復平面內表示復數 z = a + bi (a,b R)的點，則①當 a > 0，b > 0
時，點 z 位于第一象限；當 a<0，b > 0時，點 z 位于第二象限；當 a<0，b < 0時，點 z 位于
第三象限；當 a > 0，b < 0時，點 z 位于第四象限；②當b > 0時，點 z 位于實軸上方的半平
面內；當b < 0時，點 z 位于實軸下方的半平面內．
19．（2024·安徽蚌埠·模擬預測）對于無窮數列 a0 ,a1,a2 ,L,an ,L，我們稱

f (x) a= n xn = a0 + a1x a+ 2 x2 a+L+ n xn +L（規定0!=1）為無窮數列 an! 2! n! n 的指數型母函n=0
1 x2 n
數．無窮數列 1，1，…，1，…的指數型母函數記為 e(x) = xn =1+ x x+ +L+ +L，
n=0 n! 2! n!
它具有性質 e(x)e(y) = e(x + y)．
(1)證明： e( x)
1
- =
e(x) ；
k
c(x) (-1) x2k 1 x
2 x4 x2k e(ix) + e(-ix)
(2)記 = = - + +L+ (-1)k +L．證明： c(x) = （其中 i
k =0 (2k)! 2! 4! (2k)! 2
為虛數單位）；
x
(3)以函數 e(x) 1為指數型母函數生成數列
Bn ，-
x Bn xn B= = B0 + B 21x + x2 B+L+ n xn +L．其中Bn 稱為伯努利數．證明：e(x) -1 n=0 n! 2! n!
B 11 = - ．且B2k +1 = 0(k =1,2,3,L) ．2
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）由 e(x)e(y) = e(x + y)，通過賦值即可證得；
（2）根據 i的周期性，經過多次推理，由求和可以證得；
（3）構造 g(x)
x
= g(-x) - g(x) = x
e(x) 1，可以推出 ，然后再可證得.-
【詳解】（1）令 x = 0，則 e(0) =1．
由 e(x)e(y) = e(x + y)，令 y = -x，則 e(x)e(-x) = e(0) =1．
1
因為 e(x) 0 ，故 e(-x) = e(x) ．
(ix)4n (-ix)4n x4n x4n 2x4n
（2）證明：因為 + = + = ，
(4n)! (4n)! (4n)! (4n)! (4n)!
(ix)4n+1 (-ix)4n+1 ix4n+1 -ix4n+1
+ = + = 0，
(4n +1)! (4n +1)! (4n +1)! (4n +1)!
(ix)4n+2 (-ix)4n+2 -x4n+2 -x4n+2 -2x4n+2
+ = + = ，
(4n + 2)! (4n + 2)! (4n + 2)! (4n + 2)! (4n + 2)!
(ix)4n+3 (-ix)4n+3 -ix4n+3 ix4n+3
+ = + = 0，
(4n + 3)! (4n + 3)! (4n + 3)! (4n + 3)!
é 4n 4n+2 ù k k
e(ix) + e(-ix) = 2x 2x 2(-1) 2k (-1) 2kê - = x = 2 x = 2c(x) ，
n=0 (4n)! (4n + 2)!
ú
k =0 (2k)!

k =0 (2k)!
所以 c(x)
e(ix) + e(-ix)
=
2
x
（3）證明：令 g(x) = e(x) 1，則有-
g( x) g(x) -x x é 1 1 ù- - = - = -x +
e(-x) -1 e(x) -1 ê e(-x) -1 e(x) -1
ú

x [e(x) -1]+ [e(-x) -1] e(x) + e(-x) - 2= - × = -x × = x
[e( x) 1][e(x) 1] 2 e(x) e( x) ， - - - - - -

x = g(-x) g(x) B- = n (-x)n B- n xn因此
n=0 n! n=0 n!
B
= -2 2k +1 x2k +1 é B= -2 B x + 2k +1 x2k +1 ùê 1 ú
k =0 (2k +1)! k =1 (2k +1)!
B 1
B
= - 2k +1 x2k +1故 1 且 = 0，即B2k +1 = 0(k =1,2,3,L) ．2 k =1 (2k +1)!
【點睛】關鍵點點睛：主要考查了復數 i的周期性，考查推理論證能力，對學生思維要求比
較高，綜合性很強
【拓展沖刺練】
一、單選題
1．（2024·浙江溫州·二模）已知 z C，則“ z2 R ”是“ z R ”的（ ）
A．充分條件但不是必要條件 B．必要條件但不是充分條件
C．充要條件 D．既不是充分條件也不是必要條件
【答案】B
【分析】根據復數的概念及充分、必要條件的定義判定即可.
【詳解】易知 z = i z2 R ，所以不滿足充分性，而 z R z2 R ，滿足必要性.
故選：B
2．（2024·全國·模擬預測）已知 i為虛數單位，且復數 zi2024 = 6，則下列說法中正確的是
（ ）.
A．復數 z 為實數 B． i2024 = i
C．復數 z 為純虛數 D． z = -6i
【答案】A
【分析】借助復數的運算法則計算即可得.
1012
【詳解】 i2024 = i2 = -1 1012 =1，故 z = 6，
故 A 正確，B、C、D 錯誤.
故選：A.
3．（2024· 2024全國·模擬預測）已知復數 z 滿足： 1+ i z = 2 + 3i （ i為虛數單位），則 z 在復平
面內對應的點在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根據題意結合復數的四則運算及幾何意義分析求解.
2 + 3i 2 + 3i 2 + 3i 3
1+ i2024【詳解】因為 z = 2 + 3i ，可得復數 z = = = =1+ i1+ i2024 1+ -1 1012 2 2 ，
3
可得 z =1
3
- i ，所以 z 在復平面內對應的點的坐標為 1, - ÷ ，位于第四象限.2 è 2
故選：D．
4．（2024·遼寧葫蘆島·一模）設 z1 ， z2 為復數，則下列命題正確的是（ ）
A．若 z1 + z2 > 0，則 z2 = z1
B．若 z1z2 = 0，則 z1 = 0 且 z2 = 0
C 2 2．若 z1 = z2 ，則 z1 = z2
D．若 z - z1 = z - z2 ，且 z1 z2 ，則 z 在復平面對應的點在一條直線上
【答案】D
【分析】設出 z1 = a + bi 、 z2 = c + di，對 A，借助復數性質計算即可得；對 B、C，舉出反例
即可得；對 D：設 z = x + yi，由題意可計算出 x 、 y 之間的關系，即可得解.
【詳解】設 z1 = a + bi 、 z2 = c + di， a、b 、 c、d R ，
對 A：若 z1 + z2 > 0，則有 a + c + b + d i > 0，
即 a + c > 0且b + d = 0，故 A 錯誤；
對 B：取 z1 = 0 、 z2 =1，亦有 z1z2 = 0，故 B 錯誤；
對 C：取 z1 = i， z2 =1，則有 z1 = z2 =1， z
2
1 = i
2 = -1 z22 =1，故 C 錯誤；
對 D：設 z = x + yi， x 、 y R，若 z - z1 = z - z2 ，
x - a 2 + y - b 2 2 2則有 = x - c + y - d ，
即有 x2 - 2ax + a2 + y2 - 2by + b2 = x2 - 2cx + c2 + y2 - 2dy + d 2 ，
整理得 2a - 2c x + 2b - 2d y + d 2 + c2 - a2 - b2 = 0，
由 z1 z2 ，故 2a - 2c = 0與 2b - 2d = 0 不能同時成立，
故 z 在復平面對應的點在直線 2a - 2c x + 2b - 2d y + d 2 + c2 - a2 - b2 = 0上，
故 D 正確.
故選：D.
二、多選題
5．（2024·遼寧丹東·二模）已知復數 z1 的虛部與 z2 的實部均為 2，則下列說法正確的是（ ）
A． z1 是虛數
B．若 z1 = z2 = 2，則z1 = z2
C．若 z1 = z2 ，則 z1 與 z2 對應的點關于 x 軸對稱
D．若 z1 × z2 是純虛數，則 z1 = z2
【答案】ACD
【分析】借助虛數定義可得 A；借助模長共識計算即可得 B；借助共軛復數定義與復數的幾
何意義可得 C；借助復數的乘法運算與純虛數定義及模長定義即可得 D.
【詳解】可設復數 z1 = a + 2i a R ， z2 = 2 + bi b R
A 選項：根據虛數定義可知 A 正確；
B 選項： z1 = z = 2，所以 a2 + 4 = b22 + 4 = 4，則 a = b = 0，
所以 z1 = 2i， z2 = 2，所以 z1 z2 ，故 B 不正確；
C 選項：若 z1 = z2 ，所以 a + 2i = 2 - bi ，所以 a = 2，b = -2，
所以 z1 ， z2 對應的點分別為 2,2 和 2, -2 ，則關于 x 軸對稱，故 C 正確；
D 選項：因為 z1 × z2 = a + 2i 2 + bi = 2a - 2b + 2a + 2b i ，
且 z1 × z2 是純虛數，所以 a = b，所以 z1 = 2 + 2i ， z2 = 2 + 2i，則z1 = z2，
所以 z1 = z2 ，故 D 正確．
故選：ACD.
6．（2024·山東青島·一模）已知復數 z，下列說法正確的是（ ）
A．若 z - z = 0，則 z 為實數 B．若 z2 + z 2 = 0，則 z = z = 0
C．若 z - i =1，則 | z |的最大值為 2 D．若 | z - i |=| z | +1，則 z 為純虛數
【答案】AC
【分析】根據題意，由復數的運算以及其幾何意義，對選項逐一判斷，即可得到結果.
【詳解】設 z = a + bi a,b R ，則 z = a - bi ，
若 z - z = 0，即 a + bi - a - bi = 2bi = 0，即b = 0，則 z 為實數，故 A 正確；
若 z2 + z 2 = 0，即 a + bi 2 + a - bi 2 = 0，
化簡可得 a2 - b2 + 2abi + a2 - b2 - 2abi = 0 ，即 a2 = b2 ，即 a = ±b，
當 a = b時， z = a + ai， z = a - ai，此時不一定滿足 z = z = 0，
當 a = -b 時， z = a - ai， z = a + ai，此時不一定滿足 z = z = 0，故 B 錯誤；
若 z - i =1，即 z - i = 1 = a + b -1 i = a2 + b -1 2 =1，
所以 a2 + b -1 2 =1，即 z 表示以 0,1 為圓心，以1為半徑的圓上的點，
且 z 表示圓上的點到原點的距離，所以 | z |的最大值為 2，故 C 正確；
若 | z - i |=| z | +1 2，即 z - i = a + b -1 i = a2 + b -1 ，
z +1 = a2 + b2 +1 a2 + b -1 2，即 = a2 + b2 +1，
化簡可得b = - a2 + b2 ，則 a = 0且b 0，
此時 z 可能為實數也可能為純虛數，故 D 錯誤；
故選：AC
三、填空題
7．（2024·上海普陀·二模）已知復數 z =1+ i，其中 i為虛數單位，則 z 在復平面內所對應的
點的坐標為 .
【答案】 (1, -1)
【分析】求出復數 z 的共軛復數，進而可得點的坐標．
【詳解】由題意，復數 z =1- i，在復平面內所對應的點的坐標為 (1, -1) ．
故答案為： (1, -1) ．
8．（2023·北京海淀·二模）在復平面內，復數 z 所對應的點為 (1,1) ，則 z × z = ．
【答案】2
【分析】根據復數的幾何意義可得 z =1+ i，由乘法運算即可求解.
【詳解】由題意可知 z =1+ i ，所以 z × z = 1+ i 1- i =2 ，
故答案為：2
9．（2024·上海楊浦·二模）設復數 z1 與 z2 所對應的點為Z1 與Z2 ，若 z1 =1+ i， z2 = i × z1，則
uuuur
Z1Z2 = .
【答案】2
【分析】由題設結合復數的乘法求出 z2 ，再借助復數的幾何意義求出結果.
【詳解】依題意， z2 = i × (1+ i) = i -1，則 z2 - z1 = i -1- (1+ i) = -2，
uuuur uuuur uuuur
所以 Z1Z2 = OZ2 - OZ1 = 2 .
故答案為：2
四、解答題
10．（2022·甘肅蘭州·一模）實數m 取什么值時，復數 z = m + 3+ (m - 3)i是
(1)實數？
(2)虛數？
(3)純虛數？
【答案】(1) m = 3；
(2) m R,m 3；
(3) m = -3 .
【分析】（1）（2）（3）利用復數是實數、虛數、純虛數的定義列式計算作答.
【詳解】（1）復數 z = m + 3 + (m - 3)i是實數，則m - 3 = 0，解得m = 3，
所以當m = 3時，復數是實數.
（2）復數 z = m + 3 + (m - 3)i是虛數，則m - 3 0，解得m 3，
所以當m R,m 3時，復數是虛數.
ìm + 3 = 0
（3）復數 z = m + 3 + (m - 3)i是純虛數，則 í m = -3
m - 3 0
，解得 ，

所以當m = -3時，復數是純虛數.
11．（2024·貴州黔南·二模）1799 年，哥廷根大學的高斯在其博士論文中證明了如下定理：
任何復系數一元 n次多項式方程在復數域上至少有一根（ n 1）.此定理被稱為代數基本定
理，在代數乃至整個數學中起著基礎作用.由此定理還可以推出以下重要結論： n次復系數
多項式方程在復數域內有且只有 n個根（重根按重數計算）.對于 n次復系數多項式
f x = xn + an-1xn-1 + ×××+ a1x + a0 ，其中 an-1， an-2 ， × × ×,a0 C，若方程 f x = 0有 n個復根
ì n
xi = -an-1
i=1
n
xi x j = an-2
1 i< j n
x1, x2 , × × ×, x

n ，則有如下的高階韋達定理： í n
x i x j xk = -an-31 i< j
M
n
x1x2 × × × xn = -1 a0
(1)在復數域內解方程 x2 + 4 = 0；
(2)若三次方程 x3 + ax2 + bx + c = 0的三個根分別是 x1 =1- i， x2 =1+ i， x3 = 2（ i為虛數單
位），求 a，b ， c的值；
(3) n 4 f x = xn + a xn-1 2在 的多項式 n-1 + ×××+ a1x + a0 中，已知 an-1 = -1， a1 = -n a， a0 = a ，
a為非零實數，且方程 f x = 0的根恰好全是正實數，求出該方程的所有根（用含 n的式子
表示）.
【答案】(1) x = ±2i
(2) a = 4,b = 6,c = -4
1 1 1 1
(3) = = ××× = =x1 x2 xn n
【分析】（1）根據題意直接解方程即可；
（2）根據題意結合韋達定理分析運算求解；
1 1 1
（3）根據題意結合韋達定理可得 x1 + x2 + ×××+ x =1 + + ×××+ n
2
n ，結合不等式可得 x ，1 x2 xn
ìx x × × × x n-1 1 2 n-1 + x1 × × × xn-2xn + ×××+ x2x3 × × × xn = -1 -n2a 1 1 1
由 í 可得 + + ×××+ = n
2
，結合不等
x1x2 × × × xn = -1
n a x1 x2 xn
式成立條件分析求解.
【詳解】（1）由 x2 + 4 = 0可得 x2 = -4 ，解得 x = ±2i .
ìx1 + x2 + x3 = -a

（2）由題意可知： íx1x2 + x2x3 + x1x3 = b，

x1x2x3 = -c
ì4 = -a
將 x1 =1- i， x2 =1+ i， x3 = 2

代入可得 í6 = b ，

4 = -c
所以 a = 4,b = 6,c = -4 .
r r
（3）設 a = a1,a2 , × × ×,an ,b = b1,b2 , × × ×,bn ， a1,a2 , × × ×,an ,b1,b2 , × × ×,bn > 0，
r r r r r r
因為 a ×b a b ，當且僅當 a ∥ b 時，等號成立，
可得 a1b1 + a2b2 + ×××+ anbn a
2 + a21 2 + ×××+ a
2
n × b
2 + b21 2 + ×××+ b
2
n ，
即 a 2 2 21b1 + a2b2 + ×××+ anbn a1 + a2 + ×××+ an × b
2
1 + b
2
2 + ×××+ b
2
n ，
a1 a2 a
當且僅當 = = ××× = nb b b 時，等號成立，1 2 n
因為方程 f x = xn + an-1xn-1 + ×××+ a1x + a0 = 0 的根恰好全是正實數，
設這 n 個正根分別為 x1, x2 , × × ×, xn ，
且 a 2n-1 = -1， a1 = -n a， a0 = a ，
ìx1 + x2 + ×××+ x =1 n
由題意可知： íx1x2 × × × xn-1 + x1 × × × xn-2xn + ×××+ x2x3 × × × xn = -1
n-1 -n2a ，
n
x1x2 × × × xn = -1 a
因為 x1 + x2 + ×××+ xn =1，且 x1, x2 , × × ×, xn 均為正數，
1 1 1 1 1 1
則 + + ×××+ = x1 + x2 + ×××+ xn + + ××× +x ÷1 x2 xn è x1 x2 xn
2
1 1 1
x1 × + x2 × + ××× + xn × ÷÷ = n
2 ，
è x1 x2 xn
1 1 1 1
當且僅當 = = ××× = =x x x n 時，等號成立，1 2 n
n-1
x x × × × x + x × × × x x + ×××+ x x × × × x 1 1 1 -1 -n2a 2
又因為 1 2 n-1 1 n-2 n 2 3 n = + + ×××+ = = n ，
x1x2 × × × xn x1 x2 xn -1 n a
1 1 1
即 + + ×××+ = n2x1 x
，
2 xn
1 1 1 1
所以 = = ××× = =x x x n .1 2 n
1 1 1
+ + ×××+ n2
【點睛】關鍵點點睛：利用柯西不等式可得則 x1 x2 xn ，當且僅當
1 1 1 1
= = ××× = =
x1 x2 xn n 時，等號成立，注意等號成立的條件分析求解.

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